APOSTILA DE CONCRETO ARMADO I - Versão 2014

UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA – UNOESC UNOESC ÁREA DAS CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA CURSO: ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CONCRETO ARMADO I PROFESSOR: JACKSON ANTONIO CARELLI

CONCRETO ARMADO I

Concreto Armado I Professor: Jackson Antonio Carelli

1

SUMÁRIO

1

CONCRETO ARMADO ............................................. .................................................................... ............................................. ............................. ....... 4 1.1 Introdução............................................ ................................................................... ............................................. ............................................. .............................. ....... 4 1.2 Composição do concreto armado .......................................... ................................................................. ......................................... .................. 4 1.3 Princípio do concreto armado ar mado ............................................................. .................................................................................... ........................... .... 4 1.4 Características mecânicas do concreto .......................... ................................................. .............................................. .......................... ... 4 1.5 Vantagens do concreto armado ................................................ ....................................................................... ...................................... ............... 5 1.6 Desvantagens Desvantagens do concreto armado ......................... ............................................... ............................................. .................................. ........... 5 1.7 Normalização 1.7 Normalização .......................................... ................................................................ ............................................ ............................................. ........................... .... 5

2

CARACTERÍSTICAS CARACTERÍSTICAS DO CONCRETO ............................................ ................................................................... .......................... ... 6 2.1 Resistência característica à compressão (f ck ) ........................................... ................................................................. ...................... 6 2.2 Resistência de dosagem (f cjcj) - (NBR 12655).................................... 12655).......................................................... .......................... .... 6 2.3 Resistência à tração ................................. ....................................................... ............................................. .............................................. .......................... ... 6 2.4 Resistência de cálculo ............................................ ................................................................... ............................................. ................................. ........... 7 2.5 Módulo de Elasticidade ............................... ..................................................... ............................................. ............................................. ...................... 8 2.6 Coeficiente de Poisson e módulo de elasticidade transversal ........................................ ........................................ 9 2.7 Diagrama tensão-deformação tensão-deformação................................................... .......................................................................... ...................................... ............... 9 2.8 Deformações no concreto ............................... ...................................................... .............................................. ....................................... ................ 10 2.8.1 Deformações devidas à variação das condições ambientais .............................. .............................. 10 2.8.2 Deformações devidas às cargas externas ........................................... ........................................................... ................ 11 11

3

CARACTERÍSTICAS CARACTERÍSTICAS DO AÇO PARA CONSTRUÇÃO CIVIL ............................ ............................ 13 3.1 Bitola...................... Bitola...................... ............................................ ................................................................... ............................................. ................................... ............. 13 3.2 Classificação............................................ .................................................................. ............................................ ............................................. ........................... 13 3.2.1 Aços com patamar de escoamento .................................. ........................................................ ................................... ............. 13 3.2.2 Aços sem patamar de escoamento........................................... ................................................................. ........................... ..... 14 3.3 Módulo de elasticidade........................................... .................................................................. ............................................. ............................... ......... 14 3.4 Massa específica.......................................... ................................................................. ............................................. .......................................... .................... 14 3.5 Coeficiente de dilatação térmica ......................................................... ................................................................................ ........................... 14 3.6 Resistência característica................................. ....................................................... ............................................. ....................................... ................ 15 3.7 Características geométricas das barras .............................. ..................................................... ........................................... .................... 15 3.8 Marcação ............................................. .................................................................... ............................................. ............................................. ............................ ..... 16 3.9 Ensaio de dobramento ................................................ ....................................................................... ............................................. ........................... ..... 16 3.10 Características mecânicas e ensaios ....................................................... ........................................................................... .................... 16 3.11 Diagrama tensão-deformação tensão-deformação simplificado ................................. ....................................................... ............................... ......... 16 3.12 Resistência de cálculo .......................................... ................................................................. ............................................. ............................... ......... 17


1

SUMÁRIO

1

CONCRETO ARMADO ............................................. .................................................................... ............................................. ............................. ....... 4 1.1 Introdução............................................ ................................................................... ............................................. ............................................. .............................. ....... 4 1.2 Composição do concreto armado .......................................... ................................................................. ......................................... .................. 4 1.3 Princípio do concreto armado ar mado ............................................................. .................................................................................... ........................... .... 4 1.4 Características mecânicas do concreto .......................... ................................................. .............................................. .......................... ... 4 1.5 Vantagens do concreto armado ................................................ ....................................................................... ...................................... ............... 5 1.6 Desvantagens Desvantagens do concreto armado ......................... ............................................... ............................................. .................................. ........... 5 1.7 Normalização 1.7 Normalização .......................................... ................................................................ ............................................ ............................................. ........................... .... 5

2

CARACTERÍSTICAS CARACTERÍSTICAS DO CONCRETO ............................................ ................................................................... .......................... ... 6 2.1 Resistência característica à compressão (f ck ) ........................................... ................................................................. ...................... 6 2.2 Resistência de dosagem (f cjcj) - (NBR 12655).................................... 12655).......................................................... .......................... .... 6 2.3 Resistência à tração ................................. ....................................................... ............................................. .............................................. .......................... ... 6 2.4 Resistência de cálculo ............................................ ................................................................... ............................................. ................................. ........... 7 2.5 Módulo de Elasticidade ............................... ..................................................... ............................................. ............................................. ...................... 8 2.6 Coeficiente de Poisson e módulo de elasticidade transversal ........................................ ........................................ 9 2.7 Diagrama tensão-deformação tensão-deformação................................................... .......................................................................... ...................................... ............... 9 2.8 Deformações no concreto ............................... ...................................................... .............................................. ....................................... ................ 10 2.8.1 Deformações devidas à variação das condições ambientais .............................. .............................. 10 2.8.2 Deformações devidas às cargas externas ........................................... ........................................................... ................ 11 11

3

CARACTERÍSTICAS CARACTERÍSTICAS DO AÇO PARA CONSTRUÇÃO CIVIL ............................ ............................ 13 3.1 Bitola...................... Bitola...................... ............................................ ................................................................... ............................................. ................................... ............. 13 3.2 Classificação............................................ .................................................................. ............................................ ............................................. ........................... 13 3.2.1 Aços com patamar de escoamento .................................. ........................................................ ................................... ............. 13 3.2.2 Aços sem patamar de escoamento........................................... ................................................................. ........................... ..... 14 3.3 Módulo de elasticidade........................................... .................................................................. ............................................. ............................... ......... 14 3.4 Massa específica.......................................... ................................................................. ............................................. .......................................... .................... 14 3.5 Coeficiente de dilatação térmica ......................................................... ................................................................................ ........................... 14 3.6 Resistência característica................................. ....................................................... ............................................. ....................................... ................ 15 3.7 Características geométricas das barras .............................. ..................................................... ........................................... .................... 15 3.8 Marcação ............................................. .................................................................... ............................................. ............................................. ............................ ..... 16 3.9 Ensaio de dobramento ................................................ ....................................................................... ............................................. ........................... ..... 16 3.10 Características mecânicas e ensaios ....................................................... ........................................................................... .................... 16 3.11 Diagrama tensão-deformação tensão-deformação simplificado ................................. ....................................................... ............................... ......... 16 3.12 Resistência de cálculo .......................................... ................................................................. ............................................. ............................... ......... 17


4

2

AÇÕES E SEGURANÇA NAS ESTRUTURAS ..................................... ......................................................... .................... 18 18 4.1 Conceito de segurança............................................ ................................................................... ............................................. ............................... ......... 18 4.2 Ações nas estruturas de concreto armado ............................................ ................................................................... ......................... 18 4.2.1 Valores das ações ........................................................ ............................................................................... ....................................... ................ 19 4.2.2 Combinações de ações ............................................ ................................................................... ........................................... .................... 20 4.2.3 Comparação com a antiga NBR 6118-1980.......................................... ....................................................... ............. 22

5

DURABILIDADE DAS ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO ................... 23 5.1 Agressividade do ambiente .............................................................. ..................................................................................... ............................ ..... 23 5.2 Qualidade do concreto de cobrimento........................................... ................................................................. ............................... ......... 23 5.3 Cobrimento mínimo ........................................... .................................................................. ............................................. ................................... ............. 24

6

FLEXÃO NORMAL SIMPLES ............................................ ................................................................... ....................................... ................ 25 6.1 Hipóteses de cálculo para dimensionamento de estruturas de concreto armado.......... 25 25 6.2 Flexão simples (coeficientes “k”) ............................................ ................................................................... .................................... ............. 26 6.3 Seção retangular .......................................... ................................................................. ............................................. .......................................... .................... 28 6.3.1 Armadura Simples (unidades: tf; cm) ............................................ ..................................................... ......... 28 6.3.2 Dimensionamento Dimensionamento da seção no Domínio 2............................................ ......................................................... ............. 29 6.3.3 Armadura dupla ................................................ ....................................................................... ............................................. ........................... ..... 30

7

DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS ......................................................... .............................................................................. ..................... 32 7.1 Dimensões mínimas das vigas (item 13.2.2 – NBR 6118)......................................... ............................................. 32 7.2 Armaduras longitudinais mínima e máxima das vigas (item 17.3.5.2 – NBR 6118)... 32 7.3 Armadura de pele (item 17.3.5.2.3 – NBR 6118) ............................................... ........................................................ ......... 32 7.4 Centro de gravidade das armaduras (item 17.2.4.1 – NBR NBR 6118) ............................... 33 7.5 Espaçamento Espaçamento mínimo entre barras da armadura (item 18.3.2.2 – NBR NBR 6118) ............ 33 7.6 Número 7.6 Número de barras barras por camada........................................... .................................................................. ........................................... .................... 34 7.7 Determinação de da altura útil “d” ........................................... .................................................................. .................................... ............. 34 7.8 Vão teórico das vigas ............................................................ ................................................................................... ....................................... ................ 34 7.9 Aproximações de cálculo para vigas (item 14.6.7.1 – NBR 6118) .............................. .............................. 35 7.10 Pré-dimensionamento Pré-dimensionamento de vigas (sugestão) .......................... ................................................. ....................................... ................ 35 7.11 Componentes do carregamento carregamento das vigas........................................ vigas.............................................................. ........................... ..... 35

8

DETALHAMENTO DE VIGAS À FLEXÃO ..................................... ........................................................... .......................... 36 8.1 Aderência ............................................ ................................................................... ............................................. ............................................. ............................ ..... 36 8.1.1 Regiões de boa e má aderência ...................................................... .......................................................................... .................... 36 8.1.2 Valores últimos para resistências r esistências de aderência ............................................. .................................................. ..... 37 8.1.3 O “Não-Escorregamento” da armadura. .................................................... ............................................................. ......... 37 8.2 Ancoragem das armaduras ....................................................... .............................................................................. .................................... ............. 37 8.2.1 Comprimento básico de ancoragem (item 9.4.2.4 – NBR 6118) ....................... 38 8.2.2 Comprimento de ancoragem necessário (item 9.4.2.5 – NBR 6118)................. 38


3

8.2.3 Armadura transversal na ancoragem (item 9.4.2.6 – NBR 6118) ...................... ...................... 39 39 8.2.4 Ancoragem de feixes de barras por aderência (item 9.4.3 – NBR 6118)........... 39 8.2.5 Ganchos nas armaduras de tração ...................................................... ...................................................................... ................ 40 8.2.6 Barras curvadas (item 18.2.2 – NBR 6118) .................................................. ....................................................... ..... 41 8.3 Emendas das barras ....................................................... .............................................................................. .............................................. ......................... 41 8.3.1 Emendas por transpasse .......................................... ................................................................. ........................................... .................... 41 8.3.2 Proporção das barras emendadas (item 9.5.2.1 – NBR 6118)............................ ............................ 41 8.3.3 Comprimento de traspasse de barras tracionadas (item 9.5.2.2 – NBR 6118)... 42 8.3.4 Comprimento de traspasse de barras comprimidas (item 9.5.2.3 – NBR NBR 6118) 42 8.3.5 Armadura transversal nas emendas por traspasse t raspasse (item 9.5.2.4 – NBR NBR 6118) .. 42 8.3.6 Emendas por traspasse em feixes de barras (item 9.5.2.5 – NBR NBR 6118) ........... 43 8.3.7 Deslocamento Deslocamento do diagrama de momentos fletores (Decalagem) ....................... ....................... 43 8.3.8 Ancoragem das barras que terminam no vão ..................................................... ..................................................... 44 8.3.9 Ancoragem em Apoios de Extremidade............................................. ............................................................. ................ 44 8.3.10 Ancoragem em apoios intermediários ........................ ............................................... ....................................... ................ 54

9

FORÇA CORTANTE EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO ............................. ............................. 56 9.1 Introdução............................................ ................................................................... ............................................. ............................................. ............................ ..... 56 9.2 Comportamento Resistente de Vigas sem Armadura de Cisalhamento ....................... ....................... 57 9.2.1 Efeito de Arco .......................................... ................................................................. ............................................. ................................... ............. 58 9.3 Comportamento Resistente de Vigas com Armadura de Cisalhamento ...................... 60 60 9.3.1 Analogia Clássica de Treliça ........................ .............................................. ............................................. ................................ ......... 63 9.3.2 Analogia de Treliça Generalizada ........................... .................................................. ........................................... .................... 66 9.3.3 Deslocamento Deslocamento do Diagrama de Momentos Fletores .......................................... .......................................... 68 9.3.4 Segurança Contra o Esmagamento Esmagamento da Diagonal Comprimida ........................... ........................... 69 9.4 Dimensionamento Dimensionamento segundo a NBR 6118/2003 ............................ ................................................... ................................ ......... 70 9.4.1 Modelo de cálculo I ....................... ............................................. ............................................. ............................................. .......................... 71 9.4.2 Modelo de cálculo II ........................................... .................................................................. ............................................. .......................... 72 9.5 Distribuição da armadura transversal ............................................ .................................................................. ............................... ......... 72 9.6 Prescrições normativas ...................................................... ............................................................................. ........................................... .................... 73 9.6.1 Redução do esforço cortante em seções próximas aos apoios ........................... ........................... 75

10 ESTADO LIMITE DE SERVIÇO (ELS)............................................................ (ELS)..................................................................... ......... 76 10.1 Estado limite limit e de deformações excessivas (ELS-DEF) .................................. ............................................... ............. 76 10.1.1 Valores limites limi tes para deslocamentos em elementos estruturais .......................... .......................... 78 10.1.2 Combinação de ações de serviço ............................................ .................................................................. ........................... ..... 79 10.2 Estado limite de abertura de fissuras (ELS-W) .............................. ..................................................... ............................ ..... 79 10.2.1 Valores limites limi tes para abertura de fissuras ........................................... ........................................................... ................ 80

11 ANEXO – Tabelas Diversas .............................................................. ..................................................................................... ............................ ..... 81


4

1 CONCRETO ARMADO 1.1

Introdução O concreto armado é atualmente o material mais usado na construção de estruturas de edificações e grandes obras viárias como pontes, viadutos, passarelas etc. 1.2

Composição do concreto armado Concreto Armado

=

Concreto simples

+

Material de boa resistência à tração (aço, bambu, etc.)

Concreto simples

=

Argamassa

+

Agregados graúdos

Argamassa

=

Pasta

Pasta

+

+

+

Agregados miúdos

Aglomerante

=

Aditivos (eventualmente)

Água

1.3

Princípio do concreto armado O concreto armado é possível devido a duas propriedades:  aderência recíproca;  coeficiente de dilatação térmica aproximadamente igual: concreto = 1,0 x 10 -5 / ºC aço = 1,2 x 10 -5 / ºC O concreto protege a armadura contra oxidação devido à agentes externos.

1.4

Características mecânicas do concreto  Boa resistência à compressão (10 a 100 MPa);  Má resistência à tração (aproximadamente 10% da resistência à compressão)

Figura 1.1 – Viga de concreto simples rompendo-se na parte inferior devido à pequena resistência à tração do concreto


5

concreto

armadura

Figura 1.2 – Viga de concreto armado. As armaduras colocadas na parte inferior absorvem os esforços de tração, cabendo ao concreto resistir à compressão. As armaduras controlam a abertura das fissuras. 1.5

Vantagens do concreto armado  Rapidez na construção;  Economia: matéria-prima barata, mão-de-obra pouco qualificada;  Fácil modelagem;  Resistência: ao fogo, a influências atmosféricas, ao desgaste mecânico, ao choque;  Durabilidade (sob manutenção e conservação);  Aumento da resistência à compressão com o tempo.

1.6

Desvantagens do concreto armado 3  Peso próprio elevado ( concreto armado  2500 kg/m );  Reformas e demolições trabalhosas e caras;  Possibilidade de imprecisão no posicionamento das armaduras;  Fissuras inevitáveis na região tracionada;  Fundações caras;

1.7

Normalização Normas ABNT (Principais): NBR 6118 – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento; NBR 6120 – Cargas para o cálculo de estruturas de edificações - Procedimento; NBR 6123 – Forças devidas ao vento em edificações – Procedimento; NBR 7191 – Execução de desenhos para obras de concreto armado; NBR 7480 – Barras e fios de aço destinados a armaduras para concreto armado – Especificação; NBR 14931 - Execução de estruturas de concreto – Procedimento; Outras Normas correlatas: vide NBR 6118/2003 Capítulo 2 – Referências normativas.


6

2 CARACTERÍSTICAS DO CONCRETO 2.1

Resistência característica à compressão (f ck ) A resistência característica de um concreto à compressão (f ck ) é o valor mínimo estatístico acima do qual ficam situados 95% dos resultados experimentais, sendo estes resultados experimentais obtidos em ensaios de cilindros moldados segundo a NBR 5738 e realizados de acordo com a NBR 5739. Na Tabela 2.1 estão indicados os grupos e classes de resistência padronizados pela NBR 8953. Grupo I Grupo II

C10 C55

Tabela 2.1 – Classes de resistência do concreto C15 C20 C25 C30 C35 C40 C60 C70 C80

C45

C50

De acordo com a NBR 6118, para concreto armado deve-se empregar a classe C20 (f ck = 20 MPa) ou superior até C50 (f ck = 50 MPa). Somente em fundações e obras provisórias poderá ser empregada a classe C15 (f ck = 15 MPa).

2.2

Resistência de dosagem (f cj) - (NBR 12655) É a resistência média do concreto à compressão na idade de “j” dias. f cj

onde:

f ck

(2.1)

1,65 S d

Sd – desvio padrão da dosagem – em MPa; f cj – em MPa; f ck – em MPa.

