Apontamentos de mat financeira - 2016.pdf

UEM

FACULDADE D DE E ECONOMIA – F

Matemática Financeira

Ano Lectivo: 2016

A NECESSIDADE DE ESTUDO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA Todos os dias nos deparamos com as seguintes palavras: taxa de juros, capital, desconto, etc. Estes conceitos surgiram quando o Homem percebeu a existência de uma estreita relação entre o dinheiro e o tempo. Nos antigos costumes, os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras conveniências emprestadas. Muitas das práticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empréstimo e devolução de sementes e de outros produtos agrícolas. O primeiro tipo de troca comercial foi o escambo, fórmula segundo a qual se trocavam directamente mercadorias correspondentes a matérias-primas ou a objectos de grande necessidade. A primeira unidade de escambo admitida na Grécia foi o boi. Em outros lugares era usado colares de pérolas ou de conchas. Após certo período, começou-se por trocar faixas de tecido por animais ou objectos. O tecido era a moeda. No Egipto, a moeda era o metal (cobre, bronze e, por vezes, ouro ou prata). Desse modo, as mercadorias passaram a ser trocadas em função de seu "justo preço". Durante a expansão do comércio, assim como durante as guerras, as moedas dos diferentes países eram trocadas. Com o passar do tempo, alguns comerciantes ficaram conhecendo muito bem as moedas estrangeiras e passaram a acumulá-las em grandes quantidades. Tem início a actividade de guardar e emprestar dinheiro. Com isto, os bancos são criados. O primeiro banco privado foi fundado pelo Duque Vitali em 1157, em Veneza. Após este, nos séculos XIII, XIV e XV toda uma rede bancária foi criada. Com a criação dos bancos a Matemática Financeira evoluiu e passou a estar mais presente na vida das pessoas. Hoje ela além de fazer parte de nosso quotidiano, tornou-se uma importante ferramenta para todos, já que auxilia na resolução de problemas que envolvem o cálculo do valor de

______________________________________________________ __________________________ ___________________________________________ _______________ Página 1 de 72 Compilado por: Sorte Eduardo A. Sapulia

UEM



Ano Lectivo: 2016 prestações, no pagamento de impostos, rendimento de poupanças e outros. Para tanto, é de fundamental importância o entendimento de alguns termos e conceitos.

Formas de Aplicação ou Destino dos Rendimentos O rendimento que as pessoas dispõem pode ser destinado para o consumo ou aforro (poupança). O consumo consiste na compra de bens para o consumo final. O aforro consiste em manter na sua forma líquida ou colocar a render juros. A parte de rendimento que é mantida na sua forma líquida é designada por capital monetário e o processo de manter o capital a render juros é designada por investimento financeiro e o rendimento colocado a render juros por capital financeiro. O capital monetário ou rendimento mantido na sua forma líquida torna-se improdutivo, isto é, não produz rendimento adicional e o objectivo principal deste é suportar as despesas correntes. Esse processo de manter o rendimento improdutivo é designado por entesouramento.

Objecto de Estudo O objecto de estudo da Matemática Financeira é o tratamento matemático do juro, as suas várias aplicações. O juro é o preço do capital financeiro, ou seja, é o custo pela utilização de recursos alheios.


UEM



Ano Lectivo: 2016

Processo de Capitalização Consiste em fazer render um determinado capital ao fim de um determinado período. Um processo de capitalização é composto por vários sub-processos de capitalização também designados por períodos de capitalização (ou períodos de formação de juro). Em cada sub-processo de capitalização (período de capitalização), encontramos o capital inicial periódico, juro periódico e o capital final periódico. O capital inicial periódico é o rendimento colocado a render juros; o juro periódico é o rendimento produzido num determinado período e o capital final periódico é a soma do capital inicial periódico e o juro periódico. Se considerarmos CIK como como capital inicial do período K e JK o o juro do período K e CFK o o capital final do período, então: CFK = = CIK + + JK Onde: K = 1,2,3....n

Casos notáveis de Processos de Capitalização O juro periódico produzido pode manter-se no processo ou retirado do processo, daí que existem dois casos notáveis: 

1º- Os juros periódicos saem do processo- aqui o capital inicial periódico permanece o mesmo e o juro periódico será constante se a taxa de juro for a mesma ao longo do processo. Este tipo de processo é designado por processo de capitalização simples.



2º- Os juros periódicos permanecem no processo- aqui os juros periódicos permanecem no processo e tem efeitos na produção de outros juros. O capital


UEM



Ano Lectivo: 2016 inicial periódico será composto por capital mais juro. Este tipo de processo é designado por processo de capitalização composto. Os capitais iniciais periódicos são diferentes e crescentes e os juros periódicos também crescentes.

Função Juro Refere-se a correspondência existente entre o juro e os elementos capital, tempo e taxa de juro. Indica as relações matemáticas existentes entre o juro e capital, tempo e taxa de juro.

Juro como função de Capital Para cada variação do capital, mantendo constante o tempo e a taxa de juro, corresponderá a um determinado valor de juro. J = f (C) juro como função do capital

Juro com função do Tempo Para cada variação do tempo, mantendo constante o capital e a taxa de juro, corresponderá um determinado valor de juro. J = f (T) juro como função do tempo

Juro como função da taxa de juro Para cada variação da taxa de juro, mantendo constante o capital e o tempo; corresponderá a um determinado valor de juro. J = f (r) juro como função da taxa de juro

_____________________________________________________________________ Página 4 de 72 Compilado por: Sorte Eduardo A. Sapulia

UEM



Ano Lectivo: 2016

Juro com função de capital, tempo e taxa de juro Para cada variação simultânea do capital, tempo e a taxa de juro; corresponderá a um determinado valor de juro. J = f (C; T; r)

Condições Básicas para a existência do juro Para que exista o juro é necessário que a existência de Capital, Tempo e Taxa de Juro; esses valores devem ser positivos e maiores que zero.

Regras da Matemática Financeira1 1. É uma impossibilidade em Matemática Financeira a presença de capital, presença de tempo e ausência de juro. A ausência de capital e tempo e presença de juro é outra impossibilidade. 2. Qualquer operação matemática sobre 2 ou mais capitais requer a sua homogeneização no tempo. Ou seja, C1 + C2; C1 – C2; C1 = C2, etc, só pode fazerse se e só se esses capitais estiverem referidos ao mesmo momento, ou data focal (ou seja, quando esses capitais estiverem localizados no mesmo momento). 3. O juro em cada período de capitalização é igual ao capital no início do período, multiplicado pela taxa de juro a vigorar nesse período.

1

A Matemática Financeira rejeita certas práticas, mas há que reconhecer que a liberdade negocial entre partes, devidamente esclarecidas, é sempre mais forte que qualquer imperativo da matemática.


UEM



Ano Lectivo: 2016

REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO - Regime de Capitalização Simples; - Regime de Capitalização Composto; - Regime de Capitalização Dito Simples; - Regime Misto.

Regime de Capitalização simples – Características - O juro produzido por período sai do processo de capitalização e como

consequência o capital mantém-se constante em cada período de capitalização e igual ao investido no início do processo. CI1 = CI2 = CI3 = CI4 = ...... = CIn - Em cada período de capitalização, o juro é constante e incide sobre o capital

investido no inicio do processo: J1 = J2 = J3 = J4 = ..... = Jn= CI*r - O capital final do processo é igual ao capital inicial mais o juro final do processo

(ou seja, o juro do último período): CFn = CI + JF, onde JF = juro do último período Como o juro periódico é igual em todos os períodos: JF = JK = CI*r


UEM



Ano Lectivo: 2016 Então o capital final será dado pela seguinte fórmula: CFn = CI + CI*r → CF = CI (1+r)

EXEMPLO 1: Um capital de MT 100.000,00 foi colocado durante 5 anos a render juros a uma taxa de juro anual de 20%, com os juros pagos no final de cada ano. Determine: a) O montante recebido no 1 e 4 ano; b) O montante recebido no 5 ano. c) O juro acumulado produzido ao longo do processo.

RESOLUÇÃO: Como os juros são pagos no final de cada ano, então estamos perante o regime de capitalização simples, pois os juros são do processo de capitalização periodicamente, ou seja, anualmente. a) O montante recebido em cada período de capitalização é o juro produzido nesse período. Assim sendo, é necessário calcular o juro do primeiro e do quarto ano: J1 =J4= CI*i=100.000*20%=20.000 b) O montante recebido no 5º ano (último período/ano) é o capital final, ou seja: CF = CI (1+r)=100.000 (1+20%)=120.000 c) Não é possível determinar o juro acumulado porque este regime não acumula.


UEM



Ano Lectivo: 2016

Regime de Capitalização composto – Características - Neste regime os juros não saem do processo de capitalização, mantém-se no

processo e constituem uma nova parcela para efeitos de cálculo do juro do período seguinte: CIK = CFK-1 (o capital inicial do período é igual ao capital final do período anterior) - O juro produzido em qualquer período é diferente do juro produzido no período

anterior: J1 ≠ J2 ≠ J3 ≠ ........ ≠ Jn - O juro periódico incide sobre o capital em dívida no início desse período:

JK = CIK * r - Os juros produzidos ao longo do processo são entregues juntamente com o capital

inicial no final do processo, isto é, o capital final do processo é igual ao capital inicial + o juro total do processo. CFn = CI + JT - O juro total é igual a diferença entre o capital final do processo e o capital inicial

do processo: JT = CFn - CI _____________________________________________________________________ Página 8 de 72 Compilado por: Sorte Eduardo A. Sapulia

UEM



Ano Lectivo: 2016 - A fórmula do capital final obtém-se da seguinte forma (sendo a taxa de juro igual

em todo o processo): CFK = CIK + JK Se K=1 → CF1 = CI1 + J1 e como J1 = CI1*r Se K=2

→

→

CF2 = CI2 + J2 e como CI2 = CF1

CF1 = CI1 + CI1*r = CI1(1+r)1 →

CF2 = CI2 + CI2*r = CI2(1+r)

→

→

CF3 = CI3 + CI3*r = CI3(1+r)

→

………...→ CF2 = CI1(1+r)(1+r) = CI1 (1+r)2 Se K=3

→

CF3 = CI3 + J3 e como CI3 = CF2

………...→ CF3 = CI1(1+r)2(1+r) = CI1 (1+r)3

Se K=n

→

→

→

CFn = CI1 (1+r)n

→

→

→

Cn = C0(1+r)n

Onde: CI1=C0 → capital inicial CFn=Cn → capital acumulado (1+r)n → factor de capitalização composto porque permite o incremento do capital, período por período. - O capital final do processo é composto por 3 parcelas, o capital inicialmente

investido, o juro produzido com base no capital inicialmente investido e o juro produzido pelo juro capitalizado (juro do juro). JT = C0 (1+r)n – C0 = C0 [(1+r)n – 1] - O juro do juro é igual ao capital final menos capital inicial e menos a soma dos

juros simples produzidos em cada período ou seja JJ = Cn – C0 – n * C0 * r. _____________________________________________________________________ Página 9 de 72 Compilado por: Sorte Eduardo A. Sapulia

UEM



Ano Lectivo: 2016

EXEMPLO 1: Num empréstimo de MT 200.000,00, pelo prazo de 6 anos, foi acordada uma taxa de juro anual de 15%, em regime de capitalização composto. Determine: a) O juro produzido no 1 e 3 ano; b) O juro acumulado no final do empréstimo; c)

O capital acumulado no final do empréstimo.

