Analisis y Sintesis de Mecanismos Con Aplicaciones César Guerra Torres

César Guerra Torres

Mecanismos con aplicaciones

CD interactivo en esta edición

Análisis y síntesis de mecanismos con aplicaciones

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Análisis y síntesis de mecanismos con aplicaciones César Guerra Torres Universidad Autónoma de Nuevo León

PRIMERA EDICIÓN EBOOK MÉXICO, 2015

GRUPO EDITORIAL PATRIA


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Dirección editorial: Javier Enrique Callejas Coordinadora editorial: Estela Delfín Ramírez Supervisor de preprensa: Gerardo Briones González Diseño de portada: Juan Bernardo Rosado Solís/Signx Ilustraciones: Mario Grimaldo González/Jorge A. Martínez J. Fotografías: © Thinkstockphoto Revisión Técnica: Ignacio Ramírez Vargas Instituto Tecnológico de Pachuca Jesús Manuel Dorador González Universidad Nacional Autónoma de México

Análisis y síntesis de mecanismos con aplicaciones Derechos reservados: © 2015, César Guerra Torres © 2015, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V. Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca Azcapotzalco, México D. F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industrial Editorial Mexicana Registro Núm. 43 ISBN ebook: 978-607-744-268-4 (Primera edición) Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

Impreso en México Printed in Mexico Primera edición ebook: 2015


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Agradecimientos

A la memoria de mis padres Gonzalo Guerra Milán (†) y María de Jesús Torres López (†). Agradezco a Juan Ángel Garza, Jesús de León Morales, Manuel Amarante y Fernando Elizondo, quienes han sido mis mentores en esta hermosa aventura de la ingeniería y la docencia; a mis compañeros y amigos del departamento de dinámica de la FIME de la UANL, en especial a Miguel Carrola, Ramiro Robledo, Sergio Ramírez, Lilia Nelda y Adrián García. A Luis Torres por compartirme su algoritmo Evonorm. Al doctor Jaime Castillo Elizondo, director de la FIME de la UANL, por su gran apoyo a mi carrera y hacia mi persona. A mis hermanos Norma, Rosalía, Patricia, Minerva, Carlos, Javier y Jesús. A mis amigos y estudiantes, en especial a Katty y Alex, por compartir su tiempo conmigo para realizar esta obra.

Todo lo puedo en Cristo, quien me fortalece (Fil. 4:13).


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Acerca del libro

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os mecanismos son dispositivos de gran importancia en el diseño de máquinas, debido a que constituyen elementos mecánicos mediante los cuales es posible proporcionar un movimiento sincronizado para la realización de diversas tareas, como las de automatización. La síntesis de mecanismos consiste en la selección del mecanismo y la determinación de las dimensiones de sus elementos; por su parte, el análisis permite validar si los resultados del diseño satisfacen los requerimientos. En esta obra se proporciona un conjunto de herramientas analíticas, gráficas y computacionales para la selección, el análisis, el diseño y la implementación de mecanismos en maquinaria mediante el análisis cinético y cinemático, así como la síntesis cinemática. Las características más sobresalientes de esta obra son: •

Dispone de un conjunto de actividades para el desarrollo de las habilidades del lector.

•

La mayoría de los ejemplos se refieren a mecanismos prácticos.

•

Como apoyo al desarrollo de los contenidos del libro se incluye el programa computacional Virmech Beta Edition®, que facilita la comprensión del estudio de mecanismos.

•

Se dedica un capítulo completo a la explicación y el uso del software matemático-gráfico GeoGebra®, especialmente diseñado y creado para el análisis y síntesis de mecanismos.

•

En algunos capítulos se incluye una sección llamada Actividades de preparación, cuyo objetivo es preparar al lector para una mejor comprensión de los problemas resueltos.

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Para que el lector evalúe sus conocimientos, al final de cada capítulo se integra la sección Desarrolla tus habilidades, en la que no solo se incluyen vii


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Acerca del libro

ejercicios, sino una serie de actividades que permiten desarrollar las habilidades y competencias del lector para la síntesis cinemática de mecanismos como: a) Actividades en computadora. b) Problemas prácticos. c) Desarrollo e investigación. d) Uso de programas computacionales. e) Otros. •

Se separan las técnicas analíticas de las gráficas, lo que permite a aquellos lectores con poco conocimiento matemático utilizar solo las herramientas gráficas.

•

El capítulo 11, Análisis y síntesis mediante el uso de algoritmos computacionales, está dedicado al estudio de novedosas técnicas de análisis y síntesis con un enfoque basado en métodos numéricos y algoritmos evolutivos, debido a que estos métodos dan solución a algunas restricciones presentadas en métodos tradicionales de diseño.


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Contenido

Agradecimientos.......................................... v Acerca del libro...........................................vii Capítulo 1. Introducción................................2 1.1 Introducción................................................................4 Una breve historia.............................................................5 El estudio de los mecanismos hoy....................................8 Herramientas modernas para el estudio de mecanismos...................................................................10

El Sistema Técnico..........................................................37

2.2 Ecuaciones geométricas..........................................38 Sistema de coordenadas cartesianas..............................38 Parámetros de una recta.................................................39 Parámetros de la circunferencia......................................42

2.3 Vectores y escalares.................................................43 Introducción....................................................................43 Representaciones vectoriales..........................................44 Operaciones con vectores..............................................46

1.2 Terminología.............................................................13

2.4 Números complejos..................................................51

Componentes de transmisión.........................................14 Junta cinemática.............................................................16 Cadena e inversión cinemática........................................17 Grado de libertad............................................................18

2.5 La derivada...............................................................53

1.3 Representaciones cinemáticas.................................20 Diagrama cinemático......................................................20 Diagrama por bloques.....................................................22

Introducción....................................................................53 Definición de la derivada.................................................55 Derivadas de funciones vectoriales y de números complejos.......................................................................57

Desarrolla tus habilidades........................................59 Referencias...............................................................66

1.4 Clasificación de mecanismos...................................23 Mecanismos manivela-biela-corredera ...........................23 Mecanismos de cuatro barras ........................................24 Diadas............................................................................24 Mecanismos de deslizamiento........................................25 Ruedas...........................................................................25

Capítulo 3. Mecanismos articulados: análisis de posición y desplazamiento.......68

1.5 Análisis y síntesis cinemática...................................26

3.3 Mecanismos articulados...........................................71

1.6 De interés por la Web...............................................27

3.4 Parámetros relacionados con la posición y desplazamiento......................................................72

Mecanismos de cartón y papel.......................................27 Animal con un sistema de engranaje...............................27 Máquina de Betancourt...................................................28 Kinematic models for design digital library.......................28

Desarrolla tus habilidades........................................29 Referencias...............................................................33

Capítulo 2. Preliminares matemáticos.......34

3.1 Introducción..............................................................70 3.2 Tipos de movimiento................................................70

Inversión cinemática........................................................72 Condición límite y ley de Grashof....................................74 Curvas de acoplamiento.................................................75 Relación de tiempo (Q)....................................................76 Ángulo de transmisión (Tr)...............................................79

3.5 Método gráfico para determinación de posición...............................................................80

2.1 Sistema de unidades................................................36

3.6 Métodos analíticos para determinación de posición...............................................................83

Historia...........................................................................36 Unidades de los sistemas SI y USCS..............................36

Posición y desplazamiento..............................................83 Solución usando vectores y números complejos.............85

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Contenido

Solución usando ecuaciones geométricas.......................86 Metodología....................................................................86 Aplicación: mecanismo de cuatro barras.........................87

3.7 Aplicación: Mecanismo de manivela-biela-corredera..........................................90 Aplicación: Diadas...........................................................91

Ecuaciones cinemáticas: método de fórmula................171 Ecuaciones cinemáticas: método de tabulación............175

5.4 Mecanismo de poleas............................................178 Conceptos y definiciones..............................................178 Ecuaciones cinemáticas................................................179

Desarrolla tus habilidades........................................94

5.5 Caso de estudio: Caja de cambios de un automóvil......................................................181

Referencias...............................................................98

5.6 De interés por la Web.............................................184 Desarrolla tus habilidades......................................188

Capítulo 4. Mecanismos articulados: análisis de velocidad y aceleración.......... 100

4.1 Introducción............................................................102 4.2 Teoría general de velocidad y aceleración en mecanismos................................102 Ecuaciones de velocidad...............................................103 Ecuaciones de aceleración............................................106 Existencia y significado de las componentes de aceleración...............................................................107

4.3 Ecuaciones cinemáticas de puntos de la misma barra...................................................108 4.4 Métodos gráficos....................................................109 Método del polígono de velocidad................................109 Método de centros instantáneos de velocidad..............117 Método del polígono de aceleración..............................124

4.5 Métodos analíticos.................................................127 Método de componentes rectangulares........................128 Método por producto vectorial......................................134 Método con el uso de la ley de senos y cosenos para el cálculo de velocidad..........................................136 Método con el uso de ecuaciones geométricas............138

4.6 Caso de estudio: Mecanismo de manivela-oscilador............................................143 Desarrolla tus habilidades......................................148

Referencias.............................................................193

Capítulo 6. Análisis de fuerzas................. 194 6.1 Introducción............................................................196 6.2 Mecánica newtoniana.............................................196 Fuerza externa y fuerza inercial.....................................197 Fuerzas estáticas..........................................................198 Fuerzas dinámicas........................................................198 Fuerzas de reacción......................................................199

6.3 Segunda ley de Newton en sólidos rígidos............200 Efecto de traslación (fuerza inercial)...............................200 Efecto de rotación (momento inercial)............................201 Procedimiento para el análisis de fuerzas......................202

6.4 Centroides y el teorema de ejes paralelos.............204 Centroide de masa........................................................204 Teorema de los ejes paralelos.......................................207

6.5 Análisis de fuerzas estáticas en eslabonamientos....................................................209 6.6 Análisis dinámico en eslabonamientos..................214 Características de análisis de fuerzas dinámicas en mecanismos.............................................................214

6.7 Análisis dinámico en mecanismos de ruedas........231 Discos homogéneos y no homogéneos........................231 Discos con rotación centroidal y excentroidal................231 Fuerza de fricción y de contacto en discos....................232

Capítulo 5. Mecanismos de contacto directo...................................................... 152

Desarrolla tus habilidades......................................237

5.1 Introducción............................................................154

Referencias.............................................................249

5.2 Mecanismos de referencia móvil............................154 Análisis de posición.......................................................154 Análisis de velocidad y aceleración por métodos gráficos..........................................................155 Análisis de velocidad y aceleración por métodos analíticos........................................................159 Existencia y significado de la componente de Coriolis.....................................................................162 El efecto Coriolis...........................................................163

Capítulo 7. Introducción a la síntesis cinemática y síntesis de tipo....................250

5.3 Trenes de engranes o engranajes...........................164

7.2 Necesidades del diseño.........................................255

Introducción..................................................................164 Tipos de engrane y nomenclatura.................................165 Tipos de engranajes y nomenclatura.............................167 Relación torque y velocidad angular..............................168

Caso de estudio: Transmisión de automóvil..........168


7.1 Introducción a la síntesis cinemática.....................252 Síntesis y diseño...........................................................252 Etapas del diseño de mecanismos................................252 Etapas y tipos de síntesis de mecanismos....................253 Tareas de la síntesis cinemática.....................................254 Guiado de sólido rígido.................................................256 Palancas y osciladores..................................................256 Movimiento reciprocante...............................................257 Movimiento de una pieza con trayectoria......................257 Transmisiones con movimiento especial........................257

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Contenido

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7.3 Síntesis de tipo.......................................................258

9.3 Mecanismo de leva.................................................327

Eslabonamientos articulados de cuatro eslabones........258 Eslabonamientos articulados de más de cuatro eslabones......................................................259 Mecanismo de ruedas...................................................260 Mecanismo de leva-seguidor........................................260 Mecanismo de deslizamiento........................................261 Mecanismo no armónico...............................................262

Análisis topológico........................................................327 Diagramas de desplazamiento......................................329 Construcción analítica del diagrama de desplazamiento........................................................336 Diseño del perfil de leva................................................341 Levas para accionamiento............................................360

7.4 Técnicas auxiliares para la síntesis cinemática......262 Rotopolo.......................................................................262 Inversión cinemática......................................................263 Polo relativo..................................................................265 Espaciamientos de Chebyshev.....................................266

Desarrolla tus habilidades......................................362 Referencias.............................................................368

Capítulo 10. Curvas de acoplamiento: análisis, síntesis y selección....................370


10.1 Introducción............................................................372

Referencias.............................................................269

10.2 Factores que deben considerarse en el diseño o la selección..........................................................372

Capítulo 8. Síntesis posicional..................270 8.1 Introducción............................................................272 8.2 Guiado de sólido rígido..........................................272 Dos posiciones prescritas mediante el uso de una manivela............................................................272 Método analítico...........................................................275 Dos posiciones prescritas mediante el uso de doble oscilador........................................................276 Método analítico...........................................................279 Tres posiciones prescritas mediante el uso de doble oscilador........................................................280 Dos y tres posiciones en que se usa manivela-corredera.......................................................283

8.3 Osciladores y diadas impulsoras............................286

10.3 Selección................................................................374 Mecanismo de línea recta de Watt................................375 Mecanismo de línea recta de Roberts...........................375 Mecanismo de Scott-Russell.........................................375 Mecanismo de Peaucellier.............................................375 Mecanismo de Chebyshev............................................376 Mecanismo de línea recta de Hoecken..........................376

10.4 Síntesis...................................................................377 Mecanismo RRRR para generación de trayectorias.......377 Mecanismos cognados o afines....................................380

10.5 De interés por la web..............................................383 Desarrolla tus habilidades......................................385 Referencias.............................................................389

Condiciones límite del oscilador con relación de tiempo unitaria.........................................................286 Condiciones límite del oscilador con retorno rápido.......288 Uso de la ecuaciones de Freudenstein..........................292 Notas............................................................................293 Diadas impulsoras.........................................................295 Osciladores con tres posiciones prescritas....................299 Método analítico: Tres pares de diseño.........................299 Método gráfico: Dos desplazamientos angulares..........300 Osciladores con más de tres posiciones prescritas.......302

11.1 Introducción............................................................392

8.4 Movimiento reciprocante........................................302

11.3 Aplicación del método de Newton Raphson..........398

Condiciones límite con un mecanismo manivela-corredera.......................................................303 Dos posiciones de la corredera en un mecanismo manivela-corredera.......................................................305 Tres posiciones de la corredera en un mecanismo manivela-corredera.......................................................307

Capítulo 11. Análisis y síntesis mediante el uso de algortimos computacionales......................................390 11.2 Métodos iterativos de Newton Raphson y Evonorm...............................................................393 Método de Newton Raphson........................................393 Método de Evonorm.....................................................395 Solución al problema cinemático en mecanismos de n barras...................................................................398

11.4 Aplicación del método Evonorm............................407


Síntesis posicional en un mecanismo RRRR para más de tres pares de diseño.................................408 Mecanismos afines a los pares de diseño.....................414 Reubicación del rotopolo..............................................415

Referencias.............................................................318


Capítulo 9. Generadores de función........320

Referencias.............................................................421

9.1 Introducción............................................................322 9.2 Mecanismo manivela-oscilador para la generación de función............................................322


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Introducción

Propósito del capítulo La tarea de análisis o síntesis de mecanismos requiere un excelente conocimiento de su topología, ya que dicho análisis consiste principalmente en identificar sus componentes, características de movilidad, aplicaciones y la forma de representarlos. En este texto se explora la teoría básica de los mecanismos. Con base en este objetivo, se inicia con una breve historia de sus aplicaciones a través de diversas épocas y en diferentes culturas. Luego, para comprender la tarea y funcionalidad de los mecanismos, se expone la terminología esencial, la cual ofrece las herramientas necesarias para elaborar representaciones y diagramas gráficos representativos, a fin de facilitar su análisis y síntesis posterior. Dado que estos últimos términos no deben ser confundidos, en la última parte del capítulo se tratan a detalle las características y diferencias entre el análisis, la síntesis y el diseño de mecanismos. Competencia específica • Describir la terminología requerida para el análisis y la síntesis de mecanismos, identificando y esquematizando sus componentes para elaborar diagramas cinemáticos, prototipos a escala y simulaciones por computadora.

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Capítulo

Habilidades 1. Identificar las funcionalidades, clasificaciones, aplicaciones y la topología de los mecanismos. 2. Describir los componentes de un mecanismo para validar la movilidad de sus elementos y las trayectorias de sus conectores. 3. Elaborar diagramas representativos de la cinemática de un mecanismo que faciliten el análisis o el diseño de mecanismos. 4. Implementar un mecanismo mediante prototipos.

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1.1 Introducción Para comprender el campo de estudio de los mecanismos y su impacto en la vida cotidiana conviene considerar los siguientes posibles escenarios en los que el lector puede estar inmerso: a) Durante la formación, es muy probable que un estudiante del área de mecánica requiera elaborar un proyecto de una máquina que satisfaga ciertos requerimientos de movilidad. b) Al adquirir una máquina de ejercicio, quizá se requiera un espacio mayor para su montaje que el disponible y(o) las dimensiones no se adaptan a las dimensiones antropométricas del usuario, por lo que resulta necesario realizar modificaciones a los elementos para adaptarlos a sus necesidades. c) Al comprar un automóvil antiguo es probable que se requiera modificar el mecanismo del limpiaparabrisas y(o) la palanca de transmisión, ya que no existen refacciones compatibles con los sistemas originales. d) Cuando una empresa adquiere una máquina especializada para realizar un proceso conforme a ciertas necesidades, suele suceder que debido a modificaciones en el producto sus características de movilidad ya no satisfacen las necesidades de fabricación y se requiere un rediseño de sus elementos. En todos los casos anteriores, y aun cuando el análisis de fuerzas es importante, en realidad se requiere de una implementación y(o) modificación de sus elementos para satisfacer ciertas necesidades de movilidad, conocidos con el nombre de mecanismos. Los mecanismos son dispositivos mecánicos fundamentales para el diseño y la construcción de maquinaria. Se puede decir que son el “alma” de las máquinas mecánicas, ya que proporcionan el movimiento sincronizado para cumplir con una tarea específica. En un proceso industrial, los mecanismos permiten el funcionamiento coordinado en espacio y tiempo.

Los mecanismos no solo se observan en la maquinaria industrial sino también en máquinas de uso doméstico y cotidiano, ya que en muchos casos se usan de manera primordial para la transmisión de fuerza más que de potencia, como en el caso de las máquinas para hacer ejercicio. En este capítulo se describen las partes que conforman un mecanismo, conocidas con el nombre de eslabones y juntas, en donde se detallan las características de los mismos respecto a su aportación a la movilidad. De la misma manera, también se explica cómo elaborar o interpretar diagramas para su posterior implementación, análisis, diseño o rediseño. Al inicio se expone una breve historia de los mecanismos y sus aplicaciones en la antigüedad y su evolución hasta llegar a las herramientas modernas utilizadas en el estudio de los mecanismos.


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Capítulo 1. Introducción

Enseguida, mediante un estudio conocido como análisis topológico, se detalla la terminología de los mecanismos, sus componentes y clasificaciones. Aunado a lo anterior, se exponen dos métodos para representar un mecanismo mediante gráficas simples conocidas como diagramas por bloques y diagramas cinemáticos. Posteriormente, una vez que se elaboran las representaciones cinemáticas, se clasifican los mecanismos en función de sus elementos.

Una breve historia A través de la historia de la humanidad se conoce que las máquinas y los mecanismos son componentes utilizados para satisfacer las tareas que excedían la capacidad del hombre o bien para reducir sus esfuerzos. Por ejemplo, siglos antes de Cristo los asirios utilizaban mecanismos basados en la rueda para el transporte y el torno del alfarero, mientras que en el antiguo Egipto ya se manejaban el plano inclinado, la palanca y el rodador de troncos. Lo anterior fue el inicio de los mecanismos conocidos con el nombre de máquinas simples, entre los que destacan la palanca, la rueda, la cuerda y el plano inclinado, los cuales permitieron la creación de medios de transporte y otras máquinas más sofisticadas a lo largo de los años.

Arquímedes (287-212 a.C.) Pese a que se tienen registros del uso de mecanismos en la antigüedad, a Arquímedes se le considera el pionero de los mecanismos y las máquinas, por sus diversos y novedosos diseños, el primero de los cuales es el mecanismo de Anticitera (véase figura 1.1), que fue descubierto entre los restos de un naufragio. En un principio no se tenía conocimiento real acerca del funcionamiento de tal mecanismo, pero gracias al proyecto denominado Antikythera se pudo reconstruir el dispositivo y reproducir de forma exacta sus ruedas dentadas, con lo que se pudo confirmar que este dispositivo era capaz de reproducir con exactitud los movimientos del Sol, la Luna y los planetas conocidos en esa época. Otro de los grandes inventos de Arquímedes es la denominada máquina gravimétrica helicoidal (véase figura 1.2), que consiste en un mecanismo para la elevación de agua, harina, cereal o material excavado. Este mecanismo se basa en un tornillo que se hace girar dentro de un cilindro hueco, situado sobre un plano inclinado, y que permite elevar el cuerpo o fluido situado por

Figura 1.1 Fragmentos del mecanismo de Anticitera expuestos en el Museo Arqueológico Nacional de Atenas.

Figura 1.2 Mecanismo de elevación de agua de Arquímedes. Figura 1.2 Mecanismo de elevación de agua de Arquímedes.


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debajo del eje de giro. Desde su invención, y hasta la fecha, este mecanismo se ha utilizado para el bombeo.

Vitruvius (88-15 a.C.) Arquitecto e ingeniero romano que en su tratado De Architectura, obra que consta de diez libros sobre arquitectura, maquinaria, hidráulica y cronometría, describe diversas máquinas como el odómetro (cuyo nombre proviene del griego hodo, que significa camino, y metron, medida), una máquina capaz de medir la distancia recorrida, es decir, una máquina parecida a lo que sería un taxímetro antiguo. El mecanismo del odómetro construido por Vitruvius se basaba en un sistema de ruedas, de modo que para cada revolución, un pin en el eje engranaba con una rueda de 400 dientes; de este modo, una vuelta completa equivalía a una milla actual. A su vez, este engrane engranaba a otra rueda con agujeros a lo largo del borde de la circunFigura 1.3 Réplica del odómetro de Figura 1.3 Réplica del odómetro de Vitruvius. ferencia, donde había un depósito con unas pequeñas piedras, que Vitruvius. iban cayendo una por una en una caja (véase figura 1.3).

Al-Jazari (1136-1206) Debido a que durante mucho tiempo la agricultura fue la actividad principal en el desarrollo y sustento de los pueblos antiguos, los mecanismos fueron un tema de interés y de diseño entre los inventores de aquella época. Uno de los principales representantes fue Al-Jazari, musulmán erudito, investigador, inventor de ingenio mecánico, artesano, artista y matemático, quien construyó diversos mecanismos, entre los que se pueden mencionar el mecanismo de escape de una rueda giratoria, los engranajes segmentarios y las máquinas de riego de agua (véase figura 1.4), entre muchos otros.

Figura 1.4 Máquina de riego de Al-Jazari.[1] Figura 1.4 Máquina de riego de Al-Jazary.

Leonardo da Vinci (1452-1519)

Diseñador, pintor, escultor, inventor y creativo que dejó una huella indeleble en la historia, tanto en el campo de los mecanismos como en el de los autómatas y la aeronáutica. Entre su lista de inventos en el campo de los mecanismos destacan la bicicleta de Da Vinci, el tornillo aéreo de Da Vinci y el odómetro, entre muchos otros. Por diversos registros se sabe que Da Vinci también diseñó al menos dos autómatas, en los que utilizó mecanismos de alta complejidad para los conocimientos de esos tiempos. El primero de estos autómatas, junto con su mecanismo, es considerado uno de los autómatas pioneros con forma completamente humana, ya que este fue vestido con una armadura medieval diseñada alrededor del año 1495. Aunque muchos de los inventos de Leonardo da Vinci no fueron construidos nunca, ni en su época ni en la actualidad, este, en especial, sí fue reconstruido según los dibujos originales, y podía mover los brazos, girar la cabeza y sentarse.


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El segundo de los mecanismos autómatas se trató de un león mecánico construido a petición del rey de Francia, Francis I (1515), con el propósito de facilitar las negociaciones de paz entre el rey francés y el papa León X. En una reunión, mediante diversos trucos, el autómata logró desplazarse de una habitación a otra, y cuando se encontró frente al monarca, se le abrió el pecho y todos pudieron comprobar que estaba lleno de lirios y otras flores, representando así un antiguo símbolo de Florencia (el león) y la flor de lis que Luis XII regaló a la ciudad como señal de amistad.

Juanelo (150X-1583) Con ideas y objetivos muy similares a los de Al-Jazari, Juanelo logró la construcción de una de las más grandes obras de la ingeniería aplicada a la hidráulica: su reconocida e impresionante obra llamada Artificio de Juanelo. Juanelo construyó este ingenioso mecanismo capaz de elevar agua desde el río Tajo al Alcázar de Toledo, salvando un desnivel de unos 90 metros, con un recorrido de unos 306 metros (véase figura 1.5).

Figura 1.5 Reconstrucción del Artificio de Juanelo.[1]

Figura 1.5 Reconstrucción del Artificio de Juanelo.

Wilhelm Schickard (1592-1635) En el siglo xv, el uso de las ruedas dentadas tuvo un gran auge en el diseño y la creación de mecanismos y máquinas para diversas aplicaciones, como sistemas de riego. No obstante, en 1623, Wilhelm Schickard logró un avance importante en la historia, no solo de mecanismos, sino también de la computación, al construir la primera máquina de cálculo conocida como el reloj calculador de Schickard. Aunque Da Vinci ya había bosquejado una máquina sumadora, esta no fue materializada como el reloj de Schickard.

Thomas Newcomen (1663-1729) Luego de la evolución de los mecanismos al cabo de muchos años, no fue sino hasta los siglos xvii y xviii que surgió la necesidad de crear máquinas impulsadas por medios diferentes a la energía hidráulica. Así, en 1712, Newcomen y su ayudante John Calley montaron la primera máquina de vapor que funcionó con éxito. Esta


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máquina consistía en un enorme cilindro vertical abierto en su parte superior y provisto de un pistón que se llenaba de vapor; al mismo tiempo, se introducía un chorro de agua fría al cilindro, con el fin de condensar el vapor y crear el vacío, momento en que la presión del aire actuaba sobre la cara superior del pistón, impeliéndolo hacia abajo y efectuando una carrera útil. Luego, el pistón volvía a subir, con lo que se preparaba para una nueva carrera (véase figura 1.6).

James Watt (1736-1819)

Figura 1.6 Máquina de vapor de Newcomen. Figura 1.6 Máquina de vapor de Newcomen.

En una época donde el estudio de los mecanismos comenzaba a formalizarse, James Watt (1736-1819) hizo varias aportaciones importantes, entre las que destacan el mecanismo de línea recta y el de seis barras. Otra de sus principales aportaciones fue el diseño del sistema para controlar la velocidad de las máquinas de vapor, conocido como regulador de Watt.

Gaspard Monge (1746-1818) En la historia de los mecanismos destaca el año de 1800, fecha en que Gaspard Monge, creador de la geometría descriptiva, diseñó un curso de mecanismos, en el que clasificó los mecanismos conocidos hasta esa época. Su colega Hachette completó el trabajo de Monge en 1806 y lo publicó en 1811, convirtiéndose, muy probablemente, en el primer texto sobre mecanismos.

El estudio de los mecanismos hoy Desde 1990, el estudio de los mecanismos adquirió el nombre en inglés de Theory of Machines and Mechanisms, conocido e identificado con las siglas TMM. Se considera que Gaspard Monge fue el primer profesor de TMM en la École Polytechnique, en París. En la actualidad, el estudio de los mecanismos se conoce como MMS (del inglés Machines and Mechanism Science) y comprende tanto el análisis como el diseño de los mecanismos. En este sentido, el primero se refiere a la validación de resultados de un mecanismo ya hecho, mientras que el segundo hace referencia a la elaboración de un mecanismo para cumplir con una tarea específica. En estudios de licenciatura, el análisis de los mecanismos le corresponde al área de la mecánica, rama de la física que estudia el movimiento y el estado de los cuerpos, donde la estática y la dinámica son algunas de sus divisiones. Mientras que la estática estudia el equilibrio de las fuerzas en los cuerpos o sistemas físicos, la dinámica estudia las causas y los efectos del movimiento; dentro de la dinámica, a su vez, se establecen los campos de la cinemática y la cinética. La cinemática estudia el movimiento de los cuerpos aislando el análisis de fuerzas, por lo que no se preocupa de las causas y los efectos del movimiento. Por su parte, la cinética estudia el efecto de las fuerzas sobre los cuerpos, es decir, las causas y(o) los efectos del movimiento (véase figura 1.7).


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El estudio de la mecánica de las partícuMecánica las corresponde a los cursos introductorios de física, donde se estudia el hecho de que en un cuerpo, por más grande que este sea, el comportamiento cinemático o cinético de toEstática Dinámica das sus partículas son iguales; entonces, se modela como una partícula, generalmente en su centro de gravedad. Cinemática Cinética Pero si las partículas del cuerpo tienen diferentes características cinemáticas y cinéticas Figura 1.7 La mecánica y algunas de sus divisiones. entre sí, entonces se habla de un sólido rígido (véase figura 1.8 b), que incluye la cinemática de mecanismos y cinética de mecanismos. Aunque las herramientas matemáticas establecidas en la mecánica clásica son ideales para el estudio y la investigación de los mecanismos, también se auxilia de otras G = G herramientas matemáticas, como la geometría P analítica y de vectores; de hecho, el estudio de los mecanismos también se conoce como geoa) b) metría del movimiento, ya que las ecuaciones Figura 1.8 Representación de una partícula y de un sólido rígido. de línea, circunferencia, recta, mediatriz, etc., Figura 1.8 Representación de una partícula y sólido rígido. son muy utilizadas para el análisis y la síntesis de mecanismos. Por tanto, para el estudio de los mecanismos se requiere de una amplia gama de herramientas gráficas, matemáticas y computacionales, entre las que destacan las siguientes: a) Álgebra vectorial. El estudio de la cinemática de mecanismos requiere de manera indispensable solucionar ecuaciones de posición, velocidad y aceleración; dado que estas ecuaciones son vectoriales, se requiere dominar temas como las propiedades del vector, sus representaciones y sus operaciones. b) Geometría analítica. El estudio de los mecanismos también se conoce como geometría del movimiento; los mecanismos también pueden ser modelados matemáticamente mediante el uso de ecuaciones de la geometría analítica, las cuales pueden servir para el análisis, aunque su uso principal es en el diseño de mecanismos.[2] c) Juego de geometría. Herramienta auxiliar para el trazado de la posición de un mecanismo, la solución de ecuaciones vectoriales y para el diseño de mecanismos mediante el uso de geometría analítica. d) Herramientas gráficas y analíticas. Las herramientas gráficas son más fáciles de utilizar en comparación con las analíticas, ya que las primeras permiten dar una solución aproximada a problemas relacionados con el análisis y el diseño de mecanismos. Sin embargo, las herramientas analíticas admiten


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soluciones más exactas, además facilitan la implementación computacional, ya sea para validar resultados o para solucionar problemas complejos. e) Herramientas computacionales. Las herramientas analíticas permiten la implementación computacional de las ecuaciones representativas de mecanismos.

Herramientas modernas para el estudio de mecanismos El uso de diversas herramientas modernas para el estudio y la investigación en el área de mecanismos facilita en gran medida la comprensión y el dominio del tema. Entre dichas herramientas destacan: a) compendios o atlas, b) revistas especializadas, c) páginas electrónicas y d) programas computacionales. De los compendios o atlas sobresale el Atlas de Neil Sclater y Nicholas P. Chironis [3], el cual contiene un estudio de diversos mecanismos clasificados por su función. Asimismo, se destaca el trabajo de Garner D. Hisok,[4] quien alrededor del año 1800 mostró mecanismos para diferentes aplicaciones. Respecto a las páginas electrónicas, existe mucha información que trata el tema de los mecanismos; por ejemplo, el sitio web de MecanESO[5] contiene un excelente compendio de mecanismos clasificados, con magníficas imágenes. En Animated Engineering [6] se dispone de diversos mecanismos con excelente animación; en la actualidad, este también incluye el mecanismos del Atlas de Garner.[7] En lo que respecta a revistas y asociaciones, sobresale Mechanism and Machine Theory,[8] medio de comunicación por excelencia entre ingenieros e investigadores del área de mecanismos. Además se encuentra la Federación Internacional para la Promoción de Máquinas y Mecanismos (IFToMM).[9] Ahora toca el turno de hablar de las herramientas computacionales, las cuales se han convertido en las herramientas por excelencia para el TTM. Estas abarcan programas auxiliares en el prototipado gráfico y geométrico hasta aquellas especializadas en el análisis y la síntesis de mecanismos. El primer ejemplo es el Working Model 2D® (véase figura 1.9),[10] potente herramienta para la implementación y el análisis cinemático y cinético de componentes mecánicos. La implementación de un mecanismo usando Working Model 2D® se hace mediante el uso de formas geométricas, que representan el sólido rígido, y elementos impulsores, como fuerzas, par de torsión o torques, motores, entre otros. Otra importante herramienta computacional especializada en el área de mecanismos es SAM®,[11] el cual utiliza la implementación de mecanismos por diagramas cinemáticos de estos mismos (véase figura 1.10). SAM® permite realizar la implementación, el análisis cinemático y cinético de mecanismos y algunos tipos de diseño; para ello cuenta con diversos recursos de implementación, en los que utiliza variados elementos, como barras, poleas, deslizaderas, motores, etcétera. Ahora toca el turno a WinmecC®,[12] herramienta computacional que se utiliza solo para el análisis de mecanismos basado en diadas y mecanismos definidos, por


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Figura 1.9 Working model 2D®.

Figura 1.10 SAM®.


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lo que está limitado para la implementación de mecanismos complejos. WinmecC® (véase figura 1.11) es una excelente herramienta para el estudiante de mecanismos.

Figura 1.11 WinmecC®.

Por su parte, GeoGebra®, aunque no es una herramienta especializada en el área de mecanismos, sí constituye un potente auxiliar (véase figura 1.12) y una útil herramienta matemática para el manejo del álgebra y la geometría. Muchos

Figura 1.12 GeoGebra®.


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profesores, investigadores y estudiantes la han utilizado, con base en el conocimiento de que el estudio de los mecanismos requiere de herramientas de geometría (véase figura 1.7). Por último, una herramienta muy útil para el análisis y diseño de mecanismos es el programa Vir-Mech® (véase figura 1.13), desarrollado por el autor de este libro e incluido en el mismo, ya que permite la implementación de mecanismos sin restricción a diadas, para lo cual dispone de elementos como barras, ruedas, deslizaderas y permite el diseño de mecanismos, incluido el uso de algoritmos evolutivos. Con Vir-Mech® es posible la implementación, el análisis y la síntesis cinemática.

Figura 1.13 Uso del programa Vir-Mech®.

1.2 Terminología Máquina y mecanismo son términos diferentes; no obstante, muchas veces suelen ser confundidos. A continuación se define cada uno de estos, a fin de eliminar toda ambigüedad posible. Máquina Es cualquier dispositivo que puede transformar la naturaleza de un tipo de energía en otra. Por ejemplo, un motor de combustión interna transforma la energía calorífica en mecánica; un motor eléctrico transforma la energía eléctrica en mecánica, etcétera.


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Mecanismo Es un dispositivo mecánico compuesto por elementos generalmente rígidos, cuya función es transmitir el movimiento o bien transformarlo en un patrón deseable.

Los mecanismos se encuentran en cualquier tipo de máquina mecánica, por lo que están presentes en nuestra vida cotidiana. Por ejemplo, en los sistemas de cierre de puertas, en la apertura y cierre de las ventanas de un automóvil, en máquinas para realizar ejercicio, entre otros. Como elementos en una máquina, los mecanismos también son utilizados en procesos industriales donde se involucre la automatización, ya que los mecanismos son dispositivos que también pueden proporcionar movimiento sincronizado en espacio y tiempo. Para formar un mecanismo se requiere de por lo menos tres componentes: 1. Los componentes de transmisión. 2. Los componentes de unión. 3. El marco o el elemento fijo donde se ensambla el mecanismo.

Componentes de transmisión Eslabones Nodos

Los eslabones son elementos rígidos que contienen por lo menos dos nodos y que son puntos de unión con otros eslabones. Una de las clasificaciones de los eslabones se realiza en función del número de nodos que contiene; así, si el eslabón dispone de dos nodos, este es binario, si Figura 1.14 Eslabones según el número de nodos. tiene tres es ternario, y así sucesivamente, como puede Figura 1.14 Eslabones según el número de nodos. apreciarse en la figura 1.14. Otra clasificación de los mecanismos tiene que ver con el tipo de movimiento que representan. Independientemente de la forma del eslabón y(o) la función que desempeñan, estos pueden clasificarse en función del movimiento como: 1. Manivela. 2. Biela. 3. Corredera. La manivela es el eslabón que representa el movimiento de rotación alrededor de un nodo fijo; cuando las revoluciones no son completas, entonces específicamente se le conoce como oscilador. Una corredera es el eslabón que representa el movimiento de translación rectilínea sobre una referencia o guía fija. La biela representa el movimiento donde todos los nodos se encuentran en movimiento.


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Como ejemplo de esta clasificación, considérense los componentes del motor de combustión interna de la figura 1.15. Este mecanismo convierte el movimiento reciprocante (rectilíneo) del pistón en un movimiento circular del cigüeñal. En términos cinemáticos, los eslabones son la corredera, que representa al pistón, la manivela, que representa al cigüeñal, y la biela. Ahora, considérese el mecanismo que se ilustra en la figura 1.16, el cual se utiliza en máquinas de costura. En este caso, el mecanismo convierte el tipo de movimiento circular de la manivela en uno lineal, correspondiente a la base de la aguja, mediante un elemento intermedio llamado biela. Como último ejemplo obsérvese el mecanismo de la figura 1.17, que se utilizaba en máquinas de costura antiguas para impulsar el disco excéntrico. En este mecanismo, la palanca utilizada como elemento impulsor es una manivela, específicamente un oscilador, el disco excéntrico es una manivela, mientras que el elemento que une estos dos eslabones es una biela. Excéntrico

Excéntrico Pistón Biela

Biela

Bancada

Pie de aguja

Palanca

Cigüeñal

Figura 1.15 Mecanismo del motor de combustión interna.

Figura 1.16 Mecanismo de máquina de coser.

Figura 1.17 Mecanismo impulsor de una máquina de costura antigua.

Levas Una leva es un elemento mecánico con forma irregular, donde su centro de giro no es su centro geométrico. En este caso, el giro del eje hace que el perfil o contorno de la leva toque, mueva, empuje o conecte con una pieza conocida como seguidor (véase figura 1.18). Los mecanismos de levas son muy utilizados en varias máquinas y en diversos procesos industriales. Por ejemplo, el motor de combustión interna (como el de los automóviles) dispone de un conjunto de válvulas encargadas de realizar la admisión y el escape de la mezcla aire-combustible. Para el funcionamiento de este tipo de motor, el proceso debe realizarse de forma sincronizada con el movimiento del pistón, para lo cual se utiliza el elemento mecánico llamado árbol de levas.


Base del seguidor Seguidor

Leva

Figura 1.18 Mecanismo de leva.

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El árbol de levas (véase figura 1.19), que consta de un conjunto de levas desfasadas, se halla en sincronía con el cigüeñal mediante un elemento conocido como cadena de distribución.

Ruedas Elementos mecánicos utilizados en mecanismos para los casos donde se desea una transmisión angular con velocidad y par controlado. Existen diferentes tipos de ruedas: 1. Rodillos. Figura 1.19 Árbol de levas. Figura 1.19 Árbol de levas.

2. Poleas. 3. Ruedas dentadas.

La transmisión por discos de contacto o rodillos utiliza el contacto por fricción para transmitir el movimiento desde un disco hacia otro elemento, mientras que las poleas son discos utilizados para la transmisión de movimiento por medio de bandas. Por ejemplo, en la figura 1.20 se ilustra un mecanismo para realizar un proceso de prensado sobre la lámina para reducir el espesor. Dicho mecanismo está conformado por un motor, el cual transmite el movimiento al conjunto de rodillos usando una transmisión de bandas-poleas. Por su parte, la rueda dentada solo transmite el movimiento a otra rueda dentada con ciertas características de diseño, ya que la transmisión del movimiento se efectúa mediante algunos elementos localizados en su periferia conocidos como dientes. El tipo más común de ruedas dentadas es el engrane recto, como el que se muestra en la figura 1.21, que se utiliza en diferentes transmisores.

Motor Poleas

Banda Lámina Rodillos

Figura 1.20 Mecanismo de prensa laminado.

Figura 1.21 Engrane.

Junta cinemática Para que un eslabón transmita el movimiento hacia otro eslabón es necesario un medio o dispositivo que permita tal acción. Estos dispositivos se conocen como juntas o pares cinemáticos, o simplemente pares. Las juntas cinemáticas dependen del tipo de contacto. Los pares pueden clasificarse en dos:


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1. Pares inferiores. Se utilizan para la transmisión entre componentes por medio de un contacto superficial. 2. Pares superiores. Se usan para la transmisión entre elementos sobre un eje o una línea. Asimismo, existen diferentes configuraciones para las juntas de pares superiores, y las más comunes se muestran en la figura 1.22: revoluta o pasador, prismática o deslizamiento, esférica y cilíndrica. La revoluta, conocida también como par giratorio o articulación de pasador, permite un movimiento de rotación relativa entre los dos eslabones, ya que este movimiento solo queda definido mediante un ángulo de rotación y tiene un giro de libertad.

Articulación de horquilla

Bisagra

Junta cardán

Figura 1.22 Juntas de pasador.

Por su parte, el par prismático solo permite un movimiento relativo de deslizamiento entre los eslabones. Tiene un grado de libertad, ya que la posición relativa queda definida por la distancia recorrida (véase figura 1.23).

Deslizadera

Guía con rodillos

Guía vertical

Figura 1.23 Juntas prismáticas. Figura 1.23 Juntas prismáticas.

El par esférico o articulación de rótula permite la rotación alrededor de cada uno de los tres ejes coordenados, por lo que se dice que estos tienen tres grados de libertad. En el par cilíndrico, aunque hay un movimiento de rotación y otro de traslación, estos movimientos son independientes uno del otro, por lo que tiene dos grados de libertad.

Cadena e inversión cinemática Cuando varios eslabones están conectados mediante uniones, pero aún no se ha definido el eslabón fijo, todos estos juntos constituyen una cadena cinemática. Por


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tanto, si cada eslabón de una cadena cinemática se conecta con al menos otros dos eslabones, entonces se forma uno o más circuitos cerrados; en tal caso, este recibe el nombre de cadena cinemática cerrada. De lo contrario, si existe un eslabón con un punto de conexión libre, entonces se tiene una cadena cinemática abierta, como se muestra en la figura 1.24. Una cadena cinemática no dispone de un eslabón fijo, pero cuando se selecciona uno de sus elementos como eslabón fijo, entonces forma un mecanismo. En la figura 1.25 se seleccionó el eslabón 1 como elemento fijo para formar un mecanismo, el cual se puede representar de dos maneras; la primera muestra todo el elemento 1 como estacionario, mientras que la segunda consiste en sustituir el elemento fijo por dos nodos estacionarios en sus extremos, sustituyendo los nodos A y B como elementos estacionarios O2 (el origen de la barra 2) y O4 (origen de la barra 4). En este caso se seleccionó el elemento 1 como fijo, pero es posible seleccionar diferentes eslabones en una cadena cinemática como elemento fijo, con lo que se tienen distintos tipos de mecanismos; sin embargo, este procedimiento, conocido como inversión cinemática, se trata con detalle en el capítulo 3. C C

C

3

2

3

3

B

B

B

4 D

4 2

2

1 1 D

A

Cerrada

A

A

Abierta

Cerrada

3

B

C 4

2 A

D

1 D Elemento fijo

O2

O4

Abierta

Figura 1.24 Cadena cinemática abierta y cerrada.

Figura 1.25 Selección de elemento fijo.

Grado de libertad En un mecanismo, el grado de libertad (GDL) se define como el número de parámetros de entrada necesarios para determinar todas las posiciones de los eslabones del mecanismo. Así, un mecanismo de 1 GDL requiere una entrada para impulsar todos sus elementos; uno de 2 GDL requiere de dos entradas, y así sucesivamente. Para poder determinar el GDL en un mecanismo plano (dos dimensiones) se sugiere la siguiente ecuación: GDL 5 3(n 2 1) 2 2F (1.1) Esta se conoce como ecuación de Gruebler, donde n es el número de eslabones, incluido el elemento rígido, y F es el número de tipo de junta; así, por ejemplo, para la i-ésima unión, Fi 5 1 si la junta articula a dos eslabones, y Fi 5 0.5 si la junta es par inferior.


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La ecuación de Gruebler establece los grados de libertad en un mecanismo, independientemente de la forma y las dimensiones de los eslabones, por lo que es necesario un estudio minucioso para determinar n y F. Por ejemplo, considérese el mecanismo de la figura 1.26, donde se observa la paradoja de Gruebler. Se sabe que los eslabones 3 y 5 son un solo eslabón, entonces se tiene que n 5 5 y F 5 6; por tanto,

3

2

4

5

Figura 1.26 Paradoja de Gruebler.

Figura 1.26 Paradoja de Gruebler.

GDL 5 3(5 2 1) 2 2(6) 5 0. Con esto se concluye que este no es un mecanismo sino una estructura, ya que el eslabón 4 interferiría en el movimiento. Sin embargo, debido a la configuración y a las dimensiones de los eslabones, y pese a que el grado de libertad es cero, el mecanismo sí podrá moverse en este caso especial, ya que la trayectoria del nodo B de la biela es circular, de modo similar a la que generaría el mismo nodo en el extremo de manivela 4.

Grados de libertad

Ejemplo

Si se sabe que en el mecanismo de la figura 1.27 el eslabón 4 está formado por un solo elemento (B-O4-C ), determinar el grado de libertad (GDL) del mecanismo. B

A

E

7 6

D

3

1.1

4

2

5 O2

Figura 1.27 Ejemplo de GDL.

Solución

O4

C

Figura1.27 Ejemplo de GDL.

Como se puede ver, el mecanismo se compone de siete eslabones, incluido el elemento fijo 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. En apariencia, se tienen siete revolutas: A, B, C, D, E, O2 y O4; sin embargo, en el nodo B se requiere de un estudio minucioso. Como el nodo B permite el movimiento relativo entre 3 y 4 y 4 y 7, entonces en B deberá disponer de dos revolutas; por tanto, se tienen ocho revolutas en total: GDL 5 3(7 2 1) 2 2(8) 5 2 Como el mecanismo tiene dos grados de libertad, se requieren dos datos de entrada para determinar todas las posiciones del mecanismo, los cuales no se pueden


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colocar de manera arbitraria. Para ello se requiere identificar lo que se conoce como circuito cerrado. Como se puede observar en la figura 1.27, existe un circuito formado por los eslabones 2, 3, 4 y el fijo, lo que significa que estos no dependen de los demás eslabones; por tanto, una entrada angular se puede colocar en O2 u O4. Por otra parte, el otro circuito se puede formar por los eslabones 4, 5, 6, 7 y el fijo; así, para este circuito en O4 no se podrá colocar una entrada angular, ya que el movimiento de la barra 4 está definido por el circuito anterior. Los nodos C, D y E quedan libres para colocar la segunda entrada.

1.3 Representaciones cinemáticas Para facilitar la tarea de análisis o síntesis cinemática, un mecanismo debe ser representado en una forma simple, especificando solo las cualidades del movimiento. En este apartado se consideran dos tipos de representaciones: el diagrama cinemático y el diagrama por bloques.

Diagrama cinemático Un diagrama cinemático es la representación gráfica de un mecanismo mediante elementos simples, como líneas, rectángulos, etcétera, y solo denota la cinemática del mismo.

Para elaborar un diagrama cinemático se dispone de los siguientes componentes:

a) Manivela

b) Biela

c) Corredera

d) Rueda

Figura 1.28 Componentes cinemáticos principales.

En la figura 1.28 a), una manivela está representada por una línea dirigida desde la articulación fija hacia el nodo de interés. Como se puede ver, en la figura se representa una manivela de dos y tres nodos. En la figura 1.28 b), una biela tiene una representación similar a una manivela, con la única diferencia de que no tiene articulación fija. Una corredera se representa como un elemento rectangular que se desliza sobre una superficie fija (véase figura 1.28 c). Por otro lado, una rueda, aunque es un elemento con movimiento circular alrededor de un nodo fijo, no se considera como manivela, ya que la transmisión


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del movimiento no es por revoluta sino por contacto directo; en este caso, solo se representa como un círculo (véase figura 1.28 d). Como ejemplo, considérese el mecanismo del motor de combustión de la figura 1.15 y el de la máquina de coser de la figura 1.17. Para estos casos, los diagramas cinemáticos representativos se muestran en la figura 1.29. 4

4

Bb

O4

3

3 A O2

2

2

O2

Figura 1.29 Ejemplos de diagramas cinemáticos.

Elaboración de diagrama cinemático Considérese el mecanismo de una máquina de ejercicio como el que se muestra en la figura 1.30. Determinar:

Ejemplo

1.2

. El diagrama cinemático general. 1 2. El diagrama cinemático simplificando solo los eslabones que intervienen en el movimiento.

Figura 1.30 Mecanismo de una de ejercicio. Figura 1.30máquina Mecanismo de una máquina de ejercicio.

Solución

En la figura 1.31 a) se muestra el diagrama cinemático general, donde se incluye el asiento y el pedal, mientras que en la figura 1.31 b) solo se muestran los elementos principales que definen el funcionamiento, que se forma desde O2-A-B -O4. Los nodos C, D y E dependen del mecanismo simplificado que se observa en la figura 1.31 b).


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Análisis y síntesis de mecanismos con aplicaciones C a)

D B

A O4

b)

C

O2 D

B B

O2

O2 A

E

A

O4

O4

E Figura 1.31 Diagrama cinemático mecanismo Figura 1.31 Diagrama cinemático del mecanismo dedel la figura 1.30.de la figura 1.30.

Diagrama por bloques Otra forma de representar un mecanismo consiste en la elaboración de diagramas por bloques, los cuales O2 A B O4 representan los eslabones del mecanismo, independientemente de las dimensiones y formas, uniéndolos M2 B3 C4 mediante líneas que identifican a las juntas. O2 A B Por ejemplo, la figura 1.32 muestra la representaFiguraFigura 1.32 Diagrama de bloques de los mecanismos RRRR y RRRP. ción por diagrama de bloques de los mecanismos de la 1.32 Diagrama de bloques de los mecanismos RRRR y RRRP de la figura 1.29. máquina de costura y el motor de combustión interna que se muestran en la figura 1.29. Para este caso se utiliza la nomenclatura de M para una manivela, B para una biela y C para una corredera. Independientemente de las dimensiones, el diagrama por bloques permite validar si el eslabonamiento forma o no un mecanismo. Por ejemplo, con las combinaciones de eslabones de la figura 1.33 no es posible formar un mecanismo, debido a que no se pueden conectar dos eslabones con trayectorias específicas y particulares, o no se puede alimentar una biela con tres movimientos prescritos. M2

B3

M4

M

M

M

C

C

M

C

B

M

C

Figura 1.33 Uniones no permitidas en un mecanismo. Figura 1.33 Uniones no permitidas en un mecanismo.

Sin embargo, la principal aplicación de la representación de diagrama por bloques de un mecanismo consiste principalmente en facilitar la tarea de análisis mediante la formulación de ecuaciones cinemáticas generalizada.


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Tal es el caso de los mecanismos que se representan en la figura 1.34, los cuales, aunque disponen de diferentes dimensiones y colocación de sus nodos, desde una perspectiva topológica, son el mismo mecanismo y, por tanto, tienen el mismo diagrama de bloques; así, si se puede resolver el problema cinemático en uno de estos, en consecuencia se podrá analizar los otros dos de una manera muy similar. A

A B

B A

C

B Figura 1.34 Diferentes mecanismos, una misma topología.

Figura 1.34 Diferentes mecanismos, una misma topología.

1.4 Clasificación de mecanismos Ante el hecho de que las representaciones cinemáticas permiten representar cualquier mecanismo de n barras en una forma simple, los mecanismos se pueden clasificar en familias que representan los componentes principales de su movilidad. Una clasificación es: 1. Mecanismos de barras articuladas • Mecanismos de manivela-biela-corredera, o RRRP. • Mecanismos de cuatro barras, o RRRR. • Diadas. 2. Mecanismos de contacto directo • Por deslizamiento. • Por rodamiento • Ruedas.

Mecanismos manivela-biela-corredera Aun cuando los mecanismos de combustión interna de la figura 1.15 y de la máquina de costura de la figura 1.16 parecen no tener nada en común, en términos cinemáticos son lo mismo, ya que ambos están formados por los eslabones de manivelabiela-corredera; por tanto, una representación única de ambos mecanismos y otros similares se puede observar en la figura 1.35, en la que se puede ver el conocido mecanismo manivela-corredera, o bien como RRRP, ya que las articulaciones O2, A y B y el contacto deslizante de la corredera 4 son Revoluta, Revoluta, Revoluta y Prisma, respectivamente.


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A 3

2

4 O2

B

En la figura 1.35 se utiliza la siguiente nomenclatura. Los nodos móviles son asignados mediante una letra y los nodos fijos por la letra O (de origen) y un número (el correspondiente al número del eslabón que articula). Los eslabones se enumeran a partir del 2, ya que el número 1 se reserva al elemento fijo.

Figura 1.35 Representación cinemática de un Figura 1.35 Representación cinemática de un mecanismo RRRP. mecanismo RRRP.

Mecanismos de cuatro barras Considérese el mecanismo de un limpiaparabrisas, como el mostrado en la figura 1.36. Este mecanismo, al igual que el de la figura 1.17, tiene los mismos componentes cinemáticos; por tanto, tiene el mismo diagrama cinemático, cuya representación cinemática es la que se observa en la figura 1.36. La representación cinemática de estos mecanismos se conoce comúnmente como mecanismo de cuatro barras, o bien mecanismo RRRR ya que se compone de cuatro revolutas, (O2, A, B y O4), como se observa en la figura 1.37.

B 3

Oscilador

A

Motor impulsor

4

2 O2

Biela

Figura 1.36 Mecanismo limpiaparabrisas.

O4

Figura 1.37 Representación Figura 1.37 Representación cinemática de un mecanismo RRRR. cinemática de un mecanismo RRRR.

Diadas Una diada está constituida por un par de eslabones que sirven para cerrar una cadena cinemática, como se muestra en la figura 1.38. Las diadas RP y RR pueden articularse en A, a un nodo en movimiento, mientras que la diada R tiene que articularse en A1 y A2, a otros dos nodos en movimiento. R A

A

A1 R A2

Figura 1.38 Representación cinemática de las diadas RPde , RR R. Figura 1.38 Representación cinemática lasydiadas RP, RR y R.


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Por tanto, el mecanismo manivela-biela-corredera se conforma de una manivela y una diada RP, mientras que el mecanismo de cuatro barras, por una manivela y una diada RR.

Mecanismos de deslizamiento 5

6 Existe otra familia de mecanismos conocida como mecanismo de deslizamiento o de referencia móvil, Contacto por deslizamiento donde un elemento llamado deslizadera se desplaza sobre un elemento en movimiento circular, lineal o ambos, de aquí el nombre de referencia móvil. 2 3 Para identificar este tipo de mecanismos obsérDisco vese el ejemplo del mecanismo de una máquina de impulsor 4 corte que se representa en la figura 1.39. Este tipo de mecanismo es el que se utilizó en Manivela las primeras máquinas herramienta. La característica principal de este mecanismo es que el tiempo de Figura 1.39 Mecanismo de máquina herramienta de corte. retroceso es mucho más rápido que el de avance, de ahí su nombre de retorno rápido. En la figura 1.39 se aprecian dos contactos por deslizamiento, donde dos pernos se deslizan sobre una ranura. Este deslizamiento puede representarse como una corredera sobre elementos no estacionarios. En este caso, el elemento 3 se desliza sobre el 4; asimismo, el elemento 5 también se desliza sobre el 4. Esto es, las deslizaderas 3 y 5 se articulan a los eslabones 2 y 6 respectivamente, pero ambas se deslizan sobre el 4.

Ruedas Como parte de esta familia de mecanismos se encuentran los engranajes, las bandas y poleas y los discos de contacto. Aunque geométricamente estos mecanismos pueden ser distintos, cinemáticamente pueden representarse por un círculo de contacto. Por ejemplo, un mecanismo de engranes simple se muestra en la figura 1.40, tiene una representación cinemática consistente en dos ruedas en contacto directo.

2

3

3 2

3

4 4

02 04


Figura 1.40 Representación cinemática de engranes.

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1.5 Análisis y síntesis cinemática La cinemática de mecanismos no consiste solo en el estudio de los movimientos, sino también en los métodos para crearlos. De manera más específica, se puede decir que el estudio de los movimientos en mecanismos se conoce como análisis de mecanismos o cinemática directa, y consiste en lo siguiente: Dada la topología y las dimensiones del mecanismo, establecer y solucionar ecuaciones para determinar su posición, velocidad y(o) aceleración, mediante el uso de herramientas gráficas, analíticas y(o) computacionales. Esto es: Mecanismo

" ANÁLISIS " Posición, velocidad, aceleración, otros

Por otro lado, la segunda parte del estudio de mecanismos consiste en los métodos necesarios para crearlos. Esta parte se conoce de manera más específica como síntesis de mecanismos o cinemática inversa y consiste en lo siguiente: Dados los requerimientos cinemáticos en un proceso mecánico, determinar la topología y las dimensiones de un mecanismo para satisfacer las necesidades de diseño. Esto es: Posición, velocidad, aceleración, otros

" SÍNTESIS " Mecanismo

En el proceso de diseño de mecanismos, el análisis cinemático es utilizado para validar los resultados obtenidos por la síntesis cinemática; por ello, algunos textos del área de mecanismos, e incluso algunos programas de estudio, incluyen en la primera parte los métodos de síntesis y dejan el análisis como una segunda parte. Sin embargo, la mayoría de los métodos de síntesis consideran, tanto en los datos de entrada y en el procedimiento, algunas técnicas, recursos o conceptos tratados en el análisis. Por lo anterior, en esta obra se consideran dos tipos de análisis de mecanismos. El primero consiste en establecer las técnicas para el estudio cinemático y cinético de un mecanismo ya diseñado, mientras que el segundo consiste en utilizar las técnicas utilizadas con antelación para validar los resultados de la síntesis cinemática. Existen diferentes clasificaciones para el análisis de mecanismos. Algunos de estos son: •

Topológico. Permite definir y clasificar a los mecanismos en función de sus componentes, comportamiento, conexiones, distribución y aplicaciones.

•

Cinemático. Consiste en establecer y solucionar las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración de los elementos y conectores del mecanismo aislando el análisis de fuerzas.

•

Cinético. Determina el efecto de las fuerzas alrededor de los componentes y conectores de un mecanismo.

Por su parte, la síntesis de mecanismos se trata con detalle en el capítulo 7.


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1.6 De interés por la web Mecanismos de cartón y papel Robives® [13] es una página de internet que muestra diversos proyectos de construcción de mecanismos basados en cartón, papel y otros materiales simples. En tal página se pueden obtener de manera gratuita maquetas para construcción de algunos mecanismos; no obstante, para tener acceso a todos los proyectos que se ofrecen es necesario pagar una membresía relativamente económica.

Figura 1.41 Página de Robives®.

Animal con un sistema de engranaje Científicos de la Universidad de Cambridge, en el Reino Unido, dirigidos por Malcolm Burrows, han publicado un estudio donde detallan que la especie Issus coleoptratus, un insecto común en Europa, utiliza engranajes para sus saltos (véase figura 1.42). Los engranajes de este insecto tienen 400 micrómetros de largo y un número de dientes que oscila entre 10 y 12, aunque siempre es el mismo número en ambas patas. La función de los engranajes durante el salto es la de sincronizar las patas del animal con una precisión de 30 microsegundos (un microsegundo es la millonésima parte de un segundo). Cualquier diferencia de velocidad en el salto le haría perder el control, debido a que su sistema nervioso no es lo suficientemente rápido como para coordinar los movimientos.[14]


Figura 1.42 Código donde se pueden ver imágenes y video del funcionamiento de los engranes.

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Máquina de Betancourt

Figura 1.43 Código de animación de la máquina de Betancourt (museo de ELDER).

En la actualidad, el uso de los mecanismos en sistemas de entretenimiento se ha extendido a varias y diversas áreas. Tal es el caso de la máquina de Betancourt, compuesta por diversos mecanismos sincronizados que permiten desplazar una serie de esferas pequeñas a través de diversos caminos y obstáculos. En la página del museo de ELDER [15] se puede observar una animación de este tipo de máquina (véase figura 1.43). Mecanismos de esta categoría también se incluyen en el proyecto del canal de YouTube de Denha,[16] donde se explica cómo construir este tipo de máquinas y se muestra el funcionamiento de los mecanismos y sus componentes (véase figura 1.44).

Kinematic models for design digital library

Figura 1.44 Código del canal de YouTube de Denha.

KMODDL [17] es un proyecto publicado en internet que tiene la función de exponer, mediante diagramas, fotografías y videos, una colección de modelos mecánicos que pueden utilizarse tanto para la enseñanza de mecanismos como para el diseño (véase figura 1.45). El núcleo de KMODDL es la colección de mecanismos y máquinas del siglo xix en poder de Cornell’s Sibley School of Mechanical and Aerospace Engineering.

Figura 1.45


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Desarrolla tus habilidades Cuestionario C1.1 Contesta en tu cuaderno el siguiente cuestionario: a) Define los conceptos: mecanismo y diagrama cinemático. b) ¿Cuáles son los componentes principales de un mecanismo? c) ¿Por qué en la elaboración del diagrama cinemático no importa la geometría de las piezas? d) ¿Cuál es la diferencia entre un mecanismo y una cadena cinemática? e) ¿Una estructura puede ser un mecanismo? ¿Por qué? f) ¿Pueden unirse dos manivelas y formar un mecanismo? ¿Por qué? g) ¿Pueden unirse una manivela y una corredera y formar un mecanismo? ¿Por qué?

Descarga

a) Especifica los componentes del mecanismo, tanto juntas como tipo de eslabón. b) Elabora un diagrama cinemático. c) Elabora un diagrama por bloques. d) Describe el tipo de movimiento en los eslabones y las articulaciones. E1.1 Mecanismo de banda transportadora

Mecanismo utilizado para transportar elementos como C, con pausas intermitentes (véase figura 1.46). El funcionamiento de este mecanismo se basa en el principio de que la trayectoria de B en un lapso es una línea recta, tiempo en el cual empuja los elementos por medio del eslabón 6, y después retrocede por otra trayectoria, lo que permite que los elementos se encuentren estáticos. C

h) ¿Pueden unirse a una biela tres manivelas y formar un mecanismo? ¿Por qué? i) En un diagrama cinemático, ¿cómo se puede diferenciar entre una manivela y una biela? j) Define una diada y cita los tres tipos de diadas vistos en este capítulo. k) ¿Cuántos datos de entrada se requieren para definir la movilidad en una biela? Justifica tu resultado. l) Considera una biela conectada a dos manivelas a sus extremos. ¿Es posible conectar otra manivela o corredera en el centro de la biela?

Ejercicios

6 2 B

A

4

3 5

Figura 1.46

Figura 1.46

E1.2 Mecanismo de limpiaparabrisas

Utilizado en la mayoría de los automóviles. En este sistema, el motor impulsor se mueve a velocidad constante y transmite el movimiento a los osciladores por medio de la biela (véase figura 1.47).

Análisis topológico o estructural

Realiza lo que se pide en cada inciso para cada uno de los siguientes mecanismos:


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E1.5 Mecanismo impulsor de línea recta

Oscilador Motor impulsor

Utilizado en los primeros mecanismos impulsores de proyectores de cine. Las dimensiones de los eslabones de este mecanismo permiten que el punto P se desplace y forme una trayectoria recta de a hasta b (véase figura 1.50) Trayectoria de P

Biela

Figura 1.47

E1.3 Mecanismo pedal de tambor-batería

Sencillo mecanismo que se utiliza para golpear el tambor de una batería musical (véase figura 1.48). Este mecanismo dispone de un resorte que regresa la manivela de golpeo a su posición original.

A

P

B

Figura 1.50 Figura 1.50

E1.6 Mecanismo de viga de Grasshopher

Mecanismo usado en las primeras máquinas de vapor (véase figura 1.51).

5 4

3

6

Figura 1.48

E1.4 Mecanismo de yugo escocés

Este mecanismo es de movimiento reciprocante. La manivela impulsora permite a un rodillo deslizarse sobre la ranura en forma vertical. Debido a su naturaleza, el elemento reciprocante se mueve en forma horizontal (véase figura 1.49). Manivela impulsora

Rodillo deslizante

Elemento reciprocante

Figura 1.49


2

Figura 1.51

E1.7 Mecanismo doblador de ángulo

En este mecanismo, el oscilador permite doblegar el ángulo de oscilación de la manivela impulsora (véase figura 1.52). Oscilador

Manivela impulsora

Figura 1.52

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E1.8 Mecanismo impulsor reciprocante

Este mecanismo dispone de una manivela impulsora que transmite el movimiento al pistón para generar un movimiento reciprocante (véase figura 1.53). Pistón

Manivela impulsora

Figura 1.53

E1.9 Mecanismo de puerta trasera de camioneta

Investigación y(o) trabajo de campo I1.1 Busca en internet un video que muestre el funcionamiento del mecanismo de la anticitera de Arquímedes y uno donde se observe el funcionamiento del león mecánico de Da Vinci. I1.2 Los juegos mecánicos representan un fuerte atractivo entre las familias por el tipo de diversión que proporcionan. En equipos de cuatro a cinco personas realicen un estudio de algunos de los mecanismos utilizados en los juegos mecánicos más comunes en los parques de diversiones, donde identifiquen el tipo de mecanismos y los eslabones que se emplean (véase figura 1.56).

El uso de pistones se utiliza con mucha frecuencia en los mecanismos de puertas de automóviles, en especial en las puertas traseras de las camionetas (véase figura 1.54). Por lo general, en este tipo de mecanismos los pistones se modelan como una deslizadera sobre una barra. Puerta

Pistón

Figura 1.56 Juegos mecánicos.

Figura 1.54

E1.10 Mecanismo de pinza para robot

Uno de los mecanismos utilizados con más frecuencia como pinzas de robot consiste en un mecanismo simétrico (véase figura 1.55).

I1.3 Investiga y elabora un diagrama por bloques y cinemático del tipo de mecanismo utilizado en los ventiladores de piso, los cuales pueden oscilar para distribuir el aire. Explica el tipo de eslabón y su mecanismo y relaciónalo con otros similares, pero con diferente aplicación. I1.4 Ingresa a la página http://archive.org y en la sección de textos busca el tratado de Euler, Mechanica Sive Motus Scientia Analytice exposita. Con la ayuda de un procesador de textos elabora un reporte del contenido del documento. Cuida tu ortografía y redacción.



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Proyectos Prototipo de un mecanismo

Material • Cartón, madera. • Regla.

Figura 1.57

• Objetos para unir los eslabones: tornillos, remaches, broches, etcétera. Elemento de competencia Mediante la construcción de un mecanismo, identifica cada uno de sus componentes. Usa diversos materiales para proponer el tipo de material y el medio idóneo para el ensamble de las piezas, los cuales deben permitir que se cumpla con la movilidad del mecanismo. Marco teórico El prototipo de mecanismos consiste en la implementación de estos mediante el uso de diferentes materiales, con el propósito de comprender la naturaleza del movimiento y la función de sus componentes, así como para validar los resultados obtenidos por el diseño. Por tanto, para la implementación de un mecanismo, además del conocimiento de los componentes del mismo, es necesario tener habilidades para su implementación, ya que durante la construcción se requiere lo siguiente: • Tipo de material. Consiste en seleccionar el tipo de material adecuado para permitir la movilidad del mecanismo. • Componente para la unión de los eslabones. Se refiere a seleccionar el componente adecuado para generar una junta cinemática del tipo de articulación. • La colocación de los eslabones. Se relaciona con el hecho de que después de la construcción del mecanismo, es probable que en el movimiento un eslabón se enmarañe con otro impidiendo la movilidad. Para su construcción se puede utilizar madera o cartón (véase figura 1.57). P ara las uniones se puede disponer de tornillos, broches, etcétera.


Figura 1.57

Desarrollo Utiliza materiales apropiados, como cartoncillo o madera, para la construcción del mecanismo de la máquina de viga Grasshopper (véase figura 1.58).

Pistón Manivela impulsora

Figura 1.58

La implementación deberá permitir la movilidad de sus elementos, por lo que es necesario respetar las dimensiones de los eslabones y la ubicación de las articulaciones; de lo contrario, el mecanismo se puede enmarañar o no cumplir con su objetivo. Evidencias 1. Impresión del mecanismo. 2. Implementación del mecanismo. 3. Especificaciones de los elementos. 4. Bosquejo de las trayectorias de los nodos. 5. Cuestionario. a) ¿Qué puedes decir del pistón en el diagrama cinemático? b) ¿Qué pasaría si no se respetan las dimensiones de los eslabones y las posiciones de las articulaciones? c) Detalla las dificultades de la implementación. 6. Conclusiones.

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Referencias [1] Ceccarelli, Marco. (2010). Distinguished Figures in Mechanism and Machine Science: Their Contributions. Springer. [2] McCarthy, J. Michael. (2009). Geometric design of linkages. Springer. [3] Sclater, Neil y Chironis, Nicholas P. (2007). Mechanisms and Mechanical Devices Sourcebook, 4a. ed., Nueva York: McGraw-Hill. [4] Hisok, Garner D. (2007). 1800 Mechanical Movements, devices and appliances. Dover Publications. [5] MecanEsp: http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material107/index.htm. Consultado en abril de 2014. [6] Animated engineering, http://www.animatedengines.com/. Consultado en abril de 2014. [7] Mechanism and machine theory: http://www.journals.elsevier.com/ mechanism-and-machine-theory. Consultado en marzo de 2014. [8] Association for Machines and Mechanisms: http://www.ammindia.org/. Consultado en marzo de 2014. [9] International Federation for the Promotion of Mechanism and Machine Science: http://www.iftomm.org/. Consultado en marzo de 2014. [10] Working Model: http://www.design-simulation.com/. Consultado en marzo de 2014. [11] SAM: www.artas.com. Consultado en marzo de 2014. [12] Winmec: http://winmecc.uma.es/. Consultado en marzo de 2014. [13] Rovibes: http://www.robives.com/. Consultado en abril de 2014. [14] Mecanismos y máquinas: http://www.scoop.it/. Consultado en abril de 2014. [15] Máquina de Betancourt: http://www.museoelder.org/maquina_sp.htm. Consultado en abril de 2014. [16] Denha Project: https://www.youtube.com/user/denha. Consultado en abril de 2014. [17] KMODDL: http://kmoddl.library.cornell.edu/. Consultado en febrero de 2015.


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Preliminares matemáticos

Propósito del capítulo Para iniciar el estudio de los mecanismos resulta indispensable el dominio de un conjunto de herramientas matemáticas, gráficas y computacionales, que permiten formular y solucionar ecuaciones que rigen al mecanismo. De manera específica, de las herramientas matemáticas se requiere tener el conocimiento y la habilidad para resolver problemas relacionados con: • Vectores • Números complejos • Derivadas de una función En este segundo capítulo se exponen los conceptos matemáticos necesarios para el estudio de mecanismos, de los cuales será posible plantear las ecuaciones que determinan la naturaleza de los mecanismos y sus soluciones. Competencias específicas • Dominio de los conceptos básicos matemáticos para el análisis vectorial, geométrico y cálculo. • Capacidad para contribuir en la construcción de modelos matemáticos que permitan el análisis y la síntesis de mecanismos.

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Capítulo

Habilidades 1. Diferenciar los parámetros y las unidades entre el sistema de unidades. 2. Formular y resolver ecuaciones con vectores. 3. Formular y resolver ecuaciones con números complejos y geométricos. 4. Resolver problemas donde se involucre la operación de derivada.

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2.1 Sistema de unidades Historia En las ciencias físicas, las leyes y las definiciones de los fenómenos físicos están relacionadas con los parámetros físicos, los cuales describen alguna cualidad, como masa, longitud, temperatura, etcétera. Pero si un cuerpo dispone de diferentes parámetros, entonces requiere, además de una cantidad que lo dimensione, de una unidad específica que diferencie cada uno de los parámetros, como por ejemplo: un bloque, el cual puede tener masa, dimensiones, temperatura, densidad, etc. De ahí la necesidad de establecer unidades para cada uno de los parámetros físicos. En la actualidad se cuenta con diversos tipos de unidades alrededor del mundo, utilizados en diferentes países. Entre los más comunes destacan: 1. El Sistema inglés de unidades (USCS), de uso común en Estados Unidos de América. 2. El Sistema Internacional de Unidades (SI), que se basa en el antiguo sistema MKS. 3. El sistema técnico. El Sistema inglés de unidades (USCS), de uso común en Estados Unidos de América, es un derivado del conjunto de aproximaciones que se hicieron en Inglaterra durante los siglos viii a xvii. Todo este proceso se hacía por medio de un alto mando, quien quitaba o ponía las medidas, como sucedió, por ejemplo, con el rey Enrique V de Inglaterra. Por su parte, el Sistema MKS, también conocido como sistema Giorgi, fue propuesto en 1935 por el ingeniero italiano Giovanni Giorgi en el Congreso Internacional de los Electricistas, celebrado ese año en Bruselas, Bélgica. El Sistema MKS fue adoptado (en cierta forma) por la mayoría de los países del mundo y sentó las bases para el Sistema Internacional de Unidades (SI), el cual desplazó en su totalidad al MKS hacia 1960, año en que fue implantado, durante la Conferencia General de Pesas y Medidas, celebrada en París, Francia. A partir de entonces, el SI ha sido adoptado a nivel mundial, con excepción de algunos pocos países, como Estados Unidos de América. El SI toma como magnitudes fundamentales la longitud, la masa, el tiempo, la intensidad de corriente eléctrica, la temperatura absoluta, la intensidad luminosa y la cantidad de sustancia, y fija las unidades correspondientes para cada una de estas. Cabe aclarar que el sistema técnico, que es un derivado del sistema de unidades MKS, difiere en establecer que la unidad de fuerza es kilogramo-fuerza o kilopondio, en lugar del newton.

Unidades de los sistemas SI y USCS Algunas unidades fundamentales, derivadas del Sistema inglés de unidades (USCS), son:


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Capítulo 2. Preliminares matemáticos

Tabla 2.1 Unidades fundamentales del Sistema inglés de unidades (USCS) Símbolo dimensional

Unidad básica

Símbolo de la unidad

Longitud

L

Pie

ft

Masa

M

Slug

slug

Tiempo

T

Segundo

s

Fuerza

F

Libra

lb

Parámetro

La unidad de fuerza es la libra (lb), y es una unidad derivativa y tiene la siguiente relación: 1 lb 5 1 slug 3 ft/s2 Por tanto, si el peso (W) es la fuerza con la que la gravedad atrae a los cuerpos, la relación del peso y masa es: W 5 mg donde: g 5 32.3 ft/s2 Asimismo, para el SI se tienen las siguientes unidades fundamentales: Tabla 2.2 Unidades fundamentales del Sistema Internacional de unidades (SI) Símbolo dimensional

Unidad básica

Símbolo de la unidad

Longitud

L

Metro

m

Masa

M

Kilogramo

kg

Tiempo

T

Segundo

s

Fuerza

F

Newton

N

Parámetro

donde la unidad de fuerza newton (N) es una unidad derivativa que tiene la siguiente relación: 1 N 5 1 kg 3 m/s2 El peso (W) es la fuerza que la gravedad tiene con relación a la masa, como: W 5 mg donde: g 5 9.81 m/s2

El Sistema Técnico Cuando se definieron las unidades fundamentales en el Sistema Internacional de Unidades (SI), se dejó en claro la diferencia entre masa y peso. Sin embargo,


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mientras que en el Sistema inglés de unidades (USCS) la unidad de peso es la libra, en el SI la unidad de peso no es el newton, como debe ser, ya que en los sistemas donde se utiliza el SI es más común hablar de kilogramo para el peso en lugar del newton. Imagínese ir al supermercado y pedir 9.81 newtons de limones en lugar de 1 kilogramo de limones. Aunque esta solicitud es correcta con respecto a la unidad de peso, lo más seguro es que la ignoren, ya que esta unidad no es conocida en la vida cotidiana. De este modo, en un intento por solucionar tal confusión, surgió el Sistema Técnico. El Sistema Técnico estableció el kilogramo-fuerza, o kilopondio (kp), como unidad fundamental, y la masa como unidad derivada. Un kilopondio o kilogramofuerza es la fuerza ejercida sobre una masa de 1 kg masa (según se define en el SI) por la gravedad estándar en la superficie terrestre, esto es, 9.80665 m/s2 o 1 kp 5 9.80665 N del SI.

2.2 Ecuaciones geométricas Algunas ecuaciones utilizadas para la cinemática y la síntesis de mecanismos tienen como base una serie de ecuaciones conocidas como ecuaciones geométricas, las cuales son estudiadas por la geometría analítica, de ahí que el estudio de los mecanismos también se conoce como el estudio de la geometría del movimiento. Por tanto: La geometría analítica es la rama de las matemáticas que estudia las figuras geométricas mediante un sistema de coordenadas, planteando ecuaciones representativas de la figura, que pueden ser resueltas por procedimientos algebraicos.

Los tópicos de la geometría analítica de más interés para el estudio de los mecanismos, y por ende de mayor interés en este libro, son los que se exponen en los siguientes apartados.

Sistema de coordenadas cartesianas 2° cuadrante

Ordenadas

1er cuadrante

y y

P (x, y)

Origen x

3er cuadrante

x Abscisas

4° cuadrante

Figura Sistemas coordenadas cartesiano. Figura 2.12.1 Sistema de de coordenadas cartesianas.


Para representar cualquier figura geométrica mediante ecuaciones algebraicas es necesario hacerlo sobre un sistema de coordenadas que permita validar sus propiedades y determinar las ecuaciones que la rigen. El sistema de coordenadas utilizado para este propósito se conoce como sistema cartesiano, llamado así en honor a René Descartes, pionero de la geometría analítica. Un sistema de coordenadas cartesiano consta de dos rectas perpendiculares entre sí. De estas, la que está dirigida en forma horizontal se conoce como el eje de las abscisas o eje x, mientras que la recta que está dirigida en forma vertical se conoce como eje de las ordenadas o eje

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y (véase figura 2.1). Para identificar un punto de referencia P en este sistema de coordenadas, a este se le asignan las coordenadas (x, y) para definir su ubicación. En el sistema cartesiano, los valores positivos se definen desde el origen hacia la derecha y hacia arriba, respectivamente. El espacio que tiene valores positivos es el de las abscisas y ordenadas en el primer cuadrante. En el segundo cuadrante se tienen valores negativos de ordenadas y positivos de abscisas; en el tercer cuadrante se tienen valores negativos tanto de ordenadas como de abscisas y, por último, en el cuarto cuadrante se tienen valores positivos de ordenadas y negativos de abscisas.

Parámetros de una recta y

Distancia entre dos puntos Para encontrar la distancia entre dos puntos, P1(x1, y1) y P2(x2, y2), de una recta en el plano cartesiano, se construye un triángulo rectángulo que tenga un segmento P1 P2. Este segmento, llamado hipotenusa, se representa en la figura 2.2. Si las longitudes de los catetos son y22y1 y x22x1, al usar el teorema de Pitágoras, que dice: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, entonces se puede formular la ecuación que rige la magnitud de la distancia entre dos puntos en un plano cartesiano:

P1P2 = ( y 2 − y 1 )2 + (x 2 − x 1 )2

P2 (x2 , y2 )

x2 - y1

x

P1 (x1 , y2 ) x2- y1

Figura 2.2 dos puntos. Figura 2.2Distancia Distanciaentre entre dos puntos

(2.1)

Es importante mencionar que la magnitud de la distancia no cambia por el solo hecho de elegir como inicial un punto o el otro.

Pendiente de una recta Cuando se requiera tener una medición de la inclinación de una recta se usa la pendiente de la recta. La pendiente de una recta (m) que contiene dos puntos, P1(x1, y1) y P2(x2, y2), se define como: y − y1 m= 2 (2.2) x 2 − x1 De manera similar, al cálculo de la distancia entre dos puntos, sin importar cuál punto se considere como inicial y final, el valor de la pendiente no se altera. De la pendiente m de una recta se puede decir lo siguiente: a) Si la pendiente es cero, entonces la recta es paralela al eje x.


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b) Cuando las coordenadas del eje de la ordenada sean iguales, es decir si x2 5 x1, entonces la recta es perpendicular al eje de las abscisas y tiene una magnitud de la pendiente infinita. c) Si la pendiente tiene una magnitud negativa, entonces la recta se inclina desde el eje positivo de la ordenada hacia el eje x negativo de la abscisa. d) Si la pendiente tiene una magnitud positiva, entonces la recta se inclina desde el eje positivo de la ordenada hacia el eje x positivo de la abscisa. En este mismo sentido, existe una relación entre la pendiente de una recta y la pendiente de otra recta perpendicular a la misma, por lo que si se desea determinar la pendiente m1 de una recta perpendicular a una recta de pendiente m se utiliza la siguiente relación: 1 m⊥ = − (2.3) m

Punto medio Considérense los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) de una recta; entonces la coordenada (xm, ym) de un punto medio de P1 y P2 se obtiene de la siguiente manera:

xm =

x1 + x 2 y + y2 , ym = 1 2 2

(2.4)

Ecuación de una recta Considérese una recta L colocada en cualquier lugar del plano cartesiano; entonces si se tienen los valores de la pendiente de la recta y las coordenadas de un punto de la misma (xo, yo). Existe una ecuación llamada ecuación de la recta, la cual permite determinar las coordenadas de cualquier punto (x, y) que pertenezca a esta, la cual está dada por: L : ( y − y o ) − m ( x − x o ) = 0 (2.5)

Ejemplo

2.1

Parámetros de una recta Supóngase que se tienen los siguientes dos puntos en un plano cartesiano P1 (24, 3) y P2(6, 22). Determinar: a ) La distancia entre estos dos puntos. b) La pendiente de la recta. c) La ecuación de la recta. d) Las coordenadas del punto medio. e) La ecuación de la mediatriz. Solución

a) - b) Como primer paso se determina la distancia entre los dos puntos y su pendiente. Así, con el uso de las ecuaciones (2.1) y (2.2) se tiene:


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2

2

P1P2 = (−4 − 6) + (3 − (−2)) = 11.18

m=

y 2 − y1 −2 − 3 = = −0.5 x 2 − x1 6 − (−4)

c) Para determinar la ecuación de la recta se usa cualquier punto de la misma, por ejemplo la del nodo A y la magnitud de la pendiente, de modo que:

( y − y o ) − m( x − x o ) = 0 ( y − 3) − (−0.5)( x − (−4)) = 0

y + 0.5 x − 1 = 0 d) A continuación se determinan las coordenadas del punto medio M mediante el uso de la ecuación (2.4): x1 + x 2 −4 + 6 = =1 2 2 y + y1 3 − 2 = = −0.5 ym = 2 2 2

xm =

e) Por último, se determina el valor de la mediatriz, la cual es una recta que parte en dos a otra recta. Entonces, para las coordenadas del punto medio, que es donde pasa la mediatriz, solo se requiere la magnitud de la pendiente de la mediatriz, la cual como es perpendicular a la recta se puede obtener usando la ecuación (2.3): m⊥ = −

1 1 =− =2 m −0.5

De este modo, para la obtención de la ecuación de la mediatriz se utilizan las coordenadas del punto medio (1, 20.5) y la pendiente obtenida con anterioridad: 6

( y − y o ) − m( x − x o ) = 0 ( y − (−0.5)) − 2( x − 1) = 0

y − 2x + 1.5 = 0

Los valores obtenidos con anterioridad se pueden comprobar mediante trazos en el plano cartesiano como se muestra en la figura 2.3.

5 4

A m = –0.5

3 2

m 1= 2

1 0 -4

-3

-2

-1

-1

0

1

2

3

4

5

-2

6

7

B

-3

Figura 2.3 Solución al ejemplo 2.1. Figura 2.3 Solución al ejemplo 2.1.


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Parámetros de la circunferencia 6

C

P (h, k)

Otro elemento gráfico de utilidad para los fines que persigue esta obra es la circunferencia. A fin de definir los parámetros r 4 de la circunferencia, considérese un origen con coordenada 3 0 (h, k) O (h, k) y radio r, como se muestra en la figura 2.4. 2 Por tanto, la ecuación de la circunferencia es aquella que 1 0 permite determinar las coordenadas de cualquier punto P(x, y) 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 perteneciente a la misma y que se define como: Figura 2.4 Circunferencia en el plano 2 2 Figura 2.4 Circunferencia en el plano cartesiano C : (x − h) + ( y − k ) − r 2 = 0 (2.6) cartesiano. ecuación que, si se desarrollan los binomios al cuadrado, puede adquirir una nueva forma: x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 (2.7) 5

donde:

A = −2h

(2.8)

B = −2k 2

2

C = h +k −r

2

Ecuación de la circunferencia Ejemplo

2.2

Determinar la ecuación de la circunferencia que tiene un origen en O (2, 3) y una coordenada conocida en P (6, 7). Solución

Para obtener la ecuación de la circunferencia se tienen como datos las coordenadas del origen, pero no se tiene el valor del radio; sin embargo, este se puede obtener mediante el uso de la ecuación de la distancia entre los puntos O y P, es decir: 2

2

2

2

r = (Px − Ox ) + (Py − Oy ) = (6 − 2) + (7 − 3) = 5.656 Luego, se calculan las constantes A, B y C con el uso del conjunto de ecuaciones (2.8): A = −2h = −2(2) = −4 B = −2k = −2(3) = −6 C = h 2 + k 2 − r 2 = 22 + 3 2 −5.6652 = −19 Por tanto, la circunferencia tendrá la ecuación: x 2 + y 2 − 4 x − 6 y − 19 = 0 Para demostrar que la ecuación es correcta, basta con sustituir el punto conocido P (6, 7): x 2 + y 2 − 4 x − 6 y − 19 = 0 62 + 72 − 4(6) − 6(7) − 19 = 0 que confirma la pertenencia a la circunferencia.


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2.3 Vectores y escalares Introducción

o ul ód m o d tu ag ni

Sentido

Dirección

El sentido de la flecha queda determinado con el ángulo Dirección

M

M

ag ni

tu

d

o

m

ód

ul

o

En la naturaleza existen parámetros físicos que solo son expresados por su magnitud, como tiempo, longitud y temperatura, entre otros. No obstante, otros parámetros, como velocidad, aceleración y fuerza, requieren, además de la magnitud, otra especificación adicional, la cual indica hacia dónde están dirigidos. Por tanto, escalar se refiere a la cantidad física que solo requiere de magnitud para poderse definir, mientras que un vector es una cantidad física que requiere de magnitud y dirección para su definición. Con respecto a esto, es muy común utilizar para la definición de un vector la magnitud, la dirección y el sentido (MDS), y no solo la magnitud y la dirección (MD). La diferencia radica en cómo está expresada la dirección, es decir, si esta se refiere a un ángulo, entonces no requiere el sentido, pero si se hace referencia a una línea, entonces esta requiere la dirección y el sentido, como se muestra en la figura 2.5.

θ

Figura 2.5 Vector representado como MDS y MD.

Para comprender lo anterior e introducirse más en el tema de los vectores, imagínese a una persona extraviada en una ciudad, y se le acerca a otra persona para preguntarle dónde puede abordar un transporte colectivo. Si la persona solo responde: “perpendicular a esta calle”, entonces esta información no es suficiente, ya que requerirá anexar el sentido hacia dónde se dirige (derecha o izquierda); de este modo, ya se habla de dirección y sentido. Pero si la primera persona responde: “más adelante, a 90°”, entonces no requiere indicar el sentido, ya que basta con indicar el ángulo específico hacia dónde se encuentra la parada del transporte. Ahora considérese que se desea ubicar a la segunda persona del punObjetivo Objetivo B B B to A al punto B, como se muestra en la figura 2.6; entonces la ubicación 130 m 130 m puede ser definida como: “una cuadra a la derecha y dos cuadras hacia A A A A arriba”; pero, si además se conocieran las distancias, entonces se po- 100 m 100 m dría indicar como: “100 metros a la Figura 2.6 Ejemplo de coordenadas. derecha y 130 metros hacia arriba”.


B

Objetivo Objetivo

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44


5

5

4 25 c

16

b

4

a c =a +b 2

2

2

9

3

Pero, supóngase que por algún motivo muy específico se desea determinar la distancia en línea recta desde A hacia B. ¿Cómo podría la primera persona determinar la distancia en línea recta desde A hacia B, conociendo la distancia vertical y horizontal? Para este caso se usa el conocido teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (c) es igual a la suma del cuadrado de cada uno de sus catetos (a y b), como se ejemplifica en la figura 2.7. Por tanto, la distancia AB de la figura 2.6 es: d AB 2 = 1002 + 1302

3

d AB = 164 m

Figura 2.7 Teorema de Pitágoras. Figura 2.7 Teorema de Pitágoras.

Pero en este caso no basta solo con indicar la magnitud de la distancia de AB, también es necesario especificar el valor de la inclinación, es decir, el ángulo, el cual puede ser determinado por la definición de la tangente:  130  θAB = tan−1  = 52.43°  100  Con lo anterior es posible indicar la ubicación de dos maneras: a) 100 metros a la derecha y 130 metros hacia arriba. b) 164 metros a 52.43°.

Representaciones vectoriales Con base en la perspectiva del ejemplo del apartado anterior se puede deducir que un vector puede representarse de dos maneras: a) Forma rectangular. Expresada por las coordenadas. b) Forma polar. Expresada por la magnitud y dirección. y

r sen (θ )

r

θ j i

x r cos (θ )

Figura 2.8 Representación de un vector.


En cualquiera de los dos casos es necesario disponer de una representación gráfica que permita determinar sus propiedades y operaciones matemáticas; esto se logra al graficar el vector en un plano cartesiano con coordenadas x y y, como se muestra en la figura 2.8. → En este caso, denotamos como r xel vector que contiene implícitamente la magnitud y la dirección. En forma polar, el vector se expresa como → r = r∠θ (2.9) donde r representa la magnitud y θ la dirección.

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45


De la figura 2.8 se pueden conocer las magnitudes de las proyecciones del vector, tanto en el eje horizontal como en el vertical, conocidas como componentes rectangulares, que son: rx 5 r cos(θ) y ry 5 r sen(θ), respectivamente, las cuales se pueden utilizar para una nueva representación conocida como la forma rectangular. Pero antes de especificar esta forma es importante aclarar la ubicación de estas ˆ componentes en el plano cartesiano. Para ello se usan los vectores unitarios î, j, los cuales sirven para direccionar la magnitud de las componentes en su y respectivo eje. " " Al denotar a rx como el vector que se dirige a lo largo del eje x y ry , el vector que se dirige a lo largo del eje y, se tienen las componentes rectangulares en forma vectorial: " → " r rrxx = r cos θ iˆ " ry → " ˆ rryy = r senθ j jˆ x " y estos se encuentran localizados en los ejes cartesianos, como se observa î rx en la figura 2.9. Figura 2.9 Representación de De la gráfica de la figura 2.9 se puede deducir la forma rectangular de un vector en forma rectangular. un vector como: → → → r = rx + r y (2.10) → r = r cos θ iˆ + r senθ ˆj La aplicación vectorial de una forma depende del tipo de operación matemática que se va a efectuar, por lo que en algunos casos es necesario transformar el vector de la forma polar a rectangular y viceversa. Para ello, y con base en el ejemplo del apartado anterior, se pueden establecer las siguientes ecuaciones útiles para la transformación de la forma rectangular a polar y viceversa de un vector: r = rx 2 + r y 2 r  (2.11) θ = tan−1  y   rx  rx = r cos θ rx = r sen θ

En la ecuación (2.11) se debe tener precaución al calcular la magnitud de la tangente inversa con el uso de una calculadora. Por ejemplo, en la mayoría de las calculadoras el resultado obtenido por la operación tan21 (223 ) es igual al obtenido

2 por tan21 ( 23 ) cuando en realidad no es lo mismo. Esto se debe a que para la calcu2

ladora 223 5 23 . Por consiguiente, al obtener el ángulo con el uso de la calculadora y tan21 (ry /rx ), se debe corroborar el cuadrante donde se localizan las componentes, para lo cual es necesario retomar los criterios de la tabla 2.3.


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46


Tabla 2.3 Consideraciones del ángulo en función del cuadrante x

y

Cuadrante

Positivo

Positivo

1

r  θ = tan−1  y   rx 

Negativo

Positivo

2

r  θ = tan−1  y  + 180 0  rx 

Negativo

Negativo

3

r  θ = tan−1  y  + 180 0  rx 

Positivo

Negativo

4

r  θ = tan−1  y  + 360 0  rx 

De acuerdo con la expresión (2.10) y con los objetivos de este libro, ahora se introduce una variable vectorial que se denota como vector direccionador, el cual se puede obtener al extraer como factor común la magnitud del vector " r , es decir: →

→

→

r = rx + r y

(

→

r = r cos θ iˆ + r senθ ˆj = r cos θ iˆ + senθ ˆj

→

)

→

r = r λθ

En consecuencia, el vector direccionador se define como:

→

λ θ ≡ cos θiˆ + senθˆj (2.12)

que es de magnitud unitaria.

Operaciones con vectores Las operaciones matemáticas con vectores tienen la peculiaridad de que algunas propiedades que se cumplen con los escalares no se cumplen con estos. Por ejemplo, la suma de dos vectores no se realiza al sumar las magnitudes de los dos vectores, ya que como vectores pueden ser menores e incluso negativos, y es que todo depende de cómo estén direccionados vectorialmente los vectores. Por lo anterior, en los siguientes apartados se estudian las principales operaciones matemáticas con vectores.

Multiplicación de un vector por un escalar

" Sea un vector R de magnitud r y un escalar de magnitud a; entonces, la multiplicación de un vector por el escalar da como resultado el vector escalado a veces sobre la misma dirección (véase figura 2.10).


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47

Capítulo 2. Preliminares matemáticos →

→

Lo anterior puede demostrarse con facilidad, ya que si R = r λ, → → entonces aR = ar λ .

Vector negativo

axr

=

a veces

" " Sea el vector R , entonces se dice que el negativo de R , denotado " por 2R , es un vector que tiene la misma magnitud, pero de sentido opuesto.

2.10 Multiplicación de unpor un vector. FiguraFigura 2.10 Multiplicación de un escalar escalar por un vector.

Suma y resta vectorial

" " " " Sean dos vectores A y B , entonces la suma vectorial A 1 B es un vector resultante " R tal que: " " " R 5 A 1 B (2.13) Para sumar de manera gráfica los vectores, primero se grafica uno de los vectores. Al final de ello, se grafica el otro vector, como se muestra en la figura 2.11.

R B A

B

A

Figura 2.11 Suma vectorial.

Figura 2.11 Suma vectorial.

Si se desea sumar analíticamente los vectores, entonces se requiere representarlos en forma rectangular, ya que la única forma de sumar dos vectores es sumando sus componentes rectangulares, es decir: →

→

→

(

→

R = A +B

) (

R = Ax iˆ + Ay ˆj + Bx iˆ + By ˆj →

R = (Ax + Bx ) + (Ay + By ) ˆj →

R = Rx iˆ + Ry ˆj

) R

By Ry Ay

Esto se demuestra en la figura 2.12. En términos generales, la suma vectorial de n vectores se AX BX obtiene como: RX n → n n →     Figura 2.12 Prueba de la suma vectorial R = ∑Vq =  ∑Vq x  iˆ +  ∑Vq y  ˆj  (2.14) por componentes rectangulares.  q =1   q =1 q =1


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48


Nota Se debe tener precaución al obtener las componentes rectangulares Vq x y Vq y, ya que el ángulo a utilizar es aquel que se mide desde el eje de la x positiva; de lo contrario, se pueden presentar errores. Sin embargo, en muchos problemas técnicos y(o) de ingeniería se pueden presentar parámetros vectoriales donde no se hace referencia al ángulo en el eje de las x y puede ser en el eje de las y, en cualquier cuadrante. En estos casos se recomienda obtener el valor absoluto de las componentes rectangulares y asignarle el signo en función de la dirección de la componente, es decir, positivo a la derecha y hacia arriba del plano cartesiano. n

Rx = → ∑ Vq x

Ejemplo

2.3

+

q =1

n

Ry =+ ↑ ∑ Vq y (2.15) q =1

Suma vectorial →

→

Se dispone de dos vectores: A = 3∠40°,B = −4 î + 7ˆj . Determinar las siguientes operaciones: " " a) A 1 B " " b) A 2 B Solución

Para la suma vectorial se requiere obtener las componentes rectangulares de cada vector. Por tanto, para el vector A: →

A = 3∠40° = 3cos(40°)î + 3sen(40°)ˆj = 2.298iˆ + 1.928ˆj

donde la suma y la resta vectorial solicitada se obtiene como: →

→

→

→

( ) ( ) A− B = (2.298iˆ + 1.928ˆj) − (−4iˆ + 7ˆj) = 6.298iˆ − 5.072ˆj

A+ B = 2.298iˆ + 1.928ˆj + −4iˆ + 7ˆj = −1.702iˆ + 8.928ˆj

Si se desea encontrar el resultado en forma polar se requiere obtener la magnitud y la dirección de la suma vectorial, es decir: →

→

→

→

2

2

A+ B = (−1.702) + (8.928) = 9.08 2

2

A− B = (6.298) + (−5.072) = 8.086

θ = tan-1 (8.928 / −1.702) + 180° = 100.79° θ = tan-1 (−5.072 / 6.298) + 360° = 321.15°

Gráficamente es posible encontrar los resultados como se ilustra en la figura 2.13.


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49


3 2

B

6

-1

5

A + B

-4

-3

-2

-1

-1

4

-2

3

-3

2

-4

1 0 -1

1

2

0

1

2

3

4

5

6

7

B A + B

-5

A 0

A

1 0

-6

3

-2 -3

Figura 2.13 Solución gráfica al problema 2.3. gráfica al problema 2.3. Figura 2.13 Solución

Resta vectorial En una carretera se desplazan tres automóviles (A, B, C), con una velocidad de VA 5 70 kph, VB 5 100 kph y VC 5 40 kph, respectivamente, en la dirección que se muestra en la figura 2.14. Determinar la velocidad aparente o relativa de los automóviles C y B vista desde el automóvil A.

Ejemplo

2.4

VC

50˚ VB VA

Figura 2.14 Problema 2.4.

Figura 2.14 Problema 2.4.

Solución

La velocidad aparente o relativa es aquella que percibe un observador que se encuentra en movimiento con respecto a otros objetos también en movimiento. La velocidad relativa se obtiene al restar la velocidad del objeto de la del observador, es decir: →

→

→

V B / A = V B −V A : Velocidad de B vista desde A → → → V C / A = V C −V A : Velocidad de C vista desde A


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50


Para determinar la resta vectorial, cada vector velocidad se expresa de forma rectangular: →

V A = 70 î + 0 ˆj kph →

V B = −100 iˆ + 0 ˆj kph →

V C = 40 cos(130°)iˆ + 40sen(130°)ˆj = −25.71 î + 30.64ˆj kph Con lo anterior se procede a determinar las velocidades aparentes, cuyo resultado es: →

→

→

→

→

→

( ) ( ) = (−25.71 î + 30.64ˆj) − (70 î + 0 ˆj) = 95.71î + 30.64ˆj

V B / A = V B −V A = −100 î + 0ˆj − 70 î + 0 ˆj = −170 î + 0 ˆj V C / A = V C −V A

Propiedad conmutativa. Ley del paralelogramo

A

" " La suma vectorial de dos vectores A y B cumple con la propiedad conmutativa, es decir: " " " " A 1 B 5 B 1 A (2.16)

B

propiedad que puede demostrarse mediante un artificio gráfico conocido como ley del paralelogramo (véase figura 2.15). B A

Propiedad asociativa

La suma vectorial también cumple con la propiedad asociativa, es decir: Figura 2.15 Ley del Figura 2.15 Ley del paralelogramo. paralelogramo. →

→ → → → → → → → A + B + C =  A + B  + C = A +  B + C  (2.17)    

Producto escalar La multiplicación de los vectores no debe confundirse con la multiplicación de escalares; existen por lo menos dos definiciones relacionadas con la multiplicación de vectores. El primero, conocido como producto escalar o producto punto de dos vectores, es tal que el resultado es un escalar. " " El producto punto o escalar de dos vectores A y B se define como: B

A B/A

→

→

A B ≡ a×b cos(θB /A ) (2.18)

donde a y b son los módulos de los vectores y θB/A es el ángulo que existe entre los dos vectores; es decir: θB/A 5 θB 2 θA. El resultado del " " " " producto escalar A o B es la proyección del vector A sobre B , como se Figura 2.16 Producto punto o Figura 2.16 Producto punto o escalar. aprecia en la figura 2.16. A o B

escalar.


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Producto vectorial

" " El producto vectorial de los vectores A y B se define como: →

→

A × B ≡ (a ×b sen(θB / A )) nˆ (2.19)

donde a y b son los módulos de los vectores, θB/A es el ángulo entre los dos vectores y nˆ es un vector unitario que se dirige perpendicu" " lar al plano donde se localizan los vectores A y B . " " La dirección del vector resultante de A 3 B se obtiene con un artificio conocido como regla de la mano derecha, que se ilustra en la figura 2.17.

A ×B

De A hacia B

De la figura 2.17 se puede concluir que el producto vectorial no cumple con la propiedad conmutativa, ya que al dirigir la medida de B hacia A, da como resultado un vector que se dirige hacia abajo del plano; por tanto:

→

→

→

→

A ×B ≠ B× A (2.20)

B

A

Figura 2.17 Regla de la mano derecha.

Figura 2.17 Regla de la mano derecha.

2.4 Números complejos Algunos tópicos en ingeniería se facilitan en gran medida, o bien dan soluciones apropiadas, cuando las variables de interés se representan en la forma conocida como forma de números complejos, ya que dicha forma permite realizar operaciones más simples que de forma vectorial. Para comprender el significado de un número complejo, primero se requiere definir número imaginario y número real. Se dice que los números reales son aquellos que pueden ser expresados ya sea como enteros (3, 24, 10) o con decimales (2.4, 4.23), por lo que comprenden a los números racionales e irracionales. Por su parte, los números imaginarios son aquellos donde se involucra la raíz cuadrada de un número negativo. En efecto, se define como la unidad el número imaginario i: i = −1 (2.21) Por ejemplo: −16 = 4 −1 = 4i Un número complejo es un número formado por una parte real y una parte imaginaria. Sea z un número complejo conformado por un número real a y uno imaginario b; entonces la representación binómica del número está definida como:

z 5 a 1 bi (2.22)

Del mismo modo que los vectores, los números complejos pueden graficarse en un plano complejo I vs. R, donde I es el eje vertical y contiene al número imaginario, y R es el eje horizontal que contiene al número real (véase figura 2.18).