2.3

Resistência à tração A resistência do concreto à tração será determinada através de ensaios. Seu valor característico será estimado da mesma maneira que o concreto à compressão: f ctk A I C N Ê U Q E R F

f ctj

(2.2)

1,65 S d

95 5%

N

f ck ou f ctk 1,65 Sd

f cj ou f ctj

fc (RESISTÊNCIA)

Figura 2.1 – Distribuição normal mostrando a resistência média (f cj ou f ctj) e a resistência característica (f ck ou f ctk ) do concreto à compressão ou à tração


7

Os processos experimentais mais utilizados para determinação da resistência à tração do concreto são:

T



Tração axial (Tração direta)



Tração na flexão (NBR 12142)



Compressão diametral (NBR 7222)

T

A resistência à tração direta (tração axial) f ct pode ser considerada igual a 0,9 f ct,sp (resistência à tração indireta ou compressão diametral) ou 0,7 f ct,f (resistência à tração na flexão). Na falta de ensaios, o valor médio ou característico da resistência do concreto à tração f ct pode ser avaliado a partir da resistência característica à compressão, com o uso das seguintes expressões: f ct,m

0,3

2 f ck 3

f ctk,inf

0,7 f ct,m

f ctk,sup

1,3 f ct,m

(2.3) (2.4) (2.5)

com, f ct,m, f ck , f ctk,inf e f ctk,inf expressos em MPa.

2.4

Resistência de cálculo A resistência do concreto para fins de cálculo é minorada através de coeficientes de segurança ( c), os quais tem por finalidade cobrir as incertezas que ainda não possam ser tratadas pela estatística, tais como:  incertezas quanto aos valores considerados para resistência dos materiais;  erros cometidos quanto a geometria da estrutura e de suas seções;  avaliação inexata das ações;  divergências entre as hipóteses de cálculo e as solicitações reais;  avaliação da simultaneidade das ações. A resistência de cálculo do concreto à compressão é dada por:


8

f cd

f ck

(2.6)

γc

e a resistência de cálculo à tração é dada por: f ctd

(2.7)

f ctk γc

sendo c dado pela Tabela 2.2.

Tabela 2.2 – Valores dos coeficientes c Combinações c Normais 1,4 Especiais ou de construção 1,2 Excepcionais 1,2 As combinações abordadas na Tabela 2.2 serão objeto de estudo futuro. Para execução de elementos estruturais nos quais estejam previstas condições desfavoráveis (por exemplo, más condições de transporte, ou adensamento manual, ou concretagem deficiente por concentração de armadura), o coeficiente c deve ser multiplicado por 1,1. Para elementos pré-moldados deve-se consultar a NBR 9062. Para verificações de estados limites de serviço (ELS) adota-se c = 1,0.

2.5

Módulo de Elasticidade O módulo de elasticidade deve ser obtido segundo ensaio descrito na NBR 8522. Quando não forem feitos ensaios e não existirem dados mais precisos sobre o concreto usado na idade de 28 dias, pode-se estimar o valor do módulo de elasticidade usando a expressão: Eci

com,

5600

f ck

(2.8)

Eci e f ck expressos em MPa.

O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas de projeto, especialmente para determinação de esforços solicitantes e verificação de estados limites de serviço, deve ser calculado pela expressão: Ecs

0,85 Eci

(2.9)

Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou seção transversal pode ser adotado um módulo de elasticidade único, à tração e à compressão, igual ao módulo de elasticidade secante (E cs).


9

2.6

Coeficiente de Poisson e módulo de elasticidade transversal Para tensões de compressão menores que 0,5 f c e tensões de tração menores que f ct, o coeficiente de Poisson  pode ser tomado como igual a 0,2 e o módulo de elasticidade transversal Gc igual a 0,4 E cs. 2.7

Diagrama tensão-deformação O diagrama tensão-deformação do concreto não é linear, como pode ser visto na Figura 2.2, porém a NBR 6118 permite a utilização do diagrama simplificado da Figura 2.3. Tensão -  (MPa) B

A

Deformação -  (o/oo)

Figura 2.2 – Diagrama x de dois concretos: “A” de baixa resistência e “B” de alta resistência. O concreto “A” sofre uma deformação superior ao concreto “B” até a ruptura. O módulo de elasticidade de “B” é maior que o módulo elasticidade de “A” c

f ck 0,85.f cd

2,0

3,5

o

c ( /oo)

Figura 2.3 – Diagrama tensão-deformação idealizado Tensões no concreto (diagrama de cálculo – 0,85 f cd): 0

2‰

εc

2‰

εc εc

3,5‰

σc

3,5‰

0,85 f cd σc

1

1

0,85 f cd

ruptura_do _concreto

εc

2

(2.10)

2‰

(2.11) (2.12)


10

O fator 0,85 é utilizado porque a resistência do concreto para cargas de longa duração é da ordem de 85% da sua resistência em ensaios rápidos (Efeito Rüsch). Para tensões de compressão menores que 0,5 f c, pode-se admitir uma relação linear entre tensões e deformações, adotando-se para módulo de elasticidade o valor secante dado pela equação (2.9).

2.8

Deformações no concreto O concreto, assim como qualquer outro corpo pode apresentar deformações quando submetido a ações externas ou devidas a variações das condições ambientais. 2.8.1 Deformações devidas à variação das condições ambientais  Retração É a redução do volume do concreto, provocada pela perda da água existente no interior do concreto através da evaporação. Para reduzir o efeito da retração algumas alternativas são possíveis:  Aumentar o tempo de cura;  Fazer juntas de dilatação ou concretagem (diminuir o comprimento das peças). Em casos onde não é necessária grande precisão, os valores finais da deformação específica de retração cs(t,t0) do concreto, submetido a tensões menores que 0,5f c quando do primeiro carregamento, pode ser obtido, por interpolação linear, a partir da Tabela 2.3. A Tabela 2.3 fornece o valor da deformação específica de retração cs(t,t0) em função da umidade ambiente e da espessura fictícia 2A c/u, onde Ac é a área da seção transversal e u é o perímetro da seção em contato com a atmosfera. Os valores dessa tabela são relativos a temperaturas do concreto entre 10 C e 20°C, podendo-se, entretanto, admitir temperaturas entre 0C e 40°C. Esses valores são válidos para concretos plásticos e de cimento Portland comum. Deformações específicas devidas à retração mais precisas podem ser calculadas segundo indicação do Anexo A da NBR 6118/2003.

Tabela 2.3 – Deformação específica de retração Umidade ambiente % Espessura fictícia 2Ac/u (cm) 5 t0 cs (t,t0) 30 o dias /oo 60

40 20 -0,44 -0,37 -0,32

55 60 -0,39 -0,38 -0,36

20 -0,37 -0,31 -0,27

75 60 -0,33 -0,31 -0,30

20 -0,23 -0,20 -0,17

90 60 -0,21 -0,20 -0,19

20 -0,10 -0,09 -0,08

60 -0,09 -0,09 -0,09

Assim, a variação no comprimento de um elemento devido à retração é: L cs

cs

L

(2.13)

Umidade O aumento da umidade produz no concreto um inchamento e a redução de umidade produz um encolhimento. Tais deformações são geralmente desprezíveis. 

Temperatura Para variações de temperatura podem ocorrer dilatações ou contrações no concreto. As deformações devidas à variação de temperatura são importantes em estruturas hiperestáticas, por causa do surgimento de esforços solicitantes adicionais. 


11

(NBR 6118 – item 11.4.2.1) A variação da temperatura da estrutura, causada globalmente pela variação da temperatura da atmosfera e pela insolação direta, é considerada uniforme. Ela depende do local de implantação da construção e das dimensões dos elementos estruturais que a compõem. De maneira genérica podem ser adotados os seguintes valores: a) para elementos estruturais cuja menor dimensão não seja superior a 50 cm, deve ser considerada uma oscilação de temperatura em torno da média de 10ºC a 15ºC; b) para elementos estruturais maciços ou ocos com os espaços vazios inteiramente fechados, cuja menor dimensão seja superior a 70 cm, admite-se que essa oscilação seja reduzida respectivamente para 5ºC a 10ºC; c) para elementos estruturais cuja menor dimensão esteja entre 50 cm e 70 cm admite-se que seja feita uma interpolação linear entre os valores acima indicados. A deformação na estrutura dependerá da variação da temperatura ( T) e da distância ao centro de dilatação (L): (2.14) ΔL ε L ct

ΔL ct

ct

α ct ΔT L

(2.15)

onde ct é o coeficiente de dilatação térmica do concreto, que de acordo com a NBR 6118 vale 1x10-5/ºC. (NBR 6118 – item 11.4.2.2) Nos elementos estruturais em que a temperatura possa ter distribuição significativamente diferente da uniforme, devem ser considerados os efeitos dessa distribuição. Na falta de dados mais precisos, pode ser admitida uma variação linear entre os valores de temperatura adotados, desde que a variação de temperatura considerada entre uma face e outra da estrutura não seja inferior a 5ºC. Como forma de minimizar o efeito da temperatura pode-se:  usar juntas de dilatação;  minimizar a inércia dos pilares na direção da deformação imposta. De acordo com a NBR 6118, os efeitos da temperatura devem ser considerados em qualquer estrutura de concreto armado. Porém sabe-se que em estruturas com dimensões da ordem de 20 m, até 30 m, segundo alguns autores e até mesmo a antiga NBR 6118 de 1978, os efeitos da temperatura em geral não causam maiores danos.

2.8.2 Deformações devidas às cargas externas  Deformação imediata É observada no ato de aplicação das cargas externas, onde o esforço interno é absorvido parte pelo esqueleto sólido do concreto e parte pela água dos poros. A deformação imediata será: ΔL ci

ε ci L

(2.16)

Deformação lenta (Fluência) A deformação chamada lenta ou simplesmente fluência, ocorre ao longo do tempo, enquanto a água dos poros se desloca e transfere o esforço que absorvia para o esqueleto sólido, aumentando a deformação do concreto. A deformação lenta é dada por: 

ΔL cc

ε cc L

(2.17)


12

sendo que, ε cc

(2.18)

ε ci

Em casos onde não é necessária grande precisão, os valores finais do coeficiente de fluência (t,t0) do concreto, submetido a tensões menores que 0,5f c quando do primeiro carregamento, pode ser obtido, por interpolação linear, a partir da Tabela 2.4. A Tabela 2.4 fornece o valor do coeficiente de fluência (t,t0) em função da umidade ambiente e da espessura fictícia 2A c/u, onde Ac é a área da seção transversal e u é o perímetro da seção em contato com a atmosfera. Os valores dessa tabela são relativos a temperaturas do concreto entre 10C e 20°C, podendo-se, entretanto, admitir temperaturas entre 0 C e 40°C. Esses valores são válidos para concretos plásticos e de cimento Portland comum. Deformações específicas devidas à fluência mais precisas podem ser calculadas segundo indicação do Anexo A da NBR 6118/2003.

Tabela 2.4 – Coeficientes de fluência Umidade ambiente % Espessura fictícia 2Ac/u (cm) 5 t0 30  (t,t0) dias 60

40 20 4,4 3,0 3,0

55 60 3,9 2,9 2,6

20 3,8 2,6 2,2

75 60 3,3 2,5 2,2

20 3,0 2,0 1,7

90 60 2,6 2,0 1,8

20 2,3 1,6 1,4

60 2,1 1,6 1,4

A deformação específica final ou total na estrutura será: ΔL c, tot ΔL c, tot ΔL c, tot ΔL c, tot

ΔL ci

ΔL cc

ε ci L

ε cc L

ε ci L ε ci

1

L

ε c, tot L

ΔL c, tot ε c, tot

ε ci L

ε ci

(2.19)

1

deformação cc cc (t) ci

Deformação lenta

cc () c,tot ()

Deformação imediata tempo

Figura 2.4 – Gráfico deformação x tempo mostrando a deformação imediata do concreto (após carregamento) e a deformação lenta que progride com o tempo, tendendo para uma deformação total final.


13

3 CARACTERÍSTICAS DO AÇO PARA CONSTRUÇÃO CIVIL O aço é utilizado em estruturas principalmente para suprir a baixa resistência à tração do concreto, mas também poderá absorver esforços de compressão.

3.1

Bitola De acordo com a NBR 7480, bitola é o número correspondente ao valor arredondado, em milímetros, do diâmetro da seção transversal nominal do fio ou barra. 3.2

Classificação Os aços para concreto armado são classificados, de acordo com a NBR 7480, em barras e fios. Classificam-se como barras os produtos de bitola 5,0 ou superior, obtidos por laminação a quente ou por esse método associado a encruamento a frio, e classificam-se como fios aqueles de bitola 10,0 ou inferior, obtidos por trefilação ou processo equivalente. Usualmente tanto fios quanto barras são chamados simplesmente de barras da armadura. As características dos fios e barras são apresentadas na Tabela 3.1. De acordo com o valor característico da resistência de escoamento, as barras e fios de aço são classificados nas categorias CA-25, CA-50 e CA 60. A categoria CA-60 aplica-se somente para fios. O prefixo CA refere- se às iniciais de “Concreto Armado”. De acordo com o processo de fabricação, as barras e fios de aço para concreto armado podem ou não apresentar patamar de escoamento no diagrama tensão deformação. Tabela 3.1 – Características das barras e fios de acordo com a NBR 7480

3.2.1 Aços com patamar de escoamento São obtidos por laminação a quente sem posterior deformação a frio.


14

s

B

f m f yk

C

A

s (o/oo)

Figura 3.1 – Diagrama tensão x deformação de um aço com patamar de escoamento. Em (A) limite de escoamento/proporcionalidade, em (B) limite de resistência e em (C) limite de ruptura. 3.2.2 Aços sem patamar de escoamento São obtidos por deformação a frio, aumentando a sua resistência. O limite de escoamento deste tipo de aço é convencionalmente definido como sendo a tensão que produz uma deformação permanente de 2,0 o/oo. Os processos mais comuns para obtenção deste tipo de aço são a trefilação, a torção e o estiramento. s

C

f m f yk f yp

A

2,0

C

B

s (o/oo)

Figura 3.2 - Diagrama tensão x deformação de um aço sem patamar de escoamento. Em (A) limite de proporcionalidade, em (B) limite de escoamento, em (C) limite de resistência e em (D) limite de ruptura. 3.3

Módulo de elasticidade De acordo com a NBR 6118, na falta de ensaios ou valores fornecidos pelo fabricante, o módulo de elasticidade do aço pode ser admitido igual a 210 GPa ou 2100000kgf/cm 2. 3.4

Massa específica De acordo com a NBR 6118, pode-se adotar para massa específica do aço de armadura de concreto armado o valor de 7850 kg/m3. 3.5

Coeficiente de dilatação térmica De acordo com a NBR 6118, o valor 1x10-5/ºC pode ser considerado para o coeficiente de dilatação térmica do aço, para intervalos de temperatura entre – 20ºC e 150 ºC.


15

3.6

Resistência característica O valor da resistência característica do aço (f yk ) é o valor mínimo estatístico acima do qual ficam sutuados 95 % dos resultados experimentais. A resistência característica do aço é a mesma para tração e compressão, desde que seja afastado o perigo da flambagem das barras. ) A I C N Ê U Q E R F ( N

95% 5%

f yk

f yj

f y (RESISTÊNCIA)

1,65 Sd

Figura 3.3 – Distribuição normal para a resistência do aço, mostrando a resistência média (f yj) e a resistência característica (f yk ) f yk

f yj

(3.1)

1,65 S d

A resistência característica de uma determinada categoria de aço é dada em kN/cm 2 pelo número que acompanha o prefixo “CA”. Assim, os aços da categoria CA -25 apresentam f yk = 25 kN/cm2 = 2500 kgf/cm 2, os da categoria CA-50 apresentam f yk = 50 kN/cm2 = 5000 kgf/cm2 e os da categoria CA-60 apresentam f yk = 60 kN/cm2 = 6000 kgf/cm 2.

3.7

Características geométricas das barras Os fios e barras podem ser lisos ou providos de saliências ou mossas. Para cada categoria de aço, o coeficiente de conformação superficial mínimo,  b, determinado através de ensaios de acordo com a NBR 7477, deve atender ao indicado na NBR 7480. As barras lisas possuem baixa aderência ao concreto e são restritas à categoria CA-25. As barras da categoria CA-50 devem ser providas obrigatoriamente nervuradas. Os fios da categoria CA-60 podem ser lisos ou podem possuir entalhes, para melhorar a aderência. A configuração das saliências ou mossas deve ser tal que não permita a movimentação da barra dentro do concreto. Estas devem ter uma configuração geométrica que não propicie concentração de tensões prejudiciais do ponto de vista da resistência à fadiga. Em caso de dúvida, devem ser realizados ensaios de fadiga. A NBR 6118 mede a conformação superficial das barras e fios pelo coeficiente 1, cujo valor está relacionado ao coeficiente de conformação superficial  b de acordo com a Tabela 3.2. Tabela 3.2 – Relação entre Tipo de barra Lisa (CA-25) Entalhada (CA-60) Alta aderência (CA-50)

1 e

b

Coeficiente de conformação superficial b

1

1,0 1,2

1,0 1,4 2,25

≥1,5


16

3.8

Marcação As barras com saliências devem apresentar marcas de laminação em relevo que identifique o fabricante e categoria do material. As barras lisas e fios são identificados por pintura de topo, etiquetas ou marcas em relevo. 3.9

Ensaio de dobramento Além do ensaio de tração, para determinação da resistência característica, as barras de aço devem ser submetidas ao ensaio de dobramento a 180º sem que ocorra ruptura nem fissuração na zona tracionada. 3.10 Características mecânicas e ensaios Os aços para concreto armado devem apresentar algumas características de modo que tenham um bom desempenho quando trabalharem com o concreto. Para tanto são realizados uma série de ensaios nos aços:     

ensaio de tração (NBR 6152) ensaio de dobramento (NBR 6153) ensaio de tração em barras emendadas (NBR 8548) ensaio de fissuração do concreto (NBR 7477) ensaio de fadiga (NBR 7478)

3.11 Diagrama tensão-deformação simplificado A NBR 6118 admite a utilização do diagrama tensão-deformação simplificado da Figura 3.4, válido para aços com ou sem patamar de escoamento. Nesta figura estão representados os diagramas característico e de cálculo. s

f yk o ã f ç yd a r t

-3,5 yd yk

f yck f ycd

10,0

s

o ã s s e r p m o c

Figura 3.4 – Diagrama tensão-deformação para aços de concreto armado Este diagrama é válido para intervalos de temperatura entre – 20ºC e 150ºC, e tem, como indica aFigura 3.4, mesmo comportamento tanto à tração quanto à compressão. A limitação de 3,5 o/oo à compressão mostrada no diagrama deve-se ao concreto que rompe com esta deformação, sendo este um assunto de abordagem futura.


17

Tensões no aço (diagrama de cálculo – f yd): εs

ε yd

σs

Es ε s

(3.2)

εs

ε yd

σs

f yd

(3.3)

3.12 Resistência de cálculo A resistência do aço para fins de cálculo é minorada através de coeficientes de segurança ( s), pelas mesmas razões já apresentadas para o concreto. No entanto, o valor do coeficiente de segurança é menor, já que o processo de fabricação do aço apresenta controle de qualidade superior. A resistência de cálculo do aço à tração é dada por: f yd

f yk

(3.4)

γs

e a resistência de cálculo à compressão é dada por: f ycd

f yck γs

sendo s dado pela Tabela 3.3.

