Apostila de Circuitos

UNERJ – Centro Universitário de Jaraguá do Sul Departamento de Engenharia Elétrica

Circuitos Elétricos

Jaraguá do Sul

Sumário 1 2

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4

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6

7

8

INTRODUÇÃO VARIÁVEIS ELÉTRICAS 2.1 Sistema Internacional de Unidades 2.2 Corrente 2.3 Tensão 2.4 Potência 2.5 Energia 2.6 Notação CONCEITOS BÁSICOS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS 3.1 Definição: 3.2 Fonte de Tensão Independente 3.3 Fonte de Corrente Independente 3.4 Fontes Dependente de Tensão e Corrente 3.5 Elementos Ativos no Circuito 3.6 Elementos Passivos no Circuito RESISTÊNCIA ELÉTRICA (LEI DE OHM) 4.1 Características dos Resistores 4.1.1 Tipos de Resistores 4.1.2 Código de Cores 4.1.3 Interpretação do Código de Cores 4.1.4 Casos Especiais de Código de Cores 4.2 Exercícios LEIS DE KIRCHHOFF 5.1 Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK) 5.2 Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK) 5.3 Exercícios ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES E RESISTÊNCIA EQUIVALENTE 6.1 Associação em Série de Resistores 6.2 Associação em Paralelo de Resistores 6.3 Associação Mista de Resistores 6.4 Resistência Equivalente de Circuitos Contendo Fontes Independentes 6.5 Resistência Equivalente de Circuitos Contendo Fontes Dependentes e Independentes 6.6 Transformação Estrela-Triângulo 6.6.1 Conversão de Triângulo para Estrela 6.6.2 Conversão de Estrela para Triângulo 6.7 Exercícios DIVISOR DE TENSÃO E CORRENTE 7.1 Divisor de Tensão 7.2 Divisor de Corrente 7.3 Exercícios MÉTODO DE ANÁLISE DE MALHAS 8.1 Definição das Malhas e Sentidos de Percurso 8.2 Aplicação da LTK para as Malhas 8.3 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos 8.4 Solução do Sistema de Equações 8.5 Obtenção das Correntes e Tensões dos Ramos

João Marcio Buttendorff

6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 8 9 9 10 10 11 12 12 12 13 14 14 15 15 17 20 20 21 22 23 24 25 25 25 26 29 29 30 32 34 34 34 34 35 35 2

Sumário 1 2

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INTRODUÇÃO VARIÁVEIS ELÉTRICAS 2.1 Sistema Internacional de Unidades 2.2 Corrente 2.3 Tensão 2.4 Potência 2.5 Energia 2.6 Notação CONCEITOS BÁSICOS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS 3.1 Definição: 3.2 Fonte de Tensão Independente 3.3 Fonte de Corrente Independente 3.4 Fontes Dependente de Tensão e Corrente 3.5 Elementos Ativos no Circuito 3.6 Elementos Passivos no Circuito RESISTÊNCIA ELÉTRICA (LEI DE OHM) 4.1 Características dos Resistores 4.1.1 Tipos de Resistores 4.1.2 Código de Cores 4.1.3 Interpretação do Código de Cores 4.1.4 Casos Especiais de Código de Cores 4.2 Exercícios LEIS DE KIRCHHOFF 5.1 Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK) 5.2 Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK) 5.3 Exercícios ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES E RESISTÊNCIA EQUIVALENTE 6.1 Associação em Série de Resistores 6.2 Associação em Paralelo de Resistores 6.3 Associação Mista de Resistores 6.4 Resistência Equivalente de Circuitos Contendo Fontes Independentes 6.5 Resistência Equivalente de Circuitos Contendo Fontes Dependentes e Independentes 6.6 Transformação Estrela-Triângulo 6.6.1 Conversão de Triângulo para Estrela 6.6.2 Conversão de Estrela para Triângulo 6.7 Exercícios DIVISOR DE TENSÃO E CORRENTE 7.1 Divisor de Tensão 7.2 Divisor de Corrente 7.3 Exercícios MÉTODO DE ANÁLISE DE MALHAS 8.1 Definição das Malhas e Sentidos de Percurso 8.2 Aplicação da LTK para as Malhas 8.3 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos 8.4 Solução do Sistema de Equações 8.5 Obtenção das Correntes e Tensões dos Ramos


