Analisis termodinamico de un motor de ciclo stirling.pdf

IN TIT TO OLI ÉCN CO

ACI NAL

ESCUELA UPERI R DE INGENI RÍA MEC NICA  ELÉC RICA  SECCIÓN D  ESTUD OS DE OSGRA O E IN ESTIGACIÓN UNID D PROFESIONAL “ DOLFO ÓPEZ M TEOS”

AN LISIS TER ODIN MIC DE UN MOT R DE ICLO STIR ING

TESIS PAR   OBTENE  EL GRA O DE

MAE TRO  N CIE CIAS CO N LA ESP CIALIDA  EN

ING  NIERÍ  MECÁ NICA

 R E S E N T  NG. JOSÉ RNULFO MIRAND MORAL S

AJO LA DI ECCIÓN DE: DR. S MUEL ALCÁNTARA ONTES

May

2008

 AGRADECIMIENTOS

Doy gracias a Dios porque me ha permitido realizar una etapa importante en mi vida.

 A mi madre Irma Morales Acosta   y a mi padre Fabián Miranda Guzmán , a quienes dedico este trabajo como una pequeña muestra de las c osas tan valiosas que en mi han fomentado

 A mi abuelita Julia Acosta Moscoso  por su comprensión y apoyo moral

 A mi hermano Jos é del Carmen Miranda Morales  por su desinteresado apoyo tanto económico co mo moral.

 A mis tíos Rudy, Ignacio y Ángel Gabriel Morales Acosta  por haber confiado en mí al momento de iniciar este importante proyecto de vida.

 A los miembros de la comisión revisora de este trabajo.

Dr. Samuel Al cántara Montes Dr. José Ángel Lodegario Ortega herrera Dr. Eduardo Oliva López Dr. Marco Antonio Gutiérrez Villegas M. en C. Candid o Palacios Montu far M. en C. Gabriel Villa Y Rabasa Un agradecimiento especial al Dr. Samuel Alcántara Montes  por haber dirigido este trabajo de tesis y por su valiosa aportación, paciencia y comentarios para la culminación de este trabajo.

Finalmente se agradece a todas aquellas personas que me apoyaron incondicionalmente para la terminación de este trabajo.

INDICE GENERAL

INDICE GENERAL

DESCRIPCIÓN

PAG.

RESUMEN ABSTRACT INTRODUCCIÓN

III

1.1

ANTECEDENTES HISTÓRICOS Nacimiento del Motor Stirling

3

1.1.1

Patente de1816

4

1.1.2

Mejoras Realizadas por Stirling al diseño original

7

1.1.3

Aplicaciones al motor Stirling a mediados del siglo

CAPITULO I

XVIII

I V

3

9

1.1.4

Motor Robinson

10

1.1.5

Motor Lehman

10

1.1.6

Motor Rider

11

1.1.7

Controversia sobre el primer diseño del Motor Rider

11

1.2

La Philips y el Motor Stirling

12

1.2.1

Bautizando al Motor Stirling

13

1.2.2

Mejoras realizadas a los diseños anteriores

13

1.2.3

El Stirling como refrigerador

14

1.2.4

Contribución de la Philips en la Inundación de Holanda en 1953

15

1.2.5

Mecanismo Rómbico

15

1.2.6

Visita de Henry Ford II a los laboratorios Philips

16

1.3

El Motor Stirling en la actualidad

16

1.3.1

El Motor Stirling de pistón libre tipo Beale

17

1.3.2

El motor Stirling en la industria automotriz

17

1.4

Tipos de configuraciones

18

1.4.1

Motor tipo ALFA

19

1.4.2

Motor tipo BETA

19

1.4.3

Motor tipo GAMMA

20

INDICE GENERAL

CAPITULO II 2.1 2.2

PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA: VOLÚMENES DE CONTROL Análisis Termodinámico de volúmenes de control Principio de la conservación de la masa

2.2.1

Relaciones de flujo de masa y volumen

25

2.3

Principio de la conservación de la energía

27

2.3.1

Trabajo de flujo

27

2.3.2

Energía total de un fluido que fluye

28

2.4

Proceso de flujo permanente

29

2.4.1

Conservación de la masa

30

2.4.2

Conservación de la energía

31

2.5

Proceso de flujo no permanente

32

2.5.1

Conservación de la masa

33

2.5.2

Conservación de la energía

2.6 2.7

Caso Especial: proceso de flujo uniforme Ciclo Stirling

34 36

42

3.1 3.2 3.3

ANÁLISIS ISOTÉRMICO Análisis Isotérmico Solución de las ecuaciones Análisis de energía del modelo isotérmico

58

4.1 4.2

ANÁLISIS ADIABÁTICO Análisis Adiabático Desarrollo del sistema de ecuaciones

74

5.1 5.2

ANÁLISIS GENERAL Análisis General Desarrollo del sistema de ecuaciones

23 23 24

37

CAPITULO III 42 46 51

CAPITULO IV 58 62

CAPITULO V 74 77

INDICE GENERAL

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Conclusiones

91

Recomendaciones

93

APÉNDICE A BIBLIOGRAFIA

96 103

Resumen

RESUMEN En el presente trabajo se realizó un análisis termodinámico a un motor Stirling de acción simple, con el propósito de derivar un sistema de ecuaciones que describan los  principales parámetros de diseño, como son la presión y la temperatura. Dicho análisis se desarrolló, utilizando una configuración tipo alfa y un diagrama generalizado del mecanismo de la máquina Stirling, en la configuración tipo alfa se realizaron dos estudios uno isotérmico y otro adiabático, un tercer análisis fue realizado utilizando un arreglo que se denominó general, debido a que los resultados obtenidos se pueden aplicar a cualquiera de los diversos arreglos de motores Stirling de acción simple (configuración Alfa, configuración Beta y configuración Gamma), es importante notar que los resultados que se obtuvieron en los dos primeros análisis también se pueden aplicar a los arreglos Beta y Gamma. El análisis termodinámico desarrollado esta basado en la primera ley de la termodinámica para sistemas abiertos, así mismo, se utilizó la ecuación de continuidad. El estudio del modelo isotérmico, se llevo a cabo con la finalidad de proponer una expresión que permita calcular la presión del fluido de trabajo en función de las variaciones de volumen en los espacios de compresión y expansión, obteniendo así, el trabajo realizado por el motor; posteriormente se aplicó la ley de la conservación de la energía al modelo isotérmico  para estudiar la transferencia de calor en los diferentes componentes del motor y analizar de esta manera el comportamiento teórico de la máquina. El estudio del modelo adiabático se realizó con la finalidad de obtener un sistema de ecuaciones más completo y obtener mejoras en los resultados obtenidos con el modelo isotérmico, en el desarrollo del sistema de ecuaciones se aplicó la ecuación de estado y la ecuación de conservación de la energía a cada componente del motor, los resultados obtenidos se relacionan aplicando la ecuación de continuidad a través del sistema entero. Por último se realiza un análisis general, en el cual, se trata la transferencia de calor así como la variación del área superficial de los cilindros de compresión y expansión; de igual

I

Resumen

manera, se proponen las expresiones para las variaciones cíclicas de presión y temperatura del fluido de trabajo. Las ecuaciones obtenidas de los dos primeros estudios realizados (modelo isotérmico y adiabático) se evalúan con el programa matemática, los resultados que se obtuvieron demostraron que el estudio isotérmico no cumplió con el objetivo trazado debido a que por la naturaleza misma del modelo isotérmico, los espacios de compresión y expansión se mantienen a las temperaturas respectivas del enfriador y del calentador, llegando de esta manera a una evidente contradicción. Aunque los resultados teóricos del modelo adiabático fueron satisfactorios es necesario compararlos con datos experimentales, por lo tanto, es necesario construir una máquina Stirling, y con datos reales hacer mejoras a los análisis propuestos.

II

 Abstract

ABSTRACT Presently work was carried out a thermodynamic analysis, to a motor Stirling of simple action, with the purpose of deriving a system of equations that describe the main design  parameters like they are the pressure and the temperature This analysis was developed, using a configuration type alpha and a widespread diagram of the mechanism of the machine Stirling, in the configuration type alpha was carried out two studies one isothermic and another adiabatic, in the widespread diagram you carries out a general analysis whose results can be applied to any configuration type (configuration alpha, configuration beta and configuration gamma) o f motors Stirling of simple action. The isothermic study you carries out with the purpose of to propose an expression that allows to calculate the pressure of the work fluid in function of the variations of volume in the compression spaces and expansion, and to obtain this way, the work carried out by the motor, later on, the law of the conservation was applied from the energy to the isothermic pattern to study the transfer of heat in the different components of the motor and to analyze this way the  behavior of theoretical the machine. The study adiabatic was carried out with the purpose of to obtain a more complete system of equations and to obtain improvements to the results obtained with the isothermic  pattern, in the development of the system of equations it was applied the state equation and the conservation equation from the energy to each component of the motor, the obtained results are related applying the equation of continuity through the whole system. Finally a general analysis is made, in which, the transference is heat as well as the variation of the superficial area of the cylinders of compression and expansion, of equal way,  pressure variations of and temperature of the fluid of the work set out the expressions for the cyclical The obtained equations of both first made studies (isothermal and adiabatic model) are evaluated with the mathematical program, the results that were obtained demonstrated that the

III

 Abstract

isothermal study did not fulfill the objective drawn up because by the same nature of the isothermal model, the spaces of compression and expansion stay to the respective temperatures of the cooler and the heater, arriving this way to an evident contradiction. Although the theoretical results of the model adiabatic was satisfactory, is necessary to evaluate them with experimental data, therefore, is necessary to build a machine Stirling, and with real data to do improvements to the analysis proposed.

IV

 

INTRODUCCION

INTRODUCCION

Con la culminación de la revolución industrial, el crecimiento de las industrias y el desarrollo de los medios de transporte se hacen cada vez más complejos, trayendo consigo la necesidad de grandes capitales. La introducción de maquinaria en la industria trajo como consecuencia un aumento en la productividad, y por ende, la penetración de mercancías en diversos países, bajo este esquema evidentemente capitalista; el diseño y la construcción de máquinas cada vez más eficientes y potentes que contribuían a obtener una mayor producción de bienes y consumo hacen una constante entre los ingenieros de la época. En esta búsqueda frenética de mejores máquinas, empieza una explotación irracional de recursos energéticos, que al paso del tiempo se haría cada vez más grande (en la actualidad es uno de los temas de preocupación mundial), con tal de obtener la máquina más potente, y lograr de esta manera mayores ganancias a los industriales, siendo este el objetivo principal. En este clímax de barbarie y derroche energético Robert Stirling, un reverendo escocés de 26 años, presentó una patente a la cual tituló “Mejoras para disminuir el consumo de combustible y en particular una máquina capaz de ser aplicada al movimiento de la maquinaria  basada en un principio enteramente nuevo”.  No puede haber avance tecnológico real, si este no se da dentro de un contexto social y la máquina de Stirling no fue la excepción, esta era más segura y eficiente que la máquina de vapor (muy utilizada en esa época), contribuyendo de esta manera a salvar vidas y mejorar las condiciones laborales de los obreros. Desde su invención, el motor de ciclo Stirling como más tarde fue llamado, tuvo un gran éxito, aunque si bien es cierto no ayudó a disminuir en gran medida el derroche energético en su tiempo, en la actualidad se ha colocado como uno de los candidatos más fuertes.

V

 

INTRODUCCION

La gran aceptación que tuvo el motor inventado por Robert Stirling por sus contemporáneos fue opacada con la aparición del motor de combustión interna, ya que este es mucho más potente. Con los nuevos avances técnicos, y ante la creciente contaminación ambiental así como la cada vez mayor escasez de energéticos, centros de investigación, universidades y empresas importantes como la Ph ilips Co., la General Motors., entre otras, han retomado en las últimas décadas el estudio del motor Stirling y sus aplicaciones.

Descripción del problema El nacimiento del motor Stirling no tuvo una fundamentación teórica que sustentara su  principio de funcionamiento, mucho menos indicadores que marcaran sus parámetros de diseño, la casi nula actividad que existe en nuestro país con respecto a este tipo de motores se realiza de igual manera a prueba y error. A través de un análisis térmico es posible, observar cómo se comporta la presión y temperatura, indicadores importantes para el desempeño optimo del motor.

Objetivo General La propuesta del presente trabajo es realizar tres análisis termodinámicos (isotérmico, adiabático y general) a un motor de ciclo Stirling de acción simple, con el propósito de obtener diversas expresiones que describan los principales parámetros de diseño como son la presión y la temperatura

Objetivos Particulares 1. Obtener la solución de las ecuaciones obtenidas en el análisis isotérmico 2. Obtener un sistema de ecuaciones diferenciales que describan la variación cíclica de  presión y temperatura en función de la distribución de temperatura 3. Obtener las ecuaciones que describan la distribución de masa que permita calcular la variación cíclica de presión y temperatura

VI

 

INTRODUCCION

Justificación La poca actividad que se realiza en nuestro país referente a la construcción de motores de ciclo Stirling, se lleva a cabo de manera experimental, de esta manera es muy difícil establecer condiciones optimas de operación, ya que es complejo y laborioso estudiar a detalle el comportamiento de la presión y la temperatura, en las cámaras de calentamiento. Enfriamiento y regenerador de este tipo de motores, parámetros de vital importancia en el diseño térmico, ante tal situación es necesario contar con un estudio térmico que nos  permita estudiar a detalle los parámetros ya mencionados.

Alcance Desarrollo de tres análisis térmicos (isotérmico, adiabático y general) que nos permite estudiar a detalle el comportamiento térmico de u n motor de ciclo Stirling

Aportaciones 

Desarrollo de las ecuaciones que describen la distribución de temperatura en un motor de ciclo Stirling



Desarrollo de las ecuaciones que describen el comportamiento de la presión en un motor de ciclo Stirling

El presente trabajo se compone de cinco capítulos: En el capitulo uno se da una breve descripción de los aspectos más relevantes de la historia del motor de ciclo Stirling, que va desde su nacimiento en 1816 hasta las investigaciones realizadas por la NASA, Philips Co. General Motors Co., entre otras , así mismo, se describen los tipos de configuraciones de motores Stirling de acción simple. En el capitulo dos se hace una revisión de los principios termodinámicos que se aplican a sistemas que incluyen flujo de masa a través de sus fronteras, es decir, volúmenes de control, de igual manera, se analizan los procesos de flujo permanente (modelo para dispositivos de

VII

 

INTRODUCCION

ingeniería como turbinas, compresores, etc.) y procesos de flujo no permanente, en particular de flujo uniforme (modelo para los procesos de carga y descarga). En el capitulo tres se realiza un análisis isotérmico a un diagrama idealizado del mecanismo de una máquina Stirling tipo alfa, de dicho análisis se obtuvo una expresión que  permite calcular la presión del fluido en función de las variaciones de volumen en las zonas de compresión y expansión, también se llevo a cabo un análisis energético. En el capitulo cuatro se desarrolla un análisis adiabático a un diagrama idealizado del mecanismo de un motor Stirlirng tipo alfa, de dicho análisis, se obtuvo un sistema de ecuaciones diferenciales que describen importantes parámetros de diseño como son la presión y la temperatura. En el capitulo cinco se efectúa un análisis a un diagrama generalizado de un motor de ciclo Stirling, del cual se obtuvo un par de ecuaciones diferenciales que describen la distribución de masa, así mismo permiten calcular las variaciones cíclicas de presión y temperatura. En las conclusiones se hace mención de los resultados mas importantes obtenidos en el  presente trabajo, por otra parte, se hacen sugerencias que pueden ser de gran utilidad para trabajos futuros relacionados con este tema, y llegar así a una mejor compresión de este tipo de motores.

VIII

CAPÍTULO I ANTECEDENTES HISTORICOS

CAPITULO I

ANTECEDENTES HISTORICOS

ANTECEDENTES HISTORICOS Un motor de combustión externa es una máquina en la cual se convierte energía calorífica en energía mecánica mediante un proceso de combustión que se realiza fuera de la máquina. Una clasificación importante de los motores de combustión externa es el motor de ciclo Stirling, el cual es un tipo sencillo de máquina, en el que se hace dilatar aire ordinario calentándolo, y después comprimiéndolo a una temperatura inferior, obteniéndose trabajo mecánico como resultado de la diferencia de energía entre los dos procesos. Las máquinas térmicas regenerativas del tipo Stirling, se pueden utilizar tanto para  producir energía mecánica como enfriamiento, se pueden utilizar en bombas de calor para calefacción eléctrica pasando el calor de una temperatura inferior a otra superior. En Holanda la compañía Philips ha investigado intensivamente los motores Stirling pequeños con rendimientos superiores al 30 por ciento, los aspectos mas relevantes de la historia de dicha máquina se presentan a continuación.

1.1 NACIMIENTO DEL MOTOR STIRLING *

El motor de ciclo Stirling, o motor de aire caliente   como también fue llamado tiene una interesante y larga historia. Fue inventado en 1816 por el reverendo Robert Stirling, ministro escocés, a los de 26 años de edad. Las capacidades mecánicas de Robert Stirling eran naturales ya que proviene de una familia de prominentes ingenieros, su abuelo Michael Stirling, inventó la primer máquina de  paleta rotatoria en 1756, y su hermano James era un ingeniero civil muy conocido. Cuatro de los hijos de Robert Stirling también fueron ingenieros muy notables. (1)

*

 El motor de aire caliente es un término amplio y probablemente obsoleto que incluye diferentes tipos de motores de ciclo abierto, tales como el Ericcson, y de ciclo cerrado como el Stirling.