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Análisis y síntesis de mecanismos con aplicaciones I

De la figura 2.18 se puede ver que  z  es el módulo o la magnitud del número complejo y θ su dirección, de donde también se puede deducir otra representación conocida como forma polar de un número complejo, expresada como:

z

b = z sen (θ )

θ

j i

a = z cos (θ )

R

Figura 2.18 Representación gráfica de un número complejo.

z = z (cos θ + senθi ) (2.23) z = a 2 + b 2 (2.24)

Suma y resta de números complejos Las operaciones de suma y resta de números complejos ZT son similares a la suma y la resta vectoriales, tanto en la forma gráfica como en la analítica: n

n

q =1

q =1

ZT = ∑ z q = ∑ (aq + bqi ) (2.25)

Multiplicación de números complejos La multiplicación de números complejos es más sencilla que la suma de vectores y se obtiene de la siguiente manera: •

Para multiplicar los números complejos en la forma rectangular basta con multiplicar miembro por miembro, de un binomio por otro binomio.

•

Para multiplicar en la forma polar se multiplican los módulos y se suman los ángulos.

Independientemente de si los números se multiplican en forma rectangular o polar, el resultado obtenido es el mismo. Así sean dos números complejos en las formas binómicas z1 5 a 1 bi y z2 5 c 1 di o en las formas polares z1 5 e i θ1 y z2 5 e i θ2 ; entonces, la multiplicación z1 3 z2 es:

z 1 × z 2 = (a + bi )(c + di ) = (ac − bd ) + (ad + bc )i z 1 × z 2 = z 1 z 2 (cos (θ1 + θ2 ) + sen(θ1 + θ2 )i )

(2.26)

Forma exponencial para números complejos Para los números complejos hay otra representación que presenta una gran ventaja con respecto a las formas binómica y polar, ya que las operaciones matemáticas son más simples de manipular. Esta forma tiene como sustento la siguiente igualdad, conocida como igualdad de Euler:

e iθ = cos θ + senθi (2.27)

donde e  2.71828 es una constante conocida como constante exponencial.


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Aplicando la igualdad (2.27) se tiene la forma exponencial para números complejos definida como: z 5 z  e i θ (2.28) De la forma exponencial se pueden deducir las operaciones que se muestran en la tabla 2.4. Tabla 2.4 Operaciones con números complejos en la forma de Euler Operación Conjugado de z

Multiplicación de z1 y z2 Multiplicación por su complemento Número unitario

Resultado

Multiplicación de un número complejo por otro número unitario

El complemento contiene la misma parte real, pero se conforma con el negativo de la parte imaginaria.

z ′ = z e −iθ

(

z 1z 2 = z 1 e

i θ1

)( z

= z1 z 2 e

2

e

i θ2

)

En la multiplicación se multiplican los módulos y se suman los ángulos en la forma de Euler.

i ( θ 1 + θ2 )

zz ′ = ( z e iθ )( z e −iθ ) = z

2

Un número complejo multiplicado por su complemento tiene como resultado el cuadrado de su parte real.

z θ ≡ e iθ = cos θ + senθi

Valor de i Función coseno

Observaciones

i =e

i

π 2

2cos θ = e iθ + e −iθ z × z α = ( z e iθ

1

= ze

)(e iα )

i ( θ1 + α)

Multiplicar un número complejo por otro número unitario tiene como resultado girar el vector un ángulo dado por el número unitario.

2.5 La derivada Introducción La derivada es un operador matemático como sumar, dividir, raíz cuadrada, etcétera, pero que se aplica solo en las ecuaciones algebraicas y afecta a las variables. Este operador es de gran importancia en el estudio de ingeniería, ya que permite obtener ecuaciones que expresan el comportamiento de un parámetro en función de otros parámetros como el tiempo. El estudio de la derivada le compete al cálculo infinitesimal. Aunque se tienen indicios de que sus orígenes fueron en la antigua Grecia, los escritos no son considerados formales como para señalar que fueron los griegos los pioneros en su estudio. Fue hasta el siglo xvii que se atribuyeron los primeros indicios del cálculo infinitesimal a Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Para comprender el significado de la derivada, primero considérese el siguiente escenario: una persona se desplaza sobre una línea recta con una aceleración tal


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que su posición en metros está en función del tiempo en segundos, según la ecuación: x (t) 5 0.2t 2 para t  0

10

10

9

9

8

8

Distancia recorrida

Distancia recorrida

De modo que si la ecuación se graficara en un plano cartesiano, entonces por la posición en el eje vertical vs. el tiempo en el eje horizontal se tendría el resultado mostrado en la figura 2.19. De acuerdo con la definición que dice que la velocidad es la medida del cambio de posición con respecto al tiempo, se puede obtener una velocidad promedio entre dos puntos de la gráfica, que en realidad expresa la ecuación de la pendiente. Para este ejemplo considérense los puntos de análisis en 4 y 6 s; así, de la gráfica o de la ecuación se puede concluir que para t 5 4 s la persona habrá recorrido 3.2 m, mientras que para t 5 6 s la persona habrá recorrido 7.2 m, como se muestra en la figura 2.20.

7 6 5 4

6 5 4

3

3

2

2

1

1

0 -1

B

7.2

7

A

3.2

0 0

1

2

2

4

5

6

7

Figura 2.19 Posición vs. tiempo. Figura 2.19 Posición vs. tiempo.

8

9

10

-1

tiempo

0

1

2

2

4

5

6

7

8

9

10

tiempo

FiguraFigura 2.202.20 Posición en en un un instante dado dede tiempo. Posición instante dado tiempo.

Entonces, la velocidad promedio de entre 0 y 6 s, y entre 4 y 6 s es:

x 2 − x 1 7.2 − 0 = = 1.2 s t 2 − t1 6−0 x − x 1 7.2 − 3.2 Vprom = 2 = =2 s t 2 − t1 6−4 Vprom =

de modo que las velocidades promedio difieren al considerar distintos puntos de referencia. Este error se puede eliminar al considerar diferencias muy pequeñas cerca del punto B, es decir, diferencias en el tiempo t2 2 t1 muy pequeñas. Pero si la diferencia en el tiempo fuera tan pequeña acercándose a cero, entonces se tendrá un problema matemático debido a que la división por cero haría


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suponer que la velocidad es infinita si la diferencia de desplazamiento es distinta de cero: x − x1 x 2 − x1 Vprom = 2 →∞ = t − t 0 2 1 Por tanto, si ahora la diferencia tanto en el tiempo como en el desplazamiento fueran cero, entonces se tendría una división 0/0, lo cual matemáticamente se define como indeterminada. No obstante, existe una regla llamada Regla de l’Hopital que permite solucionar estos problemas en los que hay ecuaciones algebraicas que son indeterminadas.

Definición de la derivada La derivada es una operación matemática que permite obtener la ecuación de la pendiente de una recta que se encuentra tangente a una curva en un punto dado. Sea una función f (x) una regla que asocia cada valor de la ordenada con la abscisa; entonces la derivada de la función f (x) con respecto a la variable x y denotada por f ’(x ) 5 d/dx es: f '(x ) =

df (x ) f (x + h ) − f (x ) f (x + h ) − f (x ) = lím = lím (2.29) h→0 ( x + h ) − x h→0 dx h

donde h es una variable que se introduce para el cálculo de la derivada. La expresión lím denota el límite cuando el valor de h tiende a cero y no se obtiene hasta h→ 0 realizar operaciones algebraicas para eliminar una función indeterminada como 0/0.

Definición de la derivada

Ejemplo

Obtener la derivada de la función f (t)= 0.2t . 2

2.5

Solución

Usando la definición (2.29) se tiene: f '(t ) =

df (t ) f (t + h ) − f (t ) = lím h →0 dt h

Si f (t) 5 0.2t 2, entonces f (t 1h) 5 0.2(t 1h)2; por tanto: 2

0.2 (t + h ) − 0.2t 2 f (t + h ) − f (t ) = lím h→0 h→0 h h

f '(t ) = lím

Desarrollando el binomio (t 1h)2:

f '(t ) = lím

0.2 (t 2 + 2th + h 2 ) − 0.2t 2

h→0


h

= lím h→0

0.2 ( 2th + h 2) h

= lím (0.4t + 0.2h ) h→0

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Como aquí ya se eliminó el término del denominador, ahora se evalúa el lím , h→ 0 que para este caso afecta solo al término que lo contiene, es decir, lím 0.2h 5 0; h→ 0 por tanto, la derivada de la función es: f ’(t ) 5 0.4t

Ejemplo

2.6

Aplicación de la derivada Del ejemplo de la figura 2.19 determinar la velocidad instantánea en t 5 6 s. Solución

La velocidad instantánea puede determinarse al derivar la ecuación de posición con respecto al tiempo, es decir: Vins

2 dx (t ) d (0.2t ) = = dt dt

Del ejemplo anterior, ya se obtuvo la derivada para esta función: f ’(t ) 5 0.4t Por tanto, para calcular la velocidad en cualquier instante t basta con sustituir el valor del tiempo en la función de la derivada. Así, para t 5 6 s se tiene:

Vins

t =6 s

= 0.4t = 0.4(6) = 2.4 m/s

Por último, para los propósitos que persigue este texto no se requiere realizar cálculos para obtener la derivada de diversas funciones; por ello, en la tabla 2.5 se proporcionan las derivadas de algunas funciones de interés. Tabla 2.5 Algunas derivadas de funciones Función

Derivada con respecto a x

f (x ) 5 x

f ’(x ) 5 1

f (x ) 5 a donde a 5 constante

f ’(x ) 5 0

f (x ) 5 axn si a 5 constante

f ’(x ) 5 nax n21

g (x ) g (x) y h (x ) son dos funciones f (x ) = h(x ) que contienen a x


f '(x ) =

g (x )h '(x ) − h(x )g '(x ) h 2 (x )

h’(x ) es la derivada de h (x ) g ’(x ) es la derivada de g (x )

f (x ) 5 sen(ax )

f ’(x ) 5 2a cos(ax )

f (x ) 5 cos(ax )

f ’(x ) 5 2a sen(ax )

f (x ) 5 eax donde a 5 constante

f ’(x ) 5 aex

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Derivadas de funciones vectoriales y de números complejos El interés por obtener la derivada de funciones vectoriales o de números complejos radica en el hecho de que cualquier mecanismo puede ser expresado matemáticamente por este tipo de ecuaciones; por tanto, para poder obtener las ecuaciones de velocidad y aceleración en los elementos del mecanismo es necesario derivar las ecuaciones de posición en cualquiera de sus formas. Estas derivadas se realizan sobre una función, ya sea vectorial, de números complejos y(o) algebraicas, y requieren un estudio muy complejo para tratarse en este libro por lo que solo nos limitamos a proporcionar definiciones simples y soluciones sencillas. Primero considérese la posición en un punto del plano cartesiano expresado en forma vectorial como: → R = rx iˆ + ry ˆj (2.30) Donde rx 5 r cosθ y rx 5 r senθ pueden ser funciones del ángulo, es decir, rx(θ) y ry(θ); por tanto, también será una función vectorial del ángulo θ y de la magnitud r, es decir: → R (θ,r ) = r cos θ iˆ + senθ ˆj (2.31) → = r λ θ ( )

(

)

Para el caso en que la magnitud es unitaria, es decir, en el caso r 5 1, se tiene la función vectorial de posición expresada como: → → R (θ,r ) = λ (θ) = cos θ iˆ + senθ ˆj (2.32) Para obtener la razón de cambio con respecto al ángulo θ, la ecuación (2.32) se deriva con respecto a θ. Al consultar la tabla 2.5, se puede ver que la derivada de λ(θ), que se denotará por λ’(θ), es: → d λ'(θ) = cos θ iˆ + senθ ˆj dθ (2.33) → ˆ ˆ λ'(θ) = −senθ i + cos θ j

(

)

Al derivar de nueva cuenta la ecuación (2.33) y al denotarla por λ’’(θ), se obtiene: d −senθ iˆ + cos θ ˆj dθ (2.34) → λ''(θ) = − cos θ iˆ − senθ ˆj →

λ''(θ) =

(

)

Al usar las siguientes identidades trigonométricas: π cos(θ + ) = −sen(θ) 2 π sen(θ + ) = cos(θ) 2 cos(θ + π) = − cos(θ) sen(θ + π) = −sen(θ)


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se puede deducir que: λ(θ) = cos θ iˆ '+ senθ ˆj

λ′(θ) = cos (θ + 90 ) iˆ '+ sen(θ + 90 ) ˆj λ′′(θ) = cos (θ + 180 ) iˆ '+ sen(θ + 180 ) ˆj

lo cual permite deducir que λ’(θ) está a 90° de λ(θ) y que λ’’(θ) está a 90° de λ’(θ); por tanto, la operación de derivar el vector direccionador λ simplemente es girar el vector 90°. y

λ´ ( θ) λ( θ) θ

x

λ´´ (θ )

Figura 2.21 Efecto causado al derivar el vector direccionador λ.

Ahora también puede demostrarse si en lugar de considerar la representación vectorial se utiliza la forma de números complejos, es decir:

z (θ) = e iθ (2.35)

Mediante la tabla 2.5 se puede derivar la ecuación (2.35) en función de θ, que es mucho más simple que para el caso de vectores; por tanto, la derivada de z(θ), que denotaremos por z ' (θ), es:

z '(θ) = ie iθ i

π

De la tabla 2.4 se deduce que si i = e 2 , entonces:

z '( θ ) = e iθe

i

π 2

 π i  θ+  2

=e 

(2.36)

Esta ecuación demuestra que derivar la posición con magnitud unitaria en efecto tiene como resultado girar la posición un ángulo de 90°. De manera similar se obtiene:


z ''(θ) = e i (θ+π) (2.37)

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Desarrolla tus habilidades Ejercicios

Descarga

Ecuaciones geométricas

E2.1 Para los siguientes pares de puntos determina: i. La distancia entre los puntos.

" " " e) 1VP 5 ? y VQ 5 ? si VP/Q 5 6090° es " paralela al eje x y VQ tiene una pendiente

ii. La ecuación de la recta.

equivalente a 135°.

iii. La pendiente de la recta.

" " " f) 1VQ 5 ? y VP/Q 5 ? si VP 5 50240° y " " VQ es paralela al eje y y VQ tiene una

iv. La ecuación de la mediatriz. a) P1(0, 0) y P2(23, 4)

pendiente equivalente a 20°.

b) P1(23, 4) y P2(22, 8) c) P1(7, 2) y P2(23, 25) d) P1(1, 4) y P2(4, 21)

Prácticas de laboratorio

Ecuaciones vectoriales

E2.2 En mecanismos articulados existe una ecuación que relaciona la velocidad de dos puntos que pertenecen a un mismo eslabón, llamada ecuación de velocidad de puntos de la misma barra.

Sean P y Q dos puntos de un eslabón cuyas velocidades se relacionan con la siguiente ecuación:

" " " VP 5 VQ 1 VP/Q

(2.38)

" " donde VP y VQ se conocen como velocidades ab" solutas de los nodos P y Q; VP/Q es la velocidad relativa del nodo P, pero vista desde Q. Soluciona de forma analítica y de forma gráfica la ecuación vectorial para cada uno de los siguientes casos: " " " a) 1VP 5 ? si VQ 5 10040°, VP/Q 5 50220° " " " b) VP 5 ? si VQ 5 80120°, VP/Q 5 2040° " " " c) VQ 5 ? si VP 5 3030°, VP/Q 5 50245° " " " d) VQ 5 ? si VP 5 20290°, VP/Q 5 6090°


Práctica 2.1 Taller de GeoGebra®: Introducción

Material • Herramienta computacional GeoGebra®. Elemento de competencia Describir el procedimiento con el uso de la herramienta computacional GeoGebra® para el trazado geométrico, que permita demostrar los resultados de las actividades propuestas en el capítulo. Marco teórico Para el estudio de vectores y ecuaciones algebraicas existen diversas distribuciones computacionales que facilitan el análisis y la solución, por ejemplo Cabri Geometre®[4], GeoGebra®[5] y Cinderella®[6], de los cuales existen diversas aportaciones entre la comunidad estudiantil y científica relacionados con el campo de mecanismos. Para este caso recomendamos GeoGebra® por su simplicidad, porque es gratuito y porque además tiene distribuciones para todo tipo de plataformas, incluidas las de los dispositivos móviles. GeoGebra® se puede descargar desde la página oficial [5] o desde el CD-ROM que acompaña

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este libro, en el que se incluye la versión 5.0 portable para Windows, Mac y Linux.

3. Vista algebraica. Presenta las propiedades algebraicas de los objetos que se estén construyendo.

Geogebra® es

4. Vista gráfica. Utilizada para construir objetos geométricos.

• Un conjunto unificado y fácil de usar que conforma un potente programa de matemática dinámica. • U na utilería para enseñar y aprender en todos los niveles educativos, en los que se incluya el estudio del álgebra, la geometría analítica y los vectores, entre otros. • Un encuadre versátil en que se conjugan geometría interactiva, álgebra, el cálculo propio del análisis y de las estadísticas y sus registros gráficos, de organización en tablas y de formulación simbólica. Una vez que abra el programa GeoGebra® aparecerá una ventanilla similar a la figura 2.22. En la ventana de inicio de GeoGebra® se encontrarán los siguientes elementos: 1. Menú de opciones. Es similar a cualquier menú de un programa; incluye accesos rápidos. 2. Barra de herramientas. Contiene un conjunto de botones que sirven para construir un gráfico.

Desarrollo Como primer ejemplo del uso de GeoGebra® haremos los trazos de la figura 2.3 , que son los resultados del ejemplo 2.1. Solución al ejemplo 2.1

1. Colocación de los puntos A(24, 3) y B(6, 22).

Para colocar los puntos de referencia se puede seleccionar el botón y dar clic en la pantalla de vista gráfica. En este caso, se colocará el punto en las coordenadas establecidas al dar clic. Pero si se desea asignar el nombre y las coordenadas de un punto, se tienen las opciones que se relacionan en la tabla 2.6. Para colocar el símbolo del ángulo se puede utilizar: • ALT1O para Windows • CTRL1O para MAC

Figura 2.22 Pantalla de inicio de GeoGebra®.


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Tabla 2.6 Entidad

Sintaxis

Detalle de la sintaxis Coloca un punto en coordenadas absolutas cartesianas o polares. Nombre: el que se le asignará al punto. x , y: coordenadas cartesianas del punto. r ; q: coordenadas polares del punto.

Punto absoluto

Nombre=(x,y) Nombre=(r;θ)

Punto relativo

Coloca un punto “nombre” en coordenadas relativas al punto Nombre=Nomrel+(x,y) Nombre= Nomrel+ (r;q) “Nomrel” cartesianas o polares. Nombre: el que se le asignará al punto. Nomrel: nombre del punto de referencia. x, y: coordenadas cartesianas del punto. r; θ: coordenadas polares del punto.

y para introducir el valor de PI se utiliza: • ALT1P para Windows • CTRL1P para MAC

Para introducir de forma manual los datos de un punto, se escribe en la ventana de entrada de datos. Para introducir los datos de un punto, primero se debe especificar el nombre, iniciando con mayúscula; así es como GeoGebra® interpreta que es un punto y no un vector.

Enseguida, seleccionar el nodo A y luego el nodo B, con lo que se formará el segmento desde A hasta B. 3. Colocación de la mediatriz.

Para trazar la mediatriz se selecciona la opción mediatriz, como se muestra en la figura 2.25.

Teclear los datos del nodo A y B:

Figura 2.23

2. Colocación del segmento AB.

Ahora se colocará un segmento desde el punto A al punto B. Para esto seleccione la opción segmento, como se muestra en la figura 2.24.

Figura 2.25 Selección de la opción mediatriz.

Ahora se debe seleccionar el segmento AB seguido, con lo que automáticamente aparece una mediatriz. Por último, para localizar las coordenadas de la intersección, que es la del punto medio, hay que seleccionar el botón y dar clic sobre la intersección. Posteriormente aparecerán en la ventana algebraica las coordenadas de este punto, como se observa en la figura 2.26. Figura 2.24 Selección de la opción segmento.


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1. Generar los vectores de velocidad conocida.

Para introducir los vectores de velocidad VA y VB , los cuales se escalarán 1:10, teclear los siguientes comandos: velA 5 (7;0°) velB 5 (4;130°) Nota: No hay que olvidar que el símbolo de grados se genera con ALT-O para Windows y CTRL-O para MAC.

Figura 2.26 Comprobación del ejemplo resuelto 2.1. Solución al ejemplo 2.4

En GeoGebra®, la generación de vectores mediante la barra de entrada debe introducirse con nombres que inicien con minúscula; así es como GeoGebra® interpreta que se van a introducir datos de un vector.

Una vez tecleados los comandos anteriores, se generarán los vectores de velocidad. 2. Obtención de la velocidad relativa.

Para obtener la velocidad relativa VCA (véase figura 2.27), que es la diferencia VC 2 VA, hay que introducir en la barra de entrada: velCA 5 velC 2 velA Reporte Resuelve analíticamente los problemas del ejercicio E2.1 a) y E2.1 c) y comprueba los resultados mediante métodos gráficos y con el uso de GeoGebra®. Evidencias a) Descripción del problema. b) Cálculos analíticos. c) Gráfica manual usando juego de geometría. d) Impresión de gráficas de la comprobación con GeoGebra®.

Figura 2.27 Comprobación del ejemplo resuelto 2.4.


e) Conclusiones.

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Práctica 2.2 Taller de GeoGebra : Método de polígono para la solución de ecuaciones vectoriales ®

Material • Hoja para trazos vectoriales. • Material geométrico. • GeoGebra®. Elemento de competencia Describir el procedimiento mediante la herramienta computacional GeoGebra® para la solución de ecuaciones vectoriales usando el método de intersección, para demostrar los resultados de las actividades propuestas en el capítulo.

En ambos casos y para tres vectores, el resultado gráfico es un triángulo conocido específicamente como polígono; debido a que es un triángulo, entonces la solución puede obtenerse de las siguientes maneras (véase figura 2.28): 1. Se conoce la longitud y el ángulo de dos de sus lados. En este caso simplemente se cierra el triángulo uniendo extremo con extremo. 2. Se conoce la longitud y el ángulo de uno de sus lados y la dirección de los otros dos. Este caso se soluciona trazando primero el lado conocido y luego se proyectan la dirección de los otros dos lados, de modo que la intersección de estas proyecciones definirá las longitudes desconocidas.

Marco teórico Una ecuación algebraica de tres variables tiene solución si se tienen al menos dos datos conocidos; el tercer dato simplemente se despeja de la ecuación. Pero si se tuvieren dos incógnitas, entonces se necesitarían dos ecuaciones algebraicas independientes para buscar una solución. Ahora, considérese la siguiente ecuación vectorial: " " " A 5B 1C Debido a que cada vector posee dos variables, magnitud y dirección, entonces la ecuación tendrá solución si solo se tienen dos incógnitas de las seis, ya que cada vector dispone de dos incógnitas; por tanto, no requiere otra ecuación para solucionarlo. En efecto, la ecuación vectorial se puede solucionar si se establecen dos ecuaciones algebraicas, una correspondiente a la sumatoria de componentes en el eje de las x y otra correspondiente a la sumatoria del eje de las y. Específicamente en el estudio de mecanismos, en este tipo de ecuaciones las incógnitas se pueden presentar de dos maneras: 1. Desconociendo la magnitud y la dirección de un vector. 2. Desconociendo solo la dirección de dos de sus vectores.


Conocido Simplemente se proyecta

Conocido

Intersección

Se proyectan para buscar la intersección

Conocido Solo se conocen las direcciones en forma de inclinación

Figura 2.28 Tipos de soluciones por método de polígono.

Entonces se puede aplicar el mismo criterio para la solución de suma y(o) resta vectorial, en la cual cada vector debe especificarse como M si se conoce la magnitud y como D si se conoce la dirección, según sea el caso.

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1. Trazo de la resultante. Se conoce la magnitud y la dirección de dos de los vectores (MD) y se desconoce la magnitud y la dirección de uno de los vectores (XX): XX →

MD →

MD →

→ "

2. Intersección. Se conoce solo la dirección de dos de sus vectores (XD) y se conoce la magnitud y la dirección de uno de sus vectores (MD). MD →

"→

→ "

P + TAB + TAC = 0

A = B+C

XD →

En este caso existen tres fuerzas equilibradas: la fuerza P y las tensiones en los cables TAB y TAC. Si se encuentran en equilibrio, entonces:

XD →

A = B +C

P∠0° + TAB ∠135° + TAC ∠240° = 0 a) Solución analítica.

Expresando la ecuación vectorial en componentes rectangulares se tiene:

(100iˆ + 0ˆj)+(−0.707T iˆ + 0.707T ˆj) +(−0.5T iˆ − 0.866T ˆj) AB

Desarrollo Resuelve el siguiente problema usando el método de intersección. En la figura 2.29 se muestra una fuerza de 100 N aplicada a dos cables de modo que se mantienen en equilibrio. En la misma figura se muestra el diagrama de fuerzas con sus respectivos ángulos. Determina las tensiones de los cables con el uso de: a) Método gráfico (usando material geométrico). b) Método analítico.

AC

AB

AC

Al agrupar términos en x y y se tienen dos ecuaciones algebraicas: 100 − 0.707TAB − 0.5TAC = 0 0 + 0.707TAB − 0.866TAC = 0 cuya solución es: TAC 5 73.2 N y TAB 5 89.67 b) Solución gráfica con el uso del material geométrico.

c) Usando GeoGebra®.

Ahora se procede a solucionar la ecuación mediante trazos vectoriales con los pasos siguientes:

B

• Copia la imagen del problema (no el diagrama de fuerzas) en una hoja limpia.

45° A

P =100 N

• Selecciona un punto arbitrario cerca de la imagen, para realizar los trazos vectoriales. • Traza los vectores de la siguiente manera: – Grafica el vector conocido, P 5 100 N, escalando la magnitud y a 0°.

60° C

240°

– Traza la dirección de cualquiera de las tensiones; por ejemplo, traza primero la dirección de la tensión AB, paralela al segmento AB.

TAC

– La intersección denota la solución. Mide las longitudes de los segmentos; esa es la solución.

TAB 135° P

Figura 2.29 Problema de la práctica 2.2.


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B Paralelas 45° A

P = 100 N

(2)

(3) (1)

Paralelas 60° C Figura 2.29 Solución gráfica al problema de la práctica 2.2. Figura 2.30 Solución gráfica al problema de la práctica 2.2.

Enseguida, selecciona el vector b y luego el nodo colocado al final del vector p; entonces se dibujará una línea paralela al vector b. Repite el mismo proceso para el vector c con el nodo inicial del vector p. • c.5 Coloca el nodo de referencia y mide. Selecciona la opción nodo y colócalo en la intersección de las líneas. Enseguida, escoge la opción distancia o longitud para medir la longitud de los vectores, que se logra al seleccionar los dos nodos de donde se desea medir la longitud (véase figura 2.32).

c) Solución con el uso de GeoGebra®.

• c.1 Dibuja el vector P. En la barra de entrada teclea: p 5 (10;0°) • c.2 Dibuja una referencia a los vectores TBA y TBC para trazos paralelos: b 5 (5;135°) c 5 (5;240°) • c.3 Coloca nodos de referencia al inicio y final del vector. Selecciona el botón de punto y coloca uno al inicio del vector p y otro al final del mismo. • c.4 Traza las líneas de referencia paralelas. Selecciona la opción paralela de la barra de utilerías (véase figura 2.31).

Figura 2.32 Medida del módulo de vectores en GeoGebra®.

Reporte Resuelve analíticamente los problemas del ejercicio E2.2 d) o E2.2 e). Comprueba los resultados mediante métodos gráficos con el uso de GeoGebra®. Evidencias a) Descripción del problema. b) Cálculos analíticos. c) Gráfica manual usando juego de geometría. d) Impresión de gráficas de la comprobación con GeoGebra®.

Figura 2.31 Opción de líneas paralelas en GeoGebra®.


e) Conclusiones.

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Referencias [1] Sadri, Hassani. (2000). Mathematical methods for students of physics and related fields. Springer. [2] Lehmann. (1980). Geometría analítica. México: Limusa. [3] Luenberger (1969). Optimization by vector space methods. John Wiley. [4] Cabri. http://www.cabri.com. Consultado en marzo de 2015. [5] GeoGebra. http://www.geogebra.org. Consultado en marzo de 2015. [6] Cinderella. http://www.cinderella.de. Consultado en marzo de 2015.


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Mecanismos articulados: análisis de posición y desplazamiento

Propósito del capítulo Una vez bosquejada la teoría de mecanismos y expuestas las herramientas matemáticas, gráficas y computacionales para su estudio, en este capítulo se hace un análisis cinemático de la posición para determinar la naturaleza de la movilidad. A lo largo de este capítulo se analiza la posición en mecanismos articulados mediante la elaboración de ecuaciones cinemáticas, planteando soluciones a través de métodos analíticos, gráficos y computacionales. Competencia específica • Analizar la cinemática de mecanismos articulados a través de métodos gráficos-analíticos que permitan formular y solucionar ecuaciones de posición, a fin de validar resultados de diseño.

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3

Capítulo

Habilidades 1. Deducir los parámetros y las ecuaciones cinemáticas y vectoriales que determinan la posición de un mecanismo. 2. Establecer la capacidad y las limitaciones de movilidad de un mecanismo mediante el análisis de la ecuación de posición. 3. Solucionar el problema de posición en un mecanismo con el uso de herramientas gráficas y(o) analíticas. 4. Verificar los resultados obtenidos en el análisis por medio del uso de software, maquetas y(o) prototipos. 5. Proponer soluciones relacionadas con la movilidad de un mecanismo. Conocimientos requeridos • Clasificación y configuración de mecanismos. • Suma y resta de vectores. • Manejo de material geométrico.

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3.1 Introducción El análisis de posición en mecanismos de cualquier tipo consiste en lo siguiente, dada la posición de uno de sus eslabones determinar la ubicación de cada uno de los elementos del mecanismo en cualquier instante dado, tanto en las articulaciones de los eslabones realizando un análisis de partículas, y la de los eslabones como en el análisis de sólido rígido, con el objetivo de determinar las condiciones de movilidad, funcionalidad y aplicaciones. En primer lugar, resulta importante mencionar que el estudio cinemático de partículas es tratado en cursos introductorios de ingeniería en los que un cuerpo, por inmenso que sea, se representa simplemente como una partícula. Sin embargo, cuando las partículas de un cuerpo difieren en magnitud, posición, velocidad y aceleración, entonces es necesario considerar el cuerpo como un sólido rígido. Por tanto, para el estudio cinemático de sólidos rígidos en un plano, primero se consideran los siguientes tipos de movimientos: traslación, rotación y de plano general, lo que facilita el planteamiento de ecuaciones de posición. Una vez establecidas las ecuaciones de posición, lo que procede es buscar una solución que permita determinar la movilidad y la posición en un instante dado; para esto se recurre a dos métodos: a) Métodos gráficos. Se basan en la solución de una ecuación vectorial mediante el uso de gráficas vectoriales y geométricas. b) Métodos analíticos. Permiten dar solución de ecuaciones vectoriales y(o) geométricas mediante el uso de ecuaciones de álgebra vectorial y(o) geometría analítica. Los métodos gráficos ofrecen cierto grado de confiabilidad debido a la presencia de incertidumbres en el trazo de las gráficas vectoriales; sin embargo, estos presentan un panorama más claro de cómo se comporta el mecanismo. Por su parte, los métodos analíticos son más precisos y, una vez dominada la metodología, la solución es más rápida en comparación con los métodos gráficos. Además, tienen la ventaja de facilitar la implementación computacional para la validación de resultados.

3.2 Tipos de movimiento Considérese que en un mecanismo se presentan los siguientes tipos de movimiento en sus componentes: a) Rotación alrededor de un punto. b) Traslación rectilínea sobre un elemento fijo. c) Plano general.


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Capítulo 3. Mecanismos articulados: análisis de posición y desplazamiento

Un cuerpo con movimiento de rotación se caracteriza porque todas sus partículas generan trayectorias circulares alrededor de un punto llamado centro de giro. De L1 este modo, si el centro de giro se encuentra articulado al marco del mecanismo, entonces la rotación se denomina rotación pura o absoluta, pero si este se encuentra en movimiento se denomina rotación relativa al nodo. m1 Para ilustrar lo anterior considérese el dispositivo que se muestra en la figura L2 3.1, conocido como doble péndulo, que consiste en una masa m1, una palanca de longitud L1 y una masa m2 con una palanca L1. En este caso, se dice que la masa m2 m1 tiene un movimiento de rotación pura o absoluta, ya que rota alrededor de un nodo fijo, mientras que m2 tiene un movimiento de rotación relativa a m1, debido a Figura 3.1 Rotación Figura 3.1 Rotación absoluta y relativa. absoluta y rotación que gira alrededor del mismo. relativa. Por otro lado, el movimiento de traslación se caracteriza porque todas las partículas se mueven con trayectorias paralelas entre sí. Si las trayectorias son rectilíneas, el movimiento se conoce como traslación rectilínea, pero si las trayectorias son circulares, se dice que es traslación curvilínea. Ambos movimientos se ejemplifican en la figura 3.2. Por su parte, el movimiento plano general se caracteriza porque todas las partículas de un cuerpo se mueven de forma independiente, es decir, las trayectorias de cada partícula pueden ser diferentes unas con respecto a otras. En el ejemplo de la figura 3.1 el movimiento relativo de la masa m2 con respecto a la masa m1 (vista desde m1) es de rotación, pero con relación al plano estacionario, es decir, como lo vería el lector, es un movimiento de plano general, ya que genera trayectorias desconocidas. En tanto, en el ejemplo de la figura 3.2 el movimiento de traslación curvilínea de la masa m es un caso particular del movimiento plano general, ya que debido a las dimensiones de los eslabones puede ser considerado como un movimiento de traslación curvilía) Rectilínea nea; sin embargo, cualquier alteración en las dimensiones de las cuerdas provocaría que dejara de ser traslación curvilínea para convertirse en movimiento plano general.

3.3 Mecanismos articulados Los mecanismos articulados son aquellos donde la transmisión del movimiento entre eslabones se realiza a través de una junta o unión articulada, la cual permite el movimiento relativo entre los eslabones sin la separación. Existen diversos mecanismos que utilizan la articulación entre sus eslabones; por ejemplo, en la figura 3.3 se observan diversas máquinas para realizar ejercicio que han sido instaladas en diversos parques públicos del país y que utilizan eslabonamientos articulados.


m

b) Curvilínea

Figura 3.2 Traslación rectilínea y curvilínea.

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Figura 3.3 Mecanismos de máquinas para hacer ejercicio.

En el estudio de mecanismos es muy común que cuando se habla de mecanismos articulados, por lo general se hace referencia a tres tipos distintos: 1. El mecanismo de cuatro barras (RRRR). 2. El mecanismo de manivela-corredera (RRRP). 3. Las diadas.

3.4 Parámetros relacionados con la posición y el desplazamiento Inversión cinemática Antes de plantear las ecuaciones cinemáticas de posición y desplazamiento en un mecanismo articulado, hacemos un breve estudio acerca de la capacidad de movilidad con énfasis en los mecanismos de cuatro barras y de manivela-corredera. En un mecanismo articulado se pueden observar diferentes configuraciones de movilidad, las cuales dependen, entre otras cosas, de las dimensiones de los eslabones y del tipo de configuración cinemática. La configuración cinemática se refiere al tipo de mecanismo que se forma al seleccionar el elemento fijo mediante un procedimiento conocido como inversión cinemática. Por ejemplo, para el caso de un mecanismo de cuatro barras se tienen cuatro configuraciones (véase figura 3.4). En la figura 3.4 a), primero se selecciona el elemento s como elemento fijo y se tiene una configuración llamada manivela-oscilador, donde el elemento impulsor l puede dar revoluciones completas, mientras que el impulsado q solo puede oscilar. La configuración b), donde l es ahora el elemento fijo, se conoce como doble manivela o mecanismo de arrastre, ya que tanto el impulsor p como el impulsado s dan revoluciones completas. Por su parte, la configuración c) recibe el nombre de oscilador-manivela, que es el caso inverso de la configuración a); en esta configuración se considera al elemento q como elemento impulsor y a l como el impulsado. Por último, a la configuración d) se le conoce como doble oscilador, ya que ninguno de los dos eslabones, p y s, puede dar revoluciones completas. En la figura 3.4, las configuraciones manivela-oscilador a) y doble manivela b) pueden disponer de un elemento motriz que pueda dar revoluciones completas,


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I

E

p p E

q

q

l

l s

s

a) Manivela-oscilador

I

b) Doble manivela

p

p

q

I

q

l I

E

s

s

E

c) Oscilador-manivela

d) Doble oscilador

Figura 3.4 Inversión cinemática de un mecanismo de cuatro barras.

mientras que en las configuraciones oscilador-manivela c) y doble oscilador d) no es posible colocar un motor. Ahora bien, para un mecanismo manivela-corredera también es posible obtener cuatro configuraciones, como se muestra en la figura 3.5.

p

l

p l

q

s a) Manivela-corredera

b) Deslizamiento con collarín libre

p

l s

q

s

p

l q

c) Deslizamiento con collarín articulado

q s d) Oscilador-corredera

Figura 3.5 Inversión cinemática de un mecanismo manivela-corredera. Figura 3.5 Inversión cinemática de un mecanismo manivela-corredera.


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En la figura 3.5 a) se muestra la configuración de manivela-biela-corredera, mientras que en la figura 3.5 b) se fija la manivela l y se deja libre el elemento sobre el cual se desliza, teniendo ahora un mecanismo de deslizamiento puro donde la manivela p mueve a la manivela s por medio del collarín q. Por su parte, el mecanismo de la figura 3.5 c) se forma al fijar el elemento p, de modo que el elemento s se desliza sobre q, pero el collarín q solo puede rotar alrededor del pivote. Por último, en el mecanismo de la figura 3.5 d) se fija la corredera q; a diferencia del mecanismo de la figura 3.5 c), en este caso la corredera ya no puede girar y se tiene un mecanismo oscilador p moviendo a una corredera s.

Condición límite y ley de Grashof Debido a que los mecanismos por lo general son impulsados por motores que requieren dar revoluciones completas, es necesario verificar las condiciones de movilidad de cada tipo de mecanismo para verificar que no haya interferencia en este. Así, para los mecanismos de cuatro eslabones es posible obtener una ecuación que exprese las condiciones en las que el mecanismo se puede atorar por la interferencia. En el caso de un mecanismo manivela-corredera es fácil determinar de forma gráfica tal condición, como se puede apreciar en la figura 3.6, ya que basta con que la manivela l sea menor que la biela p. p

l

p

l q

RB

RB

Figura 3. 6deCondición de un manivela-corredera. mecanismo manivela-corredera. Figura 3.6 Condición movilidadde demovilidad un mecanismo

Lo anterior puede corroborarse con el uso de la ley de cosenos, de la que se puede concluir la siguiente ecuación:

p 2 = l 2 + RB 2 − 2lRB cos (θ) (3.1)

donde RB es la posición de la corredera y θ el ángulo de entrada de la manivela. Como en la ecuación (3.1), la incógnita es RB; entonces se tiene una expresión matemática en forma cuadrática cuya solución es:

RB = l cos (θ) ± l 2 (cos2 θ − 1) + p 2 (3.2)

Puesto que (cos2 θ21) 0, entonces la ecuación (3.2) tiene solución si p  l. Por su parte, en un mecanismo de cuatro barras la condición de movilidad es más complicada de obtenerse de forma gráfica. Para tal caso existe una condición llamada ley de Grashof,[3] que permite obtener las condiciones de movilidad en un mecanismo de cuatro barras.


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Ley de Grashof En un cuadrilátero articulado de cuatro barras (RRRR), si la suma de las longitudes más grande y más corta es menor o igual que la suma de las dos longitudes restantes, entonces el elemento de menor longitud puede dar revoluciones completas.

Matemáticamente, la ley de Grashof se puede escribir como l mayor + l menor ≤ ∑ l restantes (3.3)

donde lmayor y lmenor son las longitudes del eslabón más grande y el más corto, respectivamente, y

∑l

restantes

es la suma de las longitudes restantes.

En la ecuación (3.3) solo se consideran las longitudes de los eslabones del mecanismo, independientemente de cuál sea el eslabón fijo. No obstante, como se demostró en la figura 3.4, existen algunas configuraciones donde el elemento impulsor no puede dar revoluciones completas, por lo que, además de validar la condición de Grashof, es necesario verificar que el mecanismo corresponda con la adecuada inversión cinemática.

Curvas de acoplamiento Otro tópico importante para el análisis y diseño de mecanismos está relacionado con la posición de la biela de un mecanismo. Las bielas, también conocidas como acopladores, tienen la función de transmitir el movimiento entre eslabones. Debido a la naturaleza del movimiento de una biela, todas las partículas que la conforman tienen trayectorias diferentes, y se conocen como curvas de acoplamiento, las cuales pueden servir para continuar el movimiento del mecanismo hacia otros eslabones, o bien para efectuar una tarea específica acorde con su trayectoria. En la figura 3.7 se muestra un mecanismo de cuatro barras con un acoplador con tres eslabones fijos a él. Como se puede observar, dependiendo de las

Figura 3.7 Curva de acoplamiento en Vir-Mech®.


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dimensiones y la ubicación de los eslabones articulados, se generan diferentes trayectorias. Las diferentes trayectorias de los diferentes puntos de un acoplador se conocen como curvas de acoplamiento.

Perforadora

Las aplicaciones de las curvas de acoplamiento en las máquinas son diversas e importantes. Por ejemplo, en la figura 3.8 se observa el mecanismo de una excavadora portátil, la cual aprovecha la trayectoria de la curva del acoplador para llevar a cabo su función de perforación. Otro ejemplo de la aplicación de las curvas de acoplamiento es la prótesis mecánica de un animatronics, que recibe el nombre de mecanismo de Theo Jensen (véase figura 3.9). El mecanismo de Theo Jensen tiene la particularidad de generar una trayectoria similar a la del mecanismo de la excavadora de la figura 3.8, al aprovechar la trayectoria recta para apoyar la extremidad y avanzar.

Palanca de mando

Figura 3.8 Excavadora portátil.

Relación de tiempo (Q) Otro parámetro relacionado con la movilidad de un mecanismo de cuatro barras (RRRR) y de gran importancia sobre todo en el diseño de mecanismos se conoce como la relación de tiempo (Q), la cual se define como: Figura 3.9 Mecanismo de Teo Jensen en animatronics.

tret tav

3 4

dav dret

2

Figura 3.10 Relación de tiempo.


Q=

t av δ = av (3.4) t ret δret

donde la variable tav denota el tiempo de avance del oscilador, mientras que t ret es el tiempo de retroceso, δav se define como el ángulo de avance y δret como el ángulo de retroceso. Estos parámetros se pueden visualizar si se coloca el mecanismo en sus posiciones extremas, como se muestra en figura 3.10. La relación de tiempo es útil para determinar la capacidad del mecanismo manivela-oscilador para retornar a su posición inicial en un tiempo menor al avance; por ejemplo, si la relación de tiempo es Q 5 2, entonces el tiempo de retroceso es la mitad del avance, lo que significa que se tiene un retorno de manivela de salida más rápido que el avance. El cálculo de la relación de tiempo en función de las longitudes li de los eslabones, así como de su inclinación θ1, se " " " " puede deducir de una gráfica vectorial R 4 5 R 1 1 R 2 2 R 3. Así, al utilizar el producto escalar por sí mismo se tiene: " " " " " " " " R 4 · R 4 5 (R 2 1 R 3 2 R 1 ) · (R 2 1 R 3 2 R 1 )

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que da como resultado: l 4 2 = l 22 + l 32 + l12 − 2l1l 2 cos (θ2 − θ1 ) − 2l1l 3 cos (θ3 − θ1 ) + 2l 2l 3 cos (θ3 − θ2 ) y que a su vez puede expresarse como: k a + l 2 cos (θ2 − θ1 ) + l 3 cos (θ3 − θ1 ) − k b cos (θ3 − θ2 ) = 0 donde: l 2 − l 22 − l 32 − l12 ll ka = 4 kb = 2 3 , l1 2l1

(3.5)

(3.6)

Si se consideran los extremos del mecanismo de la figura 3.10, se tiene que cuando θ3 5 θ2 aparece la condición extrema a la derecha, la cual se denota como qmín.* Al sustituir θ3 5 θ2 en la ecuación (3.5) se puede obtener θmín. El otro extremo, a la izquierda, se logra cuando θ31 θ2 5 2180°, y se denota θmáx. De este modo,1  k − ka   −k − k a  + θ1 (3.7) + θ1 , θ2mín = cos −1  b θ2máx = cos −1  b   l2 + l3   l 2 − l 3  Una vez que se tienen los extremos de la manivela de entrada, es posible obtener tanto el ángulo de avance δav como el ángulo de retroceso δret:

δav = θ2máx − θ2mín ,

δret = 360° − δav (3.8)

Nota En la ecuación (3.7) debe tenerse precaución al determinar el coseno inverso debido a la identidad cos(θ) 5 cos(2θ), donde θ es el valor que se obtiene al evaluar los términos que se encuentran dentro del paréntesis del coseno inverso; por tanto, si θ es negativo, se recomienda extraer el coseno inverso del valor absoluto y luego sumarle 180°. Es importante resaltar que esto se aplica solo para mecanismos que cumplen con la condición de Grashof. Por último, y para complementar el análisis, una vez que se obtienen los valores θ2mín y θ2máx solo falta determinar los ángulos correspondientes del oscilador para estos valores, los cuales se denotan como θ4mín y θ4máx, y se pueden obtener de una manera sencilla con el uso de una de las componentes rectangulares de la ecuación vectorial de posición; es decir, de la ecuación: MD MX

MD MX

" " " " R o 1 R B/04 5 R A 1 R B/A Las componentes rectangulares en el eje x se pueden extraer así: l1 cosθ1 1 l4 cosθ4 5 l2 cosθ2 1 l3 cosθ3 * Puede existir confusión con un valor mínimo del ángulo de entrada, por lo que conviene aclarar que se trata solo una nomenclatura que relaciona al valor mínimo del eslabón de salida.


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Como se tienen los valores extremos donde se cumple la igualdad θ3 5 θ2, entonces se puede despejar el ángulo del oscilador θ4 para cada valor extremo; así, se tienen los ángulos máximos de oscilación, es decir:

θ4máx

Ejemplo

3.1

(

)

(

)

 (l 2 + l 3 ) cos θmín − l1 cos θ1  θ4mín = cos −1   l4    (l 2 − l 3 ) cos θmáx − l1 cos θ1  = cos −1   l4  

(3.9)

Relación de tiempo Considérese el mecanismo de cuatro barras de la figura 3.10, el cual tiene las siguientes longitudes: l1 5 7, l2 5 3, l3 5 10 y l4 5 7. Determinar los ángulos mín-máx de la manivela impulsora y del oscilador, así como la relación de tiempo. Solución

Con el uso de las ecuaciones (3.6) es posible obtener los valores de ka y kb. Así, ka 527.78, kb 5 4.28 donde los valores extremos mín y máx del ángulo de entrada son: θ2mín = 21.92° y θ2máx = 240° Los valores mín-máx del oscilador se obtienen con el uso de la ecuación (3.7):  ((l 2 + l 3 ) cos θmín − l1 cos θ1 )   (3 + 10)cos(21.92°) − 7 cos(0°)  θ4mín = cos −1   = cos −1   = 43.70° l 7    4  ((l 2 − l 3 ) cos θmáx − l1 cos θ1 )   (3 − 10)cos(240°) − 7 cos(0°)  θ4máx = cos −1   = cos −1   = 120° 7 l4   

Ahora se determinan los ángulos de avance y de retroceso con el uso de la ecuación (3.8): δav = 240° − 21.92° = 218.08° δret = 360° − 218° = 141.92° Así, la relación de tiempo es: Q=

δav 218.08 = = 1.53 δret 141.92

El resultado de este ejemplo se visualiza mejor en la figura 3.11, donde se muestra una gráfica del comportamiento de las variables θ4 vs. θ2, y en la que se aprecian los valores mínimos y máximos.


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130

218.08 218.08

130

110

110

90

90

70

70

50

50

141.92

30

30

141.92

10

10

20 20

50

80

50

80

110 140 170 200

110 140 170 200

230 260 290 320 350

230 260 290 320 350

Figura 3.11 Resultado del ejemplo 3.1.



Ángulo de transmisión (Tr) En un mecanismo de cuatro barras existe otro Fy’ = F34 sen µ F34 parámetro, el cual permite determinar la eficiencia en la transmisión de fuerza al oscilador, 3 µ el cual se conoce con el nombre de ángulo de Fx’ = F34 cos µ p transmisión. El ángulo de transmisión, μ, como se mues4 2 tra en la figura 3.12, se define como el valor τ4 absoluto del ángulo entre el eslabón de salida τ2 y el acoplador. Este valor varía desde un valor mínimo a un máximo conforme el mecanismo Figura 3.12 Ángulo de transmisión. realiza su movimiento. Como se puede apreciar en la figura 3.12, la fuerza que el eslabón 3 transmite hacia el eslabón 4, F34 , se reparte en dos componentes, denotadas por Fx ’ y Fy ’ sin embargo, el par torsional del eslabón 4, denotado por τ4, depende solo de la componente Fx , ya que es perpendicular al radio, mientras que la componente Fy ’ , no produce torque sobre el eslabón 4 y solo produce tensión o compresión sobre la barra 4, afectando a las uniones entre 3 y 4. Además de afectar a la magnitud del par torsional del eslabón 4, el ángulo de transmisión también interviene en otro parámetro conocido como ventaja mecánica. En términos generales, la ventaja mecánica relaciona la fuerza en el eslabón de salida de un mecanismo con la fuerza del eslabón de entrada; [4] por ejemplo, la ventaja mecánica del mecanismo de la figura 3.12 queda definida por:

VM =

l senµ τ4 ω =− 2 =− 4 (3.10) τ2 ω4 l 2 senρ

Si el ángulo de transmisión se reduce de manera considerable, entonces la ventaja mecánica también se reduce, al grado de que pequeños valores de fricción provocan que el mecanismo se trabe.


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80


Por tanto, la mayoría de los diseñadores recomiendan mantener un ángulo de transmisión mayor a 45°, a fin de garantizar un movimiento suave y una buena transmisión de fuerza.[3][4]

3.5 Método gráfico para determinación de posición Los métodos gráficos para el análisis de posición y desplazamiento en mecanismos constituyen una excelente herramienta en el estudio cinemático, debido a que presentan un panorama muy claro de su funcionamiento. El análisis de posición consiste en lo siguiente: Dadas las longitudes de sus eslabones y la ubicación de sus pivotes, determina la posición de cada uno de los eslabones en función de la posición de entrada. Para el análisis de posición con el uso del método gráfico se sugiere el siguiente procedimiento: 1. Establecer en una hoja de papel los nodos de todas las manivelas. 2. Trazar las trayectorias circulares de los nodos pertenecientes a las manivelas con el uso de sus radios de giro. 3. Trazar las trayectorias de los nodos de las correderas paralelas al deslizamiento. 4. Establecer la posición del eslabón conocido. 5. Para establecer la posición de las bielas, utilizar un compás cuya abertura sea el radio de la biela, posicionando el inicio del compás en la posición del eslabón conocido y luego trazando una circunferencia que interseque la trayectoria del otro eslabón.

Ejemplo

3.2

Método gráfico de posición de un mecanismo de cuatro barras Considérese el mecanismo de cuatro barras de la figura 3.13, cuyas longitudes son: l1 5 7, l2 5 3, l3 5 10 y l4 5 7. Determinar la posición de los eslabones si θ1 5 0° y θ2 5 110°. B

3 A 4

2

q2 O2

1

q4

q1 O4

Figura 3.13 Ejemplo 3.2.


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Solución

Primero se establecen las posiciones de las articulaciones O2 y O4, para lo cual se utiliza l1 5 7 y q1 5 0°. Enseguida se trazan las circunferencias relacionadas con las trayectorias de las manivelas de entrada y salida (véase figura 3.14). 6 4

A

2 0 -4

-2

0 02 2

4

6 04 8

10

12

14

16

-2 -4 -6

Figura 3.14

Luego, al ubicarse en el nodo de entrada correspondiente a 110° de la posición de la manivela de entrada, se traza una circunferencia de la longitud l3 5 10 cm. La intersección indica dos soluciones existentes, conocidas como solución abierta y solución cerrada, por lo que se debe escoger la correcta al tener el conocimiento de la posición última anterior (véase figura 3.15). Por último, se selecciona la solución 1 y con esto se tiene la solución para la posición del mecanismo (véase figura 3.16).

Solución 1 6 A

4

L = 10 cm

2 -4

0 02 -2 0 2 -2

04 4

6

8

10 12 14 16

-4 Solución 2

-6

Figura 3.15

B 6

A

4 q3 5 24.17° 2 0

-2

q4 5 80.98°

q2 5 11.01° 0 O2 2

4

6 O4 8

10

-2

Figura 3.16


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Ejemplo

3.3

Método gráfico de posición de un mecanismo manivela-corredera Considérese el mecanismo RRRP de la figura 3.17. Si la manivela de entrada se encuentra posicionada a un ángulo de 40°, determinar la posición del nodo B de la corredera en forma gráfica. La barra 2 tiene una longitud de 3.0 cm y la barra 3 una de 7.76 cm. A 2

3

40°

4 B

6.4 cm

32° Figura 3.17 3.17 Ejemplo Figura Ejemplo3.3. 3.3.

Solución

Primero se define el origen de la manivela de entrada y la trayectoria del nodo B. Luego se traza la trayectoria del nodo A correspondiente a la manivela de entrada 2, de 3 cm. Posición de entrada

Nodo fijo de la manivela

2

2

0 -2

0 0

2

4

6

8

-2

10

-2 -4

Trayectoria del nodo A 0

2

4

6

8

10

-2 Trayectoria del nodo B

-6

-4

Trayectoria del nodo B

-6

Figura 3.18 Figura 3.18.

Enseguida se localiza la posición de entrada A1, que se encuentra a 40°, y se traza un arco de radio 7.76 cm, que corresponde a la longitud de la biela. Una vez elaborado el trazo, se localizan las intersecciones con la trayectoria del nodo B, que son las soluciones. Una vez localizada la solución, entonces se dibuja el mecanismo total. El nodo B, que se encuentra ubicado en (9.72, 20.34), se desplazó una distancia de 11.4 cm a partir de la referencia O4 (véase figura 3.19).


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2

2

r = 7.76 cm

0 -2

0 0

2

4

6

8

-2

10

2

-2

-2

-4

-4

-6

-6

4

6

8

12

Figura 3.19

3.6 Métodos analíticos para determinación de posición Existen diversas herramientas matemáticas para solucionar el problema de posición de un mecanismo articulado. Destacan las siguientes: vectores, números complejos y ecuaciones de geometría analítica. El uso de vectores y números complejos para la solución del problema de posición son idénticos, solo difiere la forma en que se representa la posición; no obstante, el uso de números complejos representa una ventaja cuando se representa en forma polar, ya que la operación de derivar la ecuación de posición para obtener la ecuación de velocidad y aceleración es más simple que el método vectorial. Sin embargo, debido a que las ecuaciones a solucionar (de posición, velocidad y aceleración) son ecuaciones vectoriales, es conveniente tratarlas como tal, es decir, separando la magnitud de la dirección. Por su parte, el uso de ecuaciones de geometría analítica para solucionar la posición de un mecanismo requiere de métodos numéricos para la solución, lo que se expone con detalle en el capítulo 11. En este capítulo se utiliza la herramienta de vectores para plantear las ecuaciones de posición en mecanismos articulados. Así, se hace uso del vector unitario λ, para facilitar la deducción de ecuaciones y sus soluciones.

Posición y desplazamiento El análisis de posición y desplazamiento en los elementos de un mecanismo articulado se efectúa sobre sus componentes principales: a) Los nodos, considerados como partículas. b) Los eslabones, considerados como sólidos rígidos. Para ello, considérese inicialmente el análisis de posición y desplazamiento en una partícula, donde la posición en un instante del nodo se denota por p1, posteriormente


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y, I

Trayectoria p2 zp

2

∆ rp

se mueve con una trayectoria determinada y concluye en una posición p2, como se muestra en la figura 3.20. Independientemente de la trayectoria, el cambio de posición de la partícula desde p1 a p2, conocida como desplazamiento de la partícula, se denota por Δrp y se expresa como: ∆ rp = z p − z p (3.11) Continuando con el estudio de posición y desplazamiento, ahora considérese un sólido rígido con dos puntos de análisis, p y q, como se muestra en la figura 3.21. De aquí se deduce que la posición de dos puntos de un sólido rígido en un instante dado se expresa por: (3.12) z p = z q + z p /q ecuación que se conoce como ecuación de posición de puntos de la misma barra, donde las posiciones zp y zq reciben el nombre de posición “absolutas”, ya que se miden a partir de la referencia (0, 0), y la posición. Por su parte zp/q se conoce como posición relativa, ya que es la posición de un punto con respecto a otro del mismo sólido rígido. Además es importante afirmar lo siguiente: 2

p1

zp

1

x, R

Figura Desplazamiento departícula. una Figura 3.203.20 Desplazamiento de una partícula. Y

q Z p/q p

Zq Zp

X

(0 , 0)

Figura 3.21 dede unun sólido Figura 3.21Posición Posición sólidorígido. rígido.

1

Afirmación 3.1 Independientemente de las trayectorias de los nodos de un sólido rígido, la trayectoria relativa de un nodo con respecto a otro del mismo sólido rígido siempre será circular.

La afirmación anterior se basa en el hecho de que el radio de giro de una partícula con respecto a otro del mismo elemento es de magnitud constante. De lo contrario, no se trataría de un sólido rígido, aunque este puede cambiar en dirección. Al cambiar en dirección y no en magnitud se concluye que la trayectoria relativa siempre será circular, como se ejemplifica en la figura 3.22.

p1

O

Trayectoria de O

p2

Trayectoria relativa de p vista desde O (p/O)

Trayectoria de p

Figura 3.22 Trayectoria relativa.


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Ahora bien, si el sólido rígido se desplaza, entonces la ecuación de posición (3.12) pasa a escribirse como ecuación de desplazamiento de puntos de la misma barra de la forma: z p = z q + z p /q (3.13) Esta ecuación se usa poco en el análisis de mecanismos. Quizá su única aplicación consiste en establecer la ecuación de velocidad de puntos de la misma barra, la cual se obtiene al dividir la ecuación por el tiempo. Sin embargo, de la ecuación de posición se puede utilizar para establecer la posición del mecanismo. A continuación se procede a buscar soluciones a la ecuación de posición (3.12).

Solución usando vectores y números complejos Para este tema, considérese la ecuación de posición de puntos de la misma barra (3.5), ahora expresada en forma vectorial como: → → → (3.14) R p = R q + R p /q En el capítulo 2 se presenta la metodología para solucionar una ecuación vectorial tanto en método gráfico como analítico, donde se ve que, para el caso analítico, esta se puede solucionar al separar en componentes rectangulares:

∑ x : r cos θ + r ∑ y : r senθ + r

p

p

p /q

p

p

p /q

cos θp /q

senθp /q

Una solución alterna consiste en eliminar una de las incógnitas dejando una sola ecuación algebraica que contenga la variable de salida. Esto se logra si de la ecuación (3.14) se multiplican ambos lados por el mismo término mediante el producto escalar, es decir: → → → → → → R p ⋅ R p =  R q + R p /q  ⋅  R q + R p /q     

Entonces, el resultado es una ecuación algebraica de la forma: rp 2 = rq 2 + rp /q 2 + 2rp rq cos (θp − θp /q ) (3.15) De manera análoga, también se puede obtener el mismo resultado si se utiliza la forma de números complejos, es decir: z p = z q + z p /q Usando la forma exponencial z 5rei θ y multiplicando por su complemento se tiene: −i θ −i θ −i θ iθ iθ iθ rpe rpe = (rqe + rp /qe ) ⋅ (rqe + rp /qe ) p


p

q

p /q

(

rp 2 = rp 2 + rp /q 2 + rq rp /q e (

i θq −θp / q )

q

p /q

)

−i θ −θ ) (3.16) +e ( q

p /q

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Por último, si usamos la función cosenoidal en la forma de Euler (véase tabla 2.2) en la ecuación (3.16), se puede llegar al mismo resultado presentado en la ecuación (3.15).

Solución usando ecuaciones geométricas Como se señaló antes, la solución por medio de ecuaciones geométricas requiere de un método numérico para obtener las soluciones, el cual se aborda con mayor formalismo en el capítulo 11. No obstante, el análisis de velocidad utiliza ecuaciones geométricas reducidas, por lo que son más simples de resolver, además, en algunos casos, ofrece determinadas ventajas. Las ecuaciones geométricas se basan principalmente en formular ecuaciones entre nodos. Además, debido a que estas ecuaciones son algebraicas y al saber que por cada nodo se tienen dos incógnitas, se requieren dos ecuaciones geométricas por cada nodo incógnita para la solución. Para barras, ya sean manivelas o bielas, se recomienda utilizar la ecuación de la distancia para relacionar dos puntos de una misma barra, mientras que para las deslizaderas se sugiere usar la ecuación de la recta.

Metodología Para expresar el problema de posición considere un mecanismo articulado del cual se requiere determinar una ecuación que relacione la posición del elemento de salida, Ps, en función de la posición del elemento de entrada Pe. Para resolver este problema es recomendable considerar el siguiente procedimiento: 1. Establecer la ecuación de posición considerando: a) Datos conocidos. Entre los que destacan las dimensiones de los eslabones, la posición de las barras fijas y la posición del eslabón de entrada Pe. b) Datos desconocidos. La posición de los eslabones que no incluyan Pe. 2. Enumerar los eslabones del mecanismo de forma ascendente y para cada articulación definir una letra ascendente que la identifique. 3. Dibujar un diagrama vectorial que contenga las posiciones absolutas de todas las articulaciones y las posiciones relativas. 4. Establecer una ecuación que comunica el eslabón de entrada Pe con el de salida Ps. a) Si la ecuación establecida contiene dos incógnitas, entonces la ecuación tendrá solución. b) Si la ecuación dispone de más de dos incógnitas, entonces se requerirá relacionar la posición de salida con otro punto para establecer otra ecuación de puntos de la misma barra. 5. Para transformar la ecuación vectorial en una algebraica de una incógnita, despejar de la ecuación de posición el vector posición de la biela; con esto se


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puede eliminar la posición angular de la biela, dejando la posición del eslabón de salida en función de la entrada. 6. Utilizar las propiedades de los vectores y(o) números complejos para reducir el problema a una ecuación algebraica. 7. Para la ecuación final buscar una solución algebraica o numérica.

Aplicación: mecanismo de cuatro barras Para el tratamiento de este tema consideramos el mecanismo de cuatro barras cuyos vectores de posición se muestran en la figura 3.23. En el caso de este mecanismo, vamos a determinar la ecuación algebraica de posición que relacione la posición θ4 en función de θ2.

B RB/A 3

A

RB

4 2 θ2 5 110° O2

θ4 5 81°

RA O2

O4

RB/O4

R0

O4

Figura 3.23 Vectores de posición de un mecanismo de cuatro barras.

Como se puede observar, en la figura 3.23 se aprecian las posiciones de los nodos, que son: " " " " R A 5 I2 q2 , R B/A 5 I3 q3 , R B 5 I4 q4 , R O 5 IO qO Enseguida, se plantea una ecuación de puntos de la misma barra en la biela 3: XX MO MX

" " " R B 5 R A 1 R B/A Como la magnitud y la dirección del vector RB cambian durante el movimiento, este se considera como un vector completamente desconocido; de aquí que se tengan tres incógnitas. Por tanto, se requiere formular otra ecuación de puntos de la misma barra de RB con respecto a O4: XX MO MX

" " " R B 5 R O 1 R B/O4


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Luego se igualan las dos ecuaciones y se tiene una ecuación con dos incógnitas, la cual tiene solución: MD MX

MD MX

" " " " R O 1 R B/O4 5 R A 1 R B/A

Al tener como incógnitas θ4 y θ3, y puesto que la variable requerida es la posición angular de salida, es decir θ4, entonces se procede a eliminar la variable θ3. Lo anterior se logra si se despeja RB/A: " " " " R B/A 5 R O 1 R B/O4 2 R A

Enseguida se realiza la operación de producto punto en ambos lados de la igualdad por su propio término:

"

"

(

"

"

"

)(

"

"

"

RB / A RB / A = RO + RB /O − RA RO + RB /O − RA 4

"

"

4

" "

"

) (

"

"

"

"

"

= (RO RO ) + (RA RA ) + (RB /O RB /O ) + RB /O RO + RB /O RO

4

"

"

" "

(

"

4

"

4

"

"

−(RA RO + RA RO ) − RB /O RA + RB /O RA

4

4

4

)

)

Al aplicar la propiedad del producto escalar se tiene como resultado: l 32 = l 12 + l 22 + l 4 2 + 2l 4l1 cos ( θ4 − θ1 ) − 2l 2l1 cos ( θ2 − θ1 ) − 2l 4l 2 cos ( θ4 − θ2 )

la cual puede reescribirse como:

k1 − k 2 cos (θ4 − θ1 ) + k 3 cos (θ2 − θ1 ) + cos (θ4 − θ2 ) = 0

(3.17)

donde las constantes k denotan la proporcionalidad de las longitudes del mecanismo, es decir: l 2 − l12 − l 22 − l 4 2 l l k1 = 3 , k2 = 1 , k 3 = 1 (3.18) 2l 2l 4 l2 l4 La ecuación (3.17) se conoce como ecuación de Freudenstein[4] y representa la relación entre el ángulo de salida θ4 y el ángulo de entrada θ2 en un mecanismo de cuatro barras. Para determinar el ángulo de salida θ4 a partir del ángulo de entrada θ2 es necesario utilizar identidades trigonométricas o bien emplear un método numérico para la solución. Sin embargo, McCarthy[3] propone una solución, para lo cual se define el siguiente cambio de variables: θ2′ = θ2 − θ1

θ4′ = θ2 − θ1

Puesto que cos (θ 4' 2 θ 2’ ) 5 cos(θ 4 ’ )cos(θ 2’ ) 1 sen(θ 4 ’ )sen(θ 2’ ), entonces la ecuación (3.17) puede ser escrita como:


Acos(θ 4’ ) 1 Bsen(θ 4’ ) 5 C

(3.19)

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89


donde:

A = 2l 2l 4 cos(θ2′ ) − 2l1l 4 B = 2l 2l 4 sen(θ2′ )

2 1

C = l + l4

2

(3.20)

+ l 2 − l 3 − 2l1l 2 cos(θ2′ ) 2

2

Según planteó McCarthy, la solución a esta ecuación está dada por la ecuación:

  C B θ4′ = tan−1   ± cos −1  (3.21) 2 2  A  A + B 

En la ecuación 3.17 es posible corroborar la obtención de dos ángulos de q4 para cada q2. Esto se explica porque para cada posición de la manivela de entrada pueden existir dos posiciones de la manivela de salida, como se muestra en el ejemplo 3.2. Por tanto, debe seleccionarse el ángulo apropiado según la posición de la iteración anterior. Por último, ya con el ángulo de salida y por simple trigonometría se puede determinar el ángulo de la biela:  l sen( θ1 ) + l 4 sen( θ4 ) − l 2 sen( θ2 )  θ3′ = tan−1  1   l1 cos ( θ1 ) + l 4 cos ( θ4 ) − l 2 cos ( θ2 ) 

(3.22) Notas La solución planteada en la ecuación (3.19) permite determinar la posición de un mecanismo donde se requiere tomar en cuenta algunas consideraciones para poder seleccionar el ángulo adecuado. Este problema se puede evitar mediante el uso de un método numérico que considere las posiciones anteriores, el cual es útil si se desea efectuar una simulación. En el capítulo de Análisis y síntesis usando algoritmos computacionales se presenta uno de los métodos numéricos más utilizados para solucionar un sistema de ecuaciones no lineales, y que puede ser usado para determinar no solo la posición de un mecanismo, sino la velocidad y la aceleración.

Método analítico de posición de un mecanismo de cuatro barras Resolver el problema del ejemplo 3.2 con el uso del método analítico.

Ejemplo

3.4

Solución

La posición de los eslabones se obtiene al calcular los valores de A, B y C de la ecuación (3.20). Puesto que θ 2’ 5 θ2 2 θ1, θ 4’ 5 θ2 2 θ1, y como θ1 5 0, entonces se obtienen los valores para A 52112.36, B 5 39.46 y C 5 21.36. Por tanto:

  21.36  39.46  θ4 = tan−1  ± cos−1     −112.36   112.362 + 39.462  = 160.64 ± 79.66


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90


Luego, por inspección gráfica, se selecciona el mecanismo de la configuración superior del eslabón 4, aunque la otra inversión es válida. Por tanto, el ángulo del eslabón de salida es: θ4 5 80.98° El ángulo de la biela se obtiene al usar la ecuación (3.16):

θ3 5 24.16°

3.7 Aplicación: Mecanismo de manivela-biela-corredera Ahora considérese un mecanismo manivela-biela-corredera y sus vectores de posición, como el de la figura 3.24, se determina la ecuación de posición que relaciona la posición de la corredera en función de la posición de la manivela 2. I A 3

2

ZA

4

ZB/A

B

R ZB

Z0

Figura 3.24 Vectores de posición de un mecanismo manivela-corredera.

Para determinar la ecuación de posición, en este caso, se utiliza la representación por números complejos para mostrar el uso de las operaciones con este tipo de números: RA = l 2e θ , RB / A = l 3e θ , RB = l 4e θ , RO = lOe θ z A + zB / A = z 0 + zB 2

3

4

0

donde se tienen como incógnitas la variable de salida RB y la de la biela θ3. Ya que la variable de interés es la posición de la corredera RB, entonces se procede a eliminar la variable θ3: zB / A = z 0 + zB − z A Al multiplicar por su complemento se tiene: l 3e iθ l 3e −iθ = (l 0e iθ + l 4e iθ − l 2e iθ 3

3

0

4

2

)(l 0e −iθ

0

+ l 4e −iθ − l 2e −iθ 4

2

)

Ahora, al aplicar las propiedades de la tabla 2.4, se puede llegar al siguiente resultado: 2 l 3 = l 02 + l 22 + RB 2 + 2RBl 0 cos ( θ4 − θ0 ) − 2l 2l 0 cos ( θ2 − θ0 ) − 2RBl 2 cos ( θ4 − θ2 )


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91


que puede reescribirse como: ARp 2 + BRp + C = 0

donde:

(3.23)

A =1

B = 2l 0 cos(θ4 − θ1) − 2l 2 cos(θ4 − θ2 ) (3.24) C = l 2 + l 2 − l 2 − 2l l cos(θ − θ ) 0

2

3

2 0

2

0

La ecuación (3.24) puede solucionarse usando la fórmula general de la ecuación cuadrática. Por último, el ángulo θ3 se calcula como:  By − Ay  θ3 = tan−1   Bx − Ax  (3.25)  l 0 sen( θ1 ) + l 4 sen( θ4 ) − l 2sen ( θ2 )  −1 θ3 = tan    l 0 cos ( θ1 ) + l 4 cos ( θ4 ) − l 2 cos ( θ2 ) 

{ {

} }

Método analítico de posición de un mecanismo manivela-corredera Resolver el ejemplo 3.3 con el uso del método analítico.

Ejemplo

3.5

Solución

Primero, del mecanismo se pueden extraer las longitudes de los eslabones: l2 5 3 cm, l3 5 7.76 cm, l0 5 6.4, θ0 5 290°, θ4 5 32° Para el ángulo de entrada de la manivela 2, θ2 5 40°, y con el uso de las ecuaciones (3.24) se obtiene que: B 5 212.724 y C 5 14.42 Al sustituir los datos en la ecuación (3.23) y resolver la cuadrática se obtiene el valor de RB: RB 5 11.46 cm Por su parte, el ángulo de la biela θ3 se puede obtener de la ecuación (3.25): θ3 5 16.93°

Aplicación: Diadas Una diada forma parte de un mecanismo articulado y está constituida por un par de eslabonamientos que pueden ser: a) Biela-corredera


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92


b) Biela-manivela c) Doble biela Los tres tipos de diadas se observan en la figura 3.25.

Figura 3.25 Diadas. Figura 3.25 Diadas.

El análisis cinemático por diadas es una opción para la solución al problema de posición de mecanismos de n barras, ya que se puede separar por diadas y solucionarse como un mecanismo de cuatro barras. De este modo, es posible utilizar las ecuaciones de posición de un mecanismo de cuatro barras (3.19) para solucionar la posición de una diada RRR, o bien la de un mecanismo manivela-corredera (3.23) para una diada RRP.

Ejemplo

3.6

Método analítico de posición de diadas Utilizar el análisis posicional por diadas para determinar la posición total del mecanismo de la figura 3.26, cuando la manivela de entrada 2 está a 40°. Las longitudes de los eslabones son: lA/O2 5 3 cm, lBA 5 7 cm, lCA 5 3 cm, lDC 5 5 cm y lD /O6 5 4 cm. Considerando la coordenada O2 en el origen, el nodo O6 se encuentra en (10, 5). D

6

O6

5 A 2

3 C

O2

4 B

Figura 3.26 Ejemplo posicional de un mecanismo articulado de seis barras.

Solución

Ya que el dato de entrada es la posición de la manivela 2, entonces primero se soluciona la diada formada por los elementos 3 y 4, como un mecanismo manivela-biela-corredera.


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Asignando l2 5 3 cm, l3 5 7 cm, l0 5 0, θ1 5 0°, θ4 5 0°, y para θ2 5 40° se usan las ecuaciones (3.24) para obtener las siguientes constantes:

B 5 24.59 y C 5 240 Al sustituir los datos en la ecuación (3.23) tenemos: RB 2 − 4.59RB − 40 = 0

Ahora, al resolver la cuadrática se obtiene el valor de RB 5 9 cm; por tanto, la coordenada de xB es: xB 5 (9, 0) cm Para continuar con el análisis, ahora es necesario obtener la coordenada del nodo C, ya que es el medio por donde se transmite el movimiento a la barra 5. La coordenada xc se puede obtener relacionándola con una coordenada conocida como lo es A (véase figura 3.27). A

RC/A

RA RC

C

4

B

02

Figura 3.27

3.27.falta calcular el ángulo de inclinación de la Conociendo la magnitud lCA 5Figura 3, solo biela 3, la cual se obtiene por simple trigonometría. Así:

 By − Ay   0 − 1.92  = = −13.49° θ3 = tan−1   Bx − Ax   8 − 0  Por tanto, la posición del nodo C es: RC = RA + RC / A = l 2e jθ + lC / Ae jθ 2

3

= (2.19 + j 1.92) + 3 (cos (−13.49°) + j sen(−13.49°)) = 5.10 + j 1.22

D

x C = (5.10, 1.22)cm

Por último, se analizan las diadas 5 y 6. En este caso, se considera como entrada el vector de posición RC, como si fuera una manivela de entrada de longitud l2, y como longitud fija l1 el radio desde O2 a O6 (véase figura 3.28).


6

O6

5

A 3

C O2

Figura 3.28

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Para poder utilizar la ecuación (3.19) se requiere restar θ2 2 θ1. Después, las ecuaciones se regresan sumándoles θ1: l 22 = 5.102 + 1.222 = 27.49 l12 = 102 + 52 = 125

( ) = tan(5 10) − 13.45 = 13.11

θ1 = tan 1.22 5.10 = 13.45°

θ2

Con estos datos se obtienen de las ecuaciones (3.20) los valores de A 524858, B 5 9.51 y C 5 29.2984. Al sustituir estos valores, de (3.13) se obtienen los valores de θ4 y θ3, que en realidad son los de θ6 5 163.93° y θ5 5 81.81° en nuestro problema.

Desarrolla tus habilidades Cuestionario

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C3.1 Contesta el siguiente cuestionario. a) Define y explica la utilidad de la ley de Grashof.

Ejercicios

b) ¿Qué es una diada?

E3.1 Considera el mecanismo de excavadora portátil de la figura 3.8 y realiza lo que se te pide.

c) ¿Qué son las curvas de acoplamiento?

Ecuación de posición

d) ¿Puede un acoplador tener tres trayectorias circulares? ¿Por qué?

a) Elabora un diagrama cinemático del mecanismo con sus dimensiones a escala.

e) Explica la diferencia entre trayectoria relativa y trayectoria absoluta.

b) Con el uso del procedimiento para obtener la posición de un mecanismo por método gráfico, traza la posición del mecanismo para cada 10° del eslabón de entrada, así como la trayectoria del nodo del acoplador para corroborar dicha trayectoria.

f) ¿Qué tipo de movimiento representa una manivela, una biela y una corredera? g) ¿Cuál es la diferencia entre un movimiento de traslación rectilínea y uno de traslación curvilínea? h) ¿Qué tipo de trayectoria relativa (circular, lineal o desconocida) se presenta entre un nodo de una barra rígida con respecto a otro de la misma barra? i) Define relación de tiempo.


E3.2 Se dispone de un conjunto de barras con las siguientes dimensiones: 2, 5, 10, 6, 1, 14, 9 y 8 cm, respectivamente. Con los datos de estas dimensiones define un conjunto de mecanismo RRRR que cumpla con la ley de Grashof. E3.3 El mecanismo que se representa en la figura 3.29 corresponde a un proceso de corte; en este

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mecanismo, el pistón de corte contiene una cuchilla que efectúa el trabajo de corte. Para las dimensiones dadas y la posición de la manivela, determina la posición vertical de la corredera mediante: a) Métodos gráficos. b) Métodos analíticos. 41.7 cm

E3.5 Para el mecanismo de la figura 3.30 determina la magnitud del ángulo de la manivela O2A, de tal forma que la aleta se encuentre en la posición vertical. E3.6 Considera el mecanismo de la figura 3.13 y determina la posición angular del oscilador para la posición de entrada dada de las siguientes configuraciones: a) I1 5 10 cm, l2 5 6 cm, l3 5 12, l4 5 10, θ1 5220°, para θ2 5 40°.

30 cm

b) l1 5 14 cm, l2 5 2 cm, l3 5 18, l4 5 12, θ15 0°, para θ2 5 110°.

52° D Pistón de corte

100 cm

Figura 3.29 Excavadora portátil. Figura 3.29 Excavadora portátil.

E3.4 El mecanismo de torniquete de aleta que se observa en la figura 3.30 es utilizado con frecuencia en algunos sistemas de control de acceso. Determina la magnitud del ángulo de salida θ4 con el uso de métodos gráficos y analíticos para: a) La posición mostrada. b) Cuando la manivela O2A se encuentre sobre el eje horizontal. AB = 80.7 cm 0 4 B = 31.5 cm 0 2 A = 8.10 cm

02 A

Aleta 15°

c) l1 5 2 cm, l2 5 8 cm, l3 5 4, l4 5 7, θ1 5 15°, para θ2 5 40°. E3.7 Considera el mecanismo de la figura 3.31 y determina las coordenadas del punto B para la posición de entrada dada de las siguientes configuraciones: a) l0 5 4 cm, l2 5 3 cm, l3 5 12, θ1 5 290°, θ4 5 20°, para θ2 5 40°. b) l0 5 4 cm, l2 5 3 cm, l3 5 12, θ1 5 290°, θ4 5 0°, para θ2 5 90°. c) l0 5 0 cm, l2 5 5 cm, l3 5 8, θ4 5 15°, para θ2 5 0°. d) l0 5 2 cm, l2 5 4 cm, l3 5 4, θ1 5 90°, θ4 5 0° para θ2 5 120°.

A 2

θ2

3

4 B

θ4

B 50.2 cm

04

θ4

θ4

70 cm

Figura 3.31 Mecanismo del ejercicio E3.7. Figura 3.31 Mecanismo de la actividad 7. Figura 3.30 Torniquete de aleta.


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Relación de tiempo

E3.8 Considera el mecanismo de torniquete de aleta de la figura 3.28 y determina: a) El ángulo mínimo y el ángulo máximo de la aleta. b) La relación de tiempo. E3.9 Determina el ángulo de avance y el ángulo de retroceso, así como la relación de tiempo de los problemas E3.7a) y E3.7b). E3.10 Establece el ángulo de avance y el ángulo de retroceso, así como la relación de tiempo de los problemas E3.7c). ¿Qué puedes decir respecto de este problema?

S3.2 Considera el mecanismo de la figura 3.32 y establece una estrategia gráfica que permita rediseñar las dimensiones de las barras 2 y 3 para desplazar el nodo B de la corredera 4, desde 30 a 80 cm, a partir del nodo O2. S3.3 Se desea implementar un mecanismo para triturar rocas impulsado por un motor, como el que se representa en la figura 3.33. Propón una solución gráfica que indique: a) La ubicación del motor. b) Las dimensiones de la diada impulsora formada por la manivela del motor y la biela que conectará a la cuchilla.

E3.11 Considera el mecanismo de torniquete de aleta de la figura 3.30 y determina el ángulo mínimo y el ángulo máximo del oscilador.

70 cm

E3.12 Determina el ángulo mínimo y el ángulo máximo del oscilador de los problemas E3.7a) y E3.7b).

Motor

Proponiendo soluciones

A continuación se presenta una serie de problemas que requieren una solución matemática y(o) de implementación. Resuelve cada uno de estos validando resultados usando Vir-Mech®. S3.1 Considera el mecanismo de la figura 3.32 y establece una estrategia gráfica que permita determinar los desplazamientos máximo y mínimo del nodo B de la corredera 4, a partir del nodo O2. Luego, mide los ángulos de avance y de retroceso para medir el valor de la relación de tiempo. BD = 55.40 cm O2 A = 30 cm

Figura 3.33 Mecanismo de máquina trituradora.

S3.4 En la figura 3.34 se representa el mecanismo de una miniprensa para boquillado. La herramienta tiene un tope superior a 60 cm, como se muestra. Se desea desplazar la herramienta hacia abajo a un tope inferior de 5 cm de la posición original. Implementa las dimensiones y la ubicación de la palanca y de la biela para cumplir con los topes inferior y superior.

4

Biela

3

Palanca

A 40 cm

2

60 cm

Herramienta

θ2 O2

25 cm

Figura 3.32 Mecanismo de la actividad S3.1.


Figura 3.34 Mecanismo de miniprensa para boquillado.

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Proyectos Validación de la ecuación de posición

Material • Cartón y juego de geometría. • Programa Excel.

2. Implementa las ecuaciones en una hoja en Excel, permitiendo el manejo de variables, de modo que en unas celdas se permita introducir la longitud de los eslabones. Enseguida deberás desplegar en dos columnas los valores del ángulo de salida vs. el ángulo de entrada. Por ejemplo, en la figura 3.35 se muestran los resultados del ejemplo 3.4.

Analizar la posición de un mecanismo articulado mediante el uso de Excel e implementación física del mecanismo, con el fin de validar las ecuaciones analíticas de posición.

3. Elabora una maqueta del mecanismo. Usa las dimensiones propuestas y móntala sobre papel cartoncillo. Marca la diferenciación de los ángulos tanto de la manivela de entrada como la de salida, como se muestra en la figura 3.36.

Desarrollo

Reporte

1. Selecciona una de las ecuaciones de posición, ya sea para un mecanismo manivela-oscilador (3.15) o manivela-corredera (3.17).

1. Con base en la maqueta utilizada, extrae las dimensiones de los eslabones e introdúcelos en la hoja de Excel.

Elemento de competencia

Figura 3.35 Solución a la ecuación de posición mediante el uso de Excel.

Figura 3.36 Implementación del mecanismo.


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2. Utiliza los valores obtenidos en la hoja de Excel para corroborar el valor de la posición del pistón comparándolo con el que proporciona la maqueta. 3. Conclusiones.

Evidencias 1. Hoja con el desarrollo de la ecuación de posición en hoja de máquina.

2. Impresión de la hoja de Excel con el despliegue de resultados, tal como se ejemplifica en la figura 3.35. 3. Mecanismo implementado, como se ejemplifica en la figura 3.36. 4. Análisis comparativo entre los resultados obtenidos en la hoja de Excel y el mecanismo físico.

Referencias [1] Norton, Robert L. (2009). Design of machinery, 5a. ed. New York: McGrawHill. [2] Freudenstein, F. and Sandor, G. (1959). Synthesis of path-generating mechanism by means of programmed digital computer. ASME J. Eng. Ibd, Serie B, 81(2). [3] McCarthy, J. Michael. (2009). Geometric design of linkages. Springer. [4] Shigley y Uicker. (1988). Teoría de máquinas y mecanismos. McGraw-Hill.


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Mecanismos articulados: análisis de velocidad y aceleración

Propósito del capítulo Establecer las ecuaciones que definen la velocidad y la aceleración de los elementos de un mecanismo de barras articuladas. Por tanto, este capítulo está dedicado a obtener la solución al problema cinemático de velocidad y aceleración de mecanismos articulados mediante métodos gráficos, analíticos y computacionales. Competencia específica • Analizar la cinemática de mecanismos articulados mediante métodos gráfico-analíticos que permitan formular y solucionar ecuaciones de velocidad y aceleración, a fin de validar resultados de diseño.

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Capítulo

4

Habilidades 1. Asimilar el conjunto de ecuaciones cinemáticas y vectoriales que definen la velocidad y la aceleración de un mecanismo. 2. Efectuar un análisis cinemático de velocidad y aceleración en un mecanismo articulado con el uso de herramientas gráficas y(o) analíticas. 3. Verificar el funcionamiento y(o) diseño con los valores de velocidad y aceleración en un mecanismo con el uso de la herramienta computacional Vir-Mech®. 4. Comprobar las habilidades y los conocimientos adquiridos mediante la solución de un conjunto de actividades. 5. Proponer soluciones para problemas de posición, velocidad y aceleración. Conocimientos requeridos • Suma y resta de vectores. • Manejo de material geométrico. • Derivada de un vector. • Posición de un mecanismo de barras articuladas (capítulo 3).

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102


4.1 Introducción El análisis de velocidad y aceleración en mecanismos articulados requiere un estudio detallado, muy diferente al que se hace con las partículas, debido a que los componentes de velocidad y aceleración en cada partícula de un cuerpo difieren entre sí; por este motivo, es necesario considerar al cuerpo como un sólido rígido donde existe una relación entre las velocidades y las aceleraciones tangenciales de las articulaciones y las velocidades y las aceleraciones angulares de los eslabones. Antes de iniciar el análisis de velocidad y aceleración en los elementos de un mecanismo es indispensable enfatizar lo siguiente: a) Las ecuaciones cinemáticas son ecuaciones vectoriales. Por esta razón requieren una solución vectorial gráfica y(o) analítica. b) Existen diferentes tipos de velocidades y aceleraciones. Por ejemplo, velocidades y aceleraciones angulares de los eslabones, velocidades y aceleraciones tangenciales en los nodos y(o) uniones y velocidades rectilíneas en las correderas, entre otras. Para establecer las ecuaciones cinemáticas y su solución se dispone de métodos gráficos y analíticos. Los métodos gráficos permiten solucionar ecuaciones de velocidad y aceleración mediante trazos vectoriales, en especial para el cálculo en un instante dado del mecanismo. No obstante, lo anterior no aplica para los métodos analíticos, en los que es posible establecer ecuaciones representativas de velocidad y aceleración en cualquier instante, obteniendo resultados más exactos en comparación con los métodos gráficos. Por tanto, este capítulo trata acerca de la solución al problema de velocidad y aceleración en mecanismos articulados. Así, en primera instancia se desarrolla la teoría general de velocidad y aceleración en mecanismos; después, se formula una ecuación cinemática, llamada ecuación de puntos de la misma barra, la cual constituye la esencia metodológica del análisis cinemático de mecanismos; por último, se presentan los métodos gráficos y analíticos para resolver la ecuación cinemática de puntos de la misma barra. Asimismo, para comprobar los resultados obtenidos por métodos gráficos o analíticos se sugiere el uso de la herramienta computacional Vir-Mech®.

4.2 Teoría general de velocidad y aceleración en mecanismos En los cursos introductorios de ingeniería, en especial en el programa analítico de física, se estudian los conceptos básicos de velocidad y aceleración, cuyas definiciones se citan a continuación, a manera de recordatorio. Velocidad se define como la magnitud del cambio de la posición con respecto al tiempo. Aceleración es el cambio en la magnitud de la velocidad respecto al tiempo.


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Capítulo 4. Mecanismos articulados: análisis de velocidad y aceleración

Sin embargo, para el estudio cinemático de mecanismos los conceptos de velocidad y aceleración deben definirse en términos vectoriales, ya que durante el cálculo de la velocidad pueden existir cambios tanto en la posición como en la magnitud de esta, y lo mismo sucede al calcular la aceleración. El análisis de velocidad en los elementos de un mecanismo radica principalmente en comprender la relación vectorial que existe entre la velocidad de rotación en un eslabón y la velocidad tangencial en cada uno de sus nodos de articulación.

Para dejar en claro lo anterior, considérese el mecanismo manivela-corredera de la figura 4.1, el cual dispone de una manivela 2, con un movimiento de rotación alrededor del nodo O2. Por su parte, el nodo A transmite el movimiento del eslabón 2 al eslabón 3 y tiene una trayectoria circular, mientras que el nodo B transmite el movimiento del eslabón 3 al 4, al tiempo que, debido a que forma parte de la corredera 4, tiene una trayectoria rectilínea.

A 3

2 O2

B

4

Figura 4.1 Mecanismo manivela-corredera.

Ecuaciones de velocidad Como primer paso del análisis cinemático de mecanismos se establecen las ecuaciones de velocidad aislando cada elemento, en las cuales el cambio de posición se expresa como un vector desplazamiento Δr (véase figura 4.2). B1 B1

A2

DrA A1 ()

V B1

DrB

A1 B2

A2

DrB

DrB

A

DrA B2

a)

b)

c)

Figura 4.2 Desplazamiento en función del movimiento.

Velocidad angular La velocidad angular, o de rotación, puede presentarse en los eslabones con movimiento de rotación alrededor de un punto (véase figura 4.2 a). La velocidad angular promedio e instantánea se define como: Dθ dθ  rad  ω= ωprom =   (4.1) Dt dt  s  donde ωprom es la velocidad angular promedio, y se obtiene al dividir los incrementos de posiciones angulares en radianes (Δθ) por cada lapso de tiempo (Δt). Para un instante dado, la velocidad instantánea (ω) es la derivada del desplazamiento angular (dθ) con respecto a la derivada del tiempo (dt ).


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Velocidad tangencial La velocidad tangencial se encuentra en los nodos de un eslabón y es tangente a la trayectoria generada por el nodo durante el movimiento. Cuando un eslabón tiene movimiento de rotación, como en el caso de la figura 4.2 a), cada nodo del eslabón experimenta un desplazamiento lineal, que se denota por DrA, el cual, después de ser dividido por el lapso de tiempo, proporciona la velocidad de desplazamiento, o velocidad tangencial (V T ): dr  cm  Dr VATprom = A VAT = A   (4.2) D t dt  s 

Relación entre velocidad tangencial y angular En los eslabones que tienen movimiento de rotación existe una relación entre la velocidad angular del eslabón (w) y la velocidad lineal de algún nodo del eslabón (V), conocida como velocidad tangencial. Si la longitud de arco en una circunferencia es s 5 rq, entonces para pequeños desplazamientos del nodo A de la manivela se tiene ds 5 rAdθ; por tanto:

VAT =

Dirección de la velocidad tangencial Movimiento del eslabón

Figura 4.3 Dirección del vector: velocidad tangencial.

drA rdθ = = wrA (rad/s)(cm) = (cm/s) (4.3) dt dt

Así, se establece una relación entre la magnitud de la velocidad lineal de un nodo V TA con la velocidad de rotación (w) y el radio de giro (rA), siempre y cuando no cambie la magnitud del radio de giro. Más adelante, en este capítulo, se demuestra que tanto la posición de un mecanismo como la velocidad tangencial de uno de sus nodos son cantidades vectoriales, y como vector la velocidad tangencial es perpendicular al radio de giro, cuyo sentido depende del movimiento del eslabón. Por ejemplo, en el caso de una manivela que gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj (cmr), la velocidad tangencial de un nodo en el extremo tiene la dirección que se muestra en la figura 4.3.

Velocidad rectilínea Considérese ahora el caso de un sólido rígido que tiene un movimiento de translación rectilínea, como el de la figura 4.2 b). Cada partícula de un sólido rígido tiene los mismos desplazamientos; además, debido a que las trayectorias entre dos nodos del mismo eslabón son siempre paralelas, la velocidad en cada partícula siempre es lineal e idéntica, la cual se conoce como velocidad rectilínea o lineal V L y se define como:


V LB =

DrB Dt

V LB =

drB  cm    (4.4) dt  s 

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Vectorialmente, la dirección de la velocidad rectilínea V L es paralela al movimiento de la corredera en el sentido de esta, como se muestra en la figura 4.4. Movimiento de la corredera

Dirección de la velocidad rectilínea

Figura 4.4 Dirección del vector: velocidad rectilínea.

Velocidad relativa Tanto la velocidad tangencial (4.2) como la velocidad rectilínea (4.4) se conocen como velocidades absolutas, ya que ambas se miden desde un marco de referencia fijo. Asimismo, existe otro tipo de velocidad, conocida como velocidad relativa, vector que se mide tomando como origen un nodo del sólido rígido que se encuentra en movimiento. Un ejemplo de estas velocidades lo constituyen las bielas, debido a que en este eslabón todos sus nodos están en movimiento. Para el análisis de velocidad relativa considérese un observador que está situado en el nodo A de un sólido rígido, el cual desea determinar la velocidad de otro nodo, al que se denomina nodo B. Con base en lo anterior, ¿cómo es el desplazamiento del nodo B visto desde A, es decir, (DrB/A )? Entonces, para hallar la velocidad se fija el nodo A y se trazan ambas posiciones relativas (DrB1/A 1 y DrB2 /A 2), como se muestra en la figura 4.2c). De lo anterior puede deducirse que, en términos Dirección de la velocidad generales, las trayectorias de los nodos A y B son desangular conocidas, ya que dependen del eslabón al cual habrán de articularse. Sin embargo, independientemente de las trayectorias absolutas de A y B, la trayectoria relativa de B vista desde A es siempre conocida y circular, por lo que la velocidad relativa (VB/A) puede determinarse mediante la ecuación (4.3): VB / A = ωB / ArB / A (rad/s)(cm) = (cm/s) (4.5) donde rB/A es el radio de giro de B visto desde A. Como la trayectoria relativa de dos puntos de una misma barra siempre es circular, entonces la dirección de la velocidad relativa es perpendicular al radio de giro como dirección, como se ilustra en la figura 4.5.


Dirección de la velocidad vista desde A

Figura 4.5 Dirección del vector velocidad relativa.

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Ecuaciones de aceleración En la cinemática de mecanismos, el número de componentes vectoriales en una ecuación de aceleración se incrementa debido a que existen aceleraciones que no solo dependen del cambio en la magnitud del vector velocidad sino también del cambio en la dirección del vector velocidad. En un mecanismo articulado, la aceleración puede presentarse en las siguientes modalidades: aceleración angular, aceleración tangencial, aceleración normal y aceleración relativa.

Aceleración angular Considérese un nodo p de un sólido rígido con movimiento de rotación alrededor de un punto fijo O del mismo sólido rígido. La aceleración angular (a) del eslabón se puede obtener así: ∆ω dω αprom = , α= rad/s2 (4.6) ∆t dt donde Δω es el desplazamiento angular, Δt es el desplazamiento del tiempo, aprom es la aceleración promedio, dω/dt es la derivada de la velocidad angular con respecto al tiempo y a es la aceleración instantánea, respectivamente.

Aceleración tangencial Considérese un nodo p de un sólido rígido con movimiento de rotación alrededor de un punto fijo O del mismo sólido rígido. La aceleración tangencial, aT, del nodo p, el cual depende del cambio de la magnitud de la aceleración angular del sólido rígido, se define como: (4.7) aTp = α × r (rad/s 2 )(cm) = cm/s2

Aceleración normal Considérese un nodo p de un sólido rígido con movimiento de rotación alrededor de un punto fijo O del mismo sólido rígido. La aceleración normal, aN, del nodo p depende del cambio de la dirección de la velocidad angular y se define como: 2

(V T )

= ω 2 × r = (rad/s)2 (cm) = cm/s2 (4.8) r Al igual que la velocidad tangencial, las componentes de aceleración normal y tangencial son vectores, por lo que tienen dirección y sentido. Como se demuestra en el apartado de métodos analíticos, la aceleración normal depende solo del cambio de dirección de la velocidad tangencial y se encuentra a 180° en el sentido de la dirección de la velocidad angular, es decir, paralelo al radio de giro, con un sentido del punto de análisis al pivote. Asimismo, la aceleración tangencial depende de la aceleración angular y es perpendicular al radio de giro en el sentido de la aceleración angular; ambas aceleraciones se muestran en la figura 4.6.


N p

a =

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Dirección de la aceleración tangencial

Dirección de la aceleración angular

Dirección de la aceleración normal

Figura 4.6 Dirección de las aceleraciones angular, tangencial y normal.

Aceleración relativa Puesto que todas las trayectorias relativas de dos puntos de la misma barra siempre son circulares, la aceleración relativa de dos puntos p y q de la misma barra ap/q siempre tendrá componentes de aceleración normal y tangencial.

Existencia y significado de las componentes de aceleración La existencia y el significado de las componentes de aceleración normal y tangencial pueden demostrarse de manera gráfica mediante trazos vectoriales. Para ejemplificar lo anterior, considérese un nodo en el extremo de un elemento en rotación, cuya velocidad tangencial inicial es Vi y cambia en magnitud y dirección a Vf , como se aprecia en la figura 4.7 a). Si los vectores Vi y Vf se agrupan sobre un mismo origen, como se muestra en la figura 4.7 b), puede apreciarse un cambio de velocidad en dirección DV 1 dirigido de a hasta b, así como un cambio de velocidad en magnitud DV 2, que se muestra desde el origen hasta c. Vf

Vi

a

Vi

DV1

Vf c r

q

a)

b

a

b)

DV2 c)

S

Figura 4.7 Dirección de los vectores de aceleración normal y tangencial.

Al aplicar la ecuación de longitud de cuerda s 5 r θ para el caso de DV1 se tiene que: DV Dθ DV = V × Dθ, lím = V × lím , aN = V × ω = (ω × r ) × ω = ω 2r Dt → 0 Dt Dt → 0 Dt Por tanto, el cambio en dirección de la velocidad DV 1 produce la componente de aceleración normal aN, depende por tanto de la velocidad angular y del radio de giro. 1

1


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Asimismo, otra componente de cambio de velocidad DV2 es:

DV2 = Vf −Vi ,

DV2 V −Vi = lím f , Dt → 0 Dt Dt → 0 Dt lím

aT = lím

Dt → 0

(ωf − ωi ) r Dt

= αr

por lo que el cambio en la magnitud de la velocidad DV2 produce una componente de aceleración tangencial aT, que depende solo de la aceleración angular y del radio de giro.

4.3 Ecuaciones cinemáticas de puntos de la misma barra El cálculo de las componentes de velocidad y aceleración en un mecanismo articulado se basa en la solución de un conjunto de ecuaciones llamadas ecuaciones cinemáticas de la misma barra. Para explicar el significado de este conjunto de ecuaciones, considérese un sólido rígido cualquiera con dos nodos de análisis en un plano cartesiano pq, cuya ecuación de posición es: → → → z p = z q + z p /q Al derivar la ecuación con respecto al tiempo se obtiene la ecuación vectorial de velocidad de dos puntos de la misma barra que se expresa por: →

→

→

V p = V q + V p /q

(4.9)

Al derivar de nuevo la ecuación (4.9) con respecto al tiempo se obtiene la ecuación vectorial de aceleración de puntos de la misma barra: →

→

→

a p = a q + a p /qq

"  → " a p = aqN +  apN/qq + aTp /qq   

→

(4.10)

aq y Para el caso de aceleración, es posible que cada componente vectorial " ap , " " ap/q tenga componentes de aceleración normal y tangencial; sin embargo, la única componente de aceleración que con certeza tiene normal y tangencial es la aceleración relativa de p vista desde q (ap/q), ya que siempre tendrá trayectoria circular. Para saber si las componentes absolutas ap y aq tienen componentes normal y tangencial, se debe analizar cuál eslabón se encuentra articulado, de modo que si le transmite una trayectoria curva entonces tendrá aceleración normal y tangencial. Una vez que se tiene una ecuación de puntos de la misma barra, se procede a la solución de esta, a fin de determinar los parámetros mediante diversos métodos gráficos y analíticos, que a continuación se describen.


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4.4 Métodos gráficos Método del polígono de velocidad Al considerar dos puntos p y q de cualquier eslabón rígido en un mecanismo, la ecuación de velocidad entre dichos puntos quedará determinada de la siguiente manera: → → → Vp = Vq + Vp /q (4.11) Si la ecuación (4.11) fuera algebraica, entonces se requerirían dos datos (de tres) para su solución, pero como es una ecuación vectorial que posee magnitud y dirección por vector, entonces se requiere de cuatro datos (de seis) para su solución. Las velocidades Vp y Vq se conocen como velocidades absolutas, y su magnitud y dirección dependen de los eslabones a los que se encuentran articulados. Por otra parte, la velocidad relativa (Vp/q) puede calcularse mediante la expresión Vp/q 5 ωp/q xrp/q, ya que siempre es de trayectoria circular y, por tanto, perpendicular al radio de giro rp/q.

Metodología: método del polígono de velocidades 1. Identificar el dato conocido de velocidad, ya sea velocidad angular (por parte de un eslabón) o velocidad tangencial (por parte de un nodo). 2. Si se conoce la velocidad angular de un eslabón, establecer ecuaciones de puntos de la misma barra p y q que pertenezcan al mismo eslabón mediante: →

→

→

Vp = Vq + Vp /q

3. La ecuación vectorial tendrá solución si se tienen como máximo dos incógnitas. Si se tienen más incógnitas, deberá establecerse otra ecuación que relacione el punto de interés con otro nodo del eslabón, del cual por lo menos se conozca su trayectoria. Las incógnitas pueden ser la magnitud y(o) la dirección por cada vector; si la trayectoria del nodo es circular o rectilínea, entonces se dice que es conocida; de ser circular, será perpendicular al radio de giro; y si es rectilínea, será paralela a la línea de desplazamiento. 4. Se tiene un caso específico cuando se plantea la ecuación de velocidad de dos puntos de la misma barra en una manivela, ya que la velocidad en uno de sus nodos (Vp) es igual a la velocidad relativa del nodo vista desde el pivote Ox (Vp/Ox), el cual al estar siempre fijo es de magnitud nula: →

→

→

→

→

Vp = VOx + Vp /Ox = 0+ Vp /Ox


→

→

Vp = Vp /Ox

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5. Resolver las ecuaciones vectoriales en el orden permitido. Una ecuación vectorial contiene vectores representados por magnitud y dirección, y tendrá solución solo si se tienen dos incógnitas. Para la solución de la ecuación vectorial se pueden presentar dos opciones, como se muestra en la tabla 4.1. Tabla 4.1 Formas de solucionar una ecuación vectorial Caso 1

Ecuación →

→

Solución gráfica 1. Se grafica el vector conocido. 2. Se grafican las direcciones de los otros dos vectores. 3. La intersección es la solución de la ecuación. 4. Se miden los vectores para obtener la magnitud. 5. Según la ecuación, se colocan las flechas de los vectores para indicar la dirección de la velocidad. Véase figura 4.8 a).

