Antología de Ingeniería Económica Ingeniería Económica Licenciatura en Ingeniería Industrial A
Febrero, 2013
I NGENIE RI A E CONO CONOMICA MICA OBJE TIVO GENE RAL DE L CURSO CURSO Lograr que el participante sea capaz de:
Comprender los criterios en que se fundamenta el análisis económico. Aplicar las técnicas del análisis económico a problemas reales. Efectuar el análisis de sensibilidad cuando se presentan cambios en en los parámetros que definen la situación.
UNI DAD 2 -I ngenierí ngenieríaa Eco E conó nóm mi ca: ca: Es una colección de técnicas matemáticas que simplifican las comparaciones económicas.
-Co -C oncep ncepto de I nge ng enie ni er í a Eco E conó nóm mi ca: ca: Es un conjunto de técnicas de análisis para la toma de decisiones monetarias.
-Ap -A plica li caci cióón de de la inge ing enie ni er í a Eco E conóm nómii ca: ca: a partir de los años cincuenta, con el rápido desarrollo industrial de una gran parte del mundo, los industriales vieron la necesidad de contar con técnicas de análisis económico adaptadas a sus empresas, creando en ellas un ambiente para tomar decisiones orientadas siempre a la elección de la mejor alternativa en toda ocasión. De esta forma, con el paso del tiempo se desarrollan técnicas específicas para su aplicación en situaciones especiales dentro de la empresa como:
-Análi -A nálisisiss solo de costo costoss -Reemplazo de equipo solo con análisis de costos
-R eemp mplazo lazo de equipo quiposs involucr i nvolucrand andoo ing i ngrr esos e/i e/i mp mpuesto uestoss -Creación de plantas totalmente nuevas
-Aná -A nálilisi siss de de la infla inf lación ción -Toma de decisiones económicas bajo riesgo, etc. Conforme al aparato industrial se complejo, las técnicas se adaptaron y se volvieron más específicas.
P or tanto tanto,, la ing ingenie ni er í a económ conómi ca o análi análisisiss eco económ nómii co en la i nge ng enie ni er í a, se convi convi r tió tió en un conjun conj unto to de técni técnicas cas par paraa tomar tomar deci decisisiones ones de í ndole económi económica ca en el ám ámbi bito to industrial, considerando siempre el valor del dinero a través del tiempo.
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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El nombre de ingeniería económica o análisis económico lleva implícita su aplicación, es decir, en la industria productora de bienes y servicios.
“Porque cambiar el valor del dinero a través del tiempo”
Hay un fenómeno económico conocido como inflación, el cual consiste en la pérdida del poder adquisitivo del dinero con el paso del tiempo. Ningún país en el mundo esta exento de inflación, ya sea que tenga un valor bajo, de 2 a 5 % anual en países desarrollados, o por arriba del 1000% anual como en algunos países de América del sur. Nadie puede escapar de ella. De la misma forma, nadie sabe con certeza por que es necesaria la inflación o por que se origina en cualquier economía. Lo único que se aprecia claramente es que en países con economías fuertes y estables, la inflación es muy baja, pero nunca de “0” cero.
Lo único en que se hace énfasis, es que el valor del dinero cambia con el tiempo debido principalmente a este fenómeno, de lo contrario, es decir, si s i no hubiera inflación, el poder adquisitivo del dinero sería el mismo a través de los años y la evaluación económica probablemente se limitaría a hacer sumas y restas simples de las ganancias futuras. Pero sucede lo opuesto, es posible mediante algunas técnicas, pronosticar prono sticar ciertos ingresos en el futuro. Por ejemplo, hoy ho y se s e adquiere a dquiere un auto a uto por $ 20,000.00 y se s e espera es pera poder venderlo dentro de 5 años en $60,000.00 Traído o calculado a su equivalente el día de hoy, resulta mucho más bajo que $20,000 Este fenómeno de “ilusión monetaria” se presenta en mayor o menos proporción en cualquier país que padezca la inflación. Es aquí donde interviene la ingeniería económica, que intenta resolver el problema del cambio en el valor
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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El nombre de ingeniería económica o análisis económico lleva implícita su aplicación, es decir, en la industria productora de bienes y servicios.
“Porque cambiar el valor del dinero a través del tiempo”
Hay un fenómeno económico conocido como inflación, el cual consiste en la pérdida del poder adquisitivo del dinero con el paso del tiempo. Ningún país en el mundo esta exento de inflación, ya sea que tenga un valor bajo, de 2 a 5 % anual en países desarrollados, o por arriba del 1000% anual como en algunos países de América del sur. Nadie puede escapar de ella. De la misma forma, nadie sabe con certeza por que es necesaria la inflación o por que se origina en cualquier economía. Lo único que se aprecia claramente es que en países con economías fuertes y estables, la inflación es muy baja, pero nunca de “0” cero.
Lo único en que se hace énfasis, es que el valor del dinero cambia con el tiempo debido principalmente a este fenómeno, de lo contrario, es decir, si s i no hubiera inflación, el poder adquisitivo del dinero sería el mismo a través de los años y la evaluación económica probablemente se limitaría a hacer sumas y restas simples de las ganancias futuras. Pero sucede lo opuesto, es posible mediante algunas técnicas, pronosticar prono sticar ciertos ingresos en el futuro. Por ejemplo, hoy ho y se s e adquiere a dquiere un auto a uto por $ 20,000.00 y se s e espera es pera poder venderlo dentro de 5 años en $60,000.00 Traído o calculado a su equivalente el día de hoy, resulta mucho más bajo que $20,000 Este fenómeno de “ilusión monetaria” se presenta en mayor o menos proporción en cualquier país que padezca la inflación. Es aquí donde interviene la ingeniería económica, que intenta resolver el problema del cambio en el valor
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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Del dinero a través del tiempo. La solución que aporta es calcular el valor va lor equivalente del dinero en un solo instante.
