Apuntes Para Alumnos de E y M V2

Escuela de Ciencias de la Ingeniería y Tecnología, UABC Valle de las Palmas

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BAJA CALIFORNIA

ESCUELA DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA Y TECNOLOGÍA (ECITEC) Unidad Valle de las Palmas

APUNTES PARA ALUMNOS DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

ELABORADO POR: Dr. Alberto Hernández Maldonado

Colaboradores M.I. Daniel Amador Bartolini

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Tijuana B.C. Agosto de 2015

Contenido Unidad 1. Carga y Fuerza eléctrica................................................................................................................ 5 Introducción. ............................................................................................................................................. 5 Historia...................................................................................................................................................... 6 Carga eléctrica y estructura de la materia. ............................................................................................. 11 Propiedades de la carga eléctrica ............................................................................................................ 12 Conductores y aislantes .......................................................................................................................... 12 Formas de electrificar un cuerpo ............................................................................................................. 13 Carga por fricción. .............................................................................................................................. 13 Carga por contacto. ............................................................................................................................. 15 Carga por inducción. ........................................................................................................................... 16 Descomposición de un vector en sus componentes y suma de vectores .............................................. 17 Ejemplos de suma de vectores. ............................................................................................................... 19 Ley de Coulomb ...................................................................................................................................... 21 Ejemplos de la ley de Coulomb. ............................................................................................................. 22 Campo eléctrico .......................................................................................................................................... 30 Concepto de campo eléctrico .................................................................................................................. 30 Campo eléctrico debido a cargas puntuales. .......................................................................................... 34 Dipolos Eléctricos .................................................................................................................................... 37 Campo Eléctrico de distribuciones continuas de carga. ............................ ¡Error! Marcador no definido. Distribución de carga lineal. ................................................................... ¡Error! Marcador no definido. Distribución de carga en una superficie................................................. ¡Error! Marcador no definido. Distribución de carga en un volumen. ................................................... ¡Error! Marcador no definido. LINEAS DE FUERZA. .......................................................................................................................... 39 Unidad 2. Potencial eléctrico y energía ...................................................................................................... 45 Energía potencial gravitacional............................................................................................................... 45 Energía potencial electrostática. ............................................................................................................ 46 Potencial en conductores......................................................................................................................... 52 2


La física en la práctica ............................................................................... ¡Error! Marcador no definido. Superficie equipotencial.......................................................................................................................... 53 Funciones de los capacitores ............................................................................................................... 56 Capacitancia ............................................................................................................................................ 61 Capacitores y dieléctricos ....................................................................................................................... 62 La Física en la práctica........................................................................................................................ 66 Preguntas de revisión (si el tiempo lo permite)....................................................................................... 67 Combinación de capacitores ................................................................................................................... 68 Capacitores en Paralelo ....................................................................................................................... 68 Capacitores en Serie ............................................................................................................................ 69 Dieléctricos. ............................................................................................................................................ 73 Unidad 3. Principios de Circuitos Eléctricos ................................................................................................ 82 Corrientes eléctricas y Ley de Ohm ........................................................................................................ 82 La corriente eléctrica .......................................................................................................................... 82 Resistencia y Ley de Ohm ....................................................................................................................... 85 Resistividad de los materiales ................................................................................................................. 88 Densidad de corriente............................................................................................................................. 89 Termómetro de Resistencia ................................................................................................................ 90 Superconductividad ................................................................................................................................ 90 Combinaciones de resistencias y código de colores ............................................................................... 91 Resistencias en serie ........................................................................................................................... 93 Resistencias en paralelo ...................................................................................................................... 93 Unidad 4 .................................................................................................................................................... 101 Campos Magnéticos .................................................................................................................................. 101 Introducción .......................................................................................................................................... 101 Torca sobre una espira de corriente. ..................................................................................................... 105 Ley de Ampere (Ecuación de Maxwell) ............................................................................................... 107 Campo en el centro de un anillo por el que circula una corriente I....................................................... 107 Fuerza sobre un conductor y líneas de campo B ............................................................................... 109 El campo magnético B de un solenoide. ........................................................................................... 112 3


INDUCCION MAGNETICA ............................................................................................................... 115 Ley de inducción de Faraday. ........................................................................................................... 115 Ley de Lenz....................................................................................................................................... 117 Estudio cuantitativo de la inducción. ................................................................................................ 117 Campos magnéticos que varían con el tiempo. ..................................................................................... 120 La Inductancia....................................................................................................................................... 121 La Inductancia mutua............................................................................................................................ 122 Magnetismo en materiales ................................................................................................................... 123 Ecuaciones de Maxwell. ........................................................................................................................ 126 Magnetismo En Materiales ....................................................................................................................... 128 Bibliografía: ............................................................................................................................................... 134

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Unidad 1. Carga y Fuerza eléctrica

Introducción. Las fotocopiadoras y las impresoras láser usan partículas de toner en tonos magneta, cian, amarillo y negro, hechas en forma esférica, con un recubrimiento de polímero. Una fuerza eléctrica de atracción las mantiene sujetas a la placa detrás de ellas; también las partículas ejercen fuerzas eléctricas de repulsión entre sí. Con las propiedades de la fuerza eléctrica que veremos en esta unidad, será posible contestar preguntas tales como: ¿Cuál es la fuerza que ejerce una partícula de toner sobre otra? ¿Cuál es la fuerza total sobre una partícula rodeada por varias otras partículas? ¿Cómo se transfieren las partículas de toner para formar una imagen? La sociedad humana depende de la electricidad (imaginar un mundo sin electricidad). Pero la electricidad no solo implica aparatos eléctricos, ésta es un ingrediente esencial de todos los átomos de nuestro cuerpo y de nuestro medio ambiente. Lo que mantiene unidos a los átomos son fuerzas eléctricas, al igual que lo que une los átomos para formar moléculas y une a las moléculas para formar estructuras macroscópicas como el 5


mundo que nos rodea. Las fuerzas de contacto, como el empuje de una mano contra una puerta, la tensión de un cable de elevador, etc. Son fuerzas eléctricas combinadas sobre muchos átomos. Por lo tanto, nuestro entorno está dominado por fuerzas eléctricas. En este capítulo estudiaremos las fuerzas eléctricas y sus efectos. Supondremos que las partículas que ejercen fuerzas están en reposo, o que se mueven muy despacio. A estas fuerzas se les llama fuerzas electrostáticas. Si las partículas cargadas se mueven con velocidad uniforme se modifican las fuerzas eléctricas; además de la fuerza electrostática se produce una fuerza magnética que depende de la velocidad de las partículas. Las fuerzas electrostáticas y magnéticas combinadas se llaman fuerzas electromagnéticas. Si las partículas se mueven con cierta aceleración, las fuerzas electromagnéticas se modifican en forma drástica y emiten ondas electromagnéticas, como son las ondas luminosas. En resumen podemos decir que: Las fotocopiadoras y las impresoras láser usan partículas cargadas para su funcionamiento. La sociedad actual depende de la electricidad. Las cargas eléctricas son ingredientes esenciales de los átomos y en consecuencia de toda la materia. Las fuerzas de contacto, la tensión de un cable, etc. Son de origen eléctrico. Si se supone que las partículas que ejercen las fuerzas eléctricas están en reposo. Se les llama fuerzas electrostáticas. Si las partículas se mueven con velocidad constante, las fuerzas eléctricas se modifican y se producen fuerzas magnéticas. Si hay aceleraciones, se producen ondas electromagnéticas (luz). Historia. La electricidad y magnetismo es la rama de la física a la cual conciernen los fenómenos eléctricos y magnéticos, cuyas leyes desempeñan un papel central en la comprensión del funcionamiento de varios dispositivos como los radios, televisiones, motores eléctricos, computadoras, etc. Evidencias en documentos chinos sugieren que el magnetismo fue conocido a principios del año 2000 A.C.

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Los antiguos griegos observaron los fenómenos eléctricos y magnéticos a principios del año 700 A.C. Descubrieron que un pedazo de ámbar frotado se electrificaba y era capaz de atraer pedazos de paja o plumas (Figura 1).

Figura 1

La existencia de la fuerza magnética se conoció al observar que pedazos de roca natural llamada magnetita atrae al hierro (Figura 2). Figure 3

Figura 2

En 1600, William Gilbert descubre que la electrificación no estaba limitada al ambar sino que este es un fenómeno general (Figura 3).

Figura 3

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Hasta a principios del siglo XIX los científicos establecieron que la electricidad y magnetismo son, en efecto fenómenos relacionados (Figura 4).

Figura 4

En 1820 Hans Oestered descubre que una brújula se deflecta cuando se coloca cerca de un circuito que lleva corriente eléctrica (Figura 5).

Figura 5

En 1831, Michael Faraday y Joseph Henry demuestran que cuando un alambre se mueve cerca de un magneto o imán, una corriente eléctrica se observa en el alambre (Figura 6).

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En 1873, Jaimes Clerk Maxwell usó estas Figura 6 observaciones y otros factores experimentales y formuló las ecuaciones de Maxwell (leyes del electromagnetismo).

Figura 8: Barra de vidrio suspendida por hilo de seda, repelida por otra varilla de vidrio que tiene la misma carga.

Figura 7: Varilla de vidrio suspendida de un hilo de seda, atraída por una varilla de plástico frotada con piel y que tiene carga de signo opuesto.

En 1909, Robert Millikan demostró que la carga eléctrica siempre se presenta como algún múltiplo entero de alguna unidad fundamental de carga e. En términos modernos se dice que la carga q está cuantizada, es decir, la carga eléctrica existe como paquetes discretos q=Ne, donde N es un número entero.

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Figure 9

Otros experimentos demostraron que el electrón tiene una carga de –e y el protón tiene una carga de +e. Las fuerzas eléctricas entre objetos cargados fueron medidas por Coulomb utilizando la balanza de torsión, diseñada por él. Demostró que la fuerza eléctrica entre dos pequeñas esferas cargadas es proporcional al inverso de la distancia que las separa, es decir: 𝐹∝

1 𝑟2

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Figura 10: Balanza de torsión


Carga eléctrica y estructura de la materia. La teoría atómica moderna explica el porqué de los fenómenos de electrización y hace de la carga eléctrica una propiedad fundamental de la materia en todas sus formas. Las interacciones responsables de la estructura y de las propiedades de los átomos y moléculas son principalmente las interacciones eléctricas entre partículas cargadas. En general todo cuerpo está formado por la asociación de moléculas y a la vez las moléculas están constituidas por uno o más átomos agrupados o distribuidos en forma específica según cada compuesto. Cada átomo está constituido por tres tipos de partículas fundamentales: los protones cargados positivamente, los neutrones sin carga eléctrica y los electrones los que poseen una carga eléctrica negativa. El protón y el neutrón son la combinación de otras partículas llamadas quarks, los mismos que tienen cargas fraccionarias de la del electrón esto es de ±1/3; ±2/3, aun cuando estas últimas partículas no han sido observadas experimentalmente. Los protones y los neutrones en un átomo se encuentran unidos por fuerzas nucleares y forman un esfera pequeña y muy densa denominado núcleo cuyas dimensiones son del orden de 10-15 m. Alrededor del núcleo se encuentran girando los electrones en orbitas circulares o elípticas tal como se muestra en la figura 1.4. Los electrones cargados negativamente se mantienen dentro del átomo mediante las fuerzas eléctricas de atracción ejercidas sobre ellas por el núcleo cargado positivamente. Los protones y los neutrones se mantienen dentro del núcleo atómico gracias a las fuerzas nucleares que vencen las repulsiones entre los protones. 11


Figura 11: Representación de un átomo en donde se observa los protones, neutrones y electrones.

Tabla 1: Las masas y las cargas eléctricas de cada una de estas Partícula Electrón (e) Protón (p) Neutrón (n)

Masa (kg) 9.109 x10-31 1.672 x10-27 1.674 x10-27

Carga (C) -1.602 x10-19 +1.602 x10-19 0

Propiedades de la carga eléctrica Por lo que la carga eléctrica tiene las siguientes propiedades: 1. Existen dos clases de cargas en la naturaleza, con la propiedad de que cargas diferentes se atraen y cargas iguales se repelen. 2. La fuerza entre cargas varía con el inverso del cuadrado de la distancia que las separa. 3. La carga se conserva. 4. La carga está cuantizada.

Conductores y aislantes Conductores: Son materiales que permiten el paso de la electricidad (cargas) a través de ellos. Se caracterizan por que contienen cargas que pueden moverse libremente en el material (cargas libres). 12


Conductores Poseen de 1 a 3 electrones en su capa de valencia. Cobre Oro Plata Aislantes: Se trata de materiales que no permiten el paso de la electricidad a través de ellos. En estos materiales las cargas no se pueden mover libremente. Aislantes Poseen de 5 a 8 electrones en su capa de valencia. Plástico Madera Vidrio Semiconductores: Son materiales que pueden conducir carga eléctrica bajo ciertas condiciones. Pueden cambiar de aislante a conductor y de vuelta a aislante. Constituyen la columna vertebral de todas las industrias de computadoras y aparatos electrónicos Su primer uso fue en los transistores, los chips de computadoras modernas. Poseen 4 electrones en su capa de valencia. Silicio Germanio Superconductores: Son materiales que conducen la electricidad con resistencia cero. Dichos materiales tienen que estar a muy bajas temperaturas (cercanas al cero absoluto). Tienen aplicación en la fabricación de imanes para dispositivos con los que se obtienen imágenes por resonancia magnética (MRI). Aleación niobio-titanio (4.2 K) Superconductores de alta temperatura (77.3 K) Formas de electrificar un cuerpo Carga por fricción. Cuando a un cuerpo se le dota de propiedades eléctricas se dice que ha sido electrizado o cargado. La electrización por frotamiento (véase la siguiente figura) ha permitido a través de un conjunto de experiencias fundamentales y de su interpretación de las mismas, sentar las bases de la electrostática. 13

Figure 12: Electrización por frotamiento, la fotografía muestra la frotación de una barra de caucho con un trozo de piel.


Si una barra de ámbar (de caucho o de plástico) se frota con un paño de lana, se electriza. Lo mismo sucede si una varilla de vidrio se frota con un paño de seda. Aun cuando ambas barras pueden atraer objetos ligeros, como hilos o trocitos de papel la propiedad eléctrica adquirida por frotamiento no es equivalente en ambos casos. Así puede observarse que dos barras de ámbar electrizadas se repelen entre sí (véase la figura 1-10a) y lo mismo sucede en el caso de que ambas sean de vidrio (véase la figura 1.10b). Sin embargo, la barra de ámbar es capaz de atraer a la de vidrio y viceversa (véase la figura 1.10c).

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Figura 13: (a) repulsión entre dos varillas de plástico; (b) repulsión entre dos varillas de vidrio cargadas positivamente; (c) atracción entre una varilla de vidrio cargada positivamente y una de plástico cargada negativamente.

Este tipo de experiencias llevó a W. Gilbert a distinguir, por primera vez, entre la electricidad que adquiere el vidrio y la que adquiere el ámbar. Posteriormente B. Franklin, al tratar de explicar los fenómenos eléctricos como un fluido sutil, denominó a la electricidad que aparece en el vidrio cuando éste se frota con seda, electricidad positiva y a la que aparece en el ámbar cuando éste se frota con lana, electricidad negativa. Las experiencias de electrización permitieron llegar a la conclusión de que: Cargas eléctricas de distinto signo se atraen y Cargas eléctricas de igual signo se repelen La electrización por frotamiento se explica del siguiente modo: por efecto de la fricción los electrones externos de los átomos del paño de lana son liberados y cedidos a la barra de ámbar, con lo cual ésta queda cagado negativamente y aquél positivamente. En términos análogos puede explicarse la electrización del vidrio por la seda. En cualquiera de estos fenómenos se pierde o se gana electrones, pero el número de electrones cedidos por uno de los cuerpos en contacto es igual al número de electrones aceptados por el otro, de allí que en conjunto no haya producción ni destrucción de carga. Esta es la explicación, desde la teoría atómica, del principio de conservación de la carga eléctrica.

