Estadística de Bose-Einstein
La estadística de Bose-Einstein es un tipo de mecánica estadística aplicable a la determinación de las propiedades estadísticas de conjuntos grandes de partículas indistinguibles capaces de coexistir en el mismo estado cuántico cuántico en equilibrio térmico. térmico. A bajas temperaturas temperaturas los bosones tienden a tener un comportamiento cuántico similar que puede llegar a ser idéntico a temperaturas cercanas al cero absoluto en un estado de la materia conocido como condensado de Bose-Einstein El condensado de Bose-Einstein Bose-Einstein es un estado de la materia donde prácticamente no existe energía en el sistema, en la cual los átomos pierden su identidad individual y se condensan en un gran átomo. Es obtenible sólo a temperaturas cercanas cercanas al 0 absoluto. Este “super-átomo”, el cual puede considerarse un nuevo estado de la materia, adquiere propiedades inusuales, como la superfluidez, superconductividad, alentamiento de la luz, entre otras.
Aplicaciones de de la estadística estadística de Bose-Einstein
Las aplicaciones más importantes (algunas de ellas todavía en desarrollo y con gran actividad de investigación) investigación) del fenómeno de la condensación Bose-Einstein son las siguientes: siguientes:
Láser de átomos: para construcción de nano-estructuras de gran precisión. Relojes atómicos: para realizar medidas muy precisas del tiempo. Detección de la intensidad del campo gravitatorio. Simulación de fenómenos cosmológicos cosmológicos a pequeña escala para su estudio. Superfluidez Superfluidez y superconductividad superconductividad Aplicaciones derivadas del fenómeno de “slow light”, por ejemplo en teleportación o en computación cuántica Profundización en el estudio de la mecánica cuántica a partir de experimentos más complejos, exóticos y no lineales, testar teorías recientemente formuladas, etc.
La distribución de energía de la radiación del cuerpo negro se deduce de la aplicación de la estadística de Bose-Einstein a los fotones que componen la radiación electromagnética. electromagnética. La capacidad calorífica de los sólidos tanto a altas como a bajas temperaturas puede ser deducida a partir de la estadística de Bose-Einstein aplicada a los fotones, cuasipartículas que dan cuenta de las excitaciones de la red cristalina. En particular la ley de Dulong-Petit puede ser deducida de la estadística de Bose-Einstein. Bose-Einstein. Como se observa, los condensados pueden servir para mejorar técnicas ya existentes, existentes, puesto que aportan una gran precisión y fiabilidad. Esto se debe a su coherencia de fase a nivel atómico, lo que permite un gran control tanto del tiempo como de las distancias. Los condensados podrían ser tan revolucionarios como el láser, puesto que tienen muchas propiedades en común. Sin embargo, el principal impedimento de los condensados en comparación con el láser es la temperatura a la cual son generados, tanto por su obtención como por su difícil y costoso
mantenimiento. Por ello, la mayoría de esfuerzos se centran en la investigación básica, es decir, en conocer más que en aplicar.
Estadística de Fermi-Dirac
La estadística de Fermi-Dirac es la forma de contar estados de ocupación de forma estadística en un sistema de fermiones. Tiene aplicaciones sobre todo en la Física del estado sólido. La energía de un sistema mecanocuántico está discretizada. Esto quiere decir que las partículas no pueden tener cualquier energía, sino que ha de ser elegida de entre un conjunto de valores discreto. Para muchas aplicaciones de la física es importante saber cuántas partículas están a un nivel dado de energía. La distribución de Fermi-Dirac nos dice cuánto vale esta cantidad en función de la temperatura y el potencial químico. Tiene muchas aplicaciones en la teoría del orbital, en el comportamiento de los semiconductores y en la física del estado sólido en general. Se aplica principalmente a partículas subatómicas y muy particularmente a los electrones, los cuales se rigen por el principio de exclusión de Pauli según el cual solo dos electrones (con espín opuesto) pueden ocupar el mismo estado cuántico. A la temperatura del cero absoluto, no todos los electrones pueden estar en el estado de mínima energía; en lugar de ello, todos los estados de energía están llenos para una energía , denominada energía de Fermi.
