Analisis Sismico Por Desempeno - Roberto Aguiar Falconí

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Análisis Sísmico por Desempeño BOOK · AUGUST 2003

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1 AUTHOR: Roberto Aguiar Universidad de Fuerzas Armadas ESPE 58 PUBLICATIONS 48 CITATIONS SEE PROFILE

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PROLOGO

En los últimos ocho años América Latina se ha visto afectada por los sismos de: Pujilí en Ecuador el 28 de marzo de 1996, M w = 5.9 ; Nazca en Perú el 12 de noviembre de 1996,

M d = 6.4 ; Cariaco en Venezuela el 9 de julio de 1997, M s = 6.8 ; Punitaqui en Chile el 14 de octubre de 1997, M w = 7.1 ; Aiquile en Bolivia el 22 de mayo de 1998, M w = 6.8 ; Bahía de Caráquez en Ecuador el 4 de agosto de 1998, M s = 7.1 ; Armenia en Colombia el 25 de enero de 1999, M L = 6.2 ; y , Arequipa en Perú el 23 de junio de 2001, M b = 6.9 . Se aprecia que son eventos de magnitud intermedia pero que dejaron gran daño en las construcciones y alrededor de 2000 muertos, lo cual no es aceptable y nos obliga a preguntarnos que se está haciendo para reforzar las construcciones que fueron edificadas hace algunas décadas. Si bien es cierto en los sismos de Pujilí, Nazca, Punitaqui, Aiquile y Arequipa la mayor parte de las construcciones dañadas fueron de adobe, no es menos cierto que en los sismos de Cariaco, Bahía de Caráquez y Armenia colapsaron edificios de hormigón armado y en el caso de Bahía de Caráquez varios edificios diseñados y construidos en la última década tuvieron un comportamiento sísmico inadecuado. Se sabe que las construcciones de adobe tienen muy poca resistencia sísmica pero es factible a un bajo costo incrementar su resistencia sísmica. Se sabe que las edificaciones de hormigón armado construidas hace más de dos o tres décadas son vulnerables a la acción de los sismos porque responden al nivel de conocimientos existentes en esa época y a la calidad de materiales disponibles pero esas construcciones son la mayoría de las que existen en las grandes ciudades y por lo tanto es urgente hacer estudios para verificar el desempeño ante diferentes eventos sísmicos. A las pérdidas anotadas se debe añadir las pérdidas debidas a la interrupción de la actividad económica y de los servicios que en ellas se ofrecen, de tal forma que el malestar que generan en la comunidad es muy grande. El objetivo de este libro es ayudar a minimizar esas pérdidas mediante la aportación de conocimientos y experiencias para que sean acogidos por los profesionales de la Ingeniería Civil y las pongan en práctica en las construcciones existentes que necesitan ser reforzadas y en las nuevas construcciones que están diseñando. No olvidemos que el diseño de una estructura de hormigón armado no termina cuando se han obtenido las secciones y la armadura horizontal y vertical de sus elementos. Al contrario ahí se inicia la verificación del desempeño en términos estructurales y económicos que va a tener esa estructura ante diferentes sismos. Es muy probable que al verificar el desempeño se encuentren deficiencias en la estructura y se está a tiempo de corregirlas y optimizar el funcionamiento de la edificación. No hacerlo a pesar de contar con un gran desarrollo informático, de contar con los resultados de una

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Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE

gran cantidad de ensayos de laboratorio, de contar con una gran cantidad de contribuciones científicas, no hacerlo sería inaceptable e imperdonable. Algo similar a lo que se va a exponer a continuación para el Ecuador se puede decir de Países como Venezuela, Colombia, Perú, Chile, Argentina y en menor grado con Bolivia, referente a la gran sismicidad que ellos tienen, como se aprecia en la figura 1 en que se han ploteado los epicentros únicamente de los sismos registrados desde 1977 hasta el 2002, en 25 años.

Figura 1 Epicentros con magnitud mayor a 3.5 registrados en el período 1977 – 2002.

Al analizar la ubicación de los epicentros e hipocentros de los sismos indicados en la figura 1, se observa que existen zonas en las cuales la actividad sísmica es muy baja, como la región oriental y otras regiones donde existe una alta concentración denominada nidos sísmicos. En el Ecuador, existen dos nidos sísmicos localizados el uno en el sector del Puyo y el otro en Galápagos. El Nido del Puyo, ubicado alrededor de las coordenadas 1.7 Latitud Sur y 77.8 Longitud Oeste, se caracteriza principalmente por un predominio de sismos de magnitud entre 4.0 y 4.9 con profundidades focales mayores a 100 kilómetros. El Nido de Galápagos, ubicado por las coordenadas 0.30' de Latitud Sur y 91 Longitud Oeste tuvo una gran actividad sísmica entre en 11 y 23 de Junio de 1968. En la figura 1 se observa que solamente en la región nororiental no se ha tenido una actividad sísmica. En la costa también existe una importante actividad sísmica y son superficiales pero

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO

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ventajosamente han sido de pequeña magnitud. Se han ploteado 864 sismos con magnitud mayor a 3.5 cantidad que es muy importante con la cual se obtiene un promedio de 35 sismos al año. Por lo general los sismos superficiales son los que causan mayor daño. Por este motivo, se puede indicar que la Costa Ecuatoriana es la de mayor peligrosidad sísmica, seguida por la Sierra y finalmente el Oriente. Por lo tanto, desde el punto de vista sísmico no es lo mismo construir en la ciudad de Esmeraldas, donde la peligrosidad sísmica es muy grande que en el Tena que tiene una menor amenaza sísmica.

Figura 2 Sismos superficiales con magnitud mayor a 6.0 registrados entre 1977 y 2002.

En la figura 2 se aprecian los sismos superficiales con magnitud mayor a 6.0 que se han registrado en el Ecuador entre 1977 y el 2002, se aprecia que en las provincias de la sierra ecuatoriana prácticamente no se han registrado sismos fuertes. Esto es una alerta que debe llevar a la reflexión de que a lo mejor se está acumulando energía y que probablemente en un futuro cercano se tenga un sismo muy fuerte ya que históricamente la sierra se ha visto afectada por sismos severos como el de 1797 que causó gran daño en la antigua ciudad de Riobamba, el de 1868 que destruyó la ciudad de Ibarra y las ciudades vecinas. Los sismos históricos a los que se hacen referencia y otros terremotos catastróficos se indican en la figura 3. El último terremoto registrado en el callejón interandino fue el del 5 de agosto de 1949 que causó gran daño en Ambato, Pelileo y poblaciones aledañas. A partir de esa fecha no se han registrado sismos severos en las provincias de la serranía ecuatoriana. El sismo de 1949 tuvo una magnitud de 6.8. Las tres figuras indicadas deben estar grabadas en el subconsciente de los Proyectistas Estructurales ya que algo similar sucede en otras regiones que tienen alta peligrosidad sísmica. Desgraciadamente o ventajosamente el ser humano olvida muy pronto las lecciones nefastas que han dejado los sismos y en muy pocos años piensan que es una utopía la ocurrencia de un terremoto

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como los registrados en Argentina en enero de 1985, en Chile en marzo de 1985, en Venezuela en Julio de 1967, en Perú en octubre de 1966, en Colombia en Junio de 1994. Por añadir únicamente algunos eventos a la lista con que se inició el Prologo de este libro. A continuación se describe el contenido de este texto en forma condensada.

Figura 1.8 Principales terremotos registrados en el Ecuador entre 1540 y 2002 con magnitud mayor a 6.

En el capítulo 1, se presentan las relaciones Momento Curvatura, que es la base para el Análisis Sísmico No Lineal, pero al margen de ello el Proyectista Estructural puede complementar en forma exitosa su trabajo si analiza las relaciones momento curvatura en los elementos principales de una estructura que ha diseñado ya que le permitirá conocer la capacidad de ductilidad por curvatura, la reserva de ductilidad por curvatura una vez que conoce la demanda de ductilidad. Por este motivo se indica el marco teórico orientado a la elaboración de un programa de computación y también se indican fórmulas que tienen un fundamento analítico y experimental para calcular en forma aproximada los puntos notables de la relación momento curvatura. La Técnica del Pushover es muy utilizada para evaluar la capacidad sísmica resistente de las estructuras, muchos investigadores en sus artículos comentan sobre los resultados obtenidos al aplicar esta técnica pero una gran cantidad de Ingenieros Estructurales desean conocer más a fondo sobre el Pushover, que se sustenta en el Análisis No Lineal Estático, pensando en ellos escribí el capítulo 2 y desarrollé dos ejemplos el primero es en una estructura en la cual se han colocado ciertas condiciones para que la misma tenga un solo grado de libertad y así poder explicar con detalle la Técnica del Pushover utilizando para el efecto un modelo de plasticidad muy sencillo como es el de Giberson. El otro ejemplo que se desarrolla ya es más real y consiste en un pórtico de un vano y un


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piso que se analiza con cinco grados de libertad. Lógicamente en este caso se tiene más números razón por la cual se muestran los resultados principales. En el Capítulo 3, se propone un nuevo modelo de plasticidad extendida, la bondad de este modelo se compara con la obtenida al utilizar otros modelos de plasticidad de los programas IDARC (Inelastic Dynamic Analysis of Reinforced Concrete) y SARCF (Seismic Analysis of Reinforced Concrete Frames) en estructuras de tres, cinco y diez pisos. Se compara al obtener las curvas de capacidacidad sísmica resistente sin considerar el efecto P − ∆ y considerando dicho efecto. Por cierto se indica la teoría para el cálculo del efecto P − ∆ . En el modelo que se propone se consideran cuatro escalones en las zonas que ingresan al rango no lineal, cada uno de ellos tiene una rigidez a flexión diferente. Las estructuras de hormigón armado antiguas construidas por los años cincuenta o sesenta del siglo pasado tienen una gran cantidad de armadura longitudinal y poca armadura transversal de tal manera que la falla que se va a producir en estos elementos es por corte antes que por flexión. Es más en algunos casos en que los estribos están espaciados a 30 cm., y con gran cantidad de armadura longitudinal se va a presentar la falla por corte y la armadura longitudinal no habrá ingresado al rango no lineal. Para analizar este tipo de estructuras se deben utilizar programas en los cuales se haya incorporado el efecto de corte en la relación momento curvatura que es el tema del Capítulo 4. En el capítulo 6 se continúa con esta investigación pero analizando el comportamiento en una estructura. En el Capítulo 5 se desarrolla un modelo extremadamente sencillo para encontrar la curva de capacidad sísmica resistente en estructuras espaciales considerando un modelo de tres grados de libertad, que corresponde a dos componentes de desplazamiento horizontal y una rotación de piso o torsión. La curva de capacidad sísmica, que ya se va mencionando algunas veces, relaciona el cortante basal con el desplazamiento lateral máximo en la cubierta. En este modelo se considera que cada pórtico es un elemento de una estructura que está unida por una losa rígida, para cada pórtico se encuentra la curva de capacidad sísmica aplicando la Técnica del Pushover y posteriormente se encuentra un modelo bilineal de tal manera que se definen una rigidez para el rango elástico y otra rigidez para el rango plástico, en base a los cuales se realiza el análisis espacial. Se indican además varios criterios para encontrar el modelo bilineal. Como se indicó anteriormente el capítulo 6 está dedicado al estudio de las curvas de capacidad sísmica en estructuras antiguas de hormigón armado. Si el programa con el cual se obtiene la relación momento curvatura no incorpora el efecto de corte y/o si el modelo de plasticidad que se utiliza para determinar la matriz de rigidez de un elemento no considera el efecto de corte, en el análisis de una estructura que tiene gran cantidad de armadura longitudinal y poca armadura transversal, la curva de capacidad sísmica que se obtenga estará sobredimensionada y le hará pensar al proyectista estructural que su edificación tiene una gran capacidad sísmica cuando en realidad no lo tiene. Para explicar lo anotado se comparan las curvas de capacidad que se obtienen al utilizar el modelo de Giberson que solo considera la rigidez a flexión con el modelo e Thom et al que considera la rigidez a flexión y la rigidez al corte. En el capítulo 7 se desarrolla la teoría que conduce a la obtención del Espectro de Capacidad, normalmente este espectro está asociado al primer modo de vibración pero se destaca que se puede encontrar este espectro asociado a cualquier modo esto es fundamental cuando se conoce que una estructura va a tener sus mayores respuestas en un determinado modo. Se indica además el modelo que propone el programa HAZUS para cubrir las incertidumbres que se tiene en el análisis sísmico. Otro aspecto importante que se trata en este capítulo es la obtención de espectros de capacidad con límites de daño de acuerdo a lo recomendado por el Comité VISION 2000. Los modos de vibración es un tema fundamental en el análisis dinámico de estructuras razón por la cual la parte final de este capítulo está dedicado a su estudio. El Comité VISION 2000 que fue creado en los Estados Unidos de Norte América para que propongan la nueva filosofía de diseño sísmico a la luz del nuevo siglo XXI, propone que las estructuras deban ser analizadas para cuatro eventos sísmicos denominados: frecuente, ocasional, raro y muy raro. Indican los parámetros generales con los cuales se obtendrán estos eventos

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sísmicos y nada más. Por otra parte las Normativas Sísmicas vigentes al 2003 en Venezuela, Colombia, Ecuador, Perú, Chile y Argentina únicamente prescriben la forma espectral para el sismo denominado raro. En el capítulo 8 en base a la forma espectral del sismo raro se propone la obtención de los espectros para los sismos frecuente, ocasional y muy raro para los Países indicados, en base a estudios de peligrosidad sísmica realizados dichos Países. En el capítulo 9 se presenta el Método del Espectro de Capacidad para encontrar la respuesta no lineal de un sistema con múltiples grados de libertad. Este método permite visualizar en forma gráfica el probable desempeño de una estructura ante un sismo determinado mediante el dibujo en un solo gráfico del espectro de capacidad de la estructura y del espectro de demanda, todo esto en el formato desplazamiento espectral en las abscisas y aceleración espectral en las ordenadas. Para encontrar el espectro inelástico se presenta un estudio muy detallado sobre el factor de reducción de las fuerzas sísmicas Rµ ,ξ en que se hace un acopio de varias investigaciones realizadas en el mundo. Finalmente se dedican los últimos apartados del capítulo a presentar un resumen histórico sobre varias investigaciones que se han realizado a nivel mundial sobre la teoría de espectros elásticos. Dentro del Análisis Estático No Lineal, se tienen tres Métodos para analizar una estructura con múltiples grados de libertad en el rango inelástico. Estos son: el Método del Espectro de Capacidad que se estudia en el capítulo 9, el Método del Sistema Equivalente que está descrito en el capítulo 10 y se describe brevemente en este párrafo y el Método del Sistema Lineal de Corte que se indica en el capítulo 11. En el Método del Sistema Equivalente a partir de la estructura de múltiples grados de libertad se encuentra un Sistema Equivalente de un solo grado de libertad en el cual se realiza el análisis lineal o no lineal, la respuesta que se obtiene en términos de desplazamientos se traslada al sistema de múltiples grados de libertad por medio del factor de participación modal. Se presentan los modelos desarrollados por Rodríguez (1994), Fajfar y Gaspersic (1996), Esteva (1999), Aguiar (2001) y Ayala (2001). Por último en este capítulo se presenta la teoría para el Análisis Lineal y No Lineal de sistemas con múltiples grados de libertad empleando el Método β de Newmark, si bien es cierto en este capítulo se necesita la teoría para encontrar la respuesta en el tiempo de sistemas de un solo grado de libertad no es menos cierto que este es un caso particular. Por lo tanto al tener el marco teórico para sistemas de múltiples grados de libertad la aplicación a un solo grado de libertad es inmediata. En el capítulo 11 se presenta el Método del Sistema Lineal de Corte para encontrar la respuesta sísmica, la diferencia con los métodos anteriores radica en que aquí ya no se encuentra un sistema de un grado de libertad, sino que se trabaja con el eje de corte de la estructura que tiene un grado de libertad por piso. Este es un nuevo método presentado en el por Chopra y Goel en (2000) pero en forma muy compleja y simplificado por Fernández et al (2002) de la U.N.A.M, pero los últimos los espectros inelásticos los obtienen en función del factor de amortiguamiento viscoso efectivo, lo cual no es conveniente. Por lo que se propone el Método pero encontrando los espectros inelásticos en función del factor de reducción de las fuerzas sísmicas Rµ ,ξ . En la solución se necesita encontrar los valores y vectores propios, razón por la cual se indica este cálculo aplicando el Método clásico de Jacobi. En el capítulo 7 ya se indicó la teoría del cálculo de valores y vectores propios ahora se presenta un método númerico orientado al uso del computador para su evaluación. En el capítulo 12 se indica la teoría del Método de Superposición Modal para el Análisis Sísmico Plano y para el Análisis Sísmico Espacial considerando tres grados de libertad por planta. Toda vez que este es un método muy utilizado por los Proyectistas Estructurales a pesar de la serie de críticas que tiene. Entonces si lo van a seguir utilizando vale la pena conocer muy bien todos los controles y cálculos que se deben hacer, como son: control del cortante basal mínimo, control del efecto P − ∆ , control de la deriva o distorsión de piso, cálculo de la torsión accidental, simultaneidad de las acciones sísmicas. Un aspecto importante que se presenta es la cuantificación del factor de reducción de las fuerzas sísmicas Rµ ,ξ en función de la sobreresistencia y de la ductilidad de la estructura.


vii

En el capítulo 13 se presenta el modelo de pérdidas del programa HAZUS 99, es importante conocerlo pero además se propone un modelo de pérdidas en función del índice de distorsión global de la estructura. Estos son modelos de pérdidas por reposición de daños en la estructura. Como ejemplos de aplicación se diseñó una estructura de 6 pisos para tres valores de reducción de las fuerzas sísmicas Rw de acuerdo a lo estipulado por el Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000, la estructura con mayor valor de Rw va a resistir el sismo raro de acuerdo a la filosofía de diseño pero va a tener gran daño ante el sismo frecuente y el costo de reparación de daños es alto; por el contrario la estructura diseñada para el menor valor de Rw va a costar un poco más inicialmente pero va a tener menos daño ante el sismo frecuente. Por otra parte en el capítulo 13 se analiza el comportamiento sísmico en términos estructurales y económicos de tres estructuras de una vivienda, la primera en base a vigas banda, la segunda en base a vigas descolgadas en los pórticos perimetrales y banda en los pórticos interiores y la tercera con todas las vigas descolgadas, se comparan las curvas de capacidad sísmica resistente de estas tres edificaciones y se compara el desempeño que van a tener ante cuatro acciones sísmicas. Al propietario de un Proyecto se le deben presentar varias alternativas estructurales y hacerle conocer el desempeño que va a tener cada una de ellas ante diferentes sismos, que sepa el Índice de Desempeño que se obtiene, el Índice de Daño y el Costo de Reparación de daños. Mientras más conozca sobre el desempeño que se espera de cada una de las alternativas tomará la mejor decisión. Inicialmente varios capítulos de este libro fueron publicados en Revistas y Congresos Nacionales e Internacionales, como se aprecia al pie de página de algunos capítulos. Posteriormente estos fueron complementados con aspectos fundamentales de la Teoría de Estructuras como es el cálculo de la matriz de rigidez por ensamblaje directo o la condensación estática de la matriz de rigidez mediante la Triangularización de Gauss que está descrito en el capítulo 2. Otros capítulos fueron complementados con aspectos de Dinámica de Estructuras, que ya se ha indicado y en otros se han presentado aspectos que se consideran fundamentales como la Teoría Básica de Peligrosidad Sísmica que se muestra en el capítulo 8. Todo esto con la idea de tener un libro que tenga un enfoque didáctico que pueda ser utilizado en cualquier curso de Ingeniería Sismo Resistente, además de tener un libro que presente aspectos de investigación a la luz de lo que se está trabajando en los principales Centros de Investigación del Mundo al 2003 y además se quería presentar un libro que sea acogido por los Proyectista Estructurales. Espero haber cumplido estos tres objetivos de tener un libro: didáctico, investigativo y práctico. Finalmente, pero como en todos mis libros deseo dar gracias en primer lugar a Dios por que sin su ayuda no podría escribir nada, no podría hacer nada; con su ayuda todo es más fácil. Hacer investigación Científica en Países en vías de desarrollo es muy complicado porque tenemos una serie de limitaciones que no vale la pena siquiera mencionarlas pero con la ayuda de Dios todas esas limitaciones se van superando y las largas horas que demanda la investigación se las lleva con alegría y optimismo. Deseo agradecer a mi querida esposa Alice Noury y a mis hijos: Roberto, Alice Paola, María José, Gabriel, Nicolás y Felipe, por la inmensa felicidad que me dan día tras día en nuestro hogar. Ellos son mi fuente de inspiración y de superación. A los Coroneles de Estado Mayor Conjunto Ing. Edwin Ortiz e Ing. Héctor Benavides, dignísimos Rector y Vicerrector de Investigaciones de la Escuela Politécnica del Ejército, ESPE, dejo constancia de mi profundo agradecimiento, por su amistad, respaldo y apoyo en todas las actividades que realizó en mi labor científica.

Roberto Aguiar Falconí Ph.D. Agosto de 2003

CAPÍTULO 1

RELACIÓN MOMENTO CURVATURA Y VISION 2000

RESUMEN Se presenta el cálculo de la relación momento curvatura para elementos de hormigón armado, sin considerar el acoplamiento del efecto del corte. Con el objeto de ilustrar el cálculo de un punto del diagrama se trabaja con modelos de hormigón no confinado muy sencillos de manejar como son: el modelo de Jensen y el modelo de Whitney. Por otra parte para el acero se utiliza el modelo elasto plasto. Los ejemplos que se resuelven son: una viga, un muro de corte y una columna. Posteriormente se presenta en forma resumida el Método de las Dovelas que se utiliza para encontrar todo el diagrama momento curvatura pero está orientado a la elaboración de un programa de ordenador. Existen formulas aproximadas para encontrar los puntos notables del diagrama momento curvatura, en este capítulo se presentan estas fórmulas para vigas simplemente armadas y vigas doblemente armadas. En este contexto se presenta el formulario propuesto por Y. Park que tiene un carácter experimental y analítico para encontrar las relaciones momento curvatura en vigas y columnas, se resuelven dos ejemplos y los valores obtenidos se comparan con los que reporta el programa CEINCI1. Por otra parte se presentan aplicaciones de los diagramas momento curvatura en el diseño sísmico de estructuras, como son: la capacidad de ductilidad por curvatura, la demanda de ductilidad, la reserva de ductilidad, la redistribución de momentos, la determinación de inercias agrietadas, índices de daño a nivel de elementos. Finalmente se presenta la nueva filosofía de diseño sísmico de estructuras propuesto por VISION 2000, se indican los cuatro sismos de análisis denominados: frecuente, ocasional, raro y muy raro que tienen períodos de retorno de 43, 72, 475 y 970 años respectivamente. Luego se indica en términos generales el desempeño que deben tener las estructuras en función del uso de las mismas para estructuras básicas, esenciales y de seguridad crítica.

2

1.1

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE INTRODUCCIÓN

Cuando se termina un diseño estructural, es muy importante conocer la relación momento curvatura M − φ , de las secciones de sus elementos, con el objeto de conocer cual es la capacidad de ductilidad por curvatura µ φ , la máxima capacidad a flexión del elemento M u y comparar estas cantidades con las demandas que se tienen en el diseño. Si un elemento tiene muy poca capacidad de ductilidad por curvatura va a presentar una falla frágil cuando la estructura ingrese al rango no lineal, lo cual no es deseable. Lo ideal es que tenga un valor alto de µ φ para que la edificación disipe la mayor cantidad de energía, para que sea posible la redistribución de momentos y de esa manera trabajen todos los elementos en una forma adecuada. En el análisis no lineal, es fundamental conocer la relación M − φ para encontrar la rigidez de cada una de las ramas del diagrama histerético que se utiliza para definir la no linealidad del material. La relación M − φ es la base del análisis no lineal dinámico y del análisis no lineal estático, como se vera en los capítulos posteriores de este libro. El diagrama M − φ es función de los modelos constitutivos que se utilizan para determinar la relación esfuerzo-deformación del hormigón y del acero. En efecto si emplea el bloque rectangular de Whitney (1942) y el modelo elasto plástico para el hormigón y acero, respectivamente, los valores de µ φ que se obtengan serán bajos. En cambio si se utiliza un modelo de hormigón confinado como el propuesto por Park et al (1982) y un modelo de acero que contemple endurecimiento post fluencia se encontraran valores más altos de µ φ y son más cercanos a la realidad. En la figura 1.1 se presentan tres modelos para el hormigón no confinado, el de la izquierda es el modelo de Jensen o bloque trapezoidal, el de la mitad es el modelo de Hognestad (1955) y el de la derecha el bloque rectangular del ACI o de Whitney (1942). Este último se utiliza para el diseño por ser un modelo conservador y sencillo para encontrar la resultante de la fuerza a compresión; el valor de β1 = 0.85 para hormigones con una resistencia a la compresión menor a 35 MPa en el modelo de Whitney.

Figura 1.1 Modelos del hormigón no confinado.


3

En la figura 1.2 se indican tres modelos para definir el comportamiento del acero, el de la izquierda es el Elasto-Plasto muy utilizado en el diseño por su sencillez, el de la mitad es el modelo trilineal que contempla incremento de esfuerzos en la zona postfluencia mediante una variación lineal y el de la derecha es la curva completa que considera una ecuación de segundo grado para la zona de endurecimiento.

Figura 1.2 Modelos del acero. En este capítulo, únicamente por ilustrar la forma de cálculo de un punto del diagrama

M − φ se utiliza el bloque rectangular de Jensen o el bloque rectangular del ACI, para el hormigón y el modelo elasto plástico para el acero, por la sencillez de las operaciones pero para fines de programación es conveniente utilizar modelos como el de Park et al (1982) para el hormigón y el trilineal para el acero.

1.2

ESQUEMA DE CÁLCULO

Básicamente hay algunas formas de cálculo del diagrama momento curvatura pero todas ellas están basadas en los mismos principios que son: compatibilidad de deformaciones, equilibrio de fuerzas y equilibrio de momentos. El procedimiento de cálculo orientado a la elaboración de un programa de computación se indica a continuación: i)

Seleccionar un valor de deformación máxima del hormigón, ∈c, para obtener un punto del diagrama momento curvatura.

ii)

Imponerse una ubicación del eje neutro c, y en base a esta ubicación trazar el perfil de deformación a lo largo de la profundidad de la sección. Se supone que la deformación varía linealmente. Por medio de la compatibilidad de deformaciones se determina las deformaciones en cada fila de acero, ∈s, y en cualquier punto del hormigón.

iii)

Con las deformaciones obtenidas, se obtienen los correspondientes esfuerzos del acero y el hormigón en base a las curvas constitutivas de los respectivos materiales.

iv)

En función de los esfuerzos, se calculan las fuerzas que actúan sobre la sección de acero y hormigón, multiplicando cada esfuerzo por su área respectiva.

v)

La suma vectorial de las fuerzas representa la carga axial neta que gravita sobre la sección. Se ve que exista equilibrio de fuerzas, considerando la carga axial dada. Si no hay equilibrio se repite desde el paso ii) aumentando o disminuyendo la profundidad del eje neutro, según cual sea el caso. El cálculo es interactivo hasta tener equilibrio.

4

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE vi)

Por último, se obtiene el momento flector interno que corresponde a la última posición del eje neutro, multiplicando cada fuerza por su brazo respectivo, medido desde el eje de referencia al centroide plástico de la sección. La curvatura se calcula como la razón de la deformación del hormigón ∈c, sobre la distancia al eje neutro.

De esta forma se obtiene un punto del diagrama envolvente momento curvatura. Para encontrar otro punto se impone un nuevo valor de ∈c y se repite del paso ii) al paso vi).

1.2.1

Ejemplo de aplicación N. 1

Encontrar el Momento M y la curvatura φ, para la viga rectangular simplemente armada indicada en la figura 1.3, para una deformación del hormigón ∈c = 0.001. Se considera el bloque de Jensen para el comportamiento del hormigón y el modelo trilineal para el comportamiento del acero. Los datos de la sección transversal de la viga, son:

h = 40 cm.

b = 30 cm.

As = 12.56 cm 2

d = 35 cm.

E s = 2100000 kg / cm 2

f y = 4200 kg / cm 2 f c' = 210 kg / cm 2

Figura 1.3 Sección transversal de una viga simplemente reforzada, diagramas de deformaciones y esfuerzos

En el bloque de Jensen, se tiene para una deformación ∈c = 0.002 la resistencia en el hormigón es 0.85 f'c. En consecuencia, para ∈c = 0.001, la resistencia será 0.425 f'c. Las ecuaciones de cálculo, para del ejemplo se indican a continuación.

∈c ∈ = s c d −c fs = E s ∈s

⇒

Ts = As f s

⇒

Cc = donde

⇒

1 cb(0.425 f ' c) ⇒ 2

d −c ∈c c fs = 2100000× ∈s

∈s =

Ts = 12.56 × fs Cc =

1 × c × 30 × 0.425 × 210 2

c es la profundidad del eje neutro, ε c es la deformación del hormigón a compresión,

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εs

d es la altura efectiva de la sección, f s es el esfuerzo del acero para el rango elástico, Ts la fuerza a tracción en el acero, C c es la resultante de la fuerza a compresión del hormigón, b, h son las dimensiones de la sección transversal de la viga y E s es el módulo de elasticidad del acero. es la deformación del acero a tracción,

Para el ejemplo, la deformación del acero es menor al de fluencia razón f s = E s

εy =

fy Es

. Por esta

ε s . En la tabla 1.1, se indican los ciclos de cálculo habiendo empezado con una

profundidad del eje neutro c = 20 cm. Tabla 1.1 Ciclos de Cálculo, hasta obtener equilibrio de fuerzas CICLO

c cm

∈s

fs kg/cm2

Ts T

Cc T

1 2 3

20.0 18.0 18.2

0.00075 0.00094 0.00092

1575.0 1983.3 1938.4

19.78 24.91 24.35

26.78 24.09 24.36

En el tercer ciclo, se considera que existe equilibrio de fuerzas, en consecuencia el Momento M y la curvatura φ , para la deformación del hormigón igual ε c = 0.001 resulta:

0.182 ⎞ c⎞ ⎛ ⎛ M = Ts ⎜ d − ⎟ = 24.35 ⎜ 0.35 − ⎟ = 7.047 Tm. 3⎠ 3 ⎠ ⎝ ⎝ ε 0.001 1 φ= c = = 0.0055 c 0.182 m Nótese que la ubicación de la resultante de la fuerza a compresión

C c está ubicado a

c / 3 debido a que la distribución de esfuerzos es triangular. 1.2.2

Ejemplo de aplicación N. 2

En la misma viga simplemente armada del ejemplo 1, encontrar el momento y la curvatura para una deformación del hormigón ε c = 0.003 trabajar con el modelo de Jensen para el comportamiento del hormigón y con el modelo elastoplasto para el acero. En la figura 1.1 se indica el modelo de Jensen y se aprecia que la variación lineal de esfuerzos finaliza en el valor de ε o = 0.002 para el valor de ε c del ejemplo que es de 0.003 el diagrama de esfuerzos está compuesto por una variación lineal y una variación constante como se indica a la derecha de la figura 1.4. Se ha denominado con la letra f a la profundidad del diagrama entre las deformaciones

εo

y

εc .

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Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE

Para iniciar el cálculo se considera una profundidad del eje neutro c = 15 cm . como valor inicial.

ε ε

ε

Figura 1.4 Diagrama de deformaciones y esfuerzos para ejemplo 2. Por compatibilidad de deformaciones se tiene:

εc c

=

εo

⇒

c− f

0.003 0.002 = 15 15 − f

La resultante de la fuerza de compresión del hormigón

⇒ f = 5 cm

C c es igual a la contribución del

bloque rectangular ( 1 ) más la contribución del bloque triangular ( 2 ).

C c = (0.85 b f ' c ) ∗ f +

1 (0.85 b f ' c ) ∗ (c − f ) 2 1 C c = (0.85 ∗ 30 ∗ 210 ) ∗ 5 + (0.85 ∗ 30 ∗ 210 ) ∗ (15 − 5) = 53500 Kg . 2 Para encontrar la contribución del acero primero se debe calcular la deformación del acero para ver si está en el rango elástico o en el plástico y determinar su correspondiente esfuerzo f s .

εc c

=

εs

εs 0.003 = 15 35 − 15

d −c

El valor de

εs

es mayor que

εy

⇒ ε s = 0.00399

luego por el modelo elastoplasto del acero f s = f y

Ts = As ∗ f y = 12.56 ∗ 4200 = 52752 Kg .

C c es aproximadamente igual al valor de Ts por lo que se asume que la profundidad del eje neutro es c = 15 cm. si se desea mayor exactitud se puede realizar un nuevo ciclo de cálculo con un valor de c ligeramente menor. Para el cálculo del momento se debe encontrar la ubicación de la resultante de la fuerza C c para ello se tiene: El valor de

Tabla 1.2 Cálculo del Centro de Gravedad del diagrama del hormigón.

7


X cg

Figura

X cg

Area

X cg Area

1 2

2.5 8.33

892.5 892.5 1785

2231.25 7437.203 9668.45

(1)

=

∑=

5 = 2 .5 2

X cg

( 2)

=

Area (1) = 0.85 f ' c ∗ f = 892.5

X =

c− f 15 − 5 + f = + 5 = 8.33 3 3 0.85 f ' c(c − f ) Area ( 2 ) = = 892.5 2

9668.45 = 5.417 1785

M = Ts (d − X ) = 52725(35 − 5.417 ) = 1559763.675 kg cm = 15.60 Tm.

φ=

1.2.3

εc c

=

0.003 1 = 0.00025 15 cm

Ejemplo de aplicación N. 2, para un muro de corte sin cabezales

Encontrar la curvatura φ, para el muro de corte indicado en la figura 1.4, para una deformación del hormigón ∈c = 0.004. Se considera el bloque rectangular del A.C.I. para el comportamiento del hormigón y el modelo elastoplasto para el comportamiento del acero. Por otra parte, la carga axial actuante se considera igual a 40 T.

tw = 20 cm.

fy = 4200 kg/cm2

Lw = 400 cm.

f'c = 210 kg/cm2

As = 20.28 cm2

β1 = 0.85

La forma de solución es la misma que la del ejemplo anterior. Únicamente, con el objeto de presentar la teoría de Cárdenas y Magura (1973) para muros de corte, se resuelve como ellos lo plantearon para el caso en que la armadura se encuentra uniformemente distribuida.

•

Equilibrio de Fuerzas Po = C c + C s − Ts C c = 0.85´ f ' cβ 1c t w C s = ρ s t w (c − β c ) fy

Ts = ρ s t w [Lw − (c + β c )] fy

ρs =

As t w Lw

8


Figura 1.2

Geometría de muro de corte y diagramas de deformaciones y esfuerzos en hormigón y acero.

Al sustituir Cc , Cs y Ts en Po, se obtiene la profundidad del eje neutro, luego de simplificar términos:

Po ⎤ fy ⎡ ⎢ ρs f 'c + A f 'c ⎥ w ⎥ Lw c=⎢ ⎢ 0.85 β + 2 ρ fy ⎥ s 1 ⎢ f ' c ⎥⎦ ⎣ siendo Aw = Lw tw = 400*20 = 8000 cm2.

4200 40000 ⎡ ⎤ ⎢ 0.002535 210 + 8000 × 210 ⎥ c=⎢ ⎥ 400 ⎢ 0.85 × 0.85 + 2 × 0.002535 × 4200 ⎥ 210 ⎦⎥ ⎣⎢ c = 36.174cm

φ=

1.2.4

∈c 1 0.004 = = 0.0001106 c 36.174 cm

Ejemplo de aplicación N. 3, para una columna cuadrada

9


Se desea encontrar el momento y la curvatura para la columna cuadrada indicada en la figura 1.5 para una deformación del hormigón ε c igual a 0.002. Se considera el modelo elastoplasto para el acero y el bloque rectangular de Whitney para el hormigón. No se considera la contribución de los estribos en el confinamiento del hormigón.

As = 16.08 cm 2

f c' = 210 kg / cm 2

f y = 4200 kg / cm 2

E s = 2100000 kg / cm 2

P0 = 665.4 kg .

b = h = 30 cm.

Figura 1.5 Sección transversal de una columna rectangular, diagrama de deformaciones y esfuerzos.

•

Deformaciones en las diferentes capas de acero, que se obtienen por compatibilidad de deformaciones (triángulos semejantes en figura central de 1.5), en función del recubrimiento r , de la profundidad del eje neutro c , de la altura de la sección de la columna h , de la altura efectiva d , y de la deformación del hormigón ε c .

⎛ ⎝

r⎞ c⎠

ε s1 = ⎜1 − ⎟ ε c •

⎞

⎛d ⎞ − 1⎟ε c ⎝c ⎠

ε s3 = ⎜

ε si , considerando un modelo ε y como la deformación de fluencia del acero, ε y = f y / E s .

Fuerzas en la fila de acero i en función de la deformación elasto plasto. Se define

•

⎛ h

ε s 2 = ⎜⎜ − 1⎟⎟ε c ⎝ 2c ⎠

f si = E s ε si

ε si ≤ ε y

f si = f y

ε si > ε y

La determinación del eje neutro

c , se realiza en forma interactiva hasta que se tenga FC y las fuerzas a tracción FT .

equilibrio entre las fuerzas a compresión

10


•

FC = CC + Ts1 + Po

CC = 0.85 f c' β1 c b

FT = Ts 2 + Ts 3

Ts 2 = As 2 f s 2

Ts 3 = As 3 f s 3

c , se calcula el momento M y la curvatura

Una vez que se tiene definido el eje neutro φ.

h a M = (Po − Ts 2 ) + r Ts1 + C c − d Ts 3 2 2 •

c

φ=

εc c

En la tabla 1.2 se muestran las iteraciones realizadas hasta obtener el equilibrio.

Tabla 1.2 Resumen de cálculo de la profundidad del eje neutro

ε s1

ε s2

ε s3

(cm) 7.0 6.6 6.905

Ts1 = As1 f s1

0.00086 0.00079 0.00080

0.00229 0.00255 0.00223

0.00543 0.00588 0.00525

f s1

f s2

f s3

Ts1

Ts 2

Ts 3

CC

kg / cm 2

kg / cm 2

kg / cm 2

(Kg)

(Kg)

(Kg)

(Kg)

1800.000 1654.545 1678.799

4200 4200 4200

4200 4200 4200

10854 9976.9 10123.2

16884 16884 16884

25326 25326 25326

31862.3 30041.6 31432.1

FT = Ts 2 + Ts 3 = 16884 + 25326 = 42210 kg FC = C C + Ts1 + Po = 31432.1 + 10123.2 + 665.4 = 42220.7 Kg M = (665.4 − 16884) 15 + 4 ∗ 10123.2 +

0.85 * 6.905 31432.1 − 26 ∗ 25326 2

M = −769020.78 Kg cm = −7.69 T m.

φ=

1.3

1 0.002 = 0.0002896 6.905 cm

MÉTODO DE DOVELAS

En el apartado anterior un punto del diagrama momento curvatura se obtenía para un valor de deformación del hormigón a compresión ε c , y luego se van encontrando otros puntos para otros valores de

εc .

En el método de las dovelas o método de las fibras, Kunnath et al

(1992), Park et al (1987), un punto del diagrama corresponde a una curvatura dada y lo que se va incrementando es la curvatura para hallar otros puntos. Las ideas generales del método fueron propuestas por Mander (1984) y consiste en dividir la sección de hormigón en un número finito de elementos y las filas de refuerzo de acero estén completamente definidas. La deformación en una sección cualquiera, viene dada por:

11


∈ ( z ) = d ∈o + zdφ

(1.1)

donde d∈o es la deformación en el centroide de la sección, z es la distancia medida desde el eje de referencia, si va al centro de una dovela se notará Z i y si va hasta una fila de acero será Z j y dφ es la curvatura de la sección para la que se está evaluando. La resultante de la carga axial N y momento M viene dada por las siguientes ecuaciones:

N = ∫ Ed ∈ dA

M = ∫ Ed ∈ zdA

(1.2) (1.3)

donde E es el respectivo módulo de elasticidad, del hormigón o del acero, según cual sea la fibra, d∈ es la deformación de la fibra y dA es el área de la dovela de hormigón o el área de la fila de aceros. Reemplazando (1.2) en (1.3) y sustituyendo la integral por la sumatoria, se tiene: NSS ⎛ NCC ⎞ ⎜ ∆N = ⎜ ∑ f ci Aci + ∑ f sj Asj ⎟⎟d ∈o j =1 ⎝ i=1 ⎠

NSS ⎛ NCC ⎞ ⎜ +⎜ ∑ f ci Aci zi + ∑ f sj Asj z j ⎟⎟dφ j =1 ⎝ i=1 ⎠

(1.4)

donde NCC es el número de dovelas en que se ha dividido la sección transversal del hormigón y NSS es el número de filas de acero que se consideran en la sección. Por otra parte, fci, fsi son los esfuerzos en el hormigón y en el acero respectivamente. El procedimiento de cálculo a seguir es el siguiente:

i)

Para un nuevo incremento de curvatura, se tiene:

dφ i +1 = dφ i + ∆φ ii)

El cambio en el centroide de deformación para equilibrio de fuerzas es determinado mediante la ecuación (1.4). En el primer paso se considera ∆N*=Po ; ∆N* es igual a la carga axial que actúa en la sección y en los pasos subsiguientes ∆N*=Po - ∆N. El cálculo se realiza de la siguiente forma:

∆ ∈o =

Ea =

Ex = iii)

(1.5)

NCC

∑ i =1

NCC

∑ i =1

(∆N * − E x ∆φ ) Ea

(1.6)

NSS

f ci Aci + ∑ f sj Asj

(1.7)

j =1

NSS

f ci Aci z i + ∑ f sj Asj z j

(1.8)

j =1

El incremento en la deformación centroidal calculado es sumado a la deformación d∈o, y se obtiene las deformaciones en cada dovela y fila de acero con la ecuación (1.1).

12


d ∈o = d ∈o + ∆ ∈o ∈ ( z ) = d ∈o + zdφ iv)

(1.9)

Se obtiene la nueva carga axial y momento utilizando las ecuaciones (1.2) y (1.3) pero trabajando en forma discreta, primero con el hormigón y luego se suma la contribución del acero. Si la carga axial calculada N es aproximadamente igual (con un margen de tolerancia) a la carga Po se procede con el cálculo, caso contrario se repite el proceso de cálculo desde el paso ii) considerando ∆φ = 0. El procedimiento interactivo con el método de las dovelas converge rápidamente.

1.4

FORMA GENERAL DE UN DIAGRAMA MOMENTO CURVATURA

En el capítulo 4 se obtiene el diagrama momento curvatura de una viga, empleando el modelo de Park et al (1982) para el hormigón y el modelo trilineal para el acero. Este diagrama se presenta en la figura 1.6 en el cual se han definido cuatro puntos notables, los mismos que se explican a continuación. •

El punto A, se alcanza cuando el hormigón llega a su máximo esfuerzo a la tracción. En la figura 1.6 se aprecia que la capacidad a flexión del punto A es muy baja por este motivo muchas veces se lo ignora, pero estrictamente es el comienzo del rango elástico.

•

El punto Y, se determina cuando el acero a tracción alcanza el punto de fluencia, definido por un esfuerzo f y , y una deformación ε y . En varios estudios se considera el rango elástico a la recta que une el origen de coordenadas con el punto Y.

