Apuntes Procesamiento Digital de Señales Ana Gil González 11 de mayo de 2011
Contenido Objetivos...................................................................................................................................................................... 4 El procesamiento digital de señales ............................................................................................................................. 5 Procesamiento ......................................................................................................................................................... 5 Digital....................................................................................................................................................................... 5 Tipos de señales .......................................................................................................................................................... 6 Señales analógicas .................................................................................................................................................. 6 Señales de tiempo discreto ...................................................................................................................................... 6 Señales digitales ...................................................................................................................................................... 6 Etapas de un sistema de procesamiento digital de señales ............................... ............................ ......................... ...... 7 Ventajas del procesado digital....................... ......................... ............................. ......................... ............................ .... 7 Filtrado digital digital frente a analógico ...................... .......................... ............................ ......................... ............................ 8 Inconvenientes: ........................................................................................................................................................ 8 Aplicaciones ............................................................................................................................................................. 8 Clasificación de señales de acuerdo a su duración ...................... .......................... ............................ ......................... 10 Señales ..................................................................................................................................................................... 11 Señales ..................................................................................................................................................................... 12 Teorema de Fourier ................................................................................................................................................... 13 Forma compleja de las series de Fourier ........................ .......................... ............................ ......................... ............. 14 Teorema de Parseval ................................................................................................................................................. 15 Convolución ............................................................................................................................................................... 16 Muestrear .................................................................................................................................................................. 17 Conversión AD....................... ........................... ......................... ............................ .......................... .......................... 17 Teorema de muestreo ............................................................................................................................................ 17 Imágenes ................................................................................................................................................................... 19 Binarización ........................................................................................................................................................... 19 Transformada de Fourier......................... ........................... ......................... ............................. ............................ ...... 24 Transformada inversa de Fourier ............................................................................................................................... 24 Propiedades de la transformada de Fourier ......................... ......................... ............................. ......................... .... 24 Transformada de Fourier en tiempo tiempo discreto ....................... ......................... ............................ .......................... ........ 25 Transformada inversa de Fourier en tiempo discreto ........................ ......................... ............................ ..................... 25 Propiedades ........................................................................................................................................................... 25 Transformada discreta de Fourier............................................................................................................................... 26 Filtro .......................................................................................................................................................................... 27 Convolución discreta en imágenes ......................................................................................................................... 27 Transformada Z ......................................................................................................................................................... 28 Función de Transferencia de Filtros........................ ......................... ............................. ......................... ................. 29 Filtros Digitales .......................................................................................................................................................... 29 Filtro FIR ................................................................................................................................................................ 29
Contenido Objetivos...................................................................................................................................................................... 4 El procesamiento digital de señales ............................................................................................................................. 5 Procesamiento ......................................................................................................................................................... 5 Digital....................................................................................................................................................................... 5 Tipos de señales .......................................................................................................................................................... 6 Señales analógicas .................................................................................................................................................. 6 Señales de tiempo discreto ...................................................................................................................................... 6 Señales digitales ...................................................................................................................................................... 6 Etapas de un sistema de procesamiento digital de señales ............................... ............................ ......................... ...... 7 Ventajas del procesado digital....................... ......................... ............................. ......................... ............................ .... 7 Filtrado digital digital frente a analógico ...................... .......................... ............................ ......................... ............................ 8 Inconvenientes: ........................................................................................................................................................ 8 Aplicaciones ............................................................................................................................................................. 8 Clasificación de señales de acuerdo a su duración ...................... .......................... ............................ ......................... 10 Señales ..................................................................................................................................................................... 11 Señales ..................................................................................................................................................................... 12 Teorema de Fourier ................................................................................................................................................... 13 Forma compleja de las series de Fourier ........................ .......................... ............................ ......................... ............. 14 Teorema de Parseval ................................................................................................................................................. 15 Convolución ............................................................................................................................................................... 16 Muestrear .................................................................................................................................................................. 17 Conversión AD....................... ........................... ......................... ............................ .......................... .......................... 17 Teorema de muestreo ............................................................................................................................................ 17 Imágenes ................................................................................................................................................................... 19 Binarización ........................................................................................................................................................... 19 Transformada de Fourier......................... ........................... ......................... ............................. ............................ ...... 24 Transformada inversa de Fourier ............................................................................................................................... 24 Propiedades de la transformada de Fourier ......................... ......................... ............................. ......................... .... 24 Transformada de Fourier en tiempo tiempo discreto ....................... ......................... ............................ .......................... ........ 25 Transformada inversa de Fourier en tiempo discreto ........................ ......................... ............................ ..................... 25 Propiedades ........................................................................................................................................................... 25 Transformada discreta de Fourier............................................................................................................................... 26 Filtro .......................................................................................................................................................................... 27 Convolución discreta en imágenes ......................................................................................................................... 27 Transformada Z ......................................................................................................................................................... 28 Función de Transferencia de Filtros........................ ......................... ............................. ......................... ................. 29 Filtros Digitales .......................................................................................................................................................... 29 Filtro FIR ................................................................................................................................................................ 29
Filtro IIR ................................................................................................................................................................. 29 Transformación bilineal de Tustin...................... .......................... ............................ ......................... .......................... 30 Seguimiento ............................................................................................................................................................... 31 Coeficiente de Bhattacharyya ........................ .......................... ......................... ............................. ......................... 31 31 Algoritmo de seguimiento......................... .......................... ............................ .......................... ............................ ...... 32
Objetivos: El alumno: Demostrará habilidades en el campo del procesamiento digital de señales, tanto en la teoría básica como también en el uso de herramientas actuales. Analizará los métodos y algoritmos de tratamiento digital de señales, en especial filtros digitales y la transformada discreta de Fourier. Valorará al procesamiento digital de señales como una herramienta básica para la formación del ingeniero y su desempeño en el campo laboral.