→

A = B +C

aλ a = b λb + c λc

2

→

→

1. Se grafica uno de los vectores conocidos. 2. Se grafica el otro vector desde el final del anterior, si es que se están sumando; de lo contrario, deberá partir del mismo origen. 3. El vector resultante es la solución de la ecuación. Véase figura 4.8 b).

→

A = B +C

aλ a = b λb + c λc

3 0 1 2

2

3

1

4 5 6

2

7 8 9 10 11

3

12 13 14 15

1

16 17

2

18 19

a)

b)

Figura 4.8 Formas de solucionar una ecuación vectorial.

Cuestionario y actividades de preparación 4.1 Responde las siguientes preguntas en tu cuaderno. Compara tus respuestas con las de alguno de tus compañeros de clase.

3. ¿Qué velocidades están presentes en una corredera?

1. ¿Qué velocidades están presentes en una manivela?

4. ¿Cuál es la unidad de la velocidad angular y la unidad de la velocidad tangencial?

a) angular, b) tangencial, c) lineal 2. ¿Qué velocidades hay en una biela? a) angular, b) tangencial, c) lineal


a) angular, b) tangencial, c) lineal

5. ¿Qué característica tiene un vector velocidad en una manivela con respecto al radio de giro?

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6. En una corredera, y con relación al plano vectorial, ¿cómo son las velocidades de los nodos con respecto al radio de giro?

Con base en el mecanismo de la figura 4.10: a) bosqueja las trayectorias de los nodos, b) define la dirección del vector velocidad de cada nodo, c) determina las ecuaciones vectoriales posibles y d) define cada vector, si conoces la dirección del mismo.

7. Dados dos puntos p y q de una biela, ¿cómo es la velocidad tangencial Vp/q con respecto al radio rp/q?

6

8. Con base en la figura 4.9, determina cuál sería la dirección de la velocidad del mismo nodo al considerar la dirección de la velocidad angular a partir del punto P. P

P

C 3

P ()

()

B

A

()

2

()

P

D

5

4 O2

Figura 4.9

O4

9. El método del polígono de velocidad consiste en establecer ecuaciones vectoriales entre dos nodos de una misma barra.

Figura 4.10

Ejemplo gráfico del polígono de velocidad en un mecanismo manivela-oscilador El mecanismo de la figura 4.11 representa el diagrama cinemático de un mecanismo manivela-oscilador. La manivela 2 se mueve a una velocidad constante de 5 rad/s, cmr (en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj). Determinar la velocidad del centro de gravedad G de la biela 3 mediante el uso del método gráfico del polígono de velocidad.

Ejemplo

4.1

B

O2 A 5 4 cm BA 5 8 cm GA 5 4 cm O4 B 5 10 cm

3 G

2

O2 ()2

4 A

O4

Figura 4.11 Mecanismo del ejemplo 4.1.

Solución

Teniendo como dato la velocidad angular de la manivela 2 se procede a determinar la velocidad tangencial del nodo G, el cual no puede ser calculado de manera


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112


directa a partir de la velocidad angular ω2, por lo que se tiene que exponer un procedimiento, el cual se facilita si se elabora un diagrama por bloques, como se ilustra en la figura 4.12.

O2

M2 Circular

A

B3 G

B

C4

O4

Circular Desconocida

Figura 4.12 Diagrama por bloques del mecanismo del ejemplo 4.1.

Además, el diagrama por bloques permite establecer las ecuaciones cinemáticas para la solución, así como el orden en que se deben solucionar. De la figura 4.12 se pueden deducir por lo menos cuatro ecuaciones de puntos de la misma barra, que se muestran a continuación: "

"

2

"

"

"

"

2

"

VB = VA +VB / A

(2)

"

VB = VO +VB /O

(3)

"

VA = VO +VA /O

(1)

4

"

"

4

"

VG = VA +VG / A

(4)

Debido a que las ecuaciones (1) y (3) se establecen con respecto al elemento fijo O2 y O4, no tiene sentido buscar una solución para estas, ya que simplemente confirman que la velocidad absoluta de los nodos de una manivela es igual a la velocidad vista desde su pivote. Por ejemplo, de la ecuación (1) se sabe que VO2 5 0, por lo que la velocidad del nodo A(VA) es igual a velocidad de A vista desde O2 (VA/O2). Sin embargo, las ecuaciones (2) y (4) relacionan nodos en movimiento, por lo que es necesario buscar un procedimiento que permita determinar las velocidades desconocidas a partir de las velocidades conocidas; en consecuencia, para determinar la velocidad del nodo G se puede usar la ecuación vectorial (4). Para saber si la ecuación (4) tiene una solución que permita determinar la magnitud de la velocidad VG se requiere analizar la disponibilidad de la magnitud y dirección por cada componente con ayuda del diagrama por bloques de la figura 4.12.


• Velocidad VA. Como el nodo A tiene trayectoria circular y se mueve con la barra 2, entonces la magnitud de velocidad VA se obtiene con el uso de la ecuación (4.3),  VA  5 ω2rA/O2 5 (15 rad/s)(4 cm) 5 20 cm/s, y es perpendicular al radio de giro en el sentido que define ω2. • Velocidad VG/A. De la velocidad relativa VG/A se puede obtener la magnitud con el uso de la ecuación (4.5),  VG/A  5 ω3rG/A, pero no se conoce la magnitud ω3; no obstante, la dirección de esta velocidad se conoce y es perpendicular al radio de giro, ya que todas las trayectorias relativas son circulares. • Velocidad VG. La magnitud de la velocidad VG no se puede obtener por ninguna ecuación, ya que la ecuación (4.3) se aplica para radios de magnitud constante, razón por la cual no se conoce su magnitud; además, tampoco se sabe su dirección, ya que esta es de trayectoria desconocida. Por tanto, la ecuación del nodo G con respecto a A se puede escribir como: XX MD XD →

→

→

V G = V A +V G / A

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que indica que no se conoce nada de la velocidad VG, de la velocidad VA se sabe su magnitud y dirección, y de la velocidad VG/A se conoce solo la dirección; por tanto, al tener tres incógnitas, esta ecuación no tiene solución. Para resolver este problema se utiliza la ecuación que relaciona el nodo B con el nodo A, con la ventaja de que se conoce la trayectoria del nodo B y, por tanto, su dirección: XD →

MD →

XD →

VB = VA +VB / A

Debido a que esta ecuación tiene solo dos incógnitas, entonces tiene solución, mediante la estrategia gráfica de trazos vectoriales. Para realizar los trazos vectoriales, primero se selecciona un punto de trabajo cercano al mecanismo. A continuación se traza el vector velocidad del nodo A (perpendicular al radio de giro rA/O2) hacia arriba, según el sentido de la velocidad angular. Después se grafica la dirección de la velocidad relativa VB/A, la cual es perpendicular al radio de giro rB/A. Esta línea debe graficarse al terminar el vector velocidad VA, debido a que ambas se suman. Por último, se grafica la dirección de la velocidad VB, perpendicular al radio de giro rB/O4, partiendo del origen, ya que se encuentra del otro lado de la igualdad de la ecuación; la intersección de estas dos rectas es la solución de la ecuación vectorial. El procedimiento anterior se muestra en la figura 4.13 como polígono 1, de donde se extraen los siguientes resultados: VB = 20 cm/s Polígono 1  VB / A = 28.28 cm/s

O2 A 5 4 cm BA 5 8 cm GA 5 4 cm O4 B 5 10 cm

B G

()2

Polígono 1 4 cm/s VA

3

2

O2

Perpendicular al radio BA

Perpendicular al radio BO4

OV1

4 A

VG/A VA O4

OV2

VG

VB/A VB Polígono 2 4 cm/s

Perpendicular al radio GA

Figura 4.13 Solución gráfica del ejemplo 4.1.

Una vez obtenidos estos valores, se determinan las velocidades angulares a las que se hace referencia; es decir, si VB 5 ω4rB/O4 y VB/A 5 ω3rB/A, entonces:


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El sentido de las velocidades angulares de los eslabones 3 y 4 se obtiene de la siguiente manera. Primero, para determinar la dirección de ω4 se coloca la velocidad VB en el nodo B y un observador en el nodo O4. En tanto, para la dirección de ω3 se coloca la velocidad VB/A en el nodo B y un observador en el nodo A (véase figura 4.14). Una vez que se obtiene la velocidad angular de la biela 3 (w3), es posible determinar cualquier velocidad relativa de la barra, es decir, VG/A 5 ω3rG/A 5 (3.53 rad/s)(4 cm) 5 14.12 cm/s, por lo que la ecuación: XX →

MD →

VB

B 3

VB/A

G 4 (w)3

A

(w)4

O4

Figura 4.14

MD →

VG = VA +VG / A tiene solución, la cual se muestra en el polígono 2 de la figura 4.13 y de donde se obtiene la magnitud de la velocidad del nodo G: Polígono 2 {VG = 14.16 cm/s

Ejemplo

4.2

Ejemplo gráfico en un mecanismo de seis barras Considérese el mecanismo de seis barras de la figura 4.15, en el que la manivela 2 gira a una velocidad angular de 10 rad/s como se indica. Determinar las velocidades de todos los nodos, así como las velocidades angulares de las manivelas y las bielas mediante el uso del método gráfico del polígono de velocidades.

D

1 cm

6 C A 2 0

5

O6

AO2 5 2.83 cm AB 5 4.47 cm AC 5 2.24 cm DC 5 4.47 cm DO6 5 2.00 cm

3 B

4

O2


Solución

Un diagrama de bloques del mecanismo permite plantear las ecuaciones de velocidad apropiadas para la solución (véase figura 4.16).


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A

M2

B

B3

O2

C4

C

(w)2

D

B5

O6

M6

Figura 4.16

Al tener como dato la velocidad angular de la manivela 2, entonces se determina la velocidad del nodo A VA  5  VA/O2  5 w2rA/O2 5 (2.83 cm)(10 rad/s) 5 28.30 cm/s. En tanto, la velocidad del nodo B puede determinarse a partir de la velocidad del nodo A, con el uso de ecuaciones de puntos de la misma barra. 10 cm/s

VB = 30 cm/s

1 cm

D

VA = 28.30 cm/s

(1)

VB/A = 22.40 cm/s

6 C A 2

5

O6

VA = 28.30 cm/s

3 B

0

VC = 17.30 cm/s

4

VC/A = 11.22 cm/s

(3)

VD = 10 cm/s VC = 17.30 cm/s

O2

(2)

VD/C = 10.4 cm/s

Figura 4.17 Solución del ejemplo 4.2.

Del vector de la velocidad VA se conoce la magnitud (M) y la dirección (D); sin embargo, de la velocidad VB solo se conoce la dirección, ya que al tener trayectoria rectilínea, entonces es paralela al deslizamiento. Por otro lado, de la velocidad VBA solo se conoce la dirección, ya que al tener trayectoria circular es perpendicular al radio de giro rB/A. Por tanto, la ecuación vectorial que habrá de graficarse queda expresada así: XD →

MD →

XD →

VB = VA +VB / A

Como se dispone de dos incógnitas es posible solucionar esta ecuación, para lo cual se selecciona un nodo arbitrario cerca del mecanismo en donde se graficarán los vectores de velocidad. Primero se traza la velocidad VA perpendicular al radio de giro rA/O2, después se grafica la velocidad VBA perpendicular al radio rB/A, seguido del vector VA, ya que ambos se están sumando, y por último se grafica el vector VB paralelo a la línea de deslizamiento como se indica en la figura 4.17. Una vez intersecados los vectores, estos se miden con su respectiva escala, de donde se obtiene:


VB = 30 cm/s Polígono 1  VB / A = 22.40 cm/s

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Los sentidos de estos vectores (flechas) se colocan de modo que respeten el orden de la ecuación vectorial que se está graficando. A continuación se procede a calcular la velocidad del nodo C relacionándola con la del nodo A. De la solución anterior fue posible obtener el valor de la velocidad relativa VB/A, la cual sirve para determinar la velocidad angular de la biela 3 (w3) con el uso del radio de giro rB/A; por tanto, w3 5 VB/A /rB/A 5 22.40 cm/s/4.47cm 5 5.011 rad/s. El sentido de w3 se obtiene al colocar el vector VBA en el nodo B del mecanismo y situar un observador en A (velocidad de B vista desde A). Al considerar que VBA se dirige hacia arriba, entonces el sentido de w3 es contrario al movimiento de las manecillas del reloj. Ahora es posible obtener la magnitud de la velocidad relativa VC/A mediante el uso de la fórmula de la magnitud  VC/A  5 w3 3 rC/A 5 (5.011 rad/s) (2.24 cm) 5 11.22 cm/s. La velocidad del nodo C se obtiene únicamente relacionándola con otro punto, ya que no se dispone de un radio de giro;* por tanto:

XX MD MD

" " " V C 5 V A 1 V C/A

Para determinar la velocidad VC, primero se grafica el vector VA (véase figura 4.16) y luego se grafica el vector VC/A perpendicular al radio de giro rC/A, con una magnitud de 11.22 cm, y cuyo sentido depende del de w3 al colocarse en el nodo A. La resultante de esta suma vectorial se muestra en la figura 4.17, la cual al medir con su respectiva escalar resulta:

Polígono 2 {VC = 17.30 cm/s

Por último, se determina la velocidad del nodo D a partir de la velocidad del nodo C, la cual es completamente conocido por medio de la ecuación:

XD MD XD

" " " V D 5 V C 1 V D/C

Primero se grafica la velocidad VC trasladándola de la gráfica vectorial anterior (véase figura 4.17-3); después, se grafica la velocidad relativa VD/C perpendicular al radio de giro rD/C, seguido del vector VD , ya que ambos se están sumando. Por último, se grafica el vector VD 5 VD/O6 perpendicular al radio de giro rD/O6, lo que da como resultado: VD = 10 cm/s Polígono 3  VD /C = 10.40 cm/s Ahora es posible obtener la velocidad angular de la biela 5 con el uso de la velocidad relativa VDC, así como la velocidad angular de la manivela 6 con el uso de la velocidad VD, w5 5 VDC /rD/C 5 10.4 cm/s/4.47 cm 5 2.32 rad/s, cmr y w6 5 VD /rD/O6 5 10 cm/s/2 cm 5 5 rad/s, frm. * Por el método de polígono de velocidades, los nodos que unen dos bielas no disponen de radios de giro y sus trayectorias son desconocidas. Posteriormente se podrá obtener un radio de giro ficticio que se aplica solo para el análisis de velocidad y no de aceleración.


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117

Método de centros instantáneos de velocidad Un método gráfico alterno al método del polígono y que facilita el cálculo de velocidades se conoce con el nombre de B centros instantáneos de velocidad (CIV), el cual permite 3 determinar la ubicación de un nodo en el espacio plano de un mecanismo común para dos eslabones, ya sea articuA lados, en contacto o separados. El concepto de centros instantáneos se basa en dos 4 principios. En el primero, y tal como sugirió Reuleaux a me2 diados del siglo xix, los eslabones de un mecanismo pueO2 den ser considerados en cada instante como un objeto que realiza un giro alrededor de un centro. El otro principio esO4 tablece que en un instante dado dos eslabones comparten una velocidad común. El mecanismo de cuatro barras de Figura 4.18 CIV: Mecanismo RRRR. la figura 4.18 ilustra de manera precisa tal concepto para facilitar su comprensión. De la figura 4.18 se puede deducir que el nodo A transmite el movimiento del eslabón 2 al eslabón 3, por lo que se dice que es un nodo común para ambos eslabones. Lo mismo sucede con el nodo B, que comunica al eslabón 3 con el eslabón 4, con el nodo O2 relaciona el eslabón 2 con el fijo 1 mientras el nodo O4 relaciona al eslabón 4 con el fijo 1; por tanto, las articulaciones A, B, O2 y O4 son CIV. Pero, ¿es posible localizar un nodo común para los eslabones 2 y 4, y para el eslabón 3 con el 1? Pues bien, aunque de forma física no existen estas dos articulaciones, es posible localizar estos nodos en el espacio del mecanismo usando el método de centros instantáneos de velocidad usado como artificio gráfico. Por tanto, un CIV es un nodo que puede existir o no de forma física en un mecanismo, pero de antemano todas las uniones cinemáticas son un CIV. Un centro instantáneo de velocidad (CIV) es un nodo de ubicación instantánea que relaciona el movimiento relativo de un par de eslabones y común para ambos eslabones.

Si un mecanismo dispone de n eslabones, entonces el número de centros instantáneos (NCI ) es el número de combinaciones por par de eslabones, es decir: NCI =

n (n − 1) 2

(4.12) Por otro lado, ya que un CIV es un nodo en el espacio de un mecanismo que relaciona o comunica dos de sus eslabones, entonces es posible determinar velocidades angulares desconocidas a partir de velocidades angulares conocidas mediante la velocidad del nodo de contacto, la cual es una velocidad común para ambos eslabones. Para ello es necesario establecer una estrategia que permita determinar estos nodos de comunicación, llamados centros instantáneos comunes.


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118


Existen tres formas de determinar el CIV: 1. Por observación. Un CIV se puede obtener por “simple observación”, ya que toda junta cinemática (como la de una articulación) es un CIV. Estos CIV se denotan por Oi j , donde i y j son los eslabones i y j. M

VA

B

VB

VA

A

A Línea perpendicular a VA

B

VB

Línea perpendicular a VB

Centro instantáneo de rotación O 1M Figura 4.19 Obtención de CIV por definición de velocidad.

O1j

O1i O ij Eslabón i

Línea de Kennedy

Eslabón j

Figura 4.20 Comprobación Fig 4.20del teorema de Kennedy.

2. Por definición de velocidad. Al saber que una velocidad tangencial es perpendicular al radio de giro, entonces un nodo de rotación es un CIV que relaciona el eslabón M con el eslabón fijo 1, que se denota por C1M , el cual se puede obtener al prolongar e intersecar los radios de giro, como se muestra en la figura 4.19. 3. Por el teorema de Kennedy. Siempre que se dispongan tres eslabones i, j y k en un mecanismo con movimiento relativo en un plano, existirán tres CIV sobre una línea en el espacio del mecanismo, denotados por Oij, Oik y Ojk, respectivamente. Por ejemplo, si se asigna el elemento 1 al eslabón fijo, entonces los CIV de los eslabones 1, i, j se encuentran en la llamada línea de Kennedy, como se muestra en la figura 4.20. El procedimiento para determinar velocidades angulares usando CIV se basa principalmente en el teorema de Kennedy; por tanto, primero se requiere determinar los CIV por observación, ya que servirán para establecer CIV desconocidos mediante el uso de líneas de Kennedy, como se muestra a continuación.

Determinación de CIV usando el círculo de centros Existe un artificio gráfico que permite determinar cualquier centro instantáneo en el plano de un mecanismo basado en el teorema de Kennedy, conocido como círculo de centros, el cual permite la construcción de líneas de Kennedy. El procedimiento es el siguiente: 1. Trazar manualmente un círculo y colocar un número de puntos espaciados de forma simétrica alrededor de este, de acuerdo con el número de eslabones del mecanismo. 2. Enumerar cada nodo correspondiente al número de eslabón del mecanismo. 3. Identificar en el círculo de centros cada CIV conocido en el mecanismo y trazar una línea que una un nodo con otro del círculo de centros; por ejemplo, para Oxy, se unirá el nodo x con el nodo y. 4. Para determinar un centro desconocido Opq, unir los nodos p y q por medio de una línea punteada.


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5. En el círculo de centros, un triángulo representará la relación entre tres eslabones, por lo que simbolizará los componentes de una línea de Kennedy. Para determinar el centro desconocido, habrá que asegurarse de que la línea punteada pertenezca a dos triángulos diferentes y de dos lados conocidos. Lo anterior significa que el centro desconocido pasará por dos líneas de Kennedy con dos centros conocidos.

O34

O12

1 2

6

5

3 4

O23

O14

La intersección será el centro desconocido

Figura 4.21 Relación entre el círculo y la línea de centros.

Por ejemplo, considérese un mecanismo de seis eslabones cuyos centros conocidos se marcan en el círculo de centros de la figura 4.21. Si se desea determinar el centro O13, entonces, según el círculo de centros, deberá pasar por la línea de Kennedy O12 y O23 (lados conocidos de un triángulo) y por la línea de Kennedy O14 y O34 (lados conocidos de otro triángulo). Para determinar la ubicación en el plano del mecanismo, se localizan los centros conocidos O12 y O23, se proyecta una línea que una a estos dos nodos y se prolonga; el centro desconocido O13 pasará por esa línea. Para localizar la ubicación del centro O13 se traza otra línea de centros a través de O23 y O34; la intersección de estas líneas ubicará al centro desconocido O13, que se situaría en las dos líneas de Kennedy.

Teorema de velocidades angulares Para determinar velocidades desconocidas a partir de velocidades conocidas con el uso de centros instantáneos de velocidad se usa una ecuación conocida como teorema de velocidades angulares, que se puede deducir a partir de la figura 4.20. Considérese el radio de giro rO1i2Oij como el radio medido desde el origen del eslabón i, O1i , hasta el centro común Oij, y el radio de giro rO1i 2Oij como el radio medido desde el origen del eslabón j, O1j, hasta el centro común Oij. Si se sabe que la velocidad tangencial en el centro instantáneo común a los eslabones i y j (y que es conocida como velocidad del centro común VOij ) es la misma para ambos eslabones, entonces los eslabones i y j se mueven a velocidades angulares wi y wj; por tanto: VO = ωi rO ij

de modo que:

1i →Oij

VO = ω j rO ij

ωi rO

1i →Oij

ω j rO

1 j →Oij

= ±1,

1 j →Oij

o bien

rO ωi =± ωj rO

1 j →Oij 1i →Oij

(4.13)

La ecuación (4.13) se conoce como teorema de velocidades angulares y relaciona la velocidad angular de dos eslabones con un punto coincidente llamado CIV.


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En esta ecuación el signo  debe anteponerse por observación. Si el centro común se encuentra dentro de los nodos, entonces los eslabones girarán en sentidos opuestos, pero si se encuentra fuera de los otros nodos, entonces los eslabones girarán en el mismo sentido.

Procedimiento para determinar velocidades angulares usando CIV 1. Determinar los CIV por observación. 2. Relacionar dos eslabones de análisis, uno de velocidad conocida con otro de velocidad desconocida. Es posible relacionar dos eslabones cualesquiera, incluso si físicamente no están unidos; sin embargo, se recomienda relacionar los eslabones que se encuentren unidos de manera física y que además el eslabón desconocido sea una biela. Esto solo para facilitar el cálculo de CIV y la determinación de velocidades desconocidas de todos los nodos comunes a la biela. 3. Establecer la línea de Kennedy que relacione estos dos eslabones y el eslabón fijo. Si se relacionan dos eslabones i y j, entonces la línea de Kennedy que se utilizará estará formada por los centros O1i, Oij y O1j. 4. Determinar los tres CIV requeridos por la línea de Kennedy. 5. Utilizar la ecuación (4.13) para determinar la velocidad angular desconocida. Si el centro común se ubica entre los centros de giro, entonces las velocidades angulares tendrán sentidos opuestos; pero si se localiza fuera de los centros de giro, entonces tendrán el mismo sentido de giro. 6. Una vez que se tiene la velocidad angular del eslabón j es posible obtener las velocidades tangenciales de todos los nodos del j -eslabón. Por ejemplo, sean P, Q y R nodos del j-eslabón; por tanto:

VP = ω j RO

VR = ω j RO

1 j →P

VQ = ω j RO

1 j →Q

1 j →R

Las cuales también tienen una solución gráfica como se muestra en la figura 4.22. Para esto es necesario despejar la velocidad angular wj, de modo que:

ωj =

VP RO

1 j →P

=

VQ RO

1 j →Q

=

VR RO

1 j →R

VP (w)j

O1j


VQ

VR

R

Q

P

Figura 4.22 Velocidades tangenciales en una línea de centros.

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Cuestionario y actividades de preparación 4.2 En equipos de dos o tres personas respondan las siguientes preguntas.

c) Expresa la ecuación de relación de velocidades angulares para cada línea, respetando el signo correspondiente.

1. ¿Qué es un centro instantáneo de velocidad? 2. Explica el teorema de Kennedy para la determinación de centros instantáneos.

O12

O23

O13

O14

O15

O45

3. ¿Cuántos centros instantáneos de velocidad se requieren para formar una línea de Kennedy?

Figura 4.23

4. Si se tienen los eslabones 1, 2 y 3, ¿cuáles son los centros instantáneos que forman la línea de Kennedy con respecto a estos eslabones? Si se tienen los eslabones 2, 4 y 7, ¿cuáles son los centros instantáneos que forman la línea de Kennedy con respecto a estos eslabones?

8. El mecanismo que se muestra en la figura 4.23 posee seis eslabones. a) Si el eslabón 3 está formado por un elemento rígido AB, BC y CA, ¿de cuántos centros instantáneos dispone? b) Auxiliándote del teorema de Kennedy y del círculo de centros, determina los centros instantáneos O13 y O15.

5. Explica en qué consiste el teorema de velocidades angulares. 6. Si se desea determinar la velocidad angular de un eslabón 3 a partir de un eslabón 2: a) Indica cuáles son los centros para determinar la línea de Kennedy requerida. b) Establece la ecuación que relaciona las velocidades angulares de estos dos eslabones mediante el teorema de velocidades angulares. 7. Considera que las siguientes líneas de Kennedy se encuentran a escala 1:1 de un mecanismo.

B 3 A

C 4

2

5

O2 O4

6

a) Determina las dimensiones de los radios rO12→O23, rO13→O23, rO14→O45, rO15→O45. b) ¿Qué eslabones relaciona para cada línea?

D

Figura 4.24 Ejercicio de centros instantáneos.

Análisis de velocidad con el uso de centros instantáneos de velocidad Considérese el mecanismo mostrado en la figura 4.25. Con el uso del método de centros instantáneos de velocidad encontrar:

Ejemplo

4.3

. La localización del radio de giro de la biela 3 (O13). 1 2. La velocidad angular de la biela usando el radio de giro O13. 3. Las velocidades tangenciales A, B, C si el eslabón 2 gira a una velocidad de 5 rad/s, fmr.


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AO2 5 2.83 cm BA 5 6.32 cm CA 5 3.16 cm

5

C A

3

2 4 B

O2

Figura 4.25

Solución

Con el método de CIV es posible determinar la velocidad angular 3 a partir de la velocidad angular 2 mediante el nodo común de los eslabones 2 y 3: O23. Por tanto, si se relacionan los eslabones 1, 2 y 3 (el eslabón 1 siempre se utilizará) se necesita la línea de Kennedy O12, O23 y O13. Físicamente, existen cuatro enlaces físicos de los eslabones: 12, 23, 34 y 14,* los cuales definen los centros O12, O23, O34 y O34. Por tanto, como se requiere determinar el centro O13 para calcular la velocidad angular w3. Entonces se deduce a partir del círculo de centros que el centro O13 pasará por la línea O12→O23 y por la línea O14→O34, como se muestra en la figura 4.25. Una vez localizado el centro O13, se utiliza el teorema de velocidades angulares para relacionar las velocidades w2 y w3: rO ω3 =± ω2 rO

12 →O23

13 →O23

Puesto que el centro común O23 se localiza entre los dos centros de pivoteo O12 y O13, entonces los eslabones 2 y 3 giran en sentidos opuestos durante un instante determinado. Los radios de giro se obtienen con la escala respectiva del mecanismo de la figura 4.26. Así: rO →O 2.83 cm ω3 = −ω2 12 23 = −(−5 rad/s) = +1.67 rad/s =1.67 rad/s fmr 8.44 cm rO13 →O23 Como puede apreciarse en la figura 4.26, una línea imaginaria que parta desde el centro de rotación O13 hacia el nodo C denotará el radio de giro del nodo C, por lo que la dirección de la velocidad VC será perpendicular a dicho radio. Una vez determinada la velocidad angular de la biela 3, ahora es posible establecer las velocidades tangenciales de cualquiera de los nodos de la barra (A, B y C), pues con este método es posible determinar la ubicación del centro de rotación de la biela 3.

* El enlace 14 corresponde al centro de giro de la corredera, que se localiza sobre una línea perpendicular a su deslizamiento hacia el infinito, correspondiente a un radio de giro tan grande que el desplazamiento se considera rectilíneo.


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1

o13

2

4 3

8.44 cm 5.79 cm

o14 -> ∞ 7.97 cm

2.83 cm

3

o23 2

4

o12

o34


Las ecuaciones para determinar las velocidades tangenciales son: VA = ω3RO

= (1.67 rad/s)(8.44 cm) = 14.09 cm/s

VC = ω3RO

= (1.67 rad/s)(5.79 cm) = 9.66 cm/s

VB = ω3RO

= (1.67 rad/s)(7.97cm) = 13.30 cm/s

13→ A

13→B

13→C

De manera análoga, se pueden obtener las velocidades de la barra 3 mediante una línea de construcción de centros, como se indica a continuación. Al seleccionar la línea O13–O34 como referencia y O13 como pivote, se proyectan todos los nodos de la barra 3, por medio de arcos, hacia la línea de centros, para lo cual se usa O13 como centro. Una vez trasladados los nodos, se traza la velocidad conocida (en este caso, la velocidad VA perpendicular a la línea de centros) y después se traza la pendiente como se indica en la figura 4.27. O13

VA 5 14.15 cm/s VB 5 13.35 cm/s VC 5 9.7 cm/s Pendiente

C A

3

VC

C

O2

B A

VB VA

Figura 4.27 Solución por línea de centros del ejemplo 4.3.


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Método del polígono de aceleración La solución usando el método del polígono de aceleración es similar al método del polígono de velocidades, pues la única diferencia radica en que en una ecuación de aceleración pueden aparecer más de tres vectores de aceleración debido a la existencia de aceleraciones normales y tangenciales por nodo. Para el análisis de aceleración en un mecanismo es necesario solucionar la posición del mecanismo y disponer de las magnitudes de las velocidades angulares, ya que las componentes normales de aceleración dependen de estas. Así, sean dos puntos p y q cualesquiera de un eslabón rígido, la ecuación de aceleración que relaciona estos puntos se expresa por: →

→

→

a p = a q + a p /q

(4.14)

Los vectores de aceleración de la ecuación (4.14) son las aceleraciones totales que pueden contener componentes de aceleración normal y tangencial. Si las aceleraciones totales ap y aq pertenecen a nodos con trayectorias curvas, entonces estos vectores de aceleración deberán descomponerse en sus componentes normal y tangencial. Por su parte, como la aceleración relativa ap/q siempre tiene trayectoria circular, tendrá componentes normal y tangencial. De este modo, la ecuación de aceleración de puntos de la misma barra puede representarse de la siguiente forma: →

→

"

aB = a A + aB / A

MD XD " "T  N aB = a A +  aB / A + aB / A    XD

→

(4.15)

→

donde aN es la componente de aceleración normal de dirección paralela al radio de giro, cuyo sentido se origina desde el punto de análisis al pivote, y aT es la componente de aceleración tangencial, que es perpendicular al radio de giro en el sentido dado por el sentido de la aceleración angular.

Cuestionario y actividades de preparación 4.3 Responde las siguientes preguntas.

3. La aceleración tangencial depende del cambio de:

1. Define aceleración normal y tangencial.

a) la magnitud de la velocidad.

2. La aceleración normal depende del cambio de:

b) la dirección de la velocidad.

a) la magnitud de la velocidad. b) la dirección de la velocidad. c) la magnitud y la dirección de la velocidad.


c) la magnitud y dirección de la velocidad. 4. ¿Cómo se grafica un vector de aceleración normal y uno de aceleración tangencial?

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5. Si un eslabón se mueve a velocidad angular constante, ¿qué componentes de aceleración aparecerán? 6. Si un eslabón se mueve a aceleración angular constante, ¿qué componentes de aceleración aparecerán?

8. Un eslabón dispone de velocidad angular y aceleración angular. ¿Qué indica el hecho de que estos dos valores tengan el mismo sentido, y qué significa que tengan sentido diferente?

7. En una biela siempre aparecerán componentes de aceleración normal y tangencial de dos puntos de la misma barra (relativos). Explica detalladamente por qué.

Método gráfico del polígono de aceleración Un mecanismo manivela-corredera, como el que se ilustra en la figura 4.28, es impulsado por una manivela 2 de 2.36 cm, la cual gira a una velocidad constante de 5 rad/s, cmr. En la figura se muestra el resultado del análisis de velocidad. Determinar:

Ejemplo

4.4

a ) la aceleración de la corredera. b) la aceleración angular de la biela. c) la aceleración de un nodo G colocado en el centro entre A y B. VB = 12.65 cm/s

5 cm/s AO2 5 1.90 cm BA 5 7.00 cm

VB/A = 9.6 cm/s A

VA = 9.5 cm/s 3

2 O2

B

4

1 cm


Solución

Para el análisis de aceleración se requiere de la magnitud de las velocidades angulares. La velocidad angular de la biela 3 se obtiene con la magnitud de la velocidad tangencial VB/A y el radio de giro rB/A; por tanto, ω3 5 VB/A /rB/A 5 9.6 cm/s / 7.0 cm 5 1.3 rad/s. Como w2 5 cte., entonces a2 5 0; por consiguiente, la magnitud de la componente de aceleración tangencial de A, aTA 5 a2rA/O2 5 0, mientras que la componente de aceleración normal aNA 5 w22rA/O2 5 (5 rad/s)2 (1.9 cm) 5 47.5 cm/s2. La aceleración de B se calcula usando una ecuación de puntos de la misma barra B con respecto a A. Como el nodo B tiene trayectoria rectilínea, no tiene componente normal y tangencial, ya que pertenecen a una corredera; por su parte,


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la aceleración relativa aB/A sí tiene componentes normales y tangenciales debido a que todas las trayectorias relativas de 2 nodos de la misma barra siempre son circulares. De la componente aB solo se conoce la dirección, que es paralela al deslizamiento. De las componentes de aceleración normal se conoce todo, ya que dependen de la magnitud de las velocidades angulares, y además son paralelas al radio de giro. Por último, de las componentes de aceleración tangencial solo se sabe que son perpendiculares al radio de giro: →

→

"

aB = a A + aB / A MD MD MD XD " "T   "N "T  N aB =  a A + a A  +  aB / A + aB / A      XD

→

donde:

N 5 w 2 r 2 aB/A 3 B/A 5 (1.37 rad/s)2(7.0 cm) 5 13.13 cm/s

A continuación se procede a graficar los vectores de aceleración para determinar la aceleración aB y aB/A, como se muestra en la figura 4.29. 10 cm/s 2

Perpendicular al radio B/A

Paralelo al deslizamiento

aB

aG a An = 47.5 cm/s 2

a An = 47.5 cm/s 2

a TB/A

aT = 15 cm/s2 n a G/A = 6.56 cm/s

n a B/A = 13.13 cm/s

2

A 2

3

O2

B

4

Figura 4.29 Vectores de aceleración del ejemplo 4.4.

De la gráfica vectorial de la figura 4.29 se pueden obtener los valores de las T se puede obtener aceleraciones aB y aTB/A con su respectiva escala; además, de aB/A la aceleración angular: aB = 25.40 cm/s2,

α3 =

aT B / A = 30 cm/s2

aBT / A = 30 cm/s2 / 7 cm = 4.28 rad/s2 cmr rB / A

Enseguida se procede a calcular la aceleración del nodo G relacionándola con cualquiera de los nodos A o B. Aun cuando el nodo G tiene una trayectoria curva y, por consiguiente, dispone de componentes normal y tangencial, no se conoce


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127

el radio de giro para proyectarlas sobre este, pero se cuenta con la magnitud de aceleración angular α3, que permite solucionar el problema de la siguiente forma: →

→

"

aG = a A + aG / A →   → →  → aG =  a AN + aTA  +  aGN/ A + aGT / A      →

donde:

MD

MD

MD

MD

T 5 α 3 r 2 aG/A 3 G/A 5 4.28 3 3.5 5 15 cm/s y

aNG/A 5 ω32 3 rG/A 5 4.282 3 3.5 5 6.56 cm/s2 Así, al conocer todos los vectores del lado derecho de la ecuación, la aceleración aG es una resultante de la suma vectorial de los vectores del lado derecho de la ecuación, como se puede observar en la figura 4.29, donde el vector resultante es: aG 5 34.5 cm/s2

4.5 Métodos analíticos A la par de los métodos gráficos, también existen los métodos analíticos, los cuales además de proporcionar resultados más exactos facilitan la implementación computacional. En este apartado se tratan los conocimientos necesarios y una metodología para determinar los valores de velocidad y aceleración en un mecanismo con el uso de los siguientes métodos analíticos: 1. Deducción a partir de la ecuación vectorial por componentes rectangulares. 2. Deducción por producto vectorial. 3. Uso de propiedades trigonométricas, como la ley de senos y cosenos. 4. Uso de ecuaciones geométricas. Los métodos 1 y 2 tienen como propósito solucionar la ecuación cinemática de puntos de la misma barra, de manera similar al método gráfico del polígono, solo que la solución de la ecuación vectorial es mediante la descomposición de componentes rectangulares y que tiene dos ecuaciones algebraicas para solucionar dos incógnitas. Por su parte, el método 3 es utilizado solo para solucionar la ecuación de velocidad de puntos de la misma barra, en donde solo se requiere determinar las magnitudes de velocidad de los componentes. Por último, con el método 4 es posible determinar la velocidad y las aceleraciones de los nodos en forma rectangular, útil para el análisis de fuerzas.


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Método de componentes rectangulares Una solución analítica a la ecuación cinemática de puntos de la misma barra se obtiene mediante la solución vectorial de los componentes rectangulares de un vector. Para ello, se representa un vector mediante la magnitud de este y el vector unitario, conocido como vector direccionador λ.

Derivada del vector direccionador λ Como se demuestra en el capítulo 2, un vector z puede expresarse en sus componentes rectangulares como:

(

→

z = r cos θ iˆ + r senθ ˆj = r cos θ iˆ + senθ ˆj

→

donde:

)

→

z =rλ

→

λ = cos θ iˆ + senθ ˆj (4.16)

Si el vector λ cambiara con respecto al ángulo θ, como se demuestra en el apartado Derivadas de funciones vectoriales y de números complejos del capítulo 2, la razón de cambio con respecto al ángulo puede ser determinada como: λ = cos θ ′iˆ + senθ ˆj

λ′ = cos (θ + 90°)′ iˆ + sen(θ + 90°) ˆj

λ′′ = cos (θ + 180°)′ iˆ + sen(θ + 180°) ˆj

Si se obtiene la razón de cambio con respecto al tiempo, se tiene la ecuación de velocidad del vector unitario, la cual puede ser derivada con respecto al tiempo para obtener la ecuación de aceleración, es decir:

dλ dθ dλ = = ωλ′ dt dt dθ

(4.17)

d 2λ dθ dλ′ dω =ω + λ′ = ω 2λ′′ + αλ′ 2 dt dt dθ dt

(4.18)

Estas ecuaciones permiten ahora obtener las ecuaciones de velocidad en los eslabones de un mecanismo articulado.

Rotación alrededor de un punto Considérese un sólido rígido con un nodo B que gira alrededor de un punto A, cuya ecuación de posición queda expresada en forma vectorial como:


→

→

R B / A = rB / A λB / A (4.19)

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Entonces, al aplicar la derivada con respecto al tiempo, ecuación (4.17), se puede obtener la ecuación de velocidad para el movimiento de rotación: →

→ → d → d (R B / A ) = (rB / A λB / A ) = ωB / ArB / A λ′B / A dt dt

V B/A =

V B / A = v B / A λ′B / A

→

→

(4.20)

donde VB/A se conoce como velocidad tangencial; en este caso, se trata de la velocidad tangencial B vista desde A. Por su parte, ωB/A es la velocidad angular del eslabón en rad/s, mientras que rB/A es el radio de giro en unidades lineales. El vector l’B/A de la velocidad VB/A indica que la dirección de la velocidad se encuentra a 90°, lo que dependerá del sentido de la velocidad angular. A continuación, si se deriva la ecuación (4.20) con respecto al tiempo se obtiene la ecuación de aceleración aB/A, la cual se expresa como: → d " d (v B / A ) = ωB / ArB / A λ′B / A   dt dt  → d d → " aB / A = ( ωB / ArB / A )λ′B / A + ( ωB / ArB / A ) λ′B / A   dt dt 

"

aB / A =

(

→

"

)

→

aB / A = αB / ArB / A λ′B / A + ωB2 / A rB / A λ′′B / A

Al definir:

→

aBN/ A = (ωB2 / A rB / A )λ′′B / A →

aBT / A = αB / ArB / A λ′B / A

entonces se deduce la ecuación de aceleración para el movimiento de rotación, que se expresa de la siguiente manera: →

"

→

aB / A = aBN/ A λ ''B/A + aBT / A λ 'B/A

(4.21)

Como se puede apreciar en la ecuación (4.21), la aceleración normal (aNB/A) se encuentra direccionada por l’’B/A, es decir, a 180° del vector posición, como se menciona en el método gráfico, mientras que la aceleración tangencial (aTB/A) direccionada por l’B/A se encuentra a 90°, lo cual dependerá del sentido de la aceleración angular, como se menciona en el método gráfico.

Translación rectilínea Considérese el movimiento de una partícula de un sólido rígido con movimiento de translación rectilínea, cuya ecuación de posición queda expresada como: →


→

R B = rB λB

(4.22)

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130


Por tanto, la ecuación de velocidad es:

→

VB =

→ → d d (rB λB ) = (rB )λB dt dt

→

→

V B = v B λB

(4.23)

De esta última ecuación se concluye que el vector direccionador λ es el mismo en la ecuación de posición y velocidad, por lo que la velocidad tiene la misma dirección que el movimiento de la corredera, ya que la base de la corredera no gira. Al derivar de nuevo la ecuación (4.23), se obtiene la ecuación vectorial de aceleración: →

aB =

→

→ d (v B λB ) dt →

(4.24)

a B = aB λB

Por tanto, la aceleración tiene la misma dirección que la posición para un eslabón con movimiento rectilíneo, esto es, igual que la velocidad paralela al deslizamiento, aunque no necesariamente hacia el mismo sentido.

Solución por componentes rectangulares Una vez definidas las ecuaciones vectoriales de velocidad y aceleración, se procede a explicar un procedimiento que permite el cálculo de velocidad y aceleraciones en los elementos de un mecanismo. Supóngase que tres vectores (A, B y C) cumplen con la ecuación A 5 B 1 C; si se expresa la suma vectorial en componentes rectangulares se tiene: A = B +C →

→

→

a λa + b λb + c λc

Esta ecuación vectorial puede ser resuelta mediante la descomposición en componentes rectangulares; esto es:

∑ x : a cos θ ∑ y : asenθ

a

= b cos θb + c cos θc

a

= b sen θb + c sen θc

Esta puede emplearse tanto para la solución de ecuaciones de velocidad como de aceleración de puntos de la misma barra. Es importante mencionar aquí que el cálculo de velocidad requiere el conocimiento total de la posición del mecanismo, así como el cálculo de aceleración necesita además el conocimiento total de las velocidades angulares. En algunos casos, la posición del mecanismo puede extraerse de la gráfica de posición; sin embargo, en otros casos es posible que se proporcionen las coordenadas de los nodos, para lo cual es necesario utilizar ecuaciones de geometría analítica


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131


para determinar la longitud y posición del eslabón. Si se dispone de los puntos P (Px,Py) y Q (Qx,Qy), entonces la longitud y la dirección de Q vista desde P son: LQ /P =

(Qx − Px )2 + (Qy − Py )2

 Qy − Py  θQ /P = tan−1   Qx − Px 

Análisis de velocidad por el método de componentes rectangulares

Ejemplo

El mecanismo que aparece en la figura 4.30 dispone de una manivela 2 que gira a 5 rad/s, cmr. Establecer las velocidades tangenciales VB y VC, así como la velocidad angular de la biela mediante el uso del método analítico por componentes rectangulares. 1 cm Coordenadas A (22, 2) B (7, 6) C (9, 3)

4

3

4.5

B

C

A 2 0

O2


Solución

Como se dispone de la velocidad angular ω2, es posible calcular la velocidad del nodo A de la forma VA 5 ω2 3 rA/O2 5 (15)(2.83) 5 14.15 cm/s Después, una vez que se tiene la velocidad del nodo A, es posible determinar la velocidad del nodo B y C mediante el uso de ecuaciones de puntos de la misma barra, ya que los tres nodos pertenecen a la barra 3:

→

→

"

→

→

"

→

→

"

(1)

VB = VA +VB / A

(2)

VC = VA +VC / A

(3)

VC = VB +VC /B

Para saber si una de las ecuaciones tiene solución, entonces debe disponer de solo dos incógnitas de los seis valores que forman cada ecuación. En este caso se seleccionan los nodos B y A, debido a que al inicio no se dispone de información del nodo C: → → → V B = V A +V B / A


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132


Al expresar esta ecuación en componentes rectangulares se tiene: →

→

→

VB λB = VA λA′ +VB / A λB′ / A

Para su solución se requieren los datos de la posición del mecanismo y se puede obtener de forma directa midiéndolo de la gráfica con su respectiva escala, o bien: rA = rA /O = 2

rB / A =

( Ay − O2 y )2 + ( Ax − O2 x ) = (2)2 + (−2)2 = 2.83 cm

(By − Ay )2 + (Bx − Ax ) = (6 − 2)2 + (7 − (−2))2 = 9.85 cm

 Ay − O2 y  = 135° θA = θA /O = tan−1   Ax − O2 x  2

 By − Ay  θB / A = tan−1  = 23.96°  Bx − Ax  Ahora bien, para solucionar la ecuación de velocidad se agrupan los términos rectangulares en la ecuación de puntos de la misma barra:

∑V ∑V

X

: VB cos(0°) = 14.15 cos(135° + 90°) +VB / A cos(23.96° + 90°)

X

: VB sen(0°) = 14.15 sen(135° + 90°) +VB / A sen(23.96° + 90°)

Al hacer los cálculos correspondientes se tiene: VB = −10 − 0.406VB / A lo que da como resultado:

0 = −10 + 0.913VB / A

VB/A 5 110.95 cm/s y VB 5 214.44 cm/s Por otro lado, se sabe que la velocidad relativa VB/A 5 ω3 3 rB/A. Así, puede despejarse la magnitud de la velocidad angular del eslabón 3, de modo que ω3 5 110.95 cm/s / 9.85 cm 5 11.11 rad/s:

ω3 5 1.11 rad/s, cmr

A continuación se determina la velocidad del nodo C relacionándola con la velocidad del nodo A: → → → VC = VA +VC / A En este caso, como no se conoce el radio de giro de la velocidad en VC ni su magnitud, la única manera de determinarla es solucionando por completo el lado derecho de la ecuación, es decir: →


→

→

VC = VA λA′ +VC / A λC′ / A

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133


donde: rC / A =

(Cy − Ay )2 + (Cx − Ax ) = ( 3 − 2)2 + (9 − (−2))2 = 11.04 cm

 Cy − Ay  = 5.19° θC / A = a tan   Cx − Ax 

Como ya se dispone de la magnitud de la velocidad angular del eslabón 3, es decir, ω3 51.11 rad/s, entonces VC/A 5 ω3 3 rC/A 5 (11.11 rad/s) (11.04 cm) 5 12.15 cm/s. Por tanto, al agrupar componentes rectangulares se tiene: Vcx = 14.15 cos(135° + 90°) + 12.15 cos(5.19° + 90°) = −11.10 cm/s

Vcy = 14.15 sen(135° + 90°) + 12.15 sen(5.19° + 90°) = +2.09 cm/s

que en forma polar es:

→

VC = 11.29∠168.70° cm/s

Análisis de aceleración mediante el método de componentes rectangulares Resolver el ejemplo 4.4 de forma analítica con el uso de componentes rectangulares.

Ejemplo

4.6

Solución

Para la solución analítica se requieren los siguientes ángulos: A 2 O2

θA = 68.5°

θB/A = –14.5° 3

B

4 θB = 27.2°


Con base en la ecuación de aceleración de puntos de la misma barra entre los puntos B y A se tiene: →

→

aB = a A + aB / A

(

→ → " " aBλB = a AN λ′′ A + aTA λA′  + aBN/ A λB′′/ A + aBN/ A λB′ / A  

)

Al agrupar en componentes rectangulares se tiene:

∑a

x

: aB cos(θB ) = a AN cos(θA + 180°) + aTA cos(θA + 90°) +aBN/ A cos(θB / A + 180°) + aBT / A cos(θB / A + 90°)

∑a

y

: aB sen(θB ) = a AN sen(θA + 180°) + aTA sen(θA + 90°) +aBN/ A sen(θB / A + 180°) + aBT / A sen(θB / A + 90°)


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134


Del ejemplo 4.4 se obtienen los valores de aNA 5 47.5 cm/s2 y aNB/A 513.13 cm/s2; además, al usar los ángulos obtenidos de la figura 4.31 se tiene:

∑a : ∑a : x

y

cuya solución es

0.88aB = −17.4 + 0 − 12.71 + 0.25aBT / A 0.45aB = −44.19 + 0 + 3.22 + 0.96aBT / A aB 5 225.48 cm/s2 aTB/A 5 30.73 cm/s2

Por último, para determinar la aceleración del nodo G se utiliza una ecuación de dos puntos de la misma barra G con respecto al nodo A. Al saber que el nodo G no se puede expresar en las componentes de aceleración normal y tangencial, ya que no se conoce su radio de giro, la ecuación de aceleración se expresa como: →

→

→

aG = a A + aG / A → → → → → aG = aNA λA′′ + aTA λ′  + aNG / A λG′′/ A + aTG / A λG′ / A   A  

Con lo anterior es posible determinar aBT / A 130.73 cm7 cm 5 4.39 rad/s rB / A = α3rG / A = 4.39 rad/s × 3.5 cm = 15.36 cm/s

α3 = aGT / A

Asimismo, del ejemplo 4.4 se conocen las magnitudes aNG/A 56.56 cm/s2; por tanto: →

(

aG = a AN λA′′+ aTAλ′

) + (a A

N G /A G /A

λ′′ + aGT / AλG′ / A

)

aGx = [ 47.5 cos( 68.8° + 180°) + 0 ] + [6.56 cos(−14.5° + 180°) +15.36 cos(−14.5° + 90°)]

aGy = [ 47.5 sen(68.8° + 180°) + 0 ] + [6.56 sen(−14.5° + 180°)

+15.36 sen(−14.5° + 90°)] cuyo resultado es: aGx = −19.8 cm/s2

aGy = −27.83 cm/s2 aG = 34.15∠234.56°

Método por producto vectorial Otra expresión matemática que permite determinar la velocidad angular de elementos en rotación se basa en una definición de velocidad expresada como un producto vectorial.


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135


Sin embargo, este método es similar al método de componentes rectangulares, solo que en lugar de utilizar la forma polar mediante los ángulos de posición emplea la forma rectangular. Sea rB/A el radio de giro de un eslabón con movimiento de rotación, en cuyo caso la velocidad VB/A se puede determinar como sigue: →

→

→

V B / A = ωB / A× r B / A (4.25)

donde: →

ωB / A = ωB / Ax iˆ + ωB / Ay ˆj + ωB / Az kˆ

→

r B / A = rB / Ax iˆ + rB / Ay ˆj + rB / Az kˆ

Para mecanismos planos se tiene que wB/A 5 wB/Az; por tanto: →

→

VB / A = ωB / A× r B / A = ωB / Akˆ × (rB / Ax iˆ + rB / Ay ˆj)

ˆ la ecuación de velocidad de rotación en un Puesto que kˆ × iˆ = ˆj, kˆ × ˆj = −i, plano se expresa por: VB / A = −ωB / ArB / Ay iˆ + ωB / ArB / Ax ˆj (4.26)

Si esta ecuación se vuelve a derivar, se obtiene la ecuación de aceleración: →

→

→

→

→

a B / A = ωB / A×V B / A + αB / A× r B / A (4.27)

Análisis de velocidad por el método de producto vectorial Resolver el ejemplo 4.5 con el uso de la definición de velocidad por medio del método de producto vectorial.

Ejemplo

4.7

Solución

Primero se determina la velocidad del nodo A mediante la aplicación de la definición expresada en la ecuación (4.25): →

→

" " VA = VA /O = ω 2× rA /O = (+5 rad/s)kˆ × (−2î + 2ˆj) 2

2

→

VA = −10 î + 10 ˆj

Ahora, para determinar la velocidad del nodo B se plantea una ecuación de puntos de la misma barra con respecto al nodo A:


→

→

→

VB = VA +VB / A

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donde: →

VB = VB î + 0 ˆj

(

)

" " " VB / A = ωB / A × rB / A = ω3kˆ × (7 − (−2)) î + (6 − 2)kˆ = −4ω3 î + 9ω3 ˆj

Al agrupar componentes rectangulares se tiene: VB = −10 − 4ω3

0 = 10 + 9ω3

w3 5 11.11 rad/s

Por consiguiente: " VB / A = −4ω3 iˆ + 9ω3 ˆj = −4.44iˆ + 9.99ˆj

Por último, para determinar la velocidad del nodo C se utiliza la ecuación de puntos coincidentes: "

"

"

VC = VA +VC / A

( ) = (−10 î + 10 ˆj) + 1.11kˆ ×((9 − (−2))î + (3 − 2)ˆj) = (−10 î + 10 ˆj) + 1.11kˆ ×(11î + ˆj)

= −10 î + 10 ˆj + ω3kˆ × rC / A

= −11.1î + 2.22ˆj

Método con el uso de la ley de senos y cosenos para el cálculo de velocidad Este método puede aplicarse para solucionar las ecuaciones vectoriales que contienen tres componentes, como las ecuaciones de velocidad de puntos de la misma barra, y que además solo se requiera obtener la magnitud de las componentes de velocidad. → → " Considérese la ecuación Vp = Vq + Vp /q cuya gráfica vectorial se muestra en la figura 4.32. qq2qp/q Por medio de la ley de senos y cosenos se pueden realizar las siguientes relaciones escalares:

Vq

Vp

sen( θq − θp /q ) Vp/q qp2qq Vp

qp2qp/q

Figura 4.32 Gráficas vectoriales de velocidad.


V

2

( p)

2

=

Vq

sen( θp − θp /q ) 2

=

Vp / q

sen( θp − θq )

= (Vq ) + (Vp /q ) − 2VqVp /q cos(θq − θq / p )

(4.28)

las cuales pueden utilizarse para determinar solo las magnitudes de las velocidades de una ecuación vectorial de puntos de la misma barra.

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137


Análisis de velocidad Considérese el mecanismo de la figura 4.33. De este mecanismo se sabe que las posiciones de las barra 2 y 4 son 0° y 90°, respectivamente. Determinar la velocidad del nodo B y C usando la ley de senos y cosenos si ω2 5 10 rad/s.

B

AO2 5 2.00 cm BA 5 11.30 cm CA 5 5.00 cm BO4 5 8.00 cm

Ejemplo

4.8

C 3 4

Solución

Primero se plantean las ecuaciones de velocidad de puntos de la misma barra. En este caso se seleccionan los nodos B y A, debido a que en un principio no se dispone de información del nodo C: → → " VB = VA +VB / A

O2

45°

2

80°

A

O4


La magnitud de la velocidad del nodo A se puede determinar como VA 5 (2 cm) (10 rad/s) 5 20 cm/s. En tanto, de los vectores de velocidad de los nodos B y C solo se conoce su dirección. La velocidad VB tiene un ángulo tentativo de 90° 1 90° 5 180°, mientras que la velocidad VB/A tiene un ángulo tentativo de 45° 1 90° 5 135°. Ahora, por medio de las ecuaciones se puede determinar la velocidad VB y VB/A: VB VA = sen( θA − θB / A ) sen( θB − θB / A )

VB = 20 cm/s

sen(90° − 135°) = 20 cm/s sen(180° − 135°)

Como VB/A 5 ω3rB/A, entonces se puede determinar la velocidad angular de la biela:

ω3 5 28.28/11.30 5 2.5 rad/s

Enseguida, para la velocidad del nodo C se utiliza una ecuación de puntos coincidentes: → → " VC = VA +VC / A Se sabe que VA 5 20 cm/s y que VB/A 5 ω3rC/A 5 (2.5 rad/s)(5 cm) 5 12.5 cm/s; por tanto, una vez que se conocen ambos vectores del lado derecho de la ecuación, se procede a determinar la velocidad VC por medio de la ley de cosenos: 2

2 2 (VC ) = (VA ) + (Vp /q ) − 2VqVp / q × cos(θA − θC / A )

= (20)2 + (12.5)2 − 2(20)(12.5) × cos(90 − (80 + 90))

VC = 21.66 cm/s


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Método con el uso de ecuaciones geométricas El estudio cinemático de los mecanismos también se conoce como estudio de la geometría del movimiento, debido a que trabaja con el diagrama cinemático y puede ser representado por formas geométricas simples, como líneas, rectángulos y círculos. Por tanto, la posición de un mecanismo puede expresarse con el uso de ecuaciones geométricas (o de geometría analítica), como la ecuación de una recta, la de un círculo o la de la distancia entre puntos, entre otras. Con este método, por lo general se obtienen las componentes rectangulares de velocidades. En el apartado Ecuaciones geométricas del capítulo 2, se trata la teoría básica relacionada con la geometría analítica, la cual se retoma aquí para formular ecuaciones de velocidad y aceleración. Considérese primero una barra A y B de longitud LB/A, como se muestra en la figura 4.34. B B

A A

Figura 4.34 Distancia entre dos nodos de una manivela y biela.

Se puede establecer una ecuación de posición, ya sea mediante el uso de la ecuación de distancia entre dos puntos o bien por la ecuación de la pendiente de la recta. En este caso se recomienda utilizar la ecuación de distancia debido a que esta solo involucraría el cambio de la posición de los nodos, con lo que se aislaría el cambio en la posición angular de esta. Por tanto, la ecuación de posición queda establecida así: 2 2 fB ,A = (By − Ay ) + (Bx − Ax ) − LB / A = 0 (4.29) Para obtener la ecuación de velocidad es necesario derivar la ecuación de posición con respecto al tiempo: fB′,A = (By − Ay )(VBy −VAy ) + (Bx − Ax )(VBx −VAy ) = 0 (4.30) donde VAX, VAY, VBX y VAY son las componentes rectangulares de velocidad. Por último, la ecuación de aceleración se obtiene al derivar ahora la ecuación de velocidad: 2

2

f ′′ = (By − Ay )(aBy − aAy ) + (VBy −VAy ) + (Bx − Ax )(aBx − aAy ) + (VBx −VAy ) = 0 B ,A

(4.31)

donde aAx, aAy, aBx y aAy son las componentes rectangulares de aceleración.


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139


Considérese ahora el caso de una corredera con un nodo de análisis B que está relacionado con otro nodo A, como se muestra en la figura 4.35. Si la inclinación entre los dos puntos A y B de la figura 4.35 está dada por la pendiente, entonces para la ecuación de posición en la corredera se puede utilizar la pendiente de una recta, que queda expresada así: fB ,A = (By − Ay ) − m(Bx − Ax ) = 0 (4.32)

BB A

Figura 4.35 Distancia entre dos nodos de una corredera.

La ecuación de velocidad y aceleración en un nodo B de la corredera se expresa como: fB′,A = VBy − mVBx = 0 fB′′,A = aBy − maBx = 0 (4.33) Si se conoce la velocidad y(o) aceleración angular de un eslabón, entonces la velocidad y la aceleración de un eslabón de un nodo B con respecto a A se expresa como: VBx = VAx − LB / A ωB / A sen(θB / A ) = VAx − LB / Ay ωB / A VBy = VAy + LB / A ωB / A cos(θB / A ) = VAy + LB / Ax ωB / A aBx = aAx − LB / A ω 2B / A cos(θB / A ) − LB / AαB / A sen(θB / A ) = aAx − LB / Ax ω

2 B /A

(4.34)

− LB / Ay αB / A

aBy = aA y − LB / A ω 2B / A sen(θB / A ) + LB / AαB / A cos(θB / A )

= aA y − LB / Ay ω 2B / A + LB / Ax αB / A

donde LB/A es el radio de la barra, y ωB/A y αB/A son la velocidad y la aceleración angular, respectivamente. En esta última ecuación aparecen dos componentes de aceleración, llamadas aceleración normal (aN) y aceleración tangencial (aT), que se definen como:

aBN/ A = LB / A ωB2 / A aBT / A = LB / AαB / A

(4.35)

Si se proporcionan ωB/A y aB/A, entonces para el cálculo se tiene que respetar el signo correspondiente al giro; es decir, positivo para el giro en el mismo sentido de las manecillas del reloj y negativo para el caso contrario. Por último, para casos donde se desee determinar la velocidad y(o) aceleración angular de uno de los eslabones, la magnitud y la dirección de esta puede obtenerse mediante: V V ωB / A = − B / Ax = B / Ay LB / Ay LB / Ax (4.36) + aBN/ Ax a − aAx + LB / Ax ωB2 / A a aT αB / A = − Bx = − B / Ax = B / Ax LB / Ay LB / Ay LB / Ay


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Metodología Las ecuaciones geométricas tratadas antes son una excelente herramienta para determinar los valores de velocidad y aceleración en mecanismos articulados. El procedimiento es simple y consiste en relacionar un nodo de velocidad desconocida con otro de velocidad conocida. Sin embargo, una sola ecuación no es suficiente para determinar el parámetro desconocido, ya que cada ecuación contiene dos componentes rectangulares, por lo que resulta necesario usar dos ecuaciones para hallar una solución.

Ejemplo

4.9

Análisis de velocidad con el uso de ecuaciones geométricas Determinar la magnitud de la velocidad del nodo B del mecanismo del ejemplo 4.6 con el uso de ecuaciones geométricas. Solución

Para determinar lo que se pide se requieren las coordenadas de los nodos. Es importante destacar que si se tienen los datos de las longitudes de los eslabones y su posición angular es posible obtener las coordenadas de los nodos: O2(2, 0), A(2, 0), B(10, 8), O4(10, 0) y C(2.86, 1.96). Primero se procede a determinar la velocidad del nodo B mediante ecuaciones geométricas. Debido a que se tienen dos incógnitas, que son las dos componentes rectangulares de velocidad del nodo B, se requieren dos ecuaciones geométricas para la solución, para lo cual se plantean las dos ecuaciones en donde interviene el nodo B, es decir: fB ,A = (Bx − Ax )2 + (By − Ay )2 − L32 = 0

fB ,O = (Bx − O4 x )2 + (By − O4 y )2 − L42 = 0 4

Al derivar con respecto al tiempo, de las ecuaciones de posición se obtienen las ecuaciones de velocidad: (Bx − Ax )(VBx −VAx ) + (By − Ay )(VBy −VAy ) = 0

(Bx − O4 x )VBx + (By − O4 y )VBy = 0

Como se conoce la velocidad angular de la barra 2, entonces es posible determinar las componentes rectangulares de velocidad VA: VAx = −r2ω2sen(θ2 ) = 0

V

Ay

= r2ω2 cos(θ2 ) = 20 cm/s

Al sustituir los datos de las coordenadas de posición y de la velocidad VA se tiene: (10 − 2)(VBx − 0) + (10 − 0)(VBy − 20) = 0


(10 − 10)VBx + (10 − 0)VBy = 0

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de donde se deduce que las componentes rectangulares de velocidad del nodo B son: VBY 5 0 cm/s, VBX 5 20 cm/s

Análisis de velocidad y aceleración con el uso de ecuaciones geométricas

Ejemplo

El mecanismo manivela-corredera de la figura 4.36 dispone de un motor impulsor que mueve la manivela 2 a una velocidad constante de 20 rad/s. Determinar las componentes de velocidad y aceleración del centro de gravedad G de la barra, el cual se encuentra a la mitad de esta. Nota: Las medidas del mecanismo se indican en centímetros.

4.10

A (3, 2)

2 O2 (0, 0)

θ2

3 G

B (10, –1)

4 C

30°


Solución

Toda vez que se conoce la velocidad angular de la manivela y la aceleración angular de esta, que es cero, debido a que se mueve a velocidad constante, es posible determinar los valores de las componentes rectangulares de velocidad y aceleración del nodo A. Por simple geometría y trigonometría se puede deducir que r2 5 3.61 cm, rB/A 5 7.62 cm y rG/A 5 3.81 cm; además, el ángulo de la manivela 2 es de 33.69° y el de la biela es de 223.2° con respecto a la horizontal. • Velocidad

Como se dispone de la velocidad angular ω2, se procede al cálculo de la velocidad del nodo A: VAx = −r2ω2sen(θ2 ) = −(3.61)(−20) sen(33.69) = 40 cm/s

VAy = r2ω2 cos(θ2 ) = (3.61)(−20) cos (33.69) = −60 cm/s

Para determinar la velocidad del nodo B que tiene dos incógnitas (VBx y VBY), se plantean dos ecuaciones donde interviene el nodo B: fB ,A = (Bx − Ax )2 + (By − Ay )2 − L32 = 0


fB ,C = (By − Cy ) − m(Bx − Cx )

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Al derivar la ecuación con respecto al tiempo se obtiene la ecuación de velocidad: (Bx − Ax )(VBx −VAx ) + (By − Ay )(VBy −VAy ) = 0 VBy = m4VBx

y el resultado es:

7(VBx − 40) − 3(VBy − (−60)) = 0 VBy = tan(30 )VBx = 0.577VBx VBx 5 87.36 cm/s VBy 5 50.44 cm/s

Ahora bien, la velocidad del nodo G se puede obtener de dos maneras: a) al relacionarla con otros dos nodos (A y B), sin necesidad de usar velocidad angular de la biela ω3, y b) con el uso de las ecuaciones con entradas angulares, en donde es necesario obtener ω3. En este caso se utiliza la segunda opción solo para explicar su uso. Para determinar la velocidad del nodo G se requerirá la magnitud y dirección de la velocidad angular de la biela, la cual se puede obtener solo como ω3 5 VBA /rBA. Para establecer la velocidad VBA se despeja de la ecuación de velocidad de puntos de la misma barra por componentes rectangulares: VB / Ax = VBx −VAx = 87.36 − 40 = 47.36 cm/s VB / Ay = VBy −VAy = 50.44 − (−60) = 110.44 cm/s ω3 = −

VB / AX 47.36 =− = +15.7 rad/s (−3) rB / AY

VGx = VAx − rG / A ω3senθG / A = 40 − (3.81)(15.76) sen(−23.2) = 63.65 cm/s

VGy = VAy + rG / A ω3 cos θG / A = −60 + (3.81)(15.76) cos (−23.2) = −4.81cm/s

VGx 5 63.65 cm/s

VGy 5 24.81 cm/s

• Aceleración

Se puede seguir el mismo procedimiento para determinar las aceleraciones. A continuación se muestran los cálculos para determinar la aceleración del nodo G: a Ax = −r2ω22 cos(θ2 ) − r2α2sen(θ2 ) = −(3.61) (−20)2 cos(33.69) + 0 = −1201.48 cm/s2 a Ay = −r2ω22sen(θ2 ) + r2α2 cos(θ2 ) = −(3.61) (−20)2 sen(33.69) + 0 = −800.98 cm/s2 (Bx − Ax )(aBx − a Ax ) + (VBx −VAx )2 + (By − Ay ) (aBy − a Ay ) + (VBy −VAy )2 aBy = m4aBx Al sustituir los datos de velocidad y posición se obtienen las componentes de aceleración en el nodo B:

7(aBx + 1201.98) + 2242.96 − 3(aBy + 800.98) + 12196.99

aBx 523872 cm/s2 aBy 5 22228 cm/s2


aBy = 0.577aBX

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A continuación se procede a determinar la aceleración angular α3, ya que resulta necesaria para determinar la aceleración del nodo G: αB / A = −

aB / Ax + LB / Ax ω32 −2760.5 + 7(15.7)2 =− = −345.02 rad/s2 LB / Ay −3

aGx = a Ax − rG / Ax ω32 − rG / Ay α3 = −1201.48 − (3.5)( 15.7) 2 − (−1.5)(−345.02)

= −2581.69 cm/s2 aGy = a Ay − rG / Ay ω32 + rG / Ax α3 = −800.98 − (−1.5)(15.7)2 + (3.5)(−345.02) = −1638.81 cm/s2

aB / Ax = aBx − a Ax = −2670.5 cm/s

aG = −2581.69 cm/s2 x

aB / Ay = aBy − a Ay = −1427 cm/s aG = −1638.81cm/s2 y

4.6 Caso de estudio: Mecanismo de manivela-oscilador Los mecanismos de cuatro barras, en especial el de manivela-oscilador, se utilizan con mucha frecuencia para solucionar las necesidades de diseño de movilidad, por lo que un estudio detallado de la cinemática de este tipo de mecanismo resulta de gran utilidad. De manera concreta, el objeto de estudio consiste en determinar el comportamiento cinemático del oscilador en función de la manivela; es decir, la variable angular de salida θ4 vs. la variable de entrada θ2.Para ello se estudian las posibilidades que ofrecen los métodos analíticos del apartado anterior. Primero, para utilizar los métodos de descomposición en componentes rectangulares es necesario disponer, además de las dimensiones de los eslabones, de las posiciones angulares, incluyendo las de la biela θ3, la cual no es objeto de análisis; lo mismo ocurre cuando en el método se aplica la ley de senos y cosenos. Por su parte, al usar ecuaciones geométricas es posible establecer una ecuación que relacione la posición de salida vs. la posición de entrada al comparar las variables lineales con las angulares. Sin embargo, existe otra opción más simple y práctica para fines de análisis y diseño, la cual parte de la ecuación de Freudenstein (3.17): k1 − k 2 cos (θ4 − θ1 ) + k 3 cos (θ2 − θ1 ) + cos (θ4 − θ2 ) = 0 donde las constantes ki son:

k1 =

l 32 − l12 − l 22 − l 4 2 , 2l 2l 4

k2 =

l1 , l2

k3 =

l1 l4

Por tanto, la ecuación de velocidad se puede obtener al derivar la ecuación de posición con respecto al tiempo, es decir:

k 2 sen( θ4 − θ1 ) ω4 − k 3sen( θ2 − θ1 ) ω2 − sen ( θ4 − θ2 ) (ω4 − ω2 ) = 0


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144


Esta puede representarse así:

ω4 k 3 sen( θ2 − θ1 ) − sen( θ4 − θ2 ) = ω2 k 2 sen( θ4 − θ1 ) − sen( θ4 − θ2 )

Ahora bien, al derivar la ecuación de velocidad se obtiene la ecuación de aceleración: 4 α4 k 3 cos(θ2 − θ1 )ω2 − ω2 k 2 cos ( θ4 − θ1 ) ω4 − 2cos(θ4 − θ2 ) ( ω4 − ω2 ) = α2 k 2 sen( θ4 − θ1 ) − sen( θ4 − θ2 )

ω

Así, al disponer de los valores de las posiciones angulares de entrada y de salida es posible obtener la velocidad angular del eslabón de salida w4, en función de la velocidad angular del eslabón de entrada w2. En consecuencia, al tener las velocidades angulares w4 y w2 es posible determinar la aceleración angular del eslabón de salida. Una vez que se tienen las ecuaciones cinemáticas generalizadas de un mecanismo de doble manivela, es posible estudiar el comportamiento del mecanismo en todo el espacio de trabajo. En la figura 4.37 se muestran las gráficas de posición, velocidad y aceleración de un mecanismo manivela-oscilador.

Figura 4.37 Gráficas cinemáticas de un mecanismo RRRR.

En los tiempos t1 y t3 existe un cruce por cero de la gráfica de velocidad, el cual significa que la posición del eslabón se encuentra en un valor máximo y mínimo. Además, t2 y t4 muestran el cruce por cero de la gráfica de aceleración, que correspondería con un máximo o un mínimo valor de la velocidad.


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145


Con base en las gráficas es posible determinar el tiempo en que ocurre la aceleración y la desaceleración. Así, en el tramo O 2t1 se tienen valores positivos de velocidad y valores negativos de aceleración, lo que significa que el eslabón desacelera hasta llegar a t1, que es donde este llega a su límite (valor máximo de posición). Después, el eslabón retrocede y acelera de t1 a t2, donde la velocidad y la aceleración son valores negativos; posteriormente, de t2 a t3 existe velocidad negativa y aceleración positiva, lo cual indica que el eslabón comenzará a desacelerar hasta llegar a t3, que es el valor tope mínimo, como se muestra en la gráfica de posición. Por último, de t3 a t4 se tienen valores positivos, tanto de velocidad como de aceleración, lo que indica que el eslabón comenzará a acelerar hasta llegar a t4, donde iniciará la desaceleración.

Problema resuelto 4.1 Polígono de velocidad

1 cm

En un proceso industrial, una minimáquina de corte sincronizada se utiliza para tareas de automatización, como se muestra en la figura 4.38. El motor de la minimáquina impulsa una manivela impulsora de 2 cm la cual mueve en forma oscilatoria una palanca de corte de 6.9 cm por medio de un acoplador de 7.6 cm. Si el motor se mueve a una velocidad de 6.28 rev/s, fmr, determinar la velocidad angular de la biela y de la palanca de corte en el instante mostrado mediante el método gráfico del polígono de velocidades.

A

B

V B = 6.7 cm/s

3 B/A

O2

2 4

V A = 12.56 cm/s

O4

4 cm/s

Figura 4.39 Solución al problema resuelto 4.1. Fig 4.39

Motor

Primero se establece una ecuación de puntos de la misma barra en la biela 3: → → " VB = VA +VB / A

Manivela impulsora Cuchilla

Figura 4.38 Minimáquina cortadora sincronizada. Fig 4.37

Solución

Primero se elabora un diagrama cinemático del mecanismo, como se muestra en la figura 4.39, que además ilustra el resultado del análisis que se verá posteriormente.


La ecuación anterior tiene solución debido a que se conoce la magnitud y la dirección de la velocidad VA, es decir, la magnitud VA  5 VA/O2  5 ω2rA/O2 5 (6.28 rad/s)(2 cm) 5 12.56 cm/s, y es perpendicular al radio de giro rA/O2 en el sentido definido por ω2. Sin embargo, de la ecuación no se conoce la magnitud de la velocidad VB, ya que VB  5 VB/O4  5 ω4rB/O4, y no se conoce la magnitud de ω4, aunque sí se sabe que es perpendicular. Por lo que respecta a la velocidad relativa VB/A 5 ω3rB/A, solo se conoce la dirección, que es perpendicular al radio de giro rB/A; ω3 no se conoce, y además el objetivo es determinar su valor. De lo anterior se establece una ecuación de puntos de la misma barra 2 de la siguiente forma: XD MD XD → → "

VB = VA +VB / A

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Primero se grafica la velocidad VA 5 12.56 cm/s perpendicular al radio rA/O2. Como la velocidad VB/A se suma a VA, entonces se grafica al terminar el vector VA perpendicular al radio de giro rB/A. A partir del origen, se grafica la dirección de la velocidad VB, que es perpendicular al radio de giro VB/O4. Una vez cumplidos los pasos anteriores, la dirección de los vectores de velocidad VB y VB/A se intersecarán en un punto, el cual indica que es la solución: VB = 6.7 cm/s

Con los datos encontrados de las velocidades VB y VB/A, ahora se determinan las velocidades angulares. Lo anterior se debe a que ambas son velocidades tangenciales de nodos con trayectorias circulares, por lo que tendrán velocidades angulares. ω4 = VB /O / rB /O = VB / rB /O = 6.7 / 6.8 = 0.98 rad/s fmr 4

4

4

ω3 = VB / A / rB / A = 7.8 / 7.64 = 1.02 rad/s cmr

VB / A = 7.8 cm/s

Problema resuelto 4.2 C

Método de centros instantáneos de velocidad Considérese el mecanismo mostrado en la figura 4.40, el cual pertenece a una excavadora portátil. La trayectoria en la base de la perforadora permite cumplir con la función de excavación en una dirección y de retorno curvo. Se sabe que la palanca de mando tiene un radio de 0.9 cm. A partir de la posición mostrada en la figura, determinar la velocidad con que se desplaza la perforadora al usar CIV, si la palanca de mando gira a 5 rad/s cmr.

Perforadora

Palanca de mando

1 3 O 34 4

O23

O14

4

2

2 3 O12

Figura 4.41 CIV por observación del problema resuelto 4.2.

Si se sabe que rO12→O34 5 0.9 cm, entonces por escalamiento del mecanismo en la figura 4.41 se deduce que rO12→O23 5 2.55 cm, rO23→O34 5 2 cm y rO23→C 5 8 cm. Como se conoce la velocidad angular del eslabón 4 (que es de 5 rad/s), entonces los eslabones 4, 3 y el fijo (requerido siempre) se relacionan para obtener una línea de Kennedy que combine los eslabones O14, O34 y O13. Enseguida, se inicia el cálculo de centros instantáneos por observación, con el fin de ver si se disponen de estos tres centros en el espacio del mecanismo.

Solución

Con ayuda del círculo de centros de la figura 4.42, el centro O13, de acuerdo con el teorema de Kennedy, pasará por los centros conocidos O12 y O23 y por los centros conocidos O14 y O34.

Primero se elabora un diagrama cinemático del mecanismo y a continuación se enumeran los eslabones y se colocan los centros instantáneos por observación.

Para obtener el centro O13 se proyectarán las líneas de Kennedy, una que pasa por O12 y O23 (que se denotará como LK 1) y otra que pasará por O14 y O34 (que se denotará como LK 2).

Figura 4.40 Mecanismo del ejemplo resuelto 4.2.


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C

7.24 cm

O

w3 5 21.55 rad/s 5 1.55 rad/s, cmr

2.9 cm

3

Una vez que se tiene la velocidad angular w3 y el “centro de rotación” de la biela O13 (en las bielas no existe un centro de rotación físico, por lo que aquí se hace referencia a este como un artificio gráfico), se puede obtener cualquier velocidad lineal de la barra 3; por tanto, VC 5 w3 3 rO13→C 5 (1.55 rad/s)(7.24 cm) 5 1122 cm/s. VC 5 11.22 cm/s

O34 4

O23

rad/s, cmr, entonces se puede obtener la velocidad angular de la biela 3 a partir del teorema de velocidades angulares:

O14

2 O12

Figura 4.42 Localización del O13 del ejemplo resuelto 4.2.

C ()3 VC

Una vez que se conoce la ubicación de los centros instantáneos requeridos, se utiliza el teorema de velocidades angulares. Según la ecuación (4.13) para los eslabones 1, 3 y 4 se tiene: ω2rO

1 4 →O3 4

ω3rO

()4 VA

= −1

13 →O 34

donde el signo negativo indica que los eslabones 2 y 3 giran en sentido opuesto, ya que el centro común O34 se encuentra en medio de los centros de pivoteo O14 y O13. Si rO14→O34 5 0.9 cm y rO13→O23 5 2.9 cm, rO13 C 5 7.24 cm y w2 5 5 →

Figura 4.43 Determinación de la velocidad C del problema resuelto 4.2.

Problema resuelto 4.3 Método de polígono de aceleraciones

• RB/A 5 4.33 cm

El mecanismo que se muestra en la figura 4.44 se utilizaba hace algunas décadas como un mecanismo para arrastrar la cinta de proyectores de video. Su principio se basa en que la trayectoria del nodo C dispone de un lapso de línea recta.

• RC/A 5 9.0148 cm

C

B 3

Si se sabe que la velocidad angular del disco impulsor es de 5 rad/s, fmr, y constante, determinar la aceleración del nodo C en el instante mostrado en la figura en forma gráfica y analítica. Nota: Considerar el mecanismo escalado con las siguientes dimensiones: • Radio del disco impulsor: 1.809 cm • Radio de palanca de la manivela: 4.09 cm


4

Disco impulsor

A 2

Figura 4.44 Mecanismo transportador de cinta.

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148


Solución

Previo análisis de velocidad, el resultado es w4 52.174 rad/s y w3 5 0.638 rad/s.

C

Para determinar la aceleración de C es necesario relacionarla con respecto a otro nodo como el nodo A. Sin embargo, como la trayectoria de C es desconocida, primero se debe hacer un proceso previo para determinar la aceleración angular de la biela 3. Para ello se relaciona el nodo B con el nodo A. Como los nodos A y B además pertenecen a la biela 3, entonces: →

→

"

aB = a A + aB / A   a +a  MD → N B

MD → T a

   = a  

MD → N A

Perpendicular al radio B/O4

B

4

Oa

Perpendicular al radio B/A

aTB

a

Oa

aC

aNB

aNA

N

aTC/A

A

aTB/A aNB/A

3

aTB/A

O4 A 2

aNC/A

O2

4 a4 aTB

O4

A

B

a3

Figura 4.45 Solución al problema resuelto 4.3.

   +a  

MD → N B /A

XD → T B /A

+a

  

En este caso, como el eslabón 2 gira a velocidad constante, entonces la aceleración angular del eslabón 2 es cero; por tanto, aTA 5 a2rA/O2 5 0. Además, aNA 5 aNA/O2 5 w2rA/O2 5 (5 r/s)2 (1.809 cm) 5 45.20 r/s2, a NA/B 5 w32rB/A 5 (0.6382 r/s)2 (4.332 cm) 5 1.76 cm/s2 y aNB 5 aNB/O4 5 w42rB/O4 5 (2.174 r/s)2 (4.09 cm) 5 19.33 cm/s2. En la figura 4.45 se muestra la solución a la ecuación vectorial, de donde aTA 5 12.25 cm/s2 y aTB/A 5 23.8 cm/s2. Por su parte, las aceleraciones tangenciales aTB y aTB/A se obtienen de las aceleraciones angulares a3 y a4: a3 5 aTB/A /rB/A 5 (23.8 cm/s2 /4.332 cm) 5 5.5 rad/s2, cmr, y a4 5 aTB /rB/O4 5 (12.25 cm/s2 /4.09 cm) 5 3 rad/s2, cmr, respectivamente.

A continuación se procede a determinar el valor de la aceleración → → " aC: aC = a A + aC / A MD MD MD XX →  →   →  → N N T  aC  =  a A  +  ac / A + aC / A          

Nótese que el nodo C es de trayectoria curva y tiene componente normal y tangencial. Sin embargo, como no se conoce el centro de giro* se pasa como la componente total; de cualquier forma, al disponer de la magnitud de a3 y w3 se puede calcular aNC/A 5 w32 rC/A 5 (0.6382 r/s)2 (9.0148 cm) 5 3.67 cm/s2 y aTC/A 5 a3 rc/A 5 (5.5 r/s2)(9.0148) 5 49.58, por lo que al graficar el lado derecho de la ecuación se obtiene: aC 5 11.67 cm/s2 * El centro instantáneo de velocidad no corresponde con el centro instantáneo de aceleración.


Descarga

C4.1 Contesta de manera clara y precisa lo siguiente: a) Comenta y expresa la ecuación de velocidad de una partícula que se mueve con trayectorias circulares alrededor de un punto fijo. b) Comenta y expresa la ecuación de aceleración de una partícula que se mueve con trayectorias circulares alrededor de un punto fijo.


c) ¿Por qué se puede afirmar que al iniciar un análisis de velocidad en un mecanismo no se conoce nada de un nodo de una biela que se encuentra libre o articulado a otra biela? d) ¿Cómo se obtiene la dirección de la velocidad tangencial?

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e) Si un eslabón se mueve a velocidad angular constante, ¿dispone de aceleración normal?

A

f) Si un eslabón se mueve a velocidad angular constante, ¿dispone de aceleración tangencial?

B

Segueta

C

Manivela impulsora

g) Menciona el teorema de Kennedy de centros instantáneos. Fig 4.46

Figura 4.46 Mecanismo de sierra mecánica.

h) Describe de manera breve el teorema de velocidades angulares. i) Al usar el método del polígono, ¿es posible relacionar dos puntos de diferentes eslabones por medio de una ecuación? Justifica tu respuesta. j) Al usar el método de centros instantáneos, ¿es posible relacionar dos eslabones aunque no estén articulados físicamente? Justifica tu respuesta.

E4.2 El mecanismo que se representa en la figura 4.47 dispone de una manivela impulsora de 3 cm que se mueve a 10 rad/s, frm, y constante. Realiza un análisis completo de velocidad y aceleración del mecanismo, para lo cual debes llenar la siguiente tabla. Velocidad

k) Al usar el método de CIV, ¿es posible determinar la velocidad angular de un eslabón a partir de otro conocido aunque no estén articulados? Justifica tu respuesta.

Nodo A

l) Explica por qué es necesario realizar un análisis de velocidad en un mecanismo antes que el análisis de aceleración.

Biela 3

Aceleración normal

Aceleración tangencial

Aceleración total

Nodo B Nodo G Manivela 2 Manivela 4

A

Ejercicios Utiliza los métodos gráficos y analíticos vistos en este capítulo para solucionar los siguientes problemas relacionados con velocidad y aceleración en mecanismos articulados. E4.1 El mecanismo de la figura 4.46 muestra parte de un sistema de sierra mecánica. Si la manivela impulsora gira a una velocidad de 10 vueltas por segundo: a) Elabora un diagrama cinemático del mecanismo con las dimensiones correspondientes. b) Determina la velocidad de desplazamiento de la segueta. c) Establece la aceleración de desplazamiento de la segueta.


2

3 G

O2 B

4

Figura 4.47 Mecanismo del ejercicio E4.2.

E4.3 Determina la velocidad y la aceleración con que se desplaza el pie de aguja del mecanismo de la figura 4.48. El disco gira a una velocidad de 50 rad/s cte., fmr. Utiliza equipo geométrico para medir las dimensiones del mecanismo sobre la figura.

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C con aplicaciones Análisis y síntesis deAmecanismos 5 2 6 3 O2 D O6

2

O2

Disco

C

A 3

B 4 5

6 D

Guías

O6 3

B 4

2

Biela

O2 3

Aguja


E4.4 Determina la aceleración angular de los elementos 3 y 4 del mecanismo del ejemplo 4.8.

O4

6

5

O2

6

5

4 Figura 4.50 Mecanismo del ejercicio E4.6.

2 Pie de aguja

4

E4.7 O4 Del mecanismo que se muestra en la figura 4.51, determina la velocidad angular del eslabón 4 y la magnitud de la velocidad del nodo C con el uso del método de centros instantáneos. El eslabón 2 gira a una velocidad angular de 5 rad/s, cmr. Si el eslabón 2 tiene una longitud de 2.2 cm, con base en ello escala las demás dimensiones.

E4.5 Con base en el mecanismo de la figura 4.49, determina la velocidad y la aceleración angular de todos los elementos si:

B C

a) ω2 5 10 rad/s, frm, cte.

4

b) ω2 5 10 rad/s, frm, y a2 520 rad/s2, cmr.

O2 O4

O2A BA GA O4B

2

B

= 4 cm = 15 cm = 17 cm = 13 cm

A


G

A

E4.8 Del mecanismo de la figura 4.52 se sabe que el eslabón 2 tiene un radio de 1.57 cm y gira a una velocidad angular de 5 rad/s, cmr. Determina la velocidad angular de los eslabones con el método de centros instantáneos.

2 O2

O4

D

Figura 4.49 Mecanismo del ejercicio E4.5. O2

E4.6 Determina todos los centros instantáneos posibles de los mecanismos mostrados en la figura 4.50.

C

2 A

5

6 O6

3 B 4



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E4.9 La corredera 2 del mecanismo de la figura 4.53 tiene una velocidad constante de 20 cm/s . en el instante mostrado. Si el mecanismo se encuentra a una escala de 1:5, determina la velocidad y la aceleración del centro de masa de la barra AB (considera la mitad de esta). E4.10 En el instante mostrado, del mecanismo de la figura 4.53 se sabe que la corredera 2 se mueve a 5 cm/s - y que la corredera 4 tiene una aceleración de 25 cm/s2 !. Establece la velocidad y aceleración de la biela 3. A

E4.12 El mecanismo que se muestra en la figura 4.55 es utilizado para controles de acceso por medio de la puerta de control, la cual es controlada en espacio y tiempo por un servomotor. Si en el instante mostrado en la figura el servomotor tiene una velocidad angular de 6 rad/s, cmr, y desacelera a una razón de 15 rad/s2, determina la aceleración angular de la puerta de control luego de escalar el mecanismo a 1:8.

Biela Servomotor

Puerta de control

2

3

Figura 4.55 Mecanismo del ejercicio E4.12. 4 B

Figura 4.53 Mecanismo de los ejercicios E4.9 y E4.10.

E4.11 En el mecanismo de la figura 4.54, el pedal es impulsado de manera instantánea con una velocidad de 2 rad/s, fmr, y constante. Determina la velocidad angular del disco excéntrico. Excéntrico

Bancada

Palanca

Figura 4.54 Mecanismo del ejercicio E4.11. Fig 4.54


Fig 4.55

Propón una solución

A continuación se presenta un par de problemas que requieren una solución matemática y(o) de implementación. Resuélvelos y valida los resultados por medio de Vir-Mech®. S4.1 El mecanismo de excavadora portátil de la figura 4.40 dispone de una trayectoria recta en un lapso de su movimiento. Establece una estrategia gráfica basada en el método de centros instantáneos para saber el lapso en que la manivela impulsora genera esa trayectoria rectilínea. Recuerda que en ese lapso la dirección de la velocidad se conserva. S4.2 Utiliza la metodología planteada en el apartado 4.5 (Caso de estudio) para establecer ecuaciones cinemáticas en un mecanismo manivela-corredera. Asimismo, establece un caso de estudio para determinar los lapsos de aceleración y desaceleración.

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Mecanismos de contacto directo

Propósito del capítulo Los capítulos 3 y 4 de este libro están dedicados al estudio cinemático de mecanismos de barras articuladas; en estos se exponen metodologías gráficas y analíticas para la solución de problemas de posición, velocidad y aceleración. En este capítulo se aborda el estudio cinemático de otra categoría de mecanismos en la que la transmisión del movimiento se hace por medio de una junta llamada contacto directo. Tal es el caso de los mecanismos de referencia móvil o de deslizamiento puro y ruedas, como los engranes, tomando como base las metodologías vistas en el análisis cinemático de mecanismos articulados. Competencia específica • Analizar la cinemática de mecanismos de contacto directo mediante métodos gráfico-analíticos que permitan formular y solucionar ecuaciones de posición, velocidad y aceleración, a fin de validar resultados de diseño.

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5

Capítulo

Habilidades 1. Elaborar un análisis cinemático en mecanismos de contacto directo para la selección o el diseño de transmisiones por contacto directo. 2. Validar los resultados del análisis mediante simulación computacional. 3. Proponer soluciones para cumplir con requisitos de movilidad basados en ruedas y(o) mecanismos de deslizamiento. Conocimientos requeridos • Polígono de velocidad y aceleración. • Método de centros instantáneos de velocidad. • Derivada de un vector. • Posición de un mecanismo de barras articuladas.

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5.1 Introducción Los mecanismos de contacto directo se caracterizan por tener un par de elementos en los que la transmisión del movimiento se realiza mediante el contacto de un elemento con otro. No son menos importantes que los mecanismos articulados, pues se pueden encontrar en dispositivos mecánicos que involucren discos, engranes, levas y deslizamiento, entre otros, ya que aportan ciertas características de movilidad que no se presentan de manera tan común en mecanismos articulados, por ejemplo: a) Los mecanismos de contacto por deslizamiento pueden aportar una relación de tiempo muy baja o alta, según sea el caso. b) Los mecanismos de ruedas, como discos, poleas, engranajes, etcétera, pueden aportar una relación de transmisión constante. c) Los mecanismos de levas proporcionan movimientos más complejos y variantes en el tiempo. En este capítulo se estudia la teoría necesaria para comprender las características de los mecanismos de contacto directo. Así, primero se presenta el análisis de mecanismos de contacto directo, para lo cual se usan la teoría y la metodología presentadas en los capítulos 2 y 3. Enseguida se hace un estudio de mecanismos compuestos por engranajes. Para ello se revisan algunas clasificaciones de los engranajes y sus características, y se presenta la metodología para determinar la relación de transmisión en este tipo de mecanismos. Después se usa una extensión de la teoría vista en engranajes para el análisis cinemático de mecanismos de bandas y poleas.

5.2 Mecanismos de referencia móvil Los mecanismos de referencia móvil son elementos mecánicos en los que uno de sus elementos, llamado deslizadera, se desplaza sobre otro, el cual, a su vez, se mueve ya sea de forma circular, rectilínea o plano general, de ahí su nombre de mecanismos de referencia móvil. Estos mecanismos también se conocen como mecanismos de deslizamiento puro, ya que la transmisión del movimiento se realiza mediante una junta cinemática por deslizamiento. A continuación se presenta una extensión de la metodología y los conceptos utilizados en los capítulos 2 y 3 para el análisis cinemático de posición, velocidad y aceleración de mecanismos de deslizamiento.

Análisis de posición Considérense dos representaciones cinemáticas de un mecanismo de deslizamiento, llamados RRPR y RRPP, como los que se muestran en la figura 5.1.


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Capítulo 5. Mecanismos de contacto directo

a)

b)

3

A

3 2

O2

4 O2

4 O4

Figura 5.1 Mecanismo de deslizamiento. Figura 5.1 Mecanismo de deslizamiento.

El mecanismo de la figura 5.1 a), conocido como mecanismo de retorno rápido, tiene la característica de que el tiempo de retroceso del eslabón 4 suele ser menor al de avance. Este mecanismo se compone de una manivela 2, articulada a la deslizadera 3, la cual se mueve a lo largo de la manivela 4, que a su vez gira. Por su parte, en la figura 5.1 b) se observa un mecanismo conocido como mecanismo de yugo escocés, el cual dispone de una manivela de entrada 2, articulada a la deslizadera 3, que se desplaza en línea vertical sobre el elemento 4, el cual se encuentra limitado a desplazarse solo en el eje horizontal. El análisis de posición en este tipo de mecanismos, ya sea gráfico o analítico, es demasiado simple como para exponer una metodología, ya que la posición de entrada en A corresponderá con la posición coincidente del elemento en la salida, y se puede obtener al intersecar el punto entre los eslabones.

Análisis de velocidad y aceleración por métodos gráficos Aun cuando el análisis de posición en mecanismos de deslizamiento es relativamente simple, el análisis de velocidad y aceleración es más complejo debido a que el vector posición de la deslizadera, además de experimentar un cambio en la posición rectilínea, tiene un cambio en la posición angular. Por tanto, para resolver el problema cinemático en mecanismos de deslizamiento se utiliza la ecuación de puntos coincidentes, que se explica a continuación.

Ecuación de puntos coincidentes de velocidad La metodología que se utiliza en el análisis cinemático de mecanismos articulados se basa en la solución de la ecuación de puntos de la misma barra; sin embargo, esta no puede aplicarse a un mecanismo en el que existe deslizamiento. Por tanto, el cálculo de velocidad y aceleración para mecanismos de deslizamiento se realiza mediante la solución de la ecuación de puntos coincidentes. Para comprender el concepto de puntos coincidentes, considérese un elemento en contacto por deslizamiento, como el que se muestra en la figura 5.2. Así, sea


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Aq

Ap

un punto A en el collarín, que se denotará como Ap, el cual coincide sobre un punto debajo del mismo, al que se denomina Aq. Entonces, la ecuación de velocidad que relaciona estos dos puntos coincidentes está definida como →

→

"

Vp = Vq + VpR/q

(5.1)

" " donde los vectores V p y V q son velocidades absoluFigura 5.2 Ecuación de puntos coincidentes. tas que dependen de los eslabones articulados y la " componente vectorial VpR/q se conoce como velocidad relativa de deslizamiento. Para deslizamiento sobre trayectorias rectilíneas, esta velocidad es paralela al deslizamiento, mientras que para trayectorias curvas será tangente a la curva.

Figura 5.2 Ecuación de puntos coincidentes.

Ecuación de puntos coincidentes de aceleración Aceleración radial y de Coriolis

Considérese un sólido rígido cualquiera que dispone de un nodo p que se desliza con una velocidad relativa V R sobre otro eslabón en movimiento, el cual tiene una velocidad angular w. Además de las componentes de aceleración normal y tangencial que pueden aparecer en los nodos de los eslabones, existen otras dos componentes de aceleración llamadas aceleración de Coriolis (aC ) y aceleración radial (aR ). La componente de aceleración de Coriolis (aC ) depende del cambio de posición de la velocidad relativa y se determina como: apC = 2 × ω ×V R

(rad/s)(cm/s)

cm/s2

(5.2)

Donde ω es la velocidad angular del elemento sobre el cual se desliza el collarín y V R es la velocidad de deslizamiento. Por otro lado, la componente de aceleración radial (aR ), conocida como aceleración de deslizamiento aR, depende del cambio de magnitud de la velocidad de deslizamiento. Para un mecanismo con deslizamiento móvil, la ecuación de aceleración de puntos coincidentes (véase figura 5.2) queda expresada como:

→

→

(

"

"

ap = aq + aCp /q + aRp /q

)

(5.3)

Donde la componente aC es la aceleración de Coriolis y se grafica de forma perpendicular a la velocidad relativa V R, en el sentido de la velocidad angular de la referencia sobre el que se desliza el collarín, y aR es la aceleración radial, la cual es paralela al deslizamiento. Las aceleraciones ap y aq pueden tener componentes de aceleración normal y tangencial si son de trayectoria curva, por lo que a partir de la ecuación (5.3) se puede afirmar que la aceleración de Coriolis existe solo si existe la aceleración normal, ya que ambas dependen de la velocidad angular del elemento de referencia.


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Análisis de velocidad con el uso del polígono de velocidad

Ejemplo AO2 = 3.00 cm O4 O2 = 2.05 cm AO2 = 4.00 cm

El mecanismo que se muestra en la figura 5.3 representa el diagrama cinemático típico de un mecanismo de deslizamiento puro. En dicha figura, la manivela 2 impulsa el mecanismo a una velocidad constante de 2 rad/s, mientras que la deslizadera 3 se encuentra articulada a la manivela 2, y se desliza sobre la manivela 4. Determinar la velocidad de deslizamiento y la velocidad angular de la manivela 4.

A

5.1

3

2

4

O2

O4


Solución

Para la solución del problema, la articulación A, que se encuentra entre la manivela 2 y la deslizadera 3, se renombra como A3; además, debajo de ese punto, en la manivela 4, se encuentra un punto que se denotará como A4. Por tanto, los puntos A3 y A4 son puntos coincidentes, cuya ecuación está dada por: MD XD XD

"

"

"

VA = VA +VAR / A 3

4

3

4

 VA3  5 | VA | 5 ω2 3 rA/O2 5 (2 rad/s)(3 cm) 5 6 cm/s Con este dato se procede a solucionar la ecuación vectorial mediante el polígono de velocidad, como se muestra en la figura 5.4, cuyo resultado es: VA3 5 1.36 cm/s y V R 5 5.84 cm/s Una vez que se conoce el valor de la velocidad del nodo A4 es posible obtener la velocidad angular de la manivela 4 de la forma: ω4 =

VA

4

RA

4

=

1.36 cm/s = 0.66 rad/s, 2.05 cm

cmr (en sentido contrario a las manecillas del reloj). VA4 perpendicular a O4A4 A

VA4

3

2

VA3

4

O2

V A3 O4

M2

A A3 A4 M4


C3

R VA3/A4

R VA3/A4 paralela al deslizamiento


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158


Ejemplo

5.2

Análisis de aceleración con el uso de un polígono de aceleración Determinar la aceleración angular de la manivela 4 del mecanismo del ejemplo 5.1 si la manivela 2 se mueve a velocidad constante. Solución

El análisis de velocidad fue resuelto en el ejemplo 5.1, donde a través de este se obtuvieron los valores de la velocidad relativa V R 5 5.84 cm/s y de la velocidad angular w4 5 0.66 rad/s. Ahora bien, con estos datos es posible realizar un análisis de aceleración. aR A

3

a TA

4

2

aC

4

O2

O4 a NA

a NA

2

A

M2

4

C3

A3 A4

ω4 VR

M4

aC


Debido a que el elemento 3 se desliza sobre la manivela 4, entonces se debe plantear una ecuación de puntos coincidentes en A de la forma: "

"

"

a A = a A + a AR / A 3

MD MD

(a

"N

A3

4

"T

3

) (

4

MD XD

"N

"T

) (

MD XD

"C

+ aA = aA + aA + aA 3

4

4

3 / A4

"

+ a AR / A 3

4

)

En este caso, las componentes normales son completamente conocidas, ya que se disponen las velocidades angulares y se sabe que son paralelas al radio de giro. También se conoce la magnitud de la componente Coriolis, ya que depende de la velocidad angular w4: a AN = a AN = ω22rA 3

2

a AN = ω42rA 4

4 /O 4

2 /O2

= (2 rad/s)2 (3 cm) = 12 cm/s2

= (0.66 rad/s)2 (2.05 cm) = 0.89 cm/s2

a C = 2ω4VAR / A = 2(0.66 rad/s)(5.84 cm/s) = 7.7 cm/s2 3

4

Para obtener las aceleraciones normal (aN ) y relativa (aR ) es necesario buscar una solución gráfica de la ecuación vectorial de aceleración, de acuerdo con el


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proceso que se expone a continuación, y como se demuestra en la figura 5.5. Así, primero se grafica la aceleración aNA3, que es aNA2, la cual es paralela al radio de giro O2A2, con sentido de A2 hacia O2. Del mismo punto de inicio del vector aNA3, se grafica de forma idéntica la aceleración aNA4, cuya dirección es de A4 hacia O4. Luego, se grafica la aceleración de Coriolis aC, que como se explicó antes es perpendicular a la velocidad relativa V R en el sentido de la w4. Enseguida de la aceleración de Coriolis se traza la aceleración relativa aR, que en este caso es paralela al deslizamiento, es decir, perpendicular a la aceleración de Coriolis, pero con dirección desconocida. Por último, se traza la aceleración tangencial aTA4 perpendicular al radio de giro O4A4 y la intersección con la aceleración relativa constituye la solución (véase figura 5.5). Es importante resaltar que de la solución gráfica se obtienen las magnitudes de aR 5 2.88 cm/s2 y aTA4 5 16.44 cm/s2. Una vez que se conoce la magnitud de la aceleaTA 16.44 cm/s2 T , se obtiene la aceleración angular α = = = 8 rad/s2 . ración a A4 4 rA /O 2.05 cm 4

4

4

La ecuación vectorial de aceleración se grafica como se muestra en la figura 5.5, donde se observa que las aceleraciones normales, paralelas al deslizamiento, y la aceleración de Coriolis, perpendicular a V R en dirección de la velocidad angular 4, de las gráficas vectoriales son: aR 5 2.88 cm/s2 y aTA4 5 16.44 cm/s2, y la aceleración angular es: T

aA 16.44 cm/s2 α4 = = = 8 rad/s2 2.05 cm rA /O 4

4

4

Análisis de velocidad y aceleración por métodos analíticos Para comprender el análisis de velocidad y aceleración por métodos analíticos considérense los mecanismos de deslizamiento de la figura 5.6, donde para facilitar el estudio se parte de la posición de la corredera con respecto a su referencia móvil (véase figura 5.6). Deslizamiento sobre rotación y RB

Deslizamiento sobre traslación rectilínea

RB R B2

x

y

R B1 x

Figura 5.6 Posición de desplazamiento.


