ARITMÉTICA 4° - 2017

ÍNDICE UNIDAD 1

CONJUNTOS Y NUMERACIÓN

Capítulo 1 Conjuntos. Definiciones..................................... 5

UNIDAD 2

Capítulo 2 Operaciones con conjuntos............................... 14

NUMERACIÓN

Capítulo 1 Numeración decimal.......................................... 24

Capítulo 3 Complemento.................................................... 38

Capítulo 2 Numeración en otras bases............................... 31

UNIDAD 3

CONTEO DE NÚMEROS

Capítulo 1 Conteo de números........................................... 42

Capítulo 3 Conteo de cifras................................................ 56

Capítulo 2 Método combinatorio........................................ 49

Capítulo 4 Repaso............................................................... 62

UNIDAD 4

TEORÍA DE LOS NÚMEROS

Capítulo 1 Teoría de los números: Divisibilidad y............... Multiplicidad................................................ 66 Capítulo 2 Operaciones y ecuaciones diofánticas............... 73

Capítulo 5 Complemento.................................................... 94 Capítulo 6 Análisis de los divisores de un número.............. 96

Capítulo 3 Criterios de Divisibilidad................................... 81

Capítulo 7 Máximo común divisor y Mínimo común.......... múltiplo....................................................... 101

Capítulo 4 Números primos I.............................................. 86

Capítulo 8 Repaso............................................................... 109

Aritmética UNIDAD 5

PROPORCIONES

Capítulo 1 Razones y serie de razones................................ 112

Capítulo 3 Promedios......................................................... 128

Capítulo 2 Proporciones..................................................... 121

UNIDAD 6

PROPORCIONALIDAD

Capítulo 1 Magnitudes proporcionales............................... 137

Capítulo 4 Regla de tres...................................................... 157

Capítulo 2 Complemento.................................................... 146

Capítulo 5 Repaso............................................................... 166

Capítulo 3 Reparto proporcional........................................ 149

UNIDAD 1 Capítulo 1 Regla del tanto por cuanto................................ 170

Capítulo 5 Regla de descuento........................................... 198

Capítulo 2 Aplicaciones de porcentaje............................... 179

Capítulo 6 Regla de mezcla................................................. 206

Capítulo 3 Regla de interés................................................. 187

Capítulo 7 Repaso bimestral............................................... 215

Capítulo 4 Repaso............................................................... 195

TRILCE

UNIDAD 1

L

Conjuntos y numeración

os conjuntos están presentes en la naturaleza y en la vida cotidiana, unas veces de modo evidente, otras de modo soterrado.

En la ilustración podemos ver un conjunto de imágenes: De fondo, un desierto de arena que es un conjunto de granos de arena, abajo a la izquierda, un cardumen, esto es un conjunto de peces viajando en el mar, luego, en la segunda figura hay tuberías generadas usando un programa de computadora, aparentemente estas se pierden en el "infinito". La tercera figura son dados, que lanzados al azar generan una serie de números aleatorios que varían entre 1 y 6. Es muy difícil definir conjunto, si es que no usamos una palabra que signifique lo mismo: agrupación, reunión, etc. Evidentemente, sin embargo, lo único que podemos decir de un conjunto es que está formado por individualidades, elementos, que comparten una o más características comunes. Debemos superar también el concepto, intuitivamente equívoco, que necesariamente sus elementos deban permanecer juntos para seguir constituyendo conjunto. Al mismo tiempo la comprensión de los conjuntos obliga a introducirnos en el tema de la numeración. El desarrollo del concepto de numeración, nació hace ya varios milenios, de modo aparentemente independiente, de la teoría de conjuntos. Solo a partir del siglo XIX se ha entendido su indisoluble unidad.

APRENDIZAJES ESPERADOS Razonamiento y demostración • •

Conceptualizar un conjunto. Identificar los tipos de conjunto, utilizando los diagramas de Venn.

Comunicación matemática •

Representar correctamente los conjuntos desde el punto de vista formal.

•

Relacionar adecuadamente la pertenencia y la inclusión del punto de vista lógico-matemático.

Resolución de problemas • •

Resolver ejercicios que definan claramente los tipos de conjuntos. Analizar los problemas sobre grupos de personas dentro de un contexto concreto utilizando las operaciones entre conjuntos.

Conjuntos. Definiciones


1

En este capítulo aprenderemos: • • •

A conceptualizar un conjunto. A representar correctamente los conjuntos desde el punto de vista formal. A operar con conjuntos y reconocer la relación entre las nociones conjuntistas y las proposiciones.

Representando conjuntos

C

harles Lutwidge Dodgson, el famoso autor de Alicia en el País de las Maravillas, también era matemático, contribuyó en la lógica inferencial y en la teoría de conjuntos con los diagramas de Carroll, este nombre en alusión a su seudónimo Lewis Carroll. Es un diagrama usado para agrupar cosas de una manera sí/no. Además de que es una evolución del diagrama de Venn el cual tiene problemas para representar todas las regiones existentes cuando el número de conjuntos es mayor a tres.

Central: 619-8100

Primos

No primos

Pares

2

4; 6; 8; 10 12; 14; 16; 18 20; 22; 24; 26

No pares

3; 5; 7; 11 13; 17; 19; 23 29; 31; 37; 41

1; 9; 15; 21 25; 27; 33; 35 39; 45; 49; 51 UNIDAD 1

5

Aritmética

Saberes previos Completa el crucigrama con números: 1

2

3

5

4

6

8

9

7

10

11

12

13

15

16

19

14

17

18

20

Horizontales:

Verticales:

1. Una docena

1. Valor de "x", en: 2x + 3 =33

3. Valor de "x3 – 2" cuando "x" es 7

2. Potencia de 2

5. Media centena

3. Cuadrado de 6

6. Valor de 2n, cuando "n" es 6

4. Primer número entero positivo

7. Primo impar

7. Los opuestos de – 2; – 3 y – 4

8. Número primo

9. Sexta potencia de 3

10. Valor de "x2 + 2" cuando "x" es 20

11. Número primo

11. Suma de 123 y 259

12. 7 decenas + 2 unidades + 2 centenas

12. Dos docenas

14. Múltiplo de 7 de dos cifras

13. Mayor número de dos cifras

16. Cuarta potencia de 3

15. Cuadrado de 6, más 2

18. Número que es cuadrado perfecto

17. Valor de 2n, si "n" es 10 19. Una docena y media 20. Mayor número primo de una cifra

6

Colegios

TRILCE

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1

Conceptos básicos Definición Un conjunto es una colección de objetos bien definida. Ejemplos:

Conjunto de personas adultas mayores de 65 años, conjunto de estudiantes universitarios, conjunto de consumidores, conjunto de empresas, conjunto de los números naturales, etc

Determinación de conjuntos Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas y los elementos o características entre llaves.

Por extensión

Se mencionan los elementos uno a uno separados por punto y coma.

Ejemplo:

Sean los conjuntos:

A = {a; e; i; o; u} B = {Perú; Brasil; Colombia; Francia; Japón; ...}

Por comprensión

Se mencionan las características de los elementos

Ejemplo:

A = {x / x es una vocal} B = {x / x es un país}

Cardinal de un conjunto

•

A = {x/x ...} Se lee: el conjunto "A" está formado por los elementos "x" tal que "x" es...

Ejemplo:

Sea el conjunto: A = {2x – 1/x es par positivo y menor que 9}

Determina el número cardinal de "A"

Formemos una tabla con los valores de "x" x 2x – 1

En unos casos, se mencionan algunos elementos como para reconocer las características de ellos: N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; ...}

2 4 6 8 3 7 11 15

Entonces: A = {3; 7; 11; 15} y el cardinal del conjunto "A" es 4

Sea el conjunto: A={(–2)2; (–1)2; 12; 22; 32} Su cardinal es 3, se consideran los elementos diferentes: A = {1; 4; 9}

Relación de pertenencia Se utiliza para indicar si es o no elemento de un conjunto x∈A

Se lee: El elemento "x" pertenece al conjunto "A" Ejemplo:

•

Dado el conjunto: A = {4; {2}; 2,5; 5}

Es correcto indicar:

La relación de pertenencia, relaciona a los elementos con el conjunto.

4 ∈ A {2} ∈ A 2 ∉ A Central: 619-8100

UNIDAD 1

7

Aritmética

•

B = {x/x es capital de un país sudamericano}

Lima ∈ B

Quito ∈ B Madrid ∉ B

Conjuntos especiales

Conjunto nulo

Cuando el conjunto no tiene elementos

El conjunto vacío o nulo se representa como: {} o f

Ejemplo:

A = {x/x es un número par, 2 < x < 4}

B = {x/x es un terrícola que vive en Marte}

Conjunto unitario

Cuando el conjunto tiene un solo elemento Ejemplo:

Para que el conjunto: A = {a; b; c} sea unitario, necesariamente: a=b=c

A = {x/x es un número impar, 2 < x < 4}

B = {x/x es la capital del Perú}

Conjunto universal

Es el conjunto que contiene a los otros conjuntos

Conjunto finito

Cuando se pueden listar o contar todos los elementos del conjunto Ejemplo:

B = {x/x es un país hispano}

Conjunto infinito

Cuando no se pueden listar o contar los elementos del conjunto Ejemplo:

El conjunto de los números enteros:

Z = {0; ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; …}

A = {x/x es un número racional, 2 < x < 4}

Relación entre conjuntos Al establecer una comparación entre dos conjuntos "A" y "B", se presentan tres posibilidades: •

Que todos los elementos del conjunto "B" pertenezcan también al conjunto "A".

•

Que ningún elemento de "B" pertenezca al conjunto "A".

•

Que entre ambos conjuntos existan elementos comunes.

Relación de inclusión

El conjunto "A" está incluido en "B" (o es subconjunto de "B"), si y solo si cada elemento de "A" es también elemento de "B". A⊂B↔x∈A→x∈B

8

Se lee: El conjunto "A" está incluido en el conjunto "B"

El conjunto "A" está contenido en el conjunto "B"

El conjunto "B" incluye al conjunto "A"

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También: B ⊃ A Conjunto "B" incluye al conjunto "A" Conjunto "B" contiene al conjunto "A"

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Propiedades:

1

I. Reflexiva: " A; A ⊂ A II. Transitiva: si A ⊂ B y B ⊂ C → A ⊂ C

Relación de exclusión

Cuando los conjuntos no tienen elementos comunes

Relación de igualdad

Dos conjuntos son iguales, si tienen los mismos elementos. A=B↔A⊂B∧B⊂A

Propiedades: I. Reflexiva: " A; A = A II. Simétrica: A = B → B = A

III. Transitiva: si A=B ∧ B = C → A = C

Relación de equivalencia

Cuando la cantidad de elementos de ambos conjuntos son iguales

Conjunto potencia

Subconjuntos

Sea el conjunto: A = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17}

Es correcto indicar: {2; 3} ⊂ A

{17} ⊂ A

{3; 7; 13} ⊂ A

Cantidad de subconjuntos

Sea n(A) = n → "A" tiene 2n subconjuntos

El conjunto vacío también es subconjunto: f ⊂ A

Ejemplo:

"A" tiene 2n – 1 subconjuntos propios, ya que el único subconjunto impropio es "A"

Sea el conjunto: A = {2; 3; 5}

Los subconjuntos son:

f; {2}; {3}; {5}; {2; 3}; {2; 5}; {3; 5}; {2; 3; 5}

Son en total: 23=8

Conjunto potencia

Es el conjunto de conjuntos que está formado por todos los subconjuntos: P(A) = {x/x ⊂ A}

Ejemplo:

Sea el conjunto: A = {2; 3; 5}

El conjunto potencia es:

P(A)={f; {2}; {3}; {5}; {2; 3}; {2; 5}; {3; 5}; {2; 3; 5}} Propiedades: I. n(P(A)) = 2n(A). II. x ∈ P(A) → x ⊂ A Central: 619-8100

UNIDAD 1

9

Aritmética

Síntesis teórica

CONJUNTOS Determinación de conjuntos Extensión

Relación de pertenencia x∈A

Comprensión

Relación entre conjuntos

Clases de conjuntos Nulo

Universal

Unitario

Infinito

Inclusión

Igualdad

A⊂B

A=B

AB

Finito Exclusión

Equivalencia n(A) = n(B)

A

B

10 x 5 50

Aplica lo comprendido 1. Determina el cardinal del conjunto:

A=

{x2/x

es número entero, – 4 < x < 3}

2. Utilice la relación de pertenencia (∈; ∉) Sea: A = {x/x es la capital de un país sudamericano} Lima …… A

París …… A

Bogotá …… A

3. Si el conjunto: A = {2a + 1; 3b – 1; 11}, es unitario, hallar "a" y "b".

10

Colegios

TRILCE

4. Si los conjuntos "A" y "B" son iguales

A = {2x + 1; 7}

hallar "x" e "y"

y

B = {19; 3y – 2}

5. Dados los conjuntos:

A = {2; 5; 7} B = {1; 2; 3; … …; 9} C = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}

Utilice la relación de inclusión (⊂; ⊃) para completar: A …….. B

B …….. C

A ……. C

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1

Aprende más Aplicación cotidiana En el campeonato descentralizado 2010 del fútbol peruano participaron 16 equipos, a continuación se presenta la tabla de posiciones de los 10 mejores equipos del torneo descentralizado de apertura 2010 Perú Tabla de posiciones Posiciones

Equipos

Gf

Gc

Puntos

1

U. San Martín

US

22

8

22

2

U. César Vallejo

UC

21

9

21

3

Sporting Cristal

SC

16

12

19

4

León de Huánuco

LH

12

9

15

5

Universitario

U

10

6

13

6

Juan Aurich

JA

14

11

13

7

FBC Melgar

M

12

11

12

8

Inti Gas

I

10

13

11

9

Alianza Lima

AL

10

8

10

10

José Gálvez

JG

5

11

9

1. Según el gráfico, ubicar los elementos de los conjuntos (Use las iniciales de los equipos solo de la tabla).

A

B

Equipos con más de 11 puntos

Equipos con menos de 19 puntos

2. Del gráfico anterior, hallar: • •

Los equipos de "A" que no están en "B". Los equipos que están en "A" y "B".

3. Determinar por comprensión el conjunto formado por los equipos: Sporting Cristal, León de Huánuco, Universitario y Juan Aurich. Resolución de problemas

8. Si los conjuntos "A" y "B" son iguales:

4. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda, para el conjunto: A = {5; 7; {3}}

A = {n2 + 1; – 6}; B = {2 – m; 10}

Hallar el valor de "m + n" ("m" y "n" ∈ ).

I. n (A) = 3 III. {3} ∈ A

II. 5 ∈ A IV. {7} ∈ A

5. Dado el conjunto: A = {x + 3/x ∈

9. ¿Cuántos subconjuntos tiene "A"?

∧ 5 ≤ x ≤ 10}

Hallar la suma de los elementos de "A".

A = {a; r; i; t; m; e; t; i; c; a}

10. ¿Cuántos elementos tiene un conjunto con 31 subconjuntos propios?

6. Dados los conjuntos unitarios "A" y "B":

A = {a + b; 16}; B = {a – b; 4}

Hallar el valor de "a . b"

7. Hallar la suma de elementos del conjunto "M":

M = {x2 + 1 / x ∈ Central: 619-8100

∧ – 2 ≤ x ≤ 4}

11. Dado el conjunto: A = {{8}; {2; 4}; 7}, ¿cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas? • {2; 4} ∈ A • {{7}} ⊂ A • {7} ∉ A

• {{8}} ⊂ A • {{8}; 7} ∈ A

UNIDAD 1

11

Aritmética

14. Hallar el valor de "a + b", si el conjunto "A" es unitario: A = {ab; ba; 16}

12. Dado el conjunto:

A = {x2 + 1 / x ∈

∧ – 3 ≤ x ≤ 4}

¿Qué proposiciones son verdaderas?

15. Determinar por extensión el conjunto "A":

I. n(A) = 5 II. "A" tiene 16 subconjuntos III. "A" tiene 31 subconjuntos propios

/ x2 + 12x = x3}

16. Hallar el cardinal del conjunto "M":

13. Dado el conjunto "A", indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

A = {x ∈

M=

2x + 5 ∈ 3

/x∈

∧ 5 < 2x – 1 < 13

A = {5; {6}; 8; {10; 11}} • {5} ∈ A → {8} ⊂ A • {8;10} ∈ A ∧ {5} ⊂ A • {{10;11}} ⊂ A ↔ {5; 8} ⊂ A

¡Tú puedes! 1. Se tiene dos conjuntos "A" y "B" tales que: • n(A) – n(B) = 3

• n(B') = 9

• n[P(A ∪ B)] = 2 048

• n[P(A ∩ B)] = 16

¿Cuántos subconjuntos tiene A'? a) 128

b) 16

c) 64

d) 1 024

e) 512

2. Determinar por extensión los siguientes conjuntos:

A = {x/ x sea natural ∧ – 9 ≤ x ≤ 4} B = {x + 4/ x sea entero ∧ – 3 ≤ x < 2} C = {x – 1/ x sea natural ∧ – 2 ≤ x + 4 ≤ 6}

3. Hallar cada uno de los siguientes conjuntos y determinar la suma de sus elementos.

A = {x + 2/ x sea natural, 2 < x ≤ 6} B = {x2/ x sea entero, – 3 ≤ x + 1 < 5} C = {( x – 1)2/ x sea entero, x2 < 5}

4. Sean los conjuntos:

A = {x ∈

/ x = ( – 1)n, n ∈ }

B = {y ∈

/ y2 = (y – 3)2 – 3} 3z 7 / + 3 = 2z + } 2 2

C = {z ∈

Entonces es cierto: a) B = C

b) A = B ∪ C

c) A = B ∩ C

d) A = C

e) B – A = A – C

5. Se tiene tres conjuntos "A", "B" y "C" cuyos números de cardinales son consecutivos y además se sabe que: n[P(A)] + n [P(B)] + n [P(C)] = 896. Hallar cuántos elementos puede tener como máximo el conjunto: P(A ∪ B ∪ C) a) 86

12

Colegios

TRILCE

b) 84

c) 88

d) 810

e) 87

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Conjuntos. Definiciones 18:10:45

1

Practica en casa 1. Indicar cuántas proposiciones son verdaderas, si: A = {2; 3; {1}; {2; 1}} • f ∈ A • {1} ⊂ A

• 3 ∈ A • {3} ⊂ A

• 1 ∈ A • f ⊂ A

9. Dado el conjunto: A = {1; {2; 3}; 4; {5}} ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? • 1 ∈ A • 5 ∈ A • {5} ∈ A

2. Hallar el cardinal del conjunto "A", si: A = {2x – 3 / x ∈ ; 2 ≤ x2 ≤ 19} 3. Sabiendo que los conjuntos:

A = {4a + 3b; 23} B = {3a + 7b; 41}


son unitarios, hallar el valor de "a + b".

B = {– 9; 10}

y se sabe que: A = B, calcular "a + b" ("a" y "b" ∈ )

A = {a + 2; a + 1} B = {b + 1; c + 1} C = {7 – a; 8 – a} D = {b + 2; 4}

12. Dados los conjuntos unitarios:

A = {x + 2 / x ∈ ; x2 < 9} Calcule la suma de los elementos del conjunto "A".

7. Indicar el cardinal del conjunto "M": 3x ∈ 2

∧ x < 72}

8. Hallar el valor de "a . b", si el conjunto "A" es unitario.

A = {90; a . b}

B = {23; a + b}

Hallar: a – b.

A = {x2 / x ∈ , – 2 ≤ x < 4}

6. Dado el conjunto:

M = {x + 1 /

13. Hallar el número de subconjuntos de "A":

Calcular el valor de "a + b + c".

Hallar: n(A) + n(B)

A = {x2 – 3 /x ∈ , 1 < x ≤ 4}

5. Dados los siguientes conjuntos iguales:

A = {x /x ∈ , – 3 < x < 2} B = {x /x ∈ , 8 < x < 10}

11. Determinar por extensión:

4. Si: A = {a2 + 9; 2 – b}

• 3 ∈ A • 4 ∈ A • {2; 3} ∈ A • {2} ∈ A

14. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de "B"?

B = {x2 / x ∈ , 8 < 3x + 2 ≤ 20}.


A = {1; 3; 4; 6; 8} B = {1; 2; 3; 6; 8} C = {x – 2/ x ∈ , x < 11}

hallar cuántas de las afirmaciones son falsas. • A ⊂ B • A ⊂ C

• B ⊂ A • B ⊂ C

A = {ab; ba; 16}

Central: 619-8100

UNIDAD 1

13

2

Aritmética

Operaciones con conjuntos En este capítulo aprenderemos: •

A identificar los tipos de conjuntos utilizando los diagramas de Venn.

•

A representar correctamente los conjuntos desde el punto de vista formal.

•

A analizar los problemas sobre grupos de personas dentro de un contexto concreto utilizando las operaciones entre conjuntos.

Conjuntos numéricos Naturales: = {0; 1; 2; 3; …}

Enteros: = {…; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; …}

Racionales: a = { /"a" y "b" ∈ , b ≠ 0} b

Irracionales: = {x/x tiene representación decimal infinita no periódica}

Ejemplo:

{ 2 ;

3

–7 ; e; p; 3,16428 …}

Reales: =

∪

Diagrama de los conjuntos numéricos.

14

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Operaciones con conjuntos

2


2

3

6

5

7

8

9

10

11

13

16

4

12

14

15

17

18

19

20

21

22

Horizontales:

Verticales:

1. Cubo de 8

1. 4 + 5 x 100 + 3 × 10

3. Cuadrado de 90 más el cubo de 4

2. Cuadrado de 13

6. Cuadrado de 6

3. Cuadrado de 9

7. 20 + 90 × 90

4. Cuadrado de 111

8. 3 × 7 + 70 × 70

5. 24 × 25

10. 12 x 25

7. 99 × 82

11. Número capicúa de cuatro cifras

9. 99 × 23

14. 8 centenas, 2 decenas, 1 unidad y 7 millares

12. Cuadrado de 111

16. 123+96+98

13. Cubo de 11

18. Capicúa de dos cifras

15. Cuadrado de 90, más el cuadrado de 4

19. Quinta potencia de 2

17. Una docena

20. Cuadrado de 111

18. Cuadrado de 11

21. Cuadrado de 21

20. 6 + 4 × 2

22. Cuadrado de 4 Central: 619-8100

UNIDAD 1

15

Aritmética

Conceptos básicos Diagramas de conjuntos Dibujar o ilustrar los conjuntos ayudan para mostrar las características y relaciones entre los elementos y conjuntos.

Diagrama de Venn - Euler

Los conjuntos se representan con figuras cerradas como triángulos, cuadrados, rectángulos, circunferencias, etc.

Ejemplo:

Los alumnos del salón se agrupan considerando los útiles escolares que tienen:

U = {x/x es un alumno del salón} A = {x/x es un alumno que tiene lápiz} B = {x/x es un alumno que tiene lapicero} U A

Generalmente el conjunto universal se representa por un rectángulo que incluye a los otros conjuntos.

B

Ejemplo:

U

A

y

w

x k

2 z

B

t

Para tres conjuntos:

A = {x; w; 2; k} B = {w; y; 2; t} C = {k; 2; t; z}

C

Diagramas de Carrol

El conjunto universal se divide para ubicar a los elementos que pertenecen y no pertenecen a un conjunto.

Ejemplo:

A los alumnos del salón se les aplica el examen de matemática:

U = {x/x es un alumno del salón} A = {x/x es una alumna} B = {x/x es un alumno que aprobó} "B" Aprobaron No son "B" No aprobaron "A" Mujeres

16

Colegios

TRILCE

El diagrama de Carrol, generalmente se usa para conjuntos excluyentes: Hombres – mujeres Mayores – menores

No son "A" Varones www.trilce.edu.pe



2

Unión A ∪ B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B} A

B En los problemas, "A" o "B" se interpreta como la unión de "A" con "B".

A∪B

Intersección A ∩ B = {x/x ∈ A ∧ x ∈ B} A

B En los problemas, "A" y "B" se interpreta como la intersección de "A" con "B".

A ∩ B

Diferencia A

B

A – B = {x/x ∈ A ∧ x ∉ B}

•

A–B

n(A – B) = n(A) – n(A ∩ B)

Diferencia simétrica A

B

A D B = (A – B) ∪ (B - A)

ADB

Propiedad:

Propiedad: •

(A D B) = (A ∪ B) – (A ∩ B)

Complemento Dado A ⊂ U, se llama complemento de A: U A A'= Ac = {x ∈ U/x ∉ A} = U – A

Central: 619-8100

UNIDAD 1

17

Aritmética

Síntesis teórica CONJUNTOS II Diagramas de conjuntos Venn – Euler

Operaciones entre conjuntos

Carrol A A'

A

B

Unión

B

B'

Intersección

Diferencia simétrica

Diferencia

Complemento A

A

B

A∪B

A

B

A

A∩B

B

A

B

AC

ADB

A–B

U

10 x 5 50

Aplica lo comprendido 1. Dados los conjuntos "A" y "B": A = {5; 6; 8; 9}

4. Dados los conjuntos "A" y "B":

B = {2; 3; 4; 6; 7}

A = {5; 6; 7; 9} B = {2; 3; 4; 6; 7}

Calcula: • A ∪ B = { • A ∩ B = {

} }

2. Completa la cantidad de elementos en el siguiente diagrama de los conjuntos "A" y "B", de modo que: A B

Calcula: • A D B = {

}

5. Completa la cantidad de elementos en el siguiente diagrama de los conjuntos "A", "B" y "C", de modo que: B

A

n(A) = 15 n(B) = 18 n(A ∩ B) = 7

3. Dados los conjuntos "A" y "B": A = {5; 6; 8; 9}

Calcula: • A – B = { • B – A = {

18

B = {2; 3; 4; 6; 7}

Colegios

TRILCE

} }

C n(A) = 16 n(B) = 18 n(C) = 20 n(A ∩ B) = 5 n(A ∩ C) = 4 n(B ∩ C) = 6 n(A ∩ B ∩ C) = 2 www.trilce.edu.pe


2

Aprende más Aplicación cotidiana El Foro de Cooperación Económica de Asia Pacífico o APEC es el mayor espacio para facilitar el crecimiento económico, la cooperación, el comercio y las inversiones en la región de Asia Pacífico.

Sea: U = {x/x es un país que conforma la APEC} A = {x/x es un país del continente americano} B = {x/x es un país de América del Sur} 1. Determinar por extensión el conjunto "A" y hallar su cardinal. 2. Grafica los tres conjuntos antes mencionados ("U"; "A" y "B"). Resolución de problemas 3. Un alumno durante todas las mañanas del mes de enero desayunó jugo o leche. Si durante 25 mañanas desayunó jugo y 18 mañanas desayunó leche, ¿cuántas mañanas desayunó jugo y leche? 4. Si: n( A ∪ B) = 30; n(A – B) = 12 y n(B – A) = 8, hallar el valor de: 5 . n(A) – 4 . n(B). 5. Sean "A", "B" y "C", tres conjuntos tales que: n(A) = n(B) = n(C) = 20 n(A ∩ B ∩ C) = 3 n(A ∩ B) = n(A ∩ C) = n(B ∩ C) = 10

Hallar el valor de: n(A ∪ B ∪ C).

6. Sabiendo que: U = {1; 2; 3; 4; 5} A ∪ B = {1; 2; 3; 4} A ∩ B = {1; 3} A – B = {2}

7. Para tres conjuntos "A", "B" y "C", contenidos en un universo "U" donde C ⊂ B, se cumple: • n(A – C) = 5 • n(B – C) = 4 • n(A – B) = 3 • n(A ∪ B) = 10

¿Cuántos subconjuntos propios tiene "C"?

8. En un corral donde se encuentran 90 pollos, se observa que: los que comen maíz son el doble de los que comen solo trigo y los que comen maíz y trigo son la tercera parte de los que comen solo maíz. ¿Cuántos pollos comen uno y solo uno de estos alimentos? 9. En una ciudad, el porcentaje de la población que fuma y bebe, de la que solo fuma y de la que solo bebe, es la mitad, tercera y cuarta parte del porcentaje que no fuma ni bebe. Determinar qué porcentaje de la población fuma o bebe .

Luego el conjunto "B" es: Central: 619-8100

UNIDAD 1

19

Aritmética

10. En un aeropuerto hay 105 personas entre hombres, mujeres y niños y se observa que hay: • • • • • •

20 mujeres 55 niños 40 peruanos 65 extranjeros 25 niños peruanos 45 extranjeros entre mujeres y niños

Determinar en cuánto excede la cantidad de hombres extranjeros a la de las mujeres peruanas.

11. De una muestra recogida a 200 turistas se determinó lo siguiente: 67 eran norteamericanos, 86 europeos, 90 eran mecánicos y de estos últimos 30 eran norteamericanos y 15 europeos. ¿Cuántos no eran norteamericanos ni mecánicos ni europeos? 12. De un grupo de turistas que visitó Perú, México y Cuba, se sabe que: • Todos los que visitaron Cuba también visitaron el Perú • 16 visitaron Cuba • 28 visitaron México pero no el Perú • 72 visitaron Perú o México • 6 visitaron Perú y México pero no Cuba • El número de turistas que visitó solo el Perú es el doble de los que visitaron Cuba y México

13. En un autobús hay 41 pasajeros, de los cuales se observa que: • 21 personas están sentadas • Hay 16 mujeres en total • De los que están parados, 10 son hombres que no fuman • De las 12 mujeres sentadas, 8 no fuman ¿Cuántos hombres que están parados fuman? 14. De un grupo de 95 personas se observa que: • 15 son atletas que practican el fútbol y la natación • 52 son atletas • 55 son nadadores • Todos los futbolistas son atletas y 10 son deportistas que solo practican el atletismo • 15 personas no practican los deportes mencionados ¿Cuántos deportistas son futbolistas? 15. Si: A ⊂ B y B ⊂ C, simplificar: (A ∪ C) ∩ [(A – B) ∪ (B ∩ C)] 16. De 140 personas, 60 no leen y 50 no escriben. Sabiendo que 30 solamente leen, ¿cuántas personas leen y escriben?

¿Cuántos visitaron solo Cuba y Perú?

¡Tú puedes! 1. En un salón hay 72 alumnos que se preparan para postular a la UNI o Católica. La cantidad de postulantes a la UNI es el quíntuple de quienes solo postulan a la Católica y la cantidad de los que solo postulan a la UNI es el triple de los que postulan a la UNI y a la Católica. ¿Cuántos de los postulantes se presentarán solamente a una universidad? a) 48 b) 52 c) 57 d) 61 e) 64 2. Dado el conjunto universal "U" y los subconjuntos "A", "B" y "C" de "U"

U=A∪B∪C A = {x ∈ / "x" es un número par ∧ x < 18} B = { x ∈ / "x" es divisor de 30} C = { x ∈ / x < 10}

¿Cuántos elementos tiene: [C ∩ (A ∪ B)] ∆ B'? a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

20

Colegios

TRILCE

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3. En un departamento de control de calidad de un producto se consideran tres defectos "A", "B" y "C" como los más importantes. Se analizaron "M" productos con el siguiente resultado: • • • • • •

2

1/3 de los productos poseen el defecto "A" 1/4 de los productos poseen el defecto "B" 1/5 de los productos poseen el defecto "C" 1/15 de los productos poseen exactamente dos defectos 10 productos poseen exactamente tres defectos 105 productos no poseen defecto alguno

¿Cuántos productos poseen solo un defecto? a) 195 b) 185 c) 165 d) 155 e) 145

4. En un salón de clase: 7 aprobaron solo "A", 6 solo "B", 5 solo "C" y 5 aprobaron los tres cursos; de los que aprobaron "A", 17 aprobaron "B" o "C", de los que aprobaron "B", 16 aprobaron "A" o "C" y de los que aprobaron "C", 12 aprobaron "A" o "B". ¿De cuántos alumnos, por lo menos, se compone el aula? a) 33 b) 38 c) 35 d) 40 e) 41 5. En una sección de la academia formada por 42 alumnos entre hombres y mujeres se sabe: • • • • • •

13 hombres aprobaron Geometría. 8 hombres aprobaron Trigonometría 4 hombres y 6 mujeres no aprobaron ninguno de los dos cursos. 7 aprobaron los dos cursos 24 aprobaron Geometría 24 hombres hay en la sección

El número de mujeres que aprobaron solo Trigonometría es: a) 1 b) 4 c) 5 d) 2 e) 7 18:10:45

Practica en casa 1. Para dos conjuntos "A" y "B" subconjuntos de "U" se tiene que: • n(A') = 12 • n(A ∩ B) = 3

• n(B) = 11 • n(U) = 20

Calcular el valor de: n(A ∆ B).

2. En un avión viajan 120 personas, de las cuales: • La tercera parte de ellas beben • La quinta parte de ellas fuman • 18 personas fuman y beben

¿Cuántas personas no fuman ni beben?

3. De un grupo de 300 personas, 180 conocen Cusco, 160 conocen Arequipa y 20 no conocen ni Cusco ni Arequipa. ¿Cuántos conocen una sola ciudad? 4. Noventa alumnos del 4to año asisten a la clase de computación, 70 a entrenamientos de diferentes deportes y 5 no se interesan ni en computación ni Central: 619-8100

en deportes. Si 30 asisten tanto a deportes como a computación, ¿cuántos alumnos hay en 4to año? 5. De un grupo de 120 alumnos, 70 prefieren los cursos "A" o "B" pero no ambos cursos a la vez. Los que no prefieren ninguno de dichos cursos, son el cuádruple de los que prefieren ambos cursos. ¿Cuántos alumnos prefieren ambos cursos? 6. En una población el 50% toma leche, el 40% come carne y además solo los que comen carne o solo los que toman leche son el 54%. ¿Cuál es el porcentaje de los que no toman leche ni comen carne? 7. Para dos subconjuntos "A" y "B" de los números enteros, se tiene que: • A ∪ B = { x / x ∈ , 2 < x < 9} • A ∩ B = {5} • A – B = {4; 6; 7}

Hallar la suma de los elementos de "B". UNIDAD 1

21

Aritmética

8. En un examen de admisión se observó que 2 900 postulantes usaron lapicero negro, 4 000 no usaron lapicero azul y 1 900 no usaron ni azul ni negro. ¿Cuántos postulantes usaron lapicero azul y negro, si los postulantes fueron 6 600?

13. En un salón de clases de 65 alumnos se observó que:

9. De un grupo de 40 personas, se observa que 14 van al teatro solamente, los que van al cine y al teatro son la tercera parte de los que van al cine y 8 no van a ninguno de los dos sitios. ¿Cuántos no van al teatro?

• 30 son hombres. • 40 son del ciclo semestral • Hay 10 señoritas que no son del ciclo semestral.

14. En una encuesta a los alumnos del colegio se obtuvo la siguiente información: • • • • • • •

10. De un grupo de 80 personas, 27 leían la revista "A" pero no leían la revista "B", 26 leían "B" pero no "C" y 19 leían "C" pero no "A". Si 2 leían las tres revistas, ¿cuántas preferían otras revistas? 11. En una oficina, 20 empleados conversan en voz baja para no despertar a los 10 que duermen y 18 están echados, de los cuales 3 de ellos duermen y 5 conversan en voz baja. Si en total hay 60 empleados, ¿de cuántos se puede decir: "quizá están trabajando"? 12. En un barrio donde hay 29 personas, 16 compran en el mercado, 15 en la bodega, 18 en el supermercado, 5 en los dos últimos sitios únicamente, 6 en los dos primeros únicamente y 7 en el primero y el último únicamente. ¿Cuál es el número de personas que compran solamente en el mercado?

22

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TRILCE

¿Cuántos son los hombres que no estudian en el ciclo semestral?

El 60% aprobó Física El 40% aprobó Química El 75% aprobó Matemática El 10% aprobó los tres cursos El 10% aprobó Física solamente El 15% aprobó Física y Química El 30% aprobó Química y Matemática

El porcentaje de alumnos que lamentablemente no aprobó curso alguno, es:

15. Jenny contaba que durante el mes de Febrero del 2000 salió a pasear con José, con Juan o con ambos. Si 16 días salió con José y 20 días con Juan, ¿cuántos días salió con ambos, si el día de los enamorados salió con otra persona?

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UNIDAD 2 Diversas versiones del kipu, sistema de grabación de datos, aún no comprendido en la actualidad. Las ilustraciones corresponden al libro Comentarios reales de Garcilazo, primera versión escrita por un mestizo de la conquista española. En la ilustración titulada "contador maior y tezorero", aparece el quipucamayoc. Nadie hasta el momento ha estudiado con seriedad el significado del ábaco o matriz que aparece en la parte inferior de la figura.

L E

Numeración

Los números en el incanato. ¿Qué es el Qhipu? os quipus ayudaban a los incas a mantener cuentas muy minuciosas de los productos, armas, impuestos e incluso, calcular el importe exacto del tributo otorgado por los pueblos vencidos. En el cordel principal, un hilo negro indicaba los años transcurridos e información histórica. Es un sistema memotécnico de registros de cantidades.

¿Quién es el Quipucamayoc? l Quipucamayoc, educado por los amautas en escuelas especiales llamadas Yachayhuasi, era el especialista en elaborar, "leer" y archivar los quipus, dotado de una memoria prodigiosa. Puede decirse que el Quipucamayoc era lo que es hoy el analista económico o el responsable del planeamiento estratégico, igualmente el quipu para los incas , era lo que es hoy el moderno computador para los economistas. 1 2 3 Huk Iskay Kimsa 6 7 8 Suqta Qanchis Pusaq

APRENDIZAJES ESPERADOS Comunicación matemática • •

Escribir y leer los números en el sistema decimal. Relacionar los sistemas de numeración con sus cifras.

4 Tawa 9 Isqun

5 Pisqa 10 Chunka

Razonamiento y demostración • •

Utilizar la descomposición polinómica. Explicar los métodos para hacer cambios de base.

Resolución de problemas • • •

Determinar las cifras de un número con ciertas características. Determinar los numerales en diferentes bases. Relacionar cifras, bases y numerales.

Aritmética

Numeración decimal En este capítulo aprenderemos: •

A escribir y leer los números en el sistema decimal.

•

A utilizar la descomposición polinómica.

•

A determinar las cifras de un número con ciertas características.

Con los cuatro cuatros Del libro "El Hombre que Calculaba" de Malba Tahan

Q

uiero formar el número cero. Nada hay más simple. Basta escribir: 44 – 44 = 0 Están así los cuatro cuatros formando una expresión igual a cero. 44 Pasamos ahora al número 1. Esta es la forma más cómoda: =1 44

¿Quiere ver ahora el número 2? Fácilmente se usan los cuatro cuatros escribiendo: El 3 es más fácil todavía. Basta escribir la expresión:

4 4 + = 2. 4 4

4+4+4 =3 4

Repare en que la suma de 12 dividida por 4, da un cociente 3, resulta así el número 3 formado por cuatro cuatros. ¿Cómo formareis el número 4? –pregunté. Muy fácilmente –dijo Beremís-. El número cuatro puede formarse de varias maneras; una de ellas sería la 4–4 siguiente: 4 + =4 4 En la que el segundo sumando vale cero, y su suma, por lo tanto, vale 4. Noté entonces que el mercader sirio seguía atento, sin perder palabra, la explicación de Beremís, como si mucho le interesasen las expresiones aritméticas formadas por los cuatro cuatros. Beremís continuó: Para formar el número 5, por ejemplo, no hay dificultad. Escribimos: Enseguida pasamos al 6:

4×4+4 =5 4

4+4 +4=6 4

Una pequeña alteración de la expresión anterior la convierte en 7:

44 –4=7 4

Y de manera más simple logramos el 8: 4 + 4 + 4 – 4 = 8 4 El nueve no deja de ser interesante: 4 + 4+ = 9 4 Y ahora una expresión igual a 10 formada por los cuatro cuatros:

24

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TRILCE

44 – 4 4

= 10

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Numeración decimal

1


2

6

3

7

9

5

8

10

12

14

4

11

13

15

16

18

17

19

20

21

Horizontales:

Verticales:

1. Número primo

1. Valor de "5x + 3" cuando "x" es 6.

3. Le falta 83 para ser 8 centenas.

2. Potencia de 9.

6. 2 decenas, 3 centenas y 4 unidades.

4. Tres manos.

8. Medio millar.

5. 2 unidades, 7 millares y 5 decenas.

9. Le falta 7 para un millar.

7. Centenas enteras en 4 956.

11. Media centena.

10. Cubo de 7.

12. Número par primo.

12. La mitad de medio millar.

13. Una docena.

13. Doce al cuadrado.

14. Valor de "x2 + 3" cuando "x" es 7.

15. 17 + 15 × 13.

16. Múltiplo de 17.

17. Cuadrado de 13.

19. La suma de los cuadrados de 20 y 4.

18. 2 + 3 × 4.

20. Dos docenas de decenas. 21. Mayor número de dos cifras.

Central: 619-8100

UNIDAD 2

25

Aritmética

Conceptos básicos Sistema de numeración Es el conjunto de reglas, principios y símbolos que permiten escribir y leer correctamente los números.

Numeración decimal Principio

Las unidades se agrupan de 10 en 10 para formar la unidad inmediata superior • 10 unidades = 1 decena • 10 decenas = 1 centena • 10 centenas = 1 millar

Símbolos o dígitos

En el sistema decimal las cifras o dígitos que se utilizan son: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9

Se puede observar que la característica de estas cifras son: • Valores enteros • No son negativos • Son menores que 10

Regla

Es la forma como se leen y escriben los números

Así en el número: 5ta cifra 4ta cifra 3ra cifra 2da cifra 1ra cifra

Este principio es fundamental para realizar las operaciones aritméticas.

Las cifras del número n(2n – 5)(3n) son "n", "2n – 5" y "3n". Solo: n = 3 permite que sean cifras en el sistema decimal.

Lugares

2 4 7 1 5 Orden

Ejemplo:

1er orden (unidades) 2do orden (decenas) 3er orden (centenas) 4to orden (millares) 5to orden (decena de millar)

Un número de dos cifras: ab Un número de tres cifras: abc Un número de tres cifras, las dos primeras iguales: aab

Descomposición polinómica

Valor absoluto

Es el valor de la cifra sin considerar la ubicación Ejemplo:

26

Para el número 1 237

Los valores absolutos son: 1; 2; 3 y 7

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TRILCE

Los valores absolutos en los números 237; 372 y 732, son los mismos: 2; 3 y 7.

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Numeración decimal

Valor relativo

Es el valor de cada cifra considerando el orden que representa en el número

Ejemplo:

1 237

Los valores relativos son:

1 × 1 000 2 × 100 3 × 10 7


Es la suma de los valores relativos de las cifras

1

La suma de los valores relativos, es igual al número: 237 = 2 × 100 + 3 × 10 + 7

abcd = a × 103 + b × 102 + c × 10 + d Ejemplo:

a2c = a × 102 + 2 × 10 + c =100a + 20 + c

a2b3 = a × 103 + 2 × 102 + b × 10 + 3 = 1 000a + 200 + 10b + 3

ab0ab = ab × 103 + ab

2abc2 = 2 × 104 + abc × 10 + 2

Síntesis teórica NUMERACIÓN

Sistema de numeración decimal Principios

De 10 en 10 10 unidades = 1 decena 10 decenas = 1 centena

Símbolos Las cifras son: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 Enteros no negativos menores que 10

Menor número de cuatro cifras diferentes: 1 023 Número de dos cifras: ab Número capicúa de cuatro cifras: abba

10 centenas = 1 millar Valor absoluto

Valores relativos

Los valores absolutos de las cifras del número 2 543

Los valores relativos de las cifras del número 2 543

2 5 4 3

2 × 1 000 5 × 100 4 × 10 3

Central: 619-8100

Reglas


abc = 100a + 10b + c a0a = 100a + a aa0 = 100a + 10a

UNIDAD 2

27

Aritmética 10 x 5 50

Aplica lo comprendido 1. De los números de tres cifras, determina: • • • •

El menor: ..................... El mayor: ..................... El menor de cifras diferentes: .................... El mayor de cifras diferentes: ...............

4. Si "a" y "b" son cifras, determina en cada caso; ¿cuánto vale cada una? • •

10a + b = 36 a = ........ 7a + b = 26 a = ........

b = ......... b = .........

2. Descomponer los números: • abc= .......................................................... • n(2n)n= ...................................................... 3. Descomponer y reducir: a3b – b3a=

5. Completa, considerando el número 4 723: • La cifra de menor orden es: ............ • 7 es la cifra de ...................... orden • La primera cifra es ..........................

Aprende más Aplicación cotidiana Los romanos desconocían el cero, introducido posteriormente por los árabes, así que no existe ningún símbolo en el sistema de numeración romano que represente el valor cero. En el sistema de numeración romano los símbolos a usar son: S = {I; V; X; L; C; D; M, ...} y como regla general, los símbolos se escriben y leen de izquierda a derecha, de mayor a menor valor. El número 132 013 en el sistema romano se escribe como: CXXXIIXIII. 1. ¿Cómo se escribe 457 en el sistema romano? 2. Lima, ciudad de reyes y virreyes, fue fundada el 18 de enero de MDXXXV, por Francisco Pizarro y apenas contaba con 25 mil habitantes. ¿Cuántos años de fundada tiene Lima? 3. La Universidad Nacional Mayor de San Marcos, decana de América, fue fundada el 12 de mayo de MDLI y fue el inicio de la historia universitaria del continente. ¿Cuántos años de fundada tiene la UNMSM? Resolución de problemas 4. Si: ab + ba = 165, hallar el valor de "a + b". 5. Si al numeral ab de cifras significativas le restamos el numeral que se obtiene al invertir el orden de sus cifras se obtiene 72. Hallar el valor de "a + b". 6. Dado el numeral capicúa: a(b + 1)(7 – b)(8 – a), hallar "a + b" 7. ¿Cuántos numerales de dos cifras son iguales a cuatro veces la suma de sus cifras? 8. Una persona nació en el año 19aa y en el año 19bb cumplió (a+b+6) años. ¿En qué año nació, si "a" es impar?

28

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TRILCE

9. Si a un número de dos cifras se le agrega la suma de sus cifras, se invierte el orden de sus cifras. Hallar el producto de las cifras de dicho número. 10. Un número que está comprendido entre 100 y 300, es tal que leído al revés excede en 50 al doble del número que le sigue al original. Hallar la suma de cifras del número original. 11. Un numeral de tres cifras que empieza en la cifra 2 es igual a 22 veces la suma de sus cifras. Hallar el producto de sus cifras. 12. Si a un numeral decimal de cuatro cifras se le agrega la suma de los valores absolutos de sus cifras, se obtiene 7 368. Hallar la cifra de segundo orden más la cifra de cuarto orden www.trilce.edu.pe

Numeración decimal

13. Si: abcd = 37 . ab + 62 . cd

Hallar el valor de "a + b + c + d"

14. Sabiendo que:

abba a a = (2b)(2b), 2 2 2

hallar "a" y "b".

15. Si a un número de tres cifras se le agrega un 5 al comienzo y otro 5 al final, el número obtenido es 147 veces el número original. Dar como respuesta la suma de las cifras de dicho número.

1

16. Si a un número de cuatro cifras se le añade la suma de sus cifras se obtiene 8 799. Determinar la suma de dichas cifras.

¡Tú puedes! 1. Hallar la suma de cifras de un número de la forma abcabc tal que sumado con el producto del número abc por el menor número capicúa de dos cifras, resulte un número conformado por 9 decenas de centenas de tercer orden, 46 centenas de decenas y 22 diezmilésimas unidades de sexto orden. a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 34 2. A un número se le agrega la suma de los valores absolutos de sus cifras y la suma de los valores relativos de las mismas. El resultado fue 2 928. Hallar la suma de cifras del número original. a) 12 b) 14 c) 15 d) 16 e) 18 3. Si a un número de cuatro cifras se le añade el triple de la suma de sus cifras se obtiene un número formado por setenta decenas de decenas, doce unidades de segundo orden y noventa diezmilésimos de cuarto orden. ¿Cuál es la mayor cifra de aquel número? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 5 4. A un número de cuatro cifras se le agrega la suma de sus cifras y se procede del mismo modo con el número resultante para finalmente obtener el número 4 051. Calcule la suma de cifras del número original. a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13 5. En un corral habían aba animales. A causa de una epidemia se mueren ab vacas, 10a carneros y b0 conejos, hasta que al final se quedan 7(3a) animales. Luego de la epidemia pasaron dos años y llega a tener baa animales, dado que se reproducen rápidamente. ¿Cuántos animales han nacido en este tiempo? a) 322 b) 334 c) 346 d) 380 e) 422 18:10:45

Practica en casa 1. ¿Cuántos números de dos cifras son iguales a siete veces la suma de sus cifras? 2. ¿Cuántos numerales de dos cifras significativas cumplen que al aumentarles el numeral que resulta de invertir el orden de sus cifras se obtiene 55? Indicar la suma de cifras del mayor numeral. 3. Si "A" es un numeral de tres cifras y "B" es otro numeral de dos cifras, hallar el mayor valor que puede tomar "A – B". Dar la suma de cifras del resultado. Central: 619-8100

4. Si a un número de tres cifras se le altera el orden de las unidades con las decenas, este aumentará en 45 unidades, pero si se invierten las decenas con las centenas, disminuirá en 270. Halla en cuanto se altera, si se invierte el orden de las centenas y unidades. 5. Si a un número de dos cifras se le agrega cinco veces la suma de sus cifras, se invierte el orden de sus cifras. Hallar el producto de las cifras del número. UNIDAD 2

29

Aritmética

6. Si multiplicamos un número de dos cifras por 5, se obtiene el mismo resultado que al multiplicar por 6 el número que se obtiene al invertir el orden de los dígitos del primer número. ¿Cuál es dicho resultado? 7. Un número que está comprendido entre 200 y 300, es tal que leído al revés excede en 20 al doble del número que le sigue al original. Hallar la suma de las cifras del número original. 8. El doble de un número es de la forma ab, pero si al número se le multiplica por 7 y luego se le divide entre 2 se obtiene ba. Hallar "a + b", siendo esta la mayor posible. 9. Un número de tres cifras que comienza en 5, es tal que al suprimirle esta cifra se obtiene un número que es igual a 1/26 del número original. ¿Cuál es la suma de sus cifras? 10. Un número de dos cifras aumentado en cuatro veces su cifra de decenas resulta 93. Hallar la suma de sus cifras.

30

Colegios

TRILCE

11. Determinar un número de tres cifras comprendido entre 100 y 200 y que es igual a 11 veces la suma de sus cifras. Dar como respuesta la suma de sus cifras. 12. Si a un número de dos cifras se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras se obtiene la suma de cifras del número. Hallar la suma de las cifras del número original. 13. Hallar un numeral de tres cifras cuya cifra de segundo orden sea el doble de la cifra de primer orden y la cifra de tercer orden sea el triple de la cifra de segundo orden. Dar la suma de sus cifras. 14. Juan tiene ab años y dentro de "7a" años tendrá 56 años. Hallar el valor de "a + b". 15. Hallar un numeral de tres cifras que empieza en la cifra 4, tal que al eliminar esta cifra, se obtiene un numeral que es 1/17 del número original. Dar la suma de cifras del número original.

