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CONTENIDO
Prefacio Introducción
3
Primera parte Modelos con tasas de ahorro e inversión constantes
7
1.
2.
El modelo neoclásico de crecimiento de Solow-Swan 1.1 Introducción 1.2 Los fundamentos del modelo neoclásico de Solow-Swan 1.3 Análisis del estado estacionario 1 ,:. La tasn de crecimiento a lo largo del tiempo 1.4.1 Aumentos en la tasa de ahorro 1.4.2 Disminuciones en ia tasi\ de crecimiento de la población 1.5 Progreso tecnológico 1.6 Una medida cuantitativa de la duración de la transició1~ 1.7 Convergencia absoluta y condicional 1.8 El modelo Solow-Swan ampliado 1.9 La introducción de una economía abierta Crecimiento endógeno y otras extensiones del modelo de Solow-Swan 2.1 El modelo más simple de crecimiento endógeno: tecnología AK 2.2 El modelo de Romer (1986): extemalidades del capital 2.3 Gasto público e impuestos: el tamaf10 óptimo del gobierno 2.4 Crecimiento endógeno con rendimientos decrecientes del capital (1): la función de producción "Sobelow" y el papel de la condición de Inada
9 9 }O
22 32
36 3S 39 41 45 48 49 51 51 56 61
66
Vil! / Co:-a""ITNIDO
-
__ ') :,_
2.6 2.7 2.8
Crecimiento endógeno con rendimientos decrecientes del capital (2J: la función de producción CES El modelo Harrod-Domar Trampa~ de pobreza Paro y crecimiento
Segunda parte Modelos neoclásicos de optimización 3.
4.
Crecimiento neoclásico: el modelo de Ramsey 3.1 El modelo de mercado 3.2 Escenarios similares alternativos 3.2.1 La solución de Robinson Cmsoe 3.2.2 La solución del planificador 3.3 La dinámica de la transición y la forma de la trayectoria estable 3.4 Exclusión de trayectorias explosivas 3.5 Lc1 importancia de la condición de transversalidac:: un ejemplo con horizonte finito 3.6 El teorema de la autopista 3.7 Comportamiento de la tasa de ahorro a lo largo de la transición 3.8 Lc1 validación econométrica de la existencia de conve:-gencia entre pc1íses El crecimiento exógeno de la productividad 4.1 Tipos de progreso tecnológico 4.2 Solamente el p~ogreso tecnológico potenciador del trabajo es consistente con la existencia de estado estacionario 4.3 La irrelevancia de la incorporación del progreso técnico 4.4 En el modelo neoclásico, el progreso tecnológico debe ser exógeno 4.5 El modelo neoclásico con progreso tecnológico
Tercera parte Cinco modelos prototipo de crecimiento endógeno 5.
Modelos simples de crecimiento endógeno: el modelo AK 5.1 F.l modelo de las familias productoras 5.2 La acotación de la utilidad 5.3 La dinámica de la transición
69 70
76 79
83 85 85 95 95 97 98 102 104 107 108 112
117 117 119 121 122 122
125 127 127 130 130
Co:-.,E;,.,;mo /
5.4 5.5 5.6 5.7
La hipótesis de convergencia La solución de mercado La solución del planificador La tecnología AK a través de la introducción del capital humano
IX
131 132 133 133
6.
Gasto público y crecimiento 6.1 Un modelo de gasto público e impuestos 6.2 La solución de mercado competitivo 6.3 La relación entre el tamaño del Estado y la tasa de crecimiento 6.4 La economía de planificación central y el crecimiento óptimo 6.5 Bienes públicos en la función de utilidad
135 135 140 141 1'13 145
7.
El aprendizaje por la práctica y el desbordamiento del conocimiento 7.1 Dos supuestos fundamentales: aprendizaje por la práctica y desbordamiento del conocimiento 7.2 Solución del modelo de economía de mercado 7 .?> Eiectos de escala 7.4 La solución de las familias productoras 7.5 La solución del planificador~- sus implicaciones de política económica 7.6 La relevancia empírica de los fenómenos de aprendizaje por la práctica y el desbordamiento del conocimiento
147
La acumulación de capital humano S.1 El modelo de dos sectores de Uzawa y Lucas 8.2 El comportamiento de la economía en el estado estncionario S.3 La dinámica de la transición S.4 La econonúa de planificador central
157 157 160 164 165
B.
9.
147
149 150 152 1.33
1:;=,
La economía de las ideas: progreso tecnológico endógeno
y crecimiento 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9
Introducción: la economía de las ideas Un modelo simple de crecimiento e I+D Los productores de bienes finales Las empresas de I+D y la creación de nuevos bienes Los consmnidores Equilibrio y tasa de crecimiento de la economía La solución del planificador Políticas n seguir El modelo de Romer (1990)
167 167 171 173 175 179 180 1S2 184 186
X / C01'.'TCNID0
9.10 Competencia en calidad y el crecimiento a través de la creación destructive 9.11 Lecciones de ia economía de las ideas
Cuarta parte La evidencia empírica 10. La literatura empírica 10.1 Conceptos de convergencia 10.2 La relación entre ,8-convergencia y a-convergencia 10.3 La necesidad de estudiar los dos tipos de convergencia 10.4 La evidencia internacional: primeros resultados 10.5 Convergencia condicional ]0.6 Convergencia interregional 10.7 Regresiones de Barro y evidencia nacional 10.8 La crítica de Levine y Renelt 10.9 Leccione~ finales de la literatura de regresiones 10.10 Contabilidad de crecimiento 10.1:! El enfoque dual de la contabilidad de crecimiento 10.12 La distribución de la renta mundial
Apéndice matemático l. El teorema de Kuhn-Tucker 2. Optimización dinámica: la teoría de control óptimo
~1 2.,_
Referencias
241
Índice analítico
247
22í 227
A /'Oiga, la Man/se, l'Emili ... i /'Asterix
PREFACIO
La primera edición de este libro fue el fnito de la transformación de los apuntes de clitse que empecé en el año 1988, en la Universidad de Harvard. A:mque en un principio no pensé en publicarlos, el ár:imo que me dieron muchos de los profeso~es que los utilizaron en di\'ersas universidade5 me hicieron c?.mbiar de p¡¡recer. Entrt' ellos están Robert Barro, Olivier Blanchard, Michael Connolly, Daniel Cohen, Juanjo Dolado, Francesco Giavazzi, Gene Grossman, Jeffrey Frenkel, Juan Francisco Jimeno, Michael Kremer, Alfonso Novales, Sergio Rebelo, Javier Vallés y Fabrizio Zilibotti. El indudable éxito que tuvo la primera edición del libro me llevó a escribir l;i segunda ediciór:. El lector que en su dÍil utilizó la primera edición notará que se han introducido innumernbles cambios y mejoras. Los capítulos 1 y 2 se llim expandidl1 notablemente. En la edición actual, se describen con mucho más detalle los diferentes modelos de tasa de ahorro constante y se incluyen modelos nuevos como los de gasto público, lo.s de extemalidades o los de mercado laboral y paro. El capítulo 3 ha mejorado la exposición y detalla mucho más el comportamiento de la economía de mercado. El capítulo 4 hace un análisis más minucioso de los tipos de tecnología exógena. Los capítulos 5, 6 y 7 amplían el detalle de los modelos lineales, los modelos de externalidadcs, y los modelos de gasto público. El capítulo 8 es más simple que el de la primera edición por cuanto considera la formación de capital humano sin la existencia de externalidades, lo cual simplifica el tratamiento matemático. El capítulo 9 es el que c1porta más novedades. Se introduce la distinción cmcial entre la economía de las ideas y la econonúa de los bienes nom1ales y después se presenta un modelo muy simple de I+D y crecimiento endógeno, para acabar analizando las diferentes políticas económicas que se derivan de los modelos de tecnología. Finalmente, el capítulo empírico también presenta novedades. Al análisis tradicional se hr1 añadido
2 / APli:S-"7ES DE CRECIMIENTO ECONÓMICO
una sección de contabilidad del crecimiento y una sección que trata de la evoluc.ión de la distribución mundial de l.i renta. Antes de entrar en materia, me gustaría agradecer n las diversas generaciones de estudiantes de las universidades de Columbia, Harvard, Yale y Pompeu Fabra, los útiles comentarios y sugerencias que han ayudado a mejorar este libro de manera sustancial. Agradezco especialmente a Paul Cashin, Michelie Connolly, Bon-Cop defal~, Berta Esteve-Volart, Rosa Femández, Cristina lila, Jinill Kim, Michr1el Kremer, Julie Lee, Serge Mnrquié, Casey Mulligan, Lluís Parern, Joan Ribas, Joan Rosselló, y Etsuro Shioji. También debo agradecer la colaboración de Alfons Méndez (el traductor de la primera edición) y la de Georgina Folguera y Teresa Asensio, quienes colaboraron en li! versión espaftola de este libro. Finalmente, estoy agradecido a Eisa Vila Artadi, quien, no solamente tradujo al español la segunda edición de este libro, sino que encontró innumerables errores algebraicos y tipográficos lo que, sin duda, mejoró la calidad final del libro. Aunque él dijo una vez que las deudas eran poco importantes, tengo una gran deuda con Robert Barro, " quien agradezco haberme enseflado a apreciar la import,mcia del frágil balance entre la consistencia interna teórica y la relevancia empírica de la investigación econ{imica. También le agradezco el hecho de que ni con el paso del tiempo haya conseguido mejo.ar su revés de squash, lo cual me ha pennitido derrotarlo ... de vez en cuando. La mayor parte de lo que sé sobre crecimiento económico lo he aprendido de la constante colaboración con Robert, cuyo fruto incluye un buen número de artículos y un libro titulado Eco110111ic Growth. De hecho, la idea de escribir Economic Growt/1 surgió de los apuntes que han generado el presente libro. Una comparación rápida de los dos libros indicará que Economic Growlh es más completo, ya que cubre un mayor número de temas y su tratamiento es más profundo y sofisticado. La contrapartida es que el presente libro es más sencillo y asequible, al utilizar menos técnicas matemáticas complejas y reducir el análisis a los modelos más sencillos.
INTRODUCCIÓN
Sin ningún género de dudas, la teoría ciel crecimiento económico es la rama de la economía de mayor importancia y ia que debería ser objeto de mayor atención entre los investigadores económicos. t,i o e;; di fícj) darse meo ta ci e que peqneü as diferencias
; en la t?sa de crecimiento sostenidas durante largoc: periodos de tiePJpa generan enormes dj íereocias en oive)es de renta per cápjt¡¡. Por poner un ejemplo, el producto interior bruto (PIB) per cápita de los Estados Unidos pasó de 2.244 dólares en 1870 a 18.258 dólares en 1990. Ambas cifras en dólares reales de 1985. Es decir, en poco más de un siglo, el PIB se multiplicó por ocho. Este cambio sustancial, que representó una tasa de crecimiento anual del 1,75 por ciento, convirtió a los Estados Unidos en el país más rico del mundo. Para ver lo que esta tasa de crecimiento significa, imaginemos tres países hipotéticos cuyo PIB en el año 1870 es idéntico, pero cuyas tasas de crecimiento medio han diferido en un simple uno por ciento. El comportamiento del PIB per cápita de los tres países en el tiempo se representa en el gráfico 1. ¡:I país A ha tenida una tasa de .creciroieota del 1 75 por cjento, la misma tasa que los Estados Unidos. Consideremos ahora lo que hubiera pasado sj e) mismo país huhjera crecida al 0.75.enlugar.dei 1.75. experimentado en la realidad. La senda del PIB per cápita en el tiempo sería como la del ¡:iafs B ea el gcá6cc..LE1 nivel de 1990 no habría sido de 18.258 dólares sino de 5.519 dólares: menos de una tercera parte. Esto significa que, en lugar de ser el país más rico del mundo, Estados Unidos tendría una renta per cápita del nivel de México o Hungría y disfrutaría de 1.000 dólares por persona menos que Portugal o Grecia. ¡Y la diferencia entre uno y otro escenario es solamente de un punto porcentual en la tasa de crecimiento! Si ima~inamos ahora que la tasa de crecimie.n.to....ml.l,!!l ,en los Estadas 1lnjdos hubiera sjdo del 2,75 por ciento, manteniendo constante el
4 / ArUNTES DE CRECIMIE!';TO ECONÓMICO
nivel inicüt!, el PfB per cápita habría seguido una senda como ia descrita por el país C en el gráfico l.. El PIB del año 1990 habría sido de 60 84) dólar~. que es 27 veces mayor que el nivel de 1870. Ese nivel de PIB por persona es tres veces mayor que el nivel efectivamente alcanzado por la economía norteamericana en 1990. Vemos pues, que pequeñas diferencias en la tasa de crecimiento a largo plazo pueden dar lugar a grandes diferencias en los niveles de renta per cápita y de bienestar social íl largo plazo. 11 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ,
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/11/ rod11cció11 / 5
la efectividíld de la política fiscal es t1n debate sobre el comportamiento de la economía a corto plazo. Es un debate sobre si se deben o se pueden eliminar los movimientos cíclicos alrededor de una tendencia dada. Una mirada rápida él! gráfico 1 nos indica que dichos movimientos cíclicos de corto plé!zo son como ñltibajos minúsculos y Cé\si irrelev,mtes cuando se compñré\n con lél inmensidad y la fuerza de la té\sa de crecimiento a lñrgo plazo Lél pregunta más importante que los mélcroeconomistas nos debe::nos hacer no es cómo evitar estéis pequef1as fluctuaciones, sino cómo podemos transformar una economía como la B en una economía como la C. Dicho de otro modo, el objetivo primordial de nuestra investigación debería ser el descubrimiento J de los factores que determinan la tasa de crecimiento a largo plazo y las políticas que \ las pueden afectar. Y éste es el objetivo principal de este libro. La historia de la teoría del crecimiento es tan largi\ como la historia del pensamiento económico. Ya los primeros clásicos como Adam Smith, David Ricardo 0 Thomas Maltus estudiaron el tema e introdujeron conceptos fundílmentales com0 e! de rendimientos decrecientes y su relación con la acumulación de capital físico o ht1mano, la relación enlre el progreso tecnolúgirn y l;; especialización del trabajo, o el enfoque competitivo como instrumento de análisis del equilibrio dinámico. Asimismo, l0s clásicos de principios del siglo XX como Frank Ramsey, Allwyn Young, Frank Knight o Joseph Schumpeter, contribuyeron de manera ft1ndamental a nuestro conocimiento de los deterrninmües de la tasa de crecimiento y del progreso tec-_ nológico .
. Pera el enfoque adoptado en este ljbro se basa en )a metodologfa y los conceptos , desarrollados por !os ernnoroistas neoclásicos de la segunda mi~ad del si5lo XX A .,E.J.rtir del trabaj0 d~ Solow (] 956) y Swan CI 956) )R,s décadas de 1950 )' 1960 vieron cómo la rcvolución,neodásica ))eo-aba a la teoría rlel crecimiento económico y ést11 disfrutaba de t1n renacimiento que sentó las bases metodológicas utilizadas no sólo por los teóricos del crecimiento, sino tambié1~ por todos los mc1croeconomistas modernos. El análisis neoclásico se complet6 con ios trnbajos de Cass (1965) y Koopman, (1965), que reintrodujeron el enfoque de optimización intertempornl desarrollado por Ramsey (1928) para analizar el comportamiento óptimo de los consumidores en un modelo neoclásico. El supuesto neoclásico de rendimientos decrecientes de cada un0 de los factores tenía, como consecuencia casi devastadora., e'l hecho de que el crecimiento a largo plazo debido a la acumulación de capital era insostenible. Es por ello que los investj~adores neoclásicos se vieron obligados a introducir el crecimiento tecao)ágico exógeno,.Drntor 1í)tirno del crecimiento a largo plazo. A partir de ese momento, la teoría del crecimiento se convirtió en un mundo matemátjCo de alta complejidad y reducida relevancia. El objetivo de los investi. gadores era cada vez más la pureza y ele~ancia matemática. y ca'da vez menos la aplicabilidad empírica. La pérdida del contacto con la realidad hizo que las 11.1madas teorías del desarrollo ecooómiro tomaran el relevo y se couvirtjeran en la únjca rama que estudiaba e:) crecjmiento económiw él lar¡;o plazo desde un punto de vista
6/
/\PW
aplicado. Los economistas dei desarrolio utilizaban modelos de poca sofisticación matemática (aunque empíricamente útiles), lo que limitaba el alcance de esta rama de la economía. A principios de los af,os setenta, la teoría del crecimiento murió miserablemente sumergida en su propia irrelevancia. Los macroeconomistas pasaron a investigar ei ciclo económico y demás fenómenos del corto plazo, alentados por la revolución metodológica de las expectativas racionales y el aparente fracaso de] hasta entonces dominante paradigma keynesiano. Ln publjcacjón en 1986 de la tesjs doctoral de Paul Romer (escrita en 1983) v ia consi~uiente bendicjón cie Robert Lucas () 986) hicieron renacer )a teoáa cJtl rrecimiento económjco como campo de jnvcstjg:acjón activo. Los nuevos investigadores tuvieron como objetivo crucial la construcción de modelos en los que, a diferencia de los modeios neoclásicos, la tasa de crecimiento a largo plazo fuera positiva sin la necesidad de suponer que alguna variable del modelo (como la tecnología) crecía de forma exógena. De ahí que a estas nuevas teorías se las bautizara con el nombre de teorías de crecimiento endógeno. En ia primera familia de modelos (Romer (l 986), Lucas (1988), Rebelo (1991) y Barro (1991)) consiguieron generar tasas positivas de crecimiento. a base de eljmjnar los rendirnieptos decre,-ientes de escala a través de exteraalidades o de introducir _sapital humano. Un segundo grupo de aportaciones (Romer 0987, 1990), Aghion y Howitt (1992, 1998) y Grossman y Heipman (1991, capítulos 3 y 4)) utilizó el entorno de competencia imperfecta para construir modelos en los que.la inversión en jnvestj¡raci1íu y ,desarrollo (1 +D) de las empresas generaba progreso tecnológico de forma endógena.. En estos modelos, la sociedad premia a las empresas mvestigadoras con el disfrute Lie poder monupolístico si éstas consiguen inventar un nueve producto o si consiguen mejorar la calidad de productos existentes. En este tipo de entornos, la tasa de crecimiento ti·end~i!.!'~. s~_ó.E!i_r11<1 _en. ei sentido de_.f~~eto, por lo gue la inte; __venciór. de los gobiernos es _decisiva. En este sentido, ~s deseab_!_e la _aparición de .$.?biemos que garanticen los derechos de propiedad física e intelectual, que regulen el sector financiero y exterior y eliminen las distorsiones, y que mantengan un marco legal garante del orden. El gobierno, por lo tanto, jueg;i un papel importante en la d_eterminación de la tasa de crecimiento a largo plazo. Una de las principales diferencias entre la nueva. generación de economistas y la de los af,os sesenta es el gran interés que los investigadores actuales prestan a los temas de carácter empírico. Más que por la pureza y elegancia matemática, los economistas modernos se han dejado guiar por ios datos y las experiencias económicas reales de los diferentes países del mundo. Así pues, los trabajos empíricos han desempeñado ;.m papel importantísimo, y es esta interacción constante entre teoría y empirismo lo que hará que, a diferencia de lo que ocurrió en los años sesenta, la literatu.ra sobre crecimiento económico no muera en mucho tiempo.
Primera parte: MODELOS CON TASAS DE AHORRO E INVERSIÓ~ CONSTANTES
"[¡¡s co,1secw.'11cins que e~te tipo de rnestio11es e11/rnlin11 pnrn el biC11estnr /11;1111111D :011 senci/11111,enle estremecedorns: 1111n ve: q11e 11110 empieza n pe11snr e,: ellas es dif(ci/ pe11s(lr en rnalquia otra cosr.." Lucas (1988). pág. 5
l. EL MODELO NEOCLÁSICO DE CRECIMIENTO DE SOLOW-SWAN
1.1 Introducción ¡Po, qué crecen las economías? La opinión popula, acostumbra a dar tres tipos de respuestas a esta prcguntil: ln prjmern nos dirá que lél economía crece porque los trabajadores tienen cada vez más instrumentos, miÍs máquinas y, en definiti\·c., miÍs c~pilal con los que trabajélr. 1a clave del crecjmjerto, pues será la i11vcr~iá11 por parte de las empn:_siJs. El segundo tipo de respuesta asegurará qu~ la clave es la ed11rncirí11 de la población:. hoy somos capaces de producir mucho más que hace cien años porque los trabajadores de hoy en día están muc~10 más cualificados. El tercer tjpo de respuesta relacionará el crecimiento económico con el prMn;so tcc,1()/c\'ico. Se¡:;ún esta visión, hoy somos mucho más productivos porque las máquinas que utilizamos son mucho mejores y porque nuestro nivel de conocimientos es muy superior al que teníamos hace un siglo. En este sentido, será frecuente leer en la prensa que los gobiernos que buscan el progreso de sus países deben promover el ahorro y la inversión n;icional, l;i educació11 de la población y J¡¡s actividades de Im,estignció11 y Desarrollo (l+D). En este libro estudiaremos el fenómeno del crecimiento económico y analizaremos el papel que desempeñan estos tres factores fundamentales en la generación del crecimiento. Veremos que, a pesar de ir biei1 encaminada, la visón popula, no tiene toda la razón. Estudiaremos estos fenómenos de la manera que los economist<1s modernos los estudi,m: medi,mte lñ crer1ci(m de simplificaciones de la rer1lidr1d según las cuales se intenta aislar el fenómeno que se quiere estudiar abstrayendo de todos los demás aspectos de ln econon1ía. Estas abstracciones 5P llan1an iuadi'ia~.