Carga por contacto. Es posible transferir electrones de un material a otro por simple contacto. Por ejemplo, si se pone en contacto una varilla cargada con un cuerpo neutro, se transferirá la carga a este. Si el cuerpo es un buen conductor, la carga se dispersara hacia todas las partes de su superficie, debido a que las cargas del mismo tipo se repelen entre sí. Si es un mal conductor, es posible que sea necesario 15


hacer que la varilla toque varios puntos del cuerpo para obtener una distribución más o menos uniforme de la carga.

Figura 14: Electrización por contacto (a) Transferencia de carga (electrones) de la esfera neutra a la cargada; (b) Esferas cargadas separadas después de mantenerlas en contacto cierto tiempo.

Carga por inducción. Existe, no obstante, la posibilidad de electrizar un cuerpo neutro mediante otro cargado sin ponerlo en contacto con él. Se trata, en este caso, de una electrización a distancia denominada, por influencia o por inducción. Si el cuerpo cargado lo está positivamente, la parte del cuerpo neutro más próximo se cargará con electricidad negativa y la opuesta con electricidad positiva. La formación de estas dos regiones o polos de características eléctricas opuestas hace que a la electrización por influencia se la denomine también polarización eléctrica. A diferencia de la anterior, este tipo de electrización es transitoria y dura mientras el cuerpo cargado se mantenga suficientemente próximo al neutro.

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Figura 15: Falta descripcoion

Sugerencia. Ver videos de carga eléctrica partes 1 y 2. Descomposición de un vector en sus componentes y suma de vectores Primeramente definiremos ¿Qué es un vector y un escalar? Un escalar es una cantidad física que para definirla completamente solamente se requiere su magnitud (un número). Ejemplos de escalares: tiempo, temperatura, rapidez, volumen, área, corriente eléctrica, densidad, masa, etc. Un vector es una cantidad física que para quedar definirla completamente se requiere su magnitud, dirección y sentido. Ejemplos de vectores: velocidad, aceleración, desplazamiento, fuerza, campo eléctrico, campo magnético, campo gravitacional, etc. Dados dos vectores A y B como representamos, definimos la suma A + B = C de forma tal que 𝐶𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 y 𝐶𝑦 = 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦

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Es decir, para sumar dos o más vectores, el método más común es descomponer cada vector en sus componentes x y y, mediante. Dado un vector de magnitud A y ángulo θ, sus componentes son: 𝐴𝑥 = 𝐴 𝐶𝑜𝑠 (𝜃)

𝐴𝑦 = 𝐴 𝑆𝑒𝑛(𝜃)

Dado un vector de magnitud B y ángulo α, sus componentes son: 𝐵𝑥 = 𝐵 𝐶𝑜𝑠 (𝜃)

𝐵𝑦 = 𝐵 𝑆𝑒𝑛(𝜃)

La componente en x del vector resultante es: Cx = Ax + Bx La componente en y del vector resultante es: Cy = Ay + By Si se tienen varios vectores, pueden sumarse escalarmente todas las componentes en la dirección X separadamente de las componentes en Y (figura 3).

F2

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Figura 3.

Si

R

es la resultante de F1

F2

F3 se tiene entonces:

Rx

F1. Cos.

1

F2 . Cos.

2

F3 . Cos.

Ry

F1. Sen.

1

F2 . Sen.

2

F3 . Sen.

3 3

y por lo tanto la magnitud de R está dada por:

R

Rx

2

Ry

2

La dirección de la resultante es:

R

Tan

1

Ry Rx

Teniendo en cuenta el cuadrante en el que finalmente se obtenga la resultante de los vectores sumados. Ejemplos de suma de vectores. Ejemplo1. Encontrar las componentes del siguiente vector, dada su magnitud y su ángulo. y |A|=10 30º x

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Solución.

Ejemplo 2. Calcular las componentes del vector fuerza resultante debido a las fuerzas 𝐹1 = 20𝑁y 𝐹2 = 30𝑁. Además calcule la magnitud y dirección del vector resultante.

Solución.

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Ley de Coulomb Como ya se mencionó, la fuerza eléctrica entre dos partículas disminuye con el inverso del cuadrado de la distancia, tal y como sucede con la fuerza gravitacional. El hecho de que la fuerza eléctrica dependa de la distancia fue descubierto por Charles Augustin de Coulomb por medio de experimentos. Investigó la repulsión entre pequeñas esferas que había cargado por frotación. Para medir la fuerza entre las esferas utilizó una delicada balanza de torsión. Sus resultados experimentales se condensan en la ley de Coulomb: “La magnitud de la fuerza eléctrica que ejerce una partícula sobre otra partícula es directamente proporcional al producto de sus cargas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. La dirección de la fuerza sigue la línea que une las partículas”. Matemáticamente: F=k

q′q r2

Donde k es una constante de proporcionalidad. Esta fórmula no solo da como resultado la magnitud y la fuerza, sino también la dirección, si se interpreta que un valor positivo de la fuerza F como repulsión, y un valor negativo como atracción. Por ejemplo, en el caso de la fuerza que ejerce un protón sobre un electrón, las cargas son q′ = e y q = −e, y aplicando la fórmula de la ley de Coulomb se tiene: F=k

e(−e) e2 = −k r2 r2

K= Constante de Coulomb Nm2 k = 9x10 C2 9

Por tradición, esta constante se expresa en la forma más complicada, pero equivalente: k=

1 4πε0

Siendo ε0 = 8.85x10−12

C2 Nm2

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El Coulomb se define en términos de la unidad de corriente llamada Ampere (A), donde la corriente es igual a la rapidez del flujo de carga. Cuando la corriente es 1A, la cantidad de carga que fluye en un segundo es de 1C. Ejemplos de la ley de Coulomb. Ejemplo. Si la carga total positiva q1 = +1.3 x 105 C de una moneda de cobre de 3.1 g (un penny) y la carga total negativa q2 = -1.3 x 105 C se separan una distancia tal que su fuerza de atracción fuese de 1 lb (4.5 N). (a) ¿Cuál debe ser su separación? (b) ¿Cuál sería la fuerza entre las dos cargas si estuvieran separadas por 1 m?

Ejemplo Compárense las magnitudes de la fuerza gravitacional de atracción y de la fuerza eléctrica de atracción entre el electrón y el protón de un átomo de hidrogeno.

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Ejemplo. Dos partículas de tóner están separadas por 1.2 × 10−5 m, cada una tiene una carga negativa de −3.0 × 10−14 C. ¿Cuál es la fuerza eléctrica que ejercen las dos partículas entre sí? Considérese que las partículas de tóner son aproximadamente, partículas puntuales.

Ejemplo. Determine la magnitud y dirección de la fuerza eléctrica resultante en la carga q2 debido a la carga q1. Si q1 = 6µC y se encuentra en el origen y q2 = -10 µC y se encuentra en la posición x = 0.15 cm, y = 0.2 cm.

Solución.

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Principio de Superposición Si hay varias cargas puntuales q1, q2, q3… que ejercen al mismo tiempo un fuerza sobre una carga q, la fuerza neta sobre q se obtiene calculando la suma vectorial de las fuerzas individuales. F = F1 + F2 + F3… Ejercicio: Una carga de 1.3µC se coloca sobre el eje x en x = -0.5m, otra carga de 3.2µC se coloca en x=1.5 m, y una carga de 2.5µC se coloca en el origen. Determinar la magnitud y dirección sobre la carga de 2.5µC. Todas las cargas son positivas.

Ejercicio: Una carga puntual q1 = - 4.3 µC se coloca sobre el eje y en y = 0.18 m, otra carga q2 = 1.6 µC se coloca sobre el origen y una tercera carga q3 = 3.7 µC se coloca sobre el eje x en x = - 0.18. Determine la fuerza resultante sobe la carga q1. 𝑞1 = −4.6𝑥10−6 𝐶 𝑞2 = 1.6𝑥10−6 𝐶 𝑞3 = 3.7𝑥10−6 𝐶 𝑥 = −0.18𝑚 𝑦 = 0.18𝑚

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Ejercicio: Tres cargas puntuales de 2µC, 7µC y -4µC se colocan en las esquinas de un triángulo equilátero como se muestra en la figura. Calcule la magnitud y dirección de la fuerza eléctrica resultante sobre la carga de 7µC.

𝑞1 = 2𝜇𝑐 𝑞2 = 7𝜇𝑐 𝑞3 = −4𝜇𝑐 𝐹⃗ =? 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑞2 𝐿 = 0.5𝑚

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Ejercicio: Tres cargas están a lo largo del eje x como se ve en la figura. La carga positiva q 1=15µC está en x=2m y la carga positiva q2=6µC está en el origen. ¿En dónde debe colocarse una carga negativa q3 sobre el eje x de modo que al fuerza resultante sobre ella sea cero? ¿Dónde es cero la fuerza resultante?

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Ejemplo Un electroscopio simple se compone de dos pequeñas esferas de corcho recubiertas con lámina metálica; cada una pesa 1.5 x10-4 kg y están colgadas de un hilo de 10 cm de longitud. Cuando se agregan cargas eléctricas iguales a las esferas, la fuerza de repulsión eléctrica las aleja, el ángulo entre los hilos indica la magnitud de la carga eléctrica. Si al ángulo de equilibrio entre los hilos es 600 ¿Cuál es la magnitud de la carga?

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Ejemplo. Dada la configuración de cargas siguiente, calcular la fuerza resultantes sobre q1. F𝑞1 = ? q1 = -1x10-6C q2 = 3x10-6C q3 = -2x10-6C r12 = 15cm r13 = 10c θ = 30

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Ejemplo.

Dada la configuración de carga que se observan en la figura, calcular la fuerza que actúa sobre q1 si: q1 = −4x10−3 C, q2 = −2x10−4 C, q3 = 5x10−4 C.

𝑞1 DATOS: 𝑞1 = −4𝑥10−3 𝐶 𝑞2 = −2𝑥10−4 𝐶 𝑞3 = 5𝑥10−4 𝐶

10cm

𝑞2

𝑞3 10cm

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Campo eléctrico Concepto de campo eléctrico La interacción entre cargas se puede medir de otra manera. Una carga crea un campo eléctrico en la región que la rodea, y este ejerce una fuerza sobre cualquier carga que se coloque en él. El campo eléctrico está presente en cada punto del espacio independientemente de que allí exista una carga. Sin embargo, para medir el campo en determinado punto colocamos allí una carga y 30


medimos la fuerza sobre ella. Para no perturbar apreciablemente el sistema, lo que colocamos es una carga de prueba positiva q0, tan pequeña como sea posible.

Campo eléctrico A partir de la fuerza medida sobre la carga de prueba se determina el valor del campo eléctrico en ese punto. 𝐸=𝑘 La magnitud del vector campo eléctrico

𝑞 𝑟2

es la intensidad del campo eléctrico

La ley de Coulomb describe el campo eléctrico producido por una sola carga. Si existen varias cargas en una región del espacio, cada una de ellas contribuye al campo eléctrico neto. Se observa que el campo eléctrico total es la suma vectorial de las aportaciones individuales. La presencia de una carga no afecta la contribución de la otra. A esta regla se le llama principio de superposición.

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Campo eléctrico de una carga puntual

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Ley de coulomb interacción carga a carga acción o distancia

Campo eléctrico interacción carga campo carga

El campo se propaga a la velocidad de la luz 𝑐 = 3.0𝑥108 𝑚/𝑠 ≈ 300.000 𝑘𝑚/𝑠 Si una carga se mueve súbitamente, la fuerza que ejerce sobre otra carga a la distancia 𝑟 no se modifica hasta que transcurre el tiempo 𝑡 = 𝑟/𝑐 . El campo se define como: 𝐸⃗⃗ = 𝐹⃗ /𝑞0 donde 𝑞0 es una carga de prueba positiva muy pequeña sus 𝑁 unidades son 𝐸 ( 𝑐 ). Si hay más de una carga los campos se suman 𝐸⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸1 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸2 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸3 + ⋯ 𝐹

𝐸=𝑞 = 0

𝐾𝑞𝑖 𝑞0 𝑟𝑖2 𝑞0

𝐸=

𝐾𝑞𝑖 𝑟𝑖2

𝑛

𝐸=∑ 𝑖

𝐾𝑞𝑖 𝑟𝑖 ²

Si una carga se mueve súbitamente, la fuerza que ejerce 33


Campo eléctrico debido a cargas puntuales. Ejemplo: Se coloca una carga de prueba de 5nC en un punto determinado, sufre la acción de una fuerza de 2 x 10-4 N en la dirección positiva de x. a) ¿Cuál es el campo eléctrico en dicho punto? b) ¿Cuál es la fuerza que actúa en un electrón situado en dicho punto?

¿Cuál es la fuerza que actúa sobre un electrón situado en el punto donde el campo eléctrico es E = 4 x 104 N/C?

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Ejemplo: Dada la siguiente configuración de cargas

𝑞1 = 8𝑛𝐶 𝑞2 = 12𝑛𝐶 a) Encontrar el campo en 𝑃1 b) Encontrar el campo en 𝑃2 c) En qué punto 𝑃 entre 𝑞1 y 𝑞2 el campo E es cero

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Ejemplo: El átomo de hidrogeno tiene 5.3x10-11m de radio. ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico que produce el núcleo (1 protón) en ese radio?

Ejemplo: La figura que muestra una distribución aproximada de cargas, que consiste en una carga de 40C a 10km de altura y una carga de -30C a 4km de altura en la nube. ¿Calcular el campo eléctrico producido por esas dos cargas en un punto P a 10 km de altura y a una distancia horizontal de 6km a la derecha?

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Dipolos Eléctricos Un sistema de dos cargas iguales y opuestas que separadas por una pequeña distancia L se denomina dipolo eléctrico. Su intensidad y orientación se describe mediante el momento dipolar eléctrico p, o vector que apunta de la carga negativa a la positiva. Representación de un dipolo.

Líneas de Campo Eléctrico. El campo eléctrico suele representarse dibujando líneas que indiquen su dirección.

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Ejemplo. Se supone que en un átomo de hidrogeno el electrón esta momentáneamente a una distancia de 2.1x10-10m del protón. ¿Cuál es el campo eléctrico neto que producen en conjunto el protón y el electrón en un punto a la mitad de la distancia entre ellos?

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LINEAS DE FUERZA. Una buena manera de visualizar el campo eléctrico producido por cualquier distribución de cargas es trazar un diagrama de líneas de fuerza en ese punto. Concepto que fue introducido por Michael Faraday. La dirección del vector de campo eléctrico en cada punto es tangente a la línea de fuerza en ese punto.

En otras palabras, en cada punto la línea de fuerza tiene la misma dirección que el vector de campo eléctrico. Puesto que, de ordinario, la dirección del campo varía de un punto a otro, las líneas de fuerza son en general curvas. En la siguiente figura se muestran las líneas de fuerza para algunas distribuciones de carga. Se observa que cerca de una carga puntual las líneas de fuerza son radiales y van dirigidas hacia fuera si la carga es positiva o hacia la propia carga si es negativa.

En las regiones donde las líneas de fuerza están muy juntas el campo eléctrico es grande, mientras que donde están muy separadas el campo es muy pequeño. Por tanto, la densidad de 39


líneas es proporcional al campo eléctrico, hecho que se tratará en otro capítulo mediante la ley de Gauss. Además, en cualquier punto, el campo resultante solo puede tener una dirección; por tanto, por cada punto del campo pasa solo una línea de fuerza. En otras palabras: las líneas de fuerza no se cortan.

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Taller uno. 1. Dos partículas están a 3m una de otra, cada una ejerce una fuerza eléctrica de 1.0 N sobre la otra. Si una partícula tiene 10 veces la carga eléctrica de la otra. ¿Cuál es la magnitud de la carga menor? 2. De acuerdo a la siguiente figura, ¿Cuál es la fuerza resultante sobre q?

