1. ANTE NTECEDE CEDEN NTES TES En 1687 Isaac Newton presentó las tres leyes básicas que rigen el movimiento, siendo la segunda ley la que indica una relación entre la masa, uer!a y aceleración de una part"cula #$yala, #$yala, %&11'( %&11'( )a ormulación de las leyes del movimiento de Newton ue precedida por innumerables acontecimientos que prepararon el pensamiento para la comprensión y e*plicación del comportamiento de la naturale!a #+ueda, %&1', #)ópe!, %&&-'( $ristóteles, con sus ideas sobre el movimiento de los cuerpos terrestres y celestes, $rqu"medes $rqu"medes cuyas ideas y e*plicación de la palanca undamentaron el concepto de equilibrio, .ilopón, /uridan, 0resme, tevin, 2op3rnico, /ra4e, 5epler y alileo, con sus dierentes aportaciones, preparar"an el momento y el pensamiento para que al inal Isaac Newton lograra la consolidación de los cimientos de la mecánica( #arc"a, %&1%' )a prim primer eraa pers person onaa en estu estudia diarr orm ormalm almen ente te el movi movimi mien ento to de los los cuer cuerpo poss ue ue $ristóteles cuyos estudios estaban dedicados undamentalmente al análisis de las causas y su relación con el movimiento, siendo más de carácter intuitivo que e*perimental #arc"a, %&1%'(egn arc"a %&1, los principios aristot3licos ueron desarrollados teniendo en cuenta las siguientes concepciones9 concepciones9 •
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Ine*istencia del vac"o( E*istencia de una causa eiciente en todo cambio El principio de la acción por contacto( En todos los movimientos, e*cepto en los naturales, debe e*istir como causa eiciente un agente de contacto con el cuerpo móvil(
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)a e*istencia de un primer agente inmóvil que pone en movimiento el universo( )a 4ipótesis aristot3lica establece que :todo lo que se mueve es movido por algo;< este algo podr"a ser una causa o motor #=adillo, %&1&'( )os estudios de $ristóteles lo llevaron a clasiicar el movimiento en dos clases principales9 el movimiento natural que es la inclinación que todo cuerpo posee a ocupar el lugar que le corresponde por su propia naturale!a y el movimiento violento para el cual se necesita un motor y era e*plicado por la acción permanente de un agente( :sin una uer!a impulsora no 4ay movimiento; 1
#arc"a, %&1%'( 2omo conclusión se puede airmar que, si se de>a de reali!ar o e>ercer dic4a uer!a, el movimiento de progresión cesa, deteni3ndose, siendo el reposo lo más natural( $ristóteles llego a deinir que el movimiento vertical es un movimiento natural que viene determinado por la tendencia del elemento presente a volver a su lugar natural cuando se encuentre uera de 3l #)ópe!, %&&-' por esto tambi3n airmaba que los ob>etos más pesados deber"an caer a rapideces proporcionales a sus pesos< mientras más pesado era un cuerpo, más rápido deber"a caer, estos resultados a los que llegaban los antiguos griegos no eran el resultado de e*periencias mal reali!adas o de errores de medidas, ya que ellos no e*perimentaban, solo especulaban, sino que era una consecuencia caracter"stica de un esquema global de pensamiento #arc"a, %&1%'( Es decir que las teor"as de $ristóteles nunca ueron comprobadas e*perimentalmente, debido a que en la antig?edad todos ten"an un pensamiento globali!ado y daban estas teor"as como correctas( e puede concluir despu3s de todos los antecedentes mencionados sobre las dierentes teor"as del movimiento que, si un ob>eto está en su estado natural, este no se moverá, sino cuando se le someta a una uer!a, a esta deducción llegó $ristóteles siendo en la actualidad erróneas( in embargo, su m3todo inspiró a muc4as generaciones por el estudio del orden, clasiicación de la naturale!a y la ciencia, durante varios siglos( En 1687, Isaac Newton publicó sus celebradas leyes del movimiento en los Principia # Principios matemáticos de la Filosofía natural '( in embargo, no debe pensarse que su divulgación estableció de inmediato la mecánica clásica( )a labor de Newton en esta área consistió principalmente en la mecánica celeste y as" se limitó al movimiento de part"culas #$ndrew @ytel, %&1%'( Auvieron que pasar alrededor de doscientos aBos para que se desarrollaran la dinámica del cuerpo r"gido( 2ada una de estas áreas requirió nuevos a*iomas para tener una orma aplicable( )a segunda ley de Newton se la puede aplicar en diversos casos dentro de los proyectos que se reali!an en ingenier"a civil, uno de los e>emplos más visibles se nota en los canales de riego, los cuales consisten en conducir el agua desde la presa 4asta el campo donde será aplicado a los cultivos #Ecu+ed, %&1%'( En este caso los canales se construyen siempre con una pendiente, para darle aceleración al agua y pueda luir, de
