Preparatório EsFCEx SISTEMAS DE COMPUTAÇÃO Sistema de Numeração Prof. Eliel Martins
Sumário Introdução Sistemas de numeração Conversão entre bases Números inteiros Número decimais Números Reais (Introdução) Representação de dados, símbolos e caracteres Conclusão
Introdução ● Lista de Assuntos ○ 3. Sistemas de computação ■ a. Sistemas de numeração aritmética em diversas bases numéricas, conversão entre bases, representação de dados, símbolos e caracteres. Representação e aritmética binária de números inteiros (ponto fixo) e reais (ponto fixo e ponto flutuante), decimal zonado e decimal compactado.
Introdução ● Bibliografia ○ TANENBAUM, Andrew S. Organização Estruturada de Computadores. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. ○ PATTERSON, David A.; HENNESSY, John L. Organização e Projeto de Computadores: interface hardware/software. 3. ed. Rio de Janeiro: Campus, 2005.
Introdução ● Conceitos básicos ○ Bit - Digito binário (0,1) - menor unidade em circulação em sistema computacional ○ Um grupo de 4 bits = nibble ○ Um grupo de 8 bits = byte ○ um grupo de 16 bits = word ○ um grupo de 32 bits = double word ○ um grupo de 64 bits = quad word
Sistemas de Numeração
Sistemas de Numeração Sistemas Numéricos ● Notações utilizadas para representar números ● Definido pela base que utiliza ● A base é o número de símbolos diferentes, ou algarismos, necessários para representar um número qualquer, dos infinitos possíveis no sistema
Sistemas de Numeração ● Sistemas Numéricos ○ Posicional ■ Valor atribuído a um símbolo depende de sua posição no conjunto ■ Algarismos arábicos, binários, octal e hexadecimal ■ Ex: 123 != 321 ○ Não posicional ■ O valor atribuído a um símbolo não depende de sua posição no conjunto ■ Ex: Algarismos romanos: XXI = XXI
Sistemas de Numeração Sistema decimal ● Base 10 ● Símbolos: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ● Universalmente utilizado
Sistemas de Numeração Sistema Binário ● Base 2 ● Símbolos: 0 e 1 ● Base para a Álgebra booleana ● Base da eletrônica digital
Sistemas de Numeração Sistema Octal ● Base 8 ● Símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ● Foi muito utilizado, sendo substituído pelo hexadecimal
Sistemas de Numeração Sistema Hexadecimal - Base 16 ● 16 dígitos, de 0 à 9 e da letra A até F ● Símbolos: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F ● São utilizados na programação de microprocessadores ● Utilizados em programação de baixo nível
Sistemas de Numeração Sistema Hexadecimal - Base 16 ● Capaz de reduzir uma longa sequência de números binários em poucos caracteres ● Qualquer combinação de números binários de 4 dígitos pode ser representada por um único símbolo hexadecimal.
Sistemas de Numeração
Conversão entre bases
Conversão entre bases Conversão entre bases ● De qualquer base para decimal ● De decimal para qualquer outra base
Conversão entre bases Conversão entre bases ● De qualquer base para decimal ○ Soma dos símbolos x base ^ posição
Conversão entre bases Binário para decimal - Ex: 100011002 = (1x27)+(0x26)+(0x25)+(0x24)+(1x23)+(1x22)+(0x21)+(0x20) = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 0 = 14010 Número
1
0
0
0
1
1
0
0
Posição
7
6
5
4
3
2
1
0
1x27
0x26
0x25
0x24
1x23
1x22
