Índice Unidad I Capítulo 1
Teoría de exponentes - Ecuaciones exponenciales
5
Capítulo 2
Grados y polinomios
9
Capítulo 3
Productos notables
13
Capítulo 4
División algebraica I
17
Capítulo 5
División algebraica II
21
Capítulo 6
Factorización I
25
Capítulo 7
Factorización II
29
Capítulo 8
Fracciones algebraicas
33
Capítulo 9
Repaso I
37
Unidad II Capítulo 10
Radicación algebraica
41
Capítulo 11
Factorial - Número combinatorio
45
Capítulo 12
Binomio de Newton
49
Capítulo 13
Números complejos
53
Capítulo 14
Ecuaciones de primer grado
57
Capítulo 15
Ecuaciones de segundo grado
61
Capítulo 16
Ecuaciones polinomiales
65
Capítulo 17
Repaso II
69
Unidad III Capítulo 18
Matrices
73
Capítulo 19
Determinantes
78
Capítulo 20
Sistema de ecuaciones
82
Capítulo 21
Desigualdades e inecuaciones lineales
86
Capítulo 22
Inecuaciones polinomiales y fraccionarias
90
Capítulo 23
Inecuaciones irracionales
94
Capítulo 24
Relaciones binarias
98
Capítulo 25
Repaso III
103
Unidad IV Capítulo 26
Funciones I
107
Capítulo 27
Funciones II
111
Capítulo 28
Progresión aritmética (P.A.)
116
Capítulo 29
Progresión geométrica (P.G.)
120
Capítulo 30
Logaritmos I
124
Capítulo 31
Logaritmos II
128
Capítulo 32
Repaso IV
132
Álgebra
Capítulo
1
Teoría de exponentes Ecuaciones exponenciales Problemas para la clase 1. Si n = 24 . 48 halla el valor de 5 n .
7. Reduce:
a) 1
b) 2
d) 8
e) 16
c) 4
2. Reduce: n + 3 - 3n + 1 S=3 3n b) 9 c) 12
a) 3 d) 18
a) x4y3
b) x10
d) y6
e) 1
c
a) 1 d) - 1 5
1 125 m
c) 1 5
e) –5
1
6. Si
xx
b) 6 e) 1
xx
b) 2
d) 8
e) 16
www.trilce.edu.pe
d) 4
e) 8
c) –2
a) 10
b) 12
d) 20
e) 22
c) 18
a) 2
b) 4
d) 16
e) 32
c) 8
3n + 2 .82n + 1 M= 4 163n + 2
d) 4
b) 2–1 e) 1 4
c) 1
12. Reduce: 216 .353 .803 154 .149 .302
x+1
a) 1
b) 2
a) 2
c) 1 8
= 2, calcula el valor de:
a) 1
-3 -3 - 2 =c 1 m + 2^0,2h-2 + 2 c 1 m G 2 9 3
a) 8 d) 1 6
e) x7
11. Simplifica la expresión:
5. Calcula el valor de:
d) x4
c) x3
10. El valor de "x" que satisface: xx = 264 es:
-1 -9 -2
b) 5
b) x2
2x+3 . 2x–2 . 24x–3 = 210
c) x10y12
4. Efectúe:
a) x
9. De la ecuación: 8x+2 = 16x–4 halle "x".
2 `x3 . y 4 . x2 . y5j 4 5 ^x2h . `y3 j
27
x2 . 3 x2 . 3 x2 m . x–25
8. Calcula el valor de "x" que verifica:
e) 24
3. Simplifica:
c3
c) 4
a) 1
b) 2
d) 4
e) 7
c) 3
Cuarto año de secundaria
5
1
Capítulo
20. Si x ≠ 0, reduce:
13. El resultado de: –243
^0,008h
-1 -625-4
14. Calcula el valor de:
b) x–1
d) x3
e) x15
2n+3
b) –3
c) 3
e) 1
15. Si ab = 2 y ba = 3 a) 13
b) 15
d) 35
e) 25
a) 2 d) 4 3
x = 24. 24. 24...
calcula: M
x +3
a) 10
b) 7
d) 3
e) 9
x + ...
^M d Nh
c) 13
b) 48
d) 84
e) 136
d) n
c) 98
3 3 5 5 c) a) 3 5 b)
e) 3
2
Colegios
TRILCE
1 125 m
b) 1 3
n
4 nx 2 b) 2n+1 c) n e) n 2 xx =
a) 1
b) x
d) x–2
e) x2
c) x–1
25. Calcula la suma de los cuadrados de las soluciones de la ecuación: 4x + 1 - 257 =− 64x 4 a) 25 b) 20 c) 17 d) 10
19. Simplifica: -3 -1
1 b) 3 c) 4 2 e) 1
xx x x x . x x + 1 x
5 -1 c m 5 x x =3 3
1 - 0 >^- 32h-0,4 + ^- 64h- 3 - c- 1 m 2 + c
c) 15
24. Si xx = x + 1 reduce:
18. Calcula el valor de "x" que verifica la ecuación:
a) 1 d) − 1 3
a) 2–n
a) 112
d) 5 3
b) 25 e) 1
23. Indica el valor de "x" que verifica:
17. Resolver la ecuación exponencial: 2x+2+2x+1+2x+2x - 2+2x – 1 =248 calcule 2x+2x – 1
a) 45 d) 5
(225) 2n + 3 .225 52n + 3 .52 .4 + 52n + 3 .53
26x + 1 + 43x + 1 + 82x + 1 = 3584
c) 17
16. Sabiendo que: x +3
c) x
22. Calcula el valor de "x":
a+1 b+1 + ba calcula: ab
=3
22 22 ax -3 k x_-3i
a) x–12
35
-2
21. Calcula:
3 9 27 81 a) 1 3 d) 9
6
22
x -3
1 a) 5 c) –5 5 2 b) d) − 1 e) 5 5
-1 x 9x2 _x3i C
e) 8
- 1 -2 1 -16 2
+c 1 m 16
H
c) –1
e) 3
Central: 6198-100
Álgebra
Practica en casa 1. Efectuar: >
4
^23h
8. Calcula el valor de "x" que verifica la siguiente
1 6 4
. ^22h 4
^2 4h
H
igualdad: 9x+1 = 27x - 12
x + 2 + 4x 2. Reducir: S = 4 4x
3. Reducir: M =
9. Halla el valor de "x" en: 4x + 4x – 1 = 80
2 `x3 y3 x2 y2j
3
2
^x5h `y 4j
10. Resolver la ecuación: xx = 381
4. Relacionar correctamente: x3 . x7 . x10 . x2
A
x6
x
B
x22
4 `^x2h3j
C
x24
x4 ÷ x–2
D
4 3
24
x
5. Si 3x = 4, calcular el resultado de la siguiente
11. Efectúa: M = 8–27
–0,5
12. Si: 2x + 2x – 1 + 2x – 2 + 2x – 3 + 2x – 4 = 1984
halla: x
13. Reduce: S=
suma:
–9–4
3
x2 . 3 x2 . 3 x2 . 3 x2
3x+1 – (–2)3 14. Indica "x", que verifica: xx =
9
1 3
6. Simplifica:
7. Reduce:
www.trilce.edu.pe
c-
1 m-2 - c- 1 m-3 + c 1 m-1 4 5 2
8. 4 16 2
15. Simplifica:
E=
m
2 m + 1.52m + 1–2 m .52m ; m ≠ 0 23 .5 m + 5 m
Cuarto año de secundaria
7
1
Capítulo
Tú puedes
1. Simplifica: P =
;
a) 1
`n
5n n nn j E
nn – (n
n)5
n
a) a
–1
(a2 + a) a + a H 1+a2 a . 1+a2 aa
1+a2 a
n
n n e) n c) nn d)
b) n
2. Simplifica: J = >
nn+1
b) 1
a
d) a2
c) a + 1
e) aa
3. Calcula el valor de "x" que satisface: 3
1 + xi x1 + x
3 i 5 j x
3 2 d) 5 5 4 4 e) b) 5 4 c)
a) 1
4. Resuelve: xx
`4
= `4 x5 j
`4 x5 j
x+1
3
2 = 2-2 ; indica: x + 1
3 b) 2 c) 4 d) 1 e) 1 a) 2 3 3 3 2 1-x 5. Calcula xx , luego de resolver: x-x = 318 a) 1/3 b) –1/3 c) 1/9
Colegios
8
TRILCE
d) –1/9
e) 1/27
Central: 6198-100
Capítulo
2
Grados y polinomios Problemas para la clase 1. Si P(x) = 4x2 – 3x + 2 calcula: P(2) + P(–1) a) 12
b) 15
d) 21
e) 25
b) –11
d) 1
e) 0
3. Si: P(x) = 4x+2 y P(3x – 2) ≡ ax+b calcula el valor de a . b a) 6 b) –12 d) –72
c) 9
d) 4x – 9
e) 4x – 1
b) 15
d) 23
e) 10
c) 4x+9
c) 19
6. Del polinomio: P(x; y) = x2n+3ya–5+x2n+8ya–2 – x10ya–1 calcular a×m, si GR(x) = 22 y GR(y) = 5 a) 6
b) 13
d) 42
e) 49
c) 28
7. Calcula el valor de m×n, si el polinomio: P(x; y) = 5xmy6+3x10y4 –4x7yn+2 es homogéneo. www.trilce.edu.pe
a) 15
b) 10
d) 5
e) 0
c) 9
a) 5
b) 6
d) 11
e) 13
c) 8
10. Si el polinomio: P(x) = (a – 4)x2+(b+5)x+(c – 2) es identicamente nulo, calcula a – b + c
5. Del siguiente monomio: A(x; y) =(a2+b)xa+by2b–1 calcula el coeficiente, si se sabe GR(x) = 7 y GA(A) = 12 a) 12
e) 40
9. Si los polinomios: P(x) = (a – 5)x2+10x Q(x)=2x2+(b+4)x son idénticos, calcular "a+b".
c) 60
4. Si: P(4x – 2) = 16x+1 obtén P(x) b) 4x+6
d) 24
c) 16
8. Si el polinomio: P(x)=pxm–7+nxn–1+mxp–4 es completo y ordenado de forma creciente, calcula la suma de sus coeficientes.
e) –1
a) 4x+3
b) 8
c) 18
2. De los polinomios: P(x+4) = x2+7x y Q(x) = x2 – 5x +1 calcula P(–2)+Q(3) a) –12
a) 1
a) 13
b) 8
d) 10
e) 5
c) 11
11. Relaciona correctamente: I. P(x; y) = 5x2y5 II. P(x)=x2+x+2 III. P(x;y)=2x2y5+3x3y4 IV. P(x) = 2x3+4x+1
A. GA(P)=7 y GR(x)=3 B. Polinomio cúbico C. GA(P)=7 y GR(x) = 2 D. Polinomio mónico a) IA - IIB - IIID - IVC b) IC - IID - IIIA - IVB c) IA - IID - IIIC - IVB d) IC - IIB - IIIA - IVD e) IA - IIB - IIIC - IVD Cuarto año de secundaria
9
2
Capítulo
12. Dados los polinomios:
P(x)=3x+2 y Q(x)=2x – 3 Calcula P(Q(x)) – Q(P(x)) a) –7
b) –1
d) 6
e) 4
c) –8
n-1
P(x) = x 3 + 3x2n - 3 - 4x5 - n + 8
es un polinomio, calcula el grado de "P". a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
14. Dados los polinomios: P(x), de grado 4 y Q(x), de grado 5 calcula el grado del polinomio: a) 16 d) 28
6P^xh@
4
. 6Q^xh@3
b) 19
c) 24
15. Dado el polinomio: P(x;y) = xm+2yn–1 + xm+6yn – xm+4yn+4 Si el G.R.(x) = 20 y el grado absoluto es igual a 40, calcular el G.R.(y). b) 20
d) 24
e) 28
c) 18
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
17. Si el siguiente polinomio de 14 términos es completo y ordenado: P(x) = xn+4+...+xa – 1+xa–2+xa–3 Calcula: a + n a) 3
b) 9
d) 16
e) 12
Colegios
10
TRILCE
d) 35
e) 25
c) 32
a) –1
b) –2
d) –4
e) –5
c) –3
20. Se define la expresión "f": f(x+1) = 3f(x)–2 ; f(0)=3 calcula el valor de f(3). a) 3
b) 7
d) 55
e) 61
c) 23
P(x;y)=4xm+n–2ym–3+8xm+n+5ym–4+7xm+n–6ym+2 se verifica que la relación entre los grados relativos de "x" e "y" es 2; y además el menor exponente de ‘‘y’’ es 3. Hallar su grado absoluto. a) 15
b) 16
d) 18
e) 21
c) 17
22. Dados los polinomios "P" y "Q" de los que se conoce: G.A. `4 PQ j = 3
16. Dado el polinomio homogéneo: P(x;y)=5x3a+2by4 – x2ayb+7+xa–1ya–3b Calcula: G.A.(P) + ab a) 1
b) 30
21. En el polinomio:
e) 31
a) 22
a) 29
19. Se definen los polinomios "P" y "Q" tales que: P(x–3)=4x – 7 y P(Q(x))=52x – 55 calcula Q(P(–1))
13. Si la expresión algebraica:
18. Calcula el valor de m2+n2+p2, si se verifica: m(x–2)(x–3)+n(x–1)(x–3)+p(x–1)(x–2) ≡ x2–10x+13
c) -4
G.A. (P3 ÷ Q) = 4
¿Cuál es el grado de "Q"? a) 2
b) 4
d) 8
e) 10
c) 6
23. Si el polinomio: P(x–a)=b(x+2)+a(x+3)+2 es idénticamente nulo, calcular el valor de "a – b". a) –1
b) –2
d) –4
e) –5
c) –3
Central: 6198-100
Álgebra 24. Calcula "A + B + C", si: (x+1)[A(x+2)+B(x–2)–3x]+15x≡(x–2)[3x+C(x+2)] se verifica para todo "x". a) 20
b) 21
d) 23
e) 24
c) 22
25. Sea "f" una expresión matemática definida en los enteros, tal que: I. f(0) ≠ 0 II. f(1) = 3 III. f(x) . f(y) = f(x+y)+f(x–y); ∀x; y ∈ calcula f(7). a) 47
b) 843
d) 700
e) 983
c) 900
Practica en casa 1. Si: P(x) = x2 – 5x + 1 calcula P(2) + P(–1) 2. Calcula la suma de coeficientes del polinomio: P(x)=(x3–5x+5)4 –2(x+3)2+8 3. Si P(x+7) = 2x+5 Obtén P(x) 4. Del monomio: B(x; y) = (a – b)xa+4yb–1 si GR(x) = 10 y GA(B) = 14, calcular el coeficiente. 5. Del polinomio: P(x; y) = 53x4y12 – 24x2y3+x4y10 calcula GR(x) + GA(P) 6. Dado el polinomio: n P(x) = x 2
n + x3
9. Si los polinomios: P(x) = (a–1)x2+4x y Q(x) =2bx+7x2 son idénticos, calcula el valor de "a×b". 10. Si el polinomio: P(x) = (a–1)x4+(b+3)x+c – 5 es idénticamente nulo, calcula a×b – c 11. Si: P c x 2- 3 m = x7 + 2x5 + 32
Calcula P(–2)
12. Indicar Verdadero (V) o Falso(F) respecto al polinomio: P(x;y)=xmyn+xm+1yn–1+xm–1yn+2 A. Si: GR(x)=10 → m =9.............................( ) B. Si: GR(y)=12 → n =12............................( ) C. Si: GA=15 → m+n =14.........................( ) D. Si: m=3, n=5 → GA =9.........................( ) 13. Si el polinomio:
+ x4 (n ! 0) el mínimo valor entero de "n" es:
7.
Dados los polinomios: P(x), de grado 3 y Q(x), de grado 2 calcula el grado de polinomio
14. Si el polinomio:
7P(x)A
2
. 7Q(x)A
8. Del polinomio homogéneo: P(x; y) = 5x6ya+2x9y10–xby8 calcula "a – b"
www.trilce.edu.pe
P(x;y) = axa+3 – abxa–1yb+2+2byb+8
es homogéneo, la suma de sus coeficientes es:
P(x) = mxp – 8+nxm–4+pxn+5+qxq – 2
es completo y ordenado de forma decreciente, calcula la suma de coeficientes.
15. Halla "a + b + p" en: a
(aa – 2)x5+(bb – 3)x3+(p – 7)≡14x5+24x3+10
Cuarto año de secundaria
11
2
Capítulo
Tú puedes x–25 12
1. Si la expresión: E(a;b)= a el valor de (x – y) es:
.b
y+3 48
es de cuarto grado con respecto a "a" y de sexto grado absoluto,
a) 28 b) 29 c) 31 d) 32 e) 35 (b–4)
2(b – 4)
(b – 4)
(b – 4)
2. Dado el polinomio: P(x;y) = 2xa – 3ya – (xy)a +4y4+a , donde "a" y "b" son números naturales. Si la suma de los grados absolutos de los términos del polinomio es (a2 + 2)2, el valor de "b" será: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 3. Si el polinomio: P(x) = (x2+x+3)(a – b)+(x2+x+4) (b – c)+(x2+x+5) (c – a) es idénticamente nulo, el valor de: [(b + c) ÷ a] es:
a) 1
b) -1
c) 2
d) -2
e) 3
4. Si el polinomio: P(x;y)= 3 xm–2yn–1(x7+y2n–3) es un polinomio homogéneo cuyo grado de homogeneidad es 16, hallar "mn". a) 30 b) 20 c) 35 d) 41 e) 45 5. Un polinomio "P(x)" de tercer grado, cumple con la siguiente condición: P(x) – P(x – 1) ≡ 2x(3x + 2). Hallar el coeficiente de "x" en el polinomio "P(x)". a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Colegios
12
TRILCE
Central: 6198-100
Capítulo
3
Productos notables Problemas para la clase 1. Reduzca:
(x +
3)2
– x(x + 5) –9
a) –5x
b) –x
d) x
e) 5x
c) 4x
2. Simplifica: (x+3)2+(x – 5)2 – 2(x – 6)(x+4) a) 81
b) 5x
d) 82
e) 41
b) 2
d) 4
e) 16
c) 3
4. Si a+b=5 y ab = 3 calcula el valor de M = a2+b2 a) 12
b) 13
d) 19
e) 25
c) 16
P = ( 7 + 3 ) 2 +( 7 – 3 ) 2 a) 2
b) 10
d) 40
e) 16
c) 20
6. Simplifica: a + 2b m2 - c a - 2b m2 ; ab ! 0 c a 2b 2b a a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
e) 5
a) 52
b) 51
d) 49
e) 60
www.trilce.edu.pe
d) 9
e) 8
c) 1
a) 125
b) 120
d) 110
e) 105
c) 115
11. Efectúa: (x+1)(x – 1)(x2+1)(x4+1)(x8+1) a) x8 – 1
b) x16 – 1
d) x9 – 1
e) x14 – 1
c) x18 – 1
12. Si ab+bc+ac > 0, simplifica: 2
^a2 + b2 + c2 + ab + bc + ach
- ^a + b + ch2 ^a2 + b2 + c2h
a) abc
b) ab+bc
d) a+b+c
e) abc – 1
c) ab+bc+ac
13. Halla el valor numérico de: (x+1)(x2 – x+1)(x6 – x3+1)(x9 – 1) – x18+1 para: x = 2017
7. Si a + b = 4 ∧ ab = 1 halla: S = a3 + b3
b) a3
10. Si a+b+c = 0, calcula: 3 3 3 M = a +b +c 6abc a) 1 b) 2 c) 3 1 d) 1 2 e) 3
5. Reduzca:
a) 0
9. Si x2 – 5x + 1 = 0 calcula: x3 + x–3
c) 1
3. Multiplica: 4 + 15 . 4 - 15 a) 1
8. Reduzca: (a+1)(a2 – a+1) – (a – 2)(a2+2a+4)
a) 0 d) 1
b) 2017 e) 2017!
c) 201718
c) 50
Cuarto año de secundaria
13
3
Capítulo
14. Halla “n”:
8
a) 4 d) 8
20. Si: x =
(13) (85) (74 + 64) (78 + 68) + 616 = 7n–3 b) 6 e) 5
c) 7
15. Halle el valor numérico de: P(x) = (x + 1)(x – 1)(x4 + x2 + 1)
para: x = 4 + 15 + 4 – 15
a) 666 d) 999
b) 444 e) 333
b) 9
d) 2
e) 0
a) 5 + 3 + 2 b) 1 d) 6
a) 10 d) 13
b) 11 e) 14
b) 2
d) 6
e) 1
Colegios
14
TRILCE
d) 3 2
e) 2 2
c) 3
a) 1
b) 2
d) 7
e) 3
c) 5
calcule: x3 + 12x + 4 a) 6
b) 7
d) 9
e) 10
c) 8
2 2 23. Si: mn - nm = 3(m - n) 8h ^ 8 halle el valor de: 4 m + n2 ^m2 n2h a) 4 b) 8
d) 0
c) 2
e) 1
a) 1 b) –1 1 d) - 1 4 2 e)
c) 12
19. Halle el valor numérico de: E = (a2 – b2) [(a2 + b2)2 – a2b2] para: a3 = 2 +1 ∧ b3 = 2 – 1 a) 9
b) 4
24. Si se cumple: 4 1 1 x + y + y + z = x + 2y + z 2 2 calcule: x + x + z2 - z ^x + zh
18. Si x2 – 5 x + 1 = 0; calcule: M = x4 + x2 + 12 + 14 x x
a) 2
1 2
c) –3
e) –6
(x + y) 4 – (x – y) 4 G = calcule: x2 + y2
22. Si: x = 3 16 + 8 5 + 3 16 - 8 5
c) 3
17. Si a = 5 - 3 b = 2 - 5 c = 3 - 2 halle: 2 + b2 + c2 a2 2 2 +b +c G =a G= ac ab + bc + ac bc ab
4 8 ∧ y= 2
21. Evalúe: x10 + x-10 + 3 si: x + x–1 = 3
c) 111
16. Si P = 3 4 + 3 2 calcule el valor de: M = P^P + 6 h^P - 6 h a) 6
4
c) 4 2
c) 12
25. Sabiendo que: a mn + 4 c b mn =725 ; an > 0 ∧ bn > 0 a b calcule:
c
3
an + 2bn an bn
a) 1
b) 2
d) 9
e) 20
c) 3
Central: 6198-100
Álgebra
Practica en casa 9. Si: x+x–1 =4
1. Simplifica: (x + 2)2 – (x – 3)2 – 10x
2. Multiplica
3
5 + 17 . 3 5 - 17
3. Reduce:
^
2 2 8 + 5h +^ 8 - 5h
4. Si: a+b=4 y ab=2
x3 + y3 + z3 M = xyz 11. Reduce: (x - y)(x + y) (x2 + y2) + y4 y 12. Si: x + = 2; calcula: y x
calcula el valor de a2+b2
5. Simplifica:
y m2 c x y m2 + y x - y - x ; x, y ! 0
8x4 y + 3xy4 x5 + 2y5
cx
13. Calcula el valor de:
6. Si: a+b=5 y ab=1
calcula: x3+x–3
10. Si: x + y + z = 0, calcula:
32 2 4 8 16 32 64 S= 1 + 3 (2 + 1) (2 + 1) (2 + 1) (2 + 1) (2 + 1) (2 + 1)
halla a3+b3
7. Relacionar correctamente: (x+y)(x – y) (x–y)(x2+xy+y2) (x+y)2 (x+y)(x2–xy+y2)
x2+2xy+y2 x2 – y 2 x3–y3 x3+y3
A B C D
8. Reduce: (x+2)(x2 –2x+4)
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– (x –
3)(x2+3x+9)
14. Reduce: S = (x + 1) (x – 1) (x4 + x2 + 1)
si: x = 3 + 8 + 3 – 8
15. Si: a + b + c = 0, reduce: 2 2 2 2 2 S= c a + b + c mc a 2 + ab + b2 m bc ac ab b + bc + c
Cuarto año de secundaria
15
3
Capítulo
Tú puedes 3 3 2 2 1. Simplifique: 9 (a + b ) - 23(a + b), si se sabe: a + b = 8 4ab 9 ab
a) 1 b) 2 c) 8 d) 0 e) 9
2. A partir de la siguiente relación:
4 = a + b, reducir: 2163+183ab 1 + 1 a –b a - 3 b +3
a) 2 b) 4 c) 1 d) 3 e) - 4
3. Si se sabe que: (a + b - 3)2 = (a - b)2 + 3 ; calcular el valor de: A =
2ab a + b –1
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) -2 4. Si: a = 5 - 2 b = 2 - 3
calcula el valor de:
12
a) 5+ 2
b) 5 - 2 c) 2 - 3
2 (a3 –b3) (a2 –ab + b2) (a6 + b6) + b12 d) 2 +3 e) 2+ 3
5. Si: x = 0,5 ( 3 3 + 3 2 )
y = 0,5 ( 3 3 - 3 2 )
calcular: E = 4xy(3x2 + y2) (x2 + 3y2)
3 3 2 a) 4 b) 5 c) 3 d)
Colegios
16
TRILCE
e) 5 3 3
Central: 6198-100
Capítulo
4
División algebraica I Problemas para la clase 1. Obtener el cociente de la siguiente división: x4 - 5x3 + 3x2 + 7x - 6 x2 - 2x + 5 a) x2+3x+4 b) x2 – 3x – 8 c) x2 – 3x+4 d) x2 – 3x+8 e) x2+x+4 2. Calcula el resto de la siguiente división: 10x4 + 6x3 - 37x2 + 36x - 12 5x2 - 7x + 3 a) 2x+1 b) 2x–1 c) 3x+1 d) 3x–1
a) 0
b) 3
d) 1
E) 10
b) x2
d) 12x2+6
e) 12x2
c) 4
b) 1
d) 3
e) 4
b) – 2
d) – 4
e) 6
c) 4
b) 2x3+x2 – 8x+15 c) 2x3 – x2+8x – 15 e) 2x3+x2+8x+15 8. Calcula el residuo de la siguiente división: 4x15 - 6x13 + 2x2 + 5 x-1 a) –3 b) 1 c) 5 d) 4
c) 4x2 – 5
5. Si los coeficientes del cociente de la siguiente división: 2x 4 + ax3 + bx2 + cx + 10 x+2 son números enteros consecutivos, calcular: c-a+b a) 0
a) 2
d) x3 – 2x2 – 8x – 15
4. Luego de dividir (8x4 – 5) entre (2x2+1), calcula 3Q(x) – 2R(x), donde Q(x) es cociente y R(x) es residuo. a) 4x2 – 2
e indica el producto de coeficientes del cociente.
7. Calcula el cociente de la siguiente división: 5x2 - 9x - 5x3 - 8 + 2x4 -3 + x 3 2 a) x +2x +8x+10
e) 3x–3
3. Luego de efectuar: 6x4 + 10x - x3 - 5 - 5x2 - 3 + 2x2 + x indica la suma de coeficientes del cociente.
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4 2 6. Divide: 4x + x –3x + 4 2x–1
c) 2
e) 7
9. Halla el resto de la siguiente división: 20 10 ^x - 4h + ^x - 4h + 3x - 8 x-5 a) 1 b) 5 c) 7 d) 9
e) 12
10. De la siguiente división: 100
^x2 + x - 5h
2
- 2^x2 + x - 4h + x2 + x x2 + x - 6
calcula el residuo. a) –2
b) –1
d) 1
e) 2
c) 0
Cuarto año de secundaria
17
4
Capítulo
11. Calcula "m+n+p", si la siguiente división:
6x5 - 17x4 + 7x3 + mx2 + nx + p 3x3 - 4x2 + 5x - 7 es exacta: a) 22
b) 18
d) 25
e) 28
b) 4
d) 21
e) 31
c) 17
13. Calcula "a+b+c", si la siguiente división: ax4 + bx3 + cx2 + 17x - 5 2x2 - x + 1 genera (6x – 3) como residuo, y un cociente cuya suma de coeficientes es 4. a) 10
b) 70
d) 100
e) –7
c) –1
14. Si: P(x)=x3 – 2019x2+4035x – 2015, evaluar P(2017). a) 4034
b) –2
d) 2017
e) 2
4 2 3 2 2 nx + (3–n –n) x + (5n–3) x –8nx–8n x–n–1 si el resto es 64.
a) 50
b) 53
d) 52
e) 60
4x40 + 8x39 + 1 x+2
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
Colegios
18
TRILCE
d) 7
e) 6
a) - 9
b) - 10
d) - 12
e) - 13
a) 41
b) 21
d) 10
e) 40
a) 0
b) 1
d) 3
e) 4
c) - 11
c) 11
c) 2
21. Si los coeficientes del cociente entero de la división: 8x4 + 18x3 + ax2 + bx + c 2x + 3 son números consecutivos, y el residuo es –8, calcula el valor de: a+b+c. a) 16
b) 12
d) 26
e) 20
c) 23
22. Halla el residuo en: a) 9
c) 3
c) 10
20. Si se sabe que la división: x4 + 4dx3 + 6ax2 + 4bx + c x3 + 3dx2 + 3ax + b es exacta, calcula el valor de N=ab – cd; abcd ≠ 0.
c) 51
16. Calcula el resto de la siguiente división:
b) 9
19. Calcula "A+B – C", si la siguiente división: Ax5 + Bx4 + Cx3 + 27x2 + 19x + 5 es exacta. 4x3 + 3x + 1
c) 0
15. Halla la suma de coeficientes del cociente de la división (n ∈ ):
a) 8
18. Calcula el resto de: (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 4 x2 + 8x + 11
es –12, calcula el valor de "a – b". a) –3
x70 + x60 + x40 + x20 + 7 x10 + 1
c) 17
12. Si el residuo de la siguiente división: 5x4 + 4x3 - 13x2 + ax + b + 1 x2 + 2x - 1
17. Halla el resto de:
d) 12
x5 + (3 2 – 2) x3 + 2 2 + 7 x– 2+1 b) 10 c) 11 e) 13
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Álgebra 23. Halla el resto de:
3
3
2
x (x–3) + 5 (x + 1) –15x + 14 x2 –3x + 1 a) 14 b) 8 c) 26 d) 15
e) 13
25. Luego de efectuar: x4 + ax3 + bx2 + ax + b x2 + 4x + 3 el residuo es: 10x+11. Calcula a×b.
24. Calcula el residuo de la siguiente división:
a) 6
b) 11
d) 35
e) 40
c) 25
38 + 7^x + 1h28 + 3^x + 1h18 + 3
^x + 1h
x(x + 2) + 2
a) x+6
b) 6
d) –6
e) x – 6
c) 0
Practica en casa 1. Obten el cociente de la siguiente división: x4 + 4x3 + 6x2 - 7x + 2 x2 + 2x + 1 2. Calcula el resto de la siguiente división: 2x4 + 3x2 + x2 + 9x - 15 2x2 + 3x - 5 3. Efectúa:
5x4 - 9x3 + 8 + 20x2 4 + x2 - 2x dar como respuesta la suma de coeficientes del cociente.
4 4. Al dividir 9x2 + 2 , calcula: 3x + 1 3Q(x) + R(x), donde Q(x) es cociente y R(x) es residuo.
5. Calcula el cociente de la siguiente división: 2x4 + 5x3 - 4x2 - 3x + 1 x-1 6. Si el polinomio Q(x) es el cociente de la división: 9x2 - 7x - 2x3 - 14 + x4 -2 + x calcula: Q(–2) 7. Obtén el cociente de: 15x4 - 8x3 - 9x2 + 7x + 1 5x - 1 8. De la división, halla el resto: 4x8 - 6x4 + 2x2 + 1 x-1
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9. Calcula el resto de la división: (2x + 3) 5 + (x + 3) 4 –6x x+2
10. El resto de la división: 10
^x2 + x - 3h
3
+ 5^x2 + x - 3h + 1 x2 + x - 4
es igual a:
11. De la división, halla el resto: 2x100 - x50 + 1 x50 - 1 12. Calcula "a+b" si la división: 6x4 - 3x3 - 2x2 + ax + b 2x2 + x - 3 deja como resto R(x)=x+2 13. Dado el polinomio: P(x)=x3 – 2018x2+2019x – 4040 evalúe P(2017). 14. Calcula el valor de "a", si la división: x3 –ax2 –2ax–a2 x–a–3 deja como residuo: 7a + 2
15. Calcular el resto de:
y8 + y6 - y4 + y2 + 5 y2 –2
Cuarto año de secundaria
19
4
Capítulo
Tú puedes 4 3 2 1. En la siguiente división: 3x –x +2 2x + ax + a , el residuo no es de primer grado. Hallar el valor de "a". x + x–1
a) 12 b) 11 c) 13 d) 16 e) 22 2. Calcula el residuo de la siguiente división: ^x - 3n + 1h2 + ^x - 3nh2 + ^x - 3n - 1h2 + ... + ^x - 4n + 2h2 x - 4n + 1
a) n(n – 1)
b) n(n+1)
3. Según este esquema de Horner: 5 20 6a 7 –2
c)
n^n + 1h^2n + 1h n^n + 1h 2 2 e) E ; d) n 6 2
–3b
(n–4) n (n+4) Encontrar el valor de "a + b + c + d + n".
a) ( 121+2)
b) ( 2 +1)
–17c
9d
34
3
c) ( 144 – 1)
d) 3 25
e) 1
4. Al dividir: P(x) = 6x5 – x4 + (mx)2 + x + 3 – 2n + n2, entre: Q(x) = (x – 2x2 + 3x3), se obtiene un residuo que al permutar sus coeficientes extremos es igual al cociente. Hallar "n ÷ m" e indicar su menor valor.
a) 0
b) –1
c) 1
d) 2 3
e) – 1 3
d) (2n – 2)x
e) (2 – 2n)x
5. Hallar el término lineal del cociente de la división: nxn - 1 + 1 - (n + 1)xn 2 ^x - 1h n ∈ ; n ≥ 80
a) (n–2)x
Colegios
20
TRILCE
b) –2x
c) (–n+2)x
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Capítulo
5
División algebraica II Problemas para la clase 1. Al dividir el polinomio P(x) entre (x+1), el cociente es (x2 – 5x+3) y el resto 7. Calcula el coeficiente del término lineal de P(x). a) 4
b) 2
d) –2
e) –4
c) 1
2. Luego de efectuar la siguiente división exacta: x3 - 5x2 + 3x + 6 P(x) el cociente es (x – 2). Obtener el polinomio P(x). a) P(x) = x2+5x+3 c) P(x) = x2+3x – 3 d) P(x) = x2+3x+5 e) P(x) = x2 – 5x – 3 3. Halla "m" si: P(x)=x3+2x2+x+m es divisible por: x – 2. b) 9
d) –18
e) 18
c) –9
4. Calcula el valor de "a", si el polinomio (x3 – 4x2+ax – 8) es divisible por (x2 – 2x + 4) a) 2
b) 4
d) 8
e) 10
c) 6
5. ¿Cuántos términos tiene el cociente de la siguiente división: x40 - y16 ? x5 - y2 a) 5
b) 8
d) 16
e) 20
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a) 10
b) 20
d) 40
e) 50
c) 30
7. Desarrollar el cociente notable generado por la siguiente división: x25 + y30 x5 + y6 a) x20 – x15y6+x10y12 – x5y18+y24 b) x20+y24 c) x20+x15y6+x10y12+x5y18+y24 d) x5+x4y+x3y2+x2y3+xy4+y5 e) x5+y5
b) P(x) = x2 – 3x – 3
a) 2
6. Halla "n" para que la división genere un cociente notable: xn - yn–20 x5 - y3
c) 10
8. ¿Cuál de las divisiones propuestas genera el siguiente cociente: x12+x9+x6+x3+1? 12 x15 + 1 c) x15 - 1 a) x 3 - 1 b) 3 x -1 x +1 x3 + 1 15 x12 + 1 d) x 3 - 1 e) x -1 x3 + 1
9. Calcular el cuarto término en el desarrollo del cociente notable generado por: x20 - y20 x-y a) x3y3
b) x16y3
d) x16y4
e) x4y4
c) x16y16
10. Calcula el tercer término en el desarrollo del cociente notable: x7 - y14 x - y2 a) x6
b) x5y2
d) x3y6
e) x2y8
c) x4y4
Cuarto año de secundaria
21
5
Capítulo
11. Indicar Verdadero (V) o Falso (F): A. El polinomio ( x2+x – 20) es divisible por (x – 4) ..................................................( )
B.
