´ FLUIDOMECANICA ´ INGENIERIA
III Marcos Vera Coello Immaculada Iglesias Estrad e´ Antonio L. S´ Sanchez a´ nchez P´ Perez e´ rez Dpto. de Ingenier´ Ingenier´ıa T´ Termica e´ rmica y de Fluidos Universidad Universidad Carlos III de Madrid
Carlos Mart´ Mart´ınez Baz´ Bazan a´ n Dpto. de Ingenier´ Ingenier´ıa Mec´ Mecanica a´ nica y Minera Universidad Universidad de Jaen Ja en
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Introd Intr oduc ucci ci´on o´ n 1.1 Solidos, ´ l´ıquidos y gases . . . . . . . . . . . . . 1.2 Hip´otesis otesis de medio continuo: part´ıcula fl uida . . 1.3 Dens Densidad, idad, velo velocidad cidad y ener energ´ g´ıa interna . . . . . . 1.4 Equ Equilib ilibrio rio ter termod modin´ in´amico amico local . . . . . . . . . . 1.5 Variab ariables les y relac relaciones iones termo termodin´ din´amicas amicas de inter´es es
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Fluido Flui dost st´atica a´ tica 2.1 2. 1 In Intro trodu ducc cci´ i´on on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Fuerzas de volumen y fuerzas de super ficie . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 2.2. 1 Fue Fuerzas rzas de vol volumen umen o fuerz fuerzas as m´asicas asicas . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 2.2 .2 Fu Fuerz erzas as de sup super er ficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Co Conce ncepto pto de pre presi´ si´on on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 .3.1 .1 Pre ressi´on on en un punto: Principio de Pascal . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 2.3. 2 Res Resultan ultante te de las fuerz fuerzas as de pres presii ´on on sobre una part´ıcula fl uida . . 2.4 2. 4 Di Dist strib ribuc uci´ i´on on de presiones en un fl uido en reposo . . . . . . . . . . . . . . 2.4. 2. 4.1 1 Ec Ecua uaci´ ci´on on general de la fl uidost´atica atica . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. 2. 4.2 2 Co Cond ndic ici´ i´on on de compatibilidad para para las fuerzas m´ m asicas a´ sicas . . . . . . . 2.4. 2. 4.3 3 Is Isob obar aras as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 2.4 .4 Eje Ejempl mplos os de int inter´ er´es es pr´actico actico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 2. 5 Fl Flui uido dost´ st´atica atica de l´ıquidos: Aplicaciones Aplicaciones a la medida de presi´ presi on o ´n . . . . . . 2.5 .5.1 .1 El bar´ometro ometro de mercurio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 .5.2 .2 El ma man´ n´ometro ometro en U abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 .5.3 .3 El ma man´ n´ometro ometro diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 .5.4 .4 Pre ressi´on on absoluta, manom´etrica etrica y de vac´ıo . . . . . . . . . . . . . 2.6 2. 6 Fl Flui uido dost´ st´atica atica de gases: atm´osfera osfera est´andar andar . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Atm´osfera osfera isoterma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Atm´osfera osfera est´andar andar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Fue Fuerzas rzas y mome momentos ntos sobre supe superr ficies sumergidas . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 2.7. 1 Fue Fuerzas rzas sobr sobree supe superr ficies planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 2.7 .2 Fu Fuerz erzaa de pre presi´ si´on on sobre una super ficie curva arbitraria . . . . . . 2.8 Fuer Fuerzas zas sobr sobree cuerp cuerpos os sume sumergid rgidos os y fl otantes: El Principio de Arqu´ımedes 2.8.1 2.8 .1 Cue Cuerpo rposs sum sumer ergid gidos os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. 2. 8.2 2 Cu Cuer erpo poss flotantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Equilibrio y estabilidad de cuerpos sumergidos y flotantes . . . . . . . . . i
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Introd Intr oduc ucci ci´on o´ n 1.1 Solidos, ´ l´ıquidos y gases . . . . . . . . . . . . . 1.2 Hip´otesis otesis de medio continuo: part´ıcula fl uida . . 1.3 Dens Densidad, idad, velo velocidad cidad y ener energ´ g´ıa interna . . . . . . 1.4 Equ Equilib ilibrio rio ter termod modin´ in´amico amico local . . . . . . . . . . 1.5 Variab ariables les y relac relaciones iones termo termodin´ din´amicas amicas de inter´es es
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Fluido Flui dost st´atica a´ tica 2.1 2. 1 In Intro trodu ducc cci´ i´on on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Fuerzas de volumen y fuerzas de super ficie . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 2.2. 1 Fue Fuerzas rzas de vol volumen umen o fuerz fuerzas as m´asicas asicas . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 2.2 .2 Fu Fuerz erzas as de sup super er ficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Co Conce ncepto pto de pre presi´ si´on on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 .3.1 .1 Pre ressi´on on en un punto: Principio de Pascal . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 2.3. 2 Res Resultan ultante te de las fuerz fuerzas as de pres presii ´on on sobre una part´ıcula fl uida . . 2.4 2. 4 Di Dist strib ribuc uci´ i´on on de presiones en un fl uido en reposo . . . . . . . . . . . . . . 2.4. 2. 4.1 1 Ec Ecua uaci´ ci´on on general de la fl uidost´atica atica . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. 2. 4.2 2 Co Cond ndic ici´ i´on on de compatibilidad para para las fuerzas m´ m asicas a´ sicas . . . . . . . 2.4. 2. 4.3 3 Is Isob obar aras as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 2.4 .4 Eje Ejempl mplos os de int inter´ er´es es pr´actico actico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 2. 5 Fl Flui uido dost´ st´atica atica de l´ıquidos: Aplicaciones Aplicaciones a la medida de presi´ presi on o ´n . . . . . . 2.5 .5.1 .1 El bar´ometro ometro de mercurio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 .5.2 .2 El ma man´ n´ometro ometro en U abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 .5.3 .3 El ma man´ n´ometro ometro diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 .5.4 .4 Pre ressi´on on absoluta, manom´etrica etrica y de vac´ıo . . . . . . . . . . . . . 2.6 2. 6 Fl Flui uido dost´ st´atica atica de gases: atm´osfera osfera est´andar andar . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Atm´osfera osfera isoterma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Atm´osfera osfera est´andar andar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Fue Fuerzas rzas y mome momentos ntos sobre supe superr ficies sumergidas . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 2.7. 1 Fue Fuerzas rzas sobr sobree supe superr ficies planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 2.7 .2 Fu Fuerz erzaa de pre presi´ si´on on sobre una super ficie curva arbitraria . . . . . . 2.8 Fuer Fuerzas zas sobr sobree cuerp cuerpos os sume sumergid rgidos os y fl otantes: El Principio de Arqu´ımedes 2.8.1 2.8 .1 Cue Cuerpo rposs sum sumer ergid gidos os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. 2. 8.2 2 Cu Cuer erpo poss flotantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Equilibrio y estabilidad de cuerpos sumergidos y flotantes . . . . . . . . . i
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2.9.1 Equili Equilibrio brio y esta estabilida bilidad d de trasl traslaci´ aci´on on . 2.9.2 Equili Equilibrio brio y esta estabilida bilidad d de rotac rotacii on o´ n . 2.10 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . 2.10.1 2.10 .1 tubotubo-U U . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.2 2.10 .2 depo depositosito-trestres-fluidos . . . . . . . . . 2.10.3 2.10 .3 comp compuerta uerta-L -L . . . . . . . . . . . . . 2.10.4 compuerta-inclinad compuerta-inclinadaa . . . . . . . . . 2.10.5 2.10 .5 tronc tronco o . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.6 2.1 0.6 cub cuboo-flotacion . . . . . . . . . . . .
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Cinematica a´ tica 3.1 3. 1 In Intro trodu ducc cci´ i´on on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 3.1. 1 Desc Descripcio ripciones nes Eule Euleriana riana y Lagra Lagrangia ngiana na . . . . . 3.2 Movimiento uniforme y estacionario; puntos de remanso 3.3 Tra Trayect yectorias orias y send sendas as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 L´ıneas, super ficies y vol´umenes umenes fl uidos . . . . . . . . . 3.5 L´ıneas, super ficies y tubos de corriente . . . . . . . . . . 3.6 L´ıneas de traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Leyes de Co Leyes Conse nserv rvaci aci´on o´ n en el Movimiento de los Fluidos 4.1 4. 1 In Intro trodu ducc cci´ i´on on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Le Leye yess de la mec´anica anica aplicadas a vol vol umenes u ´ menes fl uidos uidos . 4.2.1 4.2. 1 El princ principio ipio de cons conserv ervaci´ aci´on on de la masa . . . 4.2.2 La seg segunda unda ley de New Newton ton . . . . . . . . . . 4.2.3 El prime primerr princ principio ipio de la termo termodin´ din´amica amica . . . 4.3 Vol´umenes umenes fl uidos y vol´umenes umenes de control . . . . . . 4.4 Flujo con convec vectiv tivo o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Teorema del transporte de Reynolds . . . . . . . . .
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Ecuacion o´ n de la continuidad 5.1 5. 1 Ec Ecua uaci´ ci´on on de conservaci conservaci´on o ´ n de la masa . . . . . . . . . . 5.2 5. 2 Ga Gast sto o m´asico asico y caudal . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 5. 3 Ap Apro roxi xima maci´ ci´on on unidimensional a los t´ t erminos e´ rminos de fl ujo . 5.4 Algun Algunos os ejemp ejemplos los senc sencillos illos . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Movi Movimient miento o en una boqu boquilla illa . . . . . . . . . . 5.4.2 5.4 .2 Des Descar carga ga de un de dep´ p´osito osito de gas . . . . . . . . 5.4.3 5.4 .3 Des Descar carga ga de un de dep´ p´osito osito de l´ıquido . . . . . . Ecuacion o´ n de la cantidad de movimiento 6.1 Fuerzas de volumen y fuerzas de super ficie . . . 6.2 Esfu Esfuerzos erzos visc viscosos osos . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 6. 3 Ec Ecua uaci´ ci´on on de la cantidad de movimiento . . . . . 6.4 Fuerzas y momentos sobre cuerpos sumergido sumergidoss . 6.5 Eje Ejempl mplos os de ap aplic licac acii on o ´n . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 6.5 .1 Mov Movimie imiento nto de un l´ıquido en una boquilla 6.5.2 6.5. 2 Movi Movimient miento o de un gas en una codo . . . 6.6 6. 6 Ec Ecua uaci´ ci´on on del momento cin´etico etico . . . . . . . . . .
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iii La ecuaci´on de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.1 Flujo estacionario ideal de un l´ıquido en un tubo de corriente 6.7.2 Vaciado de un dep´osito de l´ıquido . . . . . . . . . . . . . . 6.7.3 Tubo de Pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.4 Tubo de Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ecuacio´ n de la energ´ıa 7.1 Variaci´on de la energ´ıa en un volumen fl uido . . . . . . . 7.1.1 Trabajo de las fuerzas m´asicas. Energ´ıa potencial. 7.1.2 Trabajo de las fuerzas de super ficie . . . . . . . 7.1.3 Transferencia de calor . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Ecuaci´on de conservaci´on de la energ´ıa . . . . . . . . . 7.3 Balance energ´etico en m´aquinas de fluidos . . . . . . . .
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An´alisis de problemas fl uidomec´anicos ´ 8.1 Alabe en una corriente uniforme . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Cascada de a´ labes en una corriente gaseosa . . . . . . . . 8.3 Turbom´aquina axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Bomba centr´ıfuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Aspersor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Salto hidr´aulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7 Compuerta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8 Chorro plano incidiendo sobre una placa plana articulada .
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An´alisis dimensional 9.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Motivaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2 Desarrollo hist´orico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.3 Un primer ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.4 Algunas definiciones previas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Teorema Π o de V aschy Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Enunciado y demostraci´on mediante un caso pr´actico . . . . . . . . . . 9.2.2 Determinaci´on de los grupos adimensionales Π . . . . . . . . . . . . . 9.2.3 Dependencia param´etrica de la soluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.4 Adimensionalizaci´on de las leyes de conservaci´on . . . . . . . . . . . 9.2.5 Selecci´on de los par´ametros con dimensiones independientes . . . . . . 9.3 Los n´umeros adimensionales como relaci´on entre los distintos t´erminos de las leyes de conservaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Semejanza f´ısica y ensayo de modelos a escala . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Ejemplos y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.1 El teorema de Pit´agoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.2 Periodo de oscilaci´on de un p´endulo simple . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.3 An´alisis de Taylor de una explosi´on nuclear . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.4 Ensayos hidr´aulicos: semejanza total y parcial . . . . . . . . . . . . . . 9.5.5 Efectos de compresibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.6 Ensayos en t´unel aerodin´amico compresible . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.7 Actuaciones de una turbina e´olica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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iv 9.5.8
Semejanza en m´aquinas hidr´aulicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
10 Flujo Turbulento en conductos 10.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Flujo Laminar y fl ujo turbulento: experimento de Reynolds. . . . . . . 10.3 Flujo desarrollado y longitud de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 P´erdidas de carga primarias en conductos . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Ejemplos de c´alculo de las p´erdidas de carga primarias en conductos. . 10.5.1 Primer ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.2 Segundo ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.3 Tercer ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.4 Cuarto ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6 P´erdidas Secundarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6.1 P´erdidas de carga en la entrada a un conducto. . . . . . . . . . 10.6.2 P´erdidas de carga en expansiones y contracciones. . . . . . . 10.6.3 P´erdidas de carga en codos y curvas. . . . . . . . . . . . . . . 10.6.4 P´erdidas de carga en v´alvulas. . . . . . . . . . . . . . . . . . Referencias
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Cap´ıtulo 1 Introduccio´ n 1.1
S´olidos, l´ıquidos y gases
A nivel macrosc´opico, la principal diferencia entre s´olidos y fl uidos estriba en su capacidad para deformarse (v´ease la figura 1.1). Los s´olidos se deforman poco. Ante la aplicaci´on de una fuerza exterior peque˜na, el s´olido responde con una deformaci´on peque˜na. Tal comportamiento es debido a que los s´olidos presentan una resistencia a la deformaci´on que es proporcional a la magnitud de dicha deformaci´on. Los fluidos, por el contrario, se deforman con facilidad cuando se les aplica una fuerza de manera adecuada. La fuerza de resistencia que presentan ante una deformaci´o n resulta no ser proporcional a la deformaci´o n, sino a la velocidad a la que se produce e´ sta. Esta facilidad para deformarse queda patente en la capacidad de los fl uidos para adaptarse a la forma del contenedor que los limita.
Figura 1.1: Ante la aplicaci´on de una fuerza exterior, los s´olidos responden con una deformaci´on est´atica proporcional a la fuerza aplicada, mientras que los fluidos se deforman de forma indefinida, presentando una fuerza de resistencia proporcional a la velocidad a la que se produce la deformaci´on. La diferencia entre l´ıquidos y gases es menos fundamental. Por una parte, la densidad de los l´ıquidos es t´ıpicamente mucho mayor que la de los gases, lo que in fluye de manera determinante en la magnitud de la fuerza necesaria para producir una aceleraci´on dada. Por otra parte, la diferencia m´as importante entre las propiedades mec´anicas de ambos estados fluidos radica en su compresibilidad. Por ejemplo, la variaci´on de densidad que se produce al someter al fluido a una variaci´on de presi´on dada es mucho menor en el caso de los l´ıquidos que en el caso de los gases, lo cual puede expresarse mediante la desigualdad
∂ρ ∂p
T,l
∂ρ ∂p
,
(1.1)
T,g
donde ρ , p y T representan la densidad, presi´on y temperatura, respectivamente. Para convencernos de lo anterior, basta considerar un globo que contiene aire y uno que contiene agua. La
´ ´ 1.1. S OLIDOS, L IQUIDOS Y GASES
experiencia nos dice que presionando con las manos convenientemente el primero es posible reducir su volumen, aumentando de esta manera la densidad en el interior, mientras que el volumen del globo lleno de agua permanece pr´acticamente constante independientemente de la presi´on que ejerzamos. De hecho, se necesita aumentar la presi ´on hasta 106 atm´osferas para reducir el volumen del agua a la mitad. De manera similar, si sometemos a un fluido a variaciones de temperatura, la variaci´on de densidad resultante en el caso de que el fl uido sea un l´ıquido es despreciable comparada con la que observar´ıamos si el fluido fuese un gas. En vista de su baja compresibilidad, para una inmensa mayor´ıa de aplicaciones resulta una aproximaci´on adecuada el suponer que la densidad del l´ıquido es constante (hip´otesis de l´ıquido perfecto).