RESULUÇÃO: Dados: Co = 200.000, n = 6, i = 15% composto a) Jk = CIk *i = CFk-1*i  J1 = CI1*i = 200.000*15% = 30.000 J3 = CI3*i = CF2*i = Co(1+i)2*i = 200.000(1+15%)2*15% = 39.675 O juro do período k é igual ao capital final do período anterior (k-1) multiplicada pela taxa de juro do período k. b) JT = Co [(1+i)n -1] = 200.000 [(1+15%)6 -1] = 262.612,1531 O juro acumulado no final do empréstimo é igual ao capital acumulado no final (Cn) subtraída pelo capital no inicio do empréstimo (Co). c) CF = Co + JT = 200.000+262.612,1531 = 462.612,1531 ou CF = Co(1+i)n = 200.000(1+15%)6 = 462.612,1531 O capital final é igual ao capital inicial adicionado ao juro acumulado no final do empréstimo.

EXEMPLO 2: Um indivíduo depositou, por 10 anos, MT 40.000,00 numa instituição de poupança que remunerava a taxa anual composta de 15%. Sabendo que passados 4 anos, aquela taxa foi alterada para 20% e a partir do 7 ano para 25%, afectando então todo o capital acumulado. Determine: _____________________________________________________________________ Página 10 de 72 Compilado por: Sorte Eduardo A. Sapulia

UEM



Ano Lectivo: 2016 a) O montante recebido no final da aplicação; b) O juro produzido no 5 ano; c)

O juro produzido no 8 ano.

RESULUÇÃO: Dados: Co = 40.000, i1 = 15%, n = 10, i2 = 20%, i3 = 25% a) Neste exercício, como estamos na presença de várias taxas de juros, primeiro devemos determinar o valor acumulado nos primeiros 4 anos em que vigora a taxa de 15%: CF4 = Co(1+15%)4; Depois temos que calcular o valor acumulado nos 2 anos seguintes em que vigora a taxa de 20%. No entanto, valor inicial deste período (2 anos) é igual ao valor final dos primeiros 4 anos, assim: CI = Co(1+15%)4. CF6 = CI(1+20)2 = Co(1+15%)4(1+20%)2 Por fim, temos que calcular o valor acumulados dos últimos 4 anos, em que vigora a taxa de 25%. O valor inicial deste último período (4 anos) é igual ao valor final dos primeiros 6 anos, assim CI = Co(1+15%)4(1+20%)2. CF10

=

CI(1+25%)4

=

Co(1+15%)4(1+20%)2(1+25%)4

40.000(1,15)4(1,2)2(1,25)4 = 245.954,0039 b) J5 = CF4*i2 = 40.000(1,15)4*20% = 13.992,05 c) J8 = CF7*i3 = 40.000(1,15)4(1,2)2(1,25)*25% = 31.482,1125


=

UEM



Ano Lectivo: 2016

Regime de capitalização “ dito simples” – características É um processo convencional, sem sustentação teórica, e que mais se pratica dada a facilidade de entendimento, mesmo por pessoas pouco versadas em matemática financeira. Contém em si características que são relativas ao regime simples e outras que são relativas ao regime composto. - O capital inicial de qualquer período é igual ao capital final do período anterior:

CIK = CFK-1 (características do regime composto) - O juro de qualquer período incide sobre o capital investido no inicio do processo:

JK = C0 * r (características do regime simples), ferindo a 3ª regra da matemática financeira já referida, fazendo com que não se produzam os juros de juros - O juro total do processo é igual a pura soma dos juros produzidos ao longo do

processo: JT = n * C0 * r - O capital final do processo é igual ao capital inicial mais o juro total: CF n = Cn =

C0 + n * C0 * r = C0 (1 + n * r) - Quando são dadas várias taxas ao longo do processo de capitalização: CFn = C n =

C0 + J1 + J2 + J3 + Jn = C0 + C0*r 1 + C0*r 2 + C0*r 3 +...+ C0*r n = = C0 (1 + r 1 + r 2 + r 3 +....+ r n)

EXEMPLO: Um capital de MT 100.000,00 foi colocado durante 5 anos a render juros a uma taxa de juro anual de 20%, com os juros (sem juros de juros) pagos no final da aplicação. Determine: a) O montante recebido no 1 e 4 ano; b) O montante recebido no 5 ano. c) O juro acumulado produzido ao longo do processo. d) Os juros de juros produzidos ao longo do processo.


UEM



Ano Lectivo: 2016 e) O montante recebido no 5 ano, considerando que no primeiro ano vigorou a taxa de 20%, no segundo 21%, terceiro 22%, quarto 24% e no quinto ano 25%.

RESOLUÇÃO: a) Não é possível determinar o montante recebido periodicamente uma vez que neste regime os juros são acumulados e entregues no final do processo. b) O montante recebido no 5 ano (último período) é o capital final, ou seja: CF = CI (1+n*r)=100.000 (1+5*20%)=200.000. c) JT = n * C0 * r = 5*100.000*20%=100.000,00. d) Neste regime não há lugar a produção de juros de juros. e) CF= C0 (1 + r 1 + r 2 + r 3+..+r n)=100.000*(1+21%+22%+23%+24%+25%)= = 215.000

Regime misto – Características É uma situação em que ou funcionam os regimes composto e simples em simultâneo ou funcionam os regimes dito simples e simples em simultâneo. Implica que uma parte de juros seja retirado do processo e o remanescente seja recapitalizado ou simplesmente acumulado.


UEM



Ano Lectivo: 2016 Duas hipóteses podem acontecer neste tipo de regime: 1. Tratar-se de levantamento de uma parte de juros e a parte remanescente ser recapitalizado ou acumulado; o processo continuará até ao penúltimo período e sendo que no último período levantar-se-á a totalidade dos juros juntamente com o montante acumulado no início desse último período. 2. Tratar-se de pagamento de imposto pela retenção na fonte – implica que apenas serão recapitalizados ou acumulados uma parte de juros até ao final do processo de capitalização. Se considerarmos: α – percentagem dos juros pagos/retirados (que saem do processo); e β – percentagem dos juros remanescentes (retidos/mantidos no processo) α + β = 1 ou α + β = 100%

Fórmulas para a 1ª Hipótese: Regime Composto, com pagamentos periódicos de parte de juros Cn = C0 (1 + β*r)n-1*(1+r)

Capital Final

JK = C0 (1 + β*r)k-1* r

Juro Periódico Produzido

JKα = α * C0 (1 + β*r)k-1* r

Juro Periódico Pago

JKβ = β * C0 (1 + β*r)k-1* r

Juro Periódico Retido


UEM



Ano Lectivo: 2016 Regime Dito Simples, com pagamentos periódicos de parte de juros Cn = C0 [1 + (n-1)β* r](1+r) Capital Final JK = C0*r

Juro Periódico Produzido

JKα= C0*r*α

Juro Periódico Pago

JKβ= C0*r*β

Juro Periódico Retido

Fórmulas para a 2ª Hipótese: Nesta hipótese apenas a fórmula de cálculo do capital final (ou acumulado) é que muda, o resto mantém-se inalterado, ou seja: Cn = C0 (1+ β*r)n para o Regime Composto, com pagamentos periódicos de parte de juros Cn = C 0 (1 + nβ* r) para o Regime Dito Simples, com pagamentos periódicos de parte de juros

EXEMPLO: Num empréstimo de MT 200.000,00 pelo prazo de 6 anos, foi acordada uma taxa de juro anual de 15%, em regime de capitalização composto. Considerando que 30% dos juros periódicos saem do processo, sendo a restante capitalizada, determine: a) O juro produzido no 1 e 4 ano; b) O juro pago no 1 e 4 ano;

c) capital acumulado no final do empréstimo

RESOLUÇÃO: Dados: Co = 200.000, n = 6, i = 15%, α = 30%, β = 70% a) Jk = Co(1+β*i)k-1*i 1-1

 J1 = Co(1+0,7*15%)

*15% = Co*15% = 200.000*15% = 30.000


UEM



Ano Lectivo: 2016 J4 = Co(1+0,7*15%)4-1*15% = 200.000(1+0,7*15%)3*15% = 40.476,98 Aqui pretende-se determinar o montante de juro produzido periodicamente (a soma do juro pago e o juro retido no processo). b) J1pago = α* J1produzido = 30%*30.000 = 9.000 J4pago = 30%*J4produzido = 30%*40.476,98 = 12.143,09 Neste caso, pretende-se saber o valor do juro que foi pago, ou seja, do montante de juro produzido qual o montante que foi pago no primeiro e no quarto ano. c) CF6 = CI6+Jult = CI6+CI6*i = CF5+CF5*i = Co(1+β*i)5+Co(1+β*i)5*i = Co(1+β*i)5(1+*i) = 200.000(1+0,7*15%)5(1+15%) = 378.912,7562

NOTA: Para se determinar o capital final (ou acumulado) neste regime misto é necessário considerar que em todos os períodos (excepto o último), a taxa de juro será multiplicada pela percentagem dos juros que ficam retidos no processo (β). No último período, o juro é calculado com base na totalidade da taxa de juro.


UEM



Ano Lectivo: 2016

Regimes de Capitalização – Quadro Resumo Simples

Composto

Dito simples

CIK

C0

CFK-1

CFK-1

JK

C0 * r

CIK * r

C0 * r

CFn

C0 (1+r)

C0 (1+r)n

C0 (1+n*r)

JT

-------

C0 [(1+r)n-1]

C0 * n * r

JJ

-------

Cn - C0 - C0 * n * r

--------

NOTA: 

n, r (ou seja, o tempo e a taxa de juro) devem vir expressos na mesma unidade de tempo que é o período de capitalização, ou seja, se período de capitalização for mensal, n e r, deverão vir expressos em meses; se o período de capitalização for anual, n e r, deverão vir expressos em anos.

Cálculo do juro quando o tempo vem dado em dias:

J=

C 0 * t * r 365

, onde n =

t 365

para o ano civil e dividir por 360 para o ano comercial

Cálculo do juro quando o tempo vem dado em meses:

J=

C 0 * t * r 12

, onde n =

t 12

Deve-se utilizar o ano comercial (360) somente quando for indicado, pois que, nos casos em que nada se diz, utiliza-se o ano civil (365).


UEM



Ano Lectivo: 2016

NOTA IMPORTANTE: 

Se não nos derem o período de capitalização, subentende-se que este coincide com o período da taxa de juro, ou seja, se a taxa de juro for anual o período de capitalização será anual, se for trimestral o período de capitalização também será trimestral.



Se não nos derem o período da taxa de juro, subentende-se que o período é anual.



Os regimes simples e dito simples são usados no curto prazo (processo de capitalização inferior a um ano), se a taxa de juro dada for anual. Mas, se por exemplo tivermos um processo de capitalização de 9 meses (inferior a um ano) e dada uma taxa de juro trimestral de 5% (inferior a um ano), usaremos o regime composto (com 3 períodos trimestrais inteiros). E se tivermos o mesmo processo de capitalização de 9 meses (inferior a um ano) e dada uma taxa de 9 meses (inferior a um ano), usaremos o regime composto (com um período inteiro).