C.
x5 + y5 =x4+x3y+x2y2+xy3+y4............( ) x+y x3 –y3 =x2–xy+y2..................................( ) x–y
D. El polinomio ( x3 – 3x +2) es divisible por (x+1)......................................................( ) a) FFFV
b) VFFV
d) VFFF
e) VVVF
c) FFVV
12. Calcular la suma de coeficientes del polinomio P(x), tal que al dividirlo entre (x3 –2x+1), el cociente es (x2 – 8) y el resto igual a (x+3). a) –1
b) 0
d) 3
e) 4
c) 2
13. Si el polinomio (x3+mx2 – nx – 27) es divisible por (x – 3), calcular el valor de m + n + 5n - m m+n m-n a) 1 d) 2
3 b) − 1 2 c) 2
(x + 1) 20 – (x – 1) 20 (x + 1) 4 – (x–1) 4
a) 8(x2 – 1)
b) (x + 1)8
d) (x2 + 1)8
e) (x2 – 1)8
c) (x – 1)8
15. Si A(x; y) es el sexto término en el desarrollo del cociente notable generado por: 15 ^3x + 2yh - y15 3x + y calcula el valor de A(–1; 2) a) 1
b) –2
d) –32
e) 32
Colegios
22
TRILCE
c) 16
a) 10
b) 20
d) 40
e) 50
c) 30
17. Si el término de lugar 4 contado del extremo final en el desarrollo del cociente notable generado por: x5n - y2n P(x; y) = 5 2 x -y Es de grado 37, calcular el número de términos del desarrollo. a) 10
b) 11
d) 15
e) 16
c) 14
18. Simplifica: m31 + m30 + m29 + ... + 1 m30 + m28 + m26 + ... + 1 a) m
b) m+1
d) m – 1
e) m – 2
c) m+2
19. Halla "m+n+p", si el polinomio: (2x5+3x4+7x3+mx2+nx+p) es divisible por (x2+1)(x–1)
e) 0
14. Calcular el término central generado por el desarrollo del cociente notable:
16. Sabiendo que uno de los términos del cociente de la división: xa - yb es x4y10 x - y2 calcula "a+b".
a) 10
b) 12
d) –10
e) 8
c) –12
20. Al dividir un polinomio P(x) entre (x+3), se obtuvo por residuo (–5) y un cociente cuya suma de coeficientes es igual a (3). Calcular el residuo de dividir P(x) entre (x – 1). a) 5
b) 6
d) 9
e) 7
c) 8
21. Si el polinomio: ax7 + bx5 – 1 es divisible por: mx5 + nx4 + px3 – x – 1, calcular el valor de "ab + mn + p".
a) 1 d) 5
b) 3 e) 7
c) 4
Central: 6198-100
Álgebra 22. Hallar el lugar que ocupa el término de grado 101 en el desarrollo del cociente generado por: x180 - y80 M(x; y)= 9 4 x -y a) 9
b) 10
d) 15
e) 16
c) 13
23. Reducir: x22 + x20 + x18 + ... + x2 + 1 - x18 ^x2 - x + 1h^x2 + x + 1h a) x6 – x3+1 b) x12 – x6+1 c) x6+x3+1 d) x10+x5+1 e) x12+x6+1
24. Al dividir por separado un polinomio "P(x)" entre los binomios (x + 1) y (x – 1), se obtuvo como restos 7 y 5 respectivamente. Hallar el residuo de dividir "P(x)" entre (x2 – 1).
a) 6 – x d) x + 6
b) x + 1 e) x – 6
c) x – 1
25. Un polinomio "P(x)" de tercer grado es divisible entre (x + 1) y (x + 4), tiene por coeficiente principal 2 y como término independiente 20. Calcular el resto que se obtiene al dividirlo entre (x – 2).
a) 180 d) 162
b) 210 e) 124
c) 148
Practica en casa 1. Al dividir el polinomio P(x) entre (x – 1), el cociente es (x2 – 3x+2) y el resto 4. Calcula P(5). 2. La siguiente división exacta: x3 - 2x2 - 5x + 6 P(x) da por cociente (x – 3) Obtener el polinomio P(x). 3. Calcula "m", si el polinomio: P(x) = x3 – 2x2+5x – m es divisible por (x – 1). 4. Si el polinomio: x3 – 5x2 + mx – 4 es divisible por (x2 – x+1) calcular el valor de "m". 5. ¿Cuántos términos tiene el cociente de la siguiente división: x30 - y48 ? x5 - y8
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6. Halla el valor de "a" si la división genera un C.N.
xa –y5a–8 x2 –y9
7. Desarrollar el cociente notable generado por: x12 - 1 x3 - 1 8. Obtener la división que genera el siguiente cociente: x10+x8+x6+x4+x2+1 9. El sexto término en el desarrollo del cociente x 9 –y 9 notable: es: x–y 10. Calcular el cuarto término en el desarrollo del cociente notable: x100 - y50 x10 - y5 11. Calcular el segundo término al desarrollar: x12 –81 x3 –3
Cuarto año de secundaria
23
5
Capítulo
12. Completa: A. Si el polinomio P(x) es divisible por (x – 4), entonces P(4) = ...................
x20 - y30 , el número x2 - y3 de términos es ................
B. En el cociente notable:
C. Desarrollar: x4 - y4 x - y =................................
D. Si P(x)=x2 – mx+6 es divisible por (x – 2),
13. Determina "a + b" de manera que el polinomio: P(x) = x3 + ax + b sea divisible por: (x – 1)2. 14. Si el polinomio: ax5+bx4+1, es divisible por: x2 – 2x + 1, calcula el valor de "ab". 15. Al dividir por separado un polinomio "P(x)" entre los binomios (x + 2) y (x – 2), se obtiene como restos 5 y 13 respectivamente. Calcula el residuo de dividir "P(x)" entre (x2 – 4).
entonces m= ..........................
Tú puedes 9
8
7
2
234 + 232 + 230 + ... + 1
9 –1 1. Calcula "M+N" si: M = 9 9 –89 +79 –...–9 + ; N = 32 2 2 + 228 + 224 + ... + 1 9 + 9 + 9 + ... + 9 + 9 + 1 a) 3,2 b) 5,8 c) 7,6 d) 9,8 e) 18 2. Un polinomio P(x) de cuarto grado, al ser dividido separadamente por (x2+x+1) y (x2 – x+2), genera el mismo residuo (3x – 5); pero al dividirlo por (x+1), el residuo es 12. Calcule P(0). a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2 3. Si se sabe que: ". . . + x6y6 + xayb + x2y12 + . . ." son tres términos consecutivos de un C.N., halla el valor de "a + b". a) 13 b) 15 c) 12 d) 14 e) 10 4. El polinomio (x – 2)51+(x – 1)40+7 no es divisible entre x2 – 3x+2. Calcular el residuo. a) 2x + 1 b) 2x – 1 c) 2x – 4 d) 2x+4 e) 2x 5. Si se divide "P(x)" entre (x+2)4, el residuo es: (x3 – 12x+17). Calcula el residuo de dividir "P(x)" entre (x+2)2.
a) 4x+4
Colegios
24
TRILCE
b) 4x – 4
c) –16x+13
d) –16x – 13
e) 33
Central: 6198-100
Capítulo
6
Factorización I Problemas para la clase 1. Sea: M(x) = 3x2(2x + 1)4 (x – 2)5 Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: A. El número de factores primos es 2 ..... ( ) B. La suma de los factores primos es: 4x......( ) C. El factor primo de mayor multiplicidad es (x – 2) .................................................( ) D. Un factor primo es: 3x2..........................( ) a) VFFV
b) VVFF
d) FVVV
e) FFVF
b) 3
d) 5
e) 6
3. Factoriza: P(x) = – 5x – 15 Indicar el factor primo de mayor grado. b) x2+5
d) x2+3
e) x2+15
a) 8y+b
b) 8x – b
d) x+a
e) x – a
c) x+y
5. Factorizar: P(x) = 400x2 – 9 Dar como respuesta la suma de coeficientes de un factor primo. a) 9
b) 11
d) 17
e) 20
c) 14
6. Factoriza: P(x; y) = x2 – y2+6x+9 Indica un factor primo. a) x+y+3
b) x – y – 3
d) x+y – 3
e) x+y+6
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d) 2x + 4y
c) x+y
e) 3x2 + 12y2
9. Indique el número de factores primos del polinomio: P(x) = x4 – 7x2 – 18
c) x2 – 5
4. Luego de factorizar: P(x; y) = 8xy – bx + 8ay – ab indica un factor primo.
b) 8x2 +4x+1 d) x2+3x+26
8. Factoriza: P(x; y) = 3x2 + 20xy + 12y2 e indicar la suma de factores primos. a) 4x – 8y b) 4x + 8y c) 2x – 4y
c) 4
x2(x+3)
a) x2 – 3
a) 5x2 – 3x+26 c) 5x2+3x+26 e) x2+x+26
c) FFFV
2. Factoriza: P(x; y)=2x2y + 3xy2 + xy Indicar el número de factores primos. a) 2
7. Luego de factorizar las siguientes expresiones: P(x) = 8x3+1 Q(x) = x3 – 125 Dar como respuesta la suma de sus factores primos cuadráticos.
a) 1
b) 2
d) 4
e) 10
c) 3
10. Relaciona los polinomios con sus respectivas representaciones factorizadas: I. P(x; y) = xy – 7x+9y – 63 II . P(x; y) = 81x2 – 49y2 III. P(x; y) = 64x3+125y3 IV. P(x; y) = x2 – 2xy – 63y2
A. (9x – 7y)2 B. (4x – 5y)(16x2 – 20xy++25y2) C. (x+9)(y – 7) D. (9x+7y)(9x – 7y) E. (4x+5y)(16x2 – 20xy+25y2) F. (x – 9y)(x+7y) a) IF - IIA - IIIE - IVC b) IC - IIA - IIIB - IVD c) IF - IID - IIIE - IVC d) IC - IID - IIIE - IVF e) IF - IIA - IIIE - IVD Cuarto año de secundaria
25
6
Capítulo
11. Indica verdadero (V) o falso (F) luego de factorizar: A(x) = 6x3 +5x2 – 4x A. Tiene tres factores primos...................... ( ) B. Tiene dos factores primos mónicos........( ) C. La suma de sus factores primos es: 6x – 1 ................................................( ) D. Tiene un factor primo cuadrático..........( ) a) VFFF
b) VFFV
d) VVFF
e) FVVV
c) VFVF
P(x;y) = x5y + ax4y + x3y + ax2y? a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
indicando el factor primo que más se repite. a) n + 4
b) n + 1
d) n + 3
e) n + 8
c) 3
a) x3 – 4
b) x3 – 2x+4 c) x2+2x – 4
d) x3 – x – 4
e) x3 – x+4
20. Factoriza: P(x; y; z) = x4z+4x2y2 – 4x2y2z+4y4z–x4 – 4y4 Indicar la suma de coeficientes de un factor primo. a) –3
b) 1
d) 2
e) –2
indicando un factor primo. b) x – y + 2 c) x – y + 1 e) x
14. Factoriza: P(x; y) = x9y - x3y7
Indica un factor primo. a) x2 + xy + y2 b) x2 – xy – y2 c) x2 + y2 d) x2 + y
e) x2 – y
15. Calcula la suma de los coeficientes de un factor primo de: P(m; n; p) = (2m+3n–p)2–14m–21n+7p–18 a) 2
b) –3
d) 5
e) 6
c) n + 2
18. Factoriza: P(x;y) = 36x4 - 109x2y2 + 25y4 indicando el número de factores primos. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
13. Factoriza: P(x;y) = (x – y)3 – (x – y)2 – 2(x – y) a) x – y + 3 d) x – y – 8
c) –1
21. Factoriza: P(x) = (x2+x+1)(x2 – x+1)+7x2 – 385 indicando la suma de factores primos lineales. a) 24 b) –16 c) 2x d) 0
e) –8
22. Factoriza: P(x; y) = (x2 – y2+1)2+10(x2 – y2)+19 Indicando el número de factores primos. a) 1
b) 2
d) 4
e) 6
c) 3
c) –4 23. Factoriza: P(x) = (x+1)(x+2)(x+4)(x+5) – 10 Indicando un factor primo.
16. Factoriza: P(x;y) = 4(x + 3y)2 – 9(2x – y)2
a) x2 – 6x+10 b) x2+6x – 10
c) x2 – 6x – 10 d) x2+6x+3
indicando un factor primo. a) 8x + 3y
b) 8x – 3y
d) 8x – y
e) 4x – y
Colegios
26
A(n)=(n+3) (n+2) (n+1)+(n+2) (n+1)+ (n+1)
19. Un factor primo de la expresión: P(x) = x6 – x2 – 8x – 16 es:
12. ¿Cuántos factores primos de segundo grado tiene el siguiente polinomio
17. Factoriza:
TRILCE
c) 8x + 6y
e) x2+6x – 3
Central: 6198-100
Álgebra 24. Factoriza: P(x; y; z) = (x3 + y3 + z3)3 – x9 – y9 – z9 indicando el número de factores primos. a) 1
b) 2
d) 6
e) 8
25. Factorizar: P(a; b; c)=abc(ab+bc+c)+ac(a+ab+c)+b(a3+c3) Indicar la suma de dos factores primos.
c) 3
a) 2a+ac+b
b) 2b+c+ac c) a+b+c
d) ab+c
e) 2c+a+ab
Practica en casa 1. Factoriza el polinomio: P(x) = x3+5x2+17x
9. Indica verdadero (V) o falso (F) luego de factorizar: A(x) = 9x3 +7x2 – 2x
2. Factoriza el polinomio: P(x) = x2(x – 2)+3x – 6 3. Factoriza: P(x; y) = x2 – xy+3x – 3y 4. Factoriza: P(x; y) = 36x2 – 25y2 De como respuesta la suma de coeficientes de un factor primo.
A. B. C. D.
Tiene dos factores primos...................... ( Tiene dos factores primos mónicos........ ( La suma de sus factores primos es: 11x–1.... ( Tiene un factor primo cuadrático.......... (
) ) ) )
10. Factoriza: P(x; y; z)=x2+xy+zx+zy+x+y Indicar un factor primo. 11. Factoriza: P(x) = (x+5)2 – 16
5. Factoriza: M(a; b) = a2 – 4 + 2ab + b2 Indica un factor primo.
12. De la suma de los términos independientes de los factores primos de: P(x;y) = x2 + 2x + xy + y + 1
6. Factoriza:
13. Factoriza: P(x) = (x+4)(x+2)(x+1)+(x+4)(x+1)–2 (x+1)
P(x; y) = x3+27y3
indicando la suma de factores primos.
7. Luego de factorizar: P(x; y) = 5x2+17xy+6y4 calcula la suma de los factores primos.
14. Factoriza: P(x;y) = 100x4 – 29x2y2 + y4 indicando el número de factores primos.
8. ¿Cuántos factores primos tiene el polinomio: P(x) = x4 – 17x2+16?
15. Factoriza: P(x) = x2(x+2)2 + x2+2x – 12
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Cuarto año de secundaria
27
6
Capítulo
Tú puedes 1. Al factorizar: xn + 4 – xn + 2+x4 + x3 – x2 + x+2, uno de sus factores primos tiene:
a) 3 términos
b) 4 términos
c) 5 términos
d) 6 términos
e) 7 términos
2. Uno de los factores primos de: x2x + xx – 12, para: x=3, se convierte en: a) 23 b) 25 c) 30 d) 31 e) 33 3. Factoriza: P(x;y) = x6 + 2x5y – 3x4y2 + 4x2y4 – y6 ; indicando un factor primo.
a) x3 – xy+y2
b) x3 – x2y+y2
c) x2 – xy+y3
d) x3 – x2y+y3
e) x2 – xy2+y3
4. Factoriza: F(a;b) = (a + b)7 + c3(a + b)4 – c4(a + b)3 – c7, indicando un factor primo.
a) a+b+c
b) ab+bc+ac
c) a2+ab+b2
d) a – b
e) a2+b2+ c2
5. Factoriza: P(x) = (x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)2 – x6, indicando un factor primo.
a) x+2
Colegios
28
TRILCE
b) x+3
c) x4+1
d) x+7
e) x+8
Central: 6198-100
Capítulo
7
Factorización II Problemas para la clase 1. Indica Verdadero (V) o Falso (F):
6. Factoriza:
A. El polinomio: P(x)=x3+3x2+x–2 se factoriza por divisores binómicos...................... ( ) B. El polinomio: P(x)=x4+x2+2 es mónico...( ) C. El polinomio: P(x) = x3 – 6x2 +11 x – 6 tiene como un posible cero a: x=2..................( ) D. El polinomio: P(x)=x4+6x3+7x2+6x+1 se factoriza por aspa doble.......................... ( ) a) VVFV
b) VVVF
d) FVVV
e) FFFF
c) VFVF
2. Factoriza: P(x; y) = x2+3xy+2y2 – x+y – 6 Indicar un factor primo. a) x+y+4
b) x+y+2
d) x – y+18
e) x+2y+14
c) x+y – 2
3. Factoriza: P(x; y) = x2+4y2 – 2x – 5xy+11y – 3 Indica la suma de coeficientes de un factor primo. a) –2
b) –1
d) 1
e) 2
a) 3x+y
b) 3x+y+2 c) 5x+2y
d) 5x–2y+2
e) 5x + 2
5. Factoriza: P(x) = x4+5x3+6x2+5x+1 Indica el término lineal de un factor primo. a) –5x
b) 4x
d) –x
e) 3x
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c) 2x
Indica el número de factores primos. a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
7. Factoriza: P(x)=x4+3x3 – x2+7x+2 calcula el valor numérico de un factor primo para x=3. a) 6
b) 8
d) 12
e) 20
c) 10
8. Factoriza: P(x) = x3 – 3x2+7x – 5 indica un factor primo. a) x+1
b) x – 5
d) x+5
e) x2+2x+5
c) x2 – 2x+5
9. Uno de los factores primos del polinomio: P(x) = x3 – x2 – 2x – 12 es:
c) 0
4. Factoriza: P(x;y)=15x2+11xy+2y2+16x+6y+4 Indica un factor primo.
P(x) = x4+5x2+9x2+11x+6
a) x+3
b) x2 – 2x+4 c) x – 3
d) x2+2x+2
e) x+2
10. Factoriza: P(x) = x3 – 5x2 – 2x + 24 indica la suma de los términos independientes de los factores primos. a) –7
b) –5
d) 4
e) 6
c) –3
11. Factoriza: P(x;y)=6x2+7xy–3y2+11x-11y–10, indicando la suma de sus factores primos. a) 5x+2y+3 b) 5x+y–3 c) 5x+2y–3
d) x+y+1
e) x+2y+3
Cuarto año de secundaria
29
7
Capítulo
12. Factoriza:
P(x; y;
19. Factoriza:
z)=6x2
–
3y2
–
2z2
P(x;y;z)=x2+y2 – 4z2+2xy+3xz+3yz
– 7xy – xz+7yz
uno de los factores primos es:
indica un factor primo.
a) 3x – y+z
b) 2x+3y – z c) 3x+y – 2z
a) x+y+z
d) x+y – z
e) 2x+y+z
b) x+y – 4z c) x+y+4z
13. Indica un factor primo de:
d) x+y+2z
P(x)=x3(x+1)+2x2+5(x–3)
a) x2 – 5
d) x2
b) x2 + 5
– 3
e)
x2
c) x2 – x – 3
e) x+y – 2z
+3 20. Factoriza:
14. Factoriza:
P(x; y) = 28x2 – 69xy – 22y2 – 36x – 71y – 40
P(x) = x4 + 5x3 – 7x2 - 29x + 30
indicando la suma de sus factores primos.
indica la suma de todos los factores primos.
a) 4x + 3
b) 4x + 4
d) 4x + 6
e) 4x + 7
a) 11x+9y+3
c) 4x + 5
b) 11x – 9y – 3 c) 11x – 9y+3
15. Indica un factor primo de: P(x) = a) x2
x4
+ 2x + 4 b)
+
x2
d) 11x+9y – 3
4x2
+ 16
+ 2x
c)
e) 11x+9y+5 x2
– 2x
d) x2 – 2x + 3 e) x2 + 6x – 1
21. Factoriza:
16. Indica Verdadero (V) o Falso(F) al factorizar: P(x) =
x3
+
2x2
P(x) = (x2+x – 1)2+(2x+1)2
calcula la suma de coeficientes de un factor primo.
– 13x + 10
A. El polinomio tiene dos factores primos.... ( B. El polinomio tiene tres factores primos.... ( C. La suma de sus factores primos es: 3x+2.... ( D. Uno de los factores primos es: x – 2........ ( a) VVVF
b) FVVV
d) FVVF
e) FVFF
c) VVFF
) ) ) )
e) x
30
indica un factor primo. a) 3x – 1
b) 2x + 1
d) 3x+2
e) 4x+1
TRILCE
indica el factor primo cuadrático. a) x2+1
b) x2+x+1
d) x2+x+2
e) x2 – x+2
c) x2 – x+1
P(x) = x3+2x2 – 5x – 6
P(x) = 6x3 – 23x2 – 6x+8
Colegios
e) 6
23. Luego de factorizar:
18. Factoriza:
d) 3
c) 4
P(x)=x12 –x9 – 6x6+4x3+8
17. Factoriza: H(x) = x3 – 7x + 6 Indica un factor primo. a) x – 3 b) x + 2 c) x – 1 d) x + 1
b) 2
22. Luego de factorizar:
a) 1
c) 2x+3
se obtiene P(x)=(x – a)(x+b)(x+c)
calcula a×b+c, si b > a > c. a) 8
b) 7
d) 5
e) 4
c) 6
Central: 6198-100
Álgebra 24. Calcula el valor numérico de un factor primo de: P(x)=x5+3x4 –
17x3 –27x2+52x+60
Para x=7. a) 1
b) 3
d) 9
e) 10
c) 6
25. Factoriza: P(x)=x6+7x5+17x4+13x3–10x2–20x – 8 Indica el factor primo de mayor multiplicidad. a) x – 1
b) x+1
d) x+2
e) x+4
c) x – 2
Practica en casa 1. Factoriza: P(x;y)=x2+5xy+4y2+2x+5y+1 2. Factoriza: P(x;y) = 5x2+8xy+3y2+2x – 3 3. Factoriza: P(x;y) = 3x2+4xy+y2+4x+2y+1 4. Factoriza: P(x;y) = 10x2+11xy – 6y2 – x – 11y – 3 de como respuesta la suma de los factores primos. 5. Factoriza: P(x) = x4 – 2x3 – 10x2+5x+12 ¿Cuántos factores primos tiene? 6. Factoriza: P(x)=x4+7x3+14x2+7x+1 7. Luego de factoriza: P(x)=x4 – 4x3+11x2 – 14x+10 indica el factor primo de mayor término independiente. 8. Factoriza: P(x)=x3 – 3x+2
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9. Factoriza: P(x)=x3+2x2 – 5x – 6 calcula la suma de sus factores primos. 10. Factoriza: P(x)=2x3 – 5x2 – 23x – 10 de como respuesta la suma de sus factores primos mónicos. 11. Factoriza:
P(x) = x3+5x+6
12. Factoriza: P(x;y;z)=6x2 – 20y2 – 14z2+7xy+38yz – 17xz 13. Factoriza: P(x)=x4+3x3+7x2+7x+6 14. Factoriza: P(x)=x4+2x2+9 Calcula el valor numérico de un factor primo para x=3. 15. Factoriza: P(x)=x3+6x2+11x+6 de como respuesta la suma de sus factores primos.
Cuarto año de secundaria
31
7
Capítulo
Tú puedes 1. Al factorizar: P(x) = x5 + 5x4 + 7x3 – x2 – 8x – 4 , indique "V" o "F"
I. El polinomio tiene cinco factores primos. III. La suma de sus factores primos es: 3x+2
a) FVFF
b) VVVV
II. El polinomio tiene tres factores primos. IV. Uno de los factores primos es: (x + 2)2.
c) FVVV
d) FVVF
e) VVVF
2. Factoriza: P(x;y) = 24x3y2+60x2y2 – 6xy4 + 6xy3 + 36xy2 a) 6xy2 (x + y + 1)(2x – y + 3) c) 6xy2 (2x + y + 2)(x – y + 3) e) 6xy2 (2x + y + 2)(2x – y + 3)
b) 6xy2 (x + y + 2)(2x – y + 3) d) 6xy2 (2x + y – 2)(2x – y – 3)
3. Factoriza: P(x) = x5 + x + 1 a) (x2 + x + 1) (x3 – x2 + 1) c) (x2 – x – 1) (x3 – x2 + 1) e) (x2 + x + 1) (x3 + x2 – 1)
b) (x2 + x + 1) (x3 + x2 + 1) d) (x2 – x – 1) (x3 + x2 + 1)
4. Factoriza: P(x) = x12 – 3x9 – 7x6 + 27x3 – 18 a) (x – 1)(x2+x+1)(x3 – 2)(x3 – 5)(x3 – 3) c) (x+1)(x2 – x+1)(x3 – 2)(x3+3)(x3 – 3) e) (x – 1)(x2+x+1)(x3 – 2)(x3+4)(x3 – 3)
b) (x – 1)(x2+x+1)(x3 – 2)(x3+3)(x3 – 3) d) (x – 1)(x2+x+1)(x3+2)(x3+3)(x3 – 3)
5. Indica un factor primo de: P(x) = x5 – x4 + 2x2 – 2x + 1
a) x2 + x + 1
Colegios
32
TRILCE
b) x3 + x + 1
c) x2 + x – 1
d) x3 – x+1
e) x2+1
Central: 6198-100
Capítulo
8
Fracciones algebraicas Problemas para la clase 1. La siguiente fracción:
1 F(x) = xx+ -3
no está definida para: a) x=1
b) x=3
d) x=–3
e) x=0
c) x=–1
2. La fracción algebraica:
F(x) = 2 3 x − 5x − 6 está definida para x ≠ a ∧ x ≠ b
Calcula a2+b2.
a) 25
b) 37
d) 1
e) 30
b) x+3
d) x+2
e) x – 3
d) 1
e) –x
c) x+4
e) x – 2
6x2 + x - 2 ' 2x - 1 x+3 3x + 9
a) 2x+3
b) 3x – 1
d) 9x+6
e) 9x – 3
c) 6x+9
2x + my es independiente de 4x + 3y "x" e "y", halle "m".
9. Si la fracción:
a) 6
3 b) 1 c) 6 2
d) 4
e) 1
c) x – 1
c) x3-2
A + 3 = 17x - 3 x - 1 2x 2x2 - 2x calcula el valor de "A". a) 2
b) 3
d) 6
e) 7
c) 5
2 2 11. Reducir: 2x2 –10x + x 2+ 16x + 15 x –25 x + 6x + 5 a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 www.trilce.edu.pe
2x - 4 E x
10. Si se cumple:
23x - 26 ; x ≠ –2 ∧ x ≠ 2 x -4 x -4 b) 4
x
E; ; 2 x -4
8. Efectúe:
5. Efectúe:
a) x+2 3 d) x + 2
e) 5x+2
x 2 e) d) x + x-4 2
c) 36
1− 1 1 1+ x b) x
d) 5x – 2
c) x2 – 4
x b) x 2 a) x + 2 x-2 x - 2 c)
1
a) x+1
b) x+4
4. Reduzca:
a) x2
7. Efectúe:
3. Simplifica la fracción: ; x ≠ –2 ∧ x ≠ 5 F(x) = 2 x - 5 x - 3x - 10 De como respuesta la suma del numerador y denominador de la fracción obtenida. a) x – 1
6. Luego de efectuar: x + 3 x - 2 x + 2 ; x ≠ –2 ∧ x ≠ 2 calcula la diferencia entre el numerador y denominador de la fracción resultante.
e) 4 Cuarto año de secundaria
33
8
Capítulo
2xy 12. Simplifica: 1 ; x + x + 2 2 E 2 x–y x+y x –y 2 1 x a) b) c) x–y x+y x+y d) 1 e) x x+y 13. Reduzca:
19. Calcula el verdadero valor que toma la fracción: x + xx -- 4 F(x) = x + 1 x- x+6 2
b) x2 + 2
d) x2 + 4
e) x2 + 5
2 c) 16 b) 5 5
a) 0
x3 + 1 - x2 + 1 x–1 1–x x + 1 1 + x
a) x2 + 1
Para x = 2
4 e) 8 d) 5 9
c) x2 + 3
20. Simplifica: a a2 –b2 b+ 2 b 2 a +b b + 2b 2 a –b a+ 2 a 2 a +b a+b b) a–b c) a–b a a+
14. Efectúe: 4x $ x + 1 $ x3 - 1 x - 1 x2 + x + 1 x + x2
a) 4
b) 3
d) 1
e) 8
c) 2
15. Obtén el producto resultante: 1 1 1 1 `1 + x jc1 + x + 1mc1 + x + 2 m ... c1 + x + n m x + n + 1 c) x–n a) x + n b) n x n x+1 d) x–n + 1 e) x x+n 16. Simplifica:
1a) x
^a - 2h x + ^2a + 3b - 1h y + 3b
8x - 4y + 7 tiene un valor constante para todos los valores de "x" e "y", entonces este valor constante es: − 1 c) −1 a) − 1 7 5 3 b) 1 e) −1 d) − 27 9
Halla: (A × B)A+B
a) 8 d) 12
34
TRILCE
b) 4 e) 9
1 + x m2 + c 3 + 3x m - 4 1 - 3x 1 - 3x 2 + 1 x 13 13x 3 c 1 - 3x m + c 1+ - 3x m + 4 b) 1 c) x+1 c
a) 0 d) x
e) x+2
es equivalente a: α +
β + θ 2x + 1 x – 1
α + 3 (θ + β) 15
Halle:
1 c) 3 a) – 1 b) 5 5 5 1 d) 1 e) 15 3 23. Efectúe:
x+3 = A + B 18. Si: 3 2 x–5 x + 4 x –x–20
Colegios
21. Reduzca:
2 22. Si la fracción: 3 – 22x + 4x 2x –x–1
e) x – 3
17. Si la fracción: F(x;y) =
a) 1
a2 d) b e) a+b b2
x-1 ' x +11 1 2- 1 1 + 1x 1- x b) x+2 c) x – 2
d) x+3
2
- c2 ^b + c + 4ah2 - a2 ^c + a + 4bh2 - b2 + + 2 2 2 ^a + b + 2ch - c2 ^b + c + 2ah - a2 ^c + a + 2bh - b2 ^a + b + 4ch
c) – 6
a) 8
b) 4
d) 7
e) 16
c) 5
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Álgebra 24. Simplifica: 1-
a) x–1 d) x–4
x5 - 1 x2 - 1 x3 + 3 1 + x 4- 1 x - x -11 x- x b) x–2 c) x–3 e) x–5
25. Sabiendo que: Calcula:
a4 – (bc) 2 + b4 – (ac) 2 + c4 – (ab) 2 a (a–b–c) b (b–a–c) c (c–a–b)
a2+b2+c2=3 ab+ac+bc=0
a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
Practica en casa 1. La fracción algebraica:
10. Si se cumple:
F(x) = xx -- 2 4
no está definida para x = _______
11. Relaciona correctamente:
2. La siguiente fracción:
A + 5 = 11x + 5 x+1 x x2 + x halla el valor de "A"
F(x) = 2 5 x - 6x + 8 está definida para x ≠ a ∧ x ≠ b calcula a2+b2.
x2 –4x + 4 x–2
A
4
x + 7 + 2x–5 + x–2 x x x
B
x–6
x2 –36 x+6
C
2
x + y x–y – y y
D
x–2
3. Simplifica la fracción: F(x) = x2 - 4 ; x ≠ 0 ∧ x ≠ 4 x - 4x 4. Reduzca: 1
2 1- x+ 2
5. Efectúe:
x + 1 ; x ≠ –1 ∧ x ≠ 1 x2 - 1 x2 - 1
6. Efectúe:
5 - 3 x-3 x+1 x - 1 x + 3F x−1
H< > 2 x -9
x2 - 5x + 4 ' x - 1 x+5 x+5
9. Si la fracción: mx–12y F(x; y) = 4x–6y es independiente de "x" e "y", calcula "m".
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13. Efectúe:
14. Si:
8. Efectúe:
2 2 a –25a + 6 + a 2+ a–20 a –a–2 a –3a–4
x2 – 2x3 + x2 x + 1 x2 –1 x–1
7. Efectúe:
12. Reduzca:
3x + 4 = A + B x+1 x+2 x2 + 3x + 2
Halla: A.B
–2 –2 –1 –1 –1 –1 15. Si: M = (a–1 –b –1) –1 ; N = (a–2 –b –2) –1 (a + b ) (a –b )
Halla "M.N".
