INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA QUÍMICA E INDUSTRIAS EXTRACTIVAS
APUNTES DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
M. en C. IRMA PATRICIA FLORES ALLIER ING. SERGIO VALADEZ RODRÍGUEZ ING. SANDRA GLORIA VILLANUEVA FÚNEZ
MÉXICO, D. F. ABRIL 2009
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA QUÍMICA E INDUSTRIAS EXTRACTIVAS APUNTES DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
ELABORÓ Y RECOPILÓ: M. en C. IRMA PATRICIA FLORES ALLIER ING. SERGIO VALADEZ RODRÍGUEZ. ING. SANDRA GLORIA VILLANUEVA FÚNEZ COLABORACIÓN: LAURA ELIZABETH BELLY GONZÁLEZ SANDRA VELÁZQUEZ GARCÍA
ACADEMIA DE DISEÑO Y SERVICIOS DE APOYO PRESIDENTE ING. RICARDO BACA CASTILLO JEFE DE MATERIA MATERIA M. en C. IRMA PATRICIA FLORES ALLIER PROFESORES ING. ARMANDO TONATIUH ÁVALOS BRAVO ING. AURELIO CARRASCO VÁZQUEZ ING. DAVID ELIAS VILCHIS KURI ING. NICOLAS CAÑEDO LÓPEZ ING. SANDRA GLORIA VILLANUEV FUNEZ ING. SERGIO VALADEZ RODRÍGUEZ M. en C. IRMA PATRICIA FLORES ALLIER M. en C. JAVIER DÍAZ ROMERO
JUSTIFICACIÓN
ÍNDICE 2
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA QUÍMICA E INDUSTRIAS EXTRACTIVAS APUNTES DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
ELABORÓ Y RECOPILÓ: M. en C. IRMA PATRICIA FLORES ALLIER ING. SERGIO VALADEZ RODRÍGUEZ. ING. SANDRA GLORIA VILLANUEVA FÚNEZ COLABORACIÓN: LAURA ELIZABETH BELLY GONZÁLEZ SANDRA VELÁZQUEZ GARCÍA
ACADEMIA DE DISEÑO Y SERVICIOS DE APOYO PRESIDENTE ING. RICARDO BACA CASTILLO JEFE DE MATERIA MATERIA M. en C. IRMA PATRICIA FLORES ALLIER PROFESORES ING. ARMANDO TONATIUH ÁVALOS BRAVO ING. AURELIO CARRASCO VÁZQUEZ ING. DAVID ELIAS VILCHIS KURI ING. NICOLAS CAÑEDO LÓPEZ ING. SANDRA GLORIA VILLANUEV FUNEZ ING. SERGIO VALADEZ RODRÍGUEZ M. en C. IRMA PATRICIA FLORES ALLIER M. en C. JAVIER DÍAZ ROMERO
JUSTIFICACIÓN
ÍNDICE 2
UNIDAD I CONCEPTOS BÁSICOS 1.1 TIPOS DE CORRIENTE ELÉCTRICA. 1.2 INTENSIDAD DE CORRIENTE ELÉCTRICA
4 5 6
1.3 LA CORRIENTE ELÉCTRICA
9
1.4 FUENTES DE ENERGÍA ELÉCTRICA
9
UNIDAD II ONDA S SENOIDALES 2.1 FORMAS DE ONDA DE CORRIENTE CONTINUA Y CORRIENTE ALTERNA 2.2 LA ONDA SENOIDAL 2.3 SIMETRÍA EN LAS FORMAS DE ONDA 2.3.1 DIFERENCIA DE FASE, AMPLITUD Y PERIODO 2.4 VALORES DE TENSIÓN Y CORRIENTE ALTERNA 2.5 TRANSFORMACIÓN FASORIAL 2.6 EJEMPLOS
11
UNIDAD III IMPEDANCIA ELÉCTRICA 3.1 RESISTENCIAS 3.2 CAPACITORES E INDUCTORES 3.3 RELACIONES DE VOLTAJES Y CORRIENTE (V-I) Y DIAGRAMAS FASORIALES 3.4 EJEMPLOS
33 33 41
UNIDAD IV POTÉNCIA ELÉCTRICA 4.1 UNIDADES DE POTENCIA ELÉCTRICA 4.2 POTENCIA DE LOS EQUIPOS ELÉCTRICOS 4.3 POTENCIA EN CORRIENTE CONTINUA 4.4 POTENCIA EN COORIENTE ALTERNA 4.5 EJEMPLOS
58 58 58 59 59 60
UNIDAD V SISTEMAS TRIFÁSICOS Y POTENCIA TRIFÁSICA 5.1 FACTOR DE POTENCIA 5.2 INFLUENCIA DEL TIPO DE CARGA 5.3 CORRECIÓN DE FACTOR DE POTENCIA 5.4 EJEMPLOS
64 64 65 65 67
UNIDAD VI TRANSFORMADORES Y MOTORES DE INDUCCIÓN 6.1 POTENCIA PRIMARIA Y SECUNDARIA EN UN TRANSFORMADOR IDEAL 6.2 CALIDAD DE UN TRANSFORMADOR 6.3 EJEMPLOS
71
UNIDAD VII MOTORES SÍNCRONOS 7.1 MOTORES DE CORRIENTE DIRECTA (DC) 7.2 MOTORES DE CORRIENTE ALTERNA (AC) 7.3 OTROS MOTORES 7.4 FACTORES PARA LE ELECCIÓN DE UN MOTOR 7.5 EJEMPLOS BIBLIOGRAFÍA
12 13 15 20 24 26
18
43 50
71 72 74 82 82 83
91
88 89
85
3
JUSTIFICACIÓN
Acordes con la tendencia del Nuevo Modelo Educativo del Instituto Politécnico Nacional, la Academia de Diseño y Apoyo de Servicios, y es especial la comunidad docente de la Unidad de Aprendizaje de Ingeniería Eléctrica y Electrónica de la Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas interesada en promover, instrumentar y apoyar nuevas estrategias de enseñanza, ha decidido conformar un conjunto de materiales de apoyos didácticos para dicha unidad de aprendizaje encaminadas a mejorar y desarrollar las competencias profesionales de sus estudiantes desde una visión integral a través del aprendizaje significativo. El presente material didáctico “Apuntes de Ingeniería Eléctrica y Electrónica” es resultado del diseño, recopilación y aportación de la experiencia y trabajo conjunto de los profesores miembros de la Unidad de Aprendizaje de Ingeniería Eléctrica y Electrónica. Cabe mencionar que este trabajo forma parte complementaria del proyecto didáctico “Material didáctico para la Unidad de Aprendizaje de Ingeniería Eléctrica y Electrónica” conformado por tres materiales didácticos adicionales, “Problemario con Solución de Circuitos Eléctricos, Transformadores y Motores para Ingenieros Químicos”, “Manual de Prácticas para el Laboratorio de Ingeniería Eléctrica y Electrónica”, y la “Implementación del curso en Línea Ingeniería Eléctrica y Electrónica” en la plataforma Moodle del IPN, que actualmente se encuentra en proceso. Agradecemos ampliamente la participación de todos los que hicieron posible la elaboración de este material.
Academia de Diseño
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UNIDAD I CONCEPTOS BÁSICOS La corriente eléctrica es el flujo de portadores de carga eléctrica, normalmente a través de un cable metálico o cualquier otro conductor eléctrico, debido a la diferencia de potencial creada por un generador de corriente. La ecuación que la describe en electromagnetismo, en donde J es la densidad de corriente de conducción y d S es el vector perpendicular al diferencial de superficie o n es el vector unitario normal a la superficie y d S es el diferencial de superficie, es
∫
∫
S
S
I = J ⋅ d S = J ⋅ ndS
Históricamente, la corriente eléctrica se definió como un flujo de cargas positivas y se fijó el sentido convencional de circulación de la corriente como un flujo de cargas desde el polo positivo al negativo. Sin embargo, posteriormente se observó, gracias al efecto Hall que en los metales los portadores de carga son negativos, estos son los electrones, los cuales fluyen en sentido contrario al convencional. Una corriente eléctrica, puesto que se trata de un movimiento de cargas, produce un campo magnético. En el Sistema Internacional de Unidades, la unidad de medida de la intensidad de corriente eléctrica es el amperio, representado con el símbolo A. El aparato utilizado para medir corrientes eléctricas pequeñas es el galvanómetro. Cuando la intensidad a medir supera el límite de los galvanómetros se utiliza el amperímetro.
1.1 TIPOS DE CORRIENTE ELÉCTRICA. La corriente eléctrica puede ser corriente continua o corriente alterna. a) Corriente Continua
La corriente continua implica un flujo de carga que fluye siempre en una sola dirección. Una batería produce corriente continua en un circuito porque sus bornes tienen siempre el mismo signo de carga. Los electrones se mueven siempre en el circuito en la misma dirección: del borne negativo que los repele al borne positivo que los atrae. Al desplazarse en este sentido los electrones, los huecos o ausencias de electrones (cargas positivas) lo hacen en sentido contrario, es decir, desde el polo positivo al negativo.
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Por convenio, se toma como corriente eléctrica al flujo de cargas positivas, aunque éste es a consecuencia del flujo de electrones, por tanto el sentido de la corriente eléctrica es del polo positivo de la fuente al polo negativo y contrario al flujo de electrones y siempre tiene el mismo signo. La corriente continua se caracteriza por su tensión, porque, al tener un flujo de electrones prefijado pero continuo en el tiempo, proporciona un valor fijo de ésta (de signo continuo), y en la gráfica V-t (tensión tiempo) se representa como una línea recta de valor V. b) Corriente Alterna En la corriente alterna (CA o AC), los electrones no se desplazan de un polo a otro, sino que a partir de su posición fija en el cable (centro), oscilan de un lado al otro de su centro, dentro de un mismo entorno o amplitud, a una frecuencia determinada (número de oscilaciones por segundo). Por tanto, la corriente así generada (contraria al flujo de electrones) no es un flujo en un sentido constante, sino que va cambiando de sentido y por tanto de signo continuamente, con tanta rapidez como la frecuencia de oscilación de los electrones. En la gráfica V-t, la corriente alterna se representa como una curva u onda, que puede ser de diferentes formas (cuadrada, senoidal, triangular..) pero siempre caracterizada por su amplitud (tensión de cresta positiva a cresta negativa de onda), frecuencia (número de oscilaciones de la onda en un segundo) y período (tiempo que tarda en dar una oscilación). También se pueden emplear corrientes combinación de ambas, donde la componente continua eleva o desciende la señal alterna de nivel. También podemos diferenciar la frecuencia con la que se actualiza la corriente alterna. Si analizamos una señal de corriente alterna podremos ver que es una señal senoidal y esta señal esta formada por ciclos por segundo. Tenemos que tener en cuenta las características de los aparatos que deseamos utilizar la frecuencia ya que en España es de 50Hz y en países como Estados Unidos es de 60Hz. 1.2 INTENSIDAD DE CORRIENTE ELÉCTRICA: Se denomina intensidad de corriente eléctrica a la carga eléctrica que pasa a través de una sección del conductor en la unidad de tiempo. En el Sistema Internacional de Unidades se expresa en C·s-1 (culombios partido por segundo), unidad que se denomina amperio. Si la intensidad es constante en el tiempo se dice que la corriente es continua; en caso contrario, se llama variable. Si no se produce almacenamiento ni disminución de carga en ningún punto del conductor, la corriente es estacionaria.
6
Se mide con un galvanómetro que, calibrado en amperios, se llama amperímetro y en el circuito se coloca en serie con el conductor cuya intensidad se desea medir.
El valor i de la intensidad instantánea será: i=
dq dt
Si la intensidad permanece constante, en cuyo caso se denota I, utilizando incrementos finitos de tiempo se puede definir como: I =
∆q ∆t
Si la intensidad es variable la fórmula anterior da el valor medio de la intensidad en el intervalo de tiempo considerado. Según la ley de Ohm, la intensidad de la corriente es igual al voltaje dividido por la resistencia que oponen los cuerpos: I =
V R
Haciendo referencia a la potencia, la intensidad equivale a la raíz cuadrada de la potencia dividida por la resistencia. En un circuito que contenga varios generadores y receptores, la intensidad es igual a: I =
∑ε − ∑ε ' ∑ R + ∑r + ∑r '
Donde Σε es el sumatorio de las fuerzas electromotrices del circuito, Σε' es la suma de todas la fuerzas contraelectromotrices, ΣR es la resistencia equivalente del circuito, Σr es la suma de las resistencias internas de los generadores y Σr' es el sumatorio de las resistencias internas de los receptores. Se denomina resistencia eléctrica, R, de una sustancia, a la oposición que encuentra la corriente eléctrica durante su recorrido. Su valor viene dado en ohmios, se designa con la letra griega omega mayúscula (Ω), y se mide con el Óhmetro. También se define como la propiedad de un objeto o sustancia de transformar energía eléctrica en otro tipo de energía de forma irreversible, generalmente calor. Esta definición es válida para la corriente continua y para la corriente alterna cuando se trate de elementos resistivos puros, esto es, sin componente 7
inductiva ni capacitiva. De existir estos componentes reactivos, la oposición presentada a la circulación de corriente recibe el nombre de impedancia. Según sea la magnitud de esta oposición, las sustancias se clasifican en conductoras, aislantes y semiconductoras. Existen además ciertos materiales en los que, en determinadas condiciones de temperatura, aparece un fenómeno denominado superconductividad, en el que el valor de la resistencia es prácticamente nula. La tensión eléctrica, diferencia de potencial o voltaje, es una magnitud física que impulsa a los electrones a lo largo de un conductor en un circuito cerrado. La tensión entre dos puntos de un campo eléctrico es igual al trabajo que realiza dicha unidad de carga positiva para transportarla desde el punto A al punto B. Igual que el potencial, en el Sistema Internacional de Unidades la diferencia de potencial se mide en voltios (V). La tensión es independiente del camino recorrido por la carga, y depende exclusivamente del potencial eléctrico de los puntos A y B en el campo; se expresa por la fórmula: V A −V B = E × r
Donde: VA - VB es la diferencia de tensión, E es la Intensidad de campo en newton/coulomb, r es la distancia en metros entre los puntos A y B.