10 Í APt;NTES DE CREC!\-IIE,.o ECONÓ~IICO
. Los modelos de crecimiento gue se encuentran ep ia litt:'ratura económica tjene11 un¡¡ estrncturíl de cqui/ii,rig gewm! . Por tmíl parte están la"s familias, que poseen activos fin;mcieros y trabajo que generan rentas o ingresos. Las familias utilizan prirte de estos ingresos para consumir y ahcn-an el resto. Por otr;:i parte están las emprcsíls, q~1e alquilan el trabajo y el ca pita! de las familias y los combiniln con una tecnología para p,od,1cir U!10S prodt,ctos que luego vende1~ a las familias. En tercer lug11r están los mercados, que reúnen a las familias y a J¡¡s empreséls. En estos mercados, los empresarios compran o alquila1~ el trnoéljo a un precio que llamamos.,11/ario y aiquiian el capital que poseen las famiiias a cambie de una rc11/as o rlivide11dC1;. También en esto~ mercados las familias compran ios bienes producidos por las empresas. Los precios que pílgan las em:.iresas por los factores de producción y los precios que pi1gm1 las famili¡¡s por los bienes vendidos por las empresas los "deciden" los merCíldos de t¡¡J maner.; L!ue todas líls ofertíls y demm1das de la economía se igualen. Esta es la estructura genernl de los modelos de crecimiento modernos. I a:; dife-
rencias en'T,:i 1uodelos cesirien en líls características dt: l.1 función de producción eJ..1 iR capacjdad de generar vrn¡¡reso tecnoló¡:-ico, en si ex:ste un l!obierno oue pon~ i111puestos
y se ~asta la recaudación o en si se considt:rs1 un n1ercado internacional
de capitales en ei q11e prestar y pedir prestado . En los dos capítulos iniciales de este libro, sin cmb;:rgo, nos apartaremos de este esquema común y estudiaremos un modelo mucho más simple en el que no hc1brá ni empres¡¡s, ni merCéldos. Las fomilir.s serán las propietarias de los factort:'s de producción y de la tecnologfo, cie manera que no tendrr1n qut:' incercambiar nada en los rnercc1dos. De alguna míln!'ro, mr1s que ttníl descripción de las econornfas modernils, ei marco se parecerá a la economía cie Robinson Crusoe. donde no habííl empresas, ni empleados, ni mercados: Robinson combinaba su propio trabíljo con los árboles (rnpital) para producir coros sin ncccs1di1d de mercados. A pesar de su simpliciciíld, veremos que estos modelos sencillos nos darán lecciones extraordinariamente pílrccidas íl las de los modelos más complicados de la segunda pílrte del libro.
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1.2 Los fundamentos del modelo neoclásico de(Solm~-Swan ! ~::::-=_-=:--~~~~· ..
Comencemos por la identidad de la renta nacional. Denotaremos con Y1 el Producto Interior Bruto (PIB) de un país en el año t, que es la cantidad de producto o galletas producidas durante ese año. El PIB es utilizado de cuatro formas distintas. Una parte ia compran las familiíls para su propio co11su1110 vrivqdo, que denotamos con la letra C:. ütrn parte la compran las empresas y esto es lo que llamamos inversión. I,. Lil tercera parte la compra el gobierno (el ~1stu ¡,níblicol y lo denotamos con la letra G,. Finaimente, el resto de las galletas se exporta al extranjero en lo que se llama ~xuortaciqnes 1¡,:tn~. 1\' )(1. Esta identidad nacional puede escribirse como [1.11
El moddo 11eoclrisico de creci1:1ie11/o de Solow-S,vr.11 (c.
I) / 11
El término de la izquierdél de esta identidad se puede interpreta~ como 1?. oíerta de la economía, mientras que los términos de la derecha son los cuatro componentes de lé! demanda agregada El comportamiento de los diferentes componentes de [1.1] es muy complejo y no se puede estudiar todo a la vez. Es por ello que los economistas intentan aislar lo que creen que es más importante. ·En este modelo inicial. i11te11/are111os estudiar el papel de la inversión en capital físico como motor {un· dnmentql del crecimi,;ntq a lncyo vlo~q y nos presuntamC>s si el gobierno podría au• mentar la tasa de crecimien_to si consiguiera aumentar la tasa de inyersión nacional. Esta pregunta tiene mucho sentiJo si miramos datos internacionales: mientras los países del este de Asia, que han experimentado tasas de crecimiento enormes, tienen tasas de inversión superiores al 20% (por ejemplo, la tasa de inversión meciia entre 1960 y 1990 fue de 22,9% en Hong Kong, 24.6% en Taiwan, 32,6% en Singapur o 36,6% en Japón) , la mayor parte de los países africanos con crecimiento casi nulo invierten menos del 10% del PII3 (por ejemplo, la tasa de inversión durante ei mismo periodo fue de 5,7% en Etiopía, 4,7% en Uganda, 3,7% en Chad, o 2,0% en Mozam· bique). Por lo tanto, no parece descabellado relacionar la inversión en capital ñsico con el crecimiento económico. Para ver el papel de la inversión es necesario aislarla de los demás aspectos del,, economía, aspectos que quizá también sean importantes. Lo hacemos él continuación.
.
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l. Simplificacio11cs iniciales: unn'écQ/l91U/ÍJ cermrla ¡r si/1 yqbjr;ruo Para empeza~, simplificaremos el análisis imaginando que¿ue~t~~onom~a_ es~cc· rraci_ª- en el sentido de que no hay exportaciones netas, y que no hay 1 = movimientos de capitales, por lo que la economía en su con¡unto no puede pedir prestado y, en consecuencia, todo lo ahorrado se debe inverti tro de! propio país. Segundo, imaginaremos que~¡ gobierno no_gasta na_c!_aAGi = O. stos dos supuestos son poco realistas por cuanto sélbemos que en los paíse mas neos el gobierno es el responsable de más del 50% del gasto nacional. También sabemos que !as economías modernas exportan gran parte de su producción e importan gran parte de su con· sumo. Algunos países tienen déficit en su cuenta corriente (A'Xi < O), mientras que otros tienen superávit (N X 1 > O). Lo que raramente sucede es que la balanza por cuenta corriente sea exactamente cero. Sin embargo, este supuesto nos va a avudar a
\N X
concentrarnos en e) pape) qpe desempeña la iuversión en e) proceso durec;irojento económico. ' Tras estos dos supuestos iniciales, observamos que la identidad nacional se reduce a [1.2]
Por lo tanto, cuando la economía está cerrada y no hay gasto público, el producto_ nacional se distribuye entre consumidores y inversores. Obsérvese que si resta'mos
12 / APUNTES
o;; CRECIMIENTO ECONÓMICO
el consumo de los dos lados de (1.2) obtenemos que e! ahorro (la producción o renta que no se consume) es iguéll a la inversión:·}¡ - C1 S1 = I,, donde St es el ahorro. Por Jo tanto, en una economfa cerrada sin gasto público, el a/zorro de /ns fiwzilias es ig1tal n la im>crsió11 o la demnndn de las empresas.
=
II. Uz ámció11 de 11rod11cció11 ncoc/ñsica Jl.n. Lo, fnc/Ol't'S de t1rod1tcció11 La oferta o producción de una economÍél, Y,., se obtiene con la combinación de tres inputs o factores fundamentales. El primer factor de producción es el fqctqr trobaio· para producir géllletas es necesario que haya cocinero5 que las preparen. En la vida real hay muchos tipos de trabajo y de trabajadores. En este modelo sencillo, supondremos que todos los trabajadores son idénticos y la suma de todos ellos se indicará con la letra L,. Es decir, L 1 será la cantidad de trabajadores de nuestra economía en el momento t. El segundo factor de producción fundamenté\] es el capital, l,¡. E~ concepto de ca¡:,itéll estará relacionado con léls máquinéls ti otros utensilios hs1cos que utilizéln las empresas en el proceso de producción (este concepto incluirá edificios, estructuras, instrumentos, ordenadores, material electrónico y un largo etcétera). Una Célracterística de las máquinas es que son bic:11cs mntcrinlcs que /ns empn:sns co111prn11 a otms e111presns. Por ejemplo, en la producción de galletas, se necesitan hornos. Lo~ hornos, por su pilrte, provienen de J¡¡ producción nacional en el sentido de que en algún momento del pas¡¡do ¡¡Jgm1ci empres¡¡ los produjo, por lo que fueron parte de l.:i producció1:, 1·,. ... El tercer factor de producción n,~-(~Gtt'- -fi;1s'..,..e como los dos primeros. Se trata de la lt'rnolovín: ningún cocinero p:teCÍF- ¡:-:-,~~,,:\ galletas sin te1~er una receta o fónnu/.i que le md1que como combinar c~j:,:tai ~, tr<"l>.J)') en las proporciones precisas. Esta fórmul¡¡ es lo que llamamos lm1,J 1,;0út o cór,:.:im:~ntc. El nivel de tecnología se indicilrá con J¡¡ letra A 1 • Este factor puede::sPr n11c:10.:.o m¡¡yor dependiendo de cildil país y momento deÍtiempo (lils recelaS:--qiie\•x151.~~~en el siglo XIX para producir reiojes eran muy inferiores a las que existe1d10y ,.iT,~or lo que la A 1 de entonces era inferior¡¡ la de nhora. De lci m1sm¡¡ fom1i1;·1; tec~ó!Ógía disponiole actualmente en el Japón es muy superior a ia disponible en Zambia). Es importnnte resaltnr una diferencia fundamentai que distingue los bienes cnpitnl )' trnbnio )' lo que llilmamos co11oci111ie11to ~ tecnología y es que los primeros bienes rivales, mientras que la tecnoi"~;-¡;¡;~p es rival.; El concepto de rivalidad es muy
1
son
importante. Se dice que un bjen es rival sj no puede ser utjljzfJdp poc.más_de un, usuario a lil vez. Si un bien puede ser utihzado por mucl1ct gente al mismo tiempo 1
Al¡:unos economistas u1ili1.an el concepto de
a la tecnAlP&Íi#
bier. ¡,rjrndo ~ara c;ytalp¡;fü el trnbajp y el capital
Nosotros utilizaremos los térn,inos bien rival y nl'I riU11l porqu" los bienes públicos no solamente no son ril·nb sino que, además, son no excluibles. En el capítulo 9 estudiaremos estos conceptos y los reiacion11remos con la tecnoiogía. t:nientras guc llap,an bien viij,licc
El 11w,ido 11eoc/d;:.ico d( c,·ccimic111i, de S0Ioa•-S1rn11 (c. 1J / 13
se dice que es 110 rival. Po:- ejemplo, si una fábrica de galletas de Camprodón utiliz., ur, determinado horno, el mismo horno no puede ser utilizado simultáneame1~te por una fábrica de Rentería. Por lo tanto, el horno (y el capital en generai) es un bien rivnl. De la misma fom1a, un cocinero no puede trabajar al mismo tiempo en las fábricas de Camprodón y de Renteria, por lo que el trabajo también es un bien rival. Observe el lector que no se puede decir lo mismo de la receta que se utiliza para producir g;illetas: In 111ismn fc.ír11111/a puede ser 11tiliznd,1 sim11/tá11emnc11tc por In, fábricns de Cnmprodó11 y Renterín. La tecnologín, pues, es un bien 110 riml. En el capítulo 9 hablaremos con más detalle de lo que es la tecnología y del concepto de no rivalidad. De momento, baste con señalar que, en general, el conocimiento, las ideas o la tecnnlogía son bienes 110 rivales en el sentido de que la misma tecnología o fórmula se puede utilizar simultáneamente en más de unn fábrica. El c.=ipita:, ¡,·, el trnbajo, L, y la tecnología, Ji. se pueden mezclar para producir bienes finales, J'. Representaremos estas combin;iciones a través de una f1111ció1i de prod11cció11 c:omo la siguiente: (1.3)
Vemos que ia producción de esta economía puede aumentar o crc:ca si aumenta K, si aumenta Lo si aumenta A. Es decir, la economía agregada puede crecer si crece el stock de capital, la cantidad de trabajadores o si mejora la tecnología. En este primer capítulo, seguiremos a Solow (1956) y Swan (1956) y nos concentraremcs en las funciones de producción llamadas 111:oc/rísica,.
Por uñcíones deprod~~¿¡"¿~ ~eoclásicas ei1ten emo_ aquellas funciones matemáticas que representan combinaciones de los factores capital, trabiljo y tecnología, y que satisfacen las siguientes tres propiedades:
':3
Ln función de producción presenta re11di111íe11tos co11stn11tcs a escalq. Algebraicamente, esto quiere decir que si doblamos la cantidad del factor trabajo y del factor capital, la cantidad de producto se dobla. Si multiplicamos !{ y L por una constante arbitraria, ,\, entonces la producción también se multiplica por la misma constante: F(>.K, >.L, .4) = >.F(J{. L, A) . Matemáticamente, esta propiedad se conoce con el nombre de 110,nogeneidnd de grndo 11110. El estudiante habrá notado que en esta definición se ha mµ)tjp)icadq sg)amente el capital y el trabajo por>. y no la tecnología. 2 La razón por la que este supuesto es razonable es el prjucjpjg de rép/jca Imaginemos que tenemos una fábrica en 2 h decir, NO hemo~ dicho fl,\f;, >.L. >.A!= >.FU·:. L. Al, dnndP la variable A también e5tA multi-
plicada por ,\.
14 / APUNTES DE CRECJM:ENTO ECOi'\ÓMlCO
Camprodón que combina K máquinas con L trabajadores y una fórmula, A, para producir Y 6 alletas. Debería ser cierto que si constmimos otra fábrica . idé11ticn en Rentería con el mismo número de máquinas, K, el mismo número de trabajadores, L, v la 111is111a /órnrn/r. A, deberíamos producir la misma cantidad de galletas. Es decir, si replicamos la fábrica en otro sitio (si "doblamos" K y T,), deberfamos ser capaces de replicar la producción (deberíamos doblar Y). La razón por la que 11u hace falta doblar A es que la misma fó17n11in se puede 11tjfi:;,1.r~11 Ca,nprpdón ¡1 Pi Re,¡tería dado aw; l,1 fórmula es un bien no ri¡,11/. Por lo tanto, el supuesto de rendimientos constantes a escala, donde por escala entendemos el capital y el trabajo (y no la te01ología), parece ser razonable. El segundo supuesto que rnracteriza la función de producción neoclásica es que la productividad marginal de todos los factores de producción es po~itiw pero dm:;:~Otra manera de decir Jo mismo es que la teq¡olog[a µmmta rcudüzzieuto; decrecientes del cao¡tal ¡r del traba/o rna,1do éstos ~e coll~idemn sc11omdo 3 A medida que añadimos trabajadores adicionales, sin cambiar el stock de capital, la producción aumenta, pero lo hace tanto menos cmmtos más trabajadores tengamos ya trabajando: el aumento en el número de coci:-ieros hará que se molesten · entre elJos de manera que, a pesar de que cada cocinero adicional aumenta la producción de galletas, el aumento es menor cuantos más cocineros haya ya trabajilndo. Lo mismo pasa con el capital: a medidn que aumentamos el número de máquinas, la producción aumenta, pero lo hace tanto menos cuantas más máquinas tengamos ya en la f;íbrica. f Aigebraicamente, esto significa gue el producto mnrginal dei capital y del trabajo . \ son po5itivos (el producto marginal de un factor es la derivada parcial de la producción con respecto al factcr en cuestión) [8F/éJK > C, 8F/fJL > O], y decrecientes (las segur.das derivadas son negativas): [éi F/ 81( 2 < O, éfl F/8L 2 < O'~
\\
,wr
@1 EJi. tercer supuesto que debe satisfacer una función de producción neoclásica,
,F( ·),
se refiere a un conjunto de requerimientos llamados condiciones de Inndn. Estas exigen que l;: productividad mr.¡~in¡¡I del ca~jtal se aproxime a ceru cuando el 3 HJy que resaltar que el concepto de rendimiento del capital es distinto al de rendimiento a escala. Cuando hablamos de rendimientos a escala nos preguntamos qué ocurre con la producción cuando aumentamos sim11/tá11en111e11lr todos los inputs rivales. Cuando hablamos de rendimientos del capital nos preguntamos qué ocurre con la producción cuando aumentamos el capital manteniendo constante e! factor trabajo (y, lógicamente, cu~ndo hablamos de rendimientos del trabajo nos preguntamos qué ocurre con la producción cuando aumentamos el trabajo manteniendo constante el capital). 4 En realidad, lo que neccsit,1mos e5 que la función de producción sea cóncava, por lo que se requiere que la matriz de las segundas derivadas sea negativa definida, que es un supuesto un poco más restrictivo que el de que las segundas derivadas parciaies con respecto de K y l, sean negativ.is, 1' requiere que la derivada cruzada éY: F /81{ DL no se~ demasiado grande.
ti 1no1.?l'l0 1.eoc1ns1co ae crec11111enro ae ::,010w-.)w1111 1c. 11 /
1:,
_tiende a infinito y oue tienda a infinito cuando el capital se aproxima a cero, limK-c,c 8F/úi< = O,'lim¡.;_ 0 ;-JF/iJJ( =oc.Condiciones análog¡¡s se aplican €11 trabajo, liml-cc 8F/úL = O y limL-o DFjiJL = oc .
.lI. e l n (¡mció11 de ¡,rod11cció11 Cobb-D0ud11s. U nil función de producción bastan te sencilla que satisface las propiedades neoclásicas es la fondón Cobb-Douglas, donde O < o < l. , ¡··"'L1-« } -·t -_ ·'"'-t \t t \.
[1.4]
'
Paul Douglas fue un senador por Illinois entre 1949 y 1966. Cuando todavfo era profesor de eco!lomía, Douglas descubrió un hecho sm:prendente· la división de la renta nacional entre trabaiadores y capitalist«s permanecía más o menos constante en el tiempo. En particular, descubrió que los trabajadores en Estados Unidos se quedan con, más o menos, el 70 por ciento de la renta total, mientras que los capitalistas se quedan con e! 30 por ciento. Esto ie llevó a indagar las condiciones bajo las cuales las rentas de los factores mantenían proporciones constantes. Como no sabía solucionar el problema, Douglns le preguntó a un matemático amigo suyo ll«mado Charles Cobb si hc.bía una función de producción tai que, si los factores de producción ccbraban sus productos marginales, la proporción de la renta agregada que se quedaba cada uno de ellos fuera constante. La función de producción, pues, deber;a tene, Ic1s dos propiedades siguientes: (A)
1
y
l
(B)
Renta del capitc1I = (Producto marginc1I del capital) ·K =o}~. Renta del trabajo= (Producto marginal del trabajo) ·L = (1 - a)Y,
donde a E!S una constante que mide la fracción de la renta que se ~cl_~~ili!.L (a menudo ~~ta fracción se denon1i.n-n pa,t1cipación del capital). Cobb demostró que tc1l funciónd;~ción ;~istía y tomc1ba latormil l' = Xfr 0 L 1- 0 . Esta función de producción pasó a llamarse Cobb-Douglas. El lector puede comprobar gue el producto mar~inai del cc1pital es gAKº- 1 L i-a y aue si ¡pultjpHcamos este producto margioa) RQ.c.lü..e obtiene o:Y La fracción del PIB que.se quedan los propietarios del capital es esta cantidad dividida por Y, es decir, la participación del caoital en ~-1 PiB es constante e j~ual a a:. También puede comprobarse que el producto marginal del trabajo es (1 - o)AKº L -a y que si multiplicamos este producto por L obtenemos (1 - o)Y. La participación dei trabajo es 1 - o, que también es const,mte. Comprobamos que la función de producción Cobb-Douglas es neoclásica: presenta rendimientos a escala constantes:
16 Í ArUNTES DE CF:::Cl~IIENTO ~CONÓ~IICO
También vemos que los productos marginales del capital y del trabajo son positivos: ¿))'
)
-
= oA.I,ª- 1L 1-" > O
-
= (1 - n)AK" L --o > O,
é)J, é)). {)[,
y que las segundas derivadas son negativas con lo que los productos marginales son decrecientes:
l'h
0 1 ül-:" = n (a - 1) .·u· , -"L -n < O
i
\
U"l' éiLi = (1 - n)(-o).4/,."L-n-1 < O.
Finalmente, los limites requeridos por las condiciones de Jnada se cumplen:
/-)1°
lim -
!,-oc
l
m,·
m·
lim -
L--x,in
= oAX"- 1 L 1- " = O ,
= (1- n).-l!,"L-" = O ,
Vemos, pues, que las función de proc.ucción Cobb-Dc1uglas satisface todas las condiciones propias de las funciones de producción neoclásicas.
Utilizando la función de producción neoclásica, podemos reescribir [1.2] como
\JE:. ·y~l\:-l
"-
\Fu,·,.L,,Ai)=Cid,.,
·
[1.5]
Es decir, el producto final de la economía se distribuye entre consumo e inversión.
ILT o Tasa de ollarro canstnntc. La razón por la que lñs familias consumen es que les :;:11stn lrncerlo. En la literatura macroeconómica moderna se supone que los consumidores eligen el consumo con el objetivo de maximizar una función de utilidad, sujetos a una restricción presupuestr1ria. Y eso es lo que hñremos del capítulo 3 en adelante .. De; momento sin embargo, ser~ mucho más sencillo seguir el ejemplo de Solow }' Swan y suponer q11elasJarnili.as...
sin1ulc111cutc ca11s111uc1111110,fracciáu cou;tarzte de su cenia a pcaduC'to Es decir, si nuestrns familias productoras producen Y galletas, supondremos que ahorran una fracción .s (1 - s). Por lo tanto, el consumo agregado, C, se puede escribir como:
y consumen el resto
El 11wddo ue,,c/d;icr cfr crccimirnlo dr SoloH•-Swnl! (c. 1 J / J 7
Eº - 1 s)) ·1.