Cuarto año de secundaria
35
8
Capítulo
Tú puedes 3
1. Si: x3 = 1, x ≠ 1 , reduzca: M = c
a) 1
x- 4 m 1 + x5
b) - 1
c) 2
d) - 2
2. Si: (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 , calcula: K =
- xyz (x + y + z) (xy) 2 + (xz) 2 + (yz) 2
c) 2-1
d) 2-2
a) 2
b) 3 2
7x2 (y - z) - 3 7 (x - z) - 2 G .= G 3. Reduzca: = 2 (z - x) (z - y) 2
a) (y - z)4 (x - z)2 d) 7x4 (y - z)-4 (x - z)-2
e) 3 2
e) 9
-1
b) 7x (y - z)-4(x - z)-2 e) 7x4 (y - z) (x - z)
c) x(y - z)-4 (x - z)-2
4. Si: a + b + c = 7 y b + c + a = 5 , halla: ` a + 1jc b + 1m` c + 1j b c a 2 a b c 2 b c a a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 5. Si: am = bn = cp, calcula: E =
a) 1
Colegios
36
TRILCE
b) 2
mnp (a + b + c) (ab + ac + bc) abc (m + n + p) (mn + mp + np) c) am
d) abc
e) mnp
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Capítulo
9
Repaso I Problemas para la clase 1. Simplifique: S=
(x3 y) 2 y3 ; x ≠ 0, y ≠ 0 (x2) 2 (y3) 2
y x a) x b) c) x y y2 2 d) x y
7. Obtén el quinto término en el desarrollo del cociente notable generado por: x28 - y35 x4 - y5
e) x.y
2. Calcula el valor de "x" que verifica la igualdad: 16x+3 = 32x – 4 a) 4
b) 8
d) 32
e) 64
c) 16
3. Calcula "a + b + c" , si el polinomio: P(x;y)=xa+3y2+5xb–5y+bx8yc+4+x10y9 es homogéneo. a) 44
b) 43
d) 41
e) 40
5+ 2+ 5– 2 5– 2 5+ 2
7 c) 7 a) 7 b) 3 2 6 14 d) 14 e) 3 5
b) 1
d) –6
e) 6x
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
a) 2x+y
b) 2x+5y+3 c) x+y+3
d) 2x+2y+3
e) 2x+5y
A. 5 B. x – 3
x2 - 100 III. x + 10 x + m - x - m IV. m m
C. 2 D. x – 10
a) IB - IID - IIIA _ IVC b) IB - IIC - IIID - IVA c) IA - IIB - IIIC - IVD d) ID - IIA - IIIC - IVB e) IB - IIA - IIID - IVC
x4 + 4x3 + 6x2 –7x + 2 x2 + 2x + 1 Indica el resto.
11. Simplificar:
a) 1 – 10x
b) 1 + 11x
d) 10x – 2
e) 4x – 1
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e) x8y5
10. Relacionar correctamente: x2 - 6x + 9 I. x-3 + x II. x 2 + 3x x+ 5 + x x- 7
c) –3
6. Divide:
d) x8y20
c) x4y15
9. Factoriza: P(x;y) = 4x2 + 12xy + 5y2 + 12x + 18y + 9 indicar un factor primo.
5. Reduzca: (x+2)2 – (x+5)2 +(x+4)2 – (x+1)2 a) 0
b) x4y20
8. Halla el número de factores primos del polinomio: P(x;y) = 13x10y5 – 26x7y8 + 39x11y9
c) 42
4. Simplifica:
a) x8y10
c) 1 – 11x
a) 1 d) 4
8
2
22
2
b) 2
2B
2
2 -1
c) 2
e) 2 2 Cuarto año de secundaria
37
9
Capítulo
12. El siguiente polinomio:
18. Simplifica:
P(x)=5x3a–9+10xa+b–3+20(x2)4b–c+a
2ab a –ab + b2 E(a;b)= 3 3 a –b 2a – 1 c 3 mc m 3 a –b a +b a) 1 b) 1 c) a 2 b d) b e) 0 a
es ordenado de forma creciente y completo.
Calcula: ab + bc + ac. a) 15
b) 20
d) 27
e) 2
c) 22
1+
19. Hallar "n" en:
13. Simplifica: R=(a+b+c+d)2–(a+b+c)(a+b+d)–(b+c+d)(a+c+d)
a) ab
b) ac + cd
d) -cd – ab
e) 0
c) cd + ab
14. El residuo de la siguiente división: x4 –4x3 + 6x2 – (a + 2) x + (b + 3) (x + 1) 2
2
es: – (27x+11); indica "a + b". a) - 3
b) 0
d) 4
e) 5
c) 3
5
4
1 x x
3
a) 10
x = 5 4 3 xn x b) –17 c) 24
d) –33
e) 46
20. Encontrar el polinomio cuadrático P(x) que verifica: P ex + 1 o + P ex - 1 o / 6x2 + 8x + 5 2 2 para luego indica la suma de sus coeficientes. a) 1
b) 8
d) 9
e) 13
c) 2
15. Si el trinomio racional: (x5 – ax+b) es divisible por (x2 – 2x+1), calcula el valor de a2+b2 (ab ≠ 0). a) 25
b) 30
d) 41
e) 47
c) 36
F(x;y)=x2(x – y)2 – 14xy2(x – y)+24y4 de un factor primo. a) x + 2y
b) x – 3y
d) x – y
e) x + 8y
=c
c) x – 4y
P(x) = x5+4x4 – 10x2 – x+6
Indica el factor primo de mayor multiplicidad. b) x – 1
d) x – 2
e) x+3
Colegios
38
TRILCE
2
22. Calcula a . b–1, si luego de efectuar
17. Luego de factorizar:
a) x+1
2
a + b m2 + c a - b m2G - 4 a2 - b2 > 2 2H a+b a-b a+b a-b ^a + bh ^a - bh
para a = 2 + 3 ; b = 2 - 3 4 16 a) 3 4 b) 3 c) 3 3 d) 16 e) 2
16. Factoriza:
21. Halla el valor de:
c) x+2
2 n-1 x + ^a - bh3 xn - 2
^a - bh xn + ^a - bh
; b!0 x-a+b se obtiene como residuo 3bn+1. a) 1 b) 3 c) 1 2 3 d) 4 e) 2
23. Factoriza: P(x)=(x+1)4+(x+2)3+(x+3)2 – 7(x+2)+2
Indica la suma de coeficientes de un factor primo. a) 1
b) 3
d) 10
e) 5
c) 6
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Álgebra 24. Factoriza:
F(x; y; z)=(x+y)(x+z)(y+z) – x3 – y3 – z3+4xyz
Indica un factor primo. a) x+2y+2z
b) x+y+z
d) x2+y2+z2
e) x+y – z
c) xy+xz+yz
25. Reducir: 1 1 1 S= ; a ≠ b ≠ c + + (a–b) (a–c) (b–a) (b–c) (c–a) (c–b) a) 0 b) 1 c) 2abc d) abc e) –a–b–c
Practica en casa 9. Factoriza: F(x) = x3 – 2x2 – 5x + 6
1. Simplifica:
3 `x 4 yj . y10 4 `x3 . y3j
; xy ! 0
2 3x + 2 2 - 18 + x - 3x 10. Efectúe: x ++ x 1 x-6
2. Calcula el valor de "x", que verifica la igualdad: 125x – 3 = 25x+2 3. A partir del polinomio: P(x) = 2x+7 Calcula: P(5x) – 5P(x) 2
11. Si el polinomio "P(x)" es completo y ordenado: 0 P(x)=3xp–n–5–4xn–m+3+7xm–6+x2+(m+p) Calcula (m + n + p). 12. Efectúe: _ 2 + 3 + 5 i_ 2 + 3 - 5 i - 2 6
2
2y 2y 4. Reducir: S= c 3x + m – c 3x – m 2y 3x 2y 3x
5. Multiplicar: 3 4 + 2 2 .3 4 - 8
13. Halla el resto de la división: (x6 –9x + 6) 2012 + (x6 –9x + 4) 2011–2 (x6 –9x) –14 x6 –9x + 5 14 Dé un factor primo de: P(x) = (x–3)(x–2)(x–1)+(x–1)(x–2)–(x–1)
6. Calcular el residuo de la siguiente división: 3x4 + 10x3 + 9x2 + 11x - 4 3x2 + x + 3
15. Completa luego de reducir: 1 = A. 1 - 1x
7. Calcular "n", si la división:
x2 + 7x + 10 = B. x+5 2 x + 5x + 4 + x2 - x - 6 = C. x+4 x-3 2 2 c x 25 me x 36 o = D. x-5 x+6
5n
6n + 1
x –y n 2n x –y
3
; genera un cociente notable.
8. Factorizar: P(x) = (x2+5x)(x – 1)+6(x – 1)
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Cuarto año de secundaria
39
9
Capítulo
Tú puedes 1. Calcula el exponente final de z en: 10
z
10
z3
10
z5 10 z7 ...
P(x;y) = xa+yb+c+xbyc+xcyb+xdye+xeyd;
11 c) 9 b) 10 a) 100 81 81 1 d) 14 e) 9 91 2. Uno de los factores primos de: P(x;y;z)=zx4 + 4x2y2 – 4x2y2z +4y4z- x4 - 4y4, es:
a) 1 + z d) x – 2y
b) 2 – z e) x + 2y
c) z – 1
halla: H + 16, 25 a) 2x + 1
b) x + 1 2
2x + 1 d) 2
e) 2x – 1
Colegios
40
TRILCE
si la suma de todos los exponentes del polinomio propuesto es 42, halla: E = a + b + c + d + e
a) 7 d) 28
b) 14 e) 35
c) 21
5. Dado el polinomio:
3. Si: H= (x–5) (x + 6) (x–1) (x + 2) + 196
4. Dado el polinomio homogéneo:
P(x) = x5 + ^3 2 - 2hx3 + 2 2 + 1 Calcula el valor de P^ 2 - 1h .
a) 2 d) 2 –1
b) 1 e) 4
c) 2
c) x + 2
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Capítulo
10
Radicación algebraica Problemas para la clase 1. Efectúa:
16 - 35 - 32 + 53 8
a) 8
b) 10
d) 20
e) 23
c) 15
8. Al reducir: 49 se obtiene 4 3a + 2 . 3 Calcula el valor de "a". a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
2. Simplifica: 13 2 + 32 - 50 2 8 + 5 3 - 75
a) –2
b) 2
d) 1
e) –1
3. Efectúa:
9. Efectúa: c) 3
1 1 – 1 + 1 + 8+ 6 6 –2 2 + 2 2 a) 2 b) -2 c) 1 d) -1
^2
3 + 1h^3 3 - 2h + 4 9
a) 2 3
b) 0
d) 16
e) 1
c) 3
e) 0
10. Calcula el verdadero valor de: x -2 x - 4 para x = 4 a) 1/2 b) 1/4 c) 1 d) 2
4. Calcula: ( 7 + 2 ) ( 7 – 2 ) + (3 + 2 ) (3– 2 ) + ( 5 + 2) ( 5 –2)
a) 10
b) 11
d) 15
e) 17
c) 13
e) 4
11. Efectúa:
R
1− 3 2 .S 1 3 SS 3 − − 1 S 3 S 3
T
5. Reduzca: 7 + 2 10 + 5 - 2 6 - 8 + 2 15 a) 5
b) 0
- 3 -1 + 3 a) - 1 2 2 b) 2 2 3 3 1 1 + c) 2 - 2 d) 2 2 e) 3 + 1
c) − 3
d) 5 + 3 e) 3- 2 6. Luego de reducir: 12 + 6 3 + 7 - 48 se obtiene: a) 1
b) 3
d) 8
e) 10
7. Efectúa:
b) –1
d) 1
e) 1 + 7
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12. Simplifica: 1 > x + x2 - 1 - x - x2 - 1 H x2 - 1 x - x2 - 1 x + x2 - 1
c) 5
a) x
b) 2x
d) 4x
e) 5x
c) 3x
13. Calcula:
5- 7 . 3+ 7 - 7
a) − 7
V−1 W W W W W X
c) 7
2 + 5 - 3 6 - 2 + 8 + 2 12 4 3 c) a) 3 b) 2 2
d) 4 2 e) 6 Cuarto año de secundaria
41
10
Capítulo
21. Reduzca:
14. Simplifica:
4 + 15 + 4 - 15 5 + 21 - 5 - 21 5 a) 3 c) 1 5 b) 3 d) 35 e) 7
4 3 1 + 8+4 3 7 - 2 10 11 - 120 a) 1
b) 5
d) 0
e) 7
b) 20
d) 40
e) 25
c) 10
a) 1
b) 9
3 -3
2
3 5 -3 2 d) 3 5 - 3 4 e)
13–2 40 + 7 + 40 + 11 + 6 2 33 + 8 2 + 3– 8 + 11– 72
d) 2 – 1
con
sus
III. 2x + 6 + 2 x2 + 6x - 7 IV. x + 6 + 2 7x - 7
E. x + 7 + 7 F. x + 1 + x - 7 G. 7x + 1 H. x - 1 + 7
x+ 7 x+7 + x-1 x+7 +1 x+7 + x-7
a) ID - IIA - IIIB - IVC b) ID - IIG - IIIB - IVH c) IA - IIE - IIIF - IVH d) IE - IIC - IIIF - IVB e) IE - IIG - IIID - IVH 24. Si x > 1, reduzca:
19. Reduzca:
2
5 - 5 3 + 2 30 5 + 5 3 + 2 30 5 - 5 3 - 2 30 5 + 5 3 - 2 30 3 + 2 5 - 4 30
A. B. C. D.
2 3 a) 22 b) 3 c) 2 1 d) 25 e) 2
a)
e) –1
I. 2x + 2 x2 - 49 II. 7x + 1 + 2 7x
18. Calcula el verdadero valor de: x + 1 - 2 para x = 3 x-1 - 2
d) 0
c) 1
23. Relaciona los radicales dobles respectivos radicales simples:
17. Luego de racionalizar el denominador de la fracción: 1 3 25 + 3 20 + 3 16 se obtiene: c) 3
b) 3
a) 3 b) 3 c) 3 d) 3 e) 5
c) 2
16. Indica el denominador racionalizado de: 1 35 - 6 + 21 - 10 a) 8
a) 6
22. Indica el equivalente de: 30 3 + 5 +2 2
15. Efectúa:
3+ 3 – 3 3 2 - 2- 3 2 + 2+ 3
b) 3 2
x + x2 - 1 + x - x2 - 1 2 2
a)
c) 3 2 –1
x + 1 b) x2 - 1 c) x-1 2
d) x2 + 1 e) x
e) 1
25. Sea: 20. Al reducir: 7 + 4 5 + 2 9 + 2 7–2 6 , se obtiene: a + b , a>b. Halla: a+b. a) 12
b) 14
d) 11
e) 15
Colegios
42
TRILCE
c) 9
2 + ax + x2 - a2 - ax + x2 M= a a+x - a-x donde a > 0. Si x = 0, entonces "M" es igual a:
a)1
b)
a -1 a c)
d) a - 1 e) a +1
Central: 6198-100
Álgebra
Practica en casa 1. Efectúa: 3 - 125 + 4 81 - 2 4 16
9. Reduzca: 1 1 1 1 + + + 5 +2 3+ 2 2+ 3 6+ 5
2. Simplifica:
10. Calcula el verdadero valor de: x -3 x - 9 para x = 9.
15 2 - 18 + 4 8 3 3 + 50 - 27
3. Efectúa:
^3
5 - 2h^ 5 + 1h - 4 25
4. Calcula:
11. Simplifica:
2 3 + 5– 13 + 48
12. Simplifica:
^ 10 + 2 h^ 10 – 2 h + ^ 6 + 2h^ 6 - 2h + ^3 + 7 h^3 - 7 h
5. Reduzca: 9 - 2 20 - 4 - 2 3 - 7 - 2 10 + 1 6. Efectúa:
9 - 80 + 14 - 6 5
7. Luego de efectuar:
19 + 2 48 – 13 + 48 + 3 se obtiene:
8. Racionalizando el denominador de la fracción: 8 3 2m . 3 2 se obtiene Calcula el valor de m.
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3– 3 + 2 + 2 2 3 +
2 – 12 + 18– 128
13. Indica el denominador racionalizado de: 219 1+ 2+ 3 + 6 14. Transformar a radicales simples:
2x + 5 + 2 x2 + 5x - 6 ; x > 1
15. Luego de racionalizar el denominador de la fracción: 1 2x + 5 + 2 x2 + 5x + 6
se obtiene:
Cuarto año de secundaria
43
10
Capítulo
Tú puedes 1. Descomponer en radicales simples la expresión: M= 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 2n + 2n 2n a) n +1
b) 2n +1
e) n –1
d) n 2 + n
2. Si: x2 = x + 1, x > 0, reducir: E = x + x – a) x 2 x d) 2
c) n
x–1 2
b) 2x 2
c) 2 2
e) 2 x
+3 x - 3 3. Calcula el verdadero valor de: 2 para x = –5. x+9 -2
a) 3
d) 2
4. Si: 1 < x < 2, reducir: a)
1 b) 2 e) 6
1 c) 3
3 x + 6 + 2 7x–7 + x–2 x–1
6 2
7 + 1 d) 2
b) 7
c) 7 –1 2
e) 7 2
5. Si al dividir 26–2 7 entre 3– 7 , se obtiene una expresión de la forma "a+ b ", donde "a" y "b" son enteros positivos, entonces "a2 – b" es:
a) 9
d) 2
Colegios
44
TRILCE
b) 15
c) 29
e) 18
Central: 6198-100
Capítulo
11
Factorial - número combinatorio Problemas para la clase 1. Efectúa:
7. Efectúa la siguiente suma: 5!+3.2! – 4.3!
a) 103
b) 102
d) 100
e) 99
C70 + C61 +C72 + C83 + C94 + C10 5 c) 101
2. Calcula el valor de "x" en: (x – 10)! = 120 a) 1
b) 2
d) 14
e) 15
c) 10
(4x – 3)! = 1 a) 3 b) 1 c) 5 4 4 6 7 d) 5 e) 4
4 Simplifica: a) 1 d) 7 6 5. Reduzca: a) 9 d) 12
5!.14! 4!.15! 7 b) 1 3 c) 2 e) 3
9! + 10! + 11! 9! + 10! b) 10
e) c ∨ d
2017 C513 + C2017 – C23 0 2 1 – C2015
a) 1
b) –2017
d) –22
e) 0
e) 13
18 19 20 21 C18 5 + C 6 + C7 + C8 = Cx
a) 8
b) 7
d) 5
e) 4
c) 6
10. Indica la suma de los valores de "x" que verifican la ecuación: 35 C35 x2 = C2x
a) 4
b) 5
d) 7
e) 8
c) 6
A = 6! + 7! + 8! 6! + 7!
B=
71! 69! + 70!
Calcula "A.B"
8
a) 56
b) 560
8
d) 650
e) 1
C2 a) 2
b) 4
d) 8
e) 10
c) 23
9. Calcula la diferencia entre los valores de "x" que verifican:
c) 11
C5
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d) C11 6
c) C11 5
11. Si:
6. Calcula el valor de:
b) C10 5
8. Calcula:
3. Calcula la suma de los valores de "x" que verifican la igualdad:
a) C10 2
c) 65
c) 6
Cuarto año de secundaria
45
11
Capítulo
12. Calcula el valor de "x" que verifica: 6^2x - 1h ! - 113@ ! = 5040 a) 1
b) 3
d) 7
e) 9
c) 5
13. Calcule el valor de "x", si: + + (x 5) ! (x 11) ! = 20! (x + 6) ! + 5 (x + 5) ! a) 8
b) 9
d) 11
e) 12
c) 10
14. Simplifica: 21 21 22 23 C5 + C6 + C7 + C8 24 24 C8 + C16
a) 1 d) –3
b) 1 2
a) 380 d) 387
b) 385 e) 400
1 + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = 719 a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
a) (x – 2)!
b) (x – 3)!
d) (x – 6)!
e) (x – 8)!
b) 8
d) 10
e) 11
c) 9
76 + 16. Sabiendo que: 3C77 7k = 11C7k–1 ; k ∈ ,
calcula: (k!) ! k!
1024.(x – 1)![1.3.5.7....(2x – 3)] = (2x – 2)! a) 8 d) 11
b) 9 e) 12
b) 20
d) 160
e) 180
[Cx2]
c) 120
b) 3
d) 6
e) 7
24. Halla "n" en:
entonces podemos afirmar que:
a) A < 0 d) A ∉
c) A=1
n-1 +
= Cn - 4
-
= 36x – 2 c) 4
-
2Cnn - 13 + Cnn - 12 G ! = 120 2
a) 6
b) 5
d) 3
e) 2
c) 4
25. Efectúa:
18. Halla "a+b" si:
^C1nh2 + 2^Cn2h2 + 3^Cn3h2 + ... + n^Cnnh2
a+1 Ca+3 + 2Ca+1 + Ca+1 = Cb+2 b–3 10 + C7 8 9
TRILCE
[Cx3]
a) 1
17. Si: A = 2 (n!) – (n–1) (n–1) ! , n ∈ +, n ! + (n – 1 ) !
b) A > 2 e) A<1
c) 10
23. Halla la suma de todas las soluciones de:
a) 1
Colegios
c) (x – 5)!
22. Halla "x" en:
a) 7
a) 20 d) 26
c) 7
21. Reduzca: ^x - 4h ! + ^x - 3h ! + ^x - 2h ! ; x ≠ 2; x ≠ 4; x ≠ 5 ^x2 - 4x + 4h^x2 - 9x + 20h
e) 4
x+3 Cx+5 x – 1 = 7Cx – 1
c) 386
20. Calcula el valor de "n" en:
c) 2
15. Halla "x" en:
46
19. Reduzca: A = 11!–10! + 10!–9! + 9!–8! +... 9! 8! 7!
b) 22 e) 28
c) 24
^2nh ! ^2n + 1h ! a) (2n 1)!2 b) 2 c) 2 ^n!h 6^n - 1h !@ 6^n + 1h !@
d)
^2n - 1h ! 6^2n - 1h !@ e) ^n - 1h ! ^n 1h !
2
Central: 6198-100
Álgebra Practica en casa 1. Efectúa: 3! + 2.5! – 3.4! 2. Calcula el valor de "x" en: (x – 6)! = 24
10. Indica Verdadero (V) o Falso (F) respecto al factorial y número combinatorio: A. Si: M= 31! → M=930 ......................... ( ) 29!
10 11 B. C10 1 + C2 = C2 ................................... ( )
3. Calcula la suma de los valores de "x" que verifican la igualdad: (2x – 5)! = 1
C. C40 + C41 + C2 = C64 ......................... ( )
D. Si: E=
4. Simplifica:
5. Reduzca:
51! → E=50! .................... ( ) 49! + 50!
11. Halla el valor de "a", sabiendo que:
9!. 25! 10!. 24!
5
16! + 17! + 18! 16! + 17!
6. Calcula el valor de:
12. Determina x+y, si: Cxx
10
(a + 7) ! (a + 5) ! = 15! (a + 6) ! + (a + 5) !
+5
+
+ Cxx + 51 = Cxy + 3
C7
10
C2
13. Simplifica: (1! + 2! + 3!) (2! + 3! + 4!) (3! + 4! + 5!) ..."n" factores (1! + 2!) (2! + 3!) (3! + 4!) ..."n" factores
7. Efectúa la siguiente suma: 12
11 13 C90 + C10 1 + C2 + C3 + C4
14 Calcula "x" en:
8. Efectúa:
C2x + C3x
+ Cx4 2
23 412 412 C213 1 + C0 + C410 – C2
9. Calcula un valor de "n+p", si: 2n C2n 10 – p = Cp – 2
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+1
=7 5
15. Simplifica: +
+
+
Cnn + 52 + 2Cnn + 53 + Cnn + 54 +
Cnn + 74
Cuarto año de secundaria
47
11
Capítulo
Tú puedes 1. Calcular (n+1)(n+2)M, si: M=
n
n
C0 C Cn Cn Cnn + 1 + 2 + 3 + ... + 2 3 4 5 n+2
a) n . 2n – 1
b) n . 2n–1
d) n . 2n–1–1
e) n.2n+1+1
c) n . 2n+1
2. Calcular "n+k", en: n - k + 2 m n + 1 = 30 n+1 n Ck + 1 + Ck + c Ck - 1 C13 n+1 a) 40
b) 44
d) 50
e) Dos alternativas son correctas
4. Dada a; b∈+, tal que: b C1999 – C1999 + C1999 – ... – C1999 4 1998 = a 2 0
Determina el menor valor de "a+b". a) 341
b) 1001
d) 729
e) 1331
c) 623
5. Calcula: 30
c) 47
n
/ e / Cnk o
n=1 k=1
a) 230–30
b) 231–32
d) 231–30
e) 231–31
c) 230–31
3. Simplificar:
2 n+3 2n :nC1n + 1 Cnn + + 1 Cn + 2 ...C2n - 1D n - 1
a) n b) n - 1 c) 2n - 1 d) 2n e) 2n + 1
Colegios
48
TRILCE
Central: 6198-100
Capítulo
12
Binomio de Newton Problemas para la clase 1. ¿Cuánto términos tiene el desarrollo de: (x+y)9? a) 8
b) 9
d) 11
e) 12
c) 10
2. El desarrollo de (x – y)2n–4 tiene 17 términos. Calcula el valor de "n". a) 17
b) 16
d) 10
e) 8
c) 12
7. Calcula el grado absoluto del término central en el desarrollo de: P(x; y) = (x3+y4)10 a) 7
b) 14
d) 28
e) 35
c) 21
8. La suma de los coeficientes en la expansión de: P(x; y) = (3x – y)8 es igual a: a) 0
b) 1
c) 32
d) 128
e) 256
3. Calcula el cuarto término en el desarrollo de: (x +1)5
a) 4x2
b) 9x3
d) 6x
e) 10x
c) 10x2
9. La suma de los grados absolutos de todos los términos en el desarrollo de: P(x; y) = (x2+y5)6 es:
4. Obten el tercer término en la expansión de: (x2+y3)6 a) 10x8y6
b) 15x6y8
d) 15x8y6
e) 20x6y8
(3x2 – y3)12 b) 12x2y33
d) 24x2y33
e) –36x2y33
c) –12x2y33
6. Calcula el término de lugar 13 en el desarrollo de: 15
1 2 P(x) = cx + 5 m x
a) 252x61
b) 455x–54
d) 30x6
e) 4x10
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b) 147
d) 114
e) 121
c) 135
10. Calcula el resultado de: c) 10x6y8
5. Calcula el penúltimo término en el desarrollo de: a) 36x2y33
a) 140
C90 +C91 +C92 + .... + C99 a) 1024
b) 512
d) 1000
e) 800
11. Indica Verdadero (V) o Falso (F) respecto al desarrollo del binomio de Newton:
A. El número de términos de: (12x4+y5)12 es 12 .........................................................( )
B. La suma de coeficientes al desarrollar: (x4+y3)5 es 32.........................................( )
C. El número de términos de: (x2+y3)n+1 es 12, si n=10...................................................( ) n–1
c) 125x–8
c) 256
n–1
n–1
n–1
D. Si: C0 +C1 +C2 +...+Cn–1 =214 entonces n = 13.....................................( ) a) FVFF
b) FVVF
d) VVVF
e) VVFF
c) FVVV
Cuarto año de secundaria
49
12
Capítulo
12. El coeficiente de x12 en el desarrollo de: (x4+1)15
es igual a: a) 456
b) 385
d) 386
e) 415
c) 0,26
!
19. En el desarrollo de (2x – y)10, el coeficiente de x6y4 es:
el término de lugar 11 es de grado 20.
a) 13 380
b) 13 450
a) 5
b) 15
d) 13 440
e) 13 455
d) 12
e) 20
c) 10
20. Si en el desarrollo de:
14. Si el grado absoluto del séptimo término en el desarrollo de: P(a; b; c) = (a2b + c)n es 30, halla el grado de su término central. a) 16
b) 24
d) 31
e) 47
c) 28
15. En el desarrollo de: n
1 + c 2 + x m , x ∈ , el término de lugar 17 es x n de la forma: T17 = C16x2. Calcula el valor de "n". a) 16
b) 17
d) 19
e) 20
c) 18
16. Calcula “n” si al desarrollar: F(x) = (x6 – 1)4(x4 + x2 + 1)2n(x2 – 1)2n
!
!
b) 0,40
d) 0,38 e) 0,03
P(x)=(x5+0,5x)n
a) 0,36
c) 455
13. Calcula "n", si en el desarrollo de:
18. El término independiente en el desarrollo de: 9 2- 1 m P(x) = c 3 x 2 3x es igual a:
se obtienen 25 términos. a) 8
b) 10
d) 18
e) 20
c) 12
e3x3 +
c) 13 460
n
y2 o x
existe un término cuyos exponentes de "x" e "y" son 5 y 8 respectivamente, halle el número de términos del desarrollo. a) 8
b) 7
d) 6
e) 10
c) 9
21. Determina el término racional en el desarrollo de: ^ 2 + 3 2 h5 a) 10
b) 20
d) 40
e) 50
c) 30
22. ¿Cuántos términos irracionales presenta la expansión de: 48 P(x)=^4 x + 3 x h ? a) 44
b) 32
d) 42
e) 26
c) 34
n
17. Indica el valor de "k" si en el desarrollo de:
(x +1)36, los términos de lugares (k – 4) y k2 tienen coeficientes iguales.
admite un solo término central cuya parte literal es: x60y600. Hallar: n ÷ m
a) 7
b) 6
a) 44
b) 40
d) 9
e) 10
d) 10
e) 8
Colegios
50
yn + 20 xm 23. Al desarrollar la expresión: e n–10 + x o , y
TRILCE
c) 5
c) 4
Central: 6198-100
Álgebra 24. Si un término en el desarrollo de: 4 1 4 m 4+ 1 4 x – x – m c mE P(x) = ;c x4 x4
es igual a: 3×213; calcular el valor de "m". a) 1
b) 2
d) 6
e) 8
c) 4
3
n
7
2 y 25. En el desarrollo de: e x5 + o , existen dos x y términos consecutivos, el primero independiente de "x" y el segundo independiente de "y". Indique el número de términos del desarrollo.
a) 54
b) 60
d) 62
e) 63
c) 61
Practica en casa 1. Calcula el número de términos en la expansión de: (x+y)14 2. El desarrollo de (x+3)2n–3 tiene 10 términos. Calcula el valor de "n". 3. Calcula el tercer término en el desarrollo de: (x+1)7 4. Obtén el cuarto término en la expansión de: (x3+y4)5 5. Calcula el penúltimo término en el desarrollo de: (4x3 + y2)10 6. Calcula el cuarto término en el desarrollo de:
x 26 c + xm 2
7. Obtén el término central en el desarrollo de:
cx 2 +
1 m8 x
8. ¿Cuánto es la suma de los coeficientes en la expansión de: (3x+y)4? 9. La suma de los grados absolutos de todos los términos en el desarrollo de: (x4+y3)5 es igual a:
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10. Si: Cn+3 +Cn+3 +Cn+3 +...+Cn+3 0 1 2 n+3 =512 calcula el valor de "n". 11. Indica Verdadero (V) o Falso (F) respecto al desarrollo del binomio de Newton: A. El número de términos de: (5x4+y7)10 es 11 ............................................................ ( ) B. La suma de coeficientes al desarrollar: (4x2 – y2)3 es 27 .................................... ( ) C. El número de términos de: (x4+y6)n –1 es 12, si n=12 .................................................. ( ) D. La suma de exponentes al desarrollar: (x4+y3)3 es 42......................................... ( )
12. Indica el valor de "n", si la expansión de (x3 + y2)n, contiene a: x18y16. 13. Calcula el valor de "k" en el desarrollo de (1+x)43, si se sabe que los coeficientes de los términos de lugares (2k+1) y (k+2) son iguales. 14. Desarrollando la expresión: (a2 + a)n.(a2 – 1)n + 2.(1 – a–1)n, se obtiene 21 términos en total. Halla "n". 15. Calcula el término independiente en el desarrollo de: P(x)=`x2 +
5
-
13
x 3j
Cuarto año de secundaria
51
12
Capítulo
Tú puedes 12
3 1 4 2 1. Determina el coeficiente del término en el desarrollo de P(x;y;z)=`2x – 4 y z j , en el que los exponentes de "x", "y", "z" (en ese orden), formen una progresión aritmética.
a) 376 b) 495 c) 572 d) 396 e) 478
2. Determine el coeficiente de x6y3 en el desarrollo del producto: (x + y)5 (2x – y)4
a) 160
b) 36
c) 24
d) – 48
e) – 96
3. ¿Cuántos términos enteros tiene el desarrollo de: ^12 34 +34 12 h1234 ? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Más de 4
4. Siendo n∈+, calcula: M=
a) 1
b) – 1
1 : 4n - 4n + 4n - 4n + + 4nD C C2 C 4 C6 ... C 4n 4n 0 c) (–1)n
d) 2
e) 4
5. Si el tercer término del desarrollo del binomio (n+x3)n es "nk" veces el cuarto término del desarrollo de (n + x2)n, halla "n", si k ∈ +. 3–2k b) 1 + k c) 2 + 3k d) 3 + k e) 3 + 2k a) k k k k k
Colegios
52
TRILCE
Central: 6198-100
Capítulo
13
Números complejos Problemas para la clase 1. Efectúa:
7. Calcula el módulo del siguiente número complejo: z = (2+3i)(4+i) – 10i ; i = - 1
- 4 + 5 - 9 - 3 - 16
a) 6i
b) 5i
d) 4i
e) 10i
c) 8i
a) 5 2 b) 41 c) 5 d) 41
2. Calcula:
8. Sea: z1=2+3i ∧ z2=4 – i ; i= - 1 Efectúa la siguiente operación: z 17 = z1 G 2
i32 + i54 + i65 ; i = -1 i 46 + i520 - i673 b) 1 c) –i
a) 0 d) i
e) –1
3. Halla el valor de:
^5i20 + i17h^3i32 + i23h - 16
a) 2
i b) 4
d) –2
e) i
; i=
-1
c) 1
4. Efectúa: i+i2+i3+i4+...+i2017 ; i = - 1 a) 1+i
b) –i
d) i
e) 1
c) 1–i
b) –3
d) –1
e) –2
c) 2
6. Calcula el valor de "n", si:
3(n+i)+5(n+3i) = m(1+2i)
i= - 1 ∧ n∈ ∧ m∈ 9 a) − 3 c) 9 8 b) 8 3 d) 9 4 e) 4 www.trilce.edu.pe
b) –5+14i
d) –5 – 14i
e) 14i
c) 5+14i
9. Calcula el valor de "a" si el número: 3i es complejo real ^i = - 1 h z = a+ 3 - 2i a) 3 b) –9 c) 9 2 3 9 − d) 2 e) 2 2 ^1 + 3ih 10. Reduzca: 4 + 3i a) 1 b) 2
c) 3
e) 6
11. Simplifica:
Re(–4+5i) – Im(8 – 2i)+Re(4i – 1) a) 1
a) 5–14i
d) 4
5. Calcula el valor de:
e) 50
i 400 + i501 + i17 + i90 + i131 i i i i i donde i = - 1
1973 + 1941 + 1960 - 1000 + 2007
a) i
b) –i
d) –1
e) 1–i
c) 1
p 12. Calcula el valor de q , si: (2+3i)2+(5+i)(1–5i)+(3+4i)2=p+qi
donde i = - 1 −3 − 1 c) a) 3 8 8 b) 6 d) 1/6 e) 3 Cuarto año de secundaria
53
13
Capítulo
13. Reduzca: 12 1011
i9
a) 3 d) 3 i
16 1415
20 1819
+ i13 + i17 i 423679 b) –3
; i=
-1
c) 3i
e) –3i
20. Determina el módulo de: z = (3+4i)(1+ 3 i)(2 2 – 2 2 i) a) 10 b) 40 c) 20 d) 60 e) 80 21. Si: 1 1 1 1 `1– i jc1– 1 + i mc1– 2 + i m ... c1– 219 + i m =a+bi
14. Simplifica: ;
a) 16i d) 18
1 + i - 1 - i E4 ; i = - 1 1-i 1+i b) 16 c) –16 e) 16 i
calcula: (a + b)(2192 + 1) a) 1 b) 2 d) –2 e) 3
c) -1
2017
k + k2 i 22. Calcula el valor de: E = / ; 2E k = 1 ki – k
15. Calcula: 1+i ; i = -1 1+i 11 - 1 ++i 1 - 1 +i 1-1 - i 1 i
a) 1
b) i
d) 1 – i
e) –1
c) 1+i
a) a+bi
b) a – bi
d) bi
e) –a – bi
c) –a+bi
17. Simplifica: a) 1
- 29 i ; i= 1 + i5 b) i
d) 10
i200
b) i – 1
d) 2i+1
e) 2i – 1
; i=
-1
c) –1 – i
24. Calcula el perímetro de un terreno de forma triangular, el cual está representado en el plano gaussiano por los números complejos: A=1+2i , B=6+14i y C=15+2i ; además: i= –1 ; |z1|, |z2| y |z3| son módulos.
c) –i |z1| A
B |z2| |z3|
a) 13u
b) 16u
d) 35u
e) 42u
C Re(Z) c) 28u
25. Indique la parte real de: z=(1+i)2+(1+2i)2+(1+3i)2+...+(1+ni)2; n∈ +i301
302303
+i402
b) 4
d) 1 + i
e) 2 + 2i
TRILCE
a) 1+i
e) 0
a) 2
Colegios
54
201202
- 2 4 4i i - 6 - 8 5 i
Im(Z)
19. Calcula:
3
-1
18. Si z=(ni21+2i32)(m – i3) se reduce a un número imaginario puro, entonces se cumple: ^m d R / n d R / i = - 1 h 1 a) mn=2 b) m c) m=n n = 2 d) mn=–2 e) m=2n
c) –1
23. Reduzca:
16. Encontrar el complejo opuesto del conjugado del opuesto de: z =a+bi ; donde a∈ ∧ b∈ ∧ i= - 1
donde: i = –1 a) 1 b) i d) –i e) 0
k
403404
+i503
c) 2i
504505
n (n + 1) a) 2
b) n
+
+ c) n (2n 5) 3
n (n + 1) e) n (2n+5)(1–n) d) 6 6
Central: 6198-100
Álgebra Practica en casa 1. Efectúa:
9. Determinar el valor de "m", si el número: z = 5 +- mi esimaginario puro (i = - 1 ) 2 3i
- 9 + 3 - 16 - 2 - 4
2. Reduzca:
73 +
i
515 +
3i
i
9
5i
89
; i=
-1
3. Calcula el valor de: (i20 – i18)(i15+i35) ; i = - 1
10. Simplificar:
^1 + ih2
i5
+
^1 - ih2
i9
11. Completar: A. z1 = 3 – 2i → z 1= ...................................
B. z2 = – 2 + 5i → z*2= ..............................
4. Efectúa: i+i2+i3++i4+...+i106 ; i= - 1
C. z3 = 6+ 8i → |z3|= ................................
D. z4 = – 7 + 7i → |z4|= ............................
5. Calcula el valor de: Im(5 – 4i) + Re(–2 – 8i) – Re(5i – 3)
12. Efectúa:
1920
1718
i
+i
2526
2728
3536
3334
+i
6. Calcula el valor de "n", si: 2(n+i)+3(n+2i) = m+(m+5)i Donde m∈ ∧ n∈ ∧ i = - 1
13. Reduzca:
7. Calcula el módulo del siguiente número complejo: z = (5 – i)(2+i) ; i= - 1
14. Calcula el equivalente de:
8. Luego de efectuar: 5 + 2i ; i = - 1 4-i indica la parte imaginaria del número complejo resultante.
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; i=
-1
1+i ; i = -1 1 - 1 - i+ 1+1 - i 1 i
2 i - i + 5 i ;i = - 1
15. Reduzca: i2+2i4+3i6+4i8+ ... + 2ni4n
^n d Z+
/ i = - 1 h
Cuarto año de secundaria
55
13
Capítulo
Tú puedes 1. Sea "z" un número complejo que satisface: z + 1 = 1 ; entonces: z –1
a) Re(z)>0 b) Re(z) ≤ 0 c) Im(z) ≥ 0 d) "z" es un número real. e) "z" es un número imaginario puro.
