Gestión Financiera Ejercicios Riesgo y Retorno Resueltos Comentes: 1. Para lograr el efecto diversificación en un portafolio debemos necesariamente invertir en activos que no se correlacionen o que tienen correlación negativa. Falso, para lograr el efecto diversificación basta con invertir en activos con correlación menor a 1. No es necesario que dichos activos tengan correlación cero o negativa.
2. Considere la siguiente cita de un analista de inversiones: “Las acciones de la compañía A se vendieron en $12 aproximadamente durante la
mayor parte de los últimos tres años. Puesto que las acciones de A han mostrado muy poco movimiento movimiento en su precio, tienen un beta bajo. Por otra parte, la empresa empresa B ha vendido tan alto como $150 dolares y tan bajo como sus actuales $75 dólares. Puesto que las acciones de B mostraron una gran cantidad de movimiento en su precio, tienen un beta elevado”. ¿Está de acuerdo con este análisis? Explique su respuesta. Si asumimos que el mercado no se ha quedado constante durante los últimos tres años, entonces la carencia de movimiento en el precio de la empresa A solo indica que la acción tiene una desviación estándar o un beta muy cercano a cero. El gran movimiento en el precio de la acción de la empresa B, no implica que la empresa tenga un gran beta. La volatilidad total (fluctuación del precio) es una función del riesgo sistemático y el no sistemático. El beta sólo refleja el riesgo sistemático. La desviación estándar del movimiento del precio no indica si los cambios en el precio fueron debido a factores sistemáticos o factores específicos a la firma. Entonces si observamos grandes movimientos en el precio de la acciones, no se puede afirmar que el beta es alto. Lo que sí sabemos es que el riesgo total es alto.
3. La característica más importante para determinar la varianza de un portafolio bien diversificado es la varianza de cada uno de los instrumentos individuales. Comente Respuesta: Falso, es la covarianza entre los activos incorporados en el portfolio.
4. Para una persona que no le gusta el riesgo, el portafolio de mínima varianza será la asignación más eficiente. Comente Al hacer la línea de mercado de capitales, combinando el activo libre de riesgo (rf) y el portafolio de mercado, queda claro que no es eficiente, ya que para el mismo nivel de riesgo que el portafolio de mínima varianza, existe un portafolio en la línea de mercado de capitales que nos entrega un mayor retorno. Propuesto: Graficar la situación descrita.
5. Con un portafolio de dos títulos, siempre esperar mayores retornos implica tomar más riesgo.
1
Gestión Financiera Respuesta: Falso: porque si la correlación esta dentro de -1 y 1, habrá una ganancia inicial de ir del portafolio menos riesgoso al riesgoso asumiendo menos riesgo y aumentando el retorno esperado, pensar en la curvatura inicial de la frontera, en especial en cómo se descartan esos portafolios que estando en la frontera son ineficientes, aquellos con más riesgo que el portafolio de mínima varianza y menor retorno a este.
6. La varianza de un portafolio de dos títulos, no puede ser mayor a la varianza de cada uno de los títulos por separado. Comente Respuesta: Falso en caso de venta corta y comprándose el activo más riesgoso.
7. Cuando el mercado va al alza todos ganamos. En cambio, si va a la baja todos perdemos. FALSO. Cuando el mercado va a la baja también podemos ganar haciendo una venta corta. Una venta corta consiste en pedir prestada una acción, pagando cierto derecho (de la cual tenemos expectativas que su precio caerá) y luego venderla inmediatamente en el mercado, antes que su precio efectivamente caiga, y así cuando esto se materialice, volvemos a comprar dicha acción, a un precio mucho más bajo, y la devolvemos a su dueño original, haciendo como ganancia la diferencia entre los distintos precios menos el derecho pagado.