•

El punto S, se obtiene cuando el acero a tracción se encuentra al inicio de la zona de endurecimiento, es decir al final de la plataforma de fluencia, en el modelo trilineal del acero indicado en la figura 1.2, se tendría este punto en la deformación ε sh .

•

El punto U, se halla cuando el hormigón llega a su máxima deformación útil a compresión ε u . No es la falla de la sección del elemento. Existe un punto adicional que tiene una menor capacidad a flexión y mayor deformación que corresponde al colapso, este punto de fallo F más interesa para evaluar daño, Aguiar y Barbat (1997). Pero para fines prácticos los cuatro puntos indicados son los más importantes.


13

Figura 1.6 Diagrama momento curvatura de una viga doblemente armada resuelta en capítulo 4.

1.5

RÓTULA PLÁSTICA

Es muy común trabajar el diagrama momento curvatura en base a tres puntos notables: A, Y, U. En consecuencia el punto S, se suele ignorarlo. Ahora bien una definición bastante utilizada en el campo de la Ingeniería Sísmica es el de Rótula Plástica, se define este punto como aquel en que la sección no es capaz de absorber mayor momento a flexión y empieza únicamente a rotar.

Figura 1.7 Determinación de un modelo bilineal en función de la definición de rótula plástica.

14

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE El punto Y, descrito en el apartado anterior no es el inicio de la rótula plástica. En la

figura 1.7 se presenta con las coordenadas

φY' , M n , se obtiene este punto por el criterio de

iguales áreas. El área del diagrama momento curvatura inicial debe ser igual al área del modelo bilineal indicado en la figura 1.7 en función del punto de inicio de la rótula plástica. En la realidad no existe la rótula plástica pero es una definición que se la utiliza en el campo de la Ingeniería Sísmica para encontrar fórmulas que simplifican algún problema. En el presente libro no se trabaja con la definición de rótula plástica sino en base a los puntos notables indicados.

1.6

FÓRMULAS APROXIMADAS

Para encontrar los puntos notables A, Y, U, del diagrama momento curvatura, existen fórmulas aproximadas que se pueden utilizarlas cuando no se dispone de un programa de ordenador. Estás fórmulas se presentan a continuación.

1.6.1 •

Vigas simplemente armadas

Punto A

MA =

I f ct Ct

M φA = A Ec I

f ct = 0.10 f c'

Ct =

h 2 ( 1.10)

b h3 I= 12

C t es la distancia del centro de gravedad de la sección a la fibra más traccionada; f ct es el esfuerzo máximo a tracción del hormigón, I es el momento de inercia de la sección. Las

donde

restantes variables han sido ya indicadas.

•

Punto Y

M Y = As f y jd n=

Es Ec

⎛ k⎞ jd = ⎜1 − ⎟d ⎝ 3⎠ A ρ= s bd

k=

φY =

(nρ )2 + 2nρ εy

− nρ ( 1.11)

(1 − k )d

kd la profundidad del eje neutro, jd es el brazo de palanca o distancia desde el centroide de la fuerza a compresión del hormigón al centroide de la fuerza de tensión, d es la altura efectiva, As es la armadura a tracción de la viga. Se ha utilizado la nomenclatura siendo

presentada por Marín (1979).

15

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO •

Punto U

As f y d ⎞ ⎛ ⎟ M U = As f y ⎜⎜ d − ' ⎟ b f 1 . 7 c ⎠ ⎝

donde

εU

φÚ =

εU

c=

c

As f y 0.7225 b f c'

es la deformación máxima útil del hormigón, para análisis se considera

ε U = 0.004 .

Este valor es para cuando no se considera la contribución de la armadura

εU β1 = 0.85

transversal, al considerar el confinamiento del hormigón el valor de En la ecuación que define el eje neutro

1.6.2

( 1.12)

c se ha considerado

es mayor al anotado.

Vigas doblemente armadas

Para el cálculo del punto A se procede de igual manera que en el caso de vigas simplemente armadas.

•

Punto Y

⎛ k⎞ jd = ⎜1 − ⎟d ⎝ 3⎠

M Y = As f y jd

ρ=

As bd

ρ' =

As' bd

(ρ − ρ )

' 2

k= n=

' ⎛ ' d ⎞ ⎟⎟n − (ρ + ρ ' )n ⎜ n + 2⎜ ρ + ρ d ⎠ ⎝ 2

Es Ec

φY =

εY

(1 − k )d

( 1.13)

'

donde As es la armadura a compresión. Las restantes variables han sido ya definidas.

•

Punto U

M U = 0.85 a b f

φU =

εc c

=

La deformación

ε c β1

' c

(d − 0.5 a ) + A

' s

f y (d − d

'

)

(A a=

s

− As' ) f y

0.85 b f c'

( 1.14)

a

εc

no se la conoce razón por la cual no es posible utilizar la ecuación

(1.14). En este contexto lo más adecuado es utilizar el formulario propuesto por Young Park que tiene un carácter experimental y teórico que se indica a continuación y es aplicable para vigas y columnas.

16


1.6.3 •

Formulario general para Vigas y Columnas

Punto A

MA =

donde

•

P ⎞ I ⎛ ⎜ f ct + o ⎟ Ct ⎝ A⎠

φA =

A=bh

( 1.15)

Po es la fuerza axial de compresión. Las otras variables han sido ya definidas. Punto Y

[

M Y = 0.5 f c' b d 2 (1 + β c − η )η o + (2 − η ) pt + (η − 2 β c )α c p t'

βc =

d' d

pt =

As f y

η=

(p

t

0.75 1+ α y pt' =

b d f c'

α c = (1 − β c ) k=

MA Ec I

⎛ εc ⎜⎜ ⎝εo

⎞ ⎟⎟ ⎠

)

2

1 4α

2 y

αy =

As' f y

ηo =

] Po b d f c'

ε c = φy d − εY ≤ εU

b d f c'

( 1.16 )

η ⎤ εy ⎡ φ y = ⎢1.05 + (C 2 − 1.05) o ⎥ 0.03 (1 − k )d

εc − βc ≤ 1 εy

+ pt'

εy εo

0.7

⎣

(

+ pt + β c pt'

⎦

)α1 − ( p y

t

+ pt'

) 2α1

C2 = 1 + y

0.45 (0.84 + pt )

Las formulas indicadas en (1.16) fueron propuestas por Y. Park (1985) tienen un respaldo teórico y experimental basado en el ensayo de 400 elementos. Las variables todavía ' no definidas, son: d es el recubrimiento de la armadura a compresión, ε o es la deformación del hormigón asociado a la máxima resistencia. Se ha mantenido en lo posible la nomenclatura utilizada por Y. Park.

•

Punto U

M U = (1.24 − 0.15 p t − 0.5 η o )M y

φu = µφ φ y ⎛ε ⎞ µφ = ⎜⎜ p ⎟⎟ ⎝ εo ⎠

( 1.17) 0.218 pw − 2.15

exp(0.654 pw + 0.38)

donde pw es la cuantía de confinamiento del refuerzo transversal en porcentaje. Si pw > 2% se considera pw = 2 . Por otra parte la ductilidad por curvatura

µφ

será igual a 1 si el valor

que resulta al aplicar la respectiva ecuación es menor a la 1. Las variables todavía no definidas son:

17


ε p = 0.5 ε b + 0.5 ε b2 + θ s2 η ⎤ ⎡ ε b = ⎢C1 + (C 2 − C1 ) o ⎥ φ y 0.3 ⎣ C1 = 1.05

⎦ Para pt' ≠ 0

C1 = 1 + 1.9 pt2.4

Para

C2 = 1 +

0.45 (0.84 + 2 pt' − pt )

0.002 L − 0.5 d 0.002 θs = [1 + 0.27(u − 5)] L − 0.5 d 0.002 ⎡ 0.185(u − 5) ⎤ θs = ⎢1 + ⎥ L pw − 0 . 4 ⎢ ⎣ ⎦⎥ − 0.5 d

θs =

u=

donde

θs

pt' = 0

u<5

o

L >4 d

u>5

y

2.5 <

u>5

y

L <4 d

L < 2.5 d

τb

f c'

es la rotación por corte,

τb

es el esfuerzo promedio de adherencia y L es la

longitud del elemento.

1.6.4

Ejemplo de Aplicación N. 4, para una viga doblemente armada

Determinar los puntos A, Y, U, de la relación momento curvatura, para la viga cuya sección transversal se indica en la figura 1.8, utilizando los formularios indicados en el presente 2 ' 2 apartado. Los datos de la viga son: As = 35.47 cm , As = 18.84 cm , b = 40 cm ,

d = 55 cm , d ' = 5 cm , f c' = 210 kg / cm 2 , f y = 4200 kg / cm 2 , L = 6.0 m. , pw = 1.2% ,

E = 2100000 T / m 2 . •

Punto A

0 .4 ∗ 0 .6 3 I= + 0.003547 ∗ 0.25 2 + 0.001884 ∗ 0.25 2 = 0.007539 m 4 12 0.007539 M A = 0.1 ∗ 2100 ∗ = 5.278 Tm 0.30 5.278 φA = = 0.000332 1 / m. 2100000 ∗ 0.007539

18


Figura 1.8 Descripción de sección transversal de viga de ejemplo N. 4. •

Punto Y

35.47 ∗ 4200 = 0.322455 40 ∗ 55 ∗ 210 18.84 ∗ 4200 pt' = = 0.171273 40 ∗ 55 ∗ 210 pt + pt' = 0.493728 pt =

0.002 = 0.952381 0.0021 5 .0 βc = = 0.090909 55.0

αy =

k=

(0.493728)2

+

(0.322455 + 0.090909 ∗ 0.171273) −

0.952381 4 ∗ 0.952381 0.002 = 0.005966 1 / m. φY = (1.0 − 0.390496) ∗ 0.55 ε c = 0.005966 ∗ 0.55 − 0.002 = 0.001281 2

0.7

0.493728 = 0.390496 2 ∗ 0.952381

0.75 ⎛ 0.001281 ⎞ ⎜ ⎟ = 0.271786 1 + 0.952381 ⎝ 0.0021 ⎠ 0.001281 − 0.090909 = 0.491364 α c = (1 − 0.090909) 0.002 ⎡(2 − 0.271786) ∗ 0.322455 + (0.271786 − 2 ∗ 090909) ∗⎤ M Y = 0.5 ∗ 2100 ∗ 0.40 ∗ 0.55 2 ∗ ⎢ ⎥ ⎦ ⎣0.491364 ∗ 0.171273

η=

M Y = 71.7632 Tm.

19


Punto U

C 1 = 1.05

ε b = 1.05 ∗ 0.005966 = 0.006264 θs =

0.002 6.0 0.55

ε

p

= 0.0002

− 0.5

= 0.5 ∗ 0.006264 + 0.5 0.006264 2 + 0.0002 = 0.006266

⎛ 0.006266 ⎞ µφ = ⎜ ⎟ ⎝ 0.0021 ⎠

0.218∗1.2 − 2.15

∗ exp(0.654 ∗ 1.2 + 0.38) = 0.4067

Pero la ductilidad por curvatura no debe ser menor que 1. Por lo tanto

µφ = 1

φU = 0.005966 1 / m.

M U = (1.24 − 0.15 ∗ 0.322455) ∗ 67.975 = 81.001 Tm.

Con el objeto de ver el grado de confianza de los resultados obtenidos se encontró los puntos A, Y, U, utilizando el programa CEINCI1 Aguiar (1996, 1999), se consideró para el efecto que los estribos de la viga son de 10 mm. de diámetro y están espaciados cada 10 cm. En la tabla 1.3 se indican los resultados encontrados de las dos maneras y se aprecia que hay una muy buena correlación en los momentos pero no así en las curvaturas.

Tabla 1.3 Puntos Notables del diagrama momento curvatura obtenidos con formulario y con CEINCI1. Ejemplo N. 4

Punto φ A (1/m.)

Formulario 0.000332

CEINCI1 0.0005657

M A (Tm.)

5.278

8.093

0.005966

0.007920

71.763

71.874

0.005966

0.080786

81.001

86.366

φY

(1/m.)

M Y (Tm.) φU (1/m.) M U (Tm.)

1.6.5

Ejemplo de Aplicación N. 5, para una columna

Se desea encontrar los puntos notables A, Y, U, para la columna rectangular cuya sección transversal se indica en la figura 1.9, la base de la sección es de 30 cm, la altura 40 cm., está armada con 12 hierros de 16 mm. de diámetro cada uno, la longitud del elemento es de 2.30 m. y la carga axial que gravita sobre la misma es de 30 T.

20


Figura 1.9 Sección transversal de una columna de 30/40 con 10 •

I=

φ

de 16 mm.

Punto A

0.3 ∗ 0.4 3 + 6 ∗ (0.000201 ∗ 0.15 2 ) + 4 ∗ (0.000201 ∗ 0.05 2 ) = 0.001629 m 4 12 0.001629 ⎛ 30.0 ⎞ MA = ⎜ 0.1 ∗ 2100 + ⎟ = 3.747 Tm. 0.20 ⎝ 0.3 ∗ 0.4 ⎠ 3.747 φA = = 0.001095 1 / m. 2100000 ∗ 0.001629 •

Punto Y

10.05 ∗ 4200 = 0.191429 30 ∗ 35 ∗ 210 pt + pt' = 0.382859 pt = pt' =

0.002 = 0.952381 0.0021 5.0 βc = = 0.142857 35.0 (0.191429 + 0.142857 ∗ 0.191429 ) − 0.382858 = 0.318726 0.382858 2 k= + 2 0.952381 2 ∗ 0.952381 4 ∗ 0.952381 0.45 = 1.436288 C2 = 1 + 0.84 + 0.191429 30.00 ηo = = 0.136054 2100.00 ∗ 0.30 ∗ 0.35 0.136054 ⎤ 0.002 ⎡ φY = ⎢1.05 + (1.426288 − 1.05) ∗ ∗ = 0.010276 1 / m. ⎥ 0.3 ⎦ (1.0 − 0.318726 ) ∗ 0.35 ⎣

αy =

21


ε c = 0.010276 ∗ 0.35 − 0.002 = 0.001597 0.7

0.75 ⎛ 0.001597 ⎞ ⎜ ⎟ = 0.31713 1 + 0.952381 ⎝ 0.0021 ⎠ 0.001597 − 0.142857 = 0.541572 α c = (1 − 0.142857 ) 0.002 ⎡(1 + 0.142857 − 0.31713) ∗ 0.136054 + (2 − 0.31713) ∗ 0.191429⎤ M Y = 0.5 ∗ 2100 ∗ 0.3 ∗ 0.35 2 ∗ ⎢ ⎥ ⎣+ (0.31713 − 2 ∗ 0.142857 ) ∗ 0.541572 ∗ 0.191429 ⎦ M Y = 16.8918 Tm.

η=

•

Punto U

M U = (1.24 − 0.15 ∗ 0.191429 − 0.5 ∗ 0.136054) ∗ 16.8918 = 19.3117 Tm.

θs =

0.0002 = 0.000329 2.30 − 0.5 0.35

⎡ ⎣

ε b= ⎢1.05 + (1.436288 − 1.05)

0.136054 ⎤ ∗ 0.010276 = 0.01259 0.3 ⎥⎦

ε p = 0.5 ∗ 0.01259 + 0.5 ∗ 0.01259 2 + 0.000329 2 = 0.01259 ⎛ 0.01259 ⎞ µφ = ⎜ ⎟ ⎝ 0.0021 ⎠

0.218∗1.2 − 2.15

∗ exp(0.645 ∗ 1.2 + 0.38) < 1.0

→ µφ = 1

→ φ u = φY

Tabla 1.4 Puntos Notables del diagrama momento curvatura obtenidos con formulario y con CEINCI1. Ejemplo N. 5

Punto φ A (1/m.)

Formulario 0.001095

CEINCI1 0.001508

M A (Tm.)

3.747

4.83

0.010276

0.016206

16.892

17.41

0.010276

0.202608

19.312

22.59

φY

(1/m.)

M Y (Tm.) φU (1/m.) M U (Tm.)

En la tabla 1.4 se presentan los puntos A, Y, U obtenidos con el formulario y con el programa CEINCI1. Nuevamente se aprecia que los momentos obtenidos con los dos métodos son bastante parecidos. Con las curvaturas existe alguna diferencia para los puntos A, Y. Para el punto U definitivamente la diferencia es notable esto se debe a que no reporta resultados adecuados el cálculo de la ductilidad por curvatura obtenido por Y. Park (1985). Existen otros trabajos para encontrar en forma aproximada los puntos notables del diagrama momento curvatura, como los que presenta Satyarno (2000). Lo más adecuado es contar con un programa de ordenador para encontrar todos los puntos del diagrama momento curvatura y los puntos notables. Este programa debe contemplar

22


un modelo para el hormigón confinado y un modelo que tome en cuenta la zona de endurecimiento del acero.

1.7

APLICACIONES DE LA RELACIÓN MOMENTO CURVATURA

La principal aplicación de las relaciones momento curvatura en el contexto del presente libro se tiene en el cálculo de la rigidez de un elemento que está trabajando en el rango no lineal como se verá en los capítulos subsiguientes, especialmente en el próximo. Sin embargo de ello se presentan otras aplicaciones orientadas al diseño sismo resistente.

1.7.1

Ductilidad local por curvatura

Una definición, un tanto cuestionada Blume et al (1961) pero muy utilizada dentro de la Ingeniería Sismo Resistente, es la referente a la ductilidad por curvatura µφ, que relaciona la curvatura última φu , con relación a la curvatura de fluencia φy , que se denomina también como la capacidad de ductilidad por curvatura de una sección.

µφ =

φu φy

Figura 1.10 Modelo Trilineal y un momento actuante

( 1.18 )

Md ante un sismo muy fuerte.

En el diseño sismo resistente de una estructura es necesario que

µφ

sea lo más alta

posible para que la estructura sea capaz de disipar la mayor cantidad de energía ante un sismo muy severo.

1.7.2

Reserva de ductilidad por curvatura

En el siguiente apartado, se habla sobre los sismos de análisis que con los cuales se debe verificar el desempeño estructural de una edificación. Ahora bien, ante los sismos denominados raro y muy raro, por VISION 2000, que son muy severos la estructura va a ingresar al rango no lineal. Sea Md , el momento actuante debido a uno de los dos sismos indicados, el cual es mayor que My , como se indica en la figura 3.22; asociado a Md se tiene la

23


curvatura φd. Se define la demanda de ductilidad por curvatura

µd =

φd φy

µd

, con la siguiente relación:

( 1.19 )

Por otra parte, se define la reserva de ductilidad por curvatura µ r , como la diferencia entre la capacidad de ductilidad y la demanda de ductilidad, por curvatura.

µr =

φu φ d − φy φy

( 1.20 )

Mientras más alta sea la reserva de ductilidad por curvatura de los diferentes elementos que conforman una estructura, mejor será el comportamiento sísmico que se espera de la edificación, toda vez que se permitirá la redistribución de momentos, se obligará a que otros elementos adyacentes a los que están sobrecargados absorban parte de las cargas, aliviando de esta manera las zonas recargadas.

1.7.3 Redistribución de Momentos Para que se de la redistribución de momentos, es necesario que los elementos tengan suficiente reserva de ductilidad por curvatura, en las secciones críticas que son los extremos de los elementos. El Código ACI-02 calcula en forma muy burda esta reserva de ductilidad en función de la cuantía del acero a tracción balanceada

ρb

ρ , del acero a compresión ρ ' y de la cuantía

y permite que el momento negativo en los extremos de elementos continuos a

flexión pueda incrementarse o disminuirse en no más de lo indicado en la ecuación (1.21).

⎡ (ρ − ρ ' ) ⎤ 20⎢1 − ρ b ⎥⎦ ⎣

Si

ρ − ρ' ρb

( 1.21 )

es mayor que 0.5 el ACI-02 no permite redistribución de momentos.

Un principio fundamental para la redistribución, es que la suma de momentos de las vigas, antes de la redistribución, es igual a la suma de momentos de las vigas, después de la redistribución. En consecuencia, no se admite ninguna modificación a la sumatoria de momentos. La redistribución, se puede realizar de la siguiente manera: •

Redistribución de momentos a través de un nudo. En este caso, si el momento negativo de un nudo se reduce en un determinado porcentaje, en el mismo porcentaje debe aumentarse el momento positivo del nudo en análisis. Por lo tanto, el momento total introducido al nudo permanece inalterado; en consecuencia, los momentos y cortantes de la columna que concurre al nudo, no cambian, Paulay y Priestley (1992).

•

Redistribución de momentos en vigas que involucra redistribución de acciones entre las columnas. Se cambian los momentos en vigas, considerando el principio fundamental de la redistribución indicado anteriormente y luego, se debe buscar el equilibrio del nudo para la cual se modifica los momentos en las columnas y esto conduce a deducir

24

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE unos nuevos cortantes que actuarán sobre las columnas. Se puede únicamente cambiar los momentos en los extremos de las vigas, dejando constante el momento en el centro del tramo. Para lograr el equilibrio, ante cargas verticales, se considera que la viga se encuentra simplemente apoyada. Por lo tanto, los momentos se consideran superpuestos sobre la base de una línea recta que une los momentos de los extremos de las vigas.

Las secciones de las vigas, cuyos momentos se han reducido debido a la redistribución, ingresaran al rango no lineal, en forma anticipada pero tienen suficiente reserva de ductilidad por curvatura y esto implica que tienen suficiente reserva de ductilidad por rotación, lo que permite que el hormigón trabaje a grandes deformaciones y la sección rote inelásticamente transmitiendo las acciones a otros elementos.

1.7.4

Inercias Agrietadas

Una vez que se tiene la relación momento curvatura de una sección, definida por un modelo numérico de cálculo similar al indicado en la figura 1.6 o 1.10, se puede encontrar la rigidez a flexión EI, para diferentes condiciones a las cuales puede estar sujeto el elemento. •

Si la sección no experimenta daño, significa que estrictamente el momento actuante es menor que MA, en este caso se tiene:

EI =

MA

φA

= EI g

( 1.22 )

donde I g es la inercia no agrietada de la sección transversal del elemento y E es el módulo de elasticidad del material. Si en la figura 1.10, se une el punto Y, con el origen se determina la rigidez a flexión agrietada EI cr .

EI cr =

My

φy

( 1.23 )

Desde un punto de vista más riguroso, en base a la relación Momento Curvatura se determinan los modelos histeréticos que se utilizan para el análisis dinámico no lineal Roufaiel y Meyer (1987), tema bastante complejo que no se lo aborda en el presente capítulo. Lo que interesa ilustrar, por ahora, es la forma de calcular I cr del diagrama momento curvatura. Ante un sismo muy severo, la estructura va a sufrir daño. En consecuencia, el análisis sísmico para estos eventos se los realiza considerando la Inercia Agrietada I cr . Los códigos establecen estos valores en función de la Inercia no agrietada I g y está en función del nivel de desempeño estructural esperado de la edificación. A continuación se presentan los valores estipulados en el Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000 y en la Normativa Sismo Resistente de Colombia NSR-98.

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO ♦

Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000

• • •

Icr = 0.5 Ig Icr = 0.8 Ig Icr = 0.2 Ig

♦

Normativa Sismo Resistente de Colombia NSR-98

Estado Límite de Servicio

• • • • •

Icr = 0.5 Ig Icr = 1.0 Ig Icr = 1.0 Ig Icr = 0.5 Ig Icr = 0.35 Ig

Estado Límite de Resistencia

• • • • •

Icr = 0.35 Ig Icr = 0.70 Ig Icr = 0.70 Ig Icr = 0.35 Ig Icr = 0.25 Ig

25

Para Vigas. Para Columnas. Para Muros Estructurales.

Para Vigas. Para Columnas. Para Muros no fisurados Para Muros fisurados Para Losas, en sistemas losa-columna

Para Vigas. Para Columnas. Para Muros no fisurados Para Muros fisurados Para Losas, en sistemas losa-columna

I cr depende del Estado de Diseño, si se espera poco daño (Estado Límite de Servicio) los valores de I cr son más altos en En la Norma NSR-98 se puede apreciar que el valor de

relación a cuando se espera más daño (Estado Límite de Resistencia). Es importante destacar que cuando se trabaja con Inercias Agrietadas todos los elementos de la estructura se ven reducidos su rigidez pero esto no es cierto ya que no todos los elementos van a ingresar al rango no lineal durante un sismo muy severo. Esto es una debilidad de trabajar con I cr .

1.7.5 Índices de daño sísmico local La tendencia del diseño sismo resistente es cuantificar el comportamiento no lineal que se espera de una edificación y esto entre otras cosas significa, calcular el Índice de daño a nivel de sección de los elementos, a nivel de piso y a nivel de la estructura. En el presente apartado se estudia la evaluación del índice de daño a nivel de sección, también denominado índice de daño local y se desea presentar un modelo muy sencillo basado únicamente en las relaciones momento curvatura. El objetivo, es que el lector empiece a familiarizarse con los índices de daño I D .

M d , indicado en la figura 1.10, es igual al momento de fluencia M y , el índice de daño es igual a cero y si el momento actuante M d es igual a M u , Si el momento actuante

el índice de daño es igual a uno. Por otra parte, si se considera una variación lineal del índice de daño, hipótesis del modelo de daño, se tiene que:

26

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE ID =

Md − M y

( 1.24 )

Mu − M y

En forma similar, se puede definir otro modelo de cálculo del índice de daño función de la curvatura.

ID =

1.8

φd − φ y φu − φ y

I D , en

( 1.25 )

SISMOS DE ANÁLISIS DE ACUERDO A VISION 2000

Las normas que están vigentes en la mayoría de los códigos y normativas sísmicas, tienen un objetivo principal, cual es que la estructura tenga un buen comportamiento inelástico ante un sismo severo, el mismo que se define mediante estudios de peligrosidad sísmica, considerando una vida útil de la estructura de 50 años y con un 10% de probabilidad de excedencia. Este sismo tiene un período de retorno que está alrededor de los 475 años. Para este evento, que tiene muy poca probabilidad de registrarse durante la vida útil de la estructura, se desea que la edificación disipe la mayor cantidad de energía y no colapse. De tal forma que el objetivo principal de la mayor parte de los códigos es salvar vidas para el sismo severo. El objetivo indicado en el párrafo anterior, se ha venido cumpliendo en la práctica, en estructuras bien diseñadas pero cuando se han registrado sismos de menor magnitud, con aceleraciones menores a las esperadas en el sismo severo se ha visto que el daño estructural y no estructural es demasiado grande, en las estructuras con alto nivel de diseño sísmico, de tal manera que las pérdidas registradas han sido cuantiosas. Por este motivo es fundamental una vez que se ha terminado de diseñar los elementos estructurales verificar el desempeño que va a tener la edificación ante sismos de menor intensidad y que de seguro se van a registrar durante la vida útil de la estructura, hay que verificar el desempeño en términos estructurales y económicos. En 1992, la Asociación de Ingenieros Estructurales de California SEAOC, conformó el COMITÉ VISION 2000, con la misión de “mirar al futuro y desarrollar un marco de referencia para procedimientos que condujesen a estructuras de desempeño sísmico predecible”. Concretamente, saber cual es el desempeño que se espera de una estructura ante un determinado evento sísmico, desempeño que es función del uso que tenga la edificación. El resultado del trabajo realizado por el Comité VISION 2000, fue publicado por la Sociedad de Ingenieros Estructurales de California SEAOC, en dos Volúmenes. En el Volumen I, se definen los sismos de análisis, niveles de desempeño expresados en términos cualitativos para la estructura, para los elementos no estructurales y para los diferentes sistemas de instalaciones que conforman la edificación. Se define además el marco conceptual para el diseño por desempeño. En el Volumen II se presentó un informe preliminar del sismo de Northridge de 1994, que no hacía más que ratificar la necesidad de contar a futuro con procedimientos de análisis sísmico por desempeño o performance. El Comité VISION 2000, definió cuatro sismos de análisis, los mismos que se presentan en la tabla 1.5. Desde un punto de vista riguroso lo que se estableció son los parámetros para definir los estudios de peligrosidad sísmica tendientes a obtener 4 eventos, denominados sismos: frecuente, ocasional, raro y muy raro. Al observar el período de retorno del sismo frecuente, se aprecia que este evento si se va a registrar durante la vida útil de una edificación que por lo regular es de 50 años. La nueva

27


visión es que se tome en cuenta este sismo en el diseño y no únicamente el sismo raro, que se tome en cuenta y que se verifique el desempeño que va a tener la edificación acorde a lo indicado en las tablas 1.6 y 1.7. Lo propio se puede indicar para el sismo ocasional, que tiene una alta probabilidad de registrarse durante la vida útil de la estructura. Finalmente se ha añadido un nuevo evento denominado sismo muy raro, con una baja probabilidad de ocurrencia. Tabla 1.5 Parámetros de los sismos de análisis establecidos por el Comité VISION 2000. PROBABILIDAD PERÍODO DE SISMO VIDA ÚTIL DE EXCEDENCIA RETORNO

1.9

Frecuente

30 años

50%

43 años

Ocasional

50 años

50%

72 años

Raro

50 años

10%

475 años

Muy Raro

100 años

10%

970 años

COMPORTAMIENTO ESPERADO

En la tabla 1.6, se indica una descripción muy resumida de las definiciones utilizadas por el Comité 2000 para los diferentes niveles de desempeño, expresado en términos de los efectos que un sismo puede dejar en las edificaciones. Tabla 1.6 Definiciones del desempeño estructural según las publicaciones NEHRP y VISION 2000. GUIA NEHRP VISION 2000 DESCRIPCIÓN

Operacional

Completamente Operacional

La edificación permanece en condiciones aptas para su uso normal, se esperan daños mínimos. Todos los sistemas de abastecimiento y líneas vitales deben estar en funcionamiento, de tal manera que el edificio entra en funcionamiento inmediatamente.

Inmediatamente Ocupacional

Ocupacional

No hay daño significativo a la estructura la misma que se mantiene muy cerca de la resistencia y rigidez que tenía antes del sismo. Los componentes estructurales son seguros y mantienen su función. El edificio puede ser utilizado luego de pequeños arreglos.

Seguridad de Vida

Seguridad de Vida

Daño significativo a los elementos estructurales con reducción sustancial en la rigidez pero tienen un margen de seguridad antes del colapso. Elementos no estructurales seguros pero con daño. La edificación podrá funcionar luego de ser reparada y reforzada.

Prevención de Colapso

Cerca de Colapso

Daño sustantivo estructural y no estructural. Existe una gran degradación de resistencia y rigidez de la estructura, solo queda un pequeño margen para llegar al colapso.

28


En el Volumen I, se indica en varias paginas el desempeño y por su redacción se aprecia que está dirigido al público en general y más no exclusivamente a los proyectistas estructurales. De acuerdo al uso que va a tener una estructura, el Comité VISION 2000, ha presentado un nivel mínimo de desempeño, el mismo que se indica en la tabla 1.7, para tres tipos de edificaciones: básica, esencial y de seguridad crítica. La visión a futuro de diseño sísmico de estructuras, consiste en verificar el desempeño en términos estructurales y económicos que va a tener la edificación para cada uno de los sismos indicados en la tabla 1.7, de acuerdo al uso de la misma. Esta verificación se la realiza sobre la base de las distorsiones máximas permitidas, en base al grado de daño local y global de la estructura y en base al Índice de Desempeño. El costo de construcción es una variable importante que no se debe descuidar en las decisiones que se adopten, es muy probable que inicialmente se tenga una estructura con un bajo costo pero que va a sufrir demasiado daño en elementos no estructurales ante un sismo frecuente y el costo de reparación sea tan grande a más de las molestias que esto conlleva que a lo mejor se decide en hacer una estructura más resistente.

Tabla 1.7 Sismos de análisis y desempeño esperado en las edificaciones. Sismo de Análisis

OPERACIONAL

INMEDIATAMEN SEGURIDAD DE TE VIDA OCUPACIONAL

Frecuente

♦

Ocasional

•

♦

Raro

•

♦

•

Muy Raro

PREVENCIÓN DE COLAPSO

♦

♦ Edificaciones básicas, como residencias y oficinas. • Edificaciones esenciales como hospitales, destacamentos militares, bomberos, etc. Edificaciones de seguridad crítica.

En la nueva filosofía de diseño sísmico, el análisis estático no lineal, es el soporte de varias metodologías que se han propuesto para encontrar la respuesta sísmica de una edificación y dentro de este análisis la determinación de la curva de capacidad resistente, es la base del análisis, tema que se abordará con detenimiento en el capítulo 2.

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29

3.

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sismo resistente'',

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30


19. Whitney C. (1942), “Plastic Theory of Reinforced Concrete Design”, Proceedings ASCE 1940, Transactions ASCE, Vol 107, 251-326.

CAPÍTULO 2

DESCRIPCIÓN DE LA TÉCNICA DEL PUSHOVER Y MODELOS DE PLASTICIDAD

RESUMEN Se describe mediante la realización de tres ejemplos la técnica del pushover en una estructura de hormigón armado de un vano y un piso. En los dos primeros ejemplos prácticamente se resuelve paso a paso, en cambio en el tercer ejemplo se resuelve orientado a la forma como lo hace el computador. En el primero y tercer ejemplo se considera que las columnas están empotradas en su base y en el segundo se considera que están articuladas. En el ejemplo número uno se trabaja con un modelo de plasticidad elasto perfectamente plástico que no considera incremento de resistencia en los elementos una vez que superan el punto de fluencia. En el segundo ejercicio se trabaja con el modelo de plasticidad de Giberson. Estos modelos son extremadamente sencillos pero permiten ilustrar la técnica del pushover a mano y a pesar de ello se realizan otras hipótesis de cálculo con el objeto de simplificar el marco teórico. El segundo ejemplo se analiza la estructura como un sistema de un grado de libertad para lo cual se trabaja con la matriz de rigidez de las columnas condensada a un solo grado de libertad. En los dos ejercicios no se considera la carga vertical que gravita sobre el pórtico, todo esto con el mismo objetivo simplificar la explicación de la técnica del pushover. En el tercer ejemplo si se considera la carga vertical. El Análisis Matricial de Estructuras es un tema fundamental en el Análisis no Lineal Estático por ese motivo se explican algunos temas como: la obtención de la matriz de rigidez de una estructura a partir de la matriz de compatibilidad de deformaciones y posteriormente por ensamblaje directo. Se indica además, la solución de un pórtico ante cargas laterales, la condensación estática de la matriz de rigidez, la matriz de rigidez de lateral. La formulación de estos temas es general tanto para el análisis lineal como para el análisis no lineal. Posteriormente se indican algunos modelos de plasticidad extendida y se hallan las curvas de capacidad sísmica resistente en el pórtico de un vano y un piso pero considerando la carga vertical y utilizando el programa de computación denominado CAPACIDA. Finalmente se explica como se obtienen las propiedades dinámicas de una estructura.

30

2.1


El análisis no lineal estático es una alternativa muy práctica para encontrar la respuesta sísmica de una estructura en lugar que un análisis no lineal dinámico que sería lo más adecuado pero a la vez es bastante complejo. Realmente es un gran avance el análisis no lineal estático en comparación con la forma de análisis actual en que se utiliza teoría lineal y se espera daño en las estructuras de tal manera que hay bastante incongruencia, Aguiar y Ruiz (2002) En este contexto el análisis no lineal estático es un paso intermedio entre el análisis lineal elástico y el análisis no lineal dinámico. Dentro del análisis no lineal estático lo que más se utiliza es la Técnica del Pushover para encontrar la curva de capacidad resistente de las estructuras ante acciones sísmicas, curva que relaciona el cortante basal V con el desplazamiento lateral máximo en el tope Dt . La técnica del pushover consiste en llevar a una estructura ya diseñada de la cual se tiene su armado, al colapso; esto se logra mediante la colocación de cargas laterales increméntales, estas cargas se aplican en la misma dirección hasta que la estructura colapse, Aguiar (2002). Las estructuras analizadas con las cuales se aspira explicar la técnica del pushover son de un piso, la carga que se aplica es concentrada en un nudo de piso. Con cada incremento de carga se determina las nuevas características obtenidas en base a las relaciones momento curvatura obtenidas del programa CEINCI1, Aguiar (1996) esto para el segundo ejemplo en que se considera que la relación momento curvatura es función de la carga axial, para el primer ejemplo no se considera esta forma de cálculo. La técnica del pushover se realiza con pequeños incrementos de carga alrededor de 0.1 T. esto para cuando se utiliza un programa de ordenador. Para resolver manualmente en los dos primeros ejemplos se plantea incremento de carga de 2 T., la carga con la que se resuelve es muy alta pero se tendrán menos operaciones y será factible mostrar la secuencia de cálculo.

M Mu

Y

My

U

Modelo Elasto-Plasto A

Oy

Ou

Figura 2.1 Modelo Elasto Plasto para el diagrama momento curvatura que se considera para el ejemplo 1.

O

31


2.2

ANÁLISIS CON MODELO ELASTO PLASTO

La forma más sencilla de explicar la Técnica del Pushover es considerando un diagrama momento curvatura elasto plasto para las vigas y columnas, como el que se muestra en la figura 2.1. Por otra parte, y como se indicó anteriormente en el primer ejercicio que se presenta en el siguiente apartado, se considera que el diagrama momento curvatura para las columnas no depende de la carga axial. Todo esto con el objeto de simplificar la explicación teórica. En el modelo presentado en la figura 2.1, se tiene en líneas entrecortadas los tres puntos notables del diagrama Momento Curvatura A, Y, U, y en línea continua el modelo elasto plasto. En el primer ejercicio que se va a resolver se utilizará el modelo elasto plasto que considera que cuando la sección alcanza el momento de fluencia M y se forma una articulación plástica en dicho punto en consecuencia no es capaz de resistir más momento y la sección únicamente empieza a rotar a disipar energía. Pero para el segundo ejemplo si se va a considerar el incremento de resistencia una vez que se ha llegado al momento M y , es decir se va a permitir que la sección llegue al momento último M u . En la figura 2.2 se indican las tres posibilidades de trabajo que tiene un elemento, para el ejemplo 1, a la izquierda para cuando trabaja en el rango elástico, al centro cuando la sección llegó al momento de fluencia en el nudo final y a la derecha cuando se alcanzó el punto de fluencia en el nudo inicial. Por el modelo matemático que se está trabajando, elasto plasto, cuando se llega a la fluencia se tiene una rótula plástica en dicho punto.

1

1

L

2

2

2

1

L

L

Figura 2.2 Condiciones de trabajo de un elemento. Las matrices de rigidez del elemento para los tres casos indicados en la figura 2.2, se denomina caso 1 al rango elástico, caso 2 cuando se forma una rótula plástica en el nudo final y caso 3 cuando la rótula plástica se forma en el nudo inicial, y para los grados de libertad indicados, son las siguientes en el mismo orden:

⎡ 4 EI ⎢ k=⎢ L ⎢ 2 EI ⎣⎢ L

2 EI ⎤ L ⎥ ⎥ 4 EI ⎥ L ⎦⎥

⎡ 3EI k=⎢ L ⎢ ⎣ 0

⎤ 0⎥ ⎥ 0⎦

⎡ k=⎢ ⎢ ⎣

0 0

0 ⎤ 3EI ⎥⎥ L ⎦

( 2.1 )

donde E es el módulo de elasticidad del material, I es la inercia del elemento y L es la longitud del elemento. En este ejercicio se va a calcular la inercia como el producto de la base b , por la altura de la sección transversal h al cubo dividido para 12. Cuando se forman rótulas plásticas en los dos extremos del elemento la matriz de rigidez es nula. La deducción de estas matrices se encuentra en Aguiar (1995) o en cualquier texto de Análisis Matricial de Estructuras.

32


En el análisis no lineal lo que cambia es la matriz de rigidez del elemento de acuerdo al valor de los momentos que actúan sobre dicho elemento. Una vez que se tiene definida la matriz de rigidez del elemento k (minúscula) se procede a encontrar la matriz de rigidez de la estructura K (mayúscula) ya sea por ensamblaje directo o por medio de la matriz de compatibilidad de deformaciones A . n

K = ∑ A (i ) t

k (i )

i =1

A (i )

( 2.2 )

donde el índice i identifica al elemento y n es el número total de elementos. Por otra parte para la solución matricial se debe determinar el vector de cargas generalizadas Q . En los ejercicios que se resuelven en este artículo no se considera la carga vertical que gravita sobre la estructura, únicamente por facilidad de explicación. En realidad el primer estado de carga es debido a la carga vertical. La ecuación de Análisis matricial relaciona el vector de cargas Q con el vector de coordenadas generalizadas q , es por medio de la matriz de rigidez de la estructura K . Entonces para encontrar los desplazamientos y rotaciones de una estructura, que se encuentran en el vector q se debe resolver el siguiente sistema de ecuaciones.

Q= K

q

(2.3 )

El vector de coordenadas q , generan deformaciones en la estructura que se denominan con la letra p , y estos a su vez dan origen a las fuerzas y momentos en cada uno de los elementos que se los llama con la letra P . Las deformaciones p se encuentran por medio de la matriz de compatibilidad A de cada uno de los elementos y el vector P se obtiene por medio de la matriz de rigidez del elemento k , con el siguiente formulario:

p (i ) = A (i )

q

( 2.4 )

P (i ) = k (i )

p (i )

( 2.5 )

Para no distraer la atención en los ejercicios que se resuelven en este capítulo cuando actúa una carga lateral en el pórtico, en los elementos solo se dibujan los momentos que se generan en los elementos, no se colocan las fuerzas de corte y carga axial por facilidad de explicación. Tampoco se ha considerado carga vertical gravitando sobre los elementos horizontales. Todo esto en los dos primeros ejemplos.

2.3

EJERCICIO NUMERO UNO

Se desea explicar la Técnica del Pushover en el pórtico plano de un piso y un vano indicado en la figura 2.3, las columnas y las vigas son de 30/30. El módulo de elasticidad

E = 2100000 T / m 2 . Por otra parte se considera que todos los elementos son axialmente rígidos de tal manera que el sistema tiene tres grados de libertad, un desplazamiento horizontal y dos rotaciones en los nudos, los mismos que se indican a la izquierda de la figura 2.4. Finalmente el momento de fluencia para las columnas es M y = 7.714 T .m. y el momento de fluencia para la viga es M y = 4.710

T .m.

33


A∞ Io

2.70

A∞ Io

A∞ Io

30/30

30/30

4.00 Figura 2.3 Pórtico del Ejercicio Número uno. En la figura 2.4 se indica a la izquierda el sistema Q − q de la estructura y a la derecha el sistema P − p de los elementos. El vector de Cargas Q está compuesto por tres elementos,

Q1 que es la fuerza horizontal aplicada a nivel de piso, Q2 es el momento actuante en el nudo izquierdo y Q3 el momento actuante en el nudo derecho. Para la técnica del pushover Q2 y Q3 valen cero, únicamente Q1 tiene valor diferente de cero. El vector q está compuesto por el q1 que es la componente de desplazamiento horizontal del piso, para el presente caso los dos nudos se desplazan lo mismo ya que la viga es axialmente rígida, q 2 y q 3 son las

elemento

rotaciones de los nudos. 3

2

2

1

2

1

1

2 1

3 2

1 Q-q

P-p

Figura 2.4 Sistema Q − q de la estructura y P − p de los elementos.

