Analyse des circuits en régime transitoire

Analys Ana lysee des circ ir cuits ui ts en régim r égimee trans tra nsitoi itoire re (ordr (or dres es 1 et 2) « Dans tout ce que la nature op ère, elle ne fa it rien brusquement. » Jean- Baptiste de M onet, Chevalier Ch evalier ddee Lamarck. Jean -Baptiste --Baptis - Baptiste

Résumé Le traitement des signaux électriques s’opère souvent au travers de réseaux linéaires. Les grandeurs électriques d’excitation (tensions ou courants) sont transformées pour constituer le résultat qui est observé au travers des grandeurs de sortie. La mise en équation du système conduit à un ensemble de relations différentielles liant les entrées et les sorties. La résolution de ces équations permet de fournir l’expression des grandeurs au cours du temps. L’étude ayant trait à des circuits linéaires, les cas abordés aboutiront à des équations différentielles linéaires à coefficients constants du premier et du deuxième ordre. Bien que les études portent sur des systèmes à une seule entrée et une seule sortie, une adaptation permettra toujours de traiter les cas où coexistent coexistent pl usieurs entrées entrées ou plu sieurs sieurs sorties. sorties. L’exemple de circuit du premier ordre retenu est le circuit RC en réponse à des signaux souvent rencon trés dan s les exploitatio ns technolo giq ues : échelon de tension, ram pe de tension tension et excitation sinusoïdale. Pour le deuxième ordre, le circuit RLC (équivalence des machines électrique par exemple) illustre l’étude de la résolution dans le seul cas de l’échelon de tension.

Sommaire I. Pos ositionn itionnement ement de l’ étude ....... .............. .............. ............... ............... .............. ............... ............... .............. .............. ............... ........... ... 2 II. Exemples introductifs..........................................................................................2 III. Étude des circuits circuits du premier ordr e ....... ............... ............... .............. ............... ............... .............. .............. ............... .......... 3 III.1. FForm III.1. orm e gén érale de l’ équ atio n différen tielle .......... .................... ..................... ..................... .................... .................... .............. .... 3 III.2. III .2. Rés ésolu olu tion ba sée sur le circ circuit uit RC en répo ns nsee à un cré créneau neau de tension .... ........ ........ ........ ........ ........ ...... 3 III.2.1. A la mise sous tension (charge).............................................................................................3 III.2.2. A la ru ptu re de la sou sou rce (déchar ge) ............................ .......................................................... ...................................................... ...........................5 ...5 III.2.3. Implications pratiques… et technologiques............................................................................5

III.3. Réponse III.3. Réponse d’ un sys ystème tème du prem ier o rdre à une ram pe .... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ...... 6 III.4. III .4. Répon Répon se sinu sinu soïdale d ’u n sys système d u prem ier ord re .......... .................... .................... .................... .................... .............. 7

IV. Étude des cir cuits du deuxième or ordr dree ................................ ................................ 9 IV.1. Form e gén érale de l’ équ atio n différentiel le ........... ..................... .................... .................... .................... .................... .............. .... 9 IV.2. IV. 2. Gén éralités sur sur la r és ésolu olu tion ........... ...................... ..................... ..................... ...................... ..................... ..................... ...................... ............. 9 IV.2.1. Régim e lib re ......................... .................................................. .................................................. .................................................. ........................................ .....................9 ......9 IV.2.2. Étude du régime forcé ou permanent..................................................................................10

IV.3. IV. 3. Exempl e : circ circuit uit RLC série à la m ise sou s tension .......... .................... ..................... ..................... ..................... ............... 10 IV.3.1. Solutio n génér ale de l’équ ation sans second IV.3.1. second m emb re (S (SGE GES SSM) ..... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......10 .10 IV.3.2. Solution particulière de l’équation avec second membre (SPEASM)......................................11 IV.3.3. Solution complète...............................................................................................................11 IV.3.3.1. 1 er cas : R > R c (∆' > 0), r égim e apério diqu e ..... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........11 .....11 èm e IV.3.3.2. 2 cas : R = R c c (∆' = 0), régim e a pério diqu e critique ..... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........12 .....12 èm e IV.3.3.3. 3 cas : R < R c (∆' < 0), r égim e osc oscillatoire illatoire am orti ..... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .........13 ....13 IV.3.4. Cas particulier du régime non amorti..................................................................................14