3. Determinar la fuerza que actúa sobre las cargas eléctricas q1 = 1 x 10-6 C y q2 = 2.5 x 10-6 C que se encuentra en reposo a una distancia de 5cm. 4. Sobre los extremos de un segmento AB de 1m de longitud se fijan dos cargas. Una q 1 = 4x10-6C sobre el punto A y otra q2=1x10-6C sobre el punto B. a. Ubicar una tercera carga q=2x10-6C sobre AB de modo que quede en equilibrio bajo la acción simultánea de las dos cargas dadas.

5. Dada la configuración de cargas que se observan en la figura, calcular la fuerza que actúa sobre q1. Si 𝑞1 = −4 × 10−3 𝐶, 𝑞2 = −2 × 10−4 𝐶, 𝑞3 = 5 × 10−4 𝐶.

6. La figura muestra la distribución de cargas nucleares 41


(positivas) en una molécula de HCL. Las magnitudes de estas cargas nucleares de H y CL son e y 17e, respectivamente, y la distancia entre ellas es 1.28x10-10m, ¿Cuál es la fuerza electroestática neta que ejercen esas cargas sobre un electrón que está a 5 x 10-11 m arriba del núcleo de H?

7. Dos cargas eléctricas de 3 y -8µC están separadas por dos metros. Calcular la fuerza eléctrica sobre una carga de 1 µC colocada en el punto medio del trozo que une estas cargas. 8. La figura muestra la distribución aproximada de cargas en una nube de tormenta; está formada por una carga puntual de +40 C a una altura de 10 Km, y por una carga puntual de 30 C a una altura de 4 km. ¿cuál es la fuerza que ejercen esas dos cargas sobre un electrón que está a 10 km de altura, y a una distancia de 4.0 km hacia la derecha de las cargas?

42


Taller dos 1. Se han medido campos eléctricos hasta de 3.4 × 105 𝑁/𝐶 en aviones que atraviesan nubes de tormenta ¿Cuál es la fuerza sobre un electrón expuesto a ese campo? ¿Cuál es la aceleración? 2. Se observa un electrón que atraviesa un campo eléctrico tiene una aceleración de 1.0 × 1016 𝑚/𝑠 2 en dirección 𝑥 ¿Cuál debe ser la magnitud y la dirección del campo eléctrico que produce esa aceleración? 5. En el experimento de millikan se mide la carga elemental 𝑒, observando el movimiento de pequeñas gotas de aceite en un campo eléctrico. Las gotas de aceite se cargan con una o varias cargas elementales, y si el campo eléctrico (vertical) tiene la magnitud correcta, la fuerza eléctrica sobre la gota equilibra su peso y la mantiene suspendida en el aire. Suponga que la gota de aceite de tiene un radio de 1.0 × 10−4 cm porta una sola carga elemental. ¿Qué campo eléctrico se requiere para balancear el peso? La densidad del aceite es 0.80 𝑔/𝑐𝑚3. 6. En un tubo e rayos X, se someten electrones a un campo eléctrico de 8.0 × 105 𝑁/𝐶. ¿cuál es la fuerza sobre un electrón? ¿Cuál es su aceleración? 8. Un cabello largo, tomado de la trenza de una muchacha, tiene 1.2 × 10−3 𝑔 de masa. Por una carga de 1.3 × 10−9 𝐶 distribuida a todo lo largo. Si se quisiera suspender ese cabello en el aire. ¿Qué campo eléctrico (uniforme) se requerirá? 11. El átomo de hidrogeno tiene 5.3 × 10−11 m de radio. ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico que produce el núcleo (un protón) en ese radio? 12. ¿Cuáles la intensidad del campo eléctrico en la superficie de un núcleo de uranio? El radio del núcleo es 7.4 × 10−15 𝑚, y la carga eléctrica es 92𝑒.Para fines de este problema, se puede considerar que la carga eléctrica esta concentrada en el centro. 13. La figura muestra la distribución de las cargas nucleares (carga positiva) en una molécula de 𝐾𝐵𝑟. Calcule el campo eléctrico que produce esas cargas en el centro de masa, a una distancia de 9.3 × 10−11 𝑚 del átomo de Br.

15. Si se coloca una carga de 1.0 × 10−10 𝐶 en el eje x, a 0.15 m del origen de un sistema coordenado en la figura, ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico en un punto a0.10 m arriba, en el eje y?

43


16. Tres cargas puntuales, −𝑄, 2𝑄 𝑦 − 𝑄, se distribuye sobre una línea recta, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el campo eléctrico que produce las cargas a una distancia x a la derecha de la carga central?

17. La figura muestra la distribución de cargas en una nube de tormenta. Hay una carga de 40c a una altura de 10 km, de-40C a 5.0 km y de 10 C a 2.0 km. Consideremos que esas cargas son puntuales, calcule el campo eléctrico (magnitud y dirección) que produce en una altura de 8.0 km y a 3.0 km de distancia horizontal.

44


Unidad 2. Potencial eléctrico y energía

Con el concepto de energía y potencial electrostática se podrán contestar preguntas como las siguientes: ¿Cuál es la energía potencial de un electrón que está cerca de un protón? ¿Cuál es la energía potencial electrostática por unidad de carga en puntos fuera y dentro de una esfera conductora cargada? ¿Cómo permite el conocimiento de la energía potencial electrostática calcular el campo eléctrico? ¿Cuál es el trabajo total necesario para acumular la carga en una esfera conductora? Energía potencial gravitacional 𝑈 = 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙

45


𝑊 = 𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 = 𝐹𝑑 𝑊 = Δ𝑈 = 𝑈𝑓 − 𝑈0 𝑈=𝑚𝑔ℎ Las unidades del trabajo y la energía son las mismas y se miden en joule (J). El trabajo requerido para llevar la masa 𝑚 a una altura ℎ es; dado que la ℎ inicial es 0 la energía potencial 𝑈0 es 0 𝑊 = Δ𝑈 = 𝑈𝑓 − 𝑈0 𝑊 = 𝑚𝑔ℎ − 0 𝑊 = 𝑚𝑔ℎ la energía se conserva 𝐸𝑓 = 𝐸0 Es posible transformar la energía en uno u otro tipo de energías. Para nuestro ejemplo la energía potencial es posible transformarla en energía cinetica o energía de movimiento 𝐸𝑐 = 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑐𝑖𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎 1 𝐸𝑐 = 𝑚𝑣 2 2 Si se libera el objeto de masa 𝑚 colocado a la altura ℎ toda la energía potencial se va a convertir en energía cinética cuando este llegue al suelo 𝑚𝑔ℎ =

1 𝑚𝑣² 2

A partir de la ecuación anterior es posible conocer la velocidad con la que el objeto llega al suelo 𝑣 = √2𝑔ℎ

Energía potencial electrostática. W=? Trabajo para mover de 𝑦1 a 𝑦2 W= F d W= E q Y 𝑊12 = Trabajo para mover la carga de 𝑌1 a 𝑌2 46


𝑊12 = 𝑊2 − 𝑊1 W=𝐸𝑞𝑌2 − 𝐸𝑞𝑌1 = 𝐸𝑞∆𝑌 Dada la similitud de la expresión W= E q Y con la energía potencial gravitacional podemos definir a la expresión E q Y como energía potencial electrostática U=E q Y; y como W está dado por la expresión W=𝐸𝑞𝑌2 − 𝐸𝑞𝑌1 = 𝐸𝑞∆𝑌 entonces el trabajo está dado por 𝑊 = ∆𝑈 = 𝑊 = 𝑈𝐹 − 𝑈0 . 𝑊𝑇 Representa el trabajo total requerido para la trayectoria mostrada en la figura partiendo de P W = 𝑊1 + 𝑊2 + 𝑊3 + 𝑊4

𝑊2 = 0

𝑊3 = −𝑊1 𝑊𝑇 = 0 El trabajo puede ser realizado sobre la carga 𝑞 (𝑊1 ) o la carga q puede realizar un trabajo 𝑊3 , en este caso definimos el trabajo positivo cuando un agente externo realiza trabajo y negativo cuando el objeto externo es el que realiza el trabajo.

El trabajo a lo largo de una trayectoria cerrada es 0, por lo tanto el cambio de energía potencial es 0 y es igual al trabajo ∆𝑈 = 0 = 𝑊 Se puede definir el potencial electrostático o voltaje (v) como la energía potencial eléctrica (U) dividida entre la carga (q) 𝑉=

𝑢 𝑞

El voltaje se mide en volts (v) Para nuestro ejemplo de placas paralelas donde U es igual a qEy. El potencial es igual a 𝑉=

𝑞𝐸𝑦 = 𝐸𝑦 𝑞 47


Si tenemos un ∆𝑈 tenemos un ∆𝑉 𝐸=

𝑉 𝑉 ( ) 𝑦 𝑚

∆𝑈 ∆𝑉 = ( ) 𝑞 Algunos ejemplos potenciales y diferenciales de potenciales. Ejemplo: Supóngase que cerca del suelo, directamente de debajo de una nube de tormenta, el campo 𝑉

eléctrico tiene una magnitud de 2 𝑥 104 𝑚 y se dirige hacia arriba. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre el suelo y un punto en el aire a 50m sobre el suelo? ¿Cuál es el signo de la carga eléctrica de la nube?

La carga de la nube es negativa Energía potencial eléctrica de un sistema formado por 2 cargas

La energía potencial eléctrica es 𝑞0 𝑞1 𝑈=𝐾 𝑟 Si dos cargas son de igual signo la energía es positiva. Si son de signo contrario la energía es negativa.

48


El potencial electrostático producido por la carga 𝑞 es: 𝑉=

𝑈 𝐾𝑞1 𝑞0 𝐾𝑞1 = = 𝑞0 𝑟 𝑞0 𝑟

A esta potencia se le llama potencial de coulomb. La ecuación anterior no solo es válido para cargas puntuales sino también para objetos cargados con simetría esférica Resumen 𝑉=

𝐾𝑞1 𝐾𝑞1 𝑘𝑞1 1 𝑉 ∴𝐸= 2 =( )( ) = 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 𝑉 = 𝐸𝑟 ó 𝑉 = 𝐸𝑦

𝐹= 𝑈=

𝐾𝑞1 𝑞2 𝐾𝑞1 = ( 2 ) (𝑞2 ) = 𝐸𝑞2 2 𝑟 𝑟

𝐾𝑞1 𝑞2 𝐾𝑞1 𝑈 =( ) (𝑞2 ) = 𝑉𝑞2 ∴ 𝑉 = 𝑟 𝑟 𝑞

Ejemplo El electrón de un átomo de hidrogeno está a 5.3𝑥10−4 𝑚 del proton. El protón es una esfera pequeña de carga e igual 1.6𝑥10−19 𝐶 a) ¿Cuál es el potencial electrostático generado por el protón a esa distancia?

b) ¿Cuál es la energía potencial del electrón?

c) ¿Cuál es el campo producido por el protón a esa distancia?

d) ¿Cuál es la fuerza que siente el electrón?

49


e) ¿Cuál es la energía eléctrica del sistema de cargas?

Ejemplo: Un electrón está en reposo, al principio a una distancia muy grande del protón. Bajo la influencia de la atracción eléctrica, el protón se mueve hacia el electrón, el cual permanece en reposo ¿Cuál es la rapidez del electrón cuando ha llegado hasta 5.3𝑥10−11 𝑚 del protón?

Ejemplo. El electrón de un átomo de hidrogeno está a 5.3 × 10−11 m del protón. El protón es una pequeña esfera de carga 𝑞 ′ = 𝑒 = 1.6 × 10−19 C ¿Cuál es el potencial electrostático generado por el protón a esa distancia?, ¿Cuál es la energía potencial del electrón?) Solución:

50


Ejemplo. Un electrón esta en reposo, al principio, a una distancia muy grande del protón. Bajo la influencia de la atracción eléctrica, el electrón se mueve hacia el protón, el cual permanece aproximadamente en reposo. ¿Cuál es la rapidez del electrón cuando ha llegado hasta 5.3 × 10−11 m del protón? Solución:

51


Preguntas de revisión (si el tiempo lo permite): 1.- Supóngase que el potencial de una carga puntual es 100 V a 1 m de ella, ¿Cual es el potencial a 10?, ¿y a 100m? R = ya que el potencial va como 1/r entonces a 10 m V = 100/10 = 10 V. Y a 100 m es: V = 100/100 = 1 V 2.- Una carga puntual q se mueve en el campo eléctrico de una carga puntual estacionara q’. Si las cargas tienen el mismo signo y r aumenta, la velocidad de q: a) Aumenta

b) disminuye

c) no cambiara.

Como las cargas tienen el mismo signo 𝑈 = 𝐾 1

𝑞𝑞 ′ 𝑟

es positiva. Cuando “r” aumenta U decrece y

para que 𝐾 + 𝑈 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 entonces 𝐾 = 2 𝑚𝑣 2 debe aumentar. Por lo anterior, “v” aumenta. Potencial en conductores. El campo eléctrico en un cuerpo conductor en equilibrio electrostático es cero. Lo anterior implica que la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera dentro de un conductor es cero. Por lo tanto, todos los puntos dentro de un cuerpo conductor tiene el mismo potencial electrostático. La tierra es un conductor, todos los puntos de la superficie terrestre tiene el mismo potencial electrostático. Generalmente se adopta la convención de que el potencial de la superficie terrestre es cero, V=0. Se dice que la superficie terrestre es la tierra eléctrica, y que todo conductor conectado a ella esta aterrizado.

Tierra v1>v2, v1=v2 no hay flujo de carga Inicialmente vacío cuando

El potencial en cero

𝑉1 cuan

𝑉2

h1= h2 No hay flujo de agua

52


La ecuación para calcular el potencial eléctrico en una carga puntual es válida para una esfera. En la siguiente figura se muestra el potencial en una esfera de radio R conductora y en puntos fuera de ella a una distancia r. 𝑉=

𝐾𝑄

𝑉=

𝐾𝑄

𝑅

𝑟

= 𝐶𝑡𝑒

En la superficie de la tierra.

Fuera de la esfera (cuando disminuye)

V

𝑉=

r

Q

𝐾𝑄 = 𝐶𝑡𝑒 𝑅

𝑉=

R

R

𝐾𝑄 𝑟

r

Para una esfera hueca se obtiene el mismo resultado

Teorema: Dentro de una cavidad vacía y cerrada, dentro de un conductor homogéneo, el campo eléctrico es exactamente cero. Superficie equipotencial Se dice que una superficie es equipotencial cuando todos los puntos de la misma están al mismo potencial. Las siguientes figuras muestran superficies equipotenciales

53


𝐴 𝐸 =0

𝑑𝑟 𝐵

El campo electrico siempre es perpendicular a la superficie equipotenciales. El campo electrico se debe a un cambio de potencial entre 2 puntos de la superficie ∆𝑉 dV = ∆𝑟→0 ∆𝑟 dr

𝐸 = lim si

𝑑𝑣 =0=𝐸=0 𝑑𝑟 La derivada de V con respecto a r es la pendiente. Cuando la pendiente es 0 el campo es 0. Sobre la superficie equipotencial no se requiere energía para mover una carga sobre la superficie equipotencial (por ejemplo de A a B mostrado en la figura). (Recordar la discusión anterior del movimiento de una carga en una superficie cerrada).

54


55


CAPACITORES

Todo arreglo de conductores que se usa para almacenar carga eléctrica se llama capacitor.