8. En la teoría de conformación de carteras, cómo se relaciona el hecho de asociar un cierto Beta a un escenario económico optimista y otro Beta (con un valor distinto) a un escenario económico pesimista, indique cual beta es mayor o menor en cada caso. El Beta es una medida de riesgo que mide cual es la variación (de los retornos) de una acción con respecto al mercado, por lo tanto es una variación relativa y no absoluta. Cuando el Beta es igual a uno, quiere decir que el rendimiento de la acción se mueve en la misma dirección y magnitud que el rendimiento del mercado. Por lo tanto, cuando estamos conformando una cartera y debemos condicionar cierto beta, se preferirá un beta mayor a 1 cuando el escenario económico es optimista ya que así nuestra cartera aumentará su retorno en una proporción mayor al alza del mercado (amplificamos el alza), mientras que se preferirá un beta menor a 1 cuando el escenario económico es pesimista, ya que como se espera que el mercado vaya a la baja, nuestra cartera disminuirá su retorno en una proporción menor que el mercado (amortigua la baja).
2
Gestión Financiera Ejercicios: 1. Considere las tasas de rendimiento posibles de las acciones A y B durante el siguiente año: Estado de la economía Recesión Normal Auge
Probabilidad de que ocurra el estado 0.2 0.5 0.3
Rendimiento de A si ocurre el estado (%) 7 7 7
Rendimiento de B si ocurre el estado (%) -5 10 25
a. Determine los rendimientos esperados, las varianzas y las desviaciones estándar correspondientes a la acción A y a la B. E(RA)= (0.20)(0.07) + (0.50)(0.07) + (0.30)(0.07)= 0.07= 7% 2
A =
2
2
2
(0.20)(0.07 – 0.07) + (0.50)(0.07 – 0.07) + (0.30)(0.07 – 0.07) = 0 A =0
E(RB)= (0.20)(-0.05) + (0.50)(0.10) + (0.30)(0.25)= 0.1150= 11.50% B
= (0.20)(-0.05 – 0.1150)2 + (0.50)(0.10 – 0.1150)2 + (0.30)(0.25 – 0.1150)2 = 0.011025
B
= (0.011025)1/2= 0.1050=10.50%
2
b. Determine la covarianza y la correlación entre los rendimientos de la acción A y la B. Cov(RA, RB)= (0.20)(0.07 – 0.07)(-0.05 (0.30)(0.07 – 0.07)(0.25 – 0.1150)= 0 Corr(RA,RB)= Cov(RA, RB) / ( A * c.
B
0.1150) + (0.50)(0.07
–
0.07)(0.10
–
0.1150)
–
)= 0 / (0 * 0.1050) = 0
Determine el rendimiento esperado y la desviación estándar de un portafolio conformado por A y B con ponderaciones de 50% de cada activo. E(RP) = (WA)[E(RA)] + (WB)[E(RB)] = (1/2)(0.07) + (1/2)(0.115) = 0.0925 = 9.25% 2
p
2 2 2 2 = (WA) ( A) + (WB) ( B) + (2)(WA)(WB)( A)( B)[Corr(R A, RB)]
= (1/2)2(0)2 + (1/2)2(0.105) 2 + (2)(1/2)(1/2)(0)(0.105)(0) = 0.002756 p
= (0.002756) 1/2
3
Gestión Financiera = 0.0525 =5.25%
2. Suponga que solo existen dos acciones en el mundo la A y la B. Los rendimientos esperados de esas dos acciones 10% y 20%, en tanto que las desviaciones estándar de las acciones son 5% y 15%, respectivamente. La correlación entre los rendimientos de las dos acciones es 0. a. Calcule el rendimiento esperado y la desviación estándar de un portafolio que se encuentra formado por 30% de A y 70% de B. E(RP)
= (0.30)(0.10) + (0.70)(0.20) = 0.17 = 17%
2
2
2
2
2
= (0.30) (0.05) + (0.70) (0.15) + (2)(0.30)(0.70)(0.05)(0.15)(0) = 0.01125
p
= (0.01125) 1/2
p
= 0.1061 = 10.61% b. Determine el rendimiento esperado y la desviación estándar de un portafolio que se encuentra formado por 90 % de A y 10% de B. E(RP)
= (0.90)(0.10) + (0.10)(0.20) = 0.11 = 11% 2
p
= (0.90)2(0.05)2 + (0.10)2(0.15)2 + (2)(0.90)(0.10)(0.05)(0.15)(0) = 0.00225
p
= (0.00225)
1/2
= 0.0474 = 4.74% 3. De acuerdo a las siguientes tablas determinar: A
B
C
Capitalización Bursátil (MUS$)
750
300
450
Rentabilidad Media
23,53
22,83
34,69
Desviación estándar
1,6
0,71
1,11
4
Gestión Financiera Matriz de Correlaciones A
B
C
A
1
-0,04
0,356
B
-0,04
1
0.0025
C
0,356
0,0025
1
a. El peso específico (ponderación de cada activo en la cartera). Valor toral de la cartera= 750+300+450=1500 750 W A 0,5 1500 300 W B 0,2 1500 450 W C 0,3 1500
b. El retorno de la cartera.