A la derecha de la figura 2.4, se indica la numeración de los elementos dentro de un círculo y el sistema P − p , en base a la cual se obtiene la matriz de compatibilidad de deformaciones A , se encuentran las deformaciones y momentos de los elementos. Al inicio del cálculo todos los elementos van a trabajar en el rango elástico, luego se tiene que la I = 0.3 ∗ 0.3 / 12 = 0.000675 m . El producto matrices de rigidez de los elementos son: 3

⎡2100.00 k (1) = k ( 3) = ⎢ ⎣1050.00

4

1050.00⎤ 2100.00⎥⎦

EI = 1417.5 , finalmente las

⎡1417.50 k ( 2) = ⎢ ⎣708.75

708.75⎤ 1417.50⎥⎦

34

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE Las matrices de compatibilidad de deformaciones A de cada uno de los elementos son

0 ⎡1 / H A (1) = ⎢ 1 ⎣1 / H 1 ⎡0 A ( 2) = ⎢ 0 ⎣0 0 ⎡1 / H A ( 3) = ⎢ 0 ⎣1 / H

0⎤ ⎡0.3704 = 0 ⎥⎦ ⎢⎣0.3704

0 1

0⎤ 0 ⎥⎦

1 ⎤ ⎡0.3704 = 0⎥⎦ ⎢⎣0.3704

0 0

1⎤ 0⎥⎦

0⎤ 1⎥⎦

Al efectuar el triple producto matricial indicado en la ecuación ( 2.2 ) y luego de la sumatoria se obtiene la matriz de rigidez de la estructura para el rango elástico. Esta resulta:

⎡1734.276 K = ⎢⎢1168.65 ⎢⎣1168.65

1168.65 3517.50 708.75

1168.65⎤ 708.75 ⎥⎥ 3517.50 ⎥⎦

Para el primer ciclo de carga se aplica una fuerza horizontal de 2 T, como se indica en la figura 2.5.

2T.

Figura 2.5 Carga horizontal para el primer ciclo de carga aplicada a nivel de piso.

[

]

El vector de cargas transpuesto resulta Q = 2 0 0 , al resolver el sistema de ecuaciones indicado en la ecuación ( 2.3 ) se obtiene, el vector q . t

⎡2.00⎤ ⎡1734.276 ⎢0.00 ⎥ = ⎢1168.65 ⎥ ⎢ ⎢ ⎢⎣0.00 ⎥⎦ ⎢⎣1168.65

1168.65 3517.50 708.75

⎡q1 = 0.18446 cm. ⎤ 1168.65⎤ ⎡q1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ −4 708.75 ⎥ ⎢q 2 ⎥ ⇒ ⎢q 2 = −5.09 × 10 rad .⎥ ⎢q = −5.09 × 10 − 4 rad .⎥ 3517.50 ⎥⎦ ⎢⎣q3 ⎥⎦ ⎣ 3 ⎦

Con el vector q se encuentra las deformaciones p de cada elemento y posteriormente los momentos P , se ilustra el cálculo únicamente para el elemento uno. El diagrama de momentos correspondiente a este estado de carga se ilustra en la figura 2.6

35


p (1)

⎡0.3704 = A (1) q = ⎢ ⎣0.3704

⎡2100.00 P (1) = k (1) p (1) = ⎢ ⎣1050.00

0 1

⎡0.0018446 ⎤ 0⎤ ⎢ ⎡0.000683 ⎤ − 0.000509⎥⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ 0⎦ 0.0001742⎥⎦ ⎢⎣− 0.000509⎥⎦ ⎣ 1050.00⎤ ⎡0.000683 ⎤ ⎡1.617⎤ = 2100.00⎥⎦ ⎢⎣0.0001742⎥⎦ ⎢⎣1.083⎥⎦

1.0827T.m

1.0827T.m

2.0 T.

1.0827T.m

1.0827T.m

1.617T.m

1.617T.m

Figura 2.6 Diagrama de momentos para el primer ciclo de carga.

4.7105 T.m

4.7105 T.m 8.707 T

4.7105 T.m

7.039T.m

4.7105 T.m

7.039 T.m

Figura 2.7 Momentos en los extremos de los elementos y carga actuante , en el rango elástico.

36


De acuerdo a los datos del ejemplo la viga alcanzará la fluencia cuando el momento es igual a M y = 4.710 Tm. Por lo tanto se encuentra la fuerza necesaria que se debe aplicar al pórtico para que el momento en la viga sea de 4.710, para ello se razona de la siguiente manera. Al aplicar una fuerza de 2.0 T., el momento en la viga es 1.0827 Tm, que fuerza debe aplicarse para que el momento sea 4.710, mediante una simple regla de tres se encuentra que esta fuerza es de 8.707 T., ante esta fuerza el desplazamiento lateral que se genera en el pórtico es 0.78 cm., los giros en los nudos son iguales y valen -0.0022 Rad.; finalmente se el momento al pie de la columna es 7.039 Tm. En la figura 2.7 se indica la carga actuante y los momentos que se generan en los extremos de los elementos. Para dibujar la curva de capacidad resistente conviene anotar que asociado al Cortante Basal V = 8.707 T . el desplazamiento lateral del pórtico es Dt = 0.78 cm. Hasta este punto se tiene una recta. En la figura 2.8 se indica el nuevo modelo numérico de la estructura, nótese que se han formado dos rótulas plásticas en la viga, en consecuencia este elemento ya no contribuye a la matriz de rigidez de la estructura, la misma que resulta:

⎡12 E ( I 1 + I 3 ) ⎢ H3 ⎢ 6 EI 1 K=⎢ ⎢ H2 ⎢ 6 EI 3 ⎢ ⎢⎣ H2

6 EI 1 H2 4 EI 1 H 0

6 EI 3 ⎤ H 2 ⎥ ⎡1734.276 ⎥ ⎥ = ⎢1168.65 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1168.65 4 EI 3 ⎥ ⎣ H ⎥⎦

1168.65 2100.00 0.00

1168.65 ⎤ 0.00 ⎥⎥ 2100.00⎥⎦

2.0T.

Figura 2.8 Nuevo estado de cargas para el rango plástico. En la figura 2.8 se aprecia que se ha reiniciado el cálculo y nuevamente se ha aplicado una fuerza de 2 T. a nivel de piso se va a ver si con este incremento de carga alguna sección supera el momento de fluencia, el que está más próximo de hacerlo es el nudo inicial de las columnas. A continuación se indica el sistema de ecuaciones para encontrar el vector q .

⎡1734.276 ⎢1168.65 ⎢ ⎢⎣1168.65

1168.65 2100.00 0.00

1168.65 ⎤ ⎡q1 ⎤ ⎡2.0⎤ 0.00 ⎥⎥ ⎢⎢q 2 ⎥⎥ = ⎢⎢0.0 ⎥⎥ 2100.00⎥⎦ ⎢⎣q3 ⎥⎦ ⎢⎣0.0 ⎥⎦

⎡0.00462857 m.⎤ ⇒ q = ⎢⎢− 0.00257 rad .⎥⎥ ⎢⎣− 0.00257 rad .⎥⎦

Las deformaciones p y los momentos P de la columna izquierda se obtienen de la siguiente manera:

37


p

(1)

⎡0.3704 =A q=⎢ ⎣0.3704 (1)

⎡2100.00 P (1) = k (1) p (1) = ⎢ ⎣1050.00

0 1

⎡0.00462857 ⎤ 0⎤ ⎢ ⎥ = ⎡0.001714 ⎤ − 0 . 00257 ⎥ ⎥ ⎢− 0.000857 ⎥ 0⎦ ⎢ ⎦ ⎢⎣− 0.00257 ⎥⎦ ⎣ 1050.00⎤ 2100.00⎥⎦

⎡0.001714 ⎤ ⎡2.69⎤ ⎢− 0.000857 ⎥ = ⎢0.00 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

El momento obtenido en el pie de la columna es de 2.69 Tm., cantidad que al sumar al momento anterior de 7.039 Tm., supera el momento de fluencia. En consecuencia se debe recalcular la carga lateral que se debe aplicar teniendo presente que el momento faltante en el pie de columna para llegar a la fluencia es 0.675Tm. (7.714-7.039). Por lo tanto la nueva fuerza se obtiene con el siguiente razonamiento: con una fuerza de 2 T el momento obtenido fue de 2.69 Tm., con que fuerza se obtendrá un momento de 0.675 Tm.. Esta fuerza resulta que es igual a 0.5 T, con esta fuerza el desplazamiento lateral es o.1157 cm. Los momentos que se generan en la estructura para este estado de carga se indican en la figura 2.9

0.675T.m

0.675 T.m

Figura 2.9 Momentos obtenidos en la estructura cuando se aplica una fuerza lateral de 0.5 T.

Los momentos acumulados en la estructura se indican en la figura 2.10, ahora se han formado dos nuevas rótulas plásticas en los pies de columna y se tiene un mecanismo de tal manera que la estructura ha llegado al colapso.

4.7105 T.m

4.7105 T.m 8.707 T.

4.7105 T.m

7.714T.m

4.7105 T.m

7.714 T.m

Figura 2.10 Momentos finales en las secciones de la estructura y carga lateral total aplicada.

38


Con los valores de corte y desplazamiento lateral encontrados, se dibuja la curva de capacidad sísmica resistente la misma que se indica en la figura 2.11, se indica además la secuencia de formación de las articulaciones plásticas en la estructura.

1

Curva de Capacidad

2 9.207 T.

1

2 9.207 T.

10

3

9

4

3

8

4

Cortante (V) (Ton.m)

7 6 5 4 3 2 1 0 0

0,2

0,4 0,6 Desplazam ientos (Dt) (cm )

Dty 0,78

0,8

Dtu 0,90

1

Figura 2.11 Curva de capacidad resistente sísmica de ejemplo 1 y secuencia de formación de articulaciones plásticas.

La pendiente de la curva de capacidad resistente representa la rigidez del sistema, para el rango elástico esta pendiente es mayor que para el rango inelástico. Nótese que por el modelo matemático adoptado la estructura ingresa muy poco en el rango inelástico.

2.4

MATRIZ DE RIGIDEZ PARA MODELO DE GIBERSON

En la figura 2.12, se indica el modelo de plasticidad concentrada, con el cual se resuelve el ejemplo, el mismo que fue propuesto por Giberson (1969). Como se aprecia este modelo concentra la inelasticidad en los puntos extremos del elemento. Sea ( EI ) a , ( EI ) o y

( EI ) b la rigidez a flexión del nudo inicial, centro de luz y nudo final; las mismas que se obtienen del respectivo diagrama momento-curvatura.

(EI) a

(EI) 0

(EIb) b

Figura 2.12 Modelo de plasticidad concentrada en los extremos

La matriz de flexibilidad del elemento asociada únicamente a los giros del elemento, se encuentra deducida en Aguiar (2002) y es la siguiente

39


f =

L 6( EI ) o

Sa =

⎡(1 + S a ) ⎢ −1 ⎣

( EI ) o

−1 ⎤ (1 + S b )⎥⎦ Sb =

( EI ) a

Por otra parte, la matriz de rigidez del elemento matriz de flexibilidad. Esta resulta:

k=

2.4.1

( 2.6 )

( EI ) o ( EI ) b

k no es más que la inversa de la

⎡(1 + S b ) 6 ( EI ) o ⎢ L [(1 + S a ) (1 + S b ) − 1] ⎣ 1

⎤ (1 + S a )⎥⎦

1

( 2.7 )

Matriz de rigidez del elemento condensada

En el ejercicio que se va a resolver posteriormente se tiene un elemento articulado. En este tipo de vínculo el momento es cero. Hay dos formas de realizar el análisis la primera trabajando con la matriz de rigidez del elemento indicada en la ecuación ( 2.7 ) que es una matriz de dos por dos y la otra forma es con una matriz condensada únicamente al giro izquierdo del elemento, para el efecto se debe encontrar primero la matriz de rigidez condensada, Aguiar (1995). −1 k ∗ = k AA − k AB k BB k BA

( 2.8 )

Al aplicar la condensación estática en la matriz definida en la ecuación ( 2.7 ) se tiene:

k AA = k BA =

6 ( EI ) o (1 + S b ) L [(1 + S a ) (1 + S b ) − 1]

6 (EI )o L [(1 + S a ) (1 + S b ) − 1]

k AB = k BB =

6 ( EI ) o L [(1 + S a ) (1 + S b ) − 1]

6 ( EI ) o (1 + S a ) L [(1 + S a ) (1 + S b ) − 1]

Al reemplazar las submatrices indicadas en la ecuación ( 2.8 ), se tiene la matriz de rigidez del elemento condensada al giro izquierdo, esta resulta.

k∗ =

6 (EI )o L (1 + S a )

( 2.9 )

En forma similar se puede encontrar la matriz de rigidez del elemento condensada al nudo derecho o nudo final. Esta resulta.

k∗ =

6 (EI )o L (1 + S b )

( 2.10 )

40

2.5

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE ESTRUCTURA DE ANÁLISIS DE EJEMPLO DOS

En la figura 2.13 se indica la estructura de un piso y un vano cuyas columnas están articuladas en su base, se indica además las hipótesis del modelo de cálculo adoptado. La viga se considera totalmente rígida y las columnas axialmente rígidas.

A∞

1

Ι∞

A∞

A∞

Ιο

Ιο

Q-q

30 cm 4 cm

30 30

30 30

2E Ø 10mm @10 y 20 cm 30 cm

8 Ø 16mm

Figura 2.13 Hipótesis de cálculo, grados de libertad y armadura de columnas

El sistema tiene tres grados de libertad, un desplazamiento horizontal del piso y una rotación en la base de cada una de las columnas. Como está articulado en su base el momento debe ser cero esto da la posibilidad de considerar un solo grado de libertad pero se debe trabajar con la matriz de rigidez condensada del elemento. El ejercicio, que consiste en determinar la curva de capacidad resistente de la estructura empleando la técnica del pushover, se va a resolver considerando un solo grado de libertad. Por la forma como se va a resolver el ejemplo el sistema de coordenadas de miembro tiene una sola coordenada que es la deformación a flexión en la parte superior de la columna, luego la matriz A es la siguiente: (1) ⎡1 / H ⎤ ⎡ A ⎤ ⎢ ⎥ A = ⎢⎢− − ⎥⎥ = ⎢− − ⎥ ⎢⎣1 / H ⎥⎦ ⎢⎣ A ( 2 ) ⎥⎦

41


siendo H la altura del piso, para el ejemplo es igual a 2.70 m. Al realizar el triple producto matricial indicado en la ecuación ( 2.2 ) se encuentra que la matriz de rigidez de la estructura de la figura 2.13, es:

⎡ ⎢ 6( EI ) o 6( EI ) o + K=⎢ ⎢ ⎛ ⎛ ( EI ) o ⎞ ( EI ) o ⎟⎟ H 3 ⎜⎜1 + ⎢ H 3 ⎜⎜1 + ⎢⎣ ⎝ ( EI ) b1 ⎠ ⎝ ( EI ) b 2

⎤ ⎥ ⎥ ⎞⎥ ⎟⎟ ⎥ ⎠ ⎥⎦

( 2.11 )

El subíndice b1 o b2 es para indicar que se trata de la columna uno (izquierda) o de la columna dos (derecha). En el presente ejemplo la matriz de rigidez de la estructura es de uno por uno toda vez que el sistema es de un solo grado de libertad. La solución general de un marco plano sometido a cargas laterales, actuando en cada uno de los pisos, se indicó en el apartado 2.3, sin embargo de ello a continuación se resume el procedimiento de cálculo. 1) Se determina la matriz de rigidez de la estructura K y el vector de cargas generalizadas Q . 2) Se encuentran los desplazamientos q resolviendo el sistema de ecuaciones: Q = K q 3) Se obtienen las deformaciones p utilizando la ecuación:

p (i ) = A (i ) q

4) Finalmente se hallan las fuerzas y momentos P en cada elemento con la ecuación siguiente.

2.6

P (i ) = k (i ) p (i )

DESCRIPCIÓN DEL PROCESO DE CÁLCULO

Para encontrar la curva de capacidad resistente de la estructura indicada en la figura 2.13, empleando la técnica del pushover se procede de la siguiente forma. En primer lugar se determina la relación momento curvatura en vigas y columnas. Para la estructura del ejemplo la viga al ser totalmente rígida no contribuye a la matriz de rigidez en consecuencia el cálculo se lo hace solamente en cada una de las columnas. La relación momento curvatura en columnas depende de la carga axial para iniciar el cálculo se considera una carga axial nula. En la figura 2.14 se aprecian los modelos constitutivos del acero y del hormigón, utilizados en el ejemplo. Se destaca que la versión del CEINCI1 que se utilizó, es de 1996 Aguiar (1996), en la cual se modelaba el hormigón con la curva propuesta por Kent y Park (1971). En la versión del CEINCI1 de 2003 se trabaja con el modelo de hormigón de Park et al (1982). Los puntos notables del diagrama momento curvatura, que se obtienen al utilizar el programa CEINCI1 (1996) se indican en la tabla 2.1. Tabla 2.1 Relación momento curvatura para columna cuadrada de 30 cm. de lado, sin carga axial.

MA

φA

MY

φY

MU

φU

(kg cm)

(1/cm)

(kg cm)

(1/cm)

(kg cm)

(1/cm)

133088.69813

0.000015095

766556.60902

0.000129111

1164796.9883

0.001385287

42


Figura 2.14 Modelos del acero y hormigón utilizados en CEINCI1 de 1996.

( EI ) a es igual a la rigidez en el centro de luz ( EI ) o y es igual a la rigidez en el nudo final ( EI ) b . La rigidez a Para iniciar el cálculo se tiene que la rigidez en el nudo inicial

flexión y las de cada elemento son las siguientes:

(EI )o k1 =

=

MA

φA

=

133088.69813 = 8816740518.71 kg cm 2 0.000015095

6 (EI )o 6 ∗ 8816740518.71 = 97963783.5413 kg cm = ⎛ ⎛ 8816740518.71 ⎞ ( EI )o ⎞ ⎟⎟ 270 ∗ ⎜1 + ⎟ H ⎜⎜1 + ⎝ 8816740518.71 ⎠ ⎝ (EI )b1 ⎠

k 2 = k1 = 97963783.5413 kg cm Por otro lado, la matriz de rigidez de la estructura, resulta.

⎡ ⎢ 6( EI ) o 6( EI ) o K =⎢ + ⎢ ⎛ ⎛ ( EI ) o ⎞ ( EI ) o ⎟⎟ H 3 ⎜⎜1 + ⎢ H 3 ⎜⎜1 + ⎢⎣ ⎝ ( EI ) b1 ⎠ ⎝ ( EI ) b 2

⎤ ⎥ ⎥ = 2687.6209 kg cm ⎞⎥ ⎟⎟ ⎥ ⎠ ⎥⎦

Esta matriz de rigidez es valida siempre y cuando el momento actuante en la parte superior de las columnas no superen el momento M A indicado en la tabla 2.1. Como se manifestó anteriormente para iniciar el cálculo se aplica una carga de 2 T. en el primer piso como se ilustra en la figura 2.15. Se debe resolver este estado de carga siguiendo el procedimiento indicado en el apartado anterior. Por ser un sistema de un grado de libertad el desplazamiento lateral q se obtiene dividiendo el vector de cargas Q = 2000 para la rigidez de la estructura. El resto de cálculo se indica a continuación.

43


Q 2000 = = 0.74415 cm. K 2687.6209 1 p (1) = A (1) q = 0.74415 = 2.75612 ∗ 10 −3 270 1 p ( 2) = A( 2) q = 0.74415 = 2.75612 ∗ 10 −3 270

q=

2000 Kg COLUMNA 2

COLUMNA 1

Figura 2.15 Primera fuerza lateral tentativa para la determinación de la curva de capacidad Finalmente los momentos en la parte superior de la columna valen:

M (1) = P (1) = k (1) p (1) = 97963783.5413 ∗ 2.75612 ∗ 10 −3 = 270000 kg cm M ( 2) = P (1) = k ( 2 ) p ( 2 ) = 97963783.5413 ∗ 2.75612 ∗ 10 −3 = 270000 kg cm Los momentos encontrados superan el momento de agrietamiento M A en consecuencia se debe determinar la carga lateral que se debe aplicar para llegar exactamente al momento M A . Esto se lo hace mediante una regla de tres.

2000 kg X

→ →

270000.000 kg cm 133088.698 kg cm

X = 985.842 kg La fuerza lateral que se debe aplicar es de 985.842 kg. Entonces se debe repetir el cálculo para esa fuerza lateral y desde un punto de vista riguroso con otras rigideces en función de la carga axial que gravita sobre cada columna. En la figura 2.16, se indica el nuevo estado de carga que en realidad es el estado de carga inicial, se indica además las fuerzas axiales N que actúan en las columnas. Nótese que la columna izquierda está trabajando a tracción y la columna derecha a compresión. Del equilibrio de momentos, se obtiene la fuerza axial resulta:

N en las columnas, esta

44

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE N=

985.8 ∗ 270 = 665.4 kg 400

Con esta fuerza axial se determina la nueva relación momento curvatura y por consiguiente la nueva matriz de rigidez de cada uno de los elementos y de la estructura. En la tabla 2.2 se indican los valores de momento y curvatura para la columna izquierda y derecha, y en la última columna la rigidez del elemento. Por otro lado, en la tabla 2.3 se resume el análisis estático.

985.8 Kg

985.8 Kg

N

N

Figura 2.16 Fuerza Lateral Inicial para determinar la curva de capacidad resistente. Tabla 2.2 Relación M − φ para primer ciclo de carga y rigidez de cada columna. Fuerza COLUMNA 1 Lateral N (EI ) M φ M φ M φ A

A

Y

(T)

(T)

(Tm)

(1/m)

(Tm)

0.9858

-0.6854

1.1644

0.0011

7.8142

0.9858

(1/m)

(Tm)

(1/m)

T m2

k (1) T m

0.0182

11.712

0.1408

1022.092

1051.8

U

Y

U

COLUMNA 2

b1

N

MA

φA

MY

φY

MU

φU

(EI )b 2

(T)

(Tm)

(1/m)

(Tm)

(1/m)

(Tm)

(1/m)

T m2

k ( 2) T m

0.6854

1.3578

0.0015

7.9705

0.0186

11.874

0.1413

893.900

986.38

Tabla 2.3 Resumen del análisis estático para el primer incremento de carga lateral. q Fuerza Lateral K M (1) M ( 2) (T) 0.9858

(T/m) 279.5991

(cm) 0.00353

(Tm.) 1.37366

(Tm.) 1.2881

Desde un punto de vista riguroso, la columna izquierda superó el momento M A , se debería volver a repetir el análisis con una menor carga lateral hasta llegar exactamente al momento M A . Por otra parte la columna derecha todavía no supera el momento M A . Por consiguiente para el próximo ciclo de carga, si se trabajara con cargas laterales muy pequeñas las rigideces a flexión serían.

45


− M A 7.8142 − 1.1644 = = 388.87 T m 2 0.0182 − 0.0011 φY − φ A

(EI )b1 = M Y

Nótese como baja la rigidez

( EI ) b1 de la columna izquierda de 1022.092 a 388.87. En

el centro de luz la rigidez de la columna uno es ( EI ) o = 1022 .092 T m . La columna derecha 2

se mantiene con rigidez a flexión ( EI ) b 2 = 893.90 T m = ( EI ) o por que todavía no se 2

supera el momento considera de 2 T.

M A . Se recuerda que en este ejercicio el incremento de carga se

De igual forma se realizara los incrementos sucesivos hasta llegar al punto Y, y de la misma forma cuando pasen ese punto cada una de las columnas se trabajara con la nueva rigidez que para la última rama será.

EI b =

MU − MY φU − φY

2.7 RESUMEN DEL CÁLCULO DE INERCIAS Y RIGIDEZ DEL ELEMENTO En las tablas 2.4 y 2.5 se presenta el resumen de los cálculos efectuados para encontrar la rigidez a flexión de las columnas uno y dos, de acuerdo a la rama de la relación momento curvatura en la que se encuentran.

Tabla 2.4 Propiedades de la sección generadas con los Resultados de la relación momento curvatura obtenidos del programa CEINCI1 para la columna uno (izquierda), con las fuerzas laterales indicadas. Fuerza Lateral (T)

Fuerza Axial

MA

MY

MU

φA

φY

φU

(T)

( Tm. )

( Tm. )

( Tm. )

( 1/m )

( 1/m )

( 1/m )

2.0000

0.0000

1.3309

7.6656

11.6480

0.0015

0.0129

0.9858

-0.6654

1.1644

7.8142

11.7125

0.0011

0.0182

2.0000

-2.0154

1.1222

7.6729

11.5545

0.0011

0.6408

-1.0980

1.1509

7.7690

11.6621

0.0011

2.0000

-2.4480

0.9958

7.5757

11.4981

2.0000

-3.7980

0.9470

7.4338

2.0000

-5.1480

0.7903

7.2390

1.4494

-4.7763

0.8053

2.0000

-6.1263

1.8963

-6.0563

(EI)b1 2

k de

( T.m )

Miembro

0.1385

881.6741

979.6378

0.1408

1022.0921 1051.8940

0.0182

0.1408

383.3402

593.7239

0.0182

0.1408

387.2902

597.9745

0.0011

0.0171

0.1394

412.5598

624.5535

11.3405

0.0011

0.0171

0.1394

405.9943

617.7482

11.1779

0.0009

0.0159

0.1381

429.5971

641.8955

7.7008

11.1843

0.0010

0.0262

0.1381

273.0975

463.3586

0.6550

7.1357

11.0624

0.0009

0.0159

0.1381

32.1534

68.9379

0.6581

7.1431

11.0706

0.0009

0.0159

0.1381

32.1599

68.9513

La primera columna de las tablas 2.4 y 2.5 corresponde a la fuerza lateral aplicada. Ahora bien no siempre se ha aplicado esta fuerza. En efecto al inicio del cálculo se aplicó una fuerza de 2.0 T. pero como se pasó el momento M A = 1.3309 T m se volvió a aplicar la fuerza de 0.9858 T. con la cual se llegaba a

M A y se ignora la primera fuerza.

En la tercera fila se aprecia que nuevamente se aplica la fuerza de 2.0 T. pero con este valor se sobrepasa esta vez el momento M A de la columna derecha por lo que se

46


procede en forma similar a la columna izquierda y se aplica una fuerza de 0.6408 T. y así sucesivamente. (Hubo un error la carga que debió aplicarse era 0.06408 T. para llegar al M A de la columna derecha, se resuelve con éste error). Tabla 2.5 Propiedades de la sección generadas con los Resultados de la relación momento curvatura obtenidos del programa CEINCI1 para la columna dos (derecha), con las fuerzas laterales indicadas. Fuerza Lateral

Fuerza Axial

MA

MY

MU

φA

φY

φU

(EI)b2 2

K de

(T)

(T)

( Tm. )

( T.m )

( T.m )

( 1/m )

( 1/m )

( 1/m )

( T.m )

Miembro

2.0000

0.0000

1.3309

7.6656

11.6480

0.0015

0.0129

0.1385

881.6741

979.6378

0.9858

0.6654

1.3578

7.9705

11.8745

0.0015

0.0186

0.1413

893.9008

986.3837

2.0000

2.0154

1.5141

8.1618

11.9084

0.0015

0.0197

0.1385

996.7520 1039.6533

0.6408

1.0980

1.3753

8.0662

11.8026

0.0015

0.0197

0.1385

905.4174

992.6534

2.0000

2.4480

1.5294

8.2069

11.9589

0.0015

0.0197

0.1385

366.3441

575.1271

2.0000

3.7980

1.5772

8.1390

12.1487

0.0015

0.0152

0.1413

479.9969

690.6561

2.0000

5.1480

1.7327

8.2726

12.2954

0.0015

0.0152

0.1413

478.3991

689.1656

1.4494

4.7763

1.7215

8.2359

12.2550

0.0015

0.0152

0.1413

476.5298

687.4176

2.0000

6.1263

1.7621

8.3694

12.4017

0.0015

0.0152

0.1413

31.9835

68.5864

1.8963

6.0563

1.7600

8.3625

12.3941

0.0015

0.0152

0.1413

31.9781

68.5752

En definitiva hasta la fila 4 de las tablas 2.4 y 2.5 no se han aplicado las cuatro cargas laterales indicadas sino únicamente la de 0.9858 T. y 0.6408 T. pero lo que se está presentando es todo el cálculo que se realiza como lo hacen los programas de computación. Al ser un análisis incremental se van sumando las acciones que se producen en la estructura como son las fuerzas axiales y los momentos, los momentos se comparan para ajustarse con la relación momento - curvatura, como se ha indicado cuando se pasa uno de los puntos que definen esa relación se debe hacer una regla de tres para determinar el valor de la fuerza lateral con la cual se llegara al punto determinado. En la tabla 2.6 se indica un resumen de la carga lateral aplicada, la matriz de rigidez de la estructura K el desplazamiento lateral que se obtiene para la fuerza lateral indicada, los momentos en el nudo superior de las columnas y el momento acumulado.

Tabla 2.6 Resultados del análisis estructural ante las cargas laterales. Fuerza

ESTRUCTURA COMPLETA

Lateral

K

q

M (1)

M ( 2)

(T)

( T/m )

(m)

( T.m )

( T.m )

2.0000

268.762095

0.00744

2.70000

2.70000

0.9858

279.599137

0.00353

1.37366

1.28811

2.0000

224.057231

0.00893

1.96287

3.43713

0.6408

218.193122

0.00294

0.65047

2.0000

164.565243

0.01215

2.81124

2.0000

179.479324

0.01114

2.0000

182.587266

1.4494 2.0000 1.8963

M (1)

M ( 2)

acumulado ( T.m )

Acumulado

1.373662

1.288112

1.07980

2.024134

2.367913

2.58876

4.835373

4.956674

2.54955

2.85045

7.384922

7.807125

0.01095

2.60411

2.79589

157.856821

0.00918

1.57570

2.33764

8.960622

10.144763

18.864778

0.10602

2.70690

2.69310

18.865099

0.10052

2.56697

2.55297

11.527594

12.697732

( T.m )

47


En las dos últimas columnas de la tabla 2.6 se indican los momentos acumulados que son los que realmente se comparan con los momentos M A , M Y o M U del respectivo diagrama momento curvatura, cuando la fuerza lateral ha servido únicamente para determinar los momentos indicados se ha dejado en blanco el casillero correspondiente al momento acumulado. Para simplificar el proceso es que se ha colocado que las dos columnas ingresan simultáneamente a una nueva rama del diagrama M − φ .

2.8

RESULTADOS DE LA CURVA DE CAPACIDAD RESISTENTE

En base a los resultados indicados en la tabla 2.6 se obtienen la curva de capacidad resistente que relaciona el cortante basal V con el desplazamiento lateral Dt pero estos valores se los determina en forma acumulada. En la tabla 2.7 se presenta la fuerza lateral aplicada, el desplazamiento lateral debido al incremento de carga y en las dos últimas columnas V y Dt . Tabla 2.7 Resumen del cálculo de la curva de capacidad resistente. q Fuerza Lateral V (Kg.) 0.00 985.84 640.84 2000.00 2000.00 1449.39 1896.27

(m.) 0.00 0.3526 0.2937 1.2153 1.1144 0.9181 10.0518

(Kg.) 0.00 985.84 1626.68 3626.68 5626.68 7076.07 8972.34

Dt (cm.) 0.00 0.3526 0.6463 1.8616 2.9760 3.8941 13.9459

Figura 2.17 Curva de capacidad resistente para estructura de un vano y un piso.

48


En la figura 2.17 se indica la curva de capacidad sísmica resistente de la estructura analizada.

2.9 MATRIZ DE RIGIDEZ ORIENTADO AL USO DEL COMPUTADOR Interesa ilustrar el cálculo de la matriz de rigidez, orientado al uso del computador para estructuras compuestas por vigas y columnas. Por facilidad la explicación del ensamblaje directo y de la condensación estática se la realiza utilizando teoría de análisis lineal pero los fundamentos son aplicables al análisis no lineal donde se debe ir cambiando la rigidez a flexión y al corte de acuerdo al grado de solicitaciones que actúen sobre el elemento. En análisis lineal se considera que la rigidez a flexión (EI)o, es constante; lo propio sucede con la rigidez al corte (GA)o. En consecuencia, la matriz de rigidez de un elemento es constante, todo el tiempo, lo mismo sucede con la matriz de rigidez de la estructura. La obtención de las matrices indicadas se presenta con detenimiento en Aguiar (1995), aquí se omite la deducción y únicamente se presentan los formularios de cálculo.

2.9.1

Análisis sin nudo rígido

En la figura 2.18, se indica el sistema de coordenadas locales de un elemento horizontal de un pórtico plano, en el que no se considera la deformación axial, hipótesis de cálculo que se puede utilizar en el análisis sísmico de estructuras para los elementos horizontales.

Figura 2.18

Sistema de coordenadas locales para un elemento axialmente rígido.

Para el elemento horizontal indicado en la figura 2.18, se tiene que el sistema de coordenadas locales es igual al sistema de coordenadas globales. Por otra parte, se recuerda que las estructuras se resuelven en coordenadas globales. La matriz de rigidez del elemento, es simétrica con respecto a la diagonal principal, razón por la cual solo se presenta la matriz triangular superior. Con relación al sistema de coordenadas locales de la figura 2.18, la matriz de rigidez es la siguiente.

⎡t b − t b' ⎤ ⎥ ⎢ k −b a ⎥ ⎢ k= ⎢ t − b' ⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣ k '⎥⎦

(2.12)


49

La forma de la matriz de rigidez, indicada (2.12) es válida para elementos de sección constante o de variable; es valida para análisis lineal o no lineal. Para elementos de sección constante que trabajen en el rango elástico se tiene:

4( EI ) o ⎡ 1 + φ ⎤ L ⎢⎣1 + 4φ ⎥⎦ k' = k 2( EI ) o ⎡1 − 2φ ⎤ a= L ⎢⎣1 + 4φ ⎥⎦ k=

6( EI ) o ⎡ 1 ⎤ ⎢ ⎥ L2 ⎣1 + 4φ ⎦ b' = b 12( EI ) o ⎡ 1 ⎤ t= ⎢ ⎥ L3 ⎣1 + 4φ ⎦ 3( EI ) o β φ= (GA) o L2 b=

(2.13.1) (2.13.2) (2.13.3)

(2.13.4) (2.13.5) (2.13.6)

(2.13.7)

donde E es el módulo de elasticidad del material, I es la inercia a flexión de la sección transversal, β es el factor de forma por corte de la sección, A es el área de la sección transversal, G es el módulo de corte y L la longitud del elemento. ♣

Como ejemplo de aplicación, se desea encontrar la matriz de rigidez, sin considerar nudos rígidos, para una viga de sección constante de 30cm de base por 30 cm. de altura y tiene una longitud de 3.7m. Por otra parte, E=2100000 T/m2 y G=840000 T/m2.

•

Solución

A = 0.3 × 0.3 = 0.09m 2 0 .3 × 0 .3 3 = 0.000675m 4 12 3 × 1.2 × 2100000 × 0.000675 = 0.004931 φ= 0.09 × 840000 × 3.7 2 I=

k=

4 × 2100000 × 0.000675 ⎡ 1 + 0.004931 ⎤ ⎢1 + 4 × 0.004931⎥ = 1510.21Tm 3 .7 ⎣ ⎦

k ' = k = 1510.21Tm 2 × 2100000 × 0.000675 ⎡1 − 2 × 0.004931 ⎤ ⎢1 + 4 × 0.004931⎥ = 743.99Tm 3 .7 ⎣ ⎦ 6 × 2100000 × 0.000675 ⎡ 1 ⎤ b= = 609.24T 2 ⎢ 3.7 ⎣1 + 4 × 0.004931⎥⎦ a=

b' = b = 609.24T t=

12 × 2100000 × 0.000675 ⎡ 1 ⎤ = 329.32T / m 3 ⎢ 3.7 ⎣1 + 4 × 0.004931⎥⎦

50


⎡329.32 609.24 − 329.32 609.24 ⎤ ⎥ ⎢ 1510.20 − 609.24 743.99 ⎥ ⎢ k= ⎢ 329.32 − 609.24⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣ 1510.20⎥⎦ Para un elemento columna, en la figura 2.19, se indica el sistema de coordenadas globales, para el caso de que el elemento sea totalmente flexible. Se destaca que así se consideran las columnas en el análisis sísmico.

Figura 2.19 Sistema de coordenadas globales para un elemento vertical, totalmente flexible. La matriz de rigidez del elemento columna, en coordenadas globales es la siguiente.

⎡t 0 − b − t 0 ⎢ 0 −r ⎢ r 0 ⎢ k b 0 k= ⎢ ⎢ t 0 ⎢ r ⎢ ⎢ ⎣ r=

EA L

− b'⎤ ⎥ 0 ⎥ a ⎥ ⎥ b' ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ k' ⎦

(2.14)

(2.15)

Los restantes términos de la matriz de rigidez, fueron indicados en las ecuaciones anteriores.

2.9.2

Análisis con nudo rígido

En el análisis estructural se puede considerar que los nudos son completamente rígidos. En consecuencia, la longitud de los elementos que ingresa al nudo, tienen rigidez axial infinita y rigidez a flexión infinita. Sean c1 y c2 las longitudes de rigidez infinita de un elemento, como el indicado en la figura 2.20.

51


Figura 2.20 Sistema de coordenadas locales para un elemento axialmente rígido y con dos sectores de rigidez infinita.

Ahora, la matriz de rigidez del elemento, es la siguiente:

⎡t ⎢ ⎢ k= ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

b + c1t

−t 2

k + 2c1b + c1 t

− (b + c1t ) t

b'+ c 2 t

⎤ ⎥ a + c1b'+ c 2 b + c1c 2 t ⎥ ⎥ − (b'+c 2 t ) ⎥ ⎥ 2 k '+2c 2 b'+c 2 t ⎦

(2.16)

donde, los términos de rigidez k, a, k', b, b', t, son los indicados en las ecuaciones (2.13.1 a 2.13.7). ♣

Se desea encontrar la matriz de rigidez, para la viga de sección constante del ejemplo anterior, considerando que los nudos rígidos tienen los siguientes valores: c1 = c2 = 0.15 m. En la figura 2.21 se indica la viga a analizar.

Figura 2.21 Geometría de la viga con dos sectores de rigidez infinita. •

Solución

Al reemplazar c1 = c2 = 0.15 y los restantes datos indicados en el ejemplo anterior, en (2.16), se obtiene:

52


⎡329.32 658.64 − 329.32 658.64 ⎤ ⎥ ⎢ 1700.39 − 658.64 934.17 ⎥ ⎢ k= ⎢ 329.32 − 658.64⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣ 1700.39 ⎥⎦ En la figura 2.22, se indica el sistema de coordenadas globales, de un elemento vertical, en el cual se consideran dos sectores de rigidez infinita de longitudes c1, para el nudo inicial y c2, para el nudo final. La matriz de rigidez del elemento, en este caso es la indicada en (2.17).

⎡t ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ k= ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

0 − (b + c1t ) r

−t

0

0 2

k + 2c1b + c1 t

0 −r

b + c1t

0

t

0 r

− (b'+ c 2 t )

⎤ ⎥ 0 ⎥ ⎥ a + c1b'+ c 2 b + c1c 2 t ⎥ ⎥ b'+ c 2 t ⎥ ⎥ 0 ⎥ 2 ⎥⎦ k '+2c 2 b'+ c 2 t

(2.17)

Figura 2.22 Sistema de coordenadas globales para un elemento vertical, totalmente flexible y con dos sectores de rigidez infinita.

2.9.3

Ensamblaje de la matriz de rigidez

La matriz de rigidez de una estructura K, se obtiene por ensamblaje directo de las matrices de rigidez en coordenadas globales de cada uno de los elementos de la misma. Para ello es necesario definir el vector de colocación VC, el mismo que ...está conformado por los grados de libertad del nudo inicial y final... de un elemento.

53

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO ♣

Para ilustrar el cálculo, se desea encontrar la matriz de rigidez de la estructura indicada en la figura 2.23, considerando nudos rígidos. Todos los elementos son de 30/30. Se consideran los mismos valores de E y G, de los ejemplos anteriores.

Figura 2.23 Geometría y grados de libertad de pórtico plano, utilizado en ejemplo. •

Solución

Sea la columna izquierda, el elemento número 1, la viga el 2 y la columna derecha el 3. Los vectores de colocación de estos elementos, son:

VC (1) = [0 0 0 1 2 3] VC ( 3) = [0 0 0 1 4 5] VC ( 2 ) = [2 3 4 5] La matriz de rigidez del elemento dos, se indicó en el ejemplo anterior y la de los elementos uno y tres, al aplicar (2.17), se obtiene la siguiente:

0 − 1468.28 ⎡1249.60 ⎢ 80425.53 0 ⎢ ⎢ 2328.42 k= ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

− 1249.60

− 1655.72⎤ ⎥ 0 − 80425.53 0 ⎥ 1468.28 0 1342.28 ⎥ ⎥ 1249.60 0 1655.72 ⎥ ⎥ 80425.53 0 ⎥ ⎥ 2797.02 ⎦ 0

Para entender el ensamblaje directo de la matriz de rigidez, se coloca el vector de colocación sobre y a la derecha de la matriz de rigidez del elemento. Cuando el vector de colocación es 0 significa que esa fila o columna no contribuye a la matriz de rigidez de la estructura y cuando es diferente de cero se ubica el elemento en la posición que especifica el vector de colocación, si en dicha posición se encuentra otro elemento se suma. Es así como se obtiene la matriz de rigidez de una estructura por ensamblaje directo o

54


también conocido como método directo de cálculo. Para el ejemplo que se está resolviendo la matriz de rigidez que se obtiene es la siguiente:

0 1655.72 0 ⎡2499.20 ⎢ 80754.85 658.64 − 329.32 ⎢ k= ⎢ 4497.40 − 658.64 ⎢ ⎢ 80754.85 ⎢ ⎢⎣

1655.72⎤ ⎥ 658.64 ⎥ 934.17 ⎥ ⎥ − 658.64 ⎥ ⎥ 4497.40 ⎥⎦

2.9.4 Condensación estática de la matriz de rigidez En la figura 2.24, se presenta nuevamente la estructura que se ha venido analizando y cuyos grados de libertad se indicaron en la figura 2.23. Ahora, primero se deben numerar los grados de libertad con los cuales se desea realizar el análisis sísmico y luego se numeran los demás grados de libertad. Lo importante es destacar que se separan los grados de libertad.

Figura 2.24 Coordenadas "a" y "b", de estructura ejemplo.

En el sistema de coordenadas de una estructura, se puede diferenciar un grupo de coordenadas a las que se denomina “coordenadas a'', que en el ejemplo de la figura 2.24 es la uno y las restantes, a las que se denomina "coordenadas b''. Al hacer esto, tanto el vector de cargas generalizadas Q, como el vector de coordenadas generalizadas q , están particionados de la siguiente forma:

⎛ Qa ⎞ Q = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ Qb ⎠ ⎛ qa ⎞ q = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ qb ⎠

(2.18.1)

(2.18.2)


55

Por otra parte, la ecuación básica de análisis estático, que relaciona el vector de cargas generalizadas Q, con el vector de coordenadas generalizadas q, por medio de la matriz de rigidez de la estructura K, viene definida por la ecuación ( 2.3 ) la misma que se escribe nuevamente.

Q = Kq Al reemplazar (2.18.1) y (2.18.2) en ( 2.3 ) y al trabajar con submatrices, la matriz de rigidez de la estructura, también estará particionada, de la siguiente forma:

⎛ Qa ⎞ ⎡ K aa K ab ⎤ ⎛ q a ⎞ ⎜ ⎟=⎢ ⎥ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜Q ⎟ k k bb ⎦ ⎝ q b ⎠ ⎝ b ⎠ ⎣ ba

(2.19)

La condensación estática de la matriz de rigidez se da cuando Qa o Qb son ceros, los dos casos se desarrollan a continuación: ¾

Condensación a las coordenadas "a"

Este caso se presenta cuando el vector Qb=0.