UNIDAD III = E L VALOR DEL DI NE RO A TRAVES DEL TI E MPO= MPO= La manifestación del valor del dinero en el tiempo se llama “INTERES” y y constituye una medida del incremento entre la suma original ya sea tomada en préstamo o invertida y el monto final pagado o acumulado. Por consiguiente, si se invirtió dinero en algún tiempo en el pasado el interés será:
I nter nter és= cantida cantidad d tota totall acumulada acumulada – inv i nveer sión or or i gina gi nall
De otra parte si se pidió prestado dinero en un tiempo pasado, pasa do, el interés será:
I nter nter eses= cantida canti dad d pre presente pagada pagada – pré pr éstam stamo or or i gi nal
En cualquier caso, existe un incremento en la cantidad de dinero que originalmente se tomó en préstamo o se invirtió y el incremento sobre el monto original es el interés. El préstamo o la inversión original es lo que llamamos PRINCIPAL.
CALCULO CALCULO DE DE I NTERE NTERE S: Cuando el interés se expresa como un porcentaje de la cantidad original por unidad de tiempo, el resultado es una “TASA DE INTERES”. Esta tasa se calcula como sigue:
Tasa de interés porcentual = i nterés acumulado por por unida uni dad d de de tiempo tiempo * 100% / canti cantida dadd ddee or or i gi nal
El periodo de tiempo más comúnmente utilizado para expresar la tasa de interés se expresan a menudo en tiempo menores a un año (mensual, semestral, etc.) por lo cual la
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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unidad de tiempo utilizada para expresar una tasa de interés llamada “periodo de interés”.
E jemplo 1. La compañía HAGASE-RICO invirtió $100,000 el 1° de mayo y retiro un total de $106,000 exactamente un año más tarde. Calcule: a) El interés obtenido de la inversión original. b) La tasa de interés de inversión. Solucionar:
Interés: 106,000 – 100,000 100,000 = $ 6,000 Tasa de interés porcentual: $ 6,000 /año. X 100% = 6% Anual. $ 100,000
E jemplo 2. Juan Silvia planea solicitar un préstamo de $20,000 por año al 15% de interés. Calcule: a) El a) El interés. b) La b) La cantidad total de la deuda después de un año.
Soluc Solucii ón:
Interés: 20,000 (0.15) = $ 3000.00 La cantidad total de la deuda es la suma del principal y el interés o sea: Deuda total: 20,000+ 3000 = $ 23,000 Deuda total: principal (1 + tasa de interés)= 20,000 (0.15) (0.15 ) = $ 23,000
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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CONCEPTO DE E QUIVALE NCI A El valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés utilizados conjuntamente generan el concepto de “ EQUIVALENCIA”, El cual se expresa que diferentes cantidades de dinero en diferentes tiempos pueden tener algún valor económico:
POR EJEMPLO si la tasa de interés es del 12% anual, Entonces $100 hoy, serán equivalentes a $112 dentro de un año, ya que:
CA NTI DAD A CUMULADA= 100 + 100 (0.12) = 100 (1 + 0.12 )= 100(1.12) = $112
Así, si alguien le ofreciera un regalo de $100 hoy o de $112 dentro de un año, no habrá diferencia en cuanto a la oferta que usted aceptara puesto que en cualquiera de los dos casos usted tendrá $112 dentro de un año, las dos sumas de dinero son por lo tanto equivalentes cuando la tasa de interés es del 12% anual. Así mismo se puede aplicar los mismos conceptos para determinar equivalencias en años anteriores así, $100 de hoy serian equivalentes a: .
= . de hace un año
I NTERE S SI MPLE: Se le llama al uso de dinero a través de varios periodos de capitalización no se cobra interés sobre interés que se debe.
EJEMPLO: FORMULA I NTERE S= (PRI NCI PAL) (No. DE PER I ODOS) (TASA DE I NTERE S)
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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E jemplo. Si se solicita un crédito de $ 1000 durante 3 años a un interés simple del 6% anual, ¿Cuánto dinero se pagara al final de los 3 años? Solución:
Interés por año: $ 1000 (0.06) = $ 60 Interés total: $ 1000 (3) (0.06) = $ 180
Para los tres años: Por último la cantidad adecuada para los 3 años. 1000 + 180 = $ 1,180
Cálculos de interés simple: F in de año
Cantidad prestada
I nterés
Cantidad adeudada
Cantidad pagada
0 1 2 3
$ 1000 ----
-$ 60 $ 60 $ 60
-$ 1,060 $ 1,120 $ 1,180
-0 0 $1,180
Por lo tanto, el monto que le adeuda cada año aumenta uniformemente en $60, ya que el interés solo afecta el principal de $ 1000.