Figura 1: Polaridad de una diferencia de potencial. Si dos puntos que tienen una diferencia de potencial se unen mediante un conductor, se producirá un flujo de corriente eléctrica. Parte de la carga que crea el punto de mayor potencial se trasladará a través del conductor al punto de menor potencial y, en ausencia de una fuente externa ( generador), esta corriente cesará cuando ambos puntos igualen su potencial eléctrico (Ley de Henry). Este traslado de cargas es lo que se conoce como corriente eléctrica. Cuando por dos puntos de un circuito puede circular una corriente eléctrica, la polaridad de la caída de tensión viene determinada por la dirección convencional de la misma; esto es, del punto de mayor potencial al de menor. Por lo tanto, si por la resistencia R de la figura 1 circula una corriente de intensidad I, desde el punto A hacia el B, se producirá una caída de tensión en 8
la misma con la polaridad indicada, y se dice que el punto A es más positivo que el B. Otra de las formas de expresar la tensión entre dos puntos es en función de la intensidad de corriente y la resistencia existentes entre ellos; así se obtiene uno de los enunciados de la ley de ohm, que dice: V = I × R 1.3 LA CORRIENTE ELÉCTRICA
La energía eléctrica se manifiesta como corriente eléctrica, es decir, como el movimiento de cargas eléctricas negativas, o electrones, a través de un cable conductor metálico como consecuencia de la diferencia de potencial que un generador esté aplicando en sus extremos. Cada vez que se acciona un interruptor, se cierra un circuito eléctrico y se genera el movimiento de electrones a través del cable conductor. Las cargas que se desplazan forman parte de los átomos de la sustancia del cable, que suele ser metálica, ya que los metales —al disponer de mayor cantidad de electrones libres que otras sustancias— son los mejores conductores de la electricidad. La mayor parte de la energía eléctrica que se consume en la vida diaria proviene de la red eléctrica a través de las tomas llamadas enchufes, a través de los que llega la energía suministrada por las compañías eléctricas a los distintos aparatos eléctricos —lavadora, radio, televisor, etcétera— que se desea utilizar, mediante las correspondientes transformaciones; por ejemplo, cuando la energía eléctrica llega a una enceradora, se convierte en energía mecánica, calórica y en algunos casos luminosa, gracias al motor eléctrico y a las distintas piezas mecánicas del aparato. 1.4 FUENTES DE ENERGÍA ELÉCTRICA:
La energía eléctrica apenas existe libre en la naturaleza de manera aprovechable. El ejemplo más relevante y habitual de esta manifestación son las tormentas eléctricas. La electricidad tampoco tiene una utilidad biológica directa para el ser humano, salvo en aplicaciones muy singulares, como pudiera ser el uso de corrientes en medicina, resultando en cambio normalmente desagradable e incluso peligrosa, según las circunstancias. Sin embargo es una de las más utilizadas, una vez aplicada a procesos y aparatos de la más diversa naturaleza, debido fundamentalmente a su limpieza y a la facilidad con la que se la genera, transporta y convierte en otras formas de energía. Para contrarrestar todas estas virtudes hay que reseñar la dificultad que presenta su almacenamiento directo en los aparatos llamados acumuladores. La generación de energía eléctrica se lleva a cabo mediante técnicas muy diferentes. Las que suministran las mayores cantidades y potencias de electricidad aprovechan un movimiento rotatorio para generar corriente continua en una dinamo o corriente alterna en un alternador. El movimiento rotatorio resulta a su vez de una fuente de energía mecánica directa, como puede ser la corriente de un salto de agua o la producida por el viento, o de un 9
ciclo termodinámico. En este último caso se calienta un fluido, al que se hace recorrer un circuito en el que mueve un motor o una turbina. El calor de este proceso se obtiene mediante la quema de combustibles fósiles, reacciones nucleares y otros procesos. La generación de energía eléctrica es una actividad humana básica, ya que está directamente relacionada con los requerimientos actuales del hombre. Todas la formas de utilización de las fuentes de energía, tanto las habituales como las denominadas alternativas o no convencionales, agreden en mayor o menor medida el ambiente, siendo de todos modos la energía eléctrica una de las que causan menor impacto. Actualmente la energía eléctrica se puede obtener de distintos medios: 1. Centrales termoeléctricas 2. Centrales hidroeléctricas 3. Centrales geo-termo-eléctricas 4. Centrales nucleares 5. Centrales de ciclo combinado 6. Centrales de turbo-gas 7. Centrales eólicas 8. Centrales solares
10
Figura 1a: Transmisión de la energía eléctrica
UNIDAD II. ONDAS SENOIDALES Para saber como varían la corriente o tensión en un circuito de c.a. generalmente se grafica su forma de onda con la cual se obtiene una 11
representación grafica de cualquiera de los parámetros. Para graficar una forma de onda, se definen dos ejes: 1.- Un eje, generalmente vertical es el de corriente o tensión y se grafica con el número adecuado de divisiones. 2.- El otro eje es el de tiempo y se divide en unidades adecuadas de tiempo, por ejemplo, segundos. De esta manera se puede graficar corriente o tensión en cada unidad de tiempo, como un punto en la grafica y cuando todos los puntos se unen con una línea continúa, resulta la forma de onda.
Unidades de corriente o voltaje (v)
Unidades de tiempo (t)
Figura 2: Representación gráfica de la variación de la corriente o tensión de c.a.
La forma de onda muestra como varía la corriente o voltaje con respecto al tiempo. Otro tipo de forma de onda es la utilizada para fuentes de potencia de c.a. y estas pueden mostrar como varia la corriente o voltaje de salida con la posición de la Armadura de un generador
12
UNIDADES DE
3 2
CORRIENTE O VOLTAJE
1 0
-1 90º -2
180º
270º 360º
GRADOS
-3 Figura 3: Grado de rotación de la armadura de un generador
2.1 FORMAS DE ONDA DE CORRIENTE CONTINUA Y CORRIENTE ALTERNA La polaridad y la magnitud de una corriente o una tensión continuas nunca cambian, por lo tanto, la forma de onda de una tensión continua de 2 volts es una línea recta.
3 2 1 VOLTAJE -1
TIEMPO 0
(SEGUNDOS
-2 -3 Una corriente o tensión alterna cambian tanto en magnitud como en polaridad con respecto al tiempo. Esto se representa en la siguiente grafica.
13
3 2 1
CORRIENTE (AMPERS) -1 -2 -3
0
1
2
3
4
5
6
7
TIEMPO 8 (SEG)
Figura 4: Variación de la c.a. Cuando la onda esta arriba de la línea de corriente cero, la corriente fluye en una dirección, a lo que se le llama dirección positiva. Cuando la onda esta abajo de la línea de corriente cero, la corriente ha invertido su sentido y fluye en la dirección opuesta, esto se hace repetidas veces. Las dos primeras inversiones, en la figura, se realizan en un tiempo de 8 segundos. La distancia de cualquier punto de la onda al eje de tiempo es la magnitud de la corriente en ese instante. Observe que de la figura 4: en 1 seg. ; i = 1.5 a en 4 seg. y 8 seg. ; i = 0 (corriente nula) en 2 seg. y 6 seg. ; i = 2 a (corriente máxima)
2.2 LA ONDA SENOIDAL Esta forma de onda representa la tensión de salida de un generador simple de c.a durante una revolución completa de la armadura. La tensión comienza en cero cuando la armadura no corta líneas magnéticas de fuerza. Al girar la armadura, la tensión aumenta desde cero hasta un valor máximo en una dirección. Luego disminuye otra vez hasta cero. En este punto la tensión cambia de polaridad y aumenta hasta que llega a un máximo con polaridad opuesta. Luego disminuye nuevamente hasta cero. Entonces la armadura del generador ha completado una revolución. La onda que representa esta variación de tensión, recibe el nombre de onda senoidal, ya que la tensión generada, es proporcional al seno del ángulo entre el campo magnético y la dirección del movimiento de la armadura. 14
(+)
VOLTAJE
GRADOS 90º
180º 270º
360º
(-) Figura 5: Representación de una onda senoidal
Esta posición de la armadura corresponde a un grado de rotación de 0º, 180º y 360º cuando la armadura no esta cortando líneas magnéticas de fuerza.
N
S
0 VOLTS
Esta posición de la armadura corresponde a un grado de rotación de 90º y de 270º cuan do la armadura corta el mayor número de líneas magnéticas de fuerza.
N
S
-
+
VOLTAJE MÁXIMO
2.3 SIMETRÍA EN LAS FORMAS DE ONDA La onda senoidal anterior es simétrica con respecto al eje horizontal. Cuando una onda no es simétrica con respecto al eje horizontal no se trata de c. a. 15
pura. Por lo tanto, la corriente o tensión alternas se pueden definir como aquellas que cambian periódicamente de dirección y que, en ambas direcciones varían exactamente de la misma forma.
a) CICLO, FRECUENCIA Y FASE Ciclo: La Fuerza electromotriz ( o corriente ) recorre un ciclo completo de valores cada vez que la espira gira 360 ° lo que constituye un ciclo completo. Frecuencia: Al número de ciclos generados en segundos se le conoce como la frecuencia de la tensión o de la corriente y se expresa en ciclos por segundo (cps)(Hertz). Cuanto mayor sea el número de ciclos producidos en un segundo, mas alta es la frecuencia.
+
1 CICLO
1 CICLO
VOLTAJE TIEMPO ( SEG) -
Figura 6: Representación de dos ciclos de una onda senoidal Los múltiplos más importantes del ciclo son: Kilociclo = 1,000 cps. Megaciclo = 1´000,000 cps.
Fase: Este término indica la relación de tiempo para tensiones y corrientes alternas.
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En un circuito de corriente alterna en el que solo existen resistencias (no hay Bobinas ni condensadores), la tensión y la intensidad de corriente pasan, simultáneamente, por los valores máximo, nulo y mínimo. Ejemplo: Si dos generadores de c.a. se ponen a funcionar, cada uno genera una salida senoidal completa después de una revolución. Si los generadores se hacen funcionar en el mismo instante y giran exactamente a la misma velocidad, las dos formas de onda comenzarán y terminarán simultáneamente. También alcanzarán sus valores máximos y pasaran por cero al mismo tiempo. Entonces se dice que las dos formas de onda “coinciden “ entre si y que las tensiones que representan están en fase.
Gráficamente:
+
VOLTAJE 0o
t
-
VOLTAJE 0o
t 90º
180º
270º
360º
-
Figura 7: Representación de dos señales senoidales de tensión en fase
Los voltajes mostrados están en fase y tienen la misma magnitud. 17
E2 E1
EN ÉSTA FIGURA LOS VOLTAJES MOSTRADOS ESTÁN EN FASE; PERO TIENEN MAGNITUDES DIFERENTES.
0
+ E I
t 0
LA CORRIENTE Y VOLTAJE MOSTRADOS ENCUENTRAN EN FASE
EL SE
-
Figura 8: Representación de dos señales de tensión y corriente en fase También se puede usar el término fase para indicar un punto de una onda en determinado instante. Esto se debe a que un ciclo completo se puede representar por grados. Generalmente los grados reciben el nombre de ángulos de fase. Esto es: En el máximo positivo la fase es de 90 º, en el máximo negativo la fase es de 270 º. La onda senoidal es nula cuando los ángulos de fase son de 0º , 180º, 360 º. Por lo tanto, cualquier punto en una onda senoidal tiene cierto ángulo de fase.