⎛ Qa ⎞ ⎡ K aa K ab ⎤ ⎛ q a ⎞ ⎜ ⎟=⎢ ⎥ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎣k ba k bb ⎦ ⎝ qb ⎠ de donde:

Qa = k aa q a + K ab qb 0 = K ba q a + K bb qb luego:

q b = − k bb−1 K ba q a

(2.20.1)

Qa = ( K aa − K ab K bb−1 K ba )q a

(2.20.2)

Sea K* la matriz de rigidez condensada a las coordenadas "a".

K * = K aa − K ab K bb−1 K ba ¾

(2.20.3)

Condensación a las coordenadas "b"

Se presenta cuando el vector de cargas Qa=0. Procediendo en forma similar se obtiene:

q a = − k aa−1 K ab q b

(2.21.1)

56

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE Qb = ( K bb − K ba K aa−1 K ab ) q b

(2.21.2)

Sea K+ la matriz de rigidez condensada a las coordenadas "b". −1 K + = K bb − K ba K aa K ab

(2.21.3)

♣

Encontrar la matriz de rigidez condensada a la coordenada lateral 1, indicada en la figura 2.24. Que corresponde a la estructura de la figura 2.23, que se ha venido analizando.

•

Solución

En este caso, la partición de la matriz de rigidez de la estructura K se la realiza en la primera fila y primera columna, toda vez que existe una sola "coordenada a". Por lo tanto las submatrices, son:

K aa = [2499.20]

K ab = [0 1655.72 0 1655.72]

K bb

⎡80754.85 658.64 − 329.32 ⎢ 4497.40 − 658.64 = ⎢⎢ 80754.85 ⎢ ⎢⎣

658.64⎤ ⎥ 934.17 ⎥ − 658.64 ⎥ ⎥ 4497.40 ⎥⎦

La submatriz Kba es la transpuesta de la submatriz Kab. Para aplicar la ecuación (2.20.3) es necesario calcular la inversa de Kbb.

K bb−1

⎡1.24 − 0.1501 0.0026 − 0.1501⎤ ⎥ ⎢ 23.27 0.1501 − 4.790 ⎥ ⎢ =⎢ × 10 −5 ⎥ 1.241 0.1501 ⎥ ⎢ ⎢⎣ 23.27 ⎥⎦ K ab K bb−1 K ba = [1013.428] K * = K aa − K ab K bb− 1 K ba K * = [1485.772]

2.9.5

Condensación mediante solución de ecuaciones

El trabajar con la ecuación (2.20.3) o con la ecuación (2.21.3) implica calcular una matriz inversa, lo cual demanda bastante tiempo de cálculo, razón por la cual lo que se hace en la práctica, es transformar el cálculo de la matriz inversa por un sistema de ecuaciones lineales, como se ve a continuación.

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO ¾

57

Caso en que Qb = 0

En la ecuación (2.20.3) se realiza, se define la matriz T de la siguiente manera:

T = − K bb−1 K ba

(2.22.1)

Al multiplicar ambos lados de la ecuación (2.22.1) por Kbb, se obtiene:

K bb T = − K ba

(2.22.2)

Para encontrar la matriz T, se debe resolver un conjunto de ecuaciones lineales, cuya matriz de coeficientes es la submatriz Kbb y los términos independientes son las diferentes columnas de la submatriz Kba. Con el cambio de variable realizado, la ecuación (2.20.3) se transforma en:

K * = K aa + K abT

(2.22.3)

♣

Encontrar la matriz de rigidez condensada del ejercicio anterior, por intermedio de la matriz T.

•

Solución

Al sustituir las submatrices, del ejemplo anterior en (2.22.2), se obtiene:

⎡80754.85 658.64 ⎢ ⎢ 658.64 4497.40 ⎢ − 329.32 − 658.64 ⎢ ⎢⎣ 658.64 934.17

− 329.32

658.64 ⎤ ⎛ T11 ⎞ ⎛0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎥⎜ ⎟ − 658.64 934.17 ⎥ ⎜ T21 ⎟ ⎜1655.72 ⎟ ⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ 80754.85 − 658.64⎥ ⎜ T31 ⎟ ⎜0 ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − 658.64 4497.40 ⎥⎦ ⎝ T41 ⎠ ⎝1655.72 ⎠

La solución del sistema de ecuaciones lineales, reporta

⎛ 0.00497 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ − 0.30605 ⎟ T =⎜ ⎟ ⎜ − 0.00497 ⎟ ⎜ − 0.30599 ⎟ ⎝ ⎠ K ab T = [1013.428] K * = K aa + K ab T K * = [1485.772] ¾

Caso en que Qa= 0

Se procede en forma similar al indicado en el apartado anterior, con lo que se obtiene:

58

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE T = − K aa−1 K ab +

(2.23.1)

K = K bb + K ba T

(2.23.2)

K aa T = − K ab

(2.23.3)

Ahora, la matriz T se obtiene resolviendo un conjunto de ecuaciones lineales que tienen una sola matriz de coeficientes que es Kaa pero diferentes términos independientes que son las diferentes columnas de la matriz kab. En Aguiar (1989) se presenta lo expuesto con más detalle.

2.9.6 Condensación mediante eliminación de Gauss Si bien es cierto, mediante la solución de un conjunto de ecuaciones lineales, se optimiza la obtención de la matriz de rigidez condensada. No es menos cierto, que todavía se puede optimizar el proceso de cálculo únicamente triangularizando la matriz de rigidez, tema que se trata a continuación y es válido únicamente para el caso de que Qa= 0.

⎛ 0 ⎞ ⎡ K aa K ab ⎤ ⎛ q a ⎞ ⎜ ⎟=⎢ ⎥ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜Q ⎟ k k ⎝ b ⎠ ⎣ ba bb ⎦ ⎝ q b ⎠ de donde:

0 = k aa q a + K ab qb Qb = K ba q a + K bb qb

(2.24.1) (2.24.2)

Si a la ecuación (2.24.1) multiplicamos por Kaa-1, y en ésta se reemplaza la ecuación (2.23.1), se obtiene: −1 0 = I q a + K aa K ab q b

0 = I q a − T qb

(2.24.3)

Ahora, si a la ecuación (2.24.3) multiplicamos por -Kba y sumamos a la ecuación (2.24.2), se encuentra:

Qb = 0 q a + (K bb + K ba T ) K+.

(2.24.4)

De acuerdo a (2.23.2), la ecuación entre paréntesis es la matriz de rigidez condensada

Qb = 0 q a + ( K + T )

(2.24.5)

Al rescribir en forma matricial las ecuaciones (2.24.3) y (2.24.5) se halla.

⎛ 0 ⎞ ⎡I − T ⎤ ⎛ qa ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎢ ⎜Q ⎟ 0 k + ⎥ ⎜ q ⎟ ⎥⎦ ⎝ b ⎠ ⎝ b ⎠ ⎣⎢

(2.24.5)

Por consiguiente, dada la matriz de rigidez total, se aplica la eliminación de Gauss Jordan hasta eliminar los elementos correspondientes a las coordenadas "a" y lo que se

59

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO obtienen son las matrices T y K+. ♣

Encontrar la matriz de rigidez condensada, de la estructura que se ha venido analizando, pero aplicando la eliminación de Gauss Jordan.

•

Solución

Primero se debe encontrar la matriz de rigidez de la estructura, para la nueva numeración de los grados de libertad, que se indican en la figura 2.25. Nótese que la coordenada lateral, se ha numerado al último.

Figura 2.25 Numeración de los grados de libertad para poder aplicar la eliminación de Gauss Jordan.

⎡80754.85 658.64 − 329.32 ⎢ 4497.40 − 658.64 ⎢ k =⎢ 80754.85 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

⎤ ⎥ 934.17 1655.72 ⎥ ⎥ − 658.64 0 ⎥ 4497.40 1655.72 ⎥ ⎥ 2499.20⎥⎦ 658.64

0

Al triangularizar la matriz de rigidez, se obtiene:

⎡1 0.008156 − 0.004078 0.008156 ⎢ 1 − 0.146027 0.206764 ⎢0 ⎢0 0 1 − 0.00645 ⎢ ⎢0 0 0 1 ⎢ 0 0 0 ⎣⎢0

0.000000 ⎤ ⎥ 0.368591⎥ 0.0030 ⎥ ⎥ 0.31116 ⎥ ⎥ 1485.772 ⎦⎥

Finalmente, al llevar a la forma de la ecuación (2.24.5), se encuentra:

60

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE ⎡1 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣⎢0

0 0 0 0.000000 ⎤ ⎥ 1 0 0 0.368591 ⎥ 0 1 0 0.0030 ⎥ ⎥ 0 0 1 0.31116 ⎥ ⎥ 0 0 0 1485.772⎦⎥

Los valores de las cuatro primeras filas de la quinta columna, corresponden a -T, la diferencia que existe es debido al redondeo. El último valor es la matriz de rigidez condensada a la coordenada lateral, de la estructura analizada. ...Para fines prácticos la matriz de rigidez se obtiene únicamente de la etapa de triangularización...

2.10 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL Se define ...matriz de rigidez lateral, KL... a la matriz de rigidez asociada a las coordenadas laterales de piso. Cuando en el análisis sísmico de pórticos planos se considera un solo grado de libertad por piso, a este modelo se denomina ...piso rígido... y sirve únicamente para el análisis ante la componente horizontal de movimiento del suelo. Existen dos formas de modelar los elementos de un pórtico plano, ante la acción sísmica horizontal. En la primera forma se considera que únicamente las vigas son axialmente rígidas y las columnas totalmente flexibles. En cambio, en la segunda forma se considera que todos los elementos son axialmente rígidos. El pórtico analizado en los numerales anteriores corresponde a la primera forma de cálculo. En la figura 2.26, se indican los dos modelos anotados, para un pórtico plano de dos pisos y dos vanos. El modelo de la izquierda, corresponde a la primera forma de cálculo y el de la derecha a la segunda forma de cálculo. En el pórtico de la izquierda se nota que solo las vigas son axialmente rígidas; en cambio, en el de la derecha todos los elementos son axialmente rígidos.

Figura 2.26 Modelos de cálculo para determinar la matriz de rigidez lateral.


2.10.1

61

Vigas axialmente rígidas

Para este modelo de cálculo, las matrices de rigidez de los elementos: viga y columna, orientados al análisis en el computador, se indicó anteriormente, razón por la cual se omite el marco teórico y únicamente se presenta un ejemplo de cálculo. ♣

Para el pórtico plano indicado en la figura 2.27, cuyas vigas son de 30/30 y las columnas de 30/40. Se desea encontrar la matriz de rigidez lateral, considerando que solo las vigas son axialmente rígidas. A la derecha de la figura 2.27, se indica la numeración de los elementos. Por otra parte, no se considera nudos rígidos y el módulo de elasticidad E = 2173706.5 T/m2.

Figura 2.27 Geometría del pórtico cuya matriz de rigidez lateral se va a calcular de dos formas. Se indica además la numeración de los elementos. •

Solución

En la figura 2.28, se indica a la izquierda los grados de libertad del pórtico de la figura 2.27, al considerar que solo las vigas son axialmente rígidas. Se ha numerado primero los corrimientos laterales de piso y luego los restantes grados de libertad. A la derecha de la figura 2.28, se presentan las coordenas laterales de piso.

Figura 2.28 Grados de libertad, considerando vigas axialmente rígidas y coordenadas laterales de piso para el análisis sísmico, ante la componente horizontal de movimiento del suelo

62


La matriz de rigidez es de 14 por 14; la submatriz Kaa es de 2 por 2, la Kab de 2 por 12; la Kbb es de 12 por 12 y la Kba de 12 por 2. En forma resumida, las operaciones matriciales son:

⎡16026.30 − 8013.15⎤ ⎡4477.64 − 3558.07⎤ K aa − K ab K bb−1 K ba = ⎢ ⎥ ⎥−⎢ 8013 . 15 8013 . 15 − ⎣ ⎦ ⎣− 3558.07 5286.50 ⎦ ⎡11548.66 − 4455.08⎤ KL = ⎢ ⎥ ⎣− 4455.08 2726.65 ⎦ 2.10.2

Vigas y columnas axialmente rígidas

Cuando todos los elementos de un pórtico plano, conformado por vigas y columnas, se consideran axialmente rígidos, se disminuye notablemente el número de grados de libertad y el cálculo es más rápido. Para el caso de que no se considere nudo rígido, las matrices de rigidez, son: •

Elemento viga

a⎤ ⎥ ⎣a k '⎦ ⎡k

k =⎢

(2.25)

Figura 2.29 Coordenadas globales para un elemento viga, de un pórtico en que todos los elementos son axialmente rígidos.

La ecuación (2.25) se encuentra de la ecuación (2.12), eliminando la primera y tercera columna, y, la primera y tercera fila. El sistema de coordenadas asociado con la ecuación (2.25) se indica en la figura 2.29. •

Elemento columna

⎡t − b − t − b' ⎤ ⎢ ⎥ b a ⎥ −b k ⎢ k= ⎢− t b t b' ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣− b' a b' k '⎥⎦

(2.26)

Si en la ecuación (2.14), se elimina la segunda y quinta fila, por un lado, y se elimina la segunda y quinta columna, por otro lado, se obtiene la ecuación (2.26) que es la matriz del elemento columna para el sistema de coordenadas globales indicado en la figura 2.30.


63

Figura 2.30 Coordenadas globales para un elemento columna, de un pórtico en que todos los elementos son axialmente rígidos.

♣

Con relación al pórtico plano de la figura 2.27. Encontrar la matriz de rigidez lateral, considerando que todos los elementos son axialmente rígidos.

•

Solución

Figura 2.31 Grados de libertad, considerando que todos los elementos son axialmente rígidos y coordenadas laterales de piso para el análisis sísmico.

En la figura 2.31, a la izquierda se indica los grados de libertad del pórtico, cuando todos los elementos son axialmente rígidos. Existe un corrimiento horizontal en cada piso y una rotación en cada uno de los nudos. A la derecha de la figura 2.31, se muestran las coordenadas laterales para las cuales se determina la matriz de rigidez lateral. •

Matriz de rigidez del elemento viga.

⎡1304.22 652.11 ⎤ ⎥ ⎣652.11 1304.22⎦

k =⎢ •

Matriz de rigidez del elemento columna.

64


⎡2671.05 ⎢ ⎢− 3338.81 k= ⎢− 2671.05 ⎢ ⎢⎣− 3338.81 •

− 3338.81 − 2671.05 − 3338.8132⎤ ⎥ 5564.69 3338.81 2782.34 ⎥ 3338.81 2671.05 3338.81 ⎥ ⎥ 2782.34 3338.81 5564.69 ⎥⎦

Vectores de colocación VC, de las vigas.

VC 7 = [3 4] VC 8 = [4 5] VC 9 = [6 7] VC 10 = [7 8] •

Vectores de colocación VC, de las columnas.

VC 1 = [0 0 1 2] VC 2 = [0 0 1 4] VC 3 = [0 0 1 5] VC 4 = [0 0 2 6] VC 5 = [0 0 2 7] VC 6 = [0 0 2 8] •

Submatrices Kaa, Kab, Kbb

⎡16026.303 − 8013.152⎤ K aa = ⎢ ⎥ ⎣− 8013.152 8013.152 ⎦ 0 0 0 − 3338.813 − 3338.813 − 3338.813⎤ ⎡ K ab = ⎢ ⎥ ⎣3338.813 3338.813 3338.813 3338.813 3338.813 3338.813 ⎦

K bb

⎡12433.601 ⎢ ⎢ 652.112 ⎢ 0 =⎢ ⎢2782.344 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0

⎤ ⎥ 13737.83 652.112 0 2782.344 0 ⎥ 652.112 10207.726 0 0 2782.344 ⎥ ⎥ ⎥ 0 0 6868.913 652.112 0 ⎥ 2782.344 0 652.112 8173.136 652.112 ⎥ ⎥ 0 2782.344 0 652.112 6868.913⎦ 652.112

0

2782.344

0

0

65


Matriz de rigidez lateral

⎡16026.30 − 8013.15⎤ ⎡4516.582 − 3509.309⎤ K aa − K ab K bb−1 K ba = ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎣− 8013.15 8013.15 ⎦ ⎣− 3509.309 5358.492 ⎦

⎡11509.718 − 4503.841⎤ KL = ⎢ ⎥ ⎣− 4503.841 2654.658 ⎦ 2.11 DETERMINACIÓN DE CURVA DE CAPACIDAD RESISTENTE Con el objeto de ilustrar el cálculo de la curva de capacidad resistente de un pórtico plano como lo hacen los programas de computación se obtiene esta curva para la estructura indicada en la figura 2.3 que se repite en la figura 2.32. Todos los elementos de la estructura son de 30/30. En la parte central, se indica la numeración de los nudos y de los elementos y a la derecha de la figura 2.32, se indica el número de los elementos tipo.

3

30/30 30/30 2.70 m

2

2

4

1

3

1

2

1

3

30/30

4.0 m

Figura 2.32 Geometría de una estructura de un piso. Numeración de nudos, elementos y elementos tipo.

En la figura 2.33, se aprecia que la columna esta conformada por 8 hierros de 16 mm y tiene un estribo doble de 10 mm de diámetro espaciado a 10 cm., en los extremos y a 20 cm., en el centro; el recubrimiento es de 4 cm. Se indica además el armado de la viga; en este caso se usan estribos simples de 10 mm espaciados a 10 y 20 cm. El hormigón utilizado es de 210 kg/cm2 y el acero tiene un límite de fluencia de 4200 kg/cm2. En la tabla 2.8, se indica el momento en el punto A, Y, y U, denominados

M a , M y , M u , para la viga en el nudo inicial (a), en el centro de luz (o) y en el nudo final (b). Tanto para valores positivos como negativos. La convención de signos con la cual se está trabajando es horario positivo. También se indica la capacidad de ductilidad por curvatura µ φ .

66


2 φ 14 mm

1 φ 16 mm

4 cm

1 φ 16 mm

1 φ 10 mm @

30 cm

3 φ 14 mm

10 y 20 cm

30 cm

E 1 φ 10 mm

E 1 φ 10 mm

E 1 φ 10 mm

@ 10 cm

@ 20 cm

@ 10 cm

1 φ 16 mm

VIGA

COLUMNA

Figura 2.33 Armadura de columnas y vigas de la estructura de figura 2.32. Tabla 2.8 Capacidad resistente de la viga Sección Nudo Inicial Centro Luz Nudo Final

Ma

My

Mu

µφ

Tm 1.215 -1.215 1.215 -1.215 1.215 -1.215

Tm 4.483 -4.938 3.064 -4.493 4.938 -4.483

Tm 7.471 -8.174 5.039 -7.316 8.174 -7.471

30.44 27.30 31.47 29.27 27.30 30.44

En la columna, la armadura es igual en toda la longitud del elemento. En consecuencia, la capacidad resistente es igual en el nudo inicial, final y centro de luz. En la tabla 2.9, se indican los valores iniciales correspondientes a una carga axial nula.

Tabla 2.9 Capacidad resistente inicial de la columna.

Ma

My

Mu

Tm

Tm

Tm

1.344

7.714

12.690

µφ 20.02

Se ha decidido que los incrementos de carga lateral sean de 0.5 T. Con este antecedente, en la figura 2.34 se indica el primer ciclo de carga para la estructura, en la cual actúa la carga vertical que se ha considerado igual a 1.1 T/m. Se destaca que en el primer ciclo de carga lateral se debe hacer actuar a la carga vertical, en los restantes incrementos de carga solo actuará la carga lateral de 0.5 T. A la derecha de la figura 2.34 se indican los grados de libertad. En general, se considera un corrimiento lateral por piso, el mismo que empieza a numerarse desde el piso inferior hasta el último piso y luego se considera un desplazamiento vertical y una rotación en cada uno de los nudos, para poder aplicar la condensación estática de la matriz de rigidez que se vio en los apartados anteriores.

67


El vector de coordenadas generalizadas q , que se obtiene para el ciclo de carga indicado en la figura 2.34, es el siguiente, en metros para los desplazamientos y radianes para los giros.

⎡0.354535 × 10 −3 ⎤ ⎢ −4 ⎥ ⎢− 0.261885 × 10 ⎥ q = ⎢0.554317 × 10 −3 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢− 0.296845 × 10 − 4 ⎥ ⎢ ⎥ −3 ⎢⎣− 0.343710 × 10 ⎥⎦

1.1 T/m

2

4

0.5 T

5

3

1

Q-q

Figura 2.34 Carga vertical y primer incremento de carga lateral. A la derecha se indican los grados de libertad.

Las fuerzas y momentos en cada uno de los elementos correspondiente al estado de carga indicado en la figura 2.34, se indica en la figura 2.35. Para este primer ciclo de carga todos los elementos de la estructura están en el rango elástico. Los momentos son menores al valor de M a , en todos los elementos. Del estado de carga inicial, descrito en la figura 2.34, se ha encontrado un punto de la curva de capacidad resistente de la estructura y está definido por un cortante basal igual a V = 0.5 T y un desplazamiento lateral máximo Dt = 0.0354535 cm . Para el segundo incremento de carga únicamente actúa una carga lateral de 0.5 T., que sumado a la fuerza inicial de 0.5 T., se tiene una fuerza total actuante de 1.0 T. En la figura 2.36, se indica el nuevo ciclo de cargas y las acciones en los elementos. El nuevo vector de coordenadas q , resulta:

⎡0.702273 × 10 −3 ⎤ ⎢ −4 ⎥ ⎢− 0.244346 × 10 ⎥ q = ⎢0.655917 × 10 −3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− 0.314384 × 10 − 4 ⎥ ⎢ ⎥ −3 ⎢⎣− 0.23790 × 10 ⎥⎦

68


0.9636 T 2.338 T

2.338 T

2.062 T

2.062 T 0.9532 T.m

1.504 T.m

0.9532 T.m

0.9636 T

0.4636 T

1.504 T.m

0.2984 T.m

0.9636 T

1.098 T.m

0.9636 T

0.4636 T 2.338 T

2.062 T

Figura 2.35 Acciones en los elementos correspondientes al ciclo de carga inicial.

Al observar los resultados se aprecia, que el momento en el nudo final de la viga es de 1.7793 Tm que es mayor al momento de agrietamiento M a . De igual forma el momento en el nudo final de la columna derecha tiene el mismo valor y también ha superado el momento

Ma

de la columna. Por lo tanto, está sección desde un punto de vista riguroso se puede decir que ingresó al rango no lineal. En la tabla 2.10, se indican las inercias y los códigos de las secciones que tienen, el número (0) es para el rango elástico cuando el momento es menor que el de agrietamiento, el (1) para cuando el momento es menor que el de fluencia y el (2) cuando se supera el momento de fluencia. Para el tercer ciclo de carga la matriz de rigidez de la estructura se obtendrá con las inercias indicadas en la tabla 2.10. El nuevo punto de la curva de capacidad resistente de la estructura tiene un cortante basal de 1 T., y un desplazamiento lateral de 0.0702273 cm.

1.2136 T

0.6779 T.m

1.7793 T.m

1.2136 T

1.1 T/m 1.9243 T

1.9243 T 1T 0.6779 T.m

0.2136 T

0.1013 T.m

2.4757 T 1.7793 T.m

1.4977 T.m

2.4757 T 1.2136 T

1.2136 T

0.2136 T 1.9243 T

Figura 2.36 Cargas totales y acciones resultantes en los elementos.

2.4757 T

69


Tabla 2.10 Inercias y códigos de identificación al final del segundo ciclo. Elemento

Nudo Inicial

Centro de Luz

Nudo Final

1

0.675 × 10 −3

(0)

0.675 × 10 −3

(0)

0.675 × 10 −3

2

0.675 × 10 −3

(0)

0.675 × 10 −3

(0)

0.142938 × 10 −3

3

0.675 × 10 −3

(0)

0.675 × 10 −3

(0)

0.2300444 × 10 −3 (1)

(0) (1)

Para los restantes ciclos de carga se va incrementando la carga lateral en 0.5 T., se controla los momentos en cada una de las secciones con relación a los de la curva momento curvatura y se modifican las rigideces a flexión, si es del caso. Algo similar se realiza con las rigideces al corte.

2.12 MODELOS DE PLASTICIDAD EXTENDIDA En la figura 2.37 se indican varios modelos de plasticidad extendida que están detallados en Aguiar (2002) con los cuales se ha obtenido la curva de capacidad resistente de la estructura indicada en las figuras 2.32 y 2.34. La explicación del cálculo que se lo ha venido realizando se lo ha hecho empleando el modelo de plasticidad ( 2 ). ¾

El modelo ( 2 ), de la figura 2.26, es utilizado en el programa IDARC: Inelastic Damage Analysis of Reinforced Concrete, Versión 1.0, Park et al (1987). Este modelo considera que la variación de rigidez es lineal en el elemento, desde el valor de ( EI ) a o ( EI ) b , donde existe deterioro de rigidez hasta la rigidez

( EI ) o que se mantiene siempre en el rango

elástico. Los términos de la matriz de flexibilidad son deducidos para cuando existe punto de inflexión y para cuando no lo hay. ¾

En el modelo ( 3 ), la variación de rigidez a flexión no se considera lineal y es utilizado en el programa IDARC Versión 3.0, Kunnath et al (1992). Los elementos de la matriz de flexibilidad se obtienen por integración numérica. Tanto en el modelo ( 2 ) como en el modelo ( 3 ) no se considera la longitud de la zona del elemento que ingresa al rango no lineal.

¾

El modelo ( 4 ), es utilizado en el programa SARCF: Seismic Analysis of Reinforced Concrete Frames, implementado por Chung et al (1988). En este modelo se determina la longitud de la zona que ingresa al rango no lineal λ a L , para el nudo inicial y λ b L , para el nudo final, en función de los momentos actuantes y considerando que ante acciones sísmicas el diagrama de momentos es triangular. En las zonas con daño el modelo considera que la rigidez a flexión es constante, como se aprecia en la figura 2.37

¾

El modelo ( 5 ), considera la longitud de las zonas que ingresan al rango no lineal y permite que el centro de luz pueda ingresar al rango no lineal. Este modelo es utilizado en el programa IDARC Versión 4.0 y fue desarrollado por Valles et al (1996). Los términos de la matriz de flexibilidad fueron deducidos por Lobo (1994) e incluyen el efecto del corte. En este modelo a diferencia de los anteriores la rigidez a flexión en el centro de luz ( EI ) o , va a disminuir en función de la longitud de daño que se tenga en los extremos de los elementos.

70

¾

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE El modelo ( 6 ), es el modelo de Giberson (1969) que ha sido indicado al comienzo de este capítulo con detalle.

(EI)a

(EI)o

(EI)b

(1)

(EI)a

(EI)o

(EI)b

(2)

(EI)a

(EI)o

(EI)b

(3)

(EI)a

(EI)o

(EI)b

(4)

λb-L

λa-L

(EI)a

(EI)o

(5)

α b-L

α a-L

(EI)a

(EI)b

(EI)o

(EI)b

(6)

Figura 2.37 Modelos de plasticidad extendida empleados para el análisis lineal y no lineal.

Inicialmente se trabaja con el modelo ( 1 ), cuando la estructura se encuentra en el rango elástico. Luego para el rango no lineal, el programa trabajará con uno de los modelos que el usuario ha seleccionado, e indicados del ( 2 ) al ( 6 ) en la figura 2.37. En la figura 2.38 se indican las curvas de capacidad resistente que se obtuvieron para la estructura de un piso y un vano que se estuvo resolviendo, también se ha incluido la curva de capacidad resistente que se encontró con el programa DRAIN-2DX. Nótese que las curvas dependen del modelo de plasticidad que se utilice.

2.13 PROPIEDADES DINÁMICAS Cuando se trabaja con todos los grados de libertad, horizontales, verticales y giros las propiedades dinámicas de la estructura se obtienen aplicando el Método de la Búsqueda del Determinante, descrito en Barbat y Canet (1994), el mismo que permite encontrar un número determinado de modos de vibración. Se puede decir que las coordenadas principales, son los desplazamientos laterales, uno por cada piso y que las coordenadas secundarias son los desplazamientos y giros de cada uno de los nudos. Por ejemplo, con relación a los grados de libertad indicados en la figura 2.34, la coordenada principal es la número 1 y las secundarias las cuatro restantes.

71


Figura 2.38 Curvas de capacidad obtenidas en pórtico de un piso y un vano obtenidas con diferentes modelos de plasticidad extendida.

El análisis sísmico de estructuras se las realiza normalmente en coordenadas principales, por ese motivo se acostumbra utilizar la condensación estática de la matriz de rigidez, para lograr este objetivo pero para evaluar el estado en que se encuentra cada uno de los elementos ante cargas laterales se necesita trabajar con todos los grados de libertad. Pero para el cálculo de los modos de vibración se tiene un problema y es el siguiente: que la matriz de rigidez es de orden (ngl X ngl) y la matriz de masa es de orden (np X np). Donde ngl es el número total de grados de libertad y np es el número de coordenadas laterales de piso. Para la estructura de la figura 2.34 se tiene una matriz de rigidez de (5 X 5) y la de masas de (1 X 1) puesto que toda la masa se concentra a nivel de piso. En consecuencia, directamente no se puede resolver el problema de valores y vectores propios, lo que se realiza es lo siguiente:

1) Encontrar la matriz de rigidez condensada a la coordenada lateral, K

∗

2) La matriz de rigidez condensada y la matriz de masas son ahora del mismo orden (np X np). Por lo tanto, se puede emplear cualquiera de los métodos conocidos para resolver el problema de valores y vectores propios y obtener los modos de vibración en coordenadas principales. 3) Sea

φ a , los modos de vibración asociado a las coordenadas principales y φ b , los modos

de vibración en coordenadas secundarias que se puede calcular con la ecuación ( 2.27 ). −1 φ b = − K BB K BA φ a

( 2.27 )

72


El procedimiento descrito demanda una gran cantidad de operaciones, por lo que es más óptimo utilizar el Método de la Búsqueda del determinante que permite encontrar un número determinado de modos de vibración para lo cual se plantea el polinomio característico correspondiente. Con relación a la estructura de la figura 2.34, en la cual la masa total es 0.45 T s2/m, la frecuencia natural del sistema es 55.9777 1/s, y el período de vibración es T = 0.112244 s . El modo de vibración es:

⎡1.491 ⎤ ⎢ ⎥ −2 ⎢0.735 × 10 ⎥ ⎢ ⎥ φ = 0.4428 ⎢ ⎥ −2 ⎢− 0.735 × 10 ⎥ ⎢0.4428 ⎥ ⎣ ⎦ Los períodos de vibración se incrementan conforme la estructura va ingresando al rango no lineal, es decir la estructura se hace más flexible en el rango inelástico.

REFERENCIAS 1. Aguiar R., (2002), “Sistema de computación CEINCI3 para evaluar daño sísmico en los Países Bolivarianos”, Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, 302 p, Valle de los Chillos, Ecuador. 2.

Aguiar R., (1995), “Análisis Matricial de Estructuras”, Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, 611 p, Segunda Edición, Valle de los Chillos, Ecuador.

3.

Aguiar R., (1996), “Comportamiento Sísmico del Hormigón Armado”, Colegio de Ingenieros Civiles del Chimborazo. Centro de Actualización de Conocimientos”, 55 p, Riobamba, Ecuador.

4.

Aguiar R., (1989), “Análisis Dinámico Espacial”, Escuela Politécnica del Ejército, 270 p, Quito, Ecuador.

5.

Aguiar R y Ruiz S. (2002), “Influencia de los modelos de plasticidad en la respuesta sísmica obtenida mediante el Método del Espectro de Capacidad”, Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural, A.C. XIII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural, 12 p, Puebla, México.

6.

Barbat A. y Canet J., (1994), “Estructuras sometidas a acciones sísmicas. Cálculo por ordenador”, Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería. Segunda Edición, 821 p, Barcelona España.

7.

Cheng Y. S., Shinozuka M. and Meyer C., (1988), “SARCF User´s Guide: Seismic Analysis of Reinforced Concrete Frames'', National Center for Earthquake Engineering Research, Technical Report NCEER-88-0044, State University of New York at Buffalo.

8.

Giberson M.F. (1969), “Two Nonlinear Beams with Definitions of Ductility”, Journal of the Structural Division, ASCE, Vol. 95, No ST2, 137-157


9.

73

Kent D. and Park R. (1971), . “Flexural members with confined concrete'', Journal of Structural Engineering ASCE, 97 ST7, 1969-1990.

10. Kunnath S., Reinhorn A. and Lobo R., (1992), “IDARC Version 3.0: A Program for the Inelastic Damage Analysis of Reinforced Concrete Structures'', National Center for Earthquake Engineering Research, State University of New York, Technical Report NCEER-92-0022. 11.

Lobo R. F., (1994), “IDARC: Inelastic Dynamic Analysis of Reinforced Concrete Structures in Three Dimension'', Ph.D. Dissertation Department of Civil Engineering. State University of New York at Buffalo, New York.

12. Park R., Priestley M., Gill W. D., (1982), “Ductility of Square Confined Concrete Columns”, Journal of Structural Division, ASCE, 108 (4), 929-950. 13. Park Y., Reinhorn A. and Kunnath S., (1987), “IDARC: Inelastic damage analysis of reinforced concrete frame shear-wall structures'', National Center for Earthquake Engineering Research, State University of New York, Technical Report NCEER-87-0008. 14. Valles R.E., Reinhorn A., Kunnath S., Li C. and Madan A., (1996), “IDARC2D Version 4.0: A computer Program for the Inelastic Damage Analysis of Buildings'', National Center for Earthquake Engineering Research, State University of New York, Technical Report NCEER-96-0010. 15. SEAOC (1995), “Visión 2000 Report on performance based seismic engineering of buildings”, Structural Engineers Association of California, Volume I , Sacramento.

CAPÍTULO 3

UN NUEVO MODELO DE PLASTICIDAD Y EL PUSHOVER CONTROLADO

RESUMEN Se presenta el desarrollo numérico de un nuevo modelo de plasticidad extendida, para encontrar la curva de capacidad sísmica resistente de una estructura de hormigón armado, mediante análisis estático no lineal, en forma incremental (pushover). En el modelo, se determina las zonas de daño en los extremos del elemento en función del diagrama de momentos, ante cargas laterales y en esta zona se consideran cuatro escalones de variación de la rigidez a flexión. Para verificar la bondad del modelo propuesto, se comparan las curvas de capacidad sísmica resistente en edificaciones de 3, 5 y 10 pisos, utilizando los modelos de plasticidad de los programas DRAIN-2DX, IDARC (Inelastic damage análisis of reinforced concrete) y SARCF (Seismic análisis of reinforced concrete frames). Estos últimos modelos han sido incorporados al programa CEINCI2 Las curvas de capacidad sísmica resistente, relaciona el cortante basal con el desplazamiento lateral máximo de la edificación. En la comparación que se realiza se considera y no se considera el efecto P − ∆ . Por otra parte, se realiza el estudio estadístico de los diferentes modelos utilizados, con relación al modelo de plasticidad que se propone, en los siguientes parámetros: resistencia última asociada al 5% de la altura total del edificio, resistencia de fluencia, desplazamiento de fluencia y relación entre la rigidez post fluencia con respecto a la rigidez elástica; para el efecto se construyen modelos bilineales de la curva de capacidad sísmica, empleando el criterio de iguales áreas. Por otra parte, mediante la realización de dos ejemplos se ilustra la Técnica del Pushover Controlado, en los cuales la carga lateral se aplica en función de la forma de la deformación lateral de la estructura. La explicación se la realiza en forma didáctica razón por la cual se presentan los resultados en cada ciclo de carga y finalmente se determinan los espectros de capacidad a partir de las curvas de capacidad sísmica resistente de los dos ejemplos.

76


3.1

INTRODUCCIÓN

Ante acciones sísmicas son los extremos de los elementos los que van a estar sujetos a grandes esfuerzos en consecuencia el daño se inicia en estos puntos y se va propagando hacia el centro de luz. Existen varios modelos de plasticidad que han sido propuestos para simular este comportamiento, varios de ellos se indican en la figura 3.1, los mismos que se describen a continuación, previamente se destaca que ( EI ) a , ( EI ) o , ( EI ) b , son las rigidez a flexión en el nudo inicial, centro de luz y nudo final respectivamente los mismos que se determinan del diagrama momento-curvatura M − C . Cuando el elemento se encuentra en el rango elástico la rigidez a flexión del nudo inicial, centro de luz y nudo final es igual cuando se trata de elementos de sección constante, pero una vez que una sección ingresa al rango no lineal esta rigidez (EI ) disminuye. En el modelo (1) indicado en la figura 3.1, se considera que la variación de rigidez entre los extremos del elemento y el centro de luz es lineal. Este modelo fue utilizado en la Versión 1.0 del programa IDARC, Park et al (1987). Este modelo considera que todo el elemento ingresa al rango no lineal, lo cual no es cierto cuando se tiene una acción sísmica de moderada intensidad que ha ocasionado que únicamente los extremos sufran daño.

Figura 3.1 Modelos de plasticidad extendida.

λa L

y

El modelo (2) define una longitud de daño en el nudo inicial y nudo final de magnitud λb L ,respectivamente. En cada una de estas zonas de daño la rigidez a flexión se

considera constante. Esta es una mejor aproximación en relación al modelo (1) pero no es real que el daño sea uniforme en toda la longitud de daño. Este modelo fue utilizado por el programa SARCF, Cheng et al (1988). En el modelo (3), el daño se concentra en un solo punto, en los extremos del elemento, fue propuesto por Giberson (1969). No contempla longitud de daño, es un modelo extremadamente sencillo pero reporta buenos resultados, como se vio en el capítulo anterior.


77

El modelo (4), es el nuevo modelo de plasticidad que se propone en este capítulo. En la longitud daño λ a L del nudo inicial se consideran cuatro niveles de rigidez a flexión y no uno solo como en el modelo (2). Lo propio se considera para el nudo final como se aprecia en la figura 3.1. La longitud de cada nivel de inercia en el nudo inicial es igual a λ a L /4, y la magnitud se considera proporcional a las rigideces comprendidas entre ( EI ) a y ( EI ) o . Iguales consideraciones se realizan para el nudo final.

3.2

DIAGRAMA DE MASAS ELASTICAS

Dado un elemento con cualquier variación de inercia a flexión , como el presentado en la figura 3.2, en el cual se han definido un par de ejes verticales denominados Y e Y’, en el nudo inicial y final respectivamente, Aguiar (1995). Adicionalmente se consideran dos coordenadas para definir la posición de un punto del elemento que son X y Z , cumpliéndose que X + Z = L . En la parte superior de la figura 3.2, se presenta la forma general de variación de rigidez a flexión ( EI ) x , y en la parte inferior el diagrama de masas elásticas que resulta al unir los puntos cuyo valor es

1 . ( EI ) x

Figura 3.2 Diagrama de Masas Elásticas

Al considerar el elemento diferencial

dx , se nota que el diferencial de área vale

dx . En consecuencia el área total del diagrama de masas elásticas W , vendrá dado por la ( EI ) x siguiente ecuación: L

dx ( EI ) x 0

W =∫

(3.1 )

78

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Por otra parte, el momento de inercia del diagrama de masas elásticas con respecto al

eje Y, denominado

I Y , y con respecto al eje Y’, llamado I Y' , valen: L

dx ( EI ) x

( 3.2 )

dx ( EI ) x

( 3.3 )

IY = ∫ X 2 0

L

I = ∫Z2 ' Y

0

Finalmente, el momento de inercia compuesto del diagrama de masas elásticas respecto a los ejes Y Y’, denominado I YY ' , es: L

I YY ' = ∫ XZ 0

dx ( EI ) x

( 3.4 )

En base a las ecuaciones indicadas se determinan los elementos de la matriz de flexibilidad.

3.3

MATRIZ DE FLEXIBILIDAD

La forma de la matriz de flexibilidad para el sistema de coordenadas indicado en la figura 3.3, es la siguiente:

⎡f f = ⎢ 11 ⎣ f 21

f12 ⎤ f 22 ⎥⎦

donde los elementos de la primera columna de f , son los giros en el nudo inicial y final que resultan al aplicar un momento unitario en el nudo inicial, lo propio es para los elementos de la segunda columna pero esta vez el momento unitario se aplica en el nudo final.

Figura 3.3 Sistema base de coordenadas de un elemento y distribución de curvatura. En forma general las deformaciones f ij se obtienen para el caso de marcos planos con la ecuación siguiente:

79


L

f ij = ∫ 0

donde M i , M

j

MiM j ( EI ) x

L

dx + ∫ 0

β ViV j (GA) x

L

dx + ∫ 0

Ni N j ( EA) x

dx

son los momentos a flexión; Vi , V j son los cortantes; N i , N j las cargas

axiales; (EI ) la rigidez a flexión; (GA) la rigidez al corte, (EA) la rigidez axial y coeficiente de forma que caracteriza la distribución de las tensiones tangenciales.

3.3.1

( 3.5 )

β el

Cálculo de f11

Al aplicar un momento unitario en el nudo inicial de la figura 3.2, las ecuaciones de momento, corte y carga axial, son las siguientes:

M1 =

L− X L

V1 =

1 L

N1 = 0

Al reemplazar estas ecuaciones en la ecuación ( 3.5 ) se tiene: L M 12 β V12 f11 = ∫ dx + ∫ dx ( EI ) x (GA) x 0 0 L

L

f11 = ∫ 0

( L − X ) 2 dx 1 dx + ∫β 2 2 ( EI ) x 0 L (GA) x L L

Al despreciar el efecto de corte, es decir no se considera la segunda integral y al reemplazar X = L − Z , se encuentra. L

f11 = ∫ 0

L

Z 2 dx 1 Z2 = dx L2 ( EI ) x L2 ∫0 ( EI ) x

Al sustituir la ecuación ( 3.3 ) en esta última ecuación se obtiene la ecuación con la cual se calculará f11

f 11 = 3.3.2

I Y' L2

( 3.6 )

Cálculo de f 22

Al aplicar el momento unitario en el nudo final, las ecuaciones de momento, corte y carga axial, resultan.

M2 =

X L

V2 =

1 L

Al reemplazar en ecuación ( 3.5 ) se encuentra:

N2 = 0

80

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE L

f 22 = ∫ 0

L

f 22 = ∫ 0

L M 22 β V22 dx + ∫ dx ( EI ) x (GA) x 0

X 2 dx 1 β +∫ 2 dx 2 L ( EI ) x 0 L (GA) x L

Nuevamente al despreciar el segundo término y al sustituir la ecuación ( 3.2 ) se halla

f 22 =

3.3.3

IY L2

( 3.7 )

Cálculo de f12 = f 21

Al considerar únicamente el efecto de flexión en la ecuación ( 3.5 ) se tiene:

L M 1M 2 X ( X − L) dx f12 = ∫ dx = ∫ ( EI ) x ( EI ) x L2 0 0 L

Pero X − L = Z . Luego, de la siguiente manera.

f12 se calcula en función del momento de inercia compuesto,

L

L

XZ dx 1 XZ f12 = ∫ 2 = 2∫ dx ( EI ) x L 0 ( EI ) x 0 L I ' f 12 = YY2 L 3.3.4

( 3.8 )

Relación Importante

Al reemplazar las ecuaciones ( 3.2 ) a ( 3.4 ) en ( 3.6 ) a ( 3.8 ) y teniendo en cuenta que X + Z = L , se demuestra que:

W = f11 + f 22 + 2 f12 Es más fácil calcular el término

3.4

( 3.9 )

f12 con la ecuación ( 3.9 ) en lugar de la ecuación (3.8).

ALGORITMO DE CÁLCULO

81


Los términos de la matriz de flexibilidad propone se obtienen a partir del cálculo de I y ,

para el elemento de plasticidad que se

I y' y W . En la figura 3.4, se indica el diagrama

de masas elásticas del modelo ( 4 ) en el cual se ha utilizado la siguiente nomenclatura.

