CAPITULO 2
PROBABILIDADES
Para definir el término probabilidad es necesario necesario definir algunos conceptos conceptos previos: Experimento: es un evento o suceso del cual es necesario determinar un posible resultado y compararlo con algún valor esperado.
Experimentos deterministas: son aquellos en los cuales es posible predecir el resultado sin necesidad de realizar el experimento. Por ejemplo:
La velocidad de un móvil que partió del reposo a los l os 10seg. La concentración del soluto en una mezcla. La temperatura de equilibrio en un intercambiador de calor.
Experimentos no deterministicos: son aquellos en los cuales no es posible predecir el resultado hasta realizar el experimento en sí mismo.
La cantidad de valores defectuosos en un día de producción. Que se obtenga 30 en el lanzamiento de 5 dados. La producción en un elemento a en un mes.
Un evento o suceso es un conjunto del espacio muestral “ “que “que contiene a todos los posibles resultados del experimento al ser un subconjunto es posible operar eventos o sucesos según las operaciones entre conjuntos.
Unión de eventos
Intersección de eventos
Diferencia
En otras oportunidades los eventos son resultado de las posibles ordenaciones en un conjunto de elementos que responden a una regla de ordenamiento.
Análisis combinatorio: combinatorio:
Combinaciones:
( ()
Principio de la adición y multiplicación
En este sentido existen 3 formas de definir la probabilidad: Definición clásica o de la place: la probabilidad de un evento o suceso A, es la razón de la cantidad de veces en las cuales es posible obtener A o la cantidad de posibles resultados en el espacio muestral.
Diferencia
En otras oportunidades los eventos son resultado de las posibles ordenaciones en un conjunto de elementos que responden a una regla de ordenamiento.
Análisis combinatorio: combinatorio:
Combinaciones:
( ()
Principio de la adición y multiplicación
En este sentido existen 3 formas de definir la probabilidad: Definición clásica o de la place: la probabilidad de un evento o suceso A, es la razón de la cantidad de veces en las cuales es posible obtener A o la cantidad de posibles resultados en el espacio muestral.
Definición frecuencial: la probabilidad del evento A es la cantidad de veces que se repite el evento sobre una cantidad total de opciones.
Definición subjetiva: para todo evento A:
Si P(A)=0, el evento no ha sucedido o es un fracaso. Si P(A)=1, el evento ha sucedido o ha sido un éxito.
EJEMPLO: Un experimento aleatorio consiste consiste en disponer los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9 uno a continuación del otro. Calcular la probabilidad que: a) b) c) d)
El 5 aparezca junto al 6 en ese orden. El 5 aparezca junto al 6. El número formado sea impar. El número formado sea mayor a 600000000.
SIN REPETICION:
7
6
5
7
6
5
8
7
6
5
6
4
3
2
1
5
6
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
8
CON REPETICION
a) b) c) d)
7
6
5
4
3
2
1
EJEMPLO:
Una compañía con ciertas sitas por computadora tiene en sus archivos los nombres y direcciones de 200 chicas. De estas 200, un total de 35 miden 1,65 m o menos de estatura; 60 son rubias; 12 de las rubias miden 1,65 o menos. Mario Terán envía su solicitud por correo, cual es la probabilidad que: a) Reciba el nombre de una chica rubia. b) Reciba el nombre de una chica rubia y que mida más de 1,65m. c) Reciba el nombre de una chica rubia o de una chica que mida menos de 1,65m. d) Reciba el nombre de una chica no rubia o el de una chica con estatura menor de 1,65.
Rubia No rubia total
a) b) c)
Estatura menor o igual a 1,65m 12 23 35
Estatura mayor a 1,65m 48 117 165
total 60 140 200
d)
Axiomas de probabilidad:
Las probabilidades responden a los siguientes axiomas:
i)
P( )=1
ii)
P(
iii) iv)
P(
)= P(A) + P(B) – P(A B)
)= 1- P(A)
EJEMPLOS:
En una zona de parqueo hay 10 lugares en fila, una persona deja estacionar su vehículo en uno de estos lugares, que no es ninguno de los extremos. Regresar encuentra que hay 4 vehículos estacionados incluyendo el suyo. Calcular la probabilidad que los dos lugares vecinos al que ocupa su vehículo estén desocupados.
x
□
□
□
x
Una caja contiene 10 estampillas de 2 centavos, 5 estampillas de 15 centavos y 2 estampillas de 10 centavos. Se extraen aleatoriamente 6 estampillas; cual es la probabilidad que su suma no exceda a 100 ctvs. Un vendedor está tratando de vender artefactos de 3 clientes. Sea A, B Y C los eventos de hacer una venta al 1ro, 2do, 3er cliente respectivamente. La probabilidad que el 1er cliente o el 2do pero no el 3ro comprarían es 0,65; la
probabilidad que el 1ro y 2do compraran es 0,20. La probabilidad de que venda al 1ro pero no al 3ro es 0,25. La probabilidad que ni el 1ro ni el 2do comprarían es 0,25. La probabilidad que el 2do no compre pero el 3ro si es 0,30. Cuál es la probabilidad que solo uno de los 2 primeros compren pero no el 3ro.