0x21
0x20
1x128
0x64
0x32
0x16
1x8
1x4
0x2
0x1
128
0
0
0
8
4
0
0
Potência Resultado Somatório
128 + 8 + 4 = 140
Conversão entre bases Octal para decimal - Ex: 2148 = (2x82) + (1x81) + (4x80) = 2x64 + 1x8 + 4x1 = 14010 Número
2
1
4
Posição
2
1
0
2x82
1x81
4x80
2x64
1x8
4x1
128
0
0
Potência Resultado Somatório
128 + 8 + 4 = 140
Conversão entre bases Hexadecimal para decimal - Ex: 36B016 = (3x163) + (6x162) + (Bx161) + (0x160 ) = 3x4096 + 6x256 + 11x16 + 0x1 = 1400010 Número
3
6
B (11)
0
Posição
3
2
1
0
6x163
6x162
11x161
0x160
6x4096
6x256
11x16
0x1
12288
1536
176
0
Potência Resultado Somatório
12288 + 1536 + 176 = 14000
Conversão entre bases Números fracionários para decimal - Ex: 36,B216 = (3x161) + (6x160) + (Bx16-1) + (2x16-2) = 3x16 + 6x1 + 11x1/16 + 2x1/256 = 54,695312510 Número
3
6
B (11)
2
Posição
21
0
-1
-2
3x161
3x160
11x16-1
2x16-2
3x16
6x1
11x1/16
0x1/256
Resultado
48
6
0,6875
0,0078125
Somatório
48 + 6 + 0,6875 + 0,0078125 = 54,6953125
Potência
Conversão entre bases Números fracionários para decimal - Ex: 101,1012 = (1x22) + (0x21) + (1x20) + (1x2-1) + (0x2-2) + (1x2-3) = = (1x4) + (0x2) + (1x1) + (1x1/2) + (0x1/2) + (1x1/8) = = 4 + 1 + 0,5 + 0,125 = = 5,62510
Conversão entre bases Números fracionários para decimal - Ex: 74,328 = (7x81) + (4x80) + (3x8-1) + (2x8-2) = = (7x8) + (4x1) + (3x1/8) + (2x1/64) = = 56 + 4 + 0,375 + 0,03125 = = 60,4062510
Conversão entre bases 2019 – Q 54 - Gabarito D
Conversão entre bases 2019 – Q 54 – Resolução Número: 1000,01012 = 1x23 + 1x2-2 + 1x2-4 = 8 + 1/4 + 1/16 = 8 + 0,25 + 0,0625 = 8 + 0,3125 = 8,3125
Conversão entre bases Conversão entre bases ● De decimal para qualquer outra base ○ Parte inteira: divide-se o número a ser convertido pela base desejada até que o quociente seja zero. Os restos das divisões formam a parte inteira do número convertido; o primeiro resto representa o último dígito ○ Parte fracionária: multiplica-se a parte fracionária do número a ser convertido pela base desejada. A parte inteira dos produtos obtidos representam a parte
Conversão entre bases Conversão Decimal para Binário 10010 = 0110 01002 100/2= 50Resto 0 50/2 = 25Resto 0 25/2 = 12Resto 1 12/2 = 6Resto 0 6/2 = 3Resto 0 3/2 = 1Resto 1 1/2 = 0Resto 1
Conversão entre bases Conversão decimal para Octal 20010 = 3108 200/8 = 25 25/8 = 3 3/8 = 0
Resto 0 Resto 1 Resto 3
Conversão entre bases Números fracionários 120,3210 = 78,5116 ● Parte inteira 120/16 = 7 7/16 =0
Resto 8 Resto 7
● Parte fracionária 0,32 x 16 = 5,12 0,12 X 16 = 1,92
Inteiro 5 Inteiro 1
Conversão entre bases Converter 120,3210 ● Parte inteira 120/2 = 60 Resto 0 60/2 = 30 Resto 0 30/2 = 15 Resto 0 15/2 = 7 Resto 1 7/2 = 3 Resto 1 3/2 = 1 Resto 1 1/2 = 0 Resto 1
● Parte fracionária 0,32x2 = 0,64 → 0 0,64x2 = 1,28 → 1
● Resultado 111100,012
Conversão entre bases - Macetes Conversão rápida entre base 2 e 10 ● Converter o número 13410 para base 2 ● Encontrar o maior valor que pode ser somado com outros para obter o número desejado ● Adicionar bit 1 onde o valor puder ser somando 2048
1024
512
256
128
64
32
16
8
4
2
1
1
0
0
0
0
1
1
0
Resultado: 100001102
Conversão entre bases - Macetes Conversão rápida entre base 2 e 10 ● Converter o número 110010012 para base 10 ● Distribuir os dígitos da esquerda para a direita ● Somar os decimais onde o bit for 1 2048
