INTRODUCCION
Las funciones matemáticas son de gran importancia para darle solución a mucho muchos s probl problema emas s de la vida vida cotid cotidian iana, a, por por lo cual cual para para nuest nuestra ra carrera carrera también son muy útiles por el cual podemos estudiar fenómenos fenómenos en el cual cual se pued puede e pred predec ecir ir por por medi medio o de func funcio ione nes s respu espues esta tas s tangibles o aproximarse a un resultado. En el presente trabajo, se detallarán las caracter caracter sticas sticas de las diferentes funciones matemáticas matemáticas y y sus aplicaciones sobre las distintas ciencias y la vida cotidiana. Las funciones funciones a a las !ue nos dedicaremos son las siguientes" •
#unción $rigonométrica #unción $rigonométrica
•
#unción %uadrática #unción %uadrática
•
#unción &fn 'Lineal(
•
#unción Logartmica
•
#unción Exponencial
•
#unción )olinómica
$ambién $ambién hablaremos hablaremos un poco sobre algunos algunos conceptos conceptos básicos de las funciones.
Funciones Funciones Constantes Numéricas o Absolutas *na constante es una expresión !ue tiene un valor +jo. *na constante numé numéri rica ca se escr escrib ibe e como como un núme númerro real. eal. Esto Estos s son son ejem ejempl plos os de constantes numéricas" 27123,7600,0076
Los números negativos son especi+cados con el signo '(. )or ejemplo"
−27 −123,760 −0,0076 %onstante &bsoluta *na constante absoluta es a!uella !ue en todos los problemas tienen siempre el mismo valor- existen muchas más constantes absolutas )or ejemplo" El número PI
( π ) o sea la relación entre el diámetro y el
perm permetr etro o de una una circun circunfer feren encia cia en geom geometr etra a eucli euclidia diana na en /0- el número
e 'la constante neperiana(.
%onstantes &rbitrarias *na constante &rbitraria, &rbitraria, es a!uella a la !ue se le pueden dar diferentes diferentes valores, siempre y cuando no altere a la ecuación diferencial.
%oncepto de 1ariable *na variable es la expresión simbólica representativa de un elemento no especi+c especi+cado ado compren comprendid dido o en un conjunto. Este conjunto constituido por todos los elementos o variables, !ue pueden sustituirse unas a otras es el universo de variables. 2e llaman as por!ue varan, y esa variación es observable y medible. )or )or ejemplo ejemplo"" x
x es una variable del universo
{2 , 4 , 6 , 8 } . )or lo tanto,
puede puede tener cual!uiera cual!uiera de dichos valores, es decir !ue puede ser
reempla3ada por cual!uier número par menor a 4 .
5ntervalo de una variable Los intervalos son los subconjuntos conexos de /. 6ás precisamente, son las únicas partes 5 de / !ue veri+can la propiedad siguiente"si x e y
pertenecen a 5, x 7 y, entonces para todo 3 tal !ue x 7 3 7 y, 3 pertenece a 5. ')( 2e pueden clasi+car los intervalos según sus caractersticas topológicas 'intervalos abiertos, cerrados, semi abiertos, abiertos y cerrados( o según su caractersticas métricas 'su longitud" nula, +nita no nula, o in+nita(.2e usan habitualmente dos notaciones" 8ab( o 8a- b8 para representar el conjunto de los x tal !ue a 7 x 9 b. La primera es la vigente en el mundo anglosajón, la segunda en #rancia y en la francofona. La regla del corchete invertido resulta más intuitiva si uno se imagina !ue el corchete es una mano !ue tira hacia fuera o empuja hacia dentro, respectivamente, un extremo del intervalo. En el ejemplo anterior,
a pertenece al intervalo mientras !ue
b no.