V. Bibliographie....................................................................................................14

© YC — EC3 AV- Tra nsit o ire

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An al yse d es c irc ui ts e n rég im e t ra nsi to ire (or dr es 1 et 2 )

I. Pos Position ition nement d e l’étude l’ étude L’introduction aux réseaux linéaires montre qu’une fois définis les éléments du réseau et établie sa topologie, la mise en équation débouche sur la phase de résolution. Celle-ci passe parfois par la résolution d’une ou de plusieurs équations différentielles. C’ est est à cela que no us intéres intéresssons maintenant : l’ étude de l’ évolution tempo relle des grandeurs après l’établissement ou la disparition des sources. Fruits de résultats mathématiques, les solutions physiques obtenues superposent deux réponses : le régime libre obtenu par la solution générale de l’équation sans second membre et le régime forcé issu d’une solution particulière de l’équation avec second memb re.

II. Exemples introductifs Menons l’étude du courant i(t) pour les réseaux de la Figure 1 et de la Figure 2 où le signal u(t) est est un échelon de tension tension d’ amp litude E , c’ est est à dire une tension nulle avant t = t = 0 et vala valant nt E ensuite. E ensuite. i(t)

R

i(t)

u (t )

C

u (t )

C

Figure 1

Figure 2

La m ise ise en équation co nduit à : di (t ) dt

+

1 RC

i (t ) =

La m ise ise en équation co nduit à :

1 du (t ) R

2

d i (t )

dt

2

dt

Après t = t = 0 , u(t) = E , donc : di (t ) dt

+

1 RC

L

R

+

R di (t ) L dt

+

1 LC

i (t ) =

1 du (t ) L

dt

Après t = t = 0 : 2

i (t ) = 0

d i (t ) dt 2

+

R di (t ) L dt

+

1 LC

i(t ) = 0

L’observation de ces résultats fait apparaître que le premier cas conduit à une équation différentielle du premier ordre, tandis que dans l’autre cas, on obtient une équation différentielle du deuxième deuxième o rdre. Les études qui suivent concernent ces deux types de réseaux. Si la mise en équation conduit à une équation différentielle du premier ordre, on dit que l’on a affaire à un circuit du premier ordre (un tel circuit possède souvent un seul élément réactif). Si l’équation est du second ordre, le circuit porte le même nom (il y a souvent deux éléments réactifs). Bien que rare, on peut effectuer une analyse de ce type pour des circuits d’ordre supérieur. Cette introduction s’appuie sur un exemple électrique pour obtenir les équations différentielles, mais leur résolution s’adapte aisément un quelconque domaine de la physique. En conséquence, dans la suite de l’exposé, nous considérerons que le signal de sortie (exprimé en fonction du temps) est noté s(t), s(t) , tandis que le signal d’entrée est noté e(t). e(t) .


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III. Étude des cir irccuits du premi p remier er ordre ord re III.1. III .1. Form e généra le de l’éq uation différentielle Un circuit du premier o rdre est est régi pa r une équa tion différentielle différentielle de la fo rme suivante suivante :

τ

ds (t ) dt

+ s (t ) = K 0 ⋅ e(t )

Dans cette équation où e(t) est la grandeur d’entrée, on rencontre les paramètres suivants : • τ est est la con stante de temps du circuit, hom ogène à un temps ; • K 0 0 est est le l’am plification statique statique du mo ntage (dans le rapport des unités de s et ). s et e ).

Remarque : Le coefficient K 0 est facilement issu d’une analyse grandeurs : c’est le rapp rapp ort

s(t )

sans variation , c’est à dire statique d es

lorsque tous les termes dérivés sont sont nuls.

e(t )

III.2 III .2 . Rés Résolu olu tion ba sée sur le circuit RC en répo ns nsee à un créneau de tension tension Analysons le comportement du circuit RC de la Figure 3 lorsque l’on applique un échelon de tension d’amplitude E . i(t)

u ee ( t )

R E

u e (t )

C

auquel on applique

u C (t )

t

0

Instant initial

Figure 3 : Circuit RC.