El
procesamiento digital de señales
Estudia los fundamentos matemáticos y algorítmicos que describen como procesar, en un ambiente de cómputo digital, información asociada a señales provenientes del m undo real.
Procesamiento La realización de operaciones en los datos mediante una secuencia de instrucciones programadas de acuerdo a un algoritmo que modifica dichos datos o extrae información de los mismos.
Digital Sistema electrónico que opera con datos discretos representados en binario.
Tipos
de señales
Señales analógicas y y
Señales continuas tanto en la variabledependiente como en la variableindependiente. La mayoría de las señales físicas soncontinuas
Señales de tiempo discreto y y
Señales continuas en la variable dependientepero discretas en la variable independiente Se originan al muestrear una señal continua.
Señales digitales y y
Señales discretas tanto en la variable dependiente como en la variable independiente. Se originan al muestrear y cuantizar una señal continua.
Etapas
de un sistema de procesamiento digital de señales
La mayoría de los fenómenos naturales estánasociados a señales analógicas. Para procesar estas señales en una computadora, se debe: 1. 2. 3. 4.
Convertir la señal analógica en señal eléctrica. Por ejemplo, usando un transductor tal como un micrófono que convierte sonido en una señal eléctrica. Digitalizar estas señales usando un convertidor analógico a digital (ADC). En formato digital las señales pueden ser manipuladas, codificadas, comprimidas, etc. La señal procesada puede convertirse de nuevo a un formato analógico para ser utilizada por un actuador (por ejemplo, las bocinas). Para lo que se requiere un c onvertidor digital a analógico (DAC)
Venta jas del procesado digital y
Flexibilidad La función de un sistema se puede actualizar o modificar reprogramando el software.
y
Repetitividad La operación de dos unidades distintas es idéntica. Los sistemas analógicos no tienen este comportamiento debido a la tolerancia de los componentes.
y
Elevada estabilidad térmica La operación de los sistemas no cambia con las condiciones ambientales.
y
Complejidad Permite realizar operaciones más sofisticadas (reconocimiento de voz, imágenes). Existen algoritmos de corrección de errores, transmisión y almacenamiento de datos, compresión de datos, etc.
Filtrado
digital frente a analógico
Un filtro analógico se implementa por medio de amplificadores operacionales y componentes pasivos (resistencias, capacitores.)
Inconvenientes: y y y y y y
La respuesta del filtro depende de los componentes pasivos. El filtro no es reproducible con total exactitud debido a la tolerancia de los componentes. La respuesta del filtro puede variar con las condiciones ambientales. Filtros de orden superior necesitan redes más complejas o conectar varios filtros en cascada. Cambiar la respuesta del filtro exige la sustitución de los com ponentes pasivos. La frecuencia de operación queda limitada por la respuesta del amplificador operacional.
Aplicaciones y
Procesamiento de voz Filtrado de ruido, codificación, reconocimiento de voz, alteración de la frecuencia de m uestreo.
y
Procesamiento de imágenes Realce, codificación, compresión, reconocimiento.
y
Sistemas multimedia Transmisión de sonido, imágenes, v ideo, televisión digital, videoconferencias.
y
Audio Grabación, reproducción, ecualización, mezclado, efectos especiales.
y
Comunicaciones Codificación / decodificación de señales digitales, cancelación de eco, teléfonos móviles.
y
Medicina Análisis de señales biomédicas, diagnóstico y monitoreo de pacientes.