UEM



Ano Lectivo: 2016

Processos práticos de cálculo de juros - Método de divisores fixos; - Método de multiplicadores fixos;

Método de divisores fixos

Sabendo que: J =

C0 * t * r 365

Dividindo por r, J =

C 0 * t * r / r 365 / r

= C0 * t *

1 365 r

Se: C0 * t = N e 365 / r = D, então teremos J =

N D

Onde N é número e D é o Divisor Sejam: C1------t1-----r C2------t2-----r Cn------tn-----r JT = J1 + J2 + ---- + Jn J1 = Jn =

C1 * t * r

, se N1 = C1 * t1 e

365

C1 * t * r

365

365

, se Nn = Cn * tn e

r

365

r

= D, então J1 = = D, então J2 =

N 1 D N 2 D


UEM



Ano Lectivo: 2016 n

Assim, JT =

N 1

+----+

D

N n D

 N

b

=

b 1

D

=

N D

EXEMPLO. Abrimos em 2 de Agosto uma conta de depósitos a ordem colocando MT 50,00, posteriormente em 25 de Agosto levantámos MT 10,00. Em 15 de Setembro depositámos MT 15,00 e em 2 de Novembro depositámos MT 25,00. Em 15 de Dezembro levantámos MT 6,00. Sabendo que foi utilizada a taxa de capitalização de 4%, determine os juros totais recebidos no final do ano (31 de Dezembro), utilizando o Método de Divisores Fixos.

RESOLUÇÃO:

D=

Movimento

Datas

Capital (C)

Nº de dias (t)

N=C*t

Depósito de MT 50,00

2/8 a 25/8

50

23

1.150

Levantamento 10

25/8 a 15/9

50-10=40

21

840

Depósito 15

15/9 a 2/11

40+15=55

47

2.585

Depósito 25

2/11 a 15/12

55+25=80

43

3.440

Levantamento 6

15/12 a 31/12

80-6=74

16

1.184

Total ()

------

------

------

9.199

365 r



365 4%

 9.125 e como N = 9.199, então JT =

N D



9.199 9.125

 1,008

Método de multiplicadores fixos Este método difere do outro acima, porque toma-se que: _____________________________________________________________________ Página 20 de 72 Compilado por: Sorte Eduardo A. Sapulia

UEM



Ano Lectivo: 2016 C*t=Ne

r 365

= M, assim JT = N * M

No exemplo anterior, se usasses o método de multiplicadores fixos, teríamos que:

M=

4% 365

 0,000109589 e JT = 9.199,00 * 0,000109589 = 1,008


UEM



Ano Lectivo: 2016

EQUIVALÊNCIA DE TAXAS DE JURO - Introdução. Disparidade entre o período da taxa e o período de capitalização - Taxas equivalentes e taxas proporcionais - Taxas efectivas e taxas nominais - Processo de capitalização com um número não inteiro de períodos de

capitalização: solução prática e solução teórica. Assumimos até aqui que o período de capitalização coincide com o período de referência da taxa de juro, mas nem sempre isto ocorre, situação há em que a taxa de juro vem dada numa unidade de tempo diferente do período de capitalização.

Exemplo: Investimos MT 10.000,00 no processo de capitalização composto, a taxa de juro de 10% ao ano, com capitalização semestral e durante um ano. Neste caso, a taxa de juro dada é de período anual e a capitalização faz-se ao semestre e a questão que se coloca é de como capitalizar ao semestre com uma taxa anual? A disparidade entre o período de capitalização e o de referência da taxa de juro, leva-nos a questão de equivalência de taxas de juros e considerando o nosso exemplo, teríamos que procurar uma taxa de juro de período semestral – período de capitalização – que fosse equivalente a taxa anual de 10%. A priori diríamos que a taxa semestral procurada é de 5% e obtida da seguinte forma: 1 ano ----------- 10%

X=

0,5ano *10% 1ano

= 5% ao semestre

½ ano ----------- X


UEM



Ano Lectivo: 2016 Considerando o conceito de equivalência de taxas, duas taxas de juro referidas a períodos diferentes (anual e subanual) dizem-se equivalentes quando aplicadas ao mesmo capital inicial e para a mesma duração do processo de capitalização produzem o mesmo valor acumulado. Considerando o nosso exemplo e tomando a taxa de 10% ao ano e o tempo em um ano, usando o conceito de equivalência de taxas, teremos para valor acumulado: CF1ano = 10.000 (1+10%) = 11.000 Tomando a taxa de 5% ao semestre e o tempo em semestre (2 semestres = 1 ano), teremos para valor acumulado: CF2 sem = 10.000 (1+5%)2 = 11.025 Comparando os dois capitais acumulados, concluímos que estes são diferentes e onde então podemos dizer que a taxa de 10% ao ano não é equivalente a taxa de 5% ao semestre. Posto isto, qual é então a taxa semestral equivalente a taxa anual de 10%? Considerando o conceito de equivalência de taxas acima referido e representando r’ a taxa semestral equivalente a taxa anual de 10%, podemos estabelecer a equivalência de taxas com base na equação: CF1ano = CF2sem 10.000 (1+10%) = 10.000 (1+r’)2 (1+10%)=(1+r’)2 r’ = (1+10%)1/2 – 1 1 = 4,88% ______________________________________________________ __________________________ ___________________________________________ _______________ Página 23 de 72 Compilado por: Sorte Eduardo A. Sapulia

UEM



Ano Lectivo: 2016 Que tipo de taxa é então a taxa de 5%? A taxa de 5% foi obtida com recurso a proporcionalidade directa, donde é designada por taxa proporcional. Assim, podemos concluir que entre duas taxas referidas a períodos diferentes (uma taxa anual e outra subanual), podemos encontrar dois tipos de relações: relação de equivalência e a relação de proporcionalidade.

Simbologia r  taxa anual equivalente r (m) (m)  taxa anual nominal, composta m meses durante o ano Exemplos: r (2) (2) = taxa anual nominal, composta semestralmente (duas vezes ao ano) r (4) (4) = taxa anual nominal, composta trimestralmente (quatro vezes ao ano) r (12) (12) = taxa anual nominal, composta mensalmente (doze vezes ao ano) r m  taxa subanual reportada ao período que corresponde a 1/m do ano. Exemplos: r 2 = taxa semestral r 4 = taxa trimestral r 1122 = taxa mensal Considerando que entre a taxa r e a taxa r m existe uma relação de equivalência e tomando em atenção o conceito de equivalência de taxas, teremos: C0 (1+r) = C0 (1+r m)m (1+r) = (1+ r m)m ______________________________________________________ __________________________ ___________________________________________ _______________ Página 24 de 72 Compilado por: Sorte Eduardo A. Sapulia

UEM



Ano Lectivo: 2016 Onde: m = é o número de vezes que o período da taxa subanual cabe no período da taxa anual, ou seja: m =

perí p eríodo odo maior perí p eríodo odo menor

Considerando que entre a taxa r e a taxa subanual r m, existe uma relação de proporcionalidade.

r --------------------------------- -------- 1

r m =

r m

r m -------------------- 1/m Onde: m = é o número de vezes que o período da taxa subanual cabe no período da taxa anual, ou seja: m =

perí p eríodo odo maior perí p eríodo odo menor

Taxas efectivas e nominais Quando a relação que existe entre a taxa anual r e a taxa subanual r m for de equivalência é indiferente trabalhar com a taxa anual r ou trabalhar com a taxa subanual r m, isto é, ao trabalhar com a taxa r anual e contar o tempo em anos, estaremos no período 1/m do ano a trabalhar em simultâneo com a taxa r m. Assim, podemos concluir que se r e r m são equivalentes, ambas são efectivas.


UEM



Ano Lectivo: 2016 Se ao invés de uma relação de equivalência, tiver uma relação de proporcionalidade entre a taxa r (m) e r m, teremos uma taxa efectiva que é aquela cujo período coincide com o período de capitalização, e a outra obtida por proporcionalidade directa é nomeada como sendo a que se pratica noutro período diferente do período de capitalização, designa-se por taxa nominal ou proporcional. Dizem-se nominais as taxas que são declaradas (“nomeadas”) em vigor num processo de capitalização, enquanto são efectivas aquelas que efectivamente tem influência na produção dos juros.

Taxas de Juros – Outros Conceitos Taxas ilíquidas e taxas líquidas Chama-se taxa ilíquida (ou bruta) à taxa que não leva em consideração a existência de impostos sobre os juros produzidos e a taxa líquida que já reflete o efeito da fiscalidade. Regra geral, sempre que há juro, há imposto. Este imposto é normalmente determinado aplicando uma taxa (t) ao montante do juro produzido, pelo que o beneficiário fica apenas com o restante do juro periódico produzido (a outra parte vai para o Estado). Simbologia: r liq  taxa de juro líquida r iliq  taxa de juro ilíquida (ou bruta) t  taxa de imposto2

2

É chamada de taxa liberatória, na medida em que “libera” o beneficiário da obrigação de incluir esses rendimentos na sua declaração anual de rendimentos


UEM



Ano Lectivo: 2016 Assim teremos  r liq = r iliq (1- t) Taxas correntes e taxas reais Chama-se taxa corrente à taxa que não leva em consideração o efeito da inflação e a taxa real aquela que já reflecte esse efeito. Existe inflação num dado período quando nesse período o nível geral de preços sobe. Portanto, quando a taxa de juro real for inferior a taxa de juro corrente significa que, em termos reais, o poder de compra se deteriore. Por outro lado, quando a taxa de juro real for superior a taxa de juro corrente significa que, em termos reais, o poder de compra seja maior. Simbologia: i  taxa de juro corrente (anual) iz  taxa de juro real (anual) z  taxa de inflação

Assim, teremos  iz3 =

1 i 1 z

1

Como se chegou a esta fórmula? Através da expressão abaixo:

3

Deve perceber-se que, em rigor, a taxa real não é igual à diferença entre a taxa corrente e a taxa de inflação.


