Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Investigación - VIACI
Escuela: Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Curso: Control Analógico
Vicerrectoría Académica y de
Programa: Ingeniería Electrónica Código: 299005
SOLUCION EJERCICIO 1 1. a) Utilizando el criterio de Routh - Hurwitz, determine el rango de valores de K para los cuales el siguiente sistema es estable:
b) Demostrar, utilizando matlab, simulink o scilab, que el rango encontrado en el ítem anterior es correcto.
G ( s )=
s +1 s ( s−1 ) (s +6)
KG ( s ) y = R 1+ KG (s )
K ( s+1 ) s ( s−1 ) ( s +6 ) ¿ K ( s+1 ) 1+ ( s−1 ) ( s +6 )
K ( s+1 ) s ( s−1 ) ( s +6 ) ¿ K ( s+1 ) 1+ ( s−1 ) ( s +6 )
1
Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Investigación - VIACI
Escuela: Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Curso: Control Analógico K ( s+1 ) s ( s−1 )( s+6 ) ¿ s ( s−1 ) ( s +6 ) + K (s+1) s ( s−1 )( s+6 )
¿
Vicerrectoría Académica y de
Programa: Ingeniería Electrónica Código: 299005
K ( s+1 )∗s ( s−1 ) ( s+ 6 ) s ( s−1 )( s+6 )∗[s ( s−1 ) ( s +6 )+ K ( s+1 ) ]
Simplificamos y tenemos que ¿
K ( s+1 ) s ( s−1 )( s+6 )+ K ( s+1 )
Solucionando el denominador tenemos
¿
K ( s +1 ) ( s −s ) ( s +6 ) + Ks+ K
¿
K ( s +1 ) 2 s −s + 6 s −6 s+ Ks+ K
¿
K ( s +1 ) s −5 s + 6 s 2−6 s + Ks+ K
2
3
3
2
2
En el denominador tenemos 2 veces la letra s simplificamos por factor común y Por lo tanto nuestra ecuación característica es: 2
Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Investigación - VIACI
Escuela: Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Curso: Control Analógico ¿
Vicerrectoría Académica y de
Programa: Ingeniería Electrónica Código: 299005
K ( s +1 ) s −5 s + 6 s 2−s (K −6)+ K 3
2
Para realizar el análisis de Routh-Hurwit sacamos los coeficientes quedando:
3
s 1 K−6 s2 5 K s
1
4 K−30 5
0
s 1K
|
|
1 K −6 5 K
Solucionando tenemos 5∗( K−6 )−K 5 K−30−K 4 K −30 = = 5 5 5
Como podemos observar debemos de realizar el análisis en s1
4 K−30 5
Ya que nos representa el complejo del sistema y determina la estabilidad del sistema Como podemos ver el valor mínimo es determinado por el numerador, por lo tanto lo igualo a cero para determinar a partir de que valor el resultado cambia de signo. 3
Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Investigación - VIACI
Escuela: Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Curso: Control Analógico 4 K −30=0 Despejando tenemos que
K=7,5 que es valor mínimo de estabilidad del sistema .
Por lo tanto 4 K −30 > 0 y K >0 5
4
Vicerrectoría Académica y de
Programa: Ingeniería Electrónica Código: 299005
Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Investigación - VIACI
Vicerrectoría Académica y de
Escuela: Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Curso: Control Analógico
Programa: Ingeniería Electrónica Código: 299005
Como podemos ver en 7.5 comienza la atenuación luego de pasar por el punto de 1.
2. Se tiene el siguiente sistema en lazo cerrado:
Donde G ( s )=
K (s+1)(s +3)
5
Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Investigación - VIACI
Vicerrectoría Académica y de
Escuela: Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Programa: Ingeniería Electrónica Curso: Control Analógico Código: 299005 a) Hallar el valor de K para que dicho sistema tenga un error en estado estacionario del 5% ante una entrada escalón de magnitud 8. Calcule la constante estática de error de posición.
