Analyse et Filtrage des Signaux numériques_chap1+chap2+chap3+TPn_3_2013

Analyse et Filtrage des signaux numériques

M1 ST/TRM (2013/2014)

Partie I : Analyse temporelle et fréquentielle des signaux signaux numériques

I. Introduction et rappels divers (1,5 Séance) - Notion de traitement du signal - Classification des signaux - Rappels sur la TF - Rappels sur l’échantillonnage - Systèmes analogiques – systèmes numériques - Signaux déterministes discrets usuels

II. Analyse temporelle des SLID (1,5 Séance) - Systèmes linéaires et invariants discrets - Stabilité, causalité - Energie et puissance - Corrélation et autocorrélation

III. Analyse fréquentielle des SLID (2,5 Séances) - Notion de fréquence - TF des signaux numériques - Lien entre TF des d es signaux échantillonnés échantillonnés et TFD - Propriétés principales de la TFD - TF tronquée et Fenêtres de pondération pondération

F.E.I., U.S.T.H.B.

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Partie II : Filtrage des signaux numériques IV. Transformée en Z (2,5 Séances) - TZ et Notion de convergence - Propriétés de la TZ - TZ inverse - Fonction de transfert

V. Filtres numériques RIF (2 Séances) - Etude des filtres RIF - Synthèse des filtres RIF par la méthode des fenêtres - Synthèse des filtres f iltres RIF par la méthode de l’échantillonnage l’échantillonnage fréquentiel - Constitution et réalisation de filtres RIF

VI. Filtres numériques RII (2 Séances) - Etude des filtres RII - Synthèse des filtres RII par la méthode de la réponse impulsionnelle - Synthèse des filtres RII par la méthode des pôles et des zéros - Synthèse des filtres RII par la méthode de la transformation bilinéaire - Constitution et réalisation de filtres numériques

Travaux Pratiques 1. Analyse temporelle (Corrélation, (Corrélation, convolution, énergie, puissance) 2. Analyse fréquentielle (TFD et propriétés) 3. Fenêtrage (Hanning, Blackman, etc.) 4. Transformée en Z et propriétés 5. Conception de filtres numériques RIF 6. Conception de filtres numériques RII F.E.I., U.S.T.H.B.

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I. Introduction et rappels divers

Un signal est la représentation physique de l’information qu’il transporte de sa source à son destinataire. Il sert de vecteur à une information. i nformation. Il constitue la manifestation physique physique d’une grandeur mesurable (courant, tension, force, température, pression, etc.). Les signaux sont des grandeurs électriques variant en fonction du temps x(t) obtenues à l’aide de capteurs. capteurs. Sur le plan analytique analytique : Un signal signal sera une fonction d'une variable variable réelle, en général le TEMPS.

Exemples :  Onde acoustique : courant délivré par un microphone (parole, musique, …)  Signaux biologiques : EEG, ECG  Tension aux bornes d'un condensateur en charge  Signaux géophysiques : vibrations sismiques  Finances : cours de la bourse  Images, Vidéos Tout signal physique comporte une composante aléatoire (perturbation externe, bruit, erreur de mesure, etc …). Le bruit est défini comme tout phénomène perturbateur gênant la perception ou l’interprétation d’un signal, par analogie avec les nuisances acoustiques (interférence, bruit de fond, etc.). La différentiation entre le signal et le bruit est artificielle et dépend de l’intérêt de l’utilisateur : les ondes électromagnétiques d’origine galactique sont du bruit pour un ingénieur des télécommunications par satellites et un signal pour les radioastronomes.

1. Notion de traitement du signal La théorie du signal a pour objectif fondamental la "description mathématique" des signaux. Cette représentation commode du signal permet de mettre en évidence ses principales caractéristiques (distribution fréquentielle, énergie, etc.) et d’analyser les modifications subies lors de la transmission ou du traitement de ces signaux. Le traitement du signal est la discipline technique qui, s’appuyant sur les ressources de l’électronique, de l’informatique et de la physique appliquée, a pour objet l’élaboration ou l’interprétation des signaux. Son champ d’application se situe donc dans tous les domaines concernés par la perception, la transmission ou l’exploitation des informations véhiculées par ces signaux.

Les fonctions du traitement du signal peuvent se diviser en deux catégories : l’élaboration des signaux (incorporation des informations) et l’interprétation des signaux (extraction des informations). Les principales fonctions intégrées dans ces deux parties sont les suivantes : F.E.I., U.S.T.H.B.

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Élaboration des signaux – synthèse (voix synthétique, image de synthèse, etc.) – création de signaux de forme appropriée en procédant par exemple à une combinaison de signaux élémentaires. – modulation, changement de fréquence : moyen permettant d’adapter un signal aux caractéristiques fréquentielles d’une voie de d e transmission.

– codage/compression : traduction en code binaire (quantification), (quantification), compression (Jpeg, mp3, mpeg4, etc.)

Interprétation des signaux – filtrage : élimination de certaines composantes indésirables (Détection de craquements sur un enregistrement, enregistrement, détection de bruit sur une image, annulation d'écho, etc.) – détection : extraction du signal d’un bruit de fond (corrélation) – identification : classement d’un signal dans des catégories préalablement définies ((identification d'une pathologie sur un signal ECG, reconnaissance de la parole, etc.) – analyse : isolement des composantes essentielles ou utiles d’un signal de forme complexe (transformée de Fourier) – mesure : estimation d’une grandeur caractéristique d’un signal avec un certain degré de confiance (valeur moyenne, etc.)

Schéma d'un système de génération et de traitement du signal F.E.I., U.S.T.H.B.

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Classification des signaux

Pour faciliter l’étude des signaux, différents modes de classification peuvent être envisagés : – représentation temporelle des signaux (Description énergétique) – représentation spectrale pour laquelle le signal est classé par le domaine de variation de la fréquence moyenne D f . – les signaux certains (ou déterministes) dont l’évolution en fonction du temps peut être parfaitement décrite par un modèle mathématique. Quant aux signaux aléatoires (ou probabilistes) , ils ont un comportement temporel imprévisible et pour la description desquels il faut se contenter d’observations statistiques. – caractéristique morphologique (signal continu ou discret) . Le temps est un paramètre important de classification. Le traitement numérique des signaux conduit à faire la distinction entre les signaux dits à temps continus (signaux continus) et les signaux dits à temps discrets (signaux discrets ou échantillonnés). Un autre paramètre des signaux traités est à prendre en compte, c’est l’amplitude qui peut aussi être continue ou discrète (quantifiée). Ainsi quatre formes de signaux, qui se retrouvent dans un système numérique de contrôle d’un processus physique, peuvent être distinguées : – signal à amplitude et temps continus ( signal analogique) : s(t) – signal à amplitude discrète et temps continu ( signal quantifié ) : Sq(t). Ce signal correspond à celui qui est fourni à la sortie d’un circuit convertisseur numérique analogique pour la commande d’un actionneur – signal à amplitude continue et temps discret ( signal échantillonné ) : s(nTe). Ce signal, obtenu à l’aide d’un circuit échantillonneur bloqueur, est transmis à un circuit convertisseur analogique numérique pour obtenir un signal numérique utilisable par un ordinateur – signal à amplitude discrète et temps discret ( signal logique ou numérique ) : sq(nTe). Ce dernier cas correspond en réalité à une suite de nombres codés en binaire. Ces nombres, utilisés au sein d’un ordinateur, se transmettent sous la forme de plusieurs signaux de type numérique 0 V (0 logique) ou 5 V (1 logique) se propageant en parallèle : 8 signaux pour un nombre codé sur 8 bits.

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Les notes d’un élève sont un signal à TD par nature, alors qu’une température mesurée périodiquement est un signal à TD par échantillonnage. Ainsi, la numérisation d’un signal est l’opération qui consiste à faire passer un signal de la représentation dans le domaine des temps et des amplitudes continus au domaine des temps et des amplitudes discrets. Cette opération de numérisation d’un signal peut être décomposée en deux étapes principales : échantillonnage et quantification. La restitution (ou l’interpolation) constitue le processus inverse qui intervient lors du passage du signal numérique au signal analogique : commande d’un actionneur. Ces trois étapes sont indissociables. En effet, le signal, étant le support physique d’une information, doit conserver au cours de ces modifications tout le contenu informatif initial. Cette condition, ajoutée à la notion de coût limite d’un système, va être à la base de la numérisation des signaux et de l’étude du traitement numérique.

2. Rappels sur la Transformée de Fourier

Signaux à énergie finie La transformée de Fourier est une technique mathématique permettant de déterminer le spectre de fréquences d'un signal (par exemple un son). La transformation de Fourier correspond à un changement de base dans l'espace des fonctions de carré sommable. La définition mathématique est la suivante : . +∞

∫

TF { x(t )} = X ( f ) = x (t ) e

− 2π j f t

dt

−∞ +∞

∫

x (t ) = TF { X ( f )} = X ( f ) e 2 −1

π j f t

df

−∞

x(t) et X(f) sont deux descriptions équivalentes du même signal. La transformée de FOURIER existe si les trois conditions de DIRICHLET sont vérifiées: - x(t) possède un nombre fini de discontinuités sur tout intervalle fini, - x(t) possède un nombre fini de maxima et de minima sur tout intervalle fini, +∞

- x(t) est absolument intégrable, c’est-à-dire :

∫ x(t ) dt existe

−∞

Ainsi, tous les signaux à énergie finie possède une transformée de Fourier. Cette dernière est une fonction complexe même si x(t) est réel, elle pourra être exprimée sous la forme:

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 X ( f ) = A2 ( f ) + B 2 ( f )   B ( f ) ϕ = arg( X ( f )) = arctg A( f ) 

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Où X(f) et ϕ sont respectivement le module et la phase de X(f) : o

X(f) = fonction réel ⇔ x(t) est paire

o

X(f) = fonction imaginaire pure ⇔ x(t) est im paire

Exemples

Remarques : - La propriété de changement d'échelle indique que plus le support temporel d'une fonction est étroit plus le support de sa TF est large. - La translation d'un signal temporel se traduit par un déphasage en fréquence. Une translation en fréquence équivaut à une modulation temporelle. - La propriété de dualité permet d’obtenir facilement de nouvelles paires de transformées de FOURIER à partir des paires déjà connues. - La TF d'un signal périodique est divergente, mais on peut définir une TF au sens des distributions en utilisant la décomposition en Série de Fourier. Le résultat correspond à un spectre de raies (non continu). Lien entre série de Fourier et TF

sachant que:

T / 2  1 x(t ) exp(−2π jnf 0 t )dt C n = T −T ∫ / 2   +∞  X ( f ) =. x(t ) e −2π j f t dt ∫   −∞

alors

X ( f ) = lim(T .C n ) T → +∞

+∞s

Pour les signaux à énergie finie, la TF conserve l'énergie (relation de Parseval) :

E x =

∫

2

x (t ) dt =

−∞

+∞s

∫

2

X ( f ) d

−∞

On peut donc définir une notion d'énergie par unité de fréquence, la densité spectrale d'énergie (DSE). La DES est la TF de l'autocorrélation (Thèorème de Wiener-Kintchine S x ( f ) = X ( f )

2

+∞s

= ∫ R x (τ )e − 2 π j f τ d τ −∞

On remarque que la DES est indépendante de la phase, donc elle est insensible à tout retard. Pour les signaux à puissance moyenne finie, on définit alors une densité spectrale de puissance (DSP): F.E.I., U.S.T.H.B.