Señal: función de una o varias variables independientes que almacenan información de ina magnitud física. Señal Analógica: Continuas tanto en la variable independiente como en la variable dependiente. La mayoría de las señales físicas son continuas
Señales de tiempo discreto: Señales continúas en la variable dependiente pero discretas en la variable independiente. Se originan al muestrear una señal continua.
Señal digital: Señales discretas tanto en la variable dependiente como en la variable independiente. Se originan al muestrear y cuantizar una señal continua.
X(t-2), corrimiento a la derecha X(t+3), corrimiento a la izquierda X(-t), reflejo X(2t), compresión en el tiempo X(t/2), dilatación en el tiempo
Clasificación de señales de acuerdo a su duración Causales: Son 0 para t< 0. Se definen sólo para el eje positivo de t. Anticausales: Son 0 para t> 0. Se definen sólo para el eje negativo de t. No causales: Se definen para ambos ejes de t. Continuas: Se definen para todo tiempo t . Periódicas: x(t)=x(t±nT), donde T es el periodo y n es un entero. Por lo tanto una señal periódica tiene la propiedad de no variar para un corrimiento del tiempo igual a T.
Simetría Par: x(t) = x(-t), una señal par aes aquella que es igual a la correspondiente señal invertida en el tiempo, es decir es igual a su reflejo con respecto a eje de origen. Simetría Impar: x(t)= -x(-t). Si se define una señal impar necesariamente esta será igual a cero para el instante t.
Señales Deterministas: se pueden definir mediante una forma matemática explicita, un conjunto de datos o una regla bien definida. Es una señal acerca de la cual no existe incertidumbre con respecto a su valor en cualquier instante de tiempo. Aleatorias: No pueden describirse con un grado de precisión razonable mediante fórmulas matemáticas explicitas. Ejemplos: voz, señales sísmicas. Las señales sinusoidales son un ejemplo de señales periódicas y se representan matemáticamente como:
Donde: A= amplitud 0= frecuencia angular en rad/s = 2/T = 2/f = ángulo de fase inicial
La suma de dos señales periódicas es periódica sólo si el cociente de sus respectivos periódos se puede expresar como un número racional.
En conclusión la suma de dos señales periódicas es periódica sólo si el cociente de sus respectivos períodos se puede expresar como un número racional. Ejercicio: Determina si las siguientes señales son periódicas a)
es un número racional
es una señal periódica
=> Periodo
b)
es un número irracional
no es una señal periódica
c)
mcm= 30
La señal es periódica con T=30
Señales Escalón unitario: u(t) Rampa: r( t)= t u( t)
Impulso: También llamada función delta o función de Dirac:
®0, t { 0 °g, t ! 0
H t ! ¯ Propiedad: g
´ H t dt ! 1
g
Teorema
de Fourier
Cualquier función periódica de frecuencia f puede considerarse como la superposición de una serie de ondas sinodales de frecuencias f, 2f, 3f, 4f, etc. Sirve para descomponer una señal periódica en sus armónicos. Una señal periódica se puede descomponer en una suma de senos y cosenos
!
x t
1
a0
2
g
§ a
n
cos
n[ t b senn[ t o
n
o
n !1
Donde
0
an
!
!
bn !
2T T
2 T
2 T
´ ¢
T / 2 T / 2
T / 2
´ £
a0
,
T / 2
!
2 T
´ ¡
T / 2 T / 2
x(t ) d t
x (t ) cos n[ 0t d t , n ! 0,1,2,...
x (t )sen n[ 0 t d t , n ! 1, 2,...
Ejercicio: Dada una señal cuadrada de período T, determina la serie de Fourier correspondiente
E jercicio
en MatLab
Dada una señal triangular de periodo T, determinar la serie de Fourier correspondiente Ejercicio Serie de Fourier
Forma
comple ja de las series de Fourier
Expresando el seno y el coseno en términos de exponenciales se obtiene la siguiente expresión:
x t !
1
2
¨ 1 jn ©© an e 2 n !1 ª
¤
a0
0 t
[
e jn
0t
[
b 2 j e 1
n
jn[ 0 t
e jn
0t
[
¸¹¹ º
Considerando que 1/ j = - j ,
!
x t
1
2
g
§ ¨©ª 12 a
a0
jbn e jn[ t 0
n
n !1
1
2
a
n
¸ º
jbn e jn[ t ¹ 0
Sean c0
1
!
2
a0 ,
cn
!
