Apuntes de Ingenieria Fluidomecanica

´ INGENIERÍA FLUIDOMECANICA

III Marcos Vera Coello Immaculada Iglesias Estradé Antonio L. Sánchez Pérez Dpto. de Ingenier´ıa Térmica y de Fluidos Universidad Carlos III de Madrid

Carlos Mart´ınez Bazán Dpto. de Ingenier´ıa Mecánica y Minera Universidad de Jaen

´ Indice ´ Indice

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1 Introducción 1.1 Sólidos, l´ıquidos y gases . . . . . . . . . . . . . 1.2 Hipótesis de medio continuo: part´ıcula fluida . . 1.3 Densidad, velocidad y energ´ıa interna . . . . . . 1.4 Equilibrio termodinámico local . . . . . . . . . . 1.5 Variables y relaciones termodinámicas de interés

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1 1 3 6 7 8

2 Fluidostática 2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Fuerzas de volumen o fuerzas másicas . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Fuerzas de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Concepto de presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Presión en un punto: Principio de Pascal . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Resultante de las fuerzas de presión sobre una part´ıcula fluida . . 2.4 Distribución de presiones en un fluido en reposo . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Ecuación general de la fluidostática . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Condición de compatibilidad para las fuerzas másicas . . . . . . . 2.4.3 Isobaras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Ejemplos de interés práctico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Fluidostática de l´ıquidos: Aplicaciones a la medida de presión . . . . . . 2.5.1 El barómetro de mercurio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 El manómetro en U abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 El manómetro diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4 Presión absoluta, manométrica y de vac´ıo . . . . . . . . . . . . . 2.6 Fluidostática de gases: atmósfera estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Atmósfera isoterma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Atmósfera estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Fuerzas y momentos sobre superficies sumergidas . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Fuerzas sobre superficies planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Fuerza de presión sobre una superficie curva arbitraria . . . . . . 2.8 Fuerzas sobre cuerpos sumergidos y flotantes: El Principio de Arqu´ımedes 2.8.1 Cuerpos sumergidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.2 Cuerpos flotantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Equilibrio y estabilidad de cuerpos sumergidos y flotantes . . . . . . . . .

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11 11 11 12 14 15 16 17 18 18 19 20 20 23 23 24 25 27 27 28 28 30 30 35 36 36 39 40

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´ INDICE 2.9.1 Equilibrio y estabilidad de traslación . 2.9.2 Equilibrio y estabilidad de rotación . 2.10 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . 2.10.1 tubo-U . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.2 deposito-tres-fluidos . . . . . . . . . 2.10.3 compuerta-L . . . . . . . . . . . . . 2.10.4 compuerta-inclinada . . . . . . . . . 2.10.5 tronco . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.6 cubo-flotacion . . . . . . . . . . . .

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3 Cinemática 3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Descripciones Euleriana y Lagrangiana . . . . . 3.2 Movimiento uniforme y estacionario; puntos de remanso 3.3 Trayectorias y sendas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 L´ıneas, superficies y volúmenes fluidos . . . . . . . . . 3.5 L´ıneas, superficies y tubos de corriente . . . . . . . . . . 3.6 L´ıneas de traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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40 40 43 43 44 46 49 51 55

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56 56 56 56 57 57 58 58

4 Leyes de Conservación en el Movimiento de los Fluidos 4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Leyes de la mecánica aplicadas a volúmenes fluidos . 4.2.1 El principio de conservación de la masa . . . 4.2.2 La segunda ley de Newton . . . . . . . . . . 4.2.3 El primer principio de la termodinámica . . . 4.3 Volúmenes fluidos y volúmenes de control . . . . . . 4.4 Flujo convectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Teorema del transporte de Reynolds . . . . . . . . .

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60 60 60 61 61 61 62 62 63

5 Ecuación de la continuidad 5.1 Ecuación de conservación de la masa . . . . . . . . . 5.2 Gasto másico y caudal . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Aproximación unidimensional a los términos de flujo 5.4 Algunos ejemplos sencillos . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Movimiento en una boquilla . . . . . . . . . 5.4.2 Descarga de un depósito de gas . . . . . . . 5.4.3 Descarga de un depósito de l´ıquido . . . . .

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67 67 67 68 68 68 70 71

6 Ecuación de la cantidad de movimiento 6.1 Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie . . . 6.2 Esfuerzos viscosos . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Ecuación de la cantidad de movimiento . . . . . 6.4 Fuerzas y momentos sobre cuerpos sumergidos . 6.5 Ejemplos de aplicación . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Movimiento de un l´ıquido en una boquilla 6.5.2 Movimiento de un gas en una codo . . . 6.6 Ecuación del momento cinético . . . . . . . . . .

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73 73 74 75 76 77 77 79 82

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´ INDICE 6.7

iii La ecuación de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.1 Flujo estacionario ideal de un l´ıquido en un tubo de corriente 6.7.2 Vaciado de un depósito de l´ıquido . . . . . . . . . . . . . . 6.7.3 Tubo de Pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.4 Tubo de Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Ecuación de la energ´ıa 7.1 Variación de la energ´ıa en un volumen fluido . . . . . . . 7.1.1 Trabajo de las fuerzas másicas. Energ´ıa potencial. 7.1.2 Trabajo de las fuerzas de superficie . . . . . . . 7.1.3 Transferencia de calor . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Ecuación de conservación de la energ´ıa . . . . . . . . . 7.3 Balance energético en máquinas de fluidos . . . . . . . . 8 Análisis de problemas fluidomecánicos ´ 8.1 Alabe en una corriente uniforme . . . . . . . . . . . . . 8.2 Cascada de a´ labes en una corriente gaseosa . . . . . . . 8.3 Turbomáquina axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Bomba centr´ıfuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Aspersor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Salto hidráulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7 Compuerta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8 Chorro plano incidiendo sobre una placa plana articulada

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85 85 87 89 90

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92 92 93 94 94 95 96

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100 100 104 109 113 118 122 126 128

9 Análisis dimensional 9.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2 Desarrollo histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.3 Un primer ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.4 Algunas definiciones previas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Teorema Π o de V aschy − Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Enunciado y demostración mediante un caso práctico . . . . . . . . . . 9.2.2 Determinación de los grupos adimensionales Π . . . . . . . . . . . . . 9.2.3 Dependencia paramétrica de la solución . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.4 Adimensionalización de las leyes de conservación . . . . . . . . . . . 9.2.5 Selección de los parámetros con dimensiones independientes . . . . . . 9.3 Los números adimensionales como relación entre los distintos términos de las leyes de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Semejanza f´ısica y ensayo de modelos a escala . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Ejemplos y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.1 El teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.2 Periodo de oscilación de un péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.3 Análisis de Taylor de una explosión nuclear . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.4 Ensayos hidráulicos: semejanza total y parcial . . . . . . . . . . . . . . 9.5.5 Efectos de compresibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.6 Ensayos en túnel aerodinámico compresible . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.7 Actuaciones de una turbina eólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132 132 132 132 133 135 140 140 143 144 147 149 151 152 154 154 155 157 157 160 161 162

´ INDICE

iv 9.5.8

Semejanza en máquinas hidráulicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

10 Flujo Turbulento en conductos 10.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Flujo Laminar y flujo turbulento: experimento de Reynolds. . . . . . . 10.3 Flujo desarrollado y longitud de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Pérdidas de carga primarias en conductos . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Ejemplos de cálculo de las pérdidas de carga primarias en conductos. . 10.5.1 Primer ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.2 Segundo ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.3 Tercer ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.4 Cuarto ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6 Pérdidas Secundarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6.1 Pérdidas de carga en la entrada a un conducto. . . . . . . . . . 10.6.2 Pérdidas de carga en expansiones y contracciones. . . . . . . 10.6.3 Pérdidas de carga en codos y curvas. . . . . . . . . . . . . . . 10.6.4 Pérdidas de carga en válvulas. . . . . . . . . . . . . . . . . . Referencias

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Cap´ıtulo 1 Introducción 1.1 Sólidos, l´ıquidos y gases A nivel macroscópico, la principal diferencia entre sólidos y fluidos estriba en su capacidad para deformarse (véase la figura 1.1). Los sólidos se deforman poco. Ante la aplicación de una fuerza exterior pequeña, el sólido responde con una deformación pequeña. Tal comportamiento es debido a que los sólidos presentan una resistencia a la deformación que es proporcional a la magnitud de dicha deformación. Los fluidos, por el contrario, se deforman con facilidad cuando se les aplica una fuerza de manera adecuada. La fuerza de resistencia que presentan ante una deformación resulta no ser proporcional a la deformación, sino a la velocidad a la que se produce e´ sta. Esta facilidad para deformarse queda patente en la capacidad de los fluidos para adaptarse a la forma del contenedor que los limita. ˥W

Ĳ ෰ G˥GW IOXLGR

G˥

Ĳ ෰ G˥ VµOLGR

Figura 1.1: Ante la aplicación de una fuerza exterior, los sólidos responden con una deformación estática proporcional a la fuerza aplicada, mientras que los fluidos se deforman de forma indefinida, presentando una fuerza de resistencia proporcional a la velocidad a la que se produce la deformación. La diferencia entre l´ıquidos y gases es menos fundamental. Por una parte, la densidad de los l´ıquidos es t´ıpicamente mucho mayor que la de los gases, lo que influye de manera determinante en la magnitud de la fuerza necesaria para producir una aceleración dada. Por otra parte, la diferencia más importante entre las propiedades mecánicas de ambos estados fluidos radica en su compresibilidad. Por ejemplo, la variación de densidad que se produce al someter al fluido a una variación de presión dada es mucho menor en el caso de los l´ıquidos que en el caso de los gases, lo cual puede expresarse mediante la desigualdad ∂ρ ∂ρ , (1.1) ∂p T,l ∂p T,g donde ρ, p y T representan la densidad, presión y temperatura, respectivamente. Para convencernos de lo anterior, basta considerar un globo que contiene aire y uno que contiene agua. La

´ ´ 1.1. SOLIDOS, LIQUIDOS Y GASES experiencia nos dice que presionando con las manos convenientemente el primero es posible reducir su volumen, aumentando de esta manera la densidad en el interior, mientras que el volumen del globo lleno de agua permanece prácticamente constante independientemente de la presión que ejerzamos. De hecho, se necesita aumentar la presión hasta 106 atmósferas para reducir el volumen del agua a la mitad. De manera similar, si sometemos a un fluido a variaciones de temperatura, la variación de densidad resultante en el caso de que el fluido sea un l´ıquido es despreciable comparada con la que observar´ıamos si el fluido fuese un gas. En vista de su baja compresibilidad, para una inmensa mayor´ıa de aplicaciones resulta una aproximación adecuada el suponer que la densidad del l´ıquido es constante (hipótesis de l´ıquido perfecto).

G

)

)

)

5HSXOVLµQ G

G $WUDFFLµQ

/¯TXLGRV

*DVHV

Figura 1.2: Representación esquemática de la fuerza que se ejerce entre dos moléculas eléctricamente neutras que no forman enlace qu´ımico como función de la distancia entre sus centros. Todas las propiedades macroscópicas vistas anteriormente son resultado de la distinta estructura microscópica que presentan sólidos, l´ıquidos y gases. Para entenderlo, hay que tener en cuenta que la fuerza que se ejerce entre dos moléculas es función de la distancia entre sus centros, d, de acuerdo a la ley esquematizada en el gráfico de la figura 1.2. Cuando dicha distancia se hace muy pequeña, las moléculas tienden a repelerse, mientras que para valores grandes de d aparece una fuerza de atracción que disminuye con la distancia. Existe un valor cr´ıtico de la distancia d = d0 para el que la fuerza cambia de signo. Esta distancia, que corresponde a una posición de equilibrio estable para el sistema de dos moléculas considerado, suele tener un valor en torno a 3 × 10−10 m. Conocidos los valores medios de la densidad de una sustancia, ρ, y de su masa molecular, W , es fácil calcular la distancia media, d, entre los centros de las moléculas 1/3 W peso 1 molécula W/NA ⇒ d= ≡ (1.2) ρ= d3 volumen ocupado por 1 molécula ρNA donde NA = 6,023 × 1023 moléculas/mol es el número de Avogadro (véase la figura 1.3). El cálculo revela que para el caso de gases a presión y temperatura ambiente d 10d0 (por ejemplo, para el aire se tiene ρ 1,2 kg/m3, W 29 · 10−3 kg/mol, por lo que obtenemos d 3,4 × 10−9 m), mientras las moléculas de sólidos y l´ıquidos están mucho más próximas, a 2

´ ´ 1.2. HIPOTESIS DE MEDIO CONTINUO: PARTICULA FLUIDA

1/3

§ W · d= ¨ ¸ © ȡNA ¹

d

Figura 1.3: En promedio, el volumen ocupado por una molécula es un cubo de lado d, donde d representa la distancia intermolecular media. Conocida la densidad del fluido, ρ, y su masa molecular, W , es fácil estimar el valor de d.

distancias d d0 (por ejemplo, para el agua o el hielo se tiene ρ 103 kg/m3, W 18 · 10−3 kg/mol, por lo que obtenemos d 3,1 × 10−10 m). Las moléculas de los gases, por tanto, experimentan fuerzas de atracción muy débiles en su movimiento, de forma que en primera aproximación podemos suponer que se mueven libremente, interaccionando u´ nicamente a través de las colisiones que sufren entre ellas. Esta estructura explica la alta compresibilidad de los gases (sus moléculas pueden acercarse más, aumentando la densidad del medio, con relativa facilidad), as´ı como su capacidad para deformarse y su tendencia a ocupar todo el espacio disponible. En el caso de sólidos y l´ıquidos, por el contrario, las fuerzas entre las moléculas son muy importantes. La fuerza de repulsión evita que las moléculas puedan estar más próximas de lo que están, lo cual explica la baja compresibilidad de l´ıquidos y sólidos. Su distinta capacidad de deformación se debe a que, a pesar de su proximidad, las moléculas de los l´ıquidos se desplazan unas respecto a otras con relativa facilidad, mientras que la posición relativa de las moléculas de los sólidos permanece fija. Cabe mencionar que, a veces, no resulta fácil categorizar a una sustancia como sólido o l´ıquido. Por ejemplo, si dejamos reposar pintura durante un tiempo suficientemente largo acabará comportándose como un sólido elástico, caracter´ıstica que perderá cuando la agitamos violentamente. En todo caso, la inmensa mayor´ıa de los fluidos que aparecen en los problemas ingenieriles, tales como agua o aire, responden perfectamente a la caracterización como gases o l´ıquidos expuesta en los párrafos anteriores, y que se resume gráficamente en la figura 1.4.

1.2 Hipótesis de medio continuo: part´ıcula fluida Hay dos caracter´ısticas que complican el análisis del movimiento fluido. Por un lado, la materia en los fluidos está distribuida de una manera discreta. Hemos visto ya como las moléculas de los gases están separadas por grandes espacios vac´ıos. Incluso para los l´ıquidos, cuyas moléculas están empaquetadas a una corta distancia, la distribución de la masa es también discreta, al encontrarse esta concentrada en los núcleos de los a´ tomos. Por otro lado, resulta inútil intentar estudiar la dinámica de un fluido a partir del estudio de la dinámica de cada uno de sus componentes a nivel microscópico. Por ejemplo, en una primera aproximación al estudio de los gases monoatómicos, parecer´ıa adecuado aplicar las leyes de conservación de la cantidad de movimiento a cada una de las moléculas que forman el gas. Como el movimiento de cada molécula influye en las demás a través de los choques que se producen entre ellas, la resolución del problema conllevar´ıa la integración de un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas que podr´ıan en principio resolverse para determinar la evolución de la posición de cada una de las moléculas con el tiempo (y su velocidad por derivación directa). Este análisis, aparentemente sencillo, resulta imposible de llevar a la práctica debido al gran número de moléculas que 3

´ ´ 1.2. HIPOTESIS DE MEDIO CONTINUO: PARTICULA FLUIDA d0 ป 3-4 Å

*DVHV ದ GaG

d

ವ %DMDGHQVLGDG ವ $OWDFRPSUHVLELOLGDG ವ 2FXSDQWRGRHOHVSDFLRGLVSRQLEOH

/¯TXLGRV ದ GaG ವ $OWDGHQVLGDG ವ %DMDFRPSUHVLELOLGDG ವ )RUPDQVXSHUILFLHVOLEUHV

Figura 1.4: Las diferencias en las propiedades macroscópicas de l´ıquidos y gases son resultado de la distinta estructura microscópica que presentan ambos.

componen el fluido (1016 en un mm3 de aire y muchas más en un mm3 de agua). Incluso aunque tal cálculo fuera posible, no parece razonable que el ingeniero necesite conocer, por ejemplo, la posición y velocidad de cada una de las moléculas de agua que circulan por el interior de una bomba para determinar la relación entre la potencia de e´ sta y el caudal. Claramente, estas consideraciones nos llevan a tomar un punto de vista distinto en el análisis de los movimientos fluidos. En cursos anteriores hemos estudiado sistemas que presentaban propiedades uniformes que se describ´ıan con pocos grados de libertad. Por ejemplo, en el estudio de la evolución de un gas que se encuentra en el interior de un contenedor, la termodinámica hac´ıa uso de la densidad definida como la masa total del gas dividida por el volumen total del contenedor. En mecánica describ´ıamos el movimiento del sólido r´ıgido con dos u´ nicos vectores: el vector velocidad y el vector velocidad angular. En los fluidos, sin embargo, la experiencia nos dice que las cosas no son tan sencillas. As´ı, gracias a las part´ıculas de polvo suspendidas en el aire, todos hemos observado el movimiento que se origina por flotabilidad debido al calentamiento desigual de nuestro dormitorio. Claramente, un solo vector velocidad no es suficiente para describir el campo fluido que se establece: el fluido sube y baja de manera desordenada, de forma que se observan variaciones espaciales y temporales de velocidad. La longitud que hay que recorrer en un campo fluido para ver variaciones apreciables de las distintas variables fluidas es lo que denominamos longitud macroscópica caracter´ıstica de dicho campo fluido, L. Por ejemplo, para el movimiento en nuestra habitación, es suficiente recorrer con la vista una distancia de 10 cm para ver variaciones apreciables de la velocidad (part´ıculas de polvo subiendo y bajando). Lo que si parece claro en relación con dicho problema fluido, sin embargo, es que para describir el campo de velocidades con bastante fiabilidad bastar´ıa dar la velocidad en puntos separados 1 cm (1 mm si quisiéramos ser muy precisos). Uno se pregunta si es posible entonces estudiar el campo fluido dividiéndolo en pequeñas parcelas, llamadas part´ıculas fluidas, con respecto a las cuales definir´ıamos los conceptos de velocidad, densidad, etc. Cada part´ıcula fluida estar´ıa centrada en una posición x¯, y su tamaño deber´ıa ser más pequeño que la longitud macroscópica caracter´ıstica de nuestro campo fluido, de manera que el conocimiento de las propiedades de cada part´ıcula fluida en un cierto instante fuera suficiente para una descripción precisa del 4

´ ´ 1.2. HIPOTESIS DE MEDIO CONTINUO: PARTICULA FLUIDA campo fluido (velocidad, densidad, etc) en función de la posición, x¯, y del tiempo, t. El suponer que podemos describir las variables fluidas como funciones continuas de x¯ y de t es lo que se denomina hipótesis del medio continuo, que es utilizada también en el estudio de la elasticidad y resistencia de materiales. Como ejemplo ilustrativo, nos concentramos inicialmente en el concepto de densidad de un gas. Siguiendo la definición que nos es familiar de cursos anteriores, parece razonable calcular la densidad de una part´ı cula fluida de volumen δV centrada en una posición x¯ de acuerdo a ρ = mi /δV , donde mi es la masa de todas las moléculas situadas en el interior de la part´ıcula fluida considerada. Para que la descripción que proponemos tenga sentido, el valor de ρ debe ser independiente de δV , de manera que en un instante determinado t podamos asignar a la posición x¯ un valor un´ı voco de ρ(¯ x, t). El rango de δV en que esto es posible se hace patente al representar el valor de mi /δV como función del tamaño de la part´ıcula fluida (δV )1/3 , tal y como se ve en la figura 1.5.

d

d << (GVf)1/3 << L

GV2

GV1

Figura 1.5: Concepto de part´ıcula fluida. Cuando el tamaño de la part´ıcula fluida es muy pequeño (mucho menor que la distancia media entre moléculas d), es muy probable que e´ sta no contenga en su interior ninguna molécula, con lo que, de acuerdo a la definición dada más arriba, la densidad resulta ser nula. Al aumentar su tamaño, este alcanzará un valor cr´ıtico (δV1 )1/3 para el cual encontrar´ıamos por primera vez una molécula en el interior de la part´ıcula fluida, con lo que la densidad tomar´ıa un valor finito. Para tamaños mayores, la densidad se ver´ıa de nuevo reducida hasta que el volumen considerado alcanzara un valor δV2 para el que existir´ıa una segunda molécula en el interior de la part´ıcula fluida, dando lugar a un nuevo salto en el valor de la densidad. Estas discontinuidades, que están ´ıntimamente relacionadas con el carácter discreto de los fluidos comentado anteriormente, se har´ıan progresivamente más pequeñas al ir aumentando δV , haciéndose inapreciables cuando el tamaño de la part´ıcula fluida (δV )1/3 considerada sea mucho mayor que la distancia media entre moléculas d. En otras palabras, cuando la part´ıcula fluida contiene un número 3 de moléculas δV /d 1 el cociente mi /δV se hace independiente de δV . Esta independencia se mantiene siempre y cuando (δV )1/3 sea mucho menor que el tamaño macroscópico caracter´ıstico del campo fluido, L. Cuando (δV )1/3 se hace comparable a L la part´ıcula fluida comienza a “engullir” parcelas de fluido con propiedades distintas, con lo que la densidad comienza a variar. Por ejemplo, para estudiar el campo de densidad en las inmediaciones de un radiador, el utilizar una part´ıcula fluida con un tamaño comparable al mismo radiador llevar´ıa consigo el tener en el interior de dicha part´ıcula porciones de fluido con temperatura (y por tanto 5

´ INTERNA 1.3. DENSIDAD, VELOCIDAD Y ENERGIA Hipótesis de medio continuo

10-9 m

10-8 m

10-7 m

Figura 1.6: La hipótesis de medio continuo, Ld 1, permite definir un rango de escalas entre la escala caracter´ıstica microscópica, d, y la escala caracter´ıstica microscópica, L, donde las propiedades del fluido se pueden describir como funciones continuas de la posición y del tiempo.

densidad) diferente. La figura 1.5 revela por lo tanto que para ser capaces de definir un´ıvocamente las variables fluidomecánicas en un punto a través del concepto de part´ıcula fluida es necesario que el tamaño macroscópico caracter´ıstico del campo fluido que estudiemos sea mucho mayor que la distancia media entre sus moléculas, esto es d 1. (1.3) L Recordando que d 3,4 × 10−9 m para el aire en condiciones normales, es fácil adivinar que la condición (1.3) se cumple para la inmensa mayor´ıa de los movimientos fluidos de interés ingenieril, para los que la descripción del campo fluido como un medio continuo resulta adecuada (véase por ejemplo la figura 1.6).

1.3 Densidad, velocidad y energ´ıa interna A partir del concepto de part´ıcula fluida (centrada en la posición x¯ en el instante t) definimos densidad como mi , (1.4) ρ(¯ x, t) = l´ım δV →0 δV donde al tomar el l´ımite se entiende que (δV )1/3 d, de forma que evitamos el carácter discreto del fluido asociado a su estructura microscópica. De manera análoga, definimos la velocidad del fluido como el valor medio de la velocidad de todas las moléculas que se encuentran en δV (velocidad del centro de gravedad de la part´ıcula fluida): mi v¯i . (1.5) v¯ = l´ım δV →0 mi 6

´ 1.4. EQUILIBRIO TERMODINAMICO LOCAL La energ´ıa por unidad de masa que existe en el interior de δV viene dada por Ei / mi , vi |2 /2+Evi +Eri +· · · representa la energ´ıa de cada molécula (energ´ıa cinética donde Ei = mi |¯ vi |2 /2, energ´ıa de vibración, Evi , rotación, Eri , etc). Es costumbre separar de de traslación mi |¯ la energ´ıa por unidad de masa la contribución debida al movimiento medio de traslación de las moléculas, de forma que podemos escribir (se deja como ejercicio el demostrarlo) Ei l´ım = e + |¯ v |2 /2, (1.6) δV →0 mi donde

e = l´ım

δV →0

vi − v¯|2 /2 + Evi + Eri + · · · mi |¯ mi

(1.7)

es la llamada energ´ıa interna, que incluye en particular la energ´ıa cinética asociada al movimiento de agitación de las moléculas respecto al movimiento medio. Tal y como veremos, para l´ıquidos y gases existe una estrecha relación entre la temperatura y la energ´ıa interna.

1.4 Equilibrio termodinámico local La termodinámica clásica trata sistemas que están en equilibrio térmico y mecánico, para los que todas las propiedades termodinámicas de la materia son uniformes en el espacio y en el tiempo. Cuando por ejemplo estudiamos mediante la leyes de la termodinámica clásica la evolución de un cierto sistema, lo que suponemos es que dicha evolución es tan lenta que es como si el sistema estuviera en equilibrio en cada instante. Entre otros resultados de utilidad, la termodinámica establece que podemos caracterizar el estado de un sistema de composición homogénea con solo dar dos variables de estado independientes, estando todas las demás ligadas a estas dos a través de las llamadas ecuaciones de estado. La mecánica de fluidos, sin embargo, estudia sistemas que no están en equilibrio y cuyas propiedades presentan variaciones espaciales y temporales. Estrictamente hablando, los resultados de la termodinámica clásica no ser´ıan por tanto aplicables al estudio de la mecánica de fluidos. Afortunadamente, los resultados correspondientes a estados de equilibrio son aproximadamente válidos para la inmensa mayor´ıa de los estados de no-equilibrio que analizamos en mecánica de fluidos. Un observador moviéndose con la velocidad local puede describir el estado del fluido mediante las variables de la termodinámica, cuyas interrelaciones están determinadas por las mismas ecuaciones de estado que se aplican a estados de equilibrio. Mediante la Teor´ıa Cinética, esta hipótesis de equilibrio termodinámico local encuentra justificación teórica rigurosa para el caso de los gases, mientras que para el caso de l´ıquidos la justificación proviene de la amplia evidencia experimental que se tiene al respecto. Las moléculas de un gas intercambian cantidad de movimiento y energ´ıa a través de las colisiones con sus vecinas, ajustando su estado de esa manera al estado de agitación térmica que existe localmente. Las colisiones entre moléculas constituyen por tanto el mecanismo a través del cual el gas alcanza el equilibrio termodinámico. Siempre y cuando la distancia entre choques λ, también llamada recorrido libre medio, sea mucho más pequeña que la longitud caracter´ıstica macroscópica L, cada molécula sufrirá un número muy elevado de choques antes de alcanzar regiones donde las propiedades macroscópicas cambian apreciablemente. En todo momento es como si el fluido se encontrara en cada punto muy cerca del equilibrio termodinámico correspondiente a los valores locales de densidad y energ´ıa interna. 7

´ ´ 1.5. VARIABLES Y RELACIONES TERMODINAMICAS DE INTERES

G

O

G Figura 1.7: Igualando el volumen que le corresponde a cada molécula, d3 , con el volumen barrido por la molécula en su movimiento entre colisiones, d20 λ, se puede estimar el camino libre medio entre colisiones, λ/d = (d/d0 )2 .

El criterio que se debe satisfacer para que un gas se encuentre en equilibrio termodinámico local es por tanto λ 1 (1.8) L donde λ/L es el llamado número de Knudsen. Para que se produzca un choque, el volumen barrido por una cierta molécula en su movimiento ( d20 λ) debe ser igual al volumen de gas que le corresponde a cada molécula (d3 ), lo que nos permite escribir λ/d (d/d0)2 (por ejemplo, en condiciones normales se obtiene λ 4 × 10−7 m)1 . Cabe hacer notar que el criterio dado en la Ec. (1.8) es más restrictivo que el correspondiente a la hipótesis del medio continuo (1.3). Entre los pocos ejemplos excepcionales que no cumplen la condición de equilibrio termodinámico local, podemos mencionar el campo fluido que encontramos en los alrededores de los veh´ıculos espaciales en las altas capas de la atmósfera, donde el gas está tan enrarecido, que el camino libre medio deja de ser pequeño en comparación con el tamaño del veh´ıculo.2

1.5 Variables y relaciones termodinámicas de interés La hipótesis del equilibrio termodinámico local nos va a permitir por tanto describir el estado del fluido dando su velocidad v¯(¯ x, t) y dos variables termodinámicas cualquiera. La definición de densidad y energ´ıa interna está dada más arriba en las Ecs. (1.5) y (1.7). Las demás variables termodinámicas quedan automáticamente definidas a través de las ecuaciones de estado correspondientes. Por ejemplo, existe una ecuación de estado s = s(e, ρ), o e = e(s, ρ), que determina la entrop´ıa. Puesto que de = T ds − pd(1/ρ) 1

(1.9)

Si el gas está evolucionando con un tiempo caracter´ıstico de variación de las propiedades fluidas macroscópicas T , razonamientos similares a los expuestos más arriba nos llevan a concluir que la condición que se habr´ıa de cumplir para que existiera equilibrio termodinámico local en todo instante es T τ , donde τ es el tiempo medio entre colisiones de las moléculas (τ = 10−9 s para aire en condiciones normales de presión y temperatura). 2 Se deja como ejercicio al lector demostrar que, en el aire, el camino libre medio se hace del orden de 1 m para densidades del orden de 3 ·10−7 kg/m3 , valor que se alcanza en la atmósfera a una altura de unos 70 km.

8

´ ´ 1.5. VARIABLES Y RELACIONES TERMODINAMICAS DE INTERES obtenemos la temperatura y la presión a partir de ∂e T = ∂s ρ y

p=−

∂e ∂ρ−1

(1.10)

.

(1.11)

s

De manera análoga, se define entalp´ıa a partir de los conceptos anteriores como h = e + p/ρ. En lugar de continuar resumiendo conceptos generales de termodinámica, pasamos ahora a describir algunas de las ecuaciones de estado que nos serán de más utilidad en el análisis de los problemas fluidotérmicos, particularizando nuestro tratamiento a dos estados fluidos idealizados que cubren la inmensa mayor´ıa de las aplicaciones de interés, esto es, l´ıquidos perfectos y gases perfectos. L´ıquidos perfectos Un l´ıquido perfecto cumple que su densidad y su calor espec´ıfico, c, son constantes, de manera que podemos escribir (1.12) ρ = ρ0 y e = cT + e0 ,

(1.13)

donde e0 es la energ´ıa interna correspondiente al cero absoluto de temperatura. A partir de la definición de entalp´ıa obtenemos h = cT + e0 + p/ρ0 ,

(1.14)

mientras que por integración de (1.9) determinamos la entrop´ıa en la forma s = c ln(T ) + s0 .

(1.15)

Muchos l´ıquidos se comportan como perfectos en intervalos razonablemente grandes de presión y temperatura. Por ejemplo, el agua puede suponerse un l´ıquido perfecto de densidad ρ0 = 103 kg/m3 y calor espec´ıfico c = 4180 J/(kg·K). Gases perfectos Un gas perfecto tiene una ecuación de estado de la forma p/ρ = Rg T,

(1.16)

donde la constante Rg = Ro /W se determina a partir de la constante universal de los gases, Ro = 8,314 J/(mol·K), y del peso molecular medio del gas, W (por ejemplo, para el aire W 0,029 kg/mol). La energ´ıa interna, entalp´ıa y entrop´ıa se determinan a partir de e = cv T + e0 , h = cp T + e0 , s = cv ln(p/ργ ) + s0 , 9

(1.17) (1.18) (1.19)

´ ´ 1.5. VARIABLES Y RELACIONES TERMODINAMICAS DE INTERES donde cv y cp = cv + Rg son, respectivamente, los calores espec´ıficos a volumen y presión constante, y γ = cp /cv es la relación de calores espec´ıficos. El comportamiento del aire se aproxima mucho al de un gas perfecto con Rg = 287 J/(kg·K), cv = 717 J/(kg·K), cp = 1004 J/(kg·K) y γ = 1,4. La ecuación (1.16) deja de ser válida a altas presiones, siendo reemplazada por ecuaciones de estado más complejas (ecuación de Van der Waals). Por otra parte, los calores espec´ıficos cv y cp son en realidad función de la temperatura, lo que se hace patente cuando la temperatura aumenta lo suficiente (a las temperaturas t´ıpicamente alcanzadas en los procesos de combustión, por ejemplo).

10

Cap´ıtulo 2 Fluidostática 2.1 Introducción En este tema se aborda el estudio de fluidos que están en equilibrio mecánico en un cierto sistema de referencia, no necesariamente inercial, dejando a un lado el efecto de la tensión superficial. La condición de equilibrio mecánico para un volumen V de fluido en reposo como el de la figura 2.1 establece que la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre el fluido debe ser nula F¯ext = 0, (2.1) y el momento neto de las fuerzas exteriores respecto a un punto 0 arbitrario también debe ser nulo ¯ 0,ext = 0, (2.2) M pues según la segunda ley de Newton en caso contrario aparecer´ıan aceleraciones lineales o angulares y el fluido dejar´ıa de estar en reposo en el sistema de referencia considerado. Tras introducir los dos tipos de fuerzas que actúan sobre un fluido en reposo, fuerzas de volumen y fuerzas de superficie, se presenta la ecuación general de la fluidostática tanto en forma integral como en forma diferencial. A continuación se estudia la distribución de presiones en fluidos en reposo, y en movimiento como sólido r´ıgido, en presencia de la gravedad, y se determina la distribución de presiones en la atmósfera estándar como un problema clásico de fluidostática de gases. En el caso particular del equilibrio de l´ıquidos se estudian las fuerzas sobre superficies sumergidas planas y curvas. Como resultado relevante se deriva el principio de Arqu´ımedes, que permite calcular fácilmente las fuerzas y momentos que ejerce un l´ıquido sobre un cuerpo sumergido. Por u´ ltimo, se presenta una breve discusión del equilibrio y la estabilidad de los cuerpos sumergidos.

2.2 Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie Las fuerzas que actúan en un fluido (o en un sólido) se pueden clasificar en dos tipos: fuerzas de largo alcance (también denominadas fuerzas de volumen o fuerzas másicas) y fuerzas de corto alcance (también denominadas fuerzas de superficie).

2.2. FUERZAS DE VOLUMEN Y FUERZAS DE SUPERFICIE

V

Σ dV

0

dσ

z

n ¯ x¯0

ρf¯m dV

x¯

f¯n (¯ n, x¯, t)dσ

y

x

Figura 2.1: Volumen arbitrario V de fluido en reposo respecto al sistema de referencia (x, y, z). La región de fluido bajo estudio, delimitada por la superficie imaginaria Σ, está sometida a fuerzas de volumen que actúan sobre cada elemento de volumen dV, y fuerzas de superficie que actúan sobre cada elemento de superficie dσ.

2.2.1 Fuerzas de volumen o fuerzas másicas Las fuerzas de largo alcance son fuerzas que decrecen lentamente con la distancia (su distancia caracter´ıstica de decaimiento es mucho mayor que la distancia media entre moléculas, d), y su radio de acción es comparable al tamaño caracter´ıstico del campo fluido L. Dichas fuerzas son capaces de penetrar en el interior del campo fluido y actuar sobre todos los elementos de su interior. Su magnitud es constante en el interior de cada elemento fluido, y por tanto son proporcionales a la masa (o volumen) del mismo. Por este motivo, también se conocen como fuerzas de volumen o fuerzas másicas. Cada part´ıcula fluida estará sometida en general a fuerzas másicas, debidas por ejemplo al campo gravitatorio o a las fuerzas de inercia en el caso de sistemas de referencia no inerciales. Las fuerzas de volumen de origen electromagnético tienen interés en ciertas aplicaciones espec´ıficas pero, por sencillez, no las incluiremos en nuestro estudio. De este modo, la resultante de las fuerzas másicas que actúan sobre una part´ıcula fluida de volumen dV puede expresarse en la forma general dF¯m = ρf¯m dV, (2.3) donde ρf¯m representa la magnitud de la fuerza por unidad de volumen, y f¯m denota por tanto la fuerza másica por unidad de masa (con dimensiones de aceleración). Por ejemplo, si las fuerzas másicas tienen un origen exclusivamente gravitatorio f¯m viene dado por la aceleración de la gravedad g¯. Para escribir (2.3) hemos despreciado la variación de las fuerzas de largo alcance en el interior de la part´ıcula fluida, lo que siempre es posible puesto que la distancia caracter´ıstica de 12

2.2. FUERZAS DE VOLUMEN Y FUERZAS DE SUPERFICIE decaimiento de f¯m es mucho mayor que d. Por ejemplo, para observar un decaimiento apreciable de la gravedad terrestre g¯ hemos de separarnos de la superficie de la tierra una distancia comparable a su radio R 6400 km. Supuesta conocida la forma del vector f¯m , la resultante F¯m de las fuerzas másicas que actúa sobre un cierto volumen de fluido V (véase la figura 2.1) se puede obtener sin más que sumar la contribución (2.3) de todos los elementos de volumen dV que lo componen, lo que equivale a calcular la siguiente integral de volumen ¯ Fm = ρf¯m dV. (2.4) V

A continuación se discute la forma que adopta el vector f¯m en sistemas de referencia inerciales, donde las fuerzas másicas son exclusivamente de carácter gravitatorio, y en sistemas de referencia no inerciales, donde aparecen además las fuerzas de inercia asociadas a la aceleración lineal y al giro del sistema de referencia considerado. Sistemas de referencia inerciales Si el fluido está en reposo respecto a un cierto sistema de referencia inercial y suponemos que existe un campo gravitatorio con aceleración g¯, la u´ nica fuerza de volumen que sufrirá la part´ıcula fluida representada en la figura 2.1, de masa m = ρdV , será su peso dF¯m = m¯ g = ρ¯ g dV

(2.5)

o, alternativamente, en términos de fuerza por unidad de masa f¯m = g¯.

(2.6)

En problemas de fluidostática tomaremos por convenio el eje z en la dirección vertical hacia arriba, lo que permite escribir g¯ = −g¯ ez , siendo g = 9,81 m/s2 la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre. Sistemas de referencia no inerciales: Fuerzas de inercia Si el fluido está en reposo respecto a un sistema de referencia no inercial que gira con ¯ y cuyo origen sufre una aceleración lineal a velocidad angular Ω ¯0 , como se indica en la figura 2.2, a la fuerza de la gravedad habrá que sumarle las fuerzas de inercia asociadas al movimiento no uniforme del sistema de referencia ¯ d Ω ¯ ∧ (Ω ¯ ∧ x¯) + f¯m = g¯ − a ¯o + Ω ∧ x¯ , (2.7) dt donde x¯ = x¯ ex + y¯ ey + z¯ ez

(2.8)

representa el vector de posición relativo al sistema de referencia no inercial. Si miramos el ¯∧ segundo miembro de la ecuación (2.7) comprobamos que a ¯o es la aceleración de arrastre, Ω ¯ ¯ (Ω ∧ x¯) es la aceleración centr´ıpeta, y dΩ/dt ∧ x¯ la aceleración debida a variaciones temporales ¯ ∧ v¯ queda excluida de de la velocidad angular. Obsérvese que la aceleración de Coriolis −2Ω las fuerzas de inercia por ser nula la velocidad relativa del fluido, v¯ = d¯ x/dt = 0, en el sistema de referencia considerado. 13

2.2. FUERZAS DE VOLUMEN Y FUERZAS DE SUPERFICIE ¯ Ω

z

z

dV

x ¯

K

6

> 1 y

0 0 x

- y

x

j

a ¯0

Figura 2.2: Elemento fluido dV en reposo en un sistema de referencia no inercial (x, y, z) que gira con ¯ y cuyo origen sufre una aceleración a velocidad angular Ω ¯0 respecto a la referencia inercial (x , y , z ). Algunas de las fuerzas másicas que aparecen en (2.7) son conservativas, esto es, derivan de un potencial U tal que f¯m = −∇U. As´ı, podemos escribir ¯ ∧ (Ω ¯ ∧ x¯) = −∇[−¯ ¯ ∧ x¯) · (Ω ¯ ∧ x¯)/2]. g¯ − a ¯o − Ω g · x¯ + a ¯o · x¯ − (Ω

(2.9)

Sin embargo, se puede demostrar que el término correspondiente a la aceleración debida a variaciones de la velocidad angular no deriva de un potencial, algo que, como veremos más abajo, tiene importantes implicaciones en fluidostática de l´ıquidos.

2.2.2 Fuerzas de superficie A diferencia de las fuerzas de largo alcance, las fuerzas de corto alcance, que tienen un origen molecular directo, decrecen muy rápidamente con la distancia y son sólo apreciables a distancias del orden de la separación media entre moléculas d. En el caso de un gas, la fuerza que se ejerce a través de la superficie imaginaria de separación entre dos parcelas de fluido vecinas se debe al transporte de cantidad de movimiento asociado a la velocidad de agitación térmica. En otras palabras, aunque a través de una superficie fluida no hay un transporte neto de masa, las moléculas que se desplazan de un lado a otro (en igual número para uno y otro lado si el gas es unicomponente) transportan en su movimiento cantidad de movimiento (y energ´ıa). Este fenómeno da lugar a nivel macroscópico a la aparición de fuerzas de superficie (y a la conducción de calor que veremos más adelante). Si el fluido es un l´ıquido, aparecen contribuciones adicionales debidas a la fuerza que se ejerce entre las moléculas situadas a uno y otro lado de la superficie. Tal y como veremos ahora, aún cuando se observan estas diferencias a nivel molecular, el tratamiento macroscópico de las fuerzas de superficie se puede hacer de manera unificada independientemente del tipo de fluido del que se trate. Puesto que las fuerzas de corto alcance decaen en una distancia comparable a d, su resultante sobre una part´ıcula fluida de tamaño dV (tal que dV 1/3 d) es proporcional a la superficie (y no al volumen) de dicha part´ıcula fluida. Por este motivo, también se conocen como fuerzas de superficie. Como se indica en la figura 2.3, la fuerza que se ejerce a través de un elemento de superficie de a´ rea dσ y orientación n ¯ que separa dos elementos fluidos puede escribirse por tanto en la forma dF¯s = f¯n (¯ n, x ¯, t)dσ, (2.10) donde la fuerza por unidad de superficie (o esfuerzo) f¯n es función de la orientación n ¯ , además ¯ de la posición x¯ y del tiempo t. En la notación que se sigue tradicionalmente, fn es el esfuerzo 14

´ 2.3. CONCEPTO DE PRESION

n, x ¯, t)dσ f¯n (¯ n ¯ dσ

x¯

Figura 2.3: Fuerza superficial que se ejerce a través de un elemento de superficie de a´ rea dσ y orientación

n, x ¯, t) representa el esfuerzo que ejerce el fluido situado en el lado hacia donde n ¯ . Por convenio, f¯n (¯ está dirigido n ¯ sobre el fluido situado en el lado contrario. El esfuerzo tiene en general una componente normal y otra tangencial, sin embargo en el caso particular de la fluidostatica la fuerza superficial se reduce a la componente normal.

que ejerce el fluido situado en el lado hacia donde está dirigido n ¯ sobre el fluido situado en el lado contrario. Supuesta conocida la dependencia del esfuerzo f¯n con la orientación n ¯ , la posición x¯, y el ¯ tiempo t, la resultante Fs de la fuerza superficial que actúa sobre una superficie Σ contenida en el fluido (véase la figura 2.1) se puede obtener sin más que integrar (2.10) sobre toda la superficie Σ para dar ¯ Fs = n, x¯, t)dσ. (2.11) f¯n (¯ Σ

Como se observa en la figura 2.3, el esfuerzo superficial f¯n se puede dividir siempre en ¯ y una componente tangencial f¯n − (¯ n · f¯n ) n ¯ al elemento de una componente normal (¯ n · f¯n ) n superficie, lo que permite diferenciar entre los esfuerzos normales y los esfuerzos tangenciales (o cortantes).

2.3 Concepto de presión De acuerdo con la definición de fluido dada en el cap´ıtulo anterior, un fluido (l´ıquido o gas) se deforma indefinidamente bajo la acción de un esfuerzo tangencial (aquel que tiende a deformar el fluido conservando el volumen). As´ı pues, un fluido que está en reposo (¯ v = 0) respecto a un cierto sistema de referencia no puede soportar esfuerzos cortantes, o de cizalladura. En consecuencia, el esfuerzo sobre cualquier plano en un fluido en reposo es siempre perpendicular a dicho plano. A continuación demostraremos que todos los esfuerzos normales que actúan sobre un punto de un fluido en reposo son, de hecho, idénticos, es decir, independientes de la orientación del plano considerado. A este valor u´ nico del esfuerzo normal sobre cualquier plano que pasa por un punto de un fluido en reposo se le denomina presión. 15

´ 2.3. CONCEPTO DE PRESION

z

pn 6

y

dy

θ

px

ds

θ

dz dW

-

x

dx

pz

Figura 2.4: Equilibrio de una pequeña cuña de fluido en reposo

2.3.1 Presión en un punto: Principio de Pascal En la figura 2.4 se muestra un pequeño elemento de un sistema fluido en reposo de aristas dx, dz, ds y anchura dy perpendicular al papel. Supongamos que los esfuerzos normales sobre cada superficie son constantes, por ser las superficies muy pequeñas, aunque en principio podr´ıan ser distintos entre s´ı por tener las superficies distinta orientación. Denominemos px , pz y pn a los esfuerzos normales en las superficies vertical, horizontal y oblicua, respectivamente. Si el elemento fluido está en reposo, la resultante de las fuerzas en las direcciones x y z, incluyendo el peso del volumen de fluido dW = ρg 21 dxdydz e¯z , debe ser nula

Fx = px dydz − pn dyds sin θ = 0

(2.12)

1 Fz = pz dydx − pn dyds cos θ − ρg dydxdz = 0 2

(2.13)

donde θ representa el a´ ngulo que la superficie oblicua forma con la horizontal. Nótese que la simetr´ıa del problema garantiza el equilibrio de fuerzas en la dirección y. Utilizando en estas ecuaciones las relaciones trigonométricas ds sin θ = dz y ds cos θ = dx se puede escribir px = p n ,

1 pz = pn + ρgdz. 2

(2.14)

En consecuencia, del hecho de que un fluido en reposo no puede soportar esfuerzos tangenciales se deduce que en un fluido en reposo no hay variación de presión en la dirección horizontal, y que la variación de presión en la dirección vertical depende de la densidad, la gravedad y la diferencia de alturas. Imaginemos ahora que reducimos el tamaño del elemento manteniendo su forma (es decir, sin modificar el a´ ngulo θ) hasta convertirlo en un punto tomando el l´ımite dz → 0. En ese caso las ecuaciones (2.14) adoptan la forma simplificada px = pz = pn ≡ p, 16

(2.15)

´ 2.3. CONCEPTO DE PRESION ´ sobre de donde se extrae una nueva conclusión: en un fluido en reposo la presión que actua cualquier plano que pasa por un punto del fluido es independiente de la orientación de dicho plano. En resumen, cuando un fluido está en reposo en un cierto sistema de referencia las fuerzas de superficie actúan siempre en la dirección normal y su magnitud no depende de la dirección, pudiendo en general expresarse como f¯n = −p(¯ x, t)¯ n,

(2.16)

donde la variable p es la presión, que está relacionada con las demás variables termodinámicas a través de las ecuaciones de estado, tal y como se comentó al introducir la hipótesis de equilibrio termodinámico local. Nótese que de acuerdo con la tercera ley de Newton, o ley de acción y reacción, el esfuerzo debe cambiar de signo al cambiar la orientación de la superficie, lo que efectivamente ocurre en (2.16) al cambiar n ¯ por −¯ n. Finalmente, sustituyendo la expresión (2.16) para el esfuerzo normal en (2.10) podemos calcular la resultante de las fuerzas de presión sobre una superficie Σ de orientación normal n ¯ contenida en un fluido en reposo F¯p = − p(¯ x, t)¯ ndσ. (2.17) Σ

De acuerdo con la expresión anterior, para poder evaluar la resultante de las fuerzas de presión es necesario conocer la distribución de presiones en todos los puntos de la superficie Σ. La determinación del campo de presiones constituye por tanto una de las tareas más importantes dentro del estudio de la fluidostática como paso previo al cálculo de fuerzas sobre superficies sumergidas.

2.3.2 Resultante de las fuerzas de presión sobre una part´ıcula fluida De acuerdo con la discusión del apartado anterior, el valor de la presión en un punto de un fluido en reposo no depende de la orientación. En este apartado veremos que esto implica que la presión no produce fuerza resultante alguna sobre una part´ıcula fluida a menos que existan variaciones espaciales de presión. En la figura 2.5 se representa un elemento fluido de tamaño infinitesimal dxdydz. Supongamos que en un instante dado el fluido está sometido a una distribución de presión p = p(¯ x, t) que var´ıa espacialmente de forma arbitraria. Podemos calcular la fuerza resultante que ejerce esta distribución de presión sobre las superficies que encierran el elemento fluido. As´ı, la presión que actúa sobre la cara izquierda del elemento fluido ejerce una fuerza p(x, y, z, t)dydz en dirección x mientras que la que actúa sobre la cara derecha ejerce una fuerza p(x + dx, y, z, t)dydz en dirección −x. En las direcciones y y z ocurre exactamente lo mismo. Utilizando entonces el desarrollo en serie de Taylor para escribir ∂p dx ∂x se obtiene la componente según x de la resultante de las fuerzas de presión ∂p ∂p dx dydz = − dxdydz dFp,x = p dydz − p + ∂x ∂x p(x + dx, y, z, t) = p(x, y, z, t) +

(2.18)

(2.19)

existiendo expresiones análogas para las componentes según y y z. En resumen, tenemos dF¯p = dFp,x e¯x + dFp,y e¯y + dFp,z e¯z = −∇p dxdydz 17

(2.20)

´ DE PRESIONES EN UN FLUIDO EN REPOSO 2.4. DISTRIBUCION z

6dy

y

p(x, t)

p(x + dx, t)

dz

-

x

dx

Figura 2.5: Fuerza resultante según x sobre un elemento fluido debida a las variaciones espaciales de presión.

donde ∇p =

∂p ∂p ∂p e¯x + e¯y + e¯z ∂x ∂y ∂z

(2.21)

representa el vector gradiente de presión. Sin más que dividir ahora por el volumen del elemento fluido, dV = dxdydz, se obtiene la resultante de las fuerzas de presión por unidad de volumen dF¯p = −∇p (2.22) dV que viene dada por el gradiente de presión cambiado de signo. Como puede observarse, no es el valor absoluto de la presión, sino las variaciones espaciales de presión las que originan una fuerza neta sobre el elemento fluido. Esto permite concluir que en ausencia de variaciones espaciales de presión la fuerza neta será nula. O dicho de otra forma, la fuerza neta que ejerce una distribución de presión constante sobre la part´ıcula fluida es cero.

2.4 Distribución de presiones en un fluido en reposo La presión en un fluido está en general representada por un campo escalar, p(¯ x, t), función de la posición y del tiempo. En lo que sigue, sin embargo, consideraremos por sencillez que el campo de presión y las fuerzas másicas que lo generan no dependen del tiempo, como suele ocurrir en la mayor´ıa de las aplicaciones de interés.

2.4.1 Ecuación general de la fluidostática La ecuación fundamental de la fluidostática en forma integral se obtiene al establecer la condición de equilibrio estático (2.1) para una cierta región de fluido como la que se muestra en la figura 2.1. Escribiendo la resultante de las fuerzas exteriores como la resultante de las fuerzas de presión más la resultante de las fuerzas másicas, tenemos ¯ ¯ ¯ Fext = Fp + Fm = − p(¯ x, t)¯ ndσ + ρf¯m dV = 0 (2.23) Σ

V

donde se han utilizado las Ecs. (2.4) y (2.17) para expresar F¯m y F¯p como integrales extendidas al volumen considerado, V , y a la superficie que lo delimita, Σ, respectivamente. Esta ecuación 18

´ DE PRESIONES EN UN FLUIDO EN REPOSO 2.4. DISTRIBUCION establece que la resultante de las fuerzas de presión sobre la superficie Σ debe estar en equilibrio con la resultante de las fuerzas másicas que actúa sobre el volumen de fluido V . La ecuación general de la fluidostática también se puede escribir en forma diferencial si se aplica la condición de equilibrio estático (2.23) a un elemento fluido de tamaño infinitesimal dxdydz como el que se muestra en la figura 2.5. Como hemos visto más arriba, sobre dicho elemento fluido en reposo actúan dos tipos de fuerzas: las fuerzas de superficie y las fuerzas másicas, entre las que se encuentran la fuerza de gravedad y las fuerzas de inercia (si elegimos un sistema de referencia no inercial para describir matemáticamente nuestro problema). En el equilibrio, la resultante de estas fuerzas sobre el elemento fluido de la figura 2.5 debe ser nula, es decir dF¯p + dF¯m = −∇p dxdydz + ρf¯m dxdydz = 0 (2.24) donde hemos hecho uso de (2.3) y (2.20) para escribir los diferenciales de fuerzas másicas y de presión como se indica en (2.24). Dividiendo la ecuación anterior por el volumen del elemento fluido se obtiene la ecuación general de la fluidostática − ∇p + ρf¯m = 0 (2.25)

2.4.2 Condición de compatibilidad para las fuerzas másicas Tomando el rotacional de la ecuación (2.25) y teniendo en cuenta que ∇ ∧ (∇p) = 0 en todo el campo fluido sea cual sea el campo de presión,1 se obtiene la siguiente condición de compatibilidad para el vector de fuerzas másicas (2.26) ∇ ∧ (ρf¯m ) = 0 que debe cumplirse si queremos que el fluido esté en reposo. O dicho de otro modo, si las fuerzas másicas no satisfacen esta condición, no es posible que el fluido permanezca en reposo. En particular, es fácil comprobar que la condición de compatibilidad (2.26) se verifica idénticamente en los siguientes casos: • Fuerza gravitatoria f¯m = −g¯ ez con ρ = ρ(z). • Fuerza de inercia f¯m = −¯a0 debida a la traslación del origen del sistema de referencia. ¯ ∧ (Ω ¯ ∧ x¯) debida a la rotación del sistema de referencia. • Fuerza de inercia f¯m = −Ω ¯ También es fácil comprobar que, en el caso de l´ıquidos (ρ = cte), la fuerza de inercia ρ dΩ/dt∧¯ x debida a la aceleración angular del sistema de referencia no cumple la relación (2.26) y, por tanto, no es compatible con el reposo del fluido. En resumen, teniendo en cuenta la forma del vector de fuerzas másicas f¯m dada por las ecuaciones (2.6) y (2.7), e ignorando en esta u´ ltima el término debido a la aceleración angular del sistema de referencia, la ecuación (2.25) toma la forma −∇p + ρ¯ g=0 ¯ ∧ (Ω ¯ ∧ x¯)] = 0 −∇p + ρ [¯ g−a ¯o − Ω 1

sistema de referencia inercial sistema de referencia no inercial

(2.27) (2.28)

Resulta sencillo comprobar este resultado utilizando un sistema de coordenadas cartesiano rectangular

e¯x ∂ ∇ ∧ (∇p) = ∂x ∂p ∂x

e¯y ∂ ∂y ∂p ∂y

e¯z ∂ ∂p ∂ ∂p ∂ ∂p ∂ ∂p ∂ ∂p ∂ ∂p ∂ − − − + + e ¯ e ¯ e¯z = 0 = x y ∂z ∂y ∂z ∂z ∂y ∂z ∂x ∂x ∂z ∂x ∂y ∂y ∂x ∂p ∂z

donde la u´ ltima igualdad es consecuencia de la igualdad de las derivadas cruzadas de la presión.

19

´ DE PRESIONES EN UN FLUIDO EN REPOSO 2.4. DISTRIBUCION

2.4.3 Isobaras Dado que el gradiente de presión ∇p es, por definición de gradiente de una función escalar, perpendicular en todos los puntos a las superficies de presión constante, o isobaras, y teniendo en cuenta que la Ec. (2.25) muestra que ∇p tiene la dirección del vector fuerzas másicas f¯m , se puede concluir que las isobaras son superficies perpendiculares en todo punto al vector fuerzas másicas f¯m .

2.4.4 Ejemplos de interés práctico A continuación se obtiene la distribución de presiones mediante integración de la ecuación fundamental de la fluidostática en forma diferencial y se discute la forma de las isobaras en varios ejemplos de interés práctico. L´ıquido en reposo sometido a la acción de la gravedad En primer lugar consideraremos un l´ıquido que permanece en reposo sometido a la acción de la gravedad como u´ nica fuerza másica. En este caso, en cualquier punto del fluido la resultante de las fuerzas másicas viene dada por f¯m = g¯ = −g¯ ez . Por estar alineada con la gravedad, la normal a las superficies de presión constante será vertical en todos los puntos del fluido, luego las isobaras son planos horizontales. Este razonamiento cualitativo se puede formalizar matemáticamente utilizando la ecuación general de la fluidostática (2.25). Por ser la resultante de las fuerzas másicas nula en las direcciones x e y tenemos ∂p ∂p = = 0 → p = p(z) (2.29) ∂x ∂y luego la presión es sólo función de la coordenada vertical, z. En esta dirección, la condición de equilibrio toma la forma dp − ρg = 0 (2.30) − dz cuya integración proporciona p + ρgz = cte (2.31) As´ı pues, las isobaras p = cte se reducen en este caso a superficies z = cte, esto es, planos horizontales, como hab´ıamos anticipado con el razonamiento cualitativo. L´ıquido en reposo sometido a la acción de la gravedad y una aceleración lineal uniforme Consideraremos el mismo caso del apartado anterior, pero suponiendo ahora que el l´ıquido se encuentra en reposo respecto a un sistema de referencia no inercial que sufre una aceleración lineal a0 e¯x constante según x. Para estudiar el equilibrio del l´ıquido en dicho sistema de referencia es preciso añadir una fuerza de inercia constante −ρa0 e¯x al vector de fuerzas másicas, que ahora tiene la forma f¯m = −g¯ ez − a0 e¯x . Este vector es constante en todo el espacio, por lo que concluimos que las isobaras son planos perpendiculares al mismo, al igual que suced´ıa en el caso anterior.