6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 8 9 9 10 10 11 12 12 12 13 14 14 15 15 17 20 20 21 22 23 24 25 25 25 26 29 29 30 32 34 34 34 34 35 35 2

8.6 Exemplo de Aplicação 8.6.1 Definição das Malhas e Sentidos de Percurso 8.6.2 Aplicação de LTK para as Malhas 8.6.3 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos 8.6.4 Solução do Sistema de Equações 8.6.5 Obtenção das Correntes e Tensões dos Ramos 8.7 Análise de Malhas com Fontes de Corrente 8.8 Exemplo de Aplicação 8.9 Exercícios 9 MÉTODO DE ANÁLISE NODAL 9.1 Seleção do Nó de Referência 9.2 Aplicação da LCK aos Nós 9.3 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos 9.4 Solução do Sistema de Equações 9.5 Obtenção das Correntes e Tensões de Ramos 9.6 Exemplo de Aplicação 9.6.1 Seleção do Nó de Referência 9.7 Aplicação da LCK aos Nós 9.7.1 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos 9.7.2 Solução do Sistema de Equações 9.7.3 Obtenção das Correntes e Tensões de Ramos 9.8 Análise Nodal com Fontes de Tensão 9.9 Exercícios 10 SUPERPOSIÇÃO 10.1 Exemplo de Aplicação 10.2 Exercícios 11 CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THÉVENIN E NORTON 11.1 Introdução 11.2 Circuito Equivalente de Thévenin 11.3 Circuito Equivalente de Norton 11.4 Exemplo de Aplicação 11.5 Exercícios 12 Indutores e Capacitores 12.1 Indutor 12.2 Associação de Indutores 12.3 Capacitor 12.4 Associação de Capacitores 12.5 Exercícios 13 ANÁLISE DE CIRCUITOS SENOIDAIS 13.1 Fontes Senoidais 13.2 Exemplo de Aplicação 13.3 Exercícios 14 FASORES 14.1 O Conjugado de um Número Complexo 14.2 Soma de Números Complexos 14.3 Subtração de Números Complexos 14.4 Multiplicação de Números Complexos 14.5 Divisão de Números Complexos 14.6 Exercícios


35 36 36 36 37 37 38 39 41 45 45 45 45 46 46 46 47 47 47 47 48 48 51 54 54 55 57 57 57 58 59 60 63 63 65 67 69 71 72 72 74 75 76 77 78 78 78 79 79 3

15

RESPOSTAS DOS COMPONENTES PASSIVOS A FONTES SENOIDAIS 80 15.1 Comportamento da Tensão e da Corrente em um Circuito Resistivo 80 15.2 Comportamento da Tensão e da Corrente em um Circuito Puramente Indutivo 81 15.3 Comportamento da Tensão e da Corrente em um Circuito Puramente Capacitivo 83 15.4 Impedância e Reatância 84 15.5 Exemplo de Aplicação 85 15.6 Exercícios 86 16 ASSOCIAÇÃO DE IMPEDÂNCIAS 87 16.1 Associação em Série de Impedâncias 87 16.2 Associação em Paralelo de Impedâncias 88 16.3 Transformação Estrela-Triângulo 89 16.3.1 Conversão de Triângulo para Estrela 89 16.3.2 Conversão de Estrela para Triângulo 89 16.4 Exemplo de Aplicação 90 16.5 Exercícios 92 17 MÉTODO DE ANÁLISE DE MALHAS NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA95 17.1 Exemplo de Aplicação 95 17.2 Exercícios 96 18 MÉTODO DAS TENSÕES DE NÓ NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA 99 18.1 Exemplo de Aplicação 99 18.2 Exercícios 100 19 TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO 102 19.1 Exemplo de Aplicação 1 102 19.2 Exemplo de Aplicação 2 104 19.3 Exercícios 106 20 TRANSFORMAÇÃO DE FONTES 108 21 CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THÉVENIN E NORTON NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA 108 21.1 Exemplo de Aplicação 109 21.2 Exercícios 110 22 RESSONÂNCIA 112 22.1 Ressonância Série 112 22.2 Ressonância Paralela 113 22.3 Exemplo de Aplicação 114 22.4 Exercícios 115 23 POTÊNCIAS E FATOR DE POTÊNCIA 117 23.1 Potência Instantânea 117 23.2 Potência Complexa e Triângulo das Potências 122 23.3 Correção do Fator de Potência 124 23.4 Exemplo de Aplicação 124 23.5 Exercícios 127 24 CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS 128 24.1 Tensões Trifásicas Equilibradas 129 24.2 Fonte de Tensão Trifásica 130 24.3 Análise do Circuito Ligado em Y-Y 131 24.4 Correntes de Linha em um Circuito Ligado em Triângulo (∆) 133 24.5 Potência em Carga Trifásica Equilibrada 134 24.6 Exemplo de Aplicação 135 João Marcio Buttendorff