3

CAPITULO I

ANTECEDENTES HISTORICOS

Otros motores de aire se habían ideado antes del diseño de Stirling, como el realizado  por Sir George Caley en 1807, también se tiene conocimiento de dispositivos llamados motores de aire desde 1699, lo más importante del diseño de Stirling es el empleo del regenerador, el cual adquirió mucha importancia ya que precedió al nacimiento de la termodinámica y a los escritos de Sadi Carnot por 40 años. Algunos historiadores concuerdan en que la razón que llevó al reverendo Stirling a la construcción de tal dispositivo fue la preocupación que tenía por los obreros de su parroquia,  puesto que las máquinas de vapor, utilizadas en esa época, eran muy peligrosas, ya que no se contaba con materiales resistentes para la construcción de las calderas (el hierro o acero de Bessemer, todavía no era conocido), y éstas estallaban con frecuencia, dando como resultado serias lesiones y muchas veces hasta la muerte de las personas que estaban cerca del área de operación. Debido a dicha situación, el reverendo Stirling diseñó y construyó una máquina más segura (y más eficiente) como alternativa al uso de la máquina de vapor, logrando de esta manera salvar vidas y mejorar las condiciones laborales de los obreros de esa época. (2)

1.1.1 PATENTE DE 1816 “Mejoras para disminuir el consumo de combustible, y en particular, una máquina capaz de ser aplicada al movimiento de la maquinaria basada en un principio enteramente nuevo”. La patente se La patente que registró Robert Stirling en 1816 se titulaba

ocupa en gran parte del principio del regenerador, el cual es un medio para reutilizar el calor, que de otra manera sería perdido en cualquier tipo de proceso. Se dice que Stirling propuso el término de “economizador”, pero el término “regenerador” que introdujo John Ericsson fue más popular. (1) Stirling no sólo describió la construcción y el uso del regenerador, también previó sus  primeras aplicaciones: fabricación de vidrio, procesos de elaboración de cerveza, destilación, entre otros. Además, incluyó la descripción del primer motor de ciclo cerrado que funcionaba con aire caliente, así como el principio de operación, en el cual el volumen del gas es

4

CAPITULO I

ANTECEDENTES HISTORICOS

 periódicamente alternado por medio de uno o más pistones, y un regenerador es utilizado durante transferencias sucesivas del fluido de trabajo entre dos espacios a diferentes temperaturas. El diseño original de la patente se muestra en la Fig. 1.1

Figura 1. 1 Primer Motor Stirling de ciclo cerrado

La operación del motor es la siguiente: El fluido de trabajo es confinado en un cilindro vertical de 10 pies de altura. Este volumen de fluido es variado por la acción de un pistón de 2  pies de diámetro, el cual operaba por medio de un mecanismo similar al de las máquinas de vapor de aquella época, utilizando una viga oscilante movida por un cigüeñal, y un volante de inercia de 8 pies de diámetro, montado sobre éste. El pistón era accionado por medio de un eslabón de movimiento, colocado de manera que la temperatura del pistón de trabajo se mantuviese a un valor bajo. El fluido de trabajo del cilindro estaba dividido en 2 partes por medio de un desplazador, quedando una parte caliente y la otra parte fría. La parte superior se mantenía caliente debido a los productos de la combustión de una caldera, cuyos gases  pasaban por un ducto que rodeaba a la zona caliente mientras la parte inferior se mantenía fría. El desplazador, colocado en un cilindro hueco hecho a base de láminas de acero, de un diámetro menor al del cilindro en el que se alojaba, tenía el regenerador montado en un angosto espacio anular a lo largo de la superficie cilíndrica, y estaba provisto de unas  pequeñas ruedas que lo mantenían en el centro. Este regenerador no era más que un cable delgado enrollado a lo largo del desplazador en forma espiral que ocupaba todo el espacio 5

CAPITULO I

ANTECEDENTES HISTORICOS

anular. A pesar de que no se tienen datos confiables acerca de la potencia de la máquina, se estima que éste entregaba alrededor de 2 caballos de fuerza. (3) En unas de las primeras conferencias científicas sobre motores de aire caliente dada  por Michael Faraday, el famoso científico tuvo que confesar que no podía explicar como funcionaban estos motores en su totalidad. 30 años tuvieron que pasar después de la invención original para que llegaran las primeras explicaciones teóricas. A mediados del siglo XIX gran parte de la comunidad científica sostenía la errónea teoría

“calórica”  del calor. Bajo esta teoría, el motor de Stirling era considerado como una

 posible máquina de movimiento perpetuo, y gran parte de las primeras investigaciones fueron hechas con la intención de perfeccionar tal máquina. Incluso, de acuerdo a la termodinámica moderna, el ciclo Stirling es teóricamente tan eficiente como podría ser la máquina de Carnot, en cualquier rango de temperatura dado. Los planos del motor, en la patente de Stirling, muestran un excelente diseño,  particularmente la colocación del pistón de trabajo y el pistón desplazador en el mismo cilindro, permitiendo un alto cociente de compresión; es un diseño incluso muy aceptado actualmente. Con la patente de Stirling se construyó un motor para el bombeo de agua en una mina de Ayrshire, Escocia, en 1818. Dicho motor tenía las mismas dimensiones de la patente original: una altura del cilindro de casi 10 pies de altura, un diámetro de 2 pies aproximadamente y una potencia de salida estimada en 2 caballos de fuerza. El hecho de que las partes calientes de la máquina operaran continuamente a altas temperaturas era una de las principales preocupaciones de Stirling, ya que los materiales disponibles en ese entonces (por ejemplo, el hierro fundido) eran poco resistentes cuando se operaba a temperaturas muy altas. Muchos años después, Robert Stirling comentó que de haber estado disponible el acero de Bessemer, cuando todavía trabajaba en sus motores, su éxito habría sido total.

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CAPITULO I

ANTECEDENTES HISTORICOS

1.1.2 MEJORAS REALIZADAS POR STIRLING AL DISEÑO ORIGINAL Aunque el primer motor tuvo aparentemente cierto éxito, Stirling reconoció que no tenía la suficiente potencia para satisfacer las demandas energéticas de su época. En 1824 James su hermano menor le sugirió elevar la presión en la máquina como una forma de obtener mayor potencia. (1) De esta manera, entre 1824 y 1840, los hermanos Stirling trabajaron en forma conjunta llevando a cabo diversas innovaciones al diseño original. Entre las principales modificaciones se encuentra el uso de un nivel de presión, el cual incrementó considerablemente la eficiencia. Otra innovación de la cual se duda, es la construcción de una máquina gemela, es decir, una maquina de pistón de doble acción y cilindros desplazadores separados, como el mostrado en la Fig. 1.2. (3)

Figura 1. 2 Máquina de pistón de doble acción y cilindros desplazadores separados

Realizando algunos experimentos en su máquina, Stirling observó que ésta funcionaba mejor sin enfriamiento al arranque, pero la eficiencia tendía a bajar a medida que las tapas de los cilindros desplazadores se calentaban. Esto sugirió el uso de un enfriador separado; el regenerador estacionario permitía la provisión de un enfriador eficiente en el espacio frío, con agua circulando a su alrededor. Un modelo basado en este principio fue construido en 1840 y se muestra en la Fig. 1.3

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CAPITULO I

ANTECEDENTES HISTORICOS

Figura 1. 3 Mejoras hechas al motor de doble-efecto patentado en 1840

En este modelo el cilindro era más largo para evitar que se calentaran las tapas y había un dispositivo donde se colocó el regenerador y el enfriador fuera del cilindro. (3) En 1843, los hermanos Stirling convirtieron una máquina de vapor en la fundición Dundee para que operara de acuerdo a su principio, esta máquina tuvo una potencia de salida de 37 caballos de fuerza, con una presión interna que varió de 160 a 240 libras por pulgada cuadrada. Operando como motor de aire consumía menos carbón y era mucho más segura, debido a que la caldera no estaba sujeta a explosión, lo cual era muy común en las máquinas de vapor; al parecer los resultados fueron satisfactorios con el inconveniente de que las  porciones calientes se quemaban después de 6 o 7 meses de uso. Las máquinas de vapor no tenían este problema ya que operaban a temperaturas más bajas y la presión interna podía ser aumentada de manera tal que no alcanzara la temperatura límite de los materiales disponibles en esa época, esto no quiere decir que no había explosiones peligrosas en este tipo de dispositivo, de hecho sucedían con mucha frecuencia pero al menos la temperatura de los metales se podía controlar, lo cual no era posible hacer en el motor de Stirling. (1) Todos estos modelos no tuvieron gran éxito económico a pesar de que la potencia y eficiencia eran mayores que en las máquinas de vapor de aquella época. La razón principal fue el poco conocimiento en materiales resistentes al calor, lo que trajo como consecuencia que fácilmente se quemaran los cilindros. Con el descubrimiento de Bessemer de un proceso de  producción de acero de calidad en serie, las máquinas de vapor llegaron a ser de mayor

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CAPITULO I

ANTECEDENTES HISTORICOS

 potencia y mucho más seguras de funcionar, por ta l motivo, la mayoría de las máquinas fueron rediseñadas a máquinas de vapor. (3)

1.1.3 APLIACIONES DEL MOTOR STIRLING A MEDIADOS DEL SIGLO XVIII A partir de 1860 y hasta la primera guerra mundial, una gran cantidad de motores que operaban con el principio de Stirling, además del diseño de Ericcson, fueron construidos en los Estados Unidos, Inglaterra y gran parte de Europa. La potencia de salida se extendió de una fracción de caballo de fuerza a varios caballos de fuerza. Estos motores fueron utilizados en el  bombeo de agua, irrigación, uso doméstico, bombeo de aire a los órganos de las iglesias, imprentas, máquinas de costura. En algunos talleres eran la única fuente de energía. Para esta época, estos motores habían mejorado y eran más confiables al ser utilizados en la industria metalúrgica. No se requería de un ingeniero para que operara estas máquinas, por lo tanto las máquinas de vapor se fueron haciendo obsoletas. Al construir los motores omitieron el regenerador y no los presurizaban, por consiguiente la potencia y eficiencia eran bajas con respecto al tamaño, sin embargo fueron muy útiles, tanto por su seguridad como por su  potencia, que aunque baja satisfacía muy bien la demanda energética de la época, constituyendo una vez más una alternativa para las máquinas de vapor. Algunos de los mejores fabricantes americanos de máquinas Stirling y Ericsson durante este periodo fueron: Essex, Bremen, Duplex Vacuum y Lake Breeze, entre muchas otras compañías reconocidas. Essex, diseñó un gran número de configuraciones interesantes, incluyendo un motor horizontal muy extenso y un extractor de aire para cocina que utilizaba un pistón combinado muy inusual y un casquillo caliente. Duplex Vacuum, construyó motores que fueron empleados en los típicos vagones de los carritos de palomitas, sus diseños fueron quizás los más estéticos de todos los fabricantes americanos de motores Stirling de ese periodo.

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CAPITULO I

ANTECEDENTES HISTORICOS

Lake Breeze, construyó un gran número de ventiladores, empleando el principio Stirling; éstos fueron muy populares, particularmente en áreas rurales antes de que fueran electrificadas, ya que una lámpara de alcohol era suficiente para hacer funcionar el ventilador. Estos ventiladores eran muy curiosos ya que fueron diseñados para que se vieran como si fueran impulsados por un motor eléctrico. Inglaterra, también fabricó muchos motores Stirling, entre sus fabricantes mas importantes figuran Bailey, Gadner y Hayward Tyler, entre otros.

1.1.4 MOTOR ROBINSON Un diseño muy interesante en ese tiempo, se conoce como motor Robinson, su  particularidad fue que tenía el pistón de trabajo y el desplazador en cilindros separados y 0

colocados a 90   uno con respecto del otro (el diseño original de Stirling tenía el pistón de trabajo y el desplazador en el mismo cilindro), además fue de los pocos motores que todavía emplearon el regenerador.

1.1.5 MOTOR LEHMAN Uno de los motores Stirling más populares y hermosos de los 60’s fue el construido por Lehmann (fue a este motor al que se le hizo el primer análisis termodinámico). Esta máquina era muy similar a la version patentada por Stirling en 1816, y de ella algunas personalidades de la época escribieron: “... los motores de Lehmanns satisfacen especialmente a las industrias más pequeñas. Son más durables que los motores de Lubereau y el molesto martilleo de los motores de Ericsson se evita totalmente. Por otra parte, el consumo de combustible es solamente la mitad que el que se usa en los otros dos sistemas. Con respecto a esto es tan económico como el mejor de los motores de vapor...”

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ANTECEDENTES HISTORICOS

Los catálogos de manufactura de aquella época, algunos de los cuales se han vuelto a reimprimir, muestran que estos motores eran simples, confiables y podían funcionar todo el día sin supervisión.

1.1.6 MOTOR RIDER Un tipo de motor Stirling muy usado fue el Rider, desarrollado por A. K. Rider, de Philadelphia, en 1876. Este motor usaba el ciclo Stirling, pero utilizaba dos pistones de trabajo  para mover el fluido en vez de emplear un pistón de trabajo y un desplazador. Uno de los  pistones fue colocado en el cilindro caliente y el otro en el cilindro de enfriamiento, ambos cilindros estaban conectados por medio de otro cilindro hueco en el cual había un regenerador construido con finas placas de hierro espaciadas y cerradas. Los dos pistones estaban en un ángulo de 90°; es decir, cuando un pistón estaba en la parte superior del cilindro, el otro estaba a la mitad del recorrido.

1.1.7 CONTROVERSIA SOBRE EL PRIMER DISEÑO DEL MOTOR RIDER Muchos de los motores Rider, fueron fabricados y utilizados para el bombeo de agua. Se cree que el motor Rider fue la base para la invención del motor de doble pistón propuesto  por Rinia en 1947, lo cual fue un gran acontecimiento en su momento, pero como sucede con frecuencia en la historia de la creatividad, aunque fueron muy novedosos cada uno en su época, ni el motor Rider ni el motor Rinia eran nuevos, ya que ambos fueron reinventos del motor de aire caliente patentado por Robert Stirling. La primera persona que usó esta ingeniosa y sutil versión del ciclo Stirling con dos  pistones de trabajo, al parecer, fue Charles Franchot en 1853. Su motor de dos pistones de trabajo se describió en un fascinante artículo de Babcock, titulado “sustituto para el vapor”, impreso en 1885. La misma idea aparece concebida en un brillante motor patentado por el ingeniero alemán-americano Sir William Siemens (cuyo nombre real era, Karl Wilhelm) en 1860, que

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CAPITULO I

ANTECEDENTES HISTORICOS

también se describe en el artículo de Babcock. Este motor es conceptualmente idéntico al motor que inventaría Rinia 85 años después. Al igual que el motor de Rinia, el de Siemens era un motor Stirling de doble pistón, con una placa oscilante como mecanismo de transmisión. Este es el mismo motor en el cual se realizaron la mayoría de las investigaciones encaminadas a desarrollar un motor Stirling para automóvil. El aprecio de Babcock in 1885 por este tipo de motores, al que se refería como motor de compresión, era muy grande, y de él comentó lo siguiente: “…ninguna otra forma de motor de aire ofrece tantas ventajas, pero también tiene sus dificultades muy peculiares. Si estas dificultades llegan a ser superadas, es muy probable que  pueda convertirse en el motor de aire del futuro…” A finales del siglo XIX, los motores eléctricos y de gasolina fueron desarrollados; y debido a su mayor potencia para un tamaño dado, comenzaron a sustituir a los motores Stirling, posteriormente la máquina Stirling sólo se utilizaba para determinados trabajos como el bombeo de agua en las casas o accionar ventiladores en las comunidades rurales. (1)

1.2 LA PHILIPS Y EL MOTOR STIRLING Un grupo de ingenieros de la Philips que visitaban la exposición de maquinaria de 1937 en Munich, se sorprendieron al ver en uno de los puestos un pequeño motor silencioso de un cilindro movido por una lámpara de alcohol y que llamaba poderosamente la atención. A su regreso a Holanda, comenzaron a investigar sobre aquel motor en particular y pronto hallaron que bien poco se sabía sobre los motores de aire caliente. De esta manera, poco antes de la Segunda Guerra Mundial, en los laboratorios de la Philips Physical Research en Eindhoven, Holanda, se retomó el tema de los motores de ciclo Stirling, iniciando un estudio detallado acerca de su funcionamiento y construyendo varios prototipos basados en descripciones y dibujos de libros antiguos. (4)

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CAPITULO I

ANTECEDENTES HISTORICOS

1.2.1 BAUTIZANDO AL MOTOR STIRLING Cuando los ingenieros de la Philips, comenzaron sus investigaciones sobre este tipo de motor, observaron que el nombre era muy particular y a la vez muy general, el motor simplemente era conocido como motor de aire, en ese entonces muchos eran los motores conocidos bajo este nombre, pero que no seguían el principio de Stirling, ahí radica su generalidad y su particularidad en el hecho que el motor funcionaba con aire caliente, de ahí el nombre, pero si se quita el aire como fluido de trabajo y se emplea otro tipo de gas ( por ejemplo helio o hidrógeno), dejaría de ser un motor de aire caliente, así que se vieron en la necesidad de buscarle un nombre mas adecuado a tal dispositivo. El Dr. Rolf J. Meijer encargado en ese momento del proyecto propuso darle al motor el nombre de su inventor. Al no haber una mejor propuesta, la máquina se llamó motor Stirling, en honor a su inventor. (2)

1.2.2 MEJORAS REALIZADAS A LOS DISEÑOS ANTERIORES A principios de la guerra ya habían conseguido superar todos los diseños anteriores y,  bajo la dirección de Rinia y Köhler, se hizo un programa intensivo para determinar científicamente los alcances de sus innovaciones. Efectivamente, en los primeros modelos construidos, que eran una copia de los diseños encontrados en los pocos libros que hacían referencia del tema, la eficiencia térmica conseguida era tan solo del 1% y el peso por caballo era superior a los 100 kilogramos; en cambio, ya comenzada la guerra, sus prototipos habían superado el 10% en eficiencia térmica y el peso por caballo se había reducido a menos de 10 kilogramos. Este progreso sustancial justificaba plenamente el programa e invitaba a continuarlo realizándose en secreto debido a la ocupación alemana en Holanda. Los ingenieros y técnicos de la Philips siguieron trabajando en el motor Stirling, con la seguridad de conseguir un motor superior a los motores de explosión basados en los ciclos Otto (motor común en los automóviles) y Diesel. Para 1942 ya habían logrado su objetivo; los alemanes, al tener conocimiento de que en los laboratorios de la Philips se trabajaba en secreto sobre un nuevo motor de aire caliente, confiscaron unos tanques creyendo que contenían algún nuevo combustible y, para su sorpresa, sólo encontraron que llevaban aire desecado. (4)

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CAPITULO I

ANTECEDENTES HISTORICOS

Al término de la Segunda Guerra Mundial, ya habían sido probados un gran número de  prototipos exitosos. Para 1946, se publicaron en la Philips Technical Review una serie de 3 artículos clásicos anunciando al mundo el renacimiento del motor Stirling; en ellos se argumentaba que para una misma potencia el volumen barrido se había reducido en un factor de 125 y el peso en un factor de 50, con respecto a los modelos anteriores. (3) Philips describió dos tipos de motores Stirling en sus primeras publicaciones. Uno fue el de pistón-desplazador, que era una copia del diseño original de la patente de 1816, y el otro fue el de doble pistón diseñado por H. Rinia, quien fué unos de los directores del programa Stirling de la Philips; los dos tipos de motores usaban aire como fluido de trabajo. Muchas pruebas fueron realizadas en este periodo, pero una prueba en particular que entusiasmó mucho a los ingenieros de la Philips, fue la que hicieron en los canales holandeses al colocar un motor Stirling de dos y medio caballo de fuerza en un bote de remo; el motor no era más grande que una botella de medio galón, por lo cual lograron fácilmente cubrirla con una caja de cartón. El bote motorizado recorrió 50 millas alrededor de los canales de Holanda, a una velocidad de 80 millas por hora aproximadamente. Las personas que caminaban a esa hora por la orilla de los canales quedaron totalmente sorprendidas al ver el bote deslizarse silenciosamente a través del agua, sin ningún medio de propulsión visible. (1)

1.2.3 EL STIRLING COMO REFRIGERADOR Pero los ingenieros de la Philips no sólo desarrollaron el Stirling como motor, tambien hicieron investigaciones del Stirling como refrigerador. Teóricamente, el ciclo Stirling es un ciclo reversible, es decir, si se sustrae calor de un espacio refrigerado (cuerpo frío), la maquina opera en un ciclo de refrigeración. Basándose en este principio, la Philips comenzó a realizar  pruebas con un prototipo conectado a un motor eléctrico. Al encender el motor, el Stirling giraba en sentido de las manecillas del reloj. En ese momento la máquina actuaba como un 0

0

refrigerador capaz de enfriar a -320 F (-195.56 C) y licuar el aire sin la necesidad de  precomprensión. Si el motor eléctrico era detenido, inmediatamente el Stirling cambiaba su sentido al contrario de las manecillas del reloj y entonces se convertía en una bomba de calor elevando la temperatura de los cilindros hasta llegar al rojo vivo.