El arreglo mostrado en la figura forma un capacitor. Notese que los conductores tienen cargas iguales 𝑄 pero de signo contrario como debe hacerse trabajando para depositar cargas en el conductor, el capacitor también almacena energía potencial eléctrico, almacenar carga eléctrica. Podemos decir que la energía almacenada se refleja en el campo eléctrico, esto es la energía se almacena en forma de campo eléctrico. La siguiente figura muestra un capacitor de placas paralelas

56


A mayor carga almacenada en un conductor. El campo será más grande y dado que el campo está relacionado con el potencial (𝐸 = 𝑉𝑌) por consecuencia a mayor carga más potencial. La carga es proporcional al potencial 𝑄 ∝ 𝑉. Dicha constante de proporcionalidad se llama capacitancia 𝐶 y su unidad de medida es el Faraday. 𝑄=𝐶𝑉 𝑄 𝐶= 𝑉 La capacitancia es grande si el conductor es capaz de almacenar una gran cantidad de carga y en consecuencia una gran cantidad de energía. De manera similar a un recipiente de agua que puede almacenar una gran cantidad de agua, pero así como el recipiente de agua no tiene que estar lleno, para decir que tiene una capacidad de llenado. De la misma manera un capacitor no tiene que estar lleno de carga eléctrica para decir que tiene capacitancia. La capacitancia de conductor esférico es

𝑄 𝑄 𝑟 1 = = = 1 𝑉 𝐾𝑄 𝑘 𝑟 𝑎𝜋𝜖0 𝐶 = 4𝜋𝜖0 𝑟 𝐶=

Ejemplo: La tierra y los oceanos son conductores y en consecuencia se puede considerar que la tierra es una esfera conductora. ¿Cuál es su capacitancia?

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Ejemplo Un capacitor de placas paralelas esta formado por 2 bandas de hoja de aluminio, con 0.20 𝑚2 de area, separados por una distancias 0.1 𝑚𝑚 el espacio entre las hojas esta vacio. Las 2 bandas estan conectadas a las terminales de una bateria que produce una diferencia de potencial de 200 𝑉 entre ellas. a) ¿Cuál es la capacitancia del capacitor? b) ¿Cuál es la carga electrica entre cada placa ? c) ¿Cuál es la intensidad del campo electrico entre las placas?

58


Circuitos con capacitores capacitores en paralelo ¿Qué capasitancia unica 𝐶𝑒𝑞 equivale a la de esta combinacion?

La diferencia de potencial en cada capacitor de una disposición en paralelo es la misma. 𝑞 𝑉 𝑞 = 𝐶𝑉 𝑞1 = 𝐶𝑉 𝑞2 = 𝐶2 𝑉 𝑞3 = 𝐶3 𝑉 𝐶=

La carga total 𝑞𝑡 de la combinación es: 𝑞𝑡 𝑞𝑡 𝑞𝑡 𝑞𝑡

= 𝑞1 + 𝑞2 + 𝑞3 = 𝐶1 𝑉 + 𝐶2 𝑉 + 𝐶3 𝑉 = 𝑉(𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 ) = 𝐶𝑒𝑎 𝑉

para que lo anterior sea valido 𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 … .. Capacitores en serie

¿En el circuito anterior cual es la capacitancia equivalente?

Nota: La magnitud de la carga 𝑞, para capacitores es conectados en serie debe ser igual en cada una de la placas. 𝑞 𝑉 𝑞 𝑉= 𝐶 𝑉𝑇 = 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 𝑞 𝑞 𝑞 𝑉𝑇 = + + 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶=

59


1 1 1 𝑉𝑇 = 𝑞 ( + + ) 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝑞 𝑉𝑇 = 𝐶𝑇 1 1 1 𝑞 𝑞( + + ) = 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶𝑇 1 𝐶𝑇 = 1 1 1 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 si solo tenemos 2 capacitores en serie la ecuación anterior se reduce a: 1 1 𝐶1 𝐶2 𝐶𝑒𝑞 = = = 1 1 𝐶2 + 𝐶1 𝐶1 + 𝐶2 𝐶1 + 𝐶2 𝐶1 𝐶2 Ejemplo. Para le circuito anterior se tiene que 𝐶1 = 8 𝜇𝐹 𝐶2 = 6 𝜇𝐹 𝐶3 = 10 𝜇𝐹 𝑞 = 6.0𝑥10−6 𝐹 𝐶𝑒𝑞 =? 𝑉1 =? 𝑉2 =? 𝑉3 =?

60


Funciones de los capacitores

Estableces configuraciones de campos eléctricos que se requieran para varios propósitos Estudiar el comportamiento de materiales dieléctricos cuando se colocan en un campo eléctrico Almacenar energía eléctrica en el campo eléctrico entre las placas del capacitor (Dispositivos útiles para el almacenamiento de energía) Almacenar carga. Para reducir las fluctuaciones de voltaje en las fuentes de potencia electrónicas Para transmitir señales pulsadas Para generar o detectar oscilaciones electromagnéticas en las frecuencias de radio Para proveer retrasos temporales electrónicos Capacitancia La capacitancia está dada por:

C

Q V

0

d

A

- Solo para capacitares de placas paralelas

Ejemplo. Las placas paralelas de un capacitor de aire están separadas 1.0 mm ¿Cuál debe ser el área de sus placas para que la capacitancia se de 1F?

61


Capacitores y dieléctricos Todo arreglo de conductores que se usa para almacenar carga eléctrica se llama capacitor. Como debe hacerse trabajo para depositar cargas en el conductor, el capacitor también almacena energía potencial eléctrica, al almacenar carga eléctrica. Los capacitores tienen muchas aplicaciones; son parte de los circuitos de radios, reproductores de CD, computadoras, sistema de ignición automotriz, etc. Dos conductores aislados con cagas iguales y opuestas forman un capacitor. Como se muestra en la siguiente figura.

+ Q

-Q

Una esfera aislada con carga Q y radio R forman un capacitor 62


+++ +++ + +

Un conductor que se usa para almacenar carga eléctrica es un capacitor

1 Q 4 0 R

V

Q es proporcional a V, esta proporcionalidad entre Q y V es válida en general para cualquier conductor de forma arbitraria. La carga en el conductor produce un campo eléctrico proporcional a la cantidad de carga: El doble de carga produce el doble de campo eléctrico. El campo eléctrico produce un potencial directamente proporcional al campo; el doble de intensidad de campo produce el doble de potencial ( V= - Ey ); por consiguiente, carga y potencial son proporcionales. Q= CV o C

Q V

Donde C es la corriente de proporcionalidad. Esa constante se llama capacitancia del conductor. La capacitancia es grande si el conductor es capaz de almacenar una gran cantidad de carga a bajo potencial. La capacitancia de un conductor esférico es:

C

Q V

Q 1 Q 4 0 R

4

0

R

La capacitancia de la esfera aumenta con su radio. El valor de la capacitancia solo depende de las propiedades geométricas del conductor y no de algún valor particular de Q o V. La unidad SI de capacitancia es el farad (F). 1 farad

1F

1

coulomb Volt

1

C V 63


Esta unidad de capacitancia es bastante grande, en la práctica se prefiere usar el microfarad y el picofarad.

1 F 10 6 F y 1 pF 10 12 F 0

Estas unidades para

0

8.85 x10

12

C2 N m2

8.85 x10

12

F m

son las que aparecen en las tablas físicas.

Ejemplo. ¿Cuál es la capacitancia de una esfera metálica aislada de 20 cm de radio? Solución:

Ejemplo. La tierra y los océanos son conductores y en consecuencia se puede considerar que la tierra es una esfera conductora, ¿Cuál es su capacitancia? Solución: El radio terrestre es 6.4 10 6 m

64


Ejemplo. Un capacitor de placas paralelas está formado por dos bandas de hoja de aluminio, con 0.20 m 2 de área, separada por una distancia de 0.1mm. El espacio entre las hojas está vacío. Las dos bandas están conectadas a las terminales de una batería que produce una diferencia de potencial de 200v entre ellos. ¿Cuál es la capacitancia del capacitor? ¿Cuál es la carga eléctrica en cada placa? ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico entre las placas? Solución:

65


La Física en la práctica Micrófono de condensador.

Cuando una onda sonora choca con el diafragma, las fluctuaciones periódicas de presión de aire empujan y tiran alternativamente del diafragma acercándolo y alejándolo de la placa rígida. El cambio de distancia entre las placas produce un cambio en la capacitancia. C

V

A d 0

Qd 0A V 0A d

Q

C

Q

C

Q V A V d 0

A d 0

Como las placas están conectadas a una batería que mantiene una diferencia de potencial entre ellas, el cambio de capacitancia produce un cambio en la carga en las placas y esta a su vez una corriente eléctrica. 66


Entonces el micrófono de capacitor transforma una señal sonora en una señal eléctrica que se puede enviar a un amplificador y de allí a una grabadora de cinta o a un digitalizador (se usa en estudios de grabación y teléfonos). Preguntas de revisión (si el tiempo lo permite) 1 ¿Es válida la ecuación C

A para un capacitor con placas cuadradas paralelas? ¿ Y para d 0

placas rectangulares? ¿Y para placas circulares R. Si a las tres: Mientras la separación entre las placas sea pequeña en comparación con las dimensiones laterales, los campos marginales serán pequeños y no importa la forma que determine el área A de la ecuación. 2 La capacitancia de un capacitor es 1pF, y la de otro es 3pF. Si ambos se cargan con 6 x10 ¿Cuál tiene la mayor diferencia de potencial?

12

C,

R. Con una menor capacitancia es mucho más difícil almacenar la misma cantidad de carga; el capacitor de 1pF es el que requiere la mayor diferencia de potencial Q

C V

V

Q C

3. La capacitancia de un capacitor de placas paralelas ¿Aumenta o disminuye si se incrementa la distancia entre las placas ¿Y si se incrementa el área de las placas? R. C

A Al aumentar d la C disminuye, mientras que al aumentar A, C aumenta. d 0

4. Suponga que, en lugar de guardar cantidades iguales de carga de signo contrario en las placas de un capacitor de placas paralelas, se trata de almacenar cargas iguales del mismo signo, por ejemplo positivo en ambas placas. En ese caso ¿La capacitancia seguirá definiéndose con la ecuación C

A ? d 0

R. No. Con cargas de un mismo signo el par de placas se parece a un conductor aislado

+++++ +++++ + +++++ + + +++++

+++++ +++++ +++++ ------67


Ejemplo: Las placas de un capacitor de placas paralelas miden 10cm x 10cm y su separación es de 2.0mm. Si se quisiera construir un capacitor de 5.0cm x 5.0cm ¿Qué separación de placas se necesitaría?

Combinación de capacitores En las aplicaciones con frecuencia se conectan varios capacitores juntos. Las formas de conexión más simples son en serie y paralelo. Capacitores en Paralelo

a v b

q1

q2

q3

c1

c2

c3

¿Qué capacitancia única C equivale a la de esta combinación? La diferencia de potencial en cada capacitor de una disposición en paralelo es la misma q1

C1V ; q2

C2V y

q3 C3V

La carga total de q de la combinación es:

q q1 q2 q3 q (c1 c2 c3 )V 68


La capacitancia equivalente C es: C

q V

C1

C2

C3

Las capacitancias de capacitores en paralelo se suman

Capacitores en Serie

c1

c2

c3

-q1 +q1 v ¿Cuál es la capacitancia equivalente? La magnitud de la carga q para capacitores conectados en serie debe ser igual en cada una de las placas. Q=CV

V1

q , V2 C1

q , V3 C2

q C3

La diferencia de potencial de la combinación en serie es:

V V1 V2 V3 V

q(

1 C1

1 C2

1 ) C3

La capacitancia equivalente es:

69


C

q V

1 1 C2

1 C1

1 C3

O bien

1 C

1 C1

1 C2

1 C3

Nota: Si solo son dos capacitores:

1 C

1 C1

1 C

C1 C 2 C1C 2

C

1 C2

C1C 2 C1 C 2

Energía almacenada en un campo electroestático U

1 2

2 0

Si en un punto del espacio (vacío) existe un campo eléctrico E, puede pensarse que en ese punto esta almacenada una cantidad de energía por unidad de volumen 𝑢. Para un capacitor la energía almacenada es: U

1 CV 2 2

Ejemplo. Un capacitor C1 se carga hasta una diferencia de potencia V. entonces se desconecta la batería de carga y el capacitor se conecta como se muestra en la figura a otro capacitor descarga C 2 . (a) ¿Cuál es la diferencia de potencial final V de la combinación? Solución:

70


En la instalación de ignición (NIF de National Ignition Facility) de Livermore California, se enfocan puntos intensos de luz láser, de 192 láseres y se combinan para alcanzar las densidades de energía extremadamente altas que se requieren en la fusión nuclear. Ejemplo. Cada uno de los capacitores avanzados de la instalación nacional de ignición (EUA) tiene 300 f de capacitancia (ver figura). Cada uno de los 192 amplificadores láser está activado por un banco de 20 de estos capacitores conectados en paralelo, ¿Cuál es la capacitancia total de cada banco? ¿Cuál es la suma de las capacitancias de los 192 bancos de todo el sistema de potencia láser?

71


Solución:

Ejemplo.

6.0μ

4.0μ

4.0μ

Encontrar la capacitancia total de Solución:

72


Ejemplo. Un método para generar alto voltaje es tomar una gran cantidad de capacitores, cargarlos estando conectados en paralelo y entonces conectarlos en serie. Se toman 140 capacitores de 0.5 f y se conectan en paralelo con una batería de 9.0v. Una vez que están completamente cargados se desconectan y se vuelven a conectar en serie (sin la batería) ¿Cuál es la diferencia de potencial a través de esta combinación en serie? ¿Cuánta carga entregarían si se unen las terminales externas de los capacitores primero y último de la serie? Solución.

+Q -Q C

+Q -Q C

+Q -Q C

fuente

Dieléctricos. El espacio entre las placas de los capacitores suele estar lleno con un aislante eléctrico, o dieléctrico. El dieléctrico cambia el campo eléctrico de una manera drástica y reduce la intensidad del campo eléctrico. 73


Estas cargas generan un campo eléctrico que se opone al campo eléctrico originalmente aplicado y en consecuencia reducen el campo original. 74


En un dieléctrico lineal, la cantidad en que el dieléctrico reduce la intensidad del campo eléctrico se puede caracterizar por la constante dieléctrica K (Kappa), que es un numero adimensional. 1 Elibre , donde K > 1 K

E

Constantes dieléctricas de algunos materiales: Material

K

Vacío

1

Aire

1.00054

Aceite de transformador

3

Nailon

3.5

Papel

4

Vidrio

6

Porcelana

7

Agua destilada

80

Titanio de estroncio

320

La presencia del dieléctrico reduce la diferencia de potencial en un factor K V

1 V0 K

V0 = Diferencia de potencial sin dieléctrico. En consecuencia la presencia del dieléctrico aumenta la capacitancia en un factor de K:

C

Q V

K

Q o simplemente C KC0 V0

75


C0

Capacitancia sin dieléctrico. El dieléctrico puede evitar un rompimiento eléctrico en el

espacio entre las placas. Si el dieléctrico es aire se produce una chispa entre las placas, cuando el campo eléctrico

3 10 6

V y el capacitor se descarga espontáneamente. m

El campo máximo que puede tolerar un dieléctrico se llama intensidad eléctrica (o fuerza dieléctrica) Ejemplo. Los capacitores de 300 f de la instalación nacional de ignición están formados por dos bandas de lámina metálicas, con un área efectiva de placa paralela de 123m 2 . Las placas están separadas por una capa de dieléctrico de polipropileno de 8.0 x10 6 m de espesor ¿Cuál es la corriente dieléctrica? Si se aplica una diferencia de potencial de 24KV a cada capacitor ¿Cuál es la magnitud de la carga libre en cada placa? ¿Cuál es el campo eléctrico en el dieléctrico? Solución:

76


TALLER 1 Problemas del capítulo 25 (Ohanian), página 819 1. La diferencia de potencial eléctrico entre los postes positivo y negativo de un acumulador de automóvil es de 12 volts. Para cargar totalmente el acumulador, el cargador debe introducir +2.0 × 105 coulombs, desde la terminal negativa hasta la terminal positiva. ¿Cuánto trabajo debe efectuar ese cargador durante el proceso? 2. Una batería ordinaria de linterna sorda tiene una diferencia de potencial de 1.5 v entre sus terminales positiva y negativa. ¿Cuánto trabajo debe efectuarse para transportar un electrón desde la terminal positiva hasta la terminal negativa? 3. En días de buen tiempo, el campo eléctrico terrestre es 100 V/m, aproximadamente, y se dirige verticalmente hacia abajo (comparece con el problema 4 del capítulo 23). ¿Cuál es la diferencia de potencial eléctrico entre el suelo y un avión que vuela a 600 m? ¿Cuál es la diferencia de potencial entre el suelo y la punta de la torre Eiffel? Considérese que el suelo es un conductor plano. 4. Un protón es acelerado desde el reposo, a través de un potencial de 2.5 × 105 V. ¿Cuál es su rapidez final? 5. En el acelerador lineal de Stanford (SLAC, de Stanford Linear Accelerator), los electrones son acelerados desde una energía de 0 eV hasta 20 × 109 eV, al viajar dentro de un tubo recto, al vacio, de 1600 m de longitud (ver figura). La aceleración se debe a un intenso campo eléctrico que impulsa a los electrones. Supóngase que el campo es uniforme. ¿Cuál debe ser su intensidad?