2. Si: 3 a + bi =m+ni ; {a; b; m; n} ⊂ R, i2 = –1, calcula:
a) 3i
b) 1
c) –1 2
a b c1 – 3 m c 3 + 1m m n d) –3i
e) 3
d) 3
e) 1 3
2
z1 + z2 – z1 –z2 3. Sean: z1, z2 ∈ ; reduzca: Re (z .z ) + Re (z .z ) 1 2 1 2
b) 1 2
a) 1
c) 2
4. Efectúa: (m + nw) 2 + (n + mw2) 2 + (m + nw2) 2 + (n + mw) 2 + 2mn
Si: n > m; w =
a) m + n
3
1 b) m – n
c) n – m
d) 2n – m
e) 2m – n
5. Sabiendo que "z1" y "z2" representan un número complejo real e imaginario puro respectivamente, halla el valor de: R = a – b; ab ≠ 0 + + Donde: z1 = a + b + 2i ; z2 = a (b 8) i ; a ∧ b ∈ a–b–3i a–bi
a) 30
Colegios
56
TRILCE
b) –3
c) –60
d) 10
e) 24
Central: 6198-100
Capítulo
14
Ecuaciones de primer grado Problemas para la clase 1. Sea la ecuación de incógnita "x": 6+ m+ x = 3 si la solución es x = 49, halla el valor de "m". a) 4
b) 8
d) 13
e) 2
7. Resuelve:
c) 5
3
22 + 2x - 1 = 3
a) {8}
b) {10}
d) {–2}
e) {4}
c) {13}
8. Resuelve: 2. Calcula el valor de "x" en la ecuación: mx2+2x+m=5x2+13 si es reducible a primer grado en "x". a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
3. Luego de resolver la ecuación: 3(x – 2)+4(–x+1) = x – 2(x – 1) se puede afirmar:
d) Tiene infinitas soluciones e) Dos alternativas son correctas 4. Resuelve la ecuación: 5 – {– x – (4 – 2x) – 5} = x+{–6+2x} 5 a) ' 1 {5} c) ' 1 2 2 1 b) 1 d) ' 5 1 e) {–1}
1 1 a) ' 1 b) ' 1 2 3
c) ' - 1 1 3
e) {– 2}
6. Resuelve: x + 2 + x + 1 = x +2 3 5 2 a) {34} d) {18}
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b) {17} e) {– 17}
e) {8}
c) {33}
a) S/. 20
b) S/. 25
d) S/. 35
e) S/. 40
c) S/. 30
11. Indica Verdadero (V) o Falso (F):
d) {9}
c) {15}
2a 1 c) 'b 1 a) ' a 1 b) ' a b b a d) ' 2b ' a 1 e) 2b 1
5. Resuelve: 5x–2 – 3x + 4 = 7x–5 – 1 2 3 4
d) {3}
b) {12}
10. Mathías decide repartir 100 soles entre tres personas, de manera que la primera reciba 5 soles más que la segunda, y que esta reciba 10 soles más que la tercera. ¿Cuánto recibe la tercera persona?
c) No tiene solución
a) {10}
9. Resolver la ecuación en "x": 3ax+2b(a – 1) = a(x+2b)+2b
a) Es compatible determinada b) Es compatible indeterminada
x - =4 x-3 1 x
A. Al resolver: 2x + 3x – 30 = 3x + 30; el valor de "x" es 30.....................................( ) B. Al resolver: 2-[2–x–(–x)]=x+2; el valor de "x" es 2 ...................................................( ) C. Al resolver: 5(x - 3)=4( 3 – x ); el valor de "x" es 3 ...................................................( ) D. Al resolver: x+ x + x =44 ; el valor de "x" 2 3 es 24 .......................................................( ) a) VVVV
b) VFVV
d) FFVV
e) FFVF
c) VFFV
Cuarto año de secundaria
57
14
Capítulo
12. Calcule el valor de "x" en: 5x – 7x + 4x–5 = 4 + 8x–5 – 11x–3 5 2 5 2 2
a) 0
d) 2
b) – 1 e) 1 2
c) 1
13. Resuelve la ecuación: x2 + 4 + 4 3 x3 - 5x + 1 = x + 2
a) {3–1}
b) {2–1}
d) {5–1}
e) {50}
c) {4–1}
14. Luego de resolver la ecuación en "x" (a ≠ b): a+1 - a-b = b+1 x+b a-x x+b se obtiene: a) {a+b}
b) {a – b}
a+b1 d) ' a - b 1 e) ' 2 a-b
c) ' a + b 1 2
27 b) 17 c) 37 a) 2 2 2
x–17 + x + 7 + x + 2 =3 32 56 51
a) {49} d) { 7 } 9
b) {32}
c) {51}
e) {45}
x + a – x–b =2 b a a) {a+b} d) {a}
b) {b–a} e) {b}
c) {a–b}
b) 9
d) 15
e) 18
Colegios
58
TRILCE
e) 1
x + 1 + x + 5 = 2x2 - x - 11 x-3 x-2 x2 - 5x + 6 a) {2} b) {3} c) {1}
c) 12
e) φ
22. Calcula la suma de cifras de la solución de la ecuación: x+6 + x-1 = 7 a) 1
b) 2
d) 8
e) 10
c) 4
23. Si por la compra de 120 botellas de vino, Roberto paga en impuestos el valor de una botella de vino más S/.11, y por 40 botellas el impuesto correspondiente equivale al valor de una botella menos S/.5, ¿cuánto cuesta cada botella de vino? a) S/.12
b) S/.9
d) S/.13
e) S/.11
c) S/.15
24. Resuelve en "x": a `1– a j + b c1– b m = 1 b x a x
18. En un restaurante, 24 personas consumen por una suma de S/. 360 para pagar en partes iguales. Como algunos no tienen dinero, cada uno de los que asumen la cuenta pagará 1 3 más de lo que le corresponde. ¿Cuántas personas saldaron la cuenta? a) 6
d) –2
c) 3
21. Resuelve:
17. Resuelve en "x":
b) 2
20. Halla "x" en la ecuación: a2 - b a xb =a b+ a+b a + 1 c) b+1 a) a b) a b b b d) a e) a+b
e) 1
16. Resuelve:
a) –1
d) {–3}
15. Calcula "x" en: x + x + x + x =6 3 35 15 63
7 d) 2
19. Una de las soluciones de la ecuación en "x": (2a – 1)x2 – a(x – b)(x+5) = 7b(a+x) es 2. Calcula el valor de 3a+7b.
a) {a+b} d) {1}
b) {ab} c) {a – b} 2 e) {a +ab+1}
25. Indica el valor de "x" en: x–a + x–b + bc ca 1 + 1 + 1 a) a b c 2 2 2 d) a +b +c
x–c = 2 1 + 1 + 1 c m ab a b c b) a+b+c
c) abc
e) a+b – c Central: 6198-100
Álgebra
Practica en casa 1. Sea la ecuación de incógnita "x": 5+ m+x = 3 si la solución es x=10, calcula el valor de "m".
11. Indica Verdadero (V) o Falso (F):
2. Si la ecuación en "x": ax2+x+a=3x2+15 es reducible a primer grado, halla el valor de "x".
3. Obtén el conjunto solución de la ecuación: 2(5 – x)+5(x – 2) = 3(x+1) 4. Resuelve la ecuación: 7 – {x – 1+(x – 2)} = 8 – (4 – x) 5. Resuelve: x + 2 – x–4 =2 4 2 6. Resuelve: 3x–1 + 2x–1 =x 7 3 7. Resuelve: 3
5+ x-4 = 2
A. Al resolver: x+3x – 30=2x+30; el valor de "x" es 30.................................................( ) B. Al resolver: 6–[6–x–(–x)]=x+6; el valor de "x" es 2...................................................( )
C. Al resolver:5(x – 9)=4( 9 – x ); el valor de
"x" es 9 ..................................................( ) D. Al resolver: x+ x + x =58; el valor de "x" 4 5 es 40.......................................................( )
12. Resuelve:
4x2 + x + 9x2 + 12x = 2x + 1
13. Resuelve:
2x - 4 + 3x2 - x = 4 x-2 3x - 1
14. Resuelve: x–a + x–b =2 ; ab ≠ 0 b a
8. Resuelve: x - =3 x-4 1 x
9. Resuelve la ecuación en "x":
15. Resuelve:
x–32 + x–43 + x–34 =3 15 4 13
5(x – b)+2(x+b)=4(x+6b) ; b ≠ 0
10. Paolo decide repartir 90 dólares entre tres personas, de manera que la tercera reciba 5 dólares menos que la segunda y esta 10 dólares más que la primera. ¿Cuánto recibe la segunda?
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Cuarto año de secundaria
59
14
Capítulo
Tú puedes 1. Resuelve en "x":
a) {a}
2. Resuelve en "x":
a) {a + b + 1}
x + a2 x–b2 –c2 =1 + (a + b–c) (a–b + c) (c–a–b) (b–a–c) b) {b}
a) 1
d) {a + b}
e) {bc}
a+x + b+x x–a + x–b = 1 + a + ab 1 + b + ab 1–a + ab 1–b + ab b) {a + b – 1}
3. La solución de la ecuación:
c) {ab}
b) –1
1–a .
c) {ab + 1} 4
1+x = 1+a . 1–x c) a
d) {ab – 1} 4
e) {ab}
1–x es: 1+x d) –a
e) 2a
4. Resuelve en "x": x – a + 2 4–a = 3 a–4 + a a) {20} b) {16} c) {12} d) {8} e) {4} 5. Se tienen dos cirios de igual tamaño, pero de diferente calidad: el primero se consume en "a" horas y el segundo en "b" horas (a>b). Si se encienden simultáneamente, ¿dentro de cuánto tiempo la altura del más lento será "n" veces la altura del más rápido? ab^n - 1h a) an - b
Colegios
60
TRILCE
b)
ab^n - 1h b^n - 1h an - b c) d) ab^n - 1h n-b n-b
e)
b^n - 1h an - b
Central: 6198-100
Capítulo
15
Ecuaciones de segundo grado Problemas para la clase 6. Sea la ecuación: (2k + 1)x2 + (3k – 3)x+5 = 0. Calcula "k", si la suma de sus raíces es 3/4.
1. Resuelve la ecuación: x2 – 4x – 12 = 0 Indica la mayor solución. a) 1
b) –6
d) –2
e) 6
c) 4
7. Las raíces de la ecuación 4x2 – 5x + 2 = 0 son:
2. Luego de resolver: (x+1)(x – 2) = 4 Indica la menor solución. a) –3
b) 1
d) –1
e) 2
c) –2
+9 = 1 3. Resuelve: 2x18 x Determina el cociente entre las soluciones mayor y menor. 1 c) −1 a) 1 4 4 2 b) d) 1 e) − 1 2 4. Luego de resolver: 2x2 – 3x – 1 = 0 , señala una raíz. 3– 15 b) 3 + 17 c) 3 + 17 a) 2 4 2 3– 15 e) 17 –3 d) 4 2
b) FVVV
d) VFVF
e) FVFF
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a) reales y diferentes b) reales e iguales c) imaginarias conjugadas d) simétricas e) recíprocas 8. Calcula el valor de "p", si la ecuación: 3x2 – (4p - 20)x + 1 = 0 tiene raíces simétricas. a) – 5
b) 5
d) 0
e) 1 5
c) 6
9. Reconstruir una ecuación de segundo grado cuyas raíces son: x 1= 4 + 5 x2= 4 – 5 a) x2 – 8x+20=0 b) x2+8x – 11=0
5. A partir de la ecuación: 2x2+3x – 1 = 0 da raices x1 ∧ x2, indica verdadero o falso: I) x1+x2= 3/2 II) x1 . x2 =–1/2 III) El discriminante es 17 1 1 IV) x1 + x2 = 3 a) FVFV
1 a) 1 b) c) 1 4 2 d) 2 e) 3 4
c) VVFV
c) x2 – 8x + 11=0 d) x2+8x – 16=0 e) x2 – 8x – 11=0 10. Si las ecuaciones cuadráticas en "x": (m – 2)x2+15x+6=0 4x2+(n+3)x+2=0 son equivalentes, calcula m + n . a) 0
b) 1
d) 3
e) 4
c) 2
Cuarto año de secundaria
61
15
Capítulo
11. Después de resolver: 10(x+1)(x – 2)+11(x – 3)(x+3)=19x – 109 indica la raíz negativa. 2 b) − 5 c) −2 a) − 7 3 3 5 d) − 7 e) –1 12. Resuelve la ecuación: 2 x = 3x + 6 + x a) 9
b) {4}
d) {9}
e) φ
c) {4; 9}
18. Un terreno cuadrado se vende en 2 lotes. El primero es un rectángulo, uno de los lados mide 30 metros y el otro 3 5 del lado del cuadrado; el segundo lote se vende en S/. 12 400 a razón de S/. 2,50 el metro cuadrado. Calcula el lado del cuadrado.
b) –2
d) –1
e) –3
a) 8 d) 11
b) 9 e) 12
a) –2
b) –1
d) 1
e) 2
a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
17. Forma la ecuación cuadrática de raíces: x1 = m + m2 –1 x2 = m – m2 –1
a) 2x2 – mx+2=0 c) 2x2 – 2mx+1=0 e) 2x2 – mx+1=0
Colegios
62
TRILCE
e) 1 +2 13 20. Resuelve la ecuación en "x": 1 + 1 ^ + + h= 9 c 2 x + 3a x + 4b m 2x 3a 4b Indica una de sus soluciones.
b) x2 – 2mx+1=0 d) x2 – mx+1=0
a) 4b – 6a
b) 6a – 4b
d) 3a+2b
e) 3a2
–
c) 2a – 3b
b2
21. La ecuación: x2 – 2x+2017=0 tiene como conjunto solución a {α; b}
c) 0
16. Si: x2 + 2bx + 3c = 0 tiene C.S. = {x1 ; x2}, x2 + x22 + 6c calcule el valor de: M= 1 b2
e) 92 m
- 1 + 15 + c) 1 2 17 d) 2
c) 10
15. Calcula la suma de las raíces de la siguiente ecuación en "x": (2m+2)x2+(4 – 2m)x+(m – 2)=0 sabiendo que son recíprocas.
d) 88 m
c) 80 m
- 1 + 19 a) 1 221 b) 2
c) 1
14. Si: x (x – 6) = – 3 tiene C.S.={x1; x2}, calcula el valor de: T=(1+x1) (1+x2)
b) 75 m
19. Resuelve la ecuación: (x – 1)(x+2)(x+3)(x – 2)=–3 indica una de sus raíces.
13. Calcula el menor valor de "m" para el cual la ecuación: x2+2(m+2)x+9m=0 tiene raíces iguales. a) 4
a) 62 m
Calcula: =b + 2017 G b
a+b
a) 4
b) 6
d) 10
e) 12
c) 8
22. Sean "a" y "b" las raíces de: x2+2017x+2007=0
Calcula: G = a2+b2+a2b2+2ab(a+b+1)
a) 169 d) 121
b) 81 e) 144
c) 100
23. Si las raíces de la ecuación en "x": ax2+bx+c=0 son reales y diferentes, entonces las raíces de la siguiente ecuación en "x": 2a2x2+2abx+b2 – 2ac = 0 son: a) imaginarias conjugadas b) enteros positivos c) reales e iguales d) reales y diferentes e) racionales. Central: 6198-100
Álgebra 24. Forma una ecuación de segundo grado en "x", cuyas raíces sean los cuadrados de las raíces de: 3 x + 3 +3 1 - x = 1 a) x2+16=0 b) x2 – 12x+16=0 c) x2 – x+2=0 d) x2 – 2x+4=0 e) 2x2+x+1=0
25. Si las siguientes ecuaciones cuadráticas: (2m – n)x2 + x = 2x2 – 1 (m2 + n2)x2 + 2x = – x2 – 2 (m;n∈R). son equivalentes, calcula "m.n".
a) 3 d) – 2
b) 1 e) – 3
c) 2
Practica en casa 1. Resuelve la ecuación: x2 – 10x+21=0 2. Luego de resolver: 3(x2+1)=10x dar como respuesta la menor raíz. 3. Resuelve la ecuación: (x – 3)(x+4)=8 4. Resuelve: x2 – 5x+2=0 De como respuesta la mayor raíz. 5. Respecto a la ecuación: 5x2 – 4x – 2 = 0 de raíces x1, x2 completa: • x1 + x2 = • x1 . x2 = • D= 6. Dada la ecuación en "x": (m – 1)x2 – 4x+2m=0 Calcula "m", si el producto de sus raices es igual a 6. 7. Relaciona: I. x2+6x+10=0 II. 2x2+5x – 1=0 III. 4x2 – 4x+1=0
A. Raíces reales y diferentes. B. Raíces reales e iguales. C. Raíces imaginarias y conjugadas.
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8. Si la ecuación en "x": (5m – 1)x2 + 4x+m=–11 tiene raíces recíprocas, calcular "m". 9. Reconstruir una ecuación cuadrática en "x", si sus raíces son: x1= –3 x2=1/2 10. Dadas las ecuaciones cuadráticas equivalentes: (m – 5)x2+6x+4n=0 x2+2x+12=0 calcula "n – m". 11. Edú encuentra dos números cuya suma es ocho y su hermano Mathías encuentra que la suma de las inversas de los mismos números es igual a dos tercios. ¿Cuál fue el mayor número encontrado? 12. Relaciona correctamente: x2+x+1=0
A
x1.x2=1/4
x2+6x+5=0
B
x1+x2=–1
x2–9x+8=0
C
D=16
4x2+4x+1=0
D
C.S.={1;8}
13. Si: 3x2 – 7x + 1 = 0 tiene C.S. = {x1 ; x2}, calcule: E = 1 + 1 x1 x2
a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
Cuarto año de secundaria
63
15
Capítulo
14. Si la ecuación en "x": 3x2+7x+m=0 tiene como conjunto solución a {x1; x2}, calcula "m" si: (x1+3)(x2+3)=0
15. Dada la ecuación cuadrática en "x": 2x2 – (a+1)x+(a+1)=0
cuyas raíces no son reales, calcular el mínimo valor de "a", si a∈.
Tú puedes 1. Si "α" es solución de: x2 – 3 x+1=0, halle: α12 + α6 + 1 a) 3 b) 2 c) 1 d) - 1 e) 4 2. Si: x2+3x+1=0 tiene C.S. = {x1 ; x2} , calcula el valor de:
1 1 + (x1 + 3) 5 (x2 + 3) 5
a) 32 b) 43 c) 51 d) 83 e) 123 3. Si "D" es el discriminante de: x2 – (D – 1)x + (D + 19 ) = 0 (D > 0), determina el conjunto solución. 4 5 9 b) 5 11 3 9 3 11 a) f ' ; 1 ' ; 1 c) ' ; 1 d) ' ; 1 e) 2 12 2 2 2 2 2 2 2 β2 4. Si: x2–x–c=0 tiene C.S.={α; β}, de modo que: α + = c – 20; calcula el mayor valor posiβ+1 α+1 tivo de "c".
a) 6
b) 12
c) 8
d) 16
5. Si una de las raíces de: x2 + px + q = 0 es el cuadrado de la otra, calcula:
e) 14 p3 + q2 + q pq
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
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64
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Capítulo
16
Ecuaciones polinomiales Problemas para la clase 1. Resuelve la ecuación:
(x – 1)(x+2)(x+5)=0 a) {–5; 1; 2}
b) {1; 2; 5}
c) {–2; –1; 5}
d) {–5; –2; –1}
e) {–5; –2; 1} 2. Indica verdadero (V) o falso (F) respecto a la ecuación polinomial:
I. Tiene 9 soluciones.
II. Tiene 9 raíces
III. x=3 es raíz de multiplicidad 3
IV. La raíz de mayor multiplicidad es x=–2 a) VFFV
b) VVVF
d) FVFV
e) FVVV
c) FFVV
3. ¿Cuál es la mayor de las raíces de la siguiente ecuación: (x – 2)(x2+x – 20)=0? a) –4
b) 2
d) 4
e) 5
c) –2
4. Luego de resolver: x3+x2 – 6x=0 indica la menor solución. a) –6
b) –3
d) 2
e) 3
c) 0
x3 – 4x2+5x – 2=0 ¿Cuál es la raíz de mayor multiplicidad? a) –1
b) 0
d) 2
e) –2
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b) IE - IIC - IIID d) IB - IIC - IIIA
7. Si la ecuación: xn+2 + 4xn+1 + 7xn – 1 = 0 presenta cuatro raíces, halla "n". a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 5 8. La ecuación: (n+1)xn–1+7x2 – 2nx+3n=0 tiene 3 raíces x1; x2; x3. Calcula: x1+x2+x3+x1 . x2 . x3 − 19 a) − 1 c) –1 5 b) 5 d) − 17 e) –2 5 9. Indica la suma de la mayor raíz positiva con la mayor raíz negativa que se obtienen al resolver: 9x4 – 37x2 + 4=0 a) 0 b) 11 c) 5 6 3 11 5 d) – e) – 6 6 10. Forma una ecuación bicuadrada que tenga por dos de sus raíces : – 2 3 y 5.
5. Resuelve la ecuación:
a) IE - IIF - IIID c) IB - IIC - IIID e) IB - IIF - IIID
(x – 3)2(x+2)4(x+1)3=0
6. Si x1; x2; x3 son las raíces de la ecuación: 2x3 – 6x2+7x+1=0 relaciona correctamente A. 1/2 I. x1+x2+x3 B. 3 C. 7/2 II. x1x2+x1x3+x2x3 D. –1/2 E. –3 III. x1x2x3 F. –7/2
c) 1
a) x4+42x2+280=0 b) x4 – 40x2+390=0 c) x4 – 37x2+300=0 d) x4 – 42x2+280=0 e) x4+37x2+280=0 Cuarto año de secundaria
65
16
Capítulo
11. Si una raíz de: x3 – 3x2 – 13x + 15=0 es igual a 5, halla las otras raíces.
a) {3 ; – 1}
b) {– 3 ; – 1} c) {– 3 ; 1}
d) {– 1 ; 1} 3
e) { 1 ; – 1} 3
a) –3
b) 2
d) 2 2
e) 3
c) 1
12 Siendo x1; x2; x3 y x4 raíces de la ecuación:
18. Si "x0" es una raíz de la ecuación: x5 – 3 = 4x,
x4 – 2x3 – 7x2+8x+12=0
tales que x1
Calcula: x1.x2+x1+x3+x3 . x4 a) 7
b) 8
d) 11
e) 12
c) 9
13. Si la ecuación: 2x3+7x2 – 3x – 3 = 0 tiene una raíz racional, calcula la suma de sus raíces irracionales. a) 3 b) –3 c) 3 2 −3 d) 1 2 e) 2 14. Si una raíz de la ecuación en "x": x3 – 12x2+39x – n = 0 es la semisuma de las otras dos, calcula n - 3 . a) 4
b) 5
d) 8
e) 0
3x3
15. Si: – además:
2x2+7x+k=0
c) 2
tiene C.S.={x1; x2; x3};
1 + 1 + 1 =8 x1x2 x 2 x3 x1x3 7 Calcular "k". a) 7 4 d) – 1
b) – 7 4 e) 1 4
c) 1
16. Calcular el valor de "m", sabiendo que las raíces de: 4x3 – 24x2+mx+18 = 0 son: x1=α+β, x2=α y x3 = α – β. a) 18
b) 21
d) 25
e) 27
Colegios
66
17. Luego de resolver: (x2 – 3)2=4x2 – 7 indica su mayor solución.
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c) 23
halla el valor de:
2x50 – 5 8x 0 + 1
1 b) 2 a) c) – 3 2 3 5
d) –4
e) 1
19. La siguiente ecuación: x5 – 3x4 – 6x3+10x2+21x+9=0 tiene: a) 5 raíces diferentes b) 2 raíces de multiplicidad 2 c) 1 raíz de multiplicidad 2 y otra de multiplicidad 3 d) 1 raíz de multiplicidad 4 e) no tiene solución. 20. Halle el valor de "a" en la ecuación: x3 + x2 + (1 – 3a)x – 24 = 0, si el producto de dos de sus raíces es - 8.
a) – 1 d) 5
b) 2 e) 6
c) 4
21. Determina el valor de "m", si las raíces de la ecuación cúbica en "x": x2n–5 – (4n – 1)x2+mx+5=0 están en progresión aritmética. a) 16
b) 25
d) 49
e) 64
c) 36
22. En la ecuación cúbica: x3+ax2+bx+c=0 se sabe que la suma de las inversas de dos de sus raíces es igual a la tercera. Luego, una raíz es: a) b – a
b) c – b
d) a – b
e) b – c
c) c – a
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Álgebra 23. Si x1; x2 y x3 son las raíces de la siguiente ecuación: x3+7x – 5 = 0 calcula: x2 - 5 + x2 - 5 + x2 - 5 1 x 2 x 3 x 1 2 3
a) 0
b) –7
d) –21
e) 10
c) –14
25. Reconstruir una ecuación con coeficientes racionales de grado mínimo, que tenga como raíces los números: 1 ; 1 + 2 ; 3i ^i = - 1 h De como respuesta el coeficiente de su término lineal. a) 1
b) 5
d) 9
e) 12
c) 7
24. Calcula "a + b" en la ecuación:
x3 + ax2 + bx + 7 = 0 para que una de sus raíces sea x1 = 1 – siendo "a" y "b" ∈ . a) 2
b) 5
d) – 8
e) – 5
8,
c) 8
Practica en casa 1. Resuelve la ecuación: (x – 3)(x – 6)(x+2)=0 2. Respecto a la ecuación polinomial ,completa: (x – 6)4(x + 2)8(x – 1)2 =0
A. La raíz que más se repite es: .......................
B. La raíz: x=–2 tiene multiplicidad: ..............
C. La ecuación tiene ............... raíces.
D. La ecuación tiene .............. soluciones .
3. Resuelve la ecuación: (x+5)(x2+x – 30)=0 De como respuesta la suma de las dos menores raíces. 4. Luego de resolver: x3 – 5x2 – 24x=0 indica la mayor solución. 5. Calcula la raíz de mayor multiplicidad de la ecuación: x3 – 9x2+15x+25=0
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6. Si x1; x2; x3 son las raíces de la ecuación: 3x3 – 5x2+4x – 1=0 completa: I. x1+x2+x3= ________ II. x1x2+x1x3+x2x3= ________ III. x1x2x3= _________ 7. La ecuación: 3xn–8 + 4xn–7 + 5 = 0 presenta diez raíces. Calcula "n". 8. La ecuación: nxn–1+6x2 – 2nx + n+3 = 0 tiene tres raíces: "x1" ; "x2" y "x3". Calcule: G = x1 + x2 + x3 + x1x2x3 9. Resuelve la ecuación bicuadrada: x4 – 13x2+36=0 10. Reconstruye una ecuación bicuadrada que tenga por dos de sus raíces a –3 y 5 . 11. Si una raíz de: x3 – 3x2 + 9x – 27 = 0 es igual a 3, halla las otras dos raíces.
Cuarto año de secundaria
67
16
Capítulo
12. Las raíces de la ecuación en "x": x3 – mx2 +5x – n = 0 son x1; x2; x3, tales que 1 + 1 + 1 = 10 x1 x2 x3 Calcular el valor de "n".
14. Si "b" es una raíz de la ecuación: 3
2x3 – x + 5 = 0, calcular: E= b + 1 b–3 15. Si: 3 – 2 2 es una raíz de la ecuación: x3 – 8x2 + ax + b = 0, calcular el valor de "a – b" (a ∧ b ∈ ).
13. El campo de fútbol de un club campestre está representado por un rectángulo de dimensiones:
Largo = x1x2 + x2x3 + x1x3
Ancho= x1x2x3 + x1 + x2 + x3
donde: "x1", "x2" y "x3" son las raíces de la siguiente ecuación polinomial:
x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0.
Calcula el área rectangular.