Figura 1.2: Representaci´on esquem´atica de la fuerza que se ejerce entre dos mol´eculas el´ectricamente neutras que no forman enlace qu´ımico como funci´on de la distancia entre sus centros.
Todas las propiedades macrosc´opicas vistas anteriormente son resultado de la distinta estructura microsc´opica que presentan s´olidos, l´ıquidos y gases. Para entenderlo, hay que tener en cuenta que la fuerza que se ejerce entre dos mol´eculas es funci´on de la distancia entre sus centros, d, de acuerdo a la ley esquematizada en el gr´afico de la figura 1.2. Cuando dicha distancia se hace muy peque˜na, las mol´eculas tienden a repelerse, mientras que para valores grandes de d aparece una fuerza de atracci´on que disminuye con la distancia. Existe un valor cr´ıtico de la distancia d = d0 para el que la fuerza cambia de signo. Esta distancia, que corresponde a una posici´on de equilibrio estable para el sistema de dos mol´eculas considerado, suele tener un valor en torno a 3 10−10 m. Conocidos los valores medios de la densidad de una sustancia, ρ , y de su masa molecular, W , es f´acil calcular la distancia media, d, entre los centros de las mol´eculas
×
W/N A ρ = d3
≡
peso 1 mol´ecula volumen ocupado por 1 mol e´ cula
⇒
d =
W ρN A
1/3
(1.2)
1023 mol´eculas/mol es el n´umero de Avogadro (v´ease la figura 1.3). donde N A = 6,023 10d0 (por El c´alculo revela que para el caso de gases a presi´on y temperatura ambiente d 3 −3 1,2 kg/m , W 29 10 kg/mol, por lo que obtenemos ejemplo, para el aire se tiene ρ −9 d 3,4 10 m), mientras las mol´eculas de s´olidos y l´ıquidos est´an mucho m´as pr´oximas, a
×
×
·
2
´ ´ 1.2. HIP OTESIS DE MEDIO CONTINUO: PART ICULA FLUIDA
1/3
W d= N A
d
Figura 1.3: En promedio, el volumen ocupado por una mol´ecula es un cubo de lado d , donde d representa la distancia intermolecular media. Conocida la densidad del fluido, ρ , y su masa molecular, W , es f´acil estimar el valor de d .
d0 (por ejemplo, para el agua o el hielo se tiene ρ 103 kg/m3, W 18 10−3 distancias d kg/mol, por lo que obtenemos d 3,1 10−10 m). Las mol´eculas de los gases, por tanto, experimentan fuerzas de atracci´o n muy d´ebiles en su movimiento, de forma que en primera aproximaci´on podemos suponer que se mueven libremente, interaccionando ´unicamente a trav´es de las colisiones que sufren entre ellas. Esta estructura explica la alta compresibilidad de los gases (sus mol´eculas pueden acercarse m´as, aumentando la densidad del medio, con relativa facilidad), as´ı como su capacidad para deformarse y su tendencia a ocupar todo el espacio disponible. En el caso de s´olidos y l´ıquidos, por el contrario, las fuerzas entre las mol´eculas son muy importantes. La fuerza de repulsi´on evita que las mol´eculas puedan estar m´as pr´oximas de lo que est´an, lo cual explica la baja compresibilidad de l´ıquidos y s´olidos. Su distinta capacidad de deformaci´on se debe a que, a pesar de su proximidad, las mol´eculas de los l´ıquidos se desplazan unas respecto a otras con relativa facilidad, mientras que la posici´on relativa de las mol´eculas de los s´olidos permanece fi ja. Cabe mencionar que, a veces, no resulta f´acil categorizar a una sustancia como s´olido o l´ıquido. Por ejemplo, si dejamos reposar pintura durante un tiempo suficientemente largo acabar´a comport´andose como un s´olido el´astico, caracter´ıstica que perder´a cuando la agitamos violentamente. En todo caso, la inmensa mayor´ıa de los fl uidos que aparecen en los problemas ingenieriles, tales como agua o aire, responden perfectamente a la caracterizaci´on como gases o l´ıquidos expuesta en los p´arrafos anteriores, y que se resume gr´aficamente en la fi gura 1.4.
1.2
×
·
Hip´otesis de medio continuo: part´ıcula fluida
Hay dos caracter´ısticas que complican el an´alisis del movimiento fluido. Por un lado, la materia en los fluidos est´a distribuida de una manera discreta. Hemos visto ya como las mol´eculas de los gases est´an separadas por grandes espacios vac´ıos. Incluso para los l´ıquidos, cuyas mol´eculas est´an empaquetadas a una corta distancia, la distribuci´on de la masa es tambi´en discreta, al encontrarse esta concentrada en los n ´ucleos de los a´ tomos. Por otro lado, resulta in´util intentar estudiar la din´amica de un fluido a partir del estudio de la din´amica de cada uno de sus componentes a nivel microsc´opico. Por ejemplo, en una primera aproximaci´on al estudio de los gases monoat´omicos, parecer´ıa adecuado aplicar las leyes de conservaci´on de la cantidad de movimiento a cada una de las mol´eculas que forman el gas. Como el movimiento de cada mol´ecula influye en las dem´as a trav´es de los choques que se producen entre ellas, la resoluci´on del problema conllevar´ıa la integraci´on de un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas que podr´ıan en principio resolverse para determinar la evoluci´on de la posici´on de cada una de las mol´eculas con el tiempo (y su velocidad por derivaci´on directa). Este an´alisis, aparentemente sencillo, resulta imposible de llevar a la pr a´ ctica debido al gran n´umero de mol´eculas que 3
´ ´ 1.2. HIP OTESIS DE MEDIO CONTINUO: PART ICULA FLUIDA
d0 3-4 Å d
Figura 1.4: Las diferencias en las propiedades macrosc´opicas de l´ıquidos y gases son resultado de la distinta estructura microsc´opica que presentan ambos.
componen el fl uido (1016 en un mm3 de aire y muchas m´as en un mm 3 de agua). Incluso aunque tal c´alculo fuera posible, no parece razonable que el ingeniero necesite conocer, por ejemplo, la posici´on y velocidad de cada una de las mol´eculas de agua que circulan por el interior de una bomba para determinar la relaci´on entre la potencia de ´esta y el caudal. Claramente, estas consideraciones nos llevan a tomar un punto de vista distinto en el an ´alisis de los movimientos fluidos. En cursos anteriores hemos estudiado sistemas que presentaban propiedades uniformes que se describ´ıan con pocos grados de libertad. Por ejemplo, en el estudio de la evoluci´on de un gas que se encuentra en el interior de un contenedor, la termodin´amica hac´ıa uso de la densidad definida como la masa total del gas dividida por el volumen total del contenedor. En mec´anica describ´ıamos el movimiento del s´olido r´ıgido con dos u ´ nicos vectores: el vector velocidad y el vector velocidad angular. En los fluidos, sin embargo, la experiencia nos dice que las cosas no son tan sencillas. As´ı, gracias a las part´ıculas de polvo suspendidas en el aire, todos hemos observado el movimiento que se origina por flotabilidad debido al calentamiento desigual de nuestro dormitorio. Claramente, un solo vector velocidad no es su ficiente para describir el campo fluido que se establece: el fluido sube y baja de manera desordenada, de forma que se observan variaciones espaciales y temporales de velocidad. La longitud que hay que recorrer en un campo fluido para ver variaciones apreciables de las distintas variables fluidas es lo que denominamos longitud macrosc´opica caracter´ıstica de dicho campo fluido, L. Por ejemplo, para el movimiento en nuestra habitaci´on, es su ficiente recorrer con la vista una distancia de 10 cm para ver variaciones apreciables de la velocidad (part´ıculas de polvo subiendo y bajando). Lo que si parece claro en relaci´on con dicho problema fluido, sin embargo, es que para describir el campo de velocidades con bastante fiabilidad bastar´ıa dar la velocidad en puntos separados 1 cm (1 mm si quisi´eramos ser muy precisos). Uno se pregunta si es posible entonces estudiar el campo fl uido dividi´endolo en peque˜nas parcelas, llamadas part´ıculas fl uidas, con respecto a las cuales de finir´ıamos los conceptos de velocidad, densidad, etc. Cada part´ıcula fluida estar´ıa x, y su tama˜no deber´ıa ser m´as peque˜no que la longitud macrosc´opicentrada en una posici´on ¯ ca caracter´ıstica de nuestro campo fluido, de manera que el conocimiento de las propiedades de cada part´ıcula fluida en un cierto instante fuera su ficiente para una descripci´on precisa del 4
´ ´ 1.2. HIP OTESIS DE MEDIO CONTINUO: PART ICULA FLUIDA
x, y del tiempo, t. El suponer campo fluido (velocidad, densidad, etc) en funci o ´ n de la posici´on, ¯ ¯ y de t es lo que se que podemos describir las variables fluidas como funciones continuas de x denomina hip´otesis del medio continuo, que es utilizada tambi´en en el estudio de la elasticidad y resistencia de materiales. Como ejemplo ilustrativo, nos concentramos inicialmente en el concepto de densidad de un gas. Siguiendo la de finici´on que nos es familiar de cursos anteriores, parece razonable calcular la densidad de una part´ıcula fluida de volumen δV centrada en una posici´on x ¯ de acuerdo a ρ = mi /δV , donde mi es la masa de todas las mol´eculas situadas en el interior de la part´ıcula fl uida considerada. Para que la descripci´on que proponemos tenga sentido, el valor de ρ debe ser independiente de δV , de manera que en un instante determinado t podamos asignar a x un valor un´ıvoco de ρ(¯ x, t). El rango de δV en que esto es posible se hace patente la posici´on ¯ mi /δV como funci´on del tama˜no de la part´ıcula fl uida (δV )1/3 , tal al representar el valor de y como se ve en la fi gura 1.5.
d << (Vf )1/3 << L
V2
d
V1
Figura 1.5: Concepto de part´ıcula fl uida.
Cuando el tama˜no de la part´ıcula fluida es muy peque˜no (mucho menor que la distancia media entre mol´eculas d ), es muy probable que ´esta no contenga en su interior ninguna mol´ecula, con lo que, de acuerdo a la de finici´on dada m´as arriba, la densidad resulta ser nula. Al aumentar su tama˜no, este alcanzar´a un valor cr´ıtico (δV 1 )1/3 para el cual encontrar´ıamos por primera vez una mol´ecula en el interior de la part´ıcula fluida, con lo que la densidad tomar´ıa un valor finito. Para tama˜ nos mayores, la densidad se ver´ıa de nuevo reducida hasta que el volumen considerado alcanzara un valor δV 2 para el que existir´ıa una segunda mol´ecula en el interior de la part´ıcula fluida, dando lugar a un nuevo salto en el valor de la densidad. Estas discontinuidades, que est´an ´ıntimamente relacionadas con el car a´ cter discreto de los fluidos comentado anteriormente, se har´ıan progresivamente m´as peque˜nas al ir aumentando δV , haci´endose inapreciables cuando el tama˜no de la part´ıcula fluida (δV )1/3 considerada sea mucho mayor que la distancia media entre mol´eculas d . En otras palabras, cuando la part´ıcula fluida contiene un n´umero de mol´eculas δV/d3 1 el cociente mi /δV se hace independiente de δV . Esta independencia se mantiene siempre y cuando (δV )1/3 sea mucho menor que el tama˜no macrosc´opico caracter´ıstico del campo fluido, L . Cuando (δV )1/3 se hace comparable a L la part´ıcula fluida comienza a “engullir” parcelas de fluido con propiedades distintas, con lo que la densidad comienza a variar. Por ejemplo, para estudiar el campo de densidad en las inmediaciones de un radiador, el utilizar una part´ıcula fluida con un tama˜no comparable al mismo radiador llevar´ıa consigo el tener en el interior de dicha part´ıcula porciones de fluido con temperatura (y por tanto
5
´ INTERNA 1.3. DENSIDAD, VELOCIDAD Y ENERG IA
Hi ótesis de medio continuo
10-9 m
10-8 m
10-7 m
1, permite definir un rango de escalas enFigura 1.6: La hip´otesis de medio continuo, Ld tre la escala caracter´ıstica microsc´opica, d, y la escala caracter´ıstica microsc´opica, L, donde las propiedades del fluido se pueden describir como funciones continuas de la posici´on y del tiempo.
densidad) diferente. La figura 1.5 revela por lo tanto que para ser capaces de de finir un´ıvocamente las variables fluidomec´ anicas en un punto a trav´es del concepto de part´ıcula fluida es necesario que el tama˜no macrosc´opico caracter´ıstico del campo fluido que estudiemos sea mucho mayor que la distancia media entre sus mol´eculas, esto es
d L
1.
(1.3)
Recordando que d 3,4 10−9 m para el aire en condiciones normales, es f´acil adivinar que la condici´on (1.3) se cumple para la inmensa mayor´ıa de los movimientos fluidos de inter´es ingenieril, para los que la descripci´on del campo fluido como un medio continuo resulta adecuada (v´ease por ejemplo la figura 1.6).
×
1.3
Densidad, velocidad y energ´ıa interna
x en el instante t) definimos A partir del concepto de part´ıcula fluida (centrada en la posici´on ¯ densidad como
mi , δV
ρ(¯ x, t) = l´ım
δV →0
(1.4)
d, de forma que evitamos el car´acter discreto donde al tomar el l´ımite se entiende que (δV )1/3 del fluido asociado a su estructura microsc´opica. De manera an´aloga, definimos la velocidad del fluido como el valor medio de la velocidad de todas las mol´eculas que se encuentran en δV (velocidad del centro de gravedad de la part´ıcula fl uida):
v¯ = l´ım
δV →0
6
mi v¯i . mi
(1.5)
´ 1.4. EQUILIBRIO TERMODIN AMICO LOCAL
E i / mi , La energ´ıa por unidad de masa que existe en el interior de δV viene dada por 2 donde E i = m i v¯i /2+E vi +E ri + representa la energ´ıa de cada mol´ecula (energ´ıa cin´etica de traslaci´on m i v¯i 2 /2, energ´ıa de vibraci´on, E vi , rotaci´on, E ri , etc). Es costumbre separar de la energ´ıa por unidad de masa la contribuci´on debida al movimiento medio de traslaci´on de las mol´eculas, de forma que podemos escribir (se deja como ejercicio el demostrarlo)
| | | |
···
l´ım
δV →0
donde
e = l´ım
δV →0
mi v¯i
E i = e + v¯ 2/2, mi
||
2
| − v¯| /2 + E + E + · · ·
vi
mi
ri
(1.6)
(1.7)
es la llamada energ´ıa interna, que incluye en particular la energ´ıa cin´etica asociada al movimiento de agitaci´on de las mol´eculas respecto al movimiento medio. Tal y como veremos, para l´ıquidos y gases existe una estrecha relaci´on entre la temperatura y la energ´ıa interna.