La loi sur la ma ille donne : R ⋅ i(t ) + uC (t ) = u e (t )

ce qui fournit : RC

du C (t ) dt

+ u C (t ) = u e (t )

O n identifie les coefficients suivants suivants : τ = RC ; K 0 = 1 (pas d’amplification)

III.2.1 III .2.1 . A la m is isee sous tension tension (charge) La réponse est la superposition de deux composantes : • L’une iss issue de la réaction du circuit à la m odification d e l’entrée, c’est c’est le régime libre ; • L’autre issue de l’entrée qui finit par s’imposer, c’est le régime forcé. La composante libre est obtenue en déterminant la solution générale de l’équation sans second mem bre, abrégée SGESS SGESSM . Pour ce type type d’ équation, c’est une fonction exponentielle. exponentielle. O n la no te u 1 (t ). ). La composante forcée est une solution particulière de l’équation avec second membre (abrégée SP SPEASM ASM ) qui répond à l’ équation. O n la recherche recherche le plus souvent souvent du type du second membre. Ici c’est une constante, la solution particulière sera recherchée sous cette forme.


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Composante libre : Solution générale de l’équation sans second membre (SGESSM) Cette solution, solution, notée u 1 (t ), ) , correspond à un second membre nul : La solution est de type exponentiel : u1 (t ) = K ⋅ e

du1 (t ) dt

+

1

τ

u1 (t ) = 0

t

−

τ

o ù K es réelle hom ogène à une K estt une constante réelle

tension qui montre la multiplicité des solutions possibles à ce stade de la résolution.

Remarque : Abusivement, on peut retrouver cette forme exponentielle en écrivant : du1 (t ) dt = − 1 (si u est non nulle) 1 τ u1 (t )

Il s’a s’a git de la dérivée de la fonction loga rithme : d ln u1 (t ) dt

Ce qui conduit par intégration à u1 (t ) = K ⋅ e

−

=−

1

τ

t

τ

.

En fait cette démonstration n’est pas rigoureuse car on ne sait pas a priori si la solution recherchée est non nulle. Elle constitue cependant un moyen pour « retrouver » le résultat. Composant Compos ant e f orcée : Solut ion par ticulièr e de l’éq uati on avec second second membre (S (SP PEAS ASM) M) Ici, la solution notée u 2 (t ) est recherchée sous la forme d’une constante U C ∞ ∞. La notation ∞ en indice fait référence référence au régim e permanent, c'est-à-dire c'est-à-dire po ur une d urée infinie : dU C∞ dt

+

1

τ

U C∞ =

E

τ

puisque t → ∞ (tension E établie) E établie)

O n a alors alors U C ∞ E : la comp osante forcée est est u 2 (t ) = E . C ∞ = E : Réponse complète complète : superposition des composantes composantes libre et f orcée u C (t ) = u1 (t ) + u 2 (t ) = K ⋅ e

−

t

τ

+ E

La dernière étape : rechercher la constante K Parmi toutes les solutions mathématiquement acceptables données par le résultat précédent, il faut isoler isoler celle qui correspond correspond à no tre problème. Pour caractériser cette solution, on écrit celle qui coïncide avec une valeur particulière appelée condition initiale. Cette dernière est trouvée en analysant la valeur de u C à l’instant où l’on applique l’échelon de tension. Ici, on considère qu’à t = t = 0 + (c'est-à-dire un peu après 0), la tension u C (0 + ) = U C0 . O n a donc donc : +

u C (0 ) = U C0 = K ⋅ e

−

0

τ

+ E = K + E , soit K = U C0 − E .

En résumé, la solution représentant la tension aux bornes du condensateur lorsque l’on applique un échelon de tension d’amplitude E est E est : u C (t ) = (U CO − E )e


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−

t

τ

+ E pour t ≥ 0.


Généralisation • Si l’ échelon app araît à l’ instant instant t = t = t 0 , il faut réaliser une translation temporelle, c’est à dire effectuer effectuer le changement de variable t en t en t – t 0 . • Dans une telle configuration, si U init est la valeur initiale de u C et U finale la valeur en régime établi, u C (t) s’exprime de ma nière générale par : u C (t ) = (U init − U finale )e

−

t

τ

+ U finale pour t ≥ 0.