P x ( f ) = lim T →∞

X ( f ) T

2

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Principales propriétés de la TF TF

→ aX 1 ( f ) + bX 2 ( f ) o Linéarité : ax1 (t ) + bx2 (t )  TF

o Décalage temporel : x (t − t 0 )  → X ( f )e o Décalage fréquentiel : x (t )e 2π

j f 0 t

−2 π j f t 0

TF X ( f − f 0 ) (MA)  →

o Dualité temps-fréq : x(t )  → X ( f ) ⇒ X (t )  → x(− f ) TF

TF

TF

→ o Changement d'échelle : x( at ) 

1 a

X ( f / a)

n

d x(t )

o Dérivation :

n

dt

TF n  → (2π j f ) X ( f )

TF

o Inversion et conjugaison :

x(−t )  → X (− f ) TF

→ X * (− f ) x * (t )  TF

→ X ( f ). H ( f ) o Convolution : x(t ) ∗ h(t )  TF au sens des distributions Pour les signaux à puissance moyenne finie (Dirac, Echellon, signaux périodiques, etc.), on peut définir une TF au sens des distributions. TF

o Dirac : δ (t − t 0 )  → e

−2 π j f t 0

1

TF

o Echelon et signe: U (t )  →

TF 1 δ (t )  →

⇒ 1

2π jf

+ δ ( f )

Sgn( f ) =

2

+∞

1

π jf

+∞

∑ C exp(2π jnf t )  → ∑ C δ ( f − nf ) TF

o Périodiques :

n

n

0

n = −∞

+∞

1

+∞

∑ δ (t − nT )  → X ( f ) = T ∑ δ ( f − nf ) TF

o Peigne de Dirac :

0

n = −∞

TF

o cos( 2π → f 0 t ) 

1 2

2 j

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n = −∞

1

δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f 0 )

1

TF

o sin(2π f 0 t )  →

0

n = −∞

2

δ ( f − f 0 ) −

1 2 j

δ ( f + f 0 )

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3. Quelques rappels sur l’échantillonnage

L’échantillonnage est un élément important en traitement numérique de signaux - il constitue la première opération à effectuer lors d’une conversion analogique à numérique (A/N). Nous devrons garder à l’esprit le fait que l’acquisition numérique ne doit pas détériorer le signal. On doit conserver au travers de la numérisation l’information utile (Voix : [0 , 20kHz] ; Vidéo [0 , 6MHz]). De plus, il faut limiter l’espace mémoire nécessaire au stockage. On s’attachera dans une chaîne d’acquisition à minimiser cette valeur tout en ne détériorant pas le signal. Pour transformer un signal analogique en un signal numérique, il faut le discrétiser. On va donc prélever régulièrement des échantillons du signal analogique pour le rendre discret et permettre ainsi sa numérisation.

Echantillonnage idéal

Soit x(t) un signal analogique de transformée de Fourier X(f). Echantillonner le signal x(t) consiste à choisir une fréquence Fe et de construire un nouveau signal avec les x(nT e) avec n un entier et Te=1/fe. On peut écrire le signal échantillonné x e(t) sous la forme : x e (t ) =

∑ x(nT )δ (t − nT ) e

e

n

que l'on peut schématiser :

x(t)

∑ δ (t − nT ) ,

xe (t ) = x (t ).

xe(t)

∑ δ (t − nT )

e

e

n

⇒ X e ( f ) = f e

n

∑ X ( f − nf ) e

n

Cette expression montre que le spectre Xe(f) est périodique de période fe et qu’il est la somme des répliques (copies) du spectre original X(f) décalées de nf e . L'échantillonnage dans le domaine temporel se traduit par une "périodisation" de période f e dans le domaine fréquentiel.

φ x ( f ) = X ( f )

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Théorème de Shannon

On considère que x(t) est un signal réel dont le spectre est borné en fréquence, de fréquence maximale fmax :

∀ f > f max F.E.I., U.S.T.H.B.

X ( f ) = 0 9


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2 cas se présentent alors : - fe > 2 fmax Le motif principal (n = 0) est égal au spectre de x(t). Comme les motifs sont disjoints, on peut extraire X(f) grâce à un filtre passe-bas idéal et donc reconstituer intégralement le signal x(t) à partir des xe(t). - fe < 2 fmax Les motifs élémentaires de |Xe(f)| se recouvrent. On parle de repliement de spectres. Il n'est pas possible de récupérer le spectre X(f) par un filtrage approprié. Il n'est donc pas possible de reconstruire le signal initial x(t) à partir de la connaissance de son échantillonné xe(t). Par conséquent, pour que la répétition périodique du spectre de x e(t) ne déforme pas le spectre X(f) répété, il faut et il suffit que f e > 2 fmax (théorème de Shannon ).

Remarques: Si le support du spectre X(f) n’est pas borné (s’étale sur l’axe réel) il y a un repliement du spectre des échantillons (aliasing), on ne peut pas isoler le spectre original à partir de celui des échantillons. Dans la pratique, on ne peut pas se contenter de prendre une fréquence d´échantillonnage égale à la fréquence de Nyquist (2 fmax), il faut en prendre une largement supérieure. Par exemple, pour numériser la parole dans le réseau téléphonique, on utilise une fréquence d'échantillonnage fe= 8kHz alors que le spectre de la voix est en général compris entre 300Hz et 3400Hz. De même, la digitalisation des disques compacts se fait à fe= 44.1kHz alors que le support du spectre sonore est [0Hz, 20kHz]. En effet, si on prend la fréquence de Nyquist pour échantillonner, alors il faudrait avoir un filtre passe-bas idéal avec une fréquence de coupure très nette. Par contre, quand le spectre est plus "aéré", on peut utiliser des filtres dont la zone de coupure peut être plus large. Filtre anti-repliement : Les signaux étudiés en réalité sont rarement à support fréquentiel borné, c’est-à-dire que f max = 1. C’est par exemple le cas d’un signal rectangulaire périodique dont les raies fréquentielles s’étendent à l’infini ou encore un signal bruité. Ceci implique que quelle que soit la fréquence d’échantillonnage il y aura repliement de spectre puisque fe > 2 fmax = ∞ est une condition impossible à réaliser. Pour remédier à ce problème, on utilise à l’entrée d’un système numérique un filtre passe-bas appelé filtre anti-repliement ou anti-aliasing. Ce filtre est analogique, idéalisé il doit avoir un gain de 1 sur une bande de fréquence Fe, centrée en zéro. Son rôle va être de limiter le contenu spectral du signal à la partie utile. Il va participer aussi à limiter l’influence du bruit éventuellement présent sur le signal à numériser. F.E.I., U.S.T.H.B.

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Echantillonnage naturel (suiveur)

Soit x(t) un signal analogique de transformée de Fourier X(f). Echantillonner le signal x(t) consiste à choisir une fréquence fe et de construire un nouveau signal avec les x(nT e) avec n un entier et T e=1/fe. x(t)

xe(t)

∑ π (t − nT − θ / 2) n

θ

e

Cela signifie que l’échantillonnage naturel est la multiplication du signal analogique (suppose causal : nul pour t négatif) par le signal qui est un train, périodique de période Te, d’impulsions rectangulaires de durée θ.

∑ π (t − nT − θ / 2)

x e (t ) = x (t ).

e

n

φ x ( f ) = X ( f )

∑ π (t − θ / 2) * δ (t − nT )

x e (t ) = x(t ).

2

e

n

X e ( f ) = X ( f ) *

∑θ sin c(π f θ )e

−π j f θ

. f eδ ( f − nf e )

n

X e ( f ) = θ f e X ( f ) *

∑ sin c(π nf θ )e e

−π j nf eθ

δ ( f − nf e )

n

X e ( f ) = θ f e

∑ sin c(π nf θ )e e

−π j nf eθ

X ( f − nf e )

n

Donc, en comparaison avec l’échantillonnage idéal, un facteur θ e sin c(π nf eθ ) apparaît lors d’un échantillonnage naturel. Le spectre du signal analogique va non seulement être périodisé à la fréquence d’échantillonnage, mais il va en plus être pondéré par un sinus cardinal. Remarques : Le terme θfe= θ/Te est décisif quant à la qualité du compromis échantillonnage/résolution fréquentielle : La résolution fréquentielle (pouvoir de discerner le spectre a deux fréquences très proches) exige θfe faible et l’échantillonnage exige f e important et θ faible Mise en forme Une chaîne de traitement du signal échantillonné peut être schématisée de la manière suivante :

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Le signal analogique s(t) possède probablement et dans la majorité des cas une bande spectrale large : la première étape consiste à limiter cette bande par un filtrage passe-bas (mise en forme) afin de pouvoir effectuer l’échantillonnage en respectant le théorème de Shannon. Une fois le signal échantillonné obtenu, le traitement souhaite peut être effectué sur les échantillons. La reconstruction des résultats analogiques, de large bande généralement, à partir des échantillons traités nécessite une reconstruction (un bloqueur par exemple) suivie d’un filtrage passe-bas adéquat (lissage) puis d’une mise en forme identique à celle appliquée a l’entrée afin de limiter la largeur de bande.