A= vende al 1er cliente. B= vende al 2do cliente. C= vende al 3er cliente.
UTILIZAMOS
, - - ,
, - , - , ADEMAS
1
POR ULTIMO P (2DO NO COMPRE PERO EL 3RO SI)
=
ADEMAS
=
PERO
=
Probabilidad condicional: hasta el momento las probabilidades analizadas estaban referidas a un espacio muestral. La probabilidad condicional está sujeta a que otro evento B del mismo espacio muestral ya ha sucedido, es decir.
Entonces
./ ./
Se define como: También como:
Teorema de la multiplicación: de la probabilidad condicional
Árbol de probabilidades:
Si un espacio muestral n tiene A1, A2, A3,…………, Ak eventos independientes entonces se puede formar un árbol de probabilidades donde la suma de todas las ramas en cada nivel debe ser 1.
la probabilidad de un evento en particular es el producto de todos las ramas que conducen a ese evento. Axiomas de probabilidad condicional:
i) ii) iii)
EJEMPLO:
/ ../. /. / ././ ././
Suponga que 2 artefactos eléctricos han sido incluidos en un embarque de 6 artefactos eléctricos el departamento de recepción de la compañía compradora empieza a probar los 6 artefactos 1 a 1. Cuál es la probabilidad que: a) El último artefacto defectuoso sea encontrado en la cuarta prueba. b) A lo más 4 artefactos necesitan probarse para localizar los 2 defectuosos.
Se recepciona y prueba uno a uno.
P (2do defectuoso 4ta prueba/ 1er defectuoso ya ha sido encontrado)
a) P(DNND)+P(NDND)+P(NNDD)=(2/6*4/5*3/4*1/3)+(4/6*2/5*3/4*1/3)+(4/6*3/5+2/ 4*1/3)=3/15=1/5 b) P(DD)+P(DND)+P(NDD)+P(……D)=2/6*1/5+2/6*4/5*1/4+4/6*2/5*1/4+1/5=3/15+3/ 15=6/15=2/5
Teorema de la probabilidad total y Teorema De Bayes: Consideremos n un
espacio muestral particionando en b1, b2, b3,…..bk eventos tales como . Si se tiene un evento a común a todas las particiones tenemos .
+………………..+
+
De la probabilidad condicional:
Si el evento A ha sido un éxito entonces también se puede hallar la probabilidad de que provenga de una partición en particular del espacio muestral.
EJEMPLO:
. ∑ . / /
El volumen de producción diaria entre plantas diferentes de una fábrica, es de 5000 unidades en la 1ra, 10000 unidades en la 2da y 20000 unidades en la 3ra. Sabiendo que él % de unidades defectuosas producidas en las 3 plantas es del 1.5%, 0.7% y 2.5% respectivamente, determinar la probabilidad que: a) Extraigan 1 unidad al azar resulte no defectuosa. b) Habiéndose extraído una unidad defectuosa se haya producido en la 3ra o 2da planta.
plantas P1 P2 P3 total
Volumen de producción En unidades 5000 10000 20000 35000
% de defectuosos 1.5% 0.7% 2.3%
A= la unidad seleccionada sea defectuosa.
P(
) = 1- P (A)
. /. /. /. / . / . /
P(
) = 1- 0.018=0.981
B)
Ejemplo:
En la 1ra urna contiene 10 bolillos 8 de las cuales son blancas; una 2da urna tiene 20 bolillos de las cuales 4 son blancas; de cada una se extrae una bolilla al azar, de estas 2 bolillas se escoge al azar una de ellas. Hallar la probabilidad de que se haya tomado una bolilla blanca. B: bolilla elegida es blanca.
De una boletería de 3 cañones se hizo una descarga, además dos proyectiles dieron en el blanco. Hallar la probabilidad de que el primer cañón haya hecho impacto, si las probabilidades de impacto en el blanco de los 1ro, 2do y 3er cañones son respectivamente iguales a 0.4, 0.3 y 0.5.
B1=1er cañón que dio en el blanco; B2= 2do cañón dio en el blanco; B3= 3er cañón dio en el blanco;
A= 2 proyectiles dan en el blanco.