Tú puedes 1. Si "x1", "x2" y "x3" son las raíces de: x3+mx+10=0; calcular la suma de cubos de las mismas. a) – 18 b) 27 c) – 30 d) – 27 e) 18 2. Determine la condición que debe cumplir el parámetro real "m" de manera que la ecuación: x4 – 2(m – 1)x2+m2 – 2m=0 admita al menos una raíz real y otra imaginaria.
a) m<0
b) m<2
c) 0≤m<2
d) m>2∧m>3
e) –2
3. Sea la ecuación: x3 – 5x2 = 5x – 1, cuyas raíces son: – 1, α y β. Calcular el valor de:
2 α2 + β 6α – 1 6β – 1
a) 1 b) 2 c) – 3 d) 4 e) –2 4. Si: "α" es una raíz de la ecuación: x2 = – x – 1 "β" es una raíz de la ecuación: x5 = x + 2
indicar el valor de: β5 – a3β+2
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 5. Si una raíz de la ecuación: x5 – 5x4+ax2+bx+c=0 (a; b; c∈) es 2+ 2 , calcular la suma de los productos binarios de las 3 raíces racionales. a) 1 b) 6 c) –6 d) 5 e) –1
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68
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Capítulo
17
Repaso II Problemas para la clase 1. Reduzca: E= 18 + 2 8 – 50 – 98 a) − 4 2
b) 0
c) − 2
6. Resuelve la ecuación:
1 a) ' 3 {–1} c) '- 1 4 1 b) 4
−5 2 d) 3 2 e) 2. Indica verdadero (V) o falso (F):
I. Si (5x –2)! = 24, entonces x = 26 5 II. La suma de los valores de "x" que verifican la igualdad (x – 9)!=1 es 19.
III. Si C 3 = C 4 , entonces x = 12. IV. Una de las soluciones que verifica la igualdad.
x
30
4 1 e) 3 d) '- 3 '- 1 4 7. Resuelve: x - 3x5- 2 = 3 - 2x3- 5
x
30
C3x = Cx+6 es x=6
a) {0}
b) {1}
d) {4}
e) {16}
A. La suma de raíces es igual a: –m/n ....... ( )
a) VVFV
b) VFVF
d) FVFV
e) FVFF
c) FFFV
B. Tiene raíces recíprocas
a) 35x4
b) 28x6
d) 42x3
e) 35x9
D. Su producto de raíces es 1
c) 35x5
4. A partir del binomio: P(x; y) = (x5 + yn)8 halla el valor de "n", si el grado del sexto término es 45. a) 6 b) 8 c) 4 d) 12 e) 9
a) FVVV
b) FFFV
d) VFVF
e) VVVF
....... ( ) c) FVFV
9. La ecuación: (2m – 8)x2+3(m+4)x+(m–7)=0, tiene raíces simétricas. Calcula "m". a) 1
b) –2
d) –4
e) –1
c) 4
10. Si una raíz de: x3 – 5x2+4x – 20=0 es igual a 5, halla las otras dos. a) –2
5. Reduzca:
b) –2i e) 1 2
i9 + i16 + i 40 - ^ = - h A = 22 13 39 2; i 1 i - i - i + 2i8 a) 1 b) 2 c) i
11. Calcula "A + B", si:
d) 2i
e) 4i
....... ( )
C. Su discriminante es igual a: n2–4mn ..... ( )
(x3+1)7
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c) {2}
8. Indica verdadero (V) o falso (F) respecto a la ecuación: mx2+nx+m=0
3. Obtén el quinto término en la expansión de:
9x – (5x+1) – {2+8x – (7x – 5)+9x}=0
d) ±2i
c) 2i
15 + 2 56 – 8 + 2 7 = A – B a) 6
b) 7
d) 9
e) 10
c) 8
Cuarto año de secundaria
69
17
Capítulo
12. Halla el lugar del término independiente en la expansión de:
18. Las raíces de: 2x3+9x2+10x+b=0 son proporcionales a 1, 2 y 6. Calcula: b2 – 1.
P(x) = (x2 + 13 )15 ; x ≠ 0 x a) Lugar 6
b) Lugar 7
d) Lugar 9
e) Lugar 10
a) 3
b) 5
d) 7
e) 8
c) Lugar 8 19. Simplifica: M=
13. Si: z= (1
+ i) 8 + (1 + i)10 , halla: Re(z)+Im(z) (1–i) 4
a) 4
b) - 4
d) 12
e) - 6
16. Halla el valor de “k” para el cual la ecuación: x2 + (k + 3)x – k = 0 tiene raíces iguales. Indica el mayor valor. a) 4
b) 2
d) – 1
e) 3
c) – 4
b) 223
d) 225
e) 221
calcula: (x1 + 1)–1 + (x2 + 1)–1
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c) 0
c) 243
21. Efectúa y da el módulo del complejo: z = 4 2 i - 29 i
4 2 a) 2 b)
c) 2
9 3 d) 3 e)
22. Indica el valor de "x" en:
a+b-x + a+c-x + b+c-x + 4x =1 c a b a+b+c a) abc
b) a+b+c
d) 0
e) a – b – c
c) a–b+c
23. Dada la ecuación: 5x2+7x+3=0, determinar la ecuación de segundo grado que tiene por raíces las recíprocas de las raíces de la ecuación dada. b) x2+2x – 3=0
8 b) 10 a) c) – 10 5 21 3
70
a) 219
x2 – 8x – 12 = 0
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- 2
20. En el desarrollo de P(x)=(2+3x2)n, el coeficiente de x24 es 4 veces el coeficiente de x22. Calcula el término independiente de la expansión.
a) x2+7x+5=0
2 d) 15
-2
-2
b) 1
17. Siendo "x1" y "x2" raíces de la ecuación:
1
d) 2 +1 e) 2 –1
1 b) 3 c) 2 2 e) – 3 2
1
1
1 -2 2 2 -1 a) 2
15. Resuelve: x2 + 7x + 12 = x2 + 8x + 13 x2 + 5x + 15 x2 + 6x + 16 Indica una de sus raíces.
d) – 1 2
1
c) - 12
14. Si: w = 3 – 2i y z = i + w , halla: z – w 3– z 3 a) 5 b) – 3 c) 3 5 5 d) – 5 e) - 1 3
a) 1
c) 6
c) 2x2 – 7x+3=0 d) x2+5x+7=0 e) 3x2+7x+5=0
e) – 5
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Álgebra 24. Halla el mayor valor de "α", tal que una de las raíces de: P(x) = x3 – 28x+α es el doble de la otra. a) 24
b) 48
d) –24
e) –12
c) –48
25. Si la gráfica del número complejo: mi ; m d R z = 1+ 1 - mi Es la que se muestra en la figura, encuentra el valor de "m". Im(z) Re(z) a) 4
b) –2
d) –1
e) 2
c) 1
Practica en casa 1. Transforma a radicales simples: a) 4 + 2 3
b)
6 + 20
9. Efectúe: 16–2 63 + 12–2 35 + 8–2 15 + 4– 12 10. Relaciona correctamente:
2. A partir de la ecuación: a! (a! - 5) = 6, calcula el valor de: a + 1. 3. Obtén el cuarto término en la expansión de: (x2 + y3)10 4. Efectúa: i343+i459+i623+i975+i1240 – i4020 ; i= − 1 5. Resuelve:
2 x+1 = 3 x-6 3c 5 m 4c 3 m
z=3+4i w=5 – 12i
A
zimag.puro: a=3 wreal : b=2
− 9 + − 25
B
–1
i258
C
8i
z=(a – 3)+4i w=5 – (b – 2i)
D
|z|=5; |w|=13
11. Si: z= a + 2i es un complejo real, halle el valor b–3i de: a + b (i= − 1 ). a
6. Resuelve: (x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2
12. Si una solución de la ecuación dada es 3 , halle 2 el valor de "m": 4mx2 + 10mx – 2m – 11 = 0
Dada la ecuación: 3x2 – 7x+1=0 de raíces x1 ∧ x2, completar: I) x1+x2= ______ II) x1 . x2 =________ 1 1 III) + = ________ x1 x2
13. Halla "m", si las raíces de la ecuación son iguales: x2 – 2 (1+3m)x+7(3+2m)=0(m>0).
7.
8. Si "x1", "x2" y "x3" son raíces de: x3 – 6x2+11x – 6=0
Calcula: (x1x2x3) ÷ (x1 + x2 + x3)
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14. Si las siguientes ecuaciones cuadráticas: (2n+1)x2+5nx+20=0 (5m – 52)x2+(m – 4)x+4=0 son equivalentes, calcula "m . n". 15. Forma una ecuación bicuadrada que tenga por dos de sus raíces a – 2 y 2.
Cuarto año de secundaria
71
17
Capítulo
Tú puedes 1. Siendo "a" y "b" raíces de la ecuación: 5x2 – 23x + 11 = 0; halla el valor de E= c 3a–1 m . c 3b–1 m 2b – 9 2a–9 1 b) 3 c) a) 1 2 2 3
d) 2
e) 4
3
2. Indica la solución de: x2 + x4 –1 + x2 – x4 – 1 = x a) 2 b) 0 c) 1 d) 3 e) –3 3. Indica el equivalente de: c
1 + 7 i 4+ 1 – 7 i 4 m c m 2 2
a) 1 b) – 1 c) 3 d) 5 e) 6 4. Calcula: ^Cn0h2 + ^C1nh2 + ^Cn2h2 + ^Cn3h2 + ... + ^Cnnh2
2n - 1 2n 4n 2n + 1 n+1 a) e) Cn Cn b) Cn c) Cn d) Cn
5. Calcula: 1 + 3 + 3.5 + 3.5.7 + 3.5.7.9 + ... 4 4.8 4.8.12 4.8.12.16
a) 2 3
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72
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b) 3 2
c) 2 2
d) 3 3
e) 4 2
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Capítulo
18
Matrices Problemas para la clase 1. De la matriz:
calcula a12 –
R S 6 4 –2 A = S- 1 0 3 SS 8 -4 5 T a32+a24 – a13
a) 0
b) 2
d) 10
e) 12
V 1W 2W 0 WW X
a)
4 2 4 5 d) e) 0 0 1 > H > 6H 1 4 0 7
6. Dadas las matrices: 9 2 3 -1 A = =1 3 G y B = =0 1G
e) 14
c) 12
a) 2
b) 6
d) 10
e) 12
R S1 A = S2 SS x T
V
-y 3W -1 zW 5 6 WW X es simétrica, calcula x – y+z a) 6
b) 5
d) 10
e) 4
c) –4
8. Dadas las matrices:
halla "xy", si: A = B.
5. Dadas las matrices:
-7 -7 91 = d) = 3 9 G e) 0 2G
4. Sean las matrices: x–2y x 2 y+4 A== G G ; B== 3 x–y 3 4
además: P(x; y)=3x – 2y+2 Calcula P(A; B) 7 0 9 2 2 7 = = a) =1 1G b) 3 3G c) 0 - 1G
7. Si la matriz:
3. Calcula "x", si la traza de la siguiente matriz: R V S4 0 1 W B = S- 3 x - 2 6 W SS 5 0 - 1 WW T X es igual a 14. d) 13
X
c) 6
3 5 3 7 5 7 a) >4 6H b) >4 8H c) >6 8H 5 7 5 6 7 9
b) 11
V
4W 41 6 3 3 -2 = = 1 W b) 3 3 - 2G c) 4 1 6G WW 6
4 1 6 6 1 4 = d) =- 2 3 3G e) 1 4 3G
2. Escribe explícitamente la matriz: A = (aij)3x2 / aij = i+2j
a) 10
R S3 S3 SS -2 T
R
V
T
X
S1 1 W 4 0 -1 A = =2 3 - 2G ; B = S0 3 W SS 2 0 WW
calcula A×B. 2 11 2 -2 4 -1 = = a) =4 11G b) 4 0G 4 0 G c) 2 4 2 4 = d) =- 2 11G e) 0 11G
c) 8
9. Dada la matriz R
V
S1 1 W 2 1 -3 A = =3 - 2 4 G y B = S2 3 W SS 1 2 WW T X Calcular A+Bt.
3 0 A = =1 2G calcula: A2 – A. 6 0 0 3 4 2 = = a) =4 2G b) 0 2G c) 1 1G 3 4 5 0 = d) =1 0G e) 0 2G
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Cuarto año de secundaria
73
18
Capítulo
10. Se define la matriz: 1 0 A = =3 1G
1 0 1 0 1 0 = = a) =350 1G b) 50 1G c) 150 1G
i A = (aij)2x3 / aij = )2 + j ; i H j i – j;i < j
3 4 5 3 –1 –2 3 1 2 a) e o b) e o c) e o 1 0 0 5 6 –1 5 6 –1
15. Dadas la matrices:
x–2y x + 3y 2x A = >3y–x x + y 2x–y H 9 7 8 Donde se cumple: traz(A) = 16 ; a21+a31=a22+1 Calcula "xy". d) 3
e) 7
c) 5
13. Sean las matrices:
A=e
2x–1 y 5–y 2–x o ; B= e o x+1 2 3 –y 2
C=e
–2 5 o 4 –1
Halla "A+C", si: A = B
5 3 5 3 5 2 a) e o b) e o c) e o 3 1 9 1 4 –2 1 2 5 2 d) e o e) e o 0 1 3 1
14. Sean las matrices:
Colegios
74
TRILCE
A =e
V
25 10 34 5 0 4 = c) =42 15 8 G d) 25 15 58G 25 10 34 e) =42 15 58G
12. Dada la matriz:
b) 4
R
S1 2 4 W 3 4 2 A = =3 9 1G ; B = S4 1 5 W SS 3 0 1 WW T X calcula A×B.
25 10 34 12 15 16 = a) = 2 15 58G b) 12 11 10G
2 –1 –2 3 1 2 d) e o e) e o 5 6 –1 5 6 1
a) 6
Calcula la matriz "x".
1 2 1 0 = d) =3/2 1/2G e) 0 1/2G
11. Escribir explícitamente la matriz:
x+y = A x – y =B
1 2 2 1 1 1/2G = = a) =1 1/2G b) 1/2 3/2G c) 3/2 0
1 0 1 0 = d) =3 1G e) 0 1G
)
calcula A50.
que verifican el sistema matricial:
16. Si: A = e
3 –1 o ; además: F(x) = x2 + 2x – 5 2 1
Halla "F(A)" e indica la suma de sus elementos. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 15
17. Halla la matriz "X" que verifique: 25 4 -6 = 1 3G $ X = =2 1 G
Indica traz (X). a) 2
b) 5
d) 10
e) –2
c) –17
18. Halla la matriz inversa de:
6 4 A = =3 3G 1/2 - 2/3 2 1/2G 2 1/2 = = a) =- 1/2 1 G b) - 1/3 1/2G 3 - 4 c) - 2 - 1/3 1/2 1 = d) = - 2 - 1/3G e) - 1/2 3 G
0 1 2 3 o ; B=e o 3 2 0 –1
Central: 6198-100
Álgebra 19. Escribe explicitamente la matriz: Z ]3i + 2j ; i > j A = 6aij@ 3×2 aij = [ i + j ; i = i ] 2i + 3j ; i < j \ a)
d)
R S2 S8 SS 10 T R S2 S8 SS 11 T
V
R
22. Dado el sistema matricial:
V
R
V
X T X V R V 8W S2 6 W S8 4W 4 W e) SS 13 WW 13 10 WW X T X
T
X
6W S2 6 W S2 8 W S11 4 W c) S6 4 W 4 W b) SS SS 11 WW 8 13 WW 8 10 WW
31 - 9 28 - 11 28 - 11 = = a) = - 6 2 G b) - 6 2 G c) - 12 5 G
Donde se cumple: traz(A) = traz(B) ∧ a21=b21 Calcula: 2x – y d) 56
e) 48
21. Sea
R S1 A = S0 SS 0 T
0 b c
V aW 0W 0 WW X
c) 63
24. Sean las matrices: m 1 2 –1 A=e o o ; B=e n 5 3 1
(a; b; c∈+)
se sabe que la segunda columna de la matriz R V A2 – At es S3 W S2 W SS WW 6 a) 3
b) 4
d) 6
e) 7
Si "A" y "B" son permutables respecto a la multiplicación, halla "m+n". a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
25. Dada la matriz:
Calcula el valor de a+b+c.
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31 - 9 31 - 9 = d) =28 - 11G e) –12 5 G
T X
6 6 6 –6 5 –5 a) e o b) e o c) e o 2 12 2 –12 2 0
6 11 3 B = >x + y 2x 8 H 7 - 10 - 2
b) 50
halla: xt . yt
23. Resuelve la ecuación matricial: 1 2 4 -1 = 3 7 G X = =0 2 G
2x + y 7 G A== 3x 4y - 10
a) 60
1 1 5 1 o ; x–y=e o 2 7 –2 3
1 –1 –6 6 d) e o e) e o 2 1 –2 12
20. Sean las matrices:
x+y= e
c) 5
c) 3
R S0 A = S0 SS 3 T
V
1 0W 0 2W 0 0 WW X
calcula la suma de los elementos de A40. a) 611
b) 614
d) 612
e) 6
c) 613
Cuarto año de secundaria
75
18
Capítulo
Practica en casa 1. Dada la matriz:
R S- 1 A=S4 SS -3 T
9. Completar correctamente a partir de la matriz:
V
0 3W 1 7W 2 0 WW
X
Calcula: a23 – a31+a13
2. Escribir explícitamente la matriz: B=[bij]2×2 / bij=2i+j
x+1 6 A = = 0 x - 4G esiguala 9 .
Calcula el valor de "x".
Calcula
X
R S4 A = S3 SS 5 T
Calcula B×A.
Colegios
76
TRILCE
•
C2 = ___________________________
2 1 A = =3 - 1G calcula A2+2A
R S 4 B = S2x - y SS 3x - 1 T
V
x - 6W y W 8 WW
X Donde se cumple: b31 – b21=b22 b12=b22 Calcula: x – y
A=e
x–3y x 2 6–y –4 –8 o ; B =e o;C=e o 1 y 1 6–x 2 3
Si: A = B, halla: 3A + 2C.
13. Dado el sistema matricial: x+y = A 3 -1 ) x - y = B ; donde A = =2 0 G
V
x - 1 y + 3W 2 12 W 6z 1 WW
X
/
7 3 B = =4 0G
Calcula la matriz "X".
14. Halla la matriz "X" que resuelve: 1 3 11 4 e oX= e o 2 1 7 3
R
V
T
X
S2 0 W 1 0 A = =2 3G ; B = S1 4 W SS 0 3 WW
2C = ___________________________
es simétrica, calcular x+y+z.
8. Dadas las matrices:
•
Si P(x; y) = x+y+2, halla P(A; B)
7. Si la matriz:
12. Sean las matrices:
6. Dadas las matrices: 2 –1 5 1 A = e o ; B=e o 1 2 0 –1
Ct = ___________________________
11. Sea la matriz:
5. Dadas las matrices: R V S1 0 W 6 -1 4 A = S3 4 W y B = =10 5 0G SS WW 0 -1
•
calcula: a – x + y
T
a x–2 4 3 4. Si: e o= e o 3 5– y 3 –3
At+B.
4 1 o 0 3
10. Dada la matriz:
3. La traza de la matriz:
C=e
Indica como respuesta la suma de sus elementos.
15. Calcula la matriz inversa de: 4 5 A = =3 4G
Central: 6198-100
Álgebra Tú puedes 1. Si: A = e
–3 5 2 –3 –7 3 o ;B=e o ;C=e o ; resolver: 3(x – 2A) = 5(B – C) + 2(x – A – B) –2 2 4 5 2 –1
29 –4 –29 4 29 4 –29 –4 29 –4 a) e o b) e o c) e o d) e o e) e o 6 –28 –6 28 6 28 6 28 –6 28 2. Si A y B son dos matrices simétricas de orden "n" y C es una matriz cuadrada de orden "n" que cumplen la condición: Ct+ABt(C – It)=At(BC – I)
Determinar la matriz C.
a) AB
b) B – A
c) A – B
d) (A – I)B
e) (B – I)A
1 –1 1 3. Dada la matriz: A = f2 –1 0 p , calcular: A100. 1 0 0
a) A
b) – A
c) I
4. Hallar la suma de los elementos de la matriz: C =
a) –2
b) –1
d) 2I e) φ
(BA)t
c) 0
2 0 1 6 3 2 – 2A, si: A = f–1 4 1p ; B = f–2 4 0 p 2 2 1 1 –5 – 2 d) 1
e) 2
5. Si A; B; X son matrices de orden "n" que poseen inversas, tales que B.A=I, y que satisfacen la condición: AX=X+B–1. Halla la matriz X.
a) (A – I)–1
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b) (I – A)–1
c) (I – B)–1
d) (B – I)–1
e) (A – B)–1
Cuarto año de secundaria
77
19
Capítulo
Determinantes Problemas para la clase 1. Efectúa:
7. Calcula P(–1; 0; 2), si: 41 0 1 2 3 +2 3 4
a) 1
b) 4
d) 10
e) 16
c) 8
2. Calcula "x" en: x -2 1 3 = 17
a) 5 d) 22 3 3. Calcula:
b) 19 3
c) 7
1 6 -1 0 2 -1 3 1 0 b) 10
d) 12
e) –13
a) 19
b) 20
d) 22
e) 23
c) 21
8. Si {m; n} es el conjunto solución de la ecuación: x2 – 3x+1=0, calcula el valor de: m 0 m -1 n 1 + 4 n
e) 8
a) –9
x y z P(x;y;z) = 2 0 1 1 43
a) 0
b) 1
d) 3
e) 4
c) 2
9. Reduzca: c) –11
5 8 12 1 6 9 5 12 8 -1 2 5 + 5 7 4 + -1 5 2 7 9 0 1 6 9 7 0 9
a) –1
b) 0
d) 2
e) 4
c) 1
4. Efectúa: 5 1 2 1 + 0 2 3 4 0 0
a) 0
b) 3
d) –5
e) 10
7 1 -1 c) –2
5. Resuelve la ecuación: 1 0 3 4 x 0 =1 1 1 2 a) {9}
b) {11}
10. Un alumno del colegio Trilce tiene sus notas de Aritmética (A), Álgebra (X), Geometría (G) y Trigonometría (T), representados por los siguientes determinantes:
c) {2}
d) {7} e) φ
Colegios
78
TRILCE
b) 4 e) 2
Calcula el promedio de sus notas. a) 16 b) 16,5 c) 17 e) 18
11. Calcula el determinante: 4 –3 5 3 –2 8 1 – 7 –5
1 5 25 1 7 49 1 8 64 a) 5 d) 3
A 2 = 46 1 3
2 2 3 T 1 1 T + = 19 0 X 1 = 200 ; 2 3 2 3 0 0 5
d) 17,25
6. Calcula:
G 0 = 15 ; 4 1
c) 6
a) 100 d) 10
b) 90 e) 0
c) 80
Central: 6198-100
Álgebra 12. Luego de resolver la ecuación: 1 0 x -1 2 x -3 4 x = 0
18. Calcula el determinante de la matriz "X" que verifica: 7 4 8 5 X = G= = G 5 3 6 4
calcula la suma de soluciones. a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
13. Sabiendo que: a -b - a b = 32 2 3 6 -5
4a b calcula el valor de - 4 1 a) 8 b) 16 d) 64
c) 32
A== a) 4 d) 25
α+β α+β G –β α
b) 9 e) 36
d) {2}
e) {3}
c) {1}
x+5 x-5 2x + 3 2x - 3 x - 5 x + 5 + 2x - 3 2x + 3
a) 20x
b) 32x
d) 44x
e) 50x
c) 40x
21. Se define:
b) {6} e) {7}
a) {–6}
b) {–5}
d) {–3}
e) {–2}
b) 6
d) 24
e) 30
x 0 0 x 0 0 x 5 7 P(x;y;z) = 0 y 0 + 4 y 0 + 0 y 5 0 0 z 8 9 z 0 0 z Calcula: P(1; 2; 4) a) 16
b) 18
d) 15
e) 21
a2 2ab b2 b2 a2 2ab 2ab b2 a2
a) a2+b2
b) a3+b3
d) a+b
e) a2 – b2
23. Calcula "x" al resolver:
c) 10
c) 24
22. Simplifica la expresión:
c) {–4}
17. Se define la matriz: R V S6 7 8 5 W S5 7 8 5 W A = S5 5 8 5 W S W S5 5 5 5 W T X Calcula det (A). a) 5
c) {3}
16. Resolver la ecuación: x-1 x x x x+1 x = 0 x x x+3
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c) 3
b) {–1}
20. Efectúa:
c) 16
x 6 7 x x+3 x x + 1 x + 5 x + 1 + 0 –2 8 = 8 0 0 1 x+2 x+7 x+2 a) {–4} d) {–2}
b) 2 e) –3
a) {0}
15. Resolver:
a) 1 d) 4
a b 19. Dada la matriz A = =c dG que verifica: |A|=4 ∧ (a+d) – (b+c)=8, resuelve la ecuación en "x": a+x b+x = –4 c+x d+x
e) 128
14. Si "a" y "b" son raíces de: x2 – 4x+1=0, calcular el determinante de:
x 3 4 4 6 2x + 3 = 7 x–3 2 5
Indica como respuesta: 3x+2.
a) 2 d) 8
b) 4 e) –2
c) ab+1
c) 6
Cuarto año de secundaria
79
19
Capítulo
24. Calcula "x" en: a - b 2c - a 2b - c = x ab c a+b 2a b c a) x = abc b) x =− abc a+b a−b c) x = 5abc d) x =- 5abc a+b a+b
25. Si α; b; θ son las raíces de la ecuación: x3+4x+3=0 Calcula el determinante de la matriz: R V Sa b i W Sb i a W SS W i a bW T X a) 0 b) 1 c) –1 d) 4
e) x = 3abc a+b
e) 3
Practica en casa 1. Efectúa:
9. Calcula: 3 2 41 1 1 +3 0 2
4 3 |A| = 2 1
2. Calcula "x" en: x 2 5 1 =4
3. Calcula el determinante: 2 1 3 5 3 2 1 4 3
1 1 1 2 4 5 4 16 25
x1 0 7. Si P(x; y; z)= 0 y 2 31 z
Calcula P(1; 1; 2)
8. Si {α; b} es el conjunto solución de la ecuación: x2 – 7x+2=0, calcula el valor de: a b a 4 -1 1 + 0 b
80
TRILCE
3 2 = 52 4 X
2 A = - 54 4 5
;
¿Cuál fue su mejor nota?
11. Calcula:
x+3 x-3 x-3 x+3
12. Indica el producto de las soluciones de la ecuación: x 0 0 3 3 5 x -1 + -2 x = 0 8 2 1 13. Resuelve la ecuación: 1 x 3 0 - 1 1 =0 -4 -2 2 14. Resuelve la ecuación: x + 10 x + 4 x + 10 1 0 0 x + 11 x + 5 x + 11 + 4 x 0 = 15 x + 12 x + 6 x + 12 2 1 3 15. Calcula det (A), si:
Colegios
4 3 2 1
3 0 0 2 1 T 3 = 62 + 2 G 0 = 96 ; T 4 2 5 1 4 2
3 0 0 5 -1 2 1 + 1 2 0 -4 3 1
6. Calcula:
2 4 6 8
10. Un alumno del colegio Trilce tiene sus notas de Aritmética (A), Álgebra (X), Geometría (G) y Trigonometría (T), representados por los siguientes determinantes:
4. Efectúa:
5. Resuelve la ecuación: 1 x 0 3 2 1 =- 6 1 0 2
5 6 7 8
R S1 A = SS1 S1 T
V
b c W a + b b + c WW 2b a + c W X
Central: 6198-100
Álgebra Tú puedes 1. Sea la progresión geométrica: ÷÷2:n2:n3:n4... cuya razón es: k2; se cumple en ella que la suma de los cuatro primeros términos es igual a 80. (k ∈ +). Hallar: 2a – b, a partir del siguiente resultado: a 1 ak k ak2 k2 ak3 k3 + + 2 + 3 3 =120 2 bk 2k b 2 bk 2k bk 2k
4. Calcular: x 0 –1 1 0 1 x –1 1 0 1 0 x–1 0 1 0 1 –1 x 1 0 1 –1 0 x
a) (x2+x+1)(x3+x+1)
b) (x2 – x+1)(x3+1)
c) (x2 – x+1)(x3 – x – 1)
2. Si "A" es una matriz definida por: h –1 0 0 hx h –1 0 A = , hx2 hx h –1 hx3 hx2 hx h entonces el valor del "Det(A)", es: a) h3(x+h)3 b) x3(x+h) 3 c) (x+h) d) x(x+h)3 3 e) h(x+h)
d) (x2 – x – 1)(x3 – x – 1)
e) (x2 – x+1)(x3 – x+1)
3. Calcular:
a) –21(6)4
b) 22(6)4
c) 21(6)4
d) 23(6)4
e) 21(5)4
a) 1 d) 4
b) 2 e) 6
0 –a –b –c
a) (af+be – cd)2 c) (af – bd+ce)2 e) (ad – bf+ce)2
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c) 3
a b c 0 d e –d 0 f –e –f 0
5. Calcula: 1 6 5 4 3 2
2 1 6 5 4 3
3 2 1 6 5 4
4 3 2 1 6 5
5 4 3 2 1 6
6 5 4 3 2 1
b) (af – be+cd)2 d) (ad+bf – ce)2
Cuarto año de secundaria
81
20
Capítulo
Sistema de ecuaciones Problemas para la clase 1. Si (2; 3) es solución del siguiente sistema en "x" e "y": x + ay = 11 ) x+y = b
calcula: a×b a) 5
b) 10
d) 15
e) 18
2. Calcula "x", si: )
b) 2
d) 4
e) 5
b) 3
d) 12
e) 18
b) 8
d) 10
e) 13
c) 9
7. Calcula el valor de "m" si el sistema: mx + 8y = 6 ) 2x + my = 3
no tiene solución. a) –4
c) 3
b) 0
c) 4
d) 2 e) más de una alternativa es correcta 8. Luego de resolver el sistema: x + 2y - z = 11 * x+y+z = 6 x-y-z = 8
3. Resuelve el sistema: 2x − y = 1 ) x + 3y = 11 Indica el valor de "xy". a) 6
a) 4
c) 12
x+y = 5 x-y = 1
a) 1
tiene infinitas soluciones, calcula el valor de m+n.
c) 2
calcula: x . y – z. a) 5
b) 6
d) 8
e) 9
c) 7
4. Calcula "xy" al resolver:
)
a) 1 d) 4
5. Resuelve:
2x + 3y = 8 4x + 5y = 14 b) 2 e) 5 x+y =2 3 x–y = 4
6. Si el sistema en "x" e "y": (m - 1)x + ny = 6 ) 4x + 2y = 3
82
TRILCE
a) (1; 10; 4) b) (4; 10; –1) c) (–4; –1; 10) d) (4; 10; 1) e) (–1; 4; 10)
*7
Indicando el valor de "x+y" a) 3 b) 7 d) 12 e) 15
Colegios
c) 3
9. Determina la solución del siguiente sistema: 2x + y = 18 * y + 4z = 6 x+z = 3
c) 10
10. Carlos tiene pantalones de colores negro, azul y verde. Todos sus pantalones son de color negro, menos 4; todos son de color azul, menos 4; y todos son de color verde, menos 4. ¿Cuántos pantalones tiene Carlos en total? a) 5
b) 7
d) 8
e) 9
c) 6
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Álgebra 11. Calcula "x" al resolver: 2 (x + 3) + 3 (y + 2) = 18 ) 3 (x + 4) + 4 (y + 3) = 36
a) –12 d) 6
b) –6 e) 12
12. Calcular "x – y" al resolver: Z1 2 ]x + y = [2 1 ] + = \x y
a) 2 d) –1
17. Si el sistema en "x" e "y": (a - 3)x + (b - 2)y = 8 ) (a + 1)x + (b + 4)y = 24 es compatible indeterminado, calcula a+b.
c) 0
c) 1
13. Determina la solución del sistema en "x" e "y": Zx ]] a + y = 2b [ x - y = a–b ]] b \
b) (ab; b)
d) (ab; a)
e) (a; ab)
c) (b; a)
*
x + 4 + 2y = 5 6 x + 4 - 3y = 15
calcula x+y. a) 4
b) 5
d) 3
e) 2
c) 6
15. Luego de resolver el sistema: x+y+z = 4 * 2x - 3y + 5z = 7 6x + y + 9z = 21
se verifica: a) Tiene infinitas soluciones. b) No tiene solución. c) Tiene solución única d) (2; –1; 0) es una solución e) (–1; 0; 3) es una solución
16. Calcula "m" para que el siguiente sistema tenga solución única: Z 2x + 3y = 13 ] [ 4x + 5y = 23 ]6x + my = 18 \ a) 2 b) 4 c) 6 d) 7 www.trilce.edu.pe
e) 8
e) 5
a) 2 d) 8
b) 4 e) 10
c) 6
a) 1 3
b) 2
d) – 1 3
e) 4
c) 3
20. Calcular "6x" del sistema: Z 2 4 ] 3 x + y + 3x – y = 3 [ 2 – 4 =1 ] + y 3x – y x 3 \
14. Luego de resolver:
d) 10
c) 5
19. Resolver el sistema: 3 = 1 =2 y x-y+4 2x + 1 Indicar el valor de x.
(ab ≠ 0)
a) (a; b)
b) 2
18. Calcular "a" en el sistema incompatible: (a + 2) x + 2ay = 7 ) 5x + (a + 3) y = 8
7 6 4 3
b) 3 e) –2
a) 1
a) 1 d) 7
b) 3 e) 9
c) 5
21. Calcular x+y, del sistema: Z ] 2 x - 1 + 3 = 23 ] y 2 [ ]] 3 x - 1 - 2 = 1 y \ 23 23 c) a) 27 4 5 b) 5 30 d) 31 7 9 e) 22. Dado el sistema lineal de incógnitas "x" e "y": Z ]] x - y = 1 - a2 ab b2 [ ]] x + y = a + ab2 a \b y Si ab ≠ 0, calcular: x a) a+b
b) ab
c) (ab)2
b d) a e) a b
Cuarto año de secundaria
83
20
Capítulo
23. Resuelva el sistema: Z ] - x1 + 2x2 + x3 = –2 [3x3 + 6x2 + 3x1 = 6 ] 3x1 - x3 = 3 \
Calcular el valor de x1+x2+x3. 9 c) 7 a) 3 2 b) 2 2 d) 10
e) 15 2
24. En una feria campestre los boletos para los adultos se venden en $ 5,50; para los jóvenes en $ 4,00 y para los niños $ 1,50. El día de la apertura, el número de boletos para jóvenes y niños que se vendieron fue 30 más que la mitad de los boletos de adultos vendidos. El número de boletos para jóvenes vendidos tiene cinco más que cuatro veces el número de boletos para niños. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron, si la venta total de boletos ascendió a $ 14 970?
a) Niños=845 Jóvenes=210 adultos=2050
b) Niños=210 Jóvenes=850 adultos=2000
c) Niños=210 Jóvenes=845 adultos=2000
d) Niños=210 Jóvenes=845 adultos=2050
e) Niños=800 Jóvenes=845 adultos=2050 25. Si pqr ≠ 0, calcular el valor de "x" del siguiente sistema: px + qz = r *qy + rx = p rz + py = q a) p2+q2 – r2
b)
q2 + p2 - r2 2pr
c)
p2 + q2 - r2 q2 + r2 - p2 d) 2pq 2qr
e)
r2 + p2 - q2 2pr
Practica en casa 1. Si (1; 3) es solución del siguiente sistema en "x" e "y": x+y = a ) x + by = 10
)
x + y = 10 x-y = 6
3. Resuelve el sistema: x+y = 7 ) x - 3y =- 1 Calcular el valor de "x . y"
4. Indica el valor de "x+y" del sistema: 7x + 4y = 3 ) 5x + 3y = 1
Colegios
84
Z4 3 ]x + y =4 [2 6 ] – = –3 \x y
calcula a×b.
2. Calcula "x", si:
5. Indica "x" que verifica el sistema:
TRILCE
6. Si el sistema en "x" e "y": (m + 2)x + ny = 8 ) 3x + 5y = 4 Tiene infinitas soluciones, calcula "n – m". 7. Si el sistema:
mx + 4y = 2 9x + my = 3
)
No tiene solución, calcular el valor de "m".
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Álgebra 8. Resuelve el sistema: x + y + 5z = 9 *x - y - z = 3 x+y+z = 5
12. Resolver e indicar el valor de "y":
Calcula xy+z.