4. Systèmes analogiques – Systèmes numériques

Les systèmes numériques possèdent sur leurs homologues analogiques un ensemble d’avantages décisifs : - Simplicité. Les systèmes numériques sont intrinsèquement plus simples à analyser (et donc à synthétiser) que les systèmes analogiques. La récurrence linéaire qui caractérise un filtre numérique, par exemple, est accessible à un tout jeune enfant. Cette propriété des systèmes numériques est due en partie à l’adéquation parfaite entre simulation et traitement : simuler un traitement numérique, c’est en faire. - Possibilités de traitement accrues. La simplicité des opérations numériques de base ne doit pas tromper : il s’ensuit qu’il est possible de réaliser, en numérique, des opérations beaucoup plus complexes qu’en analogique, notamment des opérations non-linéaires. - Robustesse aux bruits. Les systèmes numériques sont par essence insensibles aux bruits parasites électromagnétiques. Le transcodage de l’information sous forme numérique joue un peu le rôle de « firewall ». - Précision et stabilité. Puisque les seuls « bruits » sont liés à la précision des calculs, cette dernière dépend uniquement du calculateur utilisé ; elle est insensible à la température et ne varie pas avec l’âge du système. - Flexibilité. Dans un grand nombre de systèmes numériques, le traitement est défini par un logiciel chargé en mémoire. Il est dès lors très facile de modifier ce traitement, sans devoir modifier la machine qui le réalise. On pense par exemple aux modems numériques actuels, qui peuvent s’adapter f acilement aux normes futures par simple reprogrammation.

5. Signaux déterministes à temps discret usuels

Rappelons que les signaux déterministes renferment une information dont l'évolution en fonction du temps peut être parfaitement prédite par un modèle mathématique (au contraire des signaux aléatoires/stochastiques). Nous présentons dans cette section quelques fonctions mathématiques ainsi que leurs propriétés, supports de signaux élémentaires et utilisées tout au long du cours de traitement du signal. Un signal déterministe à temps discret est une suite de valeurs réelles ou complexes indexées par Z. On utilise aussi le terme de signal. En traitement du signal, un signal à temps discret provient souvent de l’échantillonnage à la cadence Fe = 1/Te, d’un signal x(t) déterministe à temps continu qui est supposé à bande limitée (−Fe/2, Fe/2). 12 F.E.I., U.S.T.H.B.


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Dans la suite nous supposerons que tous les signaux sont échantillonnés à la même cadence et nous omettrons alors d’indiquer T e en notant x(n) = x(nT e). - Fonction signe

 1 − 1

n≥0

sgn( n ) = 

n<0

- Fonction échelon (unité)

 1

n≥0

 0

n<0

U (n) = Γ (n) = 

- Fonction porte

1 Π ( n) =  N +1 0

− N / 2 ≤ n ≤ N / 2 ailleurs

- Fonction rectangle causal

1

rect (n / N ) = 

0 ≤ n ≤ N − 1

0

ailleurs

- Fonction Dirac (impulsion unité)

 1 δ (n) =   0

n=0 n≠0

= U (n) − U (n − 1)

Autres propriétés: • x(n). δ (n-n0)=x(n0)

et

x(n)* δ (n-n0)=x(n-n0)

- Fonction sinus cardinal sin c(θ n ) =

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sin(πθ n)

πθ n 13


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Série 1 1. Soient x(t)= Α Π (t ) et y(t) = Α Λ (t ) signal porte et signal triangulaire d’amplitude A>0 et de largeur θ. θ

θ / 2

• Tracer x(t) et y(t) sur le même graphe • Utiliser les dérivées pour trouver X(f) et Y(f) qui seront représentés sur le même graphe puis commenter e interpréter les deux graphes pour A=1 et θ=20. +∞

2. Soit le signal x(t ) =

∑ δ (t − nT ) ,

+∞

montrer que :

∑e

−∞

−∞

j 2π n t T

+∞

∑ δ (t − nT ) et

= T

déterminer la TF de x(t)

−∞

3. On échantillonne un signal sinusoïdal de fréquence 200Hz avec une fréquence d’échantillonnage F e = 500Hz puis avec Fe = 300Hz. Quel signal obtient-on lors d’une reconstruction parfaite dans les deux cas ? 4. Un signal x(t ) = e

− a t

avec a = 2 est transmis au travers du système suivant :

échantillonneur

x(t)

yt)

L’échantillonneur est réalisé par un interrupteur qui s’ouvre et se ferme périodiquement à la cadence fe = 20Hz avec un temps de fermeture égal à T f = 20ms. Esquisser l’allure de y(t) et de son spectre d’amplitude Y(f); Solutions : 1. X ( f ) = A sin c( f θ )

Y ( f ) = A sin c 2 ( f θ / 2)

f 0 t ) avec f 0=200Hz 3. Fe=500Hz ⇒ xr (t ) = cos(2π f 0 t ) avec f 0=100Hz Fe=300Hz ⇒ xr (t ) = cos(2π

∑ .π (t − nT ) Y ( f ) = T f ∑ sin c(nf T ) X ( f − nf ) A.N. Y ( f ) = 0.4∑ sin c(0.4n) X ( f − 20n)

4. Echantillonneur naturel ⇒ y (t ) = x (t )

e

n

f

e

e f

n

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e

n

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Exercices supplémentaires

2 + cos( 2π t )......... .... t ≤ 1 / 2 1. Soit h(t ) =  0.......... .......... .........ailleurs • •

Déterminer H(f), la transformée de Fourier de h(t) Esquisser H(f) pour l’intervalle 0 <= f <= 3 et Donner la valeur numérique de H(f) pour f = 2.5 1 1 Solution H ( f ) = 2 sin c( f ) + sin c( f − 1) + sin c( f + 1) 2 2 2. On considère un signal de parole de durée 1mn et ayant une bande passante de 10 kHz. - Calculer le nombre minimal d’échantillons nécessaires pour représenter ce signal. - En supposant que le signal est échantillonné selon le schéma suivant :

xe(t)

0 ε Te ε+Te 2Te ε+3Te - Exprimer le signal échantillonné x e(t) où ε est un retard. - Calculer sa transformée de Fourier. On suppose que l’échantillonnage se fait sans retard ( ε = 0) - Exprimer le signal échantillonné et montrer que l’on peut reconstituer théoriquement le signal x(t) à partir des échantillons x(nTe). On se propose de reconstituer le signal de la façon suivante, exprimer x r(t). x(3Te

xr(t) x(Te) x(2Te

x(0)

0

Te

2Te

3Te

4Te

Solution D=60s et f max=5kHz ⇒ N min=D/T emin=6.105 x e (t ) = x (nT e − ξ ) δ (t − nT e − ξ ) ⇒ X e ( f ) = f e

∑ n

−2π jf ξ

X ( f − nf e ) ξ=0 ⇒ x e (t ) =

1 f e

∑ x(nT ) δ (t − nT ) e

e

n

π ( f ) ⇒ x R (t ) = ∑ x(nT e ) * sinc( f e (t − nT e )) fe

n

∑ x(nT ) π (t − nT − T / 2) e

n

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∑e n

Reconstruction théorique ⇒ X R ( f ) = X e ( f ) Bloqueur d’ordre 0 ⇒ x R (t ) =

t

Te

e

e

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II. Analyse temporelle des systèmes linéaires et invariants discrets

1. Théorie des systèmes linéaires et invariants

Dans de nombreuses applications fondées sur la propagation des ondes, en acoustique ou en électromagnétisme, on simplifie considérablement les problèmes étudiés en faisant des hypothèses sur la manière dont un système déforme un signal. Deux des hypothèses les plus importantes sont la linéarité et l'invariance dans le temps. Un système linéaire est un modèle de système qui applique un opérateur linéaire à un signal d'entrée. Un système linéaire affiche typiquement des caractéristiques et des propriétés beaucoup plus simples que le cas général non-linéaire. C'est une abstraction mathématique très utile en automatique, traitement du signal, mécanique et télécommunications. Les systèmes linéaires sont ainsi fréquemment utilisés pour décrire un système non linéaire en ignorant les petites non-linéarités. Un système est discret, si à la suite d'entrée discrète x(n) correspond une suite de sortie discrète y(n).

- Si le système est régi par le principe de superposition, on parle de système linéaire. Linéarité : si l'entrée x(n) produit une sortie y(n), quand on applique une entrée k.x(n) , la sortie sera k.y(n). Si deux entrées x 1(n) et x2(n) engendrent deux sorties y 1(n) et y2(n) alors x1(n) + x2(n) engendrera y1(n) + y2(n)

- Si le système est invariant, cela implique que le système réagit de la même façon quelque soit l’instant auquel nous appliquons ses excitations. Cette propriété exprime que la caractéristique du système ne dépend pas de l’origine du temps. S’il y a invariance dans le temps, une translation de l'entrée (x(n) ⇒x(n-m)) se traduira par une même translation dans le temps de la sortie (y(n) ⇒y(n-m)).

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Remarque : - Un système linéaire invariant est un système dont le comportement dans le temps, peut-être décrit par une M

équation aux différences :

∑

N

ai y ( n − i ) =

i =0

∑ b x(n − i ) , i

i =0

Si les hypothèses de linéarité et d'invariance temporelle sont vérifiées, on peut caractériser le système par sa réponse impulsionnelle h(n). x(n)

y(n)

SLI: h(n)

On peut en déduire l'effet d'une entrée quelconque sous la forme d'une convolution. Cette dernière est l’opération de traitement de signal la plus fondamentale. Elle indique que la valeur du signal de sortie à l’instant n est obtenue par la sommation (intégrale) pondérée des valeurs passées du signal d'excitation x(n). La fonction de pondération est précisément la réponse impulsionnelle h(n): y ( n) = h( n ) ∗ x ( n) =

∞

∞

m = −∞

m = −∞

∑ h(m) x(n − m) = ∑ x(m)h(n − m)

La réponse impulsionnelle h(n) est le signal qu'on obtient en sortie y(n)=h(n) si on applique en entrée une impulsion "de Dirac'' x(n)=δ(n). Le Dirac est l'élément neutre de l'opération de convolution:

δ ( n) ∗ x( n) = x ( n) Le calcul de la convolution consiste donc à calculer la somme du produit x(m)h(n -m). Le signal h(n-m) est simplement le signal initial h(m), retourné dans le temps pour donner h(-m) puis translaté de n. En calculant alors l’ensemble des produits obtenus en faisant « glisser » h, c’est-à-dire pour tous les décalages de n, on obtient le produit de convolution pour tout n. Exemple 1: x(n) = rect (n) N

n

h(n) = a U (n)

0 < a <1

z (n) = x(n) ∗ h(n)

On distingue 3 cas :

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Analyse et Filtrage des signaux nu ériques

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Exemple 2 : x(n) h( n) =

⇒

y(n)

1

Π ( n) N + 1 N +1 y (n) =

1

N / 2

∑

x (m) N + 1 m= − N / 2

Remarques : Si on applique à un SLIT une entrée sinusoïdale réelle ou complexe de fréquen e f0, alors, la sortie sera une sinusoïde dont l'amplitude et la p ase pourront être modifiées mais qui conservera la même forme (une sinusoïde) et la même fréquence f0. n termes plus mathématiques, on dit que le sinusoïdes sont les fonctions propres des SLIT. - Si les ai sont différents de 0, le sys tème est dit récursif (RII), il est non récursi s'il ne dépend que des x(n-i) (RIF) K

- Si le système est à réponse impulsio nnelle de durée finie (RIF), alors : y ( n) =

h ( m) x (n − m) m =0

Dans ce cas, le système numérique e t une fenêtre centrée sur les K plus récents échantillons. +∞

- Si le système est à réponse impulsio nnelle de durée infinie (IIR) :

y ( n) =

∑ h(

) x (n − m)

m =0

Dans ce cas, il est nécessaire de conn aître tous les échantillons présents et passés, le système à une mémoire de longueur infinie.