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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Interés compuesto “significa interés sobre interés” Se calcula sobre el principal, más la cantidad total de interés acumulado en periodos anteriores. Reflejando el efecto del valor del dinero en el tiempo
E jemplo.- si se solicita un crédito de $1000 a un interés compuesto del 6% anual, como en el ejemplo anterior, calcule la cantidad total adecuada después de un periodo de 3 años: Solución interés año 1 = 1000(0.06)= $60 Cantidad adecuada al final del año 1 = 1000+60=$1060 Interés año 2 =1060(10.06)= $65.60 Cantidad adecuado al final del año 2 =1060+63=$1123.60 Interés año 3 =1123.60(0.06)=67.42 Cantidad adecuada al final del año 3 =1123.60+67.42=$1191.02
Cálculos de interés compuesto F in de año 0 1 2 3
Cantidad prestada $1000 -------------------------------------
6% interés
Cantidad Cantidad pagada adecuada -----------------------------------------------$60 $106.0 ----------------$63.60 $1123.60 ----------------67.42 $1191.02 $1191.02
Como las cantidades en la vida real casi siempre se refieren a interés compuesto las tasas de interés que se especifiquen de aquí en adelante, se tomaran como de interés compuesto, a menos que indiquen lo contrario.
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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SI MBOLOS Y SI GNI F I CADO Las relaciones matemáticas usadas en la ingeniería económica utilizan los siguientes símbolos:
P= Valor o suma de dinero en un tiempo señalado como el presente; pesos, etc. F = Valor o suma de dinero en un tiempo futuro; dólares, pesos, etc. A= Una serie consecutiva y periódica (mensual, anual, etc.) de cantidades iguales de dinero al final del periodo; $ por año, $ por mes.
n= Numero de periodos de interés (meses, años) i= Tasa de interés por periodo de interés; % por mes, % por año. P Y F = Ocurren una vez en el tiempo. A= Debe de ser uniforme.
E JE MPLO 1: Si se piden prestados $ 2000 y debe pagarse el crédito más los intereses a una tasa del 12% anual en 5 años. ¿Cuál es el monto total que ha de pagarse? Liste los valores de P, F, n, e i. P= $ 2000 F=? n= 5 Años i = 12%
Nota: A= No existe.
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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E JE MPLO 2: Si se piden prestados $ 2000, ahora al 17% anual y a 5 años y debe pagarse el crédito en pagos anuales iguales, ¿Cuánto debería pagarse? Liste los valores de los símbolos involucrados. P= $ 2000 n= 5 Años A=? i= 17%
Nota: Aquí no existe F .
E JE MPLO 3: Si usted deposita $ 500 en una cuenta de ahorro el 1 de mayo de 2004, la cual paga el 7% anual, ¿Qué cantidad anual puede retirar durante los siguientes 10 años? Liste los valores de los símbolos que intervienen.
P= $ 500 A=? n= 10 Años i= 7% Anual
E JE MPLO 4: Si usted deposita $ 100 en una cuenta de ahorro cada año, durante 7 años, la cual paga el 6% de interés anual, ¿Qué cantidad recibirá al final de los 7 años? Liste los valores de los símbolos.
A= $100 F =? n= 7 Años i= 6% Anual.
DI AGRAMA DE FLUJO DE CAJA Es una representación grafica de los flujos de caja dibujados en una escala de tiempo.
0
1
2
3
4
5 Años
Presente (Desembolsos) Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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Antología de Ingeniería Económica Licenciatura en Ingeniería Industrial A Tiempo
Toda persona o compañía tienes entradas de dinero (ingresos) y desembolsos de dinero (costos) que ocurren en un tiempo dado. Estas entradas y desembolsos en un intervalo de tiempo constituyen un flujo de caja, en el cual los flujos de caja positivos representan usualmente entradas y los negativos representan desembolsos en cualquier instante del tiempo, el flujo de caja neto está dado por:
F LUJO DE CAJ A NE TO= E NTRADAS – DE SEMB OLSOS.
(+)
Flujo de caja +
Flujo de caja
Flujo de caja (-)
Tiempo
3
(-)
CONVENCION DEL FIN DE PERIODO; normal mente ocurren todos los flujos al final del periodo de interés.
EJEMPLO 1: considere la situación presentada en el ejemplo 1, donde $ 2000 (P) se tomaban en préstamo y se requería calcular
“F “después de 5 años. Construir el
diagrama de flujo de caja para este caso, suponiendo una tasa de interés del 12% anual.
SOLUCI ON: p= $2000 i =
(+)
0
1
2
12%
3
4
5
(-)
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
F=?
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E JE MPLO NUM: 2.- Si se comienza ahora y se hacen cinco depósitos más de $ 1000 anuales (A) en una cuenta el 7% anual, ¿cuánto dinero se habrá acumulado inmediatamente después de que se halla hecho el último depósito? Construya el diagrama de flujo de caja. F=?
i = 7% 0
1
2
3
4
5
A=$ 1000
NOTA: La suma de “F” es un acumulado al final del año 5 obsérvese que la suma “P” es un desembolso.
E JE MPLO 3: Suponga que se desea depositar una suma P=? en una cuenta de ahorros dentro de dos años, de manera que le sea posible retirar $400 anuales durante 5 años consecutivos, empezando dentro de 3 años a partir de este momento. Suponga que la tasa de interés es del 5.5% anual. Construya el diagrama de flujo de caja. A=$400
0
1
2
3
4
5 i =
6
n= 7
5 ½%
P=?