UEM



Ano Lectivo: 2016 C0(1+i) = C0(1+z)(1+iz)  (1+i) = (1+z)(1+iz)  (1+iz) =

1 i 1 z

 iz =

1 i 1 z

1

Vejamos, agora, o que sucede para n períodos de tempo, se as taxas forem variáveis período a período. Aqui deve-se determinar a taxa real média para o prazo da aplicação e que notaremos por i’z. Logo, vem que: C0(1+i1)*….*(1+in) = C0(1+z1)*….*(1+zn)(1+iz) Donde resulta que:

iz =

(1  i1 ) * .... * (1  i n ) (1  z1 ) * .... * (1  z n )

1

Exemplo 1: Dada a taxa anual efectiva de 10%, calcule a taxa equivalente de período bimestral. Dados: r = 10%

(1 + r) = (1 + r m)m

r 6 = ? bimestral

(1 + 10%)= (1 + r 6)6

m = 12/2 = 6

(1,1)1/6 - 1 = r 6 r 6 = 1,6%

E é a taxa equivalente para o período de 7 meses? Dados: r = 10%

(1 + 10%) = (1 + r 12/7)12/7

r 12/7 = ? (7 meses)

r 12/7 = (1,1)7/12 – 1

m = 12/7

r 12/7 = 5,72%


UEM



Ano Lectivo: 2016

Exemplo 2: Um depósito no montante de MT 8.000,00 esteve colocado durante 2 anos, em regime de juro composto, à taxa de 6%. Qual será o valor real dos juros produzidos, sabendo que no primeiro ano a taxa de inflação foi de 3% e de 1,75% no segundo ano? Dados: C0 = 8.000 i = 6% z1 = 3% z2 = 1,75% Vamos calcular o juro, considerando à taxa real média para o prazo da aplicação. Assim sendo, vem que:

iz =

(1  6%) 2 (1  3%)(1  1,75%)

 1  iz = 7,2%

Podemos, agora, calcular o montante dos juros. E sendo que a taxa obtida anteriormente se reporta a todo o prazo da aplicação, o montante total dos juros pode ser obtido multiplicando esta taxa pelo valor de C0. Donde resulta que: Jz (juro real) = iz*C0 = 7,2%*8.000 = 576,00

Exemplo 3: Qual o capital final real líquido de um capital de MT 100.000,00 que esteve aplicado a prazo em regime de juro composto, durante 5 anos, sabendo que: - Produziu, durante os 3 primeiros anos, juros à taxa de 8%, tendo sido de 6% a

taxa praticada nos 2 últimos; - Do 1º ao 5º ano da aplicação se observou uma taxa de inflação da ordem dos

6,75%, 4,5%, 5% e 6,5%, respectivamente?


UEM



Ano Lectivo: 2016 Considere uma taxa liberatória de 20%.

Resolução: Determinar o capital final real líquido implica considerar, em simultâneo, os efeitos da fiscalidade e da inflação. Assim, os juros vão capitalizar à taxa líquida, isto é, 6,4% (=8%*80%) nos 3 primeiros anos e 4,8% (=6%*80%) nos 2 últimos. O capital final real líquido será determinado da seguinte forma:

CFRL = C0*

(1  i1 ) 3 (1  i 2 ) 2 (1  z1 )(1  z 2 )(1  z 3 )(1  z 4 )(1  z 5 )

Enquanto que as taxas constantes no numerador nos permitem apurar o valor líquido do capital, no denominador consideramos o efeito resultante da perda do poder de compra da moeda. Logo,

CFRL = 100.000*

(1  6,4%) 3 (1  4,8%) 2 (1  6,75%)(1  4,5%)(1  5%)(1  7%)(1  6,5%)

= 99.115,28

O capital final real líquido é inferior ao seu valor inicial, donde resulta que a rendibilidade auferida por este investimento, ao longo dos 5 anos, não foi suficiente para compensar os efeitos das elevadas taxas de inflação, sendo que deverá ser procurado uma aplicação alternativa.


UEM



Ano Lectivo: 2016

Dada uma taxa de juro anual efectiva, como podemos obter uma taxa de juro nominal referida para o mesmo período, ou seja, como podemos obter a taxa de juro anual nominal?

Taxa de juro anual efectiva

Equivalência

Taxa de juro anual nominal Taxa de juro em que o seu período coincide com o período de capitalização.

Proporcionalidade

Resposta: Dada uma taxa de juro anual efectiva, para se obter uma taxa de juro anual nominal, primeiro temos que achar a taxa de juro em que o seu período coincide com o período de capitalização (conforme a figura imediatamente acima). Ou seja, se a capitalização for ao semestre (por outras palavras, se a formação do juro for semestral) então, devemos achar a taxa de juro semestral.

NOTA: A relação de equivalência é aplicável para os casos de regime de capitalização puramente simples e regime de capitalização composto, pois que no caso do regime dito simples e considerando o conceito de equivalência de taxas leva-nos a situação de proporcionalidade entre taxas.


UEM



Ano Lectivo: 2016

PROCESSOS DE CAPITALIZAÇÃO COM UM NÚMERO NÃO INTEIRO DE PERÍODOS DE CAPITALIZAÇÃO – REGIME COMPOSTO. Seja um processo de capitalização com n períodos inteiros de capitalização, mais uma fracção x cuja duração é inferior ao período p de capitalização. Expressando o período não inteiro x em fracção de período inteiro p, teremos x/p e para o nosso processo de capitalização n + x/p períodos de capitalização. No período de capitalização p (período inteiro) vigora a taxa r, e se o nosso processo tivesse só n períodos inteiros, o valor acumulado seria obtido com base na formula Cn = C0 (1 + r)n, mas acontece que para além dos n períodos, temos um período não inteiro x/p, donde que o valor acumulado do processo será ser igual ao valor acumulado dos n períodos inteiros mais o juro do período não inteiro x/p. Ou seja, Cn+x/p = Cn + Jx/p Cn = C0 (1 + r)n e Jx/p = CIx/p * r x/p Como CIx/p = Cn então Cn+x/p = C0 (1+r)n + C0 (1+r)n * r x/p = C0 (1+r)n (1+r x/p) Que tipo de relação existe entre a taxa de período inteiro (r) e taxa de período não inteiro (r x/p)? Por outras palavras, que taxa de juro usaremos no período não inteiro?

a) Relação de equivalência (solução teórica) Neste caso, toma-se que no período não inteiro vigora uma taxa efectiva ou equivalente, donde a taxa subanual (não inteira) é obtida por recurso a equação de equivalência de taxas. _____________________________________________________________________ Página 32 de 72 Compilado por: Sorte Eduardo A. Sapulia

UEM



Ano Lectivo: 2016 Dados: r

(1+r)=(1+r p/x) p/x

r p/x = ?

Donde r p/x = (1+r)x/p – 1

m = p/x Assim, Cn+x/p = C0 (1+r)n (1+r p/x) = C0 (1+r) [1+(1+r)x/p – 1] = C0 (1+r)n (1+r)x/p = C0 (1+r)n+x/p

b) Relação de proporcionalidade (solução prática) Neste caso, toma-se que no período não inteiro vigora uma taxa nominal ou proporcional, donde a taxa subanual (não inteira) é obtida por recurso a equação de proporcionalidade de taxas.

r p/x =

r m



r p/x



x p

* r

x

Assim, Cn+x/p = C0 (1+r)n (1+r p/x) = C0 (1+r)n (1+ * r) p

NOTA: Nas duas relações acima, devemos assegurar que o período da taxa r (taxa inteira) seja igual ao período de capitalização. Desse modo, a taxa r (inteira) será uma taxa de juro simultaneamente efectiva e nominal, pelo que com essa taxa é possível usar a relação de equivalência como a relação de proporcionalidade.


UEM



Ano Lectivo: 2016

CASO DE REGIME PURAMENTE SIMPLES No regime simples, vimos que o juro é pago no final de cada período da sua formação/produção e no final do processo o devedor tem a pagar o capital inicialmente obtido mais o juro do último período. O último período, é neste caso o período não inteiro (x/p), donde: C n+x/p = C0 + Jx/p e Jx/p = C0 * r p/x, onde Cn+x/p = C0 + C0 * r p/x = C0 (1+r p/x)

a) Relação de equivalência (solução teórica): A taxa subanual será r p/x = (1+r)x/p – 1 E o Cn+x/p = C0 [1+(1+r)x/p -1] = C0 (1+r)x/p Ou seja, Cn+x/p = C0 (1+r)x/p

b) Relação de proporcionalidade (solução prática):

A taxa subanual (ou taxa de período não inteiro) será r p/x =

x p

* r

x

E o Cn+x/p = C0 (1+ * r) p

NOTA: Nas duas relações acima, devemos também assegurar que o período da taxa r (taxa inteira) seja igual ao período de capitalização. Desse modo, a taxa r (inteira) será uma taxa de juro simultaneamente efectiva e nominal, pelo que com essa taxa é possível usar a relação de equivalência como a relação de proporcionalidade.


UEM



Ano Lectivo: 2016

EXEMPLO: Um capital de MT 80.000,00, esteve colocado durante 10 anos e 11 meses, num processo de capitalização composto de período trimestral, a taxa de juro anual nominal de 20%. Determine o capital acumulado, considerando para eventual fracção do período de capitalização: a) Taxa proporcional; b) Taxa equivalente.

RESOLUÇÃO: Dados: Co = 80.000, n = 10 anos e 11 meses, im = 20% a) i4 =

20% 4

= 5%

n = 43 +

2 3

Trimestres

Cn+x/p =Co(1+i)n(1+x/p*i) = 80.000(1+5%)43(1+2/3*5%) = 673.705,80 b) Cn+x/p = Co(1+i)n+x/p = 80.000(1+5%)43+2/3 = 673.528,60

EXEMPLO: Um capital de MT 10.000,00 foi colocado durante 3 anos e 5 meses, num processo de capitalização simples, a taxa de juro anual nominal de 15% (capitalização trimestral). Calcule o valor no final do processo, considerando que na eventual fracção do período, vigorou: a) Solução teórica (taxa equivalente);

b) Solução prática (taxa proporcional). RESULUÇÃO: Dados: Co = 10.000, n = 3 anos e 5 meses, i(4) = 15%, i4 = ? a) i4 = 15%/4 = 3,75% Cn+x/p = Co(1+i)x/p = 10.000(1+3,75%)2/3 = 10.248,50 b) Cn+x/p = Co(1+x/p*i) = 10.000(1+ 2/3*3,75%) = 10.250,00 _____________________________________________________________________ Página 35 de 72 Compilado por: Sorte Eduardo A. Sapulia

UEM



Ano Lectivo: 2016

DESCONTOS - Introdução - Desconto Simples: Desconto por Fora e Desconto por Dentro - Desconto Composto - Desconto bancário de letras e livranças

Até aqui temos analisado processos de capitalização que vão do início até ao vencimento dos mesmos, mas nem sempre isso ocorre, situação há em que quer por necessidade do devedor como do credor os processos são interrompidos antes do seu vencimento, quando faltam t períodos do processo por cumprir. Perante esta situação, quanto é que o devedor terá que pagar na data da antecipação? Ou ainda, do ponto de vista do credor, quanto ele irá receber na data da antecipação? Cn = valor nominal da dívida Cn-t = valor actual da dívida n-t = momento da antecipação da dívida t = número de períodos que faltam por vencer Na data da antecipação, o devedor irá pagar o valor actual da dívida, isto é, o valor nominal da dívida actualizado ou descontado para o momento da antecipação. Designando por Desconto, o encargo que o credor suporta pelo recebimento antecipado da dívida e representando por D, podemos concluir que o valor actual da dívida (Cn-t) é igual ao valor nominal da dívida (Cn) deduzido do montante de Desconto (D): Cn-t = Cn – D Donde virá para Desconto: D = Cn – Cn-t _____________________________________________________________________ Página 36 de 72 Compilado por: Sorte Eduardo A. Sapulia

UEM



Ano Lectivo: 2016

Dissemos que o valor actual da divida resulta da actualização ou desconto do valor nominal pelos t períodos que faltam por vencer. Par a f azer a actualização ou desconto teremos de pr essupor a exi stência de u m pr ocesso de capital ização i mpl ícito que vai corr er do momento do venci mento da dívida (n) e o momento da an tecipação (n -t).