1024
512
256
128
64
32
16
8
4
2
1
1
1
0
0
1
0
0
1
Resultado: 128+64+8+1 = 20110
Conversão entre bases - Macetes Conversão entre binária e octal ● Partindo da vírgula, separar em conjuntos de 3 bits ● Completar com zeros os conjuntos incompletos, for necessário ● Ex: 1001110001102 = 47068
Binário
100
111
000
110
Octal
4
7
0
6
Conversão entre bases - Macetes Conversão entre binária e octal ● Partindo da vírgula, separar em conjuntos de 3 bits ● Completar com zeros os conjuntos incompletos, for necessário, observando a direção ● Ex: 11011000,111012 = 330,728 Binário
011
011
000
111
010
Octal
3
3
0
7
2
Conversão entre bases - Macetes Conversão entre binária e octal ● De octal para binária é o processo inverso ● Ex: 657,438 = 110101111,1000112
Octal
6
5
7
4
3
Binário
110
101
111
100
011
Conversão entre bases - Macetes Conversão de binário hexadecimal ● Partindo da vírgula, separar em conjuntos de 4 bits ● Completar com zeros os conjuntos incompletos, for necessário ● Ex: 110011100001010110012 = CE15916 Binário
1100
1110
0001
0101
1001
Octal
C
E
1
5
9
Conversão entre bases 2012 – Q 36 – Gabarito C
Conversão entre bases 2012 – Q 36 - Resolução 258 = 00010101 2510 = 00011001 2516 = 00100101 318 = 00011001 3110 = 3116 =
Números inteiros
Números inteiros Representação de números inteiros Formas de representação ● módulo e sinal (MS) ● complemento de 1 (C-1) ● complemento de 2 (C-2)
Números inteiros Módulo e sinal (MS) ● Também denominado de Sinal-e-magnitude ● Bit que está situado mais à esquerda representa o sinal, e o seu valor será 0 para o sinal + e 1 para o sinal ● Os bits restantes (N-1) representam o módulo do número ● Para 8 bits (N=8), o valor ○ 00101010 = +42 ○ 10101010 = -42
Números inteiros Módulo e sinal (MS) ● Faixa de representação simétrica: -2N-1+1 <= X <= 2N-1 -1 ● Para 8 bits (byte), a faixa é: -127 <= X <= 127 ● Para 16 bits (word), a faixa é: -32767 <= X <= 32767 ● Para 32 bits (double word), a faixa é: -2147483647 <= X <= 2147483647
Números inteiros Módulo e sinal (MS) ● Vantagem ○ Faixa simétrica
● Desvantagem ○ Duas representações para o zero ○ Para 8 bits: 00000000 (+0) e 1000000 (-0)
Números inteiros Complemento de 1 (C-1) ● Também utiliza o bit mais à esquerda para o sinal, correspondendo o 0 ao sinal + e o 1 ao sinal ● O simétrico de um número positivo é obtido pelo complemento de todos os seus dígitos (trocando 0 por 1 e vice-versa), incluindo o bit de sinal ● Para 8 bits (N=8), o valor ○ 00101010 = +42 ○ 11010101 = -42
Números inteiros Complemento de 1 (C-1) ● Mesma faixa de representação para N dígitos do método módulo e sinal: -2N-1+1 <= X <= 2N-1 -1
Números inteiros Complemento de 2 (C-2) ● Também utiliza o bit mais à esquerda para o sinal, correspondendo o 0 ao sinal + e o 1 ao sinal -
Números inteiros Complemento de 2 (C-2) O simétrico de um número é obtido em dois passos: ● Primeiro passo: Obtém-se o complemento de todos os bits do número positivo (trocando 0 por 1 e vice-versa) incluindo o bit do sinal, isto é, executa-se o Complemento de 1. ● Segundo passo: Ao resultado obtido no primeiro passo soma-se 1 (em binário), desprezando-se o último transporte, se existir.