E ( R p ) 0,5 0,2353 0,2 0,2283 0,3 0,3469 0,26738 26,738% c.
Las medidas de riesgo de la cartera.
Var ( R p ) w12Var ( R1 ) w22Var ( R2 ) w32Var ( R3 ) 2w1 w2 12 1 2
2w1 w3 13 1 3 2
p
2w2 w3 23 2 3
0,951878
p
0,97564
4. El portafolio de Mercado tiene un rendimiento esperado de 12% y una desviación estándar de 10%. La tasa libre de riesgo es 5%. a. ¿Cuál es el rendimiento esperado de un portafolio bien diversificado con una desviación estándar de 7%? Porque un portafolio bien diversificado no tiene riesgo no sistemático, este portafolio debería estar en la línea de Mercado de capitales (Capital Market Line (CML)). La pendiente de la CML es igual a: PendienteLMC= [E(RM) – rf ] / M PendienteLMC = (0.12 – 0.05) / 0.10 = 0.70 E(RP)
= rf + PendienteLMC ( P)
= 0.05 + (0.70)(0.07) 5
Gestión Financiera = 0.99 = 9.9% b. ¿Cuál es la desviación estándar de un portafolio bien diversificado con un rendimiento esperado de 20%?
E(RP)
= rf + PendienteLMC ( P)
0.20
= 0.05 + (0.70)( P)
P
= (0.20 – 0.05) / 0.70 = 0.2143 = 21.43%
5. Considere la siguiente información sobre los rendimientos del Mercado y las acciones de la empresa C. Tipo de economía A la baja Al alza
Rendimiento del mercado (%) 2.5 16.3
Rendimiento esperado de C (%) 3.4 12.8
Calcule el beta de la empresa C.
