1.4 ÁNGULOS ÁNGULOS MAYORES MAYORES DE 360 360 GRADOS GRADOS También es posible sacar las funciones trigonométricas para ángulos mayores de 360 grados, o sea, de más de una vuelta. Simplemente a dicho ángulo se le restan el número de vueltas completas que le quepan y al resto se le aplica lo analizado anteriormente. Es muy fácil entender por qué deben quitarse vueltas enteras para obtener un ángulo menor de 360 grados cuya función sea equivalente. Supóngase que se tiene inicialmente una polea
figura 14
En otras palabras, un ángulo es positivo si a partir del eje X + se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj, o bien en el sentido del avance de los cuadrantes. Un ángulo es negativo si a partir del eje X eje X + se mide en el sentido de las manecillas del reloj, o bien en sentido contrario al avance de los cuadrantes. La figura 16 muestra el caso de que la polea haya girado positivamente, es decir, en sentido contrario al de las manecillas del reloj, o bien en el sentido del avance de los cuadrantes. Pero se dé la opción 1 (menos de una vuelta) o la opción 2 (más de una vuelta), el resultado final es el mismo, es decir, la marca en la polea quedó donde mismo en una u otra opción. Por esa razón, los dos ángulos se consideran equivalentes.
GIRO EN SENTIDO POSITIVO
de manera que se obtiene: p
1749 = p (1749 ! 1440) = p 309
Para reducir una función trigonométrica de más de 360 grados se realizan los siguientes pasos: 1) Se reduce el ángulo de más de 360 grados a su equivalente de menos de 360 grados.
2) Se reduce la función trigonométrica, ya sea por medio del eje X o por medio del eje Y, conforme se analizó anteriormente.
Ejemplo Ejemplo 1: Reducir Reducir por medio medio del del eje X la función sen 987 .
Ejem Ejempl plo o 3: 3:
Redu Reduci cirr por por medi medio o del del eje eje X la función tan 1505 .
solución:
tan 1505 = tan (1505 ! 1440)
= tan 65
O sea que:
#
#
Se reduce el ángulo original quitándole cuatro vueltas enteras. Es el ángulo equivalente al original habiéndole quitado las cuatro vueltas enteras. Como ya es un ángulo menor de 90 o, ya no se reduce, pues este valor ya está en tablas.
tan 1505 = tan 65
EJERCICIO 9 Reducir las siguientes funciones trigonométricas de ángulos mayores de 360 o por medio del eje X
De manera que dos ángulos son exactamente iguales, o son el mismo, si sus valores absolutos suman una vuelta completa, es decir, 360o. Por ejemplo, p 127 = p ! 233 , ver figura 18, solamente que el de + 127o está medido en el sentido del avance de los cuadrantes (contrario a las manecillas del reloj), mientras que el de ! 233o está medido en sentido contrario al avance de los cuadrantes, o lo que es lo mismo, en el sentido del Á n g ul o p o si t i vo Á ng ul o n e gat ivo avance de las manecillas del reloj. Hay que recordar que el cuadrante número 1 es el de arriba a la derecha; el núme127 ro 2 el de arriba a la izquierda; el número 3 el de abajo a la izquierda y el número 4 el de abajo a la derecha. 233 El ángulo, en ambos casos, es exactamente el mismo, lo único que cambió fue la manera de medirlo. En otras palabras, para decir que un ángulo se midió "por arriba" se emplea el signo
.. . p e r o e s e l m i s m o á n g u l o e n a m b o s c a s o s figura 18