III.2.2 III .2.2 . A la ruptu re de la sour ce (déc (décharg harg e) A la rupture de la source, le générateur n’appa raît plus dans la mise en équation : u e (t) = 0 . Le second second m embre est donc nul, il en va a lors de même po ur le régime perma nent : u 2 (t) = 0 . La solutio n est est don c (SG (SG ESSM )+ (0) : u C (t ) = K ⋅ e

−

t

τ

avec K réell K réelle, e, hom ogène à une tension. tension.

Pour rechercher la constante K , il faut connaître la condition initiale du circuit. Cette fois le condensateur était était totalement chargé, d onc U C0 = E à conduit à K = E à t = t = 0. Ceci conduit K = E. En résumé, la solution représentant la tension aux bornes du condensateur après la rupture de la source est : u C (t ) = E ⋅ e

−

t

τ

pour t ≥ 0.

Remarque Le second point du § III.2.1 s’applique ici parfaitement, car en régime permanent la tension U C ∞ ∞ = U finale est nulle et U C0 = E .

III.2.3 III .2.3 . Imp lic lication ation s pratiqu es es… … et tec techn hn olog iques Pour des conditions initiales nulles, la tension aux bornes du condensateur durant les deux phases précédentes est représentée à la Figure Figure 4 4 avec pour constante de temps τ = RC , homogène à un temps. C’est par rapport à cette valeur que l’on peut normaliser l’étendue temporelle de la charge et de la décharge d’un condensateur. A ce titre, à l’instant t = t = τ, le condensateur est chargé à 63% de sa valeur finale E tandis qu’à la d écharge, il ne res reste que 37% de la tension tension initiale. O n peut donc dire qu’au delà de t = t = 5 τ, le co ndensateur ndensateur est totalement totalement chargé (ou déchargé). Une pa rticularité rticularité de co nstruction nstruction est est à retenir : la tangente à l’ origine cou pe l’ asymp asymp tote à la courbe en t = t = τ, tandis que la tangente en ce point coup e l’asympto l’asympto te en 2 τ. Enfin, l’allure de la tension aux bornes du condensateur traduit un retard à l’établissement de l’échelon. C’est en effet, la première propriété d’un circuit du premier ordre est de retarder l’établissement l’établissement ou la disparition disparition d’ une grandeur. u e (t ) E t

u C (t ) E 63%E 37%E t

t 0 t 0 + τ

0 τ = RC 2τ

Figure 4 : répon se tempo relle du circuit RC RC à u n créneau de tension. tension.


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III.3. III .3. Répon Répon se d’ un sys système d u prem ier ordre à une ra m pe O n appliqu e au circuit précédent une ramp e de pente P (en V/ V/ s), s), c'est-àc'est-à- dire un signal évol uan t linéairement avec le temps à partir de l’instant initial. A titre d’exemple, ce genre de signal se rencontre pou r les ondes triangulaires. i(t)

u ee ( t )

R

Pente P

u e (t )

C

auquel on applique

t

u C (t )

0

Instant initial

Figure 5 : Circuit RC RC en répo nse nse à une ra mp e de tension.

L’expression analytique de ce signal est : u e (t )= P ⋅ t pour t ≥ 0

Ce circuit est régit régit pa r l’équ ation d ifférentie ifférentielle lle : du C (t ) dt

+

1

τ

u C (t ) =

P

τ

vec τ = RC t pour t ≥ 0 a vec

Le régime libre s’exprime s’exprime de la même m anière que précédemment : u1 (t ) = K ⋅ e

−

t

τ

Le régime permanent u 2 (t) (t) provient de la recherche d’un p olynôme de deg ré 1 : u 2 (t ) = K 1t + K 2

K 1 = P

En remplaçant dans l’équation différentielle, on obtient les constantes : 

K 2 = −τ P

, d’où :

u 2 (t ) = P(t − τ )

Remarque : le circuit RC agit comme un retard de valeur

τ sur le signal en régime

permanent. Le signal complet est : u C (t ) = K ⋅ e

−

t

τ

+ P (t − τ )

La co ndition initiale est est donn ée par la valeur à l’o rigine : u C (0 ) = 0 D’ où finalement l’express l’expression d e la tension u C (t) en réponse à la rampe de pente P : P : u C (t ) = τ P(e

−

t

τ

− 1) + Pt

Rampe u ee ( t ) Pente P

Réponse u C C( t )

– τ ) Asymptote P (t – τ 0

τ = RC

t

t 0 t 0 + τ

Figure 6 : répon se temporelle du circuit RC RC à la r am pe de p ente P. P.