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Numeración en otras bases


2

En este capítulo aprenderemos: • • • • • •

A relacionar los sistemas de numeración con sus cifras. A utilizar la descomposición polinómica. A explicar los métodos para hacer cambios de base. A determinar las cifras de un número con ciertas características. A determinar los numerales en diferentes bases. A relacionar cifras, bases y numerales.

El sistema numérico maya y las unidades de la cuenta larga

A

sí como en el calendario gregoriano existen nombres para designar determinados períodos de tiempo, los mayas tenían nombres específicos para períodos de acuerdo con su sistema vigesimal modificado de contar días. La unidad básica de medición del pueblo maya era el kin o día solar. Los múltiplos de esta unidad servían para designar diferentes lapsos de tiempo como sigue: Unidades de cómputo de la cuenta larga Nombre maya kin uinal tun katún

Días 1 20 360 7 200

baktún

144 000

Equivalencia — 20 kin 18 uinal 20 tun o 360 uinales 7 200 uinales, 400 tunes o 20 katunes × 144 000 Baktun ×

7 200 Katun

× 360 Tun × 20 Uinal × 1 Kin 0

1

4

5

11

19

20

126

1002

36 102

1 368 080

días

Una forma sencilla y estandarizada de representar la notación de los años mayas en cuenta larga se hace con números separados por puntos. Por tanto, la notación 6.19.19.0.0 es igual a 6 baktunes, 19 katunes, 19 tunes, 0 uinales y 0 kines. El total de días se calcula multiplicando cada uno de estos números por su equivalente en días solares de acuerdo a la anterior tabla y sumando los productos obtenidos. En este caso particular, el total de días T. Los términos de mayor duración siguientes que muy raras veces eran utilizados por los mayas eran piktún, kalabtún, kinchinltún, y alautún. Veinte baktunes formarían un piktún de aproximadamente 7 890 años y veinte piktunes generan un kalabtun de 57 600 000 kines, aproximadamente 157 810 años. Según el arqueólogo John Eric Sidney Thompson, el número maya 0.0.0.0.0 es equivalente al día juliano número 584 283, es decir, 11 de agosto de 3114 a. C. Este número es considerada la constante de correlación del calendario maya, respecto a los calendarios juliano y gregoriano y se usa en los algoritmos de conversión de fechas en el calendario maya a los otros dos y viceversa. • Central: 619-8100

¿Cómo escribes el año actual utilizando el sistema Maya? UNIDAD 2

31

Aritmética


2

7

4

8

4

5

9

10

11

12

13

14

15

16

17

19

Horizontales: 1. El valor de: 2 ×

6

18

20

Verticales: 32

–4

1. Decena y media

5. Dos docenas

2. La solución de: 3x + 5 = 17


4. Cubo de 7

10. 2 × 34 + 1 × 32 + 2


11. Cuadrado de 6

7. Una mano

12. 2 × 72 + 3 × 7 + 5

8. 4 × 82 + 2 × 8 + 2

13. Dos grupos de 9

9. Solución mayor de: x2 – x – 6 = 0

14. Cuatro decenas

10. Una docena de decenas

15. Le falta 937 para una decena de millar

11. 3 × 53 + 2 × 5 + 1

17. Menor número de tres cifras diferentes

12. El cuadrado de 12

18. La solución positiva de: x2 – 3x – 10 = 0

13. Menor número de cuatro cifras diferentes

19. Sistema vigesimal

15. Nueve decenas

20. Hallar "n", en: 4n + n = 67

16. El valor de "4n2 + 3n" cuando "n" es 9 17. Sistema decimal

32

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2

Conceptos básicos Sistema de numeración Es el conjunto de reglas, principios y símbolos que permiten escribir correctamente los números.

Base de un sistema de numeración Es la cantidad de unidades que forman una unidad superior. Ejemplo:

•

En el sistema quinario (base cinco), 5 unidades formarán una unidad superior: m m m m

m m m m

Entonces son:

m m m

m m m

m

m

Tres unidades de segundo orden Una unidad de primer orden Bases de numeración

Se escribe: 31(5)

El menor sistema de numeración es el binario, ya que es el menor número de unidades en que se pueden agrupar

Cifras o dígitos

Las cifras tienen las siguientes condiciones: • •

Son menores que la base Son enteros no negativos

Base 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 M n

Cifras 0; 1 0; 1; 2 0; 1; 2; 3 0; 1; 2; 3; 4 0; 1; 2; 3; 4; 5 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; α

Nombre Binario Terciario Cuaternario Quinario Senario Heptal Octal Nonal Decimal Undecimal

M 0; 1; 2; 3;.............; (n – 1)

Enesimal


Es la suma de los valores absolutos de las cifras

La máxima cifra: en el sistema decimal es 9 en el sistema quinario es 4 en el sistema de base "n" es "n – 1".

Ejemplos:

•

Dado el polinomio: Para el número 2453(7) la descomposición polinómica es: 2 . n3 + 3 . n2 + 4 . n + 1, es la descomposición del 2 × 73 + 4 × 7 2 + 5 × 7 + 3 número 2341(n) Para el número a0b0c(n) la descomposición polinómica es:

a . n4 + 0 . n3 + b . n2 + 0 . n + c = a . n4 + b . n2 + c

•

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UNIDAD 2

33

Aritmética

Cambios de base

De otra base a la decimal

Descomponemos polinómicamente y luego de realizar las operaciones en el sistema decimal obtenemos el numeral decimal. Ejemplos:

•

El numeral 235(7) en el sistema decimal es: 235(7) = 2 × 72+ 3 × 7 + 5 = 98 + 21 + 5 = 124

•

¿Cómo se escribe el número 3121(5) en el sistema decimal?

Una forma práctica es: 3 5

1

2

Luego de descomponer, las operaciones se realizan en el sistema decimal.

1

15 80 410

3 16 82 411 → 3121(5) = 411

Del sistema decimal a otra base

Para formar los grupos de la otra base, se realiza divisiones y el residuo de cada una de ellas son las cifras del numeral. Ejemplo:

•

Recuerda que el último cociente y los residuos son menores que la base

El número 237 a la base octal 237 5

8 29 5

8 3

→ 237 = 355(8)

Entre bases diferentes a la decimal

Se recomienda utilizar el sistema decimal para las operaciones, entonces usaremos los dos métodos anteriores. Ejemplo:

•

El numeral 1232(6) en el sistema nonario es:

Primero 1232(6) al sistema decimal:

1232(6) = 1 × 63 + 2 × 62 + 3 × 6 + 2 = 216 + 72 + 18 + 2 = 308 308 2

9 34 7

9 3

Luego: 1232(6) = 308 = 372(9).

Propiedades

Base y cifra

Las cifras deben ser menores que la base del sistema de numeración Ejemplo:

•

Sean los números: 3c(a); 2a(b); 1b(c); bc(7)

Entonces analizando cada número:

34

Colegios

3c(a)

2a(b)

1b(c)

bc(7)

3 < a

a < b

b < c

c<7

Luego: a = 4; b = 5; c = 6

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Numeral y base Si la base es menor, el numeral que le corresponde será mayor. 1232(6) = 375(9). Comparando los numerales: 1232 > 375 Ahora las bases: 6<9

2

Ejemplo:

•

Si: d5c(n) = ab(7), hallar "n"

Como: d5c > ab, entonces: n < 7 pero: n > 5 ⇒ n = 6

Síntesis teórica NUMERACIÓN EN OTRAS BASES Sistema de numeración Principios

Reglas

Símbolos o cifras Sistema quinario

Sistema heptal

0; 1; 2; 3; 4

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

Sistema quinario

Sistema posicional

Enesimal (base "n") 0; 1; 2; 3; ...; (n – 1)

Primer orden

22(5)

Cambio de base

↓

2345

↑

2345n:

Cuarto orden (1ra cifra)

2n3

Al sistema decimal

Del sistema decimal


Divisiones entre la base

2345(7)=2×73+3×72+4×7+5 = 686 + 147 + 28 + 5 = 866

435 al sistema senario (base 6) 435 6 3 72 6 0 12 6 0 2 435 = 2003(6)

+ 3n2 + 4n + 5

Entre bases diferentes de la decimal 234(9) al sistema octal (base 8) De base 9 a decimal: 234(9) = 2 × 92 + 3 × 9 + 4 = 193 De la decimal a la octal: 193 1

8 24 8 0 3 234(9) = 193 = 301(8) Central: 619-8100

A mayor base, menor representación – + 234(9) = 301(8) + –

UNIDAD 2

35


Aplica lo comprendido 1. Hallar el valor de "a", si el número (3a – 2)a(a – 2)(5) está correctamente escrito.

3. Escribe los números en el sistema que corresponde: • 30 =........(7)

2. Descomponer y luego determinar el numeral en el sistema decimal, en los siguientes números: • 123(5)=..................................................... • 205(7)=......................................................

•

22 =........(5)

4. Sea el número: a(a + 1)(a + 2)(a + 3)(5), determina el valor de "a" y luego escribe dicho número en el sistema decimal 5. Si: 53(7) + 43(6) = ab, hallar "a + b".

Aprende más Aplicación cotidiana 3 2 1

6 9

5 8 12 4 7 11 10

Por ejemplo, tuvo bastante difusión el sistema duodecimal, que también está ligado al empleo de los dedos de la mano, pero valiéndose de las distintas falanges, con el que se puede contar hasta 12. Los vestigios de este sistema han persistido hasta nuestros días y, a resultas del mismo, muchos objetos, aún se cuentan por docenas y no por decenas, si bien han caído en desuso expresiones tales como "gruesa" (doce docenas) o "masa" (una docena de gruesas). 1. ¿A cuántas unidades equivale 5 docenas y 3 unidades? 2. ¿A cuántas unidades equivale 2 gruesas con 3 docenas?

3. Para el número 900, obtener la mayor cantidad de gruesas, de lo que sobre la mayor cantidad de docenas y luego las unidades que sobran, las cantidades encontradas escríbelas en la tabla. Gruesas

Docenas

Resolución de problemas 4. Calcular "a", si: aa3a6 = 64a9 5. Calcular "x + y + z" si los siguientes numerales están bien escritos:

36

y23q(x); z21(y); y3x(6); a2aa(z).

Unidades

11. Si: a3a(9) = b1b(5), hallar el valor de "a + b". 12. Un número entero se escribe como aab y bbb en los sistemas quinario y cuaternario respectivamente. Hallar "a + b". 13. Si: aa0(n) + aa(n) = 2237(8)

6. Calcular "a + b + c" en: a0(b); 31(a); 1b(c); c3(7).

hallar la suma de cifras de "R", sabiendo que: R = 2a + n.

7. Determina la suma de cifras, si el número n(n + 1)(n + 2)(n + 4)(6) se escribe en el sistema decimal.

14. Calcular "x . y", en: 1xy4(r) = r31(6)

8. ¿Cómo se escribe n(3n)(n – 3) en el sistema duodecimal?

Determine abc en base "c" y dar como respuesta la cifra de segundo orden.

15. Si: 13a(b) + 33b(c) + 136(a) = 44c

9. Si: (n – 1)n(n + 1)8 = 31111, calcular "n".

16. Determinar el valor de "x – y" en la expresión:

10. Hallar "a + b", si: ababab(3) = abb0(7)

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2x612 = 54y8 www.trilce.edu.pe


2

¡Tú puedes! 1. Hallar "a + b + c + n" sabiendo que: abc(5) = cbn(6), todas las cifras son significativas. a) 12 b) 16 c) 10 d) 8 e) 20 2. Se tiene que:

15 6 9 m m m

(7)

= (m – 1)(m – 3)(m – 1)(5 – m)(n)

Hallar "m + n" a) 4 b) 6 c) 3 d) 8 e) 2

3. Si: a(a + b)bb = mnmn(7), donde "m" no es impar, calcular el valor de "a + b + m + n" a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10 4. Si: aba(c) = mnc(9), m > 5 y además: xyz(a) = zyx(9), calcular "m + a + c + x + y + z". a) 21 b) 28 c) 29 d) 30 e) 26 5. Si: acb = cba + 2 y a + b + c = 24, expresar abc en el sistema hexadecimal. a) 351116

b) 37216

c) 36316

d) 31116

e) 38116

18:10:45

Practica en casa 1. Si se sabe que:

N = 2 × 63 + 5 × 62 + 3 × 6 + 1

¿Cómo se escribe el número "N" en base 6? Dar como respuesta la suma de sus cifras.

2. Hallar el valor de "a", en: 3a4(7) = 186 3. Hallar el valor de "a", si se sabe que:

2a2a(7) = 1 000

4. Si se sabe que los numerales: b45(8); aa3(b); 25(a) están correctamente escritos, hallar el valor de "a + b". 5. Sabiendo que: a02(9) = aa11(4), determinar el valor de "a". 6. Sabiendo que los numerales están correctamente escritos: 2m3(p); 54n(7); 213(m); 3p1(n), hallar el valor de "m + n + p". 7. Determinar el valor de "a", si:

8. Si se cumple que: 246(n) = 11α(12) (α = 10)

hallar el valor de "n".

9. Sabiendo que: ab3(4) = ba4(5) hallar el valor de "a + b". 10. Si se cumple que: 3a(2b)(6) = b0ba(5).

hallar el valor de "a + b".

11. Hallar el valor de "a + b + c", si: aaa(7) = bc1 12. Hallar el valor de "a", en: 13a0(4) = 120. 13. Determinar el valor de "b", en: b64 = b0b4(5). 14. Sabiendo que: a0b(11) = b0a(13)

hallar el valor de "a + b".

15. Al convertir el número n2n0(5) al sistema heptanario se obtiene un numeral de tres cifras consecutivas crecientes. Halle el numeral en base 6.

a 13(a–1)(a) = (a+1)( )(8). 2

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UNIDAD 2

37

3

Aritmética

Complemento Aprende más 1. Sea el conjunto: A = {a; b; {{a}}; {a; c}}, determinar cuántas son verdaderas. • • • • •

a ∈ A {a} ∈ A {{a}} ∈ A {a; c} ∈ A f ∈ A

• • • • •

{a} ⊂ A {{a}} ⊂ A {{{a}}} ⊂ A {a; b} ⊂ A f⊂A

2. En un grupo de 50 personas se sabe que 30 aprobaron Aritmética y 25 aprobaron Álgebra, ¿cuántas personas aprobaron Aritmética y Álgebra, si no hubo ningún desaprobado? 3. De un grupo de 30 personas, 20 van al teatro, 5 solo van al cine y 18 van al cine o al teatro, pero no a ambos sitios. ¿Cuántos van a ambos sitios? 4. De 65 alumnos se sabe que: 30 son hombres, 40 son mayores de edad y 12 señoritas no son mayores de edad. ¿Cuántos hombres no son mayores de edad? 5. Un depósito tiene inicialmente ab litros de agua. Se abre un caño que se encuentra en la parte superior de él y luego de media hora el depósito tiene ba litros de agua y media hora más tarde tiene a0b litros de agua. Hallar el caudal en litros por hora. 6. Hallar un número de dos cifras que sea igual a seis veces la suma de sus cifras. Indicar la diferencia de sus cifras. 7. Hallar "n", si: 222(n) = 182 8. Calcule "a + n", si se cumple que: 150n = a26 9. Un "gordito" ingresa a un restaurante en el cual se venden 5 platos distintos y piensa: "me gustan todos pero debo llevar como mínimo 2 platos y como máximo 4". ¿De cuántas maneras puede escoger el "gordito" los platos?

38

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10. Si: n(A) = 15; n(B) = 23 y n(A – B) = 8, calcular: n(A D B). 11. Dados los conjuntos: U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} A = {1; 2; 3; 4; 5} B = {1; 3; 5; 7; 9; 10} Hallar el valor de: (A ∪ B)' 12. Hallar "a + b + c", si: abab(5) = bcb 13. Hallar "n", si: 440(n) = 242(11) 14. Hallar "a + b", si se cumple que: aba(8) = 1106n 15. Si "A", "B" y "C" son subconjuntos de "U", y además se cumple:

U = {x ∈ / 3 < x < 20} A = {5; 8; 7; 11; 15; 19} B = {4; 5; 7; 6; 10; 15; 19} C = {6; 7; 8; 13; 14; 19} Hallar la suma de los elementos del conjunto:

[(A – B) ∩ C]'

16. Hallar "x + y", si: x(x + 1)x(9) = 6y6. 17. Si los siguientes numerales están bien escritos: 213(m); 10m(n); 2n4(p) y mnp(7), calcular "m + n + p". 18. Sabiendo que "A" tiene 128 subconjuntos en total, que el número de elementos de la intersección de "A" y "B" es 5 y que "B – A" tiene 16 subconjuntos, determinar el número de subconjuntos de A ∪ B.

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Complemento

3

¡Tú puedes! 1. Sean los siguientes conjuntos:

A = {x /x es peruano nacido en Lima} B = {x/x es un estudiante universitario} C = {x/x tiene un trabajo estable}

Si Juan es un joven nacido en Tacna que está matriculado en la universidad, que se ayuda económicamente dando clases particulares de vez en cuando; entonces Juan pertenece al siguiente conjunto: a) (A ∩ B) – C

b) B – (A ∪ C)

c) (B – A) ∩ C

d) (B – C ) ∩ A

e) (B – A ) ∩ (C – B )

2. En una academia de computación se observa que todos los que estudian Power Point estudian Corel Draw, 15 estudian Power Point, Corel Draw y Macromedia Flash, 60 estudian Macromedia Flash y 80 estudian Corel Draw. La cantidad de los que estudian Corel Draw y Macromedia Flash, pero no Power Point es el doble de los que estudian solo Macromedia Flash y a su vez es el triple de los que estudian solo Corel Draw. ¿Cuántos estudian Power Point pero no Macromedia Flash? a) 20

b) 25 c) 30 d) 45 e) 35

3. Sean "A", "B" y "C" tres conjuntos contenidos en un universo de 60 elementos. Si: (B – C) ∪ (C – B) tiene 40 elementos, el conjunto: A – (B ∪ C) tiene 10 elementos, la intersección de los tres conjuntos tiene 5 elementos y el conjunto: (B ∩ C) – A es vacío, ¿cuántos elementos tiene el conjunto: (A ∪ B ∪ C)'? a) 10 b) 0 c) 5 d) 4 e) 3 4. Sabiendo que un conjunto tiene 40 elementos y otro conjunto tiene 60 elementos y además la intersección de ellos tiene 30 elementos, hallar el número de elementos que tiene la intersección de los complementos de estos conjuntos, sabiendo que el cardinal del universo es 120. a) 60 b) 50 c) 40 d) 35 e) 70 5. Si: n(A)=160; n(B)=150; n(C)=120 y n(A ∪ B ∪ C)=180, calcular la cantidad mínima de elementos de (A ∩ B ∩ C). a) 110

b) 70 c) 100 d) 20 e) 50

18:10:45

Practica en casa 1. Si al restar un número de dos cifras con el que resulta de invertir el orden de sus cifras se obtiene 45, hallar el producto de las cifras del mayor número que cumple dicha condición. 2. Hallar "a + b", si se cumple: a2b(9) = a72(n) 3. Hallar "a + b", para que se cumpla: aba(8) = 1106(n) 4. Sean los conjuntos iguales:

A = {a2 + 1; 12} B = {a – b; 17}

¿Cuál puede ser el valor de "a + b"? Central: 619-8100

5. Hallar "a + b + n", si se sabe que: a2b(8) = a6(n – 1)(n) 6. A la biblioteca escolar "Trilce" asistieron 120 alumnos, de los cuales 64 leyeron libros de ciencias, 49 leyeron libros de humanidades y 18 leyeron ambos libros. ¿Cuántos estudiantes leyeron otros libros? 7. De 80 jóvenes que practican fútbol, basket y voley, se sabe que 27 de ellos no practican voley, 26 no practican fútbol, 30 no practican basket y 26 practican los tres deportes. ¿Cuántos practican exactamente dos deportes? UNIDAD 2

39

Aritmética

8. Hallar "m + n", si el conjunto "A" es unitario.

11. Sean los conjuntos "A", "B" y "C" tales que:

A = {2m – 6; n + 5; 18}

• • • • • • •

9. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda. A = {a; b; {a; b}; {{c}}} I. {b} ∈ A II. {c} ∈ A

III. f ∈ A IV. {b; a} ∈ A

10. De un grupo de 100 estudiantes se sabe que 49 no llevan psicología, 53 no llevan computación y 27 no llevan ninguno de los dos cursos. ¿Cuántos llevan exactamente un curso?

n(U) = 98 n(C) = 46 n[(B ∩ C) – A] = 7 n[(A ∪ B ∪ C)'] = 5 n(A) = n(B) = 41 n[(A ∩ B) – C] = 9 n[A – (B ∪ C)] = 18

Hallar: n(A ∩ B ∩ C)

12. Hallar "a + b + c", si los números están correctamente escritos: 234(a); aa(b); b35(c); 12c(8) 13. Calcular el valor de "a + b", si: 4ab(7) = 2ba(9) 14. El menor número de cuatro cifras de la base "n" excede al mayor número de dos cifras de dicha base "n" en 449. Dar el valor de "n". 15. Calcular el valor de "a + b", si:

40

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n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) = abb(6)

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UNIDAD 3

L

Conteo de números ¿Es difícil recordar un número telefónico?

a siguiente información es oficial del Ministerio de Transportes y Comunicaciones, que informa al público en general que a partir del sábado 5 de abril del 2008, se incrementa el número de dígitos de la numeración móvil, conforme al siguiente detalle: Para el departamento de Lima y provincia constitucional del Callao: 9

9

X

X X X X X Número telefónico móvil

X

Algunas compañías de publicidad han descubierto que a muchas personas les resulta difícil recordar un largo número telefónico, así que han convertido los números en letras, para formar una palabra fácil de recordar. Así por ejemplo: El número: El número: El número:

783742639 995927378 938424373

por QUERICO EY por WYLY A PERU por ZEVICHE PE

Estos códigos funcionan cuando marcas en tu celular. APRENDIZAJES ESPERADOS

•

Diferenciar los casos del uso del principio de adición y multiplicación.

Comunicación matemática

Resolución de problemas

• •

• • •

•

Identificar los términos de una sucesión. Determinar los elementos de la progresión aritmética. Determinar los valores de las cifras de un número.

Razonamiento y demostración •

Determinar la fórmula del término enésimo en una P.A.

• •

Usar la fórmula del término enésimo. Determinar los términos de una sucesión Determinar la cantidad de términos de una P.A. Usar el principio de multiplicación de análisis combinatorio. Determinar la cantidad de cifras en una sucesión.

1

Aritmética

Conteo de números En este capítulo aprenderemos: •

A identificar los términos de una sucesión.

•

A determinar los elementos de la progresión aritmética.

•

A usar la fórmula del término enésimo.

•

A determinar los términos de una sucesión.

•

A determinar la cantidad de términos de una P.A.

El calendario gregoriano

E

l año solar, definido como el tiempo que tarda la tierra en dar una vuelta completa al Sol, (órbita completa), presenta como grave dificultad el que no sea un número de días exacto, sino que es igual a 365 días y fracción. El calendario Juliano, establecido por Julio César, consideraba que el año duraba 364 días exactos. La diferencia con el año real era ajustada arbitrariamente por los sacerdotes paganos, operación que se realizaba en medio de la pugna de quienes de algún modo se beneficiaban con las diferencias de fecha que ocasionaban estos ajustes. El papa Gregorio quiso barrer con estos desaguisados y encargó la creación del calendario que hoy sigue vigente y que lleva su nombre. El calendario gregoriano se utiliza como calendario oficial mundial. Sin embargo existen en uso otros, por ejemplo, el calendario chino y el islámico, que rigen la vida de millones de personas..

Octubre 1582 4

5

6

7

1

2

3

8

9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Papa Gregorio XIII, impulsó el uso del calendario que lleva su nombre en todo el mundo occidental.

Como observas, en el calendario correspondiente a octubre de 1582, la suma de las fechas de los días de la penúltima semana es 147. •

42

Colegios

TRILCE

• ¿Cuánto será la suma de las fechas de los días de la última semana? ¿Qué relación tiene 17 con la suma de las fechas de los domingos de dicho mes? www.trilce.edu.pe

Conteo de números

1


2

5

3

6

4

7

8

9

10

12

11

13

14

16

17

18

15

Horizontales:

Verticales:

1. Suma de números pares menores que 8

1. 5! + 3

4. Cuadrado de 9

2. La mayor solución de: x2 + x – 6 = 0

5. Si: 7n + n = 51, el valor de "n" es:

3. Pasar 26(7) a base diez


4. El doble del cuadrado de 20, más 33

8. Sumar 143 y 192


9. Mayor número impar menor que 52

7. Mayor número de tres cifras en base 3

10. Una docena

10. Doce al cuadrado.

11. Cuadrado de 3

11. Mayor número de cuatro cifras diferentes

12. Número de tres cifras cuya suma de cifras es 13.

12. Cuadrado de 21

14. Pasar de 33(5) a base diez

13. Cinco centenas

15. Potencia de 2

18. Cuadrado perfecto

16. Número de cuatro cifras cuya suma de cifras es 15 17. Valor de "n", si: n3 + n = 350 18. Cuadrado de 20, más una decena

Central: 619-8100

UNIDAD 3

43

Aritmética

Conceptos básicos Progresión aritmética En esta secuencia de números, la diferencia de dos términos consecutivos es constante. Ejemplos:

•

Sea la progresión aritmética: 3; 7; 11; 15; 19; ... determine sus elementos

El primer término "a1" es 3 El segundo término "a2" es 7 El sexto término "a6" es 23 La razón de la P.A. es 4

•

Determina "a + b + c", si los números: 12; ab; 22; cb; ... forman una progresión aritmética.

12 ; ab ; 22 ; cb 123 123 123 +r +r +r

Así: 12 + 2r = 22, entonces: r = 5

Luego: ab = 12 + r = 17 y cb = 22 + r = 27

Entonces: a = 1; b = 7 y c = 2 ⇒ a + b + c = 10.

Propiedades

Término enésimo

En toda progresión aritmética, el lugar de cada término está relacionado con su valor. an = a1 + (n – 1)r

Ejemplo:

•

Sea "an = 3n + 7" la relación que describe los términos de una progresión aritmética, hallar los cuatro primeros términos

Cuando: n=1 ⇒ a1 = 3(1) + 7 = 10 Cuando: n=2 ⇒ a2 = 3(2) + 7 = 13 Cuando: n=3 ⇒ a3 = 3(3) + 7 = 16 Cuando: n=4 ⇒ a4 =3(4) + 7 = 19 La P.A. es 10; 13; 16; 19; ...

Cantidad de términos

Se debe conocer el primer término "a1" y el último término "an", además de la razón "r". a – a1 n= n +1 r

Ejemplo:

•

Determina la cantidad de términos de la siguiente P.A.: 3; 9; 15; 21; ... ...; 123. a1 = 3 an=123 r=6

44

Si el primer término de una P.A. es "a" y la razón es "r", los términos son: a; a + r; a + 2r; a + 3r; ...

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n=

123 – 3 + 1 = 21 términos 6

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Conteo de números

1

Así para determinar la cantidad de números de la serie natural: 7; 8; 9; 10; ...; 30 30 – 7 →n= + 1 =22 1

Síntesis teórica CONTEO DE NÚMEROS I Sucesiones numéricas

Término enésimo

Ley de formación

Progresión aritmética

La diferencia de dos términos consecutivos es constante

Término enésimo

• En la P.A.: 12; 17; 22; 27; ... La razón es 5 • En la P.A.: 12; 18; 24; 30; ... La razón es 6

• La sucesión: an = 2n2 + 3 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 5 11 21 35 ... 2n

–2 • La sucesión: an = n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 0 2 6 14 ...

an = a1 + (n – 1)r "a1" es el primer término "r" es la razón

El término enésimo de:

Calcula un término:

• La P.A.: 12; 17; 22; 27; ... La razón es 5 El primer término es 12 an = 12 + 5(n – 1) ⇒ an = 5n + 7

En la P.A.: an = 5n + 7 El vigésimo término es: a20 = 5(20) + 7 = 107

• La P.A.: 11; 17; 23; 29; ... La razón es 6 El primer término es 11 an = 11 + 6(n – 1) ⇒ an = 6n + 5 Central: 619-8100

UNIDAD 3

45


Aplica lo comprendido 1. Complete la progresión aritmética:

2; 7; 12; 17; ..........; ..........; ..........; ..........; 42

Luego identifica:

3. Sea la progresión aritmética definida por la fórmula: an = 6n + 7, luego: El "a6" es: ................. El "a8" es: .................

• La razón de la P.A. es:

4. En la progresión aritmética: 3; 7; 11; 15; ...; 31

• El quinto término de la P.A. es:

Identifica:

• La cantidad de términos de la P.A. es: 2. En la siguiente progresión aritmética:

12; 19; ab; cd; ...

El primer término es ............, la razón es ........ y además el cuarto término es ......

r=

a1 =

an = a – a1 Luego, reemplaza en: n = n +1 r

5. Determina la cantidad de términos de la siguiente P.A.:

5; 12; 19; 26; ... ...; 75 10 x 5 50

Aplica lo comprendido Aplicación cotidiana Milenka compra el primer día de cada mes dos o tres de los siguientes informativos, (considera que solo puede comprar el día que se publica): "Entérate" cada 6 días y tiene un costo de S/. 2,00 "Ganador" cada 8 días y tiene un costo de S/. 2,50 También el semanario "Perú-Ganador" que se publica los domingos y tiene un costo de S/. 4,00. Si el primero de este mes fue domingo; entonces: 1. Escribe los días de este mes, que compra "Perú-Ganador". • ¿Cuál es la razón de la progresión? 2. Escribe los días de este mes, que compra "Ganador". • ¿Qué tipo de progresión forman estos números? • ¿Cuál es la razón de la progresión? 3. ¿Cuántos diarios y qué inversión en ellos hace en el mes? Resolución de problemas 4. Hallar el trigésimo quinto término de la siguiente progresión aritmética: 47; 51; 55;................... 5. Determina la razón de la siguiente progresión aritmética: 42(6); 51(6); 100(6); ... 6. Calcula "m + n + p", si los números: 15; mn; np; 39; ... son términos de una progresión aritmética.

46

Colegios

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7. Hallar "a + b + c + d", si los números: aa; b3; b8; c0d; ... forman una progresión aritmética. 8. Si una progresión aritmética tiene 16 términos, hallar el quinto término, sabiendo que el primero es 36 y el último 81. 9. ¿Cuántos numerales hay entre 120(5) y 135(7)?

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Conteo de números

10. Hallar la cantidad de términos que tiene la progresión aritmética: m4; m7; ...; (m + 3)7 11. ¿Cuántos términos hay en la siguiente progresión aritmética? 33(n); 40(n); 45(n); ...; 216(n) 12. El primer y último término de una progresión aritmética son mm y 42m respectivamente. Si la razón es "m" y el número de términos es 51, hallar el término vigésimo octavo. 13. En la siguiente progresión aritmética creciente: aaa; ab4; ac1; ..., hallar el valor de "a + b + c".

14. Si se sabe que las medidas de los ángulos de un triángulo forman una progresión aritmética y que uno de ellos mide 20 grados sexagesimales, hallar el valor del mayor ángulo.

1

15. La suma del primer y cuarto término de una progresión aritmética es 15 y la suma del quinto con el octavo término es 39. Hallar el primer término aumentado en la razón. 16. Si los términos de una progresión aritmética son: p + q; 4p – 3q; 5q + 3p, determinar la relación entre "p" y "q".

¡Tú puedes! 1. Hallar el número de términos en cada sucesión: A: 13; 16; 19; ...; 82

B: 27; 35; 43; ...; 347

C: 231; 232; 233; ...; 1 528

D: –26; –17; –8; ...; 3 304

E: –51; –46; –41; ...; 199 Hallar: A + B + C + D + E a) 1 785

b) 1 761

c) 1 782

d) 1 733

e) 1 735

2. En una progresión aritmética, la razón es el doble del primer término y el número de términos es el triple del primer término. Si el último excede al primero en 82 veces el primer término, encontrar el valor de la razón. a) 7 b) 14 c) 28 d) 21 e) 42 3. Calcular el número de términos de la siguiente progresión aritmética:

3; …...; 23; ……; 59 123 123

"n" términos "2n" términos

a) 12 b) 15 c) 18 d) 17 e) 16 4. Hallar "a + n + b", si la siguiente progresión aritmética tiene 28 términos.

aa(n); a(a + 1)(n); a(a + 2)(n); b0(n); ... ; 100(n) a) 13 b) 27 c) 24 d) 29 e) 31

5. Si los siguientes números forman una progresión aritmética: 54(n); 70(n); 88(n); …; 386(n), calcular el lugar que ocupa el término de la progresión que tiene la forma: kkk en base 10. a) 16 b) 28 c) 35 d) 20 e) 24

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UNIDAD 3

47

Aritmética 18:10:45

Practica en casa 1. En una P.A de 48 términos, el primer término es 14 y el último 296. El término décimo cuarto es: 2. El tercer y noveno término de una progresión aritmética es respectivamente 6 y 30. Calcula el quinto término de ella. 3. En la siguiente progresión aritmética: 23n; 30n; 34n; ...;155n

la cantidad de términos, es:

4. En una progresión aritmética, el tercer término es 3 y el séptimo término es 35, ¿cuál es la razón de la progresión?

8. En la siguiente progresión aritmética:

3a; 39; b3; ...; ab3

la cantidad de términos es:

9. Hallar el número de términos de la siguiente progresión aritmética:

10. Si en la siguiente progresión aritmética se tiene: mm términos, hallar el valor de "m".

6. La suma de los tres primeros términos de una progresión aritmética es 18 y el producto entre el primer y tercer término es 20. Determina el primer término de dicha progresión. 7. Hallar la suma de los términos vigésimo cuarto y cuadragésimo segundo de la siguiente progresión aritmética: 81; 85; 89; ...

48

Colegios

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mm; mm + m; mm + 2m; ...; 456

11. Calcula "n" para que los números: 10(n); 100(n); 150(n);………..

5. La suma de los tres primeros términos de una progresión aritmética es 21 y el producto del primer y segundo término es 35. Determina la razón de dicha progresión.

2n+3; 2n+6; 3n+2; ...; 137

formen una progresión aritmética

12. La cantidad de números de tres cifras, que son múltiplos de 5, en la base 10, es: 13. Hallar "a", en la siguiente progresión aritmética que tiene 37 términos: 10a; 116; ...; a01 14. En una progresión aritmética de cinco términos, el primer término es 3 y su razón es 7. Calcular el valor del quinto término. 15. Calcular la razón de una progresión aritmética de 51 términos, si el último término excede al primero en 350.

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Método combinatorio


2

En este capítulo aprenderemos: • • •

A determinar los valores de las cifras de un número. A diferenciar los casos del uso del principio de adición y multiplicación. A usar el principio de multiplicación de análisis combinatorio.

Las letras que no se utilizarán son Ch, Ll y la Ñ, además que se podrán hacer de tres colores. • ¿Cuántas placas diferentes se podrán obtener? Central: 619-8100

UNIDAD 3

49

Aritmética


2

4

5

7

6

8

9

12

10

11

13

14

15

19

16

20

17

21

22

23

Horizontales:

18

24

Verticales:

1. Le falta 27 para media centena

1. Tres grupos de 7

4. 9 manos

2. Tres centenas

6. Número par primo

4. Cuadrado de 21

7. Menor número par de cuatro cifras diferentes

5. Media decena

8. Media centena

6. Menor número de tres cifras pares diferentes

9. Cifra no significativa


10. Menor número de cuatro cifras significativas diferentes

11. Menor número de cuatro cifras significativas pares diferentes

12. Número no primo, no compuesto

12. 5 + 5 × 28

14. La mitad de 9 centenas



15. Media decena

19. Una mano

17. Número par primo

20. El doble de 144

18. 7 × 34

22. Máximo número en un dado

21. Número capicúa de dos cifras

23. Número capicúa de tres cifras

23. Dos al cubo

24. Le falta 23 para ser 40

50

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2

Conceptos básicos Método combinatorio Es una teoría muy amplia que permite contar los diferentes casos o formas que se presentan en una actividad, en Aritmética usaremos los principios fundamentales de este método.

Principios fundamentales

De adición

Cuando se debe escoger entre dos actividades, la cantidad de formas es la suma de cada una de ellas. A: "m" formas

B: "n" formas

A o B (escoger una de ellas) "m + n" Ejemplo:

•

Carlos tiene:

Zapatillas: 4 pares diferentes Zapatos: 3 pares diferentes Sandalias: 2 pares diferentes

¿De cuántas formas diferentes puede escoger un par de calzados? Como vemos no puede escoger un zapato con una zapatilla, entonces escogerá: Zapatilla o zapato o sandalias:

4 + 3 + 2 = 9 casos diferentes

De multiplicación

Cuando se deben escoger dos actividades, la cantidad de formas es el producto de cada una de ellas. A: "m" formas B: "n" formas A y B (escoger ambas) "m . n"

"A" o "B" implica escoger uno de ellos.

"A" y "B" implica que se escogerá ambos

Ejemplo:

•

Milenka, alumna del colegio debe exponer y para ello se puede vestir con:

Pantalón: azul, negro, blanco Blusa: rosada, blanca, amarilla, verde

¿De cuántas formas diferentes puede vestirse para la exposición?

Debe escoger un pantalón (3 casos) y una blusa (4 casos), ambos entonces:

Pantalón y blusa: 3 × 4 = 12 combinaciones

Aplicación en Aritmética Utilizaremos estos principios para determinar la cantidad de números, cuyas cifras tienen características especiales. Ejemplo:

•

¿Cuántos números de tres cifras empiezan en cifra par y terminan en cifra impar?

Sean los números abc donde: •

"a" es par (2; 4; 6; 8)

•

"c" es impar (1; 3; 5; 7; 9)

Central: 619-8100

UNIDAD 3

51

Aritmética

•

"b" no tiene restricción (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9)

Y como es necesario las tres cifras para formar el número (principio de multiplicación) a

b

c

Tiene 4 valores

Tiene 10 valores

Tiene 5 valores

La cantidad de números es: 4 × 10 × 5 = 200

Síntesis teórica CONTEO DE NÚMEROS II Método combinatorio Principio de adición

Principio de multiplicación

Sean "A" y "B" dos actividades independientes A o B <> A + B

Sean "A" y "B" dos actividades independientes A y B <> A × B

Con 4 pares de zapatillas y 3 pares de zapatos, ¿de cuántas formas puedo escoger ambos?

Con 4 pantalones y 3 blusas, ¿de cuántas formas puedo vestirme? Se escogerá: pantalón y blusa

Se escogerá: zapato o zapatilla

4 × 3 = 12 formas

3+4=7

¿Cuántos números tienen tres cifras

¿Cuántos números capicúas de cuatro cifras existen?

¿Cuántos números: (2a)a(4b)(c + 1)c existen?

Son abc

Son abba

Son (2a)a(4b)(c + 1)c

a = 1; 2; 3; ...; 9 → 9 valores b = 0; 1; 2; ...; 9 → 10 valores c = 0; 1; 2; ...; 9 → 10 valores Son: 9×10×10 = 900 números

52

Colegios

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a = 1; 2; 3; ...; 9 → 9 valores

a = 1; 2; 3; 4 → 4 valores

b = 0; 1; 2; ...; 9 → 10 valores

b = 0; 1; 2 → 3 valores

Son: 9 × 10 = 90 números

c = 0; 1; 2; ...; 8 → 9 valores Son: 4×3×9 = 108 números

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Método combinatorio 10 x 5 50

2

Aplica lo comprendido 1. Si los valores de "a" son 2; 3 y 4, entonces los valores del número a3(a + 2) será:

3. ¿Cuántos números de la forma: ab

• Con: a = 2 → ………………………….

existen?

• Con: a = 3 → ………………………….

4. Sean los números de la forma: (a + 1)b(2a)(4b)

• Con: a = 4 → …………………………. 2. Determina el número a3

b (3a) 3

• Cuando "a" es 4 y "b" es 1 el número que se forma es: • Cuando "a" es 3 y "b" es 0 el número que se forma es:

a 2 cuando: 2

• a = 2 → ………………………….

5. Sea el número: ab(2a)(4b), para estar correctamente escrito los valores:

• a = 4 → …………………………. • a = 6 → ………………………….

• De "a" son:..................... • De "b" son:......................

Aprende más Aplicación cotidiana

PASAJE OLAYA

CALLE PORTA

AV. CAMINOS DEL INCA

AV. LARCO

AV. SUCRE

AV. BENAVIDES

AV. BRASIL

AV. AVIACIÓN

A continuación se tiene un croquis de las avenidas principales de una ciudad

AV. AREQUIPA

CASA

•

¿De cuántas formas se puede llegar de la casa a la iglesia usando el camino más corto (sin salir del croquis)?, si:

1. Se utiliza solo dos avenidas 2. Solo se desplaza por las avenidas 3. Debemos ir a la iglesia utilizando solo tres avenidas Resolución de problemas 4. ¿Cuántos números impares de tres cifras existen en el sistema decimal?

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5. ¿Cuántos números de cuatro cifras pares existen en el sistema decimal? 6. ¿Cuántos números pares de tres cifras en el sistema decimal, no utilizan al 2 en su escritura? UNIDAD 3

53

Aritmética

a c 2

12. Hallar cuántos números de cuatro cifras tienen por lo menos una cifra par, pero no todas sus cifras pares, en el sistema decimal.

8. Calcular cuántos números de tres cifras en el sistema decimal solo utilizan un 3 en su escritura.

13. ¿Cuántos números de cuatro cifras tienen como suma de dígitos un número menor o igual a 33 en base 10?

7. ¿Cuántos números de la forma: a(2b)b existen?

9. Hallar cuántos números de tres cifras en el sistema decimal tienen dos cifras iguales. 10. Hallar cuántos números de tres cifras tienen por producto de cifras un número par, en el sistema decimal. 11. Hallar cuántos números de tres cifras tienen por producto de cifras cero, en el sistema decimal.

14. ¿Cuántos números de cuatro cifras diferentes existen en base 7? 15. ¿Cuántos números de cinco cifras de base 7 comienzan en 5 y terminan en 3? 16. ¿Cuántos números de quince cifras tienen como producto de cifras 15?

¡Tú puedes! 1. ¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con los nueve dígitos no nulos del sistema decimal? a) 500 b) 450 c) 720 d) 729 e) 504 2. ¿Cuántos números de tres cifras en base 10 se podrían formar, si los dígitos son no nulos y pueden repetirse? a) 500 b) 450 c) 720 d) 729 e) 504 3. ¿Cuántos números de la forma abba en base 16, son tales que la suma de sus cifras es 46? a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 4. ¿En qué sistema de numeración existen 56 números de la forma: aba? a) base 6

b) base 7

c) base 8

d) base 9

e) base 11

5. ¿En qué sistema de numeración hay 180 números de la forma: a(a – 2)b(2b – 1)c a) base 6

b) base 8

c) base 9

d) base 11

c ? 3

e) base 12 18:10:45

Practica en casa

54

1. ¿Cuántos números de tres cifras del sistema decimal, comienzan en cifra par y terminan en cifra impar?

3. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes en base 10, se pueden escribir utilizando solo las cifras 2; 3; 4; 5 y 6?

2. ¿Cuántos números de tres cifras significativas se pueden escribir en el sistema decimal?

4. ¿Cuántos números de tres cifras existen en el sistema decimal, tal que el producto de sus cifras sea un número impar?

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5. ¿Cuántos números de cuatro cifras en el sistema decimal, poseen por lo menos tres cifras 5 en su escritura?

10. En el sistema de base 6, ¿cuántos números de cinco cifras comienzan en cifra impar, teniendo sus demás cifras pares?

6. ¿Cuántos números de cuatro cifras, todas distintas entre sí, existen en el sistema heptal?

11. ¿Cuántos números de cuatro cifras, todas impares y distintas entre sí, existen en el sistema de numeración undecimal?

7. ¿Cuántos números de tres cifras del sistema decimal tienen por lo menos una cifra par y una cifra impar?

12. ¿Cuántos números capicúas están comprendidos entre 200 y 650?

8. ¿Cuántos de los números de cinco cifras en el sistema heptal tienen la cifra central impar, además terminan en 2 o 5, la cifra de segundo orden no sea impar y las otras cifras sean significativas? 9. ¿Cuántos números de cuatro cifras en el sistema decimal comienzan en 7?

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2

13. ¿Cuántos números de tres cifras del sistema de numeración octal, utilizan la cifra 2 en su escritura? 14. ¿Cuántos números naturales de tres cifras del sistema decimal existen, que no utilizan la cifra 2 ni la cifra 3 en su escritura? 15. ¿Cuántos números de cinco cifras de base 7, comienzan en 4 y terminan en 6?

UNIDAD 3

55

3

Aritmética

Conteo de cifras En este capítulo aprenderemos:

E

•

A determinar los valores de las cifras de un número.

•

A determinar la fórmula del término enésimo en una P.A.

•

A diferenciar los casos del uso del principio de adición y multiplicación

•

A usar el principio de multiplicación de análisis combinatorio.

Un monumento para hablar de Gauss n la universidad de Gotinga hay un monumento dedicado a Gauss... Vamos a dedicar un rato a conocer a uno de los mayores genios de la historia de las matemáticas: Gauss.

Siendo niño calculó una suma de una forma ingeniosa. Explica el episodio y su relación con la fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética. También es el autor de una forma de construir, con regla y compás, un polígono regular de 17 lados. Suponiendo que el lado de ese polígono es conocido, encuentra una fórmula para hallar su área en función (exclusivamente) de la longitud conocida del lado. Los números complejos, ¿qué clase de números son? Explica alguna aportación de Gauss al conocimiento de estos números. Como puedes imaginar, Gauss conoció a mucha gente a lo largo de su vida... Elabora una biografía suya De entre la gente que no conocía en persona y con la que mantenía correspondencia, había alguien que le enviaba las cartas firmadas con un seudónimo. ¿Quién era? ¿Por qué no mostraba su verdadera identidad? ¿Cómo lo supo Gauss? Recoge los principales datos biográficos de este personaje escondido.

56

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Conteo de cifras

3


2

3

4

7

10

5

8

11

15

13

16

17

19

9

12

14

6

18

20

21

22

Horizontales:

Verticales:

1. Cuadrado de 11

2. El número que sigue en: 16; 20; 24; ....

4. Potencia de 2 de cuatro cifras

3. Capicúa de tres cifras

7. Mayor número de cinco cifras diferentes

4. Cuadrado de 13

9. Decena y media

5. Cubo de 6


6. Suma desde el 1 hasta 9

12. Número de tres cifras consecutivas

7. Mayor número de tres cifras

14. Nueve centenas

8. La suma del 1 al 10

15. Número de cuatro cifras consecutivas decrecientes

11. Menor número de tres cifras

17. Múltiplo de 256 de cuatro cifras

13. Capicúa de cuatro cifras cuya suma de cifras es 16

18. Menor capicúa de dos cifras


19. Cuatro docenas

16. Cubo de 7

20. Número capicúa de cinco cifras

17. Menor número de tres cifras pares significativas


18. Múltiplo de 91 de tres cifras

22. Cuadrado de 11

20. Cinco quincenas

Central: 619-8100

UNIDAD 3

57

Aritmética

Conceptos básicos Progresión aritmética En esta secuencia de números la diferencia de dos términos consecutivos es constante.

Término enésimo

En toda progresión aritmética, el lugar de cada término está relacionado con su valor. an = a1 + (n – 1)r

Cantidad de términos Se debe conocer el primer término "a1" y el último término "an", además de la razón "r".

Si el primer término de una P.A. es "a" y la razón es "r", los términos son: a; a + r; a + 2r; a + 3r; ...

a – a1 n= n +1 r


De adición

Cuando se debe escoger entre dos actividades, la cantidad de formas es la suma de cada una de ellas. A: "m" formas

B: "n" formas

A o B (escoger una de ellas) "m + n"

De multiplicación

Cuando se deben escoger dos actividades, la cantidad de formas es el producto de cada una de ellas. A: "m" formas

B: "n" formas

A y B (escoger ambas) "m . n"

Cantidad de cifras Cuando se escribe una secuencia se utiliza cierta cantidad de cifras, para determinar esa cantidad se debe conocer la cantidad de cifras de cada término. Ejemplo:

•

Determina la cantidad de cifras que se requieren para escribir los números de la sucesión:

2; 4; ...; 124; 126; 128

Agrupemos los números por la cantidad de sus cifras 2; ..................; 8; 10; .....................; 98; 100; .................; 128 1442443 144424443 144424443 8–2 98 – 10 128 – 100 + 1 = 4 #S + 1 = 45 #s + 1 = 15 #S 2 2 2

58

La cantidad de cifras es: 4(1) + 45(2) + 15(3) = 139 cifras

Colegios

TRILCE

En la numeración de libros, a las cifras también se les llama tipos de imprenta.

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Conteo de cifras

3

NOTA: Para determinar la cantidad de cifras de la sucesión: 1; 2; 3; 4; ...; N Siendo el último número "N" de "k" cifras k(N + 1) – 123 111 ... "k" cifras

Esta fórmula se aplica solo cuando la serie empieza en 1 y la razón es 1.

Síntesis teórica COMPLEMENTO DE CONTEO DE NÚMEROS

Progresión aritmética


Término enésimo

Cantidad de términos

De adición

De multiplicación

an = a1 + (n – 1)r

a – a1 +1 n= n r

Sean "A" y "B" dos actividades independientes:

Sean "A" y "B" dos actividades independientes:

A o B <> A + B

A y B <> A . B

Cantidad de cifras ¿Cuántas cifras hay en la siguiente sucesión?

1; 3; 5; 7; ... ; 149 1; ..................; 9; 11; .....................; 99; 101; .................; 149 1442443 144424443 144424443 9–1 99 – 11 149 – 101 + 1 = 5 #S + 1 = 45 #s + 1 = 25 #S 2 2 2 Cantidad de cifras: 5(1) + 45(2) + 25(3) = 170 cifras

Nota: Cantidad de cifras K(N + 1) – 11 ... 111 14243 "K" cifras Central: 619-8100

UNIDAD 3

59


Aplica lo comprendido 1. Complete la progresión aritmética:

4. Si escribimos: 001; 003; 005; ...; 017.

3; 7; 11; .... ; 35

Entonces:

Luego, la cantidad de números de dos cifras es:

b 2. ¿Cuántos números de la forma: (a + 2)(2a) b 3 existen? • Valores de "a": • Valores de "b":

• La cantidad de números escritos es: • La cantidad de ceros que se utilizan es: 5. De la sucesión: 1; 2; 3; 4; ... ...; 999 • La cantidad de números de una cifra es: • La cantidad de números de dos cifras es: • La cantidad de números de tres cifras es:

3. ¿Cuántos números de la forma: abba(5) existen? • Valores de "a": • Valores de "b":

10 x 5 50

Aplica lo comprendido 1. Para escribir los números: 12; 15; 18; ...; 99, ¿cuántas cifras se requieren?