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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E JE MPLO 4: La compañía H.P. invierte $2500.00 en un nuevo compresor de aire hace 7 años. Los ingresos anuales que produce el compresor son de $ 750. Durante el primer año se gastaron $ 100 en mantenimiento, costo que ha venido aumentando cada año en $25. La compañía piensa vender el compresor por un valor de salvamento de $150 a finales del próximo año. Prepare el diagrama de flujo de caja para este tiempo. $650
$625
$625 $600 $575
$550 $525 $500
-7
-6
125
-5 150
-4 175
-3 200
-2
-1 225
1 año
0 250
275
P=$2500
NOTA: E xisten muchas formas de conformar un diagrama de flujo, dependiendo de los requerimientos de cada problema.
SE RE COMI E ND A: Practicar ejercicios diferentes para elaborar diagrama de flujos, apoyarse en el libro de Baca Urbina y Tarquin.
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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F ACTORE S DE I NTERE S COMPUE STO En este subtema es uno de los más importantes, ya que los conceptos presentados anteriormente se usaran en todo lo que resta del curso. A si mismo se deducirán los factores básicos de la ingeniería económica y su empleo en los cálculos económicos.
1.- F ACTOR CANTI DAD - COMPUESTA PAGO UNI CO Y F ACTOR VALOR PRE SENTE PAGO UNI CO.
*F ORMULA DE PAGO UNIC O
F = P(1+i)n F UTURO DADO UN PRE SENTE La expresión (1+i)n, llamada el factor cantidad compuesta pago único (FCCPU), dará la cantidad futura “F” de una inversión inicial “P” después de “N” años a una tasa de interés “i”.
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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F ACTOR PRE SENTE DADO UN F UTURO P = F [1 / (1+i) n ] La expresión entre paréntesis cuadrados se conoce como el factor VALOR – PRESENTE PAGO UNICO (FVPPU).Esta expresión permitirá determinar el valor presente “P” de una cantidad futura dada “F”, después de “N” años a una tasa de interés “i”.
P= ? 1
2 3
4
n-3
Diagrama de flujo para encontrar
n-2
n-1 n
.F=DADO
“P” dado un “F”
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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2.-FACTOR VA LOR- PR E SE NTE SE RI E -UNI F ORME Y F ACTOR CUPE RACI ÓN DE CAPITAL USANDO E L F ACTOR VALOR – P RE SENTE PAG O-UNIC O. *Deducción del factor valor presente serie uniforme y del factor de recuperación de capital
FORMULA GENE RAL
P=A [1 / (1+i)1 ] +A [1 / (1+i)2 ] +………………+ [1 / (1+i)n-1 + [1 / (1+i)n ]
1
2
3
4
n-4
n-3 n-2
n-1
n
A= dado
DIAGRAMA PARA DETERMI NAR EL VALOR PRESENTE DE UNA SERI E UNIF ORME El valor presente de la serie uniforme ilustrado en el diagrama ,se puede determinar considerando cada valor A como un valor futuro F en el factor valor-presente pago-único y luego sumando los valores valor- presente ,donde los términos entre paréntesis cuadrados representan el FVPPU para los años 1 hasta n.
FORMULA SIMPLIF I CADA
P=A [ (1+i) n-1 / i(1+i)n ]
i=0
F ACTOR PRE SENTE DA DO UN PAGO UNIF ORME
*El termino entre paréntesis cuadrados se denomina factor valor – presente serie uniforme (FVPSU) . Este factor dará el valor presente P de una serie anual uniforme equivalente A ,que comienza al final del año 1 y se extiende durante N años a una tasa de interés i.
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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DE SPEJANDO “A·” TENEMOS:
A= P [i(1+i) n /(1+i) n-1] FACTOR PAGO UNIFORME DADO UN PRESENTE
El termino entre paréntesis cuadrado, denominado factor de recuperación de capital (FRC) ,permite obtener el costo anual uniforme equivalente A durante N años , de una inversión dada P cuando la tasa de interés es i.
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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3._ F ACTOR CANTI DAD COMPUE STA SE RI E UNI F ORME Y F ACTOR F ONDO DE AM ORTI ZACI ON USANDO E L F ACTOR CANTI DA D-COM PUE STA PAGO-UNI CO Y EL FACTOR DE RE CUPERACI ON DE CAPITAL. FORMULA: FACTOR PAGO UNIFORME DADO UN FUTURO
A=F[( i / (1+i) n-1] La expresión entre paréntesis cuadrados es el factor fondo de amortización (FFA), se utiliza para determinar la serie anual uniforme , que será equivalente a un valor futuro. F=DADO 0
1
2
n-2
n-1
n
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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Antología de Ingeniería Económica Licenciatura en Ingeniería Industrial A Transformación de un valor dado F en una serie A equivalente
*F ORMULA: FACTOR FUTURO DADO UN PAGO UNI F ORME
F =A [ (1+i) n-1 / i] El término entre corchetes se denomina factor cantidad compuesta serie uniforme (FCCSU) y cuando se multiplica por la cantidad anual uniforme dada A, produce el valor futuro de la serie uniforme. F=? 0
1
2
n-2
n-1
n
A= DADO
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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NOTACION E STANDAR DE LOS F ACTORE S Y USO DE TABLA DE INTER E S
Para evitarse la molestia de escribir las formulas cada vez que se use uno de los factores, se está adoptando una notación estándares presenta los diferentes factores, esta notación estándar, que incluye también la tasa de interés y el número de periodos se expresa siempre en forma en forma general (x/y, i%, n).La primera letra dentro del paréntesis (X) .se presenta lo que se quiere encontrar, mientras que la segunda letra (y) representa lo dado. Ejemplo. F/P significa hallar F dado de P, la (i) es la tasa de interés en porcentaje ,y la (n) representa el número de periodos involucrados . De esta manera (F/P,6%,20) significa obtener el factor que al ser multiplicado por P dado permita encontrar la continuidad futura de dinero F que se amurara en 20 periodos si la tasa de interés es 6%.