Tabela 3.3 – Valores dos coeficientes s Combinações s Normais 1,15 Especiais ou de construção 1,15 Excepcionais 1,0 As combinações abordadas na Tabela 3.3 serão objeto de estudo futuro. Para verificações de estados limites de serviço (ELU) adota-se s = 1,0.

(3.5)


18

4 AÇÕES E SEGURANÇA NAS ESTRUTURAS 4.1

Conceito de segurança Uma estrutura oferece segurança quando ela possui condições de suportar, em condições não precárias de funcionamento, todas as ações, com as intensidades e combinações mais desfavoráveis, de atuação possível ao longo da vida útil para qual foi projetada. Uma estrutura deve apresentar: Estabilidade: segurança contra a ruptura devido às solicitações; Conforto: evitar deformações excessivas e vibrações que comprometam o uso da estrutura ou causem dano não aceitável em elementos não estruturais; Durabilidade: evitar fissuração excessiva para impedir a corrosão das armaduras. Quando a estrutura não preenche um dos requisitos mencionados, diz-se que a mesma atingiu um “estado limite”, que pode ser:

Estado Limite Último (ELU) (ou de ruína) : perda de estabilidade da estrutura, ruptura das seções críticas, instabilidade elástica (efeitos de segunda ordem), deterioração por fadiga:  Estado Limite de Serviço (ELS) (ou de utilização) : deformações excessiva, fissuração excessiva, vibrações excessivas. 

No estado limite último (ELU), as ações são combinadas e majoradas por coeficientes de segurança de modo que seja pequena a probabilidade destes valores serem ultrapassados e os valores das resistências são reduzidos, de modo que seja pequena a probabilidade dos valores descerem até este ponto. Os coeficientes que reduzem os valores das resistências dos materiais já foram mencionados nos capítulos 2 e 3, e os coeficientes que majoram as ações serão informados no presente capítulo.

4.2

Ações nas estruturas de concreto armado De acordo com a NBR 6118, as ações nas estruturas de concreto armado são classificadas em permanentes, variáveis ou excepcionais. Ações permanentes são as que ocorrem com valores praticamente constantes durante toda a vida da construção. Também são consideradas como permanentes as ações que crescem no tempo tendendo a um valor limite constante. São divididas em diretas e indiretas. As ações variáveis dividem-se em diretas e indiretas. As diretas são constituídas pelas cargas acidentais previstas para o uso da construção (Exemplo: NBR 6120), pela ação do vento e da chuva, devendo-se respeitar as prescrições feitas por normas brasileiras específicas. Já as indiretas são constituídas pela variações de temperatura e pelas ações dinâmicas. No projeto de estruturas sujeitas a situações excepcionais de carregamento, cujos efeitos não possam ser controlados por outros meios, devem ser consideradas ações excepcionais com os valores definidos, em cada caso particular, por normas brasileiras específicas. Na Tabela 4.1 estão discriminadas as ações que devem ser consideradas em uma estrutura de concreto armado. Outras informações a respeito de cada ação específica podem ser obtidas no capitulo 11 da NBR 6118 – Ações, ou em bibliografias especificas.


19

Tabela 4.1 – Ações a considerar no cálculo de estruturas de concreto armado Peso próprio Elementos construtivos permanentes Empuxos permanentes Retração do concreto Fluência do concreto Deslocamentos de apoio Imperfeições geométricas locais e globais Cargas acidentais Ação do vento Ação da água Ações variáveis durante a construção Variações de temperatura Ações dinâmicas Sismos, Explosões, Incêndios

Diretas Permanentes Indiretas

Diretas Variáveis Indiretas Excepcionais

Exemplos

4.2.1 Valores das ações Valores característicos e representativos As ações podem apresentar-se com valores característicos ou representativos. Os valores característicos Fk das ações são estabelecido em função da variabilidade de suas intensidades. Os valores representativos são os que realmente quantificam as ações a serem consideradas. Os valores representativos podem ser: a) os valores característicos de ações permanentes ou variáveis; b) valores convencionais excepcionais, que são os valores arbitrados para as ações excepcionais; c) valores reduzidos, em função da combinação de ações variáveis, tais como: - nas verificações de Estados Limites Últimos (ELU), quando a ação variável considerada se combina com a ação variável principal. Os valores reduzidos são determinados a partir dos valores característicos pela expressão 0Fk , que considera muito baixa a probabilidade de ocorrência simultânea dos valores característicos de duas ou mais ações variáveis de naturezas diferentes; - nas verificações de Estados Limites de Serviço (ELS). Estes valores reduzidos são determinados a partir dos valores característicos pelas expressões 1Fk e 2Fk , que estimam valores freqüentes e quase permanentes, respectivamente, de uma ação que acompanha a ação principal. 

Os valores de

0,

1e

2 são

apresentados na Tabela 4.2.


20

Tabela 4.2 - Valores dos coeficientes

0,

1e 0

2

1) Ações 1 2 Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos que permanecem 0,5 0,4 0,3 fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de pessoas 2) Cargas acidentais Locais em que há predominância de pesos de edifícios de equipamentos que permanecem fixos por 0,7 0,6 0,4 longos períodos de tempo, ou de elevada concentração de pessoas 3) Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6 Pressão dinâmica do vento nas estruturas em Vento 0,6 0,3 0 geral Variações uniformes de temperatura em Temperatura 0,6 0,5 0,3 relação à média anual local 1) Para os valores de 1 relativos às pontes e principalmente aos problemas de fadiga, ver seção 23 NBR 6118. 2) Edifícios residenciais. 3) Edifícios comerciais e de escritórios.

Valores de cálculo Os valores de cálculo das ações Fd são obtidos pela multiplicação dos valores representativos por um coeficiente de ponderação f ( g, para ações permanentes, q, para ações variáveis diretas e , para deformações impostas, ou ações indiretas). Estes coeficientes de ponderação são dados pela Tabela 4.3. 

Tabela 4.3 - Valores dos coeficientes f ( g, q e ) Ações Combinações de Ações

Permanentes (g)

Variáveis (q)

Recalques de apoio e retração

D

F

G

T

D

F

Normais

1,4 1)

1,0

1,4

1,2

1,2

0

Especiais ou de construção

1,3

1,0

1,2

1,0

1,2

0

Excepcionais

1,2

1,0

1,0

0

0

0

Onde: D é desfavorável, F é favorável, G é geral e T é temporária. 1) Para cargas permanentes de pequena variabilidade, como o peso próprio das estruturas, especialmente as pré-modadas, esse coeficiente pode ser reduzido para 1,3.

4.2.2 Combinações de ações Um carregamento é definido pela combinação das ações que têm probabilidades não desprezíveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, durante um período pré estabelecido. A combinação das ações deve ser feita de forma que possam ser determinados os efeitos mais desfavoráveis para a estrutura; a verificação da segurança em relação aos estados limites últimos e aos estados limites de serviço deve ser realizada em função de combinações últimas e combinações de serviço, respectivamente.


21

As combinações últimas são classificadas em: Combinações últimas normais: Em cada combinação devem figurar: as ações permanentes e a ação variável principal, com seus valores característicos e as demais ações variáveis, consideradas como secundárias, com seus valores reduzidos de combinação, conforme NBR 8681.  Combinações últimas especiais ou de construção: Em cada combinação devem figurar: as ações permanentes e a ação variável especial, quando existir, com seus valores característicos e as demais ações variáveis com probabilidade não desprezível de ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos de combinação, conforme NBR 8681.  Combinações últimas excepcionais: Em cada combinação devem figurar: as ações permanentes e a ação variável excepcional, quando existir, com seus valores representativos e as demais ações variáveis com probabilidade não desprezível de ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos de combinação, conforme NBR 8681. 

Tabela 4.4 - Combinações últimas usuais (Tabela 11.3 NBR 6118)

Excepcionais

ver tabela de coef.  ver tabela de coef. 

No caso geral, devem ser consideradas inclusive combinações onde o efeito favorável das cargas permanentes seja reduzido pela consideração de gg = 1,0. No caso de estruturas usuais de edifícios essas combinações que consideram gg reduzido (1,0) não precisam ser consideradas. 2) Quando Fg1k ou Fg1exc atuarem em tempo muito pequeno ou tiverem probabilidade de ocorrência muito baixa, 0j pode ser substituído por 2j.


22

As combinações de serviço são classificadas em: Quase-permanentes: podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação do estado limite de deformações excessivas.  Freqüentes: repetem-se muitas vezes durante o período de vida da estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação dos estados limites de formação de fissuras, de abertura de fissuras e de vibrações excessivas. Podem também ser consideradas para verificações de estados limites de deformações excessivas decorrentes de vento ou temperatura que podem comprometer as vedações.  Raras: ocorrem algumas vezes durante o período de vida da estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação do Estado Limite de Formação de Fissuras. 

Tabela 4.5 - Combinações de serviço (Tabela 11.4 NBR 6118)

4.2.3 Comparação com a antiga NBR 6118-1980 De acordo com o exposto acima nota-se que para o cálculo de estruturas de concreto armado é necessária uma análise da combinação de ações mais desfavorável à estrutura, sendo esta combinação majorada por coeficientes de ponderação ( ). A partir desta combinação são determinados os esforços solicitantes que são comparados aos esforços resistentes da estrutura. Portanto na nova versão da NBR 6118 as ações são majoradas. No caso da versão antiga (1980) os esforços solicitantes eram majorados após serem obtidos a partir de ações características. Ao trabalhar-se no regime elástico é possível majorar-se os esforços solicitantes ao invés das ações, assim como se fazia na antiga NBR 6118 de 1980.


23

5 DURABILIDADE DAS ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO As estruturas de concreto devem ser projetadas e construídas de modo que sob as condições ambientais previstas na época do projeto e quando utilizadas conforme preconizado em projeto conservem suas segurança, estabilidade e aptidão em serviço durante o período correspondente à sua vida útil. Na seqüência são apresentados alguns aspectos relativos à durabilidade das estruturas de concreto armado.

5.1

Agressividade do ambiente A agressividade do meio ambiente está relacionada às ações físicas e químicas que atuam sobre as estruturas de concreto, independentemente das ações mecânicas, das variações volumétricas de origem térmica, da retração hidráulica e outras previstas no dimensionamento das estruturas de concreto. Nos projetos das estruturas correntes, a agressividade ambiental pode ser classificada de acordo com o apresentado na Tabela 5.1. Tabela 5.1 – Classes de agressividade ambiental (tabela 6.1 NBR 6118)

5.2

Qualidade do concreto de cobrimento A durabilidade das estruturas é altamente dependente das características do concreto e da espessura e qualidade do concreto do cobrimento da armadura, devendo-se, na falta de ensaios mais detalhados adotar os requisitos mínimos expressos na Tabela 5.2. Tabela 5.2 – Correspondência entre classe de agressividade e qualidade do concreto Classe de agressividade (Tabela 5.1) Concreto

I II III IV Relação Água/Cimento  0,65  0,60  0,55  0,45 Classe do concreto  C20  C25  C30  C40 Nota: O concreto empregado na execução das estruturas deve cumprir os requisitos estabelecidos na NBR 12655


24

5.3

Cobrimento mínimo Além das exigências de qualidade do concreto, deve-se respeitar também uma espessura mínima de cobrimento da armadura mais externa do elemento estrutural (em geral o estribo), dada pela Tabela 5.3. Tabela 5.3 – Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento mínimo Classe de agressividade ambiental (Tabela 5.1) Elemento estrutural

I

II III IV Cobrimento mínimo (mm) Laje 20 25 35 45 Viga Pilar 25 30 40 50 1) Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos, e outros tantos, as exigências desta tabela podem ser substituídas pelo pelo valor 15 mm. De qualquer forma, o cobrimento não poderá ser inferior ao diâmetro da barra ou do feixe. 2) Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios, estações de tratamento de água e esgoto, condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos a armadura deve ter cobrimento nominal mínimo de 45mm.

Em caso de adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das medidas durante a execução podem ser adotados cobrimentos mínimos com redução de 5,0 mm. Neste caso a exigência de controle rigoroso deve ser explicitada nos desenhos de projeto.


25

6 FLEXÃO NORMAL SIMPLES 6.1

Hipóteses de cálculo para dimensionamento de estruturas de concreto armado Na análise dos esforços resistentes de uma seção de viga ou pilar, devem ser consideradas as seguintes hipóteses básicas: a) as seções transversais permanecem planas após deformação; b) a deformação das barras deve ser a mesma do concreto em seu entorno (perfeita aderência); c) a resistência à tração do concreto será desprezada; d) a distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama parábola retângulo definido na Figura 2.3 com tensão de pico igual a 0,85 f cd. Esse diagrama pode ser substituído pelo retângulo de altura 0,8 x (onde x é a profundidade da linha neutra), com a seguinte tensão:  0,85 f cd no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir a partir desta para a borda comprimida;  0,80 f cd no caso contrário; As diferenças de resultados obtidos com esses dois diagramas são pequenas e aceitáveis, sem necessidade de coeficiente de correção adicional. e) a tensão nas armaduras deve ser obtida a partir dos diagramas tensão-deformação, com valores de cálculo, definidos no item 2.7. f) o estado limite último de uma seção transversal é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal pertencer a um dos domínios definidos na Figura 6.1, ou seja, deformação plástica excessiva das armaduras (10 o/oo) ou ruptura do concreto (2,0 o/oo ou 3,5 o/oo). Alongamento

Encurtamento 2o/oo 3,5o/oo B

d'

3h/7

a d

1

C

2

b

3 4 10o/oo

yd

h

5 4a

Figura 6.1 – Domínios de deformação Ruptura por deformação plástica excessiva: - reta a: tração uniforme; - domínio 1: tração uniforme, sem compressão; - domínio 2: flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do concreto (c < 3,5 o/oo e com máximo alongamento permitido para o aço);


26

Ruptura convencional por encurtamento limite do concreto: - domínio 3: flexão simples (seção subarmada) ou composta com ruptura à compressão do concreto e com escoamento do aço ( s  yd); - domínio 4: flexão simples (seção superarmada) ou composta com ruptura à compressão do concreto e aço tracionado sem escoamento ( s < yd); - domínio 4a: flexão composta com armaduras comprimidas; - domínio 5: compressão não uniforme, sem tração; - reta b: compressão uniforme. 6.2

Flexão simples (coeficientes “k”)

bw 0,85.f cd

0,85.f cd

cd

y x

d

h

As

R st

R st

s

Figura 6.2 – Diagrama Parábola-Retângulo e Diagrama Retangular ε cd

εs

x ε cd

d

d

ε cd d

x εs x

x εs x

ε cd x

ε cd

x

k x

d

y

x x d y 0,8d

(6.1)

ε cd

εs

0,8x

y 0,8 ε cd ε cd

εs ε cd

ε cd

εs


27

ky

ε cd

εs 0,8 ε cd

εs

ky

ε cd

y

0,8 ε cd

d

ε cd

(6.2)

εs

0,8 ε cd

εs

ky

0,8

ky

ky

0,8 ε cd

ε cd ky

ky

ky

ε cd

ε cd

0,8

ky

ky

ky

ε cd

0,8

ky

ky

No limite dos domínios 3 e 4, quando s = yd, tem-se: k yl  

0,8ε cd ε cd

(6.3)

ε yd

se ky  kyl tem-se seção subarmada ( s  yd) – domínio 3 se ky > kyl tem-se seção superarmada ( s < yd) – domínio 4

Seções superarmadas (domínio 4) têm por característica a ruptura por esmagamento do concreto, pois este alcança a sua deformação de ruptura (3,5 o/oo) antes que o aço alcance o escoamento. Este tipo de ruptura ocorre de forma brusca, sem aviso prévio (fissuração excessiva), devendo o dimensionamento das peças estruturais neste domínio de deformação ser muito bem avaliado pelo engenheiro. Valores limites de ky, para os aços especificados pela NBR 6118, considerando f yd = f yk /s, com s = 1,15 e E s = 2100000 kgf/cm 2:

ε yd CA 25 kyl ε cd ε yd

3,5‰

f yd

ε yd CA 50

Es

kyl ε yd CA 60 kyl

2500 1,15 0,8

3,5‰ 3,5‰ 1,04‰

5000 1,15 0,8

3,5‰

1,15

0,62

2100000 2,07‰ 3,5‰

6000

0,8

2100000 1,04‰

2,07‰

0,50

2100000 2,48‰ 3,5‰

3,5‰

2,48‰

0,47


6.3

28

Seção retangular

6.3.1 Armadura Simples

(unidades: tf; cm)

bw 0,85.f cd /2

y

R cc

d

h

z Md

As

R st d"

Figura 6.3 – Seção transversal de viga sujeita à flexão simples com armadura simples Md R cc

γ f M k

0,85 f cd b w y

R st

As σs

y z

d

y

d

2

kz

A s f yd

0,8 x ky d

d

2

z d

1

ky 2

ky

1

(6.4)

2

Equilíbrio da seção: Md

R cc z

Md Md

(momento resistido pelo concreto)

0,85 f cd b w y

kz d

0,85 f cd ky kz b w d 2 km

Md

1 0,85 f cd ky kz

bw d2 km

(6.5)


29

(6.6)

bw d2

km

Md

Ainda por equilíbrio da seção: Md Md

R st z

f yd A s kz d

As

1

Md

kz f yd

d

1

ka

As

kz f yd

(6.7)

ka M d

(6.8)

d

6.3.2 Dimensionamento da seção no Domínio 2 Quando a deformação do aço alcança seu valor máximo, ou seja, 10,0 o/oo, o dimensionamento passa a ser feito considerando-se deformações do concreto menores que 3,5 o/oo, portanto, dimensionamento no Domínio 2. O processo de dimensionamento é idêntico ao já apresentado anteriormente, porém, o valor “0,85 f cd” deve ser corrigido por um fator “ ” (psi) que leva em consideração c < 3,5 o/oo. O valor de “ ” considerado deverá ser:

1

,

1,25

1,25

quando 1

0,002 máx c

3

máx c

0,002

1

1

,

quando

máx c

,

3 0,002 ky

como s = 10,0 o/oo:

ky

0,8 εc εc

10

máx c

2,0‰

quando

máx c

3,5‰ máx c

2,0‰

0,8 ε c εc

εs

máx

εc

10 ky 0,8 - ky

3,5‰


30

6.3.3 Armadura dupla �� ε��

0,85.f cd ��

yl

��

�

�

��

��

ε��

��

�

��

�

��

ε �

��

��

� � ��

�

��

��

ε��

��

Figura 6.4 – Seção transversal de viga retangular sujeita a flexão simples com armadura dupla – parte do momento total (M d) absorvido pelo binário R cc / R st1 (Md1) e parte absorvido pelo binário R sc / R st2 (Md2) R sc = resultante das tensões de compressão na armadura longitudinal Md