Figura 3.4 Nomenclatura utilizada para el cálculo de los términos de la matriz de flexibilidad

A=

1 ( EI ) a

B=

1 ( EI ) a + ( EI ) o ( EI ) a + 2 2

E=

1 ( EI ) o

I=

D=

1 ( EI ) b

C=

1 ( EI ) a + ( EI ) o 2

1 ( EI ) a + ( EI ) o ( EI ) o + 2 2

Las variables H , G y F son similares a las variables B, C y D con la diferencia de que en lugar de ( EI ) a se tiene ( EI ) b . Por otra parte la nomenclatura utilizada para definir la longitud de cada una de las subfiguras es la siguiente:

X1 =

λa L 4

X2 =

λa L 2

X3 =

3λa L 4

X 4 = λ a L X 5 = L − λb L

Las restantes variables X i se encuentran en forma similar. Lo importante es destacar que todas se miden a partir del nudo inicial que es el nudo izquierdo. En base a esta nomenclatura en la tabla 3.1 se indica el cálculo de I y ,

I y' y W .

82


Con los resultados encontrados y con la notación indicada en la tabla 3.1, la matriz de flexibilidad del elemento es la siguiente.

⎡ ⎢ I' ⎢ ∑2 y f = ⎢⎢ L I I' ⎢ ∑W − ∑ y − ∑ y ⎢ L2 L2 ⎢⎣ 2

∑

∑I W−

y

L2 2

∑I −

' y

L2

∑I

y

2

L

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

( 3.10 )

Tabla 3.1 Cálculo del área y momentos de inercia del diagrama de masas elásticas. Fig

W

Iy

1

A X1

2

B ( X 2 − X1)

3

C (X3 − X 2 )

4

D (X 4 − X3)

5

E (X5 − X 4 )

6

F (X 6 − X5 )

7

G (X 7 − X 6 )

8

H (X8 − X 7 )

9

I (L − X 8 )

A X 13 3 3 B ( X 2 − X 13 ) 3 3 C ( X 3 − X 23 ) 3 3 D ( X 4 − X 33 ) 3 3 E ( X 5 − X 43 ) 3 3 F ( X 6 − X 53 ) 3 3 G ( X 7 − X 63 ) 3 3 H ( X 8 − X 73 ) 3 3 I ( L − X 83 )

∑W

3 ∑Iy

3.5

[

I y'

]

A L3 − ( L − X 1 ) 3 3 3 B (L − X 1 ) − (L − X 2 )3 3 3 C (L − X 2 ) − (L − X 3 )3 3 3 D (L − X 3 ) − (L − X 4 )3 3 3 E (L − X 4 ) − (L − X 5 )3 3 3 F (L − X 5 ) − (L − X 6 )3 3 3 G (L − X 6 ) − (L − X 7 )3 3 3 H (L − X 7 ) − (L − X 8 )3 3 I (L − X 8 )3 3

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

∑I

' y

RELACIONES MOMENTO CURVATURA M-C

En cada incremento de carga lateral, se encuentra el diagrama M-C en el nudo inicial, centro de luz y nudo final de cada elemento de la estructura. Así como se determina los momentos actuantes en cada uno de estos puntos y se observa en el diagrama en que rama de la misma se encuentra para determinar la correspondiente rigidez a flexión (EI ) . La forma general del diagrama se indica en la figura 3.5, la curva del primer cuadrante corresponde al


83

caso de que la carga actúa en un sentido y la curva del tercer cuadrante para cuando la carga actúa en sentido contrario. Como se aprecia en la figura 3.5, se considera un modelo trilineal para el diagrama MC, en el cual el punto A, se encuentra cuando el hormigón llega a su máximo esfuerzo a tracción. El punto Y, cuando el acero a tracción alcanza el límite de fluencia y el punto U, cuando el hormigón a compresión llega a su máxima deformación útil. Para el modelo de cálculo adoptado se tienen tres rigideces a flexión, para cada una de las ramas del modelo, que son:

( EI ) o = ( EI )1 = ( EI ) 2 =

Ma

φa

=

E b h3 12

M y − Ma

φ y − φa Mu − M y

φu − φ y

( 3.11 )

( 3.12 )

( 3.13 )

Se ha omitido el signo ± para darle el carácter general. Para la primera rama que corresponde al rango elástico ( EI ) o se tiene que la rigidez se calcula con la Inercia gruesa. En consecuencia, en la ecuación ( 3.11 ) se tiene que transversal.

b , es la base y h , es la altura de la sección

Cuando se inicia el proceso de carga, la sección analizada tiene una rigidez ( EI ) o y se mantiene con esta rigidez hasta cuando el momento actuante supera el valor de M a , en que disminuye la rigidez a flexión al valor de

(EI )1 , con este valor permanece hasta que el

momento actuante sea mayor a M y en que la rigidez disminuye notablemente al valor de

(EI ) 2 .

Figura 3.5 Modelo numérico adoptado para la curva momento curvatura.

3.6

LONGITUD DE DAÑO

84


En la figura 3.6, se indica el diagrama de momentos de un elemento a partir del cual se determina la longitud de daño λ a L para el nudo inicial y λb L para el nudo final. Sean M i y

M j los momentos actuantes en el nudo inicial y final respectivamente. Estrictamente cuando estos valores superan el valor de M a se tiene daño en el elemento pero normalmente se considera la longitud de daño cuando el momento actuante supera el momento de fluencia My.

Figura 3.6 Diagrama de momentos y longitudes de daño. De la figura 3.6, por triángulos semejantes se deduce que:

λa = λb = donde M y y

3.7

Mi − M y

( 3.14 )

Mi + M j M j − M y'

(3.15 )

Mi + M j

M y' , son los momentos de fluencia para el nudo inicial y final del elemento.

DESCRIPCIÓN DE LAS ESTRUCTURAS

La altura de los entrepisos de las estructuras que se analizan es de 3.0 m. Por otra parte, cada una tiene luces iguales y es de 4 m. para las de 3 y 5 pisos, la de 10 pisos tiene luces de 5 m. En Aguiar (2002) y Aguiar et al (2002), se presenta el armado de las columnas y vigas y en la tabla 3.2 se presenta las dimensiones de las mismas al igual que la carga vertical actuante.

Estructura 3 Pisos 5 Pisos

Tabla 3.2 Descripción de las estructuras analizadas. Vanos Carga Vertical Columnas Dimensiones Niveles 2 1.6 T/m. 40X40 cm. Todos 3

2.5 T/m.

45X45 cm.

Todos

Vigas 30X30 cm. 30X45 cm.

85


10 Pisos

3.8

3

4.0 T/m.

56X56 cm. 54X54 cm. 50X50 cm. 42X42 cm.

1-4 5-6 7-8 9-10

75X35 cm. 75X35 cm. 75X35 cm. 75X35 cm.

CURVAS DE CAPACIDAD SIN CONSIDERAR EFECTO P − ∆

En el presente apartado se presentan las curvas de capacidad resistente que se obtienen con cada uno de los modelos de plasticidad indicados en la figura 3.1, mediante el programa de computación CEINCI2 y mediante el programa DRAIN-2DX, Prakash et al (1993). Se presentan resultados, sin considera el efecto P − ∆ . Las curvas de capacidad resistente, relacionan el cortante basal V , con el desplazamiento lateral máximo de la estructura Dt , y se obtienen aplicando la técnica del pushover.

En la figura 3.7, se muestra en la parte superior las curvas de capacidad en la estructura de 3 pisos, se aprecia que la curva que se obtiene con el modelo de plasticidad propuesto se encuentra aproximadamente en la mitad de las que se obtienen con los otros modelos. La curva de capacidad que se halla con el programa DRAIN-2DX es una cota superior y la que se encuentra con el modelo (1) de rigidez lineal es una cota inferior.

En la parte central de la figura 3.7, se indican las curvas de capacidad que se obtienen en la estructura de 5 pisos. En forma general se aprecia que la dispersión es menor en relación a la estructura de 3 pisos. Por otra parte, la curva que se obtiene con el modelo de plasticidad propuesto se halla en la mitad de las curvas hasta el 2% de la altura del edificio, después de este valor se convierte en una cota superior; similar comportamiento se obtiene con la estructura de 10 pisos, cuyos resultados se indican en la parte inferior de la figura 3.7

La curva de capacidad que se encuentra con el modelo de plasticidad (2) que solo considera un escalón de inercia para deformaciones mayores al 2 % de la altura total del edificio presenta valores menores de resistencia en comparación con el modelo ( 4) que se propone en este estudio, lo cual era de esperarse por la forma del modelo.

3.9

CURVAS DE CAPACIDAD CONSIDERANDO EFECTO P − ∆

En la técnica del pushover se aplican cargas laterales que se van incrementando, en una sola dirección. En consecuencia, el efecto P − ∆ , va a ser importante, cuando los desplazamientos laterales son considerables. En Aguiar (2002) se presenta el marco teórico respectivo, razón por la cual se indica a continuación, la forma como se calcula. Por ejemplo, para una estructura de tres pisos, como la indicada en la figura 3.8, en la cual se han concentrado las masas a nivel de cada piso. Sean m1, m 2, m3 , las masas totales de los pisos uno, dos y tres. Por otra parte, sean D1, D 2, D 3 , los desplazamientos laterales de los respectivos pisos. Finalmente a la derecha de la figura 3.8, se ha indicado una deformada lateral en los cuales los pesos W 1, W 2, W 3 , tienden a voltear a la estructura. Este efecto adicional se considera como un estado de cargas horizontales actuando en cada uno de los pisos, en la estructura deformada como se ilustra a la derecha de la figura 3.8.

86


.

87


Figura 3.7 Curvas de capacidad resistente que se obtienen con diferentes modelos de plasticidad en estructuras de 3, 5 y 10 pisos. Análisis sin considerar efecto P − ∆ .

Figura 3.8 Nomenclatura utilizada y esquema de cálculo del efecto P − ∆ . El vector de cargas generalizadas Q , para las coordenadas indicadas, en la figura 3.8, debido al efecto P − ∆ , resulta:

⎡W 1 ⎤ ⎢ H 1 D1 ⎥ ⎢ ⎥ W2 ⎢ (D 2 − D1)⎥⎥ Q= ⎢H2 ⎢W 3 ⎥ ⎢ (D3 − D 2)⎥ ⎣⎢ H 3 ⎦⎥

(3.16)

Siendo H 1, H 2, H 3 , las alturas de los pisos uno, dos y tres. Por lo tanto, el efecto P − ∆ lo que incrementa es el vector de cargas Q . Sin efecto P − ∆ , únicamente contiene las fuerzas laterales que se aplican a la estructura; con el efecto P − ∆ , estas fuerzas se incrementan por el producto del desplazamiento relativo de piso multiplicado por el peso de piso y dividido para la altura del entrepiso. Existen algunas consideraciones especiales, que deben tomarse en cuenta en el efecto

P − ∆ , las mismas que están descritas en Aguiar (2002) con detalle, que se resumen a continuación: •

El vector que contiene las coordenadas de los nudos de la estructura debe actualizarse en cada incremento de carga lateral. Cuando no se considera el efecto P − ∆ , las coordenadas de los nudos permanecen constante. En el efecto P − ∆ , las coordenadas de los nudos cambian, a la posición de la estructura deformada.

88

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE •

El cálculo del efecto P − ∆ , se realiza en forma incremental, al igual que todo el análisis no lineal estático.

•

El Vector de cargas Q , es igual al vector de cargas debido a las fuerzas horizontales, de la técnica del pushover, más el vector de cargas debido al efecto P − ∆ .

Cuando se considera el efecto P − ∆ , la resistencia de la estructura es menor. Como se aprecia en la figura 3.9 con relación a la figura 3.7. En la parte superior de la figura 3.9, se tiene la curva de capacidad resistente de la estructura de 3 pisos pero considerando el efecto P − ∆ , en la parte central se tiene lo propio pero en la estructura de 5 pisos y en la parte inferior la curva de capacidad para la estructura de 10 pisos. El comportamiento de las curvas indicadas en la figura 3.9, es similar al comportamiento que se obtuvo en las mismas estructuras pero sin considerar el efecto P − ∆ .

3.10 MODELO BILINEAL

En las figuras 3.7 y 3.9, se tienen las curvas de capacidad resistente, sin considerar y considerando el efecto P − ∆ . Ahora bien en el análisis tendiente a obtener la respuesta de la estructura ante una acción sísmica se acostumbra encontrar un modelo bilineal de la curva de capacidad resistente, de esta manera se simplifica el problema. Existen varios criterios para encontrar el modelo bilineal, uno de ellos y es el que se utiliza en el presente artículo es el criterio de iguales áreas, que cumple con la condición de que el área bajo la curva de capacidad resistente es igual al área del modelo bilineal. En la figura 3.10, se presenta a la izquierda los modelos bilineales, correspondientes a la estructura de 3 pisos, sin considerar el efecto P − ∆ y a la derecha considerando dicho efecto. Nótese que en la figura de la derecha la resistencia es menor. En la figura 3.11, se indican los modelos bilineales de las curvas de capacidad resistente de la estructura de 5 pisos y en la figura 3.12, de la de 10 pisos; en el mismo formato de presentación, a la izquierda sin efecto P − ∆ y a la derecha con efecto P − ∆ . Como los modelos bilineales se obtienen de las curvas de capacidad resistente, los comentarios que se pueden hacer con relación al nuevo modelo de plasticidad son los mismos que ya se han indicado. En base a los modelos bilineales, se determinan los parámetros que están indicados en las tablas 3.3 a 3.5, con los cuales se realiza el estudio estadístico. En base a todos los datos se ha determinado el valor medio, la desviación estándar y el coeficiente de variación. La nomenclatura utilizada para el estudio estadístico es la siguiente: Dty es el desplazamiento a nivel de fluencia de la estructura, V y y de fluencia y de capacidad última,

Vu son los cortantes basales a nivel

K elas es la rigidez elástica de la estructura y finalmente

K plas es la rigidez post fluencia de la estructura.


Figura 3.9 Curvas de capacidad resistente que se obtienen con diferentes modelos de plasticidad en estructuras de 3, 5 y 10 pisos. Considerando efecto P − ∆ .

89

90


Figura 3.10 Modelos bilineales con diferentes modelos de plasticidad de la estructura de 3 pisos. Análisis sin efecto P − ∆ , a la izquierda y con efecto P − ∆ , a la derecha.



91


Modelo

1 2 3 Propuesto Media Desviac. Coef. Var.

Tabla 3.3 Valores obtenidos en edificio de 3 pisos y parámetros estadísticos. Sin efecto P − ∆ Con efecto P − ∆

Dty

Vy

Vu

K elas

K plas

Dty

Vy

Vu

K elas

K plas

(cm.) 5.72 4.23 6.67 5.18 5.45 0.88 0.16

(T.) 13.18 15.88 14.82 14.61 14.62 0.96 0.07

(T.) 17.45 19.12 17.06 19.19 18.21 0.96 0.05

(T/m.) 230.47 375.70 222.46 281.95 277.65 61.04 0.22

(T/m.) 10.89 7.94 5.82 11.52 9.04 2.30 0.25

(cm.) 5.65 4.27 6.71 5.22 5.46 0.88 0.16

(T.) 12.82 15.90 14.67 14.50 14.47 1.10 0.08

(T.) 16.18 17.32 15.59 17.43 16.63 0.78 0.05

(T/m.) 226.83 372.04 218.57 277.66 273.78 61.08 0.22

(T/m.) 8.54 3.48 2.40 7.36 5.45 2.57 0.47

En la tabla 3.3, se observa que los coeficientes de variación que se obtienen con todos los datos para la estructura de 3 pisos, es menor a 0.10 para los cortantes a nivel de fluencia y de capacidad última. Estos valores son menores en la estructura de 5 pisos como se aprecia en la tabla 4. A nivel de rigidez los coeficientes de variación obtenidos en la estructura de 10 pisos son los menores.

Modelo

1 2 3 Propuesto Media Desviac. Coef. Var.

Modelo


Dty

Vy

Vu

K elas

K plas

Dty

Vy

Vu

K elas

K plas

(cm.) 8.38 8.62 9.80 10.17 9.24 0.76 0.08

(T.) 53.25 59.08 54.64 58.05 56.26 2.39 0.04

(T.) 71.41 70.56 68.29 72.89 70.79 1.67 0.02

(T/m.) 635.34 685.68 557.45 571.08 612.38 51.53 0.08

(T/m.) 27.25 17.29 20.94 22.89 22.09 3.59 0.16

(cm.) 8.33 8.65 9.78 10.21 9.24 0.78 0.08

(T.) 52.28 58.71 53.73 57.54 55.62 2.68 0.05

(T.) 66.00 64.73 63.04 66.98 65.19 1.47 0.02

(T/m.) 627.64 678.56 549.56 563.37 604.78 51.79 0.09

(T/m.) 20.58 9.07 14.27 14.56 14.62 4.08 0.28


Dty 1 2 3 Propuesto Media Desviac. Coef. Var.

Vy

Vu

K elas

K plas

Dty

Vy

Vu

K elas

K plas

(cm.)

(T.)

(T.)

(T/m.)

(T/m.)

(cm.)

(T.)

(T.)

(T/m.)

(T/m.)

13.93 17.59 15.44 17.98 16.23 1.65 0.10

178.20 192.68 171.72 197.47 185.02 10.45 0.06

243.51 251.65 240.20 261.17 249.13 8.103 0.03

1279.01 1095.11 1112.49 1098.05 1146.17 76.98 0.07

48.00 44.53 50.89 48.25 47.92 2.26 0.05

14.12 17.70 15.45 18.61 16.47 1.78 0.11

178.55 191.33 169.56 201.28 185.18 12.09 0.07

224.86 228.97 219.83 233.08 226.68 4.91 0.02

1264.3 1081.2 1097.2 1081.5 1131.1 77.20 0.07

34.08 28.45 37.36 24.20 31.06 5.06 0.16

3.11 ANÁLISIS ESTADÍSTICO En la tabla 3.6, se comparan los valores medios que se obtienen con los tres primeros modelos y los que se encuentran con el modelo propuesto. La comparación se realiza para el desplazamiento y cortante de fluencia, para el cortante último y para la relación de rigidez post fluencia con respecto a la rigidez elástica.

92


Tabla 3.6 Comparación entre el modelo propuesto y otros modelos de plasticidad indicados en fig. 3.1. 3 PISOS Modelos Sin efecto P − ∆ Con efecto P − ∆

Dty

Vy

Vu

K plas

Dty

Vy

Vu

K elas 1,2 y 3 Propuesto Diferencia (%)

( cm.) 5.54 5.18 6.95

(T.) 14.63 14.61 0.14

(T.) 17.88 19.19 6.83

Sin efecto P − ∆

Modelos

Dty

Vy

Vu

0.031 0.041 24.39

K elas (cm.) 5.54 5.22 6.13

5 PISOS

K plas

(T.) 14.46 14.50 0.28

(T.) 16.36 17.43 6.14

( cm.) 8.93 10.17 12.19

(T.) 55.66 58.05 4.12

(T.) 70.09 72.89 3.84

Sin efecto P − ∆

Modelos

Dty

Vy

Vu

0.035 0.040 12.5

Dty

Vy

Vu

(cm.) 8.92 10.21 12.63

(T.) 54.91 57.54 4.57

(T.) 64.59 66.98 3.57

( cm.) 15.65 17.98 12.96

(T.) 180.87 197.47 8.41

(T.) 245.12 261.17 6.15

0.042 0.044 4.55

0.024 0.026 7.69

Con efecto P − ∆

Dty

Vy

Vu


K plas K elas

10 PISOS

K plas

0.016 0.027 40.74

Con efecto P − ∆


K plas

K plas K elas

(cm.) 15.76 18.61 15.31

(T.) 179.81 201.28 10.67

(T.) 224.55 233.08 3.66

0.029 0.022 31.82

Con excepción de la relación entre la rigidez de post fluencia con respecto a la rigidez elástica, todas las restantes comparaciones entre el modelo propuesto y el promedio de los tres primeros modelos indicados en la figura 3.1, es menor al 16%. Lo cual demuestra que el modelo propuesto presenta valores cuya media se aproxima bastante bien a la media de los modelos anotados. La relación de rigidez presenta valores bastante bajos de tal forma que al considerar dos dígitos los valores obtenidos coinciden.

3.12 OTROS MODELOS DE PLASTICIDAD En el presente apartado se presenta la matriz de flexibilidad de los modelos de plasticidad denominados en la figura 3.1 como Rigidez Lineal y Rigidez Constante. El modelo de Rigidez Concentrada de Giberson se detallo en el capítulo anterior.

3.12.1 Modelo de Rigidez Lineal Kunnath et al (1992) consideran dos casos, el primero cuando el punto de inflexión se encuentra dentro de la longitud del elemento, en éste caso se tiene doble curvatura y el

93


segundo cuando el punto de inflexión se encuentra fuera del elemento, caso de simple curvatura. El último caso se presenta cuando ambos extremos del elemento han pasado el límite de fluencia. Para el caso de doble curvatura los elementos de la matriz de flexibilidad de miembro, son:

(

)

(

)

(

)

1 1 1 6α − 4α 2 + α 3 + 1 − 3α + 3α 2 − α 3 + 3 − 3α + α 2 12( EI ) a 12( EI ) b 12( EI ) o 1 1 1 f 12 = f 21 = (− 2α 2 + α 3 ) + 12( EI (− 1 + α + α 2 − α 3 ) + 12( EI (− 1 − α + α 2 ) 12( EI ) a )b )o 1 1 1 f 22 = α3 + 3 −α −α 2 −α3 + 1+α +α 2 12( EI ) a 12( EI ) b 12( EI ) o

f11 =

(

)

α= donde

(

)

∆M a ∆M a + ∆M b

(3.17) (3.18) (3.19)

(3.20)

∆M a y ∆M b son los incrementos de momento en el nudo inicial y final

respectivamente. Una de las formas de controlar que el elemento no tiene punto de inflexión, es chequeando que ∆Ma = ∆Mb = 0 en este caso se han formado rótulas plásticas en sus extremos. En el programa IDARC se considera que si el valor de α es menor a 0.2 se tomará α = 0.2 y si el valor de α es mayor a 0.8 se considera α = 0.8. Por otra parte para el caso de simple curvatura, se tiene:

1 1 + 4(EI )a 12(EI )b 1 1 = f 21 = − − 12(EI )a 12(EI )b 1 1 f 22 = + 12(EI )a 4(EI )b f11 =

f12

(3.21) (3.22) (3.23)

3.12.2 Modelo de Rigidez Constante La longitud de las secciones que han ingresado al rango no lineal, λa L y λb L , se obtienen con las ecuaciones (3.14) y (3.15) respectivamente, en el programa SARCF. Este programa trabaja con inercia constante, en el nudo inicial, centro de luz y nudo final. La formulación de los términos de la matriz de flexibilidad fue realizada por Roufaiel (1983)

f12 = f 21 =

f11 =

[

]

(3.24)

f 22

[

]

(3.25)

1 (Q j − 1)(λ b L) 3 − (Qi − 1)( L − λ a L) 3 + Qi L3 2 3( EI )1 L 1 = (Qi − 1)(λ a L) 3 − (Q j − 1)( L − λb L) 3 + Q j L3 3( EI )1 L2

3 ⎡ 1 L ⎤ (3.26) 2 2 − − + − − + ( Q 1 )( λ L ) ( 1 . 5 L λ L ) ( Q 1 )( λ L ) ( 1 . 5 L λ L ) ⎢ ⎥ j b b i a a 2 ⎦ 3( EI )1 L2 ⎣

Qi , Qj son las relaciones entre la rigidez a flexión elástica con relación a la rigidez inelástica en el nudo inicial y final respectivamente.

94


3.13 PUSHOVER CONTROLADO En la Técnica del Pushover se aplican cargas laterales en cada uno de los pisos en forma incremental y en una misma dirección hasta llevar a la estructura al colapso. La forma de aplicación de estas cargas es fundamental ya que la curva de Capacidad Sísmica Resistente que relaciona el Cortante Basal V con el Desplazamiento Lateral máximo en el tope de la estructura Dt , es función del tipo de cargas que se aplican. Por este motivo se han presentado varias propuestas para definir la forma de las cargas laterales que se aplican en cada uno de los pisos, Ayala (2001). Una alternativa consiste en aplicar las cargas en forma proporcional a las deformaciones y a esta Técnica se conoce con el nombre de Pushover Controlado, tema que se aborda en este capítulo mediante la solución de dos ejemplos en una estructura de dos pisos en la cual se obtiene la curva de capacidad resistente empleando dos modelos de plasticidad el primero de ellos es el elasto perfectamente plástico y el segundo el de Giberson (1969), los dos ya fueron utilizados en el capítulo 2.

3.13.1 Descripción de la estructura y modelo de cálculo

Se desea encontrar la curva de Capacidad Sísmica Resistente para el pórtico que se muestra en la figura 3.13, sin tener en cuenta la carga vertical. Considerar E = 2100000 T/m2 . Esta estructura tiene una parte común para los dos ejemplos que se van a realizar y es que la matriz de compatibilidad de deformaciones es la misma, razón por la cual a continuación se indican estas matrices para cada uno de los elementos pero antes de ello es importante indicar que en la figura 3.14, a la izquierda, se encuentra la numeración de los elementos, en el centro los grados de libertad y a la derecha el sistema de coordenadas de los elementos con el cual se resuelven los ejercicios. A=∞ 30/30

Io

A=∞ Io

A=∞ Io

H=2.7m 30/30

30/30 A=∞ 30/30

Io A=∞ Io 30/30

A=∞

H=2.7m Io

30/30

L= 4 m

Figura 3.13 Pórtico en estudio para los ejercicios que se realizan en el presente apartado.

Nótese que se ha considerado que todos los elementos son axialmente rígidos de tal forma que se tiene un grado de libertad por piso y una rotación en cada nudo. En la figura 3.15 se presentan las deformadas elementales con las cuales se obtienen las dos primeras columnas de la matriz de compatibilidad de deformaciones A

95


6

6

6

5

2

2 2

2

2

4

4

1

5 4

3

1

2

1

5

1

1

1

2

2

3

2

1

3 1

1

Elementos

Q- q

P -p

Figura 3.14 Elementos del pórtico, grados de libertad de la estructura y de los elementos

q 1 =1 q i =0

i =1 1

1

q 2 =1 q 2 =0

i =2

1

Figura 3.15 Deformadas elementales para las dos primeras columnas de la matriz A En Aguiar (1995) se indica con detalle el cálculo de las matrices de compatibilidad de cada uno de los elementos de la estructura, estas resultan.

⎡1 / H A(1) = ⎢ ⎣1 / H

0 0 0 0 0⎤ ⎡0.3704 0 0 0 0 0⎤ = 0 1 0 0 0⎥⎦ ⎢⎣0.3704 0 1 0 0 0⎥⎦

⎡− 1 / H 1 / H A( 2) = ⎢ ⎣− 1 / H 1 / H ⎡1 / H A ( 3) = ⎢ ⎣1 / H ⎡− 1 / H 1 / H A( 4) = ⎢ ⎣− 1 / H 1 / H

1 0 0 0⎤ ⎡− 0.3704 0.3704 1 0 0 0⎤ = 0 0 1 0⎥⎦ ⎢⎣− 0.3704 0.3704 0 0 1 0⎥⎦

0 0 0 0 0⎤ ⎡0.3704 0 0 0 0 0⎤ = 0 0 1 0 0⎥⎦ ⎢⎣0.3704 0. 0 1 0 0⎥⎦ 0 1 0 0⎤ ⎡− 0.3704 0.3704 0 1 0 0⎤ = 0 0 0 1⎥⎦ ⎢⎣− 0.3704 0.3704. 0 0 0 1⎥⎦ ⎡0 0 1 0 0 0 ⎤ A (5) = ⎢ ⎥ ⎣0 0 0 1 0 0 ⎦ ⎡0 0 0 0 1 0 ⎤ A (6) = ⎢ ⎥ ⎣0 0 0 0 0 1 ⎦

96


3.13.2 Análisis con modelo elasto plasto

Para el primer ejemplo se tiene que el momento de fluencia en las columnas es constante es decir que no depende de la carga axial y vale 7.714 Tm., en todas las columnas; para las vigas el M y es 4.7105 Tm. Antes de alcanzar M y , en cualquiera de los elementos, la rigidez a flexión se obtendrá con la sección completa sin agrietarse y cuando se llega a la fluencia esta rigidez será cero.. La Inercia a flexión se obtiene como el producto de la base b por la altura de la sección transversal h elevado al cubo y dividido para 12. Esto reporta I = (b * h3)/ 12 = 6.75 x 10-04 m4. Por otra parte la rigidez a flexión EI = 1417.5 Tm . Al reemplazar este valor en la matriz de rigidez de los elementos para el rango elástico se obtiene: 2

⎡4 EI / H K (1) = ⎢ ⎣2 EI / H

2 EI / H ⎤ ⎡2100 1050 ⎤ = K ( 2 ) = K ( 3) = K ( 4 ) = ⎢ ⎥ ⎥ 4 EI / H ⎦ ⎣1050 2100⎦

⎡4 EI / L 2 EI / L ⎤ ⎡1417.50 708.75 ⎤ (6) K (5) = ⎢ = = K ⎥ ⎢ 708.75 1417.50⎥ ⎣2 EI / L 4 EI / L ⎦ ⎣ ⎦ Para encontrar la matriz de rigidez de la estructura se aplica la siguiente ecuación n

K = ∑ A (i ) t

k (i )

A ( i ) , los resultados que se obtienen son:

i =1

− 1168.65 − 1168.65⎤ 0.00 0.00 ⎡3468.5532 − 1734.2766 ⎢ 1734.2766 1168.65 1168.65 1168.65 1168.65 ⎥⎥ ⎢ ⎢ 5617.50 708.75 1050.00 1168.65 ⎥ K =⎢ ⎥ 5617.50 0.00 1050.00 ⎥ ⎢ ⎢ 3517.50 708.75 ⎥ ⎢ ⎥ 3517.50 ⎥⎦ ⎢⎣

1.0 T.

0.5 T.

V=1.5 T.

Figura 3.16 Primer ciclo de cargas

97


El primer ciclo se inicia colocando cargas laterales de 0.5 T. y 1.0 T. al primer y segundo nivel respectivamente como lo muestra la figura 3.16. El vector de cargas Q

1.0 0 0 0 0] . De la solución del sistema de ecuaciones K q = Q se obtiene el vector de coordenadas q , el vector transpuesto de q resulta:

transpuesto resulta

[0.5

q t = [0.0016624 0.003537 − 0.00059 − 0.00059 − 0.00037 − 0.00037] Los desplazamientos del vector q indicados están en metros y las rotaciones en radianes. Con el vector q se halla las deformaciones p , aplicando la siguiente ecuación:

p ( i) = A (i) q . Finalmente por medio de la matriz de rigidez de cada uno de los elementos se hallan los momentos en cada elemento que están agrupados en el vector P con la siguiente (i ) (i ) ecuación: P = k p ( i ) . La convención de signos positiva del vector P se indica a la derecha de la figura 3.14. Los resultados que se obtienen se muestran en la figura 3.17, no se han colocado las fuerzas axiales y de corte que gravitan en los elementos para no desviar la atención de la forma de cálculo.

0.79Tm. 0.79Tm.

0.79Tm. 0.79Tm.

0.56Tm.

0.56Tm.

1.26Tm. 1.26Tm. 0.70Tm.

0.70Tm.

1.32Tm.

1.32Tm.

Figura 3.17 Momentos al primer ciclo de cargas Todos los momentos son menores a los de fluencia. Por lo tanto se continúa con el cálculo, pero antes de ello es importante anotar el cortante basal V , y el desplazamiento lateral máximo Dt para graficar la curva de capacidad sísmica resistente. Estos valores son:

V = 1.5 T . y Dt = 0.3537 cm. En la forma tradicional para el nuevo ciclo de carga se habrían aplicado las mismas cargas laterales pero en el pushover controlado las cargas se aplican en forma proporcional a las deformaciones acumuladas de la estructura, para el presente ejemplo si se divide los desplazamientos laterales para Dt se obtiene que la relación de las nuevas fuerzas laterales, estas resultan: 0.47 T., en el primer piso y 1.0 T., en el segundo piso. En la figura 3.18 se indican estas fuerzas para el segundo ciclo de carga.

98

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 1.0 T.

0.47 T.

V=1.47 T.

Figura 3.18 Segundo ciclo de cargas Como la estructura se encuentra en el rango elástico se mantiene la misma matriz de rigidez y los desplazamientos laterales que se obtienen son: q1 = 0.001636 q 2 = 0.0035 . Los momentos parciales en el segundo ciclo de carga y acumulados se indican en la figura 3.19, a la izquierda los parciales y a la derecha los acumulados.

0.79Tm. 0.79Tm.

0.79Tm.

1.58Tm. 1.58Tm.

0.79Tm.

0.56Tm.

1.58Tm.

1.12Tm.

0.56Tm.

1.24Tm.

2.50Tm.

0.68Tm.

1.30Tm.

1.12Tm.

2.50Tm. 1.24Tm.

0.68Tm.

1.58Tm.

1.38Tm.

1.30Tm.

1.38Tm.

2.62Tm.

2.62Tm.

Figura 3.19 Momentos al segundo ciclo de cargas El cortante basal acumulado al segundo ciclo es lateral

V = 2.97 T . y el desplazamiento

Dt = 0.7037 cm. Nuevamente al dividir los desplazamientos laterales acumulados

para Dt se encuentra la forma modal que indican la relación de las cargas laterales a aplicarse en el tercer ciclo, para el ejemplo se tiene que estas fuerzas son 0.47 T., en el primer piso y 1.00 T., en el segundo piso. Los momentos parciales del tercer ciclo son los mismos del segundo ciclo ya que las cargas laterales son las mismas y las matrices de rigidez tanto de los elementos como de la estructura son las mismas. En la figura 3.20 se indican los momentos parciales y acumulados. El cortante basal acumulado al final del tercer ciclo es desplazamiento lateral máximo acumulado es Dt =

V = 2.97 T . , y el

0.7037 cm.

Para el cuarto ciclo de carga inicialmente se aplican las mismas cargas laterales de 0.47 T., en el primer piso y 1.0 T., en el segundo piso pero resulta que con estas cargas el momento acumulado en la viga del primer piso resulta 4.98 Tm., que es mayor que el momento de fluencia M y = 4.71 Tm. En consecuencia en primer lugar se debe determinar el cortante basal del cuarto ciclo de carga con el cual se llega al momento de fluencia de la viga , esto se

99


lo hace mediante una regla de tres y después se debe encontrar las fuerzas que se deben aplicar en cada uno de los pisos para que sean proporcionales a 0.47 y 1.0

0.79Tm.

0.79Tm.

0.79Tm.

2.37Tm.

0.79Tm.

0.56Tm.

2.37Tm.

2.37Tm.

2.37Tm.

1.68Tm.

0.56Tm.

1.24Tm.

1.68Tm.

3.74Tm. 1.24Tm.

0.68Tm.

3.74Tm.

0.68Tm.

1.30Tm.

2.06Tm.

1.30Tm.

Parciales

2.06Tm.

3.92Tm.

3.92Tm.

Acumulados

Figura 3.20 Momentos al tercer ciclo de cargas El momento que falta para llegar a la fluencia es: 4.71-3.74=0.97 Tm. A continuación se indica la forma de cálculo de las fuerzas laterales para el cuarto ciclo de carga y en la figura 3.21 se presentan las fuerzas laterales para el cuarto ciclo de carga.

Carga

Momento

⎡0.47⎤

V

⎡0.368⎤

φ =⎢ ⎥ * f = ⎢0.783⎥ ⎣1.00 ⎦ ⎣ ⎦

1.47 T............. 1.24 .............. 0.970

V = 1.151 T.

f = (1.151/ 1.47)

0.783 T.

0.368T.

V=1.151 T.

Figura 3.21 Nuevo cuarto ciclo de cargas Los desplazamientos laterales que se obtienen en el cuarto ciclo son q1 = 0.0016 m. y

q 2 = 0.0035 m. Por otro lado el cortante basal acumulado es V = 2.97 T . y el desplazamiento lateral acumulado vale Dt = 0.7037 cm.

100


Los momentos que se obtienen en el nuevo cuarto ciclo se indican en la figura 3.22, a la izquierda los parciales y a la derecha los acumulados. Al alcanzar la viga del primer nivel la fluencia, da origen a la formación de las primeras rótulas plásticas en sus extremos; por lo tanto la matriz de rigidez de ese elemento es cero ya que se articuló en los dos extremos y la matriz de rigidez de la estructura cambia.

0.62Tm.

0.62Tm.

0.62Tm.

2.99Tm. 2.99Tm.

0.62Tm.

0.44Tm.

2.99Tm. 2.99Tm.

2.12Tm.

0.44Tm.

2.12Tm.

4.71Tm.

0.97Tm. 0.97Tm. 0.54Tm.

4.71Tm.

0.54Tm.

1.02Tm.

2.60Tm.

1.02Tm.

2.60Tm.

4.94Tm.

Parciales

4.94Tm.

Acumulados

Figura 3.22 Momentos al nuevo cuarto ciclo

La nueva matriz de rigidez luego de que se han formado rótulas plásticas en los dos extremos de la viga del primer piso es la siguiente.

− 1168.65 − 1168.65⎤ 0.00 0.00 ⎡3468.5532 − 1734.2766 ⎢ 1734.2766 1168.65 1168.65 1168.65 1168.65 ⎥⎥ ⎢ ⎢ 4200.00 0.00 1050.00 0.00 ⎥ K =⎢ ⎥ 4200.00 0.00 1050.00 ⎥ ⎢ ⎢ 3517.50 708.75 ⎥ ⎢ ⎥ 3517.50 ⎥⎦ ⎢⎣ Nuevamente al dividir el vector de desplazamientos acumulado para el desplazamiento máximo se obtiene la forma modal para el quinto ciclo y en base a esta se aplican las fuerzas laterales a la estructura. Estas se muestran en la figura 3.23 para el quinto ciclo.

1.0 T.

0.47 T.

V=1.47T.

Figura 3.23 Quinto ciclo de cargas

101


Los desplazamientos son q1 = 0.0034088 m. y q 2 = 0.0073963 m. , en el quinto ciclo de carga. Estos valores deben sumarse a los desplazamientos acumulados lo propio se realiza con el cortante basal encontrando que los valores acumulados son: V = 7.061 T . y

Dt = 2.068 cm. Los momentos que se obtienen en el quinto ciclo se indican en la figura 3.24. 1.34Tm.

1.34Tm.

1.34Tm.

4.33Tm. 4.33Tm.

1.34Tm.

0.01Tm.

4.33Tm. 4.33Tm.

2.13Tm.

0.01Tm.

2.13Tm.

4.71Tm. 4.71Tm. 0.01Tm.

0.01Tm.

2.59Tm.

1.99Tm.

1.99Tm.

2.59Tm.

6.93Tm.

6.93Tm.

Parciales

Acumulados

Figura 3.24 Momentos parciales y acumulados en el quinto ciclo de carga. En la figura 3.24 se aprecia que la viga del segundo piso está muy próxima a alcanzar la fluencia por lo que si se aplica la fuerza de 0.47 T. en el primer piso y 1.0 T., en el segundo piso, que se obtienen en base a la forma modal del vector de desplazamientos, al aplicar esas fuerzas los momentos en la viga superior superan el momento de fluencia. En consecuencia se debe realizar nuevamente una regla de tres y encontrar el factor f, como se realizó anteriormente. Al hacer todo esto se hallan las fuerzas que deben aplicarse en el sexto ciclo de carga las mismas que se indican en la figura 3.25.

0.283T.

0.134 T.

V=0.417T.

Figura 3.25 Sexto ciclo de cargas

Resolviendo ecuaciones lineales se obtiene para las cargas del sexto ciclo se encuentra que q1 = 0.0009662 m. y q 2 = 0.002096 m. El cortante acumulado es V = 7.478 T. y el desplazamiento lateral máximo es Dt = 2.278 cm. En la figura 3.26 se muestran los momentos parciales y acumulados en el sexto ciclo de carga. La viga del segundo piso en sus dos extremos ha llegado al momento de fluencia por lo que la matriz de rigidez de este elemento es nula y consecuentemente se tiene una nueva matriz de rigidez para proseguir con el análisis está nueva matriz es:

102


0.00 0.00 − 1168.65 − 1168.65⎤ ⎡3468.5532 − 1734.2766 ⎢ 1734.2766 1168.65 1168.65 1168.65 1168.65 ⎥⎥ ⎢ ⎢ 4200.00 0.00 1050.00 0.00 ⎥ K =⎢ ⎥ 4200.00 0.00 1050.00 ⎥ ⎢ ⎢ 2100.00 0.00 ⎥ ⎥ ⎢ 2100.00 ⎥⎦ ⎢⎣

0.38Tm.

0.38Tm.

0.38Tm.

4.71Tm. 4.71Tm.

0.38Tm.

0.002Tm.

4.71Tm. 4.71Tm.

2.13Tm.

0.002Tm.

2.13Tm.

4.71Tm. 4.71Tm. 0.002Tm.

0.02Tm.

0.56Tm.

2.59Tm.

0.56Tm.

2.59Tm.

7.49Tm.

Parciales

7.49Tm.

Acumulados

Figura 3.26 Momentos al sexto ciclo

Otra vez en función de los desplazamientos acumulados se encuentra la forma de las cargas que deben aplicarse en el octavo ciclo, las mismas que resultan ser 0.46 T y 1.0 T., respectivamente en los pisos uno y dos, es necesario aplicar estas cargas a pesar de que se aprecia que el momento en el pie de columna está muy próximo en llegar al valor de fluencia. Se debe hacerlo ya que cambió la matriz de rigidez de la estructura. Los momentos que se obtienen en el séptimo ciclo inicial se indican en la figura 3.27, se aprecia que el momento acumulado en el pie supera el de fluencia por lo que se debe recalcular las fuerzas en la forma como se ha venido haciendo, las nuevas fuerzas para el séptimo ciclo de carga se muestran en la figura 3.28, con estas fuerzas en forma exacta se llega al momento de fluencia en el pie de columna. 4.71Tm.

4.71Tm.

4.71Tm.

1.347Tm.

4.71Tm.

3.477Tm.

1.347Tm.

3.477Tm.

4.71Tm. 4.71Tm. 1.347Tm.

1.347Tm.

3.315Tm.

1.243Tm.

3.315Tm.

Parcial

1.243Tm.

10.805Tm.

Acumulados

Figura 3.27 Momentos al séptimo ciclo inicial.

10.805Tm.

103


0.067 T. 3

4

1

2

0.032 T.

V=0.099 T.

Figura 3.28 Nuevo séptimo ciclo de cargas Los momentos asociados al nuevo séptimo ciclo de carga se muestran en la figura 3.29. Ahora se han formado dos rótulas plásticas más en los pies de columna por lo que se ha terminado el cálculo debido a que se ha formado un mecanismo en la estructura. En la tabla 3.7 se resumen los valores obtenidos en cada ciclo de carga.

4.71Tm. 4.71Tm.

0.09Tm.

4.71Tm. 4.71Tm.

2.13Tm.

0.09Tm.

2.13Tm.

4.71Tm. 4.71Tm. 0.09Tm.

0.09Tm.

0.224Tm.

2.59Tm.

0.224Tm.

2.59Tm.

7.714Tm.

Parciales

7.714Tm.

Acumulados

Figura 3.29 Momentos al séptimo ciclo

Tabla 3.7 Resumen de resultados con el modelo elasto-plasto. CICLO DE 1

2

3

4

5

6

7

Q1 ( T.)

