Apostila Pensamento Matematico

Pensamento Matemático e Construção de Conceitos

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 ____________________________________________ _______Sumário

 Aula 1 – Construção do Pensamento e Pensamento Matemático  Aula 2 – Construindo a Matemática  Aula 3  – O ensino da Matemática na Educação Infantil e o Currículo nos Anos iniciais.  Aula 4  –  Conceitos Matemáticos nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental: Números e Operações, Tratamento da Informação  Aula 5 – Conceitos Matemáticos nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental: Espaço e Forma, Grandezas e Medidas  Aula 6 – Resolução de Problemas  Aula 7 – Estatística

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 ____________________________________________ _______Sumário

 Aula 1 – Construção do Pensamento e Pensamento Matemático  Aula 2 – Construindo a Matemática  Aula 3  – O ensino da Matemática na Educação Infantil e o Currículo nos Anos iniciais.  Aula 4  –  Conceitos Matemáticos nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental: Números e Operações, Tratamento da Informação  Aula 5 – Conceitos Matemáticos nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental: Espaço e Forma, Grandezas e Medidas  Aula 6 – Resolução de Problemas  Aula 7 – Estatística

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 ____________________________________________________Apresentação  _______________________________ _____________________Apresentação

Longo é o caminho do ensino en sino por meio de teorias; breve e eficaz por meio de exemplos.

(Sêneca)

O ensino da Matemática vem sofrendo alterações ao longo das últimas décadas, acompanhando as tendências de mudanças na educação em geral. Este material foi elaborado com a intenção de acompanhar as novas tendências da educação e do ensino da Matemática, privilegiando os aspectos psicológicos, didáticos e formais, próprios desta disciplina.  A aula um traz uma discussão elaborada da construção do pensamento de forma geral, e específica, do pensamento matemático. Isso nos dará o apoio teórico para a discussão apresentada nas aulas que seguem. Na aula dois, procuramos abordar a construção da Matemática nos seus aspectos histórico e metodológicos.  A abordagem feita na aula três é sobre a utilização do material concreto como instrumento de ensino, para fundamentar, teoricamente, a construção dos quatro blocos de conhecimento, definidos nos Parâmetros Curriculares Nacionais. Nas próximas quatro aulas (quatro a sete), discutiremos os conceitos matemáticos dos anos iniciais do Ensino Fundamental, distribuídos de acordo com os blocos de conhecimentos trabalhados e os conteúdos do ensino da Matemática, com uma abordagem atual e de acordo com as novas tendências do ensino da Matemática,  já discutidas ao logo de todas as outras aulas. Bons Estudos!

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 _________________________________________________Plano  _________________________________ ________________Plano de Ensino EMENTA  A construção do conhecimento matemático e o desenvolvimento do raciocínio lógico. Retrospectiva histórica da Matemática e as novas tendências. Objetivos do ensino da matemática. Reflexão sobre concepções de matemática presentes na escola básica brasileira. Compreensão da Matemática como instrumento de transformação e socialização do educando. Discussão e estudo de conceitos matemáticos presentes no currículo da Educação Infantil e nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Geometria. A contribuição da estatística para os estudos em educação. Métodos estatísticos. OBJETIVO

• Problematizar a construção do conhecimento matemático na práxis pedagógica do professor da Educação Básica. CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

• Construção do pensamento no seu aspecto geral • Construção do raciocínio lógico • Autonomia do pensamento • Aspectos históricos da Matemática • Linhas metodológicas no ensino da Matemática • Ob jetivos da Matemática • O uso de material concreto no ensino da Matemática • O currículo da Matemática nos Anos Iniciais • Os quatro blocos de conhecimento definidos nos Parâmetros

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Curriculares Nacionais

• Números e operações • Espaço e forma • Grandezas e medidas • Tratamento da informação • Novas tendências no ensino da Matemática com o uso da resolução de problemas

• O uso da estatística nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental BIBLIOGRAFIA BÁSICA BIEMBENGUT, Maria Salett. Modelagem & implicações no ensino e na aprendizagem de matemática. 2. ed. Blumenau: Edfurb, 2004. BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. 7. ed. São Paulo: FTD, 2000. v. 8. BRIZUELA, Bárbara M. Desenvolvimento matemático na criança: explorando notações. Porto Alegre: Artmed, 2006. CRESPO, A. A. Estatística fácil. 17. ed. São Paulo: Saraiva, 2000. DANTE, Luís Roberto. Matemática: contexto & aplicações. São Paulo: Ática, 2001. PIRES, Célia Maria Carolino. Currículos de Matemática: da organização linear à idéia de rede. São Paulo: FTD, 2000. SMOLE, K. A Matemática na Educação Infantil: a teoria das inteligências múltiplas na prática. Porto Alegre: Artmed, 2003.  ______. Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender

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matemática. Porto Alegre: Artmed, 2001.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR BORBA, Marcelo de Carvalho. Informática e educação matemática. 3. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. CARRAHER, Terezinha N. Aprender pensando. 15. ed. Petrópolis: Vozes, 2001.  ______. Educação matemática 1: números e operações numéricas. São Paulo: Cortez, 2006.

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 ____________________________________________ _____________AULA 01 Construção do Pensamento e Pensamento Matemático

Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de:

• compreender, em práticas educativas, conhecimentos de processos de desenvolvimento de crianças e adolescentes na dimensão cognitiva;

• elaborar sinteticamente esquemas sobre o pensamento matemátic o na Educação Infantil e nos Anos iniciais do Ensino Fundamental.

Para um bom aproveitamento desta aula, é necessário que você volte ao caderno de Psicologia do Desenvolvimento I e de Psicologia do Desenvolvimento II. Nesses cadernos, discutem-se as fases e os processos de evolução cognitiva da criança até os dez anos de idade, especialmente na perspectiva vygostkyana. Essas premissas gerais serão muito importantes para você estudar a complexidade do raciocínio humano, que evolui do real para o simbólico, da indução para a dedução e da dependência de alguém que transmite saberes para a autonomia de si mesmo enquanto produtor de conhecimento. Essa volta aos conhecimentos prévios construídos em outros períodos será fundamental para você entender como o pensamento matemático infantil se relaciona profundamente com o desenvolvimento cognitivo geral do ser humano e com suas interações sociais. Todo educador, ao planejar e executar suas ações, deverá levar em conta esses princípios básicos da psicologia humana.

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O homem é um ser complexo (MORIN, 2000) e, como tal, suas produções são igualmente complexas. Entre as diversas produções, pensar é a atividade mais complexa e mais cercada por ambigüidades. Isso ocorre em decorrência do emprego de símbolos e múltiplos signos para representar aspectos do ambiente físico e social. A questão que tentaremos responder nesta aula é como compreender, explicar e utilizar o pensamento humano, nas práticas educativas de crianças e jovens, desde a educação infantil até os anos iniciais do Ensino Fundamental? Que dizer do pensamento matemático? A construção do pensamento matemático, apesar de ser também um processo contínuo, tem algumas características próprias, que serão estudadas e discutidas nesta aula. Quantas vezes já dissemos que não gostamos de matemática e que odiamos fazer contas! Mas, ao fazermos esse tipo de afirmação, esquecemos de que, em nosso subconsciente, estamos a todo instante processando operações matemáticas complexas. Isso é fácil de perceber com um exemplo: ao atravessar uma rua qualquer, olhamos para os dois lados, para não sermos atropelados. Nessa simples tarefa, nosso cérebro processa inúmeros cálculos que nos permitem saber, por exemplo, com qual velocidade devo atravessar a rua. Assim também ocorre com o pensamento das crianças. 1.1 Relembrando como o Pensamento é Construído Pensar? Isso parece ser tão fácil, não é? A cada dia realizamos dezenas de atividades: cozinhamos, comemos, andamos de ônibus, bicicleta ou carro, trabalhamos, elaboramos projetos e planos, etc. Mas será que sempre foi assim? É claro que não. Aquilo que hoje parece muito corriqueiro é fruto de uma intrincada elaboração cognitiva.

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Na estruturação do pensamento humano, como você aprendeu em Psicologia e Filosofia, são envolvidas habilidades cognitivas que passam a adquirir maior grau de complexidade, à medida que a criança cresce, relaciona-se e se apropria da linguagem. A linguagem permite a construção de significados, tornando possível a troca intersubjetiva e a participação social. Assim, a criança passa a produzir, gradualmente, significados, classificações, inferências e analogias, que permitem sua inserção no espaço social do mundo do adulto.  Além disso, a criança necessita da vivência consciente da experiência (CARRAHER, 2001). Por exemplo, boa parte das crianças até os dois anos é fascinada por buracos de tomada (essa de energia elétrica!). Por mais que os pais afirmem que é ruim, que dá dodói, etc., ela parece estar encantada com a visualização, não estabelecendo um significado para o objeto tomada. Depois de muitas manobras para driblar os pais, a criança finalmente consegue: chega à tomada de energia e, de posse de um grampo ou outro objeto metálico, toma a ação! Não é preciso dizer o que ocorre, mas algo precisa ser dito: por mais que outros afirmem, expliquem e exemplifiquem, a criança saberá realmente o que é uma tomada, somente após vivenciar e tomar consciência das conseqüências de seu uso descabido. Somente após experimentar a compreensão das relações e das experiências, surgem os significados que permitem às crianças novas formas de ação e interação, ou seja, a construção do pensamento! O pensamento da criança tem sua primeira base em inferências sem consistência, resultantes de processos elementares de dedução e indução que, aos poucos, vão assumindo maior grau de complexidade. Isso permite à criança compreender as relações e as finalidades das coisas que, alimentadas pela curiosidade infantil, intensificam a aprendizagem e permitem a paulatina construção de inferências mais elaboradas e coerentes com sua inserção social. Em outras palavras: a criança substitui, gradualmente, conexões imediatas e superficiais por relações complexas mediadas por habilidades cognitivas consistentes, tais como: atenção, simbolização, seleção, memória, transferência, avaliação, etc. Essa substituição do imediato e superficial pelo complexo e permanentemente em construção permite à criança sair do pensamento realista e momentâneo das

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situações externas até chegar, por intermédio da imaginação, da fantasia e do raciocínio, a um pensamento criativo que vai além do imediato. Cada etapa percorrida

e conquistada nesse “desvendamento do mundo” implica transformação no processo de articulação do pensamento (VYGOSTSKY, 1993). 1.2 O Pensamento e a Educação  A educação, como expressão da vontade humana de criar e preservar, é o meio pelo qual tentamos perpetuar nossa existência, principalmente a social. As atividades mentais são direcionadas para a manipulação e a produção de saberes que possam contribuir para a sociedade. Ensinam-se às crianças percursos cientificamente aceitos e integrantes do corpus do conhecimento humano. Quando pensamos em resolução de problemas matemáticos, a situação não é diferente. Assumimos um discurso educacional de que o aluno deve seguir um processo pelo qual, partindo de princípios e evidências, chega a conclusões e constrói novos caminhos e possibilidades de conhecimento (a esse propósito, você pode rever os conceitos de dedução e indução no caderno de Filosofia da Educação do primeiro período). Partimos da premissa de que pensar criativamente, isto é, atribuir significados novos a situações investigadas, é algo natural para os alunos. Criamos a imagem de que eles têm autonomia suficiente para a realização de atividades básicas. Isso principalmente ocorre no quarto e quinto ano do Ensino Fundamental. Qual o problema disso? O professor sente-se à vontade para não investir na tarefa de ensinar a pensar. Em outras palavras: o professor supõe que, já que a criança passou pela educação infantil e pelos anos anteriores do Ensino Fundamental, está habilitada a ter certas competências e habilidades. Esse é um engano. Nós adultos não conseguimos fazer isso de forma plena, mesmo quando já temos todas as nossas estruturas mentais razoavelmente exercitadas e desenvolvidas! O professor precisa compreender o processo infantil de construção não apenas de conteúdos e conhecimentos, mas da própria capacidade racional de autocrítica,

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principalmente quando falamos de educação infantil e anos iniciais do Ensino Fundamental. Autocrítica é a capacidade de o aluno reconhecer-se como sujeito em construção e, como tal, compreender que essa construção é permanente e sujeita a erros, durante todo e qualquer processo de investigação.

O aluno da educação infantil e dos anos iniciais do Ensino Fundamental deve perceber, graças à mediação do professor, que a construção do pensamento, apesar da ordem cientificamente aceita, não é absoluta. Existem outros caminhos a serem descobertos pelo exercício autônomo do pensamento. É a autonomia que Freire (1999) afirma como cerne da emancipação do ser. No processo educacional, deveríamos perseguir a capacidade de vislumbrar múltiplos caminhos na atividade reflexiva humana, principalmente ao se tratar de operações matemáticas. Smole (2003, p. 65-66), ao falar da dificuldade do uso da linguagem matemática, afirma que ao exigir da criança uma linguagem que consideramos adequada e precisa, corremos o risco de impedir que algumas tenham acesso ao

“sentido” dos enunciados mate máticos, sentido este que se constrói a partir de uma linguagem aproximada, em um trabalho em que o importante é articular significações, ligar etapas do pensamento. [...] Podemos tentar criar apelidos quando nos referimos a noções ou termos matemáticos e nem por isso eles se tornarão mais simples; de

pouco, ou de nada, adianta o professor dizer “escorrega” ou “empresta” quando, por exemplo, refere-se ao processo de trocas de dez unidades por uma dezena se o aluno não conseguir a compreensão das regras que constituem o sistema de numeração decimal. Observamos que a construção do pensamento é uma situação complexa.

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Quando aplicada à matemática, essa construção tende a ser ainda mais difícil, principalmente pela abstração de seus conceitos. Na próxima aula, continuaremos a pensar sobre o pensar, focando mais intensamente a idéia da matemática. 1.3 A Construção do Pensamento Matemático Não podemos dissociar a construção do pensamento matemático do próprio desenvolvimento psicológico da criança. A maturidade do pensamento matemático só poderá ser atingida de acordo com o desenvolvimento psicológico. Como comentamos na introdução desta aula, o pensamento matemático acontece por meio de uma evolução lógica, associada ao desenvolvimento mental.  Assim, segundo a teoria cognitiva desenvolvida por Piaget (1896 –1980), existem estágios evolutivos do pensamento matemático associados ao desenvolvimento mental.

No primeiro estágio, sensório-motor, a partir dos dois anos de idade, descobremse os símbolos para dar sentido àquilo que está ausente. É a fase do egocentrismo: a criança ainda não consegue transpor as experiências vividas em pensamento. No segundo estágio, pré-operatório, a criança passa a ter pensamentos lógicos mais elaborados, mesmo que ainda relacionados com a experiência vivida, como acontece com crianças no primeiro ano do Ensino Fundamental (BRIZUELA, 2006). No último estágio, operatório-formal, na adolescência, o jovem é capaz de abstrair as experiências concretas e formular hipóteses. Por que descrever os estágios de desenvolvimento segundo a teoria de Piaget? Qual é a relação dessas fases de desenvolvimento com a construção do pensamento matemático? A resposta a essas perguntas não é simples.