(1.6]
donde el término s es la tn;;a de n/rvrr¡1 (la ft·ncció11 de la rent¡, que los consumidores ahorran), una constante. ~Jser una b·11cció11, se deb~~umplir _c¡ue ses un número entre cero y uno, O < s < 1. Este supuesto podría pílrecer descabellado. Sin embargo, si miramos las tasasd·e al~orro a lo largo de los últimos 100años, vemos que en los países para los <;¡ue hav datos, esta tasa de ahorro ha permanecido bastante estable. 5 Además, en el capítulo 3 se demostrará que una tasa de ahorro constante es óptima bajo ciertas circunstancias. También veremos que tanto el comportamiento de la economía como las principales lecciones que se extraen de estos modelos no dependen de si la tasa de ahorro es constante y exógena o es escogida óptimilmente por los consumidores. Por estos motivos, el supuesto de que los consumidores ahorran una fracción constante del producto es una buena manera de empezar. Si substituimos [1.6] en [1.51, obtenemos
~-)
En palabras: al igual gu~I c~nsumo agr_gg:aqo, l.; in_\'er_?ión agn~ga_da es una fracción de la renta 11c1cio~;l. Como en ~n;i economía cerra~a~sin g,;_~to público,_el ahorro r_la inversión coinciden, In tas,1 rlc a/rorro e., tn111/Jié11 la tosa de in,•crsión.
A diferencia del consumo, la razón que lleva a las empresas a invertir (es dc>cir, a comprar parte del producto nacional) no es que?. las empresas les guste utilizar los bienes que compran, sino que ia inversión sirve, bien..llillil aumentr1r el stock de maquinaria disponible para una futura producción (esto se llama imiersió11 neta), bien para reemplazar ];is máquinas que se deterioran en.el proceso productivo (fenómeno que conocemos con el nombre de riCll'""ÓOciául. Utilizandn términos de lr1 contabilidad nacional, la i1m:r;ión bmto (la cantidad de output adquirido por las empresas, I1) es igual a la inversión 11etn (ei aumento neto er. el stock de m¡¡guinaria o capital) más la devn;ciació,¡ Si denotamos el aumento neto de rnpital como Í( = tenemos:
d¡~· ,"
l-=--...'::d
5 A corto plazo, la tasa de ahorro fiuctúa wn el ciclo económico. Lo que estamos diciendo es que. a pesar de los movimientos a corro plazo, parece que la tasa de ahorro no tiene tendencia ascrndente ni descendente a largo plazo. 6 A lo lar¡;o de este libro, utiliznremos puntos sobre las ,·ariables para denotar i11cre111c11tos de fo mrinl,/cn 111edid11 quenm11zn d lir111p¡;. Es decir, un punto encima de una variable denotará la dcri\'ada de la variable con respecto al tiempo. Una maner~ alternativa de escribirlo scri~ utiliz.:,r el incremento de K, 6.J,, en lugar del punto sobre la 1..:. El lectc,r que así lo prefiera, puede substituir TODOS In, puntos del libro por el símbolo 6. sin que cambie nada fundamental.
lb/ APUNTES DE CRECIMIENTO ECONÓMICO
[1
= l1..,.
b1.
1
1I.7J
donde D1 es ia depreci,Kión Para simplificar nuestro r.nálisis, supondremos que en cada momento del tiempo, una fracción constante de l?.s máquinas, e, se deteriora por lo que la deoreciación total es igual a la tasi\ de depreciación 6 multipliCil. da orla cantidad de má uinas existente: i51\· 1.7 Esto nos oermite escribir [1.íJ como [ I 1 1~·1 "' bK1 • -1 supuesto de depreciación constante t;mbién nos mdica que lils maqmnas son s empre productiv?.s mientras no se deterioran. En particular, no existen diferentes tipos de máquinils y las más viejas no son menos productivas que las más nuevas. En este sentido, las máquinas de nuestro modelo son parecidas a las bombillas. Mientras funcionan dan siempre la misma cantidad de luz pero con un¡¡ determinada probabilidad dejan de fu.ncionnr y deben ser reemplazadns. Ahora bien, mientras funcionan, todas las bombillas (y todas las m;íquinas) son iguales. Si substituimos!, en [1.5] y utilizamos el s1.1Duesto de una tasa de ahorro con~tante r1.6L obtenemos I
Si ahorn :=,onemos el término Í< en el lado izquierdo y colocamos todos los demás en el lado derecho, esta igualdad se puede reescribir como
, 1 l
[1.SJ
Si esrudiamos detenidamente la ecuacipr. [l.SJ, veremos que nos dice algo interesante: si conociérnmos los valores de K, L y A en el mome_nto t, dado que s y ó son constantes co,nocidas, la ecuación [l .8] nos diría cuafes el aumento del stock de: capital durante el siguiente instante. El aumento en la cantidad de cilpital, ¡¡ su vez, nos generaría un aumento o creci111ie11to de In producción .. Esta ecuación, por lo tanto, es potencialmente útil y va a ser el fundamento sobre el que construiremos el modelo de crecimiento. Para ello debemos simplificar todavía un poquito más. IIlf. Poolnción ig11nl n tmbnio 1/ tnSll co11sta11te de crecimiento de poblnció11
El objetivo de este ca:=,ítulo es investigar los determinantes de la tasa de crecimiento de la economía. La tasa de crecimiento que nos interesa es la tasa de crecimiento ; Obsérvese que este supuesto conlleva el hecho de que la tasa de depreciación es independient~ de las condiciones de la economía. Quizá seria más realista considerar que l,,s empresas puecien determinar la intensidad con la que emplean su capital y que, por este mutivo. cuando el capital se
usa de forma más intensiva se deprecia más rápidamente. La literatura del crecimiento económico ha venido prescindiendo de esta posibilidad, a pesar de que, como veremos más adelance, la tas,, de depreciación puede ser un determinante importante de l,1 tas<1 de crecimiento.
El modelo 11eoc/ñ;1cv de crecimirn!v de Solow-Swnn 1c. JJ / 19
del PIB del consumo o del capital por persona y no la tasa de crecimiento del PIB~ del consumo o del capital agregados. La razón es que nadie dice que un país sea rico porque produce mucho: más bien se considera que un país es rico si sus habitantes, en prom~·dio, producen mucho. Por ejemplo. uno tiende a creer que Suiza e~ un país mucho más rico que la India aunque, en realidad, la producción agregada de la India es mucho mayor que la de Suiza. La razón por la que decimos que Suiza es más rica es que la producción por habitm1te o per cápita es muy superior: una vez dividillloS todo lo producido en la India por los cerca tie ochocientos millones de habitantes que tiene, vemos que toca a muy poco por habitante. En este sentido, ea este libro también estamos interesados en investigm cómo evolucionan y crecen las variables de la economía en términos pcr cápitr.. para simplificar la notación, supondremos que la población de la economía es. equivalente a la cantidad de trabajaciores, L 1. Este supuesto es muy poco realista dado lJUe, como sabemos, hay muchos habitantes en todas las economías qu€ no trabajan en la producción de lo que llélmamos PIB: niños, anciano~, parados y, en muchas sociedades, mujeres. Algunos de esto; sectores producen bienes que no están incluidos en la. contabilida.d nacional (como es el caso de las mujeres, que cuidan de la sa.lud de sus hijos o hacen labores en su hogar; ninguna de estas actividades apilrece en el PIB). A pesar de que sabemos que existen estos colectivos que no trabajan en la prociucción de Y, seguiremos con el supuesto simplificador según el cual la variable L no solamente representa el factor trabajo sino también a la población total. Esto nos pern1itirá concentrar nuestro estudio en el papel que desempeiia la inversión en capital físico. Si utilizamos J¡¡ equivalencia entre traba.jo y población y dividimos los dos lados de [1.8) por L 1 encontramos que Í
-
Li
FU<1,L1,A1.) Li
Ki L
=s----- -8-.
[1.9]
A partir de ahora, utilizaremos letras 111i111íscu!as para denotar el eg_uivalente de la
letra mayúscu)a expresado en términos per cápita, En otras palabras, si I<1es el stock
=
de capital agregado, k 1 será el stock de_c¡¡pitale_cápita, k 1 Ktf L 1• De forma similar definimos el consumo per cápita ci Ctf Lt, y la-producción pér cápita, Yt Yt/ L°7: Obsérvese gi:; si la función de producción, F(-), es neoclásica, presenta rendimientos constantes a escala, por lo que se cumple que F(>-K, >-L, A)= >.F(K, L, A), donde>- es una constante arbitraria. Si damos a la constante el valor de >. = esta condición se puede escribir como -
=
=
±,
_..
.-
-------·----------
20 / APUf\.TES DE CRECIMIENTO ECONÓMICO
=
_dond~ h~mos definido J(I:, A) F(k, L Al. Es decir, la_producción per céipita es una fun::ión del capital per cápita y la tecnolog;a. En el caso de la función de producción Cobb-Douglas, esto se puede ver claramente dado que
/
1
(:; J. y = LAJ,"º ¿ 1-u = A l,'.:)=
)
(¡-)ª i (L)L
1
0
-
~ =Ak'-'(1)1-c, ~ )
[1.11]
Un suput!sto adicional es que la población crece él una tílsa exóg_gJa y constante que denotaremos líl Jctrn 71. Es decir, definimos -TI como = n. 6 · -"º - --Uti11zanli~ ~~-te--ú-ltimo_ s-upuesto, podemos cafcuicu--ril tasa cteciicim·i;nto del
f
con
cap~ta_l por persona como [L12i Recordad que k es exa::tamente ( T -
( [" )
rl(f, i l ' = ~-
Si substituimos el término Í\"/ L de [1.9] en [1.12] y utilizamos [1.10] obtenemos
\
[1.13]
/Il d. Nivel tcrno!Jgico C0//5/rl/1/e El último supuesto que haremos antes de analizar la solución del modelo es importante porque nos ayuda,á a descubrir uno de los problemíls centrales del modelo neoclásico de crecimiento. Como nuestro objetivo ahora es analizar el papel de la inversión en capital como determinante de la tasa de crecimiento económico, será útil prescindir de todas las fuentes alternativas de crecimiento potencial. Una de estas fuentes potenciales, lo dijimos al principio del capítulo, es el progreso tecnológico. Si nuestro objetivo es ver si se puede crecer par.?. siempre simplemente invirtiendo una fracción constante de lc1 producción, seri\ útil suponer que la tecnologíc1 no crece. Este supuesto se materializa algebraicamente en
8
8
[1.14]
Unn vez más, este supuesto no es muy realista dado que, si consideramns los elatos, observaremos que 1,, t?.5a de crecimiel'to de ia población disminuye a medirla que aumenta la riqueza de un país. U\ tasa de crecimiento de la población, pue~, no es ni constante ni e~ógena sino que está rclacion;1da con el ni\'el de riqueza de un país. Una vez más, sin embargo, dado que nuestro objetivo por ahorr. es estudiar el papel que dcsempe,ia la inversión en capital físico en el proceso de crecími,mto económico, este supuesto nos simplificará sustanciJlmcntc el análisis. Los esludiosos del crecimiento económico han intentado incorporar el crecimiento endógeno ele la población en modelos dl' crecimiento similares a los que estamos describiendo en este capítulo. Para un estudio detallado véase Darro y Sala-i-Martin (1995, capilulo 9).
El 111,~ido 11~ocl,ísicc, de crcci111imt,, ,fr Solow-Smm (c. l ¡ / 21
donde A es una constante. Substituyendo [1.14] e1~ [1.13] obtenemos una ecuación muy importante llamad.1111 ecuació11 ft111dame11tql del modL'[o de So!rw-$imu: . [1.15]
,:., =sf(k 1 ,A)-(6+11)k1.
Si la tecnología es t,1b-D0uglas, entonces la ecuaéión hmdamental de SolowSwan se escribe como
~
" :() 1,,:.1
= sAk~ - (b+ n)k 1 .
'
[1.15']
Dado el stock de capital per c.ípíta existente en la economía en el momento 1, la ecuación fundamental de Solow-Swan nos revela cuál será el i11cre111e11to del stock de capital per cápita en el próximo instante L. Observe el lector que, Unil vez conozrnmos el incremento del stock de capital por perso:-ia sabremos cuál será t.>l stock de capital en el siguiente instante. En consecuencia. la ecuación fundamentr1l de Solow-Swan nos indica cuál será e! i11cret11c11to del stock de capital per cápita en e! próximo instante, y así sucesivamente hasta infinito. Dicho de otro modo: la ecuación [1.15] nos describe cómo evolucionará el stock de capital per cápita desde hoy hasta el fin de los tiempos. De i\hi la importancia de esta ecuación. Antes de extraer lecciones de esla ecuación fundamental, es preciso recordar que una vez conocida la f:'volución del stock de capi~al por pe:sona a través ciel tiempo, s;ibremos cuál es la evolución del producto per dpíta porque y 1 = f(/,:; ..-1). Como .4 es constante y el producto, y, es una función monotóaica de k, los movimientos de 1.- se rcfle¡arán en movimientos de y. Por este motivo será útil estudiar el comportamiento dincimico de k·.
Ill.c. Interpretación de [1.15] La ecuación [1.15] tiene un¡¡ simple interpretación económica: el stock de capital por persona aumenta con la diferencia entre el ahorro bruto de la economía v el término V.,. n)i,·, Cuando aumenta la tasa de ahorro (que, recordémosio, en una economÍil cerrada es igual a la tasa de inversión), la inversión agregada aumenta. Como la inversión sirw para aumentar la cantidad de máguinas, ei stock de capital aumenta; por lo que el primer término de [1.15) es fácil de entender. El término 61,: también es de fácil compresióll" c:uanto mayor es la f¡accjón de máquinas que se deprecia en un momento dado, 6, menor es el aumento en el stock de capital por person(, (y por esto el término fik apar-ece con signo negativo en [1.15j). El término nk puede. parecer un poco más difícil de entender pero es igualmente sen<;illQ. Imaginemos por un instante que s = O. El primer término de lc1 derecha de [1.15] es igual a cero y la inversión es cero. La ecuación [1.15) nos dice qüe el stock de capital PERCÁrm disminuye por dos razones: la primera es que una fracción del capital se deteriora o
n. /
APUNTES DE CRECIMl~;,.;ro ECONó:-.uco
deprecia a cada momento .• La segunda razón por la que el stock de capital rER CÁPITA decrece si no se invierte nada es gue el número de cápitas o persom1s aumenta. Esto es lo que rcflcj.i el témlino ni:._
1
3 Análjsis del estado estacionario_
La ecuación fundament,11 del modelo de Solow-Swan nos indica el aumento del stock de capital po~ persona cc,mo función de algunas constantes (A.. s, é o n) y del stock de capital existente, k. Hay que resaltar que la ecuación se cumple en cada momento del tiempo, desde el momento inicial (hoy) hasta infinito. Existe, pues, una ecuación como [1.15] para cada momento del tiempo aunque, para simplificar, aquí sólo escribamos una. Para simplificar la notación, sin embargo, a partir de ahora escribiremos las ecuaciones sin bs subíndices temporales, t, siempre y cua,1do esta simplificación no cree confusión. El lector debe recordar, de todas maneras, que a pesar de que omitamos los subíndices temporaies, estamos estudiando un modelo diná1~1ico que nos describe el comportamiento de la economía a lo largo de! tiempo. Um: m;inera sencillñ de analizar las predicciones del modelo es coa un gráfico. Funciones de i;
f(k) (e\+ 11)1:
sf(k)
k k
k'
Gráfico 1.1. El estado estacionario en el modelo neoclásico de SolowSwan. En el gráfico 1.1 se presentan las diferentes funciones que caracterizan el modelo de Solow-Swan. Corno todas ellas son funciones del capital, ponemos k en el eje horizontal. La primera función importante es la de producción, /(/,:). Como se trata
de una función neoclásica, J(k) es siempre creciente (el p~·oducto marginal del capital es positivo) y es cóncava (existen rendimientos decrecientes del capital). Además, 12. función de producción es vertical cuando el capital es cero (la condición de !nada requiere que el producto marginal del ci1pital, que es la pendiente de J(k), sc,1 infinito cuando k se aproxima a cero) y que esta pendiente se vuelva horizontal cuando k se .:icerca a infinito (ésta es la otra condición de Inada para el capital qlle dice que el producto marginal del capital se aproxima¡¡ cero cuando el capital va hacia infinito). Tm~as estas propiedades se pueden comprobar tomando la función de producción Cobb-Douglas, y = Al;"'. Obsérvese que 1.1 derivada de esta función con respecto a k es,;' = c1Akª- 1 = "~::_~,. Esta derivada es positiva para todos los nivele~ de capital positivos (recuérdese que a es una constimte entre cero y uno). También vemos q:.ie esta derivada es infinita cuando k es cero (nótese que k c1parece en el denominador con exponente positivo) y que se acerca a cero cuando k va a infinito. Es decir, es vt>rtica 1 en el origen y es asintóticamentt: horizontill. Finalmentt', la función es cóncava, ya L1ue el producto marginal es decreciente (la segunda derivada es negc1tiv¡¡: y"= < 0). Estas características estrÍn represent¡¡das en el gráfico 1.1. Según la ecm1ción fundm11ental de Solow-Swan, el aumento de capit¡¡J per cápitíl es iguc1l a la diferencia entre dos funciones. J?ara hacer e) aná)jsjs m¡ís omeno PaPti;rnremos la función s f(I.) con el nombre de curm de ahorro y li1 función (ó + n)k con e! nombre de wn.•a de depreciació11 (recordemos qt1e el término depreciación debe interpret¡¡rse en un sentido amplia qne incluye e) hecho de c¡ue el capital por pcrso1111 §e reduce o "deprecia" cuando aumen.tc1 ~!número de personíls, v esto es lo que sef1ala el término r,.I.) ..
"'t-~.'·-'
La función s f(kl es ~-roporcioi1al a la función de producción dado que ses una const<1ntc. Por lo tanto, In curvíl de ahorro también es creciente, cóncnva, vertical en el origen y asintóticamente horizontal. Como la tasa de ahorro es un número menor que uno, la función sf(k) es proporcio11c1lmente inferior il J(J,:). Es por elle que en el gráfico 1.1 aparece por debajo de la función de producción. Finalmente, la función (ó + n)k es una línea recta que pé!sa por el origen y que tiene una pendiente constmlte e igual a ó + n. Lo primero que hay que notar de las curvas descritns es que, cuando k = O, la función sf(k) y la función (ó + n)k son iguales a cero por lo que se cruzan en el origen. El punto k = Oimplica que no hay producción ni economía. Este punto no es interesante económicamente y vamos a ignorarlo. Lo interesante de k = Oes que, en este punto, la curva de ahorro es vertical y la de depreciación tiene una pendiente finita (e igual a ó + n). Se deduce, pues, que para ya)orcs de k ceícanos a cero !a curva de ahorro está por encima de Ia curva de depredación Lc1 pendiente de la curva de ahorro va decreciendo a medida que k c1umentc1. Como sabemos que la pendiente de sf(k) va cayendo hacia cero, sabemos que existe un valor de /, donde las curvc1s de ahorro e inversión se cruzan. Dado que, después de este punto, la pendiente de la función .s/(1,) sigue decreciendo mientras que (ó + 11)k sigue siendo una líne¡¡
24 / Arur
recta, las dos curvas no se vuelven a cruu.r más. E:1 resumen, si ignoramos el origen,
/ns wrvas den/rorro y depreciación d~brn w:c ·~ariow,:ntc rnrzocsc u11a lit'~ 1{ sqlnm,•,;te 1ma. El punto k" donde las do~ curvas s~ c:::uzan se llílma e.:;tado estncionnrio. Si la economía (por la razón que sea) se encu~ntra en el punto /:*, entonces la curv¡¡ de depreciación es igu¡¡J a la cur\'a de ahorro. La ecuación fundamental de Solow-Swan nos dice que cuando sf(I.:) es igual a (6 + 11.)J.:, entonces i.: = Oy el capital no aumenta. Si el c;ipitéll no aumenta, en el siguiente instante J.: vuelve a tomar el valor 1,:·. En este punto, se cumple otra vez que sf(k) es igual a (6 + n)k y, de nuevo, ( = O. Así sucesivamente hasta el final de los tiempos. Es decir, si la economía se encuentra en kª, entonces se quedará en este punto para siempre. El stock de capital k" que tiene esta propiedad se llama el stock de cnpitn/ de csindo estncio11nri9~ La intuición económica es la siguiente: la economía ahorra e invierte una fracción constante, s, de la rnntidad producida. Esta inversión se utiliza para aumentar el stock de capital y pén<'. reemplazílr el capital depreciado. Cuando !i, economía tiene un stock de capitíll /,:·, la cantidad producida, J(k*), es tal que si ahorramos la fracción s, obtenemos Lmi1 célntidad de inversión que es justamente la necesaria para reemplazar el capital depreciado. Es decir, una vez reemplazado el capital depreciado, no quedc1.n recursos para incrementar el stock de capital, por b que éste permanece c1.l mismo nivel,/:". Al permanecer el cc1.pital c1.i mismo nivel, la rrociu::ción vuelve a ser la misma de mc1.nerc1. que, al ah:::>rrar la misma fracción, s, se genera la misma in versión y se repite el mismo resul:ado. Lél economía no consigue aumentar el stock de capital y permanece con el mismo stock h;,sta el final de los tiempo,. Es fácil encontrar una fórmula pc1r,1 /;" si la fundl'in de producción es CobbDouglas: basta con poner k = Oen [1.15' J: sA(I~· )" = (1\+n)k". Despejando obtenemos una expresión para el stock de rnpitc1.l de estado estacionario:
14,,.,- LY''J.,o
l(~ ~
o
[1.16] /)e7 ?2.-, )-r ~"' \<.. t;,.., 1() Como el stock de capitc1.l per cápita de estado estc1.cionario es constante, el PIB per cápit¡¡ (que es una función de l.) tnmbién es constante, por lo que,; = O. Dado que e! consumo es una fracción constante de"¡¡, también se debe cun,plir que el consumo de estc1.do estacionario es constc1.nte y, en consecuencia, su tasa de crecimiento es cero, = O. Es decir, en el estado estacionario, todas las variables expresc1.das en térm~~ per cápita son constantes v sus tasc1.s de crecimiento estc1.cionario deben sn cero. El hecho de aue las vc1.riables en términos per cápita sean canstc1.ntes en el lc1.rgo plc1.zo quiere decir que sus correspondientes valores agregados crecen al mismo ritmo QUe l.\ población. Esto se puede Ver utj;jz¡mdo la definjcjón de Variable per Cfoit;,: !, =!.:L. Tomando logaritmos y derivacias tenemos que ;r.· =·11, + 7L = -y1,: + n. En el estado estacionario se cumple que 1i: = O y -1j.; = 11.. Una derivación similar nos mostrará que las tasas de crecimiento del consumo ngregndo y el PIB agregado también SOn iguales a nen e] estado estc1.cionario: 1C "IÍ, 7L
..,.
lt-
1:
=-,;. =
=
El 111(11/clo 11cocl.i:
-
La ecuación [1.16] nos muestrn que el stock decapita! per c5pita de estado estacionario, J.:". aumenta cuando la tasa de ahorro,.<, o el nivel tecnol6¡!ico, A, aumentan y se reduce cuandn la tasa de depreciación, t,, o la tilSil de crecimiento de la población, ..::,, aumentan. Estos resuhados también se pueden ver gráficamente. En el gráfico· 1.2, un i1L1111ento de lil tasa de ¡¡horro hace saltilr la curva de ahorro hacia arriba, por lo qL:e la intersección con la curva de depreciación se produce en un stock de capit¡¡\, ¡.,.··, superior. Es decir, el stock de capital de estado cstacio:1ario asociado con una tasa de ahorro más elevada es mayor.