Esta capitalização poderá ser feita recorrendo ao regime dito simples ou ao regime composto. O caso de regime puramente simples, deixa de ter relevância dado que neste regime o capital em dívida em qualquer momento corresponde ao valor inicialmente cedido mais o juro do período vencido. Ao Desconto realizado com base no regime dito simples, designa-se por Desconto e ao realizado com base no regime composto designa-se por Desconto Simples . Composto

Desconto Simples Tem como base o regime de capitalização dito simples e corresponde ao juro dito simples referente aos t períodos que faltam por cumprir, e pode ser calculado com base no valor actual da divida ou com base no valor nominal da dívida.

Desconto por Dentro ou Racional – neste caso o desconto corresponde ao juro dito simples calculado com base no valor actual da dívida: DD = JDS = Cn-t * t * r Acontece que no momento da actualização, não conhecemos o valor actual da dívida, pelo que devemos procurar uma fórmula que nos permita determinar o valor do desconto com base no valor nominal da dívida.


UEM



Ano Lectivo: 2016 Sabendo que: D = Cn – Cn-t e D = DD = Cn-t * t * r, então  C n

= C n-t (1+t * r)  C n-t =

Cn 1  t * r

Cn – Cn-t = Cn-t * t * r

(Fórmula de cálculo do valor actual com base no

valor nominal).

Assim, como DD = Cn-t * t * r e C n-t =

Cn 1  t * r

, então DD =

C n * t * r 1  t * r

(Fórmula de cálculo

do desconto por dentro, com base no valor nominal).

Desconto por Fora ou Comercial – É o que mais se pratica e toma como base o valor nominal da dívida, ou seja, o desconto corresponde ao juro dito simples calculado com base no valor nominal: DF = JD S= Cn * t * r Para calcular o valor actual, sabemos a priori que: D = Cn – Cn-t e DF = Cn * t * r, então Cn * t * r = Cn – Cn-t Assim, Cn-t = Cn (1 - t * r) (Fórmula de cálculo do valor actual com base no valor nominal).

Nota: Tanto o desconto por fora como por dentro são utilizados para períodos de tempo curtos, geralmente inferiores a 1 ano. Normalmente a taxa de juro que nos é dada é de período anual pelo que nos casos em que o tempo vem dado em meses ou dias deve-se dividir o t por 12 quando o tempo vem dado em meses e por 365 ou 360 quando o tempo vem dado em dias.


UEM



Ano Lectivo: 2016

Desconto Composto Utiliza o regime de capitalização composto. O valor actual é calculado com base na actualização do valor nominal nos moldes do regime de capitalização composto: Cn-t = Cn (1+r)-t Sabendo que: D = Cn – Cn-t e que Cn-t = Cn (1+r)-t, então D = Cn – Cn (1+r)-t  D = Cn [1-(1+r)-t]

Desconto de títulos de crédito A emissão de títulos de crédito (letras e livranças) ocorre, no contexto da actividade comercial, essencialmente devido a 2 razões: 1. A emissão de um título de crédito justifica-se perante a ausência de uma forte relação de confiança entre o devedor e o credor. Em caso de incumprimento, a posse do título permite ao credor mover uma acção contra o devedor; 2. Mesmo havendo confiança, a existência de um título de crédito possibilita a sua apresentação a desconto junto de uma instituição bancária (desconto bancário), que adianta ao credor os fundos correspondentes à dívida titulada. Acresce ainda que os títulos podem ser endossados (desse modo, os próprios títulos funcionam como meios de pagamento, uma vez que o direito ao crédito é transferido para outrem).


UEM



Ano Lectivo: 2016 Letras – Conceito e Características A letra é um título de crédito pelo qual uma pessoa (sacador/credor) ordena a outra (sacado/devedor) que lhe pague a si próprio ou a um terceiro (tomador/beneficiário) uma determinada importância, em determinada data. Para além dos intervenientes acima apontados – sacador, sacado e tomador ou beneficiário – outros poderão surgir no contexto da emissão e da negociação de uma letra: 

Aceitante – o sacado após ter reconhecido o saque e assinado a letra;



Endossante – pessoa que transfere os seus direitos por intermédio do acto de endosso;



Endossado – aquele a quem são transmitidos os direitos pelo endossante;



Cedente – pessoa que apresenta a letra ao banco para desconto.

Desde a emissão da letra até ao seu vencimento, duas situações podem ocorrer: 1. A letra pode permanecer em carteira ou na fonte, isto é, na posse do sacador ou daquele a quem o título foi endossado até ao vencimento. No vencimento, compete ao devedor proceder à liquidação do montante em dívida junto do beneficiário (ou sacador), sem que haja intervenção directa de uma entidade bancária; 2. A letra pode ser apresentada a desconto junto de uma entidade bancária, nos casos em que o sacador (ou da pessoa cuja posse da letra se encontra) necessite de fundos antes do vencimento. A entidade bancária credita na conta à ordem do cedente o valor líquido da operação, já deduzidos os encargos inerentes ao desconto.


UEM



Ano Lectivo: 2016 Desconto de letras No desconto de letras, designaremos por desconto bancário a totalidade de encargos a deduzir ao valor nominal do título. Quais são esses encargos? 

O juro ou o desconto propriamente dito (calculado segundo as regras do desconto comercial simples, também designado por desconto por fora) – vamos representar por DF;



A comissão de cobrança, que é uma percentagem ou permilagem que incide, em regra, sobre o valor nominal da letra. No fundo é o preço de um serviço prestado pelo banco e varia de banco para banco, de acordo com factores como o local de pagamento diferente do local de desconto da letra, etc – vamos representar por α.



Imposto de selo, que é um encargo fiscal, imposto por lei (ao contrário do juro, comissão de cobrança e portes que são receita do banco, o imposto de selo é receita do Estado). Incide sobre o somatório do montante dos juros (desconto por fora) e da comissão de cobrança) – vamos representar por I;



Portes, à semelhança do que sucede com as comissões de cobrança, o valor de portes depende do estabelecido na tabela de preços de cada banco, muito embora sejam, em regra, de montante reduzido. Destinam-se a cobrir despesas de correio e/ou de comunicação associadas ao desconto da letra. O seu montante é fixo por letra, sendo também frequente a isenção do pagamento para determinados segmentos da clientela – vamos representar por P.

NOTA: A prática bancária permite que as letras sejam liquidadas nos 2 dias posteriores ao seu vencimento.


UEM



Ano Lectivo: 2016 Assim, DB = Juros + Comissão de Cobrança + Imposto de Selo + Portes. DB = DF + C + IS + P DB = (DF + C)(1 + I) + P DB = (Cn * t * r + α*Cn)(1+I) + P DB = Cn(t * r + α)(1+I) + P As vendas crédito e o cálculo do valor nominal da letra As vendas quanto a modalidade de pagamento poderão ser a pronto ou a crédito e no caso das vendas a crédito estas poderão levar a emissão de letras e livranças. Na emissão desses títulos de crédito em geral, e da letra em particular, um dos princípios a que se deve obedecer é a inclusão do valor da dívida a pagar na data do vencimento. Na determinação deste montante, temos que ter em conta um dos dois pressupostos, como vimos atrás: 1. A letra é emitida pressupondo o seu imediato desconto junto ao banco. Neste caso quem concede efectivamente o crédito é o banco, pois que o vendedor/sacador realiza de imediato por recurso ao desconto bancário o valor do preço de pronto pagamento. Nesta opção podemos encontrar duas alternativas: a) Emissão de uma só letra – neste caso o crédito é representado por uma letra aceite pelo comprador/sacador e na determinação do valo nominal dessa letra, o vendedor inclui para além do preço de pronto pagamento (é dívida para o comprador e representaremos pela letra PPP) o valor do encargo de desconto da mesma junto ao banco: Cn = PPP + DB _____________________________________________________________________ Página 42 de 72 Compilado por: Sorte Eduardo A. Sapulia

UEM



Ano Lectivo: 2016 Se: DB = Cn(t * r + α)(1+I) + P Então Cn = PPP + Cn(t * r + α)(1+I) + P Cn =

PPP  P 1 - (t * r   )(1  I)

Ou, Cn =

(PPP - Pagamento Parcial)  P 1 - (t * r   )(1  I)

, no caso em que o vendedor

procede ao pagamento de uma parte do PPP.

b) Emissão de várias letras – Neste caso a dívida é representada por várias letras de vencimentos distintos. Quanto ao valor nominal, este poderá ser constante ou variável e essa variação poderá obedecer a uma lei específica (progressão aritmética, geométrica) ou não. Na determinação do valor nominal de cada letra, o somatório dos valores nominais das letras será igual a PPP (valor em dívida) mais o somatório do desconto bancário das letras.

C Ou,

n

 PPP   DB

C

n

 (PPP - Pagamento Parcial)   DB no caso em que o vendedor procede ao

pagamento de uma parte do PPP. 2. A letra é emitida pressupondo a sua retenção pelo credor ate ao vencimento. Neste caso na determinação do valor nominal este para além da PPP (dívida) irá incluir o juro relativo ao crédito pelo tempo que vai da emissão até ao vencimento do título: _____________________________________________________________________ Página 43 de 72 Compilado por: Sorte Eduardo A. Sapulia

UEM



Ano Lectivo: 2016 Cn = PPP (1+ t*r) Ou, Cn = (PPP-Pagamento Parcial) (1+ t*r)

A reforma da letra e o cálculo do valor nominal da nova letra Chegada a data de vencimento da letra, uma das duas situações pode ocorrer: o devedor paga o valor em dívida ou o devedor não paga. Nesta segunda hipótese, ele pode negociar com o vendedor a prorrogação do prazo, pois uma das condições essenciais da letra é a inclusão da data de vencimento e esta não pode ser rasurada. Esta situação leva a emissão de uma nova letra com um novo prazo de vencimento – a esta substituição de uma letra vencida por uma nova de vencimento posterior designa-se por reforma da letra. Os procedimentos para o cálculo do valor nominal da nova letra (Cn+t) são os mesmos que vimos anteriormente, mas só que o preço de pronto pagamento (PPP) é substituída pelo valor nominal da antiga letra (Cn). Há reforma total/integral quando na data de vencimento o devedor/comprador não efectua qualquer amortização. No caso da reforma parcial, o devedor/comprador liquida certa percentagem do valor em dívida, havendo lugar à emissão de uma nova letra correspondente à quantia remanescente.