18
2.3.1 DIFERENCIA DE FASE, AMPLITUD Y PERÍODO Considerando el ejemplo anterior, si un generador arranca después del otro, sus valores máximo y mínimo de salida ocurrirán después de los valores correspondientes al otro generador. En este caso se dice que las salidas están defasadas, o que existe una diferencia de fase entre ambas salidas. La magnitud de la diferencia de fase depende de cuanto atraso o adelanto tenga una forma de onda con respecto a la otra Gráficamente:
+
CORRIENTE
I1
I2
t
0 90º
-
Figura 9) Diferencia de fase de la corriente
En la figura 9, I 1está adelantada 90º con respecto a I atrasada 90º con respecto a I 1
2
, mientras que i2está
Cuando los puntos máximo y mínimo de un voltaje o corriente ocurren antes de los puntos correspondientes de otro voltaje o corriente, ambas magnitudes están defasadas. Cuando esta diferencia de fase existe uno de los voltajes o corrientes esta adelantada y el otro esta atrasada.
19
E1
E2
+
VOLTAJE
t 180º
-
Figura 10: Diferencia de fase de la tensión En la figura, E 1 está adelantada 180º con respecto a E 2, mientras que E 2 está atrasada 180 con respecto a E 1.
Amplitud: Es el valor máximo que una corriente o tensión alterna alcanza. Es igual en la dirección positiva o negativa. En una onda, la amplitud es la distancia del eje horizontal al punto más alto de la onda sobre el eje, o bién, al punto más bajo, abajo del eje. La amplitud con frecuencia, se conoce también como valor pico. Periodo: Es el tiempo que tarda una magnitud alterna ( corriente o voltaje) en efectuar un ciclo completo. Si se conoce la frecuencia, el periodo se puede calcular a traves de: (T) Periodo =
1 / frecuencia
Por ejemplo, para una tensión de 60 cps. el periodo será de: (T) Periodo = 1 / 60 de segundo = 0.0166 seg.
20
ALTERNACIÓ +
VOLTAJE O CORRIENTE
0
AMPLITUD MÁXIMA O VALOR PICO
-
PERIODO O CICLO
Figura 11: Representación gráfica de la amplitud, período y alternación
2.4 VALORES DE TENSIÓN Y CORRIENTE ALTERNAS i(t) Imáx. o Ipico Imáx. i1(t)
3T/4
CORRIENTE 0
t1
T/4 T/2
t2 I2(t)
Imáx. a máx. o Ipico a pico
-Imáx. -Imáx. o -Ipico
Figura 12: Valores de una onda senoidal
21
En la figura 12 se puede observar los valores pico o máximo de la onda senoidal. Imáx o Ipico = valor máximo ( + ) de la corriente, es la distancia que existe, desde el eje horizontal hasta el punto mas alto de la onda. -Imax o - Ipico = valor máximo ( - ) de la corriente, es la distancia que existe, desde el eje horizontal hasta el punto mas bajo de la onda. Imáx a máx o Ipico a pico = valor pico a pico de la corriente, es la distancia que existe entre el pico positivo y el pico negativo de dicha corriente. i1( t ) , i 2( t ) = valores instantáneos de la corriente para los tiempos t 1 y t2 respectivamente. Un generador cuyo voltaje cambia de polaridad periódicamente, produce una c. a. como la de la figura anterior. La forma de onda senoidal se puede expresar en general por:
• En forma cosenoidal :
Ya que el coseno tiene un retraso de 90º con respecto al seno.
En donde: i(t) = valor instantáneo de la corriente en función del tiempo. Im = amplitud máxima o pico de la corriente ω = frecuencia angular ( rad / seg.)
θ = ángulo de fase (radianes o grados.) El ángulo θ especifica el desplazamiento de una forma de onda a la izquierda o a la derecha del origen. Se puede escribir una expresión similar para un voltaje de c. a.
22
En donde : V( t ) = voltaje instantáneo en función del tiempo Vm = amplitud máxima o pico de voltaje θ= ángulo de fase (radianes o grados.) El ángulo θ especifica el desplazamiento de una forma de onda a la izquierda o a la La frecuencia angular se relaciona con la frecuencia f ( c.p.s. o hz. ) por medio de : ω = 2π f o f=ω/2π El periodo t1 es el lapso de tiempo para un ciclo completo ( en segundos ), es. T = 1 / f o T = 2π / ω a) VALOR MEDIO El valor medio de una tensión o corriente alternas es el promedio de todos los valores instantáneos durante medio ciclo o sea una alternación y es igual al área neta de la forma de onda dividida por el periodo t o 2 π rad En función de la corriente la expresión general para el voltaje medio de cualquier forma de onda es:
Por lo que si se desea obtener el valor medio de una c. a. Senoidal de la forma: i ( ωt ) = I m sen ( ωt ) Se podrá hacer a través de la ecuación anterior. Considerando que dicha onda es simétrica con respecto al eje horizontal y que si se integra de 0 a 2π el valor promedio resultará cero, se integrará de 0 a π y el valor resultante se multiplicará por 2 :
23
Imed = 0.637 Im
Análogamente para la tensión: Ricardo Martínez Pérez Vmed = 0.637 Vm b) VALOR EFECTIVO ( r m s ). Valor eficaz o valor raíz cuadrático medio, este es igual a la corriente continua que disipa la misma potencia en forma de calor en un resistor dado. Este se obtiene de la siguiente manera:
Considerando una onda senoidal
Como:
24
Irms = 0.707 IMAX. Análogamente para la tensión: Vrms = 0.707 vMAX.
En la gráfica 13 se pueden observar los valores efectivos y medios de la onda senoidal
+
VALOR MÁXIMO VALOR EFECTIVO = 0.707 VALOR VALOR MEDIO = 0.637 V ALOR
CORRIENTE
t
O
VALOR MEDIO = 0.637 V ALOR VALOR EFECTIVO = 0.707 VALOR VALOR MÁXIMO
-
Figura 13: Valores máximo, efectivo y medio de una onda senoidal
2.5 TRANSFORMACIÓN FASORIAL: Una forma de onda senoidal de voltaje o corriente como: v ( t ) =Vm Sen ( wt ± θ ) i ( t ) =I m Sen ( wt ± θ ) Se puede expresar en forma polar de la siguiente forma: 25
v=V rms ∠ θ i =I rms ∠θ Donde: Vrms = valor eficaz del voltaje = 0.707 Vm Irms = valor eficaz de la corriente = 0.707 I m θ = Angulo de fase (atraso o adelanto con respecto al origen )
El voltaje o corriente expresados en esta forma se denominan “fasores”.
26
2.6 EJEMPLOS Ejemplo No. 1 Dada la corriente i(t) = 100sen(2000t + 45º)A, determinar: a) b) c) d) e) f) g) h)
Imax Imed Ief Frecuencia angular Frecuencia Periodo Angulo de defasamiento de la corriente con respecto al origen Valor pico a pico
Solución:
a) b) c) d)
Imax = 100A Imed = 0.637(Imax) = 0.637(100) = 63.7A Ief = 0.707(Imax) = 0.707(100) = 70.7A ω = 2000 Rad/s
e) f =
ω
= 2 π
2000 2 π
= 318.31 Hz
1
f) T = f =
1 318 .31 Hz
= 3.14E-3seg
g) Φ = 45º h) Ipp = 2Imax = 200A Para la función del voltaje en términos del tiempo: v(t) = 150sen(500t - 30º)V, encontrar el voltaje en t = 2.09 ms.
Solución:
v = 150 sen [500(0.00209) + 0.524Rad] v = 74.662V
Ejemplo No.2 Determine los valores medio y eficaz en la onda representada en la siguiente figura: 27
Y(t) = 10e-200 t Ymax =
T
0.08
0.1
0.15
(t)
Solución: Ymed =
1
T
Y (t ) dt = T ∫ 0
10 0.08( −200)
1
0.08
0.08
∫ 10 e
−200 t
dt =
0
0.08
10 0.08
∫ e
−200 t
dt =
0
e −200 t
Ymed = -0.625
e −200
t
0.08 0
= -0.625 e −200 ( 0.08) + 0.625 e −200 ( 0 )
Ymed = 0.625
Yef =
T
1
Y T ∫
2
=
(t ) dt
0
100 0.08(−400)
Yef =
e
0.08
0.08
∫ (10e
−200 t
) dt = 2
0
100 0.08
0.08
∫ e
−400 t
dt =
0
−400 t 0.08
3.125 e
−
1
0
400 ( 0. 08 )
−
3.125 e
+
400 ( 0 )
−
= 1.7677
28
Ejemplo No. 3 Hallar los valores medio y eficaz de la onda completa rectificada representada en la siguiente figura, si el periodo es de 2π y Y(t) = Ymax sen ωt. (Y) Ymax
π
2π
3π
4π
(t) Solución:
Ymed =
T
Ymed = − Y max 2π
T
1
∫ Y (t ) dt = 0
Y max 2π
1
2π
∫ Y max sen(ω t ) d (ω t ) =
Y max
2π 0
cos(ω t )
2π 0
= −
Y max 2π
cos(2π ) +
2π
Y max 2π
2π
∫ sen(ω t ) d (ω t ) 0
cos(0) =
[1 − cos(2π )]
Ymed = 0.00095Ymax
Yef =
1
T
Y T ∫
2
(t ) dt
0
Y max 2 2π
=
1
2π
[Y max sen(ω t )] 2π ∫
2
d (ω t )
=
0
2π
∫ [ sen(ω t )]
2
d (ω t )
0
Yef =
1 Y max 2 1 (ω t ) − sen (2ω t ) 2π 2 4
Yef =
1 Y max 2 1 ( 2π ) − sen (4π ) − 2π 2 4
2π 0
1 Y max 2 1 (0) − sen (0) = 2π 2 4
Y max 2 0.49
29
Yef = Ymax 0.7009 Ejemplo No. 4 De la siguiente ecuación: i(t) = 155 cos (377t – 17º)A encontrar: Imax, ω, θ, f, T, cuando t = 3ms. Solución: i(t) = Imax cos (ωt – θº)A Imax = 155A ω = 377 Rad/s θ = 17º f= T =
ω
2π 1
f
= =
377 2π
= 60.001Hz
1 60.001
= 0.0167s
i(t) = 155cos [377(0.003) - 0.3] = 154.98A
Ejemplo No 5 De la siguiente ecuación i(t) = 160sen (370t – 30º)A encontrar: Imax, ω, θ, f, T, cuando t = 4ms. Solución: i(t) = Imax cos (ωt – θº)A Imax = 160A ω = 370 Rad/s θ = 30º f= T =
ω
2π 1
f
θ=30°(1 rad/180°)= 0.524 rad =
370
=
1
2π
= 58.89Hz
58.89
= 0.017s
i(t) = 160cos [370(0.004) - 0.524] = 2.67AEjemplo No.1
30
Ejemplo No. 6 Exprese la forma de onda v ( t ) = 28.28 sen ( 1000 t + 45º ) v como fasor y represente gráficamente. Datos : Vm = 28.28 v θ = 45 º
Solución: Obteniendo el voltaje eficaz : V rms = 0.707 ( 28.28 v ) V rms = 19.99 v = 20 v Por lo que v ( t ) = 28.28 Sen ( 1000 t + 45 º ) v expresado como fasor . Queda como : V = 20 ∠45º V
28.2 20
Vrms
VOLTAJE 0
t 90º
180º
270º Vrms
Figura 14: Representación en función del tiempo
31
45º 20 V
V
Figura 15: Representación fasorial La palabra fasor se usa para designar a un vector cuya operación queda confinada a un plano y el cual está asociado únicamente a cantidades eléctricas. Los fasores de voltaje o corriente también pueden representarse como: V = Vm / θ i=Im/θ Donde : Vm = valor máximo de voltaje Im = valor máximo de la corriente θ = ángulo de fase En esta forma los fasores se expresan en función de los valores máximos no en los eficaces o rms. Aunque la representación más común es la anteriormente descrita, ya que una forma de onda puede expresarse fasorialmente como un vector, entonces es posible realizar operaciones con dichos fasores tales como la suma vectorial.
Ejemplo No. 2 El voltaje en dos impedancias en serie es de : Va + Vb = 75 Sen ( 377t +45 º ) + 25 Sen (377t + 60 º) Exprese el voltaje total como fasor.