20

´ DE PRESIONES EN UN FLUIDO EN REPOSO 2.4. DISTRIBUCION En efecto, integrando la ecuación general de la fluidostática ∂p =0 ∂y

→

p = p(x, z)

(2.32)

∂p − ρa0 = 0 ∂x ∂p − − ρg = 0 ∂z

→

p + ρa0 x = C1 (z) + cte

(2.33)

→

p + ρgz = C2 (x) + cte

(2.34)

− −

de donde se obtiene p + ρ(gz + a0 x) = cte

(2.35)

Por tanto, las isobaras p = cte son en este caso planos, dados por la ecuación impl´ıcita gz + a0 x = cte, que están inclinados un a´ ngulo α = arctg(a0 /g) respecto a la horizontal. L´ıquido contenido en un recipiente cil´ındrico que gira con velocidad angular constante y sometido a la acción de la gravedad En este caso consideramos el recipiente cil´ındrico cerrado de la figura 2.6. Supondremos que el recipiente, de radio R, está parcialmente lleno de l´ıquido hasta una altura H0 , estando el resto del volumen ocupado por un gas. Se trata de estudiar la distribución de presiones que aparece en presencia de la gravedad cuando el depósito se pone a girar alrededor de su eje de simetr´ıa con velocidad angular constante Ω. Para la descripción del problema conviene utilizar un sistema de referencia no inercial girando con el depósito, respecto al cual los fluidos se encuentran en reposo. Elegimos arbitrariamente el origen del sistema de referencia en el punto de la entrefase agua-aire situado en el eje ¯ = Ω¯ de giro, con el eje z orientado en la dirección de la vertical local, de manera que Ω ez . Conviene observar que la posición del origen del sistema de referencia es, en principio, desconocida y deberá obtenerse como parte de la solución del problema. En dicho sistema de referencia, la resultante de las fuerzas másicas f¯m incluye tanto la gravedad −g¯ ez como la fuerza centr´ıfuga de inercia e¯x e¯y e¯z ¯ ∧ (Ω ¯ ∧ x¯) = −Ω¯ ex + Ωx¯ ey ) −Ω ez ∧ 0 0 Ω = −Ω¯ ez ∧ (−Ωy¯ x y z e¯x e¯y e¯z 0 −Ω = Ω2 (x¯ ex + y¯ ey ) = Ω2 r¯ er (2.36) = 0 −Ωy Ωx z donde r es la distancia del punto considerado al eje de giro y e¯r es el vector unitario en dirección radial, como se indica en la figura 2.6. La Ec. (2.36) muestra que la fuerza centr´ıfuga tiene dirección radial y crece linealmente con la distancia r al eje de giro. As´ı pues, la resultante de las fuerzas másicas en un punto genérico del l´ıquido depende ahora de la posición del punto considerado. Por ejemplo, a lo largo del eje de giro, r = 0, el término de fuerza centr´ıfuga se anula y el vector de fuerzas másicas se reduce a la aceleración de la gravedad, luego las isobaras son localmente horizontales. Por el contrario, si consideramos puntos a distancias crecientes del eje, la fuerza centr´ıfuga aumenta con r y con ella cambia la fuerza másica neta aplicada sobre cada punto, tanto en dirección como en módulo.

21

´ DE PRESIONES EN UN FLUIDO EN REPOSO 2.4. DISTRIBUCION ¯ = Ωk¯ Ω 6

pa

gas

g¯ ?

6

6

F (r) ?

-

z 6 6

0

H0

?

-

−gk¯

r

Ω2 r¯ er

s

f¯m

-

H l´ıquido

?

?

?

(a)

f¯m

?U

f¯m

(b)

Figura 2.6: Recipiente cil´ındrico parcialmente lleno de un l´ıquido de densidad ρ, con el resto del volu¯ = Ω¯ men ocupado por un gas ideal: (a) en reposo; (b) girando con velocidad Ω ez alrededor del eje del cilindro. Podemos anticipar, por tanto, que las isobaras serán superficies de revolución que formarán un a´ ngulo creciente con la horizontal a medida que nos alejemos del eje de giro, y con pendiente nula en el propio eje. En efecto, si integramos la ecuación fundamental de la fluidostática ∂p + ρΩ2 x = 0 ∂x ∂p + ρΩ2 y = 0 − ∂y ∂p − − ρg = 0 ∂z

−

obtenemos

→ → →

ρΩ2 x2 = C1 (y, z) + cte 2 ρΩ2 y 2 = C2 (x, z) + cte p− 2 p−

p + ρgz = C3 (x, y) + cte

Ω2 r 2 p + ρ gz − = cte 2

(2.37) (2.38) (2.39)

(2.40)

donde r = (x2 + y 2)1/2 es la distancia al eje del cilindro. Por tanto, las isobaras p = cte son, en este caso, paraboloides de revolución de la forma z − Ω2 r 2 /(2g) = cte. Para evaluar el valor de la constante de integración que aparece en (2.40) particularizamos el lado izquierdo de la ecuación en el origen del sistema de referencia, r = z = 0, donde la presión debe ser la presión atmosférica, pa , lo que permite escribir para la fase l´ıquida Ω2 r 2 p = pa − ρg z − . (2.41) 2g 22

´ ´ ´ 2.5. FLUIDOSTATICA DE LIQUIDOS: APLICACIONES A LA MEDIDA DE PRESION A lo largo de la superficie de separación entre los dos fluidos, zs = F (r), la presión ha de ser igual en el l´ıquido y el gas, con lo que se debe verificar F (r) = Ω2 r 2 /(2g). Nótese que la expresión que representa la forma de la entrefase l´ıquido-gas coincide con la de las isobaras, pues la entrefase l´ıquido-gas se encuentra a presión constante, p = pa . Tal y como puede verse, la forma de ficha entrefase resulta ser independiente de los valores de ρ y pa . Finalmente, conocida la forma de la entrefase l´ıquido-gas estamos en disposición de calcular la posición del origen del sistema de referencia, cuya elevación H sobre el fondo del depósito se puede calcular imponiendo la conservación del volumen de l´ıquido entre la condición de reposo (a) y la condición de giro (b) indicadas en la figura 2.6 R 2 2 πR H0 = πR H + 2πrF (r)dr (2.42) 0

La solución del problema queda as´ı completamente determinada. Se deja al lector calcular la velocidad de giro a la cual la entrefase alcanza el borde del vaso si la altura de este es Hv . ¿Qué ocurrir´ıa a velocidades de giro mayores?

2.5 Fluidostática de l´ıquidos: Aplicaciones a la medida de presión 2.5.1 El barómetro de mercurio La aplicación práctica más sencilla de la ecuación general de la hidrostática es el barómetro de mercurio, un instrumento que sirve para medir la presión atmosférica. Se puede construir un barómetro llenando con mercurio un tubo cerrado por uno de sus extremos, dándole la vuelta y sumergiendo el extremo abierto en un recipiente lleno de mercurio, como se indica en la figura 2.7. Esto produce un vac´ıo en la parte superior del tubo, dado que la presión de vapor del mercurio a la temperatura ambiente es muy pequeña (pvap,Hg = 0,16 Pa a 20 o C). Al estar la superficie superior del mercurio a presión nula, la presión atmosférica fuerza a la columna de mercurio a elevarse hasta una altura h 760 mm, de modo que el peso de la columna de l´ıquido compensa exactamente el efecto de la presión atmosférica. La ecuación general de la fluidostatica aplicada al mercurio toma la forma p + ρHg gz = C ≡ p2 + ρHg gz2 = pvap,Hg + ρHg gh

(2.43)

donde ρHg = 13545 kg/m3 es la densidad del mercurio, g = 9,81 m/s2 la aceleración de la gravedad, y la constante de integración se ha evaluado en la superficie libre dentro del tubo (punto 2), donde p2 = pvap,Hg es la presión de vapor del mercurio y z2 = h la altura de la columna de l´ıquido. Particularizando ahora el lado izquierdo de (2.43) en la superficie libre del recipiente (punto 1) se obtiene una expresión expl´ıcita para la presión atmosférica p1 + ρHg gz1 = pvap,Hg + ρHg gh

→

pa ρHg gh 101325 Pa = 1 atm

(2.44)

donde hemos sustituido p1 = pa , z1 = 0 y hemos despreciado la contribución de la presión de vapor del mercurio, por ser mucho menor que pa . En los barómetros se utiliza el mercurio por ser el l´ıquido común más denso que existe; un barómetro de agua requerir´ıa una columna de altura pa = 10,3 m (2.45) hagua ρagua g 23

´ ´ ´ 2.5. FLUIDOSTATICA DE LIQUIDOS: APLICACIONES A LA MEDIDA DE PRESION vac´ıo p2 , z2

6

h

?

p1 , z 1

z pa

6

Hg

Figura 2.7: Representación esquemática de un barómetro de mercurio. En 1643 el f´ısico y matemático italiano Evangelista Torricelli descubrió el principio del barómetro, por el que pasó a la posteridad, demostrando as´ı la existencia de la presión atmosférica. Este principio fue confirmado posteriormente por Pascal realizando mediciones a distintas alturas. Como hemos visto, el principio de operación del barómetro de mercurio establece que el peso de una columna de mercurio de h = 760 mm es el mismo que el de la columna de aire situada en la vertical de un cierto punto a nivel del mar. Esto permite estimar la masa total del aire contenido en la atmósfera como la masa de una delgada cáscara esférica de mercurio que cubriera toda la superficie terrestre. Conocido el radio de la Tierra, R⊕ = 6371 km, la masa total de la atmósfera calculada mediante este método aproximado ser´ıa 2 matm = mHg = ρHg 4πR⊕ h = 13600 · 4 · π · (6371 · 103 )2 · 0,76 = 5,27 · 1018 kg

(2.46)

En realidad, la presencia de tierra firme sobre las plataformas continentales resta volumen a la atmósfera, cuya masa real es en consecuencia algo menor, alrededor de 5,15 · 1018 kg. Conviene hacer notar que esta masa constituye alrededor de 1/275 veces la masa total de los océanos, o una millonésima parte de la masa de la tierra.

2.5.2 El manómetro en U abierto Un manómetro es un instrumento de medición que sirve para medir la presión de un fluido contenido en un recipiente cerrado. Los manómetros basados en columna l´ıquida emplean un l´ıquido manométrico, generalmente mercurio, que llena parcialmente un tubo en forma de U como se observa en la figura 2.8. Cuando uno de los extremos se conecta a una cámara presurizada, el mercurio se eleva en el tubo abierto hasta que se alcanza el equilibrio. La diferencia h entre los dos niveles de mercurio es una medida de la presión manométrica: la diferencia entre la presión absoluta en la cámara y la presión atmosférica en el extremo abierto. La ecuación general de la fluidostática aplicada al fluido contenido en la cámara, A, y al fluido manométrico, B, toma la forma p + ρA gz = CA ≡ p1 + ρA gz1 p + ρB gz = CB ≡ pa + ρB gz2

(2.47) (2.48)

donde la constante de integración del fluido B se ha evaluado en la superficie libre del tubo abierto a la atmósfera, donde p = p2 ≡ pa y z = z2 , y la constante del fluido A se ha evaluado 24

´ ´ ´ 2.5. FLUIDOSTATICA DE LIQUIDOS: APLICACIONES A LA MEDIDA DE PRESION pa p2 , z 2

p0 , z 0

6

h 0

A ?

p1 , z 1 z

B

6

Figura 2.8: Representación esquemática de un manómetro en U abierto. en la entrefase A-B, donde p = p1 (desconocida) y z = z1 . Particularizando (2.48) en el punto 1 obtenemos la presión en la entrefase p1 = pa + ρB g(z2 − z1 ) = pa + ρB gh

(2.49)

y utilizando este valor en (2.47) podemos determinar finalmente la presión en el interior de la cámara p0 = pa + ρB gh + ρA g(z1 − z0 ) (2.50) Conviene hacer notar que en una entrefase plana entre dos fluidos en reposo el equilibrio de fuerzas aplicado a un elemento diferencial de la entrefase implica que las presiones a ambos lados de la misma deben ser iguales. Por este motivo hemos podido evaluar p1 utilizando (2.48) y a continuación utilizar este valor en (2.47). La Ec. (2.50) admite una simplificación importante cuando el fluido A se trata de un gas. Es este caso la densidad del fluido A es muy pequeña comparada con la del fluido B, ρA ρB , y siempre que z1 − z0 sea comparable a h podremos despreciar el término ρA g(z1 − z0 ) debido a la diferencia de alturas entre el punto 1 y el depósito. En este caso, la presión en el depósito vendrá dada por p0 p1 = pa + ρB gh (A es un gas) (2.51)

2.5.3 El manómetro diferencial El manómetro diferencial es un instrumento de medición que permite medir la diferencia de presión entre dos puntos I y II aguas arriba y aguas abajo de un dispositivo de flujo situado en un conducto por el que fluye un cierto fluido de trabajo, al que llamaremos fluido A. Dicho dispositivo de flujo puede ser de cualquier tipo: un filtro, una válvula, un estrechamiento, un difusor, un codo, una bomba, u otros. Al igual que el manómetro en U abierto, el manómetro diferencial emplea un l´ıquido manométrico, al que llamaremos fluido B, que llena parcialmente un tubo en forma de U. Como ilustra la figura 2.9, uno de los extremos del tubo se conecta a la sección I aguas arriba del dispositivo de flujo y el otro a la sección II aguas abajo. Como consecuencia de la diferencia de presión entre I y II, el fluido manométrico se eleva en el tubo 25

´ ´ ´ 2.5. FLUIDOSTATICA DE LIQUIDOS: APLICACIONES A LA MEDIDA DE PRESION de la derecha hasta que se alcanza el equilibrio. En el equilibrio, la diferencia h entre los niveles de mercurio en las dos ramas del manómetro es una medida de la diferencia de presión entre ambos puntos. I

-

II

dispositivo de flujo p2 , z 2

A

A 6

h ?

p1 , z 1 z

-

B

6

Figura 2.9: Representación esquemática de un manómetro en U diferencial. La ecuación general de la fluidostática aplicada al fluido A en reposo contenido en las ramas izquierda y derecha del manómetro toma la forma p + ρA gz = CA1 ≡ p1 + ρA gz1 p + ρA gz = CA2 ≡ p2 + ρA gz2

(A rama izquierda) (A rama derecha)

(2.52) (2.53)

(B)

(2.54)

mientras que para el fluido manométrico tenemos p + ρB gz = CB ≡ p2 + ρB gz2

donde las constantes se han evaluado en las entrefases A-B izquierda, Ec. (2.52), y derecha, Ecs. (2.53) y (2.54). Restando ahora la Ec. (2.52) particularizada en I de la Ec. (2.53) particularizada en II pI +ρA gzI = p1 + ρA gz1

− pII +ρA gzII = p2 + ρA gz2 ↓ (pI + ρA gzI ) − (pII + ρA gzII ) = (p1 − p2 ) + ρA g(z1 − z2 )

(2.55)

y utilizando la Ec. (2.54) particularizada en 1 para expresar la diferencia de presiones p1 − p2 en la forma p1 − p2 = ρB g(z2 − z1 ) (2.56) se obtiene finalmente (pI + ρA gzI ) − (pII + ρA gzII ) = (ρB − ρA )g(z2 − z1 ) = (ρB − ρA )gh

(2.57)

ecuación que liga las presiones y alturas en las secciones I y II aguas arriba y aguas abajo del dispositivo de flujo con la diferencia de densidad entre el fluido manométrico y el fluido de 26

´ ´ ´ 2.6. FLUIDOSTATICA DE GASES: ATMOSFERA ESTANDAR trabajo, ρB −ρA , y la diferencia h entre los niveles de mercurio en las dos ramas del manómetro. Obsérvese que, de acuerdo con la Ec. (2.57), la sensibilidad del manómetro será tanto mayor cuanto menor sea la diferencia ρB − ρA entre la densidad del fluido manométrico y el fluido de trabajo. La ecuación anterior puede simplificarse aún más en dos casos de interés práctico. Si el conducto es horizontal tenemos zI = zII y la Ec. (2.57) se reduce a pI − pII = (ρB − ρA )gh (conducto horizontal)

(2.58)

mientras que si el fluido de trabajo es un gas podemos despreciar todos los términos que contengan la densidad del gas por ser ρA ρB y escribir directamente pI − pII ρB gh (A es un gas)

(2.59)

Nótese que en este u´ ltimo caso la posible diferencia de altura entre los puntos I y II deja de afectar al resultado, pues va multiplicada por ρA g y su efecto resulta por tanto despreciable.

2.5.4 Presión absoluta, manométrica y de vac´ıo La medida de la presión en un fluido puede hacerse relativa a un nivel de presión nula, en cuyo caso se denomina presión absoluta, o relativa a la presión atmosférica local, como ocurre si se utiliza el manómetro abierto, y se habla en este segundo caso de presión manométrica, si la presión local es mayor que la atmosférica, o de presión de vac´ıo, si la presión local es menor que la atmosférica. Es decir, presión absoluta p presión manométrica p = pman = p − pa presión de vac´ıo pvac = pa − p

cuando p > pa cuando p < pa

Insistimos en que la presión manométrica y de vac´ıo están referidas a la presión atmosférica local, que no tiene por que coincidir con la presión atmosférica a nivel del mar en condiciones estándar (1 atm = 101325 Pa). Por ejemplo, si una medida de presión se realiza en un lugar y momento en que la presión atmosférica es de pa = 90000 Pa (porque, por ejemplo, estamos a cierta altura sobre el nivel del mar, o la medida se realiza en un d´ıa de bajas presiones) y se obtiene una medida de p = 120000 Pa, la presión manométrica será en este caso de pman = p − pa = 30000 Pa.

2.6 Fluidostática de gases: Distribución de presiones en la atmósfera estándar La ecuación general de la fluidostática (2.25) aplicada a un gas perfecto en reposo en un sistema de referencia inercial toma la forma p − ∇p + ρ¯ g = −∇p + g¯ = 0, (2.60) Rg T donde se ha utilizado la ecuación de estado de los gases perfectos (p = ρRg T ) para tener en cuenta las variaciones de densidad debidas a los cambios de presión o temperatura. Por ser la 27

´ ´ ´ 2.6. FLUIDOSTATICA DE GASES: ATMOSFERA ESTANDAR gravedad g¯ = −g¯ ez la u´ nica fuerza másica, podemos escribir ∂p ∂p = =0 ∂x ∂y o bien

→

p = p(z)

→

g dp + dz = 0, p Rg T

−

dp p − g = 0, dz Rg T

(2.61)

(2.62)

ecuación que relaciona la variaciones de presión, p, con las variaciones de altura, z, en un gas perfecto sometido a la acción de la gravedad. En la ecuación anterior, la aceleración de la gravedad g y la constante del gas Rg toman valores fijos, mientras que la temperatura podr´ıa, en principio, variar con la altura. As´ı pues, antes de integrar la Ec. (2.62) es preciso especificar la ley T = T (z).

2.6.1 Atmósfera isoterma Si suponemos que la temperatura es constante, T = T0 , como ocurre, por ejemplo, en la atmósfera terrestre cerca de la superficie, podemos integrar la Ec. (2.62) g dp + dz = 0, (2.63) p Rg T0 para obtener ln p +

g z = cte. Rg T0

(2.64)

Particularizando esta ecuación en z = 0, donde supondremos conocido el valor de la presión, p = p0 , obtenemos el valor de la constante (cte = ln p0 ) que, sustituida en (2.64), proporciona la ley para la presión en función de la altura en un gas isotermo g z . (2.65) p = p0 exp − Rg T0 Como puede verse, en un gas isotermo la presión cae exponencialmente con la altura, con una distancia caracter´ıstica de decaimiento Δz ∼ Rg T0 /g ≈ 8,4 km para T0 = 288K.

2.6.2 Atmósfera estándar Aunque cerca de la superficie terrestre la aproximación de atmósfera isoterma resulta apropiada, para determinar correctamente la distribución de presión atmosférica hay que tener en cuenta que la temperatura atmosférica disminuye linealmente desde la superficie hasta una altura de aproximadamente 11000 m (troposfera), se mantiene constante entre los 11000 y los 20000 m (estratosfera), y vuelve a aumentar por encima de los 20000 m. Matemáticamente, la ley que expresa la variación de la temperatura con la altura se puede escribir en la forma T0 − Bz 0 < z < 11000 m, T = (2.66) T1 11000 < z < 20000 m, donde T0 es la temperatura a nivel del mar (z = 0), B es el gradiente térmico en la troposfera, i.e. la velocidad a la que decae la temperatura con la altura, y T1 es la temperatura de la estratosfera. 28

´ ´ ´ 2.6. FLUIDOSTATICA DE GASES: ATMOSFERA ESTANDAR 20 18 16 14

z (km)

12 10 39%

8 6 4

69%

2

84% 94%

0

0

0.2

0.4 0.6 p (atm)

0.8

1 −60

−40

−20 T (ºC)

0

20 0

0.5 1 3 ρ (kg/m )

1.5

Figura 2.10: Distribución de (a) temperatura, (b) presión y (c) densidad en la atmósfera estándar. L´ınea roja: troposfera (0 < z < 11 km), l´ınea azul: estratosfera (11 < z < 20 km).

Los valores de T0 y B var´ıan ligeramente de un d´ıa a otro y de un lugar a otro, pero existe un acuerdo internacional por el que se definen los valores estándar: T0 = 288,16 K y B = 0,00650 K/m ≡ 6,5 K/km, lo que conduce al valor T1 = 288,16 − 6,5 · 11 = 216,66 K ≡ −56,5o C. En la figura 2.10(a) se representa la variación de temperatura con la altura en dicha atmósfera estándar. Introduciendo esta expresión para la variación de la temperatura con la altura en la Ec. (2.62) resulta dp dz g =− (2.67) p Rg T0 − Bz que se puede integrar fácilmente para dar ln p −

g ln(T0 − Bz) = cte Rg B

(2.68)

El valor de la constante de integración se puede obtener particularizando esta expresión a nivel del mar, z = 0, donde la presión atmosférica, p = pa , es conocida. De este modo tenemos cte = ln pa −

g ln T0 Rg B

(2.69)

Finalmente, sustituyendo este valor en (2.68) obtenemos la distribución de presiones en la atmósfera estándar g Bz Rg B 0 < z < 11000 m (2.70a) p = pa 1 − T0 donde z representa la altura sobre el nivel del mar. Por encima de los 11000 m se debe utilizar 29

2.7. FUERZAS Y MOMENTOS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS la Ec. (2.65) escrita en la forma p = pa

B · 11000 1− T 0

R gB g

g exp − (z − 11000) Rg T1

p11 km

11000 < z < 20000 m (2.70b) Las Figs. 2.10(b) y (c) ilustran, respectivamente, la variación de la presión con la altura y la correspondiente variación en la densidad del aire con la altura en la atmósfera estándar, esta u´ ltima calculada utilizando las leyes (2.66) y (2.70) junto con la ley de los gases ideales, ρ = p/(Rg T ). En la figura 2.10(c) se indica el valor de la densidad del aire a cuatro alturas distintas elegidas con fines puramente ilustrativos. La primera l´ınea corresponde a la altura media de Madrid (650 m), la segunda representa la altura del puerto de Navacerrada (1780 m), la tercera la altura del Teide (3718), y la cuarta la del Everest (8848 m). Se observa que la densidad atmosférica disminuye apreciablemente con la altura, de modo que en el techo del mundo la densidad del aire es un 39 % de la densidad atmosférica a nivel del mar. A dicha altura un volumen de aire dado contiene tan sólo un 39 % del ox´ıgeno que contendr´ıa a nivel del mar, lo que puede llegar a provocar la muerte por asfixia en pocas horas.

2.7 Cálculo de fuerzas y momentos sobre superficies sumergidas 2.7.1 Fuerzas sobre superficies planas El diseño de estructuras de contención requiere el cálculo de las fuerzas hidrostáticas sobre las superficies sólidas en contacto con el fluido. Estas fuerzas están relacionadas con el efecto del peso del fluido sobre las superficies que lo contienen. Por ejemplo, el l´ıquido contenido en el depósito de la izquierda de la figura 2.11, con una base plana y horizontal de a´ rea A, ejercerá una fuerza vertical hacia abajo en el fondo del depósito igual a F¯l→fondo = −(pa + ρgh)A¯ ez , donde pa es la presión atmosférica, ρ es la densidad del l´ıquido y h la altura de agua. Si el depósito se inclina y el fondo deja de estar horizontal, como ocurre en el depósito de la derecha, se requerirán cálculos adicionales para determinar las componentes de la fuerza. En particular, si consideramos un l´ıquido de densidad constante sometido a la acción de la gravedad, la Ec. (2.31) nos dice que la presión sobre cualquier superficie sumergida var´ıa linealmente con la profundidad. De acuerdo con la Ec. (2.17), el cálculo de la resultante de las fuerzas de presión sobre superficies planas exige, por tanto, la integración de una función lineal. Como veremos a continuación, la complejidad de este tipo de integrales es m´ınima cuando la forma geométrica de la superficie es sencilla, y se reduce al cálculo de la posición del centro de gravedad de la superficie cuando la forma de esta es más compleja. Fuerzas y momentos sobre una placa plana rectangular vertical Con fines ilustrativos, comenzaremos por calcular la fuerza ejercida por un l´ıquido en reposo sobre una placa plana rectangular, de altura h y anchura b perpendicular al papel, en posición vertical como muestra la figura 2.12. Tomando el origen de z en la base de la placa, la distribución de presiones puede 30

2.7. FUERZAS Y MOMENTOS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS

g¯

pa

?

6

z

n ¯

n ¯

h

6

6

?

A

?

F¯l→fondo = − p(¯ x)¯ ndσ

n F¯l→fondo = −pfondo A¯ = −(pa + ρgh)Ak¯

Figura 2.11: Fuerza ejercida sobre el fondo de un depósito por el l´ıquido contenido en el mismo cuando el fondo está horizontal (izquierda) e inclinado (derecha). Cuando la superficie sobre la que queremos calcular la fuerza no es horizontal, la presión var´ıa de unos puntos a otros y la fuerza se determina mediante una integral extendida a toda la superficie.

escribirse en la forma p + ρgz = p0 + ρgh ≡ cte

→

p(z) = p0 + ρg(h − z)

(2.71)

donde p0 representa la presión en el punto más alto de la placa (z = h). Como se indicó más arriba, la presión crece linealmente con la profundidad desde este valor hasta su valor máximo (p0 + ρgh) en la base de la placa (z = 0). El campo de presiones sobre la placa resulta as´ı de la superposición de una distribución de presión constante, p0 , a la que llamaremos distribución I, y una distribución de presión triangular, ρg(h − z), a la que llamaremos distribuci´ on II. ¯ La fuerza ejercida por el l´ıquido sobre el lado derecho de la placa, F = − p(z)¯ ndσ = F e¯x , vendrá dada por la suma de las resultantes de presión de las distribuciones I y II, h p(z)dσ = [p0 + ρg(h − z)]b dz F = A 0 h h (2.72) p0 b dz + ρg(h − z)b dz = 0

0

ρgh hb = FI + FII = p0 hb + 2 mientras que el momento respecto a la base de la placa (punto 0) se puede expresar en la forma

M0 =

h

h

p0 z b dz + ρg(h − z)zb dz 0 0 2 2 h h z3 hz z − b + ρg b = p0 2 0 2 3 0 h3 h2 h h = p0 b + ρg b = FI + FII 2 6 2 3

p(z)zdσ = A

31

(2.73)

2.7. FUERZAS Y MOMENTOS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS -

6

-

h

p(z)

?

-

-

n ¯

-

-

-

p0

-

6

0

-

x

?

p0

n ¯

-

FI

6

-

zCP

z

dσ

-

F

6

-

n ¯

dσ = bdz

-

-

-

ρgh

-

-

h/2

-

?

-

dσ FII

6

-

h/3

-

?

ρgh

Figura 2.12: Distribución de presión sobre una placa plana rectangular en posición vertical, de altura h y anchura b en la dirección perpendicular al dibujo. Tal y como se ha representado, la distribución general se puede descomponer en una distribución de presión uniforme (I) y una distribución de presión lineal (II), cuyas resultantes, FI = p0 hb y FII = (ρgh/2)hb, actúan en el centro de la placa y a un tercio de la altura de la misma, respectivamente.

¯ 0 = M0 e¯y ). donde el momento se toma positivo en sentido horario (M Una vez calculada la resultante y el momento de las fuerzas de presión resulta sencillo calcular la posición zCP del centro de presiones, definido como el punto de acción de la resultante de las fuerzas de presión. Para ello basta imponer que el momento M0 debe ser igual al momento zCP F de la resultante F respecto al punto 0, es decir M0 = zCP F

→

zCP =

p0 hb h2 + p0 hb +

ρgh hb h3 2 ρgh hb 2

=

1 2

ρgh 1 2p0 3 + ρgh 2p0

+

1

h=

1 2

+ Λ 13 h 1+Λ

(2.74)

donde se observa que zCP /h depende sólo del parámetro Λ = (ρgh/2)/p0, que representa el cociente entre la presión media de la distribución lineal, ρgh/2, y la presión media de la distribución uniforme, p0 , siendo l´ım zCP =

Λ→0

h , 2

l´ım zCP =

Λ→∞

h , 3

(2.75)

De acuerdo con la definición dada en (2.74), las Ecs. (2.72) y (2.73) muestran que la reI sultante de la distribución uniforme actúa en el punto medio de la placa, zCP = h/2, mientras II que la resultante de la distribución lineal actúa a un tercio de la altura de la placa, zCP = h/3. Esto permite explicar el significado f´ısico de los l´ımites Λ → 0 y Λ → ∞: cuando Λ → 0 (ρgh p0 ) las variaciones de presión debidas a la distribución lineal son despreciables frente a la presión uniforme p0 y la distribución de presiones puede aproximarse por el valor constante p0 , cuya resultante actúa en el punto medio de la placa. Lo contrario ocurre cuando Λ → ∞ (ρgh p0 ) en cuyo caso podemos despreciar la presión uniforme p0 frente a las variaciones de presión debidas a la distribución lineal, cuya resultante actúa en este caso en el punto h/3. Nótese que para un fluido dado (ρ) y una compuerta de geometr´ıa dada (h) el valor de Λ sólo puede cambiar debido a las variaciones de la presión p0 en el punto superior de la compuerta. De este modo, para una compuerta situada en la pared de un depósito, al aumentar el nivel de l´ıquido en el depósito aumentará el valor de p0 y por tanto disminuirá el valor de Λ, desplazándose el centro de presiones de la compuerta hacia arriba, sin llegar nunca a superar el punto medio de la placa. 32

2.7. FUERZAS Y MOMENTOS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS Se deja como ejercicio al lector demostrar que para una placa rectangular inclinada un a´ ngulo 0 ≤ θ ≤ π/2 respecto a la horizontal (θ = 0: placa horizontal, θ = π/2: placa vertical) los resultados anteriores se mantienen sin más que cambiar g por g sen θ. Fuerzas y momentos sobre una placa plana sumergida de forma arbitraria En esta sección vamos a generalizar los resultados para el cálculo de fuerzas y momentos sobre placas planas al caso más general posible. La figura 2.13 muestra una placa plana de forma arbitraria sumergida completamente en un l´ıquido. La placa forma un a´ ngulo θ con la horizontal, de forma que su profundidad var´ıa de un punto a otro. De acuerdo con la expresión general para el cálculo de fuerzas sobre superficies sumergidas, la fuerza hidrostática total sobre la cara superior Σ de la placa, de orientación normal n ¯ , viene dada por F¯ = − p(z)¯ n dσ = −F n ¯ (2.76) Σ

cuyo módulo se puede escribir en la forma F¯ = (pa − ρgz) dσ = pa A − ρg z dσ = (pa − ρgzCG )A = pCG A Σ

(2.77)

Σ

utilizando la definición del centro de gravedad de una superficie plana zCG = (1/A) Σ zdσ. En resumen, la fuerza que se ejerce sobre una placa plana de forma arbitraria sumergida en un fluido en reposo de densidad uniforme es igual a la presión que hay en el centro de gravedad, CG, de la superficie, o centroide, multiplicada por el a´ rea de la misma, independientemente de la forma de la placa o del a´ ngulo de inclinación θ. Debido al incremento de la presión con la profundidad, el punto de actuación de la fuerza resultante F no se encuentra en el centroide, sino más abajo, hacia la zona de presiones más elevadas. Su l´ınea de acción pasará por el centro de presiones, CP, de la placa, como se indica en la Figura 2.13. Para calcular la posición del centro de presiones, definimos un sistema de coordenadas (ξ, η) sobre el plano de la placa con origen en el centroide. Para hallar las coordenadas (ξCP , ηCP ) del centro de presiones debemos integrar los momentos de todas las fuerzas elementales p dσ respecto al centro de gravedad e igualar el resultado al momento de la resultante F respecto a ese punto. Por ejemplo, para calcular ηCP , haremos η p dσ = η (pCG − ρgη sin θ) ηdσ = −ρg sin θ η 2 dσ = −ρg sin θIξξ F ηCP = Σ

Σ

(2.78)

donde hemos expresado la presión en función de η utilizando la igualdad p + ρgz = pCG + ρgzCG → p = pCG − ρg(z − zCG ) = pCG − ρgη sin θ (2.79) 2 e Iξξ = σ η dσ > 0 representa el momento de inercia del a´ rea de la placa respecto a su eje central x, calculado en el plano de la placa. Nótese que en (2.78) el término Σ ηpCG dσ se anula por definición de centro de gravedad. Sustituyendo F por su valor, resulta ηCP = −ρg sin θ

Iξξ pCG A

(2.80)

El signo negativo de esta ecuación muestra que la posición del CP está por debajo del centro de gravedad, a una profundidad mayor y, a diferencia de F , s´ı depende del a´ ngulo de inclinación θ. Si ponemos la placa a profundidades mayores, ηCP se acerca al centro de gravedad, ya que todos los factores de la Ec. (2.80) permanecen constantes, excepto pCG , que aumenta. 33

2.7. FUERZAS Y MOMENTOS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS z 6

gas

p = pa θ

l´ıquido F¯ = −pCGA¯ n

?

g¯

Σ n ¯

U

K

CG CP

* η

U ξ

A

Figura 2.13: Superficie plana de forma arbitraria sumergida en un l´ıquido en reposo, indicando la posición del centro de gravedad, CG, de la superficie, o centroide, y del centro de presiones, CP, definido como el punto de actuación de la resultante de las fuerzas de presión (el punto respecto al cual la distribución de presiones da momento nulo). En general, el centro de gravedad y el centro de presiones no coinciden, salvo que la superficie sea horizontal, en cuyo caso la resultante de fuerzas de presión actúa precisamente en el centro de gravedad de la superficie. La determinación de ξCP es completamente análoga y proporciona ξCP = −ρg sin θ

Iξη pCG A

(2.81)

donde ahora Iξη = Σ ξη dσ ≷ 0 es el producto de inercia de la placa calculado en el plano de la placa con respecto a ejes que pasan por el centro de gravedad. Nótese que si Iξη = 0, lo que suele implicar simetr´ıa de la placa respecto al eje η, tenemos ξCP = 0 y el centro de presiones está inmediatamente debajo del centroide, sobre el eje η. Por otro lado, las Ecs. (2.80) y (2.81) permiten concluir que para una superficie horizontal, θ = 0, la posición del CP coincide con la del CG. En muchos casos la presión ambiente pa se desprecia porque actúa en ambos lados de la placa. Por ejemplo, cuando el otro lado de la placa es la cara interior del casco de un barco o la cara seca de una compuerta o presa. En este caso pCG = ρghCG , donde hCG = −ZCG representa la profundidad del centro de gravedad de la placa, y el centro de presiones resulta independiente de la densidad del fluido F = ρg hCG A,

ηCP = −

Iξξ sin θ , hCG A

ξCP = −

Iξη sin θ . hCG A

(2.82)

Pese a la generalidad de las expresiones anteriores, su utilización práctica requiere conocer los valores de los momentos y productos de inercia de las superficies consideradas en cada caso. 34

2.7. FUERZAS Y MOMENTOS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS F¯V F¯f→c

n ¯

F¯f→c

Σh

Σv n ¯

n ¯

¯ W

F¯H

n ¯

Σc Σc

n ¯

F¯c→f = −F¯f→c Figura 2.14: Calculo de la fuerza, F¯f→c , ejercida por un fluido en reposo sobre una superficie curva. Se deja como ejercicio al lector comprobar que la posición del centro de presiones de la placa plana vertical considerada en el apartado anterior, dada por la Ec. (2.74), se puede obtener también utilizando las expresiones generales (2.80) y (2.81).

2.7.2 Fuerza de presión sobre una superficie curva arbitraria La resultante de las fuerzas de presión sobre una superficie curva arbitraria Σc como la que se indica en el lado izquierdo de la figura 2.14 viene dada por la integral extendida a toda la superficie de las fuerzas elementales de presión que actúan sobre cada elemento de a´ rea ¯ p(¯ x)¯ n dσ (2.83) Ff→c = − Σc

donde n ¯ es el vector normal unitario perpendicular a la superficie, que, de acuerdo con la notación habitual, apunta hacia el l´ıquido si queremos calcular la fuerza que el l´ıquido ejerce sobre el sólido. En general, el cálculo de esta integral es complicado. Las fuerzas elementales de presión, por actuar perpendicularmente a la superficie en cada punto, var´ıan en dirección a lo largo de esta, lo que se traduce en que, además de la propia presión, el vector normal n ¯ también var´ıa. No obstante, si la superficie tiene una forma geométrica simple (p.ej., un cilindro, un paraboloide, una sección de esfera, etc.) el cálculo de la integral (2.83) puede abordarse sin demasiados problemas. Veremos a continuación que existe, sin embargo, una forma más sencilla de determinar la resultante de las fuerzas de presión sobre una superficie curva. El método alternativo consiste en establecer el equilibrio de fuerzas para un volumen V de fluido delimitado por una superficie Σ compuesta por la superficie curva en cuestión, Σc , y dos superficies planas, una horizontal, Σh , y otra vertical, Σv , definidas como se muestra en el lado derecho de la figura 2.14. Escribiendo la ecuación fundamental de la fluidostática en forma integral para dicho volumen de fluido tenemos − p(¯ x)¯ ndσ + ρ¯ g dV = 0 (2.84) Σ

V

35

2.8. FUERZAS SOBRE CUERPOS SUMERGIDOS Y FLOTANTES: EL PRINCIPIO DE ´ ARQUIMEDES donde n ¯ representa la normal exterior, que ahora en Σc apunta hacia el sólido. En la ecuación anterior, la integral de volumen representa el peso del fluido contenido en el volumen conside¯ = −W e¯z = −ρV g¯ ez , mientras que la integral de superficie puede descomponerse en rado, W tres contribuciones, correspondientes a la superficies Σc , Σv y Σh . Esto nos permite escribir la ecuación (2.84) en la forma ¯ =0 p(¯ x)¯ ndσ + F¯H + F¯V + W (2.85) − Σc

x)¯ ndσ y F¯V = − Σh p(¯ x)¯ ndσ representan las resultantes de las fuerzas donde F¯H = − Σv p(¯ depresión sobre las superficies vertical y horizontal, respectivamente, mientras que la integral − Σc p(¯ x)¯ ndσ que aparece en (2.85) representa la fuerza que el cuerpo ejerce sobre el fluido, pues en este caso n ¯ apunta hacia el cuerpo. Por la ley de acción y reacción, esta fuerza debe ser igual a la fuerza que el fluido ejerce sobre el cuerpo cambiada de signo, lo que finalmente nos permite escribir ¯ ¯ ¯ Ff→c = −Fc→f = p(¯ x)¯ ndσ = F¯H + F¯V + W (2.86) Σc

El cálculo de la fuerza que sufre la superficie sólida curva Σc queda as´ı reducido al cálculo del ¯ del fluido contenido en el volumen V y de las fuerzas de presión, F¯H y F¯V , que actúan peso W sobre las superficies vertical y horizontal respectivamente, cuya obtención suele resultar mucho más sencilla que el cálculo directo de la integral (2.83). Observando la dirección de las distintas componentes de la fuerza en la Ec. (2.86) podemos concluir que la componente horizontal de la fuerza ejercida sobre la superficie curva es igual a la fuerza F¯H ejercida sobre el a´ rea plana Σv formada por la proyección de Σc sobre un plano ¯ del vertical, mientras que la componente vertical es igual en magnitud y dirección al peso W volumen fluido V más la fuerza F¯V ejercida sobre la superficie plana horizontal Σh .

2.8 Fuerzas sobre cuerpos sumergidos y flotantes: El Principio de Arqu´ımedes El incremento de la presión con la profundidad en un fluido en reposo provoca la aparición de una fuerza neta vertical sobre cualquier objeto sumergido en el fluido. Esta fuerza neta debida a la distribución de presiones hidrostática se denomina fuerza de flotabilidad (o flotación), y se puede escribir en la forma ¯ FF = − p(¯ x)¯ n dσ (2.87) Σ

donde n ¯ denota la normal exterior y la integral se extiende a toda la superficie Σ del cuerpo. El principio de Arqu´ımedes define la magnitud y la dirección de esta fuerza al establecer que un cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza de flotación vertical hacia arriba cuyo módulo es igual al peso del fluido que desaloja. A continuación utilizaremos los conocimientos de fluidostática adquiridos en este cap´ıtulo para demostrar este principio.

2.8.1 Cuerpos sumergidos Consideremos el cuerpo completamente sumergido que se muestra en la figura 2.15a. Para evaluar la fuerza de flotación dada por la Ec. (2.87) podemos aprovechar el hecho de que en 36

2.8. FUERZAS SOBRE CUERPOS SUMERGIDOS Y FLOTANTES: EL PRINCIPIO DE ´ ARQUIMEDES

pa

z

g¯

pa

z

g¯ F¯F

Fluido desalojado V 0

0

Cuerpo

C

x¯0 Σ

Σ x¯C −W e¯z

(a)

(b)

Figura 2.15: Para calcular la resultante de fuerzas y momentos que actúa sobre un cuerpo completamente sumergido en un fluido en reposo (a) resulta conveniente considerar el equilibrio mecánico del volumen de fluido desalojado por el cuerpo (b).

un fluido en reposo la distribución de presiones es exclusivamente función de la posición, por lo que el valor de la presión sobre la superficie que delimita el objeto no está afectada por la presencia del objeto. Supongamos por tanto que el objeto no estuviera presente, de modo que el volumen ocupado por el objeto pasara a estar lleno de fluido como muestra la figura 2.15b. A este volumen de fluido le llamaremos volumen desalojado, y supondremos que tiene la misma distribución vertical de densidades que el fluido circundante. En estas condiciones, la distribución de presión sobre la superficie del fluido desalojado será idéntica a la que experimentar´ıa el objeto, lo que nos permite concluir que la fuerza de flotación que sufre el objeto vendrá dada por la resultante de las fuerzas de presión que actúa sobre el volumen desalojado. Aplicando la ecuación fundamental de la fluidostática al volumen de fluido desalojado ¯ =0 F¯ = − p(¯ x)¯ ndσ + ρ¯ g dV = F¯F + W (2.88) Σ V

F¯F

podemos evaluar la resultante de las fuerzas de presión que actúa sobre e´ l y, por tanto, la fuerza de flotación experimentada por el cuerpo ¯ ¯ = W e¯z FF = − p(¯ x)¯ ndσ = − ρ¯ g dV = −W (2.89) Σ

V

¯ = −W e¯z representa el peso del fluido desalojado. Obsérvese que este resultado, que donde W es aplicable independientemente de la distribución de densidades en el fluido, constituye la demostración matemática del principio de Arqu´ımedes: la resultante de las fuerzas de presión sobre un cuerpo sumergido en reposo (fuerza de flotación), es una fuerza vertical hacia arriba cuyo módulo es igual al peso del fluido desalojado. El mismo resultado puede obtenerse utilizando el teorema de Gauss para expresar la integral de superficie que aparece en 37

2.8. FUERZAS SOBRE CUERPOS SUMERGIDOS Y FLOTANTES: EL PRINCIPIO DE ´ ARQUIMEDES (2.89) como una integral de volumen del gradiente de presión (2.27) p(¯ x)¯ ndσ = ∇pdV = ρ¯ g dV Σ

V

(2.90)

V

donde en la u´ ltima igualdad se ha utilizado la ecuación fundamental de la fluidostática (2.27) para expresar el gradiente de presión ∇p como el producto ρ¯ g. Para calcular el punto de aplicación de la fuerza de flotación, al que se denomina centro de flotación C, establecemos el equilibrio de momentos para el volumen de fluido desalojado respecto a un punto 0 arbitrario ¯ M0 = − (¯ x − x¯0 ) ∧ p(¯ x)¯ ndσ + (¯ x − x¯0 ) ∧ ρ¯ g dV Σ V

¯ 0,F M

¯ = 0 (2.91) ¯ 0,F + (¯ xC − x¯0 ) ∧ W =M ¯ 0,F es el momento total que las fuerzas de presión que actúan sobre el cuerpo ejercen donde M respecto al punto 0 y x¯C denota la posición del centro de gravedad del fluido desalojado2 . Usando (2.89) y (2.91), el momento total puede escribirse en la forma ¯ 0,F = −(¯ ¯ = (¯ M xC − x¯0 ) ∧ W xC − x¯0 ) ∧ F¯F

(2.92)

lo que muestra que el punto de aplicación de la fuerza de flotación es precisamente el centro de gravedad del fluido desalojado x¯C . En efecto, tomando x¯0 ≡ x¯C en (2.92) se comprueba que el momento total de las fuerzas de presión respecto a este punto es idénticamente nulo. En el caso particular de un fluido de densidad ρ uniforme, el peso del fluido desalojado se puede expresar como el producto ρV g, lo que nos permite escribir F¯F = ρgV e¯z .

(2.93)

En este caso el centro de flotación C se sitúa en el centro de volumen del cuerpo (o centroide), que sólo coincide con el centro de gravedad si el cuerpo tiene densidad uniforme. Si por el contrario el cuerpo tiene densidad variable el centro de flotación no tiene por qué coincidir con el centro de gravedad del cuerpo, lo que puede dar lugar a la aparición de momentos desequilibrados si el peso del cuerpo y la fuerza de flotación no tienen la misma l´ınea de acción (véanse, por ejemplo, la figura 2.17 y la discusión de la sección 2.9.2 sobre estabilidad de cuerpos sumergidos). La Ec. (2.93) se puede generalizar al caso de fluidos estratificados sumando las contribuciones de cada capa de fluido de densidad ρi constante desalojada por el cuerpo ρi gVi e¯z (2.94) F¯F = i 2

Nótese que la linealidad de los operadores integral y producto vectorial permite escribir el momento de las fuerzas másicas en (2.91) como sigue ¯ (¯ x−x ¯0 ) ∧ ρ¯ gdV = (¯ x−x ¯0 )ρdV ∧ g¯ = (¯ x − x¯0 )dM ∧ g¯ = (¯ xC − x¯0 )M ∧ g¯ = (¯ xC − x ¯0 ) ∧ W V

V

V

dondeρdV ≡ dM representa un diferencial de masa, x¯C = V x ¯dM /M la posición del centro de gravedad, ¯ = M g¯ el peso, todos ellos del fluido desalojado. M = V dM la masa y W

38

2.8. FUERZAS SOBRE CUERPOS SUMERGIDOS Y FLOTANTES: EL PRINCIPIO DE ´ ARQUIMEDES 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

60

g¯

60 50

50

¯ cuerpo W

40

40

CG

30

30

C

20

20

F¯F

10 0 0

100

10

20

30

40

10

50

60

70

80

90

0 100

Figura 2.16: En un cuerpo flotante en equilibrio la fuerza de flotación F¯F no sólo equilibra el peso

¯ cuerpo , sino que debe estar aplicada en la misma l´ınea vertical. El volumen de l´ıquido del cuerpo W desplazado corresponde a la región sombreada.

donde Vi representa el volumen desalojado de fluido i. Cada capa desalojada tendrá su propio centro de volumen y habrá que sumar los momentos de las distintas fuerzas para encontrar el centro de flotación del cuerpo. Como la densidad de los l´ıquidos es relativamente alta, resulta fácil identificar sus fuerzas de flotación. Los gases también ejercen fuerzas análogas en los cuerpos sumergidos en ellos, solo que de una magnitud mucho menor. Por ejemplo, los seres humanos tienen una densidad media de 950 kg/m3. El volumen de una persona de 80 kg de peso es, por tanto, de 0,084 m3 . Sin embargo, cuando medimos el peso de una persona estamos despreciando la flotación producida por el aire ambiente. En condiciones normales, la densidad del aire es de 1,2 kg/m3 y, por tanto, la fuerza de flotación es de 1,2 kg/m3 · 0,084 m3 0,1 kg. Si se midiera el peso de una persona en el vac´ıo, en ausencia de fuerza de flotación, el peso aumentar´ıa en 0,1 kg. En el caso de globos y dirigibles, la fuerza de flotación no sólo no es despreciable, sino que es el factor dominante en el diseño. Muchos otros fenómenos, como la convección natural del calor y las corrientes verticales en los océanos, dependen también de fuerzas de flotación que, pese a ser muy pequeñas en valor absoluto, juegan un papel muy importante.

2.8.2 Cuerpos flotantes Los resultados del apartado anterior valen también para cuerpos parcialmente sumergidos (o flotantes). Los cuerpos flotantes constituyen un caso algo especial, ya que sólo una fracción de su volumen total está sumergida, permaneciendo el resto por encima de la superficie libre. En este caso el volumen desalojado no coincide con el volumen del cuerpo, como se ilustra en la figura 2.16, donde el volumen desalojado aparece sombreado, por lo que la Ec. (2.93) se modifica ligeramente y queda F¯F = ρgVdesalojado e¯z . (2.95) Nótese que en (2.95) se ha despreciado la fuerza de flotación debida al aire desplazado, cuya contribución a la fuerza total será pequeña, aunque deber´ıa incluirse tal y como se indica en la Ec. (2.94) si quisiéramos ser rigurosos. Como se discutirá en la sección 2.9 la fuerza de flotación no sólo equilibra el peso, sino que debe estar aplicada en la misma l´ınea vertical, ya que en equilibrio estático no puede haber momentos desequilibrados. 39

2.9. EQUILIBRIO Y ESTABILIDAD DE CUERPOS SUMERGIDOS Y FLOTANTES

2.9 Equilibrio y estabilidad de cuerpos sumergidos y flotantes 2.9.1 Equilibrio y estabilidad de traslación Cuerpos sumergidos De acuerdo con el principio de Arqu´ımedes, la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo de volumen V y masa M sumergido en un fluido en reposo de densidad ρ viene dada por F¯ = ρgV e¯z − ρs V g¯ ez = (ρ − ρs )gV e¯z (2.96) donde ρs = M/V representa la densidad media del cuerpo. En el caso de un cuerpo libre, el cuerpo se mantendrá en reposo cuando la fuerza de flotación sea exactamente igual al peso, ρs = ρ. En estos casos el cuerpo tendrá flotabilidad neutra y permanecerá en el punto en el que se le sumerja. Si por el contrario la fuerza de flotación es mayor que el peso (flotabilidad positiva, ρs < ρ) el objeto subirá hasta alcanzar la superficie, mientras que si es menor (flotabilidad negativa, ρs > ρ) el objeto se hundirá, deteniéndose solo al alcanzar el fondo. En mecánica de fluidos experimental se suelen utilizar pequeñas part´ıculas con flotabilidad neutra para visualizar los flujos, mientras que en investigación oceanográfica se emplean boyas de flotabilidad neutra que se arrojan por el costado del barco y se hunden hasta que encuentra agua de su misma densidad, con lo que la boya se desplaza y sus movimientos permiten seguir las corrientes oceánicas. Finalmente, un submarino puede adquirir flotabilidad negativa, neutra o positiva al bombear agua hacia dentro o hacia fuera de los tanques de lastre. Cuerpos flotantes En un cuerpo flotante (ρs < ρ) la fuerza de flotación debe equilibrar exactamente el peso del cuerpo F¯ = ρgVdesalojado e¯z − ρs V g¯ ez = (ρVdesalojado − ρs V )g e¯z = 0 (2.97) lo que conduce a la siguiente igualdad Vdesalojado ρs = <1 V ρ

(2.98)

que proporciona la fracción del volumen del cuerpo que queda sumergido en función del cociente entre la densidad media del cuerpo y la densidad del fluido. Un ejemplo de cuerpos flotantes de forma irregular son los icebergs. Estas masas de hielo, formadas por agua dulce congelada procedente de los glaciares, tienen una densidad media de unos 900 kg/m3. De esta forma, cuando un iceberg está flotando sobre el agua del mar, cuya densidad media es de 1025 kg/m3 , aproximadamente una fracción 900/1025 = 0,878 de su volumen queda sumergida, por lo que solo un 12,2 % del volumen total sobresale por encima de la superficie.

2.9.2 Equilibrio y estabilidad de rotación El equilibrio de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo sumergido total o parcialmente no es la u´ nica condición que se debe cumplir para que el cuerpo esté en reposo. También es necesario 40

2.9. EQUILIBRIO Y ESTABILIDAD DE CUERPOS SUMERGIDOS Y FLOTANTES F¯F

F¯F

C

C

(b)

CG

CG

Momento restaurador

¯ W

¯ W F¯F

F¯F

CG

CG

C

C

(a)

Momento de vuelco ¯ W

¯ W

Equilibrio inicial

Equilibrio perturbado

Figura 2.17: Cuando el centro de gravedad del cuerpo se encuentra por debajo del centro de flotación (a) cualquier perturbación de la posición de equilibrio produce un momento restaurador que devuelve al cuerpo a su posición inicial, luego el equilibrio es estable. Si por el contrario el centro de gravedad queda por encima del centro de flotación (a) cualquier perturbación conduce a la aparición de un momento de vuelco, luego el equilibrio es inestable.

considerar los momentos que se ejercen sobre el cuerpo, pues un momento no equilibrado puede originar un momento de rotación, o vuelco, que puede resultar dif´ıcil de compensar. Aunque el tratamiento riguroso de la estabilidad de los cuerpos sumergidos y flotantes excede los objetivos de este texto, una condición necesaria para que un objeto inmerso en un fluido esté en reposo es que las resultantes de las fuerzas y los momentos que actúan sobre e´ l sean ambas cero. En este caso se dice que el cuerpo se encuentra en un estado de equilibrio.

41

2.9. EQUILIBRIO Y ESTABILIDAD DE CUERPOS SUMERGIDOS Y FLOTANTES Cuerpos sumergidos La determinación de la estabilidad de un cuerpo sumergido con flotabilidad neutra (ρs = ρ) se puede discutir examinando las posiciones relativas del centro de gravedad CG y del centro de flotación C. Como advertimos en la sección 2.8.1, si la densidad del cuerpo no es uniforme la posición de ambos puntos no tiene por que coincidir, lo que puede dar lugar a la aparición de momentos desequilibrados si el peso del cuerpo y la fuerza de flotación no tienen la misma l´ınea de acción. Consideremos las dos situaciones que se muestran en la figura 2.17. En ambos casos existe equilibrio, pero debido a la asimetr´ıa en la distribución de la masa del cuerpo en la figura 2.17a el centro de gravedad se sitúa por debajo del centro de flotación. En esta situación, ante cualquier perturbación de la posición de equilibrio aparece un momento restaurador que devuelve al cuerpo a su posición inicial, por lo que la posición de equilibrio es estable. Un cuerpo sumergido puede encontrarse en una posición de equilibrio inestable si, por el contrario, el centro de gravedad queda por encima del centro de flotación, como ocurre en la Figura 2.17b. En este caso, la más m´ınima perturbación hará aparecer un momento de vuelco que apartará al cuerpo de su equilibrio inicial y le llevará a buscar otra posición de equilibrio estable. Los ingenieros deben cuidar sus diseños para impedir que se produzca inestabilidad de la flotación. La u´ nica forma de asegurar que una posición de equilibrio es estable consiste en perturbar ligeramente la posición de equilibrio del cuerpo y comprobar si aparece un momento restaurador que lo lleve a su posición de equilibrio original. Si esto ocurre, la posición del cuerpo es estable; en caso contrario, es instable. Cuerpos flotantes El estudio de la estabilidad de cuerpos flotantes con forma arbitraria resulta dif´ıcil incluso para los expertos y queda fuera de los objetivos de este curso. De hecho, este tipo de cálculos constituye un arte espec´ıfico de los ingenieros navales. Ante una pequeña perturbación, en los cuerpos flotantes la posición del centro de flotación puede cambiar de un modo apreciable, mientras que la posición del centro de gravedad permanece siempre fija. De este modo, los cuerpos flotantes pueden presentar una posición de equilibrio estable incluso con su centro de gravedad ligeramente por encima del centro de flotación. En este caso la estabilidad depende de la magnitud y dirección del cambio en la posición del centro de flotación, y si este desplazamiento origina un momento restaurador o de vuelco. Los cuerpos flotantes pueden incluso tener dos o más posiciones estables. Por ejemplo, un barco puede flotar en su posición normal o invertido. Incluso las formas más simples, como un cubo de densidad uniforme, presentan numerosas orientaciones de flotación estables, que pueden ser no simétricas; por ejemplo, los cilindros circulares homogéneos pueden flotar con el eje de simetr´ıa inclinado con respecto a la vertical. La inestabilidad de flotación es común en la naturaleza. Los peces nadan generalmente manteniendo su plano de simetr´ıa en posición vertical. Cuando mueren, esta posición es inestable por lo que acaban flotando con su plano de simetr´ıa horizontal. Los icebergs gigantes pueden girar sobre s´ı mismos al cambiar sus condiciones de estabilidad cuando se derrite parcialmente la parte sumergida. Este espectacular fenómeno se ha presenciado en muy pocas ocasiones.

42

2.10. PROBLEMAS RESUELTOS

2.10 Problemas resueltos 2.10.1 tubo-U El tubo en U de la figura 2.18, de diámetro interior d y abierto a la atmósfera, está inicialmente lleno de mercurio (densidad ρHg ) hasta el nivel ho según se indica en la figura 2.18a. Si se vierte un volumen V de agua (densidad ρagua ) en la rama derecha del tubo, ¿cuál será la altura del mercurio en cada rama del tubo en la figura 2.18b, cuando se estabilicen los fluidos? aire, pa

aire, pa

d

ha agua, ρagua hi

ho

hd mercurio, ρHg

mercurio, ρHg (a)

(b)

Figura 2.18: El tubo en U contiene inicialmente mercurio. Se vierte en la rama derecha un volumen V de agua. Inicialmente, en la situación de la figura 2.18a, el mercurio alcanza un nivel ho en ambas ramas. Por conservación del volumen de mercurio, en la situación de la figura 2.18b tenemos que hi + hd = 2ho (2.99) La altura de la columna de agua ha viene determinada por el volumen V de agua vertido y el a´ rea de la sección transversal del tubo A = 0,25πd2 : 4V V = 2 ha = (2.100) A πd Por otro lado, los fluidos se estabilizarán cuando la presión del mercurio en ambas ramas sea la misma. As´ı, escribimos las expresiones para la presión en el fondo del tubo en U calculada en ambas ramas y las igualamos: pa + ρHg ghi = pa + ρagua gha + ρHg ghd

(2.101)

ρHg (hi − hd ) = ρagua ha

(2.102)

Las ecuaciones (2.99) y (2.102), que recopilamos a continuación, forman un sistema que permite determinar hi y hd : hi + hd = 2ho ρHg (hi − hd ) = ρagua ha

43

hi = ho +

1 ρagua h 2 ρHg a

hd = ho −

1 ρagua h 2 ρHg a

(2.103)


2.10.2 deposito-tres-fluidos El depósito de la figura 2.19, de altura hdep contiene agua (densidad ρagua ) hasta un nivel h1 , una capa de aceite (densidad ρaceite ) hasta un nivel h2 y una cámara de aire a presión po uniforme. A ras del fondo del depósito hay conectado un tubo piezométrico en el que el agua alcanza un nivel H. aire, pa B aire, po

hdep

g¯

aceite

h2

H

agua h1

z y

A

x

Figura 2.19: Depósito con dos fluidos y una cámara de aire, con un tubo piezométrico conectado a ras del fondo. Se pide determinar el nivel H en el piezómetro en función de la presión po y de las densidades y alturas de los fluidos en el depósito. Se pide también escribir la expresión para la fuerza y el momento netos que ejercen los fluidos del interior del depósito y el aire del exterior (a presión atmosférica pa ) sobre la pared AB del depósito. La longitud del depósito en la dirección perpendicular al papel es b. Distribución de presiones. La presión en la cámara de aire es po uniforme. En la capa de aceite la presión obedece a p(z) + ρaceite gz = cte con p(z = h2 ) = po , por lo que p(z) + ρaceite gz = po + ρaceite gh2

(2.104)

p(z) = po + ρaceite g(h2 − z)

(2.105)

En particular, en la entrefase aceite-agua, p(z = h1 ) = po + ρaceite g(h2 − h1 ). En el volumen de agua la presión obedece p(z) + ρagua gz = cte con p(z = h1 ) = po + ρaceite g(h2 − h1 ), por lo que p(z) + ρagua gz = po + ρaceite g(h2 − h1 ) + ρagua gh1 (2.106) p(z) = po + ρaceite g(h2 − h1 ) + ρagua g(h1 − z)

(2.107)

En particular, en el fondo del depósito la presión es p(z = 0) = po + ρaceite g(h2 − h1 ) + ρagua gh1

(2.108)

Por otro lado, en el fondo del tubo piezométrico, la presión es p(z = 0) = pa + ρagua gH

44

(2.109)

2.10. PROBLEMAS RESUELTOS Igualando las expresiones (2.108) y (2.109) para la presión en el fondo, po + ρaceite g(h2 − h1 ) + ρagua gh1 = pa + ρagua gH

(2.110)

de donde podemos despejar H: H=

po − pa ρaceite (h2 − h1 ) + h1 + ρagua g ρagua

(2.111)

Recopilamos a continuación la distribución de presiones en el interior del depósito, que se muestra esquemáticamente en la figura 2.20, en h2 ≤ z ≤ hdep , en h1 ≤ z ≤ h2 , en 0 ≤ z ≤ h1 ,

p(z) = po p(z) = po + ρaceite g(h2 − z) p(z) = po + ρaceite g(h2 − h1 ) + ρagua g(h1 − z)

(2.112) (2.113) (2.114)

aire, pa B aire, po

hdep

g¯

aceite

h2

H

agua

z

h1

y

A

x

Figura 2.20: Distribución de presiones a ambos lados de la pared AB del depósito. En la figura se indica con l´ıneas discontinuas la descomposición del perfil de presiones aplicada posteriormente en la expresión (2.119) para el cálculo rápido de la fuerza F¯AB .