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Exemple 3

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2. Stabilité, causalité

Une contrainte importante pour la formalisation de nombreux problèmes est de respecter la notion de causalité (les effets ne peuvent pas précéder la cause). Dans le cas des SLIT, cette causalité se traduit par le fait que pour: h(n) = 0 pour n<0. n

x(n) = 0, n < n0 alors y(n) = 0, n < n0

⇒

h(n) = 0, n < 0 , y ( n ) =

∑ x(m)h(n − m) , m = −∞

n

- si h et x sont causaux y ( n ) =

∑ h(n − m) x(m) m =0

C'est une hypothèse fondamentale en traitement de signal : la cause précède l’effet ⇒ les signaux de sortie ne peuvent exister avant les signaux d’entrée qui les génèrent. C’est une hypothèse intuitive qui est liée à l’expérience mais, nous pouvons envisager mémoriser les signaux d’entrée et f aire un traitement de ceux-ci en temps différé, les systèmes utilisés ne sont plus alors nécessairement causaux car pour élaborer la sortie à l’instant ni, nous disposons en mémoire des entrées aux instants suivants. C’est souvent le cas en traitement d’image, en traitement de parole effectué après mémorisation du signal à traiter. Un exemple de signal causal : signal reçu au vol (émission radio), exemple de signal non causal : signal enregistré. Une autre notion fondamentale est la stabilité des systèmes. La propriété de stabilité des systèmes bouclés est non seulement une performance mais une exigence pour le bon fonctionnement d’une boucle d’asservissement ou de régulation. Une boucle instable est une boucle inutilisable. La définition la plus courante de cette stabilité est la suivante : On dit qu'un système est stable si, en lui appliquant une entrée bornée quelconque, la sortie reste bornée, ce qui implique dans le cas des SLIT:

∑ h( n ) < ∞ n

Un système stable est un système qui, perturbé, revient à son état initial après disparition de la perturbation.

3. Energie et puissance

L’énergie (puissance) est une quantité importante dans le traitement du signal. Toute transmission d’information s’accompagne de transferts d’énergie. En effet, les signaux continus ou discrets sont essentiellement caractérisés par l’énergie ou la puissance qu’ils véhiculent. Ce sont les seules grandeurs physiques auxquelles sont sensibles les détecteurs. Beaucoup de capteurs physiques mesurent une énergie ou une quantité quadratique. Par exemple, les capteurs optiques mesurent une intensité, les compteurs d’électricité mesurent une énergie, etc. Compte tenu de la définition fondamentale, l’énergie du signal entre les instants t et t+dt est : |x(t)| 2 dt (puissance instantanée multipliée par le temps). 20

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+∞

∑ x(n)

2


M1 ST/TRM (2013/2014) +∞

∑

2

x (n) existe et converge. Soit un signal x(t) à temps disc ret, tel que −∞ finie et la valeur de cette somme est ppelée énergie du signal : +∞

E x =

∑ x(n)

lors le signal est dit à énergie

2

−∞

Exemples:

x(n) = Rect(n/N) énergie finie. x(n) = a (constante) n’est pas à énergie fini . x(n) = A sin(2 πf0n) n’est pas à énergie finie Pour un signal périodique, cet te somme ne converge pas. On peut néanm oins définir la puissance d'un signal x(n) périodique de période N ar : P x =

1

N / 2−1

∑ N

x( n)

2

P x =

ou

− N / 2

1 2 * N + 1 −

x( n)

2

Dans le cas général, on parle d signaux à puissance moyenne finie définie ar: P x = lim N →∞

1 N / 2−1

∑

N − N / 2

x( n)

2

P x = lim N →∞

ou

1

N

∑

2 N + 1 − N

x( n)

2

Exemples: - signal continu x(t)=a, - signal sinusoïdal A sin(2 πf0t) , - signaux périodiques, - échelon unité. - peigne de Dirac Il existe des signaux ni périod iques, ni d'énergie finie, pour lesquels la p uissance ne peut être définie, comme par exemple la rampe x(n)= . Il s'agit là de définitions mathématiques. n pratique, un signal mesuré ne l'est jamais sur un intervalle de t mps infini. Par exemple, on peut commenc er à visualiser un signal à un instant qu'on prendra comme origi e des temps, et dans ce cas on arrêtera so examen au bout d'un temps Tobs. Comme on ne sait pas ce que c signal était avant qu'on ne l'observe, ni ce qu'il deviendra après, il serait présomptueux d'utiliser les bornes de -∞ à +∞ dans la formulation de l'énergie, t on se limitera donc à l'écrire sous la forme: Nobs 2 E x = x(n )

∑ n =0

- Signal à énergie finie = puissance n lle

- Signal à puissance finie = énergie infinie

Le calcul de l'énergie ou la uissance permet d'obtenir une première caractérisation du signal. Par ailleurs, la théorie du signal a larg ement développé des méthodes d’étude basées sur la corrélation pour caractériser le comportement temporel du signal. F.E.I., U.S.T.H.B.

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4. Corrélation et autocorrélation

La fonction de corrélation permet de mesurer le degré de ressemblance entre deux signaux en fonction d’un décalage. Considérons x(n) et y (n) deux signaux d'énergie finie, la fonction d'intercorrélation R x,y(k) est ∞

∑ x(n) y

définie par: R xy ( k ) =

*

( n − k )

n = −∞

L’intercorrélation entre x(t) et y(t) atteint un maximum pour un retard k si x(n)=y(n-k) 1 N −n Pour des signaux à puissance moyenne finie, elle vaut : R xy (k ) = lim x( n) y * ( n − k ) N →∞ N n=1

∑

Exemples: Le signal x(t) ressemble le plus à y(t) aux instants -T/2 et T/2. En t=0, x(t) ne ressemble pas du tout à y(t) (ils sont orthogonaux, produit scalaire nul). Pour l'exemple de droite, les signaux se ressemblent le plus quand y(t) est décalé de 12 secondes.

x(n) 1

y(n) 1 -N

-N/2

N/2 nt

N

-

n

Rxy(k) N -3N/2 -N/2

N/2

k

3N/2

Pour l'autocorrélation, on remplace y(n) par x(n) on obtient l'expression de l'autocorrélation pour les ∞

signaux à énergie finie: R x ( k ) =

∑ x(n) x (n − k ) *

n = −∞

L'autocorrélation permet de détecter des régularités, des profils répétés dans un signal comme un signal périodique perturbé par beaucoup de bruit. Propriétés : - Pour k= 0, on retrouve l’énergie du signal R xx(0) = Ex . - Si x(n) est réel, l’autocorrélation est réelle - Rxx(k) est maximale en k=0. Rien ne ressemble plus au signal que lui-même. F.E.I., U.S.T.H.B.

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- L’autocorrélation d’un signal de durée N aura une taille 2*N-1 Autocorrélation des signaux périodiques : Le calcul sur une seule période suffit. L’autocorrélation d’un signal périodique est elle même périodique. Par définition, le signal périodique ressemble parfaitement à lui même, décalé d’une ou plusieurs périodes. - signaux périodiques

R x (k ) =

1 N − n x(n) x * (n − k ) N n=1

∑

Remarque: Les opérations de corrélation et convolution sont liées. Mathématiquement, on peut écrire une relation qui permet d’exprimer la fonction de corrélation comme un produit de convolution (et réciproquement). En effet: R ( k ) = x * ( − n) * y ( n) xy

On peut donc considérer l'opération d'un SLI comme une mesure de la corrélation entre deux signaux (x*(-n) et h(n)). En fait, le signal de sortie est "construit" à partir des composantes fréquentielles communes au signal d'entrée et à la réponse impulsionnelle. Exemples : Extraction d'un signal noyé dans du bruit, mesure d'un temps ou retard, détection d'un signal périodique. Sinusoïde noyée dans un bruit blanc SNR=0.15

Signal émis

signal reçu (noyé dans du bruit)

Corrélation entre le signal émis et le signal reçu

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Remarque : La notion de bruit est relative, elle dépend du contexte. L'exemple classique du technicien en télécom et de l'astronome : - Pour le technicien en télécom : Ondes d'un satellite = signal. Signaux provenant d'une source astrophysique = bruit. - Pour l'astronome : Ondes d'un satellite = bruit. Signaux provenant d'une source astrophysique = signal. Ainsi, tout signal physique comporte du bruit = une composante aléatoire. Le rapport signal/bruit désigne la qualité de la transmission d'une information par rapport aux parasites. Il est défini par: SNRdb=20 Log(PS/PB)

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1. Donner l’expression du signal échelon U(n) en fonction du signal signe Sgn(n). 2. Donner l’expression du signal x(n) = Arect[(n-n 0)/N+1]= A ∏ (n − n0 ) à l’aide du signal signe seulement. N +1

Justifier graphiquement la solution trouvée (N supposé pair). 3. Calculer la sortie y(n) lorsque : x(n) = δ (n–n0) +δ(n–n1) et h(n) = e–an 4. Soit le signal échelon f(n)= E 0 U(n), d’amplitude E0. Représenter graphiquement et calculer le produit de convolution de f(n) par lui-même (autoconvolution). 5. La fonction triangulaire est définie de la manière suivante:

 E 2 (n + 1 + N ) − N ≤ n ≤ 0  2 2 0 ≤ n ≤ N E N .Λ N (n ) =  − E (n − 1 − N )  0 ailleurs  Vérifier analytiquement et graphiquement la relation E2.N. ΛN(n) = E.ΠN+1(n) * E.ΠN+1 (n), en déduire l'autocorrélation du signal et son énergie (devoir à rendre) 6. Les signaux suivants sont-ils à énergie finie, à puissance moyenne finie, ou ni l’un, ni l’autre ? Calculer, dans chaque cas, l’énergie totale et la puissance moyenne totale (a>0). • •

Arect(n/N+1) n.U(n)

Asin(2f 0n) ̟ Ae-anu(n)

Asin(2f 0n).U(n) ̟ Ae-an

U(n) Atri(n/N)

7. Calculer l'autocorrélation des signaux suivants (devoir à rendre) Arect(n/N) Asin(2f 0n) 5 δN(n) Bcos(2f 0n) • ̟ ̟ 8. Les séquences x(n) (réel) et y(n) représentent respectivement l’entrée et la sortie d’un système discret. Pour chaque cas, identifiez celles représentant a) des systèmes linéaires, b) des systèmes causals, c) des systèmes invariants aux translations de n, d) des systèmes assurément ou possiblement stables (en fonctions des constantes) 1. y(n) = x(n) + bx(n-1) 2. y(n) = x(n) + bx(n+1) 6. y(n) = bx(n) b : constante réelle 3. y(n) = nx(n) 5. y(n) = x(n)en 7. y(n) = |x(n)| 4. y(n) = x(n) sin(2πf0n) N : constante entière Solutions 1. U(n)=1/2(sgn(n)+1) 2. x(n)= A/2 [sgn(n-(n0-N/2))- sgn(n-(n0+N/2+1))] − a ( n−n 0 )

3. +e x( n) = e 4. f(n)*f(n)= E02.(n+1) 6. E=A2.(N+1) Pm=0, E=∞ Pm=∞, 7. A2N.ΛN(k) F.E.I., U.S.T.H.B.