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III.4. Réponse sinusoïdale d’un système du premier ordre O n applique au circuit circuit RL de la Figure 7 une tension sinusoïdale de pulsation ω, d’amplitude U 2 et de phase initiale nulle :

u e (t )= U 2 sin ω t pour t ≥ 0

Puisque l’élément réactif est une inductance, il est plus intéressant d’évaluer le courant i (t ). ). R

i(t)

U 2

u ee ( t ) t

u e (t )

auquel on applique

L

0

Instant initial

Figure 7 : Circuit RL RL excité excité par un signa l sinusoïdal. sinusoïdal.

Le courant dans ce circuit est régi par l’équation différentielle : L

di (t ) dt

+ R ⋅ i(t ) = U 2 sin ω t pour t ≥ 0

Pour des raisons de commodité, et parce qu’il est souvent préférable de traiter les fonctions circulaires de variables angula ires, ires, o n effectue effectue le cha ngement d e variable θ = ω t , ce qui conduit à : di(θ ) d θ L + R ⋅ i (θ ) = U 2 sin ω t d θ dt =ω =θ di(θ ) R U 2 sin θ + ⋅ i (θ ) = donc d θ Lω Lω

Régime l ibr e (Solut (Solut ion de

di (θ ) d θ

+

R Lω

i (θ ) = 0 )

L’évaluation similaire au x précédentes précédentes conduit à : −

i1 (θ ) = K ⋅ e

L’expression

Lω R

θ Lω R

est est la tangente de l’argu ment ϕ de l’impédance R - L : on p ose ose tan ϕ =

Lω R

Régime forcé La solution particulière est recherchée sous la forme i 2 (θ ) = K 1 cosθ + K 2 sin θ ,

 Lω U 2 sin ϕ U 2 = −  K 1 = − 2 2 Z  R + ( Lω ) Ce qui conduit à :   K = − K 1 = U 2 cos ϕ  2 tan ϕ Z Ce q ui permet d’écrire le régime forcé, ou perma nent, sous sous la forme : i2 (θ ) =


U 2 Z

sin(θ − ϕ ) avec Z = R 2 + ( Lω ) 2 le module de l’impédance de R - L

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Solut ion complète −

i2 (θ ) = K ⋅ e

θ tan ϕ

+

U 2 Z

sin(θ − ϕ )

La co ndition initiale est est donnée p ar la valeur à l’o rigine, i (0) ( 0) = 0, qui conduit à la constante constante K : K : K =

U 2 Z

sin ϕ

D’où finalement l’expression du courant i (θ) : i (θ ) =

−

U 2

(sin ϕ ⋅ e

Z

avec tan ϕ =

Lω R

θ tan ϕ

+ sin(θ − ϕ ))

et Z = R 2 + ( Lω ) 2

O n remarque que le déphas déphasage age ϕ du courant sur la tension apparaît dans l’expression du régime permanent qui seul subsiste après annulation du terme transitoire ( Figure 8).

Réponse complète

i( θ ) U 2

Régime permanent atteint

t ϕ

θ

Régime libre Figure 8 : réponse temporelle du circuit RL à une excitation sinusoïdale.


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IV. Étud tudee des cir irccui uits ts du deuxième deu xième ordre ord re IV.1. IV .1. Form e généra le de l’équ ation différentielle Un circuit du deuxième ordre de grandeur d’entrée e (t) ( t) est régi par une équation différentielle de la fo rme suivante suivante : 2

d s (t ) 2

dt

+ 2 zω 0

ds (t ) dt

2

2

+ ω 0 s (t ) = K 0 ⋅ ω 0 ⋅ e(t )

La présentation sous cette forme est dictée par le soucis de matérialiser les phénomènes qui se produisent pour des valeurs particulières des coefficients z et z et ω0 : • ω0 est est la pu lsation lsation p ropre du circuit exprimée exprimée en rad / s ; • z est le coefficient d’amortissement du circuit, toujours positif, sans dimension ni unité physique ; est l’am plification statique statique du mo ntage (dans le rapport d es unités de s et s et e ). ). • K 0 est

IV.2. Généralités sur la résolution La résolution de cette cette équation différentielle différentielle suit suit un cheminement plus élabo ré que po ur le premier ordre en raison d’une nécessaire discussion sur la valeur des paramètres. Le signe des coefficients, toujours positifs, élimine certaines solutions que l’on peut qualifier de « non physiques ».

