ARITMÉTICA TEMA 6
NUMERACIÓN SNII2A6
DESARROLLO DEL TEMA I. NUMERACIÓN
VII. BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN
Es la parte de la aritmética que estudia el número en su formación, representación, propiedades y aplicaciones que con ellas se puede efectuar.
II. NÚMERO
Es un ente abstracto, carente de definición, sin embargo nos da la idea de cantidad.
III. NUMERAL
Es la representación gráfica de los números
IV. REPRESENTACIÓN LITERAL
Es la que se utiliza cuando se desconoce los numerales y para que la representación sea correcta se coloca una barra a lo largo de todo el numeral.
V. SISTEMA DE NUMERACIÓN
Es el conjunto de reglas y principios que rigen la formación, escritura y lectura de los números mediante la adecuada combinación de un grupo de símbolos y palabras.
VI. SISTEMA DECIMAL DE NUMERACIÓN
Es empleado actualmente, este sistema fue inventado por los hindúes y difundido después por los árabes, razón por la cual se llama sistema indo-arabico. Se utiliza los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
La mayor diferencia entre nuestro sistema y el de los romanos radica en que estos no incluían al cero como dígito, lo cual les obligaba a tener un símbolo diferente para cada número que quisieran expresar (por ejemplo de existir el cero, 10 podría expresarse como 10 en lugar de x)
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Es aquel número que nos indica la cantidad de unidades de un orden cualquiera para formar una unidad de orden superior.
VIII. CARACTERÍSTICAS DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN • En cualquier sistema de numeración existen tantas cifras como el valor de la base y con las combinaciones de ellas se pueden formar todos los números posibles de dicho sistema. • El mínimo valor que puede tomar una cifra en cualquier sistema de numeración es el cero (0) y el máximo valor es la unidad menos que el valor de la base. • La base de un sistema de numeración siempre es un entero positivo mayor que 1. • Si la primera cifra de un numeral es una letra, necesariamente esta debe ser ≠ de 0. • Todo lo que se encuentra en paréntesis en un numeral representa una sola cifra. Sea: a(5a)b (b + 4)(c – 3)
a ≠ 0, el número tiene 5 cifras.
• Se denomina numerales capicúas a aquellos que leídos de izquierda a derecha o de derecha a izquierda se leen iguales.
88; 959; 5335, aba, cbbc
• Toda cifra en el numeral tiene un orden por convención, se enumera de derecha a izquierda.
2 4 7 3
1er. orden (unidades) 2do. orden (decenas) 3er. orden (centenas) 4to. orden (millares)
ARITMÉTICA
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NUMERACIÓN
• Descomposición en bloque
Observación: Cifra de 1.er orden = 3 Primera cifra = 2
•
Es un caso particular de la descomposición polinómica en que se toman grupos de cifras (bloques como si fueran una sola cifra).
Valor relativo de una cifra es aquel que representa la cifra por la posición que ocupa dentro del número. Valor absoluto es lo que representa por la forma que tiene.
•
4 7
2
VA = 9 VR = 9 VA = 7 VR = 70 VA = 2 VR = 200 VA = 4 VR = 4000
4242
= 42 × 102 + 42
•
35357
= 357 × 72 + 357
•
6016018 = 6018 × 83 + 6018
•
abababn = abn . n4 + abn . n2 + abn
Observación: Al descomponer un número de manera Polinómica y realizar las operaciones respectivas obtenemos un número expresado en base 10.
9
•
XI. CAMBIOS DE BASES A. De Base 10 a Base diferente de 10
Ejemplo: 42 a base 2 42
IX. TENER EN CUENTA Base 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . . . n
0
Nombre del sistema Cifras utilizadas Binario Terciario Cuaternario Quinario Senario Heptario Octavario Nonal Decimal Undecimal Duodecimal . . . enesimal
1
0, 1 0, 1, 2 0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4 0, 1, 2, 3, 4, 5 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ...................................... . . . . 0, 1, 2, ................ , (n–1)
2 10
2 5
0
1
∴ 42 = 101010(2)
B. De base ≠ 10 a base ≠ 10 Para realizar este cambio primero aplicamos Descomposición. Polinómica y luego divisiones sucesivas Ejemplo: 121(3) a base 4 1. Descomposición 121(3) = 1 × 32 + 2 × 3+ 1 = 16 2. Divisiones 16
Consiste en expresar al numeral como la adición de los números que resultan a multiplicar cada una de las cifras por la base elevada a la cantidad de cifras que tiene a la derecha la cifra en estudio.
