AVALIAÇÃO DE IMOVEIS URBANOS

AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS

ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA

“A estatística tem uma particularidade: pesquisamos para dizer algo significativo sobre o universo que elegemos, porém a pesquisa só será significativa se conhecermos suficientemente o universo para escolhermos adequadamente as variáveis e as condições de amostragem.”

Instrutora: ARQUITETA ANA ANA MARIA DE BIAZZI BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA OLIVEIRA End. : Rua C uruzú, uruzú, 56 – Alto d a La p a Tel: 55 (11) 3831-156 3831-1568/ 8/ 810 8109-7 9-7733 733 Sã o Pa ulo -S.P e-mail: [email protected]

CURRICULUM VITAE - RESUMIDO Arquiteta, graduada pela Pontifícia Universidade Católica de Campinas. Pós – graduada em Engenharia de Avaliações e Perícias pela Universidade Santa Cecília -UNISANTA – Santos–SP. Mestre Mestre em Engenharia Civil e Urbana pela Escola Politécnica da USP.Profissional autônoma exercendo as mais diversas funções na área de Avaliações e Perícias de Engenharia. Vice- presidente do IBAPE/SPInstituto Brasileiro de Avaliações e Perícias de Engenharia de São Paulo. Participação como relatora na elaboração da NORMA PARA AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS

do IBAPE/SP.Coordenadora do estudo “VALORES DE

EDIFICAÇÕES DE IMÓVEIS URBANOS” do IBAPE/SP versão 2002.Integrante da Comissão de Estudos da ABNT - COBRACON no processo de revisão das Normas de Avaliações de Bens.Instrutora nos cursos de especialização versando sobre “Inferência Estatística Aplicada à Engenharia de Avaliações de Imóveis” ministrados para entidades e órgãos públicos e em cursos em cursos de pós graduação “Latu Sensu” em Engenharia de Avaliações e Perícias

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1 - Conceitos Gerais 1.1-A 1.1- A Natureza da Avaliação de um Bem Imóvel Do ponto de vista geral e pela definição contida na NBR (Norma Brasileira) -14.653 -

PARTE 1: PROCEDIMENTOS GERAIS, a avaliação de um bem consiste na “análise técnica, realizada por Engenheiro de Avaliações, para identificar o valor de um bem, de seus custos, frutos e direitos, assim como determinar indicadores da viabilidade de sua utilização econômica, para uma determinada finalidade, situação e data”.

Sendo que: usc etí etível vel de utili utiliza ç ã o o u q ue p od e ser ser ob jeto 3.6 bem: Co isa q ue te m va lor, susc d e d ireito, que inte inte gra um p a trimô trimô nio nio

3.6.1 bem tangível:

Bem

identificado

materialmente

(ex.:

imóveis,

eq uip uip a me ntos, ntos, ma téria téria s-pri -prima s)

3.6.2 bem intangível: Bem não identificado materialmente (ex.: fundo de c om érc érc io, marca s e p ate ntes) ntes)

1.2 Classificação dos bens, vistoria e coleta de dados (transcrições Normas técnicas brasileiras NBR 14653-2)) 1.2.1 Classificação dos imóveis urbanos • Quanto ao uso: a) residencial; b) comercial; c) industrial; d) institucional; e) misto.

• Quanto ao tipo do imóvel, entre outros: a) terreno (lote ou gleba); b) apartamento; c) casa; d) escritório (sala ou andar corrido); e) loja; f) galpão; g) vaga de garagem; h) misto; 2



1 - Conceitos Gerais 1.1-A 1.1- A Natureza da Avaliação de um Bem Imóvel Do ponto de vista geral e pela definição contida na NBR (Norma Brasileira) -14.653 -

PARTE 1: PROCEDIMENTOS GERAIS, a avaliação de um bem consiste na “análise técnica, realizada por Engenheiro de Avaliações, para identificar o valor de um bem, de seus custos, frutos e direitos, assim como determinar indicadores da viabilidade de sua utilização econômica, para uma determinada finalidade, situação e data”.

Sendo que: usc etí etível vel de utili utiliza ç ã o o u q ue p od e ser ser ob jeto 3.6 bem: Co isa q ue te m va lor, susc d e d ireito, que inte inte gra um p a trimô trimô nio nio

3.6.1 bem tangível:

Bem

identificado

materialmente

(ex.:

imóveis,

eq uip uip a me ntos, ntos, ma téria téria s-pri -prima s)

3.6.2 bem intangível: Bem não identificado materialmente (ex.: fundo de c om érc érc io, marca s e p ate ntes) ntes)

1.2 Classificação dos bens, vistoria e coleta de dados (transcrições Normas técnicas brasileiras NBR 14653-2)) 1.2.1 Classificação dos imóveis urbanos • Quanto ao uso: a) residencial; b) comercial; c) industrial; d) institucional; e) misto.

• Quanto ao tipo do imóvel, entre outros: a) terreno (lote ou gleba); b) apartamento; c) casa; d) escritório (sala ou andar corrido); e) loja; f) galpão; g) vaga de garagem; h) misto; 2



i) hotéis e motéis; j) hospitais; k) escolas; l) cinemas e teatros; m) clubes recreativos; n) prédios industriais.

• Quanto ao agrupamento dos imóveis: a) loteamento; b) condomínio de casas; c) prédio de apartamentos; d) conjunto habitacional (casas, prédios ou mistos); e) conjunto de salas comerciais; f) prédio comercial; g) conjunto de prédios comerciais; h) conjunto de unidades comerciais; i) complexo industrial.

1.2.2 - Vistoria do bem avaliando Nenhuma avaliação poderá prescindir da vistoria. Em casos excepcionais, quando for impossível o acesso ao bem avaliando, admite-se a adoção de uma situação paradigma, desde que acordada entre as partes e explicitada no laudo. A vistoria deve ser efetuada pelo engenheiro de avaliações com o objetivo de conhecer e caracterizar o bem avaliando e sua adequação ao seu segmento de mercado, daí resultando condições para a orientação da coleta de dados.

• É recomendável registrar as características físicas e de utilização do bem e outros aspectos relevantes à formação do valor.

• O conhecimento de estudos, projetos ou perspectivas tecnológicas que possam vir a afetar o valor do bem avaliando deverá ser explicitado e suas conseqüências apreciadas.

• Caracterização da região ― Aspectos gerais: análise das condições econômicas, políticas e sociais, quando

relevantes para o mercado, inclusive usos anteriores atípicos at ípicos ou estigmas. ― Aspectos físicos: condições de relevo, natureza predominante do solo e

condições ambientais. 3



― Localização: situação no contexto urbano, com indicação dos principais pólos de

influência. ― Uso e ocupação do solo: confrontar a ocupação existente com as leis de

zoneamento e uso do solo do município, para concluir sobre as tendências de modificação a curto e médio prazo. ― Infra-estrutura urbana: sistema viário, transporte coletivo, coleta de resíduos

sólidos, água potável, energia elétrica, telefone, redes de cabeamento para transmissão de dados, comunicação e televisão, esgotamento sanitário, águas pluviais e gás canalizado. ― Atividades existentes: comércio, indústria e serviço. ― Equipamentos comunitários: segurança, educação, saúde, cultura e lazer.

• Caracterização do terreno ― Localização: situação na região e via pública, com indicação de limites e

confrontações. ― Utilização atual e vocação, em confronto com a legislação em vigor. ― Aspectos físicos: dimensões, forma, topografia, superfície, solo. ― Infra-estrutura urbana disponível. ― Restrições físicas e legais ao aproveitamento.

• Caracterização das edificações e benfeitorias ― Aspectos construtivos, qualitativos, quantitativos e tecnológicos, comparados com

a documentação disponível. ― Aspectos arquitetônicos, paisagísticos e funcionais, inclusive conforto ambiental. ― Adequação da edificação em relação aos usos recomendáveis para a região. ― Condições de ocupação.

• Situações especiais

- Vistoria por amostragem Na avaliação de conjunto de unidades autônomas padronizadas, é permitida vistoria interna por amostragem aleatória de uma quantidade definida previamente pelas partes ou, se houver omissão no contrato, de um percentual mínimo de 10% do total das unidades de cada bloco ou conjunto de unidades de mesma tipologia. 4



- Impossibilidade de vistoria Quando não for possível o acesso do avaliador ao interior do imóvel, o motivo deve ser justificado no laudo de avaliação. Neste caso, em comum acordo com o contratante, a vistoria interna pode ser prescindida e a avaliação pode prosseguir com base nos elementos que for possível obter ou fornecidos pelo contratante, tais como: a) descrição interna; b) no caso de apartamentos, escritórios e conjuntos habitacionais, a vistoria externa de áreas comuns, a vistoria de outras unidades do mesmo edifício e informações da respectiva administração; c) no caso de unidades isoladas, a vistoria externa. As considerações hipotéticas sobre o imóvel que configuram a situação paradigma, devem estar claramente explicitadas no laudo de avaliação.

1.2.3 Coleta de dados É recomendável que seja planejada com antecedência, tendo em vista: as características do bem avaliando, disponibilidade de recursos, informações e pesquisas anteriores, plantas e documentos, prazo de execução dos serviços, enfim, tudo que possa esclarecer aspectos relevantes para a avaliação.

Aspectos Quantitativos É recomendável buscar a maior quantidade possível de dados de mercado, com atributos comparáveis aos do bem avaliando.

Aspectos Qualitativos Na fase de coleta de dados é recomendável: a) buscar dados de mercado com atributos mais semelhantes possíveis aos do bem avaliando; b) identificar e diversificar as fontes de informação, sendo que as informações devem ser cruzadas, tanto quanto possível, com objetivo de aumentar a confiabilidade dos dados de mercado; c) identificar e descrever as características relevantes dos dados de mercado coletados; d) buscar dados de mercado de preferência contemporâneos com a data de referência da avaliação. 5



Planejamento da pesquisa No planejamento de uma pesquisa, o que se pretende é a composição de uma amostra representativa de dados de mercado de imóveis com características, tanto quanto possível, semelhantes às do avaliando, usando-se toda a evidência disponível. Esta etapa – que envolve estrutura e estratégia da pesquisa – deve iniciar-se pela caracterização e delimitação do mercado em análise, com o auxílio de teorias e conceitos existentes ou hipóteses advindas de experiências adquiridas pelo avaliador sobre a formação do valor. Na estrutura da pesquisa são eleitas as variáveis que, em princípio, são relevantes para explicar a formação de valor e estabelecidas as supostas relações entre si e com a variável dependente. A estratégia de pesquisa refere-se à abrangência da amostragem e às técnicas a serem utilizadas na coleta e análise dos dados, como a seleção e abordagem de fontes de

Levantamento de dados de mercado O levantamento de dados tem como objetivo a obtenção de uma amostra representativa para explicar o comportamento do mercado no qual o imóvel avaliando esteja inserido e constitui a base do processo avaliatório. Nesta etapa o engenheiro de avaliações investiga o mercado, coleta dados e informações confiáveis preferentemente a respeito de negociações realizadas e ofertas, contemporâneas à data de referência da avaliação, com suas principais características econômicas, físicas e de localização.

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2 Métodos para identificar o valor de um bem, de seus frutos e direitos Método comparativo direto de dados de mercado Identifica o valor de mercado do bem por meio de tratamento técnico dos atributos dos elementos comparáveis, constituintes da amostra. Preferencialmente utilizado na busca do valor de mercado de terrenos, casas padronizadas, lojas, apartamentos, escritórios, armazéns, entre outros, sempre que houver dados semelhantes ao avaliando.

Método involutivo Identifica o valor de mercado do bem, alicerçado no seu aproveitamento eficiente, baseado em modelo de estudo de viabilidade técnico-econômica, mediante hipotético empreendimento compatível com as características do bem e com as condições do mercado no qual está inserido, considerando-se cenários viáveis para execução e comercialização do produto. Utilizado no caso de inexistência de dados amostrais semelhantes ao avaliando.

Método evolutivo Identifica o valor do bem pelo somatório dos valores de seus componentes. Caso a finalidade seja a identificação do valor de mercado, deve ser considerado o fator de comercialização. Indicado para obter o valor de mercado no caso de inexistência de dados amostrais semelhantes ao avaliando. É o caso de residências de alto padrão, galpões, entre outros.

Método da capitalização da renda Identifica o valor do bem, com base na capitalização presente da sua renda líquida prevista, considerando-se cenários viáveis. Recomendado para empreendimentos de base imobiliária, tais como shopping-centers, hotéis.

Escolha da metodologia A metodologia escolhida deve ser compatível com a natureza do bem avaliando, a finalidade da avaliação e os dados de mercado disponíveis. Para a identificação do valor de mercado, sempre que possível preferir o método comparativo direto de dados de mercado.

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2.1 Avaliação pelo Método Comparativo de Dados de Mercado O Método Comparativo Direto de Dados de Mercado é aquele que define o valor através da comparação com os preços de bens similares, que foram transacionados (vendidos, locados, etc...) recentemente, ou estão ofertados. As particularidades dos dados pesquisados que exercem influência na formação dos preços deverão ser ponderadas através de ajustes, ou pelo Tratamento por Fatores (Homogeneização) ou através de Tratamento Científico (inferência Estatística).

2.1.1. A Prática da Pesquisa Na utilização do Processo Comparativo busca-se um valor representativo para a população de imóveis semelhantes àquele que se pretende avaliar. Como a

população é, normalmente, inacessível na sua totalidade, utiliza-se uma amostra, cujo valor médio fornece estimativas do valor médio populacional. É evidente que, quanto mais homogênea a população investigada, mais homogênea será amostra , sendo provável que esta contenha dados com valores

próximos à média aritmética. Entretanto, para previsão do valor de mercado de um imóvel, pelo Proc esso Comparativo, o pesquisador enfrenta dificuldades significativas, pelo fato de ser muito heterogêneo, e o resultado da pesquisa imobiliária é a obtenção de amostras heterogêneas, conseqüência do próprio fato de que o mercado brasileiro não se

faz através de imóveis padronizados, ,as sim. diferenciado em função, principalmente, de fenômenos culturais, locacionais e socioeconômicos. Preços unitários homogêneos (difícil na pratica), indicam que, à priori, não devem existir atributos influenciantes na formação dos preços. Neste caso, a avaliação poderá ser feita a partir da média dos preços coletados no mercado. Preços unitários heterogêneos indicam a possibilidade de haver um ou mais atributos que estão influenciando na formação dos preços deste mercado. Parte-se então para a identificação destes atributos. No início da pesquisa, é necessário um pré-estudo identificando inicialmente que variáveis possam influenciar os preços, mas, em muitos casos, a identificação de certos atributos só será possível durante contatos com os agentes do mercado.

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A aplicação adequada do método comparativo está fundamentada na metodologia da pesquisa científica, que se desenvolve através das seguintes fases:

1 - Preparação da pesquisa: 2 - Trabalho de campo; 3 - Processamento e análise dos dados: 4 - Interpretação e explicação dos resultados; 5 - Redação do laudo avaliatório. Portanto, a pesquisa abrange todo o processo avaliatório. Neste curso apresentamse alguns conceitos básicos sobre as duas primeiras fases. As demais são objetos de outros cursos.

2.1.2 - Preparação da pesquisa Esta fase está vinculada diretamente ao planejamento da pesquisa. Nela se faz a escolha, definição e delimitação do problema em análise. Observa-se as teorias e abordagens a serem empregadas e os conceitos e hipóteses que devem ser levados em consideração. No planejamento da pesquisa imobiliária, o que se pretende é a composição de uma amostragem aleatória de valores de imóveis com características, tanto quanto possível, semelhantes às do avaliando. Cada dado coletado deve reunir condições de tal forma que possa ser considerado um evento representativo do mercado imobiliário na região de pesquisa. Em geral o avaliador conhece a priori as principais características influenciantes sobre o valor de um bem e em conseqüência a formulação das hipóteses de trabalho. Devido ao grande número de variáveis independentes (atributos dos imóveis) que teriam lugar num modelo explicativo do valor de um imóvel e a quantidade reduzida de dados que se trabalha na prática, tenta-se na fase de planejamento da pesquisa, na medida do possível eliminar a presença de algumas destas variáveis. Por exemplo, na pesquisa de valores para avaliação de um lote urbano, geralmente limita-se a área de pesquisa à mesma região geo-econômica e ao mesmo zoneamento do terreno avaliando, evitando-se assim a presença de duas covariáveis no modelo.

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2.1.3 - Trabalho de campo - Levantamento de dados de mercado O trabalho de campo é uma das mais importantes fases do processo avaliatório. Nesta etapa, o engenheiro de avaliações investiga o mercado imobiliário e coleta dados e informações que servirão de base para a avaliação. O levantamento de dados tem como objetivo a obtenção de uma amostra representativa para explicar o comportamento do mercado no qual o imóvel avaliando esteja inserido e constitui a base do processo avaliatório. Nesta etapa o engenheiro de avaliações investiga o mercado, coleta dados e informações confiáveis preferentemente a respeito de negociações realizadas e ofertas, contemporâneas à data de referência da avaliação, com suas principais características econômicas, físicas e de localização. O levantamento dos elementos pode ser feito, utilizando-se principalmente: • no próprio local, com identificação de placas; • banco de dados existentes; • sites de internet; • empresas Imobiliárias; • corretores especializados; • anúncios de Jornais; • cartórios de Registro Geral de Imóveis; Todas estas fontes devem ser vistas com sua devida cautela. Um cuidado particular deve ser observado quando se tomar como referencia dados de cartórios, pois nem sempre o valor constante numa escritura de compra e venda é o efetivamente negociado. Assim. torna-se necessário verificar junto a um dos participantes da operação, o valor real da transação e confrontar suas informações com outras. Na entrevista com corretores de imóveis ou ofertantes, é de grande importância que o pesquisador se apresente como pessoa realmente interessada em adquirir o bem ofertado, sob pena de receber informações distorcidas ou até mesmo não receber informação alguma. Neste caso o avaliador pode apresentar contra-propostas, visando retirar a super-estimativa que normalmente acompanha o valor de oferta inicial. Informações de sites de internet, atualmente são importantes indicadores quanto à exposição de imóveis no mercado e podem auxiliar nas investigações. É

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um mercado que está crescendo com tendência a serem os grandes formadores de bancos de dados. É importante a visita aos elementos tomados como referência, como forma de verificar todas as informações de interesse. Na própria visita ao campo, muitas vezes consegue-se referências importantes com moradores da própria região, ou pela verificação de placas indicativas da manifestação de comercializar o bem. É importante, também, que os dados coletados sejam de forma diversas, buscando o lado mais qualitativo do que quantitativo na composição da amostra, como forma das informações serem cruzadas, o que aumentará a confiabilidade dos dados levantados. Os dados de oferta são indicações importantes do valor de mercado. Entretanto, devem-se considerar superestimativas que em geral acompanham esses preços e, sempre que possível, quantificá-las pelo confronto com dados de transações. Na amostragem deve-se analisar o uso de informações que impliquem opiniões subjetivas do informante e recomenda-se: a) visitar cada imóvel tomado como referência, com o intuito de verificar, tanto quanto possível, todas as informações de interesse; b) atentar para os aspectos qualitativos e quantitativos; c) confrontar as informações das partes envolvidas, de forma a conferir maior confiabilidade aos dados coletados.

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2.2 - O Método Comparativo e a Avaliação de Imóveis Um Método de Avaliação deverá basear-se em um diagnóstico de mercado com a identificação de atributos influenciantes que podem ser expressos de forma quantitativa ou qualitativa. As características do bem em avaliação e do próprio mercado onde está inserido, a forma com que é transacionado e o tipo e volume de informação disponível, determinam a aplicabilidade de cada um dos métodos para se estimar o valor de mercado .