Cálculo de la fuerza. Conocida la distribución de presiones, podemos calcular la fuerza que un fluido ejerce sobre cualquier superficie Σ con la siguiente integral: ¯ 0 = − (¯ F¯ = − p(¯ x) n ¯ dσ M x − x¯0 ) ∧ [p(¯ x) n ¯ ] dσ (2.115) Σ

Σ

donde el vector n ¯ es normal al elemento de superficie dσ y se dirige hacia el fluido que ejerce la fuerza. Para calcular la fuerza neta sobre la pared AB, integramos, según (2.115), la distribución de presiones en ambos lados de la pared, mostrada en la figura 2.20, lo que equivale a integrar la

45

2.10. PROBLEMAS RESUELTOS presión manométrica en el lado interior: z=hdep z=hdep ¯ FAB = − pa (−¯ ex ) b dz − p(z) e¯x b dz z=0 z=0 z=hdep = − [p(z) − pa ] e¯x b dz z=0 z=h1 [po − pa + ρaceite g(h2 − h1 ) + ρagua g(h1 − z)] e¯x b dz = − z=0 z=h2 [po − pa + ρaceite g(h2 − z)] e¯x b dz − −

z=h1 z=hdep

[po − pa ] e¯x b dz

(2.116) (2.117)

(2.118)

z=h2

Las integrales (2.118) pueden reagruparse del siguiente modo, que calculamos fácilmente como las resultantes de una distribución uniforme de presiones y dos distribuciones triangulares. La descomposición correspondiente se muestra en la figura 2.20. z=hdep ¯ FAB = − [po − pa ] e¯x b dz z=0 z=h2 ρaceite g(h2 − z)] e¯x b dz − z=0 z=h1 (ρagua − ρaceite )g(h1 − z) e¯x b dz (2.119) − z=0

h2 h1 = − [ (po − pa ) hdep b + ρaceite g h2 b + (ρagua − ρaceite )g h1 b ] e¯x (2.120)

2 2 A A p A CG

pCG

pCG

Recordamos que la magnitud de la fuerza sobre cada superficie plana puede calcularse rápidamente como la presión que hay en el centro de gravedad de la superficie por el a´ rea de la misma. La dirección de la fuerza de presión es siempre normal a la superficie y actúa en compresión. ¯ A de la fuerza F¯AB respecto Cálculo del momento. Calculamos a continuación el momento M del punto A. Sin necesidad siquiera de escribir las integrales que definen el momento, sólo tenemos que recordar que el centro de presiones de una distribución uniforme se localiza en el punto medio, mientras que el centro de presiones de una distribución triangular se localiza a un tercio de la altura desde el punto más bajo. Multiplicamos entonces cada contribución a la fuerza total por la distancia de su centro de presiones al punto A. Asi, 2 2 ¯ A = − [ (po − pa )hdep b hdep + ρaceite g h2 b h2 + (ρagua − ρaceite )g h1 b h1 ] e¯y M

2 3 2 3

2

F

zCP

zCP

F

F

(2.121)

zCP

El momento actúa en sentido antihorario (−¯ ey ).

2.10.3 compuerta-L La compuerta en forma de L, r´ıgida, de la figura 2.21 tiene un lado horizontal de longitud L y un lado vertical de longitud H, su longitud en la dirección perpendicular al papel es b y su 46

2.10. PROBLEMAS RESUELTOS peso es despreciable. La compuerta puede girar, manteniendo la forma de L, al rededor del eje O. Desde la posición indicada en la figura, el giro en el sentido antihorario está impedido por un tope en el extremo A. Se pide calcular la fuerza y el momento netos que el agua y la atmósfera realizan sobre la compuerta. ¿Para qué nivel de agua h, por encima del punto O, se abrirá la compuerta girando en sentido horario? aire, pa

aire, pa

g¯ z

y x

H h L

z O

A

agua, ρ Figura 2.21: Compuerta r´ıgida en forma de L.

Distribución de presiones. Determinamos en primer lugar la distribución de presiones. Utilizamos el sistema de coordenadas cartesianas orientadas según se indica en la figura 2.21 y con origen el en punto O. El aire atmosférico se encuentra a presión pa uniforme; la presión en el agua obedece a p(z) + ρgz = cte. con p(z = h) = pa , por tanto: p(z) + ρgz = pa + ρgh

(2.122)

p(z) = pa + ρg(h − z)

(2.123)

donde ρ es la densidad del agua. El perfil de presiones actuando sobre la compuerta se representa en la figura 2.22, mostrando una distribución neta uniforme en el lado horizontal de la compuerta y un perfil triangular en el lado vertical. aire, pa

aire, pa

agua, ρ Figura 2.22: Distribución de presiones sobre la compuerta.

47

2.10. PROBLEMAS RESUELTOS Cálculo de la fuerza. Calculamos la fuerza F¯ que los fluidos ejercen sobre la compuerta integrando la distribución de presiones sobre la superficie de la compuerta: F¯ = F¯agua→compuerta + F¯aire→compuerta x=L z=h = − p(z = 0)(−¯ ez )b dx − p(z)(−¯ ex )b dz x=0 z=0 x=L z=h − pa e¯z b dx − pa e¯x b dz x=0 z=0 z=h x=L [p(z = 0) − pa ] (−¯ ez ) b dx − [p(z) − pa ] (−¯ ex ) b dz = − x=0 z=0 z=h x=L ρgh(−¯ ez )b dx − ρg(h − z)(−¯ ex )b dz = − x=0

(2.125) (2.126)

z=0

h = ρgh Lb e¯z + ρg hb e¯x

2

pCG

(2.124)

A

(2.127)

A

pCG

Recordamos que la magnitud de la fuerza sobre cada superficie plana puede calcularse rápidamente como la presión que hay en el centro de gravedad de la superficie por el a´ rea de la misma. La dirección de la fuerza de presión es siempre normal a la superficie y actúa en compresión. Cálculo del momento. punto O:

Escribimos las integrales para el cálculo del momento respecto del

¯O = M ¯ O,agua→compuerta + M ¯ O,aire→compuerta M x=L z=h = − x e¯x ∧ [p(z = 0)(−¯ ez )] b dx − z e¯z ∧ [p(z)(−¯ ex )] b dz x=0 z=0 z=h x=L x e¯x ∧ (pa e¯z ) b dx − z e¯z ∧ (pa e¯x ) b dz (2.128) − x=0 z=0 x=L z=h = − x[p(z = 0) − pa ] e¯y b dx − z[p(z) − pa ] (−¯ ey ) b dz (2.129) x=0 z=0 x=L z=h xρghb dx + zρg(h − z)b dz e¯y (2.130) = − x=0 z=0 L h2b h 1 h2 2 + ρg ] e¯y = ρghb (2.131) = [ − ρghLb −L + e¯y

2 2 3 2 3

F xCP

F

zCP

Recordamos que la magnitud del momento puede calcularse directamente como el producto de la fuerza por la distancia del centro de presiones al punto respecto del cual calculamos los momentos. El centro de presiones de una distribución uniforme se localiza en el punto medio, mientras que el centro de presiones de una distribución triangular se localiza a un tercio de la altura desde el punto más bajo. La fuerza de presión en el lado horizontal de la compuerta da un momento en el sentido antihorario, mientras que la fuerza de presión en el lado vertical de la compuerta da un momento en el sentido horario.

48

2.10. PROBLEMAS RESUELTOS Equilibrio de momentos en la compuerta. La condición de equilibrio para la compuerta es: F¯compuerta = 0 (2.132) ¯ O,compuerta = 0 (2.133) M En el equilibrio de fuerzas, interviene la fuerza en el punto de giro O, desconocida, pero que no da momento respecto del punto O. Es, por tanto, el equilibrio de momentos el que podemos usar para resolver el problema. En el instante en que la compuerta vaya a abrirse, la fuerza en el tope A será nula y sobre la compuerta estarán ejerciendo momentos solamente las fuerzas de ¯ O = 0 en (2.131), de presión del agua y el aire atmosférico. As´ı, la compuerta abrirá cuando M donde se obtiene un valor de h en función de L: √ h = 3L (2.134)

2.10.4 compuerta-inclinada La compuerta de la figura 2.23, de longitud L, profundidad b perpendicular al dibujo, y peso W conocidos, retiene un cierto volumen de agua de densidad ρ que alcanza una altura H respecto al suelo: aire, pa

g¯

L H

z agua, ρ

α

x O

W Figura 2.23: Compuerta inclinada que puede girar sobre el eje O. La compuerta puede girar respecto al eje O y en su posición de equilibrio está inclinada formando un a´ ngulo α con la horizontal, tal que arcsen(H/L) < α < π/2. Se pide calcular la fuerza y el momento netos que el agua y el aire atmosférico ejercen sobre la compuerta y determinar el valor del a´ ngulo α en función del resto de parámetros del problema. Distribución de presiones. En el aire atmosférico la presión es pa , uniforme. En el agua la distribución de presiones obedece a p(z) + ρgz = cte con p(z = H) = pa , por lo que: p(z) + ρgz = pa + ρgH

(2.135)

p(z) = pa + ρg(H − z) pman (z) = p(z) − pa = ρg(H − z)

(2.136) (2.137)

El perfil de presiones actuando sobre la compuerta se representa en la figura 2.24, mostrando una distribución neta triangular en la superficie de contacto con el agua. 49

2.10. PROBLEMAS RESUELTOS aire, pa

g¯

agua, ρ

Figura 2.24: Distribución de presiones sobre la compuerta.

Cálculo de la fuerza. Sin necesidad de escribir la integral, calculamos la fuerza neta sobre la compuerta multiplicando el valor de la presión manométrica en el centro de gravedad de la superficie sumergida por el a´ rea de la misma: H bH F¯ = − ρg n ¯ α

2 sen pCG

(2.138)

A

donde el vector unitario n ¯ es normal a la compuerta y dirigido hacia el lado del agua: n ¯ = − sen α e¯x − cos α e¯z

(2.139)

Cálculo del momento. El centro de presiones de una distribución triangular se localiza a un tercio de la altura desde el nivel más bajo. Calculamos la magnitud del momento de la fuerza F¯ respecto del punto O multiplicando la magnitud de la fuerza por la distancia del centro de presiones al punto O: 2 H ¯ O = − ρg H b (−¯ ey ) (2.140) M sen α 3 sen

2 α |¯ xCP −¯ xO |

F

¯ O actúa en sentido horario. El momento neto M Equilibrio de momentos en la compuerta. Sobre la compuerta actúan la fuerza F¯ de los ¯ de la compuerta y la reacción en el eje O, la cual no da momento respecto a fluidos, el peso W este punto. Entonces, el equilibrio de momentos sobre la compuerta establece que −W

H 3b L cos α e¯y + ρg e¯y = 0 2 6 sen2 α

de donde sen2 α cos α = 3

ρgH 3 b 3W L

(2.141)

(2.142)

b Llamemos Λ al parámetro adimensional ρgH . Dado un valor de Λ, la ecuación (2.142) 3W L determina el valor de α. En la figura 2.25 se representa la función sen2 α cos α. Vemos que para un valor dado de Λ puede haber dos soluciones α1 < α∗ = 54,7 y α2 > α∗, o no haber ninguna si Λ > Λ∗ = 0,385. Para determinar cuál de las dos soluciones α1 o α2 corresponde al equilibrio real, hay que considerar la estabilidad de sendas posiciones de equilibrio. Esto es, ver qué ocurre ante una

50


0.5

α∗ = 54.7◦

sen2 α cos α

0.4

Λ∗ = 0.385

0.3

Λ 0.2

0.1

α1 0

0

10

20

30

α2 40

α(◦ )

50

60

70

80

90

Figura 2.25: Representación de la función sen2 α cos α para valores 0 ≤ α ≤ 90. pequeña perturbación en α: si el momento resultante tiende a restaurar la posición de equilibrio, tenemos que el equilibrio es estable; si, por el contrario, el momento resultante tiende a aumentar la perturbación, el equilibrio es inestable. Comprobamos que el sentido del momento resultante en la expresión (2.141) depende del signo de f (α) = Λ − sen2 α cos α. Consideramos ahora las dos soluciones: • Si aumentamos ligeramente el a´ ngulo α1 manteniendo el valor del parámetro Λ, entonces f (α) se hace negativo y el momento resultante es en sentido antihorario, tendiendo a restablecer la posición de equilibrio en α1 . También aparece un momento restaurador si disminuimos ligeramente el a´ ngulo α1 . El a´ ngulo α1 corresponde, por tanto, a una posición de equilibrio estable. • Si aumentamos ligeramente el a´ ngulo α2 manteniendo el valor del parámetro Λ, entonces f (α) se hace positivo y el momento resultante es en sentido horario, tendiendo a alejar el sistema de la posición de equilibrio en α2 . También aparece un momento desequilibrante si disminuimos ligeramente el a´ ngulo α2 . El a´ ngulo α2 corresponde, por tanto, a una posición de equilibrio inestable. Debemos notar que existe un valor m´ınimo del a´ ngulo αmin = arcsen H para que la L compuerta no quede totalmente sumergida. Luego también existe un valor Λmin para que exista una posición de equilibrio estable.

2.10.5 tronco El tronco cil´ındrico de la figura 2.26, de diámetro D y longitud b, reposa sobre el suelo separando dos l´ıquidos de densidades ρ1 y ρ2 respectivamente. El nivel del l´ıquido 1, a la izquierda del tronco, es h1 = D, mientras que el nivel del l´ıquido 2, a la derecha del tronco, es h2 = D/2. Se pide determinar la fuerza neta de los fluidos y la atmósfera sobre el tronco.

51


g¯ z x

D

h1

h2

liq, ρ1

liq, ρ2

O Figura 2.26: Cilindro separando dos capas de l´ıquido.

Distribución de presiones. La distribución de presiones en cada l´ıquido se obtiene aplicando que p(z) + ρgz = cte y que la presión en la superficie libre es pa . As´ı, p1 (z) = pa + ρ1 g(D − z) D p2 (z) = pa + ρ2 g( − z) 2

en el l´ıquido 1, en el l´ıquido 2,

(2.143) (2.144)

Cálculo de la fuerza. Escribimos a continuación la expresión para la fuerza neta F¯cilindro sobre el cilindro. Con referencia a la figura 2.27, descomponemos la superficie del cilindro en tres superficies, según el fluido con el que está en contacto, ¯ Fcilindro = − p(z)¯ n dσ − p(z)¯ n dσ − pa n ¯ dσ (2.145) Σ1

Σ2

Σa

aire, pa Σa Σ1 Σ2

liq, ρ1

liq, ρ2

Figura 2.27: Superficie para el cálculo de la fuerza sobre el cilindro. El vector n ¯ se define dirigido hacia el fluido que ejerce la fuerza. La expresión (2.145) puede escribirse de manera equivalente utilizando presiones manométri cas, puesto que podemos restar − Σ1 +Σ2 +Σa pa n ¯ dσ(= 0) sin alterar el resultado. ¯ Fcilindro = − (p − pa )¯ n dσ − (p − pa )¯ n dσ (2.146) Σ1 Σ2

F¯1

F¯2

Descomponemos as´ı la fuerza sobre el cilindro F¯cilindro en dos contribuciones F¯1 y F¯2 que calcularemos por separado aplicando la estrategia explicada en la sección 1.7.2. Para ello consideramos los dos volúmenes fluidos de la figura 2.28. 52


F¯H1

Σ1 F¯H2

Σ2

liq, ρ1 ¯1 W F¯V1

liq, ρ2

¯2 W

F¯V2

Figura 2.28: Volúmenes de fluido definidos para el cálculo indirecto de las fuerzas F¯1 y F¯2 .

Aplicando la condición de equilibrio de fuerzas sobre el volumen V1 podemos obtener la fuerza F¯1 : ¯1 (2.147) F¯1 = −F¯cilindro→Σ1 = F¯H1 + F¯V1 + W donde la fuerzas F¯H1 y F¯V1 deben evaluarse con la presión manométrica del fluido 1. La fuerza F¯H1 corresponde a la fuerza (horizontal) que la presión manométrica del fluido 1 ejerce sobre la superficie vertical del volumen V1 . Calculamos su magnitud como la presión manométrica evaluada en el centro de la superficie por el a´ rea de la misma. La fuerza es normal a la superficie y actúa en compresión, hacia la derecha: D F¯H1 = ρ1 g Db e¯x

2 A

(2.148)

pCG

La fuerza F¯V1 corresponde a la fuerza (vertical) que la presión manométrica del fluido 1 ejerce sobre las superficies horizontales del volumen V1 . En la superficie horizontal superior, coindicente con la superficie libre del fluido 1, la presión manométrica es nula. Calculamos la fuerza sobre la superficial horizontal inferior, coincidente con el fondo: Db F¯V1 = ρ1 gD e¯z

2 pCG

(2.149)

A

El peso del volumen V1 de fluido 1 es: 2 2 D πD π D2b ¯ 1 = −ρ1 gV1 e¯z = −ρ1 g − e¯z W b e¯z = −ρ1 g 1 − 2 8 4 2

(2.150)

As´ı, la fuerza F¯1 queda: D2b D2b π D2b D2b π e¯x + ρ1 g e¯z − ρ1 g 1 − e¯z = ρ1 g F¯1 = ρ1 g e¯x + e¯z 2 2 4 2 2 4

(2.151)

La fuerza F¯1 tiene una componente horizontal positiva, hacia la derecha, y una componente vertical positiva, hacia arriba, que pod´ıamos haber calculado como la fuerza de flotación, con el peso del volumen de l´ıquido 1 desplazado (volumen correspondiente al de medio cilindro). 53

2.10. PROBLEMAS RESUELTOS Para calcular la fuerza F¯2 procedemos de igual manera con el volumen de fluido V2 . Aplicando la condición de equilibrio de fuerzas sobre el volumen V2 de la figura 2.28, ¯2 F¯2 = −F¯cilindro→Σ2 = F¯H2 + F¯V2 + W

(2.152)

donde la fuerzas F¯H2 y F¯V2 deben evaluarse con la presión manométrica del fluido 2. La fuerza F¯H2 corresponde a la fuerza (horizontal) que la presión manométrica del fluido 2 ejerce sobre la superficie vertical del volumen V2 . Calculamos su magnitud como la presión manométrica evaluada en el centro de la superficie por el a´ rea de la misma. La fuerza es normal a la superficie y actúa en compresión, hacia la izquierda: D Db F¯H2 = − ρ2 g e¯x 2

4 pCG

(2.153)

A

La fuerza F¯V2 corresponde a la fuerza (vertical) que la presión manométrica del fluido 2 ejerce sobre la superficie horizontal del volumen V2 . Calculamos la fuerza sobre la superficial horizontal inferior, coincidente con el fondo: D Db F¯V2 = ρ2 g e¯z 2

2 pCG

(2.154)

A

El peso del volumen V2 de fluido 2 es: 2 2 D πD π D2b ¯ − e¯z W2 = −ρ2 gV2 e¯z = −ρ2 g b e¯z = −ρ2 g 1 − 4 16 4 4

(2.155)

As´ı, la fuerza F¯2 queda: D2b D2b π D2b D2b π e¯x + ρ2 g e¯z − ρ2 g 1 − e¯z = ρ2 g F¯2 = −ρ2 g −¯ ex + e¯z 8 4 4 4 8 4

(2.156)

La fuerza F¯2 tiene una componente horizontal negativa, hacia la izquierda, y una componente vertical positiva, hacia arriba, que pod´ıamos haber calculado como la fuerza de flotación, con el peso del volumen de l´ıquido 2 desplazado (volumen correspondiente al de un cuarto del cilindro). Finalmente, calculamos la fuerza F¯cilindro sumando las dos contribuciones calculadas: F¯cilindro = F¯1 + F¯2 D2b π D2b π e¯x + e¯z + ρ2 g −¯ ex + e¯z = ρ1 g 2 4 8 4 2 2 D b πD b ρ2 ρ2 g e¯x + ρ1 + g e¯z = ρ1 − 4 2 2 8

(2.157)

La componente x de la fuerza es positiva o negativa en función de los valores relativos de las densidades ρ1 y ρ2 , mientras que la componente z de la fuerza es siempre positiva, actuando hacia arriba. Si el fluido 1 y el fluido 2 fueran el mismo, ρ1 = ρ2 = ρ, entonces, 3 π 2 ¯ Fcilindro = ρgD b e¯x + e¯z (2.158) 8 2 54


2.10.6 cubo-flotacion Un bloque cúbico de un material de densidad ρcubo flota en un l´ıquido 1 de densidad ρ1 . Se pide determinar la posición de equilibrio del bloque calculando la fracción ϕ de su volumen que queda sumergida. Si a continuación, sobre el l´ıquido 1 se vierte un l´ıquido 2 de densidad ρ2 (< ρcubo ), ¿cuál será la nueva posición de equilibrio del bloque ϕ ? aire, pa aire, pa

liq, ρ2

ρcubo

ρcubo liq, ρ1

liq, ρ1

(a)

(b)

Figura 2.29: Bloque flotando (a) entre el l´ıquido 1 y el aire y (b) entre los l´ıquidos 1 y 2. La densidad del bloque tiene un valor intermedio a la de los dos l´ıquidos: ρ2 < ρcubo < ρ1 . La condición de equilibrio sobre el bloque impone que la fuerza de flotación (o empuje) equilibra el peso del bloque. Calculamos en cada caso el empuje como el peso del volumen de fluido desplazado. En la situación de la figura 2.29a, podemos despreciar el peso de aire desplazado. Si el volumen del bloque es V , el equilibrio de fuerzas verticales sobre el bloque es: − ρcubo gV + ρ1 gϕV = 0 (2.159) de donde, ϕ=

ρcubo ρ1

(2.160)

En la situación de la figura 2.29b, calculamos el empuje como el peso de l´ıquido 1 desplazado más el peso del l´ıquido 2 desplazado. El equilibrio de fuerzas verticales sobre el bloque es: − ρcubo gV + ρ1 gϕV + ρ2 g(1 − ϕ )V = 0 (2.161) de donde, ϕ =

ρcubo − ρ2 ρ1 − ρ2

Teniendo en cuenta que ρ2 < ρcubo < ρ1 , se puede comprobar que ϕ < ϕ.

55

(2.162)

Cap´ıtulo 3 Cinemática 3.1 Introducción 3.1.1 Descripciones Euleriana y Lagrangiana Para describir el campo de velocidades en un fluido, es posible adoptar dos puntos de vista diferentes, que corresponden a las descripciones Euleriana y Lagrangiana. En la primera, se describe el campo de velocidades, v¯(¯ x, t), en función de la posición x¯ y del tiempo t. En otras palabras, es como si en cada instante se diera la distribución espacial de la velocidad (y de todas las demás variables fluidomecánicas de interés) en todo el interior del campo fluido. Este punto de vista es análogo al que se utiliza, por ejemplo, en la descripción de los campos electromagnéticos. Una forma alternativa de especificar la velocidad, que corresponde a la descripción Lagrangiana, consiste en estudiar el movimiento de cada una de las part´ıculas fluidas, cuya trayectoria x¯ = x¯T (¯ x0 , t)

(3.1)

es función de la posición que ocupa en el instante inicial, x¯0 , y del tiempo. La velocidad y la aceleración en esta descripción se obtienen por derivación de las trayectorias de las part´ıculas fluidas de acuerdo a v¯ = ∂ x¯T /∂t y a ¯ = ∂ 2 x¯T /∂t2 . Esta aproximación, que resulta apropiada en mecánica para el estudio de la dinámica del punto, da lugar en mecánica de fluidos a una formulación compleja de las leyes de conservación. Por lo tanto, aun cuando la descripción Lagrangiana puede resultar u´ til en el análisis de algunos problemas particulares, en lo que sigue utilizaremos la descripción Euleriana, que resulta más acorde con el estudio de los medios continuos.

3.2 Movimiento uniforme y estacionario; puntos de remanso Decimos que un movimiento fluido es uniforme cuando no existen variaciones espaciales de las variables fluidas. As´ı, un campo de velocidad es uniforme si v¯ = v¯(t). De manera similar, decimos que un movimiento fluido es estacionario cuando no existen variaciones temporales de las variables fluidas. Diremos, por ejemplo, que el campo de velocidad es estacionario si v¯ = v¯(¯ x). En ocasiones, la estacionariedad de un movimiento depende del sistema de referencia 56

3.3. TRAYECTORIAS Y SENDAS que se considere. Por ejemplo, para estudiar el flujo alrededor de un cuerpo en movimiento, que es claramente no estacionario en ejes fijos al laboratorio, conviene adoptar un sistema de referencia viajando con el cuerpo, en el que el problema resulta ser estacionario. Un punto de remanso se define como un punto en que la velocidad es nula. Por lo tanto, dado el campo de velocidades v¯ = v¯(¯ x, t), los puntos de remanso han de satisfacer la ecuación v¯(¯ x, t) = 0.

(3.2)

Claramente, los puntos de remanso dependen del sistema de referencia elegido.

3.3 Trayectorias y sendas En su movimiento, una part´ıcula fluida inicialmente situada en x¯ = x¯0 va variando su posición, que resulta ser por tanto función del tiempo, tal y como se expresa en la Ec. 3.1. Conocido el campo de velocidades v¯(¯ x, t), esta ley de movimiento de la part´ıcula fluida, o trayectoria, se obtiene por integración de d¯ x = v¯(¯ x, t) dt

(3.3)

con condiciones iniciales x¯ = x¯0 en t = t0 . Si desarrollamos esta ecuación vectorial obtenemos las tres ecuaciones dy dz dx = u(¯ x, t), = v(¯ x, t), = w(¯ x, t) (3.4) dt dt dt que deben integrarse con condiciones iniciales x = x0 , y = y0 y z = z0 . La solución del problema ser´ıa de la forma dada en la Ec. 3.1, que para el caso de coordenadas cartesianas rectangulares queda x = xT (x0 , y0 , z0 , t) y = yT (x0 , y0 , z0 , t) z = zT (x0 , y0 , z0 , t)

(3.5)

La trayectoria contiene la información referente al camino o senda que recorre cada part´ıcula fluida, as´ı como la rapidez con la que lo recorre. Las ecuaciones que describen la senda se pueden obtener a partir de la Ec. 3.1 sin más que eliminar el tiempo.

´ 3.4 L´ıneas, superficies y volumenes fluidos Siempre y cuando el campo de velocidad sea continuo, las part´ıculas fluidas que se encuentran en el instante inicial a lo largo de una l´ınea seguirán formando una l´ınea en su movimiento posterior. La ecuación para la evolución de esta l´ınea fluida se obtiene particularizando la ecuación para las trayectorias dada en Ec. 3.1 a aquellas part´ıculas fluidas que se encuentran en t = t0 a lo largo de la l´ınea inicial. Análogamente, las part´ıculas fluidas que se encuentran inicialmente en una superficie continúan en su movimiento formando una superficie (superficie fluida) . Si la superficie fluida está inicialmente cerrada, se mantendrá cerrada en su evolución posterior. Al fluido limitado por dicha superficie fluida cerrada se le denomina volumen fluido, un concepto que nos será u´ til en la aplicación de los principios de conservación que gobiernan el movimiento fluido. 57

´ 3.5. LINEAS, SUPERFICIES Y TUBOS DE CORRIENTE

3.5 L´ıneas, superficies y tubos de corriente Para un instante dado, se denominan l´ıneas de corriente a aquellas l´ıneas que son tangentes en cada uno de sus puntos al vector velocidad local. La condición de tangencia nos permite escribir las ecuaciones que determinan dichas l´ıneas de corriente dx dy dz = = u(x, y, z, t) v(x, y, z, t) w(x, y, z, t)

(3.6)

Al elegir las dos constantes asociadas a la integración de las dos ecuaciones diferenciales anteriores estamos identificando una l´ınea de corriente de entre la doble infinitud que existe para un instante determinado. Por ejemplo, uno podr´ıa en un problema dado identificar una l´ınea de corriente dando la posición (x0 , y0 ) del punto donde corta al plano horizontal. Notese que de la definición de l´ınea de corriente se desprende que sus puntos de intersección son necesariamente puntos de remanso (que pasar´ıa si dos l´ıneas de corriente se cortaran en un punto de velocidad no nula?). Es importante recalcar que mientras las trayectorias contienen información de la evolución temporal del flujo, las l´ıneas de corriente son representaciones instantáneas del flujo: al calcular la trayectoria determinamos la evolución temporal de la posición de una part´ıcula fluida, mientras que las l´ıneas de corriente se definen para un instante determinado, y son en principio diferentes al considerar dos instantes distintos. En relación con las l´ıneas de corriente, existen otros dos conceptos que conviene definir. A la superficie formada por todas las l´ıneas de corriente que se apoyan en una l´ınea arbitraria se le denomina superficie de corriente. Si la l´ınea elegida es cerrada, la superficie formada será un tubo de corriente.

3.6 L´ıneas de traza Las l´ıneas de traza se definen como las sendas de las part´ıculas fluidas que en el pasado pasaron por un mismo punto. Imaginemos un flujo en el que se inyectan pequeñas burbujas siempre en el mismo punto y que estas burbujas siguen exactamente la trayectoria de las part´ıculas fluidas y van dejando una marca, una traza, all´ı por donde pasan. Las l´ıneas formadas por estas marcas ser´ıan las l´ıneas de traza. De lo visto anteriormente, queda claro que las l´ıneas de corriente, l´ıneas de traza y las sendas no coinciden en general. Existe, sin embargo, un caso particular en el que si lo hacen. Si el movimiento fluido es estacionario, v¯ = v¯(¯ x), entonces las l´ıneas de corriente, sendas y l´ıneas de traza coinciden. Véase, por ejemplo, la Fig. 3.1.

58

´ 3.6. LINEAS DE TRAZA

(a)

(b) Figura 3.1: Flujo estacionario alrededor de un perfil aerodinámico: (a) a bajos a´ ngulos de ataque el flujo es estacionario y las l´ıneas de traza, visualizadas experimentalmente mediante fluido coloreado introducido aguas arriba, coinciden con las sendas y las l´ıneas de corriente; (b) a altos a´ ngulos de ataque la corriente se desprende y el flujo se hace no estacionario (especialmente en la estela), en estas condiciones las l´ıneas de corriente y las sendas no coinciden con las l´ıneas de traza.

59

Cap´ıtulo 4 Leyes de Conservación en el Movimiento de los Fluidos 4.1 Introducción Las ecuaciones de conservación de la mecánica de fluidos se deducen al aplicar los principios de conservación de la masa, cantidad de movimiento y energ´ıa a volúmenes fluidos. Para el análisis de problemas fluidos, conviene aplicar estas leyes de conservacin a volúmenes de control, lo que haremos mediante la aplicación del teorema de transporte de Reynolds. Para posibilitar el desarrollo, veremos primero cómo se escriben las leyes de la mecánica en un volumen fluido, pasando seguidamente a estudiar el concepto de flujo convectivo, as´ı como la derivación temporal de integrales extendidas a volúmenes fluidos y a volúmenes de control. Deduciremos el teorema de transporte de Reynolds y lo aplicaremos en el marco de los principios de conservación para deducir las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento y energ´ıa aplicadas a volúmenes de control.

´ 4.2 Leyes de la mecánica aplicadas a volumenes fluidos Las leyes de la mecánica se obtienen al aplicar los principios de conservación de la masa, cantidad de movimiento y energ´ıa a un sistema cerrado, esto es, a un sistema que contiene siempre la misma materia. La elección de un sistema cerrado, que es trivial en mecánica de sólidos, es un poco más delicada en un fluido en movimiento. Debe ser un volumen que contenga siempre las mismas part´ıculas fluidas, y las siga en su movimiento, esto es, un volumen fluido. Supongamos un volumen fluido Vf (t), conteniendo un fluido de densidad ρ = ρ(¯ x, t), mox, t)/2, viéndose con velocidad v¯ = v¯(¯ x, t) y con energ´ıa por unidad de masa e(¯ x, t) + v 2 (¯ 2 donde v = v¯ · v¯. Nótese que tanto la posición como la forma y el tamaño del volumen fluido pueden ser variables en el tiempo, de ah´ı que hayamos escrito Vf (t). Aplicados a este sistema, los principios de conservación de la mecánica toman la forma que se indica a continuación.

60

´ ´ 4.2. LEYES DE LA MECANICA APLICADAS A VOLUMENES FLUIDOS

4.2.1 El principio de conservación de la masa La masa de un sistema cerrado se debe conservar. Dado que la masa total contenida en un volumen fluido se obtiene integrando la densidad ρ a todo el volumen como ρdV, (4.1) M= Vf (t)

el principio de conservación de la masa en un volumen fluido se escribe en la forma d dM = ρdV = 0. dt dt Vf (t)

(4.2)

4.2.2 La segunda ley de Newton De acuerdo con la segunda ley de Newton, la variación temporal de la cantidad movimiento de un sistema cerrado es igual a la resultante de las fuerzas exteriores sobre el sistema. Dado que la cantidad de movimiento en un volumen fluido se obtiene a partir de la cantidad de movimiento de un elemento fluido ρ¯ v dV integrada a todo el volumen fluido, Vf (t) ρ¯ v dV , el principio de conservación de la cantidad de movimiento en un volumen fluido se escribe d F¯ext . ρ¯ v dV = (4.3) dt Vf (t) Una forma alternativa de la segunda ley de Newton se expresa en función del momento cinético: la variación temporal del momento cinético respecto a un punto de un sistema cerrado es igual al momento de las fuerzas exteriores respecto al mismo punto. En un volumen fluido, d ¯ ext , ρ¯ r ∧ v¯dV = M (4.4) dt Vf (t) donde r¯ es la distancia al punto respecto al que se calcula el momento cinético. Si en el sistema de referencia elegido ese punto es x¯0 , entonces r¯ = x¯ − x¯0 .

4.2.3 El primer principio de la termodinámica El primer principio de la termodinámica establece que la variación temporal en la energ´ıa total de un sistema cerrado es debida al trabajo de las fuerzas exteriores sobre el sistema y al calor aportado al sistema desde el exterior. Como la energ´ıa contenida en un volumen fluido se obtiene integrando la energ´ıa de los distintos elementos fluidos que lo componen, Vf ρ(e + v 2 /2)dV , el primer principio de la termodinámica en un volumen fluido se escribe d ˙ ext + Q˙ ρ(e + v 2 /2)dV = W (4.5) dt Vf (t) ˙ ext = donde Q˙ representa el calor aportado al sistema por unidad de tiempo Q˙ = dQ/dt y W dW ext /dt el trabajo realizado por las fuerzas exteriores por unidad de tiempo, o potencia aportada por las fuerzas exteriores. 61

´ ´ 4.3. VOLUMENES FLUIDOS Y VOLUMENES DE CONTROL

´ ´ 4.3 Volumenes fluidos y volumenes de control Como hemos visto, las leyes de la mecánica aplicadas a volúmenes fluidos se obtienen directamente al aplicar los principios de conservación de la masa, cantidad de movimiento y energ´ıa a un volumen fluido. Pero elegir, describir y controlar un volumen fluido, que contenga siempre las mismas part´ıculas fluidas y por tanto las siga en su movimiento puede resultar muy complicado (recordemos que el seguimiento lagrangiano de las part´ıculas fluidas en su movimiento resultaba complejo). Por otro lado, la información que precisa un ingeniero a la hora de diseñar un sistema fluido no es tanto la información lagrangiana, que indicar´ıa cómo se mueve un volumen fluido, qué fuerzas actúan sobre e´ l, y qué cambios de energ´ıa conlleva este movimiento, sino cuánto fluido pasa por una cierta región del sistema, qué fuerza hace sobre las partes sólidas del sistema y cuánta energ´ıa proporciona el mecanismo o es precisa para hacerlo funcionar. Por tanto, para estudiar la dinámica de sistemas fluidos, es más conveniente transformar las leyes obtenidas sobre volúmenes fluidos en leyes que se puedan aplicar a un volumen cualquiera, fijo o móvil a nuestra conveniencia, que contenga las partes del sistema sobre las que nos interesa obtener información. Este tipo de volumen se denomina volumen de control. Veremos en las próximas secciones que para escribir las leyes de la mecánica en un volumen de control tendremos que aplicar una transformación matemática entre la variación temporal de integrales extendidas a volúmenes fluidos y la variación temporal de integrales extendidas a volúmenes de control. Esta transformación, que se conoce como el teorema del transporte de Reynolds, permite transformar las ecuaciones de conservación sobre un volumen fluido de la sección 4.2 en ecuaciones escritas para un volumen de control.

4.4 Flujo convectivo El objetivo de este apartado es el de aprender a calcular el flujo convectivo de una magnitud fluida, esto es, la cantidad de magnitud fluida que cruza una superficie en la unidad de tiempo debido al movimiento medio del fluido. En lo que sigue, φ(¯ x, t) representa la cantidad de una cierta magnitud fluida extensiva expresada por unidad de volumen. As´ı, φ = 1 representa el volumen por unidad de volumen, φ = ρ representa la masa por unidad de volumen, φ = ρ¯ v es 2 la cantidad de movimiento por unidad de volumen y φ = ρ(e+v /2) es la energ´ıa por unidad de volumen. Estas magnitudes intensivas se pueden utilizar para evaluar la cantidad de magnitud fluida total que existe en el interior de un cierto volumen. Por ejemplo, la cantidad de cantidad de movimiento contenida en un cierto instante en el interior de V viene dada por V ρ¯ v dV . Consideramos la superficie fija Σo de la figura adjunta. El fluido al desplazarse cruza la superficie anterior, transportando en su movimiento masa, cantidad de movimiento y energ´ıa. El volumen de fluido que cruza en el tiempo dt a través del elemento diferencial de superficie dσ y orientación n ¯ , es el que está contenido en el paralelep´ıpedo de a´ rea dσ y arista v¯dt de la figura. La cantidad de magnitud fluida que cruza dicho elemento de superficie puede calcularse a partir del volumen del paralelep´ıpedo v¯ · n ¯ dσdt para dar φ¯ v·n ¯ dσdt, por lo que el flujo convectivo total (magnitud fluida que cruza Σo en la unidad de tiempo) vendr´ıa dado por φ¯ v·n ¯ dσ. (4.6) Σo

A los vectores v¯, ρ¯ v y ρ(e + v 2 /2)¯ v se les denomina vector flujo volumétrico, vector flujo 62

4.5. TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS

v dt

n

Σo

dσ

Figura 4.1: Flujo convectivo.

másico y vector flujo de energ´ıa. Sus proyecciones en una dirección dada del espacio n ¯ determinan, respectivamente, la cantidad de volumen, masa y energ´ıa que cruza en la unidad de tiempo la unidad de superficie contenida en el plano perpendicular a n ¯ . De manera análoga, ρ¯ v v¯ es el llamado tensor flujo de cantidad de movimiento, y el vector ρ¯ v v¯ · n ¯ es la cantidad de cantidad de movimiento que cruza en la unidad de tiempo la unidad de superficie contenida en el plano perpendicular a n ¯. Si la superficie Σo es cerrada (y φ¯ v es continuo), entonces podemos hacer aplicación del teorema de Gauss para reescribir el flujo convectivo en la forma φ¯ v·n ¯ dσ = ∇ · (φ¯ v)dV, (4.7) Σo

Vo

donde Vo es el volumen encerrado por la superficie Σo . Haciendo aplicación de la ecuación anterior a un volumen infinitesimal, podemos concluir que, por ejemplo, ∇ · (ρ¯ v ) representa la cantidad de masa que abandona la unidad de volumen en la unidad de tiempo debido al movimiento del fluido a través de sus paredes. De la misma manera, ∇ · v¯ es la cantidad de volumen que abandona la unidad de volumen en la unidad de tiempo. Para finalizar, cabe añadir que, para extender la noción de flujo convectivo a una superficie movil Σc (t) cuyos puntos x¯c se desplazan con velocidad v¯c (¯ xc , t), basta rehacer el razonamiento basado en la figura 4.1, reemplazando, claro está, la velocidad del fluido v¯ por la velocidad relativa a la superficie v¯ − v¯c . La ecuación (4.6) se ver´ıa por tanto modificada para dar φ(¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ. (4.8) Σc (t)

4.5 Teorema del transporte de Reynolds Estudiamos ahora la variación con el tiempo d φ(¯ x, t) dV dt Vf (t)

(4.9)

de la cantidad de una cierta magnitud fluida contenida en un volumen fluido Vf (t) que está limitado por la superficie Σf (t). Podemos adelantar que va a aparecer una contribución asociada 63

4.5. TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS

v dt Σ(t) dσ

Σ(t + dt) Figura 4.2: Evolución infinitesimal de un volumen fluido.

a la no-estacionariedad del campo fluido, φ(¯ x, t), as´ı como una contribución asociada al desplazamiento del volumen fluido, Vf (t). Para verlo, estudiamos la evolución entre los instantes t y t + dt del volumen fluido que se esquematiza en la figura 4.2. La derivada temporal (4.9) se puede escribir en la forma φ(¯ x , t + dt)dV − φ(¯ x, t)dV d V (t+dt) Vf (t) φ(¯ x, t) dV = l´ım f . (4.10) dt→0 dt Vf (t) dt El l´ımite de la ecuación (4.10) se puede descomponer en las dos contribuciones siguientes. [φ(¯ x, t + dt) − φ(¯ x, t)] dV φ(¯ x, t + dt)dV Vf (t) V (t+dt)−Vf (t) + l´ım f . (4.11) l´ım dt→0 dt→0 dt dt Para evaluar la primera de ellas hacemos uso del desarrollo φ(¯ x, t + dt) − φ(¯ x, t) = (∂φ/∂t)dt, con lo que obtenemos [φ(¯ x, t + dt) − φ(¯ x, t)] dV ∂φ(¯ x, t) Vf (t) = dV. (4.12) l´ım dt→0 dt ∂t Vf (t) Por otra parte, la segunda integral no es más que la integral de φ(¯ x, t) extendida a la diferencia de regiones ocupadas por Vf (t+ dt) y Vf (t), la cual puede evaluarse a partir del flujo convectivo que ha atravesado la superficie Σf (t) en el intervalo de tiempo dt, de forma que φ(¯ x, t + dt)dV φ¯ v·n ¯ dσdt Vf (t+dt)−Vf (t) Σf (t) φ¯ v·n ¯ dσ. (4.13) l´ım = l´ım = dt→0 dt→0 dt dt Σf (t) Finalmente, podemos escribir ∂φ(¯ x, t) d dV + φ(¯ x, t) dV = φ(¯ x, t) v¯(¯ x, t) · n ¯ dσ. dt Vf (t) ∂t Vf (t) Σf (t)

(4.14)

Los dos términos de (4.14) reflejan, tal y como anteriormente mencionamos, que la cantidad de magnitud fluida que hay contenida en un volumen fluido var´ıa debido a la no estacionariedad del campo fluido y también debido al movimiento del volumen fluido. 64

4.5. TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS La resolución de un problema fluido determinado involucra en general el estudio del fluido contenido en una cierta región del espacio, que puede ser fija o variar con el tiempo dependiendo del problema. A dicha región del espacio Vc (t) la denominamos en lo que sigue volumen de control, que estará en general limitado por una superficie Σc (t) cuyos puntos se mueven con xc , t). Puesto que los principios de conservación de la mecánica de fluidos se aplivelocidad v¯c (¯ can a volúmenes fluidos, conviene relacionar la variación temporal de la cantidad de magnitud fluida que hay contenida en un volumen de control, con la variación temporal que tiene lugar en un volumen fluido que ocupa en el instante considerado el mismo lugar en el espacio. Por ejemplo, si el problema que estudiamos fuera la descarga de un depósito de gas a través de una boquilla, el volumen de control considerado corresponder´ıa a un volumen de control fijo que coincidiera con el interior del depósito, de forma que la superficie Σc que lo limitara coincidir´ıa con la superficie interna del depósito e incluir´ıa la superficie trasversal al orificio de salida de la boquilla. Puesto que el volumen de control es fijo, el volumen fluido Vf (t) que coincide con el volumen de control en un instante t dado deja de hacerlo en instantes posteriores, de forma que Vf (t + dt) = Vc , tal y como se indica en la figura adjunta. n

n

n

n

n n

n

n

Vc =Vf (t)

Vf (t+ dt)

Figura 4.3: Volumen de control utilizado para el estudio de la descarga de un depósito. Para el análisis resulta necesario describir inicialmente las derivadas temporales extendidas a un volumen de control cuya superficie exterior Σc se desplaza con velocidad v¯c (¯ x, t). El mismo razonamiento que nos ha llevado a deducir (4.14) nos permite escribir en este caso d ∂φ(¯ x, t) dV + φ(¯ x, t) dV = φ(¯ x, t) v¯c (¯ x, t) · n ¯ dσ. (4.15) dt Vc (t) ∂t Vc (t) Σc (t) Teniendo en cuenta que hemos elegido que el volumen de control Vc (t) y su superficie l´ımite Σc (t) coincidan en el instante considerado con Vf (t) y Σf (t), los dominios de integración de las integrales que aparecen en (4.14) y (4.15) coinciden, con lo que al sustraer dichas ecuaciones obtenemos la expresión del teorema de transporte de Reynolds d d φ(¯ x, t) dV = φ(¯ x, t) dV + φ(¯ x, t) (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ. (4.16) dt Vf (t) dt Vc (t) Σc (t) Esta ecuación, que nos será u´ til en la deducción de las ecuaciones de conservación, indica que la variación temporal de una magnitud fluida (masa, cantidad de movimiento, energ´ıa, etc) ligada 65

4.5. TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS a un volumen fluido es igual a la suma de la variación temporal en un volumen de control que coincide en el instante considerado con el volumen fluido más el flujo convectivo a través de la superficie l´ımite de dicho volumen de control (ver Ec. (4.8)).

66

Cap´ıtulo 5 Ecuación de la continuidad 5.1 Ecuación de conservación de la masa La masa contenida en un volumen fluido no var´ıa con el tiempo, como indica la ecuación de conservación de la masa (Ecuación (4.2)). Sustituyendo esta ecuación en (4.16) expresamos su equivalente para un volumen de control d d ρdV = ρdV + ρ(¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = 0. (5.1) dt Vf (t) dt Vc (t) Σc (t) La lectura de la ecuación anterior refleja lo que es obvio desde un punto de vista f´ısico, esto es, el incremento por unidad de tiempo de la cantidad de masa que hay contenida en un volumen de control es iguala la cantidad de masa que entra por unidad de tiempo a través de la pared de v − v¯c ) · n ¯ dσ. dicho volumen − Σc (t) ρ(¯ El balance másico anterior admite formas simplificadas cuando el volumen de control elegido es fijo en el espacio ∂ρ dV + ρ¯ v·n ¯ dσ = 0, (5.2) Vo ∂t Σo y también cuando el fluido es incompresible v¯ · n ¯ dσ = 0.

(5.3)

Σc (t)

5.2 Gasto másico y caudal Definimos el flujo másico o gasto másico GΣ a través de una superficie Σ como el valor absoluto del flujo convectivo de masa a través de ella (5.4) v − v¯c ) · n ¯ dσ GΣ = ρ(¯ Σ

y el caudal o flujo volumétrico QΣ como el valor absoluto del flujo de volumen a través de la superficie QΣ = (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ . (5.5) Σ

67

´ UNIDIMENSIONAL A LOS TERMINOS ´ 5.3. APROXIMACION DE FLUJO

5.3 Aproximación unidimensional a los términos de flujo En muchos casos se pueden considerar la densidad y la velocidad en las entradas y salidas de un volumen de control como uniformes; se dice entonces que las entradas y salidas son unidimensionales. En estos casos el flujo de masa a través de una superficie de entrada de a´ rea Ae , perpendicular a la dirección del movimiento donde la velocidad es v¯e , la densidad ρe (y que suponemos para simplificar que está fija respecto a nuestro sistema de referencia: v¯c = 0) es ρ¯ ve · n ¯ dσ = ρe (−ve ) dσ = −ρe ve Ae (5.6) Σe

Σe

¯ = −ve puesto que la normal n ¯ está dirigida hacia fuera de la superficie de entrada donde v¯e · n y la velocidad tiene el sentido opuesto, hacia dentro. El flujo de masa a través de una superficie de salida de a´ rea As perpendicular al movimiento donde la velocidad es v¯s y la densidad ρs (y que de nuevo suponemos fija respecto a nuestro sistema de referencia v¯c = 0): ρ¯ vs · n ¯ dσ = ρs vs dσ = ρs vs As (5.7) Σs

Σs

donde v¯s · n ¯ = vs puesto que ahora la normal n ¯ y la velocidad tienen el mismo sentido, hacia fuera del volumen de control. Por tanto el gasto másico y el caudal en una entrada unidimensional con densidad ρe , velocidad ve , y a´ rea Ae se pueden escribir como: Ge = ρe ve Ae ,

Qe = ve Ae ,

(5.8)

mientras que el gasto másico y caudal en una salida unidimensional donde la densidad es ρs , la velocidad es vs y el a´ rea es As son: Gs = ρs vs As ,

Qs = vs As .

(5.9)

5.4 Algunos ejemplos sencillos 5.4.1 Movimiento en una boquilla Como ejemplo de aplicación, analizamos el movimiento de un gas a través de la boquilla de la figura adjunta. Para resolver el problema tenemos que definir un volumen de control, que tiene que ser cerrado y contener exclusivamente fluido en su interior. Para este caso, conviene considerar un volumen de control fijo Vo que coincide con el interior de la boquilla, de forma que su superficie Σc incluye la superficie de entrada Σe , la superficie lateral en contacto con la pared de la boquilla Σl y la superficie de salida aguas abajo Σs . Para dicho volumen de control, la ecuación de continuidad (5.1) se puede escribir en este caso en la forma d ρdV + ρ¯ v·n ¯ dσ = 0. (5.10) dt Vo Σe +Σs +Σl Si consideramos que el movimiento es estacionario, entonces la cantidad de masa de gas contenida en la boquilla es constante, por lo que la derivada temporal desaparece. Por otra parte, en la 68

5.4. ALGUNOS EJEMPLOS SENCILLOS ve

Σl n ρe

n

n

vs

r z

Ae

As

Σe n

Σl

ρs

Σs

n

n

Figura 5.1: Flujo en una contracción.

superficie de la pared la velocidad del fluido es nula, en virtud de la condición de adherencia1 , por lo que la cantidad de masa que abandona el volumen de control por unidad de tiempo a través de la superficie lateral Σl es idénticamente nula, esto es, Σl ρ¯ v·n ¯ dσ = 0. La ecuación de continuidad (5.10) se reducir´ıa por tanto a ρ¯ v·n ¯ dσ + ρ¯ v·n ¯ dσ = 0. (5.11) Σe

Σs

Si suponemos, por otra parte, que la densidad y la velocidad son uniformes en las secciones de entrada y salida a la boquilla (aproximación unidimensional), entonces la ecuación anterior dar´ıa (5.12) Ge = Gs , con Ge = ρe ve Ae and Gs = ρs vs As , esto es, el flujo másico que entra al volumen de control es igual al flujo másico que sale del volumen de control. Si en lugar de un gas, el fluido que circulara fuera un l´ıquido de densidad ρ, la ecuación anterior se simplificar´ıa para dar Qe = Qs ,

(5.13)

es decir, el flujo volúmetrico o caudal que entra al volumen de control Qe = ve Ae es igual al flujo volumétrico o caudal que sale Qs = vs As . Nótese que para el caso del movimiento en conductos y boquillas, la aproximación unidimensional para la velocidad no puede ser estr´ıctamente válida, puesto que sabemos que en la pared la velocidad del fluido es nula. En muchas aplicaciones, sin embargo, el perfil de velocidad se mantiene prácticamente uniforme en todo el interior del conducto, excepto en una capa delgada situada cerca de la pared, que se denomina capa l´ımite, a través de la cual la velocidad evoluciona desde ese valor uniforme hasta cero. En esos casos, la hipótesis de flujo unidimensional constituye una buena aproximación y las expresiones (5.8) y (5.9) resultan válidas en primera aproximación, en el sentido de que contienen errores pequeños, del orden del cociente entre el espesor de la capa l´ımite y el radio del conducto. 1

Si el fluido está limitado por una pared sólida, en la superficie de dicha pared la velocidad del fluido coincide con la velocidad de la pared, v¯ = v¯p . Esta condición de contorno, que se denomina condición de adherencia, es consecuencia de suponer que la interacción del fluido con la pared es similar a la interacción entre part´ıculas fluidas próximas. Puesto que el campo de velocidad en el fluido es continuo (no presenta discontinuidades finitas), es razonable pensar que no existe discontinuidad entre la velocidad del sólido y la del fluido que se encuentra en contacto con e´ l. Existe amplia evidencia experimental que confirma la valided de la condición de adherencia.

69

5.4. ALGUNOS EJEMPLOS SENCILLOS

5.4.2 Descarga de un depósito de gas

n

Σp

Σs

n

n

As Vd n Figura 5.2: Descarga de un depósito de gas. Retomamos ahora el ejemplo de la descarga de un depósito de gas de volumen Vd a través de una boquilla cuya a´ rea transversal a la salida es As . Para el volumen de control fijo que se indica en la Fig. 5.2, la ecuación de continuidad se escribe en la forma d ρdV + ρ¯ v·n ¯ dσ = 0, (5.14) dt Vc Σp +Σs donde Σp y Σs son las superficies del volumen de control que coinciden con la pared del depósito y con la salida de la boquilla, respectivamente. Si suponemos que la densidad en el interior del depósito ρ = ρd es uniforme (excepto quizás en una región pequeña próxima a la boquilla de salida), la variación con el tiempo de la cantidad de masa se escribir´ıa en la forma dρd d . (5.15) ρdV = Vd dt Vc dt En virtud de la condición de adherencia anteriormente discutida, la velocidad del fluido en contacto con la pared es idénticamente nula, por lo que Σp ρ¯ v·n ¯ dσ = 0. Por otra parte, en v·n ¯ dσ = Gs , que se podr´ıa expresar en la forma Gs = ρs vs As la superficie de salida Σs ρ¯ si suponemos que las propiedades son uniformes a la salida de la boquilla. El principio de conservación aplicado en este caso al volumen de control proporciona Vd

dρd = −Gs , dt

(5.16)

indicando que el ritmo temporal de disminución de la masa de gas contenida en el depósito es igual al gasto que sale al ambiente.

70

5.4. ALGUNOS EJEMPLOS SENCILLOS

Ad

n

Σsl h(t)

n

n

Σd Σs As n

Figura 5.3: Descarga de un depósito de l´ıquido.

5.4.3 Descarga de un depósito de l´ıquido Como ejemplo final de aplicación de la ecuación de continuidad, considere un depósito cil´ındrico de l´ıquido de a´ rea transversal Ad y altura inicial ho que descarga al ambiente a través de una boquilla de a´ rea As situada en su base. Para el análisis, elegimos en este caso un volumen de control variable, cuya superficie superior coincida en cada instante con la superficie libre del l´ıquido. En dicho volumen de control, la ecuación (5.1) se reduce a d ρdV + ρ(¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = 0, (5.17) dt Vc (t) Σsl +Σp +Σs donde Σsl , Σp y Σs corresponden, respectivamente, a la superficie libre, la superficie de la pared y la superficie de salida de la boquilla. En este caso, la masa total contenida en el volumen de control es aproximadamente igual a Vc (t) ρdV = ρAd h, donde ρ y Ad son constantes, por lo que el primer término de la Ec. (5.17) se reduce a dh d (5.18) ρdV = ρAd . dt Vc (t) dt Respecto a la cantidad de masa que abandona el volumen de control, es sencillo ver que ρ(¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = 0, por ser en la pared v¯ = v¯c = 0. Respecto a la superficie libre Σp Σsl , all´ı la velocidad del fluido y la velocidad de la superficie del volumen de control coinciden (¯ v = v¯c = dh/dt¯ ez , siendo e¯z el vector unitario orientado en sentido contrario a la gravedad), v − v¯c ) · n ¯ dσ = 0. por lo que, de nuevo, no hay flujo de masa a través de ella, esto es, Σsl ρ(¯ Solo aparece por tanto contribución asociada al flujo másico a través de la superficie de salida, donde vc = 0, por lo que ρ¯ v·n ¯ dσ = Gs = ρQs .

(5.19)

Σs

Escribiendo los términos no nulos de la Ec. (5.17) y dividiendo el resultado por la densidad, que es constante, obtenemos finalmente la ecuación diferencial Ad

dh = −Qs dt 71

(5.20)

5.4. ALGUNOS EJEMPLOS SENCILLOS para la evolución de la altura con el tiempo, que deberemos integrar con condición inicial h = ho en t = 0 una vez conocido Qs (h). Retomaremos el problema en la sección 6.7.2, donde haremos aplicación de la Ecuacin de Bernoulli para el cálculo de Qs (h).

72

Cap´ıtulo 6 Ecuación de la cantidad de movimiento 6.1 Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie Recordemos que las fuerzas que actúan en un fluido se pueden clasificar en dos tipos distintos: fuerzas de largo alcance (también denominadas fuerzas de volumen o fuerzas másicas) y fuerzas de corto alcance (también denominadas fuerzas de superficie). Las primeras, que incluyen en particular la gravedad y las fuerzas de inercia, son fuerzas que decrecen lentamente con la distancia (su distancia caracter´ıstica de decaimiento es mucho mayor que la distancia media entre moléculas, d), y su radio de acción es comparable al tamaño caracter´ıstico del campo fluido L. Dichas fuerzas son capaces de penetrar en el interior del campo fluido y actuar sobre todos los elementos de su interior. En lo que sigue, denominaremos f¯m (¯ x, t) a la resultante de las fuerzas másicas por unidad de masa (por ejemplo, en el caso de la gravedad, f¯m = g¯ = −g¯ ez , donde e¯z es el vector unitario orientado en dirección perpendicular a la superficie de la Tierra y g 9,8 m/s2 ). Por tanto, la resultante de la fuerza másica que actúa sobre una part´ıcula fluida de volumen dV y masa ρdV puede expresarse como ρf¯m (¯ x, t)dV.