Números inteiros Complemento de 2 (C-2)
Números inteiros Complemento de 2 (C-2) Obtendo o simétrico (forma mais fácil): ● A partir da direita repete-se todos os bits até o primeiro 1 inclusive. ● Depois inverte-se todos os bits a esquerda deste um ● Exemplo: Número: 00001010 C-2: 11110110
Números inteiros Complemento de 2 (C-2) ● Faixa de representação: -2N-1 <= X <= 2N-1 -1 ● Para 8 bits (byte), a faixa é: -128 <= X <= 127 ● Para 16 bits (word), a faixa é: -32768 <= X <= 32767 ● Para 32 bits (double word), a faixa é: -2147483648 <= X <= 2147483647
Números inteiros Complemento de 2 (C-2) ● Mais utilizado por causa da não ambiguidade na representação do 0 ● Vantagem ○ Representação única para o zero
● Inconveniência ○ Assimetria → existem mais valores negativos que positivos
Números inteiros 2007 – Q 17 – Gabarito D
Números inteiros 2006 – Q 15 – Gabarito A
Números inteiros Aritmética de números inteiros ● Quatro operações básicas no sistema binário ○ ○ ○ ○
Adição Subtração Divisão Multiplicação
Números inteiros Adição ● Fazem-se as contas coluna a coluna ● Fazendo o transporte de um ( ou carry) ● Regras básicas ○ 0+0=0 ○ 0+1=1 ○ 1 + 1 = 102 (1 mais 1 é igual a 0 e vai 1) ○ 1 + 1 + 1 = 112 (1 mais 1 mais 1 é igual a 1 e vai 1)
Números inteiros Adição - Exemplos: 0 0 1 0 0 0 1 12 0 1 0 0 0 1 1 12 + -------------------0 1 1 0 1 0 1 02
Números inteiros Adição - Exemplos(com o ): 1
1
1 0 12 1 1 0 12 + --------------1 0 0 1 02
Números inteiros Subtração ● Fazem-se as contas coluna a coluna ● Se diminuidor exceder o diminuendo, subtrai-se uma unidade ao dígito imediatamente à esquerda no diminuendo (se existir e o seu valor for 1), convertendo-o a 0 ● Esse empréstimo vem valendo dois ○ 0-0=0 ○ 1-1=0 ○ 1-0=1 ○ 0 - 1 = 1 (o empréstimo igual a 1)
Números inteiros Subtração – Exemplo: ● O número dois corresponde a duas unidades binárias 0112 0120 0200 11000 -111 ---------10001
Números inteiros Multiplicação ● Operação semelhante à multiplicação decimal ● Regras: ○ ○ ○ ○
0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1
Números inteiros Multiplicação - Exemplo: ● Multiplicar os números 10112 e 11012 ●
Números inteiros 1011 1101 * ---------1011 0000 1011 1011 ------------------------10001111
Números inteiros Divisão ● Pode ser feita por subtrações sucessivas ● Pode ser feita de maneira idêntica à divisão decimal
Números inteiros Divisão - por subtrações sucessivas
Números inteiros Divisão - idêntica à divisão decimal
Números inteiros 2012 – Q 41 – Gabarito A
Números inteiros 2012 – Q 41 – Resolução 13578 = 001 011 101 111 22368 = 010 010 101 110 + ----------------------011 111 111 1012 3 7 7 58
Números decimais
Números decimais Decimal zonado e decimal compactado ● Valores monetários ● Valores precisos ● BCD (Binary-coded decimal) ● Desvantagens ● Faixa de valores restrita ● Desperdício de memória ● Não armazena ponto decimal
Números decimais Decimal zonado ● Entrada e saída ● Representa um dígito decimal por byte ○ Esquerda - zona (Nibble de mais alta ordem) ○ Direita - número
● Zona ○ EBCDIC: F - 1111 ○ ASCII: 3 - 0011
Números decimais Decimal zonado ● Ex: Número 1234 ● Binário: ○ 1111 0001 1111 0010 1111 0011 1111 0100