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CAPITULO I

ANTECEDENTES HISTORICOS

En sus primeras publicaciones, la Philips mencionó que sus refrigeradores Stirling llegaban a temperaturas de 80°K sobre el cero absoluto, en años posteriores llegaron a tener temperaturas increíblemente bajas de 12°K sobre el cero absoluto. Estos resultados llevaron a la construcción de máquinas de licuefacción para laboratorios y centros de investigación. La máquina fue una verdadera innovación debido a las ventajas que ofrecía, las cuales no podían ser igualadas por ningún otro método convencional; su construcción era sencilla, no se requiere precompresión, la licuificación comienza a los 15 minutos, comparado con las 2 horas requeridas por un equipo convencional, estas máquinas no tenían rival alguno. (3)

1.2.4 CONTRIBUCIÓN DE LA PHILIPS EN LA INUNDACIÓN DE HOLANDA EN 1953 Tras un condiserable esfuerzo, la Philips en 1952 comenzó un proyecto cuyo objetivo era la preproducción de 250 generadores de

1

4

  de caballo de fuerza; algunos de estos

generadores fueron terminados en febrero de 1953, cuando una terrible inundación golpeó a Holanda. Aproximadamente 80% de la provincia holandesa de Zealand estaba bajo el agua. No había líneas telefónicas y la comunicación por radio era interrumpida por la falta de energía. A  petición de los alcaldes del lugar, la Philips distribuyó 17 de sus pequeños generadores, junto con sus instrucciones de funcionamiento (los cuales fueron escritos de manera precipitada), a las ciudades y aldeas. Algunos fueron utilizados en hospitales, pero la mayoría, al parecer se destinó, para proveer de energía a los operadores de radio que necesitaban reestablecer la comunicación con la Cruz Roja de Hague. Algunos de estos generadores fueron  posteriormente distribuidos por la Philips a museos y universidades. (1)

1.2.5 MECANISMO ROMBICO El diseño de doble pistón propuesto por Rinia, que era la principal esperanza para los motores de alto poder, presentaba serios problemas en el sellado, por lo tanto se vieron en la necesidad de inventar un nuevo tipo de mecanismo. Fue entonces cuando se ideó el

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ANTECEDENTES HISTORICOS

mecanismo “rómbico” que permite el arreglo pistón-desplazador sin la necesidad de una caja de cigüeñal presurizada. Por otro lado, las dimensiones y los pesos de las partes reciprocantes del mecanismo pueden seleccionarse para un buen balance aun en motores monocilíndricos. Con la introducción del mecanismo rómbico, la philips cambió el aire como fluido de trabajo, por el helio y el hidrógeno. Estos gases proporcionan más energía y una mejor eficiencia, reduciendo pérdidas del flujo y mejorando la transferencia de calor, aunque al usar estos gases tenían el problema de sellado. (3)

1.2.6 VISITA DE HENRY FORD II A LOS LABORATORIOS PHILIPS En 1948 Henry Ford II visitó los laboratorios Philips y quedó muy impresionado ante las posibilidades del nuevo motor. Para 1950 la Ford Motors Co. ya tenía varios prototipos cuyo funcionamiento se mostró a especialistas europeos y americanos; dicha presentación consistió en un motor Stirling de 40 caballos y de un cilindro, una eficiencia térmica del 38%, superior a cualquier motor de gasolina y tan alta como la del mejor motor Diesel (en el motor de automóvil común la eficiencia térmica es de 20%). La General Motors también contribuyó en gran parte al desarrollo de los motores Stirling, al obtener una licencia de la Philips para continuar las investigaciones. Su principal interés era la explotación militar, espacial y submarina del motor Stirling; para ello, continuó su desarrollo y consiguió grandes progresos en problemas aún no resueltos para la fabricación industrial del motor (como el de los sellos herméticos del cigüeñal a las altas presiones). La General Motors produjo motores que operaban hasta 5000 revoluciones por minuto y construyó en 1965 un prototipo movido por energía solar que podía funcionar en el vacío.

1.3 EL MOTOR STIRLING EN LA ACTUALIDAD Al igual que sucedió con los laboratorios Philips y sin razón aparente, cuando se trabajaba en un motor de 150 caballos diseñado por computadora, la gerencia de la General

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CAPITULO I

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Motors, en forma sorpresiva, decidió suspender el programa Stirling, dejando este último motor a medio construir. Para entonces ya había varios grupos en el mundo que desarrollaban nuevos prototipos de uso industrial y la Philips había otorgado licencias a empresas como la MAN de Alemania, la United Stirling de Suecia, entre otras, que prosiguieron las investigaciones.

1.3.1 MOTOR STIRLING DE PISTÓN LIBRE TIPO BEALE En 1969 un profesor de Ingeniería mecánica, William Beale, investigador independiente de la Universidad de Ohio, observó que el mecanismo podía funcionar en un diseño que no requería de cigüeñal, llevándolo a la invención del motor Stirling de “pistón

libre tipo Beale”, con sólo dos partes móviles; este diseño resulta ideal para acoplarlo a una  bomba reciprocante o a un generador eléctrico lineal. Los laboratorios Harwell de energía atómica en Inglaterra trabajaron en el perfeccionamiento y adaptación del motor Beale para utilizarlo con energía nuclear, a la par que desarrollaban aleaciones más económicas para su fabricación.

1.3.2 EL MOTOR STIRLING EN LA INDUSTRIA AUTOMOTRIZ En 1972, 24 años después de la visita de Henry Ford II a Holanda, la Ford Motors Co. anuncia un convenio con la Philips para producir un motor de automóvil, el cual, por una  parte, resuelve el problema de las emisiones indeseables de escape y, por otra, los cada vez más altos costos de la gasolina, ya que este motor puede trabajar con otros tipos de combustibles. En 1976 se reveló al público el primer motor Stirling instalado en un Ford torino. Mientras la Ford perfecciona el motor Stirling de automóvil, la United Stirling de Suecia ofrece un motor V-4, ideal para casas-remolque y sistemas de clima artificial. Por otras  parte, William Beale funda la Sun Power Inc., que se prepara para producir electricidad con el calor del sol y su motor de pistón libre, en tanto que la NASA (National Aeronautics and Space Administration) ensaya con los motores desarrollados por la General Motors y, en

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Harwell, Inglaterra demuestran cómo funciona una boya marítima basada en el Stirling de  pistón libre atómico. (4) Aún quedan algunos problemas por resolver en este tipo de motor, el más importante es el problema de la producción costeable, lo cual es un gran estímulo para nuestros investigadores, ya que puede ser la solución a los grandes problemas energéticos que enfrenta nuestra sociedad. Y a pesar de que los científicos pronostican su empleo en un sin número de aplicaciones, la verdad es que el motor Stirling aún no sale a la venta de manera comercial.

“... estas imperfecciones han sido eliminadas en gran medida por el tiempo y especialmente por el genio del distinguido  Bessemer. Si el hierrro o el acero de  Bessemer hubiera sido conocido hace 35 o 40 años sin duda el motor de aire habría sido un gran éxito... quedará para algún experto y ambicioso mecánico, en un futuro, repetirla bajo circunstancias favorables y completo éxito...”

 Rev. Dr. Robert Stirling 1876 

1.4 TIPOS DE CONFIGURACIONES Existen más de 900 arreglos de pistón de trabajo, pistón desplazador, regenerador y mecanismo, que dan lugar a muy diversos diseños. Para abarcar todos los tipos posibles, se les ha clasificado en dos grupos, motores de acción simple y motores de acción doble, sólo se describirán los motores de acción simple. Los motores de acción simple, se subdividen en tres grupos dependiendo de su disposición:

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1.- Motores tipo alfa 2.- Motores tipo beta 3.- Motores tipo gamma

1.4.1 MOTOR TIPO ALFA Está compuesto por dos pistones en cilindros separados, los cuales son conectados en serie por una cámara de enfriamiento, un regenerador y una cámara de calentamiento; un cilindro comprende la zona de compresión a temperatura baja y el otro la zona de expansión a temperatura alta.

Figura 1.4 Configuración Tipo Alfa

1.4.2 MOTOR TIPO BETA Consiste de un solo cilindro que contiene dos pistones colocados uno frente al otro, un  pistón es conocido como “pistón de trabajo” y el otro como “pistón desplazador”, ambos  pistones están separados por el regenerador. La función del pistón desplazador es pasar el fluido de trabajo de la zona de expansión a la zona de compresión. El motor original de Robert Stirling en su patente de 1816 muestra una configuración beta.

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ANTECEDENTES HISTORICOS

Figura 1.5 Configuración Tipo Beta

1.4.3 MOTOR TIPO GAMMA Está compuesto por dos cilindros interconectados, un cilindro considerablemente más grande en el que se encuentra el pistón desplazador y el regenerador y en el otro el pistón de trabajo. En el primero se realiza el cambio de temperaturas mientras que en el segundo se llevan a cabo las operaciones de expansión y compresión.

Figura 1.6 Configuración Tipo Gamma

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CAPÍTULO II PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA: VOLÚMENES DE CONTROL

Capítulo II

Primera Ley de la Termodinámica: Volúmenes de Control

 PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA: VOLÚMENES DE CONTROL En el presente capitulo se estudian sistemas que incluyen flujo de masa a través de sus fronteras. La ecuación de la conservación de la energía para un volumen de control general es  bastante compleja. Por esta razón, el análisis de energía de los volúmenes de control se hará en dos etapas. Primero, el proceso de flujo permanente que es el proceso modelo para muchos dispositivos de ingeniería como turbinas, compresores e intercambiadores de calor. Segundo, los procesos generales de flujo no permanente, en particular el proceso de flujo uniforme, el cual es el modelo para los procesos de carga y descarga comúnmente encontrados.

2.1 ANÁLISIS TERMODINÁMICO DE VOLÚMENES DE CONTROL Muchos problemas de ingeniería implican flujo de masa hacia un sistema y de un sistema, un calentador de agua, una turbina, un compresor, requieren flujo de masa y deben ser analizados como volúmenes de control (sistemas abiertos) y no como masa de control (sistemas de cerrados). En general cualquier región arbitraria en el espacio puede elegirse como un volumen de control. Las fronteras de un volumen de control reciben el nombre de superficie de control y son tanto reales como imaginarias. En el caso de una tobera, su superficie interior forma la parte real de la frontera, y las áreas de la entrada y la salida forma la parte imaginaria, puesto que ahí no hay superficies físicas. Un volumen de control tiene tamaño y forma fija, pero también incluye una frontera móvil, sin embargo la mayor parte de los volúmenes de control, tienen fronteras fijas y, por ello, no implican ningún trabajo de la frontera móvil. Un volumen de control también implica interacciones de calor y trabajo igual que en un sistema cerrado, además de la interacción de masa.

23

Capítulo II

Primera Ley de la Termodinámica: Volúmenes de Control

A continuación se explican los principios de la conservación de la masa y de la conservación de la energía para volúmenes de control.

2.2 PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DE LA MASA La masa, al igual que la energía, es una propiedad que se conserva, y no se crea ni se destruye. Lo que si es posible es hacer que la masa m  y la energía  E  se conviertan una en la otra de acuerdo con la famosa formula propuesta por Einstein:  E  = mc 2

2.1

Esta ecuación indica que la masa de un sistema cambiará cuando cambie su energía .  No obstante, en todas las interacciones de energía, con excepción de las reacciones nucleares, el cambio en la masa es extremadamente pequeño e incluso no puede detectarse. En sistemas cerrados el principio de conservación de la masa se utiliza en forma implícita, ya que requiere que la masa del sistema permanezca constante durante un proceso. En el caso de volúmenes de control, sin embargo, la masa si puede cruzar las fronteras, por lo que se debe seguir con atención la cantidad de masa que entra y sale del volumen de control. El principio de conservación de la masa para un volumen de control (VC) sometido a un  proceso se expresa como:

∑ m − ∑ m en

sal

= Δ mVC 

Donde:

∑m ∑m

en

sal

=  Masa total que entra al volumen de control =  Masa total que sale del volumen de control

Δ mVC  =  Cambio neto en la masa dentro del volumen de control

24

2.2

Capítulo II

Primera Ley de la Termodinámica: Volúmenes de Control

2.2.1 RELACIONES DE FLUJO DE MASA Y VOLUMEN La cantidad de masa que fluye en una sección transversal por unidad de tiempo se •

denomina relación de flujo de masa y se denota por m , el punto sobre el símbolo se emplea  para indicar derivada con respecto al tiempo. Un líquido o gas fluye hacia un volumen de control o fuera de un volumen de control a través de tuberías o ductos. La relación de flujo de masa de un fluido que circula en una tubería o ducto es proporcional al área de la sección transversal  A de la tubería o ducto, a la densidad  ρ   y a la velocidad V   del fluido. La relación de flujo de masa a través de un área diferencial dA  puede expresarse como •

d m =  ρ V n dA

2.3

Donde V n =  Componente de velocidad normal a dA

La relación de flujo de masa por toda el área de la sección transversal de la tubería o ducto se obtiene mediante la integración: •

∫

m =  ρ V n dA

2.4

 A

En la mayoría de las aplicaciones prácticas, la circulación de un fluido por una tubería o ducto puede obtenerse como un flujo unidimensional. Es decir, se asume que las propiedades variarán sólo en una dirección (la dirección del flujo). Por lo tanto, como un resultado posible, todas las propiedades son uniformes en toda la sección transversal normal a la dirección del flujo, y se supone que las propiedades tienen valores promedio en masa en la sección transversal. No obstante, los valores de las propiedades en una sección transversal pueden cambiar con el tiempo.

25

Capítulo II

Primera Ley de la Termodinámica: Volúmenes de Control

La aproximación de flujo unidimensional tiene un efecto menor en la mayor parte de las propiedades (presión, temperatura y densidad) en un fluido que circula en una tubería o ducto, ya que estas propiedades suelen permanecer constantes en la sección transversal. Pero éste no es el caso para la velocidad cuyo valor varía de cero en la pared a un máximo en el centro debido a los efectos viscosos (la fricción entre las capas del fluido). Bajo la suposición de flujo unidimensional, se asume la velocidad constante en toda la sección transversal e igual a algún valor promedio equivalente. En este caso, es posible efectuar la integración con la ecuación 2.4 para un flujo unidimensional y obtener •

2.5

m =  ρ V  pro A

Donde

(

3  ρ  =  Densidad kg m

)

= 1 υ 

V  pro =  Velocidad promedio del fluido normal a  A

(m s )

( 2)

 A =  área de la sección transversal normal a la dirección del flujo m

El volumen del fluido que circula a través de una sección transversal por unidad de •

tiempo se llama relación de flujo de volumen V   y esta dada por •

(m 3 s )

∫

V  = V n dA = V  pro  A

2.6

 A

Las relaciones de flujo de masa y de volumen se relacionan por • •

•

m =  ρ V  =

V 

2.7

υ 

Esta relación es análoga a m  = V  υ  , la cual es la relación entre la masa y el volumen de un fluido.

26

Capítulo II

Primera Ley de la Termodinámica: Volúmenes de Control

2.3 PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA La energía interna de un sistema cerrado puede cambiar sólo mediante interacciones de calor y/o trabajo, y el cambio en la energía de un sistema cerrado durante un proceso es igual a la transferencia neta de calor y trabajo a través de la frontera del sistema. Esto se expresa como Q − W  = Δ E 

2.8

Sin embargo en volúmenes de control, un mecanismo adicional puede cambiar la energía interna de un sistema: el flujo de masa entrante y saliente del volumen de control. Cuando entra masa a un volumen de control, la energía interna de éste aumenta porque la masa entrante transporta cierta energía. De la misma manera, cuando algo de masa sale del volumen de control, la energía contenida dentro del mismo disminuye debido a que la masa saliente lleva afuera cierta energía. Por lo tanto, la ecuación de la conservación de la energía  para un volumen de control sujeto a un proceso puede expresarse como Q − W +

∑ E  − ∑ E  en

sal

= Δ E vc

2.9

Es claro que si no hay masa que entre o salga del volumen de control, el segundo y tercer término se anulan y la ecuación se reduce a la expresión de la primera ley de la termodinámica para un sistema cerrado. La ecuación 2.9 se aplica a cualquier volumen de control sujeto a cualquier proceso. La transferencia de calor hacia un volumen de control o de un volumen de control, no debe confundirse con la energía transportada con la masa hacia dentro o hacia fuera del volumen de control. La energía necesaria para hacer pasar al fluido dentro o fuera de un volumen de control recibe el nombre de trabajo de flujo, o energía de flujo; se considera como parte de la energía transportada con el fluido y se analiza a continuación.

2.3.1 TRABAJO DE FLUJO

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Capítulo II

Primera Ley de la Termodinámica: Volúmenes de Control

A diferencia de los sistemas cerrados, los volúmenes de control incluyen flujo de masa a través de sus fronteras, por lo que se necesita cierto trabajo para empujar la masa dentro o fuera del volumen de control. Este trabajo se conoce como trabajo de flujo o energía de flujo, y es necesario para mantener un flujo continuo a través de un volumen de control. El trabajo hecho al empujar un elemento de fluido a través de la frontera (trabajo de flujo) es: W  flujo = FL = PAL = PV 

2.10

El trabajo de flujo por unidad de masa se obtiene al dividir ambos lados de la ecuación entre la masa del elemento del fluido: w flujo = Pυ 

2.11

La relación del trabajo de flujo es la misma sin importar que el fluido se empuje hacia dentro o hacia fuera del volumen de control.

2.3.2 ENERGÍA TOTAL DE UN FLUIDO FLUIDO QUE FLUYE FLUYE La energía total de un sistema compresible simple esta formada por 3 partes: energía interna, energía cinética y energía potencial, con base en una masa unitaria, la energía total se expresa como e = u + ec + ep

2.12

El fluido que entra o sale de un volumen de control posee una forma de energía adicional: la energía de flujo Pυ , como se indicó antes. Así, la energía total de un fluido que fluye con base en una masa unitaria (denotada Θ ) se convierte en θ  = Pυ  + e = Pυ  + (u + ec + ep)

28

2.13

Capítulo II

Primera Ley de la Termodinámica: Volúmenes de Control

 pero la combinación Pυ  + u  se define como la entalpía h . De modo que la relación anterior se reduce a θ  = h + ec + ep

2.14

Al utilizar la entalpía en lugar de la energía interna para representar la energía de un fluido que fluye, no es necesario atender al trabajo de flujo. La energía requerida para empujar el fluido hacia dentro o hacia fuera del volumen de control es considerada de manera automática, por la entalpía.