− a ( n − n1)

pour n≥0 et 0 ailleurs E=∞ Pm=A2/2, E=∞ Pm=A2/4, E=A2/(1-e-2a) Pm=0 , E=∞ Pm=∞, A2/2.cos(2πf0k) 25 δN(k)

E=∞ Pm=1/2 E=2A2N(1+N) Pm=0 B2/2.cos(2πf0k) 25

Analyse et Filtrage des signaux numériques 8. a) Tous sauf 6 et 7.

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b) Tous sauf 2.c) Les systèmes 1, 2, 6 et 7.

d) Les systèmes 1 (b finie), 2 (b finie), 4, 6 (b finie) et 7. Exercices supplémentaires 1. Représenter les signaux suivants: Π ( n − 1) , n.U(n), (n-2).U(n-3), (-n+3)U(n-2)U(-n+3), e-an.U(n-1) N

2. Soient

x1 (n) = e

− a. n

.U ( n)

x 2 ( n) = e

− b.n

.U (n)

Calculer x1 (n) * x 2 (n) avec (a, b) ∈ ℜ + et a > b

0 −bn Solution : x ( n) =  e [e ( b − a ) n − 1]  b − a

n<0 n>0

3. Calculer et esquisser graphiquement pour les cas n0 < n1 et n0 > n1 le produit de convolution z(n) = x(n)*y(n) pour les cas suivants : • X(n) = A[δ(n+n0) + δ(n-n0)] et Y(n) = B δ(n) + 1/2B[δ(n+n1) + δ(n-n1)] Solution : X(n)*Y1(n)=AB[δ(n+n0) + δ(n-n0)]+AB/2[δ(n+n0+n1) + δ(n-n0-n1)+ δ(n-n0+n1) + δ(n-n0-n1)]

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T n°1 : Analyse temporelle des SLIT discret C nvolution, Energie, Puissance et Corrélation I. Rappels

• Convolution: Un SLIT est entièrem ent caractérisé par sa réponse impulsionnell : +∞

∞

∫

y (t ) = x(t ) ∗ h(t ) = x( )h(t − τ )d τ

y ( n) = x ( n) ∗ h( n) =

et

x( k ) h( n − k ) k −∞

−∞

• Energie et Puissance: Pour un si nal à temps continu x(t), et un signal à te mps discret x(k), leur énergie s’exprime par : +∞

E =

∫

2

et E =

x(t ) dt

∑ x(k )

2

k

−∞

et leur puissance moyenne par : P = lim

T →+∞

1

x(t ) T ∫

2

et P = lim

dt

N →+∞

T

1

N / 2 −1

∑ x(k )

2

N k =− N / 2

pour des signaux périodiques, elle dev ent : 1

P=

T T

2

x(t ) dt

et P =

1

N / 2 −1

∑ x(k )

2

N k = − N / 2

• Corrélation : La fonction de corrél tion se définit de différentes façons suivant la classe de signaux à laquelle on s’adresse : -signaux à énergie finie +∞

∫

R xy (t ) = x(τ ) y (t − τ )d τ *

+∞

et

R xy ( k ) =

∑ x(n) y (n − k ) *

k = −∞

−∞

- signaux périodiques R xy (t ) =

1

T / 2

∫

x(τ ) y (t − τ )d τ T −T / 2 *

et

1 N −k R xy (k ) = x(n) y * (n − k ) N n=1

∑

- Propriétés la fonction d’autocorré ation Rx : Paire, maximum en 0, pour k= , on retrouve l’énergie ou la puissance.

Remarques : - Un signal numérique s(n) est ne suite de N échantillons régulièreme t espacés de Te secondes: x(0),x(Te),x(2Te),…, x((N-1)Te). La grandeur Fe=1/Te est appelée fréquence d’ chantillonnage.

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Le tracé graphique d'un signal disc rétisé en temps peut s'effectuer simplement à l'aide de la fonction stem (matlab) - L’énergie d’un signal x(n) est four ie sous matlab par sum(x.^2). Concernant la puissance moyenne, il faut diviser l’énergie par le nombre d’élé ents de x(n). - Pour la corrélation et la convolutio , on utilisera les fonctions xcorr et conv. A oter que la convolution ou la corrélation de x et h de durée N est u n signal y(n) de durée (2N-1) - La fonction b=randn(1,N) permet e générer un vecteur bruit b de distribution pseudo normale (de Gauss) de taille N de moyenne nulle et d’ cart type 1 . Un coefficient multiplié par andn permet d’augmenter à volonté la puissance du bruit. Ainsi pour générer un vecteur bruit blanc de taille N, de moyenne m et d’écart type s la commande est : bruit= m+s *randn(1,N); dont la puissance est P s = m2 + 2 . II. Exemples à tester 1. Le programme suivant permet de énérer un Dirac en 0 : δ(n) =1 pour n=0 et aut 0 ailleurs

t=-10:10; x=[zeros(1,10),1,zeros(1,10)]; stem(t,x); axis([-10 10 -0.5 1.5]); title('Impulsion unité'); xlabel('n'); ylabel('Amplitude'); 2. Le programme suivant permet de énérer un échelon U(n)=1 pour n≥0 et 0 po r n<0

t=-20:20; x=[zeros(1,20),ones(1,21)]; stem(t,x); title('Echelon unite'); xlabel('n'); ylabel('Amplitude'); 3. Pour générer N=128 échantillons d'u e sinusoïde de fréquence f 0=1000, on peut proc der de la façon suivante, choisir une fréquence d'échantillonnage : Fe = 8000 (le pas de temps Te=1/Fe) Créer le vecteur des temps : t = (0:N-1)Te. Te. Calculer les échantillons: x = cos(2*pi*t f 0) ; Puis, regarder le résultat : plot(x) ou plot(t, ). Ce qui nous donne :

clc ; clear all ; close all ; N=128; fo=1000; Fe=8000; Te=1 Fe; t=(0:N-1)*Te; x=cos(2*pi*fo*t); plot(t,x) ; 4. Le programme suivant permet de cr er une porte de largeur 2s, centrée en 3 s, d’amplitude 4, échantillonnée avec Te=0.1s avec N=50 et de calculer son au to-corrélation et son énergie. clc;clear all; close all; Te=0.1; N=50; A=4; t=(0:1:N-1)*Te; porte=A*[zeros(1,10),ones(1,20),zeros(1,20)]; subplot(2,2,1); plot(t,porte); subplot(2,2,2); stem(t,porte); tt=(-N+1:1:N-1)*Te; F.E.I., U.S.T.H.B.

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subplot(2,2,3); plot(tt,xcorr(porte)); subplot(2,2,4); plot(tt,Te*xcorr(porte)); Energie1=sum(porte.^2) Energie2=sum(porte.^2)*Te

III. Programmes à réaliser

1. Autocorrélation d’un sinus -Générer 50 échantillons d’une sinusoïde de fréquence f0 =0.1 avec fe=10.f0 - Calculer et afficher son autocorrélation - Retrouver les caractéristiques du signal (puissance et fréquence). 2. Réalisez un seul programme qui effectue les tâches suivantes : - Génère une sinusoïde s(k) de fréquence 50Hz, d’amplitude 1, échantillonnée à 2.5KHz (Te=0.4ms) et de taille n=256. - Calcule la puissance de s(k). - Génère un bruit d’amplitude quelconque. - Additionne le bruit à la sinusoïde - Visualise les trois signaux simultanément. - Affiche le SNR à l’écran. - Observer le signal et son autocorrélation pour différentes amplitudes du bruit.

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III. Transformée de Fourier Discrète (TFD)

La représentation temporelle peut être suffisante dans tous les cas où la forme du signal et la nature du traitement restent simples. Dans la réalité, les signaux n'ont pas toujours une forme simple soit en raison de la nature de l'information qu'ils portent, soit en raison du traitement qu'ils doivent subir. L'unique représentation du signal en fonction du temps s'avère insuffisante : elle ne permet plus d'interpréter correctement l'information. Dans de tels cas, la représentation du signal en fonction de la fréquence est très utile. Pour cela, on fait appel à la transformée de Fourier. Elle a pour but de mettre en évidence des caractéristiques du signal non évidentes dans la représentation temporelle : les propriétés fréquentielles (spectrales). L’utilisation de cette description fréquentielle permet en outre de caractériser simplement les filtres linéaires, et faciliter leur étude. Dans le but de calculer la transformée de Fourier S(f) d’un signal s(t) à l’aide d’un ordinateur, celui-ci n’ayant qu’un nombre limité de mots de taille finie, on est amené à discrétiser le signal (échantillonnage), à tronquer temporellement ce signal et à discrétiser sa transformée de Fourier.