Quando baseados em informações de um mercado aberto, destaca-se o método

comparativo, o qual pode ser considerado como método eletivo quando houver número suficiente de elementos para compor uma amostra representativa. O critério de Aproximação de Mercado (Marketing Approach ) foi no passado, a principal ferramenta de avaliação de imóveis e contemplava o principio de que:

"Imóveis similares se venderão a preços similares " Para a sua aplicação bastava obter no mercado elementos comparáveis ou similares ao imóvel objeto de avaliação e não haviam problemas com este método - que era de fácil compreensão e perfeitamente válido - devido as condições de mercado e as ferramentas de cálculos existentes na época. Entretanto, com o passar dos anos e a evidente escassez de dados comparáveis, foi se tornando cada vez mais difícil obter uma amostra representativa de imóveis similares, quando, então, se passou a recorrer a um processo de “corrigir” ou homogeneizar os dados referenciais mediante expressões lógicas- matemáticas, geralmente empíricas, a fim de “ajustá-los” e torná-los semelhantes ao avaliando. As cidades cresceram e se diversificaram e com isto, veio a necessidade de empregar simultaneamente “vários fatores de correção” a uma serie de referenciais, os quais, por serem empíricos e subjetivos, passaram a afetar a exatidão dos cálculos do valor do imóvel. Com a acessibilidade aos computadores pessoais durante a segunda metade da década de oitenta e o advento de pacotes estatísticos, em particular aqueles de Regressão Linear que empregam o método dos Mínimos Quadrados, tornou-se possível utilizar essa técnica uma inovadora ferramenta para o cálculo do valor de bens.

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As técnicas de regressão múltipla surgiram como um aperfeiçoamento do método comparativo, já que os próprios referenciais se "auto-corrigem" entre si e constituem um modelo, sem necessidade de utilizar critérios subjetivos por parte do Engenheiro de Avaliações.

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2.3–Procedimentos Metodológicos em conformidade as Normas da ABNT 2.3.1- Breve histórico A Engenharia de Avaliações experimentou significativa e definitiva evolução a partir do ano de 1989, quando a Norma Brasileira para Avaliação de Imóveis Urbanos NBR5676/1989 -, teve sua revisão concluída com grandes avanços em relação ao texto anterior - de 1979 -, reformulando conceitos fundamentais e concretizando o uso da inferência estatística como ferramenta de pesquisa científica e através da qual os trabalhos passaram a ter uma classificação de “nível rigoroso” e “rigoroso especial”. Os procedimentos utilizando o método cartesiano até aquele momento, norteados por formulações empíricas através de critérios numéricos dedutivos e racionais, pelos chamados “fatores de homogeneização”, não perderam sua utilidade e tiveram uma classificação com grau de rigor dito “normal”. Em 1991 entrou em vigor o Código de Defesa do Consumidor, que, por sua vez, tornou obrigatório o uso das normas técnicas brasileiras (art. 39, inciso VIII). Em meados de 1998, com o início de nova revisão, todas normas envolvendo

avaliação de bens foram incorporadas numa única, que passou a ser subdividida em Partes de acordo com a natureza do bem. Esta norma denominada NBR-

14.653/01 e substituindo a anterior NBR 5676/89, teve a Parte 1 - Procedimentos Gerais, aprovada no ano de 2.001. A Parte 2, NBR-14.653-2, específica para Imóveis Urbanos, foi concluída com reformulações substanciais, especialmente quanto aos critérios para tratamento de dados, passando a ser denominados “tratamento por fatores” ou” tratamento científico” e os anteriormente denominados níveis de rigor (expedito, normal ou rigoroso), que passaram a ser substituídos por níveis de fundamentação e níveis de precisão e com classificações independentes ao tipo de tratamento empregado nos dados. A metodologia científica para tratamento dos dados com base na inferência estatística é referenciada pelas normas técnicas, como uma das alternativas de aplicação do método comparativo direto e por isso será o enfoque principal desta apostila. No método comparativo direto, pela própria designação, o valor do imóvel é obtido diretamente, pela comparação com imóveis similares. Neste sentido, é condição 14



fundamental a existência de um conjunto de dados que possa ser tomado esta tistic am ente, c om o amostra representativa do me rc ad o imob iliário.

Se a qualidade da pesquisa de mercado (ou da amostra ) é fundamental, o processo de tratamento dos dados que a compõem, pode ser o fator determinante na avaliação de um bem. Os preços dos imóveis, por natureza são heterogêneos – se fossem homogêneos , o que dificilmente acontece, não existiriam variações e a avaliação poderia ser feita simplesmente pela média de preços - o que implica na necessidade de estabelecer relações que expliquem essas variações.

2.3.2- Tratamento dos dados É recomendável, preliminarmente, a sumarização das informações obtidas sob a forma de gráficos que mostrem as distribuições de freqüência para cada uma das variáveis, bem como as relações entre elas. Nesta etapa, verificam-se o equilíbrio da amostra, a influência das possíveis variáveis-chave sobre os preços e a forma de variação, possíveis dependências entre elas, identificação de pontos atípicos, entre outros. Assim, pode-se confrontar as respostas obtidas no mercado com as crenças a priori do engenheiro de avaliações, bem como permitir a formulação de novas

hipóteses. Os dados devem ser tratados para obtenção de modelos de acordo com a metodologia escolhida. No tratamento dos dados podem ser utilizados, alternativamente e em função da qualidade e da quantidade de dados e informações disponíveis:

−

Tratamento

por

fatores:

homogeneização

por

fatores

e

critérios,

fundamentados por estudos e posterior análise estatística dos resultados homogeneizados.

−

Tratamento científico: tratamento de evidências empíricas pelo uso de metodologia científica que leve à indução de modelo validado para o comportamento do mercado.

Deve-se levar em conta que qualquer modelo é uma representação simplificada do mercado, uma vez que não considera todas as suas informações. Por isso, precisam ser tomados cuidados científicos na sua elaboração, desde a preparação da pesquisa e o trabalho de campo, até o exame final dos resultados.

15



O poder de predição do modelo deve ser verificado a partir do gráfico de preços observados na abscissa versus valores estimados pelo modelo na ordenada, que deve

apresentar

pontos

próximos

da

bissetriz

do

primeiro

quadrante.

Alternativamente, podem ser utilizados procedimentos de validação.

No Processo Comparativo busca-se um valor representativo para a população de imóveis semelhantes àquele que se pretende avaliar. A população geralmente é

inacessível na sua totalidade, utilizando-se uma amostra, cujo valor médio fornece estimativas do valor médio populacional. É evidente que, quanto mais homogênea a população investigada, mais homogênea será amostra , sendo provável que esta contenha dados com valores

próximos à média aritmética. Preços unitários homogêneos (difícil na pratica) indicam que, à priori, devem existir poucos atributos influenciantes na formação dos preços. Neste caso, a avaliação poderá ser feita a partir da média dos preços coletados no mercado, ou se necessário, utilizando-se fatores de ajustes com pouca influencia. No Processo Comparativo, portanto, a amostra deve ser representativa de forma a permitir construir um modelo que permita estimar o valor médio populacional e prever valor médio do imóvel avaliando.

A figura a seguir ilustra a diferença entre aplicar fatores e utilizar análise de regressão (no exemplo é considerada uma variável explicativa, ou seja, Valor/m2 versus Frente).

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Tratamento por fatores: utiliza-se "fatores" empíricos para ajustar os dados de mercado à média, ou seja, são efetuadas transformações matemáticas que expressem, em termos relativos, as diferenças entre os atributos dos dados de mercado e os do bem avaliando, que é estimado pela média ajustada pelos fatores.

Tratamento por análise de regressão linear: procura-se encontrar a média que mais se aproxima dos dados de mercado, ou seja, as diferenças dos atributos dos dados da pesquisa são ajustados com base na própria amostra, onde é possível construir um modelo e com ele prever o valor médio do bem avaliando

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2.4– Especificação das Avaliações A especificação de uma avaliação está relacionada tanto com o empenho do engenheiro de avaliações, como com o mercado e as informações que possam ser dele extraídas. O estabelecimento inicial pelo contratante do grau de fundamentação desejado tem por objetivo a determinação do empenho no trabalho avaliatório, mas não representa garantia de alcance de graus elevados de fundamentação. Quanto ao grau de precisão, este depende exclusivamente das características do mercado e da amostra coletada e, por isso, não é passível de fixação a p riori . As avaliações serão especificadas quanto a fundamentação e precisão , guardado o critério geral de atribuir graus em ordem numérica e crescente, onde o Grau I é o menor: A fundamentação será função do aprofundamento do trabalho avaliatório, com

o

envolvimento

da

seleção

da

metodologia

em

razão

da

confiabilidade, qualidade e quantidade dos dados amostrais disponíveis. A precisão será estabelecida quando for possível medir o grau de certeza e o nível de erro tolerável numa avaliação. Depende da natureza do bem, do objetivo da avaliação, da conjuntura de mercado, da abrangência alcançada na coleta de dados (quantidade, qualidade e natureza), da metodologia e dos instrumentos utilizados.

No caso de informações insuficientes para a utilização dos métodos previstos no item 8.1.2 da NBR 14653-1, o trabalho não deve ser classificado quanto à fundamentação e à precisão e deve ser considerado parecer técnico, como definido em 3.34 da NBR 14653-1. Os laudos de uso restrito, conforme 10.3 da NBR 14653-1:2001, podem ser dispensados de especificação, em comum acordo entre as partes.

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Graus de fundamentação Tabela 1 – Graus de fundamentação no caso de utilização de modelos de regressão linear

Ite m

Descrição

Grau

III

II

I

Caracterização do imóvel avaliando

Completa quanto a todas as variáveis analisadas

Completa quanto às variáveis utilizadas no modelo

Adoção de situação paradigma

2

Coleta de dados de mercado

Características conferidas pelo autor do laudo

Características conferidas por profissional credenciado pelo autor do laudo

Podem ser utilizadas características fornecidas por terceiros

3

Quantidade mínima de dados de mercado, efetivamente utilizados

4 (k+1), onde k é o número de variáveis independentes

3 (k+1), onde k é o número de variáveis independentes

Apresentação de informações relativas aos dados e variáveis efetivamente utilizados no modelo

Apresentação de informações relativas aos dados e variáveis efetivamente utilizados no modelo

Não admitida

Admitida para apenas uma variável, desde que: a) as medidas das características do imóvel avaliando não sejam superiores a 100% do limite amostral superior, nem inferiores à metade do limite amostral inferior b) o valor estimado não ultrapasse 10% do valor calculado no limite da fronteira amostral, para a referida variável

Admitida, desde que: a) as medidas das características do imóvel avaliando não sejam superiores a 100% do limite amostral superior, nem inferiores à metade do limite amostral inferior b) o valor estimado não ultrapasse 10% do valor calculado no limite da fronteira amostral, para as referidas variáveis, simultaneamente

10%

20%

30%

1%

5%

10%

1

4

5

6

7

Identificação dos dados de mercado

Extrapolação

Nível de significância (somatório do valor das duas caudas) máximo para a rejeição da hipótese nula de cada regressor (teste bicaudal) Nível de significância máximo admitido nos demais testes estatísticos realizados

6 (k+1), onde k é o número de variáveis independentes Apresentação de informações relativas a todos os dados e variáveis analisados na modelagem, com foto

9.2.1.1 Para atingir o grau III, são obrigatórias: a) apresentação do laudo na modalidade completa; 19



b) discussão do modelo, verificadas a coerência da variação das variáveis em relação ao mercado, bem como suas elasticidades no ponto de estimação.

9.2.1.2 A utilização de códigos alocados no modelo de regressão implica a obtenção, no máximo, de grau II de fundamentação.

9.2.1.3 A utilização de tratamento prévio por fatores de homogeneização, para a transformação de variáveis em modelos de regressão, implica a obtenção, no máximo, de grau II de fundamentação.

9.2.1.4 Para fins de enquadramento global do laudo em graus de fundamentação, devem ser considerados os seguintes critérios: a) na tabela 1, identificam-se três campos (graus III, II e I) e sete itens; b) o atendimento a cada exigência do grau I terá um ponto; do grau II, dois pontos; e do grau III, três pontos; c) o enquadramento global do laudo deve considerar a soma de pontos obtidos para o conjunto de itens, atendendo à tabela 2. Tabela 2 – Enquadramento dos laudos segundo seu grau de fundamentação no caso de utilização de modelos de regressão linear Graus Pontos Mínimos Itens obrigatórios no grau correspondente

III 18 3, 5, 6 e 7, com os demais no mínimo no grau II

II 11

I 7

3, 5, 6 e 7 no mínimo no grau II

1 Todos, no mínimo no grau I

Graus de precisão no caso de utilização de modelos de regressão linear Tabela 3 - Grau de precisão da estimativa do valor no caso de utilização de modelos de regressão linear Descrição Amplitude do intervalo de confiança de 80% em torno do valor central da estimativa a) Nota: Observar 9.1 a 9.3 desta Norma.

III ≤30%

Grau II 30%-50%

I >50%

20



Grau de fundamentação no caso de utilização do tratamento por fatores Grau II

Item

Descrição

1

Caracterização do imóvel avaliando

Completa quanto a todos os fatores analisados

Coleta de dados de mercado

Características conferidas pelo autor do laudo

Quantidade mínima de dados de mercado, efetivamente utilizados

12

5

3

Identificação dos dados de mercado

Apresentação de informações relativas a todas as características dos dados analisadas, com foto

Apresentação de informações relativas a todas as características dos dados analisadas

Apresentação de informações relativas a todas as características dos dados correspondentes aos fatores utilizados

Não admitida

Admitida para apenas uma variável

Admitida

0,90 a 1,10

0,80 a 1,20

0,50 a 1,50

2

3

4

5

III

Extrapolação conforme B.5.2 do Anexo B Intervalo admissível de ajuste para o conjunto de fatores

I

Completa quanto aos fatores utilizados no tratamento Características conferidas por profissional credenciado pelo autor do laudo

Adoção de situação paradigma Podem ser utilizadas características fornecidas por terceiros

Notas: Observar de 9.1 a 9.2 desta Norma. (*) No caso de utilização de menos de 5 dados de mercado, o intervalo admissível de ajuste é de 0,80 a 1,25, pois é desejável que, com um número menor de dados de mercado, a amostra seja menos heterogênea.

Tabela 4 – Enquadramento do laudo segundo seu grau de fundamentação no caso de utilização de tratamento por fatores Graus Pontos Mínimos

III 13

Itens obrigatórios

Itens 2, 4 e 5 no grau III, com os demais no mínimo no grau II

II 8 Itens 2, 4 e 5 no mínimo no grau II e os demais no mínimo no grau I

I 5

2 todos, no mínimo no grau I

3 Nota: Observar de 9.1 a 9.2 desta Norma. Tabela 5 - Grau de precisão da estimativa de valor nos casos de utilização de modelos de regressão linear ou do tratamento por fatores Descrição Amplitude do intervalo de confiança de 80% em torno do valor central da estimativa Nota: Observar de 9.1 a 9.2 desta Norma.

III ≤30%

Grau II 30%-50%

I >50%

21



1.3 - PROCEDIMENTOS PARA A UTILIZAÇÃO DE MODELOS DE REGRESSÃO LINEAR – EXIGÊNCIAS DA ABNT NBR 14653-2 Anexo A (normativo) A.1 Introdução A.1.1 A técnica mais utilizada quando se deseja estudar o comportamento de uma variável dependente em relação a outras que são responsáveis pela variabilidade observada nos preços é a análise de regressão.

A.1.2 No modelo linear para representar o mercado, a variável dependente é expressa por uma combinação linear das variáveis independentes, em escala original ou transformadas, e respectivas estimativas dos parâmetros populacionais, acrescida de erro aleatório, oriundo de variações do comportamento humano – habilidades diversas de negociação, desejos, necessidades, compulsões, caprichos, ansiedades, diferenças de poder aquisitivo, entre outros – imperfeições acidentais de observação ou de medida e efeitos de variáveis irrelevantes não incluídas no modelo.

A.1.3 Com base em uma amostra extraída do mercado, os parâmetros populacionais são estimados por inferência estatística.

A.1.4

Na

modelagem,

devem

comportamentos das variáveis

ser

expostas

as

hipóteses

relativas

aos

dependentes e independentes, com base no

conhecimento que o engenheiro de avaliações tem a respeito do mercado, quando serão formuladas as hipóteses nula e alternativa para cada parâmetro.

A.2 Pressupostos básicos A.2.1 Ressalta-se a necessidade, quando se usam modelos de regressão, de observar os seus pressupostos básicos, apresentados a seguir, principalmente no que concerne à sua especificação, normalidade, homocedasticidadede, nãomulticolinearidade, não-autocorrelação, independência e inexistência de pontos atípicos, com o objetivo de obter avaliações não-tendenciosas, eficientes e consistentes: a) para evitar a micronumerosidade, o número mínimo de dados efetivamente utilizados (n) no modelo deve obedecer aos seguintes critérios, com respeito ao número de variáveis independentes (k):

n ≥ 3 (k+1) ni

≥

5, até duas variáveis dicotômicas ou três códigos alocados para a

mesma característica; 22

AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ni

≥


3, para 3 ou mais variáveis dicotômicas ou quatro ou mais códigos

alocados para a mesma característica

onde ni é o número de dados de mesma característica, no caso de utilização de variáveis dicotômicas ou de códigos alocados, ou número de valores observados distintos para cada uma das variáveis quantitativas; b) os erros são variáveis aleatórias com variância constante, ou seja, homocedásticos; c) os erros são variáveis aleatórias com distribuição normal; d) os erros são não-autocorrelacionados, isto é, são independentes sob a condição de normalidade; e) não devem existir erros de especificação no modelo, isto é, todas as variáveis importantes devem estar incorporadas – inclusive as decorrentes de interação – e nenhuma variável irrelevante deve estar presente no modelo; f) em caso de correlação linear elevada entre quaisquer subconjuntos de variáveis independentes, isto é, multicolinearidade, deve-se examinar a coerência das características do imóvel avaliando com a estrutura de multicolinearidade inferida, vedada a utilização do modelo em caso de incoerência; g) não deve existir nenhuma correlação entre o erro aleatório e as variáveis independentes do modelo. h) possíveis pontos influenciantes, ou aglomerados deles, devem ser investigados e sua retirada fica condicionada à apresentação de justificativas.

A.2.2 Verificação dos pressupostos do modelo A.2.2.1 Linearidade Deve ser analisado, primeiramente, o comportamento gráfico da variável dependente em relação a cada variável independente, em escala original. Isto pode orientar o avaliador na transformação a adotar. Existem formas estatísticas de se buscar a transformação mais adequada, como, por exemplo, os procedimentos de Box e Cox. As transformações utilizadas para linearizar o modelo devem, tanto quanto possível, refletir o comportamento do mercado, com preferência pelas transformações mais simples de variáveis, que resultem em modelo satisfatório. Após as transformações realizadas, se houver, examina-se a linearidade do modelo, pela construção de gráficos dos valores observados para a variável dependente versus cada variável independente, com as respectivas transformações. 23



A.2.2.2 Normalidade A verificação da normalidade pode ser realizada, entre outras, por uma das seguintes formas: a) pelo exame de histograma dos resíduos amostrais padronizados, com o objetivo de verificar se sua forma guarda semelhança com a da curva normal; b) pela análise do gráfico de resíduos padronizados versus valores ajustados, que deve apresentar pontos dispostos aleatoriamente, com a grande maioria situados no intervalo [-2;+2 ]. c) pela comparação da freqüência relativa dos resíduos amostrais padronizados nos intervalos de [-1;+1], [-1,64;+1,64 ] e [-1,96;+1,96 ], com as probabilidades da distribuição normal padrão nos mesmos intervalos, ou seja, 68%, 90% e 95%; d) pelo exame do gráfico dos resíduos ordenados padronizados versus quantis da distribuição normal padronizada, que deve se aproximar da bissetriz do primeiro quadrante; e) pelos testes de aderência não-paramétricos, como, por exemplo, o quiquadrado, o de Kolmogorov-Smirnov ajustado por Stephens e o de Jarque-Bera.

A.2.2.3 Homocedasticidade A verificação da homocedasticidade pode ser feita, entre outros, por meio dos seguintes processos: a) análise gráfica dos resíduos versus valores ajustados, que devem apresentar pontos dispostos aleatoriamente, sem nenhum padrão definido; b) pelos testes de Park e de White.