1
2
a
n jbn ,
Entonces
! c § c e ! g
x t
0
jn[0 t
n
cn e jn[ t *
0
n 1
g
! c § c e !
x t
jn[ 0 t
n
0
§ cn e jn[ t
¥
x t !
cn e
jn[ 0 t
n !-
Donde
¥
cn
E jercicio
!
1 T
T
´
0
xt e
jn[ 0 t
en MatLab Ejercicio SerieCompleja.m
0
n ! 1
n 1
Por lo tanto,
g
d t
*
cn
!
1
2
a
n
jbn
Teorema
de Parseval
El contenido de potencia de una función real y periódica x(t) en el período T está definido como el valor cuadrático medio. 1
2
´ ? xt A d t ! T T
2
T 2
¦
cn
2
n ! g
dondecn son los coeficientes complejos de Fourier de la función x(t). Identidad de Parseval 1
2
1
´ ? xt A d t ! 4 T T
2
T 2
2 a0
1
2
g
2 an
n !1
b ! 2 n
c0
2
g
2
cn
2
n !1
Por tanto, la energía total es igual a la suma de las energías de todos los armónicos E jercicio
en MatLab
Convolución La Convolución de 2 señales se define como:
Donde es una variable auxiliar
Para realizar la Convolución: 1. 2. 3. 4.
Hacer un cambio de variable Reflejar la señal Desplazar la función h(t) Realizar la integración
Ejercicio:
Calcular la Convolución de las siguientes señales
El tamaño de el vector de Convolución de dos señales es igual al tamaño del vector x(t) mas el tamaño del vector h(t) menos 1 Ejercicio en MatLab
Muestrear Es realizar la Convolución entra la señal y un tren de funciones delta (Matemáticamente)
Conversión AD Consiste en hacer un muestreo a intervalos regulares de la misma, lo que permite expresar los distintos valores de la amplitud de la señal como una secuencia de números. Parámetros básicos de la conversión AD Resolución: el menor cambio en la magnitud de entrada que se puede detectar a la salida.
Frecuencia de conversión.
Teorema
de muestreo
Una señal x(t) con frecuencia máxima f max puede ser recuperada si la frecuencia de muestreo es fs>2 fmax Frecuencia de Nyquist f N= 2fmax Ejemplo: ¿Cuál es la frecuencia fs para la siguiente señal?
Ejercicio: Una señal de audio toma valores entre 0V y 1V, se utiliza un convertidor AD de 3 bits. Calcula la tabla de voltajes de salida
000 001 010 011 100 101 110 111
0-0. 125 0.125 0. 250 0.250 0.375 0.375 - 0.500 0.500 0.625 0.626 0.750 0.750 0.875 0.875 1.000 §
§
§
§
§
§
Imágenes Imagen: arreglo bidireccional de M filas x N columnas. ( Matriz compuesta por pixeles que tiene un valor de intensidad de gris) Muestreo: Tamaño de la matriz Cubanización: Niveles de grises Operaciones Puntuales Pixel de salida -> Pixel de entrada
Binarización Transformación lineal en el que la imagen de salida tiene 2 valores: blanco y negro O = negro 255 = blanco Histograma de intensidades Es una distribución de los niveles de intensidad presentes en una imagen 0 2 1 3
1 1 2 0
1 0 2 1
p i # x e d l e e s
2 2 1 3
7 6 5 4 3 2 1 0 0
1
2
Niveles de grises
3
Determina la resolución ce un convertidor de 3 bits con un voltaje de 3 V a ½ paso
000 001 010 011 100 101 110 111
0 - 0.1875 0.5625 0.937 1.312 1.687 2.062 2.437 3
La mayoría de las señales no son periódicas, sino que varían en forma aleatoria. El concepto de serie de Fourier se puede extender al caso de señales no periódicas. Consideremos una onda no periódica x (t ), de la cual seleccionamos una porción de duración T.
Ahora se extiende esa porción en forma periódica con período T
Dado que esta nueva onda es periódica, puede obtenerse su espectro...
El espectro obtenido representa solamente a la pequeña porción de señal que se ha seleccionado. Se puede representar una porción más larga, es decir de duración T´ > T.
Se puede observar lo siguiente: 1. El espectro se volvió más detallado 2. La frecuencia fundamental se redujo (f ´
Transformada
de Fourier
La transformada de Fourier se define como: g
? A! ´ xt e g
F [ ! F xt Transformada
j[ t
dt
inversa de Fourier
A partir de F() se puede recuperar x (t) por medio de la Transformada Inversa de Fourier:
xt !