4

24.7

Exercícios


136

5

1 INTRODUÇÃO Esta apostila foi escrita, baseada na literatura atual, a fim de auxiliar nas aulas de circuitos elétricos, apresentando um resumo dos principais tópicos abordados nesta cadeira. Dá-se especial ênfase às leis básicas, teoremas e técnicas clássicas. No próximo item são apresentados conceitos básicos indispensáveis para a assimilação dos conhecimentos que posteriormente serão apresentados.

2 VARIÁVEIS ELÉTRICAS 2.1

Sistema Internacional de Unidades

O Sistema Internacional de Unidades, ou SI, é adotado pelas principais sociedades de engenharia e pela maioria dos engenheiros do mundo inteiro. Neste sistema existem seis unidades principais, das quais as unidades para todas as outras quantidades físicas podem ser derivadas. A tabela 2.1 apresenta as seis unidades, seus símbolos, e a quantidade física que elas representam. Tabela 2.1 – Unidades Básicas no SI.

Grandeza Comprimento Massa Tempo Corrente Elétrica Temperatura Intensidade Luminosa

Unidade metro quilograma segundo ampère kelvin candela

Símbolo m kg s A k cd

As unidades derivadas comumente utilizadas em teoria de circuitos elétricos são apresentadas na tabela 2.2.

Grandeza Carga Elétrica Potencial Elétrico Resistência Condutância Indutância Capacitância Freqüência Força Energia, Trabalho Potência Fluxo Magnético Densidade de Fluxo Magnético


Unidade coulomb volt ohm siemens henry farad hetz newton joule watt weber tesla

Símbolo C V 

S H F Hz N J W Wb T

6

2.2

Corrente

A corrente em um componente do circuito é definida como a quantidade de carga elétrica que atravessa seus terminais por unidade de tempo. A unidade física utilizada é o ampère, simbolizado por A. i=

dq

(2.1)

dt

i = ampère (A), q = coulomb (C), t = segundos (s). (O elétron possui carga de 1,602.10−19 C).

2.3

Tensão

A tensão (diferença de potencial) entre dois pontos de um circuito é definida como a variação do trabalho realizado por unidade de carga para movimentar esta carga entre estes dois pontos. A unidade utilizada é o volt, simbolizado por V. v=

dw

(2.2)

dq

v = volt (V), w = energia (J), q = coulomb (C).

2.4

Potência

Potência é a variação da energia (liberada ou absorvida) em função da variação do tempo. Nos circuitos elétricos ela é definida pelo produto entre tensão e corrente em dois terminais. A unidade utilizada é o watt (ou joule/s), simbolizado por W. p = v.i =

2.5

dw dq

.

dq dt

=

dw dt

(2.3)

Energia

Energia é definida como a integral da potência ao longo do tempo. A unidade utilizada é o joule. Outra unidade bastante utilizada na prática é o watt-segundo (W.s) e demais unidades dela derivadas, tais como o kW.hora. t

w=

t

 p.dt =  v.i.dt 0

(2.4)

0


7

2.6

Notação

É comum em análise de circuitos distinguir-se entre quantidades constantes e variáveis com o tempo através da utilização de letras maiúsculas e minúsculas. Por exemplo, uma corrente constante no tempo, ou contínua, de dez ampères deverá ser escrita I=10A, enquanto uma corrente senoidal de mesma amplitude deverá ser escrita i=10A.

3 CONCEITOS BÁSICOS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS 3.1

Definição:

Um circuito elétrico pode ser definido como uma interligação dos seguintes componentes básicos: – Fontes de tensão dependentes ou independentes; – Fontes de corrente dependentes ou independentes; – Resistores; – Capacitores; – Indutores.