Tubo del haz en el acelerador lineal Stanford (SLAC) 6. La diferencia de potencial entre las dos terminales de un acumulador de automóvil es 12 V. Supóngase que se coloca este acumulador en un espacio vacío, y que sueltan un electrón en un punto cercano a la terminal negativa del acumulador. Entonces, el electrón será alejado, debido a la fuerza eléctrica, y se moverá en cierta dirección. 77


a) Si el electrón choca con el poste positivo del acumulador ¿cuál será su rapidez al chocar? b) Si en lugar de ello el electrón se aleja hasta el infinito ¿cuál será su rapidez terminal? 7. La abertura entre los electrodos de un bujía de automóvil es 0.64 mm. Para producir un campo eléctrico de 3.0 × 106 V/m, que es lo que se requiere para producir una chispa eléctrica, ¿qué diferencia de potencial mínima debe usted aplicar a la bujía? 8. Un electrón en un tubo de neón es acelerado desde el reposo a través de un potencial de 2000 V. ¿Qué rapidez alcanza el electrón? 9. Se deposita una carga de 2.0 × 10−12 C en una esfera de corcho pequeña. ¿Cuál es el potencial electrostático a 30 cm de la esfera? ¿Y a 60 cm? 10. En un calentador de haz de electrones, los electrones en reposo cerca de un filamento de tungsteno se aceleran hacia un blanco metálico, mediante un gran potencial electrostático. Si los electrones chocan con un blanco que van a calentar a una velocidad de 1.8 × 107 m/s, ¿cuál es la diferencia de potencial entre el blanco y el filamento? 11. Un electrón está al principio a una distancia de 𝑟0 = 4.3 × 10−9 m de un protón, y se aleja directamente del mismo a una rapidez de 4.0 × 105 m/s. ¿Cuál es su rapidez cuando está muy lejos del protón?

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TALLER 2 Problemas del capítulo 26 (Ohanian), página 849 1. Hay dos esferas metálicas aisladas, una tiene radio R y la otra tiene radio 3R. si ambas esferas están al mismo potencial. ¿Cuál es la relación de sus cargas? Si ambas esferas tienen la misma carga ¿Cuál es su relación de sus potenciales? 2. El colector de una máquina electrónica es una esfera metálica de 18 cm de radio. a) ¿Cuál es la capacidad de esta esfera? b) ¿Cuántos coulombs de carga deben colocar en la esfera para elevar su potencial a 2.0 × 105 V? 3. La cabeza humana es (aproximadamente) una esfera conductora de aproximadamente 10cm de radio. ¿Cuál es su capacitancia? ¿Cuál será la carga si, mediante una maquina electrostática eleva el potencial de ella (y de su cuerpo) a 100 000 V? 4. Un capacitor consta de una esfera de metal de 5.0 cm de radio y está colocado en el centro de un cascaron delgado de metal de 12 cm de radio. El espacio entre ellos este vacío. ¿Cuál es la capacitancia? 5. Un capacitor consta de dos discos conductores paralelos de 20 cm de radio, separados por una distancia de 1.0 mm. ¿Cuál es la capacitancia? ¿Cuántas cargas almacenara este capacitor, si se conecta a un acumulador de 12 v? 6. ¿Cuál es el campo eléctrico en un capacitor de 3.0µF con placas paralelas de 15𝑚2 cargado a 4.4 volts? 7. Un capacitor de 4.00 µF se carga con una batería de 9.00 volt. ¿Cuántos electrones deben moverse de la placa negativa a la placa positiva del capacitor para invertir el campo eléctrico dentro del capacitor? 9. Un capacitor variable de placas paralelas tiene una separación entre placas fija de 0.50 mm; pero puede cambiarse el área de las placas moviendo una de ellas. Si la capacidad puede variar desde 10.0pF hasta 120 pF. ¿Cuáles son las áreas traslapadas correspondientes, mínimas y máximas, de las placas? 11. Algunos aparatos eléctricos inalámbricos y móviles modernos son “supercapasitores” con valor de capacitancia extremadamente grandes. ¿Cuántas cargas se almacena en un supercapasitor de 50.0F a una diferencia de potencia de 2.50 V? 12. La soldadora pateadora usa la descarga repentina de un capacitor grande para fundir y unir metales. Una puntea dora usa un capacitor de 51 mF a 250 V de diferencia de potencial. ¿Cuánta carga almacena? 13. Las propiedades electrónicas de las superficies se estudian a veces usando un microscopio de barrido de capacitancia, en el que se mueve un sensor sobre una superficie, que funciona como una placa de capacitor; la otra placa es la porción de superficie abajo del sensor, Si el área efectiva de placa es 200nm x 200nm, y el sensor 79


esta a20nm de la superficie, ¿Cuál es la capacidad? ¿Cuánta carga hay en el capacitor cuando se aplica un voltaje de 0.10V entre sensor y superficie? 14. En muchos teclados de computadora, los interruptores bajo las teclas constan de pequeños capacitores de placas paralelas (véase en la figura). La tecla esta fija en la placa superior, que es móvil. Cuando se oprime la tecla, se oprime la placa superior acercándola a la placa inferior, alterando la separación 𝑑 entre placas y la capacitancia. El capacitor está conectado a un circuito externo que mantiene una diferencia de potencial ∆𝑉 constante a atreves de las placas. Entonces, el cambio de capacitancia manda un impulso de carga, desde el capacitor hasta el circuito de la computadora. Supongan que la separación inicial de las placas es 5.0 mm, y que la capacitancia inicial es 6.0 × 10−13 F. La separación final de la placa (con la tecla oprimida a fondo) es 0.20 mm. La diferencia de potencial es constante, 8.0V. ¿Cuál es el cambio de capacitancia al oprimir la tecla? ¿Cuál es la cantidad de carga eléctrica que sale del capacitor hacia el circuito de la computadora?

16. ¿Cuál es la capacidad combinada cuando se conecta en paralelo tres capacitores, de 3.0, 5.0 y 7.5µF? ¿Cuál es la capacitancia combinada si se conecta en serie? 17. Si se conecta tres capacitores cuya capacitancia son 𝐶1 = 5.0𝜇𝐹, 𝐶2 = 3.0 𝜇𝐹, 𝐶3 = 8.0 𝜇𝐹, como se muestra en la figura. ¿Cuál es la capacitancia combinada?

18. Dos capacitores de 5.0 𝜇𝐹𝑦 8.0 𝜇𝐹 se conecta en serie a una batería de 24V. ¿Cuál es la diferencia de potencial a atreves de cada capacitor? 19. ¿Cuál es la carga total almacenada en los tres capacitores conectados en una batería de 30V, como muestra la figura?

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20. Seis capacitores idénticos, con capacitancia C cada uno, se conecta como muestra la figura. ¿Cuál es la capacitancia total de la combinación?

21. Seis capacitores idénticos, con capacitancia C cada uno, se conecta como muestra la figura. ¿Cuál es la capacitancia total de la combinación?

22. Seis capacitores se conectan como indica la figura ¿Cuál es la capacidad total de esta combinación?

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Unidad 3. Principios de Circuitos Eléctricos

Corrientes eléctricas y Ley de Ohm La corriente eléctrica

Cuando un conductor se conecta con las dos terminales de un acumula o generador, las cargas eléctricas son impulsadas de un extremo del alambre al otro, por el campo eléctrico que existe a lao largo y dentro del alambre. Dicho campo está dado por: 𝐸=

𝛥𝑉 𝑙

Δ𝑉 = 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑠𝑢𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑟 Este campo eléctrico produce un flujo de carga o corriente eléctrica de uno de los extremos del alambre al otro. Suponga que en un tiempo ∆𝑡, pasa una cantidad de carga ∆𝑄 por un punto determinado del alambre. La corriente eléctrica se define como la carga que pasa dividida entre el tiempo: 𝐼=

𝛥𝑄 𝛥𝑡 82


𝐼=

Si el flujo no es constante

𝑑𝑄 𝑑𝑡

La unidad SI de la corriente es el ampere (A); es el flujo de carga de un Coulomb por segundo 1 𝐴𝑚𝑝𝑒𝑟𝑒 = 1𝐴 = 1

𝐶 𝑆

En los conductores metálicos, los portadores de carga son electrones. En los electrólitos, como el agua salada, los portadores de carga son iones positivos, iones negativos o ambos. Ejemplo: Cuantos electrones circulan por cierta sección transversal, si la corriente que pasa por dicha sección es de un ampere.

Ejemplo: En un faro de automóvil pasa por el filamento del bulbo una corriente de 8 A. ¿Cuánta carga eléctrica para por el filamento en un minuto? ¿Cuántos electrones? Sol.

Ejemplo: Los superconductores pueden conducir grandes corriente sin, oposición, pero para evitar daños, esas corrientes deben cambiar en forma gradual. Por ejemplo, el suministro eléctrico a un superconductor comienza desde cero en el momento t = 0 y aumenta 𝐴 continuamente al paso del tiempo con una razón constante de 0.080 𝑠 . ¿Cuánto tarda la corriente en alcanzar el valor de 60A? En el instante en que la corriente llega a 60 A, ¿Cuánta carga total ha pasado por el superconductor? Solución.

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Sentido real y convencional de la corriente eléctrica.

Opcionales. Preguntas de revisión. En un relámpago, la corriente eléctrica tiene la dirección hacia arriba, del suelo hacia la nube de tormenta. ¿Cuál es la dirección del campo eléctrico en este rayo? ¿Cuál es la dirección del movimiento de los electrones que forman esta corriente?

R. Como la corriente se define en dirección del flujo de carga positiva, una corriente que va hacia arriba debe haber sido impulsada por la fuerza de un campo eléctrico hacia arriba. Como la corriente en un rayo, en realidad es un flujo de electrones, el movimiento de los electrones es hacia abajo y eso equivale a un flujo de carga positiva hacia arriba.

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Pregunta. Supóngase que algunas corrientes consisten en cargas elementales móviles, tanto positivas como negativas, como se muestra en la figura. ¿Cuál de las corrientes tiene la mayor magnitud? ¿Y la menor magnitud?

(A) a),b)

(B) a),c)

(C) c),a)

(D) b),a)

(E) c),b)

Resistencia y Ley de Ohm Gas de electrones Los conductores tiene una gran cantidad de electrones libres, por ejemplo, el cobre tiene unos 8.0X1022 electrones libres por 𝑐𝑚3 . Dichos electrones se comportan como las partículas de un gas que se mueven libremente dentro de un recipiente. Por analogía, se dice que los electrones forma un gas de electrones que llena todo el volumen del metal. En un conductor neutro, la carga positiva de los electrones libres se compensa con la carga positiva de los iones que forman la red cristalina del metal. Una corriente eléctrica es el flujo de gas de electrones mientras que los iones permanecen en reposo. La velocidad promedio con la que avanza el gas de electrones a lo largo del conductor es −𝑒𝐸𝜏 𝑉𝑑 = 𝑚𝑒 𝑉𝑑 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 𝐸 = 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑙é𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 𝜏 = 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 (𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑦 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑑 𝑐𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎𝑙𝑖𝑛𝑎) 85


La corriente de electrones libre en un conductor de sección transversal A está dada por 𝛥𝑄 𝐼= = −𝑒𝑛𝐴𝑉𝑑 𝛥𝑡 𝑛 = 𝑁 º 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝐴 = á𝑟𝑒𝑎 La ecuación anterior, también se puede escribir como I=

𝑛𝑒 2 𝜏 𝑚𝑒

1

𝐴𝐸 = 𝜌 𝐴𝐸

𝜌= 𝑐𝑡𝑒. 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑦 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙( 𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙) Ρ es una medida de la fuerza que opone un material al paso de la carga.

𝑚𝑒 𝑛𝑒 2 𝜏

−𝜌 =

Resistividad de algunos metales y coeficientes térmicos (A 20° C) Material Plata Cobre Aluminio Latón Niquel Hierro Acero

Ya que 𝐸 =

∆𝑉 𝑙

Ρ (Ω-m) 1.6 × 10−18 1.7 × 10−8 2.8 × 10−8 7 × 10−8 7.8 × 10−8 10 × 10−8 11 × 10−8 1

𝐼 = 𝜌𝐴

∆𝑉 𝑙

Α 3.8 × 10−3 3.9 × 10−3 3.9 × 10−3 2 × 10−3 6 × 10−3 5 × 10−3 4 × 10−3 𝐼=

∆𝑉 𝑅

Ley de Ohm

Donde 𝑙 𝑅 = 𝜌 𝐴 = Resistencia del alambre. Y mide la oposición que presenta el material al paso de la corriente y se mide en Ohm (Ω).

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La ley de Ohm afirma que la corriente es proporcional a la diferencia de potencial entre los extremos del conductor. Dicha ley se puede escribir de tres maneras. ∆𝑉 𝐼= 𝑅 , ∆𝑉 = 𝐼𝑅 y R=∆v I La ley de Ohm es válida para conductores metálicos y para muchos conductores no metálicos (carbón), para plasmas y electrolitos. Sin embargo, en muchos materiales las ley de Ohm falla cuando la corriente es grande y en materiales no homogéneos, como los semiconductores, la ley de Ohm no se aplica, aun cuando la corriente sea pequeña (de hecho, el funcionamiento de dispositivos semiconductores se debe con frecuencia al aprovechamiento de este comportamiento óhmico). De hecho la ley de Ohm no es una ley universal, sólo es una afirmación acerca de las propiedades eléctricas de muchos materiales conductores. Ejemplo: Para medir la resistencia de un cable largo, se conecta ese alambre con las terminales de una batería de 6.0 V y se observa que se produce una corriente de 30 A en el alambre ¿Cuál es la resistencia del alambre? Sol. 𝑅=

∆𝑉 6.0 𝑉 𝑉 = = 0.20 = 0.20 𝛺 𝐼 30 𝐴 𝐴

Preguntas de revisión (opcional). 1) Dos alambres de cobre tienen el mismo diámetro, pero uno es 3 veces más largo que el otro. ¿En cuánto aumenta su resistencia? Dos alambres tienen la misma longitud, pero uno tiene el doble de diámetro que el otro. ¿En cuánto disminuye la resistencia del más grueso? R.𝑙 𝑅 = 𝜌𝐴 ∴

al triplicar la longitud se triplica la resistencia 𝜋𝐷 2

𝐴 = 𝜋𝑟 2 = 4 ∴ al duplicar el diámetro, el área aumenta 4 veces y en consecuencia la resistencia disminuye en el conductor más grueso en un factor de 4. 𝑙 4𝑙 𝑅= =𝜌 2 𝜋𝐷 𝜋𝐷2 4 2) Si se conecta un alambre con las terminales de un acumulador de un automóvil, la corriente es 0.2 A ¿Cuál será la corriente si se corta ese alambre a la mitad de su longitud original y se conecta ese mismo alambre a las terminales del acumulador? 87


R.- La resistencia de la mitad de la longitud será la mitad de la original y la ley de Ohm indica que, para el mismo voltaje, la corriente aumentara al doble, 0.4 A. 𝑉 (𝐼 = 𝑅) 3) Si el tiempo promedio entre colisiones es mayor ¿Qué sucede con la resistividad cuando aumenta la densidad de electrones? (A) Aumenta, aumenta (C) Disminuye, aumenta

(B) Aumenta, disminuye (D) Disminuye, disminuye 𝑚

R.- (D) de acuerdo a la formula 𝜌 = 𝑛𝑒 2𝑒𝜏

Resistividad de los materiales 𝑅=𝜌

𝑙 𝐴

De esta fórmula se puede calcular la resistividad si se ha medido experimentalmente la resistencia si se ha medido experimentalmente la resistencia. 𝑉 En el S.I. la resistencia es 1𝐴; a esta unidad se le llama Ohm (Ω). 𝑉 1 𝑂ℎ𝑚 = 1𝛺 = 1 𝐴 La resistividad es el Ohm-metro (Ω*m) Ejemplo: Un alambre de los que suelen usarse en las instalaciones eléctricas domésticas, está hecho de cobre número 10, Cuyo radio es 0.129 cm. ¿Cuál es la resistencia de un tramo de ese alambre, de 30 cm de longitud? ¿Qué es la resistencia de potencial haya lo largo de ese alambre cuando la corriente que conduce es 10 A? Sol.