M d1

M d2

Md1 = Momento máximo que a seção resistiria com armadura simples Md2 = Momento adicional resistido pelo binário formado pelas armaduras A s2 e A's M d2

R st A s f yd As

M d - M d1

R st1 A s1 f yd A s1

R st2 A s2 f yd A s2


31

bw d2

M d1

R sc d

d

d

d

A s2 f yd

d

d

M d2

A s2

Md2

(6.10)

d

M d2 R st2

kml kal M d1

A s1

M d2

(6.9)

f yd

(6.11)

d

R sc d d

d

As

s d d

M d2

A's

(6.12)

's d - d'

Os valores de 's (tensão de compressão na armadura) são obtidos a partir da deformação do aço ( 's), conforme segue: ε cd

x x

εs

x - d' x

d

εs 3,5‰

ε cd x

ε cd y

1,25 y yl

kyl d

Tendo-se o valor de 's, à partir do diagrama tensão deformação do aço, obtém-se a tensão 's. s

f yd

o ã ç a r t

-3,5

ycd yd o ã

f ycd se: 's < se: 's

s s e r p m o c ycd ycd

o 10,0 s ( /oo)

's = 's . Es 's = f ycd


32

7 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS 7.1

Dimensões mínimas das vigas (item 13.2.2 – NBR 6118) A seção transversal das vigas não deve apresentar largura menor que 12 cm. Este limite poderá ser reduzido a um mínimo de 10 cm, desde que sejam respeitadas as seguintes condições:  alojamento das armaduras e suas interferências com as armaduras de outros elementos estruturais, respeitando os espaçamentos e coberturas estabelecidos na NBR 6118;  lançamento e vibração do concreto de acordo com a NBR 14931. 7.2

Armaduras longitudinais mínima e máxima das vigas (item 17.3.5.2 – NBR 6118) A armadura longitudinal mínima de tração deve ser suficiente para absorver o momento de fissuração da viga, evitando assim a ruptura brusca na passagem do Estádio I (concreto não fissurado) para o Estádio II (concreto fissurado). Esta condição pode ser considerada atendida se respeitadas as taxas expressas na Tabela 7.1. Tabela 7.1 – Taxas mínimas de armaduras de flexão para vigas Valores de min (As,min/Ac) (%)

Forma da seção

f ck

20

25

30

35

40

45

50

0,035

0,150

0,150

0,173

0,201

0,230

0,259

0,288

0,024

0,150

0,150

0,150

0,150

0,158

0,177

0,197

0,031

0,150

0,150

0,153

0,178

0,204

0,229

0,255

0,070

0,230

0,288

0,345

0,403

0,460

0,518

0,575

min

Retangular T (mesa comprimida) T (mesa tracionada) Circular

NOTA – nas seções tipo T, a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da mesa colaborante.

Os valores estabelecidos na Tabela 7.1 pressupõem o uso de aço CA-50, c = 1,4 e s = 1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, mín deve ser recalculado com base no valor de mín, dado, a partir da seguinte expressão: ρ mín

f cd ω mín

(7.1)

f yd

com f cd e f yd dados em MPa. A soma das armaduras de tração e de compressão de uma viga (A s + A' s) não deve ter valor maior que 4,0 % da área de concreto (A c), calculado na região fora da zona de emendas.

7.3

Armadura de pele (item 17.3.5.2.3 – NBR 6118) Trata-se de uma armadura disposta ao longo das faces laterais das vigas com altura superior a 60 cm. Esta armadura tem por objetivo costurar longitudinalmente a peça fletida, criando uma transição das regiões tracionada e comprimida e reduzindo o aparecimento de fissuras de retração e de variações de temperatura.


33

É conveniente que esta armadura seja disposta ao longo da região tracionada da viga, porém, devido a dificuldade de se determinar a posição da linha neutra, em geral a armadura de pele é disposta ao longo de toda a altura da viga. Deve-se dar preferência às barras de armadura de bitolas mais finas para composição da armadura de pele. Estas barras devem ser de alta aderência ( 1  2,25). A armadura de pele mínima que deverá ser disposta em cada face lateral da viga deve ser equivalente a 0,10 % da área de concreto da alma, e o espaçamento entre as barras constituintes não deve exceder 20 cm: A s, pele

0,10% A c,alma

em cada face

7.4

(7.2)

Centro de gravidade das armaduras (item 17.2.4.1 – NBR 6118) Os esforços nas armaduras podem ser considerados concentrados no centro de gravidade correspondente, se a distância deste centro ao ponto da seção de armadura mais afastada da linha neutra, medida normalmente a esta, for menor que 10 % da altura da viga.

x < 10 % . h

h d CG +

x

d"

Figura 7.1 – Posição do centro de gravidade das armaduras 7.5

Espaçamento mínimo entre barras da armadura (item 18.3.2.2 – NBR 6118)

2,0cm eh



1,2 d máx

ev

2,0cm ev

eh

0,5 d máx

Figura 7.2 – Espaçamento entre barras da armadura dmáx = diâmetro máximo do agregado.


34

Esses valores aplicam-se também às regiões de emendas por traspasse das barras. Para feixes de barras deve-se considerar o diâmetro do feixe:

(7.3)

n

f

em que, “n” é o número de barras que constituem o feixe.

7.6

Número de barras por camada

c  t (estribo) 

eh

a

bw n

2 c a

t

eh eh

a

Figura 7.3 – Número de barras por camada 7.7

Determinação de da altura útil “d”

d = 90%.h 7.8

(7.4)

Vão teórico das vigas O vão efetivo das vigas deve ser calculado pela seguinte expressão l ef

l0

a1

a2

(7.5)

Com a1 igual ao menor valor entre (t 1/2 e 0,3h) e a 2 igual ao menor valor entre (t 2/2 e 0,3h), de acordo com a

Figura 7.4 – Vão teórico das vigas – apoio extremo (e); apoio intermediário (d)


35

Para vigas em balanço o vão teórico é igual ao comprimento entre a extremidade livre e o centro do apoio. Usualmente adota-se como vão teórico de vigas a distância entre os centros dos apoios, desde que estes não apresentem dimensões muito maiores que a altura da viga

7.9

Aproximações de cálculo para vigas (item 14.6.7.1 – NBR 6118) Pode ser utilizado o modelo clássico de viga contínua, simplesmente apoiada nos pilares, para o estudo das cargas verticais, observando-se a necessidade das seguintes correções adicionais: a) não devem ser considerados momentos positivos menores que os que se obteriam se houvesse engastamento perfeito da viga nos apoios internos; 7.10 Pré-dimensionamento de vigas (sugestão) A altura das vigas poderá ser inicialmente considerada como um décimo do vão ( h= 10%L). Já a largura das vigas normalmente é definida em função da espessura da alvenaria, sendo em geral adotada uma largura igual a da alvenaria sem revestimentos. 7.11 Componentes do carregamento das vigas Cargas de paredes; Cargas devido ao peso próprio ( concr.  2500 kg/m3); Reações das lajes; Reações de outras vigas (cargas concentradas); Outros.     


36

8 DETALHAMENTO DE VIGAS À FLEXÃO 8.1

Aderência Para que seja possível a existência do concreto armado é necessário que exista entre aço e concreto uma aderência que impeça o escorregamento de um em relação ao outro.

F

 b

Tensão de aderência: F b μ l μ

π

i

Figura 8.1 – Tensão Tensão de aderência entre aço e concreto 8.1.1 Regiões de boa e má aderência ad erência Consideram-se em boa situação quanto à aderência os trechos das barras que estejam em uma das posições seguintes:  com inclinação maior que 45º sobre a horizontal  > 45º

horizontais ou com inclinação menor que 45º sobre a horizontal, desde que:  < 45º - para elementos estruturais com h < 60cm, localizados no máximo 30cm acima da face h < 60 cm inferior do elemento ou da junta 30 de concretagem mais próxima; 

Face inferior inferior ou unta de concreta concreta em Face Face su erio eriorr ou ou unta unta de conc concre reta ta em - para elementos estruturais com h  60cm, localizados no mínimo 30cm abaixo da face superior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima;

30 h  60 cm  < 45º

Trechos em outras situações são considerados em má situação quanto à aderência.


37

8.1.2 Valores últimos para resistências de aderência De acordo com a NBR 6118, em seu item 9.3.2, a resistência de aderência de cálculo entre armadura e concreto na ancoragem (transmissão do esforço aplicado à uma barra de aço ao concreto) das armaduras deverá ser obtida pela seguinte expressão: f bd

η1 η 2 η3 f ctd

(8.1)

onde:

sendo:

f ctd / c (equação (2.7) (equação (2.7);; ctd = f ctk,inf ctk,inf / 1 = 1,0 para barras lisas (ver Tabela Tabela 2.1); 2.1) ; 1 = 1,4 para barras entalhadas (ver Tabela Tabela 2.1); 2.1) ; 1 = 2,25 para barras nervuradas (ver Tabela Tabela 2.1); 2.1) ; 2 = 1,0 para situações de boa boa aderência (ver item 8.1.1) item 8.1.1);; 2 = 0,7 para situações de má má aderência (ver item 8.1.1) item 8.1.1);; 3 = 1,0 para  < 32mm; 3 = (132- )/100, para  > 32mm; f bd é a resistência de aderência entre aço e concreto; f ctd ctd é a resistência inferior à tração de cálculo do concreto;

8.1.3 O “Não-Escorregamento” da armadura Em elementos estruturais fletidos faz-se necessária a verificação do não-escorregamento não-escorregamento das armaduras longitudinais. Considera-se como verificada a peça que satisfizer a seguinte expressão: Vd

0,9 d u s

1,75 f bd

(8.2)

onde:

Vd é o esforço cortante de cálculo na seção considerada; d é a altura útil da seção considerada; considerada; us é a soma dos perímetros de todas as barras da armadura principal tracionada (no caso de feixes de barras, o perímetro a considerar é o da seção circular de área igual); f bd equação (8.1). bd é o valor dado pela equação (8.1). A verificação do não-escorregamento é, geralmente, dispensável para bitolas inferiores a 25 mm e para armação sem uso de feixe de barras. Em outros casos ela é indispensável. Caso a expressão (8.2) expressão (8.2) não seja satisfeita, a solução será a de se aumentar o número de barras da armação principal (mantendo o valor de A s total), usando bitolas mais finas. Isto força o aumento do valor de us.

8.2

Ancoragem das armaduras A ancoragem de uma barra da armadura é a transferência do esforço ao qual ela está submetida para o concreto. De acordo com o item 9.4.1 da NBR 6118, todas as barras das armaduras devem ser ancoradas de forma que os esforços a que estejam submetidas sejam integralmente transmitidos ao concreto. Estas ancoragens poder ser realizadas por aderência ou através de dispositivos mecânicos. As ancoragens por aderência são mais baratas e as mais utilizadas, por este motivo nesta disciplina será dada maior ênfase as mesmas.


38

À exceção das regiões situadas sobre apoios diretos (pilares), as ancoragens por aderência devem ser confinadas por armaduras transversais ou pelo próprio concreto, considerando-se este caso quando o cobrimento da barra ancorada for maior ou igual a 3  e a distância entre barras ancoradas for maior ou igual a 3 . Isto se deve a possibilidade de fendilhamento do concreto concreto (fissura do concreto ao longo longo da barra) em função das tensões tensões de aderência aço/concreto. As barras tracionadas podem ser ancoradas ao longo de um comprimento retilíneo ou com grande raio de curvatura em sua extremidade, de acordo com as condições a seguir: a) obrigatoriamente com gancho (estudo futuro) para barras lisas; b) sem gancho gancho nas que tenham alternância de solicitação, de tração e compressão; compressão; c) com ou sem gancho nos demais casos, não sendo recomendado o gancho para barras de   32 mm ou para feixes de barras. As barras comprimidas devem ser ancoradas sem ganchos.

8.2.1 Comprimento básico de ancoragem (item 9.4.2.4 – NBR NBR 6118) Define-se comprimento de ancoragem básico (lb) como o comprimento reto de uma barra de armadura necessário para ancorar a força limite As.fyd nessa barra, admitindo, ao longo desse comprimento, a resistência de aderência uniforme e igual a fbd. Assim, a partir da expressão definida na Figura na Figura 8.1, tem-se: 8.1, tem-se: τb

F μ l

τb μ l f bd f bd

lb

π lb

π

lb

F A s f yd 2

π 4

f yd

f yd

(8.3)

4 f bd

8.2.2 Comprimento de ancoragem necessário (item 9.4.2.5 – NBR NBR 6118) Em geral, ao final do cálculo de uma armadura para um determinado esforço, o valor de área de aço efetivamente encontrado não pode ser representado com exatidão por um arranjo de armaduras, seja este arranjo qual for, sendo então necessária a adoção de um arranjo com área de aço superior, porém próxima a encontrada no cálculo (a favor da segurança). Este acréscimo de área de aço possibilita uma redução no comprimento de ancoragem da barra, pois a mesma não mais estará trabalhando com tensão de escoamento (f yd). Assim, o comprimento de ancoragem necessário será calculado pela seguinte expressão:

l b, nec

α1 l b

A s, calc A s, ef

l b, min

(8.4)


39

onde: 1 =

1,0 para barras sem gancho (ancoragem (ancoragem reta); 1 = 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal ao gancho  3; As,calc é a área de aço calculada; As,ef é é a área de aço efetiva; l b,min é o maior valor entre 0,3. l b, 10 e 10 cm. 8.2.3 Armadura transversal transversal na ancoragem (item 9.4.2.6 – NBR NBR 6118) Em barras com  < 32 mm ao longo do comprimento de ancoragem deve ser prevista armadura transversal capaz de resistir a 25% do esforço de uma das barras ancoradas. Se a ancoragem envolver barras diferentes, prevalece para esse efeito, a de maior diâmetro. Em barras com   32mm deve ser verificada a armadura em duas direções transversais ao conjunto de barras ancoradas. Essas armaduras transversais devem suportar os esforços de fendilhamento segundo os planos críticos, respeitando espaçamento máximo de 5  (onde  é o diâmetro da barra ancorada). Podem ser consideradas como eficientes para fim armadura transversal na ancoragem todas as barras que atravessem o plano de possível fissuração, ou seja, se os estribos existentes na região de ancoragem forem capazes de resistir à 25% ou mais do esforço de uma das barras, esta armadura já será suficiente. Em geral os estribos existentes na viga, para combate do cisalhamento, mais que asseguram tal condição, a ponto de costumar ser pouco verificada nos casos correntes. Quando se tratar de barras comprimidas, pelo menos uma das barras constituintes da armadura transversal deve estar situada a uma distância igual a quatro diâmetros (da barra ancorada) além da extremidade da barra. 8.2.4 Ancoragem de feixes de barras por aderência (item 9.4.3 – NBR NBR 6118) De acordo com a equação (7.3) equação (7.3), deve-se considerar o feixe como uma barra de diâmetro equivalente igual a: f

n

(7.3)

onde: f é é o diâmetro equivalente;  é o diâmetro de uma barra constituinte do feixe;

n é o número de barras que compõem o feixe. As barras constituintes de feixes devem ter ancoragem reta, sem ganchos, e atender às seguintes condições: a) quando o diâmetro equivalente do feixe for menor ou igual a 25 mm, o feixe pode ser tratado como uma barra única, de diâmetro igual a f , para a qual vale o estabelecido a respeito da ancoragem por aderência nos tópicos já citados. b) quando o diâmetro diâmetro equivalente for maior que 25 mm, a ancoragem ancoragem deve ser calculada calculada para cada barra isolada, distanciando distanciando as suas extremidades de forma a minimizar os efeitos de concentrações de tensões de aderência; a distância entre as extremidades das barras do feixe não deve ser menor que 1,2 vezes o comprimento de ancoragem de cada barra individual; c) quando por razões construtivas, não for possível proceder como recomendado em (b), a ancoragem pode ser calculada para o feixe, como se fosse uma barra única, com diâmetro equivalente f . A armadura transversal adicional deve ser obrigatória e obedecer ao estabelecido em 8.2.3, em 8.2.3, conforme conforme f seja seja menor, igual ou maior que 32 mm.


40

8.2.5 Ganchos nas armaduras de tração A utilização de ganchos na ancoragem de armaduras de tração visa a redução do comprimento de ancoragem, conforme pode ser visto na Figura 8.2.

l b,g l b

Figura 8.2 – Redução do comprimento de ancoragem com uso de gancho Esta redução de comprimento de ancoragem é definida pelo coeficiente 1 presente na equação do comprimento de ancoragem necessário ( l b, nec – equação (8.4). Os ganchos das extremidades das barras da armadura longitudinal de tração podem ser: a) semicirculares, com ponta reta de comprimento não inferior a 2  ; b) em ângulo de 45° (interno), com ponta reta de comprimento não inferior a 4  ; c) em ângulo reto, com ponta reta de comprimento não inferior a 8  conforme pode ser observado na Figura 8.3. Para as barras lisas, os ganchos devem ser semicirculares. 4

2

8

r

r (a) semicircular

(b) ângulo de 45º

r (c) ângulo reto

Figura 8.3 – Tipos de ganchos da armadura longitudinal de tração O raio interno da curvatura dos ganchos das armaduras longitudinais de tração deve ser pelo menos igual ao estabelecido na Tabela 8.1.

Tabela 8.1 – Raios dos pinos de dobramento Bitola

Tipo de aço CA – 25

CA – 50

CA – 60

< 20 mm

2 

2,5 

3

20 mm

2,5 

4

-



Cuidado: em barras comprimidas não é permitido o uso de ganchos.