3.2

Fonte de Tensão Independente

A fonte ideal de tensão é um elemento que mantém uma tensão especificada constante entre seus terminais para qualquer que seja a corrente que a atravesse. As fontes independentes podem ser do tipo contínua ou alternada. Uma bateria pode ser considerada como um exemplo de fonte de tensão contínua. A tensão fornecida pela concessionária de energia elétrica, por outro lado, é um exemplo de fonte de tensão alternada.

V

Tensão Contínua

V

Tensão Alternada

Fig. 3-1 - Fontes de Tensão.

3.3

Fonte de Corrente Independente

Uma fonte ideal de corrente é um elemento que é atravessado por uma corrente especificada, para qualquer que seja a tensão entre seus terminais. As fontes de corrente também podem ser do tipo contínuo ou alternado.


8

+

+ I

I

Corrente Contínua

Corrente Alternada

Fig. 3-2 - Fontes de Corrente.

3.4

Fontes Dependente de Tensão e Corrente

São aquelas que estabelecem uma tensão ou corrente em um circuito cujo valor depende do valor da tensão ou da corrente em outro ponto do circuito. Não é possível especificar o valor de uma fonte dependente a menos que se conheça o valor da tensão ou corrente da qual ela depende. Como exemplo de fontes dependentes podem-se citar unidades geradoras, pois a tensão induzida no enrolamento do estator é função da corrente no rotor e, o transistor, onde a corrente de coletor é proporcional à corrente de base.

V=a.Vx +_ Fonte de Tensão Dependente

I=b.Ix Fonte de Corrente Dependente

Fig. 3-3 - Fontes Dependentes.

3.5

Elementos Ativos no Circuito

São fontes de tensão e corrente capazes de fornecer energia elétrica para os demais componentes do circuito. Em componentes ativos, deve-se definir se a potência está sendo fornecida ou absorvida pelo mesmo. Se a corrente estiver entrando no terminal positivo da fonte, diz-se que a fonte está absorvendo energia, resultando em uma potência negativa. Para o caso em que a corrente estiver saindo do terminal positivo, diz-se que a fonte está fornecendo potência, ou seja, a potência é positiva. I V

I V

Fornecendo Absorvendo Potência Potência P=V.I P=-(V.I)

Fig. 3-4 - Convenção para fontes.


9

3.6

Elementos Passivos no Circuito

São dispositivos capazes de absorver ou armazenar a energia elétrica fornecida pelos elementos ativos (fontes). Os resistores, indutores e capacitores são elementos passivos. Em componentes passivos, a corrente entra pelo lado de maior potencial (positivo) e sai do mesmo pelo lado de menor potencial. I

+ VR R

I

+ VC -

I

C + VL L

Fig. 3-5 - Convenção para elementos passivos.

4 RESISTÊNCIA ELÉTRICA (LEI DE OHM) Resistência é a propriedade dos materiais de se opor à passagem de corrente elétrica, mais precisamente, ao movimento de cargas elétricas. O elemento ideal usado como modelo para este comportamento é o resistor. A Fig. 4-1 mostra o símbolo do resistor. A letra R indica a resistência do resistor. R

Fig. 4-1 - Símbolo do resistor.

A Lei de Ohm é uma homenagem a Georg Simon Ohm, um físico alemão que a formulou pela primeira vez no início do século XIX. A lei de Ohm é a relação algébrica entre tensão e corrente em um resistor e é medida em ohms no sistema internacional (SI). O símbolo de ohm é a letra grega Omega ( ) . A equação (4.1) descreve esta lei. V  R.I

(4.1)

Onde: V = Tensão em volts (V); I = Corrente em ampères (A); R = Resistência em ohms () . A potência dissipada por um resistor consiste em calcular o produto da tensão entre os terminais do resistor pela corrente que o atravessa. A unidade da potência é watts (W). P  V .I

(4.2)

Substituindo-se a equação (4.1) na (4.2) pode-se obter a equação da potência em função da corrente e da resistência e a potência em função da tensão e da resistência.


10

P  I 2 .R P

(4.3)

V 2

(4.4)

R

O recíproco da resistência é chamando de condutância, representado pela letra G e medido em Siemens (S). Assim: G=

1

(4.5)

R

Exemplos 2.1: Calcule nos circuitos da Fig. 4-2 os valores das tensões nos resistores e as potências dissipadas nos mesmos.

1A

8R

(A)

1A

20R

(B)

Fig. 4-2 – Exemplos.