ZA VA + V
ZB
VA = 75 Sen (377 t + VB = 25 Sen (377t + 60º) v
32
Transformando a fasores de magnitud eficaz: Va = (0 .707) (75 v ) / 45º = 53.03 ∠45º v Vb= (0.707) (25 v) / 60º = 17.68 ∠60º v Puesto que va y vb tiene la misma frecuencia, se pueden sumar sus fasores (no se permite la suma de fasores de diferentes frecuencias) . Dichos fasores pueden ser expresados en forma compleja, con una componente real y otra imaginaria. Va = 53.03 (cos 45 º + j sen 45 º) = (37.5 + j37.5) v Vb= 17.68 (cos 60 º + j sen 60º) = (8.84 + j15.31) v Realizando la suma : Va + Vb = (37.5 + 8.84) + j ( 37.5 + 15.31 ) v Va + V b = (46.34 + j52.81) v Obteniendo la magnitud : /va + vb / /va + vb / = 70.26 v Para calcular el ángulo: θ = arc tan 52.81 46.34 θ = 48.73 º Por lo que el voltaje eficaz en las terminales del generador es:
va + vb = 70.26 ∠48.73º v Representando fasorialmente : VA +
VB
θ1 = 60º
VA
θ2 = 48.73º θ1 θ2
θ3
V
θ1 = 45º
DIAGRAMA FASORIAL
33
UNIDAD III IMPEDANCIA ELÉCTRICA La impedancia es una magnitud que establece la relación (cociente) entre la tensión y la intensidad de corriente. Tiene especial importancia si la corriente varía en el tiempo, en cuyo caso, ésta, la tensión y la propia impedancia se describen con números complejos o funciones del análisis armónico. Su módulo (a veces impropiamente llamado impedancia) establece la relación entre los valores máximos o los valores eficaces de la tensión y de la corriente. La parte real de la impedancia es la resistencia y su parte imaginaria es la reactancia Sea un componente eléctrico o un circuito alimentado por una corriente sinusoidal . Si la tensión a sus extremidades es , la impedancia del circuito o del componente se define como número complejo cuyo módulo es el cociente y cuyo argumento es .
o sea
.
Es la oposición total (Resistencia, Reactancia inductiva, Reactancia capacitiva) sobre la corriente Como las tensiones y las corrientes son sinusoidales, se pueden utilizar los valores pico (amplitudes), los valores eficaces, los valores pico a pico o los valores medios. Pero hay que cuidar de ser uniforme y no mezclar los tipos. El resultado de los cálculos será del mismo tipo que el utilizado para los generadores de tensión o de corriente.
3.1 RESISTENCIAS a) Conexión serie: si dos o mas elementos de un circuito se conectan de tal modo que cada elemento tenga la misma corriente que fluya por el, estarán en serie.
34
V1
V2
R1
R2
i
V
R3
V3
Rn
Vn
V
i
Req.
V = V1 + V2 + V3 En un circuito serie, la resistencia total o equivalente r eq. Ante la fuente es igual a la suma de los valores de las resistencias individuales: Req. = r1 + r2 + r3 + ………… + rn
b) Conexión en paralelo. Si se conectan los elementos de modo que se presenten el mismo voltaje en las terminales de ellos, se dice que los elementos estan conectados en paralelo.
35
R V
R2
1
i1
i2
R3 Rn 3
i3
v
3
in
Re q.
i = i 1+i 2
+
i3
+ . .. .
i
n
En un circuito en paralelo , la resistencia equivalente es igual a la inversa de la suma de los recíprocos de los valores de resistencias individuales : 1 Req = 1 + 1 + 1 + ……… 1 r1 r2 r3 rn para el caso de las resistencias ra y rb en paralelo 1 1 req = ra // rb = = 1 1 r a+ rb + ra rb ra rb req = ra // rb= rarb ra + rb La resistencia equivalente en paralelo siempre es menor que el resistor de valor mas bajo de la configuración en paralelo.
c) Conexión en serie paralelo: Cuando se tienen combinaciones de los circuitos descritos anteriormente , se dice que se trata de un circuito serie-paralelo. Ejemplo No.1 Determinar para el siguiente circuito:
36
6 K Ω
30
a
b
c 6 K Ω
3 K Ω 3 K Ω
e
d 12
Solución: Resolviendo los arreglos paralelo se tiene:
Queda un circuito en serie
2kΩ
5kΩ 2.4kΩ
Resolviendo el circuito serie : req = rab + rbc + rcd req = 2k + 5k + 2.4k req = 9.4 k
37
d) la corriente y voltaje en un resistor. La corriente y voltaje en un elemento resistivo están dados a través de la Ley de Ohm como se muestra a continuación.
Ejemplo No. 2 El siguiente circuito con: R 0 = 5Ω, R1 = 8Ω, R2 = 6Ω, R3 = 9Ω, R4 = 8Ω, R5 = 2Ω, R6 = 3Ω, R7 = 4Ω, R8 = 7Ω, cuyo voltaje esta dado por la expresión: v(t) = 200 sen(377t)V Encontrar: I T, P T, V en paralelo de R 3 y R4.
R1
R0
R2
R3
R5
R4
R7
R6
R8
Solución: R1,0,2 = R1 + R0 + R2 = 5Ω + 8Ω + 6Ω = 19Ω R3,4 = R3 + R4 = 9Ω + 8Ω = 17Ω R5,6 = R5 + R6 = 2Ω + 3Ω = 5Ω R7,8 = R7 + R8= 4Ω + 7Ω = 11Ω R34/56/78 =
1 R3, 4
+
1 1 R5,6
+
1
=
R7,8
1 17Ω
+
1 1 5Ω
+
1
= 2.85Ω
R T = 19Ω + 2.85Ω =
11Ω
21.85Ω Vef = 0.707(200) = 141.4v I T =
141 .4v = 21.85Ω
6.47A
P T = I T Vef = 6.47A(141.4v) = 914.86w 38
I T = I1,0,2 = I34.56.78 = 6.47A V34/56/78 = 6.47A (2.85Ω) = 18.44v V34/56/78 = V3,4 = V5,6 = V7,8 = 18.44v Ejemplo No. 3 Encontrar la corriente total, la corriente en la resistencia de 18Ω, en la de 7Ω así como los voltajes en R 5 y R6 en el siguiente circuito. La fuente proporciona 60 volts.
Podemos reacomodar el circuito para mayor simplicidad poniendo la parte punteada a la derecha del circuito:
Quedando de la siguiente manera: 39
Calculo del paralelo R 2 // R1 R2 // R1 =
18Ω(9Ω) 18Ω + 9Ω
= 6Ω
R A = R2 // R1 + R5 = 6Ω + 5Ω = 11Ω
Simplificando más el circuito de la siguiente forma (sin preocuparnos por los voltímetros y amperímetros conectados)
: Ahora, para el calculo del paralelo R6 // R4 // R A =
1 7Ω
+
1 1 4Ω
+
1
R6 // R4 // R A
tenemos:
= 2.06Ω
11Ω
Para obtener la R T: RT = R6 // R4 // R A + R3 = 2.06Ω + 2Ω = 4.06Ω
Nuevamente se simplifica el circuito quedándonos de esta manera:
40
Para calcular I T: I T =
V T RT
=
60V 4.06Ω
= 14.78 A
Vemos que podemos calcular el voltaje en R 3 puesto que la intensidad total es la misma en todas las resistencias: V 3 = I T ( R3 ) = 14.78 A(2Ω) = 29.56V
Y con ello obtenemos VB que es igual a: V B = V 6 = V 4 = V A
V B = V T −V 3 = 60V − 29.56V = 30.44V = V 6
Para el cálculo de I 1 que es lo que necesitamos primero calculamos: I A =
V A R A
=
30.44V 11Ω
= 2.77 A
Y desglosamos el circuito específicamente donde esta V A el cual si nos percatamos esta formado de la siguiente manera:
41
Procedemos entonces a calcular V R
2
// R1
:
V R2 // R1 = I A ( R2 // R1 ) = 2.77 A(6Ω) = 16.62V I 1 =
V 1 R1
=
16.62V 18Ω
= 0.92 A
Finalmente obtenemos V 5: V 5 = V A −V R2 // R1 = 30.44V −16.62V =13.82V
3.2 CAPACITORES E INDUCTORES La diferencia mas importante entre estos elementos y un resistor es que los resistores disipan energia mientras que los capacitores e inductores la almacenan y la regresan al circuito que van conectados. a) Capacitores conectados en serie: Para capacitores conectados en serie la capacitancia equivalente c eq es : 1
ceq =
1 c1
+ 1 c2
+
c3
1
+ …… 1 cn
Para dos capacitores c1 y c2 conectados en serie: ceq =
1
=
1 42
1 c1+
ceq =
1 c2
c 1 + c2 c1 c2
c1c2 c1 + c2 b) Capacitores conectados en paralelo. Para capacitores conectados en paralelo, la capacitancia equivalente c eq es : ceq = c1+c2+c3+…………….+c n Corriente y voltaje en un capacitor. La corriente instantánea en un capacitor i c es:
y el voltaje instantáneo en éste es : vc = 1 / c ∫ ic dt Inductores conectados en serie. para inductores conectados en serie suponiendo que no haya acoplamiento entre ellos, la inductancia equivalente leq es : leq = l1+l2+l3+…………….+l n Inductores conectados en paralelo. Para inductores conectados en paralelo (suponiendo que no haya acoplamiento entre ellos, la inductancia equivalente leq es:
Para dos inductores conectados en paralelo l 1 y l2 : leq =
1 1 + l1
1 l2 leq = l1l2 l1+ l2
=
1 l1 + l2 l1 l2
Voltaje y corriente en un inductor. El voltaje instantáneo en un inductor vl es diL
∆iL 43
VL = l
=L
dt ) ∆t y la corriente instantánea en un inductor es : iL = 1 / L ∫ vL dt
3.3 RELACIONES DE VOLTAJES Y CORRIENTE ( V FASORIALES.
- Ι ) Y DIAGRAMAS
a) Resistencia pura.
Es un elemento resistivo puro, la intensidad de corriente y la tension estan en fase. El modulo de la impedancia es r . R V
i
ωt
2π
π
Considere el siguiente circuito:
El voltaje V proporcionado por la fuente de C. A. Es : v = vm sen wt
(1)
Aplicando la ley de ohm I= v/r 44
I = vm / r sen ωt
(2)
Considerando una corriente también senoidal : i = im sen ωt
(3)
Igualando 2 y 3 : Im sen ωt = vm sen ωt Si se grafica V e i, de las ecuaciones 1 y 3 , respectivamente en función del tiempo. VR
IR
Vm Im
t
0
-Im Se observa que: “El voltaje y la corriente en una resistencia pura estan en fase “ en términos de fasores : i = Ι ∠ 0º V = V ∠ 0º El diagrama fasorial en este caso seria : Im
i
V
R eq
La impedancia Z es: 45
Z=V Ι En término de fasores Z = V∠0º Ι∠0º Y en números complejos:
Donde:
Z = V (Cos oº + jsen 0º) Ι (Cos 0º + jsen 0º) Z=R, por lo que: En un circuito puramente resistivo, la impedancia es un número real e igual a R
R=V Ι
b) Inductancia pura
Considérese el siguiente circuito:
V
iL
L
La corriente que fluye por una inductancia pura (l) es : iL = Im sen w t
(4)
La ecuación del voltaje instantáneo instantáneo en un inductor inductor : Vl = l El voltaje en el inductor es es : (5)
d(i l) / dt VL
=
w
L
Im
cos
ω
t 46
Dicho Dicho voltaje también también puede expresarse expresarse en forma senoidal senoidal y en función del voltaje máximo como : Vl = Vm sen ( ω t + 90 º ) (6) Igualando 5 y 6
Vm sen (ω t + 90 º ) = ω L Im cos ω t sen (ωt + 90º ) = cos ωt Vm = ω L Im Si se grafic grafica a i y V, de las las ecuacion ecuaciones es 4 y 6 respectiv respectivamen amente, te, en funci función ón del tiempo. VL Im
IL
t
0
-Im -Vm Se observa que: “El voltaje tiene un adelanto de 90 º sobre la corriente o la corriente un retraso de 90 º en relación al voltaje.” En términos de fasores: i = I ∠ 0º V = V ∠ 90º El diagrama fasorial en este sería:
V
La impedancia z es: Z=V/i En términos de fasores : 47
Z = V ∠ 90º Ι∠ 0º Y en números complejos: complejos: 0 1 º) z = V ( cos 90 º + j sen 90 cos 0 º + j sen 0 º ) Ι( cos 1 Donde:
0 V / Ι = XL
Por lo que: Z = j X l la impedancia en un circuito puramente inductivo es un número imaginario. En esta ecuación: X l = reactancia inductiva esta dada en ( Ω ) En funci función ón de la frec frecue uenc ncia ia f ( hert hertzz ) reactancia inductiva queda como :
y la induc inducta tanc ncia ia en ( henr henrys ys ), la
X L= 2 π f L
c) Capacitancia pura
Considérese el siguiente circuito:
V
ic
C
El voltaje en las terminales de la capacitancia pura c es : Vc = vm sen ωt (7) Aplicando la ecuación de la corriente instantánea en un capacitor ic = c dVc dt La corriente en el capacitor es: ic = ω C Vm cos wt (8) Dicha corriente también puede expresarse en forma senoidal y en función de la corriente máxima como: ic = Im sen (ωt + 90º ) (9) Igualando 8 y 9 48
Im sen (ωt + 90º ) = ω C Vm cos ω t sen ( ωt + 90º ) = cos ωt Im = ω CVm Si se grafica V e i, de las ecuaciones 7 y 9 respectivamente, en función del tiempo.