A.2.2.4 Verificação da autocorrelação O exame da autocorrelação deve ser precedido pelo pré-ordenamento dos elementos amostrais, em relação a cada uma das variáveis independentes possivelmente causadoras do problema ou em relação aos valores ajustados. Sua verificação pode ser feita:

a) pela análise do gráfico dos resíduos cotejados com os valores ajustados, que deve apresentar pontos dispersos aleatoriamente, sem nenhum padrão definido;

b) pelo Teste de Durbin-Watson, considerando o pré-ordenamento anteriormente citado.

24



A.2.2.5 Colinearidade ou multicolinearidade A.2.2.5.1 Uma forte dependência linear entre duas ou mais variáveis independentes provoca degenerações no modelo e limita a sua utilização. As variâncias das estimativas dos parâmetros podem ser muito grandes e acarretar a aceitação da hipótese nula e a eliminação de variáveis fundamentais.

A.2.2.5.2 Para verificação da multicolinearidade deve-se, em primeiro lugar, analisar a matriz das correlações, que espelha as dependências lineares de primeira ordem entre as variáveis independentes, com atenção especial para resultados superiores a 0,80. Como também é possível ocorrer multicolinearidade, mesmo quando a matriz de correlação apresenta coeficientes de valor baixo, recomenda-se, também, verificar o correlacionamento de cada variável com subconjuntos de outras variáveis independentes, por meio de regressões auxiliares.

A.2.2.5.3 Para tratar dados na presença de multicolinearidade, é recomendável que sejam tomadas medidas corretivas, como a ampliação da amostra ou adoção de técnicas estatísticas mais avançadas, a exemplo do uso de regressão de componentes principais.

A.2.2.5.4 Nos casos em que o imóvel avaliando segue os padrões estruturais do modelo, a existência de multicolinearidade pode ser negligenciada, desde que adotada a estimativa pontual.

A.2.2.6 Pontos influenciantes ou outliers A existência desses pontos atípicos pode ser verificada pelo gráfico dos resíduos versus cada variável independente, como também em relação aos valores

ajustados, ou usando técnicas estatísticas mais avançadas, como a estatística de Cook para detectar pontos influenciantes.

A.3 Testes de significância A.3.1 A significância individual dos parâmetros das variáveis do modelo deve ser submetida ao teste t de Student, em conformidade com as hipóteses estabelecidas quando da construção do modelo.

A.3.2 A hipótese nula do modelo deve ser submetida ao teste F de Snedecor e rejeitada ao nível máximo de significância de 1%.

A.3.3 A significância de subconjuntos de parâmetros, quando pertinente, pode ser testada pela análise da variância particionada, com a utilização do teste da razão de verossimilhança. 25



A.3.4 Os níveis de significância utilizados nos testes citados nesta subseção serão compatíveis com a especificação da avaliação.

A.4 Poder de explicação Em uma mesma amostra, a explicação do modelo pode ser aferida pelo seu coeficiente de determinação. Devido ao fato de que este coeficiente sempre cresce com o aumento do número de variáveis independentes e não leva em conta o número de graus de liberdade perdidos a cada parâmetro estimado, é recomendável considerar também o coeficiente de determinação ajustado.

A.5 Campo de arbítrio O campo de arbítrio corresponde à semi-amplitude de 15% em torno da estimativa pontual adotada. Caso não seja adotada a estimativa pontual, o engenheiro de avaliações deve justificar sua escolha.

A.6 Códigos alocados Recomenda-se considerar tantas variáveis dicotômicas quantas forem necessárias para descrever as diferenças qualitativas, em lugar da utilização de códigos alocados, especialmente quando a quantidade de dados é abundante e pode-se preservar os graus de liberdade necessários à modelagem estatística, definidos nesta Norma. A utilização de códigos alocados é tolerada nos seguintes casos, na seguinte ordem de prioridade: a) quando seus valores são extraídos da amostra com a utilização de variáveis dicotômicas; b) quando são utilizados números naturais em ordem crescente das características possíveis, com valor inicial igual a 1, sem a utilização de transformações, ou seja, na escala original.

A.7 Diferentes agrupamentos No caso de utilização no mesmo modelo de regressão de diferentes agrupamentos (tipologia,

mercados,

localização,

usos

etc.),

recomenda-se

verificar

a

independência entre os agrupamentos, entre as variáveis utilizadas e possíveis interações entre elas.

A.8 Apresentação do modelo A variável dependente no modelo de regressão deve ser apresentada no laudo na forma não transformada. 26



Procedimentos para a utilização de tratamento por fatores Anexo B (normativo) B.1 Neste tratamento de dados, aplicável ao Método Comparativo Direto de Dados de Mercado, é admitida a priori a validade da existência de relações fixas entre os atributos específicos e os respectivos preços.

B.1.1 Para isso, são utilizados fatores de homogeneização calculados conforme 8.2.1.4.2, por metodologia científica, que reflitam, em termos relativos, o comportamento do mercado com determinada abrangência espacial e temporal.

B.2 É recomendável que sejam utilizados dados de mercado: a) com atributos mais semelhantes possíveis aos do imóvel avaliando; b) que sejam contemporâneos. Nos casos de exame de dados não contemporâneos, é desaconselhável a atualização do mercado imobiliário através de índices econômicos, quando não houver paridade entre eles, devendo, neste caso, o preço ser atualizado mediante consulta direta à fonte. Quando a atualização na forma mencionada for impraticável, só será admitida a correção dos dados por índices resultantes de pesquisa no mercado.

B.2.1 Para a utilização deste tratamento, considera-se como dado de mercado com atributos semelhantes aqueles em que cada um dos fatores de homogeneização, calculados em relação ao avaliando, estejam contidos entre 0,50 e 1,50.

B.2.2 O preço homogeneizado, resultado da aplicação de todos os fatores de homogeneização ao preço original, deve estar contido no intervalo de 0,50 0 ,50 a 1,50.

B.3 Após a homogeneização, devem ser utilizados critérios estatísticos consagrados de eliminação de dados discrepantes, para o saneamento da amostra.

B.4 O campo de arbítrio corresponde ao intervalo compreendido entre o valor máximo e mínimo dos preços homogeneizados efetivamente utilizados no tratamento, limitado a 10% em torno do valor calculado. Caso não seja adotado o valor calculado, o engenheiro de avaliações deve justificar sua escolha.

B.5 Os fatores de homogeneização devem apresentar, para cada tipologia, os seus critérios de apuração e respectivos campos de aplicação, bem como a abrangência regional e temporal.

B.5.1 Os fatores de homogeneização não podem ser utilizados fora de sua tipologia, campo de aplicação e abrangências regional e temporal. 27



B.5.2 As características quantitativas, ou expressas por variáveis proxy , do imóvel avaliando não devem ultrapassar em 50%, para mais ou para menos, respectivamente, os limites superior e inferior observados observ ados na amostra. Para as demais características qualitativas é vedada a extrapolação ext rapolação em relação aos limites amostrais.

B.5.3 A fonte dos fatores utilizados na homogeneização deve ser explicitada no trabalho avaliatório.

B.6 Os fatores de homogeneização que resultem em aumento da heterogeneidade dos valores não devem ser utilizados.

1.2.5- Apresentação do laudo de avaliação 1.2.5.1 Requisitos mínimos O laudo de avaliação deverá conter, no mínimo, as informações abaixo relacionadas: a) identificação da pessoa física ou jurídica e/ou seu representante legal que tenha solicitado o trabalho; b) objetivo da avaliação; c) identificação e caracterização do bem avaliando; d) indicação do(s) método(s) utilizado(s), com justificativa da escolha; e) especificação da avaliação; f) resultado da avaliação e sua data de referência; g) qualificação legal completa e assinatura do(s) profissional(is) responsável(is) pela avaliação; h) local e data do laudo; i) outras exigências previstas nas demais partes desta Norma.

1.2.5.2 Modalidades O laudo de avaliação pode ser apresentado nas seguintes modalidades: a) Simplificado – contém de forma sucinta as informações necessárias ao seu entendimento. b) Completo – contém todas as informações necessárias e suficientes para ser auto-explicável.

1.2.5.3 Laudo de avaliação de uso restrito Obedece a condições específicas pré combinadas entre as partes contratantes, não tendo validade para outros usos ou exibição para terceiros.

28



Modelagem

CAPÍTULO 2

2.1 – A INFERÊNCIA ESTATÍSTICA APLICADA NA AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS As recomendações explicitadas na Norma Brasileira de Avaliação de Imóveis Urbanos visando à utilização da inferência estatística na Engenharia de Avaliações, com algumas exceções, têm sido particularmente voltadas, até o momento, para a utilização da Regressão Linear no cálculo do valor do imóvel. Atualmente a aplicação dessas técnicas estatísticas é bastante facilitada graças ao avanço tecnológico dos computadores que tornou os cálculos relativamente fáceis e originaram vasta disposição de programas aplicativos, em particular aqueles de Regressão Linear que empregam o Método dos Mínimos Quadrados, mas isso não é condição suficiente, pois sua aplicação não pode prescindir do julgamento crítico e de sólidos conhecimentos do mercado imobiliário por parte do engenheiro de avaliações.

2.2 – CONCEITOS DE MODELO Usando dos conceitos introduzidos por Orlando Carneiro de Matos, in Econometria Básica Teoria e Aplicações, a palavra modelo, de modo geral, pode ser entendida como representação simplificada da realidade, estruturada de forma tal que permita compreender o funcionamento total ou parcial dessa realidade ou fenômeno. Num sentido mais restrito, modelo, é uma representação formal de idéias ou conhecimentos acerca de um fenômeno. Essas idéias (chamadas teorias) expressam-se por um conjunto de hipóteses sobre os elementos essenciais do fenômeno e das leis que os regem, as quais geralmente se traduzem sob a forma de um sistema de equações matemáticas. As definições introduzidas na NBR14653-1, de forma resumida, endossam esses conceitos, ou seja: “3.31 modelo: Rep resentaç ão téc nic a d a rea lida de” .

e “3.32 modelo de regressão: Modelo utilizado para representar determinado fenômeno, com base numa amostra, considerando-se as diversas características influenciantes”.

Os modelos, de uma forma geral, podem ser puramente teóricos ou econométricos. 29



Modelos Teóricos são aqueles que expressam leis de mercado sem necessariamente

conter a especificação efetiva da forma matemática nem a enumeração exaustiva das variáveis que o compõem. Modelos Econométricos são aqueles que necessariamente contêm as especificações (forma matemática e definição das variáveis) para aplicação empírica, além de

incorporar um termo residual com a finalidade de levar em conta variáveis ou outros elementos, que, por alguma razão, não puderam ser considerados explicitamente. A montagem de um modelo é sempre um processo interativo e geralmente requer o uso da evidência empírica dos dados e do conhecimento do mercado analisado. Mesmo contendo os elementos que permitam sua operacionalização, os modelos

probabilísticos não admitem relações exatas em virtude da não-inclusão de todas as variáveis que determinam o comportamento do fenômeno e de erros de medidas das variáveis. Constituem uma formulação incompleta da realidade em face da impossibilidade de um modelo abranger todos os fatores que determinam ou condicionam o comportamento do mercado imobiliário, contrastando com os

modelos determinísticos que supõem a existência de variáveis que satisfazem exatamente as equações matemáticas. Em um campo tão vasto como o do mercado imobiliário, modelos que simplifiquem a compreensão da realidade, mas que ao mesmo tempo possuam a abrangência suficiente para que os principais fatores intervenientes e suas interações estejam claramente identificados, são de extrema importância.

2.3- OS MÉTODOS ESTATÍSTICOS Os métodos estatísticos, de um modo geral, envolvem a análise e a interpretação de dados observados em um fenômeno. O conjunto de observações colhidas constitui-se na amostra (no caso específico da avaliação de imóveis, na pesquisa de merca do ) e o grupo todo de elementos do qual ela foi extraída, é designado

por população. A parte estatística referente a coleta, a sumarização e a descrição dos dados refere-se a estatística descritiva. Compreende a organização e o resumo dos mesmos, bem como análise e interpretações numéricas e gráficas, envolvendo cálculo de medidas, tais como, a média, a mediana, o desvio padrão, etc.

30



A inferência estatística, por sua vez, envolve a formulação de certos julgamentos (ou conclusões) sobre um todo, após examinar apenas uma parte, ou amostra , dele.

Para que a inferência estatística seja válida, a amostra deve ser

representativa da população, e a probabilidade do erro, ser especificada.

Deste modo, a inferência estatística envolve um raciocínio indutivo : argumentação do específico - amostra - para o geral - população - , no qual impõe-se que obedeça algum modelo de probabilidade. Na prática, o processo de inferência consiste em investigar a forma e o grau das relações entre as observações colhidas em amostras, que se supõem estarem interligadas de alguma maneira e, a partir delas, construir modelos. O modelo escolhido deve satisfazer os pressupostos básicos determinado por um conjunto de testes de hipóteses e, dentro de intervalos de confiança, conferir validade às predições das probabilidades estabelecidas. A abordagem é feita pela análise de regressão, pelo método dos mínimos quadrados.

A aplicação do método dos mínimos quadrados, considerando exemplificativamente duas variáveis (Yi, Xi), consiste em encontrar, a partir dos dados amostrais as estimativas para o coeficiente angular b1 (que define o aumento ou diminuição da variável Y i por unidade de variação da variável Xi) e para o intercepto b0 (que define o ponto em que a reta corta o eixo das ordenadas), de modo que os erros (ou resíduos) sejam mínimos . Conceitos de uma equação de regressão (4 element os bá sic os ): - variáveis : dependente (Y) independentes (X1, X2,...Xn) que podem ser qualitativas ou quantitativas; - relações (ou equações ): descrevem o comportamento investigado (no caso o de

mercado imobiliário) através de uma função linear (ou linearizáveis): - parâmetros: são as magnitudes das relações (B 0, B1, ...,Bn); - termo aleatório ou erro (resíduos): incluído na análise de regressão para contemplar

erros devidos a não consideração na regressão de variáveis de importância menor (já que o propósito do modelo é generalizar e simplificar as relações apenas das causas mais importantes), levar em conta o efeito de possíveis erros de medidas ou informações e para captar a imprevisibilidade do comportamento humano, inerentemente aleatório.

31



Identificação das variáveis do modelo (ite m 8.2.1.2 d a NBR 14653-2) 8.2.1.2.1 Variável dependente Para a especificação correta da variável dependente, é necessária uma investigação no mercado em relação à sua conduta e às formas de expressão dos preços (por exemplo, preço total ou unitário, moeda de referência, formas de pagamento), bem como observar a homogeneidade nas unidades de medida.

8.2.1.2.2 Variáveis independentes As variáveis independentes referem-se às características físicas (por exemplo: área, frente), de localização (como bairro, logradouro, distância a pólo de influência, entre outros) e econômicas (como oferta ou transação, época e condição do negócio – à vista ou a prazo). Sempre que possível, recomenda-se a adoção de variáveis quantitativas. As diferenças qualitativas das características dos imóveis podem ser especificadas na seguinte ordem de prioridade: a) por meio de codificação, com o emprego de variáveis dicotômicas (por exemplo: aplicação de condições booleanas do tipo “maior do que” ou “menor do que”, “sim” ou “não”); b) pelo emprego de variáveis proxy (por exemplo: padrão construtivo expresso pelo custo unitário básico); c) por meio de códigos alocados (por exemplo: padrão construtivo baixo igual a 1, normal igual a 2 e alto igual a 3).

DEFINIÇÕES BNR 14.653-1 3.63 variáveis-chave: Variáveis que, a priori e tradicionalmente, são importantes para a formação do valor do imóvel.

3.64 variáveis independentes: Variáveis que dão conteúdo lógico à formação do valor do imóvel objeto da avaliação.

3.65 variáveis qualitativas: Variáveis que não podem ser medidas ou contadas, mas apenas ordenadas ou hierarquizadas, de acordo com atributos inerentes ao bem (por exemplo: padrão construtivo, estado de conservação, qualidade do solo).

3.66 variáveis quantitativas: Variáveis que podem ser medidas ou contadas (por exemplo: área privativa, número de quartos, número de vagas de garagem).

3.67 variável dependente: Variável que se pretende explicar pelas variáveis independentes. 3.68 variável dicotômica: Variável que assume apenas dois valores. 3.69 variável proxy: Variável utilizada para substituir outra de difícil mensuração e que se presume guardar com ela relação de pertinência.

32



Conceitos Básicos da Inferência Estatística

CAPÍTULO 3

3.1- ANÁLISE DE PEQUENOS CONJUNTOS DE DADOS Freqüentemente, um conjunto de dados pode reduzir-se a uma ou algumas medidas que resumem todo o conjunto. Duas são as características importantes dos dados, que as medidas numéricas podem evidenciar: -

1o) o valor central ou mais típico do conjunto

-

2o) a dispersão dos números

3.1.1- Medidas de Tendência Central As medidas da tendência central são indicadores que permitem que se tenha uma primeira idéia, um resumo, de como se distribuem os dados de um experimento. Essencialmente, elas informam o valor (ou faixa de valores) da variável aleatória que ocorrem com a maior freqüência. Uma medida de tendência central é um valor no centro ou no meio de um conjunto de dados. Existem três medidas básicas que refletem a tendência central de uma distribuição de freqüências, sendo elas: a média , a mediana e a moda .

A média

A média de um conjunto de valores é o valor obtido somando-se todos

eles e dividindo-se o total pelo número de casos. De modo geral a mais importante de todas as mensurações numéricas descritivas. A média pode expressar-se como x (x barra) se o conjunto de valores é uma amostra; se todos os valores da população estão presentes, a média é expressa por (letra grega mu). Logo, a média de uma amostra de 70, 90 e 110, é:

∑ x Média= n

−

x

=

70 + 90 + 110 = 90 3

A mediana A mediana de um conjunto de dados é o valor da variável aleatória a partir do qual metade dos casos se encontra acima dele e metade se encontra abaixo, indicando, portanto, o valor do meio quando os dados estão dispostos em ordem crescente (ou decrescente). Se o número de elementos é impar, a mediana é o meio, se o número é par a média dos dois valores do meio.

A moda A moda de um conjunto de dados é o evento ou categoria de eventos que ocorre com maior freqüência,indicando o valor ou categoria mais provável. Quando dois valores ocorrem com a mesma freqüência máxima, cada um deles é uma moda, e o conjunto se diz bimodal; se mais de dois valores, o conjunto é multimodal. 33



Sequem alguns exemplos: Média

Mediana

Moda

M (2, 3, 3, 4)

M=3

Me=3

Mo=3

M (1,18,19,40)

M=19,50

Me=18,50

Mo= não tem

M (1,2,3,3,3,7,7,7,11,20)

M=6,4

Me=5

Mo=3 e 7

M (9,10,80,80,100)

M=55,80

Me=80

Mo=80

A melhor medida de tendência central As diversas medidas de tendência central têm diferentes vantagens e desvantagens, algumas das quais resumidas na tabela abaixo. Uma vantagem importante da média é que leva em conta todos os valores, mas a grande desvantagem é que às vezes pode ser seriamente afetada por valores extremos.

Definição

Leva em conta todos os valores?

Afetada pelos valores extremos?

Média

Soma dos valores dividido pelo número de valores

Sim

Sim

Mediana

Valor do meio

Não

Não

Moda

Valor mais freqüente

Não

Não

Vantagens Funciona bem com muitos métodos estatísticos Costuma ser boa escolha se há alguns valores extremos Apropriada para dados de nível nominal

Assimetria Em distribuições de freqüência que refletem uma distribuição de probabilidade mais simétrica, como é o caso da Curva Normal, as três medidas convergem para um mesmo resultado. Em distribuições assimétricas, como o caso da Exponencial, as medidas divergem significativamente. A comparação da média, mediana e moda pode nos dizer algo sobre a característica da assimetria, conforme mostrado nas figuras abaixo.

MÉDIA

MODA

MÉDIA MODA MEDIANA

MEDIANA

MODA

MÉDIA

MEDIANA

Negativamente Assimétrica: a

Simétrica: a Média, a Moda

Positivamente Assimétrica:

Média e a Mediana estão à

e a Mediana coincidem

a Média e a Mediana estão à

esquerda da Moda .

