Modelo A (M/M/1): Modelo de cola de canal único con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales. El caso más habitual de problemas de colas es el de línea de espera de canal único, o de servidor único. En esta situación, las unidades que llegan forman una cola única que será atendida por un puesto o estación única (véase la Figura D.3). Partimos del supuesto de que se dan las siguientes condiciones en este tipo de sistema: 1. Las llegadas son atendidas sobre la base del “primero que entra, primero que sale” (FIFO), y cada llegada espera a ser atendida, independientemente de la longitud de la cola. 2. Las llegadas son independientes de las llegadas anteriores, pero el número medio de llegadas (ritmo de llegadas) no cambia en el tiempo. 3. Las llegadas siguen una distribución de probabilidades de Poisson y proceden de una población infinita (o muy, muy grande). 4. Los tiempos de servicio varían de un cliente a otro y son independientes uno de otro, pero se conoce su ritmo medio. 5. Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidades exponencial negativa. 6. El ritmo de servicio es más rápido que el ritmo de llegada.
Modelo B (M/M/S): Modelo de cola con múltiples canales Ahora vamos a analizar un sistema de cola con múltiples canales en el que dos o más servidores o canales están disponibles para atender a los clientes que llegan. Seguiremos dando por sentado que los clientes a la espera de ser atendidos forman una cola única y a continuación pasan al primer servidor disponible. Las líneas de espera multicanal y de una sola fase se encuentran actualmente en muchos bancos: se forma una cola común y el cliente en cabeza de la cola pasa a la primera ventanilla libre. El sistema multicanal, de nuevo da por sentado que las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson y que los tiempos de servicio se distribuyen exponencialmente. El servicio es primero que llega, primero en ser atendido, y se supone que todos los servidores funcionan al mismo ritmo. También son de aplicación los demás supuestos que se expusieron anteriormente.
Modelo C (M/D/1): Modelo de tiempo de servicio constante Algunos sistemas de servicio tienen tiempos de servicio constantes en lugar estar exponencialmente distribuidos. Cuando se procesan clientes o equipos según un ciclo fijo, como en el caso de un túnel de lavado automático de automóviles o un viaje en una atracción de un parque de atracciones, es adecuado considerar que los tiempos del servicio son constantes. Dado que los ritmos constantes son fijos, los valores para Lq, Wq, Ls y Ws son siempre menores de lo que serían en el modelo A, que tiene las tasas de servicio variables. En realidad, tanto la longitud media de la cola como el tiempo medio de espera en la cola se reducen a la mitad con el modelo C.
Garcia-Golding Recycling, Inc., recoge y compacta latas de aluminio y botellas de vidrio en Nueva York. Sus conductores de camiones esperan actualmente una media de 15 minutos antes de vaciar sus cargas para reciclar. El coste del tiempo del conductor y del camión mientras están en la cola es valorado en 60 dólares por hora. Se puede comprar un nuevo compactador automático para procesar las cargas de los camiones a un ritmo constante de 12 camiones por hora (esto es, 5 minutos por camión). Los camiones llegan siguiendo una distribución de Poisson a un ritmo medio de 8 por hora. Si el nuevo compactador se pone en funcionamiento, el coste se amortizará a un ritmo de 3 dólares por camión descargado. La empresa contrata en prácticas a un estudiante de la universidad, que hace el siguiente análisis para evaluar los costes de la adquisición comparados con los beneficios:
Modelo D: Modelo de población limitada Cuando hay una población limitada de clientes potenciales para una instalación de servicio, debemos considerar un modelo diferente de colas. Este modelo se utilizaría, por ejemplo, si considerásemos las reparaciones de los equipos de una fábrica que tiene cinco máquinas, si estuviéramos a cargo del mantenimiento de una flota de 10 aviones de un puente aéreo entre dos ciudades, o si dirigiéramos un pabellón de hospital que tuviera 20 camas. El modelo de población limitada permite considerar cualquier número de personas para hacer las reparaciones (servidores). Este modelo difiere de los tres anteriores porque ahora hay una relación dependiente entre la longitud de la cola y el ritmo de llegada. Ilustremos la situación extrema: Si su fábrica tuviera cinco máquinas y todas estuviesen rotas y esperando a ser reparadas, el ritmo de llegadas caería a cero. En general, entonces, conforme la cola se hace más larga en el modelo de población limitada, el ritmo de llegadas de clientes o máquinas disminuye. La Tabla muestra las fórmulas de colas para el modelo de población limitada. Observe que se emplea una notación diferente de la de los modelos A, B y C. Para simplificar lo que podría convertirse en unos cálculos que necesitarían mucho tiempo, se han desarrollado tablas de colas finitas que determinan D y F. D representa la probabilidad de que una máquina que tiene que ser reparada deba esperar en la cola. F es un factor de eficiencia del tiempo de espera. D y F son necesarias para calcular la mayoría de las demás fórmulas del modelo finito.