Ιm
Vc
I
t -Ιm -Vm
Se observa que: El voltaje tiene un retraso de 90 º sobre la corriente o la corriente tiene un adelanto de 90 º en relación al voltaje. En términos de fasores: i = I ∠ 90 º V=V∠0º El diagrama fasorial en esta serie:
Im
i
V
La impedancia z es: En términos de fasores:
Re
Z=V i Z = V ∠ 0º Ι ∠ 90º
∴ Z∠-90º 49
Y en números complejos: 1 0 z = v ( cos o º + j sen 0 º ) Ι ( cos 90 º + j sen 90 º ) 0
1 1/j=-j
Como: Entonces: Donde:
Z= v
1 Ι
j
Z = V (-j) Ι v = Xc Ι
Por lo que: Z = - j Xc imaginaria.
la impedancia en un circuito puramente capacitivo es
En esta ecuación: Xc = reactancia capacitiva ( Ω ) En función de la frecuencia ( hz ) y la capacitancia en ( f ) la reactancia capacitiva queda como : Xc = 1 / (2 πfC)
50
3.4 EJEMPLOS Ejemplo No.1 Dada una caja negra con la corriente y voltaje que se dan a continuación en las terminales, determinarse en cada caso que el elemento pasivo ideal se encuentra en el interior de la caja y su valor. A) i = 4 sen ( 754 t + 70º ); u = 1600 sen ( 754t + 20º ) i = 60 se n ( 1000t + 45º ) ; v =300 sen ( 1000t + π/ 4 ) i = 4 cos ( 400 t + 60 º ) ; v = 3800 sen ( 400 t + 60 º ) Solución: B) C)
A) la caja negra descrita seria la siguiente: i =4 Sen ( 754 t - 70º )
u = 1600 sen (754t +
De las ecuaciones de corriente y voltaje se observa que: El voltaje tiene un adelanto sobre la corriente de 20 º - (- 70 º) = 90 º por lo que el elemento es un inductor. Calculando la reactancia inductiva con: Xl = v / i Xl = 1600 volts / 4 amperes Xl = 400 Calculando la frecuencia con: f = ω/2π f = 754 radianes / 2 πrad f = 120 hz De la ecuación: XL = 2 π f L Se despejando L : 51
L = xl / 2 π f L = 400 / ( 2 π rad ) ( 120 hz ) L = 0.53 h Por lo que dicho circuito queda de la siguiente manera: i = 4 SEN (754t L= V = 1600 SEN (754
B) La caja negra descrita sería la siguiente: i = 60 sen
V = 3000 SEN (1000t
Transformando π/4 rad a grados:
360º : 2π rad :: x: π/4
X = (360º ) (π/4 rad) = 45º 2πrad Por lo que el voltaje queda como: V = 300 sen (1000t + 45º) Y se observa que la corriente y el voltaje están en fase, por lo que el elemento es un resistor. El valor de dicho resistor esta dado a través de la Ley de Ohm como: R = V
= 300 I 60
R = 5Ω Por lo que dicho circuito queda de la siguiente manera:
52
I = 60 SEN (1000t +
R=
V = 300 SEN(1000t +
C) La caja negra descrita seria la siguiente : i = 4 COS (400t + 60º) V = 3800 SEN (400t + 60º
La corriente i = 4 COS (400 t + 60 º) se puede expresar también como una función senoidal sumando 90º a su argumento: i = 4 sen ( 400 t + 60 º + 90 º ) i = 4 sen ( 400 t + 150 º ) De las ecuaciones de corriente y voltaje se observa que: El voltaje tiene un defasamiento de 60 - 150 = - 90º (retraso) con respecto a la corriente por lo que el elemento es un capacitor. Calculando la reactancia capacitiva con: XC = V / I XC =3800 V / 4 A XC= 950 Ω Calculando la frecuencia con : f = w / 2π f = 400RAD / SEG. 2 πRAD f = 63 .66 HZ De la ecuación : XC = 1 / 2πf C Se desea el: 53
C = 1 / 2πf XC C =1 / ( 2π RAD ) ( 63.66 HZ ) ( 950 ) C = 2.63 X 10 - 6 F Como 1 F = 10 6 u F 1 F = 10 -6 µ F Y 2.63 X 10 -- 6 F : X µ F X µF = (10 6 µF ) ( 2.63 X 10 - 6 F ) IF X uF = 2.63 µ F C = 2.63 µF Por lo que dicho circuito queda de la siguiente manera: i = 4 SEN ( 400t+ C= 2.63µF
V = 3600 SEN (400t + Ejemplo No. 2 En el siguiente circuito de 3 ramas en paralelo sometidos a un voltaje con varias resistencias, inductancias y capacitancias, determinar la impedancia equivalente y la intensidad de corriente, así como el diagrama fasorial.
z1 V=50 |0º
z2
z3
V 10
3
z1 = 10+0 ĵ → 10 |0º z2 = 3+4 ĵ → 5 |53.1º z3 = 8-6 ĵ → 10 |-36.8º Incógnitas: a) z T = ? b) I T = ? c) Diagrama fasorial
8
Considerando: V T = V1 = V2 = V3 6I T = I1+I2+I3 4
Solución: b)
I T = I1+I2+I3 I1
=
VT z1
50 | 0º =
10 | 0º
=
5 | 0º
→ 5+0 ĵ 54
I2
=
I3
=
VT z2
VT z3
=
50 | 0º 5 | 53.1º
= 10
50 | 0º =
10 |
−
36 .8º
=
| 53.1º
→ 6-8 ĵ
5 | 36.8º
→ 4+3 ĵ _________ 15-5 ĵ
VT
50 | 0º
a)
zT
c)
Diagrama fasorial
=
IT
=
15.8 |
.4º
−18
=
3.16 | 18.4º
θ=18.4º
→
→
15.8 |-18.4º
3+1 ĵ
V=50 | 0º IT=15.8 1
Ejemplo No.3 Un circuito serie representado en la siguiente figura consta de una resistencia, una inductancia y un capacitor. Determinar la impedancia equivalente y la intensidad de corriente total, y demostrar que la suma de las caídas de tensión es igual a la tensión aplicada. z1
V= 100V
z2
V
IT
z1 = 4+0 ĵ → 4 |0º z2 = 0+3 ĵ → 3 |90º z3 = 0-6 ĵ → 6 |-90º
Incógnitas: a) z T = ? b) I T = ? c) V T = V1+V2+V3
Considerando:
z3
z T = z1+z2+z3 I T = I1 = I2 = I3
Demostrar
Solución: a)
z T = z1+z2+z3 = (4+0 ĵ)+(0+3 ĵ)+(0-6 ĵ) = 4-3 ĵ → 5 |-36.8º 55
VT
100 | 0º
b)
IT
c)
V T = V1+V2+V3
=
zT
=
5|
−
36.8º
=
20 | 36 .8º
→ 16.01+11.98 ĵ
V1 = I T(z1) = (20 |36.8º) (4 |0º) = 80 |36.8º → 64.05+47.92 ĵ V2 = I T(z2) = (20 |36.8º) (3 |90º) = 60 |126.8º → -35.94+48.04 ĵ V3 = I T(z3) = (20 |36.8º) (6 |-90º) = 120 |-53.2º → 71.88-96.08 ĵ _______________ 99.99-0.12 ĵ 99.99 |0º ≈ 100 |0º Ejemplo No. 4 Para el siguiente circuito determine la diferencia de potencial entre A y B, así como entre A y C.
Con
56
Cálculo de Z total
57
58
UNIDAD IV POTENCIA ELÉCTRICA Potencia sea eléctrica o mecanica significa la rapidez con la que se realiza un trabajo. Siempre se realiza trabajo cuando una fuerza provoca movimiento. Si se emplea una fuerza mecánica para levantar o mover una pesa, se hace trabajo. Sin embargo, la fuerza ejercida sin causar movimiento como la fuerza de un resorte en tensión entre dos objetos inmóviles no es trabajo Anteriormente se ha aprendido que la fuerza eléctrica ejercida es tensión o voltaje y que esa tensión o voltaje produce el flujo de corriente, o sea el movimiento de electrones. Una tensión entre dos puntos que no causa flujo de corriente es similar al resorte tenso que no se mueve y, por lo tanto, no produce trabajo. Siempre que la tensión provoca movimiento de electrones, se realiza un trabajo al desplazar a los electrones de un punto a otro. La rapidez con que este trabajo se realiza se denomina como potencia eléctrica. Para realizar la misma cantidad total de trabajo puede emplearse distinto tiempo. Por ejemplo, se puede mover de un punto a otro un número dado de electrones en un segundo o en una hora, dependiendo de la velocidad con que se los mueva; el trabajo total realizado será el mismo en ambos casos. Si se hace todo el trabajo total realizado será el mismo en ambos casos. Si se hace todo el trabajo en un segundo, mas energía eléctrica se transformara por segundo en calor o luz si esa cantidad total de trabajo se hiciese en una hora. 4.1 UNIDADES DE POTENCIA ELÉCTRICA La unidad basica de potencia es el Watt, que equivale a voltaje multiplicado por intensidad de corriente, o sea la cantidad de coulombs de electrones que pasan por un punto en un segundo. Esto representa la velocidad con que esta realizando el trabajo de mover electrones en un material. El símbolo P indica potencia eléctrica. He aquí como se determina la potencia utilizada en una resistencia En un circuito consiste en una resistencia de 15 ohms con una fuente de tensión de 45 volts, pasan 3 amperes por la resistencia. La potencia empleada puede hallarse multiplicando tensión por intensidad de corriente. 4.2 POTENCIA DE LOS EQUIPOS ELÉCTRICOS Cuando la resistencia utiliza demasiada potencia, la rapidez con la que la energía eléctrica se convierte en calor aumenta y la temperatura de la resistencia sube. Si la temperatura se eleva demasiado, el material puede modificar su composición, dilatarse, contraerse o quemarse por el calor. Por ese motivo todos los equipos eléctricos indican la cantidad máxima de watts que soportan. Esta indicación puede expresarse en watts o, a menudo, en términos de tensión e intensidad de corriente máximas, las cuales en realidad indican la capacidad en watts. 59
Las resistencias también vienen identificadas en watts, además de los ohms de resistencia. Existen resistencias de iguales valores en ohms, pero distinto wattaje. Las resistencias de carbón por ejemplo, se hacen comúnmente de 1/3, 1/2, 1 y 2 watts. Cuanto mayor sea el tamaño de la resistencia de carbón, mayor será su capacidad en watts, dado que habrá una cantidad mas grande de material para absorber y transmitir el calor fácilmente. Para resistencias de más de 2 watts se emplean las de alambre bobinado. Estas resistencias se hacen para disipaciones de 5 a 200 watts, habiendo tipos especiales para potencias superiores a 200 watts. 4.3 POTENCIA EN CORRIENTE CONTINUA Cuando se trata de corriente continua (DC) la potencia eléctrica desarrollada en un cierto instante por un dispositivo de dos terminales es el producto de la diferencia de potencial entre dichos terminales y la intensidad de corriente que pasa a través del dispositivo. Esto es, P V I =
⋅
donde I es el valor instantáneo de la corriente y V es el valor instantáneo del voltaje. Si I se expresa en amperios y V en voltios, P estará expresada en Watts. Igual definición se aplica cuando se consideran valores promedio para I, V y P. Cuando el dispositivo es una resistencia de valor R o se puede calcular la resistencia equivalente del dispositivo, la potencia también puede calcularse como 2
P = R ⋅ I
=
V
2
R
4.4 POTENCIA EN CORRIENTE ALTERNA
Cuando se trata de corriente alterna (AC) sinusoidal, el promedio de potencia eléctrica desarrollada por un dispositivo de dos terminales es una función de los valores eficaces o valores cuadráticos medios, de la diferencia de potencial entre los terminales y de la intensidad de corriente que pasa a través del dispositivo. En el caso de un receptor de carácter inductivo (caso más común) al que se aplica una tensión v(t) de pulsación ω y valor de pico Vo resulta: v(t ) = V O ⋅ cos( wt )
Esto provocará una corriente i(t) retrasada un ángulo φ respecto de la tensión aplicada: i ( t )
i
= o ⋅
sin( wt ⋅ φ ) 60
La potencia instantánea vendrá dada como el producto de las expresiones anteriores: p(t ) = V o ⋅ I o sin( wt ) ⋅ sin( wt − φ )
Mediante trigonometría, la anterior expresión puede transformarse en la siguiente: p(t ) = V o ⋅ I o
cos(φ ) − cos( 2 wt − φ ) 2
Y sustituyendo los valores de pico por los eficaces: p(t ) = V ⋅ I cos(φ ) −V ⋅ I cos( 2 wt − φ )
Se obtiene así para la potencia un valor constante, VI cos (φ) y otro variable con el tiempo, VI cos(2ωt − φ). Al primer valor se le denomina potencia activa y al segundo potencia fluctuante. 4.5 EJMPLOS Ejemplo No. 1 Determinar el trabajo de potencia y el factor de potencial del siguiente circuito RCL 3
6j
-2j
V
Si se cuenta con un atensión de V= 100<30º volts Primero se calcula la impudencia total ZT = 3+(6-2)j ZT = 3+4j = 5<53.13º I= V Z I = 100<30º volts = (20<-23.13º) 5<53.13º Ø = es el ángulo de la impedancia total a)
S= IV = (20)(100) S= 2000 VA = 2 KVA 61
P= IV cosØ = t (20) (100) (cos53.13)
0.60
P = 1200.00 watts Q= IV senØ = (20)(100)sen(53.18) = 1599.99 VAR b) fp= cosØ = 0.5000 Ejemplo No. 2 Un circuito en serie 600 watts con un factor de potencia de 0.7 en atraso nombrar la impedancia desconocida y determinar el triangulo de potencia cuando es alimentado por un voltaje de 100<0º
V
DATOS P = 600 watts V = 100<0º Z1 = 6+0j-6<0º F p = 0.7 Resolviendo P = IVcosØ I= P = 600 w VcosØ 100<0º(0.7) ZT =
V I
= 8.57 amp
= 100<0º = 11.6<0º = 11.6+0j 8.57<0º
ZT = Z1+Z2 Z2 = ZT – Z1 = (1.6+0j) – (6+0j -6<º) Z2 = 5.6<0º ohm b) S = IV = (8.57<0º)(100<غ) S = 857 VA Ø = arcos(0.7) = 45.50 Q = Iv senØ = (857)(sen45.5º) Q = 611.25 VAR 62
Ejemplo No. 3 En el siguiente circuito la potencia disipada en la Resistencia de 8 ohm es de 50 watts obtener el triangulo de potencia de dicho circuito.