Fig. 2 - Assimetria

direita da Moda . 34



3.1.2 - Medidas de dispersão (ou variação) Para descrever adequadamente um conjunto de dados, além da informação quanto ao “meio” de um conjunto de números, é conveniente dispor também de um método que permita exprimir a dispersão em torno da média, ou seja, da maior ou menor variabilidade dos resultados obtidos. As medidas de dispersão (ou variação) indicam se os valores estão relativamente próximos um dos outros, ou separados. Elas permitem se identificar até que ponto os resultados se concentram ou não ao redor da tendência central de um conjunto de observações.

.

.. ..... .... .. Pequena dispersão: números relativamente próximos uns dos outros têm baixas medidas de variação

. .

..

.

. .

.

Grande dispersão: valores mais dispersos têm maior medida de variação.

Fig. 3 - Dispersão Basicamente, os índices de dispersão expressam diferentes formas de se quantificar a tendência que os resultados de um experimento aleatório tem de se concentrarem ou não em determinados valores. Existem várias medidas de dispersão que podem avaliar diversos aspectos da variabilidade de um conjunto de dados. As principais são:

Amplitude A amplitude de um conjunto de dados é a diferença entre o maior e o menor valor que foi observado para a variável aleatória, servindo para caracterizar a abrangência do estudo. Para calculá-la, basta subtrair o menor valor do maior. Geralmente não é calculada, mas é costumeiro mostrar o valor mínimo e o valor máximo da amostra. A utilidade da amplitude é bastante limitada pelo fato de só levar em conta os dois valores extremos de um conjunto, nada informando quanto aos outros valores.

Desvio padrão e variância De um modo geral, o desvio padrão é a mais importante medida de variação de valores e desempenha papel relevante em toda estatística. Ao contrário da amplitude, leva em conta todos os valores. Ao medir a variação em um conjunto de dados amostrais, é razoável começar pelo desvio médio, que é a média dos valores absolutos das diferenças entre cada dado e a média do conjunto. Entretanto a soma de todos esses valores (por serem negativos e positivos) é sempre zero. Para se obter uma estatística que realmente meça a variação, toma-se, então, a soma desses valores absolutos (todos positivos). Determinando a média deste somatório, tem-se o desvio médio, dado pela seguinte expressão:

∑ x − x DesvioMédio = n

O desvio médio absoluto de um

média, ignorando-se o sinal de diferença. Fornece uma idéia da diferença típica entre uma medida isolada e a média da amostra.

conjunto de números é a média dos desvios dos valores a contar da 35



Ao invés de utilizar valores absolutos de uma amostra, é possível obter uma medida de variação ainda melhor, tomando os quadrados dos desvios (x-x) 2 , que são não-negativos, obtendo-se assim a variância. Calcula-se a variância de uma amostra da mesma forma que o desvio médio, com duas exceções ( 1) os desvios médios são elevados ao quadrado antes da soma, e (2) tomam-se a média dividindo por n-1 em lugar de n, porque isso dá uma melhor estimativa da variância populacional. Pode-se calcular a variância pela fórmula abaixo: 2

s

x

∑( x − x) =

Variância é a soma dos quadrados dos desvios de cada ponto em torno

2

i

da média aritmética. Caracteriza a dispersão dos pontos de uma

n−1

amostra potencializando as diferenças. O desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada positiva da variância: s=

∑ x

2

− [∑ ( xi )2 n] n −1

i

Na distribuição gaussiana, cerca de 95% dos casos fica dentro do intervalo entre a média e +1.96*DP.

Ou, ainda, pode-se calcular desvio padrão pela fórmula:

s

=

∑ ( x − x )

2

i

n −1

O Coeficiente de Variação é o desvio padrão dividido pela média. Indica a variabilidade da amostra em relação à média. C .V . =

S e && X

3.2 – PROBABILIDADE O método da inferência estatística baseia-se na evidência amostral para formular conclusões sobre toda uma população. As decisões inferenciais se baseiam sem chances ou probabilidades- de eventos.

3.2.1 – Distribuições de freqüências É o conjunto das freqüências relativas observadas para um dado fenômeno

distribuição de probabilidade (Lei dos Grandes Números).

estudado, sendo a sua representação gráfica o Histograma (diagrama onde o eixo horizontal representa faixas de valores da variável aleatória e o eixo vertical representa a freqüência relativa). Quanto maior o tamanho da amostra, mais a distribuição de freqüência tende para a

Fig. 4

- Distribuição de Freqüências 36

AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS 3.2.2 – Testes de Aderência


A identificação de uma distribuição de probabilidade a partir de um conjunto de freqüências é realizada pelos chamados Testes de Aderência, os quais calculam a probabilidade da diferença entre uma distribuição de freqüência observada e aquela que seria de se esperar a partir de uma

determinada

distribuição

de

probabilidade. Fig. 5 - Aderência

3.2.3 – Distribuições de probabilidades Os valores das variáveis aleatórios só são conhecidos após a realização de um experimento e nem todos os valores são igualmente prováveis: portanto as afirmações sobre certos valores são probabilïsticos, especificados através de uma distribuição de probabilidade. Quando se relacionam os valores de uma variável aleatória discreta com sua probabilidade de ocorrência, o resultados é um função densidade de probabilidade: para a variável aleatória discreta X, o valor da função densidade de probabilidade f(x) é a probabilidade de a variável aleatória X tomar o valor de x , f (x)= P (X=x). Para a variável aleatória contínua Y, a função de densidade de probabilidade f(y) pode ser representada por uma equação, descrita graficamente por uma curva. No caso das variáveis contínuas, a área sob a função densidade de probabilidade corresponde à probabilidade. F(y)

a

f(y)

b

y

Fig. 6 – Probabilidade como área sob uma função de densidade de probabilidade.

A área total sob a função de densidade de probabilidade 1, e a probabilidade de Y tomar o valor do intervalo [a,b] ou P [a ≤ Y ≤ b] é a área sob a função densidade entre os valores y=a e y = b. Uma distribuição de probabilidades é uma distribuição de freqüências para os resultados de um espaço amostral. A essência da análise estatística é confrontar as hipóteses de uma distribuição de probabilidades com as especificações de determinado problema. Há uma variedade de tipos de distribuição de probabilidades na estatística, tendo cada uma seu próprio conjunto de hipóteses que definem as condições sob as quais o tipo de distribuição pode ser utilizado. A mais importante e que será abordada a seguir, por ser extensamente usada em problemas de inferência é a distribuição normal.

37



3.2.4- Distribuição Normal O conhecimento desta distribuição de probabilidades se deve a Abraham de Moivre (16671754) que, em 1733, apresentou a função que a representa. Tratava-se até então de um exercício teórico, sem aplicação prática. J. Bernoulli (1654-1705) acreditava que poderia haver aplicação na área da economia, no entanto, o uso desses conhecimentos na prática se deve a Pierre-Simon Laplace (1749-1827) na França e a Johan K. F. Gauss (1777-1855) na Alemanha. O nome “Curva de Gauss” se deve à suposição que Gauss tivesse sido a primeira pessoa a fazer uso de suas propriedades; no entanto, em 1924, Karl Pearson reafirmou o papel fundamental de Abraham de Moivre. O gráfico de uma distribuição normal se assemelha à forma de sino.. A curva se prolonga em qualquer das direções a partir da média, tendendo ao eixo horizontal à medida que aumenta a distancia, mas nunca toca o eixo. Esta curva é definida por dois parâmetros: sua média (µ) e sua variância (ó2). Dessa forma são possíveis infinitas curvas normais, ora variando a média, ora a sua variância. Suas principais características são: - A variável x pode assumir qualquer valor real (-∝ a +∝) - Os valores de y são assintóticos em relação ao eixo das abscissas, isto é, nunca tocam o eixo de x. - A curva é simétrica e unimodal, apresentando um ponto de inflexão à esquerda (x = µ - 1ó) e outro à direita (x = µ +1ó). Como se trata de distribuição de probabilidade contínua, a área que fica entre a curva e o eixo das abscissas representa a probabilidade. A probabilidade de ocorrer um evento entre os pontos a e b é calculada pela integral definida da função entre os pontos a e b, representada pela área no gráfico

Fig. 07 – Curva de Probabilidade Normal

3.2.5-A tabela normal padronizada Curvas normais, com qualquer µ e ó, podem ser transformadas em uma normal muito especial que tem média 0 (µ = 0) e desvio padrão 1 (ó = 1). Esta curva normal com média 0 e desvio padrão 1 é conhecida como curva normal reduzida . Suas probabilidades já foram calculadas e são apresentadas em tabelas de fácil utilização. Como a normal é simétrica, os 38



livros apresentam somente as probabilidades da metade direita da curva. A probabilidade de um intervalo qualquer da metade esquerda é igual à probabilidade do intervalo equivalente na metade direita.

Regra básica para qualquer função de probabilidade: Total da área embaixo da curva = 1.00 ou P(-

< Zi < + ) = 1.0

P(...) SIGNIFICA PROBABILIDADE e f(Z) é a função de densidade. DISTRIBUICAO NORMAL

) Z ( f

DESVIOS PADRAO

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Fig. 8 – Distribuição normal

A tabela da paina seguinte dá a probabilidade de ocorrência de um evento entre 0 e z. Na margem esquerda temos o valor de z com uma decimal e, se necessitamos considerar a segunda decimal, a procuramos na margem superior. No interior obtemos as probabilidades . Para calcular a probabilidade de z entre 0 e 1, procuramos na margem esquerda a linha que tem z = 1,0 e a coluna 0,00 e encontramos o valor 0,3413. Isto significa que a probabilidade de encontrar um valor de x entre a média zero e z=1,0 é 0,3413 ou 34,13%. Para se obter a probabilidade de z entre 0 e 1,64, procuramos a célula cuja linha é 1,6 e coluna 0,06 o que resulta o valor 0,8990 ou 89,90%, ou seja: ÁREA ENTRE 1 e –1 DESV. PADRÃO = 68,27% ÁREA ENTRE 1,64 e –1,64 DESV. PADRÃO = 89,90% ÁREA ENTRE 1,96 e –1,96 DESV. PADRÃO = 95% ÁREA ENTRE 2 e –2 DESV. PADRÃO = 95,45% ÁREA ENTRE 3 e –3 DESV. PADRÃO = 99,73%

-1,96δ

-1,64δ

-1δ

0

+1δ

+1,64δ

P(- 1 < Zi < + 1) = 0.6827 P(- 1,64 < Zi < + 1,64) = 0.8990 P(- 1,96 < Zi < + 1,96) = 0.9500 P(- 2 < Zi < + 2) = 0.9545 P(- 3 < Zi < + 3) = 0.9973

+1,96δ

68% 89,90% 95,0%

Fig. 9 – Área sob a curva normal a 1, 2, e 3 desvios padrões a contar de cada lado da média.

39



Tabela 1 -Curva Normal (p = área entre 0 e z)

segunda casa decimal z

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.0

0.0000

0.0040

0.0080

0.0120

0.0160

0.0199

0.0239

0.0279

0.0319

0.0359

0.1

0.0398

0.0438

0.0478

0.0517

0.0557

0.0596

0.0636

0.0675

0.0714

0.0753

0.2

0.0793

0.0832

0.0871

0.0910

0.0948

0.0987

0.1026

0.1064

0.1103

0.1141

0.3

0.1179

0.1217

0.1255

0.1293

0.1331

0.1368

0.1406

0.1443

0.1480

0.1517

0.4

0.1554

0.1591

0.1628

0.1664

0.1700

0.1736

0.1772

0.1808

0.1844

0.1879

0.5

0.1915

0.1950

0.1985

0.2019

0.2054

0.2088

0.2123

0.2157

0.2190

0.2224

0.6

0.2257

0.2291

0.2324

0.2357

0.2389

0.2422

0.2454

0.2486

0.2517

0.2549

0.7

0.2580

0.2611

0.2642

0.2673

0.2704

0.2734

0.2764

0.2794

0.2823

0.2852

0.8

0.2881

0.2910

0.2939

0.2967

0.2995

0.3023

0.3051

0.3078

0.3106

0.3133

0.9

0.3159

0.3186

0.3212

0.3238

0.3264

0.3289

0.3315

0.3340

0.3365

0.3389

1.0

0.3413

0.3438

0.3461

0.3485

0.3508

0.3531

0.3554

0.3577

0.3599

0.3621

1.1

0.3643

0.3665

0.3686

0.3708

0.3729

0.3749

0.3770

0.3790

0.3810

0.3830

1.2

0.3849

0.3869

0.3888

0.3907

0.3925

0.3944

0.3962

0.3980

0.3997

0.4015

1.3

0.4032

0.4049

0.4066

0.4082

0.4099

0.4115

0.4131

0.4147

0.4162

0.4177

1.4

0.4192

0.4207

0.4222

0.4236

0.4251

0.4265

0.4279

0.4292

0.4306

0.4319

1.5

0.4332

0.4345

0.4357

0.4370

0.4382

0.4394

0.4406

0.4418

0.4429

0.4441

1.6

0.4452

0.4463

0.4474

0.4484

0.4495

0.4505

0.4515

0.4525

0.4535

0.4545

1.7

0.4554

0.4564

0.4573

0.4582

0.4591

0.4599

0.4608

0.4616

0.4625

0.4633

1.8

0.4641

0.4649

0.4656

0.4664

0.4671

0.4678

0.4686

0.4693

0.4699

0.4706

1.9

0.4713

0.4719

0.4726

0.4732

0.4738

0.4744

0.4750

0.4756

0.4761

0.4767

2.0

0.4772

0.4778

0.4783

0.4788

0.4793

0.4798

0.4803

0.4808

0.4812

0.4817

2.1

0.4821

0.4826

0.4830

0.4834

0.4838

0.4842

0.4846

0.4850

0.4854

0.4857

2.2

0.4861

0.4864

0.4868

0.4871

0.4875

0.4878

0.4881

0.4884

0.4887

0.4890

2.3

0.4893

0.4896

0.4898

0.4901

0.4904

0.4906

0.4909

0.4911

0.4913

0.4916

2.4

0.4918

0.4920

0.4922

0.4925

0.4927

0.4929

0.4931

0.4932

0.4934

0.4936

2.5

0.4938

0.4940

0.4941

0.4943

0.4945

0.4946

0.4948

0.4949

0.4951

0.4952

2.6

0.4953

0.4955

0.4956

0.4957

0.4959

0.4960

0.4961

0.4962

0.4963

0.4964

2.7

0.4965

0.4966

0.4967

0.4968

0.4969

0.4970

0.4971

0.4972

0.4973

0.4974

2.8

0.4974

0.4975

0.4976

0.4977

0.4977

0.4978

0.4979

0.4979

0.4980

0.4981

2.9

0.4981

0.4982

0.4982

0.4983

0.4984

0.4984

0.4985

0.4985

0.4986

0.4986

3.0

0.4987

0.4987

0.4987

0.4988

0.4988

0.4989

0.4989

0.4989

0.4990

0.4990

40



3.3- Estimação e Testes de Significância A estimação e os testes de significância são os dois principais pontos da inferência estatística.

3.3.1-Estimação A estimação envolve a avaliação do valor de algum parâmetro populacional com base em dados amostrais. As estimativas podem ser pontuais ou especificar um intervalo de valores em que se julga que o parâmetro populacional possa estar. Uma estimativa pontual é um valor (ou ponto) único usado para aproximar um parâmetro populacional. Os intervalos de confiança são estimativas intervalares em que incluem a afirmação probabilística que indica a percentagem de intervalos que possa esperar abranger o verdadeiro valor do parâmetro em seus limites. A amplitude de um intervalo de confiança depende: -

da dispersão dos valores,

-

do nível de confiança indicado,

-

do erro tolerável e,

-

do tamanho da amostra

Um intervalo de confiança está associado a um grau de confiança que é uma medida da certeza de que o intervalo contem o par6ametro populacional. A definição de grau de confiança utiliza α para descrever uma probabilidade que corresponde a uma área. Veja a figura abaixo, onde a probabilidade de α está dividida igualmente entre duas regiões extremas sombreadas (caudas) na distribuição z (ou t no caso de pequenas amostras).

Intervalo de Confiança x-e

x

x+e

α /2

α /2 Pela Tabela corresponde à Área de 0,5 - α/2

Z=0

Z /2 α

Fig.10 – A distribuição Normal Padronizada: o valor crítico de z α/2

41



O grau de confiança é a probabilidade 1-α (comumente expressa como o valor percentual equivalente) de o intervalo de confiança conter o verdadeiro valor do parâmetro populacional. (o grau de confiança é também chamado de nível de confiança, ou coeficiente de confiança). São escolhas comuns para grau de confiança: 90% (com α = 0,10), 95% (com α = 0,05). Pelas Normas de avaliações de imóveis – conforme comentado adiante, usa-se intervalo de confiança de 80%. Um valor crítico é o número na fronteira que separa os valores das estatísticas amostrais prováveis de ocorrerem, dos valores que têm pouca chance de ocorrer. O número zα/2 é um valor crítico que é um escore z com a propriedade de separa uma área de α/2 na cauda direita da distribuição normal padronizada. (Há uma área de 1-α entre as fronteiras de - z α/2 e zα/2). Os mesmos conceitos valem para distribuição t .

GRAU DE CONFIANÇA = 95%

α /2 = 0,025

α /2 = 0,025

0,475 -z α /2 = -1,96

0,475 +z α /2 = +1,96

z=0

Fig.11 – Determinação de zα/2 para 95% de grau de confiança. Os intervalos de confiança são estimativas intervalares calculadas com auxílio do erropadrão da estimativa S e . Pode referir-se ao valor médio de Y para um dado X, ou então, a um valor individual esperado de Y. Em ambos os casos o valor esperado é o mesmo, mas o intervalo de confiança depende do ponto de vista adotado.

S

Yi

= se.

1 + n

(X

∑X

2

−

2 1i − X ) − [( ∑ X) 2 /n]

Intervalo para predizer a o valor médio de Y, o desvio padrão de Yi : S

Yi

1 = se. 1 + + n

(X

∑

X

2

−

2 1i − X ) − [( ∑ X) 2 /n]

Intervalo de Predição para um valor Y

individual , soma-se um único termo (1) à expressão, ou seja, o desvio padrão de Y i

42



No caso, pela interpretação das Normas da ABNT, a estimativa é para um valor

médio de Y, portanto, o intervalo deve ser obtido através da p rimeira fórmula . Dado um valor fixo X0, o intervalo de predição para um determinado Y será: Ŷ – E
1 E = t α / 2 .s e . + n

−

(X 0 − X ) 2 2 ∑ X − [( ∑ X) 2 /n]

A distribuição de probabilidade de Yi é do tipo distribuição t com (n-k-1) graus de liberdade, com média igual a Y e erro padrão igual Si. Portanto, o intervalo de confiança poderá ser estimado por:

Yi − t ( n − K −1) λ / 2 .Sy i ≤ Yi ≤ Yi + t ( n − K −1) λ / 2 .Sy i onde: t é o valor obtido na tabela t de Student e Syi o desvio padrão de X0 O intervalo de confiança pode ser calculado para qualquer valor de X, possibilitando a construção de uma faixa de confiança para a reta de regressão populacional como um todo. Quanto maior o número da amostra (n) e quanto mais dispersa for a variável x, menor será o erro padrão e conseqüentemente a amplitude dos intervalos de confiança. O intervalo de confiança terá uma amplitude menor a medida que X se aproxima da média x e que eles vão se alargando progressivamente à medida que se afastam da média. O grau de confiança é a probabilidade 1-α (comumente expressa como o valor percentual equivalente) de o intervalo de confiança conter o verdadeiro valor do parâmetro populacional. (o grau de confiança é também chamado de nível de confiança, ou coeficiente de confiança). São escolhas comuns para grau de confiança: 90% (com α = 0,10), 95% (com α = 0,05). A Norma, estipula que, que o valor final a ser indicado , em função do tratamento estatístico dado,

“ t e m de estar contido em um intervalo de

confiança fechado e máximo de 80%” ( que corresponde ao nível de significância igual a

20%, resultando λ = 10 2

0

0

) para o valor médio induzido pela equação de regressão.