2.4 PROCESO DE FLUJO PERMANENTE Muchos dispositivos de ingeniería operan durante largos periodos bajo las mismas condiciones y se clasifican como dispositivos de flujo permanente. Los procesos que implican dispositivos de flujo permanente son representados por medio de un proceso idealizado, denominado proceso de flujo permanente. Un proceso de este tipo se define como un proceso durante el cual un fluido fluye permanentemente por un volumen de control, es decir, las  propiedades del fluido cambian de un punto a otro dentro del volumen de control, pero en cualquier punto fijo permanecerán iguales durante todo el proceso. Un proceso de este tipo se caracteriza por lo siguiente: 1.- Ninguna propiedad (intensiva o extensiva) dentro del volumen de control cambia con el tiempo. 2.- Ninguna propiedad cambia en las fronteras del volumen de control con el tiempo. 3.- Las interacciones de calor y trabajo entre un sistema de flujo permanente y sus alrededores no cambia con el tiempo. Algunos dispositivos cíclicos, como las máquinas reciprocantes o los compresores, no satisfacen todas las condiciones establecidas, ya que el flujo en las entradas y salidas será  pulsante y no permanente. p ermanente. Sin S in embargo como las propiedades prop iedades del fluido varían con el tiempo de manera periódica, es posible analizar el flujo a través de estos dispositivos como un proceso

29

Capítulo II

Primera Ley de la Termodinámica: Volúmenes de Control

de flujo permanente mediante valores promediados en el tiempo para las propiedades y las relaciones de flujo de calor a través de las fronteras.

2.4.1 Conservación de la la Masa Durante un proceso de flujo permanente, la cantidad total de masa contenida dentro de un volumen de control no cambia con el tiempo. El principio de la conservación de la masa indica que la cantidad total de masa que entra a un volumen de control es igual a la cantidad total de masa que sale de él. Cuando se trabaja con procesos de flujo permanente, no interesa la cantidad de masa que fluye hacia adentro o hacia fuera del dispositivo a lo largo del tiempo: lo que si importa es •

la cantidad de masa que fluye por unidad de tiempo, es decir, la relación de flujo de masa m . El principio de conservación de la masa en un sistema de flujo permanente con entradas y salidas múltiples se expresa en forma de relación como •

∑m

•

en

= ∑ m sal

2.15

La mayor parte de los dispositivos de ingeniería, son de una sola corriente (únicamente una entrada y una salida). Para estos casos, el subíndice 1 denota el estado de la entrada y el subíndice 2 el estado de la salida, por lo tanto, la ecuación 2.15 se reduce, en sistemas de flujo  permanente de una sola corriente, corrien te, a: •

•

m1 =  m 2

2.16

 ρ 1V 1 A1 = ρ 2V 2 A2

2.17

Donde  ρ  =  Densidad V  =  Velocidad de flujo promedio en la dirección del flujo

30

Capítulo II

Primera Ley de la Termodinámica: Volúmenes de Control

 A =  Área de la sección transversal normal a la dirección de flujo.

2.4.2 Conservación de la Energía Durante un proceso de flujo permanente el contenido total de energía de un volumen de control permanece constante. El cambio en la energía total del volumen de control durante un  proceso de tales características es cero. Entonces la cantidad de energía que entra a un volumen de control en todas las formas (calor, trabajo, transferencia de masa) debe ser igual a la cantidad de energía que sale de él en un proceso de flujo permanente. La primera ley de la termodinámica o el principio de conservación de la energía para un sistema de flujo permanente general con entradas y salidas múltiples puede expresarse como •

•

Q − W  =

∑

•

m sal θ sal −

∑

•

m en θ en

2.18

Donde θ    es la energía total del fluido que circula, incluido el trabajo de flujo, por unidad de masa. En sistemas de una sola corriente (una entrada, una salida) se eliminan las sumatorias sobre las entradas y las salidas y los estados de entrada y salida, se denotan por medio de los subíndices 1 y 2, respectivamente. La relación de flujo de masa por todo el volumen de control • • ⎛   permanece constante ⎜ m1 = m 2 ⎞⎟ . La ecuación de la conservación de la energía para sistemas ⎝   ⎠

de flujo permanente de una sola corriente se convierte en ⎡ ⎤ V 22 − V 12 + g ( z1 − z 2 )⎥ Q − W  = m ⎢h2 − h1 + 2 ⎣ ⎦ •

•

•

•

2.19

Si se divide la ecuación anterior entre m , se obtiene la relación de la primera ley en una base de masa unitaria como 31

Capítulo II

Primera Ley de la Termodinámica: Volúmenes de Control

q − w = h2 − h1 +

2 2 V 2 − V 1

2

+ g ( z 2 − z1 )

2.20

Donde •

q=

Q •

(Transferencia de calor por unidad de masa)

m •

w=

W  •

(Trabajo efectuado por unidad de masa)

m

Si el fluido experimenta un cambio despreciable en sus energías cinética y potencial cuando fluye a través del volumen de control, entonces la ecuación se reduce aun más a q − w = Δh

2.21

Esta es la forma más simple de la aplicación de la primera ley de la termodinámica  para volúmenes de control. Su forma es similar a la primera ley para sistemas cerrados excepto en que Δu  se sustituye por Δh  en este caso.

2.5 PROCESOS DE FLUJO NO PERMANENTE Muchos procesos de interés implican cambios dentro del volumen de control con el tiempo. Dichos procesos se llaman procesos de flujo no permanente o de flujo transitorio. Cuando se analiza un proceso de flujo no permanente, es importante seguir de cerca los contenidos de masa y de energía del volumen de control, así como las interacciones de energía a través de la frontera. A diferencia de los procesos de flujo permanente, los de flujo no permanente empiezan y terminan a lo largo de algún periodo de tiempo finito en vez de continuar indefinidamente. Por ello, se trataran los cambios que suceden durante un intervalo de tiempo Δt  en lugar de los relativos a la relación de cambios (cambios por unidad de tiempo). En algunos aspectos, un 32

Capítulo II

Primera Ley de la Termodinámica: Volúmenes de Control

sistema de flujo no permanente es similar a un sistema cerrado, excepto en que la masa dentro de las fronteras del sistema no permanece constante durante un proceso. Otra diferencia entre sistemas de flujo permanente y no permanente es que los  primeros están fijos en el espacio, tamaño y forma, en tanto que los sistemas no permanentes no lo están. Éstos suelen ser uniformes, estar fijos en el espacio, pero pueden incluir fronteras móviles y, por ello, trabajo de frontera.

2.5.1 Conservación de la Masa La cantidad de masa dentro del volumen de control durante un proceso de flujo no  permanente cambia con el tiempo. El grado de cambio depende de la cantidad de masa que entra y sale del volumen de control durante el proceso. El principio de la conservación de la masa para un volumen de control (VC) sometido a cualquier proceso de flujo no permanente en un intervalo de tiempo Δt   puede expresarse como

∑m

− ∑ msal = ΔmCV 

2.22

− ∑ msal = (m2 − m1 )CV 

2.23

en

Ó

∑m

en

Con frecuencia algunos términos en la ecuación 2.23 son cero. Por ejemplo, men = 0 si no entra masa al VC durante el proceso, m sal = 0  si no sale masa del VC durante el proceso y m1 =

0  si el VC está vació inicialmente.

El principio de la conservación de la masa para un proceso de flujo no permanente también puede expresarse en la forma de relación si se divide cada término en la ecuación 2.22  por el intervalo de tiempo Δt  y se toma límite cuando Δt → 0 33

Capítulo II

Primera Ley de la Termodinámica: Volúmenes de Control

•

∑m

en

−

•

∑m

sal

=

dmVC  dt 

 

2.24

En el caso especial de un proceso de flujo permanente (dmVC  dt  = 0 ) , esta ecuación se reducirá a la ecuación 2.15, ecuación de la conservación de la masa en procesos de flujo  permanente. La forma de relación de la ecuación de la conservación de la masa para un volumen de control general puede también expresarse como ⎛ 

 ⎞

∑ ⎜⎜ ∫ ρ V  dA ⎟⎟ ⎝  A

n

 ⎠ en

⎛   ⎞ d  − ∑ ⎜⎜ ∫ ρ V n dA ⎟⎟ = ∫ ρ dV  ⎝  A  ⎠ sal dt V 

2.25

2.5.2 Conservación de la Energía El contenido de energía de un volumen de control cambia con el tiempo durante un  proceso de flujo no permanente. El grado de cambio depende de la cantidad de transferencia de energía a través de las fronteras del sistema como calor y trabajo, así como de la cantidad de energía transportada hacia dentro y hacia fuera del volumen de control mediante la masa durante el proceso. Cuando se analice un proceso de flujo no permanente, se debe seguir de cerca el contenido de energía del volumen de control, así como las energías de las corrientes entrantes y salientes. El principio de la conservación de la energía para un volumen de control sometido a un  proceso de flujo no permanente durante un intervalo de tiempo Δt  puede expresarse como Q − W  +

∑Θ

en

− ∑ Θ sal = Δ E vc

34

2.26

Capítulo II

Primera Ley de la Termodinámica: Volúmenes de Control

La ecuación de la conservación de la energía para un volumen de control también es expresable en la forma de relación si divide cada término de la ecuación 2.26 entre Δt  y se toma el límite cuando Δt → 0 , ello produce •

•

•

•

Q − W  + Σ Θ en − Σ Θ sal =

dE vc dt 

2.27

En la ecuación 2.26 los términos de calor y trabajo (Q  y W )  pueden determinarse por mediciones externas. La energía total del volumen de control al principio y al final del proceso

( E 1  y

E 2 )   puede establecerse fácilmente al medir las propiedades relevantes de la sustancia

en estos dos estados. Sin embargo, no es fácil determinar la energía total transportada por la masa hacia dentro o hacia fuera del volumen de control (Θ en , Θ sal ) , puesto que las  propiedades de la masa en cada entrada o salida pueden cambiar con el tiempo, así como en la sección transversal. De modo que para determinar el transporte de energía a través de una abertura, como un resultado del flujo de masa, se deben considerar masas diferenciales δ m suficientemente pequeñas con propiedades uniformes y sumar sus energías totales. La energía total de un fluido de masa δ m  que fluye es Θδ m , en ese caso, la energía total transportada por la masa a través de la entrada o salida (Θ en , Θ sal )  se obtiene mediante la integración. A la entrada, por ejemplo, resulta igual a

Θ en = ∫ θ men =

∫

men

men

⎛   ⎞ V en2 ⎜⎜ hen + + gz en ⎟⎟ δ men 2 ⎝   ⎠

2.28

o en forma de relación •

Θ en

2 ⎛   ⎞ V en = m en ⎜⎜ hen + + gz en ⎟⎟ 2 ⎝   ⎠ •

2.29

Al repetir esto en cada entrada y salida y sustituir en las ecuaciones 2.26 y 2.27, se obtiene

35

Capítulo II

Primera Ley de la Termodinámica: Volúmenes de Control

Q − W  =

∑∫ msal

2 ⎛   ⎞ V sal ⎜⎜ hsal + + gz sal ⎟⎟ δ msal − 2 ⎝   ⎠

⎛   ⎞ V en2 ⎜ ⎟ h gz + + ∑ ∫ ⎜ en 2 en ⎟ δ  men + ΔE  VC  ⎝   ⎠

2.30

y en forma de relación 2 ⎛   ⎞ V sal + gz sal ⎟⎟ − Q − W  = ∑ m sal ⎜⎜ hsal + 2 ⎝   ⎠ •

•

•

2 ⎛   ⎞ dE VC  V en ⎜ ⎟ + + m h gz en ∑ ⎜ en 2 en ⎟ + dt  ⎝   ⎠ •

2.31

Es necesario conocer la forma en que cambian las propiedades de la masa en las entradas y salidas durante el proceso, para efectuar las integraciones en la ecuación 2.30.

2.6 CASO ESPECIAL: PROCESOS DE FLUJO UNIFORME

En general los procesos de flujo no permanente son difíciles de analizar debido a que las integraciones en la ecuación 2.30 no son fáciles de efectuar. Sin embargo, algunos  procesos de flujo no permanente puede representarse razonablemente bien mediante otro modelo simplificado: el proceso de flujo uniforme. Un proceso de flujo uniforme involucra las siguientes idealizaciones que simplifican el análisis: 1.- Durante el proceso en cualquier instante, el estado del volumen de control es uniforme (es el mismo en todas partes). El estado del volumen de control puede cambiar con el tiempo, pero lo hará de modo uniforme. En consecuencia, el estado de la masa que sale del volumen de control en cualquier instante es el mismo que el estado de la masa en el volumen de control en ese instante. (Esta suposición contrasta con la del flujo permanente que requiere que el estado de volumen de control cambie con la posición pero no con el tiempo). 2.- Las propiedades del fluido pueden diferir de una entrada o salida a otra aunque el flujo del fluido en una entrada o salida sea uniforme y permanente, es decir, las propiedades no cambian con el tiempo o la posición sobre la sección transversal de una entrada o salida. Si cambian, son promediadas y tratadas como constantes para todo proceso.

36

Capítulo II

Primera Ley de la Termodinámica: Volúmenes de Control

Bajo estas idealizaciones, las integraciones en la ecuación 2.30 se realizan con facilidad y la ecuación de la conservación de la energía para un proceso de flujo uniforme se transforma en 2 ⎛   ⎞ ⎛   ⎞ V sal V en2 ⎜ ⎟ ⎜ + gz sal ⎟ − ∑ men ⎜ hen + + gz en ⎟⎟ + (m2 e2 − m1e1 )VC  Q − W  = ∑ msal ⎜ hsal + 2 2 ⎝   ⎠ ⎝   ⎠

2.31

Cuando los cambios de la energía cinética y potencial asociados con el volumen de control y con las corrientes del fluido son despreciables, la ecuación 2.31 se reduce a Q − W  =

∑m

sal

hsal −

∑m

en

hen + (m2 u 2 − m1u1 )VC 

2.32

Se advierte que si no entra o sale masa al volumen de control o del volumen de control

(men = msal = 0) , los primeros dos términos del lado derecho de la relación anterior se eliminan y esta ecuación se reduce a la relación de la primera ley para sistemas cerrados.

2.7Ciclo Stirling Consideremos una máquina térmica que opera entre un depósito de alta temperatura a T  H    y un depósito a baja temperatura T  L . Para que el ciclo de la máquina de calor sea

totalmente reversible, la diferencia de temperatura entre el fluido de trabajo y la fuente (o sumidero) de energía térmica nunca debe exceder una cantidad diferencial dT   durante cualquier proceso de transferencia de calor. Es decir, los procesos de adición y rechazo de calor durante el ciclo deben de suceder de modo isotérmico, uno a cierta temperatura T  H   y el otro a una temperatura T  L . Esto es precisamente lo que sucede en un ciclo de Carnot. El ciclo Stirling es un ciclo que implica un proceso de adición de calor isotérmico a T  H  y un proceso de rechazo de calor isotérmico a T  L . Difiere del ciclo de Carnot en que los dos  procesos isentrópicos son sustituidos por dos procesos de regeneración a volumen constante.

37

Capítulo II

Primera Ley de la Termodinámica: Volúmenes de Control

El ciclo Stirling también utiliza regeneración, un proceso durante el cual se transfiere calor a un dispositivo de almacenamiento de energía térmica (llamado regenerador) durante un  parte del ciclo y se transfiere de nuevo al fluido de trabajo durante otra parte del ciclo. La figura 2.1 muestra el diagrama T-s del ciclo Stirling

Fig. 2. 1 Diagrama T-s

La figura 2.2 muestra el diagrama P-v  del ciclo Stirling, el cual está integrado por cuatro procesos totalmente reversible:

Fig. 2. 2 Diagrama P-v

1-2

Expansión a T = constante (adición de calor de una fuente externa)

38

Capítulo II

2-3 3-4 4-1

Primera Ley de la Termodinámica: Volúmenes de Control

Regeneración a v  = constante (transferencia de calor interna del fluido de trabajo al regenerador) Compresión a T = constante (rechazo de calor en un sumidero externo) Regeneración a v  = constante (transferencia de calor interna de un regenerador de nuevo al fluido de trabajo)

39

CAPÍTULO III ANALISIS ISOTERMICO

CAPITULO III

ANALISIS ISOTERMICO

ANALISIS ISOTERMICO

Conocer la presión del fluido de trabajo, es muy importante, ya que permite estudiar cómo diferentes mecanismos de transmisión afectan la potencia de salida, por lo tanto, el objetivo fundamental del presente capitulo es proponer una expresión que permita calcular la  presión del fluido en función de las variaciones de volumen en los espacios de compresión y expansión. El análisis se llevará a cabo desde el punto de vista isotérmico, se aplicará la ley de conservación de la energía al fluido para estudiar la transferencia de calor en los diversos componentes del motor, y analizar de esta manera el comportamiento teórico de la máquina.

3.1 ANALISIS ISOTERMICO

El motor Stirling fué un invento muy adelantado a su época y a todo el conocimiento científico de ese tiempo, famosos científicos como Michael Faraday no pudieron explicar el funcionamiento de la máquina, tuvieron que pasar 30 años para que se dieran las primeras explicaciones teóricas, y mas de 40 para realizar el primer análisis del ciclo sobre el cual se  basa el funcionamiento del motor, la primera tentativa de análisis fue publicada en 1871 por Gustav Schmidt. El análisis descrito por Schmidt fue el método mas simple y útil durante el desarrollo de la máquina Stirling, se basa en la expansión y compresión isotérmica de un gas ideal, este método se ha convertido en el análisis clásico y punto de partida para el estudio de los motores de ciclo Stirling. Desafortunadamente en el análisis de Schmidt se obtiene una solución cerrada lo cual imposibilita enormemente predecir el ciclo real, no obstante lo utilizamos como punto de partida para dirigirnos en última instancia a un acercamiento más realista. Existe una gran variedad de diseños del motor Stirling, los cuales se han agrupado en 3 configuraciones, para realizar el análisis se tomara como modelo la configuración tipo alfa, la cual se muestra en la Fig. 3.1 42

CAPITULO III

ANALISIS ISOTERMICO

Fig. 3. 1 Configuración Tipo Alfa

El análisis se realizara tomando en cuenta las siguientes suposiciones: 1. El fluido de trabajo se comporta como un gas ideal 2. El fluido de trabajo en el espacio de expansión y el calentador están a la misma temperatura, temperatura constante de la fuente (calentado r) 3. El fluido de trabajo en el espacio de compresión y el enfriador están a la misma temperatura, temperatura constante del sumidero (enfriador) 4. La masa total del fluido de trabajo es constante durante todo el proceso 5. El regenerador, enfriador y calentador son perfectamente eficaces, con una distribución de temperatura como la indicada en la Fig. 3.2 6. La presión instantánea  p es la misma en todo el sistema 7. Los volúmenes en las zonas de compresión y expansión varían de forma senoidal Estas suposiciones permiten generar una expresión simple para calcular la presión del fluido de trabajo en función de las variaciones del volumen. Esta expresión se puede utilizar  para investigar cómo diversos mecanismos de transmisión afectan la potencia de salida. Ahora bien, consideremos la Fig. 3.1 como un modelo en serie de cinco componentes, cada componente estará representado de acuerdo a la siguiente nomenclatura: 1. Zona de Compresión c 2. Enfriador k 3. Regenerador r 4. Calentador h

43

CAPITULO III

ANALISIS ISOTERMICO

5. Zona de Expansión e La nomenclatura para identificar la masa m, la temperatura absoluta T , el volumen V  y la presión p, en cada uno de los componentes o células estarán representada por la distribución de temperaturas de la Fig. 3.2 la cual se llevara a cabo desde el punto de vista isotérmico.