41

8.2.6 Barras curvadas (item 18.2.2 – NBR 6118) O raio interno de curvatura de uma barra da armadura longitudinal dobrada, para resistir à força cortante ou em nó de pórtico, não deve ser menor que 5  para aço CA-25, 7,5  para CA-50 e 9  para CA-60. Se a tensão na armadura de tração, determinada com a solicitação de cálculo, for inferior à tensão de escoamento de cálculo especificada para o aço utilizado, esses diâmetros da curvatura podem ser reduzidos proporcionalmente, mas nunca a valores inferiores aos exigidos para os ganchos. Se houver barras de tração curvadas no mesmo plano e o espaçamento entre elas for inferior ao dobro do mínimo permitido (item 0 Espaçamento mínimo entre barras da armadura (item 18.3.2.2 – NBR 6118)), o valor mínimo do raio da curvatura estabelecido neste item deve ser multiplicado pelo número de barras nessas condições. 8.3

Emendas das barras As emendas das barras em geral são devidas às limitações de comprimento das mesmas, em torno de 10 à 12 metros, e devem, sempre que possível, ser evitadas. Os tipos de emendas possíveis são os seguintes:  por traspasse (mais econômico e normalmente utilizado nos casos correntes;  por luvas com preenchimento metálico, rosqueadas ou prensadas;  por solda;  por outros dispositivos devidamente justificados. Nesta disciplina será dada ênfase às emendas por traspasse, por serem estas, conforme já citado, as mais comuns nos casos correntes. Para maiores informações a respeito dos outros procedimentos de emendas de barras deve-se consultar a NBR 6118 em seu item 9.5. 8.3.1 Emendas por transpasse Este tipo de emenda não é permitido para barras de bitola maior que 32 mm, nem para tirantes e pendurais (elementos estruturais lineares de seção inteiramente tracionada). No caso de feixes, o diâmetro do círculo de mesma área, para cada feixe, não deve ser superior a 45 mm, respeitados os critérios estabelecidos no item 9.5.2.5 da NBR 6118. 8.3.2 Proporção das barras emendadas (item 9.5.2.1 – NBR 6118) Consideram-se como na mesma seção transversal as emendas que se superpõem ou cujas extremidades mais próximas estejam afastadas de menos que 20% do maior comprimento do trecho de traspasse. Quando as barras têm diâmetros diferentes, o comprimento de traspasse deve ser calculado pela barra de maior diâmetro (Figura 8.4). l 01 > l 02

< 0,2 l 01

l 02

Figura 8.4 – Emendas supostas como na mesma seção transversal


42

A proporção máxima de barras tracionadas da armadura principal emendadas por traspasse na mesma seção transversal do elemento estrutural deve ser a indicada na tabela Tabela 8.2.

Tabela 8.2 – Proporção máxima de barras tracionada emendadas Tipo de barra

Tipo de carregamento Estático Dinâmico 100 % 100 % 50 % 50 % 50 % 25 % 25 % 25 %

Situação em uma camada em mais de uma camada  < 16 mm   16 mm

Alta aderência Lisa

No caso de armaduras permanentemente comprimida, todas poderão ser emendadas na mesma seção.

8.3.3 Comprimento de traspasse de barras tracionadas (item 9.5.2.2 – NBR 6118) Quando a distância livre entre barras emendadas estiver compreendida entre 0 e 4 , o comprimento do trecho de traspasse para barras tracionadas deve ser: 0,3 α 0t l b l 0t

α 0t l b, nec

l 0t, mín

(8.5)

15

200mm sendo 0t é o coeficiente função da porcentagem de barras emendadas na mesma seção, conforme a Tabela 8.3.

Tabela 8.3 – Valores do coeficiente % de barras emendadas na mesma seção Valores de 0t

25 1,4

 20

1,2

0t

33 1,6

50 1,8

> 50 2,0

Quando a distância livre entre barras emendadas for > 4  ao comprimento calculado na equação (8.5) deve ser acrescida a distância livre entre barras emendadas.

8.3.4 Comprimento de traspasse de barras comprimidas (item 9.5.2.3 – NBR 6118) Para barras comprimidas deverá ser adotada a seguinte expressão para o cálculo do comprimento de traspasse: 0,6 l b l 0c

l b, nec

l 0c, mín

15 200mm

(8.6)

8.3.5 Armadura transversal nas emendas por traspasse (item 9.5.2.4 – NBR 6118)  Emendas de barras tracionadas da armadura principal (ver Figura 8.5) Quando  < 16 mm ou a proporção de barras emendadas na mesma seção for menor que 25%, a armadura transversal deve satisfazer o disposto no item 8.2.3. Nos casos em que   16 mm ou quando a proporção de barras emendadas na mesma seção for maior ou igual a 25%, a armadura transversal deve: - ser capaz de resistir a uma força igual à de uma barra emendada, considerando os ramos paralelos ao plano da emenda;


43

- ser constituída por barras fechadas se a distância entre as duas barras mais próximas de duas emendas na mesma seção for < 10  ( = diâmetro da barra emendada); - concentrar-se nos terços extremos da emenda (ver Figura 8.5). Ast / 2

Ast / 2

 15 cm

Ast / 2

Ast / 2

l 0 / 3

l 0 / 3

 15 cm

l 0 / 3

l 0

4

l 0 / 3

Barras tracionadas

l 0

4

Barras comprimidas

Figura 8.5 – Armadura transversal nas emendas Emendas de barras comprimidas (ver Figura 8.5) Devem ser mantidos os critérios estabelecidos para o caso de barras tracionadas, com pelo menos uma barra de armadura transversal posicionada 4  além das extremidades da emenda. 

Emendas de barras de armaduras secundárias A armadura transversal deve obedecer ao estabelecido no item 8.2.3. 

8.3.6 Emendas por traspasse em feixes de barras (item 9.5.2.5 – NBR 6118) Podem ser feitas emendas por traspasse em feixes de barras quando, respeitado o estabelecido em 8.3.1 as barras constituintes do feixe forem emendadas uma de cada vez, sem que em qualquer seção do feixe emendado resulte em mais de quatro barras. As emendas das barras do feixe devem ser separadas entre si 1,3 vez o comprimento de emenda individual de cada uma. 8.3.7 Deslocamento do diagrama de momentos fletores (Decalagem) Em função da força cortante que atua em uma viga de concreto armado, surge nas armaduras longitudinais um acréscimo de esforço normal. Para que este acréscimo de força seja considerado, basta deslocar horizontalmente o diagrama de momentos fletores de um valor “al”, conforme mostra a Figura 8.6. al al al

al al

al

Figura 8.6 – Deslocamento do diagrama de momentos fletores O valor de “ al ” é função do modelo de cálculo utilizado para o dimensionamento da

seção transversal ao esforço cortante. São admitidos dois modelos de cálculo, no caso do


44

modelo I, o valor de “ al ” é dado pela expre ssão (8.7), já no caso do modelo II, o valor de “ al ”

é dado pela expressão (8.8) al

d

Vsd, máx 2 Vsd, máx al

0,5 d

Vc

1

cotg

cotg

cotg

(8.7) (8.8)

cotg

qualquer dos modelos deve-se observar que: al  0,5d, no caso geral; al  0,2d, para estribos inclinados à 45º. As variáveis envolvidas no cálculo das expressões (8.7) e (8.8) serão objeto de estudo em capítulo específico sobre dimensionamento de vigas ao esforço cortante. Portanto, para fins de detalhamento da armadura longitudinal de flexão, deve-se trabalhar com o diagrama deslocado, ao invés do diagrama verdadeiro obtido na análise estrutural.

8.3.8 Ancoragem das barras que terminam no vão 10

l b,nec

Nº de barras escolhidas, distribuídas em espaçamentos iguais

Figura 8.7 – Distribuição das barras da armadura longitudinal Todo o traçado dos diagramas (real e deslocado) deve ser realizado em escala para que o comprimento dos ferros seja extraído também em escala.

8.3.9 Ancoragem em Apoios de Extremidade 

Ancoragem de armaduras negativas M-,apoio

Figura 8.8 - Momento negativo em extremidade


45

Quando se tem um Momento negativo em um apoio de extremidade (Figura 8.8) é necessário, inicialmente, fazer o dimensionamento da seção (dimensionamento convencional que pode ser feito com auxílio das tabelas de coeficientes “k”), denominado As,cal. Depois

deve-se distribuir as barras escolhidas (As,ef) sobre o DMF decalado, como indica a Figura 8.9. M-,apoio

lb,nec

DMF,decalado DMF

Figura 8.9 – Decalagem e distribuição de barras negativas para momento negativo Estas armaduras negativas que penetram no apoio de extremidade devem ser ancoradas como indica a Figura 8.10a. Caso o valor de lb,nec não caiba na altura da viga (normalmente o pilar já esta concretado), pode-se adotar um gancho na extremidade da barra, como indicado na Figura 8.10 b.

c e n , b l

R

g , c e n , b l

R R

8Ø l,apoio

( a)

( b)

Figura 8.10 – Ancoragem de armadura negativa; (a)-sem gancho; (b)-com gancho Se ainda assim não for possível solucionar o problema pode-se recorrer à redução da bitola empregada, com conseqüente redução de lb. Utilizada esta alternativa, sem sucesso, ainda é possível indicar em projeto a necessidade de que o pilar inferior não seja concretado


46

em sua totalidade, deixando espaço suficiente para a instalação das armaduras ou, como última opção, adicionar barras promovendo um aumento de As,ef e conseqüente diminuição de lb,nec,g, como mostra a Figura 8.11. lb,nec

g , c e n , b l

R R

8Ø

Figura 8.11 – Ancoragem de armadura negativa – barra adicional, com gancho Em todos os casos deve-se respeitar a condição a seguir: l, apoio

R 5,5 6,0cm

Se isto ainda não for suficiente para resolver o problema, o engenheiro deverá atuar na alteração de outros dados do mesmo, como aumento da altura da viga, redistribuição dos esforços, etc. Neste tipo de situação o engenheiro deve observar os detalhes descritos na Figura 8.12. Ou seja, as armaduras longitudinais devem estar dispostas entre as armaduras dos pilares, e estes devem possuir estribos ao longo da altura da viga.

Figura 8.12 – Detalhes das ancoragens de armaduras negativas em extremidades




47

Ancoragem de armaduras positivas em presença de Momento positivo (M+)

M+,apoio

Figura 8.13 - Momento positivo em extremidade Quando se tem a presença de M+ na seção do apoio, como pode ser visto na Figura 8.13, é necessário calcular uma armadura de tração nesta seção, que deve satisfazer a mais severa das seguintes condições: - Armadura de tração obtida pelo dimensionamento da seção (dimensionamento convencional que pode ser feito com a uxílio das tabelas de coeficientes “k”) – As,cal,1 - Armadura de tração para garantir a ancoragem da diagonal comprimida, As,cal,2, obtida por: Rst

al Vd d

As, cal,2

Nd

Rst fyd

onde, Vd é a força cortante no apoio; Nd é o esforço normal eventualmente existente. - Armadura As,cal,3, obtida por prolongamento de uma parte da armadura de tração do vão (As,vão), correspondente ao máximo momento positivo do tramo (M vão) de modo que: * As,cal,3 ≥ 1/3 (As,vão) se Mapoio for nulo ou negativo e de valor absoluto |Mapoio| ≤  0,5 Mvão; * As,cal,3 ≥ 1/4 (As,vão) se Mapoio for negativo e de valor absoluto |Mapoio| >  0,5 Mvão. Portanto, de posse destes três valores, é possível determinar a armadura de tração necessária junto à seção do apoio que está sendo estudado, ou seja: As, cal,1 As, cal, apoio

As, cal,2 As, cal,3

Uma vez calculada a armadura de tração necessária na seção do apoio, é preciso determinar a quantidade de armadura que já está disponibilizada neste apoio, ou seja, a armadura que está chegando ao apoio devido à distribuição das barras sobre o DMF decalado. Esta armadura será chamada de As,ef,apoio. Veja o exemplo da Figura 8.14, onde para o momento do vão foram definidas que 5 barras seriam utilizadas, e após a distribuição delas sobre o DMF decalado percebe-se que 4 chegaram ao apoio. Estas 4 barras constituem a armadura efetiva do apoio, ou As,ef,apoio.


48

M+,apoio

Das 5 barras que estão vindo do vão, apenas 4 chegam a seção do apoio

lb,nec

DMF

DMF,decalado

Figura 8.14 – Decalagem e distribuição de barras positivas para momento positivo Estas armaduras positivas que penetram no apoio de extremidade devem ser ancoradas como indica a Figura 8.15a. Caso o valor de lb,nec não caiba na altura da viga, pode-se adotar um gancho na extremidade da barra, como indicado na Figura 8.15b. Os valores de lb,nec e lb,nec,g indicados nestas figuras devem ser obtidos a partir das armaduras calculada (As,cal,apoio) e efetiva (As,ef,apoio) do apoio.

8Ø

l,apoio

c e n , b l

g , c e n , b l

R

( a)

R R

( b)

Figura 8.15 – Ancoragem de armadura positiva (com M+); (a)-sem gancho; (b)com gancho Se ainda assim não for possível solucionar o problema pode-se recorrer à redução da bitola empregada, com conseqüente redução de lb. Utilizada esta alternativa, sem sucesso, uma última opção consiste em adicionar barras promovendo um aumento de As,ef e conseqüente diminuição de lb,nec.g, como mostra a Figura 8.16. Neste caso deve-se observar se as barras adicionais não traspassam as barras que foram interrompidas antes de chegarem ao apoio. Caso isso ocorra deve-se detalhar uma única barra.


49

8Ø g , c e n , b l

R R

lb,nec

Figura 8.16 – Ancoragem de armadura positiva (com M+) - barra adicional, com gancho Em todos os casos deve-se respeitar a condição a seguir: l, apoio

R 5,5 6,0cm

Se isto ainda não for suficiente para resolver o problema, o engenheiro deverá atuar na alteração de outros dados do problema como aumento da altura da viga, redistribuição dos esforços, etc. Neste tipo de situação o engenheiro deve observar os detalhes descritos na Figura 8.17. Ou seja, as armaduras longitudinais devem estar dispostas entre as armaduras dos pilares e estes devem possuir estribos ao longo da altura da viga.

Figura 8.17 – Detalhes das ancoragens de armaduras negativas em extremidades

Concreto Armado I Professor: Jackson Antonio Carelli 

50

Ancoragem das armaduras positivas em presença de Momento nulo ou negativo

Quando se tem a presença de Momento nulo ou negativo na seção do apoio de extremidade, como pode ser visto na Figura 8.18, é necessário calcular uma armadura de tração nesta seção que deve satisfazer a mais severa das seguintes condições: - Armadura de tração para garantir a ancoragem da diagonal comprimida, As,cal,2, obtida por: Rst

al Vd d

As, cal,2

Nd

Rst fyd

onde, Vd é a força cortante no apoio; Nd é o esforço normal eventualmente existente. - Armadura As,cal,3, obtida por prolongamento de uma parte da armadura de tração do vão (As,vão), correspondente ao máximo momento positivo do tramo (M vão) de modo que: * As,cal,3 ≥ 1/3 (As,vão) se Mapoio for nulo ou negativo e de valor absoluto |Mapoio| ≤  0,5 Mvão; * As,cal,3 ≥ 1/4 (As,vão) se Mapoio for negativo e de valor absoluto |Mapoio| >  0,5 Mvão. Portanto, de posse destes dois valores, é possível determinar a armadura de tração necessária junto à seção do apoio que está sendo estudado, ou seja: As, cal, apoio

As, cal,2 As, cal,3

Uma vez calculada a armadura de tração necessária na seção do apoio, é preciso determinar a quantidade de armadura que já está disponibilizada neste apoio, ou seja, a armadura que está chegando ao apoio devido à distribuição das barras sobre o DMF decalado. Esta armadura será chamada de As,ef,apoio. Veja o exemplo da Figura 8.18, onde para o momento do vão foram definidas que 5 barras seriam utilizadas e após a distribuição delas sobre o DMF decalado percebe-se que 3 chegaram ao apoio. Estas 3 barras constituem a armadura efetiva do apoio, ou As,ef,apoio.

M,apoio,nulo ou -

lb,nec Das 5 barras que estão vindo do vão, apenas 3 chegam a seção do apoio

lb,nec

DMF DMF,decalado

Figura 8.18 – Decalagem e distribuição de barras positivas para momento nulo ou negativo


51

De posse das armaduras calculada (As,cal,apoio) e efetiva (As,ef,apoio) do apoio, pode-se calcular o valor do comprimento de ancoragem necessário, lb,nec (cuidado, neste ponto lb,nec não refere-se à ancoragem do vão, que aparece na Figura 8.18, mas sim à ancoragem do apoio, que é demonstrada na Figura 8.19). A partir daí, quatro possíveis circunstâncias podem ocorrer. 1ª Situação - Quando l,apoio ≥ lb,nec (reto)

No caso em que o comprimento efetivo do apoio é maior que o comprimento de ancoragem necessário para barras retas, a ancoragem no apoio será reta e se estenderá até o limite do cobrimento, como pode ser observado na Figura 8.19.

>= lb,nec

c

l,apoio

Figura 8.19 – Ancoragem de armadura positiva (com M+ ou nulo) – 1ª situação - reta Nesta situação deve-se respeitar a condição a seguir: 0,3 lb lb, nec

lb, min

10 10,0 cm

2ª Situação - Quando lb,nec> l,apoio ≥ lb,nec,g

No caso em que o comprimento efetivo do apoio é menor que o comprimento de ancoragem necessário para barras retas, pode-se reduzir este comprimento de ancoragem através da utilização de ganchos na extremidade das barras longitudinais, fazendo com que o mesmo fique menor que o comprimento do apoio. Nestes casos, normalmente, o gancho é estendido até o limite do cobrimento, como pode ser visualizado na Figura 8.20.


52

>= lb,nec,g R

Ø 8

c

l,apoio

Figura 8.20 – Ancoragem de armadura positiva (com M+ ou nulo) – 2ª situação gancho Nesta situação deve-se respeitar a condição a seguir: lb, min lb, nec, g

R 5,5 6,0cm

Quando houver cobrimento da barra no trecho do gancho, medido normalmente ao plano do gancho, de pelo menos 7,0 cm, e as ações acidentais não ocorrerem com grande frequência com seu valor máximo, o primeiro dos três valores anteriores pode ser desconsiderado, prevalecendo as duas condições restantes. Esta situação ocorre na maioria dos casos, porque, em geral, existem vigas perpendiculares ao plano do gancho, o que garante o cobrimento de 7,0 cm. A Figura 8.21a ilustra uma circunstância em que os ganchos de ambas laterais da viga apresentam o cobrimento de 7,0 cm, já a Figura 8.21 b ilustra uma circunstancia em que um dos ganchos apresenta o cobrimento de 7,0 cm e o outro não. Como se pode perceber, em geral, a verificação de lb,min não poderá ser desprezada nas ancoragens em cantos.