- 1 ©
g
1
? A!
e 2T ´
¨
[
¨
[
j[ t
d [
g
Propiedades de la transformada de Linealidad
Fourier
? t a f t A! a F a F
F a1 f 1
Escalamiento F
2
2
1
? f at A! 1 F ¨© F
[
? f t t A! F e [
0
Desplazamiento en la frecuencia F
Inversión en el tiempo
2 [
2
¸ ¹ ª a º
a
Desplazamiento en el tiempo
[
1
? f t e A! j[ 0 t
?
j[ t 0
F
[ 0
[
A
F f t ! F [
Diferenciación en el tiempo y « » F ¬ f t ¼ ! j[ F [ ! j[F f t ½
Dual de la diferenciación y
? A
F tf t ! j F [ Integración en el tiempo
1 ´¬ f x dx»¼½ ! j[ F [ F 0H [
F «
t
g
Teorema de convolución
? f t * f t A! F F
F
1
2
1
[
2 [
Transformada
de Fourier en tiempo discreto
La transformada de Fourier en tiempo discreto se define como: g
? A
x[n]e j
X [ ! X x[n] !
n
[
g
Transformada
inversa de Fourier en tiempo discreto
La transformada inversa de Fourier en tiempo discreto se define como:
?A
x n !
1
2T ´
2T
0
X [ e j
[
n
d [
Propiedades Linealidad
?
A
X a1 x1[n] a2 x2 [n] ! a X 1
a X [
2
2 [
Periodicidad
X [ 2T ! X [
Desplazamiento en el tiempo
?
A
X x n n0 ! X [ e
j[ n0
Desplazamiento en la frecuencia
?
X x[ n ]e
j[ 0 n
A!
X
[ [ 0
Inversión en el tiempo
?
A! X [
X x[ n]
Diferenciación en el tiempo
?
?
AA 1 X
X x[n] x n 1 !
[
[
Dual de la diferenciación
?
y
A
X nx[ n] ! j X [
Integración en el tiempo
« X ¬
g » 1 x[ m]¼ ! X [ T X 0 H [ 2T k [ 1 m ! g ! g ½ n
k
Escalamiento
?
A
k
X xk [ n] ! X
[
Donde
® x[ n / k ], si n es múltiplo de k xk [ n] ! ¯ si n no es múltiplo de k °0, Transformada
discreta de Fourier
Al muestrear la transformada de Fourier en tiempo discreto DTFT se obtiene la expresion correspondiente a la trasformada discreta de Fourier DFT que en MATLAB se implementa mediante el algoritmo conocido como FFT (Fast Fourier Transform).
N 1
X
[ ! § x[n]e
j 2T k N n
k
n!0
para k = 0,1,...,N-1. Para evitar problemas de muestreo insuficiente se debe elegir N tal que N>L. Siendo L el número de muestras de la secuencia de entrada.
Filtro Dispositivo (hardware o software) que se aplica a un conjunto de datos ruidosos para poder extraer información sobre una cantidad de interés. Atenúa o incrementa determinadas frecuencias presentes en la señal
Convolución discreta en imágenes
Aplicar un filtro a una imagen consiste en hacer la convolución discreta entre la imagen y el filtro Un filtro se puede representar mediante una máscara de filtrado o máscara de convolución En imágenes las altas frecuencias corresponden a los cambios bruscos de intensidad (bordes y detalles de la imagen)
Transformada
Z
Es una función analítica Z es un número complejo con módulo 1 Sise tiene un desplazamiento en el tiempo discreto, su transformada Z se obtiene con la transformada Z de la señal por 2
Propiedad de Convolución
Función de transferencia: se define sólo para sistemas LTI con condiciones iniciales nulas.
Ejercicio: Obtener la transformada Z a)
b)
Pero n->
-m
Función
de Transferencia de Filtros
a)
Pasa bajas
b)
Pasa altas
c)
Pasa Banda
d)
Rechaza Banda
Escala en dB
La frecuencia de corte es a la cual la amplitud de la señal disminuye -3dB o el 70%
Filtros
Digitales
Filtro FIR (Finite Impulse Response)
La salida es una combinación lineal de los valores presentes y pasados de la señal de entrada es decir no son recursivos. Tienen memoria finita
Filtro
IIR
La salida es una combinación ideal de los valores presente s y pasados de la entrada, así como los valores pasados de la salida. Se trata de un filtro recursivo. Tiene memoria infinita
Transformación
bilineal de Tustin
Seguimiento Para calcular la distribución estadística se usa la función de Epanechnikov
× × ×× ï
Fórmula general del estimador de densidad de núcleo:
La función de distribución del objeto de interés
Coeficiente de Bhattacharyya
Mientras más cercano a 1 sea el coeficiente más parecidos son los objetos.
E jercicios
en MatLab