Fig. 3. 2 Distribución de Temperaturas de la Configuración Tipo Alfa

1. Zona de Compresión (m c , T c , V c  y  p ) 2. Enfriador (m k  , T k  , V k   y  p ) 3. Regenerador (mr  , T r , V r   y  p ) 4. Calentador (m h , T h , V h  y  p ) 5. Zona de Expansión (m e , T e , V e  y  p )

El punto de partida del análisis es que la masa total del fluido en la máquina es constante, así:  M  = m c + m k  + m r  + m h + m e

44

3.1

CAPITULO III

ANALISIS ISOTERMICO

Despejando m  de la ecuación de estado  pV  = m RT , para cada célula se obtiene

m =  pV   RT 

3.2

Sustituyendo por la masa en cada célula y tomando en cuenta las suposiciones 2 y 3 obtenemos

 M  =

 pV c  RT k 

+

 pV k   RT k 

+

 pV r   RT r 

+

 pV h  RT h

+

 pV e  RT h

3.3

Factorizando se obtiene:  p ⎛ V  V  V  V  V   ⎞  M = ⎜⎜ c + k  + r  + h + e ⎟⎟  R ⎝ T k  T k  T r  T h T h  ⎠

3.4

Despejando  p   de la ecuación, podemos calcular la presión en función de las variaciones de volúmenes V c  y V e

 p =

 MR

⎛ V c V k  V r  V h V e  ⎞ ⎜⎜ + + + + ⎟⎟ T  T  T  T h T h  ⎠ k  r  ⎝  k 

3.5

El trabajo hecho por el sistema sobre un ciclo completo esta dado respectivamente por la integral cíclica de  p dV 

∫

∫

∫

⎛ dVe dVc ⎞ + ⎟ d θ  θ  θ  d  d  ⎝   ⎠

W  = We + Wc =  p dVc +  p dVe =  p ⎜

Donde:

θ   = Angulo de la manivela El sistema de ecuaciones obtenidas del análisis se muestra en la tabla 3.1.

45

3.6

CAPITULO III

ANALISIS ISOTERMICO

 p =

 MR

(

)

Th ⎛   ⎞ ⎜ Vc Vk  Vr ln Tk  Vh Ve ⎟ + + + + ⎜⎜ Tk  Tk  (Th − Tk ) Th Th ⎟⎟ ⎝   ⎠

⎛  dVe ⎞ ∫ ⎝  d θ   ⎠⎟ d θ  ⎛  dVc ⎞ Qc = Wc = ∫ ⎜ p ⎟ d θ  ⎝  d θ   ⎠

Presión

Qe = We = ⎜ p

Calor Transferido

W  = Wc + We

Trabajo Efectuado

η  =

w

Eficiencia

Qe

Tabla 3.1 Sistema de Ecuaciones

Para solucionar estas ecuaciones es necesario especificar las variaciones de volumen del espacio de funcionamiento Vc y Ve así como las derivadas del volumen dVc y d Ve   con respecto al ángulo de la manivela θ  .

3.2 SOLUCION DE LAS ECUACIONES

La solución a las ecuaciones obtenidas del análisis isotérmico para el caso especial de las variaciones de volumen senoidal de los espacios de trabajo con respecto al ángulo de la manivela (θ ) , esta basada en el análisis de Schmidt..

Las variaciones de volumen en las zonas de compresión y expansión son respectivamente:

V e = V me +

V c = V mc +

V be

V bc

2

(1 − cosθ )  

3.7

[1 − cos(θ  − α )]  

3.8

2

46

CAPITULO III

ANALISIS ISOTERMICO

Donde:

V mc  = Volumen muerto en la zona de compresión V me  = Volumen muerto en la zona de expansión V bc  = Volumen barrido en la zona de compresión V be  = Volumen barrido en la zona de expansión

θ   = Angulo de la manivela

α   = Angulo de desfase Sustituyendo las ecuaciones 3.7 y 3.8 en la ecuación 3.5 obtenemos:

 p =

 MR V bc V be ⎧ ⎫ [ ] V  1 cos θ  α  V  1 cos θ  + − − + − ( ) ( ) mc me ⎪ ⎪ V  V  V  2 2 + k  + r  + h + ⎨ ⎬ T  T  T  T  T  k  k  r  h h ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

3.9

Simplificando obtenemos:

 p =

 MR

⎧⎪ ⎡⎛ V bc ⎤ ⎫⎪ ⎛ V bc  ⎞ V be  ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ cosα  + ⎨a − ⎢⎜ ⎟cosθ  + ⎜ 2T  senα ⎟ senθ ⎥ ⎬ 2 T  2 T  ⎪⎩ ⎝   ⎠ ⎝  k   ⎠ k  h ⎣ ⎦ ⎪⎭

3.10

Donde:

a=

V mc T k 

+

V bc

2T k 

+

V k  T k 

+

V r  T r 

+

V h T h

+

V me T h

+

V be

2T h

Es necesario simplificar la ecuación 3.10, para ello consideramos la siguiente sustitución trigonométrica:

47

CAPITULO III

ANALISIS ISOTERMICO

V bc

c sen β  =

c cos β  =

2T k 

V be

2T h

+

senα 

V bc

2T k 

3.11

cosα 

3.12

⎛  V bc  ⎞ senα  ⎜ ⎟ 2T k  −1 ⎜ ⎟  β  = tg ⎜ V be ⎟ V  + bc cosα  ⎟ ⎜ ⎝  2T h 2T k   ⎠

c=

1

(V be )2

2

T h

+

2(V be )(V bc ) T h T k 

+

(V bc )2 T k 

3.13

3.14

Sustituyendo las ecuaciones 3.11 y 3.12 en la ecuación 3.10 obtenemos:

 p =

 MR a − (ccos β  cosθ  + c sen β  senθ )

3.15

Simplificando

 p =

 MR a(1 − bcosφ )

Donde:

48

3.16

CAPITULO III

ANALISIS ISOTERMICO

a  =

c s

φ  =  β  − θ 

La presión mínima se obtiene cuando φ  = 0°

 MR

 p min =

a (1 − b )

3.17

Obtenemos la presión máxima cuando φ  = 180°

 MR

 p max =

a (1 + b )

3.18

La presión promedio sobre el ciclo esta dada por la integral

1

 p prom =

2π 

∫ pd φ 

2π  0

3.19

Sustituyendo la ecuación 3.16 en 3.19 obtenemos

 p prom =

2π 

 MR

2π a

d φ 

∫ (1 − bcosφ )

3.20

0

La solución de la ecuación 3.20 es:

 p prom =

 MR a 1−b

2

El trabajo realizado por la zona de expansión en un ciclo completo es

49

3.21

CAPITULO III

ANALISIS ISOTERMICO

2π 

⎛  dV e  ⎞

∫ ⎜⎝  p d θ   ⎠⎟ d θ 

W e =

3.22

0

Derivando la ecuación 3.7

dV e d θ 

=−

V be senθ 

2

3.23

Sustituyendo las ecuaciones 3.16 y 3.23 en la ecuación 3.22

⎡  MR ⎛  V be senθ  ⎞⎤ ∫0 ⎢⎣ a (1 − bcosφ ) ⎜⎝ − 2  ⎠⎟⎦⎥ d θ 

2π 

W e =

3.24

Como φ  =  β  − θ   obtenemos finalmente

W e = −

V be MR

2π 

2a

senθ  d θ 

∫ 1 − bcos( β  − θ )

3.25

0

La solución de la ecuación 3.25 es:

⎛  1 − b 2 − 1 ⎞ ⎜ ⎟ sen β  W e = V be π  2 ⎜ ⎟ b a 1 − b ⎝   ⎠  MR

3.26

Sustituyendo la ecuación 3.21 en 3.26 obtenemos

⎛  1 − b 2 − 1 ⎞ ⎟ W e = V be π P prom sen β ⎜ ⎜ ⎟ b ⎝   ⎠

3.27

Realizando las mismas operaciones para la zona de compresión

W c = −

V bc MR

2a

2π 

sen(θ  − α )

∫ 1 − bcos( β  − θ ) d θ  0

50

3.28

CAPITULO III

ANALISIS ISOTERMICO

La solución de la ecuación 3.28 es:

⎛  1 − b 2 − 1 ⎞ ⎟ W c = V bc π P prom sen( β  − α )⎜ ⎜ ⎟ b ⎝   ⎠

3.29

Las ecuaciones 3.27 y 3.29 describen el trabajo realizado por el motor, en función de las variaciones de volumen en las zonas de compresión y expansión respectivamente.

3.3 ANALISIS DE ENERGIA DEL MODELO ISOTERMICO

Ahora consideremos el modelo isotérmico desde el punto de vista del flujo de energía. La transferencia de calor hacia y desde los alrededores ocurre a las temperaturas T k   y T h respectivamente. Normalmente los motores Stirling tendrán

intercambiadores de calor

separados del enfriador y el calentador, como se indica en la Fig. 3.1. Para estudiar la transferencia de calor en estos espacios, es necesario considerar la ley de conservación de la energía para el fluido del trabajo. Una célula representativa se muestra en la Fig. 3.2 la cual puede representar un espacio de trabajo o un intercambiador de calor. men , T en

dQ

msal , T sal

m,  p, T , V 

dW 

Fig. 3.2 Célula Generalizada

El contenido de energía de un volumen de control cambia con el tiempo durante un  proceso de flujo no permanente. El grado de cambio depende de la cantidad de transferencia

51

CAPITULO III

ANALISIS ISOTERMICO

de energía a través de las fronteras del sistema en forma de calor y trabajo, así como de la cantidad de energía transportada hacia dentro y fuera del volumen de control mediante la masa, durante el proceso. Por esta razón es importante seguir de cerca el contenido de energía del volumen de control, así como las energías de las corrientes entrante y saliente. De modo que el principio de la conservación de la energía para un volumen de control sometido a un proceso de flujo no permanente durante un intervalo de tiempo Δ t   puede expresarse como: Q − W  +

∑Θ

en

− ∑ Θ sal = Δ E vc

3.30

O en forma diferencial

d Q − d W  + Σ d Θ en − Σ d Θ sal = dE vc

3.31

Donde Θ representa la energía total transportada por la masa dentro o fuera del volumen de control a través de la entrada o la salida durante el proceso. No es fácil determinar la energía total transportada por la masa hacia dentro o hacia fuera del volumen de control

(Θ en , Θ sal ) ,

puesto que las propiedades de la masa en cada entrada o salida pueden cambiar

con el tiempo, así como en la sección transversal. De modo que para determinar el transporte de energía a través de una abertura como un resultado del flujo de masa se deben considerar masas diferenciales δ  m   suficientemente pequeñas con propiedades uniformes y sumar sus energías totales.

La energía total de un fluido de masa

δ  m   que fluye es

Θ δ m , donde

Θ = h + ec + ep es la energía total del fluido por unidad de masa. En este caso, la energía total transportada por la masa a través de la entrada o salida se obtiene mediante integración: 2 ⎛   ⎞ V  Θ = ∫ Θ dm = ∫ ⎜⎜ h + + g z ⎟⎟ dm 2 ⎝   ⎠

O en forma diferencial

52

3.32

CAPITULO III

ANALISIS ISOTERMICO

⎛  v 2  ⎞ d Θ = dm⎜⎜ h + + gz ⎟⎟ 2 ⎝   ⎠

3.33

Donde: La energía cinética por unidad de masa e c =

v

2

2

 y la energía potencial por unidad de

masa e p = g z  se consideran despreciables

Obteniendo finalmente d Θ = dm(h )

3.35

La energía total de un sistema compresible simple esta formado por 3 partes: energía interna, cinética y potencial, los cambios en la energía cinética y potencial son despreciables  por lo tanto la energía total del sistema seria igual a la energía interna es decir:

Δ E  = ΔU 

3.35

dE  = dU 

3.36

En su forma diferencial

Sustituyendo d Θ y dE en el principio de la conservación de la energía en su forma diferencial obtenemos: dQ − dW  + dm en (h ) − dm sal (h ) = d U vc

3.37

h = c p T 

3.38

U  = mc v T 

3.39

Donde:

Derivando

53

CAPITULO III

ANALISIS ISOTERMICO

dU  = c v d (mT )

3.40

Sustituyendo en la ecuación anterior

)

)

dQ − dW  + dm en c p T en − dm sal c p T sal = mc v dT 

3.41

Aplicando esta ecuación a la Fig.3.2 y tomando en cuenta que el proceso es isotérmico es decir T en = T sal = T  durante todo el proceso obtenemos:

)

)

dQ − dW  + dm en c p T  − dm sal c p T  = c v Tdm

3.42

Como la temperatura es constante durante todo el proceso, el cambio de energía interna se debe al cambio en la masa del sistema, por lo tanto: dQ − dW  + c p T  ( dm en − dm sal ) = c v Tdm

3.43

El principio de la conservación de la masa en su forma diferencial nos dice: dmen − dm sal = dm

3.44

dQ − dW  + c p T dm = c v Tdm

3.45

Por lo tanto

Factorizando

)

dQ − dW  + Tdm c p − c v = 0

3.46

Utilizando la ecuación de Mayer c p − c v =  R dQ = dW  − RTdm

54

3.47

CAPITULO III

ANALISIS ISOTERMICO

Esta ecuación es la forma clásica de la conservación de energía para un proceso de flujo no permanente aplicado a un motor Stirling La transferencia de calor neta Q  al fluido de trabajo sobre el ciclo esta dado por la integral cíclica de dQ . Sin embargo, la consideración implícita de estado estático en el ciclo implica que el cambio en la masa (m ) del fluido de trabajo es cero para cada una de las células. Por lo tanto aplicando la ecuación de la conservación de energía para cada una de las células isotérmicas e integrando sobre el ciclo, obtenemos para los espacios de compresión y expansión. Qc = Wc Qe = We

De manera similar se evalúa, el regenerador, enfriador y calentador obteniendo: Qk  = 0 Qh = 0 Qr  = 0

Este resultado implica que todos los intercambiadores de calor en el motor ideal Stirling son redundantes puesto que toda la trasferencia de calor externa ocurre a través de los límites de los espacios de compresión y de expansión. Esta evidente paradoja es resultado directo de la definición del modelo isotérmico ideal en el cual los espacios de compresión y de expansión se mantienen a las temperaturas respectivas del enfriador y del calentador. Obviamente esto no puede ser correcto, puesto que las paredes del cilindro no se diseñan para la transferencia de calor. En máquinas reales los espacios de compresión y de expansión tenderán a ser adiabáticos más que isotérmicos, lo cual implica que el calor neto transferido sobre el ciclo se debe proporcionar por los intercambiadores de calor. Esto será resuelto cuando consideramos el modelo adiabático ideal, tema a tratar en el próximo capitulo.

55

CAPÍTULO IV ANALISIS ADIABATICO

CAPITULO IV

ANALISIS ADIABATICO

ANALISIS ADIABATICO

Un proceso adiabático es aquel en el cual el calor no cruza la frontera del sistema en ninguna dirección, este tipo de proceso es muy importante debido a que en la operación real del motor Stirling no debe haber transferencia de calor en los espacio de trabajo (zonas de compresión y expansión). El objetivo principal de este capítulo es derivar un sistema de ecuaciones que describan parámetros importantes de diseño como son la presión y la temperatura. El procedimiento a seguir en el desarrollo de tales ecuaciones será aplicar la ecuación de estado y la ecuación de conservación de la energía, a cada uno de los componentes del motor, las ecuaciones obtenidas se relacionaran aplicando la ecuación de continuidad a través del sistema entero.

4.1 ANALISIS ADIABATICO

En la sección anterior se analizó la máquina Stirling desde el punto de vista isotérmico tomando como modelo ideal, la configuración tipo alfa, compuesta de 5 partes. Este análisis nos llevó a una situación paradójica ya que en el calentador y en el enfriador no hubo transferencia de calor. Toda la transferencia de calor se realizó en las zonas de expansión y compresión respectivamente, lo cual obviamente no puede ser correcto debido a que estas zonas no se diseñaron para tal transferencia de calor. Debido a esta situación es necesario considerar un análisis alternativo, que nos lleve a un acercamiento mas realista del funcionamiento del motor, para realizar tal análisis nos apoyaremos en el proceso adiabático, ya que de acuerdo a las conclusiones del capitulo anterior los espacios de trabajo (zonas de compresión y expansión) tienden a ser adiabáticos más que isotérmicos, al igual que se hizo con la sección anterior, en este capitulo se tomara la configuración tipo alfa mostrada en la Fig. 3.1 como base para realizar el análisis adiabático.

58

CAPITULO IV

ANALISIS ADIABATICO

Fig. 3. 1 Configuración Tipo Alfa

El análisis se realizara tomando en cuenta las siguientes suposiciones: 1. El fluido de trabajo se comporta como un gas ideal 2. La masa total del fluido de trabajo es constante durante todo el proceso 3. El regenerador, enfriador y calentador son perfectamente eficaces, con una distribución de temperatura como la indicada en la Fig. 4.1 4. Las zonas de compresión y expansión son adiabáticas 5.  No hay caída de presión, por lo tanto  p   representa la presión instantánea a través del sistema. 6.  No hay salida del fluido de trabajo. 7. Los volúmenes en las zonas de compresión y expansión varían de forma senoidal Ahora bien, consideremos la Fig.3.1 como un modelo en serie de cinco componentes, cada componente estará representado de acuerdo a la siguiente nomenclatura: 1. Zona de Compresión c 2. Enfriador k 3. Regenerador r 4. Calentador h 5. Zona de Expansión e La nomenclatura para identificar la masa m, la temperatura absoluta T , el volumen V  y la presión  p, en cada uno de los componentes o células estarán representadas por la

59

CAPITULO IV

ANALISIS ADIABATICO

distribución de temperaturas de la Fig. 4.1, la cual se llevara a cabo desde el punto de vista adiabático.