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no ser as" el agua tendr"a a estar en reposo como en una represa o laguna #Newtoneducativa, %&1'( Aambi3n se puede aplicar la segunda ley de Newton en la elaboración de puentes, ediicios, v"as, debido a que se puede diseBar previniendo la aceleración de un sismo y la masa de las estructuras de las ediicaciones involucradas en las !onas de un temblor #$rgomedo, y otros, %&1'
2. MARCO TEÓRICO egn /eer %&1& la segunda ley de Newton se la puede enunciar de la siguiente manera9 “Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es cero, la partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de la resultante y en la dirección de esta fuerza resultante” Es decir, si se le aplica una uer!a a una part"cula, está se moverá en
la misma dirección en la cual ue aplicada esta uer!a( @or otro lado, Cibbeler %&1& establece9 cuando una fuerza desbalanceada actúa en una partícula, esta se acelera en dirección de la fuerza con una magnitud que es proporcional a esta,
las deiniciones de los dos autores mencionados nos indican la
misma idea, que la part"cula se moverá en la misma dirección de la uer!a( Newton estableció que la uer!a total sobre una part"cula es igual a la ra!ón de cambio de su cantidad de mo!imiento lineal , que es el producto de su masa y de su velocidad #/edord D .owler, %&&8'9
i la masa de la part"cula es constante, la uer!a total es igual al producto de su masa y de su aceleración9
)a segunda ley precisa los t3rminos fuerza y masa( na ve! elegida una unidad de masa, la unidad de uer!a se deine como la uer!a necesaria para dar a la unidad de masa una aceleración de magnitud unitaria #/edord D .owler, %&&8'( 3
@or lo tanto, con la segunda ley se puede determinar el movimiento de una part"cula si se conoce la uer!a total que acta sobre ella, o se puede encontrar la uer!a total cuando se conoce el movimiento #/edord D .owler, %&&8'(
Marco de referencia Inercial. 2uando se aplica la ecuación del movimiento, es importante que la aceleración de la part"cula se mida con respecto a un marco de reerencia que este i>o o se traslade a una velocidad constante #Cibbeler, %&1&'( Este marco de reerencia se lo conoce como marco de reerencia inercial o Newtoneano(
n e>emplo bien conocido de un marco de reerencia es una persona que aborda un elevador( )as uer!as que actan sobre la persona son su peso " y la uer!a # e>ercida sobre la persona por la báscula( )a persona en el elevador e>erce una uer!a igual y opuesta # sobre la báscula que es la uer!a que 3sta mide( i el elevador está en reposo, se observa que la báscula registra su peso, # F " ( )a suma de las uer!as sobre la persona es cero, y la segunda ley de Newton establece de manera correcta que su aceleración respecto al elevador es cero #/edord D .owler, %&&8'( i el elevador tiene una aceleración a 4acia arriba, se sabe que se sentirá más pesado y, de 4ec4o, la báscula registrará una uer!a más grande que su peso, # $ " ( En t3rminos de un marco de reerencia i>o en la tierra( )a segunda ley de Newton relaciona de manera correcta las uer!as que actan sobre la persona con su aceleración9 ∑ = −
= ( @ero suponga que se usa el elevador como marco de reerencia( Entonces la suma de las uer!as que actan sobre la persona no es igual a cero, por lo que la segunda ley de Newton establece que se está acelerando respecto al elevador( in embargo, la persona se encuentra en reposo respecto al elevador( $s", e*presada en t3rminos de este 4
