AULA 02 - ESTATICA 1 - Princípio Dos Trabalhos Virtuais

Curso: Engenharia Civil Disciplina: Estática das Estruturas I Princípio dos Trabalhos Virtuais

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CARGA HORÁRIA: 54 h/a Prof. Prof. Me. Leandro Leand ro Dias Küster 1

Aula 02 - Princípio dos Trabalhos Trabalhos Virtuais

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O princípio dos dos trabalhos virtuais (PTV) engloba o teorema dos deslocamentos virtuais dando introdução e aplicação ao mét método da força unit unitár ária ia que que é fun fundam damental par para o estudo udo do método das forças ou dos esforços. Trabalho Virtual ual (Hipo ipotético) decorrente de deformações impostas à estrutura. A importância importância do processo está está em: – – –

Determinar deslocamentos; deslocamentos; Análise de cargas cargas móveis; Resolução de estruturas hiperestáticas.

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Estática das Estruturas 1

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Deve-se definir para a estrutura dois estados: –

A) Estado de carregamento (de forças) •

A estrutura encontra-se em repouso e equilíbrio. Neste estado todas as forças e momentos atuam na estrutura..

A


B


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–

B) Estado de deslocamento (deslocamento virtual). Existe apenas nos cálculos. •

Este estado causado pelo deslocamento infinitesimal imposto à estrutura gerando deformação nos elementos da estrutura que causarão trabalho virtual interno.

A Deslocamento devido ao carregamento Prof Me.Leandro Dias Küster

B Deslocamento virtual Estática das Estruturas 1

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M

V N

M + dM N + dN V + dV

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Pelo PTV, quando impomos à estrutura um estado de deslocamentos (b) ao estado de carregamento ou forças (a) tem-se: –

O trabalho virtual externo das forças externas de (a) com os deslocamentos de (b), é igual ao trabalho virtual interno realizado pelos esforços internos de (a) com os deslocamentos de (b).



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 = 

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 = ℎ  Calculado

pelo produto das forças externas pelos deslocamentos virtuais impostos à estrutura;  – Calculado das tensões de deformações que ocorrem nos elementos ao se dar um deslocamento virtual. –





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dx

B du

d

A

d

dv dy

A'

dx Prof Me.Leandro Dias Küster


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O ponto A simboliza a estrutura em repouso; O ponto A’ simboliza a estrutura deformada; du = Deslocamento na direção x (causado por uma deformação); dv = Deslocamento na direção y (causado por uma deformação); d = Giro da seção considerada (causado pela deformação). Prof Me.Leandro Dias Küster


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O trabalho interno no elemento considerado é:

 =  + +  •

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Desprezam-se as parcelas de ordem superiores resultantes de dN, dV e dM. Na estrutura como um todo o trabalho interno será:

 =   +  +  Prof Me.Leandro Dias Küster


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No processo do PTV vamos criar 2 sistemas. –

1º sistema: A estrutura submetida as forças externas responsáveis pelo deslocamento ou esforço que se queira determinar.

P A

P 



B

deslocamento real


Estática das Estruturas 1 10


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2º sistema: À estrutura aplica-se uma carga virtual unitária (valor 1), carga coerente com o deslocamento ou esforço que desejamos determinar. Esse sistema denomina-se estado de deslocamento.

1 A

B



Estado de deslocamento virtual Prof Me.Leandro Dias Küster



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Exemplo: Determinar o giro abaixo:

 da

estrutura

 =   +  +   =  A






–

1º sistema: Estado de carregamento real.

A

Para determinar o giro , aplica-se uma carga unitária no ponto A (ponto que se queira determinar o deslocamento). Prof Me.Leandro Dias Küster



–

2º sistema: Estado de carregamento virtual. A

1

Do PTV tem-se que:

 =  Prof Me.Leandro Dias Küster



O trabalho externo é:

 = 1Δ

Sendo: 1 = Carga virtual unitária;  = Deslocamento desejado real = 1. O trabalho interno é:

 =  1 + 1 + 1

A Força unitária gera os esforços N1, V1 e M1. O carregamento real gera os esforços NR, VR e MR. Prof Me.Leandro Dias Küster



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Para que se possa integrar na variável x, tem-se:

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Da lei de Hooke, temos:

    =   =   =?    =  =     =  =   s = Tensão; e =

Deformação específica; E = Módulo de elasticidade

•

Então:




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Para que se possa integrar na variável y, tem-se:

  =  ≈     =   =       =  =   =    

dv

dy

◦

Da lei de Hooke para cisalhamento, temos:

dx

◦

C = coeficiente para correção da distribuição não uniforme de t.




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Para se integrar ao longo do giro tem-se:   dv

dx

dv

 dx


2    =? ² =    ≅  =      =  Estática das Estruturas 1 18


Do PTV tem-se que:

 =  1.Δ = 1 + 1 + 1          1.Δ = 1  + 1   + 1  Prof Me.Leandro Dias Küster



Bibliografia •

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GILBERT, A. M.; LEET, K. M.; UANG, C. M. Fundamentos da análise estrutural. São Paulo: McGraw-Hill, 2009. MAZZILLI, C. E. N.; ANDRÉ, J. C.; BUCALEM, M. L.; CIFÚ, S. Lições em mecânica das estruturas. São Paulo: Oficina de Textos, 2011. SORIANO H. L. Análise de estruturas: método das forças e método dos deslocamentos. 2.ed. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2006. BORESI, A. P. Estática. São Paulo: Thomson, 2003. SORIANO H. L. Análise de estruturas: formulação matricial e implementação computacional. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2005. SOUZA, J. C. A. O. Processo de cross. São Carlos: Editora da EESC-USP, 1988. SOUZA, J. C. A. O. Processos gerais da hiperestática clássica. São Carlos: Editora da EESC-USP, 1995.



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