Livranças – Conceito e Características A livrança é um título de crédito negociável, através do qual o subscritor se compromete a pagar ao beneficiário, ou à ordem deste, uma dada importância, numa data futura. As livranças são utilizadas, na maioria dos casos, para titular financiamentos bancários de


UEM



Ano Lectivo: 2016 curto prazo, em que o beneficiário é uma instituição bancária, apesar de existirem livranças em que ambos os intervenientes são particulares. A livrança distingue-se da letra, na medida em que a primeira se trata de uma promessa de pagamento, a segunda comporta uma ordem de pagamento. Por outro lado, a letra surge na sequência de uma transacção comercial, sendo que a livrança se associa a financiamentos directos. Na livrança intervirão o subscritor ou emitente, quem emite o título e que pela sua assinatura se obriga a pagar uma determinada importância no futuro e o beneficiário ou tomador, aquele a quem ou à ordem de quem, o título é pagável. Desconto de livranças No desconto de livranças (também chamada de desconto por financiamento) são devidos juros calculados de modo idêntido ao caso das letras, isto é, considerando os 2 dias adicionais para pagamento. Porém, estando as livranças na posse do banco que realiza a operação de financiamento, não são devidas as quantias referentes a comissões de cobrança e portes. Mas, é cobrado o imposto de selo, que, como apontámos atrás resulta da imposição legal (receita do Estado), incidindo assim, sobre o montante dos juros. Assim sendo, no contexto do desconto por financiamento, os encargos cingem-se aos juros, determinados em função do montante de crédito efectivamente concedido e ao imposto de selo. Existem 3 possibilidades no que concerne à concessão de crédito titulado por intermédio de livranças, a saber:


UEM



Ano Lectivo: 2016 1. O valor nominal da livrança corresponde ao capital concedido, sendo os encargos decorrentes da operação de desconto tratados autónoma e postecipadamente. Aqui o valor nominal da livrança será o capital mutuado (C0), quantia que a instituição bancária creditará na conta do subscritor da livrança na data da operação e que deverá ser restituída até ao último dia de pagamento, juntamente com o montante dos encargos. VN = C0 VL (valor a liquidar/pagar na data do vencimento) VL = C0 + DD + IS IS = DD*I, então, VL = VN + DD + DD*I = VN +DD (1+I) DD = C0*t*i VL = VN + C0*t*i(1+I), então VL = C0 [1+t*i(1+I)]

ou

VL = VN[1+t*i(1+I)]

2. O valor nominal da livrança inclui o montante de capital mutuado, bem como os respectivos encargos. Nesta opção, uma vez que o valor nominal da letra engloba os encargos inerentes à operação de desconto, na data da emissão, a conta à ordem do subscritor será creditada pelo capital mutuado (C0), devendo a mesma ser debitada, no vencimento, pelo valor nominal da livrança. VN = C0 + DD + IS VN = C0 + DD + DD*I = C0 + DD (1+I) VN = C0 + D*t*i (1+I) = C0 [1+t*i(1+I)] (aqui, o VN é diferente do C0)


UEM



Ano Lectivo: 2016 3. O valor nominal da livrança corresponde ao capital mutuado, sendo os juros pagos antecipadamente pelo seu valor actual. Aqui o valor nominal vai corresponder à quantia a liquidar no vencimento e o valor a creditar na conta à ordem do subscritor na data de emissão será menor que o valor do título e a diferença corresponderá aos encargos actualizados de acordo com a modalidade do desconto por dentro. VC (valor a creditar na conta do subscritor) VC = VN – DD – IS sendo que IS = DD*I VC = VN – (DD + IS) = VN – (DD + DD*I) VC = VN – DD(1+I), Mas como os encargos são pagos antecipadamente, existe a necessidade de actualizar esses encargos para o momento presente, nos moldes do desconto por dentro, ou seja: VC = VN –

DD 1 t * r

(1  I)

Os encargos do desconto, são calculados, como dissemos atrás, através do montante efectivamente emprestado. Neste caso, como os encargos são pagos antecipadamente, e pese embora o montante que será creditado na conta do devedor seja menor, o valor do empréstimo é o valor nominal (C0 = VN), pelo que os encargos incidirão sobre o valor nominal da livrança. Assim, DD = VN*t*i

Pelo que, VC = VN –

 

VC = VN 1 

t *i 1 t * r

VN * t * i 1 t *r

 

(1  I) = VN 1 

t *i 1 t *r

 

(1  I)

t *i    ou VC = C0 1  (1  I)   1 t * r 

(1  I)


UEM



Ano Lectivo: 2016 A reforma da livrança e o cálculo do valor nominal da nova livrança Os procedimentos na reforma da livrança são os mesmos que vimos da reforma da letra. Pode existir também a reforma total/integral ou a reforma parcial.

EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS - Equivalência Simples; - Equivalência composta.

A relação entre o devedor e o credor em muitos casos não se resume a uma única dívida, pode ser estendida a várias dívidas que o devedor tem para com o seu credor e pode haver interesse em substituir essas dívidas por um pagamento único ou por vários pagamentos. Tanto num como noutro, os capitais a substituir como os capitais substitutos deverão ser financeiramente equivalentes. Diz-se que dois ou m ais capitai s são f inan ceiramente equi valentes quando, para um determi nado momento (data f ocal), os seus valor es actuais são iguais.

Para estabelecer a equivalência de capitais é necessário considerar dois passos: 1. Actualizar todos os capitais para um determinado momento, data focal, (para facilitar, consideraremos o momento presente), o que pressupõe a existência de um processo implícito de capitalização que vai decorrer entre o vencimento de cada capital e o referido momento, pelo que é necessária a adopção de uma taxa de juro, neste caso, designada de taxa de avaliação. A actualização pode efectuarse recorrendo ao regime de capitalização dito simples ou ao regime composto, dai resulta a equivalência simples e composta.


UEM



Ano Lectivo: 2016 2. Adicionar os valores actuais dos capitais a substituir e igualar aos valores actuais dos capitais substitutos. No caso de substituição de vários capitais por um único pagamento a esse pagamento único é designado por capital comum (CC) e o vencimento desse capital designa-se por vencimento comum (t).

Equivalência Simples Toma como base o regime dito simples e actualização dos capitais é feita nos moldes do desconto por fora ou por dentro, daí desdobra-se em equivalência por fora e por dentro.

Equivalência por dentro Neste caso toma-se a fórmula do valor actual por dentro para a actualização dos capitais. Seja os capitais Cx e Cy vencíveis em tx e ty, para que esses capitais sejam equivalentes é necessário que os seus valores actuais sejam iguais. Sabendo que o valor actual no Desconto por Dentro é dado pela formula: Cn-t =

Cn 1  t * r

e considerando os passos

necessários para estabelecer a equivalência: 1º. Actualizar os capitais (para o momento presente, para facilitar):

Cα-tα =

C 1  t * r

;

C β -t β =

C  1  t  * r

2º. Igualar os valores actuais:


UEM



Ano Lectivo: 2016 C

C 



1  t * r 1  t  * r

No caso de equivalência de vários capitais por um único capital (CC) Sejam os capitais C1; C2;....; Cn, vencíveis em t1; t2;.....; tn. Para substituir esses capitais por um capital único de vencimento único (t), teremos: 1º. Actualizar os capitais (para o momento presente):

C1-t1 =

VA =

C1

; C2-t2 =

1  t1 * r

C2 1  t2 * r

; Cn-tn =

Cn 1  tn * r

CC (t) 1  t * r

2º. Adicionar os valores actuais a substituir e igualar ao valor actual do capital único: C1



C2

1  t1 * r 1  t2 * r

 ....... 

Cn



CC(t)

1  tn * r 1  t * r

Se a incógnita for o vencimento comum é só resolver a equação em ordem a t.

1+ t*r =

CC(t) C

 1  t * r

No caso de equivalência de vários capitais por vários capitais, o procedimento é o mesmo, ou seja, é necessário actualizar tanto os capitais a substituir como os capitais substitutos. _____________________________________________________________________ Página 50 de 72 Compilado por: Sorte Eduardo A. Sapulia

UEM



Ano Lectivo: 2016 C

C 

 1  t * r   1  t  * r Equivalência por fora Neste caso, utiliza-se a fórmula de cálculo do valor actual no Desconto por FORA e os procedimentos são os mesmos da equivalência por dentro.

Equivalência Composta Os passos para estabelecer a equivalência são os mesmos, mas a actualização é feita com base no regime composto. Sejam os capitais C1; C2; ....; Cn vencíveis em t1; t2; ...; tn. Para substituir esses capitais por um capital único vencível no momento t (vencimento comum), teremos: 1º. Actualizar todos os capitais, incluindo o capital único: C1-t1 = C1(1+r)-t1 , C2-t2 = C2(1+r)-t2 , ....., Cn-tn = Cn(1+r)-tn VA = CC(t) (1+r)-t 2º. Adicionar os valores actuais dos capitais a substituir e igualá-los ao valor actual da dívida única (capital único): C1(1+r)-t1 + C2(1+r)-t2 + ....+ Cn(1+r)-tn = CC(t) (1+r)-t Se a incógnita for capital comum é só resolver a equação em ordem a CC(t):


UEM



Ano Lectivo: 2016 CC(t) = (1+r)t

n

C

k

(1  r) - tk

k 1

E se a incógnita for o vencimento comum, é só resolver a nossa equação em ordem a t.

EXEMPLO: Uma empresa tem a pagar uma divida composta por 4 títulos de crédito de MT 15.000,00; MT 27.500,00; MT 15.000,00 e MT 20.000,00, com vencimentos a 6, 18, 15 e 24 meses, respectivamente, as quais incluem juros calculados a uma taxa de juro anual efectiva de 10%. Determine: a) O vencimento médio; b) O vencimento comum, considerando um pagamento único de MT 80,000; c) O pagamento único que teria de fazer de imediato, para liquidar aquelas dividas.

RESOLUÇÃO: a) Para calcularmos o vencimento, primeiro temos que calcular o capital comum, que será a soma das 4 dívidas (=15.000+27.500+15.000+20.000= 77.500)

15.000(1+10%)-6/12+27.500(1+10%)-18/12 +15.000(1+10%)-15/12 +2.000(1+10%)-24/12 = (15.000+27.500+15.000+20.000) (1+10%)-t 67.982,7 = 77.500 (1,1)-t

t = 1,37 anos _____________________________________________________________________ Página 52 de 72 Compilado por: Sorte Eduardo A. Sapulia

UEM



Ano Lectivo: 2016 b) 67.982,7 = 80.000 (1,1)-t t = 1,74 anos c) CC(0) (1,1)0= 67.982,7 → CC(0) = 67.982,7

RENDAS No capítulo anterior estudamos como se calcula o capital comum e o vencimento comum, em equivalência de capitais, a um dado conjunto de capitais com diversos vencimentos. Agora iremos tratar de um caso especial de equivalência de capitais composta,

particularizado pela periodicidade dos vencimentos, de acordo com a seguinte definição:

Definição: renda é uma sucessão de capitais vencíveis periodicamente (ou seja, de capitais com vencimentos de igual periodicidade).

Algumas definições importantes: - Período de diferimento ou de carência: é o período que vai desde o momento

zero até ao início do primeiro termo da renda (desde o momento zero até ao momento da constituição da renda). Pode ser total (de capital e juros) ou apenas de capital. Quando a carência é total, não há pagamento nem da parcela dos juros nem do capital e quando é apenas de capital, há pagamento de juros. - Valor duma renda: é o valor comum de uma sucessão de capitais.