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" Para el movimiento de deslizamiento sobre rotación, la posición RB, la velocidad " " VB y la aceleración AB quedan definidas como: →

→

R B = rB λB →

→

•

→

V B = rB ωB λ′B + r B λB

(5.4)

→

→

→

→

•

••

→

a B = rB ω 2B λ′′B + rB αB λ′B + 2 r B ωB λ′B + r B λB

" El primer término de la ecuación de velocidad, rB wB l’B, es similar a la velocidad tangencial de un nodo B ’ que coincide por debajo de B y pertenece a la manivela. De forma similar, los primeros dos términos de la ecuación de aceleración, " " rB wB l’’B 1 rB aB l’B , coinciden con la aceleración de un punto B ’ por debajo de B perteneciente a la manivela. • " De manera específica, el vector, V R 5 rB lB, se conoce como la velocidad radial o • " de deslizamiento del collarín, el término vectorial, aC 5 2rB wB l’B, como aceleración de • • " Coriolis, y el término vectorial, a R 5 r B lB, como aceleración radial o de deslizamiento. Ahora, considérese el movimiento de deslizamiento sobre traslación rectilínea, " " " donde la posición RB, la velocidad VB y la aceleración aB quedan definidas como:

→

→

→

→

→

R B = R B + R B = rB λB + rB λB 1

→

•

→

••

2

→

1

1

•

2

2

→

VB = r B λB + r B λB 1

2

1

→

••

(5.5)

2

→

aB = r B λB + r B λB 1

•

1

2

2

• •

donde rB1 y r B1 son las componentes de velocidad y aceleración, respectivamente, de un nodo B’ del elemento sobre el que se desliza el collarín, el cual coincide con el • • • punto B de este, y rB2 y r B2 son respectivamente la velocidad y la aceleración radial con la que se desliza el collarín. Por tanto, y en términos generales, se puede establecer la ecuación cinemática que relaciona la velocidad y aceleración de un nodo del collarín, coincidiéndolo con un nodo del elemento sobre el cual se desliza. Sea B un nodo del collarín y B ’ un nodo justo debajo de B y perteneciente al elemento sobre el cual se desliza. Entonces, las ecuaciones de velocidad y aceleración debido al deslizamiento quedan expresadas así:

→

→

"

"

"

VB = VB ′ + VBR/B ′ "

(5.6)

"

aB = aB ′ + aBR/B ′ + aBC /B ′


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Análisis cinemático por métodos analíticos Considérese el mecanismo de yugo escocés cuyo diagrama cinemático se muestra en la figura 5.7. Como se puede ver en dicha figura, el collarín 3 se desliza sobre el elemento 4, el cual está limitado a moverse de forma horizontal por una guía. En el instante mostrado, la manivela 2 transmite el movimiento al collarín a través del nodo B y tiene una velocidad angular de 10 rad/s, , constante. Establecer la velocidad y aceleración del collarín 3 y del elemento 4 mediante el uso de métodos analíticos.

Ejemplo 4 B

2 O2

3

5.3

3 cm 5 cm Guía horizontal

Figura 5.75.7 Mecanismo Figura Mecanismodel delejemplo ejemplo5.3. 5.3.

Solución

Para la solución de este problema se considera una ecuación de puntos coincidentes que relaciona el collarín 3 con el nodo B, el cual para el collarín se llama B3, y para el elemento 4, que coincide con B, se llama B4. Para el análisis de velocidad, primero se determina la magnitud de la velocidad del nodo B, que se ha renombrado como B3, VB 5 w2rA/O2 5 (210 rad/s) (5.83 cm) 5 258.3 cm/s, a partir de la cual se plantea una ecuación de puntos coincidentes: "

"

3

4

3

→

4

→

→

−58.3 λ′θ = VB λ θ +VBR /B λ θ 2

"

VB = VB +VBR /B 2

4

3

2

4

Esta ecuación puede expresarse en componentes rectangulares como: −58.3 cos(30.96° + 90) = VB cos(0°) +V R B 4

−58.3 sen(30.96° + 90) = VB sen(0°) +V R B 4

3 /B 4

3 /B 4

cos(90°)

sen(90°)

y cuya solución es: VB4 5 29.9 cm/s, VB3/B4 5 249.9 cm/s →

→

→

→

aB = aB + aBR /B ´+ aBC 3

→ N B3

4

→ T B3

3

→

3 /B 4

4

→ R B 3 /B 4

a + a = aB + a 4

→

´+ aBC

3 /B 4

donde la componente tangencial del nodo B3 es nula, debido a que el eslabón se mueve a velocidad constante. Por otro lado, la aceleración de Coriolis también es nula, ya que el elemento sobre el que se desliza el collarín es de traslación rectilínea. Además, como el nodo B3 en realidad es B2, entonces la aceleración aB3 5 aB2.


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Por tanto:

aNB3 5 aNB2 5 w2rB/O2 5 (10)2(5.83) 5 583 cm/s2 "

"

"

"

"

aBN + aBT = aB + aBR /B ´+aBC 3

3

4

3

→

3 /B 4

4

→

→

583 λ′′θ=30.96 = aB λ θ=0 + a R λ θ=90

4

Así, esta ecuación puede expresarse en componentes rectangulares como: 583 cos(30.96° + 180) = aB cos(0°) + a R cos(90°) 4

583 sen(30.96° + 180) = aB sen(0°) + a R sen(90°) cuya solución es: 4

aB4 5 2499.9 cm/s2, VB3/B4 5 2299.9 cm/s2

Existencia y significado de la componente de Coriolis Para demostrar la existencia y el significado de la componente de Coriolis considérese el caso de una deslizadera sobre un elemento rotacional, como se muestra en la figura 5.8. VR ∆V

a’ b V

V

r +∆r

∆V o’

∆θ

b’

a VR

VR

o

r

Figura 5.8 Existencia de la aceleración de Coriolis.

Con el fin de facilitar la demostración, se considera una deslizadera que se mueve a una velocidad relativa (V R ) constante y la manivela a una velocidad angular (w) constante. Para la demostración, los vectores del cambio de las velocidades se alinean en un mismo origen. La velocidad relativa solo cambia de dirección de a’ con DV1 5 V R 3 Dθ, por lo que ahora se tiene el cambio de la velocidad tangencial V 5 w 3 r, de modo que DV 5 w 3 (r 1 Dr); por tanto, el cambio total de velocidad DVtot es:

(

lím

t → 0


)

Vtot = aa '+ bb '+ b 'o ' = V R × θ + ( ω × r × θ ) + [ ω × (r + r ) − ( ω × r )] Vtot θ   θ   r   = lím  V R ×  +  ω × r + ω 0  → t  t t   t   t 

(

) (

) (

atot = V R × ω + ω 2 × r + ω ×V R N

)

C

atot = a + a

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Aquí se puede apreciar la existencia de la aceleración normal debido al cambio de la dirección de la velocidad angular y la componente de Coriolis, la cual depende de la aceleración angular.

El efecto Coriolis El efecto Coriolis, descrito en 1836 por el científico francés Gaspard Gustave Coriolis, se presenta cuando un cuerpo se encuentra en movimiento con respecto a otro sistema que está en rotación. El resultado de tal efecto es un aceleración perpendicular al eje de rotación del sistema y tangente a la velocidad del cuerpo. La componente de aceleración de Coriolis aparece en diversos eventos en la naturaleza, en especial cuando se relaciona en términos de la fuerza Coriolis. Por ejemplo, el lanzamiento de un misil desde un punto A hacia un punto B en línea vertical sobre la Tierra debe considerar el efecto Coriolis, pues de lo contrario el misil llegará a otro punto, desviado por la fuerza de Coriolis, producto de la rotación. Otro ejemplo del efecto Coriolis se muestra en el sistema de la figura 5.9, que consta de una mesa circular en movimiento de rotación en el sentido que se indica. En un instante dado, se lanza una pelota desde el punto A, cuyo objetivo es el punto B; sin embargo, existe una desviación del movimiento desde A hacia el punto B ’, ya que al desplazarse sobre una superficie en movimiento circular aparece la componente de aceleración de Coriolis. B’ Si se toma como base el ejemplo de la figura 5.9, se puede afirmar que el efecto Coriolis también está presente en la formación de los A B huracanes, así como en el sentido con el que giran, de modo que en el hemisferio norte los huracanes se forman con un sentido de giro contrario a los que se originan en el hemisferio sur. Sin embargo, y pese a que el efecto Coriolis está presente en la naturaleza debido a la rotación de la Tierra, no deben creerse ni darse por Figura 5.9 Ejemplo del efecto ciertas determinadas conjeturas asociadas, que incluso son abordadas Coriolis. Figura 5.9 Ejemplo del efecto Coriolis. en algunas caricaturas o dibujos animados, como el hecho de afirmar que el sentido de giro en un retrete difiere en los lugares ubicados en el hemisferio sur que en los del hemisferio norte (véase figura 5.10). Incluso, en la web pueden encontrarse en video algunas “demostraciones del efecto Coriolis”, que en realidad son falsas. Por ejemplo, en la red se localiza el video de un experimento donde se vacía agua sobre un contenedor circular de dos maneras: uno localizado al norte y otro al sur de la línea del Ecuador; en este experimento, aparentemente se demuestra el cambio en el sentido del giro del agua con el solo hecho de trasladarse unos escasos metros al norte y sur de la línea del Ecuador. El resultado de este experimento es a todas luces falso en términos del efecto Coriolis, ya que por la misma definición de la aceleración de Coriolis se requiere velocidad de desplazamiento moviéndose sobre un elemento con velocidad de rotación; el truco en algunos casos consiste en el lugar donde se vierte el agua y la forma del contenedor, Figura 5.10 El experimento de la cual permite el sentido que el agua adquirirá. Coriolis. Figura 5.10 El experimento de Coriolis.


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5.3 Trenes de engranes o engranajes Los mecanismos de barras articuladas y de deslizamiento tienen la característica de que la relación de transmisión, la cual establece el comportamiento cinemático del eslabón de salida vs. eslabón de entrada, no es constante debido a la naturaleza de la transmisión del movimiento. Sin embargo, algunos dispositivos, en especial de transmisión, requieren la implementación de mecanismos donde la relación de transmisión sea lo más constante posible; tal es el caso de los mecanismos de ruedas, donde la relación de transmisión se considera así. Un ejemplo de este tipo de mecanismos son los engranes o ruedas dentadas, en los cuales, pese a que su geometría no es como la de un disco, el contacto entre los elementos se realiza por medio de un círculo imaginario llamado círculo de paso, de ahí que se consideren como ruedas, pues son elementos con relación de transmisión constante.

Introducción En comparación con los mecanismos articulados, los engranajes o trenes de engranes son mecanismos que se utilizan cuando se requiere reducir o aumentar la velociEngranaje dad angular de un elemento o el torque que este genera; Flecha como ejemplos de estos pueden citarse la transmisión de un automóvil, los motorreductores y los servomotores, Potenciómetro Motor entre otros. Tarjeta Los engranajes se clasifican entre los transmisores controladora más fuertes y resistentes debido a que su eficiencia en la transmisión de potencia es de alrededor de 98%. Por lo regular, los engranes son más costosos que otros trasmisores, como los de transmisión por cadena o Figura Componentesde deun unservomotor. servomotor. Figura 5.11 5.11 Componentes por banda. Para ejemplificar un engranaje, considérese un servomotor, cuyos componentes se muestran en la figura 5.11. Este dispositivo electromecánico tiene la función de posicionar una flecha en una ubicación determinada. Si el servomotor experimenta cambios en su torque, la tarjeta controladora actúa para conservar la posición angular para la cual se estableció. En el servomotor se puede apreciar un componente llamado engranaje, cuya función es transmitir la posición del motor de CD a la flecha, reducir la velocidad y aplicar más par de torsión a la flecha. Otro ejemplo importante del uso de los engranes se encuentra en el funcionamiento de los automóviles (véase figura 5.12). Uno de los mecanismos de engranes conocido como transmisión o caja de engranes es el encargado de modificar la velocidad en diferentes proporciones, conocidas como primera velocidad, segunda velocidad, etcétera. Cubierta superior


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Barra Diferencial cardán central Diferencial delantero

Diferencial trasero

Motor Caja de cambios

Figura 5.12 Componentes de transmisión en un automóvil. Figura 5.12 Componentes de transmisión en un automóvil.

Otro elemento importante con engranes en un automóvil es el diferencial, cuya función es invertir 90° el giro y hacer que los ejes de las llantas puedan girar a diferentes velocidades, de tal modo que si el automóvil entra a una curva, las llantas más lejanas al centro de giro de la curva puedan moverse con mayor rapidez, en comparación con las llantas más cercanas al centro de giro.

Tipos de engrane y nomenclatura El estudio detallado del diseño o selección de un engrane* queda fuera de los objetivos de este libro. Si el lector desea profundizar acerca de la composición, resistencia, selección y diseño de un engrane puede consultar las obras de las referencias [1] y [2].1 Existen diversos tipos de engranes; no obstante, para el estudio cinemático de la relación del engranaje solo se consideran los siguientes: • Engranes rectos. Son los engranes más comunes. Se utilizan en la transmisión de velocidad, cuando las flechas son paralelas. Son más resistentes aunque un poco más ruidosos que los demás. • Piñón y cremallera. Sistema utilizado para transmitir movimiento entre componentes circulares y rectilíneos. • Engrane helicoidal. Engranes cuyos dientes están dispuestos en forma de hélice. Por lo general son más silenciosos que los engranes rectos, debido a que el contacto no ocurre de manera abrupta sino de forma paulatina. De igual modo, este tipo de engranes puede transmitir más potencia que los engranes rectos, así como transmitir movimiento entre ejes que se cortan. Su desventaja es que se desgastan de manera más fácil que los engranes rectos debido a la naturaleza de los dientes, los cuales pueden recibir un fuerte cambio de velocidad al iniciar el contacto de los dientes. * No debe confundirse engrane con engranaje. Engrane se refiere al elemento y engranaje al conjunto de elementos interconectados.


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• Engrane cónico. Por lo general, este tipo de engranes se utiliza para la inversión de potencia, que consiste en cambiar el giro de un eje en otra dirección (por lo común a 90°). Se pueden encontrar engranes cónicos de dientes rectos o de dientes helicoidales. a) Engrane recto

b) Piñón y cremallera

Por lo que respecta a la nomenclatura de un engrane, son diversas las terminologías empleadas; sin embargo, el enfoque de este capítulo se centra solo en los siguientes elementos: • Diente. Es el elemento que efectúa el contacto, por lo que debe tener una geometría adecuada que permita un toque suave para evitar que los engranes se intrinquen. La c) Engrane cónico d) Engrane helicoidal geometría del diente se obtiene mediante Figura 5.13 Tipos de engranes. un procedimiento conocido como diseño Figura 5.13 Tipos de engranes. del perfil del diente. • Número de dientes (N). Establece la cantidad de dientes de la que dispone un engrane, la cual no es arbitraria y depende de diversos parámetros, aunque por lo general los fabricantes establecen un catálogo donde se especifica la cantidad de estos elementos. • Círculo de paso. También denominado círculo primitivo. Es un círculo imaginario de dimensión específica sobre el engrane, de modo que si dos engranes están en contacto, por su efecto cinemático es como si fueran dos ruedas no dentadas (o cilindros). • Paso diametral (Pd). Relación existente entre el número de dientes de un engrane (N) y el diámetro del círculo de paso (d); de hecho, para que dos engranes puedan conectarse, a fin de lograr la transmisión, deben tener el mismo paso diametral. Dos engranes se pueden unir para una transmisión solo si disponen del mismo paso diametral, por lo que para su análisis son considerados como dos ruedas, como se muestra en la figura 5.15. B´

Adéndum

A

B

C

Dedéndum

Figura 5.14 Nomenclatura de un engrane.


Cara Flanco Circunferencia exterior Circunferencia primitiva Circunferencia de fondo

rf

rE

f

i

Conductor Conducido

Círculo de paso

Figura 5.15 Círculo de paso.

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Un engrane es conductor cuando inicia el movimiento y es conducido si recibe el movimiento. Además, el engrane de menor diámetro se conoce comúnmente como piñón, mientras que el de mayor longitud se designa como rueda. Para iniciar el estudio cinemático de un engranaje, considérese un engrane conductor con un radio del círculo de paso llamado rE i , que significa radio del engrane inicial, y un engrane conducido, con un radio llamado rEf . Si los dos engranes tienen el mismo paso diametral, entonces la relación de velocidad (Rv), según la teoría de centros instantáneos, queda expresada así:

Rv =

ωE ωE

f

i

=−

rE rE

i

f

=−

NE

i

NE

(5.7)

f

donde wE i y wEf son la velocidad angular de los engranes i y f, respectivamente, r es el radio del círculo de paso y N es el número de dientes. La relación expresada en la ecuación (5.7) se conoce como ley fundamental del engranaje, que expresa: La relación de la velocidad angular entre elementos de una transmisión de engranes debe permanecer constante en toda la conexión.

Tipos de engranajes y nomenclatura Mientras que un engranaje o tren de engranes es una sucesión de dos o más engranes interconectados cuya función es efectuar un cambio de velocidad, torque o giro en forma constante, el conjunto de engranes interconectados y dentro de una caja recibe el nombre de caja de engranes, y los accesos a esta se denominan flecha o eje de entrada y flecha o eje de salida, respectivamente, como se muestra en la figura 5.16. Flecha de entrada La relación cinemática del eje de salida vs. la (ent) relación cinemática y el eje de entrada (posición, Caja de engranes velocidad o aceleración) recibe el nombre de relación del engranaje o valor del tren (e), que en función de la posición (q), la velocidad (w) o la Figura 5.16 Caja de engranes. Figura 5.16 Caja de engranes. aceleración (a) angular se expresa como:

e=

Flecha de salida (sal)

θsal ω α = sal = sal θent ωent αent (5.8)

la cual señala que si en un engranaje la relación de transmisión es positiva, entonces no hay cambio de giro entre la flecha de entrada y salida, pero si es negativa indica un cambio de giro entre ambas flechas. Además, si: • e  1, se dice que el engranaje es un reductor de velocidad. • e  1, se dice que el engranaje es un atenuador de velocidad. • e  1, se dice que el engranaje es un seguidor de velocidad.


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En una caja de engranaje, el uso del término reductor o atenuador es relativo, ya que si en un sentido es reductor, en sentido opuesto será atenuador. Es por eso que algunos fabricantes colocan una placa en la caja del engranaje en la que se indica la relación de la forma qent:qsal; por ejemplo, la relación 2:1 significa que por cada vuelta de entrada del lado izquierdo de la placa habrá una vuelta a la salida, es decir, e 51/2 5 0.5.

Relación torque y velocidad angular Al reducir o aumentar la velocidad en un engranaje se debe considerar el efecto que manifiesta el torque de las flechas, ya que la relación del torque es inversamente proporcional a la relación de velocidades angulares. Lo anterior puede demostrarse con el siguiente hecho: debido a que los engranajes son de alta eficiencia, la potencia de la flecha de entrada es la misma que la potencia de la flecha de salida; de esta manera, si la potencia en un elemento en rotación queda definida como: P 5 Tw entonces para conservar la misma potencia debe existir una variación inversa entre la velocidad y el torque, por lo que: Así:

P 5 Tent went 5 Tsal wsal e=

ωsal Tent = ωent Tsal (5.9)

De la ecuación anterior se puede concluir que la relación de torque es inversamente proporcional a la relación de velocidades angulares. De esto se deduce lo siguiente: Si en un engranaje la velocidad de salida disminuye, entonces el torque aumenta, y viceversa.

Caso de estudio: Transmisión de automóvil La aplicación de la teoría de engranajes se puede observar a detalle en algunos componentes del automóvil, en específico en la transmisión. Cuando el automóvil se encuentra encendido y parado, el motor opera a una velocidad mínima o de vacío, de modo que si esta disminuye, entonces el motor se apaga por falta de empuje inercial del cigüeñal. Ahora bien, cuando un automóvil está parado y se desea ponerlo en movimiento, la velocidad proporcionada por el motor es demasiado alta como para transmitir un buen par para hacer avanzar el automóvil. Como no es posible disminuir la velocidad del motor al grado de producir un torque alto, entonces es indispensable contar con un dispositivo mecánico que permita


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disminuir esta velocidad y después aumentarla. En un automóvil este dispositivo se conoce como transmisión, y su función consiste en variar la relación de velocidad existente entre la flecha de entrada del motor y las llantas. Por ejemplo, considérese que la transmisión de Tabla 5.1 un automóvil tiene la relación de velocidades que se Velocidad e: relación de engranaje muestra en la tabla 5.1. Se puede llevar a cabo un estudio de la función de 1 0.33 la transmisión al representar estos cambios de veloci2 0.55 dad angular de salida vs. velocidad angular de entrada 3 0.7 en una gráfica, como la que se muestra en la figura 5.17. 4 1 En la figura 5.17 se observa que en primera veloci5 1.15 dad, un automóvil tiene una relación baja y un torque alto en su efecto; sin embargo, si el auto continúa moviéndose en primera velocidad llegará a un punto en que el motor se fuerce. Lo que en realidad ocurre es que Velocidad de salida 4 el automóvil no avanza debido a que se tiene poca velocidad a la salida. Como ya se dispone de un par de arranque, enton3 ces en un instante (a) es posible cambiar la relación d del engranaje para tener más velocidad, incluso para 2 una misma velocidad de entrada; por ejemplo, pac ra la primera velocidad, si la velocidad de entrada es b 1 de 1 500 rpm se tendrá una velocidad a la salida de a 0.33 3 1 500 5 495 rpm, mientras que para la segunda velocidad será a la salida de 0.55 3 1 500 5 825 rpm. 0 Velocidad de entrada El siguiente proceso es similar al cambio de primera a segunda velocidad. En la figura 5.17 se pueden Figura Comportamiento de de la la relación relación de de velocidad Figura5.17 5.17 Comportamiento apreciar los cambios de velocidad en a, b, c y d. velocidad para loslos cambios dedeuna transmisión. para cambios una transmisión. Por último, en quinta velocidad se tiene un aumento en la velocidad, conocido como sobrepaso. Aquí es donde los automóviles suelen “relajarse” y disminuir su temperatura. En otro orden de ideas, la relación de transmisión en un engranaje depende de la configuración en la que los engranes se conectan, por lo que una vez considerado un engranaje como una caja “negra”, ahora se procede a estudiar una clasificación de estos dependiendo de la forma de conectar los engranes. Básicamente, los engranajes se pueden clasificar en cuatro grupos: • Engranes por eje: a) simples y b) compuestos. • Anclamiento del engrane: a) recurrente y b) planetario.

Engranaje simple En los engranajes simples o seriales la conexión de los elementos se realiza como una sucesión donde solo existe un engrane por flecha o eje.


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Engranaje compuesto Los engranajes compuestos o paralelos consisten en una sucesión de engranes donde al menos existe un eje que conecta a dos engranajes simples (véase figura 5.18).

Engranaje recurrente Los engranajes recurrentes son aquellos donde todos los engranes están anclados al elemento fijo. a) Recurrente simple

b) Recurrente compuesto

Engranaje planetario

Figura 5.18 Engranajes simple ysimple compuesto. Figura 5.18 Engranajes y compuesto.

Los engranajes planetarios son aquellos donde un engrane llamado planeta o satélite gira alrededor de otro conocido como sol, auxiliado en su radio de giro por un elemento que recibe el nombre de brazo. Es importante hacer notar que existen otras configuraciones de engranajes que no encajan en estos grupos, como el engranaje formado por un piñón y una cremallera (véase figura 5.13 b); no obstante, en este capítulo se hace énfasis en los engranajes recurrentes y planetarios, tanto simples como compuestos. En la figura 5.19 se muestra un engranaje planetario simple, ya que aun cuando en el eje central se encuentran los centros de giro del engrane anular, engrane sol y el brazo, estos no están conectados entre sí y solo hay un engrane por flecha. Así mismo, los engranes satélites además de girar debido al contacto con el engrane anular y sol, lo hacen porque el brazo los desplaza de manera circular. Por tanto, la velocidad de los satélites depende del engrane anular o engrane sol y el brazo. 2 Engrane anular

3

3 4

Engrane satélite Brazo portasatélite

Brazo

4

Engrane sol 2

Figura 5.19 Engranaje planetario simple.

Figura 5.19 Engranaje planetario simple.

Para el caso de engranajes planetarios compuestos puede existir una variedad de configuraciones, lo que depende de la forma en que se conecten los engranes; por ejemplo, en la figura 5.20 se muestran al menos dos configuraciones. La primera configuración dispone de engranes externos, mientras que la segunda configuración se muestra de dos formas para su comprensión.


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3

4 6 3

Brazo 4 2

Brazo

5

6

3

5

4

2

Brazo 5

2

Figura 5.20 Engranaje planetario compuesto. Figura 5.20 Engranaje planetario compuesto.

Ecuaciones cinemáticas: método de fórmula Quizá la mayor complicación para el análisis cinemático de engranajes es la interpretación del diagrama cinemático, ya que una vez separados los componentes del engranaje (ya sea como recurrente, planetario, simple o compuesto), las ecuaciones que habrán de utilizarse son sencillas y su solución no presenta ninguna complicación. Las ecuaciones que determinan el comportamiento cinemático de los engranajes dependen principalmente de si el engranaje es recurrente o planetario.

Engranaje recurrente En un engranaje recurrente, la relación de la velocidad angular de la flecha de salida (rE f ) vs. la velocidad angular de la flecha de entrada (rE i ) queda expresada de la siguiente manera: ωE ∏ #D impulsores (5.10) =± ω ∏ # impulsados f

Ei

D

donde P #D impulsores denota la multiplicatoria del número de dientes de los elementos impulsores y P #D impulsados denota la multiplicatoria del número de dientes de los elementos impulsados. Los elementos impulsores e impulsados se obtienen con base en los siguientes criterios: • Un elemento que es considerado como inicial (Ei ) siempre será un impulsor. • Un elemento que es considerado como final (Ef ) siempre será impulsado. • Un elemento intermedio será tanto impulsor como impulsado si es un engrane loco, llamado así al engrane intermedio entre dos engranes y solo se utiliza para invertir el giro. • En un engrane conectado a otro por medio de una flecha o eje, el inicial será impulsado mientras que el otro será considerado como impulsor. El signo  se antepone y se determina por observación. Si el engrane inicial y final tienen el mismo sentido de giro, entonces la relación es positiva; en caso contrario, la relación es negativa.


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La ecuación (5.10) se aplica a cualquier tipo de engranaje recurrente, ya sea simple o compuesto. Pero en el caso de un engranaje simple, la fórmula se reduce a solo la relación del número de dientes del engrane final e inicial, como se demuestra en el ejemplo 5.3.

Engranaje planetario Debido a que en un engranaje planetario existe un elemento móvil llamado brazo, la relación de velocidades debe ser relativa al brazo; por tanto:

ωf /brazo ∏ X #D impulsores =± ωi /brazo ∏ X #D impulsados

(5.11)

donde wf /brazo es la velocidad del engrane final relativa a la velocidad del brazo y wi /brazo es la velocidad del engrane inicial relativa a la velocidad del brazo; por tanto, estas ecuaciones pueden escribirse finalmente así:

ωE − ωbrazo f

ωE − ωbrazo

=±

i

∏X # ∏X #

D

impulsores

D

impulsados

(5.12)

Es importante aclarar que la relación del engranaje (e) en engranajes recurrentes es igual a la relación del número de dientes, como se puede apreciar en la ecuación (5.12). Sin embargo, en los engranajes planetarios la relación del engranaje no es la relación del número de dientes, es decir:

e≠

ωE − ωbrazo f

ωE − ωbrazo

i

Además, el signo  se antepone en función del sentido con el cual giran los elementos inicial y final, de modo que si ambos tienen el mismo sentido de giro se utiliza el signo positivo y en caso contrario el negativo. Este criterio se hace por inspección, con base en que no existe el brazo, ya que la fórmula establece la relación relativa al brazo. No obstante, es posible que al determinar la magnitud y el sentido de giro del engrane final en este tipo de engranajes pueda parecer un sentido contrario al supuesto en un inicio; sin embargo, esto no deberá afectar el sentido de la relación del engranaje, pues, como cabe recordar, se hace al inicio suponiendo que no existe el brazo. Por último, salvo en algunas aplicaciones muy específicas, el engrane inicial y el engrane final de un engranaje planetario deben ser engranes planetas, ya que por lo general el engranaje no realiza transmisión por los engranes soles debido a que sus ejes se encuentran girando.

Engranaje piñón-cremallera En este tipo de engranajes la relación de transmisión no es adimensional, ya que relaciona el desplazamiento lineal con el desplazamiento angular, además de que no


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interviene el número de dientes sino el valor del círculo de paso del piñón. Sea Sflecha el desplazamiento de la flecha y θpiñón el desplazamiento angular del piñón; de este modo la relación del engranaje es: S flecha Vflecha  cm  = = ±r  (5.13)  rad  θpiñón ωpiñón

Cuestionario y actividades de preparación 5.1 Responde las siguientes preguntas y compáralas con algún compañero de clase. 1. Explica las características de los engranes vistos en esta sección. 2. Define qué es un tren de engranes o engranaje. 3. Enumera los tipos de engranajes descritos en esta sección y las características de cada uno de estos. 4. Define qué es relación de engranaje. 5. En una relación de engranaje, ¿qué significado tiene el signo? 6. En una relación de engranaje, ¿cuándo es reductor y cuándo es atenuador? 7. ¿Cómo se llama el elemento de un engranaje que no afecta la relación de engranaje? ¿Cuál es la función de este tipo de elementos? 8. Al dar una vuelta a la flecha de entrada de un engranaje se detecta que la flecha de salida gira 23 de vuelta en sentido opuesto al de entrada. ¿Cuál es la relación del engranaje?

Engranaje recurrente simple

9. Un engranaje tiene una relación de transmisión de 10.77. Si la flecha del engrane inicial gira una vuelta, ¿cuánto girará la flecha de salida? 10. Un engranaje tiene una relación de transmisión de 21.5. Si la flecha del engrane inicial gira cinco vueltas, ¿cuánto gira la flecha de salida? 11. Si la flecha de salida del engranaje del problema 9 se conecta a la flecha de entrada del problema 10, ¿cuál es la relación de engranaje de tal combinación? 12. Un engranaje tiene una relación de transmisión de 0.35. Si la flecha de entrada gira a una velocidad de 500 rpm, ¿cuál es la velocidad de la flecha de salida? 13. Un engrane tiene 20 dientes y se conecta a otro engrane que dispone de 30 dientes. ¿Cuál es la relación del engranaje al considerar como conductor al de 20 dientes? 14. Un engranaje tiene una relación de transmisión de 0.45. Si a la entrada se dispone de un torque de 10 N-m, ¿cuál será el torque a la salida?

E2

E3

E4

Determinar la relación del engranaje del mecanismo de la figura 5.21 tras considerar que la entrada se realiza a través del engrane E2.

Ejemplo

5.4

Solución

Este engranaje corresponde a un recurrente simple, ya que se aterrizan las flechas que lo mueven y solo existe un engrane por flecha. Si el engrane E2 es el inicial, entonces será el conductor; luego, E3 es conducido de E2 y


A

B

C

Figura 5.21 Engranaje del ejemplo 5.4.

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conductor de E4; por último, E4 es conducido. Al aplicar la ecuación (5.7): ωE

ωE

4

2

=±

∏X # ∏X #

D

impulsores

D impulsados

=+

NE NE 2

NE NE 3

3

=+

4

NE

2

NE

4

El signo positivo de la relación se debe a que el engrane final E4 y el inicial E2 giran de igual manera; por ejemplo, si E2 girara en un sentido cmr, el E3 sería fmr y E4 cmr. Por otro lado, el engrane E3 es conocido como engrane loco, ya que cinemáticamente solo aporta el cambio de giro y los números de dientes no intervienen en la relación. En la figura 5.21, al contar el número de dientes se obtiene que NE2 5 15 y NE4 5 20; es decir, se tiene que la relación del engranaje es:

Ejemplo

5.5

e=

ωE

4

ωE

2

=+

NE

2

NE

4

=+

15 = +0.75 20

Engranaje recurrente compuesto Establecer la relación del engranaje del mecanismo de la figura 5.22 tras considerar que la entrada se realiza mediante el engrane E2.

E3 E5

E2 E4

Solución

Este engranaje corresponde a un recurrente compuesto, ya que se aterrizan las flechas que lo mueven y existen dos engranes conectados a la misma flecha: E3 y E4. Si el engrane E2 es el inicial, entonces es el conFigura5.22 5.22 Engranaje ductor; luego, el engrane E3 es conducido, Figura Engranaje del del ejemplo ejemplo 5.4. 5.5. pero no es conductor de E4. De aquí se pasa al engrane E4, que es conductor, y al engrane E5, que es conducido. El signo positivo de la relación se debe a que el engrane final E4 y el inicial E2 tienen el mismo giro; por el contrario, si E2 girara en sentido cmr, entonces E3 sería fmr, al igual que el E4, ya que están conectados a la misma flecha. Si E4 gira a fmr, entonces E5 sería cmr. Al aplicar la ecuación (5.10) y medir el número de dientes directamente de la figura se deduce:


ωE

5

ωE

2

=±

∏X # ∏X #

D

impulsores

D

impulsados

=+

NE NE 2

4

NE NE

5

3

=+

10 ×15 = +0.25 30 × 20

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Engranaje planetario simple

Ejemplo

E2

El mecanismo de engranaje que se muestra en la figura 5.23 consta de un engrane de dientes interiores E2, el cual está estacionario. Internamente existen dos engranes, los cuales giran alrededor del engrane E3, impulsados por el brazo. Si el brazo gira a 200 rpm, establecer la velocidad del engrane E3.

5.6

E3 E4

Brazo

Solución

Este engranaje corresponde a un planetario simple, debido a que el engrane E4 y su Figura 5.23 Engranaje deldel ejemplo 5.5. Figura 5.23 Engranaje ejemplo 5.6. “acompañante” no están estacionarios a la carcasa E2, por lo que giran de manera libre alrededor de E3, impulsados a girar por el brazo, y es del tipo simple porque solo hay un engrane por eje. Debido a que no se requiere el valor del tren, podemos seleccionar los elementos inicial y final de manera arbitraria. En este caso, seleccionamos a E2 como inicial, ya que conocemos su velocidad (wE2 5 0); entonces, el engrane E2 mueve al engrane E4 y el engrane E4 al engrane E2. Como se puede apreciar, en el plano cinemático no se requiere el número de dientes del acompañante del engrane E4. Al aplicar la ecuación (5.12) tenemos: ωE − ωbrazo 3

ωE − ωbrazo

=±

2

∏X # ∏X #

D

impulsores

D impulsados

=−

NE NE 2

4

NE NE

3

4

Mediante esta ecuación se obtiene el signo negativo de la relación del engranaje, ya que los engranes E2 y E4 giran en el mismo sentido; debido a que la conexión no es externa sino interna, los engranes giran o no lo hacen. La relación entre E4 y E3 es negativa, ya que la conexión es externa, por lo que E2 y E4 giran de manera opuesta, como se observa a continuación:

ωE − (+200) 3

0 − (+200)

=−

NE

2

NE

3

=−

40 20

Por tanto, la velocidad del engrane 3 es wE3 5 1600 rpm.

Ecuaciones cinemáticas: método de tabulación Una alternativa para el análisis cinemático de engranajes procede de la ecuación (5.12) y se conoce como método de tabulación. Dicho método se basa en la superposición de efectos, donde primero se consideran todos los engranes como recurrentes, es decir, sin el efecto del brazo, y después se les suma la velocidad angular del brazo.


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Para explicar el método de tabulación, la ecuación (5.12) se reescribe de la siguiente forma: ωE − ωbrazo N ×NB ×....Nf −1 =± i ωE − ωbrazo N A ×NC ×....Nf f

i

la cual se puede representar así:   N  N  N  ωE =     ωE − ωbrazo ± i  ± B  ×...  ± f −1  + ωbrazo N A  NC  Nf   

f

(

)

i

(5.14)

lo que indica que los cálculos se pueden realizar paso por paso, y donde el término wE i 2 wbrazo es la velocidad del engrane Ei , sin considerar la velocidad angular del brazo; luego, al multiplicar este término por Ni /NA se obtiene la velocidad del engrane A relativa al brazo; es decir, wA 2 wbrazo. Si después de la relación Ni /NA aparece NB /NC, significa que no hay un engrane loco, pues de lo contrario aparecería como NA /NC. La ecuación (5.14) puede especificarse como se muestra en la tabla 5.2. Tabla 5.2 Ei

EA

…

Ef 21

Ef

wbrazo

wbrazo

…

wbrazo

wbrazo

w’Ei 5 wEi 2 wbrazo

w’A 5 wEi  (Ni /Nc )

w’f 21 5 w’f 22  (Nf 22 /Nf 21)

w’Ef 5 w’f 21  (Nf 22 /Nf 21)

(si está conectada a un engrane)

(si está conectada a un engrane)

(debe estar conectada a un engrane)

w’Ei

…

w’E 5 w’A

w’f 21 5 w’f 22 (s)

(si está conectada a una flecha)

(si está conectada a una flecha) w’Ef

A la tabla anterior se le conoce como método de tabulación. Para su llenado se sugiere el siguiente procedimiento: a) Preparar una tabla con un número de columnas acorde al número de engranes y con tres filas. b) En la fila 1 tabular los datos de las velocidades angulares de los engranes, pero suponiendo que estos están fijos y que todos tienen la velocidad angular del brazo. c) En la fila 2 tabular los datos de las velocidades angulares de los engranes suponiendo que el brazo está fijo. Lo anterior conlleva a que las velocidades angulares de los engranes se calculen como si fueran recurrentes y se llamen w’.


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d) En la fila 3 tabular los datos reales, que por superposición de efectos constituyen el valor de la fila 1 más el valor de la fila 2.

Engranaje planetario simple con el uso del método de tabulación Resolver el ejemplo 5.6 con el uso del método de tabulación.

Ejemplo

5.7

Solución

Primero se prepara la tabla con los datos conocidos, que es la velocidad real del engrane E2, que es cero, y la velocidad angular del brazo, que es 1200 rpm. Se procura acomodar los engranes en el orden de conexión. E2

E4

E3

1200 rpm

1200 rpm

1200 rpm

w’E2

w’E4

w’E3

0

w’E3

Luego se procede al cálculo de las velocidades relativas (fila 2). Si los datos de la fila 1 1 fila 2 5 fila 3, entonces w’E2 5 2200 rpm. A continuación se determina w’E4 a partir de w’E2, como señala el método, considerándolos como si fueran recurrentes. Lo mismo se hace con w’E3 a partir de w’E4: ω '4 N =+ 2 ω '2 N4 ω '3 N =+ 4 ω '4 N3

40 = −800 rpm 10 10 = 400 rpm ω '4 = −(−800 rpm) 20 ω '4 = +(−200 rpm)

Una vez que se tiene la velocidad relativa w’E4, se puede obtener la velocidad real al sumar el brazo (cabe recordar que valores de fila 1 1 fila 2 5 fila 3), por lo que w’E4 5 400 1 200 5 600 rpm. Así, el llenado de la tabla queda de la siguiente forma: E2

E4

E3

1200 rpm

1200 rpm

1200 rpm

2200 rpm

2800 rpm

1400 rpm

0

2600 rpm

1600 rpm


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5.4 Mecanismo de poleas Conceptos y definiciones Otro tipo de mecanismos utilizados en transmisión mecánica, y no menos importantes que los engranajes, son las poleas y las bandas. En el caso de estos mecanismos se pueden tener dos configuraciones generales: a) de banda cerrada y b) de banda no cerrada, como se muestra en la figura 5.24. Las poleas de banda cerrada se utilizan en la transmisión de a) b) torque y las poleas de banda abierta en la transmisión de fuerza. Figura 5.24 a) Polea de banda cerrada Por ejemplo, en el motor de combustión interna de un automóvil y b) polea de banda no cerrada. debe existir sincronía entre el árbol del cigüeñal y el de levas, ya que con esto es posible sincronizar la apertura y el cierre de las válvulas; esta sincronización entre estos árboles se realiza mediante un sistema de banda y poleas, como se muestra en la figura 5.25. Existen series de parámetros, tipos, nomenclatura y especificaciones para bandas y poleas que afectan principalmente a la resistencia y al tipo de material; esto significa que estos no afectan a la relación cinemática, por lo que quedan fuera del contexto de este capítulo. Así, aquí solo se consideran los parámetros que afectan la cinemática del material, como la colocación de la banda y el radio de contacto de la polea. Por lo general, las poleas de banda cerrada son de tipo recurrente, y pueden ser simples o compuestas, tanto de banda abierta o cruzada, como se muestra en la figura 5.26.

a)

c)

b)

Figura 5.25 Banda tiempo de un automóvil. Figura 5.25de Banda de tiempo de un

automóvil.

Figura 5.26 Configuración de poleas de bandas.

Figura 5.26 Configuración de poleas de bandas.

En la figura 5.26 a) se muestra una configuración recurrente simple de banda abierta, en la figura 5.26 b) se observa una configuración recurrente simple de banda cruzada, y en la figura 5.26 c) se tiene una configuración recurrente compuesta, ambas de banda directa.


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La diferencia entre banda directa y banda cruzada radica solo en el sentido de giro de la polea conductora, ya que si son de banda cruzada, entonces la polea conductora y la conducida tienen sentidos opuestos.

Ecuaciones cinemáticas Poleas de configuración recurrente En los mecanismos de polea de banda de configuración recurrente, como los que se observan en la figura 5.26, la ecuación cinemática que determina la relación de transmisión es similar a la de los engranes, solo que en estas en lugar de usar número de dientes se utiliza el radio de contacto de la polea: ωPF ∏ #R impulsores =± ωPI ∏ #R impulsados

(5.15)

donde P #R impulsores denota la multiplicatoria del número de radios de contacto de los elementos impulsores y P #R impulsados denota la multiplicatoria del número de radios de contacto de los elementos impulsados. Los elementos impulsores e impulsados se obtienen con base en los siguientes criterios: • Una polea considerada como inicial siempre es un impulsor. • Una polea considerada como final siempre es una impulsada. • En una polea conectada a otra por medio de una flecha, la polea inicial es impulsora mientras que la otra será considerada como impulsada. El signo  se refiere a que si el elemento inicial y final tienen el mismo sentido de giro, entonces se utiliza el signo positivo; en caso contrario, el signo es negativo, lo cual debe hacerse por inspección del sistema de poleas.

Poleas de banda abierta Para el caso de poleas de banda abierta no se puede establecer una ecuación cinemática única, ya que las configuraciones son diversas; en cambio, se presenta un procedimiento que permite formular ecuaciones cinemáticas para este tipo de mecanismos, que sirve solo para determinar valores de velocidad y aceleración. El procedimiento es el siguiente: a) Definir un marco de referencia inercial (0, 0). b) Etiquetar los elementos móviles y establecer la coordenada desde el marco inercial hasta un punto del elemento móvil. c) Etiquetar los tramos de longitud móviles que conectan a los elementos móviles. d) Sumar todas las longitudes e igualar a un valor constante. Si se conocen las dimensiones de los tramos constantes, entonces se igualará al valor de la longitud de la cuerda. e) Derivar las ecuaciones de posición una y dos veces para obtener las ecuaciones de velocidad y aceleración.


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180


Ejemplo

5.8

Poleas de banda cerrada El sistema de banda-polea que se muestra en la figura 5.27 es impulsado por un motorreductor colocado en la polea P2, el cual gira a una velocidad de 0.45 vueltas por segundo. Establecer la velocidad lineal de la caja colocada en la polea P6. P3

P2 P4

P5

P6

RP2 = 4 cm RP3 = 8 cm RP4 = 5 cm RP5 = 10 cm RP6 = 5 cm


Solución

Para la solución de este problema, primero se debe determinar la velocidad angular de la polea P6, la cual tiene la misma velocidad que la polea P5, por lo que al utilizar la ecuación (5.15) y considerar la polea 2 como inicial se tiene:

ωP 5 ∏ #R impulsores = + RP 2 ×RP 4 = + 4 × 5 = +0.25 =± 8 ×10 ωP 2 ∏ #R impulsados RP 3 ×RP 5

Si wP2 5 0.45 vueltas/segundo 5 28.27 rad/s (1 vuelta 5 2p radianes), entonces la velocidad angular de la polea P5 es wP5 5 7.067 rad/s 5 wP6. Como la velocidad tangencial se puede obtener en función de la velocidad angular, entonces:

Ejemplo

5.9

Vcaja = ωP 6RP 6 = (7.067 rad/s)(5 cm) = 35.33 cm/s

Poleas de banda no cerrada

D

El sistema de banda-polea que se ilustra en la figura 5.28 es impulsado por un motor en el nodo A a una velocidad A C de 15 cm/s hacia abajo. La polea D y B se encuentran unidas rígidamente en sus centros y el contrapeso C se B desliza sobre una ranura. Establecer la velocidad de la polea B, el contrapeso C y la polea D. Para la solución de este problema, primero se define un sistema de referencia (0, 0) donde se iniciarán las medidas; en este caso, se coloca en la parte superior del Figura 5.28 Mecanismo sistema de poleas, ya que es ahí donde se inicia el moFigura 5.28 Mecanismo del ejemplo 5.8. del ejemplo 5.9. vimiento.


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En el sistema de poleas se pueden apreciar k YD L5 L6 dos longitudes de cuerdas: una que conecta YC L4 YA desde A, polea B y contrapeso C, y la otra que D L1 YB conecta al contrapeso C y la polea D, ambos L2 A C L3 mediante una polea fija anclada en la parte superior. B Como los elementos móviles son el nodo A, la polea B, la polea D y el contrapeso C, entonces se establece un sistema de coordenadas a partir de la referencia hacia cualquier punto de estos elementos, ya que una variación en el Figura 5.29 Sistema de coordenadas elemento sería un tramo constante, y como la Figura 5.29 Sistema de coordenadas y tramos y tramos de longitud del ejemplo 5.9. ecuación se iguala a una constante, no afecta de longitud del ejemplo 5.8. a la ecuación. Por tanto, las coordenadas a los elementos móviles y los tramos que varían de longitud con respecto al tiempo se colocan como se muestra en la figura 5.29. A continuación se procede a expresar cada tramo en función de las coordenadas. Por ejemplo, la longitud L1 es igual a la coordenada YA 2 k, pero los tramos constantes (como k) no se van a considerar, ya que las ecuaciones se igualan a un valor constante, y al derivar la ecuación con respecto al tiempo serán cero. Por tanto:

L1 5 YA, L2 5 YB, L1 5 YB – YC, L4 5 Y – YD, L5 5 YD y L6 5 YD. • Tramo 1: L1 1 L2 1 L3 5 YA 1 YB 1 (YB – YC) 5 YA 1 2YB 1 Y 5 cte. • Tramo 2: L4 1 L4 1 L6 5 (Y – YD) 1 YD 1 YD 5 YC 1 YD 5 cte.

Al derivar con respecto al tiempo se tienen las ecuaciones de velocidad y aceleración: VA 1 2VB 1 VC 5 0 VC 1 VD 5 0 aA 1 2aB 1 ac 5 0 aC 1 aD 5 0 Al agrupar las ecuaciones de velocidad y las de aceleración, y una vez que se conoce que VB 5 VD y aB 5 aD, se tiene la ecuación de velocidad y aceleración: VA 1 3VB 5 0

aA 1 3aB 5 0

Si VA 5 115 cm/s (hacia abajo), entonces

VB 5 23 cm/s (hacia arriba)

5.5 Caso de estudio: Caja de cambios de un automóvil La caja de cambios o transmisión de un automóvil tiene la función de proporcionar una variación en la relación de engranaje, el cual, a su vez, permite tener un control de la fuerza torsional acorde a las necesidades.


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Como se muestra en la figura 5.30, la transmisión estándar tiene tres flechas importantes que soportan un conjunto de engranes. La flecha de entrada recibe el movimiento del motor y la flecha de salida es alimentada por los embragues; es decir, los engranes C, E, G e I no están soldados a esta flecha. El elemento encargado de transmitir la velocidad de estos engranes a la flecha de salida es el sincronizador, el cual se mueve a uno u otro extremo para embragar la flecha del engrane en funcionamiento con la flecha de salida. Embrague Flecha de A entrada

C

E

G

Sincronizador

I

J

B

D

F

H

K

Flecha de salida

Flecha de salida Engrane loco de reversa

Embragues

Árbol de engranes

Figura 5.30 Componentes unaComponentes transmisión estándar. Figurade5.30 de una transmisión estándar.

Sin embargo, la flecha del árbol de engranes es una sola pieza, por lo que los engranes B, D, F, H y K tienen la misma velocidad angular. Esta velocidad es la del engrane B, impulsado por el engrane A. Por tanto, los engranes A y B participan en todas las velocidades, excepto en la directa, que en este caso es la cuarta velocidad. Cuando el conductor mueve la palanca de cambios, lo que en realidad hace es accionar el sincronizador en una posición determinada, con lo que embraga uno de los engranes (C, E, G o I ) a la flecha de salida. En las figuras 5.31 a 5.35 se muestran de manera gráfica los componentes que intervienen en una transmisión estándar de un automóvil de cuatro velocidades más la reversa. Como puede apreciarse, aun cuando los engranes del árbol de engranes siempre se mueven, al estar unidos a este, no todos intervienen en la relación del engranaje para todas las velocidades. Así, por cada cambio de velocidad intervienen cuatro engranes, los cuales definen el valor del engranaje, excepto en la reversa, donde un engrane loco invierte el giro de la flecha de salida.

A

C

E

G

I

J

B

D

F

H

K

Figura 5.31 Primera velocidad en una transmisión.


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183


G

E

C

A

I

J H

F

D

B

K

Figura 5.32 Segunda velocidad en una transmisión.

E

C

A

G

I

J

F

D

B

H

K

Figura 5.33 Tercera velocidad en una transmisión.

A

C

E

G

I

J

B

D

F

H

K

E

G

I

Figura 5.34 Cuarta velocidad, o velocidad directa, en una transmisión.

A

C

J

B

D

F

H

K

Figura 5.35 Velocidad de reversa en una transmisión.


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184


Para un modelo específico de un automóvil se tiene la siguiente relación de engranajes en cada una de las velocidades (tabla 5.3). Tabla 5.3 Relación de engranajes para cada una de las velocidades de un automóvil Ejemplo en un automóvil Velocidad Relación de engranaje convencional Primera

ωsal NN =+ A H ωent NBNG

0.2727

Segunda

ωsal NN =+ A F ωent NBNE

0.4473

Tercera

ωsal NN =+ A D ωent NBNC

0.6857

Cuarta

ωsal =1 ωent

1

ωsal NN N NN =− A K J = A K ωent N BN J NI N BN I

20.309

Reversa

5.6 De interés por la web Los mecanismos de engranajes vistos en este capítulo tienen una geometría y un movimiento simple en comparación con otros tipos de engranajes que son más complejos, caprichosos y cuyo engranaje podría parecer imposible. Por ejemplo, existe una versión del cubo de Rubick que funciona bajo engranajes muy especiales, como se muestra en la figura 5.36. Parecería que debido a su geometría algunos tipos de engranajes no podrían embragar para transmitir el movimiento, como el ejemplo de la figura 5.37.

Figura 5.36 Dodecaedro con engranajes.


Figura 5.37 Engranes cuadrados.

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185


Por otro lado, la aplicación de los engranajes no solo se limita a uso técnico. En la actualidad se usan como adornos, juguetes de madera, etcétera. Existe un proyecto de Adam Mayer en internet donde los engranajes se utilizan como parte de una tarjeta de presentación, como se muestra en la figura 5.38. Por la belleza de su forma, los engranes también se usan como elemento decorativo, como se muestra en la figura 5.39.

Figura 5.38 Tarjeta de presentación que utiliza engranes.

Figura 5.39 Uso de los engranes como elemento decorativo.

Problema resuelto 5.1 Polígono de velocidad

Solución

Un mecanismo de una máquina de corte consta de una manivela osciladora 2, una manivela impulsora 4, de radio RA/O4 5 13.3 cm, un elemento deslizador 3, una biela de acoplamiento 5 y un portaherramientas 6. La Carrera de configuración permite que corte el tiempo de avance de B 5 6 la corredera 6 sea lento C con respecto al tiempo de 1 3 4 retroceso.

Primero se obtiene el diagrama cinemático del mecanismo. Luego, por tratarse de un mecanismo de más de cuatro eslabones, se hace una representación por bloques, que facilita los pasos a seguir para determinar la velocidad de la corredera.

Si la manivela impulsora gira a 11.278 rad/s, fmr, determinar la velocidad del nodo C de la corredera en el instante mostrado.

A

1 O4 2

ω

5

6 C

3 A 4

Carrera de retorno

O2 Nota: Escala las dimensiones del mecanismo 1 acorde al radio RA/O4 5 Figura 5.40 Mecanismo de Figura 5.40 máquina Mecanismo máquina de corte. 13.3 cm. dede corte.


B

ω4

O4

2

O4

M4

O2 a) Diagrama cinemático

A A3 A 4

D3 M2

B

C B5

M6

O2 b) Diagrama por bloques

Figura 5.41 Representaciones del problema resuelto 5.1.

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Aquí se tiene una combinación entre sistemas articulados 3 y 4 en A; 2 y 5 en B; 5 y 6 en C, así como contacto por deslizamiento 3 y 4, que se coloca en A, el cual para 3 es A3 y en 4 es A4: →

→

"

1) VA = VO + VA /O 4

→

"

3

2

3

→

→

→

→

2

"

2

(Ecuación de dos puntos de la barra 2)

2

"

4) VC = VB + VC / B

VA2 5 125 cm/s y V R 5 80 cm/s VA2 5 VA 2/O2 5 w2 3 rA 2/O2

2) VA = VA + VAR / A (Ecuación de dos puntos por deslizamiento) 3) VB = VO + VB /O

Como:


4

→

Después de graficar la ecuación se obtiene como resultado

Ahora es posible obtener la velocidad angular de la manivela 2 del mecanismo. Una vez que se conoce que rA /O4 5 13.3 cm, se puede obtener rA 2/O2 5 63.4 cm. Por tanto:


w2 5 VA2 /rA2 /O2 5 (125 cm/s)/(63.4 cm) 5 1.97 rad/s, fmr

Como se conoce w4, primero se obtiene la velocidad de VA 5 VA /O2 5 w4 3 rA /O2 5 (11.278 rad/s)(13.3 cm) 5 150 cm/s.

De manera similar, en la manivela 2 se tiene que:

Puesto que VA3 5 VA (véase diagrama de bloques), se procede a utilizar la ecuación (2):

Ahora se procede a solucionar la ecuación que relaciona el punto C con el punto B:

VB 5 VB/O2 5 w2 3 rB/O2 51.97 3 88.66 5 174.67 cm/s.

XD →

MD XD XD

"

"

"

VA = VA +VA 3

2

5 3

3

2

O4

2

2

3

VC 5 175 cm/s y VB/C 5 20 cm/s Por último, se determina la velocidad angular de la biela 5, la cual se obtiene a partir de VB/C ; es decir: w5 5 VB/C /rB/C Al escalar, de la gráfica se obtiene que:

2

VR paralela al deslizamiento

VB

rB/C 5 35.46 cm Por tanto: w5 5 VB/C /rB/C 5 (20 cm/s)/(35.46 cm) 5 0.56 rad/s, fmr

VB VC

O2

2

VB/A perpendicular a rB/A

2

Una vez graficada esta ecuación, se tiene que:

R

VA /A

3

VA

VA perpendicular a rA /O

A 4

VA

VA

6 C

XD

"

VC = VB +VC / B

3 / A2

Donde el vector VA3 se conoce por completo, ya que es precisamente la VA; del vector velocidad VA2 se conoce la dirección, ya que pertenece a la manivela 2 y es perpendicular al radio de giro rA2 /O2, y del vector de deslizamiento V R se sabe que es paralelo al deslizamiento, como si fuera una corredera. B

MD →

VB/C

El sentido de w5 se puede obtener al colocar el vector VB/C en B y visualizarlo desde C, ya que es la velocidad de B vista desde C.

VC paralela al deslizamiento

Figura 5.42

Problema resuelto 5.2 Centros instantáneos de velocidad Un tipo de máquina de prensado consta de un pistón O2A que impulsa la base BC sobre las guías en B y en C. Si en el instante mostrado el pistón se mueve angularmente con una velocidad de 5 rad/s, fmr:


a) Demostrar que es imposible determinar la velocidad de las guías B y C con el uso del método de polígono de velocidades. b) Establecer las velocidades de las guías B y C mediante el método de CIV.

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Es posible solucionar este problema por el método de CIV, ya que se pueden relacionar dos eslabones aunque no estén articulados físicamente. Como se busca determinar las velocidades de los nodos B y C, y estos pertenecen a la barra 4, el eslabón 2 se relaciona con el 4, para lo cual se requiere la línea de Kennedy: O12, O24 y O14. La figura 5.45 muestra los centros por observación, que son O12, O45, O46 y O34. Los centros O15, O16 y O32 están en el infinito, perpendiculares a su deslizamiento.

rA/O = 2.31 cm 2

B

O2

A

C

O14

O 15 ∞

5

Figura 5.43 Mecanismo de prensado.

6

O45

Solución

3

Primero se elabora un diagrama cinemático y uno de bloques para facilitar el análisis. Como se puede apreciar en la figura 5.43, el pistón O2A se puede modelar cinemáticamente, como una deslizadera sobre una manivela, donde el deslizamiento se realiza sobre un eslabón O2A y no sobre la barra BC, por lo que es paralelo a la barra O2A. Por su parte, las guías B y C se representan de manera cinemática como correderas. El diagrama de bloques representa a la manivela 2 con sus nodos O2 A2. Es importante aclarar que el nodo es A2 y no A, ya que el nodo A, que a su vez se denota como A3, está articulado a la barra BC, donde A2 y A3 son puntos coincidentes. Si se quisiera resolver el problema por el método de polígono, entonces se tendría una ecuación VA2 5 VA31V R, donde se tendría como vector completamente VA2; pues de VA3, al pertenecer a una biela, no se conoce nada (dos incógnitas), y de V R se desconoce su magnitud (una incógnita), por lo que se dispone de tres incógnitas y no se puede resolver al impedir la continuación del problema el uso de un polígono de velocidades.

O34 O 32 ∞

3

A2 A3

2

A

C5

4 C

B

A B4

6

Figura 5.44 Diagrama cinemático y de bloques del problema resuelto 5.2.


C

C6

5

4

3

O46 6

Figura 5.45 Solución del problema resuelto 5.2.

Como se requiere el centro O24, y en un principio no se puede determinar debido a que no se dispone de dos triángulos de dos lados iguales, primero se debe determinar la ubicación del centro O14, que sirve para establecer el centro O24. Según el círculo de centros, O14 pasará por la línea O15→O45 y O16→O46. Una vez determinado O14, el centro O24 pasa por la línea O12→O23 y O14→O34. Por escalamiento, de la figura 5.45 se puede obtener la magnitud de los radios: ω4 = −ω2

rO

12 →O 24

rO

= +(−5 rad/s)

2.07 cm = −1.65 rad/s 6.26 cm

VB = ω4rO

= 1.65 rad/s 6.01 cm = 9.91 cm/s

Vc = ω4rO

= 1.65 rad/s 3.98 cm = 6.57 cm/s

14 →C

D3

O16 ∞

2

O24

14 →B

M2

O12 4

14 →O 24

B 5

2

1

El signo positivo de la relación se justifica por el hecho de que el centro O24 está fuera de los pivotes O12 y O14. La velocidad de los nodos B y C se obtiene a partir de w4 debido a que pertenecen a la barra 4, para lo cual se utiliza el centro de giro de la barra 4 O14 hacia el nodo correspondiente de análisis.

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Descarga

Trenes de engranes

E5.1 El mecanismo que se muestra en la figura 5.46 dispone de una flecha A que gira a una velocidad angular de 100 rpm, fmr, y una flecha C que gira a una velocidad de 150 rmp, cmr. Determina la velocidad angular de la flecha D. E5.2 En el mecanismo de la figura 5.46, independientemente de la velocidad angular del brazo, ¿la relación q8/q2 permanece constante? Si la flecha C permanece estacionaria, justifica tu resultado. E5.3 Establece la relación del engranaje q8/q2 del mecanismo de la figura 5.46, si se sabe que la flecha C permanece estacionaria. N2=25 N3=10 N5=30

7

6 4

a) La relación del engranaje, e indica si es reductor o atenuador. b) El valor de la velocidad angular de la flecha C, si la flecha A gira a 400 rpm. E5.5 Establece la relación del engranaje del variador que se muestra en la figura 5.48 en los siguientes casos: a) q5/q2 si q7 5 0 b) q7/q2 si q5 5 0 c) q4/q5 si q7 5 0 N2=30 N3=40 N6=20 N5=15

3 6

N6=25 N7=20 N8=35

B

7

5

4

2

3 C

D

A

5 B

Figura 5.48

8

2

Figura 5.46

E5.4 Del mecanismo de engranaje que se representa en la figura 5.47 determina: 9

10

4 7 4

6

3

C

8

A

5

11

N2=20 N3=20 N4=15 N5=25 N6=10 N8=30 N9=20 N10=25 N11=25

E5.6 El engranaje planetario de la figura 5.49 dispone de un brazo que hace girar los engranes 4 y 5 alrededor de los engranes 3 y 2. Si la velocidad angular del brazo es de 600 rpm, determina la velocidad angular del engrane 3. 4

N2=80 N3=60 N4=20

3 2 5

2

Figura 5.47

Figura 5.49

Figura 5.49.


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E5.7 Si en el engranaje planetario de la figura 5.49 el engrane 3 gira a 250 rpm, establece la velocidad angular del brazo.

a) wA 5 100 rpm y wbrazo 5 0 rpm b) wA 5 2100 rpm y wbrazo 5 250 rpm c) wA 5 100 rpm y wbrazo 5 2150 rpm

E5.8 Determina la relación q8/qbrazo del mecanismo de la figura 5.49.

Brazo D

Figura 5.52

5

7

3 6

B 4 A

N2=40 N3=20 N4=40 N5=30 N6=20 N7=35 N8=25

8

Figura 5.52.

E5.13 En la figura 5.53 se muestra el engranaje de una transmisión de tres velocidades más la reversa. Si se considera que la flecha de entrada va al motor, establece la relación del engranaje para las tres velocidades más la reversa.

2

Nota: Lee el caso de estudio de este capítulo. Embrague

Figura 5.50 Figura 5.50.

E5.11 El engranaje planetario de la figura 5.51 consta de un brazo que hace girar al engrane 5 de manera interna sobre el engrane 6, de la misma forma que el engrane 3 sobre el 4; los engranes 3 y 5 están unidos por la misma flecha. Si el brazo gira a 300 rpm, cmr, establece la velocidad angular del engrane 2. N2=20 N3=30 N4=50 N5=10 N6=40

5 3 4 6

Figura Figura 5.515.51

E5.12 Determina la velocidad del engrane D del mecanismo que aparece en la figura 5.52 si:


NA=50 NB=60 NC=40 ND=20

C

E5.10 Determina la velocidad angular de la flecha B del engranaje de la figura 5.50 si la flecha A gira a 340 rpm, cmr.

2

B

A

E5.9 Si la flecha B, que impulsa al brazo del engranaje de la figura 5.50, gira a 200 rpm, fmr, establece la velocidad angular de la flecha A.

3

2

1

R A las ruedas

Al motor

N2=15 N3=21 N4=26 N5=30 N6=24 N7=19 N8=13

Figura 5.53. Figura 5.53

E5.14 El mecanismo que se muestra en la figura 5.54 corresponde al utilizado en los diferenciales de los automóviles. Estos dispositivos permiten distribuir las velocidades angulares entre llantas de un mismo eje para evitar el derrape en curvas o por llantas desiguales. Determina: a) La velocidad angular de la rueda derecha cuando la rueda izquierda está fija y el eje impulsor se mueve a 800 rpm. b) La velocidad del eje impulsor si la rueda derecha gira a 700 rpm y al doble de la velocidad de la rueda izquierda.

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Mecanismos de deslizamiento

2

Eje impulsor Engrane anular

4

Hacia la rueda trasera izquierda

N2=28 N3=92 N4=22 N5=30 N6=30

3

5 6

Hacia la rueda trasera derecha

Engranes planetarios

Figura 5.54

Figura 5.54.

E5.15 Considera el diferencial que se muestra en la figura 5.54. Supón que el vehículo viaja a 60 kph y entra a una curva con un radio de 17 m, desde el origen de la curva hasta el eje central del vehículo. La distancia de centro a centro entre la llanta izquierda y la derecha es de 1.8 m. Establece la velocidad angular de: a) Cada rueda trasera.

E5.17 El mecanismo de yugo escocés se utiliza para transmitir movimiento reciprocante. En la figura 5.56 se muestran sus componentes principales. a) Elabora un diagrama cinemático en la posición mostrada. b) Si la manivela de entrada gira a una velocidad angular de 10 rad/s, fmr, y se utiliza la escala 1:1, determina la velocidad y la aceleración del elemento reciprocante en la posición que se muestra en la figura. Manivela impulsora

Rodillo deslizante

Elemento reciprocante


b) El engrane anular. c) El eje impulsor. E5.16 En el juego de la figura 5.55, un changuito inquieto decide mover el engrane en la dirección que se muestra en la figura. ¿Dónde terminará la palanca final: en 1 o 2?

E5.18 El mecanismo de cruz de Malta, como el que se representa en la figura 5.57, se utiliza para producir movimiento intermitente angular. La manivela conductora se embona por el rodillo deslizante hacia la ranura de la cruz; una vez que abandona la ranura, esta da una vuelta para enlazar con la siguiente ranura. a) Elabora un diagrama cinemático en la posición que se muestra en la figura. b) Establece la velocidad y la aceleración angular de la cruz cuando la manivela impulsora se encuentra a 30° con la vertical y con una velocidad angular de 5 rad/s, cmr.

1

2

Figura 5.55


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Rodillo deslizante

E5.21 El mecanismo cuyo diagrama cinemático se muestra en la figura 5.60 se utilizó para impulsar las ruedas de las primeras locomotoras. Si en el instante mostrado en la figura, la manivela 2 se mueve a 2 rad/s, fmr, con 15 rad/s2, cmr, determina:

Cruz de Malta

a) La velocidad del nodo C. b) La aceleración del nodo C.

Manivela impulsora Figura 5.57 Figura 5.57

AO 2 = 3 cm BA = 8.54 cm BC = 12.85 cm

A

E5.19 Del mecanismo que se muestra en la figura 5.58 se sabe que el elemento reciprocante se mueve con una velocidad de 10 cm/s hacia la derecha. Determina la velocidad angular de la manivela.

3

2

4 B

O2

C

Figura 5.60

Reciprocante

Rodillo deslizante

Manivela impulsora

Figura 5.58

E5.20 En el mecanismo de la figura 5.59, la manivela 2 se mueve a una velocidad de 5 rad/s, fmr, en el instante mostrado. Establece:

Bandas y poleas

E5.22 En el mecanismo que se muestra en la figura 5.61 se desea transportar en C una caja a una velocidad de 10 cm/s. En B se tienen dos poleas articuladas entre sí, al igual que en A; la polea interior en B es de 8 cm de radio y el radio de la polea interior en A es de 3 cm. Si la polea A gira a 5 rad/s, ¿cuál es el radio de la polea externa en B? B C

a) La velocidad del nodo D. b) La aceleración normal y tangencial del nodo D. D

A

A 3

C 5

B


2 6

4 O6

O4

Figura 5.59


O2

E5.23 El sistema que se observa en la figura 5.62 dispone de una banda que transmite el movimiento del motor al árbol del cigüeñal y al alternador. Si la polea del motor tiene un diámetro de 25 cm y la del alternador un

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diámetro de 32 cm, establece la velocidad angular del árbol del cigüeñal y de la polea del alternador si el motor gira a 1 200 rpm y la polea del alternador es de 14 cm.

a) El diámetro de las poleas A y B para permitir el acoplamiento de la banda. b) La relación de transmisión para las tres combinaciones.

Banda

Motor

120 cm 140 cm 160 cm

A B C

Alternador

Poleas de entrada

Poleas de salida

Cigüeñal

Figura 5.62

E5.24 En la figura 5.63 se muestran cuatro configuraciones de bandas y poleas. Si desde V se desplaza la cuerda con una velocidad de 5 cm/s, determina la velocidad con que se desplaza el contrapeso W para los cuatro casos.

Figura 5.64

Proyecto Prototipo del mecanismo cruz de Malta

Material: V

V

V

V

• Cartón. • Juego de geometría. Elemento de competencia

W

W

W

W

Figura 5.63

E5.25 El mecanismo que se muestra en la figura 5.64 corresponde a la transmisión de un taladro. La variación de velocidad se logra al desplazar la banda hacia arriba o hacia abajo, por lo que las dimensiones de las poleas deben ser acordes con la longitud fija de la banda. En la figura se muestran los diámetros de las poleas de salida, mientras que de las poleas de entrada solo se conoce el diámetro de la polea C, que es de 80 cm. Establece:


Analizar las características de movilidad de un mecanismo de cruz de Malta mediante su elaboración en cartoncillo, para determinar los recursos necesarios de implementación y la validación de resultados. Desarrollo A continuación se presenta el plano para la construcción del mecanismo llamado cruz de Malta. 1. Imprime el esquema de la figura 5.65 y recorta las piezas. 2. Monta las piezas recortadas en cartón grueso y vuelve a cortarlas. 3. Busca los elementos necesarios para ensamblar las piezas y formar el mecanismo.

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Figura 5.65 Plano de construcción de un mecanismo de cruz de Malta.

Figura 5.65 Plano de construcción de un mecanismo cruz de malta.

Reporte 1. Arma el mecanismo de cruz de Malta según las indicaciones.

4. Lista las implicaciones y las complicaciones para armar el mecanismo y explica las soluciones proporcionadas. 5. Anota tus conclusiones.

2. Elabora el diagrama cinemático con las dimensiones reales.

Evidencias

3. Explica el funcionamiento del mecanismo.

1. Mecanismo armado.

Referencias [1] Mott, Robert L. (2006). Diseño de elementos de máquinas. México: Pearson Education. [2] Norton, Robert L. (1999). Diseño de elementos de máquinas. México: Prentice Hall. [3] Calero Pérez, Roque y Carta González, José Antonio. (1999). Fundamentos de mecanismos y máquinas para ingenieros. México: McGraw-Hill. [4] Hamilton H.M. y Mabie, Fred W. Ocvirk. (1990). Mecanismos y dinámica de maquinaria, 3a. ed. México: Limusa.


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Análisis de fuerzas

Propósito del capítulo En este capítulo se estudian las herramientas gráficas y analíticas para el análisis de fuerzas en mecanismos, las cuales permiten valorar su eficiencia en términos de fuerza, así como determinar los efectos no considerados en el análisis cinemático. Competencia específica • Análisis de fuerzas en mecanismos mediante el uso de herramientas analíticas y gráficas, las cuales permiten determinar la capacidad de fuerza y sus propiedades cinéticas.

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Capítulo

6

Habilidades 1. Dominar las estrategias analíticas para establecer las ecuaciones cinéticas de mecanismos. 2. Abstracción y desarrollo lógico para la solución de ecuaciones cinéticas. 3. Formular las características cinéticas de los elementos de un mecanismo. 4. Proponer soluciones relacionadas con la cinética de mecanismos. Conocimientos requeridos • Topología de los mecanismos. • Cinemática de los mecanismos. • Leyes del movimiento de Newton. • Centro de masa y momentos de inercia. • Momento de una fuerza.

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196


6.1 Introducción En los capítulos anteriores se tratan las herramientas y los métodos necesarios para establecer la cinemática de mecanismos, la cual, al aislar el análisis de fuerzas que intervienen en los elementos, permite comprender la naturaleza de los movimientos. Sin embargo, algunos efectos pueden escapar al realizar el análisis cinemático, lo que repercute de manera considerable en la implementación o en la puesta en marcha del mecanismo. Tal es el caso del efecto de las fuerzas, ya sea en las articulaciones o en los elementos donde efectos como la fricción, la fuerza transmitida, la vibración y la fuerza Coriolis, entre otros, pueden cambiar las condiciones de operatividad. En este capítulo se presenta primero la teoría básica para comprender el efecto de las fuerzas en mecanismos, así como los métodos que permiten plantear ecuaciones donde se involucren las fuerzas en los elementos y las articulaciones, y luego se desarrolla una metodología lógica para solucionar dichas ecuaciones y determinar las fuerzas en los elementos de un mecanismo. En primera instancia se estudia la teoría elemental con el fin de comprender la relación que existe entre fuerzas y aceleraciones, ya que mediante esta se describen los diferentes tipos de fuerzas y sus características. Después se explican algunos conceptos cinéticos y no se aplica en el análisis de partículas, como reacciones, centroides de área y momentos de inercia de masa. Luego, se detallan los métodos para el análisis estático en mecanismos y se describe en qué casos se emplea, así como su aplicación principal. Por último, se hace una extensión al estudio dinámico en mecanismos donde la masa en al menos uno de sus elementos provoca una fuerza inercial que debe ser considerada en el análisis.

6.2 Mecánica newtoniana Las leyes de Newton son elementales en la solución de problemas donde se involucren fuerzas. Por lo general, el estudio de las leyes newtonianas se aborda en los cursos de física de nivel medio superior y asignaturas introductorias de las diferentes carreras de ingeniería; no obstante, la mayoría de los programas de estudio se enfocan en el estudio de cuerpos considerados como partículas, al grado de despreciar efectos en algunos elementos, como la fricción de las poleas y sus masas. Sin embargo, la mayoría de los elementos de maquinaria tienen un comportamiento diferente al de las partículas, de modo que en los movimientos de rotación y traslación, y en algunos casos la combinación de estos movimientos en un solo elemento, los efectos de fuerzas y aceleración se relacionan con la cantidad de masa y la forma geométrica del elemento, lo cual provoca comportamientos importantes dignos de estudio. Para el estudio de fuerzas, lo primero es considerar las tres leyes fundamentales del movimiento propuestas por Isaac Newton en su famoso libro Principia, las cuales se citan a continuación:


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197

Capítulo 6. Análisis de fuerzas

• Primera ley. Todos los cuerpos perseveran en su estado de reposo o de movimiento uniforme en línea recta, a menos que una fuerza externa no equilibrada actúe sobre esta. • Segunda ley. Si un cuerpo cambia de posición, entonces el cambio de movimiento con respecto al tiempo, el cual se le conoce como momentum es directamente proporcional a la magnitud y dirección de la fuerza aplicada. Esta ley también se cita de la siguiente forma: Si una fuerza no equilibrada actúa sobre un cuerpo, entonces experimentará una aceleración directamente proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa. • Tercera ley. Para toda fuerza de acción siempre habrá una fuerza de reacción opuesta y de igual magnitud. Aun cuando la tercera ley de Newton pareciera ser una expresión simple y lógica, es de gran importancia en la solución de problemas donde interactúan cuerpos, ya que con esta es posible la deducción de las fuerzas de contacto entre los elementos.

Pero, ¿qué es una fuerza? Se dice que una fuerza es la acción que ejerce un cuerpo sobre otro para intentar cambiarlo de estado, ya sea de reposo o movimiento, de modo que en el estudio de sólidos rígidos la ecuación de la segunda ley de Newton se replantea de manera más formal, primero debe considerarse la expresión de la segunda ley de Newton: "

"

F 5 ma (6.1) "

donde F denota la fuerza expresada en unidades de Newton (N), m representa la " masa del cuerpo en kilogramos (kg) y a es la aceleración que adquiere el cuerpo en m/s2. Las dos componentes de la ecuación (6.1) deben ser estudiadas en forma independiente, como se explica a continuación.

Fuerza externa y fuerza inercial Para continuar con el estudio de las fuerzas y poder diferenciar entre fuerza externa e inercial, considérese el siguiente escenario: Juan empuja una silla con la pierna a una determinada fuerza, la cual al desplazarse golpea a Pedro, quien reclama a Juan, a lo que responde lo siguiente: “¡Yo no fui! Fue la silla, que llevaba una fuerza inercial”. Entonces Pedro le contesta: “Sí, pero esa fuerza inercial no provino de la nada. Ese efecto debe tener una causa”. La situación anterior permite ahora comprender el efecto inercial, para lo cual hay que reescribir la ecuación (6.1) de manera más práctica: →

{

→

→

}

F ext = F iner = m a (6.2)

"

donde F ext se conoce como fuerza externa y es la fuerza aplicada al cuerpo, mientras " F iner se conoce como fuerza inercial o efectiva, ya que es el efecto o resultado de la fuerza aplicada a un cuerpo, es decir, del producto de la masa y la aceleración. Este


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Causa

=

par de fuerzas también son llamadas causa-efecto, como lo señala el principio de la causalidad:

Efecto

Todo efecto tiene su causa y toda causa tiene su efecto. Figura 6.1 Causa y efecto en la elaboración de diagramas de cuerpo libre.

Por tanto, en la elaboración de diagramas libres se deben colocar tanto las fuerzas causantes como las fuerzas inerciales (véase figura 6.1).

Fuerzas estáticas Este tipo de fuerzas se caracteriza por mantener en equilibrio estático un cuerpo y están sujetas a las leyes de la estática. Un cuerpo rígido está en equilibrio estático si: 1. Actúan dos fuerzas colineales de igual magnitud, pero en sentido opuesto (véase figura 6.2 a). 2. Actúan tres fuerzas, pero todas se dirigen y concurren en un punto, además forman una gráfica vectorial cerrada (véase figura 6.2 b). 3. Actúa un par de fuerzas de igual magnitud, pero no concurrentes, en cuyo caso existirá otro par de fuerzas, quizá de diferente magnitud, pero que compensa el efecto de giro de las primeras (véase figura 6.2 c).

F3

F1

–F1 F1

F2

–F2 F2

–F1 F1

F2 a)

F3

F1 b)

c)

Figura 6.2 Las tres condiciones del equilibrio estático.

El análisis de fuerzas estáticas también se aplica en mecanismos cuando se utilizan como un transmisor de fuerza o bien cuando las masas de los elementos son despreciables. Los mecanismos se analizan de manera estática como transmisores de fuerza para valorar las condiciones de fuerzas en los elementos una vez que están estáticos. Esto puede ejemplificarse con algunas máquinas o aparatos para hacer ejercicio, los cuales no poseen ningún tipo de motor y la única fuerza generada es la aplicada por una persona.

Fuerzas dinámicas Son aquellas fuerzas en las que el efecto de la masa y(o) aceleración genera magnitudes considerables que afectan de manera importante el análisis.


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199


Fuerzas de reacción Tipo de fuerzas que aparecen en los apoyos y las articulaciones de los elementos. Dependiendo del tipo de apoyo, se tienen las siguientes fuerzas de apoyo (véase tabla 6.1). Tabla 6.1 Tipos de apoyo y sus reacciones Tipo de soporte o junta Empotramiento

Representación gráfica A simple

Ay y

Representación en un diagrama de cuerpo libre Ay

Mr

A yA M y r Ay Ay

Mr

AAA y y y

Ay

Edificio

Ay

Ax

Ay

AA xx

MM r r

Ay

Mr Mr

Mr AxAx

MMM r r r Mr

AAxA x x Mr

M r Ax Ax

Ax

Ax

Ax

Ax

Miembros flexibles: cables, cuerdas o resortes

Ejemplo

T

Músculos y ligamentos

T

T

TT T

TT T

T

T

T T

T

Rodillos o apoyo simple sin fricción

N

N

NN N

Contacto entre huesos

NN

N N

N

N

NN N

AAyy

AAy y

Ay

Uniones con pernos o bisagras

Ay Ay

A A yy

Codo

A yA y Ay A xA

AAx x

xx

Ay

Ax

Ax Ax

A yA x

Ax Ax

Ax

Cilindro que se desliza sobre una corredora sin fricción

NN N

Ax Motor Motor

NN

N

N

N

N

Mecanismo de retorno rápidoAx Motor Motor

Motor Motor Motor Motor

N

N N

Motor Motor

Motor Motor

N

N

Rodillo que se desliza sobre una ranura sin fricción

NN N

NN

Yugo escocésMotor Motor Sierra Sierra

NN N

Sierra

N

N

Sierra Sierra

Sierra Sierra Sierra

N

Sierra

Sierra

Sierra

Sierra

N

Sierra

N

N 06_CINEMATICA DE MECANISMOS_CAP 6.indd 6

Sierra

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200


6.3 Segunda ley de Newton en sólidos rígidos En sólidos rígidos, la masa, la geometría y sus articulaciones, deben F2 considerarse para el análisis dinámico. Pero el análisis dinámico utiliza= + G T G G do en partículas no es suficiente y se Fn requiere una extensión del estudio Figura 6.3 Efecto inercial de traslación y rotación. de la dinámica de partículas. A partir del concepto de causaefecto de la figura 6.1, se analiza el efecto inercial de un sistema de fuerzas y pares de torsión aplicado a un sólido rígido, cuyo efecto es un movimiento de traslación y otro de rotación, como se ilustra en la figura 6.3. F1

Efecto de traslación

Efecto de rotación

Efecto de traslación (fuerza inercial) El efecto de traslación en sólidos rígidos se caracteriza porque cada i-partícula experimenta una fuerza inercial propia, es decir, mi ai ; por tanto, la fuerza inercial total del sólido rígido Finer es la suma de todas las fuerzas inerciales de las partículas. →

→

F iner = ∑ mi ai (6.3)

Al denotar el centro de masa del cuerpo como G, la aceleración de cada partícula ai puede representarse en función de la aceleración del centro de masa aG mediante la ecuación de aceleración de puntos de la misma barra, es decir: →

Por tanto:

→

→

→

"

"

ai = aG + ai /G = aG + aiN/G + aiT/G →

(

→

→

"

"

Finer = ∑ mi ai = ∑ mi aG + aiN/G + aiT/G

)

Por definición, la aceleración normal es aN 5 ω2r y la tangencial aN 5 ar. Así:

→ → → → → " "  F iner = ∑ mi  a G +aiN/G + aiT/G  = ∑ mi aG + ω 2ri λ + αri λ′     

( ) →

→

→

= ∑ mi aG + ω 2 ∑ mi ri λ + α ∑ mi ri λ

Como se trata de un sólido rígido, se tiene que Σmiri 5 0 y Σmi 5 m, donde m es la masa total del cuerpo, por lo que ahora la fuerza inercial se expresa de la siguiente manera: → → (6.4) F iner = m aG La ecuación (6.4) indica que la fuerza inercial del sólido rígido es la que produce la masa del cuerpo por la aceleración de su centro de masa.


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201


Efecto de rotación (momento inercial) De forma similar, se puede elaborar un estudio dinámico para determinar el efecto de rotación. Considérese que cada i-partícula del sólido rígido tiene componentes de aceleración normal y tangencial con respecto al centro de masa G, de la cual las componentes de aceleración normales no generan momento inercial debido a que se dirigen hacia el centro de masa. Así, el momento inercial del sólido rígido es la suma de momentos de las fuerzas de aceleración tangencial, que en forma escalar se puede obtener con la siguiente ecuación:

(

)

Tiner = ∑ mi aiT ri =∑ (mi αri ) ri = α ∑ mi ri 2

(6.5)

Si el término Σmir 2i se hace para más y más partículas, entonces la sumatoria se expresa como una integral

∫r

2

dm , que se conoce como momento de inercia de

masa I, la cual se representa de la siguiente manera:  m2) I = ∫ r 2 dm (kg

(6.6)

El momento de inercia de masa de un cuerpo es un parámetro que depende de su masa, del eje de interés y de la geometría de la pieza, como los que se muestran en la figura 6.4. r i

r I

I

I

Disco sólido

Cilíndro sólido

Varilla delgada

1 l = mr 2 2

1 l = mr 2 2

1 l = mr 2 2

Figura 6.4 Momentos de inercia más comunes en el estudio de mecanismos.

Por tanto, el momento inercial (6.6) queda expresado por:

Tiner = Iα N ⋅ m (6.7)

La ecuación (6.7) establece que el momento inercial depende del momento de inercia de masa en su centro de gravedad Iˉ y de la aceleración angular del sólido rígido α expresadas en rad/s. Por tanto, el diagrama de cuerpo libre de los efectos externos e inerciales en un sólido rígido sujeto a fuerzas y momentos externos queda expresado finalmente como se muestra en la figura 6.5.


F1 Iα

F2 = FR

G

T

+ G

G maG

Figura 6.5 Diagrama de cuerpo libre de efectos externos e inerciales.

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202


Procedimiento para el análisis de fuerzas A continuación se describe cada uno de los pasos que comprende el método para el análisis de fuerzas. 1. Dibujar un diagrama de cuerpo libre por elemento del mecanismo. El diagrama debe incluir dos formas: una del lado izquierdo, donde se colocan las fuerzas externas y(o) momentos externos, y otra del lado derecho, que representa las fuerzas y(o) momentos inerciales. 2. Colocar las fuerzas o momentos externos. Se recomienda averiguar si para cada fuerza existe otra que se contrapone; por ejemplo, al peso se contrapone una reacción conocida comúnmente como la componente normal. 3. Colocar las fuerzas o momentos inerciales e indicar si es un efecto de aceleración o desaceleración. 4. Realizar el análisis de fuerzas y determinar las necesarias: a)

b) c)

∑ F = {∑ F ∑ F = {∑ F ∑T = {∑T x

iner

= ma x }

y

iner

= ma y }

iner

= Iα + mi ai ri }

(6.8)

Las primeras dos ecuaciones sirven para formular la relación de fuerzas en el eje x y en el eje y. El signo positivo se establece en el sentido de la fuerza inercial, ya sea aceleración o desaceleración. Por su parte, la ecuación (6.8 c) sirve para formular la relación entre aceleraciones angulares y pares torsionales. En esta puede apreciarse la inserción del término mi ai ri , ya que pueden aparecer fuerzas inerciales mi ai que generen momento en el punto de análisis.

Ejemplo

6.1

Análisis de fuerzas y volcadura en una caja sometida a una fuerza Una fuerza P 5 20 N actúa sobre una caja de 1.8 kg como se muestra en la figura 6.6. El coeficiente de fricción cinética entre la caja y el piso es de 0.15. Determinar: b a ) La aceleración de la caja. b) La ubicación de la fuerza normal al plano si h 5 0.85 m. c) El ancho mínimo de la caja para evitar que esta se vuelque.

P = 20 N G h 0.7 m

Solución

Primero se elabora un diagrama de cuerpo libre que incluye las fuerzas externas (cau-



12/09/15 17:51

203


sas) y las inerciales (efectos), como se muestra en la figura 6.7, donde N es la fuerza normal al plano y Fr es la fuerza de fricción. Fuerzas inerciales

Fuerzas externas w = mg

P

ma

=

h X Fr N

Figura 6.7 Diagrama de cuerpo libre del ejemplo 6.1.

Al elaborar un análisis de fuerzas mediante la ecuación (6.8) se obtiene: +

→ ∑ Fx = {∑ Finer = ma x }

P − Fr = ma

+

↑ ∑ Fy = {∑ Finer = ma y }

N − mg = 0

El signo positivo de la componente horizontal se asignó a la derecha, al igual que el sentido de la fuerza inercial, en tanto que la componente vertical no tiene fuerza inercial, por lo que el sentido positivo se supone hacia arriba. Además, como la fuerza de fricción Fr 5 μkN, se tiene:

2 P − k (mg ) 20N − (0.15)(1.8 kg)(9.81 m/s ) = = 9.36 m/s2 m 1.8 kg 2 P −  (mg ) 20N − (0.15)(1.8 kg)(9.81 m/s a) a = 5 9.36 km/s2 = m 1.8 kg Como puede apreciarse, las dimensiones de la caja, la ubicación de la fuerza y la normal no intervienen en el cálculo de la aceleración. Para determinar la ubicación de la componente normal es necesario involucrar los parámetros de fuerza y distancia, por lo que utilizar una suma de momentos permite obtener la solución. Al hacer un análisis de momentos en el centro de masa, de la ecuación (6.8 c) y de la figura 6.7 puede deducirse lo siguiente:

a=

1

∑T

G

= {∑Tiner = I + mi ai ri = 0}

P (h − 0.7) + Fr (0.7) − N( x ) = 0 N ⋅ m

El momento inercial es cero debido a que no hay giro de la caja y la fuerza inercial ma no genera momento, ya que está localizada en el mismo punto donde se elabora el análisis de momentos. Si h 5 0.85, se tiene: x=

( )

)

20 N(0.85 − 0.7 m) + ( 0.15 )(1.8 kg ) 9.81 m/s2  0.7 m = 0.27 m (1.8 kg ) 9.81 m/s2

(

b) x 5 0.27 m


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204


Por último, se determina el ancho mínimo para evitar que la caja se vuelque. Del cálculo anterior se deduce que la componente normal se localiza a x 5 0.27 m. Por tanto, si el ancho de la caja fuera menor a este valor, entonces la normal quedaría fuera del espacio de soporte, de lo que se concluye que la caja en realidad estaría volcándose. Así, el ancho mínimo de la caja deberá ser mayor o igual a dos veces la ubicación de la normal. c) b  0.54 m

6.4 Centroides y el teorema de ejes paralelos Centroide de masa z y

x

G

y x

Figura 6.8 Localización del centro de masa.

Como se demuestra en el apartado anterior, la aceleración inercial que experimenta un cuerpo es aquella que se manifiesta en su centro de masa, de aquí la importancia de conocer la ubicación del centro de masa de un cuerpo. Así, si las coordenadas del centro de masa no se proporcionan, entonces se requiere el uso de algún método gráfico o analítico que permita determinar la ubicación del mismo. Para esto considérese un cuerpo de masa m y peso W con un – – centro de masa G localizado según las coordenadas (x , y ), como se muestra en la figura 6.8. Las coordenadas del centro de masa (que se denominan solo centroide) se pueden localizar de la siguiente manera: ∫ x dW ∫ y dW (6.9) x= y= dW dW

Si se usa el par de ecuaciones (6.9) es posible determinar las coordenadas del centroide de algunas figuras, como las que se listan en la tabla 6.2. Si una pieza está constituida por formas regulares o está hecha de diferentes materiales; así, dicha pieza puede seccionarse en diversas formas con centroides conocidos; así, es posible determinar el centroide de toda la pieza mediante las siguientes expresiones:

x=

∑x W i

i

W

y=

∑y W i

i

W

(6.10)

donde xi y yi es la localización de cada una de las piezas desde un eje de coordenadas previamente definido, Wi es el peso de cada uno de estos y W es el peso total y la suma de los pesos de cada una de las piezas. Si el cuerpo seccionado es del mismo material, entonces la ecuación (6.10) puede expresarse en función del centroide de área, sin requerir la masa del mismo:


x=

∑x A i

A

i

y=

∑ y A (6.11) i

i

A

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205


Tabla 6.2 Tabla de centroides Nombre

Forma

2

2

_b

_b Área de un cuarto de círculo

2

_ y O

Área semicircular

c c

b

_

c

_b

2

_b

2

c O O

Área de elipse

_ x O O Oc

O

_b_

Área semiparabólica

c ca

c _ x

Área parabólica

O_ x O

_ yc _ y a

a

y = kx2

c

c a O

_ y

y _= kx2 x a

c O

c

a y =akx y = kxy2=x_kxan c y = kx2 O c c _ xa c O _ y= n _ kx O x x _ x c a O y = kxn x_ a y = kxn c

O

O 06_CINEMATICA DE MECANISMOS_CAP 6.indd 12

O

_ x

c _

_ y

pr 2 4

0

4r 3p

pr 2 2

4a 3p

4b 3p

pab 4

0

4b 3p

pab 2

3h 5

2ah 3

3h 5

4ah 3

r c a cO

h h

a

O

a

c a

h ah

_ y _ cy

_ y _ y

h

h h

0

a

_ y

O

Parabólica

a

O n

4r 3p

a

O

c

4r 3p

r

c

__ xay _ x

O

__ y = kx2y y a

a x_

c O O

_ c O y cr _ y o c o _ _y O y

_ a y

_ a cx

c

o cO

y

_ x_ O cx _ x

_ x O O

c

_ y

2

_ xc

r

c o h r o h

b __ y 2

O O _ c_2 x x

Área de cuarto de elipse

c

_ y

c b __ x2

_ _ x y c

h

2

c

c

O

bh 2

_b

_b

_ y

Área

h

c

_ y

y

h

c

_ y

Área triangular

x

_ y h

_ y

ah

a 2 y= a kx

h

c

y = kx2 O

h h

3a O4

h

_ y

_ 3hc xa 10

_ah y3

h

_ y

h

y_= kx2 x

h

c

a

O

y = kx2 x_ a _ y

h _ y

h

y = kx2 c O O

_ x

c

_ y

h _ y

h 12/09/15 17:51

y

x

a

a

y = kx2

c O

c

_ y _ x

O

206

h

c O

a

a

y = kx2

a

y = kx

n

c General

_ y

h c

n 11 a n 12

h

_ y

O

_ x

y = kx2

n 11 h 4n 1c2

ah n 1 1h

0

ar 2

_ y

O

_ x a

_ x a

y = kx

n

y = kx2

Sector circular c _

h

c

y

O


_ x

a

O

h

_ y

O

_ x

2r sen a 3a

h

_ y

_ x

Ejemplo

6.2

Determinación del centroide de área de una pieza Determinar las coordenadas del centroide de área de la pieza que se ilustra en la figura 6.9. Solución

Para determinar el centroide de área, primero se divide la pieza en formas. En este caso, la pieza se puede dividir en dos piezas rectangulares, como se ilustra en la figura 6.10.

3 cm

6 cm

2 cm 5 cm


y x2 = 6.5 cm x1 = 2.5 cm

A2 A1

y1 = 3 cm

y2 = 3 cm x

Figura 6.10

Luego se utiliza la ecuación (6.11) para determinar las coordenadas del centroide:


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207


x=

∑x A

y=

∑y A

i

i

A

i

i

A

= =

x1A1 [2.5 × (5 × 2)] + [6.5 × ( 3 × 6 )] = 5.07 cm = A1 (5 × 2) + (3 × 6)

[3×(5 ×2)] + [3×(3×6)] = 3.0 (5 × 2) + (3 × 6)

cm

Así, las coordenadas del centro de área son (5.07, 3.0) cm. Nota: Para determinar la coordenada en el eje y, en realidad no es necesario usar la ecuación debido a que la figura es simétrica en el eje x.

Teorema de los ejes paralelos El momento de inercia de masa, definido en la ecuación (6.6), depende de su masa, geometría y el eje de interés. Pese a que existen tablas que permiten determinar el momento de inercia de masa de algunos cuerpos, así como su centro de masa, como se muestra en la tabla 6.3, en algunos cálculos ingenieriles además también se requiere el valor del momento de inercia de masa, pero en otro punto fuera del centro de masa. Tabla 6.3 Tabla de momentos de inercia de masa V5

4 3

pr 3

nr2

Esfera 2 3

I xx = I yy = I zz = mr 2

G

x

y z r

Cilindro I xx = I yy =

(

1 + h 2I zz 2

)=

V5 pr2h

G

1 2

h 2 h 2

y

z

Semiesfera I xx = I

yy

= 0.259 mr 2I zz =

2 5

V5

2 3

pr2 r


G

y

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208


z

Cono

I xx = I yy =

(

3 + h2 80

)I

zz

=

3 10

V5

1 3

h

h 4

pr2h G

r

x

z

Disco circular delgado 1 4

1 2

I xx = I yy = I zz = I z ' z ' =

z’ G

3 2

r y

x z

Placa delgada G

I xx =

1 mb 2 12

I yy =

1 ma 2 12

I zz =

1 m(a 2 12

+ b2)

y x

a

b z

Anillo delgado r

1 2

G

I xx = I yy = I zz = mr 2 y

x z  2

Barra esbelta

G

I xx = I yy =

1 ml 2 12

Ix ' x ' = Iy ' y '

1 ml 2 3

Iz ' z ' = 0

x

x


 2

y

y

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209


La solución para determinar el momento de inercia de masa en un eje fuera del centro de masa la da el teorema de los ejes paralelos, que establece lo siguiente:

Ip = I + md 2

Ipy

(6.12)

Iy mdx2

donde IP es el momento de inercia en cualquier punto fuera del centroide, Iˉ es el momento de inercia en el centro de masa, md 2 es el término que permite la traslación del momento de inercia de masa y d es la distancia entre el eje del centroide y a donde se desea trasladar, como se muestra en la figura 6.11.

Ipx = Ix + mdy2 Ix

Ipy = Iy + mdx2

mdy2 Ipx

Figura 6.11 Ejemplificación del teorema de los ejes paralelos.

6.5 Análisis de fuerzas estáticas en eslabonamientos Una vez establecidas las bases necesarias para la cinética de sólidos rígidos es posible realizar un primer tipo de análisis de fuerzas en mecanismo, conocido como análisis de fuerzas estáticas. Aunque este análisis pareciera ser poco práctico debido a que los mecanismos en realidad están en movimiento, es de gran importancia debido a que además de utilizarse en mecanismos como transmisores de fuerza y en mecanismos donde las fuerzas inerciales son despreciables, también sienta las bases para un análisis dinámico más avanzado. Para resolver este tipo de problemas se deben utilizar las siguientes ecuaciones del equilibrio estático:

→

∑F = 0

y

∑T

P

= 0 (6.13)

donde T significa el momento en cualquier punto P. Las características del análisis de fuerzas estáticas que están presentes en mecanismos son: 1. Las fuerzas inerciales son despreciables. Esto se debe a que la masa es de magnitud despreciable o a que en el instante de análisis las aceleraciones del centro de masa son despreciables. 2. Las fuerzas están estáticamente equilibradas. Cuando un mecanismo se encuentra en una posición estática, debido a una característica de operatividad, entonces se dice que existen fuerzas estáticas en los elementos. 3. Las fuerzas en las bielas son colineales. Debido a que las fuerzas inerciales en una biela son despreciables o bien se encuentran estáticas, la fuerza en los extremos de la biela son colineales, ya que son las únicas fuerzas presentes en la barra; por tanto, se dirigen a lo largo del radio que une al elemento.


12/09/15 17:52

210


Ejemplo

6.3

Equilibrio estático

d

Se desea mantener equilibrado un contrapeso de m 5 1.8 kg mediante un servomotor con capacidad de par de torsión de 6 kg  cm, como se muestra en la figura 6.12. Si la masa de la palanca es despreciable, determinar:

Servomotor

a m


a) La máxima distancia d a la que se puede colocar el contrapeso sin sobrepasar la capacidad del servomotor en la posición mostrada. b) La magnitud de las reacciones en el apoyo O. Solución

En este caso, primero se elabora un diagrama de cuerpo libre. Como la palanca se une al eje del servomotor, el cual puede girar, entonces se tiene un apoyo de articulación con dos reacciones (Ox y Oy), como se muestra en la figura 6.13. Oy d

t

Ox

Figura 6.13

a

m

Aquí el par de torsión del motor es τ. Al realizar la suma de momentos en el punto O y uniformar las unidades a las del par de torsión (N  cm) se tiene:

1

∑M

o

= 0 : τ − m ×d = 0 : d =

6 kg ⋅ cm = 3.33cm 1.8 kg a) d 5 3.33 cm

Si se coloca la carga a una distancia mayor a 3.33 cm, entonces se generará un momento mayor al de 6 kg  cm, con lo que se excede la capacidad del servomotor. Para determinar las reacciones en los apoyos se realiza un análisis de fuerzas: +


→ ∑ Fx = 0:

O x = 0 kg

+

O y − m = 0,

↑ ∑ Fy = 0:

O y = m = 1.8 kg b) Ox 5 0 kg, Oy 5 1.8 kg

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211


Análisis de fuerzas estáticas en un mecanismo de cuatro barras

Ejemplo

La función que desempeña el mecanismo en la figura 6.14 lo mantiene equilibrado con una fuerza P 5 20 N. Determinar la magnitud del par τ aplicado al eslabón 2 para satisfacer el equilibrio. B

6.4

O2A 5 4 cm BA 5 10 cm

4

3

O2E 5 3 cm

E

τ 2

O4B 5 7 cm

a = 52°

θ3 = 30° A

P = 20 N

O4

θ2 = 140°

θ4 = 110°

O2


Solución

Para determinar la magnitud del par de torsión τ es necesario hacer un análisis de fuerzas por elemento, por lo que primero se elabora un diagrama de cuerpo libre por cada elemento, como se muestra en la figura 6.15.

F32 A

F43

t

2 O2 x

F34

B

4

θ3 = 30° 3

θ2 = 140° O2

a = 52°

θ3 = 30°

O2 y

E θ4 = 110°

A Elemento 3

Elemento 2

P = 20 N

O4 x

F23

O4 x O4 y

Elemento 4

Figura 6.15 Diagramas de cuerpo libre del ejemplo 6.4.

En la figura 6.15, la nomenclatura usada para una fuerza Fxy indica que se trata de la que el elemento x ejerce sobre el elemento y. Análisis de la barra 4

Como se dispone de la magnitud de la fuerza P, entonces el análisis de fuerzas inicia en el eslabón 4. Para facilitar los cálculos, primero se realiza un análisis de momento en forma algebraica, donde se toman en cuenta el valor absoluto de las magnitudes de los radios y las fuerzas y se antepone el signo correspondiente,


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212


dependiendo del sentido del giro, el cual es positivo si es en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj. Para facilitar aún más los cálculos, la carga P se proyecta sobre la barra 4 y se toma la componente vertical de P sobre la barra, ya que sería la única componente de P que genera momento. Enseguida, se procede de manera similar con la fuerza del eslabón 3 sobre 4, F34. El ángulo de P sobre la barra 4 es 110º 2 52º 5 58º, mientras que el de la fuerza F34 sobre la barra 4 es 110º 2 30º 5 80º.