Planos de gancho com cobrimento inferior a 7,0 cm

( a)

Planos dos ganchos. Ambos com cobrimento superior a 7,0 cm

( b)

Planos de gancho com cobrimento superior a 7,0 cm

Figura 8.21 – Cobrimento do plano dos ganchos


53

3ª Situação - Quando lb,nec,g> l,apoio ≥ lb,min

No caso em que o comprimento efetivo do apoio é menor que o comprimento de ancoragem necessário para barras com gancho, mas maior que o comprimento de ancoragem mínimo, é possível fazer uma complementação da armadura de ancoragem com o auxílio de grampos, que visam aumentar o valor de As,ef,apoio e, conseqüentemente, reduzir o valor de lb,nec,g para o valor de l,apoio. Assim, teremos: lb, nec, g

l, apoio

1

1

As, grampo

lb, long

As, cal, apoio As, ef, apoio

lb, long As, cal, apoio l, apoio

As, grampo

As, ef, apoio

O número de camadas de grampos é obtido por: nº cam = As,grampo / 2 * As,gr onde: As,gr - área da seção transversal da armadura do grampo (para 1 ,gr) A Figura 8.22 ilustra a disposição dos grampos ao longo da altura da viga (vista lateral). Já a Figura 8.23 ilustra a disposição horizontal dos grampos (planta).

m c 2

o i o x p á a , l m , x h 7 , 1

Ø,gr Ø,long

lb( Ø,long)

c

r g , c

l,apoio

Figura 8.22 – Ancoragem de armadura positiva (com M+ ou nulo) – 3ª situação – gancho e grampo – vista lateral


54

Figura 8.23 – Ancoragem de armadura positiva (com M+ ou nulo) – 3ª situação – gancho e grampo – planta Nenhuma camada de grampos poderá ser disposta acima do limite h,máx. O valor de c,gr (cobrimento do grampo) será de no mínimo 5,0 cm se o apoio for um pilar e 7,0 cm se o apoio for outra viga. De forma simplificada, e a favor da segurança, o valor da ancoragem do grampo dentro da viga - lb ( ,long) – poderá ser tomado como o comprimento de ancoragem básico da armadura longitudinal, ou seja, lb. 4ª Situação - Quando lb,min> l,apoio

No caso em que o comprimento efetivo do apoio é menor que o comprimento de ancoragem mínimo das armaduras longitudinais, tais armaduras não poderão ser consideradas para a ancoragem da viga neste apoio extremo. Nesta situação, a ancoragem da viga poderá ser realizada exclusivamente por grampos, ou seja: As, grampo

1

lb, gr As, cal, apoio l, apoio

No caso de ser utilizada ancoragem integral com grampos, o comprimento efetivo do apoio é verificado quanto ao comprimento mínimo necessário para os grampos com cobrimento do plano normal igual ou superior a 7,0cm, ou seja:

l, apoio

R 5,5

gr

6,0cm

Neste ponto é importante considerar que esta situação de ancoragem ocorre quando a largura do apoio é muito pequena, sendo que o recomendado é, se possível, aumentar a largura deste apoio. Caso esta 4ª Situação não seja suficiente para resolver o problema o engenheiro deverá interferir em outros aspectos, como aumento da largura do apoio, redução da bitola longitudinal empregada, etc.

8.3.10 Ancoragem em apoios intermediários Em apoios intermediários, o comprimento de ancoragem pode ser igual a 10  , desde que não haja qualquer possibilidade da ocorrência de momentos positivos nessa região,


55

provocados por situações imprevistas, particularmente, por efeitos de vento e eventuais recalques. Quando essa possibilidade existir, as barras devem ser contínuas ou emendadas sobre o apoio.

10 cm 10 cm  10 

1

Situação recomendada

Situação prática

Figura 8.24 – Ancoragens em apoio intermediários Caso o comprimento de uma determinada barra da armadura de tração exceda qualquer um dos limites informados na Figura 8.24, em virtude do comprimento encontrado a partir do diagrama de momentos fletores decalado, este valor de comprimento precisará ser respeitado.


56

9 FORÇA CORTANTE EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO 9.1

Introdução O comportamento das estruturas de concreto armado pode ser dividido em três fases distintas. A primeira fase é quando as tensões de tração provenientes de um carregamento qualquer são inferiores à resistência à tração do concreto. Neste caso a estrutura não apresenta fissuras e diz-se que o concreto encontra-se no Estádio I. A segunda se dá quando as tensões de tração no concreto ultrapassam sua capacidade resistente e as primeiras fissuras aparecem, neste caso diz-se que a estrutura encontra-se no Estádio II. A terceira possibilidade é o Estádio III, quando um dos componentes da estrutura, aço ou concreto, ultrapassa o limite elástico de deformações, caracterizando desta forma o início da plastificação da estrutura. Quando uma viga de concreto armado de um único vão é submetida a um carregamento progressivo, surgem momentos fletores e por conseqüência tensões normais de flexão variáveis com relação a altura da peça. Se há uma variação de momento fletor ao longo do eixo de uma estrutura, haverá a existência de forças cortantes, que por sua vez originam tensões de cisalhamento variáveis ao longo da altura da seção, dependendo da seção transversal da peça. Estas tensões normais de flexão e tensões de cisalhamento compõem-se de tal forma a dar origem a um estado biaxial de tensões com tensões principais de tração e de compressão inclinadas (Figura 9.1) que podem ser analisadas segundo a resistência dos materiais.

Figura 9.1 – Trajetórias das tensões principais - estádio I Quando o carregamento atuante na viga passa a gerar tensões principais de tração na alma da seção superiores à resistência a tração do concreto, surgem as primeiras fissuras de cisalhamento (Estádio II) na direção preferencial das trajetórias de compressão e por conseqüência perpendiculares às trajetórias de tração. Este fato não impede que as tensões principais de compressão continuem atuando entre as fissuras, desde que as tensões de tração sejam absorvidas por armadura de cisalhamento conveniente, impedindo que as fissuras aumentem. Segundo Rüsch (1981), em seções retangulares, as fissuras de cisalhamento podem ser originadas à partir de fissuras de flexão. Nestes casos, estas fissuras de flexão, assim que surgem, desencadeiam uma considerável redistribuição de tensões internas com conseqüências difíceis de calcular e que influenciam a inclinação das fissuras de cisalhamento. Em virtude desta dificuldade surge a necessidade de se fazer uso de soluções mais simplificadas que serão apresentadas nos itens a seguir.


57

9.2

Comportamento Resistente de Vigas sem Armadura de Cisalhamento Os estudos experimentais mostram que a capacidade de resistência ao cisalhamento de uma viga de concreto armado pode ser dividida em duas parcelas, uma resistida pelo concreto e seus mecanismos auxiliares que será abordada neste item e outra resistida pela armadura transversal, a ser apresentada no item seguinte. Ou seja, uma viga, mesmo sem armadura transversal apresenta capacidade de resistir a uma determinada força cortante. De acordo com o Joint ACI-ASCE Committee 426 (1973), para estruturas de concreto armado submetidas a forças cortantes, a parcela de resistência devida ao concreto é a soma de diversos esquemas capazes de transmitir esforços entre as seções como:  Efeito de Arco – este mecanismo ocorre de forma mais expressiva em vigas com vãos reduzidos e será apresentado e discutido mais amplamente no item 9.2.1;  Concreto não fissurado – este mecanismo ocorre em elementos não fissurados da viga (entre duas fissuras consecutivas) ou em partes não fissuradas de elementos fissurados (zona de compressão de uma seção fissurada);  Engrenamento dos agregados – este mecanismo ocorre entre as duas superfícies originadas por uma fissura. A contribuição do engrenamento dos agregados para a resistência ao cisalhamento depende da largura da fissura e da rugosidade das superfícies;  Efeito de pino (dowel effect) – A armadura longitudinal resiste a uma parcela do deslocamento causado pela força cortante devido ao efeito de pino na barra. A força de pino na barra da armadura longitudinal depende da rigidez da barra na interseção com a fissura. A Figura 9.2 mostra as várias componentes dos mecanismos de resistência ao cisalhamento de vigas sem armadura transversal, exceto a componente relativa ao efeito de arco.

Figura 9.2 – Forças atuantes em uma fissura inclinada (Joint ACI-ASCE Committee 426, 1973) Onde:

R cc - resultante de compressão do concreto (banzo comprimido); R st - resultante de tração na armadura longitudinal (banzo tracionado); V - reação de apoio; Vcnf - contribuição para a resistência ao cisalhamento devido ao concreto não fissurado;  Vea – contribuição para a resistência ao cisalhamento devido ao engrenamento dos agregados;  Vep – contribuição para a resistência ao cisalhamento devido ao efeito de pino.    


58

No entanto, não é teoricamente possível avaliar qual a contribuição individual de cada uma das parcelas componentes de Vc para a resistência final do concreto ao cisalhamento. Swamy e Andriopaulos e Taylor, citados por Pendyala e Mendis (2000), tentaram experimentalmente determinar a contribuição de cada um dos componentes da resistência ao cisalhamento do concreto. Este trabalho mostrou por exemplo, que onde a resistência dos agregados é relativamente maior que a do concreto, as fissuras contornam os agregados criando uma superfície dentada (irregular) que destaca a componente de resistência ao cisalhamento do concreto devida ao engrenamento dos agregados. Ou seja, a parcela que compõe Vc referente ao engrenamento dos agregados varia muito em função das características dos materiais, o que torna difícil uma análise teórica do assunto. Estudos realizados por Hanson (1958), mostram que vigas sem armadura de cisalhamento alcançaram a ruína logo após o aparecimento da primeira fissura inclinada (Figura 9.3), porém este comportamento não foi uma regra, pois outras vigas apresentaram capacidade de resistência após o aparecimento da primeira fissura inclinada (Figura 9.4).

Figura 9.3 – Viga sem armadura de cisalhamento que atingiu a ruptura no momento da primeira fissura inclinada (Hanson, 1958)

Figura 9.4 – Viga sem armadura de cisalhamento que atingiu a ruptura após a ocorrência da primeira fissura (Hanson, 1958) 9.2.1 Efeito de Arco Este efeito confere à viga um acréscimo em sua capacidade resistente e está presente principalmente nas vigas com vãos reduzidos (vigas curtas). Para o caso de vigas submetidas a carregamentos concentrados, a intensidade deste efeito de arco está relacionada com a relação a/d da viga, onde a é a distância do ponto de aplicação do carregamento ao apoio mais próximo e d é a distância da fibra mais comprimida da seção da viga ao centro de gravidade da armadura longitudinal de tração como pode ser verificado na Figura 9.5a. Segundo Joint ACI-ASCE Committee 426 (1973), vigas com a relação a/d menor do que 1, desenvolvem fissuras que vão desde o ponto de aplicação do carregamento até o apoio. Estas fissuras destroem o fluxo de cisalhamento da armadura longitudinal para a zona comprimida fazendo com que o elemento comece a comportar-se como um arco e não mais como uma viga. Vigas que apresentam relação a/d entre 1 e 2,5, desenvolvem fissuras inclinadas e, depois de uma redistribuição interna de forças, são capazes de ainda suportar acréscimos de carregamento. Este comportamento deve-se em parte ao efeito de arco. A ruptura final destas vigas ocorrerá por perda de aderência da armadura longitudinal, divisão da peça ou ruptura de pino ao longo da armadura longitudinal de tração, ou ainda, por esmagamento do concreto do banzo comprimido da viga.


59

Para vigas com a/d entre 2,5 e 6,5 a fissura inclinada causa um desequilíbrio na região em que surgiu e a ruptura ocorre nesta região. E para vigas com a/d acima de 6 predomina a ruptura por flexão. O comportamento de uma viga bi-apoiada submetida a duas cargas concentradas em relação a variação do fator a/d descrito pelo Joint ACI-ASCE Committee 426 (1973), está apresentado na Figura 9.5. Ou seja, o efeito de arco em vigas com a/d superior a 2,5 torna-se desprezível.

r o t e l F o t n e m o M

e t n a t r o C a ç r o F

Figura 9.5 – Efeito da relação a/d na capacidade resistente de vigas sem armadura transversal (MacGregor, 1988) Outras referências também propõem valores, como Leonhardt e Mönnig, 1977, por exemplo, que propõem que o efeito de arco seja desprezível quando a relação a/h for superior a 3,0, e onde h é a altura da viga.


60

9.3

Comportamento Resistente de Vigas com Armadura de Cisalhamento Uma solução que descreve relativamente bem o comportamento de uma viga de concreto armado, principalmente nas últimas etapas do Estádio II, e que satisfaz as condições de equilíbrio é o modelo de treliça (Figura 9.6) inicialmente proposto por Ritter em 1899 e ampliado por Emil Mörsch já no início do século passado. No modelo proposto por Mörsch as barras da armadura de cisalhamento constituem as diagonais de tração e os prismas de concreto entre as fissuras de cisalhamento as diagonais de compressão ou bielas. Atualmente este modelo é designado por “analogia clássica da treliça” e foi baseado em três hipóteses:  A treliça é isostática e possui banzos (tracionado e comprimido) paralelos;  As bielas ou diagonais comprimidas têm uma inclinação de 45° em relação

ao eixo

longitudinal da peça;  A inclinação da armadura transversal pode variar entre 45° e 90°.

Figura 9.6 – Modelo de treliça para uma viga (Silva e Giongo, 2000) Ensaios realizados por Leonhardt e Mönnig, 1977, mostraram que o dimensionamento realizado pelo modelo de analogia clássica de treliça conduz a armaduras de cisalhamento exageradas. Segundo eles, as diferenças entre os valores teóricos e os valores experimentais ocorrem basicamente por dois motivos:  Hiperestaticidade interna da treliça;  As forças internas distribuem-se conforme

a relação de rigidez de maneira a tornar mínimo o trabalho de deformação, portanto, quando as diagonais de compressão forem igualmente rígidas em relação ao banzo comprimido, como é o caso das seções retangulares, as forças de tração na alma diminuem. Neste caso as fissuras de cisalhamento projetam-se com uma inclinação inferior a 45°, chegando até 30°, e a força no banzo comprimido distribui-se em forma de arco (Figura 9.7), o que possibilita a absorção direta de uma parcela da força cortante.


61

Figura 9.7 – Efeito de viga escorada ou arco atirantado (Leonhardt e Mönnig, 1977) No caso de se trabalhar com seções onde a rigidez do banzo comprimido é superior a das diagonais de compressão, como é o caso das seções “ T” e “I”, a força no banzo comprimido é pouco inclinada, fazendo com que as fissuras ocorram com inclinação de 45° aproximadamente. Ou seja, a relação entre rigidezes, que é influenciada pela largura da alma e também pelas taxas de armadura longitudinal e transversal, é decisiva para a redistribuição dos esforços internos. Estes resultados mostraram a necessidade de um modelo que melhor interpretasse a realidade, surgindo então uma “analogia generalizada de treliça”, com banzo comprimido

inclinado e bielas com inclinação menor ou igual a 45°, que conduz a menores taxas de armadura. Entretanto, deve-se tomar cuidado com a possibilidade de esmagamento da diagonal comprimida que passa por um acréscimo de tensões. Além disso, a resultante de compressão no concreto, inclinada nas proximidades dos apoios, faz diminuir o braço de alavanca com a armadura longitudinal de tração, aumentando a área desta última. Desta forma, com os modelos de treliça é possível estimar qual o valor da capacidade resistente relativa a armadura transversal de uma viga. Portanto, em uma viga de concreto provida de armadura de combate ao cisalhamento, a força cortante V resistida pela viga pode ser distribuída em duas parcelas, uma resistida pelo próprio concreto e seus mecanismos resistentes internos (Vc) e a outra resistida pela armadura de cisalhamento, ou estribos (Vsw). A Figura 9.8 mostra as várias componentes dos mecanismos de resistência ao cisalhamento em uma viga com estribos.


62

Figura 9.8 – Forças atuantes em uma fissura inclinada (Joint ACI-ASCE Committee 426, 1973) Onde: 

Vsw - contribuição dos estribos para a resistência ao cisalhamento.

De acordo com o Joint ACI-ASCE Committee 426 (1973), no início do carregamento de uma viga, apenas uma pequena parcela da força cortante é absorvida pela armadura de cisalhamento, com a maior parte da força cortante sendo absorvida pelo concreto. Com a formação das fissuras diagonais, ocorre uma redistribuição das tensões de cisalhamento, a partir de então, uma pequena parcela do acréscimo de carregamento passa a ser absorvida pelo concreto e o restante pela armadura de cisalhamento. A Figura 9.9 mostra o diagrama de distribuição das forças cortantes resistentes na seção de uma viga com armadura de cisalhamento onde são desprezadas as pequenas parcelas resistidas pelo aço antes da formação das fissuras inclinadas e pelo concreto depois de sua ocorrência. Portanto, neste diagrama é assumido que toda a força cortante é absorvida pelo concreto até a formação das fissuras diagonais. O aumento de carregamento além daquele que ocasionou a fissuração diagonal passa a ser absorvido integralmente pelos estribos, enquanto a contribuição do concreto se mantém constante. Este diagrama é um diagrama idealizado proposto por Pendyala e Mendis, 2000, e é baseado em um diagrama proposto pelo Joint ACIASCE Committee 426 (1973).

Figura 9.9 – Distribuição idealizada das forças cortantes em uma viga com armadura de cisalhamento (Pendyala e Mendis, 2000)


63

9.3.1 Analogia Clássica de Treliça Segundo Leonhardt e Mönnig (1977), para a configuração da armadura de cisalhamento não é suficiente a consideração de uma treliça isostática com diagonais tracionadas simples, porque a grande distância entre as barras de tração poderia permitir o surgimento de fissuras não interceptadas por elas provocando a ruptura por força cortante (Figura 9.10). A analogia clássica de treliça baseia-se na superposição de várias treliças isostáticas de elementos simples com banzos paralelos, diagonais comprimidas com inclinação de 45° em relação ao eixo longitudinal da peça, e diagonais tracionadas com inclinação qualquer entre 45° e 90°, que representam uma treliça em malha bem mais próxima da realidade e com alto grau de hiperestaticidade (Figura 9.11). O cálculo dos esforços e tensões na alma é realizado como em treliças com elementos simples.

Figura 9.10 – Treliças com diagonais de tração simples (Leonhardt e Mönnig,1977)

Figura 9.11 – Treliças em malha (Leonhardt e Mönnig, 1977) A Figura 9.12 mostra uma treliça de uma extremidade de viga na qual as diagonais tracionadas possuem uma inclinação qualquer entre 45° e 90° em relação ao eixo longitudinal da peça, as diagonais comprimidas possuem inclinação de 45°, os banzos tracionado e comprimido são paralelos e atua uma força cortante constante.

Figura 9.12 – Analogia clássica de treliça


64

Em que:

R swt – Força resultante nas diagonais tracionadas da treliça; R cwc – Força resultante nas diagonais comprimidas da treliça; R cc – Força resultante no banzo comprimido da treliça; R st - Força resultante no banzo tracionado da treliça; V – Força cortante que atua na viga; z – Braço de alavanca do banzo tracionado da treliça; s – Espaçamento entre as diagonais tracionadas da treliça e região de influência de uma diagonal;  sc – Região de influência de uma diagonal comprimida;  - Ângulo de inclinação das diagonais tracionadas da treliça em relação ao eixo longitudinal da viga;       

Se tomarmos a Figura 9.12 como exemplo, temos: s

z

1

(9.1)

cotgα

Por um método qualquer de determinação de esforços em treliças pode ser determinado o valor de R swt: V

R swt

(9.2)

senα

Como R swt refere-se ao comprimento s, para que se tenha um valor relativo, faz-se a divisão de R swt por s para que seja determinado um esforço resultante por unidade de comprimento de viga: R swt '

R swt s

V

1

sen

z (1

V

cot g )

z (sen

(9.3) cos )

Onde: 

R swt’ – Força relativa por unidade de comprimento resultante nas diagonais tracionadas da treliça;

Também se sabe que: A sw σ si

R swt

(9.4)

Onde:  

Portanto:

Asw – Área da seção transversal da armadura de cisalhamento; si – Tensão de tração no centro de gravidade da armadura.