Funciones de k
f(kl (,' + 11)k
s' f(k)
I ~
'-""--------'--------'-----k Gráfico 1.2. Aumento de lil tasa de ah::mo.
Como el nivel de producción per cápita es una función de! stock de cilpital, el ni,·el de renta de estado estacionilrio será también un¡¡ función creciente de la tasa de ahorro. Es decir, en el estado estacionario, los países ricos {renta per cápita elevada) serán los que tendrán unas tilsas de ahorro mayores. Una mejorn tecnoló 6 ica (un aumento de .-\} también haría saltar la curva de ahorro hacia arriba, por lo que el stock de capital de est,1do estacionario también aumentaría. Cuando se produce un aumento de la tasa de depreciación, f,, o de la ta~a de crecimiento de la ?oblación, 11, entonces la pendiente de la curva de depreciación aumenta y la Cl.\rva (/: + 11)ic salta hacia arriba, como se muestra en el gráfico 1.3. La curva de ahorro y la de depreciación se cortan ahora en un nivel de capital inferior po: lo que el stock de capital de estéldo estacionario disminuye.
26 / APUNTES DE CRECl~IIE\"TO ECONÓMICO
Funciones tie k (e\'+ 11')k
/f(k) (ó + 11)k
s f(k)
! k
Gráfico 1.3. Aumento de l;i t;isa de depreciació1;, ,\ o de !.i t;isa de crecimiento de la población, n. Hemo~ visto que ios gr;íficos 1.1, 1.2 y 1.3 nos sirven para comprobar que el estado estacionario existe y es ú111co. También nos han servido pñré' ver la rel<1ci611 entre los diferentes parámetros de la ec0nomía y el stock de ca pita! de estado estacionario. Veremo!' a continuación que estos gráficos también pueden ser utilizados para establecer que el estado estacionario es estable, en el sentido de que aj el stock de capital inicial es inferior a k", entonces el capitnl se ncumul,1 dE manern gue 1.-conwr¡;e hacia 1.- y si el capital inicinl es superior a 1;•, entonces el capital disminuye hastn, nue\'UIJJenle alcanzar el estado estílcionario Para verlo, nos bastará con con-lprobar que a la izquicrd,, de 1;· la curva de ahorro es superior él lél cmv¡¡ de depreciación. En esta regió:,, pues, la ecuílción fundamental de S0low-Swm1 nos dice que k > Opor Jo t:uc el capitnl c1umenta. Dicho de otro modo, cuando el capitil! es inferior ñl nivel de eslitdo estacionario, el cc1pitc1l aumt•1lti1. Lo contrario ocurre él[¡¡ derecha de kº, donde la curv¡¡ de ahorro es inferior a la de depreci.1ción y L- < O. Resumiendo, el estildo estariouacio es estable dado que, tengamos el capital c;¡ue tengamos. la dinámica del_ modelo nos hace gravitilr haci.:i el estado est¡¡ciom1ri.9. l.J¡ "Rl·gla
de oro" d~ /11 ac111111tl11ció11 de capital_
(\¼ l)LA
En el gráfico 1.2 vemos que para cad.i tas.:i de ahorre, s, existe un stock de Célpitill estacionario k". Imaginemos que, a través de polític¡¡s de incentivos fiscales, un país puede cambiar su tasa de ühorro al nivel que más desee. Una pregunta importante es: ¿qué nivel escogerá? El objetivo de un¡¡ sociedad debe ser el ;iumento del nivel de biene~tar de sus
El ,11uiido 11coddsii:o de crecim;rnto de Solow-Sa•,w (c. 1) / 27
individuos~ En principio este bjenestar no de¡;,ende de la cantidéld de bic:11es producidos ni siguiern de la cantidad de capital existente sino de la cantidad de producto que las familias co11s11mrn. Es decir, la sociedad escogerá una tasa de ahorro que comporte un mayor nivel de consumo per cápita. El estado estacionario que conlicva el mayor njye) de CPJJSPPlíl perdpita se llama in B,e.,gjn__ de oro de la acw1111/11ci<í11 de rnpital ,. lo denotaremos con k0 ,.0 . 9 Parn encontrar el stock de capital de Regla de oro, lo primero que debemos observar es que estamos hablando de estados estacionarios, por lo que i.: = O. Si tenemos en cuenta que el ahorro es igual a ia producción menos el consLuno, podemos reescribir l. 15 para expresar el consumo de estado estacionario, e·, como función del rnpita) de estado estacionario, 1,;•: (O= f(k') -
e• - n)/;1-+· = (ó
+
f(k') - (ó + n)k'.
T
[1.17]
La ecuación (1.17) nos dice que, en el estado estacionario, el consumo e:; iguéll él !él diferencia entre la producción y la depreciación. Un aumento del c;1pitéll tiene dos efectos sobre el consumo de estado estc1cionario: por un léldo aumenta ];i producción, J(k·) y por otro lado, aumenta la cantidad de máquinas que es necesario reemplílzar. (,S + n)k". Para encontrar el capital de Regla de oro, bílsta con m;iximizar el consumo de estado estaci~nario con res12ccto a i.:'. Parn ello, tomnmos derivíldas de e' con respecto· a e v obtenemos:,
~
-,/c• = J1(k • ) - (f.+ n) = O . ~, (ko,- 0 ) = 6 + n.
[
1.18']
1dk* En el grftíico 1.4 é:omprobílmos que la distanciíl entre la función de producción y la recta de dcpreciélción es el consumo de est¡¡do estacionario. Observamos también que el punto donde la distancié\ entre líls dos curv¡¡s es m,íximíl es aquel en que J¡¡ función de producción es paralela a líl curva de depreciación, por lo que la pendiente de la primera es igual a ó + n, que es lo que hemos encontrado algebrílicamente. 9 Este nombre lo ideó Phelps (1961) y lo b;isé en el i\iuevo Testamento, donde Je,!is rc~umiü la "Regla de oro" de la conducta humana en dos mandamientos. El Evangelio según S;in Mateo nos d., la clave: "Los fari~,·os, al oír que /inbía hec/,o cnl/,1r n los ,;nri11ceos, Jormnroi: grupo .1/ ,fr ellos. q,,,. an experto, le preg1111/ó pnrn ponerlo n pruclui: M,,,·stro, ¿rndl es d mundum;c11t,, vri11ópnl rlc L,~1' f~:<1is le ,iijo: 'Amaras al Sc,ior /11 Dios CO!J torf,, /11 cor·n:ái:, ct111 todn 111 nlnw, todo /,r ser. E.
""º
'º"
i,,
es' el ¡irincipol y ¡,rimero. El segundo es sc,m1n11tc n t'I: 'Amnrás a tu prójimo como a li mis11w·. Esto; ,fo; rnn11dm11ic11los sostienen ltr ú:y c11tern y los prCJ/ctns". (!vfoteo, 22, 33-40). Traducido a la teoría de! crecimiento, el segundo de los mandamientos quiere decir que l,1 sociedo1d ilctuill no debe intentar aumentar su consumo si la consecuencia de ello es <1uc ei consumo de lílS generaciones futuras se reduce, ya que no nos gusta.fa que ias generaciones futuras nos lo hicier211 ,, nosotros si se invirtieran los papeles y nos tocara después que ellos. La Regla de oro de la conduct,, diría, por lo tanto, que la sociedad debe milximizar el ro11sumo rle eslndo estncio11ndo: el que hace que nuestro consumo sea idéntico al de las g~nerílcioncs veniderns.
28 / ArUNTES DE CRECIMIENTO ECONÓMICO
(t +
Pendiente = (t
-!-
,dk
11)
\ ~------------------k k,~· Gráñco 1.4. La Regla ds-ero de la acumul;ición de capitaL
Recuérdese que no hay nada en este modelo que nos diga que la economía. tenderá a ir hacia la Regla de oro. Para alcanzar este punto, habrá que escoger la tasa de ahorro que haga qut> e: estado estacionario sea precisamente l~vro· ,"" Si la t,1si1 de ahorro es superior a .~ 0 ,. 0 , entonces el stock de capital será superior a k.,,.", mientras que si la tasa de ahorro es inferior a sorn, entonces el stock de capital será inferior a 1' 0 ,. 0 . Como sucede en el gráfico 1.5. Además de ser ,el stock de capital que maximiza el consumo de estado estacionario, koro $!/)mportante por otra razón: si la economía se encuentra a la derecha de este punto, seguro que la economía es in,•ffcieute,,_Para ilustrar este hecho, consideremos una economía con una tr1sa de ahorro superior a s 0 , 0 • Esta econoruía'podrfa aumentar claramente el consumo de estado cstaciaoacio. ~i redujern la tasa de ahorro al nivel de Regla de oro, s 0 , 0 , ya que, por definición, el consumo asociado con esta tasa cie ahorro es máximo. Ahora bien. nótese i;iue reducir la tasa de ahorro es equivalente a aumentar el consumo inmediatr1mente. En el gráfico 1.6. al reducir la tasa de ahorro, la curva de ahorro salta hacia abajo. En el momento del cambio, el consumo aumenta a c0 _ A partir de ese momento, la diferencia entre ahorro y depreciación es negativa, por lo que el capital empieza a decrecer. La economía se mueve hacia la izquierda. Durante esta transición, el <;9nsumo es la distancia entre la producción. f(k), y la cun'a de ahorro, §erro f(/.). La trayectoria del consumo en el tiemoo se describe en el gráfico 1.7. A lo largo de la transición, el consumo es superior al gue había en ~Lm!ter,iQL~gª--.d_i¿~slacionario ..
Gráfico 1.7. Comportamiento del consumo cu;mdo se reduces y la tasa de ahorro inicial está por encima de s 0 ,.0 .
A largo plazo, la economía converge a kaccu donde, como va hemos indjc'l,@, el consumo también es superior al gue había en /.*. Es decir, a partir del momento er, c~ue reducimos la t,,sa de ahorro, el consumo es sie11JJ1re_ superior al QUe había cuando J;i tasa de ahorro era { Dicho de otro modo, si nos encontramos en k' y .reducimos ia tasa de ahorro a s 0 ,., conseguiremos ñu mentar el consumo en todos los ;:,_omentos del tiempo. Si a los ciuciadñnos de nuestra economíñ les gusta el consumo (como est,11nos suponiendo), bajar le, tasa de ahorro será una política que les h.irá más felices sea cual sea su función de utilidad. Es decir, mantener una tasa de ahorro superior a ºº'º no puede ser bueno. Es por esta rnzón que cu¡rndo una economía se encuentra a la derecha de lñ Re¡;)a de oro decimos s;¡ue se encuentra en una zona d~.
i11cficie11ci11 di11ri111icn Ur.a manera alternativa de representar la zona de ineficiencia dinámica (y que se utiliza a menudo en la literatura sobre crecimiento económico) relaciona el tipo de interés con la tasa de crecimiento económico agregado. En el capítulo 3 mostraremos que el tipo de in tenis, que denotaremos con la letra 1·, es igual al producto marginal del capital menos la depreciación: r = J'(k)-ó. En el estado estacionario el tipo de interés es igual ar· = J'(kº) - t. Para los estados estacionarios de la zona dinámicamente ineficiente (los situados a la derecha de korol se cumple que J'(k") - ó < J'(k 0 r 0 ) - 6. Como J'(km-nl = 6 + n, en la zona ineficiente se cumple J'(kº) - ó < n. En el estado estacionario, la tasa de cecimiento del capital (y del PIB) per cripitn es igual a cero y la tasa de crecimiento agregado es igual a 1·j, = 11, = n. Substituyendo estos términos en la desigualdad que describe la zona dinámic;imente ineficiente tenemos que r" = j'(k") - 6 < 11 = , 1,. En resumen. 1111n co11dició11 que cnrncterizt1 In ~PWL
El 111oddo 11enc/dsico de creci111ie11fo de Soiow-S1m11 (c. 1) í 31
dinrimica111e11!e i11eficie11/e es qcte In tnsn de interés renl sea inferior n la taso 1/c crecimi¡:11/0 ogregodo, r" < 1·i··· Es interesante comparar la situación de aho~ro excesivo co:1 la que ocu=-re cuando la tasa de ahorro es inferior a so,·n· En este célso, el capital de estado esracionario, k', es inferior al de la Regla de oro.
---T
¿
\
(é + n)k
f(k)
~.~.J"(k)•- ..
s" f(k)''
k k"
k,••
Gráfico 1.8. Télsa de ahorro inferior a la de la Regia de oro (s"
< Sur
0 ).
El estado puede aumentar el consumo de estado estélcionario adoptando la tasé! de ahorro .s 0 ,. 0 . El gráfico 1.8 muestra el comportamiento de la economía en este caso: para llegar a la Regla de oro, es necesmio aumentar la tasa de ahorro, por lo que, en el momento de adoptar esa política, b curva de ahorro saltarii hacia arriba. Dado que el capital que la economía tiene en este momento no ha cambiado, k", la cantidad disponible para el consumo en el momento inicial ~e dimtinl.liJ; i;ruesto Lll.le )a )nversjón y el ahor(Q toman una fracción mayor de la pn;1dw;ción A medida que la economía converge hacia kg.Q, el consumo per cápita crece. Llega un111omento en que el consumo alcanza el nivel que tenía en la situación anterior e incluso sobrepasa ese nivel para llegar al consumo c~CP' La trayectoria del consumo en el tiempo se dibuja en el gráfico 1.9. -~~---Observamos que, tras el descenso jnjciaL e) consumo se recupera y converge hasta llegar a c~~o· Para decidir si conviene adoptar la polític11 de aumentar la tasa de 11horro cuando ésta es demasiado baja es necesario sabe; si el aumenln del cnn· sumo a largo plazo compensa la reducción in:cial. Es decir, para poder evaluar esta política necesitamos una función de utilid_a_d que nos permita comparar~ de consumo a corto plazo con]¡¡ ganancia él lar&o plazo. Una econonua que sea muy
32 / A PUNTES DE CRECll'v!IENTO ECONÓMICO
e, 1 1
e;..
Consumo a largo plazo aumema
1
e" -------------'
Consumo a wrto pl«zo se reduce
o '-_ Aumcntnmos
~
tiempo
Gráfico 1.9. Comportamiento del consumo cuando se incrementas y la rasa cie ahorro inicial está por debajo cie s0 , 0 . impaciente, en el sentido de que •.ralore mucho el corto pl¡¡zo, decidirá no sacrificar el consumo inmediato a rnmbio de gan,mci::is f1.1turas. Es por ello que, a diferencia de lo que ocurría a la derecha de k 0 , 0 , no podemos afirmar sin ambigüedades gue las economfas sit1.1adas a la izquierda de /.: 0 ,. 0 sean ineficientes. La lección fundamental de esta sección es que. mientras podemos ase~urar ~!n ambigi.ied¡¡d gue ahorrar e invertir dc111nsi11do es malo no se puede decir lo mismo de ahorrar e invertir dc:mnsiado poco. La intuición es gue. sj jnvje¡-te;; demasiado 1<1 solución pasa por reducir la inversión, por lo que el Consumo a corto plazo au!Tl~_Ilta como también lo hace el cons1.1mo a largo plazo. Por contra, si se invierte de1rnisiado poco, entonces la solución es el aumento de la inversión, lo que conlleva una reducción inmediata de la producción disponible para el consumo a corto plazc. Para t".'ílit:ar líl bondad de esta política necesitamos sopesar el corto plazn y el largo plazo.
1.4 La tasa de crecimiento
a lo largo del tiempo
La dinámica analizada hasta ahora nos mostraba como el capital, el consumo, la inversión y la producción variaban a lo largo del tiempo respondiendo a diferentes cambins de política económica. Pero el comportamiento de las tasas de creci111ie11to no se podía analizar con los gráficos presentados hasta ahora. Como éste es un libre sobre crecimiento económico, será preciso efectuar un pequeño cambio en nuestro análisis para mostrnr el comportamiento de las tasas de crecimiento en el tiempo. Para empezar, sefü1lemos que la producción es una función creciente del capit;il. En el caso Cobb-Douglas, esto ~ignifica que la tasa de crecimiento del PlB per cápita es proporcional a la tasa de crecimiento del capital per cápit~,
El 111odcfo 11cocliisico de crccimimto ,1,. Solow-Swi:11 ( c. J ¡ / 33
4': ' ~
l
C.-J)
il
')y= -
y
=O-= k O"fk· k
1
[1.19]
Además, como el consun o per cápita es proporciona al producto per cápita (1 - s)y), tenemos que la tñsñ de crecimiento del consumo es igual a la tasa de crecimiento de la producción he, = ')'yl, Djcho de otro modo, si ¡¡n¡¡Jizamos el com¡:,ortamier\to de la tasa de crecimiento del capital sabremo~ también cómo se comporta la tasa de crecimiento del PIB y del consumo per cápita. Este es un resultado muy útil porque um1 simple diYisión de la crn.1ción fundamental de Solow-Sw.1n por el stock de capital per cápita, l., nos da la tasa de crecimiento del capital. Dividimos los dos lados de [1.15] por J.: y obtenemos (r =
_.:_-------¡
l
-¡~-
= -kk = s-·f(k-J:'A)- -
(é
+ n).
[1.20]
Esta ecuación sili_ue sien o la crnació11 [1111d,1111c11tal del modelo de S0/orP-Swa11 (lo único que ha p.1sado es que hemos divido ambos lados de la ecuación por k, pero es l.1 misma ecuación). El miembro de la izL1uierd<1 de e~ta ecuación representa la tasa instantánea de crecimiento del cc1pitc1! per cápita. El miembro de la derecha nns indica que esta tasa de crecimiento viene dada por la diferencia entre dos funciones: sf(i;, A)/1.-, y (,'i + 71). Como estos dos factores siguen siendo la c111n1 de ahorro y la currn de dcpn•cinció11 que habíamos descrito en el apartado c1nterior (lo único que hil pasado es que hemos dividido ambas por /,), seguiremos utilizando el mismo nombre. Esta_"_ersión de la ecuación fundamental de Solow-Swan nos dice~ tasa de crecimiento del capital per cáp;ta es j~ua) a la djferencja entre e1 ahorro (e inversión) por unjdad de capital y la tasa de depreciación (incluyendo la tasa de crecimiento de !él poblélción). Cuanto mayor sea la télsa de ahorro, s, mayor será la tasa de crecimiento de la economía. Cuanto mayor sea el nivel tecnológico, A, m<1yor será el producto, J(-), y por lo télnto, mélyor será la cantidad de producto ahorrada e invertida. Cuanto mayor sea la tasa de depreciación, menor será la tasa de crecimiento y, finalmente, cuanto mayor sea la tasa de crecimiento de la población, más reducido será el crecimiento del capit,11 por persona. La primera función del lado derecho de [1.20) no es más gue la tasa de ahorro multiplicada por el producto medio del capital, f(k, A)/k. En el caso Cobb-Douglas, este producto medio es i~ual él f(k, A) - A1; 0 - 1 v la tasa de crecimiento del capital por persona se puede escribir como 'Yk
= -kk = s.41.:-(1-al -
(6
+ n).
[1.20']
Para dibujar la C1.1rva áe ahorro, sA1,-n- 01 , como función de k, es pr~ciso tener en cuenta que: ~ e s una función decreciente para todo/,.
:;; / APL-NTES DE CRECIJI.IIENTO ECONÓMICO
((s)
tiende a infinito cuando k tiePde a cero (recorde!11os que sAI.--Cl-a' = kf¿.. , por lo -que k aparece en el denominador cor: un exponente posilivo. Cuauuo el fft~ de:1ominado~ tiende a cero, la fracción tiende a infinito). ~ tiende a cero cuando k tiende a infinito.W Es decir, 111 curva de ahorro toma v¡¡lures infinitos cuando k es cero, decrece constantemente y se aproxima a cero para valores grandes de 1~- En el gráfico 1.10 se dibuja la curva de ahorro y se denota con las iniciales CA.
Gráfico 1.10. DinámiG, de transición e,~ ei modelo neoclásico de_ Solow-Swan.