● Hexadecimal: ○ F1 F2 F3 F4
Números decimais Decimal zonado ● Sinal ○ Último byte à direita : à esquerda (parte de zona) = sinal ○ Positivo = C - 1100 ○ Negativo = D – 1101 ○ Sem sinal = F - 1111
Números decimais Decimal zonado ● Ex: Número decimal 1234 Sem sinal: 1111 0001 1111 0010 1111 0011 1111 0100 F 1 F 2 F 3 F 4 Positivo:
1111 0001 1111 0010 1111 0011 1100 0100 F 1 F 2 F 3 C 4
Negativo: 1111 0001 1111 0010 1111 0011 1101 0100 F 1 F 2 F 3 D 4
Números decimais Decimal compactado ● Cada byte representa dois dígitos ● Exceto o último ○ Esquerda – número ○ Direita - Sinal
● Exemplo: Formato COMP-3 do COBOL
Números decimais Decimal compactado ● Sinal ○ ○ ○ ○
Último byte à direita : à esquerda número a direita sinal Positivo = C - 1100 Negativo = D - 1101 Sem sinal = F - 1111
Números decimais Decimal compactado Ex: Número decimal 1234 Sem sinal:
0000 0001 0010 0011 0100 1111 0 1 2 3 4 F
Positivo:
0000 0001 0010 0011 0100 1100 0 1 2 3 4 C
Negativo:
0000 0001 0010 0011 0100 1101 0 1 2 3 4 D
Números reais
Números reais Representação de números reais: ● Ponto fixo ● Ponto flutuante
Ponto fixo ● Determinamos quantidade de bits para a parte inteira e fracionária (matissa) ● Todos os valores possuem a mesma quantidade de algarismos inteiros e fracionários ● Sua utilização é feita programaticamente ● Os inteiros são um caso particular com a virgula implícita
Ponto fixo ● Formas de representação: ○ Binário puro (inteiros) ○ Decimal compactado ○ Decimal não compactado
Ponto fixo ● Ponto fixo em um 1.15 ● Um bit para a parte inteira ● 15 bits para a fracionária
Ponto flutuante Números reais - Ponto flutuante ● A quantidade de bits que representa um número real é limitado, mas os números reais não ● Sofrem truncamento na sua parte fracionária ● Duas partes: ○ a fração (algumas vezes chamada de mantissa) ○ a posição do ponto decimal é chamada de expoente
Ponto flutuante ● O número decimal +6132,789 ○ Fração: +.6132789 ○ Expoente: +04
● O valor do expoente indica que a posição real do ponto decimal é quatro pontos a direita do ponto decimal indicado na fração ● equivalente a notação científica: ○ +.6132789 x 10+4
Ponto flutuante ● Podem ser representados na forma Fx10E ● Onde: ○ F = Fração ○ E = Expoente
● Apenas a fração e o expoente são fisicamente representados em termos computacionais ● A base 10 e o ponto decimal da fração são mostrados explicitamente
Ponto flutuante Normalização ● Um número ponto flutuante é dito normalizado se o dígito mais significativo da fração não é zero ● Exemplo: ○ 0.350 é normalizada ○ mas 0.0035 não é
● Números normalizados fornecem a melhor precisão para números ponto flutuante
Ponto flutuante Padrão IEEE 754 (1985) ● Define três formas de representação de ponto flutuante: ○ a precisão simples (32 bits) - float ○ precisão dupla (64 bits) - double ○ precisão estendida (80 bits)
Ponto flutuante Padrão IEEE 754 - Representação ● Forma geral de representação sinal
exp
fração
● sinal - s (zero positivo, um negativo) ● O campo expoente (Exp) codifica E ● O campo fração (frac) codifica M (Mantissa)