ANÁLISIS ECONÓMICO DEL MODELO A Y EL MODELO B
Se pueden resumir las características del modelo de dos canales y compararlas con las del modelo de canal único como sigue:
El incremento del servicio tiene un efecto espectacular en casi todas las características. Por ejemplo, observemos que el tiempo de espera en la cola se reduce de 40 minutos a sólo 2,5 minutos.
AYUDANTÍA N°3 ANÁLISIS DE SISTEMAS PRODUCTIVOS Profesor: Gonzalo del Valle
Ayudante: Daniel Aburto M.
1.- Los clientes llegan a la peluquería Paul Harrold’s Styling Shop a una tasa de 3 por hora, distribuidos según una distribución de Poisson. Paul puede hacer cortes de pelo a un ritmo de 5 por hora, distribuidos exponencialmente. a) Calcule el número medio de clientes que espera un corte de pelo. b) Calcule el número medio de clientes en la peluquería. c) Calcule el tiempo medio que un cliente espera hasta que le llega su turno. d) Calcule el tiempo medio que pasa un cliente en l a peluquería. e) Calcule el porcentaje de tiempo que Paul está ocupado.
2.- Sólo hay una fotocopiadora en la sala de estudio de la escuela de negocios. Los estudiantes llegan a una tasa de λ = 40 por hora (según una distribución de Poisson). El fotocopiado lleva una media de 40 segundos, o μ = 90 por hora (según una distribución exponencial). Calcule: a) El porcentaje de tiempo que la máquina está en uso. b) La longitud media de la cola. c) El número medio de estudiantes en el sistema. d) El tiempo medio de espera en la cola. e) El tiempo medio en el sistema.
3.- Zimmerman’s Bank es el ún ico banco de la pequeña ciudad de St. Thomas. En un viernes normal llega al banco una media de 10 clientes por hora para llevar a cabo transacciones. Hay un cajero en el banco, y el tiempo medio para realizar una transacción es de 4 minutos. Se puede describir el tiempo de servicio mediante una distribución exponencial. Se utiliza una única línea de espera, y el cliente situado al principio de la cola irá al primer cajero disponible. Si se utiliza un único cajero, calcule: a) El tiempo medio en la cola. b) El número medio de personas en la cola. c) El tiempo medio en el sistema. d) El número medio de personas en el sistema. e) La probabilidad de que el banco esté vacío. f) Zimmerman está analizando la posibilidad de poner a un segundo cajero (que trabajaría al mismo ritmo que el primero) para reducir el tiempo de espera de los clientes. Supone que esto recortará el tiempo de espera a la mitad. Si se añade un segundo cajero, responda a los apartados anteriores.
4.- El lavado de automóviles de Yvette Freeman emplea un tiempo constante de 4,5 minutos en cada ciclo de lavado. Los automóviles llegan siguiendo una distribución de Poisson a un ritmo de 10 por hora. Yvette quiere saber: a) El tiempo medio de espera en la cola. b) La longitud media de la cola.
5.- Un mecánico atiende 5 taladradoras en una fábrica de planchas de acero. Las máquinas se averían a una media de una vez cada 6 días laborables, y las averías tienden a seguir una distribución de Poisson. El mecánico puede realizar en promedio una reparación al día. Las reparaciones siguen una distribución exponencial. a) En promedio, ¿cuántas máquinas esperan a ser reparadas? b) En promedio, ¿cuántos taladros están en funcionamiento? c) ¿Cuánto se reduciría el tiempo de espera si se contratase a un segundo mecánico?