1.4
Equilibrio termodin´amico local
La termodin´amica cl´asica trata sistemas que est´an en equilibrio t´ermico y mec´anico, para los que todas las propiedades termodin´amicas de la materia son uniformes en el espacio y en el tiempo. Cuando por ejemplo estudiamos mediante la leyes de la termodin´amica cl´asica la evoluci´on de un cierto sistema, lo que suponemos es que dicha evoluci´on es tan lenta que es como si el sistema estuviera en equilibrio en cada instante. Entre otros resultados de utilidad, la termodin´amica establece que podemos caracterizar el estado de un sistema de composici´on homog´enea con solo dar dos variables de estado independientes, estando todas las dem´as ligadas a estas dos a trav´es de las llamadas ecuaciones de estado. La mec´anica de fluidos, sin embargo, estudia sistemas que no est´an en equilibrio y cuyas propiedades presentan variaciones espaciales y temporales. Estrictamente hablando, los resultados de la termodin´amica cl´asica no ser´ıan por tanto aplicables al estudio de la mec´anica de fluidos. Afortunadamente, los resultados correspondientes a estados de equilibrio son aproximadamente v´alidos para la inmensa mayor´ıa de los estados de no-equilibrio que analizamos en mec´a nica de fluidos. Un observador movi´endose con la velocidad local puede describir el estado del fl uido mediante las variables de la termodin´amica, cuyas interrelaciones est´an determinadas por las mismas ecuaciones de estado que se aplican a estados de equilibrio. Mediante la Teor´ıa Cin´etica, esta hip´otesis de equilibrio termodina´ mico local encuentra justificaci´on te´orica rigurosa para el caso de los gases, mientras que para el caso de l´ıquidos la justificaci´on proviene de la amplia evidencia experimental que se tiene al respecto. Las mol´eculas de un gas intercambian cantidad de movimiento y energ´ıa a trav´es de las colisiones con sus vecinas, ajustando su estado de esa manera al estado de agitaci ´on t´ermica que existe localmente. Las colisiones entre mol´eculas constituyen por tanto el mecanismo a trav´es del cual el gas alcanza el equilibrio termodin´amico. Siempre y cuando la distancia entre choques λ, tambi´en llamada recorrido libre medio, sea mucho m´as peque˜na que la longitud caracter´ıstica macrosc´opica L , cada mol´ecula sufrir´a un n´umero muy elevado de choques antes de alcanzar regiones donde las propiedades macrosc´opicas cambian apreciablemente. En todo momento es como si el fl uido se encontrara en cada punto muy cerca del equilibrio termodin ´amico correspondiente a los valores locales de densidad y energ´ıa interna.
7
´ ´ 1.5. VARIABLES Y RELACIONES TERMODIN AMICAS DE INTERES
Figura 1.7: Igualando el volumen que le corresponde a cada mol´ecula, d3 , con el volumen barrido por la mol´ecula en su movimiento entre colisiones, d20 λ, se puede estimar el camino libre medio entre colisiones, λ/d = (d/d0 )2 .
El criterio que se debe satisfacer para que un gas se encuentre en equilibrio termodin´amico local es por tanto
λ L
1
(1.8)
donde λ/L es el llamado n´umero de Knudsen. Para que se produzca un choque, el volumen barrido por una cierta mol´ecula en su movimiento ( d20 λ) debe ser igual al volumen de gas que le corresponde a cada mol´e cula (d3 ), lo que nos permite escribir λ/d (d/d0 )2 (por ejemplo, en condiciones normales se obtiene λ 4 10−7 m)1 . Cabe hacer notar que el criterio dado en la Ec. (1.8) es m´as restrictivo que el correspondiente a la hip o ´ tesis del medio continuo (1.3). Entre los pocos ejemplos excepcionales que no cumplen la condici´on de equilibrio termodin´amico local, podemos mencionar el campo fl uido que encontramos en los alrededores de los veh´ıculos espaciales en las altas capas de la atm´osfera, donde el gas est´a tan enrarecido, que el camino libre medio deja de ser peque˜no en comparaci´on con el tama˜no del veh´ıculo.2
×
1.5
Variables y relaciones termodin´amicas de inter´es
La hip´otesis del equilibrio termodin´a mico local nos va a permitir por tanto describir el estado del fluido dando su velocidad ¯ v (¯ x, t) y dos variables termodin´amicas cualquiera. La de finici´on de densidad y energ´ıa interna est´a dada m´as arriba en las Ecs. (1.5) y (1.7). Las dem´as variables termodin´amicas quedan autom´aticamente definidas a trav´es de las ecuaciones de estado correspondientes. Por ejemplo, existe una ecuaci´on de estado s = s(e, ρ), o e = e(s, ρ), que determina la entrop´ıa. Puesto que
de = T ds
− pd(1/ρ)
1
(1.9)
Si el gas est´a evolucionando con un tiempo caracter´ıstico de variaci´on de las propiedades fluidas macrosc´opicas T , razonamientos similares a los expuestos m´as arriba nos llevan a concluir que la condici´on que se habr´ıa de τ , donde τ es el tiempo medio cumplir para que existiera equilibrio termodin´amico local en todo instante es T 9 entre colisiones de las mol´eculas (τ = 10 s para aire en condiciones normales de presi´on y temperatura). 2 Se deja como ejercicio al lector demostrar que, en el aire, el camino libre medio se hace del orden de 1 m para densidades del orden de 3 10 7 kg/m3 , valor que se alcanza en la atm´osfera a una altura de unos 70 km.
−
·
−
8
´ ´ 1.5. VARIABLES Y RELACIONES TERMODIN AMICAS DE INTERES
obtenemos la temperatura y la presi o ´ n a partir de
− ∂e ∂s
T = y
p =
(1.10)
ρ
∂e ∂ρ −1
.
(1.11)
s
De manera an´aloga, se de fine entalp´ıa a partir de los conceptos anteriores como h = e + p/ρ. En lugar de continuar resumiendo conceptos generales de termodin´amica, pasamos ahora a describir algunas de las ecuaciones de estado que nos ser´an de m´as utilidad en el an´alisis de los problemas fluidot´ermicos, particularizando nuestro tratamiento a dos estados fluidos idealizados que cubren la inmensa mayor´ıa de las aplicaciones de inter´es, esto es, l´ıquidos perfectos y gases perfectos.
L´ıquidos perfectos Un l´ıquido perfecto cumple que su densidad y su calor espec´ıfico, c, son constantes, de manera que podemos escribir (1.12) ρ = ρ 0 y
e = cT + e0,
(1.13)
donde e 0 es la energ´ıa interna correspondiente al cero absoluto de temperatura. A partir de la definici´on de entalp´ıa obtenemos
h = cT + e0 + p/ρ0 ,
(1.14)
mientras que por integraci´on de (1.9) determinamos la entrop´ıa en la forma
s = c ln(T ) + s0 .
(1.15)
Muchos l´ıquidos se comportan como perfectos en intervalos razonablemente grandes de presi´on y temperatura. Por ejemplo, el agua puede suponerse un l´ıquido perfecto de densidad ρ0 = 103 kg/m3 y calor espec´ıfico c = 4180 J/(kg K).
·
Gases perfectos Un gas perfecto tiene una ecuaci´on de estado de la forma
p/ρ = R g T,
(1.16)
donde la constante Rg = Ro /W se determina a partir de la constante universal de los gases, Ro = 8,314 J/(mol K), y del peso molecular medio del gas, W (por ejemplo, para el aire W 0,029 kg/mol). La energ´ıa interna, entalp´ıa y entrop´ıa se determinan a partir de
·
e = cv T + e0, h = c p T + e0 , s = cv ln( p/ργ ) + s0 ,
9
(1.17)
(1.18)
(1.19)
´ ´ 1.5. VARIABLES Y RELACIONES TERMODIN AMICAS DE INTERES
donde cv y c p = cv + R g son, respectivamente, los calores espec´ıficos a volumen y presi´on constante, y γ = c p /cv es la relaci´on de calores espec´ıficos. El comportamiento del aire se aproxima mucho al de un gas perfecto con R g = 287 J/(kg K), c v = 717 J/(kg K), c p = 1004 J/(kg K) y γ = 1,4. La ecuaci´on (1.16) deja de ser v´alida a altas presiones, siendo reemplazada por ecuaciones de estado m´as complejas (ecuaci´on de Van der Waals). Por otra parte, los calores espec´ıficos c v y c p son en realidad funci´on de la temperatura, lo que se hace patente cuando la temperatura aumenta lo su ficiente (a las temperaturas t´ıpicamente alcanzadas en los procesos de combusti´on, por ejemplo).
·
·
10
·
Cap´ıtulo 2 Fluidost´atica 2.1
Introducci´on
En este tema se aborda el estudio de fluidos que est´an en equilibrio mec´anico en un cierto sistema de referencia, no necesariamente inercial, dejando a un lado el efecto de la tensi´on superficial. La condici´on de equilibrio mec´anico para un volumen V de fluido en reposo como el de la fi gura 2.1 establece que la resultante de las fuerzas exteriores que act´uan sobre el fluido debe ser nula ¯ext = 0, F (2.1)
y el momento neto de las fuerzas exteriores respecto a un punto 0 arbitrario tambi´en debe ser nulo ¯ 0,ext = 0, (2.2) M pues seg´un la segunda ley de Newton en caso contrario aparecer´ıan aceleraciones lineales o angulares y el fluido dejar´ıa de estar en reposo en el sistema de referencia considerado. Tras introducir los dos tipos de fuerzas que act´uan sobre un fluido en reposo, fuerzas de volumen y fuerzas de super ficie, se presenta la ecuaci´on general de la fl uidost´atica tanto en forma integral como en forma diferencial. A continuaci´on se estudia la distribuci´on de presiones en fluidos en reposo, y en movimiento como s´olido r´ıgido, en presencia de la gravedad, y se determina la distribuci´on de presiones en la atm´osfera est´andar como un problema cl´asico de fl uidost´atica de gases. En el caso particular del equilibrio de l´ıquidos se estudian las fuerzas sobre super ficies sumergidas planas y curvas. Como resultado relevante se deriva el principio de Arqu´ımedes, que permite calcular f´acilmente las fuerzas y momentos que ejerce un l´ıquido sobre un cuerpo sumergido. Por u´ ltimo, se presenta una breve discusi´on del equilibrio y la estabilidad de los cuerpos sumergidos.
2.2
Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie
Las fuerzas que act´uan en un fluido (o en un s´olido) se pueden clasificar en dos tipos: fuerzas de largo alcance (tambi´en denominadas fuerzas de volumen o fuerzas m´asicas) y fuerzas de corto alcance (tambi´en denominadas fuerzas de super ficie).
2.2. FUERZAS DE VOLUMEN Y FUERZAS DE SUPERFICIE
V
Σ dV
0
dσ
z
n ¯ x¯0
ρf ¯m dV
x¯
f ¯n (¯n, ¯ x, t)dσ y
x
Figura 2.1: Volumen arbitrario V de fluido en reposo respecto al sistema de referencia ( x, y , z ). La regi´on de fluido bajo estudio, delimitada por la super ficie imaginaria Σ , est´a sometida a fuerzas de volumen que act´uan sobre cada elemento de volumen d V, y fuerzas de superficie que act´uan sobre cada elemento de superficie dσ .
2.2.1
Fuerzas de volumen o fuerzas m a´ sicas
Las fuerzas de largo alcance son fuerzas que decrecen lentamente con la distancia (su distancia caracter´ıstica de decaimiento es mucho mayor que la distancia media entre mol´eculas, d), y su radio de acci´on es comparable al tama˜no caracter´ıstico del campo fl uido L. Dichas fuerzas son capaces de penetrar en el interior del campo fluido y actuar sobre todos los elementos de su interior. Su magnitud es constante en el interior de cada elemento fluido, y por tanto son proporcionales a la masa (o volumen) del mismo. Por este motivo, tambi´en se conocen como fuerzas de volumen o fuerzas m´asicas. Cada part´ıcula fluida estar´a sometida en general a fuerzas m´asicas, debidas por ejemplo al campo gravitatorio o a las fuerzas de inercia en el caso de sistemas de referencia no inerciales. Las fuerzas de volumen de origen electromagn´etico tienen inter´es en ciertas aplicaciones espec´ıficas pero, por sencillez, no las incluiremos en nuestro estudio. De este modo, la resultante de las fuerzas m´asicas que act´uan sobre una part´ıcula fluida de volumen dV puede expresarse en la forma general ¯m = ρ f ¯m dV, dF (2.3)
¯m representa la magnitud de la fuerza por unidad de volumen, y f ¯m denota por tanto la donde ρf fuerza m´asica por unidad de masa (con dimensiones de aceleraci´on). Por ejemplo, si las fuerzas ¯m viene dado por la aceleraci´on de la m´asicas tienen un origen exclusivamente gravitatorio f g. gravedad ¯ Para escribir (2.3) hemos despreciado la variaci´on de las fuerzas de largo alcance en el interior de la part´ıcula fluida, lo que siempre es posible puesto que la distancia caracter´ıstica de 12
2.2. FUERZAS DE VOLUMEN Y FUERZAS DE SUPERFICIE
¯m es mucho mayor que d. Por ejemplo, para observar un decaimiento apredecaimiento de f g hemos de separarnos de la super ficie de la tierra una distancia ciable de la gravedad terrestre ¯ comparable a su radio R 6400 km. ¯m , la resultante F ¯m de las fuerzas m´asicas que act´ua Supuesta conocida la forma del vector f sobre un cierto volumen de fluido V (v´ease la figura 2.1) se puede obtener sin m´as que sumar la contribuci´on (2.3) de todos los elementos de volumen dV que lo componen, lo que equivale a calcular la siguiente integral de volumen
¯m = F
ρf ¯m dV.
(2.4)
V
¯m en sistemas de referencia inerA continuaci´on se discute la forma que adopta el vector f ciales, donde las fuerzas m´asicas son exclusivamente de car´acter gravitatorio, y en sistemas de referencia no inerciales, donde aparecen adem´as las fuerzas de inercia asociadas a la aceleraci´on lineal y al giro del sistema de referencia considerado. Sistemas de referencia inerciales Si el fluido est´a en reposo respecto a un cierto sistema de referencia inercial y suponemos que existe un campo gravitatorio con aceleraci´on g¯, la u´ nica fuerza de volumen que sufrir´a la part´ıcula fl uida representada en la fi gura 2.1, de masa m = ρdV , ser´a su peso
¯m = m¯ dF g = ρ¯ g dV
(2.5)
o, alternativamente, en t´erminos de fuerza por unidad de masa
f ¯m = g¯.
(2.6)
En problemas de fluidost´atica tomaremos por convenio el eje z en la direccio´ n vertical hacia arriba, lo que permite escribir ¯ g = g¯ ez , siendo g = 9,81 m/s2 la aceleraci´on de la gravedad en la super ficie terrestre.
−
Sistemas de referencia no inerciales: Fuerzas de inercia Si el fluido est´a en reposo respecto a un sistema de referencia no inercial que gira con ¯ y cuyo origen sufre una aceleraci´on lineal ¯a0 , como se indica en la figura velocidad angular Ω 2.2, a la fuerza de la gravedad habr´a que sumarle las fuerzas de inercia asociadas al movimiento no uniforme del sistema de referencia
f ¯m = g¯
−
¯ a ¯o + Ω
∧ (Ω¯ ∧
¯ d Ω x ¯) + dt
∧
x¯ ,
(2.7)
donde
x ¯ = x¯ ex + y¯ ey + z e¯z
(2.8)
representa el vector de posici´on relativo al sistema de referencia no inercial. Si miramos el ¯ segundo miembro de la ecuaci´on (2.7) comprobamos que ¯ao es la aceleraci´on de arrastre, Ω ¯ x ¯ (Ω ¯) es la aceleraci´on centr´ıpeta, y dΩ/dt x ¯ la aceleraci´on debida a variaciones temporales ¯ v¯ queda excluida de de la velocidad angular. Obs´ervese que la aceleraci´on de Coriolis 2Ω v = d¯ x/dt = 0, en el sistema las fuerzas de inercia por ser nula la velocidad relativa del fluido, ¯ de referencia considerado.
