APUNTES DE HORMIGON ARMADO Prof. Tarek Saud
Tercera parte. Diseño de losas. Las losas son elementos planos cargados en 2 dimensiones, es decir la carga es superficial (en kg/m2 ó ton/m 2), sólo trabajan a flexión. Se estudiarán las losas que están apoyadas apoyadas en todo su perímetro por vigas o muros.
Nomenclatura y características de las losas. Las losas losas trabajan principalme principalmente nte a flexión, por lo que la enfierradura enfierradura se coloca en la fibra traccionada; traccionada; al ser un elemento horizontal plano en 2 dimensiones, esta armadura forma una malla de acero, formada por barras estriadas de acero separadas a una distancia dada. Esta malla de acero posee 2 tipos de armadura: armadura primaria y armadura secundaria. secundaria. La armadura primaria se coloca paralela al lado corto y la a rmadura secundaria se coloca paralela al lado largo. Como ejemplo, en un plano p lano de estructuras se presenta presenta de la siguiente manera: donde: L101: corresponde a la identificación de la losa. (1): armadura primaria y su armadura es φ8a15 (2): armadura secundaria y su armadura es φ8a20 El espesor “bruto” de la losa es 12 cm.
Nota: La nomenclatura φ8a20 significa fierros de 8 mm de diámetro separados a 20cm.
La representación de los aceros en los planos es como la que se muestra en el plano denominado “destacado de losa” en el cual se observa cómo va dispuesta la armadura primaria y la secundaria en la losa (con ganchos que se embeben las vigas perimetrales):
Destacado de losa
Corte A- A
Como ya se mencionó en párrafos anteriores, las losas pueden ser de 2 tipos: losas armadas en 1 dirección y losas armadas en 2 direcciones. direcciones. Las condiciones de estas losas son: (a) Losas Losas armadas armadas en 1 dirección: dirección:
(b) Losas Losas armadas armadas en en 2 direccion direcciones: es:
con Lx: longitud de la losa en dirección X Ly: longitud de la losa en dirección Y
a) Losas Losas arm armada adas s en 1 direc direcció ción. n. Las losas armadas en 1 dirección se caracterizan por tener un lado muy rígido (el lado corto), por lo cual para el diseño se considera que toda la carga “q” (en kg/m2) de la losa es resistida por el lado corto, de esta manera este tipo de losa se diseña como una viga con carga “q” en (kg/m). Esto es:
Losa armada en 1 direc dirección ción con carga total mayorada “q”
Esta losa se puede modelar como una losa formada por varias franjas de losas de 100 cm (ó 1 m) de ancho, y cada franja de losa se diseña como una viga con carga q (kg/m) y 1 m de ancho.
Analizando cada franja de losa como una viga apoyada en ambos extremos, como se muestra en la figura siguiente:
Para determinar la enfierradura de la losa se debe determinar el momento máximo y aplicar la expresión del área de acero vista en la clase de “Elementos a Flexión”, esta es:
b = 100 cm (ancho de la franja de losa) d = espesor de la losa – recubrimiento (para losas considerar recubrimiento de 1,5 cm o 2 cm) f’c = calidad del hormigón (en Kg/cm 2) f y = calidad del acero (en Kg/cm 2) φ = 0,9 Mu = Mmax
b) Losas armadas en 2 direcciones.
Las dimensiones de las losas armadas en 2 direcciones son similares (el lado corto es similar al lado largo) por lo cual la carga se reparte en ambos sentidos, X e Y. Este tipo de losas se deforma de la forma como se muestra en la figura siguiente, el cual debe resistir los esfuerzos producidos en sus bordes, bordes, en la unión entre losa y vig as:
Para resolver este tipo de losas, se debe dar solución a las ecuaciones diferenciales parciales siguientes:
Para diseñar las losas en 2 direcciones se utilizan métodos aproximados, tales como el método Loser, el método II del ACI, entre otros, en vez de resolver directamente las ecuaciones diferenciales anteriores. Hoy en día, debido a la gran capacidad capacidad de los computadores, computadores, se utilizan utilizan softwares softwares que se basan en métodos matemáticos matemáticos más sofisticado sofisticados s y complejos (elementos finitos) para resolver las 2 ecuaciones diferenciales.