IV.2.1 IV .2.1 . Régim Régim e libre O n utilis utilisee l’équa tion caractéris caractéristique tique : 2

r 2 + 2 zω 0 r + ω 0 = 0

Sa résolution nécessite l’évaluation du discriminant (réduit) qui permet la discussion : 2

∆' = ω 0 ( z 2 − 1)

1 er cas : ∆ : ∆’ > 0 Cette condition est réalisée si z 2 > 1, c’est-àc’est-à-dir diree z > z > 1 (c (c ar ar z ≥ 0 ). Les deux racines r 1 et r 2 sont réelles et strictement négatives (produit positif et somme négative) : r 1 = ω 0 (− z −

z 2 − 1) et r 2 = ω 0 (− z +

z 2 − 1)

La SG ESS ESSM s’écri t alo rs : r t

s1 (t ) = K 1e 1 + K 2 e

Ce régime transitoire est appelé

r 2t

régime apériodique amorti .

2 ème cas : ∆’ = 0 Dans ce cas, z 2 = 1, c’est c’est à dire dire z = z = 1 (c (c ar ar z ≥ 0 ). La racine r es r estt dou ble : r = −ω 0

La SG ESS ESSM s’écri t alo rs : s1 (t ) = ( K 1t + K 2 )e

Ce régime transitoire est appelé

−ω 0t

régime apériodique critique.

2 ème cas : ∆’ < 0 Ici z2 < 1, c’es c’est à dire dire z < 1. Les deux racines r 1 et r 2 sont complexes conjuguées : 2 2 r 1 = ω (− z − j 1 − z ) et r 2 = ω (− z + j 1 − z ) . 0


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O n isole les parties réelles et imag inaires en posant : α = − zω et β = ω 0

0

1− z2

La SG ESS ESSM s’écri t : s1 (t ) = eα t ( K 1 cos β t + K 2 sin β t ) t →+∞

eα t    → 0 , le régime est

α est strictement négatif , donc oscillatoire amorti ).

pseudo-périodique (ou (o u

IV.2.2. IV .2.2. Étude Étude du régime forc forcéé ou perm anent La recherche d’une SPEASM reprend le même principe : on cherche une solution de même nature que le second membre par identification des coefficients. Les solutions les plus courantes en électricité sont la constante, le polynôme ou les fonctions trigonométriques de même pulsation que celle de la source (qui matérialise le second membre). La solution complète est la somme des deux solutions précédemment définies. La résolution se termine par la recherche des constantes grâce à la connaissance des conditions initiales.

IV.3. Exemp Exemp le : circ circuit uit RLC série à la m is isee sous tension tension Analysons le comportement du circuit RLC RLC de la Figure 9 en déterminant les grandeurs u C (t ), ), u L(t ) et i (t ) lorsque l’on applique un échelon de tension d’amplitude E . i(t)

L

R

u ee ( t ) E

u L(t )

auquel on applique

u e (t )

C

t

u c (t )

0

Instant initial

Figure 9 : Circuit RLC série en réponse à l’échelon de tension d’amplitude E.

La m ise ise en équation donne : 2

d u C (t ) 2

dt

+

R du C (t )

+

dt

L

1 LC

⋅ u C (t ) =

1 LC

⋅ u e (t )

Q ui perm et d’id entifier les coefficients suivants suivants : 1

ω 0 =

LC

; z =

R

C

2

L

; K 0 = 1 (pas d’am plification statique) statique)

IV.3.1 IV .3.1 . Solutio n gén érale de l’éq uatio n sans second m em bre (SGE (SGES SSM) Le discriminant réduit s’exprime par : ∆' =

R

2

4 L2

−

1 LC

Pour associer une interprétation physique aux résultats, on considère que les éléments L et C sont constants et que seule R varie. Le signe de ∆’ dépend alors de la position de R par rapport à la résistance résistance critiqu e Rc = 2

Noté autrement : z =


L C R

Rc

qui annule ∆’ . 2

 R   − 1) . et ∆' = ω 0 (  Rc  2

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1 er cas : R > R c ( ∆' > 0), régime apériodique 2