∧
∧
13
∧
− ∧
2.2. FUERZAS DE VOLUMEN Y FUERZAS DE SUPERFICIE ¯ Ω
z z
dV
x ¯
y 0
0
y
x
a ¯0
x
Figura 2.2: Elemento fl uido dV en reposo en un sistema de referencia no inercial (x, y , z ) que gira con ¯ y cuyo origen sufre una aceleraci´on ¯a0 respecto a la referencia inercial (x , y , z ). velocidad angular Ω Algunas de las fuerzas m´asicas que aparecen en ( 2.7) son conservativas, esto es, derivan de ¯m = un potencial U tal que f U . As´ı, podemos escribir
−∇ ¯ ∧ (Ω ¯ ∧ x¯) = −∇[−g¯ · x ¯ ∧x ¯ ∧x g¯ − a ¯ −Ω ¯ + ¯a · x¯ − (Ω ¯) · (Ω ¯)/2]. o
o
(2.9)
Sin embargo, se puede demostrar que el t´ermino correspondiente a la aceleraci´on debida a variaciones de la velocidad angular no deriva de un potencial, algo que, como veremos m´as abajo, tiene importantes implicaciones en fluidost´atica de l´ıquidos.
2.2.2
Fuerzas de superficie
A diferencia de las fuerzas de largo alcance, las fuerzas de corto alcance, que tienen un origen molecular directo, decrecen muy r´apidamente con la distancia y son s´olo apreciables a distancias del orden de la separaci´on media entre mol´eculas d . En el caso de un gas, la fuerza que se ejerce a trav´es de la super ficie imaginaria de separaci´on entre dos parcelas de fluido vecinas se debe al transporte de cantidad de movimiento asociado a la velocidad de agitaci´on t´ermica. En otras palabras, aunque a trav´es de una super ficie fluida no hay un transporte neto de masa, las mol´eculas que se desplazan de un lado a otro (en igual n´umero para uno y otro lado si el gas es unicomponente) transportan en su movimiento cantidad de movimiento (y energ´ıa). Este fen´omeno da lugar a nivel macrosc´opico a la aparici´on de fuerzas de super ficie (y a la conducci´on de calor que veremos m´as adelante). Si el fluido es un l´ıquido, aparecen contribuciones adicionales debidas a la fuerza que se ejerce entre las mol´eculas situadas a uno y otro lado de la superficie. Tal y como veremos ahora, a´un cuando se observan estas diferencias a nivel molecular, el tratamiento macrosc´opico de las fuerzas de super ficie se puede hacer de manera uni ficada independientemente del tipo de fl uido del que se trate. Puesto que las fuerzas de corto alcance decaen en una distancia comparable a d, su resultante sobre una part´ıcula fluida de tama˜no dV (tal que dV 1/3 d) es proporcional a la super ficie (y no al volumen) de dicha part´ıcula fl uida. Por este motivo, tambi´en se conocen como fuerzas de superficie. Como se indica en la figura 2.3, la fuerza que se ejerce a trav´es de un elemento n que separa dos elementos fluidos puede escribirse por de superficie de a´ rea dσ y orientaci´on ¯ tanto en la forma ¯s = f ¯n(¯ dF n, x ¯, t)dσ, (2.10)
¯n es funci´on de la orientaci´on ¯n, adem´as donde la fuerza por unidad de super ficie (o esfuerzo) f de la posici´on ¯ x y del tiempo t. En la notaci´on que se sigue tradicionalmente, f ¯n es el esfuerzo 14
´ 2.3. CONCEPTO DE PRESI ON
f ¯n (¯n, x ¯, t)dσ n ¯ dσ
x¯
Figura 2.3: Fuerza superficial que se ejerce a trav´es de un elemento de superficie de a´ rea dσ y orientaci´on n ¯ . Por convenio, f ¯n (¯ n, ¯ x, t) representa el esfuerzo que ejerce el fluido situado en el lado hacia donde n sobre el fl uido situado en el lado contrario. El esfuerzo tiene en general una componente est´a dirigido ¯ normal y otra tangencial, sin embargo en el caso particular de la reduce a la componente normal.
fluidostatica
la fuerza superficial se
n sobre el fluido situado en el que ejerce el fluido situado en el lado hacia donde est´a dirigido ¯ lado contrario. ¯n con la orientaci´on n ¯ , la posici´on x¯, y el Supuesta conocida la dependencia del esfuerzo f ¯ tiempo t , la resultante F s de la fuerza super ficial que act´ua sobre una super ficie Σ contenida en el fluido (v´ease la figura 2.1) se puede obtener sin m´as que integrar (2.10) sobre toda la superficie Σ para dar ¯s = F
f ¯n (¯n, ¯ x, t)dσ.
(2.11)
Σ
¯n se puede dividir siempre en Como se observa en la figura 2.3, el esfuerzo super ficial f n f ¯n ) n ¯ y una componente tangencial f ¯n (¯n f ¯n ) n ¯ al elemento de una componente normal (¯ superficie, lo que permite diferenciar entre los esfuerzos normales y los esfuerzos tangenciales (o cortantes).
·
2.3
− ·
Concepto de presio´ n
De acuerdo con la de finici´on de fl uido dada en el cap´ıtulo anterior, un fl uido (l´ıquido o gas) se deforma indefinidamente bajo la acci´on de un esfuerzo tangencial (aquel que tiende a deformar el fl uido conservando el volumen). As´ı pues, un fl uido que est´a en reposo ( v¯ = 0) respecto a un cierto sistema de referencia no puede soportar esfuerzos cortantes, o de cizalladura. En consecuencia, el esfuerzo sobre cualquier plano en un fluido en reposo es siempre perpendicular a dicho plano. A continuaci´on demostraremos que todos los esfuerzos normales que act ´uan sobre un punto de un fluido en reposo son, de hecho, id´enticos, es decir, independientes de la orientaci´on del plano considerado. A este valor u ´ nico del esfuerzo normal sobre cualquier plano que pasa por un punto de un fl uido en reposo se le denomina presi´on.
15
´ 2.3. CONCEPTO DE PRESI ON pn z
y
dy
θ
px
ds
θ
dz dW
x
dx
pz
Figura 2.4: Equilibrio de una peque˜na cu˜na de fl uido en reposo
2.3.1
Presi´on en un punto: Principio de Pascal
En la figura 2.4 se muestra un peque˜n o elemento de un sistema fluido en reposo de aristas dx, dz , ds y anchura dy perpendicular al papel. Supongamos que los esfuerzos normales sobre cada superficie son constantes, por ser las super ficies muy peque˜nas, aunque en principio podr´ıan ser distintos entre s´ı por tener las super ficies distinta orientaci´on. Denominemos p x , p z y p n a los esfuerzos normales en las super ficies vertical, horizontal y oblicua, respectivamente. Si el elemento fluido est´a en reposo, la resultante de las fuerzas en las direcciones x y z , incluyendo el peso del volumen de fl uido dW = ρg 21 dxdydz e¯z , debe ser nula
F x = p x dydz pndyds sin θ = 0
− 1 F = p dydx − p dyds cos θ − ρg dydxdz = 0 2 z
z
(2.12)
n
(2.13)
donde θ representa el a´ ngulo que la super ficie oblicua forma con la horizontal. N´otese que la simetr´ıa del problema garantiza el equilibrio de fuerzas en la direcci´on y . Utilizando en estas ecuaciones las relaciones trigonom´etricas ds sin θ = dz y ds cos θ = dx se puede escribir
px = p n ,
1 pz = p n + ρgdz. 2
(2.14)
En consecuencia, del hecho de que un fluido en reposo no puede soportar esfuerzos tangenciales se deduce que en un fluido en reposo no hay variaci o´ n de presi´on en la direccio´ n horizontal, y que la variacio´ n de presio´ n en la direccio´ n vertical depende de la densidad, la gravedad y la diferencia de alturas . Imaginemos ahora que reducimos el tama˜no del elemento manteniendo su forma (es decir, sin modificar el a´ ngulo θ ) hasta convertirlo en un punto tomando el l´ımite dz 0. En ese caso las ecuaciones (2.14) adoptan la forma simplificada
→
px = p z = p n
≡ p,
16
(2.15)
´ 2.3. CONCEPTO DE PRESI ON
´ sobre de donde se extrae una nueva conclusi´on: en un fl uido en reposo la presi o´ n que actua cualquier plano que pasa por un punto del fluido es independiente de la orientacio´ n de dicho plano. En resumen, cuando un fluido est´a en reposo en un cierto sistema de referencia las fuerzas de superficie act´uan siempre en la direcci´on normal y su magnitud no depende de la direcci´on, pudiendo en general expresarse como
f ¯n = p(¯ x, t)¯n,
−
(2.16)
donde la variable p es la presi´on, que est´a relacionada con las dem´as variables termodin´a micas a trav´es de las ecuaciones de estado, tal y como se coment ´o al introducir la hip´otesis de equilibrio termodin´amico local. N o´ tese que de acuerdo con la tercera ley de Newton, o ley de acci´on y reacci´on, el esfuerzo debe cambiar de signo al cambiar la orientaci´on de la super ficie, lo que n por n ¯. efectivamente ocurre en (2.16) al cambiar ¯ Finalmente, sustituyendo la expresi´on (2.16) para el esfuerzo normal en (2.10) podemos n calcular la resultante de las fuerzas de presi´on sobre una super ficie Σ de orientaci´on normal ¯ contenida en un fluido en reposo
−
¯ p = F
−
p(¯ x, t)¯ndσ.
(2.17)
Σ
De acuerdo con la expresi´on anterior, para poder evaluar la resultante de las fuerzas de presi ´on es necesario conocer la distribuci´on de presiones en todos los puntos de la super ficie Σ. La determinaci´on del campo de presiones constituye por tanto una de las tareas m´as importantes dentro del estudio de la fluidost´atica como paso previo al c´alculo de fuerzas sobre super ficies sumergidas.
2.3.2
Resultante de las fuerzas de presi´on sobre una part´ıcula fluida
De acuerdo con la discusi´on del apartado anterior, el valor de la presi´on en un punto de un fluido en reposo no depende de la orientaci´on. En este apartado veremos que esto implica que la presi´on no produce fuerza resultante alguna sobre una part´ıcula fluida a menos que existan variaciones espaciales de presi o ´ n. En la figura 2.5 se representa un elemento fluido de tama˜no infinitesimal dxdydz . Supongamos que en un instante dado el fluido est´a sometido a una disx, t) que var´ıa espacialmente de forma arbitraria. Podemos calcular tribuci´on de presi´on p = p(¯ la fuerza resultante que ejerce esta distribuci´on de presi´on sobre las super ficies que encierran el elemento fl uido. As´ı, la presi´on que act´ua sobre la cara izquierda del elemento fl uido ejerce una fuerza p(x,y,z,t)dydz en direcci´on x mientras que la que act´ua sobre la cara derecha ejerce una fuerza p(x + dx,y,z,t)dydz en direcci´on x. En las direcciones y y z ocurre exactamente lo mismo. Utilizando entonces el desarrollo en serie de Taylor para escribir
−
p(x + dx,y,z,t) = p(x,y,z,t) +
∂p dx ∂x
(2.18)
se obtiene la componente seg´un x de la resultante de las fuerzas de presi´on
dF p,x = p dydz
−
∂p p + dx dydz = ∂x
∂p dxdydz − ∂x
(2.19)
existiendo expresiones an´alogas para las componentes seg´un y y z . En resumen, tenemos
¯ p = dF p,x e¯x + dF p,y e¯y + dF p,z e¯z = dF 17
−∇ p dxdydz
(2.20)
´ DE PRESIONES EN UN FLUIDO EN REPOSO 2.4. DISTRIBUCI ON z
dy y
p(x, t)
p(x + dx, t)
dz
x
dx
Figura 2.5: Fuerza resultante seg´un x sobre un elemento fluido debida a las variaciones espaciales de presi´on.
donde
∂p ∂p ∂p e¯ + e¯ + e¯ ∇ p = ∂x ∂y ∂z x
y
z
(2.21)
representa el vector gradiente de presio´ n. Sin m´as que dividir ahora por el volumen del elemento fluido, dV = dxdydz , se obtiene la resultante de las fuerzas de presi o´ n por unidad de volumen
¯ p dF = dV
−∇ p
(2.22)
que viene dada por el gradiente de presi´on cambiado de signo. Como puede observarse, no es el valor absoluto de la presi´on, sino las variaciones espaciales de presi o´ n las que originan una fuerza neta sobre el elemento fluido. Esto permite concluir que en ausencia de variaciones espaciales de presi´on la fuerza neta ser´a nula. O dicho de otra forma, la fuerza neta que ejerce una distribuci´on de presi´on constante sobre la part´ıcula fl uida es cero.
2.4
Distribuci´on de presiones en un fluido en reposo
x, t), funci´on La presi´on en un fluido est´a en general representada por un campo escalar, p(¯ de la posici´on y del tiempo. En lo que sigue, sin embargo, consideraremos por sencillez que el campo de presi´on y las fuerzas m´asicas que lo generan no dependen del tiempo, como suele ocurrir en la mayor´ıa de las aplicaciones de inter´es.