Método Loser. Este Este método método utiliz utiliza a los siguient siguientes es criter criterios ios y metodol metodologí ogía: a: los los que se detall detallará arán n analiz analizando ando el caso caso de una losa simplemente apoyada en todo su perímetro: a.- Losas horizontales apoyadas en todo su perímetro:
Losas armadas en 2 direcciones:
b.- Define 6 tipos de losas, losas, de acuerdo al tipo de apoyo:
c.- La carga total de la losa “q losa” se reparte en el sentido X (q x) y en el sentido Y (q y), entonces la carga total es la suma de las cargas qx y qy, es decir:
qx + qy = qlosa
(Ec.1)
d.- Existe compatibilidad de deformaciones, esto es, la deformación máxima en ambos sentidos (X e Y) son iguales; utilizando como ejemplo el caso la losa Tipo 1, simplemente apoyada en todo su perímetro, entonces la deformación máxima se produce en el centro, es decir:
Para Para vigas vigas simplem simplemente ente apoyad apoyada a con carga carga uniform uniformemen emente te repartida, se tiene:
Ex = Ey
y
Ix = I y
entonces simplificando se obtiene:
Lx, Ly y la carga “qlosa” de la losa son datos, por lo cual sólo queda resolver el sistema de ecuaciones formados por las ecuaciones Ec.1 y Ec.2 para determinar el valor de qx y qy. Para simplificar simplificar la resolución resolución del sistema de ecuaciones, ecuaciones, Loser Loser tabula los resultados, resultados, para cualquier cualquier valor de Lx y Ly, siempre que cumplan con:
Los pasos c) y d) hay que desarrollarlos para los otros tipos de losas, losas, por lo cual el p roceso es mucho más complicado.
e.- Tablas.
Losas Tipo 1.
Tabla 1
Losas Tipo 2.
Tabla 2
Losas Tipo 3.
Tabla 3
Losas Tipo 4.
Tabla 4
Losas Tipo 5.
Tabla 5
Losas Tipo 6.
Tabla 6 Observación: Las losas que presentan presentan apoyos simples en sus esquinas esquinas,, tales como los tipos 1, 2 y 4, se produce produce torsión en sus esquinas o cuchareo, lo cual tiende a “levantar” la esquina de la losa, tal como se muestra en la figura (en las esquinas con círculos). Losa Tipo 1 Losa Tipo 2 Losa Tipo 4
Para solucionar el cuchareo habría que colocar enfierradura adicional, diagonalmente d esde las esquinas. El método Loser propone una tabulación adicional para el caso de las losas que se produce cuchareo, resumida en la tabla 7.
Tabla 7
IMPORTANTE: con estas tablas SOLAMENTE se puede calcular los momentos máximos positivos de las losas (en ambas direcciones X e Y).
f.- Esfuerzos en losas. Observando Observando las tablas, tablas, se tienen los parámetros parámetros momentos y cargas de la losa. Esto es:
Estos parámetros parámetros permiten determinar determinar los α, β, χ, ρ y ε. Estos
El momento máximo positivo en la losa en dirección X es:
Mx =
*
qlosa*(Lx)2
El momento máximo positivo en la losa en dirección Y es:
My =
qlosa*(Ly)2
*
La carga que se reparte en dirección X es:
qx =
*
qlosa
qy =
*
La carga que se reparte en dirección Y es:
qlosa
Se debe cumplir que:
+
=1
g.- Metodología. Para diseñar una losa y utilizar las tablas se debe tener las d imensiones (Lx y Ly) y carga total de la losa qlosa.
•
Carga de la losa:
•
Determinar el tipo de losa (1 a l 6) de acuerdo a los tipos de apoyos que tiene
•
Teniendo las dimensiones de Lx y Ly, se calcula el valor de ε, con
•
Para utilizar estas tablas (losas en 2 direcciones) se debe cumplir que
•
Con el valor de ε y el tipo de losa, en la tabla correspondiente se determinan el valor de α, (para losas tipo 1, 2 o 4 se debe utilizar la tabla 7 para determinar el valor de α y β)
•
Con el valor de α,
•
Con Mx se determina la armadura en dirección X, A sx (usar la fórmula del área de acero a flexión, ver la página 2)
•
Con My se determina la armadura en dirección Y, Asy (usar la fórmula del área de acero a flexión, ver la página 2)
qlosa = 1,2D + 1,6L
D:carga muerta y L: carga viva
β, χ y ρ.
