Ariile suprafeelor plane 1. Calcula Calculai aria subgraficului func funciei f : f: [ 0, 1] → »,
a)
f( x) = 2
f : [0, 1] → », f ( x) =
g)
x
x
3
−x+2
x + 1 −
2 x
π f 0, → », f ( x) = eπ ⋅ sin x; c) 2
; b)
f: [ −1, 1] → »,
f( )x =
x
−1
x
+1
e e
2
e
2
f ( x) = ln
− 1 → »,
+1
x
f : [ −2, 2] → », f ( x) = max x2 − x− 2,
x − 1, x ∈ [1, 2 ) ; h) f( x) = − ∈ 3 , 2 , 3 x x [ ]
f: [1, 3] → »,
(
2 2 f : e, e → », f ( x) = x ln x + 1 ; f)
x+ 1 ; e)
f : 0,
−
; d)
)
x2 − x ;
.
2. Calcula Calculai aria suprafe suprafeei delimitată delimitată de curbele: a) f ( x ) = 3 x , g ( x) = x, x ∈ [ 0, 1]
b) f ( x) = x + 1, g ( x) = 3, x∈ [ −1, 4 ]
c) y = x2 , y = −5 x + 4
d) y = x2
e) y= x2
f) y2
2
g) y
+ 6 x,
y = − x2
−4
2
= 8 x,
y= x
h) y =
2 j) 3 y+ x − 8 x+ 7 = 0, y+ 1 −
4
x
−1 ,
y= 4
2
4
, y=
8 x
2
=
4 x, y = x
i) y= ln 2 x, y= − ln x
+4
(
)
k) f ( x) = x⋅ arctg x, g( x) = ln 1 + x2 , x∈[ 0, 1]
l) y = x2
m) y = x2 , y = 2 − x
n) y2
4 − 2 x, x+ y = 2
o) x = 4 y2 , x+ 12 y + 5 = 0
p) y = x2 , y2
q)
27
x
2
r) x2
+
y
= 16,
x
t) x2
+
y2
= 4,
= 8 x;
2
2
s) y= ( x− 1) , x ) f( x) =
−
3 x 2 − 1 3
x
x − 3
=0
−
x+ 2
y 2
2
, g( x) =
y=
ş) x2
=1
3x2
+1
3
x+ 2
x
+
=
x
+
2
y2
+9
, y=
= 2 x,
1 6
y2
=
4. Să Să se calculeze aria suprafe suprafeei cuprinsă cuprinsă între elipsa de ecua ecua ie = 6x
2
y x2
=6
−2
x
y2
=1
x 2
+ +
9
y
2
y2
4
=9
şi dreptele x = −1, x = 2 .
=1
şi dreptele x = −2, x = 1 .
. Determina Determinai aria suprafe suprafeei mă mărginită rginită de parabolă parabolă, axa Oy şi dreapta x = 4 .
6. Dreapta y = 2 − x împarte interiorul elipsei de ecua ecuaie
7. Fie
2
y= x 1− x
, x∈ [ 0, 2 ]
3. Să Să se calculeze aria suprafe suprafeei cuprinsă cuprinsă între cercul de ecua ecuaie x 2
5. Fie parabola de ecua ecua ie y 2
− 1,
x 2
4
+ y
2
=1
în două două regiuni. Afla Aflai aria fiecă fiecărei regiuni.
x − 1 ⋅ x − 1 , x < 2, x ≠ 1 x − 1 . Calcula Calculai aria suprafe suprafeei cuprinsă cuprinsă între graficul func funciei, axa Ox f: » → », f( x) = 0, x= 1 3 − x, x≥2
şi dreptele x = −1, x = 3 . 8. Fie
− x −1
f : » → », f ( x) = ( x+ 1) ⋅ e
. Determina Determinai aria mul mulimii cuprinsă cuprinsă între graficul func funciei, axele de
coordonate şi dreapta x = 2 . 2
2 x − 1 9. Fie f : D → », f ( x) = ln . x + 2 a) Determina Determinai domeniul maxim de defini definiie al func funciei; b) Determina Determinai aria suprafe suprafeei cuprinsă cuprinsă între graficul func funciei, axa Ox şi dreptele x = 3, x = 4 . 10. Fie
f : » → », f ( x) =
x2 + 2 x+ 2 − x . Determina Determinai aria mul mulimii cuprinsă cuprinsă între graficul func funciei, asimptota
orizontală orizontală şi dreptele x = 0, x = 1 .
f: » − {−1} → »,
11. Fie spre
+∞
(f )x=
. Determinai aria suprafeei mărginite de graficul funciei, asimptota oblică
x + 1
şi dreptele y = 0, y = 2 . f : (0,
12. Fie
x 2
f( x) = 2 x+ axln x. Determinai a ∈ » astfel încât f ' (1) = 1 şi, în acest caz, calculai aria
+ ∞ ) → »,
mulimii cuprinsă între graficul funciei, axa Ox şi dreptele x = 1, x = e . f: » → »,
13. Fie
x 2
f( x) =
2
2
x+ (1 −
nx )
, n∈ * . Determinai aria mulimii cuprinsă între graficul funciei, axa Ox şi
dreptele x = a, x = b , unde x = a este abscisa punctului de intersecie al graficulul funciei cu asimptota sa iar x = b este abscisa punctului de extrem al funciei.. 14. Interiorul cercului de ecuaie x
2
+
y
2
=8
este despărit de hiperbola de ecuaie
x
2
2
− y
2
= 1
în trei regiuni.