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 As estruturas mentais têm um padrão de funcionamento lógico, com etapas sucessivas e diversificadas. Uma dessas etapas, segundo Piaget (1983), ocorre por meio da interação entre a criança e o meio que proporciona condições favoráveis à construção do conhecimento. A construção do pensamento matemático não ocorre de forma individual e sim por meio de trocas entre os membros de um grupo. No pensamento matemático, o aprendizado da criança está relacionado com as etapas do seu desenvolvimento, pois o que ela pode aprender na próxima etapa será determinado pelo que ela aprendeu na anterior. Assim é possível prever o que ela pode fazer em cada etapa.  A escolha de conteúdos, competências e habilidades a serem trabalhados em cada etapa pode contribuir, então, para o sucesso ou o fracasso de uma criança. Toda construção de conhecimento matemático supõe a existência de conhecimentos empíricos prévios. Somente no fim do Ensino Fundamental, o jovem desenvolve sua capacidade de abstração e a possibilidade de usar o pensamento formal.

 A escola precisa, também, desenvolver no aluno um pensamento autônomo, para permitir-lhe aprender a aprender e aprender a pensar, em qualquer tipo de situação com que possa se deparar futuramente. Vimos que, em Piaget (1973), o pensamento matemático evolui por estágios bem definidos, passando, primeiramente, por atividades sensório-motoras com objetos, até chegar ao pensamento abstrato e formal. Ao longo desse percurso, o meio social desempenha um papel de primeira ordem para o desenvolvimento do pensamento infantil.

Devido

a

tudo

isso,

o

pensamento

matemático

não

pode

ser

ensinado/transmitido por repetição ou verbalização, pois ele é o resultado de uma construção reflexiva da criança, baseada na experiência concreta do mundo.

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Na complexidade do ser humano, uma das atividades de mais difícil explicação é o raciocínio. Ao começar seu processo de construção racional, a criança precisa desenvolver uma consciência reflexiva de suas interações com o meio. Por meio de operações indutivas e dedutivas de seleção, avaliação, simbolização, transferência, etc., a criança atribui significados aos dados da realidade e à intrigada malha de relações e finalidades. O desvendamento do mundo desloca-se de uma posição realista e imediata para uma dimensão simbólica e mediata.  A educação, entre outras coisas, busca preservar a produção de saberes significativos. Com esse intento, a escola transmite linhas bem-sucedidas de raciocínio humano, convencionadas por determinada cultura. Mas o pensamento humano, mais do que ser transmitido, precisa ser engendrado no próprio sujeito.  A escola, portanto, tem a árdua tarefa de propiciar ao aprendiz condições favoráveis para o exercício autônomo do seu raciocínio.  A construção do pensamento matemático infantil ocorre em sinergia com seu desenvolvimento cognitivo geral e com suas interações com o meio. Inicialmente, o pensamento da criança se mantém extremamente aderente à sua experiência concreta. Só na adolescência, atinge-se um estágio formal e abstrato. Ao escolher conteúdos, competências e habilidades para os anos iniciais do Ensino Fundamental, o educador deve levar em conta essa progressão do concreto para o abstrato, a fim de propiciar uma progressiva autonomia no raciocínio de seu aluno.

BRIZUELA, Bárbara M. Desenvolvimento matemático na criança: explorando notações. Porto Alegre: Artmed, 2006.

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CARRAHER, Terezinha N. Aprender pensando. 15. ed. Petrópolis: Vozes, 2001. FREIRE, Paulo. Pedagogia da Autonomia. Rio de Janeiro: Paz e Terra, 1999. MORIN, Edgar. Os sete saberes necessários à educação do futuro. São Paulo: Cortez, 2000. PIAGET, Jean. A epistelomogia genética: sabedoria e Ilusões da filosofia; problemas de psicologia genética. In: Piaget. São Paulo: Abril, 1983.  ______. Biologia e conhecimento. Petrópolis: Vozes, 1973. SMOLE, K. A matemática na Educação Infantil: a teoria das inteligências múltiplas na prática. Porto Alegre: Artmed, 2003. VYGOTSKY, L. S. Pensamento e linguagem. São Paulo: Martins Fontes, 1993.

Conheceremos o desenvolvimento do pensamento matemático ao longo da história do homem, partindo da descoberta da escrita, e as linhas metodológicas e estratégias de ação, alinhadas às novas tendências do ensino da matemática.

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 ________________________________________________________AULA 02 Construindo a Matemática

Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de:

• conhecer o desenvolvimento do pensamento matemático ao longo da história do homem, partindo da descoberta da escrita;

• apresentar conhecimentos básicos sobre as linhas metodológicas e estratégias de ação, alinhadas às novas tendências do ensino da matemática.

Para um bom aproveitamento desta aula, é necessário que você volte à discussão proposta na aula anterior sobre a evolução do pensamento matemático infantil. De fato, observamos um paralelismo interessante entre a evolução da criança e a da humanidade, quanto à passagem do concreto para o abstrato. Como vimos na aula um, inicialmente os homens primitivos representavam objetos por meio de outros objetos, até progredir para uma formalização numérica da realidade. Surgiram assim os sistemas numéricos dos hindus, dos egípcios e dos romanos. Esse caminho histórico da humanidade, como veremos aqui, repropõe-se de alguma forma nos processos de simbolização do real que a criança elabora ao longo de seu crescimento cognitivo. Também discutiremos aqui algumas estratégias de ensino e aprendizagem da matemática, como a resolução de problemas, a origem histórica de princípios e procedimentos, a aplicação de novas tecnologias da informação e o estudo de estratégias informais de construção de problemas, praticadas em nível universal ou regional (etnomatemática). Cada uma dessas linhas metodológicas deve ser utilizada pelo educador no tempo certo e, para fazer a escolha mais adequada, é necessário,

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então, conhecer as peculiaridades cognitivas de cada etapa do crescimento de nossos alunos.

Falar de matemática e de pensamento matemático é algo complexo. Mais ainda quando se tem como interlocutor um pedagogo que não possui conhecimentos especializados na área de ciências exatas. Para ajudar você, futuro educador dos anos iniciais do Ensino

Fundamental, faremos um breve passeio pela história da

Matemática. Avançaremos gradativamente com a evolução histórica do conhecimento matemático, para podermos chegar à matemática dos nossos dias. Na construção desta aula, trabalharemos também com as novas tendências do ensino da Matemática. 2.1 A gênese e a História da Matemática Os primeiros povos viviam caçando animais selvagens e colhendo frutas que cresciam de forma espontânea. Habitavam, em geral, em espaços abertos ou em cavernas. Eram verdadeiros nômades que se deslocavam constantemente de um lugar para outro à procura de alimentos.  A matemática é uma das ciências mais antigas, remontando à épocas antigas, fruto dos primeiros esforços do homem para representar números e formas, na resolução de seus problemas de sobrevivência, no meio hostil em que vivia. O conceito de número e o processo de contar desenvolveram-se antes dos primeiros registros históricos (temos evidências de que o homem é capaz de contar há mais de 50.000 anos). A maneira mais antiga de contar baseava-se em alguns métodos de registro simples, como: ranhuras no barro ou em rochas, entalhes em pedaços de madeira ou de ossos (EVES, 2004). 2.2 O Número Concreto

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O número não apareceu de repente por obra de uma única pessoa. Com a necessidade de contar os animais de suas caças e seus rebanhos, o homem primitivo utilizava objetos como pedras, nós em cordas, marcas em ossos e em madeiras. Com o passar do tempo, esse sistema foi se aperfeiçoando até dar origem aos números (EVES, 2004). Mas, antes de chegar ao sistema numérico atual, vamos repassar algumas etapas dessa evolução. 2.3 Começando a Contar O homem vivia em pequenos grupos, morando em savanas e cavernas, protegendo-se dos animais selvagens e das chuvas. Naquela época, o homem se alimentava com o que a natureza oferecia (caças, frutos e sementes). Posteriormente, descobriu o fogo, aprendeu a cozinhar os alimentos e a se proteger melhor do frio e dos animais selvagens.

 Ao longo das eras, o homem começou a modificar seu sistema de vida. Da caça e da coleta de frutos e raízes, passou a cultivar plantas e criar animais. Era o início da agricultura. Com isso, o homem começava a tornar mais estável sua moradia, principalmente à margem de rios, não tendo mais necessidade de se deslocar de um lugar para o outro, como nômade (EVES, 2004). Começaram a ser desenvolvidas novas habilidades: construção de moradias, criação de animais, produção de ferramentas. Surgiram as primeiras comunidades organizadas, com lideranças e divisão dos trabalhos. Para pastorar os rebanhos, relacionava-se cada ovelha a uma pedra que era colocada em um saco. Assim haveria certeza de que todo o rebanho estaria de volta ao final do dia. Os primeiros pastores jamais poderiam imaginar que, milhares de anos

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mais tarde, haveria um ramo da matemática chamado Cálculo, que em latim quer dizer contar com pedras (EVES, 2004). 2.4 A Idéia de Número Utilizando objetos para contar outros objetos, o homem começou a construir o conceito de número. Para o homem primitivo, o número cinco era muito importante, pois relacionava a esse número os dedos das mãos. Assim, para contar objetos e animais, os pastores os separavam sempre em grupos de cinco (EVES, 2004). Do mesmo modo, os caçadores contavam os animais abatidos, traçando riscos na madeira ou fazendo nós em corda, também de cinco em cinco. Com a socialização do conhecimento em comunidades e aldeias às margens de rios e savanas, em contextos sociais sempre mais complexos, o homem primitivo começou a desenvolver o uso de armas e ferramentas. Novas atividades iam surgindo, graças, sobretudo, ao desenvolvimento do comércio. Os agricultores passaram a produzir alimentos em grandes quantidades, muito além de suas necessidades individuais e familiares. Com isso, algumas pessoas puderam se dedicar a outras atividades, tornando-se artesãos, comerciantes, sacerdotes ou administradores. Como conseqüência desse desenvolvimento, surgiu a escrita. Foi assim que estudiosos do antigo Egito passaram a representar a quantidade de objetos de uma coleção, por meio de desenhos ou símbolos. A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o desenvolvimento da matemática. 2.5 O Sistema de Numeração Indo-arábico O sistema de numeração que usamos tem esse nome devido aos hindus que o inventaram e aos árabes que o divulgaram. Não se sabe ao certo como e quando esses novos símbolos entraram na Europa Ocidental. Provavelmente foi por intermédio de comerciantes árabes (EVES, 2004).

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Os hindus utilizavam apenas nove sinais para representar os números e fazer os cálculos, e não conheciam o número zero.  A idéia dos hindus de introduzir uma notação para uma posição vazia oco rreu no fim do século VI. Mas foram necessários muitos séculos para que esse símbolo chegasse à Europa. Com a introdução do décimo sinal, o zero, o sistema de numeração, assim como o conhecemos hoje, estava completo. Até chegar aos números que você aprendeu a ler e escrever, os símbolos criados pelos hindus sofreram várias mudanças. Hoje, esses símbolos são chamados de algarismos indo-arábicos.  Agora já sabemos o porquê. Os egípcios usavam sete números-chave. Como funcionava? Um traço vertical representava uma unidade. Um osso de calcanhar invertido representava o número 10. Um laço valia 100 unidades. Uma flor de lótus valia 1.000. Um dedo dobrado valia 10.000. Com um girino, os egípcios representavam 100.000 unidades. Uma figura ajoelhada, talvez representando um deus, valia 1.000.000.

Todos os demais números eram grafados combinando os números-chave. Na escrita dos números que usamos atualmente, a ordem dos algarismos é muito importante. Mas, para os egípcios, isso não tinha a menor importância: eles escreviam seus números sem preocupar-se com a posição dos símbolos. 2.6 O Sistema de Numeração Romano Os romanos adotaram uma representação numérica própria, por meio de sete letras-chave. Os algarismos romanos têm certa limitação em cálculos e

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representações, mas para sua época eram suficientes. As sete letras usadas pelos romanos eram as seguintes: I – tinha valor de 1 V – valia 5 X – representava 10 unidades L – indicava 50 unidades C – valia 100 D – valia 500 M – valia 1.000 Quando apareciam números iguais em sucessão, os romanos somavam seus valores: II = 1 + 1 = 2 XX = 10 + 10 = 20 XXX = 10 + 10 + 10 = 30 Quando dois números diferentes vinham juntos e o menor estava posicionado antes do maior, subtraíam o número menor ao número maior. IV = 4 porque 5  – 1 = 4 IX = 9 porque 10  – 1 = 9 XC = 90 porque 100 – 10 = 90 Mas, se o número maior vinha antes do menor, eles somavam os valores dos dois números. VI = 6 porque 5 + 1 = 6

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XXV = 25 porque 20 + 5 = 25 XXXVI = 36 porque 30 + 5 + 1 = 36 LX = 60 porque 50 + 10 = 60 Com esse tipo de numeração, era difícil efetuar cálculos. Por isso, matemáticos de todo o mundo buscavam incessantemente símbolos mais simples e mais apropriados, para representar e efetuar cálculos matemáticos. Na Índia, ocorreu uma das mais notáveis invenções da história da matemática, o sistema de numeração decimal. Apesar disso, em alguns casos, ainda hoje utilizamos os números romanos para representar determinada época histórica. 2.7 Linhas Metodológicas e Estratégias para os Anos Iniciais Para ensinar matemática, não existe um só caminho (BRASIL, 1997). Portanto é necessário conhecer diversas linhas metodológicas, para que o professor construa sua prática de uma maneira mais prazerosa e eficaz. 2.7.1 A Resolução de problemas Recentemente vem sendo discutida a resolução de problemas como estratégia de ensino e aprendizagem da matemática.  A história da matemática é constituída por uma sucessão de problemas práticos (divisão de terra, cálculo de créditos, problemas físicos e astronômicos) que exigiram do homem respostas concretas e eficazes. Problema matemático é uma situação em que precisamos de uma seqüência de ações ou operações para obter um resultado. A solução não está disponível de início, é necessário construí-la. Resolver um problema não se resume a dar respostas, mas em compreender o que foi proposto e formular novos questionamentos. O fato de que o aluno seja estimulado a questionar seus próprios resultados, transformando uma solução em uma fonte de novos problemas, evidencia uma concepção de ensino e aprendizagem que

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não visa à mera resolução, mas à construção de novos conhecimentos (NUNES, 2006). 2.7.2 A história da Matemática  A história da Matemática representa um recurso metodológico que pode oferecer uma importante contribuição no processo de ensino e aprendizagem. Ao mostrar a matemática como criação humana, o professor tem a possibilidade de desenvolver no aluno atitudes e valores mais favoráveis ao estudo da Matemática. Os conceitos, abordados em conexão com sua história, constituem veículos de informação cultural, sociológica e antropológica de grande valor formativo. Por isso, a história da matemática é um instrumento de resgate da própria identidade cultural. Em muitas situações, esse recurso pode esclarecer idéias matemáticas que estão sendo construídas pelo aluno e contribuir para a constituição de um olhar mais crítico sobre os objetivos do conhecimento. 2.7.3 As tecnologias da informação Com o avanço das novas tecnologias, faz seu ingresso na escola mais um desafio: incorporar à exposição de conteúdos tradicionais novas formas de comunicação. Estudos e experiências valorizam o uso da calculadora em sala de aula, como um instrumento que pode contribuir para a melhoria do ensino da matemática. Ela pode ser usada como um instrumento motivador na realização de tarefas exploratórias de investigação, para a verificação de resultados, correção de erros, podendo ainda ser um instrumento de auto-avaliação. Enquanto recurso didáticotecnológico, o computador é um instrumento que oferece versatilidade ao processo de ensino e aprendizagem da matemática, seja pela sua destacada presença na sociedade moderna, seja por suas possibilidades de aplicação.