(6.1)

Por otra parte, las fuerzas de corto alcance, que tienen un origen molecular directo, decrecen muy rápidamente con la distancia y son sólo apreciables a distancias del orden de la separación media entre moléculas d. En el caso de un gas, la fuerza que se ejerce a través de la superficie imaginaria de separación entre dos parcelas de fluido vecinas se debe al transporte de cantidad de movimiento asociado a la velocidad de agitación térmica. Si el fluido es un l´ıquido, aparecen contribuciones adicionales debidas a la fuerza que se ejerce entre las moléculas situadas a uno y otro lado de la superficie. Puesto que las fuerzas de corto alcance decaen en una distancia comparable a d, su resultante es proporcional a la superficie (y no al volumen) de las part´ıculas fluidas. La fuerza que se ejerce a través de un elemento de superficie de a´ rea dσ y orientación n ¯ que separa dos elementos fluidos puede por tanto escribirse en la forma f¯n (¯ n, x¯, t)dσ,

(6.2)

donde la fuerza por unidad de superficie (o esfuerzo) f¯n es en general función de la orientación n ¯ , además de la posición x¯ y del tiempo t. En la notación que se sigue tradicionalmente, f¯n es el esfuerzo que ejerce el fluido situado en el lado hacia donde está dirigido n ¯ sobre el fluido situado en el lado contrario. Por ejemplo, para el caso de la fluidostática que consideramos anteriormente, la u´ nica fuerza de superficie que aparece es la asociada a la presión p, por lo que en ese caso se tendr´ıa f¯n = −p¯ n. 73

6.2. ESFUERZOS VISCOSOS n dσ

fm

fn Σ f(t)

dV

Vf (t)

Figura 6.1: Fuerzas sobre un volumen fluido.

A la hora de calcular la resultante de fuerzas actuando en un volumen fluido debemos tener en cuenta tanto las fuerzas másicas que actúan en el interior del volumen fluido Vf (t) como las fuerzas de superficie que actúan a través de la superficie fluida Σf que lo limita exteriormente. Para calcular la resultante de las primeras, sumamos las contribuciones de las fuerzas que actuan sobre cada una de las part´ıculas fluidas para dar ρf¯m (¯ x, t)dV. (6.3) Vf

Por otra parte, a través de cada elemento de superficie dσ de Σf el fluido situado en el exterior ejerce una fuerza sobre el fluido situado en el interior igual a f¯n dσ, por lo que la suma de las contribuciones de todos los elementos de superficie proporciona como resultante n, x ¯, t)dσ. (6.4) f¯n (¯ Σf

La resultante total de las fuerzas exteriores que debemos, por tanto, considerar a la hora de aplicar la Segunda Ley de Newton dada en la Ec. (4.3) es ¯ ¯ f¯n (¯ ρfm (¯ x, t)dV + n, x ¯, t)dσ. (6.5) Fext = Vf

Σf

6.2 Esfuerzos viscosos Tal y como hemos comentado, si el fluido está en reposo en un cierto sistema de referencia (caso de la fluidostática), las fuerzas de superficie actúan siempre en la dirección normal, y su n, donde p magnitud no depende de la dirección, pudiendo en general expresarse como f¯n = −p¯ es la presión. Cuando el fluido está en movimiento, además de las fuerzas de presión, aparecen en general fuerzas de superficie adicionales que se denominan fuerzas de viscosidad, que se expresan con la ayuda de un tensor de esfuerzos viscosos, τ¯, de forma que f¯n = −p¯ n + τ¯ · n ¯,

(6.6)

Se puede demostrar que el tensor τ¯ es simétrico, de forma que solo tiene seis componentes distintas ⎡ ⎤ τxx τxy τxz τ¯ = ⎣ τxy τyy τyz ⎦ (6.7) τxz τyz τzz 74

´ DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 6.3. ECUACION La relación entre los esfuerzos viscosos τij y las diferentes variables fluidas puede ser en principio complicada. En el caso de los fluidos incompresibles y newtonianos, que incluyen la mayor´ıa de los l´ıquidos de interés ingenieril, se observa experimentalmente que existe una proporcionalidad entre los esfuerzos viscosos τij y las velocidades de deformación, que puede expresarse en la forma ∂ui ∂uj + . (6.8) τij = μ ∂xj ∂xi Tal y como puede verse, los esfuerzos viscosos son función del campo de velocidades, a través de sus derivadas espaciales. Por tanto, para un movimiento fluido cuyo campo de velocidad sea uniforme, los esfuerzos viscosos resultan ser idénticamente nulos. En la Ec. (6.8) hace aparición una constante de proporcionalidad, μ, que denominamos coeficiente de viscosidad, que mide la resistencia de un fluido a deformarse bajo la aplicación de fuerzas de cortadura. Es una magnitud independiente de la presión, que var´ıa sin embargo con la temperatura T . Se observa que la viscosidad de los gases aumenta con T , mientras que la viscosidad de los l´ıquidos disminuye al aumentar T . Tanto en gases como en l´ıquidos, siempre que la temperatura no var´ıe mucho, resulta una aproximación razonable el suponer que la viscosidad permanece constante. Además del coeficiente de viscosidad μ, juega un papel relevante en mecánica de fluidos el llamado coeficiente de viscosidad cinemática (o difusividad viscosa) definido a partir de ν = μ/ρ. Los valores de ν para el aire y el agua a presión atmosférica son, respectivamente, νaire = 1,48 × 10−5 m2 /s y νagua = 1,14 × 10−6 m2 /s a T = 288 K, y νaire = 2,24 × 10−5 m2 /s y νagua = 0,31 × 10−6 m2 /s a T = 368 K.

6.3 Ecuación de la cantidad de movimiento Una vez descritas las fuerzas de volumen y superficie que actúan sobre un volumen fluido podemos reescribir la segunda ley de Newton (Ecuación (4.3)) en la forma d ¯ ρ¯ v dV = − p¯ ndσ + ρf¯m dV, (6.9) τ ·n ¯ dσ + dt Vf (t) Σf (t) Σf (t) Vf (t) donde hemos hecho uso de (6.6) en (6.5) para expresar de forma independiente las contribuciones de las fuerzas de presión y de viscosidad. Utilizando el teorema de Reynolds dado en (4.16), podemos reescribir la ecuación anterior para un volumen de control Vc (t) en la forma d ρ¯ v dV + ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = − p¯ ndσ + ρf¯m dV. τ¯ · n ¯ dσ + dt Vc (t) Σc (t) Σc (t) Σc (t) Vc (t) (6.10) La ecuación anterior expresa matemáticamente cómo el incremento por unidad de tiempo de la cantidad de movimiento que hay en el volumen de control es igual a la suma del flujo convectivo de cantidad de movimiento que entra en el volumen de control a través de sus paredes − Σc (t) ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ, la resultante de las fuerzas de presión − Σc (t) p¯ ndσ, la resultante de las fuerzas de viscosidad Σc (t) τ¯ · n ¯ dσ y la resultante de las fuerzas másicas Vc (t) ρf¯m dV . Es conveniente recalcar que se trata de una ecuación vectorial, es decir, que da lugar a tres ecuaciones, una para cada componente de la cantidad de movimiento. La resultante de las fuerzas másicas se puede escribir de forma alternativa cuando la densidad es constante y, tal y como ocurre en el caso de la gravedad, la fuerza es conservativa 75

6.4. FUERZAS Y MOMENTOS SOBRE CUERPOS SUMERGIDOS (f¯m = −∇(gz)), por lo que, haciendo uso del teorema de Gauss, podemos escribir ρf¯m dV = − ∇(ρgz)dV = − ρgzdσ. Vc

Vc

(6.11)

Σc

Por lo tanto, para el estudio del movimiento de l´ıquidos en presencia de la gravedad, la ecuación de la cantidad de movimiento resulta ser d ρ¯ v dV + ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = − (p + ρgz)¯ ndσ + τ¯ · n ¯ dσ, (6.12) dt Vc (t) Σc (t) Σc (t) Σc (t) que corresponde a escribir (6.10) en función de la presión reducida P = p + ρgz.

6.4 Fuerzas y momentos sobre cuerpos sumergidos Una corriente fluida moviéndose alrededor de un cuerpo sólido ejerce sobre la superficie de e´ ste unas fuerzas de presión y de viscosidad cuya resultante se puede expresar a través de ¯ respecto a un cierto punto x¯o . El cálculo de estas una resultante de fuerzas F¯ y un momento M cantidades, que abordamos en esta sección, es fundamental tanto para el estudio del movimiento de cuerpos en el seno de un fluido (coches, submarinos, aviones, cohetes, etc) como para el estudio de las fuerzas del viento o de los r´ıos sobre edificios y estructuras, campo del que se ocupa la denominada Aerodinámica Civil. 0000000000000000000000 1111111111111111111111

0000000000000000000000 0000000000000000000000 1111111111111111111111 f1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 n 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 n 0000000000000000000000 1111111111111111111111 n 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 x−xo dσ 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111

xo

x

1111111111111111111111 0000000000000000000000 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111

n

Σ

n

Figura 6.2: Fuerzas sobre un cuerpo sumergido en un fluido. Para el cálculo, consideramos la superficie mojada del cuerpo, Σ, con la normal n ¯ dirigida desde el cuerpo hacia el fluido, tal y como se indica en la figura adjunta. A través de un elemento dσ de dicha superficie, el fluido que se encuentra en el exterior ejerce una fuerza sobre el cuerpo igual a (−p¯ n + τ¯ · n ¯ )dσ. La resultante F¯ de las fuerzas de presión y viscosidad se obtiene al sumar las contribuciones de los distintos elementos de superficie de acuerdo a F¯ = − p¯ ndσ + τ¯ · n ¯ dσ. (6.13) Σ

Σ

¯ total que el fluido ejerce respecto a un punto De manera similar, para calcular el momento M dado x¯o , consideramos la contribución que realiza la fuerza de presión y de viscosidad actuando n + τ¯ · n ¯ )dσ. Al tener en cuenta el momento asociado a través de un elemento dσ, (¯ x − x¯o ) ∧ (−p¯ a los distintos elementos superficiales obtenemos ¯ x − x¯o ) ∧ p¯ ndσ + (¯ x − x¯o ) ∧ (τ¯ · n ¯ )dσ. (6.14) M = − (¯ Σ

Σ

76

´ 6.5. EJEMPLOS DE APLICACION

6.5 Ejemplos de aplicación 6.5.1 Movimiento de un l´ıquido en una boquilla ve

Σl n pe

n

n

vs

r z

Ae

As

Σe n

Σl

ps

Σs

n

n

Figura 6.3: Flujo en una contracción. Consideremos de nuevo el movimiento a través de una boquilla, que estudiamos anteriormente en la sección 5.4.1. Por simplicidad, nos centramos en el caso de un l´ıquido, para el que, tal y como vimos, la aplicación de la ecuación de continuidad al volumen de control de la figura 6.3 proporciona ve Ae = vs As . (6.15) Por otra parte, en el volumen de control fijo elegido, el problema resulta ser estacionario, por lo que la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento (6.10) se reduce a ρ¯ v (¯ v·n ¯ )dσ = − p¯ ndσ + τ¯ · n ¯ dσ. (6.16) Σe +Σs +Σl

Σe +Σs +Σl

Σe +Σs +Σl

Por simplificar la presentación, se han ignorado en este caso los efectos de las fuerzas gravitatorias. Procedemos a evaluar los distintos términos de la ecuación anterior. El flujo de cantidad de movimiento es nulo en la superficie lateral Σl , a través de la que no pasa fluido (¯ v·n ¯ = 0) por ser la velocidad all´ı nula. Por otra parte, para evaluar el flujo de cantidad de movimiento en las superficies de entrada y salida, Σe y Σs , supondremos que los perfiles de velocidad son uniformes, con dados Bajo esta hipótesis, por ve y vs , respectivamente. valores de la velocidad 2 2 v (¯ v·n ¯ )dσ = −ρve Ae e¯z y Σs ρ¯ v (¯ v·n ¯ )dσ = ρvs As e¯z . obtenemos Σe ρ¯ Pasamos ahora a evaluar la resultante de las fuerzas de superficie. Puesto que la velocidad es uniforme en las secciones de entrada y salida de la contracción, los esfuerzos viscosos, dados en (6.8), resultan ser idénticamente nulos, por lo que la resultante de las fuerzas de superficie actuando en Σe y Σs se debe exclusivamente a la presión, con lo que obtenemos − Σe p¯ ndσ = pe Ae e¯z y − Σs p¯ ndσ = ps As e¯z , donde pe y ps son los valores de la presión a la entrada y salida de la contracción (que suponemos también uniformes). No es posible, sin embargo, evaluar directamente la resultante de las fuerzas de superficie en Σl , puesto que desconocemos tanto la distribución de presión como la de esfuerzos viscosos en dicha superficie. Con la información obtenida podemos escribir (6.16) en la forma 2 2 (ρvs As − ρve Ae )¯ ez = (pe Ae − ps As )¯ ez − p¯ ndσ + τ¯ · n ¯ dσ, (6.17) Σl

77

Σl

´ 6.5. EJEMPLOS DE APLICACION indicando que el flujo de cantidad de movimiento de la vena fluida se modifica debido a la acción de las fuerzas de presión actuando en las secciones de entrada y salida y a la fuerza de superficie actuando en Σl . Σ ex n

pa

n

n Σi

n n

pa

n Σ ex

n

Figura 6.4: Superficie para el cálculo de la fuerza sobre la contracción. Es interesante hacer aparecer de manera expl´ıcita en el resultado anterior el valor de la fuerza que ejerce el l´ıquido sobre el conducto, F¯l→C . Para el cálculo de e´ sta, siguiendo el procedimiento indicado anteriormente, consideramos la superficie Σi , que cubre en interior del conducto, para dar F¯l→C = − p¯ ndσ + τ¯ · n ¯ dσ, (6.18) Σi

Σi

donde el vector unitario n ¯ está dirigido hacia el exterior del conducto (esto es, hacia el interior del l´ıquido). Comparando ahora el resultado obtenido con las integrales que aparecen a la derecha en la Ec. (6.17), donde el vector n ¯ está definido con sentido contrario, obtenemos F¯l→C = (pe + ρve2 )Ae e¯z − (ps + ρvs2 )As e¯z ,

(6.19)

que permite determinar la fuerza que ejerce el l´ıquido sobre la contracción a partir de los valores de ve , vs , pe y ps . Cabe mencionar que, para calcular la fuerza total que se ejerce sobre el conducto F¯C , a la fuerza que hace el l´ıquido habr´ıa que añadirle aquella que ejerce el aire situado alrededor. Para calcularla, consideramos ahora la superficie Σex que cubre el exterior del conducto. Si el aire en el exterior está en reposo, los esfuerzos viscosos resultan ser nulos, por lo que el valor de la fuerza que ejerce el aire sobre el conducto se reduce a la acción del campo de presiones (uniforme) ¯ Fa→C = − pa n ¯ dσ. (6.20) Σex

Para evaluar la integral, conviene descomponer la superficie de integración Σex de acuerdo al esquema de la figura 6.5.

Figura 6.5: Descomposición utilizada para el cálculo de la integral (6.20).

78

´ 6.5. EJEMPLOS DE APLICACION As´ı, consideramos la superficie cerrada que se genera al añadir a Σex las dos caras situadas en las secciones de entrada y salida. De esa forma, el cálculo de F¯a→C se puede realizar considerando primero la resultante de pa actuando en la superficie cerrada, y sustrayendo al resultado las integrales extendidas a las dos caras Σe y Σs que hemos añadido. Es fácil demostrar, por aplicación del teorema de Gauss, que la resultante de un campo de presión uniforme actuando sobre una superficie cerrada es idénticamente nula, por lo que al final se tiene ¯ Fa→C = − − pa n ¯ dσ − pa n ¯ dσ = pa (As − Ae )¯ ez (6.21) Σe

Σs

Sustituyendo esta expresión en la Ec. (6.19) con F¯C = F¯l→C + F¯a→C obtenemos F¯C = [(pe − pa ) + ρve2 ]Ae e¯z − [(ps − pa ) + ρvs2 ]As e¯z .

(6.22)

Tal y como puede verse, para tener en cuenta la presencia de la atmósfera en el cálculo de la fuerza sobre el conducto, basta sustituir el valor absoluto de la presión en la entrada y la salida de la contracción por sus valores manométricos (la diferencia de presión con respecto al ambiente).

6.5.2 Movimiento de un gas en una codo

n

ve pe ρe

n

A

Σe

y

Σl

x pa Σs vs

n

pa ρs

Figura 6.6: Flujo en un codo. Un gas que circula por un conducto de a´ rea transversal A descarga a la atmósfera a través de un codo que forma un a´ ngulo recto, tal y como se esquematiza en la figura adjunta. Se considera que aguas arriba del codo las propiedades termodinámicas y la velocidad son uniformes y conocidas. A la salida, la presión del gas coincide con la presión ambiente pa , mientras que su densidad, que es uniforme, tiene un valor ρs que difiere del valor ambiente. Para el análisis del movimiento estacionario que aparece, haremos uso del volumen de control que se define en la figura, que se extiende a todo el interior del codo, de forma que su superficie incluye la superficie Σe de entrada, transversal al conducto, la superficie Σs de salida y la superficie lateral Σl 79

´ 6.5. EJEMPLOS DE APLICACION que las une, que se define pegada al conducto. De nuevo en este caso despreciaremos el efecto de las fuerzas gravitatorias. Dado que el movimiento es estacionario y que el volumen de control es fijo, de forma que v¯c = 0, las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento dadas en (5.1) y (6.10) se reducen en este caso a ρ¯ v·n ¯ dσ = 0 (6.23) Σe +Σs +Σl ρ¯ v (¯ v·n ¯ )dσ = − p¯ ndσ + τ¯ · n ¯ dσ. (6.24) Σe +Σs +Σl

Σe +Σs +Σl

Σe +Σs +Σl

En la superficie lateral, la velocidad del fluido es nula, por la condición de adherencia, por lo que v¯ · n ¯ = 0 y son nulos los flujos de masa Σl ρ¯ v·n ¯ dσ y cantidad de movimiento Σl ρ¯ v (¯ v·n ¯ )dσ. En la superficie de entrada, el flujo de masa por unidad de superficie que sale del volumen de control es uniforme e igual a ρ¯ ¯ = −ρe ve , por lo que la integración a toda la superficie v · n proporciona de manera inmediata Σe ρ¯ v ·n ¯ dσ = −ρe ve A. De forma análoga, uno puede evaluar el flujo másico en la superficie de salida para dar Σs ρ¯ v·n ¯ dσ = ρs vs A. Sustituyendo estas dos expresiones en (6.23) y dividiendo el resultado por el valor constante del a´ rea transversal A obtenemos una primera relación entre las propiedades a la entrada y a la salida (6.25)

G/A = ρe ve = ρs vs ,

donde G es el gasto de gas que circula por el conducto (masa por unidad de tiempo). Antes de aplicar la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento, conviene recordar que e´ sta es una ecuación vectorial que, para el problema que nos ocupa, tiene dos componentes. Para expresarla definimos por tanto el sistema de coordenadas x − y que se indica en la figura, donde x está orientada en el sentido del flujo en el conducto aguas arriba del codo e y está orientada en el sentido contrario al flujo en la salida, de forma que, en función de los vectores unitarios e¯x y e¯y , los vectores velocidad en las superficies de entrada y salida son, respectivamente, v¯ = ve e¯x y v¯ = −vs e¯y . El flujo de cantidad de movimiento por unidad de superficie ρ¯ v (¯ v ·n ¯ ) se obtiene al multiplicar el flujo másico ρ(¯ v ·n ¯ ), que es un escalar, por el vector velocidad correspondiente, obteniéndose en las dos secciones consideradas ρ¯ v (¯ v ·n ¯ ) = −ρe ve2 e¯x 2 y ρ¯ v (¯ v·n ¯ ) = −ρs vs e¯y . Los vectores resultantes son uniformes en cada una de las dos superficies, y resulta entonces trivial calcular el flujo total multiplicando por el a´ rea transversal para dar ρ¯ v (¯ v·n ¯ )dσ = −ρe ve2 A¯ ex − ρs vs2 A¯ ey = −G(ve , vs ). (6.26) Σe +Σs

Para el cálculo de la resultante de las fuerzas de superficie, tendremos en cuenta que el campo de velocidad en las secciones Σe y Σs es uniforme, por lo que los esfuerzos viscosos τij son idénticamente nulos. Por otra parte, dado que la presión en estas dos secciones también es uniforme, el cálculo de la fuerza de presión proporciona p¯ ndσ = +pe A¯ ex + pa A¯ ey = A(pe , pa ). (6.27) − Σe +Σs

Sustituyendo (6.26) y (6.27) en (6.24) obtenemos − A(pe +

ρe ve2 , pa

+

ρs vs2 )

=− 80

τ¯ · n ¯ dσ.

p¯ ndσ + Σl

Σl

(6.28)

´ 6.5. EJEMPLOS DE APLICACION En la superficie lateral Σl , ni la presión p ni los esfuerzos viscosos τ¯ · n ¯ son en principio conocidos, con lo que no es posible a priori calcular la contribución correspondiente. Los términos que aparecen en el lado derecho de la ecuación anterior corresponden a la fuerza que hace el conducto sobre el gas que circula por su interior, que es igual a menos la fuerza que hace el gas sobre el conducto F¯g→C . Para realizar el cálculo de F¯g→C de acuerdo a la Ec. (6.13) hacemos uso de la superficie Σi que se define en la Fig. (6.7), con lo que queda ¯ Fg→C = − p¯ ndσ + τ¯ · n ¯ dσ. (6.29) Σi

Σ

Puesto que la normal n ¯=n ¯ i que aparece en esta ecuación, asociada a la superficie Σi , es igual y de signo contrario a la que corresponde a la superficie Σl en la Ec. (6.28), concluimos que F¯g→C = A(pe + ρe ve2 , pa + ρs vs2 ).

(6.30)

Σ ex

nex ni

Σi

ni Σ ex

pa

n ex n ex n i

Figura 6.7: Cálculo de la fuerza sobre el codo. Al igual que ocurr´ıa en el caso del movimiento en la boquilla, si queremos calcular la fuerza que se ejerce sobre el codo (la que medir´ıamos con un dinamómetro conectado a la sección de entrada al codo), debemos añadir a F¯g→C la fuerza que ejerce el aire que rodea el codo, F¯a→C , para dar F¯C = F¯g→C + F¯a→C . En este caso, la contribución de la fuerza de viscosidad ser´ıa nula, por encontrarse el ambiente en reposo, por lo que la fuerza se reduce a ¯ pa n ¯ dσ, (6.31) Fa→C = − Σex

donde la superficie Σex se encuentra definida en la Fig. 6.7. Siguiendo el mismo procedimiento seguido en el cálculo de (6.20), consistente en considerar la superficie cerrada que se genera al añadir a Σex las dos caras situadas en las secciones de entrada y salida, obtendremos en este caso ex − pa A¯ ey (6.32) F¯a→C = −pa A¯ para la fuerza que ejerce el aire, que, añadida a (6.30) proporciona finalmente F¯C = F¯g→C + F¯a→C = A(pe − pa + ρe ve2 , ρs vs2 ).

(6.33)

De nuevo en este caso se comprueba que, para incorporar en el cálculo de la fuerza sobre un conducto la contribución de la presión atmosférica exterior basta con reemplazar la presión en la entrada y la salida por sus valores manométricos. 81

´ DEL MOMENTO CINETICO ´ 6.6. ECUACION

6.6 Ecuación del momento cinético De forma análoga al desarrollo realizado en la deducción de (6.5), uno puede hacer uso de la descripción de las fuerzas másicas y de superficie actuando sobre un volumen fluido para obtener el momento que ejercen con respecto a un punto dado ¯ ¯ Mext = − (¯ x − x¯o ) ∧ (p¯ n)dσ + (¯ x − x¯o ) ∧ (τ · n ¯ )dσ + ρ(¯ x − x¯o ) ∧ f¯m dV. (6.34) Σf

Σf

Vf

Sustituyendo la ecuación resultante en (4.4) y haciendo uso del teorema de transporte de Reynolds se obtiene d ρ(¯ x − x¯o ) ∧ v¯dV + ρ[(¯ x − x¯o ) ∧ v¯][(¯ v − v¯c ) · n ¯ ]dσ = dt Vc (t) Σc (t) (6.35) − (¯ x − x¯o ) ∧ (p¯ n)dσ + (¯ x − x¯o ) ∧ (τ¯ · n ¯ )dσ + ρ(¯ x − x¯o ) ∧ f¯m dV Σc (t)

Σc (t)

Vc (t)

para la ecuación de conservación del momento cinético aplicada a un volumen de control genérico. Como se ve, la variación del momento cinético en un volumen de control viene dada por el flujo convectivo de momento cinético que entra a través de la superficie de control − ρ[(¯ x − x¯o ) ∧ v¯][(¯ v − v¯c ) · n ¯ ]dσ Σc (t)

más el momento angular de las fuerzas exteriores que actúan sobre el volumen y la superficie de control. De nuevo se trata de una ecuación vectorial.

pa

pe

y x

H A

ps

Figura 6.8: Flujo en un doble codo.

Esta nueva ecuación supone una forma alternativa de expresar la Segunda Ley de Newton, que resulta particularmente u´ til para al análisis de movimientos fluidos con giro, facilitando el cálculo de los momentos que aparecen. Como ejemplo de aplicación, considere el doble codo de sección A y brazo H de la figura adjunta, por el que circula un caudal Q de un l´ıquido de densidad ρ. El objetivo es hacer aplicación de las ecuaciones de conservación de la cantidad de movimiento y del momento cinético para determinar la fuerza y el momento que actúan sobre el doble codo. Para el análisis, suponemos conocidos los valores de la presión en las secciones de entrada y salida del codo pe y ps . El sistema de coordenadas lo centramos en el centro del codo 82

´ DEL MOMENTO CINETICO ´ 6.6. ECUACION superior, tal y como se indica en la Fig. 6.8, de forma que la coordenada z tendr´ıa dirección perpendicular al plano del movimiento y orientada hacia el lector. La fuerza total sobre el doble codo, ¯ ¯ Fdc = − p¯ ndσ + pa n ¯ dσ (6.36) τ ·n ¯ dσ − Σi

Σi

Σex

proviene de la fuerza de presión y fuerza viscosa que ejerce el l´ıquido que circula por el interior a la que hay que añadir la fuerza de presión que ejerce el aire que rodea el conducto, que está en reposo, por lo que τ¯ · n ¯ = 0 y p = pa en la superficie exterior. Las superficies Σi y Σex sobre las que hay que extender las integrales coinciden, como se ve en la figura adjunta, pero ¯ ex difieren en el sentido de orientación. La condición n ¯ i = −¯ nex sus vectores normales n ¯i y n permite reescribir la Ec. (6.36) en la forma ¯ Fdc = − (p − pa )¯ ndσ + τ¯ · n ¯ dσ (6.37) Σi

Σi

con la que introducimos de forma expl´ıcita la presión manométrica en el cálculo de la fuerza.

ni

Σ ex n ex Σ i

¯ dc . Figura 6.9: Superficies para el cálculo de F¯dc and M ¯ dc hay que elegir el punto Para el cálculo del momento que se ejerce sobre el doble codo M x¯o respecto al cual lo tomamos. Si, por ejemplo, elegimos el origen de coordenadas, x¯o = 0, la expresión para el momento dada en (6.14) queda ¯ Mdc = − x¯ ∧ p¯ ndσ + x¯ ∧ (τ¯ · n ¯ )dσ − x¯ ∧ pa n ¯ dσ, (6.38) Σi

Σi

Σex

que siguiendo el razonamiento anterior puede reescribirse en función de la presión manométrica para dar ¯ x¯ ∧ (p − pa )¯ ndσ + x¯ ∧ (τ¯ · n ¯ )dσ. (6.39) Mdc = − Σi

Σi

El campo de presión y los esfuerzos viscosos sobre la pared del conducto no son conocidos, por lo que en principio no es posible el cálculo de las integrales que aparecen en (6.37) y (6.39). Puesto que la acción del l´ıquido sobre el conducto es igual y de signo contrario a la que ejerce el ¯ dc estuconducto sobre el l´ıquido que circula por e´ l, es posible determinar los valores de F¯dc y M diando la evolución que sufre la corriente fluida al pasar por el doble codo. Para ello, definimos un volumen de control fijo que incluye al l´ıquido en el interior del doble codo, tal y como se indica en la Fig. 6.8, con la secciones de entrada y salida Σe y Σs definidas suficientemente lejos 83

´ DEL MOMENTO CINETICO ´ 6.6. ECUACION aguas arriba y aguas abajo para que la velocidad en ellas sea uniforme, con valor U = Q/A. Para facilitar el análisis, despreciamos el efecto de las fuerzas de gravedad en el movimiento. En ese caso, con v¯c = 0, y dado que el movimiento es estacionario, las Ecs. (6.10) y (??) se simplifican para dar ρ¯ v (¯ v·n ¯ )dσ = − (p − pa )¯ ndσ + τ¯ · n ¯ dσ. (6.40) Σc Σc Σc (¯ x ∧ ρ¯ v )(¯ v·n ¯ )dσ = − x¯ ∧ (p − pa )¯ ndσ + x¯ ∧ (τ¯ · n ¯ )dσ, (6.41) Σc

Σc

Σc

donde la superficie del volumen de control Σc incluye las superficies de entrada y salida Σe y Σs junto con la superficie lateral Σl , que coincide con la superficie del conducto, por lo que a ¯ dc , hemos elegido través de ella no pasa fluido. Nótese que, para facilitar el cálculo de F¯dc y M en este caso escribir las integrales de presión en función de lapresión manom´ etrica, p − pa , lo ¯ dσ y Σc x¯ ∧ pa n ¯ dσ, que que equivale a añadir a las ecuaciones términos de la forma Σc pa n resultan ser idénticamente nulos, por tratarse de un campo de presión uniforme actuando sobre una superficie cerrada. El flujo de cantidad de movimiento en las secciones de entrada y salida es en este caso −ρU 2 A¯ ex y ρU 2 A¯ ex , respectivamente, por lo que la cantidad neta que sale del volumen de control resulta ser nula. En estas dos secciones, la fuerza viscosa es también nula, ya que el perfil de velocidad es uniforme, mientras que el cálculo de la fuerza de presión proporciona − Σe (p − pa )¯ ndσ = (pe − pa )A¯ ex y − Σs (p − pa )¯ ndσ = −(ps − pa )A¯ ex . Combinando estos resultados, podemos reescribir (6.40) en la forma 0 = (pe − pa )A¯ ex − (ps − pa )A¯ ex − (p − pa )¯ ndσ + τ¯ · n ¯ dσ. (6.42) Σl

Σl

Comparando ahora la expresión resultante con la Ec. (6.37) y dado que las superficies Σi y Σl coinciden punto a punto con n ¯ i = −¯ nl , obtenemos finalmente ex − (ps − pa )A¯ ex , F¯dc = (pe − pa )A¯

(6.43)

para la fuerza total que se ejerce sobre el doble codo. Esta expresión se puede simplificar aún ex , indicando que, en este caso, la presión ambiente no afecta al más para dar F¯dc = (pe − ps )A¯ resultado (hacemos notar al lector que e´ ste no es un resultado general, tal y como puede ver en las Ecs. (6.22) y (6.33) que expresan la resultante de las fuerzas sobre la boquilla y el codo simple, respectivamente). Procedemos ahora a calcular los distintos términos de la ecuación de momento cinético (6.41). El flujo de momento cinético que sale del volumen de control, Σc (¯ x ∧ ρ¯ v )(¯ v·n ¯ )dσ, es nulo en la superficie lateral Σl , porque a través de ella no pasa fluido, y también es nulo en la superficie de entrada Σe porque el momento cinético del fluido en esa sección respecto al origen de coordenadas x¯ ∧ ρ¯ v es idénticamente cero al estar alineados los vectores x¯ y v¯. Por otra parte, ¯ = U, por lo en la sección de salida el momento cinético es x¯ ∧ ρ¯ v = ρUH e¯z mientras que v¯ · n que se obtiene (¯ x ∧ ρ¯ v )(¯ v·n ¯ )dσ = ρU 2 HA¯ ez .

(6.44)

Σs

El momento que ejerce la fuerza de presión en la sección de entrada es igualmente nulo, puesto que el vector normal a la misma n ¯ = −¯ ex resulta estar alineado con x¯. En la sección de salida, 84

´ DE BERNOULLI 6.7. LA ECUACION donde x¯ ∧ (p − pa )¯ n = (ps − pa )H e¯z , obtenemos para el momento de la fuerza de presión x¯ ∧ (p − pa )¯ ndσ = −(ps − pa )HA¯ ez . (6.45) − Σs

Como los esfuerzos viscosos en las secciones de entrada y salida son nulos, por ser uniforme all´ı el campo de velocidades, la Ec. (6.41) proporciona finalmente 2 ez = −(ps − pa )HA¯ ez − x¯ ∧ (p − pa )¯ ndσ + x¯ ∧ (τ¯ · n ¯ )dσ. (6.46) ρU HA¯ Σl

Σl

Si observamos ahora la Ec. (6.39), y teniendo en cuenta de nuevo que las superficies Σi y Σl coinciden punto a punto con n ¯ i = −¯ nl , obtenemos ¯ dc = −(ps − pa + ρU 2 )HA¯ M ez

(6.47)

para el momento que se ejerce sobre el doble codo. El momento que se obtiene es negativo, indicando que la l´ınea de aplicación de la fuerza se encuentra por encima del codo, a una dis¯ dc y F¯dc para dar tancia vertical que podemos calcular fácilmente dividiendo los módulos de M 2 y = (ps − pa + ρU )H/(pe − ps ).

6.7 La ecuación de Bernoulli En numerosas ocasiones, el efecto de la viscosidad en el movimiento fluido es pequeño y se puede despreciar en primera aproximación, incluso en regiones donde el campo de velocidad no es uniforme. Bajo esas condiciones, diremos que el movimiento corresponde al de un fluido ideal. Tal y como veremos posteriormente en el tema de Análisis Dimensional, resulta ´ justificado aplicar esta simplificación en movimientos fluidos tales que el numero de Reynolds asociado ρUc Lc Re = (6.48) μ es grande, donde Uc y Lc son los valores caracter´ısticos de la velocidad y del tamaño del campo fluido y ν = μ/ρ es la viscosidad cinemática del fluido. Dado que los valores t´ıpicos de ν para el agua y el aire son νagua 10−6 m2 /s y νaire 10−5 m2 /s, es fácil ver que la aproximación de flujo ideal se aplica a muchos movimientos de interés ingenieril. Si, además de tener efecto de viscosidad despreciable, resulta que se trata de un movimiento estacionario y el fluido tiene densidad constante, entonces se comprueba que existe una relación sencilla entre la velocidad, la presión y la altura a lo largo de una l´ınea de corriente dada, que se denomina ecuación de Bernoulli. Esta ecuación fue formulada inicialmente por Daniel Bernoulli en 1738, aunque la deducción completa se debe a Leonhard Euler, en 1755.

6.7.1 Flujo estacionario ideal de un l´ıquido en un tubo de corriente Para la deducción de la ecuación de Bernoulli, consideramos el movimiento a lo largo del tubo de corriente infinitesimal de la figura adjunta, donde la coordenada s está medida a lo largo de la l´ınea de corriente central y e¯s representa el vector unitario dirigido a lo largo de dicha l´ınea. Para el análisis del movimiento, elegimos un volumen de control infinitesimal formado por el tubo de corriente y dos secciones transversales al mismo situadas a una distancia ds, cuyos 85

´ DE BERNOULLI 6.7. LA ECUACION

ds es

A

s

v n

Figura 6.10: Tubo de corriente empleado en la deducción de la ecuación de Bernoulli.

vectores normales son, respectivamente, −¯ es y e¯s . Puesto que a través del tubo de corriente no pasa fluido, la aplicación del principio de conservación de la masa a dicho volumen de control proporciona − (ρvA)s + (ρvA)s+ds = 0, (6.49) indicando que el flujo másico a lo largo del tubo de corriente se mantiene constante. En primera aproximación, como las dos superficies se encuentran muy próximas, podemos escribir (ρvA)s+ds = (ρvA)s +

∂(ρvA) ds, ∂s

(6.50)

con lo que (6.49) se reduce a la ecuación diferencial ∂ (ρvA) = 0. ∂s

(6.51)

La ecuación de la cantidad de movimiento que corresponde aplicar al tubo de corriente para el movimiento estacionario de un l´ıquido ideal es la Ec. (6.12), escrita para un volumen de control fijo, sin derivada temporal y sin la resultante de los esfuerzos viscosos, para dar ρ¯ v (¯ v·n ¯ )dσ = − (p + ρgz)¯ ndσ. (6.52) Σc

Σc

El flujo de cantidad de movimiento es nulo en el tubo de corriente, por lo que la primera integral se evalúa solamente en las secciones de entrada y salida ρ¯ v (¯ v·n ¯ )dσ = −(ρv 2 A¯ es )s + (ρv 2 A¯ es )s+ds . (6.53) Σc

De nuevo en este caso, conviene hacer uso de la expansión 2

(ρv A¯ es )s+ds y reescribir

∂(ρv 2 A) e¯s ds = (ρv A¯ es )s + ∂s 2

ρ¯ v (¯ v·n ¯ )dσ = Σc

86

∂(ρv 2 A) e¯s ds, ∂s

(6.54)

(6.55)

´ DE BERNOULLI 6.7. LA ECUACION que, en virtud de la conservación del flujo másico dada en (6.51), admite la forma simplificada ∂v ρ¯ v (¯ v·n ¯ )dσ = ρvA e¯s ds. (6.56) ∂s Σc Por otra parte, para evaluar las fuerzas de presión actuando sobre el tubo de corriente, hacemos uso del teorema de Gauss para reescribir la integral de superficie como una integral de volumen (p + ρgz)¯ ndσ = − ∇(p + ρgz)dV. (6.57) − Σc

Vc

Dado que el volumen de control es muy pequeño (su volumen está dado en primera aproximación por Ads) y que ∂(p + ρgz) e¯s (6.58) ∇(p + ρgz) = ∂s esta ecuación se puede evaluar para dar ∂(p + ρgz) A¯ es ds. − (p + ρgz)¯ ndσ = − (6.59) ∂s Σc Sustituyendo los resultados parciales (6.56) y (6.59) en (6.52) y dividiendo el resultado por A¯ es ds se llega a ∂v ∂ ρv + (p + ρgz) = 0, (6.60) ∂s ∂s que puede reescribirse en la forma ∂ 1 2 (6.61) p + ρv + ρgz = 0. ∂s 2 Esta u´ ltima ecuación nos dice que, en el movimiento estacionario de un l´ıquido ideal, a lo largo de cada l´ınea de corriente se mantiene constante la suma de la presión, la energ´ıa cinética (por unidad de volumen) y la energ´ıa potencial gravitatoria (por unidad de volumen), lo que expresamos en la forma 1 p + ρv 2 + ρgz = Cl , (6.62) 2 donde la constante Cl puede variar de una l´ınea de corriente a otra. En aplicaciones donde el efecto de la gravedad no resulta importante en el movimiento, la ecuación anterior toma la forma simplificada 1 p + ρv 2 = po . (6.63) 2 En este caso, a la constante po se la denomina presión de remanso. En el a´ mbito de aplicación de (6.63) es costumbre denominar a la presión p con el sobrenombre de presión estática y a la energ´ıa cinética por unidad de volumen, ρv 2 /2, presión dinámica.

6.7.2 Vaciado de un depósito de l´ıquido Retomamos el problema del vaciado de un depósito de l´ıquido que estudiamos en la sección 5.4.3. Según vimos, por aplicación de la ecuación de continuidad a un volumen de control variable, que incluye todo el l´ıquido contenido en el depósito, obtenemos la ecuación diferencial Ad

dh = −Qs dt 87

(6.64)


Ad

pa

h(t) z

As Σs

vs

hs

pa

Figura 6.11: Vaciado de un depósito de l´ıquido.

que debemos integrar con la condición inicial h(0) = ho . Para cerrar el problema, necesitamos encontrar una expresión para el caudal de salida Qs , cuyo valor podemos anticipar que será función de la altura h(t). Si, como ocurre en muchas aplicaciones, el a´ rea transversal de la boquilla As = πDs2 /4 es mucho más pequeña que el a´ rea transversal del depósito, en el interior del depósito encontramos velocidades que son mucho más pequeñas que las velocidades en la salida de la boquilla. En ese caso, podemos hacer uso en primera aproximación de la ecuación de la fluidostática, que proporciona p + ρgz = pa + ρgh (6.65) para el campo de presiones en el interior del depósito, donde la coordenada z está medida desde el fondo del depósito, tal y como se indica en la figura 6.11. La ecuación anterior falla en una región a la entrada de la boquilla, cuyo tamaño es comparable al diámetro de salida de la boquilla Ds . En esta región el l´ıquido se acelera desde el reposo hasta alcanzar la velocidad vs a la salida. En muchas ocasiones, el número de Reynolds resultante vs Ds /ν es suficientemente grande como para despreciar los efectos de la viscosidad en el proceso de aceleración. Por otra parte, el movimiento en esta región es aproximadamente estacionario, ya que la variación que se produce con el tiempo, asociada a la variación de h(t), es lenta. Por tanto, a lo largo de cada l´ınea de corriente en esta región de salida se puede aplicar la ecuación (6.62). Para determinar la constante que se aplica a lo largo de una l´ınea de corriente dada, nos remontamos aguas arriba hasta el interior del depósito, donde v → 0 y donde el campo de presiones viene dado por la Ec. (6.65), con lo que obtenemos 1 p + ρv 2 + ρgz = pa + ρgh. (6.66) 2 Nótese que, en este caso, el valor de la constante es independiente de la l´ınea de corriente elegida, porque el valor de la presión reducida en el depósito p + ρgz = pa + ρgh es uniforme. 88

´ DE BERNOULLI 6.7. LA ECUACION Podemos evaluar ahora la expresión anterior, que vale todo a lo largo de la l´ınea de corriente, en la sección de salida, donde la presión se hace igual a la presión ambiente pa , con lo que obtenemos 1 pa + ρvs2 − ρghs = pa + ρgh, (6.67) 2 donde hemos tenido en cuenta que la sección de salida corresponde a un valor de la coordenada vertical z = −hs . Despejando ahora el valor de vs obtenemos vs = 2g(h + hs ), (6.68) que permite determinar el caudal de salida Qs = As 2g(h + hs ). Resulta interesante observar que la velocidad que se obtiene a la salida en este caso corresponde a la de ca´ıda libre de un móvil sometido a la fuerza de la gravedad, sin fricción, desde una altura h + hs . Si sustituimos ahora la Ec. (6.68) en (6.64) obtenemos el problema Ad

dh = −As 2g(h + hs ); dt

h(0) = ho

Separación de variables proporciona t h dh As √ =− 2g dt, Ad h + hs ho 0 que podemos integrar para dar

ho + hs −

h + hs =

As (g/2)1/2t Ad

(6.69)

(6.70)

(6.71)

para la evolución de la altura h con el tiempo. Esta ecuación, evaluada en h = 0, nos permite determinar en particular el tiempo de vaciado del depósito tv = ( ho + hs − hs )(Ad /As ) 2/g. (6.72) Si, como ocurre a menudo, la longitud de la boquilla hs es mucho menor que la altura inicial de l´ıquido en el depósito ho , el resultado anterior se simplifica para dar tv = (Ad /As ) 2ho /g.

6.7.3 Tubo de Pitot En el ejemplo anterior, la gravedad resultaba determinante en el movimiento. Existen otros ejemplos, donde su efecto se puede despreciar, de forma que la ecuación de Bernoulli toma la forma simplificada (6.63). Uno de dichos ejemplos es el tubo de Pitot, que es un aparato comúnmente utilizado para medir la velocidad de un fluido a partir de medidas de la presión estática y la presión de remanso. Considere el campo fluido de velocidad uniforme U∞ y presión p∞ de la figura 6.12. Si introducimos un pequeño tubo alineado con la corriente, el campo fluido se ve ligeramente perturbado de forma que las l´ıneas de corriente se deflectan. La velocidad en la parte delantera del tubo de Pitot se hace nula y, por lo tanto, la presión aumenta tomando el valor de la presión de remanso po . 2 Aplicando la ecuación de Bernoulli tenemos p∞ + 1/2 ρ U∞ = po . De este modo si somos capaces de medir po y p∞ podemos obtener el valor de la velocidad como, 2 (po − p∞ ) (6.73) U∞ = ρ 89


Figura 6.12: Tubo de Pitot.

El tubo de Pitot esquematizado en la figura 6.12 permite medir la diferencia de presiones (po − p∞ ) a partir de las tomas de presión mecanizadas tanto en el punto frontal como en la periferia del tubo. La presión en el punto frontal es la presión de remanso po dado que su velocidad es nula y la presión a lo largo de la periferia del tubo es la presión estática p∞ debido a que las l´ıneas de corriente se mantienen paralelas al tubo.

6.7.4 Tubo de Venturi Otra aplicación donde podemos despreciar el efecto de la gravedad en la aceleración es el tubo de Venturi, que es un aparato que nos permite medir el caudal que circula por un conducto a partir de la medida de la diferencia de presiones entre dos puntos de diferente sección del tubo.

D

Uc pc

Dg

Ug

D

pg

Figura 6.13: Tubo de Venturi.

La forma caracter´ıstica de un tubo de Venturi, mostrado en la figura 6.13, consiste en un tubo con un estrechamiento de su sección transversal, el cual produce un aumento en la velocidad y una disminución de la presión, seguido de una región gradualmente divergente donde la velocidad es transformada de nuevo en presión con una pequeña e inevitable pérdida por fricción. La ca´ıda de presión puede relacionarse con el gasto que circula por el conducto de modo que el tubo de Venturi puede ser utilizado como medidor de caudal. Escribiendo la ecuación de Bernoulli entre los puntos de entrada al tubo de Venturi y su garganta (punto de máximo estrechamiento), se obtiene 1 1 pc + ρ Uc2 = pg + ρ Ug2 . (6.74) 2 2 Dado que el flujo es incompresible, el caudal que atraviesa cualquier sección se mantiene cons-

90

´ DE BERNOULLI 6.7. LA ECUACION tante, Q = Uc Ac = Ug Ag . Sustituyendo Uc = Ug Dg2 /Dc2 en la ecuación (6.74) puede obtenerse Q = Ug Ag =

1 4

π Dg2 4 g 1− D Dc

2 (pc − pg ) ρ

(6.75)

Este resultado es válido, al igual que la ecuación de Bernoulli, en el caso de flujos ideales en los cuales la contribución de los efectos viscosos es despreciable. En realidad, el efecto de la viscosidad, aunque pequeño, está presente, de modo que el caudal real puede discrepar ligeramente del calculado por la ecuación anterior. Por ello se introduce un coeficiente de descarga Cd que se define por π Dg2 2 (pc − pg ) Cd (6.76) Q= 4 4 ρ Dg 1 − Dc La ecuación (6.74) indica como conforme el fluido circula a lo largo del tubo de Venturi su velocidad aumenta y por consiguiente la presión disminuye. Si el fluido que circula por el conducto fuese agua, y el diámetro de la garganta fuese lo suficientemente pequeño en relación al diámetro del conducto, la velocidad en la garganta del tubo de Venturi podr´ıa ser lo suficientemente alta como para que la presión en este punto alcanzase la presión de vapor pg = pv . En este caso se poducir´ıa el fenómeno denominado cavitación con la formación de burbujas de vapor de agua en la garganta.

91

Cap´ıtulo 7 Ecuación de la energ´ıa 7.1 Variación de la energ´ıa en un volumen fluido Tal y como vimos anteriormente, de acuerdo al primer principio de la termodinámica, la variación con el tiempo de la cantidad de energ´ıa contenida en un volumen fluido es igual al ˙ ext y al calor trabajo que ejercen las fuerzas exteriores sobre el fluido por unidad de tiempo W ˙ que se aporta por unidad de tiempo al fluido Q, de forma que d ˙ ext + Q. ˙ ρ(e + v 2 /2)dV = W (7.1) dt Vf (t) En principio, tanto las fuerzas másicas como las fuerzas de superficie pueden realizar trabajo ˙ ext = W ˙m+W ˙ny sobre el fluido, de forma que W d ˙m+W ˙ n + Q. ˙ ρ(e + v 2 /2)dV = W (7.2) dt Vf (t) Pasamos a desarrollar ahora los términos de trabajo y calor en esta ecuación antes de escribirla para un volumen de control. n f n dσ

fm

v Σ f(t)

dV v Vf (t)

Figura 7.1: Trabajo de las fuerzas exteriores sobre un volumen fluido.

92

´ DE LA ENERGIA ´ EN UN VOLUMEN FLUIDO 7.1. VARIACION

7.1.1 Trabajo de las fuerzas másicas. Energ´ıa potencial. Para evaluar el trabajo de las fuerzas másicas, consideramos una part´ıcula fluida dV situada en el interior del volumen fluido, sobre la que actúa una fuerza ρf¯m dV que es igual al producto de su masa ρdV por la fuerza por unidad de masa f¯m a la que se encuentra sometida. El trabajo se obtiene en general como producto escalar de la fuerza por el vector desplazamiento, de donde el trabajo que se ejerce sobre la part´ıcula fluida por unidad de tiempo resulta ser v¯ · (ρf¯m dV ), siendo v¯ la velocidad del fluido (esto es, el desplazamiento por unidad de tiempo de la part´ıcula ˙ m sobre el conjunto de todas las part´ıculas fluidas que fluida). El trabajo de las fuerzas másicas W componen el volumen de control se obtiene al sumar las distintas contribuciones individuales de acuerdo a ˙m= W ρf¯m · v¯dV. (7.3) Vf

Para el análisis de muchos movimientos donde las fuerzas másicas son conservativas resulta ˙ m a través de un término de energ´ıa potencial. El caso de interesante incorporar el trabajo W mayor interés práctico es el de las fuerzas gravitatorias, que cumplen f¯m = g¯ = −∇(gz), siendo z la distancia medida perpendicularmente a la superficie de la Tierra. El integrando que aparece en (7.3) se puede por tanto escribir en la forma ρf¯m · v¯ = −ρ¯ v · ∇(gz) = −∇ · (ρgz¯ v ) + gz∇ · (ρ¯ v ).

(7.4)

Para escribir la segunda igualdad, hemos tenido en cuenta que la divergencia de un producto de un escalar a por un vector ¯b cumple la identidad ∇ · (a¯b) = a∇ · (¯b) + ¯b · ∇a. Por otra parte, en virtud de la conservación de la masa1 , ∇ · (ρ¯ v ) = −∂ρ/∂t, por lo que al sustituir (7.4) en (7.3) podemos escribir ∂ρ ˙m=− W (7.5) ∇ · (ρgz¯ v )dV − gz dV. ∂t Vf Vf La primera integral la podemos transformar en una integral de superficie por el teorema de Gauss para dar ∇ · (ρgz¯ v )dV = ρgz¯ v·n ¯ dσ, (7.6) Vf

Σf

mientras que la segunda se puede escribir en la forma ∂ρ ∂(ρgz) dV, gz dV = ∂t ∂t Vf Vf 1

(7.7)

La masa contenida en un volumen fluido es constante, por lo que haciendo uso de (4.14) obtenemos d ∂ρ dV + ρdV = ρ¯ v·n ¯ dσ = 0. dt Vf Vf ∂t Σf

De acuerdo al teorema de Gauss, la u´ ltima de las integrales la podemos reescribir en la forma ∇ · (ρ¯ v )dV , por lo que Vf ∂ρ + ∇ · (ρ¯ v ) dV = 0. ∂t Vf

Σf

ρ¯ v·n ¯ dσ =

La u´ nica forma de que esta igualdad se verifique independientemente de la forma del volumen fluido elegido es que ∂ρ + ∇ · (ρ¯ v) = 0 ∂t en todos los puntos del espacio.

93

´ DE LA ENERGIA ´ EN UN VOLUMEN FLUIDO 7.1. VARIACION puesto que gz no depende del tiempo. Para interpretar lo obtenido, ∂(ρgz) ˙ ρgz¯ v·n ¯ dσ, Wm = − dV − ∂t Vf Σf

(7.8)

recurrimos al resultado general (4.14) que obtuvimos en la deducción del teorema del transporte de Reynolds para una cierta magnitud intensiva por unidad de volumen φ ∂φ d φ dV = φ v¯ · n ¯ dσ. (7.9) dV + dt Vf (t) Vf (t) ∂t Σf (t) Identificando en este caso φ = ρgz podemos finalmente escribir d ˙m=− (ρgz) dV , W dt Vf (t)

(7.10)

ecuación que indica que el trabajo de las fuerzas másicas es igual a menos la variación de la energ´ıa potencial gravitatoria contenida en el volumen fluido. La ecuación de conservación de la energ´ıa (7.2) admite por tanto la formulación alternativa d 2 ˙ n + Q, ˙ ρ(e + v /2 + gz)dV = W (7.11) dt Vf (t) que incorpora el trabajo de la fuerza gravitatoria en un término de energ´ıa potencial y limita el trabajo de las fuerzas exteriores al ejercido por las fuerzas de superficie (presión y fuerzas viscosas).

7.1.2 Trabajo de las fuerzas de superficie Para el cálculo del trabajo de las fuerzas de superficie, consideramos un elemento de superficie fluida dσ que se encuentra en la superficie del volumen fluido Σf . El trabajo por unidad de tiempo que se realiza sobre dicho elemento de superficie fluida lo obtenemos al multiplicar el desplazamiento por unidad de tiempo v¯ por la fuerza f¯n dσ, donde f¯n = −p¯ n + τ¯ · n ¯ . Al integrar a toda la superficie para tener en cuenta la contribución de todos los elementos que componen Σf obtenemos ˙ p¯ v·n ¯ dσ + v¯ · (τ¯ · n ¯ )dσ, (7.12) Wn = − Σf

Σf

donde hemos escrito separadamente las contribuciones del trabajo de la fuerza de presión y de la fuerza de viscosidad.

7.1.3 Transferencia de calor El calor se aporta al fluido por conducción a través de la superficie exterior del volumen fluido, pero también por radiación o por reacción qu´ımica en el interior del volumen fluido, Q˙ R + Q˙ Q = (q˙R + q˙Q )dV, (7.13) Vf

94

´ DE CONSERVACION ´ DE LA ENERGIA ´ 7.2. ECUACION donde q˙R y q˙Q son las aportaciones de calor por unidad de volumen y unidad de tiempo debidas a radiación y reacción qu´ımica, respectivamente. En general, los valores de q˙R y q˙Q son función del estado termodinámico local y de la composición del fluido. Respecto a la conducción de calor, la ley de Fourier indica que el flujo de calor a través de un elemento de superficie dσ (energ´ıa por unidad de tiempo) viene dado por − k(∂T /∂n)dσ = −k(∇T · n ¯ )dσ,

(7.14)

donde n ¯ es el vector unitario normal a la superficie y el factor de proporcionalidad k es la conductividad térmica. Aunque k puede ser en principio función de la temperatura, para muchas aplicaciones en las que la temperatura no var´ıa mucho se puede considerar que la conductividad térmica es constante. Si dσ es un elemento de la superficie fluida, cuyo vector normal está orientado hacia el exterior del volumen fluido, la expresión (7.14) corresponde al calor que abandona el volumen fluido por unidad de tiempo a través de dσ. Por tanto, para calcular la cantidad de calor que se aporta por unidad de tiempo al volumen fluido debemos cambiar el signo para dar Σf k(∇T · n ¯ )dσ. Al sumar las contribuciones de los distintos mecanismos de transferencia de calor obtenemos ˙ Q= k(∇T · n ¯ )dσ + (q˙R + q˙Q )dV. (7.15) Σf

Vf

7.2 Ecuación de conservación de la energ´ıa Nos encontramos ahora en disposición para escribir, a partir de (7.2) la ecuación de conservación de la energ´ıa aplicada a un volumen de control arbitrario Vc (t). Para ello, hacemos uso del Teorema del Transporte de Reynolds para reescribir la derivada temporal y empleamos las ˙m+W ˙ n y Q, ˙ obteniendo ˙ ext = W expresiones dadas en (7.3), (7.12), y (7.15) para calcular W d v2 v2 v − v¯c ) · n ρ(e + )dV + ρ(e + )(¯ ¯ dσ = − p¯ v·n ¯ dσ dt Vc (t) 2 2 Σc (t) Σc (t) (7.16) + v¯ · (τ¯ · n ¯ ) dσ + ρf¯m · v¯dV + k(∇T · n ¯ )dσ + (q˙R + q˙Q )dV. Σc (t)

Vc (t)

Σc

Vc

La lectura de esta ecuación indica que la variación de la energ´ıa contenida en un volumen de control Vc (t) sumada a la cantidad de energ´ıa que lo abandona debido al movimiento convectivo del fluido a través de su superficie Σf es igual a la suma del trabajo por unidad de tiempo ejercido por las fuerzas másicas actuando en el interior de Vf , el trabajo por unidad de tiempo de las fuerzas de presión y las fuerzas viscosas actuando en Σf , el calor que se aporta por unidad de tiempo debido a la conducción a través de dicha superficie y el calor que se aporta por radiación y reacción qu´ımica. Nótese que, en el caso de que la u´ nica fuerza másica que aparezca sea la gravitatoria, la deducción de la ecuación de la energ´ıa partir de (7.11) lleva a la formulación alternativa d v2 v2 + gz dV + + gz (¯ v − v¯c ) · n ρ e+ ρ e+ ¯ dσ = dt Vc (t) 2 2 Σc (t) (7.17) − p¯ v·n ¯ dσ + v¯ · (τ¯ · n ¯ ) dσ + k(∇T · n ¯ )dσ + (q˙R + q˙Q )dV, Σc (t)

Σc (t)

Σc

que resulta más u´ til para el análisis de muchos problemas. 95

Vc

´ ´ 7.3. BALANCE ENERGETICO EN MAQUINAS DE FLUIDOS

7.3 Balance energético en máquinas de fluidos Como ejemplo de aplicación, que nos servirá para aclarar y afianzar algunos conceptos, haremos uso de la ecuación anterior para estudiar máquinas de fluido en las que se produce un intercambio de potencia entre la corriente fluida y la máquina. El caso considerado, que se esquematiza en la figura adjunta, puede particularizarse para analizar un número de situaciones de interés: bombas y turbinas hidráulicas, compresores, turbinas de gas, aeromotores, etc.

n ve pe

Σp

ρe

n Σe

Σ

vs ps

1111 0000 0000 1111 0000 1111 0000 1111 00001111111111 1111 0000000000 0000 1111 0000000000 00001111111111 m1111 0000000000 00001111111111 1111 0000000000 1111111111 0000 1111 0000000000 00001111111111 1111 Q 0000000000 00001111111111 1111 0000000000 1111111111 0000 1111 0000000000 00001111111111 1111 0000000000 00001111111111 1111 0000000000 1111111111 0000 1111 R 0000000000 00001111111111 1111 0000000000 1111111111 0000 1111 0000000000 1111111111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111

ρs

q

n

q

n

Σs

Ae n

As

Figura 7.2: Máquina genérica de fluido. La máquina de fluido que se considera, contiene en general paredes fijas, incluyendo la carcasa exterior, que está abierta permitiendo la entrada y salida del fluido, con a´ reas de paso Ae y As que son en principio distintas. Además, la máquina incluye partes móviles en su interior que giran con respecto a dicha carcasa. El interior de la máquina puede también incluir un quemador, donde se libera calor por reacción qu´ımica y donde el efecto de la radiación puede ser importante. Para el análisis del movimiento, consideramos un volumen de control que incluye al fluido situado en el interior de la máquina. La superficie exterior incluye la sección de entrada Σe , la sección de salida Σs , as´ı como la pared interna de la carcasa Σp . El volumen de control solo puede contener fluido, de forma que, además, definimos una pared interior Σm en la frontera con las partes móviles. Mientras que la superficie exterior del volumen de control, formada por Σe + Σs + Σp , es fija, la superficie interior gira de manera solidaria con la parte móvil, de forma que la velocidad de la superficie de control Σm coincide con la velocidad de la superficie móvil en cada punto, esto es, v¯c = v¯m . Como siempre, la normal se define dirigida hacia el exterior del volumen de control. Suponemos que la máquina se encuentra en funcionamiento estacionario, de forma que la masa contenida en el interior del volumen de control se puede considerar constante en el tiempo. La ecuación de la conservación de la masa se reduce en este caso a ρ(¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = 0. (7.18) Σe +Σs +Σp +Σm

En las paredes de la carcasa, que se encuentra quieta (¯ vc = 0), la velocidad del fluido es nula por la condición de adherencia, por lo que no pasa fluido. Tampoco pasa fluido a través de Σm , 96

´ ´ 7.3. BALANCE ENERGETICO EN MAQUINAS DE FLUIDOS porque hemos definido dicha superficie pegada a la superficie de las partes rotatorias, de forma que en cada punto v¯c = v¯m . Como, por la condición de adherencia, la velocidad del fluido en contacto con la pared coincide con la velocidad de la pared, v¯ = v¯m , la velocidad del fluido relativa a la pared resulta ser nula, v¯ − v¯c = 0. Puesto que las superficies de entrada y salida son fijas (¯ vc = 0) la ecuación de continuidad se reduce en este caso a ρ¯ v·n ¯ dσ + ρ¯ v·n ¯ dσ = 0. (7.19) Σe

Σs

Si consideramos condiciones uniformes a la entrada y a la salida, con lo que ρ¯ v·n ¯ = −ρe ve en v·n ¯ = ρs vs en Σs , obtenemos finalmente Σe y ρ¯ (7.20)

G = ρe ve Ae = ρs vs As .