43



3.3.2-Testes de Significância (Testes de Hipóteses) Pelo processo da indução, as estatísticas amostrais tendem a se aproximar ( e não igualar ) aos parâmetros da população e os testes de testes de significância são para verificar se a diferença entre o valor alegado de um parâmetro populacional e o valor de uma estatística amostral pode ser razoavelmente atribuído à variabilidade amostral ou se a discrepância é demasiadamente grande. Os testes de significância são usados para avaliar afirmações sobre parâmetros populacionais e o processo consiste basicamente em: 1o) Formular a hipótese nula e a hipótese alternativa 2o) Escolher a distribuição amostral adequada 3o) Escolher a um nível de significância ( e assim os valores críticos) 4o) Calcular a estatística do teste e compará-la com o(s) valor (es) crítico(s) 5o) Rejeitar a hipótese de nulidade se a estatística teste excede o(s) valor(es) crítico(s); caso contrário, aceitá-la. Portanto, para iniciar o processo, dois são os tipos de hipóteses que devem ser formuladas: -

a que sugere que a afirmação é verdadeira , chama-se hipót ese nula e se designa pelo símbolo H0;

-

a que sugere a afirmação é falsa chama-se hipótese alternativa e se designa pelo símbolo H1.

ou seja: A hipótese nula H 0 é uma afirmação que diz que o parâmetro populacional é tal como especificado (isto é, a afirmação é verdadeira). A hipótese alternativa H 1 é uma hipótese que oferece uma alternativa à alegação (isto é, o parâmetro é maior (ou menor) que o alegado). O segundo passo consiste em identificar a distribuição amostral adequada (normal z , t de Student, F de Fischer, etc..) O terceiro passo consiste em escolher um nível de significância aceitável para indicar um valor crítico como padrão de comparação, para não rejeitar uma hipótese nula, quando

verdadeira.

Valor crítico é o valor, ou valores que separa(m) a região crítica dos valores da estatística do teste que não levam à rejeição da hipótese nula A essência de um teste de significância consiste então em particionar uma distribuição amostral – com base na suposição de H 0 ser verdadeira – em uma região de aceitação e uma região de rejeição de H 0. Calcula-se, então, a estatística do teste com base nos dados amostrais para compará-lo com o valor crítico, cumprindo assim a quarta etapa do teste. Para finalizar o processo, uma estatística teste que excede o valor crítico sugere a rejeição de H 0 , enquanto que uma estatística teste inferior ao valor crítico sugere H 0 que seja aceita. 44



3.3.2.1-Testes unilaterais e testes bilaterais A distribuição amostral é particionada em uma região que sugere a aceitação de H 0 e uma região (testes unilaterais) ou duas regiões (testes bilaterais que sugerem a rejeição de H 0 ). A hipótese alternativa, essencialmente, é usada para indicar o aspecto da variação, podendo ocorrer três casos possíveis:

1 - concentrar em ambas direções 2- concentrar os desvios para baixo 3- concentrar os desvios para cima Simbolicamente, no caso da jogada de uma moeda, onde: H o :p =0,50, tem-se: Aceitar H 0 Rejeitar H 0

α /2

α /2

Rejeitar H 0 H0 : p#0,5

Valor crítico

0

Valor crítico

Aceitar H 0 Rejeitar H 0

α Valor crítico

H0 : p< 0,5

0

Rejeitar H 0 Aceitar H 0

α H0 : p>0,5

0

Valor crítico

Fig. 12 – Comparação da partição de uma distribuição amostral para testes unilaterais e bilaterais. Note-se, nos testes unilaterais, que o sinal > ou o sinal < aponta para a cauda utilizada

3.3.2.2-Erros tipo I e tipo II Ao ser testada uma hipótese nula, a conclusão é rejeitá-la ou não rejeitá-la: tais conclusões ora são corretas, ora são incorretas. Há dois tipos de erros inerentes ao processo de teste de significância: -

erro Tipo I:

consiste em rejeitar a Hipótese Nula H o quando ela é verdadeira . A

probabilidade de cometer esse erro é chamada nível de significância de um teste e se denota por α (alfa). O valor de α é tipicamente predeterminado: São comuns a escolha α =0,05; α =0,01. -

erro Tipo II: consiste em não rejeitar a Hipótese Nula H o quando ela é falsa . Usa-se o símbolo β (beta) para representar a probabilidade de um erro tipo II. 45



Espera-se naturalmente, que H o seja aceita quando verdadeira e rejeitada quando falsa. Logo, há 4 resultados possíveis indicados na tabela abaixo e tomada a decisão, ou ela será correta, ou ocorrerá um tipo de erro, e a decisão (aceitar ou rejeitar) indicará que tipo de erro é possível.

Decisão

Decidimos rejeitar a Hipótese Nula Não rejeitamos a Hipótese Nula

A Hipótese Nula é Verdadeira Erro Tipo I (rejeição de uma hipótese nula verdadeira) Decisão Correta

A Hipótese Nula é Falsa Decisão Correta

Erro Tipo II (não rejeição de uma hipótese nula falsa)

Fig. 13 - Erros Tipo I e Tipo II

A probabilidade de cometer o erro do tipo I, α, é mais fácil de ser detectada e pode ser controlada. Contudo, reduzindo α , aumenta a probabilidade de cometer um erro do tipo II, β. α é c ham ad o o nível de signific ânc ia e 1- α é o nível de signific ânc ia d o t este.

3.3.2.3-Conclusão quanto aos testes de Hipóteses: A afirmação original, ou básica, ora se torna a hipótese nula, ora se transforma na hipótese alternativa. Entretanto, o processo exige que sempre seja testada a hipótese nula e a conclusão final será sempre uma das seguintes: 1-

Não rejeitar a hipótese nula H0;

2-

Rejeitar a hipótese nula H0

3.3.3- O método tradicional do Teste de Hipóteses Este processo consiste em identificar um

resultado amostral que é significativamente

diferente do valor alegado: uma estatística amostral importante se converte em uma estatística de teste, que é comparada com um valor crítico e utiliza-se este critério para conclusão: - Rejeitar a hipótese nula se a estatística de teste está na região crítica; - Não rejeitar a hipótese nula se a estatística de teste não está na região crítica.

3.3.4-O método do Valor P para o Teste de Hipóteses Os programas de computador utilizam uma outra abordagem para o teste de hipóteses, baseada no cálculo do valor de uma probalidade, ou valor P . Um valor P muito pequeno (como 0,05 ou menos) sugere que os resultados amostrais são muito improváveis sob a hipótese nula; logo, uma evidência contra a hipótese nula

3.2.5 – Distribuições relacionadas com a distribuição normal Existem duas importantes distribuições de probabilidade utilizadas na estatística inferencial relacionadas com a distribuição normal: a distribuição t e a distribuição F.

46



3.2.5.1-A Distribuição t Pelo Teorema do Limite Central, quando o tamanho da amostra é superior a 30, a distribuição das médias é aproximadamente normal, mas para observações menores que 30, a aproximação normal pode não ser adequada. Por outro lado, quando o desvio padrão da população não é conhecido (o que ocorre em geral), usa-se o desvio padrão da amostra como estimativa, substituindo-se σ x por S x nas equações para intervalos de confiança e erros. Portanto, se a amostra é pequena ( n ≤30) e o desvio padrão da população não é conhecido, usa-se a distribuição t 1 de Student.

A forma da distribuição t é similar à normal, conforme mostrado na figura a seguir. A principal diferença entre as duas distribuições é que a distribuição t tem mais área nas caudas: isto significa que , para um dado nível de confiança, o valor t será um pouco maior que o correspondente ao z .

Fig. 14 – Comparação de distribuição normal z e t . Note-se que a distribuição t tem mais área nas caudas . A partir de 30 dados amostrais, elas se aproximam. Para usar a tabela t 2 (TABELA 2) é preciso conhecer duas coisas: o nível de confiança desejado e o número de graus de liberdade. O número de graus de liberdade está relacionado com a maneira de calcular o desvio padrão:

S x

=

∑

( x − x ) 2 n −1

n-1=graus de liberdade (tamanho da

amostra menos 1)

onde: S x = desvio padrão amostral e

1

O criador da distribuição t foi W.S.Gosset, empregado de uma cervejaria irlandesa no princípio do século XX que precisava de uma distribuição que pudesse ser utilizada com pequenas amostras. Como esta não permitia a publicação de resultados de pesquisas, usou o pseudônimo de Student. 2

A tabela de t de Student será usada mais adiante para cálculos de verificação das variáveis e cálculo do intervalo de confiança.

47



O número de graus de liberdade para um conjunto de dados corresponde ao número de valores que podem variar após terem sido impostas certas restrições a todos os valores.

Explicação intuitiva sobre o número de graus de liberdade: Determinar três números cuja soma seja

será determinado: não existe grau de

10: o primeiro número pode ser qualquer

liberdade para ele. Há três números em

um (até negativo); o segundo também.

jogo, mas liberdade só para dois, ou seja,

Mas o terceiro será limitado à condição

como os dois primeiros números foram

que a soma dos três deve ser 10. Escolhido

escolhidos arbitrariamente, há dois graus

os dois primeiros, o terceiro

de liberdade

48



Tabela 2 - Distribuição t de Student Coeficiente de Confiança Duas caudas Uma cauda

0,80 0,90

0,90 0,95

0,95 0,98

0,98 0,99

0,990 0,995

0,9990 0,9995

0,05 0,03 12,706 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056 2,052 2,048 2,045 2,042 2,040 2,037 2,035 2,032 2,030 2,028 2,026 2,024 2,023 2,021 2,020 2,018 2,017 2,015 2,014 2,013 2,012 2,011 2,010 2,009

0,02 0,01 31,821 6,965 4,541 3,747 3,365 3,143 2,998 2,896 2,821 2,764 2,718 2,681 2,650 2,624 2,602 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528 2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,479 2,473 2,467 2,462 2,457 2,453 2,449 2,445 2,441 2,438 2,434 2,431 2,429 2,426 2,423 2,421 2,418 2,416 2,414 2,412 2,410 2,408 2,407 2,405 2,403

0,010 0,005 63,656 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 2,779 2,771 2,763 2,756 2,750 2,744 2,738 2,733 2,728 2,724 2,719 2,715 2,712 2,708 2,704 2,701 2,698 2,695 2,692 2,690 2,687 2,685 2,682 2,680 2,678

0,0010 0,0005 636,578 31,600 12,924 8,610 6,869 5,959 5,408 5,041 4,781 4,587 4,437 4,318 4,221 4,140 4,073 4,015 3,965 3,922 3,883 3,850 3,819 3,792 3,768 3,745 3,725 3,707 3,689 3,674 3,660 3,646 3,633 3,622 3,611 3,601 3,591 3,582 3,574 3,566 3,558 3,551 3,544 3,538 3,532 3,526 3,520 3,515 3,510 3,505 3,500 3,496

Testes de Hipóteses Duas caudas Uma cauda 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

0,20 0,10 3,078 1,886 1,638 1,533 1,476 1,440 1,415 1,397 1,383 1,372 1,363 1,356 1,350 1,345 1,341 1,337 1,333 1,330 1,328 1,325 1,323 1,321 1,319 1,318 1,316 1,315 1,314 1,313 1,311 1,310 1,309 1,309 1,308 1,307 1,306 1,306 1,305 1,304 1,304 1,303 1,303 1,302 1,302 1,301 1,301 1,300 1,300 1,299 1,299 1,299

0,10 0,05 6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725 1,721 1,717 1,714 1,711 1,708 1,706 1,703 1,701 1,699 1,697 1,696 1,694 1,692 1,691 1,690 1,688 1,687 1,686 1,685 1,684 1,683 1,682 1,681 1,680 1,679 1,679 1,678 1,677 1,677 1,676

49



3.2.5.2- A distribuição F - Análise de variância A distribuição F tem inúmeras utilidades, especialmente para comparação de médias amostrais. No caso específico da avaliação de imóveis, a distribuição F é usada para realizar testes de hipóteses da equação de regressão como um todo. A distribuição F testa a hipótese de que nenhum dos coeficientes da regressão tenha significado contra a hipótese de que pelo menos um tenha significado, ou seja, formulando as seguintes hipótese nula e alternativa: H 0= nenhum dos coeficientes da regressão tenha significado. H 1= pelo menos um tem significado.

O valor da estatística deve ser comparado com uma tabela de valores F , no caso da tabela de distribuição F

de Fischer-

Snedecor (TABELA 3), que indica o valor máximo da estatística no

caso de H 0 ser verdadeira, a um determinado nível de significância

Análise de Variância (ANOVA) Usualmente as partes componentes desse teste - compreendendo não só da fonte de variação como de verificação dos cálculos, como também a própria estatística do teste (razão F ) e o P valor - são indicadas numa Tabela chamada Analise da Variância (ANOVA) reproduzida pelos programas de computador, nos moldes do quadro reproduzido a seguir. Fonte de variação de Y E = Explicada pela regressão X1...Xn R= Residual não explicada pela regressão T=Total

Soma de Quadrados

Graus de Liberdade

Quadrado médio das variações

Razão F

Valor -P Significância

SQE=r 2

K

QME=SQE/k

QME/QMR

obtida da Tabela F

SQR=SQT-SQE

n-k-1

QMR=SQR/(n-k-1)

SQT=(SQE+SQR)

TOTAL

TOTAL

Ao fazer a análise, utilizam-se duas estimativas amostrais da variância para calcular uma razão F . O F observado é dado por: F= Variância Explicada ÷ Variância não explicada Compara-se o número resultante com um valor F da Tabela: se o valor é maior que o valor tabulado, rejeita-se a hipótese nula. Se o valor calculado é menor, a hipótese nula não pode ser rejeitada. Os valores constantes da tabela F são os valores críticos. Compara-se o número resultante com um valor F da Tabela: se o valor é maior que o valor tabulado, rejeita-se a hipótese nula. Se o valor calculado é menor, a hipótese nula não pode ser rejeitada.

50



Tabela 3 - Distribuição F Colunas: Graus de Liberdade Numerador.

Nivel de Significância: 1

2

3

4

0,01 5

6

7

8

9

10

11

12

15

20

25

1000

1

4052 4999 5404 5624 5764 5859 5928 5981 6022 6056 6083 6107 6157 6209 6240 6363

2

98,50 99,00 99,16 99,25 99,30 99,33 99,36 99,38 99,39 99,40 99,41 99,42 99,43 99,45 99,46 99,50

3

34,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,34 27,23 27,13 27,05 26,87 26,69 26,58 26,14

4

21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66 14,55 14,45 14,37 14,20 14,02 13,91 13,47

5

16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,46 10,29 10,16 10,05 9,96 9,89 9,72 9,55 9,45 9,03

6

13,75 10,92 9,78

9,15

8,75 8,47

8,26

8,10 7,98 7,87 7,79 7,72 7,56 7,40 7,30 6,89

7

12,25 9,55

8,45

7,85

7,46

7,19

6,99

6,84

6,72

6,62

6,54

6,47 6,31

6,16

6,06 5,66

8

11,26 8,65

7,59

7,01

6,63

6,37

6,18

6,03

5,91

5,81

5,73

5,67 5,52

5,36

5,26 4,87

9

10,56 8,02

6,99

6,42

6,06

5,80

5,61

5,47

5,35

5,26

5,18

5,11 4,96

4,81

4,71 4,32

10 10,04 7,56

6,55

5,99

5,64

5,39

5,20

5,06

4,94

4,85

4,77

4,71 4,56

4,41

4,31 3,92

11

9,65

7,21 6,22

5,67

5,32

5,07

4,89

4,74

4,63 4,54

4,46 4,40

4,25 4,10

4,01 3,61

12

9,33

6,93 5,95

5,41

5,06

4,82

4,64

4,50

4,39 4,30

4,22 4,16

4,01 3,86

3,76 3,37

13

9,07

6,70 5,74

5,21

4,86

4,62

4,44

4,30

4,19 4,10

4,02 3,96

3,82 3,66

3,57 3,18

14

8,86

6,51 5,56

5,04

4,69

4,46

4,28

4,14

4,03 3,94

3,86 3,80

3,66 3,51

3,41 3,02

15

8,68

6,36 5,42

4,89

4,56

4,32

4,14

4,00

3,89 3,80

3,73 3,67

3,52 3,37

3,28 2,88

16

8,53

6,23 5,29

4,77

4,44

4,20

4,03

3,89

3,78 3,69

3,62 3,55

3,41 3,26

3,16 2,76

17

8,40

6,11 5,19

4,67

4,34

4,10

3,93

3,79

3,68 3,59

3,52 3,46

3,31 3,16

3,07 2,66

18

8,29

6,01 5,09

4,58

4,25

4,01

3,84

3,71

3,60 3,51

3,43 3,37

3,23 3,08

2,98 2,58

19

8,18

5,93 5,01

4,50

4,17

3,94

3,77

3,63

3,52 3,43

3,36 3,30

3,15 3,00

2,91 2,50

20

8,10

5,85 4,94

4,43

4,10

3,87

3,70

3,56

3,46 3,37

3,29 3,23

3,09 2,94

2,84 2,43

21

8,02

5,78 4,87

4,37

4,04

3,81

3,64

3,51

3,40 3,31

3,24 3,17

3,03 2,88

2,79 2,37

22

7,95

5,72 4,82

4,31

3,99

3,76

3,59

3,45

3,35 3,26

3,18 3,12

2,98 2,83

2,73 2,32

23

7,88

5,66 4,76

4,26

3,94

3,71

3,54

3,41

3,30 3,21

3,14 3,07

2,93 2,78

2,69 2,27

24

7,82

5,61 4,72

4,22

3,90

3,67

3,50

3,36

3,26 3,17

3,09 3,03

2,89 2,74

2,64 2,22

25

7,77

5,57 4,68

4,18

3,85

3,63

3,46

3,32

3,22 3,13

3,06 2,99

2,85 2,70

2,60 2,18

26

7,72

5,53 4,64

4,14

3,82

3,59

3,42

3,29

3,18 3,09

3,02 2,96

2,81 2,66

2,57 2,14

27

7,68

5,49 4,60

4,11

3,78

3,56

3,39

3,26

3,15 3,06

2,99 2,93

2,78 2,63

2,54 2,11

28

7,64

5,45 4,57

4,07

3,75

3,53

3,36

3,23

3,12 3,03

2,96 2,90

2,75 2,60

2,51 2,08

29

7,60

5,42 4,54

4,04

3,73

3,50

3,33

3,20

3,09 3,00

2,93 2,87

2,73 2,57

2,48 2,05

30

7,56

5,39 4,51

4,02

3,70

3,47

3,30

3,17

3,07 2,98

2,91 2,84

2,70 2,55

2,45 2,02

40

7,31

5,18 4,31

3,83

3,51

3,29

3,12

2,99

2,89 2,80

2,73 2,66

2,52 2,37

2,27 1,82

50

7,17

5,06 4,20

3,72

3,41

3,19

3,02

2,89

2,78 2,70

2,63 2,56

2,42 2,27

2,17 1,70

60

7,08

4,98 4,13

3,65

3,34

3,12

2,95

2,82

2,72 2,63

2,56 2,50

2,35 2,20

2,10 1,62

70

7,01

4,92 4,07

3,60

3,29

3,07

2,91

2,78

2,67 2,59

2,51 2,45

2,31 2,15

2,05 1,56

80

6,96

4,88 4,04

3,56

3,26

3,04

2,87

2,74

2,64 2,55

2,48 2,42

2,27 2,12

2,01 1,51

90

6,93

4,85 4,01

3,53

3,23

3,01

2,84

2,72

2,61 2,52

2,45 2,39

2,24 2,09

1,99 1,48

100 6,90

4,82 3,98

3,51

3,21

2,99

2,82

2,69

2,59 2,50

2,43 2,37

2,22 2,07

1,97 1,45

500 6,69

4,65 3,82

3,36

3,05

2,84

2,68

2,55

2,44 2,36

2,28 2,22

2,07 1,92

1,81 1,20

1000 6,66

4,63 3,80

3,34

3,04

2,82

2,66

2,53

2,43 2,34

2,27 2,20

2,06 1,90

1,79 1,16

51



CAPÍTULO 4 Pressupostos de um Modelo para Explicação do Mercado Imobiliário Na estimativa do valor de um determinado segmento do mercado imobiliário (de um terreno, de uma residência, de um aluguel, etc...), o processo de inferência estatística pode se constituir na metodologia adequada, desde que atenda o pressuposto básico inicial quanto a existência de um conjunto de dados que possa ser tomado, estatisticamente, como amostra deste segmento. O processo de inferência consiste em obter um modelo de regressão de múltiplas variáveis, que explique a variação do valor investigado a partir desse conjunto de dados, normalmente estimado através do método dos mínimos quad rad os . Este método consiste calcular as relações estatísticas no âmbito das informações colhidas em amostra e o processo que possibilita prever o valor de um parâmetro desconhecido (populacional) tem explicação na teoria das probabilidades. Essa teoria permite fazer inferências, mediante testes de hipóteses e intervalos de confiança e é nela que estão baseadas as especificações quanto aos critérios estabelecidos para o tratamento estatístico inferencial introduzidas pelas normas de avaliação de imóveis da ANBT (NBR-14.653-2). Assim é que, na estimativa do valor de um determinado imóvel (Yi), pressupõe-se que ele possa ser explicado segundo uma variação de diversas componentes (X 1j ,X2j ... Xkj , que podem ser representados por uma variação de: área, frente, distancia a um polo atrativo, padrão construtivo, etc..) e o modelo de regressão ajustado normalmente consiste numa função linear- ou linearizável por transformação nas escalas das variáveis envolvidas - do tipo:

Yi = β0 + β1X1i + β2X2i + ......... βk Xki + εi ,

onde:

Yi = variável dependente ou explicada, que se constitui no valor investigado (terreno, casa, loja) X1i ,X2i ... Xki = variáveis independentes ou explicativas, que podem ser de natureza quantitativa (área, frente, distancia a um polo atrativo, etc..) ou qualitativa (padrão, topografia, etc..) 1, 2

...

k =

parâmetros da regressão

= os respectivos erros ou resíduos, sendo a expressão de inúmeras pequenas causas que produzem um desvio do que a variável dependente deveria ser, se a relação fosse determinística. Cabe relembrar a natureza do termo erro ei , e especificar que ,no caso de avaliações, se deve i

principalmente aos seguintes aspectos: 1o) erros decorrentes de observação ou medidas das variáveis (muito comuns na prática da pesquisa, por serem dependente de informações de terceiros); 2o) erros devidos a não consideração de variáveis influentes na variação de valor, não contempladas na regressão. Isto significa dizer que, além das variáveis reconhecidas no modelo, existiriam fatores que poderiam influenciar indiretamente o valor (Y,) mas que não se revelam suficientemente fortes para estarem no modelo, 3o) aleatoriedade do comportamento humano, elemento imprevisível e muito presente no mercado imobiliário

52



Devido a esse erro amostral, dificilmente a regressão estimada da amostra coincidirá com a verdadeira regressão populacional:

Y

Y = βo +β1Xi Regressão verdadeira (desconhecida)

1.1.1.1.1 i =b 0 +b 1 X 1i

X Fig.15 - Representação esquemática das regressões (amostral e populacional)

O máximo que se pode esperar é uma aproximação razoável entre as duas funções. Ao ajustar a regressão amostral, o objetivo é manter os resíduo ( erros), tã o pequenos quanto possível .

A técnica mais usada para determinar a equação de regressão é a dos mínimos quadrados e a denominação provem de a reta resultante minimizar a soma dos quadrados dos desvios dos pontos em relação a reta, conforme especificado adiante.

53



Para que este modelo matemático seja considerado válido para explicação do fenômeno investigado, considera-se, ainda, que as variáveis explicativas ((X1j ,X2j ... Xkj ,, área, testada, etc...) não contenham nenhuma perturbação aleatória - que deve ser assegurado mediante verificação dos testes de hipóteses básicos (demonstrados pela significância dos regressores através do teste “ t” e da equação c omo um todo através

da distribuição “ F” ) e que a distribuição dos resíduos os erros, εi , satisfaçam aos pressupostos de modelo de regressão linear normal, isto é, variância constante ( homocedasticidade) , independencia entre as variáveis explicativas e não autoregressão (quando usadas séries temporais). E o que é mais importante, é que este modelo poderá ser utilizado para avaliação, desde que represente com clareza, coerência e logicidade o efetivo comportamento do segm ento de me rc ad o estudad o naquele momento.

4.1 – O MODELO DE REGRESSÃO LINEAR – CÁLCULO DOS PARÂMETROS Após ter selecionado a fórmula básica da parte funcional do modelo, a etapa seguinte no processo é a estimação dos parâmetros (b0, b1, b2, ..., bk ) na função. Isto deve ser realizado resolvendo um problema que relaciona a resposta variável e a parte funcional do modelo de uma maneira que produzam as estimativas dos parâmetros o mais próximo possível dos valores dos parâmetros verdadeiros, desconhecidos. Existem diversos métodos para a estimação dos parâmetros de uma equação de regressão Os dois métodos mais comumente utilizados são os dos Mínimos Quadrados Ordinários e o da Máxima Verossimilhança, sendo o primeiro mais difundido na Engenharia de Avaliações.

4.1.1 - O método dos mínimos quadrados Pelo critério dos mínimos quadrados, os valores desconhecidos dos parâmetros, β0,

β1,...,βK são estimados encontrando os valores numéricos para os parâmetros que minimizam a soma dos resíduos, ou seja, das diferenças entre as respostas observadas e a parcela funcional do modelo (calculadas através da equação de regressão). Matematicamente, o critério da soma dos quadrados, que é minimizado para obter as estimativas do parâmetro é: 54

AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS n

r 2 r ⎡ y − f ( x ; β ˆ ⎤ sendo i

∂ = ∑⎢ i =1 ⎣

⎥⎦


que, β1, β2,..., βK, são tratados como os coeficientes das

variáveis X1, X2,..., Xk e resultarão nos valores de predição de Y, em função da variação destas referidas variáveis. Para enfatizar o fato que as estimativas dos valores de parâmetro não são as mesmas como os valores verdadeiros dos parâmetros as estimativas são denotados perto βˆ 0 , βˆ 1,...,βˆ k . A explicação do método será ilustrada com base em sua expressão mais simples recorrendo à regressão linear relacionando apenas duas variáveis, considerando o modelo de regressão em linha reta. A relação entre "Y" e "X", pode ser representada em um diagrama de dispersão, com os valores y i em ordenada e os x i em abscissa. Cada par de valores x i e y i fornecerão um ponto e utilizando-se, por exemplo, o método que minimiza o somatório dos resíduos ao quadrado, pode-se calcular, neste caso, a equação de uma reta de tendência que melhor se ajuste à nuvem de distribuição dos pontos representativos dos dados pesquisados da amostra utilizada.

y

Yi Y1

Ŷi ei

b1

b0

X1

X

Fig.16 – Representação da Reta de Regressão.

Para ajustar uma reta aos valores dos dados de uma amostra, pelo princípio dos mínimos quadrados deve-se procurar uma reta tal que a soma dos quadrados das distâncias verticais de cada ponto à reta seja a menor possível. Tomam-se os quadrados das distâncias para que as distancias positivas sejam canceladas pelas negativas.

O intercepto e o coeficiente angular dessa reta, são b 0 e b 1, que

55



correspondem às estimativas obtidas pelo método dos mínimos quadrados de β0 e β1 e a reta ajustada é representada pela expressão: Ŷi= b0 + b1 x1

Considerando o gráfico acima, para cada reta que passe pelos pontos do diagrama, existe um resíduo correspondente a distancia vertical entre Xi e a reta, para cada par ( Xi,Yi) observado. As distâncias verticais de cada ponto à reta ajustada são os resíduos de mínimos quadrados, e são dados por: ei = Y i – Ŷ i ou

4 ei = Y i – b0 – b1 .Xi onde: Y i é o valor observad o d a va riável dep endente Ŷ ii é o valor estimad o ou previsto pe lo mo de lo

e i o resíd uo estima d o b 0 e b 1 a s estima tivas do s p a râ me tros β0 e β1

A aplicação do método dos mínimos quadrados , portanto, consiste em encontrar, a partir dos dados amostrais (Yi, X i), as estimativas para o coeficiente angular b1 (que define o aumento ou diminuição da variável Yi por unidade de variação da variável Xi) e para o intercepto b0 (que define o ponto em que a reta corta o eixo das ordenadas), de modo que os erros (ou resíduos) sejam mínimos . Uma vez que as diferenças entre valores reais (Yi) e valores previstos ( Ŷi ) serão tanto positivas como negativas para diferentes observações, é necessário minimizar matematicamente como: Como Ŷi= b0 + b1.X1,, o que está sendo minimizado é: n

∑

[Y i - (b 0 + b 1 X i )] 2

i =1

Para este modelo, as estimativas dos mínimos quadrados dos parâmetros seriam computadas minimizando: ∂ =

n

∑

[Y i - (b 0 + b 1 X i )] 2

i=1

Fazendo o exame de derivadas parciais

δ

com respeito à b0 e b1, ajustando cada

derivada parcial igual a zero e resolvendo o sistema resultante de duas equações com dois desconhecidos, tem-se as seguintes estimativas para os parâmetros:

56



n

b1 =

∑ ( xi − x )( yi − y )

i =1

n

∑ ( xi − x )2

i =1

b 0 = y − b1 x Onde, x corresponde ao valor médio da variável Xi e y corresponde ao valor médio da variável Yi.

E a equação de regressão é, então, dada por: Ŷ

= b0 + b1 xi

É relevante, a esta altura, informar que, no caso de utilização de duas variáveis explicativas e uma explicada, a reta de regressão passa a ser um plano de regressão, em relação ao qual são calculados os resíduos. No caso de mais de duas variáveis explicativas, diz-se que os resíduos são calculados em relação a um hiper-plano teórico. As equações de regressão podem ser úteis quando usadas para predizer o valor de uma das variáveis, dado um valor da outra variável, desde que se ajustem bem aos dados e não ultrapasse os limites dos valores disponíveis. A regressão múltipla é usada, portanto, para testar dependências cumulativas de uma única variável dependente em relação à diversas variáveis independentes. Cada variável é isolada e mantida constante enquanto as variáveis restantes variam sistematicamente, sendo observados os seus efeitos sobre a variável dependente. A variável a ser inicialmente mantida constante é aquela que ocasiona a maior influência na variabilidade da variável dependente.

O modelo geral é representado por yi

= b0 + b1 x1 + L + bk xki + ei

A condição inicial, como na regressão linear simples, é descrita por y

= bo + b1 x1 + e1 onde xi é a variável independente, responsável pela

maior variabilidade, b0

e b1 são os coeficientes e e1 é o erro, isto é, a

variabilidade em Y não explicada pela relação linear.

57



A variável que, em seguida, mais reduz a variabilidade do erro é em seqüência adicionada de tal modo que: y

= b o + b1 x1 + b2 x2 + e2 , sendo b0 , b1 e b2 calculados e e2 < e1 .

O processo segue por etapas até que o comportamento de todas as variáveis independentes em relação à dependente seja verificado. O desenvolvimento dos sistemas de equações não se constitui no objetivo precípuo deste curso, sendo recomendado aos alunos se aprofundar utilizando as referências bibliográficas recomendada na apostila. A mesma recomendação vale para os modelos lineares de regressão múltipla, especialmente aqueles envolvendo muitas variáveis explicativas, onde a estimação dos parâmetros pelo método dos mínimos quadrados (b0, b 1, b 2,...., bk ) é obtida através de operações com matrizes, cujas formulações teóricas baseiam-se em cálculos complexos, que não se constituem no principal objetivo deste curso, razão pela qual serão apresentados apenas os conceitos mais importantes, até mesmo porque, os programas aplicativos de computador resolvem todos os sistema de equações.

Correlações do modelo e das variáveis explicativas

O coeficiente de correlação isolada entre variáveis expressa o quanto as mesmas estão relacionadas entre si. O coeficiente de correlação entre Y e X, simbolizado por r , pode ser pode ser definido na forma de raiz quadrada do coeficiente de determinação R2 ou pela fórmula: r =

∑ xy ∑ y . ∑ x 2

2

O coeficiente de correlação é útil no processo de investigação das variáveis potencialmente importantes no modelo e de eventual existência de colinearidade entre variáveis explicativas. Indicado pela letra ' r ' , pode ser medido por duas características: a) sua intensidade, que varia de 0 a 1; b) seu sentido, que pode ser positivo ou negativo: a correlação é positiva quando as duas variáveis examinadas crescem ou diminuem ambas no mesmo sentido, e

58



negativa quando variam em sentidos contrários, ou seja, quando uma cresce a outra diminui. A análise das correlações “isoladas” entre cada uma das variáveis independentes e a variável dependente permite verificar, pelo seu sinal, a forma da relação (se positiva, aumenta o valor do imóvel ou se, negativa, diminui) e, pela magnitude do coeficiente (de 0 a 100%) o quanto cada uma das variáveis independentes contribuem isoladamente para maximizar a predição (variação explicada) da variável dependente. Portanto a análise das correlações isoladas entre a variável dependente e as demais variávei é útil no trabalho exploratório de investigação das variáveis potencialmente importantes a serem incluídas no modelo, por medir simultaneamente seu sentido e seu grau ou força de relacionamento, desde que exista a já citada relação de causa e efeito entre elas. Em compensação, uma das hipóteses básicas da aplicação do método dos mínimos quadrados é que inexista, ou seja muito baixa, a correlação isolada entre cada uma das variáveis explicativas e as demais variáveis explicativas. Se essa correlação entre variáveis explicativas for muito alta, diz-se que há colineariedade entre elas. Se houver simultaneamente altas correlações entre duas ou mais variáveis explicativas, ocorre a multicolinearidade entre elas Se as variáveis independentes são altamente correlacionadas, então elas “compartilham” de algum poder de predição. Ao analisar o poder de predição do modelo, é imprescindível estar atento para que variações compartilhadas (correlacionadas) entre algumas variáveis independentes não sejam “contadas dobradas”, porque além de problemas estatísticos, expõe o modelo a uma redundância de variáveis, como é caso por exemplo de área útil e número de dormitórios como variáveis explicando a variação do valor do apartamento. Esses cálculos da variação compartilhada ilustram uma das formas de identificar os efeitos da colinearidade entre variáveis independentes atuando sobre a variável dependente, objeto de análise específica e detalhada em tópico à parte deste curso. O coeficiente de correlação parcial (por vezes chamada “com influência") indica o relacionamento entre duas variáveis analisadas, na presença de uma ou mais variáveis que com elas atuam simultaneamente.

59



Coeficiente de determinação (R2) O poder de explicação de um modelo é feito através do coeficiente de determinação. O coeficiente de determinação, indicado por

“r²” (quadrado do coeficiente de

correlação 'r') mede o percentual da variaç ão total do valor em torno da media que é explicada pela variação dos regressores adotados na equação. Quanto maior a variação a ser explicada, maior o coeficiente e vice-versa. Embora seja desejável o mais próximo de 1 (100% da variação explicada), não se pode definir valor mínimo aceitável, pois dependerá do tamanho da variação da

amostra e das variáveis

colhidas para explicar esta variação. Ao ajustar uma equação, espera-se que ela se ajuste à variação de um grupo de dados e a questão que surge naturalmente é saber quão precisa é a estimativa dada por essa equação. Mas qual seria o critério para determinar a reta que é melhor que todas as outras? Esse critério baseia-se na distancia vertical entre os pontos que representam os dados originais e a reta de regressão: tais distâncias chamam-se resíduos . Dado um par de dados amostrais (x,y), um resíduo é a diferença (y- ŷ ) entre um valor amostral observado y e o valor ŷ predito com base na equação de regressão. Portanto: uma reta verifica a propriedade dos mínimos quadrados se a soma dos quadrados dos resíduos é a menor possível. Considerando por exemplo a dispersão de pontos da figura abaixo em torno da média, em oposição à dispersão vertical de pontos em torno da reta de regressão como ilustra a figura abaixo. Se a dispersão associada à reta é muito menor que a dispersão (erro) associada à média, as predições baseadas na reta serão melhores que a da média.

DISPERSÃO DE PONTOS EM TORNO DA MÉDIA

DISPERSÃO DE PONTOS DISPERSÃO EM PONTOS TORNO DE DA RETA DE

Fig.17 - Comparação de dispersão de y’ s em torno da reta de regressão com a dispersão de y’ s em torno da média 60



Para ilustrar a questão e voltando ao caso do relacionamento de duas variáveis, ao aplicar modelo de regressão simples, a variável Xi é introduzida na esperança de que sua variação “explique” a variação de Y i, ou seja: Yi = βo +β1Xi + ε i

onde ( β o + β 1X i ) é ó componente explicável da variação de Yi e ε i é o

componente não explicado. Desta forma, para examinar se a variável independente prevê bem a variável dependente no modelo estatístico, é necessário desenvolver essas medidas de variação.

Para tanto, será necessário decompor o valor de Y i em: y i

)

)

)

= yi + ei

)

)

onde y i = b0 + b1 xi e ei = yi − y i

Yi

Y

)

)

= y I − y = COMPONENTE NÃO − EXPLICADO ei

ŷi = b0 + b1. xi

VARIAÇÃO TOTAL

)

( y I

− y = COMPONENTE EXPLICADO

y

− y i )

( x , y ) Xi

X

Fig.18 – Componentes: explicado e não-explicado, de y i r

Como ilustra a figura acima, a diferença entre y i e o seu valor médio yi (variação total) consiste em uma parte explicada pelo modelo de regressão ( yˆ i − yi ) e uma parte não explicada ( y i − yˆ i ), que são os resíduos. Existem diversas formas de medir a variação total de uma variável, sendo que uma delas consiste em somar sobre toda a amostra, os quadrados das diferenças r entre y i e a sua média y i . Especificamente essas somas de quadrado resultam nas seguintes medidas: n

∑ ( y i - y ) 2 = soma de quadrados total – STQ: que é uma medida de variação total dos valores de i=1

Yi em torno de sua média amostral. n

∑ ( yˆ − y ) 2 = soma de quadrados devido a regressão – SQR: que é a parcela da variação total de i=1

y em relação à sua media, que é explicada pela regressão , ou a parcela atribuída à relação entre X e Y. n

∑ ( y i - ˆy ) 2 = soma do quadrado dos erros – SQE: que é a parcela da variação total de y em i=1

relação à sua média, que não é explicada pela regressão e que é atribuída a outros fatores diferentes da relação entre X e Y.

61



Sendo que: 2

n

n

∑ (y i - y )

= ∑ (ˆ y i - y )

VARIAÇÃO TOTAL

= VARIAÇÃO

i=1

2

i=1

n

+ ∑ (y i - ˆ y) 2 i =1

VARIAÇÃO + NÃO-EXPLICADA

EXPLICADA

O Coeficiente de Determinação - R² é representada pela proporção da variância dos Y i observados "explicada" pelo modelo de regressão ajustado ou o resultado da soma de quadrados devida à regressão dividida pela soma total dos quadrados: n ˆ ˆ 2 ∑ (Y i − Y) VARIAÇÃOEX PLICADA 2 i 1 = R = n = VARIAÇÃOTO TAL ∑ (Yi − Y ) 2 i =1

O coeficiente de determinação fornece uma medida dimensional de quantidade do ajuste do modelo de regressão múltipla aos dados, correspondendo a um valor compreendido entre 0 e 1 e podendo ser interpretado como a porcentagem (variando de 0 a 100%) da variação de Yi, em torno de sua média, explicada pelo modelo de regressão. Quanto maior for o valor de R2, maior será a parcela da variação de Yi “explicada” pela variação das várias variáveis explicativas Xi, e, em princípio, melhor a capacidade de previsão do modelo encontrado. Valores de R2 próximos de zero indicam um péssimo ajuste dos dados obtidos pela equação de regressão aos dados obtidos no campo amostral. Exemplo: Numa regressão simples valor unitário x área, o fato de ter R 2=0,60 indica que aproximadamente 60% da variação no preço unitário estão relacionados com a variação da área, logo os restantes 40% não são explicados por esta variável. Isto sugere que: 1.1.1.1.1.1

1 o ) Tal vez uma equação não lin ear se aju stasse melhor;

2o) É possível que outras variáveis não incluídas no modelo sejam importantes.