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Embora os computadores ainda não estejam disponíveis em todas as escolas, eles já começam a integrar muitas experiências educacionais, prevendo-se, em curto prazo, uma utilização crescente. O computador pode ser usado como elemento de apoio para o ensino (banco de dados, elementos visuais), mas também como fonte de aprendizagem e como ferramenta para o desenvolvimento de habilidades. O trabalho com o computador pode ensinar o aluno a aprender com seus erros e a aprender junto com seus colegas, trocando suas produções e comparando-as. 2.7.4 Os Jogos O jogo pode ser útil na construção da aprendizagem, criando um ambiente agradável e instigante de investigação e exploração. Além de ser um objeto sóciocultural em que a matemática está presente, o jogo é uma atividade natural no desenvolvimento dos processos psicológicos básicos. Representa uma atividade sem obrigação externa, embora demande exigências, normas e controle. No jogo, mediante a articulação entre o conhecido e o imaginado, desenvolve-se o auto-conhecimento (quais são meus limites?) e o conhecimento dos outros (o que posso esperar dos outros e em que circunstâncias?). Por isso é importante que os jogos façam parte da cultura escolar, cabendo ao professor analisar e avaliar a potencialidade educativa de cada jogo e o aspecto curricular que se deseja desenvolver. 2.7.5 A Etnomatemática Desde o fim do século XIX, os etnógrafos já utilizavam o termo Etnociência e conceitos com ele relacionados, como Etnolinguística, Etnobotânica, Etnozoologia, Etnoastronomia, etc., com concepções bem diferentes das que hoje utilizamos para a Etnomatemática.  A Etnomatemática valoriza os diferentes grupos culturais, levando em consideração os conceitos informais construídos pelos alunos, por meio de suas experiências fora do contexto da escola. Pode ser ponto de partida para o ensino formal.

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2.7.6 O cálculo mental Os procedimentos de cálculo mental constituem a base do cálculo aritmético que se usa no cotidiano. De forma simples, pode-se dizer que se calcula mentalmente quando se efetua uma operação, recorrendo-se a procedimentos confiáveis, sem os registros escritos e sem a utilização de instrumentos. A adição entre 43.000 e 19.000 pode ser calculada de formas diferentes como, por exemplo:

O cálculo mental apóia-se na existência de diferentes maneiras de calcular e na possibilidade de escolha da maneira que se adapta melhor a uma determinada situação, em função dos números e das operações envolvidas. Assim, cada situação de cálculo constitui-se um problema aberto que pode ser solucionado de diferentes maneiras, recorrendo-se a procedimentos originais para chegar ao resultado. No cálculo mental, a reflexão centra-se no significado dos cálculos intermediários, e isso facilita a compreensão das regras do cálculo escrito. O exercício e a sistematização dos procedimentos de cálculo mental, ao longo do tempo, levam-no a ser utilizado como estratégia de controle do cálculo escrito. Todas as tendências aqui estudadas fazem parte de uma importante mudança ocorrida aqui no Brasil em relação ao ensino da matemática, que é a Educação Matemática, que vem cada vez mais atraindo novos estudiosos, com o objetivo de mudar o quadro atual do ensino da matemática em nosso país.

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Entre os povos primitivos, a matemática surgiu como recurso para contar caças e rebanhos ou para medir terrenos. De um estágio primitivo, em que o homem representa objetos por meio de outros objetos, passa-se a um tipo de representação numérica da realidade. Vários sistemas formais foram desenvolvidos ao longo da história. Os hindus criaram e os árabes divulgaram um sistema com símbolos básicos (de zero a nove), cuja composição permite a representação dos números além do nove (trata-se do sistema que nós utilizamos hoje); os egípcios usavam um sistema com sete símbolos que representavam os números 1, 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000 e 1.000.000; os romanos adotaram um sistema com sete letras-chave (para representar os números 1, 5, 10, 50, 100, 500 e 1.000) e algumas regras combinatórias para representar os demais números. Você também teve a oportunidade de refletir sobre algumas estratégias de ensino e aprendizagem da matemática. Entre elas, vimos a aplicação da matemática na resolução de problemas do dia-a-dia do aluno; a contextualização histórica dos conteúdos matemáticos propostos (como surgiram, quem os adotou inicialmente, que evolução tiveram ao longo da história), para que o aluno compreenda que muitos conceitos por ele considerados demasiadamente abstratos e alheios à realidade, por vezes, são procedimentos resolutivos de problemas práticos; o uso de novas tecnologias da informação, que permitem uma maior rapidez no processamento de informações; o uso de jogos, que permite uma aprendizagem mais prazerosa; o estudo das estratégias informais de construção de problemas adotadas por uma determinada comunidade ou cultura local (etnomatemática); e, enfim, o uso de estratégias informais de cálculo (como é, por exemplo, o cálculo mental), como ponto de partida para o ensino formal e sistematizado da Matemática.

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BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Ensino Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática. Brasília, 1997. EVES, Howard. Introdução à história da Matemática. Campinas: Unicamp, 2004. NUNES, Terezinha et al. Educação matemática 1: números e operações numéricas. São Paulo: Cortez, 2006. USP On-line. História da Matemática. Disponível em: . Acesso em: 20 jun. 2007.

Veremos como o ensino da matemática na educação infantil e o currículo nos anos iniciais são afetados pelo pensamento matemático. Para isso, compreenderemos o ensino da matemática na educação infantil, desenvolvendo situações didáticas com material concreto e retomaremos os PCN.

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 ________________________________________________________AULA  ________________________________________ ________________AULA 03 O ensino da Matemática na Educação Infantil e o Currículo nos Anos Iniciais

Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de:

•  compreender o ensino da matemática na educação infantil, desenvolvendo situações didáticas com material concreto;

• analisar os quatro blocos de conhecimento dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), a saber: números e operações; espaço e forma; grandezas e medidas; tratamento das informações.

Para um bom aproveitamento desta aula, é necessário que você leve em consideração a teoria das inteligências múltiplas de Gardner. As matrizes gardnerianas aplicadas à formação infantil dialogam com a leitura de mundo de Paulo Freire: as representações fonográfica e numérica do mundo são aplicações complexas de inteligências diversificadas que a criança põe em ato ao sistematizar a realidade que vai descobrindo. É possível também um diálogo muito proveitoso entre Gardner e Piaget, no sentido de as diferentes inteligências da criança poderem ser ativadas e desenvolvidas, apenas a partir de um trabalho pedagógico pautado em experiências e materiais concretos. Também trabalharemos as concepções, conteúdos e objetivos do ensino da matemática na educação infantil e nos primeiros anos do Ensino Fundamental.

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Para você acompanhar nossas análises, precisa conhecer o texto original dos PCN, disponível no sítio . asp. Entre as orientações educacionais nacionais, compete ao educador selecionar as que de fato podem contribuir mais eficazmente ao desenvolvimento cognitivo, humano e ético de seus alunos.

Compreender e pensar a matemática, como vimos nas aulas anteriores, não é uma atividade fácil. Na verdade é um espaço de múltiplas visões. Nesse sentido, tencionamos discutir alguns elementos problematizadores dessa prática e sugerir a utilização do material concreto, como ponto de partida para uma prática de matemática na educação infantil. Quanto ao currículo, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) para o ensino de matemática são uma ferramenta importante para o professor. Obviamente, por si só, eles não garantem eficácia no ensino, mas, agregados a outras teorias e metodologias, podem auxiliá-lo na difícil jornada da compreensão da matemática pelas crianças. Nesta aula, veremos os quatro blocos de conhecimento dos Parâmetros Curriculares Nacionais, em linhas gerais e, posteriormente, destinaremos aulas a eles. 3.1 Algumas Questões Trabalhar matemática na educação infantil? Sim, isso é necessário! Mas que matemática deve ser trabalhada? Essa é uma questão muito complexa. Vamos partir da noção de alfabetização para compreender por que a matemática deve ser ensinada na educação infantil. Partiremos de algumas idéias basilares na educação infantil.

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O que é alfabetizar? De forma ampla, podemos afirmar que é a apropriação de formas de leitura do mundo em que incluímos a palavra escrita, a observação e a quantificação do mundo que está em torno da criança, a historicidade que passa a ser construída e, nesse sentido, a apropriação do tempo e espaço. A matemática e o conhecimento que ela produz são, assim, elementos que estão dentro desse conceito de alfabetização, em sentido amplo, não podendo ficar isolada aos anos iniciais do Ensino Fundamental. Pelo próprio desenrolar do conhecimento estruturado do homem, acreditamos que a criança constrói suas bases de entendimento do conhecimento, a partir dos problemas impostos pelo próprio tempo e espaço em que ela vive e, na inter-relação com outras crianças e adultos, ela passa a se constituir em ser pensante (PIAGET, 1971). Em outras palavras: a criança desenvolverá suas estruturas de pensamento e de solução de problemas, à medida que interagir com o mundo e fornecer respostas, mesmo que provisórias, pelas limitações de sua faixa etária. Isso se dá com a matemática também. A criança (na creche e na pré-escola), ao interagir com situações concretas, construirá conceitos provisórios que permitirão dar respostas às demandas impostas. Por exemplo, na vivência de situações concretas, a criança, construindo seu próprio brincar, poderá entender o agrupamento de objetos por semelhança, fazer classificações simples, comparar tamanhos (maior/menor/igual), estabelecer diferenças entre cores. É importante frisarmos que isso acontece mediado pela ação docente, mas não exclusivamente por ela. Todos os espaços que a criança percorrer permitirão a educação de seus sentidos. Porém, quando mediada pelo professor, a educação deve privilegiar os âmbitos de experiência próxima da criança, tais como a descoberta de si mesma, a descoberta do meio social em que está se inserindo e a intercomunicação com outros por meio das diversas linguagens (BASSEDAS; HUGUET; SOLÉ, 1999). É iniciado na infância e, depois por toda a vida, devido às novas experiências, a constante mudança de conceitos. Sobre a mudança nos conceitos, Deleuze e Gatarri

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(1992, p. 33-34) afirmam que o conceito é, portanto, ao mesmo tempo absoluto e relativo: relativo a seus próprios componentes, aos outros conceitos, ao plano a partir do qual se delimita , aos problemas que se supõe deva resolver, mas absoluto pela condensação que opera, pelo lugar que ocupa sobre o plano, pelas condições que impõe ao problema. É absoluto como todo, mas relativo enquanto fragmentário. Como professor, é importante que se reconheça a dupla existência dos conceitos na educação infantil: o conceito é uma amálgama de absoluto e relativo, sendo facilmente perceptível na ação diária com as crianças. Por exemplo, uma criança pode brigar insistentemente com outra por um brinquedo, fazendo um grande escândalo, para, segundos depois, jogar seu brinquedo para o lado! Quanta mudança de conceito: o brinquedo era o objeto de desejo, e possuí-lo, para a criança, era essencial; segundos depois, torna-se desprezado. Em nosso mundo adulto, de conceitos mais bem elaborados e rígidos, chamaríamos isso de desejo, mas podemos chamar de construção de conceito  – do conceito de querer e do exercício da manobra e da troca. Tudo isso presente em uma simples briga na sala de aula!  A matemática se alimenta disso também. É por meio do brincar, do brigar, do trocar, do tocar, do chorar, do abraçar que a criança pode perceber relações de forma, de cor, de sentido, de proporção, entre outras. Como aproveitar esse espaço tão rico em aprendizado? Sugerimos o uso do material concreto como possibilidade. Vamos a ele? 3.2 O Material Concreto como Ponto de Partida Piaget (1970) recomenda trabalhar com materiais concretos, pois, segundo ele, a criança somente é capaz de pensar representações mentais de objetos concretos com que tem contato em determinada fase da sua vida. Por esse motivo, é de fundamental importância oferecer à criança a possibilidade de manipular diversos materiais: calendários, músicas que veiculam séries numéricas, etc.

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Segundo Bruner (1995), o primeiro passo quando a criança tenta entender um objeto é tentar compreender como funciona. Dessa forma, são criadas sucessivas imagens do objeto. Utilizando o concreto, inicia-se a criar representações relacionadas à sua funcionalidade. O que a teoria piagetiana diz, no entanto, é que, além dos fatores sociais (escola e meio ambiente), há fatores biológicos ligados ao amadurecimento da criança, que limitam a passagem da fase concreta para a icônica e a simbólica.  A escolha do melhor procedimento e a análise das suas limitações deve ser resultante da experiência do professor em situações de aprendizado similares. O termo concreto geralmente é utilizado por muitos educadores como sinônimo de manipulável. O professor deve reconhecer quando o concreto é referente ao material manipulável e quando o concreto se refere a uma situação intimamente ligada ao dia-a-dia da criança. 3.2.1 Sugestões de como utilizar corretamente o material concreto (manipulável) em sala de aula O uso do material concreto deve ser previsto, no início do ano, determinando os conteúdos que serão trabalhados e quais serão os benefícios recebidos com seu uso. Veja algumas recomendações a seguir.

• Utilize o mesmo material concreto para diversas atividades e possivelmente para diversos anos diferentes. O que muda são os objetivos e a complexidade das atividades.

• Permita que a turma se familiarize com o material. O ideal é que cada um tenha o seu ou que se formem pequenos grupos. O tamanho dos grupos pode variar conforme a atividade prevista.

• É importante salientar que a situação -problema deve ter significado para o aluno, estimulado-o a resolvê-la.

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• Durante as atividades com material concreto, a turma tende a ficar mais agitada. Isso é positivo, pois provoca o surgimento e a troca de conhecimento.