9. En la numeración de las 5ab páginas de un libro se usan 15ab cifras. El valor de "a + b" es :

2. ¿Cuántas cifras se requieren al escribir los números: 2; 6; 10; 14; ...; 50?

10. La cantidad de cifras que se emplearon al escribir la secuencia : 45 ; 46 ; 47 ; 48; ...; 218, es:

3. Para escribir: 001; 002; 003; ... ; 099, ¿cuántos ceros inútiles se escribieron?

11. Si al numerar un libro se han empleado 1 830 cifras, entonces, la cantidad de páginas que terminan en la cifra 8, es:

4. En la siguiente progresión aritmética: 47; 51; 55; ... ¿cuántas cifras se usarán en los números de dos cifras? 5. ¿Cuántas cifras se necesitarán para escribir las páginas impares de un libro de 428 páginas? 6. En la numeración de las últimas 30 páginas de un libro se han empleado 107 cifras. ¿Cuántas páginas tiene el libro? 7. Para numerar un libro de 2ab páginas se han empleado 6ab cifras. ¿Cuántas cifras se emplearán al numerar un libro de bab páginas? 8. En la numeración de las últimas 40 páginas de un libro se han empleado 147 cifras. ¿Cuántas páginas tiene el libro?

60

Colegios

TRILCE

12. La cantidad de cifras 5 que se usan al escribir todos los números naturales desde el 80 hasta 800, es: 13. ¿Cuántos números de la forma: (a + 2)b

a (b + 1) existen? 2 13

14. ¿Cuántos números de la forma: (a + 2)(2a)

b b (8) 3

existen? 15. Hallar cuántos numerales de la forma: (a – 2)(5 – b)

a+1 (b + 6)(2c – 5) existen. 3 15 www.trilce.edu.pe

Conteo de cifras

3

¡Tú puedes! 1. ¿En qué sistema de numeración existen 175 números de la forma: 2(a + 1)(a – 1)b(4 – b)2c? a) base 6

b) base 7

2. ¿Cuántos números de la forma: (n + 5) a) 75

c) base 8

d) base 9

e) base 10

n m 2p m p existen en base 15? 2 3 7

b) 150

c) 775

d) 1 125

e) 2 250

3. Un libro tiene entre 1 000 y 2 000 páginas y se han utilizado 81 tipos para numerar las 25 últimas páginas impares. Si la última página está numerada con número par, hallar la suma de las cifras de este número. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 12 4. Se han arrancado las 50 últimas hojas de un libro, notándose que el número de tipos de imprenta que se han utilizado en su enumeración, ha disminuido en 361. ¿Cuántos tipos de imprenta se han utilizado en la enumeración de las hojas que quedaron? a) 1 444

b) 1 872

c) 2 772

d) 4 800

e) 5 400

5. ¿En qué sistema de numeración existen 55 numerales de tres cifras, cuya cifra central es la suma de sus cifras extremas? a) 7 b) 8 c) 9 d) 11 e) 10 18:10:45

Practica en casa 1. La cantidad de cifras que se usan al escribir los 724 primeros enteros positivos, es:

9. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes existen en el sistema quinario?

2. Para escribir los números: 6; 9; 12; 15; 18; ...; 99, ¿cuántas cifras se requieren?

10. De los números capicúas de tres cifras en base 10, ¿cuántos hay tal que la suma de sus cifras es par?

3. Para escribir los números capicúas de cuatro cifras en base 10, ¿cuántas cifras se utilizarán? 4. ¿Cuántas cifras se requieren al escribir los números: 5; 10; 15; ...; 70?

11. De los números de tres cifras, las tres cifras impares, ¿cuántas cifras se utilizan tales que sean diferentes?

5. ¿Cuántas cifras se requieren para escribir los números de cuatro cifras, las cuatro impares?

12. De los números comprendidos entre 300 y 700, ¿cuántas cifras se utilizan?

6. De los números que están comprendidos entre 200 y 500, ¿cuántas cifras se usarán en los números impares?

13. Al escribir la secuencia: 1; 2; 3; ...; N, se han utilizado 963 cifras; entonces, el valor de "N", es:

7. ¿Cuántos números de la forma: (a – 2)(2a)(4b)b(9) existen?

14. Si al numerar las páginas de un libro se han empleado 1 476 cifras, entonces la cantidad de páginas que tiene el libro, es:

8. ¿Cuántos números de la forma: a(2a) existen? Central: 619-8100

b cb (7) 3

15. La cantidad de cifras que se emplearon al numerar un libro de 428 páginas, es: UNIDAD 3

61

4

Aritmética

Repaso Aprende más 1. Dado el conjunto:

A = {3 ; {2} ; {1 ; 2}}

Coloque el valor de verdad en cada caso: I. 2 ∈ A II. {1} ⊂ A IV. {1; 2} ∈ A V. {2} ⊂ A

III. {3} ⊂ A VI. φ ∈ A

2. De los conjuntos "A" y B", se sabe que:

n(A) = 30; n(B) = 18 y n(A ∪ B) = 40

hallar: n(A ∩ B).

9. Se dispone de 5 frascos de témperas de diferentes colores, los cuales se combinarán para obtener colores distintos a los que se tiene originalmente. ¿Cuántos nuevos colores se obtendrán? 10. Entre dos secciones de 4to año del Colegio Trilce hay 65 alumnos entre hombres y mujeres. Se realizó una encuesta sobre la preferencia de programas de televisión, obteniéndose los siguientes resultados: • A 17 hombres les gusta "Los Caballeros del Zodiaco". • A 16 hombres les gusta "Candy". • A 15 hombres y 18 mujeres no les gusta ninguno de los dos programas. • A 15 personas les gusta los dos programas. • A 10 personas solo les gusta "Los Caballeros del Zodiaco". • Hay 36 hombres en el salón.

3. Si se sabe que: n(A ∪ B) = 70; n(A – B) = 18 y n(A) = 41

hallar el valor de: n(A D B).

4. La suma de las cifras de un número de dos cifras es 11 y si al número se le suma 27, las cifras del número se invierten. Hallar el producto de las cifras del número. 5. La diferencia de las cifras de un número ab es 3. Si a este número se le agrega el doble del mismo pero con las cifras invertidas, resulta 102. Hallar "a + b" 6. Si a un número de tres cifras que empieza en 9, se le suprime esta cifra, el número resultante es 1/21 del número original. La suma de las cifras de dicho número es:

62

Averiguar a cuántas mujeres les agrada solo "Candy".

11. ¿Cuál es el menor número capicúa del sistema de base 12 que se escribe con cinco cifras en el sistema de base 5? Dar como respuesta la suma de cifras del número expresado en base 10. 12. ¿Cuántos números se escriben con tres cifras tanto en base 6 como en base 9? 13. Hallar el término quincuagésimo en la siguiente progresión aritmética: 123n; 128n; 132n; ...

7. Hallar el término de lugar 38 en la siguiente progresión aritmética: 17; 23; 29; ….

14. ¿Cuántos números de cuatro cifras mayores que 3 000 se pueden formar con las cifras: 0; 1; 3; 4; 5; 7; 8 y 9?

8. Una persona nació en el año 19aa y en el año 19bb cumplió "a + 2b" años. ¿Cuántos años cumplió en el año 1990, si además se sabe que nació en la segunda mitad del siglo pasado?

15. ¿Cuántos números de la forma: b a(b + 2)(a – 1) c existen en el sistema de 2 numeración nonario?

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Repaso

4

¡Tú puedes! 1. ¿Cuántas cifras tiene: 111 ... 1 (4) cuando se representa en el sistema octal? 123 40 cifras

a) 21 b) 28 c) 29 d) 30 e) 31 2. ¿Cuántos números existen de la forma: (2a)

b (c + 1) (7)? 3

a) 343 b) 252 c) 294 d) 280 e) 210 3. ¿Cuántos números de tres cifras en el sistema heptal, son impares y terminan en 2? a) 42 b) 21 c) 49 d) 20 e) 40 4. ¿En cuántos números de cuatro cifras, el producto de sus cifras es par? a) 7 200

b) 8 375

c) 7 500

d) 500

e) 625

5. En un autobús internacional viajan 32 pasajeros entre peruanos y extranjeros, de ellos 9 son mujeres y extranjeras, 6 niños extranjeros, 8 extranjeros de sexo masculino, 10 niños, 4 niñas extranjeras, 8 señoras y 7 señores. ¿Cuántas niñas peruanas hay en el autobús? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 18:10:45

Practica en casa 1. Dado el conjunto:

A={x+1/x∈

Indicar los enunciados verdaderos:

; 4 < 2x+1 < 14}

I. La suma de sus elementos es 25. II. Tiene 31 subconjuntos propios. III. Su mayor elemento es 6. 2. Si: n[P(A)] = 128 y n[P(B)] = 32

¿cuál de los enunciados nunca se cumple? I. A ∪ B tiene 12 elementos II. A ∩ B tiene 6 elementos III. A – B tiene 4 elementos

3. Si: A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 8; 10} A ∩ B = {3; 5; 8}

hallar: n(A ∆ B)

4. Sean "A", "B" y "C" tres conjuntos, la intersección de los tres tiene 5 elementos y la unión de los tres tiene 50 elementos. Si la unión de "A" y "B" tiene 35 elementos y se sabe que cada intersección de dos de ellos tiene 10 elementos, ¿cuántos elementos tiene el conjunto "C"? Central: 619-8100

5. Se dieron tres exámenes para aprobar un curso y se observó lo siguiente: que el número de los que aprobaron los tres exámenes es igual al número de los que desaprobaron los tres exámenes e igual a 1/3 de los que aprobaron solo dos exámenes e igual a 1/5 de los que solo aprobaron un examen. ¿Qué porcentaje del total de los alumnos aprobaron el curso, si para aprobarlo es necesario que aprueben por lo menos dos exámenes? 6. Dado: ab(c+3) = cab , además: a + b + c = 19, donde "b" y "c" son números pares, hallar "a . b . c". 7. Se tiene que: abcd(m+2) = (15/m)(6/m)(9/m)(7)

hallar "a + b + c + d".

8. Hallar "a + b + m + n", si: a06(m)= b302(n) y a11(m) = b305(n) 9. ¿Cuántos tipos de imprenta se usan en la numeración de un libro de 111 ... 110 páginas? 14243 "n" cifras

UNIDAD 3

63

Aritmética

10. ¿Cuántos términos hay en la siguiente progresión aritmética:

4a ; 49; b4; ... ; 6(a/2)(2b – 1)?

11. Señalar cuántos términos tiene la siguiente P.A.: 78 ; ab; ac; ... ; abc

sabiendo además que: a + b + c = 19.

12. Calcular "a + b + n", en la siguiente P.A.:

a3(n); a5(n); (a + 1)1(n); 4b(n); ...

13. ¿Cuántos números de cuatro cifras de la base quince terminan en 2; 4 ó 6? 14. ¿Cuántos números de cuatro cifras (sin considerar el cero) tienen sus cuatro cifras consecutivas? 15. ¿Cuál es la base del sistema de numeración en el cual existen 20 números de tres cifras consecutivas crecientes?

64

Colegios

TRILCE

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UNIDAD 4

Tres formas de visualizar a Lego: Al fondo: "ciudadanos" de Legoland. Abajo a la izquierda, fachada de la entrada al parque temático Legoland, en Billund, Dinamarca, abajo hacia el centro, el imaginario mapa de Legoland.

Teoría de los números

E

¿Qué es Lego?

l 28 de enero de 1918, Ole Kirk Christiansen abrió un negocio de carpintería, y se ganó la vida construyendo casas y muebles para granjeros de la región. Su taller fue quemado en 1924. Ole Kirk tomó el desastre como la oportunidad de construir un taller mayor, y se dedicó a ampliar su negocio. Intentando encontrar formas de minimizar sus costos de producción, Ole Kirk comenzó a producir versiones miniatura de sus productos como ayuda de diseño. Sus escaleras en miniatura y tablas de planchar fueron las que lo inspiraron a producir juguetes. En 1934 el nombre LEGO fue acuñado por Christiansen a raíz de la frase danesa leg godt, la cual significa "juega bien". Según las cifras publicadas por la propia compañía en el año 2009 obtuvo 295 millones de euros de beneficios a pesar del escenario mundial de crisis. Parte de este éxito fue debido a sus juguetes sobre ciudades y "La Guerra de las Galaxias".

Comunicación matemática APRENDIZAJES ESPERADOS Razonamiento y demostración •

Usar las operaciones con múltiplos.

•

Identificar los divisores y múltiplos de un número.

Resolución de problemas •

Determinar la cantidad de múltiplos de un número

1

Aritmética

Teoría de los números: Divisibilidad y Multiplicidad En este capítulo aprenderemos: •

A identificar los divisores y múltiplos de un número

•

A usar las operaciones con múltiplos.

•

A determinar la cantidad de múltiplos de un número.

El cometa Halley

E

l cometa Halley lleva ese nombre en honor a Edmond G. Halley, quien fue el primero en sugerir que los cometas son un fenómeno natural del sistema solar, que orbitan alrededor del Sol. Halley sugirió que la periodicidad de cierto cometa que era un visitante regular, era de 76 años, y que se había visto desde hace mucho tiempo, muy particularmente durante los años de 1530, 1606 y 1682. En 1682, Halley predijo que este cometa regresaría en el año de 1758 y, por supuesto, el cometa regresó en marzo de 1758. En 1910, el cometa Halley hizo una aparición particularmente brillante. Así mismo, su aparición de 1986 quedó plasmada en un famoso tapiz antiguo.

•

66

Colegios

TRILCE

¿Cuándo será la próxima vez que el cometa Halley pase cerca de nuestro planeta?

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Teoría de los números: Divisibilidad y Multiplicidad

1

Saberes previos Completa el crucigrama con números. 1

2

3

4

5

8

7

9

10

12

6

11

13

14

16

18

15

17

19

23

20

21

22

24

Horizontales:

Verticales:


1. Cuadrado de 95

6. Una decena, más uno

2. Cuadrado de 29

8. Número capicúa de dos cifras

3. Cuadrado de 85

9. Cuatro decenas

4. Cuadrado de 25

10. Número de cuatro cifras cuya suma de cifras es 10

5. Complemento aritmético de 4 581

11. Le falta dos para ser una gruesa

7. Menor número de cinco cifras diferentes

12. 7 × 8 14. Le falta uno para ser 6 centenas 15. Número capicúa de dos cifras 16. Cubo de 5 17. Décima potencia de 2 18. Número que tiene raíz cúbica 19. Cuadrado de 22 21. El triple de 7 23. Diez gruesas

6. Doce docenas 13. Número de cuatro cifras cuya suma de cifras es 19 15. Número de cuatro cifras cuya suma de cifras es 9 16. Número que tiene raíz cuadrada 17. Suma de los ángulos internos de un triángulo 19. Cuatro onces 20. Cuatro docenas 22. Doble de 9

24. Número capicúa de tres cifras Central: 619-8100

UNIDAD 4

67

Aritmética

Conceptos básicos Teoría de los números En este capítulo conoceremos las propiedades de los números usando los criterios de divisibilidad y multiplicidad.

Divisibilidad En la siguiente división exacta: A

B

Divisor o módulo

q

"A" es divisible entre "B" "B" es divisor de "A"

Multiplicidad En la siguiente multiplicación de números enteros "A" es múltiplo de "B" "B" es factor de "A"

A=B×q Ejemplo:

Como:

45

9 5

45 = 9(5)

45 es divisible entre 9 9 es divisor de 45 45 es múltiplo de 9

Notación Los criterios de divisibilidad y multiplicidad son equivalentes, entonces: Siendo: "A" divisible entre "B" "A" es múltiplo de "B"

Así:

° A=B

45 = ° 9 120 = ° 8

Representación de números no divisibles con respecto a un módulo Cuando la división no es exacta: Por defecto

Por exceso

A

d

A

d

R

q

r

q+1

A=d.q+R °+R A=B

A = d(q + 1) – r °–r A=B

Ejemplo:

68

Como 47 no es divisible entre 7

47 = ° 7 + 5

47 = 7(6) + 5 = 7(7) – 2

Porque:

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TRILCE

47 = ° 7–2

Recuerda que en la división inexacta la suma de los residuos es igual al divisor.

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Observación

1

Para determinar la cantidad de múltiplos tenemos:

Por agrupación

De los números: 1; 2; 3; ...; 12 •

Los ° 3 son:

Entonces, por ejemplo de los 120 primeros números: 120 = 30 son múltiplos de 4 4 120 = 24 son múltiplos de 5 5 120 = 20 son múltiplos de 6 6

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12 123 123 123 14243 un ° 3 un ° 3 un ° 3 un ° 3 La tercera parte son ° 3, entonces:

12 = 4 números son múltiplos de 3. 3

Por desigualdad

De los números de tres cifras • Los ° 1000 7 son: 100 < 7k <

14,2 < k < 142,7

Los valores de "k" son: 15; 16; 17; ...; 142 142 – 15 Son en total: + 1 = 128 números. 1

Operaciones elementales con respecto al mismo módulo

Adición y sustracción

Sean los números "A" y "B" que se expresan en función del divisor o módulo "n" como: A=° n+r y B=° n+r a

b

Entonces: A+B=° n + (ra + rb)

A–B=° n + (ra – rb)

Ejemplo:

° + 3; B = 13 ° + 8; C = 13 ° +6 Sean los números: A = 13 ° + (3 + 8 + 6) = 13 ° + 17 Entonces: A + B + C = 13

° +4 Como: 17 = 13 + 4 ⇒ A + B + C = 13

•

Recuerda que el residuo de una división debe ser menor que el divisor

Multiplicación Sean los números "A" y "B" que se expresan en función del divisor o módulo "n" como: A=° n+r y B=° n+r a

b

Entonces: A.B=° n + (ra . rb) Ejemplo:

° + 3; B = 11 ° + 8; C = 11 ° +6 Sean los números: A = 11 ° + (3 × 8 × 6) = 11 ° + 144 Entonces: A . B . C = 11

° +1 Como: 144 = 11(13) + 1 → A . B . C = 11

•

Central: 619-8100

UNIDAD 4

69

Aritmética

Síntesis teórica TEORÍA DE LOS NÚMEROS Divisibilidad A

Multiplicidad

B q

Divisor

A=B.q


"A" es múltiplo de "B" "B" es factor de "A"

Son criterios equivalentes ° A=B A = mB

6 es divisor de 18

Divisores de 12: 1; 2; 3; 4; 6; 12

18 es múltiplo de 6

Múltiplos de 12: 12; 24; 36; 48; ... Cuando hay residuo ° R A = B+ °–r A=B

Por defecto

Por exceso

R+r=B

10 x 5 50

Aplica lo comprendido 1. Los divisores de 12 son: 2. Los primeros cuatro números positivos múltiplos de 15 son:

7 6

95

11 8

70

Colegios

TRILCE

5. De los 120 primeros números positivos: • ¿Cuántos son múltiplos de 3?

3. Completa: 45

4. De los 30 primeros números positivos, ¿quiénes y cuántos son múltiplos de 6?

• ¿Cuántos son múltiplos de 4? 45 = ° 7 + .......

• ¿Cuántos son múltiplos de 3 y 4?

° + ....... 95 = 11 www.trilce.edu.pe


1

Aprende más Aplicación cotidiana En 1705 Edmond Halley predijo, que un cometa volvería en 1758 (que fue, curiosamente, después de su muerte). De hecho, el cometa volvió tal y como predijo, y posteriormente se le dio el nombre en su honor. El periodo medio de la órbita del Halley es de 76 años, aproximadamente, pues el tirón gravitacional de los planetas mayores altera el periodo del cometa en cada órbita. 1. ¿Cuál será el siguiente año en que el cometa pase cerca de nuestro planeta? 2. ¿Podría hacer o haber hecho su aparición más de una vez en un siglo? ¿Cuántas? 3. ¿Cuál fue el primer año de nuestra era, en que hizo su aparición el cometa? Resolución de problemas 4. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 12? 5. Si "x" es divisible entre 3 e "y" es divisible entre 5, ¿qué expresión que a continuación se muestra es divisible entre 15? I. xy

II. 3x + 5y

III. 5x + 3y

6. La expresión "abc – cba", siempre será divisible entre: a) 22 d) 33

b) 18 e) 37

c) 12

7. Calcula la suma de los 30 primeros múltiplos positivos de 9. 8. De los 60 primeros números positivos:

9. El producto de cinco números consecutivos siempre será divisible entre: a) 25 d) 18

b) 16 e) 24

c) 9

10. ¿Cuántos números de tres cifras son divisibles entre 17? 11. De los números pares del 1 al 300, ¿cuántos son múltiplos de 12? ° + 5, el 12. En una división entera, el divisor es 11 ° + 4 y el residuo 11 ° + 3. ¿Cuál cociente es 11 es el residuo que se obtendrá al dividir el dividendo de la división entre 11? ° + 2 y cd = 13 ° + 5, ¿cuál es el resto 13. Si: ab = 13 de dividir abcd entre 13?

¿Cuántos son múltiplos de 4? ¿Cuántos son múltiplos de 5? ¿Cuántos son múltiplos de 4 o 5?

14. De los números de cuatro cifras, ¿cuántos terminan en 7 y son divisibles entre 3?

La suma de estos resultados es:

15. ¿Cuántos términos de la siguiente sucesión: 16 × 21; 16 × 22; 16 × 23; ...; 16 × 247, son múltiplos de 12? 16. ¿Qué día de la semana murió Euler, si su fecha de defunción fue el 18 de setiembre de 1783?

¡Tú puedes! 1. Calcule el resto de dividir "N" entre 7, si:

N =5 . abc + 52 . abc2 + 53 . abc3 + ... + 51031 . abc1031

Además se sabe que abc no es divisible entre 7 a) 3 b) 4 c) 5 d) 2 e) 0 Central: 619-8100

UNIDAD 4

71

Aritmética

° 2. Hallar cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas, sabiendo que "n" es 14. ° I. n(n + 3) = 14 ° II. (n – 2 )( n – 21 ) = 14 ° III. 2(n + 7) + 3n = 14 ° IV. (n + 1)(n + 2)(n – 3) – 8 = 14 a) I y II

b) II y III

c) I, II y III

d) I y III

e) Todas

3. Si: N = 3102 × 6102 × 11102 × 18102 × ... × 102102, ¿cuál es la última cifra al expresar "N" en base 103? a) 102

b) 1

c) 100

d) 90

e) 2

4. La expresión: W = [ab(7)]2 – [ba(7)]2 siempre es divisible por: a) 5

b) 16

c) 7

d) 13

e) 24

5. La suma de 45 números enteros consecutivos es múltiplo de 17. Hallar el menor valor que puede tomar el primero de ellos. a) 0 b) 11 c) 12 d) 13 e) 24 18:10:45

Practica en casa 1. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 15? 2. ¿Cuántos números del 1 al 1 000 son múltiplos de 7? 3. La expresión "a0c + c0a", siempre será divisible entre: 4. ¿Cuántos números del 1 al 1 500 son múltiplos de 2 pero no de 3? 5. Si "k" es un número entero positivo divisible entre 3 y menor que 60, ¿cuántos valores toma "k"? 6. El número a0(2a), siempre será divisible entre: a) 13 d) 18

b) 31 e) 19

c) 17

7. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 8? 8. Calcula la suma de los 20 primeros múltiplos positivos de 7. 9. La suma de siete números pares consecutivos, siempre será divisible entre: a) 9 d) 11

72

Colegios

TRILCE

b) 13 e) 10

10. Del 2 000 al 5 000, ¿cuántos números son múltiplos de 9 y terminan en 7? ° + 3, ¿cuál es el resto al dividir 4ab3 11. Si: ab = 17 entre 17? 12. De los 80 primeros números positivos: ¿Cuántos son múltiplos de 4? ¿Cuántos son múltiplos de 5? ¿Cuántos son múltiplos de 4 o 5? La suma de estos resultados es: 13. El producto de cuatro números consecutivos siempre será divisible entre: a) 5 d) 6

b) 7 e) 8

c) 9

14. ¿Cuántos números de tres cifras son divisibles entre 23? ° + 5 y cd = 23 ° + 2, ¿cuál es el resto 15. Si: ab = 23 de dividir abcd entre 23?

c) 14

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Operaciones y ecuaciones diofánticas


2

En este capítulo aprenderemos: •

A identificar los residuos de una división

•

A usar las operaciones con múltiplos y divisores.

•

A determinar la solución de las ecuaciones donde se utilice múltiplos.

Origen de los años bisiestos

E

ntremos un poco en la historia, los años bisiestos nacieron en la época del Calendario Juliano. Surgen para corregir la diferencia entre el año real y el año del calendario.

El año dura aproximadamente 365 días y 5 horas con 48 minutos y 45,16 segundos o 365,2422 días. Para equilibrar esta diferencia con el calendario, se decreta que cada 4 años habrá un día más y los restantes solo tendrán 365 días. Esto es porque se redondean esas horas sobrantes en 6 horas y cada 4 años se suman estas horas quitadas a los años anteriores: 6 + 6 + 6 + 6 = 24 horas más. En 1582 se sustituyó el Calendario Juliano por el Gregoriano (el actual), y la regla para los años bisiestos cambió un poco. La regla quedó así:

31 28 o 29

31 30

31

30 31

31 30

31

Busto del Papa Gregorio XIII, quien impulsó la reforma del calendario e instituyó el uso del calendario que lleva su nombre.

Diciembre

Noviembre

Octubre

Setiembre

Agosto

Julio

Junio

Mayo

Abril

Marzo

Febrero

Enero

El año es bisiesto si es divisible por cuatro, exceptuando los que se pueden dividir por 100, estos últimos pueden ser bisiestos si son divisibles por 400.

30 31

Regla nemotécnica para recordar los meses que tienen 30 o 31 días, a excepción de febrero que en año bisiesto tiene 29 días. Solamente tiene que atribuir el valor 31 días a los nudillos de la mano (haciendo puño, ver figura) y a las breves depresiones entre los nudillos el valor 30 días. Luego solo tiene que comenzar a nombrar los meses comenzando por la izquierda. Fíjese que julio y agosto, ambos, tienen el mismo número de días.

• Central: 619-8100

¿Cuál será el próximo año bisiesto? UNIDAD 4

73

Aritmética


2

3

4

7

10

12

11

13

16

20

17

14

18

21

24

74

6

8

9

15

5

19

22

23

25

Horizontales:

Verticales:

1. Múltiplo de 123 4. Potencia de 2 7. Cuadrado de 31 8. Una vuelta entera en grados 9. Múltiplo de 11 10. Menor número de cinco cifras pares y diferentes 12. Menor número múltiplo de 2; 11 y 5 13. Múltiplo de 29 de tres cifras 14. El residuo máximo al dividir entre 5 15. Menor número múltiplo de 9 y 5 17. Múltiplo de 9 18. Factorial de 5 20. Número impar de tres cifras múltiplo de 5 21. Número divisible entre 25 22. Cuadrado de 9 24. Número múltiplo de 11 25. Las cifras pares diferentes de cero

1. Múltiplo de 232 2. Número capicúa de cuatro cifras 3. Potencia de 2 4. Factorial de 5 5. Número capicúa de cuatro cifras 6. Cuatro decenas 8. Cubo de 7 11. Menor número múltiplo de 40 y 21 12. Diez gruesas 13. Número capicúa de cuatro cifras, cuya suma de cifras es 18 16. Cubo de 8 17. Número de tres cifras cuya suma de cifras es 9 18. Número múltiplo de 14 19. Múltiplo de 144 23. Potencia de 2

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2

Conceptos básicos Operaciones elementales con respecto al mismo módulo

Potenciación

Sea "A" que se expresa en función del divisor o módulo "n" como:

A=° n+r

Observa que el exponente afecta al residuo.

Entonces: Ak = ° n + rk

Ejemplo:

Calcular el residuo de dividir 902010 entre 13. ° + 12 = 13 ° – 1, al elevar a 2010 Como: 90 = 13

° – 1)2010 = 13 ° + (–1)2010 = 13 ° +1 Entonces: 902010 = (13

El residuo que se obtiene es: 1.

•

Un número con respecto a varios módulos

Si un número es múltiplo de varios módulos, será múltiplo del mínimo común múltiplo de los módulos. ° n+r A=

° +r m

° ° entonces: A = mcm( ° n; m; p) + r

Tres condiciones se representan en una sola, para ello el residuo debe ser común.

° p+r Ejemplos:

•

Calcular ab, si es múltiplo de 12; 15 y 10.

El mínimo común múltiplo de 12; 15 y 10 12 – 15 – 10 2 6 15 5 2 3 15 5 3 1 5 5 5 1 1

mcm = 60

Entonces ab es múltiplo de 60, por lo tanto el único número de dos cifras será: ab= 60 •

En el salón de cuarto año, la cantidad de mujeres es 3/5 del número de varones y la cantidad de aprobados en Aritmética es 3/4 de los varones. ¿Cuántos alumnos hay en el salón, si son menos de 50? 3 Como: Número de mujeres = de varones 5

Número de aprobados =

3 de varones 4

Para que estas cantidades sean enteras, entonces el número de varones es múltiplo de 5 y 4 Entonces: Número de varones = 20 Total de alumnos = 32 Número de mujeres = 12

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UNIDAD 4

75

Aritmética

Ecuaciones diofánticas La principal característica de estas ecuaciones es que el conjunto solución está formado por números enteros.

Principio de Arquímedes Sean los números "A" y "B" de modo que: A×B=° n

Donde "B" tiene como único divisor común con "n" a la unidad (P.E.S.I.) A=° n

Entonces: Ejemplo:

•

° Determina el menor valor de "A" si es de dos cifras y que cumpla: 12A = 42 ° dividiendo entre 6 Como: 12A = 42 2A = ° 7 aplicando el P. Arquímedes

A=° 7

Así: ° ⇒ A =13 ° 2A = 13 ° ° 12B = 25 ⇒ B = 25

Los valores de "A" son 7; 14; 21; 28; ... ⇒ A = 14

Una variable

ax = ° n+b

Son de la forma:

El residuo "b" debe acomodarse para que se pueda dividir entre "a" ° + 12 Así: 6A = 13 ° ⇒ A =13+2

Ejemplo:

Determinar los valores positivos de "x", si: 2x = ° 5+3 Dando forma al resto: 2x = ° 5+5+3

Dividiendo entre 2:

•

x=° 5 + 4 ⇒ Los valores de "x" son: 4; 9; 14; 19; ...

Dos variables Son de la forma:

ax + by = c

Ejemplo:

•

En una tienda hay dos tipos de vestidos que se venden en 14 y 24 soles. Un cliente compró varios de estos vestidos, gastando S/. 160. ¿Cuántas compró?

Sea "x" e "y" la cantidad de vestidos comprados:

14 x + 24 y = 160

7 x + 12 y = 80 con módulo 7 ° 7+° 7 + 5y = ° 7+3 reduciendo

76

simplificando

5y = ° dando forma 7 +3 5y = ° 7+7+3 simplificando y=° 7+2

Los valores de "y" son: 2; 9; 16; ...

Para que "x" sea positivo:

La cantidad de prendas compradas es 10.

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Se recomienda usar como módulo al menor de los coeficientes. Así: 5x + 11y = 62 (módulo 5) 11x + 9y = 80 (módulo 9)

y=2∧x=8

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2

Síntesis teórica TEORÍA DE LOS NÚMEROS Divisibilidad

A

B q

Multiplicidad

Son criterios equivalentes: ° A= B A = mB

Divisor

A=B.q


"A" es múltiplo de "B" "B" es factor de "A" Operaciones A=° n+a ° B=n+b

A+B=° n + (a + b)

A–B=° n + (a – b)

Ecuaciones

A.B=° n + (a . b)

Principio de Arquímedes

Con resto

Sistema de ecuaciones

2° n= ° 7+6 ⇒ ° n=° 7+3

6n = ° 7⇒n=° 7 ° ° 6m = 15 ⇒ 2m = 5 ⇒ m = ° 5

9x + 7y = 50 (7+ 2)x + ° 7=° 7+1 2x = ° 7+1=° 7+8 ° x=7+4

10 x 5 50

Aplica lo comprendido 1. Completa:

2. Determina el menor valor de "x", si:

• 15200 = (° 7 + ...)200 = ° 7 + ... ° – ...)100 = 13 ° + ... • 25100 = (13

x=

° 12 ° 15

⇒x=

° 20 Central: 619-8100

UNIDAD 4

77

Aritmética

3. Determina el menor valor de "x", si:

x=

° +3 15 ° +3 18

⇒x=

° +3 20

4. Determina el menor valor de "x", en: • 12x = ° ⇒x= 7 ° • 2x = 11 + 6 ⇒ x = ° + 9 ⇒ x = • 3x = 17 5. Encuentra "x" e "y" enteros que cumplan:

5x + 7y = 36

⇒ x = ....... ; y = ......

Aprende más Aplicación cotidiana • •

Un año normal tiene 365 días. Los años bisiestos tienen 366 días (el día extra es el 29 de febrero).

¿Cómo saber si un año va a ser bisiesto? • • •

Los años bisiestos son divisibles entre 4 (como 2004, 2008, etc.) Excepto si el año termina en dos ceros (como 2100, 2200, ...); Si es divisible entre 400, entonces sí es bisiesto (como 2000, 2400, etc.)

1. ¿Cuáles son los próximos 5 años bisiestos, contados desde la actualidad? 2. Si la Universidad Nacional Mayor de San Marcos se fundó en el año 1770, ¿cuántos años bisiestos han pasado desde aquel año hasta la actualidad? 3. En este año, el primero de enero fue sábado (2011), ¿qué día de la semana será el primero de enero del año 3000? Resolución de problemas 4. En un salón hay 60 alumnos y se observa que de los varones 2/7 de ellos utilizan gafas y a 3/5 de ellos les agrada matemáticas. ¿Cuántas mujeres hay en el salón? 5. A un congreso asisten entre 100 y 200 médicos y se sabe que 2/7 de los asistentes son ginecólogos y los 5/11 son cirujanos. ¿Cuántos no son cirujanos? 6. ¿Para qué valor de "x", el número 2xx7 es divisible entre 19? 7. Si el número a05a, al dividirse entre 23 se obtiene como resto 5, hallar "a". 8. Si 530 se representa en el sistema octal, ¿cuál es la cifra de unidades?

78

Colegios

TRILCE

9. La cantidad de polos vendidos por una tienda en una semana no pasa de 500. Si 2/5; 3/8 y 1/45 del total de polos vendidos son azules, rojos y verdes respectivamente, ¿cuántos polos se vendió en total? 10. La cantidad (número entero) de losetas que se requiere para cubrir el piso de una habitación es tal que agrupando en decenas, docenas y quincenas siempre sobran 3 losetas. ¿Cuántas losetas se requiere, si este número está entre 110 y 130? 11. ¿Cuál es la suma de las dos últimas cifras de representar 730 en el sistema ternario? 12. Al dividir 3x7x entre 71 el resto que se obtiene es 3. Hallar "x". 13. A la cantidad de alumnos que hay en un salón, le falta 1 para que se puedan agrupar de 12 en 12; de 15 en 15 o de 20 en 20. ¿Cuántos alumnos son, si estos son menos de 100? www.trilce.edu.pe


14. A una función de cine asisten "N" personas. Entre dichos asistentes se observó que los 2/7 de "N" vieron la película íntegramente; los 4/5 de "N" lloraron con el final del drama y los 2/3 de "N" comieron golosinas mientras observaban la película. Hallar "N", si el cine tiene una capacidad máxima de 200 personas.

15. Milenka paga S/. 45 en total por la compra de helados a S/. 4 cada uno y chocolates a S/. 7 cada uno. ¿Cuántos productos compró?

2

16. Un negociante tiene S/. 1 500 y decide comprar cajas de leche y aceite a S/. 70 y S/. 80 cada caja respectivamente. ¿De cuántas maneras se puede efectuar la compra?

¡Tú puedes! 1. Si el número abcd es divisible entre 13 y se cumple que: cd = 3(ab + 2), calcular "a + d" a) 16 b) 12 c) 10 d) 8 e) 4 abab 2. Si: N = ° 5 + 1 y además: N = 43ab

Entonces "ab" como mínimo puede ser: a) 10 b) 11 c) 12 d) 16 e) 20 3. Hallar "a + b + c + n", sabiendo que: abc(5) = cbn(6) (todas las cifras son significativas). a) 12 b) 16 c) 10 d) 8 e) 20 4. Calcular la última cifra al expresar "N" en el sistema de base 25. N = 323232323232323(15) a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 5. Calcular el mayor número de cuatro cifras, tal que al expresarlo en los sistemas de numeración de base 2; 3 y 5 sus últimas cifras fueron: 101; 20 y 34 respectivamente. a) 9 069

b) 9 996

c) 9 609

d) 9 096

e) 6 099

18:10:45

Practica en casa 1. Determina la suma de los dos primeros valores enteros positivos de "n" que cumplan: 3n + 6 = ° 7+1

4. En nuestro colegio se organiza una fiesta por el día de la amistad. Asistieron 250 alumnos y de los premiados 4/11 son gordos y 7/13 son del ciclo especial. ¿A cuántos alumnos no se les premió?

2. ¿Para qué valor de "n" que es de una cifra, se ° + 2? cumple que: 4n + 5 = 11

5. ¿Para qué valor de "x", el número 7xx es divisible entre 17?

3. En un colegio, se sabe que de los alumnos del 5to año a la sexta parte les gusta Aritmética, los 7/8 pasaron de año y 3/10 llevan un curso de cargo. Sabiendo que son más de 200 pero menos de 300, ¿a cuántos les gusta Aritmética?

6. En un barco en el que viajaban 312 personas ocurre un accidente en el cual mueren algunos pasajeros. Se sabe que de los sobrevivientes 1/4 son casados y los 3/10 resultaron ilesos, y de los fallecidos se sabe que 5/6 dejaron viuda y que 2/9 viajaban solos. ¿Cuántos pasajeros sobrevivieron, si eran más de 100?

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UNIDAD 4

79

Aritmética

7. En una conferencia asistió entre un centenar de personas y se observa que de los varones, 3/8 de ellos hablan inglés y 5/18 de ellos hablan francés. ¿Cuántas mujeres asistieron? 8. Un centro de salud atiende entre 150 y 200 pacientes diariamente. Se sabe que 4/9 de ellos son varones y 2/19 de los pacientes van por primera vez. ¿Cuántos de los pacientes son mujeres? 9. ¿Para qué valor de "x", el número xxx6 es divisible entre 19? 10. ¿Para qué valor de "a", el número 2a9a al dividirse entre 23 deja como resto 5? 11. Si 530 se representa en el sistema senario, ¿cuál es la cifra de unidades?

80

Colegios

TRILCE

12. La cantidad de personas que asistieron a una función cinematográfica no pasa de 500. Si: 2/5; 3/8 y 1/45 del total fueron con polos azules, pantalones rojos y zapatillas verdes respectivamente, ¿cuántas personas asistieron en total? 13. La cantidad de huevos producidos por una avícola diariamente es tal que agrupando en decenas, docenas y quincenas siempre sobra 7 huevos. ¿Cuál es la producción diaria, si está entre 400 y 450 huevos? ° hallar todos los valores de "b" 14. Si: ab0ab = 221, que cumplan dicha condición e indicar la suma. 15. ¿Para qué valor de "x" el número x0x7 es divisible entre 71?

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Criterios de Divisibilidad


3


A identificar los criterios de divisibilidad o multiplicidad.

•

A demostrar los criterios de divisibilidad.

•

A determinar las cifras de un número usando los criterios de divisibilidad.

Sigue el camino del 7

P

ara saber si un número es divisible entre 7 comenzamos en el cero: • Recorremos desde él tantas flechas negras como indique la primera cifra del número. • Seguimos la flecha blanca que salga del punto al que hemos llegado.

•

Tomamos la segunda cifra, desde el punto donde nos encontramos y recorremos tantas flechas negras como indique la segunda cifra.

•

Después la flecha blanca que encontramos es el destino.

•

Y así sucesivamente, después de utilizar la última cifra recorriendo las flechas negras como ella indique y el punto al que lleguemos nos dice el resto de dividir el número inicial entre 7.

4

3

5

2

6

1 0

¿Cómo saber si el número 2 435 es divisible entre 7? Empezamos en "0" 2 flechas negras "2" flecha blanca "6" 4 flechas negras "3" flecha blanca "2" 3 flechas negras "5" flecha blanca "1" 5 flechas negras "6" Central: 619-8100

UNIDAD 4

81

Aritmética


2

3

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11

5

6

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16

20

23

25

82

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21

17

22

24

26

Horizontales: 1. La suma de las dos últimas cifras de 23 578 3. Múltiplo de 97 de tres cifras 6. La suma de cifras de 193 8. Número cuya suma de cifras es 18 9. Múltiplo de 13 y 8 de tres cifras 11. Múltiplo de 12 de dos cifras 12. Dos decenas 13. Múltiplo de 7 de dos cifras 15. Suma de los cinco primeros múltiplos positivos de 7 16. Múltiplo de 9 de dos cifras 18. Múltiplo de 11 de dos cifras 20. Múltiplo de 13 de dos cifras 22. Múltiplo de 11 de dos cifras 23. El cuadrado de 12 24. Cubo de 7 25. La suma de cifras de 3 457 26. Cuatro docenas 27. Medio millar

TRILCE

12

27

Verticales: 1. La suma de cifras de 3 456 2. Múltiplo de 7; 8 y 10 de tres cifras 3. Dos docenas 4. Múltiplo de 13 de dos cifras 5. Cuadrado de 35 6. Menor número de cuatro cifras diferentes 7. Una vuelta en grados sexagesimales 9. Dos docenas 10. Cuadrado de 9 11. El complemento aritmético de 29 352 14. Número capicúa de cuatro cifras 17. Múltiplo de 7 de dos cifras 18. Cuadrado de 11 19. Múltiplo de 12 de tres cifras 21. Múltiplo de 107 de tres cifras 22. Múltiplo de 17 de tres cifras

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3

Conceptos básicos Criterios de divisibilidad Son reglas prácticas que permiten reconocer la divisibilidad o multiplicidad de un número respecto a un módulo.

Síntesis teórica TEORÍA DE LOS NÚMEROS

Divisibilidad

A

Multiplicidad

Divisor

B q


CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD O MULTIPLICIDAD

A=B.q

Sea el número abcde

"A" es múltiplo de "B" "B" es factor de "A"

Por 2n

Por 5n

abcde = ° 2+e abcde = ° 4 + de

abcde = ° 5+e Las últimas cifras

Las últimas cifras

abcde = ° 8 + cde

° + cde abcde = 125

Por 7

Por 3 y 9

Por 11

Por: –3 –1 2 3 1

La suma de cifras

Por: + – + – +

abcde = ° 7 + 2c + 3d + e – 3a – b

abcde = ° 3+a+b+c+d+e

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° + de abcde = 25

° + (a + c + e) – (b + d) abcde = 11

abcde = ° 9+a+b+c+d+e

UNIDAD 4

83


Aplica lo comprendido 1. ¿Qué valor o valores toma "a", para que el número a231a sea divisible entre 4?

4. ¿Qué valor o valores toma "a", para que el número a68a sea divisible entre 3?

2. ¿Qué valor o valores toma "a", para que el número a642a sea divisible entre 8?

5. ¿Qué valor toma "a", para que el número 1a3a sea divisible entre 11?

3. ¿Para qué valores de "a", el número 23a5 es divisible entre 25?

6. ¿Qué valor toma "a", para que el número 2a4a sea divisible entre 7?

Aprende más Aplicación cotidiana La pulgada es una unidad de longitud antropométrica que equivale a la longitud de un pulgar, y más específicamente a su primera falange. 1 pie = 12 pulgadas; 1 yarda = 3 pies; 1 milla = 1 760 yardas 1. La distancia entre dos paraderos del metropolitano es una cantidad exacta en pies, que expresada en pulgadas es 1x4x. ¿Cuántos pies de distancia es? 2. Alex es alumno del colegio y a sus 12 años tiene "n" pies de estatura, que expresado en pulgadas es (m + 1)0. Calcular "m + n". Resolución de problemas

° 10. Calcular "a + b", si: a23aba = 45

3. Calcular "x", si: 2x3x7 = ° 9

11. Determinar el valor de "a + b + c", si: abc = 5 . a . b . c

° 4. Determinar "x", si: 567x3 = 11 5. Calcular "x", si: 43x214 = ° 7 6. Determinar el valor de "a + b", sabiendo que el número aab8b es múltiplo de 5 y 9

12. Determinar el valor de "x + y", si: ° xxx37y = 88 13. Determinar el valor de "a", si: acac2c es divisible entre 72.

° 7. Hallar "n + m", si: 2n5n8 = ° 9 y 8m367 = 11.

14. Si se tiene el numeral de la forma 8ab532 que es múltiplo de 99, hallar "a – b"

8. Hallar el mayor valor de "a + b+ c", si: abc = ° 3; cba = ° 5; ba = ° 7

15. El número de la forma aa0bbc al ser dividido entre 4; 9 y 25 deja como residuos 2; 4 y 7 respectivamente. Hallar "a".

° 9. Calcular "x", si: 2x45y = 72

° 16. ¿Cuántos números cumplen que: 5a7b = 36?

¡Tú puedes! ° , hallar "a . b". 1. Si: 3ab2(6) = 35 a) 5 b) 0 c) 8 d) 4 e) 6

84

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° ° ° Calcular el valor de "a . b + c . d". 2. Los números abcd; dcba y abdc son respectivamente 25; 9 y 44.

3

a) 22 b) 38 c) 26 d) 40 e) 31 3. Si el numeral aab(b + 2)(7) al dividirlo entre 24 deja como residuo 18, calcule el máximo valor que puede tomar "a + b". a) 9

b) 10

c) 8

d) 12

e) 11

° + 21; 5c27d4 = 99 ° + 35, calcular el resto de dividir abcd entre 12, 4. Si se cumple que: a3524b = 33 si "a" es máximo. a) 5 b) 7 c) 6 d) 9 e) 3 5. Si: abcd(8) . 55(8)= nmm3n, hallar el valor de "a + b + c + d + m + n" a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23

18:10:45

Practica en casa 1. Determinar el valor de "x", si: 433x = ° 9 x 2. Determinar el valor de: xx , si: y23x = ° 8

° 3. Determinar el valor de x , si: 567x3 = 11 4. Calcular "x", si: x3xx7x = ° 9+2 ° 5. Determinar el valor de "x", si: 43x67 = 11 6. Determinar la suma de los valores de "x", si: 431x = ° 7 7. Determinar la suma de los valores de "x", si: x2341 =° 7 ° 8. Hallar "x", si: a(x – 5)3xa =25

Central: 619-8100

9. ¿Cuántos valores puede tomar "x", para que el número 342x4 sea múltiplo de 8? 10. Determinar el valor de "x", si el número: (2x)(x + 3)(x + 1)(x + 4) = ° 9 ° 11. Determinar el valor de "a . b", si: ba34b = 45 ° 12. Determinar el valor de "a . b", si: 1a45b = 72 13. Hallar el mayor valor de "a . b", si: 23ba5 es múltiplo de 125. 14. Si el número 4731a es múltiplo de 8, hallar el valor de "a". 15. Hallar "a", si el número 43a27 es múltiplo de 9.

UNIDAD 4

85

4

Aritmética

Números primos I En este capítulo aprenderemos: • • • • •

A identificar los números primos, compuestos y simples. A analizar los divisores por sus características. A reconocer los números primos, compuestos y simples. A determinar la cantidad de divisores de un número. A clasificar a los divisores.

¿Cómo se protege la cigarra con números primos?

L

as cigarras tienen el ciclo vital más largo de todos los insectos. Su único ciclo vital empieza bajo tierra, donde las ninfas absorben pacientemente el zumo de las raíces de los árboles, después, las cigarras adultas emergen de la tierra en gran número e invaden temporalmente nuestro paisaje. Unas semanas después se aparean, ponen los huevos y mueren. Las cigarras Magicicada septendecim tienen un ciclo de vida de 17 años, otra especie, la Magicicada tredecim, aparece cada 13 años. La cuestión que inquietaba a los zoólogos era: ¿Por qué el ciclo vital de la cigarra es un número primo de años? Según una teoría, la cigarra tiene un parásito que también recorre un ciclo vital de dos o tres años, y que la cigarra está intentando evitar. Como el ciclo de la cigarra es de 17 años y la de los parásitos de 2 años, el parásito y la cigarra no coincidirán durante 34 años. Ahora bien, es poco probable que el parásito pueda sobrevivir pues en sus apariciones no habrá cigarras a las cuales parasitar.

86

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Números primos I

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3

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5

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11

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17

20

18

12

15

19

21

Horizontales:

Verticales:

1. Menor múltiplo de 43 de tres cifras.


3. Divisores de 6 (en orden ascendente)

2. Le falta 3 para un millar

6. Múltiplo de 23 de dos cifras.

3. Divisores de 6 en desorden


4. Mayor número de cuatro cifras diferentes, menor que 4 000

9. Número capicúa de tres cifras 10. Dos docenas 11. Múltiplo de 19; 27 y 6 de cuatro cifras 13. Múltiplo de 71 de tres cifras 14. Múltiplo de 8, entre 50 y 60. 15. Divisor de 99 16. Múltiplo de 7 de dos cifras 18. Potencia de 2 de tres cifras 20. Cubo de 8 21. Divisores de 8 (en orden ascendente) Central: 619-8100

5. Cuadrado de 25 8. Cuadrado de 29 9. Menor múltiplo de 23; 2 y 11 10. Múltiplo de 7 de tres cifras 12. Cuadrado de 9 14. 2 decenas, 1 unidad y 5 centenas 15. Múltiplo de 41 de tres cifras 17. Múltiplo de 13 de dos cifras 19. Múltiplo de 13 de dos cifras UNIDAD 4

87

Aritmética

Conceptos básicos Número primo En este capítulo nos interesa conocer los divisores de un número, esto nos permitirá clasificarlos y conocer sus propiedades.

Primo o primo absoluto Son aquellos números que tienen solo dos divisores positivos Ejemplo:

La serie de los números primos es infinita: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; ...

Para el número 71, los únicos números que le dividen son el 1 y el 71, entonces el número 71 es primo.

Número compuesto Son los números con más de dos divisores Ejemplo:

Los números compuestos también son infinitos: 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; .....

El número 12 tiene como divisores al 1; 2; 3; 4; 6 y 12, como son más de dos, entonces el número 12 es compuesto.

Números simples Es el conjunto de números formado por los primos y la unidad.

Recuerda que el número "1" no es primo ni compuesto, se le llama número especial, número simple o divisor universal.

Números primos entre sí Son dos o más números que tienen como único divisor común a la unidad. Ejemplos:

•

Los números 12 y 35 son primos entre sí, porque el único divisor común es la unidad.

•

Los números 8; 9 y 25 son primos entre sí (P.E.SI), además son primos dos a dos porque 8 y 9 son P.E.SI, 9 y 25 son P.E.SI y 8 y 25 son P.E.SI.