1. Transformée de Fourier à temps discret (TFTD)

Lorsque le signal à traiter n’est plus analogique mais numérique, la relation de la TF devient : . +∞

∫

TF {s (t )} = S ( f ) =

s(t ) e

− 2π j f t

dt

+∞

⇒

S e ( f ) = T e

∑ s(nT )e

− 2π j f nTe

e

n = −∞

−∞

L'échantillonnage périodise le spectre du signal avec une période de répétition f e Se(f)= Se(f+fe), par ailleurs, l'amplitude est multiplié par un facteur f e. Sachant que tout signal périodique peut être décomposé en séries de Fourier, on a : +∞

S e ( f ) =

∑

C n e − 2π

n = −∞

j n Te f

Avec

s (nT e ) =

C n T e

=

1 T e . f e

fe / 2

∫ S ( f ) e e

2π j n Te f

df

− fe / 2

Cette transformée de Fourier appliquée aux signaux discrets est donc une fonction à fréquence continue , périodique de période fe. Il est d’usage de la représenter sur un intervalle de longueur fe, de -fe/2 à +f e/2. Cependant, si on veut calculer la TF d'un signal discret à l'aide d'un calculateur, on se retrouve confronté aux problèmes suivants : Le calcul de la TF nécessite une infinité de points de mesures s(n) (pas toujours possible dans la pratique : contraintes temps réel, etc.). En outre, le calculateur ne peut calculer une TFTD car sa réponse fréquentielle est forcément discrète = un nombre fini de points fréquentiel alors que f varie continûment. La solution est de limiter la durée de s(n) i.e. considérer un nombre fini N de points temporels et de discrétiser la fréquence (considérer un nombre fini L de points fréquentiels) ⇒ TFD.

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30


M1 ST/TRM (2013/2014)

2. Transformée de Fourier discrète (TFD)

Cette transformée, popularisée par son calcul rapide (TFR ou FFT : Fast Fourier Transform), fait correspondre une suite de N valeurs à une autre de suite de N valeurs numériques également. On considère un signal numérique s(n) défini par N échantillons temporels, obtenus par échantillonnage avec la période Te. La numérisation du signal S(f) passe par l'échantillonnage de S(f). On divise l'intervalle f e par N, ainsi S(f) est échantillonné à la cadence ∆f=fe/N=1/NTe. Ce dernier résultat entraîne une périodicité du sig nal temporel de T0=1/∆f = NT e.

Sachant que fe = N.∆f, les formules précédentes deviennent : N −1

S e (kf e / N ) = T e

∑ s ( n )e

− 2π j n Te k fe / N

N −1

= T e ∑ s(n )e

n =0 N / 2 −1

Et

∑ S (k ) e

s ( n) =

e

k = − N / 2

2π j n k / N

− 2π j n k / N

= S e (k )

n =0

.∆ f =

f e

N / 2 −1

∑ S (k ) e

N k =− N / 2

⇒

2π j n k / N

e

N −1  − 2π j n k / N S T s e = ∑ k e n  n =0  f e N / 2 −1  sn = S k e 2π j n k / N ∑  N k = − N / 2

Ce qui nous permet d'obtenir pour (T e=1), la TFD et la TFD inverse :

F.E.I., U.S.T.H.B.

N −1  − 2π j n k / N  S k = ∑ s n e n =0  1 N / 2−1 2π j n k / N  sn = S k e ∑  N k = − N / 2

31


M1 ST/TRM (2013/2014)

Il faut bien remarquer que l’on perd toute référence aux valeurs des instants correspondant aux échantillons. Nous avons une relation entre une suite indexée par une variable entière n et une suite indexée par k. Les N termes S(k) correspondent à une approximation (à un facteur multiplicatif Te près) de la transformée de Fourier de ce signal aux N points de fréquence k ∆f, avec k entre 0 et N −1, c'est-à-dire f entre 0 et fe.

Exemple Soit le signal s(n) = 1 pour n = 0 et n= 3 et 0 ailleurs. Calculons la TFD d'ordre 4 de s(n) Calcul de la TFD sur 4 échantillons (4 échantillons de la TFD à partir de 4 échantillons du signal)

Modules de ces 4 échantillons :

Arguments de ces quatre échantillons :

F.E.I., U.S.T.H.B.

32


M1 ST/TRM (2013/2014)

Remarques sn est périodique de période N et Sk est périodique de période N :

sn+ N =

1 N −1

∑ S e N

j

2π ( n + N ) k N

k

k =0

=

1 N −1

∑ S e N

j

2π nk N

k

e

j

Nk 2π

= sn

N

k = 0

N −1

Par ailleurs, comme l'énergie se conserve, on obtient :

∑s

2 n

=

0

1

N −1

∑ S N

2

k

0

Autres propriétés : Toutes les propriétés se déduisent des propriétés de la transformée continue en se rappelant que chaque signal manipulé, de durée finie, doit être considéré comme une période d'un signal périodique, et cela en temps et en fréquence. La conséquence en est que la translation d'un signal (qui intervient aussi dans les opérations de convolution ou de corrélation) se traduit par un décalage circulaire TF

→ aX 1 (k ) + bX 2 (k ) o Linéarité : ax1 (n) + bx2 (n)  −2π j k m TF

o Décalage temporel : x (n − m)  → X ( f )e

N

2π j k 0 n

o Décalage fréquentiel : x ( n )e

TF  → X ( k − k 0 )

N

→ X (k ) ⇒ X (n)  → N x . (−k ) o Dualité temps-fréquence : x(n)  TF

TF

→ o Changement d'échelle : x( an) 

TF

1 a

X (k / a)

TF

→ X (k ). H (k ) o Convolution périodique : x(n) ∗ h(n)  o

TF δ (n)  → 1

2. TFD des signaux de longueur illimitée

Le nombre d’éléments d’une séquence transformée par la TFD est implicitement limité, la fenêtre intrinsèque à la transformée discrète de Fourier est donc la fenêtre rectangulaire de durée T 0=NTe. En termes de contenu spectral, le fenêtrage n’est pas neutre et il introduit nécessairement une distorsion des composantes. La troncation du signal échantillonné par une fenêtre de largeur T 0 a pour effet de convoluer le spectre avec un sinus cardinal qui s’annule tous les 1/T 0 avec T0 = NTe soit tous les f e/N.

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33


M1 ST/TRM (2013/2014)

Exemple 1 : Module de la TFD de {s(n) = e 2π jf0n}, pour n= {0, . . . ,N − 1}, avec N = 16 et f0 = 0,2. En pointillé, le module de la TFTD de s(n). L’allure de S(k) fait apparaître un lobe principal de largeur 2/N (ou 2f e/N) autour de la fréquence f0 et des lobes secondaires de largeur 1/N (ou fe/N).

Exemple 2:

Dans le cas d’un signal périodique, le spectre, obtenu par transformée de Fourier discrète, est donc un ensemble de fonctions sinc(T0 f ) centrées sur les fréquences qui composent le signal théorique initial. Ainsi cette qualité du résultat peut être incommode pour l’étude du spectre, en particulier lorsque le spectre est composé de nombreuses raies, proches les unes des autres. L'importance de ses lobes peut être réduite par l'emploi d'autres fenêtres. La précision fréquentielle dépend du nombre de points adoptés pour le calcul. Les points en fréquences, sont espacés de 1/N (ou f e/N). Considérons l'exemple suivant: s(n)= A0 e2π jf0n + A0 e2π jf11n

pour n (0:N-1)

où f0 et f1 ∈ [-fe/2, fe/2]

Le tracé du spectre par TFD montre que si l'écart en valeur absolue entre f 0 et f 1 est supérieur à fe/N, il sera possible de distinguer les deux fréquences sur le tracé. Cette résolution en fréquence est liée au nombre de points du signal. Quant à la précision, elle peut être améliorée par la technique du zéro-padding : on calcule la TFD sur un nombre N pouvant être largement supérieur au nombre de points disponible du signal.

Exemple

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M1 ST/TRM (2013/2014)

On considère maintenant l'exemple suivant : s(n)= A0 e2π jf0n + A0 e2π jf11n

pour n (0:N-1)

où A0 > A1

Un masquage du lobe principal de la composante en f 1 peut survenir en raison des ondulations présentes dans le spectre de A0 exp(2jf 0n). Une « fréquence » d’amplitude faible au voisinage d’une d’amplitude plus ̟ élevée sera masquée par le premier lobe secondaire. La séparation dans ce cas peut être améliorée par l’emploi de fenêtres de pondération (Hamming…). Mais c’est au détriment de la séparation de « fréquences » très voisines mais d’amplitude semblables car les 2 raies seront confondues dans un lobe principal élargi par la fenêtre (la fenêtre rectangulaire a le lobe principal le plus étroit de toutes les fenêtres).

3. Fenêtres de pondération

Lors de l’analyse spectrale d’un signal de longue durée, nous n’avons accès, en pratique, qu’à une portion limitée de ce signal. Le spectre obtenu correspond donc au spectre du signal à analyser auquel une « fenêtre » a été préalablement multipliée. Pour ne pas altérer le spectre original, il faudrait que WR (f) (spectre de la fenêtre) se rapproche le plus possible d’une distribution de Dirac. La distribution de Dirac étant l’élément neutre du produit de convolution. Il y a deux éléments importants pour se rapprocher de la distribution de Dirac. La finesse du lobe principale et la hauteur des lobes secondaires. F.E.I., U.S.T.H.B.

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En effet, plus la largeur du pic principal est fine, plus la résolution est grande, c’est-à-dire que l’on peut séparer des raies proches. Et plus les lobes secondaires sont élevés plus on dégrade la forme du spectre. Il peut y avoir apparition de pics fantômes. En outre, l’amplitude des lobes latéraux détermine l’étalement spectral de la fenêtre. Un étalement spectral trop grand nuira à la détection d’un signal d’amplitude faible en présence d’un signal d’amplitude élevée. - Fenêtre rectangulaire Pour la fenêtre rectangulaire, on voit que la finesse du lobe principale peut être réglée par le nombre d’échantillons N. Ainsi, plus on observe le signal longtemps, plus la résolution du spectre augmente ce qui parait logique. Par contre, λR varie très peu en fonction de N (-13dB), ce qui signifie qu’une fenêtre rectangulaire apporte toujours une distorsion du spectre. - Fenêtre Triangulaire Pour obtenir la transformée de Fourier de la fenêtre triangulaire de largeur N, rappelons que la convolution de deux signaux rectangulaires donne un signal triangulaire. Ainsi, on peut exprimer cette fenêtre sous la forme dune convolution de deux rectangles de largeur N/2. On observe une atténuation des lobes secondaires (-24dB) par rapport à la fenêtre rectangulaire. Malheureusement, ceci se fait au prix de l’élargissement du pic central (4/N). - Autres fenêtres 2π n 4π n N −1  ) + 0.08cos( ) pour n ≤ 0.42 + 0.5 cos( w Black (n) =  2 N −1 N −1 0 ailleurs 2π n N − 1  ) pour n ≤ 0.54 + 0.46 cos( w Ham ( n ) =  2 N − 1 0 ailleurs N − 1  I 0 ( β ) ≤ pour n  2 wKais ( n) =  I 0 (α ) 0 ailleurs  2n

)2 N − 1

où α est un paramètre, β =α 1 − (

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 1  x  k  et I 0 ( x) = 1 + ∑     k = 1   k !  2   +∞

2

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Dans un problème d’analyse spectrale, on utilise généralement plusieurs fenêtres l’une après l’autre afin d’obtenir un bon compromis résolution/déformation.