• Observe bem as crianças para que possa perceber o raciocín io de cada uma. Tente seguir sua linha de raciocínio, ajudando-as a encontrar as respostas.

• Para perceber se o aluno está aprendendo, além da observação apurada, é importante que se peça o registro das atividades realizadas e das conclusões. Como salientamos no início, trabalhar com materiais concretos é uma sugestão para o desenvolvimento de atividades matemáticas com crianças, na educação infantil, mas não pára aí. Outras atividades que envolvem cores, fragrâncias e formas podem ser utilizadas, desde que o professor elabore seu planejamento de forma a saber o porquê da utilização desses recursos. Em nossa próxima aula, lançaremos um olhar sobre o currículo de matemática nos anos iniciais e nos grandes blocos de conhecimento que os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) apontam. 3.3 O Currículo e os Anos Iniciais Veremos nessa parte, cinco aspectos relacionados ao currículo nos anos iniciais, importantes na compreensão do pensamento matemático:

• seleção de conteúdos • números e operações • espaço e forma • grandezas e medidas • tratamento da informação Vamos compreender cada um deles? 3.3.1 Seleção de conteúdos

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Segundo os PCN, os currículos de Matemática para o Ensino Fundamental devem contemplar áreas diversas, a saber: o estudo dos números e das operações (no campo da aritmética e da álgebra), o estudo do espaço e das formas (no campo da geometria) e o estudo das grandezas e das medidas (que permite interligações entre os campos da aritmética, da álgebra e da geometria). Os objetivos do ensino da matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental são importantes e, segundo os PCN (BRASIL, 1997), devem:

• identificar os conhecimentos matemáticos como meios para compreender e transformar o mundo à sua volta e perceber o caráter de jogo intelectual, característico da Matemática, como aspecto que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas;

• fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos, do ponto de vista do conhecimento, e estabelecer o maior número possível de relações entre eles, utilizando, para isso, o conhecimento matemático (aritmético, geométrico, métrico, algébrico, estatístico, combinatório, probabilístico); selecionar, organizar e produzir informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las criticamente;

• resolver situações -problema, sabendo validar estratégias e resultados, desenvolvendo formas de raciocínio e processos, como dedução, indução, intuição, analogia, estimativa, e utilizando conceitos e procedimentos matemáticos, bem como instrumentos tecnológicos disponíveis;

• comunicar -se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar resultados com precisão e argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso da linguagem oral e estabelecendo relações entre ela e diferentes representações matemáticas;

• estabelecer conexões entre te mas matemáticos de diferentes campos e entre esses temas e conhecimentos de outras áreas curriculares;

• sentir -se seguro da própria capacidade de construir conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a auto-estima e a perseverança na busca de soluções;

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• interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente na busca de soluções para problemas propostos, identificando aspectos consensuais ou não, na discussão de um assunto, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles. O desafio que se apresenta é o de identificar, dentro de cada um desses vastos campos, de um lado, quais conhecimentos, competências, habilidades e valores são socialmente relevantes; de outro, em que medida contribuem para o desenvolvimento intelectual do aluno, ou seja, na construção e coordenação do pensamento lógicomatemático, da criatividade, da intuição, da capacidade de análise e de crítica, que constituem esquemas lógicos de referência para interpretar fatos e fenômenos. Os Parâmetros Curriculares Nacionais, para os anos iniciais do Ensino Fundamental, dividem os conteúdos em quatro blocos: números e operações; espaço e forma; grandezas e medidas; tratamento das informações. 3.3.2 Números e operações Os conhecimentos numéricos são construídos e assimilados pelos alunos, num processo dialético, em que intervêm como instrumentos eficazes para resolver determinados problemas e como objetos que serão estudados, considerando-se suas propriedades, relações e o modo como se configuram historicamente. Nesse processo, o aluno perceberá a existência de diversas categorias numéricas criadas em função de diferentes problemas que a humanidade, desde os primórdios da civilização, teve de enfrentar

— números naturais, números inteiros positivos e negativos, números racionais (com representações fracionárias) e números irracionais. À medida que se deparar com situações-problema

—  envolvendo adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação

—, ele irá ampliando seu conceito de número.

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Em relação às operações, o trabalho a ser realizado se concentrará na compreensão dos diferentes significados de cada uma delas, nas relações existentes entre elas e no estudo reflexivo do cálculo, contemplando diferentes tipos

— exato e aproximado, mental e escrito. Embora, nos anos iniciais, já se possa desenvolver uma pré-álgebra, é especialmente nos anos finais do Ensino Fundamental que os trabalhos algébricos serão ampliados. Trabalhando com situações-problema, o aluno reconhecerá diferentes funções da álgebra (como criar modelos, resolver problemas aritmeticamente insolúveis, demonstrar), representando problemas por meio de equações (identificando parâmetros, variáveis e relações e tomando contato com fórmulas, equações, variáveis e incógnitas) e conhecendo a sintaxe (regras para resolução) de uma equação. 3.3.3 Espaço e forma Os conceitos geométricos constituem parte importante do currículo de Matemática no Ensino Fundamental, porque, por meio deles, o aluno desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive.  Além disso, se esse trabalho for feito a partir da exploração dos objetos do mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e artesanato, o aluno poderá estabelecer conexões entre a Matemática e outras áreas do conhecimento (trabalharemos com maior profundidade esse conteúdo na aula sete: Espaço e forma). 3.3.4 Grandezas e medidas Este bloco caracteriza-se por sua forte relevância social, com evidente caráter prático e utilitário. Na vida em sociedade, as grandezas e as medidas estão presentes em quase todas as atividades realizadas. Desse modo, desempenham papel importante no currículo, pois mostram claramente ao aluno a utilidade do conhecimento matemático no cotidiano. As

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atividades em que as noções de grandezas e medidas são exploradas proporcionam melhor compreensão de conceitos relativos ao espaço e às formas. São contextos muito ricos para o trabalho com os significados dos números e das operações, da idéia de proporcionalidade e escala, e um campo fértil para uma abordagem histórica. 3.3.5 Tratamento da informação  Aparentemente, o termo tratamento da informação nos remete aos últimos anos do Ensino Fundamental, ao Ensino Médio ou mesmo ao Ensino Superior. Na realidade, é importante o seu estudo desde os primeiros anos, em função de seu uso atual na sociedade. Integrarão este bloco estudos relativos a noções de estatística, de probabilidade e de combinatória. Evidentemente, o que se pretende não é o desenvolvimento de um trabalho baseado na definição de termos ou de fórmulas, envolvendo tais assuntos. Em relação à estatística, a finalidade é fazer com que o aluno construa procedimentos para coletar, organizar, comunicar e interpretar dados, utilizando tabelas, gráficos e representações que aparecem freqüentemente em seu dia-a-dia. Quanto à combinatória, o objetivo é levar o aluno a lidar com situações-problema que envolvam combinações, arranjos, permutações e, especialmente, o princípio multiplicativo da contagem. Em relação à probabilidade, a principal finalidade é a de que o aluno compreenda que grande parte dos acontecimentos do cotidiano são de natureza aleatória, sendo possível identificar prováveis resultados desses acontecimentos.  As noções de acaso e incerteza, que se manifestam intuitivamente, podem ser exploradas na escola, em situações nas quais o aluno realiza experimentos e observa eventos (em espaços equiprováveis).

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É muito importante lembrar que esta aula foi trabalhada com a intenção de dar um caráter geral ao estudo do currículo de matemática nos anos iniciais, ressaltando a seleção de conteúdos segundo os PCN. Nas próximas aulas, faremos um estudo mais detalhado dessas áreas que irão nos auxiliar no desenvolvimento de outras disciplinas que virão ao longo do curso, como, por exemplo, a disciplina Fundamentos e Metodologias do Ensino de Matemática.

Nesta aula, buscamos traçar um paralelismo entre, de um lado, a fundamentação do ensino de matemática na educação infantil e, de outro lado, a noção ampla de alfabetização como iniciação à leitura de mundo. Brincar é uma atividade comum e corriqueira na vida de uma criança. Para ela, porém, as brincadeiras são algo extremamente sério, tão sério que o educador pode se valer delas para propiciar o desenvolvimento de noções de semelhança, de classificação e de comparação, operações basicamente matemáticas. Na realidade, para as crianças, brincar é descobrir o mundo ou construir uma sistematização do real. Com base nas orientações da teoria piagetiana, segundo a qual a criança só é capaz de pensar o concreto, é recomendável o uso de materiais concretos (enquanto manipuláveis ou enquanto utilizados diariamente), nas aulas de matemática dos anos iniciais do Ensino Fundamental.  Abordamos também a concepção geral subjacente aos PCN de matemática. Compete ao professor selecionar quais conhecimentos, competências, habilidades e valores socialmente relevantes, entre os que são apontados pelas diretrizes nacionais, podem contribuir para o desenvolvimento intelectual de seus alunos.

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Dentro dos conteúdos das três grandes ramificações matemáticas da aritmética, da álgebra e da geometria, concentramo-nos em números, operações, espaço, forma, grandezas, medidas e tratamento das informações. Esse material conceitual pode ser trabalhado pelo educador, a fim de alcançar sete objetivos gerais: o conhecimento matemático como meio de compreensão e transformação do mundo; a realização de relações quantitativas e qualitativas entre os conhecimentos; a resolução de situações-problema; a comunicação matemática, enquanto

apresentação,

descrição,

representação

e

argumentação;

a

interdisciplinaridade; a auto-estima e perseverança na busca de soluções; a interação cooperativa com os pares.

BASSEDAS, Eulália; HUGUET, Teresa; SOLÉ, Isabel. Aprender e ensinar na Educação Infantil. Porto Alegre: Artmed, 1999. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: introdução (1ª a 4ª séries). Brasília: MEC, 1997. BRUNER, Jerome. O processo da educação. Lisboa: Nova Biblioteca, 1995. DELEUZE, Gilles; GUATTARI, Félix. O que é a filosofia? Rio de Janeiro: 34, 1992. PIAGET, Jean. A Construção do Real na Criança. Rio de Janeiro: Zahar, 1970.  ______. A Formação do Símbolo na Criança: imitação, jogo e sonho, imagem e representação. Rio de Janeiro: Zahar, 1971.

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 Analisaremos os conceitos e procedimentos a serem ensinados, os modos pelos quais eles se relacionam entre si e as formas por meio das quais as crianças constroem conhecimentos matemáticos.

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 ____________________________________________ ____________AULA 04 Conceitos Matemáticos nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental: Números e Operações, Tratamento da Informação

Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de:

• analisar os conceito s e procedimentos a serem ensinados, os modos pelos quais eles se relacionam entre si, as formas por meio das quais as crianças constroem conhecimentos matemáticos;

• interpretar de forma organizada dados para tomar decisões relacionadas a operações matemáticas.

Para um bom aproveitamento desta aula, sugerimos a leitura dos PCN de Matemática (no sítio ), no que diz respeito a números naturais, sistema de numeração decimal e orientação didática para os números naturais. Sobre leitura, interpretação e aplicação de representações gráficas de fenômenos matemáticos, você necessita ler o fascículo 6  – Tratamento da Informação

 –  do Programa de formação continuada  –  Pró-letramento do Ministério da Educação

(disponível

no

sítio


Proletr/fasciculo_mat.pdf>). Esses conhecimentos que você construirá previamente à leitura desta aula são de grande relevância para o direcionamento que todo educador deve dar às hipóteses processuais de seus alunos, com vistas à construção do sistema aritmético e algébrico convencional.

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 A discussão desta aula ocorre para dar sentido ao que foi dito ao final da aula anterior. Apesar de vermos a matemática como uma ciência, temos o cuidado de separá-la por áreas, para que possamos ter um melhor aproveitamento dos seus conteúdos. É cada vez mais freqüente a necessidade de compreensão das informações veiculadas, especialmente pelos meios de comunicação, para tomar decisões e fazer previsões que terão influência não apenas na vida pessoal, como na de toda a comunidade. Estar alfabetizado, neste início de século, supõe saber ler, interpretar dados apresentados de maneira organizada e construir representações, para formular e resolver problemas que impliquem o recolhimento de dados e a análise de informações. Essa característica da vida contemporânea traz ao currículo de Matemática uma demanda em abordar elementos da estatística, da combinatória e da probabilidade, desde os anos iniciais (BIRAL e outros, 2007). Esta aula está focada no trabalho conceitual com os números e operações e o tratamento da informação. 4.1 Números Naturais e Sistema de Numeração Decimal Os números naturais tiveram sua origem nas palavras utilizadas para a contagem de objetos reais inicialmente encontrados na natureza: quatro ovelhas, doze bois, três árvores e assim por diante. O zero surgiu bem mais tarde, inicialmente representado por uma casa vazia. Um avanço muito posterior na abstração foi o desenvolvimento do zero com seu próprio numeral.

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 A utilidade dos números naturais é percebida pelas crianças antes mesmo de chegarem à escola; elas conhecem números de telefone, de ônibus, lidam com preços, numeração de calçado, idade, calendário, número de casa.  A criança vem para a escola com um razoável conhecimento não apenas dos números de 1 a 9, como também de números como 10, 11, 12, 13, que já lhe são bastante familiares, e de outros números que aparecem com freqüência no seu dia-adia — como os números que indicam os dias do mês, que podem ir até 30/31. O estudo dos números como objeto matemático também deve partir de contextos significativos para os alunos, envolvendo, por exemplo, o reconhecimento da existência de diferentes tipos de números (naturais, racionais e outros) e de suas representações e classificações (primos, compostos, pares, ímpares, etc.). Desse modo, as atividades de leitura, escrita, comparação e ordenação de notações numéricas devem tomar, como ponto de partida, os números que a criança conhece. Esse trabalho pode ser feito por meio de atividades em que, por exemplo, o professor elabora, junto com os alunos, um repertório de situações em que se usam números. O professor pede aos alunos que recortem números em jornais e revistas e façam a leitura do jeito que sabem; elabora, com a classe, listas com números de linhas de ônibus da cidade, números de telefones úteis, números de placas de carros e solicita a leitura deles; orienta os alunos para que elaborem fichas, onde cada um vai anotar os números referente a si próprio, tais como: idade, data de nascimento, número do calçado, peso, altura, número de irmãos, número de amigos etc.; trabalha diariamente com o calendário para identificar o dia do mês e registrar a data; solicita aos alunos que façam aparecer, no visor de uma calculadora, números escritos no quadro ou indicados oralmente; pede aos alunos que observem a numeração da rua onde moram, onde começa e onde termina, e que registrem o número de suas casas e de seus vizinhos; verifica como os alunos fazem contagens e como fazem a leitura de números com dois ou mais dígitos e que hipóteses possuem acerca da escrita desses números.

