ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información:
Seleccione A si 1 y 2 son correctas. Seleccione B si 1 y 3 son correctas. Seleccione C si 2 y 4 son correctas. Seleccione D si 3 y 4 son correctas. 6. El método de variación de parámetros para dar solución a una ecuación diferencial de tercer orden establece que primero se encuentra la función complementaria = 1 1+ 2 2+ 3 3 y después se calcula el wronskiano ( 1( ), 2( ), 3( )). Posteriormente se determina ( ), para poder encontrar 1 2 y 3, y poder hallar la solución particular mediante la integración de 1´= 1 , 2´= 2 y 3´= 3 , donde:
₁ ₂ ₃ = |′′₁₁ ′′₂₂ ′′₃₃| , = |
00 | ,
0 ₂ ₃ ₁=| ₁= |0 ′´₂₂ ′′₃₃|, ₁ ₂ 0 ₃=| ₃= |′´₁₁ ′´₂₂ 0|
Una solución particular es = 1 1+ 2 2+ 3 3 y la solución general de la ecuación diferencial es entonces = + . Con base en lo anterior, los valores para 1, 2 y 3 y la solución general de la ecuación ′′′+2 ′′= son respectivamente:
1. 1=−2 − − − , 2=2 − y 3= 2. = 1+ 2 + 3 −2 +13 3. = 1+ 2 + 3 +14 − 4. 1=2 − + − , 2=2 y 3=−2 −
La respuesta correcta es la A 1 y 2 son correctas.
Procedimiento
+2 = = + +2 =0 +2 =0 = 2 ; =0= =− ++ =− ; = ; =1 − ,, = |24−− 10 ,,=4− = + + = 0 1 = |0 01 00|=
Forma general de la solución es:
El polinomio característico es:
Calculamos el Worskiano:
10| 0
Por definición,
− 0 1 − = |24−− 0 00|=2
Solucionando
− = 4 ∫ + 2 ∫ + ∫− +2− = 14 − (13 )+ 2 2− 2− = 13 − = ++ + 3 8. Una ecuación diferencial de de n-ésimo orden se puede escribir como:
⋯ +
=
−1
−1
+
+
1
+
= ( ),
0
Donde , = 0,1,2, … , . Cuando se cumple la ecuación anterior también se escribe como ( ) = ( ), donde denota el operador diferencial o polinomial, lineal de n-ésimo orden
+ −1
−1
+
⋯ +
1
+
0
La notación de operador no sólo es una abreviatura útil, sino que en un nivel muy práctico la aplicación de operadores diferenciales permite justificar las reglas para determinar la forma de la solución particular . Ésta se deduce casi de manera automática una vez se encuentra un operador diferencial lineal adecuado que anula a ( ). Por lo anterior de la ecuación diferencial ′′ − 3 ′ = 8 3 + 4 sin , se puede afirmar que:
1. El operador diferencial que anula a ( ) es ( 2 − 3)( + 1)( 2. La solución particular que se propone debe ser = sin 3. El operador diferencial que anula a ( ) es ( − 3)( 2 + 1)( 4. La solución particular que se propone debe ser =
2
3
− 3 ) = 0
+
2 3
+ cos +
2
− 3 ) = 0
3
+ cos + sin
La respuesta correcta es la D 3 y 4 son correctas. Procedimiento
′′ 3 ′ = 8 + 4 ′ 3 ′ ⇒ 3 8 ⇒8 =3 =1 3 4 =0 =1 =1 [ 2+ +] [ 20+0 +1] + 1 3 + 1 3 = 0 3 + 1 +3 =0 ⟹ 3 + 1 +3=0 = + + + + = + + Ecuación auxiliar
Aporte a la Primera actividad Grupal:
Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden. Problema:
Una persona de 70 kg de masa se lanza en una práctica de bungee jumping. Si en el tiempo t=0 la banda elástica ha cedido 8 metros y la velocidad de ascenso es de 30m/seg, Halle la función x(t) que describe el movimiento libre resultante si se sabe que la banda elástica tiene una constante de elasticidad de 350N/m
Solucion Ecuación de Fuerza estática
==350 Ecuación de la gravedad
==70∗ 9.8 =686.7 Despejando
+= 350686.7=75∗" 75 +350=686.7 686. 7 + 350 = 75 75 +4.6=9.156 Ecuaciones características
+4.6=0 =4.6 =±√ 4.6
=±2.16 Solución general
= cos2.16 +216 Aporte a la Segunda actividad Grupal:
