2013 APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN LA INDUSTRIA ALIMENTARIA
INTEGRANTES: Aguilar Meneses, Vivel Maccapa Tacca, Luis
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
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INTRODUCCIÓN
El estudio de la matemática, no se basa en el sólo cálculo matemático, sino en un abordaje profundo y detallado de su aplicación en la industria, hecho éste que causó gran curiosidad por ahondar en este tema, y más aún dar a conocer a todos, y en especial a aquellos que consideran a la matemática como netamente abstracta y sin más aplicación que para efectuar operaciones, que la matemática es la ciencia más importante, pues en ella se basan las demás ciencias como la medicina, la biología, quimica, etc. El objetivo del presente trabajo titulado Aplicacióones de Ecuaciones Diferenciales en la Industria Alimentaria es un trabajo de investigacion que desarrolla contenidos matemáticos de manera general y se enfoca en mostrar su aplicación en la industria de manera detallada, mediante explicaciones teóricas y con ejemplos prácticos.
Para la presentación del trabajo, se ha dividido en tres capítulos.
El PRIMERO
titulado El Problema, se presenta una descripción detallada de la finalidad, planteamiento del problema justificación, y objetivos
del desarrollo de esta
trabajo; EL SEGUNDO, titulado Desarrollo Teórico, desarrolla todos los conceptos utilizados en la aplicación de ecuaciones diferenciales en la industria alimentaria; EL TERCERO titulado Desarrollo de la Propuesta, presenta lo que deseamos abordar: el contenido matemático y su aplicación a la industria En fin elaborar este trabajo es la muestra de que se existe una aplicación práctica de ecuaciones diferenciales en la industria alimentaria.
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CAPITULO I
GENERALIDADES
1.1.
PLANTEAMIENTO
Y
FORMULACIÓN
DEL PROBLEMA
La aplicación de la matemática aumenta su importancia al ser una ciencia auxiliar fundamental de otras disciplinas.
Por esto, toda persona
debe poseer aunque sea un mínimo de conocimiento de la matemática y su contenido; aspecto éste muy difícil de encontrar actualmente, pues el docente contrariamente de enseñar a valorar este conocimiento, mediante una motivación al estudio de la matemática, se ha dedicado a crear en el estudiante un temor innecesario hacia la materia, dado que se la presenta como algo irreal, sin antecedentes y además sin aplicación y utilización en la vida, excepto de las operaciones matemáticas básicas; por lo que el individuo considera innecesario profundizar en el conocimiento matemático.
Por este poco interés en la matemática, el estudiante no está consciente de que en cualquier aspecto de la vida social en el que piense desenvolverse necesitará un buen dominio de esta ciencia para alcanzar sus metas y propósitos.
Aplicaciónes de la ecuaciones diferenciales en la industria alimentaria se persigue básicamente demostrar la aplicación de la matemática y el cálculo matemático en los aspectos y contenidos de la industria,
ya
que son de uso cotidiano, además de concientizar al estudiante de la utilización de la matemática en la vida.
1.2.
1.2.1.
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Dar a conocer la utilización y aplicación de ecuaciones diferenciales en problemas relacionados a la industria alimentaria.
1.2.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS Presentar al estudiante la aplicabilidad de las ecuaciones diferenciales en la realidad. Presentar de manera más ilustrativa y demostrativa la aplicabilidad de la derivada en la industria alimentaria.
1.3.
JUSTIFICACIÓN E IMPORTANCIA
Los Estudiantes de la carrera de Ingeniería Industrial, frecuentemente se preguntan ¿Para qué aprender tanto cálculo? , ¿Qué utilización práctica tiene las ecuaciones diferenciales?, por ejemplo,
preguntas a las que no
es fácil encontrar una respuesta que no sea más complicada que la misma pregunta.
Con el presente trabajo se espera sirva de herramienta para mejorar la calidad de la aprendizaje de la matemática y a su vez sirva para demostrarle al estudiante la gran utilidad de la matemática, motivándole a estudiarle, además de servirle como consulta en sus estudios.