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4. Calcul de la FFT ou TFR

La TFD est restée un outil peu utilisée jusqu’à l’apparition d’algorithmes « rapides » permettant son calcul. Le plus connu est du à Cooley et Tuckey et date de 1965. Le calcul direct de la TFD sur N points nécessite 2N2 multiplications et 2N(N-1) additions. L’algorithme proposé réduit à Nlog2(N) le nombre d’opérations. Sans nuire à la généralité, prenons le cas de N=8. Il faut calculer : N −1

S k =

∑s e

− j

2π n k N

n

7

= ∑ sn e

n =0

Soit :

 

W N = exp − j

− j

2 π n k N

n =0

2π 

7

alors

 N 

S k =

∑ s W n

nk N

n =0

Pour N=8, explicitons la relation précédente :

 S 0   W 80  S   0  1   W 8  S 2   W 80    0  S 3  =  W 8  S 4   W 0    80  S 5   W 8  S   W 0  6  8  S 7   W 80

W 80

W 80

W 80

W 80

W 80

W 80

W 80   s0 

W 81

W 82

W 83

W 84

W 85

W 86

W 82

W 84

W 86

W 88

W 810

W 812

W 87   s1  W 814   s2 

W 83

W 86

W 89

W 812

W 815

W 818

W 821   s3 

4

W 8

5

W 8

6

W 8

7

W 8

W 8

W 8 W 8 W 8

8

W 8

12

W 8

10

W 8

12

W 8

14

W 8

16

W 8

15

W 8

18

W 8

21

W 8

20

W 8

20

W 8

24

W 8

28

W 8

24

25

W 8

30

W 8

35

W 8

30 36 42

   

28 W 8   s4  35

 

W 8   s5 

42   W 8  s6

 

49 W 8   s7 

Les facteurs Wn présentent un certain nombre de propriétés dont certaines sont mises à profit dans l’algorithme : nN N n N n W N = 1, W N / 2 = −1, W N + = W N

 S 0  W 80  S   0  1  W 8  S 2  W 80    0  S 3  = W 8  S 4  W 0    80  S 5  W 8  S  W 0  6  8  S 7  W 80

W 80

W 80

W 80

W 80

W 80

W 80

W 80   s0 

W 81

W 82

W 83

W 84

W 85

W 86

W 87   s1 

 

W 8

W 8

W 8

W 8

W 8

W 8

4

6 W 8   s2 

W 83

W 86

W 81

W 84

W 87

W 82

W 85   s3 

2

4

4

W 8

5

W 8

6

W 8

7

W 8

W 8

W 8 W 8 W 8

6

0

W 8

2

W 8

4

W 8

6

W 8

0

4

W 8

7

W 8

2

W 8

5

W 8

2

0

W 8

4

W 8

4

W 8

0

W 8

4

W 8

0

1

W 8

6

W 8

3

W 8

6 4 2

 

4 W 8   s4  3

 

W 8   s5 

2   W 8  s6

 

W 8   s7  1

L’algorithme suppose que N est pair : posons N=2 P. Introduisons les 2 sous-suites de s n en fonction de la parité de n. un = {s2 n } n =0 ,..., P −1

vn = {s2 n +1 }

n = 0 ,..., P −1

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38


N −1

On obtient ainsi :

S k =

P −1

∑ s W n

nk N

P −1

= ∑ uiW

n =0

2ik 2P

+ ∑ viW 2(P2i +1) k

i =0

P −1

S k =

M1 ST/TRM (2013/2014)

∑ u W

ik P

i

i =0 P −1

+ W N k ∑ viW Pik

i =0

i =0 k

S k = U k + W N V k N −1

Par ailleurs,

S ( k + P ) =

∑ s W n

( k + P ) n N

n =0

P −1

= ∑ uiW

2 i ( k + P ) 2P

∑

i =0 P −1

uiW Pik W PiP + W N k W N P

i =0

∑ v W W ik P

i

iP P

i =0

P −1

S ( k + P ) =

+ ∑ viW 2(P2i +1)( k + P )

i =0

P −1

S ( k + P ) =

P −1

P −1

∑ u W .1 + W (−1)∑ v W i

ik P

k N

i

i =0

ik P

.1

i =0 k N k

S ( k + P ) = U k − W V

Le calcul de la FFT revient donc à calculer U k et Vk qui sont les TFD sur P points des suites de termes de rang pair et impair. Le calcul revient au schéma suivant : s0 s2 s4 s6

s1 s3 s5 s7

W20

W20

W20

W20

+ + -

+ + -

W40 W42

+ + -

W40 W42

+ + -

U0 U2 U4 U6

V1 V3 V5 V7

+ + + + W80 W81 W82 W83

-

S0 S1 S2 S3

S4 S5 S6 S7

On s’aperçoit sur le schéma précédent qu’il ne reste qu’à exprimer les U k et Vk. Or, ce sont des TFD sur P points, qui peuvent reprendre le même schéma que précédemment. Cela est faisable si P est pair. On peut réitérer le processus à chaque sous-étage, si cette condition est à chaque fois vérifiée, donc si N au départ est une puissance de 2. En pratique, lorsque cela n’est pas le cas, les suites d’échantillons sont complétées par des zéros jusqu’à la puissance de 2 immédiatement supérieure. (zero padding). Il y a d’autres algorithmes qui ne présentent pas cette contrainte (mais en présentent d’autres). L’algorithme ainsi mis en œuvre présente des motifs à croisement appelé « algorithme papillon ». Notons l’entrelacement temporel qui « bouscule » l’ordre d’apparition des échantillons.

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39


M1 ST/TRM (2013/2014)

Avec cette représentation, l’algorithme FFT se représente par :

L’algorithme de FFT peut s’écrire sous forme matricielle. On obtient :

Notons aussi que l’algorithme présenté est dit à entrelacement temporel. Une version tout à fait symétrique et au même coût, opère les permutations sur les S et non les s : l’algorithme est dit à entrelacement fréquentiel. Il y a d'autres variantes de l'algorithme FFT (base 4, etc.)

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40


M1 ST/TRM (2013/2014)

Série n°3

1. Calculer la transformée de Fourier à temps discret (TFTD) de x(n)=δ(n) + 6 δ(n – 1) + 3 δ(n – 2)

2. Calculer la TFD du signal s(n)=n pour N=2, 3, 4, 8. 3. Calculer la transformée de Fourier discrète (TFD) de la suite x(n) formée de N = 8 points (n ∈ [0,7]), obtenue en échantillonnant à la fréquence f e = 16 Hz le signal s(t) = 2sin(8t)+8cos(4t) ̟ ̟ 4. Etant donné les signaux s(n)={1,-2,3,2} et v(n) ={-2,1,2,3}, déterminer w(n)=s(n)*v(n) par - la méthode directe - la méthode de la TFD 5. On a le signal suivant x(n)=e -anU(n), avec U(n) l’échelon unité, échantillonné à Te = 1. - Calculer la TFTD - Calculer la TDF et comparer 6. Soit x(n)=1/N pour 0 ≤ n ≤ N-1 et 0 ailleurs. Calculer sa TFD X(k) pour N=4.

Solutions 1. X(f)=1+6.e-2π jf+ 3.e-4π jf

N=3, Xk= 3, 3 (−1 − 3 j ), 3 (−1 + 3 j )   2  2

2. N=2, Xk=[1, -1]

 S 0   W 80  S   0  1   W 8  S 2   W 80 3.  S 3   W 0  = 8  S 4   W 0    80  S 5   W 8  S   W 0  6   80  S 7   W 8

0

W 8

1

W 8

2

W 8

3

W 8

4

W 8

5

W 8

6

W 8

7

W 8

W 8

W 8 W 8

W 8 W 8

W 8 W 8 W 8

0

W 8

0

W 8

2

W 8

4

W 8

6

W 8

8

W 8

10

W 8

12

W 8

14

W 8

0

W 8

3

W 8

6

W 8

9

W 8

12

W 8

15

W 8

18

W 8

21

W 8

0

W 8

4

W 8

8

W 8

12

W 8

16

W 8

20

W 8

24

W 8

28

W 8

0

5

W 8

10

W 8

15

W 8

20

W 8

25

W 8

30

W 8

35

W 8

6

12 18 24

30 36 42

N=4, Xk= [6, 2 j − 2 , − 2, − 2 − 2 j ]

0 W 8   s0 

 S 0  W 80     0 7  W 8   s1   S 1  W 8 14 0 W 8   s2   S 2  W 8     0 21   W 8   s3  =  S 3  W 8 = 28 0 W 8   s4   S 4  W 8       35 0 W 8   s5   S 5  W 8 42 0 W 8   s6   S 6  W 8       49 0 W 8   s7   S 7  W 8

0

W 8

1

W 8

2

W 8

3

W 8

4

W 8

5

W 8

6

W 8

7

W 8

W 8

W 8 W 8

W 8 W 8

W 8 W 8 W 8

0

W 8

0

W 8

2

W 8

4

W 8

6

W 8

0

W 8

2

W 8

4

W 8

6

W 8

0

W 8

3

W 8

4

W 8

6

W 8

0

W 8

1

W 8

4

W 8

4

W 8

0

W 8

7

W 8

4

W 8

2

W 8

0

W 8

5

W 8

4

W 8

0

0 W 8   s0 

6

7 W 8   s1  6 W 8   s 2 

0

W 8

5

W 8

2

W 8

7

W 8

4

W 8

1

W 8

6

W 8

3

W 8

4 2 0 6 4 2

   

5 W 8   s3  4 W 8   s 4  3

 

W 8   s5 

2 W 8   s6 

 

W 8   s7  1

Avec s n = 8 2 + 4 2 0 − 2 − 4 2 − 8 2 − 4 2 0 − 2 + 4 2 et W 8k = 1  F.E.I., U.S.T.H.B.