Notación estándar de los factores.
Nombre del factor.
Numero estándar.
Valor Presente pago único (f.v.p.p.o.)
(P/F, i %, n)
Cantidad Compuesta pago único (f.c.c.p.u)
(F/P, i %, n)
Valor presenta Serie uniforme (f.v.p.s.u.)
(P/P, i %, n)
Recuperación capital (f.c.c.)
(A/F, i %, n)
Fondo amortización (f.f.a.)
(A/F, i%, n)
Cantidad compuesta serie uniforme. (f.c.c.s.u.)
(P/A, i% , n)
Para simplificar los cálculos rutinarios de ingeniera económica que se involucran los intereses anteriores, sean preparado tablas de valores de factores para la tasa de interés Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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desde 0.5 mientras 50% mientras periodos de tiempo de desde 1 hasta 100 años. Estas tablas se encuentran en el apéndice 2 identificadas como tablas A 2.1 y A2.20 del libro Gabriel Baca Vecina. Se recomienda fotocopiar dichas tablas, para la solución de ejercicios.
E jemplo: el valor de (P/A, 5%, 10) se encuentra en la columna P/A de la tabla a 2.6 en el año 10, es decir, 7.7217. Otra forma de calcular este valor es usando la fórmula para el FUPSU. (Valor presente serie uniforme) (/, 5%, 10) =
(1 ) 1 (1 )
=
(1 ) 0.05(1.05)
= 7.7217
“cálculos que utilizan la notación estándar”
Para encontrar
P F P A A F
Dado
F actor
F P A P F A
(P/F, i%, n) (F/P, i%, n) (P/A, i%, n) (A/P, i%, n) (A/F, i%, n) (F/A, i%, n)
F ormula
P= F(P/F, i%, n) F= P(F/P, i%, n) P= A(P/A, i%, n) A= P(A/P, i%, n) A= F(A/F, i%, n) F= A(F/A, i%, n)
Uso de las tablas de interés Notación estándar (F/A, 10%, 3) (A/P, 7%, 20) (P/F, 25%, 30)
i% 10 7 25
n 3 20 30
Tabla A2.11 A2.8 A2.17
Valor del factor 3.3100 0.0944 0.0012
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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5.- Definir y desarrollar el Valor-Presente Gradiente-Uniforme y los factores serie anual utilizando el factor Valor-Presente Pago-Único.
Definición y deducción de las fórmulas de Gradientes
Un Gradiente uniforme: es una serie de flujo de caja que aumenta o disminuye de manera uniforme, es decir, el flujo de caja, ya sea ingresos o desembolsos, varia en la misma cantidad cada año. La cantidad del aumento o la disminución es el Gradiante.
E jemplo: L a compañía “MOTOROLA” espera obtener el próximo año un ingreso de $100,000 de la venta de un producto nuevo. Sin embargo, se espera que las ventas disminuyan uniformemente con la nueva competencia a un nivel de $47500 en 8 años. Determine el G radiante y construya el diagrama de flujo de caja.
Solución: Cantidad base = $100,000 Perdida de ingreso en 8 años = $100,000-$47,500= $52,500 Gradiente = perdida/(n-1) =$ 52,500/(8-1)= $7500 por año El diagrama de flujo de caja queda conformado de la siguiente forma $ 100000 $ 92500
$ 85000
$ 77500 $ 70000 $ 62500 $ 55000
1
2
3
4
5
6
7
$ 47500
8
Serie Gradiente
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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E jemplo 2: una pareja se propone empezar a ahorr ar dinero depositando $500 en su cuenta de ahorros dentro de un año. Calcular que los depósitos aumentaran en $ 100 por año durante nueve años de ahí en adelante. ¿ Cuálsería el valor presente de las inversiones si la tasa de interés es del 5% anual?
0
P=?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
------------------------------------------------------------------------------------------------------- PA 500 600
700
800
900 1000
1100
PG
1200 1300 1400
Solución: en el diagrama de flujo de caja, se deben hacer dos cálculos; el primero es calcular el valor presente (pa) de la cantidad base y el segundo, calcular el valor presente (pg) del gradiente. entonces el valor presente total es pt=pa+pg1 ya que PA y PG ocurren en el año “0”.
CALCULOS USANDO TABLAS DE F ACTORE S DE I NTERE S DI SCRE TO: PT=PA +PG =500(P/A, 5%,10)+100(P/G, 5%,10) =500(7.7217)+100(31.652) PT=$7026.0
P= 500 + 600 + (1+0.5)
1200 + (1+0.5)
(1+0.5)
700
(1+0.5)
1300 +
(1+0.5)
+
800
+ 900
(1+0.5)
+
(1+0.5)
1000 +
(1+0.5)
1100
(1+0.5)
1400
(1+0.5)
P=$7,026.07
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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E JE MPLO. Una persona adquirió un auto espera que el costo de mantenimiento sea de $ 150 al finalizar del primer año y que en los subsecuentes aumente a razón de $ 50 anuales. Si la tasa de interés es de 8% capitali zada c ∕ año. ¿Cuál es el valor presente de esta seri e de pagos durante un periodo de 6 años?