R swt '

Substituindo (9.5) em (9.3) temos:

R swt

A sw σ si

s

s

(9.5)


65

A sw σ si

V

s

z

senα

(9.6) cosα

E então podemos determinar a tensão atuante na armadura de tração da alma:

(9.7)

V s

σ si

A sw z

senα

cosα

esta tensão “ si” no dimensionamento ao estado limite último (E.L.U.) alcança o valor “ f yd”.

Desta forma o dimensionamento da armadura transversal é dado a partir da expressão: A sw s

(9.8)

V f yd z

se nα

cosα

Onde: 

f yd – Resistência de escoamento do aço, valor de cálculo.

De forma semelhante, para as diagonais comprimidas temos: s

sc

(9.9)

2

Também por qualquer método de determinação de esforços em treliças, encontrase o valor de R cwc: R cwc

V

(9.10)

2

Assim como R swt refere-se ao comprimento s, R cwc refere-se ao comprimento sc e, portanto, para a obtenção de um valor relativo por unidade de comprimento de viga deve-se dividir R cwc por sc: R cwc '

R cwc

V

sc

2

2

2 V

s

z (1

(9.11)

cot g )

Onde: 

R cwc’ - Força relativa por unidade de comprimento resultante nas diagonais comprimidas da treliça.

A partir desta expressão (9.11), para uma viga com largura bw, pode-se determinar a tensão média no concreto: R cwc ' cw

Onde:

bw

2 V b w z (1

cot g )

(9.12)


 

66

bw – Largura (base) da diagonal comprimida; cw – Tensão de compressão média na diagonal comprimida.

9.3.2 Analogia de Treliça Generalizada De acordo com Rüsch (1981), com a ampliação da analogia clássica de treliça, o comportamento estrutural efetivo correspondente à treliça é atualmente considerado com banzo superior inclinado e com diagonais comprimidas menos inclinadas do que 45º, o que conduz a uma analogia de treliça generalizada. As inclinações dos elementos comprimidos são influenciadas pela taxa de armadura transversal. Em função das possíveis variações das inclinações dos elementos comprimidos e da alta hiperestaticidade interna, essas treliças não são apropriadas para dimensionamento, mas são úteis para a concepção do comportamento estrutural. Entretanto, se for feita a consideração de uma treliça onde somente as diagonais comprimidas podem ter inclinações variáveis, mantendo-se paralelos os banzos tracionado e comprimido e realizando-se os cálculos como em treliças com elementos simples, assim como efetuado para o caso da analogia clássica de treliça, é possível determinar os esforços e tensões em suas diagonais. A Figura 9.13 mostra uma treliça de uma extremidade de viga na qual as diagonais tracionadas possuem uma inclinação qualquer entre 45° e 90° em relação ao eixo longitudinal da peça, as diagonais comprimidas podem possuir inclinação inferior a 45°, os banzos tracionado e comprimido são considerados paralelos e atua uma força cortante constante.

Figura 9.13 – Analogia de treliça generalizada Onde: 

- Ângulo de inclinação das diagonais comprimidas da treliça em relação ao eixo longitudinal da viga.

Tomando-se a Figura 9.13 como exemplo, temos: s

z (cot g

cot g )

(9.13)

Assim como na analogia clássica de treliça, por um método qualquer de determinação de esforços em treliças pode ser determinado o valor de R swt:


67

V

R swt

(9.14)

sen

Como R swt refere-se ao comprimento s, para que se tenha um valor relativo, faz-se a divisão de R swt por s para que seja determinado um esforço resultante por unidade de comprimento de viga: R swt '

R swt s

V sen

1

V

z (cot g

cot g )

z (cot g

cot g ) se n

(9.15)

Também se sabe que: R swt

A sw

(9.16)

si

Portanto: R swt

R swt '

A sw

s

si

(9.17)

s

Substituindo (9.17) em (9.15) temos: A sw σ si s

V z

cotgα

(9.18)

cotgθ senα

E então podemos determinar a tensão atuante na armadura de tração da alma: σ si

V s A sw z

cotgα

cotgθ senα

(9.19)

esta tensão “ si”, assim como na analogia clássica de treliça, no dimensionamento ao estado limite último (E.L.U.) alcança o valor “ f yd”. Desta forma o dimensionamento da armadura

transversal é dado a partir da expressão: A sw s

V f yd z (cot g

(9.20) cot g ) se n

De forma semelhante, para as diagonais comprimidas temos: sc

s sen

(9.21)

Também por qualquer método de determinação de esforços em treliças, encontra-se o valor de R cwc: R cwc

V senθ

(9.22)


68

Assim como R swt refere-se ao comprimento s, R cwc refere-se ao comprimento sc e, portanto, para a obtenção de um valor relativo por unidade de comprimento de viga deve-se dividir R cwc por sc: R cwc '

R cwc sc

V sen

1

V

s sen

(9.23)

2

z (cot g

cot g ) se n

A partir desta expressão (9.23), para uma viga com largura bw, pode-se determinar a tensão média no concreto:

cw

R cwc ' bw

V

(9.24)

2

b w z (cot g

cot g ) se n

9.3.3 Deslocamento do Diagrama de Momentos Fletores A Figura 9.14 mostra uma treliça que segue o modelo generalizado, na qual passou-se uma seção de Ritter nos pontos indicados.  Rcc B



V.cotg 

Rcwc

Rswt



V/sen 

V A

Rst

V



Figura 9.14 – Analogia de treliça generalizada Pelo o cálculo à flexão considera-se que o momento atuante em uma seção qualquer seja equilibrado pelo bin ário formado por “Rst e Rcc” com braço de alavanca “ z”. Desta forma, para uma seção que dista “ K ” do apoio tem -se:

(9.25)

V K R st z

Portanto: R st

V K

(9.26)

z

Porém, se uma análise do equilíbrio da seção da Figura 9.14 for realizada tem-se: MB

V (K z cotg ) - R st z

(9.27)

0

V cot g

z 2

V

z 2

cot g

0

(9.28)


69

donde obtém-se: R st

V z

K

z 2

cot g

cot g

(9.29)

considerando-se: aL

z 2

cot g

cot g

(9.30)

tem-se: R st

V z

(K aL )

(9.31)

Comparando-se as expressões (9.26) e (9.31) verifica-se que na realidade o esforço de tração na armadura longitudinal em uma seção que dista “ K ” do apoio é acrescido da parcela “V . aL / z ”. Para que este acréscimo de força seja considerado basta deslocar horizontalmente o diagrama de momentos fletores de um valor “ aL” (expressão (9.30)), conforme mostra a Figura 9.15.

Figura 9.15 – Deslocamento do Diagrama de Momentos Fletores 9.3.4 Segurança Contra o Esmagamento da Diagonal Comprimida Para que se possa garantir a segurança de um elemento do tipo viga quanto ao estado limite último por cisalhamento, não basta a determinação da quantidade de armadura transversal necessária, sendo também necessária uma verificação quanto a capacidade de resistir aos esforços de compressão da diagonal da treliça. A equação (9.24) indica qual é a tensão de compressão média da diagonal comprimida para o caso da analogia de treliça generalizada (a analogia clássica é um caso particular desta). Para que a diagonal comprimida tenha segurança suficiente quanto ao esmagamento do concreto é preciso que a resistência do concreto supere a tensão solicitante da diagonal. A diagonal comprimida de concreto está, no entanto, sujeita a um estado biaxial de tensões, pois há o cruzamento da diagonal comprimida com o banzo tracionado da peça. O Joint ACI-ASCE Committee 426 (1973), sugere o comportamento para o concreto submetido a um estado biaxial de tensões como ilustrado na Figura 9.16. De acordo com este comportamento, um elemento de concreto submetido a um estado biaxial de tensões composto por tensões principais de tração e compressão tem sua capacidade de resistência à compressão reduzida a medida em que as tensões de tração aumentam. No caso de um elemento sujeito a duas tensões principais de compressão a capacidade de resistência à compressão seria ampliada.


70

Partindo da equação (9.24) e considerando que a tensão de compressão máxima admissível para a diagonal comprimida ( cw) seja igual a resistência de cálculo à compressão do concreto (fcd) multip licada por um coeficiente de redução “” devido ao estado biaxial de tensões a que está submetida a diagonal de compressão, pode-se dizer que a força cortante máxima que poderá atuar em uma viga sem que haja o risco de esmagamento da diagonal comprimida é dada por: V

β f cd b w z

cotgα

cotgθ sen2θ

(9.32)

Figura 9.16 – Estado biaxial de tensões do concreto (Joint ACI-ASCE Committee 426, 1973) 9.4

Dimensionamento segundo a NBR 6118/2003 A resistência ao esforço cortante do elemento estrutural, numa determinada seção transversal deve ser considerada satisfatória, quando verificadas simultaneamente as seguintes condições: (9.33) VSd VRd 2 VSd

VRd 3

Vc

Vsw

(9.34)

onde: VSd é a força cortante solicitante de cálculo, na seção; VRd2 é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto; VRd3 = Vc + Vsw, é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal, onde Vc é a parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao de treliça e V sw a parcela absorvida pela armadura transversal. São admitidos dois modelos de cálculo para a verificação da resistência do elemento ao esforço cortante. Estes modelos são apresentados a seguir.


71

9.4.1 Modelo de cálculo I O modelo I admite diagonais de compressão inclinadas de  = 45° em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural e admite ainda que a parcela complementar V c tenha valor constante, independente de V Sd. a) verificação da compressão diagonal do concreto: VRd 2

0,27

f cd b w d

v2

(9.35)

Sendo que esta equação (9.35) deriva da equação (9.32) na qual é considerado que: 0,6 * v2 ; = 90º ; = 45º ; e z = 0,9 * d. onde: v2

1

f ck / 250

=

(9.36)

b) cálculo da armadura transversal Vsw

A sw / s 0,9 d f ywd

sen

cos

(9.37)

Esta equação (9.37), por sua vez, deriva da equação (9.7), na qual é considerado que: z = 0,9 * d ; si = f ywd e V = Vsw. Vc

Vc 0

0,6 f ctd b w d

f ctd

f ctk,inf /γ c

(9.38)

com, onde: bw é a menor largura da seção, compreendida ao longo da altura útil d; d é a altura útil da seção, igual à distância da borda comprimida ao centro de gravidade da armadura de tração; s é o espaçamento entre elementos da armadura transversal A sw, medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural; f ywd é a tensão na armadura transversal passiva, limitada ao valor f yd no caso de estribos, não se tomando valores superiores a 435 MPa; é o ângulo de inclinação da armadura transversal em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural, podendo-se tomar 45°    90°;

c) decalagem do diagrama de momentos fletores Quando a armadura longitudinal de tração for determinada através do equilíbrio de esforços na seção normal ao eixo do elemento estrutural, os efeitos provocados pela fissuração oblíqua podem ser substituídos no cálculo pela decalagem do diagrama de momentos fletores dada pela expressão: al

sendo:

d

VSd, máx 2 VSd, máx

Vc

1

cotg

cotg

(9.39)


72

al  0,5d, no caso geral; al  0,2d, para estribos inclinados a 45°.

9.4.2 Modelo de cálculo II O modelo II admite diagonais de compressão inclinadas de  em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural, com  variável livremente entre 30° e 45°. Admite ainda que a parcela complementar V c sofra redução com o aumento de V Sd. a) verificação da compressão diagonal do concreto: VRd2

0,54 α v2 f cd b w d sen2θ cotg α

cotg θ

(9.40)

Sendo que esta equação (9.40) deriva da equação (9.32) na qual é considerado que: = 0,6 * v2 ; e z = 0,9 * d . onde: 1

v2

(9.41)

f ck / 250

com f ck e megapascal

b) cálculo da armadura transversal Vsw A sw /s 0,9 d f ywd

cotg α

cotg θ sen α

(9.42)

Esta equação (9.42), por sua vez, deriva da equação (9.19), na qual é considerado que: z = 0,9 * d ; si = f ywd e V = Vsw. Vc

Vc1

(9.43)

com,

Vc1 = Vc0 quando VSd Vc0 Vc1 = 0 quando VSd = VRd2 interpolando-se linearmente para valores intermediários.

c) decalagem do diagrama de momentos fletores al

0,5 d

cotg θ

cotg α

(9.44)

sendo: al  0,5d, no caso geral; al  0,2d, para estribos inclinados a 45°

9.5

Distribuição da armadura transversal Para o dimensionamento de uma viga ao esforço cortante, o diagrama deste esforço deve ser dividido em segmentos onde a força cortante será suposta constante. Antes porém, deverá ser determinada a região a ser armada apenas com uma armadura mínima.


73

Asw,mín = área mínima da seção de estribos

VSd,mín VSd mín

DEC

VSd,mín = esforço cortante de cálculo absorvido pela armadura mínima

VSd1 VSd2

Asw mín

a1

a2

Figura 9.17 – Distribuição da armadura transversal A armadura mínima é dada pela expressão (9.45), a seguir: A sw, min

0,2

S

f ct , m f ywk

b w sen

(9.45)

sendo que f ywk é a resistência ao escoamento do aço da armadura transversal. Desejando-se saber qual a armadura mínima necessária em 1,0 m de viga, basta adotar 2 para “s” o valor 100 cm e obter ao final um “Asw,mín em cm /m, ou seja: A sw, mín

100

0,2

f ct,m f ywk

b w sen α

(9.46)

O esforço cortante absorvido pela armadura mínima será obtido com a substituição do valor “Asw,mín/s” (equação (9.45)) nas expressões de “V sw” do modelo I ou II. Para as demais subdivisões do DEC, trechos a1, a2, etc que podem ser vistos na Figura 9.17, nas quais o esforço cortante deve ser tomado como constante e igual a VSd1, VSd2, etc, respectivamente, sugere-se que a extensão seja superior a 100 cm.

9.6

Prescrições normativas O uso de estribos é obrigatório em toda a extensão de peças fletidas. O espaçamento longitudinal mínimo entre estes estribos deve ser o suficiente para passagem do vibrador. Já o máximo deve respeitar as seguintes condições:  Seção com armadura simples (AS): s máx

0,6 d

30cm

se Vd

0,67 VRd2

0,3 d

20cm

se Vd

0,67 VRd2

Concreto Armado I Professor: Jackson Antonio Carelli 

74

Seção com armadura dupla (AD): valores para seçãocom AS s máx

24

c

CA25

12

c

CA50

sendo, c o diâmetro da barra longitudinal comprimida. O espaçamento transversal máximo para estribos (S t,máx), ou seja, a máxima distância entre dois ramos sucessivos da armadura transversal de uma mesma seção (a largura de um estribo simples por exemplo) não deve exceder os seguintes valores: s t, máx

1,0 d

80cm

se Vd

0,20 VRd2

0,6 d

35cm

se Vd

0,20 VRd2

O diâmetro das barras que constituem o estribo deve ser maior ou igual a 5,0 mm, sem exceder 1/10 da largura da alma da viga. Quando a barra for lisa, seu diâmetro não pode ser superior a 12 mm. As barras longitudinais, utilizadas como porta-estribos não devem possuir diâmetro inferior ao diâmetro do estribo. Alguns tipos de estribos são apresentados na Figura 9.18. (*)

Figura 9.18 – Modelos de estribos (*) Os estribos abertos só poderão ser dessa forma se as aberturas estiverem posicionadas do lado das barras comprimidas da armadura longitudinal. Todo estribo deverá apresentar ancoragem através de ganchos nas extremidades. No caso de barras lisas, os ganchos devem ser semi-circulares. A Figura 9.19 mostra os tipos de ganchos possíveis em estribos e suas respectivas pontas retas mínimas, e a Tabela 9.1 mostra quais devem ser os raios de curvatura mínimos para dobramento de estribos.


75

No caso de uso de estribos duplos ou triplos, deve ser verificado o número mínimo de porta-estribos. Emendas por traspasse em estribos são restritas à barras de alta aderência.

5 t  5,0 cm

5 t  5,0 cm

r

r

r (a) semicircular

10 t  7,0 cm

(b) ângulo de 45º

(c) ângulo reto

Figura 9.19 – Tipos de ganchos da armadura transversal (estribos) Tabela 9.1 – Raios dos pinos de dobramento para estribos Bitola (mm) 

10

10 <  < 20 

20

Tipo de aço CA – 25

CA – 50

CA – 60

1,5 t

1,5 t

1,5 t

2,0 t

2,5 t

-

2,5 t

4,0 t

-

9.6.1 Redução do esforço cortante em seções próximas aos apoios Para o cálculo da armadura transversal, no caso de apoio direto (se a carga e a reação de apoio forem aplicadas em faces opostas da peça, comprimindo-a), valem as seguintes prescrições: a força cortante oriunda de carga distribuída pode ser considerada, no trecho entre o apoio e a seção situada à distância “d/2” da face do de apoio, constante e igual à dessa seção; a força cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma distância “a 2d” do eixo teórico pode, nesse trecho de comprimento “ a”, ser reduzida multiplicando-a por “a/2d”; esse eixo teórico é definido a partir do vão teórico, ou seja: a VSd Vd (9.47) 2 d As reduções indicadas acima não se aplicam à verificação da resistência à compressão da diagonal do concreto. No caso de apoios indiretos (vigas), essas reduções também não são permitidas.


76

10 ESTADO LIMITE DE SERVIÇO (ELS) As avaliações dos estados limites de serviço devem ser efetuadas com a consideração de ações de serviço com combinações que serão informadas durante a abordagem de cada análise necessária.