0.500

0.470

0.470

0.368

0.470

0.134

0.032

Q2 ( T.)

1.000

1.000

1.000

0.783

1.000

0.283

0.067

q1 (cm.)

0.166

0.164

0.164

0.128

0.341

0.097

0.046

q2 (cm.)

0.354

0.350

0.350

0.274

0.740

0.210

0.142

Vacumulado (T.)

1.500

2.970

4.440

5.591

7.061

7.478

7.577

Dt (cm.)

0.354

0.704

1.054

1.328

2.068

2.278

2.420

φ

0.470 1.000

0.470 1.000

0.470 1.000

0.470 1.000

0.460 1.000

0.460 1.000

0.460 1.000

CARGA

En la figura 3.30 se indica la curva de capacidad sísmica resistente de la estructura analizada y con el modelo elasto plasto. Se indica además la formación de las rótulas plásticas.

104

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE PUSHOVER CONTROLADO " CURVA DE CAPACIDAD " 8,00 (3 ; 4) (5 ; 6)

Cortante Basal V (T.)

7,00 6,00

(1 ; 2)

3

4

1

2

5,00 4,00 3,00 2,00 6

5

Formación de rótulas plásticas

1,00 0,00 0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

Desplazamiento en el tope Dt (cm)

Figura 3.30 Curva de Capacidad Sísmica Resistente

3.13.3 Análisis con modelo de Giberson Para desarrollar el ejemplo con el modelo de Giberson se necesita definir los momentos y las curvaturas para los puntos Y y U del diagrama Momento Curvatura, los cuales están resumidos en la tabla 3.8; además en esta tabla están calculadas las rigideces para cada elemento, tanto para el rango elástico definida por EIe, como para el rango plástico, definida por EIp. Nótese que en este ejercicio EIe se ha obtenido como la relación del momento de fluencia a la curvatura de fluencia de tal manera que no va a ser igual a la que se obtiene con las inercias gruesas, por esta razón la matriz de rigidez de los elementos para el rango elástico es diferente a las presentadas anteriormente. Todo esto con fines didácticos.

Tabla 3.8 Puntos notables del diagrama Momento-Curvatura obtenidos con CEINCI 3 My Mu EIe EIp φy φu ELEMENTO 2 2 (T.m) (T.m) (T.m ) (T.m ) (1/m) (1/m) VIGA 4.710 0.0125 7.823 0.3598 376.80 8.963 COLUMNA

7.714

0.01825

12.69

0.3655

422.69

14.330

En la tabla 3.9 se indican los valores de Sa y Sb para cada elemento, tanto en el rango elástico como plástico, los mismos que deben ser reemplazados en la ecuación que define la rigidez del elemento en el modelo de Giberson que fue tratado en el capítulo2 en forma detenida.

ELEMENTO

Tabla 3.9 Valores de Sa y Sb Rango Elástico Rango Plástico Sa

Sb

Sa

Sb

VIGA

1

1

42.04

42.04

COLUMNA

1

1

29.497

29.497

105


La matriz de rigidez de cada elemento al inicio del cálculo (Sa = Sb = 1), son las siguientes:

⎡4( EI )e / H K (1) = ⎢ ⎣2( EI )e / H

2( EI )e / H ⎤ ⎡ 626.21 313.10⎤ = K ( 2 ) = K ( 3) = K ( 4 ) = ⎢ ⎥ ⎥ 4( EI )e / H ⎦ ⎣313.10 626.21⎦

⎡4( EI )e / L 2( EI )e / L ⎤ ⎡376.80 188.40 ⎤ K (5) = ⎢ = K (6) = ⎢ ⎥ ⎥ ⎣2( EI )e / L 4( EI )e / L ⎦ ⎣188.40 376.80⎦ Luego la matriz de rigidez de la estructura resulta.

0.00 0.00 − 348.484 − 348.484⎤ ⎡1034.301 − 517.150 ⎢ 517.150 348.484 348.484 348.484 348.484 ⎥⎥ ⎢ ⎢ 1629.220 188.400 313.100 0.00 ⎥ K =⎢ ⎥ 1629.220 0.00 313.100 ⎥ ⎢ ⎢ 1003.010 188.400 ⎥ ⎥ ⎢ 1003.010 ⎥⎦ ⎢⎣ Para el primer ciclo de cargas laterales, se aplican 0.5 T. y 1.0 T. al primer y segundo nivel respectivamente. Luego se obtiene los desplazamientos q resolviendo el sistema de ecuaciones lineales, lo que permite determinar los desplazamientos laterales en los dos niveles y las rotaciones en los nudos. Con estos valores se encuentran los momentos en cada elemento. Los resultados son los siguientes:

⎡ 0.58227 x10 −2 ⎤ ⎢ −1 ⎥ ⎢ 0.12571x10 ⎥ ⎢ − 0.21683x10 − 2 ⎥ q=⎢ −2 ⎥ ⎢ − 0.21683x10 ⎥ ⎢− 0.14040 x10 − 2 ⎥ ⎥ ⎢ −2 ⎣⎢− 0.14040 x10 ⎦⎥

Cortante Acumulado:

V = 1.50 Ton.

Desplazamiento Acumulado: Dt = 1.257 cm

Nuevo Incremento de Carga :

0.79Tm. 0.79Tm.

0.79Tm. 0.79Tm.

0.56Tm.

0.56Tm.

1.23Tm. 1.23Tm. 0.67Tm.

0.67Tm.

1.35Tm.

1.35Tm.

Figura 3.31 Momentos al primer ciclo

⎡0.46⎤

φ=⎢ ⎥ ⎣1.00 ⎦

106


En la figura 3.31 se indican los momentos correspondientes al primer ciclo de carga. Realizando el equilibrio de elementos y juntas se halla el cortante y la fuerza axial que gravita en cada elemento. Esto no se lo realiza para no distraer la atención. Para el segundo ciclo de carga la fuerza lateral que se aplica en los pórticos es 0.46 T., en el primer piso y 1.00 T., en el segundo piso. Los resultados principales se indican a continuación y en la figura 3.32 los momentos parciales y acumulados al final del segundo ciclo.

⎡ 0.57024 x10 −2 ⎤ ⎢ −1 ⎥ ⎢ 0.12398 x10 ⎥ ⎢− 0.21364 x10 − 2 ⎥ q=⎢ −2 ⎥ ⎢− 0.21364 x10 ⎥ ⎢− 0.13970 x10 − 2 ⎥ ⎥ ⎢ −2 ⎣⎢− 0.13970 x10 ⎦⎥

Cortante Acumulado:

V = 2.96 Ton.


Nuevo Incremento de Carga:

0.79Tm.

0.79Tm.

0.79Tm.

1.58Tm.

0.56Tm.

1.58Tm.

1.58Tm.

0.79Tm.

⎡0.46⎤

φ=⎢ ⎥ ⎣1.00 ⎦

1.58Tm.

1.12Tm.

0.56Tm.

1.21Tm.

1.12Tm.

2.44Tm. 1.21Tm.

0.65Tm.

2.44Tm. 1.32Tm.

0.65Tm.

1.32Tm.

1.32Tm.

Parciales

1.32Tm.

2.67Tm.

2.67Tm.

Acumulados

Figura 3.32 Momentos al segundo ciclo

Todos los elementos siguen trabajando en el rango elástico, en consecuencia se mantiene la matriz de rigidez de la estructura. Para el tercer ciclo de carga del vector de desplazamientos acumulados se encuentra el vector modal y en base a este se determinan las fuerzas laterales que resultan ser iguales a las del ciclo dos. Al resolver ecuaciones lineales para los incrementos de carga de 0.46T y 1.0T para el primer y segundo nivel respectivamente se halla:

⎡ 0.57024 x10 −2 ⎤ ⎢ −1 ⎥ ⎢ 0.12398 x10 ⎥ ⎢− 0.21364 x10 − 2 ⎥ q=⎢ −2 ⎥ ⎢− 0.21364 x10 ⎥ ⎢− 0.13970 x10 − 2 ⎥ ⎢ ⎥ −2 ⎣⎢− 0.13970 x10 ⎦⎥

Cortante Acumulado:

V = 4.42Ton.



⎡0.46⎤

φ=⎢ ⎥ ⎣1.00 ⎦

En la figura 3.33 se muestran los momentos en el tercer ciclo de carga.

107


0.79Tm.

0.79Tm.

0.79Tm.

2.37Tm. 2.37Tm.

0.79Tm.

0.56Tm.

2.37Tm. 2.37Tm.

1.68Tm.

0.56Tm.

1.21Tm.

1.68Tm.

3.65Tm. 1.21Tm.

0.65Tm.

3.65Tm.

0.65Tm.

1.32Tm.

1.97Tm.

1.32Tm.

1.97Tm.

3.99Tm.

3.99Tm.

Figura 3.33 Momentos al tercer ciclo

En la figura 3.33 se aprecia que la viga del primer nivel está próxima a llegar al momento de fluencia (My=4.71 Tm), por ello se determina la carga necesaria que se debe aplicar para que la viga alcance la fluencia, haciendo una regla de tres como ya se explicó en el apartado anterior, de lo cual se obtienen los siguientes valores:

⎡0.40⎤

φ =⎢ ⎥ ⎣0.88⎦

V = 1.28 T.

Resolviendo las ecuaciones lineales para los incrementos de carga de 0.40T y 0.88T para el primer y segundo nivel respectivamente se determina:

⎡ 0.50036 x10 −2 ⎤ ⎢ −1 ⎥ ⎢ 0.10890 x10 ⎥ ⎢− 0.18762 x10 − 2 ⎥ q=⎢ −2 ⎥ ⎢− 0.18762 x10 ⎥ ⎢− 0.12286 x10 − 2 ⎥ ⎢ ⎥ −2 ⎣⎢− 0.12286 x10 ⎦⎥

Cortante Acumulado:

V = 5.70 Ton.


Nuevo Incremento de Carga :

⎡0.46⎤

φ=⎢ ⎥ ⎣1.00 ⎦

Los momentos en el cuarto ciclo se muestran en la figura 3.34: 0.69Tm. 0.69Tm.

0.69Tm.

3.06Tm. 3.06Tm.

0.69Tm.

0.49Tm.

3.06Tm.

2.17Tm.

0.49Tm.

1.06Tm.

4.71Tm.

0.57Tm.

1.16Tm.

2.17Tm.

4.71Tm. 1.06Tm.

0.57Tm.

3.06Tm.

2.54Tm.

1.16Tm.

2.54Tm.

5.15Tm.

Figura 3.34 Momento al cuarto ciclo

5.15Tm.

108


En la figura 3.34 se puede notar que las vigas del primer nivel han ingresado al rango no lineal. No se puede hablar que se han formado las primeras rótulas plásticas ya que dichas secciones son capaces de resistir mayores momentos, con fines didácticos se acostumbra representarlos en forma similar a lo realizado en el ejercicio anterior como se aprecia en la figura 3.35. Al ingresar al rango no lineal la viga del primer piso se debe calcular la nueva matriz de rigidez de ese elemento y la matriz de rigidez de la estructura.

1

2

Figura 3.34 Incursión de la viga del primer piso al rango no lineal.

Para la viga del primer piso se tiene Sa = 42.04; Sb = 42.04. Reemplazando en la matriz de rigidez del elemento, se encuentra:

K=

1 ⎤ ⎡(1 + S a ) 6(EI )o ⎢ (1 + S b )⎥⎦ L[(1 + S a )(1 + S b ) − 1] ⎣ 1

⎡3.1390631 0.30527563⎤ K (5) = ⎢ ⎥ ⎣0.3052763 13.1390631⎦ La nueva matriz de rigidez de la estructura con la cual se prosigue el cálculo es:

0.00 0.00 − 348.484 − 348.484⎤ ⎡1034.301 − 517.150 ⎢ 517.150 348.484 348.484 348.484 348.484 ⎥⎥ ⎢ ⎢ 1265.559 0.305 313.100 0.00 ⎥ K =⎢ ⎥ 1265.559 0.00 313.100 ⎥ ⎢ ⎢ 1003.010 188.400 ⎥ ⎥ ⎢ 1003.010 ⎥⎦ ⎢⎣ Para el quinto ciclo los incrementos de carga son: 0.46T y 1.0T para el primer y segundo nivel respectivamente. Con estas fuerzas laterales se obtienen los siguientes desplazamientos y los momentos que se indican en la figura 3.35

109

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO ⎡ 0.11132 x10 −1 ⎤ ⎢ −1 ⎥ ⎢ 0.24434 x10 ⎥ ⎢− 0.61650 x10 − 2 ⎥ q=⎢ −2 ⎥ ⎢− 0.61650 x10 ⎥ ⎢− 0.22709 x10 − 2 ⎥ ⎢ ⎥ −2 ⎢⎣− 0.22709 x10 ⎥⎦

1.28Tm. 1.28Tm.

Cortante Acumulado:

V = 7.160 Ton.



1.28Tm.

4.34Tm. 4.34Tm.

1.28Tm.

0.06Tm.

2.23Tm.

0.06Tm.

2.23Tm.

4.79Tm. 0.08Tm.

4.79Tm.

0.02Tm.

1.95Tm.

4.34Tm. 4.34Tm.

0.08Tm.

0.02Tm.

⎡0.46⎤

φ=⎢ ⎥ ⎣1.00 ⎦

2.56Tm.

1.95Tm.

2.56Tm.

7.10Tm.

7.10Tm.

Figura 3.35 Momentos al quinto ciclo

En la figura 3.35, se puede ver que la viga del nivel superior va a llegar al momento de fluencia, razón por la cual se determina la carga que debe aplicarse para que la viga alcance la fluencia, cuyo valor es:

⎡0.13⎤

φ =⎢ ⎥ ⎣0.29⎦

V = 0.42 T.

Al resolver las ecuaciones lineales para los incrementos de carga de 0.13T y 0.29T para el primer y segundo nivel respectivamente se determina:

⎡ 0.32111x10 −2 ⎤ ⎢ −2 ⎥ ⎢ 0.70560 x10 ⎥ ⎢− 0.178000 x10 − 2 ⎥ q=⎢ −2 ⎥ ⎢− 0.178000 x10 ⎥ ⎢ − 0.65685x10 −3 ⎥ ⎥ ⎢ −3 ⎣⎢ − 0.65685x10 ⎦⎥

Cortante Acumulado:

V = 7.580 Ton.



⎡0.46⎤

φ=⎢ ⎥ ⎣1.00 ⎦

Los momentos que se encuentran en el sexto ciclo se muestran en la figura 3.36. Al alcanzar la fluencia los extremos de la viga del nivel superior como se aprecia en la figura 3.36; la matriz de rigidez de ese elemento cambia. El nuevo modelo para el cálculo es el de la figura 3.37.

110

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 0.37Tm. 0.37Tm.

0.37Tm.

4.71Tm. 4.71Tm.

0.37Tm.

0.02Tm.

4.71Tm.

2.25Tm.

0.02Tm.

0.02Tm.

4.81Tm.

0.00Tm.

0.56Tm.

2.25Tm.

4.81Tm. 0.02Tm.

0.00Tm.

4.71Tm.

2.56Tm.

0.56Tm.

2.56Tm.

7.49Tm.

7.49Tm.

Figura 3.36 Momentos al sexto ciclo

3

4

1

2

Figura 3.37 Incursión de la viga del segundo piso al rango no lineal.

La nueva matriz de rigidez de la viga del segundo piso se obtiene al reemplazar Sa=42.04 = Sb.

⎡3.1390631 0.30527563⎤ K ( 6) = ⎢ ⎥ ⎣0.3052763 13.1390631⎦ La nueva matriz de rigidez de la estructura resulta:

0.00 0.00 − 348.484 − 348.484⎤ ⎡1034.301 − 517.150 ⎢ 517.150 348.484 348.484 348.484 348.484 ⎥⎥ ⎢ ⎢ 1265.559 0.305 313.100 0.00 ⎥ K =⎢ ⎥ 1265.559 0.00 313.100 ⎥ ⎢ ⎢ 639.349 0.305 ⎥ ⎥ ⎢ 639.349 ⎦⎥ ⎣⎢

Para el séptimo ciclo de carga, al aplicar las cargas de 0.46T y 1.00T se halla:

111

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO ⎡ 0.19658 x10 −1 ⎤ ⎢ −1 ⎥ ⎢ 0.59273x10 ⎥ ⎢− 0.12492 x10 −1 ⎥ q=⎢ −1 ⎥ ⎢− 0.12492 x10 ⎥ ⎢− 0.15468x10 −1 ⎥ ⎢ ⎥ −1 ⎢⎣− 0.15468x10 ⎥⎦

Cortante Acumulado:

V = 9.04 Ton.



⎡0.33⎤

φ=⎢ ⎥ ⎣1.00 ⎦

Los momentos en el séptimo ciclo de carga se indican en la figura 3.38 0.21Tm. 0.21Tm.

0.21Tm.

4.92Tm. 4.92Tm.

0.21Tm.

1.14Tm.

4.92Tm.

3.39Tm.

1.14Tm.

0.17Tm.

4.98Tm.

0.97Tm.

2.94Tm.

3.39Tm.

4.98Tm. 0.17Tm.

0.97Tm.

4.92Tm.

1.59Tm.

2.94Tm.

1.59Tm.

10.60Tm.

10.60Tm.

Figura 3.38 Momentos al séptimo ciclo, inicial.

Las columnas del primer nivel sobrepasaron el momento de fluencia (My = 7.714T.m.), entonces se corrige el ciclo, para lo cual se calcula la carga que debe aplicarse para que la columna alcance la fluencia, cuyo valor es:

⎡0.009⎤

φ =⎢ ⎥ ⎣0.018⎦

V = 0.027 T.

Resolviendo las ecuaciones lineales para los incrementos de carga de 0.009T y 0.018T para el primer y segundo nivel respectivamente se obtiene:

⎡ 0.35883 x10 −3 ⎤ ⎢ −2 ⎥ ⎢ 0.10788 x10 ⎥ ⎢ − 0.22751x10 −3 ⎥ q=⎢ −3 ⎥ ⎢ − 0.22751x10 ⎥ ⎢− 0.28087 x10 −3 ⎥ ⎥ ⎢ −3 ⎣⎢− 0.28087 x10 ⎦⎥

Cortante Acumulado:

V = 7.607 Ton.



⎡0.46⎤

φ=⎢ ⎥ ⎣1.00 ⎦

Los momentos en el séptimo ciclo nuevo se muestran en la figura 3.39

112

Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 4.71Tm.

4.71Tm.

4.71Tm.

0.02Tm.

4.71Tm.

2.27Tm.

0.02Tm.

2.27Tm.

4.81Tm. 4.81Tm. 0.02Tm.

2.54Tm.

0.02Tm.

0.054Tm.

0.054Tm.

2.54Tm.

7.714Tm.

7.714Tm.

Figura 3.39 Momentos al séptimo ciclo. Ahora los pies de las columnas ingresan al rango no lineal en los extremos inferiores de las columnas del primer nivel, como se puede ver en la figura 3.39; de ahí que la matriz de rigidez de esos elementos cambie. El nuevo modelo de la estructura se indica en la figura 3.40 3

4

1

2

5

6

Figura 3.40 Formación de rótulas en las columnas.

Las nueva matriz de rigidez del elemento 1, se obtiene con Sa=29.497; Sb=1.0. Para el elemento 3, es igual.

⎡31.313502 15.656751⎤ K (1) = K (3) = ⎢ ⎥ ⎣15.656751 31.313502⎦ La nueva matriz rigidez de la estructura, luego de que las columnas del primer nivel han ingresado al rango no lineal, resulta:

⎡665.833 − 517.150 − 165.529 − 165.529 − 348.484 − 348.484⎤ ⎢ 517.150 348.484 348.484 348.484 348.484 ⎥⎥ ⎢ ⎢ 1116.833 0.305 313.100 0.00 ⎥ K =⎢ ⎥ 1116.833 0.00 313.100 ⎥ ⎢ ⎢ 639.349 0.305 ⎥ ⎥ ⎢ 639.349 ⎦⎥ ⎣⎢ Para el octavo ciclo los desplazamientos y giros que se obtienen para las cargas laterales de 0.46 y 1.00 T., son:

113

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO ⎡ 0.15320 ⎤ ⎢ 0.31130 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− 0.05826⎥ q=⎢ ⎥ ⎢− 0.05826⎥ ⎢− 0.05762⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣− 0.05762⎥⎦

Cortante Acumulado:

V = 9.067 Ton.



⎡0.49⎤

φ=⎢ ⎥ ⎣1.00 ⎦

En este octavo ciclo de carga la estructura tiene un desplazamiento máximo en el tope de 39.213 cm lo que significa que ha colapsado pues las cargas que se han aplicado han generado un desplazamiento máximo superior al 5% de la altura total de la estructura, que es el desplazamiento máximo que considera el colapso de una estructura, criterio de falla adoptado en este ejercicio. Se muestra en resumen en la tabla 3.10 los resultados obtenidos para el ejemplo utilizando el modelo de plasticidad de Giberson considerando incrementos de resistencia en la relación Momento Curvatura post fluencia. Finalmente en la figura 3.41 de indica la curva de capacidad sísmica obtenida. Tabla 3.10 Resumen de resultados con el modelo de plasticidad de Giberson. CICLODE CARGA

1

2

3

4

5

6

7

8

Q1 ( T.)

0.500

0.460

0.460

0.400

0.460

0.130

0.009

0.460

Q2 ( T.)

1.000

1.000

1.000

0.880

1.000

0.290

0.018

1.000

q1 (cm.)

0.582

0570

0.570

0.500

1.113

0.321

0.035

15.32

q2 (cm.)

1.257

1.240

1.240

1.089

2.443

0.706

0.108

39.213

Vacumul.(T.)

1.5

2.96

4.420

5.700

7.160

7.580

7.607

9.067

Dt (cm.)

1.257

2.497

3.737

4.826

7.269

7.975

8.083

39.213

φ

0.46 1.00

0.46 1.00

0.46 1.00

0.46 1.000

0.46 1.00

0.46 1.00

0.46 1.00

0.49 1.00

PUSHOVER CO NTROLADO " CURVA DE CAPACIDAD " 10,00 9,00

Cortante Bas al V (T.)

8,00

(3,4) (5,6)

7,00

3

4

1

2

6,00 5,00

(1,2)

4,00 3,00 2,00

6

5

Form ación de r ótulas plá sticas

1,00 0,00 0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

Des plaz amiento en el tope Dt (c m)

Figura 3.41 Curva de Capacidad Sísmica Resistente, con modelo de Giberson.

45,00

114


3.13.4 Comparación de resultados con el programa CEINCI3 El sistema de computación CEINCI3, Aguiar (2002) permite encontrar la curva de capacidad sísmica resistente de pórticos planos considerando que los elementos horizontales son axialmente rígidos de tal forma que se tiene un desplazamiento horizontal por piso y todos los elementos verticales son totalmente flexibles. Es importante tener en cuenta lo indicado ya que a más de los grados de libertad indicados anteriormente en cada nudo se considera el desplazamiento vertical como grado de libertad. En la figura 3.42 se muestran tres curvas de capacidad sísmica resistente, la numero (1) considera un modelo elasto-plasto, la (2) un modelo de plasticidad muy sencillo que toma en cuenta el incremento de resistencia en la relación Momento Curvatura post fluencia, y la (3) que reporta el programa de computación CEINCI3, con el mismo modelo de plasticidad de Giberson.

PUSHOVER CONTROLADO " CURVA DE CAPACIDAD " 14,00 12,00

Cortante Basal V (T.)

(3) 10,00 8,00

(1)

(2)

6,00 4,00 M odelo Elast o-plast o (1) M odelo de Giberson (2)

2,00

Programa CEINCI 3 (3) 0,00 0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

Desplazamiento en el tope Dt (cm)

Figura 3.42 Curvas de Capacidad resistente para la estructura en estudio. Como se puede apreciar en la figura 3.42 el modelo Elasto-plasto reporta deformaciones muy bajas en comparación con las otras curvas, esto es debido a que este modelo no considera la rigidez plástica de los elementos. La curva de Capacidad que se obtiene de forma manual con el modelo de Giberson, se acerca más a la del programa CEINCI3, y es que los dos emplean el mismo modelo de plasticidad; la diferencia está en que el programa obtiene el diagrama Momento Curvatura en función de la carga axial para las columnas y contempla todos los puntos del diagrama, lo que no se consideró en la solución manual por fines didácticos, en consecuencia en cada incremento de carga dicho programa obtiene la mencionada relación. Nótese el gran desplazamiento que existe en los dos últimos puntos de las curvas (2) y (3), para un pequeño incremento de carga la estructura está tan dañada que experimenta un gran desplazamiento lateral.

3.14 ESPECTRO DE CAPACIDAD El Espectro de Capacidad relaciona el Desplazamiento Espectral

S d con la

Aceleración Espectral S a , el mismo que se obtiene a partir de la Curva de Capacidad Sísmica

115


Resistente, el marco teórico se presenta en el capítulo 7. A continuación se muestran las ecuaciones fundamentales para encontrar el Espectro de Capacidad. Sea φ el primer modo de vibración normalizado, de tal forma que la amplitud en el tope es la unidad. Con esta consideración las ecuaciones con las cuales se determina el Espectro de Capacidad son las siguientes:

m1 = φ t M φ γ1 =

α1

φ

t

(φ =

M m1 t

M J M T m1

S dj =

S aj =

( 3.27 )

J

( 3.28 )

)

2

( 3.29 )

Dtj

( 3.30 )

γ1 Vj

( 3.31 )

α1 M T

donde J es un vector en función del cual se escribe el vector de cargas generalizadas Q, para el análisis sísmico plano J es un vector unitario; γ 1 , es el factor de participación del primer

modo; α 1 , es el factor de participación del primer modo en el Cortante basal; y, M T , es la masa total del sistema. Se desea encontrar el espectro de capacidad del pórtico de un vano y dos pisos cuyas curvas de capacidad sísmica resistente se han obtenido para dos modelos de plasticidad si en dicho pórtico gravita una carga vertical uniforme repartida de 2 T/m, como lo muestra la figura 3.43.

2 T.m

m1

A Io

&

30/30

A Io

&

&

A Io

H=2.7m 30/30

30/30 2 T.m

&

A Io 30/30

&

A

m2

A Io

&

30/30

H=2.7m Io

30/30

L= 4 m Carga Vertical actuante en un pórtico

Figura 3.43 Pórtico en estudio para los ejercicios que se realizan en el presente artículo.

116


Para el caso plano, la matriz de masa es diagonal y está compuesta por la masa de cada piso. Por otra parte J es un vector unitario, Aguiar (1989); para el ejemplo en estudio la matriz de masas y el vector J se indican a continuación. El peso de cada uno de los pisos es igual a 2 T / m ∗ 4m , y la masa es igual al peso dividido para la aceleración de la gravedad, al realizar las operaciones indicadas se obtiene m1 = m2 = 0.816 T s / m . De donde la masa total de la estructura es igual a: MT = 1.632 T, que es igual a la suma de las dos masas. 2

⎡m1 M =⎢ ⎣0

0 ⎤ ⎡0.816 = m2 ⎥⎦ ⎢⎣0.0

0 .0 ⎤ 0.816⎥⎦

⎡1⎤ J =⎢⎥ ⎣1⎦

Se muestran en resumen en las tablas 3.11 y 3.12 los resultados de la aplicación de las fórmulas (3.27) a (3.31). La primera tabla corresponde al ejemplo resuelto con un modelo Elasto-plasto; y la segunda empleando el modelo de Giberson que considera incrementos de resistencia en la relación Momento Curvatura post fluencia.

Tabla 3.11 Resumen de resultados para el Espectro de Capacidad utilizando el modelo Elasto-plasto CICLO DE 1

2

3

4

5

6

7

CARGA V ( T.)

1.500

2.970

4.440

5.591

7.061

7.478

7.577

Dtj ( cm.)

0.354

0.704

1.054

1.328

2.068

2.278

2.420

φ

0.470 1.000

0.470 1.000

0.470 1.000

0.470 1.000

0.460 1.000

0.460 1.000

0.460 1.000

M1 (T.s2/m.)

0.996

0.996

0.996

0.996

0.989

0.989

0.989

γ1

1.204

1.204

1.204

1.204

1.205

1.205

1.205

α1

0.885

0.885

0.885

0.885

0.880

0.880

0.880

Sdj (cm)

0.294

0.585

0.875

1.103

1.716

1.890

2.008

Saj (m/s2)

1.039

2.056

3.074

3.871

4.918

5.209

5.278

Tabla 3.12 Resumen de resultados para el Espectro de Capacidad utilizando modelo de Giberson. CICLO DE 1

2

3

4

5

6

7

8

CARGA V ( T.)

1.5

2.96

4.420

5.700

7.160

7.580

7.607

8.937

Dt (cm.)

1.257

2.497

3.737

4.826

7.269

7.975

8.083

37.603

φ

0.460 1.000

0.460 1.000

0.460 1.000

0.46 1.000

0.460 1.000

0.460 1.000

0.460 1.000

0.490 1.000

M1 (T.s2/m.)

0.989

0.989

0.989

0.989

0.989

0.989

0.989

1.008

γ1

1.205

1.205

1.205

1.205

1.205

1.205

1.205

1.202

α1

0.880

0.880

0.880

0.880

0.880

0.880

0.880

0.893

Sdj (cm)

1.043

2.072

3.101

4.004

6.032

6.618

6.708

32.617

Saj (m/s2)

1.045

2.062

3.079

3.970

4.987

5.280

5.299

6.224

117


Si bien es cierto el cálculo se realiza en forma incremental, en efecto para cada incremento de carga lateral se obtiene el incremento de desplazamientos, no es menos cierto que el vector modal se obtiene en base a los desplazamientos acumulados. Con esta última indicación en la figura 3.44 se indican los espectros de capacidad, a la izquierda para el modelo elasto plasto y a la derecha para el modelo de Giberson.

PUSHOVER CONTROLADO " ESPECTRO DE CAPACIDAD"

PUSHOVER CONTROLADO " ESPECTRO DE CAPACIDAD "

6,00

7,00

5,00

6,00 5,00

4,00

4,00

3,00 3,00

2,00

2,00

1,00

1,00

0,00 0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

0,00 0,00

2,50

10,00

20,00

30,00

40,00

Desplazamiento Espectral Sd (cm)


Figura 3.44 Espectros de capacidad con modelo elasto plasto a la izquierda y con modelo de Giberson a la derecha.

Finalmente en la figura 3.45 se indican los espectros de capacidad con el modelo elasto plasto, con el modelo de Giberson, que se han desarrollado en forma manual en este capítulo y el que se obtiene al utilizar el sistema de computación CEINCI3, Aguiar (2002). PUSHOVER CONTROLADO "ESPECTRO DE CAPACIDAD" Desplazamiento Espectral Sa m/s 2

9,00 8,00

(3)

7,00 6,00

(1)

(2)

5,00 4,00 3,00 2,00

M o delo Elasto -plasto (1)

1,00

M o delo de Giberso n (2) P ro grama CEINCI 3 (3)

0,00 0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00


Figura 3.45 Espectros de capacidad para la estructura en estudio.

3.15 CONCLUSIONES Primeramente se ha presentado la teoría de un nuevo modelo de plasticidad para encontrar la curva de capacidad resistente de una estructura empleando análisis estático no lineal. Posteriormente se han comparado las curvas de capacidad que se obtienen al utilizar el modelo propuesto con otros modelos de plasticidad y empleando dos programas de ordenador

118


que son el CEINCI3 y el DRAIN-2DX. La comparación se ha realizado en estructuras de 3, 5 y 10 pisos considerando el efecto P − ∆ y sin considerar dicho efecto. Para el análisis estadístico se ha construido un modelo bilineal cuya área interior es igual al área de la curva de capacidad resistente. En este modelo se han comparado los desplazamientos y cortantes a nivel de fluencia, los cortantes últimos, la rigidez elástica y plástica y finalmente la relación de estas dos rigideces. De todo el estudio realizado se desprenden las siguientes conclusiones: •

El modelo propuesto presenta curvas de capacidad resistente que se aproximan muy bien a las obtenidas con otros modelos de plasticidad extendida. Por lo tanto es un modelo confiable para el análisis de estructuras compuestas por columnas y vigas sin muros de corte que es lo que se ha analizado en el presente capítulo.

•

El considerar cuatro niveles de inercia en la zona de daño modela de mejor forma el comportamiento sísmico del elemento en lugar de considerar un solo nivel de inercia.

•

Es importante la incorporación del efecto P − ∆ , en el análisis sísmico debido a que la capacidad resistente disminuye en el rango inelástico. El comportamiento de las curvas de capacidad resistente que se obtienen con diferentes modelos de plasticidad es similar al que se halla al no considerar dicho efecto.

Por otra parte se ha presentado en forma didáctica la Técnica del Pushover Controlado utilizando dos modelos de plasticidad extremadamente sencillos pero muy ilustrativos. Adicionalmente con el mismo objetivo se ha mostrado en forma práctica la obtención del Espectro de Capacidad. Sin embargo de ello conviene que el lector medite sobre los resultados encontrados sobre todo cuando se trabaja con el modelo elasto plasto.

REFERENCIAS 1. Aguiar R. (2002), Sistema de computación CEINCI3 para evaluar daño sísmico en los Países Bolivarianos, Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, 302 p, Valle de los Chillos, Ecuador. 2. Aguiar R. (1995), Análisis Matricial de Estructuras, Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, 611 p, Segunda Edición, Valle de los Chillos. 3. Aguiar R. (1989), Análisis Dinámico Espacial, Escuela Politécnica del Ejército, 270 p, Quito, Ecuador. 4. Aguiar R., Torres M. y Ruiz S. (2002), “Influencia de distintos modelos de comportamiento plástico en el comportamiento estático no lineal de marcos estructurales planos”, Revista CIENCIA. Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, 5 (1), 7395, Valle de los Chillos, Ecuador. 5. Chung Y. S., Shinozuka M and Meyer C. (1988), “ SARCF User´s Guide: Seismic Analysis of Reinforced Concrete Frames'', National Center for Earthquake Engineering Research, Technical Report NCEER-88-0044, State University of New York at Buffalo. 6. Giberson M.F. (1969), “Two Nonlinear Beams with Definitions of Ductility”, Journal of the Structural Division, ASCE, Vol. 95, No ST2, 137-157.


119

7. Kunnath S. K., Reinhorn A. M. and Abel J. F., (1992), “A computational tool for seismic performance of reinforced concrete buildings'', Computers and Structures, Pergamon Press, 41 (1) 157-173, Great Britain. 8. Kunnath S. K., Reinhorn A. M. and Lobo R. F., (1992), IDARC Version 3.0: A program for the Inelastic Damage Analysis of Reinforced Concrete Structures, National Center for Earthquake Engineering Research, Technical Report NCEER-92-0022, State University of New York at Buffalo. 9. Park Y., Reinhorn A. and Kunnath S. (1987), IDARC: Inelastic damage analysis of reinforced concrete frame shear-wall structures, National Center for Earthquake Engineering Research, State University of New York, Technical Report NCEER-87-0008. 10.Prakash V., Powell G. H. and Campbell S. (1993), DRAIN-2DX Base Program Description and User Guide, Department of Civil Engineering, University of California, Berkeley, CA. 11. Roufaiel M. S. L. (1983), Analysis of Damaged Reinforced Concrete Frame Buildings, Ph.D. Thesis, Department of Civil Engineering and Engineering Mechanics, Columbia University, New York.

CAPÍTULO 4

INCORPORACIÓN DEL EFECTO DE CORTE EN LOS DIAGRAMAS MOMENTO CURVATURA

RESUMEN

Se considera el efecto de corte en los diagramas Momento Curvatura de elementos, en elementos con poco refuerzo transversal la falla va a ser de corte y el elemento no va a ser capaz de desarrollar toda su capacidad a flexión, de tal forma que la ductilidad por curvatura que se obtiene al considerar únicamente el efecto de flexión no va a ser real y no solo eso sino que en el análisis no lineal, la rigidez en el rango inelástico es función del momento de rotura y si este punto no está bien determinado, por que falla el elemento por corte, se estará realizando en forma equivocada el análisis sísmico. En el sistema de computación CEINCI4 se incorpora el efecto de corte en el diagrama momento curvatura y si es del caso se limita la capacidad a flexión por el efecto de corte. En elementos con una gran cantidad de refuerzo transversal y una cantidad moderada de refuerzo longitudinal se puede obviar el efecto de corte ya que la falla se va a dar por flexión, pero para evitar esta incertidumbre de que si la falla de corte es o no importante lo más prudente es contar con una figura en la cual se observe el comportamiento a flexión y el comportamiento al corte. Por otra parte, se presentan los diagramas momento curvatura que se obtienen en vigas que tienen la misma sección rectangular pero diferente armadura a tracción y compresión. Este cálculo se lo realiza con dos modelos que definen el comportamiento del hormigón confinado. Se analizan las curvas que se obtienen para ver la incidencia del modelo del hormigón y del modelo trilineal que se acostumbra adoptar para la relación momento curvatura. Finalmente se analiza el comportamiento de cuatro columnas cuadradas con diferente armadura longitudinal y refuerzo transversal muy bajo, de tal forma que cuando la

90


cuantía de acero es muy alta se produce primero la falla de corte y el elemento no alcanza a desarrollar su capacidad a flexocompreción. Las construcciones antiguas tienen una gran cantidad de armadura longitudinal pero muy poco refuerzo transversal, en estos casos es fundamental considerar la interacción entre el efecto de flexión y el de corte.

4.1

INTRODUCCIÓN

Del diagrama Momento Curvatura MC, se obtiene la rigidez en una sección de un elemento, que ha de utilizarse en el análisis no lineal. En general este diagrama es una curva, como se verá posteriormente pero para el análisis se acostumbra trabajar con un modelo trilineal como el indicado en la figura 4.1, donde el punto A se alcanza cuando el hormigón llega a su máximo esfuerzo a tracción, el punto Y se determina cuando el acero a tracción llega a la fluencia, finalmente el punto U se obtiene cuando el hormigón alcanza su máxima deformación útil a compresión, Aguiar (2002).

Figura 4.1 Modelo numérico del diagrama Momento Curvatura. Se tienen dos diagramas MC en la figura 4.1, debido a que un elemento puede tener una curvatura cóncava o convexa. Normalmente en la literatura se indica únicamente el diagrama del primer cuadrante y en las ecuaciones de cálculo se omite el signo más o menos, pero es importante que se comprenda que dependiendo la forma como trabaja el elemento se tendrá el diagrama MC del primer cuadrante o del tercer cuadrante. En una viga estos dos diagramas serán iguales solamente cuando la armadura a tracción As , es igual a la armadura '

a compresión As . Retomando el tema la pendiente de las diferentes ramas del diagrama MC, corresponden a la rigidez a flexión (EI ) . Si el momento actuante es menor que M A se tendrá la rigidez ( EI ) o , si el momento actuante supera

M A pero es menor que M Y se trabajará con

(EI )1 , finalmente si el momento actuante en una sección del elemento es mayor que M Y se deberá trabajar con (EI ) 2 . Cada rigidez a flexión se obtiene como sigue:

la rigidez


( EI ) o = ( EI )1 = ( EI ) 2 =

Ma

φa

E b h3 = 12

M y − Ma

φ y − φa Mu − M y

φu − φ y

91

( 4.1 )

( 4.2 )

( 4.3 )

En la ecuación ( 4.1 ) se tiene que b, y h, son la base y altura de la sección transversal del elemento, E es el módulo de elasticidad del material. Las restantes variables están indicadas en la figura 4.1 y son los momentos y curvaturas en los puntos A, Y, U. Hasta ahora no se ha dicho nada de la capacidad al corte del elemento y es muy importante que se considere este efecto, toda vez que el miembro puede tener una gran capacidad a flexión y una baja capacidad a corte, de tal manera que se produce primero la falla de corte y la sección no llegó al punto U, puede darse el caso que la sección no llegue ni al punto Y. En efecto se puede tener, por ejemplo, una viga con una gran cantidad de refuerzo longitudinal pero con una cantidad insuficiente de armadura transversal. En este caso la falla que se va a dar en el elemento es por corte y probablemente la viga o columna no alcanza a llegar ni siquiera al punto Y. Por este motivo es que en el diagrama MC se debe incorporar el efecto de corte para saber si la sección con la armadura longitudinal y transversal es capaz de llegar al punto U. Si la falla de corte se presenta antes que la de flexión se restringe la ubicación del punto U, y con ello la determinación de la rigidez (EI ) 2 . En el sistema de computación CEINCI3, se tenía desacoplado el efecto de flexión y el de corte, Aguiar (2002), se consideraba que una sección siempre va a llegar al punto U. Ahora, en el sistema de computación CEINCI4 se incorpora el efecto de corte en el diagrama Momento Curvatura y se determina si la falla va a ser por flexión o por corte, tema que es tratado en el presente capítulo.

4.2

NUEVO MODELO PARA EL HORMIGÓN CONFINADO

En la figura 4.2, se indica el modelo de hormigón confinado propuesto por Kent y Park en 1971, que ha sido implementado en el sistema de computación CEINCI3, este modelo a pesar de que fue publicado hace algunas décadas ha sido muy utilizado por varios investigadores, en programas como el programa IDARC (Inelastic Damage Análisis of Reinforced Concrete), Park et al (1987), Kunnath et al (1992). Ha sido muy utilizado por que es un modelo bastante conservador para hormigón confinado. Se destaca que este modelo contempla incremento de la ductilidad por el confinamiento pero no contempla incremento de resistencia por confinamiento. El modelo de Park et al (1982) si contempla incremento de resistencia y ductilidad por el confinamiento.

92


Figura 4.2 Modelo de Kent y Park para el comportamiento del hormigón confinado, utilizado en el Sistema de Computación CEINCI3.

En la figura 4.2 se aprecian las dos curvas, la interior corresponde al modelo de hormigón no confinado, sin considerar el refuerzo transversal y la exterior al modelo de hormigón confinado que considera el refuerzo transversal. Nótese que en los dos casos se ' alcanza la misma resistencia máxima a la compresión f c , pero en el modelo de hormigón confinado la deformación a la rotura (ε 20c ) es mayor con relación al modelo de hormigón no confinado (ε 50c ) . De la figura 2, se tiene que:

tg θ =

f c ´−0.2 f c Z = ε 20c − ε o fc

⇒ ε 20 c = ε o +

En el sistema de computación CEINCI3, a la variable usar la ecuación ( 4.4 ) se obtienen valores muy altos de

εu

ε 20c

0.8 Z

se la ha denominado

( 4.4 )

ε u . Al

que están muy distantes del 0.003

que se utiliza en el diseño y 0.004 que se usa en el análisis cuando se emplean modelos de hormigón no confinado. Por esta razón es muy conveniente que se analice con detenimiento la ecuación ( 4.4 ) y se tome una decisión. En la investigación que posteriormente se presenta se trabajó con el siguiente valor para ε u .

εu = εo +

0. 5 Z

( 4.5 )

Al modelo indicado, en la forma propuesta inicialmente por Kent y Park (1971), se lo ha denominado modelo 1, en el presente estudio y al modelo de Park et al (1982), que se indica a continuación, modelo 2. En la figura 4.3, se presentan dos curvas que definen el comportamiento del hormigón confinado, la interior corresponde al modelo 1 y la superior al modelo 2, que fue propuesta por Park et al (1982).

93


Figura 4.3 Modificación del modelo de Kent y Park, por Park et al en 1982.