$ambién existe una regla mnemotécnica para el uso del paréntesis" si se dibuja sobre la recta real dos intervalos adyacentes, como ':- ;( y ';- 0( 'es decir, se pinta la recta real y se coloca cuatro paréntesis donde corresponda(, entre los dos intervalos cabe un signo ; 'o lo !ue corresponda según los intervalos( cabe, apretado pero cabe. 6ientras !ue si los dos intervalos son ':, ;< y 8;, 0(, o ':, ;< y ';, 0( el número no cabe, o cabe muy estrangulado. = sea, !ue si los dos intervalos son abiertos, el número ; no pertenece a ninguno, y por tanto hay espacio para meterlo en medio. &!u están todos los casos posibles, con a 7 b, y x perteneciente al intervalo, y l su longitud" ; . [ a , b ] intervalo cerrado de longitud +nita o¿ 0 a,b¿ .¿
l = b −a . a ≤ x ≤ b .
intervalo cerrado en a, abierto en b 'semicerrado, semi
abierto(, de longitud +nita >. ¿ a , b ¿ o ¿
l =b −a . a ≤ x < b .
intervalo abierto en a, cerrado en b, de longitud +nita
l=b −a . a < x ≤b .
o (a , b )
? . ¿ a , b ¿ intervalo abierto, de longitud +nita o (− ∞, b )
@. ¿− ∞, b ¿
l=b −a . a < x < b .
intervalo abierto de longitud in+nita.
intervalo 'semi(cerrado de longitud in+nita.
x ≤ b .
x < b . ¿−∞ , b ¿ o ¿
¿ A a , + ∞ ¿ intervalo 'semi(cerrado de longitud in+nita. a 7 x. .¿ o (a , +∞ )
B . ¿ a , + ∞ ¿ intervalo abierto de longitud in+nita. a 9 x.
¿
C . ¿− ∞ , + ∞ ¿
o
(−∞, + ∞ ) o /, intervalo a la ve3 abierto y cerrado, de
longitud in+nita. x pertenece a /. 4.Da intervalo cerrado de longitud nula. Es un conjunto unitario. 'corresponde al caso a F b(. x F a ;:.D F G el conjunto vaco, intervalo a la ve3 abierto y cerrado. x no existe.
&mplitud de un 5ntervalo Hentro de los conceptos fundamentales de la estadstica y la representación grá+ca de variables !ue son continuas, existe una conveniencia por agrupar los valores de una variable en intervalos !ue por lo general serán del mismo tamaIo- elección !ue se hace por cierto en función del número de datos de !ue se dispone y de la variación de los mismos. %ada intervalo !uedará entonces de+nido por sus lmites superior e inferior...a la diferencia entre ambos extremos se le denomina amplitud del intervalo *n intervalo cual!uiera viene dado por dos números !ue forman sus lmites por ejemplo, 0A>: es un intervalo donde el lmite inferior es 0A y el superior es >:, entonces comprende los valores 0A, 0B, 0C, 04, >:- la amplitud es de cinco unidades de medida. '5ncluye ambos lmites(.
%oncepto de #unción /elación entre dos conjuntos !ue asigna a cada elemento del primero un elemento del segundo o ninguno
%ampo de existencia de una #unción Ejemplo"
Jallar el campo de existencia de la función f de+nida por
/esolución" La función anterior asigna a cada número x, el valor
El campo de existencia está formado por todos los números reales x, para los !ue su imagen está de+nida mediante la función f. La expresión
1
x − 2 está de+nida para todos los números reales,
salvo para a!uellos !ue anulen el denominador, puesto !ue la expresión 1 / 0 no es un número real. El denominador x −2 se anula cuando x =2 . )or tanto, el campo de existencia de la función es / D0. He+nición de #unción *na función es una relación entre dos variables, de forma !ue a cada valor de la variable independiente , le asocia un único valor de la variable dependiente , !ue llamaremos imagen de . Hecimos !ue y es función de y lo representamos por
%aractersticas de una #unción *na función es toda relación entre dos variables en donde a cada valor de una de ellas !ue se la llama variable independiente, le corresponde un único valor de la otra variable, !ue se llama variable dependiente. 2e puede simboli3ar" f ( x ) : R → R / f ( x )=3 x
2igni+ca !ue f es una función aplicada de
reales en reales, tal !ue a cada valor
x del conjunto de partida, le
hace corresponder su triple. %aractersticas de funciones" •
1ariabilidad" se produce entre dos variables.