Tenemos que es un sistema de tipo cero p=¿ lim G(s ) s→0
K¿ e
ss=
R1 1+K p
Resolviendo tenemos que
K (s+1)(s+3) K¿
p=¿ lim G(s ) s→0
p=¿
K 3
K¿ Como decíamos: para impulso=8 y para 6
e ss =5 =0.05
Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Investigación - VIACI
Escuela: Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Curso: Control Analógico e 1 ss=
Vicerrectoría Académica y de
Programa: Ingeniería Electrónica Código: 299005
1+K p
Reemplazamos 1 K 1+ 3
=0.05
Resolviendo 1 =0.05 3+ K 3 Simplificamos 1 1 =0.05 3+ K 3
3 =0.05 3+ K
3=0.05∗(3+ K )
3 =3+ K 0.05
60=3+ K entonces K =60−3=57
b) Demostrar mediante simulación que el valor de K hallado en el ítem anterior es correcto. K G ( s )= (s+1)(s +3) G ( s )=
K s + 4 s+3 2
7
Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Investigación - VIACI
Escuela: Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Curso: Control Analógico
Vicerrectoría Académica y de
Programa: Ingeniería Electrónica Código: 299005
c) Calcular los parámetros de la respuesta transitoria del sistema en lazo cerrado con la ganancia encontrada K (ganancia en lazo cerrado, coeficiente de amortiguamiento, frecuencia natural no amortiguada, frecuencia natural amortiguada, valor final, sobreimpulso, tiempo pico, tiempo de establecimiento y tiempo de subida).
G ( s )=
57 s + 4 s+3+57 2
8
Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Investigación - VIACI
Vicerrectoría Académica y de
Escuela: Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Curso: Control Analógico 57 G ( s )= 2 s + 4 s+60
Analizando la ecuación tendríamos que
K ω2n=57 ω2n=60 Reemplazando y despejando K∗60=57 K=0,95
2 ζ ωn=4 ζ ω n= el factor de atenuación
4 2
σ es
( a ) ζ ω n=2 como ω2n=60 la frecuencia natural no amortiguada es
( b ) ω n=√ 60 Reemplazando (b) en (a) tenemos
( c ) ζ √60=2 Despejando tenemos el factor de amortiguación
9
Programa: Ingeniería Electrónica Código: 299005
Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Investigación - VIACI
Escuela: Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Curso: Control 2 Analógico ζ= =0.258 √ 60
la frecuencia natural amortiguada es
ω d=ωn∗√ 1−ζ 2
ω d= √ 60∗√ 1−( 0.258 )
2
ω d=7.4 6∗√1−0.066
ω d=7.4 6∗0.966
ω d ≅ 7.4 Tiempo pico t p=
π ωd
t p=
π =0.42 sg 7.48
Tiempo establecimiento con criterio del 2%
10
Vicerrectoría Académica y de
Programa: Ingeniería Electrónica Código: 299005
Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Investigación - VIACI
Escuela: Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Curso: Control 4 Analógico 4 t s= = =2 sg ζ ωn 2
Tiempo de sobreimpulso −ζ ∗π
%O.S=100∗e
%O.S=
100∗1 ζ∗π
e
√ 1−ζ 2
100∗1
%O.S= e
%O.S=
√ 1−ζ 2
0.258∗3.1416 √ 1−(0.258)2
100∗1 0.81
e 0.966
%O.S=
100∗1 0.83 e
%O.S=
100∗1 2.31
11
Vicerrectoría Académica y de
Programa: Ingeniería Electrónica Código: 299005
Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Investigación - VIACI
Escuela: Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Curso: Control Analógico %O.S=43.23
Vicerrectoría Académica y de
Programa: Ingeniería Electrónica Código: 299005
Tiempo subida (rise time)
β=tan−1
ωd 7.4 =tan−1 =1,3 rad σ 2
( )
t r=
π −1,3 7,4
t r=
3,1416−1,3 7,4
( )
t r ≅ 0.2 sg
d) Simular el sistema ante entrada escalón unitario y comprobar los valores hallados en el ítem c
12
Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Investigación - VIACI
Escuela: Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Curso: Control Analógico
Vicerrectoría Académica y de
Programa: Ingeniería Electrónica Código: 299005
Como podemos ver los datos coinciden con los calculos
13