Fig. 4.1 Distribución de Temperaturas de la Configuración Tipo Alfa

1. Zona de Compresión (m c , T c , V c  y  p ) 2. Enfriador (m k  , T k  , V k   y  p ) 3. Regenerador (m r  , T r , V r   y  p ) 4. Calentador (m h , T h , V h  y  p ) 5. Zona de Expansión (m e , T e , V e  y  p )

En base a la Fig. 4.1 se define la nomenclatura de las 4 interfaces entre cada uno de los componentes o células de la configuración tipo alfa:

1. Interfase entre la zona de compresión y el enfriador mc k , T c k  2. Interfase entre el enfriador y el regenerador (mk r , T k r  ) 3. Interfase entre el regenerador y el calentador mr h , T r h 4. Interfase entre el calentador y la zona de expansión mh e , T h e

60

CAPITULO IV

ANALISIS ADIABATICO

La entalpía se transporta a través de las interfaces en términos de un caudal con flujo másico dm  a temperatura T  . Las flechas en las interfaces representan la dirección positiva del flujo, definida arbitrariamente, del espacio de compresión al espacio de expansión. Se puede observar en el diagrama de distribución de temperaturas, que la temperatura en las zonas de compresión y expansión (T c  y T e)  no son constantes. Estas varían a través del ciclo de acuerdo a la compresión y expansión adiabática que ocurre en las zonas de trabajo. Así las entalpías que fluyen a través de las interfaces ck  y he   son transportadas a la temperatura respectiva de cada célula, por lo tanto las temperaturas T c k   y T h e   son condicionadas por la dirección del flujo, de esta manera, la temperatura T ck   se define de acuerdo a la siguiente expresión:

T ck 

•  ⎞ + T  ⎡1 −  H ⎛ m•  ⎞⎤ m = T c  H ⎛  ck  ⎜ ⎟ k  ⎢ ⎜ ck  ⎟⎥ ⎝   ⎠ ⎝   ⎠⎦ ⎣

4.1

En donde la función de heaviside:

− a ) = 1 si  x > a  H ( x − a ) = 0 si  x < a  H ( x

4.2

Utilizado para los flujos másicos correspondientes: • ⎛   ⎞  H ⎜ m ck  ⎟ = 1 ⎝   ⎠ ⎛  •  ⎞  H ⎜ m ck  ⎟ = 0 ⎝   ⎠

•

si m ck  •

si m ck 

>0 4.3

<0

Realizando un procedimiento análogo, se obtiene la expresión para la temperatura T he en función de la dirección del flujo

T he

• ⎡  ⎞ ⎛  •  ⎞⎤ = T h H ⎛  ⎜ m he ⎟ + T e ⎢1 −  H ⎜ m he ⎟⎥ ⎝   ⎠ ⎝   ⎠⎦ ⎣

61

4.4

CAPITULO IV

ANALISIS ADIABATICO

El trabajo W  se hace sobre los alrededores debido a la variación de los volúmenes en los espacios de trabajo V c  y V e , y el calor Qk   y Qh  se transfiere del ambiente externo al fluido de trabajo en las células del enfriador y del calentador, respectivamente. El regenerador es externamente adiabático, el calor Qr   se empieza a transferir internamente de la matriz del regenerador al fluido de trabajo, fluyendo a través del volumen vacío del regenerador V r .

4.2 DESARROLLO DEL SISTEMA DE ECUACIONES

El método general para derivar el sistema de ecuaciones es aplicar la ecuación de estado y la ecuación de conservación de la energía, a cada una de las células. Las ecuaciones que resultan son ligadas aplicando la ecuación de continuidad a través del sistema entero. Considere primero la ecuación de la energía aplicada a la célula representativa de la Fig. 3.2 la cual puede representar un espacio de trabajo o un intercambiador de calor.

men , T en

dQ

msal , T sal

m,  p, T , V 

dW 

Fig. 3.2 Célula Generalizada

El principio de la conservación de la energía para un volumen de control sometido a un  proceso de flujo no permanente durante un intervalo de tiempo Δ t  en su forma diferencial se  puede expresarse como:

dQ

− dW  + dmen (c p T en ) − dmsal (c p T sal ) = cv d (mT )

4.5

Donde c p  y cv  son las capacidades caloríficas específicas del gas a presión y volumen constante respectivamente, los términos de energía cinética y potencial son despreciados. 62

CAPITULO IV

ANALISIS ADIABATICO

Suponemos que el fluido de trabajo es ideal. Esto es una suposición razonable para los motores Stirling puesto que los procesos del fluido de trabajo se trasladan lejos del punto crítico del gas. La ecuación de estado para cada célula se presenta en su forma estándar y diferencial como sigue  p V  = mR T 

4.6

En su forma diferencial

d  p  p

+

dV  V 

=

d m

+

m

d T 

4.7

T 

El punto de partida del análisis es que la masa total del gas en la máquina es constante, así:  M  = m c

+ m k  + m r  + m h + me

4.8

Despejando m  de la ecuación 4.6 para cada célula se obtiene

=  pV   RT 

m

4.9

Sustituyendo la masa en cada célula y tomando en cuenta la suposición 4 obtenemos

 M  =

 pV c  RT c

+

 pV k   RT k 

+

 pV r   RT r 

+

 pV h  RT h

+

 pV e  RT e

4.10

Factorizando se obtiene  p ⎛ V   M = ⎜⎜ c  R ⎝ T c

+

V k  V r  V h T k 

+

T r 

+

T h

+

V e  ⎞

Despejando  p  de la ecuación 4.11, obtenemos:

63

⎟

T e  ⎠⎟

4.11

CAPITULO IV

ANALISIS ADIABATICO

 p

=

 MR

⎛ V c V k  V r  V h V e  ⎞ ⎜⎜ + + + + ⎟⎟ ⎝ T c T k  T r  T h T e  ⎠

4.12

Diferenciando la ecuación 4.8 obtenemos:

dmc

+ dmk  + dmr  + dmh + dme = 0

4.13

Los volúmenes y las temperaturas respectivas son constantes en cada uno de los intercambiadores de calor (calentador, regenerador y enfriador), por lo tanto, la ecuación 4.7 se reduce a:

d  p  p

=

d m m

4.14

Despejando dm

dm  =

d  p  p

(m )

4.15

Sustituyendo la ecuación 4.9 en la ecuación 4.15 se obtiene

dm

d  p ⎞ ⎛ V  ⎞ = ⎛  ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝   R  ⎠ ⎝ T  ⎠

4.16

Aplicando la ecuación 4.16 a cada intercambiador de calor y sustituyendo en la ecuación 4.13 se obtiene:

dmc

⎛ dp ⎞ ⎛ V   ⎞ ⎛ dp ⎞ ⎛ V   ⎞ ⎛ dp ⎞ ⎛ V   ⎞ + dme + ⎜ ⎟ ⎜⎜ k  ⎟⎟ + ⎜ ⎟ ⎜⎜ r  ⎟⎟ + ⎜ ⎟ ⎜⎜ h ⎟⎟ = 0 ⎝  R  ⎠ ⎝ T k  ⎠ ⎝  R  ⎠ ⎝ T r  ⎠ ⎝  R  ⎠ ⎝ T h  ⎠

Factorizando

64

4.17

CAPITULO IV

ANALISIS ADIABATICO

dmc

⎛ dp ⎞ ⎡V  V  V  ⎤ + dme + ⎜ ⎟ ⎢ k  + r  + h ⎥ = 0 ⎝  R  ⎠ ⎣ T k  T r  T h ⎦

4.18

Es necesario eliminar dmc  y dme   en la ecuación anterior para obtener una ecuación explícita para dp .

Fig.4.2 Zona de Compresión Adiabático

Aplicando la ecuación 4.5 al espacio de la Fig. 4.2 y considerando el espacio de compresión adiabático, es decir, dQc

− dW  + dmen

= 0  obtenemos:

c p T en

− dmsal

c p T sal

= cv d (mT )

4.19

Como no entra masa al sistema

dmen c pT en

)= 0

4.20

Por lo tanto

− dW  − dmsal c p T sal ) = cv d (mT )

4.21

Aplicando la ecuación 4.21 a la zona de compresión se obtiene

− dmck  c p T ck  ) = dW c + cv d (mc T c )

65

4.22

CAPITULO IV

ANALISIS ADIABATICO

De las consideraciones de continuidad la razón de acumulación del fluido de trabajo dmc  es igual al flujo de masa de salida del fluido dado por

− dmck  y el trabajo realizado

dW c

esta dado por  p dV c , por lo tanto la ecuación 4.22 se convierte en:

dmc c pT ck 

=  p dV c + cv d (mcT c )

4.23

Despejando mcT c  de la ecuación 4.6 y sustituyendo en la ecuación anterior

(

dmc c p T ck 

) =  p dV 

c

⎛  pV   ⎞ + cv d ⎜ c ⎟ ⎝   R  ⎠

4.24

⎛  pV c  ⎞ ⎟ ⎝   R  ⎠

Derivando cv d ⎜

dmc (c pT ck  ) =  p dV c

+

cv  R

( p dV c ) +

cv  R

(V c dp )

4.25

Factorizando  p dV c

⎛  ⎝ 

dmc (c pT ck  ) =  p dV c ⎜1 +

cv  ⎞

c

⎟ + v (V c dp )  R  ⎠  R

4.26

Realizando las operaciones algebraicas correspondientes

(

dmc c p T ck 

) =  p dV  ⎛ ⎜  R + c  ⎞⎟ + c (V  dp ) v

c

⎝   R  ⎠

v

 R

c

4.27

Sustituyendo la relación c p − cv =  R  y simplificando se obtiene

⎛  c p  ⎞ cv ⎟⎟ + (V c dp )  R ⎝   ⎠  R

dmc (c pT ck  ) =  p dV c ⎜⎜

Factorizando 66

4.28

CAPITULO IV

ANALISIS ADIABATICO

(

dmc c pT ck 

)=

c p p dV c

+ cv V c dp

 R

4.29

Despejando dmc  y simplificando obtenemos

dmc

Sustituyendo la relación

=

c p cv

dmc

 p dV c  R T ck 

+

⎛ dp V c  ⎞ ⎜ ⎟ c p ⎜⎝  R T ck  ⎠⎟ cv

4.30

= γ    se obtiene

=

 p dV c  R T ck 

1 ⎛ dp V c  ⎞ ⎟⎟ + ⎜⎜ γ   ⎝  R T ck  ⎠

4.31

Factorizando obtenemos finalmente

dmc

⎛  = ⎜⎜ p dV c + ⎝ 

dp V c  ⎞ ⎛  1 γ  

 ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜⎜  R T   ⎠ ⎝  ck  ⎠

4.32

Realizando las mismas operaciones para el espacio de expansión

dme

⎛  = ⎜⎜ p dV e + ⎝ 

dp V e  ⎞ ⎛  1 γ  

 ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜⎜  R T   ⎠ ⎝  he  ⎠

4.33

Sustituyendo dmc  y dme  en la ecuación 4.18

⎛  ⎜⎜ p dV c + ⎝ 

dp V c  ⎞ ⎛  1 γ  

 ⎞ ⎛  ⎟⎟ + ⎜⎜ p dV e + ⎟⎟ ⎜⎜  R T   ⎠ ⎝  ck  ⎠ ⎝ 

dp V e  ⎞ ⎛  1 γ  

 ⎞ ⎛ dp ⎞ ⎡V k  V r  V h ⎤ ⎟⎟ + ⎜ ⎟ ⎢ + + ⎥ = 0 ⎟⎟ ⎜⎜  R T   ⎠ ⎝  he  ⎠ ⎝  R  ⎠ ⎣ T k  T r  T h ⎦

Despejando dp  y simplificando obtenemos

67

4.34

CAPITULO IV

ANALISIS ADIABATICO

⎛ dV  dV   ⎞ − γ   p ⎜⎜ c + e ⎟⎟ ⎝  T ck  T he  ⎠ dp = ⎡ V c ⎛ V k  V r  V h  ⎞ V e ⎤ ⎜⎜ + + γ   + ⎟⎟ + ⎥ ⎢ T  T  T  V h  ⎠ T he ⎦ r  ⎝  k  ⎣ ck 

4.35

Despejando dT  de la ecuación 4.7, para la zona de compresión obtenemos:

dT c

⎛ dp dV  dm  ⎞ = T c ⎜⎜ + c − c ⎟⎟ V c mc  ⎠ ⎝   p

4.36

Para la zona de expansión se obtiene:

dT e

⎛ dp dV  dm  ⎞ = T e ⎜⎜ + e − e ⎟⎟ V e me  ⎠ ⎝   p

4.37

Aplicando la ecuación 4.5 en cada uno de los intercambiadores de calor y considerando que dW  = 0  y T  = cte.  obtenemos:

dQ

+ dmen (c p T en ) − dmsal (c p T sal ) = cv T dm

4.38

Sustituyendo la ecuación 4.16 en la ecuación 4.38 y simplificando se obtiene finalmente:

dQ

dp ⎞ + c p (dmen T en − dmsal T sal ) = cv V  ⎛  ⎜ ⎟ ⎝  R  ⎠

4.39

Aplicando la ecuación anterior a los 3 intercambiadores de calor y despejando dQ obtenemos: Para el enfriador

dQk 

⎛ dp ⎞ = cv V k  ⎜ ⎟ − c p (dmck  T ck  − dmkr  T kr  ) ⎝  R  ⎠ 68

4.40

CAPITULO IV

ANALISIS ADIABATICO

Para el regenerador dp ⎞ = cv V r  ⎛  ⎜ ⎟ − c p (dmkr  T kr  − dmrh T rh ) ⎝  R  ⎠

4.41

dp ⎞ = cv V h ⎛  ⎜ ⎟ − c p (dmrh T rh − dmhe T he ) ⎝  R  ⎠

4.42

dQr 

Para el calentador

dQh

Observamos que puesto que los intercambiadores de calor son isotérmicos y el regenerador es ideal, T kr 

= T k 

 y T rh

= T h   Finalmente el trabajo hecho en las células de

compresión y de expansión será W = W c + W e

4.43

dW = dW c + dW e

4.44

dW c

=  p dV c

4.45

dW e

=  p dV e

4.46

El sistema de ecuaciones diferenciales y algebraicas requeridas para la solución del análisis adiabático se muestra en la tabla 4.1

mc

=  pV c

RT c

mk 

=  pV k 

RT k 

mr 

=  pV r 

RT r 

mh

=  pV h

RT h

me

=  pV e

RT e

Masas

Tabla 4.1 Sistema de Ecuaciones Diferenciales y Algebraicas

69

CAPITULO IV

ANALISIS ADIABATICO

 p

=

 MR

⎛ V c V k  V r  V h V e  ⎞ ⎜⎜ + + + + ⎟⎟ ⎝ T c T k  T r  T h T e  ⎠

⎛ dV  dV   ⎞ − γ   p ⎜⎜ c + e ⎟⎟ ⎝  T ck  T he  ⎠ dp = ⎡ V c ⎛ V k  V r  V h  ⎞ V e ⎤ ⎜⎜ + + γ   + ⎟⎟ + ⎥ ⎢ T  T  T  V h  ⎠ T he ⎦ r  ⎝  k  ⎣ ck  dmc

⎛  dp V c  ⎞ ⎛  1  ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ = ⎜⎜ p dV c + γ    ⎠ ⎝  R T ck  ⎠ ⎝ 

dme

⎛  dpV e  ⎞ ⎛  1  ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ = ⎜⎜ p dV e + γ    R T  ⎝   ⎠ ⎝  he  ⎠ dmk 

=

d  p

dm r 

=

d  p

dmh

=

d  p

dmck  dmkr 

 p

 p

Acumulación de masa

(mk  ) (mr  ) (mh )

= − dmc

= dmck  − dmk 

dmhe dmrh

 p

Presión

Flujos másicos

= − dme

= dmhe + dmh

⎛  •  ⎞ = 1 si m• 〉 0 ;  H ⎛ m•  ⎞ = 0 si m• 〈 0 ck  ck  ⎜ ck  ⎟ ⎝   ⎠ ⎝   ⎠

 H ⎜ m ck  ⎟

T ck 

⎛  ⎝ 

•

•  ⎞ + T  ⎡1 −  H ⎛ m•  ⎞⎤ = T c H ⎛  m ck  ⎜ ⎟ k  ⎢ ⎜ ck  ⎟⎥ ⎝   ⎠ ⎝   ⎠⎦ ⎣

 ⎞ = 1 si m 〉 0 ;  H ⎛ m  ⎞ = 0 si m 〈 0 he he ⎜ he ⎟  ⎠ ⎝   ⎠

 H ⎜ m he ⎟

T he

•

•

•

Condiciones de temperatura

• • ⎡ ⎤ ⎛   ⎞ ⎛  = T h H ⎜ m he ⎟ + T e ⎢1 −  H ⎜ m he ⎞⎟⎥ ⎝   ⎠ ⎝   ⎠⎦ ⎣

Continuación Tabla 4.1 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales y Algebraicas

70

CAPITULO IV

ANALISIS ADIABATICO

dT c

⎛ dp dV  dm  ⎞ = T c ⎜⎜ + c − c ⎟⎟ V c mc  ⎠ ⎝   p Condiciones de temperatura

⎛ dp dV e dme  ⎞ ⎟⎟ + − dT e = T e ⎜⎜  p V  m e e  ⎠ ⎝  dQk 

⎛ dp ⎞ = cv V k  ⎜ ⎟ − c p (dmck  T ck  − dmkr  T kr  ) ⎝  R  ⎠

dQr 

⎛ dp ⎞ = cv V r  ⎜ ⎟ − c p (dmkr  T kr  − dmrh T rh ) ⎝  R  ⎠

dQh

⎛ dp ⎞ = cv V h ⎜ ⎟ − c p (dmrh T rh − dmhe T he ) ⎝  R  ⎠ dW c

=  p dV c

dW e

=  p dV e

Energía

dW = dW c + dW e W = W c + W e Continuación Tabla 4.1 Sistema de Ecuaciones Diferenciales y Algebraicas

La solución del conjunto de ecuaciones mostradas en la tabla 4.1 solo será posible de forma numérica, esto debido a la naturaleza no lineal de las ecuaciones.

71

CAPÍTULO V ANÁLISIS GENERAL

CAPITULO V

ANALISIS GENERAL

CAPITULO V

ANALISIS GENERAL

Los métodos usados para calcular los principales parámetros de funcionamiento de las  primeras máquinas Stirling fueron muy precarios, operaciones a volumen constante fueron supuestas, así mismo se tomó cualquier ley conveniente (isotérmico, politrópico o adiabático),  para las fases de compresión y expansión, incluso relaciones lineales de presión-volumen fueron utilizadas de vez en cuando. En 1871 Gustav Schmidt publicó un análisis en el cual calculó el trabajo de salida por medio de integración, el análisis termodinámico descrito por Schmidt se basa en un ciclo regenerativo suponiendo fases isotérmicas, de un gas ideal, el cual implica transferencia de calor infinito (operación isotérmica) a través de las paredes del cilindro a velocidad cero. El método propuesto por Schmidt fue el más utilizado por los ingenieros de la época, convirtiéndose así en un método clásico en el cálculo de los parámetros de funcionamiento de las máquinas Stirling. En el presente análisis se tratara la transferencia de calor así como la variación del área superficial de los cilindros de compresión y expansión, de igual manera se propondrán las expresiones para las variaciones cíclicas de la presión y la temperatura del fluido de trabajo. Estas expresiones se basan en un par de ecuaciones diferenciales simultáneas de primer orden, las cuales se pueden resolver utilizando métodos de integración numérica. Se realizará un balance térmico completo, por lo que las eficiencias y coeficientes de funcionamiento actuales pueden ser calculadas mientras se supongan iguales a los valores ideales del ciclo Carnot como se ha estado haciendo generalmente en la práctica hasta ahora.