Calculai aria fiecărei regiuni. 15. Pentru ce valori ale lui a ∈ » , aria suprafeei mărginită de curbele y = 3 a2 x2 + 4 ax = 4, y = 0, x = 0, x = 1 este cea mai mică? 1 1 3 16. Aflai a ∈ » pentru care aria suprafeei mărginită de curbele y = , y = , x= 2, x= a este egală cu ln . 3x − 2 2 x 1 şi: 17. Calculai aria limitată de curba y = x 2 + 4 a) asimptota sa; b) asimptota sa şi paralelele duse la Oy prin punctele de inflexiune. 18. Determinai a, b ∈ » astfel încât aria domeniului plan cuprins între parabolele de ecuaii y = x2
−
ax + b, y = − x2
+
ax + b să fie egală cu
8 3
.
19. Să se determine λ ∈ » astfel încât graficul funciei f : » → », f ( x) = x3 − λ x2
−
x + λ şi axa xx ' să delimiteze
două domenii având aceeaşi arie. 20. Să se afle aria domeniului situat în cadranul I, delimitat de prima bisectoare a axelor de coordonate şi de graficele curbelor de ecuaii y 2
= 6x
şi 2 x 2
+ 3y
2
− 20 = 0 .
π − 4 , x = −1 x 2 t f: [ −1, 1] → », f( x) = ∫ dt , x∈ ( −1, 1) . Să se calculeze aria suprafeei mărginită de graficul 2 0 1 − t π , x = 1 4
21. Fie funcia
funciei şi axa Ox. 2
22. Fie f : » → », f ( x) =
x
−1 −
x. Determinai aria suprafeei cuprinsă între graficul funciei, axa Ox şi dreptele
1 1 x = − , x = . 2 2 23. Fie
f: » − {1} → »,
şi dreapta x =
1 2
f( )x = ln 1 +
. Calculai aria suprafeei cuprinsă între graficul funciei, axele Ox şi Oy x − 1 1
.
24. Fie f : D → », f ( x) =
x ( x − 1)
. x + 1 a) Determinai domeniul maxim de definiie al funciei; b) Determinai aria suprafeei cuprinsă între graficul funciei, asimptota oblică şi dreptele x = 2, x = 3 .
25. Fie f : » − {1} → », f( x) =
ax 2
+ bx + c
, a, b, c∈ , b2
−4
x − 1 punctele de intersecie cu axa Ox trec prin punctul M ( 4, 8) .
ac= 14 . Ştim că tangentele la graficul funciei duse în
a) determinai valorile a , b, c ; b) determinai ariile suprafeelor mărginite de asimptotele graficului şi tangentele la grafic duse prin punctele de intersecie ale axei Ox cu G f respectiv la axele Ox, Oy şi grafic. 2 ( x − 2 ) − ln x. 26. Fie f: ( 0, + ∞ ) → », f( )x = x + 1 a) demonstrai că f ( x) ≤ 0, ∀ x∈ [1, + ∞ ) ; b) determinai aria mulimii
{( x, y) /1 ≤ x ≤ e, f ( x) ≤
y ≤ 0} .
27. Fie f : [ 0, 1] → », f ( x) = xn , n∈ , n ≥ 2 şi fie t ∈ [ 0, 1] . Prin punctul D ( t, f ( t ) ) se duce o paralelă la axa Ox care determină două suprafee de arii S1 , S 2 . Determinai valoarea lui t pentru care suma S1 + S 2 este minimă.
28. Fie f : » → », f( x) = 1 − x2 . Notăm cu S aria suprafeei cuprinsă între graficul funciei şi axa Ox. a) determinai a ∈ ( −1, 1) astfel încât dreapta x = a să împartă S în două suprafee de arii egale; b) determinai b ∈ ( 0, 1) astfel încât dreapta y = b să împartă S în două suprafee de arii egale. 29. Fie f : » → », f ( x) = x2 + 3 . Calculai aria suprafeei cuprinse între graficul funciei, tangenta la grafic în punctul de abscisă 2 şi dreptele x = 0, x = 2 . 30. Fie f : » → », f ( x) = 2 x2 . Calculai aria suprafeei cuprinse între graficul funciei, axa Ox, tangenta la grafic în punctul de abscisă 2 şi dreptele x = 0, x = 2 . 31. Fie funcia
ax+ b , a, b∈ » . x − 1 astfel încât funcia f să admită un extrem egal cu 1 în punctul de abscisă 0;
f : » − {1} → », f( x) =
a) determinai a, b ∈ »
x2
+
b) calculai aria suprafeei limitată de graficul funciei, axa Ox şi dreptele x = 2, x = 4 . 32. Fie
f: » → », f( x) =
x − 2 2
. Graficul funciei intersectează axele Ox şi Oy respectiv în punctele A şi B.
1 + x Calculai aria suprafeei cuprinse între graficul funciei şi dreapta AB.
(
)
33. Fie f : » → », f ( x) = x 1 + e− x . Calculai aria suprafeei limitate de graficul funciei, dreapta y = x şi dreapta x = 1 .