Si "A" y "B" son P.E.SI, esto no implica que "A" y "B" sean primos. • 12 y 35 son P.E.SI 12 no es primo 35 no es primo

Teorema fundamental de la Aritmética Todo número natural tiene solo una forma de descomponer en sus factores primos, a esta se le llama descomposición canónica. Ejemplo:

•

24 = 23 × 3

88

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⇒ Los factores primos de 24 son 2 y 3 ⇒ Los divisores simples son 1; 2 y 3 www.trilce.edu.pe

Números primos I

Ejemplo:

•

4

Hallemos la descomposición de 360 360 180 90 45 15 5 1

2 2 2 3 3 5

Entonces: 360 = 23 × 32 × 5 ⇒ Los factores primos de 360 son 2; 3 y 5 ⇒ Los divisores simples son 1; 2; 3 y 5

Análisis de los divisores de un número

Clasificación de divisores Divisores

=

Divisores simples

La unidad

+

+

Divisores compuestos

Divisores primos

Cantidad de divisores

Para utilizar esta fórmula, se usará la descomposición canónica del número.

Siendo: N = aa . bb . cg

La cantidad de divisores:

Para hallar la cantidad de divisores de un número, se utiliza los exponentes de la descomposición canónica.

Número de divisores = (a + 1)(b + 1)(g + 1) Ejemplo:

•

¿Cuántos divisores tiene: 360 = 23 × 32 × 5?

Número de divisores = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 divisores

De ellos cuatro son simples: 1; 2; 3 y 5

Entonces 20 son compuestos

Observaciones

Para determinar si un número es primo

Se debe verificar si el número tiene dos o más de dos divisores, para ello buscaremos que primo divide al número. Ejemplo:

•

191 es primo o compuesto

Analizaremos la divisibilidad de 191 entre los primos menores que 191 = 13, 82; entonces: 191 ≠ ° 2 191 ≠ ° 3 191 ≠ ° 5 ° ° ° 191 ≠ 7 191 ≠ 11 191 ≠ 13

Los números primos con los cuales se verifica la divisibilidad, son menores que la raíz cuadrada del número.

Entonces 191 es primo. Central: 619-8100

UNIDAD 4

89

Aritmética

La criba de Eratóstenes

La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado "N": 2 3 4 8 9 10 11 15 16 17 18 22 23 24 25 29 30 31 32

5 12 19 26 33

6 13 20 27 34

7 14 21 28 35

Marcamos el 2 y tachamos los múltiplos de 2. Marcamos el 3 y tachamos los múltiplos de 3. Marcamos el 5 y tachamos los múltiplos de 5.

Así estaremos determinando los números primos: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31 Los números que quedan son los números primos.

Tabla de divisores

Permite encontrar todos los divisores de un número de forma ordenada y confiable Ejemplo:

•

Dado el número: 360 = 23 × 32 × 5

Las potencias de los factores primos son:

1; 2; 4; 8

La combinación de ellas genera los divisores de 360, los cuales mostramos en la siguiente tabla

1; 3; 9

1; 5 Por 1 Por 3 Por 9 Por 5

Función Euler

Siendo: N = aa × bb × cd

La función Euler:

yN = N 1 –

90

1 3 9 5 15 45

2 6 18 10 30 90

1 1 1 1– 1– a b c

Aplicando la función Euler al número: 120 = 23 . 3 . 5 1 1 1 y120 = 120 1 – 1 – 1 – = 32 2 3 5

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4 12 36 20 60 180

8 24 72 40 120 360

Este número 32, indica la cantidad de números menores que 120 y PESI con 120.

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Números primos I

4

Síntesis teórica NÚMEROS PRIMOS I Número compuesto

Número primo Número que tiene solo dos divisores

Número que tiene más de dos divisores

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ

2; 3; 5; 7; 11; 13; ...

4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; ... Son dos o más números que tienen un solo divisor en común, que es la unidad. Son infinitos números compuestos

Son infinitos números primos

La unidad: 1 Los primos: 2; 3; 5; 7; 11; ...

14243

El número 1, no es primo ni compuesto

Los simples

Los compuestos: 4; 6; 8; 9; 10; ... Teorema fundamental de la Aritmética Por ejemplo:

N = a a . bb . cg "a", "b" y "c" son primos

720 = 24 × 32 × 5 1 800 = 23 × 32 × 52

Cantidad de divisores (a + 1)(b + 1)(g + 1)

10 x 5 50

Aplica lo comprendido 1. La suma de los cuatro primeros números primos es:

13 y 31 ............... compuestos

2 ............... primo

2. La suma de los cuatro primeros números compuestos es:

13 ............. compuesto

27 y 11 ............ P.E.SI

3. Completa con "es", "no es", "son" o "no son" en los siguientes casos:

1 ..................... compuesto

198 y 199 ............. P.E.SI Central: 619-8100

4. La descomposición canónica de 2 700 es: 5. La cantidad de divisores de: N = 23 × 32 × 52 es: UNIDAD 4

91

Aritmética

Aprende más Aplicación cotidiana Existen infinitos números primos, a esta conclusión llegó Euclides alrededor del año 300 a. C. cuando realizó la primera demostración en el libro IX de su obra "Elementos". La demostración original sigue así: Se toma un conjunto arbitrario pero finito de los "n" primeros números primos: "p1", "p2", "p3", ..., "pn", y se considera:

1 11 21 31 41

2 12 22 32 42

3 13 23 33 43

4 14 24 34 44

5 15 25 35 45

6 16 26 36 46

7 17 27 37 47

8 18 28 38 48

9 19 29 39 49

10 20 30 40 50

...

N = p1 . p2 . p3 . ... . pn + 1 Este número es obviamente mayor que 1 y distinto de todos los primos Pi de la lista. Por lo tanto será primo. 1. Utilizando los tres primeros números primos, ¿qué número "N" se obtiene? 2. El número: 211 = 2 × 3 × 5 × 7 + 1, ¿es primo? Resolución de problemas

9. ¿Cuántos divisores compuestos tiene 450?

3. ¿Cuál es la suma de los cinco primeros números que no son primos?

10. Hallar "n", si 12n tiene 190 divisores.

4. Determina la suma de los dos mayores números de dos cifras que son primos.

11. Si "a" es un número primo, mayor que 3, ¿cuántos divisores tiene: aaa?

5. Determina la cantidad de divisores de: 63 × 52.

12. Si: N = 22 × 3a × 5b tiene 30 divisores, ¿cuántos divisores tiene "2N"?

6. Determina la cantidad de divisores primos de 10! 7. Dado el conjunto "A" formado por los divisores de 17 y "B" el conjunto formado por los divisores de otro número primo absoluto, tal que:

A = {3a + 5; 17; 4b – 3; b – a} B = {4a – b; c – 2 }.

Hallar "a + b + c", si "a", "b" y "c" son números enteros positivos diferentes de 1.

8. Hallar "n", si el número: N = 2n – 2 . 3n tiene 35 divisores.

72 × 72 × 72 × ... × 72 tiene 648 13. Si: A = 14444244443 "n" veces divisores compuestos, hallar "n" 14. Si: 4k + 2 – 4k tiene 92 divisores, ¿cuál es el valor de "k"? 15. ¿Cuántos rectángulos de 80 m2 de área existen, tal que sus lados sean números enteros? 16. ¿En cuántas cifras cero termina el número 300!?

¡Tú puedes! 1. ¿En cuántos ceros termina 50!? a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 10 2. Si: 60! tiene "n" divisores, ¿cuántos divisores tiene 61!? a) n+1

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b) n+2

c) 2n

d) n2

e) 3n www.trilce.edu.pe

Números primos I

3. Si: W={a/a ∈ ; a = número compuesto, 1 < a < 10 000}

4

y además, si se toma dos elementos cualesquiera del conjunto "W" se obtienen números coprimos. ¿Cuántos subconjuntos ternarios como máximo se puede tener del conjunto "W"? (Dar como respuesta la suma de sus cifras) a) 19

b) 13

c) 5

d) 8

e) 3

4. Se sabe que N! tiene "k" divisores y que (N+1)! tiene "2k" divisores, además "N" es de dos cifras y múltiplo de 22. Dar como respuesta la suma de todos los valores que puede tomar "N". a) 164 b) 174 c) 156 d) 166 e) 176 5. ¿Cuántos divisores cubos perfectos tiene el mayor valor de "N", si se sabe que: N = 2x + 2 . 3x . 72 . 11 y la cantidad de sus divisores cuadrados perfectos es 24? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 18:10:45

Practica en casa 1. Hallar la suma de los exponentes de la descomposición canónica del número: N = 36 000.

8. Determina la suma de cifras del mayor número de tres cifras que es primo.

2. Colocar verdadero (V) o falso (F):

9. ¿Cuántos divisores tiene: N = 35 × 21?

• El 2 es el único primo par • 18 y 14 son P.E.SI • 41 es primo

( ) ( ) ( )

3. ¿Cuántos divisores primos tiene: N = 34 × 25 × 113 × 72? 4. Determina la suma de cifras del mayor número de dos cifras que es primo. 5. Hallar la suma de los divisores primos de 420. 6. Determina el mayor número de una cifra que sea P.E.SI con 12

10. El producto de los cuatro primeros números primos, menos uno, ¿es primo o compuesto? 11. ¿Cuántos divisores compuestos tiene: N = 22 × 56? 12. Determina la cantidad de divisores de 303. 13. Determina la cantidad N = 122 × 153.

de

divisores

de

14. Hallar "x", si 45x tiene 12 divisores compuestos. 15. Hallar la suma de los divisores primos de 3 060.

7. Sabiendo que: M = 2x . 32 . 5 tiene 24 divisores, hallar el valor de "x".

Central: 619-8100

UNIDAD 4

93

5

Aritmética

Complemento Aprende más 1. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 2 y 5 pero no de 3? 2. Si el número a733a es múltiplo de 8, hallar el valor de "a". 3. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 8 y terminan su escritura en 6? 4. Hallar "x", si: 71x7x = ° 8. 5. Simplificar: ( ° 7 + 1) + ( ° 7 + 2) + ( ° 7 + 3) + … + ( ° 7 + 70)

10. La diferencia entre un número abc y otro cba es múltiplo de 8. ¿Cuál es el producto de las cifras de uno de los números, si la suma de ambos es múltiplo de 9? 11. Hallar el mayor número de la forma 54a75b que sea múltiplo de 56, entonces, la suma de sus cifras es: 12. Si 1a8b2 es múltiplo de 36 y además es el mayor posible, entonces "a/b" es:

7. Determinar el mayor valor de "a . b", si a34b es divisible entre 56.

13. Un motociclista atropella a un peatón y fuga. Este es conducido a la asistencia pública de "San Antonio" y se identifica como postulante a la Universidad de Lima y declara que la placa es un número de cuatro cifras divisible por 693 y que tiene sus dos primeras cifras iguales. La placa tiene por producto de cifras:

8. Determinar el valor de "a . b", si el número 1a45b es divisible entre 72.

14. ¿Cuántos ceros debe tener: N = 2000 ... 00 para que admita 56 divisores?

6. Determinar el valor de "a . b", si ba3ab es divisible entre 45

9. Un negociante tiene S/.1 500 y decide comprar cajas de galletas y caramelos a S/.70 y S/.80 cada caja respectivamente. ¿De cuántas maneras se puede efectuar la compra?

15. Al multiplicar por 33 el numeral: A = 21 . 11n, se duplica su cantidad de divisores. Hallar "n".

¡Tú puedes! 1. Hallar "x", sabiendo que: x4343434x(8) es divisible entre 7. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 2. Si a44233a(7) es divisible entre 8, la suma de los valores de "a" es: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 3. Si: abcd(8) . 55(8) = nmm3n(8), hallar "a + b + c + d + m + n". a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23 4. ¿Cuántos cuadrados perfectos de tres cifras existen, tal que al dividirlos entre 7 el residuo que se obtiene es 4? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

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Complemento

5. ¿Cuántos divisores menores que 200 tiene el número aa00a, sabiendo que dos de ellos son 114 y 1 737?

5

a) 12 b) 11 c) 10 d) 13 e) 15

18:10:45

Practica en casa 1. Determinar el valor de "x", si el número: xx(x – 1)(x + 1)(x + 2) = ° 9. 2. Hallar el mayor valor de "a . b", si a3ba5 es múltiplo de 125 3. Hallar la suma de los valores de "a", si: 74a35 = ° 7. ° 4. Determinar el valor de "x", si: 3x4x4x5 = 11. ° 5. Determinar el valor de x , si: 567x3 = 11 6. Si a2abb es divisible por 77, entonces "b – a" vale: 7. A una fiesta asistieron 58 personas. La sexta parte de los varones bailan y la séptima parte de las damas son casadas. ¿Cuál es la diferencia entre el número de varones y damas? 8. En un corral hay 127 animales entre conejos y pollos. Si el primer día se vendió los 2/13 de los conejos y los 7/15 de los pollos, ¿cuántos quedan?

Central: 619-8100

9. En un salón de clases donde hay 59 alumnos, la octava parte de los hombres usan anteojos y la séptima parte de las mujeres juegan a las cartas. ¿Cuántos hombres no usan lentes? 10. Pablo va al mercado a comprar helados y gaseosas cuyos precios unitarios son 4,90 y 2,10 soles respectivamente. Sabiendo que compró más helados que gaseosas y en total gastó 58,10 soles, ¿cuántos helados compró? 11. Determinar el valor de "a + b + c", si: abc = 5 . a . b . c 12. Si el número a47 es múltiplo de 7 y b29 es múltiplo de 11, ¿cuántos números de la forma ab(2b)a existen? 13. La cantidad de números de la forma 432a7b que son múltiplos de 45, es: 14. Hallar "x", sabiendo que: 13x62 = ° 7 15. Si 1a8b es múltiplo de 36 y además es el mayor valor posible, entonces "a/b" vale:

UNIDAD 4

95

6

Aritmética

Análisis de los divisores de un número En este capítulo aprenderemos: • • • • •

P

A analizar los divisores por sus características. A determinar la suma y producto de los divisores. A reconocer los números primos, compuestos y simples. A determinar la cantidad de divisores de un número. A determinar la suma de las inversas de los divisores

Los números de Fermat ierre de Fermat, jurista de profesión y enamorado de las Matemáticas, fue un genio de esta ciencia en su época. Gracias a él se avanzó en multitud de campos pero su mayor afición fue la teoría de los números.

Dejó sin demostrar la que ha resultado ser una de las conjeturas que más tiempo se ha tardado en comprobar (el último teorema de Fermat).

Pierre de Fermat.

Los números de Fermat son de la forma: n

Fn = 22 + 1; donde: n = 0; 1; 2; 3; ... Los primeros son: 0

F0 = 2 2 + 1 = 3 1

F1 = 2 2 + 1 = 5 2

F2 = 22 + 1 = 17 Fermat, basándose en estos datos, conjeturó que todos los números Fn eran primos, pero, como era costumbre en él, no dejó ninguna demostración del hecho. Años después de su muerte, exactamente en 1732, como en casi todos los genios, se descubrió que también Fermat había fallado. Leonhard Euler demostraba que F5 era compuesto: 5

F5 = 22 + 1 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417

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Análisis de los divisores de un número

6


2

3

6

8

12

9

13

5

7

10

14

11

15

17

18

20

21

23

4

16

19

22

24

25

Horizontales:

Verticales:

1. Potencia de 2 de tres cifras

1. Cuadrado de 13

3. Los cuatro primeros números primos en orden ascendente

2. Cuadrado de 9

6. Suma de los divisores simples de 220

4. Cubo de 7

7. Complemento aritmético de 528 8. Cuadrado de 31 10. Múltiplo de 7 de dos cifras 11. ¿Cuántos divisores tiene un número primo? 12. Menor número primo de dos cifras 14. Primeros números primos, de menor a mayor 16. Mayor número primo de dos cifras 17. Número capicúa de tres cifras 18. Múltiplo de 12; 20 y 50 de tres cifras 20. Cuadrado de 21 21. Número capicúa de cuatro cifras 23. Mayor número de cinco cifras pares diferentes 25. Múltiplo de 45 de dos cifras Central: 619-8100

3. Número primo, cuya suma de cifras es 11 5. Seis docenas 9. Número capicúa de cuatro cifras 10. Múltiplo de 53 y capicúa de tres cifras 11. Suma de los 4 primeros números compuestos 12. Divisores de 8 en forma ascendente. 13. Suma de los cuatro primeros números primos. 15. Cinco millares más medio centenar 16. Nueve decenas 19. Una docena 21. Múltiplo de 11 de dos cifras 22. Número primo de dos cifras 24. Cantidad de divisores de 15 UNIDAD 4

97

Aritmética

Conceptos básicos Análisis de los divisores de un número

Clasificación de divisores Divisores

=

Divisores simples

La unidad

Divisores primos

+

Ejemplo:

+ Divisores compuestos

Analizar los divisores compuestos, implica conocer el total y los simples

Para el número 30, sus divisores son: 1; 2; 3; 5; 123 Primos 144424443 Simples

6; 10; 15; 30 1442443 Compuestos

Síntesis teórica NÚMEROS PRIMOS II Número primo

Número compuesto ANÁLISIS DE DIVISORES La unidad: 1

Teorema fundamental de Aritmética

Los primos: 2; 3; 5; 7; 11; ...

14243

Número que tiene solo dos divisores

Número que tiene más de dos divisores

Los simples Con los divisores

Los compuestos: 4; 6; 8; 9; 10; ... N = a a . bb . cg "a", "b" y "c" son primos

Fórmulas usando la descomposición canónica

Cantidad de divisores #D = (a + 1)(b + 1)(g + 1) Suma de divisores SD =

a a + 1 – 1 bb + 1 – 1 c g + 1 – 1 a–1 b–1 c–1 Suma de las inversas S SInv = D N Producto de divisores P = N#D

98

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Análisis de los divisores de un número 10 x 5 50

6

Aplica lo comprendido 1. Utiliza la criba de Eratóstenes para determinar los números primos en el siguiente grupo: 2 8 14 20 26

3 9 15 21 27

4 10 16 22 28

5 11 17 23 29

6 12 18 24 30

7 13 19 25 31

3. La descomposición canónica de: A = es:

• Sus divisores son: • El número de divisores es: • La suma de sus divisores es: • El producto de sus divisores es: • La suma de las inversas de sus divisores es:

2. La descomposición canónica de: N = 103 × 64 es: 45n

4. Para el número 12:

× 12

5. Con respecto al número N = 23 × 32 × 52: • La cantidad de divisores es: • La cantidad de divisores ° 2 es: • La cantidad de divisores ° 5 es:

Aprende más 1. Determina la cantidad de divisores de 12 000, que son múltiplos de 6. 2. Calcular el valor de "n", si: 12n . 28 tiene 72 divisores. 3. Hallar "n", si

189n

tiene 133 divisores.

4. ¿Cuántos divisores de 40 500 son impares? 5. ¿Cuántos divisores de 79 200 son múltiplos de 12? 6. ¿Cuántos divisores de 5 040 no son ° 6? 7. ¿Cuántos divisores de 113 400 terminan en 1; 3; 7 ó 9? 8. Un número es perfecto, cuando la suma de sus divisores propios es igual al número. Entonces de los números 6; 8; 15 y 28, ¿cuántos son perfectos? 9. ¿Cuál es el menor número impar que posee 10 divisores?

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10. Se dice que un número es abundante, cuando la suma de sus divisores propios es mayor que el número. Entonces de los números 12; 15; 20 y 23, ¿cuántos son abundantes? 11. ¿Cuál es el menor número que tiene 30 divisores? Dar como respuesta el residuo al dividirlo entre 7. 12. Se dice que un número es escaso, cuando la suma de sus divisores propios es menor que el número. Entonces de los números 12; 15; 30 y 13, ¿cuántos son escasos? 13. Hallar el menor número de tres cifras divisible por 6 que posea 21 divisores. Dar como respuesta la suma de sus cifras. 14. Hallar el menor número que tiene 15 divisores y que es múltiplo de 15. Dar como respuesta la suma de sus cifras. 15. Con respecto al número 3 600, ¿cuántos de sus divisores no son divisibles entre 12?

UNIDAD 4

99

Aritmética

¡Tú puedes! 1. Se dice que "A" y "B" son amigos, porque "B" es la suma de divisores propios de "A" y "A" es la suma de los divisores propios de "B". De los números 220; 270; 284 y 250, ¿quiénes son amigos? a) 220 y 270

b) 270 y 284

c) 220 y 284

d) 270 y 250

e) Ninguna pareja

2. Si la descomposición canónica de "N" es a(b + 1) . ba . (a – 1)a y tiene 140 divisores compuestos, determinar la suma de los divisores propios de mn, si mn es la diferencia entre la cantidad de divisores pares y la cantidad de divisores impares de "N". a) 9 b) 8 c) 5 d) 6 e) 7 3. Determine el número abcd que tiene 10 divisores y además: 12a + 9b + 10c + d = 130. Dar como respuesta: a + b + c + d. a) 15 b) 16 c) 18 d) 19 e) 20 4. Determinar la suma de divisores múltiplos de 15 pero no de 7 de un número, si este tiene 4 divisores simples, 18 divisores múltiplos de 15, 18 divisores múltiplos de 35 y 16 divisores múltiplos de 21. a) 1 870

b) 1 860

c) 1 670

d) 1 760

e) 1 680

5. Un número posee 12 divisores y tiene como factores primos solamente a sus cifras (siendo esta cantidad la máxima posible). Indicar el máximo exponente de 5, contenido en el factorial de dicho número. a) 182 b) 180 c) 178 d) 172 e) 192 18:10:45

Practica en casa •

Enunciado para las preguntas del 1 al 3. Para el número 1 296, calcular:

1. Cantidad de divisores. 2. Suma de divisores. 3. Producto de divisores. 4. ¿Cuántos divisores tiene 648? 5. Determinar el número de divisores de 1 260. 6. ¿Cuántos divisores tiene 1a3a, si uno de sus divisores primos es 11? 7. Determinar el exponente al que hay que elevar el número 15, para que el resultado tenga 64 divisores.

100

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8. ¿Cuántos divisores tiene 3 240? 9. ¿Cuántos divisores de 8 100 son divisibles entre 4? 10. ¿Cuántos divisores de 79 200 son múltiplos de 22? 11. ¿Cuántos divisores de 40 500 son múltiplos de 15? 12. Determina la suma de los divisores de 360. 13. ¿Cuántos divisores de 5 040 son múltiplos de 6? 14. Determina el producto de los divisores de 124. 15. Determina la suma de las inversas de los divisores de 120.

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Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo


7

En este capítulo aprenderemos: • • • • • •

L

A identificar los divisores y múltiplos comunes de dos o más números. A usar los métodos para determinar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. A determinar que los divisores del MCD son los divisores comunes de los números. A determinar que los múltiplos del mcm son los múltiplos comunes de los números A reconocer el uso del MCD y mcm. A relacionar con número de cortes, partes y estacas.

Dos colosos orbitando la tierra a Estación Espacial Internacional (ISS por sus siglas en inglés) empezó a ser construida en 1998. Hasta el momento el proyecto ha llegado a aproximadamente un 40% de su construcción final.

La idea de la construcción de una Estación Espacial se concibió en la década de los 80's cuando Estados Unidos se enteró de la construcción de una plataforma similar por parte de la entonces Unión Soviética. Pero no fue hasta mediados de la década de los 90's que Estados Unidos logra finalmente elaborar un proyecto coherente técnica y económicamente, éste requería la colaboración de otros países cada uno de los cuales aportaría con lo mejor de la tecnología que poseía, fue así como se lograron acuerdos con otros 15 países de Europa, Asia, Norteamérica y Sudamérica. Actualmente la Estación está en fase operativa pero sin el 100% de su infraestructura construida, se tiene planificado que a fines del 2010 la Estación contará con el 100% de su infraestructura en órbita. El diseño final contempla laboratorios de investigación estadounidenses, europeo y colaboraciones de investigación entre todos los países en materias que van desde estudios sobre la cristalización de las proteínas, pasando por los efectos de la polución del aire y el agua, el comportamiento medio ambiental de la Tierra y la vida a gravedades mínimas. Para el año 2010 la Estación Espacial Internacional tendrá las siguientes características: Ancho: 108 metros; largo: 80 metros En los últimos años la Estación ha provocado ciertas controversias debido fundamentalmente al inicio del denominado "turismo espacial" tanto así que en la actualidad existe un proyecto en fase de estudio que tiene previsto habilitar un "hotel" en el espacio para turistas que puedan pagar un tour (se prevé que el precio mínimo sería de unos 10 millones de dólares estadounidenses). •

¿Cuál es la velocidad de desplazamiento de la estación espacial si da una vuelta completa a la Tierra en 92 minutos?

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UNIDAD 4

101

Aritmética


2

3

4

5

6

7

8

11

14

9

12

15

13

16

17

20

18

21

19

22

Horizontales:

Verticales:

1. Número capicúa múltiplo de 35

1. Número capicúa de cuatro cifras múltiplo de 5 pero no de 3

4. Menor número múltiplo de 7; 5 y 3 6. Cubo de 8 7. Dos docenas de decenas 9. Primer número primo de tres cifras 11. Múltiplo de 9 de cuatro cifras 13. Múltiplo de 37 y 3 de tres cifras 15. Menor número de cuatro cifras diferentes 17. Cubo de 20 18. Medio millar y una decena 20. Factorial de 6 21. Múltiplo de 11 de dos cifras 22. Número cuadrado perfecto

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2. Múltiplo de 5 y 3 3. Número capicúa de cuatro cifras 4. Factorial de 5 5. Número de seis cifras consecutivas y decrecientes 8. Cuadrado de 21 10. Una docena 12. 4 millares 13. Los cuatro primeros números primos 14. Mayor número de tres cifras diferentes 16. Múltiplo de 9 de tres cifras 19. Una docena

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7

Conceptos básicos Máximo común divisor De los divisores comunes de dos o más números, el mayor "MCD" es importante por sus propiedades, una de ellas es que permite determinar todas las características de los divisores comunes.

Métodos para calcular el MCD

Descomposición simultánea •

Ejemplo:

Cálculo del MCD de los números: 1 890; 1 350 y 2 160 1890 189 63 21 7

1350 2160 135 216 45 72 15 24 5 8

10 3 3 3

El MCD es 270

Los divisores de 270, son los divisores comunes de 1 890; 1 350 y 2 160.

Descomposición canónica

Ejemplo:

•

Cálculo del MCD de los números: 1203 y 1802

Descomponiendo a los números:

1203 = (23 × 3 × 5)3 = 29 × 33 × 53.

Recuerda solo los factores comunes forman parte del MCD.

9802 = (22 × 72 × 5)2 = 24 × 74 × 52.

Los factores comunes con su menor exponente es el MCD = 24 × 52 = 400

Mínimo común múltiplo De los múltiplos comunes de dos o más números, el menor "mcm" es importante por sus propiedades, una de ellas es que permite determinar todas las características de los múltiplos comunes.

Métodos para calcular el mcm

Descomposición simultánea •

Ejemplo:

Cálculo del mcm de los números: 180; 150 y 216 180 90 30 10 5 1

150 75 25 25 25 5 5 5 1

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216 108 36 12 6 6 3 1

2 3 3 2 5 2 3 5

El mcm es 5 400

Los múltiplos de 5 400, son múltiplos comunes de 180; 150 y 216

UNIDAD 4

103

Aritmética

Descomposición canónica Ejemplo:

•

Cálculo del mcm de los números: 1203 y 1802

Descomponiendo a los números:

1203 = (23 × 3 × 5)3 = 29 × 33 × 53.

Todos los factores, comunes y no comunes forman parte del mcm

9802 = (22 × 72 × 5)2 = 24 × 74 × 52. Todos los factores con su mayor exponente es el mcm = 29 × 33 × 74 × 53

Aplicaciones Se recomienda que primero debas decidir si en el problema se usará el MCD o el mcm, para ello tener presente: Si el problema requiere los divisores se calculará el MCD y si usaremos los múltiplos el mcm. Ejemplos:

•

Para enlosetar el piso de una habitación de 24 m de largo por 18 m de ancho con losetas cuadradas, ¿cuántas losetas como mínimo se requieren? 24 m

MCD = 6 m

•

El MCD de 18 y 24 es 6 metros, esta será la medida del lado de cada loseta. 18 m Para hallar el número de losetas: Área total 18 × 24 = = 12 losetas Área de cada loseta 6×6

Utilizando losetas rectangulares de 12 cm por 18 cm, se desea formar el cuadrado más pequeño, ¿cuántas losetas se requieren? mcm = 36 cm

12 cm 18 cm

El mcm de 12 y 18 es 36 cm

El número de losetas: Área total 36 × 36 = = 6 losetas Área de cada loseta 12 × 18

•

La cantidad de huevos que vienen en una caja está entre 150 y 180. Si se agrupan por decenas sobran 3 huevos, si se agrupan por docenas sobran 5 huevos y agrupando por quincenas sobran 8 huevos. ¿Cuál es el número de huevos?

Cantidad de huevos "N":

N=

° + 3 = 10 ° –7 10 ° + 5 = 12 ° –7 12

° –7 ⇒ N = 60

° + 8 = 15 ° –7 15

104

El mínimo común múltiplo de 10; 12 y 15 es 60, entonces: ° – 7 = 60(3) – 7 = 173 huevos N = 60

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7

Síntesis teórica MÁXIMO COMÚN DIVISOR MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO MCD

mcm

Los divisores de:

Los múltiplos de:

12: 1; 2; 3; 4; 6; 12

12: 12; 24; 36; 48; 60; 72; ...

18: 1; 2; 3; 6; 9; 18

18: 18; 36; 54; 72; 90; 108; ...

Los comunes son: 1; 2; 3; 6

Los comunes son: 36; 72; ...

El MCD = 6

El mcm = 36

Formas de calcular el MCD

Formas de calcular el mcm

Descomposición simultánea 12 – 18 2 6

9 3

2

3

Descomposición canónica A = 22 × 34 × 53

MCD

B = 2 3 × 52 × 72 MCD = 22 × 52

Descomposición simultánea

A = 22 × 34 × 53

12 – 18 2 6

9 3

2

3 2

1

3 3

Descomposición canónica

B = 2 3 × 52 × 72 mcm

mcm = 23×53×34×72

1

Solo los factores comunes

Los factores comunes con su menor exponente

Todos los factores

Todos los factores con su mayor exponente

10 x 5 50

Aplica lo comprendido 1. Calcular el mínimo común múltiplo de 105 y 350 2. Calcular el máximo común divisor de los números 168; 216 y 300. 3. Calcular el máximo común divisor de:

4. Calcular el mínimo común múltiplo de: A = 23 × 34 × 52 y B = 2 5 × 53 × 73 5. Calcular el mínimo común múltiplo de: A = 23n + 1 . 3n + 2 . 52n + 1 y B = 23n . 52n + 3 . 73n

A = 23 × 34 × 52 y B = 2 5 × 53 × 73 Central: 619-8100

UNIDAD 4

105

Aritmética

Aprende más Aplicación cotidiana Flotando a 360 kilómetros de altura, están 415 toneladas de cables, interruptores y aleaciones. Se trata del mayor y más complejo proyecto científico internacional de la historia la "Estación Espacial Internacional (ISS)". Da una vuelta a nuestro planeta cada 92 minutos. El Telescopio espacial Hubble (HST por sus siglas en inglés), fue puesto en órbita el 24 de abril de 1990, y gira alrededor de la Tierra a 593 km de altura, con un período orbital de 96 minutos. El telescopio puede obtener imágenes con una resolución óptica de 2.0 mega pixeles. 1. ¿Cuántas vueltas completas da el Telescopio Hubble en un día? 2. Si la Estación Espacial Internacional y el Telescopio Espacial Hubble a las 00:00 horas de cierto día estaban en fase, ¿cuál será la próxima vez que estarán en fase? 3. ¿Cuántas veces estarán en fase durante una semana?

Resolución de problemas

11. Sean los números:

4. ¿Cuántos divisores comunes tienen los números 2 400 y 3 200 ?

A = 28 × 312 × 54 B = 25 × 38 × 510 × 710

si el MCD(A; B)=2x . 3y . 5z, ¿cuántos divisores tiene el MCD?

5. ¿Cuál es el menor número que dividido por 30; 64 y 84 nos de siempre una división exacta? Dar como respuesta la suma de sus cifras. 6. El mcm de los números 24k; 18k y 12k es 360. El mayor de los números es: 7. Se han dividido tres barras de acero de longitudes 540; 480 y 360 mm en trozos de igual longitud, siendo esta la mayor posible. ¿Cuántos trozos se han obtenido? 8. En una empresa trabajan 180 empleados. Se selecciona un grupo de ellos, notándose que si se les agrupa de 8 en 8; de 10 en 10 ó de 12 en 12 siempre sobra 1. Hallar la suma de las cifras del número de empleados no seleccionados. 9. Se desea construir un prisma rectangular recto de dimensiones 135; 189 y 261 m respectivamente, con la menor cantidad de ladrillos cúbicos de dimensiones enteras de metros posible. ¿Cuántos ladrillos se utilizarán? 10. Si tenemos que llenar cuatro cilindros de capacidad 72; 24; 56 y 120 galones respectivamente, ¿cuál es la máxima capacidad del balde que puede usarse para llenarlos exactamente?

106

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A = 22 × 3 2 × 5 4

B = 23 × 33 × 52 × 79

Si el mcm(A; B) = 2x . 3y . 5z . 7w, determina la cantidad de divisores compuestos del mcm.

13. Se desean repartir 180 libros, 240 juguetes y 360 chocolatines entre el mayor número de niños, de tal modo que cada uno reciba un número exacto de cada uno de esos elementos. ¿Qué cantidad recibe cada uno de los niños? 14. Cuatro buques parten para el mismo destino: el primero, cada 10 días; el segundo, cada 8 días; el tercero, cada 9 días y el cuarto cada 15 días. ¿Cuántos días transcurren entre dos salidas simultáneas consecutivas? 15. Se desean acondicionar 1 830 latas de aceite y 1 170 latas de pescado en un cierto número de cajones que contengan el mismo número de latas, sin que sobre ninguna y sin mezclar las latas. ¿Cuál será el mayor número posible de latas que puedan ponerse en cada cajón?

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7

¡Tú puedes! 1. Si se define: n! = n(n – 1)(n – 2) ... × 3 × 2 × 1

Por ejemplo: 3! = 3 × 2 × 1

Entonces, calcular el mcm de (10!)(18!) y (12!)(17!) (18!)(12!) (12!)(18!) a) b) (18!)(17!) c) 61 31

d) (12!)(18!)

e)

(18!)(17!) 61

2. Se trata de formar un cubo compacto utilizando ladrillos cuyas dimensiones son 20; 15 y 6 cm. Si el número de ladrillos es el más cercano a 6 000, ¿cuál fue la arista del cubo? a) 120 b) 180 c) 240 d) 300 e) 360 3. El mcm de dos números es 720. Si estos números poseen 15 y 16 divisores respectivamente, hallar la suma de cifras de su MCD. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 4. ¿Cuántos divisores posee el MCD de 7! y

a+1 (a + 8) !? a

a) 60 b) 48 c) 28 d) 50 e) 40 5. Si el MCD de los números (a + 1)(a + 5)(a + 3) y (b + 1)(b + 6)(b + 2) es 24, hallar su mcm. a) 2 212

b) 3 452

c) 2 114

d) 2 432

e) 4 224

18:10:45

Practica en casa Si el mcm(A; B) = 2x . 3y . 5z . 7w, hallar "x + y + z + w".

1. Determina el menor múltiplo común de 24 y 18.

2. Sumar los cuatro primeros múltiplos comunes positivos de 15 y 18.

7. ¿Cuántos divisores comunes de 72 y 180 son de dos cifras?

3. Hallar la suma de cifras del MCD de 420; 640 y 720.

8. ¿Cuántos divisores comunes de 216 y 162 son impares?

4. Hallar la cifra de mayor orden del mcm de 420; 660 y 720.

9. Calcular el mínimo común múltiplo de 4; 6; 8; 10; 12 y 14.


10. Calcular el mcm de tres números pares consecutivos que suman 54.

A = 28 × 312 × 54 B = 25 × 38 × 510 × 710

Si el MCD(A; B) = 2x . 3y . 5z, hallar "x+y+z".

6. Sean los números: A = 28 × 312 × 54 B = 25 × 38 × 510 × Central: 619-8100

710

11. Hallar cuántos divisores tiene el MCD de 24; 32 y 56. 12. Se desea dividir exactamente tres cintas de 78; 102 y 114 cm de longitud, en pedazos iguales de la mayor longitud posible. ¿Cuál es esa longitud? UNIDAD 4

107

Aritmética

13. Se tiene un libro cuyo número de páginas tiene esta propiedad: si se cuentan de 3 en 3; de 4 en 4 y de 6 en 6 siempre sobra 1. Determinar el número de páginas del libro, si está comprendido entre 240 y 260.

15. Si el mínimo común múltiplo de:

A = 26 – x . 3 4 + x . 5 5 + x B = 24 – x . 5 4 + x . 7 5 – x

es: 2m . 3n . 5p . 7q, hallar "m + n + p + q"

14. En un rebaño de ovejas se forman grupos de 8 en 8; de 10 en 10; de 12 en 12 y de 14 en 14 y siempre sobran 5. Si el número de ovejas está comprendido entre 4 000 y 4 500, ¿cuántas ovejas sobrarán, si se forman grupos de 9 en 9?

108

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Repaso

Repaso

8

Aprende más 1. Del 1 al 1 500, ¿cuántos son múltiplos de 5 pero no de 9?

7. ¿Cuántos divisores de tres millones son múltiplos de 6?

2. ¿Qué número siempre será divisor de ab(4a)(4b)?

8. ¿Cuántos de los divisores de 43 . 92 son compuestos?

a) 13 d) 19

b) 15 e) 31

c) 17

3. A una convención de profesionales asistieron 400 personas entre americanos y europeos. Entre los europeos, los 2/7 son médicos, los 1/6 son ingenieros y los 3/5 son abogados. ¿Cuántos americanos asistieron a dicha convención? 4. Un fin de semana salieron de paseo varios salones del colegio. Un alumno deseando calcular la cantidad de mujeres, observó que de ellas, la quinta parte fueron con falda, la séptima parte con pantalón y la onceava parte fueron con ropa deportiva. Si en total fueron 700 alumnos, ¿cuántas chicas fueron con falda? 5. Determine la cantidad de divisores del factorial de 7. 6. Si el número: N = 2x . 3y . 52 tiene 227 divisores compuestos, hallar el valor de "x + y"

9. ¿Cuántos divisores comunes tienen los números 1 200; 1 500 y 1 800? 10. ¿Cuántos números de cuatro cifras se pueden dividir entre 12; 15; 18 y 20? 11. Hallar "a + b", si: 7457a = ° 8 y 2b3b7 = ° 9. ° 12. Calcular el valor de "a + b" si: ab0ab = 99 13. Si a un número se le divide entre 11, se obtiene 7 de residuo y cuando se le divide entre 10, se obtiene 5 de residuo. ¿Cuál es el residuo de dividir dicho número entre 110? ° y 1b764 = ° 14. Hallar "a + b", si: 534a2 = 11 7. ° 15. Calcular "a + b", si: a23aba = 45

¡Tú puedes! 1. Hallar "a + b + c + n", sabiendo que: abc(5) = cbn(6) (todas las cifras son significativas). a) 12 b) 16 c) 10 d) 8 e) 20 2. Si: 8B + 1 = A2

mcm(A; B) = 3 720

Hallar: A + B a) 131 b) 151 c) 170 d) 141 e) 149

3. Si la escritura del número: 30n × 15n + 1 × 6n + 2 termina en 8 ceros, calcular la suma de divisores de nnn. a) 1 466 Central: 619-8100

b) 1 567

c) 1 268

d) 1 482

e) 1 370 UNIDAD 4

109

Aritmética

4. 280 al ser representado en base "n" termina en 8. Calcule cuántos valores puede tomar "n". a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 5. Encontrar un número de tres cifras que sea igual al producto de sus cifras. Dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 18:10:45

Practica en casa 1. Calcular "n", para que el número 9 . 12n tenga 150 divisores. 2. Hallar el valor de "n", para que el número 25 . 45n tenga 117 divisores. 3. ¿Cuántas veces habrá que multiplicar por doce al número 420, para que el producto tenga 180 divisores? 4. ¿Cuántos ceros debe tener 2000... ...000 para que admita 56 divisores? 5. María colecciona cromos de futbolistas. Si los ordena de 5 en 5 ó de 3 en 3 siempre le sobran 2, en cambio si los ordena de 2 en 2 no le sobra ninguno. ¿Cuántos cromos tiene María, si son menos de 50? 6. Para realizar una encuesta de Matemática, Mariana sale cada 2 días, Natalia cada 6 días y Andrés cada 3 días. Si los tres se encontraron, el viernes 4 de julio, ¿en cuántos días más volverán a encontrarse? 7. ¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente entre 15; 20; 36 y 48, en cada caso, da resto 9? Dar la suma de sus cifras

110

Colegios

TRILCE

8. E n un corral hay 70 animales entre conejos y pollos. Si el primer día se vendió los 3/11 de los conejos y los 2/13 de los pollos, ¿cuántos animales quedan? 9. Sabiendo que 28a13b es divisible entre 36, calcular el mayor valor de "a + b". 10. En un barco en el que viajaban 312 personas ocurre un accidente en el cual mueren algunos pasajeros. Se sabe que de los sobrevivientes 1/4 son casados y que los 3/10 resultaron ilesos, y de los fallecidos se sabe que 5/6 dejaron viuda y que 2/9 viajaban solos. ¿Cuántos pasajeros sobrevivieron? 11. ¿Qué cifras deben sustituir al 2 y al 3 en el número 52 103, para que sea múltiplo de 72? 12. Sabiendo que: aba2b = ° 9, hallar el valor de "a + b". 13. El MCD de los números a15b y cbbd es 72, hallar "a + b + c + d". ° 14. Si: abc = ° 8; bca = ° 5 y ab = 17.

Hallar "a + b + c".

15. Hallar "k", si mcm(12k; 18k; 20k) = 1 080.

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UNIDAD 5 Perú captura anualmente 8.3 millones de toneladas de pescados y mariscos para consumo humano directo (CHD) e indirecto (CHI), y es superado solo por China, que captura 9.9 millones de toneladas al año, informó hoy la Cámara de Comercio de Lima (CCL), en base a un estudio realizado por la Universidad de la Columbia Británica (Canadá).

E

Proporciones Consumo per cápita de pescado l consumo per cápita, es la razón geométrica entre el consumo total y la población total. En el 2 008, el consumo humano per cápita de recursos pesqueros en el Perú fue de 22,1 kg, el nivel más elevado de la última década, debido no solo al mayor desembarque, sino también por el impulso dado por el Estado (en especial, especies como la anchoveta y la pota) y el boom de la gastronomía peruana.

21,0

Consumo humano per cápita de recursos pesqueros (kg) 21,9 21,4 22,1 20,6 20,1 19,8 19,5 18,5 18,6 18,1 18,1

Participación de consumo por tipo de producto 2008 (%) Fresco: 59%

Curado: 5%

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

APRENDIZAJES ESPERADOS Comunicación matemática • Interpretar la razón aritmética y geométrica. • Representar matemáticamente en forma adecuada enunciados vinculados a la razón y proporción. • Aplicar las fórmulas de promedio aritmético, geométrico y armónico.

Enlatado: 25%

Congelado: 11%

Enlatado

Curado

Congelado

Fresco

Razonamiento y demostración • Plantear las características de las proporciones discretas y continuas. • Calcular los términos de una proporción. Resolución de problemas • Resolver problemas que involucren razones aritmética y geométrica así como proporciones. • Resolver problemas de contexto real y matemático que implican utilizar los promedios.

1

Aritmética

Razones y serie de razones En este capítulo aprenderemos: •

A interpretar la razón aritmética y geométrica.

•

A representar matemáticamente en forma adecuada enunciados vinculados a la razón.

•

A utilizar el lenguaje correcto para leer enunciados de razones.

•

A definir la razón, así como identificar sus clases.

•

A interpretar los resultados que se obtienen de la resolución de problemas de índole real.

•

A resolver problemas que involucren razones: Aritmética y Geométrica.

El Producto bruto interno

E

l PBI per cápita es la razón entre el Producto Bruto y la población. Se calcula dividiendo el PBI total por la cantidad de habitantes del país. AMÉRICA LATINA PBI PER CÁPITA 2009 (US$) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

País

2008

2009

2010

Venezuela Chile Uruguay Brasil México Argentina Panamá Costa Rica Rep. Dominicana Colombia Perú Ecuador El Salvador Guatemala Paraguay Honduras Bolivia Nicaragua

11,388 10,197 9,351 8,626 10,217 8,266 6,812 6,583 5,117 5,404 4,446 3,928 3,822 2,862 2,747 1,816 1,656 1,010

11,789 9,525 9,426 8,220 8,135 7,726 7,133 6,345 5,176 5,087 4,356 4,059 3,623 2,662 2,337 1,823 1,724 972

10,315 11,428 12,089 9,886 9,168 8,493 7,579 6,965 5,464 5,890 4,950 4,328 3,719 2,769 2,704 1,913 1,831 967

Fuente: FMI. Elaboración: Desarrollo Peruano

El Perú, con un producto por habitante de US$ 4,356, se sitúa en el undécimo puesto. Sin duda, nuestro país aún tiene un largo trecho por recorrer en cuanto a este indicador, uno de los que más frenan las aspiraciones de mejorar su Índice de Desarrollo Humano. •

112

Si la población del Perú en el 2009 fue de 28 093 747, ¿cuál fue el Producto Bruto de dicho año?

Colegios

TRILCE

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Razones y serie de razones

1


2

3

4

5

7

8

9

10

11

15

6

12

16

13

17

18

20

14

19

21

22

Horizontal:

Vertical:

1. La mitad de 358

1. El doble de 68

4. Factorial de 6

2. Tres días en horas

7. Potencia de 2

3. Nueve centenas

8. Dos docenas

4. Número capicúa de cinco cifras.

9. Seis millares

5. Dos gruesas

10. Un número de tres cifras cuya suma sea 18

6. Cubo de 7

11. Décima potencia de 2

8. Número capicúa divisible entre 9

13. Número capicúa de tres cifras múltiplo de 9


15. Dos días en horas

12. Cuadrado de 45

17. Un número de cuatro cifras cuya suma sea 13.

13. Una gruesa

18. Cuadrado de 18


19. Número de tres cifras múltiplo de 9


20. 3/4 de día en horas 21. Cubo de 8 22. Número primo mayor que 20 y menor que 30. Central: 619-8100

UNIDAD 5

113

Aritmética

Conceptos básicos Razón Es común comparar precios, edades, puntajes, temperaturas, etc. y esas comparaciones las hacemos restándolas o dividiéndolas, esto nos permite determinar en cuántas unidades una es mayor que la otra o cuántas veces es una que la otra. En este capítulo estudiaremos estas formas de comparar, a las cuales las llamaremos razones.

Clases de razón Razón aritmética Es la comparación de las cantidades mediante la resta. a–b=k

a–b=k La diferencia entre "a" y "b" es "k". "a" excede a "b" en "k" unidades

Dicha razón determina en cuántas unidades una cantidad excede a la otra. Ejemplo:

•

Carlos y Mario tienen 12 y 18 años respectivamente. ¿Cuál será la razón aritmética de estas edades dentro de 10 años?

Resolución: Actual

Dentro de 10 años

Carlos

12

22

Mario

18

28

La razón aritmética: 28 – 22 = 6 años Entonces Mario tiene 6 años más que Carlos.

Razón geométrica Es la comparación de dos cantidades utilizando la división. a =k b

a =k b El cociente entre "a" y "b" es "k". "a" es "k" veces el valor de "b"

Dicho cociente indica cuántas veces es una cantidad respecto a la otra. Ejemplo:

•

Roberto a los 40 años tuvo a su hijo Carlos. ¿Cuál será la razón geométrica de estas edades dentro de 5 años? Comparando: Actual

Dentro de 5 años

Roberto

40

45

Carlos

0

5

La razón geométrica: Padre 45 años = =9 Hijo 5 años

114

Colegios

a 5 = b 3 "a" es a "b" como 5 es a 3. "a" y "b" están en la proporción de 5 a 3. "a" es a 5 como "b" es a 3.

Entonces la edad del padre es 9 veces la edad del hijo.

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Términos Para formar una razón aritmética o geométrica, se requieren dos cantidades "a" y "b". Los términos son: •

a ⇒ Antecedente

•

b ⇒ Consecuente

Ejemplos:

1

a =k b "k" es el valor de la razón Sea: a – b = k o

•

La razón geométrica de los precios de dos productos es 5/2 y la razón aritmética es 15 soles. ¿Cuáles son los precios?

Resolución:

Sean los precios "a" y "b"

a 5 = y a – b = 15 b 2

Si: a = 5k y b = 2k, entonces: 5k – 2k = 15

Resolviendo: k= 5 y los precios son: a = 5(5) = 25 soles y b = 2(5) = 10 soles

•

En una reunión, la cantidad de varones excede a la cantidad de mujeres en 12. ¿Cuántas personas asistieron a la reunión, si la cantidad de varones es a la de mujeres como 5 es a 3?

Resolución:

Sea "h" la cantidad de varones y "m" la de damas

h 5 = y h – m = 12 m 3

Si: h = 5k y m = 3k, entonces: 5k – 3k = 12

Resolviendo: k= 6 y los asistentes son: h = 5(6) = 30 y m = 3(6) = 18

Entonces en total asistieron 48 personas.

Serie de razones geométricas equivalentes Un grupo de razones geométricas equivalentes: a1 a a a = 2 = 3 = 4 = ... = k b1 b2 b3 b4

a b c = = 5 3 2 "a", "b" y "c" son proporcionales a 5; 3 y 2. "a" es a 5 como "b" es a 3 y "c" es a 2

Antecedentes: a1; a2; a3; a4; ... Consecuentes: b1; b2; b3; b4; ...

Propiedades 1. Cada antecedente es igual a su consecuente por el valor de la razón.

a1 = kb1; a2 = kb2; a3 = kb3; a4 = kb4; ... ; an = kbn

Central: 619-8100

a b c = = =k 5 3 2 Entonces: a = 5k; b = 3k y c=2k Si:

UNIDAD 5

115

Aritmética

Ejemplo:

•

Los números "a", "b" y "c" son proporcionales a 2; 7 y 13. ¿Cuál es el valor de "b", si: 2a + 3c = 172?

Resolución: a b c Entonces: = = 2 7 13

De la serie de razones: a = 2k; b = 7k y c = 13k

Luego, en el dato: 2(2k) + 3(13k) = 172 43k = 172 ⇒ k = 4

El valor de: b = 7k = 28.