2.4.1
Ecuaci´on general de la fluidost a´ tica
La ecuaci´on fundamental de la fluidost´atica en forma integral se obtiene al establecer la condici´on de equilibrio est´atico (2.1) para una cierta regi´on de fl uido como la que se muestra en la figura 2.1. Escribiendo la resultante de las fuerzas exteriores como la resultante de las fuerzas de presi´on m´as la resultante de las fuerzas m´asicas, tenemos
¯ext = F ¯ p + F ¯m = F
−
p(¯ x, t)¯ndσ +
Σ
ρf ¯m dV = 0
(2.23)
V
¯m y F ¯ p como integrales extendidas donde se han utilizado las Ecs. ( 2.4) y (2.17) para expresar F al volumen considerado, V , y a la super ficie que lo delimita, Σ, respectivamente. Esta ecuaci´on
18
´ DE PRESIONES EN UN FLUIDO EN REPOSO 2.4. DISTRIBUCI ON
establece que la resultante de las fuerzas de presi´on sobre la superficie Σ debe estar en equilibrio con la resultante de las fuerzas m´asicas que act´ua sobre el volumen de fluido V . La ecuaci´on general de la fluidost´atica tambi´en se puede escribir en forma diferencial si se aplica la condici´on de equilibrio est´atico (2.23) a un elemento fl uido de tama˜no infinitesimal dxdydz como el que se muestra en la figura 2.5. Como hemos visto m´as arriba, sobre dicho elemento fluido en reposo act´uan dos tipos de fuerzas: las fuerzas de super ficie y las fuerzas m´asicas, entre las que se encuentran la fuerza de gravedad y las fuerzas de inercia (si elegimos un sistema de referencia no inercial para describir matem´aticamente nuestro problema). En el equilibrio, la resultante de estas fuerzas sobre el elemento fluido de la figura 2.5 debe ser nula, es decir ¯ p + d F ¯m = dF p dxdydz + ρf ¯m dxdydz = 0 (2.24)
−∇
donde hemos hecho uso de ( 2.3) y (2.20) para escribir los diferenciales de fuerzas m´asicas y de presi´on como se indica en (2.24). Dividiendo la ecuaci´on anterior por el volumen del elemento on general de la fl uidost´atica fluido se obtiene la ecuaci´
− ∇ p + ρf ¯
m
2.4.2
=0
(2.25)
Condici´on de compatibilidad para las fuerzas m a´ sicas
( p) = 0 en Tomando el rotacional de la ecuaci´on (2.25) y teniendo en cuenta que 1 todo el campo fluido sea cual sea el campo de presi´on, se obtiene la siguiente condici´on de compatibilidad para el vector de fuerzas m´asicas
∇ ∧ ∇
∇ ∧ (ρf ¯ ) = 0
m
(2.26)
que debe cumplirse si queremos que el fluido est´e en reposo. O dicho de otro modo, si las fuerzas m´asicas no satisfacen esta condici´on, no es posible que el fl uido permanezca en reposo. En particular, es f´acil comprobar que la condici´on de compatibilidad (2.26) se verifica id´enticamente en los siguientes casos:
• Fuerza gravitatoria f ¯ = −g¯e con ρ = ρ(z ). • Fuerza de inercia f ¯ = −a¯ debida a la traslaci´on del origen del sistema de referencia. • Fuerza de inercia f ¯ = −Ω¯ ∧ (Ω¯ ∧ x¯) debida a la rotaci´on del sistema de referencia. ¯ ∧x¯ Tambi´e nesf´a cil comprobar que, en el caso de l´ quidos (ρ = cte), la fuerza de inercia ρ dΩ/dt m
m
z
0
m
ı
debida a la aceleraci´on angular del sistema de referencia no cumple la relaci´on (2.26) y, por tanto, no es compatible con el reposo del fluido. ¯m dada por las En resumen, teniendo en cuenta la forma del vector de fuerzas m´asicas f ecuaciones (2.6) y (2.7), e ignorando en esta ´ultima el t´ermino debido a la aceleraci´on angular del sistema de referencia, la ecuaci´on (2.25) toma la forma
−∇ p + ρ¯g = 0 −∇ p + ρ [¯g − a¯ − Ω¯ ∧ (Ω¯ ∧ x¯)] = 0
sistema de referencia inercial sistema de referencia no inercial
o
1
(2.27)
(2.28)
Resulta sencillo comprobar este resultado utilizando un sistema de coordenadas cartesiano rectangular
∇ ∧ (∇ p) =
e¯x
e¯y
e¯z
∂ ∂x ∂p ∂x
∂ ∂y ∂p ∂y
∂ ∂z ∂p ∂z
=
∂ ∂p ∂y ∂z
−
∂ ∂p ∂z ∂y
e¯x +
∂ ∂p ∂z ∂x
−
∂ ∂p ∂x ∂z
e¯y +
∂ ∂p ∂x ∂y
−
donde la u´ ltima igualdad es consecuencia de la igualdad de las derivadas cruzadas de la presi ´on.
19
∂ ∂p ∂y ∂x
e¯z = 0
´ DE PRESIONES EN UN FLUIDO EN REPOSO 2.4. DISTRIBUCI ON
2.4.3
Isobaras
Dado que el gradiente de presi´on p es, por de finici´on de gradiente de una funci´on escalar, perpendicular en todos los puntos a las super ficies de presi´on constante, o isobaras, y teniendo ¯m , se en cuenta que la Ec. ( 2.25) muestra que p tiene la direcci´on del vector fuerzas m´asicas f puede concluir que las isobaras son super ficies perpendiculares en todo punto al vector fuerzas m´asicas f ¯m .
∇
∇
2.4.4
Ejemplos de inter´es pra´ ctico
A continuaci´on se obtiene la distribuci´on de presiones mediante integraci´on de la ecuaci´on fundamental de la fluidost´atica en forma diferencial y se discute la forma de las isobaras en varios ejemplos de inter´es pr´actico.
L´ıquido en reposo sometido a la acci o´ n de la gravedad En primer lugar consideraremos un l´ıquido que permanece en reposo sometido a la acci´on de la gravedad como ´unica fuerza m´asica. En este caso, en cualquier punto del fluido la resultante de las fuerzas m´asicas viene dada por f ¯m = g¯ = g¯ ez . Por estar alineada con la gravedad, la normal a las super ficies de presi´on constante ser´a vertical en todos los puntos del fl uido, luego las isobaras son planos horizontales. Este razonamiento cualitativo se puede formalizar matem´aticamente utilizando la ecuaci´on general de la fluidost´atica (2.25). Por ser la resultante de las fuerzas m´asicas nula en las direcciones x e y tenemos
−
∂p ∂p = =0 ∂x ∂y
→
p = p(z )
(2.29)
luego la presi´on es s´olo funci´on de la coordenada vertical, z . En esta direcci´on, la condici´on de equilibrio toma la forma
dp − dz − ρg = 0
(2.30)
p + ρgz = cte
(2.31)
cuya integraci´on proporciona As´ı pues, las isobaras p = cte se reducen en este caso a super ficies z = cte, esto es, planos horizontales, como hab´ıamos anticipado con el razonamiento cualitativo.
L´ıquido en reposo sometido a la acci o´ n de la gravedad y una aceleraci o´ n lineal uniforme Consideraremos el mismo caso del apartado anterior, pero suponiendo ahora que el l´ıquido se encuentra en reposo respecto a un sistema de referencia no inercial que sufre una aceleraci´on lineal a 0 e¯x constante seg´un x . Para estudiar el equilibrio del l´ıquido en dicho sistema de referencia es preciso a n ˜ adir una fuerza de inercia constante ρa0 e¯x al vector de fuerzas m´asicas, ¯m = g¯ ez a0 e¯x . Este vector es constante en todo el espacio, por lo que ahora tiene la forma f que concluimos que las isobaras son planos perpendiculares al mismo, al i gual que suced´ıa en el caso anterior.
−
− −
20
´ DE PRESIONES EN UN FLUIDO EN REPOSO 2.4. DISTRIBUCI ON
En efecto, integrando la ecuaci´on general de la fl uidost´atica
∂p =0 → − ∂y ∂p − ∂x − ρa = 0 → − ∂p − ρg = 0 → ∂z
p = p(x, z )
0
(2.32)
p + ρa0 x = C 1(z ) + cte
(2.33)
p + ρgz = C 2(x) + cte
(2.34)
de donde se obtiene
p + ρ(gz + a0x) = cte
(2.35)
Por tanto, las isobaras p = cte son en este caso planos, dados por la ecuaci´on impl´ıcita gz + a0 x = cte, que est´an inclinados un ´angulo α = arctg(a0 /g) respecto a la horizontal.
L´ıquido contenido en un recipiente cil´ındrico que gira con velocidad angular constante y sometido a la acci o´ n de la gravedad En este caso consideramos el recipiente cil´ındrico cerrado de la figura 2.6. Supondremos que el recipiente, de radio R, est´a parcialmente lleno de l´ıquido hasta una altura H 0 , estando el resto del volumen ocupado por un gas. Se trata de estudiar la distribuci´on de presiones que aparece en presencia de la gravedad cuando el dep ´osito se pone a girar alrededor de su eje de simetr´ıa con velocidad angular constante Ω. Para la descripci´on del problema conviene utilizar un sistema de referencia no inercial girando con el dep´osito, respecto al cual los fl uidos se encuentran en reposo. Elegimos arbitrariamente el origen del sistema de referencia en el punto de la entrefase agua-aire situado en el eje ¯ = Ω¯ de giro, con el eje z orientado en la direcci´on de la vertical local, de manera que Ω ez . Conviene observar que la posici´on del origen del sistema de referencia es, en principio, desconocida y deber´a obtenerse como parte de la soluci´on del problema. ¯m incluye tanto la En dicho sistema de referencia, la resultante de las fuerzas m´asicas f ez como la fuerza centr´ıfuga de inercia gravedad g¯
−
− Ω¯ ∧ (Ω¯ ∧ x¯) = −Ω¯e
z
∧
− −
e¯x e¯y e¯z 0 0 Ω = x y z =
Ω¯ez
∧ (−Ωy¯e + Ωx¯e )
e¯x e¯y 0 0 Ωy Ωx
x
−
y
e¯z Ω = Ω2 (x¯ ex + y¯ ey ) = Ω2 r¯ er (2.36) z
donde r es la distancia del punto considerado al eje de giro y ¯ er es el vector unitario en direcci´on radial, como se indica en la fi gura 2.6. La Ec. (2.36) muestra que la fuerza centr´ıfuga tiene direcci´on radial y crece linealmente con la distancia r al eje de giro. As´ı pues, la resultante de las fuerzas m´asicas en un punto gen´erico del l´ıquido depende ahora de la posici´on del punto considerado. Por ejemplo, a lo largo del eje de giro, r = 0, el t´ermino de fuerza centr´ıfuga se anula y el vector de fuerzas m´asicas se reduce a la aceleraci´on de la gravedad, luego las isobaras son localmente horizontales. Por el contrario, si consideramos puntos a distancias crecientes del eje, la fuerza centr´ıfuga aumenta con r y con ella cambia la fuerza m´asica neta aplicada sobre cada punto, tanto en direcci´on como en m´odulo.
21
´ DE PRESIONES EN UN FLUIDO EN REPOSO 2.4. DISTRIBUCI ON ¯ ¯ = Ωk Ω
pa
gas
g¯
Ω2 r¯ er
z F (r)
0
H 0
−gk¯
r
f ¯m
H
f ¯m
l´ıquido
(a)
f ¯m
(b)
Figura 2.6: Recipiente cil´ındrico parcialmente lleno de un l´ıquido de densidad ρ , con el resto del volu¯ = Ω¯ ez alrededor del eje del men ocupado por un gas ideal: (a) en reposo; (b) girando con velocidad Ω cilindro.
Podemos anticipar, por tanto, que las isobaras ser ´an superficies de revoluci´on que formar´an un a´ ngulo creciente con la horizontal a medida que nos alejemos del eje de giro, y con pendiente nula en el propio eje. En efecto, si integramos la ecuaci´on fundamental de la fl uidost´atica
− −
∂p + ρΩ2 x = 0 ∂x ∂p + ρΩ2 y = 0 ∂y ∂p ρg = 0 ∂z
− −
obtenemos
ρΩ2 x2 = C 1 (y, z ) + cte 2 ρΩ2 y 2 = C 2 (x, z ) + cte 2
→ →
p
→
p + ρgz = C 3 (x, y) + cte
p + ρ gz
− p−
−
Ω2 r 2 = cte 2
(2.37)
(2.38) (2.39)
(2.40)
donde r = (x2 + y 2 )1/2 es la distancia al eje del cilindro. Por tanto, las isobaras p = cte son, en este caso, paraboloides de revoluci´on de la forma z Ω2 r 2 /(2g) = cte. Para evaluar el valor de la constante de integraci´on que aparece en (2.40) particularizamos el lado izquierdo de la ecuaci´on en el origen del sistema de referencia, r = z = 0, donde la presi´on debe ser la presi´on atmosf´erica, pa , lo que permite escribir para la fase l´ıquida
−
p = p a
− ρg
− z
22
Ω2 r2 2g
.
(2.41)
´ ´ ´ 2.5. FLUIDOST ATICA DE L IQUIDOS: APLICACIONES A LA MEDIDA DE PRESI ON
A lo largo de la super ficie de separaci´on entre los dos fluidos, z s = F (r), la presi´on ha de ser igual en el l´ıquido y el gas, con lo que se debe veri ficar F (r) = Ω2 r 2 /(2g). No´ tese que la expresi´on que representa la forma de la entrefase l´ıquido-gas coincide con la de las isobaras, pues la entrefase l´ıquido-gas se encuentra a presi´on constante, p = p a . Tal y como puede verse, la forma de fi cha entrefase resulta ser independiente de los valores de ρ y pa . Finalmente, conocida la forma de la entrefase l´ıquido-gas estamos en disposici´o n de calcular la posici´on del origen del sistema de referencia, cuya elevaci´on H sobre el fondo del dep´osito se puede calcular imponiendo la conservaci´on del volumen de l´ıquido entre la condici´on de reposo (a) y la condici´on de giro (b) indicadas en la figura 2.6 2
R
2
πR H 0 = πR H +
2πrF (r)dr
(2.42)
0
La soluci´on del problema queda as´ı completamente determinada. Se deja al lector calcular la velocidad de giro a la cual la entrefase alcanza el borde del vaso si la altura de este es H v . ¿Qu´e ocurrir´ıa a velocidades de giro mayores?
2.5 2.5.1
Fluidost´a tica de l´ıquidos: Aplicaciones a la medida de presio´ n El bar´ometro de mercurio
La aplicaci´on pr´actica m´as sencilla de la ecuaci´on general de la hidrost´atica es el bar´ometro de mercurio, un instrumento que sirve para medir la presi´on atmosf´erica. Se puede construir un bar´ometro llenando con mercurio un tubo cerrado por uno de sus extremos, d´andole la vuelta y sumergiendo el extremo abierto en un recipiente lleno de mercurio, como se indica en la figura 2.7. Esto produce un vac´ıo en la parte superior del tubo, dado que la presi´on de vapor del mercurio a la temperatura ambiente es muy peque˜na ( pvap,Hg = 0,16 Pa a 20 o C). Al estar la superficie superior del mercurio a presi´on nula, la presi´on atmosf´erica fuerza a la columna de mercurio a elevarse hasta una altura h 760 mm, de modo que el peso de la columna de l´ıquido compensa exactamente el efecto de la presi ´on atmosf´erica. La ecuaci´on general de la fluidostatica aplicada al mercurio toma la forma
p + ρHg gz = C
≡ p + ρ 2
Hg
gz 2 = p vap,Hg + ρHg gh
(2.43)
donde ρHg = 13545 kg/m3 es la densidad del mercurio, g = 9,81 m/s 2 la aceleraci´on de la gravedad, y la constante de integraci´on se ha evaluado en la super ficie libre dentro del tubo (punto 2), donde p2 = pvap,Hg es la presi´on de vapor del mercurio y z 2 = h la altura de la columna de l´ıquido. Particularizando ahora el lado izquierdo de ( 2.43) en la super ficie libre del recipiente (punto 1) se obtiene una expresi´on expl´ıcita para la presi´on atmosf´erica
p1 + ρHg gz 1 = p vap,Hg + ρHg gh
pa
ρ
→
Hg
gh
101325 Pa = 1 atm
(2.44)
donde hemos sustituido p1 = pa , z 1 = 0 y hemos despreciado la contribuci´on de la presi´on de vapor del mercurio, por ser mucho menor que pa . En los bar´ometros se utiliza el mercurio por ser el l´ıquido com´un m´as denso que existe; un bar´ometro de agua requerir´ıa una columna de altura
ρ p
hagua
a
agua g
23
= 10,3 m
(2.45)
´ ´ ´ 2.5. FLUIDOST ATICA DE L IQUIDOS: APLICACIONES A LA MEDIDA DE PRESI ON vac´ıo p2 , z 2
h
z pa
p1 , z 1
Hg
Figura 2.7: Representaci´on esquem´atica de un bar´ometro de mercurio. En 1643 el f´ısico y matem´atico italiano Evangelista Torricelli descubri´o el principio del bar´ometro, por el que pas´o a la posteridad, demostrando as´ı la existencia de la presi´on atmosf´erica. Este principio fue confirmado posteriormente por Pascal realizando mediciones a distintas alturas. Como hemos visto, el principio de operaci´on del bar´ometro de mercurio establece que el peso de una columna de mercurio de h = 760 mm es el mismo que el de la columna de aire situada en la vertical de un cierto punto a nivel del mar. Esto permite estimar la masa total del aire contenido en la atm´osfera como la masa de una delgada c´ascara esf´erica de mercurio que cubriera toda la super ficie terrestre. Conocido el radio de la Tierra, R ⊕ = 6371 km, la masa total de la atm´osfera calculada mediante este m´etodo aproximado ser´ıa 2 matm = m Hg = ρ Hg 4πR ⊕ h = 13600 4 π (6371 103 )2 0,76 = 5,27 1018 kg (2.46)
· · ·
·
·
·
En realidad, la presencia de tierra firme sobre las plataformas continentales resta volumen a la atm´osfera, cuya masa real es en consecuencia algo menor, alrededor de 5,15 1018 kg. Conviene hacer notar que esta masa constituye alrededor de 1/275 veces la masa total de los oc´eanos, o una millon´esima parte de la masa de la tierra.