9. Determina la solución del sistema: x+1 + y-2 = 7 * x+1 - y-2 = 3
13. ¿Para qué valor de "m" el siguiente sistema: (m – 2) x + 3y = 4 ) 6x + (2m + 1) y = 12
10. Edú, Mathías y Carla pueden soldar 37 metros lineales por hora cuando trabajan juntos. Edú y Mathías juntos pueden soldar 22 metros lineales por hora, mientras que Edú y Carla juntos pueden soldar 25 metros lineales por hora. ¿Cuántos metros lineales por hora pueden soldar cada uno de ellos por separado? 11. Indica el valor de "7y" luego de resolver: 3 (x + 5) + 5 (y + 3) = 36 ) 4 (x + 2) + 2 (y + 4) = 18
Z ] 3x – 4 = 5 y ] [ 1 =2 ]x 2 5 ] +y \
tiene infinitas soluciones?
14. Halla "m" para que el sistema sea incompatible: (1 + 2m) x + 5y = 7 ) (2 + m) x + 4y = 8
15. Calcula "a2 + b2" en el siguiente sistema compatible indeterminado: (α – 3) x – (β – 5) y = 10 ) 4x – 3y = 5
Tú puedes 1. Calcula "y" al resolver:
1 b) 1 c) 1 a) 2 90 60 1 d) e) 1 30
) x + 2y + 8xy = 9 x – 2y = 1
a) 4 d) 16
b) 6 e) 32
c) 8
2. Halla "xy" del sistema: 2x + y–5 x + y–3 = =2 3 x–y + 4 x–2y + 7
a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
4. Indica "xy" luego de resolver el sistema: Z a b ] ]x– a + y– b = a + b [ a – b = a– b ]] x– a y – b \ a) a b) b c) a – b d) a+b e)1+ a + b + ab
3. Calcula "xyz" al resolver: Z1 1 1 ] + – =6 ]] x y z [ 1 – 1 + 1 = 4 x y z ] 1+ 1= 1 ]] y z x \
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5. Indica "x – y" al resolver: 2 2 )ax + by = 2 (a –b ) bx + ay = a2 – b2
a) a+b d) b
b) a – b e) 1
c) a
Cuarto año de secundaria
85
21
Capítulo
Desigualdades e inecuaciones lineales Problemas para la clase 1.
Indica verdadero (V) o falso (F): I) Si x≥2 x∈〈–∞; 2] II) Si 4≤2x<10 x∈[2; 5〉 III) Si –2
d) 10
d) 〈–2; 3]
e) 〈–2; ∞〉
c) 〈–∞; 3]
4. Sabiendo que x∈[–3; 6〉, obtener el intervalo de variación de: 4 M(x) = 3x + 10 - 7; 1 E d) ; 1 4 2 ;3 e)
c) 1 7 ;4E
b) [3 ; 9]
d) [– 1 ; 8]
e) ]– 1 ; 8[
c) ]3 ; 8]
6. Si: x∈+, indica el mínimo valor que toma: x + 150 6 x
Colegios
86
TRILCE
b) e) φ
c) [11;+∞〉
c) 4
e) 7
9. Luego de resolver el sistema de inecuaciones: x+8 ≤2x+5 < x+12 calcula la suma de los valores enteros del conjunto solución. a) 14
b) 16
d) 20
e) 21
c) 18
10 Calcula un número entero y positivo, sabiendo que la tercera parte del que le precede, disminuido en una decena , es mayor que 14; y que la cuarta parte del que le sigue, aumentado en una decena no llega a 29.
5. Si: –2 < x ≤ 3, calcula el intervalo de: x2 – 1 a) ]– 1 ; 8]
e) 25 10
2x + 1 + 3x – 1 ≥ x + 3 3 4 a) 5 b) 8
e) 11
a) [4; 6〉 b) 〈2; 3]
c) 10
8. Indica el menor valor que puede tomar "x" en:
d) –3
3. ¿Cuántos valores enteros toma "x" si verifica: 1 - x ! 6–1;3 H ? 2 a) 5 b) 7 c) 8 d) 10
a) 〈11;+∞〉 d) 〈–∞; 11]
c) FVFV
2. Si –2
b) 5
7. Resuelve la inecuación: (x+3)(x+2)+x2 ≥ 2x(x+2)+17
e) FFFV
a) 〈–2; 0]
a) 5 2
a) 72
b) 73
d) 75
e) 76
c) 74
11. Dados los conjuntos: A={x∈/x>–3 ∧ x≤6} B= )x ! N 1 −32x ! [–3; 4 3
calcula n(A – B) a) 2
b) 3
d) 1
e) 0
c) 4
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Álgebra 12. Si (4x – 1)∈〈–13; 7〉, calcula la variación de: H(x)= 2x – 4 a) 〈1; 6〉
b) 〈–3; 2〉 c) 〈–5; 7〉
calcula x . y a) 1
b) 3
d) 7
e) 12
c) 4
d) 〈–10; 0〉 e) 〈–3; 0〉 13. Si x∈[–2; 4〉, determina el intervalo de variación de: F(x)=(x – 6)2 – 7 a) [57; +∞〉
b) [–57; 3〉
d) 〈–3; 57]
e) 〈–∞; 7]
c) [–3; ∞〉
19. Indica verdadero(V) o falso(F): 1 ≥2 I. Si m < 0 m+ m II. Si a<0 ∧ ab
0 a IV. Si a>b a3
14. Si: x ∈ 〈– 2 ; 5], halla el intervalo de variación de: M = 2x + 1 x–6 3 3 a) ; 3 ; 11E b) ;– ; 11E c) ;– ; 3E 8 8 8 3 ; 11@ d) ;– 11 ; 3 e) 8 8 15. Si {x; y} ⊂ +, calcula el mínimo valor de: ^x + yhc
b) 3
d) 7
e) 6
a2 x
a-b
- 3a $
b2 x
a-b
+ 3b
b) 〈–∞; 3]
d) [–3; 3]
e)
d) 2
e) 1
c) 4
5x − 3y > 2
*2x + y < 11 y>3
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Calcula el producto del valor máximo de “F” y el mínimo de “G”. a) –7
b) –8
d) –10
e) –12
c) –19
M(x) = x2 – 4x+9
a) [3; 49]
b) 〈25;39〉
c) [5; 54]
d) [3; 25〉 e) 〈5; 54〉 22. Sabiendo que x>4, calcula la variación de: H(x) = 3x+ x12 - 4 –12 a) [5; +∞〉 b) [12; +∞〉 c) [14;+∞〉 6 4 3; + 3 d) 6 8; + 3 e)
23. Luego de resolver en “x”: x − 1 - 3x # x + 1 ;a ! − 3; − 1 a 4a 2 2
18. Siendo x; y números enteros positivos que satisfacen las siguientes desigualdades:
F(x) = 4 – 5x; x∈[–3; 1〉 G(x) = 2x1− 5 ; 1
c) [3; ∞〉
17. Indica cuántos valores enteros de "x" verifican el sistema: Z 2x–3 x–1 <2 + ] 9 5 [ x 2 3x–2 >4 ] + + 5 \ 3 b) 3
e) VVVV
c) FFVV
21. Si x∈[–5; 3], obtén el intervalo de variación de:
a) 〈–∞; 2]
a) 5
d) VVVF
c) 4
16. Si 0
b) FVFF
20 Se definen las funciones:
1 + 1 m+ 3 x y
a) 5
a) FVVF
se obtiene como conjunto solución − 3; m 3B
Calcula: m + 3 a) 0
b) 1
d) 3
e) 2
c) 2
Cuarto año de secundaria
87
21
Capítulo
24. En una tienda se han comprado lapiceros, cajas de tiza y motas, los cuales no llegan a 8 artículos. El número de lapiceros que se compró no llega a 5 y se compraron más cajas de tizas que motas. Si al doble del número de lapiceros se le resta el número de cajas de tizas y a esta diferencia se le suma el número de motas, se obtiene más de 6 artículos. Si cada lapicero, caja de tizas y mota cuesta S/.2, S/.10 y S/.8 respectivamente, ¿cuánto se ha gastado en total? a) S/.21
b) S/.24
d) S/.32
e) S/.36
x-y 25. Calcula el valor de z , si x, y, z son enteros positivos que satisfacen el sistema: Z2x + 3y + 5z > 23 ] ] 2x − y + 5z < 13 [ y−z > 1 ] ] y<4 \ 2 1 a) 5 b) c) 0 2 d) 1 e) 2
c) S/.30
Practica en casa 1.
Expresa las desigualdades como intervalos: I) Si x>5 x ∈ __________________ II) Si 2
2. Si –1
3. ¿Cuántos valores enteros toma “x” si verifica: (3 –x) ∈〈–2; 5]? 4.
Si x∈〈3; 7〉,obtén el intervalo de variación de 12 M(x)= 2x -5
5. Si –3 ≤x<2, calcula el intervalo de: N(x)=x2+3. 6. Si x∈+, calcula el mínimo valor de: 2x + 54 x 3 7. Resuelve la inecuación: (x+3)2 ≤ (x+2)2+11
8. Obtén el mayor valor entero que verifica la inecuación: x-1 + x-1 < 1 2 3
Colegios
88
TRILCE
9. Resuelve el sistema: x – 3 < 2x – 5b; además a y b ∈+, resolver: ax + b < bx + a b a a b 14. Las lecturas de temperaturas con las escalas Fahrenheit y Celsius se relacionan mediante la fórmula: C = 5 (F - 32). ¿Qué valores de "F" 9 corresponden a los valores de "C" tales que: 30 ≤ C ≤ 40?
15. Si: x > 5, ¿cuál es el mínimo valor que toma la expresión: E(x) = x + 49 ? x-5
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Álgebra Tú puedes + 3 1. Sea: a>0 y b>0, determinar el menor valor de "k" tal que: (a3 b)3 ≤ k ; k ∈ . a +b a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 2 2 2 2. Si: a ; b ; c ∈ + , se puede afirmar que: k = (a + b + c) (a + b + c ) es: abc
a) k≤1
b) k≤2
c) k≥1
d) k≥9
e) k≤20
3. Si: x>0, calcular el mínimo valor de la expresión: K = x + 42 x 3 3 3 3 d) 3 2 a) 3 b) 2 c) 2 3
e) 3
4. Sabiendo que: a ; b ; c ∈ + donde: a ≠ b ≠ c ; indicar el menor valor entero que puede tomar: k = (a + b + c) (a–1 + b–1 + c–1)
a) 9
b) 10
c) 8
d) 11
e) 6
5. Calcular el mínimo valor positivo de: E= a + b + c , si f(x)=ax2+bx+c es no negativo 6x ! R / a > 0 b–a 5 e) 7 a) 3 b) 2 c) 4 d) 2 2
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Cuarto año de secundaria
89
22
Capítulo
Inecuaciones polinomiales y fraccionarias Problemas para la clase 1. Resuelve: x2 – x – 20 ≤ 0
5. Resuelve: x2 – 8x+19<0
a) 〈–∞; –4] ∪ [5; +∞〉
a) b) 〈0;+∞〉 c) 〈4;+∞〉
b) 〈–5; 4〉
d) {4}
e) φ
c) 〈–∞; 4]∪[5; +∞〉 6. Resuelve: (x – 1)(x+3)(x – 4) ≥ 0
d) [–4; 5] e) 〈–∞; –4〉∪[5; +∞〉 2. Resuelve:
a) [–3; 1]∪[4;+∞〉 c) 〈–∞; 1]∪[4;+∞〉 e) [–3; 4]
(x – 1)(x – 2) > 12
7. Resuelve: x3+x2<42x
a) 〈–2; 5〉
a) 〈–∞; –6〉∪〈7;+∞〉 b) 〈–7; 6〉 c) 〈–6; 7〉 d) 〈–∞; –7〉∪〈0; 6〉 e)
b) 〈–∞; 2]∪[5; +∞〉 c) 〈–∞; 2〉∪〈5; +∞〉 d) [2; 5] e) 〈–∞; –2]∪[5; +∞〉 3. Luego de resolver: (5 – x)(x+2)>6 calcula la suma de los valores enteros que la verifican. a) 2
b) 4
d) 10
e) 12
Colegios
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TRILCE
8. Resuelve: (x2 – 1)(6+x – x2)≥0 ¿Cuántos valores enteros la verifican?
c) 6
4. Relaciona las inecuaciones cuadráticas con su respectivo conjunto solución: A. –{1} 2 I. (x–1) ≥ 0 B. φ C. –{5} II. (x+3)2<0 D. {–3} E. {2} III. (x+5)2 ≤ 0 F. G. {–5} IV. (x – 2)2>0 H. –{2} a) IA - IIB - IIIG - IVE b) IF - IIB - IIIG - IVH c) IF - IID - IIIC - IVH d) IA - IID - IIIG - IVH e) IF - IIB - IIIC - IVE
b) 〈–∞; –3]∪[1, 4] d) 〈–∞; –3]∪[4;+∞〉
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
9. Resuelve:
x+5 # 0 x-1 a) 〈–∞; 1〉∪[5;+∞〉 b) 〈1; 5〉 c) 〈–∞; –5]∪〈1;+∞〉 d) 〈–5;+∞〉 e) [–5; 1〉
10. Resuelve:
x2 - x - 6 ≥0 x-4 a) [2; 3]∪〈4;+∞〉 b) 〈–∞; –2]∪〈4;+∞〉 c) 〈–∞; –2]∪[3; 4〉 d) [–2; 3]∪〈4;+∞〉 e) 〈–∞;3]∪〈4;+∞〉
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Álgebra 11. Resuelve: 15x2 – 2x – 8 ≤ 0; calcula el producto del mínimo y el máximo valor de su conjunto solución. 4 a) 15
b) – 2 5
c) – 1 15
18. Luego de resolver la inecuación fraccionaria:
x – 2 + 1 <0, se obtiene: C.S.= 〈a;0〉 ∪ 〈b;–a〉 2x –1 x
Calcula el valor de (2b + a).
8 d) – 8 e) 15 15
12. Si [α; b] es el conjunto solución de la inecuación: x2+4x+1 ≤0 calcula (α+1)(b+1) a) 2
b) 4
d) 8
e) –4
c) –2
a) 0
b) 1 2
d) 2
e) 4
c) 1
19. Dado los conjuntos: A={x∈/x2+2x – 15 ≤0} B={x∈/x((x+4) ≤ 32} se puede afirmar: a) A∩B = φ
b) B⊂A
c) A⊂B
d) A – B=[–8; 4] e) A∪B= 13. En un rectángulo, el largo excede al ancho en 3 unidades. Indicar a qué intervalo pertenece el menor de los lados, si el área de dicho rectángulo es numéricamente menor que su perímetro.
20. Resuelve: (ax – b)2 ≥ (bx – a)2 siendo 0
a) 〈–2; 3〉 b) 〈0; 3〉 c) 〈0; 4〉
a) 〈–∞; –1]
b) [–1; 1]
d) 〈–1; 3〉 e) 〈1; 3〉
d) 〈–∞; 1]
e) 〈–∞; –1]∪[1;+∞〉
14. Hallar el máximo valor entero de "M" de modo que se cumpla lo siguiente: x2 – 6x+4 – M ≥ 0 ; ∀ x ∈ a) – 3
b) – 5
d) 0
e) –2
a) 4
b) 3
d) 1
e) 0
b) 8
d) 6
e) 5
c) 7
2 17. Resuelve: x2 - 4x + 3 < 0 x - 8x + 15 de como respuesta la suma de valores enteros del conjunto solución.
a) 9
b) 8
d) 6
e) 5
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a)
2
d) 2 2
b) 1+2 2
c) 2 2 – 1
e) 1 – 2 2
22. Resuelve: (x – 1)4(x – 3)7(x – 8)16(x+2)9 ≤ 0 a) [–2; 3] b) 〈–∞; –2]∪[3;+∞〉 c) [–2; 8] d) 〈3;+∞〉 e) [–2; 3]∪{8}
c) 2
16. ¿Cuántos valores enteros satisfacen el siguiente sistema: )x - 1 < 7 ? x3 $ 16x a) 9
21. Calcula el valor de (a – 2) si la inecuación en "x": x2 + 2(1 – 2 )x+ a ≤ 0, se verifica para un solo valor de "x".
c) – 4
15. Resuelva la inecuación polinomial: (x+2)(4x – 1)(–x + 3) > 0 e indica cuántos enteros no negativos la verifican.
c) [1;+∞〉
23. Luego de resolver la inecuación: (x2 – x)2 (x3 – 1)(2x2 – 3x+1) (2x – 1)4<0
se obtiene: C.S. = 〈– ∞ ; m〉 – {n}
Calcula el valor de: mn. a) 9 b) 8 d) 1 e) 0
c) 4
c) 7
Cuarto año de secundaria
91
22
Capítulo
24. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2x–1 G 0 / x2 + x–2 > 0 x–1 x+4 e indica el intervalo solución común.
25. Resuelve: ax + b $ 1 bx + a
a) 〈–4 ; 1 〉 b) 〈– 2 ; 1 ] c) 〈–2; +∞〉 2 2 d) 〈– 4 ; 1 ] e) 〈–2 ; 2〉 2
donde 0
Practica en casa 1. Resuelve: x2 – 5x+6<0
8. ¿Cuántos valores enteros verifica la inecuación: (x2 – x – 2)(16 – x2) >0?
2. Resuelve:
9. Resuelve: (x+2)(x – 2)>3x
3. Resuelve: (3 – x)(x+2) ≥ 4 Da como respuesta la suma de los valores enteros que la verifican. 4. Determina el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:
• Si: (x – 5)2<0 → x ∈ ...........
• Si: (x – 5)2 ≤ 0 → x ∈ ...........
• Si: (x – 5)2 ≥ 0 → x ∈ ...........
• Si: (x – 5)2 >0 → x ∈ ...........
5. Resuelve: x2 – 2x +5>0. 6. Resuelve: (x – 2)(x – 4)(x – 7) ≤ 0 7. Resuelve: x3+12x > 7x2
Colegios
92
TRILCE
x-6 x+2 # 0
10. Resuelve:
x2 - 6x + 8 $ 0 x-3
11. Resuelve 3x2–x – 10>0 12. Calcular el mayor valor entero "m", tal que: x2 – 10x+32 ≥ m; ∀x∈ 13. Resuelve: x3>x 14. Resuelve: (x+6)4(x+2)6(x – 4)8(x – 3)11>0 15. Indica la suma de valores enteros que verifican:
(–x + 8) (x2 + 2x – 8) ≤ 0 (x2 + 9) (–x–4)
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Álgebra Tú puedes 1. El conjunto solución de la inecuación:
^x2 + x + 1h^x2 - x + 2h^x - 5h >0 ^x2 + x - 2h^x + 3h^x - 5h
es de la forma: 〈a; b〉∪〈c; d〉∪〈 e; +∞〉. Calcula a+b+c+d+e.
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 2. Resolver: (x – 2)3 . 5 x + 1 . 7 x + 3 . (x – 4) 6 . 4 64 – x2 ≥ 0 a) [–3; –1] ∪ [2 ;+∞> b) [–3; –1] ∪ [2; 8] d) e) +
c) [–3; –1] ∪ [2; 8] ∪ {–8}
3. Resuelva: x(2x + 1) (x – 2) (2x – 3) > 63 Indique el producto de valores enteros negativos mayores que –5.
a) 6
b) –6
c) 24
d) –24 3
e) 12
3
(x – 19) – 2 < (x – 19) – 4 4. Determinar el conjunto "A", si: A = 'x ! / 1 (x – 19)2 + 1 (x – 19) 2 + 2
a) x<17
b) 7
c) 0
d) x>19
e) 0
2 3 + 5. Indique las soluciones negativas de la inecuación: (x –2x5–35) (x3 22) (x –1) ≥ 0 x + 2x –x –2
a) – b) 〈–1; 0〉 c) 〈–7; 0〉 d) [–5; –2]
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e) [–5; –1]
Cuarto año de secundaria
93
23
Capítulo
Inecuaciones irracionales Problemas para la clase 1. Resuelve: x <3 a) 〈–∞; 9〉
a) [2; 11〉
b) 〈–∞; 0〉∪〈9;+∞〉
b) [2;+∞〉
c) [0; 3〉∪〈9;+∞〉
c) 〈–∞; 2]∪〈11;+∞〉
d) [0; 9〉
d) 〈11;+∞〉
e) [0; 3]
e) 〈–∞; 11〉
2. Resuelve:
x-2 # 3
7. Resuelve:
x + 3 +2 ≥ 0
a) 〈–∞; 2]∪[11:+∞〉
a) [1; +∞〉
b) [2; 11]
b) [–3;+∞〉
c) [2; +∞〉
c) 〈–∞; –3]∪[1;+∞〉
d) 〈–∞; 11]
d) φ
e) 〈–∞; 0]∪[11:+∞〉
e)
3. Resuelve: x + 3 < 5 - x
8. Resuelve: x - 3 > 9 - x
a) 〈–3; 4〉
a) 〈6;+∞〉
b) 〈–∞;1〉∪〈3;+∞〉
b) [3; 9]
c) 〈–∞; –3〉∪〈1;+∞〉
c) 〈–∞; 6〉∪〈9;+∞〉
d) [–3; 1〉
d) 〈6; 9]
e) [–3; +∞〉
e) [9;+∞〉
4. Resuelve: 5 - x < - 1
9. Resuelve: 3 x + 1 >2
a) 〈–∞; 5]∪〈10;+∞〉
a) 〈–1;+∞〉
b) 〈4; 5]
b) 〈–∞; –1〉∪〈7;+∞〉
c) 〈–∞; 4〉∪[5;+∞〉
c) 〈7;+∞〉
d) 〈4;+∞〉
d) 〈–∞; 7〉
e) φ
e) 〈–∞; –1]∪[7;+∞〉
5. Resuelve: x – 5 ≥ 0
10. Resuelve: 3 x − 11 # − 2
a) [5; +∞〉
a) 〈–∞; 3]
b) 〈–∞; 0]∪〈5;+∞〉
b) 〈–∞; 11]
c) [0; 25]
c) 〈2; 11]
d) 〈–∞; 0]∪[25;+∞〉
d) 〈11;+∞〉
e) [25;+∞〉
e) 〈–∞; –8]∪[11;+∞〉
Colegios
94
6. Resuelve: x - 2 > 3
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Álgebra 11. Resuelve:
x2 + 7 <4
a) 〈–∞; 3〉 b) 〈–∞; –3〉∪〈3;+∞〉 c) 〈–3; 3〉
17. Resuelve:
5
x + 1 . ^x − 5 h <0 3 x−2
a) b) 〈–∞; –1〉∪〈2; 5〉 c) 〈–1; 5〉
d)
d) 〈2;+∞〉
e) φ
e) 〈–∞; 2〉∪〈5;+∞〉 12. Resuelve:
x2 + 8
-3 $ 0 18. Resuelve: x + 3 . (x2+x+3)(x – 5)≤0
a) 〈–1; 1〉 b) 〈–∞; –1]∪[1;+∞〉
a) [3; 5]
c) 〈–8; 8〉
b) 〈–∞; –3]∪[5;+∞〉
d) 〈–∞; –8〉∪〈8;+∞〉
c) 〈–∞; 3]
e) φ
d) [–3; 5] e) 〈–∞; 3]∪[5;+∞〉
13. Resuelve:
x2 − 9 − 4 # 0
a) [–5; 5]
19. Resuelve:
b) 〈–∞; –5]∪[5;+∞〉
a) [0; 1[
c) 〈–∞; –3]∪[3;+∞〉
b) ]0; 2]
d) [–5; –3]∪[3; 5] e)
2 – x
c) [4; 6[ d) ]–2; 2] e) ]1; 2]
14. Resuelve: 6 − x − x2 > − 8 a) 〈–∞; –3]∪[2;+∞〉
20. Resuelve: x + 6 > x
b) [–3: 2]
a) [–6; 3〉
c) 〈–∞; –8〉∪〈8;+∞〉
b) [–6; 6〉
d)
c) [–3; 0〉
e) φ
d) [–6; 5〉 e)
15. Resuelve: 3 x2 + 2 <3 a)
21. Resuelve: 3 x3 - 3x2 + 5x - 6 > x - 2
b) 〈–2; 2〉
a) 〈–∞; 1/3〉∪〈2;+∞〉
c) 〈–∞; –5〉∪〈5;+∞〉
b) 〈1/3; 2〉
d) 〈–∞; –2〉∪〈2;+∞〉
c) [–1; 1]
e) 〈–5; 5〉
d) 〈–∞; –1]∪[1;+∞〉 e) 〈–1;+∞〉
−x 16. Resuelve: 3 6 x − 2 # 1 a) 〈–∞; 2]∪[4;+∞〉 b) 〈2; 4] c) 〈–∞; 2〉∪[4;+∞〉 d) e) φ www.trilce.edu.pe
22. Resuelve: − − − 2x x 2 4 x 2 > 1 x − 2 ^x − 4 h a) 〈4;+∞〉
b) 〈2; 4〉
d) 〈0;+∞〉
e) 〈–2; 4〉
c) 〈2;+∞〉
Cuarto año de secundaria
95
23
Capítulo
23. Resuelve la inecuación: 8
4x + 2 (x2 –25) 3 . 5 2x–8 <0 (x + 1) 2 (2x + 5) 9
25. Resuelve: a)
2 − 1;3 2
x2 + 1 < x x2 + x
a) 〈1; 2〉 b) 〈2; 3〉 c) 〈3; 4〉 d) 〈4; 5〉 e) 〈5; 6〉
b)
2 + 1 ;3 2
24. Resuelve: x2 + x – 2 <5 – x
c)
2 + 1 - 1; 3 2
d)
4 2 + 1 - 1; 3 2
a) 〈– ∞ ; –1] ∪ [1; 25 〉 11 27 b) 〈– ∞ ; –2] ∪ [1; 〉 11 c) 〈– ∞ ; –4] ∪ [2; 23 〉 11 d) x ∈ {0} e) x ∈
e)
2 2 ;3
Practica en casa 1. Resuelve: x # 5
10. Resuelve: 3 7 − x # − 2
2. Resuelve: x - 3 < 1
11. Resuelve:
x–2 <2 4–x
3. Resuelve: x + 1 # 7 - x 4. Resuelve: 10 - x < - 1 5. Resuelve: x - 2 > 0 6. Resuelve: x + 5 > 1 7. Resuelve: 7 - x + 4 $ 0 8. Resuelve: x − 1 > 11 − x
12. Resuelve la desigualdad: x+2 ≤ 3 x3 + 8 13. Resuelve: 6x – 2 >x+1 14. Resuelve: (x – 2)3. ^5 x + 1 h . ^7 x + 3 h . ^6 4 – x h ≥0 15. Si: A = 〈– ∞ ; a] ∪ [b ; c〉 , es el conjunto solución de: x2 –5x + 4 <7 – x; calcular el valor de "a+b+c".
9. Resuelve: 3 x + 3 > 4
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Álgebra Tú puedes 1. Indica un intervalo solución de la siguiente inecuación: 1–x – 1–3x > 3 + x – 3–x
4. Resuelve: x + 1– 4 x –1 # 8 x + 1– 8 x –1
4
x + 1+ 8 x – 1 8 x + 1 + 16 x2 –1
8
a) [–1; 3〉 b) <0; 1 ] 3 c) 〈–1;3] ∪ 〈4;+∞〉 d) [–3; 0〉
a) x ∈ {1; 2}
b) x ∈ {9; 12}
e) 〈–3; 1] ∪ [3; +∞〉
c) x ∈ 〈0; 1]
d) x ∈ {1}
2. Resuelve:
e) x ∈ {2}
x2 –3x–4 ≥ x2 – 2x – 29 5– 16–x2
a) [–4; –1] ∪ {4} c) [–2; –1] ∪ {4} e) x ∈ {0}
b) [–3; –1] ∪ {4} d) [–2; 1] ∪ {4}
3. Resuelve: x – 2 + x – 1> 2x a) [ 2 + 5 ; +∞〉 b) [ 1 + 7 ; +∞〉 2 2
5. Resuelve:
8
x-3- 7-x $ x-3 x-7 2x - x + 4
a) [3; 4〉
b) [3; 4]∪[5; 7]
c) [3; 9〉
d) [3; 4〉∪[5; 7〉
e)
c) [ 3 + 10 ; +∞〉 d) 〈 1 + 7 ; +∞〉 2 2 + 3 10 e) 〈 ; +∞〉 2
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97
24
Capítulo
Relaciones binarias Problemas para la clase 1. Calcula "ab" en la igualdad:
(a+b; 8) = (10; a+1) a) 12
b) 21
d) 9
e) 24
c) 18
2. Dados los conjuntos: A={–1; 2; 3} B={–2; –1} Indica verdadero (V) o falso(F): I) (–1; 3)∈A×B II) (–1; 2)∈B×A III) (–1; –1)∈B2 IV) (2; 3)∈A2 a) FVVF
b) FVVV
d) VVVF
e) VVFF
6. Dado el conjunto A={2; 3; 4} se define una relación "R", mediante: R={(x; y)∈A2/x+y=3c } Calcula n(R). a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
7. Calcula la suma de elementos del dominio de: R = {(x; y) ∈ A×B / x
c) FFVV
3. Si: A={x ∈ / 1
a) 33 d) 26
b) 47 e) 76
a) {3; 4}
b) {3; 5}
d) {3; 4; 5}
e) {4; 5}
a) 1 d) 3
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b) 2 e) 0
c) 4
c) {4; 6}
9. En un plano cartesiano, grafica la siguiente relación: R={(x; y)∈×/x=2y+1} y y a)
x b)
x y
y
5. Si: A={9; 10;15} y B={5; 7}, indica el número de elementos de: R={(x; y)∈A×B/x+y≥17}
c) 28
8. Dado el conjunto: A={x∈/4<3x – 2≤16} Determina el rango de la relación definida por: R={(x; y)∈A2/y=2x – 3}
c)
c) 3
x d)
x
y e)
x
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Álgebra 10. Usando una tabla de valores, Grafica en el plano cartesiano la siguiente relación: R={(x; y) ∈×/x=y2 – 3} y y a)
x
b) y
y c)
x
x
d)
x
Calcula el número de elementos de: Dom (R1)∩ Ran (R2) a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
c) 2
15. Se define la relación: R={(x; y)∈2/(a – b)x+3y+b –5=0} Si(1; 3)∈R, calcula el valor de "a". a) –2 d) –4
b) 0 e) 3
c) 1
y e)
x
11. Determina un valor de "x . y" que verifica la igualdad: (x2; x+y)=(y; 2) a) –6
b) 1
d) 4
e) –4
c) 8
16. Dados los conjuntos: A={x∈/x es impar ∧ 3
12. Dados los conjuntos: A={x∈/((x+1)(x – 5)(x – 2)=0} 1 B= )x ! Z 1 # x − 2 < 33
calcula n(A×B) a) 9
b) 3
d) 8
e) 12
c) 6
13. Dado el conjunto:
A={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} se define:
R = {(x; y) ∈ A×A / 2x+y=10}
Indica la suma de elementos del dominio de "R".
a) 18
b) 15
d) 19
e) 10
c) R3
17. La gráfica de la relación definida por: R={(x; y)∈×/2x – 3y+18=0} Determina una región triangular con los ejes cartesianos, cuya área es igual a: a) 3u2 d) 18u2
b) 9u2 e) 27u2
c) 12u2
18. Dada la siguiente gráfica: y 3 2 1
-2 -1
1
2
-1
c) 14
14. Sean los conjuntos: A={x∈/–1≤x<5} B={x∈/2≤x≤4} a partir de los cuales se definen las relaciones: R1={(x; y)∈A×B/x
b) R2 e) R2 y R3
x
-2
-3 Indica a qué relación corresponde. a) y=2x
b) y=2x–1
c) y=2x+1
d) y=x+1
e) y=x–1
R2={(x; y)∈A×B/x+y=3}
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Cuarto año de secundaria
99
24
Capítulo
19. Si el par ordenado (a2 – 16; a+2) pertenece al segundo cuadrante de un plano cartesiano, calcular la suma de valores enteros de "a" que verifican esta condición. a) –3
b) 2
d) 4
e) 5
c) –1
20. Dados los conjuntos:
a) 15
b) 18
A={x∈+/x∈〈–3; 4]} B= )x ! Z 2 < 3x4- 1 < 5 3
d) 27
e) 30
Indica cuál de todos los pares ordenados dados, no pertenece a los conjuntos A×B o B×A. a) (1; 6)
b) (5; 4)
d) (1; 7)
e) (2; 5)
c) (4; 4)
e) 200(3+2 2 )m
se define la relación:
R={(1; 1), (2; 2), (3; 3), (5; 1), (2; 4), (5; 4), (5; 2), (4; 3), (3; 5)}
Si: M={x∈A/(x; 2)∈R}
N={x∈A/(3; x)∈R}
a) 100(3+2 3 )m
d) 150(3+2 2 )m
24. Un ciclista corre en línea recta 200 m hacia el este; luego 200 m hacia el norte, 300 m al noreste y 100 m hacia el este; 100 m al norte y 150 m al noreste. ¿A qué distancia del punto de origen está?
c) 150(2+3 2 )m
A={1; 2; 3; 4; 5}
c) 21
b) 100(2+3 2 )m
21. A partir del conjunto:
25. Usando una tabla de valores, grafica en el plano cartesiano la siguiente relación: R={(x; y)∈2/y=x3 – 6x2+8x} y y a)
P={x∈A/(x; 5)∈R}
x
b)
x
Entonces (M∪N) – P es: a) {2; 5}
b) {3; 5}
d) {5}
e) {1; 2; 4; 5}
a) 2
b) 5
d) 6
e) 7
Colegios
TRILCE
y
c) {3} c)
22. Del conjunto: A = {x ∈ / (x – 2)5 (x+3)7(x – 5)6<0} se define: R={(a; b) ∈ A×A / a+b ≥ 0}. Indicar el número de elementos de "R".