4.1 ANALISIS GENERAL

74

CAPITULO V

ANALISIS GENERAL

En la Fig. 5.1 se muestra una representación esquemática de un motor simple generalizado de ciclo Stirling, que puede funcionar como máquina motriz, refrigerador ó  bomba de calor, dependiendo solamente de los valores relativos de la temperatura en los dos cilindros. Aunque se conocen diversas construcciones que son un poco diferentes al arreglo mostrado en la Fig. 5.1, todas éstas configuraciones se podrían reducir, a elementos esenciales  para cada ciclo de trabajo los cuales son mostrado en la Fig. 5.1, y el análisis basado en este arreglo es por lo tanto aplicable para otros arreglos o configuraciones.

Fig. 5.1 Diagrama Generalizado del Mecanismo de una Máquina Stirling

Las siguientes suposiciones básicas se utilizan en el desarrollo del presente análisis 1. El fluido de trabajo se comporta como un gas ideal 2. La masa total del fluido de trabajo es constante durante todo el proceso 3. La presión instantánea es igual a través del sistema, la caída de presión debido a la fricción aerodinámica puede ser despreciada.

75

CAPITULO V

ANALISIS GENERAL

4. Los volúmenes en las zonas de compresión y de expansión varían de forma senoidal, y las separaciones en la parte superior del punto muerto del centro son incluidas en el volumen constante de los cambiadores de calor adyacentes. 5. El regenerador es perfectamente eficaz. Esta área superficial y el coeficiente de transferencia térmica también se consideran bastante grandes para cambiar la temperatura del fluido de trabajo que pasa a través al valor terminal. La conducción de calor longitudinal y transversal es cero. 6. La temperatura en los límites de las paredes de cada intercambiador de calor es constante e igual a uno de los límites de la temperatura. Los intercambiadores de calor son bastante eficientes. 7. La temperatura de las superficies internas de las paredes del cilindro y de las cabezas del cilindro y de pistón asociadas a cada espacio de trabajo es constante, e igual a uno de los límites de la temperatura. El coeficiente de trasferencia térmica de estas superficies es también constante. 8. Las variaciones locales de la temperatura dentro del espacio de compresión y de expansión son despreciadas, aquí se supone una mezcla perfecta del contenido del cilindro en cada instante. 9. La temperatura de las porciones respectivas al fluido de trabajo en cada uno de los espacios auxiliares, tales como intercambiadores de calor, regeneradores, conductos y separaciones, se supone debe permanecer en un valor medio  particular en cada caso. 10. La velocidad rotatoria del motor es constante. 11. Se consideran estables las condiciones para la operación total del motor, de modo que las presiones, temperaturas, etc. Están sujetas solo a las variaciones cíclicas. Ahora bien, consideremos la Fig. 5.1 como un modelo en serie de cinco componentes, cada componente estará representado de acuerdo a la siguiente nomenclatura: 1. 2. 3. 4.

Zona de Compresión c Enfriador k Regenerador r Calentador h 76

CAPITULO V

ANALISIS GENERAL

5. Zona de Expansión e La nomenclatura para identificar la masa m, la temperatura absoluta T , el volumen V  y la presión p, en cada uno de los componentes o células estarán representadas por: 1. Zona de Compresión (mc , T c , V c  y  p ) 2. Enfriador (mk  , T k  , V k   y  p ) 3. Regenerador (m r  , T r , V r   y  p ) 4. Calentador (mh , T h , V h  y  p ) 5. Zona de Expansión (me , T e , V e  y  p )

4.2 DESARROLLO DEL SISTEMA DE ECUACIONES

El primer paso del análisis es derivar una expresión que relacione la mayor parte de la temperatura instantánea t del fluido en alguno de los dos espacios de trabajo, con el calor transferido a través de las paredes del cilindro durante la operación regular del motor. Para derivar esta expresión se debe establecer un balance energético de la cantidad (m) del fluido de trabajo que esta contenido en un instante cualquiera en uno de los dos espacios de trabajo, por lo tanto es necesario igualar la razón de flujo de energía de entrada en uno de los dos espacios de trabajo con la razón de flujo de energía de salida en este mismo espacio de trabajo. La energía externa suministrada al fluido de trabajo esta compuesta de dos partes distintas: por la transferencia de calor (Q) y por el flujo másico d m Consideremos la primera parte, la transferencia de calor al fluido de trabajo a temperatura (T ∞ ) a través de las paredes del cilindro a temperatura (T s )  se realiza a razón de: Q = κ a (T s − T ∞ )

77

5.1

CAPITULO V

ANALISIS GENERAL

Donde: κ  =  Es el coeficiente de trasferencia de calor total para los límites de la pared a =  Es el área disponible para la transferencia de calor

T s =  Temperatura de las paredes del cilindro

T ∞ =

Temperatura del fluido de trabajo

Procedemos ahora al análisis de la segunda parte, el aumento de energía debido al flujo másico, se realiza de acuerdo al comportamiento del flujo másico, es decir, a si este tiende a disminuir o aumentar la cantidad de fluido en el cilindro. 1er  caso: disminución de la cantidad del fluido de trabajo dm < 0 La cantidad de energía del fluido de trabajo disminuye si dm < 0 , en este caso la  pérdida de energía es igual a dmhsal , y se debe a la salida del flujo másico del cilindro:  perdida de energía = − dm hsal

2do caso: incremento de la cantidad del fluido de trabajo dm > 0 La cantidad de energía del fluido aumenta si dm > 0 , en este caso la ganancia de energía es igual a dmhent  , y se debe a la entrada del flujo másico al cilindro, el cual se mezcla con la temperatura de los alrededores, de acuerdo a la suposición 6, la entalpía (hent ) , corresponde

a

la

temperatura

en

los

linderos

del

intercambiador

de

calor:

ganacia de energía = dm hent 

Es necesario relacionar los dos términos de entalpía de los casos anteriores en una sola expresión, para esto utilizamos la función escalón:  H ( x ) = 1

cuando x > 0  H ( x ) = 0 cuando x < 0

78

5.2

CAPITULO V

ANALISIS GENERAL

Ahora bien si dm < 0   habrá  perdida de energía = − dmhsal , por otra parte, si dm > 0 tendremos ganacia de energía = dm hent  , por lo tanto:  H (dm ) = dm hent  cuando d m > 0  H (dm ) = dm hsal cuando d m < 0

5.3

De acuerdo a la función 5.3 ya es posible relacionar los dos términos de entalpía en la siguiente expresión dm [hsal +  H (dm )(hent  − hsal )]

5.4

La energía externa total de entrada se obtiene agregando el calor transferido a través de las paredes del cilindro a la expresión 5.1 e igualándola con la derivada del incremento del calor total del fluido dentro del espacio de trabajo. dm hsal + m dhsal = κ a (T s − T ∞ ) + dm[hsal +  H (dm )(hent  − hsal )]

5.5

Ahora bien, sabemos que la entalpía de salida es: hsal = c p T sal

5.6

dhsal = c p dT sal

5.7

Derivando la ecuación 5.6

Por otra parte las diferencias de entalpías serán hent  − hsal = c p (T ent  − T sal )

5.8

Sustituyendo las expresiones 5.7 y 5.8 en 5.5 obtenemos: dm hsal + m c p dT sal = κ a (T s − T ∞ ) + dm hsal +  H (dm ) c p (T ent  − T sal )

79

5.9

CAPITULO V

ANALISIS GENERAL

Despejando dT sal  y simplificando

dT sal =

(T ent  − m

T sal ) ⎡κ a

⎢ ⎢⎣ c p

⎤ + dm H (dm )⎥ ⎥⎦

5.10

La ecuación 5.10 es una expresión general del cambio de temperatura dentro de cualquiera de los dos cilindros Aplicando la ecuación 5.10 a la zona de expansión

dT e =

(T h −

T e ) ⎡ κ e a e

me

⎤ + dme H (dme )⎥ ⎦⎥

⎢ ⎣⎢ c p

5.11

Aplicando la ecuación 5.10 a la zona de compresión

dT c =

(T k  − mc

T c ) ⎡κ c a c

⎢ ⎣⎢ c p

⎤ + dmc H (dmc )⎥ ⎦⎥

5.12

El área disponible para la transferencia de calor en la zona de expansión será: ae = π rL(1 −

cosθ )

5.13

El área disponible en la zona de compresión será: a c = π rL[1 −

cos(θ  − α )]

5.14

Donde: α  =

Ángulo de desfase entre el pistón de trabajo y el pistón desplazador

La variación de masa en la zona de expansión puede ser escrita en términos de la  presión, temperatura y ángulo de la manivela, de acuerdo a las suposiciones 1 y 4, obtendríamos:

80

CAPITULO V

ANALISIS GENERAL

La masa en la zona de expansión es: me =

 pV e  RT e

5.15

El volumen en la zona de expansión esta dado por: V e =

V    barrido

2

(1 − cosθ )

5.16

Sustituyendo finalmente la expresión 5.16 y 5.15 obtenemos la variación de masa en la zona de expansión: me =

 pV barrido

2 RT e

(1 − cosθ )

5.17

Siguiendo un procedimiento análogo al anterior obtenemos la variación de masa en la zona de compresión: mc =

 pV barrido

2 RT c

[1 − cos(θ  − α )]

5.18

Los volúmenes en los intercambiadores de calor no están sujetas a variaciones  periódicas, de acuerdo a la suposición 9 el fluido de trabajo estará a temperatura promedio  particular, por lo tanto la masa en estos espacios será: Para el regenerador mr  =

 pV r   RT r 

Para el calentador

81

5.19

CAPITULO V

ANALISIS GENERAL

mh =

 pV h

5.20

 RT h

Para el enfriador mk  =

 pV k 

5.21

 RT k 

La masa total del fluido será entonces  M  = mc + mk  + mr  + mh + me

5.22

Las condiciones físicas de la máquina serán descritas por un sistema de 7 ecuaciones simultáneas, siendo las dos primeras ecuaciones diferenciales. El número de variables dependientes también son 7 ( p, T e , T c , me mc , a e , a c ) . La solución de este sistema de ecuaciones está dada en términos del ángulo de la manivela (θ ) . Por otra parte  H (dme ) y  H (dmc )  no

se pueden eliminar, por lo tanto, es necesario proponer una solución en términos

de me  y mc . La variación de temperatura en la zona de expansión deben estar en función del ángulo de la manivela, para esto tomamos logaritmos en ambos miembros de la ecuación 5.17.  pV barrido

log me = log

2 RT e

(1 − cosθ )

5.23

Realizando las operaciones algebraicas obtenemos: logme = log p + logV barrido (1 − cosθ ) − log2 RT e La diferencial de 5.24 es:

82

5.24

CAPITULO V

ANALISIS GENERAL

dme me

=

dp  p

+

senθ 

1 - cosθ 

−

dT e

5.25

T e

Donde: ω  =

dv d θ 

Despejando dT e ⎛ dp dme  ⎞ ω senθ  ⎟⎟T e dT e = ⎜⎜ + − 1 cos θ  me  ⎠ ⎝   p

5.26

Sustituyendo la ecuación 5.26 en 5.11 ⎤ ⎛ dp dme  ⎞ (T  − T e ) ⎡κ e ae ω senθ  ⎜⎜ ⎟⎟T e = h + − + dm  H  dm ( ) ⎢ e e ⎥ 1 - cosθ  me  ⎠ me ⎢⎣ c p ⎥⎦ ⎝   p

5.27

Dividiendo entre T e ⎤ ⎛ dp dme  ⎞ (T  − T e ) ⎡κ e a e ω senθ  ⎜⎜ ⎟⎟ = h + − + dme H (dme )⎥ ⎢ 1 - cosθ  me  ⎠ me T e ⎢⎣ c p ⎥⎦ ⎝   p

5.28

Realizando las operaciones algebraicas correspondientes dp  p

dp  p

+

+

ω senθ 

1 - cosθ 

ω senθ 

1 - cosθ 

−

−

T h κ e a e me T e c p

⎤ ⎛  T  1  ⎞ ⎡κ e ae ⎟⎟ ⎢ = ⎜⎜ h − + dme H (dme )⎥ me  ⎠ ⎢⎣ c p ⎥⎦ ⎝ me T e

dme me

=

dme me

+

T h dme H (dme ) me T e

−

κ e a e me c p

−

dme H (dme ) me

5.29

5.30

Factorizando dp  p

+

ω senθ 

1 - cosθ 

−

T h κ e a e me T e c p

=

dme ⎧

⎤⎫ κ  a − 1⎥ ⎬ − e e me c p ⎣ T e ⎦⎭ ⎡ T h

⎨1 +  H (dme )⎢

me ⎩

83

5.31

CAPITULO V

ANALISIS GENERAL

Despejando T e  de la ecuación 5.17 y sustituyendo en 5.31

dp

+

 p

ω senθ 

1 - cosθ 

−

T h κ e a e

⎡ pV  (1 − me ⎢ barrido 2 Rme ⎣

cosθ ) ⎤

⎥c p ⎦

⎧ ⎡ ⎤⎫ ⎪ ⎢ ⎥⎪ dme ⎪ T h ⎪ = − 1⎥ ⎬ ⎨1 +  H (dme )⎢  pV  me ⎪ ⎢ barrido (1 − cosθ ) ⎥⎪ ⎢ ⎥ ⎪ 5.32 ⎪⎩ 2 Rme ⎣ ⎦⎭

κ e ae

−

me c p

Simplificando dp

+

 p

ω senθ 

1 − cosθ 

−

κ e a e

−

⎡ ⎤⎫ 2 RT h κ e ae dme ⎧ 2 R me T h = − 1⎥ ⎬ ⎨1 +  H (dme )⎢  pV barrido (1 − cosθ )c p me ⎩ ⎣ pV barrido (1 − cosθ ) ⎦⎭ 5.33

me c p

Sustituyendo la ecuación 5.13 en la ecuación 5.33 dp  p

−

+

ω senθ 

1 − cosθ 

−

2 RT h κ e π r  L

=

 pV barrido c p

dme ⎧

⎡ ⎤⎫ 2 R me T h − 1⎥ ⎬ ⎨1 +  H (dme )⎢ me ⎩ ⎣ pV barrido (1 − cosθ ) ⎦⎭

κ e π r  L (1 − cosθ )

5.34

me c p

Realizando el mismo procedimiento para la zona de compresión obtenemos: dp  p

−

+

ω sen(θ  − α )

1 − cos(θ  − α )

−

2 RT k κ c π r  L  pV barrido c p

=

dmc ⎧

⎡ ⎤⎫ 2 R mc T k  − 1⎥ ⎬ ⎨1 +  H (dmc )⎢ mc ⎩ ⎣ pV barrido (1 − cos(θ  − α )) ⎦⎭

κ c π r  L(1 − cos(θ  − α ))

5.35

mc c p

Definimos los siguientes valores adimensionales de masa y presión tanto para la zona de expansión como de compresión, así mismo, se define la presión para los intercambiadores de calor 84

CAPITULO V

ANALISIS GENERAL

σ e =

me

σ c =

 M 

=

mc  M 

mk  + mr  + mh  M 

5.36

5.37

Así como los coeficientes de transferencia de calor adimensionales para simplificar las ecuaciones 5.34 y 5.35 η e =

κ e π r  L ω  M c p

η c =

κ c π r  L ω  M c p

5.38

Con las notaciones de masa y presión podemos establecer las siguientes ecuaciones σ e +  σ c +

=1

5.39

Sustituyendo σ e , σ c , ψ  , y η e  en la ecuación 5.34 obtenemos:

d ψ 

ψ 

+

ω senθ 

1 − cosθ 

−

2ω η e ψ 

d σ e ⎧

=

⎤ ⎫ ω η e (1 − cosθ ) 2σ e − 1⎥ ⎬ − σ e ⎣ψ (1 − cosθ ) ⎦⎭ ⎡

⎨1 +  H (d σ e )⎢

σ e ⎩

5.40

Sustituyendo σ e , σ c , ψ   y η c  en 5.35 obtenemos:

d ψ 

+

ψ 

ω sen(θ  −α )

1 − cos(θ  −α )

−

2ω η c ψ 

=

d σ c ⎧

⎡ ⎤⎫ ω η c (1 − cos(θ  −α )) 2σ c − 1⎥⎬ − 5.41 ⎨1 +  H (d σ c )⎢ σ c ⎩ σ c ⎣ψ (1 − cos(θ  −α )) ⎦⎭

Multiplicando la ecuación 5.40 por

d ψ  +

ω ψ senθ 

1 − cosθ 

− 2ω η e =

ψ d σ e ⎧

⎤ ⎫ ω ψ η e (1 − cosθ ) 2σ e − 1⎥ ⎬ − σ e ⎣ψ (1 − cosθ ) ⎦⎭ ⎡

⎨1 +  H (d σ e )⎢

σ e ⎩

Simplificando 85

5.42

CAPITULO V

d ψ  −

ψ d σ e σ e

ANALISIS GENERAL

⎡ ω ψ η e (1 − cosθ ) ω ψ senθ  2 ψ  ⎤ − d σ e H (d σ e )⎢ − − ⎥ = 2ω η e − 1 cos θ  σ  σ  1 − cosθ  − e ⎦ e ⎣

5.43

Despejando ψ   de la ecuación 5.39 = 1 − σ e − σ c

5.44

= − d σ e − d σ c

5.45

Derivando 5.44 d 

Sustituyendo 5.45 en 5.43 obtenemos: ⎡ (1 − σ e − σ c )⎤ 2 − d σ e H (d σ e )⎢ − ⎥ = 2ω η e σ e θ  σ  1 cos − e ⎣ ⎦ ω (1 − σ e − σ c )η e (1 − cosθ ) ω (1 − σ e − σ c )senθ  − − σ e (1− cosθ ) − d σ e − d σ c −

(1− σ e − σ c ) d σ e

5.46

Factorizando ⎧ ⎡ (1 − σ e − σ c ) (1 − σ e − σ c )⎤ ⎫ 2 − d σ c − d σ e ⎨1 + +  H (d σ e )⎢ − ⎥⎬ = σ  1 cos θ  σ  − e e ⎣ ⎦⎭ ⎩ ⎧ ⎡ (1 − σ e − σ c )(1 − cosθ )⎤ senθ  (1 − σ e − σ c )⎫ ω ⎨η e ⎢2 − ⎬ ⎥− σ  1 − cosθ  e ⎦ ⎩ ⎣ ⎭

5.47

Realizando las mismas operaciones en la zona de compresión (ecuación 4.35) obtenemos:

86

CAPITULO V

ANALISIS GENERAL

⎧ ⎡ (1 − σ e − σ c ) (1 − σ e − σ c )⎤ ⎫ 2 − d σ e − d σ c ⎨1 + +  H (d σ c )⎢ − ⎥⎬ = 1 cos ( ) σ  θ  α  σ  − − c c ⎣ ⎦⎭ ⎩ ⎧ ⎡ (1 − σ e − σ c )(1 − cos(θ  − α ))⎤ sen(θ  −α )(1 − σ e − σ c )⎫ ω ⎨η c ⎢2 − ⎬ ⎥− σ  1 cos θ  α  ( ) − − c ⎦ ⎩ ⎣ ⎭

5.48

Para obtener una solución de las ecuaciones diferenciales 5.47 y 5.48, estas deben ser reducidas algebraicamente. Las derivadas de las variables desconocidas σ e  y σ c  con respecto al tiempo pueden ser escritas explícitamente en términos de funciones compuestas de σ e y σ c , que no implican otras derivadas excepto el valor conocido de  H (d σ e )  o  H (d σ c ) .