·
2.5.2
El man´ometro en U abierto
Un man´ometro es un instrumento de medici´on que sirve para medir la presi´on de un fluido contenido en un recipiente cerrado. Los man´ometros basados en columna l´ıquida emplean un l´ıquido manom´etrico, generalmente mercurio, que llena parcialmente un tubo en forma de U como se observa en la fi gura 2.8. Cuando uno de los extremos se conecta a una c´amara presurizada, el mercurio se eleva en el tubo abierto hasta que se alcanza el equilibrio. La diferencia h entre los dos niveles de mercurio es una medida de la presi´on manom´etrica: la diferencia entre la presi´on absoluta en la c´amara y la presi´on atmosf´erica en el extremo abierto. La ecuaci´on general de la fluidost´atica aplicada al fluido contenido en la c´amara, A, y al fluido manom´ etrico, B, toma la forma
p + ρAgz = C A p + ρB gz = C B
≡ p + ρ ≡ p + ρ 1
A gz 1
(2.47)
a
B gz 2
(2.48)
donde la constante de integraci´on del fluido B se ha evaluado en la super ficie libre del tubo abierto a la atm´osfera, donde p = p 2 pa y z = z 2 , y la constante del fluido A se ha evaluado
≡
24
´ ´ ´ 2.5. FLUIDOST ATICA DE L IQUIDOS: APLICACIONES A LA MEDIDA DE PRESI ON pa
p2 , z 2
p0 , z 0
h 0
A
p1 , z 1 z
B
Figura 2.8: Representaci´on esquem´atica de un man´ometro en U abierto. en la entrefase A-B, donde p = p 1 (desconocida) y z = z 1 . Particularizando (2.48) en el punto 1 obtenemos la presi´on en la entrefase
p1 = p a + ρB g(z 2
− z ) = p + ρ 1
a
B gh
(2.49)
y utilizando este valor en (2.47) podemos determinar finalmente la presi´on en el interior de la c´amara p0 = p a + ρB gh + ρA g(z 1 z 0 ) (2.50)
−
Conviene hacer notar que en una entrefase plana entre dos fluidos en reposo el equilibrio de fuerzas aplicado a un elemento diferencial de la entrefase implica que las presiones a ambos lados de la misma deben ser iguales. Por este motivo hemos podido evaluar p1 utilizando (2.48) y a continuaci´on utilizar este valor en (2.47). La Ec. (2.50) admite una simpli ficaci´on importante cuando el fl uido A se trata de un gas. Es este caso la densidad del fluido A es muy peque˜na comparada con la del fluido B, ρ A ρ B , y siempre que z 1 z 0 sea comparable a h podremos despreciar el t´ermino ρ A g(z 1 z 0 ) debido a la diferencia de alturas entre el punto 1 y el dep´osito. En este caso, la presi´on en el dep´osito vendr´a dada por p0 p1 = p a + ρB gh (A es un gas ) (2.51)
−
−
2.5.3
El man´ometro diferencial
El man´ometro diferencial es un instrumento de medici´on que permite medir la diferencia de presi´on entre dos puntos I y II aguas arriba y aguas abajo de un dispositivo de flujo situado en un conducto por el que fluye un cierto fluido de trabajo, al que llamaremos fluido A. Dicho dispositivo de flujo puede ser de cualquier tipo: un filtro, una v´alvula, un estrechamiento, un difusor, un codo, una bomba, u otros. Al igual que el man´ometro en U abierto, el man o´ metro diferencial emplea un l´ıquido manom´etrico, al que llamaremos fluido B, que llena parcialmente un tubo en forma de U. Como ilustra la figura 2.9, uno de los extremos del tubo se conecta a la secci´on I aguas arriba del dispositivo de flujo y el otro a la secci´on II aguas abajo. Como consecuencia de la diferencia de presi´on entre I y II, el fluido manom´etrico se eleva en el tubo 25
´ ´ ´ 2.5. FLUIDOST ATICA DE L IQUIDOS: APLICACIONES A LA MEDIDA DE PRESI ON
de la derecha hasta que se alcanza el equilibrio. En el equilibrio, la diferencia h entre los niveles de mercurio en las dos ramas del man´ometro es una medida de la diferencia de presi´on entre ambos puntos.
I
II
dispositivo de flujo
A
p2 , z 2
A
h
p1 , z 1 z
B
Figura 2.9: Representaci´on esquem´atica de un man´ometro en U diferencial. La ecuaci´on general de la fluidost´atica aplicada al fluido A en reposo contenido en las ramas izquierda y derecha del man´ometro toma la forma
p + ρA gz = C A1 p + ρA gz = C A2
≡ p + ρ ≡ p + ρ 1
A gz 1
2
A gz 2
(A rama izquierda) (A rama derecha)
(2.52)
(2.53)
mientras que para el fluido manom´etrico tenemos
p + ρB gz = C B
≡ p + ρ 2
B gz 2
(B)
(2.54)
donde las constantes se han evaluado en las entrefases A-B izquierda, Ec. ( 2.52), y derecha, Ecs. (2.53) y (2.54). Restando ahora la Ec. ( 2.52) particularizada en I de la Ec. (2.53) particularizada en II
pI +ρA gz I = p1 + ρA gz 1
−
pII +ρA gz II = p2 + ρA gz 2
( pI + ρAgz I)
− ( p
II +
↓
ρA gz II ) = ( p1
− p ) + ρ 2
A g(z 1
− z )
2
(2.55)
y utilizando la Ec. (2.54) particularizada en 1 para expresar la diferencia de presiones p 1 p2 en la forma (2.56) p1 p2 = ρ B g(z 2 z 1 )
−
−
−
se obtiene fi nalmente
( pI + ρA gz I)
− ( p
II +
ρA gz II ) = (ρB
−ρ
A )g(z 2
− z ) = (ρ − ρ 1
B
A )gh
(2.57)
ecuaci´on que liga las presiones y alturas en las secciones I y II aguas arriba y aguas abajo del dispositivo de flujo con la diferencia de densidad entre el fl uido manom´etrico y el fl uido de 26
´ ´ ´ 2.6. FLUIDOST FLUIDOST ATICA DE GASES: ATM OSFERA EST ANDAR
trabajo, ρB ρA , y la diferencia h entre los niveles niveles de mercurio en las dos dos ramas del man´ometro. ometro. Obs´ervese ervese que, de acuerdo con la Ec. ( 2.57 2.57), ), la sensibilidad del man´ometro ometro ser´ sera´ tanto mayor cuanto menor sea la diferencia ρB ρA entre la densidad del fluido manom´etrico etrico y el fl uido de trabajo. La ecuaci´on on anterior puede simpli ficarse a´un u n m´as as en dos casos de inter´es es pr´actico. actico. Si el conducto es horizontal tenemos z I = z II Ec. (2.57 2.57)) se reduce a II y la Ec. (
−
−
pI
− p
II =
(ρB
−ρ
A )gh
(conducto horizontal )
(2.58)
mientras que si el fluido de trabajo es un gas podemos despreciar todos los t´erminos que conρB y escribir directamente tengan la densidad del gas por ser ρA
p − p ρ I
II
B gh
(A es un gas )
(2.59)
Notese o´ tese que en este ´ultimo ultimo caso la posible diferencia de altura entre los puntos I y II deja de afectar al resultado, pues va multiplicada multi plicada por ρA g y su efecto resulta por tanto despreciable.
2.5. 2.5.4 4
Pres Presiion o´ n absoluta, manometrica e´ trica y de vac´ vac´ıo
La medida de la presi´on on en un fluido puede hacerse relativa a un nivel de presi´on on nula, en presion o´ n absoluta, o relativa a la presi cuyo caso se denomina presi´ presi on o´ n atmosf´erica erica local, como ocurre presion o´ n manom´ manometrica e´ trica, si si se utiliza el man´ometro ometro abierto, y se habla en este segundo caso de presi´ presion o´ n de vac´ vac´ıo, si la presi´on la presi presi´on o´ n local es mayor que la atmosf´erica, erica, o de presi´ on local es menor que la atmosf´erica. erica. Es decir,
p presi´on on manom´etrica etrica p = p man = p pa cuando presi´on on de vac´ıo pvac = p a p cuando presi´on on absoluta
− −
p > pa p < pa
presion o´ n atmosf erica e´ rica Insistimos en que la presi´on on manom´etrica etrica y de vac´ıo est´an an referidas a la presi´ local, que no tiene por que coincidir con la presi´on on atmosf´erica erica a nivel del mar en condiciones est´andar andar (1 atm = 101325 Pa). Por ejemplo, si una medida de presi´on se realiza en un lugar y momento en que la presi´on on atmosf´erica erica es de pa = 90000 Pa (porque, por ejemplo, estamos a cierta altura sobre el nivel del mar, o la medida se realiza en un d´ıa de bajas presiones) y se obtiene una medida de p = 120000 Pa, la presi´on on manom´etrica etrica ser´a en este caso de pman = p pa = 30000 Pa.
−
2.6 2.6
Flu Fluido idost´ statica a´ tica de gases: Distribucion o´ n de presiones en la atm´ atmosfera o´ sfera est´ estandar a´ ndar
La ecuaci´on on general de la fluidost´atica atica (2.25 (2.25)) aplicada a un gas perfecto en reposo en un sistema de referencia inercial toma la forma
− ∇ p + ρg¯ = −∇ p + RpT ¯g = 0,
(2.60)
g
donde se ha utilizado la ecuaci´on on de estado de los gases perfectos ( p = ρRg T ) para tener en cuenta las variaciones de densidad debidas a los cambios de presi´on presi´on o temperatura. Por ser la 27
´ ´ ´ 2.6. FLUIDOST FLUIDOST ATICA DE GASES: ATM OSFERA EST ANDAR
g = gravedad ¯
−ge¯ la unica u´ nica fuerza m´asica, asica, podemos escribir z
∂p ∂p = =0 ∂x ∂y
p = p = p((z )
→
→ − dd pz − RpT g = g = 0,
(2.61)
g
o bien
d p g + dz dz = 0, p Rg T
(2.62)
ecuaci´on on que relaciona la variaciones de presi´on, on, p, con las variaciones de altura, z , en un gas perfecto sometido a la acci´on on de la gravedad. En la ecuaci´on on anterior, la aceleraci´on on de la gravedad g y la constante del gas R g toman valores fi jos, mientras que la temperatura podr´ıa, en principio, variar con la altura. As´ı pues, antes de integrar la Ec. ( 2.62 2.62)) es preciso especificar T (z ). la ley T = T (
2.6.1
Atmosfera o´ sfera isoterma
Si suponemos que la temperatura es constante, T = T 0 , como ocurre, ocurre, por ejemplo, ejemplo, en la atm´osfera osfera terrestre cerca de la super ficie, podemos integrar la Ec. (2.62 ( 2.62))
d p g + p Rg T 0
para obtener
ln p ln p +
dz = 0,
g z = = cte. cte. Rg T 0
(2.63)
(2.64)
Particularizando esta ecuaci´on on en z = 0, donde supondremos conocido el valor de la presi´on, p = p = p 0, obtenemos el valor de la constante ( cte = ln p ln p0) que, sustituida en (2.64 ( 2.64), ), proporciona la ley para la presi´on on en funci´on on de la altura en un gas isotermo
p = p = p p 0 exp
−
g z . Rg T 0
(2.65)
Como puede verse, en un gas isotermo la presi´on on cae exponencialmente exponencialmente con la altura, con una ∆z Rg T 0/g 8,4 km para T 0 = 288K. distancia caracter´ıstica de decaimiento ∆z
∼ ∼
2.6.2
≈
Atmosfera o´ sfera est andar a´ ndar
Aunque cerca de la super ficie terrestre la aproximaci´on on de atm atm´osfera o´ sfera isoterma resulta apropiada, para determinar correctamente la distribuci´on on de presi´on on atmosf´erica erica hay que tener en cuenta que la temperatura atmosf´erica erica disminuye linealmente desde la super ficie hasta una altura de aproximadamente 11000 m (troposfera), se mantiene constante entre los 11000 y los 20000 m (estratosfera), y vuelve a aumentar por encima de los 20000 m. Matem´aticamente, la ley que expresa la variaci´on on de la temperatura con la altura se puede escribir en la forma
T =
T 0 T 1
− Bz
0 < z < 11000 m, m, 11000 < 11000 < z < 20000 m, m,
(2.66)
donde T 0 es la temp temper erat atur uraa a nive nivell del del mar mar ( z = 0), B es el grad gradie ient ntee t´ermico ermico en la tropo troposfe sfera, ra, i.e. i.e. la velocidad a la que decae la temperatura con la altura, y T 1 es la temperatura de la estratosfera. 28
´ ´ ´ 2.6. FLUIDOST FLUIDOST ATICA DE GASES: ATM OSFERA EST ANDAR
20 18 16 14 12 ) m k 10 ( z
39%
8 6 4
69%
2
84%
0
94% 0
0.2
0.4 0.6 p (atm)
0.8
1 −60
−40
−20 T (ºC)
0
20 0
0. 5
1
1 .5
3
ρ (kg/m )
Figura 2.10: Distribuci´on on de (a) temperatura, (b) presi´on on y (c) densidad densidad en la atmosfera o´ sfera est´andar. andar. L´ınea 11 < < z < 20 km). roja: troposfera (0 < z < 11 km), l´ınea azul: estratosfera (11 Los valores de T 0 y B var´ıan ligeramente de un d´ıa a otro y de un lugar a otro, pero existe un acuerdo internacional por el que se de finen los valores est´andar: andar: T 0 = 288, 288,16 K y B = 0,00650 K/m 6,5 K/km, lo que conduce al valor T 1 = 288, 288,16 6,5 11 = 216, 216,66 K o 56, 56,5 C. En la figura 2.10 gura 2.10(a) (a) se representa la variaci´on on de temperatura con la altura en dicha atm´ atmosfera o´ sfera est´ estandar a´ ndar. Introducie Introduciendo ndo esta expresi´ expresi´on on para para la varia variaci´ ci´on o n de la temp temper erat atur uraa con con la altu altura ra en la Ec. Ec. (2.62 (2.62)) resulta
−
≡
−
d p = p
−
g Rg
que se puede integrar f´acilmente acilmente para dar
ln p ln p
dz T 0 Bz
−
·
≡
(2.67)
ln (T − Bz ) = cte − RgB ln(
0
g
(2.68)
El valor de la constante de integraci´on on se puede obtener particularizando esta expresi´on on a nivel p = p p a , es conocida. De este modo tenemos del mar, z = 0, donde la presi´on on atmosf´erica, erica, p =
cte = ln p ln pa
− RgB ln T
0
(2.69)
g
Finalmente, sustituyendo este valor en (2.68 ( 2.68)) obtenemos la distribuci´on on de presiones en la atm´osfera osfera est´andar andar g
−
p = p = p p a 1
Bz T 0
Rg B
0 < z < 1100 110000 m
(2.70a)
donde z representa representa la altura sobre el nivel del mar. mar. Por encima de los 11000 m se debe utilizar 29
2.7. FUERZAS Y MOMENTOS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS
la Ec. (2.65) escrita en la forma
−
p = p a 1
B 11000 T 0
·
p11km
g Rg B
exp
−
g (z Rg T 1
− 11000)
11000 < z < 20000 m (2.70b)
Las Figs. 2.10(b) y (c) ilustran, respectivamente, la variaci´on de la presi´on con la altura y la correspondiente variaci´on en la densidad del aire con la altura en la atm´osfera est´andar, esta u´ ltima calculada utilizando las leyes (2.66) y (2.70) junto con la ley de los gases ideales, ρ = p/(Rg T ). En la figura 2.10(c) se indica el valor de la densidad del aire a cuatro alturas distintas elegidas con fi nes puramente ilustrativos. La primera l´ınea corresponde a la altura media de Madrid (650 m), la segunda representa la altura del puerto de Navacerrada (1780 m), la tercera la altura del Teide (3718), y la cuarta la del Everest (8848 m). Se observa que la densidad atmosf´erica disminuye apreciablemente con la altura, de modo que en el techo del mundo la densidad del aire es un 39 % de la densidad atmosf´erica a nivel del mar. A dicha altura un volumen de aire dado contiene tan s´olo un 39 % del ox´ıgeno que contendr´ıa a nivel del mar, lo que puede llegar a provocar la muerte por as fixia en pocas horas.