100
23. Dados los conjuntos: A={1; 2; 3; 4; 5; 6} B={1; 3; 5} C={2; 4; 6} y las relaciones: R1={(x; y)∈B×A/x+y es par} R2={(x; y)∈C×B/x+y es impar} Calcula el número de elementos de R1∪R2.
c) 4
y x
d)
x
y e)
x
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Álgebra Practica en casa 1. Calcula "ab" en la igualdad: (a + b ; 5) = (12 ; a – 4) 2. Indica verdadero (V) o falso (F), dados los conjuntos: A = {1; 2; 3} ; B = {1; 3; 5} • El par (2; 5) ∈ A×B ................................ (
A2
)
• El par (3; 3) ∈
................................... (
)
• El par (5; 1) ∈ B×A ................................ (
)
• El conjunto: R = {(2; 3), (3; 3), (1; 1)} es una relación de A×B .................................... ( )
3. Si: A={x ∈ / 3≤x ≤ 5} y B={x∈ / 2 < x<6}; indica el número de elementos de: A×B 4. Completa correctamente, dados los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4} y B = {4; 6; 8; 10} • Si: R1={(x ; y) ∈ A × B / x < y}, entonces:
R1= {_______________________}
• Si: R2={(x ; y) ∈ B × A / x = y}, entonces:
R2= {_______________________}
5. Si: A={6; 8} y B={5; 9}, indica el número de elementos de: R={(x;y) ∈ A×B / x+y<15} 6. 7.
Dado el conjunto A={1; 3; 6} se define una relación "R", mediante: R={(x; y)∈A2/x+y=2c } Calcula n(R). Calcula la suma de elementos del dominio de: R = {(x ; y) ∈ A×B / x=2y} Si: A={8; 9; 10} y B={4; 5; 16; 20}
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8. Dado el conjunto: A={x∈/–3<2x – 5<7} Determina el rango de la relación definida por: R={(x; y)∈A×A/y=3x – 7} 9. En un plano cartesiano, Grafica la siguiente relación: R={(x; y)∈×/x+y=3} 10. Usando una tabla de valores, grafica en un plano cartesiano la siguiente relación: R={(x; y)∈2/x – 2=y2} 11. Dada la igualdad: (2a+3b; –1)=(4; 3a+b) calcula el valor de "a+b". 12. Si: A={–6; –8} y B={–5; –3; 1; 2}, indica la suma de elementos del rango de: R={(x; y) ∈ A×B / xy<0} 13. A partir del conjunto: A={1; 2; 3} se definen las relaciones: R1={(x; y)∈A2/x
Cuarto año de secundaria
101
24
Capítulo
Tú puedes
1. Dados: A = {x ∈ / x3 = x} y B = {x ∈ / x2<16}; halla "n(R)", siendo: R = {(a; b) ∈ A×B / a+b=0} a) 2 b) 0 c) 4 d) 1 e) 3 2. Dados: M={x ∈ /x4–x=0} y N={x ∈ /x4–x2=12}; halla "n(R)", siendo: R={(a;b) ∈ M×N/a – b>0} a) 2 b) 0 c) 4 d) 1 e) 3 3. Calcular el área limitada por las gráficas de las siguientes relaciones: R1={(x; y) ∈2/x2 – 12=x} R2={(x; y)∈2/y2 – 5y=14}
a) 2u2
b) 10u2
c) 48u2
d) 63u2
e) 81u2
4. Halla la suma de elementos del dominio de "R", si: P={x∈ / x3 – x2 – 6x=0} y R={(a;b)∈P2/ab<0} a) 2 b) 0 c) –2 d) 1 e) –1 5. Bosquejar la gráfica de la relación: R{(x; y)∈2/x2 – xy – 2y2=0}. y a)
Colegios
102
TRILCE
y x b)
y x c)
y x d)
y x e)
x
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Capítulo
25
Repaso III Problemas para la clase 1. Halla "x" en la siguiente igualdad: a + 2b 3 x 3 e o=e o a–b a+b 2 6 a) 4
b) 5
d) 7
e) 8
7. Resuelve: x3 – 5x2+6x ≥ 0 a) [0 ; 2] ∪ [3 ; +∞〉 b) 〈– ∞ ; 0] ∪ [ 2 ; 3]
c) 6
c) [– 2 ; 3〉 d) 〈–2 ; 3] e) [– 2 ; 0] ∪ [3 ; +∞〉
2. Calcula: 1 -2 4 0 1 3 5 0 2
a) 48
b) –24
d) –48
e) 24
x2 - x - 2 ≤ 0 x 2 + 4x + 3 a) ] – 3 ; – 1[ ∪ ]1 ; 2]
8. Resuelve: c) 12
b) ] – 3 ; – 1] c) ] – 3 ; – 1[ ∪ ] – 1 ; 2]
3. Luego de Resuelve el sistema: 3x - 5y = 5 ) 4x + 3y = 26 Calcula x+y. a) 1
b) 2
d) 6
e) 7
d) ] – 1 ; 2] e) ] – 3 ; 2[ c) 4
4. Si: x ∈ +, halla el mínimo valor de: G = x + 200 8 x a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 5. Resuelve la inecuación: x + x−1 > x −2 4 5 3 a) 〈–∞; 15〉 b) 〈15; +∞〉 c) 〈–15; +∞〉
6. Resuelve la inecuación: (x – 1)(x+3) ≤ 5 Calcula la suma de los valores enteros del conjunto solución. a) 3
b) –6
d) 2
e) –7
c) 1
x+4 # 1
a) 〈–∞; –3]
b) 〈3; +∞〉
d) 〈–∞; –4]
e) [–4; –3]
c) [–4; +∞〉
10. Dados los conjuntos: A={1; 2; 7} B={3; 4; 5} Se define la relación: R={(x; y)∈A×B/xy=2c } Calcula n(R).
d) 〈–∞; –15〉
e)
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9. Resuelve:
a) 1
b) 3
d) 7
e) 9
c) 5
11. Sean las matrices: 4 3 5 6 A= = G y B= = G 2 1 7 8
Halla la traza de la matriz: 2A – B+I, donde "I" es la matriz identidad. a) – 4 b) – 5 c) – 1
d) 1
e) 2 Cuarto año de secundaria
103
25
Capítulo
12. Si: {x1; x2} es el conjunto solución de la ecuación: 1 2 x -1 -4 x - 5 -x 4 = 0
calcula el valor de: x1+x2+x1x2. a) 12
b) –14
d) 24
e) –18
c) 10
13. Calcula "m" para que el siguiente sistema sea inconsistente: (m - 3)x + 3y = 5 ) 2x + (m - 2)y = 7 a) 1
b) 3
d) 7
e) 9
c) 5
14. Sea: x ∈ [5 ; 7]; indicar el intervalo de:
g(x) = x2 – 4x + 9
a) [5; 30]
b) [7; 30]
d) [14; 30]
e) [15; 30]
c) [10; 30]
15. Resuelve:
(x – 5)(x+3)+
1 >(x – 6) (x + 4)+ 1 x–8 x–8
a) x ∈ φ
b) x ∈
c) x ∈ {5}
d) x ∈ – {8}
e) x ∈ 〈0;+∞〉 – {8}
16. Resuelve: (x – 4)x3 ≤ 9x(x – 4) a) 〈– ∞ ; – 3] ∪ [0 ; 3] c) [– 3 ; 0] ∪ [3 ; 4] d) 〈– ∞ ; – 3] ∪ [0 ; 3] ∪ [4 ; +∞〉 e) [– 3 ; 3] ∪ [4 ; +∞〉
se obtiene: x∈〈a; b]∪[c; d〉 Halla el valor de: E=a – b+c – d b) –1
d) –2
e) 1
Colegios
104
TRILCE
b) 15
d) 5
e) 0
c) 10
1 0 2 1 0 -1 19. Si: A2=B2= e0 1 o ; AB= e1 2 o ; BA= e- 1 0 o halla: (A+B)2 4 0 0 4 4 4 e o e o a) e0 4 o b) 4 0 c) 4 4 -4 0 0 -4 e d) e 0 - 4 o e) -4 0 o 20. Indica la suma de las soluciones al Resuelve: x + 3 -1 1 5 x - 3 1 =0 -6 x + 4 6 a) 0
b) –5
d) 4
e) –4
c) 6
21. Luego de Resuelve el sistema: 3 x + y + 2 - 2x - 3y - 7 = 10 ) 2 x + y + 2 + 3 2x - 3y - 7 = 14 indica el valor de "3x – 2y". a) 10
b) 12
d) 21
e) 25
c) 18
a) 7
-3 b) 7 2 c) 2
1 d) 1 4 2 e) 23. Luego de Resuelve la inecuación: (x – 4)5(x2 – x+2)2(2x – 1)3(x4 – 16)<0 se obtiene: C.S. = - a; 1a j a; b Calcula el valor de "ab".
x2 − 4 +5>0 9 − x2
a) 0
a) 20
22. Si: 〈–∞; b]∪[1;+∞〉, es el conjunto solución de la inecuación: 2x2+ax+1≥0; calcula b – a.
b) 〈– ∞ ; – 3] ∪ {3 ; 4}
17. Al Resuelve:
18. A partir de los conjuntos: A={x∈/4
c) 3
a) 2
b) 4
d) 8
e) 12
c) 6
Central: 6198-100
Álgebra 24. Indica la suma de los valores enteros que no satisfacen la inecuación fraccionaria siguiente: 2x – 11 # 1 x2 – 3x – 10 2
a) 5 d) 3
b) 7 e) 8
c) 6
25. Dados los conjuntos: A = {x ∈ / 3x – 1 > – 2}
B = {x ∈ / 3 x + 2 $ 3 x2 –x–1}
Indica el conjunto: A ∩ B.
a) [–1 ; 3]
b) [–1;3]–{ 1 } c) [–1 ; 1 ] 3 3
d) [ 1 ; 3] 3
e) 〈 1 ; 3] 3
Practica en casa 1. Calcular el valor de "x" en: x -5 ab - 5 G == G = + 10 4 a b a b
10. Si: A={–6; –8; 3; 4} y B={–4; –2; –1; 2}, indica el número de elementos de: R={(x; y) ∈ A×B/xy > 0}
2. Calcula:
11. Si: 3 4 –6 2 5 –4 –1 7 2
3. Resuelve el sistema: 2x + 5y = 1 ) 3x - 2y = 11
5. Resuelve: 2x+8(x+1)>3(2x+1)+15 6. ¿Cuántos valores enteros verifican la inecuación: (x – 5)(8 – x)> – 4? 7. Resuelve: (x – 5)(x2 – 2x – 24) ≥ 0 + 5) 8. Resuelve: (x 6)(x #0 x-1
0 3 –3 1 G ;B== G 4 5 4 2
Halla: 2At – 3B+5I.
12. Halla "x" en: 1 0 1 1 0 2 1 0 3 1 0 x 1 1 0 + 1 2 0 + 1 3 0 + ... + 1 x 0 =72 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
Calcula el valor de x . y.
4. Si x∈+, calcula el mínimo valor de: x + 54 M(x) = 6 x
A==
13. Calcula "a" para que el sistema siguiente sea compatible determinado: x - 3y =- 1 *5x - 7y = 11 9x - ay = 35 14. Resuelva la inecuación cuadrática: x2+14x+49≥0 15. Indica el C.S. de la siguiente inecuación:
(x–3) 50 (x + 1) 7 (x–2) 23 ≤ 0 (x + 1) 3 (x + 3) 37 (x + 1) 4
9. Halla el conjunto solución de:
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x2 – 6x + 8 > – 4
Cuarto año de secundaria
105
25
Capítulo
Tú puedes
1. Encontrar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. –1 < – x < e ⇒ x2 ∈ [0 ; e2〉 II. – 5 ≤ x2 < 4 ⇒ x ∈ 〈– 2 ; 2〉 III. x2 > 1 ⇒ x ∈ 〈1 ; +∞〉
a) V V F
b) F V V
c) F F F
2. Calcula el mayor número real "m" tal que:
d) V V V
e) V F F
x2 + 2 ≥ 2m ; ∀ x ∈ . x2 + 1
a) – 1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 3. Resuelve en :
x – 3 +1 < 2x – 7.
a) [– 7 ; 7 ] b) [ 7 ; 51] 2 2 2
c) 〈 7 ; +∞〉 d) 〈 17 ; +∞〉 e) – [7 ] 2 4 2
4. Resuelve: x + 1 < 2 , si: a>2b>0. a bx + a a) 〈– ∞ ;
a 〉 b) 〈– a ; a 〉 c) 〈– a ; –a 〉 d) 〈 a ; – a 〉 e) 〈 a ; a 〉 a–2b b 2b–a b 2b –a 2b–a b b 2b–a
5. Resuelve: 3–x – 4 – 1 – x <0
a) [– 15 ; 1]
Colegios
106
TRILCE
b) [– 15 ; 1 〉 c) 〈 0 ; 1]
d) 〈– 15 ; 1 〉 e) 〈– 1 ; 1]
Central: 6198-100
Capítulo
26
Funciones I Problemas para la clase 1. Determina la función "F" definida por:
F(x)=2x – 3; x∈{0; 1; 4} a) F={(0; 3), (1; 1), (4; 5)}
a) 0
b) 1
b) F={(–3; 0), (–1; 1), (5; 4)}
d) 7
e) 8
c) F={(0; 0), (1; 1), (4; 4)} e) F={(0; –3), (1; 1), (4; 5)}
a) [0; 4〉
b) FVF
d) VVV
e) FVV
( )
( ) ( ) c) FFV
F= {(3;5), ` 4; a j , (5;2), (4;9), c3; b m } 2 4
Calcula "a – b". a) –6
b) –2
d) 18
e) 38
c) 2
4. De la función: F={(2; 3), (3; 4), (4; 1)} calcula: F(F(2))+F(F(3)) a) 1
b) 5
d) 7
e) 8
c) 6
5. Se define la función "F" tal que: F(x) = )5 - x ; x < 2 x+2 ;x $ 2 www.trilce.edu.pe
7. Indica el dominio de la función "G" definida por: 4 G(x)= x 2+ 7 ; x ! 3 x –9 a) – {3} b) –{9} c) –{3;–3} d) e) { } 8. Halla el rango de la función "H": H(x)=–x+4 ; x∈〈–2; 3] a) 〈0; 4]
b) [1; 6〉 c) 〈–1; 6]
d) 〈1; 6〉 e) 〈–∞; 6〉
3. Sea la función:
b) [–4;+∞〉 c)
d) [4;+∞〉 e) 〈–∞; 4]
2. Indica verdadero (V) o falso (F): I. La relación definida por: R={(2; 8), (3; 9), (2; 7), (9; 5)} es una función. II. Sea "g" una función tal que: (1; x)∈g ∧ (1; 4)∈g entonces x=4. III. Dada la función "h". Si: (1; 5)∈h, entonces h(1)=5 a) VVF
c) 4
6. Halla el dominio de la función "f" definida por: f(x) = x - 4
d) F={(0; –3), (1; –1), (4; 5)}
Calcula: F(7)+F(F(–9))
9. Indica el rango de la función "H" definida por: H(x)= 6x–5 3x–4 4 a) – { } b) – {4} c) – {2} 3 d) e) { } 10. Un albañil y su ayudante son contratados para realizar la cerca de un jardín. El ayudante comienza a trabajar a las 8 de la mañana y cobra S/.15 por hora de trabajo; el albañil comienza a trabajar a las 10 cobrando S/.20 la hora. Si "x" es el número de horas trabajadas por el albañil, obtener la expresión "y" que define el dinero cobrado por el ayudante. a) y=x+15
b) y=15x+1
c) y=15x+30 d) y=15x+20 e) y=20x+30 Cuarto año de secundaria
107
26
Capítulo
11. Sea "f" y "g" dos funciones donde: g f 0 1 2
–1 1 3
18. Calcula la suma de los valores enteros del dominio de la función "g" definida por: g(x)=3– x 2 , si Ran(g)=〈–1; 2〉
1 2 4
a) 31
b) 47
d) 147
e) 155
c) 83
Calcula: f[g(3)]+g[f(2)]+g[f(0)] a) 0
b) 1
d) 3
e) 4
c) 2
12. Sean (2;m) y (n;7) pertenecen a la función "F" definida por: F(x)=4x+3, Calcula "mn". a) 16
b) 11
d) 9
e) 8
b) 11
d) 9
e) 12
c) 10
14. Calcula la suma de los elementos del dominio de la función: F={(3;4), (n+1;7), (n;1), (3;n2), (2;9)} a) 5
b) –2
d) –4
e) 0
F(x) = )ax + 5 ; x $ 4 3bx - 7 ; x < 4
si se cumple: F(6) – F(2)=2(7–3b),
calcula el valor de F(F(12)).
c) 4
13. Indica la suma de los elementos del dominio de la función: F={(7; 4), (m–1; 9), (m; 6), (7; m+3)} a) 8
19. Se define la función:
c) 2
F(x)= 4–x a) 6 b) 4 d) 2 e) 5
b) 6
d) 10
e) 12
c) 8
20. Si la relación:
G={(3; a2), (a; a+1), (2; 5), (3; a+2)}
es una función, Calcula el valor de:
G(G(a)+2) – G(2 – a) a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
21. Se define la función "f" tal que: 1 f(x)= xx + + 3 ; x∈〈–5; –4〉.
15. Indica cuántos valores enteros pertenecen al dominio de la función "F" definida por:
a) 4
Obtener el rango de la función:
a) 〈–2; 1〉 b) 〈2; 3〉 c) 〈0; 1〉 d) 〈2; 4〉 e) 〈1; 2〉
2
c) 3
F(x)=x2 – 4x+5; x∈[0; 3]
16. ¿Cuántos valores enteros tiene el dominio de la función "g" definida por:
a) 6
- x + 2 + 3x x-7 x - 10 b) 7 c) 8
d) 9
e) 10
g(x) =
b) [1;+∞〉
d) 〈–∞;1] e) 〈–∞; 3]
Colegios
108
TRILCE
Calcula la diferencia entre el máximo y el mínimo valor de F(x). a) 3
b) 1
d) 0
e) 5
c) 4
23. Dada la función "h":
17. Halla el rango de la función "h" definida por: h(x)=x2+4x+7 ; x∈ a)
22. Se define la función "F" mediante:
c) [3;+∞〉
h(x)= 2 4 –1 ; x∈ x - 2x + 3 Hallar el rango de "h". a) 〈–1; 2]
b) 〈0; 1〉 c) 〈–2; 1]
d) 〈0; 2]
e) 〈–1; 1]
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Álgebra 24. Un vendedor tiene un sueldo mensual de S/.1000 más el 40% de comisión sobre el monto vendido en ese mes; entonces:
I. Halla la expresión que defina el ingreso "I" mensual del vendedor en función del monto (x) vendido en el mes. II. Si en un mes vendió S/.3500, ¿cuál fue su ingreso en ese mes? a) I(x)=1000x; S/.2400 b) I(x)=1000+0,4x; S/.2400 c) I(x)=0,4x; S/.2400 d) I(x)=1000+0,04x; S/.240 e) I(x)=1000+0,4x; S/.240
25. En la figura adjunta se muestra un trapecio isósceles: 1
h 45°
x Expresar el área sombreada en términos de "x". a)
^x - 1h2
8
b)
^x + 2h^x - 2h
8
2 ^x + 1h^x - 1h c) x4 d) 8
e)
^x + 4h^x - 4h
8
Practica en casa 1. Determina la función "F" definida por: F(x)=x+2 ; x∈{0; 1; 2}
7. Halla el dominio de la función "h" definida por: 1 h(x)= 4xx + -5
2. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda, dada la función: F(x)= 9–x2
8. Halla el rango de la función "f": f(x)=2x+1; x∈〈–1; 3]
• F(0) = 3 .................................................(
)
• No existe "F(4)"......................................(
)
• ( 5 ; 2) ∈ F............................................(
)
• (– 8 ; 1) ∈ F.........................................(
)
3. Calcula "ab" en la función: F = {(2; 7), (6; a–b), (6; 1), (2; a+b)}
9. Hallar el rango de la función "h": 1 h(x)= 3xx + -5 ; x ≠ 5 10. Dadas las funciones "f" y "g" definidas en los siguientes diagramas: g f 1 2 5
4. De la función: F={(1; 3), (3; 4), (4; 0)} calcula: F(F(3)) + F(F(1)) 5. Sabiendo que: F(x) = )3x + 4 ; x < 0 2x – 3 ; x $ 0
calcula: E = F[F(1)] – F[F(0)]
4 5 2
Halla el valor de:
2 5 4
6 3 5
f(1) + g(2) f[g(4)] + g[f(2)]
11. Calcula "n" en la función: F={(5; 9), (3; 6), (n; 1), (5; n2)}
6. Halla el dominio de la función "g" definida por g(x)= x + 5 www.trilce.edu.pe
Cuarto año de secundaria
109
26
Capítulo
12. Relaciona correctamente, respecto al dominio de las funciones: F(x)= x–4
A
x ∈ –{±2}
G(x)= x–2 x–4
B
x ∈ [–2; 2]
H(x)= 4–x2
C
x ∈ –{4}
I(x)= 21 x –4
D
x ∈ [4; +∞〉
13. Halla el dominio de la función "F" definida por: F(x) = 4 x – 3 + 8 3 – x 14. Halla el dominio de la función "F" definida por: F(x) = x + 1 x–2 15. Halla el rango de la función "f" definida por: f(x)=x2 – 2x+7; x∈.
Tú puedes 1. La siguiente tabla muestra parte del dominio y rango de una función lineal "g":
x
2
5
8
b
g(x)
10
a
28
37
a) 25 d) 30
b) 40 e) 35
c) 45
2. Si: F(x+y)=F(x)+F(y) ; F(2)+F(5)=42
calcula la pendiente de la función lineal "F"
a) 7 d) 21
b) 4 e) 6
c) 12
4. Un hombre dispone de 40 m de alambre para cercar un jardín rectangular. Sabiendo que solo debe colocarlo sobre tres lados porque el cuarto limita con su casa, Determina el área máxima que puede cercar.
a) 120 m2 d) 300
b) 180 e) 240
c) 200
5. Hallar el rango de: F(x) = ex + e–x – 2 Si: e = 2,7182 a) [– 2 ; +∞〉 b) [ 2 ; +∞〉 c) [ 2 ; 2] d) [2– 2 ; +∞〉 e) [2+ 2 ; +∞〉
3. Halla el rango de la función cuadrática "f" la cual satisface: f(0) = 11 ; f(–1)=6 ; f(1)=18 Para todo pre-imagen real de "f".
a) [2; +∞〉 d) [–1; +∞〉
Colegios
110
TRILCE
b) [1; +∞〉 e) [0; +∞〉
c) [3; +∞〉
Central: 6198-100
Capítulo
27
Funciones II Problemas para la clase 1. Grafica la función "g" definida por: g(x)=4 ; x∈ y
y a)
x
4
b)
y 4
a) –5
x
5 x
b)
–5 x
y
x d)
–4
y 5
y
–4
c)
3. Grafica la función "h" definida por: h(x)=5 – x ; x∈.
x
5
y
y
c)
x
d) –5
x
y y
4
e)
–4
x
e)
5
x
–5 2. Grafica la función "f" definida por: f(x)=x+3 ; x∈ 3
y
y
a)
x
b)
3 –3
y c)
–3
4. Obtén las coordenadas del vértice de la parábola determinada por la gráfica de la función: f(x)=x2– 4x+5; x∈
x
y
3 x d)
x –3
a) (0; 8)
b) (4; 5)
d) (4; 1)
e) (1; 2)
c) (2; 1)
5. Obtén las coordenadas de los puntos de intersección de la gráfica de: g(x)=6+x – x2 ; x∈ con el eje "x". a) (2; 0), (3; 0)
b) (–3; 0), (2; 0)
c) (–2; 0), (3; 0) d) (6; 0), (1; 0) y e)
–3
–3
www.trilce.edu.pe
e) (–3; 0), (–2; 0) x
6. ¿Cuál es el punto de intersección entre la gráfica de la función: f(x)=x2 – 3x+5; x∈ y el eje de ordenadas? a) (0; 1)
b) (0; –3)
d) (0; 5)
e) (0; –4)
c) (0; 2)
Cuarto año de secundaria
111
27
Capítulo
12. Al graficar la función "F" definida por: F(x) = 2x – 4; x∈ se obtiene: y
7. Grafica la función: g(x)=x2 – 2x – 8 ; x∈ y
y
F a)
x
b)
a
x
x
b y c)
y x
d)
x
a) –6
b) –10
d) –8
e) –9
c) –4
13. La grafica de la función: F(x)=x2 – 4; x∈ está dada por: y
y e)
Halla "a×b".
x F
8. Calcula el valor mínimo de la función "g" definida por: g(x)=x2 – 6x+13; x∈ a) 5
b) 3
d) –1
e) 9
b) (2; 7)
d) (7; 2)
e) (5; 7)
a) 48u2
b) 16u2
d) 12u2
e) 15u2
calcula "m.n+p". a) –10
b) –12
d) 6
e) –6
16 7
a) 4
b) [4;+∞〉
a) –3
b) 4
d) –9
e) –12
d) {4}
e) 〈–∞; 4]
Colegios
TRILCE
c) 8
15. Calcula el área de la región sombreada: f(x)=x2 – 49 y –5
c) –4
x
Calcula el valor mínimo de "g".
f(40) + f(10) =8 f(- 1) - 3
c) –8
14. La gráfica de la función "g" definida por: g(x)=x2 – 4x – m ; x∈ es: y
c) 24u2
11. Halla el rango de la función constante "f" tal que satisface la siguiente condición:
112
c) (9; 7)
10. Calcula el área de la región formada por la 2 x+4 ; x∈, con gráfica de la función f(x)= − 3 los ejes coordenados.
x
n p
c) 4
9. Obtén las coordenadas del punto de intersección entre las gráficas de las funciones "g" y "h" definidas por: g(x)=x – 5 ; x∈ h(x)=9 – x ; x∈ a) (7; 5)
m
x
a) 72u2
b) 144u2
d) 36u2
e) 18u2
c) 100u2
Central: 6198-100
Álgebra 16. Calcula la distancia entre los puntos de intersección de las gráficas de las funciones definidas por:
20. Luego de graficar la función: F(x)=x2 – 6x+5; x∈ se obtiene la figura siguiente: y
g(x)=x2 – 4x+17 ; x∈ a) 5u
b) 7 u c) 10 u
d) 9u
e) 4u
x+5 ; x < 1 f(x) = * 1 - x + 3; x $ 1 2
a)
1
x
b)
c)
x
1
d)
1
x
1
x
1
d) –2
e) 7
c) 4
intersecta al eje "x" en los puntos "A" y "B"; y al eje "y" en el punto "C".
Calcula el área de la región triángular ABC. a) 15u2
b) 10u2
d) 20u2
e) 30u2
c) 12u2
22. Calcula el área de la región formada por las gráficas de las funciones:
x
18. Calcula el área de la región determinada por las gráficas de las funciones: h(x)=8 – x ; x∈ g(x)=x+6 ; x∈ y el eje "x". a) 4u2
b) 16u2
d) 49u2
e) 81u2
c) 25u2
19. Calcula la pendiente de una línea recta determinada por la gráfica de la función lineal "F" tal que: F(1)=3 y F(2)=2F(3) a) 3
b) 1/2
d) –2
e) 1
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b) 5
y e)
a) 6
f(x)=–x2+6x – 5; x∈
y
y
Calcula: a+b+c+d
21. La gráfica de la función:
y
y
x
b
17. Grafica la función:
a
c
h(x)=3x+5 ; x∈
F d
f(x)=2x – 6 ; x ≥ 0
g(x)=x+4 ; x ≥ 0
y los ejes coordenados. a) 41u2
b) 32u2
d) 45u2
e) 18u2
c) 100u2
23. Se va a cercar un terreno rectángular con un alambre de longitud 8 m; sabiendo que uno de los lados quedará limitado por un muro, ¿cuál será la longitud del alambrado paralelo al muro, si se desea tener la mayor área posible?¿Cuál es el valor de esta área? a) 4m; 8m2
b) 1m; 4m2
d) 8m; 4m2
e) 2m; 4m2
c) 4m; 16m2
c) –1
Cuarto año de secundaria
113
27
Capítulo
24. La gráfica de la función: f(x)=x2 – mx+4; x∈ está dada por: y
x
25. Obtener la relación entre "m" y "n", tal que las gráficas de las funciones definidas por: f(x)=n – 3x; x∈, g(x)=x2+x+m; x∈ sean tangentes. a) m+4=n
b) m=4n
c) m+n=4
d) m – n=4
e) mn=4 Calcular el menor valor entero de "m". a) –1
b) –5
d) –4
e) –3
c) 3
Practica en casa 1. Grafica la función "f" definida por: f(x)= –5; x∈ 2. Grafica la función "g" definida por: g(x)=x+8 ; x∈ 3. Grafica la función "h" definida por : h(x)=6 – x; x∈ 4. Obtén las coordenadas del vértice de la parábola determinada por la gráfica de la función: f(x)=x2 – 2x+7; x∈ 5. Halla los interceptos con el eje "x", en la gráfica de la función: F(x)=x2+2x–15. 6. ¿Cuál es el punto de intersección entre la gráfica de la función: f(x)= –x2+2x – 7 y el eje de ordenadas? 7. Grafica la función: g(x)=x2 – 6x+10; x∈ 8. Halla el máximo valor de la función definida por: F(x)=10x – x2 – 25; x∈
Colegios
114
TRILCE
9. Obtén las coordenadas del punto de intersección entre las gráficas de las funciones "h" y "g", definidas por: h(x)= x+2 ; x∈ g(x)=12 – x ; x∈ 10. Calcula el área de la región formada por los ejes positivos de "x" e "y" y la gráfica de la función: F(x) = – 3x + 6; x∈ 11. Calcula "m.n+p", si la gráfica de la función "F" definida por: F(x)=x2 – 25; x∈ es: y F m
n
x
p
12. Calcula la suma de las ordenadas de los puntos de intersección entre las gráficas de las funciones: F(x)=x2 – 4 ; x∈ G(x)= 14 – x2 ; x∈ 13. Si el máximo valor de la función "g" definida por: g(x)= –2x2+16x+m ; x∈ es 35, calcula el valor de "m".
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Álgebra 14. Calcula el área de la región formada por las gráficas de las funciones: f(x)=5 – x ; x∈ g(x)=13+x ; x∈ ,y el eje "x".
15. Si la producción mensual de "x" artículos, viene dada por: P(x)=–x2+40x – 300, entonces:
• Hallar la cantidad de artículos que se debe producir para obtener la máxima producción en un mes. • Hallar la máxima producción en un mes.
Tú puedes 1. Si "h" es una función lineal, de pendiente 3 e intercepto con el eje "y" igual a 5, hallar la regla de correspondencia de la función "g" si: g(x) – x = h(1) + h(x+1)
a) g(x)=4x+4
b) g(x)=4x+16
d) g(x)=3x+13
e) g(x)=3x+12
2. Del siguiente gráfico:
y
x
(2; 0)
c) g(x)=4x+12
halla la ecuación de la parábola, si el punto (3; 2) pertenece a ella y su rango es el intervalo: [– 1 ;+∞〉. 4 2 2 2 a) y=x – 3x+2 b) y=x +3x+2 c) y=x – 3x – 2 2 2 d) y=2x +3x+2 e) y=2x – 3x – 2
3. Indica cuántos puntos de la forma (a; b), donde "a" y "b" ∈ , se encuentran dentro de la zona limitada por las funciones: F(x)=(x+2)(x – 2); x∈ y G(x) = (2+x)(2 – x); x∈. a) 21 b) 19 c) 14 d) 12 e) 17 4. Calcular el área de la región sombreada:
y F(x)=x2–2x–3
5
x
a) 36 u2 b) 18 c) 24 d) 12 e) 25
5. Grafica: F(x) = x2+2mx+m2; x∈ si: m<0. a) b) c) d) e) y y y y x www.trilce.edu.pe
x
x
x
y x
Cuarto año de secundaria
115
28
Capítulo
Progresión aritmética (P.A.) Problemas para la clase 1. De la P.A.: ÷ 3; 7; x; 15; y; ... calcula x+y. a) 11
b) 19
d) 21
e) 8
8. De la P.A.: c) 30
2. Calcula el vigésimo término de la P.A.: ÷ –3; 1; 5; 9; ... a) 76
b) 75
d) 73
e) 72
c) 74
3. El primer término de una P.A. es 5 y la razón es 4. Calcula el noveno término. a) 15
b) 36
d) 37
e) 19
c) 28
b) 10º
d) 15º
e) 11º
b) – 2
d) – 3
e) – 1
b) 3
d) –3
e) 1
c) 2
7. Calcula "x" en la P.A.: ÷(x – 2) ; (2x+6) ; (4x+10); ... a) 6
b) 4
d) 8
e) 5
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116
TRILCE
b) 765
d) 792
e) 800
c) 780
Calcula la razón. a) 2,5
b) 2,4
d) 1,8
e) 1,6
c) 3,5
10. Una deuda se paga en cuotas que conforman una progresión aritmética. El primer pago realizado es S/.31 y el último S/.94. Si la suma que se debía es igual a S/.625. ¿En cuantas cuotas se canceló la deuda? a) 10
b) 8
d) 15
e) 7
c) 12
11. Calcula el número de términos de una P.A., si se sabe que el primer término es "b – 6a", el último término es "a+8b" y la razón es "a+b".
c) – 4
6. Calcula la razón de una P.A. definida por: an=4 – 3n. a) –1
a) 764
c) 18º
5. Calcula la razón de una P.A., si se cumple que el cuarto término es 10 y el décimo es 4. a) – 6
calcula la suma de los primeros 15 términos.
9. En la P.A.: ÷7 ; x ; y ; z ; 21
4. En la P.A.: ÷3; 8; 13; 18; ... calcula el lugar que ocupa el número 53. a) 13º
÷ 2; 9; 16; ...
c) 7
a) 5
b) 6
d) 8
e) 9
c) 7
12. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda en la P.A.: ÷ (3x–7); (4x+1); (6x–1).