Aplicando-se a Lei de Ohm aos circuitos, obtém-se:

4.1

V RA  R.I

V RB  R.I

V RA  8.1  8V

V RB  20.1  20V

PRA  VRA .I

PRB  VRB .I

P RA  8.1  8W

P RB  20.1  20W

(4.6)

(4.7)

Características dos Resistores

Em geral os fabricantes de resistores fornece três parâmetros que caracterizam os mesmos: • Resistência ôhmica; • Percentual de tolerância; • Potência.

Resistência Ôhmica – O valor específico da resistência do componente é indicada numericamente ou por código de cores. Os resistores são fabricados em valores padronizados. Os valores comerciais no Brasil são múltiplos de dez de: 1 – 1,2 – 1,5 – 1,8 – 2,2 – 2,7 – 3,3 – 3,9 – 4,7 – 5,6 – 6,8 – 8,2. Percentual de Tolerância – Os resistores estão sujeitos a diferenças em seus valores decorrentes aos processos de fabricação. Estas diferenças se situam em 5 faixas de percentual: ± 20%, ± 10%, ± 5%, ± 2%, ± 1% de tolerância. João Marcio Buttendorff

11

Os três primeiros são considerados resistores comuns, enquanto os demais são chamados resistores de precisão. Deve-se notar que a tolerância pode ser tanto acima como abaixo do valor padrão do resistor. Potência – A dissipação de potência do resistor indica a capacidade de suportar calor sem se danificar e sem que o valor se altere. O calor é produzido pela potência desenvolvida no resistor e pela capacidade do mesmo de transferir essa potência para as redondezas. 4.1.1 Tipos de Resistores

Resistores de Filme de Carbono: Constituído por um corpo cilíndrico de cerâmica que serve como base para uma fina camada espiral de material resistivo (filme de carbono ou grafite em pó) que determina seu valor ôhmico. O corpo do resistor pronto recebe um revestimento que dá acabamento na fabricação e isola o filme de carbono da ação da umidade. As principais desvantagens dos resistores de carbono são o baixo percentual de precisão e a baixa dissipação de potência. Em geral apresentam tolerância de 5 e 10%, apesar de existir também 1 e 2%. Resistores de Carvão: São constituídos por um corpo de porcelana. No interior da porcelana são comprimidas partículas de carvão que definem a resistência do componente. Neste tipo de resistor os valores das resistências não são precisos. Resistores de Fio: Constituem-se de um corpo de porcelana que serva como base. Sobre o corpo é enrolado um fio especial (por exemplo, níquel – cromo) cujo comprimento e seção determinam o valor da resistência. Nos resistores de fio obtém-se maior precisão, e maior dissipação de potência. 4.1.2 Código de Cores

O valor ôhmico dos resistores e sua tolerância podem ser impressos no corpo do componente através de anéis coloridos. A cor de cada anel e a sua posição com relação aos demais anéis, corretamente interpretada fornece dados sobre o valor do componente. A disposição em forma de anéis permite a leitura do valor em qualquer posição do componente. 4.1.3 Interpretação do Código de Cores

O código se compõe de três anéis usados para representar o valor ôhmico e um para representar o percentual de tolerância. Para uma correta leitura, os anéis devem ser lidos na seqüência correta, sendo que o primeiro é aquele que estiver mais próximo da extremidade. A Fig. 4-3 apresenta um resistor codificado por cores. 1º - Unidade; 2 º - Dezena; 3º - Número de zeros; 4 º - Percentual de tolerância. 1º 2º 3º 4 º Fig. 4-3 - Resistor codificado por cores. João Marcio Buttendorff

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Cada cor representa um número, como segue:

Valor Preto Marrom Vermelho Laranja Amarelo Verde Azul Violeta Cinza Branco

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Tolerância Marrom Vermelho Dourado Prata Sem a quarta faixa

1% 2% 5% 10% 20%

Tabela 1 – Código de cores.