+

∑T ↑ ∑T

O4

=0

O4

= rO E ×P + rO B ×F34 = 0 4

4

= +(P sen58° N)(3 cm) − (F34 sen80°)(7 cm) = 0

De la expresión anterior, si P 5 20 N, entonces:

F34 5 7.38 N

Análisis de la barra 3

En la barra 3 solo existe un par de fuerzas y son colineales; por tanto, si F43 5 7.38 N, entonces F23 57.38 N. Análisis de la barra 2

Lo siguiente es analizar la barra 2. El ángulo que proyecta la fuerza F32 sobre la barra 2 es 140 2 30 5 110º. Por tanto:

∑T ∑T

O2

=0

O2

= rO A ×F32 − τ = 0

2

= + (F32sen110° N)(4 cm) − τ = 0

Por tanto, si F32 5 7.38 N, entonces: τ 5 27.73 N·cm τ 5 27.73 N·cm

Ejemplo

6.5

Análisis de fuerzas estáticas en un mecanismo manivela-corredera El mecanismo manivela-corredera de la figura 6.16 representa un compresor que opera a baja velocidad, de modo que las fuerzas inerciales son despreciables. En el instante mostrado, θ2 5 45º. Determinar la magnitud del par de torsión aplicado en la manivela 2 para A sobreponer una fuerza hoO2A 5 3 cm 2 3 BA 5 7 cm rizontal hacia la derecha del pistón de 30 N. θ2 O2 Nota: Se pide despreciar la fricción en todos los elementos.


4 B

Figura 6.16 Problema del ejemplo 6.5.

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213


Solución

Primero se elabora un diagrama de cuerpo libre por elemento del mecanismo como se muestra en la figura 6.17. A F34 q3

F32

P = 30 N

t O2

F23

RB

A

Elemento 4 Elemento 2 Elemento 3

B F43


Análisis de la corredera 4

Como se conoce la fuerza de oposición P 5 30 N, primero se hace un análisis de momentos en el elemento, el cual dispone de una sola reacción al ser una deslizadera. + → ∑ Fx = 0 + ↑ ∑ Fy = 0 RB − F34 sen(θ3 ) = 0 −P + F34 cos (θ3 ) = 0 Como se requiere el ángulo θ3, este se puede obtener al aplicar la ley de los senos. Al denominar L3 a la longitud de la biela y L2 a la longitud de la manivela se tiene: L3 L = 2 senθ2 senθ3 Si θ2 5 45º, L3 5 7 cm y L2 5 2 cm, entonces θ2 5 17.64º. Por tanto, si P 5 30 N, entonces F34 5 31.48 N y RB 5 9.53 N. Análisis de la biela 3

En la barra 3 solo se tienen las fuerzas colineales; por tanto: F23 5 F43 5 31.48 N Análisis de manivela 2

El ángulo de proyección de la biela sobre la manivela es 45º 2(217.64º) 5 62.64º.

∑T

O2

∑T

O2

= {∑TO efec = 0} 2

→

→

→

= r O A×F 32 − τ = 0 2

= +(F32sen62.64° N)(3cm) − τ = 0

Como F32 5 31.48 N, entonces el par de torsión necesario es τ 5 83.87 N·cm. τ 5 83.87 N·cm


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214


6.6 Análisis dinámico en eslabonamientos En esta sección se considera el efecto de las fuerzas inerciales en el análisis de mecanismos, el cual es afectado por la masa y el momento de inercia de masa.

Características de análisis de fuerzas dinámicas en mecanismos 1. Dado un dato de velocidad o aceleración, determinar la fuerza o par de torsión necesario para cumplir con la condición cinemática. Si se proporciona un dato de velocidad, se recomienda realizar primero el análisis de velocidad por el método de centros instantáneos, ya que a menos que se solicite otro dato, solo se requiere la magnitud de las velocidades angulares. Después, con las velocidades angulares se deben determinar las aceleraciones normales, las cuales ayudan a determinar las aceleraciones de todos los eslabones. 2. Dados la fuerza y el par de torsión, determinar las aceleraciones del mecanismo y las condiciones cinemáticas. Una fuerza o par de torsión debe ser suficiente para poder determinar la aceleración del mecanismo, por lo que no es necesario proporcionar ninguna información cinemática, a menos que se desee conocer algún dato de velocidad. No obstante, si se llega a proporcionar información cinemática, se requerirá una información extra para satisfacer las necesidades cinemáticas. 3. Las fuerzas en las bielas no son colineales. Las fuerzas en las bielas con masa considerable ya no son colineales debido a que existen fuerzas inerciales. Por tanto, las fuerzas en los contactos de la biela pueden ser diferentes. 4. Un elemento tiene solución si existen tres incógnitas. El análisis dinámico de mecanismos debe realizarse elemento por elemento. Cuando se trace el diagrama de cuerpo libre y, en su defecto, las ecuaciones dinámicas, entonces se tendrá solución si se tienen tres incógnitas; esto se debe a que se dispone de tres ecuaciones dinámicas para la solución: 1) suma de fuerzas en el eje horizontal, 2) suma de fuerzas en el eje vertical y 3) suma de momentos en cualquier punto. Si en el análisis dinámico de un elemento se tienen más de tres incógnitas, entonces el análisis debe trasladarse a otro elemento que ayude a reducir el número de incógnitas. En la tabla 6.4 se detallan las características de los ejemplos que a continuación serán resueltos para el análisis de fuerzas en mecanismos, los cuales fueron diseñados con el fin de que cada uno de estos proporcione una idea particular en el análisis de fuerzas.


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215


Tabla 6.4 Ejemplo

6.6

6.7

6.8

6.9

6.10

6.11

Elementos con masa considerable

Fuerza inercial en la biela

Características que aporta

1

No tiene, por lo que las fuerzas en las conexiones se consideran colineales

Mecanismo manivela-corredera Se muestra la forma de resolver un problema donde se proporciona un dato dinámico y uno cinemático, para la cual se debe determinar una fuerza en uno de los elementos que permitan conservar la condición cinemática.

2

No tiene, por lo que las fuerzas en las conexiones se consideran colineales

Mecanismo con doble corredera Se muestra la forma de resolver un problema donde se proporciona un dato dinámico y uno cinemático, para la cual se debe determinar una fuerza en uno de los elementos para conservar la condición cinemática.

Las fuerzas en las conexiones pueden diferir

Mecanismo manivela-corredera Se muestra la forma de resolver un problema donde se proporcionan las aceleraciones y masas de los elementos, por lo que se requiere determinar la magnitud de la fuerza o par de torsión aplicado al mecanismo. Se presenta una comprobación de resultados usando Working Model®.

1

No aplica

Mecanismo de deslizamiento Se proporciona la masa de la deslizadera y se pide el par de torsión necesario para satisfacer ciertas necesidades cinemáticas.

2

Las fuerzas en las conexiones pueden diferir

Mecanismo manivela-oscilador Se proporciona la masa de sus elementos, además el elemento impulsor es considerado como disco y no como barra. Se presenta una comprobación de resultados usando Working Model®.

No, las fuerzas en las conexiones son colineales

Mecanismo con doble corredera Muestra un problema que es quizá de los más complicados de resolver, ya que solo se proporciona el dato dinámico y se pide el resto de los datos dinámicos, así como las aceleraciones de los elemenos. Sin embargo, en este ejemplo se facilita de manera específica la solución, ya que el sistema parte de reposo, lo que conlleva a utilizar tanto el centro instantáneo de velocidad como el de aceleración.

3

2

Dinámica en un mecanismo manivela-corredera El mecanismo de la figura 6.18 pertenece a una máquina dobladora de varilla. La manivela O2A y la biela BA son de masa despreciable, mientras que el pistón de empuje tiene una


O2

B

θ2

G

Ejemplo

6.6

P O2A 5 30 cm

Pistón de empuje

τ

BA 5 40 cm q2 5 50°

A


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216


masa de 2 kg. El coeficiente de fricción entre el pistón y la base es μk 5 0.1; por su parte, un motor de inercia despreciable transmite a la manivela O2A un par de torsión de 5 N  cm. Para el instante mostrado determinar: a) La aceleración del centro de masa del pistón de empuje si P 5 0. b) La magnitud de P para producir una velocidad constante en la manivela de 5 rad/s. Solución

Lo primero es realizar el análisis dinámico para analizar los parámetros disponibles y los parámetros requeridos; por tanto, el primer paso es elaborar los diagramas de cuerpo libre por elemento del mecanismo, como se muestra en la figura 6.19. F43

O2 y

O2 x

B θ2

O2

F32

θ3

θ3

A F23

A mg P

G

B

B

=

F34

mB aB

Fr N


En la figura 6.19 se muestran las fuerzas que actúan en la biela, que en este caso son colineales debido a que no existe fuerza inercial, pues la masa de la biela es despreciable. Por su parte, en el pistón de empuje, el cual tiene masa, además de colocar las fuerzas externas en el diagrama de cuerpo libre se debe posicionar el diagrama de fuerzas inerciales. Para determinar el ángulo θ3, el cual se requerirá para los siguientes cálculos, se utiliza la ley de los senos: rO A rBA = senθ2 senθ3 2

de donde se obtiene θ3 5 35º. Análisis dinámico de la manivela

Al tomar momentos con respecto a O2 y determinar el ángulo de proyección de la biela sobre la manivela, es decir, θ3 2 θ2 5 35º 2(250º) 5 85º, y disponer además del dato del par de torsión (τ 5 5 N  m 5 500 N  cm y rO2A 5 30 cm), se tiene: → → → 1 ∑TO = ∑TO efec = 0 = τ + rO A ×F32 = 0 2

{

2

}

2

τ − [F32 sen ( 85° )] rO A = 0 2


F32 = 16.73N

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Análisis dinámico de la biela

Como no hay fuerza inercial ni una carga sobre la pieza, entonces las fuerzas en los extremos son idénticas, es decir:

F43 5 F23 5 16.73 N

Análisis dinámico del pistón de empuje

El pistón de empuje posee masa, por lo que tiene fuerza inercial y se supone que va hacia la derecha; por tanto, el sentido positivo de la sumatoria de fuerzas en el eje x se define hacia la derecha:

+

→ ∑ Fx = {∑ Fx efec = mB aB }

+

↑ ∑ Fy = {∑ Fy efec = 0}

F34 cos(θ3 ) − P − Fr = mB aB

F34 sen(θ3 ) − N − mB g = 0

Como la fuerza de fricción se puede determinar como Fr 5μkN, entonces se resume así: F34 cos(3 ) − P − k [F34 sen(3 ) − mB g ] = mB aB Nota: Como puede apreciarse, en este instante del análisis se tienen dos incógnitas: la fuerza P y la aceleración del centro de masa a–B . Si la fuerza P es proporcionada, entonces se pueden determinar la aceleración a–B y las aceleraciones del mecanismo, pero si la aceleración del centro de masa a–B es proporcionada o se obtiene por medio de datos de un análisis cinemático, entonces se debe determinar la magnitud de P para satisfacer tales necesidades cinemáticas. • Determinación de la aceleración del centro de masa si P 5 0 Ahora ya es posible determinar la aceleración del centro de masa cuando P 5 0: F34 cos(3 ) − P − k mB g = mB aB 16.73cos(35°) − ( 0.1) 16.73sen(35°) − (2 kg ) 9.81 m/s2  = (2 kg ) aB

(

)

a) a–B 5 5.39 m/s2 • Determinación de la fuerza P para producir una velocidad constante de 5 rad/s en la manivela Para determinar la magnitud de P primero es necesario determinar la aceleración del centro de masa a–B, la cual puede ser determinada a partir del dato de velocidad angular de la manivela. Por tanto, se usan los conceptos y procedimientos del capítulo 4 para el análisis cinemático. Primero se determina solo la velocidad angular de la biela, ya que se necesita para el cálculo de las normales; usando el método de centros instantáneos se tiene:

3 =


VA rO

13 −O23

=

2rA /O

2

rO

13 −O23

=

(5 rad/s) (30 cm) 50 cm

= 3 rad/s

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218


A continuación se realiza un análisis de aceleración mediante el uso de ecuaciones de puntos de la misma barra y se soluciona por métodos analíticos: →

→

"

aB = a A + aB / A →

→

→

"

"

a B = (a AN + aTA ) + aBN/ A + aBT / A ) →

→

→

"

"

aB B = (a AN A” + aTA A‘ ) + (aBN/ A B” / A + aBT / A B‘ / A )

Para calcular las magnitudes conocidas se tiene

a AN = 22rA /O = (5 rad/s)2 (30 cm) = 750 cm/s2 2

T A

a = 2rA /O = 0 2

N B /A

2

a = 3 rB / A = (3 rad/s)2 (40 cm) = 360 cm/s2 y al agrupar componentes rectangulares se tiene aB cos (0°) = 750 cos(−50° + 180°) + 360 cos(35° + 180°) + aBT / A cos(35° + 90°) aB sen(0°) = 750sen(−50° + 180°) + 360sen(35° + 180°) + aBT / A sen(35° + 90°) Esto da como resultado la aceleración del nodo B: a– 5 2520 cm/cm2 5 5.2 m/s2 ! B

En este caso, aquí surge una confusión al obtener la dirección de la aceleración del nodo B debido a que difiere de la dirección obtenida con anterioridad. Al respecto, si el eslabón gira a velocidad constante, entonces, para la posición dada, el pistón siempre estará en desaceleración. Por tanto, con la dirección de la aceleración obtenida en el inciso anterior se concluye que existe una componente tangencial en la manivela y, en consecuencia, una aceleración angular que produce una aceleración. Por tanto, del análisis de fuerzas se tiene: F34 cos(3 ) − P − k [F34 sen(3 ) − mB g ] = mB aB Entonces: 16.73cos(35°) − P − 0.1[16.73 sen(35°) − 2(9.81)] = 2(−5.2) con lo que finalmente se obtiene la magnitud de P. b) P 5 25.1 N!

Ejemplo

6.7

Dinámica en un mecanismo corredera-biela-corredera La barra AB del mecanismo que se ilustra en la figura 6.20 mide 50 cm y tiene una masa de 7 kg, con una fuerza FA de 200 N. Si se sabe que la velocidad del nodo A es de 1.5 m/s hacia la derecha y constante, determinar:


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219


a) La magnitud de la fuerza vertical FB. b) Las magnitudes de las reacciones en las correderas.

4 O13

B

3

Solución

BA = 0.5 m

30°

2

En este caso, primero se determina A FA la velocidad angular de la biela, ya que se requiere para el cálculo de Figura 6.20 Mecanismo del ejemplo 6.7. aceleraciones normales. Esto se logra por medio del método de centros instantáneos. Así: 1.5 m/s VA = 3rO −A ; 3 = = 6 rad/s 0.25 m Ahora del análisis cinemático solo se requiere determinar la aceleración del punto G de la biela y su aceleración angular, ya que este es el único elemento con masa. Para ello se requiere la aceleración de la biela α3 mediante una ecuación de puntos de la misma barra entre B y A: 13

→

→

"

aB = a A + aB / A aB B = a AA + aBN/a B” / A + aBT /a B’ / A

Al agrupar las componentes rectangulares se obtiene: ∑ x : aB cos(90°) = a A cos(0°) + aBN/ A cos(30° + 180°) + aBT / A cos(30° + 90°)

∑ y :a

B

sen(90°) = a A sen(0°) + aBN/ A sen(30° + 180°) + aBT / A sen(30° + 90°)

Como aA 5 0, ya que la velocidad es constante, se tiene:

aNB/A 5 ω23rB/A 5 (6 rad/s)2(0.5 m) 5 18 m/s2

Al sustituir en las ecuaciones de las componentes rectangulares se tiene como resultado:

aTB/A 5 231.76 m/s y α3 5 2(31.76 m/s / 0.5 m) 5 2 62.32 rad/s2

A continuación se determina la aceleración del centro de masa G: →

→

"

aG = a A + aG / A → aG = a AA + aGN/a B” / A + aGT /a B’ / A

Al agrupar las componentes rectangulares se tiene:

∑ x :a ∑ y :a

Gx

= a A cos(0°) + aGN/ A cos(30° + 180°) + aGT / A cos(30° + 90°)

Gy

= a A sen(0°) + aGN/ A sen(30° + 180°) + aGT / A sen(30° + 90°)


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220


donde: aNG/A 5 ω23rB/A 5 (6 rad/s2)(0.25 m) 5 9 m/s2 y aNG/A 5 α3rG/A 5 (262.32 rad/s2)(0.25 m) 5 215.58 m/s2 Con estos valores se obtiene la aceleración del centro del nodo G, cuyas componentes rectangulares son: aGx 5 0 y aGy 5 218 m/s2 Como esta es la aceleración del centro de masa, a partir de aquí se les denota como ma–x y ma–y. Para el análisis de fuerzas, primero se elabora un diagrama de cuerpo libre, como se ilustra en la figura 6.21. En este caso se utilizan las fuerzas externas e inerciales únicamente en la biela, ya que es la única fuerza que tiene masa. Como la biela tiene movimiento plano general posee fuerzas inerciales y momento inercial (véase figura 6.21). FB = F43 RB =

G

FA = F23

I a3

may RA


La magnitud de la fuerza inercial para cada una de las componentes rectangulares es: ma x = (7 kg)(0) = 0 N y ma y = (7 kg)(18) = 126 N Como se puede observar, no se incluyó el signo negativo de la magnitud de a–y, debido a que en el diagrama de cuerpo libre de la figura 6.19 se le asignó el sentido hacia abajo. Para determinar el momento de inercia Iˉa3 es necesario el cálculo del momento de inercia de masa de la varilla delgada. De la tabla 6.3 se obtiene Iˉ 5 1/12(mL2) 5 1/12(7 kg)(0.5 m)2 5 0.145 kg·m2. Al conocer la magnitud de la aceleración de la biela se tiene: Iˉa3 5(0.145 kg·m2)(62.32 rad/s2) 5 9.034 N·m

A continuación se realiza una suma de momentos en el punto A: 1

∑T

A

=

{∑T } = I + (ma ) (L iner

3

y

B /A

/ 2)

(

)

FB [l cos(30°)] − RB [l sen(30°)] = I3 + ma y (LB / A / 2)

0.433FB − 0.25RB = 72.03 N ⋅ m

Al plantear la suma de fuerzas en el eje horizontal se obtiene: +


→ ∑ Fx = {∑ Fx efec = ma x = 0} FA − RB = 0;

RB = 200 N

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221


por lo que: 0.433 FB 2 0.25(200 N) 5 72.03 N  m Así:

a) FB 5 281.82 N

Al plantear la suma de fuerzas en el eje vertical se tiene: +

↓ ∑ Fy = {∑ Fy efec = ma y }

FB − RA = ma y ;

281.82 − RA = 126 N b) RA 5 156.82 N-, RB 5 200 N!

Dinámica a partir de los datos de aceleración, con comprobación computacional

Ejemplo

En la figura 6.22 se muestra el diagrama cinemático de un mecanismo de manivela-corredera, con los trazos que permiten solucionar el problema de aceleración, de modo que cuando ω2 5 2.210 rad/s y α2 5 2.201 rad/s2, en el sentido que se muestran, da como resultado:

6.8

aB 5 21.53 m/s2 aG x 5 21.53 m/s2 aG y 5 20.35 m/s2 α3 51.08 rad/s2 Al despreciar la fricción en la corredera, determinar la magnitud del par de torsión τ aplicado en la manivela 2, para cumplir con las condiciones cinemáticas dadas si m2 5 0.3 kg, m3 5 0.5 kg y m4 5 1 kg, y los momentos de inercia de masa son I3 5 50 kg  cm2 e I4 5 150 kg  cm2. O2A 5 30 cm BA 5 50 cm

O13 aB 6.91

aTBA

aG aTG A

a2 A w2 2 50°

27.3° 3

aNBA

G B

O2

4

OA

aNA

aNG A aTA

Figura 6.22 Mecanismo y solución cinemática del ejemplo 6.8.

Solución

Primero se elabora un diagrama de cuerpo libre por cada elemento (véase figura 6.23).


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222

Análisis y síntesis de mecanismos con aplicaciones N F32 x O2 y O2 x

c m2g

F32 y

F34 y

I2α2

F34 x

c

=

B

m2a2 =

B

m2a2 x m4 g

m2a2 y

I3α3

F23 y F23 x

m3 a 3 x

G

F43 x

m3 g

m3 a3 y

F43 y


Como se aprecia en la figura 6.23, ahora los tres elementos tienen componentes inerciales. Como se solicita el par torsional en la manivela 2, el análisis dinámico inicia desde la corredera, continúa en la biela y concluye en la manivela. Análisis dinámico de la corredera

El análisis cinemático proporciona la magnitud y dirección de la aceleración de la corredera, y debido a eso la fuerza inercial m3a–3 se direcciona hacia la derecha: +

← ∑ Fx = {∑ Fx efec = m3a3 }

+

↑ ∑ Fy = {∑ Fy efec =0}

F34 x = m3a3 = (1 kg)(1.53 m/s2 )

F34 y + N − m3 g = 0

F34 x = 1.53 N F34 y + N = 9.81 N Ahora se desconocen las fuerzas F34y y la componente normal N de la corredera, por lo que para su cálculo se procede a realizar el análisis en la biela. Análisis dinámico de la biela

El diagrama de cuerpo libre de la biela en la figura 6.23 indica que sin el análisis anterior se tienen cuatro incógnitas (F43x, F43y, F23x y F23y), pero del análisis anterior se obtuvo la magnitud de F34x; es decir, F43x 5 1.53 N. Al tener tres incógnitas se procede a hacer el análisis dinámico mediante una suma de momentos en el nodo A para eliminar las incógnitas F23x y F23y: 1 ∑ T A = {∑ T A } Al denotar l3 el radio de la biela se tiene: l  1 ∑TA = m3 g  3 cos θ3  + F43 y (l 3 cos θ3 ) − F43 x (l 3 sen θ3 ) 2  efec

  0.5 m cos(27.3°)  + F43 y [ 0.5 m ( cos(27.38°))] = ( 0.5 kg ) (9.81 m/s2 )  2   −1.53 N 0.5 m ( sen(27.3°)) 


= 0.738 + 0.444F43 y

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223


1

∑T

Aefec

l  l  = I 3α3 + m3 a 3 y  3 cos θ3  + m3 a 3 x  3 senθ3  2  2    0.5 m cos (27.3°)  = (0.015 kg ⋅ m2 )(1.08 rad/s2 ) + 0.5 kg(0.35 m/s2 )    2   0.5 m sen(27.3°)  +0.5 kg(1.53 m/s2 )    2 = 0.142 N ⋅ m

Por tanto:

0.738 + 0.444F43 y = 0.142

F43 y = −1.34 N = 1.34 N ↑ Enseguida se realiza una suma de fuerzas en ambos ejes, donde el sentido positivo en las sumatorias es a la derecha y hacia abajo, ya que es hacia donde se dirigen las fuerzas inerciales; además, se corrige el sentido de la fuerza F43y hacia arriba con un valor positivo: +

← ∑ Fx = ∑ Fx efect = m3a3 x F23 x − F43 x = m3a3 x F23 x = (0.5 kg)(1.53 m/s2 ) + 1.53 N F23 x = 2.29 N +

↓ ∑ Fy = ∑ Fy efect = m3a3 y −F23 y − F43 y + m3 g = m3a3 y F23 y = (0.5 kg)(9.81 m/s2 ) − 1.34 − (0.5 kg)(0.35 m/s2 ) F23 x = 3.39 N Análisis dinámico de la manivela

Por último, se realiza un análisis dinámico de la manivela para determinar la magnitud del par de torsión requerido: 1

∑T

A

= {∑ T A

efec

}

Al denotar como l2 el radio de la manivela, se procede al análisis. En este caso, en lugar de utilizar las componentes del centro de gravedad de la manivela se usa la componente de aceleración tangencial, ya que es más simple de calcular y se simplifica la ecuación de momento inercial: 1

∑T

A

l  = τ − m2 g  2 cos θ2  − F32 y (l 2 cos θ2 ) − F32 x (l 2senθ2 ) 2    0.3 m cos(50°)  − 3.39 N[ 0.3 m ( cos(50°))] = τ − ( 0.3 kg ) (9.81 m/s2 )    2 −2.29 N[ 0.3 m ( sen(50°))] = τ − 1.46 N ⋅ m


12/09/15 17:52

224


1

∑TA

efec

2 m (l )  l   l  l   = I 2α2 + m2aT C  2  = I 2α2 + m2  α2 2   2  = I 2 + 2 2  α2  2  2  2  4  

 0.3 kg(0.3)2  2.201 m/s2 = (0.005 kg ⋅ m2 ) +  4   = 0.025 N ⋅ m Por tanto: 1

cuyo resultado es:

∑T

A

= {∑ T A

efec

}

τ − 1.46 = 0.025 τ 5 1.485 N·m

Una simulación mediante el uso de la herramienta computacional Working Model® permite validar los resultados, como se muestra en la figura 6.24, donde un par de torsión constante de 150 N·cm aplicado a la manivela produce las reacciones en los apoyos A y B de manera similar a las obtenidas.

Figura 6.24 Simulación del ejemplo 6.8.

Ejemplo

6.9

Dinámica en un mecanismo de deslizamiento Considérese el mecanismo de elevación que se describe en la figura 6.25. La pieza PO2B es rígida y de masa despreciable, al igual que la deslizadera. Por su parte, la pieza 4 tiene una masa de 4 kg y un momento de inercia de masa de 20 kg·cm2, con un centroide en (1.8, 1) a partir del pivote O4. Si en el instante que se muestra la barra 2 se mueve a 0.5 rad/s cmr, con una aceleración de 0.5 rad/s2 cmr, determinar la magnitud de la fuerza FP para cumplir con las necesidades cinemáticas al despreciar la fricción en las superficies del collarín.


12/09/15 17:52

225


FP

P O2

119.74° O2 P = 2 cm O2 B = 8 cm

2

3 cm O4

1.8 cm

B

1 cm 4 Deslizadera

7 cm


Solución

El diagrama cinemático y el resultado vectorial del análisis cinemático se muestran en la figura 6.26. aR = 1.89 cm/s2

VR O2 2

VB

4

aTB = 2.52 cm/s2 4

VB

aTB = 4 cm/s2

3

3

O4 4

3 B

C OV

aC = 1.64 cm/s2

aNB = 2 cm/s2 3

OA a = 2.06 cm/s N B3

2

Figura 6.26 Diagrama cinemático y resultados cinemáticos del ejemplo 6.9.

Análisis dinámico de la barra 4

En este ejemplo, la barra 4 es la única que tiene masa. Por tanto, primero se desarrolla el diagrama de cuerpo libre de la barra 4, como se muestra en la figura 6.27, donde en el contacto al collarín solo se coloca una fuerza vertical al despreciar la masa y la fricción, por lo que este elemento en realidad solo sirve como guía. T

O4 x

a G

1.8 cm

1.8 cm

1 cm

=

I4α4

1 cm 4

O4 y

m4 g

RB

Figura 6.27 Diagrama de cuerpo libre del elemento 4 del ejemplo 6.9.


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226


El análisis dinámico inicia al plantear la ecuación dinámica: T 1

donde: α4 =

∑T

O4 x

= {∑TO x efec = I4α4 + aG (rG /O 4

4

)}

2.52 cm/s2 aT B 4 = = 0.414 r/s2 6.08 cm rB /O x 4

4

aGT rG /O x = α4 (rG /O x ) = (0.414) 1.82 + 12 = 0.852 cm/s2 Por tanto: 0.07RB − 0.018m4 g = (0.002 kg ⋅ m2 )(0.414 r/s2 ) + 0.852(2.05) RB = 25.22 N ↑ 4

4

Por último, se realizan momentos en O2 para determinar la magnitud de FP:

∑T

O2 x

= {∑TO x efec = 0} 2

2FP − 8RB = 0 FP =

8 (25.22) = 100.8 2 FP 5 100.8!

Ejemplo

6.10

Análisis de fuerzas en un mecanismo manivela-oscilador Del mecanismo que se observa en la figura 6.28 se sabe que el disco se mueve a 13.71 rad/s y 26.92 rad/s2 ambos cmr. Por tanto, el análisis cinemático refleja los siguientes resultados: • α3 5 31.9 rad/s2 y α4 539.6 rad/s2 • aGx 5 290.21 cm/s2 y aGy 5 240.2 cm/s2 Determinar: a ) Las reacciones en las conexiones. b) La magnitud del par de torsión aplicado al disco 2, para cumplir con las condiciones cinemáticas solicitadas. Solución

Antes de elaborar los diagramas cinemáticos, lo primero es determinar los momentos de inercia de masa, ya que estos se van a requerir en el análisis dinámico. De la figura 6.4 pueden


Varilla delgada m = 0.20 kg L = 255 cm

B Varilla delgada m = 0.3 kg L = 315 cm

3 47.2°

4

A 56.6°

Disco homogéneo m = 0.20 kg r = 45 cm

97.4° O3


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227


obtenerse las fórmulas para determinar el momento de inercia de masa para el disco y la varilla. Así: 1 1 2 2 1 1 2 m L = (0.2)(2.55)2 = 0.1083 kg ⋅ m2 12 3 3 12 1 1 m L2 2 = (0.3)(3.15)2 = 0.2481 kg ⋅ m2 12 4 4 4 12

I 2 = m2r22 = (0.3)(0.45)2 = 0.0303 kg ⋅ m2 I3 = I4 =

Después, se procede a realizar el diagrama de cuerpo libre para cada elemento (véase figura 6.29). I2 α2

F32x

=

R O2 x R O2 y

F34 x F34 y F43y

F32y

=ma 4

m43 x

m3 g

F23x

=

T

I 4 α4

m4 g

m 3 ay

R O4 x

m 3 ax

R O4 y I3 a 3

F23y


Análisis dinámico del eslabón 4

Al denominar l4 a la longitud de la barra 4 y sus componentes rectangulares l4x e l4y, respectivamente, se tiene: 1

∑T

O4 x

=

{∑

TO xefec = I4α4 + m4aT 4

( )} 2

l4 2

F34 x (l 4 y ) + F34 y (l 4 x ) + m4 g

l4 x 2

= I4α4 + m4aT

() l4 2

2

3.12F34 x + 0.40F34 y + 0.59 = 39.2 N ⋅ m

Análisis dinámico del eslabón 2

Al denominar l3 a la longitud de la barra 3 y sus componentes rectangulares l3x y l3y, respectivamente, se realizan momentos en el nodo A para eliminar las incógnitas de este nodo: + ↑ ∑TA =

{∑T

−F43 x (l 3 y ) + F43 y (l 3 x ) − m3 g

−1.87F34 x + 0.173F34 y − 1.69 = 13.38

A efec

= I3α3 + m3aG x  l 3 y  − m3aG y  l 3 x  2

2

l3 x 2

}

= I3α3 + m3aG x  l 3 y  − m3aG y  l 3 x  2

2

Al solucionar las dos últimas expresiones resulta: a.1) f34x 5 10.5 N" y f34y 5 20 N-


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228


A continuación se realiza la sumatoria de fuerzas en ambos ejes para extraer las fuerzas en la unión A, para lo cual debe respetarse el signo de las fuerzas inerciales (es decir, a la izquierda positivo y hacia abajo positivo). +

← ∑ Fx = ∑ Fx efec = m3 a 3 x F23 x − F43 x = m3 a 3 x F23 x = (0.2 kg)(90.21 m/s2 ) + 10.5 N F23 x = 28.5 N + ↓ ∑ Fy = ∑ Fy efec = m3 a 3 y F23 y − F43 y + m3 g = m3 a 3 y F23 y = (0.2 kg)(40.29 m/s2 ) + 20 − (0.2 kg)(9.81 m/s2 ) F23 x = 26 N a.2) f23x 5 28.5 N! y f23y 5 26 N. Análisis dinámico del disco

Por último, se elabora el análisis dinámico del disco para obtener la magnitud del par de torsión requerido: +

Ejemplo

6.11

↑ ∑TO = {∑TO 2

2 efec

= I2α2 }

τ − F32 x (r2 y ) + F32 y (r2 x ) = I2α2 τ − 10.7 + 6.44 = 0.8156 b) τ 5 5.07 N·m

Análisis de fuerza y aceleración de un mecanismo doble corredera que parte del reposo El mecanismo que se ilustra en la figura 6.30 tiene dos collarines con masa de 500 g, en tanto que la de la biela es de masa despreciable. Determinar: a ) Las aceleraciones de las correderas. b) Las reacciones en las articulaciones, inmediatamente después que se libera del reposo. Nota: Debe ignorarse cualquier fricción en el mecanismo.

A

4.4 cm

2

3

Solución

Los problemas con condiciones iniciales de reposo permiten determinar la relación de aceleración entre eslabones de manera más simple. Al no disponer de velocidad inicial, entonces la ve-


4 B 4.0 cm


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229


locidad de todos los elementos es nula, por lo que la magnitud de las componentes de aceleración normal es nula. El hecho de que el mecanismo parta del reposo no significa que su aceleración será nula. De ser así, el mecanismo no se mueve, por lo que quedan como incógnitas de aceleración las componentes de aceleración rectilínea y las aceleraciones tangenciales. Con estas condiciones, el centro instantáneo de velocidad puede utilizarse como centro instantáneo de aceleración y así determinar las aceleraciones desconocidas. Asimismo, como la masa de la biela es despreciable, las fuerzas en las articulaciones de la biela son colineales, lo que significa que la dirección de la fuerza en las articulaciones se dirige a lo largo de la dirección de la posición de la biela, razón por la que dicha dirección no se incluye en los diagramas de cuerpo libre de la figura 6.31. mBg F34

=

RA mAg

F32

=

mBaB

mAaA RB


Las ecuaciones dinámicas para cada collarín quedan expresadas de la siguiente manera: Collarín 2: ∑ Fx = {∑ Fx efec = 0} ∑ Fy = {∑ Fy efec = mAaA } RA = F32 x

mA g − F32 y = mAa A

Collarín 4: ∑ Fx = {∑ Fx efec = 0} ∑ Fy = {∑ Fy efec = mB aB } F34 x = mB aB RB − mB g = F34 y Las cuatro ecuaciones no están relacionadas como para obtener una solución con todas estas. Para esto se arranca del hecho de que el mecanismo parte del reposo, condición única donde el centro instantáneo de velocidad es el de aceleración, de donde se pueden obtener dos diagramas independientes, como se observa en la figura 6.32. a)

4 cm

b)

OA

4 cm

OA

F23 y aA

4.4 cm

aB

4.4 cm

F43 x

Figura 6.32 Centro instantáneo de aceleración.


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230


De la figura 6.32 resulta:

aB a = A, 4.4 4 4F23 y = 4.4F23 x ,

α=

aB = 1.1a A F23 y = 1.1F23 x

Con estas relaciones es posible solucionar el problema. Incluso el diagrama de la figura 6.32 a) es más que suficiente para determinar la aceleración de uno de los elementos; es decir, si se realiza una suma de momentos en el centro instantáneo (OA): 1 ∑TO = {∑TO efec = 4mAa A + 4.4mB aB } mA g = 4mAa A + 4.4mB (1.1a A ) A

Como se puede observar, en esta última ecuación no se incluyen las reacciones ni las fuerzas de contacto, ya que no se está analizando un elemento en sí, sino todo el sistema, por lo que el efecto de estas fuerzas se cancela. Con la última ecuación se determinan las aceleraciones: a) aA 5 4.43 m/s2. aB 5 4.88 m/s2" Con las magnitudes de las aceleraciones es posible reutilizar las ecuaciones de la sumatoria de fuerzas para determinar los demás parámetros:

mA g − F32 y = mAa A

RA = F32 x = mB aB

F32 y = 2.69 N

F32 x = 2.44 N

b) F32x 5 2.44 N, F32y 5 2.69 N Una simulación en Working Model® permite validar los resultados, como se muestra en la figura 6.33.

Figura 6.33 Demostración de los resultados del ejemplo 6.11.


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231


6.7 Análisis dinámico en mecanismos de ruedas Los mecanismos de ruedas, como los engranes, los discos y las poleas, forman parte de muchos mecanismos industriales, por lo que el análisis de fuerzas en mecanismos con estos dispositivos es importante para determinar la capacidad cinética de los elementos y el mecanismo en sí mismo. Para facilitar el análisis de fuerzas en elementos como ruedas se clasifican en dos grupos. Homogéneo Distribución de masa Centro de rotación No homogéneo

Centroidal Excentroidal

Discos homogéneos y no homogéneos Un disco homogéneo tiene una forma circular perfecta; por tanto, su masa se encuentra completa y uniformemente distribuida. Es por esta razón que su centro de área siempre se encuentra ubicado en el cruce de sus ejes de simetría. En estos discos, el momento de inercia de masa siempre se determina como:

1 I D = mr 2 2

donde r es el radio del disco. Un disco no homogéneo, como las poleas, los engranes o los volantes, posee huecos pero uniformemente distribuidos, de modo que su centro de área sigue siendo el centro geométrico obtenido por el cruce de sus ejes de simetría. En cualquiera de los casos aparece un parámetro conocido como radio de giro centroidal k, el cual indica la distancia a partir del centro de masa donde se concentra la masa del disco. En la figura 6.34 se muestra el radio de giro centroidal para dos poleas de radio re y ri y articuladas entre sí. El radio de giro centroidal se puede obtener de forma experimental, como se muestra a continuación, ya que está relacionado con el momento de inercia de masa de su centro de gravedad.

I k = mk 2 (6.15)

(6.14)

ri k

re

Figura 6.34 Definición del radio de giro centroidal.

donde k denota el radio de giro centroidal

Discos con rotación centroidal y excentroidal Si el centro de giro de un disco coincide exactamente con el centro de masa del mismo, entonces se dice que el disco tiene movimiento de rotación centroidal; en caso


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232


contrario, se afirma que el disco tiene movimiento de rotación excentroidal, como se indica en la figura 6.35. Cuando un disco tiene movimiento de rotación centroidal solo aparece el efecto inercial de rotación, ya que las fuerzas inerciales del centro de masa no intervienen, debido a que estas se encuentran ubicadas precisamente en el centro de giro. No obstante, en discos con rotación excentroidal las fuerzas inerciales del centro de masa afectan en un contexto general, como se observa en la figura 6.36. Aun cuando en el análisis de suma de momentos para rotación excentroidal la fuerza inercial de la componente de fuerza normal FN no es considerada, esta componente afecta en términos de fuerza centrífuga, al grado de provocar desbalance y, en su defecto, vibración del elemento.

G

a)

P

G e

Fuerza de fricción y de contacto en discos La transmisión de fuerza de un disco a otro se realiza mediante una fuerza intermedia conocida como fuerza de contacto, y según la tercera ley de Newton, están direccionados en formas opuestas entre un elemento y otro, como se muestra en la figura 6.37, donde la fuerza F32 es la fuerza que el elemento 3 ejerce sobre 2 y la fuerza F23 es la fuerza que el elemento 2 ejerce sobre el elemento 3. Para los casos en que esta fuerza de contacto provoque una desaceleración, debido a la fricción, entonces la fuerza de contacto se interpretará como fuerza de fricción. Para los discos, la fricción se puede presentar de dos maneras: a) contacto de fricción por zapata y b) contacto de fricción de banda (véase figura 6.38). En la figura 6.38 a) se observan las dos fuerzas de contacto que apare– – cen entre un disco y la zapata, las cuales se denotan por P , Fr, para el disco, y P, Fr, para la palanca.

b)

Figura 6.35 Rotación a) centroidal y b) excentroidal.

FT = maT

Iα FN = maN

Figura 6.36 Efectos inerciales de la rotación excentroidal.

P

F32

Fr

2

Fr mk

F 23

Figura 6.37 Fuerzas de contacto en discos.

mk

b

Palanca

3

P

Q a)

P b)

Figura 6.38 Fuerzas de fricción en discos.

En discos de zapata la relación que existe entre la fuerza normal al contacto P y la fuerza de fricción Fr es:

Fr 5 mKP (6.16)

Por su parte, los discos con freno de banda o de cinta, como el que se muestra en la figura 6.38 b), frenan por el contacto de fricción entre la cinta y el disco. En el


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233


caso de estos discos, hay una relación entre las fuerzas tangenciales de los extremos y la fuerza de fricción: P Q = e mk b si P Q = e mk b si Q P (6.17) Q P Nótese en la ecuación (6.17) que se exige que la magnitud de la fuerza utilizada en el numerador sea mayor que la del denominador; esto se logra si en el numerador se coloca la magnitud de la fuerza que produce un momento con respecto al centro del disco, con sentido de giro igual al del momento inercial, ya sea en el sentido de la aceleración o el de la desaceleración. Por otro lado, el ángulo β deberá estar en radianes.

Análisis de fuerzas en engranes recurrentes

Ejemplo

N2 = 40

En la figura 6.39 se representan dos engranes conectados, de los cuales sus flechas se encuentran articuladas al elemento fijo. Se sabe que el engrane 2 tiene una masa de 500 g, radio de círculo de paso de 12 cm y un radio de giro centroidal de 10 cm; por su parte, el engrane 3 tiene una masa de 300 g y un radio de giro centroidal de 6.25 cm. Si se aplica un par de torsión de 1.5 N·m al engrane 2 como se indica, determinar:

6.12

2

t2

3

N3 = 25


a ) La aceleración angular en cada uno de los engranes. b) La magnitud de la fuerza de contacto. Solución

Primero se elabora un diagrama de cuerpo libre para cada uno de los engranes, en los que se coloca el peso W, la reacción N y la fuerza de contacto; además, en el engrane 2 se coloca el par de torsión τ, como se muestra en la figura 6.40. I 2α2

F32

I 3α3

t N2 w2

=

N3 r2

w3

=

r3

F23


Análisis de fuerzas del engrane 2

Como en el engrane 2 se aplica un par de torsión τ en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj, el momento inercial deberá tener el mismo sentido, como se indica en la figura 6.40, lo que provoca que la fuerza del engrane 3 sobre el F32 deberá ejercer un momento en contra del momento inercial. Al realizar una suma de momentos en el centro de giro y usar la ecuación (6.13) para determinar el momento de inercia de masa se tiene:


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234


1

∑T

ext

= {∑Tiner = I 2α2 }

τ − F32 × r2 = I 2α2 = (m2k 22 ) α2 2 1.5 N ⋅ m − (0.12 m)F32 = (0.5 kg)(0.1 m) α2 1.5 2 0.12 F32 5 0.005a2 (1)

Análisis de fuerzas en el engrane 3

En el engrane 3 la única fuerza que ejerce momento es la fuerza de contacto F23; por tanto: + ↑ ∑Text = {∑Tiner = I2α2 } F23 × r3 = I3α3

El radio del círculo de paso del engrane no se proporciona, pero este se puede obtener mediante la relación cinemática de los engranes, es decir: α 3 ω3 r N = = 2 = 2 (2) α2 ω2 r3 N3 Por tanto, si r3 5 r2(N3 /N2), entonces:

F23 × r3 = I3α3

F23

(0.12 m)(25)

0.75F23

= (0.3 kg) (0.0625 m)2 α3

40 5 0.0011a3

(3)

Como la magnitud de F32 es la misma que F23, entonces al despejar F23 de (3) y sustituirla en (1) se tiene:

 0.0011 1.5 − 0.12  α = 0.005α2  0.075  3

1.5 5 0.005a2 1 0.0017a3

(4)

De (2) se puede establecer una relación entre las aceleraciones angulares, de modo que a3 5 a2(N3 /N2). Por tanto, la ecuación (4) se reduce a: 1.5 5 0.005a2 1 0.0017(40/25) a2 de donde se obtiene α2 5 194.3 rad/s. Además, como a3 5 a2(N3 /N2), la aceleración angular de los engranes queda determinada como: a) α2 5 194.3 rad/s, α3 5 310.8 rad/s La magnitud de la fuerza de contacto se puede obtener de (3). Así:


 0.0011 (310.8 rad/s) = 4.55 N F23 =   0.075  b) F23 5 4.55 N

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235


Análisis de fuerzas en un mecanismo de freno de zapata La figura 6.41 muestra un tambor de freno que en conjunto con el disco tiene un momento de inercia de masa de 0.0512 kg·m2. En el instante mostrado, el disco gira a una velocidad de 400 rpm en el sentido de las manecillas del reloj. Determinar la magnitud de la fuerza P que debe aplicarse a la palanca ABC, de masa despreciable y aplicada en el punto que se indica, para frenar el disco en 20 vueltas, si el coeficiente de fricción cinética entre el disco y la palanca es de 0.12.

20 cm

Ejemplo

6.13

15 cm C

B

5 cm

P

A

D

10 cm

Figura 6.41 Problema del ejemplo 6.13. Ay

c

Fr

A Ax

RB

P

RB

Solución

B Dy

Fr

Iα

Primero se elabora el diagrama de ω0 Dx D = cuerpo libre para la palanca y el disco (véase figura 6.42). Debido a que la palanca es de masa despreciable, solo se indican las fuerzas Figura 6.42 Diagrama de cuerpo libre del ejemplo 6.13. externas; por su parte, el disco sí dispone de un momento inercial. En el diagrama de cuerpo libre, la dirección de la fuerza de fricción se coloca hacia la izquierda debido a que el disco se mueve en el sentido de las manecillas del reloj; por tanto, el momento inercial de desaceleración será en sentido contrario al de las manecillas del reloj, misma dirección que deberá ejercer el momento de la fuerza de fricción. Análisis de momentos en la palanca

1

∑T

A

= {∑ T A

efec

= 0}

0.35P 2 0.2RB 1 0.05Fr 5 0

(1)

Análisis de momentos en el tambor de freno

∑T

D

= {∑TD

efec

Fr 3 r 5 Iˉa

= Iα } (2)

Como en este caso se proporciona la velocidad inicial, ω0 5 400 rpm, el número de vueltas para frenar el disco θ 5 20 rev y la velocidad final ωf 5 0 se


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236


pueden obtener por medio de la aceleración angular con el uso de las ecuaciones de la cinemática: 2

α=

0 − [(400)(2π /60)] ωf 2 − ω02 = = 6.98 rad/s2 2θ 2[(20)(2π )]

Al sustituir la aceleración angular en (2) se puede obtener la fuerza de fricción: 2 2 Iα (0.0512 kg ⋅ m ) (6.98 rad/s ) F = = = 3.57 N r r 0.1 m Ahora, al sustituir la fuerza de fricción en (1) y usar la ecuación (6.16) se tiene que Fr 5 μkRB, es decir:  3.57 N  0.35P − 0.2  + 0.05(3.57 N) = 0  0.12 

Por tanto, la magnitud de P para frenar el disco según las condiciones dadas es: P 5 16.5 N

Ejemplo

6.14

Análisis de fuerzas en un mecanismo de freno de cinta La figura 6.43 muestra un experimento para determinar el momento de inercia de masa de una polea. Cuando la polea de 6.7 kg gira a 250 rpm, en el mismo sentido de las manecillas del reloj, se aplica una fuerza de P 5 30 N y se observa que el disco se detiene en 2.8 segundos. Determinar el momento de inercia de masa y el radio de giro centroidal, si se sabe que el coeficiente de fricción entre la polea y la cinta es de 0.1.

11 cm o

P


Solución

Primero se elabora el diagrama de cuerpo libre (véase figura 6.44), donde el momento inercial de aceleración se coloca en sentido contrario al de la velocidad angular inicial. Al realizar una suma de momentos en el centro de masa del disco, que es el de rotación, se tiene:

∑T

G


mg Rx

w0

=

Iα

Ry P


= {∑TG = Iα}

(T 2 P )r 5 Iˉa

T

(1)

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Al usar la ecuación (6.17) y tener presente que T  P, ya que genera un momento en el sentido inercial, resulta: T = e β (2) P k

Si se agrupan las ecuaciones (1) y (2) y se usa la ecuación cinemática de aceleración en función de la velocidad angular y tiempo se tiene: I =

(e

k

− 1) P × r = ωf − ω0 t

β

  e

k

 − 1 (30 N)(0.11 m)  = 0.06 kg ⋅ m2 0 − (250)(2π / 60) 2.8 s π 2

Por último, el radio de giro centroidal se obtiene con la ecuación (6.15): k=

I 0.06 kg ⋅ m2 = = 0.094 m m 6.7 kg

Desarrolla tus habilidades Cuestionario C6.1 Enumera y explica las tres leyes del movimiento de Newton. C6.2 ¿Cuál es la diferencia entre fuerza externa y fuerza inercial? C6.3 ¿Pueden existir fuerzas inerciales negativas en un sistema? Explica. C6.4 ¿Qué significa el término causa-efecto en un diagrama de cuerpo libre? C6.5 ¿Puede una fuerza de fricción dirigirse en el mismo sentido que una fuerza inercial de aceleración? Argumenta tu respuesta y cita un ejemplo. C6.6 Elabora un estudio que justifique tus argumentos para saber si en un mecanismo las fuerzas en las articulaciones se contrarrestan entre sí, de modo que en términos generales no generan ningún trabajo. C6.7 ¿Qué características permiten diferenciar los términos análisis cinético, análisis cinemático y análisis dinámico?


Descarga

C6.8 ¿Puede utilizarse la ecuación (6.9) para determinar el centroide de área para piezas no homogéneas? Explica. C6.9 ¿El espesor de una pieza afecta la determinación del centroide de área de dicha pieza? C6.10 ¿Qué características debe tener un mecanismo para que se pueda analizar estáticamente? C6.11 ¿En qué condiciones son colineales las fuerzas que se encuentran en una biela? C6.12 ¿En qué condiciones el momento de inercia de masa en un disco debe utilizar el radio de giro centroidal? C6.13 ¿Cómo pueden diferenciarse una rotación centroidal y una rotación excentroidal?

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238


Ejercicios Fuerzas estáticas

E6.1 La función de uno de los aparatos de ejercicio que se encuentran en un parque consiste en levantar el peso del usuario mediante el impulso de una palanca, como se muestra en la figura 6.45. Para el instante mostrado en la figura, determina la fuerza requerida para vencer el peso de una persona de 60 kg ignorando la masa de todos los eslabones y de la silla.

E6.3 En un proceso de empaque se utiliza un mecanismo de riel, como el que se ilustra en la figura 6.47. El elemento de collarín es de masa despreciable y un coeficiente de fricción con el riel de magnitud despreciable. Si el mecanismo opera a baja aceleración, determina el par de torsión mínimo requerido por el motor para vencer la fuerza que ocasiona la masa de 15 kg al moverla hacia la izquierda. 15 kg

1m 8 cm

Riel estático 11.8 cm

Elemento de collarín

60° 60 cm

1.37 m 110° 20 cm

12 cm

23.7 cm

60 cm

Figura 6.47 Mecanismo de transporte de riel.

4.6°

1m

Figura 6.45 Aparato para hacer ejercicio.

E6.2 El mecanismo de la figura 6.46 se utiliza en un proceso en el que se requiere mantener una carga con un peso de 80 N en el instante que muestra en dicha figura. Si se desprecian las masas de los eslabones, determina la magnitud del par torsional que debe aplicar el motor para mantener el equilibrio. 10 cm

E6.4 El mecanismo de la figura 6.48 dispone de una placa delgada de masa despreciable. Por su parte, la fricción entre la placa y el piso también es despreciable, no así la fricción entre la placa y la caja de 2 kg, donde los coeficientes de fricción estática y dinámica son μs 5 0.12 y μk 5 0.12, respectivamente. Determina en la posición mostrada en la figura cuál es la magnitud del par torsional máximo que se puede transmitir a la manivela 2 para evitar que resbale la caja de 2 kg. Desprecia las masas de la manivela 2 y la biela 3. A

motor

70.7 cm

80 N

40 cm

7.62 cm 2

3 cm

2 kg

3

ms , mk Placa delgada

50 cm

Figura 6.46


Sin fricción

30 cm

Figura 6.48

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E6.5 La máquina de corte que aparece en la figura 6.49 tiene una fuerza P de 15 N debido a la reacción al corte y es perpendicular a la línea de acción de la manivela. La manivela impulsora de 2 cm mueve la palanca de corte de 6.9 cm en forma oscilatoria por medio de un acoplador de 7.6 cm. Despreciando la masa de las barras, determina la magnitud del par torsional para mantener la condición mostrada.

respectivamente. Determina la aceleración del mecanismo: a) si la masa de la biela 3 es despreciable. b) si la masa de la biela es de 1 kg y se considera como una varilla delgada. -2

0

-1

-2

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

Manivela impulsora

12.1°

3

-2

41.6°

Motor

2 A

-1 0

-3

Cuchilla

75.6°

-4

5 cm A

B

4

-5


E6.6 Resuelve el problema E6.5, solo que ahora P 5 50 N. E6.7 El mecanismo de yugo de la figura 6.50 dispone de elementos de masa despreciable. En el instante mostrado aparece una fuerza de reacción Q 5 40 N. Determina la magnitud del par de torsión aplicado en la manivela.

Nota: En el collarín existen dos fuerzas similares a las de la corredera.

E6.9 En el mecanismo que se muestra en la figura 6.52, las barras 2 y 3 pueden ser modeladas como una varilla delgada. Un análisis cinemático proporciona los siguientes resultados:

a3 x = 20.46 m/s2 ←,

α = –0.151 rad/s2 3

ω2 = 0.364 rad/s2 ,

2 O2

Ignorando el efecto de las fricciones, determina la magnitud del par que debe aplicarse a la manivela para cada una de las siguientes condiciones:

3

a) m2 5 0, m3 5 0, m4 5 0.5 kg

3 cm

b) m2 5 0, m3 5 0.5, m4 5 0 kg c) m2 5 0.5, m3 5 0, m4 5 0.5 kg

5 cm Guía horizontal

A

Q

O2A = 30 cm 31.3°

Figura 6.50

E6.8 El mecanismo de la figura 6.51 se suelta del reposo en el instante mostrado. Las masas de las correderas son m2 5 0.8 kg y m3 5 0.5 kg,

BA = 50 cm 3

2

Fuerzas dinámicas


α2 = 0.625 rad/s2 ,

aB = 0.228 m/s2

4 B

a3 y = 20.46 m/s2 ↑,

4

60° O2

Figura 6.52

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E6.10 El análisis cinemático del mecanismo que se muestra en la figura 6.53 arroja los siguientes resultados cuando la manivela 2 se mueve a velocidad constante:

aBX 5 23872 cm/s , aBY 5 22228 cm/s , aB/A 5 2345.02 rad/s2, aGX 5 22581.69 cm/s2, aGY 5 21638.81 cm/s2 2

2

Conociendo que la masa de la manivela impulsora es despreciable e ignorando cualquier efecto de la fricción, determina la magnitud del par requerido para cumplir con los requisitos cinemáticos si la masa de la biela es despreciable y la masa de la corredera es de 0.5 kg. A (3,2)

E6.12 El mecanismo de la figura 6.55 corresponde al tren de aterrizaje de un aeroplano pequeño. En este, el eslabón motriz gira a una velocidad de 3.5 rad/s y una aceleración de 12 rad/s2, ambos en sentido antihorario. La masa del eslabón de ensamble es de 50 kg y el del elemento motriz de 10 kg, mientras que la biela tiene una masa de 17 kg. Determina el par de torsión necesario para satisfacer las necesidades cinemáticas, las cuales hay que determinar primero; asimismo, determina las fuerzas en las articulaciones de la biela.

3

2 O2(0,0)

la biela para que, en el instante mostrado, la manivela tenga una velocidad angular de 0.05 rad/s FMR y una aceleración angular de 3.1 m/s2.

45 cm

G

θ2

B (10,–1) 4

O2 18 cm

c

30°

O4

Eslabón motriz

60°

55.4°

A

Figura 6.53

E6.11 El mecanismo de la figura 6.54 se utiliza en algunos mecanismos de apertura de puertas, el cual es impulsado por un motor conectado a la manivela. La masas de la manivela 2 y de la corredera 4 pueden despreciarse, pero la biela 3 tiene una masa de 15 kg y un momento de inercia de masa de 6.5 kg·m2. 4

θ 3 = 52°

1.77m

θ 2 = 210°

3

O2 80 cm 2

Figura 6.54

Determina la magnitud del par torsional que debe tener el motor y la fuerza en las articulaciones de


116.1° Eslabón de ensamble

B G

O2A = 45 cm BA = 50 cm O4B = 80 cm BG = 25.6 cm

Figura 6.55 Mecanismo de un tren de aterrizaje de avioneta.

Mecanismo de ruedas

E6.13 El mecanismo de la figura 6.56 consta de dos engranes, donde al engrane B se le aplica un par de torsión de 12 Nm. El engrane A tiene una masa de 0.28 kg y un radio de giro centroidal de 8 cm, mientras que el engrane B tiene una masa de 0.56 kg y un radio de giro centroidal de 16 cm. Si el círculo de paso del engrane A es de 9 cm, determina el par de torsión requerido para acelerar el engrane A a 25 rad/s2.

Nota: Cuenta el número de dientes de los engranes para determinar la relación de transmisión.

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B A

A

B

Figura 6.56

E6.14 En un mecanismo, los discos A y B se unen como se muestra en la figura 6.57. En este caso, el disco A tiene un momento de inercia de masa en su centro de giro de 0.0768 kg·m2 y un radio de giro al contacto de 10 cm, mientras que el disco B tiene un momento de inercia de masa en su centro de giro de 0.0829 kg·m2 y un radio de giro al contacto de 18 cm. Si se aplica un par de torsión de 15 N·m en el disco A, determina: a) La relación de transmisión.

C

Figura 6.58

E6.16 Dos discos homogéneos se conectan a una misma flecha en su centro de giro O, como se muestra en la figura 6.59. Determina el momento de inercia de masa total en su centro de giro. mA = 3 kg

B

mB = 7 kg 20 cm

A

12 cm

b) La aceleración del disco A y B. c) La magnitud de la fuerza de contacto en los discos. B A

Figura 6.59

E6.17 Con base en la figura 6.59, determina la magnitud del par de torsión que se requiere aplicar en la flecha para acelerar ambos discos a 35 rad/s2. E6.18 El mecanismo de engranaje recurrente que se observa en la figura 6.60 tiene los siguientes parámetros:

Figura 6.57

E6.15 Tres discos, A, B y C, de radios 2 cm, 5 cm y 3 cm, y masas mA 5 1.2 kg, mB 5 4 kg y mC 5 2 kg, respectivamente, se conectan en la configuración que se muestra en la figura 6.58. Si se aplica un par de torsión al disco A de 12 N·m, determina la aceleración angular de cada uno de los discos, así como la magnitud de las fuerzas de contacto.

m2 5 0.3 kg, k2 5 7 cm, r2 5 8 cm; m3 5 1.1 kg, k3 5 21 cm, r3 5 24 cm; m4 50.7 kg, k4 5 12 cm, r4 5 15 cm; m5 50.85 kg, k5 5 16 cm, r5 5 20 cm. Si se aplica un par de torsión de 18 N·m al engrane 2, determina: a) La aceleración angular de todos los engranes. b) La fuerza de contacto entre el engrane 2 y el 3. c) La fuerza de contacto entre el engrane 4 y el 5.


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P 30 cm

E3

E2

E5

18 cm

p

a

E4

b

15 cm o


E6.19 El tambor de freno de la figura 6.61 tiene un momento de inercia total en su centro de giro de 0.156 kg·m2. Cuando el tambor se mueve a 800 rpm, en el sentido de las manecillas del reloj, se aplica una fuerza F, como se indica. Si a 5 12 cm, b 5 25 cm, r 5 10 cm y β 5110º, determina la magnitud de la fuerza F para frenar el tambor en 23 vueltas, si el coeficiente de fricción entre el tambor y la cinta es de 0.12.

E6.22 Resuelve el ejercicio E6.21 si el tambor gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj. E6.23 Dos cuerpos de 4 kg y 8 kg, respectivamente, están unidos por una cuerda que pasa por una polea de 2 kg, 15 cm de radio y 12 cm de radio centroidal, como se observa en la figura 6.63. Determina: a) La aceleración del sistema. b) La tensión en las cuerdas. c) Explica por qué la tensión en las cuerdas es diferente. 2 kg

r 4 kg

F 30°

a b

Figura 6.61

E6.20 Resuelve el ejercicio E6.19 si el tambor gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj. E6.21 El tambor de zapata de la figura 6.62 tiene una masa de 12 kg con un radio de giro centroidal de 13.5 cm, si el coeficiente de fricción en el punto de contacto b es de 0.12, determina la magnitud de la fuerza P para frenar el disco desde una velocidad de 800 rpm, en el sentido de las manecillas del reloj en 10 s.


8 kg m 5 0.3

m 5 0.1

45°

Figura 6.63


S6.1 ¡Un problema muy importante!

Algunos de los problemas resueltos de este capítulo se solucionan de acuerdo con la siguiente metodología: dados los resultados del análisis cinemático, se determina la fuerza o par de torsión que produce dicho comportamiento cinemático. La interrogante es si es posible aplicar el proceso inverso; es decir, dada la fuerza o par de torsión, ¿se puede determinar el comportamiento cinemático del mecanismo? Realiza una investigación en grupo para saber si es posible, y justifica el resultado de tus investigaciones con un procedimiento analítico, o bien mediante un ejemplo.

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S6.2 Considera el aparato para hacer ejercicio de la figura 6.30. ¿Qué modificaciones podrías hacerle a la máquina para colocar un dispositivo mecánico que permita modificar los niveles de fuerza?

tacional Working Model®, de modo que se desarrolle la capacidad analítica en la solución y demostración de problemas relacionados con la dinámica del mecanismo.

S6.3 El mantel y la vajilla. Es muy conocido un ejemplo experimental para demostrar la ley de Newton que consiste en colocar algunas piezas de una vajilla sobre un mantel, el cual cubre una superficie plana, y luego jalarlo sin mover ninguna de las piezas de la vajilla. Proporciona una explicación acerca de qué ley se aplica de manera exacta al experimento.

Mediante una herramienta computacional demostrar el análisis de fuerzas.

Prácticas de laboratorio Práctica 6.1 Taller de Working Model®

Material • Herramienta computacional Working Model® Elemento de competencia Describir el procedimiento que permite demostrar el análisis de fuerzas mediante el uso de la herramienta compu-

Objetivo

Marco teórico Working Model® [6] es una herramienta computacional muy utilizada en el análisis de fuerzas, ya que posee la capacidad de desplegar información tanto cinemática como cinética, por lo que su uso se ha extendido de manera considerable en las escuelas de ingeniería. En esta práctica se detalla un procedimiento para implementar un mecanismo de manera computacional, así como la manera de desplegar los valores cinemáticos y cinéticos para realizar una demostración analítica y comparativa del problema. La primera vez que se abra la pantalla de Working Model®, y a menos que se cambie, aparecerán las opciones como se muestra en la figura 6.64. Como se puede observar, en la barra de elementos de construcción se dispone de masas circulares, rectangulares, poligonales, resortes, amortiguadores, etcétera, así

Figura 6.64 Pantalla inicial de Working Model®.


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como de elementos como uniones tipo articulación y prismática, y de entrada como motores, entre otros. A su vez, con las opciones de visualización es posible controlar la vista del proyecto, mientras que con las opciones de simulación se puede animar, detener o reestablecer la simulación. Con las opciones de parámetros, vista y geométricos es posible modificar parámetros de un elemento, como masa, fricción, momento de inercia de masa, ubicación de su centroide, dimensiones y colores, entre otros. A continuación se explica paso a paso cómo construir un mecanismo manivela-corredera que permita efectuar un análisis dinámico a fin de demostrar la capacidad de fuerza.

Figura 6.65 Construcción inicial de la manivela.

Paso 1. Construcción de la manivela Selecciona la opción de masa rectangular y colócala en la pantalla de construcción mediante un clic para situar la posición inicial, y, sin soltar el botón, muévelo hasta ubicarlo en su posición final (véase figura 6.65). El cuadro de texto mass cambia la magnitud de la masa por 0.3. Para modificar las dimensiones de la barra, primero selecciona el elemento con un clic, después en el menú Windows selecciona la opción Geometry, y a continuación aparecerá la ventana de propiedades geométricas. Enseguida, cambia el ancho por 3 y el alto por 0.2, como se indica en la figura 6.66.

Figura 6.66 Propiedades geométricas en la manivela.

Paso 2. Construcción de la biela Sigue el procedimiento para la construcción de una manivela. Elabora una barra cerca de la barra 2, como se indica en la figura 6.67, con masa de 0.5 y dimensiones de 0.2 × 6. Figura 6.67 Construcción de la biela.


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Paso 3. Construcción de la corredera Para la construcción de la corredera se usará el elemento Keyed select node, que permite colocar la guía de deslizamiento. Después, coloca una masa cuadrada cerca del elemento y acerca la guía al elemento rectangular, la cual deberá quedar unida a la masa, de modo que si mueves la pieza cuadrada, esta podrá deslizarse, como en la figura 6.68.

Figura 6.69 Colocación de las uniones con Point element.

Para unir las piezas debes seleccionar el Point element de los elementos que se van a unir. Esto se logra al seleccionar cada uno y pulsando la tecla Shift de la computadora. Sin soltar la tecla, selecciona otro Point element, y en ese instante se activará el botón etiquetado como Join. Al unir la biela con la corredera debe tenerse la precaución de no articular la biela con el Rigid joint, ya que quedará unido a este como un solo elemento. El resultado final debe ser algo similar a lo que se muestra en la figura 6.70.

Figura 6.68 Construcción de la guía de la corredera.

Para verificar que no haya errores en la construcción, se debe pulsar RUN, con lo que el mecanismo deberá moverse debido al peso de las barras.

Paso 4. Uniones

Paso 5. Colocación del par torsional

Toca el turno de construir las uniones, que en este caso son articulaciones entre manivela y biela, biela y corredera y manivela y el elemento fijo, por lo que también deberás colocar un Point element en la pantalla de trabajo, que será la articulación fija de la manivela (véase figura 6.69).

Para colocar un par torsional selecciona la opción Motor y sitúala en el pivote de la manivela. A continuación selecciona Windows:Properties para editar las propiedades del motor, en la opción Type escoge Torque y en Value cambia a 15 N  m (véase figura 6.71).

Para llevar a cabo esto debes utilizar la opción llamada Point element para las articulaciones, seleccionando esta opción y colocándola en los extremos de la manivela y la biela, en un punto de la corredera que no sea el Rigid joint, que une la corredera con la guía. El programa te ayuda a colocarlo con exactitud en el extremo al acercar el cursor. Con Point element solo se prepara la unión de manera similar a como si se perforara de manera física la pieza, como se muestra en la figura 6.69.


Figura 6.70 Mecanismo articulado.

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Para comprobar la movilidad del mecanismo, pulsa el botón RUN y el mecanismo comenzará a moverse en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Si el par es muy alto se generarán movimientos muy separados, y si el par es muy bajo el mecanismo regresará a su posición inicial debido al peso. En caso de que suceda cualquiera de las dos opciones, cambia el valor del par de torsión de modo que el mecanismo se mueva con lentitud en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Paso 6. Visualización de datos La visualización de los parámetros cinemáticos y cinéticos es importante para el objetivo de esta práctica, ya que mediante este es posible solucionar de manera teórica el mecanismo y hacer una comparación. Para la visualización de parámetros se usa la opción Define: Vectors: Total force, que permite visualizar las fuerzas en las articulaciones, mientras que para los eslabones se usa la opción Measure: PVA: Rotation para visualizar los parámetros cinemáticos de posición, velocidad y aceleración, como se muestra en la figura 6.72.

Figura 6.71 Colocación del par torsional.

Figura 6.72 Opciones para visualizar la magnitud de los parámetros.

Para utilizar estas opciones es necesario seleccionar primero el elemento que contenga el parámetro cuya magnitud hay que visualizar. En el caso de las uniones, selecciona el Point element y después Define: Vectors: Total force. Para el caso de los eslabones, selecciona el elemento y posteriormente Measure: PVA: Rotation. Y para el caso de la corredera, selecciona Measure: PVA: X. Antes de iniciar la animación hay que realizar un cambio en la visualización de los vectores de fuerza de contacto, de modo que se puedan desplegar las componentes rectangulares y su magnitud. Esto se logra al seleccionar Define: Vector display y a continuación la opción force X,Y,Value y


Figura 6.73 Opciones de visualización de vectores.

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eliminando la selección Mag (véase figura 6.73). Con lo anterior, el mecanismo ya está listo para la simulación, desplegando los resultados necesarios para realizar una demostración analítica. Para iniciar la simulación pulsa RUN, y a continuación aparecerán los resultados instantáneos, como se observa en la figura 6.74. Al detener la simulación es posible posicionar el mecanismo en una posición adecuada para el análisis, lo cual se logra con el deslizador de simulación por paso, como se indica en la figura 6.74. Reporte Usa el procedimiento explicado en esta práctica para implementar uno de los mecanismos del capítulo 4, o bien uno que te proporcione tu maestro. Despliega los resultados cinemáticos en un instante dado y con estos demuestra teóricamente la magnitud del par de torsión o fuerza requerido, así como las fuerzas en las articulaciones.

Figura 6.74 Resultado final de la práctica.

Práctica 6.2 Determinación del centroide y momento de inercia de masa

Material • Placas delgadas con dos perforaciones pequeñas. • Soporte para placas.

Evidencias

• Báscula.

1. Impresión del mecanismo en Working Model® con los resultados instantáneos.

• Regla.

2. Cálculos analíticos. 3. Conclusiones. 4. Problemas suscitados en el desarrollo y cómo se solucionaron.

• Cronómetro. Elemento de competencia Desarrollar un procedimiento experimental para determinar el centroide de masa y el momento de inercia de masa en forma experimental para piezas regulares e irregulares. Objetivo Mediante un procedimiento experimental, determina las coordenadas del centro de masa y el momento de inercia de masa en el centro de gravedad en un eje perpendicular a la pieza. Marco teórico El centro de masa y el momento de inercia de masa son parámetros de suma importancia en el análisis y diseño mecánico. En el análisis diná-


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mico de mecanismos se requiere ubicar el centroide, ya que es ahí a donde se dirige el vector de aceleración. Por su parte, el momento de inercia de masa se requiere en el análisis dinámico de elementos con movimiento de rotación, donde es necesario determinar el momento inercial. Cuando una pieza es regular, al grado de poder utilizar tablas para determinar su centro de masa y su momento de inercia de masa, esta no requiere del procedimiento experimental más que para demostración. No obstante, para piezas homogéneas irregulares se puede utilizar el procedimiento planteado en esta práctica para determinar el centro de masa y el momento de inercia de masa. Si una pieza se ranura ligeramente, al grado de pivotearlo en un pequeño elemento como un clavo, cuando esté estática una línea imaginaria desde el pivote y paralelo al eje de la acción de la gravedad, indicará que el centro de masa se encuentra sobre dicha línea al estar compensada la masa en ambos extremos. Para determinar la ubicación del centroide simplemente se marca la línea de acción en la pieza con un lápiz. Después se repite el procedimiento en otra ubicación de la pieza y la intersección de las líneas de trazo será el centro de masa, como se indica en la figura 6.75. Una vez localizado el centro de masa, es posible determinar el momento de inercia de masa en dicho centroide, para lo cual se hace uso de la ecuación que permite determinar la frecuencia natural de un péndulo compuesto. Para la determinación del momento de inercia de masa considera la pieza de la figura 6.76. Dicha pieza tiene una masa m, y la ubicación del centro de masa es G, de modo que la distancia desde el pivote P al centro de masa se denota por d.

P d G m

Figura 6.76 Parámetros necesarios para la determinación del momento de inercia de masa en forma experimental.

La fórmula que relaciona la frecuencia de oscilación natural (o simplemente frecuencia natural) en un péndulo compuesto como el de la figura 6.76 está dada por: fn =

donde g es la gravedad y el parámetro I es el momento de inercia de masa. Procedimiento

Paso 1. Determinación del centro de masa en forma experimental Con base en el procedimiento detallado en el marco teórico, determina la ubicación del centro de masa de cada una de las piezas para la práctica. Una vez localizado el centro de masa, márcalo con un plumón o lápiz. Después, para cada pieza llena la siguiente tabla de reporte, dibujando la pieza e indicando los ejes de coordenadas utilizados. Coordenadas del centroide

Pivotes

mgd 1 ciclos (Hz) = 2 2π I + md s

x (cm) 5

y

y (cm) 5 Línea de ubicación del centro de la masa

Ubicación del centro de masa

Figura 6.75 Método experimental para determinar la ubicación del centro de masa.


x

Masa m:

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Paso 2. Determinación del momento de inercia de masa en forma experimental Para determinar el momento de inercia de masa es necesario poner a oscilar la pieza y medir los periodos de oscilación con el cronómetro. Este periodo se mide desde que inicia el movimiento de la pieza y regresa a su posición inicial. Sea n el número de oscilaciones que se le puede imprimir a una pieza. Si t es el tiempo que tarda la pieza en dar el número de oscilaciones, entonces la frecuencia natural en forma experimental es: n ciclos fn = = (Hz) = t s donde n es el número de oscilaciones registradas y t el tiempo que tarda la pieza en efectuar dichas oscilaciones. Una vez obtenida la frecuencia natural experimental es posible determinar el momento de inercia de masa a partir de la fórmula para un péndulo compuesto, es decir:

I =

2

mgd −fn md fn 2

Reporte Determinar los centroides y momentos de inercia de cada una de las piezas proporcionadas. Evidencias 1. Tabla de especificación para el cálculo del centro de masa. 2. Tabla de especificación para el cálculo del momento de inercia de masa. 3. Investigar aplicaciones de centro de masa y momento de inercia de masa. 4. Investigar si existe una relación matemática entre el momento de inercia de masa y el momento de inercia de área. 5. Problemas suscitados en el desarrollo y cómo se solucionaron. 6. Conclusiones.

2

Figura con las coordenadas del centroide

n (ciclos)

t (s)

Fn (ciclos) Fn2 5n / t

I (kg  m2)

I promedio

3 5 7

Referencias [1] Erdman, Arthur G. y Sandor, George M. (1998). Diseño de mecanismos, análisis y síntesis, 3a. ed. México: Prentice Hall. [2] Johnston, Beer y Eisenberg, Mazurek. (2010). Mecánica vectorial para ingenieros, Estática, 9a. ed. México: McGraw-Hill. [3] García Prada, Juan Carlos, Castejón Sisamón, Cristina y Rubio Alonso, Higinio. (2007). Problemas resueltos de teoría de máquinas y mecanismos. España: Paraninfo. [4] Miszka, David H. (2012). Máquinas y mecanismos, 4a. ed. México: Pearson. [5] Wilson, Charles W. & Sadler, J. Peter. (2003). Kinematics and Dynamics of Machinery, 3a. ed. Estados Unidos: Prentice Hall. [6] Design Simulation Technologies, http://www.design-simulation.com/wm2d/. Consultado en junio de 2015.


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Introducción a la síntesis cinemática y síntesis de tipo

Propósito del capítulo En este capítulo se aborda la teoría general de la síntesis cinemática, así como las etapas para elaborar un diseño basado en mecanismos, los cuales permiten satisfacer determinadas necesidades en diversos procesos industriales y de la vida cotidiana. Asimismo, se hace una introducción a la síntesis cinemática conocida como síntesis de tipo, la cual permite seleccionar el tipo de mecanismo que cumpla con los requisitos necesarios para elaborar técnicas de síntesis. Competencias específicas • Esquematizar el proceso de diseño mediante la comprensión de las etapas y el análisis de sus características, a fin de formular un procedimiento o una metodología a seguir ante una necesidad de diseño.

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7

Capítulo

Habilidades 1. Formular las etapas básicas del diseño mecánico con el fin de proponer una solución basada en mecanismos. 2. Comprender y aplicar de manera correcta los términos síntesis y diseño durante el desarrollo de una solución. 3. Establecer la etapa inicial de la síntesis cinemática, consistente en la selección adecuada del tipo de mecanismos que habrán de utilizarse durante el diseño. Conocimientos requeridos • Topología de los mecanismos. • Características básicas de la cinemática de mecanismos. • Geometría analítica.

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7.1 Introducción a la síntesis cinemática Síntesis y diseño En el estudio de mecanismos es importante diferenciar los conceptos síntesis y diseño. Así, en términos generales, la palabra diseño proviene del italiano (disegn) y significa lo por venir. Se refiere al procedimiento de búsqueda para formular una solución a un problema. Por su parte, el término síntesis forma parte del diseño donde se proporciona la solución en una esencia ingenieril al problema de diseño. De manera específica, el diseño de mecanismos consiste en proporcionar una solución total a una necesidad de movimiento sincronizado, automatizado o especializado, mientras que la síntesis de mecanismos se refiere al uso de técnicas analíticas, gráficas y(o) computacionales para solucionar el problema de diseño, una vez que se ha especificado en lenguaje ingenieril o técnico.

Etapas del diseño de mecanismos En términos específicos del diseño de mecanismos, este se compone de una serie de etapas, que inicia desde el planteamiento de la necesidad en un lenguaje no técnico hasta la solución entregable. Las etapas que comprende son: 1. Necesidad. En esta etapa se presenta la problemática a resolver en un lenguaje no necesariamente técnico. 2. Interpretación técnica. Aquí se plantea la necesidad a resolver en un lenguaje técnico o ingenieril. 3. Estudio preliminar. En este punto se establece si la necesidad a resolver es factible, o bien si parte de esta lo es mediante la implementación de un mecanismo. Además, aquí se determina la necesidad del diseño como un requerimiento de diseño. 4. Soluciones existentes. Etapa que consiste en verificar si existen o no soluciones a los requerimientos de diseño, todo derivado de una investigación bibliográfica. 5. Planteamiento del problema. Se establecen el problema a resolver y las necesidades de diseño en términos de síntesis de mecanismos. 6. Síntesis. Consiste en la utilización de técnicas o estrategias gráficas, analíticas y(o) computacionales para solucionar el problema de diseño. El resultado final es un tipo de mecanismo y sus dimensiones. Aquí primero se tiene que sintetizar el tipo de mecanismo y enseguida se hace una síntesis dimensional. 7. Posible replanteamiento. Si los resultados obtenidos por la síntesis no satisfacen las necesidades, o bien aparecen nuevos problemas, entonces se replantea la problemática y se buscan nuevas soluciones. 8. Prototipo. Consiste en implementar el mecanismo en un modelo a escala, con el fin de verificar si el rango de error de implementación no afecta el


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Capítulo 7. Introducción a la síntesis cinemática y síntesis de tipo

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resultado; además, aquí se determina el tipo de material y de uniones, entre otros aspectos. 9. Escalamiento. Reside en la construcción final del producto a su escala natural y con los componentes reales. Lo más seguro es que en esta etapa se establezcan nuevas necesidades relacionadas con la resistencia del material, el diseño de uniones, los componentes motrices, etcétera; no obstante, estas nuevas necesidades deberán solucionarse en otra etapa de diseño.

Etapas y tipos de síntesis de mecanismos Para solucionar problemas del diseño mecánico por medio de mecanismos se puede hacer uso de diferentes tipos de síntesis, entre los cuales se pueden mencionar los siguientes: • Síntesis de tipo o de Reuleaux. Consiste en la elección de los tipos de eslabones y mecanismos a emplear (levas, engranajes, resortes, palancas) en la solución de problemas, en función de criterios de equivalencia y diversas cualidades de los mecanismos. • Síntesis dimensional o de Burmester. Aun cuando algunos escritos reservan este nombre para las síntesis geométrico-planas que elaboró Burmester, entre las que se encuentran las dimensiones geométricas de las barras para condiciones geométricas especificadas, en este libro se referirá como síntesis dimensional al procedimiento para determinar las dimensiones de los elementos del mecanismo, las posiciones límites y las geometrías de las piezas y con un rendimiento específico. • Síntesis gráfica. Utiliza técnicas basadas en las propiedades geométricas del movimiento. Si bien las técnicas y los procedimientos que se usan en este tipo de síntesis pueden ser simples o metódicos, el resultado es una solución aproximada, debido a la incertidumbre en los trazos gráficos. • Síntesis analítica. Se basa en la solución de un conjunto de ecuaciones cinemáticas y(o) cinéticas para satisfacer una serie de necesidades. Este tipo de síntesis utiliza ecuaciones de geometría analítica, álgebra vectorial y álgebra compleja, entre otros. Aunque este método requiere de cálculos más sofisticados, el resultado de la síntesis analítica es más preciso que el de la síntesis gráfica, pues solo puede variar por errores de punto flotante. • Síntesis basada en algoritmos computacionales. Utiliza técnicas modernas para solucionar problemas en los que el procedimiento gráfico y(o) analítico está limitado para dar una solución. Este tipo de síntesis se basa en algoritmos iterativos mediante el uso de una computadora. El resultado final de esta síntesis es un mecanismo aproximado que satisface restricciones más complejas que la síntesis gráfica o analítica. • Síntesis de generación de trayectorias. Este tipo de síntesis afronta el problema de ubicar los puntos de las barras de un mecanismo a lo largo de trayectorias preestablecidas.


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• Síntesis con puntos de precisión. Se denomina así a las síntesis exactas de un número finito de especificaciones, por ejemplo, la síntesis de generación de funciones con cinco puntos de precisión o la síntesis de generación de trayectorias con nueve puntos de precisión. El proceso de síntesis comprende diversas etapas, entre las que destacan las siguientes: 1. Recolección de información. En esta etapa se recoge la información de la necesidad en lenguaje técnico, como dimensiones, limitantes y espacio de trabajo, entre otros. 2. Síntesis de tipo. Una vez que se tiene la información, se procede a la selección del tipo de mecanismo que permita dar solución a la necesidad. 3. Síntesis dimensional. Luego de definir el tipo de mecanismo, lo siguiente es dimensionar los elementos con el uso de técnicas de síntesis analíticas, gráficas y computacionales. 4. Validación de resultados. Etapa que consiste en validar si la solución obtenida por la síntesis dimensional satisface los requerimientos, además de validar si el mecanismo no se va a agarrotar. Esto se logra mediante las técnicas de análisis vistas en los capítulos anteriores y(o) mediante el uso de software especializado. 5. Posible replanteamiento. En caso de que surjan problemas en el paso anterior, se procede a plantear una nueva solución, la cual puede iniciar desde cambiar el tipo de mecanismo.

Tareas de la síntesis cinemática En la síntesis cinemática por lo común se plantean los siguientes tipos de tareas: 1. Generación de función. 2. Generación de trayectoria. 3. Generación de movimiento.

Generación de función

x y = f(

x)

Figura 7.1 Mecanismo generador de función en una caja negra.


En la tarea de generación de función, la síntesis consiste en establecer una relación entre la posición de un eslabón de un mecanismo (por lo general el eslabón de salida), con respecto a la posición del eslabón de entrada mediante una función específica y 5 f (x), donde y es la posición del eslabón de salida y x es la posición del eslabón de entrada. Para comprender mejor la tarea de generación de función imagínese un mecanismo dentro de una caja negra, la cual dispone de dos perillas, una para mover el elemento de entrada y otra que muestra la posición del elemento de salida, como las que se muestra en la figura 7.1, entonces la posición de la perilla de salida estará en función de la posición de la perilla de entrada.

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Generación de trayectoria La generación de trayectoria consiste en sintetizar un mecanismo para controlar la trayectoria de un nodo de uno de sus eslabones (generalmente de un acoplador) para que siga una trayectoria específica. Por lo general, esta tarea se logra mediante la implementación de un mecanismo de al menos cuatro barras, donde un punto del acoplador traza una trayectoria específica. Por ejemplo, en la figura 7.2 se muestra un mecanismo de cuatro barras en el que el acoplador 3 dispone de cuatro nodos: A, B, C y D. En la figura también se observa la trayectoria de los nodos C y D, que, como puede apreciarse, son trayectorias complejas; por tanto, es posible dimensionar los eslabones para que los nodos C y D dispongan de una trayectoria específica.

D B

C 3

A

Figura 7.2 Mecanismo generador de trayectoria.

Generación de movimiento La tarea de generación de movimiento, también conocida como guiado de sólido, se define como el control del movimiento de una línea perteneciente a un sólido rígido en un plano. En la figura 7.3 se muestra un ejemplo de un mecanismo para generación de movimiento, el cual está compuesto por solo una manivela con cierta geometría, de modo que puede desplazar un objeto en este caso en dos posiciones.

B1 Objeto a desplazar

A1 A2 B2

Manivela

O

Rotopolo

Figura 7.3 Mecanismo generador de movimiento.

7.2 Necesidades del diseño Una vez que se conocen las tareas comunes de la síntesis cinemática, se procede a clasificar y estandarizar de manera técnica las necesidades de diseño y que requieren la implementación de un mecanismo. Esta clasificación permite y facilita el paso a la síntesis cinemática, conocida como síntesis de tipo.


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De manera general, las necesidades se pueden clasificar en: a) Guiado de sólido rígido. b) Palancas y osciladores. c) Movimiento reciprocante. d) Movimiento de una pieza con trayectoria. e) Transmisiones con movimiento especial.

Guiado de sólido rígido B

A

a) Guiado en dos posiciones

B

B

A

b) Guiado en tres posiciones

Figura 7.4 Guiado en dos y tres posiciones.

Esta necesidad, también conocida como control de posición de un sólido rígiB do, consiste en desplazar una pieza, elemento, cuerpo, etcétera, a través de varias posiciones prescritas y establecidas por una línea de trabajo del sólido. Por ejemplo, para guiar un sólido en dos posiciones se puede hacer uso de una sola manivela con una barra articulada en el extremo, como se muestra en la figura 7.4 a). Sin embargo, si se requiere de tres posiciones prescritas, entonces se deberá hacer uso de más eslabones, como por A ejemplo uno de cuatro barras, como se muestra en la figura 7.4 b). A fin de asegurar una solución a la necesidad de más posiciones de diseño, se requiere que el guiado sea más complejo. Ciertamente en una manivela se pueden tener más posiciones prescritas, no obstante, estas posiciones no son por completo libres y quedan restringidas, ya que en los extremos A y B solo pueden tener trayectorias circulares. Esto no ocurre en el mecanismo de cuatro barras, el cual puede disponer de hasta tres posiciones prescritas sin restricción en las trayectorias. Si en un mecanismo manivela-oscilador se requieren más de tres posiciones prescritas de diseño, se deben añadir aditamentos a la biela y(o) aumentar el número de eslabones. Pero esto no significa que el mecanismo manivela-oscilador sea incapaz de generar posiciones complejas en la biela, lo que sucede al aumentar tan solo una posición de diseño; entonces, con este tipo de mecanismo sería difícil buscar una solución que cumpla con las demás posiciones. Para ello se debe implementar un mecanismo de más eslabones o bien buscar soluciones aproximadas mediante métodos numéricos y computacionales.

Palancas y osciladores El uso de palancas y osciladores permite responder a las necesidades en las que se requiere el desplazamiento angular de una manivela en dos o más posiciones prescritas. Estas posiciones pueden ser o no las condiciones límite de la oscilación. Si son condiciones límite entonces se tiene la necesidad de mover una manivela en las posiciones extremas; en caso contrario, se requiere mover una manivela en dos o más posiciones angulares y prescritas, con lo que se obtiene como resultado una tarea generadora de función más que de movimiento.


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De manera similar, ante la necesidad de control de posición, si se utiliza un mecanismo manivela-oscilador para resolver este tipo de necesidades, entonces solo se podrá asegurar una solución para tres posiciones en el oscilador.

Movimiento reciprocante Este tipo de necesidad está presente cuando se desea desplazar un elemento sobre un eje, ya sea para posicionarlo en dos o más sitios, o bien para posicionarlo estrictamente en sus condiciones límites. De manera similar a las restricciones en los osciladores, el número de posiciones requeridas para un movimiento reciprocante incide de manera directa en el tipo de mecanismos, las dimensiones y el número de eslabones. En un mecanismo manivela-corredera se puede tener asegurada una solución hasta tres posiciones, si es que existe.

Movimiento de una pieza con trayectoria En las necesidades de diseño es importante diferenciar el requerimiento de desplazar un sólido rígido con el de desplazar un nodo del sólido rígido. Así, cuando se trata de desplazar un sólido rígido, todas las partículas del mismo se deben desplazar con respecto a una línea de trabajo; por tanto, en la necesidad se debe controlar por completo la línea. Sin embargo, algunos requerimientos incluyen la posibilidad de desplazar solo un nodo de trabajo de una pieza por una trayectoria deseada, en la que el resultado será una síntesis con tareas de control de trayectoria.

Transmisiones con movimiento especial Algunos procesos requieren la combinación de diferentes tipos de movimientos, que por más simples que sean (como la oscilación, la rotación o la traslación), deben estar sincronizados en tiempo y espacio. Aun cuando la sincronización puede efectuarse mediante dispositivos electrónicos, como un PLC; sin embargo, en casos muy especiales, no se hace uso de estos dispositivos por las siguientes razones: a) La necesidad de programación del dispositivo requiere de personal con conocimientos independientes al mecánico. b) Lo rápido que el dispositivo pueda convertirse en obsoleto, ya que se corre el riesgo de no disponer en un futuro de componentes electrónicos ni de personal para su mantenimiento. c) La inyección de más variables, como las eléctricas y electrónicas, las cuales aumentan la posibilidad de producir fallas. Por lo anterior, es más práctico buscar una solución basada en mecanismos para sincronizar los elementos. De modo que, a través de un buen mantenimiento, el


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proceso no pierda sincronía, no requiera de personal con conocimientos adicionales, no intervengan componentes eléctricos que puedan ocasionar fallas o accidentes y, principalmente, no se vuelva obsoleto. Por ejemplo, en un motor de combustión interna el árbol de levas es un elemento que permite sincronizar el cigüeñal y las válvulas de admisión y escape.

7.3 Síntesis de tipo Después de recopilar información acerca de las necesidades de diseño para los casos en los que no exista una solución que ya se haya expuesto en la literatura correspondiente, se procede al inicio de la síntesis cinemática, cuyo primer paso es la síntesis de tipo. En esta clase de síntesis se selecciona el mecanismo adecuado para la tarea especificada en el diseño. Para ello se debe tener conocimiento de las características topológicas del mecanismo, la movilidad de sus elementos y las necesidades de diseño. En realidad no existe un método específico para la síntesis de tipo; sin embargo, hay diversas sugerencias que permiten determinar no solo el tipo de mecanismo sino el número de eslabones que lo conforman. Para ello es necesario considerar las siguientes recomendaciones: • Tarea a realizar. La necesidad de diseño debe ser formulada como una necesidad técnica, de modo que permita asociarla con una de las tareas especificadas con anterioridad, en las necesidades de diseño más comunes. • Complejidad de la tarea. Con esto se pretende medir cualitativa y(o) cuantitativamente la complejidad de la tarea, con el fin de conocer, sobre todo, cuántos elementos deben conformar el mecanismo. • Elementos motrices. El tipo de elemento motriz también define el tipo de mecanismos a utilizar; por ejemplo, conocer si se dispone de motores, palancas y(o) deslizaderas permite definir el tipo de eslabón impulsor del mecanismo. A continuación se realiza un estudio de los diferentes tipos de mecanismos, con el objetivo de determinar las características de movilidad, para así definir las tareas que puede realizar, así como su grado de complejidad.

Eslabonamientos articulados de cuatro eslabones El primer grupo de mecanismos corresponde a mecanismos de cuatro elementos con articulación, como se muestra en la figura 7.5. Los mecanismos de este tipo son sencillos de implementar; por esa razón, son los que quizá se utilizan más en las técnicas de síntesis de mecanismos, pues con los mecanismos de este grupo es posible realizar las diversas funciones. Por ejemplo, el control de posición puede hacerse con el uso de la biela de cualquiera de los mecanismos; la complejidad del movimiento que puede efectuar es menor en


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el mecanismo manivela-corredera que el de manivela-oscilador, el cual a su vez es de menor complejidad que el de biela con extensión.

Manivela

Biela con extensión

Biela

Biela Corredera

Manivela Oscilador

RRRP

RRRR

Manivela

Oscilador

RRRR-be

Figura 7.5 Eslabonamiento articulado de cuatro elementos para síntesis.

La tabla 7.1 es un comparativo de las posibilidades de implementación para control de posición con el uso de los mecanismos de la figura 7.5. Tabla 7.1 Tabla comparativa en control de posición en mecanismos articulados de cuatro eslabones Movimiento

RRRP

RRRR

RRRR 2be

Dos posiciones con extremos libres

Sí

Sí

Sí

Dos posiciones con un extremo limitado a línea recta

Sí

No

No

Tres posiciones con extremos libres

No

Sí

Sí

Tres posiciones con un extremo limitado a línea recta

Sí

No

No

Cuatro posiciones

No

No

Sí

Por lo que respecta a la generación de trayectorias, estos tres tipos de mecanismos pueden generar trayectorias con cierta similitud en lo referente a la complejidad de la curva, aunque por lo general el mecanismo de manivela-oscilador es el más utilizado para este tipo de tarea.

Eslabonamientos articulados de más de cuatro eslabones Si un mecanismo de cuatro barras no puede proporcionar el tipo de desempeño o la tarea requerida para satisfacer una necesidad, entonces puede hacerse uso de un eslabonamiento de más eslabones, por lo común de seis. El uso de mecanismos de más de cuatro eslabones se justifica en especial cuando se desea aumentar el número de posiciones prescritas de diseño y generar movimientos más complejos. Como primer ejemplo de este tipo de mecanismo se tienen los mecanismos de seis barras propuestos por Watt (véase la figura 7.6) y los propuestos por Stephenson (véase la figura 7.7).


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Análisis y síntesis de mecanismos con aplicaciones E

C F

5

G 6

C

B

3

A

A

5

E

4

B

3

D

D

4

6

2

2 Watt I

Watt II

Figura 7.6 Eslabonamiento de seis elementos de Watt. G

G 6

E 5 A

F 3

2

D

B

C

4

F

E

D

H

5 B

A

D

6

C

A 2 Stephenson II

5 3

4

2

Stephenson I

C

3

E

B 4

6

Stephenson III

Figura 7.7 Eslabonamiento de seis elementos de Stephenson.

Con estos mecanismos es posible generar trayectorias de acoplado un poco más complejas o con mayor número de puntos de precisión. Para el guiado de sólidos rígidos también se puede aumentar el número de posiciones prescritas, en especial cuando se utilizan barras cuyos extremos no están restringidos a trayectorias circulares, como las barras CE, EF y CF del mecanismo de Watt I, las barras EG del Stephenson I y FG del Stephenson II. Por su parte, para el tipo de síntesis generador de función, este tipo de mecanismos presenta ventajas al poder aumentar el número de puntos de precisión.

Mecanismo de ruedas Los mecanismos de ruedas (como discos, engranes y poleas) se utilizan básicamente como transmisores de velocidad, por el efecto del torque en la flecha de salida y la fuerza transmitida. El diseño de este tipo de mecanismos radica en la selección de las dimensiones de los elementos (en el caso de discos y poleas) y el número de elementos a utilizar.

Mecanismo de leva-seguidor Los mecanismos de contacto directo que usan leva-seguidor son útiles cuando se desea transmitir movimientos complejos y periódicos hacia un elemento, o bien cuando el movimiento de un eslabón depende de otro, a través de una función específica. En la figura 7.8 se muestra la configuración básica de este tipo de mecanismo. La leva, que es un elemento excéntrico, tiene una geometría determinada en el diseño me-


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Capítulo 7. Introducción a la síntesis cinemática y síntesis de tipo Trayectoria del seguidor

diante la cual es posible transmitir el movimiento al seguidor con una trayectoria tal que satisfaga las necesidades de movilidad. Además de proporcionar transmisión con movimientos complejos, los mecanismos de leva-seguidor soportan altas necesidades de velocidad. Una de las ventajas principales de estos mecanismos es que mientras se mantengan bien lubricados, su desgaste puede ser casi nulo.

Seguidor

Leva

Figura 7.8 Mecanismo de leva-seguidor.

Mecanismo de deslizamiento

Los mecanismos de contacto directo por deslizamiento se utilizan en los casos en los que se desea transmisión de movimiento oscilatorio, reciprocante e intermitente, como se muestra en la figura 7.9. Oscilación

Intermitente

Reciprocante

Figura 7.9 Movimiento con el uso de mecanismos de deslizamiento.

El movimiento de oscilación con este tipo de mecanismos, respecto al mecanismo manivela-oscilador, es que este posee mejores cualidades para retorno rápido. Por lo que respecta al movimiento reciprocante con el uso de este tipo de mecanismos, se puede decir que este tiene las mismas características que en el caso de los mecanismos manivela-corredera, donde el movimiento reciprocante es una función coseno; sin embargo, con este tipo de mecanismo se puede adecuar la ranura del deslizamiento de diferentes formas, las cuales afectan al movimiento reciprocante. Por ejemplo, en la figura 7.10 se observa una alteración al mecanismo de yugo escocés en el que el rodillo deslizante conectado al disco impulsor se desplaza sobre la superficie ranurada, de modo que el movimiento desde B hacia A es sobre la superficie circular de la ranura, por lo que el elemento de salida queda estacionado; luego, de A a D se tiene el movimiento reciprocante para regresar al movimiento estacionario desde D a C. Superficie ranurada

Rodillo deslizante

X (θ) A

D Disco impulsor

B

Estacionado B A

C Elemento de salida

Estacionado D C

I)

Figura 7.10 Movimiento reciprocante e intermitente.


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Por último, el movimiento intermitente que puede proporcionar este tipo de mecanismos lo hace indispensable en el diseño de mecanismos, ya que puede ser utilizado en procesos automatizados y(o) de sincronización en maquinaria.

Mecanismo no armónico Los mecanismos de barras articuladas de las figuras 7.6 y 7.7, así como los mecanismos de deslizamiento de la figura 7.9, son mecanismos de un grado de libertad, por lo que solo requieren de un elemento impulsor para cumplir su tarea. Debido a ello, estos mecanismos se pueden considerar mecanismos armónicos, ya que después de cierto tiempo el mecanismo vuelve a repetir todo su comportamiento, como la curva del acoplador, que es la misma. En el diseño de mecanismos es posible obtener movimientos más complejos mediante la combinación de diferentes tipos de mecanismos, o bien al agregar más grados de libertad. Por ejemplo, en la figura 7.11 se muestra un mecanismo conformado por solo dos ruedas y dos bielas; sin embargo, mediante esta combinación es posible obtener una curva de acoplador muy compleja e imposible de obtener con un mecanismo articulado.

C

Entrada

A

03

05

Figura 7.11 Combinación de tipos de mecanismos para movimientos complejos.

7.4 Técnicas auxiliares para la síntesis cinemática Rotopolo Algunas técnicas para la síntesis cinemática se basan en la ubicación de un centro de giro para algunos nodos en el plano cartesiano llamado rotopolo, el cual puede determinarse mediante la definición de una circunferencia, de modo que en un plano cartesiano un solo nodo puede pertenecer a una familia infinita de circunferencias, cuyo centro de giro puede ubicarse en cualquier coordenada del plano cartesiano (véase figura 7.12 a). Por su parte, dos puntos en el plano cartesiano 8 6 4 2 0 -4

-2

0

2

4

6

8

a)

10

12 b)

14

16

18

20

22

24

26

28

c)

Figura 7.12 Familia de circunferencias.


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6 pueden pertenecer a una familia infinita de Mediatriz entre A y B circunferencias, pero el centro de giro se liMediatriz entre B y C 5 mita sobre una línea recta, como se muestra B en la figura 7.12 b). Sin embargo, tres pun4 tos en el plano cartesiano pertenecen solo a A una circunferencia, como se muestra en la 3 C figura 7.12 c). 2 Para los casos en los que se desea determinar el rotopolo para dos puntos de 1 precisión en un plano, puede obtenerse meD 0 diante el trazo de la mediatriz entre estos dos -1 0 1 6 7 8 Intersección puntos; luego, sobre la mediatriz se selecde la mediatriz -1 ciona un punto arbitrario que será el centro de la circunferencia que pasará por los dos Figura 7.13 Centro de circunferencia que pasa por tres puntos. puntos. Por último, cuando se dispone de tres puntos de precisión (A, B, C ) en el plano, solo existe una coordenada de posición para el rotopolo, el cual puede obtenerse al intersecar las rectas de la mediatriz de AB y de BC, como se muestra en la figura 7.13.

Inversión cinemática La inversión cinemática es un procedimiento mediante el cual se selecciona y alterna como elemento fijo cada uno de los eslabones en un mecanismo. En el capítulo 8 de este libro se explica con detalle por qué este procedimiento es de gran importancia en algunas técnicas de la síntesis cinemática, debido a que posee ciertas características geométricas útiles para estrategias. En tanto, en este capítulo solo se precisa su funcionamiento, a fin de comprender mejor sus diferentes usos. Primero considérese el mecanismo manivela-corredera en una primera inversión, en la cual el elemento sobre el cual se desliza la corredera se mantiene fijo; luego, la manivela se mueve desde A1 hacia A2, formando un ángulo γ12, como se muestra en la figura 7.14 a).

A1

B’2

A2 12

O2

B1

B2

12

B’1 Primera inversión

Segunda inversión

Figura 7.14 Inversión cinemática en un mecanismo manivela-corredera para la síntesis.


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Ahora considérese una segunda inversión del mecanismo, que consiste en fijar la manivela O2A y liberar el elemento sobre el cual se desliza la corredera, el cual se mueve desde una posición B1’ hacia B2’, formando un ángulo γ12, en sentido opuesto al movimiento de la primera inversión. Para analizar las propiedades geométricas de las inversiones cinemáticas de la figura 7.14, considérese emparejar ambas imágenes, como se muestra en la figura 7.15 a). Independientemente del valor de γ12, se tiene que O2B2 5 O2B2’ y A1B1 5 A1B2’, por lo que el rotopolo O2 puede obtenerse con el uso de la mediatriz entre B2B2’, del mismo modo que A1 puede obtenerse al usar la mediatriz entre B2B1. Pero hay una posición de interés que ocurre cuando B2’ se encuentra en la recta O2A2, justo cuando δ 5 0, como se muestra en la figura 7.15 b), ya que es la única posición en la que se puede obtener la posición de B2’ a partir de B2 haciendo arco desde O2. B2

B2

A1 A2

A1

A2

12

O2

12

12

B1

a)

B2

O2

12

B1

B2

b)

Figura 7.15 Análisis geométrico de la inversión cinemática de un mecanismo manivela-corredera.

Para comprobar lo anterior, imagínese que se desea determinar el punto B2’ mediante el uso de la figura 7.15 b), pero no está alineado con la recta O2A2, entonces al trazar un arco con pivote en O2 y radio O2B2 e intersecarlo con la recta O2A2, como se muestra en la figura 7.16, denotado como B2’’, la mediatriz con este punto y B1 no coincide con A1, ya que en ese instante el punto real será B2’, cuya mediatriz con B1 sí coincide con A1. También se puede realizar un análisis geométrico simiB2 Mediatriz lar para la inversión de un mecanismo manivela-oscilador, no coincide con A 1 como se muestra en la figura 7.17 a), donde un mecanismo manivela-oscilador con pivotes en A0 y B0 se mueve de una posición A0, A1, B1, B0 hasta A0, A2, B2, B0, con ángulo γ12. A1 Por su parte, en la figura 7.17 b) se muestra la inverB2 A2 sión del mecanismo, el cual se obtiene fijando ahora el elemento A0A1 y liberando A0B0, que gira un ángulo γ12, pero en sentido opuesto. Como puede apreciarse en esta Mediatriz figura, el rotopolo A1 corresponde al centro de giro de B1B2, coincide con A1 por lo que puede determinarse mediante un trazo de la B O2 2 B1 mediatriz entre B1B2. Del mismo modo, A0 es el centro de giro de B1B2, por lo que puede determinarse por el trazo Figura 7.16 Importancia de alinear O2A2B2’ en el de la mediatriz entre B1B2’. mecanismo manivela-corredera.