Línea característica de C 0,15 ) c R ( E
0,1 0,05 0 0
0,05
0,1
0,15
0,2
Retorno del mercado
PendienteLMA = [ E(RCI)Alza – E(RC)Baja ] / [(RM)Alza – (RM)Baja]=beta = (0.128 – 0.034) / (0.163 – 0.025) = 0.68
6. Las siguientes cuatro acciones está disponibles en la bolsa de comercio de Santiago
Rendimiento Esperado 6
Beta
Gestión Financiera CCU Endesa Masisa Watts-A IGPA
20% 10% 8% 16% 12%
2,3 0,98 1,35 1,6 1
a. Elabore la ecuación de mercado para cada acción La ecuación de mercado es R = R + β (Rm - R m) +
ε
r i = α + βi r m + εm Reemplazando con los datos de la tabla RC = 20% + 2,3 (R m – 12%) + εC RE = 10% + 0,98 (Rm – 12%) + εE RM= 8% + 1,35 (R m – 12%) + εM RW = 16% + 1,6 (R m – 12%) + εW
b. ¿Cuál será el rendimiento de un porfolio formado por un 20% en CCU, 35% en Endesa, 30% en Masisa y un 15% en Watts-A? Reemplazando las ponderaciones con los rendimientos R p= 0,2*0,2 + 0,35*0,1 + 0,3*0,08 + 0,15*0,16 R p= 12,3% Reemplazando las ponderaciones con los betas β =
0,2*2,3 + 0,35*0,98 + 0,3*1,35 + 0,15*0,16
β =
1,1448
Reemplazando los resultados en la ecuación de mercado R p=12,3% + 1,1448 (Rm – 12%) + 0,2 εC + 0,35 εE + 0,3 εM + 0,15 εW
7. Suponga que ha invertido solo en dos acciones A y B. Los rendimientos de las dos dependen de los siguientes tres estados de la economía que tienen la misma probabilidad de ocurrir: Estado de la economía
Rendimiento de la acción A (%)
Rendimiento de la acción B (%)
Recesión
6,30
-3,70
7
Gestión Financiera Normal
10,50
6,40
Auge
15,60
25,30
a. Calcule el rendimiento esperado de cada acción.
E ( R A ) = (1/3)(0.063) + (1/3)(0.105) + (1/3)(0.156) = 0.1080 = 10.80% E ( R B ) = (1/3)(-0.037) + (1/3)(0.064) + (1/3)(0.253) = 0.933 = 9.33% b. Calcule la desviación estándar de los rendimientos de cada acción. A =
(1/3)(0.063 – 0.108)2 + (1/3)(0.105 – 0.108)2 + (1/3)(0.156 – 0.108)2 = 0.001446
A
(0.001446)1/2 = 0.0380 = 3.80%
2
2
B
B
= (1/3)(-0.037 – 0.0933)2 + (1/3)(0.064 – 0.0933)2 + (1/3)(0.253 – 0.0933)2 = 0.014447
(0.014447)
1/2
= 0.1202 = 12.02%
c. Calcule la covarianza y la correlación entre los rendimientos de las dos acciones. Cov(RA, RB) = (1/3)(0.063 – 0.108)(-0.037 – 0.0933) + (1/3)(0.105 – 0.108)(0.064 – 0.933) + (1/3)(0.156 – 0.108)(0.253 – 0.0933) = 0.004539 Corr(RA,RB) = Cov(RA, RB) / A B
0.004539 / (0.0380 * 0.1202) = 0.9937
8. El instrumento F tiene un rendimiento esperado de 12% y una desviación estándar de 9% anual. El instrumento G tiene un rendimiento esperado de 18% y una desviación estándar de 25% anual. a. ¿Cuál será el rendimiento esperado de un portafolio formado por 30% del instrumento F y 70% del G? Retorno esperado del portfolio: E(RP)
= (WF)[E(RF)] + (WG)[E(RG)]
Donde
E(RP) = retorno esperado del portafolio
E(RF) E(RG) WF
= retorno esperado del portafolio del activo F = retorno esperado del portafolio del activo G = peso del activo F en el portafolio
WG
= peso del activo G en el portafolio
E(RP)
= (0.30)(0.12) + (0.70)(0.18) = 0.1620 = 16.20%
b. Si la correlación entre los rendimientos de F y G es 0.2 ¿Cuál es la desviación estándar del portafolios descrito en el inciso a? La varianza del portafolio es igual a: 8
Gestión Financiera 2
P =
(WF)2 F + (WG)2 G + (2)(WF)(WG) 2
Donde
2
2
F G [Corr(RF,
RG)]
P =
varianza del portafolio
WF
= peso del activo F en el portafolio
WG
= peso del activo G en el portafolio
F
= desviación estándar del activo F
G
= desviación estándar del activo G
RF
= retorno del activo F
RG
= retorno del activo G
P =
(0.30)2(0.09)2 + (0.70)2(0.25) 2 + (2)(0.30)(0.70)(0.09)(0.25)(0.2)= 0.033244
P =
(0.033244)1/2 = 0.1823 =18.23%
2
9. Suponga que los rendimientos esperados y las desviaciones estándar de las acciones A y B son E ( R A ) =0,15, E ( R B ) 0,25, A 0,1 y B 0,2, respectivamente.