O código é interpretado da seguinte forma: • Os dois primeiros anéis são números; • O terceiro anel é o fator multiplicativo por dez, ou seja, “n” números de zeros que virão após os dois primeiros números; • O quarto anel é a tolerância do valor da resistência. Exemplo: 1º anel – amarelo = 4 2º anel – violeta = 7 3º anel – vermelho = 2 zeros (00) 4º anel – dourado = 5% de tolerância. Resistor de 4700 Ohms ± 5%, 4,7k Ohms ± 5% ou 4k7 Ohms ± 5%. 4.1.4 Casos Especiais de Código de Cores

Resistores de 1 a 10 Ohms: Para representar resistores de 1 a 10 Ohms, o código estabelece o uso da cor dourada no terceiro anel. Esta cor no terceiro anel indica a existência de uma vírgula entre os dois primeiros números ou também pode ser considerado como um fator de multiplicação de 0,1. Exemplo: Marrom, cinza, dourado, dourado = 18 x 0,1 = 1,8 Ohms ± 5%. Resistores abaixo de 1 Ohm: Para representar resistores abaixo de 1 Ohm, o código determina o uso do prateado no terceiro anel. Esta cor no terceiro anel indica a existência de um zero antes dos dois primeiros números ou um fator de multiplicação de 0,01. Exemplo: Marrom, cinza, prata, dourado= 18 x 0,01 = 0,18 Ohms ± 5%. Resistores de cinco anéis: Em algumas aplicações são necessários resistores com valores mais precisos, que se situam entre os valores padronizados. Nestes resistores, os três primeiros anéis são dígitos significativos, o quarto anel representa o número de zeros (fator multiplicativo) e o quinto anel é a tolerância. Exemplo: Azul, cinza, vermelho, laranja, marrom = 682.000 Ohms ± 1%.


13

4.2

Exercícios

1-) Determine a corrente e a potência dissipada nos resistores.

12V

120R

40V

1k (A)

(B)

Respostas: (A) I=12mA e P=144mW; (B) I=333,33mA e P=13,33W. 2-) Determine a tensão das fontes. 2A

10A

V

50R

V

R

(A)

P=200W

(B)

Respostas: (A) V=100V; (B) V=20V. 3-) Determine a tensão sobre os resistores e a potência dissipada pelos mesmo.

3A

100R (A)

100mA

2,2k (B)

Respostas: (A) V=300V e P=900W; (B) V=220V e P=22W.

5 LEIS DE KIRCHHOFF Os comportamentos dos circuitos elétricos são governados por duas leis básicas chamadas Leis de Kirchhoff. Elas estabelecem relações entre as tensões e correntes entre os diversos elementos dos circuitos, servindo assim como base para o equacionamento matemático dos circuitos elétricos. Antes do enunciado das referidas Leis, torna-se, entretanto, necessário à introdução de algumas definições básicas: – Nó: É um ponto de junção de dois ou mais componentes básicos de um circuito (ramos). Na Fig. 5-1 está representado um circuito simples composto de dois nós (nós 1 e 2); – Ramo: É a representação de um único componente conectado entre dois nós, tal como um resistor ou uma fonte de tensão. Na Fig. 5-1, o componente dois (R2) conectado entre os nós 1 e 2 é um ramo do circuito. – Malha: É qualquer percurso de um circuito que permita, partindo de um nó escolhido arbitrariamente, voltar ao ponto de partida sem passar mais de uma vez pelo mesmo nó.


14

I1

1

I2 I3

Vcc

R1

R2

1k

2

Fig. 5-1 - Circuito com dois nós.

5.1

Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK)

A lei das correntes de Kirchhoff estabelece que a soma das correntes que chegam a um nó é igual à soma das correntes que saem do mesmo nó. Considerando-se as correntes que chegam a um nó como positivas e as que saem como negativas, a Lei das Correntes de Kirchhoff estabelece que a soma algébrica das correntes incidindo em um nó deve ser nula. Baseado no enunciado da LCK e considerando-se o circuito mostrado na Fig. 5-1, pode-se escrever a seguinte equação para o nó marcado como 1: I1  I 2  I3  0

5.2

I1  I 2  I 3

(5.1)

Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK)

A lei das tensões de Kirchhoff estabelece que a soma algébrica das tensões em qualquer malha de um circuito é sempre nula.

Vcc

R1

R2

+ VR1 -

+ VR2 I

+ VR2 -

R3

Fig. 5-2 - Circuito com uma malha.

Baseado no enunciado da LTK e considerando-se o circuito da Fig. 5-2, pode-se escrever a seguinte equação: Vcc VR1  VR 2  VR3  0

Vcc  VR1 VR 2  VR 3

(5.2)

Exemplo 3.1: Use as lei de Kirchhoff e a lei de Ohm para determinar o valor da corrente I1 no circuito da Fig. 5-3.