UEM



Ano Lectivo: 2016

Classificação das rendas a) Quanto ao número de termos: temos as rendas finitas ou temporárias quando sabemos o número de termos da renda e rendas infinitas ou perpétuas quando não sabemos o número de termos da renda (termos ilimitados);

b) Quanto ao momento da constituição da renda: temos rendas imediatas quando o diferimento é igual a zero (ou seja, o momento da constituição da renda coincide com o momento zero) e rendas diferidas quando o diferimento é maior que zero (quando o momento da constituição da renda é posterior ao momento zero).

c) Quanto ao vencimento dos termos: temos rendas posticipadas ou normais quando o vencimento dos termos da renda ocorre no final do período em que dizem respeito e rendas antecipadas quando o vencimento dos termos ocorre no início do período em que dizem respeito.

d) Quanto a periodicidade dos termos: temos rendas anuais, semestrais, quadrimestrais, etc.

e) Quanto ao objectivo da sua constituição: temos rendas de amortização que são aquelas que têm por objectivo a amortização de um capital concedido no momento zero (t=0). Os seus termos são constituídos por duas parcelas, uma para o reembolso do capital e outra para fazer o serviço da divida (o juro); temos também as rendas de acumulação, que tem em vista a constituição de um montante acumulado no momento de vencimento (t=w+n), os seus termos são calculados de modo a que acrescidos dos respectivos juros resultem no montante desejado no vencimento.

Valor de uma renda de termos quaisquer Calcular o valor duma renda num momento t qualquer, não é mais do que calcular o capital comum desse conjunto de capitais. Sabendo que o capital comum no momento t é _____________________________________________________________________ Página 54 de 72 Compilado por: Sorte Eduardo A. Sapulia

UEM



Ano Lectivo: 2016 n

dado por CC(t) = (1+r)t  C k (1  r) -k e representando por R(t), o valor da renda no k 1

momento t será: n

R(t) = CC(t) = (1+r)  C k (1  r) -k , t

k 1

onde k é o vencimento de cada capital, que no caso das rendas é precedido ou inclui a parte do diferimento (w) e considerando as rendas posticipadas ou de termos normais, em que o primeiro termo vence no final do primeiro período após o diferimento (w+1) e o segundo termo dois períodos após o diferimento (w+2) e assim em diante, podemos constituir tk por w+k, onde w representa o diferimento e k o vencimento do termos após o diferimento, variando de 1 ate n, no caso de rendas temporárias ou finitas. Assim teremos: R(t) = (1+r)t [C1(1+r)-w-1 + C2(1+r)-w-2 + ....+ Cn(1+r)-w-n] = (1+r)t {(1+r)-w[C1(1+r)-t1 + C2(1+r)-t2 + ...+ Cn(1+r)-tn]} t-w

= (1+ r)

n

C

k

(1  r) -k

k 1

Caso de rendas antecipadas As rendas antecipadas são aquelas cujos termos vencem no início do respectivo período. Se considerarmos a existência de um período antes de w (ou seja, antes do momento da constituição da renda) a nossa renda antecipada passa a ser posticipada mas com um diferimento de w-1, ou seja, R(t)AntW = R(t)PostW-1. Sabendo que o valor no momento t de uma renda posticipada é dada por:


UEM



Ano Lectivo: 2016 R(t)PostW = (1+r)t-w

n

C

k

- k (1  r) , teremos para a nossa renda antecipada diferida de w

k 1

que vimos que era igual a uma renda posticipada diferida de w-1. n

n

k 1

k 1

R(t)AntW = R(t) PostW-1 = (1+r)t-(w-1)  C k (1  r) -k = (1+r)t-w+1  C k (1  r) -k t-w

= (1+r) (1+r)

n

C

k

(1  r) -k

k 1

Ou seja: R(t)AntW = (1+r) R(t)PostW Onde a taxa de juro (i), período de diferimento (w) e momento da renda (t) tem que estar referidas na mesma unidade de tempo, que éo período da r enda (ou seja, a . peri odicidade da renda/periodicidade do pagamento das prestações) O valor duma renda no momento t de uma renda antecipada diferida de w é igual ao valor no mesmo momento de uma renda posticipada com o mesmo diferimento capitalizada em mais 1 período.

Rendas de termos constantes São aquelas cujo valor dos termos não varia (C1=C2=C3=Cn=C). Sabendo que o valor no momento t de uma renda posticipada de termos quaisquer é dada por:

R(t)PostW = (1+r)

t-w

n

C

k

(1  r) -k

k 1


UEM



Ano Lectivo: 2016

Se a renda for de termos constantes, podemos substituir Ck por C, que pode-se tirar do somatório, visto ser uma constante: n

t-w

R(t)PostW = (1+r) C

 (1  r)

- k

k 1

onde

n

 (1  r)

- k

= (1+r)-1 + (1+r)-2 + ...+ (1+r)-n vai constituir a soma de n termos

k 1

sucessivos de uma progressão geométrica de razão (R) igual (1+r)-1.

Se a soma de um progressão geométrica é dada por Sn = Então a soma da nossa renda será: Sn =

U1 - U n * R 1  R

(1  r) -1  (1  r) -n * (1  r) -1 1 - (1  r) -1



1  (1  r) -n r

1  (1  r) -n  R(t)Postw = (1+ β*r) C   r   t-w

Expressão geral do valor da Renda constante, no momento t, posticipada, temporária e diferida de w. Para as rendas antecipadas deve-se acrescentar a expressão (1+r).

Onde: n indica o número de termos/prestações da renda; t indica a localização do valor ou montante da renda; C indica o valor ou montante do termo/prestação; W indica o período de diferimento (que vai desde o momento presente até ao momento da constituição da renda); β indica

a percentagem de juros que fica no processo (se houver regime misto no período

de diferimento); _____________________________________________________________________ Página 57 de 72 Compilado por: Sorte Eduardo A. Sapulia

UEM



Ano Lectivo: 2016

r indica a taxa de juro; e R(t) indica o valor ou montante da renda (o valor comum das prestações) Nota: a condição base para a aplicação desta fórmula, é que t, n, w e r devem vir expressos numa mesma unidade de tempo, que é como vimos atrás o período da renda (periodicidade dos termos). Nos casos em que a taxa dada vem numa unidade de tempo diferente do período da renda, recorre-se na equivalência de taxas.

Rendas de termos variáveis Entre as rendas de termos variáveis podemos encontrar dois grupos: i. Aquelas cujas variações dos termos não obedece a qualquer tipo de critério e ii. Aquelas cuja variação dos termos ocorre de acordo com regras previamente estabelecidas. No caso das primeiras, torna-se difícil encontrar um método que permita determinar rapidamente tanto o valor actual como o valor acumulado, pelo que torna-se necessário considerar individualmente cada um dos termos, como vimos acima no cálculo das rendas de termos quaisquer. No caso das segundas, dedicaremos a nossa atenção a dois casos particulares: o caso em que os termos da renda variam em função de um progressão aritmética e o caso em que os termos da renda variam em acordo com uma progressão geométrica.

Renda de termos de progressão aritmética Quando os termos da renda variam em progressão aritmética de razão B, teremos C1= C1 C2=C1+B C3=C2+B=C1+2B …….. Cn=Cn-1+B=C1+(n-1)*B


UEM



Ano Lectivo: 2016 Donde podemos concluir que um dado termo k pode ser obtido através de Ck =Ck-1+B=C1+(k-1)*B O valor de uma renda cujos termos obedecem a estas características será dado por: R(t) = [C1(1+r)-1 + C2(1+r)-2 + C3(1+r)-3 +….+ Cn(1+r)-n](1+r)t-w Onde: R(0) = C1(1+r)-1 + C2(1+r)-2 + C3(1+r)-3 +….+ Cn(1+r)-n (renda actual, sem diferimento) = C1(1+r)-1 + (C1+B)(1+r)-2 + (C1+2B)(1+r)-3 +….+ [C1+(n-1)B](1+r)-n = C1(1+r)-1 + C1(1+r)-2 + B(1+r)-2 +C1(1+r)-3 + 2B(1+r)-3...+ C1(1+r)-n +(n-1)B(1+r)-n Multiplicando ambos os membros por (1+r), teremos: R(0)*(1+r) = C1 + C1(1+r)-1 + B(1+r)-1 +C1(1+r)-2 + 2B(1+r)-2...+ C1(1+r)-n+1 +(n1)B(1+r)-n+1 Sendo que R(0) [(1+r)-1] = R(0)*(1+r) – R(0), então: R(0) [(1+r)-1] = C1 + C1(1+r)-1 + B(1+r)-1 +C1(1+r)-2 + 2B(1+r)-2...+ C1(1+r)-n+1 +(n1)B(1+r)-n+1 – [C1(1+r)-1 + C1(1+r)-2 + B(1+r)-2 +C1(1+r)-3 + 2B(1+r)-3...+ C1(1+r)-n+1 +(n2)B(1+r)-n+1 + C1(1+r)-n +(n-1)B(1+r)-n] R(0) [(1+r)-1] = C1 + B(1+r)-1 + B(1+r)-2...+ B(1+r)-n+1 – C1(1+r)-n – (n-1)B(1+r)-n R(0)*r = C1 + B(1+r)-1 + B(1+r)-2...+ B(1+r)-n+1 – C1(1+r)-n – nB(1+r)-n + B(1+r)-n


UEM



Ano Lectivo: 2016 R(0)*r = C1 – C1(1+r)-n + B(1+r)-1 + B(1+r)-2...+ B(1+r)-n+1 + B(1+r)-n – nB(1+r)-n 1  (1  r) -n  R(0)*r = C1[1 – (1+r) ] + B  – nB(1+r)-n  r   -n

1  (1  r) -n  B 1  (1  r) -n  nB(1 + r) -n R(0) = C1   + r   – r r r    

R(0) = [C1+ R(t) = [C1+

-n B 1  (1  r) 

]

r 

r

 – 

-n B 1  (1  r) 

]

r 

r

 – 

nB(1 + r) -n r nB(1 + r) -n r

(1+ β*r)t-w

Nota: a condição base para a aplicação desta fórmula, é que t, n, w e r devem vir expressos numa mesma unidade de tempo, que é o período da renda (periodicidade dos termos). Nos casos em que a taxa dada vem numa unidade de tempo diferente do período da renda, recorre-se, como se sabe, na equivalência de taxas.

Renda de termos de progressão geométrica Quando os termos da renda variarem em progressão geométrica cuja razão indicaremos por B, teremos: C1= C1 C2=C1*B C3=C2*B=C1*B2 …….. Cn=Cn-1*B=C1*B(n-1) Donde podemos concluir que um dado termo k pode ser obtido através de


UEM



Ano Lectivo: 2016 Ck =Ck-1*B=C1*B(k-1) O valor de uma renda cujos termos obedecem a estas características será dado por: R(t) = [C1(1+r)-1 + C2(1+r)-2 + C3(1+r)-3 +….+ Cn(1+r)-n](1+r)t-w Onde: R(0) = C1(1+r)-1 + C2(1+r)-2 + C3(1+r)-3 +….+ Cn(1+r)-n (renda actual, sem diferimento) = C1(1+r)-1 + C1*B(1+r)-2 + C1*B2(1+r)-3 +….+ C1*B(n-1)(1+r)-n Colocando C1 em evidência, teremos: R(0) = C1[(1+r)-1 + B(1+r)-2 + B2(1+r)-3 +….+ B(n-1)(1+r)-n] Dentro dos parênteses rectos temos os n termos de uma progressão geométrica de razão igual a B*(1+r)-1. Sabendo que a soma dos n termos de uma progressão geométrica é dada por: Sn =

U1 - U n * R 1  R

Então, resulta que: Sn =

(1  r) -1  B n-1 * (1  r) -n B * (1  r) -1 1 - B * (1  r) -1



1  B n (1  r) -n 1  r - B

1  B n (1  r) -n  Assim R(0) = C1    1  r - B 

1  B n (1  r) -n  Sendo que R(t) = C1  (1+ β*r)t-w   1  r - B 


UEM



Ano Lectivo: 2016 Nota: a condição base para a aplicação desta fórmula, é que t, n, w e r devem vir expressos numa mesma unidade de tempo, que é o período da renda (periodicidade dos termos).