Donde es la densidad de estados, número de partículas. Además
es la densidad de probabilidad de ocupacion y
es la energía media por partícula
En el caso de la estadística de Fermi-Dirac:
Y
toma diferentes valores dependiendo del macroestado
La distribución de Fermi-Dirac viene dada por
Donde: es el número promedio de partículas en el estado de energía
.
el
es la degeneración el estado i-ésimo es la energía en el estado i-ésimo es el potencial químico es la temperatura es la constante de Boltzmann Así pues la energía de Fermi de un gas de electrones libres no relativista tridimensional (como el material del que se forman las estrellas) se puede relacionar con el potencial químico a través de la ecuación:
[ ]
Donde es la energía de Fermi, es la constante de Boltzmann y es la temperatura. Por lo tanto, el potencial químico es aproximadamente igual a la energía de Fermi a temperaturas muy inferiores a una energía característica denominada Temperatura de Fermi, 5
. Esta temperatura
característica es del orden de 10 K para un metal a una temperatura ambiente de 300 K, por lo que la energía de Fermi y el potencial químico son esencialmente equivalentes Ejemplo: Gas de electrones a T=0K
⁄ ⁄ A temperaturas bajas, la distribución Fermi se vuelve una función escalón:
* + Integrando para energías entre 0 y la energía Fermi se obtiene
A su vez calculando la energía media se obtiene
Espectro de Líneas Una línea espectral es una línea oscura o brillante en un espectro uniforme y continuo, resultado de un exceso o una carencia de fotones en un estrecho rango de frecuencias, comparado con las frecuencias cercanas. Cuando existe un exceso de fotones se habla de una línea de emisión. En el caso de existir una carencia de fotones, se habla de una línea de absorción
Espectro continúo
Espectro de Emisión
Espectro de Absorción
Cada átomo es capaz de emitir o absorber radiación electromagnética, aunque solamente en algunas frecuencias que son características propias de cada uno de los diferentes elementos químicos. Si, mediante suministro de energía calorífica, se estimula un determinado elemento en su fase gaseosa, sus átomos emiten radiación en ciertas frecuencias del espectro visible, que constituyen su espectro de emisión. Si el mismo elemento gaseoso recibe radiación electromagnética, absorbe energía en ciertas frecuencias del espectro visible, precisamente las mismas en las que emite cuando se estimula mediante calor. Este será su espectro de absorción. Debido a que la Ley de Kirchhoff nos indica que todo elemento absorbe radiación en las mismas longitudes de onda en las que la emite, los espectros de absorción y de emisión resultan ser el negativo uno del otro. Las líneas espectrales son el resultado de la interacción entre un sistema cuántico y fotones. Cuando a un electrón dentro de un sistema estable se le entrega energía externa, este realiza un salto cuántico a un nivel de energía superior; cuando esta energía externa deja de actuar, el electrón excitado tiende a volver a su nivel de energía básica; en esta transición, el electrón emite un fotón de energía igual a la que recibió para pasar al siguiente nivel excitado de energía. Para el átomo de Hidrogeno, se cumple que:
Donde: Z = Número Atómico n = 1, 2, 3… (Enteros positivos) Su espectro de líneas es el más simple. La regularidad aparente de las llamadas series del hidrógeno fueron formuladas por primera vez por Johann Jakob Balmer. El encontró que la longitud de onda de las líneas se podía representar con precisión por la ecuación
La constante R se conoce como constante de Rydberg, y tienen el valor de 109,677.581 cm-1 = 13.595 volts.
Cuando el número 2 de la ecuación de Balmer se reemplaza por nI = 1, 3, 4,5,..., y se permite que ni tome los valores 2,3, ...; 4, 5,...; 5,6,...; 6,7,..; respectivamente, se obtiene otras series de longitudes de onda. Así: Serie de Balmer (1885). Espectro visible del H.