I. La razón es 10 ....................................... (
)
II. El cuarto término es 76 .......................... (
)
III. El valor de "x" es 10 .............................. (
)
IV. El primer término es 23.......................... ( ) a) FVFV
b) VFVV
d) FFVV
e) VVFF
c) VFVF
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Álgebra 13. En una P.A. se cumple que el quinto término es igual a la suma de los 3 primeros. Si el primer término es igual a 4, calcula la suma de los primeros 20 términos. a) 1000
b) 1200
d) 1600
e) 1800
c) 1400
14. Calcula el decimoquinto término de una P.A., si la suma de los primeros "n" términos está determinada por: Sn=n(n+8) a) 33
b) 35
d) 39
e) 41
c) 37
15. En una P.A. de términos positivos, se sabe que el triple del cuadrado del término central es igual a 243. Si la suma de todos sus términos es 171, ¿cuántos términos posee dicha progresión? a) 15
b) 16
d) 18
e) 19
20. Halla el número de términos de una P.A., si la suma de sus "n" términos no varía al aumentar en 1 la razón y simultáneamente al disminuir en 30 su primer término.
c) 17
a) 30
b) 31
d) 61
e) 59
c) 60
21. Al dividir el noveno término de una P.A. por su segundo término, el cociente es 5, mientras que al dividir el término decimotercero por su sexto término, el cociente es 2 y el resto 5. Calcula la suma de los primeros 30 términos. a) 1300
b) 1450
d) 1790
e) 1830
c) 1610
22. Dada la P.A.: ÷ a; b; c; d donde bc=50. Calcula: b2+c2+(a – b)2 – (b – c)2 – (c – d)2
16. Dada la siguiente P.A.: ........ ;^7b - 6ah ' a; S
a) 4
b) 9
c) 25
d) 64
e) 100
"x" términos
Si la razón es (b – a), calcula el valor de "x". a) 5
b) 6
d) 8
e) 9
c) 7
17. La suma del cuarto y décimo término de una P.A. es 60 y la relación del segundo y décimo término es como 1 es a 3. Halla el primer término. a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 9 18. Una deuda de S/. 363000 será pagada de la siguiente manera: S/. 3000 el primer mes, S/.9000 el segundo, S/.15000 el tercero, S/.21000 el cuarto mes, y así sucesivamente. ¿En cuántos meses la deuda quedará saldada? a) 9
b) 10
d) 12
e) 13
23. Dos móviles se encuentran a una distancia de 153 metros uno del otro, se mueven al encuentro mutuo; el primero recorre 10 m/s, el segundo recorrió 3 metros el primer segundo y en cada segundo siguiente recorre 5 metros más que el segundo anterior. ¿Después de cuántos segundos se encuentran? a) 2s
b) 4s
d) 10s
e) 12s
24. En una P.A., el término de lugar A es B y el término de lugar B es A. Calcula (A+B), si el segundo término de la progresión es el doble del sexto término. a) 11
b) 10
d) 3
e) 5
25. En una P.A., el último término es "u", la razón es "r" y sus valores se obtienen al resolver el sistema:
u3 - r3 = 335 ) 2 2 ur - u r =− 70; r > 0 Si la suma de términos es 16, hallar el número de términos.
a) 〈–5; 4〉 b) 〈–1/3;+∞〉 c) 〈–∞; 1/3〉
a) 9
b) 7
d) 〈–1/3; 0〉
d) 12
e) 5
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c) 2
c) 11
19. Siendo ÷a1; a2; a3 una P.A. decreciente de términos positivos. Indica entre qué límites varía su razón, si se cumple: 7+5a2>13a1 – 8a3 e) 〈–1/3; 4〉
c) 6s
c) 4
Cuarto año de secundaria
117
28
Capítulo
Practica en casa
1. Dada la P.A.: ÷ x; 9; 12; y; ... calcula x + y. 2. En la P.A.: ÷2; 6; 10; 14; ... Calcula el vigésimo término. 3. Calcula el primer término de una P.A., si el décimo término es 57 y la razón es 5. 4. ¿Qué lugar ocupa el número 50 en la P.A.: ÷ 2; 5; 8; ... ? 5. En una P.A., el término de lugar 40 es 59 y el término de lugar 27 es 33. Halla la razón de dicha progresión. 6. Indicar verdadero (V) o falso (F) en la P.A. de término general: an=6n – 5.
• La razón es –5 ........................................ ( )
• Los tres primeros términos suman 20....... ( )
• Todos sus términos son positivos............. ( )
7. De la P.A.: calcula "x".
÷ x; x+3; 2x
9. En la P.A.: ÷2; x; y; 23; ... calcula la razón. 10. Un alpinista escala una montaña de 5700 m de altura. En el transcurso de la primera hora alcanzó una altura de 800 m; mientras que durante cada hora siguiente subió a una altura de 25 m menor que en la precedente. ¿Cuántos metros ascendió durante la última hora en que alcanzó la cima? 11. Hallar el término de lugar 120 de la progresión aritmética: ÷ –8; –3; 2; 7; 12; ... 12. ¿Cuánto es la suma de los 25 términos de una P.A., cuyo primer término es 4 y la razón es 10? 13. Una P.A. de 30 términos tiene por primer término 200 y por suma 5130. ¿Cuánto valen la razón y su último término? 14. Hallar el número de términos y la suma de ellos, de una P.A. cuya razón es 3, su primer término es 6 y su último término 123. 15. No pudiendo cancelar una deuda de S/.12 950, Mathías le propone a su acreedor pagarle del siguiente modo: S/. 600 al final del primer mes y cada mes siguiente S/.50 más que el anterior. ¿Cuál será el importe del último pago?
8. En la P.A.: ÷1; 5; 9; 13; ... Calcula la suma de los 15 primeros términos.
Colegios
118
TRILCE
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Álgebra Tú puedes 1. Indique el número de términos de una P.A., si el primer término es (m – 2), la razón (2 – m) y la suma de términos (10 – 5m). a) 10 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5 2. Indica la relación correcta de la P.A.: ÷(m – n)–1 ; (2m)–1 ; (m – p)–1.
a) n=mp
b) m=n+p
c) m=np
c) m2=np
e) m=(np)2
2 2 3. Calcula: b +2 c de la P.A.: ÷ (a+b)–1 ; (b+c)–1 ; (a+c)–1. a
a) 0,5 b) 1 c) 2 d) 4 e) 0,25 4. La suma de los seis términos centrales de una P.A. creciente de 16 términos es 141 y el producto de los extremos es 46. ¿Qué lugar ocupa en la progresión el número 7? a) 5º b) 7º c) 9º d) 2º e) 3º 5. Si "Skn" es la suma de los "kn" primeros términos de una P.A., calcula el valor de: M=
S9n S5n - S4n
a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15
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Cuarto año de secundaria
119
29
Capítulo
Progresión geométrica (P.G.) Problemas para la clase 7. En la P.G.: ÷÷ 16 ; x ; y ; z ; 81
1. Dada la P.G.:
÷÷ 1; 3; x; 27; y
Calcula y – x. a) 9
b) 15
d) 72
e) 81
c) 36
b) 128
d) 256
e) 512
c) 200
1 y la razón 3. El primer término de una P.G. es 128 es 2.
Calcula el término de lugar 12. a) 4
b) 16
d) 12
e) 24
a) 0,5
b) 0,2
d) 1
e) 2
c) 0,4
5. Calcula "x" en la P.G.: a) 1
b) 3
d) 6
e) 8
÷÷ 3; 6; 12; ... calcula la suma de los primeros 10 términos. a) 1024
b) 2048
b) 4096
e) 1008
Colegios
120
TRILCE
e) 114
Dar como respuesta la suma de los 2 términos centrales. a) 20
b) 30
d) 50
e) 60
c) 40
15 d) 16 3 e) 2 10. Una bacteria tiene un peso determinado inicialmente. Cada día aumenta su peso al doble. Si al cabo de una semana su peso es "n", Calcula el peso que tenía el tercer día. n c) n a) n 4 2 b) 8 n n d) 16 e) 32
calcula el lugar que ocupa el número 243.
a) 6º
b) 10°
d) 7º
e) 5º
c) 4
6. De la P.G.:
d) 128
c) 74
11. En la P.G.: ÷÷ 48; 72; 108; ...
÷÷ (x – 3); x; 2x
b) 84
9. Calcula la siguiente suma límite: + 1 + 4+1+ 1 4 16 ... 15 16 c) a) 17 4 2 b) 9
c) 8
4. Calcula la razón de una P.G., si se cumple que el cuarto término es 96 y el noveno es 3.
÷÷ 4; 8; 16; ... a) 48
a) 96
8. Interpolar 4 medios geométricos entre 5 y 160.
2. Calcula el séptimo término de la P.G.:
calcula: x+y+z.
c) 3069
c) 8º
12. La diferencia del tercer término con el sexto de una progresión geométrica es 26 y el cociente 27. Calcula el primer término. a) 245
b) 234
d) 342
e) 324
c) 243
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Álgebra 13. Calcula el término siguiente en la P.G.: ÷÷ (x – 1) ; (2x+1) ; (7x – 1) ; ... a) 80
b) 81
d) 68
e) 70
c) 64
14. Luego de sumar un número constante a 20, 50 y 100 se obtienen 3 números que conforman una P.G. Calcula la razón. 5 a) 3 c) 2 5 b) 2 5 d) 1 5 e) 3 15. La suma de los seis primeros términos de una P.G. es igual a 126 veces la suma de sus tres primeros términos. Calcula la razón. a) 4
b) 5
d) 6
e) 7
c) 3
16. Entre 3 y 1536 y entre 7 y 56 se han interpolado "n" medios geométricos. Si la razón de la primera progresión es el doble de la segunda, calcula el valor de "n". a) 2
b) 3
d) 5
e) 6
c) 4
17. Calcula: + 20 + 40 + ... 5 + 10 9 27 3
a) 21
b) 12
d) 15
e) 10
c) 18
18. Se dibuja un triángulo equilátero de lado "x". Si se unen los puntos medios de los lados, se forma otro triángulo equilátero. Al efectuar la misma operación indefinidamente, el límite de la suma de los perímetros de todos los triángulos es: a) 2x
b) 3x
d) 5x
e) 6x
c) 4x
19. Sean t1; t2; t3 términos consecutivos y positivos de una P.G. creciente. ¿Entre qué límites varía su razón si se cumple: 2t2 > t3 – 3t1? a) 〈–∞; 1〉 B) 〈1; 3〉 d) 〈3; +∞〉
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e) 〈–3; +∞〉
c) 〈–1; 3〉
20. Una progresión geométrica admite cuatro términos, siendo la suma de sus extremos 27 y la de los centrales 18. Calcula la suma de cifras del mayor de estos números.
a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
21. Tres números positivos en progresión aritmética son aumentados en 3; 3 y 7 respectivamente, formando una progresión geométrica de suma 28. ¿Qué números son?
a) 3; 5 y 7 d) 1; 5 y 9
b) 2; 6 y 10 e) 3; 7 y 11
c) 3; 6 y 9
22. Los lados de un triángulo rectángulo forman una P.G. Calcula el seno del menor de sus ángulos agudos. 1 5 +1 a) 1 2 2 5 2 b) 2 1 1 ^ - h c) 2 5 - 1 d) 2 5 2 ^ - h e) 1 2 5 1 23. Se tiene una circunferencia de radio "R"; dentro de ella se dibuja una circunferencia concéntrica y de radio la mitad de la primera; luego se dibuja otra circunferencia concéntrica y radio la mitad de la segunda y así indefinidamente. Si se suman las áreas de todas las circunferencias, se obtiene la misma área de una circunferencia cuyo radio sería: 2 3 R c) 2 a) 3 R b) 3 3 R 4 3R d) 3 22 R e) 3 24. Calcula la suma límite: 1 2 1 3 1 + 3c 1 m + 5 c m + 7 c m + ... 2 2 2
a) 2
b) 4
d) 13 2
e) 6
c) 5
25. Conociendo la suma "S" de los primeros "n" términos de una P.G., y la suma "T" de los recíprocos de estos términos, Calcula el producto de los "n" primeros términos de dicha progresión. n
n
T 2 a) c S m2 b) c m T S d) Sn/2
c) Tn/2
e) (ST)n/2 Cuarto año de secundaria
121
29
Capítulo
Practica en casa
1. Dada la P.G. ÷÷ 2; 8; x; y calcula y – x.
9. Calcula la suma límite: +1 + 1+1 2 4 ...
2. Calcula el noveno término de la siguiente P.G.: ÷÷ 1 2 ; 1; 2; ...
10. Una hoja de papel se parte por la mitad; después se superponen las dos mitades y se vuelven a partir por la mitad, y así sucesivamente. Después de ocho cortes, ¿cuántos trocitos de papel habrá?
3. Si el primer término de una P.G es 96 y la razón es igual a 1 2 , calcula el término de lugar 10. 4. Dada la P.G.: ÷÷ t1; t2; t3; ... calcula la razón, si: t9 = 3 y t14=96 5. Calcula "x" en la P.G.: ÷÷ (x – 8); (x – 4); (x+8) 6. En la P.G.: ÷÷ 1; 3; 9; 27; ... calcula la suma de los seis primeros términos. 7. De la P.G.: ÷÷ 4; x; y; z; 324 +z Calcula: yx + 4 8. Interpolar 4 medios geométricos entre 3 y 96. De como respuesta la suma de los dos términos centrales.
Colegios
122
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11. En la P.G.: ÷÷ 0,25; 0,5; 1; 2; ... , calcula el décimo término. 12. En una progresión geométrica, el primer término es 6 y el término de lugar 15 es 54. Halla el octavo término. 13. Halla la suma de los seis primeros términos de la progresión geométrica: ÷÷ 4 ; 2 ; 1 ; ... 3 3 3 14. En la P.G.: ÷÷ 18 ; x ; y ; z ; 88 Calcula: x.z – y2. 15. Se deja caer una pelota desde una altura: h=270m. En cada rebote la pelota se eleva 2/5 de la altura de la cual cayó la última vez. ¿Qué distancia total recorre la pelota hasta quedar en reposo?
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Álgebra Tú puedes 1. Si: "x"; "y" ; "z" son términos consecutivos de una P.G. creciente, indicaa el valor de "z" en el sistema:
)
2x + y + z = 40 3y – z = 10
a) 16 b) 12 c) 20 d) 32 e) 15 2. En una P.G., la suma de los seis primeros términos es igual a nueve veces la suma de los tres primeros términos. Halla la razón de la progresión. a) 3 b) 2 c) 5 d) 4 e) 6 3. Indica el valor de:
1 + 1 + ... + 1 2100 281 282
1 –1 b) 1 –1 c) 2100 –1 d) 220 –1 e) 280 –2 a) 100 80 80 100 2 2 2101 2 2 4. Encontrar una P.A. y una P.G., si se sabe que los primeros términos son iguales a 2, tienen el mismo tercer término y el undécimo término de la P.A. es igual al quinto término de la P.G. Indica la suma de las razones de ambas progresiones. a) 8 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6 2 3 4 5. Calcula: S = 1+2 c 1 m + 3 c 1 m +4 c 1 m +5 c 1 m +... 2 2 2 2
a) 2
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b) –4
c) –6
d) 6
e) 4
Cuarto año de secundaria
123
30
Capítulo
Logaritmos I Problemas para la clase 1. Calcula: log832
7. Calcula: 1 b) 5 4 3 c)
a) 4
5 d) 3 4 5 e) 2. Efectuar:
log6 36 + 7log7 8 - 3log 4 4
a) 3
b) 6
d) 8
e) 4
c) 7
8. Si: x=log53, calcula log153 1 1 c) a) x1- 1 b) x x+1 x e) x+1 d) x + x 1
3. Calcula:
9. Si: log2=a ∧ log3=b
log2(log24)+log3(log327)
a) 0
b) 1
d) 3
e) 4
log2 ^log2 256hh calcula el valor de M2- 1 . a) 1 b) 1 2 d) 0 e) 3 2
4. Si M= log
c) 2
a) 3
b) 6
d) 12
e) 18
c) 2
c) 9
1 – 1 log50 5 log2 5 b) 3
d) 5
e) 1
TRILCE
b) 2a+3b
d) 3a+2b
e) a+b
a) 20
b) 22
d) 26
e) 28
c) a2+b3
log1000+ln e +log0,1 – lne2
a) 0,2
b) 3
d) 0,5
e) 1
c) 4
c) 24
11. Calcula:
12. Efectúa:
a) 2
Colegios
a) a3+b2
log197antilog197 23 – colog28
6. Calcula:
calcula el valor de log72.
10. Efectúa:
3^
1 5. El logaritmo en base 1 3 del número 729 es igual a:
124
log86 . log310 . log64 . log3 3 c) 3 a) 2 b) 3 2 5 5 d) 2 e) 9 3
c) 4
75 m - log c 50 m + log c 32 m log c 16 81 243
a) 1 b) 0 c) –1 −1 d) 1 2 e) 2
Central: 6198-100
Álgebra 13. Calcula:
19. Calcula: log89.log274 log1625.log12532
15 b) 13 c) 3 a) 7 2 4 8 e) 5 d) 15 7
-1 2 2 o + log 3 c3 9 m + log0,5 15 12 5 −1 a) 1 c) 0 6 b) 2 −1 d) 1 2 e) 6
log0,6!e
20. Simplifica:
3
1 log 5 5 7
+
a) 2
b) 1
d) 8
e) 0
2 4
log 2 log3 5log2 3 5
^49log7 6h
14. Calcula el valor de:
3
a) 9
b) 36
d) 7
e) 14
c) 4
1
- log` 1 j 10 c) –1
21. Calcula:
1 1 1 + + 1 + log4 36 1 + log2 72 1 + log18 8 a) 3 d) 4
b) 2 e) 0,5
c) 1
15. Si e: base de los logaritmos naturales, efectuar: lne+lne2+lne3+ ... + lnex+1 1 a) x b) x + 2 + (x + 1)(x + 2) c) x(x 2 1) d) 2 ^x - 1 h x e) 2 16. Calcula: (2+log27)(2+log72)–(log249+log74)
a) 8
b) 13
d) 5
e) 10
c) 14
17. Si log422=a ∧ log423=b
calcula log4249. a) 1+a – b b) 2(1+a+b) c) 3(1 – a – b) d) 2(1 – a – b)
22. Calcula: 43 + log 8 + 82 + log 4 8log 4 b) 130 c) 134
a) 128 d) 135
e) 127
23. Se sabe: log2=0,3010; log 3=0,4771 Calcula log311,04 con cuatro cifras decimales. Dar como respuesta la suma de cifras de la parte decimal. a) 13
b) 15
d) 19
e) 20
c) 18
24. Efectúa:
antilog2 b
=
1 + logb a G .loga 5 1 + loga b
si: a>1 ∧ b>1 a) 8
b) 32
d) 2
e) 1/2
c) 16
e) a – b+2 25. Si log2 = a, calcula log5 3 500 18. Calcula: colog6 antilog3 (log312+1) a) 1 b) 2 c) –2 2 −1 d) 1 4 e) 2 www.trilce.edu.pe
- a b) 3-a 2-a a) 33 ^1 - ah 1 - a c) 1-a - a e) 3+a d) 22 ^1 - ah 3^1 + ah
Cuarto año de secundaria
125
30
Capítulo
Practica en casa
1. Calcula: log3264.
10. Efectuar: log14 antilog1435+colog749
2. Efectúa: log5125+5log88–3log34
l 11. Calcula: log100 + 81log3 2 + ln c m e (e: base de los logaritmos naturales)
3. Calcula: log3(log28)+log2(log39)
12. Calcula:
4. Calcula: log3 2 ^log2 ^log3 81hh 1 5. El logaritmo en base 1 2 del número 512 es igual a: 6. Calcula:
log3 4 log7 2 log5 18 + + log3 12 log7 12 log5 12
1 + 1 log2 6 log108 6
13. Calcula: (1+log53)(1+log35) – log53 – log35 log35 14. Calcula: 36log 4 5 3
15. Calcula:
7. Efectúa: log35 . log210 . log3 . log564
1 1 1 + + 1 + log x yz 1 + log y xz 1 + log z xy
8. Si x=log23, calcula: log62.
9. Si log 2=m ∧ log3=n, Calcula el valor de: log24.
donde: x; y; z ∈〈1;+∞〉
Tú puedes 1. Si: xy.yx = (xy)2 con x ≠ y, reducir:
y x + log y x + 1 log x y + 1
a) 0,5 b) 1 c) 2 d) 0 e) 0,25 2. Si: log1428 = a, Calcula: log4916. 2 (a–1) b) 2 (1–a) c) 1–a d) a–2 e) 2–a a) 2–a 2–a 2–a 1–a a 1–y log c x m + log c m +y – y 1 1 3. Si: x2+y2=1, reducir: . x–y+1 2 log c m x+y+1
a) 2
4. Calcula: log(log
a) –36
b) 1 63)
c) 0,5
d) 0,25
e) 4
c) 3
d) 6
e) 9
(log936) b) –1
5. Si: logaba=3, Calcula: logab( a 3 b ). 1 b) 2 c) 2 d) 5 a) 6 5 3 6 Colegios
126
TRILCE
e) 1 Central: 6198-100
Capítulo
31
Logaritmos II Problemas para la clase 8. Resuelve: 5log5(4–x)=x – 8
1. Resuelve: log3(2x – 1)=2 a) {7/2}
b) {3/2}
d) {1/5}
e) φ
c) {5}
2. Calcula el valor de "x" en: log2(x – 1)=log23+log24 a) x=6
b) x=12
d) x=8
e) x=11
c) x=13
a) 1
b) 3
d) 5
e) 2
c) 4
a) {4}
b) {5}
d) {8}
e) {10}
c) {6}
d) {8}
e) {16}
c) {4}
logx+log(x – 1)=log6 a) {–2}
b) {–2; 3}
d) {3}
e) {–3; 2}
b) {–4}
d) {8}
e) φ
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d) 15
e) 21
c) 10
a) {1; 3}
b) {3; 9}
d) {3; 27}
e) {27; 81}
c) {3; 81}
2 -1 + = 3 logx 3log x 6 logx log81 a) x=3
b) x=9
d) x= 1 3
e) x=27
c) x= 1 9
a) 3
b) –2
d) 2
e) –1
c) –6
13. Si "x" satisface la ecuación:
log^x2 + 13h =2 log^x + 1h a) {2}
b) 7
c) {2}
7. Resuelve:
a) 3
12. Resuelve la ecuación: 3log3(2–x)=x2 – 2x – 4 Dar como respuesta el producto de soluciones.
6. Resuelve:
calcula "x . y"
2logx+log x =log32 b) {2}
e) φ
11. Halla el valor de "x" en:
5. Resuelve: a) {1}
d) {–1}
c) {6}
10. Resuelve: (log3x–1)(log3x–4)=0
4. Resuelve: xlogx(x+2)+5log5x=3log312
b) {3; 6}
9. Luego de Resuelve el sistema: log (x + 2) = 2 * 3 x + y = 10
3. Calcula x + 1 , si: log3(log2x)=1
a) {3}
c) {6}
log (x - 1) = 4 32 2^ 2 h 4 calcula "x2 – 1"
a) 8
b) 24
d) 15
e) 48
c) 35
Cuarto año de secundaria
127
31
Capítulo
14. Indica la menor solución al Resuelve: log2x – logx2 = 15
21. Si xo es la solución de la ecuación:
a) 0,1 d) 100
b) 0,001 e) 10
c) 0,01
logx = ln c 1e m logx c lnx - 1 m lnx + 1 Calcula el valor de ln xo (e: base de los logaritmos naturales)
11 b) 1 9 c) 9
a) 11 15. Indica el producto de las soluciones al Resuelve: (lnx+1)lnx=90 1 a) b) e c) e2 e
d) e3
16. Resuelve: 2log(logx)=log(7 – 2logx) – log5 a) {3}
b) {5}
d) {10}
e) {8}
c) {3; 5}
= 81
17 b) 82 c) 5 a) 4 9 2 10 e) 26 d) 3 5 19. Resuelve la ecuación: x+log(1+2x)=xlog5+log6 Halla "x+1". d) 3
e) 8
b) 9
c) 10
d) 10 + 1 e) 10 - 1 logx
x1 Inx = e5
loge 10 m5loge e j5ln10 c) a) c 10 b) c ` m 5 e 10 e
18. Indica la suma de las soluciones al Resuelve:
b) 1
e) log3
24. Calcula "x", en:
d) x=2/3 e) x=5/3 y=10/3 y=1/3
a) 0
log3 log7 d) log2 - log7 log3 + log2
a) 8
a) x=–10/3 b) x=10/3 c) x=1 y=1/3 y=1/3 y=1/3
x
c)
23. ¿Cuál es la menor solución de la siguiente ecuación: 1 5 + = 2? 5 - 4log^x + 1h 1 + 4log^x + 1h
17. Resuelve el sistema: x2 − y2 = 11 * logx − logy = 1
22. Resuelve: 4x=2(14x)+3(49x) log3 log7 a) log7 b) log2
e) 1
log3x
1 e) 10 d) 11 9
c) 2
In10
e5 m d) c 10
10 In10 e) c 5m e
25. Una colonia de bacterias crece de acuerdo a: N(t)=n0ekt (t: número de horas). Si la cantidad de bacterias se duplica cada 3 horas, ¿cuánto tardará la colonia en triplicar su cantidad inicial? (e: base de logaritmos naturales) 3ln2 horas a) 3ln3 horas b) 2 ln2 c) 3ln2 horas ln3
d) 3ln3 horas
e) 2ln3 horas
20. Halla el valor de "x":
1 2 2 + logx ^x - 1h + logx c 2 m = logx x2 x a) x=2 b) x=1 c) x= 1 4 1 d) x=4 e) x= 2
Colegios
128
TRILCE
Central: 6198-100
Álgebra Practica en casa 1. Resuelve: log2(x – 5)=4 2. Calcula el valor de "x" en: log4(x+3)=log424 – log43
9. Resuelve el sistema: log ^x - 4h = 4 * 2 x - y = 12 De el valor de x . y
3. Resuelve: log5(log2x)=1
10. Resuelve: (log2x – 3)(log2x – 1)=0
4. Halla "x": 3log3x+xlogx(x+5)=2log219
xj 11. Resuelve: 3logx – log32=2log ` 2 12. Resuelve: log 2 ^log2 ^x - 1hh =4
5. Resuelve: logx+log x =log8
13. Resuelve la ecuación: (logx)2 – 7logx+12=0 Indica el producto de soluciones.
6. Resuelve: logx+log(x – 2)=log15 7. Resuelve:
log^x2 + 33h =2 log^x + 3h
14. Halla el valor de "x" que verifica la ecuación: 4x+5.2x=50
8. Resuelve: 2log2(5 – x)=x – 7
15. Calcula la suma de soluciones de la ecuación: xlog2x=16
Tú puedes 1. Halla "x" en: logx 4 125 = 3 . 2 1 b) a) 2 c) 5 5
d) 5
e) 25
2. Calcula el valor de "x" en: 3logx81=x. 1 d) 1 e) 1 a) 1 b) 3 c) 3 9 27 3. Resuelve: 9x=6x+1+7(4x).
log 3 log 7 b) log27 c) d) log 2– log 7 log 3– log 2
a) log73
e) log3
10x + 10y = a 4. Dado el sistema: * , calcula: 10x – 10y. x – y = log c a + b m a–b
a) 2
b) a
c) b
d) 2b
e) a+b
b) logb(logac)
c) loga(logca)
d) logacb
e) log(logbac)
x
5. Resuelve: ab =c
a) loga(logbc)
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Cuarto año de secundaria
129
32
Capítulo
Repaso IV Problemas para la clase 6. En la P.G.: ÷÷ 32; x; y; z; 162 Calcula la razón.
1. A partir de la función:
F = {(4; a+3), (–2; a), (4; 2a–1)}
calcula: F(4)+F(–2)
a) 13
b) 9
d) 10
e) 11
c) 8
2. Sea la función "f" cuya regla de correspondencia es: f(x)=x3 – 2x+1; calcula el rango de "f", si el Dom(f)={–2; 0; 3}.
a) {–11; 1; 22} c) {0; 1; 22} e) {1; 13; 22}
b) {–3; 1; 22} d) {–8; 0; 27}
7.
a) 3,5
b) 2,4
d) 1,8
e) 1,6
Relacionar correctamente: I. 2log25+log663 II. log3 3 III. antilog5(log56) IV. lne5
c) 1,5
A. 6 B. 8 C. 1/2 D. 5
a) IB - IID - IIIC - IVA
b) IA - IIB - IIIC - IVD
c) IA - IID - IIIB - IVC
d) IB - IIA - IIIC - IVD
e) IB - IIC - IIIA - IVD 3. Halla el dominio de la función "f" definida por:
f(x) =
8. Efectúa:
–15+8x – x2
a) x∈[1;2 ]
b) x∈[2; 3]
d) x∈[3; 5]
e) x∈[3; 6]
4. Grafica la función "F" definida por:
y
d)
x
e)
y x
y x
x
y
5. En una P.A., el octavo término es igual a 81, y el tercero es igual a 16. Calcula la razón. b) 8
d) 15
e) 10
Colegios
130
TRILCE
b) 0
d) –1
e) 1/2
c) 3
d) x=12
e) x=13
10. Calcula "log3x", si: log636 – colog3x=antilog23 x
a) 3
a) 2
9. Calcula el valor de "x": -1 = log c 2x x - 5 m log3 log2 a) x=10 b) x=–10 c) x=–13
F(x)=2x+3 ; x∈ a) b) c) y
log 10 + log3 3 - log5 5
c) x∈[3; 4]
c) 13
a) 6
b) 5
d) 3
e) 4
c) 2
11. Sabiendo que el conjunto de pares ordenados: F={(3; a2), (3; 1), (5; 4), (5;a+b), (b; 4)} representa una función, indicar la suma de elementos del dominio. a) 3
b) 5
d) 13
e) 11
c) 8
Central: 6198-100
Álgebra 12. Dada la función:
18. Halla el valor de:
F(x)=2x2+3x+2; x∈.
a ; +3 calcula el valor de "a", si Ran(F)= 8 a + 1 a) 6
b) 7
d) 9
e) 10
c) 8
13. Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función:
g(x)=6 – 3 4 x; x∈ y los ejes coordenados. a) 6u2 d) 21u2
b) 12u2
15 5 16 eln 'log c 8 m –2 log c 3 m + log c 27 m1
(e: base de los logaritmos naturales) a) e b) log2 c) ln2 d) 0,47712 e) 5
19. Se define la función "f": 2 f(x) = *x ; x ! [0; 2 H 2x + 1; x ! [2;5 H Si: x ! ;1; 3 2
c) 18u2
e) 24u2
14. Calcula la distancia entre el vértice de la parábola
calcula f(2x – 1) – f(2x2) a) 14
b) 2x – 1
d) x2
e) 2x
20. Dada la figura:
3 y = x8 + 8
y
determinada por la gráfica de la función: A
f(x)=–x2+4x – 7; x∈,
B
C
x
y el punto de intersección de "f" con el eje "y". a) 5 u b) 5 2 u c) 3 2u d) 2 5 u
e) 10u
15. ¿Cuántos términos hay que tomar de la progresión aritmética: ÷ –2; 2; 6; 10; 14; ... para que la suma sea 8190?
a) 63
b) 64
d) 66
e) 67
c) 65
16. Indica el quinto término de una P.G. creciente de siete términos, si la suma de los tres primeros es 26 y la suma de los tres últimos 2106. a) 42
b) 152
d) 162
e) 216
c) 144
17. Sea: f(x)=log3(x – 4) y g(x)=logx f(85)+f(31)+f(7) Calcula: g(100)+g(1000)–g(10)
a) 0
b) 1
d) 3
e) 4
www.trilce.edu.pe
c) 2
c) –4x
4x y = n- 3 calcula el área de la región formada al unir los puntos A, B y C. a) 20u2
b) 30u2
d) 45u2
e) 50u2
c) 40u2
x 21. Si: x x =10, calcula:
log
logx
log
logx
a) 4
b) 3
d) 1
e) 0
log logx logx c) 2
22. Luego de resolver la siguiente ecuación: logx2 – log x 2 = log x 2 ( 64) (16) indica el producto de sus soluciones. a) 12
b) 17
d) 16
e) 24
c) 1
23. Si "x", "y", "z" son términos consecutivos de una P.A., simplifica: x2 (y + z) + y2 (z + x) + z2 (x + y) E= (x + y + z) 3 7 c) 2 a) 1 b) 9 9 9 d) 4 e) 1 9 Cuarto año de secundaria
131
32
Capítulo
24. En una P.G. decreciente de seis términos, se cumple que la suma de los términos extremos es 5 a, y el producto de los dos términos centrales es a2. Calcula la razón, si a>0. + 5 3− 5 a) 5 3 2 5 b) 2
c) 5 3 + 5
25. Calcula:
− e) 5 5 2 3
d) 5 3 − 5
1 1 + loga+1 ab logb+1 ab
si la ecuación: x2 – 5x+2=0 tiene como C.S.={a; b} a) 1
b) 2
c) 3
d) 5
e) 8
Practica en casa 1. Dada la función:
8. Calcula:
log0,25+log0,52+log0,254
g={(3; 2a+1), (–4; a), (3; a+7)} calcula: g(3)+g(–4)
9. Calcula "x" en: 2. Sea la función "f" con dominio: {2; 3; 4} y f(x)=x2+1; halla la suma de elementos del rango de "f". 3. Halla el dominio de la función "g" definida por: g(x) = x - 3 + 9 - x 4. Grafica la función "f" definida por: f(x)= − 1 3 x+2 ; x∈
10. Resolver: log4log2(x – 1)=0 11. Dada la función:
F={(4; 8), (b; 3), (4; a+b), (5; 9), (5; a2)}
calcula: ab.
5. En una P.A., el noveno término es igual a 93, y el cuarto es igual a 28.
12. Obtén las coordenadas del punto de intersección entre las gráficas de las funciones definidas por: F(x)=2x – 1 ; x∈
Calcula la razón.
6. Calcula "x" en la P.G. (x>0): '' ^2x - 6h;^ 3 xh; ^2x + 6h;...
7. Indicar verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones:
M; N∈+ ∧ a∈+ – {1}
• logaM+logaN=loga(M.N) ....................... ( )
• logaMn=nlogaM ................................... ( )
• loga1=a
• logaM – logaN=loga(M – N) ................. ( )
Colegios
132
log3(5x+1)=4
TRILCE
................................... ( )
G(x)=3x+2 ; x∈
13. Calcula:
log25 0, 2 + log 4 0, 5 log2 0, 25 + log5 0, 04
14. Calcula el término siguiente en la P.A.: ÷(3x – 5); (4x+6); (6x+10); ... 15. Si la suma de un número infinito de términos de una P.G. decreciente es 2 y la suma de sus 7 cubos es 8 , halla la razón. 511
Central: 6198-100
Álgebra Tú puedes 1. Dada la función: F(x)=
x + 1 – x–1 , hallar su dominio. x–1 x + 1
a) 〈–1 ; 0] ∪ 〈1 ; +∞〉 b) 〈– 1 ; 1〉 c) 〈– ∞ ; – 1〉 ∪ 〈1 ; + ∞〉 d) 〈–1 ; +∞〉 e) 〈– ∞ ; –1〉 2. Sabiendo que: f(x)= 1 , calcule: f(1)+f(2)+...+f(10)+f(1–1)+f(2–1)+...+f(10–1) x+1
a) 1 10
b) 100
c) 8
d) 10
e) 20
3. Si el dominio de la función "f", cuya regla de correspondencia es: f(x)= 3– x2 –2x–a + tiene solo cinco elementos enteros, señale el número de valores enteros de "a".
x ;a∈ x2 + 1
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
4 3 2 4. Dada la función "F" definida por: F(x)= x –6x +2 15x –18x + 11 ; x∈, determine el rango. x –3x + 3
a) [2 2 ; +∞〉 b) [1; +∞〉 c) [3; +∞〉 d) [ 2 ; +∞〉 e) [0; +∞〉
5. Dada la función "F" definida por: F(x)= 9 + 2 20–x2 –x – x + 5
halle el mayor elemento de su rango.
3 a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 2
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Cuarto año de secundaria
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