Esto es, en funcionamiento estacionario, el gasto que entra y sale de la máquina resulta ser constante. Procedemos ahora a evaluar los distintos términos en la ecuación de la energ´ıa (7.17). • En funcionamiento estacionario, la cantidad de energ´ıa contenida en el interior del volumen de control permanece constante en el tiempo, por lo que d v2 + gz dV = 0. (7.21) ρ e+ dt Vc (t) 2 • El flujo de fluido a través de las superficies Σp y Σm es nulo, por lo que la pérdida de energ´ıa debido al movimiento del fluido a través de Σc se reduce a v2 vs2 ve2 + gz v¯ · n ¯ dσ = G es + + gzs − ee + + gze . (7.22) ρ e+ 2 2 2 Σc • En cuanto al trabajo de las fuerzas de presión, resulta ser nulo en la superficie fija Σp , por ser v¯ = 0, pero no en las superficies móviles Σm , donde v¯ = v¯m . En las superficies de entrada y salida, por otra parte, resulta sencillo evaluar el trabajo de las fuerzas de v·n ¯ = ps vs ). presión, puesto que las propiedades son uniformes (−p¯ v·n ¯ = pe ve y −p¯ Recogiendo la contribución de todos los términos obtenemos − p¯ v·n ¯ dσ = pe ve Ae − ps vs As − p¯ vm · n ¯ dσ (7.23) Σc

Σm

• Si, tal y como hemos hecho, suponemos que la velocidad es uniforme en las secciones de entrada y salida, las fuerzas de viscosidad resultantes son all´ı nulas. En la superficies de la carcasa fija, la fuerza de viscosidad τ¯ · n ¯ es en general no nula, pero no da trabajo, por ser v¯ = 0 en dicha superficie. Por tanto, el u´ nico lugar donde las fuerzas de viscosidad hacen un trabajo apreciable es en las superficies móviles de la máquina ¯ v¯ · (τ · n ¯ ) dσ = v¯m · (τ¯ · n ¯ ) dσ. (7.24) Σc

Σm

97

´ ´ 7.3. BALANCE ENERGETICO EN MAQUINAS DE FLUIDOS • El flujo de calor por conducción ∇T · n ¯ es nulo en las secciones de entrada y salida, donde consideramos que la temperatura es uniforme. Puede existir sin embargo transferencia de calor por conducción a través de las paredes internas de la máquina (a menos que e´ stas se encuentren aisladas térmicamente). En el caso más general tendremos k(∇T · n ¯ )dσ = k(∇T · n ¯ )dσ. (7.25) Σc

Σp +Σm

Aunque en el análisis mantenemos este término por generalidad, cabe mencionar que, en la mayor´ıa de las aplicaciones el movimiento se desarrolla a altos números de Reynolds y la cantidad total de calor que se transmite por conducción es despreciable. • Si la máquina incluye un quemador, las contribuciones de la liberación de calor por reacción qu´ımica y radiación vendrán dadas por (q˙R + q˙Q )dV = Q˙ R + Q˙ Q . (7.26) Vc

Si escribimos ahora las distintas contribuciones no nulas a la ecuación de la energ´ıa obtenemos vs2 ve2 + gzs − ee + + gze = pe ve Ae − ps vs As − p¯ vm · n ¯ dσ G es + 2 2 Σm (7.27) v¯m · (τ¯ · n ¯ ) dσ + k(∇T · n ¯ )dσ + Q˙ R + Q˙ Q . + Σm

Σp +Σm

En los términos en el lado derecho de la ecuación podemos identificar el trabajo por unidad de tiempo que las partes móviles realizan sobre el fluido ˙ MAQ = − W p¯ vm · n ¯ dσ + v¯m · (τ¯ · n ¯ ) dσ, Σm

Σm

que será igual aunque de signo contrario al trabajo por unidad de tiempo que el fluido realiza sobre las partes móviles de la máquina. En el caso de una bomba, ventilador o compresor este trabajo es positivo, y coincide con la potencia de la máquina si e´ sta se comporta como una máquina ideal. En el caso de una turbina, la potencia resultante es negativa, puesto que extraemos trabajo de la corriente fluida. Por otro lado, la contribución conjunta de los u´ ltimos tres términos en (7.27) Q˙ = k(∇T · n ¯ )dσ + Q˙ R + Q˙ Q (7.28) Σp +Σm

representa la cantidad de calor total que se transfiere a la corriente fluida por unidad de tiempo. Haciendo uso de las dos expresiones anteriores, podemos reescribir la ecuación (7.27) de forma más compacta. Si al escribirla incorporamos en los flujos convectivos de energ´ıa el trabajo que realizan las fuerzas de presión en las secciones de entrada y salida, reescribiendo pe ve Ae = Gpe /ρe y ps vs As = Gps /ρs , obtenemos finalmente ps vs2 pe ve2 ˙ ˙ MAQ + Q. + gzs − ee + + gze + + (7.29) =W G es + ρs 2 ρe 2 98

´ ´ 7.3. BALANCE ENERGETICO EN MAQUINAS DE FLUIDOS Esta ecuación permite en general analizar las máquinas de fluido. Por ejemplo, para el caso de las bombas hidráulicas, Q˙ = 0. La variación de la temperatura que sufre la corriente al atravesar la bomba es despreciable, por lo que, además, ee es . Como en este caso la densidad del fluido es constante, si expresamos el gasto en la forma G = ρQ obtenemos la ecuación de funcionamiento de una bomba ideal ˙ BOMBA /Q = (ps − pe ) + ρ(v 2 − v 2 )/2 + ρg(zs − ze ). W s e

(7.30)

Como se ve, la potencia de una bomba se emplea en aumentar la presión del l´ıquido, en incrementar su energ´ıa cinética y en remontar la posible diferencia de altura entre entrada y salida. En el caso de las turbinas hidráulicas el resultado ser´ıa idéntico, excepto que en el lado izquierdo ˙ BOMBA por −W ˙ TURB . de la ecuación habr´ıa que reemplazar W Para el caso de un compresor, la energ´ıa potencial gravitatoria es despreciable. Para escribir la ecuación resultante, conviene introducir la entalp´ıa h = e + p/ρ que, en el caso de un gas perfecto, es función exclusiva de la temperatura (h = cp T , donde cp es el calor espec´ıfico a presión constante). La ecuación resultante queda vs2 ve2 ˙ WCOMP /G = hs + − he + . (7.31) 2 2 A la suma de la entalp´ıa y la energ´ıa cinética por unidad de masa ho = h + v 2 /2 se le denomina entalp´ıa de remanso. El resultado indica que la potencia del compresor resulta ser igual al producto del gasto que circula por el aumento de entalp´ıa de remanso.

99

Cap´ıtulo 8 Análisis de problemas fluidomecánicos El propósito de este cap´ıtulo es el de mostrar la aplicación de las ecuaciones de conservación deducidas en cap´ıtulos anteriores en el análisis de problemas fluidomecánicos de interés.

´ 8.1 Alabe en una corriente uniforme Es, sin duda, de interés estudiar la fuerza de resistencia que experimenta un cuerpo moviéndose en el aire. Consideremos, por ejemplo, un a´ labe o un perfil aerodinámico bidimensional moviéndose a velocidad constante U∞ en aire en reposo a presión p∞ . Para analizar este flujo, es conveniente ligar el sistema de referencia al cuerpo, de manera que el cuerpo, fijo, aparece inmerso en una corriente uniforme de velocidad U∞ . En este sistema de referencia el problema es estacionario. Consideramos el caso de un a´ labe simétrico moviéndose con a´ ngulo de ataque nulo, de forma que el campo fluido resultante es también simétrico. Supondremos que el aire se comporta como incompresible en su movimiento alrededor del cuerpo, con valores conocidos de densidad ρ y viscosidad μ. Para describir el problema, haremos uso de un sistema de referencia (x, y), con el eje x alineado con la corriente incidente, tal y como se indica en la figura 8.1. La fuerza de resistencia que ejerce la corriente de aire sobre el a´ labe, ! D= − p¯ na dσ + (8.1) τ¯ · n ¯ a dσ · e¯x , Σa

Σa

es resultado de la acción de las fuerzas de presión y viscosidad actuando sobre la superficie del a´ labe Σa , con el vector n ¯ a en dirección normal al elemento de superficie dσ y dirigido hacia el fluido que ejerce la fuerza, como se muestra en la Figura 8.2. Puesto que desconocemos en principio el campo de presión p y los esfuerzos viscosos τ¯ · n ¯ a en la superficie del cuerpo, para resolver el problema vamos a considerar el efecto que tiene la presencia del cuerpo en la corriente de aire, investigando en particular la estela que se produce aguas abajo del cuerpo, donde existe un déficit de velocidad. En la Figura 8.1 se muestran esquemáticamente los perfiles de velocidad en la estela del a´ labe, as´ı como las l´ıneas de corriente del flujo. La velocidad del fluido en el centro de la estela, u(x > xs , y = 0), aumenta desde u(xs , y = 0) = 0 en el borde de salida del a´ labe, hasta u(x → ∞, y = 0) → U∞ donde el efecto del cuerpo se desvanece y la estela ya es irreconocible. Para simplificar la solución, supondremos que las medidas de la estela en un túnel aerodinámico

100

´ 8.1. ALABE EN UNA CORRIENTE UNIFORME U∞

p∞

δ(x) y x

´ Figura 8.1: Alabe bidimensional en una corriente uniforme.

en una posición particular xo pueden aproximarse por una sencilla ley lineal de la forma U∞ y , (8.2) u(xo , y) = 1− 2 δo donde U∞ /2 es la velocidad en la l´ınea central y δo es el espesor de la estela. Pretendemos determinar el valor de la fuerza de resistencia D en función de ρ, U∞ y δo .

y

Σa x

Figura 8.2: Superficie del a´ labe usada para la definición de la fuerza de resistencia D. Para analizar el problema, proponemos el volumen de control mostrado en la Figura 8.3, limitado interiormente por la superficie del a´ labe Σa y exteriormente por la superficie cerrada definida por: • una superficie plana vertical de salida Σs situada en x = xo y que abarca el espesor de la estela, entre y = −δo y y = δo , 101

´ 8.1. ALABE EN UNA CORRIENTE UNIFORME • una superficie plana vertical de entrada Σe situada en una posición aguas arriba del a´ labe x−∞ donde el flujo es uniforme, y • superficies laterales Σ1 y Σ2 coincidentes con las superficies de corriente que terminan en los puntos (xo , ±δo ) y que empiezan en la superficie de entrada en los puntos (x−∞ , ±y−∞ ). Al elegir superficies de corriente para limitar lateralmente el volumen de control, nos aseguramos de que a través de esta superficie lateral no hay flujo convectivo, puesto que en una superficie de corriente v¯ · n ¯ = 0. Nótese que, al definir el volumen de control, el vector n ¯ está dirigido hacia fuera del mismo. U∞

p∞ Σ1 U∞

δo

y−∞

y

Σa U∞ /2

x Σe

Σs

Σ2

Figura 8.3: Volumen de control para el análisis del flujo alrededor de un a´ labe.

Conservación de la masa. Para que el volumen de control quede completamente definido, es necesario determinar el valor de y−∞ . Para ello aplicamos la ecuación de conservación de la masa (5.1) al volumen de control propuesto. El volumen de control es fijo, con v¯c = 0 en toda la superficie de control, as´ı que podemos escribir d ρ dV + ρ¯ v·n ¯ dσ = 0 (8.3) dt Vc Σc En el sistema de control elegido el flujo es estacionario, con lo que el término de evolución temporal es nulo. El término de flujo másico a través de la superficie de control es distinto de cero sólo en las superficies Σe de entrada y Σs de salida. En la superficie del a´ labe Σa , la velocidad del fluido es nula v¯ = 0 en virtud de la condición de adherencia; y en las superficies de corriente Σ1 y Σ2 , la componente normal de la velocidad es cero v¯ · n ¯ = 0 por la propia definición de superficie de corriente. Con estas consideraciones, (8.3) se simplifica para dar v¯ · n ¯ dσ + v¯ · n ¯ dσ = 0, (8.4) Σe

Σs

que podemos reescribir en la forma y=+y−∞ (−U∞ )dy + y=−y−∞

y=δo

y=−δo

102

u(xo , y)dy = 0.

(8.5)

´ 8.1. ALABE EN UNA CORRIENTE UNIFORME Si hacemos uso de la simetr´ıa del problema, se obtiene y=δo y=+y−∞ U∞ y U∞ dy + 2 dy = 0 −2 1+ 2 δo y=0 y=0

(8.6)

que puede resolverse finalmente para dar 3 y−∞ = δo . 4

(8.7)

Conservación de la cantidad de movimiento. Una vez definido completamente el volumen de control, aplicamos la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento (6.10), que escribimos a continuación para un volumen de control fijo y despreciando el efecto de la gravedad, que no dar´ıa en todo caso contribución a la fuerza de resistencia, d ρ¯ v dV + ρ¯ v (¯ v·n ¯ ) dσ = − p¯ n dσ + τ¯ · n ¯ dσ. (8.8) dt Vc Σc Σc Σc Por ser el volumen de control fijo y el flujo estacionario, el término de evolución temporal es nulo. El término de flujo convectivo de cantidad de movimiento es distinto de cero solamente en las superficies Σe de entrada y Σs de salida. Los términos de fuerzas de superficie, los escribimos por separado en la superficie exterior del volumen de control (Σe + Σ1 + Σ2 + Σs ) y en la superficie interior Σa . ρ¯ v (¯ v·n ¯ ) dσ + ρ¯ v (¯ v·n ¯ ) dσ = − p¯ n dσ − p¯ n dσ + Σe

Σs

Σe +Σ1 +Σ2 +Σs

Σa

(8.9)

τ¯ · n ¯ dσ +

+ Σe +Σ1 +Σ2 +Σs

τ¯ · n ¯ dσ Σa

Para proseguir con el análisis, incorporamos dos simplificaciones adicionales que pueden aplicarse de forma aproximada al problema que nos ocupa, • Los esfuerzos viscosos son despreciables en la estela y a lo largo de las superficies de corriente laterales, por ser en estas zonas los gradientes de velocidad muy pequeños. Como, además, los esfuerzos viscosos son nulos aguas arriba, por ser el perfil de velocidad uniforme, podemos escribir τ¯ · n ¯ dσ = 0 Σe +Σ1 +Σ2 +Σs

• Si el volumen de control se ha elegido suficientemente grande, las diferencias de presión p−p∞ en todo el contorno exterior del volumen de control considerado son despreciables, con lo que p¯ n dσ = Σe +Σ1 +Σ2 +Σs

p∞ n ¯ dσ = 0 Σe +Σ1 +Σ2 +Σs

103

´ 8.2. CASCADA DE ALABES EN UNA CORRIENTE GASEOSA Con todo ello, la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento se reduce a: ρ¯ v (¯ v·n ¯ ) dσ + ρ¯ v (¯ v·n ¯ ) dσ = − p¯ n dσ + τ¯ · n ¯ dσ. Σe

Σs

Σa

(8.10)

Σa

Por la simetr´ıa de la configuración, esta ecuación vectorial solo tiene componente x. Comn, se parando los dos términos que aparecen a la derecha de (8.10) con (8.1), donde n ¯ a = −¯ concluye que estos dos términos representan la fuerza que el a´ labe ejerce sobre el fluido, que es exactamente la reacción de la fuerza de resistencia D que el fluido ejerce sobre el a´ labe, por lo que podemos escribir ρu(¯ v·n ¯ ) dσ + ρu(¯ v·n ¯ ) dσ = −D. (8.11) Σe

Σs

Como se ve, es la diferencia de cantidad de movimiento del flujo entre aguas arriba del a´ labe y aguas abajo, lo que se compensa con la fuerza de resistencia que experimenta el a´ labe. Desarrollando las integrales del flujo convectivo,

y=+y−∞

2 y=0

2 −ρU∞

y=δo

dy + 2 y=0

U2 ρ ∞ 4

2 y dy = −D 1+ δo

(8.12)

para dar 7 2 2 y−∞ + ρU∞ δo = −D, − 2ρU∞ 6 y utilizando la relación previa y−∞ = 34 δo , obtenemos finalmente la expresión buscada D=

2 ρU∞ δo 3

(8.13)

(8.14)

para la fuerza de resistencia por unidad de longitud de a´ labe D(ρ, U∞ , δo ).

8.2 Cascada de a´ labes en una corriente gaseosa Cuando el a´ labe o el perfil aerodinámico no es simétrico, o cuando el flujo incide sobre el perfil con un determinado a´ ngulo de ataque, la fuerza que ejerce la corriente sobre el a´ labe presenta, además de una componente de resistencia en la dirección de la corriente incidente, una componente en la dirección perpendicular, que se denomina sustentación. En el caso de un a´ labe aislado, la corriente en la estela pronto recupera la dirección original por el efecto del flujo circundante. La desviación de la corriente es, sin embargo, persistente en el caso de una cascada de a´ labes, que analizamos en esta sección. Consideramos, en particular, una cascada compuesta por un número infinito de a´ labes bidimensionales, separados entre si un distancia L. Sobre los a´ labes incide una corriente gaseosa y uniforme de presión p1 , densidad ρ1 y velocidad v¯1 = u1 e¯x , ejerciendo sobre cada uno de ellos una fuerza (por unidad de longitud) F¯ = Fx e¯x + Fy e¯y . Sabiendo que el gas es calor´ıficamente perfecto, que los a´ labes están aislados térmicamente y que las fuerzas másicas no influyen en el movimiento, pretendemos escribir las ecuaciones que permiten calcular las condiciones uniformes de presión p2 , densidad ρ2 y velocidad v¯2 = u2 e¯x + v2 e¯y que se alcanzan aguas abajo de la cascada. 104

´ 8.2. CASCADA DE ALABES EN UNA CORRIENTE GASEOSA ρ1 p1 v¯1

Σ1 n ˆ

Σe

n ˆ

n ˆ

n ˆ

Σa

Σs

n ˆ

Fy Fx

L

ρ2 p2 v¯2

Σ2

Figura 8.4: Cascada de a´ labes en una corriente gaseosa. Se ha dibujado en la figura el volumen de control utilizado para el análisis de este flujo.

Para tratar este problema definimos un volumen de control alrededor de un a´ labe cualquiera de la cascada. El volumen de control tiene una superficie interior Σa coincidente con la superficie del a´ labe y una superficie exterior cerrada, con el vector normal n ¯ dirigido en cada caso hacia el exterior del volumen de control. Si el número de a´ labes que consideramos es infinito, podemos anticipar que la solución que aparece será periódica, de forma que, si a partir de cualquier punto del campo fluido nos desplazamos una distancia L en dirección perpendicular a la corriente incidente, recuperaremos exactamente los mismos valores de la velocidad y de las propiedades termodinámicas que exist´ıan en el punto original. Para aprovechar esta simetr´ıa del problema, la superficie exterior que definimos está limitada lateralmente por dos superficies de corriente Σ1 y Σ2 separadas una distancia L. Claramente, en puntos correspondientes de las superficies Σ1 y Σ2 situados en la misma coordenada x la solución es idéntica. Para cerrar la superficie exterior, se incluyen además una superficie de entrada Σe y una superficie de salida Σs , perpendiculares a la corriente incidente, situadas suficientemente lejos aguas arriba y aguas abajo de la cascada de a´ labes, de forma que las propiedades son uniformes en estas dos secciones. Conservación de la masa. Escribimos en primer lugar la ecuación de conservación de la masa (5.1) d ρ dV + ρ(¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = 0. (8.15) dt Vc (t) Σc (t) El volumen de control es fijo, con v¯c = 0 en toda la superficie de control, y el flujo es estacionario, as´ı que el término de variación temporal es nulo en todas las ecuaciones de conservación, por lo que la ecuación anterior se simplifica para dar ρ¯ v·n ¯ dσ = 0. (8.16) Σc

Recordamos que la superficie de control Σc está compuesta por las superficies Σa + Σe + Σs + Σ1 + Σ2 . En la superficie del a´ labe Σa y en las superficies de corriente Σ1 y Σ2 se tiene que v¯ · n ¯ = 0 por lo que el flujo convectivo a través de estas superficies es idénticamente nulo.

105

´ 8.2. CASCADA DE ALABES EN UNA CORRIENTE GASEOSA La ecuación de conservación de la masa se reduce por tanto a ρ¯ v·n ¯ dσ + ρ¯ v·n ¯ dσ = 0. Σe

(8.17)

Σs

Tal y como hemos comentado, hemos elegido Σe y Σs suficientemente lejos, por lo que la v·n ¯ dσ = −ρ1 u1 L y Σs ρ¯ v·n ¯ dσ = densidad y la velocidad son uniformes y se verifica Σe ρ¯ ρ2 u2 L, dando finalmente la relación ρ1 u1 = ρ2 u2 (8.18) entre los flujos másicos por unidad de superficie a la entrada y a la salida. Conservación de la cantidad de movimiento. Escribimos ahora la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento (6.10) para el volumen de control de la figura 8.4, despreciando el posible efecto de la fuerza de gravedad sobre el flujo (lo que está bien justificado para las velocidades y tamaños t´ıpicamente encontrados en aplicaciones prácticas), d ρ¯ v dV + ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = − p¯ n dσ + τ¯ · n ¯ dσ. dt Vc (t) Σc (t) Σc (t) Σc (t) Como ya se ha explicado, el término de evolución temporal y los términos de flujo convectivo en la superficie del a´ labe Σa y las superficies de corriente Σ1 y Σ2 son nulos, por lo que la ecuación se simplifica en este caso para dar ρ¯ v (¯ v·n ¯ ) dσ = − p¯ n dσ + τ¯ · n ¯ dσ (8.19) Σe +Σs

Σc

Σc

donde Σc = Σa + Σe + Σs + Σ1 + Σ2 es la superficie de control. Notamos ahora que la fuerza sobre el fluido en la superficie Σa corresponde a la reacción de la fuerza F¯ que el fluido ejerce sobre el a´ labe, − p¯ n dσ + τ¯ · n ¯ dσ = −F¯ (8.20) Σa

Σa

Por otro lado, por la periodicidad de la configuración anteriormente mencionada, en puntos correspondientes (misma posición x) de las superficies de corriente Σ1 y Σ2 los valores de la presión y de los esfuerzos viscosos son exactamente iguales, pero en ellas los vectores n ¯ tienen sentidos opuestos, por lo que se verifica p¯ n dσ − p¯ n dσ = 0 (8.21) − Σ 1

y

Σ 2

τ¯ · n ¯ dσ + Σ 1

τ¯ · n ¯ dσ = 0,

(8.22)

Σ 2

esto es, la fuerza que se ejerce sobre el fluido a través de Σ1 se cancela idénticamente con la fuerza que se ejerce a través de Σ2 . Por otra parte, en las superficies de entrada Σe y salida Σs el flujo es uniforme, y por ello, los esfuerzos de viscosidad son nulos. Al incorporar todas estas simplificaciones, la ecuación de conservación de cantidad de movimiento se reduce a ρ¯ v (¯ v·n ¯ ) dσ + ρ¯ v (¯ v·n ¯ ) dσ = −F¯ − p¯ n dσ − p¯ n dσ, (8.23) Σe

Σs

Σe

106

Σs

´ 8.2. CASCADA DE ALABES EN UNA CORRIENTE GASEOSA cuyas componentes x e y podemos escribir de forma separada para dar − ρ1 u21 L + ρ2 u22 L = −Fx + p1 L − p2 L

(8.24)

ρ2 v2 u2 = −Fy .

(8.25)

y Si entroducimos la relación ρ1 u1 = ρ2 u2 deducida anteriormente en (8.18), podemos finalmente escribir Fx ρ1 u1 (u2 − u1 ) + p2 − p1 = − (8.26) L y Fy ρ1 u1 v2 = − . (8.27) L Conservación de la energ´ıa. Para cerrar el problema, aplicamos ahora la ecuación de conservación de la energ´ıa (7.16) al volumen de control. Omitiendo el término de variación temporal, el término de trabajo de las fuerzas másicas y el término de calor transferido por radiación o reacción qu´ımica, la ecuación de conservación de la energ´ıa en un volumen de control fijo es

v2 v·n ¯ ) dσ = − ρ(e + )(¯ 2 Σc

p¯ v·n ¯ dσ +

v¯ · (τ¯ · n ¯ ) dσ +

Σc

Σc

k(∇T · n ¯ ) dσ (8.28) Σc

Consideramos primero la transferencia de calor por conducción a través de las distintas partes de la superficie de control. En las superficies de entrada Σe y salida Σs , por ser las corrientes uniformes, el gradiente de temperatura es nulo y por tanto no hay transferencia de calor por conducción. También en Σa la transferencia de calor por conducción es nula, por estar los a´ labes aislados térmicamente . El flujo de calor por conducción a través de las superficies de corriente Σ1 y Σ2 es distinto de cero, puesto que en ellas existe un gradiente de temperatura. Sin embargo, por la periodicidad de la configuración, el gradiente de temperatura es exactamente el mismo en puntos correspondientes de ambas superficies, mientras que el vector n ¯ tiene sentidos opuestos, por lo que k(∇T · n ¯ ) dσ + k(∇T · n ¯ ) dσ = 0, (8.29) Σ 1

Σ 2

esto es el flujo de calor por conducción a través de la superficie Σ1 se cancela idénticamente con el que pasa por la superficie Σ2 . Consideramos ahora el trabajo de las fuerzas de viscosidad. En las superficies de entrada Σe y salida Σs , los esfuerzos viscosos son nulos por ser las corrientes uniformes, de modo que no realizan trabajo. Sobre la superficie del a´ labe Σa , s´ı existen esfuerzos viscosos, pero e´ stos no realizan trabajo puesto que la velocidad del fluido es cero v¯ = 0 en virtud de la condición de adherencia (los a´ labes son fijos en el sistema de referencia elegido). Tampoco la fuerza de presión realiza trabajo sobre el a´ labe. Por la periodicidad de la configuración el trabajo de las fuerzas de superficie (de presión y de viscosidad) en la superficie Σ1 es opuesto al trabajo de las fuerzas de superficie sobre la superficie Σ2 , y el trabajo neto en ambas superficies es nulo, esto es ¯ v¯ · (τ · n ¯ ) dσ + v¯ · (τ¯ · n ¯ ) dσ = 0 (8.30) Σ 1

Σ 2

107

´ 8.2. CASCADA DE ALABES EN UNA CORRIENTE GASEOSA y

p¯ v·n ¯ dσ −

− Σ 1

p¯ v·n ¯ dσ = 0.

(8.31)

Σ 2

As´ı, las fuerzas de presión u´ nicamente realizan trabajo en las superficies de entrada y de salida, mientras que las fuerzas de viscosidad no realizan ningún trabajo, con lo que la ecuación de la energ´ıa para este problema se reduce a v2 v2 v·n ¯ ) dσ + v·n ¯ ) dσ = − ρ(e + )(¯ ρ(e + )(¯ p¯ v·n ¯ dσ − p¯ v·n ¯ dσ. (8.32) 2 2 Σe Σs Σe Σs En el caso del movimiento de gases, a la hora de escribir el balance energético en un cierto volumen de control, resulta a menudo u´ til introducir la entalp´ıa h = e + p/ρ, para lo que agrupamos los términos de trabajo de las fuerzas de presión, escritos en la forma Σ (p/ρ)ρ¯ v· n ¯ dσ, con los términos de flujo de energ´ıa, para dar en este caso p v2 p v2 ρ(e + + )(¯ ρ(e + + )(¯ v·n ¯ ) dσ + v·n ¯ ) dσ = 0. (8.33) ρ 2 ρ 2 Σe Σs Puesto que las propiedades fluidas son uniformes en las secciones de entrada y salida, las integrales se realizan fácilmente para dar con lo que obtenemos u21 u22 + v22 = ρ2 u2 L h2 + . (8.34) ρ1 u1 L h1 + 2 2 Sabiendo que, por continuidad, ρ1 u1 = ρ2 u2 y reordenando, obtenemos h1 +

u21 u2 + v22 = h2 + 2 2 2

(8.35)

Como para un gas perfecto e = cv T y p/ρ = Rg T con cp = cv + Rg , la entalp´ıa puede escribirse en función de la presión y de la densidad de acuerdo a h=

γ p , γ −1ρ

(8.36)

con lo que finalmente γ p2 u22 + v22 γ p1 u21 = , + + γ − 1 ρ1 2 γ − 1 ρ2 2

(8.37)

que indica que la entalp´ıa de remanso de la corriente, h + v¯ · v¯/2, permanece constante en el movimiento a través de la cascada de a´ labes. Conviene hacer notar en este punto la diferencia entre la cascada de a´ labes fijos y el caso de las máquinas de fluidos analizadas anteriormente en 7.3, en las que, debido a la existencia de partes móviles, se produce un intercambio de trabajo entre la corriente fluida y la máquina, dando lugar a un salto en los valores de la entalp´ıa de remanso entre la entrada y la salida. Recopilamos a continuación las relaciones resultantes de aplicar las leyes de conservación al volumen de control de la Figura 8.4. Con ellas quedan relacionadas las condiciones del flujo aguas arriba y aguas abajo de la cascada de a´ labes, que son función del cociente entre la fuerza

108

´ 8.3. TURBOMAQUINA AXIAL por unidad de longitud F¯ = (Fx , Fy ) y la distancia L de separación de los a´ labes de acuerdo a ρ1 u1 = ρ2 u2 Fx ρ1 u1 (u2 − u1 ) + p2 − p1 = − L Fy ρ1 u1 v2 = − L γ p2 u22 + v22 γ p1 u21 + + = . γ − 1 ρ1 2 γ − 1 ρ2 2

(8.38) (8.39) (8.40) (8.41)

8.3 Turbomáquina axial La fuerza de sustentación que el flujo ejerce sobre los a´ labes puede emplearse para ponerlos en movimiento y producir as´ı trabajo. Es el caso de las máquinas de fluidos descritas en el cap´ıtulo anterior. En esta sección consideramos una turbomáquina axial que se ajusta al ejemplo de la sección 7.3 y ampliamos el análisis para aplicar también la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento y as´ı incluir en las relaciones finales la fuerza que experimenta la máquina. Q˙

˙ W

ρ2 p2 u2

ρ1 p1 u1

A2

A1

F Figura 8.5: Turbomáquina axial. Las a´ reas de las secciones de entrada y salida de la turbomáquina axial de la Figura 8.5 son, respectivamente A1 y A2 . Además de la carcasa fija exterior, la turbomáquina contiene partes móviles en su interior a través de las que se realiza sobre la corriente fluida un trabajo por unidad ˙ MAQ , que es la potencia de la máquina ideal. En el caso de una turbina, se extrae de tiempo, W ˙ = −W ˙ MAQ ser´ıa ˙ MAQ ser´ıa una cantidad negativa y W trabajo de la la corriente, por lo que W la potencia de la turbina. La reacción qu´ımica en la cámara de combustión y la transmisión de calor a través de las paredes dan lugar a una aportación conjunta de calor al fluido por unidad ˙ Supondremos conocido el valor de la fuerza axial F que ejerce el gas sobre la de tiempo Q. turbomáquina. Suponiendo además que en la entrada y la salida el movimiento es en dirección axial con propiedades uniformes, pretendemos obtener el valor de la densidad ρ2 , la presión p2 y la velocidad u2 a la salida en función de las condiciones ρ1 , p1 y u1 en la entrada y de los ˙ MAQ , Q˙ y F . valores W 109

´ 8.3. TURBOMAQUINA AXIAL Para el análisis de este problema definimos un volumen de control que contiene todo el gas del interior de la turbomáquina, tal y como se hizo en la sección 7.3. En la Figura 8.6 se dibuja el volumen de control con la notación utilizada para el presente problema. La superficie de control consta de una superficie exterior cerrada que incluye la sección de entrada Σe , la sección de salida Σs y una superficie Σp coincidente con la pared interna, fija, de la carcasa. La superficie de control consta también de una superficie interior móvil Σm que coincide con la superficie de los a´ labes móviles de la turbomáquina. El vector n ¯ se define en estas superficies dirigido hacia el exterior del volumen de control. Q˙

˙ W

ρ2 p2 u2

n ¯

ρ1 p1 u1

n ¯

A1 Σe

n ¯

Σm v¯c = 0 Σp

A2 Σs n ¯

n ¯

F Figura 8.6: Volumen de control utilizado para el análisis del problema. El vector n ¯ se define dirigido hacia el exterior del volumen de control. Tal y como se vió en la sección 7.3, las ecuaciones de conservación de la masa y de la energ´ıa aplicadas e este volumen de control proporcionan las ecuaciones G = ρ1 u1 A1 = ρ2 u2 A2

(8.42)

y

p2 u22 p1 u21 ˙ ˙ MAQ + Q, G e2 + + + (8.43) − e1 + =W ρ2 2 ρ1 2 ˙ MAQ y del calor por unien función del gasto que circula por la máquina G, de su potencia W ˙ dad de tiempo que se comunica a la corriente Q. Para un gas ideal calor´ıficamente perfecto con relación de calores espec´ıficos γ, esta u´ ltima relación puede escribirse haciendo uso de la ecuación (8.36) en la forma γ p2 u22 γ p1 u21 ˙ ˙ MAQ + Q. + + (8.44) G − =W γ − 1 ρ2 2 γ − 1 ρ1 2 Para el cálculo de la fuerza, hay que tener en cuenta que el gas entra en contacto con la turbomáquina en la superficie interior fija de la carcasa Σp y en la superficie de las partes móviles Σm , tal y como se indica en la Figura 8.7, por lo que la fuerza F¯ que el gas ejerce sobre la turbómáquina vendrá dada por ¯ p¯ n dσ + τ¯ · n ¯ dσ, (8.45) F =− Σp +Σm

Σp +Σm

110

´ 8.3. TURBOMAQUINA AXIAL con el vector n ¯ definido normal al elemento de superficie dσ y dirigido hacia el fluido. Dada la simetr´ıa de la configuración, la fuerza F¯ tiene solo componente axial F¯ = F e¯x si suponemos despreciable el efecto de las fuerzas gravitatorias. Por otra parte, si el régimen de giro de la máquina se mantiene constante, podemos anticipar que la fuerza F¯ es independiente del tiempo. ρ2 p2 u2

ρ1 p1 u1 Σm

A1

A2 Σp

F Figura 8.7: Superficie interior de la turbomáquina, para el cálculo de la fuerza F¯ . El vector n ¯ se define dirigido al fluido que ejerce la fuerza. Aplicamos ahora la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento (6.10), d ρ¯ v dV + ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = − p¯ n dσ + τ¯ · n ¯ dσ, dt Vc (t) Σc (t) Σc (t) Σc (t) que escribimos despreciando el efecto de las fuerzas gravitatorias. Debido a la existencia de partes móviles, el flujo en el interior de la máquina var´ıa con el tiempo y el volumen de control no es fijo. A pesar de ello, en régimen de funcionamiento estacionario, la cantidad de cantidad de movimiento total contenida en el volumen de control permanece constante en el tiempo, por lo que el término de variación temporal es nulo. Por otro laso, el flujo convectivo de cantidad de movimiento será distinto de cero solo en las secciones de entrada Σe y de salida Σs , donde el flujo es axial y uniforme, por lo que haciendo uso de (8.42) podemos escribir ρ¯ v (¯ v·n ¯ ) dσ = ρ1 u1 e¯x (−u1 )A1 + ρ2 u2 e¯x u2 A2 Σe +Σs

(8.46) =

(−ρ1 u21 A1

+

ρ2 u22 A2 )

e¯x = G(u2 − u1 ) e¯x .

Consideramos ahora las fuerzas externas sobre el volumen de control. Las fuerzas de viscosidad en las secciones de entrada y de salida son nulas, τ¯ · n ¯ dσ = τ¯ · n ¯ dσ = 0, (8.47) Σe

Σs

puesto que consideramos flujo uniforme en estas secciones. Por otro lado, la fuerza de presión del fluido exterior sobre las secciones de entrada y salida viene dada por − p¯ n dσ = −p1 (−¯ ex )A1 = p1 A1 e¯x (8.48) Σe

111

´ 8.3. TURBOMAQUINA AXIAL y

p¯ n dσ = −p2 (¯ ex )A2 = −p2 A2 e¯x .

−

(8.49)

Σs

´ Unicamente queda considerar las fuerzas de superficie (de presión y de viscosidad) sobre las superficies Σp y Σm de la turbomáquina. La fuerza exterior sobre el volumen de control en estas superficies corresponde a la reacción de la fuerza F¯ que el gas ejerce sobre la turbomáquina en las mismas superficies. As´ı, − p¯ n dσ + τ¯ · n ¯ dσ = −F¯ (8.50) Σp +Σm

Σp +Σm

hay que notar que en esta expresión el vector n ¯ es el correspondiente al volumen de control definido en la Figura 8.6. Todas las contribuciones a la ecuación de cantidad de movimiento tienen u´ nicamente dirección axial. Agrupando todas ellas, escribimos G(u2 − u1 ) = p1 A1 − p2 A2 − F,

(8.51)

que unida a las ecuaciones (8.42) y (8.44) completan el conjunto de relaciones necesarias para analizar el funcionamiento de la máquina. Para terminar esta sección, hacemos un apunte sobre la fuerza. Se ha denominado F¯ a la fuerza que el gas del interior de la turbomáquina ejerce sobre e´ sta, F¯ = F¯gas→maq . La fuerza F¯maq que en realidad se medir´ıa en un banco de ensayo incluir´ıa el efecto de la fuerza F¯aire→maq del aire atmosférico sobre la superficie externa de la carcasa. El aire atmosférico en reposo solo ejerce fuerza de presión. Con referencia a la Figura 8.8, F¯maq = F¯gas→maq + F¯aire→maq = − p¯ n dσ + pa n ¯ dσ (8.52) τ¯ · n ¯ dσ − Σp +Σm

Σp +Σm

Σq

donde el vector n ¯ se define, en cada caso, dirigido hacia el fluido que realiza la fuerza. Σq

pa

ρ2 p2 u2

ρ1 p1 u1 Σm

A1

A2 Σp

F Figura 8.8: Superficies interior y exterior de la turbomáquina, para el cálculo de la fuerza F¯maq . El vector n ¯ se define dirigido hacia el fluido que ejerce la fuerza.

112

´ 8.4. BOMBA CENTRIFUGA Para calcular la fuerza del aire exterior F¯aire→maq usamos la siguiente estrategia: " pa n ¯ dσ = − pa n ¯ dσ + pa n ¯ dσ F¯aire→maq = − Σq

Σq +Σe +Σs

Σe +Σs

(8.53) = pa A1 (−¯ ex ) + pa A2 e¯x = (pa A2 − pa A1 ) e¯x que corresponde a una descomposición de la superficie de integración según el esquema de la Figura 8.9. La superficie Σq + Σe + Σs es una superficie cerrada, as´ı que la integral de superficie del valor uniforme pa sobre ella es nula. Como la fuerza F¯ , la fuerza F¯aire→maq solo tiene componente axial. De modo que la magnitud de la fuerza total F¯maq (del gas del interior y el aire del exterior) sobre la turbomáquina es Fmaq = Fgas→maq + Faire→maq = −G(u2 − u1 ) + p1 A1 − p2 A2 + pa A2 − pa A1 (8.54) = −G(u2 − u1 ) + (p1 − pa )A1 − (p2 − pa )A2 . Σq

Σq

n ¯

n ¯

Σe n ¯

Σs

Σs n ¯

n ¯

=

−

n ¯

n ¯

Σe n ¯

Figura 8.9: Descomposición de la superficie Σq para el cálculo de la fuerza F¯aire→maq .

8.4 Bomba centr´ıfuga Las bombas hidráulicas tienen como objetivo el aumento de la presión de un l´ıquido que circula a través de ellas. Por medio de a´ labes giratorios, aumentan la cantidad de movimiento del l´ıquido y después convierten su alta velocidad en aumento de presión al salir el l´ıquido a través de un difusor. En las bombas centr´ıfugas el l´ıquido entra axialmente (en la dirección del eje del rotor), los a´ labes redirigen el l´ıquido al plano perpendicular y le imprimen un movimiento tangencial y radial hacia el exterior, donde se recoge en la cámara difusora de forma toroidal. Consideramos en esta sección una bomba centr´ıfuga, esquematizada en la Figura 8.10, con rotor de diámetro D, a la que llega agua con velocidad Vo y presión po uniformes a través de un conducto circular de diámetro Do . La geometr´ıa interna de la bomba es tal que redirige el l´ıquido de su interior al plano perpendicular al conducto de entrada y e´ ste abandona los a´ labes radialmente hacia una cámara difusora toroidal de altura h. Las propiedades del fluido a la salida del rotor también pueden considerarse uniformes, siendo la velocidad Vs y la presión ps = pa . Por la geometr´ıa y la rotación de los a´ labes, la velocidad a la salida Vs forma un a´ ngulo α con la dirección tangencial local. Aplicando las leyes de conservación a este sistema, podremos determinar la fuerza axial F a la que está sometida la bomba, el par M que se comunica al agua en el bombeo y la potencia ˙ que debe tener el motor que arrastra la bomba en el supuesto de que el rendimiento sea la W unidad. Para ello definimos el volumen de control, mostrado en la Figura 8.11, que contiene 113

´ 8.4. BOMBA CENTRIFUGA

h

D Vs

Do

pa

ps α

pa y

Vo po

y z

x

Do Figura 8.10: Bomba centr´ıfuga.

el fluido del interior de la turbomáquina. La superficie de entrada Σe al volumen de control es circular, de diámetro Do y normal al eje x; la superficie de salida Σs es una banda circular de altura h y diámetro D; el resto de la superficie de control tiene una parte fija Σp que coincide con la pared interior de la carcasa de la bomba y una parte móvil Σa que coincide con la superficie de los a´ labes giratorios. El vector n ¯ se define normal a cada elemento de superficie y dirigido hacia el exterior del volumen de control.

h

D Vs

Do

pa

pa

α Σa

y

Vo po

ps

y z

x

Σp

Σe Σs

Do

Figura 8.11: Volumen de control para el análisis de la bomba centr´ıfuga. El vector n ¯ se define normal a cada elemento de superficie y dirigido hacia el exterior del volumen de control. El vector n ¯ sobre la superficie Σa , no mostrado en la figura, está dirigido hacia el a´ labe. Como en la turbomáquina axial de la sección anterior, el flujo a través de la bomba centr´ıfu114

´ 8.4. BOMBA CENTRIFUGA ga no es estacionario, en el sentido de que localmente en el interior se observan variaciones de las distintas magnitudes fluidas asociadas al giro de las partes móviles. Sin embargo, en el funcionamiento de la bomba a velocidad de giro constante se alcanza un régimen estacionario en media, en el que los parámetros de salida son invariantes y las cantidades de masa, cantidad de movimiento, momento cinético y energ´ıa contenidas en el volumen de control elegido son independientes del tiempo. Por tanto, los términos de evolución temporal en todas las leyes de conservación son nulos. En cuanto a los flujos convectivos (de masa, cantidad de movimiento, momento cinético y energ´ıa), e´ stos serán nulos en las superficies sólidas de la bomba, tanto en la superficie fija de la carcasa Σp donde v¯ = v¯c = 0, como en las superficies móviles de los a´ labes giratorios Σa donde v¯ − v¯c = 0. Por tanto, calcularemos los flujos convectivos solamente en las superficies de entrada Σe y de salida Σs . Recordamos que las bombas hidráulicas actúan sobre un l´ıquido incompresible, con densidad ρ constante. Como simplificación adicional, supondremos que el efecto de la gravedad es despreciable en el movimiento del agua a través de la bomba. Conservación de la masa. La ley de conservación de la masa se reduce a la igualdad de flujo volmétrico a través de las superficies de entrada Σe y salida Σs . Con referencia a los ejes cartesianos indicados en las figuras, el flujo axial de entrada a la bomba está alineado con el eje x, mientras que en la superficie de salida la componente normal de la velocidad resulta ser v¯ · n ¯ = Vs sen(α), con lo que obtenemos πDo2 + Vs sen(α) πDh = 0, v¯ · n ¯ dσ + v¯ · n ¯ dσ = −Vo (8.55) 4 Σe Σs que podemos escribir en función del caudal Q que circula a través de la bomba (8.56)

Q = Vo Ao = Vs sen(α) πDh, donde hemos introducido Ao =

πDo2 4

para simplificar la notación.

Conservación de la cantidad de movimiento. Escribimos a continuación la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento (6.10), de la que tomamos la componente axial. Puesto que consideramos que el flujo en las secciones de entrada y salida es unidimensional con propiedades uniformes, los esfuerzos viscosos τ¯ en las superficies Σe y Σs son idénticamente nulos y podemos escribir # ρ¯ v (¯ v·n ¯ ) dσ = − Σe +Σs

p¯ n dσ − Σe +Σs

τ¯ · n ¯ dσ.

p¯ n dσ + Σp +Σa

· e¯x (8.57)

Σp +Σa

En la superficie de salida Σs la velocidad del fluido no tiene componente axial, as´ı que, aún cuando existe flujo másico a través de dicha superficie, no hay flujo convectivo de cantidad de movimiento axial. Tampoco la fuerza de presión, siempre normal a la superficie, tiene componente axial en Σs . Siendo las propiedades uniformes en Σe , es sencillo calcular las integrales en esta superficie para dar 2 pnx dσ + (τ¯ · n ¯ )x dσ . (8.58) − ρVo Ao = po Ao − Σp +Σa Σp +Σa

Fbomba→agua

115

´ 8.4. BOMBA CENTRIFUGA Identificando en las fuerzas de superficie en Σp y Σa la reacción de la fuerza axial que el l´ıquido del interior de la bomba ejerce sobre sus paredes, obtenemos finalmente la expresión Fagua→bomba = −Fbomba→agua = (ρVo2 + po )Ao .

(8.59)

Para completar la descripción de la fuerza a la que está sometida la bomba (8.60)

F = Fagua→bomba + Faire→bomba

hay que calcular también la contribución, Faire→bomba , debida a la acción que el aire atmosférico del exterior ejerce sobre la carcasa, que es también axial por simetr´ıa. Para el cálculo de Faire→bomba debemos evaluar la integral ¯ Faire→bomba = − pa n ¯ dσ, (8.61) Σq

donde Σq es la superficie exterior de la carcasa, que podemos descomponer de acuerdo a lo que se muestra en la Figura 8.12 para dar " F¯aire→bomba = − pa n ¯ dσ = − pa n ¯ dσ + pa n ¯ dσ = −pa Ao e¯x . (8.62) Σq

Σq +Σe +Σs

Σe +Σs

Sustituyendo ahora (8.59) y (8.62) en (8.60) podemos determinar la expresión para la fuerza axial F = Fagua→bomba + Faire→bomba = (ρVo2 + po − pa )Ao (8.63) a la que está sometida la bomba centr´ıfuga. Σs

=

−

Σe

Σq

Figura 8.12: Superficie exterior de la carcasa Σq para el cálculo de la fuerza F¯aire→bomba . El vector n ¯ se define normal al elemento de superficie y dirigido hacia el aire atmosférico que ejerce la fuerza.

Conservación del momento cinético. A continuación aplicamos la ley de conservación del momento cinético al volumen de control de la Figura 8.11, ρ[(¯ x − x¯o ) ∧ v¯](¯ v·n ¯ ) dσ = − (¯ x − x¯o ) ∧ (p¯ n) dσ Σe +Σs

Σc (t)

(8.64)

(¯ x − x¯o ) ∧ (τ¯ · n ¯ ) dσ,

+ Σc (t)

116

´ 8.4. BOMBA CENTRIFUGA con el objetivo de obtener una expresión para el par M que se comunica al agua en el bombeo. En los términos de la derecha, separamos las contribuciones en las superficies de entrada y salida, Σe + Σs , de las contribuciones en las superficies de la turbomáquina, Σp + Σa . En las primeras, con flujo uniforme, los esfuerzos viscosos son nulos. En las u´ ltimas, reconocemos el ¯ =M ¯ bomba→agua . momento de la fuerza que la bomba ejerce sobre el agua M ρ[(¯ x − x¯o ) ∧ v¯](¯ v·n ¯ ) dσ = Σe +Σs

−

(¯ x − x¯o ) ∧ (p¯ n) dσ − Σe +Σs

(8.65)

(¯ x − x¯o ) ∧ (p¯ n) dσ + Σp +Σa ¯ M

(¯ x − x¯o ) ∧ (τ¯ · n ¯ ) dσ Σp +Σa

Desarrollamos ahora las integrales en las superficies Σe y Σs : ρ[(¯ x − x¯o ) ∧ (Vo e¯x )](−Vo ) dσ Σe + ρ[(¯ x − x¯o ) ∧ (Vs sen α e¯r − Vs cos α e¯θ )]Vs sen α dσ = Σs ¯, − (¯ x − x¯o ) ∧ (−p¯ ex ) dσ − (¯ x − x¯o ) ∧ (p¯ er ) dσ + M Σe

(8.66)

Σs

donde e¯r y e¯θ representan los vectores unitarios en las direcciones radial y azimutal. Por la ¯ es axial, M ¯ = M e¯x . Ni simetr´ıa del dispositivo, la u´ nica componente no nula del momento M la cantidad de movimiento ni la fuerza de presión dan momento axial en la superficie de entrada. En la superficie de salida, solo la componente tangencial de la velocidad da momento neto de acuerdo a D ρ[( e¯r ) ∧ (−Vs cos α e¯θ )]Vs sen α dσ = M e¯x (8.67) 2 Σs de donde obtenemos M = ρVs2 sen α cos α

πD 2 h . 2

(8.68)

Conservación de la energ´ıa. Finalmente aplicamos la ley de conservación de la energ´ıa al ˙ necesaria volumen de control de la Figura 8.11, con el objetivo de determinar la potencia W para mover la bomba. Partimos de la ecuación 7.17, d v2 v2 + gz dV + + gz (¯ v − v¯c ) · n ρ e+ ρ e+ ¯ dσ = dt Vc (t) 2 2 Σc (t) (8.69) p¯ v·n ¯ dσ + v¯ · (τ¯ · n ¯ ) dσ + k(∇T · n ¯ )dσ + (q˙R + q˙Q )dV. − Σc (t)

Σc (t)

Σc

Vc

Por las razones ya discutidas, el término de evolución temporal es nulo y el flujo convectivo de energ´ıa se da solamente a través de las superficies de entrada Σe y de salida Σs , donde las propiedades fluidas son uniformes y las integrales se calculan fácilmente. La variación de temperatura que puede sufrir la corriente l´ıquida al atravesar la bomba centr´ıfuga es despreciable y, 117

8.5. ASPERSOR por tanto, consideramos que la energ´ıa interna e es invariable y también que no ocurre transferencia de calor por conducción (∇T · n ¯ = 0) ni radiación o reacción qu´ımica (q˙R = q˙Q = 0). De la misma forma que despreciamos anteriormente el efecto de la gravedad en el balance de cantidad de movimiento, supondremos en este caso despreciable la variación de energ´ıa potencial que experimenta la corriente l´ıquida, lo cual es razonable para bombas de un tamaño normal. Además, en las superficies de entrada y de salida no hay fuerzas viscosas que puedan realizar trabajo, aunque s´ı debemos calcular en estas superficies el trabajo de las fuerzas de presión. v2 ρ p¯ v ·n ¯ dσ − p¯ v·n ¯ dσ + v¯ · (τ¯ · n ¯ ) dσ (8.70) v¯ · n ¯ dσ = − 2 Σe +Σs Σe +Σs Σp +Σa Σp +Σa

˙ bomba→agua W

˙ bomba→agua es la potencia W ˙ que debe tener el La potencia que la bomba comunica al agua W motor que arrastra a la bomba en el supuesto de que el rendimiento sea la unidad. Realizando las integrales en las superficies Σe y Σs , y utilizando la expresión para el flujo volumétrico ˙ Q = Vo Ao = Vs sen(α) πDh, podemos obtener finalmente la siguiente expresión para W 2 Vs − Vo2 ps − po ˙ + W = ρQ (8.71) 2 ρ

8.5 Aspersor Consideramos en esta sección un aspersor formado por un u´ nico conducto, esquematizado en la figura 8.13. El brazo del aspersor forma a´ ngulo recto con el conducto de entrada y tiene una boquilla en el extremo, dispuesta de tal forma que la corriente descarga al exterior un con a´ ngulo α respecto al brazo del aspersor. Esta deflexión de la corriente provoca que el aspersor ¯ R de resistencia al giro es nulo. Por el aspersor circula un gire a velocidad angular Ω si el par M caudal Q de agua, de densidad ρ constante. El a´ rea de la sección transversal del conducto es A en toda su longitud (incluida la boquilla de descarga) y la longitud del brazo es R. En la sección de entrada al aspersor la presión del agua es po y la descarga ocurre a la atmósfera a presión pa .

Ω z y

y R

x

pa

A po U Figura 8.13: Aspersor de un solo brazo.

118

U pa

α

8.5. ASPERSOR Aplicando las leyes de conservación, pretendemos determinar la fuerza F¯ que el agua de su interior y el aire de su exterior ejercen conjuntamente sobre el aspersor, y determinar la velocidad de giro Ω en función del caudal Q y la geometr´ıa del aspersor (su sección transversal A, su longitud R y el a´ ngulo α). Con la notación que se introduce en la figura 8.14, la expresión para la fuerza F¯ quedar´ıa en la forma F¯ = F¯agua−aspersor + F¯aire−aspersor ¯ = − p¯ n dσ + pa n ¯ dσ τ ·n ¯ dσ − Σp Σp Σq (p − pa )¯ n dσ + τ¯ · n ¯ dσ. = − Σp

(8.72)

Σp

Para escribir la u´ ltima ecuación se utiliza el hecho de que las superficies interior Σp y exterior Σq son iguales pero su vector n ¯ es de orientación opuesta. Hay que insistir que en la u´ ltima ecuación (8.72) el vector n ¯ normal a Σp está dirigido hacia el interior del aspersor.

Ω

Σp

Σp

Σq

Σq

Figura 8.14: Superficies interior Σp y exterior Σq del aspersor para el cálculo de la fuerza F¯ sobre el aspersor. El vector n ¯ se define normal al elemento de superficie y dirigido hacia el fluido que ejerce la fuerza en cada caso. Resolvemos este ejercicio en el sistema de referencia x − y − z de la figura 8.13, un sistema no inercial, que gira solidariamente con el aspersor a su velocidad angular Ω¯ ez . Esto nos obliga a considerar las fuerzas másicas centr´ıfuga y de Coriolis: ¯ ∧ (Ω ¯ ∧ x¯) − 2Ω ¯ ∧ v¯ = (Ω2 x − 2Ωv)¯ f¯m = −Ω ex + (Ω2 y − 2Ωu)¯ ey

(8.73)

ey . donde v¯ = u¯ ex + v¯ Definimos el volumen de control, indicado en la figura 8.15, que contiene el agua del interior del aspersor. En el sistema de referencia elegido, el volumen de control es fijo y el problema es estacionario. La superficie de control está compuesta por una superficie de entrada Σe , una ¯ se define normal al superficie de salida Σs y la superficie interior del conducto Σp . El vector n elemento de superficie y dirigido hacia fuera del volumen de control. Para el análisis suponemos que la velocidad es uniforme en las secciones de entrada y de salida del aspersor. También suponemos que el efecto de la gravedad es despreciable. 119

8.5. ASPERSOR

Ω Σs Σs

Σp

Σp

Σe Figura 8.15: Volumen de control para el análisis del aspersor de un solo brazo. El volumen de control es fijo en el sistema no inercial que gira con el aspersor. El vector n ¯ se define normal al elemento de superficie y dirigido hacia fuera del volumen de control.