• •
%orrespondencia" a cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente. *nicidad" cada valor de la variable independiente tiene !ue tener una única imagen.
#ormas de de+nir una función" • • • •
diagrama de 1enn tabla formula gra+co cartesiano
FUNCION LINEAL *na función es lineal cuando presenta la siguiente fórmula" f ( x )= m x + b ó y = m x + b
m y b son números reales. m se llama pendiente y representa la inclinación de la recta. b se llama ordenada al origen 'ordenada del punto de intersección con el eje y (. •
si la pendiente es positiva, el eje x forma con la recta en sentido antihorario un ángulo menor !ue
•
función es creciente, ya !ue al aumentar la variable independiente también aumentan los valores de la variable dependiente. si la pendiente es negativa, el eje x forma con la recta en sentido antihorario un ángulo mayor !ue 180 °
•
90 ° y se dice !ue la
90 °
y menor !ue
. la función en este caso es decreciente, ya !ue al aumentar
lo valores de la variable independiente, disminuyen los valores de la variable dependiente. si la pendiente es igual a cero ( m =0 ) , la recta es paralela al eje de las x , o sea !ue es una recta hori3ontal !ue recibe el nombre de función constante.
%ero /aces
En matemática, se conoce como ra3 'o cero( de una función 'de+nida sobre
un
cierto
cuerpo
algebraico (
f ( x )
a
todo
perteneciente al dominio de dicha función tal !ue se cumpla"
elemento
x
f ( x )=0 .
)or ejemplo, dada la función"
)lanteando y resolviendo la ecuación"
)odemos a+rmar !ue 0 y ? son races ya !ue
f ( 2)= 0 y f ( 4 )=0 .
Clasifcación de las Funciones #unción &fn 'o #unción Lineal(" 2e puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economa 'uso de la oferta y la demanda( los ecónomos se basan en la linealidad de esta función y las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cual!uier análisis económico. )or ejemplo, si un consumidor desea ad!uirir cual!uier producto, este depende del precio en !ue el artculo esté disponible. *na relación !ue especi+!ue la cantidad de un artculo determinado !ue los consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley de demanda. La ley más simple es una relación del tipo P es el precio por unidad del artculo
y ,
m y
P=mx + b , donde
b son constantes.
*na de las aplicaciones de la función lineal en el ámbito de la 5ngeniera de 2istemas de las empresas es la de representar los costos de la misma, bajo el supuesto de !ue siguen una tendencia lineal. *na empresa puede clasi+car sus costos de muchas maneras, una de ellas consiste en considerar los costos totales como la suma de los costos +jos más los costos variables. Los costos +jos son a!uellos !ue no dependen del nivel de producción, es decir, no varan al cambiar la cantidad de producto !ue se elabore tales como, al!uiler de edi+cios o depreciación en el caso de ser propios, salarios del personal administrativo como gerentes, contadores y recepcionistas, depreciación del e!uipo o su
al!uiler, mantenimiento y depreciación de la tierra si la empresa lo re!uiere, entre otros. Esta dada por la formula b
y =mx + b donde
m
y
son números reales llamados pendiente y ordenada al origen
respectivamente. 2u grá+ca es una recta. Hada la ecuación 2i
y =mx + b "
m =0 , entonces
y =b . Es decir, se obtiene la función constante,
cuya grá+ca es una recta paralela al eje x !ue pasa por el punto ':,b(. 2i bF:, entonces yFmx. Esta ecuación tiene por grá+ca una recta !ue pasa por el origen de coordenadas ':,:(.