2. La razón entre la suma de antecedentes y la suma de consecuentes, es igual al valor de la razón. a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an =k b1 + b2 + b3 + b4 + ... + bn

Ejemplo:

•

Los ángulos de un triángulo son proporcionales a 2; 5 y 11. ¿Cuál es la medida del mayor ángulo?

Resolución:

Sean los ángulos "a", "b" y "c" entonces: Entonces: Luego:

a b c = = , además: a + b + c = 180° 2 5 11

a b c a+b+c = = = , como: a + b + c = 180° 2 5 11 2 + 5 + 11

a b c 180° a b c = = = , simplificando: = = = 10° 2 5 11 18 2 5 11

El mayor de los ángulos 11(10°) = 110°

3. La razón del producto de antecedentes y el producto de los consecuentes, es igual a la potencia "n" del valor de las razones, donde "n" es la cantidad de razones. a1 × a2 × a3 × a4 × ... × an = kn b1 × b2 × b3 × b4 × ... × bn

Ejemplo:

•

Los números "a", "b", "c" y "d" son proporcionales a 2; 5; 7 y 9. ¿Cuál es el valor de "d", si: a . b . c = 560?

Resolución: a b c d Entonces: = = = = k; multiplicando las tres primeras razones 2 5 7 9

a.b.c = k3; como: a . b . c = 560 2 .5 . 7

116

Colegios

Entonces: k3 =

560 = 8, reduciendo: k = 2 2.5.7

El valor de: d = 9k = 18.

TRILCE

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1

Síntesis teórica RAZONES Comparación de dos cantidades

Razón aritmética

Razón geométrica a =k b

a = antecedente b = consecuente

a–b=k

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES

a b c = = =k m n p

a; b; c = antecedentes m; n; p = consecuentes

a = mk b = nk c = pk

a+b+c =k m+n+p

a.b.c = k3 m.n.p

10 x 5 50

Aplica lo comprendido 1. Sean las edades actuales de Luis y Alex. Actual Luis

12

Alex

7

Dentro de 10 años

Hallar: • La razón aritmética de las edades actuales. • La razón aritmética de las edades que tendrán dentro de 10 años 2. Sean las edades actuales de Pier y Carlos Actual Pier

8

Carlos

4

Central: 619-8100

Hallar: • La razón geométrica de las edades actuales. • La razón geométrica de las edades que tendrán dentro de 12 años

Hallar "a" y "b" en cada caso.

3. Dado:

a 5 = y a – b = 32 b 3

4. Dado:

a 5 = y a. b = 90 b 2

5. Dado:

a b c = = y a + b + c = 75 5 3 7

Dentro de 12 años

UNIDAD 5

117

Aritmética


Celsius

El grado Fahrenheit es una escala de temperatura propuesta por Daniel Gabriel Fahrenheit en el año 1724.

Fahrenheit

100 °C

212 °F

20 °C

68 °F

0 °C

32 °F

Una teoría indica que Fahrenheit estableció el 0 °F y los 100 °F en la escala al grabar las más bajas temperaturas que él pudo medir y su propia temperatura corporal. Él tomó la más baja temperatura que midió en el duro invierno de los años de 1708 a 1709 (cerca de –17,8 °C), que lo indicó como punto cero y a 37,7 °C (temperatura corporal) como 100 °F. Relacionando las escalas de temperatura:

1. ¿En qué relación (razón) está la variación de las temperaturas en las dos escalas? Temperatura (El agua se congela)

Temperatura (El agua se evapora)

Variación (Diferencia de temperaturas)

32 °F

212 °F

°F

0 °C

100 °C

°C

2. ¿En qué relación (razón) está la variación de las temperaturas en las dos escalas? Temperatura

Temperatura


68 °F

212 °F

°F

20 °C

100 °C

°C

3. Considerando los ejercicios anteriores, completa: Temperatura


°F

212 °F

°F

40 °C

100 °C

°C

Temperatura

Resolución de problemas 4. Dos números son entre sí como 2 es a 3. Si la suma de sus cuadrados es 52, hallar el menor. 5. Dos números son entre sí como 3 es a 2. Si la suma de sus cubos es 280, hallar el mayor. 6. La razón de dos números es 9/5. Si su razón aritmética es 36, hallar el menor de ellos 7. Las edades de Alex y Milenka son 20 y 32 años respectivamente. ¿Dentro de cuántos años, sus edades estarán en la relación de 5 a 7?

118

Colegios

TRILCE

8. Rosa y Yaneth tienen entre las dos S/. 4 200 y sus dineros están en la relación de 5 a 2 respectivamente. ¿Cuánto dinero debe darle Rosa a Yaneth para que la nueva relación sea de 3 a 4? 9. Se tiene 200 caramelos, de los cuales 80 son de fresa y el resto de limón. ¿Cuántos caramelos de fresa se deben agregar para que por cada 4 caramelos de fresa haya 5 de limón?

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a b c = = , y además: a + b + c = 80, 7 5 8 hallar "c – b".

13. La suma, diferencia y el producto de dos números son proporcionales a los números 5; 3 y 16. Hallar estos números.

a c e g = = = =k b d f h 3 a + c 3 + e 3+ g 3 y además: 3 = 8, hallar: k. b + d 3 + f 3+ h 3

14. Si:

10. Si:

11. Si:

1

64 a b c d = = = = , hallar "d". a b c d 2

15. En una serie de tres razones geométricas iguales y continuas, se cumple que la suma del primer antecedente y el último consecuente es 1 274. Hallar la suma de los antecedentes, si la suma de las tres razones es 15/8.

12. Una panadería produce cierta cantidad de panes. Se realiza una venta y se observa que el número de panes vendidos es al número de panes que quedan como 1 es a 3, pero si se hubiera vendido 4 000 panes más, la nueva razón de panes vendidos con los que quedan sería de 3 a 7. Hallar la cantidad de panes.

16. Tres números son entre sí como 2; 5 y 7. Si se les quita 5; 19 y 26 respectivamente se originan tres números que forman una progresión aritmética creciente. Hallar el mayor de los números.

¡Tú puedes! 1. En la serie de razones geométricas equivalentes:

a c e = = , se cumple: b d f

ab = 24; cd = 150; ef = 384 y b2 + d2 + f2 = 837

Hallar: a + b + c + d + e + f a) 50 b) 60 c) 75 d) 81 e) 45

2. Si:

P E 5 E 2 = = y además: P . U = 150 y = , hallar: P + E + R + U. R U 3 R 3

a) 72 b) 30 c) 52 d) 84 e) 56

3. Si:

a b c = = =k y r s t

a + b + c = 72 , hallar: E = r + s + t = 32

ar + bs +

ct

a) 30 b) 24 c) 48 d) 15 e) 36

4. Si:

1111 2222 3333 = = y además: a2 + 4b2 + 9c2 = 392, hallar: a + b + c aaaa bbbb cccc

a) 6

b) 0

c) 12

d) 14

e) 18

5. En una fábrica de gaseosas se tienen tres máquinas "A", "B" y "C". En una hora por cada 7 botellas que produce la máquina "A", la máquina "B" produce 5 y por cada 3 botellas que produce "B", la máquina "C" produce 2. Si en un día la máquina "A" produce 1 320 botellas más que "C", ¿cuántas botellas produjo la máquina "B" más que "C" al día? a) 600

Central: 619-8100

b) 900

c) 1 000

d) 1 100

e) 264

UNIDAD 5

119


Practica en casa 1. Dos números son entre sí como 2 es a 5. Si la suma de sus cuadrados es 116, hallar el menor. 2. La razón de dos números es 4/11. Si la razón aritmética de dichos números es 210, hallar el mayor de ellos. a b c d 3. Si: = = = , además: 2a + 3c – 2d = 60, 3 7 8 10 hallar "b". 4. La razón de dos números es 7/2. Si su razón aritmética es 35, hallar el menor de ellos. 5. Si:

m n p q = = = 25 40 50 15

y, además: m – n + p = 63, hallar "n + q".

10. La cantidad de dinero que tiene "A" es al dinero de "B" como 2 es a 3. Sabiendo que "A" y "B" tienen juntos 180 soles, ¿cuántos soles tiene "B"? 11. Si:

a b c = = 7 5 8

y además: a + b + c = 120, hallar: c – b.

12. Cuando Juan nació, Pedro tenía 6 años y hace 10 años la relación de sus edades era de 4 a 7. ¿Dentro de cuánto tiempo la relación de sus edades será como 11 es a 13?

6. Dos números son proporcionales a 15 y 35. Si al doble del mayor se le agrega el triple del menor, se obtiene 920. Hallar el menor número.

13. Si:

7. Las edades de Alex y Milenka son 12 y 22 años respectivamente. ¿Dentro de cuántos años sus edades estarán en la relación de 5 a 7?

14. Los antecedentes de varias razones equivalentes son: 3; 4; 5 y 6. Si la suma de los dos primeros consecuentes es 28, hallar la suma de los dos últimos.

8. Rosa y Yaneth tienen entre las dos S/. 6 720 y sus dineros están en la relación de 5 a 3 respectivamente. ¿Cuánto dinero debe darle Rosa a Yaneth para que la nueva relación sea de 3 a 4?

120

9. El dinero que poseen Valeria y Jazmín están en la relación de 4 a 5 respectivamente. Después de ganar S/. 40 cada una, resulta que ahora sus dineros están en la proporción de 12 a 13. ¿Cuánto dinero tenía Valeria?

Colegios

TRILCE

15. Si:

m 6 p q 48 = = = = , hallar "q – m". 6 p q 48 r

x y z w = = = 12 18 24 6

y además: x . w + y . z = 350, hallar: z

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Proporciones

Proporciones

2

En este capítulo aprenderemos: • • • • •

A representar matemáticamente en forma adecuada enunciados vinculados a la proporción. A utilizar el lenguaje correcto para leer enunciados de razones y proporciones. A plantear las características de las proporciones discretas y continuas. A calcular los términos de una proporción. A definir la razón y la proporción así como identificar sus clases.

La ley de Charles y Gay-Lussac

R

elaciona el volumen y la temperatura de una cierta cantidad de gas ideal, mantenido a una presión constante, mediante una constante de proporcionalidad directa. Así que, a mayor movimiento de las partículas (temperatura), mayor volumen del gas.

La ley de Charles es una de las más importantes leyes acerca del comportamiento de los gases, y ha sido usada de muchas formas diferentes, desde globos de aire caliente hasta acuarios. Volumen, ml 80 70 60 50 40 30 20 10

–250

–150

–50

0

50

100

150

200

250

300

Temperatura, °C •

¿Qué volumen se proyecta para una temperatura de 200 °C?

Central: 619-8100

UNIDAD 5

121

Aritmética


2

3

4

5

8

6

7

9

10

13

14

17

18

20

21

11

12

15

16

19

22

23

24

Horizontal:

Vertical:

1. Razón aritmética de 234 y 153

1. Razón geométrica de 261 y 3

3. Razón geométrica de 44 y 4


5. El cuadrado de 11

3. Factorial de 5


4. Potencia de 2

9. Una decena


10. Medio día (en horas)

6. Número de tres cifras cuya suma sea cuatro

12. Una docena

7. Menor número de siete cifras diferentes


10. Una gruesa

15. Cubo de 7

11. Número de tres cifras cuya suma sea 18

17. Cuadrado de 21

14. Cuadrado de 56

18. 3/4 de día (en horas)

16. Número de cuatro cifras cuya suma sea 9

19. Un día (en horas)

18. Doble de 79

20. Cubo de 7


21. Cuadrado de 75

22. Razón aritmética entre 89 y 28

23. Cuadrado de 41 24. Razón aritmética de 51 y 35

122

Colegios

TRILCE

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Proporciones

2

Conceptos básicos Proporción Es la igualdad de dos razones.

Clases de proporciones

Proporción aritmética (equi – diferencia) Es la igualdad de dos razones aritméticas.

En la proporción aritmética: "a" y "d" son los extremos y "b" y "c" los medios Entonces: a + d = b + c Suma de extremos = suma de medios

a–b=c–d Observación 1. Cuando los medios son diferentes, se le denomina proporción aritmética discreta. a–b=c–d

2. Cuando los medios son iguales, se le denomina proporción aritmética continua a–b=b–c

A "b" se le llama media diferencial A "c" se le llama tercera diferencial

A "d" se le llama cuarta diferencial

Ejemplos:

Ejemplo:

•

Calcular la cuarta diferencial de 18; 14 y 46

Luego: 18 – 14 = 46 – x

Resolviendo: x = 42

Proporción geométrica (equi–cociente)

Es la igualdad de dos razones geométricas. a c = b d

•

Calcular la tercera diferencial de 78 y 65

•

Luego: 78 – 65 = 65 – x Resolviendo: x = 52 Calcular la media diferencial de 28 y 20 Luego: 28 – x = x – 20 Resolviendo: x = 24

En la proporción geométrica: "a" y "d" son los extremos y "b" y "c" los medios Entonces: a . d = b . c Producto de extremos = producto de medios

Observación 1. Cuando los medios son diferentes, se le denomina proporción geométrica discreta.

2. Cuando los medios son iguales, se le denomina proporción geométrica continua.

a c = b d

a b = b c A "b" se le llama media proporcional A "c" se le llama tercera proporcional

A "d" se le llama cuarta proporcional Ejemplo:

•

Calcular la cuarta proporcional de 28;14 y 16 28 16 Luego: = 14 x Resolviendo: x = 8

Central: 619-8100

Ejemplos:

•

•

Calcular la tercera proporcional de 40 y 20. 40 20 Luego: = ⇒ 40 . x = 20 . 20 ⇒ x = 10 20 x Calcular la media proporcional de 27 y 3. 27 x Luego: = ⇒ 27 . 3 = x . x ⇒ x = 9 x 3 UNIDAD 5

123

Aritmética

Síntesis teórica PROPORCIÓN

Igualdad de dos razones

PROPORCIÓN ARITMÉTICA

PROPORCIÓN GEOMÉTRICA a c = b d

"a" y "d" = extremos "b" y "c" = medios

a–b=c–d

P.A. discreta

P.A. continua

P.G. discreta

P.G. continua

Términos medios diferentes

Términos medios iguales

Términos medios diferentes

Términos medios iguales

a–b=c–d

a–b=b–c

a c = b d

a b = b c

d: cuarta diferencial

b: media diferencial c: tercera diferencial

d: cuarta proporcional

b: media proporcional c: tercera proporcional

b=

a+c 2

b= a . c

10 x 5 50

Aplica lo comprendido 1. Completa la proporción aritmética:

12 – ....... = 15 – 11

Luego, la cuarta diferencial es:.............

2. Si la proporción aritmética es continua:

124

23 – ......... = ........... – 11

La media diferencial es:............. Colegios

TRILCE

3. Si la proporción geométrica es continua: 25 ....... = ....... 4

Luego, la media proporcional es:..........

4. Calcular la media proporcional de 12 y 3 5. Calcular la tercera proporcional de 18 y 6 www.trilce.edu.pe

Proporciones

2

Aprende más Aplicación cotidiana Existen varios tipos de mezcla de concreto, dependiendo en donde se vaya a utilizar y la función que cumplirá, variando las cantidades de cal, arena y cemento se pueden hacer mezclas diferentes especiales para uno u otro uso. Aquí vamos a explicarte como hacer una mezcla de cal y cemento que sea la más simple y común. Para preparar esta mezcla necesitamos respetar esta proporción: • • •

1 balde de cemento 2 de grava 3 de arena

1. Si utilizamos 5 baldes de cemento, ¿cuántos baldes de grava y arena se utilizarán? 2. Si necesitamos una mezcla de 120 baldes, ¿cuántos serán de cemento? 3. Para cubrir un techo de 74 m2 con un espesor de 10 cm, se requiere de 50 kg de cemento. Si un balde contiene 2,5 kg de cemento, ¿cuántos baldes de arena y grava se requieren para dicho techo?

Resolución de problemas 4. Si 15 es la media proporcional de "m" y 25 y "2m" es la tercera proporcional de 8 y "n", ¿cuál es la cuarta proporcional de "m", "n" y 15? 5. Ordene los números 3; 12 y 6 para formar una proporción geométrica continua. ¿Cuál es el valor de la razón? 6. En una proporción geométrica continua, la suma de los extremos es 75 y la diferencia de los mismos es 21. Hallar el valor de la media proporcional. 7. En una proporción geométrica continua, los términos extremos están en la relación de 4 a 9, siendo su suma 65. Hallar la media proporcional. 8. Si "A" es la cuarta diferencial de 28; 9 y 41 y "B" es la media diferencial de 16 y 12, hallar la tercera diferencial de "A" y "B". 9. El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es 104 976. Hallar la tercera proporcional, si los dos primeros términos suman 21. Dar como respuesta el producto de sus cifras. 10. La tercera proporcional de (x – 2) y (x + 2) es (x + 8). ¿Cuál es la cuarta proporcional de "x"; (x + 6) y (x + 5)? Central: 619-8100

11. Tres números son entre sí como 2; 6 y 8. Si la media diferencial entre el segundo y el tercero es 28, hallar la media proporcional entre el primero y el tercero. 12. Se tiene una proporción aritmética continua, donde la suma de los cuatro términos es 112 y la diferencia de los extremos es 18. Hallar dichos extremos. 13. El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es 256. Si la diferencia de los extremos es 6, hallar la suma de los antecedentes de dicha proporción. 14. En una proporción geométrica continua, el primer término es la novena parte del último término. Si la suma de los extremos es 100, hallar la media proporcional. 15. El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es 1 296. Si la suma de sus extremos es 15, hallar el mayor de los extremos. 16. En una proporción geométrica, la suma de los dos primeros términos es 20 y la suma de los dos últimos términos es 25. Hallar el menor de los términos medios, si la suma de los consecuentes es 27. UNIDAD 5

125

Aritmética

¡Tú puedes! 1. Se sabe que:

m2 + 25 = 5

n2 + 49 p2 + 4 = y además: m + 2n + p = 63. Calcule: m + n – p 7 2

a) 20 b) 25 c) 30 d) 42 e) 16 2. En una proporción geométrica continua, se cumple que el producto de los cuatro términos acepta como factores primos a dos enteros consecutivos y tiene 45 divisores. Además, dicho producto no contiene a 32 pero si a 48. Hallar el menor de los términos de la proporción, si uno de los extremos es cubo perfecto y el otro es múltiplo de 6. a) 8 b) 12 c) 15 d) 18 e) 9 3. En una reunión, el número de hombres que bailan es al número de damas que no bailan como 1 es a 2 y además, el número de damas es al número de hombres que no bailan como 3 es a 5. Determinar cuántas personas bailan, si en total asistieron 72 personas. a) 8 b) 14 c) 24 d) 12 e) 16 4. Un club tiene 4 290 socios activos. Tuvieron que decidir sobre cierta moción, estando en contra de ella una cantidad como 7 miembros y a favor solamente como 4. Luego de la reconsideración fue aprobada con una relación de 8 es a 5. Si no hubo abstenciones, ¿cuántas personas cambiaron de opinión? a) 920

b) 1 020

c) 1 080

d) 980

e) 1 060

5. Para elegir los nuevos dirigentes de un club se presentan dos listas "A" y "B" y para votar se hacen presentes 240 socios. En una votación de sondeo inicial, la elección favorece a "B" en la proporción de 3 a 2, pero en la votación legal "A" ganó en una proporción de 5 a 3. ¿Cuántos socios que inicialmente votaron por "B" cambian por "A"? a) 24 b) 48 c) 54 d) 72 e) 80 18:10:45

Practica en casa 1. En una proporción geométrica continua, la suma de los extremos es 58 y la diferencia de ellos es 40. Hallar la media proporcional.

7. Calcular "x" en:

38 + x 3 = 18 + x 2

8. Calcular la tercera diferencial de 34 y 25 2. Calcular la media diferencial de 23 y 15. 9. Calcular la tercera proporcional de 12 y 18 3. Calcular la media proporcional de 9 y 4 4. Calcular "x" en:

12 + x 5 = 18 2

5. Calcular la media proporcional de 20 y 125 6. Calcular la media diferencial de 18 y 10

126

Colegios

TRILCE

10. En una proporción geométrica continua, el producto de los cuatro términos es 20 736. Si el segundo término es el cuádruplo del primero, hallar el mayor de los términos. 11. El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es 50 625. Si la razón es mayor que 1, hallar el primer antecedente, sabiendo que uno de ellos es 3. www.trilce.edu.pe

Proporciones

12. Calcular la suma de los cuatro términos de una proporción geométrica continua, si se sabe que la suma de los dos primeros términos es 15 y la suma del primer y último término es 13.

14. En una proporción aritmética continua, los extremos son entre sí como 5 es a 3. Hallar la razón aritmética de dicha proporción, sabiendo que la suma de sus cuatro términos es 528.

13. Hallar la tercera proporcional de una proporción geométrica continua, donde el producto de sus cuatro términos es 6 561 y el primer término es 9 veces el último término.

15. La suma de los cuatro términos de una proporción aritmética continua es 100. Si el producto de los cuatro términos es 375 000, hallar la diferencia de los términos extremos.

Central: 619-8100

UNIDAD 5

2

127

3

Aritmética

Promedios En este capítulo aprenderemos: •

Aplicar las fórmulas de promedio aritmético, geométrico y armónico.

•

A definir los promedios e identificar sus clases.

•

A demostrar las relaciones de orden entre los promedios aritmético, geométrico y armónico.

•

A resolver problemas de contexto real y matemático que implican utilizar una relación entre medidas.

•

A resolver problemas de contexto real y matemático que implican utilizar los promedios.

Esperanza de vida al nacer (años de vida) por sexo en la zona urbana PERÚ (1985 – 2015) 78.00 76,00

76.00

74,89

Esperanza de vida

72.00

72,80 70,92

71,20 70,28

70.00 68,34 68.00 66.00

72,25

Ambos sexos

73,28 70,69

69,74

Mujeres

74,27

73,77

74.00

77,05

Hombres 71,62

68,76 67,88

65,89

64.00 62.00 60.00

1985 – 1990 1990 – 1995 1995 – 2000 2000 – 2005 2005 – 2010 2010 – 2015 Año FUENTE: INEI. DTDES. "Proyecciones de Población del Perú, 1950 – 2050". Marzo 2009.

•

128

¿Cómo explicas que el promedio de ambos sexos fue 73,28 en el año 2010?

Colegios

TRILCE

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Promedios

3


2

3

7

11

15

12

16

19

4

5

8

9

6

10

13

14

17

18

20

22

21

23

24

25

26

Horizontal:

Vertical:

1. El resultado de sumar del 1 hasta el 9

1. Cuadrado de 65

3. 5/8 de un día (en horas)

2. Cubo de 8

5. Cuadrado de 21


7. Cubo de 6

4. Cubo perfecto de tres cifras

8. Una gruesa

6. Cuadrado de 21

10. Raíz cúbica de 343

9. El resultado de: 1 + 3 + 5 + ... + 39

11. Indicar los 2/9 del mayor número de tres cifras

10. Factorial de 6

13. 24 + 4

12. Cuadrado de 150

14. Raíz cuadrada de 144

16. Doce docenas

15. Cubo de 8

17. Suma de los cuatro primeros números impares


18. El resultado de: 1 + 2 + 3 + ... + 17

20. Cuadrado de 75

19. Suma de los impares del 1 hasta el 29

21. Raíz cúbica de 512


22. Número de cuatro cifras cuya suma sea 7

23. Una decena

24. Semisuma de 235 y 429

24. Raíz cuadrada de 900

25. Menor número de cuatro cifras

25. El resultado de sumar 1/2; 1/3 y 1/6

26. Dos días (en horas) Central: 619-8100

UNIDAD 5

129

Aritmética

Conceptos básicos Promedio Es aquella cantidad que representa a un conjunto de datos. Sean las cantidades: Si los datos son: 12; 18; 20 y 15 el promedio no puede ser 10 o 22. Su valor debe ser mínimo 12 y máximo 20.

a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ an

Una característica del promedio es: a1 ≤ Promedio ≤ an

Clasificación Promedio aritmético (ma) Sean las cantidades: a1; a2; a3; ...; an

Si los datos son "a" y "b", el promedio o media aritmética es: a+b ma = 2

a + a2 + a3 + ... + an ma = 1 n Ejemplo:

•

Calcular el promedio aritmético de las edades de cuatro hermanos que son: 18; 12; 9 y 14 años. 18 + 12 + 9 + 14 ma = = 13,25 4

Promedio geométrico (mg) Sean las cantidades: a1; a2; a3; ...; an

Si los datos son "a" y "b", el promedio o media geométrica es: mg = a × b

n

mg = a1 × a2 × a3 × ... × an

Ejemplo:

•

Los aumentos porcentuales de un producto son 20%; 25% y 2%. Calcular el promedio geométrico de estos aumentos. 3

mg = 20 × 25 × 2 ⇒ mg = 10%

Promedio armónico (mh)

Sean las cantidades: a1; a2; a3; ...; an mh =

Ejemplo:

•

130

n 1 1 1 1 + + + ... + a1 a2 a3 an

Si los datos son "a" y "b", el promedio o media armónica es: 2 2ab mh = = 1 1 a+b + a b

Colegios

Calcular el promedio armónico de las velocidades 12; 20; 30 y 42 km/h, que desarrolló un ciclista en una competencia: 4 mh = 1 ⇒ mh = 21 km/h 1 1 1 + + + 12 20 30 42

TRILCE

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Promedios

Promedio ponderado

3

Cuando los datos influyen de diferente modo en el promedio, se le asigna a cada uno un peso, el cual debe ser considerado para determinar el promedio Ejemplo:

•

Sean las notas de Alex, alumno del colegio: Rubro Exámenes de entrada Examen mensual Examen bimestral Revisión de cuaderno

Nota 08 16 18 14

Peso 2 3 4 1

Determina su promedio Promedio ponderado =

8 × 2 + 16 × 3 + 18 × 4 + 14 × 1 = 15 2+3+4+1

Propiedades •

Para cantidades diferentes se tiene que: ma > mg > mh

Si los datos son: 12; 6 y 24 12 + 6 + 24 • ma = = 14 3 • •

•

3

mg = 12 × 6 × 24 = 12 3 mh = 1 1 1 = 10,28 + + 12 6 24

Para cantidades iguales se tiene que: ma = mg = mh

Si los datos son: 7; 7; 7; 7; 7 ma = 7; mg = 7; mh = 7

•

Para dos números se cumple que: a+b 2ab ma = ; mg = a . b ; mh = 2 a+b

Luego:

Si los datos son "a" y "b": ma . mh = a . b

ma . mh = mg2

Central: 619-8100

UNIDAD 5

131

Aritmética

Síntesis teórica PROMEDIOS

a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ an a1 ≤ Promedio ≤ an

Promedio aritmético

P.A. =

Suma de datos n

Sean los números "a", "b" y "c" a+b+c P.A. = 3

Promedio geométrico

n

P.G. = Producto de datos

Sean los números "a", "b" y "c" 3

P.G. = a . b . c

Promedio armónico

P.H. =

n Suma de las inversas

Sean los números "a", "b" y "c" 3 P.H. = 1 1 1 + + a b c

PROPIEDADES

Promedio ponderado

P.P. =

132

Nota

Peso

Para "n" números:

12

5

P.A. ≥ P.G. ≥ P.H.

15

2

18

3

12 × 5 + 15 × 2 + 18 × 3 5+2+3

Colegios

TRILCE

Para dos números "a" y "b" a+b P.A. = M.A. = 2 P.G. = M.G. = a . b 2 2ab = P.H. = M.H. = 1 1 a+b + a b

www.trilce.edu.pe

Promedios 10 x 5 50

3

Aplica lo comprendido 1. Determina "x", si: 13 + 12 + 15 + 11 + x = 14 5

4. Calcular el promedio armónico de 12 y 20. 5. Calcular el promedio ponderado de las notas de las aulas "A", "B" y "C":

2. Calcular el promedio geométrico de 25; 20 y 2 3. Calcular el promedio aritmético de los cinco primeros números primos impares.

Aula A B C

# de alumnos 20 30 10

Nota de cada aula 15 13 9

Aprende más Aplicación cotidiana América Latina Esperanza de vida al nacer (Años) Datos del 2007 País Años 1 Costa Rica 79 2 Chile 78 3 Cuba 78 4 Perú 76 5 México 76 6 Panamá 76 7 Argentina 75 8 Uruguay 75 9 Colombia 75 10 Venezuela 75 11 Paraguay 74 12 Brasil 73 13 Ecuador 73 14 Nicaragua 73 15 El Salvador 72 16 República Dominicana 72 17 Honduras 71 18 Guatemala 69 19 Bolivia 66

En esta oportunidad presentamos un ranking latinoamericano referido a uno de los más importantes indicadores del desarrollo: la esperanza de vida al nacer. Este indicador, como se sabe, estima el número de años que podrían vivir las personas de un país teniendo en cuenta las condiciones generales de vida imperantes en él, en aspectos tales como mortalidad infantil, niveles de pobreza, nutrición, acceso a infraestructura sanitaria, servicios de salud, etc. 1. Calcular el promedio de los cinco países que tienen la mayor esperanza de vida. 2. Calcular el promedio de esperanza de vida de dos países: el que tiene el mayor y el que tiene la menor esperanza de vida. 3. Calcular el promedio de esperanza de vida del Perú y de los países fronterizos con el Perú.

Fuente: OMS. Elaboración: Desarrollo Peruano

Resolución de problemas 4. Un alumno tiene las siguientes notas en sus cuatro primeros exámenes: 91; 88; 66 y 78. Si desea obtener un promedio de 85 en los cinco primeros exámenes, ¿cuál debería ser su quinta nota? 5. Hallar la media aritmética y la media geométrica de 9 y 25. Dar como respuesta la diferencia de dichas medias.

Central: 619-8100

6. Hallar la suma de cifras del promedio geométrico de los números 8; 27 y 125. 7. El promedio de cinco números consecutivos pares es 24. ¿Cuál es el promedio de los dos menores números? 8. El promedio de cuatro números es 14. Si la suma de los tres primeros números es 50, hallar el último número. UNIDAD 5

133

Aritmética

9. El promedio de tres números consecutivos de una progresión aritmética de razón 7 es 25. Calcular el promedio geométrico del mayor y menor número.

13. En un salón, el promedio de edad de los 18 hombres es 16 años y el promedio de edad de las 12 mujeres es 14 años. Calcular el promedio de edad de todo el salón.

10. El promedio de las edades de seis personas es 48 años. Si ninguna de ellas es menor de 43 años, ¿cuál es la máxima edad que podría tener una de ellas?

14. El promedio aritmético de 20 números es 45, el de otros 35 números es 24 y el de otros 45 números es 60. Entonces, el promedio aritmético de los 100 números será:

11. El promedio de cinco números es 85. Si se considera un sexto número y el promedio aumenta en 15, hallar el sexto número.

15. En una clase de 30 alumnos, la estatura promedio de los hombres es 1,70 m y el de las mujeres 1,6 m. ¿Cuántos hombres hay en clase, si el promedio de la clase es 1,63 m?

12. El promedio de las edades de cinco personas es 38 años. Si todas las edades son diferentes entre sí y ninguna es mayor de 44 años, ¿cuál es la mínima edad que puede tener una de las personas?

16. El promedio aritmético de 30 números es 25. Si sacamos tres de estos números, por ejemplo: 20; 10 y 18, hallar el promedio de los números que quedan.

¡Tú puedes! 1. Hallar la media aritmética de: 8; 16; 24; 32; ...; 8n a) 4(n + 1)

b) 8(n – 1)

c) 8(n + 1)

d) 4(n – 1)

e) 4n (n – 1)

2. En un salón de clase, la suma de las edades de todos los alumnos es 900 años y la edad promedio es 18 años. Si cada alumno tuviera 3 años más y cada alumna tuviera 2 años menos, la edad promedio aumentaría en 1 año. Hallar la relación en la que se encuentran el número de alumnos y el número de alumnas. 3 1 5 3 1 a) b) c) d) e) 2 4 2 1 2 3. En un salón de "x" personas, se determinó que el promedio de las edades de los hombres era "m" años y el promedio de las mujeres "n" años. Hallar el número de hombres, si el promedio de las "x" personas es "y" años. a)

x(y – m) x(n – y) x(y – n) x(y – m) x(y – n) b) c) d) e) m–n m–n m–n n–x n–m

4. En un examen se obtuvo que el promedio de notas de los varones era 1 100 y el promedio de notas de las damas 1 150. Si el número de varones respecto al de damas es como 5 a 7, ¿cuál es el promedio del examen? a) 1 032

b) 1 051

c) 1 079

d) 1 129,16

e) 1 143

5. Se obtuvo que la media armónica de los números: 2; 6; 12; 20; ...; n(n + 1) es igual a 21. ¿Cuál es la media armónica de los "n" siguientes números de la serie? a) 820 b) 800 c) 880 d) 861 e) 841

134

Colegios

TRILCE

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Promedios 18:10:45

3

Practica en casa 1. Calcular el promedio aritmético de 17; 12; 13 y 18. 2. La razón aritmética de dos números es 48 y su promedio aritmético es 35. Hallar el menor de los números. 3. Calcular el promedio geométrico de 12 y 75 4. Un grupo de seis amigas tienen una edad promedio de 28 años. Si ninguna de ellas es menor de 25 años, ¿cuál es la edad máxima que puede tener una de ellas? 5. Calcular el promedio geométrico de 27; 32 y 2 6. El sueldo promedio de cinco profesores es 1 650 soles. Si los sueldos de tres de ellos son 1 250; 1 800 y 2 200 soles, hallar el sueldo de los otros dos, sabiendo que son proporcionales a 2 y 3. 7. Calcular el promedio aritmético de los diez primeros números primos. 8. Si el promedio de cinco números impares consecutivos es 17, hallar el promedio de los dos mayores números. 9. ¿Cuál es el promedio armónico de 12; 20 y 30?

Central: 619-8100

10. Si la suma de 40 números consecutivos es 1 140, hallar el promedio de los tres últimos números. 11. En un salón de 60 alumnos, el promedio de notas en Aritmética es 12. Si 20 de ellos tienen un promedio de 18, ¿cuál es el promedio de los 40 restantes? 12. El promedio aritmético de las edades de 12 personas es 29 años. Si se retiran 4 personas, el promedio de las restantes es 25 años. ¿Cuál es el promedio de las cuatro personas que se retiraron? 13. Calcular el promedio ponderado de las notas de un alumno: Nota

Peso

15

3

09

2

18

1

14. Hallar dos números, sabiendo que su mayor promedio es 8 y su menor promedio es 63/8. Dar como respuesta la diferencia de dichos números. 15. Seis señoras están reunidas. Si ninguna pasa de los 60 años y el promedio de edades es 54, la mínima edad que puede tener una de ellas es:

UNIDAD 5

135

UNIDAD 6 Las palancas son máquinas simples formadas por una barra rígida, un punto de apoyo denominado fulcro, una fuerza ejercida o potencia (P), una resistencia (R) y una fuerza normal que ejerce el punto de apoyo sobre la palanca (N). La suma de estas tres fuerzas es cero. Cuanto mayor sea la distancia entre el punto de aplicación de la fuerza y el punto de apoyo, menor es el esfuerzo que hay que realizar. La LEY DE EQUILIBRIO DE LA PALANCA: Establece que la potencia (P) por su brazo (Bp) es igual a la resistencia (R) por el suyo (Br), es un ejemplo clarísimo de la presencia y uso de las razones y proporciones en la física cotidiana.

Proporcionalidad

P

"Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo" or cierto, Arquímedes murió asesinado por un soldado romano durante el asedio de Siracusa, a pesar de que los mandos romanos habían dado la orden expresa de que se le respetase la vida debido a sus elevados conocimientos.

En cuanto a este principio, de sobra es conocida, además de empleada metafóricamente en otros campos, la famosa frase de Arquímedes: "Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo".

APRENDIZAJES ESPERADOS Razonamiento y demostración • Relaciona el reparto proporcional con las magnitudes y proporciones. • Demuestra los métodos usados en la regla de tres simple y compuesta. Comunicación matemática • Representa gráficamente la relación de proporcionalidad.

• • •

Interpreta la condición de proporcionalidad directa e inversa. Identifica las magnitudes directas e inversas Aplica la regla de tres en la solución de situaciones comerciales.

Resolución de problemas • Aplica las definiciones de magnitudes directas e inversas. • Aplica el reparto proporcional en la Regla de Compañía • Aplica la Regla de Tres en la solución de problemas cotidianos.

Magnitudes proporcionales


1

En este capítulo aprenderemos:

J

•

A relacionar el reparto proporcional con las magnitudes y proporciones.

•

A representar matemáticamente las magnitudes proporcionales.

•

A representar gráficamente la relación de proporcionalidad.

•

A identificar las magnitudes directas e inversas.

•

A aplicar las definiciones de magnitudes directas e inversas.

Operadores mecánicos uego de piñones y platos de una bicicleta, que facilitan la diversificación del trabajo a desarrollar con estas máquinas. Los engranajes transmiten el movimiento entre unas partes móviles y otras.

Como vemos, la rueda está en el mismo eje que un conjunto de engranajes, entonces: •

¿En qué tipo de recorrido escogerías que la cadena pase por un engranaje pequeño de este conjunto?

Central: 619-8100

UNIDAD 6

137

Aritmética


2

3

4

7

9

10

11

13

17

6

8

12

16

5

14

18

19

20

22

15

21

23

24

Horizontal:

Vertical:

1. Potencia de 2

1. Menor número de siete cifras diferentes

4. Cubo de 8

2. Cinco manos

7. Número de cuatro cifras cuya suma sea 18.

3. Cuadrado de 21

8. Tres semanas (en días)


9. Número cuadrado perfecto

5. Una docena

10. Doble de 59

6. Cubo de 6

11. Cuatro días (en horas)

7. La razón geométrica de 3 y 459

12. Cuadrado de 58

10. Cuadrado de 13

14. Cubo de 8

11. 13 semanas (en días)


13. Doble de 2 027



19. Una decena

17. La razón aritmética de 12 y 68

20. Cuadrado de 75


21. Nota máxima en el curso de Aritmética

21. Cinco manos

22. Cuadrado de 25 23. Mes y medio en días 24. Una docena

138

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1

Conceptos básicos Magnitud Propiedad o cualidad de un objeto o sistema físico, que se asigna distintos valores como resultado de una medición. Ejemplo:

El área de un terreno, la edad de una persona, etc.

Magnitudes proporcionales Dos magnitudes serán proporcionales si son dependientes entre sí, y además, tienen una relación de cociente o división.

Clases de magnitudes

Magnitudes directamente proporcionales (D.P.)

Dos magnitudes "A" y "B" son directamente proporcionales, cuando:

Se representa: "A" D.P. "B" o "A" a "B"

A = Bk

Conclusiones:

1. El cociente entre sus valores correspondientes es una constante. "A" D.P. "B" → Magnitudes

A = k (constante) B Valores correspondientes

A: Costo

2

4

6

10

…

B: Arroz (kg)

1

2

3

5

…

El cociente de los valores correspondientes:

2 4 6 10 = = = = ... = 2 1 2 3 5

2. Los valores correspondientes de las magnitudes "A" y "B" varían en la misma proporción. ×3 A: Costo B: Arroz (kg)

2 1

×4 6 3

×3

24 12

Si el valor de una se duplica, también la otra se duplicará

×4

3. La gráfica que relaciona a estas magnitudes es una recta. A Costo (S/.) 10

RE

CT

A

El cociente de las coordenadas de cada punto de la recta es constante

6 4 2 1

Central: 619-8100

2

3

5

Arroz (kg) B

UNIDAD 6

139

Aritmética

Magnitudes inversamente proporcionales (I.P.) Dos magnitudes "A" y "B" son inversamente proporcionales cuando: A=

Se representa: 1 "B" "A" I.P. "B" o "A"

a

k B

Conclusiones: 1. El producto de sus valores correspondientes es una constante. "A" I.P. "B" ↔ A . B = k (constante)

Magnitudes A: Velocidad

Valores correspondientes 20 40 80 …

B: Tiempo

8

4

2

…

20 . 8 = 40 . 4 = 80 . 2 =..... = 160

2. Los valores correspondientes de las magnitudes "A" y "B" varían en proporción contraria. ×2 A: Velocidad B: Tiempo

20 8

÷5 40 4

÷2

Si el valor de una se duplica, la otra se divide entre dos.

8 20 ×5

3. La gráfica que relaciona a dos magnitudes inversamente proporcionales es una hipérbola. A (velocidad)

80

El producto de las coordenadas de cada punto de la hipérbola es constante

Hipérbola equilátera

60 40 20 B (tiempo) 2

4

6

8

Para relacionar más de dos magnitudes proporcionales: Si:

"A" es D.P con "B" "A" es I.P. con "C2" 3

"A" es D.P. con " D "

140

Colegios

TRILCE

3

A . C2 B. D A=k. o =k 3 C2 B. D

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1

Síntesis teórica MAGNITUDES PROPORCIONALES

Magnitud

Temperatura

Peso

Número de alumnos

Cantidad

36 °C

56 kg

35

Directas

Inversas

"A" y "B" son directamente proporcionales

"A" y "B" son inversamente proporcionales

A=k.

A=k.B

El cociente es constante

Variación de dos magnitudes directas

A =k B

Varían en la misma proporción: ambas aumentan o ambas disminuyen

El producto es constante

Variación de dos magnitudes inversas Varían de forma contraria: cuando una aumenta, la otra disminuye

A.B=k

Gráfica entre dos magnitudes directas

1 B

Gráfica entre dos magnitudes inversas A (velocidad)

Costo (S/.)

A

10

RE

CT

80

6

60

4

40

2

20 Arroz (kg) 1

2

Central: 619-8100

3

5

0

B (tiempo) 2

4

6

8

UNIDAD 6

141


Aplica lo comprendido 1. Si las magnitudes "A" y "B" son directamente proporcionales, hallar "x" A B

12 8

15 x

A B

2. Si las magnitudes "M" y "N" son inversamente proporcionales, hallar "x" M N

12 10

6 8

24 8

12 4

6 10

5. Completa la relación de las magnitudes, si: A D.P. B

15 x

A=

A I.P. C2

3. Si las magnitudes "A2" y "B" son directamente proporcionales, hallar "x" A B

4. Si "A" y "B" son magnitudes proporcionales, completa la tabla:

A D.P. D A I.P. E3

O también:

B × .......... ........ × ......... A × .......... =k ........ × .........

12 x

Aprende más Aplicación cotidiana Rueda 2

En la figura se muestra unas ruedas girando en sentido horario:

Rueda 4

Rueda 1 Rueda 3

d1 d3 d2

d4

1. ¿Qué rueda da la mayor cantidad de vueltas en una hora? 2. ¿Cuál es la diferencia de vueltas entre la rueda 2 y 3 en una hora? 3. Determina en función de los diámetros de las ruedas, la relación entre la cantidad de vueltas de la rueda 1 y 4 Resolución de problemas 4. Sean las magnitudes "A" y "B", de modo que "A" sea directamente proporcional a "B2". Hallar "A", cuando "B" sea 9, si cuando "A" es 4, el valor de "B" es 18 5. Sean las magnitudes "A" y "B", de modo que "A + B" sea directamente proporcional a "A – B". Si cuando "A" es 6, "B" es 4, ¿qué valor tomará "A", cuando "B" sea 18? 3

6. Las magnitudes "A2" y " B " son inversamente proporcionales. Cuando "A" es 3, el valor de "B" es 64. ¿Qué valor tomará "B", cuando "A" sea 6?

142

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7. Sea "P" y "V" la presión y el volumen de cierto gas, de modo que "P" es inversamente proporcional a "V2". ¿Cuál es la presión de un gas de 300 cm3, si 400 cm3 de dicho gas tiene una presión de 2,7 atm? 8. Se sabe que "P" es directamente proporcional a "T" e inversamente proporcional a "V" y además cuando "P" es 8, "T" es 2 y "V" es 4. Calcular el valor de "P", cuando "T" sea 3 y "V" sea 12. 9. El peso de un elefante es directamente proporcional a su edad en años. Si un elefante de 30 años pesa 360 kg, entonces, ¿qué edad tendrá cuando pese 324 kg? www.trilce.edu.pe


10. Dado el gráfico de dos magnitudes proporcionales, hallar "a + b"

12. Hallar "x + y", si "A" es inversamente proporcional a "B2".

A b a

2

6

8

B

x

18

B

6

5

y

14. "A" varía en razón directa a "B" e inversa al cuadrado de "C". Cuando "A" es 10, "B" es 4 y "C" es 14. Hallar "A", cuando "B" sea 16 y "C" sea 7.

11. Dado el gráfico de dos magnitudes proporcionales, hallar "m + n" A

15. El área que se desea pintar es proporcional al número de galones de pintura que se utiliza. Si para pintar 200 m2 se necesitan 25 galones, ¿qué área se pintará con 15 galones?

12 m

16. El precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso. Un diamante que costaba $ 450 es partido en dos partes, tal que uno es el doble del otro. Hallar cuanto se perdió o se ganó por haberlo partido.

6

50

13. La potencia de un circuito varía directamente proporcional con la resistencia y el cuadrado de la corriente. Si la potencia aumenta 100% y la resistencia disminuye 2%, la corriente varía en 9 amperios. ¿Cuál era la corriente al principio?

4

A

1

2

3

n B

¡Tú puedes! 1. Sean "A" y "B" dos magnitudes, tales que para valores de "B" menores o iguales a 24, "A" es inversamente proporcional al cuadrado de "B"; y para valores de "B" mayores o iguales a 24, "A" es directamente proporcional a la raíz cuadrada de "B". Si "A" es 360, cuando "B" es 8, hallar "A", cuando "B" es 600. a) 100 b) 200 c) 300 d) 400 e) 500 2. Se tiene un sistema de "n" ruedas, donde la primera rueda engrana con la segunda, la segunda está unida al eje de la tercera, la tercera engrana con la cuarta, la cuarta está unida al eje de la quinta y así sucesivamente. Si las ruedas impares tienen la tercera parte de la cantidad de dientes que tienen las ruedas pares correspondientes, ¿cuántas vueltas dará la primera, si la última da una vuelta? a) 3n

n

3 b) n3 c)

e) 32n

d) n

3. Determine las relaciones de proporcionalidad entre las magnitudes "A", "B" y "C" según el cuadro:

A

30

10

270

60

15

72

B

6

18

6

12

x

y

C

10

10

30

20

15

x + 13

Dar como respuesta: x2 + y2. a) 2 329 Central: 619-8100

b) 2 419

c) 2 749

d) 2 129

e) 2 519 UNIDAD 6

143

Aritmética

4. Sean las magnitudes "A", "B" y "C" Para cuando "A" es constante

Para cuando "B" es constante

B

16

24

40

A

4

16

9

C

6

9

15

C

6

3

4

Si cuando "A" es 4, "C" es 10 y "B" es 5, hallar "A", cuando "C" sea 5 y "B" sea 10. Dar la diferencia de las cifras de "A". a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

5. El tiempo que emplea un ómnibus en hacer su recorrido, varía de modo directamente proporcional al número de estaciones que realiza. Un ómnibus de la línea "A" demora 8 horas en hacer su recorrido, realizando 48 estaciones. ¿Con cuántos pasajeros partió otro ómnibus de la misma línea, si tarda 50 minutos en realizar su recorrido, y además en la primera estación bajaron 2 personas, en la segunda estación bajaron 3 personas, en la tercera estación 4 personas y así sucesivamente hasta llegar a la última estación? (Se sabe que a la última estación llegó completamente vacío) a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 18:10:45

Practica en casa 1. Sean las magnitudes "A" y "B", de modo que "A" sea directamente proporcional a "B". Hallar "A", cuando "B" sea 9, si cuando "A" es 4, el valor de "B" es 8. 3

2. "A" es directamente proporcional a B y cuando "A" es 15, "B" es 27. Hallar "A", cuando "B" es 8. 3. Sean las magnitudes "A" y "B", de modo que "A + B" sea directamente proporcional a "A – B". Si cuando "A" es 10, "B" es 6, ¿qué valor tomará "A", cuando "B" sea 3? 3

4. Las magnitudes "A" y " B " son inversamente proporcionales. Cuando "A" es 6, el valor de "B" es 64. ¿Qué valor tomará "B", cuando "A" sea 3? 5. La magnitud "A" es directamente proporcional a " B ", entonces, cuando "A" es 20, "B" es "n" y cuando "A" es 40, "B" es 72. Hallar "n".

7. En cierto país se cumple que el cuadrado del precio de un producto es proporcional a la raíz cuadrada de su peso. Si un artículo cuesta 2 monedas cuando pesa 49 g, ¿cuál será el peso de otro artículo cuyo costo es de 4 monedas? 8. Sea "P" y "V" la presión y el volumen de cierto gas, de modo que "P" es inversamente proporcional a "V2". ¿Cuál es la presión de un gas de 30 cm3, si 40 cm3 de dicho gas tiene una presión de 3,6 atm? 9. Se sabe que "P" es directamente proporcional a "T" e inversamente proporcional a "V" y además cuando "P" es 18, "T" es 12 y "V" es 4. Calcular el valor de "P", cuando "T" sea 6 y "V" sea 12. 10. Se conoce que "A" es directamente proporcional a " B " e inversamente proporcional a "C". Si cuando "A" es 3, "B" es 16 y "C" es 4, hallar "B", cuando "A" es 6 y "C" es 8 . 11. Dado el gráfico de dos magnitudes proporcionales, hallar "a + b" A b

6. Sea la tabla de valores de las magnitudes "A" y "B":

Hallar "x"

144

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A

6

24

4

B

24

6

x

a 4

2

6

9

B

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12. "A" es D.P. a la suma de "B" y "C" e I.P. al cuadrado de "D". Si cuando A = 2; B =3 y D = 6; entonces C = 5. Hallar "C", cuando A = 9; B = 10 y D = 4. 13. El precio de un diamante es D.P. al cuadrado de su volumen. Si un diamante de S/. 36 000, se le divide en tres partes iguales, ¿cuánto se pierde debido al fraccionamiento?

Central: 619-8100

14. La velocidad del sonido en el aire es proporcional a la raíz cuadrada de la temperatura absoluta. Si la velocidad del sonido es 340 m/s a la temperatura de 16°C, ¿cuál será la velocidad del sonido a 51°C?

1

15. La longitud de la sombra de una varilla vertical es D.P. a su longitud. Si un basquetbolista que mide 2,2 m proyecta una sombra de 1,21 m, ¿cuánto medirá un enano de un circo que proyecta una sombra de 66 cm de longitud?