EJERCICIO 10 Convertir los siguientes ángulos positivos en ángulos negativos: 1)
(
46 =
2)
(
241 =
3)
( 144
=
4)
( 154
5)
(
309 =
6)
(
63 =
7)
(
260 =
8)
(
300 =
9)
( 176
=
10)
( 12
11)
(
200 =
12)
(
7=
13)
(
324 =
14)
( 193 =
15)
( 88 =
16)
(
71 =
17)
( 106
=
18)
(
51 =
19)
(
6=
20)
( 351 =
21)
( 145 =
22)
(
52 =
23)
(
200 =
24)
(
25)
(
334 =
26)
( 139
27)
(
40 =
28)
( 19
29)
(
316 =
30)
(
31)
(
9=
32)
(
36)
(
=
=
55 =
=
4= =
322 =
Convertir los siguientes ángulos negativos en ángulos positivos: 33) 37)
( − 66 ) = ( ( − 355 ) =
(
34 38)
( − 257 ) = ( ( − 50 ) = (
35) 39)
( − 114 ) = ( ( − 286 ) = (
40)
( − 159 ) = ( ( − 307 ) =
Ejemplos: 1) 2) 3) 4) 5)
sen (! 455) cos (! 813) tan (! 1413) sec (! 1803) csc (! 2183)
= = = = =
sen (! 455 + 360) cos (! 813 + 720) tan (! 1413 + 1080) sec (! 1803 + 1800) csc (! 2183 + 2160)
= = = = =
sen (! 95) cos (! 93) tan (! 333) sec (! 3) csc (! 23)
Para reducir entonces una función trigonométrica de un ángulo negativo de más de una vuelta, o sea buscar su equivalente que corresponda a una función comprendida entre 0o y 90o, conforme a todo lo anteriormente ya explicado, se realizan los siguientes pasos:
1) Se le quitan todas las vueltas enteras posibles.
= - sec (270 - 229) = - sec 41 O sea que:
L L
se reduce por el eje Y . reducción final.
csc (- 491) = - sec 41
EJERCICIO 11 Reducir las siguientes funciones trigonométricas de ángulos negativos por medio del eje X .
1) sen (- 298) 2) cot ( 55)
8) cos (- 559) 9) ( 42)
15) tan (- 620) 16) ( 109)
22) csc (- 388) 23) (- 1002)
a) PARA 0o
debe girar para que se haga cero
conforme r gira, y se hace más pequeña. θ va tendiendo a cero.
r
cuando se hace cero, r coincide con x y y desaparece
r y x
r x
y
r x
figura 19
De la figura 19 se deduce que cuando se hace cero, entonces y = 0 y además r = x (r mide lo mismo que x por lo que tiene el valor numérico de x, pero sin signo, es decir, positivo siempre).
b) PARA 90o
debe girar para que se haga 90
cuando se hace 90, r coincide con y y x desaparece
conforme r gira, x se hace más pequeña. θ crece acercándose a 90º.
r
r y r
= 90
y x
r
x
figura 20
De la figura 20 se deduce que cuando
al girar se hace 90 grados , entonces x = 0 y además
c) PARA 180o
r
y
debe girar para que se haga 180
conforme r gira, y se hace más pequeña. θ se aproxima a 180º.
cuando se hace 180, y r coincide con x y desaparece
= 180 r y -x
r -x
r -x
figura 21
De la figura 21 se deduce que cuando se hace 180 , entonces y = 0 y además r = x (r mide lo mismo que x por lo que tiene el valor numérico de x, pero sin signo, es decir, positivo siempre). En este caso hay que agregar que el valor real de x , como está hacia la izquierda, es - x .
d) PARA 270o
r
debe girar para que se haga 270
conforme r gira, x se hace más pequeña. θ se aproxima a 270º.
cuando se hace 270, r coincide con x y y desaparece = 270
-x -y
-x
r
-y r
-y
r
figura 22
De la figura 22 se deduce que cuando se hace 270 , entonces x = 0 y además r = y (r mide lo mismo que y por lo que tiene el valor numérico de y, pero sin signo, es decir, positivo siem-
En síntesis, los valores en los ejes son los siguientes:
0
90
180
270
sen
0
1
0
-1
cos
1
0
-1
0
tan
0
∞
0
− ∞
cot
∞
0
− ∞
0
sec
1
∞
-1
∞