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Densidad de corriente 1

De la ecuación 𝐼 = 𝜌 𝐴

Δ𝑉 𝑙

𝐼

1

se tiene 𝐴 = 𝜌 ∗

Δ𝑉 𝑙

, a esta relación de corriente entre área

transversal se le llama densidad de corriente J. 𝐼 𝐽 = 𝐴 corriente por unidad de área en un punto del conductor. De la ecuación 𝐸 =

∆𝑣 𝑙

la ecuación anterior se puede escribir como: 𝐽=

1 𝐸 𝜌

por lo tanto, la densidad de corriente es proporcional al campo eléctrico. Esta es otra expresión de la Ley de Ohm. La resistividad de los materiales depende de la temperatura. En los metales, la resistividad aumenta al aumentar la temperatura. La siguiente figura muestra el aumento de la resistividad al aumentar la temperatura en un metal.

En los semiconductores y aislantes, la resistividad disminuye al aumentar la temperatura. La ecuación que nos proporciona el aumento de la resistencia con la temperatura es: ∆𝑅 =∝ 𝑅𝑜 ∆𝑇 89


𝑅𝑜 = resistencia a la temperatura inicial

= coeficiente térmico de la resistencia

Ejemplo: Supóngase que debido a una sobrecarga de corriente, la temperatura del alambre de cobre del ejemplo anterior aumento de 20°C a 50°C ¿Cuánto aumenta la resistencia? ¿Cuál es la resistencia final? Sol.

Termómetro de Resistencia

El cambió de la resistencia al cambiar la temperatura, se puede usar para construir termómetros de resistencia.

Superconductividad A temperaturas muy bajas, la resistividad de un metal disminuye. En algunos materiales, tales como el plomo, estaño, zinc y niobio, así como muchas aleaciones y compuestos, presentan el fenómeno de superconductividad: su resistencia desaparece por completo a cierta temperatura crítica sobre el cero absoluto.

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Resistividad del estaño en función de la temperatura. A menos de 3.72 K, se hizo pasar una corriente de varios cientos de amperes en un anillo superconductor, la corriente continuo circulando sin que disminuyera su intensidad durante más de un año y sin tener algún batería o generador que la sostuviera. En algunos superconductores a base do óxido de cobre, la resistencia desaparece a temperaturas hasta de 138 K(a presión normal) o hasta 162 K (a alta presión). Hoy se usan en imanes y líneas de transmisión para grandes corrientes.

Combinaciones de resistencias y código de colores Los alambres usados en reproductores de CD, televisores, computadoras, etc, tienen resistencia. Pero la parte principal de la resistencia suele deberse a dispositivos específicamente diseñados para que tengan alta resistencia. Esos dispositivos se le llaman resistores y se usan para controlar y modificar las corrientes. Los resistores ajustables o variables se llaman reóstatos o potenciómetros cuando se usan para limitar la corriente o seleccionar un voltaje, respectivamente. Los resistores que se usan en los aparatos electrónicos se fabrican con una pieza de carbono puro (grafito) conectada entre dos terminales.

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𝑅 = 47 × 103 Ω

Clave de colores en resistores Color Negro Café Rojo Naranja Amarillo Verde Azul Violeta Gris Blanco Dorado Plateado Nada

Número 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Potencia 100 101 102 103 104 105 106 107 108 10−1 10−2

Tolerancia

±5% ±10% ±20%

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Las conexiones en serie y en paralelo son las más sencillas de conectar algunos resistores y capacitores. Resistencias en serie

Los voltajes en serie se suman ∆𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 ∆𝑉 = 𝐼𝑅1 + 𝐼𝑅2 ∆𝑉 = 𝐼(𝑅1 + 𝑅2 )

La resistencia equivalente es 𝑅 = 𝑅1 + 𝑅2

La corriente es la misma en ambas resistencias.

las resistencias en serie se suman 𝑅 = 𝑅1 + 𝑅2 + ⋯ + 𝑅𝑛

Resistencias en paralelo 𝐼1 =

∆𝑉 , 𝑅1

𝐼2 =

∆𝑉 𝑅2

𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2

𝐼=

∆𝑉 ∆𝑉 1 1 + = ∆𝑉 [ + ] 𝑅1 𝑅2 𝑅1 𝑅2 𝐼=

∆𝑉 𝑅𝑒𝑞 1 𝑅𝑒𝑞

1

1

=𝑅 +𝑅 1

2

por lo tanto en paralelo En paralelo, el voltaje en cada resistencia es igual pero no así la corriente I.

1 𝑅𝑒𝑞

=

1 𝑅1

+

1 𝑅2

+ ⋯+

1 𝑅𝑛

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Ejemplo: Dos resistencias, con R1 =10 Ω y R2 =10 Ω y se conecta en serie y por la combinación pasa una corriente de 1.8 A ¿Cuál es la diferencia de potencial a través de la combinación? ¿Cuál es la diferencia de potencial a través de cada resistor? Sol. 10Ω

20Ω

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Ejemplo: Supóngase que se conectan en paralelo los mismo dos resistores. Con R1 =10Ω y R2=20Ω y que por esa combinación pasa una corriente neta de 1.8 A ¿Cuál es la diferencia de potencial a través de esa combinación? ¿Cuánta corriente pasa por cada resistor? Sol.

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Ejemplo: Si como en el ejemplo anterior, pasa una corriente de 1.8 A por la combinación de resistores y alambres resistivos como se muestra en la figura ¿Cuál es la diferencia de potencial a través de toda la combinación? ¿Cuál es la corriente en cada resistor?

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Centro de Ingeniería y Tecnología, UABC Valle de las Palmas

Taller Del libro Física para Ingeniería y Ciencias (Vol 2); Hans C. Ohanian y John T. Market; Ed. Mc Graw-Hill. Capítulo 27, resolver los problemas 1 al 7, 23 al 26, 35, 40, 44 al 46, 48, 50 al 52, 55 y 60 al 63. 3. La corriente eléctrica en la bombilla de una linterna es 0.50 A. ¿Cuánta carga eléctrica pasa por la bombilla en una hora? ¿Cuántos electrones pasan por la bombilla? 4. En un rayo normal, la corriente eléctrica es unos 20 000 A, y dura 1.0 × 10−4 s, más o menos. La dirección de la corriente es hacia arriba, del suelo hacia la nube. ¿Cuál es la carga (magnitud y signo) que deposita ese rayo en el suelo? 5. Un capacitor de 41𝜇F se carga primero con una batería de 9.0 V. Para invertir el voltaje en el capacitor ¿Cuánto tiempo debe pasar una corriente constante de3.0 A de la placa positiva a la negativa del capacitor? 6. ¿Cuál es la capacidad de un capacitor que se carga a 1.4V en 0.50𝜇s con una corriente constante de 25 mA? 7. Un alambre conductor de 2.0 m de longitud se conecta a las terminales de un acumulador de 12v. La resistencia del alambre es 3.0Ω ¿cuál es la corriente eléctrica en el alambre? ¿Cuál es su campo eléctrico? 8. Cuando se conecta un alambre delgado de cobre con los polos de una batería de 1.5V, la corriente es 0.50A. ¿Cuál es la resistencia del alambre? ¿Cuál es la corriente en el alambre si se conecta a la terminal de una batería de 7.5V? 9. Una corriente comienza a pasar cuando t=0, y aumenta con el tiempo de acuerdo con I (t) = At + 𝐵𝑡 2 , siendo A = 0.50C/𝑠 2 y B = 0.20C/𝑠 2 ¿Cuál es la corriente cuando t= 5.0s? ¿Cuál es la carga total que ha pasado en t= 5.0s? 23. El electroimán de un timbre se forman devanando alambre de cobre en torno a un núcleo cilíndrico, como un hilo en un carrete. El diámetro del alambre de cobre es 0.45mm, el devanado es de 260 vueltas, y el radio promedio de la vuelta es 5.0m ¿Cuál es la resistencia del alambre? 24. A continuación se presenta una lista de algunos tipos de alambre de cobre que se fabrican en los estados unidos. CALIBRE

DIAMETRO

8

03264 cm

9

0.2906

10

0.2588

11

0.2305 Academia de Física 97


12

0.2053

¿Cuál es la resistencia de un segmento de 100m de cada tipo?

25. Para medir la resistividad de un metal, en un experimento se toma un alambre de ese metal, de 0.500mm de diámetro y 1.10m de longitud, y se aplica una diferencia de potencia de 12.0 volt en los extremos. Resulta que la corriente es 3.75A ¿Cuáles la resistencia? 26. Una línea de transmisión de alto voltaje tiene un cable de aluminio de3.0 cm de diámetro y 200 km de longitud ¿Cuál es la resistencia de ese cable? 35. Un pararrayos de hierro tiene 0.80 cm de diámetro y 0.50m de longitud. cuando le cae un rayo conduce una corriente de1.0𝑥104 A. ¿Cuál es la caída de potencial a lo largo del pararrayos? 40. De acuerdo con las reglas de seguridad establecidas por el consejo americano de Botes y Yates en Estados unidos, la diferencia de potencial a lo largo de un alambre de cobre que conecta un acumulador de 12V con un equipo eléctrico no debe ser mayor de 10%, esto es, no debe ser mayor de 1.2V. Supóngase que un alambre de 9.0 (medidos siguiendo el circuito) conduce 25 A de corriente. ¿Qué calibre de alambre se requiere para cumplir con la norma anterior? Úsese la tabla de calibres de alambre que se menciona en el problema 24. Deberá repetirse el cálculo para corriente de 35 A y de 45 A. 44. Se conecta en serie tres resistores, de 4.0 Ω,6.0 Ω y 8.0 Ω respectivamente. ¿Cuál es la resistencia de esa combinación? Si la combinación se conecta con la batería de 12 V ¿Cuál es la corriente? ¿Cuál es la diferencia de potencia a través de cada resistor? 45. Se conecta en paralelo tres transistores, de 5.0 Ω,7.0 Ω y 9.0 Ω respectivamente. ¿Cuál es la resistencia de esa combinación? Si esa combinación se conecta con la batería de 12 V ¿Cuál es la corriente neta? ¿Cuál es la corriente a través de cada resistor? 46. Un alambre de latón y uno de hierro de diámetros iguales y longitudes iguales se conecta en paralelo. Juntos conducen 6.0A de corriente. ¿Cuál es la corriente en cada uno? Academia de Física 98


48. Se conecta en paralelo dos resistores, sus claves de color son café-rojo-naranja y amarillo-violeta-rojo. ¿Cuál debe ser la clave de colores de un solo resistor equivalente? 50. Cuando se conecta dos resistores en serie, la resistencia total es 80Ω. Cuando se conecta en paralelo, la resistencia total es 15 Ω. ¿Cuáles son las resistencias de los dos resistores? 51. Cuando funcionan, la resistencia efectiva de un tostador, un horno de microondas y una sartén eléctrica son11 Ω, 16 Ω y 12 Ω respectivamente. Si los tres aparatos se conectan a un contacto de 115 V. ¿Cuál es la corriente total? 52. Un foco ordinario toma 0.87 A de corriente al conectarlo a un contacto de 115V ¿Cuál es su resistencia? Cuando se conecta dos de esos focos enserie al contacto de 115V, la corriente que pasa por ello es 0.69 A ¿Cuál es la resistencia de cada foco ahora? ¿Por qué cambio? 55. Un cable telefónico subterráneo, formado por un par de alambres, tienen un corto en algún lugar de la longitud (véase en la figura). El cable telefónico tiene 5.0 km de longitud y para descubrir dónde está el corto, un técnico mide primero la resistencia entre las terminales AB, después mide la resistencia entre la terminal CD. En la primera medida resultan 30Ω; en a segunda 70 Ω. ¿Dónde está el corto?

60. ¿Cuál es la resistencia total o equivalente de la combinación de cuatro resistores que muestra la figura? Cada uno de los resistores tiene 3.0 Ω de resistencia.

61. Se conecta tres resistores con 𝑅1 = 2.0 Ω𝑅2 = 4.0 Ω y 𝑅3 = 6.0 Ω. Como se muestra la figura. a) ¿Cuál es la resistencia equivalente de la combinación? b) ¿Cuál es la corriente que pasa por la combinación, si a las terminales se aplica una diferencia de potencial de 8.0V? c) ¿Cuál es la caida de potencial y la corriente que pasa por cada resistor?

Academia de Física 99


62. Tres resistores con 𝑅1 =4.0 Ω, 𝑅2 =6.0 Ω y 𝑅3 = 8.0 Ω.se conecta como muestra la figura. a) ¿Cuál es la resistencia equivalente de la combinación? b) ¿Cuál es la corriente que pasa por la combinación si se aplica una diferencia de potencial de 120V a las terminales? c) ¿Cuál es la caída de potencial y la corriente a través de cada resistor individual?

63. Para la combinación de tres resistores describa en el problema anterior, se desea que pase una corriente de 6.0 A por él resistor 𝑅2 . ¿Qué diferencia de potencial se debe aplicar a las terminales externas?



Unidad 4 Campos Magnéticos

Introducción - Existen en la naturaleza unas piedras llamadas magnetita, que atrae pequeños trozos de hierro. - La tierra misma es un imán natural.



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Pero tal vez todos estemos más familiarizados con imanes hechos por el hombre.

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Pero una de las cosas más sorprendentes es que el magnetismo y la electricidad están estrechamente relacionados. Las corrientes eléctricas producen campos magnéticos. En 1820 Oersted descubrió que una corriente en un alambre produce efectos magnéticos.

-

-

El efecto magnético de una corriente en un alambre puede intensificarse enrollando el alambre en la forma de una bobina e introduciendo un núcleo de hierro. Este se llama electro imán. Un imán o un conductor que transporta una corriente dan origen a un campo magnético.



-

Para el caso del conductor, el campo magnético sigue la regla de la mano derecha.

-

Las unidades de campo magnético son: Tesla (T) = N/(C-m/s) = N/(A-m) = Weber/metro2 (wb/m2). El campo magnético también se mide en gauss. 1T = 104 gauss Si una carga de prueba positiva 𝑞0 , se mueve con una velocidad v a través del punto P y sobre esta carga actúa una fuerza F, existe un campo magnético B en el punto P, entonces, ⃗⃗ 𝐹⃗ = 𝑞0 𝑣⃗ × 𝐵

-

F = q 0 vBsenθ



En donde 𝜃 es el ángulo entre v y B. La fuerza siempre será una fuerza lateral. La fuerza F = 0 si v = 0 o si v es paralelo o anti paralelo a B. Si 𝜃 = 90˚, esto es, v y B son perpendiculares, entonces F es máxima. NOTA: El trabajo realizado por la fuerza F sobre 𝑞0 es cero, ya que F es perpendicular a v, por lo tanto, el campo magnético no cambia la energía cinética de una carga en movimiento solamente puede desviarla de su trayectoria. -

Si una partícula cargada se mueve en una región en la que existen tanto un campo eléctrico como un campo magnético, la fuerza resultante es:

F = q0E+qov × B } Ecuación de Lorentz Ejemplo: Un campo magnético uniforme B apunta horizontalmente del oeste al este, su magnitud es de 1.5T. Si a través de este campo se mueve un protón de 5.0 MeV verticalmente hacia abajo, ¿Cuál será la fuerza que actúa sobre él? Solución.