UNIDAD 6

145

2

Aritmética

Complemento Aprende más 1. Dos números son entre sí como 2 es a 3. Si la suma de sus cuadrados es 208, hallar el menor. 2. Dos números son entre sí como 3 es a 2. Si la suma de sus cubos es 2 240, hallar el mayor. 3. La razón de dos números es 11/5 y su razón aritmética es 36. Hallar el menor de dichos números. 4. Hallar "x", dada la tabla de valores de las magnitudes "A" y "B": A B

6 24

12 3

4 x

5. Sea "P" y "V" la presión y el volumen de cierto gas, de modo que "P" es inversamente proporcional a V2. ¿Cuál es la presión de un gas de 500 cm3, si 400 cm3 de dicho gas tiene una presión de 2,5 atm? 6. El peso promedio de un grupo de 200 personas es 61,3 kg. ¿Cuál será el nuevo peso promedio, si 80 de estas personas aumentan su peso en 3 kg, 70 personas aumentan en 6 kg y el resto disminuye en 9 kg? 7. Las edades de Alex y Milenka son 20 y 32 años respectivamente. ¿Dentro de cuántos años sus edades estarán en la relación de 5 a 7? 8. Calcular la media armónica de tres números, si la media armónica de los dos primeros es 6, la media armónica de los dos últimos es 12 y la media armónica de los extremos es 20. 3

9. Las magnitudes "A2" y " B" son inversamente proporcionales. Cuando "A" es 4, el valor de "B" es 64. ¿Qué valor tomará "B", cuando "A" sea 8?

146

12. En una proporción geométrica, los consecuentes están en la relación de 2 a 5 y además los términos medios son consecutivos. Si el primer término es igual a la razón aritmética entre el cuarto y la suma de los términos medios, calcule el tercer término. 13. En una bolsa se tienen 150 caramelos, de los cuales 80 son de fresa y el resto de limón. ¿Cuántos caramelos de fresa se deben quitar para que por cada 4 caramelos de fresa haya 5 de limón? 14. Se tiene dos magnitudes "A" y "B". Si la raíz cúbica de "A" es inversamente proporcional a "B" y además cuando "A" es 8, "B" es 6, calcular "A", cuando "B" sea 2. 15. Un alumno tiene las siguientes notas en sus cuatro primeros exámenes: 18; 16; 14 y 10. Si desea obtener un promedio de 15 en los cinco primeros exámenes, ¿cuál debe ser su quinta nota? 16. "A" es directamente proporcional a "B2" e inversamente proporcional a "C0,5" y además cuando "A" es 4, "B" es 8 y "C" es 16. Hallar "A", cuando "B" es 12 y "C" es 36. a b c = = , y además: a + b + c = 240, 21 15 24 hallar "c – b".

17. Si:

18. El costo "C" de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso "W" e inversamente proporcional al número de diamantes "N" del mismo tipo. Hallar "x + y" C 200 x 300

W 10 15 5

N 24 9 y

10. Se sabe que "P" es directamente proporcional a "T" e inversamente proporcional a "V" y además cuando "P" es 8, "T" es 6 y "V" es 4. Calcular el valor de "P", cuando "T" sea 12 y "V" sea 8.

19. Si 12 es la media proporcional de "m" y 18 y "2m" es la tercera proporcional de 9 y "n", ¿cuál es la cuarta proporcional de "m", "n" y 16?

11. Rosa y Yaneth tienen entre las dos S/. 4 200 y sus dineros están en la relación de 4 a 3 respectivamente. ¿Cuánto dinero debe darle Rosa a Yaneth para que la nueva relación sea de 3 a 4?

20. En una proporción geométrica continua, la suma de los extremos es 13 y la diferencia de los mismos es 5. Hallar el valor de la media proporcional.

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Complemento

2

¡Tú puedes! 1. En una serie de tres razones geométricas equivalentes continuas, se sabe que la suma de sus términos es a la suma de sus consecuentes como 7 es a 4. Si la diferencia de los términos de la segunda razón es el menor número que tiene 12 divisores, halla la diferencia de los términos extremos. a) 170 b) 175 c) 180 d) 185 e) 190 2. Se tiene tres recipientes de vino cuyos contenidos están en la relación de 9; 6 y 10. Se pasan "a" litros del primer al segundo recipiente, y luego "b" litros del tercer al segundo recipiente, siendo la nueva relación de 4; 6 y 5 respectivamente. Calcular el volumen final del tercer recipiente, si: a – b = 4. a) 6 b) 14 c) 15 d) 35 e) 50 3. Una hormiga recorre los lados de un polígono regular con velocidades en cada lado de 3; 15; 35; ...; 483 m/s. Calcula la velocidad promedio de la hormiga al dar una vuelta completa. a) 26 m/s b) 24 c) 25 d) 23 e) 22 4. Dos vasos "A" y "B" del mismo peso (vacío) contienen cantidades diferentes de vino, donde el peso total de "B" es los 4/11 del peso total de "A". Si se vacía el contenido de "B" en "A" este va a pesar 11 veces el peso de "B", y si se vacía el contenido de "A" en "B", este resulta pesando 8 veces el peso de "A" más 225 gramos. ¿Cuál es la diferencia de los pesos de cada vaso? a) 360 g b) 405 c) 390 d) 375 e) 420 5. En una serie de razones geométricas iguales, los antecedentes son: la suma de cubos, la suma de cuadrados, la diferencia de cuadrados y el producto de dos números, y los consecuentes son 182; 25; 7 y 12. ¿Cuáles son los números? a) 8 y 6

b) 16 y 12

c) 32 y 18

d) 8 y 12

e) 12 y 9

18:10:45

Practica en casa a b c d 1. Si: = = = ; además: 2a + 3c – 2d = 60, 3 7 8 10 hallar "b". 2. Los antecedentes de varias razones equivalentes son: 3; 4; 5 y 6. Si la suma de los dos primeros consecuentes es 28, hallar los dos últimos. 3. Tres números forman una proporción aritmética continua de constante igual a 5. Si los dos mayores están en la proporción de 4 a 3, calcular la tercera diferencial. 4. Cuando Juan nació, Pedro tenía 6 años y hace 10 años la relación de sus edades era como 4 a 7. ¿Dentro de cuántos años la relación de sus edades será como 11 a 13? Central: 619-8100

5. La suma de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es 18. Si la diferencia de sus términos extremos es 6, calcular el producto de sus cuatro términos. 6. La razón de dos números es 4/11. Si la razón aritmética de dichos números es 210, hallar el mayor de ellos. 7. Si 32 y 4 son el primer y último antecedente de cuatro razones geométricas equivalentes y continuas, hallar el último de los consecuentes. 8. El mayor y menor de los promedios de dos números son números enteros positivos cuya diferencia es 4. Si uno de los números es 24, hallar el otro número. UNIDAD 6

147

Aritmética

9. La razón aritmética de dos números es 48 y el promedio aritmético de dichos números es 35. Hallar el menor de ellos.

13. Dado el gráfico de magnitudes, hallar: a + b mag.1 40 a

10. Si la suma de 40 números enteros consecutivos es 1 140, hallar el promedio de los tres últimos números.

11. En un salón de 60 alumnos, el promedio de notas en Literatura es 12. Si 20 de ellos tienen un promedio de 18, ¿cuál es el promedio de los 40 alumnos restantes?

12. Se sabe que "P" es D.P. a "T" e I.P. a "V", además cuando P = 8; T = 2 entonces V = 4. Calcular "P", cuando: T = 3 y V = 12.

148

Colegios

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12

b

15 20

mag.2

14. La magnitud "A" varía proporcionalmente a "B" y al cuadrado de "C" e inversamente proporcional a "D". Si cuando A = 8; B = 5; C = 4, entonces D = 2. ¿Cuánto valdrá "B", cuando A = 2D y D = 4C? 15. Si "A" es D.P. a B , además cuando: A = 18 ; B = 9, hallar "A", cuando: B = 36.

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Reparto proporcional


3


A interpretar los resultados que se obtienen de la resolución de problemas de carácter real.

•

A utilizar el lenguaje correcto para comprender enunciados de proporcionalidad.

•

A interpretar la condición de proporcionalidad directa e inversa.

•

A identificar las magnitudes directas e inversas

•

A resolver problemas que involucren "reparto proporcional".

•

A aplicar el reparto proporcional en la "regla de compañía"

Reparto de corriente y voltaje

E

n los circuitos eléctricos, existen dos tipos de conexiones muy utilizadas: en serie y paralelo Cuando la conexión es en serie, se utiliza el reparto proporcional directo, a este método se le llama "divisor de tensión". Interruptor

Batería

Receptores

Y para la conexión en paralelo, tenemos el reparto proporcional inverso, que se le llama "divisor de corriente". Interruptor Hilos conductores Batería

Receptores

Según sea el caso, la corriente o el voltaje es la que se reparte proporcionalmente

Central: 619-8100

UNIDAD 6

149

Aritmética

Saberes previos Completa el crucigrama con números: 14 más 16 entre 2

Exceso de 78 sobre 49

Diferencia de 87 y 43

Tres quincenas

8–3×2

Le falta 8 para ser 460

12 docenas Cuadrado de 2 por 10 54 + 30 × 30

841 – 247

Media centena más 5

29 × 26

Media centena por 5

Triple de 304

4 más 10 entre 2

Mitad de 42 más 6 Capicúa de cuatro cifras

4 cientos

Capicúa de dos cifras

Capicúa de dos cifras

Capicúa de tres cifras

20(7) a base diez

23 × 4

Número par 500(9) a base diez

C.A.(543)

60 docenas

La suma de 54 y 73

Conceptos básicos Reparto proporcional Consiste en repartir una cantidad "N" en partes que sean directa o inversamente proporcional a unos números. Así que este reparto puede ser:

150

Reparto proporcional directo

Sea una cantidad "N" que se debe repartir proporcionalmente a: "a1"; "a2"; "a3"; ...; "an", entonces:

N = A1 + A2 + A3 +..... + An

A1 A2 A3 A = = = ... = n a1 a2 a3 an Colegios

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Si el reparto es proporcional a 3; 4 y 7, entonces las cantidades serán: 3k; 4k y 7k

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Ejemplo:

•

Repartir 3 400 de modo directamente proporcional a 8 ; 18 ; 50 y 98

Resolución:

Simplificaremos los coeficientes o índices:

3

8 ÷ 2 = 2 ⇒ 2k 18 ÷ 2 = 3 ⇒ 3k 50 ÷ 2 = 5 ⇒ 5k

17k = 3 400

Como: k = 200, las cantidades son: 400; 600; 1 000 y 1 400

98 ÷ 2 = 7 ⇒ 7k Reparto proporcional inverso Sea una cantidad "N" que se debe repartir de modo inversamente proporcional a: "a1"; "a2"; "a3"; ...; "an", entonces: N = A1 + A2 + A3 + ... + An

Si el reparto es inversamente proporcional a 3; 4 y 5, será equivalente a un reparto directo de 1 1 1 ; y 3 4 5

A1 . a1 = A2 . a2 = ... = An . an Ejemplo:

•

Repartir 2 600 de modo inversamente proporcional a 35; 36 y 37

Resolución:

Simplificaremos los coeficientes o índices: A directa × 9

35 ÷ 35 = 1 ⇒ 1 ⇒ 9k 1 36 ÷ 35 = 3 ⇒ ⇒ 3k 3 1 37 ÷ 35 = 9 ⇒ ⇒ k 9

13k = 2 600 Como: k = 200, las cantidades son: 1 800; 600 y 200

Reparto proporcional compuesto

Utilizando las propiedades de magnitudes proporcionales, se debe convertir en reparto directo. Ejemplo:

•

Repartir 1 550 en tres partes que sean:

Directamente proporcional a 12; 15 y 9

Inversamente proporcional a 4; 8 y 12

Directamente proporcional a 3; 6 y 4

Recuerda que si: B "A" D.P. "B" A= k "A" I.P. "C" C

Resolución:

El reparto debe ser directamente proporcional a: 4 9 × ⇒ 12 ⇒ 12k 3 45 4 × ⇒ 15 ⇒ 15k 4 3 4 3× ⇒ 4 ⇒ 4k 3

Central: 619-8100

12 × 3 15 × 6 45 = 9; = y 4 8 4

9× 4 =3 12

31k = 1 550 Como k = 50; las cantidades son: 600; 750 y 200

UNIDAD 6

151

Aritmética

Regla de compañía

En una compañía o empresa se tiene una ganancia o pérdida y los socios deben participar de ella. Para eso el reparto se debe hacer considerando la participación de cada uno.

Proporcional a sus capitales La ganancia o pérdida es directamente proporcional a sus capitales. Ganancias

G1

G2

G3

...

Capitales

C1

C2

C3

...

G1 G2 G3 = = = ... C1 C2 C3

Si los aportes son: 2 000; 3 000; 4 000 y 5 000 soles, las ganancias serán: 2k; 3k; 4k y 5k

Proporcional a sus tiempos de participación La ganancia o pérdida es directamente proporcional a sus tiempos. Ganancias

G1

G2

G3

...

Tiempos

t1

t2

t3

...

G1 G2 G3 = = = ... t1 t2 t3

Si participaron durante: 12 meses; 9 meses y 8 meses, las ganancias serán: 12k; 9k y 8k

Puede darse el caso que los aportes y los tiempos sean diferentes, entonces el reparto debe ser compuesto, proporcional a los capitales y tiempos.

Las ganancias son directamente proporcionales a los aportes y el tiempo de participación de ellos Ejemplo:

•

Una empresa que duró un año, tiene una ganancia de S/. 19 500 que debe ser repartido entre Alex, Carlos, Mario y Milenka cuyos aportes fueron 2 000; 3 000; 5 000 y 6 000 soles respectivamente. Además Alex fue el creador de la empresa y que dos meses después de fundada, se incorporó Carlos, luego, dos meses después ingresa Mario, y finalmente dos meses después Milenka. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

Resolución:

152

Colegios

Capitales

Tiempo

Alex

2 000

12 meses

Carlos

3 000

10

Mario

5 000

8

Milenka

6 000

6

G1 G2 G3 G4 = = = 2000 × 12 3000 × 10 5000 × 8 6000 × 6 Simplificando:

G1 G2 G3 G4 = = = =k 12 15 20 18

Como la ganancia total es S/. 19 500, entonces: k =

19 500 =300 12 + 15 + 20 + 18

Finalmente las ganancias son: 3 600; 4 500; 6 000 y 5 400 soles

TRILCE

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3

Síntesis teórica REPARTO PROPORCIONAL Repartir "N"

Directamente proporcional

Inversamente proporcional

Directamente proporcional a: "a", "b" y "c"

Inversamente proporcional a: "a"; "b" y "c"

ak + bk + ck = N

1 1 1 k + k + k= N a b c

Repartir 600 de modo directamente proporcional a 12; 18 y 15

Repartir 600 de modo inversamente proporcional a 6; 2; 3 y 1

Dividiendo entre 3: 4k + 6k + 5k = 600

Reparto proporcional compuesto

k = 40 Las cantidades son: 4(40) = 160 6(40) = 240 5(40) = 200

El reparto directo a: 1 1 1 ; ; y1 6 2 3 multiplicamos por 6

Repartir 120

k + 3k + 2k + 6k = 600

D.P. a: 2; 5 y 6 I.P. a: 4; 6 y 18

k = 50 Las cantidades son: 1(50) = 50 3(50) = 150 2(50) = 100 6(50) = 300

Será directo a: 1 1 1 5 1 1 2 = ;5 = y6 = 4 2 6 6 18 3 Multiplicamos por 6: 3k + 5k + 2k = 120 k = 12 Las cantidades son: 3(12) = 36 5(12) = 60 2(12) = 24 Central: 619-8100

UNIDAD 6

153


Aplica lo comprendido 1. Repartir 4 200 de modo directamente proporcional a 3; 5; 6 y 7. Determine las cantidades repartidas. 2. Repartir 180 de modo inversamente proporcional a 2; 6 y 12. Determine las cantidades repartidas.

4. La empresa "Todo lo puede" después de un año obtuvo una ganancia de 12 000 soles. Si el aporte de los socios fue 200; 300 y 500 soles, ¿qué ganancia le toca a cada uno? 5. Repartir la ganancia de S/. 5 000 considerando: Socio

3. Repartir 900 de modo inversamente proporcional a 2; 3 y 6. Indicar la menor parte repartida.

Capital Tiempo

A

200

9

B

300

4

C

500

6

⇒ ⇒ 3000 ⇒ 1800

3k 2k

Aprende más Aplicación cotidiana Esquema eléctrico en serie

Esquema de componentes de un circuito en paralelo 0,2 amp

3,2 voltios 7 ohm

5 ohm

A 3 amp

4 ohm

24 ohm

A

40 ohm

A

45 voltios

1. Determina la corriente que circula por cada uno de los focos. 2. Determina la tensión en cada uno de los focos (resistencias) del circuito. 3. Determina la tensión en cada una de las resistencias del circuito. 4. Determina la lectura de cada uno de los amperímetros. Resolución de problemas 5. Janeth tiene tres hijos: Milenka; Alex y Pier. Ellos reciben semanalmente propinas de modo proporcional a sus edades que son 10; 12 y 16 años respectivamente. Si Pier recibe 9 soles más que Milenka, ¿cuánto recibe Alex? 6. Repartir 720 de modo directamente proporcional a 8 ; 18 y 32 . Dar como respuesta la menor de las partes. 7. Al repartir una cantidad proporcionalmente a los números 3; 9 y 27, la mayor parte excede a la menor en 320. Indicar la cantidad repartida.

154

Colegios

TRILCE

8. Repartir 7 500 de modo directamente proporcional a 1; 3 y 5 e inversamente proporcional a 2; 4 y 6 respectivamente. La menor parte es: 9. Repartir 372 de modo directamente proporcional a tres números consecutivos de dos cifras. ¿Cuál es el valor de la parte intermedia? 10. Un agricultor desea sembrar en tres terrenos cuadrados de 6; 14 y 16 metros de lado. Para ello contrató una cuadrilla de trabajadores por 21 960 soles. ¿Cuánto abonó por la preparación del segundo terreno? 11. Repartir S/. 1 180 en tres partes, de tal forma www.trilce.edu.pe


que la primera sea a la segunda como 3 es a 4 y la segunda sea a la tercera como 5 es a 6. Dar la mayor parte. 12. Juan tiene 8 panes y Pedro 4 panes y deben compartirlos equitativamente con dos amigos. Para recompensarlos estos entregan 180 soles a Juan y Pedro. ¿Cuánto le tocará a Juan? 13. Para la explotación de un negocio se asociaron tres individuos aportando S/. 8 500; S/. 10 400 y S/. 9 000. Si el negocio se declaró en quiebra y dejó un activo de S/. 13 392, ¿cuánto recibe el primer individuo? 14. Dos socios reunieron un capital de S/. 4 200 para

hacer un negocio. El primero dejó su capital durante 2 meses y el otro durante 4 meses. Se pide encontrar la diferencia de los capitales aportados, sabiendo que las ganancias fueron iguales.

3

15. Al liquidarse una empresa en el cual participaron "A", "B", "C" y "D" con capitales de S/. 2 000; S/. 2 500; S/. 3 000 y S/. 4 000 durante 5; 2; 3 y 6 meses respectivamente, esta arrojó una pérdida de S/. 14 400. ¿A cuánto asciende la pérdida del que aportó mayor capital? 16. "A" empieza un negocio con S/. 24 000 y 2 meses después de ello se incorpora "B" con S/. 16 000. A los 6 meses de iniciado el negocio, se liquida por quiebra retirándose "A" con S/. 40 500. ¿Con cuánto se retiró "B"?

¡Tú puedes! 1. Una persona dispuso en su testamento que se entregue a tres sobrinos suyos la cantidad de 19 695 soles para que se repartan proporcionalmente a las edades que cada uno de ellos tuviera en el día que falleciera. Uno de ellos tenía 36 años, el día que su tío falleció y le correspondió 7 020 soles pero renunció a ellos y el reparto se hizo entre los otros dos, también proporcional a sus edades, por lo que a uno de ellos le correspondió 2 700 soles más. ¿Cuáles eran las edades de los sobrinos? a) 36; 25 y 40

b) 36; 40 y 45

c) 36; 45 y 60

d) 36; 60 y 72

e) 36; 39 y 42

2. Repartir 720 soles de modo directamente proporcional a: "b"; "3b"; "9b"; "27b"; ...; "3nb". Si el menor recibió 18 soles, hallar el valor de "n". a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 3. Se reparte S/. 2 210 en cuatro partes tales que la segunda sea a la tercera como 7 es a 11, la tercera sea a la cuarta como 4 es a "m" y la primera sea a la segunda como 3 es a 5. Si a la cuarta le tocó S/. 1 100, ¿cuál es el valor de "m"? a) 11 b) 12 c) 8 d) 44 e) 33 4. Hallar la mayor parte que resulta de repartir 168 soles de modo directamente proporcional a: 1/2; 1/6; 1/12; 1/20; 1/30; ...; 1/156. a) S/. 108 b) 91 c) 49 d) 68 e) 84 5. Tres agricultores han construido un canal de riego para abastecer de agua sus parcelas cuadradas y limítrofes de 100; 60 y 40 metros de lado, respectivamente. Los gastos de material y de mano de obra ascendieron a 186 000 soles, los mismos que fueron solventados por ellos en forma D.P. al agua que necesitan para sus parcelas e I.P. al número de peones con que contribuye para la ejecución de la obra, siendo estos 12; 8 y 6 respectivamente. ¿Cuánto aportó el dueño de la parcela más pequeña? a) S/. 100 000

Central: 619-8100

b) 54 000

c) 32 000

d) 24 000

e) 18 000

UNIDAD 6

155


Practica en casa 1. Repartir 300 de modo directamente proporcional a los tres primeros múltiplos de 7. Dar como respuesta la parte mayor. 2. Repartir 1 410 de modo inversamente proporcional a los números 1,5; 0,9 y 1,2. Dar como respuesta la parte menor. 3. Al repartir "N" de modo directamente proporcional a los números 2 000; 3 000 y 1 500, se observó que la mayor parte fue 450. Hallar "N". 4. Un padre repartió una herencia de modo directamente proporcional a las edades de sus hijos, que son 24; 28 y 30 años. Si el mayor recibió $ 3 600, ¿cuánto recibió el menor? 5. Repartir 595 de modo directamente proporcional a los números 48 ; 108 y 147 . Dar la diferencia entre la mayor y menor parte. 6. Al repartir un número "N" de modo inversamente proporcional a los números 318; 320 y 321 se obtuvo que la menor parte fue 25. Hallar "N". 7. Repartir 612 en partes directamente proporcionales a: 2; 3; 5 y 8. Calcular la mayor parte. 8. Repartir 1 480 en partes directamente proporcionales a: 2; 3/4 y 1/3. Calcular la menor de dichas partes. 9. Repartir 135 en partes directamente proporcionales a: 0,3; 1/5 y 4. Calcular la mayor de dichas partes.

156

Colegios

TRILCE

10. Miguel repartió cierta cantidad de lápices entre tres niños, en partes proporcionales a los números 3; 5 y 8. Si el tercero recibió 78 lápices más que el segundo, ¿cuál es la cantidad de lápices que se repartió? 11. La suma de tres números que son proporcionales a 2/3; 3/5 y 5/6 es 4 536. Hallar el número mayor. 12. Dividir 205 en tres partes, de tal manera que la primera sea a la segunda como 2 es a 5 y la segunda sea a la tercera como 3 es a 4. Hallar la primera parte. 13. Al dividir un número de modo inversamente proporcional a: 0,7; 7/15 y 7/17; la menor parte que se obtiene es 720. Hallar la mayor de las tres partes. 14. Tres socios reunieron un capital de S/. 30 000 para hacer un negocio. El primero aportó S/. 8 000 durante 5 meses, el segundo, S/. 10 000 durante 3 meses y el tercero, los restantes durante 6 meses. Sabiendo que el beneficio total fue de S/. 213 000, ¿qué beneficio obtuvo el primero? 15. Tres socios formaron una empresa aportando igual cantidad. El primero se retiró a los 4 meses y el segundo lo hizo un mes después. Si a los 8 meses de constituida la empresa se liquidó con una ganancia de S/. 340 000, ¿cuál fue la utilidad del tercero?

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Regla de tres

Regla de tres

4


A demostrar los métodos usados en la regla de tres simple y compuesta.

•

A identificar las magnitudes directas e inversas

•

A aplicar la regla de tres en la solución de situaciones comerciales.

•

A aplicar las definiciones de magnitudes directas e inversas.

•

A aplicar la regla de tres en la solución de problemas cotidianos.

La arqueología y las matemáticas

L

a altura de una persona es fácil de calcular, si el cuerpo se conserva en su totalidad. Pero también es posible determinar la estatura, con el tamaño de ciertos huesos largos, especialmente los de las piernas. Por ejemplo, se estimó la estatura de Tutankamon, por la momia y sus huesos largos intactos, en 169 cm. El peso también se puede determinar a partir de cuerpos intactos, dado que se sabe que el peso en seco equivale al 25% o 30% del peso en vida. De este modo se determinó que una momia egipcia del 835 AC del Pennsylvania University Museum había pesado entre 37,8 y 45,5 kg en vida.

Central: 619-8100

UNIDAD 6

157

Aritmética


2

3

8

10

4

5

6

7

9

11

12

13

14

17

18

21

22

25

15

19

16

20

23

24

26

Horizontal:

Vertical:

1. Un día en horas

1. Cuadrado de 15

3. Número cuadrado perfecto de dos cifras


5. Cubo de 5

3. 27 docenas

8. Hallar "x", en: 8x = 32 . 9. 7

4. Doble de 3 242

9. Hallar "x", en: 4x = 71 . 24

5. Potencia de 2

10. Hallar "x", en: 2x + 3 = 105

6. Cuadrado de 51

12. El cuádruplo del doble de 61

7. Cubo de 8

13. Décima potencia de 2


15. Hallar "x", en: x – 17 = 500

13. Múltiplo de 59

17. Una docena

14. Hallar "x", en: 3x + 12 = 87


15. Media centena

21. Hallar "x", en: 4x = 9 404

16. La mitad de 150

23. El quíntuplo de 85

19. Hallar "x", en: 2x = 1 424

25. Múltiplo de 47

20. Factorial de 6

26. Cuarta parte de 112

22. En romanos se representa LI 24. Múltiplo de 9

158

Colegios

TRILCE

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Regla de tres

4

Conceptos básicos Regla de tres Es un método o regla práctica que permite relacionar dos o más magnitudes proporcionales. Por ejemplo: El tiempo es directamente proporcional a la distancia recorrida ya que a mayor tiempo, mayor distancia. La velocidad y el tiempo son inversamente proporcionales, ya que a mayor velocidad se utiliza menos tiempo.

Si "A" y "B" son directamente proporcionales: A = cte B . Si "A" y "B" son inversamente proporcionales: A × B = cte

Regla de tres simple Permite relacionar dos magnitudes

Regla de tres simple directa

Cuando las magnitudes son directamente proporcionales.

Sean "A" y "B" dos magnitudes directamente proporcionales A

D.P.

B

a1

b1

a2

x

Si dos magnitudes son directas, entonces sus cantidades varían en la misma proporción. (Las dos aumentan o las dos disminuyen)

a1 . x = a2 . b1 Si "A" y "B" son D.P. el cociente de sus valores es constante: a1 b = 1 a2 x Ejemplo:

•

Llenar el tanque con gasolina de un auto cuesta S/. 275. Luego de consumir 85 galones, el valor de la gasolina que queda en el tanque es de S/. 150. ¿Cuál es la capacidad del tanque?

Resolución:

A menos galones menos costo, entonces: Galones

D.P.

Soles

x

275

x – 85

150

150(x) = 275 (x – 85) 6 x = 11(x – 85) 5x = 11 . 85 ⇒ x = 187 soles

Regla de tres simple inversa

Cuando las magnitudes son inversamente proporcionales.

Sean "A" y "B" dos magnitudes inversamente proporcionales A

I.P.

B

a1

b1

a2

x

Si dos magnitudes son inversas, entonces sus cantidades varían en proporción inversa. (Cuando una aumenta la otra disminuye)

a2 . x = a1 . b1 Central: 619-8100

UNIDAD 6

159

Aritmética

Si "A" y "B" son I.P. el producto de sus valores es constante: a1 . b1 = a2 . x

Ejemplo:

•

45 obreros pueden hacer un trabajo en 15 días. Si se retiran 20 obreros, ¿en cuántos días terminarán el trabajo?

Resolución:

A menor cantidad de obreros, se demora mayor cantidad de días. Obreros

I.P.

Días

45

15

45 – 20

x

45 . 15 = 25x ⇒ x = 27 días

Regla de tres compuesta Permite relacionar más de dos magnitudes. Para resolver la regla de tres compuesta existen varios métodos: Método general

Los pasos son: • • • •

Ejemplo:

•

Para hacer 300 pantalones en 9 horas, se necesitan 32 obreros. ¿En cuántas horas se confeccionarán, 400 pantalones con 24 obreros? D.P. Horas

Obreros

300

9

32

400

x

24

Como regla de tres simple

Se considera como varias reglas de tres simple:

•

Ordenamos las magnitudes. Analizamos la proporcionalidad entre dos magnitudes, como se presenten. Definimos como deben ser los productos en cada regla de tres simple. Reducir y calcular la incógnita

Colegios

TRILCE

x=9.

400 32 . ⇒ x = 16 horas 300 24

Igual

•

160

I.P.

Pantalones

De cabeza

• •

Para recordar, como va la fracción: D.P. de cabeza. I.P. igual

Ordenar las magnitudes Ubicar la magnitud que tiene la incógnita Determinar la proporcionalidad de las magnitudes con respecto a la magnitud incógnita. Reducir y calcular la incógnita

El producto es así cuando son: D.P.

I.P.

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Regla de tres

Ejemplo:

•

Un barco pesquero en 22 horas con 39 tripulantes, capturan 2 000 peces. ¿En cuántas horas con 33 tripulantes podrán capturar 4 000 peces?

Resolución: Horas 22

I.P.

Tripulantes 39

x

D.P.

33

Peces 2 000

4 000

simplificando:

4

22 . 39 . 4 000 = x . 33 . 2 000 x = 52 horas

La obra directa a todas

La magnitud obra es directamente proporcional a obreros, tiempo y rendimiento, entonces: •

Identificar la magnitud obra o su equivalente (víveres en total, volumen total, dificultad)

•

Reemplazar en la fracción: Obra . Dificultad = cte Obreros . Días . Horas . Eficiencia

•

Reducir y calcular la incógnita Ejemplo:

•

Diez peones demoran 15 días de 7 horas de trabajo en sembrar 50 m2. ¿Cuántos días de 8 horas de trabajo demorarán en sembrar 80 m2, 15 peones doblemente hábiles?

Resolución:

Reemplazando en la fracción constante: 50 80 = ⇒ x = 7 días 10(1) . 15 . 7 15(2) . x . 8

Reducción entre magnitudes Estas dos magnitudes al multiplicarlas se convierten en una sola

Obreros y eficiencia (rendimiento)

20 obreros al 80% de rendimiento, trabajan como si fueran: 80 x = 20 . = 16 obreros 100

El rendimiento de un hombre y una mujer están en la relación de 3 a 2, entonces 9 hombres y 5 mujeres trabajan como: 3 x = 9 . + 5 = 18,5 mujeres 2

Obra y dificultad (dureza)

Una carretera de 400 km que tiene una dureza como 2, equivale a:

400 × 2 = 800 km

Tiempo

Una compañía trabaja 6 horas diarias durante 15 días, esto equivale a:

6 × 15 = 90 horas

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UNIDAD 6

161

Aritmética

Síntesis teórica REGLA DE TRES Clases Regla de tres simple

Regla de tres compuesta

Clases Regla de tres simple directa A a1

D.P.

a2

Regla de tres simple inversa

B b1

A a1

x

a2

a1 . x = a 2 . b 1

I.P.

B b1

Obreros 12

Días 15

H/D 8

Obra 24

x

15

x

6

30

a1 . b 1 = a 2 . x Días

I.P. Obreros I.P. H/D D.P. Obra

Obra Obreros . Días . H/D

10 x 5 50

Aplica lo comprendido 1. Un grupo de obreros debe construir una carretera, de acuerdo a los siguientes datos:

Días

Horas/diarias

12

8

16

x

Área (cm2) 144p

Litros/s 180 x

Hallar "x".

2. Un grupo de carpinteros debe fabricar unos muebles, de acuerdo a los siguientes datos:

4. Por una tubería de 12 cm de diámetro circula 180 l/s de gas. ¿Cuánto circulará por otra tubería de 10 cm de diámetro?

5. Dada la siguiente regla de tres: Días

Horas Rendimiento Obreros Obra Dureza c/día c/obrero

Días

Rendimiento c/carpintero

12

100

12

6

100

18

300

3

x

80

15

x

75

16

200

5

Hallar "x".

Hallar "x".

3. Un grupo de jardineros pueden sembrar un terreno cuadrado de 12 metros en 16 días. ¿En cuántos días sembrarán otro terreno de forma cuadrada de 15 metros de lado? Área (m2)

Días

144

16 x

162

Colegios

TRILCE

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Regla de tres

4

Aprende más Aplicación cotidiana La estatura está correlacionada con la longitud de sus huesos largos. Esto quiere decir que una persona alta tendrá los huesos más grandes que los de otra persona baja. Todo esto significa que si de un grupo humano se conoce su estatura y la longitud del fémur, la variación de estas magnitudes indica que son directamente proporcionales. En un grupo de varones, se tiene: Fémur (cm) 30 40

Fémur

Estatura (cm) 138 Tibia

1. Si el fémur de un alumno del colegio mide 50 cm, ¿cuál es su estatura?

Peroné

2. Si la estatura de un profesor del colegio es de 166,5 cm, ¿cuál es la longitud de su fémur? Otro de los huesos considerado como largo es el húmero, entonces las magnitudes estatura y longitud del húmero son directamente proporcionales. Si los datos de un grupo de mujeres, son: Húmero (cm)

Estatura (cm)

30

153,5

40

181

clavícula

húmero omóplato o escápula

3. Si el húmero de una alumna del colegio mide 24 cm, ¿cuál es su estatura? 4. Si la estatura de una alumna del colegio es de 126 cm, ¿cuál es la longitud de su húmero?

radio huesos del carpo

cúbito huesos metacarpianos falanges

Resolución de problemas 5. Si para pintar 180 m2 se necesitan 24 kg de pintura, ¿cuántos kg de pintura se necesitarán para pintar una superficie rectangular de 12 m de largo por 10 m de ancho? 6. Seis caballos tienen ración para 15 días. Si se aumentan 3 caballos más, ¿para cuántos días alcanzará la ración alimentaria? 7. Un jardinero siembra un terreno cuadrado de 8 metros de lado en 5 días. ¿Cuánto tiempo se demorará en sembrar otro terreno cuadrado de 16 metros de lado? 8. Para pintar un rectángulo hecho de cartulina de 50 cm de largo por 12 cm de ancho, se requiere de 300 c.c. de pintura. ¿Cuántos c.c. de pintura se requiere para pintar un cuadrado de 18 cm de lado? Central: 619-8100

9. Ocho campesinos siembran un terreno cuadrado de 16 metros de lado en 12 días. ¿En cuántos días, 30 campesinos sembrarán otro terreno cuadrado de 20 metros de lado? 10. Un reloj da 4 campanadas en 4 segundos, ¿en cuántos segundos dará 13 campanadas? 11. Roberto inventa 50 problemas de Aritmética en 4 días, dedicándose 5 horas diarias. ¿Cuántos días necesitará para inventar 80 problemas, si pretende trabajar en ellos dos horas diarias? 12. Juan puede hacer un trabajo en 12 días. Si Pedro es un 50% más eficiente que Juan, ¿en cuántos días puede hacer el mismo trabajo? 13. Al pintar un balón esférico de 40 cm de radio se usó 2 galones de pintura. ¿Cuántos galones de pintura se utilizará para pintar otro balón esférico de 60 cm de radio, si se desea dar dos manos? UNIDAD 6

163

Aritmética

14. Dos hombres y 4 mujeres pueden hacer una obra en 6 días; pero con 2 hombres más se puede hacer el mismo trabajo en 4 días. ¿En cuántos días hará dicha obra un hombre trabajando solo?

16. Un grupo de 33 obreros puede hacer una obra en 30 días. Si luego de 6 días de trabajo se les pide que terminen lo que falta de la obra en 18 días, ¿con cuántos obreros se deben reforzar a partir del séptimo día?

15. Veinticuatro obreros pueden hacer una obra en 19 días, pero luego de 5 días de trabajo se retiran 8 obreros por lo que terminaron "a" días después del plazo fijado. Calcular "a"

¡Tú puedes! 1. Para realizar una obra se empieza trabajando con un solo obrero y por cada día que pasa se contratan 2 obreros, terminando así la obra en "n" días. Calcular "n", si la misma obra la pueden realizar 9 obreros de doble eficiencia que los anteriores en 8 días. a) 12 b) 13 c) 17 d) 19 e) 31 2. Diez obreros pueden cavar una zanja de 20 m de profundidad en 12 días. Después de cierto tiempo de trabajo se decide aumentar la profundidad en 10 m para lo cual contratan 4 obreros adicionales, 25% más eficientes terminando la obra a los 15 días de iniciado el trabajo. ¿A los cuántos días se aumentó el número de obreros? a) 8 días

b) 9

c) 11

d) 12

e) 13

3. Un contratista acepta una construcción a realizarse en 76 días, para lo cual contratará 20 obreros. Al cabo de 10 días acepta otro contrato con un plazo no mayor a 68 días y para esto contratará 27 obreros; 47 días después de esto, observa que de la primera obra se ha avanzado los 5/12 y de la segunda los 9/10. Entonces destina "x" obreros del segundo al primero, para cumplir con el primer plazo. Al terminar el primer trabajo los "x" obreros retornan a su obra, sin embargo, se ve en la necesidad de contratar "y" obreros, para terminar la obra en el plazo máximo. Calcule "x + y", si el primer grupo de obreros es 62,5% menos eficiente que el segundo. a) 20 b) 39 c) 32 d) 40 e) 36 4. En la construcción de una piscina laboral, inicialmente han trabajado "N" albañiles durante "N + 6" horas diarias en un día. Si se determina reducir diariamente la jornada laboral en 2 horas cada día y simultáneamente incrementar dos obreros cada día, de tal modo que la productividad del quinto día sea 88,148% de la del primer día, calcule "N". a) 5

b) 10

c) 7

d) 11

e) 9

5. Al cabo de 27 días de trabajo, 35 obreros que trabajaron 8 horas diarias se percataron que falta terminar de la obra, los 4/7 de lo que ya está hecho y solamente le quedan 12 días para entregar la obra. En vista de la situación contrataron de inmediato más obreros y trabajaron todos 1 hora más por día. ¿Cuántos obreros se contrataron, teniendo en cuenta que lo que falta se hace doblemente difícil con cada cuarta parte que avanzan, debido al mal clima y la dureza del terreno? a) 115

164

Colegios

TRILCE

b) 5

c) 265

d) 65

e) 120

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Regla de tres 18:10:45

4

Practica en casa 1. 1 200 hombres tienen víveres para 80 días, pero al finalizar el día 25 se retiran 320 hombres. ¿Cuántos días más durarán los víveres?

9. Doce obreros hacen una obra en 20 días. ¿En cuántos días, 8 obreros doblemente hábiles que los anteriores harán la misma obra?

2. En 16 días, 9 obreros han hecho los 2/5 de una obra. Si se retiran 3 obreros, ¿cuántos días demorarán los obreros restantes para terminar la obra?

10. Lucho inventa 50 problemas en 4 días, dedicándose 5 horas diarias. ¿Cuántos días necesitará para inventar 80 problemas, si pretende trabajar en ellos 2 horas por día?

3. Si para pintar 360 m2 se necesitan 24 kg de pintura, ¿cuántos kg de pintura se necesitarán para pintar una superficie rectangular de 15 m de largo por 10 m de ancho?

11. Ocho máquinas trabajan 6 horas diarias durante 5 días. ¿Cuántos días se tardarán 2 máquinas en realizar el mismo trabajo, si funcionan durante 8 horas diarias?

4. Veinte personas tienen alimento para 12 días. Si luego de 4 días se retiran 4 personas, ¿cuántos días durarán los alimentos a los restantes?

12. Si 18 campesinos siembran un terreno cuadrado de 15 metros de lado en 15 días, ¿en cuántos días, 30 campesinos sembrarán otro terreno cuadrado de 20 metros de lado?

5. Seis caballos tienen ración para 15 días. Si se aumentan 3 caballos más, ¿para cuántos días alcanzará la ración alimentaria? 6. En 16 horas, 9 pintores han pintado los 3/8 de un edificio. ¿Cuántas horas demorarán 12 pintores en terminar de pintar el edificio? 7. Un jardinero siembra un terreno cuadrado de 8 m de lado en 16 días. ¿Cuánto tiempo se demorará en sembrar otro terreno cuadrado de 12 metros de lado? 8. Para hacer 600 m de una obra, 30 obreros han trabajado 12 días a razón de 10 horas diarias. ¿Cuántos días necesitarán 36 obreros para hacer 900 m de la misma obra trabajando 6 horas diarias?

Central: 619-8100

13. Tres hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros de una obra en 10 días. ¿Cuántos días necesitarán 5 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer 60 metros de la misma obra? 14. Veinte operarios pueden producir 120 pares de zapatos en 18 días. ¿Cuántos operarios pueden producir 160 zapatos en 24 días? 15. Con 12 obreros se puede hacer una obra en 40 días. ¿En cuántos días, 15 obreros cuya rapidez es 5 veces la de los anteriores, harán una obra 9 veces más difícil que la primera?

UNIDAD 6

165

5

Aritmética

Repaso Aprende más 1. Hallar la media aritmética y la media geométrica de 25 y 49. Dar como respuesta la diferencia de dichas medias. 2. Si para pintar 180 m2 se necesitan 24 kg de pintura, ¿cuántos kg se necesitarán para pintar una superficie rectangular de 12 m de largo por 20 m de ancho? 3. El promedio de siete números consecutivos pares es 70. ¿Cuál es el promedio de los dos menores números? 4. Ocho caballos tienen ración para 15 días. Si se aumentan 2 caballos más, ¿para cuántos días alcanzará la ración alimentaria? 5. Hallar la suma de cifras del promedio geométrico de los números: 8; 30; 27 y 125. 6. Un jardinero siembra un terreno cuadrado de 9 metros de lado en 10 días. ¿Cuánto tiempo se demorará en sembrar otro terreno cuadrado de 18 metros de lado? 7. Doce obreros hacen una obra en 30 días, ¿en cuántos días, 18 obreros harán la misma obra? 8. Para pintar un rectángulo hecho de cartulina de 60 cm de largo por 12 cm de ancho, se requiere de 300 c.c. de pintura. ¿Cuántos c.c. de pintura se requiere para pintar un cuadrado de 18 cm de lado? 9. Dados los números 12; 18 y 216, calcular la diferencia entre su promedio aritmético y su promedio geométrico. 10. Doce campesinos siembran un terreno cuadrado de 6 metros de lado en 15 días. ¿En cuántos días, 20 campesinos sembrarán otro terreno cuadrado de 10 metros de lado? 11. El promedio de cuatro números es 15. Si la suma de los tres primeros números es 50, hallar el último número. 12. En una clase de Aritmética el promedio de los diez aprobados fue 15. ¿Cuál es el promedio de los desaprobados, si el promedio de los 30 alumnos de la clase es 11?

166

Colegios

TRILCE

13. Sean las magnitudes "A" y "B", de modo que "A" sea directamente proporcional a "B2". Hallar "A", cuando "B" sea 9, si cuando "A" es 8 el valor de "B" es 18 14. Sean las magnitudes "A" y "B", de modo que "A  +  B" sea directamente proporcional a "A – B". Si cuando "A" es 5, "B" es 4; ¿qué valor tomará "A", cuando "B" sea 16? 15. En 20 días de 6 horas diarias, 24 costureras de rendimiento 6, hicieron 300 pantalones de doble costura. ¿Cuántas costureras de rendimiento 8, trabajando 9 horas diarias durante 20 días, harán 200 pantalones con triple costura? 16. Dieciocho obreros pueden hacer una obra en 40 días. Si 12 de los obreros aumentaron su rendimiento en 50%, ¿cuántos días antes terminarán la obra? 17. Se distribuye una cantidad de dinero entre tres personas de modo directamente proporcional a 3; 4 y 5. Pero si lo hubieran hecho de manera proporcional a 7; 12 y 5 uno recibiría S/. 145 menos. Calcular cuánto le correspondió a los dos restantes. 18. Se reparte una cierta cantidad "N" en partes directamente proporcionales a los números naturales menores que 50. Si la suma de la mayor y menor parte es 150, calcular "N". 19. El tiempo que demora un planeta en dar una vuelta al Sol es directamente proporcional al cubo de la distancia del planeta e inversamente proporcional al peso del planeta. ¿Cuánto tiempo demora un planeta de doble peso de la Tierra en dar una vuelta al Sol, si la distancia que lo separa del Sol es el doble que el de la Tierra? 20. Se tiene dos magnitudes "A" y "B" que son inversamente proporcionales para valores de "B" menores o iguales a 30, pero "A" es directamente proporcional a "B" para valores mayores o iguales a 30. Si "A" es 6, cuando "B" es 20, ¿cuál es el valor de "A", cuando "B" sea 60? www.trilce.edu.pe

Repaso

5

¡Tú puedes! 1. Para ejecutar una obra, se cuenta con dos cuadrillas: la primera tiene 40 hombres y puede concluir la obra en 30 días y la segunda, 60 hombres y puede terminar la obra en 40 días. Si tomamos solamente 3/4 de la primera y los 2/3 de la segunda cuadrilla, ¿en cuántos días terminarán la obra? a) 24 b) 32 c) 48 d) 18 e) 28 2. Un hombre y dos mujeres pueden hacer un trabajo en 10 horas y dos hombres y una mujer pueden hacer el mismo trabajo en 8 horas. ¿Cuántos hombres deberán trabajar junto a 4 mujeres para realizar el mismo trabajo en 4 horas? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 3. Un trabajo puede ser hecho en 15 días por 10 hombres. Seis días después de iniciada la obra 4 de ellos aumentan su eficiencia en un 20% y el resto la baja en a%. Hallar "a", si la obra se termina en un tiempo total de 16 días. a) 16 b) 20 c) 25 d) 30 e) 18 4. Un negocio se realizó en 18 meses. Al inicio "A" aportó S/. 6 000 y 8 meses después incrementó su capital en 30%; "B" empezó con S/. 7 500, pero a los 10 meses disminuyó su capital en 25%; "C" empezó con S/. 5 000 y duplicó su aporte 4 meses después y 2 meses antes de terminar el negocio aumentó en S/. 2 000. Si la utilidad neta fue de S/. 348 500, ¿qué utilidad le corresponde a "C"? a) S/. 12 150

b) 14 280

c) 13 940

d) 12 120

e) 12 000

5. Varios socios forman una empresa, aportando cada socio el doble que el anterior y al cabo de cierto b b b tiempo se reparten abbc0 soles de utilidad. Si el primer socio recibió 0 incluido su capital; 2 2 2 siendo su utilidad los 5/7 de lo que aportó, calcular el número de socios a) 5 b) 4 c) 6 d) 2 e) 3 18:10:45

Practica en casa 1. Veinte personas tienen alimento para 12 días y luego de 4 días se retiran 4 personas. ¿Cuántos días duran los alimentos para los restantes? 2. Diez obreros trabajando en la construcción de un puente hacen 3/5 de la obra en 8 días. Si se retiran 8 obreros, ¿cuántos días emplearán los restantes para terminar la obra?

5. Si 36 señoras tejen 120 chompas; 108 señoras, ¿cuántas chompas tejerán? 6. Una persona tarda 10 horas para hacer los 4/9 de una obra, ¿cuántas horas tardará en terminarla? 7. Por 8 manzanas pagó S/. 12, ¿cuánto pagaré por una docena de manzanas?

3. En 24 horas, 15 obreros han hecho 1/4 de una 8. Un poste telefónico de 6 m de altura da una obra. ¿Cuántas horas empleará otra cuadrilla de sombra que mide 2,5 m. ¿Cuánto medirá la 30 hombres doblemente hábiles para terminar sombra de una persona de 1,68 m de altura, a la obra? la misma hora? 4. Un grupo de 9 jardineros demoran 4 h en podar 600 m2 de un jardín. Si renuncia un jardinero, ¿cuánto demorarán los restantes en podar otro jardín de 400 m2? Central: 619-8100

9. Repartir $2 225 en tres partes que sean D.P. a los números: 3; 5 y 8, e I.P. a los números: 4; 6 y 9. Dar como respuesta la parte intermedia. UNIDAD 6

167

Aritmética

10. Tres amigos se asociaron para formar una empresa, el primero aporta S/.6 000 durante 5 años; el segundo S/. 3 000 durante 8 años y el tercero S/. 9 000. Al repartir los S/. 15 000 de ganancia el tercero recibió la mitad del total. Calcular el tiempo de imposición del tercero en años. 11. Tres socios inician un negocio colocando el mismo capital; durante 4 meses, 7 meses y 9 meses respectivamente. Si hubo una ganancia de S/. 4 000, ¿cuánto le corresponde al primero? 12. Marco quiere repartir S/. 540 en forma directamente proporcional a las edades de sus cuatro sobrinos que tienen 10; 12; 14 y 18 años, ¿cuánto le corresponde al menor de ellos?

168

Colegios

TRILCE

13. Repartir S/. 1 180 en tres partes, de tal manera que la primera sea a la segunda como 3 es a 4 y la segunda sea los 5/6 de la tercera. Dar la mayor parte. 14. Se reparte S/. 6 500 entre tres personas en forma D.P. a: p; p2 y p3. Si el menor recibe S/. 500, ¿cuánto recibe el mayor? 15. Se reparte una cantidad en cuatro partes proporcionales a 4; 12; 3 y 5 e inversamente proporcionales a 7; 14; 3 y 7. ¿Cuál es la cantidad repartida, si las dos últimas partes juntas, exceden a las dos primeras partes en 485?

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UNIDAD 7 13

Asia

8% 36%

Europa 15% 8

60

América del Norte

África 26%

11%

13

Australia y Oceanía

6

América del Sur

<1

5%

Nuevo diagnóstico global La ONU realizó una evaluación del estado de los recursos hídricos del planeta

Tanto por cuanto

D

Cuando el agua se convierte en oro

icen los expertos que la supervivencia de los sistemas naturales, sociales y económicos depende de nuestra capacidad para proteger y administrar de forma sostenible los escasos recursos hídricos que tenemos. Durante el siglo XX la población mundial se multiplicó por tres, el consumo de agua (consumo doméstico, industria, agricultura, etc.) se sextuplicó. Se calcula que en el año 2050 la población del planeta rondará los 9 o 10 000 millones de personas y, si las cosas siguen igual, el consumo habrá crecido de tal manera que el abastecimiento regular de agua será un problema serio para las cuatro quintas partes de la población mundial.

APRENDIZAJES ESPERADOS

• •

Razonamiento y demostración •

• •

Define el tanto por ciento y realiza sus cálculos respectivos. Define el interés simple y realiza sus cálculos respectivos. Define el descuento comercial.

Comunicación matemática •

Expresar en forma matemática y adecuada los enunciados vinculados al tanto por ciento.

Expresar en forma matemática y adecuada los enunciados vinculados al interés simple. Utilizar el lenguaje correcto para leer los elementos del descuento comercial.