P= i = 8%
400
N= 6
350
Primer pago= 150
300
G = 50
250 200 150
0
----------------------------------------------------------------1
2
3
4
5
6
P= A) PT = PA + PG
VIA TABLAS
PT = 150 (P/A, 8%,6) + 50 ( P/G, 8%, 6) = 150 (4.6229 ) +50 ( 10.5233 ) = $ 1219.60
B) Vía formula general P = 150 + 200 + 250 + 300 +
350
+
400
=
1,219.60
(1.08) (1.08)(1.08) (1.08) (1.08) (1.08)
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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E jemplo: una comercializadora vende computadoras bajo las siguientes condiciones: se hace un pago de $900 un mes después de la fecha de adquisición y nueve pagos mensuales adicionales cada uno de los cuales disminuye en $ 50 el pago del mes anterior (el 2 ° mes se pagara $850 el tercer mes $ 800, etc) si el interés que cargo la comercializadora es de 1% capitalizado mensualmente ¿Cuál es el valor a pagar de contado por la compra de la computadora? Solución: en este caso existe un gradiente negativo
900 850 800 750 700 650
600 550 500 450 =
1
2
3
4
5
0
6
7
8
9
10
P P
900 900 900 900 900 900
900 900 900 900
Pago unitario
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
menos
I
P
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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350 400 300 250 200 150 100 50 0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
P 2 A) VI A TABLAS P= P1 – P2 P= 900(P/A, 1%,10) - 50(P/G, 1%,10) P= 900(9.4713)- 50( 41.8431) P= $ 6432.015
B) VIA FORMULA SIMPLIFICADA P= G1/
(+) −
(+)
-n
(+.)
(+.)
P= 900 .(+.)) - .
.
10
(+.)
P= 900 (9.4713) - 50 ( 41.843) =$ 6,432
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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C) VI A FORMULA GENE RAL : P=900
+
(1+0.01)
850 +……+ 500 +
450
=
$ 6432
(1+0.01) (1+0.01) (1+0.01)
6.- P/G 41.844
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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6.- I NTERPOLACI ON EN LA TABLA DE I NTERE S Algunas veces es necesario localizar el valor de un factor para una tasa de interés “ i” o un año “N ”que no aparece en las tablas de interés. Cuando eso ocurre, el valor del factor
deseado se puede obtener en una de las dos maneras siguientes: 1.- usando las fórmulas que fueron deducidas anteriormente 2.- por interpolación entre los valores encontrados a ambos lados del valor deseado que no figuran en una tabla. Generalmente es más fácil y más rápido usar las formulas en vez de interpolar para determinar el valor del valor que corresponde a un valor “i” o “N” no listado.Sin embargo la interpolación lineal es aceptable y se considera suficiente, siempre y cuando los valores de “i” o “N” no estén demasiado distantes el uno del otro.
El primer paso en la interpolación lineal es disponer los valores conocidos y los desconocidos, como se muestra en la tabla 2.5 se establece una ecuación proporcional y se resuelve para C , como sigue:
i o n b
a
factores
Tabulado
valor 1
Deseado
c
d
no listado
Tabulado
valor 2
=
o =
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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Determine el factor A/P, para una tasa de interés del 7.3% y un n = 10 años. (A/P,7.3%,10)
b
a
7%
-
7.3 %
0.1424 -
8%
=
0.1490
.− −
.
d
x
-
=
c
(0.1490 0.1424)
(0.00666) = 0.14438
= 0.1424 0.00198 = 0.14438
Nota: es aconsejable comprobar la “racionalidad” de la respuesta final verificando que “x” est e
÷ los valoresde los factores conocidos utilizados en la interpolación en
proporciones aproximadamente correctas.
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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7.-CALCULO DE VALOR PRESENTE, VALOR FUTURO Y DE SERIE ANUAL UNI F ORME EQUI VALENTE El primer y probablemente el más importante paso que se Deva dar al resolver problemas de ingeniería económica es construir un diagrama de flujo de cajas. Además de ilustrar más claramente el “problema” el diagrama de flujo de caja muestra de inmediato cua les formulas deben ser utilizadas y si las condiciones de flujo de caja presentados permiten una aplicación directa de las formulas según se dedujeron en las secciones anteriores. Por ejemplo, los factores de serie-uniforme no podrían emplearse si los pagos recibos ocuparan año por medio en lugar de cada año. En los siguientes ejemplos se puede apreciar el empleo correcto de las fórmulas para encontrar p, f o a. Todas las ecuaciones utilizadas se iban tomando por del factor n.-4, cabe mencionar que en algunos problemas puede aplicarse estas fórmulas.
ejemplo 1: si una mujer deposita hoy $ 600, $ 300 2 años más tarde y $ 400 dentro de 5 años, ¿cuánto tendrá en su cuenta dentro de 10 años, si la tasa del interés es del 5%?