- La fuerza magnética en una corriente eléctrica. Una corriente es un conjunto de cargas en movimiento. Como un campo magnético ejerce una fuerza lateral sobre una carga móvil, se espera que también ejerza una fuerza lateral en un alambre que transporta una corriente.

Torca sobre una espira de corriente.



La torca producida por las fuerzas F1 y F3 sobre la bobina es, 𝜏 = 𝑖𝑎𝑏𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑖𝐴𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃, Donde A es el área de la bobina. Si la bobina tiene N vueltas, entonces, 𝜏 = 𝑁𝑖𝐴𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃



Ley de Ampere (Ecuación de Maxwell) Una corriente “ i ”, produce un campo magnético (Christian Oersted 1820)

Ley de Ampere. ∫ 𝐵 ∙ 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝑖, 𝐵 ∙ 𝑑𝑙 = 𝐵𝑑𝑙𝑐𝑜𝑠00 = 𝐵𝑑𝑙, entonces, ∫ 𝐵 ∙ 𝑑𝑙 = 𝐵 ∮ 𝑑𝑙 = 𝐵2𝜋𝑟 = 𝜇0 𝑖, De donde, 𝜇 𝑖

0 ** 𝐵 = 2𝜋𝑟

Donde 𝜇0 = 4𝜋 × 10−7 T-m/A = constante de permeabilidad. NOTA: Regla de la mano derecha. Se toma el conductor con el pulgar apuntando en la dirección de la corriente “i”, el sentido en el que se enrollan los dedos en torno al alambre es el sentido del campo B.

Campo en el centro de un anillo por el que circula una corriente I. De la ley de Biot-Savart, la cual nos sirve para calcular el campo magnético que produce un conductor de forma arbitraria por el que circula una corriente I, podemos deducir una ecuación para el campo magnético en el centro de un anillo, dada por:

𝐵=

𝜇0 𝑖 2𝑅

Donde R es el radio del anillo. Academia de Física 107


Nótese que es parecida a la ecuación (**) pero no tiene el factor π en el denominador.

Si el anillo tiene más de una vuelta, entonces el campo magnético en el centro de los anillos es: 𝜇 𝑖

0 (4b) 𝐵 = 𝑁 2𝑅

Donde N es el número de vueltas.



Fuerza sobre un conductor y líneas de campo B

Líneas de B en las vecindades de un alambre. De la pagina emerge una corriente i. En el punto P, el campo B = 0, el conductor experimenta una fuerza hacia arriba dada por la ecuación: F = i l × Be Be es el campo magnético externo.



Fuerza sobre dos conductores paralelos

𝐵1 = 𝜇0 𝑖1 ⁄2𝜋𝑑 = campo que produce la corriente 𝑖1 en el punto d. La fuerza sobre el conductor b debido a 𝐵1 producido por 𝑖1 esta dad por: ⃗⃗1 = 𝑖2 𝑙⃗𝐵𝑠𝑒𝑛900 = 𝑖2 𝑙𝐵1 𝐹⃗2 𝑖2 𝑙⃗ × 𝐵 𝐹⃗2 =

𝑖2 𝑙⃗𝜇0 𝑖1 2𝜋𝑑

De la misma manera, la fuerza sobre el conductor 1 debido a 𝐵2 producido por 𝑖2 esta dada por: 𝐹⃗1 =

𝑖1 𝑙⃗𝜇0 𝑖2 2𝜋𝑑

Esto es F1 = -F2 Nota si las corrientes son antiparalelas los conductores sufren una fuerza de repulsión.



Ejemplo: Un alambre largo horizontal, soportado rígidamente, transporta una corriente 𝑖𝑎 de 100 A Directamente encima de él y paralelo a este, se encuentra un alambre fino que transporta una corriente 𝑖2 de 20 A, y cuyo peso por unidad de longitud es de 0.0050 1b/pie (=0.073N/m). A que distancia por encima del alambre inferior se tiene que colocar el segundo alambre si se desea soportarlo por repulsión magnética.

Ejemplo: a) Dos alambres separados por una distancia 𝑑 transportan corrientes 𝑖 en sentidos contrarios. Encontrar el campo magnético en los puntos intermedios entre los alambres y que se encuentran a una distancia 𝑥 de una de ellos. Si 𝑖 = 10𝐴; 𝑥 = 1.5; 𝑑 = 2𝑐𝑚. b) Para que valor de 𝑥, el campo es cero si las corrientes son paralelas y de igual magnitud. c) Resolver el inciso anterior, pero con corrientes 𝑖𝑎 = 10𝐴; 𝑖𝑏 = 15𝐴



Solución.

El campo magnético B de un solenoide.



B = 𝜇0 𝑖0 𝑛 , n = número de vueltas por unidad de longitud. 𝐵 = 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑏𝑜𝑏𝑖𝑛𝑎 Nota: no confundir esta ecuación con la ec. (4b). ⃗⃗ ∙ 𝑑𝑠⃗ El flujo magnético es 𝛷𝐵 = ∫ 𝐵

y esta dado en “wb”

Ejemplo: Un solenoide de 1m de longitud y 3cm de diámetro interior tiene 5 capas de espiras de 850 vueltas, cada una transporta una corriente de 5A. a) ¿Cuál es el valor de B en el centro del solenoide? b) ¿Cuál es el flujo magnético 𝛷𝐵 a través de la sección transversal del solenoide en el centro?



Ejemplo: Un toroide puede describirse como un solenoide enredado en forma de rosquilla. Calcular B en los puntos internos. Si 𝑖 = 5𝐴 ; 𝑛 = 250 ; 𝑟 = 2𝑐𝑚

Solución:



INDUCCION MAGNETICA Ley de inducción de Faraday.

El galvanómetro G experimenta una deflexión mientras el imán se está moviendo con respecto a la bobina. Solo importa el movimiento relativo. La deflexión del galvanómetro indica que se ha establecido una corriente en la bobina. Si se mantiene el imán fijo respecto a la bobina, el galvanómetro no experimente ninguna deflexión. Si en vez del polo norte se utiliza el polo sur del imán se invierte el sentido de la corriente. La corriente que aparece en este experimento se llama corriente inducida y se dice que se ha establecido una fuerza electromotriz inducida (fem). Nótese que no existen baterías en ninguna parte del circuito. El mismo fenómeno se presente en el siguiente circuito al cerrar y abrir el interruptor S. En el circuito de la izquierda hay una “fem” inducida siempre que la corriente de la bobina de la derecha este cambiando. Lo que invierte es el ritmo con el que cambia la corriente y no la magnitud de esta.



En los dos experimentos anteriores el factor importante es el cambio de flujo 𝛷𝐵 en la bobina de la izquierda. Ley de Faraday: La “fem” inducida 𝜖 en un circuito es igual a la rapidez del cambio de flujo a través del circuito excepto por un signo negativo. 𝑑𝛷𝐵 𝜀 = − 𝑑𝑡 𝜀 se expresa en Volts Si la ecuación anterior se aplica a una bobina de N vueltas en cada una de las vueltas aparece una “fem” y todas ellas deben sumarse. 𝑑𝛷𝐵 𝑑(𝑁𝛷𝐵 ) 𝜀 = −𝑁 =− 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Ejemplo: Un solenoide largo de 200 vueltas, 1cm transporta una corriente de 1.5 A y tiene un diámetro de 3cm. En su centro se coloca una bobina de 100 vueltas cuyo diámetro es de 2cm. Esta bobina se sitúa de tal forma que en el centro del solenoide sea paralelo a su eje. La corriente en el solenoide se reduce a cero, y a continuación se aumenta hasta 1.5 A en el sentido contrario y con un ritmo constante, en un periodo de 0.05s. ¿Cuál es la fem inducida que aparece en la bobina al producirse el cambio en la corriente? Solución:



Ley de Lenz. Dicha ley nos dice que la corriente inducida circulara en un sentido tal que se oponga al cambio que la produce.

El imán se mueve hacia la espira, la corriente inducida circula en el sentido de tal forma que origina un campo magnético que se opone al movimiento del imán. Los dos polos norte, el del imán y el debido a la espira de corriente, se repelaran. Si se tira el imán alejándolo de la bobina, la corriente inducida se opondrá al movimiento, creando un polo sur en la cara de la derecha de la espira. Por lo tanto la corriente circulara en forma opuesta al mostrado en la figura. El agente que hace que el imán se mueva, siempre experimentara una fuerza de resistencia y por lo tanto necesitara realizar trabajo. Según el principio de conservación de la energía, el trabajo realizado sobre el sistema debe ser igual a la energía térmica en la bobina. En cada caso el campo inducido se opone al cambio que lo produce (cambio de flujo 𝛷𝐵 ). Estudio cuantitativo de la inducción.

𝛷 = 𝐵𝐴 𝛷𝐵 = 𝐵𝑙𝑥 𝜀= −

𝑑𝛷𝐵 𝑑(𝐵𝑙𝑥) = − 𝑑𝑡 𝑑𝑡


Centro de Ingeniería y Tecnología, UABC Valle de las Palmas 𝑑𝑥

𝜀 = −𝐵𝑙 𝑑𝑡 = −Blv 𝑙𝑎 𝑓𝑒𝑚 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑠, 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑜ℎ𝑚: 𝑖=

𝜀 𝐵𝑙𝑣 = 𝑅 𝑅

R= resistencia de la espira. Nota: El sentido de la corriente “ i ” es de tal forma que se opone a la disminución del ⃗⃗. flujo 𝛷𝐵 . La corriente produce las fuerzas 𝐹⃗1 , 𝐹⃗2 𝑦 𝐹⃗3 dadas por la ecuación 𝐹⃗ = 𝑖 𝑙⃗× 𝐵 𝐹⃗3 𝑦 𝐹⃗2 se anulan y 𝐹⃗1 es la fuerza que se opone al movimiento de la espiral. 𝐹⃗1 = 𝑖𝑙𝐵 sin 90° =

𝐵2𝑙2𝑣 𝑅

El agente externo que tira de la espira debe realizar un trabajo con un ritmo constante de 𝑃 = 𝐹𝑉 =

𝐵2 𝑙2 𝑣 2 𝑅

= potencia

Por conservación de la energía, en la resistencia debe aparecer energía térmica con este mismo ritmo, esto es, una potencia 𝑝 = 𝑖 2 𝑅: 𝐵𝑙𝑣 2 𝐵2𝑙2𝑣 2 𝑃 = 𝑖 2𝑅 = ( ) 𝑅= 𝑅 𝑅 Conservación de la energía Energía mecánica (agente externo) → energía eléctrica (fem inducida) → energía térmica Vista lateral de la espira.



Las líneas sugieren de manera conveniente que el agente que mueve a la bobina siempre experimenta una fuerza opuesta. Ejemplo. Si 𝑙 = 4 𝑐𝑚 ; 𝑉 =

1𝑚 𝑠

; 𝐵 = 2𝑇 𝑦 𝑅 = 2𝛺

a) 𝑖 =? b) 𝑃 =?



Campos magnéticos que varían con el tiempo. Un flujo cambiante de B establece un campo eléctrico inducido E en los diferentes puntos de la espira. La ley de faraday se puede escribir como: un campo magnético cambiante que produce un campo eléctrico. 𝑑𝛷 Ecuación de Maxwell ∮ 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝑙⃗ = − 𝑑𝑡𝐵 Ejemplo:

¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico E en la posición r? supóngase que

𝑑𝐵 𝑑𝑡

= 0.1 𝑠 𝑦 𝑅 =

10 𝑐𝑚 Solución.



La Inductancia Si la corriente de una bobina cambia, aparece en ella una fem inducida. Este fenómeno se llama autoinducción, la fuerza electromotriz producida se llama fem autoinducida, y cumple con la ley de inducción de Faraday de la misma forma que lo hacen las fem inducidas. Consideremos una bobina con espiras muy cercanas, el flujo 𝛷𝐵 establecido por una espira debido a la corriente i es el mismo que para cualquier otra espira, entonces, por la ley de Faraday. 𝑑(𝑁𝛷𝐵 ) 𝜀= − 𝑑𝑡 𝑁𝛷𝐵 = 𝑢𝑛𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 Si en las vecindades no existen materiales magnéticos, tales como el hierro. 𝑁𝛷𝐵 = 𝐿𝑖 L= constante de proporcionalidad llamada inductancia del dispositivo, por lo tanto, de la Ley de Faraday 𝑑(𝑁𝛷𝐵 ) 𝑑𝑖 𝜀= − = −𝐿 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝜀 𝐿 = − 𝑑𝑖 𝑑𝑡 Esta ecuación define la inductancia en bobinas de todos los tamaño, independientemente de que las espiras estén muy cerca o de que existan o no materiales magnéticos en las vecindades. 𝑑𝑖

Nota: el signo menos indica que la fem 𝜀 y 𝑑𝑡 tienen sentidos contrarios. La relación anterior es similar a la relación que define la capacitancia 𝑞 𝐶= 𝑉 Si no existen materiales magnéticos como el hierro o similares “L” depende solo de la geometría del dispositivo. La presencia de un campo magnético en un inductor es su característica distintiva, similar a la presencia de un campo eléctrico en un capacitor. 𝑠

Unidades: la inductancia se mide en 𝑉 𝐴 = ℎ𝑒𝑛𝑟𝑦(𝐻) 𝑖, 𝑒

𝑠

1𝐻 = 1𝑉 𝐴

La fem que produce la corriente 𝑖 disminuye y se induce 𝜀𝐿 que se opone a la 𝜀 que produce la corriente 𝑖. Si 𝜀 que produce 𝑖 se aumenta entonces aparece 𝜀𝐿 que se opone a tal disminucion



La Inductancia mutua

En la bobina 1 existe una corriente 𝑖 que produce un campo magnético B. La bobina 2 no tiene una batería externa y por ella pasa un flujo 𝛷21 . La inductancia mutua 𝑀21 de la bobina 2 con respecto a la bobina 1 se define como 𝑁2 𝛷21 𝑀21 = 𝑖1 𝑀21 𝑖 = 𝑁2 𝛷21 𝑁𝑂𝑇𝐴: 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑖𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑙𝑎 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑖𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 Si se hace que 𝑖, varié con el mismo tiempo, entonces, 𝑑𝑖1 𝑑𝛷21 𝑀21 = 𝑁2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝛷21 De la ley de Faraday (salvo por un signo menos) 𝑁2 𝑑𝑡 = 𝜀2 , donde 𝜀2 es la fem inducida que aparece en la bobina 2 debido al cambio en la corriente de la bobina 1. 𝑀21 𝑑𝑖1 𝜀2 = − 𝑑𝑡 De la misma manera, si en la bobina 2 es en la que hacemos circular una corriente 𝑖2 , entonces, 𝜀2 = −𝑀12

𝑑𝑖2 𝑑𝑡

En consecuencia de la fem en cualquiera de las bobinas es proporcional al ritmo de cambio de la corriente de la otra bobina. Si 𝑀21 = 𝑀12 = 𝑀 ==> 𝜀2 = −𝑀

𝑑𝑖1 𝑑𝑡

𝑦 𝜀1 = −𝑀

𝑑𝑖2 𝑑𝑡

∴ 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠 𝑚𝑢𝑡𝑢𝑎. Academia de Física 122


La unidad de M es el Henry. Tanto el cálculo de M, como el de L, depende de la geometría del sistema. Ejemplo: En el toroide del ejemplo anterior se cambiara la notación por la siguiente: N, es el número de vueltas en el embobinado mostrado (bobina 1) e 𝑖, es la corriente en este embobinado. A continuación se le enrolla un segundo embobinado (bobina 2) de 𝑁2 vueltas. Las bobinas están eléctricamente aisladas entre si. ¿Cuál es la inductancia mutua 𝑀 de los dos embobinados, expresada en términos de los factores geométricos del ejemplo anterior? Solución. 𝑀=

𝑁2 𝛷21 𝑖2

En donde 𝛷21 es en este caso, idéntico al flujo total común 𝛷 en las bobinas 1 y 2, debido a i1. Del ejemplo anterior se ve que considerando los cambios en la notación, 𝛷=

𝑀0 𝑖1 𝑁1 ℎ 𝑏 ln 2𝜋 𝑎

∴

𝑀=

𝑀0 𝑁1 𝑁2 ℎ 𝑏 ln 2𝜋 𝑎

Nótese que si N1 = N2, las inductancias L1 y L2 de los dos embobinados son virtualmente iguales a L. La comparación con el ejemplo anterior demuestra que M = L.