Resolución de problemas • • • •

Resolver problemas que impliquen tanto por ciento. Resolver problemas de contexto real y matemático que impliquen utilizar los descuentos y aumentos sucesivos. Resolver problemas que involucren interés simple. Resolver problemas relacionados con regla de descuento.

1

Aritmética

Regla del tanto por cuanto En este capítulo aprenderemos: • A definir el tanto por ciento y realizar sus cálculos respectivos • A expresar matemáticamente y adecuadamente los enunciados vinculados al tanto por ciento. • A resolver problemas que involucren tanto por ciento. • A resolver problemas de contexto real y matemático que implican utilizar los descuentos y aumentos sucesivos.

M

Tigre o jaguar de Sudamérica uchos han calificado a la economía peruana como el nuevo tigre o jaguar de Sudamérica por su alto crecimiento económico en los últimos 7 años.

8 000

7 508

7 000

PBI PER CÁPITA REAL 1950–2007 (nuevos soles a precios de 1994)

6 177

6 000 5 542 5 000

4 000 3 759 3 000

2 873

2 000

1 000

Odría 1948–56

Prado 1956–62

Belaúnde 1963–68

Velasco 1968–75

Morales Belaúnde García 1975–80 1980–85 1985–90

Fujimori 1990–2000

Toledo García 2001–06 2006–11

0 1950

1955

1960

1965

1970

1975

1980

1985

1990

1995 2000 2005 2010 Elaboración: Desarrollo Peruano

El actual crecimiento es una recuperación económica, en la que nos habíamos metido entre los años 1988–1992 a causa de una gran recesión y depresión económica combinada con una gran hiperinflación.

170

•

¿En qué años y con qué presidente el PBI tuvo mayor crecimiento?

•

¿En qué año y con qué gobierno el PBI tuvo el mayor decrecimiento? Colegios

TRILCE

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Regla del tanto por cuanto

1

Saberes previos Completa el crucigrama con números: Los

3 de 16 es: 4

Los

Una centena

4 de 25: 5

8–1×2

Cubo de 7 Cubo de 2 Cuadrado de 8, menos 1

Medio millar

La mitad de 980

1 1 1 + + 2 3 6

Raíz cuadrada de 64 Cuadrado perfecto Los

Vigésimo

5 de 56: 8

El numerador de 1 + 1 5 9

El numerador de 2 + 2 5 3 de ... es 9 4

MCD de 12; 18 y 24 El mcm de 6; 8 y 12

Decena y media

Múltiplo de 9

Docena y media

Conceptos básicos Tanto por cuanto Si a una cantidad se le divide en varias partes iguales y se toman algunas de ellas, estas se expresan como "tanto por cuanto" Ejemplo:

•

Calcula el 5 por 14 de 350 Divido 350 en 14 partes y tomo 5 de ellas:

5 × 350 = 125 14

El 3 por 8 significa: Divido en 8 partes y 3 tomo 3: 8

Tanto por ciento Es un caso más utilizado del tanto por cuanto, la cantidad se divide en cien partes donde cada parte es la centésima parte y es representada 1 por = %. 100

Ejemplo:

•

Determina: 20% de 25 + 40% de 15 20 40 Calculando: × 25 + × 15= 11 100 100

Central: 619-8100

El 12% significa: Divido en 100 partes y 12 tomo 12: 100

En estos enunciados: "de" o "del" significa producto: • 20% del 40% de 120 20 40 × × 120 100 100

UNIDAD 7

171

Aritmética

Equivalencia de porcentaje y fracción La relación es: a% =

a 100

Ejemplos:

•

Calcule la fracción de 50%; 20%; 25% y 80%. 50 1 = 100 2

•

20 1 = 100 5

25 1 = 100 4

80 4 = 100 5

3 2 13 3 Calcule el equivalente de las fracciones ; ; y al porcentaje correspondiente. 4 5 25 8 3 × 100 = 75% 4

2 × 100 = 40% 5

13 × 100 = 52% 25

Para pasar el porcentaje a fracción, se divide entre 100: 45% = De fracción a porcentaje, se multiplica por 100:

3 × 100 = 37,5% 8 45 100

12 12 = × 100% 25 25

Operaciones con porcentaje Adición y sustracción a% de N ± b% de N = (a ± b)% de N Ejemplos:

•

Reducir:

20% N + 35% N = (20 + 35)% N = 55% N

A – 24% A =100%A – 24%A = (100 – 24)%A = 76% A

M + 12%M – 37%M=(100 + 12 – 37)% M=75% M

La cantidad total es 100% M = 100% M A = 100% A

Multiplicación a% × b% =

Ejemplos:

•

172

a×b % 100

Colegios

Reducir: 20% × 30% =

20 × 30% = 6% 100

25% × 20% × 30% =

TRILCE

25 20 × × 30% = 1,5% 100 100

Para simplificar 20% × 30% × 45% el último % se deja indicado: 20 30 × × 45% 100 100

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•

Reducir: El doble de N – 30% de 3N + 40% de

N – 15% de 4N 2

1

Resolución: N 2N – 30%(3N) + 40%( ) – 15%(4N) = 200%N – 90%N +20%N – 60%N 2

= (200 – 90 + 20 – 60)%N = 70%N

Son equivalentes: 20%

N 1 20 = 20% × ( ) × N = %N 4 4 4

Aplicaciones

¿Qué porcentaje de "A" es "B"?

Por regla de tres •

¿Qué porcentaje de "A" es "B"?

123 123

Parte

Porcentaje %

A

100

B

x

Resolviendo la regla de tres simple directa: x =

B . 100 A

Ejemplo:

Total Parte

•

Si en un salón de 45 alumnos, la cantidad de varones es 36, ¿qué porcentaje del salón son los varones?

Resolución: # alumnos

Porcentaje %

45

100

36

x

Resolviendo la regla de tres simple directa: 36 . 100 x= = 80 45 Entonces los varones son el 80% del aula.

Por relación parte todo •

¿Qué porcentaje de "A" es "B"? 144424443 123 123

En ecuación:

. A

=B

x .A=B 100

Ejemplo:

•

x%

Recuerda: "de" o "del" significa producto; "es" significa igualdad

¿Qué porcentaje de

2 4 es ? 3 15

Resolución:

x 2 4 4 . 100 . 3 . = ⇒x= ⇒ x= 40% 100 3 15 2 . 15

Central: 619-8100

UNIDAD 7

173

Aritmética

Variación porcentual A los valores iniciales se le consideran 100%, y a los nuevos valores se le indicará su variación. Parte

Porcentaje %

Valor inicial

100

Valor final

x

Ejemplos:

•

Si el volumen de un cilindro es pr2h, donde "r" es el radio de la base y "h" la altura, ¿qué sucederá con el volumen, si el radio aumenta en 20% y la altura disminuye en 20%?

Resolución: Parte pr2h p(120%r)2(80%h)

Porcentaje % 100 x 2 120 80 Simplificando las constantes: x = . . 100 = 115,2 100 100

Entonces el volumen aumentó en 15,2%

•

Si la base de un triángulo aumenta en 25%, ¿en qué porcentaje tiene que disminuir la altura para que el área aumente en 10%?

Resolución: Recordemos que el área de un triángulo es:

Si los valores iniciales son: Base Altura 100

100

125

x

Entonces:

base × altura 2

Área 100 × 100 =5 000 2 5 000 + 10%5 000 = 5 500

Los valores que se les da a las cantidades iniciales no alteran la variación porcentual, de preferencia se debe escoger al 100 como valor inicial.

125 . x = 5 500 2

Resolviendo:

x = 88

Esto significa que la altura debe disminuir en 12%

Aumentos y descuentos

Aumentos sucesivos

Aumentamos a%, seguido de otro aumento de b%, estos dos aumentos serán equivalentes a un solo aumento de: a+b+

a.b % 100

Ejemplo:

•

Dos aumentos de 10% y 20% es equivalente a: 10 + 20 +

10 × 20 %=32% de aumento 100

Descuentos sucesivos

174

Colegios

TRILCE

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Descontamos a%, seguido de otro descuento de b%, estos dos descuentos serán equivalentes a un solo descuento de: a+b–

• •

En los aumentos o descuentos sucesivos: • Dos aumentos de: 20% y 30% ≠ aumenta 50% • Dos descuentos de: 15% y 35% ≠ descuento 50%

Dos descuentos de 20% y 20% es equivalente a: 20 × 20 20 + 20 – %=36% de descuento 100

Si a un precio se le aumenta 20%, luego se le descuenta 20%, y por último se aumenta 35%, ¿cuál es la variación del precio? Aumento de 20% Se tendrá 120%

a.b % 100

Ejemplos:

1

Descuento de 20% Quedará 80%

Aumento de 35% Se tendrá 135%

Luego el valor final es: 120% × 80% × 135% =

120 80 × × 135% = 129,6% 100 100

Entonces el precio aumentó en 29,6%

Síntesis teórica TANTO POR CUANTO

a% =

a 100 Operaciones

20 20% de 250 = . 250 100 4 por 7 de 350 =

a%N + b%N = (a + b)%N

4 . 350 7 Aplicaciones

¿Qué porcentaje de "A" es "B"? x% . A = B

Central: 619-8100

Aumentos de a% y b% ab a+b+ % 100

a%N – b%N = (a – b)%N a b a% . b% . c% = . . c% 100 100

Descuentos de a% y b% ab a+b– % 100

Variación porcentual

UNIDAD 7

175


Aplica lo comprendido 1. Hallar el 20% del 10% de 800.

4. ¿Qué porcentaje de 45 es 36?

2. Calcula el 5 por 6 del 12% del 3 por 4 de 240

5. Dos descuentos sucesivos, el primero de 24% y el segundo de 25%, equivalen a un solo descuento de:

3. Relaciona con flechas: •

20%

•

•

45%

•

•

35%

•

•

10%

•

9 20 1 10 1 5 7 20


% de pobres según zona 80

El INEI publicó su informe de fines de mayo del 2010, sobre la pobreza, y en ella resalta que unos 290 000 perua- 70 60 nos dejaron de ser pobres en el último año 2009. 50

Aproximadamente la población del Perú es de 29 millones 40 y el 25% de ella corresponde a la zona rural. 30

1. Determine aproximadamente el porcentaje de pobreza 20 en cada zona (urbana y rural) en el 2009. 10

2. Con la información del problema anterior, determine la población rural y urbana en el 2009.

0 2004

2005

2006

2007

Rural

2008

2009

Urbana

3. Determine la población de pobres en la zona rural y urbana en el 2009. 4. Determine el porcentaje de pobreza en el Perú en el 2009. Resolución de problemas 5. Determina:

9. ¿Qué porcentaje es 4/5 de 8/7?

10. ¿35% de qué número es 392?

20% del 3 por 5 del 45% del 2 por 9 de 1 250

6. Dados:

P = 45% de la tercera parte de 200 E = 4 por 9 del 75% de 36 R = 25% de "E" U = 30% de "P"

Hallar "P + E + R + U"

7. Hallar el 20% más del 40% menos de 750 8. Hallar el 25% más del 20% menos del 30% menos de 70

176

Colegios

TRILCE

11. Si el radio de un círculo aumenta en 20%, ¿en qué porcentaje aumentará su área? 12. Se presenta la oportunidad de escoger entre dos descuentos sucesivos: • •

20% y 20% 10% y 30%

Si escogemos el mejor descuento, ¿cuánto ahorramos?

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13. En cierto poblado viven 800 mujeres y de ellas el 3% se adornan con un pañuelo. Del resto, la mitad usa anteojos. ¿Cuántas mujeres usan anteojos?

15. En una granja, el 20% son patos, el 45% gallinas y el resto conejos. Si el número de gallinas fuera el doble y el número de conejos el cuádruple, ¿qué porcentaje del total serían los patos?

14. Una grabadora al venderse se le descuenta el 10%, luego se le recarga el 10%, pero se le vuelve a descontar el 10% pagándose S/. 891. ¿Cuál es el precio original?

16. Si gastara el 20% del dinero que tengo y ganara el 10% de lo que me quedaría perdería S/. 840. ¿Cuánto dinero tengo?

1

¡Tú puedes! 1. En un evento sobre la problemática de la educación, se observa que el 20% de los asistentes es menor de edad, de estos el 50% es masculino y de los mayores de edad el 75% es masculino. Si en la reunión no hay mujeres que tengan 18; 19 ó 20 años y la diferencia de la cantidad de mujeres de 21 años a más con la cantidad de hombres menores de edad es 300, calcule cuántos asistieron a dicho evento. a) 5 500

b) 2 700

c) 3 000

d) 4 800

e) 1 000

2. Un comerciante vende el 25% de las camisas que no vende. De las camisas que vendió el 25% fue vendido con una ganancia del 25% y el resto con una ganancia del 20%. Halle qué tanto por ciento es la ganancia total, del costo total de todas las camisas. a) 2,25%

b) 40%

c) 7%

d) 5%

e) 15%

3. Ángel desea vender el celular que tiene y para ello incrementa el costo en un 20%, pero al momento de venderlo realiza un descuento del 25%, observándose que la pérdida, el descuento y S/. 200 forman una proporción aritmética continua. Halle el precio fijado a) S/. 270 b) 600 c) 480 d) 150 e) 500 4. Realizar un descuento del 25% a un producto es equivalente a realizar un descuento del "m" por "n" y seguidamente de un aumento del "m" por "n" a ese producto. Halle el "m" por "n" del "m" por "n" de 15 000. a) 100

b) 4 000

c) 2 000

d) 3 750

e) 6 000

5. El Sr. "Porciento" produce lápices cuyo costo se distribuye así: 50% en materia prima; 37,5% en mano de obra y el resto en gastos generales y además los vende ganando el 25% del costo. Debido a una brusca variación de precios sus costos aumentaron de la siguiente manera: materia prima en 50%, la mano de obra en 20% y los gastos generales en un 40%. Si ahora su ganancia será del 40% del costo, ¿en qué porcentaje aumentará el precio de venta de los lápices? a) 40% b) 45% c) 54% d) 44% e) 48% 18:10:45

Practica en casa 1. Calcular el 20% del 30% de 450 2. Si al comprar una camisa me hacen un descuento del 25% y debido a ello solo pagué 42 soles, ¿cuál es el precio de la camisa sin descuento? Central: 619-8100

3. En una reunión, el 42% de los asistentes son mujeres. Si el número de hombres es 87, ¿cuántas personas en total asistieron a la reunión?

UNIDAD 7

177

Aritmética

4. El precio de un artículo aumentó en 28% y su nuevo precio es S/. 2 400. ¿Cuál es el precio del artículo sin aumento? 5. Dos aumentos sucesivos del 30% y 20% equivalen a un único aumento de: 6. Dos descuentos sucesivos del 15% y 20% equivalen a un único descuento de: 7. Si a un artículo cuyo precio es de S/. 450, se le hacen dos descuentos sucesivos del 20% y 10%, ¿cuál será el nuevo precio? 8. ¿Qué porcentaje de "A" es "B", si se sabe que 30%A = 50%B? 9. Si el radio de un círculo disminuye en 40%, ¿en qué porcentaje disminuye su área? 10. Si el lado de un cuadrado aumenta en 15%, ¿en qué porcentaje aumenta su área?

178

Colegios

TRILCE

11. En la compañía IBM, filial Perú, trabajan 420 personas, donde el 80% son hombres. ¿Cuántas mujeres deben contratarse para que el 30% del personal sea femenino? 12. En un almacén de abarrotes, el 60% es arroz. Si se vendió el 15% del arroz, ¿en qué porcentaje quedó disminuido el almacén? 13. Si el largo de un rectángulo aumenta en 20%, ¿en qué porcentaje debe aumentar el ancho para que el área aumente en 68%? 14. "A" es igual al 10% del 25% del 30% del 40% de 7 000 y "B" es el 80% del 3 por 8 del 5 por 1 000 de 12 000. Calcular el A% del B% de 5 000. 15. Si el sueldo de Alex fuese aumentado en 8%, alcanzaría para comprar 24 polos. ¿Cuántos polos podría comprar, si el aumento fuese del 35%?

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Aplicaciones de porcentaje


2

En este capítulo aprenderemos:

L

•

A definir el tanto por ciento y sus aplicaciones comerciales.

•

A interpretar el tanto por ciento como costo, ganancia y venta.

•

A utilizar el lenguaje correcto para leer enunciados que tengan que ver con precio de lista y precio fijado.

•

A resolver problemas que involucren problemas de porcentaje en aplicación comercial.

¿Dónde deposito mi CTS? a Superintendencia de Banca y Seguros (SBS) explica que estas instituciones manejan mayores recursos porque otorgan préstamos a las microempresas con un costo elevado, debido al riesgo del retorno, y esos mayores ingresos los pueden utilizar para ofrecer mayores rendimientos por la CTS.

CMAC Ica CMAC Maynas CMAC Del Santa CMAC Piura CMAC Tacna CMAC Sullana CMAC Paita CMAC Arequipa CMAC Cusco CMAC Trujillo CMAC Huancayo CMAC Pisco

Cajas Municipales Para depósitos en S/. (%) Mínima Máxima 13,00 13,00 12,00 14,00 12,00 12,00 12,00 12,00 12,00 12,00 11,50 12,50 11,00 12,50 11,00 12,00 11,00 12,00 10,00 14,00 7,00 11,00 7,00 7,00

Para depósitos en US$ (%) Mínima Máxima 7,00 7,00 6,00 6,00 5,00 5,00 6,50 6,50 5,00 5,00 6,00 7,00 5,32 6,33 5,00 5,00 6,00 6,50 –– –– 3,00 4,25 2,80 2,80

Banca Múltiple Para depósitos en S/. (%) Mínima Máxima Banco de Comercio 9,00 9,00 Mibanco 8,00 8,00 Banco Ripley S.A. 7,50 7,50 Banco Falabella 6,75 –– Banco Financiero 5,25 7,25 Banco Continental 4,60 7,25 BIF 4,50 4,50 HSBC 4,00 4,00 Citibank 3,75 4,50 Interbank 2,00 4,00 Banco de Crédito 1,72 3,20 Scotiabank 1,10 1,20

Para depósitos en US$ (%) Mínima Máxima 4,00 4,00 4,00 4,00 2,75 2,75 4,50 –– 2,75 5,25 4,50 –– 2,00 4,00 1,75 4,00 1,25 3,50 1,00 3,50 0,73 2,95 1,00 1,10 Fuente: SBS

Si tuvieras que decidir donde depositar tu CTS: •

¿Dónde la depositarías si estuviese en soles?

•

¿Dónde la depositarías si estuviese en dólares?

Central: 619-8100

UNIDAD 7

179

Aritmética

Saberes previos 1

7

2

8

4

5

6

9

10

11

12

15

3

13

16

20

24

14

18

21

19

22

23

25

Horizontal:

Vertical:

1. 20% de 360

1. 15% de 4 820

2. 20% de 3 620

2. Factorial de 6

5. 3 a la cuarta

3. Cuarta parte de 100

7. 40% de 580

4. 40% de 1 065

9. ¿80% de qué número es 4 192?

5. ¿50% de qué número es 4 211?



11. 20% de 810

8. Una vuelta entera en grados


11. Potencia de 2


12. El resultado de sumar del 1 al 9

15. Es múltiplo de 66

13. Cuadrado de 21

18. Cuadrado de 22


20. Medio mes (en días)


21. Una gruesa


22. Una docena

20. Múltiplo de 7

24. Cuadrado perfecto 25. Cuadrado de 18

180

Colegios

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2

Conceptos básicos Aplicación comercial

Relación de demanda, oferta e ingreso

Cuando se comercializa un producto se tiene lo siguiente: la cantidad de unidades vendidas (oferta), el precio de venta (demanda) y el monto recaudado (ingreso). Entonces se cumple: Q: Unidades vendidas P: Precio de cada producto I: Ingreso

El ingreso es proporcional a las unidades vendidas y al precio de venta de cada uno. • Así 20 chompas (demanda) a S/. 40 c/u (precio), producirá un ingreso: I = 20 . 40 = 800 soles

I=P.Q

Ejemplo:

•

Una tienda vende media centena de productos en S/. 6 000. Si las ventas aumentan en 20%, debido a que el precio de venta disminuyó en 25%, ¿cuál es el nuevo ingreso?

Resolución:

Q = 50 productos, I = 6 000 soles, P = ?

Entonces: 6 000 = 50 P ⇒ P = 120 soles c/u

Luego:

Q = 120% . 50 = 60

P = 75% . 120 = 90 soles

Entonces: I = 60 . 90 = 5 400 soles

Relación de costo, ganancia y venta Un comerciante compra sus productos (costo), luego planifica la venta con un beneficio (ganancia). Sea: C: Precio de compra o costo V: Precio de venta G: Ganancia

Se cumple: V=C+G

Ejemplos:

•

Un mayorista se dedica a la venta de cuadernos. Si los compra a S/. 60 la docena y los vende a S/. 60 la decena, ¿qué porcentaje de ganancia tiene en la Por defecto se considera venta de cada cuaderno? que la ganancia es un 60 porcentaje del precio de C= = 5 soles costo. 12 • Si la ganancia es 20% 60 V= = 6 soles ⇒ C + 20%C = V 10

Ganancia por cuaderno = 1 sol

¿Qué % del costo es la ganancia?:

Central: 619-8100

1 × 100=20% 5 UNIDAD 7

181

Aritmética

•

En la venta de un producto se gana el 20% del precio de costo más el 10% del precio de venta. ¿Qué porcentaje de la venta se gana?

Como la ganancia es: G = 20%C + 10%V ⇒ C + (20%C + 10%V) = V

Reduciendo: 120% C = 90% V C 3 = V 4

Si: C = 3k y V = 4k, la ganancia es: G = k ¿Qué % de la venta es la ganancia?:

k × 100 =25% 4k

•

Un producto se vende en S/. 240, ganando un 20%. También se sabe que los gastos que ocasiona esta venta es el 20% de la ganancia. Calcula la ganancia neta.

C=?

V = 240 soles

G = 20% C

C + 20%C = 240 ⇒ 120%C = 240 ⇒ C = 200 soles

G = 240 – 200 = 40 (Ganancia bruta)

Gastos = 20%(40) = 8 soles

Como:

De la ganancia (bruta), se descuenta los gastos y está quedando la ganancia neta.

GBruta = GNeta + Gastos

GNeta = 40 – 8 =32 soles •

En la venta de un producto se pierde el 20% del precio de venta. ¿Qué porcentaje del precio de costo se está perdiendo?

C = Costo

P = Pérdida (ganancia negativa) = 20%V

V = Venta

C – Pérdida = V ⇒ C – 20%V = V

C = 120% V C 6 = V 5

182

La pérdida (P) es una ganancia negativa, así: C – Pérdida = V

C = 6k y V = 5k, entonces: pérdida = k Porcentaje de pérdida:

k × 100 = 16,6% 6k

Relación de venta, descuento y lista

Los comerciantes para mejorar sus ventas, ofrecen descuentos, por ello se genera los precios de venta y lista (marca o fijado).

V: Precio de venta L: Precio de lista D: Descuento Colegios

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L–D=V

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Ejemplos:

•

Una camisa tiene un precio fijado en S/. 80, pero los clientes tienen una rebaja del 20%. ¿Cuál es el precio de venta?

L = 80

D = 20%

V=?

V=L–D

V = 80 – 20%(80) = 64 soles

•

Alex va a una tienda muy conocida para comprar un pantalón y le ofrecen dos descuentos sucesivos del 20% y 20%. Si Alex paga S/. 32, ¿cuánto está ahorrando en esta compra?

L=?

20 × 20 D = 20% + 20% ⇒ (20 + 20 – )% = 36% 100

V = 32 soles

L – 36%L = V ⇒ 64% L = 32 ⇒ L = 50

2

Por defecto, el descuento es un porcentaje del precio de Lista. • Descuento 15% ⇒ L – 15%L = V

Cuando los descuentos son sucesivos se recomienda usar su equivalente: a.b )% (a + b – 100

Síntesis teórica APLICACIONES DE PORCENTAJE Ingreso = Cantidad . Precio

Cantidad = Demanda

PC + Ganancia = PV

Precio = Oferta

•

•

Ejemplo:

20 artículos a S/. 5 cada uno Ingreso = 20 . 5 = 100 soles

Costo + Ganancia = Venta Ejemplo:

Ganancia = 20% PC + 20%PC = PV 1,2PC = PV Por defecto: La ganancia es un porcentaje del costo. Ganancia neta = Ganancia bruta – Gastos La pérdida es una ganancia negativa.

Lista – Descuento = Venta

PL – Descuento = PV •

Ejemplo:

Descuento = 15% PL – 15%PL = PV 0,85PL = PV Al precio de lista también se le llama precio de marca o fijado Central: 619-8100

UNIDAD 7

183


Aplica lo comprendido 1. Completa la tabla: DEMANDA # artículos

PRECIO Soles c/u

200

6

INGRESO Soles

5,5

2 200

800

3 200

2. Completa la tabla:

3. Un producto que costó S/. 32, se vende en S/. 40. ¿Qué porcentaje del costo es la ganancia? 4. Completa la tabla: LISTA (S/.) DESCUENTO (S/.) VENTA (S/.) 200

60 55

250

220 230

COSTO GANANCIA VENTA 200

146 55

1 250

220 2 200

5. En la farmacia, un medicamento se vende con una rebaja del 15%. Si este medicamento cuesta S/. 240 (precio de lista), ¿cuánto se pagará por el medicamento?

Aprende más 1. El precio de venta de un televisor es de S/. 506. Si la ganancia es el 15%, ¿cuánto se gana en esta venta? 2. El precio de costo de una lavadora es de S/. 340. Si la ganancia es el 15% del precio de venta, ¿cuánto se gana en esta venta? 3. El precio de venta de una computadora es de S/. 1 200. Si la ganancia es el 20% del precio de costo más el 20% del precio de venta, ¿cuánto se gana en esta venta? 4. Si en la venta de un artículo se gana el 20% del precio de venta, ¿qué porcentaje del precio de costo se gana? 5. Si en la venta de un producto se gana el 17% del precio de costo más el 10% del precio de venta, ¿qué porcentaje del precio de costo se gana?

184

8. Una filmadora Panasonic sufre una depreciación del 15% por cada año de uso, respecto al precio que tuvo al comenzar cada año. Si al cabo de dos años se cotiza en $ 1 156, ¿cuál fue el precio de la filmadora nueva? 9. Un fabricante reduce en 25% el precio de venta de sus artículos. ¿En qué porcentaje debe incrementar su volumen de ventas, para que sus ingresos aumenten en 20%? 10. Alex vendió dos bicicletas a $ 180 cada una. Si en una de ellas ganó el 20% del precio de costo y en la otra perdió el 20% del precio de costo, ¿cuánto ganó o perdió en este negocio? 11. Una computadora se vendió en $ 1 200, ganando el 15% del precio de venta. ¿Cuál sería el precio de venta, si se quiere ganar el 15% del precio de costo?

6. Si la cantidad de artículos vendidos aumentan en 20% y el precio de cada artículo disminuye en 20%, ¿en qué porcentaje varían los ingresos?

12. Una inmobiliaria vendió un terreno en $ 12 000 ganando el 20% del precio de costo más el 15% del precio de venta. Hallar el precio de costo del terreno.

7. Un comerciante ha fijado sus precios para la venta en S/. 2 500. Si al momento de las ventas se ofrece dos descuentos sucesivos del 20% y 10%, ¿a qué precio vende los productos?

13. Si al vender una refrigeradora se gana el 30% del precio de venta, ¿qué porcentaje del precio de costo se está ganando?

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14. ¿A qué precio de venta se debe fijar un DVD cuyo costo es $ 300, sabiendo que se va a hacer una rebaja del 10% y aún así se gana el 20% del precio de costo?

16. Un trabajador observa que su salario ha sido descontado en un 20%. ¿Cuál debe ser el porcentaje de aumento para que reciba su salario original?

2

15. Un comerciante rebajó el precio de venta de su mercadería en un 20%. Si sus ventas aumentaron en un 40%, ¿en qué porcentaje aumentaron sus ingresos?

¡Tú puedes! 1. En una universidad particular, el departamento de Servicio Social, decide rebajar las pensiones de enseñanza a los estudiantes de menores recursos económicos en un 20% y aumentar en un 30% al resto. Si el monto total de las pensiones queda disminuido en un 10% con esta política, ¿qué tanto por ciento de la pensión total representará la pensión pagada por los estudiantes de menores recursos económicos? a) 50% b) 80% c) 82% d) 85% e) 79% 2. Un vendedor adquirió un lote de cuadernos y vendió la tercera parte ganando el 20% sobre el precio de compra. Luego vendió la sexta parte del resto perdiendo el 25% sobre el precio de venta. Si en estas dos ventas le han dado una ganancia de S/. 2 760 menos que el costo del lote sobrante, determine cuánto pagó el comerciante por el lote de cuadernos. a) S/. 8 730

b) 2 560

c) 5 400

d) 7 200

e) 3 900

3. Se fija el precio de un artículo aumentando en "a%" su precio de costo. Si al venderlo se hace un descuento equivalente al 25% de su precio de costo y se observa que la ganancia es el 20% del precio de venta, calcule el valor de "a". a) 50 b) 28 c) 60 d) 32 e) 70 4. Una persona venderá un juego de muebles otorgando dos descuentos sucesivos del 7,5% y 4%, y aún así ganará el 20% fijado. Si esta persona había comprado los muebles en la fábrica con un descuento del 12,5% del precio de lista, ¿cuánto gana en la venta, sabiendo que el precio fijado excede al precio de lista en S/. 902? a) S/. 350

b) 275

c) 375

d) 340,75

e) 425

5. Alex vende pescado ganando el 30% de su costo entre las 5 am y las 8 am; el 10% entre las 8 am y las 10 am y perdiendo el 15% a partir de este último lapso. Si en un día ganó el 5% de lo invertido y sabiendo que vendió el 40% de su mercancía antes de las 8 am, ¿qué tanto por ciento de lo comprado se tuvo que vender a pérdida? a) 60% b) 50% c) 52% d) 54% e) 45%

Central: 619-8100

UNIDAD 7

185


Practica en casa 1. El precio de costo de un horno microondas es $ 180. Si se vendió en $ 240, ¿qué porcentaje del precio de venta se ganó?

9. Si la cantidad de artículos vendidos aumentan en 40% y el precio de cada artículo disminuye en 30%, ¿en qué porcentaje varían los ingresos?

2. Al vender una cocina eléctrica en 775 dólares se ganó el 24%. ¿Cuál fue su precio de costo?

10. Si los precios de cada producto disminuyen en 4%, ¿en qué porcentaje deben aumentar las ventas para que el ingreso aumente en 44%?

3. El precio de costo de una máquina panificadora es 47 500 dólares. Si se quiere ganar el 24% del precio de venta, ¿a cuánto se debe vender?

11. Un comerciante ha fijado sus precios para la venta en S/. 2 500. Si al momento de las ventas se ofrece dos descuentos sucesivos del 20% y 30%, ¿a qué precio vende los productos?

4. Si un comerciante gana el 35% del precio de costo, ¿qué porcentaje del precio de venta está ganando? 5. El precio de costo de una lavadora es S/. 6 800. Si la ganancia es el 15% del precio de venta, ¿cuánto se gana en esta venta? 6. El precio de venta de una computadora es de S/. 1 200. Si la ganancia es el 25% del precio de costo más el 25% del precio de venta, ¿cuánto se gana en esta venta? 7. Si en la venta de un artículo se gana el 25% del precio de venta, ¿qué porcentaje del precio de costo se gana? 8. Si en la venta de un producto se gana el 25% del costo más el 20% de la venta, ¿qué porcentaje del precio de costo se gana?

186

Colegios

TRILCE

12. Un fabricante reduce en 25% el precio de venta de sus artículos. ¿En qué porcentaje debe incrementar su volumen de ventas, para que sus ingresos aumenten en 50%? 13. Alex vendió dos bicicletas a $ 120 cada una. Si en una de ellas ganó el 20% del precio de costo y en la otra perdió el 20% del precio de costo, ¿cuánto ganó o perdió en este negocio? 14. Pedro tiene una casa que vale S/. 100 000 y se la vende a Beto con una ganancia del 10%. Beto le revende la casa a Pedro con una pérdida del 10%. ¿Cuánto ganó o perdió Pedro? 15. Al vender un objeto ganando el 30% del precio de costo se gana S/. 60 más que si se vendiera ganando el 20% del precio de venta. ¿Cuánto cuesta el objeto?

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Regla de interés

Regla de interés

3


A definir el interés simple y realizar sus cálculos respectivos

•

A interpretar el interés simple dándole el contexto real.

•

A expresar matemáticamente y adecuadamente los enunciados vinculados al interés simple.

•

A utilizar el lenguaje correcto para leer enunciados de interés simple.

•

A resolver problemas que involucren interés simple.

Si vas a endeudarte, opta por un préstamo

N

o hay que tener miedo a endeudarse, a lo que hay que temer es a pedir dinero sin un propósito definido, y a solicitar más de lo que se pueda pagar. Puede ser más cómodo comprar usando tarjeta, pero si planificas un poco puedes encontrar un préstamo personal con tasas mucho más baratas.

Un simple consejo para tomar un préstamo bueno, bonito y barato "No compre a plazos con su tarjeta de crédito, pida más bien un préstamo personal". Empresa Continental Comercio Crédito Financiero BIF Scotiabank Citibank Interbank Mibanco HSBC Falabella Ripley Azteca

Bancos Tarjeta 48,63 27,24 28,79 --30,00 22,66 43,57 48,45 57,76 36,18 53,59 58,86 213,31

Préstamo* 19,38 14,25 17,39 36,32 18,54 ----------19,64 50,04 17,75 -----36,44 155,30

Empresa Crediscotia TFC Edyficar Crear Confianza Universal Uno Efectiva Financiera

Financieras Tarjeta Préstamo* 67,49 -------------------------73,93 -----------

46,48 89,86 58,52 64,45 50,54 ----------83,91 ------

* Préstamos no revolventes para libre disponibilidad hasta 360 días

Cajas municipales Entidad Préstamo* Arequipa Cusco Del Santa Huancayo Ica Maynas Paita Pisco Piura Sullana Tacna Trujillo Lima

26,23 27,42 34,61 35,98 30,00 28,49 135,99 42,65 15,45 46,64 21,84 30,02 12,87

FUENTE: INEI. DTDES. "Proyecciones de Población del Perú, 1950 – 2050". Marzo 2009.

•

Del consejo que se da, ¿consideras que tiene sustento lógico?

•

Si debes tomar un préstamo, ¿qué tipo y en qué entidad lo pedirías?

Central: 619-8100

UNIDAD 7

187

Aritmética


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4

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22

20

17

21

23

Horizontal:

Vertical:

1. 25% de 456

1. 12% de 1 025


2. La mitad de 906

6. Trece docenas

3. Número cuadrado perfecto de tres cifras

7. Una gruesa


8. Cubo de 7


9. Si a 800, se le aumenta el 15%, se obtiene:

6. Una gruesa

10. 900 más su 5% es:

7. Factorial de 5

12. Décima parte en porcentaje:


13. Una hora (en minutos)


14. El triple de 2 784

12. Cuadrado de 11, multiplicado por 10



18. 80% de 90

15. Número cuadrado perfecto de tres cifras

19. Cubo de 6

17. Una gruesa

21. 45% de 120 22. Cuadrado de 80 23. Cuadrado de 22

188

Colegios

TRILCE

www.trilce.edu.pe

Regla de interés

3

Conceptos básicos Regla de interés Las entidades financieras (Bancos, AFP, Cajas Municipales, etc.) se dedican a prestar y recibir dinero, el cual en un cierto tiempo genera una ganancia.

Elementos de la regla de interés Los elementos que participan en la regla de interés son: Capital Es la cantidad de dinero o recurso que genera una ganancia al transcurrir un tiempo.

Tiempo de imposición

Es el tiempo donde el capital permanece para generar una ganancia. Ejemplos:

1 semestre = 6 meses = 180 días

1 trimestre = 3 meses = 90 días

1 año = 12 meses = 360 días

Comercialmente se considera: • 30 días = 1 mes • 12 meses = 1 año • 1 año = 360 días

Tasa de interés

Es el porcentaje o fracción del capital que representa la ganancia en un periodo de tiempo. Ejemplos:

Interprete las siguientes tasas de interés: •

12% anual

Esta tasa indica que el interés o ganancia será del 12% del capital cada año.

•

15% semestral

Esta tasa indica que el interés o ganancia será del 15% del capital cada seis meses.

•

21% trimestral

Esta tasa indica que el interés o ganancia será del 21% del capital cada tres meses.

•

0,25 cuatrimestral

Esta tasa indica que el interés o ganancia será del 1 0,25 = del capital cada cuatro meses. 4

Cuando la tasa solo menciona el porcentaje, se considera tasa anual. 20% = 20% anual

Interés

Es la ganancia, rédito o renta que genera un capital después de un tiempo a una determinada tasa de interés. Monto

Es el nuevo capital o también en cuanto se convierte el capital después de un determinado tiempo. M=C+I

Central: 619-8100

UNIDAD 7

189

Aritmética

Ejemplos:

•

Si un capital de S/. 2 200 en dos meses ha ganado S/. 550, ¿cuál es el monto?

Como: C = 2 200 I = 550 M=?

M = 2 200 + 550 = 2 750

•

La renta anual de un capital es de S/. 120. ¿Cuál es el capital, si el monto es de S/. 2 300?

Como: C=? I = 120 M = 2 300

2 300 = C + 120 C = 2 180

•

Si después de un trimestre S/. 2 230 se ha convertido en S/. 2 430, ¿cuál es el interés generado por dicho capital?

Como: C = 2 230 I=? M = 2 430

2 430 = 2 230 + I I = 200

Clases de interés

Interés simple

Para todo periodo de tiempo, el capital permanece constante, así el interés será constante. Fórmula

Si la tasa (R%) y el tiempo (t) C están en las mismas unidades:

I C

I C

Capital: Interés: Monto:

I = C × R% × t

C (constante) I + I + I = 3I M = C + 3I

Ejemplos:

•

Un capital de S/. 2 000 se presta al 1,5% mensual durante 8 meses. ¿Cuál es el interés?

Como la tasa y el tiempo están en las mismas unidades:

I = (1,5% . 2 000) . 8 = 240

•

Un capital de S/. 2 500 se presta al 12% trimestral durante 5 meses. ¿Cuál es el interés?

La tasa y el tiempo no tienen las mismas unidades (homogenicemos)

R = 12% trimestral (en tres meses) = 4% mensual

I = (4% . 2 500) . 5 = 500

•

Un capital de S/. 3 500 se presta al 8% mensual durante 225 días. ¿Cuál es el interés?

La tasa y el tiempo no tienen las mismas unidades (homogenicemos) 225 15 t = 225 días = = meses 30 2

190

I

Colegios

I = (8% . 3 500) . (

TRILCE

Si la tasa y el tiempo no tienen las mismas unidades, será necesario homogenizar: • 12% anual = 1% mensual • 6% trimestral = 2% mensual • 3% bimestral = 18% anual

15 ) = 2 100 2 www.trilce.edu.pe

Regla de interés

Interés compuesto

3

Después de un periodo de tiempo, se determina el monto y este se convierte en el capital para el próximo periodo, y así sucesivamente se va aumentando el capital. I1 C

I2 C + I1

I3 C + I1 + I2

Capital: C Interés: I1 + I2 + I3 Monto: M = C + I1 + I2 + I3

Fórmula

Si la tasa (R%) y el tiempo (t) están en las mismas unidades que el periodo de capitalización: M = C × (1 + R%)t

La capitalización indica el periodo al término del cual se agregan los intereses al capital. La capitalización puede ser: Anual, semestral, diaria, etc.

Ejemplos:

•

Si S/. 2 000 se depositan al 10% anual durante 2 años, con una capitalización anual, ¿cuál será su interés?

M = 2 000(1 + 10%)2 = 2 420 ⇒ El interés es 420 soles

•

Si depositamos S/. 2 500 al 16% anual durante 9 meses, con una capitalización trimestral, ¿cuál será su interés?

16% anual = 4% trimestral

9 meses = 3 trimestres

M = 2 500(1 + 4%)3 = 2 812,16 ⇒ El interés es 312,16 soles

Interés continuo

Es un interés compuesto, donde el periodo de capitalización es al instante.

Fórmula

Si la tasa (R%) y el tiempo (t) están en las mismas unidades: M = C × eR%t

"e" es la constante de Neper, su valor es: e = 2,718281...

Fórmulas adicionales (utilizadas comercialmente)

Central: 619-8100

CRt 100 CRt ⇒I= 1 200

R% anual "t" años R% anual "t" meses

⇒I=

R% anual "t" días

⇒I=

CRt 36 000

Estas fórmulas son para el interés simple, cuando la tasa es anual.

UNIDAD 7

191

Aritmética

Síntesis teórica REGLA DE INTERÉS Elementos

Clases de interés

Capital = C Tasa de interés = R% Tiempo de imposición = t Se determina: Interés = I Monto = M M=C+I

Si: R% anual y "t" en años

I=

Interés simple

Interés compuesto

Si la tasa y el tiempo están en las mismas unidades de tiempo

La tasa y el tiempo deben tener las mismas unidades de tiempo que la capitalización

I = C × R%× t

M = C × (1 + R%)t

Si: R% anual y "t" en meses

Si: R% anual y "t" en días

R.C.t 100

I=

R.C.t 1 200

I=

Interés continuo M = C × eR%t

R.C.t 36 000

10 x 5 50

Aplica lo comprendido 1. Complete la siguiente tabla: Capital 2 000 4 200

Interés 312 256

Monto 2 180 1 800

2. Si el interés generado por un capital durante un mes es S/. 250, entonces: • • •

El interés de dos meses es: El interés de un semestre es: El interés de un año es:

3. En la tabla se tiene el capital y la tasa, determina

192

Colegios

TRILCE

el interés respectivo: Capital Tasa de interés Interés 2 000 10% anual De dos años 3 000 20% anual De tres años 4. En la tabla se tiene el capital y la tasa, determina el interés respectivo: Capital 6 000 1 500

Tasa de interés Interés 10% anual De 6 meses 20% anual De 2 meses

5. Calcular el interés generado por S/. 2 400 que ha sido depositado al 15% anual durante 8 meses.

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Regla de interés

3

Aprende más 1. Calcular el interés simple producido por 30 000 soles durante 90 días a una tasa de interés anual del 5 %.

10. Determina el interés que genera S/. 2 500 durante 9 meses, si la tasa es del 20% trimestral y la capitalización es trimestral.

2. ¿Cuál es el interés que produce un capital de S/. 4 000 que estuvo impuesto durante 1 año y 3 meses al 2% mensual?

11. Un capital se deposita al 24% anual y al cabo de 6 meses se convierte en S/. 5 618. ¿Cuál es el capital, si la capitalización fue trimestral?

3. ¿Qué interés produce un capital de S/. 3 600, que se coloca al 12% anual por 4 bimestres?

12. Un capital se deposita al 5% mensual y al cabo de 6 meses se convierte en S/. 5 290. ¿Cuál es el capital, si la capitalización fue trimestral?

4. Determinar el interés generado al depositar S/. 3 600 al 5% trimestral durante 1 año. 5. ¿Cuál es el capital que al 4% anual y durante 10 meses ha producido un interés de S/. 12? 6. Determina el capital final de 6 000 soles mediante capitalización simple dentro de dos años y medio, sabiendo que el tipo de interés simple anual es del 5%. 7. Calcula el capital que impuesto al 3% de interés simple anual, se ha convertido en 4 meses en S/. 2 020. 8. ¿Cuál es el interés producido por un capital de 4 000 soles prestado a un interés simple anual del 2,5% durante dos trimestres? 9. Calcular el interés que genera S/. 4 000 durante un año a una tasa del 20% anual, si se capitaliza semestralmente.

13. Un capital se deposita al 2% mensual y al cabo de 8 meses, el interés es de S/. 2 080. ¿Cuál es el capital, si la capitalización fue cuatrimestral? 14. Si a un capital se le agrega su interés producido en 10 meses, se obtiene un número que es al capital como 21 es a 20. Hallar la tasa de interés anual. 15. Se ha colocado los 3/8 de un capital al 8% anual y el resto al 6% anual. Si al cabo de medio año, el capital más el interés total suman S/. 41 350, ¿cuál es la suma depositada al 6%? 16. Dos hermanos heredan $ 140 000. El mayor coloca su parte al 7% anual y el menor al 4% anual. Si al cabo de veinte años sus capitales se igualaron, ¿qué parte de la herencia le correspondió al hermano mayor inicialmente?

¡Tú puedes! 1. Un capital se divide en partes proporcionales a: 1; 2; 3; 4; ... imponiéndose por separado a tasas del 2%; 3%; 4%; 5%; ... mensuales durante 3; 4; 5; ... meses hasta un año respectivamente, obteniéndose una renta total de S/. 4 290. Si dicho capital inicial se hubiera prestado a una tasa del 60% capitalizable cuatrimestralmente, donde después de cada periodo se retira S/. 600, calcule cuánto se recibiría después del tercer periodo, en que es cancelado el préstamo. a) S/. 7 290

b) 9 700

c) 3 280

d) 8 640

e) 4 200

2. Una persona se presta S/. 7 200 de una financiera, la cual le cobra una tasa del 6,25% mensual, capitalizable cuatrimestralmente sobre el saldo deudor correspondiente. Si después de 4 meses amortiza "N" soles y luego de 4 meses más "2N" soles, y finalmente después de 4 meses "4N" soles más, calcule el valor de "N", si a los 16 meses de ejecutado el préstamo, la deuda ascendía a S/. 300 más que el préstamo inicial. a) 500 b) 1 000 c) 600 d) 800 e) 900

Central: 619-8100

UNIDAD 7

193

Aritmética

3. Un capital de S/. 1abc se divide en tres partes enteras iguales, las cuales se imponen al r1%; r2% y r3% de interés simple durante un mismo tiempo, siendo los intereses proporcionales a los números "a", "b" y "c" respectivamente. Halle el interés que produce el capital, si se impone a una tasa que es la menor diferencia de dos de las anteriores durante 5 años, si se sabe además que la suma de las tasas es 51% y el capital es par y cubo perfecto. a) S/. 300,20 b) 259,20 c) 258,30 d) 260,20 e) 257,20 4. Erick deposita S/. 1 000 al Banco que le paga el 20% capitalizable anualmente durante 2 años. Pero si hubiera invertido en un negocio que le rinda al r% durante el mismo tiempo hubiera ganado S/. 600 más. Otro capital de S/. 36 000 estuvo impuesto durante un número de años, meses y días. Por los años se abonó al (r/13)%, por los meses al (r/4)% y por los días al r%. Calcule el interés producido por este último capital, sabiendo que si se hubiera impuesto durante todo el tiempo al n% habría producido S/. 8 640 más que si se hubiera tenido al (n – 5)% durante todo el tiempo. a) S/. 11 602

b) 20 106

c) 10 206

d) 140 780

e) 21 304

5. Los 2/5 de un capital se prestan al 10% de interés simple durante 4 años y 3 meses, obteniéndose S/. 7 280 menos de ganancia que la producida por el capital restante colocado en un negocio que producirá el 12% anual durante 3 años. Determine el capital. a) S/. 170 000

b) 175 000

c) 160 000

d) 150 000

e) 340 000

18:10:45

Practica en casa 1. Carlos depositó S/. 4 500 en el Banco a una tasa mensual del 3%. ¿Cuánto ganará en 4 meses? 2. ¿Qué interés produce S/. 2 000, si se impone durante 6 meses a una tasa del 5% mensual? 3. Calcular el monto que produce un capital de S/. 4 000 impuesto al 2% mensual, durante 8 meses. 4. Un capital se deposita en un Banco que paga 5% trimestral. ¿Cuál es el capital, si el monto anual obtenido es S/. 600? 5. ¿Qué ganancia produce S/. 2 500 durante 40 días, si la tasa a la que fue depositada es del 18% semestral? 6. Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 2 500 soles invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual. 7. S/. 45 000 impuestos al 15% cuatrimestral durante 16 meses producen un interés de: 8. ¿En cuánto se convierte S/. 35 350 al 6% quincenal durante 4 quincenas?

194

Colegios

TRILCE

9. Un capital impuesto al 20% trimestral de interés simple se convirtió al cabo de 6 meses en S/. 49 700. ¿Cuál fue el capital? 10. Determina el interés que genera S/. 20 000 durante 9 meses, si la tasa es del 20% trimestral y la capitalización es trimestral. 11. Determina el interés que genera S/. 40 000 durante 9 meses, si la tasa es del 22% trimestral y la capitalización es semestral. 12. Un capital se deposita al 24% anual y al cabo de 6 meses se convierte en S/. 28 090. ¿Cuál es el capital, si la capitalización fue trimestral? 13. ¿Qué capital se debe depositar al 15% de interés anual, para que se convierta en S/. 6 500 a los 2 años? 14. Un capital fue depositado al 5% mensual y produce un interés de S/. 800 en 4 meses. ¿Qué interés producirá el mismo capital a una tasa del 3% semestral en 6 meses? 15. Un préstamo de S/. 20 000 se convierte al cabo de un año en S/. 22 400. ¿Cuál es la tasa anual de interés cobrada?

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Repaso

Repaso

4

Aprende más 1. ¿Qué porcentaje de 5/6 es 1/2? 2. Aumentar "N" en 40% y al resultado disminuirle su 20%. Entonces tendríamos:

12. Un capital se deposita durante un año. La tasa es del 15% trimestral y la capitalización es semestral. Si el monto obtenido es S/. 8 450, ¿cuál es el capital?

3. Alex depositó S/. 4 500 en el Banco a una tasa mensual del 3%. ¿Cuánto ha ganado en 4 meses?

13. Un capital se deposita al 20% anual y al cabo de 6 meses produce un interés de S/. 205. ¿Cuál es el capital, si la capitalización fue trimestral?