15

R1=10R I1 120V

R2=50R

6A

Fig. 5-3 - Exemplo 3.1.

Antes de iniciar a resolução do circuito, deve-se associar uma corrente ao ramo formado pelo resistor R2. Como se têm duas correntes entrando no nó superior, formado por I1 e pela fonte de corrente (6A), será considerado que a corrente em R2 está saindo do nó. Também deve-se acrescentar tensões desconhecidas aos resistores. O circuito passa a ser o apresentado na Fig. 5-4. + VR1 _ Nó 1 I1 120V

I2 + VR2 _

6A

Nó 2

Fig. 5-4 - Circuito resultante.

Aplicando a LCK ao nó 1 e considerando que as correntes entrando no nó são positivas e as que saem são negativas, obtém-se: I1  6  I 2  0

I1  6  I 2

(5.3)

Aplicando a LTK a malha da esquerda e considerando o caminha percorrido no sentido horário, obtém-se: 120  V R1 V R 2  0

V R1  V R 2  120

(5.4)

Substituindo-se a lei de Ohm na equação (5.4). R1.I1  R2 . I2  120

10. I1  50.I 2  120

(5.5)

Substituindo-se a equação (5.3) na (5.5) e resolvendo-se as equações, obtém-se: I1  3 A I 2  3 A

(5.6)

O resultado negativo de I1 representa que o sentido real da corrente é o contrário do sentido apresentado na Fig. 5-3. Outro detalhe importante neste exemplo consiste no fato que a corrente esta entrando no terminal positivo da fonte de tensão, o que resulta que a mesma está absorvendo potência ao invés de estar fornecendo potência para o circuito.


16

Exemplo 3.2: Calcule no circuito da Fig. 5-5 as tensões sobre os resistores, a corrente da malha e a potência fornecida pela fonte de tensão. 3R

7R

+ VR1 -

+ VR2 -

24V I

+ VR3 -

2R

Fig. 5-5 - Exemplo 3.2.

Aplicando-se a LTK ao circuito, obtém-se: 24  VR1  VR 2  V R3  0

(5.7)

VR1  VR 2  V R 3  24

Substituindo a Lei de Ohm na equação (5.7) e resolvendo-se a equação, obtém-se a corrente do mesmo. R1.I  R2 .I  R3 .I  24

(5.8)

3.I  7.I  2.I  24 I  2 A

Aplicando a Lei de Ohm para cada resistor do circuito, determina-se a tensão sobre os mesmos. V R1  R1.I  3.2  6V

V R 2  R2 .I  7.2  14V V R3  R3 .I  2.2  4V

(5.9)

A potência da fonte é obtida pelo produto da tensão fornecida pela mesma e pela corrente que circula por ela. P  V .I  24.2  48W

5.3

(5.10)

Exercícios

1-) Calcule as grandezas desconhecidas indicadas nos circuitos abaixo. 1V 20A

2A

10A

2V

I=? I 20V

V=? 1V

6V

Respostas: I=8A e V=10V. João Marcio Buttendorff

17

2-) Calcule a corrente e as quedas de tensão através de R1 e R2. R2

R1

20R

10R 50V

40V 20V

Respostas: I=1A; VR1=10V e VR2=20V. 3-) Use a lei de Ohm e a lei de Kirchhoff para determinar o valor de R no circuito abaixo. R + 120V _

200V

24R

8R

Resposta: R  4 4-) Calcule a corrente, as tensões nos resistores e a potência fornecida pela fonte. + VR1 -

+ VR2 -

3R

7R

24V

+ VR3 _

2R

Respostas: I=2A, VR1=6V, VR2=14V, VR3=4V e P=48W. 5-) Para o circuito abaixo, calcule: a) As correntes da fonte e no resistor de 80 ; b) A tensão no resistor de 90 ; c) Verifique que a potência fornecida pela fonte é igual à potência dissipada nos resistores. 30R

I

I

80R

1,6A

90R

Respostas: a) I=4A, I1=2,4A; b) V=144V; c) Ptot=768W. 6-) Dado o circuito, determine: a) O valor de Ia; b) O valor de Ib; c) O valor de Vo; d) As potências dissipadas nos resistores; e) A potência fornecida pela fonte. João Marcio Buttendorff