. / . / 0.5*0.7=0.5
CAPITULO 3
VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONAL
Introducción: hasta el momento se han visto como hallar las probabilidades de un cierto evento en particular del espacio muestral. El objeto del capítulo es buscar, encontrar un modelo para hallar las probabilidades de una familia de eventos que responden a una cierta característica específica. Para poder generar este modelo es necesario delimitar una variable que representa a los eventos del espacio muestral y que nos permiten generar luego su probabilidad. Variable aleatoria unidimensional: se define como una aplicación de cada evento del espacio muestral en un numero real “x”, donde “x” generalmente es la característica del evento o de la familia de eventos.
Por ejemplo en el lanzamiento de un dado podemos definir la variable aleatoria “x” como la característica de que se objeta un numero par.
EJEMPLO:
* +
Una caja contiene 6 transistores de las cuales 2 son defectuosos. Los transistores se prueban uno a uno hasta encontrar el 2do transistor defectuoso. Sea la variable x el número de pruebas efectuadas. a) Describir el dominio de x. b) Describa el rango de la variable aleatoria x. c) Cuál es el evento equivalente en el espacio muestral para x=4 y x=3 X=# de pruebas hasta obtener el 2do defectuoso.
El evento A equivalente a x=3 y x=4
*+ *+
Si=x Si x=4
Se venden 1000 # (números) de lotería para un sorteo en el que hay un premio mayor de 500$, 4 premios de 100$ y 5 premios de 10$. El numero cuesta un dólar. Si x es la variable aleatoria que representa el beneficio neto al comprar un número. Hallar: a) El dominio de x. b) El rango de x. c) La probabilidad de cada uno de los eventos del rango de x.
}
X: beneficio neto al comprar un número de lotería.
X= gana
x= premio – costo del boleto.
X=0-1=-1 X=500-1=499$ X=100-1=99$
X=10-1=9$ Por tanto:
*+
Clasificación de la variable aleatoria: Se da por su valor:
Variable aleatoria discreta: cuando adquiere un único valor dentro de un intervalo
Variable aleatoria continua: cuando puede adquirir infinitos valores dentro del intervalo
Función o ley de probabilidad: es aquella función de variable aleatoria que asocia a todo valor “x” una probabilidad entre 0 y 1.
Equivalencia de eventos: X= X (w) y P (X)= P ENTONCES: P(X (w))= P (w) Para variable aleatoria discreta la función o ley de probabilidad se denomina “función de cuantía”. Como P ()=1
P (w1
) =1
Para variable aleatoria continua de la misma forma se debe verificar que:
Como Xi adquiere infinitos valores, entonces.
Donde
es la llamada función de densidad de probabilidad.
Las graficas de la función de cuantía y de la función de densidad corresponde a:
Funciones de distribución o de probabilidad acumulada: una función de distribución o de probabilidad acumulada es aquella que acumula las probabilidades menores e iguales al valor de variable aleatoria “xi”. Se simboliza por .
Para variable aleatoria discreta:
x
+
+
+
……
+
+ +………
1
⟦⟧
En variable aleatoria discreta se verifican los siguientes axiomas para la función de distribución. i) ii) iii) iv) v)
Para variable aleatoria continua:
i) i) ii)
EJEMPLO:
Una urna contiene 1 ficha blanca y 2 negras, la urna 2: 3 fichas blancas y 2 negras la urna 3: 2 fichas blancas y 3 negras. Extraemos una ficha de cada una y llamamos x a la variable aleatoria que representa el número de fichas blancas extraídas. Determinar la función de cuantía y la de distribución con sus respectivas graficas. X= variable aleatoria # de fichas blancas. Sol. Rx= (0, 1, 2, 3)
0
1
2
3
1
La función de densidad de la variable aleatoria x representa la resistencia al corte de ensayos de un punto de soldadura que esta dado por.
Determinar el número “a” tal que . Hallar: “a” “b”
y un numero “b” tal que
Sol. Función de distribución para
√
Función de distribución para
Función de distribución acumulada
Para “a”
Para “b”
Despejando b
Funciones de variable aleatoria: Si x es una variable aleatoria entonces es posible determinar una nueva función de variable aleatoria y=H(x) tal que “y” es otra característica del espacio muestral en términos de la primera característica de x.
En consecuencia: X=x (w) y Y=H(x)
Y=H(X(W)).
Los eventos son equivalentes en variable aleatoria x y y.
EJEMPLO:
Una variable aleatoria x representa el peso en onzas de un artículo y tiene la siguiente función de densidad.
El fabricante vende un artículo por un precio fijo de 2000 bolivianos. El garantiza el reintegro del precio de venta a cualquier cliente que encuentre que el peso de su artículo es inferior a 8.25 onzas. El costo de producción está relacionado al peso de artículos de acuerdo a la siguiente expresión: 0.05x+0.30. Exprese la variable aleatoria utilidad en términos de la variable x y halle las funciones de distribución para ambas variables. X= peso en onzas de un articulo.