#unción %uadrática El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemática sino también en fsica y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo" la trayectoria de una pelota lan3ada al aire, la trayectoria !ue describe un ro al caer desde lo alto de una montaIa, la forma !ue toma una cuerda Koja sobre la cual se despla3a un e!uilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partcula es lan3ada con una velocidad inicial. )uede ser aplicada en la ingeniera de sistemas, para resolver problemas espec+cos tomando como punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en los métodos de aproximación para hacer modelos con base en los datos- éstos nos daran datos de predicciones sobre resultados futuros. Existen fenómenos fsicos !ue el hombre a través de la historia ha tratado de explicarse. 6uchos hombres de ciencias han utili3ado como herramienta principal para reali3ar sus cálculos la ecuación cuadrática. %omo ejemplo palpable, podemos mencionar !ue la altura 2 de una partcula lan3ada verticalmente hacia arriba desde el suelo está dada por" 2
S = v 0 t − ½ g t
Honde"
S Es la altura
v 0 Es la velocidad inicial de la partcula, g Es la constante de gravedad t es el tiempo.
La función cuadrática responde a la fórmula"
2
y = a x + bx + c con
a≠0 .
2u grá+ca es una curva llamada parábola cuyas caractersticas son" 2i a es mayor a : es cóncava y admite un mnimo. 2i a es menor a : es convexa y admite un máximo. 1értice" )untos de la curva donde la función alcan3a el máximo o el mnimo. Eje de simetra" x = xv . 5ntersección con el eje y . 5ntersecciones con el eje
x " se obtiene resolviendo la ecuación de
segundo grado.
#unción Logartmica La geologa como ciencia re!uiere del planteamiento de ecuaciones logartmicas para el cálculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud / de un terremoto está de+nida como R= log ( A / A0 ) en la escala de /ichter, donde
A es la intensidad y
A 0 es una constante. ' A es la amplitud de un sismógrafo estándar,
!ue está a ;:: ilómetros del epicentro del terremoto(. Los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta utili3an ciertos cálculos de carácter logartmico. La ecuación logartmica les permite determinar la brillante3 y la magnitud.
En la fsica la función logartmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el cálculo del volumen L en decibeles de un sólido, para el cual se emplea la siguiente ecuación
L=10log ( I / I 0) ,
donde I es la intensidad del sonido 'la energa cayendo en una unidad de área por segundo(, I 0 es la intensidad de sonido más baja !ue el odo humano puede or 'llamado umbral auditivo(. *na conversación en vo3 alta tiene un ruido de fondo de A@ decibeles. El logaritmo en base b de un número
como resultado
a es igual a
N , si la base
b elevada a
N da
N
log b a = N → b
=a
#unción Exponencial 2e aplica a la !umica y fsica. En algunos elementos radioactivos son de tal naturale3a !ue su cantidad disminuye con respecto al tiempo, se cumple la ley exponencial y se dice !ue el elemento decrece o decae. En la !umica, el )J es la]JM[, donde ]JM[de una sustancia se de+ne como" J F Log concentración de iones de una sustancia expresada en moles por litro. El )J del agua destilada es B. *na sustancia con un )J menor !ue B, se dice !ue es ácida, mientras !ue su )J es mayor !ue B, se dice !ue es base. Los ambientalistas miden constantemente el )J del agua de lluvia debido al efecto daIino de la lluvia ácida !ue se origina por las emisiones de dióxido de a3ufre de las fábricas y plantas eléctricas !ue trabajan con carbón. =tras de la aplicación de las funciones exponencial fue con el descubrimiento del )olonio 'elemento radioactivo( descubierto por 6arie %urie en ; C4C decae exponencialmente de acuerdo a la función" −0,005 t
m =m 0 e
, donde
m 0 es la masa inicial del )olonio,
m es la masa
al cabo de un tiempo y t es el tiempo en das. El crecimiento poblacional ' Hemografa( de una región o población en aIos, parece estar sobre una curva de caracterstica exponencial !ue sugiere el modelo matemático dado por"
N = N 0 e
kt
, donde N o es la
población inicial, t es el tiempo transcurrido en aIos y es una constante. 'En ;B4C, el economista inglés $homas 6althus observó !ue
la relación
N = N 0 e
kt
era válida para determinar el crecimiento de la
población mundial y estableció, además, !ue como la cantidad de alimentos creca de manera lineal, el mundo no poda resolver el problema del hambre. Esta lúgubre predicción ha tenido un impacto tan importante en el pensamiento económico, !ue el modelo exponencial de crecimiento poblacional se conoce con el nombre de modelo 6althusiano(.