1 PASO: Construir el diagrama de flujo F=? 0
1
2
$ 300
3
4
5
6
7
8
9
10
$ 400
$ 600 F= 600(f/p,5%,10)+300(f/p,5%,8)+400(f/p,5%,5) =600(1.6289)+300(1.4775)+400(1.2763)
=$1931.11
Comentario: también se puede calcular el valor presente
P=600+300(p/f, 5%, 2) +400(p/f, 5%, 5) =
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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P=600+300(0.90) +400(0.7835) P=$1185.50 F=1185.50 (F/P, 5%,10)
ENTONCES
1185.50 (1.6289
F=$1193.06
E jemplo: ¿Cuánto dinero tendría una persona en su cuenta después de ocho si depositara $100 anuales durante ocho años al 4%, comenzando dentro de un año.
F= ? 0
1
2
3
4
5
6
7
8
A= 100
F = 100( ,4%,8)= 100 (9.214)=$921.40 P=$921.40 ( , 4%, 8)= $921.40 (.8548)= 777.61
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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8.- Calculo de tasas de interés desconocidas. En algunos casos se conoce la cantidad de dinero invertida y la cantidad de dinero recibida después de un tiempo específico de años, y se desea determinar la tasa de interés o Tasa de Retorno. La tasa de interés desconocida puede determinarse por solución directa de la ecuación cuando solo están involucrados un pago único y una entrada única, o una serie uniforme de pagos o entradas. Sin embargo, se trata de pagos no uniformes o varios factores están involucrados, el problema debe resolverse por medio del método de ensayo y error o tanteos. Aunque las fórmulas de pago-único y serie uniforme puede reordenarse y expresarse en términos de i , generalmente es más simple resolverlas por medio del valor del factor y luego buscar la tasa de interés en las tablas de interés.
EJEMPLO: a) Si una persona puede hacer hoy una inversión comercial que requiere un gasto de $ 3000 para recibir $5000dentro de 5 años, ¿cuál será la tasa de retorno sobre la inversión? b) Si la misma persona puede recibir un interés del 9% proveniente de certificados de depósito, ¿Qué inversión debería hacer?
Solución: F= $ 5000
i=? 0
1
3
2
4
5
P= $ 3000
a) De acuerdo al diagrama de flujo, la tasa de interés puede encontrarse
estableciendo las ecuaciones O y despejando directamente el valor del factor.
Usando .
P= F( ,i,N) Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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3000= 5000 ( ,i, N)
( ,i,N)=
= 0.6000
De las de interés, un factor , de 0.6000 para n=5 se encuentra entre 10 y 11%. Interpolando tenemos:
C= (
0.6209
10%
0.6000
i
0.5935
11%
.−.
.
)( 11-10)= .(1)= 0.7628 .−.
Por lo tanto: I = 10+0.76 = 10.76% b) Ya que 10.76% es mayor que el 9% obtenible en certificados de depósito, la persona debería hacer la inversión comercial.
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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EJEMPLO: unos padres deseosos de ahorrar dinero para la educación de su hijo compran una póliza de seguro que producirá $10,000 dentro de 15 años. Los padres deberán pagar $500 anuales durante 15 años, comenzando dentro de un año. ¿Cuál será la tasa de retorno sobre su inversión? SOLUCION: F= $10,000 0
1
2
3
4
5
6
7
8
10
9
11
12
13
14
15
A= $500
Podría usarse cualquiera de los dos factores O empleando ,
A=F( , i%, 15)
500= 10,000 ( , i%, 15)
( ,i%, 15)= 0.0500 b
0.0538
3
0.0500
i%
a
0.0499
.−.
C=
.−.
c
d
4
= (4-3) = (0.9743) (1) = 0.9743
C= 0.9743 i= 3 + 0.9743 = 3.97%
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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9.- CAL CULOS DE LOS AÑOS DESCONOCI DOS En los análisis económicos de equilibrio, es necesario a veces determinar el número de años requeridos antes que una inversión produzca. Otras veces se desearía poder determinar cuándo estarán disponibles las cantidades dadas de dinero de una inversión propuesta. En estos casos, el valor desconocido es n, y para encontrar este valor se pueden utilizar técnicas similares a las de la sección anterior sobre tasas de interés desconocidas. Aunque estos problemas pueden resolver directamente para “n” manipulando correctamente las fórmulas de pago único y serio – uniforme, por lo general, es más fácil
resolver para el valor del factor e interpolar en las tablas de interés como se ilustra a continuación
Ejemplo: ¿Cuánto tiempo se duplicaran $1000.00 si la tasa del interés es del 5%? F= $ 2, 000.00
0
1
2
3
n-2
n-1
n
P= $ 1, 000.00 Diagrama de flujo para determinar un valor “n”
El problema se puede resolver viendo uno de los factores F/P. empleando el factor P/F tenemos:
P= F (P/F, i %, n) 1000 = 2000 (P/F, 5%, n) (P/F, 5%, n) =
= 0.5000
* De la tabla de interés del 5%, el valor 0.5000 se encuentra bajo la columna P/F entre 14 y 15 años, interpolando
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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2.27- Para el diagrama de flujo de caja siguiente, calcule la cantidad de dinero en 3 años que será equivalente a todos los flujos de cajas mostrados, utilizando una tasa de interés anual del 11% 125 100 75 30 Año -2
-1
0
1
2
200
4
5
6
7
8
130
VALORE S DE L PASADO
VALORE S F UTUROS
75(1.11)5 =126.37 -200(1.11)3 =-273.52
3
P=30/(1.11)4 = 19.76 -85.75 114.81
2
P= -130/(1.11)2= -105.51
100(1.11) =123.21 125(1.11)1= 138.75 P T = 29.06
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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2.28 ¿Qué pago de fin de año se requiere para pagar por completo una deuda de $25,000 en 9 años, si el primer pago se efectúa dentro de un año y la tasa de interés anual es del 15%? P=$25,000
A=P(A/P, i, n)= 25000(A/P, 15%,9)=25000(0.2096)
n=9
=$5,240
i=15% A=? FORMULA A=25000 (0.15 (170.15)9 / (1+0.15)9-1)= $5240
2.29 ¿Qué cantidad de dinero debe depositarse cada año en una cuenta de ahorr os empezando en 1985, si se espera tener $ 150,000 cuando se retire en el año 2020? Suponga una tasa de interés del 16% anual A = 150,000 ( 0.16
A= ¿
)
) = $ 133.84
(1 0.16)−
F=$ 150, 000 ¡ =16% n = 35
TABLA A= P ( A/P, 16%,n) =150,000 (A/P,16%, 35) =150,000 (
)
= 52
2.30 si se efectúan depósitos anuales de $ 1000 en una cuenta de ahorros durante 30 años empezando dentro de un año, ¿Cuánto habrá en el fondo inmediatamente después del último deposito, si este paga interés en una tasa anual del 10%?