Precio de venta= 2000 Bs. reintegra si x 8.25 onzas. Costo
producción 0.05X+0.30
UTILIDAD Sol.
f(x)
Denominamos Y= utilidad de un articulo vendido. Y=P. venta – costo Prod. Y=2000-(0.05x+0.30)
Y=1999.7-0.05x
Para
1ro) con
2do) con
=
Esperanza matemática: se define la esperanza matemática de una variable aleatoria “x” como la función definida por:
El valor promedio esperado es igual a la esperanza matemática de la variable aleatoria y corresponde de a la media poblacional con un margen de certidumbre:
Propiedades: i) ii) iii) iv) v)
() ()()() Si
Varianza de variable aleatoria: se define como la esperanza matemática del cuadrado de la desviación de la variable aleatoria respecto poblacional.
a la media
La varianza de variable aleatoria equivale a la varianza poblacional siempre y cuando se realice una prueba de hipótesis.
Como:
Media y moda de una variable aleatoria: Consideramos que la media es el valor central de “x” que divide a la función de distribución en dos partes iguales:
̃
Para la moda utilicemos la definición que dice que es el valor que se repite más veces.
Percentiles en variable aleatoria: es posible encontrar el i-esimo percentil de variable aleatoria mediante la probabilidad acumulada a ese percentil.
Momentos de variable aleatoria: se definen como esperanza matemática de la desviación de la r-esima potencia de la variable aleatoria y el valor promedio esperado.
Coeficiente de asimetría y curtosis de variable aleatoria: El coeficiente de asimetría se define como:
Si Si Si
la distribución es simétrica.
El coeficiente de curtosis se define como:
Si Si Si
EJEMPLO:
Un fabricante de televisores utiliza un cierto tipo de componente electrónico en el montaje de televisores a color. Cada televisor requiere 6 de estos componentes. Un componente defectuoso o puede ser detectado hasta que el televisor ha sido totalmente montado. El costo, detección, reparación y reposición de un componente defectuoso es de 15$. El fabricante a estado comprando estos componentes en lotes de 100 a 2 diferentes proveedores. El costo de compra por lote del proveedor A es 100$us en tanto que el costo de compra por lote al proveedor B es 120$us. Basadas en experiencias anteriores, las calidades comparadas de los lotes comprados a los proveedores son las que se muestran en las siguientes tablas. PROVEEDOR A: Número estimado de defectuosos probabilidad
1
2
3
4
5
0.3
0.25
0.2
0.15
0.10
1
2
3
0.6
0.3
0.1
PROVEEDOR B: Número estimado de defectuosos probabilidad
¿A qué proveedor debe comprar los componentes electrónicos? Requerimiento 6 pzas/ televisor. Costo de detección, reparación y reposición de un componente defectuoso es de 15$. Lotes de 100 unidades.
Costo compra por lote del proveedor A es 100$us. Costo compra por lote del proveedor B es 120$us. Hallamos el número esperado de defectuosos por lote:
A 1 0.3 0.3
2 0.25 0.5
3 0.20 0.6
4 0.15 0.6
5 0.10 0.5
Costo total= costo compra+ costo reposición.
Costo total de A= 2*(100$us/100unid.)+2*15=32 $us/2 piezas defectuosas.
B 1 0.6 0.6
2 0.3 0.6
3 0.1 0.3
Costo total de B= 1*(120$us/100unid.)+1*15=26.20 $us/1 piezas defectuosa. (El de mayor dispersión). Hallando la desviación estándar:
A 1 0.3 0.3
2 0.25 1
3 0.20 1.8
4 0.15 2.14
5 0.10 2.5
B 1 0.6 0.6
2 0.3 1.2
3 0.1 0.9
* + *+ Se debe comprar del proveedor B.
Una estación de gasolina recibe semanalmente su provisión. Estadísticas anteriores sugieren que la distribución de probabilidad de las ventas semanales x medidas en miles de galones, está dada por la siguiente expresión:
a) Calcular el valor de la constante a tal que la anterior función sea de densidad. b) Halla la mediana, moda y varianza. Sol.
Evaluando.
Para x
Para x
,- ,- ̃ ̃
∫ ∫ ∫ | | √
Para
Distribuciones discretas más importantes:
De los muchos modelos que existen en distribuciones discretas los más importantes son:
Modelo de Bernoulli. Modelo Binomial. Modelo Geométrico. Modelo Hipergeometrico. Modelo de Poisson.
Modelo de Bernoulli: Esta referido a todos aquellos eventos en los cuales solo existe la probabilidad de éxito y fracaso o cualquier evento que simplemente tenga las 2 opciones (defectuosas y no defectuosas).