4. Se deposita en un Banco S/. 2 500 a una tasa quincenal del 0,6%. ¿Qué interés habrá producido en 5 quincenas? 5. ¿Cuál es el porcentaje de descuento equivalente a tres descuentos sucesivos del 10%; 20% y 25%? 6. Calcular el interés que genera S/. 4 000 durante 18 meses a una tasa del 20% anual, si se capitaliza semestralmente. 7. Determina el interés que genera S/. 8 000 durante 9 meses, si la tasa es del 20% anual y la capitalización es trimestral. 8. Al sueldo de un empleado se le hace un aumento del 20% al comenzar el año y en el mes de Julio un aumento del 10% sobre el total. ¿Qué porcentaje del sueldo del año anterior, estará recibiendo en Agosto? 9. Cierta parte de una mercadería se vende perdiendo el 8% y el resto se vende con una ganancia del 7%. ¿Qué parte del total se vendió primero, si en total se ganó el 4%? 10. ¿Qué capital se debe depositar al 15% de interés anual para que se convierta en S/. 6 500 a los dos años? 11. Se vende un artículo recargándose el a% del precio de costo, pero en el momento de comprarlo se rebajó el b%. Halle el valor de "b", si no se ganó ni perdió. Central: 619-8100

14. Al vender un terreno gané el 19% de lo que me costó más el 15% del precio de venta. ¿Qué tanto por ciento del costo estoy ganando? 15. Si el interés producido por un capital en 8 meses equivale a un cuarto del capital, ¿cuál es la tasa de interés anual a la cual fue depositada? 16. El precio de una moto es $ 2 600. Si Alex tiene solo $ 2 400, ¿qué tiempo deberá depositar este dinero a una tasa del 4% mensual para que se pueda comprar la moto? 17. Se vende 100 manzanas, una parte ganando el 30% y el resto perdiendo el 20%. Si al final no se gana ni se pierde, ¿cuántas manzanas se vendieron con ganancia? 18. Diana cuando va al mercado gasta 1/7 de su dinero en verduras, la mitad del resto en pollo y el 30% de lo que le queda en carne, sobrándole S/. 600. ¿Cuánto dinero lleva al mercado? 19. Una empleada de una tienda, en lugar de hacer dos descuentos sucesivos del 20% y del 30% hizo un descuento del 20% del 30% del precio fijado, por lo cual el cliente le reclamó S/. 1 045. ¿Cuál era el precio fijado? 20. ¿Cuánto tiempo debe ser colocado un capital al 25% anual, para que se triplique? UNIDAD 7

195

Aritmética

¡Tú puedes! 1. Un capataz cobra S/. 800 por cavar una zanja y obtiene una utilidad del 15% de dicha suma y el resto lo emplea en el pago de los obreros. Si hubiera contratado una máquina que reemplazaría a los obreros, esta se demoraría los 8/17 del tiempo anterior, pero la máquina exige gastos que elevan en 20% el costo de la mano de obra. ¿Cuál será su utilidad, si emplearía la máquina? Considere que el sueldo de los obreros es proporcional al tiempo trabajado. a) S/. 420 b) 360 c) 418 d) 518 e) 312 2. Diana tiene S/. 172,10 y quiere comprarse simultáneamente un artefacto cuyo precio es de S/. 150 y otro artefacto de "segunda" cuyo costo actual es S/. 40. El primer artefacto aumenta su costo en 20% cada año debido a la inflación, mientras que el otro sufre una depreciación del 5%. Luego de haber invertido su dinero en un negocio por 2 años, logra adquirir ambos artefactos. ¿Qué tanto por ciento mínimo de utilidad anual, le produjo dicho negocio, si es una cantidad entera? a) 20% b) 13% c) 10% d) 18% e) 40% 3. Para fijar el precio de venta de un artículo se aumentó su costo en un 25%. Al vender dicho artículo se rebaja x% y luego S/. x, pagándose por él S/. 7 980. Pero si se rebaja S/. x y luego x% se pagaría S/. 7 984. ¿Cuál es su precio de costo? a) S/. 6 500

b) 7 900

c) 8 200

d) 8 000

e) 9 500

4. Al desinflarse una pelota se observa que la sombra que proyecta sobre el piso disminuye en 36%. Determine en qué tanto por ciento disminuye su volumen, si se desinfla de manera homogénea. a) 52,75%

b) 62,5%

c) 48,8%

d) 57,8125%

e) 37,5%

18:10:45

Practica en casa 1. Si Carlos gasta el 30% del dinero que tiene y luego gana el 28% de lo que le queda, aún pierde S/. 1 560. ¿Cuánto tiene Juan?

6. Hallar un descuento único que reemplace a los descuentos sucesivos del 15% y 25% sobre una cierta cantidad.

2. Un capital se deposita al 5% mensual y al cabo de 6 meses se convierte en S/. 5 290. ¿Cuál es el capital, si la capitalización fue trimestral?

7. Si la base de un triángulo disminuye en su 30% y la altura aumenta en 10%, ¿en qué tanto por ciento varía el área?

3. Un capital fue depositado al 5% mensual y produce S/. 8 000 en 4 meses. ¿Qué interés producirá el mismo capital a una tasa del 3% semestral en 8 meses?

8. Hallar un número de tres cifras, tal que al invertir el orden de sus cifras y agregarle la unidad, aumente en un 100% de su valor.

4. Los 2/3 de un capital se imponen al 8% anual y el resto al 2,5% trimestral. Si al cabo de 2 años el interés es de S/. 6 240, hallar el capital original. 5. Si el volumen inicial de un cubo aumentó en 72,8%; ¿en qué tanto por ciento aumentó su área total?

196

Colegios

TRILCE

9. ¿Cuál es la suma que al 5% de interés anual se convierta en tres años en S/. 3 174? 10. Un capital se presta al 50%, ¿en qué tiempo produce el 25% del monto? 11. Si al vender una refrigeradora en S/. 600 estoy perdiendo el 20%, ¿a cuánto debo venderla para ganar el 20%?

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Repaso

12. De un grupo de 300 personas, el 40% son hombres. Si se retira la mitad de los hombres, entonces el nuevo porcentaje de mujeres será:

14. El precio de un pantalón se ha fijado en S/. 60, pero esta semana está con el 30% de descuento. ¿Cuál será el precio de venta?

13. ¿A qué precio se debe ofrecer un equipo de sonido que costó S/. 850, si se quiere ganar el 20%, luego de realizar dos descuentos sucesivos del 20% y 15%?

15. En una caja hay "x" bolas, de las cuales el 25% son blancas y el 75% son rojas. Si se duplica las blancas, ¿cuál es el porcentaje de las rojas respecto al total?

Central: 619-8100

UNIDAD 7

4

197

5

Aritmética

Regla de descuento En este capítulo aprenderemos: A definir el descuento comercial

•

A utilizar el lenguaje correcto para los elementos del descuento comercial

•

A resolver problemas relacionados con regla de descuento.

•

A resolver problemas de contexto real y matemático que implican utilizar los elementos del descuento comercial.

Letra de cambio a letra de cambio, es un documento mercantil que contiene una promesa u obligación de pagar una determinada cantidad de dinero a una convenida fecha de vencimiento. EMPRESA: LA PLATA VIENE SOLA ___________________________ ___________________________ Aceptante Aceptante

Cláusulas especiales: 1. En caso de mora, esta letra de cambio generará las tasas compensatorias más altas que la ley permita al último Tenedor. 2. El plazo de vencimiento podrá ser prorrogado por el Tenedor, por el plazo que este señale sin que sea necesaria la intervención del obligado principal ni de los solidarios. 3. Esta letra de cambio no requiere ser protestada por falta de pago. 4. Su importe debe ser pagado sólo en la misma moneda que expresa este título valor.

L

•

Número

Referencia del girador

00001

Librería la Estrella

Fecha de giro Día

Mes

Lugar de giro

Año

Fecha de vencimiento Día

Lima

15 10 2011

Mes

Moneda e importe

Año

15 12 2011

1,000 €

Por esta LETRA DE CAMBIO se servirán pagar incondicionalmente a la orden de:

Empresa: La plata viene sola En el siguiente lugar de pago o con cargo en la cuenta corriente del Banco:

Librería la Estrella Aceptante: ............................................................................. ................................................................................................

Jr. Las Peras. Urb Los Frutos. Lima Domicilio: ............................................................................... DOI: ....................................... Teléfono: ................................ Fiador: .................................................................................. Aval permanente: ................................................................. Domicilio: .............................................................................. DOI: ...................................... Teléfono: ............................... Firma: ................................................................................... Nombre del representante: ...................................................

Importe a debitar en la cuenta del Banco que se indica Banco

Oficina

Número de cuenta

Latino

034

1987975864

D.C.

Nombre/Denominación o razón social del Girador DOI

Librería la Estrella

Luis Gonzales ___________________ Firma

___________________ Firma

Nombre del representante(s): .............................................. ............................................................................................

No escribir ni firmar debajo de esta línea.

•

198

Según el documento, ¿cuál es la fecha de vencimiento?

Colegios

TRILCE

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Regla de descuento

5

Saberes previos Completa el crucigrama con números: 20% de 310

Número capicúa de dos cifras

64% de 25

15% de 240

(1 + 2 + ... + 9) × 10

22% de 250

40% de 600

Una mano

30% de 1 500

Doble de 331 Número capicúa de 4 cifras Cuadrado de 75

25% de 2 200

Número capicúa de 3 cifras

Media docena

40 % de 80

32% de 50

Doce docenas

Cuadrado de 11 Una docena Cubo de 6

5% de 80

Media docena

24% de 25

Menor número par Mitad de 1 304

1+3+5+ ... + 15

Conceptos básicos Regla de descuento Las entidades financieras (Bancos, AFP, Cajas Municipales, etc.) se dedican a prestar dinero, esto genera un compromiso entre la entidad que presta y la persona que recibe el préstamo.

Elementos de la regla de descuento Los elementos que participan en la regla de descuento son:

Letra de cambio

Es el documento donde se describe el compromiso entre el prestamista y el deudor; en ella se debe indicar las condiciones del préstamo y el tiempo que debe hacerse efectiva.

Valor nominal (Vn)

Es la cantidad pactada que debe ser efectiva en una determinada fecha; esta cantidad va indicada en la letra de cambio.

Tiempo de vencimiento

Es el tiempo que falta para hacer efectiva la letra de cambio. Central: 619-8100

UNIDAD 7

199

Aritmética

Ejemplos:

•

1 semestre = 6 meses = 180 días

•

1 año = 12 meses = 360 días

Fecha de expedición

Fecha de vencimiento Valor nominal

Como en la regla de interés, se considera: 30 días = 1 mes 12 meses = 1 año 1 año = 360 días

Tasa de descuento

Es el porcentaje o fracción del valor nominal (Vn) o valor actual (Va) que representa el descuento en un periodo de tiempo. Ejemplo:

Interprete la siguiente tasa de descuento

•

12% anual

Esta tasa indica que el descuento será del 12% del valor de la letra en cada año Descuento (D) Recuerda que a una Es el descuento que se le aplica a una letra de cambio "letra comercial" se le cuando se paga antes de la fecha de vencimiento. aplica un descuento cuando se desea canValor actual (Va) celar antes de la fecha Es el valor de la deuda, calculada antes de la fecha de de vencimiento. vencimiento: Va = Vn – D

Ejemplo:

•

El valor nominal de una letra comercial es S/. 3 200 y vencerá dentro de dos meses. Si el descuento es el 5% mensual, ¿cuál es el valor actual?

Como:

Vn = 3 200 (valor nominal)

D = 5% . (3 200). 2 = 320 (descuento)

Va = 3 200 – 320 = S/. 2 880 (valor actual)

El valor nominal está en la letra de cambio (no cambia) pero el valor actual debe ser calculado (variable)

Clases de descuento

Descuento comercial

Cuando el descuento es el interés generado por el valor nominal durante el tiempo de vencimiento. Fórmula Si la tasa (R%) y el tiempo (t) están en las mismas unidades: DC = Vn × R% × t

200

Colegios

TRILCE

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Regla de descuento

Ejemplo:

•

Una letra cuyo valor nominal es S/. 2 000 se desea cancelar 8 meses antes de su vencimiento, a una tasa de descuento del 1,5% mensual. ¿Cuál es el descuento y el valor actual?

Como la tasa y el tiempo están en las mismas unidades

D = (1,5% . 2 000). 8 = 240 soles

El valor actual será: Vn – D = 1 760 soles

Descuento racional

Cuando el descuento es el interés generado por el valor actual durante el tiempo de vencimiento. Fórmula Si la tasa (R%) y el tiempo (t) están en las mismas unidades: Dr = Va × R% × t

Como: Va = Vn – D ⇒ Va = Vn – R. Va. t Vn Despejando el valor actual: Va = 1+R.t y el descuento racional será: Dr =

5

Ambos descuentos utilizan las fórmulas de interés, el descuento comercial sobre el "Vn" y el descuento racional sobre el "Va".

Comercialmente el descuento que se utiliza es el "Dc", pero si se considera el descuento justo es el "Dr".

Vn . R . t 1+R.t

Fórmulas adicionales (utilizadas comercialmente) R% anual "t" años R% anual "t" meses R% anual "t" días

Comercial Vn . R . t Dc = 100 Vn . R . t Dc = 1 200 Vn . R . t Dc = 36 000

Racional Vn . R . t Dr = 100 + R . t Vn . R . t Dr = 1 200 + R . t Vn . R . t Dr = 36 000 + R . t

Estas fórmulas son para los descuentos, cuando la tasa es anual.

Comparación entre los descuentos

Relación de orden

Comparando las fórmulas de los descuentos, el descuento comercial siempre será mayor que el racional. Dc > Dr Al descuento comercial también se le llama externo o abusivo

Al descuento racional también se le llama interno o matemático

El valor nominal con los descuentos

La relación entre los descuentos y el valor nominal es: Vn =

Dc . Dr Dc – Dr

Diferencia de los descuentos Central: 619-8100

UNIDAD 7

201

Aritmética

La diferencia de los descuentos es igual al interés del descuento racional: Dc – Dr =

Dr . R . t 100

Letras equivalentes

Letras equivalentes

Dos letras serán equivalentes cuando sus valores actuales son iguales Va1 = Va2

Con esta relación podemos cambiar una letra por otra.

Tiempo de vencimiento medio

Cuando una letra reemplaza a un conjunto de letras, y todas tienen la misma tasa de descuento y además: Vnu = Vn1 + Vn2 + Vn3 Esta fórmula es El tiempo de la letra única será: utilizada por las entidades Vn1 . t1 + Vn2 . t2 + Vn3 . t3 tu = financieras para Vn1 + Vn2 + Vn3 reemplazar varias letras por una sola.

Un pago dividido entre varios

El valor actual es equivalente a la suma de los valores actuales de las letras que la reemplazan. Pago = Ci + Va1 + Va2 + Va3

En esta fórmula "Ci" es la cuota inicial y la deuda está dividida en tres pagos.

Síntesis teórica REGLA DE DESCUENTO Elementos Valor nominal = Vn Tasa de descuento = R% Tiempo de vencimiento = t Se determina: Descuento = D Valor actual = Va Va = V n – D

Clases de descuento Descuento comercial

Descuento racional

La tasa y el tiempo están en las mismas unidades de tiempo

La tasa y el tiempo deben tener las mismas unidades de tiempo

Dc = Vn × R% × t

Dr =

Vn × R% × t 1 + R% × t

Letras equivalentes Dos letras equivalentes: Va1 = Va2 Si: Vn = Vn1 + Vn2 + Vn3 + Vn4 El tiempo de vencimiento Vn1t1 + Vn2t2 + Vn3t3 + Vn4t4 t= Vn1 + Vn2 + Vn3 + Vn4 Pago en partes Costo = Inicial + Va1 + Va2 + Va3 + Va4

202

Colegios

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Regla de descuento 10 x 5 50

5

Aplica lo comprendido 1. Complete la siguiente tabla: Valor nominal 2 000

Descuento 312 256

4 200

• Valor actual 1 980 1 800

•

José pagó S/. 2 100 por una letra cuyo valor era de S/. 3 000, 4 meses antes de su vencimiento. Carlos firmó una letra por S/. 1 200 y pudo cancelarla 2 meses antes de su vencimiento con S/. 1 050

Interpreta estos casos y completa la tabla: Valor nominal

Valor actual

Tiempo de vencimiento

Para Carlos Para José

3. En los siguientes casos, se presenta situaciones relacionadas con letras comerciales. •

Interpreta estos casos y completa la tabla: Valor nominal

2. En los siguientes casos, se presenta situaciones relacionadas con letras comerciales. •

Alex firmó una letra por S/. 2 200 y pudo cancelarla 2 meses antes de su vencimiento con S/. 2 150

Valor actual

Descuento

Para Mario Para Alex

4. Utilizando la fórmula: Dc =

Vn . R . t 100

Complete la tabla: Valor Tasa de nominal descuento 1 200

Tiempo Descuento en años comercial

10% anual

Valor actual

2

5. Utilizando la fórmula: Dr =

Vn . R . t 1+R.t

Complete la tabla: Valor Tasa de nominal descuento 1 200

10% anual

Tiempo

Descuento racional

Valor actual

5 años

Mario pagó S/. 3 100 por una letra cuyo valor era de S/. 3 500, 4 meses antes de su vencimiento.

Aprende más 1. Calcular el descuento que se recibe por una letra cuyo valor nominal es de S/. 1 500 y que es descontada al 12% anual, 6 meses antes de su vencimiento.

5. Calcula el valor actual de una letra comercial que vence dentro de 6 meses y es descontada al 18% anual, si el valor nominal es de S/. 3 600.

2. Una letra es descontada al 2,5% mensual un año antes de su vencimiento. Si el valor nominal de la letra es de S/. 2 500, ¿qué descuento se obtiene?

6. Una letra se cancela 4 meses antes de su vencimiento al 10% anual con S/. 2 900. Determina el valor nominal de la letra comercial.

3. Una letra de S/. 1 500 debe ser descontada al 6% trimestral. ¿Qué descuento se obtendrá, si se cotiza 5 meses antes de su vencimiento?

7. Una letra de S/. 5 000 es cancelada 6 meses antes de su vencimiento con S/. 4 400. ¿Cuál es la tasa anual de descuento?

4. Determina el valor actual de una letra cuyo valor nominal es S/. 2 400, que se presenta 4 meses antes de su vencimiento y es descontada al 12% trimestral.

8. Una letra de S/. 4 000 es cancelada con S/. 3 400. ¿Cuántos meses antes de su vencimiento se canceló, si la tasa es de 30% anual?

Central: 619-8100

UNIDAD 7

203

Aritmética

9. Calcular el descuento racional de una letra comercial, cuyo valor nominal es de S/. 2 600 y que vence dentro de 4 meses a una tasa del 12% anual. 10. Calcular el descuento racional de una letra comercial, cuyo valor nominal es de S/. 4 800 y que vence dentro de 8 meses a una tasa del 15% anual. 11. Una letra de S/. 3 400 que vence dentro de 8 meses desea ser cambiada por otra cuyo vencimiento sea dentro de un año. ¿Cuál es el valor nominal de la segunda letra, si la tasa de descuento es del 15% anual? 12. Una letra de S/. 3 300 que vence dentro de 4 meses desea ser cambiada por otra cuyo vencimiento sea dentro de un año. ¿Cuál es el valor nominal de la segunda letra, si la tasa de descuento es del 12% anual?

13. Por la compra de una lavadora de S/. 1 200 se pagó S/. 300 al contado y se firmó una letra que se debe pagar dentro de 8 meses. Si la tasa de descuento es del 15% anual, ¿cuál es el valor nominal de la letra firmada? 14. Se paga al contado S/. 500 por la compra de una computadora de S/. 4 900 y se firmó una letra que se debe pagar dentro de 4 meses. Si la tasa de descuento es del 25% anual, ¿cuál es el valor nominal de la letra firmada? 15. ¿Cuál será el descuento comercial y el valor efectivo de un pagaré de S/. 720 000 que vence el 15 de noviembre y se negocia al 5% el 17 de agosto del mismo año? 16. Sobre cierta letra se conoce que su valor actual racional es de 12,5% más que el valor actual comercial y además el descuento interno y externo se diferencian en S/. 80. Halle el valor nominal.

¡Tú puedes! 1. Comprar un artefacto se puede realizar por dos formas de pago: • •

La primera, con una cuota inicial de S/. 709 y por el saldo se firma dos letras equivalentes que vencen dentro de 4 y 7 meses, descontado al 60% comercialmente. La segunda, sin cuota inicial a pagarse con tres letras, la primera de S/.910, que vence dentro de 3 meses, la segunda de S/.225 que vence dentro de 5 meses y la tercera de S/.440 que vence dentro de 6 meses, descontados racionalmente al 10% mensual. Calcule la suma de valores nominales de la primera forma de pago.

a) S/. 290 b) 320 c) 870 d) 580 e) 560 2. Se tiene tres letras, cuyos valores nominales son S/. 100; S/. 200 y S/. 75, pagaderas dentro de 4; 5 y 6 meses pero serán descontadas al 30%; 50% y 40% respectivamente. Si se quiere tener una letra única, cuyo valor nominal sea la suma de los valores nominales anteriores, y que la tasa de descuento comercial sea igual al promedio aritmético de las tasas anteriores, calcule el tiempo de vencimiento de esta letra única. a) 3 meses b) 6 c) 4 d) 7 e) 5 3. Un capital se impone al 30% trimestral durante 5 meses y al cabo de este tiempo se presta este dinero, acordándose pagar la tercera parte como interés al cabo de 7 meses. Pero 3 meses después se cancela la deuda con S/.680. Halle el capital, si el descuento comercial estuvo al 8% mensual. a) S/. 400 b) 700 c) 500 d) 800 e) 600 4. Los descuentos comercial y racional están en la relación de 9 a 5 y la letra vence dentro de 8 meses. Si el valor nominal, el descuento comercial y racional suman S/. 3 030, halle el valor actual comercial, si se cancela faltando 3 meses para el vencimiento. a) S/. 930

204

Colegios

TRILCE

b) 990

c) 945

d) 1 050

e) 975 www.trilce.edu.pe

Regla de descuento

5. Se tienen "k" letras cuyos valores nominales son: Vn1, Vn2, Vn3, …, Vnk y se descuentan a una tasa del 1%; 2%; 3%; ... así sucesivamente y sus tiempos de vencimiento son: 2; 3; 4; ... años respectivamente. Si se descuentan en estos momentos, se observa que los descuentos son iguales. Calcule "k", si la suma de los valores nominales de dichas letras y uno de los descuentos están en la relación de 1 200 y 13 respectivamente.

5

a) 12 b) 17 c) 13 d) 19 e) 15 18:10:45

Practica en casa 1. Calcular el descuento que se recibe por una letra cuyo valor nominal es de S/. 2 500 y que es descontada al 18% anual, 6 meses antes de su vencimiento. 2. Una letra es descontada al 2,5% mensual dos años antes de su vencimiento. Si el valor nominal de la letra es S/. 5 000, ¿qué descuento se obtiene? 3. Una letra de S/. 2 500 debe ser descontada al 6% trimestral. ¿Qué descuento se obtendrá, si se cotiza 5 meses antes de su vencimiento? 4. Determina el valor actual de una letra cuyo valor nominal es S/. 4 800, que se presenta 6 meses antes de su vencimiento y es descontada al 12% trimestral. 5. Calcula el valor actual de una letra comercial que vence dentro de 6 meses y es descontada al 18% anual, si el valor nominal es de S/. 4 500. 6. Una letra se cancela 4 meses antes de su vencimiento al 15% anual con S/. 3 800. Determina el valor nominal de la letra comercial.

9. Calcular el descuento racional de una letra comercial, cuyo valor nominal es S/. 2 200 y que vence dentro de 8 meses a una tasa del 15% anual. 10. Calcular el descuento racional de una letra comercial, cuyo valor nominal es S/. 6 000 y que vence dentro de 5 meses a una tasa del 10% anual. 11. Una letra de S/. 5 254 que vence dentro de 9 meses desea ser cambiada por otra cuyo vencimiento sea dentro de 6 meses. ¿Cuál es el valor nominal de la segunda letra, si la tasa de descuento es del 15% anual? 12. Una letra de S/. 2 256 que vence dentro de 4 meses desea ser cambiada por otra cuyo vencimiento sea dentro de 6 meses. ¿Cuál es el valor nominal de la segunda letra, si la tasa de descuento es del 12% anual? 13. Una letra de S/. 11 310 que vence dentro de 2 años desea ser cambiada por dos letras que tienen el mismo valor nominal, una cuyo vencimiento sea dentro de 9 meses y la otra dentro de 6 meses. ¿Cuál es el valor nominal de las letras, si la tasa de descuento es del 15% anual?


14. Por la compra de un artefacto de S/. 1 500 se pagó S/. 600 al contado y se firmó una letra que se debe pagar dentro de 8 meses. Si la tasa de descuento es del 15% anual, ¿cuál es el valor nominal de la letra firmada?


15. ¿Cuál será el descuento comercial y el valor efectivo de un pagaré de S/. 72 000 que vence el 15 de noviembre y se negocia al 5% el 17 de agosto del mismo año?

Central: 619-8100

UNIDAD 7

205

6

Aritmética

Regla de mezcla En este capítulo aprenderemos: •

A definir el precio de mezcla de varios ingredientes.

•

A interpretar el precio de mezcla en un contexto real.

•

A verbalizar adecuadamente los símbolos utilizados para calcular el precio de la mezcla

•

A operar correctamente al calcular el precio de mezcla.

•

A resolver problemas de contexto real y matemático que expliquen la importancia del precio de mezcla.

Suero glucosado

E •

206

s una solución de glucosa, cuyas dos indicaciones principales son la rehidratación en las deshidrataciones hipertónicas (por sudación o por falta de ingestión de líquidos) y como agente aportador de energía. El suero glucosado al 5%, significa que contiene 5 g de glucosa por cada 100 ml.

Si a un paciente se le aplica 250 cc de suero glucosado al 10%, ¿cuánto de glucosa estará recibiendo?

Colegios

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Regla de mezcla

6


2

3

4

7

10

5

8

11

15

13

16

17

19

9

12

14

6

18

20

21

22

Horizontal:

Vertical:

1. Cuadrado de 11

2. El número que sigue en: 16; 20; 24; ....

4. Potencia de 2 de cuatro cifras



4. Cuadrado de 13

9. Decena y media

5. Cubo de 6


6. Suma desde el 1 hasta 9

12. Número de tres cifras consecutivas

7. Mayor número de tres cifras

14. Nueve centenas

8. La suma del 1 al 10

15. Número de cuatro cifras consecutivas decrecientes

11. Menor número de tres cifras

17. Múltiplo de 256 de cuatro cifras

13. Capicúa de cuatro cifras cuya suma de cifras es 16

18. Menor capicúa de dos cifras


19. Cuatro docenas

16. Cubo de 7


17. Menor número de tres cifras pares significativas



22. Cuadrado de 11

20. Cinco quincenas

Central: 619-8100

UNIDAD 7

207

Aritmética

Conceptos básicos Mezclas Conceptualmente hablando se llama "mezcla" a la unión íntima de varias sustancias, aunque comercialmente se puede afirmar que mezcla es el procedimiento que tiene por finalidad reunir artículos o sustancias de una misma especie, relacionando la calidad y cantidad de cada una.

Clases de mezclas

Una forma de clasificar las sustancias es considerando la forma de medir la calidad, así podemos destacar:

Sustancias con precios unitarios

La calidad de estas, está determinada por el precio en cada unidad de peso Ejemplo:

Arroz de S/. 3 el kilogramo Azúcar de S/. 1,20 el kilogramo Vino de S/. 25 el litro

•

Precio total: 20 kg de arroz a S/. 3,5 c/kg ⇒ El costo de los 20 kg es: 20 (3,5) = 70 soles

Sustancias con alcohol

En la mezcla de alcohol y agua, el porcentaje de alcohol en la mezcla se denomina grado o pureza de la mezcla alcohólica. Grado =

El grado, indica el porcentaje de alcohol en la mezcla, así 75o indica que el 75% de la mezcla es alcohol puro

Volumen de alcohol × 100 Volumen total

Ejemplo:

•

Se tiene 120 cm3 de alcohol de 80°. Determina la cantidad de alcohol y agua que contiene la mezcla. 80 VOH = × 120 = 96 cm3 y 20% de 120 = 24 cm3 es agua 100

Aleaciones

Cuando se funden metales, la calidad de estas mezclas se denominan "Ley" y es la relación entre los pesos de material fino y el total.

Ley =

Peso de material fino Peso total

La "Liga" es la proporción de material ordinario y el total, así: Liga =

208

Colegios

Ley + liga = 1

Ejemplo:

•

Peso de material ordinario Peso total

Una aleación de 150 g de plata cuya ley es de 750 milésimos, ¿qué cantidad de plata pura contiene? 750 Peso de plata = 1 000 150 Entonces hay 112,5 g de plata pura y 37,5 g de material ordinario

TRILCE

Se acostumbra en una aleación de plata, dar la ley en milésimos y en una de oro en kilates.

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Regla de mezcla

Kilates

Generalmente cuando el material fino de la aleación es el oro, la ley se da en kilates:

6

24 kilates = 1 (100% de oro)

Ejemplo:

Un anillo de 21 kilates pesa 80 g, ¿qué cantidad de oro puro contiene? 21 Peso de oro = 24 80

Entonces hay 70 g de oro puro y 10 g de material ordinario.

Densidad

En estas mezclas la relación de la masa o peso con el volumen nos indica en cierta medida la calidad. Ejemplo:

– Densidad del mercurio 13,6 g/cc – Densidad del aceite 0,92 g/cc – Densidad de la gasolina 0,68 g/cc •

Peso o masa 20 cc de mercurio

La masa de los 20 cc es: 20(13,6) = 272 g

Concentración o proporcionalidad

En algunas mezclas la razón de sus componentes permite determinar su calidad. Ejemplo:

Una taza de café tiene 2 g de azúcar por cada 10 cc de líquido.

Mezclas homogéneas Al mezclar sustancias de la misma naturaleza, resultará una de nueva calidad (calidad media) que estará en relación a las cantidades utilizadas de cada componente.

Calidad media

Para calcular la calidad media, usaremos el promedio ponderado de las calidades, así:

Calidades:

k1, k2, k3, ... kn

Cantidades:

m1, m2, m3, ..., mn.

•

k m + k2m2 + ... + knmn K= 1 1 m1 + m2 + ... + mn

Precios diferentes: + 20 kg de arroz S/. 3,5 c/kg

Calidad media:

Pm =

= 30 kg de arroz S/. 5 c/kg

Nuevo arroz

Costo total 20(3,5) + 30(5) = = 4,4 soles c/kg Cantidad total 20 + 30

Central: 619-8100

Si el arroz final se vendiera a 4,4 soles c/kg, no se perdería ni ganaría.

UNIDAD 7

209

Aritmética

•

Alcoholes: + 40 cc de 75°

Gm = •

80 cc de 30°

Aleaciones:

150 g de 18 kilates. Gm = •

Nuevo alcohol

Volumen alcohol 40(75) + 80(30) = = 45° Volumen total 40 + 80

+

=

= 120 g de 21 kilates

Nueva aleación

Peso de oro 150(18) + 120(21) = = 19,33 kilates Peso total 150 + 120

Densidades: +

=

40 cc de mercurio

Si la ley deseáramos expresarla en decimales: 19,33 = 0,8054 24

Dm =

80 cc de aceite

Nueva mezcla

Masa total 40(13,6) + 80(0,92) = = 5,15 g/cc Volumen total 40 + 80

Regla de las proporciones

Cuando se conoce la calidad media de una aleación podemos calcular la razón aritmética de las calidades y, estas están en la misma razón que las cantidades: Cantidad m1

→

Calidad

Relación

K1

K – K2

Entonces:

K m2 •

→

K2

K1 – K

m1 K – K2 = m2 K1 – K

Precios diferentes + 20 kg de arroz S/. 3,5 c/kg Cantidad 20 kg

→

= "x" kg de arroz S/. 5 c/kg

Nuevo arroz de S/. 4 c/kg

Calidad

Proporción

3,5 soles

5–4 4 soles

"x" kg

210

Colegios

Entonces:

TRILCE

→

5 soles

4 – 3,5

20 1 = , luego: x = 10 kg x 0,5 www.trilce.edu.pe

Regla de mezcla

•

Alcoholes: +

=

40 cc de 75°

Alcohol puro

Cantidad

Calidad

Proporción

75

100 – 90

40 cc

⇒

6

Alcohol de 90°

90 "x" cc

Entonces:

⇒

100

90 – 75

40 10 = , luego: x = 60 cc x 15

Síntesis teórica MEZCLA Es la unión de sustancias homogéneas Calidad media C (W ) + C2(W2) + C3(W3) + C4(W4) CM = 1 1 W1 + W2 + W3 + W4

Clases de mezcla

Donde: C = Precio, grado, ley, densidad W = Peso, volumen Por su calidad

Regla de proporciones W1

C2 – Cm

C1 Cm

W2

C2

Cm – C1

La proporción: W1 C – Cm = 2 W2 Cm – C1 Precio unitario

Alcoholes

Aleaciones

Densidades

El precio por kg, L, g

Grado de la mezcla

Ley, razón del material fino y el total

Densidad, razón del peso y el volumen

Arroz de S/. 3 el kg Azúcar de S/. 4,5 el kg Vino de S/. 12 el litro

G=

VOH ×100 VTotal

Alcohol de 80° Alcohol puro, 100% Agua, 0%

Ley =

200 g de plata de 800 milésimos 40 g de oro de 18 kilates Liga =

Central: 619-8100

Peso fino Peso total

D=

Peso o masa Volumen

Mercurio; 13,9 g/cc Agua; 1 g/cc Aceite; 0,86 g/cc

Peso ordinario Peso total UNIDAD 7

211


Aplica lo comprendido 1. Se mezclan 20 kg de café de S/. 6 el kg con 10 kg de café de S/. 3 el kg. Determine el precio medio de la mezcla resultante.

Cantidad Calidad 20 kg → 5 soles "x" kg

2. Completa la siguiente tabla: Cantidad

Grado de pureza

20 litros 36 litros

80 75

Volumen de alcohol

Densidad 12,5 kg/l 25 kg/l

9 soles

20 ........ = , luego: x = ...... kg x ........

5. Se tiene 160 cm3 de alcohol de 40°. Determine la cantidad de alcohol y agua que contiene la mezcla.

3. Completa la siguiente tabla: Cantidad 20 litros 16 litros 40 litros

Entonces:

→ 11 soles

Proporción

Masa total

240 kg

6. En un recipiente se mezclaron 40 litros de vino de S/. 8 el litro con 20 litros de vino de S/. 6,50 el litro. ¿Cuál es el precio de un litro de esta mezcla?

4. Completa el siguiente esquema:

Aprende más 1. Se mezclan tres tipos de arroz: 25 kg de arroz de S/. 2 el kg; 35 kg de arroz de S/. 4 el kg y 40 kg de arroz de S/. 1,5 el kg. Hallar el precio medio de la mezcla resultante. 2. Si se mezclan 20 kg de arroz de S/. 3 el kg con 30 kg de arroz de S/. 3,50 el kg, ¿cuál será el precio de 1 kg de esta mezcla? 3. Si se mezclan 25 litros de alcohol de 80°, con 15 litros de alcohol de 72° y 10 litros de alcohol de 90°, se obtendrá una mezcla de ...................... grados. 4. Juan Carlos preparó una mezcla de ron, para lo cual empleó 1,5 litros de ron Pomalca de 80° y 2,5 litros de ron Pampero de 96° de pureza. ¿Cuál es el grado de pureza de esta potente mezcla? 5. ¿Qué cantidades necesito de harina de S/.10 el kg y S/. 15 el kg para obtener harina que pueda venderla a S/. 13 sin ganar ni perder, si además la mezcla tiene 10 kg?

212

Colegios

TRILCE

6. Una mezcla de 90 litros contiene vino de dos calidades de S/.28 y S/. 16 el litro. Sabiendo que un litro de la mezcla se vende en S/.18, ¿qué cantidad del segundo tipo se utilizó? 7. ¿Qué cantidades de café de S/. 50 el kg y S/. 40 el kg harán falta para formar una mezcla de 30 kg de café que se pueda vender a S/. 42 el kg, sin ganar ni perder? 8. Karen mezcla 150 l de ron de S/. 350 el litro con 200 l de otro ron de S/. 290 el litro y con "x" litros de ron de S/. 250 el litro, obteniendo ron de S/. 275 el litro. Hallar "x". 9. ¿Qué cantidad de agua en litros debe agregarse a 10 l de alcohol de 50° para que la mezcla resulte de 25°? 10. Se mezcla 100 l de vino de S/. 50 el litro con 60 l de vino de S/. 80 el litro y con 40 l de agua. ¿Cuánto vale en soles, el litro de la mezcla? www.trilce.edu.pe

Regla de mezcla

11. Se desea preparar 44 ml de vino, cuyo precio sea S/. 35 el ml, mezclando vino de S/. 40 y S/. 29 el ml. ¿Qué volúmenes de vino de S/. 40 y de S/. 29 en mililitros se utilizarán respectivamente?

14. Un comerciante mezcla dos clases de café, una le cuesta 1 800 soles el kg y la otra 2 400 soles el kg. Si vende 60 kg de esta mezcla en S/. 144 480 y en ella gana el 12% del precio de compra, ¿qué cantidad de café interviene de cada clase en los 60 kg?

12. Si mezclamos "a" l de alcohol de 30° con "4a" l de alcohol de 50° y 9 l de agua, se obtiene alcohol de 40°. Hallar el valor de "a".

15. Se tiene un barril "A" lleno de alcohol puro y un barril "B" lleno de agua y al mezclar ambos barriles resulta una mezcla de 80º. Si el barril "A" estuviese lleno de agua y el barril "B" lleno de alcohol puro, resultaría una mezcla de:

13. Un comerciante mezcla dos tipos de café de S/. 80 y S/. 65 el kilo, habiendo 3 kg más de un tipo que del otro. Si vende todo a S/. 82 el kilo y de esta forma gana S/. 12 por kilo, ¿cuál es la ganancia en soles que se obtiene al vender todo el café?

6

16. Un recipiente de 100 l de capacidad está lleno con alcohol de 80º. ¿Cuántos litros de dicho recipiente hay que sacar para que al ser reemplazado por agua se obtenga una mezcla de 60º?

¡Tú puedes! 1. Se tiene tres recipientes de igual capacidad que contienen inicialmente alcohol puro. El primero 10 l, el segundo 35 l y el tercero la mitad de su capacidad. Si se completan con agua al tope los tres recipientes, ocurre que el grado del tercero es igual al grado medio que se obtendría al mezclar los otros dos. ¿Cuántos litros de agua se agregó en total? a) 62,5

b) 66

c) 67,5

d) 68

e) 64

2. El Bronce de campanas contiene 78 partes de Cobre y 22 partes de Estaño y el Bronce para espejos y reflectores contiene 2/3 de Cobre y 1/3 de Estaño. ¿Qué cantidad de Estaño es preciso agregar al Bronce de campanas para obtener 468 kg de Bronce para espejos y reflectores? a) 68 b) 63 c) 62 d) 61 e) 65 3. Dos barriles "A" y "B", se llenaron con vino de dos clases diferentes, mezclados en el barril "A" en la proporción de 2 a 7, y en el barril "B" en la proporción de 1 a 5. ¿Qué cantidad debe tomarse de cada una para formar una mezcla que contenga 60 litros de una clase y 270 litros de la otra? a) 90 y 240

b) 90

y 270

c) 280 y 40

d) 320 y 240

e) 270 y 70

4. Enrique tiene una mezcla de 4 l de vino y agua. Si se extraen "x" litros y se sabe que la concentración de vino en la mezcla es a%, ¿cuántos litros de vino quedan? a a+x a a a a) (x – 4) b) c) (4 + x) d) (4 – x) e) (4 – a) 100 100 100 100 100 5. Irene tiene 100 l de alcohol con una concentración de q%. ¿Cuál es la nueva concentración de la mezcla, si se agregan "q" litros de alcohol al n%? a)

qn(100 + n) q(100 + q) q(100 + n) 100 + nq n(100 + n) % b) % c) % d) % e) % 100 + q 100 – q 100 + q 100 + q 100 + q

Central: 619-8100

UNIDAD 7

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Practica en casa 1. ¿A cómo sale el litro de una mezcla de 10 litros de vino de S/. 8,40 con 8 litros de S/. 9 y con 12 litros de S/. 12? 2. Se mezclan tres tipos de arroz: 25 kg de arroz de S/. 3 el kg; 35 kg de arroz de S/. 6 el kg y 40 kg de arroz de S/. 5 el kg. Hallar el precio medio de la mezcla resultante 3. Si se mezclan 20 kg de arroz de S/. 5 el kg con 30 kg de arroz de S/. 2,40 el kg, ¿cuál será el precio de 1 kg de esta mezcla? 4. Si se mezclan 24 litros de alcohol de 80°, con 16 litros de alcohol de 75° y 10 litros de alcohol de 90°, se obtendrá una mezcla de ...... grados. 5. Juan Carlos preparó una mezcla de ron, para lo cual empleó 2 litros de ron Pomalca de 80° y 3 litros de ron Pampero de 90° de pureza. ¿Cuál es el grado de pureza de esta potente mezcla? 6. ¿Qué cantidades necesito de harina de S/. 10 el kg y S/. 15 el kg para obtener harina que pueda venderla a S/. 13 sin ganar ni perder, si además la mezcla tiene 40 kg? 7. Una mezcla de 120 litros contiene vino de dos calidades de S/. 28 y S/. 16 el litro. Sabiendo que un litro de la mezcla se vende en S/. 18, ¿qué cantidad del segundo tipo se utilizó? 8. ¿Qué cantidades de café de S/. 48 el kg y S/. 40 el kg harán falta para formar una mezcla de 60 kg de café que se pueda vender a S/. 42 el kg, sin ganar ni perder?

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Colegios

TRILCE

9. Se mezclan dos clases de avena en proporción de 3 a 2 y se vende ganando el 10%. Luego se mezclan en proporción de 2 a 3, para luego venderlo ganando el 15%, determinándose que los precios de venta en ambos son iguales. Calcular la relación de los precios de compra de las dos clases de avena. 10. ¿Qué cantidad de agua en litros debe agregarse a 16 l de alcohol de 50° para que la mezcla resulte de 25°? 11. Se mezcla 40 l de vino de S/. 50 el litro, con 20 l de vino de S/. 80 y con 40 l de agua. ¿Cuánto vale en soles el litro de la mezcla? 12. Se tiene dos tipos de arroz. Si se toma de un tipo el doble de lo que se toma de la otra, se obtiene un precio medio 40% mayor del que se obtendría al intercambiar las cantidades entre cada tipo de arroz. Si los precios por kg se diferencian en 210 soles, ¿cuál es el precio del tipo de arroz de mayor calidad? 13. Un inescrupuloso vendedor ambulante mezcla vinos de S/. 60 y S/. 50 el litro con agua, vendiendo el nuevo producto a S/. 55 el litro. Hallar la relación entre las cantidades de vino de S/. 60 y S/. 50 utilizadas, si la cantidad de agua utilizada es la quinta parte del vino de S/. 50. 14. Se tiene 120 litros de alcohol de 90% de pureza del cual se extrae cierto volumen "V" y el cual se reemplaza por agua, obteniéndose así alcohol de 75% de pureza. Hallar "V". 15. ¿Cuál debe ser la pureza de alcohol que deberá añadirse a 80 litros de alcohol de 96° para obtener 100 litros de alcohol de 90°?

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Repaso bimestral

Repaso bimestral

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Aprende más 1. En un pueblo el 80% de los ciudadanos son pobres. Si se fueran de la ciudad 35 de ellos, el 70% de los ciudadanos sería pobre. Calcule el número total de ciudadanos. 2. Disminuir "N" en 25% y al resultado aumentarle su 20%. Entonces tendríamos: 3. Calcular el valor actual de una letra cuyo valor nominal es de S/. 4 800 que es descontada al 18% anual, 6 meses antes de su vencimiento. 4. Una letra es descontada al 2,5% mensual un año antes de su vencimiento. Si el valor nominal de la letra es S/. 3 000, ¿qué valor actual se obtiene? 5. Se mezcla 30 kg de café de 39 soles cada kilo con 48 y 52 kg de 26 y 13 soles cada kilo respectivamente. ¿A cómo debe venderse cada kg de la mezcla, si se debe ganar el 10%?

11. Marcos compra con el 25% de su fortuna una casa y con 1/8 del resto obtiene una renta anual de S/. 2 400 colocado en un Banco al 2% trimestral. Halle dicha fortuna. 12. El 20% del contenido de un recipiente "A" y el 30% del contenido de un recipiente "B" están en la razón de 4 a 7 respectivamente. Si "B" contiene 13 litros más que "A", ¿cuánto líquido contienen ambos juntos? 13. Si al precio de un objeto se le recarga el 20%, resulta igual que el precio de otro objeto descontado en un 30%. Si el primero cuesta S/. 21 000, ¿cuál es el precio del segundo? 14. Por una letra se recibe S/. 1 800 luego de ser descontada al 6% trimestral, 5 meses antes de su vencimiento. ¿Cuál es el valor nominal de la letra?

6. Disminuir "N" sucesivamente en 20% y 30%. Entonces nos quedaría:

15. Determina el valor actual de una letra, cuyo valor nominal es S/. 2 400, que se presenta 4 meses antes de su vencimiento y es descontada al 12% trimestral.

7. Los 2/5 de un capital han sido impuestos al 50% anual y el resto al 30% anual. Si el interés anual es de S/. 9 500, calcular el capital.

16. Se ha mezclado 400 litros de vino de 200 soles el litro, con 300 litros de vino de 300 soles el litro y con 100 litros de vino de 400 soles el litro. Hallar el precio medio de la mezcla.

8. La tercera parte de un capital se coloca al 9% anual. ¿A qué tanto por ciento debe colocarse el resto, para obtener un interés total del 11% anual de dicho capital?

17. Hallar el peso de dos tipos de café, cuyos precios son de 1 800 y 1 600 soles el kilo, sabiendo que al mezclarlos resultan 480 kg de 1 755 soles el kilo.

9. Un comerciante posee dos refrigeradoras iguales. Si vende el primero perdiendo el 20% del precio de venta, diga qué porcentaje del precio de venta debe ganar en la segunda para recuperar su dinero. 10. Un artículo se ha vendido en S/. 5 400 con lo cual se está ganando el 35% del costo. ¿A cómo se debió vender el mismo artículo, para ganar el 20% del precio de venta? Central: 619-8100

18. Calcula el valor actual de una letra comercial que vence dentro de 6 meses y es descontada al 18% anual, si el valor nominal es de S/. 3 600. 19. Una letra se cancela 4 meses antes de su vencimiento al 10% anual con S/. 2 900. Determina el valor nominal de la letra comercial. 20. El precio de un objeto se recarga en 25%. ¿Cuál es el mayor porcentaje de rebaja que se podrá hacer sobre el precio de venta para no perder? UNIDAD 7

215

Aritmética

¡Tú puedes! 1. Diana firmó una letra pagadera a los 18 meses; pero a los 10 meses cancela la letra con un descuento del 12% semestral. Si la hubiera cancelado a los cuatro meses del día que firmó, se hubiera ahorrado S/. 9 600. Halle el valor nominal que la letra debió tener para que haya pasado lo mismo pero con descuento racional. a) S/. 120 600

b) 18 784

c) 124 680

d) 115 648

e) 116 896

2. Mechita posee tres letras cuyos valores nominales son: S/. 635; S/. 345 y S/. 1 090 descontables racionalmente al 18% y que vencen dentro de 9; 5 y 3 bimestres, respectivamente. Si desea cambiarlas por una única letra cuyo valor nominal sea igual a la suma de las tres mencionadas, ¿dentro de cuánto tiempo deberá vencer esta letra única, si será descontable comercialmente también al 18%? a) 5 meses

b) 10 meses

c) 7 meses 15 días d) 4 meses 20 días e) 6 meses 10 días

3. Henry debe tres letras, la primera es de S/. 1 200 y vence dentro de 2 meses, la segunda es de S /. 1 800 y vence dentro de 4 meses y la tercera es de S/. 3 000 y vence dentro de 6 meses. Si decide sustituirlas por cuatro letras que vencen al cabo de 1 mes, 2 meses, 3 meses y 4 meses, con el mismo valor nominal, calcule este valor, si la tasa de descuento es del 24%. a) S/. 1 297

b) 1 280

c) 1 300

d) 1 340

e) 1 250

4. Fernando decide vender su auto para lo cual contrata a un intermediario, quien a su vez contrata a otro intermediario, el cual vende finalmente el auto en S/. 5 000 ganando una comisión de (3k)%, mientras que el primer intermediario ganó una comisión de (4k)% respecto de la venta del segundo intermediario. Si al final Fernando recibió S/. 4 004 por la venta de su auto, ¿cuánto le correspondió al primer intermediario? a) S/. 300 b) 380 c) 450 d) 350 e) 400 5. Un comprador muy hábil logra de un comerciante tres descuentos sucesivos sobre el precio de lista de un artículo, siendo estos 4%; 25% y x% por lo que ha pagado únicamente el 63% del precio de lista de dicho artículo. ¿Qué porcentaje de 25 es "x"? a) 30% b) 40% c) 60% d) 35% e) 50% 18:10:45

Practica en casa 1. Disminuir "N" en 20% y al resultado aumentarle su 40%. Entonces quedaría: 2. Calcular el valor actual de una letra cuyo valor nominal es de S/. 7 200 y que es descontada al 18% anual, 8 meses antes de su vencimiento.

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5. Disminuir "N" sucesivamente en 30% y 40%. Entonces quedaría: 6. Los 2/5 de un capital han sido impuestos al 50% anual y el resto al 30% anual. Si el interés anual es de S/. 3 800, calcular el capital.

3. Una letra es descontada al 2,5% mensual medio año antes de su vencimiento. Si el valor nominal de la letra es de S/. 6 000, ¿qué valor actual se obtiene?


4. Se mezcla 26 kg de café de 13 soles el kilo, con 39 y 52 kg de 10 y 9 soles el kilo respectivamente. ¿A cómo debe venderse cada kg de la mezcla, si se debe ganar el 10%?


Colegios

TRILCE

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Repaso bimestral

9. Se tiene dos recipientes de alcohol, uno de 80° y el otro de 40°. Si se toman 30 litros del primero y 50 litros del segundo y se mezclan en un tercer recipiente, ¿cuántos litros de agua hay que agregar en este recipiente, para obtener una mezcla de 50°?

12. En una tienda se le hace al cliente dos descuentos sucesivos del 10% y 20% y aún así se gana el 40% del costo. Si el departamento de compras de dicha tienda compró un artículo en S/. 3 600, diga qué precio debe fijar para su venta.

10. Se mezclan dos tipos de vino de S/. 10 y S/. 20 el litro en la proporción de "a" a "b". Si se mezclan en la proporción de "b" a "a" el precio medio sería 50% mayor. Hallar "a/b".

13. ¿Cuál será el descuento comercial y el valor efectivo de un pagaré de S/. 720 000 que vence el 15 de noviembre y se negocia al 5% el 17 de agosto del mismo año?

11. Una letra que vence el 2 de abril del 2004 es descontada al 45% el 2 de febrero; pero adicionalmente el Banco cobra 1% de comisión sobre el valor nominal. Si lo que se recibió por la letra fue S/. 79 950, ¿cuánto se habría recibido, si se aplicaba descuento racional y la comisión se cobraba sobre el valor actual?

14. Un comerciante mezcla dos tipos de café de S/. 80 y S/. 65 el kilo, habiendo 3 kg más de un tipo que del otro. Si vende todo a S/. 82 el kilo y de esta forma gana S/. 12 por kilo, ¿cuál es la ganancia en soles que obtiene al vender todo el café?

7

15. Si un litro de alcohol pesa 900 g y se encuentra al 30%, ¿cuánto pesará en kilogramos un litro de alcohol al 50%?

Central: 619-8100

UNIDAD 7

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ARITMÉTICA 4° - 2017

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