2

 R   R  1 R  − 1) < 0 et  − 1) < 0 et r 2 = r 1 = −  +  (− (− LC Rc LC Rc  Rc   Rc  1

R

r t

u C 1 (t ) = K 1e 1 + K 2 e

r 2t

2 ème cas : R > R c ( ∆' = 0), régime régime apériodique critiq critiq ue r = −ω 0 = −

1 LC u C 1 (t ) = ( K 1 + K 2 t )e

−ω 0t

osc cillatoir e amorti 3 ème cas : R < R c ( ∆' < 0), régime os

 R   α = − ω 0 et β = ω 0 1 −  Rc  Rc  R

2

u C 1 (t ) = eα t ( K 1 cos β t + K 2 sin β t )

soit u C 1 (t ) = e

R − ω 0t Rc

2

2

 R   R   t ) + K 2 sin(ω 0 1 −   ( K 1 cos(ω 0 1 −    R  t ) R c c    

IV.3.2 IV .3.2 . Solutio Solutio n particulière d e l’ équa tion avec second second m em bre (SPEAS ASM M) Une fois l’échelon établi, le second mem bre est est

E LC

.

La recherche d’une SPEASM sous la forme d’une constante fournit : u C 2 (t ) = E

IV.3.3. Solution complète La solution complète est la somme des 2 solutions partielles précédentes. Pour déterminer les constantes, on utilise les conditions initiales : tension a ux bornes du con densateur densateur à t = t = 0 + , u C (0 + ) = 0 • continuité de la tension (0 + )= 0 , d ’o ’ o ù u L(0 + ) = E . • continuité du courant dans l’inductance i (0

IV.3.3.1. 1 er cas : R > R c (∆' > 0), régime apériodique r t

u C 1 (t ) = K 1e 1 + K 2 e

r 2t

+ E

Recherche de K 1 et K 2

 R − R 2 − Rc2 K 1 = r 2 E = E u C (0) = K 1 + K 2 + E = 0   2 2 r 1 − r 2 R − Rc   du C ⇒ 2 2 i (0) = C (0) ⇒ r 1 K 1 + r 1 K 2 = 0 − R − R − Rc  dt  K 2 = − r 1 E = E 2 2 r r − 1 2 R R −  c Expression des grandeurs essentielles du circuit Tension u C ndensateur C (t ) aux bornes du co ndensateur uC (t ) = E (1 +


ao ût 0 2 – V3 .7 1

r 2 r 1 − r 2

11 / 14

r t

e1 −

r 1 r 1 − r 2

e

r 2t

)


Courant i (t ) dan s les trois éléments r 1r 2

i (t ) =

r 1 − r 2

r t

2 E

r t

CE (e 1 − e 2 ) o u i (t ) = R

2

− Rc2

(e

r 2t

r t −e1 )

Tension u L(t ) aux bornes de l’inductance u L (t ) =

r 1r 2 r 1 − r 2

r t

LCE (r 1e 1 − r 2 e

r 21 t

2 LE

) o u u L (t ) =

R

2

− Rc2

(r 2 e

r 2t

r t

− r 1e 1 )

Graphes des grandeurs u C C( t ) E

t i (t )

t 0 =

i max max

1 r 1 − r 2

ln

r 2 r 1

t u L(t ) E

t 1 =

2 r 1 − r 2

ln

r 2 r 1

= 2t 0

t

u Lmin Lmin

Figure 1 0 : les grand eurs es essentielles du circuit en régim e apériodiq ue am orti.

Remarques Puisque le courant (image de la dérivée de la tension u C ) est est nul à l’o rigine, la tension tension démarre a vec une tangente horizontale. • En t 0 0 , l’inversion de la tension u L, image de la dérivée seconde de la tension u C C , correspond bien au changement de sa courbure. Ce changement de concavité correspond correspond a ussi ussi au maximum d u courant qui se met à décroître. décroître. • Après son inversion la tension aux bornes de l’inductance décroît jusqu’à son minimum en t 1 = 2t 0 pou r tendre finalement vers zéro en changeant de co ncavité. ncavité. •

IV.3.3.2. 2 ème cas : R = R c (∆' = 0), régime régime apériodique critique u C (t ) = ( K 1 + K 2 t )e