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B2

B2 B1 B2 B1

12

O2

B1

B2

A1

B2

A2

A0

B0

A1

B0

12

A2

a)

B0

A1 A2 12

12

A0

b) B0

A0

Figura 7.17 Análisis geométrico de la inversión cinemática de un mecanismo manivela-oscilador.

B0

Figura 7.18 Importancia de alinear O2A2B2’ en el mecanismo manivelaoscilador.

En este mecanismo, B2’ se alinea con la recta A0A2 cuando el ángulo formado por la recta A0B2 y A0A2 es el de avance, como se muestra en la figura 7.18, por lo que este procedimiento puede utilizarse para determinar el rotopolo A1.

Polo relativo Considérese el mecanismo articulado que ocupa dos posiciones, como el de la figura 7.19. En este caso, la mediatriz de A1A2 y la longitud O2A1 definen con claridad el rotopolo O2, mientras que la mediatriz de B1B2 y la longitud O4B1 definen el rotopolo O 4. Si se proyectan las mediatrices, entonces la intersección denotará un punto llamado polo instantáneo P12. Si este mismo procedimiento se aplica a una inversión cinemática del mecanismo, como el de la figura 7.17 b), el polo resultante al intersecar las mediatrices se conoce como polo relativo P’12, que recibe este nombre porque se aplica a una inversión cinemática. B2

B1 Mediatriz de B1 B2

A1 12

A2

Mediatriz de B0 B0

ψ12

O2

B0

A1

B2

O4 P Figura 7.19 Ubicación del polo instantáneo P12.


B1

P12

A0

B0

Figura 7.20 Ubicación del polo relativo P ’12.

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Espaciamientos de Chebyshev En la síntesis cinemática para la generación de funciones, por lo general es imposible producir con exactitud la función, o bien en la mayoría de los puntos; para ello se utiliza una cantidad mínima de estos puntos, conocidos como puntos de precisión, los cuales se seleccionan para producir el mínimo error entre la función deseada y la función generada. Una forma de seleccionar estos puntos de precisión es a través de la estrategia matemática conocida como espaciamientos de Chebyshev[7], la cual se define mediante la siguiente ecuación:

1

(

x j = x 0 + 2 (x n+1 − x 0 ) 1 − cos

donde j 51, 2 ,3…, n son los puntos de precisión.

Ejemplo

7.1

( ( ) )) π 2 j −1 2n

(7.1)

Aproximación de la curva con espaciamientos de Chebyshev Determinar los cuatro puntos de precisión que permitan aproximar la curva y 5 tan(x), 0  x  45° por medio de los espaciamientos de Chebyshev. Solución

En este caso se tiene que: j 5 1, 2, 3, 4 x0 5 0 xn11 5 45° Por tanto, los puntos de precisión con el uso de espaciamientos de Chebyshev son: x 0 = 0° 1

( ( 45° (1 − cos ( 45° (1 − cos ( 45° (1 − cos (

x1 = 0° + 2 45° 1 − cos 1

x 2 = 0° + 2 1

x 3 = 0° + 2 1

x 4 = 0° + 2


x 5 = 45°

)) = 1.71° ) = 13.88° )) ) = 31.11° )) ) = 43.28° ))

π (2(1)−1) 2(4) π (2(2)−1 2(4)

π (2(3)−1 2(4)

π (2(4)−1 2(4)

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Descarga

C7.1 Contesta de forma clara y precisa cada uno de los siguientes cuestionamientos.

B

a) ¿Cuál es la diferencia entre síntesis y diseño en el área de mecanismos? b) Explica cada una de las tareas de la síntesis cinemática. c) De manera breve y concisa cita y define la clasificación de las necesidades de diseño vistas en este capítulo.

A γ 5 112.04°

A

b 5 103.56° O4

O2 B

O4 B

C7.2 Elabora un diagrama de flujo de las etapas del diseño de mecanismos; en cada uno de los bloques coloca las Apalabras claves que definen la etapa.

γ 5 98.37° O2

C7.4 Define polo relativo y explica de manera breve la forma de determinarlo.

°

91.43

b51

A

C7.3 Define rotopolo y explicaOde manera breve la O 4 2 forma de determinarlo.

O2

a 5 13.66°

O4

Figura 7.21

C7.5 ¿Cuál es la finalidad de utilizar el espaciamiento de Chebyshev en el diseño de mecanismos?

E7.5 Resuelve el problema del ejercicio E7.4 pero con un giro de la manivela de 30° en sentido antihorario.

Ejercicios


E7.1 Determina el espaciamiento de Chebyshev para una función y 5 2x 2 2x, en un intervalo de [0, 2], para cuatro puntos de precisión. E7.2 Establece el espaciamiento de Chebyshev para una función y 5 e x, en un intervalo de [1, 4], para cinco puntos de precisión.

S7.1 La figura 7.15 b) muestra un método para determinar la ubicación del nodo B2’ cuando se alinea con la recta O2A2. Establece un procedimiento similar para las topologías de la figura 7.22. A

E7.3 Determina el espaciamiento de Chebyshev para una función y 5 ln (x ), en un intervalo de [1, 3], para cuatro puntos de precisión. E7.4 Para cada una de las posiciones del mecanismo de la figura 7.21, donde O2A 5 3 cm, AB 5 13 cm, O2O4 5 8 cm y O4B 5 8 cm, determina el polo instantáneo y el polo relativo si la manivela impulsora gira 30° en el sentido de las manecillas del reloj.


B

O2

A

B

O2

Figura 7.22

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268


S7.2 Considera que se tienen las necesidades de diseño que se citan en cada uno de los siguientes incisos. Para cada una, plantea el(los) tipo(s) de mecanismo(s) que utilizarías como solución de diseño, elabora un bosquejo de la solución, explica con claridad y precisión por qué utilizarías los mecanismos que elegiste y discute los resultados con otros compañeros. a) En su hogar, un ingeniero mecánico mece una silla portabebé tipo oscilatorio; en ese preciso instante decide implementar un mecanismo para hacer oscilar la silla con el uso de un motor. ¿Qué tipo de mecanismo puede utilizar para efectuar la tarea? b) En un proceso industrial se desea impulsar un objeto B, tal como se muestra en la figura 7.23, mediante un impulsor horizontal P. Asimismo, en el proceso requiere que después de un tiempo que el impulsor empuja el objeto, este debe permanecer estático en un tiempo t, para luego regresar y esperar otro objeto. P B

Figura 7.23

c) Un estudiante que aprobó el curso de diseño de mecanismos se encuentra desesperado por el espacio que ocupa una mesa de planchar, por lo que decide quitarle la base y sustituirla por un mecanismo que permita colocar horizontalmente la base en la pared cuando no se utilice, y lo más cercano a la pared para que pueda usarse cuando se requiera.


Figura 7.24

d) Mientras asistía a una exposición, un inventor destacado observa la siguiente necesidad y desea resolver el problema mediante la implementación de un mecanismo: una persona parapléjica que se encuentra en una silla de ruedas tradicional, tiene necesidad de realizar una compra en una máquina expendedora. e) Un tenista, quien además es ingeniero, requiere diseñar una máquina para impulsar las bolas de tenis hasta con cuatro ángulos de disparo. f) Un joven recién titulado de técnico superior vive en una pequeña casa donde la sala y el comedor se encuentran muy juntos. Cuando está en la sala se recuesta en el sofá y tiene que acomodar la pantalla de televisión hacia su izquierda, mientras que cuando está en el comedor debe moverla hacia su derecha. Él desea implementar un mecanismo que le permita mover la televisión de forma horizontal y vertical para cuando se encuentre recostado. g) Un fabricante de juguetes desea implementar un mecanismo para animar el movimiento de caminata de un caballo. h) El gobierno de un estado del país decide regalar sillas especiales para personas

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269


parapléjicas diseñadas para usarse en el transporte público. Sin embargo, ninguna unidad de transporte se encuentra preparada para poder recibir personas con este tipo de silla; por tanto, se decide hacer una convocatoria para diseñar y adaptar un mecanismo que permita resolver este problema. i) Un aficionado a la pesca adquiere una camioneta en la que puede albergar y transportar una pequeña lancha de su propiedad. Después de un tiempo de sufrir algunas dificultades con el proceso de subir y bajar la lancha, decide pagar por un diseño que le permita realizar esta tarea de forma automatizada mediante el uso de algún mecanismo. j) Después de aprobar el curso de mecanismos, un estudiante de ingeniería

se siente motivado para rediseñar el mecanismo de un toro mecánico. k) Se desea implementar un mecanismo para abrir y cerrar una puerta de garaje, la cual se deberá desplazar hacia su derecha e izquierda. l) Un estudiante decide presentar un proyecto navideño que consiste en realizar figuras alusivas a la época con alambrón, luces y diferentes adornos implementando animatronics, para lograr, por ejemplo, mover la cabeza de uno de los renos, etcétera. ¿Qué otros tipos de movimientos pueden ser resueltos mediante el uso de mecanismos? S7.3 Analiza el mecanismo que permite oscilar los abanicos de piso y verifica si puedes realizar una mejora al mecanismo. Indica por qué.

Referencias [1] Blog de Luz Adriana García, http://blog.utp.edu.co/adriamec/. Consultado en abril de 2015. [2] McCarthy, J. Michael. (2000). Geometric Design of Linkages. Springer. [3] Erdman, Arthur G. y Sandor, George N. (1998). Diseño de mecanismos, análisis y síntesis, 3a. ed. México: Prentice Hall. [4] Norton, Robert L. (2013). Diseño de maquinaria, 5a. ed. México: McGraw-Hill. [5] Hartenbeg, Richard S. & Denavit, Jacques. (1964). Kinematic Synthesis of Linkages. McGraw-Hill. [6] Pucheta Martín A. y Cardona, Alberto. (2003). “Síntesis de tipo y dimensional de mecanismos utilizando algoritmos genéticos y ecuaciones algebraicas exactas”, en Mecánica computacional, Vol. XXII, pp. 1200-1216. [7] Goncharov, V. L. (2000). “The theory of best approximation of functions”, en J. Approx. Theory, 106, 2-57.


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Síntesis posicional

Propósito del capítulo En este capítulo se presentan herramientas gráficas, analíticas y computacionales para resolver problemas de diseño que involucren colocar un cuerpo en determinadas posiciones. Por tanto, la síntesis posicional de mecanismos consiste en determinar las dimensiones de los eslabones de un mecanismo a fin de desplazar un objeto, pieza o elemento en algunas posiciones. Al final del capítulo el lector podrá realizar diseños del tipo de guiado de sólido rígido para dos y tres posiciones, que consiste en sintetizar las dimensiones de una manivela, de una manivela-oscilador y(o) manivela-corredera, para desplazar un elemento rígido en dos posiciones deseadas o prescritas, entre otras. Competencia específica • Definir una metodología para la síntesis cinemática de mecanismo que permita satisfacer necesidades de movilidad mediante el uso de herramientas gráficas y analíticas.

270


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Capítulo

8

Habilidades 1. Esquematizar una necesidad de diseño en lenguaje técnico de mecanismos. 2. Elegir la técnica adecuada para resolver los requerimientos de diseño relacionados con la movilidad de uno de sus elementos. 3. Sintetizar las dimensiones de un mecanismo manivela-oscilador para desplazar uno de sus elementos en dos o tres posiciones prescritas. 4. Sintetizar las dimensiones de un mecanismo manivela-corredera para desplazar uno de sus elementos en dos o tres posiciones prescritas. 5. Sintetizar las dimensiones de un mecanismo manivela-oscilador para cumplir con requerimientos de oscilación, ya sea en las posiciones extremas o en las posiciones intermedias. 6. Sintetizar las dimensiones de un mecanismo manivela-corredera para posicionar la corredera en dos o tres posiciones prescritas. 7. Proponer soluciones basadas en mecanismos para los requerimientos de posición en uno de sus elementos. 8. Comprobar los resultados de la síntesis por herramientas computacionales. Conocimientos requeridos • Topología de los mecanismos. • Geometría analítica.

271


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272


8.1 Introducción La síntesis posicional constituye una herramienta muy útil para el diseño de mecanismos ya que permite diseñar mecanismos en procesos industriales capaces de realizar una tarea sincronizada en su movimiento. Consiste en la selección de un tipo de mecanismo y las longitudes de sus eslabones para colocar uno de los eslabones en una o más posiciones. En este capítulo se abordan la síntesis posicional, el guiado de un sólido rígido y los osciladores RRRR. El guiado de un sólido rígido consiste en desplazar un elemento sobre una o varias posiciones prescritas. Por su parte, el diseño de osciladores RRRR consiste en posicionar una manivela en una o varias posiciones angulares, que pueden ser sus extremos de oscilación y(o) puntos intermedios. Por último, se considera el diseño posicional de un mecanismo manivela-corredera para satisfacer necesidades de diseño en dos y tres posiciones.

8.2 Guiado de sólido rígido Las estrategias de síntesis que se abordan en este apartado pueden utilizarse para satisfacer necesidades de diseño donde se involucre el desplazamiento de un cuerpo. Esta síntesis, conocida como guiado de un sólido rígido, puede ser resuelta mediante el uso de una manivela, un mecanismo doble oscilador y un mecanismo de manivela-corredera para dos y tres posiciones de diseño, llamadas posiciones prescritas.

Dos posiciones prescritas mediante el uso de una manivela Este tipo de síntesis se puede usar para desplazar una pieza u objeto en dos posiciones deseadas mediante el uso de una manivela. El resultado de esta síntesis es la geometría de la manivela y las coordenadas de su origen, llamado rotopolo, de modo que a la manivela le permita oscilar entre las dos posiciones deseadas de diseño, como se muestra en la figura 8.1. Al seleccionar tres nodos para el B1 análisis sobre la manivela (O, A y B), Objeto a A1 desplazar y tras graficar las posiciones iniciales y finales del eslabón, se puede A2 concluir que el centro de giro OA, el B2 cual se puede obtener sobre la meManivela diatriz entre A1 y A2, coincide con el O Rotopolo centro de giro OB que se encuentra sobre una mediatriz entre B1 y B2. Figura 8.1 Síntesis de dos posiciones con rotopolo fijo.

Fig 8.1 Síntesis de dos posiciones con rotopolo fijo.


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273

Capítulo 8. Síntesis posicional

Por tanto, es posible establecer una metodología para sintetizar las dimensiones y la geometría de una manivela para desplazar un objeto en dos posiciones. 1. Necesidad Implementar un mecanismo que permita desplazar un elemento rígido en dos posiciones deseadas. 2. Objetivo Sintetizar la geometría de una manivela, así como la ubicación de su origen (O2), para cumplir con la necesidad de movimiento de la barra AB.

Método gráfico 1. Desarrollo i. Seleccionar dos puntos de trabajo en el elemento por desplazar, a los que se llamará A y B, unidos por una línea de trabajo. ii. Trazar en un sistema de coordenadas cartesianas (x, y ) las dos posiciones de diseño (A1, B1 y A2, B2). iii. Definir una línea de construcción desde A1 hasta A2 (a la que se denominará LC1), y de B1 hasta B2 (a la que se llamará LC2). iv. Trazar una mediatriz de la línea de construcción LC1 y otra de la línea LC2. v. La intersección de estas mediatrices será un centro de giro de las posiciones deseadas, por lo que será la ubicación de la manivela.

Síntesis de dos posiciones mediante el uso de una manivela y por método gráfico

Ejemplo

Sintetizar las dimensiones y la ubicación de la manivela, de tal modo que esta permita mover un elemento rígido, para lo cual se considera AB 5 4u como línea de trabajo. x (cm)

y (cm)

Ángulo (DEG)

A1

1

4

230

A2

2

0

0

8.1

Solución

1. Se seleccionan dos puntos de diseño del sólido rígido, que se identifican como A y B, y la línea que los une como línea de trabajo. 2. En un sistema de coordenadas cartesianas (x, y) se trazan las dos posiciones de diseño (A1, B1) y (A2, B2), para lo cual en la tabla se dan las coordenadas de los extremos de la línea de trabajo (A1 y A2), su longitud


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274


(4 cm) y su inclinación. Con estos datos es posible graficar las dos posiciones de diseño, como se muestra en la figura 8.2. 3. Definir una línea de construcción desde A1 hasta A2 (denotada como LC1) y de B1 hasta B2 (denotada como LC2), además de trazar las mediatrices de las dos líneas de construcción, la cual es una recta perpendicular a otra desde su punto medio. 4. La intersección de estas mediatrices constituye un centro de giro de las posiciones deseadas, por lo que es la ubicación de la manivela. 6 5

Rotopolo O2

A1

4 3 2

B1

LC 1

LC 2 A2 -2

-1

1

2

B2 3

4

5

6

7

8

9

10

-1

Fig del 8.2rotopolo del ejemplo 8.1. Figura 8.2 Ubicación

De la gráfica se obtienen las coordenadas del rotopolo O2:

O25 (8.9, 3.8)

El “cuerpo” de la manivela está conformado por las líneas O2B2 y B2A2, o bien por O1B1 y B1A1. Estas dos líneas están articuladas en forma fija, es decir, forman un mismo elemento rígido. La figura 8.3 muestra el mecanismo final del diseño.

6 5

A1

4

O2

3

B1

2 1

A2 -1

1

2

B2 3

4

5

6

7

8

9

10

-1

Figura 8.3 Resultado Fig 8.3final del ejemplo 8.1.


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275


Método analítico Es posible plantear el procedimiento gráfico anterior por medio de ecuaciones de geometría analítica vistas en el capítulo 2. Para ello se aplica la ecuación de la mediatriz y de la recta, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Síntesis de dos posiciones mediante el uso de una manivela y por método analítico

Ejemplo

Solucionar el ejemplo 8.1 usando el mismo procedimiento, pero con ecuaciones de geometría analítica.

8.2

Solución

Primero se seleccionan los dos puntos de diseño del sólido rígido, a los que se llama A y B. Esta línea es proporcionada y tiene un valor de L 5 4 cm. Después, en un sistema de coordenadas cartesianas (x, y) se definen las dos posiciones de diseño (A1, B1) y (A2, B2). Los puntos extremos de A1 y A2, que son B1 y B2, pueden obtenerse como: B1x = A1x + Lx = 1 + 4 cos(−30°) = 4.46

B1 y = A1 y + Ly = 4 + 4sen(−30°) = 2

B2 x = A2 x + Lx = 2 + 4 cos(0°) = 6

B2 y = A2 y + Ly = 0 + 4sen(0°) = 0

Enseguida se definen las líneas de construcción desde A1 hasta A2, y de B1 hasta B2. Las líneas de construcción tienen un valor de inclinación llamado pendiente mA de la línea A1A2 y mB a la pendiente de la línea B1B2. Mediante la ecuación de pendiente de una para determinar el valor de las pendientes se tiene:

mA =

A2 y − A1 y 0−4 = = −4 A2 x − A1x 2 −1

mB =

B2 y − B1 y 0−2 = = −1.3 B2 x − B1x 6 − 4.46

Después se determinan las coordenadas del punto medio Am de A1 a A2 y Bm de B1 a B2, como se muestra en la figura 8.4. A1x + A2 x 1 + 2 = = 1.5 2 2 B x + B2 x 4.46 + 6 = = 5.23 Bm x = 1 2 2 Para expresar las mediatrices en forma de ecuación de recta se utilizan las coordenadas de Am y Bm como conocidas y la pendiente perpendicular a las líneas de construcción como: 1 1 mA’ = − = 0.25 mB’ = − = 0.769 mA mB Am x =

Las ecuaciones de las mediatrices son las ecuaciones de dos líneas, de modo que el


A1 y + A2 y 4+0 = =2 2 2 B y + B2 y 2 + 0 = =1 Bm y = 1 2 2 Am y =

A1

4

3

LC 1 B1

2

Am

LC 2

1

Bm

A2 -1

1

2

3

4

5

B2

6

-1

Figura 8.4 Puntos medios Fig 8.4 del ejemplo 8.2.

12/09/15 18:23

276


punto común (x, y) de las mismas son precisamente las coordenadas del rotopolo. Tras referir las coordenadas del rotopolo (Ox, Oy), y puesto que se pretende que estas coordenadas sean comunes a ambas mediatrices, se pueden plantear las ecuaciones de las mediatrices de la siguiente forma:

O y − Am y = mA’ (O x − Am x )

ry − 2 = 0.25 (rx − 1.5)

O y − Bm y = mB’ (O x − Bm x )

ry − 1 = 0.79 (rx − 5.23)

Al solucionar las ecuaciones se obtienen las coordenadas del rotopolo: O 5 (8.8, 3.8)

5

r y -2 = 0.25 ( r x - 1.5 )

A1

4 3

LC 1 2

r y -1 = 0.79 ( r x - 5.23 )

B1

Am

LC 2

1

Bm

A2 1

2

3

4

B2 5

6

7

8

9

10

Figura 8.5 Solución del ejemplo 8.2. Fig 8.5

Dos posiciones prescritas mediante el uso de doble oscilador En el apartado anterior se detalla el procedimiento para sintetizar la geometría de una manivela y la ubicación de su pivote, la cual permite desplazar un elemento en dos posiciones deseadas. Sin embargo, en algunos casos puede suceder que la ubicación del rotopolo se encuentre fuera del espacio de trabajo, lo que provoca que no puedan intersecarse las mediatrices, con lo que se impide su implementación. Una solución consiste en permitir una libre selección de la ubicación del rotopolo (uno por cada mediatriz), de tal manera que uno de los rotopolos será el centro de giro de los puntos A1 y A2, y el otro será el centro de giro de los puntos B1 y B2. Elemento a desplazar B2

B1

A2

O4

B1

A2

Mecanismo de cuatro barras

A1 O2

B2

A1 O2

O4

Figura 8.6 Síntesis de dos posiciones con rotopolos Fig 8.6arbitrarios.


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277


El resultado de tal propuesta de diseño será un mecanismo doble oscilador en el que la biela será la línea de trabajo AB, como se ilustra en la figura 8.6. 1. Necesidad Se desea diseñar un mecanismo que permita desplazar un elemento rígido en dos posiciones deseadas. 2. Objetivo Sintetizar la geometría de un mecanismo doble oscilador con dos rotopolos móviles O2 y O4, para cumplir con el movimiento de la pieza AB.

Método gráfico 1. Desarrollo i. Seleccionar dos puntos de construcción A y B del sólido rígido y trazar una línea de construcción desde A hasta B. ii. Trazar en un sistema de coordenadas cartesianas (x, y ) las dos posiciones de diseño (A1, B1 y A2, B2). iii. Definir una línea de construcción desde A1 hasta A2 (a la que se llamará LC1), y de B1 hasta B2 (a la que se denominará LC2). iv. Trazar una mediatriz de la línea de construcción LC1 y otra de la línea LC2. v. Seleccionar de manera arbitraria un pivote de la manivela O2 (rotopolo) sobre la línea LC1 y otro (O4) sobre la línea LC2. vi. El mecanismo de doble manivela se forma desde el pivote O2, A1, B1, O4 u O2, A2, B2, O4.

Síntesis de dos posiciones mediante el uso de doble oscilador y por método gráfico Determinar las coordenadas y las dimensiones de un mecanismo de cuatro barras para impulsar un elemento rígido con un segmento de 4 cm que cumpla con las siguientes condiciones de diseño: x (cm)

y (cm)

Ángulo (DEG)

A1

1

5

25

A2

2

0

0

Ejemplo

8.3

Solución

Primero se seleccionan dos puntos de diseño del sólido rígido (a los que se llama A y B) y se traza una línea recta desde A hasta B. Luego, en un sistema de coordenadas cartesianas (x, y) se dibujan las dos posiciones de diseño: A1(1, 4) y A2(2, 0).


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278


7

B1

6

A1B 1

A1

5

OB

LC 1

4

OA

B

A

3

LC 2

2 1

A2

A2B 2

0 -2

-1

0

1

2

A2B 2

3

4

5

6

7

8

9

Figura 8.7 Mediatriz Fig 8.7del ejemplo 8.3.

Una vez colocados los puntos A1 y A2, se traza la línea de construcción AB para cada posición de longitud L 5 4 cm y con el ángulo establecido en el diseño; es decir, 25º para A1 y 0º para A2. Enseguida se define una línea de construcción desde A1 hasta A2, a la que se llama LC1, y de B1 hasta B2, a la que se denomina LC2. A continuación se trazan las mediatrices de las líneas de construcción, las que, como puede observarse, no intersecan en el área de diseño, por lo que se puede proceder a seleccionar dos rotopolos arbitrarios (OA y OB) sobre las líneas LC1 y LC2, que serán los orígenes de las manivelas. Después, de manera arbitraria se selecciona un pivote de la manivela O2 (rotopolo) sobre la línea LC1 y otro (O4) sobre la línea LC2. En este ejemplo se han seleccionado los siguientes rotopolos y se han obtenido las siguientes dimensiones: OA 5 (21.5, 3), OB 5 (7, 4), L2 5 3.2, L3 5 4, L4 5 3.63 Ahora se establece la geometría del mecanismo doble manivela. La manivela de entrada se puede seleccionar como O2A, la biela será la ba7 B1 rra AB y la manivela de salida 6 A1B 1 será O4B (véase figura 8.8). Manivela 4 Nota: En este tipo de diseños, por lo general los mecanismos no cumplen con la condición de Grashof; por tanto, es necesario un impulsor de revoluciones completas que permita su oscilación. Estos dispositivos se abordan en la sección Diadas impulsoras del presente capítulo.


A1

5

Biela

A 1B 1

OB

Manivela 2 Trayectoria del nodo B

4 3

0A

Trayectoria del nodo A

2 1

A2

-2

-1

0

B2

A2B 2

0 1

2

3

4

5

6

7

8

Figura 8.8 PasoFig 4 del8.8 ejemplo 8.3.

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279


Método analítico El método gráfico planteado en el apartado anterior también puede ser establecido mediante el uso de ecuaciones de geometría analítica vistas en el capítulo 2, específicamente la ecuación general de una circunferencia, la cual permite determinar el centro de giro del punto A y del punto B. Sean (x1, y1) y (x2, y2) dos coordenadas de uno de los extremos de la línea de trabajo; por tanto, cada coordenada pertenece a una ecuación de circunferencia cuyo centro es el rotopolo de coordenadas Ox y Oy: x 12 + y 12 + Qx 1 + Wy 1 + Z = 0 (8.1) x 22 + y 22 + Qx 2 + Wy 2 + Z = 0 donde:

Q 5 22Ox, W 5 22Oy, Z 5 Ox 2 1 Oy 2 2 r 2

Debido a que se dispone de dos condiciones de diseño, y en este caso de tres incógnitas (Q, W y Z), se debe seleccionar de manera arbitraria una de las constantes Q, W y Z para poder solucionar el sistema de ecuaciones.

Síntesis de dos posiciones mediante el uso de doble oscilador y método analítico Solucionar el ejemplo 8.3 por medio de las ecuaciones de la geometría analítica.

Ejemplo

8.4

Solución

Ecuación de la circunferencia del eslabón de entrada con coordenadas A1 (1, 5) y A2 (1, 1). 12 + 52 + Q (1) +W (5) + Z = 0 12 + 12 + Q (1) +W (1) + Z = 0

Aquí se puede seleccionar cualquiera de las coordenadas del origen o el radio de la circunferencia. A fin de comparar los resultados con el ejemplo anterior, se selecciona Ox 5 21.5; por tanto, Q 5 22 y Ox 5 3. Al solucionar el sistema de ecuaciones se tiene como resultado W 5 26 y Z 5 1. De este modo, si W 5 22O y Z 5 Ox2 1 Oy2 2 r 2, se tiene que Oy 5 3 y r 5 3.3. Coordenadas B1 y B2. B1x = A1x + Lx = 1 + 4 cos(25) = 4.62 B2 x = A2 x + Lx = 1 + 4 cos(0) = 5

B1 y = A1 y + Ly = 5 + 4sen(25) = 6.69 B2 y = A2 y + Ly = 1 + 4sen(0) = 1

Ecuación de la circunferencia del eslabón de entrada con coordenadas B1 (4.62, 6.69) y B2 (5, 1). 4.622 + 6.692 + 4.62Q + 6.69W + Z = 0 52 + 12 + 5Q +W + Z = 0


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280


A fin de comparar los resultados con el ejemplo anterior se selecciona Ox 5 7; por tanto, Q 5 22O 2 14.13. Al solucionar el sistema de ecuaciones se tiene como resultado W 5 27.989 y Z 5 36.51. De este modo, si W 5 22Oy , Z 5 Ox2 1 Oy2 2 r 2, entonces: Oy 5 3.99 y r 5 3.6

Tres posiciones prescritas mediante el uso de doble oscilador El método de síntesis de dos posiciones con rotopolos móviles vistos en la sección Dos posiciones prescritas mediante el uso de una manivela permite la selección arbitraria de la ubicación de los rotopolos. Es posible eliminar esta arbitrariedad al establecer una nueva condición de diseño, con lo que se tienen tres posiciones de diseño. Así, al tener tres posiciones deseadas del elemento AB se localizará la ubicación de un solo rotopolo, al que se denominará O2 para el centro de giro de A, y O4 para el centro de giro de B. Debido a que la ubicación de estos rotopolos ahora no es arbitraria, entonces solo es posible obtener dos únicas ubicaciones de los rotopolos para tales condiciones; por tanto, con esta metodología solo es posible obtener un solo mecanismo RRRR para el guiado de un sólido rígido en tres posiciones deseadas, llamadas pares de diseño. 1. Necesidad Se desea diseñar un mecanismo que permita desplazar un elemento rígido en tres posiciones deseadas. 2. Objetivo Sintetizar las dimensiones de un mecanismo doble manivela, así como la ubicación de sus rotopolos O2 y O4, para cumplir con la necesidad de diseño.

Método gráfico 1. Desarrollo i. Seleccionar dos puntos de diseño sobre el sólido rígido, a los que se llamará A y B. ii. Al considerar un sistema de coordenadas cartesianas (x, y) se definen las tres posiciones de diseño (A1, B1), (A2, B2) y (A3, B3). iii. Definir las líneas de construcción LCA12 de A1 a A2, LCA23 de A2 a A3, LCB12 de B1 a B2 y LCB23 de B2 a B3. iv. Trazar las mediatrices de las cuatro líneas de construcción. v. La intersección de la mediatriz de las líneas LCA12 y LCA23 es la ubicación del rotopolo O2, que es el centro de giro de A.


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281


vi. La intersección de la mediatriz de las líneas LCB12 y LCB23 es la ubicación del rotopolo O4, que es el centro de giro de B. vii. El mecanismo doble manivela queda formado por la manivela 2 de O2A, la biela 3 de AB y la manivela 4 de O4B.

Síntesis de tres posiciones mediante el uso de doble oscilador y por método gráfico

Ejemplo

Se desea mover un elemento rígido en tres posiciones particulares, para lo cual se traza una línea de trabajo AB 5 3.1u. Los puntos deseados son los siguientes: x (cm)

y (cm)

q (DEG)

A1

0

0

28

A2

1.1

1.9

0

A3

21.7

4.3

220

Determinar las dimensiones del mecanismo doble manivela que cumple con las condiciones de diseño.

5

A3

4

B3 3

Solución

1. Seleccionar dos puntos de diseño del sólido rígido, al que se llamará A y B. 2. Al considerar un sistema de coordenadas cartesianas (x, y) se definen tres posiciones de diseño: (A1, B1), (A2, B2) y (A3, B3). Luego, se trazan las líneas de construcción LCA12 de A1 a A2, LCA23 de A2 a A3, LCB12 de B1 a B2, LCB23 de B2 a B3, y se localizan los puntos medios. 3 y 4. Definir las líneas de construcción LCA12 de A1 a A2, LCA23 de A2 a A3, LCB12 de B1 a B2, LCB23 de B2 a B3, y se trazan las mediatrices.

8.5

2

A2

B1

B2

1

A1 0

-2

0

-1

1

2

3

4

5

6

Fig 8.9de diseño del ejemplo 8.5. Figura 8.9 Tres posiciones 6 5

A3

4

AM 23

B3 3

A2

2

BM23

AM 12

1

B2 BM12

B1

0 -2

-1

A1

0

1

2

3

4

5

6

Fig 8.10 Figura 8.10 Tres posiciones de diseño del ejemplo 8.5.


12/09/15 18:23

282


5. La intersección de la mediatriz de las líneas LCB12 y LCB23 es la ubicación del rotopolo O4, que es el centro de giro de B.

5

A3

4

OB

B3 3

OA

2

A2

B1

B2

1

0

Figura 8.11 Resultado final del ejemplo 8.5.

-2

-1

A1 0

1

2

3

4

5

6

Fig 8.11

El resultado de la síntesis establece la geometría del mecanismo doble manivela: O2 5 (21.2, 2), O4 5 (3, 3.2) L2 5 2.35, L3 5 3.1, L4 5 1.82

Método analítico Para el método analítico se hace uso de la ecuación general de una circunferencia con tres condiciones de diseño; por tanto, se tendrán tres ecuaciones de circunferencia que determinan el centro de giro del nodo A y otro conjunto de tres ecuaciones para el nodo B. Considérense (x1, y1), (x2, y2) y (x3, y3) como las tres coordenadas pertenecientes a una circunferencia cualesquiera y que determinan las posiciones de uno de los nodos de la barra. Por tanto, para estas tres posiciones: x 12 + y 12 + Qx 1 + Wy 1 + Z = 0

x 22 + y 22 + Qx 2 + Wy 2 + Z = 0 x 32 + y 32 + Qx 3 + Wy 3 + Z = 0

(8.2)

donde Q 5 22Ox, W 5 22Oy, Z 5 Ox2 1 Oy2 2 r 2, en las que Ox y Oy son las coordenadas del centro de giro de la circunferencia que pasa por los tres puntos. Este sistema de ecuaciones puede solucionarse mediante el método de sustitución o el sistema de la forma matricial.

Ejemplo

8.6

Síntesis de tres posiciones en que se usa doble manivela y por método analítico Solucionar el ejemplo 8.5 mediante ecuaciones de una circunferencia. Solución

1. Ecuación de la circunferencia del eslabón de entrada con coordenadas A1 (0, 0), A2 (1.1, 1.9) y A3 (21.7, 4.3).


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283


02 + 02 + Q (0) +W (0) + Z = 0 1.12 + 1.92 + 1.1Q + 1.9W + Z = 0 2

−(1.7) + 4.32 − 1.7Q + 4.3W + Z = 0

En este caso no es posible seleccionar cualquiera de las coordenadas del origen o el radio de la circunferencia, ya que existen tres incógnitas y tres ecuaciones. Al solucionar el sistema de ecuaciones se tiene Q 5 2.49, W 5 23.98 y Z 5 0. Si Q 5 22Ox, W 5 22Oy y Z 5 Ox2 1 Oy2 2 r 2; por tanto, se tiene que Ox 5 21.24, Oy 5 2 y r 5 2.35. 2. Coordenadas B1 y B2. Al observar la figura 8.9 se pueden establecer las siguientes ecuaciones: B1x = A1x + Lx = 0 + 3.1cos(28°) = 2.71 B1 y = A1 y + Ly = 0 + 3.1sen(28°) = 1.46 B2 x = A2 x + Lx = 1.1 + 3.1cos(0°) = 4.2 B2 y = A2 y + Ly = 1.9 + 3.1sen(0°) = 1.9 B3 x = A3 x + Lx = −1.7 + 3.1cos(−20°) = 1.21 B3 y = A3 y + Ly = 4.3 + 3.1sen(−20°) = 3.24 Ecuación de la circunferencia del eslabón de entrada con coordenadas B1 (2.71, 1.46), B2 (4.2, 1.9) y B3 (1.21, 3.24): 2.712 + 1.462 + 2.72Q + 1.46W + Z = 0 4.22 + 1.92 + 4.2Q + 1.9W + Z = 0

1.212 + 3.242 + 1.21Q + 3.24W + Z = 0

Si Q 5 22Ox, W 5 22Oy, Z 5 Ox2 1 Oy2 2 r 2, se tiene que Ox 5 3.02, Oy 5 3.25 y r 5 1.8: O2 5 (21.24, 2), O4 5 (3.02, 3.25) L2 5 2.35, L3 5 3.1 L4 5 1.8

Dos y tres posiciones en que se usa manivela-corredera Otra alternativa para desplazar un sólido rígido en dos o tres posiciones es mediante la adecuación del elemento a desplazar sobre la biela de un mecanismo manivela-corredera. En este tipo de mecanismos, para dos posiciones no existe ninguna restricción al movimiento, como se muestra en la figura 8.12, ya que uno de los nodos de la línea de trabajo


SiempreSiempre existirá una existirá línea una línea que pueda queunir pueda los unir nodos los nodos

Los tres Los nodos tresdeben nodos deben pertenecer pertenecer a una línea a una línea

Figura 8.12 Opciones para dos y tres posiciones mediante el uso de manivela-corredera.

Fig 8.12 Fig 8.12

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284


será articulado a una manivela con un rotopolo arbitrario. El otro nodo, y por ser dos posiciones prescritas, simplemente se une como una línea donde se deslizará la corredera. En el caso de tres posiciones, uno de los nodos tendrá un único rotopolo para una manivela, mientras que el otro nodo quedará restringido a moverse sobre una línea recta. 1. Necesidad Se desea implementar un mecanismo para desplazar un elemento en dos o tres posiciones, y uno de los nodos del elemento deberá moverse sobre una línea recta. 2. Objetivo Sintetizar las dimensiones de un mecanismo manivela-corredera que permita desplazar un elemento en dos o tres posiciones.

Método gráfico 1. Desarrollo i. Crear una línea de construcción AB en el elemento que habrá de desplazarse. ii. Dibujar en un plano cartesiano las posiciones prescritas de la línea de construcción. iii. Seleccionar los nodos de articulación. a) Para el caso de dos posiciones, seleccionar el nodo que pertenecerá a la manivela; en consecuencia, el otro pertenecerá a la corredera. b) Para el caso de tres posiciones, seleccionar el nodo que en sus tres posiciones pase por una línea recta, y que pertenecerá a la corredera; en consecuencia, el otro nodo pertenecerá a la manivela. iv. Encontrar el centro de giro de la manivela. a) Para el caso de dos posiciones: • Trazar una mediatriz entre el punto inicial y final del nodo que se articulará a la manivela. • Seleccionar un punto arbitrario sobre la mediatriz, que será el pivote de la manivela. b) Para el caso de tres posiciones: • Trazar una mediatriz entre la posición 1 y la posición 2 del nodo, que pertenecerá a la manivela, y otra mediatriz entre los nodos 2 y 3. • La intersección de las mediatrices será el pivote de la manivela impulsora.


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285


Síntesis de dos posiciones en que se usa manivela-corredera y por método gráfico Se desea desplazar un elemento rígido que dispone de una base AB de 5 u mediante un mecanismo manivela-corredera con las siguientes características:

Ejemplo

8.7

x (u)

y (u)

Ángulo (DEG)

A1

1

4

230

A1

2

0

0

Nota: El nodo A debe deslizarse.

Solución

Primero se trazan las dos posiciones de la línea de trabajo AB 5 5 u (véase figura 8.13). Las coordenadas A1 y A2 son proporcionadas, por lo que las coordenadas B1 y B2 se obtienen al trazar una línea de 4 u con un ángulo de 230° para B1 y 0° para B2. Después se traza una línea que denota la línea de deslizamiento entre A1 y A2. 6 5 4

Línea de deslizamiento A1 Posición inicial AB

Mediatriz

Rotopolo arbitrario

3

B1

2

O2

1

A2 1

2

B2 3

4

5

6

7

8

9

10

Solución final AB

Figura 8.13 Solución al problema del ejemplo 8.7.

Fig 8.13

Enseguida se traza una mediatriz entre B1 y B2, donde se ubicará el rotopolo, que es el centro de la manivela. Por último, se selecciona de manera arbitraria el rotopolo sobre la mediatriz; en este caso se seleccionó sobre la coordenada (7.35, 2.06), por lo que la manivela impulsora tendrá un radio de O2B1 5 O2B2. El mecanismo final y sus posiciones extremas se muestran en la figura 8.14.


A(1.00, 4.00) Input1 = 1.0

5

O2 (7.35, 2.06) A(2.01, –.04)

B2

5

8.14 Figura 8.14 Mecanismo finalFig y sus posiciones del ejemplo 8.7.

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286


8.3 Osciladores y diadas impulsoras La oscilación en una manivela es una cualidad sencilla pero de gran importancia en el diseño mecánico, ya que permite satisfacer diversas necesidades de movimiento mecánico, como puertas mecánicas, palancas y camas vibratorias, entre otras. En este apartado se detallan dos procedimientos para sintetizar un mecanismo de cuatro barras a fin de que el oscilador cumpla con ciertas posiciones, ya sea en puntos intermedios del movimiento o en los extremos de la oscilación. Estos procedimientos no solo servirán para el diseño de osciladores sino también para el diseño de diadas impulsoras, las cuales son útiles para impulsar mecanismos donde el elemento impulsor solo puede oscilar, ya sea por no cumplir con la condición de Grashof o bien por pertenecer a una inversión cinemática donde el impulsor solo puede oscilar.

Condiciones límite del oscilador con relación de tiempo unitaria El primer caso de síntesis de osciladores consiste en dimensionar las longitudes de un mecanismo manivela-oscilador, de modo que el oscilador se desplace desde una posición mínima a una máxima, conocidas como condiciones límite. La característica de este mecanismo reside en la relación de tiempo definida en t δ la ecuación (3.4), Q = av = av , la cual es unitaria. Esto significa que el tiempo de t ret δret avance es igual al tiempo de retroceso, lo que implica que la manivela impulsora tendrá un ángulo de avance igual al retroceso y de 180o. 1. Necesidad Se desea diseñar un mecanismo manivela-oscilador, de tal modo que el oscilador cumpla con un ángulo de oscilación definido por sus ángulos extremos y el tiempo de avance sea igual al de retroceso. 2. Objetivo Sintetizar las dimensiones de un mecanismo doble manivela para que cumpla con las posiciones extremas de oscilación en el eslabón de salida y una relación de tiempo unitaria.

Método gráfico 1. Desarrollo i. Localizar en un plano cartesiano las coordenadas del nodo del oscilador O4, ya sea que se proporcione o se seleccione de manera arbitraria. ii. Trazar sobre O4 las dos posiciones deseadas del oscilador con la dimensión del oscilador. iii. Localizar un punto de construcción arbitrario en el oscilador, que se denotará por B, de modo que las dos posiciones del oscilador sean B1 y B2:


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287


l 4 = O4B 1 = O4B 2

(8.3)

iv. Trazar una línea de construcción que pase por los puntos B1 y B2. v. Seleccionar arbitrariamente un punto sobre la línea de construcción donde se localizará el pivote de la manivela impulsora O2. vi. Los extremos de la manivela impulsora, denotados por A1 y A2, se localizarán sobre la línea de construcción al partir de O2, con un radio l2 de longitud: BB l 2 = 1 2 (8.4) 2 vii. La biela del mecanismo tendrá la dimensión desde A1 a B1, o de A2 a B2:

l 3 = A1B1 = A2B2

(8.5)

viii. Una vez obtenidas las dimensiones de los eslabones, solo falta determinar la longitud de la barra fija, es decir,

l1 = O2O4 (8.6)

ix. Verificar la condición de Grashof con las longitudes I1, I2, I3 e I4. En caso de que no se cumpla, habrá que rediseñar el mecanismo, para lo cual deberá seleccionarse otro punto arbitrario del paso 5 y repetir el proceso.

Oscilador con Q 5 1 Se desea impulsar una manivela de 4 cm que cumpla con los extremos de oscilación desde 45° hasta 120°. Determinar las dimensiones de la diada impulsora. Solución

Ejemplo

8.8

B2

Primero se trazan las dos posiciones de la manivela y se elige el punto arbitrario por B1 donde articulará la diada; en este caso, se seleccionan los extremos de la diada, pero puede ser cualquier otro (por ejemplo, la mitad de esta), como se muestra en la fi120° 45° gura 8.15. A continuación se traza una línea de O4 construcción que pase por B1 y B2, y después se selecciona de manera arbitraria la Figura 8.15 Ángulos de diseño del ejemplo Fig 8.15 ubicación del rotopolo de la manivela im- 8.8. pulsora sobre esa línea (véase figura 8.16). Por tanto, la manivela impulsora tendrá una longitud B1B1/2 5 2.4 u y el pivote en O2. Para obtener las dimensiones de la biela se coloca la posición de la manivela en 0°, con relación a la línea de construcción, cuyo extremo será A1; así, la longitud de la biela se mide desde A1B1 5 11.75 cm y la distancia de pivote a pivote es O2O4 5 11.94 cm.


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288


A2

O 2 A 1 = 2.4 O2

A1

A1 B1 = 11.75 B1

B2 O 2 O 4 = 11.94

B 2 B1 = 4.87

04

Figura 8.16 Línea de construcción y rotopolo del ejemplo 8.8.

Por último, es necesario verificar que el mecanismo cumpla con la condición de Grashof, puesto que: lmín + lmáx = 2.2 + 11.94 = 14.14, l restantes = 4.87 + 11.75 = 16.62 Por tanto, el mecanismo cumple con la condición de Grashof y la manivela impulsora puede dar revoluciones completas.

Condiciones límite del oscilador con retorno rápido La síntesis para el oscilador de la sección anterior permite obtener un oscilador para una relación de tiempo que siempre será la unidad. Si se desea impulsar un oscilador condicionando las posiciones extremas de oscilación tanto en la manivela impulsora como en el oscilador, entonces se tendrá una relación de tiempo (Q) diferente.

Figura 8.17 Oscilador mín-máx.


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289


En esta sección se propone una metodología de diseño para implementar un oscilador al definir las posiciones extremas mínimas y máximas. Para ello, considérese el mecanismo RRRR mostrado en la figura 8.17, donde las condiciones extremas del eslabón de salida se denotan como q4mín, q4máx (se mueve de q4mín a q4máx) y corresponden con el par de ángulos de entrada q2mín, q2máx. La relación de tiempo que enlaza el tiempo de avance taV con el tiempo de retroceso tret de la ecuación (3.4) puede escribirse como:

Q=

donde:

δaV 180 + α = (8.7) δret 180 − α

α = θ2 máx − 180 − θ2mín (8.8)

Para elaborar una solución a este tipo de síntesis se requiere: 1. La longitud del oscilador. 2. Los ángulos mínimos y máximos de la oscilación: q4mín y q4máx. 3. De la manivela impulsora se pueden tener las siguientes opciones: a) Se proporcionan los valores mínimos y máximos de la manivela impulsora q2mín, q2máx, con lo que α se puede extraer de la ecuación (8.8). b) Se proporciona solo α. Así, se tienen múltiples combinaciones que satisfacen la ecuación (8.8). c) Se proporciona solo la relación de tiempo. De este modo, α se puede extraer de la ecuación (8.7) y se tienen múltiples combinaciones que satisfacen la ecuación (8.8). d) Se proporciona α y uno de los valores extremos q2mín o q2máx. Entonces se tiene una solución única, de modo que el otro valor extremo se extrae de la ecuación (8.8). e) Se proporciona la relación de tiempo y uno de los valores extremos q2mín o q2máx. Así, α se puede extraer de la ecuación (8.7) y se tiene una solución única, de modo que el otro valor extremo se extrae de la ecuación (8.8). 1. Necesidad Se desea implementar un mecanismo para satisfacer un ángulo de oscilación a la salida y con una relación de tiempo que cumpla con una condición de retorno rápido. 2. Objetivo Sintetizar las dimensiones de un mecanismo de cuatro barras luego de definir los límites de oscilación y la relación de tiempo.


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290


Método gráfico 1. Desarrollo i. Conociendo la dimensión del oscilador, seleccionar en un plano cartesiano el pivote de dicho oscilador O4 y trazar los extremos de la oscilación O4B1 y O4B2. ii. Conociendo la relación de tiempo Q o los extremos q4mín, determinar el ángulo α de la ecuación (8.7) o de la (8.8). iii. Trazar una línea de construcción XX ’ que pase por B1 y una línea de construcción YY ’ que pase por B2, y formar un ángulo α con respecto a la línea XX ’. a) Si no se proporciona ninguno de los extremos de la manivela de entrada q4mín, q4máx, entonces una de las dos líneas se traza de manera arbitrariamente y la otra se genera con la diferencia del ángulo α. b) Si se proporciona uno de los extremos de la manivela q4mín o q4máx, entonces se traza la línea XX ’ para q4mín, o bien YY ’ para q4máx; el otro se traza de manera que forme un ángulo α. c) Si se proporcionan ambos extremos de la manivela de entrada (q4mín y q4máx), entonces se traza la línea XX ’ para q4mín y YY ’ para q4máx. iv. La intersección de las líneas XX ’ y YY ’ será el pivote O2 de la manivela impulsora. v. Localizar un punto de construcción C que pase por la línea YY ’ de modo que O2C 5 O2B1, lo cual se logra al colocarse en O2 y trazar una circunferencia de radio O2B1. vi. Las dimensiones del mecanismo serán:

Ejemplo

8.9

l1 = O2O4

l2 =

B2C 2

l 3 = O2B1 − l 2

(8.9)

Oscilador con retorno rápido. Método gráfico Se desea impulsar una manivela de 4 cm que cumpla con los extremos de oscilación desde 40° hasta 90° y que además tenga relación de tiempo Q 5 1.4.

C

B2

Solución

De la ecuación (8.7), y al conocer el valor de Q, se puede obtener el valor del ángulo α 5 30°. Al seguir el procedimiento establecido con anterioridad se obtiene el resultado que se muestra en la figura 8.18.


y

P 2 C = 1.79

x

B1

30° x´

O2 y´

O 2 P1 = 6.51

O2 O1 = 3.11 O4

Figura 8.18 Solución al ejemplo 8.9. Fig 8.18

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291


Por tanto, las longitudes serán: B2C 1.79 = = 0.895 cm 2 2 = 6.51 − 0.895 = 5.61 cm

l1 = O2O4 = 3.61 cm l 3 = O2B1 − l 2

l2 =

Métodos analíticos Para este tipo de síntesis se proponen dos métodos analíticos, el primero de los cuales es similar al método gráfico, solo que se hace uso de ecuaciones de geometría analítica, y el segundo se basa en los valores máximos y mínimos de la ecuación de Freudenstein (3.17): k1 − k 2 cos (θ4 − θ1 ) + k 3 cos (θ2 − θ1 ) + cos (θ4 − θ2 ) = 0

Uso de ecuaciones de geometría analítica Para el uso de las ecuaciones de geometría analítica se requiere proporcionar las coordenadas del pivote O4, la longitud de la manivela, los ángulos de oscilación y el ángulo α. Primero se determinan las coordenadas B1 y B2:

B1x = O4 x + l 4 cos(θ4mín )

B1 y = O4 y + l 4 sen(θ4mín )

B2 x = O4 x + l 4 cos(θ4máx )

B2 y = O4 y + l 4 sen(θ4máx )

(8.10)

Para determinar las coordenadas del pivote de la manivela O2 se requiere la magnitud de las pendientes de las líneas de construcción XX’ y YY’: mXX ' = tan(θ4mín ) (8.11) mYY ' = tan(θ4máx ) por lo que las ecuaciones de las rectas XX’ y YY’ son: O2 y − B1 y − mXX ' (O2 x − B1x ) O2 y − B2 y − mYY ' (O2 x − B2 x ) = 0

(8.12)

las cuales pueden solucionarse al tener dos incógnitas (O2x y O2y).

Oscilador mín-máx. Método analítico mediante ecuaciones geométricas Resolver el problema 8.9 mediante ecuaciones geométricas.

Ejemplo

8.10

Solución

Para la solución se propone un pivote O4 de la manivela osciladora con coordenadas (10, 0). Después, se calculan las coordenadas P1x y P2x por medio de las ecuaciones (8.10).


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292


B1x = O4 x + l 4 cos(θ4mín ) = 10 + 4 cos (40°) = 13.06 cm B1 y = O4 y + l 4 sen(θ4mín ) = 0 + 4 sen(40°) = 2.57 cm B2 x = O4 x + l 4 cos(θ4máx ) = 10 + 4 cos (90°) = 10 cm B2 y = O4 y + l 4 sen(θ4máx ) = 0 + 4 sen(90°) = 4 cm Para obtener un resultado similar al ejemplo 8.9 se utilizará el mismo ángulo que se empleó al trazar la recta XX ’. Al medir esta recta en la gráfica es de θ2mín 5 19.24° y α 5 30°. De este modo, de la ecuación (8.8) se obtiene θ2máx 5 229.24°; por tanto, mXX ’ 5 tan(19.24) 5 0.349 y mYY ’ 5 tan(229.24) 5 1.160. Las ecuaciones de las rectas XX ’ y YY ’ pueden obtenerse mediante la ecuación (8.12): O2 y − 2.57 − 0.349 (O2 x − 13.06) = 0 O2 y − 4 − 1.16 (O2 x − 10) = 0 cuya solución es O2x 5 6.84 cm y O2y 5 0.40 cm. Con esto es posible obtener las longitudes de los eslabones, para lo cual primero se determinan algunas longitudes por medio de la ecuación de la distancia entre dos puntos: O2C = O2P1 = (O2 x − P1x )2 + (O2 y − P1 y )2 = 6.58 cm O2P2 = (O2 x − P1x )2 + (O2 y − P1 y )2 = 4.96 cm P2C = O2C − O2P2 = 6.58 − 4.96 = 1.614 cm O2O4 = (O2 x − O4 x )2 + (O2 y − O4 y )2 = 3.18 cm

Por último, mediante las ecuaciones (8.9) se tiene:

P2C 1.614 = = 0.807 cm 2 2 = 6.58 − 0.807 = 5.77 cm

l1 = O2O4 = 3.18 cm l 3 = O2P1 − l 2

l2 =

Uso de la ecuación de Freudenstein La ecuación de Freudenstein (3.17) es útil para deducir algunos criterios de la movilidad de un mecanismo de cuatro barras e incluso para cuestiones de diseño. En este caso se utiliza para deducir las condiciones para los límites máximos y mínimos de la oscilación. Para la deducción de la síntesis por simplicidad se define q21 5 q2mín, q22 5 q2máx, q41 5 q4mín, q42 5 q4máx. Si se deriva la ecuación de posición de un mecanismo RRRR con respecto a la entrada q2 se tiene: d (k1 − k 2 cos(θ 4 − θ 1) + k 3 cos(θ 2 − θ 1) + cos(θ 4 − θ 2 ) = 0 ) dθ2  dθ 4  θ d 4 (8.13) − k 3sen(θ 2 − θ 1) − sen(θ 4 − θ 2 )  − 1 = 0 k 2sen(θ 4 − θ 1) dθ 2  dθ 2 


12/09/15 18:23

293


Para utilizar los valores mínimos y máximos se aplica la propiedad de máximos o mínimos locales de la derivada; es decir, cuando el mecanismo llega a sus límites, entonces la velocidad angular será cero, lo que significa que d q4 /d q2 5 ω 5 0. Por tanto, la ecuación (8.13) se reduce a: −k 3 sen(θ2 − θ1 ) + sen(θ4 − θ2 ) = 0 Al considerar como datos de diseño las condiciones extremas mínimas y máximas, se tienen como incógnitas dos variables (k3 y q1), las cuales pueden encontrarse al plantear las dos condiciones de diseño: −k 3sen(θ21 − θ1 ) + sen(θ41 − θ21 ) = 0

(8.14)

−k 3sen(θ22 − θ1 ) + sen(θ42 − θ22 ) = 0

La solución a este sistema de ecuaciones se puede obtener mediante identidades trigonométricas. La solución final se obtiene al definir:

F=

sen(θ42 − θ22 ) sen(θ41 − θ21 )

 sen(θ22 ) − Fsen(θ21 )  θ1 = tan−1   cos(θ22 ) − F cos(θ21) 

k3 =

sen(θ42 − θ22 ) sen(θ22 − θ1)

(8.15)

Una vez calculados los valores de k3 y q1 pueden obtenerse las constantes k1 y k2 de la ecuación de Freudenstein (3.17) al sustituir los valores de k3 y q1 y las condiciones extremas mín-máx, es decir: k1 − k 2 cos(θ 41−θ 1) + k 3 cos(θ 21−θ 1) + cos(θ 41−θ 21) = 0 (8.16) k1 − k 2 cos(θ 42 −θ 1) + k 3 cos(θ 22 −θ 1) + cos(θ 42 −θ 2 ) = 0 donde con k1, k2 y k3 se obtienen las longitudes del eslabón mediante las ecuaciones, es decir: k1 =

l 32 − l12 − l 22 − l 42 l l , k2 = 1 , k3 = 1 l2 l4 2l 2l 4

(8.16)

Notas Nota 1: Si en el método de oscilador mín-máx se encuentra un valor negativo de k3, entonces las condiciones de diseño no tienen solución bajo la estructura del mecanismo RRRR. Nota 2: El método oscilador mín-máx no funciona cuando en alguna de las condiciones extremas la diferencia q4- q2 es cero (o muy cercana a cero), o cuando la relación de transmisión es unitaria.


12/09/15 18:23

294


1. Necesidad Se desea implementar un mecanismo que para un par de ángulos de la manivela correspondan a un par de ángulos del oscilador. 2. Objetivo Sintetizar las dimensiones de un mecanismo de cuatro barras al definir los límites de la manivela de entrada (q21, q22) y de oscilación (q41, q42). 3. Desarrollo i. Con los datos de diseño calcular las constantes F, θ1 y k3 mediante las ecuaciones (8.15). ii. Determinar las constantes k1 y k2 por medio de las ecuaciones (8.16). iii. Determinar las longitudes de los eslabones mediante las ecuaciones (8.17).

Síntesis de oscilador mín-máx Ejemplo

8.11

Se desea sintetizar los eslabones de un mecanismo RRRR tipo oscilador cuyas condiciones de diseño son las siguientes: Solución

q2 (DEG)

q4 (DEG)

Mín

330

22

Máx

151

96

Al aplicar las ecuaciones (8.15) se tiene: F=

sen(θ42 − θ22 ) sen(96° − 151°) = = −1.0395 sen(θ41 − θ21 ) sen(22° − 330°)

 sen(θ22 ) − F sen(θ21 )   sen(151°) + 1.0395 × sen(330°)  = tan−1  θ1 = tan−1  = −53.74°   cos(151°) + 1.0395 × cos(330°)   cos(θ22 ) − F cos(θ21 )  k3 =

sen(θ42 − θ22 ) sen(96° − 151°) = 1.95 = sen(θ22 − θ1 ) sen(151° + 53.74°)

A continuación se sustituyen los valores en las ecuaciones (8.16): k1 − k 2 cos(22° + 53.74°) + 1.95

2.459 -53.79°

×cos(330° + 53.74°) + cos(22° − 130°) = 0 k1 − k 2 cos(96° + 53.74°) + 1.95

7.38 8.00

×cos(151° + 53.74°) + cos(96° − 151°) = 0 Una vez solucionado el sistema de ecuaciones se obtienen los valores de las constantes: k1 5 21.60 y k2 5 3.25. Para determinar los valores de las longitudes primero se selecciona la longitud del eslabón fijo I1 5 8 cm (es posible


4.085

Figura 8.19 Mecanismo resultado del Fig 8.19 diseño del ejemplo 8.11.

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295


seleccionar otro valor; lo único que cambia es el escalamiento de los eslabones). Por tanto: l1 5 8 cm, l2 5 2.459 cm, l3 5 7.380 cm, l4 5 4.088 cm y q1 5 53.74° La gráfica de la figura 8.20 que representa el comportamiento de salida (q4) vs. entrada (q2) muestra que las condiciones de diseño se cumplen de forma efectiva. 080.00 090.00 100.00 110.00 120.00 130.00 140.00 150.00 160.00 170.00 180.00 190.00 200.00 210.00 220.00 230.00 240.00 250.00 260.00 270.00 280.00 290.00 300.00 310.00 320.00 330.00 340.00 350.00 360.00

073.42 078.89 083.81 088.08 091.51 093.96 095.47 096.00 095.66 094.56 092.83 090.45 087.51 084.00 079.89 075.22 069.92 063.98 057.47 050.49 043.33 036.44 030.39 025.75 022.94 022.01 022.85 025.17 028.68

110 90 70 50 30 10 20

50

80 110 140 170 200 230 260 290 320 350

k1 , k2 , k3 = [–01.61, 03.25, 03.25, 01.96]

Figura 8.20 Gráfica de salida vs. entrada del ejemplo 8.11.

Diadas impulsoras Debido a las características de la síntesis al usar las estrategias del apartado Guiado de sólido rígido, los mecanismos obtenidos utilizan un elemento impulsor que solo debe oscilar en dos posiciones: mínima y máxima. Esto conlleva a un problema de implementación, ya que en ocasiones se deben utilizar elementos motrices que dan revoluciones completas. Para solucionar este problema se sugiere el uso de diadas que permitan impulsar el elemento motriz, que se denominará elemento a oscilar, como se muestra A en la figura 8.21, donde la diada formada por O2A y O2 B Elemento a AB puede ser sintetizada con facilidad mediante las Diada oscilar estrategias de síntesis de los apartados Efecto de traslación (fuerza inercial) y Efecto de rotación (momento inercial), del capítulo 6. Para ello se debe seleccionar O4 un nodo de trabajo sobre el elemento que habrá de oscilarse, denotado por B, de donde se obtendrá una Figura 8.21 Uso de diadas para impulsar osciladores. manivela de trabajo O4B.


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296


Después se trazan los extremos de la oscilación O4B1 y O4B2, a partir de la cual se puede diseñar el resto de los elementos que conforman la diada, ya sea para una relación de tiempo unitaria (como se explicó en el apartado Condiciones límite del oscilador con relación de tiempo unitaria), o diferente a la unidad (como se presentó en el apartado Condiciones límite del oscilador con retorno rápido). La ubicación de la diada impulsora depende, entre otros factores, de la selección del nodo de trabajo B, el cual no necesariamente tiene que estar sobre una línea de acción sino que puede adecuarse a una extensión rígida del elemento y reubicar una nueva posición de la diada impulsora.

Dos posibles ubicaciones de la diada Extensión de la manivela Otra posible ubicación de la diada

Figuna 8.22 Figura 8.22 Opciones para ubicar diada impulsora. Por ejemplo, considérese la necesidad de implementar una diada impulsora con relación de tiempo unitaria, la cual requiere el trazo de una línea de construcción donde se ubicará la diada impulsora. Para este caso, en la figura 8.22 se muestra el trazo de dos líneas de construcción donde puede ubicarse dicha diada; después se muestra una extensión rígida de la barra por donde se puede trazar una nueva línea de construcción y una nueva ubicación de la diada impulsora.

Osciladores con dos posiciones prescritas En esta sección se presentan dos estrategias gráficas que permiten posicionar un mecanismo de cuatro barras (específicamente oscilador-oscilador) en dos posiciones prescritas, tanto en el elemento de entrada como en el de salida. La primera se sustenta en la definición del polo de las mediatrices (como se ejemplifica en la figura 7.19), mientras que la segunda parte de la definición de la inversión cinemática se ilustra en la figura 7.18. El uso del polo de las mediatrices se aplica principalmente si el polo se encuentra al alcance del espacio gráfico que habrá de trabajarse, mientras que el de la inversión cinemática se aplica de manera ventajosa cuando no se limitan las posiciones de los osciladores ni sus pivotes y solo se proporciona el desplazamiento angular, aunque esto no significa que no se pueda utilizar en estos casos. 1. Necesidad Implementar un mecanismo de cuatro barras de modo que el elemento de entrada y el de salida cumplan con dos desplazamientos angulares prescritos.


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297

Capítulo 8. Síntesis posicional B1

2. Objetivo

B1

Sintetizar las dimensiones de un mecanismo de cuatro barras tipo doble oscilador para cumplir con los desplazamientos angulares en ambos osciladores, como se muestra en la figura 8.23.

Método gráfico del polo 1. Desarrollo

B2 B2

ψ12 A2

A2

A1

ϕ 12 O2

A1 O2

O4

θ42 O4 θ 41

θ 22 θ 21

Figura 8.23 Oscilador conFig dos8.23 posiciones prescritas.

i. Trazar una recta arbitraria b12 y situar en ella de manera arbitraria tanto el polo P12 como el pivote del oscilador de salida O4 (véase figura 8.24). ii. Trazar por P12 otra recta arbitraria a12, la cual contendrá el pivote del elemento impulsor O2 que se sitúa de forma arbitraria sobre la recta.

b12

B1

B2

ψ12 2

ϕ12 A 2

δ

a12 2

iii. Elegir una longitud cualquiera apropiada para la manivela impulsora y dibujar sus posiciones A1 y A2, simétricas de a12, con el ángulo φ12 especificado.

O2 A1

O4 δ

iv. Construir un ángulo δ equivalente a A1P12A2 con el pivote P12 y bisectriz b12. v. Trazar un ángulo ψ12 sobre O4, con b12 como bisectriz, con lo que se obtiene B1 y B2, por intersección con los lados del ángulo trazado en la etapa anterior.

P 12

Figura 8.24 Método del polo de mediatrices para dos posiciones del oscilador. Fig 8.24

vi. La solución obtenida es el cuadrilátero O2A1B1O4.

Método gráfico: técnica de la inversión cinemática

B2´

1. Desarrollo i. Seleccionar de manera arbitraria el pivote del oscilador O4 y su longitud l4 (véase figura 8.25). ii. Seleccionar de forma arbitraria el pivote de la manivela impulsora O2. iii. Seleccionar una longitud para el oscilador de salida y trazar la posición B1 y B2 mediante q41 y q42. iv. Trazar una línea arbitraria de construcción XX ’ que pase por O2 y que denotará la posición inicial de la manivela impulsora, es decir, q21.

XX´ B1´

B1

O2 B O2

ψ12

ϕ 12

B2

O4

Figura 8.25 Método la inversión Figde 8.25 cinemática para dos posiciones del oscilador.

v. Trazar una línea de construcción O2B2. vi. Con centro en O2, trazar un arco y formar un ángulo φ12 5 q22 2 q21 desde la línea de construcción O2B2 en un sentido antihorario, cuyo nodo final será B ’2. vii. Trazar la mediatriz de B2’B1 e intersecarla con la recta XX ’. La intersección será la posición A1 de la manivela impulsora.


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298


viii. Una vez efectuado lo anterior, las dimensiones del mecanismo serán:

l1 = O2O4

l 2 = O2 A1

l 3 = A1B1

l 4 = O4B1

(8.18)

Síntesis de dos posiciones angulares Ejemplo

8.12

Sintetizar las dimensiones de un mecanismo doble manivela de modo que la relación de ángulos cumpla con las siguientes condiciones de diseño. Además, las coordenadas de los pivotes de los osciladores son O2 (2, 2) y O4 (8, 0), la manivela de salida mide 4 cm y la palanca de entrada 8.2 cm.

Posición

q2 (DEG)

q4 (DEG)

1

135

40

2

90

0

Solución

Además de las posiciones requeridas, en este ejemplo se tienen otras restricciones, por lo que es necesario analizar si no son demasiadas para satisfacer la necesidad de diseño, en cuyo caso se busca liberar de un modo una de estas o adecuarlas. La longitud del oscilador de salida no limita el uso de cualquiera de los dos métodos vistos, pero agregar la longitud de la manivela impulsora es una restricción que impide utilizar estos métodos, ya que cuando se define la longitud de uno de los elementos en los métodos vistos quedan definidas de manera automática las longitudes del resto del mecanismo. Sin embargo, este problema puede resolverse si durante el resultado 12 de la síntesis la longitud de la maB´2 10 nivela impulsada es menor que la P solicitada. En tal caso, simplemente XX´ 8 se alarga la manivela a tal longitud. 6 Este ejemplo se solucionará meA 1 diante el método de inversión cine4 135° B1 mática, pero puede usarse el de polo 45° 2 de mediatrices, para lo cual se coloO2 O2 B 0 can los pivotes O2 y O4 en las coor-4 -2 0 2 4 6 8 O4 10 12 14 denadas solicitadas (2, 2) y (0, 0), respectivamente. Después se trazan las dos posiciones angulares del osFigura 8.26 Solución al ejemplo 8.12. cilador de salida (O4B1 y O4B2), como se muestra en la figura 8.31. A continuación se traza un arco en O4 con radio O4B2 y un ángulo ψ12 5 q22 2 q21 5 135° – 90° 5 45°. Luego se traza la línea de construcción XX ’ y un ángulo correspondiente a la posición inicial de la manivela impulsora (es decir, 135°). La longitud de la recta XX ’ es arbitraria, pero en este caso se utilizará la solicitada (es decir, 8.2 cm) en espera de que la solución arroje una menor que esta. Por último, se traza una mediatriz entre B1 y B2, y la intersección con XX ’ será la coordenada A1.


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299


Al aplicar la ecuación (8.18) se tiene:

l1 = O2O4 = 6.3 cm

l 2 = O2A1 = 3.8 cm

l 3 = A1B1 = 13.3 cm

l 4 = O4B1 = 4 cm

La solución con las posiciones se muestra en la figura 8.27, donde se muestra la extensión de la manivela impulsora hacia el punto P, que es la palanca.

12

P2

10

P1

8 6 4

B1

O2

2

O4

0

Figura 8.27 Solución al ejemplo 8.12.

-4

-2

0

2

4

6

B2 8

10

12

14

Fig 8.27

Osciladores con tres posiciones prescritas En esta sección se plantean dos soluciones para sintetizar un mecanismo de cuatro barras en los siguientes casos: a) Cuando se disponga de tres pares de posicioB2 B3 nes prescritas del oscilador, cada par relacioB1 na una posición de la manivela de entrada con la salida, es decir (q21, q41), (q22, q42) y (q23, q43). En este caso se usa un método analítico donde se dispone de tres ecuaciones corresA2 A3 pondientes a cada par de incógnitas, las cuaA1 θ43 θ23 les constituyen las condiciones de pares de θ42 θ22 θ 41 θ21 diseño, como se muestra en la figura 8.28. O4 O2 b) Cuando se disponga de los dos desplazamientos angulares para el elemento impulsor (φ12 5 Figura 8.28 Oscilador con tres Figposiciones 8.28 prescritas. q22 2 q21 y φ13 5 q23 2 q21) correspondiente con el oscilador de salida ψ12 5 q42 2 q41 y ψ13 5 q43 2 q41.

Método analítico: Tres pares de diseño 1. Necesidad Implementar un mecanismo de cuatro barras que cumpla con tres pares de condiciones angulares de entrada-salida (q21, q41), (q22, q42) y (q23, q43). 2. Objetivo Sintetizar las dimensiones de un mecanismo doble manivela para cumplir con la relación de tres pares de condiciones entrada-salida.


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300


3. Desarrollo i. En un mecanismo doble manivela identificar los tres pares de diseño (q2, q4) y proponer un ángulo de inclinación del eslabón fijo q1. ii. Expresar la ecuación de Freudenstein (3.7) para cada par de condición (q2i , q4i ), con un resultado de tres ecuaciones de tres incógnitas:

k1 − k 2 cos (θ41 ) + k 3 cos (θ21 ) + cos (θ41 − θ21 ) = 0 k1 − k 2 cos (θ42 ) + k 3 cos (θ22 ) + cos (θ42 − θ22 ) = 0

k1 − k 2 cos (θ43 ) + k 3 cos (θ23 ) + cos (θ43 − θ23 ) = 0

(8.19)

iii. Solucionar el sistema de ecuaciones (si es que tiene solución) para determinar el valor de las constantes ki. De tener solución, entonces será única para las condiciones dadas, por lo que solo existe un mecanismo que cumpla con dichas condiciones; sin embargo, es importante aclarar que, debido a errores de redondeo, puede existir más de un mecanismo que se aproxime al resultado. iv. Una vez obtenidas las constantes ki, definir la longitud de uno de los eslabones y encontrar el resto de las constantes de la ecuación de Freudenstein. La solución del sistema de ecuaciones (8.19) se puede obtener mediante la regla de Cramer, por lo que se requiere el uso de determinantes. Para evitar el uso de determinantes se puede llevar a cabo una estrategia al reducir las ecuaciones, restar la segunda ecuación de la tercera y eliminar k3:


(8.20)


(8.21)

Al resolver las ecuaciones (8.20) y (8.21) se tiene:

k1 =

donde:

T3T5 −T2T6 T1T5 −T2T4

k2 =

T1T6 −T3T4 (8.22) T1T5 −T2T4

T1 = cos θ21 − cos θ22 T = cos θ − cos θ

T4 = cos θ21 − cos θ23

T3 = − cos(θ21 − θ41 ) + cos(θ22 − θ42 )

T6 = − cos(θ21 − θ41 ) + cos(θ23 − θ43 ) (8.23)

2

41

42

T5 = cos θ41 − cos θ43

Una vez obtenidos los valores de k1 y k2, la constante k3 puede ser determinada al sustituir k1 y k2 en la ecuación (8.20) o en la ecuación (8.21).

Método gráfico: Dos desplazamientos angulares 1. Necesidad Implementar un mecanismo de cuatro barras que cumpla con tres pares de condiciones angulares de entrada-salida φ12 y φ13, que corresponda con el oscilador de salida ψ12 y ψ13.


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301


2. Objetivo Sintetizar las dimensiones de un mecanismo doble manivela para cumplir con la relación de tres pares de condiciones entrada-salida. 3. Desarrollo B ´3

El procedimiento es similar al visto en la sección Osciladores con dos posiciones prescritas al usar la inversión cinemática, solo que en lugar de dejar arbitrario el nodo A1 ahora se obtendrá una única posición del mismo (véase figura 8.29).

B´2

ϕ13

i. Seleccionar de manera arbitraria el pivote del oscilaA1 dor O4 y su longitud l4. ii. Seleccionar de manera arbitraria solo el pivote de la manivela impulsora O2. iii. Con base en la longitud para el oscilador de salida l4, trazar la posición B1, B2 y B3 mediante los ángulos de diseño ψ12 y ψ13.

ϕ12

B2

B1

ψ13

ψ12

O2

B3

O4

Figura 8.29 Método de la inversión cinemática para tres posiciones del oscilador.

iv. Trazar una línea de construcción O4B2. v. Con centro en O4, trazar un arco que forme un ángulo φ12 5 q22 2 q21 desde la línea de construcción O4B2, en un sentido antihorario y cuyo nodo final será B2’. vi. Con centro en O4, trazar un arco que forme un ángulo φ13 5 q23 2 q21 desde la línea de construcción O4B3, en un sentido antihorario y cuyo nodo final será B3’. vii. Trazar la mediatriz de B3’ B2’. viii. Trazar la mediatriz de B2’ B1. ix. La intersección de las mediatrices será el nodo A1, correspondiente a la posición inicial de la manivela impulsora. x. Una vez conseguido lo anterior, las dimensiones del mecanismo serán idénticas a las ecuaciones (8.18).

Síntesis de tres posiciones angulares Se desea sintetizar las dimensiones de un mecanismo doble manivela de modo que la relación de ángulos de las manivelas cumpla con las siguientes condiciones de diseño:

Ejemplo

Posición

q2 (DEG)

q4 (DEG)

1

20

83.03

2

70

93.64

3

110

116.42

8.13

Nota: Considerar q1 5 0°.


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302


Solución

Al sustituir los pares de diseño en la ecuación (8.19) se tiene k1 − k 2 cos (83.03° − 0°) + k 3 cos (20° − 0°) + cos (83.03° − 20°) = 0 k1 − k 2 cos (93.64° − 0°) + k 3 cos (70° − 0°) + cos (93.64° − 70°) = 0 k1 − k 2 cos (116.42° − 0°) + k 3 cos (110° − 0°) + cos (116.42° − 110°) = 0 Por tanto:

k1 − 0.121k 2 + 0.939k 3 + 0.453 = 0 k1 + 0.063k 2 + 0.342k 3 + 0.916 = 0

k1 + 0.441k 2 − 0.342k 3 + 0.993 = 0 Al resolver el sistema de ecuaciones se tiene: l1 = 8, l 2 = 3, l 3 = 7, l 4 = 5 Al fijar l1 5 8 u de las constantes de la ecuación de Freudenstein se tiene: 2

2

C = (r2 + r3 ) − e 2 − (r3 − r2 ) − e 2

Osciladores con más de tres posiciones prescritas La técnica de síntesis presentada en el apartado Osciladores con tres posiciones prescritas permite el diseño de osciladores, para lo cual se especifican tres puntos de precisión, que es posible solucionar mediante un conjunto de tres ecuaciones lineales ya que se dispone de tres constantes (k1, k2 y k3), correspondientes a las constantes de la ecuación de Freudenstein. Si se requiere de más puntos de precisión es necesario recurrir a métodos interactivos que permitan obtener una solución exacta y(o) aproximada para los puntos de precisión, ya que se obtienen ecuaciones no lineales difíciles de solucionar por métodos algebraicos; esta solución se presenta en el capítulo 11.

8.4 Movimiento reciprocante Análogo al movimiento de oscilación que realizan las manivelas osciladoras, en un mecanismo el movimiento reciprocante consiste en que uno de sus elementos se mueve en forma de vaivén o hacia adelante y atrás. Es muy utilizado en procesos de automatización y robótica, por lo que a continuación se presentan alternativas para producir un movimiento reciprocante con ciertas características de diseño. El tipo de mecanismos que se aborda en este apartado corresponde a la clase de manivela-corredera, ya que estos mecanismos constituyen una buena opción para diseños donde se requiere movimiento reciprocante. Es importante diferenciar las metodologías que se tratan en este apartado con las del apartado Dos y tres posiciones usando manivela-corredera, donde se trata la forma de sintetizar las dimensiones de un mecanismo manivela-corredera para el guiado de un sólido en el


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303


elemento biela. Por su parte, aquí se explica cómo dimensionar los eslabones de un mecanismo manivela-corredera para desplazar la corredera en dos o tres posiciones prescritas, se trate o no de condiciones límite.

Condiciones límite con un mecanismo manivela-corredera Una primera opción, y la más x máx 3 sencilla para este tipo de movimientos, es implementar un 2 mecanismo manivela-correA1 x mín dera mediante la utilización 1 de las condiciones límite. 0 Considérese el mecanis-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 e r2 mo de la figura 8.30 en el que A2 se muestran las condiciones límite del movimiento. La maP1 P2 nivela de radio r2 mueve a la biela de radio r3 de modo que C la corredera se desplaza de la Fig 8.30 manivela-corredera. posición P1 a la posición P2 y Figura 8.30 Diseño con condiciones límite en un mecanismo forma una carrera C. Al aplicar el teorema de Pitágoras en cada extremo se puede determinar la magnitud de la carrera de la siguiente manera: 2

2

C = (r2 + r3 ) − e 2 − (r3 − r2 ) − e 2 (8.24)

El caso más simple en la ecuación (8.24) es cuando el mecanismo no tiene excentricidad, razón por la que la carrera quedará definida como 2r2. Por lo anterior se recomienda utilizar esta opción cuando no es necesario limitar el origen de la manivela. 1. Necesidad Se desea implementar un mecanismo para desplazar de manera lineal un objeto en una carrera determinada y que esté conectado a un motor. 2. Objetivo Sintetizar las dimensiones de un mecanismo manivela-corredera para desplazar la corredera de una posición inicial hasta una final.

Método gráfico 3. Desarrollo i. Seleccionar un nodo de trabajo sobre el elemento que se pretende desplazar. ii. Identificar en un plano cartesiano las coordenadas límites que definirán la carrera del nodo de trabajo, para lo cual habrá que denotar como P1 el desplazamiento mínimo y P2 el desplazamiento máximo.


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304


iii. Si el pivote de la manivela es arbitrario, entonces habrá que seleccionarlo sobre la línea de acción que pasa por los dos nodos que definen la carrera. La longitud de la manivela será la mitad de la carrera y la de la biela será la distancia al nodo final menos la longitud de la manivela. En este caso la síntesis está finalizada. iv. Si el pivote está dentro de los requerimientos, se deberá identificar en el plano cartesiano y denotarlo como O2. v. Trazar dos líneas de construcción: una línea XX’ desde O2 y que pase por P1, y otra YY’ desde O2 que llegue a P2. vi. Trazar un arco de radio O2P2 centrado en O2 y que interseque la recta YY’, la que debe denotarse como C. vii. Las dimensiones del mecanismo serán: l2 =

P1C 2

l 3 = O2P2 − l 2 (8.25)

Ejemplo

8.14

Síntesis de carrera por método gráfico Se desea desplazar un objeto cuyo centro de masa se deberá mover 10 cm, desde una posición inicial a (5, 23) del centro de giro del motor que lo impulsa. Solución

Al fijar el centro de giro del motor como el origen de las coordenadas se identifican las coordenadas límite de la carrera, que son P1(5, 23) y P2(15, 23), como se muestra en la figura 8.31. 4 2

XX´

0

-2

0

2

-2

4

6

P1

8

-8

12

O2 C = 15.3

14

16

P2

YY´

-4 -6

10

P1 C = 9.47

C

Figura 8.31 Solución al ejemplo 8.14.

Después se trazan las rectas XX ’ y YY ’, como se mencionó en el desarrollo. Así, después de localizar el punto C se pueden obtener las longitudes de los eslabones.


l2 =

P1C 2

=

9.47 = 4.73 cm 2

l 3 = O2P2 − l 2 = 15.3 − 4.73 = 10.56 cm

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305

Figura 8.32 Mecanismo final y sus posiciones del ejemplo 8.14.

Dos posiciones de la corredera en un mecanismo manivela-corredera La síntesis desarrollada en el apartado anterior permite dimensionar un mecanismo para desplazar un elemento con una carrera determinada y con movimiento completo de la manivela impulsora. Sin embargo, existen casos en que el elemento impulsor no requiere realizar revoluciones completas, por lo que se tiene un oscilador impulsor, como se describe a continuación. 1. Necesidad Desplazar un elemento deslizante en dos posiciones determinadas e impulsado por una palanca osciladora con límites establecidos. 2. Objetivo Sintetizar las dimensiones de un mecanismo oscilador-corredera para desplazar la corredera desde una posición inicial a una final, denotada por la carrera y las posiciones límite del oscilador.

Método gráfico 1. Desarrollo El siguiente desarrollo se basa en una técnica de síntesis por inversión cinemática mostrada en el apartado Dos y tres posiciones usando manivela-corredera.


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306


i. Seleccionar un nodo de trabajo sobre el elemento que habrá de desplazarse. ii. Identificar en un plano cartesiano las coordenadas límite que definirán la carrera del nodo de trabajo y denotar como P1 el desplazamiento mínimo y como P2 el desplazamiento máximo; después, habrá que trazar una línea de construcción XX ’. iii. Denotar por φ1 el ángulo inicial del oscilador que se asociará a la posición P2 de la corredera y por φ2 la posición final; por tanto, φ12 será el ángulo de oscilación. iv. Identificar el pivote del oscilador localizado en una línea de construcción YY ’ que está paralela al deslizamiento XX ’. • El pivote del oscilador y el ángulo inicial o final del oscilador son arbitrarios. a) Trazar la línea YY ’ arbitraria y localizar arbitrariamente el pivote. b) Trazar un segmento desde O2 hacia P2 denotado por O2P2. • El pivote del oscilador es proporcionado y el ángulo inicial o final del oscilador es arbitrario. a) Trazar la línea YY ’ que pase por las coordenadas del pivote. b) Trazar el segmento desde O2 hacia P2 denotado por O2P2. • El pivote del oscilador es arbitrario y el ángulo inicial o final del oscilador son proporcionados. a) Trazar la línea denotada por O2P2 que parta de P2 de un ángulo θ, tal que sumado al ángulo de oscilación φ12 sea el de la oscilación final φ2, es decir, θ 1 φ12 5 φ2. b) El pivote se localizará arbitrariamente sobre la línea O2P2. • Tanto el pivote del oscilador como el ángulo inicial o final del oscilador son proporcionados. En este caso es posible que no exista una solución bajo este procedimiento al tener demasiadas restricciones. v. Trazar dos líneas de construcción: una denotada como O2A2’, que parta de O2 y forme un ángulo φ12 con respecto al segmento O2P2, y otra denotada como O2A1’, que parta de O2 y forme un ángulo φ12 con respecto al segmento O2A2’. vi. Localizar un punto A2’ localizado sobre la línea O2A2’, lo que se logra al trazar un arco con centro O2 y radio O2P2 que interseque con la línea O2A2’. vii. Trazar una mediatriz entre A2’ y P1, denotada por MP . viii. Localizar el punto A1 que se encuentra en la intersección de la mediatriz MA y la línea de construcción O2A1’. ix. Las dimensiones del mecanismo serán:


l 2 = O2 A1

l 3 = A1P1

(8.26)

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307


Síntesis de dos posiciones de la corredera por método gráfico

Ejemplo

Se dispone de una palanca que deberá oscilar 40° para desplazar un objeto cuyo centro de masa deberá moverse 5 cm a partir de (4, 3) del pivote del oscilador.

8.15

Solución

Primero se colocan en un plano cartesiano las coordenadas de los nodos O2(0, 0), P1(4, 3) y P2(5, 3) y una vez identificados los nodos se traza el segmento O2P2 (véase figura 8.33). A continuación se trazan las líneas de construcción O2A2’ a 40° a partir de O2P2 y O2A1’ a 40° a partir de O2A2’. Después se traza un arco de P2 con centro en O2, y al intersecar con O2A2’ se encontrará A2’; luego, se traza una mediatriz entre A2’ y P1, y al intersecar con O2A1’ se encontrará A1. Por último, las dimensiones de los eslabones son:

A´2 A1

MP O2 A´1

XX´

YY´

40°

O2 A´2 P 1

40°

O2 P2

O2

Figura 8.33 Solución al ejemplo 8.15. A (-1.00, 6.57) A (3.47, 5.67) B (9.00, 3.00)

l 2 = O2A1 = 6.64 cm l 3 = A1P1 = 6.13cm

P2

B (4.00, 3.00) Input = 1.0 r/s O2 (.00, .00)

Figura 8.34 Posiciones deseadas del ejemplo 8.15.

Tres posiciones de la corredera en un mecanismo manivela-corredera El procedimiento para determinar un mecanismo que satisfaga tres pares de diseño entrada-salida en un mecanismo manivela-corredera es muy similar al de dos posiciones, a excepción de que una de las posiciones de la manivela se obtiene de manera automática con este procedimiento. 1. Necesidad Desplazar un elemento deslizante en tres posiciones determinadas e impulsado por una palanca osciladora con límites establecidos.


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308


2. Objetivo Sintetizar las dimensiones de un mecanismo oscilador-corredera para desplazar la corredera en tres posiciones en función de tres posiciones del oscilador.

Método gráfico 1. Desarrollo Para la explicación se considera un mecanismo que se mueve en el sentido de las manecillas del reloj. i. Definir como A1, A2, A3 los nodos de la manivela y P1, P2, P3 los nodos de la corredera. ii. Definir como φ12 el ángulo de la manivela de A1 a A2 y como φ13 el ángulo de la manivela de A1 a A3. iii. Dibujar dos líneas de construcción XX ’ y YY ’ separadas una distancia e. La línea XX ’ representa el deslizamiento, mientras que la línea YY ’ deberá ser paralela a XX ’. iv. Trazar en la línea XX ’ los tres puntos de diseño de la corredera P1, P2 y P3. v. Establecer de manera arbitraria el nodo del oscilador impulsor O2 sobre la línea YY ’. vi. Girar P2 sobre O2 un ángulo 2φ12 para localizar el punto P2’; asimismo, girar P3 un ángulo 2φ13 para localizar el punto P3’. vii. Dibujar las mediatrices de P1P2’ y P2’ P3’. El punto A1 se encuentra en la intersección de estas dos líneas, con lo que se determinan las longitudes de la manivela, que es la distancia O2B1, y del acoplador, que es la distancia A1P1. viii. Localizar las posiciones A2 y A3 al girar A1 sobre O2 los ángulos φ12 y φ23, respectivamente. P3´

φ13

A2

P2´

A1

φ12 A1

P1

XX´ YY´

P2

A3

O2 P3

P1 P2

P3

O2

Figura 8.35 Explicación del método de tres posiciones en un mecanismo manivela-corredera.


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309


Desarrolla tus habilidades Cuestionario C8.1 ¿Por qué solo se pueden tener tres condiciones de pares de diseño en la síntesis de tres posiciones de oscilación?

Descarga

C8.2 Si se tienen tres pares de diseño, ¿se pueden tener diferentes constantes de Freudenstein al variar la longitud del eslabón fijo l1? C8.3 ¿Es posible agregar una cuarta condición en la síntesis de tres posiciones de oscilación para tener cuatro posiciones de oscilación? C8.4 ¿Qué diferencias existen entre la síntesis de osciladores con la de dos posiciones prescritas?

Ejercicios E8.1 Una pieza que dispone de una longitud AB de 2.5 cm deberá cumplir con las siguientes condiciones de movilidad de la longitud AB:

x (cm)

y (cm)

Ángulo (DEG)

A1

2

1.5

50

A2

3.0

1.0

30

Encuentra la posición del rotopolo fijo de la manivela que permita cumplir con las especificaciones. E8.2 Una pieza que dispone de una longitud AB de 4 cm deberá cumplir con las siguientes condiciones de movilidad de la longitud AB:

x (cm)

y (cm)

Ángulo (DEG)

A1

1.0

4.5

80

A2

3.0

21.0

0

Determina la posición del rotopolo fijo de la manivela que permita cumplir con las especificaciones. E8.3 Una pieza que dispone de una longitud AB de 6.0 pulg deberá cumplir con las siguientes condiciones de movilidad de la longitud AB:


y (cm)

Ángulo (DEG)

A1

5.9

1.3

215

A2

4

4

25

Determina la posición del rotopolo fijo de la manivela que permita cumplir con las especificaciones. E8.4 Una pieza que dispone de una longitud AB de 4 pulg deberá cumplir con las siguientes condiciones de movilidad de la longitud AB:

Guiado de sólido rígido

x (cm)

x (cm)

y (cm)

Ángulo (DEG)

A1

2

3

55

A2

4

3

20

Determina: a) La coordenada del rotopolo de la manivela que satisfaga las necesidades. b) Las dimensiones de un mecanismo RRRR que permita cumplir con las especificaciones. E8.5 Una pieza que dispone de una longitud AB de 3 pulg deberá cumplir con las siguientes condiciones de movilidad de la longitud AB: x (cm)

y (cm)

Ángulo (DEG)

A1

0

0

0

A2

1.1

1.9

20

A3

21.5

4.0

220

Determina las longitudes de los eslabones y la ubicación de los pivotes de las manivelas de un mecanismo RRRR que satisfaga las necesidades. E8.6 Una pieza que dispone de una longitud AB de 3 pulg deberá cumplir con las siguientes condiciones de movilidad de la longitud AB:

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310


x (cm)

y (cm)

Ángulo (DEG)

A1

0

5

0

A2

1.1

1.9

20

A3

21.5

0

220

Determina las longitudes de los eslabones y la ubicación de los pivotes de las manivelas de un mecanismo RRRR que satisfaga las necesidades. E8.7 Una pieza que dispone de una longitud AB de 3 pulg deberá cumplir con las siguientes condiciones de movilidad de la longitud AB:

x (cm)

y (cm)

Ángulo (DEG)

A1

0

0

0

A2

1.1

1.9

20

A3

21.5

4.0

220

Osciladores RRRR E8.11 Determina las dimensiones del mecanismo RRRR para que cumpla con las siguientes condiciones mín-máx:

q2 (DEG)

q4 (DEG)

Mín

330

22

Máx

151

96

E8.12 Se desea sintetizar las dimensiones de un mecanismo RRRR que cumpla con las siguientes tres condiciones de entrada y salida:

q2 (DEG)

q4 (DEG)

1

20

145.44

2

100

129.15

3

150

156.44

Determina las longitudes de los eslabones y la ubicación de los pivotes de las manivelas de un mecanismo RRRR que satisfaga las necesidades. E8.8 Resuelve el ejercicio E8.1 con el uso de un mecanismo manivela-corredera. E8.9 Resuelve el ejercicio E8.3 con el uso de un mecanismo manivela-corredera. E8.10 Se desea implementar un mecanismo que mueva un objeto AB en las posiciones mostradas en la figura 8.36. Mediante el uso de las dimensiones y los ángulos de la figura, implementa una solución: a) con el uso de cualquier nodo entre el espacio AB. b) con el uso de una extensión del elemento AB.

A

B

Figura 8.36 Fig 8.36


Determina las constantes de Freudenstein para: a) q1 5 40°. b) q1 5 30°. c) q1 5 220°. E8.13 Determina las longitudes de los eslabones de un mecanismo RRRR para que cumpla con los siguientes pares de diseño.

Nota: Considera q1 5220°.

q2 (DEG)

q4 (DEG)

1

10

96.54

2

40

99.99

3

170

157.22

E8.14 Se necesita implementar un mecanismo RRRR para cumplir por lo menos con tres posiciones entrada-salida. La gráfica de la figura 8.37 que relaciona q4 vs. q2 son las necesidades del diseño. Determina las dimensiones del eslabonamiento que cumpla con la mejor precisión.

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311


E8.19 Sintetizar las dimensiones de un mecanismo que cumpla con la tarea de desplazar un oscilador ψ12 5 60°, en tanto el impulsor oscila φ12 5 45°.

170 150 130

E8.20 Sintetizar las dimensiones de un mecanismo que cumpla con la tarea de desplazar un oscilador ψ12 5 60° al fijar su pivote en un sistema de coordenadas (8, 1) con una selección libre del elemento impulsor.

110 90 70 50 30 10 20

50

80

110

140 170

200

230

260

290

320

360

Fig 8.37

Figura 8.37

E8.15 Se requiere sintetizar un mecanismo manivela-oscilador de modo que los extremos de la oscilación cumplan con las siguientes condiciones:

q2 (DEG)

q4 (DEG)

Mín

55

100

Máx

200

210

E8.16 Se necesita implementar un mecanismo que responda a las siguientes condiciones mín-máx. Encuentra las dimensiones de los eslabones.

q2 (DEG)

q4 (DEG)

Mín

30

90

Máx

270

120

E8.17 Sintetizar las dimensiones de un mecanismo que cumpla con la tarea de desplazar un oscilador ψ12 5 45° con una selección libre del elemento impulsor. E8.18 Sintetizar las dimensiones de un mecanismo que cumpla con la tarea de desplazar un oscilador ψ12 5 60° con una selección libre del elemento impulsor.


E8.21 Sintetizar las dimensiones de un mecanismo que cumpla con la tarea de desplazar un oscilador ψ12 5 60° al fijar su pivote en un sistema de coordenadas (8, 1), en tanto el impulsor oscila φ12 5 50° con su pivote arbitrario. E8.22 Sintetizar las dimensiones de un mecanismo que cumpla con la tarea de desplazar un oscilador ψ12 5 60° al fijar su pivote en un sistema de coordenadas (8, 1), en tanto el impulsor oscila φ12 5 50° con su pivote en coordenadas (1, 1). E8.23 Sintetizar las dimensiones de un mecanismo que cumpla con la tarea de desplazar un oscilador ψ12 5 50° al fijar su pivote en un sistema de coordenadas (8, 1), en tanto el impulsor oscila φ12 5 45° con su pivote arbitrario. E8.24 Sintetizar las dimensiones de un mecanismo que cumpla con la tarea de desplazar un oscilador ψ12 5 60° al fijar su pivote en un sistema de coordenadas (8, 1), en tanto el impulsor oscila φ12 5 45° con su pivote en coordenadas (1, 1). E8.25 Se desea sintetizar las dimensiones de un mecanismo oscilador-oscilador de modo que, independientemente de sus condiciones límites, el ángulo de entrada q2 y el de salida q4 cumplan con las siguientes condiciones:

q2 (DEG)

q4 (DEG)

Mín

30

90

Máx

70

120

E8.26 Resuelve el problema E8.25, pero limita la coordenada del oscilador de salida a (10, 21).

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312


E8.27 Resuelve el problema E8.25, pero limita la coordenada del oscilador de salida a (8, 1). E8.28 Resuelve el problema E8.25, pero limita la coordenada del oscilador de salida a (8, 21) y el oscilador de entrada en (0, 0).

Movimiento reciprocante 110 90

E8.29 Resuelve el problema E8.25, pero limita la coordenada del oscilador de salida a (8, 0) y el oscilador de entrada en (21, 1).

70

E8.30 Se desea sintetizar las dimensiones de un mecanismo oscilador-oscilador de modo que, independientemente de sus condiciones límite y de las coordenadas de sus pivotes, el ángulo de entrada q2 y el de salida q4 cumplan con las siguientes condiciones:

30

50

10 20

80

110

140

170

200

230

260

290

320

q2 (DEG)

q4 (DEG)

Mín

55

100

E8.33 Sintetiza las dimensiones de un mecanismo manivela-corredera para desplazar un nodo P de un elemento rígido bajo las siguientes condiciones de diseño:

Máx

200

210

a) 5 cm con un oscilador de 40°.

q2 (DEG)

q4 (DEG)

Mín

80

50

Máx

120

90

E8.32 En un proceso mecánico se desea implementar algunas oscilaciones con condiciones extremas de mín-máx, para lo cual habrá de utilizarse un mecanismo RRRR cuya gráfica de comportamiento se muestra en la figura 8.38. Sintetiza las dimensiones del eslabonamiento para cumplir con las necesidades específicas.


350

Figura Fig 8.388.38

b) 17 cm con un oscilador de 65°.

E8.31 Se desea sintetizar las dimensiones de un mecanismo oscilador-oscilador de modo que, independientemente de sus condiciones límite y de las coordenadas de sus pivotes, el ángulo de entrada q2 y el de salida q4 cumplan con las siguientes condiciones:

50

c) 6 cm con un oscilador de 30°. d) 5 cm con un oscilador desde 40° hasta 90°. e) 8 cm con un oscilador desde 60° hasta 110°. f) En un sistema de coordenadas cartesianas (2, 1) a (5, 1) cm, con un oscilador de 40° colocado en (0,0 ). g) En un sistema de coordenadas cartesianas (2, 1) a (5,3) cm, con un oscilador de 40° colocado en (0, 0). E8.34 Sintetiza las dimensiones de un mecanismo que permita desplazar un sólido rígido con un nodo de trabajo P bajo las siguientes condiciones de diseño:

q2 (DEG)

Px

Py

1

30

4

1

2

90

8

1

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313


E8.35 Sintetiza las dimensiones de un mecanismo que permita desplazar un sólido rígido con un nodo de trabajo P bajo las siguientes condiciones de diseño: q2 (DEG)

Px

E8.39 Resuelve el problema E8.23, pero con los nodos de la corredera colocados como se muestra en la figura 8.40.

Py

P3

5

1

30

4

1

4

2

90

8

24

3

E8.36 Sintetiza las dimensiones de un mecanismo que permita desplazar un sólido rígido con un nodo de trabajo P bajo las siguientes condiciones de diseño:

P2 P1

2 1

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-1

Manivela φ23 (DEG)

Manivela φ12 (DEG)

Px

Py

4

1

5

1

7

1

1 2

30

40

3

E8.37 Sintetiza las dimensiones de un mecanismo que permita desplazar un sólido rígido con un nodo de trabajo P bajo las siguientes condiciones de diseño: Manivela φ12 (DEG) 1

Manivela φ23 (DEG)

Px

Py

4

0

6

0

7

0

30

2

40

3

Fig 8.408.40 Figura

E8.40 Se desea diseñar un mecanismo manivelacorredera para desplazar un objeto con un movimiento hacia arriba desde un punto P1 hasta deslizarse 12 cm sobre una base inclinada a 30°. Determina las dimensiones y localización del mecanismo si: a) El pivote de la manivela impulsora es arbitrario. b) El pivote de la manivela impulsora se localiza a 6 cm a la izquierda del punto P1.

Problemas prácticos

E8.38 Sintetiza las dimensiones de un mecanismo manivela-corredera para satisfacer las condiciones de movilidad de un punto P de la corredera de la figura 8.39, de modo que la manivela se mueva primero a 40° y después a 30°.

PP8.1 Se desea implementar un mecanismo para mover un contenedor de desechos de una máquina herramienta, como se muestra en la figura 8.41. Contenedor arriba 70 cm abajo 50 cm

5 4

P1

3

P2

P3

1.3 m Contenedor

2

Bancada

1

A2 -2

-1

1

2

3

4

5

6

-1

Fig 8.398.39 Figura


7

8

9

10

70 cm

Figura 8.41 Ejemplo de contenedor.

Fig 8.40b

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314


Determina las dimensiones del mecanismo apropiado para realizar la función requerida. La manivela de acción deberá estar en la bancada, mientras que las dimensiones y la ubicación del contenedor inferior (basura) podrán ser propuestas. PP8.2 En un proceso industrial se dispone de dos bandas transportadoras, cada una de las cuales realiza una tarea específica. Sin embargo, se requiere transportar el producto (que consiste en cajas de 30 × 30 × 20 cm) del final de una banda al inicio de la otra, como se muestra en la figura 8.42. Determina las dimensiones del mecanismo que permita realizar la tarea específica.

Investigación y desarrollo de campo

I8.1 En algunos mecanismos limpiaparabrisas para automóviles se utiliza un mecanismo manivela-oscilador. Verifica los componentes de un mecanismo limpiaparabrisas, determina las dimensiones de los eslabones y simúlalos mediante Mekanize®. Asimismo, propón un rediseño para dicho mecanismo, con el fin de cumplir con nuevas propuestas de oscilación.

30

I8.2 Los mecanismos manivela-oscilador son muy utilizados en máquinas ejercitadoras. Investiga los componentes mecánicos de un aparato ejercitador y propón rediseños que permitan mejorar el funcionamiento de este.

40

I8.3 Se desea implementar un mecanismo RRRR para las siguientes condiciones mín-máx:

20

70

Figura 8.42 Ejemplo de banda transportadora. Fig 8.42

PP8.3 La figura 8.43 muestra tres posiciones deseadas de la vista lateral de una mesa de estudio. La posición horizontal sirve para una tarea normal, la posición inclinada para tareas de dibujo y la posición vertical es la posición de guardado. Determina un mecanismo que pueda realizar la tarea específica donde los pivotes deberán estar en la pared o el piso. Trabaja de manera directa sobre el dibujo de la figura, ya que este se encuentra a escala.

q2 (DEG)

q4 (DEG)

Mín

60

115

Máx

240

185

Explica si existe dificultad al utilizar el método de mín-máx visto en el capítulo. I8.4 Considera que dispones de las cuatro condiciones de pares de diseño que se muestran en la siguiente tabla. Al utilizar combinaciones de tres pares y variar el ángulo q1, ¿cuántos mecanismos se pueden obtener? Propón un mecanismo que se aproxime a todas las combinaciones.

q2 (DEG)

q4 (DEG)

1

10

80

2

40

56

3

170

130

4

200

110

Fig 8.43 Figura 8.43 Ejemplo de mesa de estudio.


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315


Práctica de laboratorio 8.1 Guiado de sólido en tres posiciones prescritas

como las inclinaciones de la barra; dichos datos deberán introducirse de forma manual, como se muestra en la figura 8.44.