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Na prática escolar, no entanto, o mais comum é tentar explicitar, logo de início, as ordens que compõem uma escrita numérica — unidade, dezena, etc.

— para que o aluno faça a leitura e a escrita dos números com compreensão. Embora isso possa parecer simples e natural, do ponto de vista do adulto, que já conhece as regras de formação do sistema de numeração decimal (é o sistema com base dez, onde cada algarismo à esquerda de um outro vale dez vezes mais), o que se observa é que os alunos apresentam dificuldades nesse trabalho, deixando o professor sem compreender por que isso acontece. No entanto, mesmo sem conhecer as regras do sistema de numeração decimal, as crianças são capazes de indicar qual é o maior número de uma listagem, em função da quantidade de algarismos presentes em sua escrita (justificam que 256 é maior que 86 porque tem mais números); também são capazes de escrever e interpretar números compostos por dois ou três algarismos. Para produzir escritas numéricas, alguns alunos recorrem à justaposição de escritas que já conhecem, organizando-as de acordo com a fala. Assim, por exemplo, para representar o 132, podem escrever 100 30 2 (cem/trinta/dois) ou 100 30 e 2 (cem/trinta e dois). É importante que o professor dê a seus alunos a oportunidade de expor suas hipóteses sobre os números e as escritas numéricas, pois essas hipóteses constituem subsídios para a organização de atividades.

Explorar as escritas pessoais elaboradas pelos alunos não exclui outro aspecto fundamental que é o de caminhar em direção às escritas convencionais, sem as quais não terão referência para se apropriar do conhecimento socialmente estabelecido.

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 As características do sistema de numeração —  agrupamentos de 10 em 10, valor posicional —  serão observadas, principalmente, por meio da análise das representações numéricas e dos procedimentos de cálculo em situações-problema. É no trabalho com números maiores e menos freqüentes na vivência das crianças que será necessário explorar os procedimentos de leitura, associando-os à representação escrita do número. 4.2 Números Racionais Explorando situações em que se usam apenas números naturais, às vezes, não é possível conseguir exprimir a medida de uma grandeza ou o resultado de uma divisão. A metade de uma laranja ou de uma pizza ou um bolo dividido entre quatro pessoas permitem aos alunos identificar nos números racionais a possibilidade de resposta a novos problemas.  A construção da idéia de número racional é relacionada à divisão entre dois números inteiros, excluindo-se o caso em que o divisor é zero. Ou seja: desde que um número represente o quociente entre dois inteiros quaisquer (o segundo não nulo), ele é um número racional. Como nos anos iniciais trabalha-se apenas com os naturais e ainda não com os inteiros negativos, os números racionais a serem tratados são quocientes de números naturais.  Ao raciocinar sobre os números racionais como se fossem naturais, os alunos acabam apresentando algumas dificuldades, tais como: vários números racionais diferentes representam o mesmo valor, por exemplo, 1/2, 2/4, 4/8; enquanto a criança está acostumada com a relação 5 > 3, é difícil para ela perceber que 1/5 < 1/3; enquanto o número de casas decimais nos números naturais dá a noção do tamanho do número 123 > 45 ou 4321 > 987, os números racionais não obedecem a este critério: 2,3456 < 6,1; nem sempre a multiplicação resulta em um número maior, por exemplo, 1/3 x 3 = 3/3 = 1; não é possível determinar o sucessor de um número racional.

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4.3 Operações com Números Naturais: Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão  Atualmente, a didática da matemática traz novas referências para o tratamento das operações. Entre elas, encontram-se as que apontam os problemas aditivos (resolvidos por meio de adição) e subtrativos (resolvidos mediante subtração) como aspectos iniciais a serem trabalhados na escola, concomitantemente ao trabalho de construção do significado dos números naturais.  A justificativa para o trabalho conjunto dos problemas aditivos e subtrativos baseia-se no fato de que eles compõem uma mesma família, ou seja, há estreitas conexões entre situações aditivas e subtrativas. A título de exemplo, analisa-se situação :

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“Ana  possuía cinco figurinhas e ganhou mais sete em um jogo. Com quantas figurinhas ela ficou?”

“Ana possuía algumas figurinhas e deu sete ao seu irmão, ficando com cinco. Quantas figurinhas Ana tinha inicialmente?”  Ao observar as estratégias de solução empregadas pelos alunos, pode-se notar que a descoberta de quantas figurinhas Ana ganhou ou tinha é realizada pela aplicação de um procedimento, às vezes, aditivo e, outras vezes, subtrativo. Isso evidencia que os problemas não se classificam em função unicamente das operações a eles relacionadas a priori, e sim em função dos procedimentos utilizados por quem os soluciona. Outro aspecto importante é o de que a dificuldade de um problema não está diretamente relacionada à operação requisitada para a sua solução. É comum considerar-se que problemas aditivos são mais simples para o aluno do que aqueles que envolvem subtração. Mas a análise de diversas situações pode mostrar o contrário. Carlos deu cinco figurinhas a José e ainda ficou com oito figurinhas. Quantas figurinhas Carlos tinha inicialmente? Pedro tinha nove figurinhas. Ele deu cinco figurinhas a Paulo. Com quantas figurinhas ele ficou?

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O primeiro problema, que é resolvido por uma adição, em geral, apresenta mais dificuldade do que o segundo, que freqüentemente é resolvido por uma subtração. No que diz respeito às estratégias de cálculo, adição e subtração também estão intimamente relacionadas. Para calcular mentalmente 40 -26, alguns alunos recorrem ao procedimento subtrativo de decompor o número 26 e subtrair primeiro 20 e depois seis; outros pensam em um número que devem juntar a 26 para se obter 40, recorrendo neste caso a um procedimento aditivo.  A construção dos significados do cálculo aditivo e subtrativo leva tempo e ocorre pela descoberta de diferentes procedimentos de solução. Assim o estudo da adição e da subtração deve ser proposto ao longo dos anos iniciais, juntamente com o estudo dos números e com o desenvolvimento dos procedimentos de cálculo, em função das dificuldades lógicas, específicas a cada tipo de problema, e dos procedimentos de solução de que os alunos dispõem. Entre as situações que envolvem adição e subtração, exploradas nos primeiros anos, podem-se destacar quatro grupos:

• combinar duas quantidades para obter uma terceira, mais comumente identificada como ação de juntar;

• transformação, ou seja, alteração de uma quantidade inicial, que pode ser positiva ou negativa;

• comparação; • mais de uma transformação (positiva ou negativa). Essas são sugestões simples de como se pode utilizar a adição e subtração, nas atividades para os alunos dos anos iniciais. 4.4 Os Significados da Multiplicação e da Divisão Uma abordagem freqüente no trabalho com a multiplicação é o estabelecimento

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de uma relação entre ela e a adição. Nesse caso, a multiplicação é apresentada como um caso particular da adição, porque as parcelas envolvidas são todas iguais. Por exemplo: na casa da Ana, come-se sempre 4 pães no café da manhã. Quantos pães a família da Ana consumirá em uma semana? A essa situação, associa-se a escrita 4 x 7, na qual o 4 é interpretado como o número que se repete e o 7 como o número que indica a quantidade de repetições. Esta mesma situação poderia ser resolvida por 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 28.

 A partir dessa interpretação, definem-se papéis diferentes para o multiplicando (o número que se repete) e para o multiplicador (o número de repetições), não sendo possível tomar um pelo outro. No exemplo dado, não se pode tomar o número de pães pelo número de dias. Saber distinguir o valor que se repete do número de repetições é um aspecto importante para a resolução de situações como esta.  A repetição provoca uma ambigüidade em relação à comutatividade da multiplicação. Embora, matematicamente, a x b = b x a, no contexto de situações como a que foi analisada (dos pães) isso não ocorre.  Assim como no caso da adição e da subtração, destaca-se a importância de um trabalho conjunto de problemas relacionados à multiplicação e à divisão, uma vez que há estreitas conexões entre as situações que os envolvem e a necessidade de trabalhar essas operações, com base em um campo mais amplo de significados do que tem sido usualmente realizado.

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Dentre as situações relacionadas à multiplicação e à divisão, a serem exploradas nos anos iniciais do Ensino Fundamental, podem-se destacar, para efeito de análise, quatro grupos. Vejamos.

• Situações associadas ao que se poderia denomin ar multiplicação comparativa. Exemplo:  Ana tem 5 Livros, sua irmã Paula tem 4 vezes mais. Quantos Livros tem Ana?

• Situações associadas à comparação entre razões e que, portanto, envolvem a idéia de proporcionalidade. Geralmente estes problemas são de fácil assimilação para a criança. Exemplo: Pedrinho foi comprar três pães na padaria. Se um pão custa R$ 0,30, quanto custarão os três pães? A idéia de proporcionalidade está presente, 1 está para 0,30, assim como 3 está para 0,90.

• Situações associadas à configuração retangular. Exemplo: em uma sala de aula, as carteiras estão dispostas em 6 fileiras e 5 colunas. Quantas cadeiras há na sala da biblioteca?

• Situações associadas à idéia de combinatória. Exemplo: Ana tem três saias e quatro blusas. De quantas maneiras diferentes ela poderá se vestir, desconsiderando a combinação de cores ou a moda? Note-se que por essa interpretação é idêntico combinar saias com blusas ou blusas com saias, isto é, 3 x 4 = 4 x 3. 4.5 O Cálculo com Números Racionais

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 Assim como se podem estender as regras do sistema de numeração decimal para facilitar a compreensão dos números racionais na forma decimal, os procedimentos de cálculo com números naturais também podem ser utilizados como recursos para realizar cálculos envolvendo números decimais.  Além disso, é importante que as atividades de cálculo com números decimais estejam sempre vinculadas a situações contextualizadas, de modo que seja possível fazer uma estimativa ou enquadramento do resultado, utilizando números naturais mais próximos. Exemplo: o número 3,55 está mais próximo de 3, de 4 ou de 355? Outra recomendação é que os alunos desenvolvam uma boa base em leitura e escrita de números decimais e que acompanhem a realização do cálculo escrito, com verbalizações que auxiliem a percepção do valor posicional das ordens que compõem os números com os quais estão operando. Também a compreensão de deslocamentos da vírgula, uma, duas, três ordens para a direita ou para a esquerda, nos números decimais, pode ser facilitada, se os alunos souberem dividir e multiplicar mentalmente por 10, 100 ou 1.000. Em relação ao cálculo de porcentagem, alguns recursos mais simples e evidentes para as crianças podem ser explorados, deixando para os anos posteriores a apresentação de técnicas convencionais, por exemplo, de cálculo simples: 50% é a metade de 100%, que é o inteiro. Partindo de um trabalho em que se compreenda o significado da expressão dez por cento, o aluno pode, por exemplo, calcular 35% de 120, achando 10% de 120 (12), 5% de 120 (metade de 12) e adicionando as parcelas: 12 + 12 + 12 + 6 = 42.  A construção dos conceitos de subtração e de divisão deve ser realizada, buscando-se compreender suas respectivas relações com a adição e a multiplicação. O professor deve identificar as estratégias pessoais utilizadas pelos alunos e fazer com que eles evidenciem sua compreensão, por meio de análises e comparações, explicitando-as oralmente. Já a organização desse repertório dá-se, por meio da exploração das escritas numéricas.

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4.6 Tratamento da Informação  A demanda imposta pelo currículo da matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental impõe a necessidade do tratamento da informação. Essa demanda traz duas perguntas: por que e como tratar as informações?  A resposta à primeira questão parece simples: porque somos bombardeados por centenas de informações a todo instante. Nem toda a informação é relevante e, quando relevante, talvez não seja pedagogicamente útil para o professor em sua prática educativa. Por exemplo, quando uma criança dos anos iniciais do Ensino Fundamental abre um jornal e vê uma notícia sobre o aumento da bolsa de valores, ou dos preços dos alimentos, ou mesmo um balancete de uma empresa, o que isso diz a ela? Em muitos casos, ela achará um amontoado de fórmulas e cálculos, mas não encontrará ali uma fonte aplicável a sua realidade. Cabe ao professor, nesse caso, desenvolver no aluno a habilidade de coletar, organizar, interpretar e tomar decisões frente aos dados, utilizando a linguagem matemática como ferramenta. Infelizmente, os PCN, apesar de reconhecer a importância do assunto, não dão a devida atenção aos mesmos no decorrer da publicação, deixando grandes pontos de interrogação sobre o que seria e como poderiam ser levados aos anos iniciais do Ensino Fundamental o tratamento da informação. Mesmo assim, temos algumas pistas que podem auxiliar o professor nesse percurso. Uma delas é sobre a própria existência da matemática. Sabemos que a matemática trata de objetos não físicos, ou seja, são imperceptíveis e, por isso, necessitam de representantes para a apreensão do que se quer representar (o objeto matemático). No entanto, para que haja compreensão do conceito matemático, deve-se não confundi-lo com sua representação. Não é a representação gráfica em si que constitui a informação, apesar de partir dela, mas o conjunto da representação gráfica e do significado estabelecido.

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Em outras palavras: apenas o registro da representação da informação não garante a compreensão do objeto matemático. Para que a aprendizagem na matemática se realize, é necessário que o indivíduo utilize diferentes registros de representação de um mesmo objeto. Assim a conceituação só será alcançada quando este consegue articular os distintos registros de representação de um determinado conceito, coordenando a produção da representação visual e a apreensão conceitual do objeto, de forma natural. Como assim? De posse de diferentes representações  – não apenas a visual (por meio da fórmula, da porcentagem, do cálculo, etc.), mas por meio da conversão lingüística para figural (ilustrações), da conversão lingüística de uma língua para outra (tradução) e da conversão de representações não verbais para representações lingüísticas (descrições)  –  a criança poderá ter consciência do objeto matemático. É important e frisar que essas conversões devem ser complementares, permitindo que a criança dos anos iniciais construa seus conceitos. Retornemos à segunda pergunta: como tratar as informações? Faremos algumas considerações a título de sugestão no próximo tópico. Vamos a ele? Nos cinco primeiros anos, as atividades podem estar relacionadas a assuntos de interesse das crianças. Assim, por exemplo, trabalhando com datas de aniversário, pode-se propor a organização de uma lista com as informações sobre o assunto. Um critério para organizar essa lista de nomes precisa ser definido: ordem alfabética, meninos e meninas, etc. Quando a lista estiver pronta, as crianças a analisam e avaliam se as informações podem ser encontradas facilmente. O professor pode, então, propor a elaboração de outra forma de comunicar os aniversariantes de cada mês, orientando-os, por exemplo, a construir um gráfico de barras. Na construção de gráficos, é importante verificar se os alunos conseguem ler as informações neles representadas. Para tanto, deve-se solicitar que dêem sua interpretação sobre gráficos e propor que pensem em perguntas que possam ser respondidas, a partir deles.