La resistencia máxima a la compresión en el nuevo modelo de Park et al (1982), tiene ' un valor de k f c , y está asociada a una deformación k ε o . El factor k , está definido por la siguiente ecuación:

k =1+ donde,

ρv

ρ v f yv

( 4.6 )

f c'

es la relación volumétrica entre el refuerzo transversal y el hormigón confinado; y,

f yv es la fluencia del refuerzo transversal. La otra variable ya fue indicada. Las ecuaciones de cálculo son las siguientes: 2 ⎡ 2ε ⎛ εc ⎞ ⎤ c ⎟⎟ ⎥ fc = k f ⎢ − ⎜⎜ ⎢⎣ k ε o ⎝ k ε o ⎠ ⎥⎦ f c = k f c' [1 − Z (ε c − k ε o )] ' c

Z=

ε 50u

εc < k εo k εo ≤ εc ≤ εu

( 4.7 ) ( 4.8 )

0.5

ε 50u + ε 50 h − k ε o

( 4.9 )

3 + 0.29 f c' = 145 f c' − 1000

( 4.10 )

b '' s 0.8 εu = k εo + Z

ε 50 h =

3 ρv 4

( 4.11 ) ( 4.12 )

94


Para la rama ascendente se mantiene la ecuación de Hognestad pero considerando el factor k , para la rama descendente se tiene la ecuación de la recta afectada por el factor k . La ecuación que define ε 50 u ha sido modificada, son relación al modelo 1. Las variables no ''

definidas todavía son: b que es el ancho del núcleo confinado de hormigón medido al exterior de los estribos; s es el espaciamiento de los estribos.

4.3

MODELO DEL ACERO

En el sistema de computación CEINCI4 se mantiene el modelo trilineal para definir el comportamiento del acero. En la figura 4.4, se indica dicho modelo que contempla incremento de resistencia por endurecimiento del acero en el rango inelástico. Las ecuaciones (4.13) a (4.17) definen el modelo trilineal adoptado para el acero. El significado de las variables utilizadas es E s es el módulo de elasticidad del acero, ε y es la deformación a nivel de fluencia,

ε sh

es la deformación al inicio de la zona de endurecimiento,

f y es el esfuerzo del acero en el límite de fluencia, f su es el máximo esfuerzo del acero que no necesariamente coincide con el esfuerzo en la rotura del acero, asociada a

ε su

es la deformación

f su , E sh es el módulo de elasticidad del material al inicio de la zona de

endurecimiento.

Figura 4.4 Modelo Trilineal para el comportamiento del acero.

95


f s = Es ε s fs = f y

εs ≤ εy

( 4.13 )

ε y < ε s ≤ ε sh

( 4.14 )

f s = f y + E sh (ε s − ε sh ) Es = E sh =

4.4

ε s > ε sh

fy

( 4.15 ) ( 4.16 )

εy f su − f y

( 4.17 )

ε su − ε sh

EJEMPLO NUMÉRICO DE FLEXIÓN

Se desea encontrar la relación MC, para una viga de 25 cm., de base por 35 cm., de altura y 4 cm., de recubrimiento. La resistencia del hormigón a la compresión es de 210 kg/cm2., y a la tracción es de 21 kg/cm2. El módulo de elasticidad del hormigón que se considera en el ejemplo es de 210000 kg/cm2. Por otra parte el acero tiene un límite de fluencia de 4200 kg/cm2., un esfuerzo máximo de 6430 kg/cm2., un módulo de elasticidad en el rango elástico de 2000000 kg/cm2., al inicio de la zona de endurecimiento el valor de E sh es de 44463 kg/cm2., finalmente se considera

ε sh = 0.015 .

Se desea encontrar varios diagramas MC para distintas condiciones de armado y en todos los casos el refuerzo transversal es el mismo y está compuesto por un estribo de 10 mm. de diámetro espaciados cada 10 cm., el límite de fluencia de los estribos es igual al de la armadura longitudinal. La cuantía longitudinal se la obtiene en base a las cuantías mecánicas

q , y q' .

q=

As f y

q = '

b d f c'

As' f y b d f c'

En la tabla 4.1, se indican los casos considerados y la identificación de cada uno de ellos. Con estos datos se encuentran los diagramas MC utilizando los modelos del hormigón 1 y 2. Los resultados obtenidos se indican en las figuras 4.5 y 4.6.

Tabla 4.1 Armadura longitudinal considerada en el ejemplo q CASO q' 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0.60 0.60 0.60 0.45 0.45 0.45 0.30 0.30 0.30 0.15 0.15

0.60 0.45 0.30 0.45 0.30 0.15 0.30 0.15 0.10 0.15 0.10

96


Figura 4.5 Relación Momento Curvatura de una viga con diferente armadura utilizando modelo del hormigón de Kent y Park (1971)

En las figuras 4.5 y 4.6 se aprecia el comportamiento que era de esperarse, en la medida que se incrementa la cuantía mecánica q , las vigas tienen mayor resistencia pero menor ductilidad. En efecto las curvas superiores son para q = 0.6 y las inferiores para

q = 0.15 . Para cada grupo de variación de la cuantía mecánica q se aprecia que conforme se incrementa la armadura a compresión las vigas tienen mayor ductilidad y resistencia.

Figura 4.6 Relación Momento Curvatura de una viga con diferente armadura utilizando modelo del hormigón de Park et al (1982).

97


Nótese que se puede mejorar el modelo trilineal del diagrama MC indicado en la figura 4.1, considerando un cuarto punto entre el punto Y, y el punto U. Este sería el punto S que se alcanza cuando el acero llega al inicio de la zona de endurecimiento. De igual manera se podría pensar en eliminar el punto A del modelo indicado en la figura 4.1. En las figuras 4.5 y 4.6 se tiene una línea recta hasta el punto de fluencia Y, luego se tiene una línea que es casi horizontal al final de esta línea se tendría el punto S y finalmente se tiene una línea inclinada hasta llegar al punto U. En base a este comportamiento se determina la ductilidad por curvatura µ φ como la relación entre la curvatura última con relación a la de fluencia.

µφ =

φu φy

( 4.18 )

La ecuación ( 4.18 ) es valida siempre y cuando se produzca la falla por flexión primero, pero si se tiene una viga con pocos estribos la falla va a ser por corte y nunca llegará a tener la ductilidad µ φ . De ahí la importancia de incluir en el diagrama MC el comportamiento de corte. En las figuras 4.5 y 4.6 no se aprecia con que modelo del hormigón se obtuvo mayor resistencia y ductilidad, para ver este efecto se presenta en la figura 4.7, los diagramas MC para los tres primeros casos indicados en la tabla 4.1 y en la figura 4.8 para los casos 4 a 6. Se aprecia que con el modelo 2 que es el de Park et al (1982) se obtienen mayores resistencias y ductilidades en relación al modelo 1, pero no es muy notable este incremento. Algo similar se obtuvo con los otros casos.

Figura 4.7 Comparación de diagramas MC con modelo1 de hormigón de Kent y Park (1971) y con Modelo 2 de Park et al (1982) para una cuantía mecánica de 0.6

98


Figura 4.8 Comparación de diagramas MC con modelo1 de hormigón de Kent y Park (1971) y con Modelo 2 de Park et al (1982) para una cuantía mecánica de 0.45

4.5 RELACIÓN CORTE DUCTILIDAD POR ROTACIÓN Varios son los trabajos que existen en el que se incorpora el efecto de corte al de flexión, entre ellos se tienen los desarrollados por Park y Paulay en 1975, Vecchio y Collins en 1986 y 1988, Collins y Mitchell en 1997, Ichinose en 1992, Priestley y Calvi en 1991, Priestley y Seible en 1994, Hakuto et al en 1995, Priestley et al en 1994, Satyarno en 2000. Como se aprecia la mayor parte de estos trabajos son recientes por esta razón, en el diseño actual no se considera el acoplamiento entre la flexión y el corte, lo hacemos en forma independiente. Ventajosamente en el diseño actual la armadura transversal de una estructura compuesta por vigas y columnas se la obtiene por capacidad para que primero ocurra la falla por flexión y posteriormente la falla de corte, adicionalmente en columnas la armadura transversal debe ser mayor a la que se necesita por confinamiento con la que se incrementa la ductilidad y resistencia. De tal forma que en los diseños actuales se puede pasar por alto la no consideración del acoplamiento entre la flexión y el corte, pero en los edificios antiguos que fueron construidos hace más de dos décadas que tienen una gran cantidad de armadura longitudinal y poca armadura transversal es importante el acoplamiento de la flexión y el corte ya que puede presentarse una falla por corte que es frágil o empezar una falla de flexión y acto seguido una falla de corte. En la figura 4.9 se presenta el modelo numérico que ha sido adoptado por la Normativa Sísmica de Nueva Zelanda, NZS (1996) para ver la degradación de la capacidad al corte en el rango inelástico.

99


Figura 4.9 Degradación del cortante con el incremento de la ductilidad por rotación. Una sección transversal de un elemento de hormigón armado tiene una capacidad máxima de cortante Vmax , la misma que es función de la capacidad al corte del hormigón, de la capacidad al corte del refuerzo transversal y de la carga axial. Esta capacidad al corte va a permanecer constante hasta el punto 1, que está asociado a una ductilidad por rotación µθv1 , luego de lo cual va a existir una pérdida en la trabazón de los agregados y por ende una degradación de la resistencia al corte hasta el punto 2 en que se produce la falla de corte. El punto 2 está asociado a una ductilidad por rotación µθv 2 , con un cortante denominado Vmin .

Vmin = Rθv 2 Vmax 4.5.1

( 4.19 )

Relación corte ductilidad para vigas rectangulares

Para el caso de vigas la degradación de la capacidad al corte en función de la ductilidad de rotación se indica en la figura 4.10, y las ecuaciones de cálculo son las siguientes:

⎛ Vmax = φ r ⎜⎜ 0.2 ⎝ Rθv 2 =

Av f vy d ⎞ ⎟⎟ s ⎠ Av f vy d

f c' b d +

0.05 f c' b d + 0.2 f c' b d +

s Av f vy d s

( 4.20 )

( 4.21 )

100

donde

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE f c' es la resistencia a la compresión del hormigón expresada en MPa, en las '

restantes ecuaciones que se indican para columnas también f c deberá expresarse en MPa,

φr

es el factor de reducción de esfuerzos por corte que es igual a 0.85.

Figura 4.10 Degradación de la capacidad al corte en vigas de hormigón armado.

4.5.2

Relación corte ductilidad para columnas rectangulares

Para el caso de columnas con estribos rectangulares, las ecuaciones son las siguientes:

⎧⎪ ⎞⎫⎪ ⎛ Av f vy d '' Vmax = φ r ⎨0.85⎜ 0.29 f c' 0.8 Ag + cot 30 o − N tan α ⎟⎬ ⎟⎪ ⎜ s ⎪⎩ ⎠⎭ ⎝

Rθv 2

Av f vy d ''

cot 30 − N tan α s = Av f vy d '' ' 0.29 f c 0.8 Ag + cot 30 − N tan α s 0.1 f c' 0.8 Ag +

( 4.22 )

( 4.23 )

''

siendo Ag el área gruesa de la columna, d es la longitud del núcleo del hormigón confinado medido desde los extremos del refuerzo transversal, N es la carga axial que gravita en la columna será positiva si es de tensión y negativa si es de compresión, α es el ángulo entre el eje longitudinal de la columna y la recta que une los puntos del centro donde actúa la fuerza a compresión en el hormigón en el nudo inicial y final. Entonces para determinar α se debe

101


determinar primero la posición de la resultante de la fuerza a compresión del nudo inicial y final de la columna. En la figura 4.11 se indica el modelo de degradación del cortante en una columna.

1

3

5

7

µθV

Figura 4.11 Degradación de la capacidad al corte en columnas. En la figura 4.11 se aprecian dos curvas, la superior es para el caso de fuerzas sísmicas actuando en un solo sentido es decir la columna está sujeta a flexo compresión uniaxial y la inferior es para el caso de que las fuerzas sísmicas actúan en dos sentidos la columna trabaja a flexo compresión biaxial. Lógicamente para el caso biaxial la degradación de resistencia en el rango inelástico se produce más rápido.

4.5.3

Relación corte ductilidad para columnas circulares

Las ecuaciones de cálculo son muy similares a las indicadas para una columna, Satyarno (2000). El cambio radica en el área del refuerzo transversal de la columna denominado Asp . Estas ecuaciones son las siguientes:

Vmax

⎧⎪ ⎞⎫⎪ ⎛ π Asp f vy d '' ' = φ r ⎨0.85⎜ 0.29 f c 0.8 Ag + cot 30 o − N tan α ⎟⎬ ⎟⎪ ⎜ 2s ⎪⎩ ⎠⎭ ⎝

Rθv 2

π Asp f vy d ''

cot 30 − N tan α 2s = π Asp f vy d '' ' 0.29 f c 0.8 Ag + cot 30 − N tan α 2s 0.1 f 0.8 Ag + ' c

( 4.24 )

( 4.25 )

102


4.6 ACOPLAMIENTO ENTRE EL EFECTO DE CORTE Y DE FLEXION Los extremos de los elementos son los más afectados durante un sismo, ahí se va a producir daño. Sea l p la longitud de la zona dañada en un elemento. Evidentemente que en esta zona de daño la distribución de curvatura no va a ser igual pero se acostumbra considerar que si lo es, en consecuencia se considera curvatura es constante en la longitud l p . Se puede considerar que en la zona de daño la ductilidad por rotación es aproximadamente igual a la ductilidad por curvatura, Satyarno (2000) . Con esta hipótesis la ductilidad por rotación expresada en las figuras 4.9 a 4.11 se considera como demandas de curvatura para poder expresar en un solo gráfico el comportamiento a flexión y el comportamiento a corte. La relación entre el momento a flexión M y el cortante

V viene dado por la luz libre

∗

de corte L , que es la distancia en la cual el diagrama de corte es constante. Para el caso sísmico la luz libre de corte es la distancia desde el extremo de un elemento hasta el punto de inflexión. En el análisis sísmico de una estructura el punto de inflexión va cambiando de posición pero no en una forma drástica, es factible determinar la ubicación exacta del punto de inflexión en un análisis paso a paso. Como aproximación se puede considerar que el punto de inflexión se encuentra en la mitad del elemento. En base a la luz libre de corte

M = V L*

L∗ se tiene que: ( 4.26 )

En consecuencia, en el MC tradicional en el cual se indica la capacidad a flexión de un elemento se incluirá el efecto de corte, utilizando la ecuación ( 4.26 ) para el efecto se debe multiplicar el Vmax o Vmin , indicado en el apartado anterior por la luz libre de corte, que se considera igual a L / 2 , siendo L, la longitud del elemento. Es importante analizar el significado físico que involucra la ecuación ( 4.26 ) y sobre todo la incorporación de los dos diagramas en la relación MC . •

Si la curva de momento proveniente del corte se encuentra sobre la curva de flexión tradicional, la falla que se va a producir primero es de flexión.

•

Si la curva de momento proveniente del corte se encuentra bajo la curva de flexión tradicional, la falla que se va a producir primero es la de corte. En este caso la sección analizada no va a ser capaz de desarrollar su capacidad a flexión.

•

El caso intermedio entre los dos es el más complejo y ocurre cuando el momento debido al corte cruza la curva de flexión. En este caso la resistencia al corte disminuye a medida que se pierde la trabazón del agregado esto se debe al aumento de la curvatura en la sección crítica. El punto de cruce de las dos curvas indica que la sección comenzó a fluir por flexión y luego cambia y se desarrolla una falla por corte. Esto demuestra el acoplamiento entre el corte y la flexión.

4.7

EJEMPLO NUMÉRICO DE FLEXIÓN Y CORTE

Con relación a la viga de 25 cm. por 35 cm., que se analizó en el apartado 4, se desea encontrar ahora la capacidad a flexión y al corte, únicamente para el caso en que la cuantía mecánica q = 0.6 , y

q ' = 0.6 , si la viga tiene una longitud de 5.0 m.; por otra parte se


103

consideran tres casos de armadura transversal, el primero si el refuerzo está conformado por 1 φ de 10 mm. a 10 cm., cada uno; el segundo caso si los estribos tienen un diámetro de 8 mm., y se encuentran espaciados cada 10 cm., finalmente si los estribos son de 8mm., a 20 cm. La armadura longitudinal permanece constante para los tres casos. Se trabaja con el modelo 2 del hormigón.

Figura 4.12 Comportamiento a flexión y corte de una viga de 25 cm., de base por 35 cm., de altura, con estribos de 10 mm. de diámetro espaciados cada 10 cm. Caso 1.


104


En la figura 4.12 se aprecia cual va a ser el comportamiento de la viga para el primer caso, se aprecia que la viga va a desarrollar toda su capacidad a flexión. En este caso la falla que se va a producir es de flexión.


Por otra parte en la figura 4.13 se indica el comportamiento de la viga para el caso 2, en que los estribos son de 8 mm., de diámetro. Se aprecia que la viga no desarrolla toda su capacidad a flexión, empezó la viga a incursionar en el rango no lineal y cuando la curvatura era mayor a 0.12 (1 / m.) se produce la falla por corte. El comportamiento de la viga para el caso 3, en que los estribos son de 8 mm., de diámetro espaciados cada 20 cm., es más crítico ya que la viga cuando ha incursionado muy poco en el rango no lineal se produce la falla por corte. En la tabla 4.2, se indica la curvatura de fluencia

φ y , momento de fluencia M y ,

curvatura y momento asociados a la deformación máxima del hormigón, por curvatura

φu , M u ,

ductilidad

µφ , y la rigidez (EI ) 2 indicada en ecuación ( 4.3 ), para los tres casos

analizados en el presente apartado, si no se consideraba la interacción con el corte, es decir solo el efecto de flexión. Tabla 4.2 Ductilidad por curvatura y rigidez que se obtiene sin considerar la interacción con el corte. Caso φ M µ φ M (EI ) y

1 2 3

(1/m.) 0.0185 0.0185 0.0164

y

(T m.) 26.812 26.783 26.665

u

(1/m.) 0.179 0.173 0.145

u

(T m.) 35.858 34.848 32.466

φ

9.68 9.35 8.84

2

( T m2.) 56.361 52.201 45.109


4.7.1

105

Reducción de la capacidad a flexión por efecto del corte

Las vigas de los casos 2 y 3 del ejemplo desarrollado no van a desarrollar toda su capacidad a corte, ya que como se indicó van a fallar primero por corte. En las figuras 4.15 y 4.16 se presentan la reducción de la capacidad a flexión por el efecto de corte.

Figura 4.15 Reducción de la capacidad a flexión de la viga de 25/35 con estribos de 8 mm. de diámetro espaciadas cada 10 cm.

Figura 4.16 Reducción de la capacidad a flexión de la viga de 25/35 con estribos de 8 mm. de diámetro espaciadas cada 20 cm.

106


En la tabla 4.3 se obtiene la ductilidad por curvatura y la rigidez a flexión para el tramo del modelo trilineal del diagrama MC entre los puntos Y-U, considerando la interacción entre la flexión y el corte. Tabla 4.3 Curvatura, ductilidad y rigidez que se obtiene considerando la interacción con el corte. Caso φ M µ φ M (EI ) y

1 2 3

(1/m.) 0.0185 0.0185 0.0164

y

(T m.) 26.812 26.783 26.665

u

(1/m.) 0.179 0.127 0.0677

u

(T m.) 35.858 32.136 27.579

φ

9.68 6.86 4.13

2

( T m2.) 56.361 49.336 17.817

Al comparar las tablas 4.2 y 4.3 se observa que la ductilidad por curvatura y la rigidez a flexión en el tramo Y-U, disminuyen para los casos 2 y 3, en los que se produce la falla por corte.

4.8

INCORPORACIÓN DEL PUNTO S EN EL DIAGRAMA MC

Luego del análisis de las figuras en las cuales se presentan las relaciones MC, se observa que es necesario modificar el modelo de cálculo indicado en la figura 4.1 e incluir un nuevo punto entre Y-U. Este nuevo punto es el S, que está asociado a la iniciación del trabajo en frío del acero o inicio de la zona de endurecimiento del acero o punto de finalización de la plataforma de fluencia del acero. Con la incorporación de este punto se deben calcular cuatro valores de la rigidez a flexión en lugar de los tres que se tenían en las ecuaciones (4.1) a ( 4.3). En la figura 4.17 se indica el nuevo modelo de cuatro rectas para la relación MC, para el caso 1, de la viga de 25/35 que se ha estudiado en el apartado anterior. Vale la pena comparar esta figura, con la figura 4.14.

Figura 4.17 Modelo de cuatro rectas para la relación momento curvatura de la viga del caso 1.

107


En la figura 4.18, a la izquierda se presenta el nuevo modelo MC, para el caso 2, y a la derecha para el caso 3. Nuevamente al comparar esta figura con las figuras 4.15 y 4.16 se aprecia que se modela de mejor manera con 4 rectas el diagrama MC.

Figura 4.18 Modelo de cuatro rectas para la relación MC de la viga de los casos 2 y 3.

Tabla 4.4 Deformaciones en el hormigón asociadas a los puntos notables Y-S-U, para los tres casos analizados de la viga de 25/45, con igual armadura longitudinal pero diferente armadura transversal.

Caso

Punto Y

Punto S

Punto U

1 2 3

0.0017 0.0017 0.0017

0.0034 0.0034 0.0034

0.00934 0.0066 0.0042

εc

εc

εc

En la tabla 4.4 se indica la deformación en el hormigón para los puntos notables Y-S-U, considerando la interacción corte-flexión, para los tres casos desarrollados. Evidentemente que para el caso 3, el hormigón no trabaja casi nada en el rango no lineal, por la falla de corte.

4.9 EJEMPLO CON UN COLUMNA En la figura 4.19 se indican los diagramas momento curvatura para el caso de cuatro columnas que tienen la misma sección transversal (40/40) pero las cuantías de acero ρ varían desde el 1% hasta el 4%. Para los cuatro casos, el refuerzo transversal está compuesto por un simple estribo de 8 mm. de diámetro espaciado a 30 cm. La carga axial que gravita en la columna es de 60 T. El hormigón utilizado tiene una resistencia a la compresión de 21 MPa y el acero tiene un límite de fluencia de 420 MPa, es decir los materiales empleados son los mismos del ejemplo anterior. La columna tiene una longitud de 3.0 m. En la figura 4.19 se aprecia que cuando el refuerzo longitudinal de las columnas es del 1%, 2% y 3%, la falla se produce por flexión, pero para el caso en que la armadura longitudinal es del 4% la falla que se produce es de corte y la columna no es capaz ni siquiera de alcanzar el momento de fluencia. En la tabla 4.5 se indica los valores de momento y curvatura para los puntos A, Y, S y U, para la columna con una cuantía ρ = 4% , sin considerar la interacción con el corte y considerando la interacción. En construcciones antiguas no es raro encontrar columnas con la armadura longitudinal y transversal descrita en este caso, en las cuales la falla se va a dar por

108


corte. Evidentemente que en este tipo de construcciones, el reforzamiento estructural estará orientado a darle una mayor resistencia al corte.

Figura 4.19 Falla por corte en una columna que tiene una cuantía de acero del 4%.

Tabla 4.5 Valores de Momento y Curvatura para una columna sin considerar el efecto de corte y considerando dicho efecto.

φA

SIN CONSIDERAR LA INTERACCION CON EL EFECTO DE CORTE Punto A Punto Y Punto S Punto U

MA

(1/m.) 0.000019

φA

Punto A

(1/m.) 0.000019

4.10

(Tm.) 11.88

φY

MY

φS

MS

(1/m.) (Tm.) (1/m.) (Tm.) 0.000163 51.30 0.000164 51.81 CONSIDERANDO EL EFECTO DE CORTE Punto Y Punto S

MA

φY

MY

φS

MS

(Tm.) 11.88

(1/m.) 0.000145

(Tm.) 45.57

(1/m.) 0.000145

(Tm.) 45.57

φU (1/m.) 0.000465

MU (Tm.) 52.89

Punto U

φU (1/m.) 0.000145

MU (Tm.) 45.57

CONCLUSIONES

Se ha presentado la variación del diagrama MC en función de la variación de la cuantía mecánica a tracción y de la cuantía mecánica a compresión encontrándose que la resistencia se incrementa conforme la cuantía mecánica a tracción se incrementa pero la ductilidad por curvatura disminuye. Por otra parte se ha visto que conforme la cuantía mecánica a


109

compresión se incrementa la resistencia y ductilidad también se incrementan, para el caso de vigas. Por otro lado, se ha visto que con el modelo de hormigón confinado de Park et al de 1982, los diagramas MC, reportan mayores resistencias y ductilidades con relación al que se obtiene con el modelo de hormigón confinado de Kent y Park de 1971, pero el incremento no es notable. Finalmente pero a su vez lo más importante de este estudio es la incorporación del efecto de corte en el efecto de flexión, del estudio realizado se desprenden las siguientes conclusiones: •

En elementos con una baja capacidad al corte, la falla se va a producir por corte y se reduce la capacidad a flexión del mismo, lo que implica disminución de la ductilidad por curvatura, disminución de la rigidez a flexión en el rango del modelo trilineal comprendido entre los puntos Y-U, disminución del momento M u y curvatura φu .

•

Las estructuras construidas hace más de dos décadas tienen poca armadura transversal y bastante armadura longitudinal. En consecuencias en esas estructuras es fundamental la incorporación del efecto de corte al de flexión, en los modelos numéricos de cálculo.

•

Si se está pensando en mejorar los programas de análisis no lineal con la incorporación del efecto de corte en la relación MC, vale la pena también pensar en mejorar el modelo trilineal A-Y-U, con la incorporación del punto S.

AGRADECIMIENTO El autor desea dejar constancia de su agradecimiento al Dr. José Ignacio Restrepo, Profesor Asociado de la Universidad de California, San Diego, por la documentación facilitada sobre la incorporación del efecto de corte en los diagramas MC, tema que el lo trabajó extensamente en la Universidad de Canterbury en Nueva Zelanda en el 2000, conjuntamente con el Dr. A. J. Carr y el Dr. I. Satyarno. Además de ello por todas las consultas realizadas vía Interned, poderoso medio de comunicación del siglo XXI que permite hacer investigación científica a la distancia.

REFERENCIAS 1. Aguiar R. (2002), “Sistema de Computación CEINCI3 para evaluar daño sísmico en los Países Bolivarianos”, Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, 302 p, Valle de los Chillos. 2. Collins M. and Mitchell D. (1997), “Prestressed concrete structures”, Response Publication , 766 p, Canada. 3. Hakuto S., Park R. and Tanaka H. (1995), “Retroftiting of reinforced concrete moment resisting frames”, Research Report 95-4, Dept. of Civil Engineering, University of Canterbury, 390 p, New Zealand. 4. Ichinose T.(1992), “A shear design equation for ductile R/C members”, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol 21, 197-214. 5. Kent D. and Park R. (1971), “Flexural members with confined concrete'', Journal of Structural Engineering ASCE, 97 ST7, 1969-1990.

110


6. Kunnath S., Reinhorn A. and Lobo R. (1992), “IDARC Version 3.0: A Program for the Inelastic Damage Analysis of Reinforced Concrete Structures'', National Center for Earthquake Engineering Research, State University of New York, Technical Report NCEER-92-0022. 7. NZS 4203:1996, (1996) “Code of Practice for General Structural Design and Design Loadings for Buildings”, Standards Association of New Zeland. 8. Park Y., Reinhorn A. and Kunnath S. (1987), “IDARC: Inelastic damage analysis of reinforced concrete frame shear-wall structures'', National Center for Earthquake Engineering Research, State University of New York, Technical Report NCEER-870008. 9. Park R., Priestley M., Gill W. D., (1982), “Ductility of Square Confined Concrete Columns”, Journal of Structural Division, ASCE, 108 (4), 929-950. 10. Priestley M. and Calvi M. (1991), “Toward a capacity design assessment procedure for reinforced concrete frames”, Earthquake Spectra, 77 (3), 413-437. 11. Priestley M. and Seible F. (1994), “Seismic assessment of existing bridges”, Proc. of the Second International Workshop held in Queenstown, 447-471, New Zealand. 12. Satyarno I. (2000), “Adaptive pushover analysis for the seismic assessment of older reinforced concrete buildings”, Ph.D Tesis, Department of Civil Engineering, University of Canterbury, 260 p, 2000. 13. Vecchio F. and Collins M. (1986), “The modified compression field theory for reinforced concrete elements subjected to shear”, ACI. Journal, 83 (2), 219-231. 14. Vecchio F. and Collins M. (1988), “Predicting of reinforced concrete beams subjected to shear using modified compression field theory”, ACI Journal, 85 (3), 258-268.

CAPÍTULO 5

CAPACIDAD SISMICA ESPACIAL DE LAS ESTRUCTURAS

RESUMEN

Se presentan dos modelos para encontrar la curva de capacidad sísmica resistente en estructuras espaciales. El primer modelo considera que la estructura en tres dimensiones tiene en total tres grados de libertad y el segundo modelo en cambio considera tres grados de libertad pero por cada una de las plantas del edificio. Para los dos modelos es necesario encontrar la curva de capacidad resistente de cada uno de los pórticos planos empleando cualquier programa en dos dimensiones y aplicando la Técnica del Pushover con cualquier modelo de plasticidad extendida y de ella, se obtiene un modelo bilineal en el que se define el punto de fluencia del pórtico, la rigidez elástica del mismo y la rigidez post fluencia. Se presenta el marco teórico y ejemplos desarrollados manualmente para cada uno de los dos modelos y para facilitar el cálculo se ha desarrollado los programas ESPACIAL que sirve para el modelo 1 y el programa ESPACIA3 para el modelo 2. En los dos modelos se considera que cada uno de los pórticos es un elemento de una estructura que tiene una losa rígida que une a estos elementos. Para verificar la bondad de los modelos se encuentra la curva de capacidad sísmica resistente en tres estructuras de 6 pisos con los dos modelos y con el que reporta el programa Ruaumoko. Por otra parte, se ha obtenido la curva de capacidad resistente de estructuras, cuyo centro de resistencia no coincide con el centro de masa; y se analizan los resultados en el rango no lineal, en términos del desplazamiento lateral de cada uno de los pórticos. Finalmente se presentan varios criterios con los cuales se encuentra el modelo bilineal de la curva de capacidad resistente de una estructura.

112

5.1


La tendencia futura del análisis sísmico de edificios, a nivel mundial, será la realización de un análisis no lineal dinámico. Se podría decir que, actualmente, nos encontramos en la época de transición entre el análisis lineal, con algunas variantes para predecir comportamiento no lineal, y el análisis no lineal dinámico. Época de transición en que se están desarrollando varios métodos de cálculo sísmico basados en el análisis no lineal estático, Fajfar (2000), Reinhorn (1997), ATC-40 (1996), Chopra y Goel (1999, 2000), Li et al (1999), Aguiar (2002, a). Métodos como el Espectro de Capacidad, Sistema Equivalente, Eje de Corte, entre otros, que se fundamentan en la curva de capacidad resistente de la estructura que relaciona el Cortante Basal V con el Desplazamiento Lateral Máximo Dt , la misma que se obtiene aplicando la técnica conocida en lengua inglesa como “pushover” y en la lengua de Cervantes como técnica del “colapso incremental”. Normalmente se ha venido trabajando el caso del pushover plano, Aguiar (2002, b), ahora en este capítulo se presenta el caso del pushover espacial. Para el caso plano, las fuerzas laterales se aplican en un nudo a nivel de cada piso. Para el caso espacial, estas fuerzas laterales se aplicarán en el Centro de Masas, CM, de cada piso para el modelo 2 y en el CM del último piso para el modelo 1.

2 3

8 1

4

12 7 11

3 6 2

10 5 9

1

Figura 5.1 Modelos considerados para encontrar la curva de capacidad sísmica en 3D.

En la figura 5.1 se presenta una estructura de cuatro pisos compuesta por cuatro pórticos dos en sentido X y dos en sentido Y. Los modelos que se desarrollan en este capítulo pueden ser aplicados a estructuras con cualquier número de pórticos. A la izquierda de la figura 5.1 se indican los grados de libertad que se consideran para en el modelo 1 y a la derecha los grados de libertad para el modelo dos. En el modelo 1 los tres grados de libertad son una componente de desplazamiento horizontal en sentido X que se ha notado con el número 1, una componente de desplazamiento horizontal en sentido Y que se ha identificado con el número 2 y una rotación de piso alrededor de un eje vertical que se ha denotado con el número 3. Para el modelo 2 se consideran los mismos grados de libertad pero en cada uno de los pisos. Nótese que en el modelo 2, los grados de libertad se numeran primero los desplazamientos horizontales en X, luego los en Y, finalmente las rotaciones de piso, para los tres casos se ha empezado la numeración desde el primer piso hasta el último piso.

113


A los sistemas de coordenadas indicados en la figura 5.1 tanto para el modelo 1, izquierda, como para el modelo 2, derecha. Se les va a denominar sistema Q-q, donde la Q representa el vector de cargas generalizadas y la q representa el vector de coordenadas generalizadas, Aguiar (1995). El vector de cargas está conformado por las fuerzas y momentos en cambio el vector de coordenadas está constituido por los desplazamientos y giros. Todo esto en coordenadas de piso. El sentido positivo del sistema Q-q es el indicado en la figura 5.1

5.2

ANÁLISIS PLANO

Para encontrar la curva de capacidad resistente espacial es necesario analizar cada uno de los pórticos en forma aislada y encontrar la respectiva curva de capacidad sísmica resistente, pero para el caso plano; para ello se procederá como se indica en la figura 5.2. Una vez que se tiene la curva de capacidad, se encuentra un modelo bilineal equivalente aplicando alguno de los criterios existentes. Se recomienda utilizar el criterio de iguales áreas para encontrar el modelo bilineal y específicamente el punto que define el límite elástico del pórtico que tiene un desplazamiento de fluencia d ty y un cortante de fluencia v y . Las pendientes del modelo bilineal representan la rigidez elástica k e y de post fluencia

k p , respectivamente. Para fines de explicación se denomina k a la rigidez de un pórtico plano y se tendrá que contrario

k = k e , si el desplazamiento lateral máximo del pórtico es menor a d ty caso

k = k p . Esto para el modelo 1. k = ke

Si

dt ≤ d ty

k = kp

Si

d t > d ty

( 5.1 )

v

140

v (Ton) C o rta n te B a s a l (T o n )

120 100 80

vy 60 40 20 0 0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

dty

dt (m)

dt

Figura 5.2 Esquema de cálculo de un pushover plano y el modelo bilineal equivalente.

k i de cada una de las plantas del pórtico plano tanto para el rango elástico como para el rango plástico. La rigidez de piso k i Para el modelo 2 se necesita encontrar la rigidez de piso

se obtiene como la relación entre el cortante de piso dividido para el desplazamiento relativo de piso. Esto se lo obtiene del análisis con la técnica del pushover para un punto cercano al de fluencia. El programa ESPMBCAP reporta la rigidez en cada uno de los pisos para cualquier desplazamiento lateral máximo de la estructura. Previamente se debe haber corrido el

114


programa CAPACIDA que obtiene la curva de capacidad resistente sísmica en el plano. Para el rango plástico la rigidez de piso se puede hallar en forma proporcional al modelo bilineal. Es decir del modelo bilineal indicado a la derecha de la figura 5.2 se encuentra el valor de η que es la relación entre la rigidez plástica

k p con respecto a la rigidez elástica k e . El valor de η se

multiplicara por la rigidez de piso para tener la rigidez de piso para el rango inelástico. Resumiendo está última parte, se tiene:

ki =

Vi d i − d i −1

α=

kp ke

ki = η

5.3

( 5.2 )

Vi d i − d i −1

Si

d t > d ty

ECUACIONES GENERALES PARA LOS DOS MODELOS

Para el modelo 1, el vector de cargas horizontal en sentido X, que se denomina

Q tiene tres elementos: el primero es la fuerza

Fx , el segundo la fuerza horizontal en sentido Y, Y,

Fy ; y el Momento Torsor. Cuando se desee obtener la curva de capacidad resistente con relación al eje X, únicamente tendrá valor

Fx y los restantes valores de Q son nulos. Para el

caso en que se desee encontrar la curva de capacidad con relación al eje Y, la cantidad diferente de cero será Fy . Para el modelo 2, el orden del vector de cargas Q es igual a 3 multiplicado por el Número de Pisos, NP. Las primeras NP filas corresponden a las fuerzas horizontales a aplicarse en cada uno de los pisos en sentido X, de tal manera que estas tendrán valores diferentes de cero si el objetivo es hallar la curva de capacidad sísmica resistente en sentido X, las restantes filas de Q serán cero. Las siguientes NP filas corresponden a las fuerzas horizontales en sentido Y que tendrán valores cuando se desea encontrar la curva de capacidad sísmica en sentido Y, y las finales NP filas serán para los momentos de torsión que para el caso que nos interesa que consiste en aplicar la Técnica del Pushover serán nulas. Sea KE la matriz de rigidez en coordenadas de piso, para el modelo 1, la matriz KE será de 3X3. En cambio para el modelo 2. Está matriz KE será de 3 NPX 3 NP. Por ejemplo para una estructura de 4 pisos como la mostrada en la figura 5.1 para el modelo 1, la matriz KE es de 3X3 y para el modelo 2 es de 12X12. La matriz KE , relaciona el vector de cargas Q , con el vector de coordenadas q , de la siguiente manera, Aguiar (1995).

Q = KE q

( 5.3 )

En el Análisis Estático No Lineal, la matriz de rigidez KE es la que va cambiando de acuerdo a como los elementos se van dañando. Mientras la estructura permanezca en el rango elástico la matriz KE no cambia pero cuando ingresa algún elemento al rango inelástico ya cambia. En la ecuación (5.3) se conoce el vector de cargas Q y la matriz de rigidez KE , el

115


vector de coordenadas de ecuaciones lineales.

q no se lo conoce y se lo obtiene mediante la solución de un sistema

Para el caso plano se había notado con la letra d los desplazamientos laterales de cada piso, Aguiar (2002 b), esta notación se mantuvo hasta el apartado anterior. Ahora a las coordenadas laterales de piso se van a denominar con la letra p . La relación que existe entre el vector de coordenadas de piso q y el desplazamiento lateral de un pórtico p viene dado por el vector de compatibilidad de deformación A de la siguiente manera:

p= A q

( 5.4 )

En forma general el procedimiento de aplicación de la Técnica del Pushover con los dos modelos que se han planteado en este capítulo es el siguiente. 1. Se determina el vector de cargas generalizadas Q . (i )

2. Se obtiene la matriz de rigidez de cada pórtico, k para el modelo 1, tiene un solo elemento en cambio para el modelo 2 es de orden NPxNP y es la matriz de rigidez lateral. (i )

3. Se halla la matriz de compatibilidad de cada pórtico A . 4. Se encuentra la matriz de rigidez en coordenadas de piso KE . n

KE = ∑ A ( i ) t

k (i )

A(i )

( 5.5 )

i =1

5. Se resuelve el sistema de ecuaciones indicado en (5.3) y se determina los desplazamientos y giros en coordenadas de piso q . 6. Se determina los desplazamientos laterales en cada pórtico p multiplicando la matriz de compatibilidad del pórtico por el vector de coordenadas de piso, ecuación ( 5.4 ). Para el modelo 1 el vector p tiene un solo elemento en cambio para el modelo 2 este vector tiene NP elementos. 7. Se encuentra el desplazamiento máximo del vector p para compararlo con el desplazamiento de fluencia del pórtico

d ty . Si es menor que d ty se mantiene la matriz

de rigidez del elemento y si es mayor se cambia esta matriz. 8. Se continúa con el proceso de cálculo, incrementando la carga lateral a aplicarse en las coordenadas de piso y se repite el proceso de cálculo hasta que un pórtico llegue al colapso.

5.4

DESCRIPCIÓN DEL MODELO 1

En la figura 5.3, se tiene una estructura espacial compuesta por cuatro pórticos. Se denomina α el ángulo que forma la orientación positiva del pórtico con relación al eje X. Por otra parte se llama r la distancia que existe del CM al pórtico, será positivo si la orientación positiva del pórtico rota con relación al CM en forma antihoraria. La orientación positiva de los pórticos es aquella que es paralela a los ejes X, Y. La forma del vector de compatibilidad de deformaciones A para el pórtico i, es la siguiente, Aguiar (1989).

A (i ) = [Cosα

Senα

r]

( 5.6 )

116


Figura 5.3 Notación de los ejes de coordenadas de piso y la orientación positiva de los pórticos.

La matriz de rigidez KE , se obtendrá del siguiente triple producto matricial. n

KE = ∑ A ( i ) t

k (i )

A(i )

i =1

donde n es el número de pórticos de la estructura. La matriz KE va cambiando de acuerdo al desplazamiento lateral de cada pórtico, inicialmente todos los pórticos trabajan con la rigidez elástica k e pero después, de acuerdo a como van ingresando al rango no lineal, cambian su rigidez a k p . El cálculo se va realizando en forma incremental, aplicando cargas horizontales en el CM, hasta llevar al colapso a la estructura.

5.4.1 Ejemplo número 1 Se desea encontrar la curva de capacidad resistente en sentido X, de la estructura de cinco pisos, cuya configuración en planta se indica en la figura 5.4. Por facilidad, cada uno de los pórticos se considera que tienen igual resistencia, tanto en sentido X como en sentido Y. Los valores que definen al modelo bilineal de uno de los pórticos se indican en la tabla 5.1. Tabla 5.1 Datos del modelo bilineal de un pórtico tipo de la estructura de la figura 5.4. Punto de Fluencia Rigidez Elástica Rigidez Post Fluencia

d ty

vy

ke

kp

0.1017 m.

58.05 T.

571.08 T/m.

22.89 T/m.

En la figura 5.4 se indica el CM, que dicho sea de paso coincide con el centro de gravedad de la planta para el ejemplo. Se indican además los tres grados de libertad considerados. Con respecto al CM, en la Tabla 5.2, se indican la distancia a cada uno de los pórticos y el ángulo α que sirve en primer lugar para determinar el vector A de cada pórtico y luego la matriz de rigidez KE .

117


Figura 5.4 Distribución en planta de estructura de cinco pisos conformada por vigas y columnas. Tabla 5.2 Valores de Pórtico 1 2 3 4 A B C D

α

en grados y distancia

α

r

a cada uno de los pórticos desde el CM

r

0 0 0 0 90 90 90 90

-6.0 m. -2.0 m. 2.0 m. 6.0 m. -6.0 m. -2.0 m. 2.0 m. 6.0 m.

Con los datos indicados en las tablas 5.1 y 5.2 se obtiene la siguiente matriz de rigidez:

⎡2284.32 KE = ⎢⎢ 0.00 ⎢⎣ 0.00

0.00 2284.32 0.00

0.00 ⎤ 0.00 ⎥⎥ 91372.80⎥⎦

Al aplicar una fuerza horizontal en sentido X de 1 T., la estructura se desplaza 0.000437 m. en sentido X, no se desplaza en sentido Y ni rota. La solución del sistema de ecuaciones a resolver, para encontrar los desplazamientos, es la siguiente:

⎡1.0 ⎤ ⎡2284.32 ⎢0.0⎥ = ⎢ 0.00 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣0.0⎥⎦ ⎢⎣ 0.00

0.00 2284.32 0.00

0.00 ⎤ 0.00 ⎥⎥ 91372.80⎥⎦

⎡q1 ⎤ ⎢q ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢⎣q3 ⎥⎦

⎡q1 = 0.000437 ⎤ ⇒ ⎢⎢q 2 = 0.000 ⎥⎥ ⎢⎣q3 = 0.000 ⎥⎦

Los pórticos 1, 2, 3 y 4 se mueven exactamente lo mismo 0.000437 m. Por los datos del ejercicio la rigidez elástica se mantiene constante hasta tener un desplazamiento lateral de

118


0.1017 m. Como se está trabajando en el rango elástico, se obtiene directamente mediante una regla de tres, la fuerza horizontal con la cual se llega al desplazamiento de fluencia. Esta fuerza es de 232.20 T. Al aplicar dicha fuerza se encuentran los siguientes desplazamientos y giro.