6 ohm
3 ohm
3 ohm
V -2j ohm
8j ohm
9j ohm
P2 = 150w en la resistencia de 8 ohm P =? IV cos Ø P = IV = I (IR) = I2R S =? IV Q = ? IVsenØ P = I2R Z1 = 6-2j Z2 = 8+8j Z3 = 3+4j I= V V = IR R Para la rama II I2 = amp
P
=
150 = 4.33
V
Z1
Z2
Z3
R 8 V2 = I2Z2 V2 = (4.33)(8+8j) V2 = 48.97 volts Considere VT = V1 = V2 = V3
Para calcular Z1 ZT =
1 Z1
+
1 1 Z2
+
Z3
1
= 3.7<24.50º ohm
Con ley de ohm 63
I= V = Z1
48.97 3.7
= 13.24 amp
S = IV = (13.24)(48.97) = 648.3 VA P = IVcosØ = (648.3)cos(24.59º) = 589.5 watts Q = IVsen = (648.31)sen(24.59º) = 269.8 VAR
UNIDAD V 64
POTENCIA DE CORRIENTE ALTERNA Y TRIÁNGULO DE POTENCIA 5.1 FACTOR DE POTENCIA
Figura 1. Triángulo de potencias. Se define factor de potencia, f.d.p., de un circuito de corriente alterna, como la relación entre la potencia activa, P, y la potencia aparente, S, o bien como el coseno del ángulo que forman los fasores de la intensidad y el voltaje, designándose en este caso como cosφ, siendo φ el valor de dicho ángulo. De acuerdo con el triángulo de potencias de la figura 1:
Donde:
P = I V Cos θ
es la potencia activa
Q = I V Sen θ
= Q + P 2
S=IV
(Watt)
es la potencia reactiva en (VAR)
2
es a potencia aparente en (VA)
El dispositivo utilizado para medir el f.d.p. se denomina cosímetro. Para comprender la importancia del f.d.p. se van a considerar dos receptores con la misma potencia, 1000 W, conectados a la misma tensión de 230 V, pero el primero con un f.d.p. alto, cosφ1=0,96, y el segundo con uno bajo, cosφ2=0,25. •
Primer receptor
•
Segundo receptor
Cotejando ambos resultados, se obtienen las siguientes conclusiones:
65
• •
Un f.d.p. bajo comparado con otro alto, origina, para una misma potencia, una mayor demanda de intensidad, lo que implica la necesidad de utilizar cables de mayor sección. La potencia aparente es tanto mayor cuanto más bajo sea el f.d.p., lo que origina una mayor dimensión de los generadores.
Ambas conclusiones nos llevan a un mayor coste de la instalación alimentadora. Esto no resulta práctico para las compañías eléctricas, puesto que el gasto es mayor para un f.d.p. bajo. Es por ello que las compañías suministradoras penalizan la existencia de un f.d.p. bajo, obligando a su mejora o imponiendo costes adicionales. 5.2 INFLUENCIA DEL TIPO DE CARGAS
El valor del f.d.p. viene determinado por el tipo de cargas conectadas en una instalación. De acuerdo con su definición, el factor de potencia es adimensional y solamente puede tomar valores entre 0 y 1. En un circuito resistivo puro recorrido por una corriente alterna, la intensidad y la tensión están en fase (φ=0), esto es, cambian de polaridad en el mismo instante en cada ciclo, siendo por lo tanto el factor de potencia la unidad. Por otro lado, en un circuito reactivo puro, la intensidad y la tensión están en cuadratura (φ=90º) siendo nulo el valor del f.d.p. En la práctica los circuitos no pueden ser puramente resistivos ni reactivos, observándose desfases, más o menos significativos, entre las formas de onda de la corriente y el voltaje. Así, si el f.d.p. está cercano a la unidad, se dirá que es un circuito fuertemente resistivo por lo que su f.d.p. es alto, mientras que si está cercano a cero que es fuertemente reactivo y su f.d.p. es bajo. Cuando el circuito sea de carácter inductivo, caso más común, se hablará de un f.d.p. en retraso, mientras que se dice en adelanto cuando lo es de carácter capacitivo. Las cargas inductivas, tales como transformadores, motores de inducción y, en general, cualquier tipo de inductancia (tal como las que acompañan a las lámparas fluorescentes) generan potencia inductiva con la intensidad retrasada respecto a la tensión. Las cargas capacitivas, tales como bancos de condensadores o cables enterrados, generan potencia reactiva con la intensidad adelantada respecto a la tensión. 5.3 CORRECCIÓN DEL FACTOR DE POTENCIA
A menudo es posible ajustar el factor de potencia de un sistema a un valor muy próximo a la unidad. Esta práctica es conocida como mejora o corrección del factor de potencia y se realiza mediante la conexión a través de conmutadores, en general automáticos, de bancos de condensadores o de inductores. Por ejemplo, el efecto inductivo de las cargas de motores puede ser corregido localmente mediante la conexión de condensadores. En determinadas ocasiones pueden instalarse motores síncronos con los que se puede inyectar potencia capacitiva o reactiva con tan solo variar la corriente de excitación del motor. 66
Las pérdidas de energía en las líneas de transporte de energía eléctrica aumentan con el incremento de la intensidad. Como se ha comprobado, cuanto más bajo sea el f.d.p. de una carga, se requiere más corriente para conseguir la misma cantidad de energía útil. Por tanto, como ya se ha comentado, las compañías suministradoras de electricidad, para conseguir una mayor eficiencia de su red, requieren que los usuarios, especialmente aquellos que utilizan grandes potencias, mantengan los factores de potencia de sus respectivas cargas dentro de límites especificados, estando sujetos, de lo contrario, a pagos adicionales por energía reactiva. La mejora del factor de potencia debe ser realizada de una forma cuidadosa con objeto de mantenerlo lo más alto posible, pero sin llegar nunca a la unidad, ya que en este caso se produce el fenómeno de la resonancia que puede dar lugar a la aparición de tensiones o intensidades peligrosas para la red. Es por ello que en los casos de grandes variaciones en la composición de la carga es preferible que la corrección se realice por medios automáticos. Supongamos una instalación de tipo inductivo cuyas potencias P, Q y S forma el triángulo de la figura 2. Si se desea mejora el cosφ a otro mejor cosφ', sin variar la potencia activa P, se deberán conectar un banco de condensadores en paralelo a la entrada de la instalación para generar una potencia reactiva Qc de signo contrario al de Q, para así obtener una potencia reactiva final Qf. Analíticamente:
Por un lado Y análogamente Por otro lado
Donde ω es la pulsación y C la capacidad de la batería de condensadores que permitirá la mejora del f.d.p. al valor deseado. Sustituyendo en la primera igualdad, De donde:
67
5.4 EJEMPLOS Ejemplo No. 1 El circuito serie de la siguiente figura consume 600 watts con un factor de potencia igual a 0.7. Encontrar la impedancia desconocida y determinar el triángulo de potencia si está alimentada por una tensión de 100 volts <0°. Datos: V= 100<0° P=600 watts f.p= 0.7 Z2=? Q=? S==? Solución: Considerando 0.7= Cos Ө Ө= arcos (0.7)= 45.57° Se calcula la potencia real P= IVCosӨ= IV (0.7) I= P/V (0.7) I= 600 w/ (100 v (0.7)) I= 8.57 A I T= V T/ Z T La impedancia es: Z T= V T /I T Z T= 100 v/ 6.57 A Z T= 11.66 Ω Z T= Z1+ Z2 Z2= Z T- Z1= (11.66-6) Ω Z2= 5.66 Ω Fanalmente la potencia reactiva y aparente es: S=P/f.p= 600 w/0.7= 857.14 VA S=857.14 VA Q= (8.57 A) (100 v) (sen 45.57°)= 611.99 VAR= 612 KVAR Q=612 KVAR
68
Ejemplo No. 2 Una carga total de una industria es de 800 Kw. con un factor de potencia de 0.85 y se alimenta con 220V. Determinar el valor del banco de capacitares para tener un factor de potencia de 0.95. Qc P Θ’
Q’
Θ
Q S Donde: Q=Potencia reactiva Q’=Potencia reactiva corregida Qc=Potencia reactiva capacitiva Xc=Reactancia capacitiva C=Capacitor Datos: P=800Kw f p=0.85 V=220 Volts Calcular: C=?? SI f p=0.95 Calculando: θ arccos( f ) =
P
=arc cos (0.85) =31.79° θ ' =
arccos(
f ) P
’=arc cos (0.95) ’=18.19° Q = Ptg θ
Q=800Kw (tg 31.79°) Q=495.83 KVAR Q ' = Ptg
Q’=800Kw (tg 18.19°) Q’=262.6 KVAR
Q
=
C
Q
−
Q'
Qc=495.83 KVAR-262.6 KVAR Qc=232.95 KVAR 69
xC =
x
C
=
V
2
Qc
( 200) 2 Volts 232.95 KVAR
Xc=0.2078 Ώ C =
C =
1 2Π fXc
1 2Π(60)(0.2078)
C=13 µF Ejemplo No. 3. Una carga industrial es de 8500 Kw. con un factor de potencia de 0.5 se alimenta con una frecuencia de 60 H Z y un voltaje de 250V quiere ser corregida a un factor de potencia de 0.97. Determinar el valor del banco de capacitares. Qc P Θ’
Q’
Θ
Q S Donde: Q=Potencia reactiva Q’=Potencia reactiva corregida Qc=Potencia reactiva capacitiva Xc=Reactancia capacitiva C=Capacitor Datos: P=8500Kw f p=0.5 V=250 Volts f=60 HZ Calcular: C=?? SI f p=0.97 Calculando: θ arccos( f ) =
P
70
=arc cos (0.5) =60° θ ' = arccos( f ) P
’=arc cos (0.97) ’=14.07° Q = Ptg (θ )
Q=8500Kw (tg 60°) Q=14722.4 KVAR Q' = Ptg (θ ' )
Q’=8500Kw (tg 14.07°) Q’=2130.3 KVAR
Q
=
C
Q Q' −
Qc=14722.4 KVAR-2130.3 KVAR Qc=12592.1 KVAR
x
C
x
C
=
=
V
2
Qc
(250) 2 Volts 12592.2 KVAR C =
C =
XC=4.96x10-3 Ώ
1 2Π fXc
1 2Π(60)(4.96 X 10 −3 )
C=53 µF
UNIDAD VI TRANSFORMADORES Y MOTORES MOTORES DE INDUCCIÓN INDUCCIÓN 6.1 POTENCIA PRIMARIA Y SECUNDARIA EN UN TRANSFORMADOR IDEAL. En un tran transf sfor orma mado dorr idea ideal, l, toda toda la pote potenc ncia ia del del prim primar ario io se tran transf sfie iere re íntegramente al secundario: pp=ps 71
desarrollando: vpip = vsis ordenando:
y ya que que exis existe te una una rela relaci ción ón dire direct cta a entr entre e el núme número ro de espi espira rass de un embobinado y su voltaje:
A la ecuación anterior se le conoce como relación de transformación, la cual rige el funcionamiento funcionamiento de todo transformador. Nótese que se trata de una cuádruple igualdad, de la cual, se puede considerar la parte que sea necesaria. En la ecuación anterior: vp= voltaje del primario, expresado en volts (v). vs= voltaje del secundario, expresado en volts (v). ip= corriente del primario, expresado en amperes (a). is= corriente del secundario, expresado en amperes (a). np= numero de vueltas o espiras del primario. ns= numero de vueltas o espiras del secundario. Considerando la relación de transformación: si a > 1; np> ns, lo que se puede representar así:
en donde: vp > vs por lo que el transformador se denomina reductor de voltaje. y en donde ip < is por lo que al transformador se le denomina elevador 72
de corriente. aunque siempre se hace referencia a su característica de voltaje, por lo que simplemente se le llama transformador reductor. si a < 1; np < ns, lo cual se puede representar así:
en donde vp < vs por lo que el transformador se le denomina elevador de voltaje. y en donde ip>is por lo que el transformador se denomina reductor de corriente. aunque siempre se hace referencia a su característica de voltaje, por lo que simplemente se le llama
6.2 CALIDAD DE UN TRANSFORMADOR Dos factores que determinan la calidad de un transformador son: •
Porcentaje de regulación.