Material • Herramienta computacional GeoGebra®. • Herramienta computacional Mekanize®. Elemento de competencia Utilizar GeoGebra® como herramienta geométrica-computacional para la síntesis de mecanismos e implementar un mecanismo resultado de la síntesis en la herramienta Mekanize®, no solo para validar resultados sino también la continuidad y la libertad del movimiento. Objetivo Sintetizar las dimensiones de un mecanismo doble oscilador para desplazar una biela de 3 pulg en las posiciones que se muestran en la tabla: x (cm)

y (cm)

Ángulo (DEG)

A1

24

3

23.5

A2

22.3

21

54.2

A3

23

22.8

65.4

Replica el procedimiento gráfico explicado en este capítulo, pero con el uso de GeoGebra®; una vez determinadas las dimensiones del mecanismo, impleméntalo en Mekanize®. Procedimiento El procedimiento que a continuación se detalla permite no solo resolver el problema solicitado, sino que una vez terminado el proyecto es posible cambiar las condiciones de diseño y obtener el resultado, permitiendo además realizar cambios manuales y visualizar instantáneamente las afectaciones. Paso 1: Construcción de los parámetros geométricos de entrada Una vez abierto el programa GeoGebra® se procede a introducir los parámetros de entrada, que son la longitud de la biela, las coordenadas de los nodos A1, A2 y A3, así


Figura 8.44 Construcción de los parámetros de entrada.

Paso 2: Construcción de los parámetros geométricos dependientes Enseguida se procede a construir las coordenadas de los nodos B1, B2 y B3, que son dependientes de A1, A2 y A3, respectivamente, así como de la longitud LAB y las inclinaciones. Estos nodos se deberán construir en función de estas variables, como se observa en la figura 8.45.

Figura 8.45 Construcción de los parámetros dependientes.

Paso 3: Localización de los rotopolos Para localizar el centro de giro de A es necesario trazar la mediatriz de A1 y A2, así como la mediatriz de A2 y A3; la intersección de las mediatrices es el rotopolo de A, denotado como O2 (véase figura 8.46). Para determinar las coordenadas del rotopolo se debe colocar un punto en la intersección de las mediatrices, con lo que se obtendrán las coordenadas del rotopolo, que son A 5 (26.47, 20.41), como se muestra en la figura 8.47. El mismo procedimiento se sigue para determinar el centro de giro de B, de donde se pueden obtener las coordenadas (5.99, 24.16), como se observa en la figura 8.48. Por tanto, el mecanismo resultado de la síntesis se forma con una manivela impulsora desde A hacia A1, una biela

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316


de longitud A1B1 y una manivela de salida desde B hacia B1. Paso 4: Contrucción en Mekanize® El siguiente paso es construir el mecanismo resultado de la síntesis con el uso de Mekanize®. Para ello, primero se construye la manivela impulsora, cuyo centro es (26.47, 20.41); esto se lográ seleccionando el botón , luego hay que posicionar el cursor en el espacio de trabajo y teclear la coordenada del nodo inicial y pulsar la tecla , luego teclear las coordenadas del nodo final y volver a pulsar . Figura 8.46 Mediatriz para localizar el primer rotopolo.

En Mekanize® las coordenadas se teclean en formato x,y para coordenadas cartesianas y r ; θ para coordenadas polares. Cuando se desea manejar coordenadas relativas se debe colocar primero el nodo al cual se quiere hacer referencia, enseguida se teclea el signo 1 y finalmente las coordenadas; es importante destacar que si solo se coloca el signo 1, entonces se hará referencia a la última coordenada utilizada. Por tanto, para crear la manivela impulsora hay que utilizar las coordenadas del rotopolo A y una de las posiciones del nodo A. Por ejemplo para A1, cuyas coordenadas son (24, 3), se deben usar:

Figura 8.47 Localización del primer rotopolo.

26.47,20.41 24,3 Para crear la biela que tiene coordenada (24, 3) hay que establecer las coordenadas relativas y en forma polar, para lo cual debe selecy posteriormente dar clic cionarse el botón sobre el nodo extremo de la manivela creada; es decir, A, y luego de esto hay que teclear: 19;23.5

Figura 8.48 Localización del segundo rotopolo.


Para crear el eslabón de salida hay que selec y teclear sobre la pantalla cionar el botón

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317


de animación . Después de animar el mecanismo, este se detendrá en una revolución completa.

Figura 8.49 Construcción del mecanismo de cuatro barras.

Después de la animación completa es posible posicionar el mecanismo en una de las iteraciones mediante el uso de la barra de desplazamiento de animación , de modo que al activar la visualización de posiciones vectoriales se podrá visualizar mediante el botón la posición de la manivela y comprobar si en efecto se cumplieron las necesidades de diseño. Por ejemplo, en la figura 8.51 se muestra la posición del mecanismo en dos posiciones del diseño. B (2.96, 6.30)

de trabajo las coordenadas del rotopolo B, es decir: 25.99, 24.16 El otro extremo de la manivela se deberá adherir al nodo B de la biela, obteniéndose como resultado el mecanismo de la figura 8.49. Una vez logrado lo anterior se anexa una entrada cinemática seleccioy la manivela impulsora denotada como nando primero el botón 2. El siguiente paso es pulsar el botón de actualización de elementos y seleccionar Kin. Input de la lista mostrada, con lo cual aparecerán los datos de velocidad de la entrada cinemática recién creada; a continuación se debe cambiar el valor de la velocidad a 21.00 rad/s y pulsar , como se observa en la figura 8.50.

4 (109 – 106.2) 3 (9.0, 54.2)

Input1 –,1.0 r/s O2 (–5.47, –41)

A (–2.10, –1.00)

O4 (5.99, –4.56) B (70, 5.35)

Input1 –,1.0 r/s 2 (4.2, –35.2)

O2 (–6.17, –41)

4 (10.9 =119.1)

3 (9,0=65.5)

A (–3.00, –2.64)

Figura 8.51 Comprobación en dos posiciones del resultado de la síntesis.

Reporte Figura 8.50 Cambio de la magnitud de la velocidad.

Enseguida hay que compilar el mecanismo usando el botón ; si no existen errores en la creación del mecanismo se activará el botón


Aplicando el procedimiento explicado en la práctica, solucionar uno de los ejercicios de síntesis del capítulo mediante el uso de la herramienta GeoGebra® y comprobar los resultados con la herramienta Mekanize®.

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318


Evidencias

Objetivo

a) Impresión de las gráficas del procedimiento usado en GeoGebra®. b) Impresión de las posiciones del mecanismo usado en Mekanize®.

Sintetizar las dimensiones de un mecanismo con el uso de métodos gráficos y(o) analíticos, así como validar resultados mediante herramientas computacionales e implementación física en una maqueta.

c) Conclusiones.

Desarrollo

d) Problemas suscitados en el desarrollo y cómo se solucionaron.

La comprobación del resultado obtenido en la síntesis es una tarea importante, ya que además permite validar la continuidad del movimiento del mecanismo.

Proyectos

Para crear un diseño debe buscarse una solución gráfica, analítica o incluso computacional con la herramienta GeoGebra®. Colocar en el fólder de cartón las hojas utilizadas en la solución, como se muestra en la figura 8.52.

Maqueta para demostración de la síntesis

Material • Fólder de cartón. • Trozos de cartón o de madera delgada. • Elementos para unir las barras de cartón o madera.

Asimismo, elaborar una maqueta en cartón del mecanismo con las dimensiones obtenidas en la síntesis, que permita la movilidad de los elementos, para validar si cumple con los requerimientos de diseño (véase figura 8.52).

• Hojas de papel, lápiz, calculadora. Elemento de competencia Analizar si el resultado de una síntesis de mecanismos cumple con los requerimientos de diseño mediante la implementación computacional y física.

Figura 8.52 Validación de la síntesis usando una maqueta.

Referencias [1] Blog de Luz Adriana García. http://blog.utp.edu.co/adriamec/. Consultado en abril de 2015. [2] McCarthy, J. Michael. (2000). Geometric Design of Linkages. Springer. [3] Erdman, Arthur G. & Sandor, George N. (1998). Diseño de mecanismos, análisis y síntesis, 3a. ed. Prentice Hall. [4] Hartenbert, R. S. (1964). Kinematic synthesis of linkages. McGraw-Hill. [5] Herranz Alegre, David y Sanz Cozorro, César. (2012). Síntesis de mecanismo, aplicación al mecanismo de apertura de puertas en un autobús. Proyecto de fin de carrera. Escuela de Ingenierías Industriales. Universidad de Valladolid, España.


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Generadores de función

Propósito del capítulo En este capítulo se presenta un conjunto de herramientas gráficas y analíticas, para sintetizar mecanismos que se usan para la transmisión de movimiento más complejo en un eslabón con una función específica y para la retención. Al final del capítulo el lector podrá realizar el diseño de los siguientes tipos de mecanismos: 1. Manivela-oscilador. Donde el movimiento del oscilador se realice con una función específica de la manivela impulsora. 2. Leva-seguidor. Para producir movimientos complejos especificados por una función. Competencia específica • Definir una metodología para efectuar una síntesis cinemática de mecanismos para generar movimientos complejos definidos por una función mediante el uso de estrategias gráficas, analíticas y computacionales.

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Capítulo

Habilidades 1. Esquematizar una necesidad de diseño en lenguaje técnico de mecanismos. 2. Elegir la técnica adecuada que permita resolver los requerimientos de diseño para la generación de una función. 3. Sintetizar el tipo de mecanismo que satisfaga una necesidad de movimiento acorde a una función establecida, que puede ser manivelaoscilador o levas. 4. Sintetizar las dimensiones de un mecanismo manivela-oscilador de modo que la posición del oscilador esté denotada por una función de la posición de la manivela, en un lapso requerido, con ciertos puntos de precisión y un escalamiento adecuado. 5. Adquirir y aplicar los conocimientos necesarios para comprender la topología de mecanismos leva-seguidor, los cuales permitirán proponer soluciones basadas en la geometría de una leva. 6. Diseñar la geometría de una leva de modo que el seguidor tenga un movimiento con respecto al tiempo definido por funciones características de las levas. 7. Proponer soluciones basadas en mecanismos para generación de función. 8. Comprobar los resultados de la síntesis por herramientas computacionales.

Conocimientos requeridos • Topología de los mecanismos. • Geometría analítica. • Espaciamientos de Chebyshev.

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9.1 Introducción La generación de funciones por medio de mecanismos constituye una tarea de la síntesis cinemática, mediante la cual la posición de uno de los elementos, denotado como ψ, está establecida mediante una función de posición de otro eslabón, denotado por φ, y en un lapso [φi, φf ]. Para tal tarea se pueden usar diferentes ψ (ϕ) ψf ψi topologías de mecanismos, como un mecaψf ϕf ϕi nismo de cuatro barras, que por lo general Oscilador usa dos osciladores. La posición del oscilaOscilador ψi de salida dor de salida está en función de la posición de entrada ϕ ψ del oscilador de entrada y en un lapso deϕ ϕi ϕf finido por [φi, φf ], como se muestra en la figura 9.1. Figura 9.1 Mecanismo de cuatro barras para generación de función. Fig 9.1 Debido a la topología de los mecanismos doble oscilador, como el que se ilustra en la figura 9.1, estos presentan ciertas restricciones para la generación de funciones, razón por la cual se limitan a un lapso de la función y al número de puntos de precisión. Así, al estar limitado en un rango, el mecanismo se convierte en un doble oscilador; por ello, a estos se les suele usar en los casos en que se requiere oscilación. Otro tipo de mecanismo utilizado para la generación de funciones y con mayor robustez en la generación de la función es el de leva-seguidor, como el que se muestra en la figura 9.2, donde se observa que la posición del seguidor (d) se encuentra en función de la posición de la leva (θ). p

Seguidor

Descanso

d

Subida d

Leva

Retorno

p 0

θ

Figura 9.2 Mecanismo leva-seguidor para generación de funciones.

A continuación se presentan las metodologías que permiten la construcción de mecanismos de cuatro barras y de leva para satisfacer las necesidades de generación de funciones.

9.2 Mecanismo manivela-oscilador para la generación de función Es importante destacar que con mecanismos de cuatro barras es difícil, y quizá hasta imposible, satisfacer la generación de función en todos los puntos de la


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Capítulo 9. Generadores de función

trayectoria mediante las condiciones de posición. Por tanto, la mejor aproximación ocurre cuando se selecciona un número limitado de puntos sobre la función para la precisión, espaciados lo mejor posible, y así reducir el error estructural. Lo anterior se logra con el uso de los polinomios de Chebyshev (vistos en la sección Espaciamientos de Chebyshev, del capítulo 7), lo que permite disminuir el error estructural, de tal modo que la diferencia entre la función original y la aproximada sea mínima. Para efectuar este tipo de síntesis se debe disponer de la función que habrá de satisfacerse y los puntos de precisión expresados como: y = f (x )

x =  x i , x 1 , x 2 ,..., x p , x f 

(9.1)

donde f (x) es la función de diseño con los límites incluidos de x i a xf y los p números de precisión x1, x2,.., xp. Una vez definida la función de diseño, lo siguiente es mapear los valores de x y y hacia el ángulo del oscilador impulsor φ y del oscilador de salida ψ, respectivamente. Para ello se debe seleccionar un factor de escala, el cual se obtiene al dividir los intervalos de la función y los intervalos de ángulo que se utilizarán en el mecanismo, ya sea que se proporcionen como necesidad de diseño o se propongan como parte de la solución. El factor de escala tanto para el oscilador impulsor como para el oscilador de salida (denotados como Rφ y Rψ, respectivamente) se obtiene de la siguiente manera:

Rφ =

D φ φf − φi = xf − xi Dx

Rψ =

Dψ ψf − ψi = (9.2) yf − yi Dy

Una vez que se tienen los factores de escalas, lo siguiente es evaluar la función en los puntos de precisión y luego mapear los valores angulares del elemento de entrada y salida, para lo cual se usa la escala planteada en la ecuación (9.2); por tanto, cada punto de precisión xp y su respectivo valor yp se cumple con:

φp = Rφ ( x p − x i ) + φi

ψp = Rψ ( y p − y i ) + ψi

(9.3)

Después se utilizan las técnicas de síntesis posicional para osciladores, expuestas en el capítulo 8, para establecer el mecanismo adecuado. Nota En el mecanismo de cuatro barras, las dimensiones de los osciladores obtenidas por la síntesis para la generación de función son afectadas de manera sensible por la selección de los desplazamientos angulares Δψ, Δφ y las posiciones angulares, ya que: a) En la mayoría de los casos el mecanismo resultante de la síntesis es un mecanismo no Grashof. b) En algunos casos el mecanismo resultante satisface las posiciones deseadas, en específico para ángulos negativos de los osciladores, por lo que las posiciones se cumplen al medir los ángulos en sentido opuesto al de las manecillas del reloj.


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c) Debido a que en un mecanismo de cuatro barras para cada entrada del elemento existen dos soluciones a la salida, entonces puede suceder que algunas posiciones se cumplan para una solución y otras pertenezcan a la otra solución. Así, lo más recomendable es auxiliarse de un programa de cómputo, con el fin de buscar la solución apropiada.

1. Necesidad Desplazar un oscilador cuya posición debe cumplir con una función de la posición de la manivela impulsora en un intervalo determinado. 2. Objetivo Sintetizar las dimensiones de un mecanismo manivela-oscilador para que el oscilador cumpla con las posiciones definidas por una función de la posición de la manivela impulsora. 3. Desarrollo i. Dada la función y 5 f (x ) y el intervalo xi  x  xf , determinar el intervalo yi  y  yf . ii. Determinar los factores de escala dados en la ecuación (9.2). iii. Establecer los puntos de precisión mediante los polinomios de Chebyshev planteados en la ecuación (7.1). iv. Evaluar la función y 5 f (x ) para cada punto de precisión. v. Mapear los valores x y y con el uso del factor de escala correspondiente. vi. Utilizar alguna técnica de síntesis posicional para determinar las longitudes del mecanismo que satisfagan los puntos de precisión.

Cuestionario y actividades de preparación 9.1 Responde las siguientes preguntas y(o) actividades en tu cuaderno. Compara tus respuestas con las de tus compañeros de clase.

6. Se dispone de una función y 5 e x como requisito de generación de función.

1. ¿En qué consiste la síntesis generador de función con el uso de mecanismos?

a) Si el rango de entrada es 0  x  3, determina el rango de salida y.

2. ¿Qué aspectos limitan el uso de mecanismos manivelaoscilador para la generación de función?

b) Si se desea escalar el rango de entrada 0  x  4 a una oscilación de 600, determina el factor de escala para la entrada x, así como para la salida y.

3. ¿Cuál es el objetivo del factor de escala en la síntesis de generación de función con el uso de mecanismos manivela-oscilador? 4. ¿Es posible utilizar el mismo factor de escala en la posición de entrada y salida? ¿Por qué sí o por qué no? 5. ¿Cuántos puntos de precisión es posible utilizar para la síntesis de generación de función con el uso de un mecanismo manivela-oscilador? Justifica tu respuesta.


c) Si el rango de entrada es 0  x  3, determina los espaciamientos de Chebyshev para tres puntos sin considerar los extremos. d) Si el rango de entrada es 0  x  3, determina los espaciamientos de Chebyshev para tres puntos considerando los extremos.

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Síntesis generador de función

Ejemplo

Determinar las dimensiones de un mecanismo manivela-oscilador de modo que el oscilador cumpla con las características de la función y 5 f (x) 5 x en un intervalo de 1  x  3.

9.1

Solución

Primero se determinan los límites de salida de la función, de modo que para 1  x  3. Una vez que se conoce la función y 5 f (x) 5 x 2 se tienen los límites de salida: 1  y  9 A continuación se determina el factor de escala. Debido a que no se proporciona el intervalo de la manivela y el oscilador, se propone Δφ 5 120° y Δψ 5 80°, respectivamente; por tanto, 80 D φ 120 Dψ Rφ = = = 60 Rψ = = = 10 3 −1 9 −1 Dx Dy Enseguida se determinan los puntos de precisión mediante los espaciamientos de Chebyshev, paso en el que es necesario establecer si los valores límite serán parte de los puntos de precisión o no. En este ejemplo se opta por no considerarlos como parte de los puntos de precisión, por lo que los límites x0 5 1 y x N11 5 3 son ideales. Una vez que se tiene el requerimiento de tres puntos de precisión, entonces se aplica la ecuación (7.1), de donde se obtiene x1 5 1.13, x2 5 2 y x3 5 2.86. Por tanto, para la función deseada: y 5 f (x) 5 x2 Se evalúan los puntos de precisión x1, x2 y x3 para obtener los respectivos valores de salida:

y1 5 1.27, y2 5 4 y y3 5 8.17

Lo siguiente es mapear estos valores obtenidos a valores de posición angulares mediante la ecuación (9.3); por tanto, es necesario definir los valores iniciales de la oscilación φi y ψi . Como estos no se proporcionan en las necesidades de diseño, entonces se seleccionan de manera arbitraria como φi 5 45° y ψi 5 94°, donde por último se tiene: φ1 = 60 (1.13 − 1) + 45° = 52.8°

ψ1 = 10 (1.27 − 1) + 94° = 96.7°

φ2 = 60 (2 − 1) + 45° = 105°

ψ2 = 10 (4 − 1) + 94° = 124°

φ = 60 (2.86 − 1) + 45° = 156.6° 3

ψ3 = 10 (8.17 − 1) + 94° = 165.7°

Lo anterior se logra con una tabla de condiciones de diseño que se muestra en la tabla 9.1 [1].


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Tabla 9.1 Condiciones de diseño del ejemplo 9.1 Posición Límite inferior Primer punto de precisión Segundo punto de precisión Tercer punto de precisión Límite superior

x

y 5 x2

Φ (DEG)

Ψ (DEG)

1

1 (ideal)

45

94

1.13

1.27

52.8

96.7

2

4

105

124

2.86

8.17

156.6

165.7

3

9 (ideal)

45 1 120 5 165

94 1 80 5 174

En la tabla 9.1 los límites inferior y superior se manejan como valores ideales debido a que no son parte de los puntos de precisión; sin embargo, solo se usan tres puntos de precisión, ya que habrá de utilizarse la síntesis posicional para tres posiciones. Si los valores límite son requeridos como puntos de precisión, entonces solo se podría buscar un punto de precisión, ya que solo se dispone de una técnica de síntesis de tres posiciones. Para casos en los que se requieran más puntos de precisión se puede hacer uso de técnicas como las que se muestran en el capítulo 11, donde se plantean otras técnicas para más puntos de precisión basadas en métodos numéricos y computacionales. La técnica de síntesis posicional que se utiliza Tabla 9.2 Pares de diseño para solucionar los tres puntos de precisión es la analítica (véase sección Osciladores con tres posiθ2 θ4 ciones prescritas del capítulo 8), ya que la gráfica 1 52.8° 96.7° no permite la libre elección de las posiciones del elemento impulsor sino solo los desplazamientos. 2 105° 124° Para usar la ecuación (8.19) se escriben las 3 156.6° 165.7° necesidades de diseño de la forma que se muestra en la tabla 9.2. Por tanto, con θ1 5 0° se obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones: f1(θ21, θ41 ) = k1 − k 2 cos (52.8°) + k 3 cos (96.7°) + cos (52.8° − 96.7°) = 0 f2 (θ22, θ42 ) = k1 − k 2 cos (105°) + k 3 cos (124°) + cos (105° − 124°) = 0 f3 (θ23, θ43 ) = k1 − k 2 cos (156.6°) + k 3 cos (165.7°) + cos (156.6° − 165.7°) = 0 Para la solución se hace uso de las ecuaciones (8.22) y (8.23), con las que se obtienen los siguientes resultados: T1 = 0.8634, T2 = 0.4425, T3 = 0.2249 T4 = 1.5223, T5 = 0.8523, T6 = 0.2668

k1 = −1.646, k 2 = 1.8 k 3 = 1.183

Para obtener las dimensiones del mecanismo primero se define la longitud de uno de los eslabones; por ejemplo, si l1 5 2 cm, con el uso de la ecuación (3.18) se obtienen las longitudes del resto de los eslabones:


l1 5 2 cm, l2 5 1.11 cm, l3 5 1.382 cm, l4 5 1.690 cm,

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En la figura 9.3 se observan las tres posiciones de diseño dentro del espacio de trabajo, lo que satisface la función requerida, mientras que la figura 9.4 muestra la posición del oscilador de salida vs. la posición del oscilador de entrada según la función deseada. θ4

170

125 135 145 155 165

A3

105 95 85 75 115 A2

124 65

144 A1 154 164 B2

114

104

150

94 B1

B2

130

55 45

110

90

174 O2

Figmecanismo 9.3 Figura 9.3 Posiciones del del ejemplo 9.1.

O4

20

50

80

110

140

170

200

θ2

Fig 9.4

Figura 9.4 Gráfica de la función de posición del ejemplo 9.1.

9.3 Mecanismo de leva En el apartado anterior, se estudia la metodología para sintetizar las dimensiones de un mecanismo de cuatro barras para satisfacer la necesidad de generación de una función. Sin embargo, el uso de este tipo de mecanismos para esta tarea se encuentra limitado por su topología. Asimismo, la selección de los ángulos de oscilación tanto del elemento impulsor como del oscilador y la selección del ángulo con el que iniciarán el movimiento los eslabones afectan de manera considerable las dimensiones del mecanismo, lo que genera condiciones de inoperancia en su movilidad. No obstante, existe una alternativa que puede satisfacer condiciones de movilidad más exigentes expresadas por una función, la cual se conoce como mecanismo de leva-seguidor, o simplemente mecanismo de leva.

Análisis topológico Los mecanismos de leva son ampliamente usados en maquinaria industrial. Por su fácil construcción y diseño, este tipo de mecanismos puede ejecutar movimientos más complejos que los que se logran mediante el uso de mecanismos articulados [2]. Por lo anterior, el uso de mecanismos de leva tiene gran difusión, ya que además de permitir movimientos de gran complejidad, en su diseño se utilizan herramientas gráficas y(o) analíticas relativamente simples. Sin embargo, también tiene algunos pequeños inconvenientes, como el desgaste físico en la superficie de contacto y problemas dinámicos a altas velocidades. Hace


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algunos años, otro inconveniente principal de estos mecanismos era la obtención exacta de su forma, tanto en el diseño como en el maquinado. Pero gracias a las nuevas tecnologías, como el uso de programas de modelado y herramientas de CAD, así como el maquinado asistido por computadora, esto ha quedado atrás, y en la actualidad tanto los trazos como el maquinado de la leva son más exactos. Todos los mecanismos de leva se componen por al menos tres componentes, como se muestra en la figura 9.5. 1. Leva. Elemento excéntrico cuya geometría determina el movimiento que habrá de realizarse.

Seguidor

2. Seguidor o varilla. Elemento que se encuentra en contacto con la leva y que es el responsable de transmitir el movimiento.

Bancada Muelle

3. Bancada. Lugar donde se montan la leva y el seguidor.

Rodillo

Leva

Centro de giro de la leva

Figura 9.5 Componentes de un mecanismo de leva.

Tipos de levas y seguidores Hoy día existe una inmensa variedad de levas fabricadas por compañías que se especializan en su construcción y diseño, las cuales las clasifican de diversas formas. Así, algunos tipos de levas se clasifican según su tipo de movimiento en: a) Leva de placa de traslación rectilínea. b) Leva de placa de rotación.

Ambas levas, clasificadas de acuerdo con el tipo de movimiento, se muestran en la figura 9.6. Por su parte, dependiendo del tipo de contacto, las levas se pueden clasificar en: a) Leva de contacto superficial. b) Leva de contacto en ranurado. Ambas levas clasificadas de acuerdo con su tipo de contacto se observan en la figura 9.7.

a)

b)

Figura 9.6 Tipo de leva según el movimiento.

Fig 9.6

Figura 9.7 Leva de contacto ranurado.

Fig 9.7

Por su parte, los seguidores se pueden agrupar por el tipo de movimiento [3] y la forma del contacto. La figura 9.8 ilustra diversos tipos de seguidores que se describen a continuación.


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a) El seguidor de cuña se caracteriza por tener un movimiento rectilíneo, por lo general vertical, además de que debido a su forma el contacto se realiza en la punta. b) El seguidor de rodillo también es de movimiento rectilíneo, pero para su contacto cuenta con un pequeño rodillo. c) El seguidor oscilante con rodillo permite generar un movimiento oscilatorio con un patrón similar al del seguidor de cara plana, solo que el contacto se realiza sobre una superficie plana, el cual también se aplica para seguidores con movimiento rectilíneo. d) El seguidor de cara plana. El contacto se realiza por medio de un elemento plano.

a) Cuña

b) Rodillo

d) Cara plana

c) Oscilante o de pivote

e) Oscilante de cara plana

Figura 9.8 Tipos de seguidor.

Diagramas de desplazamiento El diagrama de desplazamiento de una leva, también conocido como tipo de movimiento del rodillo [3] o parte del diagrama SVAJ [4], se refiere a la gráfica de comportamiento que genera la posición del seguidor en función de la posición de la leva. En la cinemática directa de un mecanismo de leva donde se debe determinar la posición, velocidad y aceleración, hay que considerar el hecho de que al menos existe un par cinemático superior; de este modo, los elementos que forman el par de movimientos teóricamente entran en contacto por una línea, por lo que usar métodos gráficos para la solución cinemática puede resultar tedioso, ya que se debe disponer de la geometría de la leva; de hecho, es el único elemento de un mecanismo cuyo diagrama cinemático es la misma forma del elemento. En este caso es más común hacer uso de diagramas SVA, ya que por lo general el diseño de las levas se realiza mediante un conjunto de ecuaciones de posición, velocidad y aceleración a través de estas. Por tanto, para comprender e interpretar el significado del diagrama SVA considérese una leva moviéndose a velocidad angular w, mediante la cual desplaza un seguidor en una posición S. El diagrama resultante, que se muestra en la figura 9.9, se conoce como diagrama de desplazamiento y relaciona la posición total del


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S(θ )


seguidor S(θ) con el desplazamiento angular de la leva θ. En el diagrama de desplazamiento no existe una función única que determine todo el comportamiento de la leva, ya que habrá subidas, bajadas, retenciones y aceleraciones. Por tanto, el diagrama de desplazamiento en un mecanismo de leva contiene tramos de funciones, es decir: S1 (θ) 0 ≤ θ ≤ θ1 S (θ) θ ≤ θ ≤ θ  2 1 2 (9.4) S (θ) =   Sn (θ) θn ≤ θ ≤ 2π

Smáx

θ

360°

Figura 9.9 DiagramaFig de 9.9 desplazamiento.

S(θ ) S2(θ )

cuya representación gráfica de desplazamiento se muestra en la figura 9.10. En dicha figura se muestran las funciones S1(θ), S2(θ),… Sn(θ), que denotan un tipo de movimiento del seguidor. Es importante hacer notar que existen diferentes tipos de movimiento estandarizados con sus ecuaciones representativas, los cuales para su estudio utilizan la siguiente nomenclatura, que se puede apreciar en la figura 9.11:

S1(θ )

θ1

θ2

θn

θ

360°

Figura 9.10 Diferentes en un diagrama de Fig funciones 9.10 desplazamiento.

• Ángulo inicial y final del movimiento de la leva (θ0, θf ). Se refiere al ángulo en grados con el que inicia y termina el movimiento. • Posición inicial y final del seguidor (S0, Sf ). Se refiere al valor que determina la posición del seguidor al iniciar y terminar el movimiento. • Tiempo inicial y final del movimiento (T0, Tf ). Valores en el tiempo en que inicia y termina el movimiento. • Alzada del seguidor en la ventana del movimiento (Si ). Esto indica la altura máxima alcanzada por el seguidor en el tramo de interés; es decir, Si 5 Sf 2 S0.

Si (θ)

S(θ ) Hf

i-movimiento Hi

• Intervalo de rotación de la leva (bi ). Desplazamiento de la leva en grados en el tramo de interés; es decir, θi 5 θf 2 θ0. • Intervalo de tiempo del sistema (Ti ). Tiempo total en que ocurre el movimiento; es decir, Ti 5 Tf 2 T0.

H0

βi

Si la leva se mueve a velocidad constante w, lo cual sucede en la mayoría de las aplicaciones, entonces para cada moviθ θ0 θf miento la relación entre el desplazamiento angular de la bi de 9.11 Valores en extremos en cadadeventana Figura Figura 9.11Valores extremos cada ventana movimientola leva y el tiempo en el cual ocurre Ti es: de movimiento.


bi 5 wTi (9.5)

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Sin embargo, el que la leva se mueva a velocidad constante no implica que el seguidor también lo hará. De hecho, el seguidor tendrá su propio movimiento, independientemente de que la leva se mueva a velocidad constante, ya que dicho movimiento lo define la geometría de la leva. A continuación se presentan las ecuaciones y los diagramas de desplazamiento de los movimientos típicos en el diseño de levas [5], las cuales están planteadas para un rango de valores desde 0 hasta bi con el uso de los siguientes parámetros: • Velocidad constante de la biela: w. • Variable de la posición angular en grados: θ. • Variable del tiempo: t.

Movimiento a velocidad constante del seguidor El movimiento más simple para un seguidor consiste en la elevación o el descenso a una velocidad constante, lo cual implica un desplazamiento proporcional y una aceleración nula, excepto en los extremos, donde la aceleración aparece con magnitudes infinitas (véase figura 9.12), lo que presenta una desventaja para velocidades altas debido a que aparecen fuerzas inerciales. Las ecuaciones cinemáticas de posición, velocidad y aceleración para este tipo de movimiento son: • Posición

Si (θ) =

Hi θ βi

Si (t ) =

Hi t (9.6) Ti

Vi (θ) =

Hi ω βi

Vi (t ) =

Hi (9.7) Ti

• Velocidad • Aceleración

Ai (θ) = 0

0 < θ < βi

Ai (θ) = ∞

θ = 0 , θ = βi

(9.8)

Elevación (Hi < 0) Ai (θ)

Velocidad

Posición

θ

βi

Vi (θ) Velocidad

Posición 09_CINEMATICA DE MECANISMOS_CAP 9.indd 12

∞ βi θ

∞

Hi

βi

θ

θ

Hi / Ti

–Hi / Ti

βi

θ

Ai (θ) Aceleración

βi < Descenso (Hi 0) Si (θ)

Hi / T i

Aceleración

Vi (θ)

Hi

∞

∞

Si (θ)

βi θ

Figura 9.12 Curva de movimiento con velocidad constante en el seguidor.

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Movimiento parabólico El movimiento parabólico, también conocido como aceleración constante, constituye un primer intento para disminuir los valores de aceleración infinito que ocurre en el movimiento de velocidad constante, sustituyéndolo por tramos de aceleración constante positivos en la primera mitad del recorrido y negativo en el resto. Este movimiento presenta un tramo de aceleración desde el inicio hasta la mitad del recorrido, es decir bi /2, y después un tramo de desaceleración en el resto del recorrido, con la desventaja de que este cambio de aceleración es brusco y provoca fuerzas inerciales considerables que se manifiestan como vibración, por lo que se aplica de manera principal a bajas velocidades para disminuir estas fuerzas inerciales. Elevación (Hi < 0) 2H i / T i

Vi (θ )

Posición

Velocidad

Hi

βi

βi

θ

4H i / T i

Ai (θ)

2

Aceleración

Si (θ)

βi

θ

βi

–4H i / T i

θ

2

< Descenso (Hi 0)

βi

Vi (θ)

Posición

Velocidad

Hi

βi

θ

θ

4H i / T i

Ai (θ) Aceleración

Si (θ)

–2H i / T i

βi

–4H i / T i

2

θ

2

Figura 9.13 Curva de movimiento con aceleración constante en el seguidor.

Las ecuaciones que definen el movimiento parabólico o de aceleración constante son: • Posición  θ Si (θ) = 2Hi    βi 

2

t Si (t ) = 2Hi    Ti 

2

2

0 < θ < 0.5βi

 θ Si (θ) = Hi − 2Hi  1 −  βi  

2

0 < t < 0.5Ti

 t Si (t ) = Hi i + 2Hi  1 −  Ti  

0.5βi < θ < βi (9.9) 0.5Ti < t < Ti

• Velocidad 4Hi ωθ Vi (θ) = βi 2 4H t Vi (t) = 2i Ti


θ 4Hi ω  1−   βi  βi 

0 < θ < 0.5βi

Vi (θ) =

0 < t < 0.5Ti

4Hi Vi (t ) = Ti

 t  1 − T  i

0.5βi < θ < βi (9.10) 0.5Ti < t < Ti

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• Aceleración

4Hi ω 2 βi 2 4H Ai (t ) = 2 i Ti

Ai (θ) =

0 < θ < 0.5βi 0 < t < 0.5Ti

−4Hi ω 2 βi 2 −4Hi Ai (t ) = Ti 2

Ai (θ) =

0.5βi < θ < βi (9.11) 0.5Ti < t < Ti

Movimiento armónico Otra representación algebraica de una curva de aceleración es el movimiento armónico simple. Este presenta una gran ventaja con respecto al movimiento parabólico debido a que la curva de aceleración es más suave y no presenta cambios bruscos, como se ilustra en la figura 9.14. Elevación (Hi < 0) Vi (θ )

Posición

βi

θ

Ai (θ)

πHi 2H i

Velocidad

Hi

Aceleración

Si (θ)

π 2H i 2T i2

βi

–π

2H i 2T i2

θ

βi

θ

< Descenso (Hi 0) Vi (θ)

βi

Ai (θ)

θ

Posición

Velocidad

Hi

βi

–π2TH i

θ

Aceleración

Si (θ)

i

π 2H i 2T i2

βi

θ

–π

2H i 2T i2

Figura 9.14 Curva de movimiento armónico del seguidor.

Sin embargo, este tipo de movimiento presenta un inconveniente, el cual se aprecia en la curva de aceleración, donde de manera brusca aparece una aceleración positiva y termina con una desaceleración, lo que puede afectar el siguiente movimiento. Las ecuaciones cinemáticas para el movimiento armónico son: • Posición

Si (θ) =

 πθ   Hi  1 − cos    2   βi  

• Velocidad  πθ   πHi ω  Vi (θ) =  sen    2βi   νi   • Aceleración π 2Hi ω 2 A ( θ ) = i 2βi 2


  πθ   cos     βi   

Si (t ) =

 πt   Hi  1 − cos    (9.12) 2   Ti  

Vi (t ) =

πHi 2Ti

  πt    sen    (9.13)  Ti   

Ai (t ) =

π 2Hi 2Ti 2

  πt   cos    (9.14)  Ti   

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334


Movimiento cicloidal Hasta este momento el movimiento armónico ha sido el que mejor responde a las necesidades de altas velocidades; no obstante, este tipo de movimiento presenta el inconveniente de aceleración y desaceleración bruscas. Este inconveniente lo resuelve el movimiento cicloidal, el cual presenta un cambio más suave en la curva de aceleración, como se muestra en la figura 9.15. Elevación (Hi < 0) Vi (θ)

Si (θ)

θ

βi

θ

θ

– 2πTH2 i i

Ai (θ)

θ

Velocidad

Posición

βi

βi

θ

βi Vi (θ)

Hi

2π H i T i2

Aceleración

Posición

βi < Descenso (Hi 0)

Ai (θ)

2H i Ti

Velocidad

Hi

i – 2H T

2π H i T i2

Aceleración

Si (θ)

βi

θ

– 2πTH2 i

i

i

Figura 9.15 Curva de movimiento cicloidalFigura del seguidor. 9.15

Las ecuaciones cinemáticas para el movimiento cicloidal son: • Posición θ  2πθ   1 sen  Si (θ) = Hi  −   βi    βi 2π

t  2π t   1 sen  Si (t ) = Hi  −  (9.15)  Ti   Ti 2π

• Velocidad

Vi (θ) =

 2πθ   Hi ω  1 − cos   βi   βi  

Vi (t ) =

Hi Ti

  2πt   1 − cos   (9.16)  Ti   

• Aceleración

Ai (θ) = −

 2πθ   2πHi ω 2   sen   2 βi  βi   

Ai (t ) =

 2π t   2πHi  sen   2  Ti   βi  

(9.17)

Movimiento de descanso Este tipo de movimiento consiste en mantener estacionario el seguidor en la última posición antes de que este inicie, y donde la velocidad y la aceleración permanecen constantes.


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335

Movimientos polinomiales del seguidor Una solución para reducir la presencia de fuerzas inerciales por aceleraciones infinitas o por cambios repentinos en la aceleración es mediante un movimiento conocido como polinomial, el cual consiste en utilizar ecuaciones polinomiales de la forma más básica: n 2  θ  θ  θ y = c 0 + c1   + c 2   + ... cn    βi   βi   βi  Las constantes c son valores que se obtienen por las condiciones de frontera, al tener un movimiento adecuado mediante la selección de estos valores y el número de términos a utilizar. Dos de los movimientos polinomiales para el diseño de leva son el movimiento de quinto grado con términos 3-4-5 y el de séptimo grado con términos 4-5-6-7. Por tanto, las ecuaciones cinemáticas del movimiento polinomial de quinto grado con términos 3-4-5 son: • Posición • Velocidad

4 5   θ 3  θ  θ  Si (θ) = Hi 10   − 15   + 6    (9.18)  βi   βi     βi  4 5   θ 3  θ  θ  Si (θ) = Hi 10   − 15   + 6    (9.19)  βi   βi     βi 

• Aceleración 2 3 4  θ  θ  ωHi   θ  − 60   + 30    Vi (θ) =  30 βi   βi   βi   βi   (9.20)  Las ecuaciones cinemáticas para un movimiento polinomial de séptimo grado con términos 4-5-6-7 son: • Posición 5 6 7   θ 4  θ  θ  θ  ( ) = 35 − 84 + 70 − 20 θ S H  i i    β   β   β   (9.21)   βi   i i i • Velocidad 3 4 5 6  θ  θ  θ  θ  ωHi  Vi (θ) = 140   − 420   + 420   − 140    (9.22) βi   βi   βi   βi   βi    • Aceleración

2 3 4 5  θ  θ  θ  θ   ω 2Hi  Ai (θ) =  420   − 1680   + 2100   − 840    (9.23) βi 2   βi   βi   βi   βi   

Las figuras 9.16 y 9.17 muestran las gráficas del comportamiento del movimiento polinomial de cuarto grado con potencias de 3-4-5 y de séptimo grado con potencias


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336


de 4-5-6-7, respectivamente. En ambos movimientos puede observarse que la aceleración se realiza con cambios suaves, lo que reduce las fuerzas inerciales. Elevación (Hi < 0) Vi (θ)

βi

βi

θ

Aceleración

θ

Ai (θ)

Velocidad

Posición

Si (θ)

βi

θ

< Descenso (Hi 0) Vi (θ)

βi

βi

θ

Aceleración

θ

Ai (θ)

Velocidad

Posición

Si (θ)

βi

θ

Figura 9.16 Curva de movimiento polinomial de cuarto grado con potencias de 3-4-5 y de séptimo grado con potencias de 4-5-6-7.

Construcción analítica del diagrama de desplazamiento Una vez explicados algunos movimientos más comunes en el diseño de levas, lo siguiente es establecer las ecuaciones necesarias y la metodología que permita elaborar el diagrama total de desplazamiento de la leva. Si una leva tiene n movimientos, entonces el tiempo total (T ) que tarda la leva en dar una vuelta completa se obtendrá al sumar todos los intervalos de tiempo Ti , es decir:

n

T = ∑Ti (9.24) i =1

De manera similar, el intervalo total de la leva (θ) debe ser una revolución completa, por lo que la suma de todos los intervalos angulares (bi ) debe ser 360°, es decir: n (9.25) θ = ∑ βi = 360° i = 1 Si la leva gira a velocidad constante w, entonces la magnitud de la velocidad se puede obtener al usar el desplazamiento total de la leva, que es una revolución completa, y el tiempo total (T ), es decir: 2π ω= (9.26) T


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Además, si la velocidad de la leva es constante, entonces es la misma en cada uno de los intervalos angulares; por tanto:

ω=

βi Ti

i = 1,2,3....n

(9.27)

Por otro lado, las ecuaciones cinemáticas que permiten obtener las gráficas cinemáticas para los diferentes tipos de movimiento se hicieron a partir del origen (0, 0), por lo que no consideran la posición inicial del movimiento en la gráfica de desplazamiento total de la leva. Así, para graficar cada movimiento en su posición real, simplemente hay que desplazar todos los valores la magnitud de la posición inicial del movimiento. Lo anterior significa que, como las ecuaciones cinemáticas de la sección Diagramas de desplazamiento, no se considera la coordenada inicial, entonces las ecuaciones cinemáticas reales, denotadas como S ’i (θ’), v ’i (θ’) y A’i (θ’), se pueden obtener mediante un cambio de coordenadas y ser desplazadas con sus valores iniciales como:

Si′(θ ′) = H 0 + Si (θ ′) Vi ′(θ ′) = V0 + Vi (θ ′)

θ ′=θ+θ0

(9.28)

θ ′=θ+θ0

Ai′(θ ′) = A0 + Ai (θ ′)

θ ′=θ+θ0

Donde H0, V0 y A0 son la posición, la velocidad y la aceleración inicial, respectivamente. Si se parte de la ecuación anterior, la posición del seguidor real se obtiene al desplazar cada valor de su magnitud igual a H 0. Luego, se realiza un cambio de variables sustituyendo los valores de θ 5 [0, bi ] a θ’ 5 [θ0, θf ].

Cuestionario y actividades de preparación 9.2 Responde las siguientes preguntas y(o) actividades en tu cuaderno. Compara tus respuestas con las de tus compañeros de clase.

5. En una leva se pueden tener diversos movimientos, cada uno en un lapso de ángulo de la leva βi . ¿Cuánto deben sumar todos los lapsos de ángulos de los movimientos?

1. Elabora un bosquejo de las diferentes combinaciones que se pueden tener con los diferentes tipos de levas y las distintas clases de seguidores.

6. Si una leva se mueve a 200 rpm, determina el tiempo que tarda en dar una revolución.

2. ¿Qué es el diagrama de desplazamiento y qué relación tiene con la geometría de la leva? 3. Cita la(s) ventaja(s) y desventaja(s) de cada uno de los movimientos de seguidores vistos en esta sección. 4. Si una leva se mueve a velocidad constante, ¿también el seguidor se moverá a velocidad constante? Justifica tu respuesta.


7. Se tienen cinco movimientos en un seguidor cuya leva se mueve a 20 rad/s. Si cada movimiento tiene el mismo lapso angular βi , determina el tiempo que tarda en recorrer cada movimiento. 9. Se necesita satisfacer cuatro movimientos en una manivela en lapsos de 1, 3, 1.5 y 2 s. Si la leva gira a velocidad constante de 10 rad/s, determina el lapso angular βi en cada movimiento.

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Ejemplo

9.2

Cálculo de la velocidad angular de la leva Se desea diseñar una leva que cumpla con cinco tipos de movimiento cuyos intervalos de tiempo Ti son 2, 3, 5, 3 y 2 s. Determinar la magnitud de la velocidad angular de la leva. Solución

El tiempo total T para cumplir los movimientos se determina al sumar todos los intervalos de tiempo, es decir: n

5

i =1

i =1

T = ∑Ti = ∑Ti = 2 + 3 + 5 + 3 + 2 = 15 s

Por tanto, como es el tiempo que debe recorrer en una revolución completa, la velocidad a la que deberá girar la leva es: ω=

Ejemplo

9.3

2π = 0.418 rad/s 15 s

Cálculo de intervalos de tiempo y angulares Una leva de baja velocidad que gira a 5 rad/s está diseñada para satisfacer cinco tipos de movimientos en los siguientes intervalos: θ0

θf

Tipo de movimiento

0°

40°

Tipo 1

40°

90°

Tipo 2

90°

180°

Tipo 3

180°

230°

Tipo 4

230°

360°

Tipo 5

Determinar los intervalos angulares y de tiempo para cada movimiento, así como el tiempo total de giro de la leva. Solución

Primero se determinan los intervalos angulares simplemente restando a la posición final θf la posición inicial θ0; es decir, bi 5 θf – θ0.


θ0 (DEG)

θf (DEG)

Tipo de movimiento

bi (DEG)

0

40

Tipo 1

40

40

90

Tipo 2

50

90

180

Tipo 3

90

180

230

Tipo 4

50

230

360

Tipo 5

130

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339


A continuación, con la velocidad angular de la leva se determina el lapso de tiempo. Como la leva gira a velocidad constante, entonces para cada tramo se cumple con w 5 bi /Ti; al despejar Ti se puede obtener el lapso de tiempo para cada tramo. Como la velocidad angular de la leva se encuentra en rad/s, entonces es necesario cambiar los desplazamientos angulares bi a radianes y posteriormente Ti 5 bi /w. El tiempo total de giro de la leva es la suma de todos los intervalos de tiempo: θ0 (DEG)

θf (DEG)

Tipo de movimiento

bi (DEG)

bi (rad)

Ti 5 bi /w

0

40

Tipo 1

40

0.6981

0.13962

40

90

Tipo 2

50

0.8726

0.1745

90

180

Tipo 3

90

1.5704

0.3140

180

230

Tipo 4

50

0.8726

0.1745

230

360

Tipo 5

130

2.2689

0.4537

El tiempo total de giro de la leva se determina como: 5

T = ∑Ti = 0.1396 + 0.1745 + 0.3140 + 0.1745 + 0.4537

i =1

lo que da como resultado:

T 5 1.2563 s

Diagrama de desplazamiento

Ejemplo

Una leva tiene los siguientes lapsos de movimiento:

9.4

θ0 (DEG)

θf (DEG)

Tipo de movimiento

Alzada del seguidor (Hi )

0

90

Descanso

0

90

180

Armónico

1 6 cm

180

270

Descanso

0

270

360

Armónico

26 cm

Construir el diagrama de desplazamiento del seguidor para todo el movimiento de la leva. Solución

Con los valores proporcionados es posible obtener los desplazamientos angulares para cada movimiento. Asimismo, para determinar las coordenadas iniciales es necesario ir sumando los valores de desplazamiento angular y alzadas del seguidor.


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340


θ0*

θf*

Tipo de movimiento


Desplazamiento angular (bi )

Coordenadas iniciales (θ0, H0)

0

70

Descanso

0

70

(0, 0)

70

180

Armónico

16 cm

110

(70, 0)

180

220

Descanso

0

40

(180, 6)

220

360

Armónico

26 cm

140

(220, 6)

*Valores en grados.

La construcción de los movimientos de descanso es simple de hacer, no así el de los armónicos, los cuales se obtienen usando la ecuación (2.12): Si (θ) =

 πθ   H2  1 − cos    2   βi  

Una vez evaluadas las funciones, hay que expresar el resultado en coordenadas generales de la leva, para lo cual se aplica la ecuación (9.28):

S2 (θ ′) = 0 +

6  πθ ′   1 − cos    70°  θ′= θ +70° 2

S4 (θ ′) =

−6   πθ ′   1 − cos    140°  θ′= θ +220° 2 

Por tanto, la ecuación general del desplazamiento de la leva será: 0  3 1 − cos  πθ ′    70°  θ′= θ +70°   S (θ′ ) =  6    πθ ′   −3 1 − cos   140°  θ′= θ + 220°  

0 < θ ′ < 70° 70° < θ ′ < 180° 180° < θ ′ < 220° 220° < θ ′ < 360°

El movimiento total del seguidor se aprecia en la figura 9.17. 6.60

Alzada

5.16 3.72 0.84 0.84 -0.60 0.00

30.00

60.00

90.00

120.00

150.00

180.00

210.00

240.00

270.00

300.00

330.00

360.00

Ángulo

Figura 9.17 Diagrama de desplazamiento del ejemplo 9.4. Figura 9.17


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341


Diseño del perfil de leva Cinemática inversa Seguidor Alzada El diseño de levas es conocido S(θ) comúnmente como diseño del Si perfil de leva, y consiste en la construcción de la geometría o la forma de la leva, que al θi θi Posición de la leva, θ estar en contacto con el segui270° 90° ∆θ rb dor produce un movimiento Círculo base Si determinado y establecido en las condiciones del diseño. Este diseño se logra al Leva 180° aplicar la cinemática inversa Figura 9.18 Elementos para la construcción del perfil de leva. en el diagrama de desplazamiento del seguidor, esto se refiere a que, dadas las condiciones de diseño de movilidad del seguidor, se puede formar el diagrama de desplazamiento y después envolver dicho diagrama sobre una circunferencia. Para establecer el procedimiento que permita la construcción del perfil de leva, considérese la figura 9.18, en la cual se muestran los parámetros necesarios para la construcción del perfil de una leva con seguidor de cuña. El primer parámetro se conoce como círculo base, el cual se refiere a partir de dónde se construirá la geometría de la leva. El radio del círculo base rb está condicionado al tipo del seguidor y depende principalmente de los factores de espacio donde se montará la leva y de la afectación del ángulo de presión ejercido sobre el seguidor. Sin embargo, entre mayor sea el diámetro [5], mejor transmisión de fuerza se tendrá. Una vez establecido el sentido del movimiento de la leva en el sentido de las manecillas del reloj y el seguidor sobre el eje vertical superior a la leva, los ejes de medición que determinan la posición inicial de la leva se iniciarán en el eje vertical positivo con respecto a un plano cartesiano. Enseguida, y debido al sentido del giro de la leva, los ángulos se medirán contra el movimiento de la leva, como se indica en la figura 9.18, denotados como 90°, 180° y 270° de la leva. Para continuar el procedimiento de cinemática con el cual se construye el perfil de la leva, considérese una posición angular de la leva denotada por θi, de modo que para esta posición, el seguidor deberá desplazarse una distancia Si . Pero para que esto suceda la distancia desde el círculo base hacia el extremo de la leva después de recorrer un ángulo θi deberá ser Si ; si se repite el procedimiento para todas las posiciones de la leva, entonces se habrá construido el perfil de la leva. Otro parámetro para la construcción del perfil de la leva es la resolución, parámetro que define el número de trazos usados, el graficado y, en su defecto, el maquinado. Sea n el número de trazos de la leva. La resolución Δθ queda establecida como:


Δθ = 360 (grados) (9.29) n

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342


La resolución también se puede expresar en función del tiempo como Δt , y es más conocido como paso de muestreo:

Δ t =

∆θ 360 = (segundos) (9.30) ω ω

Con respecto a la resolución, hoy en día con la ayuda de programas computacionales y equipos de prototipado es posible trabajar con resoluciones muy pequeñas, de modo que es posible tener mejor acabado en la construcción de la leva. Para esto es común que se sigan las etapas que se ilustran en la figura 9.19.

Diseño: Gráfico y/o asistido por computadora

Bosquejo

Preparación y/o almacenamiento en formato compatible

Maquinado

Figura 9.19 Etapas para el diseño y la elaboración de una leva.

Fig 9.19

Como primera etapa, se elabora un bosquejo de la solución con la formulación tentativa de los movimientos requeridos y el análisis de soluciones; después, se elabora el diseño con la ayuda de estrategias gráficas y(o) programas computacionales, como el módulo CamSim (véase figura 9.20) incluido en el programa Mekanize®.

Figura 9.20 Módulo CamSim de Mekanize® para el diseño de perfil de leva.


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343

Una vez que se tienen las coordenadas gráficas de la geometría de la leva, se hace un prototipo en algún material para los casos en que se requiera realizar primero unas pruebas, o bien se procede de manera directa al almacenamiento de la construcción gráfica en un formato de dibujo estandarizado por máquinas de corte (por ejemplo, DXF de Autocad, BMP o JPG, o los archivos de SolidWorks, entre otros). Enseguida se realiza el proceso de maquinado mediante maquinaria de corte controlada por computadora (por ejemplo, máquinas CNC o cortadoras láser, entre otros).

Consideraciones previas de diseño La primera etapa del diseño consiste en bosquejar los movimientos requeridos por el seguidor que permita satisfacer las necesidades de movilidad solicitadas; sin embargo, esta etapa se debe realizar considerando los efectos cinemáticos y cinéticos de los movimientos, cuyas características se detallan a continuación. Menor aceleración teórica

Los cambios drásticos de aceleración o desaceleración tienen afectaciones inerciales en el seguidor. En este aspecto, el movimiento parabólico se ha empleado en muchos casos de diseño, ya que posee menos aceleración teórica y velocidad dada de la leva [3]. Asimismo, este se puede modificar para que se tengan intervalos de velocidad y aceleración constantes. Tipo de seguidor

El tipo de seguidor tiene afectaciones cinemáticas y cinéticas en el conjunto levaseguidor. Dos de los principales efectos del tipo de seguidor es la conservación de la línea de contacto, la línea tangente de contacto y el ángulo de presión, tres parámetros estrechamente relacionados. Mientras que la línea de contacto es una línea imaginaria que pasa por el seguidor en dirección al punto de contacto con la leva, la línea tangente de contacto es aquella que toca solo un punto tanto de la leva como del seguidor, de modo que permanece perpendicular a la superficie de contacto, como se muestra en la figura 9.21. Si el punto de contacto entre la leva y el seguidor Línea de contacto está siempre en línea de contacto en todo el movimienLínea tangente to de la leva, entonces la línea tangente siempre será de contacto perpendicular a la de contacto, lo que facilita el diseño por métodos gráficos. Pero si el punto de contacto entre la leva y el seguidor varía de posición fuera de la línea de contacto, entonces se requerirá un diseño Seguidor de cuña Seguidor de rodillo analítico para considerar el verdadero punto de contacto. Además, aparecerá una línea de presión que Figura 9.21 Línea de contacto y tangente. Fig 9.21 ejercerá el rodillo sobre la leva. En tal caso, para los seguidores de rodillo el movimiento armónico presenta una gran ventaja, ya que permite descansar al seguidor menos rígido, requiriéndose menos energía para mover la leva [3].


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344


Aceleraciones infinitas

En algunos movimientos, como las fronteras del movimiento constante, surgen aceleraciones infinitas que generan fuerzas inerciales, las cuales a altas velocidades provocan desprendimiento del seguidor. Una solución tentativa a altas velocidades consiste en limitar el seguidor con un resorte de alta rigidez; sin embargo, lo único que se lograría es generar una vibración mecánica. Para ilustrar lo anterior, considérese el siguiente diseño para una leva con radio de círculo base de 5 cm, donde los movimientos del seguidor deberán ser: θ0

θf

Tipo de movimiento


0°

90°

Armónico

15 cm

90°

180°

Descanso

0

180°

270°

Armónico

25 cm

270°

360°

Descanso

0

Las gráficas teóricas del comportamien4.30 to cinemático se pueden obtener mediante 3.10 el uso de las ecuaciones vistas en el aparta1.90 do Construcción analítica del diagrama de 0.70 desplazamiento, para una velocidad angu-0.50 lar de la leva de 10 rad/s. Dichas gráficas 0.00 30.00 60.00 90.00 120.00 150.00 180.00 210.00 240.00 270.00 300.00 330.00 360.00 se muestran en la figura 9.22. Ángulo 1.22 Como se puede apreciar en la figura 0.73 9.22, existen cuatro instantes en los que se 0.24 presentan valores de aceleración infinita, lo -0.24 cual provocará saltos repentinos en el se-0.73 guidor y de amplitud relativa a la masa del -1.22 seguidor y la velocidad angular de la leva. 216.00 288.00 360.00 0.00 72.00 144.00 Ángulo Una simulación computacional me0.43 ∞ ∞ ∞ ∞ diante la herramienta Working Model® 0.28 permitirá comprender los efectos inercia0.09 les del ejemplo 9.4. En este caso, primero -0.09 se considera un movimiento de la leva a -0.26 velocidad constante de 1 rad/s. El dia-0.43 0.00 72.00 144.00 216.00 288.00 360.00 grama de desplazamiento y velocidad se Ángulo muestra en la figura 9.23. Figura 9.22 Diagrama de comportamiento cinemático del ejemplo 9.4. En la figura 9.23 se puede apreciar que Fig 9.22 el seguidor genera la función deseada y que a esta velocidad no hay sobrepasos considerables en los cambios de movimiento armónico a descanso. Asimismo, también se pueden observar sobrepasos en la gráfica de velocidad, pero esto ocurre debido a cuestión numérica en el proceso de simulación. Después, se incrementa la velocidad a tan solo 4.8 rad/s, lo que provoca movimientos no deseables en el seguidor, como una separación de la leva, como se aprecia en la figura 9.24.

Aceleración

Velocidad

Posición

5.50


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345


Figura 9.23 Simulación del ejemplo 9.4 a bajas velocidades mediante Working Model®.

Un primer intento por solucionar el problema es mediante la colocación de resortes en el seguidor y la bancada, los cuales ayudarán a mantener el seguidor en contacto sobre la leva; sin embargo, hay que considerar el valor de la masa del seguidor, ya que en conjunto con los resortes forma un sistema vibratorio y pueden aparecer efectos propios del sistema vibratorio. En la figura 9.25 se muestra la gráfica de posición del seguidor cuando la leva gira a 100 rad/s con unos resortes con rigidez de 50 N/cm cada uno. Como puede apreciarse, el uso de los resortes impidió la separación del seguidor incluso a altas velocidades. Las características de masa y elasticidad fueron ajustadas para evitar efectos vibratorios, como la resonancia.

Figura 9.24 Simulación del ejemplo 9.4 a mayor velocidad usando Working Model®.

Figura 9.25 Simulación del ejemplo 9.4 a velocidades altas usando Working Model®.

La tabla de necesidades La tabla de necesidades se bosqueja o se proporciona indicando los tipos de movimientos requeridos en una revolución completa de la leva. Por su parte, la elaboración del diagrama de desplazamiento se debe construir a partir de la tabla de necesidades, donde se deben especificar los tipos de movimientos, los lapsos en grados y la altura máxima del seguidor para cada movimiento, como se indica en la figura 9.26. Para la construcción del diagrama de desplazamiento se sugiere el siguiente procedimiento: 1. Trazar el eje de las abscisas con límites de 0º a 360º. Trazar en el eje de las ordenadas los límites de 0 a Smáx. En este caso, Smáx es la alzada máxima que alcanzará el seguidor, y se obtiene al sumar todas las alzadas de subida de la tabla de necesidades.


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S (θ) Ventana de construcción

Hmáx S3 S2 S1 Movimiento 1

Tipo de movimiento

Lapso en grados

Alzada

Movimiento 1

b1

S1

Movimiento 2

b2

S2

Movimiento 3

Movimiento 3

b3

S3

Movimiento 4

β3

b4

S4

Movimiento 5

b5

S5

Movimiento 2

β2

S4

Movimiento 4

β4

S5

β1

Movimiento 5

β5

θ

360°

Figura 9.26 Construcción del diagrama de desplazamiento a partir de la tabla de necesidades.

2. Trazar las ventanas de construcción por medio de rectángulos con un ancho igual al lapso en grados βi y de alto la alzada Si de cada movimiento. 3. Trazar la curva de movimiento. Método gráfico 1. Para cada ventana, dividir el eje de las abscisas en un número de partes necesarias para cada movimiento. Por lo común, se recomiendan seis divisiones, mediante las cuales se basa el método gráfico. 2. Trazar una curva aproximada uniendo los puntos de intersección. Método analítico 1. Para cada ventana, dividir el eje de las abscisas en un número de divisiones según la resolución deseada. 2. Utilizar las ecuaciones cinemáticas del movimiento vistas en la sección Diagramas de desplazamiento para determinar la alzada del seguidor correspondiente con el ángulo de la leva. 3. Asignar para cada división el valor angular de la leva, considerando el ancho de la ventana βi, el número de divisiones n, así como el ángulo inicial del movimiento θini; por tanto, la posición angular será θk 5 θmín 1 k (βi /n), donde k 5 0, 1, 2, n. Una vez que se bosquejan los movimientos requeridos por el diseño, se procede a la puesta en marcha del método gráfico y(o) analítico que permita generar los movimientos requeridos y, en su defecto, la geometría de la leva. Para la construcción del perfil de la leva se puede hacer uso de métodos gráficos o analíticos; ambos siguen el procedimiento de construcción del diagrama de desplazamiento y consecuentemente el perfil de la leva.


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Los métodos gráficos ofrecen una buena aproximación y una construcción simple. La construcción del diagrama de desplazamiento se realiza mediante el uso de reglas geométricas definidas propiamente por el tipo del movimiento; después, se construye la geometría de la leva mediante la aplicación del principio de cinemática inversa. Por su parte, los métodos analíticos ofrecen mayor precisión en la construcción de la leva, la cual se realiza al construir primero el diagrama de desplazamiento mediante las ecuaciones cinemáticas vistas en el apartado anterior. Después, se aplican unas ecuaciones paramétricas para definir las coordenadas del perfil, es decir, las coordenadas de corte. Aun cuando se haga uso de métodos analíticos o computacionales para la construcción del perfil de leva, es recomendable la construcción del diagrama mediante métodos gráficos, ya que permiten comprender la naturaleza de los movimientos. Enseguida se procede a explicar la construcción del diagrama de desplazamiento mediante el uso del método gráfico para cuatro de los movimiento más comunes: velocidad constante, aceleración constante (parabólico), cicloidal y armónico.

Construcción gráfica de movimientos del seguidor Movimiento a velocidad constante del seguidor

El movimiento a velocidad constante es simple de construir, ya que solo se requiere de la unión del movimiento inicial con el final mediante una línea recta, como se muestra en la figura 9.27. Sin embargo, este movimiento presenta un problema de sobresalto al inicio y al final del movimiento, el cual puede ser resuelto mediante un movimiento conocido como velocidad constante modificada, que se explica más adelante.

Si

1

2

βi

3

4

5

6

Figura 9.27 Construcción gráfica del Fig 9.27 movimiento a velocidad constante.

Movimiento a aceleración constante del seguidor

Este movimiento, también conocido como movimiento parabólico, se construye mediante la expresión cuadrática S 5 θ2, la cual debe adaptarse a los requerimientos de aceleración y desaceleración. Se construye con el uso de divisiones del ángulo de la leva en el eje horizontal como variable de entrada; por ejemplo, para seis divisiones de ángulos de la leva deberá contar con tres divisiones de aceleración y tres de desaceleración. Si se utilizan las primeras tres divisiones como aceleración (es decir, θa 5 [1, 2, 3]), entonces los valores de las divisiones para definir la posición del seguidor serán Sa 5 [1, 4, 9], las cuales se pueden obtener al ir sumando un determinado valor al último anterior obtenido; es decir, Sa 5 [11, 13, 15]. Para que el movimiento continúe como desaceleración, entonces para las tres divisiones restantes del ángulo de la leva θd 5 [4, 5, 6] se tendrán los valores de desaceleración, ahora en forma descendente, es decir, Sd 5 [15, 13, 11]. En resumen, para las divisiones del ángulo de la leva θ 5 [1, 2, 3, 4, 5, 6] se tendrán a la salida los valores de división del seguidor S 5 [11, 13, 15, 1 5, 1 3, 11] 5 [1, 4, 9, 14, 17, 18], que da un total de 18 divisiones. De manera análoga, se pueden construir las divisiones para más de seis, con la condición de que debe


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ser un número par; por ejemplo, para ocho divisiones del ángulo de la leva θ 5 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] se tendrán a la salida los valores de división S 5 [11, 13, 15, 17, 17, 1 5, 1 3, 11] 5 [1, 4, 9, 16, 23, 28, 31, 32]. Una vez obtenidas las divisiones 18 respectivas, solo basta unir cada división 17 del ángulo de la leva con la respectiva división del seguidor y después aproxi14 mar las intersecciones, por medio de una curva, para formar el movimiento. Si 9 Por ejemplo, para el caso de seis divisiones del ángulo de la leva se tendrán 18 divisiones en la posición del seguidor y 4 la gráfica resultante será como la que se muestra en la figura 9.28. 1 Sin embargo, en la construcción de 1 2 3 4 5 6 este movimiento puede existir un probleβi ma, ya que al dividir la alzada máxima Figura 9.28 Construcción gráfica del movimiento parabólico. del seguidor (por ejemplo, en 18 divisiones), cada división puede ser de un valor fraccionario difícil de trazar; por ejemplo, para una alzada máxima del seguidor de 2 cm, cada división estará separada 2 cm/18 5 0.111 cm, lo cual es difícil de trazar con una regla común. Para solucionar tal problema se hace uso de una estraµ tegia gráfica que consiste en trazar un segmento auxiliar OB A con un ángulo μ con la vertical, como se muestra en la figura B 18 17 9.29. Este segmento deberá tener una medida proporcional a 14 18 para el caso de seis divisiones del ángulo de la leva. Por 12 Si ejemplo, si la alzada es de 2 o 3 cm, entonces el segmento 9 6 OB puede construirse a 1.8 cm; pero, si la alzada es de 4 cm, 4 entonces OB 5 3.6 cm, y así sucesivamente. 1 O 1 2 3 4 5 6 Una vez dividido OB en 18 partes, hay que proyectar cada βi división del segmento OB sobre el segmento de alzada, como Figura 9.29 Construcción gráfica del se muestra en la figura 9.29. movimiento parabólico con precisión De la figura 9.29 se puede concluir que el segmento OA proporcional. corresponde con la magnitud de la alzada máxima del movimiento Si ; por tanto, si el segmento OB es perpendicular al segmento BA, entonces el ángulo μ se puede despejar de la siguiente ecuación:

cos µ =

OB OA

(9.31)

Movimiento a velocidad constante modificado en el seguidor

El movimiento a velocidad constante presenta problemas de sobresalto del seguidor al inicio y al final del movimiento, en especial a altas velocidades. Este problema puede ser minimizado si en los extremos se agrega un movimiento de suavización como


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el movimiento parabólico; el resultado final que se muestra en la figura 9.30 permite tener cambios más suaves. Movimiento armónico en el seguidor

β3 2

S3 S S2

S1

S1

5 4 3 2 1

β1 Las reglas para la construcción del θ 1 2 3 4 5 2 β1 movimiento armónico requieren el β1 β2 β3 a) b) trazado de una semicircunferencia de construcción en el eje vertical, con Figura 9.30 Construcción gráfica del movimiento a velocidad constante un radio de magnitud a la mitad de la modificado. Fig 9.30 6 alzada máxima del movimiento; ense5 guida el semicírculo se divide en un número de i 4 partes idénticas al número de divisiones del eje Si 3 horizontal. Para construir la curva del movimiento armónico se une la posición vertical de las 2 divisiones de la semicircunferencia con las del 1 eje vertical, como se muestra en la figura 9.31, 0 1 2 3 4 5 6 θ β para el caso de seis divisiones. i

Movimiento cicloidal del seguidor

Figura 9.31 Construcción gráfica del movimiento armónico.

Para la construcción de este movimiento considérese el caso de seis divisiones del ángulo de la leva. Primero, se traza un círculo de construcción al final del movimiento con un radio r 5 Si /(2π), donde Si es la alzada máxima del seguidor en el lapso del movimiento. Después, el círculo se divide en seis partes iguales, es decir, a 60°, como se muestra en la figura 9.32. Luego, se trazan tres segmentos, el primero desde O hasta B; el segundo segmento, de4 P5 notado por Q, se construye paralelo a OB B 0.6 partiendo en la intersección de una línea 3 Si r= 2 horizontal entre 1 y 2 con la división 6, y 1 P Q 2π una recta P que pase por la intersección Si Q de una línea horizontal entre 4 y 5 con la división 6. La curva del movimiento se construye O con las intersecciones de la recta Q en la 1 2 3 4 5 6 θ división 1 y 2, la recta P con la división 4 βi y 5, y el segmento OB con la división 3, Figura 9.32 Construcción gráfica del movimiento cicloidal. como se aprecia en la figura 9.32.

Construcción del perfil de leva, gráfico y analítico Una vez que se conoce la forma de construir de manera gráfica algunos de los movimientos típicos del seguidor, ahora se procede a la construcción geométrica de la leva mediante el método gráfico y analítico. Esto se logra aplicando la cinemática inversa, la cual consiste en desplazar el seguidor alrededor del círculo base con su respectiva alzada.


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350


A continuación se explica la construcción de la leva para los tipos de seguidor de cuña y rodillo céntrico y excéntrico, de cara plana y oscilatorio de cara plana. Construcción de leva con seguidor de cuña

La construcción del perfil de leva para este tipo de seguidor no presenta dificultades, ya que la línea de contacto no se mueve de su posición original. Para explicar el procedimiento, considérese el seguidor de cuña en la posición como se muestra en la figura 9.33 y su curva de desplazamiento, tomando tres posiciones de la altura del seguidor (S1, S2 y S3), correspondientes a las posiciones de la leva (30°, 60° y 90°). Una inversión cinemática consiste en posicionar el seguidor sobre la leva al ángulo correspondiente, de modo que a partir del círculo base corresponderá con su respectiva alzada. 4.40

Posición

3.44

S2

S1

S3

Origen (0, 0)

S3

2.48

S2

1.52 0.56 -0.40 0.00

S1 30.00 60.00

90.00 120.00 150.00 180.00 210.00 240.00 270.00 300.00 330.00 360.00

Círculo base (x, y)

Figura 9.33 Construcción gráfica del perfil de la leva con seguidor de cuña.

1. Necesidad Diseñar un mecanismo de leva con seguidor de cuña, de modo que el seguidor satisfaga ciertas necesidades de movilidad. 2. Objetivo Construir el diagrama de desplazamiento según las necesidades de movilidad. Después, a partir del diagrama de desplazamiento, construir la geometría de una leva mediante la técnica de inversión cinemática usando el método gráfico. Método gráfico 1. Desarrollo i. Construir la tabla de necesidad que consta de tres columnas y n filas; en este caso, n es el número de movimientos que habrá de satisfacerse. ii. Llenar cada fila de la tabla con tipo de movimiento, lapso angular (βi ) y alzada máxima (Si ). iii. Construir el diagrama de desplazamiento por ventanas de movimiento según las necesidades, como se explica en el apartado anterior. iv. Una vez construido el diagrama de desplazamiento, construir el perfil de la leva con base en los siguientes pasos:


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a) Dibujar el círculo base en un eje de coordenadas. b) A partir de la periferia del círculo base, construir las alzadas del seguidor, obtenidas del diagrama de desplazamiento con su respectivo ángulo de la leva, la cual inicia desde el eje vertical. Es posible construir el perfil de leva de forma analítica mediante la generación de las coordenadas del contorno con el uso de ecuaciones paramétricas (xk, yk ), las cuales especifican las coordenadas del contorno, que para este tipo de leva son: x k = (rb + Sk ) cos (θk + 90°) (9.32) y k = (rb + Sk ) sen(θk + 90°) donde rb es la magnitud del radio del círculo base y Sk la alzada del seguidor para la k posición. En la ecuación (9.32) se suma 90º al ángulo de la leva para adecuarlo al plano cartesiano, ya que para las levas el origen es el eje y positivo del plano cartesiano.

Construcción del perfil de leva con seguidor de cuña Construir la geometría de una leva de 3 cm de círculo de base que permita satisfacer las siguientes condiciones de movilidad en el seguidor: Tipo de movimiento

Ángulo de la leva (DEG)

Ejemplo

9.5

Alzada requerida (cm)

Descanso

0

90

0

Parabólico

90

198

13

Descanso

198

252

0

Armónico

252

360

23

Solución

Lo primero es construir el diagrama de desplazamientos dividiendo en cuatro ventanas de movimiento. El resultado obtenido al utilizar el procedimiento gráfico se muestra en la figura 9.34. 160

S

140

25.84°

120 100 80 60 40 20 0 –20 0 20 –20

J1 B B5 B4

J2 J3

B3 B2 B1 40 60

80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360

J4 J5 θ

Figura 9.34 Diagrama de desplazamiento del ejemplo 9.5 con el uso del método gráfico.


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El diagrama de desplazamiento de la figura 9.33 se dividió de 0° a 360º para el eje horizontal, mientras que el vertical se escaló de 0 a 120, correspondientes al lapso de 0 a 3 cm, simplemente para conservar el factor de escala. Los movimientos se construyen con base en la siguiente secuencia. Primero, se traza el movimiento de descanso de 0° a 90º, trazando una línea recta en ambos extremos. Después, se construye el movimiento parabólico en una ventana de 90° a 198º en el eje horizontal y de 0 a 120 (0 a 3 cm escalado) en el eje vertical. Como se van a utilizar seis divisiones en el eje horizontal, cada división tendrá un ancho de (198° 2 90º)/6 5 18º, mientras que para el eje vertical se requerirán 18 divisiones, de modo que cada división tendrá un ancho de 120/18 5 6.66º, el cual no es un valor, por lo que, como se observa en la figura 9.27, se requiere trazar una línea de perspectiva para obtener valores enteros en los anchos de las divisiones. Por su parte, para seis divisiones se requiere una línea de construcción OB 5 108, ya que 108/18 5 6. Por tanto, si OA 5 120 y OB 5 108, entonces al aplicar la ecuación (9.31) se puede obtener el ángulo de inclinación de la siguiente manera:  OB   108  µ = cos−1  = cos−1  = 25.84°   OA   120  Después, para la construcción del movimiento parabólico se sigue el procedimiento ilustrado en la figura 9.29. El tercer movimiento corresponde al movimiento de descanso y se grafica al trazar una línea recta desde el final del movimiento anterior; es decir, 198º hasta 152º, según las necesidades del problema. Por último, se grafica el movimiento armónico iniciando con el trazo de la semicircunferencia de radio 120/2 5 60, que se divide en seis partes iguales, con lo que se obtienen los puntos J1, J2, J3, J4, J5 y J6. Estos puntos se intersecarán con las divisiones correspondientes en el eje horizontal. Una vez obtenido el diagrama de desplazamiento se prosigue con la construcción geométrica de la leva, para lo cual es necesario obtener el valor de las alzadas para los diferentes valores de los ángulos de la leva. Por su parte, para los movimientos de descanso solo se utilizarán los valores extremos, debido a que la alzada es constante, mientras que los movimientos parabólico y armónico se construyeron para seis divisiones. El valor correspondiente de la alzada para cada división se obtendrá con base en la tabla de datos 9.3. Tabla 9.3 Movimiento

Rango

Número de divisiones

Descanso

0º a 90º

1

Parabólico


90° a 198º

6

Ángulo por división

Alzada correspondiente Asignación según la gráfica

Magnitud de la alzada escalada (cm)

0º

0

S1

0

90º

0

S2

0

90º

0

0

108º

5.7

S3

0.14

126º

26.6

S4

0.66

144º

60

S5

1.5

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353


198º a 252º

Descanso

1

252º a 360º

Armónico

6

162º

93.3

S6

2.33

180º

113.3

S7

2.83

198º

120

S8

3

198º

120

252º

120

252º

120

270º

112.1

S10

2.8

288º

90.1

S11

2.25

306º

60.2

S12

1.5

324º

30.3

S13

0.75

342º

8.2

S14

0.2

360º

0

3 S9

3 3

0

Para la construcción geométrica de la leva, priS 1 S 14 S 13 S 12 mero se dibuja el círculo base; en este caso, según S 11 los requerimientos, es de 3 cm de radio. Después, se trazan segmentos Sk con los ángulos θk. Por úlS 10 S2 timo, se unen de forma manual los extremos de las S3 alzadas a fin de obtener la geometría de la leva, S9 S4 como se muestra en la figura 9.35. Analíticamente es posible trazar el perfil de la S5 leva mediante las ecuaciones paramétricas (9.32). S6 Para esto se extienden los puntos entre los extreS8 S7 mos del movimiento de descanso, a fin de generar Figura 9.35 Diseño geométrico de la circunferencia en el perfil de la leva. Fig 9.35 9.5. Por ejemplo, mediante Excel se construye la la leva del ejemplo tabla de resultados que se muestra a continuación. Por su parte, en la figura 9.36 se muestra la gráfica de coordenadas, la cual genera el perfil de la leva. q

S

PX

PY

0

0

0.00

2.00

25

0

20.84

1.81

50

0

21.53

1.29

75

0

21.93

0.52

90

0

22.00

0.00

108

0.14

22.04

20.66

126

0.66

22.15

21.56

144

1.5

22.06

22.83

162

2.33

21.34

24.12

180

2.83

0.00

24.83

198

3

1.54

24.76

200

3

1.71

24.70


3.00 2.00 1.00 0.00 –3.00 –2.00 –1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 –1.00 –2.00 –3.00 –4.00 –5.00 –6.00

Figura 9.36 Construcción de la leva usando coordenadas y Excel.

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354


210

3

2.50

24.33

220

3

3.21

23.83

230

3

3.83

23.22

252

3

4.75

21.55

270

2.8

4.80

20.01

288

2.25

4.04

1.31

306

1.5

2.83

2.05

324

0.75

1.62

2.22

342

0.2

0.68

2.09

360

0

0.00

2.00

Construcción de leva con seguidor de rodillo

Considérese ahora una leva con seguidor de rodillo con un radio de magnitud rd , el cual genera una circunferencia conocida como círculo primitivo de radio rp 5 rb 1 rd, como se muestra en la figura 9.37. La magnitud del radio del rodillo rd forma parte del valor de la alzada del seguidor, ya que la construcción del perfil de la leva se hace a partir del círculo primitivo. Fuera de esto, se puede construir el perfil de la leva en forma gráfica de manera similar al seguidor de cuña; además, las coordenadas del perfil de la leva se pueden obtener de manera analítica al usar la misma ecuación que el seguidor de cuña de la ecuación (9.32). Sin embargo, en la construcción del perfil de leva con este tipo de seguidor hay que considerar el efecto que puede ocurrir con el radio del rodillo correspondiente, ya que el punto de contacto no siempre estará sobre la línea de contacto, como se muestra en la figura 9.38. En algunos casos, el contacto se realiza en las laterales del rodillo con la leva, lo que produce un empuje lateral que puede provocar deflexiones en el seguidor o que se atore. Este efecto se puede reducir si: a) El radio del rodillo es lo suficientemente pequeño para no tocar con las laterales al perfil de la leva. Seguidor

Perfil de leva S1 S2 S3

Rodillo de radio rd Círculo base de radio rb

Ángulo de presión

Punto de contacto

Línea de contacto

Círculo primitivo de radio rp Curva de paso

Figura 9.37 Construcción gráfica del perfil de la leva con seguidor de rodillo.


Figura 9.38 Ángulo de presión.

Fig 9.38

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355

b) El círculo base es lo suficientemente grande con respecto al radio del rodillo. c) Los cambios en el contorno de la leva son suaves, de modo que el contacto se conserva cerca de la línea de acción. Al atender las recomendaciones anteriores, gráficamente se puede construir el perfil de la leva bajo el siguiente procedimiento: 1. Necesidad Diseñar un mecanismo de leva con seguidor de rodillo para que el seguidor satisfaga ciertas necesidades de movilidad. 2. Objetivo Construir el diagrama de desplazamiento según las necesidades de movilidad. Después, a partir del diagrama de desplazamiento, desarrollar la geometría de una leva mediante la técnica de inversión cinemática y con el uso del método gráfico. Método gráfico 1. Desarrollo i. Construir la tabla de necesidad que consta de tres columnas y n filas; n es el número de movimientos que se habrá de satisfacer. ii. Llenar cada fila de la tabla con tipo de movimiento, lapso angular (βi ) y alzada máxima (Si ). iii. Construir el diagrama de desplazamiento por ventanas de movimiento según las necesidades. iv. Una vez construido el diagrama de desplazamiento, construir el perfil de la leva: a) En un eje de coordenadas dibuje el círculo base y el círculo primitivo. b) A partir de la periferia del círculo primitivo construir las alzadas del seguidor obtenidas del diagrama de desplazamiento con su respectivo ángulo de la leva, la cual inicia desde el eje vertical; esta deberá incluir el radio del rodillo del seguidor, por lo que a cada valor de S (θ) se le restará el valor del radio del rodillo. Lo anterior es equivalente a trazar las alzadas a partir del círculo base sin restar ningún valor. Construcción de leva con seguidor excéntrico de rodillo o de cuña

Una leva con seguidor excéntrico dispone de una línea de contacto a una distancia re del centro de giro de la leva, llamada excentricidad (véase figura 9.39). La construcción del perfil para este tipo de leva se hace a partir de una circunferencia llamada círculo de descentrado, cuyo radio es de igual magnitud que la excentricidad re. Luego, se realizan los trazos necesarios para desplazar de manera vertical al seguidor con los valores deseados. Para hacer estos trazos considérese la k posición de la leva θk con una alzada Sk. El trazo que define la coordenada del perfil de la leva se realiza construyendo primero una línea de oa con un ángulo θk y


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356


re

b

b

S2

θ2

a o

Sk

θ1

Círculo de descentrado de radio re

Figura 9.39 Construcción gráfica del perfil de la leva excéntrica.

a

θk

O

Figura 9.40 Trazado para levas con seguidor descentrado.

radio re, como se muestra en la figura 9.40; a continuación, se traza un segmento perpendicular al segmento oa, denotado por ob. La magnitud de ob es tal que la distancia a partir del círculo base es Sk. A continuación se presenta el procedimiento para el diseño del perfil de leva con seguidor excéntrico de tipo cuña. 1. Necesidad Diseñar un mecanismo de leva con seguidor excéntrico para que el seguidor satisfaga ciertas necesidades de movilidad. 2. Objetivo Construir el diagrama de desplazamiento según las necesidades de movilidad. Después, a partir del diagrama de desplazamiento, construir la geometría de una leva mediante la técnica de inversión cinemática y con el uso del método gráfico. Método gráfico 1. Desarrollo i. Construir la tabla de necesidad que consta de tres columnas y n filas; n es el número de movimientos que se habrá de satisfacer. ii. Llenar cada fila de la tabla con tipo de movimiento, lapso angular (βi ) y alzada máxima (Si ). iii. Construir el diagrama de desplazamiento por ventanas de movimiento según las necesidades. iv. Una vez construido el diagrama de desplazamiento, construir el perfil de la leva con base en los siguientes pasos: a) Dibujar en un eje de coordenadas el círculo base y el círculo de descentrado, usando como radio la magnitud de la excentricidad. b) Construir los n segmentos oa en el círculo de descentrado con el uso de los ángulos de leva de los cuales se conozca su alzada del seguidor correspondiente.


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357


c) Para cada k segmento oa trazar una línea perpendicular. La altura del segmento es tal que la distancia a partir del círculo base es la alzada requerida para tal posición. Se puede proceder de manera muy similar al caso de un seguidor con rodillo excéntrico, solo que la distancia de las alzadas se considera a partir del círculo primitivo, restándole el radio del rodillo. Sin embargo, como se comentó en la construcción del perfil de leva con seguidor de rodillo sin excentricidad, es lo mismo hacerlo desde el círculo base. La geometría de la leva con seguidor excéntrico se puede obtener de manera analítica. Las ecuaciones paramétricas que permiten obtener el contorno de este tipo de leva son:

(r = r sen( θ ) + ( r

x k = re cos ( θk ) + yk

e

k

2

b

b

2

) + S ) sen( θ + 90° )

− re 2 + Sk cos ( θk + 90° ) − re

2

k

(9.33)

k

donde rb es el radio del círculo base, re la magnitud de la excentricidad y Sk la alzada del seguidor en la k posición. La ecuación (9.33) es una extensión de la ecuación (9.32), por lo que se puede aplicar a seguidores de cuña, de rodillo, excéntrico de cuña y excéntrico de rodillo.

Construcción del perfil de leva con seguidor excéntrico y de rodillo Para las necesidades de movilidad del ejemplo 9.5 constrúyase el perfil de leva con seguidor de rodillo que se encuentra 1 cm a la derecha del centro de giro de la leva. Solución

Para la construcción de este tipo de leva primero se debe trazar el círculo de descentrado de 1 cm y el círculo base de 3 cm. Del ejemplo 9.5, en específico de la figura 9.32, se pueden obtener los valores de las alzadas para los puntos de interés. Una vez que se tienen los valores se procede al trazado del perfil, y para cada ángulo θ de la tabla de valores se realiza el procedimiento explicado en la figura 9.37, teniendo como resultado el trazado que se muestra en la figura 9.41 a). Una vez que se tienen las coordenadas de Sk, se hace un trazado casi curvo que una los puntos, con lo que se obtiene el perfil de leva que se ilustra en la figura 9.41 b).


Ejemplo

k

θ

Sk

1

0º

0

2

90º

0

3

108º

0.14

4

126º

0.66

5

144º

1.5

6

162º

2.33

7

180º

2.83

8

198º

3

9

252º

3

10

270º

2.8

11

288º

2.25

12

306º

1.5

13

324º

0.75

14

342º

0.2

9.6

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358


1 cm

Círculo de descentrado re = 1 cm

S1 S14 S13

S2

S12 S11

S3

S10

S4

S9

S5

Círculo base rb = 3 cm

S6 S7

S8 a)

b)

Figura 9.41 Trazado y construcción del perfil de leva del ejemplo 9.6.

Construcción de leva con seguidor de cara plana

S real

S deseada

b)

a)

Figura 9.42 Error de construcción del perfil de leva con seguidor de cara plana.

Fig 9.42

ρ

L(θ )

c R

rb

Figura 9.43 Radio de contacto real en seguidor de cara plana.

La construcción de leva con seguidor de cara plana no es una tarea fácil debido a que ocurre un efecto similar al de rodillo, donde el contacto de la leva no se realiza en un solo punto del seguidor, de manera que si se construye el perfil usando el procedimiento para el seguidor de cuña pueden ocurrir errores de movimiento. En la figura 9.42 a) se muestra el valor deseado para la alzada en una posición dada, pero eso no puede ocurrir debido a que el seguidor estaría haciendo contacto en otra posición, como se indica en la figura 9.42 b). Se plantea una solución analítica para construir el perfil de leva para seguidor de cara plana considerando la variación del punto de contacto [3]. Las ecuaciones paramétricas que permitan determinar el contorno de una leva con seguidor plano son: Vk cos (θk ) ω V y k′ = (rb + Sk ) sen(θk ) − k cos (θk ) ω

x k′ = (rb + Sk ) cos (θk ) −

(9.34)

donde rb es el radio base, w es la velocidad angular de la leva en rad/s, Sk es la alzada del seguidor y Vk la velocidad en la k posición. En la ecuación (9.34) no se incluye el desfase de 90º ya adaptado de forma implícita. Otra alternativa consiste en utilizar el radio de contacto real R desde el origen de la leva y el punto de contacto c, tal como se muestra en la figura 9.43. Para ello se hace una adaptación de variables del procedimiento para este tipo de leva [6]. Lo primero es determinar la longitud vertical L(θ) formada desde el centro de la leva hasta el punto de contacto, que para fines de simplicidad se denota como Lk.


Lk = rb + Sk (9.35)

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359


Enseguida se determina el ángulo de separación ρ formado entre la línea supuesta de contacto y la línea por donde se dirige el radio de contacto R:  1 S  ρk = tan−1   k   (9.36)  Lk  ω   donde ω es la velocidad angular de la leva. A continuación se determina la magnitud del radio de contacto R para la k posición. Rk =

Lk (9.37) cos(ρk )

Con la magnitud del radio real de contacto se puede reescribir la ecuación (9.34) para determinar la geometría de la leva con seguidor de cara plana donde las ecuaciones paramétricas para determinar el contorno, incluyendo una excentricidad en el seguidor re, son:

(r = r sen(θ ) + ( r

xˆ k = re cos (θk ) +

yˆ k

e

k

b

b

2

2

) + R ) sen(θ )

− re 2 + Rk cos (θk ) − re

2

k

(9.38)

k

Como se puede ver, ya no se incluye el incremento de 90º, debido a que está considerado en la adaptación de variables. Construcción de leva oscilador de cara

Ahora se considera el mecanismo de leva con seguidor oscilante de cara plana, como se muestra en la figura 9.44. Una leva con movimiento angular formada por un elemento rígido apq se encuentra en contacto con la leva en el punto c. La distancia que existe entre el origen de la leva o y el pivote del seguidor oscilante a se denota como la separación m. La excentricidad de la cara del seguidor denotada por f es la magnitud del segmento ap del seguidor, mientras que el radio de contacto real está denotado por R. Por último, el ángulo de separación entre la línea supuesta de contacto f y la real R se denota por ρ.

q

c R

ρ

ξ

O

p a

f

m

Figura 9.44 Leva seguidor oscilante Figcon 9.44 de cara plana.

El procedimiento para la construcción del seguidor es el siguiente [4]: Primero se determina la ley del movimiento angular denotada por:

ξk = ξ0 + Φk (9.39)

donde ξk es la k posición angular del seguidor oscilante, Φk es el desplazamiento angular deseado equivalente a Sk, el desplazamiento lineal de los seguidores trasnacionales, y ξ0 es la posición inicial del seguidor cuando este descansa sobre el perfil de la leva antes de producirse alguna elevación y se puede determinar, y está determinado por los parámetros geométricos:


 r −f  ξ0 = sen−1  b (9.40)  m 

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360


donde rb es el radio del círculo base, y f y m son parámetros expresados en la figura 9.42. Ahora, el ángulo de separación ρ se puede determinar de la siguiente manera:  Wk   m cos ( ξk )   ρk = tan−1    (9.41)   1 −Wk   f + m sen( ξk )  

donde Wk está determinado por: Wk =

dξk Ω = k (9.42) dθ ω

donde Ωk es la velocidad angular del seguidor, equivalente a la velocidad de los seguidores trasnacionales Vk, mientras que ω es la velocidad angular de la leva. Por último, se determina el radio de contacto real R para la k posición:

Rk =

f + m sen(ξk ) (9.43) cos (ρ)

Con la magnitud del radio real R de contacto se puede reescribir la ecuación (9.34) para determinar la geometría de la leva con seguidor de cara plana, donde las ecuaciones paramétricas para establecer el contorno, incluyendo una excentricidad en el seguidor re, son: x k = re cos (θk ) + rb 2 − re 2 + Rk cos (θk ) (9.44) y k = re sen(θk ) + rb 2 − re 2 + Rk sen(θk )

( (

) )

Levas para accionamiento

Muelle Válvula

Balancín

Pistón

Varilla

Leva

Cigüeñal Polea del cigüeñal

Polea del árbol de levas Banda del tiempo

Figura 9.45 Accionamiento sincronizado de las válvulas en un motor de combustión interna.


Quizá la mayor aplicación de las levas es el accionamiento tipo “On-Off” de algún dispositivo mecánico, el cual permite realizar una tarea en un intervalo de tiempo y luego dejar de hacerla. Por ejemplo, en la figura 9.45 se muestra el accionamiento de las válvulas del motor de combustión interna (C.I.) con el uso de levas; como puede apreciarse, la leva empuja a la varilla, que a su vez impulsa al balancín, el cual acciona a la válvula para abrirla o cerrarla, ya que esta dispone de un muelle, por lo que puede regresar a su posición original. El accionamiento de las válvulas en un motor de combustión interna debe realizarse en forma precisa y sincronizada, de modo que la etapa de admisión y la de escape se realicen en el tiempo adecuado; esta sincronización se realiza de dos maneras: el árbol de levas dispone de un conjunto de levas desfasadas a fin de realizar la tarea específica para cada válvula, mientras que la siguiente sincronización debe realizarse de cierta manera con la posición del pistón.

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361


La sincronización con la posición del pistón se realiza por la unión de las poleas del cigüeñal y la del árbol de levas por medio de la banda de tiempo. Existen tres tipos de geometrías para levas para accionamiento, las cuales se muestran en la figura 9.46. En las levas con geometría del tipo circular, las válvulas abren y cierran a velocidad moderada, mientras que en las de tipo Circular Tangencial Aceleración tangencial las válvulas abren con mayor aceleración. Por constante su parte, en la de tipo aceleración constante las válvulas se Fig 9.46 Figura 9.46 Levas de accionamiento. abren y cierran acelerando de manera uniforme. La construcción geométrica de este tipo de levas se realiza directamente sobre el círculo de paso. Por ejemplo, para construir la geometría de la leva del tipo tangencial, como se muestra en la fia gura 9.47, se dispone de los siguientes parámetros: a) radio del círcub lo base (rb ), b) radio del círculo del álabe (ra ) y c) alzada máxima c (Smáx). ra rb Para unir geométricamente ambos círculos por medio de la línea c tangente se deben utilizar los siguientes parámetros geométricos: d

Ángulo de la tangente Alzada máxima

 r −r  ϕ = sen−1  b a   c 

Smáx

(9.45)

Smáx = c + ra − rb sen(ϕ) (9.46)

Figura 9.47 Construcción geométrica de la leva tangencial.

Longitud de la tangente

Lab = c 2 − (rb − ra )2 (9.47)

los cuales se pueden utilizar de acuerdo con las necesidades de diseño.

Parámetros del perfil de leva para accionamiento Determinar el ángulo y la longitud de la tangente que permita la construcción del perfil de una leva de accionamiento con un radio del círculo de base de 4 cm y un radio del círculo del álabe de 2 cm. Asimismo, se requiere que el seguidor tenga una alzada máxima de 9 cm.

Ejemplo

9.7

Solución

Con el uso de las ecuaciones (9.44) y (9.45) se tiene: rb − ra 2 = c c 9 = c + 2 − 4sen(ϕ)

sen(ϕ) =


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Al agrupar estas dos ecuaciones se tiene una ecuación de la forma: c 2 − 7c − 8 = 0

cuyas soluciones son c1 5 8 cm y c2 5 21 cm tomando el valor adecuado; es decir, cuando c 5 8 cm se tiene φ 514.47º, y mediante la ecuación (9.46) se determina Lab 5 7.74 cm. El contorno de la leva en forma geométrica se puede conseguir con los parámetros obtenidos, como se muestra en la figura 9.48. 6 5 4

7.75

3 2 1 -4

-3

-2

-1

=14.48°

0 A 0 1 -1

AC = 8 B

2

AB = 4

3

4

C 5

6

7

8 9 DC = 8

D 10

-2 -3 -4

Figura 9.48 Contorno de la leva del ejemplo 9.7.


C9.1 En el diseño de mecanismos para generación de función, ¿cuál es el objetivo de los factores de escala?

C9.5 Cita los tipos de levas y seguidores y sus características.

C9.2 Para asegurar una solución, ¿por qué no es posible utilizar más de tres puntos de precisión en la síntesis para generación de función con el uso de mecanismos de cuatro barras? C9.3 Cita los factores que pueden sensibilizar en el diseño de las longitudes de un eslabonamiento de cuatro barras usadas para la generación de función. C9.4 ¿Qué ventajas ofrece utilizar mecanismos de leva con respecto a los mecanismos de barras articuladas para la generación de función?


Descarga

C9.6 ¿Qué es el diagrama de desplazamiento en un mecanismo de leva-seguidor? C9.7 ¿Cuál es la función del círculo base en una leva? C9.8 Menciona el inconveniente que presenta usar el movimiento a velocidad constante del seguidor en el diseño de levas a altas velocidades. C9.9 ¿Qué ventaja reviste el movimiento parabólico con respecto al de velocidad constante del seguidor en el diseño de levas?

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C9.10 ¿Cuál es la desventaja del movimiento parabólico en el diseño de levas? C9.11 Menciona las ventajas y desventajas del movimiento armónico en el diseño de levas. C9.12 ¿En qué consiste el efecto de despegue o separación del seguidor? C9.13 ¿Qué influencia puede tener el radio del rodillo en un seguidor de rodillo? Propón una solución

S9.1 Se desea diseñar una leva para satisfacer los intervalos de tiempo 0.1, 1, 0.1 y 1 s, los cuales estarán relacionados con cuatro intervalos angulares, pero el usuario final desea utilizar magnitudes de intervalos angulares enteros independientemente de la velocidad angular de la leva. ¿Existe una solución? De ser así, ¿qué velocidad deberá tener la leva y cuál será la magnitud de los intervalos angulares? S9.2 En una maquinaria de una empresa se propuso una solución a la necesidad de mover un elemento, permanecer estacionario cierto tiempo y luego regresarlo a su posición original. Un ingeniero propuso una solución basado en una leva seguidor para la cual sugirió el ascenso y el descenso con movimiento parabólico, pero el personal técnico observa ciertas vibraciones en la bancada de la leva y desea saber cuál es el problema, ya que solo se presenta a altas velocidades.

P ropón la solución al problema con una justificación matemática y(o) gráfica del porqué del diagnóstico. Ejercicios Generador de función con mecanismos RRRR

E9.1 a) Determina el espaciamiento de Chebyshev para una función y 5 x 2 2 x en un intervalo de 0  x  2 para tres puntos de precisión sin incluir los límites.


b) Con base en los puntos de precisión establecidos, obtén φ2, φ3, φ4, ψ2, ψ3 y ψ4 para Δφ 5 45° y Δψ 5 80°. E9.2 a) Determina el espaciamiento de Chebyshev para una función y 5 e x en un intervalo de 0  x  3 para tres puntos de precisión sin incluir los límites. b) Con base en los puntos de precisión establecidos obtén φ2, φ3, φ4, ψ2, ψ3 y ψ4 para Δφ 5 80° y Δψ 5 110°. E9.3 a) Determina el espaciamiento de Chebyshev para una función y 5 2 3 2 en un intervalo de 0  x  2 para tres puntos de precisión sin incluir los límites. b) Con base en los puntos de precisión establecidos obtén φ2, φ3, φ4, ψ2, ψ3 y ψ4 para Δφ 5 50° y Δψ 5 80°. E9.4 Diseña las dimensiones de un mecanismo de cuatro barras para satisfacer las necesidades de diseño para los ejercicios E9.1, E9.2 y E9.3. E9.5 Usando Vir-Mech®, demuestra las posiciones de los mecanismos del ejercicio E9.4. E9.6 Sintetiza las dimensiones de un mecanismo de cuatro barras para generar una función y 5 e x 1 x en un intervalo de 0  x  2 para tres puntos de precisión, incluyendo los límites. Los intervalos y la resolución son arbitrarios. E9.7 Sintetiza las dimensiones de un mecanismo de cuatro barras para generar una función y 5 ln(x) en un intervalo de 0  x  2 para tres puntos de precisión, incluyendo los límites. Los intervalos y la resolución son arbitrarios. Análisis de levas

E9.8 Se desea diseñar una leva que satisfaga cinco movimientos cuyos lapsos de tiempo serán 3, 5, 2, 3 y 5 s. Determina la velocidad angular de la leva y los intervalos angulares bi .

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E9.9 Se desea diseñar una leva que satisfaga cinco movimientos cuyos lapsos de tiempo serán 3, 5, 2, 3 y 5 s. Determina la velocidad angular de la leva y los intervalos angulares bi . E9.10 Se desea diseñar una leva que satisfaga cinco movimientos cuyos lapsos de tiempo serán 1, 2, 3, 4, 3, 1 y 2 s. Determina la velocidad angular de la leva y los intervalos angulares bi . E9.11 Una leva tiene cinco intervalos de tiempo, cuatro conocidos y uno desconocido, denotado como TX. Los intervalos de tiempo son: Ti 5 1, 2, TX , 2, 1 s. Se sabe que en el intervalo la leva tiene un intervalo angular b2 5 50°. Determina: a) La velocidad angular de la leva en rad/s. b) El intervalo de tiempo desconocido. E9.12 Una leva tiene cinco intervalos de tiempo, tres conocidos y dos desconocidos, pero de igual magnitud, denotados como TX. Los intervalos de tiempo son: Ti 5 TX, 2, TX, 2, 1 s. Se sabe que en el intervalo la leva tiene un intervalo angular b2 5 40°. Determina: a) La velocidad angular de la leva en rad/s. b) El intervalo de tiempo desconocido. E9.13 Una leva tiene cinco movimientos, de los cuales el primero y el último deberán ser de descanso y de igual magnitud. Los tres intervalos angulares en grados son 40, 60 y 40 s. Determina los intervalos angulares de los descansos. Diseño de levas

E9.14 Una leva que se mueve en sentido contrario al de las manecillas del reloj tiene los siguientes valores de elevación del seguidor: Ángulo de la leva en grados

Elevación en cm

0

0.00

30

0.10

60

0.35

90

0.70


120

1.10

150

1.40

180

1.50

210

1.40

240

1.10

270

0.70

300

0.35

330

0.10

360

0.00

Dibuja el perfil de la leva si se desea utilizar un seguidor de cuña con un radio del círculo base de 1.5 cm. E9.15 Dibuja el perfil de la leva para los datos del ejemplo E9.14 si se desea utilizar un seguidor de cara plana con círculo base de 1.5 cm. E9.16 Traza el perfil de una leva con seguidor angular de cara plana cuya separación es m 5 10 cm, una excentricidad f 5 1 cm y un radio del círculo base de 2 cm. Los movimientos deseados se muestran en la siguiente tabla: Ángulo de la leva Ángulo del seguidor en grados en grados 0

0.00

30

2.00

60

6.00

90

10.50

120

14.50

150

18.50

180

21.00

210

18.50

240

14.50

270

10.50

300

6.00

330

2.00

360

0.00

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E9.17 La figura 9.49 muestra la gráfica de desplazamiento de una leva. Traza sobre el círculo base las alzadas para un seguidor de cuña y para un seguidor de cara plana.