#unciones $rigonométricas Las funciones trigonométricas son valores sin unidades !ue dependen de la magnitud de un ángulo. 2e dice !ue un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x . En la +gura >, el punto ) está situado en una lnea recta !ue pasa por el origen y !ue forma un ángulo eje x . Las coordenadas x
e
θ con la parte positiva del
y pueden ser positivas o negativas
según el cuadrante '5, 55, 555, 51( en !ue se encuentre el punto será cero si el punto P está en el eje el eje x . La distancia e igual a
y o y será cero si
P -
x
P está en
entre el punto y el origen es siempre positiva
√ x2 + y 2 , aplicando el teorema de )itágoras.
Las seis funciones trigonométricas más utili3adas se de+nen de la siguiente manera"
%omo la x y la
y son iguales si se aIaden
2 π
Nes decir, si se aIaden >A:ON es evidente !ue
radianes al ángulo sin
( θ + 2 π )=sin θ . Lo
mismo ocurre con las otras cinco funciones. Hadas sus respectivas de+niciones, tres funciones son las inversas de las otras tres, es decir,
2i el punto ), de la de+nición de función trigonométrica, se encuentra en el eje y, la x es cero- por tanto, puesto !ue la división por cero no está de+nida en el conjunto de los números reales, la tangente y la secante de esos ángulos, como 4:O, 0B:O y 0B:O no están de+nidas. 2i el punto ) está en el eje x, la y es :- en este caso, la cotangente y la cosecante de esos ángulos, como :O, ;C:O y ;C:O tampoco está de+nida. $odos los ángulos tienen seno y coseno, pues r no puede ser igual a :.%omo r es siempre mayor o igual !ue la x o la y, los valores del varan entre
−1 y + 1 . La
tan θ
tener cual!uier valor real. La !ue
+1
y la
cot θ
!ecθ y la
o menor o igual !ue
sin θ
y
cos θ
!ue son ilimitadas, y pueden
c!c " pueden ser mayor o igual
−1 .%omo se ha podido ver en los
anteriores apartados, el valor de las funciones trigonométricas no depende de la longitud de r, pues las proporciones son sólo función del ángulo. 2i
θ es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo
'+gura ?(, las de+niciones de las funciones trigonométricas dadas más
arriba se pueden aplicar a
θ como se explica a continuación. 2i el
vértice A estuviera situado en la intersección de los ejes
x
de la +gura >, si A# descansara sobre la parte positiva del eje $
es el punto
sin θ= y / =a / c
P
de manera !ue
e
y
x y si
A$ = AP = , entonces el
, y as sucesivamente"
Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de ciertos ángulos se pueden obtener con facilidad. )or ejemplo, en un triángulo rectángulo isósceles, se tiene !ue
θ= 45 ° y !ue
sabe, por el $eorema de )itágoras, !ue !ue
2
2
c =2 a
o !ue
c =√ 2 a . )or tanto"
#unciones )olinómicas
2
2
2
c =b + a
b =a , y además se
. He a!u se deduce
Expresión matemática formada por una suma de productos de números reales 'o más generalmente de números de cual!uier anillo(, por potencias enteras de una variable generalmente representada por la letra
x -
es
decir,
un
polinomio
es
una
expresión
del
tipo
P ( x )= a + bx + c x +% x + e x +& , en la !ue la mayor potencia de la variable 2
3
4
se la llama grado del polinomio.
%oncepto de %urva En matemáticas, el concepto de curva intenta capturar la idea intuitiva de lnea continua, de una dimensión, !ue vara de dirección paulatinamente. Ejemplos sencillos de curvas cerradas son la elipse o la circunferencia, y de curvas abiertas la parábola, la hipérbola o la catenaria. La recta sera el caso lmite de una curva de radio in+nito.