Com a adição de novas variáveis ao modelo, é sempre possível aumentar o valor de R2, no entanto, nem sempre um novo modelo com mais variáveis regressoras será melhor que um modelo que não envolva essas variáveis. Para contornar esse problema, é sugerido que seja calculado um coeficiente de determinação

múltipla ajustado , simbolizado por R 2 , em cuja fórmula, apresentada a seguir é possível verificar que, diferentemente do R 2, reflete tanto o número de variáveis explicativas k e quanto o tamanho da amostra n : R 2

= 1 − [ (1 − R 2 ).

n −1 n − k − 1

]

62



Observações: • Não utilizar equações de regressão com número de elementos amostrais igual ao número de variáveis utilizadas, pois a equação corresponderá sempre a coeficiente de determinação 1, já que consiste em resolver um sistema determinístico de n equações a n incógnitas. • Evitar número reduzido de elementos amostrais, pois há casos que podem induzir a um elevado coeficiente de correlação ( r ) , porém equivalendo a um grande intervalo de confiança no respectivo valor de ' ρ ' da população (podendo, inclusive, conter o valor zero). Isto significa dizer que, a equação pode estar explicando grande parte da variação do fenômeno para uma pequena amostra mas, na realidade, pode não estar explicando absolutamente nada da variação do fenômeno na população da qual essa amostra faz parte. • O coeficiente de determinação, apesar de ser um indicador sensível para explicação do modelo, trata-se de uma medida descritiva e, por si só, não mede a qualidade do modelo de regressão. O fato de ser alto, não implica necessariamente que o modelo ajustado seja adequado, não send o rec ome ndá vel seg uir uma estraté gia d e regressão que vise ap ena s à ma ximizaç ão de R 2 . (in Eonometria, Judge). Devem ser verificadas a sua consistência, através

dos testes de hipóteses ( t e F ) a distribuição dos resíduos e a coerência do modelo com o mercado. • O pesquisador deve se preocupar com a relevância lógica das variáveis explicativas para a variável dependente e com seu significado estatístico cuja tendência é a de encontrar modelos que representem um comportamento médio de mercado devendo ter cuidado com modelos que atinjam coeficientes de determinação próximo de 1 (ou 100%) que podem ser o resultado de um ajuste perfeito apenas “matemático” • O valor de R2 depende do número de variáveis explicativas k e do tamanho da amostra n , por isso, aumenta o com o acréscimo de variáveis. A fim de tornar os R2 comparáveis, utilizase R2 ajustado, R 2 , expresso em termos da variância e não da variação. • O R2 é um recurso descritivo para informar sobre o ajuste do modelo , enquanto que o R 2 é preferível para medir o grau de ajustamento por levar em conta o n o. de variáveis independentes (k) em relação a quantidade de observações (n). • se R2 e R2ajustado forem muito diferentes, é uma indicação de que foi incluído um número muito excessivo de variáveis explicativas, mas que não contribuem de modo significativo para melhorar a qualidade do modelo ajustado.

63



CAPÍTULO 5

Tratamento por Fatores - recomendações No tratamento por fatores, devem ser utilizados os elementos amostrais mais semelhantes possíveis ao avaliando, em todas as suas características, cujas diferenças perante o mesmo, para mais ou para menos, são levadas em conta. É admitida a priori a existência de relações fixas entre as diferenças dos atributos específicos e os respectivos preços e, neste caso, é aconselhável que os fatores sejam aplicados ao valor original do elemento comparativo na forma de somatório. O conjunto de fatores aplicado a cada elemento amostral será considerado como

homogeneizante quando após a aplicação dos respectivos ajustes, se verificar que o conjunto de novos valores homogeneizados apresenta menor coeficiente de variação dos dados que o conjunto original. Devem refletir, em termos relativos, o comportamento do mercado, numa determinada abrangência espacial e temporal, com a consideração de: -

elasticidade de preços;

-

localização;

-

fatores de forma (frente, profundidade, área ou múltiplas frentes);

-

fatores padrão construtivo e depreciação (no caso de edificações).

Fator oferta A superestimativa dos dados de oferta (elasticidade dos negócios) deverá ser descontada do valor total pela aplicação do fator médio observado no mercado. Na impossibilidade da sua determinação, pode ser aplicado o fator consagrado 0,9 (desconto de 10% sobre o preço original pedido). Todos os demais fatores devem ser

considerados após a aplicação do fator oferta. Fator localização Para a transposição da parcela do valor referente ao terreno de um local para outro, poderá ser empregada a relação entre os valores dos lançamentos fiscais, obtidos da Planta de Valores Genéricos editada pela Prefeitura Municipal, se for constatada a coerência dos mesmos. 64



Nos casos de inexistência desses valores ou se forem constatadas incoerências nas suas inter-relações,

deverá

ser

procedido

estudos

de

mercado

devidamente

fundamentado. No caso de terrenos com edificações, os fatores referentes à localização devem incidir exclusivamente na parcela do valor do comparativo correspondente ao terreno. Serão considerados semelhantes, elementos que: a) Estejam na mesma região e em condições econômico-mercadológicas equivalentes às do bem avaliando; b) Constituam amostra onde o bem avaliando fique o mais próximo possível do centróide amostral; c) Sejam do mesmo tipo (terrenos, lojas, apartamentos etc); d) Em relação ao bem avaliando, sempre que possível, tenham: -

dimensões compatíveis;

-

número compatíveis de dependências (vagas de estacionamento, dormitórios, entre outros);

-

padrão construtivo semelhante;

-

estado de conservação e obsoletismo similares.

Aplicação dos fatores Na aplicação dos fatores, devem ser observados os seguintes princípios: 1. A utilização dos fatores deve ser na forma de somatório, após a consideração do fator oferta. 2. São considerados discrepantes elementos que : a) Os valores unitários, em relação ao valor médio amostral, extrapolem a sua metade ou dobro; b) Não obstante, recomenda-se que esses sejam descartados caso a discrepância persista

após a aplicação de fatores mais representativos

(localização para terrenos, padrão construtivo e depreciação para benfeitorias), desde que validados preliminarmente. 3. Somente após a validação do conjunto de fatores, deve ser realizado o saneamento dos dados homogeneizados, por meio dos seguintes procedimentos 65



a) Calcula-se a média dos valores unitários homogeneizados; b) Adota-se como intervalo de elementos homogêneos, aquele definido entre os limites de 30%, para mais ou para menos, do respectivo valor médio; c) Se todos os elementos estiverem contidos dentro desse intervalo, adota-se essa média como representativa do valor unitário de mercado. Caso contrário, procurase o elemento que, em módulo, esteja mais afastado da média, que é excluído da amostra. Após a exclusão, procede-se como em a) e b), definindo-se novos limites. e) Se elementos anteriormente excluídos passarem a estar dentro dos novos limites devem ser reincluídos; f) Este processo deve ser reiterado até que todos os dados atendam o intervalo de +/- 30% em torno da última média; g) Se houver coincidência de mais de um elemento a ser excluído na etapa d), deve-se excluir apenas um, devidamente justificado Saneamento

Não são considerados elementos semelhantes ao avaliando aqueles cujos valores unitários, após a aplicação do conjunto de fatores, resultem numa amplitude de homogeneização aquém da metade ou além do dobro do valor original de transação (descontada a incidência do fator oferta quando couber).

66



ANÁLISE DE REGRESSÃO SIMPLES Avaliação de um terreno partindo de uma amostra com 7 elementos comparativos, com as seguintes características: Elem. 1 2 3 4 5 6 7

Se, na pesquisa efetuada, as únicas informações disponíveis fossem os valores unitários, a alternativa seria considerar a média aritmética dos dados, dada por: MÉDIA= 9,00 Ou seja, seria admitido que os terrenos valeriam em média R$9,00/m2 (Para maior facilidade de condução dos cálculos, os

Valor 6,00 6,00 7,00 7,00 10,00 12,00 15,00

valores unitários foram divididos por 10)

Verificando o quanto os dados disponíveis variam em torno da média, tem-se: Elem. Valor Valor (yi) médio (Y) 1 6,00 9,00 2 6,00 9,00 3 7,00 9,00 4 7,00 9,00 5 10,00 9,00 6 12,00 9,00 7 15,00 9,00 Soma 63,00

Diferença (Y-Y) 3,00 3,00 2,00 2,00 -1,00 -3,00 -6,00 0,00

Se as diferenças forem simplesmente somadas (compensadas), o resultado será zero, o que não permite encontrar a medida de variação procurada.

A solução, então, é elevar essas diferenças ao quadrado para eliminar o sinal negativo e trabalhar apenas com valores positivos, obtendo-se:

1

Valor Diferença (Y-Y)2 (yi) médio (Y) (Y-Y) 6,00 9,00 3,00 9,00

2

6,00

9,00

3,00

9,00

72/7 = 10,28)

3

7,00

9,00

2,00

4,00

Isso demonstra que as informações não

4

7,00

9,00

2,00

4,00

são homogêneas, ou seja, apresentam

5

10,00

9,00

-1,00

1,00

diferenças entre si que fazem os valores

6

12,00

9,00

-3,00

9,00

variarem em torno da média (Variação

7

15,00

9,00

-6,00

36,00

0,00

72,00

Elem. Valor

Soma

63,00

Logo,

a variação total em torno da

média será:72,00 (ou variação média:

Total de 72) e, por conseqüência, a avaliação não poderia ser feita pela média simples.

Média Mediana = Moda= Desvio Padrão s = Coeficiente de

∑ ( x

− x ) 2 = n −1 variação = i

67



Neste caso, e havendo variação, é necessário explica-la, procurando as características dos terrenos que possam justificar o fato dos mesmos não apresentarem valores aproximadamente iguais ao da referida média. Isto será feito, verificando, por exemplo, se as frentes dos terrenos pudessem ser uma dessas prováveis variáveis. Configurando em um gráfico no plano cartesiano essas duas medidas, tem-se o seguinte diagrama de dispersão. valor unitário x frente

Elem.

16,00

Valor Frente

15,00 14,00

1

6,00

5,00

2

6,00

7,00

3

7,00

6,00

4

7,00

12,00

5

10,00

15,00

6

12,00

18,00

7

15,00

20,00

12,00

12,00

10,00 o i r á t i n u

10,00

8,00 7,00 6,00 6,00

6,00

7,0 0

4,00 2,00 0,00 0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

frente

Com as informações das frentes dos terrenos, o valor médio destes não é mais constante, mas uma função da variação destas. A equação seria do tipo y= bo + b1 x1, onde y seria os valores médios dos terrenos e x as respectivas frentes. CONCEITO: Uma análise de regressão geral, essencialmente, uma equação, cujos coeficientes refletem a intensidade da relação entre cada variável explicativa isolada e a variável resposta.

A sua interpretação estatística depende dos seguintes itens: •

O Valor de r (Coeficiente de Correlação): É um índice que varia entre -1 e +1, apontando o quanto as

diversas medidas obtidas a partir da amostra se ajustam à equação matemática proposta. Quanto maior o valor absoluto de r (seja positivo ou negativo), maior a concordância entre os dados e a curva de regressão.

•

O valor de r 2 (Coeficiente de Determinação) que indica qual o percentual da variância da variável

dependente que pode ser explicado pela(s) variável(eis) independente(s).

•

O Valor de p Para a Estatística t de Cada Variável: É uma probabilidade associada ao valor da função t , a

qual é obtida, para cada variável, a partir do modelo de regressão. Indica a probabilidade de que o coeficiente levantado para cada variável, seja qual for o seu valor, contribua de forma significativa no modelo.

•

aferir a qualidade de uma regressão pela análise dos seus resíduos, ou seja, das diferenças entre os

valores previstos pelo modelo de regressão para a variável dependente e os valores de fato observados. Qualquer padrão ou regularidade observada nos resíduos é um indicativo de um erro sistemático do modelo, ou seja, da sua inadequação. O ideal seria que os resíduos fossem aleatórios, com distribuição normal e média zero.

68

69

Página

EXPLICAÇÕES BÁSICAS: Método dos mínimos quadrados PARTE I - Montagem do modelo: Tomando como base o gráfico acima, é possível verificar a existência de uma relação (apesar de apresentar alguma dispersão) entre os pares dos preços unitários (Y) com os das frentes (X1), demonstrando a intuição lógica de que quanto maior a frente, maior o preço unitário. Esta relação pode ser escrita através de uma equação matemática (nesta primeira fase, linear) que descreva o comportamento entre essas duas variáveis. A equação de regressão linear têm a forma Y =b0 +b1X1 + e ; onde Y é a variável dependente (no caso, valor unitário) e X1 é a variável independente ( no caso, a frente) e b0 e b1 indicam o intercepto e o coeficiente angular, respectivamente, e e, o termo residual ( ou erro). O objetivo é encontrar, a partir dos 7 dados amostrais, uma expressão para o coeficiente angular b1 (que define o aumento ou diminuição da variável Y - valor unitário, por unidade de variação da variável X1 -frente) e para o intercepto b0 (que define o ponto em que a reta corta o eixo das ordenadas), de modo que os erros sejam mínimos. Para obter uma reta para o exemplo valor unitário versus frente, é necessário primeiramente calcular os parâmetros b0 e b1 da reta, e uma das formas utilizadas é efetuando os somatórios, conforme demonstrado nos passos seguintes. Montagem da equação de regressão - Cálculo de bo e b1 ( dados das tabelas

Y

ˆ )2 = 0 -Y i

e = ∑ (Yi

e

Substituindo Y chapéu:

VARIAÇÃO DE Y VARIA ÃO DE x

∑ [(Yi - (b0 + b1Xi )]2 = 0 equações “normais” (deduzidas através de derivadas , somatórias ou

X 1.1.1.1.1.1.1.1.1

matrizes)

∑Yi = nb0 + b1 ∑Xi

∑Xi Yi = b0 ∑Xi + b1 ∑Xi2

Médias de X e Y e respectivos somatórios Tabela 1 x ( frente)

Ref. 1 2 3 4 5 6 7 Somas Médias

5,00 7,00 6,00 12,00 15,00 18,00 20,00 X = 83,00 11,86 X barra

Tabela 2 y ( valor unitário) 6,00 6,00 7,00 7,00 10,00 12,00 15,00 y= 63,00 9,00 Y barra

X.Y

x^2

30,00 25,00 42,00 49,00 42,00 36,00 84,00 144,00 150,00 225,00 216,00 324,00 300,00 400,00 864,00 1.203,00 xy x2

Y^2 36,00 36,00 49,00 49,00 100,00 124,00 225,00 639,00 y2

b1 =

n( ∑ xy ) − ( ∑ x.)( ∑ y ) n( ∑ x 2 ) − ( ∑ x ) 2

b = Y − b X b1

=

7 ( 864 )

b0

=

9

−

( 83 x 63 )

7 ( 1 . 203 )

−

−

83

2

0 ,5343 x 11 ,86

=

=

0 . 5343

2 . 6612

Nota: Por convenção estatística: N = número de elementos K = número de variáveis explicativas Y barra = média Y cha éu = e ua ão de re ressão

69

70

Página

Pode-se também calcular através dos Somatórios, ou seja: Sxy= [ xy - ( x . y)/n] Sxx= [ x^2 - ( x)^2/ n] yy= [ y^2 - ( y)^2/ n]

864,00( 83,00 x 63,00 ) / 1.203,00( 83,00^2 )/ 639,00 ( 63,00^2 )/ B1 = Sxy / Sxx 117,00/

7 7 7

117,00 218,86 72,00

218,86 Equação de regressão B1= Bo = Ybarra - ( B1. X barra) B0= 9,00- ( 0,5346 x * ,86 ) = Equação de regressão ( Y= Bo +B1.X1) ou seja : Valor unitário =2,6612 + 0,5346 x Frente

0,5346 2,6612

Parte II: Estatísticas da Regressão: Coeficiente de Correlação, de Determinação e do

Erro Padrão da Regressão: Tabela 3 -

Variação

Projeção Explicada Y chapéu Y=2,6612 +0,5343 . X1 (Ychapéu - Ybarra)^2 5,33 (2,6612 +0,5346 x 5) 13,44 (5,33-9)^2

Não explicada Resíduos Total (Y - Ychapéu)^2 (Y - Ybarra)^2 0,44 (6 -5,33)^2 9,00 (6 -9)^2

6,40 5,87

(2,6612 +0,5346 x 7) (2,6612 +0,5346 x 6)

6,74 (6,4-9)^2 9,80 (5,87-9)^2

0,16 1,28

(6 -9)^2

(7-5,87)^2

9,00 4,00

9,08

(2,6612 +0,5346 x 12)

0,01 (9,08-9)^2

4,31

(7-9,08)^2

4,00

(7-9)^2

10,68

(2,6612 +0,5346 x 15)

2,82 (10,68-9)^2

0,46

(10-10,68)^2

1,00 (10-9)^2

12,28

(2,6612 +0,5346 x 18)

10,78 (12,28-9)^2

0,08

(12-12,28)^2

9,00 (12-9)^2

13,35

(2,6612 +0,5346 x 20)

18,95 (13,35-9)^2

2,71

(15-13,35)^2

36,00 (15-9)^2

Somas

62,55

Coeficiente de Correlação (r) = Coeficiente de Determinação 2

R

9,45

Sxy/ (Sxx.Syy)^ 0,5 Correlação ao quadrado

(7-9)^2

72,00

117,00/ ( 218,86 x 75)

^0,5

ou : variação explicada / variação total

0,9321^2

Coeficiente de Determinação

(6 -6,4)^2

0,9321 0,8687

62,55/72

R = 1- (1-R ). [(n-1)/(n-K-1)

0,8425

Ajustado R2 =

Erro padrão da regressão : raiz quadrada do somatório dos resíduos ao quadrado dividido pelos graus de liberdade (n-K-1) = √ 9.45 / ( 7-1-1) =

Coeficiente de Da Equação = erro padrão da regressão/média de Y (1,37/9) Variação

1,3749

15%

REPRESENTAÇÃ O GR ÁFICA C OEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO 16,00 14,00 12,00

variação total (v-ybarra)

Variação não e x p l ic a d a o u d e s v i o (y-ychapéu)

15/20 13,35/20 Variação explicada (ychapéu ybarra)

10,00 o i r á t i n u

8,00 6,00

2,00

y = + 2,6612 + 0,5346. X1 R2 = 0 , 8 6 8 7

0,00 0 ,0 0

5 ,0 0

1 0 ,0 0

frente

COEF DETERMIN A ÇÃO (R2) = V A R IA Ç Ã O E X PL IC A D A DIV IDIDA PELA V A RIA ÇÃO TOTAL 1 5 ,0 0

2 0 ,0 0

∑

i= 1

resíduos) seja o menor possível. COEF. DETERMINAÇÃO (R2) = 86,87% da variação do valor unitário (Ỷ) podem ser explicados pela variação da variável frente através da equação de regressão. Neste caso, 13,13% da variação total permanecem não explicados .