Conservación de la masa. Conservación de la masa en este volumen de control es trivial, indicando que si el a´ rea del conducto es constante, también lo es la magnitud de la velocidad del agua en e´ l. Denominamos U a la magnitud de la velocidad del agua en el conducto del aspersor, Q U= (8.74) A y en las secciones de entrada Σe y de salida Σs tenemos respectivamente las velocidades v¯e = U e¯z y v¯s = U sen α¯ ex + U cos α¯ ey , mientras que en brazo del aspersor la velocidad del fluido es U e¯y . Conservación de la cantidad de movimiento. Aplicamos ahora la ley de conservación de la cantidad de movimiento (6.10), en su forma completa vectorial. La escribimos a continuación para un volumen de control fijo (¯ vc = 0) y un problema estacionario. Elegimos escribir el término de fuerzas de presi´ o n con presiones manométricas, p − pa , que resulta equivalente por ser Σc pa n ¯ dσ = 0, como ya se ha explicado en la sección 6.6 al escribir las ecuaciones (6.40) y (6.41). ρ¯ v (¯ v·n ¯ ) dσ = − (p − pa )¯ n dσ + ρf¯m dV (8.75) τ¯ · n ¯ dσ + Σc

Σc

Σc

Vc

Como siempre, el flujo convectivo existe solo en las superficies Σe de entrada y Σs de salida, donde, por otro lado, los esfuerzos viscosos son nulos por ser la velocidad uniforme. Las fuerzas centr´ıfuga y de Coriolis son nulas en el conducto vertical y actúan solo en el brazo del aspersor, siendo su efecto despreciable en el pequeño tramo de la boquilla, con lo que obtenemos de resultante y=R Ω2 R2 ¯ A e¯y . ρfm dV = ρ(2ΩU e¯x + Ω2 y e¯y )A dy = ρ2ΩUAR e¯x + ρ (8.76) 2 Vc y=0

120

8.5. ASPERSOR As´ı, desarrollamos la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento como ρU 2 A(sen α e¯x + cos α e¯y − e¯z ) = (po − pa )A e¯z Ω2 R2 − (p − pa )¯ n dσ + τ¯ · n ¯ dσ +ρ2ΩUAR e¯x + ρ A e¯y 2 Σp Σp

(8.77)

−F¯

Reconocemos en esta ecuación la expresión para la fuerza F¯ sobre el aspersor, notando que la orientación del vector n ¯ sobre la superficie Σp en las ecuaciones (8.72) y (8.77) es opuesta. ¯ Despejando la fuerza F , obtenemos Ω2 R2 2 2 ¯ F = −ρU sen α + 2ρΩUR A e¯x + −ρU cos α + ρ A e¯y + ρU 2 + po − pa A e¯z 2 (8.78) Conservación del momento cinético. Aplicamos al volumen de control de la figura 8.15 la ecuación integral de conservación del momento cinético, que escribimos utilizando presiones manométricas, al igual que hemos hecho con la ecuación de cantidad de movimiento. Para un volumen de control fijo y un flujo estacionario, (¯ x ∧ ρ¯ v )(¯ v·n ¯ ) dσ = − x¯ ∧ (p − pa )¯ n dσ + x¯ ∧ (τ¯ · n ¯ ) dσ + x¯ ∧ f¯m ) dV (8.79) Σc

Σc

Σc

Vc

Calculamos los momentos respecto del punto x¯o situado en el origen de coordenadas, en el codo del aspersor. Entonces, en la superficie de entrada Σe , x¯ − x¯o = −L¯ ez ; en la superficie de salida ey ; y a lo largo del brazo del aspersor, x¯ − x¯o = y¯ ey . En realidad, en la superficie Σs , x¯ − x¯o = R¯ de entrada Σe , ni la cantidad de movimiento ni la fuerza de presión dan momento respecto de x¯o . R e¯y ∧ ρU(sen α e¯x + cos α e¯y )UA x¯ ∧ (p − pa )¯ n dσ + x¯ ∧ (τ¯ · n ¯ ) dσ =− Σp Σp

(8.80)

¯ −M

y=R

y e¯y ∧ ρ(2ΩU e¯x + Ω2 y e¯y )A dy

+ y=0

¯ de la fuerza F¯ que el agua y el aire ejercen conjuntamente donde identificamos el momento M sobre el aspersor. 2 ¯ − 2ρΩU R A e¯z − ρU 2 RA sen α e¯z = −M (8.81) 2 ¯ R de resistencia al giro del aspersor es nulo, entonces el equilibrio de Si el momento M ¯ = 0 implica que el momento M ¯ también es nulo, ¯R + M momentos sobre el aspersor M ¯ = ρURA(U sen α − ΩR) e¯z = 0, M

(8.82)

lo que permite despejar finalmente la siguiente relación para la velocidad de giro Ω=

U sen α Q sen α = . R AR 121

(8.83)

´ 8.6. SALTO HIDRAULICO

8.6 Salto hidráulico Un salto o resalto hidráulico es un ascenso brusco del nivel de agua en un canal. Las caracter´ısticas del resalto hidráulico pueden analizarse aplicando las ecuaciones de conservación a un volumen de control definido alrededor del resalto. Consideramos en esta sección un resalto hidráulico que se desplaza por acción de la gravedad con velocidad constante U sobre una capa l´ıquida horizontal de espesor ho , dejándola en movimiento con una velocidad U1 y un espesor h1 .

pa U

g

U1

h1

ho Figura 8.16: Resalto hidráulico. Para el análisis, podemos suponer despreciables los esfuerzos viscosos y las variaciones de presión asociadas al movimiento inducido en el aire, as´ı como las fuerzas de fricción en la superficie sólida del suelo. Pretendemos relacionar los valores de U1 y h1 con los valores de U, ho y g. Calcularemos también la variación de energ´ıa que sufre la corriente tras el paso del resalto. Elegimos resolver el problema en un sistema de referencia fijo, orientado según se indica en la figura 8.17 y definimos un volumen de control que coincide en todo momento con el agua en el resalto. El volumen de control tiene forma y tamaño fijo, pero es un volumen de control móvil: todos sus puntos se mueven con velocidad v¯c = U e¯x . De manera que la cantidad de masa, cantidad de movimiento y energ´ıa en el volumen de control es constante y el término de variación temporal en las ecuaciones de conservación es nulo.

Σ

pa U

g Σe

vc ho

x

U1

Σs h1

z Σp

Figura 8.17: Volumen de control para el análisis del resalto hidráulico. El sistema de referencia es fijo y el volumen de control es móvil con velocidad igual a la del resalto v¯c = U e¯x . Identificamos las superficies del volumen de control como se indica en la figura 8.17: la superficie Σe situada aguas arriba del resalto, por donde el resalto no ha pasado aún, el fluido 122

´ 8.6. SALTO HIDRAULICO está en reposo y la velocidad relativa es v¯ − v¯c = −U e¯x (es, por tanto, la superficie de entrada al volumen de control); la superficie Σs situada aguas abajo del resalto, por donde ya ha pasado el resalto, el fluido queda con velocidad U1 y la velocidad relativa es v¯ − v¯c = (U1 − U)¯ ex (es la superficie de salida del volumen de control); la superficie Σ es la superficie libre del resalto, ¯ = 0; y la superficie Σp que coincide con donde la velocidad relativa normal es nula (¯ v − v¯c ) · n la superficie sólida del suelo. Conservación de la masa. La ecuación de conservación de la masa (5.1) d ρ dV + ρ(¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = 0 dt Vc (t) Σc (t) se reduce a dos términos:

ρ(¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ +

Σe

ρ(¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = 0

(8.84)

Σs

que, realizando la integral, queda − ρUho − ρ(U1 − U)h1 = 0

(8.85)

o también, si definimos λ ≡ h1 /ho ,

U1 1 =1− (8.86) U λ Siendo h1 > ho , λ > 1 y continuidad indica que U1 < U y la velocidad relativa en Σs es efectivamente de salida del volumen de control. Conservación de la cantidad de movimiento. Escribimos a continuación la componente x de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento (6.10), con la gravedad como u´ nica fuerza másica y la fuerza de presión en términos de presiones manométricas. ! d ρ¯ v dV + ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = dt Vc (t) Σc (t) − (p − pa )¯ n dσ + ρ¯ g dV · e¯x τ¯ · n ¯ dσ + Σc (t)

Σc (t)

Vc (t)

Empezamos omitiendo el término de variación temporal y también el término de la fuerza gravitatoria, puesto que e´ sta no tiene componente x. Además, los esfuerzos viscosos son nulos en las superficies Σe y Σs donde la velocidad de la corriente es nula y uniforme respectivamente; son despreciables en Σ por la poca resistencia al movimiento que ofrece el aire (la viscosidad del aire es mucho más pequeña que la viscosidad del agua); y despreciamos también las fuerzas de fricción en el suelo. As´ı, quedan solamente los términos de flujo convectivo y las fuerzas de presión. ! ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = − Σc

(p − pa )¯ n dσ

· e¯x

(8.87)

Σc

En cuanto a los términos convectivos, el fluido que entra al volumen de control a través de la superficie Σe tiene velocidad nula v¯ = 0, por lo tanto, no hay flujo convectivo de cantidad de movimiento a través de esta superficie. Realizando la integral en la superficie Σs queda: (p − pa )nx dσ (8.88) − ρU1 (U1 − U)h1 = − Σc

123

´ 8.6. SALTO HIDRAULICO Debemos ahora considerar la distribución de presiones en la superficie de control. Aguas arriba del resalto, el fluido está en reposo, as´ı que la distribución de presiones en la superficie Σe es la correspondiente a la fluidostática: p(z) = pa + ρg(ho − z). Aguas abajo del resalto, podemos situarnos momentáneamente en un sistema de referencia inercial, que se mueve con velocidad constante U1 e¯x , en el que la velocidad del fluido es también nula y determinamos as´ı que la distribución de presiones en Σs es también la correspondiente a la fluidostática: p(z) = pa + ρg(h1 − z). En la superficie libre Σ la presión es uniforme e igual a la presión atmosférica pa . Finalmente, en la superficie del suelo Σp , desconocemos la distribución de presiones, pero la fuerza de presión sobre esta superficie no tiene componente x, nx = 0. − ρU1 (U1 − U)h1 = − ρg(ho − z)nx dσ − ρg(h1 − z)nx dσ (8.89) Σe

Σs

Podemos ver que el nivel de la presión atmosférica pa es irrelevante puesto que todas sus contribuciones se cancelan. z=ho z=h1 − ρU1 (U1 − U)h1 = − ρg(ho − z) dz + ρg(h1 − z) dz (8.90) z=0

z=0

h21 h21 − h2o h2o (8.91) − ρU1 (U1 − U)h1 = −ρg + ρg = ρg 2 2 2 Combinando este resultado con la expresión (8.86) obtenida de continuidad, para eliminar U1 , podemos establecer la siguiente expresión para la relación de alturas λ = h1 /ho : (8.92)

2F r = λ (λ + 1) 2

U , llamado número de Froude. Resolviendonde hemos definido el grupo adimensional F r ≡ gh o do, 1 √ λ= 1 + 8F r − 1 (8.93) 2 y para las velocidades U1 3 1√ = 1 + 8F r − 1 (8.94) U 2 3

Las olas normales tienen F r > 1. Si F r = 1, entonces h1 = ho y U1 = 0 y no hay ola. Olas con F r < 1 no existen. Conservación de la energ´ıa. A continuación, aplicamos la ecuación (7.17) de conservación de la energ´ıa al volumen de control para determinar la variación de energ´ıa que se da a través del resalto. d v2 v2 + gz) dV + + gz)(¯ v − v¯c ) · n ρ(e + ρ(e + ¯ dσ dt Vc (t) 2 2 Σc (t) =− p¯ v·n ¯ dσ + v¯ · (τ¯ · n ¯ ) dσ + k(∇T · n ¯ ) dσ + (q˙R + q˙Q ) dV Σc (t)

Σc (t)

Σc (t)

Vc (t)

Empezamos cancelando el término de evolución temporal, el término de trabajo de los esfuerzos viscosos y los términos de calor por radiación o reacción qu´ımica. Por razones análogas por las

124

´ 8.6. SALTO HIDRAULICO que despreciamos los esfuerzos viscosos podemos despreciar el flujo de calor por conducción a través de la superficie de control. v2 + gz)(¯ v − v¯c ) · n ρ(e + ¯ dσ = − p¯ v·n ¯ dσ (8.95) 2 Σc (t) Σc (t) El flujo convectivo es distinto de cero sólo en las superficies Σe y Σs , mientras que el trabajo de la fuerza de presión es no nulo sólo en las superficies Σs y Σ : z=h1 z=ho U12 + gz (U1 − U) dz = ρ(eo + gz)U dz − ρ e1 + − 2 z=0 z=0 (8.96) z=h1 z=h1 [pa + ρg(h1 − z)] U1 dz − pa U dz + z=0

z=ho

h1 ho U12 h1 +g −ρ eo + g Uho −ρ e1 + (U1 −U)h1 = pa + ρg U1 h1 −pa U(h1 −ho ) 2 2 2 2 (8.97) que, usando el resultado (8.85) de la ecuación de continuidad, podemos escribir como h1 − ho U12 h2 +g ρUho e1 − eo + (8.98) = ρg 1 U1 2 2 2 Vemos que de nuevo, la contribución del nivel de presión atmosférica se cancela. Este u´ ltimo resultado puede escribirse en forma adimensional (λ − 1)3 e1 − eo = 1 2 λ2 (λ + 1) U 2

(8.99)

Este resultado permite determinar el cambio de energ´ıa interna que el resalto impone al fluido en función del número de Froude. Puesto que λ > 1, se tiene que la energ´ıa interna aumenta por el paso del resalto. Resolución alternativa en un sistema de referencia ligado al resalto. Este problema puede resolverse alternativamente en un sistema de referencia x − z ligado al resalto, donde el volumen de control es fijo y el flujo estacionario. Si la velocidad del sistema de referencia es U e¯x , y orientamos el eje x hacia la derecha, entonces en el nuevo sistema de referencia, las velociex . Digamos dades del fluido en las superficies Σe y Σs son respectivamente, U e¯x y (U − U1 )¯ Vo = U y V1 = U − U1 según la notación de la figura 8.18. En este caso las leyes de conservación son de fácil aplicación. Conservación de la masa implica que: Vo ho = V1 h1 (8.100) Conservación de la componente x de la cantidad de movimiento implica que: h2o − h21 − + =g (8.101) 2 Definiendo el número de Froude con la velocidad Vo y la altura ho aguas arriba del resalto, Vo2 , obtenemos el resultado anterior (8.92), para la relación de alturas en función del F r = gh o Froude. Conservación de la energ´ıa en este caso resulta en: Vo2 ho

e1 − eo +

V12 h1

V12 − Vo2 + g(h1 − ho ) = 0 2 125

(8.102)

8.7. COMPUERTA

Σ

pa g ho

Vo

Σe

z x

Σs

V1

h1

Σp Figura 8.18: Resalto hidráulico estacionario.

Este u´ ltimo resultado indica que la pérdida de energ´ıa mecánica (cinética + potencial) a través del resalto se compensa con un aumento de la energ´ıa interna. Es la energ´ıa mecánica disipada en el resalto en forma de calor. El hecho de que la disipación ha de ser positiva, impone la condición de F r > 1 en los resaltos hidráulicos mencionada anteriormente.

8.7 Compuerta La disipación de energ´ıa que se da en un resalto hidráulico resulta una propiedad u´ til, por ejemplo, tras los vertederos de las presas, donde el resalto hidráulico que se produce consigue moderar la velocidad de la corriente. Un canal de sección rectangular, de anchura b, tiene una compuerta parcialmente abierta que permite el paso de un caudal Q de agua, dando lugar a la formación de un resalto hidráulico estacionario, como se esquematiza en la figura 8.19. A moderadas distancias aguas arriba y aguas abajo de la compuerta, donde la altura del agua alcanza los valores constantes h1 y h2 , se puede considerar que la velocidad es uniforme, digamos U1 y U2 respectivamente. La compuerta se ve sometida a una fuerza horizontal de magnitud F .

pa

U1

h1

g¯

F¯

pa U2

h2

ho Figura 8.19: Compuerta en un canal bidimensional con formación de un resalto hidráulico. El problema puede tratarse como bidimensional, por ser h1 b, y el efecto de la viscosidad puede considerarse despreciable. Aplicando las leyes de conservación, podemos obtener una expresión que relacione el caudal Q con la fuerza F y las alturas h1 y h2 . Definimos el volumen 126

8.7. COMPUERTA de control mostrado en la figura 8.20. La superficie de control consta de: la superficie de entrada Σe , aguas arriba de la compuerta, por donde entra fluido al volumen de control con velocidad uniforme; la superficie libre horizontal Σ1 aguas arriba de la compuerta; la superficie mojada de la compuerta Σa ; la superficie libre Σ2 del canal aguas abajo de la compuerta, incluye la superficie libre del resalto estacionario; la superficie de salida Σs , aguas abajo del resalto, por donde el fluido abandona el volumen de control con velocidad uniforme; y la superficie Σp del suelo del canal. El volumen de control es fijo (¯ vc = 0) y el flujo es estacionario (∂/∂t = 0). El fluido es incompresible, con densidad ρ constante.

Σ1

Σe

U1

pa

g¯ Σa F¯

h1

pa Σ2 U2

Σp

h2

Σs

ho

Figura 8.20: Volumen de control para el análisis del flujo en una compuerta con formación de un resalto hidráulico.

Conservación de la masa. La ecuación de conservación de la masa (5.1) d ρ dV + ρ(¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = 0 dt Vc (t) Σc (t) se reduce a: (8.103)

Q = U1 h1 b = U2 h2 b

Conservación de la cantidad de movimiento. Trabajamos a continuación con la componente x de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento (6.10), con la gravedad como u´ nica fuerza másica y la fuerza de presión en términos de presiones manométricas. ! d ρ¯ v dV + ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = dt Vc (t) Σc (t) − (p − pa )¯ n dσ + ρ¯ g dV · e¯x τ¯ · n ¯ dσ + Σc (t)

Σc (t)

Vc (t)

Omitiendo los términos nulos o despreciables y realizando la integral de los términos convectivos, podemos escribir 2 2 − ρU1 h1 b + ρU2 h2 b = − (p − pa )nx dσ (8.104) Σc

127

8.8. CHORRO PLANO INCIDIENDO SOBRE UNA PLACA PLANA ARTICULADA Como se ha explicado en la sección anterior, la distribución de presiones en las superficies Σe y Σs , donde la velocidad es uniforme, se corresponde con la distribución hidrostática de presiones. En las superficies libres Σ1 y Σ2 , tenemos que p − pa = 0, y en la superficie del suelo Σp , tenemos nx = 0. As´ı, −

ρU12 h1 b

+

ρU22 h2 b

z=h1

=+

ρg(h1 − z)b dz −

z=0

z=h2

z=0

ρg(h2 − z)b dz −

Σa

(p − pa )b dz F

(8.105) donde reconocemos la expresión para la fuerza F que experimenta la compuerta debido a la acción del l´ıquido del canal y del aire atmosférico conjuntamente. Realizando las integrales de presión, h21 h22 2 2 − ρU1 h1 b + ρU2 h2 b = ρg b − ρg b − F (8.106) 2 2 Introduciendo la expresión (8.103) de Q para eliminar las velocidades, 1 h2 − h22 Q2 1 − = −F + ρg 1 b (8.107) ρ b h2 h1 2 de donde podemos despejar la expresión para la fuerza F en función del caudal Q y las alturas Q2 1 1 h21 − h22 b−ρ − F = ρg (8.108) 2 b h2 h1 o podemos despejar la expresión para el caudal Q en función de la fuerza F y las alturas, 1 h2 2F gh2 1 + b (8.109) 1− Q = h1 b 2 h1 ρg(h21 − h22 ) Por u´ ltimo, aplicando los resultados (8.100) y (8.101) obtenidos en la sección anterior para un resalto estacionario, podemos determinar la altura ho del nivel de agua en el canal inmediatamente antes del resalto: 1 2Q2 1 ho = + 2 3− (8.110) h2 4 gb h2 2

8.8 Chorro plano incidiendo sobre una placa plana articulada Incluimos en este cap´ıtulo un problema en el que se hace uso de la ecuación de Bernoulli para el análisis. La figura muestra un chorro plano horizontal de espesor b de un l´ıquido de densidad ρ que impacta con una velocidad uniforme U sobre una placa cuyo peso es W y cuya longitud es Lp . Se sabe que el punto de impacto del chorro O se encuentra a una distancia vertical L del extremo superior de la placa, donde e´ sta se encuentra articulada con una rótula que permite el libre giro. Debido al impacto del chorro, la placa gira sobre la rótula superior hasta que alcanza una posición de equilibrio formando un a´ ngulo α a la vez que el chorro se divide en dos corrientes que, lejos del punto de impacto, tienen espesores constantes b1 y b2 , respectivamente. Despreciando el efecto de la gravedad en el movimiento del fluido y 128

8.8. CHORRO PLANO INCIDIENDO SOBRE UNA PLACA PLANA ARTICULADA y

U2

x

L p /2

b2

L

W U

O

α

b

b1

U1

suponiendo que los esfuerzos viscosos son despreciables, se pide obtener una expresión para el a´ ngulo de equilibrio α en función de los datos del problema (L, b, W , U, Lp y ρ). Para resolver el problema, utilizaremos el sistema de referencia (x, y) que se indica en la figura, con el vector unitario e¯z orientado hacia el lector. Suponiendo que la placa puede girar libremente alrededor de la rótula, la ecuación que determina el a´ ngulo α es la ecuación de equilibrio de momentos respecto a la rótula, que podemos escribir en la forma 1 ¯ fluido→placa = 0. − W Lp cos(α)¯ ez + M 2 En ausencia de fuerzas viscosas, ¯ x(p − pa )dx¯ ez Mfluido→placa =

(8.111)

(8.112)

Σp

donde Σp representa la superficie de la placa mojada por el l´ıquido. El campo de presiones alrededor del punto O de impacto es en principio desconocido, por lo que la resolución del problema requiere el estudio del movimiento fluido, de acuerdo a lo que se indica más abajo. Puesto que el problema es estacionario y con efectos de viscosidad despreciables, podemos hacer aplicación de la ecuación de Bernoulli p + ρ|¯ v |2 /2 = Constante a lo largo de una l´ınea de corriente cualquiera. Lejos del punto de impacto O, las l´ıneas de corriente se encuentran alineadas, tanto en el chorro incidente como en las corrientes bifurcadas, lo que implica que la presión en ellas es uniforme e igual a la presión ambiente pa . Por tanto, al aplicar la ecuación de Bernoulli obtenemos como resultado U1 = U2 = U.

(8.113)

Para proseguir con la solución, aplicamos ahora las ecuaciones de conservación en forma integral al volumen de control fijo (¯ vc = 0) que se indica en la figura adjunta. Puesto que el problema es estacionario, la ecuación de continuidad se reduce en este caso a ρ¯ v·n ¯ dσ = −ρ U b + ρ U1 b1 + ρ U2 b2 = 0, (8.114) Σc

129

8.8. CHORRO PLANO INCIDIENDO SOBRE UNA PLACA PLANA ARTICULADA con lo que obtenemos (8.115)

b = b1 + b2 .

Por otra parte, la ecuación de la cantidad de movimiento (6.10), escrita en un volumen de control fijo sin la derivada temporal y despreciando el efecto de la gravedad y de los esfuerzos viscosos, se reduce a ρ¯ v (¯ v·n ¯ )dσ = − Σc

(p − pa )¯ ndσ.

(8.116)

Σc

La fuerza de presión la hemos escrito haciendo uso de la presión manométrica, lo que equivale a sumar un término de la forma Σc pa n ¯ dσ, que es idénticamente nulo por ser Σc una superficie cerrada. Para evaluar la integral resultante, tendremos en cuenta que p = pa en toda la superficie del volumen de control Σc , excepto en aquella que se encuentra en contacto con la placa, que denominaremos Σp , donde el vector normal n ¯ coincide con el vector unitario e¯y . Es trivial comprobar que la fuerza resultante se puede relacionar con la fuerza que ejerce el fluido sobre la placa de acuerdo a ¯ Fplaca = Fy e¯y = (p − pa )dσ¯ ey . (8.117) Σp

Evaluamos ahora el flujo de cantidad de movimiento Σc ρ¯ v (¯ v·n ¯ )dσ, que es nulo en la superficie de corriente exterior, por ser v¯ · n ¯ = 0. Las contribuciones no nulas aparecen en el jet y en las corrientes bifurcadas. Como las condiciones son uniformes con |¯ v| = U, obtenemos ρ¯ v (¯ v·n ¯ )dσ = −ρU 2 b[cos(α)¯ ex + sen(α)¯ ey ] + ρU 2 b1 e¯x − ρU 2 b2 e¯x . (8.118) Σc

Sustituyendo ahora las expresiones (8.117) y (8.118) en la ecuación vectorial (8.116) y separando las componentes x e y obtenemos, respectivamente, − ρU 2 bcos(α) + ρU 2 b1 − ρU 2 b2 = 0

(8.119)

Fy = ρU 2 bsen(α).

(8.120)

y La primera de estas ecuaciones, escrita en la forma bcos(α) = b1 − b2 , la podemos combinar con (8.115) para despejar b b1 = (1 + cosα) (8.121) 2 y b b2 = (1 − cosα), (8.122) 2 mientras que la segunda de las ecuaciones proporciona la fuerza sobre la placa. Aplicamos ahora la ecuación de conservación del momento cinético respecto al extremo superior de la placa. Como el movimiento es estacionario y sin efecto de las fuerzas gravitatorias y de viscosidad, la ecuación (6.35) se reduce para dar ρ(¯ x ∧ v¯)(¯ v·n ¯ )dσ = − x¯ ∧ (p − pa )¯ ndσ, (8.123) Σc

Σc

donde además hemos tenido en cuenta que el origen de coordenadas coincide con el extremo de la placa y hemos escrito el momento de las fuerzas de presión en función de la presión 130

8.8. CHORRO PLANO INCIDIENDO SOBRE UNA PLACA PLANA ARTICULADA manométrica. Sabemos que p = pa en todo el contorno exterior del volumen de control, excepto ¯ = e¯y y x¯ = x¯ ex , por lo que, teniendo que cuenta que e¯x ∧ e¯y = e¯z , podemos en Σp , donde n escribir ¯ fluido→placa . x¯ ∧ (p − pa )¯ ndσ = − x(p − pa )dσ¯ ez = −M (8.124) − Σc

Σp

Nótese que, para escribir la u´ ltima igualdad, hemos hecho uso de (8.112). ¯ = 0, por lo que solo tenemos que En las superficies de corriente laterales y en Σp , v¯ · n evaluar el flujo de momento cinético en el chorro y en las corrientes paralelas a la placa. Para el chorro, v¯ · n ¯ = −U y x¯ ∧ v¯ = LU e¯z , por lo que el flujo de momento cinético resulta ser igual a −ρU 2 Lb¯ ez . En la superficie Σ1 , v¯ · n ¯ = U y x¯ ∧ v¯ = −yU e¯z , con lo que obtenemos 0 1 ρ(¯ x ∧ v¯)(¯ v·n ¯ )dσ = − ρU 2 dy¯ ez = ρU 2 b21 e¯z . (8.125) 2 Σ1 −b1 De forma parecida, en la superficie Σ2 , donde v¯ · n ¯ = U y x¯ ∧ v¯ = yU e¯z , obtenemos 0 1 ρ(¯ x ∧ v¯)(¯ v·n ¯ )dσ = ρU 2 dy¯ ez = − ρU 2 b22 e¯z . 2 −b2 Σ2

(8.126)

Sustituyendo estas expresiones en ¯ fluido→placa = − M

ρ(¯ x ∧ v¯)(¯ v·n ¯ )dσ

(8.127)

Σc

obtenemos

¯ fluido→placa = ρU 2 (Lb − 1 b2 + 1 b2 )¯ ez , M 2 1 2 2 que, una vez sustituida en (8.111), proporciona 1 2 1 2 1 2 ρU Lb − b1 + b2 = W Lp cos(α). 2 2 2

(8.128)

(8.129)

Haciendo uso ahora de las expresiones (8.121) y (8.122) y despejando obtenemos finalmente la expresión buscada 2L/b . (8.130) cos(α) = W Lp 1 + ρU 2 b2

131

Cap´ıtulo 9 Análisis dimensional 9.1 Introducción En este tema abordamos el estudio del análisis dimensional. Tras presentar un ejemplo introductorio y definir una serie de conceptos previos, se formula el Teorema Π o de VaschyBuckingham. A continuación se presentan varios ejemplos de aplicación, discutiendose en particular cómo identificar los parámetros con dimensiones independientes más apropiados en cada caso. Se introduce finalmente el concepto de semejanza f´ısica y semejanza parcial y se discute su aplicación en el ensayo de modelos a escala.

9.1.1 Motivación El análisis dimensional constituye una herramienta que permite reducir la complejidad de los problemas f´ısicos antes de buscar respuestas cuantitativas a los mismos. En palabras de Bridgman1 , “la utilidad principal del análisis dimensional es deducir de un estudio de las dimensiones de las variables en cualquier sistema f´ısico ciertas limitaciones en la forma de cualquier posible relación entre estas variables. El método es de gran generalidad y simplicidad matemática”. El análisis dimensional se puede aplicar tanto en análisis teóricos como en estudios numéricos y experimentales, as´ı como en el ensayo de modelos a escala. Dada su gran versatilidad, esta herramienta se utiliza actualmente en casi todas las ramas de la ciencia y la ingenier´ıa, incluyendo la mecánica de fluidos, la transferencia de calor, la elasticidad, el electromagnetismo, la astrof´ısica, la qu´ımica, la biolog´ıa, etc.

9.1.2 Desarrollo histórico El primer investigador cient´ıfico que trató con extensión sobre las unidades y razonamientos dimensionales en las relaciones f´ısicas fue Euler en la segunda mitad del siglo XVIII. Algunas de las ideas básicas del análisis dimensional y la semejanza f´ısica aparecen posteriormente en los trabajos publicados por Fourier en el primer tercio del siglo XIX, donde estableció lo que hoy se conoce como el principio de homogeneidad dimensional y desarrolló algunas leyes de semejanza para el transporte de calor. Sin embargo, hubo que esperar hasta finales de ese siglo para que el método recibiera una atención más sistemática, sobre todo en los trabajos de Lord 1

P. W. Bridgman (1881–1961), Premio Nobel de F´ısica en 1946 por su trabajo en la f´ısica de altas presiones, escribió la primera monograf´ıa clásica sobre análisis dimensional, “Dimensional Analysis”, Yale University Press, 1922, disponible online en www.archive.org/details/dimensionalanaly00bridrich

´ 9.1. INTRODUCCION Rayleigh, Reynolds, Maxwell, y Froude en Inglaterra, y de Carvallo, Vaschy, y otros cient´ıficos e ingenieros en Francia. Los principios básicos del análisis dimensional quedaron finalmente establecidos en la década de 1920: el hoy ubicuo Teorema Π (o de Vaschy-Buckingham) hab´ıa sido planteado unos años antes (Buckingham, 1914), y Bridgman hab´ıa publicado la monograf´ıa que aún sigue siendo el clásico en el campo. Desde entonces la literatura sobre este tema ha crecido vertiginosamente, si bien entre las referencias modernas se debe destacar la ya clásica monograf´ıa de Baremblatt2 .

9.1.3 Un primer ejemplo Para ilustrar la utilidad del análisis dimensional vamos a aplicar este método a un sencillo problema de mecánica. Queremos determinar el tiempo de ca´ıda tc de un cuerpo puntual de masa m inicialmente en reposo que se deja caer bajo la acción de la gravedad g desde una altura inicial h, as´ı como la velocidad vc que lleva el cuerpo en el momento del impacto. Claramente, para obtener la respuesta basta plantear la segunda ley de Newton para el movimiento del cuerpo md2 z/dt2 = −mg. Integrando la ecuación resultante con condiciones iniciales z = h y dz/dt = 0 en t = 0, obtenemos dz/dt = −gt y z = h − gt2 /2 para la evolución con el tiempo de la velocidad del cuerpo y de su distancia al suelo. Igualando a cero esta u´ ltima expresió√ n determinamos el valor del tiempo de ca´ıda tc = 2h/g, con lo que además obtenemos vc = 2hg. El objetivo de esta sección es demostrar cómo el problema puede resolverse alternativamente casi por completo mediante razonamientos basados en el concepto de dimensión.

m g

h

El primer paso para resolver el problema consiste en identificar de qué variables depende el tiempo de ca´ıda y la velocidad de impacto. Parece razonable pensar que los parámetros que influyen son: la altura inicial, la masa del cuerpo y la aceleración de la gravedad (puesto que si no hubiese gravedad el cuerpo permanecer´ıa indefinidamente a la misma distancia del suelo). Los valores del tiempo de ca´ıda, la velocidad de colisión, la altura inicial, la masa del cuerpo y la gravedad los expresamos en función de unos números: tc , vc , h, m y g, respectivamente. Para definir estos valores, antes hemos tenido que elegir un cierto sistema de unidades fundamentales de medida. As´ı, uno puede elegir el segundo, el minuto o la hora para medir los periodos de tiempo. El valor de tc resultar´ıa de comparar el tiempo de ca´ıda con la unidad de medida elegida. Al variar la unidad de medida, cambia el valor numérico de tc (por ejemplo, tc = 180 segundos ser´ıa tc = 3 minutos o tc = 0,05 horas). De igual forma, uno elige una cierta unidad para medir longitud (el cent´ımetro, la pulgada, el metro, etc.) y otra unidad para medir la masa (el kilogramo, la libra, la tonelada métrica, etc). La comparación de la altura inicial con la unidad de medida de la longitud proporciona el número h, mientras que al comparar la masa del cuerpo con la unidad de medida de la masa obtenemos el valor numérico m. 2

G. I. Baremblatt, “Scaling, Self-Similarity and Intermediate Asymptotics”, Cambridge University Press, 1996.

133

´ 9.1. INTRODUCCION A partir de las unidades de medida de la longitud y el tiempo podemos definir una unidad de medida de la velocidad como la velocidad que tiene un móvil que recorre la unidad de longitud en la unidad de tiempo. As´ı, si utilizamos el metro como unidad de medida de la longitud y el segundo como unidad de medida del tiempo, el valor numérico de vc vendrá expresado en metros por segundo. De manera parecida, la unidad de medida de la aceleración se define como la aceleración que tiene un móvil que incrementa su velocidad en la unidad de velocidad en un tiempo igual a la unidad de tiempo. Esta unidad de medida de la aceleración es la que utilizamos para comparar con el valor de la gravedad, con lo que obtenemos en la superficie de la Tierra g 9,8 m/s2 o g = 35,28 km/min2. Tal y como se comentó más arriba, al modificar las unidades de medida se modifica el valor de los números tc , vc , h, m y g. Si se disminuye simultáneamente la unidad de medida de la longitud en un factor L, la unidad de medida del tiempo en un factor T y la unidad de medida de la masa en un factor M, los valores numéricos de h, tc y m se verán incrementados en un factor L, T y M, respectivamente. Por otra parte, el valor numérico de vc aumenta en un factor LT −1 y el valor numérico de g en un factor LT −2 . Estos factores numéricos de cambio definen la dimensión de las distintas magnitudes f´ısicas asociadas. As´ı, diremos por ejemplo que la dimensión de h es L, lo que expresamos en la forma [h] = L. Por otra parte, la dimensión de vc (y de las velocidades en general) es [vc ] = LT −1 y la dimensión de g (y de las aceleraciones en general) es [g] = LT −2 . En problemas de mecánica la dimensión resulta ser siempre un monomio de la forma M α Lβ T γ , donde α, β y γ son constantes y M, L y T son números abstractos positivos. El análisis dimensional tiene sus ra´ıces en la naturaleza de los artificios que construimos para describir el mundo f´ısico y explicar su funcionamiento en términos cuantitativos. En este sentido, la idea fundamental que subyace en la aplicación de esta técnica es que las leyes f´ısicas son independientes del sistema de unidades fundamentales de medida elegido, por lo que deben existir expresiones para tc (h, m, g) y vc (h, m, g) que sean invariantes frente a cambios en las unidades de medida. Con esta idea en mente, para avanzar en la solución del problema consideramos ahora las cantidades (h/g)1/2 y (gh)1/2 . Al disminuir las unidades de medida de la longitud y del tiempo en un factor L y T , respectivamente, h aumenta en un factor L y g lo hace en un factor LT −2 . Como consecuencia, (h/g)1/2 aumenta en un factor T , mientras que (gh)1/2 lo hace en un factor LT −1 . Es fácil ver entonces que los cocientes Π1 =

tc (h/g)1/2

y

Π2 =

vc (gh)1/2

(9.1)

tienen dimensión unidad, por lo que son invariantes ante cualquier cambio de las unidades fundamentales de medida. Esta es la propiedad fundamental que tienen todas las cantidades adimensionales, su valor es independiente del sistema de unidades utilizado. Nuestro estudio comenzó por identificar que tc y vc eran función de h, m y g. De la misma forma, podemos anticipar que tanto Π1 = tc (h, m, g)/(h/g)1/2 como Π2 = vc (h, m, g)/(gh)1/2 serán también funciones de h, m y g. En este punto conviene recordar que las cantidades adimensionales Π1 = Π1 (h, m, g) y Π2 = Π2 (h, m, g) (9.2) son independientes del sistema de unidades de medida elegido, mientras que los números h, m y g representan cantidades dimensionales, cuyo valor cambia al cambiar el sistema de unidades fundamentales de medida. En particular, si variamos la unidad de medida de la masa disminuyéndola en un factor M, el valor numérico de m aumentará en ese mismo factor, mientras 134

´ 9.1. INTRODUCCION que los valores de g y h permanecen igual. Vemos as´ı que es posible variar arbitrariamente el valor de m, manteniendo fijos h y g, sin alterar de forma alguna los valores de Π1 y de Π2 . Concluimos por tanto que nuestra hipótesis inicial era incorrecta, Π1 y Π2 no son función de m. Hemos reducido de esta manera el número de argumentos a dos: Π1 = Π1 (h, g) y

Π2 = Π2 (h, g).

(9.3)

Si disminuimos ahora la unidad de medida del tiempo en un factor T , los valores de Π1 , Π2 y h permanecen igual, mientras que el valor de g aumenta en un factor T −2 . Siguiendo el razonamiento anterior, concluimos que las funciones Π1 y Π2 son independientes de g, esto es, Π1 = Π1 (h) y

Π2 = Π2 (h).

(9.4)

Finalmente, procedemos a variar la unidad fundamental de medida de la longitud, lo cual produce un cambio en el valor de h, sin modificar el valor de Π1 y Π2 . Concluimos que en este caso ambas funciones son independientes de todos los parámetros, con lo que su valor resulta ser constante: tc vc Π1 = = C1 y Π2 = = C2 . (9.5) 1/2 (h/g) (gh)1/2 El análisis dimensional no proporciona el valor de las √ constantes C1 y C2 . Aun sin conocer las segunda ley de Newton (que proporciona C1 = C2 = 2, tal y como vimos antes), los valores de C1 y C2 se podr´ıan determinar haciendo un u´ nico experimento, proporcionando as´ı las leyes fundamentales de la ca´ıda de un cuerpo. Es notable que la aplicación de razonamientos basados en el concepto de dimensión (apoyado por la realización de un u´ nico experimento) es suficiente para resolver el problema propuesto. El método utilizado aqu´ı se puede generalizar a otros problemas de la f´ısica y de la ingenier´ıa de mayor complejidad, generalización que presentamos a continuación.

9.1.4 Algunas definiciones previas Con el objetivo de establecer con claridad los conceptos fundamentales del análisis dimensional, en esta sección vamos a definir una serie de términos que serán utilizados con frecuencia durante el resto del cap´ıtulo. Unidad estándar de medida. Cantidad estandarizada de una determinada magnitud f´ısica, definida de forma arbitraria, y comúnmente aceptada para fines de comparación. En general, una unidad de medida toma su valor a partir de un patrón o de una composición de otras unidades definidas previamente. Por ejemplo: metros, radianes, segundos, grados Farenheith, etc. Magnitud f´ısica. Propiedad de un sistema (o proceso) f´ısico que se puede medir en términos de una o más unidades estándar de medida. Por ejemplo: el radio de la Tierra, el peso de una persona, la velocidad de un avión, etc. Medida. Magnitud numérica (escalar) de una magnitud f´ısica en relación (o comparada) con una unidad estándar de medida. Por ejemplo: 6371 km, 80 kg, 250 m/s, etc.

135

´ 9.1. INTRODUCCION Sistema de unidades fundamentales (o básicas) de medida. Un conjunto de unidades de medida a partir del cual se puede generar la unidad de medida de cualquier otra magnitud f´ısica (unidades derivadas). El ejemplo más conocido es el Sistema Internacional de Unidades, compuesto por las siete unidades básicas que se indican a continuación: Nombre

S´ımbolo Magnitud f´ısica

metro segundo kilogramo kelvin amperio candela mol

m s kg K A cd mol

Longitud [L] Tiempo [T ] Masa [M] Temperatura [θ] Corriente eléctrica Intensidad lum´ınica Cantidad de sustancia

El Sistema Internacional de Unidades, abreviado SI del francés Système International, es el nombre que recibe el sistema de unidades que se usa en la mayor´ıa de los pa´ıses, y que fue creado en 1960 por la Conferencia General de Pesos y Medidas. En dicho sistema, las unidades de longitud, masa, tiempo y temperatura se definen como sigue: • El metro (m) es la longitud de la trayectoria recorrida por la luz en el vac´ıo durante un intervalo de tiempo de 1 / 299 792 458 de segundo. • El kilogramo (kg) es igual a la masa del kilogramo prototipo internacional, un cilindro de platino e iridio almacenado en una caja fuerte de la Oficina Internacional de Pesos y Medidas, en Sevres, Francia. • El segundo (s) es la duración de 9 192 631 770 per´ıodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del a´ tomo de cesio 133. • El kelvin (K) es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. Dimensión de una magnitud f´ısica. La dimensión de cualquier magnitud f´ısica, ya sea básica o derivada, es una fórmula (conocida como ecuación de dimensiones) que define el factor por el cual cambian las medidas de dicha magnitud cuando cambia el tamaño de las unidades fundamentales de medida. Para ilustrar este concepto, consideremos una magnitud a y definamos un sistema de unidades fundamentales de medida, U1 , U2 , . . . , Up . En tal caso, la unidad de medida Ua de la magnitud a queda definida en términos de las p unidades fundamentales de medida a través de la ecuación de dimensiones Ua = U1α1 U2α2 . . . Upαp =

p $

α

Uj j ,

(9.6)

j=1

y el factor a /a por el que ha de multiplicarse la medida de a si se reduce el tamaño de cada una de las unidades fundamentales en un factor νj vendrá dado por Uj

Uj = νj

→

a /a =

p $ j=1

136

α

νj j

(9.7)

´ 9.1. INTRODUCCION Por ejemplo, si L denota una longitud, t un tiempo y a una aceleración, escribiremos [L] = L, [t] = T , [a] = LT −2 , etc. La siguiente tabla resume las dimensiones de distintas magnitudes de interés en el marco de la mecánica de fluidos. Magnitud

S´ımbolo Dimensión

Longitud Area Volumen Tiempo Velocidad Aceleración ´ Angulo Velocidad angular Masa Densidad Viscosidad Presión Fuerza Momento, par Potencia Trabajo, energ´ıa Temperatura Calor espec´ıfico Conductividad térmica

L A V t U a α Ω m ρ μ p F M P W, E T c k

L L2 L3 T LT −1 LT −2 1 T −1 M ML−3 ML−1 T −1 ML−1 T −2 MLT −2 ML−2 T −2 ML−2 T −3 ML−2 T −2 T L2T −2 T −1 MLT −3 T −1

Principio de homogeneidad dimensional (PHD). Este principio básico establece que si una ecuación expresa correctamente una relación entre magnitudes de un proceso f´ısico (ley f´ısica), debe ser dimensionalmente homogénea; esto es, todos sus sumandos deben tener las mismas dimensiones. Todas las ecuaciones consideradas en el presente curso introductorio de mecánica de fluidos verifican el PHD. Por ejemplo, en la segunda ley de Newton F = ma todos los términos tienen dimensiones de fuerza, [F ] = [m][a] = MLT −2 , mientras que en la ecuación de Bernoulli p + ρv 2 /2 + ρgz = cte todos los términos tienen dimensiones de presión, [p] = [ρ][v]2 = [ρ][g][z] = ML−1 T −2 . Sistema coherente de unidades. Un sistema de unidades se dice que es coherente si todas sus unidades son unidades básicas, o bien se derivan de las unidades básicas aplicando el PHD a diferentes leyes f´ısicas. El Sistema Internacional de Unidades (SI) es un sistema coherente. Magnitudes adimensionales. Magnitudes f´ısicas cuyos valores numéricos permanecen invariantes cuando cambia el tamaño de las unidades fundamentales de medida. La dimensión de una cantidad adimensional es la unidad. Las magnitudes adimensionales se definen t´ıpicamente como el cociente de dos cantidades que tienen dimensiones idénticas. Por ejemplo, la masa de un protón es aproximadamente 1850 veces la masa de un electrón independientemente de la unidad de masa. Los a´ ngulos se define en términos de relaciones de longitudes, por lo tanto son adimensionales. Asimismo, funciones de variables adimensionales son adimensionales, y 137

´ 9.1. INTRODUCCION las funciones trascendentes (por ejemplo, el seno, la exponencial o el logaritmo) deben tener argumentos adimensionales. Cantidades con dimensiones independientes. El número de unidades fundamentales que necesitamos definir a la hora de estudiar un determinado problema depende del carácter de este. Por ejemplo, en un problema puramente geométrico bastará definir una unidad de medida de longitud, mientras que en un problema cinemático necesitaremos, además, definir una unidad de medida de tiempo. Si el problema es de carácter mecánico, entonces necesitaremos introducir unidades de medida de longitud, tiempo y masa. En problemas de transporte de calor será además necesario introducir una unidad de medida para la temperatura, mientras que para describir fenómenos de tipo electromagnético necesitaremos una unidad de medida de la carga eléctrica. Nos centraremos en esta exposición en problemas de carácter mecánico, para los que la ecuación de dimensiones de una magnitud a es siempre un monomio de la forma [a] = Lα T β M γ . Diremos que las magnitudes a1 , . . . , ak tienen dimensiones independientes cuando ninguna de ellas tenga dimensiones que se puedan expresar como el producto de potencias de las dimensiones de las otras. O dicho de otro modo, cuando no sea posible formar un grupo adimensional entre ellas [a1 ]α1 . . . [ak ]αk =

k $

[ai ]αi = M 0 L0 T 0

⇔

α1 = · · · = αk = 0,

(9.8)

i=1

es decir, para que un producto de potencias de las k cantidades sea adimensional los exponentes de todas las variables deben ser idénticamente cero. Por analog´ıa con el concepto de independencia lineal, se dice entonces que las k variables son dimensionalmente independientes. Lo mejor para entender este concepto es plantearse un par de ejemplos. Consideremos las cantidades densidad ([ρ] = ML−3 ), velocidad ([U] = LT −1 ) y viscosidad ([μ] = ML−1 T −1 ). Por conveniencia, expresaremos las dimensiones de estas variables en la forma ρ M L T

U

μ

1 0 1 −3 1 −1 0 −1 −1

(9.9)

denominada matriz de dimensiones, cuyas columnas están formadas por los exponentes de la ecuación de dimensiones de cada una de las variables ρ, U y μ. Para probar que, en efecto, las tres variables tienen dimensiones independientes procedemos por reducción al absurdo: si no tuvieran dimensiones independientes ser´ıa posible encontrar unos números x, y y z distintos de cero tales que el producto de potencias ρx U y μz fuera adimensional; es decir, tales que [ρ]x [U]y [μ]z = M 0 L0 T 0 = 1. Sustituyendo en la ecuación anterior las dimensiones de las distintas cantidades se obtiene la igualdad (M 1 L−3 T 0 )x (M 0 L1 T −1 )y (M 1 L−1 T −1 )z = M 0 L0 T 0 ,

(9.10)

de donde, identificando los exponentes de M, L y T resulta el sistema de tres ecuaciones lineales M: x + z = 0, L : −3x + y − z = 0, T : − y − z = 0, 138

(9.11)

´ 9.1. INTRODUCCION que podemos expresar, alternativamente, en la forma matricial ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 0 1 x 0 ⎣ −3 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 1 −1 y = 0 ⎦ 0 −1 −1 z 0

(9.12)

El lector puede comprobar fácilmente que la matriz de coeficientes del sistema lineal (9.12) está formada por las columnas de la matriz de dimensiones correspondientes a las variables ρ, U y μ, cuyo determinante es no nulo 1 0 1 −3 1 −1 = 1 = 0. (9.13) 0 −1 −1 Dado que la matriz de coeficientes es no singular podemos afirmar que el sistema lineal (9.12) tiene solución u´ nica, que por ser un sistema homogéneo viene dada por la solución trivial x = y = z = 0. En consecuencia, no es posible encontrar valores de x, y y z distintos de cero que satisfagan simultáneamente las tres ecuaciones (9.11), luego podemos afirmar que las cantidades ρ, U y μ tienen dimensiones independientes. Podemos también investigar si las cantidades densidad ([ρ] = ML−3 ), velocidad ([U] = −1 LT ) y presión ([p] = ML−1 T −2 ) tienen dimensiones independientes. En este caso, la matriz de dimensiones ρ U p M 1 0 1 (9.14) L −3 1 −1 T 0 −1 −2 es singular (tiene determinante nulo) y se pueden encontrar valores de x, y y z distintos de cero que hacen que el producto de potencias ρx U y pz sea un número adimensional. As´ı, por ejemplo, [ρ][U]2 [p]−1 = M 0 L0 T 0 = 1. Esto permite, en particular, expresar las dimensiones de cualquiera de estas tres cantidades como producto de potencias de las otras dos (p. ej., [p] = [ρ][U]2 ), por lo que estas tres cantidades no tienen dimensiones independientes. Nótese que el sistema de ecuaciones (9.12) puede expresarse en la forma alternativa x(1, −3, 0) + y(0, 1, −1) + z(1, −1, −1) = (0, 0, 0)

(9.15)

que refleja que el concepto de dimensiones independientes entre las cantidades ρ, U y μ es equivalente al concepto de independencia lineal entre los vectores formados por los exponentes que aparecen en la ecuación de dimensiones de cada una de las tres cantidades: si los vectores (1, −3, 0), (0, 1, −1) y (1, −1, −1) son linealmente independientes es porque las cantidades ρ, U y μ tienen dimensiones independientes (y viceversa). En resumen, para comprobar si las cantidades a1 , . . . , ak tienen dimensiones independientes, basta comprobar que el rango de la matriz formada por los exponentes de su ecuación de dimensiones es igual a k. Para el caso de ρ, U y μ la correspondiente matriz es (9.9), cuyo rango es igual a 3, por lo que las tres cantidades mencionadas tienen dimensiones independientes. Sin embargo, para el caso, ρ, U y p, la correspondiente matriz es (9.14), cuyo rango es igual a 2, por lo que las cantidades ρ, U y p no tienen dimensiones independientes.

139

9.2. TEOREMA Π O DE V ASCHY − BUCKINGHAM

9.2 Teorema Π o de V aschy − Buckingham 9.2.1 Enunciado y demostración mediante un caso práctico La solución de un cierto problema f´ısico conlleva la obtención de una cantidad de interés a0 = f (a1 , . . . , ak , ak+1 , . . . , an ),

I

(9.16)

II

que es función de una serie de parámetros a1 , . . . , ak , ak+1 , . . . an , que son datos del problema. Supondremos en lo que sigue que k ≤ n es el número máximo de parámetros que tienen dimensiones independientes, de manera que podemos dividir el conjunto de n parámetros de los que depende la solución en dos subconjuntos: el formado por los parámetros a1 , . . . , ak , que tienen dimensiones independientes, y el formado por los parámetros ak+1 , . . . , an , cuyas dimensiones se pueden expresar en la forma [ak+1 ] = [a1 ]αk+1 · · · [ak ]γk+1 , [ak+2 ] = [a1 ]αk+2 · · · [ak ]γk+2 , · · · · · · αk+n [ak+n ] = [a1 ] · · · [ak ]γk+n ,

(9.17)

En general, 0 < k < n, aunque a veces k = n, como ocurrió al analizar la ca´ıda del cuerpo puntual, o bien k = 0, como ocurrir´ıa si todos los parámetros a1 , . . . , an fueran adimensionales. Se puede demostrar que las dimensiones de la cantidad de interés a0 se pueden también expresar en función de las de los parámetros a1 , . . . , ak en la forma [a0 ] = [a1 ]α0

· · · [ak ]γ0 .

(9.18)

Podemos ahora hacer uso de (9.17) y (9.18) para definir los parámetros adimensionales a0 Π0 = α0 , a1 · · · aγk0 ak+1 , Π1 = αk+1 γ a1 · · · akk+1 ak+2 , (9.19) Π2 = αk+2 γ a1 · · · akk+2 · · an Πn−k = αn a1 · · · aγkn Sustituyendo ahora en la ecuación (9.16) los parámetros a0 , ak+1 , . . . , an en función de Π0 , Π1 , . . . , Πn−k llegamos a la expresión Π0 =

f (a1 , . . . , ak , ak+1 , . . . , an ) aα1 0 · · · aγk0 α γ f (a1 , . . . , ak , Π1 a1 k+1 · · · akk+1 , . . . , Πn−k aα1 n · · · aγkn ) = , (9.20) aα1 0 · · · aγk0 140

9.2. TEOREMA Π O DE V ASCHY − BUCKINGHAM que se puede reescribir en la forma Π0 = F (a1 , . . . , ak , Π1 , . . . , Πn−k ).

(9.21)

Antes de continuar con el análisis, para afianzar lo expuesto hasta el momento, conviene deducir la ecuación (9.21) para un ejemplo clásico de mecánica de fluidos. Considere el caso del movimiento de un l´ıquido a lo largo de un conducto de sección circular. La variable de interés, en ese caso, es la ca´ıda de presión por unidad de longitud Pl = −∂p/∂x = f (Q, D, ρ, μ),

(9.22)

cuyas dimensiones son [Pl ] = ML−2 T −2 . Esta cantidad será función del caudal que circula por el conducto ([Q] = L3 T −1 ), del tamaño del conducto, dado, por ejemplo, por su diámetro ([D] = L) y de las propiedades del l´ıquido, representadas por su densidad ([ρ] = ML−3 ) y viscosidad ([μ] = ML−1 T −1 ). En este caso, n = 4, mientras que el número máximo de parámetros con dimensiones independientes, que coincide con el rango de la matriz de dimensiones Q M L T

D

0 3 −1

ρ

μ

0 1 1 1 −3 −1 0 0 −1

(9.23)

es k = 3. Si seleccionamos Q, D y ρ como el subconjunto de k = 3 cantidades con dimensiones independientes (el lector puede comprobar que el determinante formado por las columnas de la matriz (9.23) correspondientes a estas tres variables es no nulo y, por tanto, son dimensionalmente independientes), las dimensiones de las demás cantidades que aparecen en (9.22) se pueden expresar en la forma [μ] = [Q]1 [D]−1 [ρ]1

[Pl ] = [Q]2 [D]−5 [ρ]1 ,

y

(9.24)

que corresponden en este ejemplo a las ecuaciones (9.17) y (9.18) de la presentación general. Es posible definir ahora las cantidades adimensionales Π0 =

Pl ρQ2 /D5

y

Π1 =

μ ρQ/D

(9.25)

que se pueden utilizar para escribir Pl = Π0 ρQ2 /D5 y μ = Π1 ρQ/D en (9.22), dando Π0 =

f (Q, D, ρ, Π1 ρQ/D) = F (Q, D, ρ, Π1), ρQ2 /D5

(9.26)

que corresponde, en este ejemplo, a la ecuación (9.21) del caso general. Procedemos ahora de forma análoga a como hicimos anteriormente al analizar la ca´ıda del cuerpo, recordando que las cantidades adimensionales Π0 y Π1 son independientes del sistema de unidades de medida elegido, mientras que los números Q, D y ρ representan cantidades dimensionales, cuyo valor cambia al cambiar el sistema de unidades fundamentales de medida de acuerdo a [Q] = L3 T −1 , [D] = L y [ρ] = ML−3 . Por tanto, si elegimos modificar la unidad de medida de la masa disminuyendola en un factor M, el valor numérico de ρ aumentará en ese mismo factor, mientras que los valores de Π0 , Π1 , Q y D permanecen igual. Vemos que es 141

9.2. TEOREMA Π O DE V ASCHY − BUCKINGHAM posible variar arbitrariamente el valor de ρ, manteniendo fijos Π1 , Q y D, sin alterar de forma alguna el valor de Π0 , por lo que concluimos que Π0 = F (Q, D, Π1) no es función de ρ. De forma análoga, si disminuimos ahora la unidad de medida del tiempo en un factor T , el valor numérico de Q ([Q] = L3 T −1 ) aumentará en un factor T −1 , mientras que los valores de Π0 , Π1 y D permanecen inalterados, por lo que concluimos que Π0 = F (D, Π1). Finalmente, si disminuimos ahora en un factor L el valor de la unidad fundamental de medida de longitud, el valor numérico de D aumenta en ese mismo factor, permaneciendo iguales los valores de Π0 y Π1 , por lo que finalmente el razonamiento nos lleva a la conclusión Π0 = F (Π1 ), que podemos escribir la forma μ Pl =F . (9.27) ρQ2 /D5 ρQ/D El mismo procedimiento se puede utilizar para simplificar la ecuación (9.21). As´ı, siempre es posible encontrar un cambio en las unidades fundamentales de medida, tal que cambie el valor de a1 , permaneciendo inalterados los valores de a2 , . . . , ak . Como los valores de Π0 y de Π1 , . . . , Πn−k son independientes del sistema fundamental de unidades de medida, por ser cantidades adimensionales, vemos que es posible variar el valor del parámetro a1 , manteniendo fijos los demás parámetros que aparecen en (9.21), sin modificar por ello el valor de Π0 , por lo que se concluye que Π0 no es función de a1 . Procediendo de forma secuencial con los demás parámetros a2 , . . . , ak es posible demostrar que la variable adimensional Π0 es independiente de todos ellos, por lo que al final obtenemos en el caso general Π0 = F (Π1 , . . . , Πn−k ).

(9.28)

A la vista del desarrollo, es ahora posible enunciar en general el teorema Π o de V aschy − Buckingham. Para un problema f´ısico que pueda escribirse en la forma (9.16), esto es, en el que se tenga una cierta cantidad incógnita a0 que sea función de n cantidades a1 , . . . , an ´ que son datos del problema, es siempre posible reducir a n − k el numero de parámetros ´ de los que depende la solución, siendo k el numero de parámetros dato que tienen dimensiones independientes. Para ello, hacemos uso de las k cantidades dato con dimensiones independientes para expresar los n − k datos restantes y la cantidad incógnita en la forma adimensional (9.28). La simplificación que se obtiene al disminuir el número de parámetros tiene implicaciones prácticas importantes. Por ejemplo, para el caso del movimiento en un conducto, la aplicación del teorema Π nos permite disminuir el número de parámetros de los cuatro que aparec´ıan en la relación original (9.22) a un u´ nico parámetro, tal y como refleja (9.27). A la hora de diseñar un experimento, la aplicación del análisis dimensional reduce al m´ınimo el número de ensayos que deben realizarse. As´ı, para determinar la perdida de carga Pl en un caso general, uno podr´ıa realizar una u´ nica serie de experimentos con un u´ nico l´ıquido en una u´ nica instalación experimental. Al ir variando el caudal que circula por el conducto, uno medir´ıa la ca´ıda de presión Pl que se produce en ese experimento particular. Si uno representa ahora los datos obtenidos experimentalmente en la forma adimensional (9.27), habr´ıamos obtenido la dependencia general de la perdida de carga en cualquier conducto de sección circular. As´ı, si tenemos un caudal Q de un fluido cualquiera de densidad ρ y viscosidad μ circulando por un conducto de diámetro D uno puede calcular el valor de Π1 = μ/(ρQ/D). Mirando ahora en la curva Π0 = F (Π1 ) obtendr´ıamos el valor correspondiente de Π0 = Pl /(ρQ2 /D5 ) y, deshaciendo la adimensionalización, determinar´ıamos la pérdida de carga Pl = Π0 ρQ2 /D5 correspondiente a las condiciones de interés. 142

9.2. TEOREMA Π O DE V ASCHY − BUCKINGHAM

9.2.2 Determinación de los grupos adimensionales Π Antes de continuar, vamos a describir el procedimiento general que permite determinar la forma de los grupos adimensionales que aparecen en la aplicación del teorema Π, como por ejemplo los parámetros Π0 y Π1 de la ecuación (9.25). Como en todos los problemas el primero de los grupos adimensionales involucra a la cantidad incógnita a0 , lo primero que haremos será escribir la matriz de dimensiones ampliada Pl M L T

Q

1 0 −2 3 −2 −1

D

ρ

μ

0 1 1 1 −3 −1 0 0 −1

(9.29)

cuyas columnas están formadas por los exponentes de la ecuación de dimensiones de cada una de las variables, incluyendo la cantidad incógnita Pl . Tras comprobar que Q, D y ρ constituyen un conjunto de variables con variables independientes, deseamos formar los grupos adimensionales Π0 y Π1 asociados a la ca´ıda de presión por unidad de longitud, Pl , y a la viscosidad, μ, respectivamente. Para construir cada uno de los grupos adimensionales debemos encontrar unos números x, y y z tales que el producto de potencias Qx D y ρz tenga las mismas dimensiones que la variable que deseamos adimensionalizar. En el caso de la ca´ıda de presión, Pl , buscamos los valores de x, y y z tales que [Q]x [D]y [ρ]z = [Pl ] = ML−2 T −2 . Sustituyendo en la ecuación anterior las dimensiones de las variables Q, D y ρ, se obtiene la igualdad (L3 T −1 )x (L)y (ML−3 )z = ML−2 T −2 ,

(9.30)

de donde, identificando los exponentes de M, L y T , resulta el sistema de tres ecuaciones lineales M: z = 1, L : 3x + y − 3z = −2, (9.31) T : −x = −2, que podemos expresar, alternativamente, en la forma matricial ⎡

Q

0 ⎣ 3 −1

D

ρ

Pl

⎤ 1 x 0 1 1 −3 ⎦ ⎣ y ⎦ = ⎣ −2 ⎦ −2 z 0 0 ⎤⎡

⎤

⎡

(9.32)

El lector puede comprobar que la matriz de coeficientes del sistema lineal (9.32) está formada por las columnas de la matriz de dimensiones correspondientes a las variables Q, D y ρ, cuyo determinante, por ser variables son dimensiones independientes, es no nulo. Además, el segundo miembro de la ecuación está formado por la columna correspondiente a la variable que queremos adimensionalizar. La resolución del sistema (9.32) resulta trivial y proporciona los valores x = 2, y = −5, z = 1, con lo que concluimos que el producto de potencias Q2 D −5 ρ tiene dimensiones de presión por unidad de longitud. Esto nos permite finalmente definir el grupo adimensional Π0 = Pl /(ρQ2 /D5 ). Nótese que al ser la matriz de coeficientes no singular el sistema lineal (9.32) tiene solución u´ nica, por lo que esta es la u´ nica combinación posible de las variables Pl , Q, D y ρ que forma un grupo adimensional. 143

9.2. TEOREMA Π O DE V ASCHY − BUCKINGHAM Para obtener el grupo adimensional correspondiente a la variable μ deber´ıamos repetir todo el proceso, buscando valores de x, y y z tales que el producto de potencias Qx D y ρz tenga dimensiones de viscosidad (L3 T −1 )x (L)y (ML−3 )z = ML−1 T −1 .