−ω 0t

+ E

Recherche de K 1 et K 2

  K 1 = − E du C ⇒  i (0) = C (0) ⇒ K 2 − ω 0 K 1 = 0 K 2 = −ω 0 E dt 

u C (0) = K 1 + E = 0

Expression des grandeurs essentielles du circuit Tension u C (t ) aux bornes du co ndensateur ndensateur uC (t ) = E − E (ω 0 t + 1)e

−ω 0t

Courant i (t ) dan s les trois éléments i (t ) =


ao ût 0 2 – V3 .7 1

12 / 14

E −ω 0t t ⋅ e L


Tension u L(t ) aux bornes de l’inductance u L (t ) = E (1 − ω 0 t )e

−ω 0t

Graphes des grandeurs u C C( t ) E

t i (t ) i max =

t 0 =

2 E

1

ω 0

eRc

t u L(t ) E t 1 =

u L max =

2

ω 0

= 2t 0

t

− E e

2

Figure 1 1 : les grandeur s ess essentielles du circuit en régim e apériod ique critique.

Remarques Ces réponses, similaires à celles du régime apériodique, correspondent au temps minimum d’établissement (la plus faible valeur de t 0 ).

IV.3.3.3. 3 ème cas : R < R c (∆' < 0), régime osc oscillatoire amo rti  R   u C (t ) = e ( K 1 cos β t + K 2 sin β t ) + E avec α = − ω 0 et β = ω 0 1 −  Rc R  c  R

α t

2

Recherche de K 1 et K 2 2

 K 1 = − E   α − R E duC  ⇒ K 2 = E = i (0) = C (0) ⇒ α K 1 + β K 2 = 0 β  Rc2 − R 2 dt  

u C (0) = K 1 + E = 0

Expression des grandeurs essentielles du circuit Tension u C (t ) aux bornes du co ndensateur ndensateur α t

uC (t ) = Ee (− cos β t +

α sin β t ) + E β

Courant i (t ) dan s les trois éléments − R

t α 2 + β 2 α t 2 E i (t ) = CE e sin β t o u i (t ) = e 2 L sin 2 2 β Rc − R

Rc2 − R 2 2 L

t

Tension u L(t ) aux bornes de l’inductance α u L (t ) = LCEe (α 2 + β 2 )(cos β t + t


α sin β t ) o u u L (t ) = Eeα t (cos β

ao ût 0 2 – V3 .7 1

13 / 14

2

Rc − R 2 L

2

t −

R Rc2 − R 2

2

sin

Rc − R 2 L

2

t )


Graphes des grandeurs u C C( t ) u Cmax Cmax

Échelon d’entrée E

t i (t )

T 0 =

i max max

1

ω 0

t

u L(t ) E

t

Figure 1 2 : les grandeur s ess essentielles du circuit en régim e apériod ique critique.

IV.3.4. IV .3.4. Cas partic particulier ulier du régime régime non am orti Dans un circuit non dissipatif, c'est-à-dire pour lequel la résistance R est nulle, le coefficient d’amortissement z es z estt nul. L’équation différentiel différentielle le ne contient plus de terme dérivé d’o rdre 1 : 2

d u C (t ) 2

dt

+

1 LC

⋅ u C (t ) =

1 LC

⋅ u e (t )

La solution est alors de type oscillatoire (cas 3, ∆’ < 0), 0), avec avec : α = 0 et β = ω

0

Elle prend la fo rme : u C (t ) = E + K 1 cos ω 0 t + K 2 sin ω 0 t = E + U C max cos(ω 0 t + ϕ )

Soit avec les conditions initiales : u C (t ) = E − E cos ω 0 t i (t ) =

2 E Rc

sin ω 0 t

u L (t ) = − E cos ω 0 t

Les grandeurs sont des fonctions sinusoïdales du temps, c’est à dire purement oscillatoires. C’est le cas de figure que l’on rencontre pour les oscillateurs sinusoïdaux. Le problème technologique consiste alors à annuler la résistance équivalente du circuit.

V. Bibliog Bibliog raph raphie ie !

[1 ]

xx. Analyse 2 : Algèbre et géométrie – BTS et DUT secteur industriel. Hachette.


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Analyse des circuits en régime transitoire

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