La rnrvn de depreciación,{¡+ 11, es independiente de k y está representada por una línea recta horizontal en el gráfico 1.10. Esta curva se denota con las iniciales CD. Dado que la curva de depreciación es estrictamente positiva y que la curva de ahorro toma todos los valores entre oc y O, las dos curvas se cruzan al menos una vez. Como la curva de ahorro es estrictamente decreciente, las dos curvas se cruzarán solamente una vez en el cuadrante positivo del gráfico (para que se cruzaran dos veces, la curva de ahorro tendría que tener algun tramo creciente, lo cual no pasa si la función de producción es neoclásica y, por lo tanto, presenta rendimientos decrecientes del capital)_ El valordek para el cual ambas curvas se cruzan, V, es el stock decapita! per cápita de 1
estado estacionario que hemos visto ante~iormente, k" = ( ,;-;-:,) ,=-;;-. Acabamos 10 El lector puede demostrar que estas propiedades de la ci11,m de nlrorro se cumplen no solamente para el caso de la función de producción Cobb-Douglas, sino también para cualquier función de producció:, neoclásic.1 que s.1t1sfaga las propic.fades descritas en 11.b. ·
de argumentar que las dos curvas se cruzan una vez y sólo una vez, por lo que el capital po~ trabajador de estado estacionario existe y es IÍnico. l'.9Q.emos emplear el gráfico 1.10 parn estudiar el comportamiento d~Ja_ tasa de crecimiento en el tiempo . Según la ecuación de crecimiento [L2Cl, la tas¡¡ de crecimiento de k viene dada por la diferencia vertical entre las dos curvi\s. Vemos que la tasa de crecimiento es positiva para valores de k inferiores a k', k < k', y negativa para valores superiores¡¡ k', k > k". Además, la tasa de crecimiento es tanto mayor cuanto más por debajo está la economía del estado estacionario. Tomemos una economía con un capital inicial h·o inferior a k •. La tasa de crecjmjentn del capital en los primeros momentos es grande, pero va disminuvendo monotónjcamente con el paso. de) heropo al ir apcoximándose la economía a su posición de estado estacionario. Cuaodo se alcanza este punto el crecimiento se detiene. E! comportamiento de la economía es simétrico cuando el capital inicial está por encima de/;".
La explicación de la caída de la tasa de crecimiento a lo largo de la transició!l está en el supuesto d1' gue los re11di111ie11tos del capital so11 decrecientes: cuando el stock de capital es bajo. cada aumento del stock de ca¡:¡ital ~enern un ,¡:rou aumento en l;;t _producción (esto es, !a oroductividad mar~inal del capjtal es eleyadal. Puesto que, por hipótesis, los agentes ahorran e invierten una fracción const¡¡nte del producto adicional, el aumento en el stock de capital es grande .. Dado que la productividad del capital es de.creciente, cada unidad ndicional genera incrementos menores de producto a Xlll'didíl q11e k aumenta Como los agentes siguen ahorrando un porcentaje constante de la producción, lus aumentos adicionales del stock de capital son cada vez más reducidos. De hecho, se aproximarían a cero si el stock de capital fuera arbitrariamente grande. Antes de llegar a este extremo, no obstante, la economfr, alcanza un punto en el gue los incrementos del stock de capital cubren exactamente la substitución del stock de capital que se ha depreciado y compensan el crecimiento de la población (a una tasa n). Este aumento es, pues, exilctamente suficiente para mantener el capital per cápita a un nivel constante. Una vez que la economía alcanza esta situación, permanece en ella para siempre. Se trata del estado estacionario. Este resultado es, a la vez, interesante y preocupante: por un lado hemos visto que si la función de producción es neoclásica, no solamente existe un punto en el que la economía deja de crecer, sino que además, con toda seguridad la economía se aproxima a este punto. Dicho de otro modo ¡a jarga piazo ia ~aooroía debe dejar de crecer! Esta es una lección importantísima de la teoría neoclásica. que nos dice que el crecimiento a largo plazo TI() se ~uede alcanzar a base de invertir ung fracción constante del PIB. Pero es una lección preocupante porgue la experiencia de muchos países que han crecido durante los últimos 200 años nos muestra que es posible crecer a largo plazo. E_111E.ezamos a ver que el modelo simple de Solow-Swa:1 no es una descripción razonable de lo que sucede en el mundo que nos rodea. Un argumento intuitivo que podría parecer que explica lo que está pasando, pero que es falso es que, a medida que el capital crece, el producto marginal del capital 0
3ó Í ArUi':TES DECRECIMIEi'ffO ECONÓMICO
disminuye debido il la ley de rendimientos decrecientes del capit11!. Esto, podrí11 pensarse, llev11 a los inversores 11 invertir cada vez menos (y¡¡ que la rentabiiidad de la inversión disminuye). Aunque sea intuitivo, este razonamiento m e~ válidti. La razón es que las familias de nuestro modelo ¡¡horran e invierten una fracción co11sta11/e de la renta. En particular, no reaccionan a ningún tipo de cambio en la lasa de rentabilidad, por lo que el mecanismo que actúa a través dt' la reducción en los incentivos para invertir no tiene cabida en nuestro modelo con tasa~ de ahorro constantes. Para hablar de este mecanismo deberemos esperar al capítulo 3, donde, alli si, las empresas decidirán sus inversiones de acuerdo con la rentabiiidad que les ofrezcan los mercados. 1.4.1. Aumentos en la tasa de ahoqo
Se podría pensar que si nos encontramos en nuestro estado estacionario (y, por lo tílnto, si nos encontramos en una situación de estancamiento permanente), una forma de genernr crecimiento consistiera en la tasn de ahorro e inversión (recordemos que lus tns.1s de ahorw e inversión coinciden cuando la economía es cerrada). De hecho jnstjtpcjones jntemacionales CQD)O el Banco Mundial a menudo recomiendan el aumento Ó" la tase de abccrn e inv csiól' corno I¡¡ so]ucj(m del problema del nulo . crecimiento económ¡c;o experimentado por muchas economías de nuestro mundo. Veamos cuiiles son las predicciones del modelo neoclásico cuando la economín experimentíl un aumento en la tilsa de ;ihorro e inversión (en estos momentos no nos ir.tc¡esa saber cómo se consigue incentivar el ahorro y la inversión, aunque se supone que es <1 travéo de polírirns fiscales. Lo que nos interes.:1 saber es cuál será el comportamiento a corto, medio y largo plazo, d(:'!~-~e:_:'.}1~:i~"":_L~ que consigue aumentar su tasé'. de aho:-ro, .s). -~:-::=--=,.,;:_:-,_ Si la tasa de ahorro s experimenta mi ~! 1 n1~nfi t;:,,,~,_:tino y pama11c11tc, la curva de ahorro salta inmediatamente hacia la d¡;,;·2:li.. ·:!,- ,:F['i áfico 1.11, la curva pasa de C.41 aC,12. Como, inicialmente, el capitr1 1 q!•::'t1Ó\.·-l. e,:,:momía es todavía 1.-·, para este stock de capi'.al la curva de r1horro es:f i1"i.½'._~:i;·; ~..-,_.,-te la curva de depreciación. La tasa de crecimiento de la economía p;:s~_µ,fe:::.,¡_~Ci:_:¡:,ositiva. Esto implica gue e! stock de caµjtal comienza a despla2a1\e K4¡:ja··j;;::oé,· cba A medida que esto sucede, 1c. distancia entre las rurvas de nhorro y depreciación se redueLiebido__a la existencia de rendimientos decrecientes del capital. Eventualmente, la economía converge hacia un nuevo punto de estado estacionario con crecimiento nulo, k"". En concl11sión, una política de aumento de la tasa de inversión no consigue aumentar la tasa de crecimiento a largo plazo, a pesar de que consiga aumentar el crecimiento a corto piazo y el sto:::k de capital per cápita de estado estacionario (y, con éL el PIB per cápita de estado e:;tacionariol. De hechó, ni sii;¡uiera está daro que dicha política sea buena. a pesar de que consigue aumentar el PIB per CáL7ila a larso plazo. La razó1, es que. a corto µlazo el consumo se ha reducido, por lo que esta política no 0
0
0
serfa deseabie sj la ~ente fucrn muy impacieule y valoran' el presente omcbo roós
El modd" 11c,,c/ásfr,, ,le crcci111ieuto de SC1/,111LSm111 (:. 1¡ / 37
t-\
Tas, de crecimieo~ ini
~V
t-----,...---~------ CD
k
Gráfico 1.11. Aumento de 1,, tasa de ahorro. gue el futuro. Es más, si el stock de capital inicial fuera superior a /; 0 ,..,, entonces un aumento de la tas¡:i de im'Ccsiáu serííl claramente malo ta) como hemos se!iillado en )a sección anterior. El resultado obtenido nos vuelve a indicar que, en este modelo, ne se puede explicar el crecimiento obse1Tc1do ;i muy largo plazo con la im•ersión en capital físico, dc1do que la ley de !ns rendimientos decrecientes del capital acaba por matar el crecimiento. Un aumento en la tasa de ahorro genera crecimientc> positivo a lo largc> de la transición, pero no genera crecimiento a largo plazo. Uno podría pensir que si voh•iéramos a aumentar.<, entonces se generaría otro pequeño proceso de crecimiento hacia un nuevo estado estilcionario. Una vez allí, podríamos volver a aumentar s. Sucesivos aumentos de la tasa de ahorro, podría pensarse, gene:-arían sucesivos aumentos en la tasa de crecimiento. Sj esto se hace a perpetuidad. la tasa de crecimiento podría ser siempre positiva. El problema de este argumento es que oivida que la tasa .de ahorro es una ú·ncció11. Es decir, es un número que no puede nunca exceder de uno: una vez ahorrnmos todo lo que producimos no podemos aumentar la tasa de ahorro porque no hay nada más para ahorrar. Una vez Ue'ª40 il ese límite. la tas¡¡ de ahorro no puede aun1entar y lu econon1ía convei:girá a 11n estado estariooacio final sin crecimiento del que ya no ¡,odremos escapar. La lección princip¡¡l es, por Jo t¡mlo, que 1io se pueden generar aumentos permanentes en la tasa de crecimiento con polítiras de ahorro e inversión.
38 / A ruNTF.5 DE CRECIMTEr-;TO ECONÓ~IICO
1.4.2, Disminuciones en la tasa de crecimiento
de la ¡,pblacjón
Otrn política gue el Banco Mundial recomienda a menudo a·)os pa:se~ pobres es Ii.i redyróón de k tasa de crecjmjento de )a pob)acjón n. Normalmente esto se cm.sigue con las llamadas políticas de plnnificnción familiar que reducen las tasas de nat,1lidad (algunos países intentan reducir el crecimiento de la población simplemente obligando a las familias a tener un solo hijo y... ¡matar a le~ demás!). En este momento no nos importa tantu el saber cómo se consigue como el saber cuáles serán ias implicaciones económicas de reducir el crecimiento de la población. En nuestro modelo, nos pregun,amos qué pasará a corto, medio y largo plilzu cuando el parámetro 1, disminuye permanentemente. Para ser más concretos, imaginamos que, en el momento inicial, la economía se encuentra en un estado estacionario, 1,;·, con crecimiento nulo.
Tasa de crecimiento inicial I ¿
/
I
\
1 1
k·
J
CD1
CD2
k
k ..
Gráfico 1.12. Reducción del crecimiento de la población, n.
fj in1pacro iniciai de esta política d@ Rat;alidag
ti
;l
iMlto
de--la-eur-v~-
ciación hacia abajo (en el gráfico 1.12 la cup•a de de~recjación pasa de _CD1 a CW.). En el momento inicial (cuando ei stock de capital es todavía k") la curva de ahorr9 Jlasa por encima de la nueva curva de depreciación, por lo QUe el crecimiento de la economía pasa a ser positivo. A medida que el capital aumenta, la distancia entre ias dos curvas disminuye, por lo que también lo hace la tasn de crecimiento. Lil economía converge finalmente ai nuevo estado estacionario, 1,;··, con un capital per c~pita superior, pero una tasa de crecimiento nula. El hecho de tener un PIB superior, sin embargo, no justifica necesariamente este tipo de políticns, ya que debemos tener en cuenta que a lo mejor las familias quieren tener muchos hijos. Es decir, es posible
E! moddo 11coclá,ico de crecimi~111t1 ,fr Sv/aw-Sw,m (c. 1) I 39
\
\ \
t
\! k"
Gráfico 1.13, Pro~reso tecnológ:ico que la familia típica chine', prefiera tener una rcntñ un poco menor y no tene:- que sufrir la muerte del segundo hijo. Dej,mdo de lado la optimalidad o deseabilidad de estas políticas, lP Que sí está clara es q11e la reducción del creci1niento de b pobladún tampoco genera crecimiento a lar¡;o plazo. Obsérvese r;¡ue tampQJ'.:
QtJe esto conlievaría tasas de crecjmjento de la poblacjón cada vez más negativas
y
la población mundial élCñbaría extinguiéndost:.
1,5 Progreso tecnológico La lección principal hasta ahora es que la acumulación de capital no puede explicar el crecimiento a largo plazo en un modelo neoclásico. Si esto es cierto, ¿cómo explicaban Solow y Swan el hecho de que Inglaterra, Estados Unidos o Francia hubieran crecido sin parar, durante los últimos 200 años? La respuesta que_ dieron fue, naturalmente, que todo este análisis se había hecho bajo el supuesto simplificador de una líl tecnología constante. En realidad, sin embargo, la tecnología mejora con el paso del tiempo. Según la ecuación fundamental del modelo de Solow-Swan JJD a!lroentn de) parámetro tecnojó~ico. A. hace saltar la curva de ahorro hacia la derecha. En el gráfico 1.1_3, la curva de ahorro pasa de CAl a CA2. La evolución de las variables económicas tras un aumento permanente y exógeno de A es mt!V similar a lo gue sucede ante un aumento de la tasa de ahorro: la tasa
40 / APUNTES !:JE CRECl~ll~NTO ECON('.l!I.IICO
de crecimiento aumenta inmediatamente, por lo que también Jo hace el capital. A medida que el rnpititl aumenta, el producto m¡¡rginal del capital disminuye, po:- Jo que la tasa de crecimiento se reduce. A litnw plazo. s: no existe un nuevo aumento de .--\, la economía convei;se a un estado estacionarjo con un stock de capital y de PIB ¡:,er cápita superior, pero con crecimiento nulo. Líl grnn diferencia entre aumentos de.• y .aumentos de .-les que los aumentos primeros no se pueden repetir indefinidamente, mi1mtras que la tecnolosÍil puede mejorar una v otril vez sin límite. Obsérvese que si el parámetro A vuelve a aumentilr, líl curv¡¡ de ahorro vuelve a saltar a la derechil (y pas¡¡ a ser C.43) y la economfo vuelve a crecer durante un periodo de tiempo. Si los ¡¡umentos de A se repiten una y otra vez, la economía crecerii sin cesar. Como líl in-,aginación humana no tiene límites, no hay por qué pensar que este proceso no put:>dit repetirse ilimitadamente, por lo que no hay por qué creer que el crecimiento ;:, litrgo plitzo será cero. Por lo tanto, el modelo neoclásico es compatible con el crecimiento continuitdo,_pero !¡Ól.Q..:á.e,~o.gr.es.o...temoló&ico continuado. .. --· --· ,.t;,n e) caso de QUI? el njvel de la lecnojn~Í¡l 4, aumente continuamente a una tas¡¡ constante r j¡i Cll[\'íl de ahorro se despl¡iza co11ti1111ai11c111t· hacia lil derecha. Es por ello lJUe el slock de capital del estado estacionario también se desplaza hacia lit derecha a lo p,i~ma tasa a· Pe estt" n1odo la taca de ccecin,iento de la ecooan,ív en el est¡ido estacionario en térn1inos pe: cá~'ité\ es posith·íl e if.ué11 a :r. Podemos demostrar que ia tílsa de crecimicnlo per cii pita a largo plazo es positiva cllémdo líl tecno!ogír1 mejora de fonnil cnntinu¡¡da. En el capítulo 4 se discutirán diferentes tipos de progreso tecnológico y se argument¡¡rá que, para que exista un estado estaci01~ario, Ja tecnolo~ía ctebe estar 11111/tipticando et factor tmbaio. Por lo tanto, la función d;;; rroclpcc:ói~ debe poder escribirse como
---....---
' lí = FU<,, L1 A1).
[1.21]
es deci~, la tecnoiogía h;ice que el trabajo sea más eficiente· con la misma c;antidad pe trabíljadorcs, L,, un ¡¡ume11tc, en la cficicucia del trabajo hace que la producción illnnente. Por este motivo, muchos economislas denominan el producto L = L,A, rcrridarles de c{ici;:11cir. dd Iral•aio ..Obsérvese que este producto crece si crece la población, L, o si crece el nivel tecnológico, A. Como siempre, supondremos que L crece a una tasa cxcíge1111 co11st1111/c que denominamos 1r. Además, supondremos que A crece también a 1.m ritmo exc!g,:110 11 y c,rn~taute <;¡wt' denotamos con la letra x . .P~rJ9_t~ntQ,_ ~ n ñ lriefüaa·aer¡,,üs,eso tecnoTogtco. "1'or ejemplo, 51 :r = 0,02 cada trabajador es un 2 por ciento más eficiente cada año. La producción, Y, aumentará exactamente igual que sj L hubiern crecido en un 2 por ciento. Como la población crece a un ritmo n y la tecnología crece a un rilmo J:, el producto L = L 1 A 1 crece a un ritmo n.;. x. 11 Exógcno guicrc decir gue la tccnologfa aumenta 5in necesidad de que n:n¡;úr. miembro de la economfo dedique esfuerzo, o recursos para q:1c ello su,edn.
El análisis de unñ economía neocl,"isica con progreso tecnológico exógeno y constante es bastante similc1r ñl análisis hecho hasta ahora. La únicñ diferencia es que, en luga:- de analizar el capital por persona (l. l\"/ L) será conveniente analizar el rnpit,1/ l/f'I" ¡mjdqd de tmbnia eficie11te, gue vamos a definir como k - K / L porque, como vere. n,os seguidamente, su comportamiento es xirt11aln1ente idéntico al coa1t1ortamiento de l. cuando no hay progreso técnológico. Como F(·l presentil rendimientos constantes a escala, se cumple
=
F(l\·.
LJ
-L- = F
(¡\·I' IL) = . 1) = /(/,:).. F(/,,
\
Volvamos a la ecuaciór, [l.S] y dividamos los dos lados por L:
k
.I
.
.
[1.22]
= s1<1.-i - íi1.-.
1
Para 5Abcr el comportamiento de k en
el tiempo, calculamos su derivad¡¡ con
,respecto ai tjempo (de manera parecida a In que hemos hecho en [1.12]): ·-·---·-----·--------
[1.231 /,A
¡, L.-\
A·
..\
L_.\
•
= -::- - (n + J·)I.- ' L
Substituyendo [1.23] en [1.22] obtenemos
.
-
.
/(/.) - (~ + n + x)I .
[1.24]
.
Obsérvese que la ecuación [1.24] es casi idéntica a [l J!i]. Las dos diferencias son: (1) el stock de capital relevante no es/.: sino Í, y (2) la constante que multiplica el stock de capital en el último término es é +n + x en lugar de 6 + n. Si procedemris a construir up gráfico sjmHar a) 110 encontraremos que las rnrvas cie aborrn y depreciación se. cruzan una vez y solamente una (véase el gráfico 1.14), por lo gue existe un único stock de capital de estado estacionario constanti;, k", y la tasa de cr~cimiento es cero, 11; = O. En este estado estacionario, será cierto que el PIB por unidad de trnbajo eficiente, f¡ = Y/ (LA), es constante y su tasa de crecimiento es cero. No reproducimos la exposición de este análisis en estas páginas porgue el procedimiento es idéntico 111 utilizndo para la construcción del gráfico 1.10.
-[! /
ArL":-ST~~ DE CRECI~ !IE~TO ECONÓ~llCO
1
1
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Tas, drnecimiento de;
\
\
/
"V ~ 1
1
1
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T
k,,
CD - ,\ +
ll
+X
k'
Gráfico 1.14. El modelo neoclásico de Solow-Swau con ¡;,ro~reso tec-
noló'iico.
= f\ f
Dadoque,pordefinición,Í: = ::r = 1,tenemosquelatnsndecrecimiento de i.- es iga,1] a la diferenci,, emre , 1, y ,·_. 1 = .t. Por lo tanto, obtenemos que en el estado esta.:ionario, donde-,¡ = -1z = O, seriÍ cierto que ·:; == -1¡ = .r. Es dcci:-, en el estado estacionario el capital y el PIB per c.ípita crecer,ín al mismo ritmo que la tecnología, ,r.
port«nte: IA
econon1ía neoclásica puede tener crer-inJie1Jta positivo a largo plaza si
la lecnplpgíd cre.¡:e, _La pregunta que debe surgir de forma inmediata es: ¿Cómo podemos acelerar el progreso tecnológico de manera gue aumente la tasa ,r? Hasta ahora hemos supuesto gue el progreso tecnológico era exiígc1w en el sentido de gue no surgía de la inversión en I+D de las empresas o del esfuerzo investigador de nadie; simplemente, ei nivel tecnológico aumentaba constantemente sjn explicar por QY€ Si dejamos :as cosas así, deberemos concluir que el modelo neoclásico de crecimiento económico explica muchas cosas, pero deja una cosa importante sin explicnr: precisamente, ¡el crecimiento económico! El modelo dice que la única fuente de crecimiento a largo plazo debe ser el progreso técnico, pero el modelo no explica de dónde surge dicho progreso. El problema es mucho más grave de Jo que parece porque, si seguimos los postulados neoclásicos, el progreso tecnológico DEBE ser exógeno. Para entender este punto, tomemos de nuevo la función de producción neocl.ísie«. Como se rccordnr.í, una de las características de toda f1111ció11 nt'oclcísica es que presenln re11di111ie11/os co11s-
El 11wdclu 11~uc/1ísico de creci111ie11to rlc So:úw-Smm (c. 1) / 43
tan tes en los i11p11ts rizmies, en este caso I< y L. EI teorema matemátjco de fa.1ler r.os
. dice que una función
j10mo¡;énea de gr:tdo uno tiene la propiedad de que_
•
1
DF DF F(I(. L. .4.) = J { - + L-.
ar:
[1.25]
DL
Otro de los postulados neoclásicos (que estu 1aremos con más detalle en el capítulo 3) es que el mundo es de competencia perfecta. fü1bemos q11e rnancio bay competencia perfecta, la recompensa gue recibe cada factor de producción es su producto marginal. Es decir, si it· e_s el salario d_el trabajo y R_ es la renta del capital, ,entonces en 11n mundo neoclásico de competencia perfecta, los precios de los factores cumplen w = DF/DL y R = BF/8!{. Si substituimos estas dos igualdades en [1.25] obtenemos una conclusión devastadora: l-F(I(, L, A)= KR + Lw.