a. Calcule el rendimiento esperado y la desviación estándar de un portafolio formado por 40% de A y 60% de B cuando la correlación entre los rendimientos de A y B es 0,5. E(RP)
= (0.40)(0.15) + (0.60)(0.25) = 0.21 = 21%
2
P = (0.40) P =
2
(0.10)2 + (0.60)2(0.20) 2 + (2)(0.40)(0.60)(0.10)(0.20)(0.5)= 0.0208
(0.0208)1/2 = 0.1442 =14.42%
b. Determine la desviación estándar de un portafolio formando por 40% de A y 60% de B cuando el coeficiente de correlación entre los rendimientos de A y B es -0,5. 2
P = (0.40) P =
2
(0.10)2 + (0.60)2(0.20) 2 + (2)(0.40)(0.60)(0.10)(0.20)(-0.5) = 0.0112
(0.0112)1/2 = 0.1058 =10.58%
c. ¿Cómo afecta la correlación entre los rendimientos de A y B la desviación estándar del portafolio? Como A y B están negativamente correlacionados, la desviación estándar del portafolio decrece, es decir el portafolio se hace menos riesgoso.
10. La señora Juanita considera dos instrumentos, el A y el B, cuya información relevante se presenta en seguida: Estado de la economía
Posibilidad
Rendimiento del valor de A (%)
9
Rendimiento del valor de B (%)
Gestión Financiera A la alza
0.4
3.0
6.5
A la baja
0.6
15.0
6.5
a. Calcule el rendimiento esperado y la desviación estándar de cada uno de los dos instrumentos.
E ( R A ) = (0.40)(0.03) + (0.60)(0.15) = 0.1020= 10.20% A =
(0.40)(0.03 – 0.102)2 + (0.60)(0.15 – 0.102)2 = 0.003456
A
= (0.003456)1/2 = 0.0588 = 5.88%
2
E ( R B ) = (0.40)(0.065) + (0.60)(0.065) = 0.0650 = 6.50% 2
B
B
= (0.40)(0.065 – 0.065)2 + (0.60)(0.065 – 0.065)2 = 0
(0)1/2= 0.00= 0%
b. Suponga que la señora Juanita invirtió $2500 en el instrumento A y $3500 en el instrumento. Calcule el rendimiento esperado y la desviación estándar de su portafolios. Valor total del portafolio = $2,500 + $3,500= $6,000 Peso del activo A = $2,500 / $6,000= 5/12 Peso del activo B = $3,500 / $6,000 = 7/12 E(RP)
= (5/12)(0.102) + (7/12)(0.065)= 0.0804= 8.04%
P =
(5/12)2(0.0588) 2 + (7/12) 2(0)2 + (2)(5/12)(7/12)(0.0588)(0)(0)= 0.000600
P =
(0.00600)1/2 = 0.0245= 2.45%
2
11. Suponga que posee la siguiente cartera de acciones:
Accion
Rentabilidad de la Accion
Beta
MCD
13%
1,2
CH
9%
2
AA
24%
0,8
a. Calcule la proporción invertida en cada acción si sabe que el beta de la cartera debe ser de 1, y además sabe que la proporción invertida en CH es 2 veces la de AA. Para encontrar las ponderaciones era necesario plantear las siguientes restricciones: 10
Gestión Financiera Con lo anterior, los resultados son: MCD = 1,5
CH = -0,3333
AA = -0.1666
b. Con los porcentajes calculados en a), determine la rentabilidad de la cartera. La rentabilidad de la cartera se obtiene ponderando la rentabilidad de cada acción por los porcentajes anteriores: ( )
11