Lapso de la leva (grados)

Tipo de movimiento

Alzada (cm)

0-30

Descanso

0

3

30-v90

Parabólico

14

2

90-180

Descanso

0

180-240

Parabólico

24

240-270

Descanso

0

5 4

1 0 –7 –6 –4 –3 –2 –1 0 1 –1

2

3

4

5

6

–2

E9.21 Construye el diagrama de desplazamiento en 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 forma gráfica para los siguientes requerimientos:

–3 –4 –5

0 1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

E9.20 Construye el diagrama de desplazamiento en forma gráfica para los siguientes requerimientos:

6

7

8

9

10 11 12

Lapso de la leva (grados)

Tipo de movimiento

Alzada (cm)

0-30

Descanso

0

30-90

Parabólico

14

90-180

Descanso

0

180-240

Cicloidal

24

240-270

Descanso

0

Figura 9.49

E9.18 En la figura 9.49 se muestra la gráfica de desplazamiento de una leva. Traza sobre el círculo base las alzadas para un seguidor de cuña localizado a 1 cm a la derecha, según la escala mostrada. E9.19 Construye el diagrama de desplazamiento en forma gráfica para los siguientes requerimientos: Lapso de la leva (grados)

Tipo de movimiento

Alzada (cm)

0-30

Descanso

0

30-90

Armónico

14

90-180

Descanso

0

180-240

Armónico

24

240-270

Descanso

0


E9.22 Una leva de baja velocidad tiene los siguientes requerimientos: Tiempo (s)

Tipo de movimiento

Alzada (cm)

1

Descanso

0

0.8

Parabólico

12

1.2

Armónico

13

1

Descanso

0

1.2

Armónico

23

0.8

Parabólico

22

1

Descanso

1

Determina: a) La velocidad a la que debe girar la leva en rpm. b) El perfil de la leva para un seguidor de cuña con un radio del círculo base de 2 cm.

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366

E9.23 Elabora la gráfica de desplazamiento con el uso del método grafico para un seguidor que se eleva 1.5 cm en media revolución de la leva, de manera que el primer tercio de elevación de 1.5 cm corresponda a un movimiento con aceleración constante, el segundo tercio de la elevación de 1.5 cm a velocidad constante y el último tercio nuevamente a aceleración constante. Después, pasa un cuarto de la revolución como descanso y el resto como una desaceleración. E9.24 Repite el ejercicio E9.23, pero ahora usa el método analítico para una resolución de 5°. E9.25 Elabora la gráfica de desplazamiento para un seguidor que se mueve a lo largo de un desplazamiento de 3.5 cm, como aceleración constante en 80° y desaceleración constante en 55°. El seguidor retorna con 1.5 cm con movimiento armónico simple en 90°, está en reposo a 45° y retorna a 2 cm restantes con movimiento armónico simple en 90°.

Prácticas de laboratorio Diseño del perfil de leva asistido por computadora

Material • Programa computacional Vir-Mech®.


Mech® (específicamente el módulo CamSim) para diseñar el perfil de una leva. Una vez obtenida la geometría deseada, exportar las coordenadas de corte en un formato DXF para su maquilado. Rango de la leva (grados)

Tipo de movimiento

Alzada del seguidor (cm)

160

Descanso

0

90

Armónico

13

20

Descanso

0

90

Armónico

23

Círculo base: radio 5 2 cm.

Paso 1: Construcción de la tabla de diseño Abre el módulo CamSim® desde Vir-Mech®, o bien directamente en el menú que contiene el grupo de programas de Vir-Mech®. Una vez abierto, teclea en la tabla de diseño los datos según la tabla de diseño solicitada. Teclea en la primera columna el rango correspondiente, y automáticamente se colocará el lapso de tiempo según la magnitud de la velocidad de la leva. En la columna Movimiento selecciona el tipo de movimiento en la lista del combo. Después teclea la alzada correspondiente. En la parte inferior de la tabla se encuentra la opción para especificar el radio del círculo base.

• Material para formar la leva. • Herramienta de corte para el material de la leva, o bien servicio de corte. Elemento de competencia Desarrollar un procedimiento experimental para el diseño del perfil de leva por medio de una herramienta computacional y extraer el archivo de coordenadas de la leva para su maquilado. Objetivo Mediante un procedimiento experimental, diseñar el perfil de una leva usando la herramienta computacional Vir-


Figura 9.50 Tabla de diseño del módulo CamSim®.

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Paso 2: Generación y simulación de la leva Una vez definida la tabla de datos del diseño, haz para generar el perfil de la clic en la opción leva, según sea el tipo de seguidor. Una vez generada la leva, es posible simular el movimiento . mediante la opción También es posible visualizar las gráficas del comportamiento cinemático seleccionando la . pestaña Paso 3: Exportación de datos Con el módulo de CamSim® es posible exportar: • Las coordenadas del perfil de leva en formato CSV. Estos datos se pueden abrir en una hoja de Excel para manipulaciones personalizadas.

Figura 9.51 Pantalla de generación y simulación de la leva.

• Las coordenadas del perfil de la leva en formato DXF. Con este formato es posible maquilar la leva en cualquier material usando máquinas especializadas como CNC, corte láser, etcétera, ya que la mayoría soportan este formato. • Las coordenadas del perfil de la leva en el portapapeles. Teniendo las coordenadas del perfil de la leva en el portapapeles es posible exportar la geometría en otros programas CAD o de simulación. • Todas las opciones se encuentran en el menú archivo y edición. Por ejemplo, para exportar la geometría de la leva a Working Model® mediante el portapapeles, una vez creada la leva en Vir-Mech® utiliza la opción Copiar coordenadas de la geometría. A continuación abre Working Model® y crea un polígono de tres lados. Después abre la ventana de propiedades geométricas y haz clic en el botón Paste. Se copiarán las coordenadas de la leva en la tabla, con lo que se genera la geometría de la leva, como se muestra en la figura 9.54.

Figura 9.52 Gráficas de comportamiento cinemático de una leva usando Vir-Mech®.

Paso 4: Maquinado Una vez obtenidas las coordenadas del perfil de la leva, toca el turno al maquinado de la misma.


Figura 9.53 Opciones de exportación.

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Para el caso de maquinado en madera se puede utilizar un corte manual o asistido por computadora. Para el maquinado en acrílico o aluminio se requiere una máquina de corte. Reporte Utilizar el procedimiento detallado en la práctica para diseñar el perfil de una leva con las condiciones de diseño proporcionadas por el maestro. Evidencias • Impresión de la leva en papel. • Archivo de coordenadas. • Maquilado de la leva en el material solicitado. Figura 9.54 Exportación a Working Model®.

Existen varias opciones para realizarlo, desde una forma rústica con cartón, de mediana calidad con madera, hasta de alta calidad como en acrílico y aluminio.

• Pantallazo de la exportación a Working Model®. • Problemáticas y forma en que se solucionó. • Conclusiones.

Si se elige la forma rústica, hay que imprimir la geometría de la leva y pegarla sobre un cartón y enseguida se realiza el corte.

Referencias [1] Wilson, Charles E. & Sadler, J. Peter. (2003). Kinematics and Dynamics of machinery, 3a. ed. Estados Unidos: Prentice Hall. [2] Guillet. (1957). Cinemática de máquinas, 9a. ed. México: C.E.C.S.A. [3] Mabie, Hamilton & Ocvirk, Fred W. (1990). Mecanismos y dinámica de maquinaria, México: Limusa. [4] Norton, Robert L. (2009). Diseño de maquinaria, 5a. ed. México: McGraw-Hill. [5] Myszka, David H. (2012). Máquinas y mecanismos, México: Pearson. [6] Orue Lezcano, Mario Claudio Carmelo, Ramírez Cano, Miguel Ángel y Ramírez Mier, Miguel Ángel. Cálculo de levas para la manufactura de piezas en tornos de alta producción. Tesis para obtener el grado de licenciatura. Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, Instituto Politécnico Nacional. México.


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Curvas de acoplamiento: análisis, síntesis y selección

Propósito del capítulo En este capítulo se estudia un conjunto de herramientas gráficas, analíticas y de selección para el análisis y el diseño de las curvas del acoplador para trayectorias específicas. Al final del capítulo el lector podrá realizar los siguientes tipos de diseño: 1. Curva con cuatro puntos de precisión. Para sintetizar las dimensiones de un mecanismo manivelaoscilador, a fin de desplazar un nodo del acoplador sobre una curva con cuatro puntos de precisión. 2. Selección de mecanismos. Para adaptar un mecanismo mediante la selección, con el objeto de satisfacer la necesidad de desplazamiento de un cuerpo sobre una curva específica. 3. Mecanismos afines. Para determinar en algunos mecanismos las dimensiones de otros mecanismos afines y que puedan producir la misma trayectoria del acoplador.

Competencia específica • Definir una metodología para la síntesis cinemática mediante el uso de herramientas gráficas y analíticas para analizar los resultados de la síntesis de mecanismos que satisfagan ciertas trayectorias en el acoplador.

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Capítulo

Habilidades 1. Analizar las características y los tipos de trayectorias de un acoplador. 2. Especificar las funciones de las curvas de acoplamiento. 3. Elegir la técnica adecuada que permita resolver los requerimientos de diseño para el diseño de curvas de acoplamiento. 4. Sintetizar el tipo de mecanismo que satisfaga una necesidad de trayectoria. 5. Sintetizar las dimensiones de un mecanismo afín a otro en lo relativo a la generación de la trayectoria. 6. Seleccionar un mecanismo con trayectoria específica para una necesidad de diseño. 7. Proponer soluciones basadas en mecanismos para generación de trayectorias. 8. Comprobar los resultados de la síntesis por herramientas computacionales. Conocimientos requeridos • Topología de los mecanismos. • Geometría analítica. • Ecuación de posición de un mecanismo.

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10.1 Introducción El acoplador es quizá el eslabón de mayor interés en un mecanismo, ya que: a) permite la transmisión de movimiento entre un eslabón y otro, b) permite la síntesis de guiado de sólido rígido hasta tres o cuatro posiciones de diseño, y c) los nodos del eslabón pueden generar curvas complejas útiles para el diseño de trayectorias. Por ejemplo, el mecanismo de la figura 10.1 utiliza una configuración en sus eslabones para generar una tarea importante e interesante, producto de las trayectorias del acoplador. El mecanismo está conformado por eslabones, un par de poleas del mismo radio y una placa que permite tomar las dos curvas que se muestran y transmitirlas a cualquier punto, como en los nodos p y q, los cuales, debido a la característica de esta curva, Figura 10.1 Mecanismo de banda transportadora. pueden transportar elementos con movimiento intermitente. Dicho movimiento intermitente se debe a la característica de la curva, que en un lapso es recta y en otro es curva. 8 Existen otras configuraciones de mecanismos de 4 7 banda transportadora, como el que se observa en la fi2 gura 10.2, el cual se compone de ocho eslabones, pero 3 6 el mecanismo principal y el que genera la trayectoria del acoplador, en realidad está formado por un mecaTrayectoria del 5 acoplador nismo RRRR, integrado por los eslabones 2, 3 y 4; de esta manera, si se desarticulan los demás eslabones, la Figura 10.2 Otro mecanismo de banda transportadora. Fig. 10.2 trayectoria del acoplador no se afecta. En este caso, el elemento 6 es un clon del 3, así como el eslabón 7 lo es del 4. Por su parte, el elemento 5 tiene la finalidad de comunicar al mecanismo principal con su clon y el elemento 8 utiliza la curva para realizar la tarea de transporte con movimiento intermitente. P

q

10.2 Factores que deben considerarse en el diseño o la selección Para poder proyectar una solución de diseño con el uso del proceso de síntesis y(o) selección de curvas del acoplamiento es necesario tener pleno conocimiento de las características, los tipos y la clasificación de las curvas del acoplador, así como identificar plenamente los factores que definen los tipos de trayectorias, ya que de lo contrario se puede caer en el error de exigir un tipo de curva a un mecanismo que no podrá satisfacer la necesidad requerida.


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Capítulo 10. Curvas de acoplamiento: análisis, síntesis y selección

Para comprender lo anterior, considérese que se desea diseñar un mecanismo para satisfacer la curva que se muestra en la figura 10.3. Si para la síntesis se propone un mecanismo de manivela-corredera, a fin de buscar una solución a la trayectoria en el acoplador, entonces se estará cometiendo un error de síntesis de tipo, ya que como se muestra más adelante, y debido a las características de movilidad de este mecanismo, no se podrá generar una trayectoria tan compleja. Otros factores que alteran la forma de la trayectoria del acoplador se muestran a continuación. Por ejemplo, la forma de la trayectoria en un extremo de la biela pasará al otro extremo de manera paulatina, como se observa en la figura 10.4, donde la trayectoria en un extremo de la biela (nodo A) es circular, mientras que la del otro extremo (nodo B) es un arco; por tanto, conforme se selecciona un nodo desde A hacia B ocurre la transformación de forma gradual. Un caso similar se aprecia en el mecanismo de manivela-corredera de la figura 10.5. Otro factor que define la complejidad de las curvas de acoplamiento es el tipo de eslabones y las juntas cinemáticas. Por ejemplo, el mecanismo de la figura 10.6 se compone tan solo de dos ruedas y dos bielas y, sin embargo, el hecho de insertar un elemento con par inferior, como el de ruedas, puede generar curvas más complejas. D

Puntos de precisión

Curva deseada

Acoplador

Figura 10.3 Ejemplo de alta exigencia de curva con varios puntos de precisión para un mecanismo.

Figura 10.4 Trayectorias en los extremos del acoplador.

C

C A E B O2

Figura 10.5 Diferentes trayectorias en un mismo acoplador.


O2

O5

Ox

Figura 10.6 Complejidad en la curva de acoplamiento. Fig. 10.6

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10.3 Selección La selección de mecanismos para la generación de trayectorias es un buen inicio para solucionar una necesidad de diseño, ya que en la actualidad existe una enorme diversidad de mecanismos con ciertas trayectorias que pueden utilizarse en una necesidad específica de diseño. Acoplador El Atlas de Hrones y Nelson (H&N) es una referencia útil para el diseñador, debido a que contiene cerca de 7 000 curvas de acoplador de un mecanismo de cuatro barras. Sin embargo, a últimas fechas, 4 con el uso de los modernos programas de computadora, es posible 2 replicar este atlas, de tal modo que se puede generar un manual propio con una diversidad y clasificación de curvas del acoplador. O4 Por ejemplo, el módulo PathSim de VirMech® permite la generación O2 de trayectorias mediante la variación de las longitudes de los eslabones Figura 10.7 Distribución de nodos y la distribución de nodos del acoplador, como se muestra en la figura 10.7 para curvas deFig. acoplamiento. 10.7. El resultado es que con la distribución de nodos es posible visualizar los tipos de curvas que pueden generarse. La figura 10.8 muestra las curvas en unas líneas perpendiculares a la biela y en los extremos del acoplador. Por su parte, la figura 10.9 muestra los diversos tipos de trayectorias que se pueden generar sobre nodos colocados en una línea del acoplador.

Figura 10.8 Tipos de trayectorias en los extremos del acoplador.

Figura 10.9 Tipos de trayectorias sobre una línea del acoplador.

Además, existe una gran diversidad de mecanismos cuyas configuraciones permiten generar ciertos tipos de trayectorias; por ejemplo, trayectorias con tramos rectos. La importancia de este tipo de trayectorias radica en que tienen importantes aplicaciones en determinados tipos de movimiento, como los mecanismos de retención. A continuación se describen algunos tipos de mecanismos que permiten generar trayectorias con tramos rectos.


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Mecanismo de línea recta de Watt La invención de este mecanismo se atribuye a James Watt (17361819) en 1769. Es un mecanismo de línea recta aproximada, pero suficiente para los requisitos de la época, en la que no existían herramientas capaces de producir rectitud con precisión. El mecanismo cuenta con dos balancines de igual longitud (O2A es igual a O4B) articulados a la barra fija y cuyo punto trazador está en el centro del acoplador (barra AB), como se aprecia en la figura 10.10.

B P

A

O2

O2

Figura 10.10 Mecanismo de línea recta de Watt.

Mecanismo de línea recta de Roberts La invención de este mecanismo se atribuye a Richard Roberts (1789-1864). Consiste en dos balancines de igual longitud (O2A 5 O4B) articulados a la barra fija y un acoplador con un punto trazador que dista de las articulaciones la misma distancia (AP 5 BP 5 L), cuyo acoplador forma un triángulo isósceles. Este mecanismo consigue un tramo rectilíneo aproximado entre las articulaciones a la barra fija (es decir, entre O2 y O4), como se muestra en la figura 10.11.

A

B

P

O2

Figura 10.11 Mecanismo de línea recta de Roberts.

Mecanismo de Scott-Russell El mecanismo de Scott-Russell (véase figura 10.12) se basa en un mecanismo RRRP y genera una línea recta exacta en un tramo comprendido de P1 a P2. Se basa en la geometría del mecanismo, el movimiento de salida es de tipo senoidal y es simple de deducir, ya que AB, AP y AO2 son de igual longitud r. Existen otras configuraciones para generar trayectorias aproximadas con el uso de mecanismos de manivela-corredera, como los que se ilustran en la figura 10.13. P

P2 P

A

BA = 1.37AO2 PA = 2.27AO2

O2

B

r r

O2

A

r

P1

P O2

O2

Figura 10.12 Mecanismo de línea recta de Scott-Russell.

B

A AB = 1.86AO2 PA = 2.26AO2

Figura 10.13 Configuraciones de mecanismos de manivela-corredera para curvas con tramos de línea recta.

Mecanismo de Peaucellier El mecanismo ideado en 1873 por el capitán de ingenieros del ejército francés Charles Nicholas Peaucellier, conocido como mecanismo de línea recta de Peaucellier,


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permite hacer que un punto describa de forma exacta un segmento, como se aprecia en la figura 10.14, y no de forma aproximada como en el paralelogramo de Watt, diseñado unos 100 años antes. En la figura 10.15 se muestra la relación de las longitudes DB 5 BC 5 CA 5 AD y OB 5 OA, antes de considerarlo como mecanismo. Es posible obtener una línea recta si el punto D se conecta a una trayectoria circular; en forma inversa, es posible obtener una trayectoria circular si en D se coloca una trayectoria rectilínea. B

C

β

D

α

b B

A

C

a

O

A

D

Figura 10.14 Eslabonamiento de Peaucellier.

A

P O2

B

O4

Figura 10.15 Mecanismo de línea recta de Peaucellier.

Mecanismo de Chebyshev O2

O4

Figura 10.16 Mecanismo de línea recta de Chebyshev.

P B r3

r4

r2 O2

O2

Figura 10.17 Mecanismo de línea recta de Hoecken.


Este mecanismo, inventado por Pafnuty Chebyshev (1821-1894), posee las siguientes proporciones: [O2O4] 5 2·AB, [O2A] 5 [O4B] 5 2.5 ·AB. En este, P constituye el punto medio del segmento AB. Se caracteriza porque describe una trayectoria con un tramo aproximadamente rectilíneo (véase figura 10.16).

Mecanismo de línea recta de Hoecken Este mecanismo, cuya invención es atribuida a Karl Hoecken (1874-1962) y que se ilustra en la figura 10.17, ofrece una combinación óptima de rectitud y velocidad casi constante [5]. A diferencia del mecanismo de Chebyshev de la figura 10.16, este mecanismo manivela-oscilador es Grashof y con inversión cinemática adecuada que puede impulsarse por un motor. Para construir el mecanismo de línea recta de Hoecken primero es necesario definir el radio de la manivela r 2 y luego O2O4 5 2r 2, AB 5 BP 5 r 4 5 2.5 r 2.

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10.4 Síntesis Mecanismo RRRR para generación de trayectorias Considérese el mecanismo de la figura 10.18 en el que el acoplador está formado por el elemento rígido ABP. Donde el punto P se denomina específicamente punto del acoplador y la trayectoria de dicho punto trayectoria deseada o trayectoria de diseño, la cual se compone de un número infinito de puntos. En este caso, a aquellos puntos específicos en los cuales se desea que pase se les conoce como puntos de precisión. Existen métodos gráficos y analíticos que permiten diseñar trayectorias con un número limitado de precisión: 3, 4 y hasta 6 [8]. En esta sección se presenta un método gráfico para sintetizar un mecanismo RRRR, con el fin de que el acoplador cumpla con una trayectoria con cuatro puntos de precisión. 1. Necesidad

Puntos de precisión Trayectoria de diseño

P

β ψ Acoplador

B

O4

A α

O2

Figura 10.18 Mecanismo RRRR para generación de trayectorias.

Un mecanismo donde un punto P del acoplador pase por una trayectoria sobre cuatro puntos de precisión. 2. Solución Síntesis de un mecanismo RRRR, para que el punto del acoplador cumpla con las necesidades de precisión de una trayectoria. Método gráfico 1. Desarrollo Sean P1, P2, P3 y P4 los puntos de precisión de una trayectoria deseada, de los cuales sean P1 y P2 los puntos extremos de los puntos de precisión. i. Encontrar el rotopolo O4. Este se obtiene como un centro de giro de los puntos P1 y P4, por lo que se traza una mediatriz de la línea que pasa por estos puntos; después, seleccionar el rotopolo sobre la mediatriz. ii. Sea g/2 el ángulo formado por O4P1 y O4P4. Trazar una línea de construcción IO2 que parta de O4 sobre cualquier inclinación y luego trazar dos líneas de construcción lc1 e lc2 a g/2 de la línea de construcción lO2. iii. Seleccionar de manera arbitraria el rotopolo O2 sobre la línea de construcción lO2. iv. Determinar de manera arbitraria un punto A1 sobre la línea de construcción lc2 y trazar una circunferencia entre O2 y A1, por lo que este será el radio de la manivela impulsora. El punto A4 interceptará con la otra línea de construcción lc1. v. Determinar los puntos A2 y A3 posicionándose en P2 y P3, respectivamente, de modo que las distancias P2A2 y P3A3 sean igual a P1A1. vi. Aplicar una inversión cinemática fijando el acoplador. Así pues, sean Bo y Bo3 puntos de construcción localizados en O4; por tanto, son puntos


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conocidos. Entonces, los puntos Bo1 y Bo2 serán otros dos puntos de construcción que se obtienen al igualar los triángulos DA1P1Bo1 5 DA2P2Bo y DA1P1Bo2 5 DA3P3Bo. vii. El centro del círculo que pasa por los puntos Bo, Bo1 y Bo2 será el punto B1, asociado a A1, que es la articulación entre la manivela de salida y el acoplador. viii. El acoplador estará formado por A1, B1 y P1. La manivela de entrada será O2A1 y la manivela de salida O4B1.

Ejemplo

10.1

Generación de trayectorias con cuatro puntos de precisión Determinar las dimensiones del mecanismo RRRR, de modo que el punto del acoplador pase por las posiciones cuyas coordenadas se muestran en la tabla adjunta.

P1

P2

P3

P4

x

2.1

2.5

3.4

3.8

y

3.4

3.4

3.7

3.8

Solución

Primero, en un plano cartesiano se colocan los cuatro puntos de precisión. Luego, como indica el procedimiento, se obtiene la ubicación del rotopolo O4, a lo largo de la mediatriz de la línea de construcción; en este caso, se selecciona en la intersección con el eje de coordenadas x (véase figura 10.19). A continuación se procede a localizar el rotopolo O2 y el radio de giro, como se indica en los pasos 2 y 3; en este caso, se selecciona sobre (1, 0), como se aprecia en la figura 10.20.

Mediatriz 4

P3

P2

4

P1

3

P1

3

P4

γ

2

2

1

1

1

2

3

4

Figura 10.19 Ubicación del rotopolo del Fig. 10.19 ejemplo 10.1.

Lc 1

γ /2 LO 2

O4


P3

P2

P4

5

1

γ /2

2

Lc2

O4 3

4

5

Figura 10.20 Ubicación del rotopolo O2 del ejemplo 10.1.

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Enseguida se seleccionan los puntos A1 y A4, que es el radio de la manivela 2; estos puntos deberán pasar por las líneas de construcción Lc1 y Lc2. Una vez localizados estos dos puntos, se mide la distancia P1A1, que deberá ser igual a P4A4. Los puntos A2 y A3 se obtienen colocándose en P2 y P3, respectivamente, mediante una intersección con la circunferencia, de modo que P2A2 5 P1A1 y P3A3 5 P1A1 (véase figura 10.21). Una vez localizados los puntos A1, A2, A3 y A4, se procede a calcular los puntos Bo, Bo1, Bo2 y Bo3, como se indica en el paso vi), de modo que se cumpla con la siguiente relación de triángulos: DA1P1Bo1 5 DA2P2Bo DA1P1Bo2 5 DA3P3Bo En la figura 10.22 se muestra cómo se obtiene el punto Bo2. P3 4

P2

P3 4

P4

P1

3

P4

P1

3

2 1

P2

2

A4 O2 1

A1

1

O4

A3 A2

2

3

4

O2 5

Figura 10.21 Ubicación de los puntos A1.

Fig. 10.21

A4

1

-1

A3 2

A1 A A2

Bo1 O4 3

Bo2

4

BB1

5

Figura 10.22 Localización de los puntos de construcción.

A continuación, se elabora un triángulo A1P1Bo2 (que puede hacerse en cartón) y luego se posiciona con este mismo triángulo en A3 y P3, para localizar el punto Bo2. Una vez localizados los puntos de construcción Bo, Bo1, Bo2 y Bo3, se procede a calcular el centro de giro de los puntos Bo, Bo1 y Bo2. Línea de construcción Para ello se trazan unas líBo neas de construcción de Bo a Bo 1 Bo1 y de Bo1 a Bo2, así como 3 3.2 3.4 3.8 4 4.2 la intersección de la mediatriz de la línea de Bo a Bo1 y de la línea Bo a Bo2, con B1 lo que se determina el punto B1, que es el correspondiente Mediatrices Bo2 a A1, como se aprecia en la figura 10.23. Figura 10.23 Localización de B1.


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4

P1

P2

P3 P 4

Cuando se tienen localizados los rotopolos O2 y O4, así como los puntos A1, B1 y P1, lo siguiente es formar el mecanismo. El mecanismo RRRR está formado por la manivela de radio O2A1, una biela poligonal A1B1P1 y una manivela de salida de radio O4B1. El mecanismo final y su trayectoria pueden observarse con detalle en la figura 10.24.

P

3

S

2 1

O4

O2

0

1

0

2

3

4

5

Figura 10.24 Mecanismo RRRR para generación de trayectoria.

Fig. 10.24

Mecanismos cognados o afines Si se dispone de un mecanismo con una trayectoria específica en el acoplador, en un punto P, existe una herramienta que permite deducir al menos dos mecanismos llamados afines o cognados, capaces de generar la misma trayectoria, según el teorema de Robert-Chebyshev [14]. La obtención de los mecanismos afines tiene gran utilidad en el diseño de mecanismos para la generación de trayectorias, ya que se dispone de dos mecanismos con diferentes dimensiones, pero que generan la misma trayectoria; esto permite seleccionar el mecanismo más adecuado a las necesidades físicas y de implementación. Además, si en un procedimiento de síntesis el mecanismo obtenido no cumple con la condición de Grashof o no corresponde con la inversión cinemática adecuada, entonces al menos uno de los cognados sí lo será.

Mecanismo de cuatro barras con biela de tres lados Considérese el mecanismo con una biela rígida APB de la figura 10.25. El procedimiento para la obtención de los mecanismos cognados en este tipo de mecanismo es el que se describe a continuación y cuyo resultado se observa en la figura 10.26. 1. Expandir el mecanismo original sobre una línea imaginaria que pasa por los pivotes de las manivelas O ’2 y O ’4.

P γ

r3

α

A

β

2. Trazar una línea paralela a AP que parta de O ’2 y otra línea paralela a BP que parta de O ’4.

B

3. Denotar al punto O ’3 como la intersección de las líneas AP y BP.

r4 r2 O2

O4

4. Trazar una línea paralela a la línea O ’2O ’4 que pase por P.

Figura 10.25 Ejemplo de mecanismos afines.


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5. La intersección de las líneas proyectadas del paso anterior definen las dimensiones de los nuevos mecanismos al aplicar la regla de Cayley [7].

O´3 r´2 A1

r”4 B2

Mecanismo cognado 2

γ

r”3

r´3

Mecanismo cognado 1

γβ P Los radios del eslabón fijo O2O4, así como su incliβ A2 B1 α α nación para cada uno de los mecanismos afines, γ se obtienen al reducir el mecanismo a su posición r”2 r´4 original, es decir: β α  O’ O’  r4 r3 r4 π A B O´4 O´2 r1’ =  4’ 3’  r1 ∠ 2 + β Mecanismo original O O  2 4 (10.1) ’ ’   Figura 10.26 Regla de Cayley para determinar la dimensión de O O r2’ =  2 3  r1∠α Fig. 10.26 los mecanismos cognados. ’ ’  O2 O 4 

(

)

Mecanismos afines

Ejemplo

Considerar el mecanismo de la figura 10.25, donde r1 5 8, r2 5 3, r3 5 7, r4 5 5, r5 5 5 y a 5 30°. Utilizar el procedimiento explicado para obtener los dos mecanismos afines.

10.2

Solución

Lo primero es expandir el mecanismo sobre la línea de O ’2 y O ’4. Luego, para localizar el punto O ’3 se trazan las líneas paralelas a AP que pasen por O ’2 y a BP que pasen por O ’4 (véase figura 10.27). Lo siguiente es proyectar las líneas AP y PB, y trazar una paralela a O ’2O ’4 que pase por P, como se muestra en la figura 10.28. Las dimensiones de los mecanismos afines se obtendrán a partir del diagrama conseguido mediante la regla de Cayley [7]. Por ejemplo, para el mecanismo cognado 1, las dimensiones serán r ’2 5 A1O ’3 5 1.54 u, L3 5 A1B1 5 2.74 u y L4 5 B1O ’4 5 3.42 u. El segmento de referencia será A1 hacia P;


O´3 Paralela a AP

O´2

Paralela a BP

P

A

O´4

B

Figura 10.27 Localización del punto O3.

Fig. 10.27

O´3 A1

B2 A2

O´2

A

P

B1

B

O´4

Figura 10.28 Localización de los nodos de los mecanismos Fig. 10.28 cognados.

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es decir, L5 5 A2P 5 4 u, y el ángulo de proyección de la barra L5 sobre el acoplador del cognado será β. Se puede aplicar un procedimiento similar para obtener las dimensiones del otro mecanismo afín. Ahora solo resta determinar la dimensión de los eslabones fijos para los mecanismos afines, así como la inclinación de sus pivotes. Para obtener las dimensiones de las barras fijas para cada mecanismo afín se utiliza la ecuación (10.1). Por tanto, si r1 5 8 u, O’2 O’4 5 15, O’4 O’3 5 7 u, entonces r ’1 5 4.10 u. El otro mecanismo afín se puede obtener del lado lateral izquierdo del triángulo; sin embargo, como se puede observar, este mecanismo no puede dar revoluciones completas debido a que el elemento más pequeño se encuentra como biela y este no cumpliría con la ley de Grashof. Los dos mecanismos afines se muestran en la figura 10.29.

Figura 10.29 Mecanismos afines.

Fig. 10.29

Mecanismo de cuatro barras con biela extendida Ahora considérese el caso de un mecanismo de cuatro barras con biela extendida, como el que se muestra en la figura 10.30. El procedimiento para la obtención de los mecanismos cognaP dos en este tipo de dispositivos se describe a continuación, mismo que se muestra en la figura 10.31. B

r3 A

1. Trazar una línea paralela a AP que parta por O2 y otra paralela a AO2 que parta por P, cuya intersección será el punto P0. 2. Trazar una línea paralela a AP que parta por O4 y otra paralela a BO4 que parta por P, cuya intersección será el punto B 1.

r4

r2 O2

O4

Figura 10.30 Mecanismo de cuatro barras con biela extendida.


3. Localizar el punto P1 localizado sobre el segmento PP0, de modo que PP1 5 PP0. 4. Localizar el punto A1 localizado sobre el segmento PB1, de modo que B1A1 5 PB1.

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5. Localizar el pivote del mecanismo cognado O3 mediante el trazo de una línea paralela a PP1 que pase por A1 y otra línea paralela a PA1 que pase por P1.

P1 P

6. El mecanismo cognado estará formado por la manivela O3A1, la biela A1B1P y el oscilador O4B1.

P0 B B1

Mecanismo de manivela-corredera con biela de tres lados

A

Ahora lo que sigue es obtener el cognado para un mecanismo manivela-corredera, como el que se ilustra en la figura 10.32. El procedimiento para la obtención de los mecanismos cognados en este sistema es el que se describe a continuación, cuyo resultado se observa en la figura 10.33.

O4

O2

O3

A1

Figura 10.31 Mecanismo cognado para un mecanismo de biela extendida.

1. Trazar una paralela a AP que pase por O2 y otra paralela a O2A que pase por P, cuya intersección será el punto A1. 2. Usando los ángulos α y β, dibujar un triángulo ΔPA1B1. 3. La línea de deslizamiento para el mecanismo cognado será desde O2 hasta B1. P

P

γ A α

B1

β

α B

O2

A α

A1

Figura 10.32 Mecanismo de manivela-corredera con biela rígida ABP.

Fig. 10.32

O2

β B

Figura 10.33 Cognado de un mecanismo de manivela-corredera con biela rígida ABP.

10.5 De interés por la web En internet existe una inmensa diversidad de documentación relacionada con el diseño de mecanismos; sin embargo, aquí solo se hará mención de dos páginas que pueden ser de gran utilidad para el diseñador. La primera se trata del curso de Söylemez, en METU OpenCourseWare (véase figura 10.34); este curso contiene gran documentación teórica y con animaciones, además de que dispone de varios métodos de síntesis que no son comunes en la literatura de mecanismos.


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Visita la página

Figura 10.34 Página de mecanismos (en inglés) de METU OpenCourseWare [8].

Otra página muy recomendada para la síntesis y selección de mecanismos para la generación de trayectorias se encuentra en Europeana think culture (véase figura 10.35).

Visita la página

Figura 10.35 Diversos mecanismos en Europeana think culture [9].


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Descarga

C10.1 Define qué es acoplador. C10.2 Define qué es curva de acoplamiento. C10.3 Detalla algún factor que defina la forma de una curva de acoplamiento en un mecanismo articulado.

E10.2 6

C10.4 ¿Qué objetivo tiene el Atlas de Hrones y Nelson?

4

C10.5 ¿Qué es un mecanismo cognado? C10.6 ¿De cuántos mecanismos cognados dispone un mecanismo de manivela-oscilador con biela rígida de tres lados?

A

BA = 6.9

P O4 B = 5.3

3

P A = 3.2

2

α = 40° O2 A4 = 6

1 0

C10.7 ¿De cuántos mecanismos cognados dispone un mecanismo de manivela-corredera con biela rígida de tres lados? C10.8 ¿De cuántos mecanismos cognados dispone un mecanismo de manivela-oscilador con biela extendida?

O2 A = 1.3

B

5

O4

O2 1

2

3

4

6

5

7

8

9

10

11

Fig. 10.37 Figura 10.37

E10.3 6

Ejercicios

4

E10.1 Determina las dimensiones del mecanismo manivela-oscilador que permita definir las trayectorias en los puntos de precisión establecidos que se ilustran en la figura 10.36.

O2 A = 2

B

5

BA = 6.9 P O4 B = 5.6 PA = 5

3

α = 7°

2

A O2 O4 = 6

1 0 -2

P

O2

-1

1

2

3

O4 4

5

6

7

8

9

10

11

10

11

Fig. 10.38 Figura 10.38

E10.4 6

O2 A = 2

B 5

Figura 10.36

Los mecanismos que se muestran en las figuras 10.37 a 10.41 disponen de longitudes en centímetros; además, en todas estas el ángulo α perteneciente a la biela se mide desde AB hasta AP, en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Determina el(los) mecanismo(s) cognado(s) para cada uno de los casos.


4

BA = 6.9 P O4 B = 5.6 P A = 6.5

3

2

P

A

α = 30°

O2 O4 = 5

1 0 -2

-1

O2

O4 1

2

3

4

5

6

7

8

9

Fig. 10.39

Figura 10.39

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386


E10.5

permita al oscilador (donde se desliza el collarín) descansar horizontalmente un determinado tiempo y después elevarse a cierto ángulo.

O2 A = 2 BA = 6.9 8

P

Nota: No se requiere definir tiempos ni alturas.

O4 B = 5.6

6

S10.2 Con el propósito de desarrollar una habilidad motora en un paciente, se requiere una solución mediante el uso de mecanismos. El requerimiento consiste en el hecho de que mientras el paciente utiliza un brazo para mover una manivela, del otro lado un elemento deberá mover de forma automática el brazo con una trayectoria rectacurva, como se ilustra en la figura 10.43. Propón una solución al respecto.

P A = 9.3

B 4

α = 0° A

2

O2 O4 = 5 O2

0 -2

O4 2

4

-2

8

6

10

12

14

16

FiguraFig. 10.40 10.40

E10.6 6

O2 A = 1.3 5

BA = 6

B

4

P

PA = 4

3

α = 0°

2

A

O2 O4 = 5

1 0

-1

Brazo izquierdo

O4 B = 5

O2

O4 1

2

-1

4

3

5

6

7

8

9

10

11

Brazo derecho

Fig. 10.41 Figura 10.41

Figura 10.43


S10.1 Las curvas del acoplador son de gran utilidad para impulsar elementos que requieren retención. La figura 10.42 muestra un mecanismo de barras articuladas que impulsa un mecanismo de deslizamiento. Propón una solución que D C 8

6

B

5

O7

4

3

A O3

O2

S10.3 Mediante la combinación de mecanismos en animatronics es posible realizar tareas con menos grados de libertad, al reducir el uso de motores. La figura 10.44 ilustra un mecanismo utilizado para impulsar un robot araña mediante un mecanismo de manivela-oscilador; sin embargo, debido a las características de diseño, el nodo P de las extremidades tiene trayectoria curva, lo que provoca saltos repentinos de la araña. Con base en la teoría de curvas con tramos de línea recta, propón una solución para que en el extremo de las extremidades en P se tenga una trayectoria recta durante el desplazamiento de la araña y así evitar sobresaltos.

Figura 10.42

Fig. 10.42


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Práctica de laboratorio Práctica 10.1 Taller de Vir-Mech®. Curvas de acoplamiento

Material • Herramienta computacional Vir-Mech®. Elemento de competencia P

P Figura 10.44

Fig. 10.44 S10.4 Se desea implementar un procedimiento analítico para medir las velocidades de los nodos en un mecanismo de manivela-oscilador, como se muestra en la figura 10.42, a través de la medición de los desplazamientos entre nodo y nodo de la trayectoria. Si se sabe que la manivela O2A se mueve a 1 rad/s, establece una estrategia gráfica para medir la velocidad del nodo P. Comprueba tus resultados con el uso de cualquier método de los que se estudian en el capítulo 4. 6

O2A = 1.3

5

O4B = 5

4

2 1

0 -2

-1

PA = 3 α = 0° O2O4 = 5

P

3

A O2

O4 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-1

Figura 10.45

S10.5 Implementa un mecanismo que permita intercambiar de manera automática las páginas de un libro.


Objetivo Utilizar la herramienta computacional Vir-Mech® para importar de un archivo la imagen de un mecanismo de excavadora, y posteriormente implementar sobre la imagen el mecanismo y realizar un análisis de curvas para validar la trayectoria del acoplador. Desarrollo La implementación computacional de mecanismos permite simular el movimiento de los mecanismos y obtener resultados como las curvas de acoplamiento. Tal es el caso de Vir-Mech®, herramienta que permite la implementación de un mecanismo incluso a partir de imágenes JPG, lo que admite la obtención de resultados con base en la imagen.

BA = 6

B

Analizar la trayectoria del mecanismo de excavadora mediante la implementación computacional con Vir-Mech®, a fin de determinar los puntos de avance y el retroceso de la herramienta.

En esta práctica se hace uso de Vir-Mech® para implementar el mecanismo de una excavadora mostrado en la figura 3.8 importándolo de un archivo y luego para construir el mecanismo sobre la imagen, a fin de corroborar la trayectoria del acoplador. Procedimiento Paso 1: Importación del mecanismo para importar el mecanismo que Utiliza el botón se encuentra en la carpeta /Img/perforadora.jpg, el cual aparece a partir de la coordenada (0, 0), como se muestra en la figura 10.46.

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Con las deslizaderas horizontal y vertical es posible posicionar la imagen en un sector apropiado para visualizar la imagen. También puede utilizarse la propiedad Fac.Scale de la ventana Propiedades para ampliar o disminuir la imagen. Paso 2: Construcción del mecanismo Utiliza los botones para la construcción del mecanismo con base en la imagen. Realiza el procedimiento que se muestra en la figura 10.47. Figura 10.46 Paso 1 de la práctica 10.1.

Figura 10.47 Paso 2 de la práctica 10.1.

Figura 10.48

Para construir una extensión de la biela haz clic y selecciona la biela AB; desen el botón pués, desliza el nodo moviendo el cursor hasta llegar al punto de análisis del acoplador, como se muestra en la figura 10.48. Paso 3: Animación y despliegue de curva para ver si el mecanismo está Compila bien implementado; después, realiza la anima. ción

Figura 10.49 Paso 3 de la práctica 10.1.


Para desplegar la curva del acoplador dirígete a la pestaña Análisis, donde se encuentra el , que despliega las trayectorias de botón los nodos. Después de hacer clic sobre el nodo de interés se desplegará la trayectoria, como se muestra en la figura 10.49. Puedes ocultar la

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imagen para visualizar mejor las trayectorias quitando la opción Visible, en el cuadro Propiedades.

Evidencias

Reporte

• Impresión de la imagen que muestra la trayectoria obtenida por Vir-Mech®.

En internet encuentra y descarga una imagen del mecanismo de extremidad de Teo Jensen para implementar la curva de la extremidad.

• Impresión de la imagen original.

• Conclusiones.

Referencias [1] Blog de Luz Adriana García: http://blog.utp.edu.co/adriamec/. Consultado en abril de 2015. [2] McCarthy, J. Michael. (2000). Geometric Design of Linkages. New York: Springer. [3] Erdman, Arthur G. & Sandor, George N. (1998). Diseño de mecanismos, análisis y síntesis, 3a. ed. México: Prentice Hall. [5] Norton, Robert L. (2013). Diseño de maquinaria, 5a. ed. México: McGraw-Hill. [6] Dijiksman, E. A. (1981). Cinemática de mecanismos. México: Limusa. [7] Cayley A. (1976). “On three bar motion”. Proc. Londres Math Soc 7. pp. 133-166. [8] Söylemez. Mechanism: Online Course in Metu Open Course Ware: http://ocw. metu.edu.tr/. Consultado en julio de 2015. [9] Europeana think culture: http://www.europeana.eu/portal/. Consultado en julio de 2015.


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Análisis y síntesis mediante el uso de algoritmos computacionales

Propósito del capítulo Algunos métodos para análisis o síntesis de mecanismos requieren la solución de ecuaciones, las cuales, en algunas ocasiones, son difíciles de resolver por métodos algebraicos, ya sea porque no tienen solución, su solución es trivial o porque tienen no linealidades. En tales casos es necesario recurrir a métodos numéricos y(o) computacionales que permitan proponer soluciones aproximadas a estos problemas o extender las capacidades de diseño. En este capítulo se estudian técnicas basadas en algoritmos numéricos y computacionales para solucionar problemas tanto para el análisis como para el diseño de mecanismos, en los que las técnicas tradicionales se ven limitadas. Competencia específica • Deducir una metodología para análisis y síntesis de mecanismos con el uso de métodos numéricos y computacionales que permitan solucionar ecuaciones en las que los métodos algebraicos se ven limitados.

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11

Capítulo

Habilidades 1. Dominar los métodos para establecer ecuaciones de análisis y síntesis de mecanismos. 2. Dominar la abstracción y el desarrollo lógico para la solución de ecuaciones. 3. Formular soluciones numéricas y computacionales. 4. Proponer soluciones para análisis y síntesis basadas en métodos iterativos con el uso de la computadora.

Conocimientos requeridos • Topología de los mecanismos. • Cinemática de mecanismos. • Ecuaciones geométricas.

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11.1 Introducción Las técnicas de síntesis presentadas en el capítulo 8 tienen limitantes en lo que respecta al número de estados de diseño que se puede proporcionar; esto se debe principalmente a las características propias del argumento matemático utilizado. Para comprender lo anterior considérese la síntesis de guiado de un sólido rígido, la cual solo puede solucionarse si se proporcionan como máximo tres estados de la posición; esto se debe al argumento matemático utilizado, que es la ecuación de una circunferencia, donde solo es posible determinar su centro de giro si se dispone de hasta tres puntos de la misma, como se ilustra en la figura 7.13. Al suponer que se proporciona una cuarta posición, la cual pertenece a la solución dada por las otras tres posiciones, entonces sería difícil establecer un procedimiento algebraico que permita dar certeza a esto. Desde un punto de vista algebraico, lo único que queda es buscar una solución mediante la combinación de tres en tres elementos, lo cual resulta impráctico. Para estos casos se pueden utilizar métodos iterativos, ya sea numéricos o algoritmos computacionales, los cuales permiten no solo buscar la solución para casos triviales sino extender las capacidades de diseño, lo cual admite, entre otras cosas, aumentar los estados de diseño y buscar soluciones exactas, si es que existen, o bien un conjunto de soluciones aproximadas. En este capítulo se presentan dos métodos iterativos para ampliar las capacidades de análisis y síntesis de mecanismos. El primero de estos, conocido como método de Newton Raphson, permite solucionar el problema de posición en un mecanismo, independientemente de la topología, además de que elimina la arbitrariedad de soluciones alternas, debido a que utiliza como valores iniciales de la iteración los valores de la posición anterior, lo que faculta no solo para dar una solución más próxima, sino que el tiempo de cómputo se acelera y se obtienen resultados más rápidos. El segundo método, conocido como Evonorm, pertenece a las técnicas de cómputo evolutivo usadas básicamente en sistemas inteligentes; no obstante, también se ha utilizado con éxito para solucionar problemas en diferentes áreas de la ingeniería. La ventaja de Evonorm es su facilidad de implementación computacional y que puede ser utilizado en cualquier modelo matemático, ya sea con soluciones exactas, triviales, no lineales, etcétera, lo que permite dar soluciones aproximadas, según sea el caso. Ambos métodos se denominan iterativos debido a que realizan una repetición y ajuste sobre el modelo hasta encontrar una solución con un rango de error mínimo. Por lo anterior, en este capítulo primero se detallan en un apartado los dos métodos, donde se describen sus características y el procedimiento de implementación, y luego se emplea el método de Newton para establecer y solucionar las ecuaciones cinemáticas de un mecanismo con n barras, el cual permite una implementación computacional, ya sea para análisis o simulación de mecanismos. Después, con otra aplicación del método de Evonorm se hace una extensión de algunas técnicas de síntesis con las cuales se puede visualizar la potencialidad del método, no solo para solucionar los tipos de síntesis planteadas sino también para plantear nuevos retos de síntesis y buscar su solución.


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Capítulo 11. Análisis y síntesis mediante el uso de algoritmos computacionales

11.2 Métodos iterativos de Newton Raphson y Evonorm Método de Newton Raphson Uno de los métodos numéricos más utilizados en la f(x1) solución de un sistema de ecuaciones no lineales es el método de Newton Raphson, que es un método iterativo que busca la solución a una ecuación no lineal o a un conjunto de ecuaciones no lineales a partir de m1 valores iniciales. f(x2) Para comprender el funcionamiento iterativo del método considérese una fracción de curva de una ecuación m2 cuya solución se encuentra en xR, es decir, f (xR ) 5 0. xR x2 x1 Si se dispone de una condición inicial x1, entonces al usar la pendiente m1 a la curva (su derivada) se ob- Figura 11.1 Iteraciones en el método de Newton Raphson. tiene un nuevo valor x2, por lo que al repetir el mismo procedimiento es posible acercarse a una solución cercana f (xR ) 5 0 después de ciertas iteraciones; dicho procedimiento se muestra en la figura 11.1. El método se puede abreviar mediante la siguiente fórmula: x i +1 = x i +

f (x i ) (11.1) f ′(x i )

donde f (xi ) es la derivada evaluada en xi . Por tanto, para la búsqueda de la solución el método se apega al siguiente procedimiento:

f(x) Obtener la derivada f´(x) Proporcionar: a) una condición inicial xi b) el valor mínimo de error deseado ε

1. Dada la función f (xi), calcular la derivada con respecto a x, f ’ (xi ). 2. Proporcionar una condición inicial xi y evaluar f (xi) y f ’ (xi ).

Evaluar f(xi) y f´(xi)

3. Determinar x i 11 con el uso de la fórmula (11.1). 4. Si  x i 11 2 xi   e (un rango de error), entonces la solución es xi. Tal procedimiento se detalla como diagrama de flujo en la figura 11.2. En el área de mecanismos resulta de interés ampliar este método para el


x i + 1 = xi + xi = xi + 1

f (x i ) f´(xi )

xi + 1- xi No

ε Sí Solución obtenida

Figura 11.2 Método de Newton Raphson.

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caso de varias funciones y variables. Para dicho caso, debe considerarse un sistema de ecuaciones no lineales definido por una función F (X ) de dimensión n de la forma  f1 (x 1 , x 2 , x 3 ,...., x n )   f (x , x , x ,...., x ) 2 1 2 3 n  F (X ) =  (11.2)      fn (x 1, x 2 , x 3 ,...., x n ) Defínase ahora una matriz de utilidad llamada jacobiana J (X ) del sistema de ecuaciones, la cual puede obtenerse como una matriz de dimensión n 3 n de la forma:  ∂F (q ,q ) ∂F (q ,q ) ∂F1 (q ,q )  1 1   ∂q1 ∂q2 ∂qn      ∂F2 (q ,q ) ∂F2 (q ,q ) ∂F2 (q ,q )  (11.3) J (X ) =   ∂q1 ∂q2 ∂qn      ∂Fn (q ,q ) ∂Fn (q ,q ) ∂Fn (q ,q )    ∂q1 ∂q2 ∂qn   Por tanto, el procedimiento para buscar una solución a un sistema de variables es muy similar al de una variable; es decir: 1. Dada la función F (X ), calcular la matriz jacobiana J (X ) con el uso de la ecuación (11.3).

F (X ) Obtener la matriz jacobiana J´( X )

2. Proporcionar una condición inicial para cada variable en un vector de dimensión n, X i 5 col [x1(i ), x1(i ),… xn(i )] y sustituir cada valor de xi para evaluar F (X i ) y J (X i ).

Proporcionar: a) una condición inicial xi b) el valor mínimo de error deseado ε

Evaluar F(X i ) y J(X i )

3. Determinar el vector X i 11 mediante el uso de la fórmula:

X i + 1 = X i – J ( X i ) –1 F ( X i )

X i +1 = X i − J (X i )−1F (X i ) (11.4)

X i + 1= X i

4. Si  x i 11 2 x i   e (un rango de error), entonces la solución es X i.

X i + 1– X i ε No

Sí Solución obtenida

Figura 11.3 Método de Newton Raphson para varias variables.


Tal procedimiento se representa como diagrama de flujo en la figura 11.3.

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Método de Evonorm Existen muchos paradigmas para aplicar algoritmos computacionales. En especial, para aquellos pertenecientes a un paradigma llamado computación evolutiva se tienen desde algoritmos genéticos y estrategias evolutivas, hasta los algoritmos basados en estimación de distribuciones. El método Evonorm [1] tiene su sustento en la similitud del proceso evolutivo de la humanidad, de manera específica en la estructura conocida como cromosoma. Dicha estructura base puede estar constituida ya sea por vectores binarios, vectores reales o símbolos, o bien por estructuras más complejas como matrices, listas y árboles. Para respetar la analogía con la teoría de la evolución se trabaja con poblaciones de individuos, es decir, con un conjunto de soluciones potenciales, todas con una misma representación común (mismo cromosoma). Es importante considerar que en todos los algoritmos evolutivos siempre se aplican los mismos procesos: 1. Evaluación de todos los individuos de una población. 2. Selección de los individuos con los valores de evaluación más alta. 3. Generación de nuevos individuos considerando solo a los seleccionados. Estos tres procesos se aplican de manera sucesiva hasta que un criterio de finalización sea satisfecho. Evonorm es un algoritmo evolutivo basado en la estimación de una distribución normal univariada marginal en donde se utilizan individuos seleccionados para calcular los parámetros con el fin de generar una variable aleatoria con distribución normal, específicamente la media y la desviación estándar. El algoritmo de Evonorm establece: 1. Generación de una población aleatoria. 2. Evaluación de la población. 3. Selección de los mejores individuos. 4. Generación de una nueva población. 5. Ir al paso 2 o terminar si un criterio específico se satisface. La diferencia que tienen los algoritmos basados en estimación de distribuciones es sustituir los mecanismos de cruce y mutación por un mecanismo basado en la generación de nuevos individuos con el uso de una variable aleatoria con distribución normal, cuyos parámetros son estimados y que utiliza una variable aleatoria para cada variable de decisión. Evonorm utiliza una heurística adicional para preservar el mejor algoritmo encontrado e involucrarlo en el proceso de búsqueda. Es muy similar al mecanismo de elitismo, que se usa con gran frecuencia en la computación evolutiva debido a que explota con mejor eficiencia el espacio de búsqueda, aunque a veces puede comprometer el proceso de exploración y(o) provocar convergencia prematura en


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algunos casos. En esta heurística, al generar nuevas soluciones se utiliza como parámetro de la media al mejor encontrado en 50% de las veces, mientras que en el otro 50% se utiliza el valor medio calculado. El siguiente procedimiento ilustra lo aquí expuesto. Al respecto, considérense las siguientes definiciones: • Variable de diseño (xi ). Variable que proporciona las condiciones de diseño; es decir, define qué es lo que se desea obtener del sistema. • Número de variables de diseño (m). Define la cantidad de variables de diseño; es decir, x1, x2,….xm. • Matriz de valores de las variables de diseño (Xd ). Matriz que contiene los valores de las variables que se proporcionan como condiciones de diseño. Es una matriz de dimensión o 3 m, donde m son las columnas que definen el número de variables de diseño y o son las filas que contienen las diferentes combinaciones deseadas de las variables de diseño, es decir:

 x 1 (1) x 2 (1) x m (1)    x 1 (2) x 2 (2) x m (2)   Xd =      x 1 (o ) x 2 (o ) x m (o ) 

(11.5)

• Variables de decisión (yi ). Variables objetivo cuyos valores se desea obtener para satisfacer la matriz de valores de las variables de diseño (Xd ). • Número de variables de decisión (n). Define la cantidad de variables objetivo; es decir, y1, y2, …yn. • Vector de valores de las variables de decisión (Yd ). Vector fila de dimensión n que contiene los valores de las variables de decisión.

Yd 5 (y1 y2 … yn) (11.6)

• Vector de valores de condiciones iniciales (Y0 ). Vector fila que contiene los valores con los que se desea iniciar el cálculo de las variables de decisión.

Y0 5 (y1(0) y2(0) … yn(0)) (11.7)

• Función de diseño (F(Xd,Yd )). Función que define el comportamiento de las variables del sistema, al establecer una relación entre las variables de diseño, las variables de decisión y otras constantes. • Error de evaluación (err ). Ya que el objetivo es minimizar la función de diseño al valor nulo, el error de evaluación es el valor obtenido al evaluar la función de diseño con los valores actuales de las variables del sistema.

err = Φ(Xd ,Yd ) (11.8)

• Población (P ). Matriz de dimensión Ti 3 n que contiene un conjunto de Ti valores candidatos de variables de decisión. En un inicio, estas son aleatorias,


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pero después de la segunda iteración se determinan mediante criterios propios del algoritmo Evonorm.  y 1 (1) y 2 (1) y n (1)    y 1 (2) y 2 (2) y n (2)   P=      y 1 (Ti ) y 2 (Ti ) y n (Ti ) 

(11.9)

• Población seleccionada (Ps). Contiene las Ts  Ti filas seleccionadas de P [ecuación (11.9)] que mejor cumplen con la función de diseño. • Número de repeticiones (Nr). Número de veces que habrá de repetirse el algoritmo con el fin de minimizar la función. A continuación se definen los pasos del algoritmo Evonorm: 1. Proporcionar las dimensiones de los vectores de Ti, Ts y el número de iteraciones Nr. Una propuesta inicial para estos valores son Ti 5 100, Ts 520 y Nr 5 100. 2. Definir el número de variables de decisión (m) y de diseño (n), así como la cantidad de combinaciones a cumplir de las variables de decisión (o). 3. Proporcionar el vector de valores de las variables de diseño Xd. 4. Establecer cotas mínimas y máximas (Ymín y Ymáx) para las variables que habrán de evaluarse. 5. Generar valores candidatos de manera aleatoria para las variables de diseño; es decir, formar la población (P) de dimensión Ti 3 n. En este caso, cada fila contendrá valores de las variables de decisión respetando las cotas Ymín y Ymáx de cada variable de decisión. Sin embargo, en caso de que se desee proporcionar una fila de valores iniciales (Y0), entonces se debe reducir la matriz una fila menos para después insertar la fila de valores iniciales como parte de la primera iteración. 6. Evaluar la función de diseño para cada variable de decisión Yd, que es cada fila de P y para las o veces de las variables de decisión.

err (k ) = ∑ i =1 Φ(Xd (i ,*),Yd (k ,*)) o

para k = 1,2,3....Ti (11.10)

7. Ordenar la matriz P de menor a mayor con respecto a la magnitud del error encontrado. Determinar Ps, que son las primeras Ts filas de P después de ordenar a P de menor a mayor. Si existe un vector de valores iniciales, entonces insertar los valores de este vector en la primera fila, asignándole un error menor al encontrado, y después seleccionar las Ts21 filas. 8. Calcular la media μ y la desviación estándar σ por variable de decisión a partir de la matriz Ps, que representa la población de individuos seleccionados. Ts

µm(k ) =


∑P (i ,k ) i =1

Ts

Ts

σ(k ) =

∑(P (i ,k ) − µ (k ))

2

i =1

Ts

(11.11)

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9. Generar una nueva población P de tamaño Ti. En 50% de las veces se elige la media calculada con anterioridad y en el otro 50% se escoge como media el valor propuesto por el mejor individuo encontrado; es decir, para la fila i y la columna j de P. U (.) > 0.5  µ ( j ) + N (0,1)σ( j ) P (i , j ) =  (11.12) U (.) ≤ 0.5 Y ( j ) + N (0,1)σ( j ) donde N (0,1) = ∑ i =1U (.) − 6 y U(.) es un número aleatorio generado entre 0 y 1. 12

10. Una vez generada la nueva población P, se repite el procedimiento Nr veces a partir del paso 6. El algoritmo Evonorm se muestra en la figura 11.4. q=1 k=1

P

2

1 Yd(k,* )

Xd

Σ

Kt = Ti o Ts

q = 1+1 k=1

i=1 Φ (

Xd(i, * ), Yd(k,* ))

e rr ( k )

k=k+1

k kt Sí

No q nr

Generar nueva población

Seleccionar las primeras Ts filas

FIN

Ordenar P según el error mínimo

Los valores de la primera fila son la mejor aproximación

Sí

No

Ordenar P según el error mínimo

Figura 11.4 Algoritmo Evonorm.

11.3 Aplicación del método de Newton Raphson Solución al problema cinemático en mecanismos de n barras En este apartado se usa el método numérico de Newton Raphson tanto para la solución del problema de posición en mecanismos articulados como para establecer la estrategia que permite la implementación computacional para la evaluación de posición, velocidad y aceleración en dichos mecanismos.


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399

Para el uso de este método lo primero es expresar B(bx, by) B(bx, by) las ecuaciones de posición de los eslabones, pero en forma geométrica, y después agrupar las ecuaciones y L AB buscar la solución numérica. A continuación se explica este procedimiento para C(cx, cy) el caso de una barra rígida y un elemento en deslizaA(ax, ay) A(ax, ay) miento sobre otro fijo o móvil (véase figura 11.5). Tal a) b) procedimiento fue utilizado para elaborar el algoritmo Figura 11.5 a) Barra rígida y b) barra en deslizamiento. matemático con la que se diseñó la herramienta Vir® incluida en el libro. Mech Para el caso de la barra rígida de la figura 11.5 a) se pueden utilizar dos opciones, según los requerimientos. La primera de estas es establecer una sola ecuación en forma de circunferencia, es decir: PB (B , A) = (bx − ax )2 + (by − ay )2 − L2 AB (11.13)

La segunda opción es definir dos ecuaciones en la forma de posición rectangular relativa, es decir: PB x (B , A) = bx − ax − LAB cos θ (11.14) PB y (B , A) = by − ay − LAB senθ Si durante la iteración no se requiere determinar el ángulo de posición, puede utilizarse la ecuación (11.13); en caso contrario, habrá que utilizar las ecuaciones (11.14). Sin embargo, aumenta el número de variables. Para la deslizadera de la figura 11.5 b) se sugiere la siguiente ecuación:

PC (C , A,B ) = (cy − ay )(cx − bx ) − (cy − by )(cx − ax ) (11.15)

Para dar una solución cinemática por medio del uso de las ecuaciones geométricas, lo primero es establecer el vector de variables desconocidas Q de dimensión n, en la que n es el número de incógnitas:  q1     q2  Q= (11.16)     qn  donde q1, q2, …qn representan las coordenadas generalizadas de posición, ya sean de los nodos y(o) de los eslabones. Por tanto, para la solución del problema cinemático de posición también se deberá contar con n ecuaciones geométricas, las cuales se definen en el vector de posición. Cada ecuación geométrica puede contener una o todas las variables desconocidas y ~ conocidas (q, q ).  P1(q ,q )     P2 (q ,q )  (11.17) P(Q , Q ) =      Pn (q ,q )   


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400


Como se demuestra más adelante, también es necesario obtener una matriz conocida como jacobiana J (Q) de dimensión n 3 n, la cual se obtiene de la siguiente manera:  ∂P1(q ,q ) ∂P1(q ,q ) ∂P1(q ,q )    ∂q1 ∂q2 ∂qn    ∂P (q ,q ) ∂P (q ,q )  ∂ q q P ( , ) 2 2 2  ∂P(Q ,Q )  J Q = = ( ) ∂ ∂ ∂ q q q   (11.18) n 1 2 ∂Q     ∂Pn (q ,q )   ∂Pn (q ,q ) ∂Pn (q ,q )   ∂q1 ∂q2 ∂qn   Obsérvese que la matriz jacobiana (11.18) se deriva con respecto a las variables desconocidas Q.

Análisis de posición Al disponer del jacobiano de variables desconocidas (11.18) y al tomar como base el procedimiento expuesto en el apartado anterior, ya es posible plantear un procedimiento para resolver el problema de posición, el cual contiene los siguientes pasos: 1. Proporcionar de forma arbitraria algunas condiciones iniciales (lo más próximo al punto de solución) para Q i. 2. Evaluar P (Q i ) y J 21(Q). 3. Determinar el nuevo valor Q i11 5 Q i 2 J 21(Q) P (Q i ). 4. Evaluar la diferencia de este nuevo valor con respecto al anterior para determinar si es la solución, es decir,  Q i11 2 Q i   e. Por tanto, la posición de un mecanismo quedará definida si y solo si se cumple con: ~ P(Q, Q )  0 (11.19)

Análisis de velocidad Por su parte, la velocidad en el mecanismo se puede obtener al derivar la ecuación de posición de la siguiente manera: ∂P(Q ,Q )  dQ  ∂P(Q ,Q )  dQ  = 0 (11.20)  + ∂Q  dt  ∂Q  dt 

Como se puede ver, en la ecuación de velocidad (11.20) se hace una separación ~ de los términos conocidos Q con los desconocidos Q , lo cual es válido siempre y cuando los términos conocidos y desconocidos sean linealmente independientes en la función velocidad. • Si se define la nomenclatura Q = dQ / dt y se hace uso de la matriz jacobiana de variables desconocidas (11.18), la ecuación (11.20) ahora se puede reescribir:


•

•

J (Q )Q + J (Q )Q = 0

(11.21)

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401


El vector de velocidades desconocidas se puede obtener a partir de la ecuación (11.20), es decir: • • −1 V(Q ) = Q = − J (Q )J (Q )Q (11.22)

Análisis de aceleración El análisis de aceleración se obtiene al derivar la ecuación (11.21) con respecto al tiempo, es decir: •• •• • • J (Q )Q + J (Q )Q + J (Q )Q + J (Q )Q (11.23) Por tanto, el vector aceleración quedará expresado como: •• •• • •  A(Q ) = Q = −J −1 (Q )  J (Q )Q + J (Q )Q + J (Q )Q  (11.24)   •• •• donde Q es el vector de aceleraciones conocidas y Q es el vector de aceleraciones desconocidas. Aun cuando las ecuaciones (11.22) y (11.24) permiten obtener el vector de velocidad y el vector de aceleración, estas expresiones matemáticas se utilizan más de manera regular en la implementación computacional, que en la solución de problemas. Para una posición específica, en la solución de problemas puede resultar más práctico derivar ecuación por ecuación y evitar el cálculo de la matriz inversa.

Solución numérica de la posición de un mecanismo RRRR Considerar el mecanismo de la figura 11.6 con los siguientes valores: l2 5 3 cm, l3 5 7 cm, l4 5 5 cm, O2 5 (0, 0) y O4 5 (8, 0) cm. Determinar las coordenadas (bx, by) cuando la manivela de entrada 2 se encuentra a 40°.

Ejemplo l3

11.1

B(bx, by)

A(ax, ay)

l2

l4 O2 (O2 x , O2 y)

Solución

O4 (O4 x , O4 y)

Ya que no se solicitan las posiciones angulares, se hace uso de Figura 11.6 Solución numérica Fig. 11.6 del mecanismo RRRR. la ecuación (11.13) para expresar la posición de la biela. Si el ángulo de entrada de la manivela 2 se tiene por conocido, entonces se tienen dos incógnitas bx y by, agrupadas en el vector de incógnitas Q, es decir:


bx  Q=  by 

(1)

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402


Por tanto, se requiere de dos ecuaciones geométricas; que se obtienen mediante el uso de la ecuación (11.13), una para la barra 3 y otra para la barra 4:  PB 3 (B, A)   (bx − ax )2 + (by − ay )2 − l3 2   = P(Q ) =  B 4 (2)  (bx − O x )2 + (by − O y )2 − l 2    P ( , ) B O 4 4 4 4     Para utilizar el método numérico primero es necesario obtener la matriz jacobiana J (X), la cual se determina con el uso de la ecuación (11.18) y tomando las variables bx y by como variables a derivar:  ∂PB 3 (B, A) ∂PB 3 (B, A)    ∂bx ∂by    2(bx − ax ) 2(by − ay )  J ( xb, yb ) =   =  2(bx − O x ) 2(by − O y )  (3) B4 B4 P ( , ) P ( , ) ∂ ∂ B O B O  4 4 4 4      ∂bx ∂by   Para obtener la inversa de la matriz jacobiana se debe utilizar

−1

J ( xb, yb ) =

Adj  J −1(bx ,by )  Det [ J (bx ,by )]

que para una matriz de 2 3 2 es:  2(by − O4 y ) −2(by − ay )    (4)  −2(bx − O4 x ) 2(bx − ax )  −1 J ( xb, yb ) = 4(by − O4 y )(bx − ax ) − 4(bx − O4 x )(by − ay ) • Iteraciones a) Para el ángulo de entrada se obtiene: ax = 3cos(40°) = 2.29 cm ay = 3sen(40°) = 1.92 cm b) Seleccionar una condición inicial bx 5 8 y by 5 3; por tanto, X 5 col[8, 3]. c) Se evalúa la función (2) y la inversa del jacobiano (4):

 −15.34  F =   −16 

 0.0842 −0,0514 J −1(X ) =  0.107  −0.0102

  

d) Se evalúan los nuevos valores:  bx i +1 X i +1 =   by i +1

  8   0.0842 −0,0514 = − 0.107   3   −0.0102

  −15.34      −16 

 8.844  X i +1 =    5.666 


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403


e) Se calcula el error X i 1 1 2 X i 5 col[0.884, 2.66]. Como este es muy grande, se procede a evaluar un nuevo valor. Ahora, al definir bx 5 8.844 y by 5 5.666, se repite el procedimiento de forma sucesiva. La siguiente tabla muestra la evolución de los valores hasta llegar a la convergencia. bx

by

Error (dos dígitos)

8

3

8.8440141

5.6666667

[0.84 , 2.66]

8.6217496

5.0094653

[0.22, 0.66]

8.6061569

4.96336

[0.02 , 0.04]

8.6060794

4.9631309

[0.00, 0.00]

Solución numérica de la posición de un mecanismo RRRR

Ejemplo

Considerar el mecanismo del ejemplo 11.1 en el que la manivela gira a 510 rad/s cmr y constante para determinar la magnitud de:

11.2

a) el vector velocidad, y b) el vector aceleración. Solución

La ecuación de posición está definida como:  (bx − ax )2 + (by − ay )2 − l 2  3  (1) P(Q ) =   (bx − O x )2 + (by − O y )2 − l 2  4 4 4    Los valores de ax, ay, bx y by se obtuvieron en el ejemplo 11.1: ax 5 2.29 cm, ay 5 1.92 cm, bx 5 8.606 cm, by 5 4.96 cm por lo que la matriz jacobiana tanto para los valores conocidos como para los desconocidos será:  2(bx − ax ) 2(by − ay ) J (Q ) =   2(bx − O4 x ) 2(by − O4 y )  −2(bx − ax ) −2(by − ay ) J (Q ) =  0 0 

  12.60 6.06  =    1.2 9.92    −12.60 −6.06  =  0 0   

Por su parte, el vector velocidad se obtiene mediante el uso de la ecuación (11.22), para lo cual se determinan las componentes de velocidad del nodo A: Vax = ω2l 2 cos(θ2 + 90°) = −19.28 cm/s


Vay = ω2l 2sen(θ2 + 90°) = 22.98 cm/s

(2)

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404


Por tanto, el vector velocidad se obtendrá como: •

V(Q ) = −J −1(Q )J (Q ) Q

 Vbx   0.084 −0.051   −12.6 −6.06   −19.28  V(Q ) =  =    0 0  Vby   −0.010 0.107     22.98   Vbx   −8.73 cm/s  V(Q ) =  =   Vby   1.06 cm/s 

(3)

Para determinar el vector aceleración es necesaria la magnitud de las componentes de aceleración del nodo A. Con el conocimiento de que el eslabón se mueve a velocidad constante, es decir, α25 0, las componentes de aceleración del nodo A serán:

Aax = ω22l 2 cos(θ2 + 180°) + α2l 2 cos(θ2 + 90°) = −229.81 cm/s2 Aay = ω22l 2sen(θ2 + 180°) + α2l 2sen(θ2 + 90°) = −192.83 cm/s2

(4)

Para utilizar la ecuación de aceleración (11.24) primero se realizan las siguientes operaciones:

 2(bx − ax ) 2(by − ay ) J (Q ) =   2(bx − O4 x ) 2(by − O4 y )

  12.60 6.06  =    1.2 9.92 

 2(Vbx −Vax ) 2(Vby −Vay )   Vbx   231.07  J (Q )Q =   =  2Vbx 2Vby    Vby   154.92 

Así:

 −2(bx − ax ) −2(by − ay ) JQ )Q =  0 0 

  Aax   4075.43   =  0   Aby   

 −2(Vbx −Vax ) −2(Vby −Vay ) J (Q )Q =  0 0 

  Vax   1414   =     Vay   0 

•• ••   A(Q ) = Q = −J −1(Q )  J (Q )Q + J (Q ) Q + J (Q )Q   

 Abx   0.084 −0.051   231.07   4075.43   1414   Ab =   = −     +   + 0 0    Aby   −0.010 0.107   154.92    Abx   −434.30  Ab =  =   Aby   37.44 


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405


Ecuaciones cinemáticas de un mecanismo manivela-corredera

Ejemplo

Considerar el mecanismo de la figura 11.7 (resuelto en el ejemplo 4.5), en el que la manivela gira a una velocidad de 5 rad/s cmr. Con el uso de las ecuaciones geométricas, determinar: a) La ecuación de posición del mecanismo que relacione a B con A. b) La matriz jacobiana que relacione a B con A. c) La velocidad del nodo B y de la biela 3.

E

4

1 cm

D

B

3

11.3

Coordenadas: A (-2, 2) B (7, 6) C (9, 3)

C A

2 O2

Fig. del 11.7ejemplo 11.3. Figura 11.7 Mecanismo RRRP

Solución

Como se observa en la figura 11.7, dadas las coordenadas de los nodos, θ2, en consecuencia se tienen como incógnitas las coordenadas (bx, by) y el ángulo de la biela θ3; por tanto, se deben plantear tres ecuaciones de posición para obtener una solución. Entonces el vector de incógnitas y el vector de entradas conocidas es: ax  bx      (1) Q = by  Q = by  0  θ3  y el vector de posición es:  PB 3 x (B, A)    bx − ax − r3 cos(θ3 )     by − ay + r3sen(θ3 ) P(Q ) =  PB 3 y (B, O4 )  =   (2)  C4    − − − − − by ey bx dx by dy bx ex ( )( ) ( )( )  P (B, C , D )      Para obtener la matriz jacobiana se utiliza la forma (11.18) tanto para las variables desconocidas como para las conocidas, ya que ambas se requieren en el análisis de velocidad y de aceleración.  ∂PB 3 x (B, A) ∂PB 3 x (B, A) ∂PB 3 x (B, A)    ∂bx ∂by ∂θ3     B3 B3 B4 ∂P y (B, A) ∂P y (B, A) ∂P y (B, A)  (3) J (Q ) =    ∂bx ∂by ∂θ3   C4 C4 C4  ∂P (B,C ,D ) ∂P (B,C ;D ) ∂P (B,C ,D )    ∂bx ∂by ∂θ3    1  0 =  (by − ey ) − (by − dy )  11_CINEMATICA DE MECANISMOS_CAP 11.indd 16

0 1 (bx − dx ) − (bx − ex )

r3sen(θ3 )   −r3 cos(θ3 )   0  12/09/15 19:26

406

 ∂PB 3 x (B, A)  ∂bx   B3 ∂P y (B, A) J (Q ) =   ∂bx  C4  ∂P (B,C ,D )  ∂bx 

∂PB 3 x (B, A) ∂by ∂PB 3 y (B, A) ∂by ∂PC 4 (B,C ;D ) ∂by

∂PB 3 x (B, A)   ∂θ3   B4 ∂P y (B, A)   ∂θ3  de mecanismos con aplicaciones ∂PC 4Análisis (B,C ,Dy )síntesis   ∂θ3 

 1 0  = 0 1  (by − ey ) − (by − dy ) (bx − dx ) − (bx − ex ) 

 ∂PB 3 x (B, A)  ∂ax  J (Q ) =  ∂PB 3 y (B, A)   ∂ax  0 

r3sen(θ3 )   −r3 cos(θ3 )   0 

 0    2−1 0 0 1 0 0  =  0 B3 0 21 0 −1 0 ∂P y (B, A) 0   0 0 0 0 0   ∂ay  0 0  ∂PB 3 x (B, A) ∂ay

   

(4)

Por tanto, de la ecuación (11.22) se puede obtener el vector de velocidades desconocidas; es decir, si:  dQ  dQ = −J −1(Q )J (Q )   dt  dt  entonces:  1  Vbx   0     Vby  = −  (by − ey ) −  ω3      (by − dy ) 

0

r3sen(θ3 )

1

−r3 cos(θ3 )

(bx − dx ) − (bx − ex )

0

−1

      

 2 0 0 −1 1 0 0  0 21 0 −1 0  0 0 0 0 0 0 0 

 Vax   Vay     0 

Por simple trigonometría se pueden obtener los ángulos:

θ2 5 135º y θ3 5 23.96º

Por tanto:

 Vbx   1 1 00 4 4    Vby 0 1 29 −9   = −  0 1  ω3  0 11 0 11 00   

−1

   

 2 1 0 0 −1 0 0  0 0 −1 21 0  0 0 0  0 0 00

−10   2 10  −10    2    0 0 

que da como resultado:


 Vbx   −14.44      0  Vby  =    ω3   1.11   

12/09/15 19:26

407


Ecuaciones cinemáticas de un mecanismo manivela-corredera

Ejemplo

Del mecanismo del ejemplo 11.2 considérense los vectores de posición y los jacobianos correspondientes para determinar la velocidad del nodo C, sin considerar las posiciones angulares.

11.4

Solución

En este caso, el vector de incógnitas y de entradas conocidas es: ax  bx  by  by  Q =   Q=  0  (1) cx      cy  0  y el vector de posición es:   PB 3 (B, A)   (bx − ax )2 + (by − ay )2 + rB / A2     2 2 2   PB 3 (C , A)   (cx − ax ) + (cy − ay ) + rC / A  P(Q ) =  B 3 = (2) 2 2 2   P ( C , B )   (cx − bx ) + (cy − by ) + rC /B   C4    P (B,C ,D )   (by − cy )(bx − dx ) − (by − dy )(bx − cx )  Con el uso de la ecuación (11.18), la matriz jacobiana para cada vector posición quedará expresada de la siguiente manera:  2(bx − ax )  0  J (Q ) =  −2(cx − bx )   (by − ey ) − (by − dy )

0 0 2(by − ay ) 0 2(cx − ax ) 2(cy − ay ) −2(cy − by ) 2(cx − bx ) 2(cy − by ) (bx − dx ) − (bx − ex ) 0 0

  J (Q ) =    

−1 0 0 −1 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

     

     

11.4 Aplicación del método Evonorm Para comprender con detalle la aplicación del método Evonorm, considérese como ejemplo el caso de síntesis posicional donde las constantes k1, k2 y k3 de la ecuación de Freudenstein son incógnitas. En este caso, solo es posible obtener soluciones


12/09/15 19:26

408


algebraicas para un máximo de tres condiciones de diseño: 1) pares de posición, 2) entrada y 3) salida) [3]; sin embargo, para mayores condiciones se tienen más ecuaciones que incógnitas, lo que limita la solución algebraica. Para eliminar limitaciones para algunos casos de diseño existen nuevas metodologías basadas en algoritmos computacionales para la síntesis cinemática de mecanismos planos [4], la generación de trayectorias [5] y la síntesis topológica del mecanismo. En este caso, los algoritmos evolutivos se pueden utilizar para resolver problemas de optimización si se tienen modelos específicos y criterios de evaluación adecuados, los cuales se pueden usar para resolver problemas en los que la solución algebraica no existe o es muy complicada.

Síntesis posicional en un mecanismo RRRR para más de tres pares de diseño Como se dijo antes, al usar la síntesis para el diseño de osciladores con tres posiciones prescritas solo es posible tener un mecanismo para tres pares de diseño. No obstante, para el caso de que se desee un mayor número de pares de diseño se pueden determinar varios mecanismos que cumplan con una combinación de tres pares, y, en el mejor de los casos, buscar un mecanismo cuyas dimensiones se aproximen a todas. Por ejemplo, considérense cuatro pares de diseño (Par1, Par2, Par3, Par4) donde cada par exige una relación entre el ángulo de salida y el de entrada; lo que se puede hacer es realizar una combinación por cada tres pares (por ejemplo, [Par1, Par2, Par3], [Par2, Par3, Par4], [Par1, Par2, Par4] y [Par1, Par3, Par4]) con la finalidad de obtener un conjunto de cuatro mecanismos para cada caso [Mec1, Mec2, Mec3, Mec4]. En el mejor de los casos, solo es posible aproximar estos cuatro mecanismos a uno solo, aunque se requiere que las longitudes sean muy próximas. Una forma de resolver este problema y buscar una mejor aproximación a la solución es mediante el uso de algoritmos evolutivos como el Evonorm, el cual permite calcular las constantes de la ecuación de Freudenstein, a fin de determinar un único mecanismo doble manivela (RRRR) que se aproxime lo más posible a un mayor número de condiciones de diseño [5]. El algoritmo evolutivo Evonorm puede ser utilizado para diseñar un mecanismo doble manivela que cumpla con varias condiciones de pares de diseño y que relacione los ángulos de salida vs. los ángulos de entrada.

Ejemplo

11.5

Generador de función mediante algoritmos evolutivos Con el uso de la ecuación de Freudenstein, sintetizar las dimensiones de un mecanismo RRRR que cumpla con los siguientes pares de diseño:


12/09/15 19:26


q2

q4

10

62.44

40

69.14

90

96.73

150

128.44

170

131

180

131

210

131

260

131

300

131

409

y con el uso de los siguientes rangos: k1∈ [23, 3], k2∈ [0.3, 5], k3∈ [0.3, 5 ] y θ1∈ [2π/2, π/2] Solución

Aquí la función de diseño queda definida como:

Φ(Xd ,Yd ) = k1 − k 2 cos ( θ4 − θ1 ) + k 3 cos ( θ2 − θ1 ) + cos ( θ4 − θ2 ) = 0

Las variables de diseño Xd están dadas por los pares de diseño y están conformadas por una matriz de 2 3 9; por tanto, la dimensión de la matriz define los valores de o 5 2 y m 5 9: θ2 θ4      Xd =       

10 62.44  40 69.14   90 96.73  150 128.44  2×9 170 131  ∈R 180 131  210 131   260 131  30 131 

Las variables de decisión Yd se obtienen de la función de diseño, puesto que el objetivo es minimizar F (Xd, Yd), por lo que hay que determinar los valores de k1, k2, k3 y q1 para que se cumpla este objetivo.  Yd =  k1 k 2 k 3 

θ1

 1× 4  ∈R

Para iniciar el algoritmo, primero se definen de manera arbitraria los siguientes valores de población: Ti 5 100, Ts 5 10 y Nr 5 100. A continuación se genera la población con datos aleatorios sobre las variables de decisión k1, k2, k3 y q1, respetando los límites k1∈ [23, 3], k2∈ [0.3, 5], k3∈ [0.3, 5] y θ1∈ [2π/2, π/2], con lo que se genera una matriz de 100 valores para cada variable de decisión, por ejemplo:


12/09/15 19:26

410


k1

k2

k3

θ1

 −2 2.2 1.5 0.065  P =  1.2 1.3 3 − 2 1.5   : : : :

    

Ya que se desea determinar los valores de k1, k2, k3 y q1 que satisfagan todos los pares de diseño, entonces se toman los valores de cada fila y se reemplazan en la función de diseño, por lo que el valor de esta evaluación es el error. Sean los pares (q2i, q4i ) los valores correspondientes a cada i fila de Xd y sean k1j , k2j , k3j y q1j los valores de cada k fila de P; entonces, el error de evaluación correspondiente a cada conjunto de valores de la k fila de P será err (k) y se obtendrá como: 9

err ( k ) = ∑ k1(k ) − k 2 (k )cos ( θ4 (i ) − θ1(k )) + k 3 cos ( θ2 (i ) − θ1(k )) + cos ( θ4 (i ) − θ2 (i )) i =1

Una vez evaluados los errores de cada individuo (fila de la población), se ordena la matriz de menor a mayor considerando el error. Después, se seleccionan los mejores Ts de la población, que son aquellos que tienen menor error; en este caso, se eligió tentativamente Ts 5 10. Los siguientes valores corresponden a una corrida para determinar el primer Ts. Aquí, las primeras cuatro columnas corresponden a los valores de k1, k2, k3 y q1, mientras que la columna cinco es el error de evaluación: k1

k2

k3

q1

Error

20.972

4.570

3.256

0.009

7.104

20.539

0.992

2.781

22.560

14.251

2.104

8.870

1.114

0.866

15.750

20.291

7.321

6.185

0.092

18.296

24.640

9.464

7.895

22.274

20.195

22.825

7.144

6.147

20.262

20.477

2.008

2.042

2.518

2.444

20.704

24.917

3.825

2.979

22.139

21.385

1.076

8.781

6.274

0.783

21.858

23.968

1.365

0.974

21.267

21.995

Enseguida se calcula la media de los valores seleccionados y la desviación estándar. Por ejemplo, para la corrida anterior se tiene que para todos los valores de cada columna: m(k) 5 (21.296 s(k) 5 (2.521


5.438 3.112

4.012 2.291

20.431) 1.532)

12/09/15 19:26

411


El siguiente paso es generar la nueva población:  µ ( j ) + N (0, 1) σ ( j ) P(i , j ) =  Y ( j ) + N (0, 1) σ ( j )

U (.) > 0.5 U (.) ≤ 0.5

donde N (0, 1) = ∑ i =1U (.) − 6 y U(.) es un número aleatorio generado entre 0 y 1. El siguiente conjunto de datos muestra los primeros 10 mejores valores Ts de algunas corridas del algoritmo: 12

k1

k2

k3

q1

Error

20.972

4.570

3.256

0.009

7.104

20.539

0.992

2.781

22.560

14.251

22.104

8.870

1.114

0.866

15.750

20.291

7.321

6.185

0.092

18.296

24.640

9.464

7.895

22.274

20.195

22.825

7.144

6.147

20.262

20.477

2 2.008

2.042

2.518

2.444

20.704

24.917

3.825

2.979

22.139

21.385

21.076

8.781

6.274

0.783

21.858

23.968

1.365

0.974

21.267

21.995

21.611

1.676

1.889

20.286

6.957

21.611

1.676

1.889

20.286

6.957

21.963

3.321

0.001

22.054

10.063

21.963

3.321

0.001

22.054

10.063

21.512

6.618

4.788

0.104

10.385

21.512

6.618

4.788

0.104

10.385

22.106

7.243

4.796

22.600

10.459

21.983

5.523

3.838

20.357

10.893

21.983

5.523

3.838

20.357

10.893

23.152

4.062

4.080

21.905

11.538

22.350

2.358

0.851

21.471

1.788

22.350

2.358

0.851

21.471

1.788

22.454

2.864

1.541

20.703

2.931

21.699

1.682

1.791

21.936

4.385

21.079

0.001

0.058

22.600

6.216

21.675

3.177

1.218

22.162

6.394


12/09/15 19:26

412



21.313

0.108

0.001

20.841

7.577

21.313

0.108

0.001

20.841

7.577

21.402

1.335

0.001

22.222

7.611

21.402

1.335

0.001

22.222

7.611

21.270

1.142

0.865

21.036

1.029

21.720

1.678

0.597

20.853

2.027

21.720

1.678

0.597

20.853

2.027

22.747

2.410

0.894

21.073

2.824

22.747

2.410

0.894

21.073

2.824

21.833

2.211

1.555

21.937

2.839

22.561

2.880

1.747

21.900

2.928

22.561

2.880

1.747

21.900

2.928

21.658

1.949

1.145

21.664

2.956

21.658

1.949

1.145

21.664

2.956

21.798

1.518

1.037

21.074

1.556

21.798

1.518

1.037

21.074

1.556

22.483

2.333

0.906

21.528

1.673

20.882

0.829

1.197

21.246

1.897

21.975

2.031

0.897

21.531

2.122

21.975

2.031

0.897

21.531

2.122

22.605

2.584

1.491

21.630

2.290

22.605

2.584

1.491

21.630

2.290

21.924

2.180

1.331

21.964

2.592

21.924

2.180

1.331

21.964

2.592

21.787

1.690

0.988

21.180

0.738

21.787

1.690

0.988

21.180

0.738

21.720

1.450

0.921

21.275

1.126

21.584

1.422

0.862

21.267

1.153

21.584

1.422

0.862

21.267

1.153

22.017

2.088

1.000

21.173

1.333

22.017

2.088

1.000

21.173

1.333

21.646

1.353

0.905

21.399

1.334

22.525

2.281

0.759

21.258

1.544

22.525

2.281

0.759

21.258

1.544

12/09/15 19:26

413


21.925

1.755

1.005

21.118

0.733

21.980

1.922

1.026

21.174

0.739

21.980

1.922

1.026

21.174

0.739

21.699

1.530

0.913

21.158

0.754

21.699

1.530

0.913

21.158

0.754

21.901

1.784

0.908

21.210

0.816

22.019

1.989

1.011

21.218

0.871

21.633

1.401

0.845

21.190

0.896

21.778

1.700

1.031

21.248

0.952

21.778

1.700

1.031

21.248

0.952

21.883

1.782

0.978

21.184

0.673

21.915

1.783

1.062

21.131

0.721

21.855

1.715

1.061

21.109

0.726

21.855

1.715

1.061

21.109

0.726

21.776

1.784

1.000

21.036

0.735

21.776

1.784

1.000

21.036

0.735

21.768

1.624

1.047

21.166

0.750

21.963

1.826

0.966

21.215

0.758

21.852

1.678

1.005

21.167

0.764

21.852

1.678

1.005

21.167

0.764

21.782

1.685

1.003

21.071

0.517

21.845

1.780

0.953

21.077

0.557

21.908

1.774

0.977

21.093

0.563

21.931

1.798

0.966

21.124

0.612

21.931

1.798

0.966

21.124

0.612

21.925

1.860

1.033

21.097

0.613

21.925

1.860

1.033

21.097

0.613

21.827

1.691

1.019

21.121

0.620

21.868

1.721

0.917

21.103

0.624

21.868

1.721

0.917

21.103

0.624

Después de efectuar 10 corridas, el algoritmo evolutivo arrojó el mejor mecanismo al fijar l1 5 8 y se pueden obtener las otras longitudes del mecanismo de las constantes de Freudenstein, es decir, l2 5 4.77, l3 5 4.8, l4 5 8.07 y θ1 5 248.14. Una implementación computacional permite comprobar los resultados obtenidos, como se muestra en la figura 11.8.


12/09/15 19:26

414


Figura 11.8 Resultado en simulación de varios pares de diseño.

Nota: Debido a la naturaleza del algoritmo, el mecanismo obtenido cumple con las condiciones dadas, pero no es único; por tanto, si se ejecuta de nuevo el mecanismo, es probable que se encuentre otro mecanismo.

Mecanismos afines a los pares de diseño El algoritmo Evonorm considera valores aleatorios iniciales para el cálculo, por lo que el resultado puede arrojar diferentes tipos de mecanismos para satisfacer, en mayor o menor aproximación, a los pares de diseño. Por lo anterior, si se desea trabajar con la relación de salida/entrada solo en una región de trabajo, es posible obtener varios mecanismos que pueden cumplir con las condiciones de pares de diseño en dicha región de trabajo.

Ejemplo

11.6

Mecanismos afines a la entrada/salida mediante algoritmos evolutivos Obtener una familia de mecanismos afines para satisfacer las condiciones de pares de diseño de la tabla adjunta.

q2

q4

10

62.44

Solución

40

67.61

Para este diseño se ejecutaron 10 corridas, con el objetivo de obtener el mejor mecanismo. Dicho proceso se repitió cuatro veces, a fin de obtener cuatro mecanismos afines al movimiento deseado, con lo que se obtuvieron los resultados que se muestran en la siguiente tabla:

90

96.73

150

128.44

170

133.79


12/09/15 19:26

415


Mecanismo

k1

k2

k3

q1 (DEG)

1

21.63

2.67

1.60

222.00

2

21.45

1.32

0.81

243.06

3

21.60

2.43

1.43

222.00

4

21.53

1.74

1.03

232.11

En la figura 11.9 se puede apreciar cómo los cuatro mecanismos obtenidos cumplen con las condiciones de diseño dentro de la región de operación. Sin embargo, solo los mecanismos 1, 3 y 4 cumplen con la condición de Grashof, no así el mecanismo 2, por lo que este permanece firme en alguna posición.

2

170 150

θ4

130

3

110

1

4

90 70 50 30 10 20

50

80 110 140 170 200 230 260 290 320 350

θ2

Figura 11.9 Mecanismos afines a la salida/entrada. Fig. 11.9

Reubicación del rotopolo En el diseño de guiado de sólido rígido para tres posiciones que se muestra en el capítulo 8 es posible obtener la ubicación única de los rotopolos de un mecanismo RRRR; sin embargo, puede ser que la ubicación de dichos rotopolos sea inaccesible en un espacio de trabajo o simplemente sea no deseada. En consecuencia, resulta importante determinar una forma de reubicar estos rotopolos. No obstante, existe un inconveniente, y es que para las condiciones dadas de diseño solo hay una solución, por lo que es necesario considerar nuevas líneas de trabajo acordes a la ubicación donde se desea tener los rotopolos, las cuales deberán estar ancladas a la línea de trabajo anterior para formar un solo elemento rígido. Para comprender lo anterior tómese en cuenta la figura 11.10, en la que en un principio se tiene la línea de trabajo AB en sus tres posiciones (A1B1, A2B2 y A3B3 ), y enseguida considérese la reubicación de la línea de trabajo de AB a A’B en sus tres posiciones.


12/09/15 19:26

416


En la figura 11.10 b) se observa una reubicación errónea de la línea de trabajo, ya que se colocaron todas las posiciones A1’, A2’ y A3’ a un mismo ángulo sobre la vertical, sin respetar el ángulo que existe con respecto al segmento A1B1, por lo que no se tiene la misma pieza para los tres casos. En tanto, en la figura 11.10 c) se muestra una perfecta reubicación de la línea de trabajo, ya que se respeta el ángulo; es decir, en los tres casos la línea AA’ es perpendicular a AB, lo que significa que es la misma pieza en las tres posiciones. y

y

A’1

y

B1

B1

A1

A1 A2

A’1

A2

B2

A3

x

A3

A’2

A1 A2

B2 A’3

B3

B1

A’2

B2

A’3

B3 x

A3

B3 x

Figura 11.10 Reubicación de línea de trabajo. x ( x, y)

( x, y ) S

β θ

( xo , yo) y

Figura 11.11 Reubicación de coordenada.

Una vez reubicada la nueva posición de la línea de trabajo, entonces se puede obtener un nuevo rotopolo con las posiciones de A’1, A’2 y A’3. Para establecer las nuevas ecuaciones de diseño, ahora considérese la figura 11.11, donde la línea de trabajo original con coordenadas de extremo desde (x0, y0 ) a (x, y) se reubicará en una nueva línea de trabajo de (x0, y0 ) a ( ˜ x, y ), ˜ como se muestra en la figura 11.11. Por tanto, las nuevas coordenadas de trabajo se pueden obtener de la siguiente forma: x = x 0 + s (cos θ cos β − senθsenβ ) (11.25) y = y 0 + s (senθ cos β + cos θsenβ )

que al ser aplicadas al nuevo conjunto de ecuaciones de circunferencia dan por resultado: 2 + Oy 2 − r 2 ) = 0 f1 = x12 + y12 + Qx1 + W ' y 1 + (Ox 2 + Oy 2 − r 2 ) = 0 (11.26) f2 = x 22 + y 22 + Qx 2 + W ' y 2 + (Ox

2 + Oy 2 − r 2 ) = 0 f 3 = x 32 + y 32 + Qx 3 + W ' y 3 + (Ox

De este modo, ahora los datos de entrada estarán conformados, además de con las coordenadas de las tres posiciones para el guiado del sólido, de la ubicación deseada del rotopolo, o bien del espacio deseado para colocar el rotopolo. Las variar , de las cuales ~r es el radio de la nueva circunferencia. bles a obtener son s, β y ~ Para la solución de las ecuaciones (11.26) se tiene una alta no linealidad, por lo que una solución algebraica resulta complicada. Por tanto, para estos casos se reco-


12/09/15 19:26

417


mienda utilizar métodos numéricos o algoritmos computacionales, como el Evonorm, ya que facilitan el cálculo de dichas ecuaciones, como se ejemplifica a continuación.

Reubicación de rotopolo

Ejemplo

Considerar la siguiente necesidad de diseño para una línea de trabajo LAB 5 3 u. Determinar los valores de s, β y ~r para ubicar el rotopolo O2 dentro de las coordenadas A en las coordenadas (22.6, 3).

x

y

q

A1

0

0

28°

A2

1.1

1.9

0°

A3

21.7

4.3

20°

11.7

Solución

La función de diseño está definida como: 2 + Oy 2 − r 2 ) = 0 Φ(Xd , Yd ) = x 2 + y 2 + Qx +Wy + (Ox (1) mientras que las variables de diseño Xd están dadas por las coordenadas y están conformadas por una matriz de 9 3 2. Por tanto, la dimensión de la matriz define los valores de m 5 2 y o 5 9. Ax

Ay

θ

 0 0 28 Xd =  1.1 1.9 0   −1.7 4.3 −20

  (2)  

Las variables de decisión Yd se obtienen de la función de diseño, ya que el objetivo es minimizar F (Xd, Yd ) 5 0; por tanto, es necesario determinar los valores de s, β y ~r para que se cumpla dicho objetivo.

Yd =

(s

)

β r (3)

Para iniciar el algoritmo, lo primero es definir de forma arbitraria los siguientes valores de población: Ti 5 100, Ts 5 10 y Nr 5 100. El siguiente paso es r generar la población con datos aleatorios sobre las variables de decisión s, β y ~ para cada fila de Xd. El error de evaluación correspondiente a cada conjunto de valores de la j fila de P será err (j ) y se obtendrá como:

3

2 + Oy 2 − r(k )2 ) (4a) err (k ) = ∑ x 2 (i ) + y 2 (i ) + Qx (i ) +Wy (i ) + (Ox i =1

donde:

x (i ) = x (i ) + s (k )(cos [ θ(i )] cos [ β (k )] − sen [ θ(i )] sen [ β (k )])

y (i ) = y (i ) + s (k )(sen [ θ(i )] cos [ β (k )] + cos [ θ(i )] sen [ β (k )])

(4b)

Además, x (i ), y (i ) y q (i ) representan los valores de Ax, Ay y θ en la i fila de r en la matriz (2), mientras que s (k), β (k) y ~r (k) representan los valores de s, β y ~


12/09/15 19:26

418


la k fila de la matriz de población. Asimismo, en todas las iteraciones siempre se ~ ~ usará Ox 522.6 cm y Oy 5 3 cm, ya que esto constituye una condición. Una vez que se determina el vector de error para cada fila de P, se ordenan de menor a mayor y se seleccionan los mejores Ts de la población, es decir, aquellos que tienen menor error; en este caso se eligió tentativamente Ts 5 10. Después de efectuar las corridas correspondientes se obtienen los valores de s y β para reubicar el rotopolo en la coordenada deseada: s 5 1.5 cm y b 5 130° La figura 11.12 muestra el resultado de la reubicación del rotopolo, en la que se puede observar cómo el rotopolo original en O2 es el centro de giro de A1, A2 y A3; sin embargo, después de reubicar el rotopolo en O ’2 fue necesario adherir un elemento (s 5 1.5 cm) al eslabón, respetando la inclinación en cada posición, y que es b 5 130°, siendo O ’2 la nueva ubicación del rotopolo sin afectar las condiciones de diseño.

6

S

5

Rotopolo reubicado 4

A3 O’2

B3

3

O2

2

Rotopolo original

A2

1

28°

B –5

–4

–3

B2

B1

–2

–1

A1

1

2

3

4

5

Figura 11.12 Reubicación de rotopolo de tres posiciones.

En el ejemplo anterior fue posible determinar los valores del agregado s y b para reubicar el rotopolo en una posición determinada. Aprovechando las características del algoritmo evolutivo es posible liberar las restricciones de la ubicación del nuevo rotopolo y dejarlas en una región de trabajo; es decir, ahora es posible ordenarle al algoritmo que determine los valores del rotopolo en una región establecida, así como los valores de S y b (véase figura 11.13).


12/09/15 19:26

419


Reubicación de rotopolo Considérese la tabla de condiciones de diseño del ejemplo 11.7. Ahora se desea determinar las coordenadas de un rotopolo que pase por el eje X.

Ejemplo

11.8

Solución

Después de realizar los cálculos del algoritmo con el uso del procedimiento ante~ rior, pero limitando solo Oy 5 0 cm, se obtuvieron los siguientes parámetros para la reubicación del rotopolo en el eje X (véase figura 11.13): ~ S 5 1.52 cm y b 5 253, Ox 522.24

6 5

A3

4

B3

3

O2

A2

2

Rotopolo original 1

O’2 –5

–4

–3

–2

Rotopolo reubicado en y = 0

B2

B1

A1 -1

1

2

3

4

5

–1 –2

S

–3

Figura 11.13 Reubicación de rotopolo con una coordenada fija.


12/09/15 19:26

420



Descarga

E11.1 Determina una familia de mecanismo RRRR que pueda cumplir con las gráficas de salida vs. gráficas de entrada (pares de diseño) de la figura 11.14. 170

170

150

150

130

130

110

110

90

90

70

70

50

50

30

30

10

10 20

50

80 110 140 170 200 230 260 290 320 350

170

170

150

150

130

130

110

110

90

90

70

70

50

50

30

30

10

20

50

80 110 140 170 200 230 260 290 320 350

20

50

80 110 140 170 200 230 260 290 320 350

10 20

50

80 110 140 170 200 230 260 290 320 350 170 150 130 110 90 70 50 30 10 20

50

80 110 140 170 200 230 260 290 320 350

Figura 11.14


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E11.2 Se desea implementar un mecanismo manivelaoscilador de modo que el oscilador, después de girar 100°, se mantenga estacionario durante 90° y posteriormente retorne. E11.3 Se desea implementar un mecanismo manivelaoscilador de modo que el oscilador, después de girar 120°, se mantenga estacionario durante 100° y posteriormente retorne. E11.4 Una pieza con una longitud AB de 3 cm deberá cumplir con las siguientes condiciones de movilidad de la longitud AB:

X (cm)

Y (cm)

Ángulo (DEG)

A1

0

5

0°

421

Uso de la computadora UC11.1 Desarrolla un programa en Java, C, Basic u otro que te permita implementar el algoritmo Evonorm para la solución de las síntesis para curvas de acoplamiento con el uso de un mecanismo manivela-oscilador con biela rígida de tres lados. UC11.2 Desarrolla un programa en Java, C, Basic u otro que te permita implementar el algoritmo Evonorm para la solución de las síntesis para curvas de acoplamiento con el uso de un mecanismo de Watt o Stephenson.

UC11.3 Desarrolla un programa en Java, C o Basic que te permita implementar el algoritmo Evonorm 1.1 1.9 20º A2 para la solución de las síntesis para mover un A3 0 21.5 2200 sólido en más de tres posiciones con el uso de cualquier tipo de mecanismo. Determina las longitudes de los eslabones del mecanismo RRRR de tal manera que el rotopolo de ambas manivelas pase por un eje paralelo al eje X.

Referencias [1] Torres-T., Luis. (2008). “Evonorm: Easy and effective implementation of estimation of distribution algorithms”, en Journal of Research in Computing Science, 23:75-83. [2] Williams, G. (2001). Álgebra lineal con aplicaciones. México: McGraw-Hill. [3] Freudenstein, F. & Sandor, G. (1959). “Synthesis of path-generating mechanism by means of programmed digital computer”, en ASME J. Eng. Ibd, Serie B, 81(2). [4] Smaili, Ahmad & Diaba, Nadim. (2007). “Optimum synthesis of hybrid-task mechanisms using ant-gradient search method”, en Mechanism and Machine Theory, 42(1):115-130. [5] Liu, Yi & McPhee, John. (2005). “Automated Type Synthesis of Planar Mechanisms Using Numeric Optimization With Genetic Algorithms”, en J. Mech. Des., 127(5):910-917. [6] Guerra Torres, C., Torres Treviño, Luis y Rodríguez Liñán, Ángel. “Síntesis posicional de mecanismos RRRR usando algoritmos evolutivos”, Ingenierías jul.-sep. 2010, vol. XIII, núm. 48.


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Analisis y Sintesis de Mecanismos Con Aplicaciones César Guerra Torres

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