(9.33)

Esto conduce a un sistema lineal análogo a (9.32) ⎡

Q

0 ⎣ 3 −1

D

ρ

⎤⎡

⎤

⎡

μ

⎤ 0 1 x 1 1 −3 ⎦ ⎣ y ⎦ = ⎣ −1 ⎦ 0 0 z −1

(9.34)

donde lo u´ nico que cambia es el término no homogéneo, que ahora corresponde a la columna de la variable μ de la matriz de dimensiones. Resolviendo el sistema lineal (9.34) se obtiene x = 1, y = −1, z = 1, lo que permite definir el grupo adimensional Π1 = μ/(ρQ/D). La unicidad en la definición de los grupos adimensionales permite, en aquellos casos en que sea posible, obtener los grupos Π por inspección directa de las variables del problema. Por ejemplo, en el caso de Π0 se podr´ıa haber anticipado que la presión tiene dimensiones de densidad por velocidad al cuadrado, y que la velocidad tiene dimensiones de caudal por unidad de area, lo que permite escribir [Pl ] = [p][D]−1 = [ρ][U]2 [D]−1 = [ρ][Q]2 [D]−5 .

9.2.3 Dependencia paramétrica de la solución En la aplicación del teorema Π, quizás el paso más complicado consiste en identificar correctamente los parámetros de los que depende la solución, esto es, escribir correctamente la ecuación (9.16). Si uno considera demasiados parámetros, o si olvida incluir alguno, entonces la aplicación del teorema nos llevará a un resultado incorrecto. En el caso de los problemas a los que nos enfrentamos en mecánica de fluidos, antes de escribir la ecuación (9.16), es conveniente escribir las leyes de conservación (que son conocidas) que determinan la solución del problema y, una vez hecho esto, identificar los parámetros de los que depende la solución por observación del problema planteado. De esta manera aseguramos que obtenemos la dependencia correcta de la solución. U p∞ ρ μ

y R

x

Figura 9.1: Movimiento de una corriente uniforme de un l´ıquido alrededor de una esfera.

Conviene ilustrar con un ejemplo el peligro de no seguir este método. Se quiere determinar el valor de la fuerza F que se ejerce sobre una esfera sólida de radio R moviéndose a velocidad constante U en el interior de un l´ıquido de densidad ρ y viscosidad μ constantes que se 144

9.2. TEOREMA Π O DE V ASCHY − BUCKINGHAM encuentra en reposo lejos de la esfera con presión p∞ . En principio, para abordar el problema por aplicación del teorema Π, parece lógico considerar la siguiente dependencia paramétrica F = F (R, U, ρ, μ, p∞).

(9.35)

De entre las cantidades que son dato (R, U, ρ, μ, p∞) debemos identificar el número máximo de ellas que tiene dimensión independiente. Para ello, podemos escribir la matriz de dimensiones ampliada F R U ρ μ p∞ 0 1 1 1 M 1 0 (9.36) 1 −3 −1 −1 L 1 1 0 −1 −2 T −2 0 −1 cuyas columnas están formadas por los exponentes de la ecuación de dimensiones de las distintas variables ([F ] = MLT −2 , [R] = L, [U] = LT −1 , [ρ] = ML−3 , [μ] = ML−1 T −1 y [p∞ ] = ML−1 T −2 ). Es sencillo ver que el rango de la matriz de dimensiones (excluyendo la columna de la variable incógnita) es k = 3. Por ejemplo, si seleccionamos la matriz formada por las tres columnas correspondientes a las variables R, U y ρ, su determinante es no nulo (nótese que, como mucho, el rango que puede tener esta matriz de 5 × 3 es k = 3, que es el número de columnas). Podemos seleccionar por tanto (R, U, ρ) como subconjunto (a1 , . . . , ak ) de parámetros con dimensiones independientes que vamos a utilizar para aplicar el teorema Π. De acuerdo a lo visto más arriba, para obtener (9.28) debemos hacer uso de estas k cantidades para definir las variables adimensionales Π0 y Π1 , . . . , Πn−k . Por ejemplo, para definir un parámetro adimensional a partir de la fuerza, podemos aplicar el procedimiento explicado en la sección anterior para escribir [F ] = [ρ][U]2 [R]2 , por lo que obtenemos Π0 =

F . ρU 2 R2

(9.37)

De manera similar, como [μ] = [ρ][U][R] y [p∞ ] = [ρ][U]2 , los parámetros adimensionales asociados a la viscosidad y a la presión resultan ser Π1 =

μ ρUR

y

Π2 =

p∞ , ρU 2

por lo que finalmente obtenemos la relación paramétrica reducida μ F p∞ =f . , ρU 2 R2 ρUR ρU 2

(9.38)

(9.39)

Tal y como podemos comprobar, en este caso el análisis dimensional nos ha permitido reducir la dependencia de la solución de 5 parámetros a 2 parámetros. El resultado es, sin embargo, incorrecto, debido a que la ecuación de partida (9.35) inclu´ıa un parámetro, p∞ , que en realidad no influye en el resultado, por lo que no se deber´ıa haber incluido. De este modo, la aplicación del teorema Π dar´ıa μ F , (9.40) =f ρU 2 R2 ρUR en lugar de (9.39). En principio, no resulta sencillo anticipar que, en el caso del movimiento de un l´ıquido, la solución no depende del nivel de presión p∞ que hay lejos del cuerpo. Para 145

9.2. TEOREMA Π O DE V ASCHY − BUCKINGHAM verlo, resulta necesario escribir las ecuaciones que determinan la fuerza que ejerce el fluido sobre el cuerpo. Para ello, seleccionamos un sistema de referencia moviéndose solidariamente con la esfera que se muestra en la figura 9.2, lo que convierte el problema en estacionario, y definimos el volumen de control representado en la siguiente figura, limitado interiormente por la superficie de la esfera Σe y exteriormente por una superficie Σ∞ situada suficientemente lejos del cuerpo, donde podemos suponer que la presión adopta su valor no perturbado, p∞ . Σ∞

U p∞

Σe

y x

R n ¯

n ¯e

n ¯ Figura 9.2: Volumen de control considerado para el cálculo de la fuerza que una corriente de l´ıquido ejerce sobre una esfera. Supuestos conocidos los campos de presión y velocidad, p y v¯, la fuerza sobre la esfera se podr´ıa calcular a partir de la siguiente expresión F¯ = −

τ¯ · n ¯ e dσ

p¯ ne dσ + Σe

Σe

=−

ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ − Σ∞

τ¯ · n ¯ dσ (9.41)

p¯ ndσ + Σ∞

Σ∞

resultado de aplicar la ecuación de cantidad de movimiento en forma integral al volumen de control indicado en la figura. Como indica la expresión anterior, la fuerza sobre la esfera puede expresarse en términos del flujo convectivo neto de cantidad de movimiento y la resultante de las fuerzas de presión y viscosas sobre la superficie de control Σ∞ . Por sencillez en la exposición ignoraremos de momento las variaciones temporales y el efecto de las fuerzas másicas. Una primera mirada a (9.41) parecer´ıa indicar que, efectivamente, el valor de la fuerza es función de p∞ (además de ρ, U, R y μ) a través del término − Σ∞ p¯ ndσ. Para ver que esto no es as´ı, hay que darse cuenta de que la resultante de las fuerzas de presión en (9.41) es independiente del nivel de presión p∞ , lo que se hace patente al sumar Σ∞ p∞ n ¯ dσ (recuérdese que la resultante de una distribución de presión constante sobre una superficie cerrada es nula), lo que permite reemplazar p por la variable alternativa p = p − p∞ para dar ¯ F =− ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ − pn ¯ dσ + τ¯ · n ¯ dσ. (9.42) Σ∞

Σ∞

146

Σ∞

9.2. TEOREMA Π O DE V ASCHY − BUCKINGHAM De este modo, la presión en el infinito p∞ desaparece como parámetro del problema, lo que indica que en el movimiento de un fluido de densidad constante lo que importa son las diferencias de presión que aparecen en el campo fluido, p − p∞ . El nivel de presión, dado en este caso por el valor p∞ lejos del cuerpo, s´ı ser´ıa importante, por ejemplo, en el caso del movimiento de un gas cuando las condiciones son tales que la densidad var´ıa de forma apreciable, tal y como veremos más adelante en la sección 9.5.5. Por lo tanto, la dependencia paramétrica considerada deber´ıa haber sido F = F (R, U, ρ, μ) en lugar de (9.35), por lo que el resultado final obtenido por aplicación del teorema Π habr´ıa sido (9.40) en lugar de (9.39). Antes de continuar, conviene hacer notar que la selección del subconjunto de cantidades con dimensiones independientes a1 , . . . , ak no es siempre u´ nica. Por ejemplo, en el caso del movimiento de un l´ıquido alrededor de un cuerpo, uno también podr´ıa elegir las variables U, R y μ, con lo que la aplicación del teorema Π dar´ıa como resultado ρUR F =f . (9.43) μUR μ En principio, las dos expresiones conseguidas (9.40) y (9.43) son igualmente válidas. Nótese que la fuerza adimensional, que difiere si elegimos un subconjunto u otro, es función en ambos casos del mismo parámetro adimensional Re =

ρUR μ

(9.44)

´ que se denomina el numero de Reynolds del problema.

9.2.4 Adimensionalización de las leyes de conservación de la mecánica de fluidos Una alternativa al teorema Π, que permite identificar el número m´ınimo de parámetros de los que depende la solución de un problema de mecánica de fluidos, consiste en reescribir en forma adimensional las ecuaciones que lo gobiernan mediante la introducción de variables adimensionales para las distintas variables dependientes e independientes. Las escalas caracter´ısticas del problema, que vamos a utilizar en la adimensionalización, dependen en cada caso de las condiciones iniciales y de contorno que tengamos. Por ejemplo, para el caso del movimiento alrededor de la esfera considerado en el apartado anterior, la velocidad U es la escala apropiada para definir la velocidad adimensional v¯∗ = v¯/U, mientras que el radio de la esfera R introduce una longitud natural con la que escalar la variable x¯, las derivadas espaciales (como las que aparecen en los esfuerzos viscosos), o los elementos diferenciales de superficie dσ y volumen dV , para dar, en forma adimensional, la coordenada x¯∗ = x¯/R, el operador ∂/∂x∗i = R∂/∂xi y los diferenciales dσ ∗ = R−2 dσ y dV ∗ = R−2 dV . No resulta sencillo, sin embargo, encontrar en este caso el valor caracter´ıstico de las diferencias de presión Δp que se generan en el campo fluido, con el que poder escalar las diferencias de presión p = p − p∞ respecto a la presión en el infinito. Este valor depende del carácter del movimiento. Para verlo, es conveniente estimar el orden de magnitud de cada uno de los términos que aparecen en la ecuación de cantidad de movimiento ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = − p¯ ndσ + τ¯ · n ¯ dσ Σc (t) Σc (t) Σc (t) (9.45) ρU 2 R2

Δp R2 147

μUR

9.2. TEOREMA Π O DE V ASCHY − BUCKINGHAM donde no hemos incluido las variaciones temporales ni las fuerzas másicas para simplificar la exposición. Para estimar el orden de magnitud de los términos convectivos, ρU 2 R2 , hemos tenido en cuenta que la velocidad en el campo fluido es de orden U y que el tamaño caracter´ıstico del dominio fluido perturbado por la presencia de la esfera es de orden R. La resultante de las fuerzas de presión la estimamos a partir del valor caracter´ıstico (desconocido) de las diferencias espaciales de presión que aparecen en el campo fluido Δp. Para estimar la resultante de los esfuerzos viscosos, μUR, suponemos que al recorrer distancias del orden R se observan diferencias de velocidad del orden de la propia velocidad, de modo que el valor caracter´ıstico de los esfuerzos viscosos es μU/R. Utilizando esta escala podemos escribir finalmente los esfuerzos viscosos en su forma adimensional τ¯∗ = (μU/R)−1 τ¯. El orden de magnitud de cada término nos permite anticipar su importancia en el balance de cantidad de movimiento. En lo que sigue, tendremos en cuenta que las fuerzas de presión juegan siempre un papel importante en el movimiento de un fluido, con lo que la discusión se limita a discernir la importancia relativa de los términos convectivos y la resultante de los esfuerzos viscosos. Para ello, conviene comparar sus o´ rdenes de magnitud, para dar ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ ρUR Σc (t) ∼ = Re. (9.46) μ τ¯ · n ¯ dσ Σc (t) Tal y como puede observarse, el número adimensional que se obtiene al comparar la magnitud de estos dos términos resulta ser el número de Reynolds, Re, que definimos anteriormente en (9.44). Dado el radio de la esfera, R, su velocidad, U, y las propiedades del fluido, ρ y μ, uno puede determinar fácilmente el valor de Re. En movimientos que se desarrollan con Re de orden unidad, los términos convectivos y los esfuerzos viscosos son comparables, por lo que, a la hora de resolver el problema, debemos retener los tres términos que aparecen en la ecuación de cantidad de movimiento (9.45). Por otra parte, si Re 1, el efecto de la viscosidad es despreciable en la mayor´ıa del campo fluido, por lo que la ecuación (9.45) se reduce al balance ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = − Σc (t) p¯ ndσ entre los términos convectivos y la resultante de las Σc (t) fuerzas de presión. Por el contrario, en movimientos con Re 1, los efectos convectivos son despreciables, y el fluido se mueve de manera un balance entre las fuerzas de que se establece presión y las fuerzas de viscosidad 0 = − Σc (t) p¯ ndσ + Σc (t) τ¯ · n ¯ dσ. Estos resultados permiten evaluar el valor caracter´ıstico de Δp en función del valor de Re. As´ı, en movimientos con Re 1, obtenemos Δp ∼ ρU 2 al imponer que los términos convectivos y de presión deben ser comparables, mientras que cuando Re 1 obtenemos Δp ∼ μU/R al establecer un balance entre términos viscosos y de presión. Por otra parte, en movimientos con Re ∼ 1 ambas estimaciones para Δp son igualmente válidas. Tal y como podemos ver, la elección más conveniente para la escala de las diferencias de presión Δp depende del carácter del problema. En movimientos con Re 1 es apropiado definir p∗ = (p − p∞ )/(ρU 2 ), lo que reduce la ecuación (9.42) a la forma adimensional F¯ 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ =− v¯ (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ − p n ¯ dσ + ¯ dσ ∗ . (9.47) τ¯∗ · n ρU 2 R2 Re Σ∗∞ Σ∗∞ Σ∞ Tal y como comentamos anteriormente, al adimensionalizar el problema conseguimos identificar el número m´ınimo de parámetros de los que depende la solución. En este caso, observamos a partir de (9.47) que el valor de F¯ /(ρU 2 R2 ) es una función del parámetro Re = ρUR/μ, 148

9.2. TEOREMA Π O DE V ASCHY − BUCKINGHAM el mismo resultado que obtuvimos anteriormente por aplicación del teorema Π (ver la ecuación (9.40)). Por otra parte, cuando Re 1 es más conveniente utilizar Δp ∼ μU/R a la hora de escalar las variaciones de presión p∗ = (p − p∞ )/(μU/R), lo que reduce el problema (9.42) a la forma adimensional alternativa F¯ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = −Re v¯ (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ − pn ¯ dσ + ¯ dσ ∗ . (9.48) τ¯∗ · n μUR ∗ ∗ ∗ Σ∞ Σ∞ Σ∞ En este caso, el problema adimensional indica que el valor de la fuerza adimensional F¯ /(μUR) es función exclusiva de Re, el mismo resultado que obtuvimos más arriba en (9.43) por aplicación del teorema Π.

9.2.5 Selección de los parámetros con dimensiones independientes Tal y como hemos comentado, a menudo existe un cierto grado de arbitrariedad a la hora de seleccionar el subconjunto de parámetros a1 , . . . , ak con dimensiones independientes que vamos a utilizar a la hora de aplicar el teorema Π. En la selección, se debe procurar que los parámetros elegidos sean los que más influyen en la solución para las condiciones que se estén estudiando. De este modo, en problemas de tipo mecánico, en los que aparecen involucradas tres dimensiones fundamentales, masa, longitud y tiempo, podemos dividir los parámetros en tres grupos distintos y seleccionar un parámetro de cada uno de ellos. El primer grupo debe incluir todos los parámetros que caracterizen la geometr´ıa del problema, como longitudes, superficies o a´ reas, volúmenes, a´ ngulos, etc. El segundo debe incluir todos los parámetros que caracterizen el flujo, o movimiento del fluido, como velocidades, caudales, velocidades angulares, etc. La aceleración de la gravedad deber´ıa incluirse también en este grupo cuando su efecto sea importante, como ocurre en los flujos con superficies libres deformadas (flujo alrededor de barcos, movimiento de olas, flujo en canales abiertos, resaltos hidráulicos, vertederos, etc). Por u´ ltimo, el tercer grupo deber´ıa incluir todos los parámetros que caractericen propiedades del fluido, como la densidad y la viscosidad, as´ı como otras propiedades secundarias como, por ejemplo, la tensión superficial, en aquellos casos en que su efecto sea importante. Por ejemplo, para el caso del movimiento alrededor de la esfera, es razonable pensar que la fuerza va a ser siempre dependiente del tamaño R (parámetro geométrico) y de la velocidad U (parámetro del flujo), con lo que esos dos parámetros se deben elegir siempre como parte del subconjunto a1 , . . . , ak . Por otra parte, si podemos anticipar que la viscosidad va a jugar un papel importante, entonces conviene elegir μ como tercer parámetro, lo que nos lleva a la relación paramétrica (9.43). Por el contrario, si pensamos que la viscosidad va a jugar un papel secundario, entonces conviene elegir ρ como tercer parámetro, lo que nos llevar´ıa al resultado (9.40). A la hora de evaluar la importancia de un parámetro en un problema f´ısico general, nos vemos a menudo obligados a hacer uso de nuestra intuición. En el caso de la mecánica de fluidos, el disponer de un marco matemático conocido para la descripción del problema (las ecuaciones de conservación) facilita sin duda las cosas. Por ejemplo, para anticipar la importancia de la viscosidad, bastar´ıa evaluar el número de Reynolds del problema, dado en general por Re = ρUc Lc /μ, donde Uc y Lc son los valores caracter´ısticos de la velocidad del fluido y del tamaño del campo fluido. Si las escalas del movimiento son tales que Re 1, entonces podemos anticipar que el efecto de la viscosidad va a ser dominante, por lo que convendrá elegir μ como parte del subconjunto a1 , . . . , ak , y dejar sin embargo ρ fuera de dicho subconjunto. Lo contrario se aplica a movimientos con Re 1, donde esperamos que el efecto de la viscosidad 149

9.2. TEOREMA Π O DE V ASCHY − BUCKINGHAM sea despreciable en la mayor´ıa del campo fluido, por lo que dejamos μ fuera del subconjunto a1 , . . . , ak . La elección en uno y otro caso queda aun más justificada cuando analizamos los valores extremos de Re. Por ejemplo, para valores Re 1, se puede concluir de la observación de (9.47) que el efecto de la viscosidad se hace despreciable, con lo que el valor de F/(ρUR2 ) se hace independiente de Re, lo que supone que (9.40) se simplifica para dar F l´ım = C1 , (9.49) Re1 ρU 2 R2 donde C1 es una constante. De forma análoga, a la vista de (9.48), queda claro que para valores pequeños de Re el valor de F/(μUR) se hace independiente de Re, por lo que obtenemos F (9.50) = C2 , Re1 μUR como simplificación de (9.43). Tal y como puede verse, en ambos casos, el parámetro Re deja de influir en la solución al tomar valores extremos, siempre que para analizar esos valores extremos hayamos hecho la elección apropiada de variables a1 , . . . , ak : para analizar el l´ımite Re 1 conviene anticipar que la viscosidad va a a tener un efecto despreciable y elegir a1 , . . . , ak = ρ, U y R, mientras que para analizar el l´ımite Re 1 conviene anticipar que la viscosidad va a a tener un efecto dominante y elegir a1 , . . . , ak = μ, U y R La solución no ser´ıa independiente de Re en el caso de que la selección de a1 , . . . , ak no fuera la o´ ptima. Por ejemplo, para valores pequeños de Re, el valor l´ımite de la función f (Re) en (9.40) no se hace independiente de Re. En su lugar, obtenemos F l´ım = C2 Re−1 , (9.51) Re1 ρU 2 R2 tal y como podemos concluir a la vista de (9.50). De forma análoga, el valor l´ımite de (9.43) para valores grandes de Re no se hace independiente de Re, sino que obtenemos F = C1 Re, (9.52) l´ım Re1 μUR tal y como se deduce de (9.49). A la vista de estos resultados, podemos hacer algunos comentarios generales sobre la simplificación que podemos esperar en la relación paramétrica (9.28) l´ım

Π0 = F (Π1 , . . . , Πn−k ) cuando alguno de los parámetros Π1 , . . . , Πn−k toma un valor extremo (muy grande o muy pequeño). Por ejemplo, si un parámetro, por ejemplo Π1 , cumple que Π1 1, a veces se verifica que el valor de Π0 deja de depender de ese parámetro, lo que equivale a decir que l´ım Π0 (Π1 , . . . , Πn−k ) = f (Π2 , . . . , Πn−k ).

Π1 1

(9.53)

De esta forma reducimos en uno el número de parámetros de los que depende la solución. En otras ocasiones, el valor l´ımite de Π0 sigue dependiendo del parámetro pequeño (o grande), pero la dependencia toma la forma l´ım Π0 (Π1 , . . . , Πn−k ) = Πλ1 f (Π2 , . . . , Πn−k ),

Π1 1

(9.54)

donde λ es un cierto número, en principio desconocido. Como hemos visto en el caso del movimiento alrededor de la esfera, una buena selección de variables a1 , . . . , ak facilita a menudo las cosas, llevándonos a simplificaciones del tipo (9.53). 150

´ ENTRE LOS DISTINTOS ´ 9.3. LOS NUMEROS ADIMENSIONALES COMO RELACION ´ ´ TERMINOS DE LAS LEYES DE CONSERVACION

´ 9.3 Los numeros adimensionales como relación entre los distintos términos de las leyes de conservación Como hemos discutido en la sección 9.2.4, las escalas caracter´ısticas de un cierto problema fluidomecánico dependen de las condiciones iniciales y de contorno que tengamos. As´ı pues, al abordar el estudio del problema t´ıpicamente podremos definir una escala caracter´ıstica de longitud, L, otra de velocidad, U, y otra de tiempo, t0 (definida normalmente como el tiempo de variación de las condiciones de contorno). Por ejemplo, para el caso del movimiento no estacionario alrededor de una esfera la longitud caracter´ıstica vendrá dada por el radio de la esfera, la velocidad caracter´ıstica será un valor t´ıpico de la velocidad del flujo no perturbado lejos de la esfera, y el tiempo caracter´ıstico será el tiempo que hay que esperar para ver variar las condiciones de contorno (en este caso el tiempo que tarda la velocidad del flujo no perturbado lejos de la esfera en variar en una magnitud del orden de si misma). Con estas definiciones estamos en disposición de estimar el orden de magnitud de los distintos términos de la ecuación de cantidad de movimiento (6.10) d ¯ ρ¯ v dV + ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = − p¯ ndσ+ ρf¯m dV τ ·n ¯ dσ+ dt Vc (t) Σc (t) Σc (t) Σc (t) Vc (t) ρUL3 t0

ρU 2 L2

Δp L2

U μ L2 L

ρgL3

que nos permite anticipar su importancia en el balance de cantidad de movimiento. As´ı, como vimos más arriba (véase la ecuación (9.46)) la importancia relativa de los términos convectivos y la resultante de los esfuerzos viscosos viene dada por el número de Reynolds ρU 2 L2 Términos convectivos ρUL ∼ = Re. = Fuerzas viscosas μ(U/L)L2 μ

(9.55)

Del mismo modo, la importancia relativa de los términos convectivos y la resultante de las fuerzas másicas viene dada por el número de Froude Términos convectivos ρU 2 L2 U2 ∼ = F r, = Fuerzas másicas ρgL3 gL

(9.56)

y la importancia relativa de los términos no estacionarios y los convectivos viene dada por el número de Strouhal ρUL3 /t0 Términos no estacionario L ∼ = St. = 2 2 Términos convectivos ρU L t0 U

(9.57)

Conviene hacer notar que de acuerdo (9.57) el número de Strouhal representa el cociente entre el tiempo de residencia L/U y el tiempo caracter´ıstico de variación de las magnitudes fluidas t0 , definido como el tiempo caracter´ıstico de variación de las condiciones de contorno. As´ı pues, en el l´ımite St 1 el tiempo que tarda una part´ıcula fluida en recorrer la longitud caracter´ıstica L es mucho menor que el tiempo caracter´ıstico de variación de las magnitudes fluidas, por lo que la part´ıcula no llega a sentir la variación de las condiciones de contorno en su movimiento a través del campo fluido. En este caso el movimiento del fluido se denomina casi-estacionario. En este tipo de movimientos se pueden despreciar las derivadas temporales 151

´ 9.4. SEMEJANZA FISICA Y ENSAYO DE MODELOS A ESCALA en las ecuaciones de conservación, aunque esto no implica que el flujo sea independiente del tiempo. En realidad, el tiempo aparece como un parámetro que entra en la solución a través de las condiciones de contorno, que var´ıan en una escala temporal t0 mucho más lenta que el tiempo caracter´ıstico de residencia de las part´ıculas fluidas en el dominio fluido de interés. Comparando los o´ rdenes de magnitud de los distintos términos en la ecuación de cantidad de movimiento hemos obtenido tres de los números adimensionales más importantes de la Mecánica. Del mismo modo, al comparar los o´ rdenes de magnitud de los términos de la ecuación de la energ´ıa (7.17) aparecer´ıan otros números adimensionales, como el número de Prandtl, el número de Peclet, el número de Grashof, etc. Número

Definición

Reynolds

ρ0 V0 L μ0 V02 V2 F r = gL , fm00 L St = V0Lt0 P r = μk00cp = αν00 Eu = ρ0pV0 2 0 Ma = Va00 P e = ρ0 ckv0V0 L V0 Ro = ΩL ρ V 2L W e = 0 σ0

Froude Strouhal Prandtl Euler Mach Peclet Rossby Weber

γ=

Rugosidad relativa

L

Inercia Gravedad Aceleración local Aceleración convectiva Disipación Conducción Presión Presión dinámica Velocidad del flujo Velocidad del sonido Convección Conducción Aceleración convectiva Aceleración de Coriolis Inercia Tensión superficial

todos los flujos flujos con superficie libre flujos no estacionarios problemas fluidotérmicos flujos compresibles flujo compresible Transporte de calor flujos con giro flujos con superficie libre

Entalp´ıa Energ´ıa interna

cp cv

Cp =

Relevante en

Inercia Viscosidad

Re =

Relación de calores espec´ıficos Coef. de presión

Relación qualitativa de efectos

p−p∞ 1 ρ V2 2 0 0

Rugosidad Dimensión del cuerpo Presión estática Presión dinámica

flujo compresible flujo turbulento con pared rugosa aero/hidrodinámica

Coef. de sustentación CL =

FL 1 ρ V 2A 2 0 0

Sustentación Fuerza dinámica

aero/hidrodinámica

Coef. de resistencia

CD =

FD 1 ρ V 2A 2 0 0

Resistencia Fuerza dinámica

aero/hidrodinámica

Coef. de fricción

f=

Coef. de fricción

cf =

Parám. de cavitación

Ca =

hf V2 L 0 2g D τw 1 ρ V2 2 0 0 pa −pv 1 ρ V2 2 0 0

Pérdida de carga Carga de velocidad

flujo en conductos

Esfuerzo cortante Presión dinámica

capa l´ımite

Presión absoluta Presión dinámica

l´ıquidos

9.4 Semejanza f´ısica y ensayo de modelos a escala El análisis dimensional resulta particularmente u´ til a la hora de plantear la experimentación a escala. A menudo, no es posible reproducir en el laboratorio todas las condiciones que se presentan en un determinado fenómeno f´ısico. Por ejemplo, si el tamaño f´ısico es demasiado grande, en el laboratorio ensayaremos con un modelo a escala de tamaño más pequeño. Resulta 152

´ 9.4. SEMEJANZA FISICA Y ENSAYO DE MODELOS A ESCALA entonces apropiado preguntarse cuáles son la condiciones que debe cumplir el experimento para representar con fidelidad el fenómeno f´ısico que estamos estudiando, y cómo debemos adaptar las medidas que hagamos en el experimento para obtener las cantidades de interés en relación al fenómeno f´ısico. Semejanza geométrica. La geometr´ıa o forma de un objeto puede definirse matemáticamente por una relación entre las coordenadas de su superficie y una serie de longitudes caracter´ısticas del cuerpo Σ(x, y, z, l0 , l1 , l2 , . . . , lr ) = 0 (9.58) Por ejemplo, una esfera de radio a se define por su superficie x2 + y 2 + z 2 − a2 = 0, un elipsoide de semiejes a, b, c se define en ejes principales por la relación x2 /a2 + y 2/b2 + z 2 /c2 − 1 = 0. Dos objetos definidos por la misma función Σ y con iguales valores de cada uno de los cocientes l1 /l0 , l2 /l0 , . . . y lr /l0 , son geométricamente semejantes. Para identificar un objeto dentro de una serie geométricamente semejante basta con especificar el valor de una u´ nica longitud caracter´ıstica, l0 . La semejanza geométrica afecta exclusivamente a la dimensión longitud {L} y debemos asegurarnos de que se cumple antes de realizar cualquier ensayo con un modelo. En particular, cuando se construye un modelo a escala se debe garantizar que todos los detalles geométricos deben estar a escala, y esto incluye detalles que en ocasiones pueden pasar desapercibidos. Por ejemplo, en un modelo a escala 1/10 la rugosidad superficial debe ser diez veces más pequeña que en el prototipo a escala real; y si el prototipo se construye con remaches de un determinado tamaño, el modelo debe incluir los mismos remaches con un tamaño diez veces menor. Semejanza f´ısica. La semejanza f´ısica es una extensión de la semejanza geométrica. Se dice que las condiciones de ensayo de un modelo son f´ısicamente semejantes a las condiciones de funcionamiento del prototipo cuando todos los parámetros adimensionales relevantes tienen los mismos valores en ambos casos. Como ejemplo ilustrativo, retomemos de nuevo el caso de la esfera desplazándose en el interior de un l´ıquido. Consideremos, en particular, que queremos determinar la fuerza F1 que se ejerce sobre una esfera de radio R1 que se desplaza a velocidad U1 en el interior de un aceite de densidad ρ1 y viscosidad μ1 . Para obtener el resultado, nos proponemos realizar un experimento en un tunel hidrodinámico (la densidad y viscosidad del agua son ρ2 y μ2 , distintas a las del aceite). Las u´ nicas esferas de las que disponemos en el laboratorio tienen un radio R2 = R1 . Para diseñar el experimento, recurrimos al análisis dimensional. De acuerdo a lo visto más arriba en (9.40), la dependencia de la fuerza con los parámetros del problema puede expresarse en la forma ρUR F . (9.59) =f ρU 2 R2 μ Esta expresión nos dice que el valor de F/(ρU 2 R2 ) es función exclusiva de Re = ρUR/μ. En otras palabras, si conseguimos que el número de Reynolds del experimento Re2 = ρ2 U2 R2 /μ2 sea igual al número de Reynolds del fenómeno f´ısico que queremos estudiar Re1 = ρ1 U1 R1 /μ1 , entonces el valor de F/(ρU 2 R2 ) será igual en el experimento y en la realidad. Con esta información, podemos ahora proceder a diseñar el experimento. Para que el experimento sea f´ısicamente semejante a la realidad necesitamos imponer que Re1 = Re2 , lo cual proporciona el

153

9.5. EJEMPLOS Y APLICACIONES valor de

μ2 ρ1 R1 U1 . (9.60) μ1 ρ2 R2 Con este valor, realizamos el experimento y medimos la fuerza F2 sobre el modelo experimental. La condición Re1 = Re2 garantiza que U2 =

F1 F2 = , ρ1 U12 R12 ρ2 U22 R22

(9.61)

que podemos utilizar para determinar el valor de F1 =

ρ1 U12 R12 F2 . ρ2 U22 R22

(9.62)

El procedimiento que acabamos de exponer se puede generalizar fácilmente. El análisis dimensional nos ha enseñado que, para un fenómeno f´ısico cuya cantidad incógnita pueda expresarse en la forma a0 = f (a1 , . . . , ak , ak+1 , . . . , an ), donde k es el número máximo de parámetros dato con dimensiones independientes, es posible expresar la relación paramétrica en la forma reducida Π0 = F (Π1 , . . . , Πn−k ). A la hora de experimentar, no es necesario reproducir exactamente el experimento haciendo que los valores de a1 , . . . , an sean iguales en el experimento y en la realidad. Para que el experimento reproduzca la realidad, sólo es necesario que ambos fenómenos sean f´ısicamente semejantes, lo que se garantiza si todos los parámetros adimensionales Π1 , . . . , Πn−k tienen el mismo valor en el experimento y en la realidad. Esta condición se debe tomar como gu´ıa a la hora de diseñar el experimento. Si se verifica la semejanza f´ısica, entonces podemos obtener el valor de a0 correspondiente al fenómeno f´ısico real a partir de la medida de a0 en el experimento, sin más que imponer la igualdad del valor de Π0 obtenido en el experimento y el valor de Π0 correspondiente a la realidad. A veces, no es posible satisfacer la igualdad de todas las cantidades Π1 , . . . , Πn−k , con lo que sólo es posible satisfacer la semejanza f´ısica de forma parcial. En ese caso, a la hora de plantear el experimento se debe garantizar la igualdad de aquellos parámetros adimensionales que consideremos más relevantes para el fenómeno f´ısico que estemos estudiando.

9.5 Ejemplos y aplicaciones 9.5.1 El teorema de Pitágoras El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. Es decir, si a y b son los catetos y c la hipotenusa, se verifica la igualdad c2 = a2 + b2 . Aunque existen numerosas demostraciones de este teorema, a continuación exponemos una particularmente elegante basada en argumentos de tipo dimensional. Como se observa en la figura 9.3, el a´ rea A de un triángulo rectángulo es función de su tamaño y su forma, que quedan caracterizados de forma un´ıvoca por uno de los lados del rectángulo (por ejemplo, la hipotenusa c) y por 154

9.5. EJEMPLOS Y APLICACIONES uno cualquiera de los dos a´ ngulos agudos (por ejemplo, el más pequeño, θ, pues el otro queda inmediatamente definido por el hecho de que los tres a´ ngulos deben sumar π). En resumen, tenemos A = f (c, θ) (9.63) donde las dimensiones de las distintas variables son [A] = L2 , [c] = L y [θ] = 1 (recuerdese que los a´ ngulos son siempre adimensionales pues se definen como el cociente entre dos longitudes, el arco y el radio). En este caso, por ser un problema puramente geométrico, solo aparece la dimensión longitud {L}. La aplicación del teorema Π permite entonces reescribir la relación anterior en la forma adimensional A = F (θ) (9.64) c2 donde F es una función del a´ ngulo θ, en principio desconocida. Es importante remarcar que el análisis dimensional no proporciona la forma exacta de la función F (θ), aunque esta forma podr´ıa obtenerse sin dificultad utilizando relaciones trigonométricas. Si ahora se divide el triángulo rectángulo en dos triángulos más pequeños trazando la altura desde la hipotenusa hasta el vértice opuesto, se obtienen dos triángulos semejantes al original, de a´ reas A1 y A2 . Las hipotenusas de estos don triángulos rectángulos son, respectivamente, a y b. Claramente, el a´ rea del triángulo original debe ser igual a la suma de las a´ reas de los dos triángulos más pequeños, lo que utilizando la relación (9.64) permite escribir (9.65)

c2 F (θ) = a2 F (θ) + b2 F (θ) de donde, eliminando el factor común F , obtenemos

(9.66)

c2 = a2 + b2 .

Resulta interesante observar que este resultado se ha obtenido sin necesidad de especificar la forma exacta de la función F (θ).

θ

θ

c

A2

A

b

A1 θ a Figura 9.3: Demostración del teorema de Pitágoras haciendo uso del análisis dimensional.

9.5.2 Periodo de oscilación de un péndulo simple El periodo de oscilación T de un péndulo simple se considera función de su longitud L, su masa m, la aceleración de la gravedad g y el a´ ngulo máximo de oscilación θ. Una vez establecida

155

9.5. EJEMPLOS Y APLICACIONES la dependencia paramétrica, procedemos a escribir la matriz de dimensiones ampliada T M L T

0 0 1

L

m

g

θ

0 1 0

1 0 0 1 0 −2

0 0 0

(9.67)

formada por las potencias de las ecuaciones de dimensiones de todas las variables del problema. Tras comprobar que las cantidades dato L, m y g tienen dimensiones independientes (k = 3), el teorema Π permite reducir la dependencia paramétrica de la solución pasando de los n = 4 parámetros iniciales a n − k = 1 parámetro adimensional. Aplicando el método descrito en la sección 9.2.2 obtenemos Π0 = T /(L/g)1/2 , mientras que el a´ ngulo máximo de oscilación ya es adimensional, luego Π1 = θ. As´ı pues, el resultado de aplicar el teorema Π es el siguiente T = F (θ), (L/g)1/2

(9.68)

relación que nos indica cómo depende el periodo de oscilación de la longitud del péndulo y de la aceleración de la gravedad para un valor dado del a´ ngulo máximo θ. En interesante observar que el periodo de oscilación es independiente de la masa del péndulo. Esto se debe a que en (9.67) la masa m del péndulo es la u´ nica variable con dimensiones de masa {M}, por lo que de aparecer m expl´ıcitamente en (9.68) no habr´ıa forma de cancelar la dimension {M} con ninguna otra variable. De este modo, el exponente de m debe ser cero tanto en Π0 como en Π1 . El análisis dimensional nos ha permitido concluir as´ı que el periodo del péndulo no es una función de su masa. Esta misma independencia se observó anteriormente cuando analizamos en la sección 9.1.3 la ca´ıda libre de una masa puntual. g L θ m

Figura 9.4: Péndulo simple. Como ejemplo de aplicación de la ecuación (9.68), supongamos que ensayamos en la Tierra un péndulo de longitud Lt = 1 m y masa mt = 200 g y medimos un per´ıodo de Tt = 2,04 s cuando el a´ ngulo máximo de oscilación es de 20◦ . Deseamos conocer cuál ser´ıa el per´ıodo de un péndulo de construcción similar que oscilara en la Luna (gl = 1.62 m/s2 ) con Ll = 30 cm y ml = 100 g y el mismo a´ ngulo máximo de oscilación. La respuesta a esta cuestión la proporciona el análisis dimensional mediante la relación (9.68). As´ı, para θ = 20◦ el ensayo en la tierra nos proporciona F (20◦) = Tt /(Lt /gt )1/2 = 2,04/(1/9,8)1/2 = 6,386. Utilizando este valor numérico en (9.68) y teniendo en cuenta que la función F (θ) es universal, pues solo depende del a´ ngulo máximo de oscilación, obtenemos directamente el valor del periodo en la luna Tl = (Ll /gl )1/2 F (θ) = (0,3/1,62)1/2 6,386 = 2,748 s. 156

9.5. EJEMPLOS Y APLICACIONES

9.5.3 Análisis de Taylor de una explosión nuclear En una explosión atómica se deposita de manera muy rápida una cantidad localizada de energ´ıa E, lo que da lugar a la formación de una onda de choque esférica cuyo radio ro aumenta con el tiempo t. En esta etapa inicial, la onda es muy fuerte, de manera que la presión po detrás de la onda se hace mucho mayor que el valor ambiente que existe antes de la onda de choque, pa , que no influye por tanto en la solución que aparece. El salto de densidad a través de la onda de choque está sin embargo limitado, por lo que la densidad ambiente ρa si que influye en la propagación de la onda, con lo que podemos escribir ro = f1 (E, ρa , t) y

po = f2 (E, ρa , t)

(9.69)

En este caso, las tres cantidades dato del problema tienen dimensiones independientes (k = 3), lo que podemos comprobar observando que la matriz ρa

t

1 1 2 −3 −2 0

0 0 1

E M L T

(9.70)

formada por las potencias de las ecuaciones de dimensiones [E] = ML2 T −2 , [ρa ] = ML−3 y [t] = T tiene determinante no nulo. El teorema Π permite reducir la dependencia paramétrica de la solución, pasando de los n = 3 parámetros iniciales a n − k = 0 parámetros. Como [ro ] = L = [E]1/5 [ρa ]−1/5 [t]2/5 y [po ] = ML−1 T −2 = [E]2/5 [ρa ]3/5 [t]−6/5 , la solución resulta ser ro po = C y = C2 , (9.71) 1 −1/5 3/5 E 1/5 ρa t2/5 E 2/5 ρa t−6/5 que alternativamente podemos escribir en la forma t2/5 ro = C1 E 1/5 ρ−1/5 a

−6/5 y po = C2 E 2/5 ρ3/5 . a t

(9.72)

Las constantes C1 y C2 no se pueden obtener directamente de este análisis: su cálculo requiere la realización de un experimento o bien la solución de un problema de dinámica de gases. La onda de choque que hemos obtenido se va debilitando con el paso del tiempo, de ma−1/5 nera que su velocidad de propagación dro /dt = (2/5)C1E 1/5 ρa t−3/5 y la presión po , dada en (9.72), disminuyen progresivamente. Nótese que la solución obtenida deja de ser válida para 1/2 5/6 t ∼ E 1/3 ρa /pa , cuando la onda deja de ser fuerte, esto es, cuando la presión po se hace comparable a la presión atmosférica. Se deja al lector repetir este análisis para estudiar la propagación de la onda de choque cil´ındrica que se forma tras la descarga de un rayo. Para ello, suponga que la descarga del rayo equivale a la deposición instantánea a lo largo de una l´ınea de una cantidad localizada de energ´ıa E por unidad de longitud ([E] = MLT −2 ).

9.5.4 Ensayos hidráulicos: semejanza total y parcial Un ejemplo clásico que ilustra las dificultades de alcanzar la semejanza f´ısica total es el de los ensayos en túnel hidrodinámico. En este tipo de ensayos la dinámica de la superficie libre (olas, resaltos hidráulicos, estelas, etc.), que está gobernada por la gravedad, juega un papel 157

9.5. EJEMPLOS Y APLICACIONES primordial. Como ejemplo introductorio, vamos a considerar el dimensionado de la planta de potencia de un barco mediante el ensayo de un modelo a escala. Supongamos que se pretende diseñar un barco de carga de longitud L = 100 m cuya masa total a plena carga sea m = 1000 toneladas y cuya velocidad de crucero sea U = 10 m/s. Para dimensionar la potencia motriz W de que debemos dotar al barco se propone la construcción de un modelo a escala con longitud Lm = 1 m, que va a ser utilizado en ensayos en un túnel hidrodinámico (en el ensayo, medir´ıamos la fuerza sobre el modelo, y del producto de e´ sta por la velocidad de la corriente de agua obtendr´ıamos la potencia motriz Wm para el modelo a escala). Para diseñar el experimento, en primer lugar debemos establecer la dependencia paramétrica de la potencia W con los datos conocidos del problema (9.73)

W = W (L, U, ρ, μ, g, m)

donde ρ, μ y g representan, respectivamente, la densidad y la densidad del agua y la aceleración de la gravedad. Escribiendo la matriz de dimensiones ampliada W M L T

L

1 −2 −3

U

ρ

μ

g

m

0 0 1 1 0 1 1 −3 −1 1 0 −1 0 −1 −2

0 0 1

(9.74)

comprobamos que los parámetros L, U y ρ son dimensionalmente independientes, por lo que el teorema Π nos permite expresar la dependencia paramétrica en la forma adimensional (9.75)

Π0 = F (Π1 , Π2 , Π3 ).

Para determinar los grupos adimensionales correspondientes a la potencia, viscosidad, gravedad y masa, podemos seguir el procedimiento explicado en la sección 9.2.2 para obtener [W ] = [ρ][U]3 [L]2 , [μ] = [ρ][U][L], [g] = [U]2 [L]−1 y [m] = [ρ][L]3 , lo que conduce a las siguientes definiciones Π0 =

W , ρU 3 L2

Π1 =

ρUL ≡ Re, μ

Π2 =

U2 ≡ Fr gL

y Π3 =

m . ρL3

(9.76)

Nótese que los parámetros adimensionales asociados a μ y g suelen definirse con estas variables en el denominador, dando lugar a los números adimensionales conocidos comúnmente como números de Reynolds y de Froude, respectivamente (recuérdese la discusión de los números adimensionales de la sección 9.3). En definitiva, en este problema la dependencia paramétrica puede escribirse en la forma ρUL U 2 m W , , =F (9.77) ρU 3 L2 μ gL ρL3 A partir de este resultado es fácil comprobar que si el experimento se lleva a cabo en agua a temperatura ambiente (de modo que μm = μ y ρm = ρ), no es posible conseguir que el experimento sea f´ısicamente semejante a la realidad, pues no es posible satisfacer simultáneamente la igualdad del número de Reynolds Rem = Re

→

L Um = = 100 U Lm 158

(9.78)

9.5. EJEMPLOS Y APLICACIONES y del número de Froude F rm = F r

Um = U

→

Lm L

1/2 =

1 10

(9.79)

En este caso, la u´ nica opción es abandonar a la semejanza f´ısica completa y realizar el experimento en condiciones de semejanza parcial, que consiste en renunciar a reproducir los valores de aquel o aquellos parámetros cuyo papel no se considere primordial, manteniendo la igualdad de los parámetros más determinantes. En los ensayos hidráulicos que nos ocupa, el parámetro más importante es el número de Froude, porque el número de Reynolds que aparece (tanto a escala real como en los ensayos de laboratorio) es muy grande. Tal y como se discutió en la deducción de la ecuación (9.49), bajo esas condiciones la solución se hace independiente de la viscosidad, por lo que (9.77) se simplifica para dar 2 U W m , =F . (9.80) ρU 3 L2 gL ρL3 A la vista de esta expresión, para determinar el valor de Um y mm que debemos utilizar en el experimento debemos imponer la igualdad de números de Froude y de densidades relativas 1/2 2 U2 Lm Um = U = 1 m/s (9.81) → Um = gLm gL L 3 Lm m mm = → mm = m = 1 kg (9.82) ρL3m ρL3 L Para garantizar la validez del análisis, antes de seguir debemos comprobar que el valor del número de Reynolds para el modelo y el barco a escala real es, efectivamente, mucho mayor que la unidad. Utilizando los valores de la densidad y viscosidad del agua a presión y temperatura ambiente, ρ = 1000 kg/m3 y μ = 10−3 kg/(m·s), obtenemos Re =

1000 · 10 · 100 ρUL = = 109 −3 μ 10

y

Rem =

1000 · 1 · 1 ρUm Lm = = 106 , −3 μ 10

(9.83)

en ambos casos valores muy grandes, por lo que la hipótesis de efectos viscosos despreciables es correcta. Por u´ ltimo, si las medidas experimentales obtenidas revelan, por ejemplo, que se necesita una potencia Wm = 1 W para mover el modelo experimental a velocidad Vm , podemos obtener el valor de la potencia W necesaria para mover el barco sin más que imponer la igualdad del parámetro adimensional correspondiente 3 2 Wm W U L = → W = Wm = 10 · 106 W = 10 MW. (9.84) 3 L2 3 L2 ρUm ρU U L m m m Como se ha visto más arriba, la semejanza f´ısica completa en este caso exige la igualdad de los números de Froude además de la igualdad de los números de Reynolds, lo que ya hemos visto que no resulta posible si ρm = ρ y μm = μ. Como ejercicio, conviene investigar qué tipo de fluido habr´ıa que utilizar en el túnel hidrodinámico para alcanzar en los ensayos la semejanza f´ısica completa En general, dada la relación de escala de longitudes entre modelo y prototipo Lm =α Lp 159

(9.85)

9.5. EJEMPLOS Y APLICACIONES la igualdad de los números de Reynolds y de Froude implica que Rem = Rep F rm = F rp

→ →

ρm Um Lm ρp Up Lp = μm μp 2 Up2 Um = Lm g Lp g

→ →

Um ρp μm Lp ρp μm 1 = = Up ρm μp Lm ρm μp α 1/2 Lm Um = = α1/2 Up Lp

(9.86) (9.87)

La condición de semejanza f´ısica obliga, por tanto, a que se cumpla la relación ρp μm νm = = α3/2 μp ρm νp

(9.88)

expresada aqu´ı en términos de la viscosidad cinemática ν = μ/ρ, resultado de igualar la relación de escalas de velocidades Um /Up obtenida en (9.86) y (9.87). Por ejemplo, en un ensayo con un modelo a escala α = 1/10 deber´ıamos utilizar un fluido con viscosidad cinemática νm = 0,13/2 νp = 0,032νp . Si suponemos que el prototipo opera en agua, νp = νagua = 10−6 m2 /s, el fluido de ensayo deber´ıa tener una viscosidad cinemática de νm = 3,2 · 10−8 , un valor demasiado pequeño para cualquier fluido convencional (solo el mercurio se aproxima, con νHg = 1,16 · 10−7 , aunque un ensayo hidráulico con mercurio resultar´ıa caro y peligroso). En definitiva, en los ensayos en canales hidráulicos la semejanza f´ısica completa resulta muy dif´ıcil de alcanzar. En la práctica, resulta más conveniente utilizar agua tanto para el modelo como para el prototipo renunciando a la igualdad de los números de Reynolds y manteniendo la igualdad de los números de Froude, por ser e´ ste el parámetro dominante en flujos con superficie libre.

9.5.5 Efectos de compresibilidad Como introducción al análisis de los efectos de la compresibilidad en el movimiento de gases, retomamos ahora el ejemplo del movimiento alrededor de una esfera, que analizamos en 9.2.3 para el caso en que el fluido fuera un l´ıquido. Si el fluido es un gas, el nivel de presión, dado por su valor lejos del cuerpo, p∞ , resulta en principio importante a la hora de determinar la fuerza sobre el cuerpo, puesto que entra en el problema a través de la ecuación de estado p = ρRg T , que relaciona las variaciones de presión, densidad y temperatura. La otra diferencia importante con el caso de un l´ıquido es que, para un gas, sus propiedades térmicas son también importantes. Las caracterizaremos haciendo uso del cociente de calores espec´ıficos γ = cp /cv , con lo que la dependencia paramétrica de la fuerza sobre la esfera, queda en este caso en la forma F = F (R, U, ρ∞ , μ, p∞ , γ). (9.89) Si seleccionamos (R, U, ρ∞ ) como subconjunto de parámetros de dimensión independiente, la aplicación del teorema Π conduce en este caso a μ p∞ F , =f ,γ , (9.90) ρ∞ U 2 R2 ρ∞ UR ρ∞ U 2 análoga a (9.39), que podemos reescribir en la forma alternativa U ρ∞ UR F , =f ,γ . ρ∞ U 2 R2 μ (γp∞ /ρ∞ )1/2

(9.91)

Como se ve, además del número de Reynolds, en el caso de la aerodinámica, hacen aparición dos parámetros adicionales. Uno es el cociente de calores espec´ıficos, γ, que a temperatura 160

9.5. EJEMPLOS Y APLICACIONES ambiente toma el valor γ = 5/3 para gases monoatómicos y γ = 7/5 para gases diatómicos. Para el caso del aire, formado mayoritariamente por N2 y O2 , resulta apropiado tomar γ 1,4. Si observamos el otro nuevo parámetro U/(γp∞ /ρ∞ )1/2 , vemos que en su denominador hace aparición una propiedad termodinámica, a∞ = (γp∞ /ρ∞ )1/2 , nueva en el contexto de la asignatura, que tiene dimensiones de velocidad. Se puede demostrar que dicha velocidad es la velocidad del sonido en el aire ambiente, esto es, la velocidad a la que se propagan las pequeñas perturbaciones al campo de presión. Haciendo uso de la ecuación de estado para escribir a∞ = (γRg T∞ )1/2 se demuestra que la velocidad del sonido es una función exclusiva de la temperatura, que toma el valor a∞ 340 m/s para el aire en condiciones ambiente. El parámetro adimensional resultante de hacer el cociente entre la velocidad de la corriente incidente y la velocidad del sonido ambiente M=

U (γp∞ /ρ∞ )1/2

(9.92)

es el denominado número de Mach, que caracteriza los efectos de compresibilidad en el movimiento de los gases. Para verlo, recordamos que, tal y como vimos en la sección 9.2.4, en el movimiento a altos números de Reynolds que t´ıpicamente encontramos en problemas de aerodinámica, las variaciones de presión en el campo fluido son del orden p − p∞ ∼ ρ∞ U 2 , por lo que podemos escribir ρ∞ U 2 p − p∞ ∼ ∼ M 2. (9.93) p∞ p∞ Por tanto, para que en el movimiento aparezcan variaciones de presión apreciables es necesario que el número de Mach sea de orden unidad, en cuyo caso, de acuerdo a la ecuación de estado p = ρRr T , la densidad variar´ıa también de forma apreciable. Si, por el contrario, el número de Mach es muy pequeño, lo que ocurrir´ıa en nuestro caso si la velocidad incidente es mucho menor que la velocidad del sonido, las variaciones de presión (y densidad) ser´ıan pequeñas, y el gas se comportar´ıa como un l´ıquido. En otras palabras, en el l´ımite M 1, la relación (9.91) se simplicar´ıa para dar ρ∞ UR F =f . (9.94) ρ∞ U 2 R2 μ Por tanto, podemos anticipar que en el movimiento del aire alrededor de un coche o de un aerogenerador, donde se verifica U a∞ , el aire se comporta de forma efectiva como incompresible. Lo mismo ocurrir´ıa en el movimiento alrededor de avionetas, por ejemplo, pero no as´ı en el movimiento de aviones comerciales de transporte, donde se pueden alcanzar velocidades del orden de U 0,85a∞ , o de aviones de combate o misiles, que t´ıpicamente operan en régimen supersónico (U > a∞ ).

´ 9.5.6 Ensayos en tunel aerodinámico compresible Para ilustrar de nuevo las dificultades que puede ocasionar conseguir la semejanza f´ısica total entre modelo y prototipo, vamos a considerar el ensayo en túnel aerodinámico de un modelo a escala en régimen compresible. Según hemos visto en la sección anterior, si los efectos de la compresibilidad son importantes, la semejanza f´ısica entre modelo y prototipo exige, además de la semejanza geométrica, la igualdad de los números de Reynolds y de Mach. La semejanza geométrica establece la existencia de una u´ nica relación de escala de longitudes Lm =α Lp 161

(9.95)

9.5. EJEMPLOS Y APLICACIONES que suele ser menor que la unidad en este tipo de ensayos. Por otro lado, la igualdad de los números de Reynolds y de Mach implica que Rem = Rep

→

Mm = Mp

→

ρm Um Lm ρp Up Lp = μm μp Um Up = am ap

→ →

Um ρp μm Lp ρp μm 1 = = Up ρm μp Lm ρm μp α Um am = Up ap

La condición de semejanza f´ısica obliga, por tanto, a que se cumpla la relación ρp μm ap =α ρm μp am

(9.96) (9.97)

(9.98)

resultado de igualar la relación de escalas de velocidades Um /Up obtenida en (9.96) y (9.97). Utilizando la expresión para la velocidad del sonido de un gas ideal, a = (γRg T )1/2 , la ley de los gases ideales p/ρ = Rg T , y suponiendo una dependencia potencial de la viscosidad con la temperatura, μ/μ0 = (T /T0 )σ , la condición (9.98) puede expresarse exclusivamente en términos de los cocientes de presión y temperatura 1 +σ pp Tm 2 =α<1 (9.99) pm Tp donde hemos supuesto el gas que fluye alrededor del modelo y el prototipo es el mismo, por lo que los valores de la constante del gas Rg y el cociente de calores espec´ıficos γ son iguales en ambos casos. En particular, para el aire el exponente de la viscosidad puede tomarse igual a σ = 0,7 en un amplio rango de temperaturas en torno a la temperatura ambiente. Para garantizar el cumplimiento de la condición de semejanza (9.99) existen dos opciones. La primera es mantener la temperatura del ensayo (Tm = Tp ) y presurizar el túnel hasta una presión pm = α−1 pp > pp (túneles presurizados). La segunda es mantener la presión (pm = pp ) y reducir la temperatura hasta un valor Tm = α2/(1+2σ) Tp < Tp (túneles criogénicos). En ambos casos, cuanto mayor sea el tamaño del túnel la relación de escala de longitud α podrá ser más próxima a la unidad y por tanto la necesidad de presurizar o refrigerar el túnel será menor. Por este motivo los túneles aerodinámicos compresibles tienden a ser lo más grande posibles. Un ejemplo de túnel presurizado y criogénico es el European Transonic Wind Tunnel (ETW) en Colonia, Alemania, que opera con una corriente de nitrógeno puro a -163◦ C y presiones de hasta 4.5 atm y cuya sección de ensayo es de 2.4×2 metros. Como referencia, el túnel aerodinámico más grande del mundo es el túnel del Ames Research Center de la NASA, con una sección de ensayo de 40×26 metros, capaz de albergar un Boeing 737 a escala real, y que no requiere, por tanto, ni presurización ni refrigeración.