2.7 2.7.1
Ca´ lculo de fuerzas y momentos sobre superficies sumergidas Fuerzas sobre superficies planas
El dise˜no de estructuras de contenci´on requiere el c´alculo de las fuerzas hidrost´aticas sobre las superficies s´olidas en contacto con el fluido. Estas fuerzas est´an relacionadas con el efecto del peso del fluido sobre las super ficies que lo contienen. Por ejemplo, el l´ıquido contenido en el dep´o sito de la izquierda de la figura 2.11, con una base plana y horizontal de a´ rea A, ejercer´a una ¯l→fondo = ( pa + ρgh)A¯ fuerza vertical hacia abajo en el fondo del dep o ´ sito igual a F ez , donde pa es la presi´on atmosf´erica, ρ es la densidad del l´ıquido y h la altura de agua. Si el dep´osito se inclina y el fondo deja de estar horizontal, como ocurre en el dep´osito de la derecha, se requerir´an c´alculos adicionales para determinar las componentes de la fuerza. En particular, si consideramos un l´ıquido de densidad constante sometido a la acci´on de la gravedad, la Ec. (2.31) nos dice que la presi´on sobre cualquier super ficie sumergida var´ıa linealmente con la profundidad. De acuerdo con la Ec. ( 2.17), el c´alculo de la resultante de las fuerzas de presi´on sobre super ficies planas exige, por tanto, la integraci´on de una funci´on lineal. Como veremos a continuaci´on, la complejidad de este tipo de integrales es m´ınima cuando la forma geom´etrica de la super ficie es sencilla, y se reduce al c´alculo de la posici´on del centro de gravedad de la super ficie cuando la forma de esta es m´as compleja.
−
Fuerzas y momentos sobre una placa plana rectangular vertical Con fines ilustrativos, comenzaremos por calcular la fuerza ejercida por un l´ıquido en reposo sobre una placa plana rectangular, de altura h y anchura b perpendicular al papel, en posici´on vertical como muestra la fi gura 2.12. Tomando el origen de z en la base de la placa, la distribuci´on de presiones puede 30
2.7. FUERZAS Y MOMENTOS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS
g¯
pa
z
n ¯
n ¯
h
A
¯l F
fondo =
→
¯l F
n − pfondoA¯
fondo =
→
= −( pa + ρgh)Ak¯
− p(¯x)¯ndσ
Figura 2.11: Fuerza ejercida sobre el fondo de un dep o´ sito por el l´ıquido contenido en el mismo cuando el fondo est´a horizontal (izquierda) e inclinado (derecha). Cuando la super ficie sobre la que queremos calcular la fuerza no es horizontal, la presi´on var´ıa de unos puntos a otros y la fuerza se determina mediante una integral extendida a toda la super ficie.
escribirse en la forma
p + ρgz = p 0 + ρgh
≡ cte →
p(z ) = p 0 + ρg(h
− z )
(2.71)
donde p 0 representa la presi´on en el punto m´as alto de la placa ( z = h). Como se indic´o m´as arriba, la presi´on crece linealmente con la profundidad desde este valor hasta su valor m´aximo ( p0 + ρgh) en la base de la placa ( z = 0). El campo de presiones sobre la placa resulta as´ı de la superposici´on de una distribuci´on de presi´on constante, p0 , a la que llamaremos distribuci´on I , y una distribuci´on de presi´on triangular, ρg(h z ), a la que llamaremos distribuci´on II . ¯= p(z )n ¯ dσ = F ¯ ex , La fuerza ejercida por el l´ıquido sobre el lado derecho de la placa, F vendr´a dada por la suma de las resultantes de presi´on de las distribuciones I y I I ,
−
F =
−
h
p(z )dσ =
A
[ p0 + ρg(h
0
h
=
− z )]b dz
h
p0 b dz +
0
ρg(h
0
= p 0 hb +
− z )b dz
(2.72)
ρgh hb = F I + F II 2
mientras que el momento respecto a la base de la placa (punto 0) se puede expresar en la forma
M 0 =
h
p(z )z dσ =
A
h
p0z b dz +
0
0
ρg(h
− z )zb dz
2 h
h
hz 2 z 3 = p 0 b + ρg b 2 3 0 0 2 3 h h h h = p 0 b + ρg b = F I + F II 2 6 2 3 z 2
31
−
(2.73)
2.7. FUERZAS Y MOMENTOS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS
n ¯ dσ = bdz h
p(z)
ρgh
0
F II
h/2
p0
x
n ¯ dσ
zCP
z
p0
F
n ¯ dσ F I
h/3
ρgh
Figura 2.12: Distribuci´on de presi´on sobre una placa plana rectangular en posici´on vertical, de altura h y anchura b en la direcci´on perpendicular al dibujo. Tal y como se ha representado, la distribuci´on general se puede descomponer en una distribuci´on de presi´on uniforme (I ) y una distribuci´on de presi´on lineal (II ), cuyas resultantes, F I = p 0 hb y F II = (ρgh/2)hb, act´uan en el centro de la placa y a un tercio de la altura de la misma, respectivamente.
¯ 0 = M 0 e¯y ). donde el momento se toma positivo en sentido horario ( M Una vez calculada la resultante y el momento de las fuerzas de presi´on resulta sencillo calcular la posici´on z CP del centro de presiones, definido como el punto de acci´on de la resultante de las fuerzas de presi´on. Para ello basta imponer que el momento M 0 debe ser igual al momento z CP F de la resultante F respecto al punto 0, es decir M 0 = z CP F
→
z CP =
p0 hb h2 + p0 hb +
ρgh hb h3 2 ρgh hb 2
=
ρgh 1 2 p0 3 1 + ρgh 2 p0
1 2
+
1 + 2
Λ 13 h = h 1+Λ
(2.74)
donde se observa que z CP /h depende s´olo del par´ametro Λ = (ρgh/2)/p0 , que representa el cociente entre la presi´on media de la distribuci´on lineal, ρgh/2, y la presi´on media de la distribuci´on uniforme, p0 , siendo
l´ım z CP =
Λ→0
h , 2
l´ım z CP =
Λ→∞
h , 3
(2.75)
De acuerdo con la de finici´on dada en (2.74), las Ecs. (2.72) y (2.73) muestran que la reI sultante de la distribuci´on uniforme act´ua en el punto medio de la placa, z CP = h/2, mientras II = h/3. que la resultante de la distribuci´on lineal act´ua a un tercio de la altura de la placa, z CP 0 y Λ 0 Esto permite explicar el signi ficado f´ısico de los l´ımites Λ : cuando Λ p0) las variaciones de presi´on debidas a la distribuci´on lineal son despreciables frente a (ρgh la presi´on uniforme p0 y la distribuci´on de presiones puede aproximarse por el valor constante p0, cuya resultante act´ua en el punto medio de la placa. Lo contrario ocurre cuando Λ p0) en cuyo caso podemos despreciar la presi´on uniforme p0 frente a las variaciones de (ρgh presi´on debidas a la distribuci´on lineal, cuya resultante act´ua en este caso en el punto h/3. N´otese que para un fluido dado (ρ) y una compuerta de geometr´ıa dada (h) el valor de Λ s´olo puede cambiar debido a las variaciones de la presi´on p0 en el punto superior de la compuerta. De este modo, para una compuerta situada en la pared de un dep´o sito, al aumentar el nivel de l´ıquido en el dep´osito aumentar´a el valor de p 0 y por tanto disminuir´a el valor de Λ , desplaz´andose el centro de presiones de la compuerta hacia arriba, sin llegar nunca a superar el punto medio de la placa.
→
→ ∞
→
→ ∞
32
2.7. FUERZAS Y MOMENTOS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS
Se deja como ejercicio al lector demostrar que para una placa rectangular inclinada un ´anguθ π/2 respecto a la horizontal ( θ = 0: placa horizontal, θ = π/2: placa vertical) los lo 0 resultados anteriores se mantienen sin m´as que cambiar g por g sen θ .
≤ ≤
Fuerzas y momentos sobre una placa plana sumergida de forma arbitraria En esta secci´on vamos a generalizar los resultados para el c´alculo de fuerzas y momentos sobre placas planas al caso m´as general posible. La figura 2.13 muestra una placa plana de forma arbitraria sumergida completamente en un l´ıquido. La placa forma un a´ ngulo θ con la horizontal, de forma que su profundidad var´ıa de un punto a otro. De acuerdo con la expresi ´on general para el c´alculo de fuerzas sobre super ficies sumergidas, la fuerza hidrost´atica total sobre la cara superior Σ de n, viene dada por la placa, de orientaci´on normal ¯
¯= F
−
¯ dσ = p(z )n
Σ
−F ¯n
(2.76)
cuyo m´odulo se puede escribir en la forma
¯= F
( pa
Σ
− ρgz ) dσ = p A − ρg a
z dσ = ( pa
Σ
CG )A = p CG A
− ρgz
(2.77)
utilizando la definici´on del centro de gravedad de una super ficie plana z CG = (1/A) Σ z dσ . En resumen, la fuerza que se ejerce sobre una placa plana de forma arbitraria sumergida en un on que hay en el centro de gravedad , fluido en reposo de densidad uniforme es igual a la presi´ CG, de la super ficie, o centroide, multiplicada por el a´ rea de la misma, independientemente de la forma de la placa o del a´ ngulo de inclinaci´on θ . Debido al incremento de la presi´on con la profundidad, el punto de actuaci´on de la fuerza resultante F no se encuentra en el centroide, sino m ´as abajo, hacia la zona de presiones m´as elevadas. Su l´ınea de acci´on pasar´a por el centro de presiones, CP, de la placa, como se indica en la Figura 2.13. Para calcular la posici´on del centro de presiones, de finimos un sistema de coordenadas (ξ, η) sobre el plano de la placa con origen en el centroide. Para hallar las coordenadas (ξ CP , ηCP ) del centro de presiones debemos integrar los momentos de todas las fuerzas elementales p dσ respecto al centro de gravedad e igualar el resultado al momento de la resultante F respecto a ese punto. Por ejemplo, para calcular ηCP, haremos
F ηCP =
Σ
η p dσ =
η ( pCG
− ρgη sin θ) ηdσ = −ρg sin θ
Σ
η 2 dσ =
−ρg sin θI
ξξ
(2.78)
donde hemos expresado la presi o ´ n en funci´on de η utilizando la igualdad
p + ρgz = p CG + ρgz CG
→
p = p CG
− ρg(z − z
CG )
= p CG
− ρgη sin θ
(2.79)
e I ξξ = σ η 2 dσ > 0 representa el momento de inercia del ´area de la placa respecto a su eje central x, calculado en el plano de la placa. N´otese que en (2.78) el t´ermino Σ ηp CG dσ se anula por definici´on de centro de gravedad. Sustituyendo F por su valor, resulta
ηCP =
−ρg sin θ p I A ξξ
(2.80)
CG
El signo negativo de esta ecuaci´on muestra que la posicio´ n del CP esta´ por debajo del centro de gravedad, a una profundidad mayor y, a diferencia de F , s´ı depende del a´ ngulo de inclinaci´on θ . Si ponemos la placa a profundidades mayores, η CP se acerca al centro de gravedad, ya que todos los factores de la Ec. ( 2.80) permanecen constantes, excepto pCG , que aumenta. 33
2.7. FUERZAS Y MOMENTOS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS z
gas
p = p a
l´ıquido
θ ¯ = − pCGA¯ F n
g¯
Σ n ¯
CG
η
CP
ξ
A
Figura 2.13: Superficie plana de forma arbitraria sumergida en un l´ıquido en reposo, indicando la posici´on del centro de gravedad, CG, de la super ficie, o centroide, y del centro de presiones, CP, de finido como el punto de actuaci´on de la resultante de las fuerzas de presi´on (el punto respecto al cual la distribuci´on de presiones da momento nulo). En general, el centro de gravedad y el centro de presiones no coinciden, salvo que la superficie sea horizontal, en cuyo caso la resultante de fuerzas de presi´on act´ua precisamente en el centro de gravedad de la superficie.
La determinaci´on de ξ CP es completamente an´aloga y proporciona
ξ CP =
−ρg sin θ p I A ξη
(2.81)
CG
donde ahora I ξη = Σ ξη dσ ≷ 0 es el producto de inercia de la placa calculado en el plano de la placa con respecto a ejes que pasan por el centro de gravedad. N´otese que si I ξη = 0, lo que suele implicar simetr´ıa de la placa respecto al eje η , tenemos ξ CP = 0 y el centro de presiones est´a inmediatamente debajo del centroide, sobre el eje η . Por otro lado, las Ecs. (2.80) y (2.81) permiten concluir que para una super ficie horizontal, θ = 0, la posicio´ n del CP coincide con la del CG. En muchos casos la presi´on ambiente p a se desprecia porque act´ua en ambos lados de la placa. Por ejemplo, cuando el otro lado de la placa es la cara interior del casco de un barco o la cara seca de una compuerta o presa. En este caso pCG = ρghCG , donde hCG = Z CG representa la profundidad del centro de gravedad de la placa, y el centro de presiones resulta independiente de la densidad del fluido
−
F = ρg hCG A,
ηCP =
− I h sinAθ , ξξ
CG
ξ CP =
− I h sinAθ . ξη
(2.82)
CG
Pese a la generalidad de las expresiones anteriores, su utilizaci ´on pr´actica requiere conocer los valores de los momentos y productos de inercia de las super ficies consideradas en cada caso. 34
2.7. FUERZAS Y MOMENTOS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS
¯V F ¯f →c F
n ¯
¯f →c F
Σh
Σv n ¯
n ¯
¯ W
¯H F
n ¯
Σc ¯ n
Σc
¯c→f = F
−F ¯
f →c
¯f →c , ejercida por un fl uido en reposo sobre una super ficie curva. Figura 2.14: Calculo de la fuerza, F Se deja como ejercicio al lector comprobar que la posici´on del centro de presiones de la placa plana vertical considerada en el apartado anterior, dada por la Ec. ( 2.74), se puede obtener tambi´en utilizando las expresiones generales (2.80) y (2.81).