β, χ y ρ se determinan Mx, My, qx, qy respectivamente.
h.- Tipos de apoyos de las losas. El tipo de apoyo de la losa, apoyo simple o apoyo empotrado, depende 2 factores:
i.- En un conjunto de losas (denominado campo de losas), las losas son continuas, continuas, es decir, las losas están unidas entre sí y a la viga (o muro) que las separa, tal como se muestra en la figura esquemática siguiente de un campo de losas formado por 4 losas: Las 4 losas están apoyadas en vigas (o muros), estas vigas están en línea gruesa negra
El corte 1-1 es de la forma
El corte 1’ - 1’ es de la fo rma:
El corte 2-2 es de la forma:
El corte 2’ - 2’ es de la fo rma:
Todos los cortes se modelan de la forma: En general, su diagrama de momento es de la forma:
Como se observa, las losas al ser continua, en el apoyo del medio se produce momento negativo., para ello se debe colocar suple (enfierradura que debe ser colocado en la fibra superior)
ii.- La relación entre el espesor de la la losa y el espesor de la viga (o muro) donde se apoya, esto es:
Se considera simplemente apoyada
Se considera empotrada
Con elosa: espesor de la losa y eviga/muro: espesor de la viga o del muro i.- Armadura para momento negativo (suples) Para determinar la armadura negativo de la losa del ejemplo, se deben analizar todos los cortes, en este caso, los 4 cortes descritos en el punto anterior, de la siguiente forma:
Para el corte 1-1, Se modela Diagrama de momento
Para el corte 1’-1’, Se modela Diagrama de momento
Para el corte 2-2,
Se modela Diagrama de momento
Para el corte 2’-2’,
Se modela Diagrama de momento
Para calcular los momentos negativos se debe analizar como viga continua con 3 apoyos, por lo cual se puede ocupar cualquier método para vigas hiperestáticas, como el método de los 3 mo mentos o el método de Cross, entre otros. Al calcular el momento negativo de cada corte se reemplaza en la fórmula del área de acero para elementos a flexión. Mu es el momento máximo negativo (se debe colocar positivamente) b = 100 cm φ = 0,9 d = espesor de la losa – recubrimiento f’c = calidad del hormigón (en Kg/cm2) f y = calidad del acero (en Kg/cm2) Cuantía mínima y armadura mínima en losas. losas. La cuantía mínima depende de la calidad del acero:
Para acero A440 - 280H Para acero A630 - 420H
ρmax: cuantía máxima. As max: área máxima de acero, en cm 2 b: ancho de la losa; siempre se toma b = 100 cm. e: espesor de la losa, en cm.
Descarga de losas en vigas/muros perimetrales.
Cuando una losa es sometida a grandes cargas, ésta se fisuras desde las esquinas al centro en ángulo de 45º, tal como se muestra en la figura. La descarga de la losa sobre las vigas perimetrales se puede suponer que es de la misma forma que como se agrieta, por lo cual se observa que las vigas o muros del lado corto toma una carga triangular mientras que la del lado largo es trapezoidal.
En otras palabras, la forma de la carga que toman las vigas del lado corto y del lado largo es:
Descarga de losa en viga del lado corto
Descarga de losa en viga del lado largo
En resumen, la carga que toma cada viga es triangular o trapezoidal, por lo cual, el diseño de las vigas se complica porque se debe calcular los esfuerzos (momentos y cortes) con cargas triangulares y trapezoidales.
Para simplificar dicho proceso de cálculo, se transforma la carga triangular y trapezoidal en cargas equivalentes, respectivamente, es decir:
Para el lado corto:
Para obtener la carga equivalente uniformemente distribuida q eq.corto se impone la condición condición que el el momento máximo máximo de la carga triangular (en el centro de la viga) es igual al momento máximo de la carga equivalente (también en el centro). Desarrollando lo anterior se llega a:
Para el lado largo: Análogamente, para obtener la carga equivalente uniformemente distribuida qeq.largoo se impone la condició condición n que el momento momento máximo de la carga triangular (en el centro de la viga) viga) es igual igual al momento máximo máximo de la carga carga equivalente (también en el centro). Desarrollando lo anterior se llega a:
con Lc: lado corto LL: lado largo qlosa: carga de la losa, en kg/m 2
