PRESENTACIÓN
El presente trabajo titulado “Aplicación de las Derivadas Parciales en Ing. Industrial” es resultado de una exhaustiva recolección de diversas fuentes de información estructuradas de manera concisa en el presente. Para ello esencialmente, se centra en el estudio de una aplicación en nuestra escuela profesional de Ing. Industrial, del tema de “Derivadas parciales”. El cual a lo largo del desarrollo de nuestra carrera será de mucha importancia en muchos aspectos, de los cuales escogimos uno para desarrollarlo. Esperando que el presente trabajo sea acorde las expectativas del docente y nos ayude a ampliar nuestros horizontes con respecto a lo investigado.
OBJETIVOS
1.- Conocer la Definición de Derivadas Parciales y sus aplicaciones en entornos de la vida cotidiana con énfasis en matemáticas de Ingeniería. 2.- Facilitar la utilización de Derivadas Parciales en problemas matemáticos de más de una variable para problemas de Ingeniería. 3.- Comprender el uso general de las Derivadas Parciales y su forma de aplicación en procesos matemáticos con funciones cambiantes de más de una variable, ya sean problemas lineales o no-lineales de Ingeniería. 4.- Determinar y entender el uso del concepto básico de Derivadas Parciales y su utilización como herramienta facilitadora en la solución de problemas que requieren un nivel matemático en el que se involucran funciones de más de una variable con procesos especiales en las que también se pueden manejar con constantes.
ANTECEDENTES Aplicación de las Derivadas Parciales en Ing. Industrial Página
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Funciones de dos o más variables.- Hay muchas cuestiones científicas, técnicas y de la vida común en los cuales una cantidad “w” queda determinada por el conocimiento de otras varias ; p. ej., el volumen de un cono circular recto, de radio r y altura h, está dado por: V=1/3. Π. R.r.r.h Cuando se dan r y h, el volumen queda completamente determinado. Decimos que V es función de r y h. Definición.- Si “w” queda unívocamente determinado cuando se conocen los valores de x y de y, diremos que w es función uniforme de x e y, y escribiremos: W=f(x,y) La notación. W=f(x, y, z, u, v) Significa, análogamente que, cuando se asignan valores a las cinco variables x, y, z, u, v, el valor de x esta unívocamente determinado. Ampliaremos esta definición para incluir también el caso de que a cada par de valores (x e y) de la ecuación, corresponde uno o ms valores de w, y diremos entonces que w es función multiforme de las variables x e y. Nos ocuparemos, sin embargo, esencialmente de las funciones uniformes; p. ej., P2 = x2+y2+z2 Iniciando el siglo XVII, la teoría de los valores máximos y mínimos, se convirtió en uno de los principios sistemáticos de la ciencia. En ingeniería, en la vida cotidiana, se presentan problemas o situaciones en las cuales se debe saber “lo que es Óptimo y lo que no es rentable”. Nuestro objetico es mostrar el método numérico de derivadas parciales.
ÍNDICE Aplicación de las Derivadas Parciales en Ing. Industrial Página
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CAPÍTULO I: Definición Derivadas Parciales……………………………………… 6
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CAPÍTULO II: Derivadas parciales en la Ing. Industrial…………………………. 6
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CAPÍTULO III: Aplicación: Productividad marginal…………………………... 6
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8 CAPÍTULO IV: Aplicación: Demanda marginal …………………………….……
5
CAPÍTULO V: Aplicación: Costo marginal…………………………….……… 8
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Conclusiones……………………………………..………………………..……. 8
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Bibliografía……………………………………..………………………….…… 9
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Anexos……………………………………..…………………………………..… 10
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1. CAPÍTULO I: DEFINICIÓN: La derivada parcial de una función de varias variables. Para la derivada de z "respecto de x" consideramos a la variable "y" como si fuera una constante, mientras que al hacer la derivada de z "respecto de y" consideramos a la variable "x" como si fuera constante.
2. CAPÍTULO II: DERIVADAS PARCIALES EN LA ING. INDUSTRIAL: Son una herramienta muy útil puesto por su naturaleza permite realizar cálculos marginales, es decir hallar la razón de cambio cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cualquier cantidad económica que esté considerando: Costo, ingreso, beneficio o producción. La producción total del producto de una empresa depende de un gran número de factores, los cuales la empresa a menudo tienen flexibilidad de modificar. Por lo común los dos factores más importantes son la cantidad de mano de obra empleada por la empresa y el monto de capital invertido en edificios, máquinas, etc. 3. CAPÍTULO III: APLICACIÓN: PRODUCTIVIDAD MARGINAL La productividad de cierto artículo que fabrica una empresa se ve afectada principalmente por dos factores: el monto del capital invertido en la planta productiva y la mano de obra empleada en la fabricación del artículo. Sean: Q la producción total del artículo (número de unidades/unidad de tiempo). K el monto del capital invertido en la planta productiva ($). L el número de unidades de mano de obra (en horas-hombre o en $ por salarios pagados). Se establece entonces una función de dos variables: Q (K, L), Llamada función de producción, donde K y L son los insumos de producción, como por ejemplo: En el caso de la siguiente función de producción P(l,k), determine las productividades marginales para los valores dados de L y K.
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PRODUCTIVIDAD MARGINAL DEL CAPITAL Es la derivada parcial de Q con respecto a K, es decir, y significa el incremento en la producción debido al incremento de una unidad de capital invertido en la planta productiva, manteniendo fija la inversión en mano de obra. Productividad marginal de la mano de obra: Es la derivada parcial de Q con respecto a L, , y significa el incremento en la producción debido al incremento de una unidad de mano de obra, manteniendo fija la inversión del capital de la planta productiva. HIPÓTESIS: En la producción de dos o más variables f(x,y) podemos hallar variaciones, esto normalmente nos podría ayudar a apreciar la variación de los cambios de costos que sucede cuando la producción aumenta en un artículo mientras que en el otro permanece constante(no varía).
4. CAPÍTULO IV: DEMANDA MARGINAL Aplicación de las Derivadas Parciales en Ing. Industrial Página
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La derivada parcial A con respecto a
puede interpretarse como la demanda marginal de Así mismo,
es la demanda marginal con respecto
a y mide la cantidad en que la demanda de A crece por incremento unitario en el precio de B. Pueden darse interpretaciones similares a las otras dos derivadas parciales.
FÓRMULA 5. CAPÍTULO V:
CONCLUSIONES
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Se puede concluir que las derivadas parciales son muy útiles para el Ingeniero Industrial, este las puede utilizar para Con el desarrollo del trabajo presentado, pudimos conocer un poco más sobre su proceso y funcionamiento, deducir la aplicación que esta tiene a nivel industrial y comercial. También sobre los puntos relacionados con la electroquímica ya que ésta es usada en la purificación de elementos metálicos ayudando a la obtener materiales más resistentes y aumentando así la durabilidad de los mismos.
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BIBLIOGRAFÍAS
Granville, W. A. (1960). Calculo Diferencial e Integral. México D.F: Hispáno americana.
Ramos, E. E. (2012). Análisis Matemático III. Lima: Edukperú.
Thomas, G. B. (1950). Calculo Infinitesimal y Geometría Análitca. Chile: Aguilar Madrid.
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ANEXOS: Anexo 01: Definición
Anexo 02: Ejercicio- gráfico
Anexo 03: Productividad marginal
Anexo 04: Demanda marginal
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