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Outros dados referentes aos alunos, como peso, altura, nacionalidade dos avós, times de futebol de sua preferência, podem ser trabalhados e apresentados graficamente.  A construção de tabelas e gráficos que mostram o comportamento do tempo durante um período (dias ensolarados, chuvosos, nublados) e o acompanhamento das previsões do tempo pelos meios de comunicação indicam a possibilidade de algumas previsões, pela observação de acontecimentos. Pela observação da freqüência de um dado acontecimento, podem-se desenvolver algumas noções de probabilidade. É sempre importante lembrar que todos os conceitos matemáticos trabalhados, por meio do tratamento da informação, devem ser acompanhados de exemplos extraídos do cotidiano das crianças, como, por exemplo, a conta de energia de sua casa, ou a de água, entre outras. Devemos também observar a maturidade do pensamento da turma em que se trabalha esse tipo de conceito, pois vimos, nas duas primeiras aulas, que essa maturidade pode influenciar no desenvolvimento do raciocínio, mesmo utilizando estratégias de ensino adequadas.

Nesta aula, refletimos sobre o fato de que as crianças ingressam na escola com uma rica bagagem de habilidades e conhecimentos matemáticos prévios, relacionados ao uso de telefone, ônibus, calendário, etc. A ação docente leva necessariamente em conta tais saberes práticos e os valoriza. O vínculo com atividades práticas e significativas é mantido também ao planejar e trabalhar com conteúdos mais formalizados e sistematizados.

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 A valorização das hipóteses matemáticas que a criança faz previamente à introdução de conteúdos formalizados ou durante o processo de construção e conceitualização sistemática, porém não implica que o educador não direcione o raciocínio infantil para as convenções estabelecidas.  Ao resolver problemas com adição, é necessário diferenciar o princípio aditivo do princípio subtrativo. Dentre as situações que envolvem adição e subtração, podemse destacar quatro grupos: combinação de duas quantidades para obter uma terceira, transformação, comparação, mais de uma transformação. Nos anos iniciais, enfim, é necessário trabalhar a multiplicação associada a quatro grupos: multiplicação comparativa, comparação entre razões, configuração retangular e combinatória. Nesta aula, também trabalhamos a representação gráfica dos fenômenos matemáticos e das interpretações matemáticas da realidade. Discutimos o fato de que o aluno do Ensino Fundamental  –  como parte de sua alfabetização e letramento  – precisa conhecer interpretar e utilizar tais representações.

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BIRAL, A. C. et al. Tratamento da informação. In: BRASIL. Ministério da Educação e Cultura/MEC. Brasília: 2007. Programa Gestão da Aprendizagem Escolar  – Gestar. Número natural: conceito e representação. FUNDESCOLA/DIPRO/FNDE/MEC. Brasília: 2005.

Em nossa próxima aula, veremos os conceitos matemáticos nos anos iniciais do Ensino Fundamental sobre espaço e forma, grandezas e medidas.

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 _________________________________________________________AULA 05 Conceitos Matemáticos nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental: Espaço e Forma, Grandezas e Medidas

Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de:

•compreender a importância de espaço e forma na educação matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental, visualizando e reconhecendo situações didáticas aplicadas;

• compreender a importância de grandezas e medidas na educação matemática do aluno dos anos iniciais do Ensino Fundamental, reconhecendo-as nas situações cotidianamente vivenciadas pelos alunos.

Esta aula se divide em uma discussão sobre a origem e os pré-requisitos da noção de espaço e forma em uma proposta de atividades práticas, para desenvolver essa mesma noção de geometria, ao longo dos anos iniciais do Ensino Fundamental. É importante que você leve em consideração, de maneira prévia, as linhas metodológicas de ensino, apresentadas na aula dois deste mesmo caderno (resolução de situaçõesproblema, contextualização histórica, uso de novas tecnologias da informação e de estratégias informais), para refletir sobre sua aplicação no ensino de geometria. Com base no assunto que também iremos tratar nesta aula (origem histórica de instrumentos de medida e de padrões de medição), sugerimos o acesso ao sítio , em que você poderá conhecer as unidades de medida do nosso sistema e, principalmente, as medidas mais utilizadas pelos alunos da sua região.

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Estudos sobre a construção do espaço pela criança destacam que a estruturação espacial se inicia, desde muito cedo, pela constituição de um sistema de coordenadas relativo ao seu próprio corpo. É a fase chamada egocêntrica: para se orientar, a criança é incapaz de considerar qualquer outro elemento que não seja seu próprio corpo.  Aos poucos, a criança toma consciência de que os diferentes aspectos sob os quais os objetos se apresentam para ela são perfis de uma mesma coisa, ou seja, ela gradualmente toma consciência dos movimentos de seu próprio corpo, de seu deslocamento. Essa percepção se dá por meio de noções de tempo, de espaço, de distâncias, das áreas, dos volumes. Para isso, precisamos compreender a comparação de grandezas da mesma natureza, que dá origem à idéia de medida, e o desenvolvimento de procedimentos para o uso adequado de instrumentos, tais como balança, fita métrica e relógio, conferem a este conteúdo um acentuado caráter prático. O trabalho com medidas dá oportunidade para abordar aspectos históricos da construção desse conhecimento, uma vez que, desde a Antiguidade, praticamente em todas as civilizações, a atividade matemática se dedicou à comparação de grandezas Como isso influi na educação para conceitos matemáticos? Vejamos! 5.1 O Espaço e a Forma  A capacidade de deslocar-se mentalmente e de perceber o espaço de diferentes pontos de vista são condições necessárias à coordenação espacial e, nesse processo, está a origem das noções de direção, sentido, distância, ângulo e muitas outras essenciais à construção do pensamento geométrico.

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Em um primeiro momento, o espaço se apresenta para a criança de forma essencialmente prática: ela constrói suas primeiras noções espaciais, por meio dos sentidos e dos movimentos. Esse espaço percebido pela criança —  espaço perceptivo, em que o conhecimento dos objetos resulta de um contato direto com eles —  possibilitará a construção de um espaço representativo —  em que ela é, por exemplo, capaz de evocar os objetos em sua ausência.

O ponto, a reta, o quadrado não pertencem ao espaço perceptivo. Podem ser concebidos de maneira ideal, mas rigorosamente não fazem parte desse espaço sensível. Pode-se, então, dizer que a geometria parte do mundo sensível e estrutura-o no mundo geométrico — dos volumes, das superfícies, das linhas e dos pontos. Multiplicando suas experiências sobre os objetos do espaço em que vive, a criança aprenderá a construir uma rede de conhecimentos relativos à localização e à orientação, que lhe permitirão penetrar no domínio da representação dos objetos e, assim, distanciar-se do espaço sensorial ou físico. É o aspecto experimental que colocará em relação esses dois espaços: o sensível e o geométrico. De um lado, a experimentação permite agir, antecipar, ver, explicar o que se passa no espaço sensível e, de outro, possibilita o trabalho sobre as representações dos objetos do espaço geométrico e, assim, desprender-se da manipulação dos objetos reais, para raciocinar sobre representações mentais.  A localização é apontada como um fator fundamental de apreensão do espaço e está ligada inicialmente à necessidade de levar em conta a orientação.

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Para orientar-se no espaço, é preciso começar por se orientar a partir de seu próprio corpo. O conhecimento do corpo procede do conhecimento do espaço e, ao mesmo tempo, o torna possível. 5.2 O Trabalho com os Conceitos nos Anos Iniciais Nos primeiros dois ou três anos do Ensino Fundamental, é essencial propor atividades para que o aluno seja estimulado a progredir na capacidade de estabelecer pontos de referência em seu entorno, para efeito de localização. Isso pode ser feito, por meio de atividades em que o aluno se situe no espaço, dê e receba instruções de localização, compreenda e utilize termos como esquerda, direita, giro, distância, deslocamento, acima, abaixo, ao lado, na frente, atrás, perto. Por exemplo: na sala de aula, é possível solicitar que o aluno pegue um material, indicando o lugar em que ele se encontra: na terceira fila à direita, na quarta coluna à esquerda, em cima da escrivaninha, atrás da sétima cadeira. Outro trabalho rico que deve ser explorado é o de construção de itinerários, a partir de instruções dadas. É interessante que os alunos relatem, oralmente, como é o trajeto do lugar onde moram até a escola, que desenhem o itinerário que fazem, fornecendo pontos de referência. No terceiro e quarto ano, o trabalho de localização pode ser aprofundado, por meio de atividades que utilizem malhas, diagramas, tabelas e mapas. O estudo do espaço na escola pode ser feito a partir de atividades que tenham a ver com outras áreas, como a Geografia, a Educação Física e a Língua Portuguesa. Em relação às formas, experiências mostram que as crianças reconhecem algumas formas geométricas bem mais cedo do que as reproduzem. Os objetos que povoam o espaço são a fonte principal do trabalho de exploração das formas. O aluno deve ser incentivado, por exemplo, a identificar as posições relativas dos objetos, a reconhecer, no seu entorno e nos objetos que nele se encontram, formas distintas, tridimensionais e bidimensionais, planas e não planas, a

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fazer construções, modelos ou desenhos do espaço (de diferentes pontos de vista) e descrevê-los. Um trabalho constante de observação e de construção das formas levará o aluno a perceber semelhanças e diferenças entre elas. Para tanto, diferentes atividades podem ser realizadas: compor e decompor figuras, perceber a simetria como característica de algumas figuras e não de outras, etc. Dessa exploração, resultará o reconhecimento de figuras tridimensionais (como cubos, paralelepípedos, esferas, cilindros, cones, pirâmides, etc.) e bidimensionais (como quadrados, retângulos, círculos, triângulos, pentágonos, etc.) e a identificação de suas respectivas propriedades. Uma das possibilidades mais fascinantes do ensino de geometria consiste em levar o aluno a perceber e a valorizar sua presença em elementos da natureza e em criações do homem. Isso pode ocorrer, por meio de atividades em que ele possa explorar formas como as de flores, elementos marinhos, casa de abelha, teia de aranha, ou formas em obras de arte, esculturas, pinturas, arquitetura, ou ainda em desenhos feitos em tecidos, vasos, papéis decorativos, mosaicos, pisos, etc. Por exemplo: o formato do favo de uma colméia pode ser usado na noção de hexágono; os formatos dos quadros na noção de quadriláteros. As mais diversas formas geométricas podem ser observadas nas pinturas em tecidos, tais como círculos, triângulos e polígonos diversos.  As atividades com formas geométricas podem contribuir também para o desenvolvimento de procedimentos de estimativa visual, seja de comprimentos, ângulos ou outras propriedades métricas das figuras, sem usar instrumentos de desenho ou de medida. Isso pode ser feito, por exemplo, por meio de trabalhos com dobraduras, recortes, espelhos, empilhamentos ou pela modelagem de formas em argila ou massa. Construir maquetes e descrever o que nelas está sendo representado é também uma atividade muito importante, especialmente para dar ao professor uma visão do

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domínio geométrico de seus alunos. O uso de softwares também é uma forma de levar o aluno a raciocinar geometricamente.  A criança evolui gradativamente do espaço perceptivo, em que o conhecimento dos objetos resulta de um contato direto com eles, para a construção de um espaço representativo, no qual é capaz de evocar os objetos em sua ausência. Com a noção do espaço podemos utilizar o próprio corpo para fazer as primeiras medições, introduzindo assim a noção de grandezas e medidas. 5.3 Medindo com o nosso Corpo  A utilização do uso de partes do próprio corpo para medir (palmos, pés) é uma forma interessante a ser utilizada com os alunos, porque permite a reconstrução histórica de um processo em que a medição tinha como referência as dimensões do corpo humano, além de destacar aspectos curiosos como o fato de, em determinadas civilizações, as medidas do corpo do rei serem tomadas como padrão. No mundo atual, o Sistema Internacional de Unidades fundamenta-se a partir de unidades de base como: para massa, o quilograma; para comprimento, o metro; para tempo, o segundo; para temperatura, o celsius; para intensidade elétrica, o ampère, etc. É no contexto das experiências intuitivas e informais com a medição que o aluno constrói representações mentais que lhe permitem, por exemplo, saber que comprimentos como 10, 20 ou 30 centímetros são possíveis de se visualizar numa régua, que 1 quilo é equivalente a um pacote pequeno de açúcar, ou que 2 litros correspondem a uma garrafa de refrigerante grande. Essas representações mentais favorecem as estimativas e o cálculo, evitam erros e permitem aos alunos o estabelecimento de relações entre as unidades usuais, ainda que não tenham a compreensão plena dos sistemas de medidas. Desde muito cedo, as crianças têm experiências com as marcações do tempo (dia, noite, mês, hoje, amanhã, hora do almoço, hora da escola) e com as medidas de massa, capacidade, temperatura, etc. Mas isso não significa que tenham construído

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uma sólida compreensão dos atributos mensuráveis de um objeto, nem que dominem procedimentos de medida. Desse modo, é importante que, ao longo do Ensino Fundamental, os alunos tomem contato com diferentes situações que os levem a lidar com grandezas físicas. Isso lhes permitirá identificar que atributo será medido e o que significa a medida.

Estruturas conceituais relativas às medidas são desenvolvidas, por meio de experiências em que se enfatizam aspectos, como o processo de medição é o mesmo para qualquer atributo mensurável; é necessário escolher uma unidade adequada, comparar essa unidade com o objeto que se deseja medir e, finalmente, computar o número de unidades obtidas; a escolha da unidade é arbitrária, mas ela deve ser da mesma espécie do atributo que se deseja medir. Há unidades mais e menos adequadas, e a escolha depende do tamanho do objeto e da precisão que se pretende alcançar; quanto maior o tamanho da unidade, menor é o número de vezes a que se utiliza para medir um objeto; se, por um lado, pode-se medir, usando padrões não convencionais, por outro lado, os sistemas convencionais são importantes, especialmente em termos de comunicação.

Finalmente, o estabelecimento da relação entre a medida de uma dada grandeza e um número é um aspecto de fundamental importância, pois é também por meio dele que o aluno ampliará seu domínio numérico e compreenderá a necessidade de criação de números fracionários, negativos, etc.

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Refletimos, nesta aula, sobre a origem egocêntrica da noção de espaço que a criança constrói, a partir do próprio corpo. Em fases subseqüentes de desenvolvimento, a criança produz noções espaciais de direção, sentido, distância e ângulo, a partir de suas representações mentais dos deslocamentos e das diferentes perspectivas com que se pode perceber o espaço. A partir dos diferentes níveis de desenvolvimento infantil, no que diz respeito às coordenadas espaciais, propomos uma série de atividades que favorecem o crescimento da consciência espacial. Mediante experiências intuitivas e informais de medição, o aluno constrói representações mentais relacionadas a comparações de grandezas. O ensino formal leva-o, em uma fase sucessiva, a interpretar de forma organizada dados que impliquem a tomada de decisões

. Programa Gestão da Aprendizagem Escolar  –  Gestar. Geometria I e II. FUNDESCOLA/DIPRO/FNDE/MEC. Brasília: 2005.  ______. Medidas e grandezas. FUNDESCOLA/DIPRO/FNDE/MEC. Brasília: 2005.