•
Eficiencia.
Porcentaje de regulación.
Indica que tanto varía el voltaje en el secundario de un transformador al quitarle la carga. Matemáticamente: Matemáticamente:
Donde: Vva Vvacio = Volta oltaje je en vac vacio (vol voltaje taje medid edido o en el sec secundar ndario io de un transformador al quitarle la carga), expresada en volts (v). V p.c p.c = Volt Voltaj aje e en plen plena a carg carga a (vol (volta taje je nomi nomina nall del secu secund ndar ario io de un transf transform ormado ador, r, obteni obtenido do de la relaci relación ón de transf transform ormaci ación ón en funció función n de voltajes. Es el voltaje que entrega el secundario de un transformador cuando tiene conectado la carga que produce que circule la máxima corriente en dicho devanado, sin que exista daño físico en el mismo), expresado en volts (v). % Reg. = Porcentaje de regulación (cuando Vvacio = Vp.c se tiene el %Reg. ideal que es 0%) 73
Eficiencia
La eficiencia de un transformador puede calcularse a través de:
O en forma de porcentaje:
Donde: Ps= potencia de salida (potencia aparente del transformador), expresado en volts- Ampere (VA) o kilovolts- Ampere (KVA) Perdidas= perdidas totales (incluye a las perdidas en el núcleo y en los devanados del transformador), expresados en Watts (W) o kilowatts (Kw). Comentando sobre las pérdidas en un transformador: Pérdidas = Pn + Pd Donde: Pn = Pérdidas en el núcleo (causadas por fugas de energía en la inducción magnética. Una vez construido el transformador no varían), expresadas en watts (w) o Kilowatts (Kw). Pd = Pérdidas en lo devanados o pérdidas en el cobre (causadas por caídas de energía durante la conducción. Varían según la carga conectada al secundario), expresado en watts (w) o en kilowatts (Kw). Si se introducen factores que afectan la eficiencia de un transformador, se pueden escribir ecuaciones como estas:
O en forma de porcentaje:
Donde: n: Factor de carga (cantidad adimensional que esta entre 0 y1, 0= funcionamiento en vacio, 1= funcionamiento a plena carga. Pueden existir valores intermedios como ½ = funcionamiento o media carga, ¾ = funcionamiento a ¾ de carga, etc.)
74
FP: Factor de potencia (cantidad adimensional que esta entre 0 y 1. Indica el aprovechamiento de la energía eléctrica) En las ecuaciones anteriores: η representa la eficiencia y %η el porcentaje de eficiencia.
6.3 EJEMPLOS Ejemplo No.1 Calcula el porcentaje de regulación de un transformador de 2300/115 (v), cuyo voltaje en vació se midió y resulto 119 v.
Datos: Vp.c =115 v V vació= 119 v
Solución: Aplicando: Sustituyendo:
Incógnita: %Reg.= 3.48% %Reg.=? Ejemplo No. 2 Un transformador monofásico de distribución de 4600/220 (V), 60Hz; con porcentaje de regulación de 4%, tiene perdidas de 2 Kw a plena carga, si alimenta a una carga de 100 KVA y factor de potencia 0.9. Calcular: a) El voltaje al que se eleva el devanado secundario al quitarle la carga. b) El porcentaje de eficiencia del transformador.
75
Datos: Vp.c= 220 V % Reg. = 4% Perdidas= 2Kw = 2000w con n=1 Ps= 100 KVA =100 000 VA FP= 0.9
Incógnitas: V vacio =? % η=?
Solución: a) De la ecuación:
Se despeja Vvacio:
Sustituyendo valores:
b) Utilizando
Nota: ya que no se especifica si las perdidas son el núcleo o el cobre (devanados9, se realiza una combinación de las ecuaciones de eficiencia estudiadas anteriormente. 76
Sustituyendo valores: %η =
Ejemplo No.3 Una prueba en circuito abierto para determinar las pérdidas en el núcleo de un transformador de 20KVA, 300/1500 (V), da una lectura de 50 W. la medición en la resistencia en el devanado del lado de bajo voltaje de un valor de 0.05 Ω y la del devanado del lado de alto voltaje resulta de 1.5 Ω. Encontrar: a) Las pérdidas totales en el cobre (perdidas en los devanados). b) La eficiencia del transformador cuando el factor de potencia de la carga conectada al secundario es de 0.70.
Datos: Ps =20 KVA = 20000 VA Vp= 300 V Vs= 1500 V Pn= 50 W Rp = 0.05 Ω Rs =1.5 Ω FP= 0.70
Incógnitas: a) Pd= Pdp + Pds = ? b) η=?
Solución: a) Ps = VsIs
77
Is=13.33 A Utilizando la relación de transformación:
Entonces: VpIp= VsIs
Ip= 66.65 A Calculando las pérdidas en cada devanado: Pdp = Ip2 Rp Pdp = (66.65 A) 2 (0.05Ω) Pdp= 222.11 W Ejemplo No.4 En una subestación eléctrica se tiene un banco de tres transformadores monofásicos que se conectan en Δ/Y, obteniéndose a=2/3. El voltaje de línea en el primario es de 2000 V y por el secundario se alimenta una carga en cada fase de 100kW, con factor de potencia de 0.8. Calcular: a) Las magnitudes de las tensiones y corrientes de línea y de fase en la conexión Δ/Y. b) Los KVA de cada transformador. c) Los KVA de la subestación.
Representación y comentarios: El arreglo descrito consta de tres transformadores monofásicos cuyos primarios se conectan en delta o Δ y sus secundarios en Y o estrella (significado de Δ/Y). Como puede verse en las siguientes figuras:
78
En la representación anterior sería demasiado complicado en su elaboración para un análisis, por lo que en la práctica, se realiza una representación más simple. Solución: a) Por ser conexión Δ en el primario: V FP = V LP V FP = 2000V
Utilizando la relación de transformación: a=
V FP V FS
Entonces: V FS = V FS
V FP
a 2000V = 2
3 V FS = 3000v
Por ser conexión Y en el secundario: V LS =
3V FS
V SL =
3 ( 3000V )
V SL = 5196.15V
79
El triángulo de potencias para cada fase del lado de los secundarios es:
Donde: P PROM = V LS I LS Cosφ Pero : FP = Cosφ P a = ( 5196.15V )( 24.06 A) P A = 125019.37VA P a = 125.02 KVA
c) La potencia aparente total del sistema trifásico: P aT =
3V LS I LS =
P aT =
3 (125.02 KVA )
3 P a
P aT = 216.54 KVA
Tabla de resultados: a)
VFP= 2000 V VFS= 3000 V VLS= 5196.15 V ILS= 24.06 A IFS= 24.06 A IFP= 36.09 A ILP= 62.51 A
b)
Pa= 125.02 KVA
c)
PAt= 216.54 kva
Nótese que el procedimiento anterior hace referencia a las características de las conexiones trifásicas Δ y Y, además de otros aspectos tratados en capítulos anteriores.
80
Obsérvese que la solución de un problema como este, cada paso del procedimiento deberá ser justificada y/o comentada. Ejemplo No.5 Considere una carga balanceada conectada en Y o estrella de cuatro hilos. Dicha carga tiene dos impedancias en cada fase, con los siguientes valores de potencia y factor de potencia: Pa1= 100KVA
y FP1= 0.8
PPROM2= 50 KW y FP2= 0.75 Obtenga el factor de potencia total de esta carga.
Solución: Para la impedancia 1: P prom1 P prom1 P prom1
= P a1 F P 1 = (100 KVA)( 0.8) = 80 KW
Para la impedancia 2: P prom 2
P a 2 F P 2
=
Entonces: P a 2 = P a 2 = P a 2
P prom2 F P 2 50 KW
0.75 = 66.67 KVA
Por lo que: 81
P a = P a1 + P a 2 P a = (100 + 66.67) KVA = 166.67 KVA P prom = P prom1 + P prom2 P prom = ( 80 + 50) KW = 130KW
Ahora: P prom
P a F P
=
Entonces: FP =
P prom P a
=
130 KW 166.67 KVA
= 0.78
UNIDAD VII MOTORES SÍNCRONOS 82
Un motor eléctrico es una máquina eléctrica que transforma energía eléctrica en energía mecánica por medio de interacciones electromagnéticas. Algunos de los motores eléctricos son reversibles, es decir, pueden transformar energía mecánica en energía eléctrica funcionando como generadores. De acuerdo a la fuente de tensión que alimente al motor, podemos realizar la siguiente clasificación: 7.1 MOTORES DE CORRIENTE DIRECTA (DC): Se utilizan en casos en los que es de importancia el poder regular continuamente la velocidad del eje y en aquellos casos en los que se necesita de un toque de arranque elevado. Además, utilizan en aquellos casos en los que es imprescindible utilizar corriente continua, como es el caso de trenes y automóviles eléctricos, motores para utilizar en el arranque y en los controles de automóviles, motores accionados a pilas o baterías, etc. Para funcionar, el motor de corriente continúa o directa precisa de dos circuitos eléctricos distintos: el circuito de campo magnético y el circuito de la armadura. El campo (básicamente un imán o un electroimán) permite la transformación de energía eléctrica recibida por la armadura en energía mecánica entregada a través del eje. La energía eléctrica que recibe el campo se consume totalmente en la resistencia externa con la cual se regula la corriente del campo magnético. Es decir ninguna parte de la energía eléctrica recibida por el circuito del campo, es transformada en energía mecánica. El campo magnético actúa como una especie de catalizador que permite la transformación de energía en la armadura. La armadura consiste en un grupo de bobinados alojados en el rotor y en un ingenioso dispositivo denominado colector mediante el cual se recibe corriente continua desde una fuente exterior y se convierte la correspondiente energía eléctrica en energía mecánica que se entrega a través del eje del motor. En la transformación se pierde un pequeño porcentaje de energía en los carbones del colector, en el cobre de los bobinados, en el hierro (por corrientes parásitas e histéresis), en los rodamientos del eje y la fricción del rotor por el aire.
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7.2 MOTORES DE CORRIENTE ALTERNA (AC): Bajo el título de motores de corriente alterna podemos reunir a los siguientes tipos de motor. a) El motor síncrono Este motor tiene la característica de que su velocidad de giro es directamente proporcional a la frecuencia de la red de corriente alterna que lo alimenta. Este motor o gira a la velocidad constante dada por la fuente, si la carga es excesiva, se detiene. El motor síncrono es utilizado en aquellos casos en que los que se desea velocidad constante. En nuestro medio sus aplicaciones son mínimas y casi siempre están en relacionadas con sistemas de regulación y control mas no con la transmisión de potencias elevadas. Como curiosidad vale la pena mencionar que el motor síncrono, al igual que el motor de corriente directa, precisa de un campo magnético que posibilite la transformación de energía eléctrica recibida por su correspondiente armadura en energía mecánica entregada a través del eje. A pesar de su uso reducido como motor, la maquina sincrónica es la más utilizada en la generación de energía eléctrica. Por ejemplo, en nuestro país, todas las centrales hidroeléctricas y termoeléctricas mediante generadores sincrónicos trifásicos. b) El motor asincrónico o de inducción Si se realizara a nivel industrial una encuesta de consumo de la energía eléctrica utilizada en alimentar motores, se vería que casi la totalidad del consumo estaría dedicado a los motores asincrónicos. Estos motores tienen la peculiaridad de que no precisan de un campo magnético alimentado con corriente continua como en los casos del motor de corriente directa o del motor sincrónico, una fuente de corriente alterna (trifásica o monofásica) alimenta a un estator. La corriente en las bobinas del estator induce corriente alterna en el circuito eléctrico del rotor y el rotor es obligado a girar. De acuerdo a la forma de construcción del rotor, los motores asincrónicos se clasifican en: c) Motor asincrónico de rotor bobinado
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Se utiliza en aquellos casos en los que la transmisión de potencia es demasiado elevada (a partir de 200 Kw) y es necesario reducir las corrientes de arranque. También se utiliza en aquellos casos en los que se desea regular la velocidad del eje. Su característica principal es que el rotor se aloja un conjunto de bobinas que además se pueden conectar al exterior a través de anillos rozantes. Colocando resistencias variables en serie a los bobinados del rotor se consigue suavizar las corrientes de arranque. De la misma manera, gracias a un conjunto de resistencias conectadas a los bobinados del rotor, se consigue regular la velocidad del eje. Un detalle interesante es que la velocidad del eje nunca podrá ser superior que la velocidad correspondiente si el motor fuera síncrono. d) Motor asincrónico tipo jaula de ardilla Es el motor relativamente más barato, eficiente, compacto y de fácil construcción y mantenimiento. Siempre que sea necesario utilizar un motor eléctrico, se debe procurar seleccionar un motor asincrónico tipo jaula de ardilla y si es trifásico mejor. Por otro lado, la única razón para utilizar un motor monofásico tipo jaula de ardilla en lugar de uno trifásico será porque la fuente de tensión a utilizar sea también monofásica. Esto sucede en aplicaciones de baja potencia. Es poco común encontrar motores monofásicos de más de 3 kw. La diferencia con el motor de rotor bobinado consiste en que el rotor está formado por un grupo de barras de aluminio o de cobre en formas similar al de una jaula de ardilla.