[
[1.26]
La condición [1.26] dice que el producto total es igual , la cantidad de c.1pit.1! mu!tiplicad,, po~ su precio más !a cantidad de trnbajad_ores multipiicada pc:>r el salario gue cobra cada uno de eilos. Otra manera de leer ia misma ecuación es: ua,, vez pabc1clo el salario a !os tra!:-aj;;dores y la renta al capital, el producto de la economía se ai;aba. La impiicación de todo esto es gue la ecvnom[li 11eociá$icn 110 pttcrle dedicar recursos 11 la fi11a11,:iación de! provrcso tcc110/ó¡;icc. Los economistas neoclásicos, pues, se ven OBLIGADOS a suponer que t:I progreso tcrnológico es cxcígc11c. Esto rgdpce enorn,emente la 11tiHdad de 1nvvielo ponv1i:t basa todo c""ecimiento a lnrgo plaza en ios aumentos 110 e:wlicndos y 110 explicn/,/cs de la variable tecnoiógica. Esta conclusión h;i;:c aue el n.odelc neodásico de crecimiento sea intelectualmente insatisfactorio. Otra lectura más positiva de esta conclusión es que si queremos construir un modelo Que cx¡;¡hque el crecimjento a largo E>lazo, deberemos ;ibandonar alg11110 de lo~ suoueslos neoclásicos: o bien la función de producción no es neoclásica, o bien no hay conmetencia perfecta, o bien se relaja al~úr. otro supuesto. Esto es lo que har
44 / APUNTES DE CRECIMIENTO ECONÓMICO
1.6 Una medida cuantitativa de la duración de la transicióIJ. un aspecto importante del modelo es la rnpidez con la cual la economía evoluciona durante la transición haci¡¡ el estado estacionario. Para cuantificarcst¡¡ velocidad, seri más conveniente volver ¡¡l modelo sin progreso tecnológico, y utilizar la función de producción de Cobb-Douglas. Defmjmos lo ¡.•r:Jocidnd de w11~·~rRi:11cia como el cambio en la tasa de crrcilnienta nwndo r1 capital a11n1enta en un uno ~1 or ciento. Si denotamos esta velocid¡¡d con la letra fJ, entonces tenemos que la velocidad de convergencia es
u,k
[1.27]
!~=----
i}log(J.:)
_Para calcul..1r esta derivad¡¡, es preciso expresar la tasa de crccimient0 como fundón de log(k), dildo que ahora la tenemos como función de J.-. Parn ello será prcCiSO darse Cllentil que el término ,4;.-0-olpuede reescribirse COmO i1c-O-n) i<,~lk·I . Utilizando
la ecu,1eión fundanu;ntal de Solow-51,·i)n r1,20· 1obtenemos .
f~~--~ 11,· -
·.\--(1-nll"~(/,) _ ('.
S. C.
C'
-)--1·- --
+ 1J.•
~
Derivando esté'. expr~sión con res¡..,ccio ¡¡ fogU.)fcnemos que r, --
o-:i.-----·- r \
iJ=-ülog(l,)=-ls.'r
~-
\
-(1-n)lnd;,:1,--(-.------1 )';~} e
.,-.-(l¡J-
1 nlsAi,- ~ . l ~
_
Vemos que f, es una función decreciente de k. Esto imph c1 que la velocidad de convergencia disminuye a medid¡¡ que el capital se aproxima su valor de estado estacionario. En el estado estacionc1rio, sabemos que sA(/,* ¡-ci - 1 es igual a f: + 11. L1 velocidild de convergencia, pues, disminuye a lo l;.rgo de la tra sición hasta alcanzar el v¡¡Jor
Q~¡;g, Q.lílOGMJde Be.gar al mismo resultado. es analizar una versión linearizada del modelo de Solow-Swan. Mediante una aproximación de Taylor de primer orden de [1.20'] alrededor de Iog(k*) se obtiene 'YI.:
Nótese que el valor de .sA~-c:-ni i,,¡,:c1.:· l en el estado estacionario es b + 11. Substituyendo el primero por el segundo, obtenemos: ,,. = -(1 - o.)(,)+ 11.)(log(h) - logW)]
[1.28]
Ei mo,frlo 11eoclrisico de creci111ie11to de Solaw-Smm
(c.
1J /
4:
Es decir, la tasa de crecimiento del ca¡:,ital de la economía está inversament~ crlaciooada con el njvel de capital inicial. Obsérvese gue, ahora que tenemos la tasa de crecimiento como una función lineal de log(J.:), es fácil tomar la derivada para calcular la velocidad 13· = - ~ = (I - o)(/i + n). Para proporcionar una medida cuantitntivn de esta \'elocidad de convergencin. recordemos que la tasa de crecimiento de la población de los países industrializados oscila alrededor del 0,01. La tasa de depfeciación lo hace alrededor del 0.1. La participación del capital físico en los países industrializados está situada alrededor del 0.30. En consecuencia, la vclocidnd de convergcnciíl que predice el modelo es, más o menes, de (l - a:)(tl + n) = o, 7 x o, 11 = 0,077 o 7 .77c anunl. Es decir cada año se cubre el 7.7% de la diferencia existente entre el capital inicial\' el capital de estado estacionario, 1.:·. Esta velocidad implica que la mitad de la distancia existente entre kv y 1.:· desaparece en un periodo de unos 9 añosY La vclocidnd de convergencia hacia el estado estacionario es, pues, bastante grande, por lo que la transición tiene lugar en un breve espacio de tiempo. La situación sería aún más extrema si cosideráramos el modelo con progreso te.:nológico exógeno por cuanto, en este caso, la velocidad de convergencia sería (1 · o)(b + 11 + J:). Sin necesidnd de repetir todo el proceso, el lector puede verificar este resultado, por cuanto la diferencia que el progreso técnico introducía en la ecuación fundamental de Solcnv-Swan era que, en lugar dt> f + n, la tasa de depreciación eiectiva era de b + n + 3:. Es natural, pues, que esta nuevn tasa de dcpre:iacicín npnrezca en la nueva velo:idíld de convergencia. La velocidad cie convergenci¡¡ que se ha determinado sería mucho menor si tomáramos en consideración una definición más amplia del capital (de modo que incluyera otros elementos, como el capital humano, del cual hnblaremos más adelante). A modo cie ejemplo, si líl participación del capital, definido ele fom,n amplüi, fuera de u = O, 80, la velocid¡¡cl de convergencia predicha se situaría alredor de 0.022 (lo gue conlleva que la mitad del desfase se cubriría en un periodo de 32 años). Barro y Sala-i-Martin (1991, 1992a, 1992b) y Mankiw, Romer y Weil (1992) han demostrado que estos valores de convergencia más reducidos concuerdan mejor con los datos empíricos. En el capítulo 10 estimaremos la velocidad de convergencia en varios conjuntos de datos regionales e internncionales.
1.7 Convergencia: absoluta y condicional_ El grMicu 1.1 Oi11dica que la ta:;a de crecimiento de una economía neoclásica es decreciente. Esto significa que si las economías se. diferenciasen únicamente en el La ecuación 11.28) es una ecuncióndiferencia\en log(k 1 >cuya solucióneslogl<>s(l.,-J• losCJ.o>- El momento I p,1ra el cual lug(k 1)estiÍ a mita el de camino entrek0 y 1.-· satisface la condición e-lit = 1/2. Tomando logaritmos de los dos lados y despejando t veremos (!Ue el tiem?O que se tardil en r~currer Id mitdd cid carnirw es lo¡;(2)//.l. Para el caso de 6 = O, 077 obtenemos que logí2l/ ,3 = 9 años. !~
e-lit
-tÓ / APL:\iTES DE CRECIMIE.,TO ECONÓ~l!CO
stock de capital por trabajador, en el mundo real deberíamos observar un crecimiento superior en las economías pobres que en las ricas (en este caso las diferentes economí«s se represent«rfan en el gráfico 1.10 con diferentes valores de k0 , aunque se supone que todas ellas poseen el mismo volumen de capital en el estado estacionario, V). Este fenómeno se puede observar también en la ecuación [1.20], donde la tasa de crecimiento de k está inversamente relacionada con el nivel de k. Dado que la tasa de crecimiento de la renta per cápitr. es proporcional a la tasa de crecimiento del capital per cápita el roocielo predice tambj.>'1 un¡¡ relació1~ ne~ativa entre la renta ,inicial v su tasa de crecimiento. Esta relación inversa entre la renta inicial v su tasa de crecimiento es conocida . como la hipótesis de conr·agmcin. fata hipótesis es interesante, puesto que se puede comprobar fácilmente empleando datos de un conjunto de países en un momento dado del tiempo, mediante la confección de un simple gráfico en el que se representen b rent« de cada país y su tasa de crecimiento (véase, por ejemplo, el gráfico 10.3 en el capítulo 10). Si la correlación observada es negativa, estas economí«s tenderán a conve~ger en el tiempo.
1
I\
i
1\ \ \
\~
~
Tasa de crecimiento de pobre si pobre tiene "s" baja ·
Tasa de crecimient0 de rico si rico tiene "s" alt¡¡
1
T
CD
k k,.,. k,,.,
Gráfico 1.15. Convergenci¡¡ condicional.
Hav que destacar <:,¡ue el modelo neoclásico que acabamos de esbozar sólo predice la cxistt·11cin rle 1111n rclqrió,, 11eyativn c;ntre In r,:11ta ji In;; tasas ,h' crcci111h·11to en ,:1 cq,o de que la 1Íl1icn diferencia rnlfl' los pni,;,:s residn r11 sus stocks i11icinli:s de rnµi/11/. Si, por el contrario, las economías también se diferencian en su nivel de tecnologí¡¡, .-t, en
ti 1110.telv 11eoc1as;cC1 at• cr,·rn1111'1HO ae :io/Llw-:,mm 1.:. u ,
-11
st: tasa de ahorro, s, en su tasa de depreciación, l, o en su tas;i de crecimiento de l.1 población, n, el modelo no predice,un mayor crecimiento para los países más pobrt:'s. Como ejemplo, pasemos al grf.fico 1.15, en el cual dos economías (designadas por P, el ¡::;¿1ís pobre y R. el país rico) poseen un stock de capital J.-01., y /,0 ¡¡, respectivamente (siendo k;¡p < ~-0n). Supongamos, además, que la tasa de ahorro en el país pobre es diferente a la del país rico, por lo que los dos países convergen a un estado estacionario distinto. Nótese qtie, si no sabemos qué tasa de ahorro tiene cada país, no sabemos cuíll es su tas« de crecimiento. En particular, no sabemos si el rico crece menos o más que el pobre. Es decir, el modelo 110 predice que vaya a haber convergencia, en el sentido de que la economía pobre vaya a crecer más que la rica. Por ejemplo, si el país pobre es ei que tiene una tasa de ahorro inferior, entonces su tasa de crecimiento es menor y, en este caso, habría di¡,ergencia y no convergcnciil. Sin embargo. aun es posible hablar de co11uergc11cia co11dicio11a/, en el sentido de que /11 ta~n rlc creci111ic11to
,ic u1w cconq111ú1 r(:tá din;ctOUl''Ufc rcLzciww;la rou In dis!aucia 11 üz que~,, sitúa de su estadn cséqriq11nriq En otras pé'tlé1br<1s, si un país es pobre en la ilCtué\lidiid pero se espern que siga siéndolo en el largo plazo, entonces su tasa de crecimiento no será muy eievada. Por el contrario, si se espera que el mismo p.1ís acabe siendo muy rico, ~ntonces su tasa de crecimiento actual será íllt:i. E! modelo neoclásico, pues, predice la convergencia ünícamente después de tener en cuenta los elementos determinantes del estado est.1cionario.
La jntuición tras el concepto de conver¡;encia condiciono! es muy sencjj!a Si dos raíses tienen la misma función de producción neoclásica, entonces el c;¡ue ten~íl un.1 cantidé'td menor de capital (país robre) tendrii un producto m¡¡rgi1rnl de! capitíl) surerior al guc tenga mucho capital (país rico). ,I,.iteralmente, el tiroducto mílr¡;inal dpj capjta) es el aumento que experimenté\ líl producciéin cuando _incrementamos e! stock de capital c11 111111 ,midad. Si invertimos en una m.íquina en el país pobre obtendremos más producción que si invertimos en e!líl en el país rico. Ahora bien, para determinar el crecimiento de un país, no sólo es importante s;iber cu.íi será e! aumento de la producción generado por cada máquina adicional sino que debemos sílber tambié11 en cuántíls máquinas invertimos. Quien nos dice en cutlntas mtlquinas invertimos es la t.1s.1 de ahorro e inversión, s. Se puede dar el c;isn de que un p;iís rico (y con un pr0ducto marginal del capit.11 reducido) tenga uníl tasíl de inversión tan elevada que el aumento total de la producción sea superior al aumento del país pobre, a pesar de que cada una de las máquinas adicionales genere un incremento reque110 de la producción. Otra manera de apreciar el fenómeno de la convergencia condicional es mirar la ecuílción [1.28], en la cué\l la tasa de crecimiento está negativamente relacionada con el logaritmo de k. Obsérvese también que en la misma ecuílción aparece el témüno log(k"). Desde un punto de vista empírico es preciso que/.:" sea constante para poder observar la relación entre el crecimiento y el nivel de capital. Si k" 110 es constante y se omite de la regresión, entonces líls estimaciones del coeficiente de log(k) estarán
4S / AT'Ul'trES o~ CR[Cl:s.11[1'.iTO KONÓMICO
sesgildéls siempre que k" esté correlacionado con J.-. Barro y Sala-i-Martin (1991, 1992¡¡, 1992b) y Mankiw, Romer y Weil (1992) han encontrado apoyo empírico para)¡¡ hipótesis de convergencia condicional y, e•1 consecuencia, para el modelo neoclásico. La pi!rticipilción del Cilpital qae se precisa para que el mndelo se ajuste a los datos es sustanciillmente mayor que 0.3 y cercano a 0.75. Los resultados de estos estudios empíricos se iln,liizan también en el capítulo 10 de este libro.
1.8 El modelo de Solow-Swan ampliado (
\j
',
Lil c\"idencia empírica sobre la hipótesis de convergencia indica que el modelo neoclá: si~ es consistente con los díltos estadísticos, si J¡¡ pílrticipación del capjta1 ronda el O. SO fose el ca ítulo 10 ." Las estimaciones empíricas sobre la participación del ,. : íll en los pilíscs industrializados indican que esl;:í más próxima ai O, 3 que al O. 60. Por este motive,, e:; preciso considerar r,· rn un sentido amplio para gueabarque otras fo1mils de capitc1l no físico. Pare incorporar esta idea, Mankiw, Romer y \.Veil (1992) construyeron lo que ellos bautiz¡¡ron como un "modelo de Sc)ow-Sw¡m ampliado':. El modelo incluye tres factores de producción: cilpital, tr.ibajo en e, sentido convencional, y ~ humano Cdcsign¡1do por ,¡; en una tecnobgfa Cobb-Dm,glas: 11.29] lvli11,ki\\", Romer y Weil supusieron, éldemás, que tilnto el Cilpitc.l físico como el hum.:ino se podii11~ .:icumul¡¡r dctr,,yéndolos de lél producció1~:
l 1~· + fi = nr,··\JJ' 1,1->-• 1
1-
e-
ó,,1,· - fi;,li,
1
siendo 61. y ,I¡, las tilsas de depreciación del ci1piti11 físico y el humano, respectivamente. lmilginemos que 61. = to,, = ó. Parn simpliiicar el ¡¡n;:ílisis, teur-amos eo menta que si !;is empresas milximizan, van a competir por el capital físico v humano hastil gue el ¡¡roducto mm~ill!ll 11eto de los dos tipos de cc1pilal se;1 idénticp._ Es decir, = 11ft. Podemos reescribir esta expresión de forma alternativa, H = (17/)..)/,·, lo que nos indica que, en tudo momento, la cantidac de capital humano debe ser pmparcianal a la de capital físico. Si se substituye estñ reiación en la expresión del producto, ohtenemo,; que)"= Al<ª r 1-", siendo la participación efectiva del capital, n, la suma de las participaciones del Ci1piti1l físico y el humilno, n = >.+,,y, 11demás. la const11nte 1\ = D(11/ ,\)'1• Por esta razón. el modelo de Solow-Swan arnµhado para jnrnc¡:mrar e) capital humano es únicamente una forma de acgJ11uentar <¡ue la participación del capital relevante es mayor que Ia participación de) capital físico fu otros términos se Lrilta de unñ form;i de defender que lil particip11ción del ca~,ital relevante está más próxima a 0.80 que a 0.3 .. Nótese que la ve;ocidad de convergencia que se derivíl de lil ecuación 11.20') depende ahoril de la pi1rticipi1ción del rnpital en un sentido amplio,
,\f
El moddo 11eocldsico ,fr creci111i~11to d<' S,1/c,¡¡,.5,m11
/ 49
o = ..\+,¡,en lugar de la participación del capital físico, >., por lo q1.1C la velocidad de convergencia es igual a e· = (1 - ..\ - ,¡)([, + n). Si la participación del capit.::I físico es >. = 0,30 y la participación del capital humano,¡ = 0.50, lél tasa relevante del capital es o=,\+,¡= 0.80 y lél velocidad de convergencia que se desprende (cuando~= 0.10 v n = 0,01) se sitúa en 13· = 0,022 .
.Em::Y:alor.es.se-i-WP@?an ovr·bo JJJás a los obtenidos por Ja literatura empírico (que se analiz
10)
que fluctuéln alrededor del 0.02.
1.9 La introducción de una economía abierta Los modelos de crecimiento descritos hasta el momento se basan en el supuesto de una economíél cerradél, en la cual no existe intem1mbin de bienes, activos o trabajo entre los países. La evidencia empírica que hemos citado se refiere él economías, como los Estados que formnn Estndos Unidos, las prefecturns de Japón e, incluso, los países de la OCDE, que, obviamente, no son economías cerradas. Barro, Mankiw y Sala+ Martin (1992) presentaron un modelo de economías abiertas en el 11ue lo~ diferentes países pueden pedir prestado en los mercados internacionales de capital, pero en el (!Ue no todo el capital puede ser usado como aval o gílrantía colillera!. De m0do parecido, en lugar de préstamos internacionales, uno puede imaginar un mundo con dos tipos de capital, pero en el que solamente uno de ellt1s es múvil. A p.irtir de la función de producción [1.29], .imnginemos que K puede destilazarse libremente a través de las fronteras, pern no así JI. 1' Imaginemos que existe un mercado de capital mundial, en el que se paga un Lipo de interés real mundial, ,-•. El supuesto de movilidad per· fecta de I< exige que el producto marginal de X sea igual al tipo de interé~ mundia! y; por tanto, >.f = ,.· + ó. Esta igualdad se puede utilizar para reescribir I< como función de J": I< = ,\ ,.:~,.. Substituyendo esta expresión en la iunción de producción [1.29], obte11emns la forma reducida de la función de producción Y = A l/ 0 L 1- 0 , en la cual a= "21 y .4 = n 1/C1--'>[>./r·· + 6)]·\/ 0 --' 1. Hay que seüalar que la formil reducida de la función de producción de este modelo de economía abierta es idéntica a la función de producción del modelo neoclásico ampliado de economía cerrada t que, además, el valor numérico de la participación relevante del capital, n, es muy próximo al de éste. En efecto, si continuamos suponiendo que >. adopta un valor cercano a 0,30 y 11 vale aproximadamente 0,50, la participación relevante del capital es o = 0.50/0.7 = 0,71. Si aplicamos estos valores a nuestra fórmula de la velocidad de convergencia (que, recordémoslo, es 13' = (1 - n)(h + n)), entonces la velocidad se sitúa en este caso en (:J* = 0,031 (recordemos que la velocidad de convergencia de D En lugar de interpretílr !, y !{ comn capital físico y humano, respectivamente, p<.idriamos identificar 1' con el capital "111óvil" y lf con el "i11111ó¡,i/". PurJ simplific~r In exposición, sin embargo, aquí seguiremos llamando capital físico a ¡.; y capital humano a JI.
50 / APUI\TES DE CRECl~IIENTíl F.CO:\:ÓM!CO
una economía cerrad.i con una participación simililr del Cilpit¡¡l en el producto osciia alrededor de i3 = 0.022. que es bastante parecida). Por est¡¡ r,nón, la introducción de la movilidad dei capital en un modelo neoclásico no modifica sust,mcialmente las predicc1011es cuantitativas y cualitativas sobre la velocidad de la transición, siempre qm: l,\ pílrte del c;1pital que pueda emplearse com0 aval no seíl muy grande. La consecuencia es c¡ue, en la práctica, tratar con modelos de economÍíl cerrnda puede 110 ser una idea tan descabellada.