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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TABLAS
A = $1000 n = 30 años
F= A (F/A, ¡n)
¡= 10%
F= 1000 (F/A, 10%,30) = (1000) (164.4940)= $164,494
F=
FORMULA F= 1000(1 0.10) 1) = $ 164,494.02 0.10
2.31 ¿Qué pago único dentro de 12 años será equivalente a un pago de $ 6200 dentro de 5 años con una tasa de interés del 13% anual?
F=?
F = P (1+ ¡)
n = 12
F = 6200 ((1+0.13)7
p =$6,200
F= 14,586.15
n=5 ¡=13%
2.33 La compañía agro metal está considerando efectuar los depósitos iguales, de manera que dentro de los 10 años la compañía disponga de $49,000.00 para remplazar una máquina pequeña. Si el primer depósito se hace dentro de 3 años y el segundo dentro de 8, ¿Cuánto deberá depositar cada vez si la tasa de interés es del 15% anual? R= 11,183.38
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Antología de Ingeniería Económica Licenciatura en Ingeniería Industrial A 2.34 Resuelva el problema 2.33 para depósitos hechos en los años 1 y 9.
F=$49,000
49,000 = P (F/P, i%, n) +P (F/P, i, n)
i=15%
49,000 = P (F/P, 15%, 1) +P (F/P, 15%, 9)
n=10
49,000 =P (3.5179 +P (1.1500)
49,000=P (4.6672)
P=49,000 = $ 10,497.225 4.6679
235. la compañía GRQ está considerando solicitar en préstamo $8000 al 15% anual. La compañía espera pagar dicho préstamo mediante 6 pagos anuales iguales, hechos al final de cada año, comenzando a un año después de recibir el préstamo. Determinar la cantidad que se cargaría por intereses en el pago del primero y segundo año. P= 58000
A= P (A/P, I , n)
I= 15%
A=58000(A/P, 15%, 6)
n= 6
=58000(0.2642)
A=?
=$15,323.60
I1=? I2=? AÑO SALDO 0 1 2
CAPITAL 58000 58,000 58000 51376.40 51,376.40 43759.26
+
INTERES _
ABONO
=
_
$8700
$15,323.60
$7706
$15,323.60
I1= 58000(0.15)=$8700
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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Antología de Ingeniería Económica Licenciatura en Ingeniería Industrial A I2=52374.O8 (0.15)=$7706
236. La firma tejadito ha ofrecido a una pequeña compañía dos opciones para pagar reparaciones necesarios en los tejados. La opción 1 implica un pago de $2500 tan pronto como el trabajo termine, por ejemplo hoy, la opción 2 concede a la compañía diferir el pago durante 5 años, al finalizar los cuales deberá ser un pago único de $5000. Si la tasa de interés es del 16% por año, calcule el valor “P” para cada opción y seleccione la que tenga en menor valor de “p”.
Opción 1 n=0
Opción 2 La segunda opción es la mejor
n=5
F=2500
F= 5000
I=16%
i=16%
P=2500/(1+0.16)0= $2500 p=5000/(1.15)5 =$2380.56
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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Febrero, 2013
Antología de Ingeniería Económica Licenciatura en Ingeniería Industrial A
2.40: para el flujo de caja siguiente, calcular (a) el costo anual uniforme equivalente en los años 1 hasta el 5 y (b) el valor presente de flujo de caja, supóngase que la tasa de interés es del 12%. i=12% G=400 p= ? n=5 año Flujo de caja $
1 5000
2 5400
3 5800
4 620
4 600
a) A= A1 + G( p/G, i %, n ) ( A/p, i, n ) A=5000+400 (6.3970) (0.2774) A=5709.81 $ 5710 1
6600 6200 5800
5
5400
400
500
0.12 (1.12)− 0
1
2
3
4
5
A1 (p/A, 12%, 5) 6 P/G, 12%,5) b) p=500(3.6048)+400(6.3970) p=$20, 582.80
Elaboró: Ing. Fco. Gerardo Ponce del Ángel M.I.I.
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