Estudaremos a resolução de problemas aplicada no conhecimento da geometria e sua construção.

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 ________________________________________________________AULA 06 Resolução de Problemas

Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de:

• ressaltar a importância e os benefícios do uso de problemas na sala de aula, habilitando o futuro professor no desenvolvimento de atividades de resolução de problemas;

• compreender o uso da geometria, identificando o manuseio e a importância da observação de objetos, em situações didáticas de ensino e aprendizagem de geometria.

 A resolução de situações-problema, assunto principal desta aula, tem uma forte ligação com quanto foi discutido, na aula um, a respeito da função educadora da escola, que não apenas transmite conhecimentos, mas proporciona ao aluno oportunidades de desenvolvimento do seu raciocínio. Também lembramos a interação social como fator desencadeante da construção, por parte da criança, de um pensamento matemático espontâneo que, sucessivamente, o ensino formal vai sistematizar e esmerar.  A geometria surge como âmbito disciplinar, essencialmente prático, dentro da reflexão matemática. Talvez por isso, ela provoque o interesse dos alunos de Ensino Fundamental, que, como Piaget nos ensina, procedem, em sua descoberta do mundo, do concreto para o abstrato.

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No centro dos estudos geométricos  –  como já vimos na aula cinco  –  está a noção de espaço, construída intuitivamente pela criança, a partir da consciência do próprio corpo. A partir do espaço ocupado pelo próprio corpo, a criança desenvolve a representação mental dos deslocamentos no espaço e uma visão do espaço, a partir de diferentes perspectivas, todas as habilidades trabalhadas pelas atividades.

O ensino da Matemática, nos últimos anos, tem sofrido mudanças significativas, principalmente no que diz respeito às metodologias utilizadas como estratégias de ensino. Uma das mais importantes estratégias de ensino emergentes é a utilização de problemas que envolvam situações cotidianas na introdução de conteúdos do currículo a ser ensinado. Também fazendo frente a essas mudanças, ressaltamos o fortalecimento da Educação Matemática, que defende esse tipo de estratégia de ensino, como poderosa ferramenta, no processo de ensino-aprendizagem. Para começar a nossa conversa a respeito da geometria, vamos relembrar algumas passagens nossas, de quando cursamos o Ensino Fundamental. Quem é que não se lembra da distribuição dos conteúdos nos livros didáticos de matemática? Eles traziam sempre a parte de geometria nas últimas páginas do livro, o que quase sempre resultava, ao final do ano letivo, no descumprimento do estudo destes conteúdos. Portanto, na discussão desta aula, iremos destacar o uso da geometria na resolução de problemas. 6.1 O significado do termo Resolução de Problemas  Antes de tecer uma série de considerações relacionadas a resoluções de problemas, é necessário tornar bem claro o que é um problema. Problema pode apresentar diversos significados, tais como:

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1. Questão Matemática proposta para que se lhe dê a solução. 2. Questão não resolvida e que é objeto de discussão, em qualquer domínio do conhecimento. 3. Proposta duvidosa, que pode ter numerosas soluções. 4. Qualquer questão que dá margem à hesitação ou perplexidade, por ser difícil de explicar ou de resolver.  Alguns alunos conceituam o problema como algo de difícil resolução, obstáculo a qualquer ação prevista; nós professores devemos vê-lo sob o aspecto de desafio e o de recurso didático maravilhoso para a aprendizagem do aluno. Considerando essa afirmativa, apresentaremos, a seguir, alguns dos objetivos a serem alcançados mediante a resolução de problemas. 6.2 Desenvolver a Criatividade Um dos principais objetivos do ensino de Matemática é potencializar a capacidade de a criança resolver problemas e, para isso, nada melhor que apresentarlhe situações-problema que o envolvam (a álgebra, a geometria) o desafiem e o motivem a querer resolvê-las. Esta é uma das razões pelas quais a resolução de problemas tem sido reconhecida no mundo todo como uma das metas fundamentais da Matemática no Ensino Fundamental. É preciso desenvolver no aluno a habilidade de elaborar um raciocínio lógico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponíveis, para que ele possa analisar, selecionar, construir, entre diversas alternativas, a melhor solução às questões que surgem em seu dia-a-dia, na escola ou fora dela. 6.3 Ensinar o Aluno a enfrentar Situações Novas  Atualmente, as mudanças ocorrem cada vez de forma mais rápida e a evolução tecnológica torna praticamente impossível prever como será o mundo em que viveremos daqui a quinze ou vinte anos. Porém, é sabido que ensinar apenas conceitos e algoritmos não é o caminho. Noções abstratas somente terão significado se associadas a situações práticas que fixem e solidifiquem os conhecimentos dquiridos,

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para uso na vida produtiva. É necessário preparar o aluno para lidar com situações novas. É fundamental desenvolver nele iniciativa, espírito explorador, criatividade e independência, por meio da resolução de problemas. 6.4 Metodologia para a Resolução de Problemas Para resolver problemas, precisamos desenvolver determinadas estratégias que, em geral, aplicam-se a um grande número de situações. Esses procedimentos auxiliam a análise e a solução de situações, em que um ou mais elementos desconhecidos são procurados. Para Polya (1978, p. 82), existem cinco fases na resolução de um problema: 1. definição do problema 2. seleção de uma estratégia de resolução 3. execução da estratégia selecionada 4. avaliação do resultado e do processo 5. auto-avaliação Definição do problema: é a interpretação do que o enunciado está solicitando.  A pergunta-chave desta fase é o quê? Seleção de uma estratégia de resolução: com os dados fornecidos, é necessário escolher o melhor procedimento que permita alcançar o resultado esperado.  A pergunta-chave desta fase é como? Execução da estratégia selecionada: após a interpretação e a escolha da estratégia de resolução, é o momento de desenvolver as atividades previstas na busca da solução do problema. É conveniente que o professor promova atividades que possibilitem técnicas e estratégias de soluções diferentes. A pergunta-chave desta fase é por quê?

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 Avaliação do resultado e do processo: a avaliação deve priorizar o processo como um todo. É necessário verificar se o resultado é provável. Tomemos como exemplo o seguinte problema: buscando encontrar a idade do irmão mais moço de Paulo, cuja idade é 11 anos, se o resultado encontrado for um número maior que 11 ou menor que zero, é óbvio concluir que a resposta está incorreta, independendo da estratégia e dos procedimentos adotados. A pergunta-chave desta fase é o processo utilizado permitiu encontrar a resposta esperada? e o resultado encontrado é coerente?  Auto-avaliação: essa fase geralmente é negligenciada tanto pela criança, como pelo professor. Este é o momento de refletir sobre todo o processo de resolução do problema e de avaliar as dificuldades e as facilidades. É o momento de responder as perguntas: como foi o desenvolvimento desta atividade? e qual foi o meu aprendizado?  A criança, durante e após o desenvolvimento de cada problema, começa um processo de reflexão sobre as cinco fases descritas anteriormente, com o auxílio e acompanhamento do professor, que, sempre que possível, em maior ou menor grau, procura desenvolver esse processo. O papel do professor, na resolução de problemas e em todos os demais processos de aprendizagem, é sempre o de mediador. O professor orienta e encaminha a criança na busca da solução. Os problemas cumprem um importante papel no sentido de propiciar as oportunidades para as crianças, interagirem com os diferentes significados das operações, levando-as a reconhecer que um mesmo problema pode ser resolvido por diferentes operações, assim como uma mesma operação pode estar associada a diferentes problemas. 6.5 Exemplo de Elaboração de Problema O diretor da escola ideal necessita comprar a merenda que será consumida no próximo bimestre. Vamos ajudá-lo a encontrar a resposta? Para montar as variáveis, podemos informar: a) quantos alunos se alimentam por período, por classe ou por mês;

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b) qual é o consumo unitário de arroz, açúcar, macarrão, sal, batatinha, tomate, etc.; c) qual é o preço dos produtos citados anteriormente; d) qual o consumo de água e gás. Essas são variáveis, podem ser inseridas no problema, conforme o ano do ensino em que a atividade será utilizada. O dia-a-dia em sala de aula proporciona ao professor excelentes situações para o uso da geometria, veja os exemplos a seguir.

• Paulo, por favor, pegue este mapa e coloque -o na última carteira da fila da esquerda.

• Paula, por gentileza, vá até a sala dos professores que fica no final do corredor na última porta à direita.

• A lanchonete “Bom Preço” está situada na próxima quadra, é a terceira loja à direita.

• Qual é a maior distância: daqui à sala dos professores ou daqui at é a quadra de esportes?

• Ao sairmos da sala, vamos dobrar à direita e seguir por aproximadamente 30m, até encontrarmos a biblioteca.

• Qual é a foto maior? Nas fotos, qual homem é maior?

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 A Geometria é um campo fértil para se trabalhar com situações -problema e é um tema pelo qual os alunos costumam se interessar naturalmente. O trabalho com noções geométricas contribui para a aprendizagem de números e medidas, pois estimula a criança a observar, perceber semelhanças e diferenças, identificar regularidades e irregularidades. 6.6 Um Pouco de História Geometria é uma palavra de origem grega (geo = terra + metria = medida, medir terra) que surgiu no antigo Egito. Todos os anos, o rio Nilo transbordava, inundava o seu delta e destruía as marcas físicas de delimitação entre as propriedades de terra.

“Os antigos faraós nomeavam funcionários, os agrimensores, cuja tarefa era avaliar os prejuízos das cheias e restabelecer as fronteiras entre as diversas propriedades. Esses agrimensores ou esticadores de corda (assim chamados devido às cordas entrelaçadas utilizadas para marcar ângulos retos) acabaram por aprender a determinar as áreas de lotes de terreno, dividindo- os em retângulos e triângulos”. Fo i assim que nasceu a geometria. 6.7 Por que Ensinar Geometria Desde o nascimento, em seu contato com o mundo exterior, a criança recebe inúmeras informações relacionadas ao seu entorno. Desde pequena, vive cercada de objetos que usa ou observa.  As explorações são freqüentemente seguidas pela tentativa de representar o mundo em que vive, descrevendo e explicando, inicialmente, o que foi observado. Posteriormente, desenha e constrói imagens de objetos com os quais mantém contato. Os movimentos no espaço, e a interação com objetos nele existentes, propiciam o surgimento de noções intuitivas relacionadas ao tamanho dos objetos maior que, menor que, perto, longe, acima, abaixo. Essas noções intuitivas servem de alicerce para que o aluno construa habilidades espaciais, como localizar-se e deslocar-se no espaço em que vive.

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O ensino da geometria deve propiciar o desenvolvimento de habilidades que o auxiliarão no seu dia-adia a formular e resolver problemas. Como foi observado, é de fundamental importância que o aluno estude a geometria a partir dos seus conhecimentos prévios, por intermédio de situações concretas, relacionadas ao seu cotidiano. O pensamento geométrico se desenvolve inicialmente pela visualização: as crianças conhecem o espaço como algo que existe ao redor delas. As figuras geométricas são reconhecidas por suas formas, por sua aparência física, em sua totalidade, e não por suas partes ou propriedades. Por meio da observação e experimentação, as crianças começam a discernir as características de uma figura e a usar as propriedades para conceituar classes de formas. O ensino da geometria nos anos inicias não deve restringir-se a reconhecer ou memorizar figuras planas. É fundamental que o ensino propicie ao aluno as habilidades de localizar-se no espaço, deslocar-se no espaço, perceber as características dos objetos existentes ao seu redor e relacionar, comparar e reconhecer as principais características das figuras planas e não planas. No Ensino Fundamental, o melhor procedimento que permite apresentar as aplicações da Matemática é a resolução de problemas. A Matemática é reconhecida pelas suas aplicações nos problemas do dia-a-dia. Porém, geralmente, os alunos, logo nos primeiros contatos com essa ciência, começam a perder o interesse. Esse fato pode ser atribuído ao exagero no treino de algoritmos e regras desvinculadas de situações reais, além do pouco envolvimento do aluno com aplicações da Matemática que exijam o raciocínio e o modo de pensar matemático para resolvê-las.  As quatro operações fundamentais são importantes no ensino da Matemática. Porém perdem as suas finalidades, quando dissociadas da resolução de situações-problema, já a geometria favorece a visualização do problema, oferecendo a construção de conceitos matemáticos.

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6.8 Manuseio de Objetos na Aprendizagem da Geometria Nos anos inicias, devem ser apresentadas situações didáticas que permitam a familiarização com objetos e com suas características. Para isso, é conveniente manusear uma grande variedade de objetos com formas diversas, figuras planas e sólidas. Uma habilidade a ser desenvolvida com os alunos é o reconhecimento e a classificação das características das figuras planas e espaciais.  As figuras bidimensionais têm comprimento e largura e as tridimensionais, além das duas dimensões citadas anteriormente, apresentam também a altura. Em casa, as crianças já fazem a comparação, ao ajudar a mãe na cozinha separando os pratos fundos dos rasos, colheres, facas, garfos, xícaras e copos ou na arrumação do seu quarto ou do seu armário. Nesse último caso, a classificação pode ser por cor, utilidade ou tamanho. 6.9 Ângulos No nosso dia-a-dia, constantemente convivemos com ângulos. O percurso do caminho da casa à escola, o simples circular entre as carteiras na sala de aula, ou os movimentos das nossas pernas e braços descrevem ângulos. Partindo da definição

tradicional da geometria (“Ângulo é o nome dado à abertura formada por duas semiretas que partem de um mesmo ponto”), o aluno deve entender que ângulo  é uma figura produzida pela mudança de direção.  As crianças, intuitivamente, já conhecem o ângulo. Esse conhecimento deve ser aprofundado pela escola. Uma atividade bastante comum consiste em utilizar o próprio corpo da criança, girando uma volta, meia volta, um quarto de volta, à direita ou à esquerda. Essa atividade permite à criança intuir a noção de medida de ângulo (gira mais quem girou meia volta ou uma volta inteira?). É importante reforçar esses conceitos para evitar a concepção errônea de que o ângulo maior é o ângulo que tem os lados maiores. Quem apresentar essa solução ainda não assimilou o conceito de que o ângulo é formado pelo giro.