marco de reerencia acelerado, la segunda ley de Newton da un resultado erróneo #/edord D .owler, %&&8'( En casi todas las aplicaciones :terrestres; se puede aplicar la segunda ley de Newton en t3rminos de un marco de reerencia i>o respecto a la Aierra, y obtener respuestas suicientemente precisas( @or e>emplo, si se tira un peda!o de ti!a a trav3s de un cuarto, con un sistema coordenado i>o respecto al cuarto se puede predecir su movimiento #/edord D .owler, %&&8'( @ara concluir se puede decir que la segunda ley de Newton implica que la suma de las uer!as e*ternas sobre cualquier ob>eto es igual al producto de su masa por la aceleración respecto a un marco de reerencia inercial( En muc4as situaciones, un marco de reerencia que está i>o con respecto a la Aierra puede asumirse como inercial(
Ecuación de movimiento ara un !i!tema de art"cula!. $4ora se aplicará la ecuación del movimiento para incluir un sistema de :n; part"culas, aisladas dentro de una región espec"ica en el espacio #$yala, %&11'(
En el instante en que se considera, la part"cula arbitraria iG3sima, con una masa m 1, está su>eta a un sistema de uer!as internas y una uer!a e*terna resultante( )a uer!a interna resultante
, se determina a partir de las uer!as que las demás part"culas
e>ercen sobre la part"cula iG3sima #Cibbeler, %&1&'( $l aplicar la ecuación del movimiento se obtiene9
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i se considera a todas las part"culas se obtendrá9
+ ∑ = ∑ ∑ )a sumatoria de uer!as internas ser"a cero, ya que las uer!as internas entre dos part"culas ocurren en pares colineales iguales pero opuestos #$yala, %&11', en consecuencia solo prevalecerá la suma de las uer!as e*ternas, y la ecuación se reduce a #Cibbeler, %&1&'9 ∑ = ∑
i es un vector de posición que locali!a el centro de masa de las part"culas, entonces por deinición del centro de masa = ∑ donde = ∑ es la masa total de todas las part"culas( $l dierenciar esta ecuación dos veces con respecto al tiempo y suponer que ninguna masa entra o sale del sistema, se obtiene #$yala, %&11'9 ∑ =
@or lo tanto, la suma de las uer!as e*ternas que actan en el sistema de part"culas es igual a la masa total de las part"culas por la aceleración de su centro de masa (
Ecuación del movimiento# Coordenada! Carte!iana! 2uando una part"cula se mueve en relación con un marco de reerencia *, y, !, es posible e*presar las uer!as que actan sobre ella, as" como su aceleración, en t3rminos de sus componentes , , , al aplicar la ecuación del movimiento se obtiene ∑ = ∙ = #/edord D .owler, %&&8'
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@ara que esta ecuación satisaga, las componentes
del lado i!quierdo deben ser
iguales a las equivalentes en el lado derec4o( @or lo tanto, se pueden escribir las siguientes ecuaciones escalares #$yala, %&11'( ∑ = ∑ =
∑ =
En particular, si la part"cula está limitada a moverse solo en el plano *Gy, entonces se utili!an las primeras dos de estas ecuaciones para especiicar el movimiento #$yala, %&11'(
Ecuación del movimiento# Coordenada! normal $ tan%encial. 2uando un ob>eto se mueve en una trayectoria curva plana, es posible descomponer la suma de las uer!as que actan sobre 3l en sus componentes normal y tangencial #/edord D .owler, %&&8'(
e tiene, por lo tanto9 ∑ =
∑ + ∑ = ( + )
Honde9
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Igualando las componentes normal y tangencial, se obtienen dos ecuaciones escalares de movimiento9
)a suma de las uer!as en la dirección tangencial es igual al producto de la masa por la ra!ón de cambio de la magnitud de la velocidad, y la suma de las uer!as en la dirección normal es igual al producto de la masa por la componente normal de la aceleración #/edord D .owler, %&&8'( i la trayectoria del centro de masa pertenece a un plano, la aceleración del centro de masa perpendicular al plano es cero, por lo que la suma de las uer!as perpendiculares al plano tambi3n es igual a cero(