Ponto flutuante Padrão IEEE 754 - Representação ● O Expoente E da representação normalizada ● O Expoente E, pode ser positivo ou negativo, mas não é armazenado em complemento a dois ● Usa-se a “representação excesso” (ou bias) ● E = Exp – Bias ○ Exp: valor sem sinal representado por expoente ○ Nunca será negativo
Ponto flutuante Padrão IEEE 754 - Representação ● Bias : valor de excesso ○ 127 em float (Exp: 1...254, E: -126...127) ○ 1023 em double (Exp: 1...2046, E: -1022...1023) ○ 2n-1 - 1 (no caso geral), onde n é o número de bits para representar o expoente
● Exemplos: ○ exp = 1 ○ exp = 127 ○ exp = 225
E = (1-127) = -126 E = (127-127) = 0 E = (225-127) = 98
Ponto flutuante Padrão IEEE 754 - Representação ● Mantissa na representação normalizada ● O padrão estabelece uma representação normalizada, com valores 1 <= M < 2. Isto é possível, escolhendo se o Exp adequadamente adequadamente. • A mantissa é sempre da seguinte forma M = 1 + fração
Ponto flutuante Padrão IEEE 754 - Representação ● Mantissa na representação normalizada ● Armazena-se apenas a parte fracionária (frac) ● A soma com “1” é sempre implícita, não é armazendo ● Exemplos: frac = 0...02 = 010 M=1,0 frac = 0101...02 = 0,25 + 0,062510 M=1,03125
Ponto flutuante Padrão IEEE 754 - Representação
Ponto flutuante ● float: exp = 8 bits, frac = 23 bits, sinal = 1 bit ○ Total: 32 bits ○ Faixa de valores: 2-126 até 2127 ● double: exp =11 bits, frac = 52 bits, sinal = 1 bit ○ Total: 64 bits ○ Faixa de valores: 2-1022 até 21023 ● Precisão estendida: exp =15 bits, frac = 63 bits,sinal = 1 bit ○ Total: 80 bits ○ Faixa de valores: 2-16382 até 216383 ○ 1 bit é desperdiçado
Ponto flutuante 2011 – Q 47 – Gabarito E
Ponto flutuante 2011 – Q 49 – Gabarito A
Ponto flutuante 2011 – Q 49 – Gabarito A - Resolução ● Número: +407,375 ● Precisão simples
Ponto flutuante 2011 – Q 49 – Gabarito A - Resolução ● Número: +407,375 ● Passos para resolução: ○ ○ ○ ○
1º Passo: Converter o número para binário 2º Passo: Normalizar o número 3º Passo: Calcular a representação binária do expoente 4º Passo: Representar em ponto flutuante
Ponto flutuante 2011 – Q 49 – Gabarito A - Resolução ● Número: +407,37510 ● 1º passo: Converter o número para binário ○ Parte inteira: 1100101112 2048
1024
512
256
128
64
32
16
8
4
2
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
Ponto flutuante 2011 – Q 49 – Gabarito A - Resolução ● Número: +407,37510 ● 1º passo: Converter o número para binário ○ Parte inteira: 1100101112 ○ Parte fracionária: 0112 0,375x2 = 0,750 0,750x2 = 1,500 0,500x2 = 1,000 -> (ponto de parada)
Ponto flutuante 2011 – Q 49 – Gabarito A - Resolução ● Número: +407,37510 ● 1º passo: Converter o número para binário ○ Número na base 2: 110010111,0112
● 2º passo: Normalização: 1,100101110112 x 28
Ponto flutuante 2011 – Q 49 – Gabarito A - Resolução ● Número: +407,37510 = 1,100101110112 x 28 ● 3º Passo: Calcular a representação binária do expoente ○ ○ ○ ○ ○
E = Exp - Bias 8 = Exp - 127 Exp = 8 + 127 Exp = 13510 Exp = 100001112
Ponto flutuante 2011 – Q 49 – Gabarito A - Resolução ● Número: +407,37510 = 1,100101110112 x 28 ○ M = 100101110112 ○ Exp = 100001112
● 4º Passo: Representar em ponto flutuante ○ a) 01000011110010111011000000000000 ? ○ Correto?