Magnetismo en materiales Al girar el electrón sobre su eje, produce una corriente en sentido opuesto al giro del electrón (esto se puede ver como una esfera giratoria).



Dicha corriente produce un campo magnético, en consecuencia, el electrón tiene un campo magnético alrededor de él (spin del electrón), en un material normal, este campo está orientado en todas direcciones, de tal manera que el campo resultante en el material es cero. Para el electrón se tiene que, 𝑒ℎ

𝐽

𝜇𝐵 = 4𝜋𝑚 = 9.27 𝑥 10−24 𝑇 , 𝑒

llamado magnetón de Bohr. H es una constante llamada constante de Planck. Todos los electrones en el material (hierro) están orientados al azar, pero al introducirse en un campo magnético externo, se alinean con él, intensificando el campo magnético. Además de esto, el electrón gira alrededor del núcleo, produciendo también una corriente y esta a su vez un campo magnético. Al estar el material inmerso en un campo magnético externo, la alineación de este campo con el campo externo, más el campo debido al giro de los electrones sobre su eje, provoca que el campo se intensifique enormemente. La intensificación del campo magnético debido al efecto antes mencionado, se mide con la susceptibilidad magnética χ. Si Bexterno representa el campo magnético externo y Bmaterial al campo debido a los electrones en el material, entonces la susceptibilidad se define como la relación, χ = Bmaterial / Bexterno Los materiales ferromagnéticos tienen valores muy grandes de susceptibilidad, con frecuencia de 1000 veces o más, debido al alineamiento cooperativo de muchos spines de electrones. Para la mayoría de los materiales ¨no magnéticos¨ ordinarios χ es muy pequeña, del orden de 10-5 a 10-4. Estos materiales con pequeñas susceptibilidades positivas se llaman paramagnéticos. Algunos materiales tienen pequeñas susceptibilidades negativas y se llaman diamagnéticos. Otra forma de medir el magnetismo en un material es la permeabilidad magnética µ. µ = µ 0 (1 + χ) la mayoría de los materiales paramagnéticos y diamagnéticos no difieren en forma apreciable de µ 0 (la constante de permeabilidad). Para la mayor parte de los materiales |χ| << 1. Pero la permeabilidad magnética de los materiales de los ferromagnéticos es mucho mayor que µ 0.



Se dice que una pieza de hierro, con spines electrónicos alineados, está magnetizada. Si se saca el hierro del solenoide conservará algo de su magnetización y funcionará como imán permanente. Algunos materiales ferromagnéticos, como el alnico (una aleación formada por hierro, níquel y cobalto, con algo de aluminio y cobre) retienen más magnetización que el hierro puro, y forman mejores imanes permanentes.



Ecuaciones de Maxwell. Finalmente, a manera de resumen de lo tratado en el presente curso; presentamos las ecuaciones de Maxwell. Estas ecuaciones resumen toda la electricidad y magnetismo en sólo cuatro ecuaciones. Fue un gran logro el realizado por James C. Maxwell, aproximadamente en 1876. Y como diría Ludwing Botlzmann, “Fue un Dios quien suscribió estas ecuaciones”. Las ecuaciones básicas del electromagnetismo (ecuaciones de Maxwell) Número I

Nombre Ley de Gauss de la electricidad

Ecuación

𝜀0 ∮ 𝐄 ∙ d𝐒 = q

Lo que describe

Experimento crucial

La carga y el a). Cargas iguales campo de igual signo se eléctrico repelen y de signo contrario se atraen, con una fuerza proporcionalmente al inverso del cuadrado de su separación b). Una carga en un conductor aislado se mueve hacia su superficie externa.

II

Ley de Gauss del magnetismo

III

Ley de inducción de Faraday

∮ 𝐁 ∙ d𝐒 = 0

∮ 𝐄 ∙ d𝐥 = −

d∅B dt

El campo magnético

Hasta ahora no se ha podido verificar la existencia del monopolo magnético

El efecto eléctrico de campos magnéticos variables

Un imán que atraviesa a una espira cerrada de alambre, establecerá una corriente eléctrica en la espira



IV

Ley de ampere (con la generalización de Maxwell)

∮ 𝐄 ∙ d𝐥 = μ0 (ϵ0

d∅E + i) dt

El efecto magnético de campos eléctricos variables o de corrientes

a). La rapidez de la luz puede calcularse de mediadas puramente electromagnéticas. b). Una corriente en un alambre establece una campo magnético en las vecindades del alambre

Campo electromagnético



Magnetismo En Materiales

Al girar el electrón sobre su eje, este se puede ver como una esfera cargada giratoria y produce una corriente en sentido opuesto al giro. 𝑒ℎ

Magnetón de Bohr 𝜇𝐵 =4𝜋𝑚𝑒 = 9.27𝑥10−24

𝐽 𝑇

Todos los electrones en el material (hierro) están orientados al azar, pero al introducirse en un campo magnético externo, se alinean con él, intensificando el campo magnético. Además de esto, el electrón gira alrededor del núcleo, produciendo también una corriente y este a su vez un campo magnético. Al estar el material inmerso en un campo magnético externo, la alineación de este campo con el campo externo más el campo debido al giro de los electrones sobre su eje, provoca que el campo se intensifique enormemente. La intensificación del campo magnético debido al efecto antes mencionado, se mide con la susceptibilidad magnética 𝑥. Si 𝐵𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 representa el campo magnetico externo y 𝐵𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 al campo debido a los electrones en el material entonces la susceptibilidad se define como la relación 𝑥=

𝐵𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝐵𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙

Los materiales ferro magnéticos tienen valores muy grandes de susceptibilidad, con frecuencia de 1000 veces o más, debido al alineamiento cooperativo de muchos espines de electrones. Para la mayoría de los materiales “no magnéticos” ordinarios. 𝑥 Es muy pequeña, del orden de 10−5 a 10−4. Estos materiales con pequeñas susceptibilidades positivas se llaman paramagnetos. Algunos materiales tienen pequeñas susceptibilidades negativas y se llaman diamagnetos. Otra forma de medir el magnetismo en un material es la permeabilidad 𝜇. 𝜇 = 𝜇0 (1 + 𝑥) Academia de Física 128


La mayor parte de los materiales paramagnéticos y diamagnéticos no difieren en forma apreciable de 𝜇0 (la constante de permeabilidad) para la mayor parte de los materiales |𝑥| ≪ 1. Pero la permeabilidad magnética de los ferro magnéticos es mucho mayor que 𝜇0 .Se dice que una pieza de hierro, con espines electrónicos alineados, esta magnetizada. Si se saca el hierro del solenoide, conservara algo de su magnetización y funcionara como un imán permanente. Algunos materiales ferro magnéticos, como el alnico (una aleación formada por hierro, níquel y cobalto, con algo de aluminio y cobre) retienen más magnetización que el hierro puro, y forman mejores imanes permanentes.

TALLER Problemas del capítulo 29 (Ohanian), página 954 8. Un electrón viaja a la velocidad de 2.0 × 105 𝑚/𝑠, que forma un ángulo de 120° con la dirección de un campo magnético de 0.33 T, dirigido a lo largo del eje x (véase la figura). ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza sobre el electrón?

Vector velocidad de un electrón en un campo magnético uniforme. 9. Un protón atraviesa un campo magnético vertical. La velocidad (instantánea) del protón es 8.0 𝑥 105 m/s horizontal con dirección norte. La aceleración (instantánea) que produce la fuerza magnética es 3.2 𝑥 1014 𝑚/𝑠 2 en dirección oeste. ¿Cuál es la magnitud del campo magnético? La dirección de ese campo ¿es hacia arriba o hacia abajo. 11. La corriente en un rayo puede ser hasta de 1.0 × 104 A. ¿Cuál es el campo magnético a 1.0 m de distancia del rayo? Se puede considerar que el rayo es una línea recta de corriente. 12. El cable de una línea de alta tensión está 25 m sobre el suelo, y conduce 1.8 × 103 A de corriente. Academia de Física 129


a) ¿Qué campo magnético produce esa corriente a nivel del suelo? b) La intensidad del campo magnético terrestre es 0.60 × 10−4 por todo donde pasa la línea de transmisión. ¿En qué factor difieren los campos de la línea y de la Tierra? 13. El campo magnético que rodea la tierra comúnmente tiene una intensidad de 5.0 𝑥 10−5 T. Si un electrón de rayo cósmico con energía cinética 3.0 𝑥 104 𝑒𝑉, se mueve instantáneamente en dirección perpendicular a las líneas de ese campo magnético, ¿Cuál es la fuerza sobre este electrón? 21. Un alambre de niobio superconductor, de 0.20 cm de diámetro, puede conducir hasta 1900 A de corriente. ¿Cuál es la intensidad del campo magnético justamente fuera del alambre cuando conduce esa corriente? 22. Un alambre largo y recto de cobre tiene 1.0 mm de diámetro y conduce 20 A de corriente. ¿Cuáles son las fuerzas magnéticas instantáneas, y la aceleración correspondiente de uno de los electrones de conducción, que se mueven a 1.0 × 106 m/s por la superficie del alambre en dirección contraria a la de la corriente? ¿Cuál es la dirección de la aceleración? 23. En un acelerador de protones se forma un haz de protones con velocidad de 3.0 𝑥 108 m/s, con una corriente de 2.0 × 10−3 A. Si el haz tiene secciones transversales circular, de 1.0 cm de radio, y que la corriente esta uniforme distribuida en esa sección, ¿Cuál es el campo magnético que produce el haz en su órbita? ¿cuál es la fuerza magnética sobre el protón en la orilla del haz? 24. Un anillo de alambre superconductor conduce 2.0A de corriente. El radio del anillo es 1.5 cm. ¿Cuál es la magnitud del campo magnético en el centro del anillo? 25. Una bobina circular tiene 60 vueltas de alambre devanado en torno a la periferia de un disco de madera de 0.15 m de radio (véase la figura). Si por esa bobina pasa una corriente de 2.0A, ¿Cuál es el campo magnético que se produce en el centro del disco?

Bobina circular de alambre



34. Dos anillos con el mismo radio 0.20m se colocan en ángulo recto (véase la figura). Los anillos conducen corrientes iguales de 10 A. ¿Cuál es la magnitud del campo magnético en el centro de este conjunto de anillos? Trazar un diagrama que muestre la dirección de ese campo magnético.

Dos anillos en ángulo recto 35. Un alambre largo y recto se dobla formando una espina circular de radio R cerca de un punto medio (véase la figura). El alambre conduce una corriente I. ¿Cuáles son las magnitud y la dirección del campo magnético en el centro de la espira?

Alambre largo y delgado que forma una espira en el mismo plano 45. Un solenoide largo tiene 15 vueltas por centímetro. ¿Qué corriente debe conducir por sus espiras para que el campo magnético sea 5.0 × 10−2 𝑇 en su interior? 46. El electroimán de un timbre eléctrico pequeño es un solenoide con 260 vueltas en una longitud de 2.0 cm. ¿qué campo magnético producirá ese solenoide si la corriente es 8.0 A? 65. Un anillo de 8.0 cm de radio se coloca concéntricamente en torno a un anillo de 6.0 cm de radio (véase la figura) Cada anillo conduce 4.0 A de corriente. ¿Cuál es la magnitud del campo magnético en el centro del anillo, si las corrientes tienen la mimas dirección? ¿Y si tienen direcciones opuestas?



Dos anillos concentricos 66. 150 Vueltas de alambre aislado están devanando en torno a la periferia de un disco de madera de 20Ω. ¿Qué voltaje debe suministrarse a las terminales del alambre para generar un campo magnético de 8.0 × 10−4 𝑇 en el centro del disco. Problemas del capítulo 30 (Ohanian),, pagina986. 20. Un alambre recto se coloca en un campo magnético uniforme; el alambre forma un ángulo de 30° con ese campo. El alambre conduce 6.0 A de corriente y la intensidad del campo magnético es 0.40 T. ¿Cuál es la fuerza de un segmento de 10 cm de este alambre? Indíquese la dirección de la fuerza, en un diagrama. 21. Dos cables paralelos de una línea de transmisión de alto voltaje conducen corrientes opuestas de 1.8 × 105 A. La distancia entre los cables es de 4. 0 m. ¿Cuál es la fuerza magnética que obra sobre un segmento de 50 cm de uno de esos cables? Considérese que ambos cables son alambres rectos muy largos. 26. Un lanzador electromagnético, o cañón de riel, se compone de dos rieles paralelos conductores, entre los cuales está una barra conductora que sirve como proyectil. Para disparar este proyectil, los rieles están inmersos en un campo magnético y por ellos y por la barra se manda una corriente eléctrica (ver figura). La fuerza magnética sobre la corriente en la barra acelera a esta (en los cañones del riel reales de esta clase, el campo magnético mismo se produce por la corriente en los rieles; pero se pasará por alto esta suposición). Si el campo magnético tiene 0.20 T de magnitud, y la barra tiene 0.10 m de longitud y 0.20 kg de masa. No tenga en cuenta la fricción. ¿Cuánta corriente se debe mandar por la barra para comunicarle una aceleración de 1.0 × 105 m/s2?



Lanzador electromagnético 29. La bobina del mecanismo de un amperímetro es rectangular y mide 1.0 cm por 2.0 cm, con 120 vueltas de alambre. Está inmersa en un campo magnético de 0.010 T. ¿Cuál es la torca sobre esa bobina cuando su plano es paralelo al campo magnético y conduce una corriente de 1.0 × 10−3 A? Problemas del capítulo 31 (Ohanian),, pagina 1021. 2. La envergadura de las alas de un Jet DC-10 mide 47 m. Si este avión vuela horizontalmente a 960 km/h en un sitio en el que el componente vertical hacia abajo del campo magnético de la Tierra es 6.0 × 10−5 T, ¿cuál es la fem inducida entre las alas? 3. Para detectar el movimiento del agua en el océano, los oceanógrafos algunas veces dependen de la fem de movimiento generada por el movimiento del agua a través del campo magnético de la Tierra. Supóngase que, en un sitio en el que el campo magnético vertical es 7.0 × 10−5 T, dos electrodos están inmersos en agua a una distancia de 200 m entre si, medida perpendicularmente respecto al movimiento del agua. Si un voltímetro sensible conectado a los electrodos indica una diferencia de potencial de 7.0 × 10−3 V, ¿cuál es la velocidad del agua? 5. La rapidez del flujo de un líquido conductor puede medirse con un medidor de flujo electromagnético que detecta la fem inducida por el movimiento del líquido en un campo magnético. Supóngase que en un tubo de plástico de 10 cm de diámetro transporta cerveza a una velocidad de 1.5 m/s. El tubo se encuentra en un campo magnético transversal de 1.5 × 10−2 T. ¿Qué fem se induce entre los lados opuestos de la columna del líquido?



Bibliografía: Electricidad y Magnetismo; Raymond A. Serway; Ed. Mc Graw-Hill; Edición 2005 Física (Vol.2); Robert Resnick, David Halliday y Kenneth S. Krane; Ed. Patría. 5ª edición. Física para Ingeniería y Ciencias (Vol 2); Hans C. Ohanian y John T. Market; Ed. Mc Graw-Hill. Universidad de Antioquía, http://docencia.udea.edu.co/regionalizacion/irs404/contenido/capitulo3.html


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