7.3 OTROS MOTORES. a) Motor universal. 85
Tiene la forma de un motor de corriente continua en conexión serie. La principal diferencia es que es diseñado para funcionar con corriente alterna. Se utiliza en los taladros, aspiradoras, licuadoras, lustradoras, etc. su eficiencia es baja (de orden del 51%), pero como se utilizan en maquinas de pequeña potencia esta ineficiencia no se considera importante. b) Motor de pasos. Básicamente consiste en un motor con por lo menos cuatro bobinas que al ser energizadas con corriente continua de acuerdo a una secuencia, origina el avance del eje de acuerdo a ángulos exactos (submúltiplos de 360). Estos motores son muy utilizados en impresoras de microcomputadoras, en general, el sistema de control de posición accionado digitalmente. c) Motor de corriente continúa: El motor de corriente continua es una máquina que convierte la energía eléctrica en mecánica, principalmente mediante el movimiento rotatorio. En la actualidad existen nuevas aplicaciones con motores eléctricos que no producen movimiento rotatorio, sino que con algunas modificaciones, ejercen tracción sobre un riel. Estos motores se conocen como motores lineales. Este motor está compuesto por 2 partes fundamentales que son: Estator: Parte fija de la máquina. Su función es suministrar el flujo magnético que será usado por el bobinado del rotor para realizar su movimiento giratorio. Rotor: Parte móvil del motor, proporciona el torque par mover a la carga A su vez el rotor está compuesto por diferentes partes las cuales son:
Eje: Formado por una barra de acero fresada. Imparte la rotación al núcleo, devanado y al colector.
Núcleo: Se localiza sobre el eje. Fabricado con capas laminadas de acero, su función es proporcionar un trayecto magnético entre los polos para que el flujo magnético del devanado circule.
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Las laminaciones tienen por objeto reducir las corrientes parásitas en el núcleo. El acero del núcleo debe ser capaz de mantener bajas las pérdidas por histéresis. Este núcleo laminado contiene ranuras a lo largo de su superficie para albergar al devanado de la armadura (bobinado). Devanado: Consta de bobinas aisladas entre sí y entre el núcleo de la ∗ armadura. Estas bobinas están alojadas en las ranuras, y están conectadas eléctricamente con el colector, el cual debido a su movimiento rotatorio, proporciona un camino de conducción conmutado. ∗ Colector: Denominado también conmutador, está constituido de láminas de material conductor (delgas), separadas entre sí y del centro del eje por un material aislante, para evitar cortocircuito con dichos elementos. El colector se encuentra sobre uno de los extremos del eje del rotor, de modo que gira con éste y está en contacto con las escobillas. La función del colector es recoger la tensión producida por el devanado inducido, transmitiéndola al circuito por medio de las escobillas. Al igual que el rotor el estator se compone de diversas partes las cuales son: ∗ Armazón: Denominado también yugo, tiene dos funciones primordiales: servir como soporte y proporcionar una trayectoria de retorno al flujo magnético del rotor y del imán permanente, para completar el circuito magnético. ∗ Imán permanente: Compuesto de material ferro magnético altamente remanente, se encuentra fijado al armazón o carcasa del estator. Su función es proporcionar un campo magnético uniforme al devanado del rotor o armadura, de modo que interactúe con el campo formado por el bobinado, y se origine el movimiento del rotor como resultado de la interacción de estos campos. ∗ Tapas: Llamadas también escudos, están conectadas mecánicamente con el armazón, contienen cojinetes, los cuales están en contacto con el eje, para permitirle un movimiento sin fricción. Además, una de las tapas alberga los porta escobillas y las escobillas, las cuales están en contacto con el conmutador o colector. ∗ Escobillas: Las escobillas están fabricadas se carbón, y poseen una dureza menor que la del colector, para evitar que éste se desgaste rápidamente. Se encuentran albergadas por los porta escobillas. Ambos, escobillas y porta escobillas, se encuentran en una de las tapas del estator.
La función de las escobillas es transmitir la tensión y corriente de la fuente de alimentación hacia el colector y, por consiguiente, al bobinado del rotor. La función del porta escobillas es mantener a las escobillas en su posición de contacto firme con los segmentos del colector. Esta función la realiza por 87
medio de resortes, los cuales hacen una presión moderada sobre las escobillas contra el colector. Esta presión debe mantenerse en un nivel intermedio pues, de ser excesiva, la fricción desgastaría tanto a las escobillas como al colector; por otro lado, de ser mínima esta presión, se produciría lo que se denomina "chisporroteo", que es cuando aparecen chispas entre las superficies del colector y las escobillas, debido a que no existe un buen contacto.
7.4 FACTORES PARA LE ELECCIÓN DE UN MOTOR Son muchos los factores que deben tenerse en cuenta al elegir un motor. La solución por lo general no es única, pudiendo existir diversas opiniones respecto al cual es el motor adecuado. Sin embargo, puede resumirse que el motor apropiado es aquel que se ajusta a los requerimientos técnicos solicitados con un costo mínimo. Este último requisito no es factor difícil de calcular. Deben incluirse, no solo el costo de adquisición, sino también los gastos de explotación. El costo de adquisición incluye la provisión de cualquiera de los equipos de alimentación y control necesarios para hacer funcionar al motor. Los gastos de explotación incluyen asimismo los intereses del equipo principal y edificios y los gasto por la energía consumida en los circuitos de la maquina y en su control. 88
Los valores del factor de potencia y el rendimiento son importantes. El mantenimiento es también un gasto corriente que explotación y normalmente es más elevado cuanto más complicado es el equipo de control, o cuando las maquinas son de anillos rozantes o tienen colectores. Los gastos de instalación también pueden ser decisivos. Por ejemplo: se necesitan cimentaciones especiales para los equipos motor-generador, pero no para los equipos convertidores estáticos. Estos últimos equipos requieren además de menos espacio y son menos ruidosos que las maquinas rotativas. Por ello es que en estos equipos existe una considerable generación de armónicos, lo cual plantea el problema de su supresión. Algunos motores se excluyen de una aplicación determinada debido a que el ambiente de trabajo es hostil, tal como las condiciones de elevada temperatura, elevado vacío, elevada velocidad o debido a la presencia de líquidos o ambientes corrosivos. En este caso es esencial el empleo de un tipo de maquina si escobillas. Los motores de inducción son generalmente el tipo de maquinas más barata. Particularmente en el caso de un rotor de simple jaula. Su precio aumenta a medida que se exige más por parte del control de la velocidad o del torque o de las corrientes de arranque y lo cual podría requerir el empleo de una maquina síncrona podría llegar a ser competitiva. Si se necesita un control de velocidad ajustable a cualquier valor dentro de un rango determinado, entonces se requieren motores de corriente continua, a menos que esté justificado el empleo de un equipo de alimentación podría compensarse en parte con la de los aparatos de corriente continua o corriente alterna alimentados con tensión variable. Los motores eléctricos son los motores utilizados en la industria, pues combinan las ventajas del uso de la energía eléctrica (bajo costo, facilidad de transporte, limpieza y simplicidad de la puesta en marcha) con una construcción relativamente simple, costo reducido y buena adaptación a los más diversos tipos de carga. 7.5 EJEPLOS Ejemplo No. 1 .-Determinar la frecuencia de la corriente alterna obtenida de un generador con ocho polos (p=4), la velocidad de rotación del rotor n= 750 r.p.m. Determinar la frecuencia de corriente. f =
pn 60
=
4 * 750 60
= 50 Hz
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Ejemplo N.o 2 Determinar la velocidad de rotación del rotor de n generador de 20 polos (p=10), si el frecuencímetro indico f=25Hz. Determinar el número de revoluciones del rotor n, obtendremos: f =
f * 60 p
=
25 * 60 10
= 150r . p.m.
Ejemplo No. 3 El rotor del generador, accionado por una turbina hidráulica da 75 r.p.m. Determinar el número de polos del alternador, si la frecuencia de su corriente es de 50 Hz. p =
f * 60 n
=
50 * 60 75
= 40 pares
Por consiguiente, el alternador tiene 80 polos. Ejemplo No. 4 Un motor de inducción trifásico de 4 polos, conectado en estrella, 50 Hz, es alimentado a una tensión de 380V. Sabiendo que los valores de las resistencias y reactancias del estator y rotor respectivamente son R1= 0.3 ohm, X1= 1 ohm, R2=0.15ohms, X2 0.75., que la relación de transformación mi=mv=2, que las pérdidas mecánicas son despreciables y que su velocidad nominal es de 1410 r.p.m., hallar mediante la utilización del circuito equivalente simplificado del motor: Desplazamiento a pena carga Frecuencia de las corrientes en el rotor cuando funciona a pena carga n1 =
60 * f 1
p
=
( 60 * 50) 2
= 1.5r . p.m.
f 2 = s * f 1 = 0.06 * 50 = 3 Hz
Ejemplo No. 5 Calcular el costo de operación de un motor eléctrico que drena una corriente de 15 A a 110 volts, durante 8 horas, si el kilowatt-hora cuesta 3 centavos. Energíacon sumida = Eit = 110vx15 Ax 8hr = 13200Watt − hora
Ejemplo No. 6 Un motor de imán permanente tiene una resistencia de 2.0Ω.extrae una corriente de 3.0A cuando opera normalmente en una línea de 110v. ¿Cuál será la contrafem que desarrolla? Razonamiento puede pensarse que el motor es una batería en serie con una resistencia. Ya que la batería representa la contrafem, debe oponerse a la fuente de potencia. Combinando las baterías y aplicando la ley de Ohm, se obtiene 110V-ε= (3A)*(2Ω) ε=104V
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Ejemplo No. 7 Un generador de CA de 8 polos gira a una velocidad de 900 rpm y desarrolla una fem sinusoidal con un valor de pico de 170 volts y una corriente máxima de 20A en la carga conectada a él. Determinar (a) la frecuencia y el período del voltaje y corriente, (b) los valores instantáneos de voltaje después de 0,004167 seg; 0,00833 seg; 0,0125 seg y 0,0167 segundos de haber pasado la armadura a través del punto de voltaje cero; (c) los valores efectivos de voltaje y corriente y (d) la resistencia de la carga. a) Frecuencia = pares de polos x velocidad en rps: f =
4ciclos
rev
periodoT =
b)
*
900rev
= 60
60 seg 1 1ciclos
f
=
60 seg
ciclos seg
= 0.0167
seg ciclos
e = Em × sen(ω t ) = Em × sen( 2π ft ) = 170 × sen(120π t ) Después de 0.004167 seg: e = 170 sen(120π × 0.004167 seg ) = 170volts Después de 0.00833: e = 170 sen(120π × 0.00833 seg ) = 170 × sen(180°) = 0volt
Después de 0.0125seg:
e = 170 sen(120π × 0.0125 seg ) = 170 × sen( 270°) = −170volts
Después de 0.0167 seg:
e = 170 sen(120π × 0.0167 seg ) = 170 × sen(360°) = 0volt
c)
E = 0.707 × Em = 0.707 ×170volts =120volts I = 0.707 Im = 0.707 × 20 A = 14.14 A
d) R =
E 120volts I 14.14 A
= 8.5Ω
Otra forma R =
Em Im
=
170volts 20 A
= 8.5Ω
BIBLIOGRAFÍA 1. Becerril Diego Onésimo, Instalaciones Eléctrica Prácticas, Editorial enésimo, México 1972, págs. 179. 2. Chester L. Dawes, Tratado de Electricidad, Editorial Gustavo Grill ,(Tomo I, México, 1994. págs. 736 y Tomo II, Español de la cuarta Edición Norteamericana, págs. 805). 3. Boylestand, Robert, Análisis Introductorio de Circuitos, Editorial Trillas, México 1995, págs. 720 91