10.1 Estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF) Para verificação do estado limite de deformação excessiva podem ser utilizados valores de rigidez do Estádio I (elemento não fissurado), considerando o módulo de elasticidade secante do concreto (E cs), desde que os momentos fletores sejam menores que o de fissuração. Os eventuais efeitos de fissuração e deformação lenta devem ser considerados. A flecha imediata para o caso de estudo no Estádio II (elemento fissurado) pode ser avaliada de forma aproximada através da utilização de uma rigidez equivalente (E cs  Ieq). O valor da inércia equivalente a ser utilizada pode ser obtido pela seguinte expressão: Mr

I eq

3

Ic

Ma

Mr

1

3

I2

Ma

Ic

(10.1)

onde: Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto; I2 é o momento de inércia da seção fissurada de concreto no Estádio II; Ma é o momento fletor na seção crítica do vão considerado e momento no apoio para balanços, para a combinação de ações considerada nessa avaliação; Mr é o momento de fissuração do elemento estrutural, cujo valor deve ser reduzido à metade no caso de utilização de barras lisas; valor de I2 pode ser obtido à partir das expressões a seguir, de acordo com o tipo de seção considerada: 

seção retangular sem armadura dupla (com A s’=0) n

n As

x

bw x3



3

2 bw d

1

(10.3)

n As

n A s (d

(10.4)

x)2

seção retangular com armadura dupla (com A s’0) n

x

(10.2)

E cs

1

bw I2

Es

n

As bw

As '

n

As bw

Es E cs

As '

2

2 n bw

d As

d' A s '

(10.5)


I2

77

bw x3 3

n A s (d

x)2

n A s ' (x - d' ) 2

(10.6)

A seguir são apresentadas equações de tensões e deformações do aço e do concreto, baseadas na resistência dos materiais, e válidas para qualquer dos casos supra citados (seção com ou sem armadura dupla). σc

σs

σs '

M x

M x

(10.7) c

I2

n M

d

x

(10.9)

n M

x - d'

Ec I 2

M d-x c

I2

(10.11) ε

I2

c'

(10.8)

(10.10)

Ec I 2 M Ec

x - d'

(10.12)

I2

O valor de Mr pode ser obtido de forma aproximada pelas expressões à seguir: α f ct,m I c Mr yt

(10.13)

sendo, f ct, m

2

0,3 f ck

3

(10.14)

com f ct,m e f ct expressos em MPa. onde:  é o fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na flexão com a resistência à tração direta, valendo:  = 1,2 para seções T ou duplo T (para vigas);  = 1,5 para seções retangulares (vigas e lajes); yt é a distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada; Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto; f ct,m é a resistência média à tração direta do concreto; f ck é a resistência característica à compressão do concreto A flecha adicional, devida à fluência do concreto pode ser calculada de forma aproximada pela multiplicação da flecha imediata pelo fator f dado pela expressão: α f

f(t) 1

f(t 0 ) 50ρ

onde: t0 é a idade de aplicação da carga, em meses; t é a idade para a qual se calcula a flecha, em meses;

(10.15)


78

’é a taxa de armadura longitudinal de compressão na seção crítica, dada por:

ρ'

f(t)

As '

(10.16)

bw d

t 0,68 (0,996 ) t 0,32

(10.17)

2

10.1.1Valores limites para deslocamentos em elementos estruturais Os valores limites para deslocamentos em elementos estruturais devem respeitar os estabelecidos na Tabela 10.1. Tabela 10.1 – Limites para deslocamentos Tipo de deslocamento

Aceitabilidade sensorial

Estrutura em serviço

Razão da limitação

Exemplo

Deslocamento a considerar

Deslocamento limite

Visual

Deslocamentos visíveis em elementos estruturais

Total

ℓ/250

Outro

Vibrações sentidas no piso

Devidos a cargas acidentais

ℓ/350

Superfície que devem drenar água

Coberturas e varandas

Total

ℓ/250¹⁾

Pavimentos que devem permanecer planos Elementos que suportam equipamentos sensíveis

Ginásios e pistas de boliche

Laboratórios

Total

ℓ/600

Ocorrido após nivelamento do equipamento

De acordo com recomendado do fabricante do equipamento

Ponte rolante

Efeitos em elementos estruturais

Afastamento em relação às hipóteses de cálculo adotadas

ℓ/500³⁾ ou

10mm ou θ=0,0017rad⁴⁾

Divisórias leves e caixilhos telescópicos

Ocorrido após a instalação da divisória

Movimento lateral de edifícios

Provocado pela ação do vento para combinação frequente (ψ1=0,20)

Movimentos térmicos verticais

Provocado por diferença de temperatura

Movimentos térmicos horizontais

Provocado por diferença de temperatura

Hi/500

Revestimentos colados

Ocorrido após construção do forro

ℓ/350

Revestimentos pendurados ou com juntas

Deslocamento ocorrido após construção do forro

ℓ/175

Desalinhamento de trilhos

Deslocamento provocado pelas ações decorrentes da frenação

H/400

Paredes

Forros

flecha²⁾

Ocorrido após a construção do piso

Alvenaria, caixilhos e Após a construção da revestimentos parede

Efeitos em elementos não estruturais

ℓ/350 + contra-

ℓ/250³⁾ ou

25mm H/2500 ou Hi/1250⁵⁾ entre pavimentos⁶⁾ ℓ/400⁷⁾ ou

15mm

Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento considerado, seus efeitos sobre as tensões ou sobre a estabilidade da estrutura devem ser considerados, incorporandoas ao modelo estrutural adotado.


79

Tabela 10.1 – Limites para deslocamentos (continuação) Observações: a) Todos os valores limites de deslocamento supõem elementos de vão ℓ suportados em ambas as extremidades por apoios que não se movem. Quando se tratar de balanços, o vão equivalente a ser considerado deve ser o dobro do comprimento do balanço. b) Para o caso de elementos de superfície, os limites prescritos consideram que o valor ℓ é o menor vão, exceto em casos de verificação de paredes e divisórias, onde interessa a direção na qual a parede ou divisória se desenvolve, limitando-se esse valor a duas vezes o vão menor. c) O deslocamento total deve ser obtido a partir da combinação das ações características ponderadas pelos coeficientes de acompanhamento definidos na seção 11. d) Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por contraflechas. NOTAS: ¹⁾ As superfícies devem ser suficientemente inclinadas ou o deslocamento previsto compensado por contraflechas, de modo a não se ter acúmulo de água. ²⁾ Os deslocamentos podem ser parcialmente compensados pela especificação de contraflechas. Entretanto, a atuação isolada da contraflecha não pode ocasionar um desvio do plano maior que ℓ/350. ³⁾ O vão ℓ deve ser tomado na direção na qual a parede ou a divisória se desenvolve.

⁴⁾ Rotação nos elementos que suportam paredes. ⁵⁾ H é a altura total do edifício e Hi o desnível entre dois pavimentos vizinhos. ⁶⁾ Este limite aplica-se ao deslocamento lateral entre dois pavimentos consecutivos devido à atuação de ações

horizontais. Não devem ser incluídos os deslocamentos devidos a deformações axiais nos pilares. O limite também se aplica para o deslocamento vertical relativo das extremidades de lintéis conectados a duas paredes de contraventamento, quando Hi representa o comprimento do lintel. ⁷⁾ O valor ℓ refere-se à distância entre o pilar externo e o primeiro pilar interno.

10.1.2 Combinação de ações de serviço A combinação de ações de serviço a ser utilizada depende do efeito que se deseja avaliar. Em vigas são usuais as avaliações relativas a aceitabilidade sensorial, ou seja, os dois primeiros deslocamentos limites informados na Tabela 10.1. Isto não significa que os outros deslocamentos limites não devam ser avaliados nas situações em que isto se fizer necessário. Para avaliação dos efeitos relativos a aceitabilidade sensorial será utilizada a combinação quase-pemanente de serviço, dada pela expressão (10.18). Fd, ser

Fgi,k

ψ 2j Fqj, k

(10.18)

Assim, para avaliação do limite de deslocamento devido ao carregamento total, ou seja, L/250, as expressões usuais para edifícios residenciais e comerciais, são dadas pelas equações (10.19) e (10.20), respectivamente. Fd, ser

Fg,k

0,3 Fq, k

(10.19)

Fd, ser

Fg,k

0,4 Fq, k

(10.20)

Já para avaliação do limite de deslocamento devido exclusivamente às cargas acidentais, ou seja, L/350, a expressão usual para edifícios residenciais e comerciais, é dada pela equação (10.21). Fd, ser

0,3 Fq, k

(10.21)

10.2 Estado limite de abertura de fissuras (ELS-W) Os critérios apresentados a seguir devem ser encarados como avaliações aceitáveis do comportamento geral do elemento, mas não garantem avaliação precisa da abertura de uma fissura específica. Para cada elemento ou grupo de elementos das armaduras que controlam a fissuração do elemento estrutural, deve ser considerada uma área A cr do concreto de envolvimento, constituída por um retângulo cujos lados não distam mais de 7  do contorno do elemento da armadura (ver figura a seguir).


80

Figura 10.1 - Concreto de envolvimento da armadura A grandeza da abertura de fissuras, w, determinada para cada parte da região de envolvimento, é a menor dentre as obtidas pelas expressões que seguem: σ si 3 σ si i w (10.22) 12,5 η1 Esi f ct,m w

σ si

4

12,5 η1 E si

ρ ri

i

45

(10.23)

sendo: onde:

si, i, Esi, ri definidos para cada área de

envolvimento em exame.

Acri é a área da região de envolvimento protegida pela barra i; Esi é o módulo de elasticidade do aço da barra i considerada; i é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada; ri é a taxa de armadura em relação a área da região de envolvimento (A cri); si é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada, calculada no Estádio II (elemento fissurado). i é o coeficiente de conformação superficial 1 da armadura considerada, devendo ser adotados os valores de: 1 = 1,0 para barras lisas (CA-25 ou CA-60 usual) 1 = 1,4 para barras entalhadas (CA-60 dentado) 1 = 2,25 para barras nervuradas (CA-50)

10.2.1 Valores limites para abertura de fissuras Os valores limites para abertura de fissuras em elementos estruturais devem respeitar os estabelecidos na tabela à seguir. No entanto, o engenheiro deve ter consciência de que as estimativas de abertura de fissuras já estudadas podem, diante da grande variabilidade do assunto, ser superadas para o caso de fissuras específicas. Tabela 10.2 – Valores limites para abertura de fissuras Tipo de concreto Classe de agressividade estrutural Ambiental (CAA) Concreto simples Concreto Armado

Exigências relativas à fissuração

Combinação de ações em serviço à utilizar

CAA I à CAA IV

Não há

-

CAA I

ELS-W wk  0,4mm

CAA II e CAA III

ELS-W wk  0,3mm

CAA IV

ELS-W wk  0,2mm

Combinação freqüente


81

11 ANEXO – Tabelas Diversas TABELA DE COEFICENTES K - CONCRETO ARMADO I - Prof. Jackson Antonio Carelli

km

ky

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,2 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,3 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,4 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,5 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,6 0,61 0,62

bw d2

kz

0,995 0,990 0, 985 0, 980 0, 975 0, 970 0,965 0,960 0,955 0,950 0,945 0,940 0,935 0,930 0,925 0,920 0,915 0,910 0,905 0,900 0,895 0,890 0,885 0,880 0,875 0,870 0,865 0,860 0,855 0,850 0,845 0,840 0,835 0,830 0,825 0,820 0,815 0,810 0,805 0,800 0,795 0,790 0,785 0,780 0,775 0,770 0,765 0,760 0,755 0,750 0,745 0,740 0,735 0,730 0,725 0,720 0,715 0,710 0,705 0,700 0,695 0,690

Md Def Com

0,13 0,26 0,39 0,53 0,67 0,81 0,96 1,11 1,27 1,43 1,59 1,76 1,94 2,12 2,31 2,50 2,70 2,90 3,11 3,33 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50 3,50

ka M d

As Def Aço

10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 9,83 9,23 8,67 8,17 7,70 7,27 6,87 6,50 6,16 5,83 5,53 5,25 4,98 4,74 4,50 4,28 4,07 3,87 3,68 3,50 3,33 3,17 3,01 2,86 2,72 2,59 2,46 2,33 2,21 2,10 1,99 1,88 1,78 1,69 1,59 1,50 1,41 1,33 1,25 1,17 1,09 1,02

Psi

s

d

1,15

c

km fck

km fck

km fck

km fck

km fck

km fck

km fck

km fck

150

200

250

300

350

400

450

500

0,077 14249,6 10687,2 8549,8 7124,8 0,153 3615,0 2711,2 2169,0 1807,5 0, 228 1632, 0 1224, 0 979,2 816, 0 0, 300 933,4 700, 1 560,1 466, 7 0, 370 608,1 456, 1 364,9 304, 1 0, 438 430,5 322, 9 258,3 215, 2 0,504 322,8 242,1 193,7 161,4 0,566 252,7 189,5 151,6 126,3 0,625 204,4 153,3 122,7 102,2 0,680 169,9 127,4 101,9 85,0 0,732 144,4 108,3 86,6 72,2 0,779 125,0 93,8 75,0 62,5 0,821 110,1 82,6 66,1 55,0 0,857 98,4 73,8 59,0 49,2 0,889 89,0 66,8 53,4 44,5 0,917 81,4 61,0 48,8 40,7 0,941 75,0 56,3 45,0 37,5 0,963 69,6 52,2 41,8 34,8 0,982 65,0 48,7 39,0 32,5 1,000 61,0 45,8 36,6 30,5 1,000 58,4 43,8 35,1 29,2 1,000 56,1 42,1 33,6 28,0 1,000 53,9 40,5 32,4 27,0 1,000 52,0 39,0 31,2 26,0 1,000 50,2 37,6 30,1 25,1 1,000 48,5 36,4 29,1 24,3 1,000 47,0 35,3 28,2 23,5 1,000 45,6 34,2 27,4 22,8 1,000 44,3 33,2 26,6 22,1 1,000 43,1 32,3 25,8 21,5 1,000 41,9 31,4 25,2 21,0 1,000 40,8 30,6 24,5 20,4 1,000 39,8 29,9 23,9 19,9 1,000 38,9 29,2 23,3 19,5 1,000 38,0 28,5 22,8 19,0 1,000 37,2 27,9 22,3 18,6 1,000 36,4 27,3 21,8 18,2 1,000 35,7 26,8 21,4 17,8 1,000 35,0 26,2 21,0 17,5 1,000 34,3 25,7 20,6 17,2 1,000 33,7 25,3 20,2 16,8 1,000 33,1 24,8 19,9 16,5 1,000 32,5 24,4 19,5 16,3 1,000 32,0 24,0 19,2 16,0 1,000 31,5 23,6 18,9 15,7 1,000 31,0 23,3 18,6 15,5 1,000 30,5 22,9 18,3 15,3 1,000 30,1 22,6 18,1 15,0 1,000 29,7 22,3 17,8 14,8 1,000 29,3 22,0 17,6 14,6 1,000 28,9 21,7 17,3 14,4 1,000 28,5 21,4 17,1 14,3 1,000 28,2 21,1 16,9 14,1 1,000 27,9 20,9 16,7 13,9 1,000 27,5 20,7 16,5 13,8 1,000 27,2 20,4 16,3 13,6 1,000 26,9 20,2 16,2 13,5 1,000 26,7 20,0 16,0 13,3 1,000 26,4 19,8 15,8 13,2 1,000 26,1 19,6 15,7 13,1 1,000 25,9 19,4 15,5 13,0 1,000 25,7 19,3 15,4 12,8

6107,0 5343,6 1549,3 1355,6 699, 4 612,0 400, 0 350,0 260, 6 228,1 184, 5 161,4 138,4 121,1 108,3 94,8 87,6 76,7 72,8 63,7 61,9 54,1 53,6 46,9 47,2 41,3 42,2 36,9 38,2 33,4 34,9 30,5 32,1 28,1 29,8 26,1 27,9 24,4 26,1 22,9 25,0 21,9 24,0 21,0 23,1 20,2 22,3 19,5 21,5 18,8 20,8 18,2 20,1 17,6 19,5 17,1 19,0 16,6 18,5 16,1 18,0 15,7 17,5 15,3 17,1 14,9 16,7 14,6 16,3 14,3 15,9 13,9 15,6 13,7 15,3 13,4 15,0 13,1 14,7 12,9 14,4 12,6 14,2 12,4 13,9 12,2 13,7 12,0 13,5 11,8 13,3 11,6 13,1 11,5 12,9 11,3 12,7 11,1 12,5 11,0 12,4 10,8 12,2 10,7 12,1 10,6 11,9 10,4 11,8 10,3 11,7 10,2 11,5 10,1 11,4 10,0 11,3 9,9 11,2 9,8 11,1 9,7 11,0 9,6

4749,9 4274,9 1205,0 1084,5 544, 0 489,6 311, 1 280,0 202, 7 182,4 143, 5 129,1 107,6 96,8 84,2 75,8 68,1 61,3 56,6 51,0 48,1 43,3 41,7 37,5 36,7 33,0 32,8 29,5 29,7 26,7 27,1 24,4 25,0 22,5 23,2 20,9 21,7 19,5 20,3 18,3 19,5 17,5 18,7 16,8 18,0 16,2 17,3 15,6 16,7 15,1 16,2 14,6 15,7 14,1 15,2 13,7 14,8 13,3 14,4 12,9 14,0 12,6 13,6 12,3 13,3 12,0 13,0 11,7 12,7 11,4 12,4 11,2 12,1 10,9 11,9 10,7 11,7 10,5 11,4 10,3 11,2 10,1 11,0 9,9 10,8 9,8 10,7 9,6 10,5 9,4 10,3 9,3 10,2 9,2 10,0 9,0 9,9 8,9 9,8 8,8 9,6 8,7 9,5 8,6 9,4 8,5 9,3 8,4 9,2 8,3 9,1 8,2 9,0 8,1 8,9 8,0 8,8 7,9 8,7 7,8 8,6 7,8 8,6 7,7

1,4 Ka

CA25

CA 50

CA 60

0,462 0,465 0,467 0,469 0,472 0,474 0,477 0,479 0,482 0,484 0,487 0,489 0,492 0,495 0,497 0,500 0,503 0,505 0,508 0,511 0,514 0,517 0,520 0,523 0,526 0,529 0,532 0,535 0,538 0,541 0,544 0,548 0,551 0,554 0,558 0,561 0,564 0,568 0,571 0,575 0,579 0,582 0,586 0,590 0,594 0,597 0,601 0,605 0,609 0,613 0,617 0,622 0,626 0,630 0,634 0,639 0,643 0,648 0,652 0,657 0,662 0,667

0,231 0,232 0,234 0,235 0,236 0,237 0,238 0,240 0,241 0,242 0,243 0,245 0,246 0,247 0,249 0,250 0,251 0,253 0,254 0,256 0,257 0,258 0,260 0,261 0,263 0,264 0,266 0,267 0,269 0,271 0,272 0,274 0,275 0,277 0,279 0,280 0,282 0,284 0,286 0,288 0,289 0,291 0,293 0,295 0,297 0,299 0,301 0,303 0,305 0,307

0,193 0,194 0, 195 0, 196 0, 197 0, 198 0,199 0,200 0,201 0,202 0,203 0,204 0,205 0,206 0,207 0,208 0,209 0,211 0,212 0,213 0,214 0,215 0,217 0,218 0,219 0,220 0,222 0,223 0,224 0,225 0,227 0,228 0,230 0,231 0,232 0,234 0,235 0,237 0,238 0,240 0,241 0,243 0,244 0,246 0,247 0,249 0,251


82


83

APOSTILA DE CONCRETO ARMADO I - Versão 2014

Recommend Documents