Ecuación del movimiento# Coordenada! Cil"ndrica!. 2uando un ob>eto se mueve en una trayectoria curva planar, el movimiento del centro de masa del ob>eto se puede describir en t3rminos de coordenadas polares( $l descomponer la suma de las uer!as paralelas al plano en componentes y al e*presar la aceleración del centro de masa en t3rminos de componentes polares, la segunda ley de Newton, puede escribirse en la orma #/edord D .owler, %&&8'
Honde
Igualando las componentes y , se obtienen las ecuaciones escalares9
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El movimiento tridimensional de un ob>eto se puede describir usando coordenadas cil"ndricas, en las cuales la posición del centro de masa perpendicular al plano %G y está medida por la coordenada z y el vector unitario apunta en la dirección positiva de z ( )a suma de las uer!as se descompone en las componentes radial, transversa y z y la aceleración del centro de masa se e*presa en t3rminos de las componentes radial, transversa y z ( )as tres ecuaciones escalares de movimiento son las ecuaciones polares y la ecuación de movimiento en la dirección z ,
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&. MODE'O SIM('I)ICADO $l anali!ar la segunda ley de Newton, no se incluyó en el análisis del presente traba>o el tema de uer!as gravitacionales, ya que no son de muc4a relevancia en la asignatura de Hinámica aplicada en la Ingenier"a 2ivil( He la teor"a estudiada, la parte relevante es la relación entre la masa y la aceleración de un cuerpo, diciendo que estas dos variables son proporcionales entre s", y para que sea aplicable se debe tener en cuenta un marco de reerencia inercial para poder veriicar con respecto a que se está tomando en cuenta el movimiento( )a ecuación del movimiento indicada en el marco teórico se puede aplicar para dierentes sistemas, estos temas tambi3n son relevantes ya que de esta manera se pueden solucionar los dierentes problemas en cualquier sistema de reerencia que se tenga( e debe tomar en cuenta que la segunda ley de Newton se la aplica en un modelo ideali!ado, debido a que se considera que todos los cuerpos tienen una masa constante, lo cual no es real y tampoco se consideran las uer!as internas que tienen los cuerpos, 10
debido a esto se puede concluir que la segunda ley de Newton nos sirve nicamente en problemas ideali!ados y no se cumple a su totalidad en la realidad(
*i+lio%raf"a $ndrew @ytel, J( 5( #%&1%'( &ngeniería 'ecánica (inámica anta .39 2engage )earning( $rgomedo, /(, 2astro , (, 2astro , K(, +odrigue!, /(, Aapia, (, D Aorre, +( # de Hiciembre de %&1'( Prezi 0btenido de @$09 4ttps9LLpre!i(comLee1qaa4a*-gLlasGleyesGdeGnewtonGaplicadaGaGlaGingenieriaL $yala, ( #%&11'( (inámica angolqui9 Escuela @olit3cnica del E>ercito( /edord, $(, D .owler, M( #%&&8'( 'ecánica para &ngeniería (inámica Konterrey9 @earson education( /eer, J( 2( #%&1&'( 'ecánica )ectorial para &ngenieros (inámica K3*ico H(.9 KcrawCill( Ecu+ed( #1 de $bril de %&1%'( *anal de riego 0btenido de 2anal de riego9 4ttp9LLwww(ecured(cuL2analderiego arc"a, $( @( #%&1%'( &nterpretación y aplicación de las leyes de mo!imiento de #e+ton /ogota9 niversidad Nacional de 2olombia( Cibbeler, +( #%&1&'( (inámica K3*ico H(.9 @earson Education( )ópe!, .( J( #1% de Hiciembre de %&&-'( eumednet 0btenido de E=0)2ION CIAO+I2$ HE )$ +E)$2ION .E+P$GK0=IKIENA09 4ttp9LLwww(eumed(netLrevLcccssL&6L>pl(4tm Newtoneducativa( #%Q de $gosto de %&1'( -a (inámica 0btenido de $plicaciones de leyes de Newton9 4ttp9LLnewtoneducativa(blogspot(comL%&1L&8LaplicacionesG deleyesGdeGnewton(4tml +ueda, )( #%& de $gosto de %&1'( .&S/01&2 (3 -2S /13S -343S (3 #3"/0# 0btenido de CIA0+I$ HE )$ A+E )EE HE NEMA0N9 4ttps9LLpre!i(comLomvrb!*Rl8nL4istoriaGdeGlasGtresGleyesGdeGnewtonL =adillo, S( #%- de Noviembre de %&1&'( -as -eyes de #e+ton 0btenido de )as )eyes de Newton9 4ttp9LLisicaleyesnewton(blogspot(comL%&1&L11Lantecedentes4istoricos(4tml
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$NET09 u"a de discusión de grupo9 1( U2ree usted que la segunda ley de Newton es importante para el diseBo de alguna estructura en la ingenier"a civilV %( UWu3 tema le parece relevante y que no en el estudio de nuestra carreraV Q( UEn qu3 caso cree que la masa de un cuerpo no es constanteV, He Q e>emplos
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