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Já solidificado o conceito de ângulo, é possível introduzir o conceito de ângulo reto, encontrado inúmeras vezes na própria sala de aula. As carteiras, os cadernos, os livros os cantos das paredes, do teto, o quadro são todos exemplos de ângulo reto. Uma forma simples de se obter o ângulo reto é traçando com um compasso uma circunferência em uma folha de papel; a seguir, corte o disco e dobre ao meio e novamente ao meio; pronto: já temos um ângulo reto. Com esse ângulo reto é possível medir outros ângulos e comparar se são maiores, iguais ou menores. Nesse caso, é possível introduzir os conceitos de ângulo obtuso (ângulo > reto); ângulo reto (ângulo = 90o) e ângulo agudo (ângulo < reto). Desenhando os lados do ângulo reto, introduz-se o conceito de lados de um ângulo e o conceito de vértice (ponto de encontro dos dois lados do ângulo).

6.10 Proporcionar às Aulas de Matemática Desafios que Gerem o Interesse Uma aula de matemática, em que os alunos, incentivados e orientados pelo professor, tenham uma atitude pró-ativa, ou o desejo de buscar soluções para os desafios que surgirem, é o ideal a ser alcançado por todo professor de Matemática. A repetição até o cansaço de exercícios que não têm significado, pois pouco aprendizado oferece ao aluno e, mesmo quando ocorre a fixação, dura um breve período, porque não tem significado lógico. O real prazer de aprender Matemática está na satisfação que surge, quando o aluno, por si só, resolve um problema. Quanto mais desafiador, maior a satisfação em

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resolvê-lo, saliento que o problema deve ser desafiador e não tão difícil ou quase impossível de ser resolvido no atual estágio de desenvolvimento do aprendizado, se este fato ocorre também ocorrerá a desmotivação (para que tentar resolver problemas que quase nunca são resolvidos?). Esse argumento nos leva a refletir sobre o grau de dificuldade dos desafios. Como foi dito anteriormente, os problemas devem ser desafiadores. Isso implica dosagem adequada da dificuldade. Um bom problema desperta a curiosidade e desencadeia no aluno um comportamento de pesquisa em busca da solução.  Antes da década de 60, a resolução de problemas era um processo mecânico e decorativo, a ponto de quanto mais problemas resolver, mais fácil seria a resolução do próximo. Essa afirmativa não é totalmente incorreta porque, devido à repetição, intuitivamente a criança aprendia as diversas fases do processo. Só em meados dos anos 60 falou-se em metodologia para a resolução de problemas. Surgia, assim, a matemática moderna. Para resolver um problema, são necessários, entre vários componentes, dois procedimentos fundamentais, leitura e interpretação de texto. Inicialmente poderíamos pensar: estou trabalhando com Matemática ou Língua Portuguesa? Matemática é a resposta correta. Porém, sem decifrar a linguagem com que o problema foi escrito, não vamos a lugar nenhum. Geralmente, a criança não consegue entender o que está sendo solicitado. Isso nos remete a dois pontos. O problema pode estar mal formulado e não define concretamente o que se deseja alcançar. Por exemplo, pedindo: resolva, efetue, calcule. O que é para o professor e principalmente qual será a interpretação da criança para o comando resolva? Resolver é: 1. fazer desaparecer aos poucos; extinguir gradualmente. 2. separar os elementos constituintes de um corpo; decompor.

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3. achar a solução de; explicar, esclarecer, aclarar. 4. decidir depois de exame e discussão; deliberar a respeito de; dar a solução a. 5. deliberar-se ou resolver-se a; decidir, resolver. 6. desfazer, anular, rescindir, distratar. 7. reduzir, transformar, converter, etc. Essas são algumas das definições para a mesma palavra e o autor do problema deseja que a criança saiba que ela necessita achar a solução, sem precisar qual deve ser a solução desejada.  A criança não consegue entender a solicitação do enunciado nem os dados fornecidos. Cabe, nesse caso, ao professor, trabalhar a habilidade de interpretação do texto em todos os conteúdos. Os conteúdos transversais que tornam o ensino da Matemática prazeroso, motivador e mais duradouro no momento em que é percebida a relação do que se está aprendendo com os demais conteúdos e com o cotidiano da criança. Legal! Aprendemos que a resolução de problemas pode ampliar a compreensão da criança e do jovem sobre o pensamento matemático e a resolução de problemas aplicados à geometria, além de fornecer o desenvolvimento do pensamento lógico matemático, poderá representar com as formas geométricas o mundo em que vivemos. Bons estudos!

 A resolução de problemas é de fundamental importância para o aprendizado da matemática. As cinco fases que constituem a resolução de um problema (definição do problema; seleção de uma estratégia de resolução; execução da estratégia selecionada; avaliação do resultado e do processo; auto-avaliação) estão entre elas em uma relação de complementação e sinergia, favorecendo o aprendizado. A geometria,

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desde milhares de anos antes de Cristo, é utilizada no dia-a-dia para a resolução de problemas e é um tema pelo qual os alunos costumam se interessar naturalmente. O trabalho com noções geométricas contribui para a aprendizagem de números e medidas, pois estimula o aluno a observar e perceber semelhanças e diferenças e a identificar regularidades. Mediante a geometria, o aluno desenvolve habilidades, tais como localizar-se e deslocar-se no espaço em que vive.

POLYA, George. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1978. Programa Gestão da Aprendizagem Escolar  – Gestar. Geometria I e II. FUNDESCOLA/DIPRO/FNDE/MEC. Brasília, DF: 2005.

 Apresentaremos noções de estatística que serão úteis na prática pedagógica, com ênfase na construção de gráficos das informações de dados que possam auxiliar a tomada de decisões, na elaboração de planejamentos em situações didáticas de ensino e aprendizagem.

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 _________________________________________________________AULA 07 Estatística

Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de:

• construir gráficos das informações de dados, por meio de uma tabela, ressaltar a importância e os benefícios do uso de gráficos, como fonte de informações;

• compreender e interpretar tabela e gráficos, identificando as informações, para que possam tomar decisões, na elaboração de um novo planejamento em situações didáticas de ensino e aprendizagem.

 A estatística aplicada à educação, assunto principal desta aula, tem uma forte ligação com quanto foi discutido, na aula quatro, a respeito das informações que os alunos trazem para a escola, que não apenas estudam na escola mas vêem em  jornais, revistas, televisão e na internet. Essas informações transmitem conhecimentos, e proporciona ao aluno oportunidades de interpretar e analisar os fatos que envolvem as informações, desenvolvendo o seu raciocínio lógico matemático.  A estatística surge como âmbito disciplinar essencialmente prático na reflexão matemática. Talvez por isso ela costuma provocar o interesse dos alunos do Ensino Fundamental. No centro dos estudos estatísticos, retomamos o estudo dos números naturais, dos números racionais na forma decimal, um pouco de geometria para representar os gráficos e tabelas, vistos nesse material nas aulas quatro, cinco e seis.

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 Ao estudarmos estatísticas, temos uma gama de informações, e a essas informações, saberes, é dado o nome de Tratamento da Informação, trabalhado nos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática como parte da alfabetização. Quando uma pessoa sabe ler e interpretar dados numéricos dispostos e organizados, dizemos que é alfabetizada. Existem várias formas de se usar essa linguagem, e os meios de comunicação usam essa linguagem diariamente. Entretanto é preciso decodificar, compreender as representações visuais, interpretar e analisar quais as informações que lhe são passada. O ensino da Matemática, nos últimos anos, tem sofrido mudanças significativas, principalmente no que diz respeito às metodologias utilizadas como estratégias de ensino. Uma das mais importantes estratégias de ensino emergentes é a utilização de problemas que envolvam situações cotidianas na introdução de conteúdos do currículo a ser ensinado. Para introduzirmos o estudo da estatística nos anos iniciais, podemos fazer da mesma forma, para isso será necessário conhecermos um pouco do método estatístico e suas representações, aplicando um problema do qual toda a turma participe como também poderá convidar outros professores de outras disciplinas para fazerem parte desse trabalho. 7.1 Estatística No sítio Wikipédia , a enciclopédia livre, tem-se a seguinte definição sobre estatística: a estatística é também uma ciência e prática de desenvolvimento de conhecimento humano, por meio do uso de dados empíricos. Baseia-se na teoria estatística, um ramo da matemática aplicada. Na teoria estatística, a aleatoriedade e incerteza são modeladas pela teoria da probabilidade. Algumas práticas estatísticas incluem, por exemplo, o planejamento, a

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sumarização e a interpretação de observações. Porque o objetivo da estatística é a produção da melhor informação possível, a partir dos dados disponíveis. Alguns autores sugerem que a estatística é um ramo da teoria da decisão. Como o tratamento da informação é importante para o nosso dia-a-dia, precisaremos compreender melhor essa ferramenta, tão utilizada nos meios de comunicação. Um passo importante para podermos estudar a estatística é selecionar o conjunto que iremos trabalhar; para isso, precisamos compreender o que é uma População e Amostra. Chamamos de população ao conjunto formado por todos os fatos, pessoas, ou objetos que possuem características comuns, e amostra é um subconjunto não vazio dessa população. 7.2 Processo Estatístico Para podermos trabalhar a estatística aplicada à educação, iremos utilizar a estatística descritiva, em que temos algumas fases do método estatístico: cada fase é muito importante no processo. Veja quais são:

• a elaboração do problema –  é o primeiro passo, pois temos que definir o que queremos estudar, ou analisar.

• o planejamento  – é uma das partes principais de processo, pois definiremos o que fazer, como fazer e onde fazer.

• a coleta de dados –  será aplicada de acordo com o planejamento, no qual os dados serão todos coletados e agrupados.

• a organização ou apuração dos dados  – é a parte do processo no qual serão observadas todas as informações coletadas, selecionadas e organizadas.

• a representação dos dados –   poderá ser feita por tabela ou gráfico, que representará o resultado do estudo.

• a análise e interpretação dos dados  – é a ultima parte do processo estatístico na qual obtemos a(s) resposta(s) da pergunta na elaboração do problema.

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7.3 Apresentação de Dados Estatísticos Para representarmos os dados estatísticos, vamos dividir o estudo em duas partes: variável discreta e variável contínua. Quando o conjunto dos possíveis valores distintos for pequeno, trabalharemos esse conjunto como uma variável discreta. Quando o número de valores distintos for grande, trabalharemos esse conjunto como uma variável contínua. 7.3.1 Distribuição de Freqüência para Variáveis Discreta Quando temos um conjunto de valores dos quais alguns valores são repetidos ou não, iremos representá-lo por meio de uma tabulação, onde a primeira na coluna serão colocados os valores em ordem crescente e na segunda coluna o número de vezes que esse valor se repete (freqüência simples), essa representação é mais eficiente quando o número de elementos distintos dos dados estudados forem pequenos. Ex.: em uma escola Sol Nascente, na turma da 3ª série do Ensino Fundamental, tem 15 alunos com as seguintes idades: 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12. Representando essa turma em uma distribuição de freqüência para variáveis discreta.

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Para representarmos essa série para variáveis discreta em um gráfico, basta apenas montarmos um sistema de eixos cartesianos e representar a quantidade dos elementos das freqüências por uma haste correspondente à idade de cada aluno.

7.3.2 Distribuição de freqüência para variáveis contínuas Quando temos um conjunto de valores ou elementos distintos, não compatível com a distribuição de valores através da variável discreta, utilizaremos a variável contínua. Para a construção de uma distribuição utilizando o critério para variável contínua, vamos precisar de alguns conceitos as seguir. I. Amplitude total de uma seqüência. Determinada pela diferença entre o maior e o menor elemento da seqüência. II. Intervalo de classe. É uma subdivisão da amplitude total de uma seqüência.

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III.Limite de classe. Temos dois limites: o superior, que é o maior valor nessa classe, e o limite inferior, que é o menor valor dessa classe. IV. Amplitude do intervalo de classe. Determinado pela diferença entre o limite superior e o limite inferior de uma mesma classe. V. Número de classes. O número de classe depende muito do número de valores da seqüência e o critério que o pesquisador queira utilizar. Um dos critérios mais simples é o critério da raiz quadrado do número de elementos da seqüência. Ex.: da mesma turma da Escola Sol Nascente, determinou-se a altura dos 15 alunos.

Representando essa seqüência em uma distribuição para variáveis contínuas. 1. Vamos determinar a amplitude total da seqüência. A = Xmáx , maior t – Xmín elemento da série menos o menor elemento da série. At = 1,15  – 0,75 = = 0,40. 2. Vamos determinar o número de classes que vamos utilizar. Como são 15 elementos temos que k = 15 √4, o valor não precisa ser o valor exato da raiz quadrada, mas sim o valor aproximado, para mais ou para menos a critério do pesquisador. 3. Agora determinaremos a amplitude de classe 4. Determinando os limites de cada classe. Li limite superior e li limite inferior da classe. I1 = 0, 75 e L 1 = 0,75 + 0,10 = 0,85 Construindo a tabela:

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Para representarmos essa série para variáveis contínuas em um gráfico, basta montarmos um sistema de eixos cartesianos e representar os elementos por meio de retângulos justapostos, observando o limite superior e o limite inferior da classe e suas respectivas freqüências.

 Agora que já aprendemos a representar um gráfico para as variáveis contínuas e discretas, vamos aplicar esse conhecimento em uma situação problema na sala de aula. Como poderíamos fazer esse processo na sala de aula? Utilizando as fases do método estatístico nas séries iniciais em uma sala de aula.

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I. Na elaboração do problema, convide toda a turma para fazer parte, anotando todas as sugestões, para que eleja um problema que será estudado. II. Depois da escolha do problema, faça um planejamento de como será feito a coleta de dados, por quem será feito essa coleta. III. Já escolhida a forma como será feita à coleta de dados, vamos desenvolver de acordo com o planejamento. Essa fase chama de coleta de dados. IV. Como já temos esses dados, agora vamos organizar, pode ser em ordem crescente ou ordem decrescente, se esses dados forem variáveis quantitativas numéricas. Sendo dados com variáveis qualitativas, organize em aspectos de qualidade (ex.: nome, cor do cabelo, estado onde nasceu), onde cada informação comum será agrupada. Logo teremos todos os dados coletados e organizados. V. Com os dados organizados, podemos construir uma tabela ou gráfico que represente as informações coletadas. VI. Depois de representar esses dados, escreveremos um relatório de conclusão da análise feita pelos dados informados na tabela ou gráfico.  Assim, poderemos fazer várias perguntas, e o aluno buscará a resposta no gráfico ou relatório. Você percebeu, desta forma, que a estatística pode e deve ser utilizada em sala de aula como um meio de auxiliar a aprendizagem dos alunos.

 A estatística é de fundamental importância para a compreensão leitura e interpretação dos gráficos que tratam das informações. A estatística, desde milhares de anos antes de Cristo, é utilizada no dia-a-dia para determinar o número de soldados que o rei ou governante possui, o número de óbitos dos soldados durante uma guerra, o número de nascimentos de pessoas de uma determinada vila, a produção agricola, a