2. CRECIMIENTO ENDÓGENO Y OTRAS EXTENSIONES DEL MODELO DE SOLO\V-SWAN
2.1 El modelo más simple de crecimiento endógeno: tecnología AK
_!Jn¡¡__ i;Qn_c!usión importante a la que bernos )legado eu e) capítn)o anteriac es ql'e s' CJUeremos explicar los determinantes del crecimiento a largo plazo debemos abandonar alguno de los supuestos del modelo neoclásico: éste predice que soiamente puecie haber crecimiento a largo plazo si existen mejoras tecnológicas, pero los supuestos neoclásicos no permiten iatroducir el progreso tecnológico dentro del mo· deio, por lo que éste debe suponerse exógeno. La primera manera de desvia~se de los supuestos neocléÍsicos es abandonar IA funcjón deprcduccjón neocj¡jsica, En este! sección mostraremos que un simplecambio en la función de producción genera un universo nuevo de predicciones y de recomen· d¡¡ciones de política económica, a la vez que nos permite explicar el crecimiento a largo plazo. Imaginen,os gue ia función de producción es lineal en el stock de capital
l
Y:=
Al<,,
l
(2.1]
donde A es una constante Esta funcjón de µroducción se llama, por razones obvias, "teC11ologín AK", Aunque algunos economistas utilizaron en un momento u otro algún tipo de tecnologías lineales (véase, por ejemplo, Von Neuman (1937), faiton (1981), o Cohen y Sachs (1986)), la introducción del modelo lineal en la nueva literatura sobre crecimie11to endógeno de los años ochenta se atribuye a Rebelo (1991). En principio, esta función de producción puede parecer descabellada, puesto que ignora totalmente la existencia de trabajo y todos sabemos que se necesitan trabajadores para producir
5::! / APL'NTES DE CRECli\.11~:S:W l:CONÓMICO
bienes y servicios. Ur: segundo análisis, sin embargo, nos mue.;tril cómo, teniendo en cuenta el concepto de c;:ipital humano, e! supuesto de función de producción .4¡,· no es t;:in descabellado. Para que un cuerpo humano sea productivo y pueda ser clasifü:acio como "trabajo", la sociedad (ios padres, los educadores o lils empresas) debe invertir muchos recursos en él. Estos recursos toman b forma de comida, medicamentos o cduc¡¡ción. Dicho de otro modo, el factor trabajo necesita inversión, en el sentido de que debemos sacriiicar consumo presente para aumentílr la productividad de lo que llanloni.os trabíljo. En e] capítulo anterior hemos s, rpPesto q11e el fartar trabajo C1umentaba a un ritmo " y. lo que era más atrevida este apmento se pmdpcía ciS' m¡mera ~ratuitjl, sin necesidad cic gastar recursos En realidad "iD embargo el factor trabaio auo1enta de una n1anera parecidw a can10 ben,as modelada el capital h;istil <1hor<1: sacrificando consumo actual. En resumen, el capital y el trabajo son, en reillidad, dos tipos ds: capital djferentes Cfísjco y humano) pc:ro al fin y al cabo. ambos son capital Si todos los inputs de la función de producción son capital y existen rendimientos constantes de csrnla. la función de producción debe tener la forma .-l/,·. Sea cu;il sea la moti\'ación, en este momento nos interesa saber cómo cambia el modelo de Solow-Swan cuílndo utilizamos la función de producción .4.l,· en lugar de la función neoclásicn que hemos utilizado hasta ahora. Lo primero que debemos señalm es que_ lil función Al,· no cumple todas las condiciones neoclásicas descritas en el crpítulo 1. La función AK: (1) Exhibe re11di111i11c11/,1,: c¡111stn11te, 11 cscnln (por lo tanto, esta propiedad neoclásica
Cl
sí se cumple), dado que .4.(,\/,) = >.Ar,· - >. i". Exhibe rendimiento, posjtjyos 111;:ro No dec,-,·chitc,¡ rjeJ capital (por lo que la se-
f;;:
gunda propiedad neoclásica no se cumple), dado que = A y ~ = O. Vemos que la segunda derivadil es cero y no negativa (como requiere el supuesto neoclásico de rendimientos decrecientes del capital).
No satisface las condjciaues de lnac\.ª, dado que el producto marginal del capital es siempre igual a .--1. por lo que no se aproxima a cero cuando¡,· se aproxima a infinito y nose aproxima a infinito cuando r.; se aproxima 11 cero (lim~·-x F'(T,") = A -:¡!O)' lim1,-o P'(I,·) =A-:¡! ex:). Introduzcamos aho,a la función de producción AJ{ en el modelo de Solow5wan desilrrollado en el capítulo anterior, bajo el supuesto que el resto del modc!lo e; c.rnc/n111c11/e ig11nl. Si esto es así, la eetrnción fundamental de Solow-5wan [1.15] sigue siendo cierta. Recordemos que cstil ecuación fundamental nos dice que el aumento del Célpital por personil es igual al ahorro (e inversión) por persona menos l;i depreciación por persona (lo cual incluye 111 pérdidil de Lmidades de capital por persona cuando aumenta el número de personas, ni.-). Reescribimos aquella ecuación aquí: (3l
i~ = 8.11 -
(!-! + 11.)k,
(2.2]
Cr,·ci111it•11h> c11dtiscll(1 y 1>/rn; ,·.rll'll~ia11,":< d<"i 11rndd,, de So/¡1w-Sm111 (c. 2J / 53
donde los subíndices temporales se hi'ln ignori'ldo p¡¡r¡¡ simplifiCilr la notación y donde y es el producto pcr cápita, /(l.:. A). Parn poder utilizar la función de producción .4./, en 12.21, debemos expres11rla primero en términos per cápita: 11 = = Af" = Ak. Substituyendo la producción per cápita en (2.2] obtenemos
f
e¡,=
[2.3]
s!lk - (~ + 11)1.:)
Dividiendo por k los dos lados de la ecuación obtenemos que la tasa de crecimiento del capital por persona es igual a 1
\_¡._=...::-1,-,-=-sA-·---(,-\+-,,)-.
1
[2.4]
Lo primero que observamos es que esta tas;i de crecimiento es constante al ser igual a la diferenci;i de dos números constantes. En el gráfico 2.1 dibujamos l«s curvas de ahorro y depreciación de J¡¡ misma m«nera que lo hicimos en el capítuio 1. TiJSi) de crecimient0 . constante
1
,··¡·· 1
1
Curva de ;ihorro fCAJ
Cun·a de depreciación
(CD)
1
~-~----------------k k,.
Gráfico 2.1. El modelo AT<. La diferencia reside en CJUe, en el caso c:¡ue estamos estudiando, la cur\'a de, i,hgrrp es JJJJíl líDea rect¡¡ horjzont¡,I dada por ,:;A. Si considernmos el caso en que la economía es lo suficientemente productiva como para que sA > tJ + n, la tasa de, crecimiento seréÍ constante y positiv;i, ,,. ::: -.,• = -5A - (,5 + 11). Dado que el Pll3 per cápita es proporcio1rnl a k, (y = Al.), la tasa de crecimiento del PIB per cápita t,1111bién seréÍ igual a , •. Finalmente, como el consumo es propo~cional al PlB per cápit;i, el comsumo también crecer~ a l,1 mism;i tasa ~1•. Tenemos, pues, que todas las vari;ibles en términos per cá.pita crecen ñl mismo ritmo, y éste viene dado por
5-s /
APU/\:TES DE CRECIMIENTO ECONÓ\IICO
-,e = -,,. = -Yv = -, • = .~A - (6 + 11 ). En este modelo todws las y¡¡rjab)es agregadas por supuesto, crecenfo al ritmo -1• + n, por lo gue ·y:= ?'b' = Jr = 5rl - ,1.
Existen sei~ diferencias importantes entre este wode)o y el modelo neoclásicu., En primer lugm, la tasa de crecimiento del producto per cápita puede ser positiva si11 11c::~s;dad de lc11cr 911c Sl!Wllt:r 11/lC 11/7111111 mriabh· crece co11ti11ua l/ \'X\Í)'t'llame11te. Esta es una difenmc:ia muy import;inte y es la que a menudo da nombre a este tipo de modeios: mocieios de Cl't'cimirnto ,·11dá~1?110. En segundo lugar, Ia tasa de crecimiento viene determinada por factores visibles: las economías con tasas de 11/:orro grandes van a crecer mucho. Es más, un aumento de la tasa de ahorro (quizá inducida por una política fiscal por parte del gobierno) provoca un incremento de la tnsa de crecimiento. Por este motivo, contrariamente e, Jo que predice el modelo neoclásico, las políticas diri~idas a promover el ahorw 1 <}· )¡¡ i1wersián} afectan a la tasa de crecimjento a lar¡;o plazo de la economía. Esto se puede ver en el gráfico 2.1 pon¡¡ue un aumento de la tasa de ahorro hace saltar la curva de ahorro haci;;: arriba, v In distnncia entre las cun•as de ahorro y de deprecicición aumenta. El mismo razonmniento es válido para las políticas que nument,lli el nivel de la tecnología . ...\, reducen la tasa de crecimiento de la población, n., o la de depreciación, 8. En tercer lugnr, )a economfo carece de unn transición hacin el esto do estacionario,
ya que siempre crece a una tasa constnnte igual a -1• = s.-l- (6 + u) con independcncin del vnlor que ado~iteel stock de copita!. Esto hace que este tipo de modelos lineales sea mucho m,b sencillo que los modelos neocl,1sicos, que tienen complicadas dinámicas de transición. Aquí, la tasa de crecimiento de todas l¡¡s variables es ,if'111¡we constante. L,, razón es ia ausencia de rendimienios decrecientes dei capital. Recordemos que en nuestrn economín las iamilins nhorran e invierten una fracción constante, s. de st.: producto. lmnginemos que el stock de capit.-il es peque!'io. Éste produce un<1 cierta cantiLfad de producto, la fracción., del cual se invierte. Cada unidad invertid<1 genera un aumento de la producción igunl a ,\, por lo que el aur:1ento total en el número de máquinas (sin tener en cuenta la deprecic1ción) es igual a .s.-lk. Este incremento se puede expresar en términos porcentuc1les dividiendo por k, por Jo que el aumento porcentunl bruto es s.4. Pc1ra encontrar el crecimiento porcentual neto basta con restnr 1.-i tnsa agreg;ida de deprecinción del capital per cápita, b + 11. El aumento neto es, pues, s.4 - (é+ 11j. Cuando el stock de capital es grande, las familias siguer: ahorrando ln misma fracción de su renta. Como el producto marginal es constante (no hay rendiminentos decrecientes del capital), cacia unidad ahorrada sigue generando .-l unidades de producto y el aumento en ei número de máquinas es srii,. Este auniento en el número de máquinns es mc1yor que cuando k era pequeiio, pero cuando lo expresamos en términos porcentuales, el porcentaje sigue siendo el mismo, .~A. Como In depreciación sigue siendo la misma, la tasa neta de crecimiento de la economía no varía. En resumen, la tasa de crecimiento de la econonúa permanece constante a pesar de gue el stock de cnpital aumente.
Craim1e11to e11dógeno y utras exce11siv11es del modelo de So/01i,-S1m11 (c. 2)
I 55
En cuarto lugar, este modelo predice gue no existe ningún tipo de relacjón entre tasa de crecimiento de la economía y el nivel alcanzado por la renta nacional. Dicho de otro modo. 110 predice convergencia, ni condicional ni absoluta. Esto explica ln atención que la literatura moderna sobre crecimiento ha prestado a la hipótesis de convergencia: se trata de uno de los rasgos que distinguen los nuevos modelos endógenos de los modelos neoclásicos tradicionales y, en consecuencia, es una forma de comprobar la validez empírica de los dos enfoques. Este tipo de consideraciones empíricas se discute en el capítulo 10. En quinto lugar, el modelo A.K predice que los efectos de YDíl recesión temporal ¡;ecílo permanentes. Es decir, ,5i el stock de capital disminuye temporalmente pm ,µna causa exógena (un terremoto, una tragedia natural o una guerra que destruya parte del stock de capital), la economía no va a crecer transitoriamente más deprisa para volver a la travectoria de acumulación de capital anterior. sino g_ue la tasa de crecimiento continua~á siendo la misma, de modo que la pérdida sufrida se hará permanente. Finalmente, un aspecto interesante de este modelo, apuntado inicialmente por Saint-Paul (1992), es que cuando la tecnología es AJ<:, no puede haber dc111asiad,1 i11vcrsió11 en el sentido de gue la economía no puede encontrarse en la zona di11cí111ica111e11tc jueficicnte. Para entender ésta, recordemos que en la zona de ineficiencia dinámica, el tipo de interés en el estado estacionario era inferior a la tasa de crecimiento agregada, r· < 1;- (véase la sección 3 del capítulo 1). El tipo de interés, a su vez, es igual al producto marginal del capital menos la tasa de depreciación (este resultado se demostrará en ei capituio 3 cuanáo introdu;,.camos mercados de crédito y empresas_. pero sabemos que la teoría microeconómica sencilla predice esta relación).~ en el modelo A.!( el producto marginal del capital es siempre constante, tenemos gue el tipo de interés siempre es igual a ,· = A - r,. Como la tasa de crecimiento pcr cripita es siempre igual a 1'~ = sA - (,5 + n), la tasa de crecimiento agregado es -,.;. = 1 ; + 1'L = ,·; + n = sA - ó. Para que haya ineficiencia dinámica (es decir, par;. que,-• < ')'y), es necesario que A - ó < sA- ii. Obsérvese que esta desigualdad no se puede dar nunca, puesto que la tasa de ahorro es siempre inferior a 1 y, por lo tanto, A es siempre mayor que sA. La economía cm~ tecnología AK, pues, no puede ser dinámicamente ineficiente. A pesar de su simplicidad, el modelo AK que acabamos de desarrollar es muy importante, pues constituye la base sobre la que se construye toda la teoría del crecimiento endógeno. Como veremos en las secciones que siguen (y también en los capítulos 5, 6, 7, 8 y 9), la mayor parte de los modelos de crecimiento endógeno esconden, en alguna parte, algún supuesto que hace que la tecnología relevante tome la forma Al(.
la
56 / APUNTES DE :::RtCllo.llENTO ECONÓMICO
2.2 El modelo de Romer (1986): externalidades del capit.al En el artículo que dio un nuevo impulso a la literatura del crecimiento económico, Paul Romer introdujo una función de producción con externalidades del capital. En el capítulo 7 demostramos gue estas externalidades pueder. surgir de los conceptos de 11¡1n•11di:njc por In pnícticn ("learning by doing") y desb()rd1111ú~111t1 de los co11oci111ie11to; ("knowledge spillovers"). La intuición será gue, cuando una empres¡¡ aumenta s1: stock de capital a través de la inve~sión, no solamente aumenta su propiél producción, sino gue aumenta la producción de las empresas que J¡¡ rodean. La razón apuntada por Romer es que las empresas que invierten adquieren también experienciil o conocimientos. Estos conocimientos pueden ser también utilizados por las demás empresas, y de ahí que el producto de éstas también aumenta. Dejarenws las demostraciones formales para el capítulo 7 y examinaremos c1quí las predicciones cuando utilizamos una función de producción con externalidildes en el modelo con tasas de ahorro constantes. Unil función de producción que refleja las externalizades que acabamos de describir es
l }. _·\/"' L1 \
1.-r
't
L
-n _,,
h¡_,
¡
["
.;..
5)
donde, como siempre, }·, es la producción agregada en el momento t, K, es el capitai agregado en el momento I y L 1 es el trabajo agregado en el momento L. La diferencia entre esta función de producción y la función neoclásica Cobb-Douglas reside en el término"';; que representa In externalidad. El parámetro 17 indica la importancia de la externalidad. Cuando 11 = O tenemos la función de producción neoclásica CobbDouglas sin extemalidades. A medida que r¡ aumenta, también lo hace el papel de la ext~rna lidad. Debemos explicar ahora en qué consiste el factor i.. Según Romer, estn variable es el rnpit,1/ ngrcg11do de la economÍil, 1..:, dado que la inversión de cualquier empresa de la economía ayuda a aumentar el stock de experiencia o conocimientos de todas las demás. Para empezar, sin embargo, seguiremos a Lucas (1988) y supondremos que,; es igual al cnpilnl ¡,or pcrso11n, t• = k, en lugar del capital agregr1do. Como veremos, este supuesto no está exento de consecuencias importantes. Si incorporamos el supuesto t; =/;,podemos reescribir la función de producción.agregada coma
\~-= AJCºL>-o¡•, =AKº L'- T,)' =AK"'('.L~-•:)0
(
[2.5'1
El lector debería comprobar si esta función de producción cumple las propiedades nenrl~sicas (o las condiciones bajo las que no las cumple). En particular, el lector debería preguntarse qué pasa cuando a+ 1¡ = 1 o o-+ 11 > 1. Para poder incorporar esta función de producción en el modelo de crecimiento de Solow-Sw;in, debemos primero escribir la función de producción en términos per
Cr~ci111il'11/o e111tógc110 y otra; exlcusioncs del modelo ,le Soloa~Swan
cápita para poder luego introducir ésta en la ecuación hmdamental de! modelo de Solow-Swan [2.2]. Dividiendo los dos lados de [2.5] por L1 e ignorando los subíndices temporales para simplificar la notación obtenemos
y
y= - = Ak L
o
,,
[2.6)
1- .
Si a:tuamos bajo el supuesto de que i.: = " y sL1bstituimos en [2.6], obtenemos que la fllnción de producción, de hecho, es y= Ak'"'1,
[2.7)
Si substituimos [2.7) en la ecL1acíón fundamental de Solow-Swan (2.2] oblenemos:
i.: = sAe'HJ
- (ó + 11)/.:.
[2.8]
La tasa de crecimiento del capital per cápita se puede hallar dividiendo los dos lados de [2.8] por k
/;k = -n = sAkº·ry-l -
(f
+ n).
[2.9]
El comportamiento de la economía depende crucialmente de si la suma de parámetros u + 1¡ es inferior, superior o igual a uno. Analicemos a contiauación estos tres casos:
Ca5o 1:
a
+ 17 < 1
Consideremos primero el caso en que existen externalidades, 11 > O, pero no son muy grandes por lo que la suma de los parámetros u+ T/ es inferior a uno. Cuando sucede esto, el exponente del capital en la función de ahorro es negativo y [2.9] puede esciibirse como -~A
-,k ·= -k 1-o-,¡
-
(b + n),
[2.10)
doncie el exponente de k, que ha pasado a estar en el denominador, es rlhora positivo. En el gráfico 2.2 dibujamos las curvas de ahorro y depreciación correspondientes a este caso. La curva de ahorro toma valor infinito cuando k se aproxima a cero, es siempre decreciente y se aproxima a cero cuando J..- va hacin infinito. Es decir, líl curva de ahorro es idéntica a la que obteníamos en el modelo neoclásico. Como la curva de depreciación ~igue siendo una línea horizontal, tenemos que las dos se cruzan una vez y sólo una. Existe, pues, un stock de capital de estado estacionario y es único. Si.calculamos este stock de capital (substituyendo i: = Oy despejando 1
obtenemos k" = ( ¿'!;,) 1-"-''. F.s m~s, el estado estacionario es estable porque, a su izquierda, la tasa de crecimiento es positiva (cuando estamos a la izquierda
l.:)
5S /
APUNTES DE CRECIM,ENTO ECONÓMICO
Tns.i de crecimiento
Cun·a de depreciación (CD!
._!_ _ _ _ __,,,___ _ _ _ _ _ _ _ __
Curva de ahorro (CA) k
k.,
k·
Gráfico 2.2. El modelo de Romer con
17
+ e1 < i.
de 1.-·, lil dinámica del modelo nos mueve hacia la derecha) y, ¡¡ su derecha, l¡¡ tade crecimiento es negativa (cuando estamos a la derecha de 1:·, la dinámica del modelo nos mueve hacic1 ia izquierda). En resumen, la economía se comporté\ exact.imenle igual que In economía neoclc,sica cuando n + 17 < 1, a pesar de hi existencic1 de externalidades.
Si'.
Ci1so 2:
a
+ 1¡ = 1
Consideremos ahora el caso en que las extemalidades son, precisamente, 17 = 1 - n de manera que l¡¡ suma e1 + r; = l. Si substituimos a + 17 por 1 en la ecuación de crecimiento 12.9] obtenemos que el exponente del capital pasa a ser cero, por lo que k desaparece de la ecuación. La tilsa de crecimiento en este caso es ¡·k = sA - (ó + n). Es decir, la tasa de crecimiento coincide con la obtenida en el modelo AK. En este caso particular, se aplican todas las conclusiones extraídas en la sección nnterior, que no repetiremos aquí. De hecho, esto es normal, ya que si utilizamos la igualdad n+17 = 1 en la función de producción per cápita [2.7] obtenemos que y = A.k. Cuando los exponentes suman uno, la función de producción de Romer se convierte en AK.
Caso 3: o + 11 > 1 Cuando las externalidades son tan grandes que la suma de los parámetros o + 17 es superior a uno, obtenemos que el exponente del cnpital en la ecuación de crecimiento 12.9] es positivo. La curva de ahorro pasa por el origen, es creciente y va hacia infinito cuando k va hacia infinito, tal como muestra el gráfico 2.3.
Crcci111irntu c11dúgc110 y olrns exlensio11cs del modelo de Solow-Smw
(c.