Ponto flutuante 2011 – Q 49 – Gabarito A - Resolução ● b) http://www.h-schmidt.net/FloatConverter/IEEE754.html ● c) http://www.binaryconvert.com/convert_float.html ● d) Questão ● ○ a - 01000011110010111011000000000000 ○ b - 01000011110010111011000000000000 ○ c - 01000011110010111011000000000000 ○ d - 00001001110010111011000000000000
Ponto flutuante Resultado b)
Ponto flutuante Resultado c)
Ponto flutuante Exemplo: Representar o número 0,12510 em ponto flutuante com precisão simples ● 1º Passo: Converter o número para binário ○ Parte inteira = 0 ○ Parte fracionária = 0012 ■ 0,125 x 2 = 0,25 ■ 0,250 x 2 = 0,50 ■ 0,500 x 2 = 1,00 -> Ponto parada ○ 0,12510 = 0,0012
Ponto flutuante ● 2º Passo: Normalizar o número ○ 0,0012 = 12 x 2-3
● 3º Passo: Calcular a representação binária do expoente ○ ○ ○ ○ ○
E = -3 Bias = 127 E = Exp - Bias Exp = -3 +127 = 124 Exp = 1111 11002
Ponto flutuante ● 4º Passo: Representar em ponto flutuante ○ ○ ○ ○
S=0 M=0 E = 1111100 Resultado: ■ 0,12510 = 001111100000000000000000000000002
Ponto flutuante 2007 - Q 19 - Gabarito D
Ponto flutuante 2007 - 19 - Gabarito D - Resolução ● Número: C1E0000016 Hex
C
1
E
0
0
0
0
0
Binário
1100
0001
1110
0000
0000
0000
0000
0000
● Sinal = 1 ● E = 1000 00112 = 13110 - 12710 = 410 ● M = 112 = 1,112 (1 implícito)
Ponto flutuante 2007 - 19 - Gabarito D - Resolução ● Número: C1E0000016 ○ Sinal = 1 ○ E = 410
● M = 1,112 = 1x20 x 1x2-1 x 1x2-2 = 1 + ½ + ¼ = = 1 + 0,5 + 0,25 = 1,7510 ● Representação: -1,75 x 24 = -1,75 x 16 = -28
Ponto flutuante Erros ● Conjunto de números de números reais é infinito ● Representação em Ponto flutuante é limitada ○ a faixa dos expoentes é limitada (Emin ≤ E ≤ Emax) ○ a mantissa (m) pode representar um número finito de números ( β−1 ≤ m ≤ 1 − β−t ) ■ t = número de algarismos da mantissa ■ β = base
Ponto flutuante Erros ● Representação em Ponto flutuante é limitada ○ a faixa dos expoentes é limitada (Emin ≤ E ≤ Emax) ■ Erros de Overflow e Underflow ○ a mantissa (m) pode representar um número finito de números ( β−1 ≤ m ≤ 1 − β−t ) ■ Erros de aproximação ● ●
t = número de algarismos da mantissa β = base
Ponto flutuante Erro - Overflow e Underflow ● Número com expoente superior ao expoente máximo ● Número com expoente inferior ao expoente mínimo
Ponto flutuante Erro - Overflow e Underflow ● Principais ações na ocorrência do erro: ● Overflow ○ Encerra o cálculo ○ Retorna um número que representa o infinito
● Underflow ○ Encerra o cálculo ○ Arredonda para zero ○ Arredonda para um número subnormal
Ponto flutuante Erro - Aproximação ● O tamanho fixo da mantissa impõe que a maioria dos números não possuam uma representação exata ● Duas formas: ○ Arredondamento ○ Truncamento (chopping)
Ponto flutuante Erro - Aproximação - Arredondamento ● Exemplo: 2,6457513 ○ Hipótese: base decimal de 5 dígitos
● Arredondamento ○ Para cima se Y ≥ 5 e para baixo se Y < 5 ○ 2,6458
● Truncamento ○ 2,6457
Ponto flutuante 2013 - Q 34 - Gabarito - Anulada
Ponto flutuante 2013 - Q 34 - Gabarito - Anulada ● Motivos? ○ 0,314710 = 0.010100012
Representação de dados, símbolos e caracteres
Representação de dados Representação de dados, símbolos e caracteres ● Os bytes são utilizados para representar caracteres números, figuras, ou qualquer outro tipo de dado armazenado ou processado por um sistema computacional
Representação de dados ASCII ● American Standard Code for Information Interchange ● Originalmente utilizava 7 bits ○ Apenas 95 caracteres imprimíveis: 32 a 126 ○ Do 0 ao 31 são caracteres de controle
● A versão estendida utiliza 8 bits ○ Letras do alfabeto latino
Representação de dados
Representação de dados ● EBCDIC ○ Padrão IBM ○ Utiliza 8 bits ○ Concorrência com ASCII
Representação de dados UNICODE ● Padronização de representação ● Unicode Consortium ● Associa um número para cada carácter, independente do programa, plataforma ou idioma ● Codificados em 2 bytes ● Formas de representação como UTF-8, UTF-16 e UTF-32 ● UTF - Unicode Transformation Format
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