ó d θ    y las funciones

Estas fórmulas finales son:

d σ  σ e =

Υc − Γc Υe Γe Γc − 1

5.49

d σ  σ c =

Υe − Γe Υc Γe Γc − 1

5.50

Donde: ⎧ ⎡ (1 − σ e − σ c )(1 − cosθ )⎤ senθ (1 − σ e − σ c )⎫ Υe = ω ⎨η e ⎢2 − ⎬ ⎥− σ  1 − cos θ  e ⎦ ⎩ ⎣ ⎭

5.51

⎧ ⎡ (1 − σ e − σ c )(1 − cos(θ  − α ))⎤ sen(θ  − α )(1 − σ e − σ c )⎫ Υc = ω ⎨η c ⎢2 − ⎬ ⎥− 1 − cos − ( ) σ  θ  α  c ⎦ ⎩ ⎣ ⎭

5.52

⎡ ⎡ (1− σ e − σ c )⎤ (1− σ e − σ c )⎤ 2 ( )  H  d  σ  Γe = ⎢1 + + − e ⎢ ⎥ ⎥ σ e σ e ⎣ ⎦ ⎣1 − cosθ  ⎦

5.53

⎡ ⎡ (1 − σ e − σ c )⎤ (1− σ e − σ c )⎤ 2 Γc = ⎢1 + − ⎥ +  H (d σ c )⎢ ⎥ σ c σ c ⎣ ⎦ ⎣1 − cos(θ  − α ) ⎦

5.54

87

CAPITULO V

ANALISIS GENERAL

Las ecuaciones 5.49 y 5.50 describen completamente las variaciones cíclicas de masa, temperatura y presión.

88

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

CONCLUSIONES

El presente trabajo constituye una contribución al estudio teórico del comportamiento térmico del motor de ciclo Stirling de acción simple, partiendo de la primera ley de la termodinámica tres análisis fueron desarrollados en este trabajo, de los cuales se obtuvieron diferentes expresiones que permiten calcular importantes parametros de operación como son la  presión y la temperatura. El primer análisis se desarrolló desde el punto de vista isotérmico, es decir, el fluido en la zona de expansión y el calentador están a la misma temperatura, de igual manera, el fluido en la zona de compresión y el enfriador están a la misma temperatura. El segundo análisis se llevo a cabo partiendo de un modelo adiabático, en este tipo de  proceso, el calor no cruza la frontera del sistema en ninguna dirección. Por ultimo el tercer análisis se efectuó a un diagrama que se denomino generalizado del mecanismo de un motor de ciclo Stirling, debido a que los resultados obtenidos de este análisis  pueden ser aplicados a cualquier tipo de configuración de motores Stirling de acción simple. De los tres análisis realizados se puede conc luir lo siguiente: 1. El fluido de trabajo en las zonas de compresión y expansión no deben estar a la misma temperatura de los intercambiadores de calor (calentador y enfriador), ya que esto conduce a que el calor transferido ocurra a través de las paredes de los espacios de trabajo (zonas de compresión y expansión). 2. El calor neto transferido sobre el ciclo se debe proporcionar por los intercambiadores de calor (calentador y enfriador), por lo tanto, las zonas de compresión y expansión tienden a ser adiabáticas más que isotérmicas. 3. Las ecuaciones 3.40, 3.41, y 3.42, muestran que el calor neto transferido es realizado por los intercambiadores de calor (calentador y enfriador), por lo

91

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

tanto, el trabajo realizado por la máquina es la suma de los trabajos en las zonas de compresión y expansión, por otra parte, se obtuvo un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales, la naturaleza no lineal de estas ecuaciones, se debe al hecho de que la distribución de temperaturas en las zonas de trabajo no es constante y están condicionadas por la dirección del flujo. 4. Se obtuvo un par de ecuaciones diferenciales de primer orden, de las cuales es  posible calcular, la variación cíclica del fluido de trabajo en las zonas de compresión y expansión, así mismo, es posible obtener una rango completo de datos para temperaturas y presiones haciendo sustituciones simples en las ecuaciones 4.17, 4.39 y 4.49, de igual manera, se provee una base para obtener el trabajo y la transferencia de calor. Se considera que el presente trabajo puede contribuir en gran medida al estudio teórico del motor de ciclo Striling, también puede servir como base para desarrollar programas de computo y poder analizar las variaciones del fluido de trabajo así como la presión y la temperatura, de una manera más didáctica.

92

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

RECOMENDACIONES

Una

vez

realizados

los

análisis

correspondientes

se

hacen

las

siguientes

recomendaciones para trabajos futuros:

•

Se recomienda resolver los sistemas de ecuaciones diferenciales propuestos en los Capítulos III y IV de forma numérica y de ser posible de forma analítica ya que el presente estudio se enfoco únicamente al análisis termodinámico.

•

Es recomendable construir un prototipo del motor Stirling para obtener datos experimentales de presión y temperatura, estudiar sus variaciones cíclicas, y  poder compararlas con los resultados obtenidos de los sistemas de ecuaciones diferenciales propuesto una vez resueltas estas.

•

Los resultados obtenidos de los análisis realizados se pueden aplicar a cualquier tipo de configuración de motor Stirling, pero también se recomienda, desarrollar programas de computo para estudiar de una manera más didáctica las variaciones cíclicas de presión y temperatura, y poder evaluar que tanto se aproxima al funcionamiento real de la máquina, de igual manera es recomendable analizar la posibilidad de incorporar estos programas de computo a los planes de estudio en escuelas de educación tecnológica.

93

APENDICE A

APÉNDICE A

APÉNDICE A

La ecuación  p =

 MR a

es una función par y puede ser representada en una

(1 − b cosθ )

serie de fourier en un intervalo completo −  p <  x <  p   la cual corresponde a la serie de los cosenos.

P (φ ) =

a0

2

α 

+ ∑ anCos n =

nπ 

1

q

θ 

A.1

Donde:

1

a0 =

an =

1

q

 p

∫0  p(φ ) d φ 

 p

 p(φ )cos q ∫0

nπ  q

φ d φ 

La derivada de la variación de volumen en la zona de expansión es: dV e d θ 

= −

V be Senθ 

2

A.2

El trabajo de expansión esta dado por la integral 2π 

⎛  dV e  ⎞ ∫0 ⎜⎝  p d θ  ⎠⎟ d θ 

W e =

A.3

Sustituyendo A.1 y A.2 en A.3 obtenemos ⎛ a0 ∫0 ⎜⎜⎝  2 +

2π 

W e =

α 

∑1a

n =

n

cos

nπ   ⎞ ⎛  V be senθ  ⎞ φ ⎟ ⎜ − ⎟ d θ  2  ⎠ q  ⎠⎟ ⎝ 

96

A.4

APÉNDICE A

Efectuando las operaciones correspondientes

W e = −

2π  V be ⎡ a0

2 ⎣ ∫0 2 ⎢

2π  α 

∫0 ∑1

senθ  d θ  +

an cos

n =

nπ  q

⎤

A.5

φ  senθ  d θ ⎥

⎦

Realizando el siguiente cambio de variable φ  =  β  − θ  ; en un intervalo 0 <  x > 2π   con q = π 

2π  V be ⎧ a0

senθ  d θ  + ⎨ 2 ⎩ ∫0 2

W e = −

W e = −

W e = −

V be ⎡ a0

⎢

2 ⎣2

V be ⎡ a0

⎢

2 ⎣2

∫0

an cos ⎢

n =

senθ  d θ  +

∑1

an

∫ cos n( β  −θ ) senθ  d θ ⎥

∫ cos( β  −θ ) senθ  d θ  + 0

∫0 senθ  d θ  = 0   y

la

A.7

⎦

0

2π 

senθ  d θ  + a1

A.6

⎤

2π 

α 

n =

2π 

La integral

⎫ ⎡ nπ  ( β  − θ )⎤⎥ senθ  d θ ⎬ ⎣ π  ⎦ ⎭

∫0 ∑1

2π 

2π 

∫0

2π  α 

α 

∑2

an

n =

2π 

⎤

∫ cos n( β  −θ ) senθ  d θ ⎥ 0

⎦

A.8

2π 

α 

∑2a ∫ cos n( β −θ )senθ  d θ  = 0 , 0 n

por lo tanto la

n=

ecuación A.8 se reduce a:

W e = −

V be

2

2π 

a1

∫0 cos( β −θ )senθ  d θ 

A.9

Utilizando la identidad trigonometrica cos( β  − θ ) = cos β  cosθ  + sen β  senθ  2π 

2π 

∫0 cos( β  −θ ) senθ  d θ  = ∫0 (cos β cosθ  + sen β  senθ )senθ  d θ 

Llevando a cabo las operaciones correspondientes

97

A.10

APÉNDICE A

2π 

2π 

2π 

∫0 cos( β  −θ ) senθ  d θ  = ∫0 cos β cosθ  senθ  d θ  + ∫0 sen β  senθ  senθ  d θ 

2π 

2π 

A.11

2π 

∫0 cos( β  −θ ) senθ  d θ  = cos β  ∫0 cosθ  senθ  d θ  + sen β  ∫0 senθ  senθ  d θ 

A.12

2π 

Integrando cos β  ∫ cosθ  senθ  d θ  obtenemos: 0

2π 

2π 

cos β  ∫ cosθ  senθ  d θ  = cos β  (sen2θ ) 0

A.13

0

Evaluando los limites de integración: 2π 

cos β  ∫ cosθ  senθ  d θ  = cos β  (sen 2 2π ) − cos β  (sen2 0)

A.14

0

2π 

cos β  ∫ cosθ  senθ  d θ  = 0

A.15

0

Utilizando la identidad trigonometrica sen 2θ  =

1 cos 2θ  , para simplificar la integral − 2 2

2π 

∫0

sen β  senθ  senθ  d θ   obtenemos:

2π 

2π 

2π 

d θ  cos 2θ  ⎛ 1 cos 2θ  ⎞ − sen β  ∫ sen β  ∫ ⎜ − d θ  ⎟ = sen β  ∫ 2 2 2 2 ⎝   ⎠ 0 0 0

A.16

Integrando cada termino del lado derecho obtenemos: 2π 

2π 

2π 

sen β  ⎛ 1 cos 2θ  ⎞ sen β  sen β  ∫ ⎜ − θ  − (sen2θ ) ⎟= 2 2 2 4 ⎝   ⎠ 0 0 0

98

A.17

APÉNDICE A

Evaluando los limites de integración 2π 

⎛ 1

∫0 ⎝ 2 −

sen β  ⎜

cos 2θ  ⎞ sen β  sen β  sen β  senβ  ⎤ (2π ) − (0) − ⎡⎢ sen2(2π ) − sen2(0 )⎥ ⎟= 2  ⎠ 2 2 4 ⎣ 4 ⎦

A.18

Simplificando obtenemos finalmente: 2π 

∫0

sen β  sen 2θ  d θ  = π  sen β 

A.19

2π 

Por lo tanto la integral de ∫ cos( β  −θ ) senθ  d θ  es: 0

2π 

∫0 cos( β  −θ ) senθ  d θ  = π  senβ 

A.20

Sustituyendo A.20 en A.9 obtenemos

W e = −

V beπ 

2

a1 sen β 

A.21

Para obtener el valor de a1  tenemos que:

a1 =

1 2π  q

∫0

 p(φ ) cos

 p (φ ) =

nπ  q

φ  d φ 

 MR a

q = π 

(1 − b cosθ ) n =1

Sustituyendo A.23 y A.24 en A.22

99

A.22

A.23 A.24

APÉNDICE A

1 2π   MR cos φ  a1 = ∫ d φ  π  0 a (1 − b cos φ ) a1 =

2π 

Integrando

∫0

2π 

cos φ  d φ  (1 − b cos φ )

A.26

1 −  z 2 2 dz ; = φ  d  1 +  z 2 1 +  z 2

A.27

 MR aπ 

∫0

cos φ  d φ  (1 − b cos φ ) cos φ  =

⎛ 1 −  z 2  ⎞ ⎛  2 dz  ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ 2π  2π  ⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎟ 1  z 1  z + + cos φ   ⎠ ⎝   ⎠ ⎝  ∫0 (1 − b cos φ ) d φ  = ∫0 2 ⎛ 1 −  z  ⎞ ⎟ 1 − b⎜⎜ 2 ⎟ 1  z + ⎝   ⎠ 2π 

∫0

A.25

cos φ  d φ  = (1 − b cos φ )

2 (1 −  z 2 ) dz ∫0 (1 +  z 2 )(1 +  z 2 − b + bz 2 )

2π 

(1 −  z 2 )dz 1 + b ∫0 (1 +  z 2 )⎛ ⎜⎜ z 2 + 1 − b ⎞⎟⎟ 2

A.28

A.29

2π 

A.30

1 + b ⎠

⎝ 

Resolviendo la integral por fracciones parciales ⎡ ⎤ ⎢ 2  A  B ⎥ ⎢ ⎥ dz + 1 + b  ∫0 ⎢ z 2 + 1 − b  z 2 + 1⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ 1+ b 2π 

A.31

Calculando los valores de A y B obtenemos:  A =

1 b

 ;  B = −

(1 + b )

100

b

A.32

APÉNDICE A

Sustituyendo A.32 en A.31 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ (1 + b ) ⎥ 2 2π ⎢ 1 − dz 1 + b  ∫0 ⎢ ⎛  2 1 − b ⎞ b ( z 2 + 1)⎥ ⎟ ⎢ b ⎜⎜ z + ⎥ 1 + b ⎠⎟ ⎢⎣ ⎝  ⎥⎦

A.33

Efectuando las operaciones correspondientes ⎡ ⎤ 2π  2π  ⎢ ( 2 1 dz 1 + b) dz ⎥ ⎢ ⎥ − 1 + b ⎢ b ∫0  z 2 + 1 − b b ∫0  z 2 + 1⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ 1+ b

A.34

⎡ ⎤ ⎢ 2π  ⎥ 2π  2 ⎢1 dz dz ⎥ (1 + b ) − ⎢ 2 2 2⎥ 1 + b ⎢ b ∫0 2 ⎛  1 − b  ⎞ b ∫0  z + 1 ⎥ ⎜ ⎟ ⎢  z + ⎜ 1 + b ⎟ ⎥ ⎝   ⎠ ⎣ ⎦

A.35

Integrando A.35 obtenemos: ⎡ ⎛  ⎢ ⎜ 2 ⎢1 ⎜ 1 −1 tg ⎢ ⎜ 1 + b ⎢b ⎜ 1− b ⎢ ⎜⎝  1 + b ⎣

2π  ⎤  ⎞ ⎥ ⎟ (1 + b ) −1 2π  ⎥  z ⎟ (tg  z ) 0 ⎥ − b 1 − b ⎟⎟ ⎥ 1 + b  ⎠⎟ 0 ⎥ ⎦

⎡

⎛   ⎞ ⎞ 2 ⎢ 1 ⎛  ⎜ 1 + b tg −1 ⎜ 1 + b tg φ  ⎟ ⎟ ⎜ 1− b 1 + b ⎢ b ⎜⎝  1 − b 2 ⎠⎟ ⎠⎟ ⎝  ⎣

2π 

− 0

Evaluando los limites de integración

101

2π  ⎤  ⎞ φ  ⎛   ⎞ ⎜⎜ tg −1 ⎜ tg ⎟ ⎟⎟ ⎥ ⎝  ⎝  2 ⎠ ⎠ 0 ⎥ ⎦

(1 + b ) ⎛  b

A.36

A.37

APÉNDICE A

⎡ 1 1 + b ⎛  ⎛   ⎞ ⎜ tg −1 ⎜ 1 + b tg 2π  ⎟ − tg −1 ⎢ ⎜ 1− b 2  ⎠⎟ 2 ⎢ b 1 − b ⎜⎝  ⎝  ⎢ 1 + b ⎢ (1 + b ) ⎛  ⎛  2π  ⎞  ⎞ −1 −1 ⎢ b ⎜⎜ tg ⎜ tg 2 ⎟ − tg (tg 0 )⎟⎟ ⎝   ⎠ ⎝   ⎠ ⎣

⎛  1 + b  ⎞ ⎞ ⎤ ⎜ ⎟⎟ ⎜ 1 − b tg 0 ⎟ ⎟ − ⎥⎥ ⎝   ⎠ ⎠ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

A.38

Realizando las operaciones correspondientes 2 ⎡1 1+ b (1 + b ) ⎤ π  π ⎥ − ⎢ 1 + b ⎣b 1− b b ⎦ 2 b

1 1− b

π  −

2

2π  b

2π  2π  − 2 b b 1− b

−

2π  ⎛  ⎜1 −

 ⎞ ⎟ 2 ⎟ 1 − b  ⎠

⎝ 

A.40

A.41

1

b ⎜

A.39

A.42

Finalmente obtenemos 2π 

∫0

cos φ  2π  ⎛  1  ⎞⎟ ⎜1 − d φ  = − (1 − b cos φ ) b ⎜ 1 − b 2  ⎠⎟ ⎝ 

A.43

Sustituyendo A.43 en A.26

a1 =

 MR ⎡

2π  ⎛  ⎜1 − ⎢−

aπ  ⎢ ⎣

b ⎜

⎝ 

2 MR ⎛  ⎜1 − a1 = − ab ⎜

⎝ 

102

 ⎞⎤ ⎟⎥ 2 ⎟ 1 − b  ⎠⎥⎦

1

 ⎞ ⎟ 2 ⎟ 1 − b  ⎠

1

A.44

A.45

APÉNDICE A

Sustituyendo A.45 en A.21  ⎞⎤ ⎟⎥ sen β  2 ⎟ 1 − b  ⎠⎥⎦

A.46

⎛   MR  ⎞ ⎛  1 − b 2 − 1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ sen β  W e = V beπ ⎜ ⎜ a 1− b2 ⎟ ⎜ ⎟ b ⎝   ⎠ ⎝   ⎠

A.47

W e = −

Como P prom =

V beπ  ⎡

2 MR ⎛  ⎜1 − ⎢−

2 ⎢ ⎣

 MR a

1− b

2

ab ⎜

⎝ 

1

, obtenemos finalmente:

⎛  1 − b 2 − 1 ⎞ ⎟ W e = V beπ  P prom sen β  ⎜ ⎜ ⎟ b ⎝   ⎠

103

A.48

BIBLIOGRAFIA