2) / 59
;;Hvo
Crecimiento
Crecimiento neg;itivo
\
1-------,---------
(CD)
k
k"
Gráfico 2.3. El modelo de Romer con 1; + a > l. Como la curva de depreciación sigue sie1~do un¡¡ línea horizontal, y la curve? de ahorro es creciente y toma todos los valores entre cero e infinito, las dos curvas se cruzan una vez y solamente una, por lo que el estado estacionario, k•, existe y es único. El problema es que este estado estaciom;rio es inestable, e:1 el sentido de que si el stock de capital es un poquito superior a k', entonces el crecimiento es positivo (la curva de ahorro está por encima de la de depreciación a la derechil de k'), por lo que al cabo de un instante el stock de capital es todavía mayor. Al ser In curva de ahorro creciente, la tasa de crecimiento pasa a ser un poco mayor, dado que la distancia entre las dos curvas aumenta y en el siguiente instante el capital es todavÍi1 mayor. A medida que el capital aumenta, su tasa de crecimiento también lo hace con lo que la economía ve crecer el stock de capital y, no sólo esto, sino que la tasa de crecimiento es cada vez mayor. El stock de capital por personil, k, se dispara haci¡¡ infinito y la tasa de crecimiento aumenta también sin cesar. Si, por el contrario, el stock de capital es inferior¡¡ k., entonces la tasa de crecimiento es negativa, el capital disminuye y la economía se aproxima a la extinción (ruando no hay capital). No hace falta decir que el interés empírico de estas predicdones es limitado, puesto que, en la vida real, no se observan economías cuyas tasas de crecimiento vayan aumentando en el tiempo o cuyo capital tienda a desaparecer. El interés del modelo de Romer es que la existencia de extemalidades es una manera de argumentar que la tecnología de nuestra economía podría tener la forma Al(. El problema principal obervado en esta sección es que, para que la tecnología se convierta en AK, hace falta que existan externalidades, que sean suficientemente grandes y, además, que sean tales que la suma del exponente de la extemalidad y
60 / Ar'L.'1':TES DE CRECIMIENTO ECONÓMICO
el del capital sea exactamente igual a uno. Dicho de otro modo, es necesario cr.1e el exponente que representa la externa lid ad sea r¡ = 1 - c.. De alguna manera, el tamaño de la externalidad, r¡, debe ser tan "grande" como la suma de las rentas de todos los trabajadores de la economía, 1 - a, supuesto que parece poco razonable. Antes de acabar este apartado, señalemos qué hubiera pasado si, en lugar de seguir a Lucas y suponer que el stock de capital relevante para la externalidad es el Cilpital pcr cápita, " = k, hubiéramos seguido a Romer en el supuesto de que el stock de capital relevante para ia externalidad es el capital ag,·egado,,; = 1':. Para ello es preciso suponer que la población NO CRECE (por razones que entenderemos en un momento). Si substituimos" = ¡,· en la función de producción [2.6) obtenemos~· = Al.:" K' 1• El capital agregado se puede escribir·como el capital per cápita multiplicado por L (dado que, por definición, l. = K/ L _, K = l.:L) y la producción por persona se puede expresar como y = Akº+TJ L'1•
[2.11)
Obsérvese que lc. diferencia entre [2.7) y [2.11) es que en la segunda aparece el término L'1• La tnsa de crecimiento [2.9] pasa a ser Í,:
'
- = sA1.:"• 11 -·L 11
-
/;
ó,
[2.12]
donde se ha eliminado la 11 (porque n = O), dado que estamos suponiendo que L es constante. Cuando los parámetros son tales q,,,:~J,~...:__;_,,-te..,emos que el exponente de l.en [2.12] es cero, por lo que la tas;:i de creet·.ü~rt;:.:--f:s.1:a ser -
-...:....~-··. -
__ -
.;._
[2.13] .. -Esta tasa de crecimiento tiene un asj:'ecto l:'!fE:re",·,:.r~ y es que está positivrnnente correlacionada con el tamai'lo de la pobl~ói-t_í_é,-é~:. I
Crccimh•,rto e11dó,
Cuando los pa:-ámetros son tales que a + r: < 1, entonces existirá un stock de capital de estado estacionario {como hemos mostrado antes, cuando a + 11 < 1, la economía se comporta como en el modelo neoclásico). Substituyendo k = O en [2.12] y despejando k, obtenemos que el capital de estado estacionario vendrá dado •
1
po, k" = ( s.~L ') 1-u-•,. Observamos que el stock de capital de estado estacionario deptmde positinment de l., por lo que el modelo predice que los países con mucha población (como China, India, o Indonesia) deberfan ser mucho más ricos (es decir, deberían tener mucho más capital por trabajador) que paises con poca población (como Suiza, Dinamarca o Bélgica). Lógicamente, esta predicción es falsa. El hecho de que el stock de capital por persona de estado estaciona:io sea una función positiva de L también nos muestra que si dejamos que L crezca a un ritmo constante, entonces el stock de capital por perso11a también crecerá a un ritmo constante. El crecimiento de la población hará crecer las variables per cdpitr. de la economía, In cual no pasaba con el modelo neoclá.sico. En resumen, la existenci¡¡ deexternalidadesdecapital agregado introduce efectos de escala que tienden a no ser validados por los datos. El lector que quiera saber más sobre dichos efectos y sobre su realismo empírico debería consultar los capítulos í y 10.
2.3 Gasto público e impuestos: el tamaño óptimo del gobierno En este apartado estudiaremos los efectos que el gasto público y ios impuestos necesarios para financiar dicho gasto tienen en la economía y, en particular, en el crecimiento económico. Con este objetivo, compararemos los aspectos positivos de tener un gasto público elevéldo con los aspectos negativos que conlleVél la financiación de dicho gasto a través de impuestos. Para ello, deberemos trabajar bajo el supuesto de que el gasto·público es deseable (si no, la conclusión será inmediata: lo mejor sería rt·ducir el tamaiio del gasto público a cero, ya que no genera beneficios y su financiación comporta pérdidas). En términos de nuestros mtidelos de crecimiento, una manera de que el gasto público sea deseable es introducirlo como argumento (positivo) en la f1111ción de prod11cció11. En el capítulo 6 discutiremos detalladamente las diferentes m,meras que tenemos de introducir el gasto público en nuestros modelos. Aquí, sin más preámbulos, seguiremos a Barro (1990) y supondremos que la producción de la economía es una función del stock de capital privado, Kt, y del flujo de bienes públicos suministrados por el gobierno, G1 : [2.14]
Para fimrncinr el g11sto público, G, el gobierno pone un impuesto sobre la renta (o, lo que es lo mismo, sobre la producción). Para simplificar el análisis, consideraremos que el impuesto es proporcional y el tipo impositivo es constante en el tiempo. Este
62 / APUNTES DE CRECIMIENTO ECO!\Ó\IICO
tipo impositivo será denotado con la letra es, pues,
T.
La renta disponible de los individuos
La parte de la renta que "no es disponible",.,-}',, es la que se apropia el gobierno como recaudación impositiva. Si denotamos con g minúscula el g?.stc público por persona, g = G/ L, entonces la renta disponible por persona se puede escribir como
y"= (1
_ ;).-l.kºgl-o,
[2.15]
donde, una vez más, los subíndices temporales se han omitido para simplificar la notación. Corno hemos venido haciendo a lo largo de estos primeros capítulos, seguiremos suponiendo que los consumidores ahorran (e invierten) una fracción constante de la renta disponible. La ecuación fundamental de Solow-Swan [2..2] nos dice que el aumento en el stock de capital es la diferencia entre el ahorro y la depreciación. La ecuación fundamental de Solow-Swan para este modelo se puede escribir como
k=
si - (~ - n.)k.
[2.16]
Substituimos la renta disponible en [2.16] por [2.15] para obtener
k = s(l
- r)Ak"g 1- "
-
(,S + 11)1.·
[2..líl
Dividiendo los dos lados de [2.17] por 1.- obtenemos una expresión para lo tasa de crecimiento del capital por persona: [2.18] La ecuación [2.18] indica que la tasa de crecimiento depende pos1tiv1111w1tc del gnsto plÍblico, g, y 11egatiiia111c11te cie/ tipo impositim, -. . Ahora bien, el impuesto y el gasto público no son independientes, dado que, para poder gastar, el gobierno debe recaudar. Para obtener la relación entre gasto e impuestos, basta con utilizar la restricción presupuestaria del gobierno. Los gobiernos, en la vida real, pueden pedir prestado (tener un déficit), por lo que no debe ser necesariamente cierto que el gasto sea siempre igual al ingreso. Lo que sí debe ser cierto es que, a largo plazo, lo que se pide prestado se debe devolver o, dicho de otro modo, a largo plazo debe ser cierto que, más o menos, los gastos públicos sean igu¡¡les ¡¡ los ingresos impositivos. Como estr1mos interesados en el crecimiento 11 largo plazo, omitiremos r1quíla posibilidad de mantener déficit. La restricción del gobierno será G1 = rY1 . Dividiendo los dos lados por L pílra expresar la restricción en términos per cápita, omitiendo subíndices temporales y utilizando la función de producción en términos per cápita, y= Akºg 1- 0 ,
Crecimiento e11dóge110 y otras e:::te11sio11es del modelo de Soiow-Swnn (c. 2) / 63
podemos reescribir la restricción presupuestaria del gobierno (en términos per cápita) como g = TY -
g = TAk"gl-t,-; .f/
= Tl/a Al/ok.
[2.19]
Esta expresión de g se puede utilizar en [2.18) para obtener una expresión de la tasa de crecimiento como función de r:
~
= s(1 - r)Ak"- 1 (rl/o A 1
/ªk) i-n -
(ó
+ n) =
[2.20]
= s(l - r)A 11 '-'/•-ol/a - (ó + n).
Li tasa de crecimiento del capital depende de factores ya conocidos como son las tasas de ahorro, depreciación, crecimiento de la población y el nivel tecnológico. La novedad es que el crecimiento también depende del impuesto sobre la renta, ,. Como este impuesto es constante, la tasa de crecimiento del rnpital es const,:mtc. Si tomamos logaritmos y derivamos en [2.19] vemos que la tasa de crecimiento del gasto público es idéntica a ia tasa de crecimiento del capital, ,,.9 = 'Yk· Si tomamos logaritmos y derivadas de la función de producción, obtenemos 'Yy = IY'fk + (1 - a.)-,-9 . Como 'Yg = 'Yb obtenemos que la tasa de crecimiento del PIB per cápita también es igual a la del capital per cápita. FinalmentE:, como el consumo es proporcional al PIB per cápita, el crecimiento del consumo es igual al crecimiento de las demás variables per cápita. En resumen, 'fe = "YJ.. ='':'y = 10 = "Y•, donde ,y• viene dada por [2.20]. Como siempre, las variables agregadas crecen todas a la misma tasa que las variables per cápita más la .tasa de crecimiento de la población, de manera que "l'Y = ry-!- n. Vemos, pues, que en este modelo todas las tasas de crecimiento s01~ constantes en todo momento, propiedad que comparte con el modelo AJ<. La explicación de esta similitud es que el modelo descrito en este apartado es, en realidad, el modelo AJ(. Para comprobar este punto, basta con substituir la restricción presupuestaria del gobierno en la functón de producción en términos per cápita. Es decir, transformar en términos per cápita la ecuación [2.14] e introducir en ella la ecuación [2.19]. De esta manera obtenemos y =Akºg 1- 0 = Ak"[-;- 11ª ¡\ l/a k]'-ª =.4k, donde). = Al/nr ':," es una constante. Es decir, una vez incorporada la restricción presupuestaria en la función de producción, ésta se convierte en una función lineal en el capital, en una función Al<. La intuición que hay tras este resultado es que, al mantener la restricción presupuestaria [2.19], el gobierno se compromete a aumentar el suministro de gen un uno por ciento cada vez que las empresas privadas aumentan el capital privado en un uno por ciento. De alguna manera, cuando una familia aumenta k, está aumentando simultáneamente gen la misma proporción (esta segunda parte no la hace la familia directamente sino el gobierno ... pero el hecho es que g aumenta cada vez que k aumenta). El que haya rendimientos constantes de escala (es decir, rendimientos constantes de k y g tomados conjuntamente), es como si hubiera rendimientos
64 / APUNTES DE CRECIMIENTO ECONÓMiCO
Tasa de crecimiento
/ /
-(h+ 11)
;":(1-n)
\
T
........................................\. ...
Gráfico 2.4. Relación entre,· y ,. constantes del cílpital. Es decir, es como si la tecnología fuera .4/,·. Y esto es lo que hemos encontrado algebraicamente. La novedad que caracteriz¡¡ líl télsa de crecimiento de la economía cuando existen bienes públicos productivos fin¡¡nciados con impuestos sobre la renta es que el tipo impositivo afectn a: rnximiento económico. Y lo hace de dos maneras distintas. En primer lugar el ir:1puc-slo aparece negativamente a través del término (1 - Tl. Éste refleja el hecho de que los impuestos reducen la renta disponible y, con ello, el ahorro e inversión de la economía. Esto reduce el crecimiento de la economía. Por otro lado, el tipo impositi\'O aparece positivamente a través del término ,c;-ol/o. Éste refleja el hecho de que un mayor tipo impositivo permite al gobierno propor· cionar un mayor nivel de gasto público productivo, Jo que aumenta la producción y la capacidad de ahorrar e invertir. Esto afecta la tasa de crecimiento de manera positiva. El efecto agregado de un aumento en el tipo impositivo es ambiguo, dependiendo de si el efecto positivo domina al negativo o viceversa. Podemos dibujar la relación existente entre T y la tasa de crecimiento. Cuando Tes cero, el término TO-ol/o también es igual a cero. La producción y el ahorro son nulos. La tasa de crecimiento es negativa e igual a -y• = -(b + n). Esto ocurre porque, cuando T = O, el gobierno no recauda nada y, por lo tanto, no puede suministrar bien público alguno, g. Como _q es un bien necesario, en etsentido de que si g = O, entonces la producción es nula, tenemos que cuando T = Ola producción es cero y el ahorro y la inversión (que son proporcionales a la producción) también son cero. El capital per cápita se deprecia a un ritmo l + n y ésta es la tasa de crecimiento (negativa). En el otro extremo, cuando -r = 1, tenemos que el término 1 - -res igual a cero. Es
Cr,•ci111iL·11to e11dósmo y otrn~ cxtc11.
decir, cuando,= 1, el gobierno se apropia del 100 por 100 de lit renta de las familias, por lo que ésti!s no tienen renta disponible. Al no tener renta disponible, no híly ahorro ni inversión. Una vez más, el capital per cápita c:.,e a un ritmo constante de é+n. Para valores intermedios de, tenemos que la relación entre la tasa decrecimiento y r presenta una forma de U invertida con un máximo en el tipo impositivo r •. El valor exacto de r· se puede encontrar igualando lit derivada de •1 • re:.--pecto de;- a cero y despejando ,: ih" =Ü-+ ÜT
Es decir, el vr1lnr de "T que maximiza la tasa de crecimiento de la economfa es ,· = 1 - a:. Para obtener la intuición que explica este resultndo, empecemos por ciestacnr que el producto per cápita, y, y el gasto per cápitn, !/, son exactamente el mismo bien fisico. Es decir, el gobierno recaudn unas unicfades de bien físico y las suministra a l.c ccon_omí.i en forma de bien público. No hay un procese, de transformación de dichas unidades por lo que, en términos físicos, se trata del mismo bien. Imaginemos que el gobierno tiene una máquina de producir galletas en la que introduce una gall-i'ta. y, y obtiene dos galletas, y. Esto serín un negocio extraordiaario y el gobierno no dejarí<1 de introducir galletas en esa máquina. Desílfortunaciamente, l;i cantidad de galletas obtenidas íl medida que aumentíl _g iría disminuyendo debido al supuesto de rendimientos decrecientes en g. Si, por el contrario, el gobierno introdujera tres gíl llet.is en 12. máquina y so lamen te obtuviera dos galletas, entonces se trata ría de un mal negocio. El gobierno decidiría reducir la cantidad introducida en la máquina. Nótese que, para ser eficiente, el gobierno debería introducir galletas en esa máquina hc1st,1 que la cantidad de galletas obtenidas fuese igual a la cantidad introducida. Es decir, para ser eficiente, el gobierno deberííl escoger la cantidad g de manera que e: producto marginal de-" fuera igual a 1. Si utilizamos la función de producción y = Ak"g 1- " y calculamos el producto marginal de g, vemos que esta condición de eficiencia requiere (1 - a:) l.! = 1. Reescribiendo esta igualdad y teniendo 9 en cuenta que ~ = , obtenemos, = 1 - o, que es el tipo impositivo que maximiza la tasa de crecimiento encontrada en [2.21]. Dicho de otro modo, para maximi7.ar la tasa de crecimiento, el gobierno debe escoger su tamai'to, ,, eficientemente. En esta sección hemos mostTado cómo el gobierno tiene dos caras: por un lado suministra bienes que son deseables (en este caso productivos) para los agentes privados de la economía y, por otro litdo, debe utilizar impuestos para financiar estos bienes deseahles. El primer aspecto es positivo para la economía, mientras que el segundo es negativo. La "batalla" entre esta~ dos fuerzas nos permite hallar el tílmaño
66 / APUNTES DE CRECJM:ENTO ECONÓ~IIC"O
óptimo del gobiem9. A pesar del interés que presenta este análisis,. existe un aspecto del sistema impositivo que no se puede analizar en un modelo con tasa de ahorro e inversión constante. En general, los impuestos reducen la rentabilidad neta de las inversiones al quedarse el gobierno una parte del ingreso generado por la inversión. Esta reducción de la rentabilidad reduce los i11ceiztivos que tienen las empresas para invertí r y esto tiene repercusiones sobre el crecimiento económico. Obsérvese que estas cuestiones, ciertamente importantes, deben estudiarse en contextos donde las empresas escogen óptimmnente la inversión que desean realizar como respuesta a las diferentes rentabilidades. Por esta razón, volveremos a estudiar el papel del gobierno en el capítulo 6, una vez hayamos descrito los modelos con inversión óptima. 1 Sorprenden temen te, sin embargo, veremos que los resultados obtenidos en este capítulo introductorio son bastante satisfactorios.
2.4.,Crecimiento endógeno con rendimientos decrecientes del capital (1): ~la función de producción "Sobelow" v el papel de la condición de !nada En este capítulo hemos mostrado tres modelos de crecimiento endógeno (el modelo AK, el modelo de Ror:1er con o+,¡= 1 y el modelo de gasto público). Los tres tenían una cosa en común: cie alguna m.inera, eran el modelo AJ< más o menos camuflado. En el apartado 1 hemos visto que la tecnología AJ( difiere de la neoclásica en dos aspectos fundamentales: no presenta rendimientos decrecientes del capital y viola dns de las condiciones de !nada. A la vista de esto, parece rnzonable preguntarse: ¿cuál de los dos supuestos es el que permite generar crecimiento endógeno? En esta sección inten:aremo~ responder esta pregunta presentando unc1 tecnología que presenta rendimientos decrecientes del capital, pero viola la condición de !nada.~ respuesta que vc1mos a encontrar podrá sorprender¡¡ más de uno: ¡lc1 clave está en la .condición de !nada! Consideremos la siguiente función de producción: ,~t = Al{t + B/{~ L:-a.
l
[2.22]
Esta función fue propuesta inicialmente por Kurz (1968) y posterio~mente reintroducida en la literatura por Jones y Manuelli (1990). Corno se puede observar, esta función está a caballo entre la de Solow-Swan, BI<ª i 1- 0 , y la de Rebelo, Y= AK. 2 1 Observe el lector que, en nuestro modelo con tasas de ahorro constantes, los impuestos de suma fija tendrían un efecto similm a los impuesto sobre la renta o el producto, ya que ambos reducen la renta disponible y, por consiguiente, e! ahorro doméstico. En un modelo de optimizació,~, los impuestos sobre la renta reducen la rentabilidad de la inversión mientras que los impuestos de suma fija no. Este punte es importante si se quieren analizar políticas de transferencias; cuya existencia deja inalterada la renta media, pero cuya financiación repercute en la rentabilidad neta de las inversiones. 2 De ahí la denominación de "Sobelow".
Creci111ie11/o e11dógrno y otms exleusioncs del modelo de Solow-:;wnn (:."l.!¡
bl
Podemo!.' analizar las propiedades de la función de oroducción Sobelow: (1)
Presenta rendimientos constantes a escala, dado gue A(Al<) + B(,\K)ª(,\L) 1 -
0
= ,\AK + ,\BKª L 1 -"' = ,\}'.
(2) Presenta rendimientos positivos del capital y del trabajo: élY - = B(1 - a:)K" r<> > O éJL '
y rendimentos decrecientes del capital y del trabajo,
&Y
"
fJK 2 = Ba:(o: - l)K"-- l
1
-"
éflv -·, = B(1 8L-
- a)(-a)J<" L - n-l < O.
Hi'!sta aquí, pues, esta función de producción parece neoclásica. Sin embargo, una de las condiciones de Inada vemos que no se satisface. (3) Condiciones de !nada:
ay
lim -
f(-::o
81(
=A
i
m·
é)Y
DY
O, lim - = oc-, hm - = Oy lim - = oc. l<-o DJ( l-cx. f)L L- ,o iJL
E! producto marginal del capital cuando]( va a infinito se acerca a A y no a cero -..eomo requiere la condición de !nada. Vemos que la única diferencia entre la función de producción Sobelow y la ;neoclásica es gue la primera no satisface la condición de !nada con resvecto del capital cuando éste tiende a infinito. Veremos que esto es clave a la hora de genernr crecimiento a largo plazo. Para analizar el comportamiento de una economía carne-_ terizada por esta ft:nción de producción con t<1sas de ahorro constantes, debemos ~xpresar el producto en términos per cápita, 1J = Ak + Bk" y utilizar la ecuaciím fundamental del modelo de Solow-Swan, (2.2] para encontrar
' k = sAk + sBk"'
- (ó +
n)k.J
(2.23)
Dividimos ambos lados de [2.23) para encontrar la tasa de crecimiento del capitt1l: -k = sA + sBk"'- 1
-
(b + n).
1
\_ : : _ k - ~ ·
. (2.24)
Para analizar el comportamiento de la tasa de crecimiento utilizaremos, corno ya es habitual, un gráfico con las curvas de a/Jorro y depreciacióll. La ::urva de depreciación es la conocida recta horizontal al nivel 6 +11. La curva de ahorro es decreciente para todo k. Cuando k se acerca a cero, la curva de ahorro tiende a infinito, dado que el término sHkº- 1 se va a infinito. A medida que k aumenta, el ténnino sBkª- 1 se va
68 / APUNTES DE CRECIMIENTO ECONÓMICO
haciendo pequeño. De hecho, este tém1ino tiende a cero cuando k tiende a infinito, por lo que la curvc1 de c1horro se aproximíl a sA. Dicho de otro modo, a medida que /,; aumenta, líl curva de ahorro converge a sA. Tasa de crecimiento
\1"X 7 pi,:~~
de mcimien
a largo plílzo
! -----~------------------------~l-·-···
CA
1
sA
1
l
'
>--'-----------'---- CD
'----'-----------------k Gráfico 2.SA. El modelu Sobelow ron .