Rendas perpétuas São rendas que têm um número ilimitado de termos. Neste tipo de rendas, interessa apenas calcular o valor actual pois o valor no vencimento do último termo não tem sentido e o valor num outro momento tem pouca relevância. Considerando n = ∞, teremos:

1  (1  r) -  t-w R(t)PostW = (1+ β*r) C    (1  r) r   t-w

Como a expressão

1 (1  r)

1  1  (1  r)  C r  

    

tende para zero, as fórmulas de cálculo de rendas perpétuas

posticipadas serão as seguintes: Para rendas de termos constantes

R(t)PostW = (1+ β*r)t-w C

1 r

Para rendas de termos de progressão aritmética

R(t) PostW = [C1+

B  1  ]   (1+ β*r)t-w r  r 


UEM



Ano Lectivo: 2016 Para rendas de termos de progressão geométrica R(t) = C1  

 t-w  (1+ β*r)  1  r - B  1

Para as antecipadas deve-se acrescentar a expressão (1+r).

EXEMPLO: O casal Borges adquiriu, há oito anos, um apartamento no montante de MT 150.000,00, importância que foi integralmente financiada através de um crédito à habitação contraído junto a um Banco. No contrato de crédito ficou estabelecido que o casal Borges liquidaria o valor em dívida através de prestações mensais constantes de capital e juros, à taxa anual nominal de 9%, pelo prazo de 25 anos. Acontece que o casal, no presente momento, foi brindado com um prémio de jogo no montante de MT 111.523,72 e com o qual pretende liquidar o valor em dívida junto ao Banco. a) Será que o montante recebido é suficiente para liquidar a importância em dívida? Justifique a sua resposta apresentando todos os cálculos possíveis. b) No caso de não o ser, determine a nova prestação mensal do casal, no pressuposto de que não pretendem reduzir o prazo do contrato. c) Determine, ainda, quantas prestações seriam necessárias para liquidar o montante em dívida, no caso de se pretender manter o valor da prestação inicial e determine a quantia adicional a pagar um mês após o pagamento da última prestação inteira, no caso de o número de prestações não for um número inteiro.

RESOLUÇÃO: a) Em primeiro lugar, vamos apurar qual o valor das prestações inicialmente previsto. Estas correspondem ao termo de uma renda de amortização com 300


UEM



Ano Lectivo: 2016 termos (12 mensalidades por ano, durante 25 anos), calculados a taxa mensal de 0,75% (=9%/12), calculado usando a proporcionalidade. 1  (1  r) -n  R(0)Postw = (1+r) C  → 150.000 = (1+0,75%)0-0 C  r   t-w

-300 1  (1  0,75%)    0,75%  

150.000 = C * 119,16162 → C = 1.258,79 Este foi o valor das mensalidades inicialmente previsto e foi também o valor efectivamente pago, em cada mês, pelo casal Borges, durante os 8 primeiros anos de vigência do contrato. Em segundo lugar, de modo a concluirmos se o valor do prémio ganho é suficiente para liquidar o valor em divida, temos que calcular esse valor em divida. Ora, já foram pagas 96 prestações de 1.258,79, estando, então por liquidar outras 204. Daí que: -204 1  (1  0,75%)   0,75%  

Capital em divida = 1.258,79 

= 1.258,79*104,29661 = 131.287,53 Sendo o capital em divida no presente de MT 131.287,53 e o prémio no montante de MT 111.523,72, significa que este último é insuficiente para liquidar o empréstimo na íntegra, resultando um valor remanescente de MT 19.763,81. b) -204 1  (1  0,75%)  19.763,81 = C   0,75%  


UEM



Ano Lectivo: 2016 19.763,81 = C*104,29661 C = 189,50 O casal Borges passaria a pagar uma prestação mensal no montante de MT 189,50.

c) 1  (1  0,75%) -n  19.763,81 = 1.258,79   0,75%  

n = 16,767 Significa, então, deveriam ser pagas mais 16 prestações mensais no montante de MT 1.258,79. Porém, não tendo sido obtido um número inteiro, resulta que a divida não fica totalmente saldada. Deve ser, então, paga uma quantia adicional, para além das 16 prestações inteiras, um mês após o pagamento da última prestação: 1  (1  0,75%) -16  + X(1+0,75%)-17  0,75%  

19.763,81 = 1.258,79  X = 966,67

No pressuposto de manter o valor dos termos, devem ser pagas 16 prestações mensais de MT 1.258,79, bem como uma 17 prestação adicional no montante de MT 966,67.


UEM



Ano Lectivo: 2016

AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS Amortização de empréstimo é dar morte a um contrato de mútuo, sendo o dinheiro a coisa mutuada.4

Algumas classificações de empréstimos a) Quanto ao número de mutuantes: temos empréstimos com único mutuante e empréstimos com vários mutuantes.

b) Quanto a obrigatoriedade de emprestar: temos empréstimos voluntários e empréstimos obrigatórios.

c) Quanto a gratuidade ou onerosidade dos empréstimos: temos empréstimos gratuitos (não financeiros ou seja sem juros) e empréstimos onerosos (com juros).

d) Quanto a garantia: temos empréstimos sem garantias especiais e empréstimos com garantias (reais e não reais ou pessoais).

e) Quanto ao carácter público ou privado do empréstimo: temos empréstimos públicos (contraídos pelo Estado) e empréstimos privados (contraídos por particulares).

f) Quanto a duração do empréstimo: temos empréstimos perpétuos e empréstimos temporários.

g) Quanto a finalidade: temos empréstimos para o consumo e empréstimos para o investimento.

h) Quanto ao processo de amortização: temos empréstimos de amortização sistemática (estabelecem-se as regras no início do contrato) e empréstimos de amortização não sistemática (não há nenhuma regra pré-estabelecida).

4

A definição não é acabada, devendo os estudantes consultar a bibliografia recomendada.


UEM



Ano Lectivo: 2016

Tipos de Amortizações de Empréstimos 1. Empréstimos de Amortização não Sistemática Não é normal que a amortização de um empréstimo seja feita sem nenhuma regra estabelecida no início. Só podemos encontrar em dois casos: 1. Quando o tomador de empréstimo se torna insolvente por motivos de força maior, podendo-se nesses casos acordar-se o abandono do sistema inicial de amortização e aceitar-se o pagamento irregular do empréstimo; 2. Empréstimos não financeiros (ex. empréstimos familiares, etc.).

2. Empréstimos de Amortização Sistemática a) Empréstimos com reembolso integral duma única vez i.

Com pagamento periódico de juro (regime simples) Reembolso integral do empréstimo = C0(1+r 1)

ii.

Sem pagamento periódico de juro (regime composto) Reembolso integral do empréstimo = C0(1+r 1)n

Nos empréstimos com reembolso integral de uma única vez, o montante que o tomador de empréstimo (devedor) deverá pagar no vencimento pode ser demasiado elevado. Para se precaver, o devedor pode constituir um fundo de amortização onde periodicamente


UEM



Ano Lectivo: 2016 deposita uma certa quantia cujo objectivo é constituir um fundo suficiente (fundo de amortização) para fazer o pagamento da dívida no vencimento.

Fundo de Amortização i.

Reembolso integral do empréstimo duma única vez, com pagamento periódico de juro (regime simples) t-w

Fundo de Amortização = (1+r 2)

1  (1  r 2 )  n  C  r  

Reembolso intergral do empréstimo = C0(1+r 1). Portanto,

t-w


1  (1  r 2 )  n  C  = C0(1+r 1) r  

Onde: t= w+n (no futuro), C = Capital e Juros, r 1 = taxa do empréstimo e r 2 = taxa do fundo.

ii.

Reembolso integral do empréstimo duma única vez, sem pagamento periódico de juro (regime composto)

t-w


1  (1  r 2 ) -n  C  r  

Reembolso integral do empréstimo = C0(1+r 1)n. Portanto, _____________________________________________________________________ Página 68 de 72 Compilado por: Sorte Eduardo A. Sapulia

UEM



Ano Lectivo: 2016

t-w


1  (1  r 2 ) -n  n C  = C0(1+r 1) r  

Onde: t= w+n (no futuro), C = Capital e Juros, r 1 = taxa do empréstimo e r 2 = taxa do fundo.

b) Empréstimos com reembolso periódico de capital i.

Com reembolsos periódicos constantes (Sistema Inglês)

Neste tipo de empréstimos, os reembolsos periódicos de capital (MK ) são constantes e como o juro periódico (JK ) é calculado com base no capital em dívida (cada vez decrescente) também será decrescente. Assim, o pagamento (ou prestação) periódico (CK ) que é a soma da quota de capital (ou reembolso) do período e a quota do juro do período, também será decrescente. CK = MK + JK

Onde: MK é a quota de capital ou reembolso do período K JK é a quota do juro do período K CK é o pagamento no período K (ou prestação do período K) A quota de capital (MK ) é calculada pela seguinte fórmula:

MK =

Empréstimo n

(1+ β*r)w

Onde β é a percentagem de juros que fica no processo (no caso de regime misto), no perído de diferimento.


UEM



Ano Lectivo: 2016 Quando existe o período de diferimento o prazo total será a soma entre o período de diferimento (w) e o período de reembolso (n), mas quando o período de diferimento não existe o prazo total é igual ao período de reembolso (n).

ii.

Com pagamentos (ou prestações) periódicos constantes (Sistema Francês)

Neste tipo de empréstimos, o pagamento (ou prestação) periódico (CK ) é constante e sendo o juro periódico (JK ) decrescente, a quota de capital ou reembolso (MK ) será crescente. Para se calcular o pagamento (ou prestação) periódico (CK ), recorre-se a fórmula das rendas com pagamentos ou termos iguais, ou seja: 1  (1  r) -n  R(t)Postw = (1+ β*r) C   r   t-w

Onde β é a percentagem de juros que fica no processo (no caso de regime misto) no período de diferimento. Prazo total nestes casos é igual a soma do período de diferimento (w) e o período de reembolso (n). Na ausência do perído de diferimento, o prazo total será igual ao período de diferimento.

Nota: Para amortizações de empréstimos, t é igual a zero, pois os empréstimos são sempre concedidos no momento presente (momento zero).


UEM



Ano Lectivo: 2016

BIBLIOGRAFIA CADILLE, Miguel e SOARES, Carlos. Lições de Matemática Financeira e Noções Complementares. Edições ASA, 1988.

CADILLE, Miguel. Matemática Financeira Aplicada. Edições ASA, 1998 GONÇALVES, Jean Piton. A História da Matemática Comercial e Financeira. [on line] Disponível na internet via http://www.somatematica.com.br

QUELHAS, Ana Paula e CORREIA, Fernando. Manual de Matemática Financeira. Edição Almedina, 2004.


Apontamentos de mat financeira - 2016.pdf

Recommend Documents