En la búsqueda de esa aplicación de la matemática en la vida, se puede encontrar fácilmente a la industria alimentaria como campo de aplicación de la misma.
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APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN LA INDUSTRIA ALIMENTARIA
PROBLEMA N° 1
Un producto nuevo de cereal se introduce a través de unas campañas de publicidad a una población de 1 millón de clientes potenciales. La velocidad a la que la población se entera del producto se supone que es proporcional al número de personas que todavía no son conscientes del producto. Al final de un año, la mitad de la población ha oído hablar del producto. ¿Cuántos han oído hablar de él por el final de 2 años?
SOLUCIÓN:
En primer lugar definimos las variables que forman parte del problema: : Es el número en millones de personas (clientes potenciales). : Tiempo que han oído hablar del producto. : Es el número de personas que no han oído de este.
: La velocidad a la que la población conoce sobre el producto.
En segundo lugar especificamos la expresión diferencial que describe el problema.
Ecuación Diferencial Esta ecuación significa que la tasa de cambio de x, es proporcional a la diferencia entre 1 y x.
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Para resolver la ecuación diferencial:
1. Separamos las variables:
2. Integramos a ambos lados de la igualdad.
∫
∫
Para el cálculo de la solución particular se debe aplicar las condiciones iniciales del problema a la solución general, es decir:
x = 0 cuando t = 0
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Entonces
x = 0.5 cuando t = 1
En la solución particular reemplazamos t por 2, esto es el número de años que ha transcurrido desde la publicación del producto y sobre el cual se va a evaluar el total de personas que lo conocen hasta el momento.
Al final de dos años las personas que han oído hablar del producto (nuevo cereal) son 750000. PROBLEMA N° 2
La demanda y oferta de un producto alimenticio están en miles de unidades por D = 48 – 2p(t) + 3p´(t), S = 30 + p(t) + 4p´(t), respectivamente. Si en precio del bien es 10 unidades, encuentre: a. El precio en cualquier tiempo t > 0 b. Si hay estabilidad o inestabilidad de precio.
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t =0 el
SOLUCIÓN:
Aplicando el principio económico de la oferta y demanda:
Solucionando: ∫
∫
∫
Aplicando la condición inicial:
Finalmente la ecuación queda de la siguiente forma, que es el precio en cualquier tiempo t:
Recordando lo que se vio anteriormente, nos damos cuenta que si entonces había una estabilidad en los precios, y como precios si son estables, y cuando aplicamos el límite cuando t precio de equilibrio en ese caso el precio de equilibrio es 6. En la gráfica se puede apreciar mejor este punto:
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entonces los ese es el
PROBLEMA N° 3
Suponga que la oferta y la demanda de productos para consumo humano están dadas en términos de precios p por S = 60 + 2P, D = 120 – 3P, respectivamente, la constante de proporcionalidad es K = 4. Escriba la ecuación diferencial para p y determine el precio en cualquier tiempo t > 0 asumiendo que p = 8 en
t=0
SOLUCIÓN:
La ecuación diferencial se expresara de la forma:
Solucionando: ∫
∫
∫
Aplicando la condición inicial:
Finalmente la ecuación queda de la siguiente forma, que es el precio en cualquier tiempo t:
La grafica de la función es la siguiente:
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Observación: Nótese que según lo estudiado al principio el precio es estable y el precio de equilibrio es 12, que es el mismo que se obtiene al igualar las ecuaciones de la oferta y la demanda. PROBLEMA N° 4 Un productor de conservas de atún para proteger sus utilidades, decide que la taza a la cual aumentan sus precios debe ser numéricamente igual a un cuarto de la taza a la cual su inventario decrece además se sabe que la oferta y la demanda, están determinadas en función del precio por: y
, determine el precio en cualquier instante, si cuando
el tiempo es 0 el precio es 12 unidades.
SOLUCIÓN:
Por lo visto, cuando se desarrolló la teoría de los inventarios:
Donde
es igual a 3: 7
Ahora el trabajo consiste en desarrollar la ecuación diferencial: ∫
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
Aplicando la condición inicial:
El precio en cualquier instante de tiempo queda de la forma:
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