Serie de Lyman. Ultravioleta. Series en el Infrarrojo.
La separación de la luz en sus componentes espectrales se puede realizar ya sea por refracción o por difracción. Ambos fenómenos dependen de la longitud de onda de la siguiente manera: entre más grande sea la longitud de onda, mayor será la difracción de la luz, y menor la refacción. Para separar la luz por refracción se requiere de un prisma, mientras que para separarla por difracción, será necesaria una rejilla de difracción.
Las líneas espectrales se detectan como líneas de absorción (A) o líneas de emisión (B) dependiendo de las posiciones del detector, el gas y la fuente luminosa.
De los intentos para explicar el origen de las líneas espectrales, el modelo del átomo de hidrogeno sugerido por Bohr es uno de los exitosos. Esto se debe a que los principios de la física clásica son
incompatibles con la estabilidad que se observa en el átomo de hidrógeno. Según este modelo, el electrón se ve obligado a girar alrededor del núcleo para evitar caer sobre él, y sin embargo, debe irradiar energía electromagnética de modo continuo De esta manera, La ecuación de movimiento de Newton permite calcular los radios de éstas órbitas circulares, si se considera que el sistema electrón núcleo esta en equilibrio, en otras palabras, electrón permanecerá en su órbita circular al rededor del núcleo, sin irradiar energía electromagnética, siempre y cuando la fuerza centrípeta, Fc, que actúan sobre un electrón en órbita circular es igual a la fuerza electrostática, Fe, que hay entre las dos cargas puntuales, el +
-
núcleo (e ) y el electrón (e ).
De aquí se calcula la velocidad tangencial que tiene el electrón en su órbita circular.
considerando el principio de incertidumbre, un electrón en su movimiento tiene asociada una longitud de onda dada por
Donde h es la constante de Plank y p=mv es la cantidad de movimiento.
Así se determina que la longitud de onda del electrón es igual a la circunferencia de la órbita del electrón
Aquí se ha tomado el radio de Bohr de la órbita electrónica. El hecho que estas dos cantidades sean iguales implica que un electrón puede girar indefinidamente alrededor de un núcleo sin irradiar energía con tal que su órbita contenga un número entero de longitudes de onda de Broglie. Esto es, la condición de estabilidad se cumple si
()
Cada órbita permitida está asociada a una energía o nivel de energía, la cual es fusión del radio correspondiente. La energía total que tiene el electrón es igual a la suma de la energía cinética
como resultado de su traslación a lo largo de la órbita, con la energía potencial electrostática debida a la posición que guarda el electrón respecto al núcleo.
Esto nos indica que la energía no es continua, es decir, la energía es discreta, lo que quiere decir que el electrón está en cierto nivel de energía cuando se encuentra en una órbita dada. La energía de cada nivel es negativa, lo que significa que el electrón no tiene suficiente energía para poder abandonar el átomo Cuando un electrón en un estado excitado cae a un estado inferior, la energía perdida se emite en
la forma de un fotón de luz con energía
. Esta energia emitida se calcula con la ecuación
ni corresponde al estado de mayor energía y n f al de menor energía. Las series espectrales del átomo de hidrógeno se pueden calcular con las siguientes ecuaciones.
Aplicaciones de la medición del Espectro de Líneas Puesto que el espectro, tanto de emisión como de absorción, es característico de cada elemento, sirve para identificar cada uno de los elementos de la tabla periódica, por simple visualización y análisis de la posición de las líneas de absorción o emisión en su espectro. Podemos, en definitiva, identificar la existencia de determinados elementos químicos en la composición de sistemas inaccesibles, como pueden ser objetos astronómicos, planetas, estrellas o sistemas estelares lejanos, aparte de que, también, y debido al Efecto Doppler-Fizeau, podemos establecer una componente de velocidad de acercamiento o alejamiento de nosotros.