18

4R Ib 20R

Ia

50V

+ Vo _

80R

Respostas: a) Ia=2A; b) Ib=0,5A; c) Vo=40V; d) P4R=25W, P20R=80W e P80R=20W; e) P=125W. 7-) A corrente I0 no circuito é 4A. a) Determine a corrente I1; b) Determine as potências dissipadas nos resistores; 25R I0 5R

10R I1

180V

70R

8R

Respostas: a) I1=2A; b) P25R=400W, P5R=320W, P70R=280W, P10R=360W e P8R=800W. 8-) Determine no circuito abaixo a corrente I1 e a tensão V. 54k

+ V -

1V

1,8k

30.I1

I1 6k

5V

8V

Respostas: I1=25uA e V=-2V. 9-) A corrente I1 no circuito abaixo é de 2A. Calcule: a) A tensão Vs; b) A potência recebida pela fonte de tensão independente; c) A potência fornecida pela fonte de corrente independente; d) A potência fornecida pela fonte de corrente dependente; e) A potência total dissipada pelos dois resistores. 2.I1

10R

5A

I1

30R

Vs

Respostas: a-) Vs=70V; b-) P=210W; c-) P=300W; d-) P=40W; e-) P=130W. João Marcio Buttendorff

19

6 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES E RESISTÊNCIA EQUIVALENTE A análise e projeto de circuitos requerem em muitos casos a determinação da resistência equivalente a partir de dois terminais quaisquer do circuito. Além disso, pode-se numa série de casos práticos solucionar o circuito a partir da associação dos resistores que compõem determinadas partes do circuito. Esta técnica é denominada de redução dos circuitos e será brevemente apresentada aqui, junto com as técnicas básicas de determinação da resistência equivalente.

6.1

Associação em Série de Resistores

Neste caso, todos os resistores são percorridos pela mesma corrente, sendo que o terminal final do primeiro é conectado ao início do segundo e assim por diante, conforme mostra a Fig. 6-1. O resistor equivalente é o resistor que quando conectado aos terminais da fonte possui as mesmas características elétricas que a associação série dos resistores 1 a n, sendo n o número total de resistores em série. Portanto, para a fonte conectada aos resistores, a corrente no resistor equivalente será a mesma da associação série dos n resistores. + VR1 -

+ VR2 -

R1

+ VR3 -

R2

R3

+ VRn Rn

I V

Fig. 6-1 - Circuito série.

A Lei das tensões de Kirchhoff estabelece que a soma das tensões em um circuito fechado é igual a zero. Deduz-se daí que a soma das quedas de tensões em todo o circuito da Fig. 6-1 é igual a tensão da fonte V. V  VR1  VR 2  VR 3  ...VRn

(6.1)

Substituindo-se as quedas de tensões nos resistores pela Lei de Ohm, Obtém-se: V  I .R1  I .R2  I .R3  ...  I . Rn

(6.2)

V  I .( R1  R2  R3  ...  Rn )

(6.3)

A resistência vista pela fonte de alimentação é a resistência equivalente (Req) do circuito. Desta forma, tem-se: V  I .Req


(6.4)

20

Substituindo-se a equação (6.4) na (6.3) e dividindo-se ambos os lados da equação por I , determina-se a equação da resistência equivalente do circuito. R e q  R1  R2  R3  ...  Rn

(6.5)

A Fig. 6-2 apresenta o circuito equivalente da Fig. 6-1.

I V

Req

Fig. 6-2 - Circuito equivalente.

6.2

Associação em Paralelo de Resistores

Na Fig. 6-3 é mostrado um circuito paralelo na qual todos os resistores estão conectados em paralelo. Desta maneira, cada um dos resistores está conectado diretamente a fonte de tensão e, portanto a tensão sobre cada resistor é igual à tensão da fonte. Por outro lado, a corrente através de cada resistor é determinada pelo valor de cada um deles. I1 I2 I I3 In

R1 R2 R3 Rn

V

Fig. 6-3 - Circuito paralelo.

A Lei das correntes de Kirchhoff estabelece que a soma das correntes que entram em um nó é igual à soma das correntes que saem do nó. Assim: I  I1  I2  I3  ...  I n

(6.6)

A corrente que circula pela fonte de alimentação é a corrente total (I) do circuito. Desta forma, tem-se: I 

V Req

(6.7)

Substituindo-se cada termo da equação (6.6) pela Lei de Ohm e substituindo-se a corrente total pela equação (6.7), obtém-se: João Marcio Buttendorff

21

Apostila de Circuitos

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