2 2

(1 − j )

− j

2 2

( −1 − j )

−1

2 2

( −1 − j ) j

2 2



(1 + j ) 

 41


M1 ST/TRM (2013/2014)

4. Convolution circulaire w(n)=s(n)*v(n) =[0, 18, 0, -2] W 40 W 40  0 1 W 4 W 4 W 40 W 42  0 3 W 4 W 4

0

W 4

2 4

W

4 4

W

6

W 4

0 W 4 

W 40 W 40  0 3 1 W 4  W 4 W 4 = 6 0 2 W 4  W 4 W 4   0 9 3 W 4  W 4 W 4

Sk=[4, 4j-2, 4, -2-4j] 5. TFTD X ( f ) =

6. X (k ) =

1

0

W 4

2 4

W

W 4à 2

W 4

0 W 4 

1 1  1 1    W  1 − j − 1 j  = 2 W 4  1 − 1 1 − 1    1 − 1 − j  W 4  1 j 3 4

Vk=[4, -4+2j, -4, -4-2j]

1 1− e−

a −2π j f

sin(π k )

N sin(π k / N )

e

−π j k ( N −1) / N

Wk=[16, -20j, -16, 20j] ⇒ w(n)=[0, 18, 0, -2] TFD X (k ) =

1 − e − aN 1 − e −a −2π j k / N

X (k ) =

1 sin(π k ) 4 sin(π k / 4)

e

−3 π j k / 4

Exercices supplémentaires 1. Calculer la Transformée de Fourier Discrète de la suite comportant N = 16 termes tels que : x (0) = x (1) = x (2) = x (14) = x (15) = 1 x (n) = 0 pour 3 ≤ n ≤ 13 et de la suite : x (0) = x (1) = x (2) = x (3) = x (4) = 1 x (n) = 0 pour 5 ≤ n ≤ 15 - Comparer les résultats obtenus. - Effectuer la Transformée inverse sur ces résultats. 2. Calculer la TFD de la suite x(n) formée de N =24 points obtenus en échantillonnant le signal x(t)=3.sin(8t)+4.cos(6t) à la fréquence fe = 24 Hz. ̟ ̟ 3. Calculer et tracer le module de la TFD des signaux suivants :

 (n + 1) h(n) =  10  0

F.E.I., U.S.T.H.B.

si n = 0,..,3 aileurs

n = 4k 0 si  h(n) = 1 si n = 4k + 1,4k + 3 2 si n = 4k + 2 

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M1 ST/TRM (2013/2014)

TP n°2 : TFD Rappels

1. Transformée de Fourier Discrète La TFD d’ordre N d’un signal numérique s(kTe), k=0…N-1 est définie par :

 k  N −1 j k n N S ( k ) = S  f e  = ∑ s (nT e )e − 2π / , k = − N / 2.......N / 2  N  n =0 Sa transformée inverse est donnée par: s ( n) = s (nT e ) =

1

N / 2 −1

∑ S (kf / N )e

N k = − N / 2

2π j k n / N

e

, n = 0.......N − 1

Par abus d’écriture et pour simplifier on note s(k) et S(n) le signal et sa TFD en omettant les facteurs Te et Fe. N est souvent une puissance de 2 et dans ce cas il ya un algorithme rapide de calcul des N coefficients de la TFD. On parle alors de FFT (Fast Fourier Transform). Matlab fournit la fonction fft pour calculer la transformée de Fourier complexe d’un vecteur. Ainsi aux coefficients s(1)…s(N) correspondent par TFD les coefficients S(1)…S(N). Il suffit d'écrire fft(s,N). La transformée inverse est donnée par ifft(s,N). Le vecteur signal étant de dimension finie, c'est la transformée discrète qui est calculée. Si N est la longueur du signal, le spectre sera un vecteur complexe de même longueur qui pourra être représenté en coordonnées cartésiennes (partie réelle et imaginaire fonction real et imag ), ou en coordonnées polaires (module et phase, fonction matlab abs et angle ou unwrap).

Prenons le cas d’une sinusoïde, les fréquences vont être graduées en Hz en supposant une fréquence d’échantillonnage fe de 1Kz, les fréquences supérieures à 500Hz correspondent aux fréquences négatives du spectre. Pour approximer la Transformée de Fourier continue d’un signal x(t), représenté suivant un pas Te, on utilise la commande : fx= fftshift( fft(x)). On remarquera que la TF est une fonction complexe et que la fonction ainsi obtenue décrit la TF de x(t) entre –1/(2 Te) et 1/(2 Te) par pas de 1/(nTe) où n est le nombre de points constituant le signal x(t). La commande fft codant les fréquences positives sur les n/2 premières valeurs du signal et les valeurs négatives entre n/2+1 et n, la commande fftshift permet de les inverser. 2. Exemple d'utilisation de la FFT sous matlab Taper le programme suivant et commenter les graphes obtenus clc; clear all N=100; fo=1000; Fe=8000; Te=1/Fe; n=0:1:N-1; F.E.I., U.S.T.H.B.

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x=sin(2*pi*fo*n*Te); subplot(2,2,1); t=Te*[0:1:N-1]; plot(t,x,'gx:'); grid; y=fft(x); axe_FF=Fe*(0:1/N:1-(1/N)); subplot(2,2,2); plot(axe_FF,abs(y/N),'b.:'); grid; title('Transformée de Fourier Discrète par FFT du signal entre 0 et fe') xlabel('fréquence'); ylabel('Module du spectre'); subplot(2,2,3); y_dec=fftshift(y); axe_freq=Fe*(-1/2:1/N:1/2-(1/N)); plot(axe_freq,abs(y_dec/N),'b.:'); grid; title('Transformée de Fourier Discrète par FFT du signal entre -fe/2 et fe/2') xlabel('fréquence'); ylabel('Module du spectre'); %FFT inverse % FFT_INV=ifft(y); subplot(2,2,4); plot(t,FFT_INV,'bx:'); grid; title('Transformée de Fourier Discrète inverse du signal N=100') xlabel('temps'); ylabel('Amplitude'); − a t

I. Soit la fonction x(t ) = e a>0 1- Tracer le signal x(t) entre –5 et 5 pour a = 1, avec un pas de temps Te = 0.01 s (Utiliser la fonction length pour connaitre la taille (N) de x) 2- Tracer le module de la transformée de Fourier. 3- Illustrer la propriété de décalage fréquentiel de la TF en représentant le module de la TF de x(t) × e2Π jfot avec f o=5 Hz. 4- Vérifier la relation de Parseval. II. Transformée de Fourier d'une porte clc; clear all N=10; Fe=1 ; Te=1/Fe; t=Te*[1:1:N]; x=ones(1,N); subplot(2,1,1); plot(t,x,'gx:'); grid; NF=100; y=fft(x,NF); y_dec=fftshift(y); subplot(2,1,2); axe_freq=Fe*(-1/2:1/NF:1/2-(1/NF)); plot(axe_freq,abs(y_dec/N),'b.:'); grid;

1- Quelle est la largeur ∆f du lobe principal ? (utiliser ginput) 2- Afficher le module de la transformée de Fourier en décibels. Utiliser la fonction 'log10' pour afficher les échelles sur le graphique. 3- Vérifier que l'on a bien environ 13 dB entre le max du lobe principal et le max du lobe secondaire. 4- Vérifier que pour une porte de largeur P = 50 échantillons, on a toujours environ 13 dB. III. Transformée de Fourier d'une fenêtre triangulaire clc; clear all N=10; Fe=1 ; Te=1/Fe; x=conv(ones(1,N/2),ones(1,N/2)); subplot(2,1,1); plot(x); grid; NF=100; y=fft(x,NF); y_dec=fftshift(y); subplot(2,1,2); axe_freq=Fe*(-1/2:1/NF:1/2-(1/NF)); plot(axe_freq,abs(y_dec/N),'b.:'); grid;

1- Afficher le module de la transformée de Fourier sur une échelle linéaire puis en dB. 2- Quelle est la largeur du lobe principal ? 3- Quel est le rapport en dB entre le max du lobe principal et le max du lobe secondaire ? F.E.I., U.S.T.H.B.

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TP n°3 : Fenêtrage

But : Mettre en évidence les propriétés du fenêtrage (Triangulaire, Hanning, Blackman, etc.)

Prog 1 Commenter les graphes obtenus par ce programme : clear all; close all; Nt=50; Fe=8000; Te=1/Fe; f0=1680; t=(0:Nt-1)*Te; x=exp(2*pi*j*f0*t); y=fft(x); yy=fftshift(y/Nt); axe_f=Fe*(-1/2:1/Nt:1/2-(1/Nt)); subplot(2,2,1); stem(axe_f,abs(yy)); grid; title('TFD sur 50 pts') N=100; y=fft(x,N); yy=fftshift(y/Nt); axe_f=Fe*(-1/2:1/N:1/2-(1/N)); subplot(2,2,2); plot(axe_f,abs(yy)); grid; title('TFD sur 100 pts') N=1000; y=fft(x,N); yy=fftshift(y/Nt); axe_f=Fe*(-1/2:1/N:1/2-(1/N)); subplot(2,2,3); plot(axe_f,abs(yy)); grid; title('TFD sur 1000 pts') N=50; f0=1600; x=exp(2*pi*j*f0*t); y=fft(x); yy=fftshift(y/Nt); axe_f=Fe*(-1/2:1/N:1/2-(1/N)); subplot(2,2,4); stem(axe_f,abs(yy)); grid; title('TFD sur 50 pts')

1. Quelle fenêtre est utilisée par ce programme ? Citer ses caractéristiques (résolution fréquentielle, atténuation lobes secondaires), avantages et inconvénients. 2. Que est l‘intérêt d’augmenter N ? Comment appelle-t-on cette technique ? 3. Expliquer la TFD obtenue pour f0=1600 (disparition des lobes secondaires). 4. Notez que la résolution fréquentielle est toujours la même (elle dépend de Nt et non de N).

Prog 2 clc; clear all; close all; Nt=50; Fe=8000; Te=1/Fe; f0=1680; t=(0:Nt-1)*Te; x=exp(2*pi*j*f0*t); figure; N=500; y=fft(x,N); yy=fftshift(y/Nt); axe_f=Fe*(-1/2:1/N:1/2-(1/N)); plot(axe_f,abs(yy),'b'); grid; title('TFD Fenêtre réctangulaire'); hold on; fen=hanning(Nt); xx=x.*fen'; y=fft(xx,N); yy=fftshift(y/Nt); plot(axe_f,abs(yy),'r'); grid; title('TFD Fenêtre Hanning') fen=triang(Nt); xx=x.*fen'; y=fft(xx,N); yy=fftshift(y/Nt); plot(axe_f,abs(yy),'g'); grid; title('TFD Fenêtre triangulaire ') fen=blackman(Nt); xx=x.*fen'; y=fft(xx,N); yy=fftshift(y/Nt); plot(axe_f,abs(yy),'m'); grid; title('TFD Fenêtre Blackman ')

1. Faites varier N (100 et 1000) et commenter. Quel est le rôle de N ? F.E.I., U.S.T.H.B.

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Analyse et Filtrage des Signaux numériques_chap1+chap2+chap3+TPn_3_2013

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