0
4 4
4
0
* 4295 = 4 × 103 + 9 × 102 + 2 x 101 + 5
1
* 2357 = 2 × 72 + 3 × 71 + 5 * abcden= a . n4 + b . n3 + c . n2 + d . n + e
ARITMÉTICA
2
0
X. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA
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2 2
1
Nota: Para base mayor que 10, se usan símbolos a, b, d … etc. que representan las cifras 10, 11, 12, …
2 21
22
∴ 121(3) = 100(4)
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NUMERACIÓN
•
C. Propiedad
Numeral de Máximas Cifras (n – 1)(n – 1)....(n – 1) (n) = nk – 1
• Si un numeral que representa la misma cantidad de unidades simples en dos sistemas de numeración diferentes, deberá cumplirse que donde tenga mayor representación aparente le corresponde una menor base y viceversa.
k cifras
•
nk –1 ≤ abc ...x < nk (n) k cifras
– + abcd n = xyzwm
Ejemplo: 7 4–1 ≤ abcd7 < 7 4
Entonces n > m
45–1 ≤ a0b0c 4 < 45
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Si a y b son dígitos tales que: (a + b)2 = 144 Hallar ab + ba
NIVEL FÁCIL UNMSM 2000
Problema 2 Si a un número de tres dígitos que empieza en 7 se le suprime este dígito, el número resultante es 1/26 del número original. ¿Cuál es la suma de los tres dígitos de dicho número?
Problema 3 Cierto número de dos cifras es n veces la suma de sus cifras; pero al invertir el orden de sus cifras, el nuevo número es k veces la suma de sus cifras. Halla (n+k)
NIVEL FÁCIL
UNMSM 2007 - I
NIVEL INTERMEDIO
UNMSM 2000
A) 100 B) 101 C) 132 D) 72 E) 76
A) 14 D) 17
B) 15 E) 11
A) 14 D) 17
C) 22
Resolución:
Resolución: De: (a + b)2 = 144 ⇒ a + b = 12 Donde: ab + ba = 10a + b + 10b + a 11(a + b) 11(12) = 132
B) 15 E) 11
C) 22
Resolución:
1 7ab ⇒ ab = (7ab) 26 = 1 (700 + ab) 26
ab = n(a + b) ba = k(b + a)
26(ab) = 700 + ab 25(ab) = 700
11(a + b) = (n + k)(a + b)
ab = 28 ∴ 7 + a + b = 17
∴ n + k = 11
Respuesta: 132
Respuesta: 11
Respuesta: 17
PROBLEMAS DE CLASE EJERCITACIÓN
3. Hallar “x” en:
1. Hallar a + b. Si: ab – ba = 72 A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 2. Calcula n: 23(n) + 54(n) = 110(n) A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5
123(x) = 53(x + 2) A) 4
B) 6
C) 5
D) 4,5
E) 7 4. Hallar a + b. (b: par)
111(b) = ab(5) A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
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5. ¿Cuántos números de 2 cifras son iguales a siete veces la suma de sus cifras? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
PROFUNDIZACIÓN 6. Si un entero de dos cifras es “n” veces la suma de sus cifras, el número que se obtiene al intercambiar el orden de sus
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TEMA 6
NUMERACIÓN
cifras es la suma de sus cifras, multiplicada por: A) 10 – n B) 11 – n C) 9 + n D) n + 1 E) 13 – N 7. Se tiene un número de dos cifras al que se le invierte el orden de sus cifras. La diferencia de los cuadrados de dicho número es 891. Hallar el número y dar su suma de cifras. A) 7 B) 6 C) 4 D) 9 E) 5 8. Durante una fiesta a la que asistieron xy hombres e yx mujeres, en un momento dado el número de hombres que no bailan es (2x – y)
TEMA 6
y el número de mujeres que no bailan es (x + y). Hallar el número de asistentes. A) 155 B) 165 C) 176 D) 187 E) 143 9. Si: abcabc = m . abc
halle: (m + n) A) 100 01 C) 100 001 E) 11102
dedede = n.de B) 99 999 D) 10101
10. Hallar "a + b + c" Si: abab(a + 1) = bcba(4) con letras diferentes para cifras diferentes:
44
B) 6 D) 5
11. Si: abc bc( 4 ) = aob(12)
SISTEMATIZACIÓN
ARITMÉTICA
A) 7 C) 4 E) 3
Donde "O" es cero y "c" es una cifra impar: Hallar "a + b + c" A) 4 B) 7 C) 6 D) 9 E) 10
12. Un número en base "n" se expresa como 14xx en base "n + 2" como n13. Hallar el menor valor que toma x + n: A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13
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