9.5.7 Actuaciones de una turbina eólica En esta sección vamos a aplicar el análisis dimensional para caracterizar las prestaciones de una turbina eólica de diámetro D y forma geométrica dada sobre la que incide una corriente de aire de velocidad U. Supondremos que la turbina gira a una velocidad dada n (expresada en revoluciones por unidad de tiempo) y que bajo las condiciones t´ıpicas de operación de la turbina el aire, con velocidades U mucho menores que la velocidad del sonido, el aire se comporta como un fluido incompresible de densidad ρ y viscosidad μ constantes. La potencia W extra´ıda de la turbina dependerá por tanto de los siguientes parámetros: W = W (D, U, ρ, μ, n). 162

(9.100)

9.5. EJEMPLOS Y APLICACIONES Utilizando el análisis dimensional podemos expresar esta dependencia en función del menor número posible de parámetros adimensionales. Para ello escribimos la matriz de dimensiones ampliada W D U ρ μ n M 1 0 0 1 1 0 (9.101) L −2 1 1 −3 −1 0 T −3 0 −1 0 −1 −1 cuyas columnas están formadas por los exponentes de la ecuación de dimensiones de cada una de las variables. Tras comprobar que D, U y ρ constituyen un subconjunto completo de variables con dimensiones independientes, utilizamos estas tres variables para construir grupos adimensionales con las demás siguiendo el procedimiento explicado en la sección 9.2.2. El primero, ΠW = W/(ρU 3 D 2 ), representa el coeficiente de potencia, el segundo, Πn = nD/U, el coeficiente de vueltas y el tercero, Re = ρUD/μ, el número de Reynolds. De este modo, la relación de dependencia (9.100) adopta la forma adimensional nD ρUD W =f , . (9.102) ρU 3 D 2 U μ Esta expresión puede simplificarse aún más si tenemos en cuenta que bajo las condiciones de operación de una turbina eólica el número de Reynolds es siempre mucho mayor que la unidad, por lo que el efecto de la viscosidad puede considerarse despreciable. En este caso tenemos nD W =f , (9.103) ρU 3 D 2 U expresión que permite caracterizar las prestaciones de una familia de turbinas eólicas de forma geométrica dada de la forma más compacta posible. Como ejemplo ilustrativo, supongamos que ensayamos una turbina de diámetro D = 5 m sobre la que incide una corriente de aire de velocidad U = 10 m/s, y que la medida de la potencia obtenida en función de la velocidad de giro proporciona los valores que se muestran en el siguiente gráfico

donde se observa que la potencia extra´ıda presenta un máximo para n = 200 rpm. Conviene hacer notar aqu´ı que la hipótesis de viscosidad despreciable es buena, pues para la turbina considerada en la campaña de ensayos tenemos Re = 1,2 · 10 · 5/(1,8 · 10−5 ) = 3,33 · 106 1. A partir de estos resultados, el concepto de semejanza f´ısica permite calcular las prestaciones de la turbina en cualquier otra condición de operación. Para ello, debemos construir en primer lugar la función ΠW = f (Πn ) utilizando los datos de la gráfica: 163

9.5. EJEMPLOS Y APLICACIONES W (W) 4 · 103 5,5 · 103 6,5 · 103 7 · 103 6 · 103 4,5 · 103

n (rpm) 125 150 175 200 225 250

n Πn = nD U (rev/s) 2.083 1.042 2.500 1.250 2.917 1.458 3.333 1.667 3.750 1.875 4.167 2.083

ΠW =

W ρU 3 D 2

0.133 0.183 0.217 0.233 0.200 0.150

Una vez calculada la función ΠW = f (Πn ) podr´ıamos determinar, por ejemplo, el valor de n para el que se obtendr´ıa la máxima potencia de la turbina cuando esta opera a una velocidad distinta, digamos U = 15 m/s. De acuerdo con la tabla anterior, la máxima potencia se obtiene para Πn = nD/U = 1,667, o bien, n = 1,667U/D = 1,667 · 15/5 = 5 rev/s = 300 rpm. Para dicho valor de Πn , el coeficiente de potencia máximo es ΠW = W/(ρU 3 D 2 ) = 0,233 por lo que la potencia máxima que se extraer´ıa de la turbina en las nuevas condiciones ser´ıa W = 0,233ρU 3 D 2 = 0,233 · 1,2 · 153 · 52 = 23,625 kW. Otro resultado de interés que podemos obtener es la variación de la potencia extra´ıda W con la velocidad del viento U para un valor fijo de la velocidad de giro. Por ejemplo, para n = 200 rpm = 3.33 rev/s y D = 5 m, los resultados de la tabla anterior permiten calcular primero U = nD/Πn = 3,33 · 5/Πn y a continuación W = ΠW ρU 3 D 2 = ΠW · 1,2U 3 52 = ΠW · 1,2(3,33 · 5/Πn )3 52 , lo que proporciona los siguientes resultados: Πn 1.042 1.250 1.458 1.667 1.875 2.083

ΠW U = nD Πn 0.133 16 0.183 13.33 0.217 11.43 0.233 10 0.200 8.89 0.150 8

W = ΠW ρU 3 D 2 16.384 13.03 9.706 7.000 4.216 2.304

Por u´ ltimo, podemos utilizar la curva adimensional ΠW = f (Πn ) para determinar las actuaciones de turbinas de la misma familia pero de distinto tamaño. Por ejemplo, podemos calcular el valor de W correspondiente a una corriente incidente de velocidad U = 20 m/s para una turbina geométricamente semejante de diámetro D = 10 m girando a n = 175 rpm. As´ı, para D = 10 m, n = 175 rpm y U = 20 m/s tenemos ΠN = nD/U = (175/60)10/20 = 1,458 y entrando en la tabla con este valor obtenemos ΠW = ρUW3 D2 = 0,217 o bien W = 0,217ρU 3 D 2 = 0,217 · 1,2 · 203 · 102 = 208 kW.

9.5.8 Semejanza en máquinas hidráulicas Como ejemplo de máquinas hidráulicas, consideramos primeramente el funcionamiento de una bomba. Las parámetros de los que depende su funcionamiento son, además de la forma geométrica de la máquina, su tamaño, dado por ejemplo por el diámetro del rotor D, el caudal o gasto volumétrico que circula por la bomba Q, la velocidad angular de giro ω, y las propiedades f´ısicas del l´ıquido ρ y μ. La forma geométrica incluye la rugosidad relativa de la máquina, que tiene influencia sobre todo en el cálculo de las pérdidas. Los parámetros de funcionamiento de interés incluyen el aumento de presión total producido Δpt , el par que actúa sobre el eje, T , y 164

9.5. EJEMPLOS Y APLICACIONES la potencia consumida, Pfreno , por lo que escribiremos Δpt = f1 (Q, ρ, μ, ω, D, geometria) T = f2 (Q, ρ, μ, ω, D, geometria) Pfreno = f3 (Q, ρ, μ, ω, D, geometria) Para una familia de bombas geométricamente semejantes, si elegimos las variables ω, D y ρ como subconjunto de variables con dimensión independiente, la aplicación del teorema Π conduce a Q ρωD2 Δpt = g1 , ρω 2 D 2 ωD3 μ Q ρωD2 T = g2 , (9.104) ρω 2 D 5 ωD3 μ Q ρωD2 Pfreno = g3 , ρω 3 D 5 ωD3 μ Como se ve, la solución depende de dos parámetros, el coeficiente de caudal o de flujo, Q/(ωD3 ), y el número de Reynolds basado en la velocidad caracter´ıstica ωD, ρωD2 /μ. En la práctica, se ha observado que los efectos de la viscosidad son relativamente poco importantes cuando dos máquinas geométricamente semejantes operan bajo condiciones similares de flujo, por ser el número de Reynolds muy alto. Con esta simplificación, suprimir´ıamos el número de Reynolds de las relaciones adimensionales anteriores para dar Q Δpt = g1 ρω 2 D 2 ωD3 Q T = g2 (9.105) ρω 2 D 5 ωD3 Q Pfreno . = g3 ρω 3 D 5 ωD3 Las relaciones (9.105) nos permiten representar todos los estados de funcionamiento de una familia de bombas geométricamente semejantes mediante una sola curva para cada parámetro ´ de salida. Estas son las curvas caracter´ısticas de la máquina y generalmente deben obtenerse a partir de la experimentación. Como se ve en (9.105), el funcionamiento de una familia de bombas geométricamente semejantes vendr´ıa determinado por un solo parámetro, el coeficiente de flujo. Es decir, si para dos bombas se verifica que Q1 Q2 = 3 ω 1 D1 ω2 D23 entonces, tendremos que Δpt2 Δpt1 = 2 2 ρ1 ω1 D1 ρ2 ω22 D22 T1 T2 = 2 5 ρ1 ω1 D1 ρ2 ω22 D25 P1 P2 = 3 5 ρ1 ω1 D1 ρ2 ω23 D25 Hagamos uso de estas relaciones para resolver un número de ejemplos sencillos. 165

9.5. EJEMPLOS Y APLICACIONES • Considere una bomba que funciona con un gasto Q1 y unas revoluciones ω1 . Supongamos que la misma máquina con el mismo fluido funciona con el doble de gasto y el doble de revoluciones: Q2 = 2Q1 , ω2 = 2ω1 , D2 = D1 , ρ2 = ρ1 entonces podemos comprobar que Δpt2 = 4Δpt1 ,

T2 = 4T1 ,

P2 = 8P1

• Una bomba funciona con ω1 y Δpt1 . Otra máquina semejante de doble tamaño funciona con el mismo Δpt , el mismo l´ıquido y la mitad de revoluciones: Δpt2 = Δpt1 ,

D2 = 2D1 ,

ρ2 = ρ1 ,

ω2 = ω1 /2

se puede demostrar que Q2 = 4Q1 ,

T2 = 8T1 ,

P2 = 4P1

• Una misma máquina girando a las mismas revoluciones y dando el mismo gasto volumétrico, funciona con dos l´ıquidos, uno de triple densidad que el otro: Q2 = Q1 ,

ω2 = ω1 ,

D2 = D 1 ,

ρ2 = 3ρ1

se puede demostrar que Δpt2 = 3Δpt1 ,

T2 = 3T1 ,

P2 = 3P1

En el análisis de máquinas hidráulicas, la elección de las variables dependientes e independientes no es r´ıgida y podemos intercambiar unas con otras siempre que mantengamos fijo el número de datos de partida. Por ejemplo, en turbinas puede ser más apropiado suponer que el dato sea Δpt en lugar de Q, con lo que se tendr´ıa Q = f1 (Δpt , ρ, μ, ω, D, geometria) T = f2 (Δpt , ρ, μ, ω, D, geometria) Pfreno = f3 (Δpt , ρ, μ, ω, D, geometria). Para hacer aplicación del teorema Π, conviene en este caso elegir ρ, D, y Δpt como subconjunto de variables de dimensión independiente, con lo que, para un conjunto de turbinas geométricamente semejantes, se obtendr´ıa Qρ1/2 ωDρ1/2 (ρΔpt )1/2 D = g1 , D 2 (Δpt )1/2 (Δpt )1/2 μ 1/2 ωDρ (ρΔpt )1/2 D T (9.106) = g2 , D 3 Δpt (Δpt )1/2 μ ωDρ1/2 (ρΔpt )1/2 D Pfreno ρ1/2 = g3 , D 2 (Δpt )3/2 (Δpt )1/2 μ Los parámetros de la izquierda de estas tres fórmulas reciben los nombres de coeficiente de apertura, coeficiente de par y coeficiente de potencia, respectivamente. Si despreciamos el efecto de 166

9.5. EJEMPLOS Y APLICACIONES la viscosidad, las relaciones anteriores nos proporcionan las curvas caracter´ısticas de la turbina en la forma ωDρ1/2 Qρ1/2 = g1 D 2 (Δpt )1/2 (Δpt )1/2 ωDρ1/2 T (9.107) = g2 D 3 Δpt (Δpt )1/2 Pfreno ρ1/2 ωDρ1/2 = g3 D 2 (Δpt )3/2 (Δpt )1/2 Por tanto, para dos turbinas hidráulicas geométricamente semejantes, si se verifica que 1/2

1/2

ω2 D2 ρ2 ω1 D1 ρ1 = 1/2 (Δpt1 ) (Δpt2 )1/2 entonces, tendremos que 1/2

1/2

Q1 ρ1 Q2 ρ2 = 2 2 1/2 D1 (Δpt1 ) D2 (Δpt2 )1/2 T1 T2 = D13 Δpt1 D23 Δpt2 1/2

1/2

P1 ρ1 P2 ρ2 = 2 . 2 3/2 D1 (Δpt1 ) D2 (Δpt2 )3/2

167

Cap´ıtulo 10 Flujo Turbulento en conductos 10.1 Introducción En temas anteriores hemos estudiado las ecuaciones integrales de la Mecánica de Fluidos y algunas de sus aplicaciones. Se ha descrito asimismo el análisis dimensional y la semejanza f´ısica, con sus aplicaciones al estudio de las máquinas hidráulicas. Del mismo modo, hemos visto como cuando el número de Reynolds es muy grande, Re 1, en el caso de flujo alrededor de cuerpos, o cuando el número de Reynolds multiplicado por la relación de esbeltez es muy grande, Re D/L 1, en el caso de flujo en el interior de un conducto de diámetro D y longitud L, los efectos viscosos son despreciables en la mayor parte del campo fluido (excepto en una zona pequeña denominada capa l´ımite) dando lugar a la ecuación de Bernouilli. En este tema veremos como, en realidad, cuando el número de Reynolds de un flujo es suficientemente alto, e´ ste es inestable a pequeñas perturbaciones y por lo tanto no se encuentran las soluciones anteriormente estudiadas. Por el contrario, estas perturbaciones se desarrollan conforme el flujo evoluciona dando lugar al fenómeno conocido como turbulencia, caracterizada por rápidas variaciones tanto espaciales como temporales de la velocidad, presión y temperatura. El transporte de un fluido (l´ıquido o gas) por el interior de un conducto cerrado se da en un gran número de aplicaciones con las cuales nos encontramos diariamente. Como ejemplos podemos citar desde transporte de crudo a través de oleoductos, gas en gaseoductos hasta conducciones de agua potable en redes de abastecimiento o conductos de aire acondicionado. En la mayor´ıa de estas aplicaciones el flujo es turbulento de forma que el objetivo de este tema es caracterizar este tipo de flujos.

10.2 Flujo Laminar y flujo turbulento: experimento de Reynolds. El flujo en el interior de un conducto puede ser laminar o turbulento. Cuando tenemos un tubo muy largo, D/L 1, con Re D/L 1 se puede obtener una solución exacta conocida como flujo de Poiseuille. Este tipo de flujos se caracteriza por ser un flujo estacionario y unidireccional con l´ıneas de corriente paralelas a las paredes del tubo tal y como se muestra en la figura 10.1a. Sin embargo, se ha comprobado experimentalmente que dicho flujo u´ nicamente existe si el número de Reynolds es menor que un valor cr´ıtico, Re < Rec , que depende del tipo

10.2. FLUJO LAMINAR Y FLUJO TURBULENTO: EXPERIMENTO DE REYNOLDS. Traza Laminar a)

Traza Turbulenta b)

Figura 10.1: Trazas de un flujo laminar y un flujo turbulento en el interior de un conducto. de flujo. Sin embargo, cuando Re > Rec el flujo se hace inestable a pequeñas perturbaciones que se amplifican conforme nos movemos aguas abajo, de modo que deja de ser estacionario y unidireccional. Por el contrario el flujo se hace irregular y las sendas dejan de ser paralelas a las paredes del conducto (veáse figura 10.1b). El primero que describió la diferencia entre un flujo laminar y un flujo turbulento en un conducto de sección circular fue Osborne Reynolds (1842-1912), quien mediante la inyección de colorante en el interior de un tubo transparente determinó visualmente como la estructura del flujo cambiaba radicalmente al aumentar el número de Reynolds. Para ello construyó un tanque de agua de 182.88 cm (seis pies) de largo, y sección cuadrada de 45.72 × 45.72 cm2 (1.5 × 1.5 pies2 ) situado a 213.36 cm (7 pies) del suelo. El tanque dispon´ıa de un flotador que le permit´ıa controlar con precisión el nivel de agua en su interior. En el interior del tanque de agua colocó horizontalmente una tuber´ıa de vidrio de 2.54 cm de diámetro (una pulgada) a la que se le pod´ıa inyectar colorante a través de una especie de embudo situado a la entrada de la misma. La figura 10.2a muestra un esquema del experimento de Reynolds con Mr. Foster, el ayudante de Osborne Reynolds, listo para manipular la instalación controlando el caudal por medio de la palanca que se muestra en la parte derecha de la figura. Para realizar el experimento, Reynolds y su ayudante Foster, llenaron inicialmente el tanque de agua y lo dejaron reposar durante cuatro horas antes de iniciar el estudio. Después dejaron fluir el colorante por el interior de la tuber´ıa y abrieron ligeramente la válvula para permitir que el agua circulase por el interior de la tuber´ıa. Inicialmente observaron que el filamento de colorante permanec´ıa estable y paralelo a las paredes de la tuber´ıa tal y como se muestra en la figura 10.2b. Tras abrir la válvula para permitir que el caudal que circulaba por el interior de la tuber´ıa aumentase observaron que, para un determinado grado de apertura, el filamento de colorante se perturbaba en un punto determinado de la tuber´ıa y se mezclaba, aparentemente de manera homogénea, con el agua del conducto (figura 10.2c). Sin embargo, una inspección detallada del mismo reveló que su movimiento era ondulatorio, similar al mostrado en la figura 10.2d. De este modo determinaron la velocidad cr´ıtica a la cual el movimiento comenzaba a ser turbulento. Posteriormente, realizaron el mismo experimento calentando el agua del tanque hasta 21 o C añadiendo vapor de agua para, con ello reducir la viscosidad de la misma, y comprobaron que la velocidad cr´ıtica para la cual observaron la tansición a un flujo turbulento aumentaba. Sin embargo, pensando que el agua estaba a temperatura mayor que el ambiente que se encontraba a 8.3 o C, y ello podr´ıa producir un enfriamiento de la superficie del agua 169

10.2. FLUJO LAMINAR Y FLUJO TURBULENTO: EXPERIMENTO DE REYNOLDS.

Figura 10.2: Experimento de Reynolds. generando recirculaciones en el interior del tanque que falseaban el experimento, realizaron un nuevo experimento enfriando el agua del tanque hasta 4 o C. En este caso observaron que la velocidad cr´ıtica disminu´ıa con respecto al experimento inicial. As´ı, Reynolds, con la inestimable ayuda de Mr. Foster, pudo constatar que exist´ıa una velocidad cr´ıtica, que aumentaba proporcionalmente con la viscosidad cinemática del fluido, para la cual se produc´ıa la tansición de un flujo laminar a un flujo turbulento. De este modo, dado que el diámetro de tuber´ıa era constante, Reynolds determinó el valor de número de Reynolds cr´ıtico, Rec = uc D/ν, para el cual se produc´ıa la transición a un fujo turbulento. Aunque se pueden conseguir un flujo laminar para valores del número de Reynolds mayores, a efectos prácticos, en aplicaciones ingenieriles, consideraremos que el flujo es laminar si Re < 2300 y que e´ ste es turbulento si Re > 4000. Para valores intermedios, 2300 < Re < 4000, diremos que el flujo es transitorio y cambia de laminar a turbulento y viceversa intermitentemente. El mismo experimento podr´ıamos realizar si mediésemos la variación temporal de la velocidad longitudinal en un punto arbitrario (punto A de la figura 10.3) en el interior de una tuber´ıa de diámetro D. Si el caudal, Q, que circula por la tuber´ıa fuese tal que Re = um D/ν = 4 Q/π ν < Rec = 2300 la velocidad del punto A, uA (t), ser´ıa constante tal y como se muestra en el caso laminar de la figura 10.3. Si ahora incrementamos Q de forma que Re ∼ Rec aparecen de forma espontánea pequeñas perturbaciones de la velocidad que posteriormente se atenúan. En este caso decimos que el flujo es transicional. Sin embargo si aumentamos todav´ıa más Q, podremos observar como uA (t) var´ıa con el tiempo, oscilando en torno a valor medio que denominaremos uA . Estas oscilaciones introducen un mecanismo de transporte, adicional al transporte molecular ya estudiado en cap´ıtulos anteriores, conocido como transporte turbulento. El transporte turbulento de masa, cantidad de movimiento y/o energ´ıa es un mecanismo mucho más eficaz que el molecular que tiende a homogeneizar la densidad, velocidad y temperatura en un campo fluido.

170

10.3. FLUJO DESARROLLADO Y LONGITUD DE ENTRADA uA Q

A

x Flujo turbulento

Flujo en transicion

Flujo Laminar t

Figura 10.3: Evolución temporal de la velocidad en un punto durante el experimento de Reynolds.

10.3 Flujo desarrollado y longitud de entrada Consideraremos que el flujo está desarrollado en el interior de un conducto si el perfil de velocidades u´ nicamente depende de su coordenada transversal (r en el caso de conductos circulares) y no presenta variaciones aguas abajo. En este cap´ıtulo consideraremos que el flujo está desarrollado, de modo que conviene establecer las zonas de una tuber´ıa en las cuales el flujo está completamente desarrollado. Para ello, analizaremos la evolución del perfil de velocidades en la zona de entrada de una tuber´ıa unida a un depósito tal y como se muestra en la figura 10.4. En este caso se ha considerado que el número de Reynolds es mucho mayor que la unidad pero inferior a 2300, 1 Re < 2300, de modo que el flujo que se establece tras la zona de entrada es laminar, con un perfil de velocidades parabólico. Si el acoplamiento entre la tuber´ıa y el depósito está convenientemente diseñado, la velocidad en toda la sección de entrada al conducto es uniforme, excepto en la zona cercana a la pared del conducto, donde la velocidad debe de cumplir la condición de no deslizamiento y, por lo tanto, u(r = D/2) = 0. Esta zona, de espesor inicial mucho menor que el diámetro del conducto, δ0 D, donde la velocidad decae desde su valor uniforme hasta cero, se denomina capa l´ımite. El espesor de la capa l´ımite, δ(x), crece aguas abajo en el conducto debido a que la viscosidad difunde lentamente la condición de velocidad nula en la pared al resto de fluido, as´ı la capa l´ımite es una zona con gradientes de velocidad importantes donde los efectos viscosos son dominantes. El resto de la sección del conducto, en su zona central, es una región de flujo ideal donde los efectos viscosos son despreciables. Conforme la capa l´ımite aumenta, la extensión de la zona no viscosa disminuye y por lo tanto, debido a la ecuación de conservación de la masa, la magnitud de la velocidad en dicha zona aumenta aguas abajo de la entrada al conducto. El final de la zona de entrada, de longitud caracter´ıstica Le, se alcanza en el punto donde el espesor de la capa l´ımite es del orden del radio del conducto, δ(Le) ∼ D/2. As´ı, la zona de entrada es una región del conducto donde tanto los términos convectivos de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento como los viscosos son importantes. Por lo tanto, tomado un volumen de control desde la entrada al conducto hasta el punto donde el flujo comienza a estar desarrollado, podemos estimar la longitud de entrada simplemente considerando que ambos términos son del mismo orden de magnitud en la ecuación 10.1,

171

10.3. FLUJO DESARROLLADO Y LONGITUD DE ENTRADA

Zona viscosa (capa limite)

Zona no viscosa Flujo Ideal

Flujo desarrollado

Longitud de entrada

Figura 10.4: Representación de la zona de entrada en un conducto correspondiente a flujo laminar.

d dt

Vc

ρ¯ v dV +

T´ erminos convectivos

ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = − Σc

T´ erminos viscosos

p· n ¯ dσ + Σc

¯ dσ + ρf¯m dV. (10.1) τ¯ · n

Σc

Los términos convectivos son del orden de ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ ∼ ρ u2e πD 2 ,

Vc

(10.2)

Σc

donde ue representa la velocidad caracter´ıstica en el conducto. Por otro lado, los términos viscosos son del orden de ue ue πDLe ∼ μ πDLe . ¯ dσ ∼ μ (10.3) τ¯ · n δ(Le ) D Σc Igualando ambas expresiones obtenemos, ρue D Le ∼ = Re, D μ

(10.4)

que nos indica que, para un flujo laminar, la longitud de entrada incrementa proporcionalmente con el número de Reynolds, siendo el valor exacto de la expresión, Le = 0,06 Re. D

(10.5)

En el caso de un flujo turbulento en un conducto, la situación es ligeramente diferente y la longitud de entrada viene dada por, Le = 4,4 Re1/6 . D

(10.6)

Como ejemplo podemos observar que, en el caso de un flujo laminar a un número de Reynolds Re = 2000, la longitud de entrada es Le = 120 D. Sin embargo en la mayor´ıa de las aplicaciones ingenieriles, donde 104 < Re < 106 , la longitud de entrada viene a ser del orden de 20 D ≤ Le ≤ 45 D. Dado que en la mayor´ıa de las aplicaciones, las tuber´ıas tienen longitudes de cientos de metros o varios kilómetros, podemos considerar que el flujo está desarrollado casi en su totalidad, siendo la longitud de entrada mucho menor que la longitud del conducto, Le L. 172

´ 10.4. PERDIDAS DE CARGA PRIMARIAS EN CONDUCTOS

10.4 Pérdidas de carga primarias en conductos En esta sección se pretende cuantificar la ca´ıa de presión que se experimenta un l´ıquido de densidad ρ y viscosidad μ que se mueve a lo largo de un conducto de sección circular de diámetro D (aunque el resultado obtenido se puede generalizar a conductos sección arbitraria). En el caso de movimiento estacionario y flujo desarrollado se puede aplicar la ecuación de cantidad de movimiento al elemento diferencial de tuber´ıa mostrado en la figura 10.5, d ¯ ρ¯ v dV + ρ¯ v (¯ v − v¯c ) · n ¯ dσ = − p·n ¯ dσ + ¯ dσ + ρf¯m dV. (10.7) τ ·n dt Vc Σc Σc Σc Vc Considerando que el flujo es estacionario y está completamente desarrollado, los términos de la izquierda de la igualdad en la ecuación 10.7 son nulos. Por otro lado, si consideramos que las fuerzas másicas derivan de un potencial, f¯m = −∇U, la integral de volumen Vc ρf¯m se puede expresar como una integral de superficie mediante el teorema de Gauss, Vc ρf¯m dV = − Vc ρ∇U dV = − Vc ∇(ρU) dV = − Σc ρU · n ¯ dσ, obteniéndose,

0=−

¯ dσ, τ¯ · n

(p + ρ U) · n ¯ dσ + Σc

(10.8)

Σc

Aplicando la ecuación 10.8 al elemento diferencial de la figura 10.5, ∂P P A− P + A − τp Lp = 0 ∂x 4 τp Lp ∂P = τp = − ∂x A D

(10.9)

donde P = p+ρU es la presión reducida, τp los esfuerzos viscosos que las paredes del conducto ejercen sobre el fluido, A la sección transversal del conducto y Lp es su per´ımetro mojado. Cabe mencionar que, en el caso de conductos de sección circular Lp = π D y A = π D 2 /4, sin embargo, en conductos de sección arbitraria la ecuación 10.9, se puede expresar como, −

4 τp Lp ∂P = 4 τp = , ∂x 4A Dh

(10.10)

donde Dh = 4A/Lp representa el diámetro hidráulico (o diámetro equivalente) del conducto. Finalmente, para determinar la ca´ıda de presión a lo largo del conducto necesitamos conocer el valor de los esfuerzos cortantes en la pared, τp . Para ello haremos uso del análisis dimensional con τp = f (ρ, μ, um, Dh , ), donde um = Q/A es la velocidad media del fluido que circula por el conducto, Q su caudal y la rugosidad de las paredes del conducto. Expresando τp en función del m´ınimo número de parámetros se obtiene, ρ u m Dh 8 τp , =λ . (10.11) ρ u2m μ Dh Ahora podemos determinar la pérdida de carga en el conducto como −

1 λ ∂P = ρ u2m . ∂x 2 Dh 173

(10.12)


dx

P + ∂P/∂x τp τp

P

Figura 10.5: Elemento diferencial de tuber´ıa. Podemos obtener la variación de la presión reducida entre dos puntos del conducto separados una distancia L como, 2 2 1 2 λ − ρ um dP = dl , (10.13) Dh 1 1 2 que, para el caso de un conducto de sección constante, donde um , Dh y λ son constantes a lo largo del tramo de longitud L, resulta P1 − P2 = (p + ρU)1 − (p + ρU)2 =

λL 1 2 λ 1 ρ um (l2 − l1 ) = ρ u2m . 2 Dh 2 Dh

(10.14)

En particular, cuando las fuerzas másicas se reducen a la gravedad U = −¯ g · x¯, la ecuación 10.14, se reduce a, λL 1 , (10.15) (p + ρgz)1 − (p + ρgz)2 = ρ u2m 2 Dh donde z1 y z2 simplemente representan la cotas de los puntos inicial y final del tramo de conducto de longitud L. En las ecuaciones 10.11-10.15 aparece el coeficiente de fricción de Darcy, λ, cuya variación con el número de Reynolds y la rugosidad relativa del conducto se muestra en el diagrama de Moody de la figura 10.4. Nótese que, en el caso de conductos de sección circular, el diámeto hidráulico coincide con el diámetro del conducto, Dh = 4A/Lp = D. El diagrama de Moody de la figura 10.4 muestra como cuando el flujo es laminar (Re < 2300) λ = 64/Re, independientemente de la rugosidad del conducto, debido a que todo el campo fluido está dominado por la viscosidad. En este caso el valor de λ = 64/Re viene determinado por la solución del flujo de Poiseuille que establece que el perfil de velocidades tiene una forma parabólica dada por u(r) = 2um (1 − (2r/D)2). En este caso τp = −μ

d u(r) um |r=D/2 = 8 μ , dr D

(10.16)

y, por lo tanto, utilizando la ecuación 10.11 λ(Re) =

64 64 μ 8 τp = . = 2 ρ um ρum D Re 174

(10.17)

Coeficiente de fricció n λ

175

"

Re =

ρU D μ

Figura 10.6: Diagrama de Moody.

!

D

Rugosidad relativa


´ ´ 10.5. EJEMPLOS DE CALCULO DE LAS PERDIDAS DE CARGA PRIMARIAS EN CONDUCTOS. En el rango 2300 < Re < 4000 se produce la transición de flujo laminar a turbulento y el coeficiente de fricción está indeterminado. Sin embargo cuando Re > 4000 el flujo es turbulento y λ depende tanto del número de Reynolds como de la rugosidad relativa. La dependencia con el número de Reynolds se va haciendo menor conforme e´ ste aumenta debido a que la zona de influencia de la viscosidad (denominada subcapa viscosa) disminuye de tamaño y, por lo tanto, aumenta la importancia de la rugosidad de la pared en la pérdida de carga. Finalmente, para valores de Re suficientemente grandes, el coeficiente de fricción deja de depender del número de Reynolds, λ (/D). El número de Reynolds a partir del cual esto ocurre es mayor cuanto menor es la rugosidad debido a que λ deja de depender del número de Reynolds cuando el espesor de la subcapa viscosa llegua a ser suficientemente pequeña comparada con la rugosidad de la pared. Existen diferentes expresiones para determina el valor de λ en rango determinado del número de Reynolds. Para el caso de tuber´ıas lisas, Prandtl en 1935 determinó mediante argumentos dimensionales la siguiente expresion, √ 1 √ = 2,0 log Re λ − 0,8. (10.18) λ De forma análoga, para de flujo completamente dominado por la rugosidad Von Karman estableció /D 1 √ = −2,0 log . (10.19) 3,7 λ Sin embargo la correlación comúmnente más utilizada es la denominada correlación de Colebrook dada por, /D 2,51 1 √ √ = −2,0 log (10.20) + 3,7 λ Re λ válida para todo el rango de flujo turbulento (Re > 4000). El problema de estas correlaciones es que muestra una dependencia impl´ıcita en λ. Como ejemplo adicional cabe mencionar la expresión dada por Blasius para tuber´ıas lisas y Re < 105 , λ = 0,3164 Re−1/4 .

(10.21)

10.5 Ejemplos de cálculo de las pérdidas de carga primarias en conductos. 10.5.1 Primer ejemplo. Como primer ejemplo vamos a obtener la pérdida de carga que se produce a lo largo de un conducto circular de diámetro D = 25 cm, rugosidad de pared = 0.0025 cm y longitud L = 1Km por el cual circula un caudal Q = 0.05 m3 /s. Considerando un caudal Q = 0.05 m3 /s, para una tuber´ıa de diámetro D = 25 cm, obtenemos que la velocidad media es um = 1.18 m/s. Si tomamos como valor de la viscosidad cinemática del agua, ν = μ/ρ = 10−6 m2 /s, el número de Reynolds es Re = um D/ν = 254650. Dado que la rugosidad relativa es /D = 0.001, el valor del coeficiente de fricción obtenido del diagrama de Moody es λ = 0.0208. Con esto datos, dado que z1 = z2 , tenemos, λL 1 = 43071 Pa = 0,43 ba. (10.22) ΔP = (p + ρgz)1 − (p + ρgz)2 = p1 − p2 = ρ u2m 2 D 176

´ ´ 10.5. EJEMPLOS DE CALCULO DE LAS PERDIDAS DE CARGA PRIMARIAS EN CONDUCTOS.

10.5.2 Segundo ejemplo Se tiene un depósito como el mostrado en la figura 10.7 que descarga agua al exterior mediante un tubo acoplado de longitud L = 1000 m, diámetro D = 20 cm y rugosidad = 0.002 cm, con un desnivel entre los extremos Hc = 20 m. Considerando que el nivel de agua del depósito se mantiene constante e igual a H0 = 10 m, calcule el caudal de agua que circula por el tubo.

pa

AT

Ho

D Hc

L

1

pa

Figura 10.7: Esquema del segundo ejemplo. En este caso consideraremos la pérdida de carga entre los puntos 1 y 2 situados a la entrada y la salida del conducto respectivamente. Sin embargo dado que no conocemos el caudal de l´ıquido que circula por el conducto debemos de resolver el problema de forma iterativa. Primero plantearemos la ecuaciones que gobiernan el proceso. En el fondo del depósito, suficientemente lejos del punto de acoplamiento con el conducto de descarga, dado que el fluido se puede considerar en reposo la presión es, pd = pa + ρgHo .

(10.23)

En la región de entrada al conducto, si consideramos que el número de Reynolds es alto, podemos aplicar la ecuación de Bernouilli para determinar la presión en el punto 1 como, 1 p1 = pd − ρ u2m . (10.24) 2 Por otro lado, entre el punto 1 y el punto 2 situado a la salida del conducto podemos aplicar la ecuación 10.15, λL 1 , (10.25) (p + ρgz)1 − (p + ρgz)2 = ρ u2m 2 D con la condición de contorno a la salida del conducto, donde p2 = pa . Combinando las ecuaciones 10.23-10.25, obtenemos 1 2 λL ρg(Ho + Hc ) = ρ um 1 + , (10.26) 2 D 177

´ ´ 10.5. EJEMPLOS DE CALCULO DE LAS PERDIDAS DE CARGA PRIMARIAS EN CONDUCTOS. y, por lo tanto,

um =

2g(Ho + Hc ) 1 + λL D

→

Q = um

πD 2 . 4

(10.27)

Al no conocer el valor de um , tampoco conocemos el número de Reynolds y, por lo tanto desconocemos λ(Re, /D). Para resolver la ecuación 10.27 supondremos inicialmente que el valor de λ viene dado por el correspondiente al flujo completamente dominado por la rugosidad, as´ı, por medio de la ecuación 10.19 /D 1 √ = −2,0 log (10.28) → λ0 = 0,120. 3,7 λ0 Sustituyendo λ0 en la ecuación 10.27 obtenemos una primera aproximación de la velocidad media del agua, um0 = 3.10 m/s (Q0 = 0.0975 m3 /s). La velocidad obtenida corresponde a un número de Reynolds de Re0 = 620950. Buscando ahora en el diagrama de Moody el punto correspondiente a Re0 = 620950 y /D = 0.0001, obtenemos el nuevo valor del factor de fricción λ1 = 0.0141, que sustituido en la ecuación 10.27, proporciona um1 = 2.87 m/s (Q1 = 0.0901 m3 /s), que corresponde a un número de Reynolds de Re1 =573540. Con el valor actualizado del número de Reynolds, recalculamos el coeficiente de fricción, obteniendo λ2 = 0.0142, que nos proporciona un nuevo valor de la velocidad, um2 = 2.86 m/s (Q2 = 0.0898 m3 /s). El nuevo valor del número de Reynolds es ahora Re2 = 571550, que apenas difiere del anterior, de modo que podemos considerar que la velocidad y caudal que circulan por el conducto son um = 2.86 m/s y Q = 0.0898 m3 /s respectivamente.

10.5.3 Tercer ejemplo Continuando con el ejemplo anterior, determine la evolución del nivel de agua en el depósito, H(t), y el tiempo de vaciado del mismo sabiendo que su a´ rea transversal es AT = 10 m2 , considerando ahora un conducto rugoso con = 4 mm. Justifique la validez de considerar un valor de λ constante en el proceso de descarga. En este caso, dado que /D = 0.02, el valor del factor de fricción es λ = 0.0486, que sustituido en la ecuación 10.27 proporciona un valor inicial de la velocidad de um (t = 0) = 1.55 m/s (Q(t = 0) = 0.0488 m3 /s). Conforme el depósito comience a vaciarse, el nivel de agua disminuirá y por lo tanto el caudal que circula por el conducto. Aplicando la ecuación de conservacin de la masa al volumen de control que encierra el l´ıquido en el interior del depósito se obtiene, πD 2 2g(H(t) + Hc ) dH(t) =Q= , (10.29) − AT dt 4 1 + λL D y, por lo tanto,

H(t)

H0

πD 2 =− 4 AT H(t) + Hc dH(t)

t 0

2g dt. 1 + λL D

(10.30)

Considerando λ constante durante el proceso de vaciado del depósito, podemos integral la ecuación 10.30, obteniendo πD 2 2g H(t) + Hc = H0 + Hc − t. (10.31) 8 AT 1 + λL D 178

´ ´ 10.5. EJEMPLOS DE CALCULO DE LAS PERDIDAS DE CARGA PRIMARIAS EN CONDUCTOS. A partir de la ecuación podemos determinar el tiempo de vaciado del depósito, tv , simplemente particularizando H(tv ) = 0, 8 AT 1 + λL D = 2258 s = 37,64 min. (10.32) tv = H0 + Hc − Hc πD 2 2g En este caso, se puede apreciar como cuando el depósito se ha vaciado la velocidad en el conducto es um = 1.265 m/s, que corresponde a un número de Reynolds Re =253000. Nótese que para un conducto de rugosidad relativa /D = 0.02, este número de Reynolds se encuentra en la zona en la cual el factor de fricción está dominado por la rugosidad y, por lo tanto, λ permanece constante durante el proceso de vaciado del depósitos.

10.5.4 Cuarto ejemplo Dos depósitos cuyos niveles de agua permanecen constantes están unidos por un sifón cuyo diámetro es d. El agua circula por el sifón en régimen turbulento sin influencia de la viscosidad en la pérdida de carga. La forma geométrica del sifón es la de una semicircunferencia de radio R d, tal y como se muestra en la figura. Se pide

g

pa

pa

H1

H2

R 1

θ

2

Figura 10.8: Esquema del cuarto ejemplo.

1. Determine el caudal de agua que circula a través del sifón. 2. Determine la distribución de presiones a lo largo del sifón, indicando en particular la posición donde la presión es m´ınima. 3. Particularize los resultados, indicando el valor m´ınimo de la presión, al caso R= 40 m, H1 = 35 m, H2 = 30 m, d = 0.5 m y λ= 0.01.

1. Para deteminar el caudal de agua que circula por el sifón debemos de plantear la ecuación 10.15 entre los puntos 1 y 2 de la figura 10.8. En el fondo del depósito, suficientemente lejos del punto de acoplamiento con el conducto de descarga, dado que el fluido se puede considerar en reposo la presión es, pd1 = pa + ρgH1 . 179

(10.33)

´ ´ 10.5. EJEMPLOS DE CALCULO DE LAS PERDIDAS DE CARGA PRIMARIAS EN CONDUCTOS. En la región de entrada al conducto, si consideramos que el número de Reynolds es alto, podemos aplicar la ecuación de Bernouilli para determinar la presión en el punto 1 como, 1 2 (10.34) ρu . 2 m Por otro lado, entre el punto 1 y el punto 2 situado a la salida del conducto podemos aplicar la ecuación 10.15, p1 = pd1 −

1 2 λL ρu , 2 m d donde, en este caso z1 = z2 , L = πR y la presión en el punto 2 viene dada por (p + ρgz)1 − (p + ρgz)2 =

(10.36)

p2 = pa + ρgH2 . Combinando las ecuaciones 10.33-10.26, obtenemos 1 2 λπR ρg(H1 − H2 ) = ρ um 1 + , 2 d y, por lo tanto,

um =

2g(H1 − H2 ) 1 + λπR d

→

(10.35)

Q = um

(10.37)

πd2 . 4

(10.38)

2. Para deteminar la distribución de presiones en un punto cualquiera del sifón situado a un a´ ngulo θ plantearemos la ecuación 10.15 entre el punto de entrada al sifón 1 y un punto situado a una distancia l(θ) = Rθ, cuya cota es z(θ) = R sen θ, 1 2 λl(θ) ρu , 2 m d donde, mediante el uso de las ecuaciones 10.34 y 10.37 se obtiene, 1 + (λRθ)/d . p(θ) − pa = ρg H1 − R sen θ − (H1 − H2 ) 1 + (λπR)/d (p + ρgz)1 − (p + ρgz)2 =

El punto de m´ınima presión corresponderá al punto donde dp(θ)/dθ = 0, dp(θ) ρg (H1 − H2 ) λR = −ρgR cos θmin − = 0, dθ min 1 + (λπR)/d d resultando, cos θmin = −

λ (H1 − H2 ) . d + λπR

(10.39)

(10.40)

(10.41)

(10.42)

3. Particularizando los resultados al caso R= 40 m, H1 = 35 m, H2 = 30 m, d = 0.5 m y λ= 0.01, obtenemos, 2g(H1 − H2 ) πd2 = 1,037 m3 /s . = 5,28 m/s → Q = u um = m 4 1 + λπR d λ (H1 − H2 ) = −0,0285 → θmin = 91,63o . cos θmin = − d + λπR d + λRθmin = −80632 Pa. p(θmin ) − pa = ρg H1 − R sen θmin − (H1 − H2 ) d + λπR 180

´ 10.6. PERDIDAS SECUNDARIAS

a)

b)

r

c)

d)

Figura 10.9: Coeficiente de pérdidas de carga en entradas a conductos. a) Entradas que se introducen en el depósito, Ke ∼ 0,8, b) entrada en arista viva, Ke = 0,5, c) entrada ligeramente redondeadas o biseladas, Ke ∼ 0, 25, entrada bien conformada, Ke ∼ 0,02. 0,5

0,4

Ke

0,3

0,2

0,1

0 0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

r/D

Figura 10.10: Coeficiente de pérdidas en una entrada redondeada de un conducto a un depósito en función del radio de redondeo.

10.6 Pérdidas Secundarias Además de las pérdidas de carga primarias determinadas por la ecuación 10.12, en cualquier sistema de tuber´ıas existen componentes adicionales (válvulas, codos, curvas, contracciones, expasiones, filtros, etc) que introducen pérdidas localizas de presión. Este tipo de pérdidas se conocen como pérdidas secundarias o localizadas, Δps , y dependen de ρ, μ, um , D y de la geometr´ıa del elemento. De nuevo, haciendo uso de análisis dimensional, podemos definir el coeficiente de pérdidas, Δps Ks = = f (Geometr´ıa, Re) (10.43) 1/2 ρ u2m 181

´ 10.6. PERDIDAS SECUNDARIAS 1,0 K eb u1

K eb, K cb

0,8

0,6

d1

d2

Kc b

0,4

0,2

0 0

d2

0,1

d1

0,2

u1

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

d 1 /d 2

Figura 10.11: Coeficiente de pérdidas en expansiones y contracciones bruscas. En este caso el coeficiente de pérdidas se ha definido con la velocidad en el conducto de menor sección, u1 . a determinar experimentalmente. Para valores del número de Reynolds suficientemente altos Ks se hace independiente del Re. De este modo, la pérdida total de presión reducida que se produce en una tuber´ıa de longitud L y diámetro D por la que circula un fluido de densidad ρ a una velocidad um es, 1 2 λL (10.44) + Σ Ks , ΔP = ρ um 2 D donde Σ Ks representa la suma de los coeficientes de pérdidas de todos los elementos de la instalación. Para determinar los coeficientes de pérdidas de cada uno de lo elementos de un instalación se pueden consultar las tablas que se incluyen a continuación.

10.6.1 Pérdidas de carga en la entrada a un conducto. Un fluido puede circular desde un depósito, donde se encuentra en reposo, hasta el interior de un conducto a través de una entrada que dependiendo de su forma introduce unas pérdidas de carga adicionales. Cuando el fluido fluye alrededor de la esquina, dependiendo de la geometr´ıa de la entrada al conducto, se puede producir una zona de desprendimiento de la corriente que vuelve a readherirse aguas abajo. As´ı, se forma una región, denominada vena contracta, donde la sección eficaz por la que circula el fluido se reduce y por la tanto aumenta su velocidad y disminuye la presión. Al final de la vena contracta, el a´ rea vuelve a aumentar por lo que la velocidad disminuye y la presión aumenta. El proceso de frenado de la corriente al final de la vena contracta no es ideal y la energ´ıa cinética que el fluido ha ganado a través de la misma no se puede recuperar incrementando la presión hasta su valor ideal, pi = p0 − 1/2 ρ u2m, donde p0 es la presión de remanso en el depósito. De este modo, la presión en el conducto, al final de la región de entrada, viene dada por p = p0 − 1/2 ρ u2m (1 + Ke ) donde Ke es el coeficiente 182

´ 10.6. PERDIDAS SECUNDARIAS n n

p1 Σ3

d1

n Σ1

u1

u2

p1 n

Σ2 n

d2

p2 Σ3

p1 n

Figura 10.12: Volumen de control utilizado para determinar el coeficiente de pérdidas en un expansión brusca.

de pérdidas de la entrada al conducto. Como ejemplo se puede apreciar en la figura 10.9 como, cuando el conducto se introduce en el interior del depósito (entrada reentrante), el coeficiente de pérdidas, el cual depende del espesor de pared del conducto y de la longitud que e´ ste se introduce en el depósito, es superior a Ke = 0,5. Sin embargo, cuando el conducto forma una arista viva con el depósito el coeficiente de pérdidas es Ke = 0,5, el cual disminuye a medida que dicha arista se redondea. La gráfica 10.10 muestra la evolución del coeficiente de pérdidas en la entrada al conducto con el grado de redondeo de la entrada, r/D.

10.6.2 Pérdidas de carga en expansiones y contracciones. Pérdidas singulares o secundarias también se dan debido a cambios bruscos en el diámetro de la tuber´ıa. El coeficiente de pérdidas en contracciones o expansiones bruscas viene dado por, Δpcb (p1 + 1/2ρ u21) − (p2 + 1/2ρ u22) = 1/2 ρ u21 1/2 ρ u21 Δpeb (p2 + 1/2ρ u22 ) − (p1 + 1/2ρ u21) Keb = = 1/2 ρ u21 1/2 ρ u21 Kcb =

(Contracción) (Expansión)

(10.45)

donde, en el caso de una contracción brusca, 1 y 2 representan respectivamente los puntos a la salida y la entrada de la misma y viceversa en el caso de una expansión. Para determinar el coeficiente de pérdidas de contracciones y expansiones bruscas se ha tomado como velocidad caracter´ıstica la velocidad del fluido que circula por el conducto de menor sección, u1 . As´ı, en el caso de contracciones bruscas u1 corresponde a la salida de la contacción y para expansiones bruscas u1 corresponde a la entrada a la misma. La figura 10.11 muestra como el coeficiente de pérdidas de una contracción brusca, Kcb , depende de la relación de diámetros, siendo el caso de la entrada a un conducto descrito en la sección 10.6.1 un caso l´ımite de una contracción donde d1 /d2 1. Conforme la relación de diámetros aumenta, Kcb disminuye hasta alcanzar un valor Kcb = 0 para d1 /d2 = 1, que corresponde a un caso donde no hay variación de diámetros. El coeficiente de pérdidas Kcb se puede aproximar por la siguiente expresión emp´ırica, d21 (10.46) Kcb ≈ 0,5 1 − 2 . d2 183

´ 10.6. PERDIDAS SECUNDARIAS 1,2 1,0

K eg

0,8 0,6 u1

u2

0,4 0,2 0 0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

θ

Figura 10.13: Coeficiente de pérdidas en una expansión suave para una relación de diámetros determinada.

válida en el rango 0 < d1 /d2 < 0,76. Por encima de este valor el coeficiente de pérdidas de una contracción brusca coincide aproximadamente con el de la expansión brusca. En el caso de expansiones bruscas, Keb puede obtenerse anal´ıticamente aplicando las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento y energ´ıa al volumenmostrado en la figura 10.12. La ecuación de continuidad indica, u1 πd21 = u2 πd22 .

(10.47)

Por otro lado, dado que la corriente se desprende en el punto donde se produce el cambio brusco de a´ rea, podemos considerar que la presión sobre la superficie Σ3 , de a´ rea π(d22 − d21 )/4, es p1 . De este modo, aplicando la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento resulta, − ρu21

πd21 πd2 πd2 πd2 π(d22 − d21 ) + ρu22 2 = p1 1 − p2 2 + p1 . 4 4 4 4 4

Combinando las ecuaciones 10.47- 10.48, podemos obtener, 2 2 d1 2 d1 −1 . p1 − p2 = ρu1 2 d2 d22

(10.48)

(10.49)

Finalmente, el coeficiente de pérdidas de la expansión brusca se puede determinar sustituyendo la ecuación 10.49 en la definición de Keb dada en la ecuación 10.45, 2 d21 Keb = 1 − 2 . (10.50) d2 El coeficiente de pérdidas de una expansión puede variar considerablemente si e´ sta se produce de forma gradual. Los resultados t´ıpicos del coeficiente de pérdidas que se encuentran de una expansión gradual en forma de difusor, para una relación de areas determinada, se muestran 184

´ 10.6. PERDIDAS SECUNDARIAS 1,0 Flujos secundarios

0,8 Desprendimiento

0,6 Kc

R

0,4

d

0,2

0 0

5

10

15

R/d

Figura 10.14: Coeficiente de pérdidas en un codo de 90o con paredes lisas para Re= 100000. Aqu´ı Kc incluye las pérdidas primarias.

en la figura 10.13. El coeficiente de pérdidas, Keg , se puede determinar aplicando la ecuación de la energ´ıa a un volumen de control entre la entrada y la salida del difusor, p1 +

1 1 1 ρ u21 = p2 + ρ u22 + Keg ρ u21. 2 2 2

Sabiendo que u1 d21 = u2 d22 , obtenemos, d41 p2 − p1 d41 = 1 − 4 − Cp , Keg = 1 − 4 − d2 1/2 ρ u21 d2

(10.51)

(10.52)

donde Cp = (p2 −p1 )/(1/2ρu21) es el coeficiente de recuperación de presión del difusor, a determinar experimentalmente, que depende de la relación de diámetros y del a´ ngulo del difusor. A nivel de ejemplo, la figura 10.13 muestra la variación del coeficiente de pérdidas de una expansión gradual con el a´ ngulo del difusor, θ, para una relación de diámetros dada. En este caso, se aprecia como si el a´ ngulo del difusor es muy pequeño e´ ste debe de ser muy largo, y gran parte de las pérdidas de carga son debidas a las pérdidas por fricción. Para a´ ngulos excesivamente grandes, θ > 60o para el caso de la figura 10.13, el valor de Keg puede llegar a ser superior al de una expansión brusca debido al desprendimiento de la capa l´ımite en el interior de difusor. El comportamiento o´ ptimo se encuentra para a´ ngulos θ ≈ 6o para el cual el coeficiente de pérdidas es m´ınimo.

10.6.3 Pérdidas de carga en codos y curvas. Las tuber´ıas, entre sus elementos, también cuentan con codos o curvas que permiten introducir cambios de dirección en las conducciones. Estos elementos producen pérdidas de carga debidas a la aparición de flujos secundarios o separación de capa l´ımite en las regiones cercanas a la entrada a los mismos (véase la figura 10.14). En el caso de tuber´ıas lisas, el coeficiente de 185

´ 10.6. PERDIDAS SECUNDARIAS θ α

15o 0,0

30o 0,1

45o 0,2

60o 0,4

75o 0,8

90o 1,0

135o 180o 1,2 1,3

Tabla 10.1: Valores del coeficiente α de la ecuación 10.54 que relaciona el coeficiente de pérdidas de una curva de a´ ngulo θ con el de una curva de 90 grados. pérdidas en una curva suave de 90o se puede aproximar por medio de la siguiente expresión, 0,84 −1,12 R R + 1,715 (10.53) Kc,90 ≈ 0,370 Re−0,17 , d d la cual contempla no solo las pérdidas por desprendimiento de la corriente y aparición de flujos secundarios sino también las pérdidas de carga por fricción con las paredes de las curvas. En la ecuación 10.53 R indica el radio de curvatura del elemento y d el diámetro del conducto en el cual está acoplado. Como se puede observar en la figura 10.14, aunque conforme R/d aumenta, las pérdidas por separación del flujo y flujos secundarios disminuyen, a partir de un valor determinado de R/d el coeficiente de pérdidas aumenta debido a que la longitud de la curva incrementa y, por lo tanto, aumentan las pérdidas por fricción con las paredes. El coeficiente de pérdidas de una curva de a´ ngulo θ instalada en una tuber´ıa lisa puede determinarse a partir del de una curva de 90 grados dado por la ecuación 10.53 como, Kc,θ = α Kc,90 +

λ(Re)R (2θ − απ) , 2d

(10.54)

donde el coeficiente α, el cual relaciona el coeficiente de pérdidas por desprendimiento y flujos secundarios, sin incluir las pérdidas por fricción, en un codo suave que forma un a´ ngulo θ con las de una curva de 90 grados, viene dado en la tabla 10.1. En situaciones donde, debido a limitaciones de espacio, no se pueden utilizar curvas suaves, los cambios de dirección de la conducción se realizan por medio de codos cuyos coeficientes de pérdidas son considerablemente mayores. Además de los elementos citados hasta ahora, existen otros elementos como son filtros, tes, bifurcaciones, uniones, caudal´ımetros, válvulas, etc, que introducen pérdidas de carga en las conducciones en las cuales están instalados. A altos números de Reynolds, el valor del coeficiente de pérdidas de cada uno de ellos depende fundamentalmente de la geometr´ıa de cada uno de ellos. Las tablas 10.2 y 10.3 muestran, de forma general, los coeficientes de pérdidas de algunos elementos que aparecen en conductos. El coeficiente de pérdidas de los elementos var´ıa dependiendo de si e´ stos están roscados o acoplados a la tuber´ıa de modo que, en las tablas 10.2 y 10.3 se muestran valores caracter´ısticos en ambos casos.

10.6.4 Pérdidas de carga en válvulas. Las válvulas se utilizan para controlar el caudal que circula por una tuber´ıa ajustando la pérdida de carga de la instalación a un valor determinado. Cuando la válvula está completamente cerrada, el coeficiente de pérdidas es infinito y por lo tanto el caudal que circula a través de la tuber´ıa es nulo. Conforme abrimos la válvula, reducimos su coeficiente de pérdidas, comenzando a fluir un caudal determinado a través del conducto. Ejemplos t´ıpicos de válvulas 186


Válvula de globo

Válvula de aguja

Válvula de diafragma

Válvula de retención

Válvula de bola

Esquema válvula de bola

Figura 10.15: Geometr´ıa t´ıpica algunos tipos de válvulas. se muestran en la figura 10.15. Los coeficientes t´ıpicos de algunas de las válvulas utilizadas comercialmente se muestran de forma general en la tabla 10.2. Dado que los coeficientes de pérdidas de la mayor´ıa de los elementos que hemos considerado en esta sección dependen lógicamente del diámetro de la tuber´ıa, en la tabla 10.3 se muestra un listado de estos coeficientes para diferentes valores del diámetro del conducto.

187

´ 10.6. PERDIDAS SECUNDARIAS Elemento Codos y Curvas Codos 90o , acoplado Codos 90o , roscado Curva 90 , acoplado Curva 90o , roscado Curva 45o , acoplado Codos 45o , roscado Curva 180o , acoplado Curva 180o , roscado Tes Flujo directo, acoplado Flujo directo, roscado Flujo lateral, acoplado Flujo lateral, roscado o

Ke 0.3 1.5 0.2 0.7 0.2 0.4 0.2 1.5 0.2 0.9 1.0 2.0

Elemento Válvulas Globo, completamente abierta ´ Angulo, completamente abierta Compuerta, completamente abierta Compuerta, cerrada a 1/4 Compuerta, cerrada a 1/2 Compuerta, cerrada a 3/4 Antirretorno, dirección flujo Antirretorno, en contra flujo Bola, completamente abierta Compuerta, cerrada a 1/3 Compuerta, cerrada a 2/3 Unión Roscada

Tabla 10.2: Valores t´ıpicos del coeficiente de pérdidas en diferentes elementos.

188

Ke 10 2 0.15 0.26 2.1 17 2.0 ∞ 0.05 5.5 210 0.08


Diámetro nominal, pulgadas (1 pulgada = 2.54 cm) Roscado Válvulas (abiertas): Globo Compuerta Anti-retorno Angulo Codos: 45o normal 45o suave 90o normal 90o suave 180o normal 180o suave Tes: Flujo directo Flujo lateral

Acoplado

1/2

1

2

4

1

2

4

8

20

14 0.3 5.1 9.0

8.2 0.24 2.9 4.7

6.9 0.16 2.1 2.0

5.7 0.11 2.0 1.0

13 0.80 2.0 4.5

8.5 0.35 2.0 2.4

6.0 0.16 2.0 2.0

5.8 0.07 2.0 2.0

5.5 0.03 2.0 2.0

0.39

0.32

0.30

0.29 0.20 0.39 0.30 0.35 0.30

0.19 0.30 0.19 0.30 0.21

0.16 0.26 0.15 0.25 0.15

0.14 0.21 0.10 0.20 0.10

0.19 0.80

0.14 0.64

0.10 0.58

0.07 0.41

2.0 1.0 2.0

1.50 0.72 1.50

0.95 0.41 0.95

0.64 0.23 0.64

0.21 0.50 0.40 0.41 0.40

0.90 2.40

0.90 1.80

0.90 1.40

0.90 1.10

0.24 1.00

Tabla 10.3: Valores t´ıpicos del coeficiente de pérdidas en diferentes elementos en función de su diámetro.

189

Bibliograf´ıa básica [1] F. M. White, Mecánica de Fluidos, McGraw-Hill, 5a ed, 2004.

190

Bibliograf´ıa complementaria ´ [1] A. L. Sánchez, Procesos Fluidotérmicos. Apuntes de la asignatura, Area de Mecánica de Fluidos, UC3M, 2005. [2] A. Crespo, Mecánica de Fluidos, Thomson Paraninfo, 2006. [3] B. R. Munson, D. F. Young, T. H. Okiishi, Fundamentos de Mecánica de Fluidos, Addison-Wesley Iberoamericana, 2002. [4] Y. A. Çengel, J. M. Cimbala, Mecánica de Fluidos. Fundamentos y Aplicaciones, McGraw-Hill, 2006. (Contiene material multimedia de interés.) [5] E. J. Shaughnessy, Jr., I. M. Katz, J. P. Schaffer, Introduction to Fluid Mechanics, Oxford University Press, 2005. (Contiene material multimedia de interés.) [6] R. W. Fox, A. T. McDonald, P. J. Pritchard, Introduction to Fluid Mechanics, John Wiley & Sons, 2004. [7] J. H. Spurk, Fluid mechanics: problems and solutions, Springer, 1997. (Aunque el libro corresponde a un curso más avanzado, algunos problemas pueden ser u´ tilies para esta asignatura.) [8] D. J. Tritton, Physical Fluid Dynamics, Oxford University Press, 2a ed, 1988.

191

Apuntes de Ingenieria Fluidomecanica

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