M édia (Ybarra)= 9 7/12

4,00

Pretende-se que Y se aproxime o máximo de Y ( Y chapéu) de forma n que ( yi − y$ ) ( ou a soma dos

2 5 ,0 0

70



PARTE III : Inferência em Análise de Regressão Até aqui, o estudo envolveu apenas o

ajustamento de uma reta. Para fazer inferências sobre a população, da qual se extraiu pesquisa (amostra), deve ser efetuado o teste de significância (teste de hipóteses). -Testes de Hipóteses: Teste “t ” - Teste da variável independente (frente). No caso de b1=0, o valor de Yi a variável X1 (frente) não importa na variação do valor. Para tanto impõe-se que b1 0 , que deve ser assegurado através do teste t de Student. O processo consiste basicamente em: 1o) Formular a hipótese nula e a hipótese alternativa 2o) Escolher a distribuição amostral adequada 3o) Escolher a um nível de significância ( e assim os valores críticos) 4o) Calcular a estatística do teste e compará-la com o(s) valor (es) crítico(s) 5o) Rejeitar a hipótese de nulidade se a estatística teste excede o(s) valor(es) crítico(s); caso contrário, aceitá-la. Portanto, para iniciar

o pr ocesso,

dois são formuladas dois tipos de hipóteses:

a hipótese nula (H0=b1=0) ou H0:0,5343 =0 Contra a

a hipótese alternativa (H1≠b1≠0) ou H1:0,5343 0 O segundo p asso consiste em identificar a distribuição amostral adequada (no caso, t de Student) O t erceiro passo consiste em escolher um nível de significância aceitável para indicar um valor crítico como padrão de comparação, para não rejeitar uma hipótese nula, quando verdadeira. Valor crítico

é o valor, ou valores que separa(m) a região crítica dos valores da estatística do teste que não levam à rejeição da hipótese nula

A essência de um teste de significância consiste então em particionar uma distribuição amostral – com base na suposição de H 0 ser verdadeira – em uma região de aceitação e uma região de rejeição de H 0. Calcula-se, então, a estatística do teste com base nos dados amostrais para compará-lo com o valor crítico, cumprindo assim a quarta etapa do teste. Para finali zar o pr ocesso, uma estatística teste que excede o valor crítico sugere a rejeição de H 0 , enquanto que uma estatística teste inferior ao valor crítico sugere H 0 que seja aceita.

O teste é realizado pela comparação da estatística t , t calculado, deduzida para a variável X 1 (frente), com o parâmetro obtido na tabela de distribuição t de Student, t tabelado, ao nível de significância de 10% (teste bicaudal) – classificação no GRAU III de Fundamentação)

71



Assim tem-se:

Nível de significância

Região de rejeição de H0

Nível de significância

Região de rejeição de ZONA DE ACEITAÇÃO de H0

t calculado = (b1 / Sb) – VER tabela abaixo

-

no caso

-

t calculado = 0,5346/0,09294=5,75

2o) Verifica-se o t tabelado (t crítico) na Tabela A1, para o nível de significância de 5% e o número de graus de liberdade (n-K-1) - no caso t tabelado =

-

0

+

o

3)

Compara-se o t calculado com o t crítico

1o) Calcula-se o t calculado 4o) Conclusão: Se t calc > t ab, rejeita-se a hipótese nula H=0 , e a variável frente correspondente ao coeficiente testado (0,5346) pode ser considerado importante na explicação do modelo. Nota importante: Os programas de computador já indicam o nível de significância (Valor P ), bastando apenas ficar atento para verificar se está abaixo de 5% para uma cauda (que, no caso do exercício, será de 0,0001 ou 0,001% ) ou 10% para duas caudas (no caso 0,00223 ou 0,02%)

Nota:

Variância de X = √∑ (x-xbarra)2/ (n-1)

Calculo de S b 1 S b 1 =

x 1( frente) (x- xbarra) (x- xbarra)^2

Erro padrão de B1= desvio da

5,00

-6,85714

47,020408

regressão dividido pela raiz quadrada

7,00

-4,85714

23,591837

de n-1 vezes variância da testada (X) =

6,00

-5,85714

34,306122

12,00

0,14286

0,020408

15,00

3,14286

9,877551

18,00

6,14286

37,734694

20,00

8,14286

66,306122

1,3749 / √ (6 x 36,47) = 0,09294

Soma Xbarra

83,00 11,8571

218,857143

Var x

36,476

72



Parte IV - Análise de Resíduos: proceder a verificação da proporção das diferenças e da existência de elementos discrepantes Elemento Originais ( valores advindos do campo)

1 2 3 4 5 6 7

Previsto ( usando a equação)

6,00 6,00 7,00 7,00 10,00 12,00 15,00

Resíduos padrão : Resíduos ( diferença) resíduo dividido pelo erro padrão da regressão

5,33 6,40

0,67 -0,40

10,68 12,28 13,35

-0,68 -0,28 1,65

0,48235 0,67/1,3749 -0,29339 -0,40/1,3749

-0,4946 -0,2065 1,1977

Representação gráfica dos resíduos padronizados:

. -3

-2

-1

0

+1

+2

+3

Parte V - Cálculo do valor unitário ( para imóvel com 10 m de frente) e do intervalo de confiança Valor unitário = 2,6612 + 0,5346 x Frente V unitário = R$

a) AVALIAÇÃO: Modelo :

b) Calcular o INTERVALO DE CONFIANÇA de 80% previsto nas Normas da ABNT A Norma NB-502/89, estipula, em seu artigo 7.6.8, que o valor final a ser indicado, tem de estar contido em um intervalo de confiança fechado e máximo de 80%” ( que corresponde ao nível de significância igual a 20% ) para o valor médio induzido pela equação de regressão, ou seja:

Yh − t ( n − K − 1)λ / 2 .S h ≥ Yh ≥ Yh + t ( n − K − 1)λ / 2 .. S h t= considerando ( n-K-1 =5) = −

e

S Yh = s e .

1 n

+

(X1h − X) 2

∑X

2

− [( ∑ X) / n] 2

1,37494x { ( 1/7 + [ (10 -11,86)^2 ] / [1203 Syh = [(83)^2 / 7]} ^0,5 Syh =1,37494 x {0,1429 + [ (3,4596/218,857)]}^0,5 = 0,3692

onde: t é o valor obtido na tabela t de Student e Syh o desvio padrão de Xh

17



MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS O modelo de regressão:

Yî = b 0 + b1.X1 . O valor previsto de Y igual a interseção, mais a inclinação vezes o valor de X. Onde: Yî = é o valor previsto de Yˆ para a observação i Xi = é o valor de X para a observação i Esta equação requer a determinação de dois coeficientes: b 0 ( a intercecção de Y ) e b1 (a inclinação) no sentido de prever valores de Y.

.

di = Yi − Yî Yˆ i

Yi

Yî = b 0 + b1.X1

Xi A análise de regressão significa a tentativa de encontrar a linha para a qual as diferenças entre os valores reais (Y i) e os valores que seriam previstos (Ỷi) sejam mínimas. Então, para cada valor de Xi existirá um desvio (d i), ou seja, para cada valor observado o valor projetado será diferente:

di = Yi − Yî .

Como as diferenças são tanto positivas como negativas, minimizamos matematicamente da seguinte forma: n

∑ (Y

i

− Yˆ i ) 2

Yî = é o valor previsto de Yˆ para a observação i

i =1

Xi = é o valor de X para a observação i Na verdade estamos minimizando: n

∑ [Y

i

− ( b 0 + b 1 .X 1 )] 2

i =1

Que tem 2 incógnitas e para resolver o problema, sistema de 2 equações: n

∑ i =1

n

n

Yi = n.b 0 + b 1 ∑ Xi

∑XY −

i =1

=

n

i=1

i =1

(∑ Xi ∑ Yi )

i i

b1

n

n

i=1

n

n

∑X

2 i

−

∑X

2 i

i=1

n

i=1

n

n

∑XY i

i =1

n

i

n

= b 0 + ∑ X i b 1 ∑ X.i 2 i =1

onde : Y =

∑y

i

n −1

n

n

i =1

e:X =

∑x

b0 = Yˆ − b1.X

Nota; Por convenção estatística: n = número de elementos Y barra = média Ychapéu = equação de regressão

i

n −1

n

Avaliações com Tratament o por Fatores

ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA XXII CONGRESO PANAMERICANO DE VALUACIÓN e XIII CONGRESSO BRASILEIRO DE ENGENHARIA DE AVALIAÇÕES E



ESPECIFICAÇÕES GERAIS E CONCEITOS INICIAIS DO MODELO DE REGRESSÃO Modelo para avaliação de terreno no interior de São Paulo, com 300m 2; 10m de frente; localizado a 100m de distância do pólo principal, com asfalto Pesquisa base: amostra abaixo contendo 20 elementos Variável Dependente: Unitário Variáveis Indepnedentes: Distancia a Pólo (medidas em m) – localização Área do terreno (medidas em m2) Frente do Terreno (medidas em m) Existência de asfalto (variável dicotômica que indica: presença =1 ou ausência =0

Elemento

Distancia polo

Área Terreno

Frente

1

1.000,00

300,00

10,00

0

60,00

2

700,00

500,00

15,00

0

50,00

3

800,00

300,00

10,00

0

60,00

4

300,00

300,00

10,00

1

100,00

5

500,00

500,00

15,00

0

70,00

6

500,00

300,00

10,00

1

90,00

7

300,00

500,00

15,00

1

80,00

8

100,00

600,00

18,00

1

90,00

9

100,00

1.000,00

20,00

1

80,00

10

0,01

600,00

15,00

1

100,00

11

200,00

500,00

15,00

1

80,00

12

400,00

500,00

15,00

1

40,00

13

1.000,00

800,00

20,00

0

55,00

14

800,00

300,00

10,00

0

70,00

15

200,00

300,00

10,00

1

80,00

16

1.000,00

600,00

20,00

0

50,00

17

100,00

500,00

18,00

1

80,00

18

0,01

300,00

10,00

1

100,00

19

0,01

500,00

15,00

1

120,00

20

1.000,00

1.000,00

20,00

0

40,00

Asfalto

Unitário





Apresentação do 1º) Modelo pelo Programa Sisren

Comportamento das Variáveis com Valor 120 120

110 110

100 o i r á t i n U r o l a V

100

90

o i r á t i n U r o l a V

80 70

90 80 70

60

60

50

50

40

40

300

400

500

600

700

800

900

1.000

0

100

200

300

400

Área Total

120

120

110

110

700

800

900

1.000

17

18

19

20

100

100 o i r á t i n U r o l a V

500 600 Distancia polo

o i r á t i n U r o l a V

90 80 70

90 80 70

60

60

50

50 40

40 0

1

10

11

12

13

14

Asfalto

15 Frente

16

Equação de Regressão:

Valor Unitário = +126,4384081 -2,76256481 * ln (Distancia polo) -9,079814893 * ln (Área Total) +71,56555367 / Frente +18,45145095 * Asfalto





1º ) – Coeficiente de Determinação – R 2 Informações Complementares:

• • • •

Número de variáveis: 5 Número de variáveis consideradas: 5 Número de dados: 20 Número de dados considerados: 20

Resultados Estatísticos:

• • • •

Coeficiente de Correlação: Coeficiente Determinação: Fisher-Snedecor: Significância modelo:

0,8441284 / 0,8441284 0,7125527 9,30 0,01

2º) – Testes de Hipóteses O processo consiste basicamente em: 1o) Formular a hipótese nula e a hipótese alternativa 2o) Escolher a distribuição amostral adequada 3o) Escolher a um nível de significância ( e assim os valores críticos) 4o) Calcular a estatística do teste e compará-la com o(s) valor (es) crítico(s) 5o) Rejeitar a hipótese de nulidade se a estatística teste excede o(s) valor(es) crítico(s); caso contrário, aceitá-la.

Variáveis • • • •

Distancia polo Área Total Frente Asfalto

Equação

ln(x) ln(x) 1/x x

t-Observado

-3,13 -0,42 0,17 2,64


Sig.

0,68 68,06 86,65 1,84




3º) – Análise de Resíduos – Normalidade e Verificação de “outliers” Normalidade dos resíduos: • • •

85% dos residuos situados entre -1 e + 1 s 95% dos resíduos situados entre -1,64 e + 1,64 s 95% dos resíduos situados entre -1,96 e + 1,96 s

Outliers do Modelo: 1 Res íduos da variável V alor Unitário

3

2 5

1

14

13 0

16

9

19

6 7 11 17

13

2

20

4

8

10

15

18

-1

-2 12 -3 50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

105

110

Apresentação do 2º) Modelo





Informações do Modelo Informações Complementares: • • • •


Resultados Estatísticos: • • • •


Variáveis • • • •

Distancia polo Área Total Frente Asfalto

0,9319870 / 0,9319870 0,8685998 23,14 0,01 Equação

ln(x) x 1/x x

t-Observado

-3,67 -1,15 0,09 5,16

Sig.

0,25 26,82 93,29 0,01

Equação de Regressão:

Valor Unitário = +80,96948632 -2,140581456 * ln (Distancia polo) -0,02020731005 * Área Total +15,81583166 / Frente +24,16070794 * Asfalto

Correlações entre variáveis •

•

•

•

Isoladas

Influência

Distancia polo Área Total Frente Asfalto Valor Unitário

0,07 -0,03 -0,52 -0,74

0,19 0,02 0,35 0,70

Área Total Frente Asfalto Valor Unitário

-0,85 -0,11 -0,32

0,81 0,19 0,29

Frente Asfalto Valor Unitário

0,06 0,25

0,05 0,02

Asfalto Valor Unitário

0,83

0,81





Projeções de Valores Distancia 100 1.000,00 1.000,00 100 100

Área

Frente

Asfato

300

10

0

300 600

10 20

0 0

600 600

20 20

0 0

Valor Médio 66,63 61,7 54,84 59,77 59,77

Mínimo 60,3 55,6 48,2 52,96 52,96

Maximo 72,96 67,8 61,49 66,59 66,59

Apresentação do 3º) Modelo Informações Complementares: • • • •


Resultados Estatísticos: • • • •


Variáveis • • •

Distancia polo Área Total Asfalto

0,9319500 / 0,9319500 0,8685308 33,03 0,01 Equação

ln(x) x x

t-Observado

-3,80 -2,45 5,35


Sig.

0,18 2,71 0,01




Análise do modelo (equação de regressão) Equação de Regressão:

Valor Unitário = +82,80931175 -2,139972135 * ln (Distancia polo) -0,0214923013 * Área Total + 24,14031455 * Asfalto

Análise de Resíduos Normalidade dos resíduos: • • •

73% dos residuos situados entre -1 e + 1 s 94% dos resíduos situados entre -1,64 e + 1,64 s 100% dos resíduos situados entre -1,96 e + 1,96 s

Outliers do Modelo: 0

Preço observado 60 50 60 100 70 90 80 90 80 100 80 55 70

Valor Estimado 61,57 58,04 62,05 88,29 58,76 87,2 83,99 84,19 75,6 103,9 84,86 50,83 62,05

Resíduo -1,57 -8,04 -2,05 11,7 11,23 2,79 -3,99 5,8 4,39 -3,9 -4,86 4,16 7,94

Resíduo Relativo -2,63 -16,08 -3,42 11,7 16,05 3,1 -4,99 6,44 5,49 -3,9 -6,08 7,57 11,34

Resíd uo/DP -0,19 -0,97 -0,24 1,41 1,35 0,33 -0,48 0,7 0,53 -0,47 -0,58 0,5 0,96



AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS 80 50

89,16 55,13

-9,16 -5,13

-11,45 -10,26

-1,1 -0,62

80 100 120

86,34 110,35 106,05

-6,34 -10,35 13,94

-7,93 -10,35 11,61

-0,76 -1,25 1,68

40

46,53

-6,53

-16,33

-0,79


Resíduos da variável Valor Unitário

2

1

0

-1

-2 50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

105

110

Projeção de Valores simulações sem asfalto Distancia 100,00 1.000,00 1.000,00 100,00 100,00

Área 300,00 300,00 600,00 600,00 600,00

simulações com asfalto Asfato 0 0 0 0 0

Valor Médio 66,50 61,57 55,13 60,05 60,05

Mínimo 61,51 56,81 51,11 55,72 55,72

Maximo 71,49 66,33 59,14 64,39 64,39

Asfato 1 1 1 1 1


Valor Médio 90,64 85,71 79,27 84,19 84,19




EXEMPLO 1 Exemplo Pratico Aplicação Fatores (Fundamento nos critérios da Norma do IBAPE/SP)

Terreno rua H com 300m2 de área e 8m de frente: índice local 100

Elemento

Local

Valor unitário

Area Frente Profundidade Indice Local m² m m

1

Rua A

140,00

216

12,00

18,00

70

2

Rua B

180,00

480

6,00

80,00

80

3

Rua C

250,00

480

12,00

40,00

115

4

Rua D

150,00

200

10,00

20,00

70

5

Rua E

200,00

250

10,00

25,00

110

6

Rua F

250,00

450

18,00

25,00

120

7

Rua F

270,00

500

15,00

33,33

120

1ª) Parte – Fatores oferta e Localização

Fator Oferta Elemento Valor Fator unitário Oferta

Fator Transposição Unitário deduzido do fator oferta

I.LOCAL Fator elemento Transp.

Diferença Unitário transposiç Homog ão (R$/m²) pela localizaç ão

1

140,00

0,9

126,00

70

1,43

54,00

180,00

2

180,00

0,9

162,00

80

1,25

40,50

202,50

3

250,00

1,0

250,00

115

0,87

-32,61

217,39

4

150,00

0,9

135,00

70

1,43

57,86

192,86

5

200,00

0,9

180,00

110

0,91

-16,36

163,64

6

250,00

0,9

225,00

120

0,83

-37,50

187,50

7

270,00

0,9

243,00

120

0,83

-40,50

202,50

Média Desvio padrão

205,71 Média Desvio

51,92 padrão Coef.

Coef. Var.

25,24% Var.

188,71 51,04

LOCAL Avaliand o=

Média

192,34

100 Desv.padrão

17,48

27,04%


Coef. Var.

9,09%




2ª) Parte – Fator Profundidade

Fator Oferta

Coeficiente de Profundidade

Fator Oferta

Diferença Unitário Coef. profundidade Homog pela Profund. (R$m/²) Profundidade

Pe

0,9

126,00

18,00

0,18

22,49

148,49

0,9

162,00

80,00

0,17

27,79

189,79

1,0

250,00

40,00

0,00

0,00

250,00

0,9

135,00

20,00

0,12

15,93

150,93

0,9

180,00

25,00

0,00

0,00

180,00

0,9

225,00

25,00

0,00

0,00

225,00

0,9

243,00

33,33

0,00

0,00

243,00

Média Desvio padrão Coef. Var.

Unitário deduzido do fator oferta

188,71

Média

51,04 27,04%

Desv.padrão

Pma = 40

Coef. Var.

198,17 41,86 21,12%

Pmi = 25 Exp.profundidade = 0,5

-Entre Pmi e Pma admite-se que o fator profundidade Cp é igual a 1,00 -Se a profundidade equivalente for inferior à mínima e estiver acima da metade da mesma (1/2 Pmi < Pe < Pmi), deverá ser empregada a seguinte fórmula: Cp = (Pe / Pmi)^ p -Para Pe inferior a ½ Pmi adota-se C p = (0,5) p -Se a profundidade equivalente for superior à máxima até o triplo da mesma (P ma < Pe < 3Pma), o fator somente afeta o valor unitário da parte do terreno que exceda este limite, a fórmula a ser empregada é a seguinte: Cp = (Pma /Pe) + {[1-( Pma /Pe )] . (P ma / Pe) ^ p } - Para Pe superior a 3 Pma, adota-se na fórmula acima Pe = 3 Pma

28



3ª) Parte – Fator Frente (Testada)

Fator Oferta

Coeficiente de Frente

Fator Oferta

Coef. Frente

Cf

Unitário Diferença Homog. frente pela (R$m/²) Frente

0,9

126,00

12,00

-0,04

-4,51

121,49

0,9

162,00

6,00

0,11

17,43

179,43

1,0

250,00

12,00

-0,04

-8,95

241,05

0,9

135,00

10,00

0,00

0,00

135,00

0,9

180,00

10,00

0,00

0,00

180,00

0,9

225,00

18,00

-0,11

-24,95

200,05

0,9

243,00

15,00

-0,08

-18,93

224,07

Média Desvio padrão Coef. Var.

Unitário deduzido do fator oferta

188,71

Média

51,04

Desv.padrão

27,04%

Coef. Var.

Frente referencia Expoente frente=

183,01 43,70 23,88%

10 0,2



AVALIAÇÃO DE IMOVEIS URBANOS

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