2.7.2
Fuerza de presi o´ n sobre una super ficie curva arbitraria
La resultante de las fuerzas de presi´on sobre una super ficie curva arbitraria Σc como la que se indica en el lado izquierdo de la figura 2.14 viene dada por la integral extendida a toda la superficie de las fuerzas elementales de presi´on que act´uan sobre cada elemento de ´area
¯f →c = F
−
p(¯ x)¯n dσ
(2.83)
Σc
n es el vector normal unitario perpendicular a la super ficie, que, de acuerdo con la notadonde ¯ ci´on habitual, apunta hacia el l´ıquido si queremos calcular la fuerza que el l´ıquido ejerce sobre el s´olido. En general, el c´alculo de esta integral es complicado. Las fuerzas elementales de presi´on, por actuar perpendicularmente a la super ficie en cada punto, var´ıan en direcci´on a lo largo n tambi´en var´ıa. de esta, lo que se traduce en que, adem´as de la propia presi´on, el vector normal ¯ No obstante, si la super ficie tiene una forma geom´etrica simple (p.ej., un cilindro, un paraboloide, una secci´on de esfera, etc.) el c´alculo de la integral (2.83) puede abordarse sin demasiados problemas. Veremos a continuaci´on que existe, sin embargo, una forma m´as sencilla de determinar la resultante de las fuerzas de presi´on sobre una super ficie curva. El m´etodo alternativo consiste en establecer el equilibrio de fuerzas para un volumen V de fl uido delimitado por una super ficie Σ compuesta por la super ficie curva en cuesti´on, Σc , y dos super ficies planas, una horizontal, Σh , y otra vertical, Σv , definidas como se muestra en el lado derecho de la figura 2.14. Escribiendo la ecuaci´on fundamental de la fluidost´atica en forma integral para dicho volumen de fluido tenemos
−
p(¯ x)¯ndσ +
Σ
V
35
ρ¯ gdV = 0
(2.84)
2.8. FUERZAS SOBRE CUERPOS SUMERGIDOS Y FLOTANTES: EL PRINCIPIO DE ´ ARQU IMEDES
¯ representa la normal exterior, que ahora en Σ c apunta hacia el s o´ lido. En la ecuaci´on donde n anterior, la integral de volumen representa el peso del fluido contenido en el volumen conside¯ = W ¯ ez = ρV g¯ ez , mientras que la integral de super ficie puede descomponerse en rado, W tres contribuciones, correspondientes a la super ficies Σ c , Σ v y Σ h . Esto nos permite escribir la ecuaci´on (2.84) en la forma
−
−
−
¯H + F ¯V + W ¯ =0 p(¯ x)¯ndσ + F
(2.85)
Σc
¯H = ¯V = p(¯ x)¯ndσ y F p(¯ x)¯ndσ representan las resultantes de las fuerzas donde F Σv Σh de presi´on sobre las super ficies vertical y horizontal, respectivamente, mientras que la integral p(¯ x)¯ndσ que aparece en (2.85) representa la fuerza que el cuerpo ejerce sobre el fluido, Σc n apunta hacia el cuerpo. Por la ley de acci´on y reacci´on, esta fuerza debe ser pues en este caso ¯ igual a la fuerza que el fluido ejerce sobre el cuerpo cambiada de signo, lo que finalmente nos permite escribir
−
−
−
¯f →c = F
−F ¯
c→f
=
¯H + F ¯V + W ¯ p(¯ x)¯ndσ = F
(2.86)
Σc
El c´alculo de la fuerza que sufre la super ficie s´olida curva Σ c queda as´ı reducido al c´alculo del ¯ del fl uido contenido en el volumen V y de las fuerzas de presi´on, F ¯H y F ¯V , que act´uan peso W sobre las super ficies vertical y horizontal respectivamente, cuya obtenci´on suele resultar mucho m´as sencilla que el c´alculo directo de la integral (2.83). Observando la direcci´on de las distintas componentes de la fuerza en la Ec. ( 2.86) podemos concluir que la componente horizontal de la fuerza ejercida sobre la super ficie curva es igual ¯H ejercida sobre el ´area plana Σ v formada por la proyecci´on de Σ c sobre un plano a la fuerza F ¯ del vertical, mientras que la componente vertical es igual en magnitud y direcci´on al peso W ¯V ejercida sobre la super ficie plana horizontal Σh . volumen fluido V m´as la fuerza F
2.8
Fuerzas sobre cuerpos sumergidos y flotantes: El Principio de Arqu´ımedes
El incremento de la presi´on con la profundidad en un fluido en reposo provoca la aparici´on de una fuerza neta vertical sobre cualquier objeto sumergido en el fluido. Esta fuerza neta debida a la distribuci´on de presiones hidrost´atica se denomina fuerza de flotabilidad (o flotaci´on), y se puede escribir en la forma
¯F = F
−
p(¯ x)¯n dσ
(2.87)
Σ
donde ¯ n denota la normal exterior y la integral se extiende a toda la super ficie Σ del cuerpo. El principio de Arqu´ımedes define la magnitud y la direcci´on de esta fuerza al establecer que un cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza de flotaci´on vertical hacia arriba cuyo m´odulo es igual al peso del fl uido que desaloja. A continuaci´on utilizaremos los conocimientos de fl uidost´atica adquiridos en este cap´ıtulo para demostrar este principio.
2.8.1
Cuerpos sumergidos
Consideremos el cuerpo completamente sumergido que se muestra en la figura 2.15a. Para evaluar la fuerza de flotaci´on dada por la Ec. (2.87) podemos aprovechar el hecho de que en 36
2.8. FUERZAS SOBRE CUERPOS SUMERGIDOS Y FLOTANTES: EL PRINCIPIO DE ´ ARQU IMEDES
pa
z
g¯
pa
z
g¯ ¯F F
Fluido desalojado
V 0
0
Cuerpo
C
x¯0 Σ
Σ
x ¯C
−W e¯
z
(a)
(b)
Figura 2.15: Para calcular la resultante de fuerzas y momentos que act´ua sobre un cuerpo completamente sumergido en un fl uido en reposo (a) resulta conveniente considerar el equilibrio mec a´ nico del volumen de fl uido desalojado por el cuerpo (b).
un fluido en reposo la distribuci´on de presiones es exclusivamente funci´on de la posici´on, por lo que el valor de la presi´on sobre la super ficie que delimita el objeto no est´a afectada por la presencia del objeto. Supongamos por tanto que el objeto no estuviera presente, de modo que el volumen ocupado por el objeto pasara a estar lleno de fl uido como muestra la fi gura 2.15b. A este volumen de fluido le llamaremos volumen desalojado, y supondremos que tiene la misma distribuci´on vertical de densidades que el fluido circundante. En estas condiciones, la distribuci´on de presi´on sobre la super ficie del fl uido desalojado ser´a id´entica a la que experimentar´ıa el objeto, lo que nos permite concluir que la fuerza de flotaci´on que sufre el objeto vendr´a dada por la resultante de las fuerzas de presi´on que act´ua sobre el volumen desalojado. Aplicando la ecuaci´on fundamental de la fl uidost´atica al volumen de fl uido desalojado
− ¯= F
p(¯ x)¯ndσ +
Σ
¯F + W ¯ =0 ρ¯ gdV = F
(2.88)
V
¯F F
podemos evaluar la resultante de las fuerzas de presi ´on que act´ua sobre e´ l y, por tanto, la fuerza de fl otaci´on experimentada por el cuerpo
¯F = F
−
p(¯ x)¯ndσ =
Σ
− V
ρ¯ gdV =
−W ¯ = W ¯e
z
(2.89)
¯ = W ¯ ez representa el peso del fluido desalojado. Obs´ervese que este resultado, que donde W es aplicable independientemente de la distribuci´on de densidades en el fluido, constituye la demostraci´on matem´atica del principio de Arqu´ımedes: la resultante de las fuerzas de presio´ n sobre un cuerpo sumergido en reposo (fuerza de flotaci´on), es una fuerza vertical hacia arriba cuyo m´odulo es igual al peso del fluido desalojado . El mismo resultado puede obtenerse utilizando el teorema de Gauss para expresar la integral de super ficie que aparece en
−
37
2.8. FUERZAS SOBRE CUERPOS CUERPOS SUMERGIDOS Y FLOTANTES: FLOTANTES: EL PRINCIPIO DE ´ ARQU IMEDES
(2.89 2.89)) como una integral de volumen del gradiente de presi on o ´n
p( p(x¯)¯ndσ =
Σ
∇
(2.27 2.27))
pd pdV =
V
ρg¯dV
(2.90)
V
donde en la ultima u ´ ltima igualdad se ha utilizado la ecuaci´on on fundamental de la fluidost´atica atica (2.27 (2.27)) ρg¯. para expresar expresar el gradiente de presi on o ´ n p como el producto ρ¯ Para calcular el punto de aplicaci´on on de la fuerza de flotaci´on, on, al que se denomina centro de flotaci´ otacion o´ n C, establecemos el equilibrio de momentos para el volumen de fluido desalojado respecto a un punto 0 arbitrario
∇
− − ∧
¯0 = M
(x¯
x ¯0 ) p( p(x¯)¯ndσ +
Σ
(x¯
V
− x¯ ) ∧ ρg¯dV 0
¯ 0,F M
¯ 0,F + ( x¯C = M
− x¯ ) ∧ W ¯ = 0 (2.91) 0
¯ 0,F es el momento total que las fuerzas de presi´on donde M on que act act uan u´ an sobre el cuerpo ejercen ¯C denota la posici´on respecto al punto 0 y x on del centro de gravedad del fluido desalojado 2 . Usando (2.89 (2.89)) y ( y (2.91 2.91), ), el momento total puede escribirse en la forma ¯ 0,F = M
−(x¯ − x¯ ) ∧ W ¯ = (x¯ − x¯ ) ∧ F ¯ C
0
C
0
F F
(2.92)
lo que muestra que el punto de aplicaci aplicaci´on o ´ n de la fuerza de fl otaci´on on es precisamente el centro de xC . En efecto, tomando ¯x0 x¯C en (2.92 gravedad del fluido desalojado ¯ (2.92)) se comprueba que el momento total de las fuerzas de presi´on on respecto a este punto es id´enticamente enticamente nulo. En el caso particular de un fluido de densidad ρ uniforme, el peso del fluido desalojado se puede expresar como el producto ρV g , lo que nos permite escribir
≡
¯F = ρgV F ρg V ¯ e¯z .
(2.93)
En este caso el centro de flotaci´on on C se sit´ua ua en el centro de volumen del cuerpo (o centroide), que s´olo olo coincide con el centro de gravedad si el cuerpo tiene densidad uniforme. Si por el contrario el cuerpo tiene densidad variable el centro de flotaci´on on no tiene por qu´e coincidir con el centro de gravedad del cuerpo, lo que puede dar lugar a la aparici´on aparici´on de momentos desequilibrados si el peso del cuerpo y la fuerza de flotaci´on on no tienen la misma l´ınea de acci´ cion o´ n (v´eanse, eanse, por ejemplo, la fi gura 2.17 gura 2.17 y y la discusi´on on de la secci´on 2.9.2 on 2.9.2 sobre sobre estabilidad de cuerpos sumergidos). sumergidos). La Ec. (2.93 ( 2.93)) se puede generalizar al caso de fl uidos estrati ficados sumando las contribuciones de cada capa de fl uido de densidad ρi constante desalojada por el cuerpo
¯F = F
ρi gV i e¯z
(2.94)
i
2
Notese ´ que la linealidad de los operadores integral y producto vectorial permite escribir el momento de las fuerzas fuerzas m asicas a´ sicas en (2.91 ( 2.91)) como sigue
(¯ x
V
− x¯ ) ∧ ρg¯dV = 0
ρ dV donde ρd M =
(¯ x
V
− x¯ )ρdV 0
∧ g¯ =
(¯ x
V
∧
− x¯ )dM )dM
C
38
=
g¯ = (¯xC
¯ − x¯ )M ∧ ∧ g¯ = (¯x − x¯ ) ∧ W 0
C
0
xdM x ¯dM /M la la posici´on on del centro de gravedad, V ¯ = M ¯ dM W M g ¯ fl la la masa y el peso, todos ellos del uido desalojado. V
¯ ≡ dM representa representa un diferencial de masa, x
0
2.8. FUERZAS SOBRE CUERPOS CUERPOS SUMERGIDOS Y FLOTANTES: FLOTANTES: EL PRINCIPIO DE ´ ARQU IMEDES 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
g¯
60
50
100
60
50
¯ cuerpo W cuerpo
40
40
CG
30
30
C
20
20
¯F F
10
10
0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 100
¯F no s´olo Figura 2.16: En un cuerpo flotante en equilibrio la fuerza de flotaci´on on F olo equilibra el peso ¯ cuerpo del cuerpo W cuerpo , sino que debe estar aplicada en la misma l´ınea vertical. El volumen de l´ıquido desplazado desplazado corresponde corresponde a la regi´on on sombreada.
donde V i representa el volumen desalojado de fluido i . Cada capa desalojada tendr´a su propio centro de volumen y habr´a que sumar los momentos de las distintas fuerzas para encontrar el centro de flotaci´on on del cuerpo. Como la densidad de los l´ıquidos es relativamente alta, resulta f´acil acil identificar sus fuerzas de flotaci´on. on. Los gases tambi´en en ejercen fuerzas an´alogas alogas en los cuerpos sumergidos en ellos, solo que de una magnitud mucho menor. Por ejemplo, los seres humanos tienen una densidad media de 950 kg/m 3 . El volumen de una persona de 80 kg de peso es, por tanto, de 0,084 m3 . Sin embargo, cuando medimos el peso de una persona estamos despreciando la flotaci´on on producida por el aire ambiente. En condiciones normales, normales, la densidad del aire es de 1, 1 ,2 kg/m3 y, por tanto, la fuerza de flotaci´on on es de 1, 1 ,2 kg/m3 0,084 m3 0,1 kg. Si se midiera el peso 0,1 kg. En de una persona en el vac´ıo, en ausencia de fuerza de fl otaci´on, on, el peso aumentar´ıa en 0, el caso de globos y dirigibles, la fuerza de flotaci´on on no s´olo olo no es despreciable, sino que es el factor dominante en el dise˜no. no. Muchos otros fen´omenos, omenos, como la convecci convecci´on o ´ n natural del calor y las corrientes verticales en los oc´eanos, eanos, dependen dependen tambi´ tambi en e´ n de fuerzas de fl otaci´on on que, pese a ser muy peque˜nas nas en valor absoluto, juegan un papel muy importante.
·
2.8. 2.8.2 2
Cuer Cuerpo poss flotantes
Los resultados del apartado anterior valen tambi´en en para cuerpos parcialmente sumergidos (o flotantes). Los cuerpos flotantes constituyen un caso algo especial, especial, ya que s ´olo olo una fracci´on on de su volumen total est´a sumergida, permaneciendo el resto por encima de la super ficie libre. En este caso el volumen desalojado no coincide con el volumen del cuerpo, como se ilustra en la figura 2.16 gura 2.16,, donde el volumen desalojado desalojado aparece sombreado, por lo que la Ec. ( 2.93 2.93)) se modifica ligeramente y queda ¯F = ρgV F ρg V desalojado ¯z . (2.95) desalojado e Notese o´ tese que en (2.95 ( 2.95)) se ha despreciado la fuerza de flotaci´on on debida al aire desplazado, cuya contribuci´on on a la fuerza total ser´a peque˜na, na, aunque deber´ıa incluirse tal y como se indica en la Ec. (2.94 (2.94)) si quisi´eramos eramos ser rigurosos. Como se discutir´a en la secci´on on 2.9 2.9 la la fuerza de flotaci´ on on no s´olo olo equilibra el peso, sino que debe estar aplicada en la misma l´ınea vertical, ya que en equilibrio est´atico atico no puede haber momentos desequilibrados. 39