Pra+ca de una función En matemáticas, la grá+ca de una función
f : ' → ( es la visuali3ación
de la correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen mediante su representación iconográ+ca. $ambién
puede de+nirse como el conjunto formado por todos los pares ordenados
( x , f ( x )) de la función f - es decir, como un subconjunto del producto cartesiano ' )( . Las únicas funciones !ue se pueden visuali3ar de forma completa son las de una sola variable, representables como un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. 2i la función es continua, entonces la grá+ca formará una curva. En el caso de funciones de dos variables es posible visuali3arlas de forma unvoca mediante una proyección geométrica, pero a partir de tres variables tan solo es posible visuali3ar cortes de la función para los !ue los valores de todas las variables excepto dos permane3can constantes. El concepto de grá+ca de una función se generali3a a la grá+ca de una relación. Qotar !ue si bien cada función tiene una única representación grá+ca, pueden existir varias funciones !ue tengan la misma pero con dominios y codominios diferentes. Ejemplos" •
La grá+ca de la función
es D';,a(, '0,d(, '>,c(.
0( )'x( F x> >x0 M 0x B
Eercicios de Eem!los de A!licaciones de las Funciones" Problema # *n lan3ador de peso puede ser modelado usando la ecuación 2
y =−0,0241 x + x +5,5 - donde
x es la distancia recorrida en pies y
y
es la altura 'medida también en pies(- !ue tan largo es el tiroR 2olución" El lan3amiento termina cuando la pesa llega a tocar el suelo, por lo !ue y =0 y esno nos lleva a tener una ecuación de la forma" 2
0 =−0,0241 x + x +5,5
*sando la fórmula de la ecuación cuadrática tenemos !ue" 2
a x + bx + c =0 → x =
−b * √ b 2−4 ac 2a
/eempla3amos los valores y procederemos a hallar
x , asi"
−1 * √ ( 1 ) − 4 (−0,0241 ) ( 5,5 ) x1= 46,4 x = = 2 (−0,0241 ) x 2=−4,9 2
{
%omo podemos ver, la solución es x =46,4 +e! ya !ue la otra solución no es válida ya !ue nos resulta una distancia negativa. 2i !ueremos saber dónde se encontrará el peso en su máxima altura podemos hacer una grá+ca para hallar tal distancia
He la grá+ca se puede observar !ue en aproximadamente la distancia desde el punto de lan3amiento a 0; pies, se encuentra la bala en su máxima altura la cual seria ;@,CB;4pies aprox.
Problema $ 30 -g *n algodonero recoge cada hora, y demora media hora preparándose todos los das cuando inicia la jornada. La función lineal !ue representa esta situación es"
y =30 t 15
Honde y representa los Sg de algodón recogido y transcurrido en horas.
t
el tiempo
$abule y gra+!ue la función lineal- Tcuánto algodón ha recogido el algodonero en una jornada de C horasR 2olución" /eempla3ando valores en la función lineal tenemos !ue" y =30 ( 8 ) 15 =225 -g
)or lo !ue en una jornada de trabajo de CJ, el algodonero logra recolectar 00@g de algodón. La tabla y su grá+ca se muestran a continuación"
Problema % *na población de aves, cuenta inicialmente con @: individuos y se triplica cada 0 aIos. ;. T%uál es la fórmula de la función !ue representa el crecimiento de la población de avesR 0. T%uántas aves hay después de ? aIosR >. THespués de cuánto tiempo la población de aves será de ;::: individuosR 2olución" ;. *sando la fórmula de la ecuación exponencial tenemos !ue" f ( x )=50 ( 3
x / 2
)
0. &hora las aves !ue hay pasado ? aIos es la siguiente" f ( 4 )=50 ( 3
4 /2
) =50 ( 3 )=50 ( 9 ) =450 Ave! 2
>. El tiempo !ue tarda en !ue la población de aves sea ;::: se calcula asi" 1000=50 ( 3
x / 2
) → 20 =3 x /2
&hora aplicamos la ley de los logaritmos y tenemos !ue"
( )=
ln20 x ln20= ln 3 → x =2 2 l /3
5,45 a0o!
&hora tabulemos valores y gra+!uemos la función, como se muestra a continuación"