⎡232.20⎤ ⎡2284.32 ⎢ 0 .0 ⎥ = ⎢ 0.00 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣0.0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0.00

0.00 2284.32 0.00

0.00 ⎤ 0.00 ⎥⎥ 91372.80⎥⎦

⎡q1 = 0.1017 ⎤ ⇒ ⎢⎢q 2 = 0.000 ⎥⎥ ⎢⎣q3 = 0.000 ⎥⎦

⎡q1 ⎤ ⎢q ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢⎣q 3 ⎥⎦

Este cálculo en un programa de ordenador se lo realiza en forma incremental; es decir, la fuerza horizontal de 1 T., se continuaría aplicando en cada ciclo de carga y los desplazamientos laterales que se van obteniendo se van acumulando. En este ejercicio todos los pórticos en sentido X alcanzan simultáneamente el punto de fluencia, debido a que tienen la misma resistencia. Cuando esto sucede empiezan a trabajar con la rigidez post fluencia k p . Se destaca que los pórticos en sentido Y se mantienen en el rango elástico. A partir del Cortante Basal de 232.20 T, la matriz de rigidez en coordenadas de piso pasa a valer:

⎡91.56 KE = ⎢⎢ 0.00 ⎢⎣ 0.00

0.00 2284.32 0.00

0.00 ⎤ 0.00⎥⎥ 47517.60 ⎥⎦

Con esta matriz de rigidez KE se mantendrá hasta alcanzar el colapso, la misma que se considera cuando el desplazamiento lateral en el tope es 5% de la altura del edificio. La altura total del edificio que se está analizando es de 15 m. En consecuencia, el desplazamiento de fallo es 0.75 m. Por lo tanto, el desplazamiento inelástico es de 0.75-0.1017=0.6483. Al aplicar una carga de 1 T., en el rango inelástico, se tiene ahora que el desplazamiento horizontal en sentido X es de 0.01092 m. Procediendo de igual manera que el caso elástico, la fuerza con la que se llega al colapso es de 59.37 T.

⎡59.37 ⎤ ⎡91.56 ⎢0.0 ⎥ = ⎢ 0.00 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣0.0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0.00

0.00 2284.32 0.00

0.00⎤ 0.00 ⎥⎥ 47517.60 ⎥⎦

⎡q1 ⎤ ⎢q ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢⎣q3 ⎥⎦

⎡q1 = 0.648 ⎤ ⇒ ⎢⎢q 2 = 0.000⎥⎥ ⎢⎣q3 = 0.000 ⎥⎦

Existen varios criterios para determinar el punto de fallo o de colapso de una estructura; aquí, se ha considerado 5% de la altura total. Lo mejor es ver el daño en la estructura que se va produciendo al realizar el pushover en cada uno de los pórticos y determinar el fallo. Es muy probable que se produzca un mecanismo antes o después del 5% de la altura pero, para no distraer la atención, se consideró la cantidad indicada como para definir el fallo de la estructura. En la figura 5.5 se indica la curva de capacidad resistente de la estructura de cinco pisos que se ha analizado. Se destaca que como se trabajó con modelos bilineales para la capacidad resistente de los pórticos, también se ha obtenido un modelo bilineal. En realidad es una curva que se aproxima bastante al modelo indicado en la figura 5.5.

119


Figura 5.5 Curva de Capacidad Resistente de la estructura de 5 pisos indicada en la figura 5.4 y que corresponde al ejemplo N. 1

5.4.2 Ejemplo número 2 Encontrar la curva de capacidad sísmica resistente en sentido Y de la estructura indicada en la figura 5.6 que corresponde a una edificación de 2 pisos si la rigidez elástica e inelástica al igual que los desplazamientos de fluencia y de colapso de cada pórtico son los indicados en la tabla 5.3. (Examen tomado a los alumnos de VIII Nivel de Ingeniería Civil el 16 de Enero de 2004).

A

B 1

CM 2

5m Figura 5.6 Descripción de la estructura de 2 pisos e identificación de los pórticos.

120


Tabla 5.3 Parámetros que definen el modelo bilineal de la curva de capacidad sísmica resistente Pórtico kp d ty ke d tu (T/m) 500 500 600 600

1 2 A B

(T/m) 25 25 30 30

En la tabla 5.4 se indica el ángulo y la matriz de compatibilidad respectiva.

(m) 0.06 0.06 0.07 0.07

(m) 0.12 0.12 0.12 0.12

α , la distancia r , del CM a cada uno de los pórticos

Tabla 5.4 Matriz de compatibilidad de los pórticos

Pórtico

α

r

1

0

-2.0

2

0

2.0

A

90

-2.5

B

90

2.5

A

(1)

A

A(i ) = [1 0

( 2)

= [1

A ( A) = [0 A

(B)

= [0

0 1 1

− 2] 2]

− 2.5] 2.5]

Para el rango elástico la matriz de rigidez resulta:

⎡1000.0 KE = ⎢⎢ 0.0 ⎢⎣ 0.0

0 .0 1200.0 0 .0

0 .0 ⎤ 0.0 ⎥⎥ 11500.0 ⎥⎦

Nótese que el término KE (1,1) es igual a la suma de la rigidez de los pórticos en sentido X, el término KE ( 2,2) es igual a la suma de la rigidez de los pórticos en sentido Y. 2

Finalmente el término KE (3,3) es igual a la suma del producto r por la respectiva rigidez. Al aplicar una carga de 1 T en sentido Y, los desplazamientos que se obtienen son:

⎡0 ⎤ Q = ⎢⎢1 ⎥⎥ ⎢⎣0⎥⎦

⎡0⎤ ⎡1000.0 ⇒ ⎢⎢1 ⎥⎥ = ⎢⎢ 0.0 ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣ 0.0

0.0⎤ ⎡q1 ⎤ 1200.0 0.0 ⎥⎥ ⎢⎢q 2 ⎥⎥ 0.0 11500.0 ⎥⎦ ⎢⎣q 3 ⎥⎦ 0.0

⎡q1 = 0.00000 ⎤ ⇒ ⎢⎢q 2 = 0.00083⎥⎥ ⎢⎣q 3 = 0.00000⎥⎦

El desplazamiento de fluencia de los pórticos en sentido Y es 0.07. En consecuencia para alcanzar este valor se debe aplicar una fuerza lateral de 84.03 T. La misma que se obtiene dividiendo 0.07 para 0.00083. Al aplicar esta fuerza se tiene:

⎡0.00 ⎤ Q = ⎢⎢84.03⎥⎥ ⎢⎣0.00 ⎥⎦

⎡0.00 ⎤ ⎡1000.0 ⇒ ⎢⎢84.03⎥⎥ = ⎢⎢ 0.0 ⎢⎣0.00 ⎥⎦ ⎢⎣ 0.0

0.0⎤ ⎡q1 ⎤ 1200.0 0.0 ⎥⎥ ⎢⎢q 2 ⎥⎥ 0.0 11500.0 ⎥⎦ ⎢⎣q 3 ⎥⎦ 0 .0

⎡q1 = 0.00 ⎤ ⇒ ⎢⎢q 2 = 0.07 ⎥⎥ ⎢⎣q 3 = 0.00 ⎥⎦

121


Luego asociado al cortante basal de 84.03 T., el desplazamiento lateral máximo es 0.07m. El desplazamiento de colapso de la estructura es 0.12 m. Por lo tanto puede incursionar en el rango inelástico 0.05 m. Para el rango inelástico la rigidez de los pórticos en sentido X se mantiene lo que cambia es la rigidez en sentido Y. La nueva matriz de rigidez será:

⎡1000.0 KE = ⎢⎢ 0.0 ⎢⎣ 0.0

0 .0 60.0 0 .0

0.0 ⎤ 0.0 ⎥⎥ 4375.0⎥⎦

Ahora al aplicar la fuerza de 1 T. en sentido Y, el desplazamiento lateral que se obtiene es 0.01667 y para llegar al colapso la fuerza que se debe aplicar es 3.0 T. ( 0.05/0.01667).

⎡0.00⎤ Q = ⎢⎢3.00 ⎥⎥ ⎢⎣0.00⎥⎦

⎡0.00⎤ ⎡1000.0 ⇒ ⎢⎢3.00 ⎥⎥ = ⎢⎢ 0.0 ⎢⎣0.00⎥⎦ ⎢⎣ 0.0

0 .0 60.0 0 .0

0.0 ⎤ ⎡q1 ⎤ 0.0 ⎥⎥ ⎢⎢q 2 ⎥⎥ 4375.0⎥⎦ ⎢⎣q 3 ⎥⎦

⎡q1 = 0.00 ⎤ ⇒ ⎢⎢q 2 = 0.05⎥⎥ ⎢⎣q 3 = 0.00 ⎥⎦

El cortante basal acumulado es 87.03 T., y el desplazamiento lateral asociado es 0.12m. En la figura 5.7 se indica la respectiva curva de capacidad en sentido Y.

Figura 5.7 Curva de Capacidad Sísmica Resistente en Sentido Y de Ejemplo N. 2

5.4.3 Programa ESPACIAL Para encontrar la curva de capacidad resistente en forma espacial, para el Modelo 1, a partir de las curvas de capacidad de los modelos bilineales de los pórticos. Se ha desarrollado un programa de computación denominado ESPACIAL. Para usar este programa se debe preparar el archivo de datos con el siguiente formato. •

Título del problema Se dispone de 80 caracteres alfanuméricos para identificar el problema.

122 •

Datos Generales del edificio, formato libre libre libre libre

•

NP = Número de pórticos de la estructura. H = Altura total del edificio en metros. NPX = Número de pórticos en sentido X.

Datos de los pórticos, formato libre. Primero indicar los datos de los pórticos en X. libre libre

•


α r

libre

= Ángulo que forma la orientación positiva del pórtico con el eje X = Distancia del Centro de Masa al pórtico. Positivo si la orientación positiva rota con respecto al Centro de Masa en forma antihorario. k e = Rigidez elástica del pórtico.

libre

k p = Rigidez post fluencia del pórtico.

libre

d ty = Desplazamiento de fluencia del pórtico.

libre

d tu = Desplazamiento asociado al colapso del pórtico.

Fuerza estática a aplicar en cada ciclo de carga, formato libre

libre libre

FX = Fuerza Horizontal en Sentido X. FY = Fuerza Horizontal en Sentido Y.

Si se desea encontrar la curva de capacidad resistente sísmica con relación al eje X, se colocará un valor para FX y cero para FY. Por el contrario, si se desea encontrar la curva de capacidad resistente con respecto al eje Y, el valor de FX será nulo y únicamente habrá valor en FY. No se pueden tener valores en las dos variables. FX o FY, son las fuerzas horizontales que se van a aplicar a la estructura en cada incremento de carga lateral hasta llegar al colapso. El archivo de datos para la estructura del Ejemplo N. 1, es la siguiente: •

Archivo de datos para ejemplo 1

PUSHOVER ESPACIAL DE UN EDIFICIO DE 5 PISOS. EJEMPLO 1 8 15.00 4 0 6.0 571.08 22.89 0.1017 0.75 0 2.0 571.08 22.89 0.1017 0.75 0 -2.0 571.08 22.89 0.1017 0.75 0 -6.0 571.08 22.89 0.1017 0.75 90 6.0 571.08 22.89 0.1017 0.75 90 2.0 571.08 22.89 0.1017 0.75 90 -2.0 571.08 22.89 0.1017 0.75 90 -6.0 571.08 22.89 0.1017 0.75 1 0.0 Se recomiendan utilizar el programa CAPACIDA para encontrar la curva de capacidad resistente de un pórtico plano y el programa MBCAP para definir el modelo bilineal. Estos programas se encuentran detallados en Aguiar (2002, b). El programa ESPACIAL forma parte del sistema de computación CEINCI4 que analiza el desempeño sísmico de estructuras, en tres dimensiones.

123


5.5

DESCRIPCIÓN DEL MODELO 2

En la figura 5.8 se indica a la izquierda las coordenadas de piso que se ha denominado sistema Q − q y a la derecha las coordenadas de un elemento que se ha llamado sistema

P − p . En este caso la rigidez de un elemento es la matriz de rigidez lateral KL que es aquella matriz asociada a las coordinas laterales de piso, con esta matriz se obtiene la matriz de rigidez en coordenadas de piso KE 4 8 4

12

3 7 11

3 2 6 2

10

1

5 9

1

Q-q

P-p

Figura 5.8 Coordenadas de la Estructura y Coordenadas de un Elemento n

KE = ∑ A ( i ) t KL( i ) A ( i ) i =1

(i )

donde n es el número de pórticos de la estructura (elementos), A es la matriz de compatibilidad del pórtico i, que relaciona las coordenadas laterales de un pórtico con las coordenadas de piso de la estructura. La forma de la matriz

A (i )

A (i ) es la siguiente:

Senα ⎡Cosα ⎢ Cosα Senα =⎢ ⎢ ...... ..... ⎢ Cosα Senα ⎣

siendo

α

r1 r2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ .... ⎥ rn ⎦

( 5.7 )

es el ángulo que forma la orientación positiva del pórtico con el eje de las X. Para

pórticos paralelos al eje X este ángulo vale

0 0 y para pórticos perpendiculares al eje X vale

90 0 . Por otra parte r j es la distancia desde el Centro de Masa al pórtico en el piso j, será positiva si la orientación del pórtico rota con respecto al centro de masa en sentido horario.

124

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE La matriz de rigidez lateral KL en función de la rigidez de piso k j , puede obtenerse

en forma aproximada con la ecuación (5.8). Donde k1 , k 2 , k 3 ,...k n son la rigidez del piso uno, dos, tres,…. y del último piso.

⎡k1 + k 2 ⎢− k ⎢ 2 KL( i ) = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

− k2 k2 + k3 − k3

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ......⎥ k n ⎥⎦

− k3 k3 + k4

− k4

.....

....... − kn

( 5.8 )

5.5.1 Ejemplo Número 3

Se desea encontrar la curva de capacidad resistente en sentido X, de la estructura de cinco pisos resuelta en el Ejemplo Número 1, cuya configuración en planta se indica en la figura 5.9 donde se muestra también la orientación positiva de los pórticos. Los valores que definen al modelo bilineal de uno de los pórticos son los de la tabla 5.1. Por otro lado en la tabla 5.5 se presentan las rigidez de cada uno de los pisos para el rango elástico y para el rango plástico con los que se resuelve el ejercicio. El desplazamiento de colapso se establece en 0.75 m., que equivale al 5% de la altura total del edificio.

Tabla 5.5 Rigidez de Piso para el rango elástico e inelástico de ejemplo número 3 Elástica Inelástica

k1

k2

4435.05 177.40

2428.38 97.14

k3 2202.36 88.09

k4

k5

2326.37 93.05

2359.46 94.38

En la figura 5.9, se muestra la orientación positiva de los pórticos en base a la cual se obtienen la matriz de compatibilidad de cada uno de ellos. A manera de ejemplo se indica esta matriz para el pórtico 1 y para el pórtico A.

A (1)

⎡1 ⎢0 ⎢ = ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢⎣0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 −6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 −6

0 0

0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0

0

0

−6

0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

−6 0

0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ − 6⎥⎦

Para los pórticos 2, 3 y 4 lo único que cambia es el valor de r de -6 que se tiene para el pórtico 1 a -2, 2 y 6, respectivamente.

125


Orientación Positiva

y x

C.M.

Figura 5.9 Descripción en planta de la estructura de 5 pisos del ejemplo.

A ( A)

⎡0 ⎢0 ⎢ = ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢⎣0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 −6 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 −6

0 0

0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0

0

0

−6

0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0

0 0

0 0

−6 0

0⎤ 0 ⎥⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ − 6 ⎥⎦

De igual manera para los pórticos B, C, y D la matriz A se mantiene igual a la del pórtico A con la acotación de que cambian los valores de r por –2, 2 y 6 respectivamente. La matriz KL es la misma para todos los pórticos y es la que se muestra a continuación para el rango elástico.

K L( i )

⎡6863.43 ⎢− 2428.38 ⎢ =⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣ 0

− 2428.38 0 4630.74 − 2202.36

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ − 2202.36 4528.73 − 2326.37 0 ⎥ 0 − 2326.37 4685.83 − 2359.46⎥ 0 0 − 2359.46 2359.46⎥⎦ 0 0

0 0

126


Al realizar el triple producto matricial y la sumatoria respectiva se obtiene la matriz de rigidez KE que resulta de 15X15. Por falta de espacio se escribe a continuación algunos elementos de esta matriz de rigidez.

0 0 0 ⎡27453.72 − 9713.52 ⎢− 913.52 18522.96 − 8809.44 0 0 ⎢ ⎢ 0 − 8809.44 18114.92 − 9305.48 0 ⎢ − 9305.48 18743.32 − 9437.84 0 0 KE = ⎢ ⎢ − 9437.84 0 0 9437.84 ⎢ M M M M ⎢ ⎢ 0 0 0 0 0 ⎢ 0 0 0 0 ⎣⎢ 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎥

L 0 L 0 L 0 L 0 0 L M L − 377513.60 L

377513.60

Se aplica una distribución de cargas lineal en la estructura, con un valor de 0.5 T, en el primer piso, 1.0 T, en el segundo, 1.5 T en el tercero, 2.0 T en el cuarto y 2.5 T en el último piso, de tal manera que el cortante basal es 7.5 T., este es un valor muy alto pero para resolverlo manualmente es adecuado. El vector de cargas transpuesto resulta:

Q t = [0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

Q con el vector de coordenadas q mediante la matriz de rigidez KE se obtiene el vector q , que Al resolver el sistema de ecuaciones lineales que relaciona el vector de cargas

resulta:

q t = [0.423 1.14 1.83 2.31 2.57 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] ∗ 10 −3 Con la ecuación (5.4) se obtienen los desplazamientos laterales en cada pórtico, para lo cual se debe multiplicar la matriz de compatibilidad por el vector de coordenadas. Para los pórticos en sentido Y estos desplazamientos son nulos en cambio para los pórticos en sentido X se tiene:

p (1) = p ( 2) = p ( 3) = p ( 4 )

El

desplazamiento

lateral

máximo

en

⎡0.423⎤ ⎢1.14 ⎥ ⎥ ⎢ = ⎢1.83 ⎥ ∗ 10 −3 ⎥ ⎢ ⎢2.31 ⎥ ⎢⎣2.57 ⎥⎦ un

pórtico

tipo

en

sentido

X

es

−3

2.57 ∗ 10 m. = 0.257 cm. En los programas de computación el cálculo se realiza en forma incremental de tal manera que se volvería a aplicar las mismas fuerzas laterales en coordenadas de piso y se encontraría los mismos desplazamientos laterales los mismos que se van sumando. Este procedimiento puede simplificarse con el siguiente razonamiento. Al aplicar fuerzas laterales que dan un cortante basal de 7.5 T todos los pórticos tienen un corrimiento en el tope de 0.00257 m, por los datos del ejercicio la rigidez elástica se


127

mantiene constante hasta tener un desplazamiento lateral de 0.1017 m. Como se está trabajando en el rango elástico por medio de una simple regla de 3 se puede determinar cual es la fuerza horizontal con la que se llega al desplazamiento de fluencia:

7.5 T Vy De donde V y

→ →

0.00257 0.1017

= 296.79 T . En base a este cortante se halla las fuerzas laterales que

se deben aplicar en cada piso para que la estructura ingrese al rango no lineal. Para el efecto las fuerzas laterales iniciales se deben multiplicar por f = V y / V = 296.79 / 7.5 = 39.572 . En la figura 5.10 se ilustran las cargas laterales que se aplican con las cuales se obtiene un desplazamiento lateral de 0.1017 m.

98.93 79.14

59.36

39.57

19.79

269.79

Figura 5.10 Distribución de fuerzas laterales en la estructura para llegar al punto de fluencia. Una vez que se alcanza el punto de fluencia en los pórticos se cambia la matriz de rigidez lateral que para el presente caso se encuentra multiplicando la matriz de rigidez anotada por η = 0.04 . Este cambio de la rigidez lateral KL conduce a un cambio de la matriz de rigidez en coordenadas de piso KE , con lo cual se procede con el cálculo. Es decir se vuelve a aplicar fuerzas laterales de 0.5 T en el primer piso, 1 T en el segundo piso, hasta un valor de 2.5 T en el último piso. El vector q que se obtiene para el rango inelástico es:

q t = [10.575 28.5 45.75 57.75 64.25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] ∗ 10 −3

128


Los desplazamientos indicados son en coordenadas de piso, las mismas que se deben pasar a coordenadas laterales de cada pórtico por medio de la matriz A . El desplazamiento lateral máximo en un pórtico es 6.425 cm. De acuerdo a los datos del ejemplo, el desplazamiento de colapso es 0.75 m y el de fluencia es 0.1017 m. En consecuencia la estructura puede incursionar en el rango no lineal la diferencia de estos dos valores que resulta 0.6483 m. Nuevamente se debe realizar una regla de tres para encontrar las fuerzas que deben aplicarse en el rango inelástico para llevar la estructura al colapso. Para esto se debe razonar de la siguiente manera. Con un cortante basal de 7.5 T se tiene un desplazamiento lateral máximo de 6.425 cm, que cortante debe aplicarse para tener un desplazamiento lateral máximo de 64.83 cm. Este cortante resulta 75.67 T. La distribución de fuerzas asociado a este cortante se indica en la figura 5.11

25.22 20.17

15.14

10.09

5.05

75.67

Figura 5.11 Distribución de fuerzas laterales en la estructura para llegar al colapso.

Los desplazamientos laterales que se encuentran en el rango inelástico para la distribución de fuerzas indicadas en la figura 5.11, son:

q t = [0.107 0.288 0.462 0.583 0.6483 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] m. En la figura 5.12 se indica la curva de capacidad sísmica resistente que se ha encontrado en el presente ejemplo la misma que se compara con la obtenida en el ejemplo 1 cuando se considera un modelo de 3 grados de libertad en total.


129

Figura 5.12 Comparación de curvas de capacidad sísmica en estructura de 5 pisos con dos modelos.

5.5.2 Manual del Programa ESPACIA3 El programa ESPACIA3 sirve para encontrar la curva de capacidad sísmica resistente en tres dimensiones con el modelo 2 que considera tres grados de libertad por planta. El usuario deberá proporcionar al programa la rigidez de piso de cada uno de los pórticos planos para el rango elástico. La información en detalle que se requiere es la siguiente. •

Título del problema Se dispone de 80 caracteres alfanuméricos para identificar el problema.

•

Datos Generales del edificio, formato libre libre libre libre

•

NP = Número de pórticos de la estructura. NPISO = Número de pisos. H = Altura total del edificio en metros

Datos de los pórticos, formato libre. Habrá tantos grupos de datos como pórticos se tenga. libre libre

k1 k2

= Rigidez del piso 1. = Rigidez de piso 2, etc. Así hasta el último piso n en que deberá indicar además la siguiente información.

libre

libre libre libre

k n , d ty , k p , k e

=

α

rigidez plástica y rigidez elástica. Estos tres últimos datos se obtendrán del modelo bilineal del pórtico. = Angulo que forma la orientación positiva del pórtico con el eje X. = Distancia del CM. al pórtico en el piso 1.

r1 r2

Rigidez del ultimo piso, desplazamiento de fluencia ,

= Distancia del CM. al pórtico en el piso 2, etc. Hasta el piso n.

130

•

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE Código y Fuerzas estáticas a aplicar en cada ciclo de carga, formato libre

libre

ICOD

= 1 Si se desea la curva de capacidad con respecto al eje X, caso contrario ICOD =2 para con respecto al eje Y. = Fuerza horizontal en el primer piso aplicada en el CM.

libre libre

F1 F2

libre

…

……..

libre

Fn

= Fuerza horizontal en el último piso.

= Fuerza horizontal en el primer piso aplicada en el CM. ……..

El archivo de datos para la estructura del Ejemplo N. 3, es la siguiente: •


Edificio de 5 pisos del ejemplo 3. Curva de capacidad sísmica resistente en sentido X 8 5 15 4435.05 2428.38 2202.36 2326.37 2359.46 0.1017 22.89 571.08 0 -6 -6 -6 -6 -6 4435.05 2428.38 2202.36 2326.37 2359.46 0.1017 22.89 571.08 0 -2 -2 -2 -2 -2 4435.05 2428.38 2202.36 2326.37 2359.46 0.1017 22.89 571.08 0 2 2 2 2 2 4435.05 2428.38 2202.36 2326.37 2359.46 0.1017 22.89 571.08


0 6 6 6 6 6 4435.05 2428.38 2202.36 2326.37 2359.46 90 -6 -6 -6 -6 -6 4435.05 2428.38 2202.36 2326.37 2359.46 90 -2 -2 -2 -2 -2 4435.05 2428.38 2202.36 2326.37 2359.46 90 2 2 2 2 2 4435.05 2428.38 2202.36 2326.37 2359.46 90 6 6 6 6 6 1 0.1 0.15 0.20 0.25 0.30

0.1017

22.89

571.08

0.1017

22.89

571.08

0.1017

22.89

571.08

0.1017

22.89

571.08

131

132

5.6

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE COMPARACIÓN CON PROGRAMA RUAUMOKO

Con el propósito de comparar las curvas de capacidad resistente sísmica que se obtienen con los modelos 1 y 2, presentados en éste capítulo, con las que reporta el programa Ruaumoko desarrollado por Carr (2000) en la Universidad de Canterbury en Nueva Zelanda se han analizado 3 edificios de 6 pisos, cuya planta de indican en la figura 5.13. Estos edificios tienen diferentes secciones de columnas y están descritos en Aguiar et al (2004).

Figura 5.13 Distribución en planta para los edificios 1, 2 y 3.

En la figura 5.14 se comparan las curvas de capacidad sísmica resistente, a la izquierda se presentan para la dirección X, y a la derecha para la dirección Y. Se aprecia que en los tres edificios el modelo 1 que considera tres grados de libertad reporta curvas de capacidad resistente mayores a las que se obtienen con el modelo 2. Por otra parte, se observa que las curvas de capacidad resistente que se obtienen con el programa Ruaumoko son semejantes a las que se obtienen con los modelos 1 y 2. Con el modelo 1 es mejor la aproximación.

5.7

CENTRO DE RESISTENCIA

Normalmente cuando se realiza un análisis sísmico de una estructura se determina el Centro de Rigidez para cuantificar los efectos de torsión pero, este centro es válido únicamente cuando la estructura trabaja en el rango elástico. En efecto, para el rango inelástico cambia la rigidez del elemento que ingresa al rango no lineal y con ello el Centro de Rigidez, de tal forma que este parámetro deja de ser representativo para definir el comportamiento sísmico de una estructura a la luz de que la estructuras deben tener un comportamiento dúctil ante sismos severos, Crisafulli (2002). Por este motivo en lugar de trabajar con el Centro de Rigidez, es conveniente trabajar con el Centro de Resistencia CR especialmente para evaluar los efectos de torsión. Para ello, se acostumbra trabajar con un modelo elásto perfectamente plástico para definir la curva de capacidad resistente de los pórticos. Es decir, con un modelo en el cual la rigidez post fluencia


133

k p sea nula. En la práctica esta rigidez k p es bastante baja, en el ejemplo 1 es del orden del 4% de la rigidez elástica k e . En consecuencia, la resistencia de un pórtico puede definirse por el cortante de fluencia v y del modelo bilineal.

Edificio 1

Edificio 2

Edificio 3 Figura 5.14 Comparación de Curvas de Capacidad Sísmica Resistente

El CR es el punto en el cual se considera concentrada toda la resistencia del edificio. Para los ejemplos 1 y 3, el CR coincide con el CM., porque todos los pórticos tienen la misma resistencia. Ahora, a manera de ejemplo, se desea calcular el Centro de Resistencia para la estructura de 5 pisos de la figura 5.15., en la que se ha reducido la resistencia de los pórticos A y 1 a la mitad.

134


El CR se determina haciendo equilibrio de fuerzas y momentos en cada una de las direcciones. Para el sentido X se tiene:

V = 58.05 * 3 + 29.025 = 203.175 T . 58.05 ∗ 12 + 58.05 ∗ 8 + 58.05 ∗ 4 = 203.175 ∗ Y

⇒ Y = 6.857 m.

Se ha tomado momentos con respecto al pórtico 1, que tiene una resistencia igual a la mitad de las otras resistencias. Se pudo realizar el equilibrio de momentos con relación a cualquier eje. Se define la excentricidad por resistencia a la distancia que existe entre el CR y el CM. Esta excentricidad puede influir significativamente sobre la respuesta torsional, especialmente en el rango no lineal. Para analizar este efecto en el próximo apartado se analizan varias estructuras.

Figura 5.15 Resistencia de pórticos y estructura de ejemplo 4. Se destaca además ubicación de Centro de Masas CM y Centro de Resistencia CR.

5.8

ESTRUCTURAS CON EXCENTRICIDAD DE RESISTENCIA

En la figura 5.16 se presentan dos curvas de capacidad resistente, de los ejemplos 1 y 4, la una corresponde a la estructura cuyos pórticos tienen igual resistencia, ejemplo 1, y la de más abajo a la estructura en la cual el pórtico 1 y el pórtico A tienen la mitad de la resistencia de los otros pórticos. Se aprecia que la reducción de resistencia no es en la misma proporción en relación a la del pórtico. La reducción que se observa en la figura 5.16 es mayor a la reducción de resistencia del pórtico, esto se debe a la torsión. En la figura 5.15 se aprecia que el pórtico más débil en sentido X es el 1 y en sentido Y es el A. Son los pórticos débiles los que más van a incursionar en el rango no lineal y


135

consiguientemente van a experimentar más daño. En la figura 5.17 se presenta los desplazamientos laterales en cada pórtico vs. el cortante basal de toda la estructura. Ahí se aprecia que el pórtico 1 es el que más se desplaza y el que menos se desplaza lateralmente es el 4, las dos curvas intermedias corresponden a los pórticos 2 y 3. Esto es muy importante tenerlo presente, ya que la demanda de ductilidad del pórtico 1 será mayor que la demanda de ductilidad del pórtico 4.

Figura 5.16 Curvas de capacidad resistente de las estructuras de los ejemplos uno en que todos los pórticos tienen la misma resistencia y dos en que un pórtico tiene la mitad de resistencia.

En la estructura del ejemplo 1, en que la resistencia era igual en todos los pórticos, los desplazamientos laterales de los pórticos eran iguales; lo que no sucede cuando existe excentricidad por resistencia.

Figura 5.17 Desplazamientos laterales en cada uno de los pórticos en sentido X. vs. el cortante basal.

136


En la figura 5.18 se presenta una nueva estructura en la que se ha modificado la resistencia de los pórticos 1 y 2 a la mitad de la resistencia de los pórticos 3 y 4. En el sentido perpendicular también se ha modificado la resistencia de los pórticos A y B a la mitad de la de los pórticos C y D. En la figura 5.18 se indican las resistencias de cada uno de los pórticos y también se aprecia que el centro de resistencia, en este caso, tiene una excentricidad e x = 1.33 m. y una excentricidad e y = 1.33 m. Se define β x a la relación entre la excentricidad en sentido X con relación a la dimensión total, algo similar se tiene con el ejemplo 5 se tiene que

β y . Para

β x = β y = 0.11 βx =

ex Bx

βy =

ey By

Figura 5.18 Resistencia de pórticos de estructura de ejemplo 3 y nomenclatura utilizada para excentricidades del Centro de Rigidez.

En la figura 5.19 se indican las curvas de capacidad resistente de las estructuras que se han analizado en los ejemplos 1, 4 y 5. La estructura del ejemplo 1 tiene todos sus pórticos iguales; la del ejemplo 4 la resistencia del pórtico 1 y pórtico A es la mitad de los otros; y en la estructura del ejemplo 5, la resistencia de los pórticos 1, 2, A y B es la mitad que la de los otros pórticos. Se aprecia que la reducción no es proporcional a la disminución de resistencia en los pórticos. Esto se debe, como se indicó anteriormente, a la torsión. Por otra parte, en la figura 5.20, se muestran los desplazamientos laterales en los pórticos 1 a 4, vs. el cortante basal para la estructura del ejemplo 5. En la estructura del ejemplo 5, el valor de β x = β y = 0.11 y en la estructura del ejemplo 4 , β x = β y = 0.07 . El valor de β es mayor y consecuentemente el efecto torsionante es más importante de ahí que la diferencia de desplazamientos laterales en los pórticos es mayor en la estructura del ejemplo 5 que en la estructura del ejemplo 4.

137


Figura 5.19 Curvas de Capacidad Resistente de las estructuras de los ejemplos 1, 4 y 5.

Figura 5.20 Desplazamientos laterales en los pórticos para estructura con

5.9

β = 0.11

CRITERIOS PARA OBTENER EL MODELO BILINEAL

Existen varios criterios para encontrar el modelo bilineal de la curva de capacidad resistente con el que se determina el punto en el cual la estructura deja de trabajar en el rango elástico e inicia su trabajo en el rango no lineal. A este punto se denomina punto de fluencia de la estructura. En forma muy conservadora se puede indicar que el punto de fluencia de la estructura se alcanza cuando alguna sección de la misma ingresa al rango no lineal, para el efecto basta que en el análisis con el pushover se determine cuando alguna sección alcanzó el punto de fluencia. En realidad esto sería una cota inferior de V y . Se destaca que el punto de fluencia al

138


aplicar cualquiera de los criterios que se explican a continuación no debe estar distante de este punto que se ha denominado cota inferior. Los cuatro criterios que se describen en el presente apartado, para la determinación del punto de fluencia en una estructura, son los siguientes: • Criterio de la Rigidez Tangente Horizontal. • Criterio de las Rigideces Tangentes. • Criterio de las Áreas Iguales. • Ajuste por Mínimos Cuadrados.

5.8.1 Criterio de la Rigidez Tangente Horizontal En este criterio se traza la tangente a la curva de capacidad resistente, en el rango elástico, luego se traza una horizontal en el punto de Cortante Basal Vu , como lo indica la figura 5.21; la intersección de estas dos rectas definen el punto Dty .

Figura 5.21 Criterio 1.- Rigidez Tangente Horizontal, para determinar el punto de fluencia de una estructura.

Finalmente al ingresar con el valor de Dty a la curva de capacidad resistente se determina el punto V y . A este criterio se denominará Criterio 1. Existen estructuras cuya curva de capacidad resistente es irregular, en las cuales se tienen dos valores de Vu . Aquí es recomendable obtener un promedio de los dos valores de

Vu y trabajar con el promedio.


139

5.8.2 Criterio de la Rigideces Tangentes El Criterio 2, corresponde al caso en que se trazan dos tangentes a la curva de capacidad resistente, una en el rango elástico y otra en el punto de cortante Vu , como lo ilustra la figura 5.22, el punto de intersección de las dos tangentes determina el punto de fluencia de la estructura.

Figura 5.22 Criterio 2.- Rigideces Tangentes, para determinar el punto de fluencia de una estructura.

En estructuras cuya curva de capacidad resistente es irregular se deben trazar dos o más pendientes en el rango inelástico y trabajar con la pendiente más dominante que más se ajusta a la curva de capacidad resistente o trabajar con una pendiente promedio.

5.8.3 Criterio de las Áreas Iguales El tercer criterio, corresponde al que se obtiene al igualar las áreas externa e interna de la curva de capacidad resistente, como se indica en la figura 5.23. Este criterio es más elaborado, con relación a los anteriores en el sentido de que se debe realizar más operaciones. El punto de fluencia se determina en forma iterativa hasta que el área exterior se considere aproximadamente igual al área interior. Existe otra alternativa de encontrar el modelo bilineal, con este criterio y consiste en igualar el área bajo la curva de capacidad con el área de la curva del modelo bilineal, como se ilustra en la figura 5.24. Se destaca que la recta que corresponde al rango elástico pasa por la curva de capacidad resistente que está asociada a un cortante igual a 0.6 V y , en consecuencia se trabaja con una rigidez secante. Para la evaluación del área bajo la curva de capacidad resistente, es conveniente dividir la figura en trapecios elementales y para encontrar el área del modelo bilineal se debe calcular el área de un triangulo y de un trapecio. El cálculo del punto de fluencia, se determina en forma iterativa hasta conseguir igualar las áreas o que la diferencia en valor absoluto de las dos sea menor que una tolerancia dada.

140


Figura 5.23 Criterio 3.- Iguales Áreas, para determinar el punto de fluencia de una estructura.

Figura 5.24 Alternativa para determinar el modelo bilineal empleando el Criterio 3.

5.8.4 Ajuste por Mínimos Cuadrados La ecuación de la recta que une el origen de coordenadas con el punto de fluencia viene definido por la ecuación ( 5.9 ) y la ecuación de la recta para el rango no lineal es la indicada en la ecuación ( 5.10 ).

V = b1 Dt

( 5.9 )

V = a 2 + b2 Dt

( 5.10 )

a2 b1 − b2

( 5.11 )

Dty =

Los valores b1 , b2 , a 2 , se obtienen del ajuste por el método de los mínimos cuadrados. El punto de fluencia Dty satisface las ecuaciones ( 5.9 ) y ( 5.10 ) ya que es punto común de las dos rectas. Por lo tanto al igualar estas ecuaciones se determina Dty , con la ecuación (5.11).


141

El cálculo se realiza en forma iterativa, hay que imponerse el punto Dty , de tal manera que los puntos de la curva de capacidad resistente se dividen en dos partes, los que se encuentran bajo Dty y los que están sobre este valor. Con los datos del primer grupo se determina la pendiente b1 y con los datos del segundo grupo se obtienen a 2 , b2 . Posteriormente, con la ecuación ( 5.11 ) se recalcula el valor Dty y se continúa con el cálculo hasta que el valor impuesto del desplazamiento de fluencia sea aproximadamente igual al valor calculado.

Figura 5.25 Criterio 4.- Ajuste con mínimos cuadrados, para determinar el punto de fluencia de una estructura.

El programa ESPMBCAP determina también el punto de fluencia pero con una característica adicional que permite obtener la rigidez de cada uno de los pisos asociado al punto de fluencia o a cualquier desplazamiento lateral de la estructura. La rigidez de piso se necesita conocer para encontrar la curva de capacidad sísmica resistente con el modelo de tres grados de libertad por planta descrito en el presente capítulo. Además la rigidez de piso es necesario conocer para encontrar la respuesta sísmica empleando el Método del Sistema Lineal de Corte descrito en el capítulo 11. Antes de utilizar el programa ESPMBCAP se debe haber utilizado el programa CAPACIDA que determina la capacidad sísmica resistente de pórticos planos en dos dimensiones.

5.10 CONCLUSIONES Se ha presentado dos modelos para encontrar la curva de capacidad resistente de una estructura en tres dimensiones, a partir de los resultados que se obtienen del análisis de un pushover plano. Para facilitar el cálculo se han desarrollado los programas denominados ESPACIAL para el modelo 1 de 3 grados de libertad y ESPACIA3 para el modelo 2 que considera tres grados de libertad por planta. Del estudio realizado se desprenden las siguientes conclusiones: •

El considerar que cada pórtico es un elemento de una estructura que está unida por una losa rígida, es una buena aproximación para estructuras con piso rígido.

•

La entrada de datos del programa ESPACIAL es muy sencilla pero se requiere que el usuario obtenga la curva de capacidad resistente de cada pórtico plano y el modelo bilineal respectivo.

•

El considerar tres grados de libertad por planta es una mejor aproximación al problema, pero la entrada de datos para el programa ESPACIA3 es más elaborada ya que se necesita conocer la rigidez de piso de cada pórtico.

142


•

En base a las estructuras analizadas se puede indicar que la curva de capacidad sísmica resistente que se obtiene con los modelos 1 y 2 es muy similar a la que se obtiene con el programa Ruaumoko.

•

El Centro de Resistencia es más adecuado utilizarlo que el Centro de Rigidez, en los problemas de Torsión especialmente para el rango no lineal.

REFERENCIAS 1. Aguiar R. (1989), Análisis Dinámico Espacial, Escuela Politécnica del Ejército, 270 p, Quito, Ecuador. 2. Aguiar R. (1995), Análisis Matricial de Estructuras, Editorial ESPE. Escuela Politécnica del Ejército, Segunda Edición , 614 p, Valle de los Chillos, Ecuador. 3. Aguiar R. (2002 a), “Estado del arte de los métodos de análisis sísmico y desempeño estructural”, XV Jornadas Nacionales y Primeras Binacionales de Ingeniería Estructural, 69-101, Loja, Ecuador. 4. Aguiar R. (2002 b), Sistema de Computación CEINCI3 para evaluar daño sísmico en los Países Bolivarianos, Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, 302 p, Valle de los Chillos, Ecuador. 5. Aguiar R., Soria L., Torrisi G. y Crisafulli F., (2004), “Modelos para curva de capacidad sísmica resistente de edificios en tres dimensiones de H.A.”, XXXI Jornadas SurAmericanas de Ingeniería Estructural, Mendoza, Argentina. 6. ATC-40 (1996), "Seismic evaluation and retrofit of concrete buildings", Applied Technology Council, Redwood City, California. 7. Carr A., (2000), Ruaumoko. The Maori Godo f Volcanoes and Earthquakes, Department of Civil Engineering. University of Canterbury, 233 p, New Zealand. 8. Crisafulli F. (2002), “Torsión de Estructuras”, XV Curso Internacional de Estructuras. Escuela Politécnica del Ejército, Memorias del Curso, Valle de los Chillos, Ecuador. 9. Chopra A. and Goel R. (1999), "Capacity-demand-diagram methods for estimating deformation of inelastic structures: SDF systems", Pacific Earthquake Engineering. Research Center, Rep. No PEER-1999/02,University of California, Berkeley, California. 10. Chopra A. and Goel R. (2000), "Evaluation of NSP to Estimate Seismic Deformation: SDF systems", Journal of Structural Engineering ASCE, 126 (4), 482-490. 11. Fajfar P. (2000), “A Non linear analysis method for performance-based seismic design”, Earthquake Spectra, 16, 573-591. 12. Li Hyung Lee, Sang Whan Han and Young Hun Oh (1999), “Determination of ductility factor considering different hysteretic model”, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 28, 957-977. 13. Reinhorn A. (1997), “Inelastic analysis techniques in seismic evaluations”, in P. Fajfar and H. Krawinkler (Eds), “Seismic Design Methodologies for the Next Generation of codes” , 277-287, Balkema Rotterdam.

CAPÍTULO 6

CAPACIDAD RESISTENTE SÍSMICA EN ESTRUCTURAS ANTIGUAS RESUMEN Un gran porcentaje de las construcciones del mundo, que se encuentran en zonas sísmicas fueron construidas hace más de 25 años con el nivel de conocimientos sismo resistente existente en la época. Estas construcciones se caracterizan por tener una gran cantidad de armadura longitudinal y poca armadura transversal. En este tipo de construcciones es necesario incorporar el efecto de corte al efecto de flexión, en las relaciones momento curvatura y en los modelos de plasticidad que se utilizan para encontrar la curva de capacidad resistente en estructuras de hormigón armado, empleando análisis no lineal estático. En este artículo se presenta las recomendaciones formuladas en el Código de Nueva Zelanda de 1996 para determinar la capacidad al corte de una sección y para encontrar la rigidez equivalente al corte. Posteriormente se presentan dos modelos de plasticidad extendida: el de Giberson (1969) que concentra la inelasticidad en dos resortes rotacionales ubicados en los extremos de los elementos y que no toma en cuenta el efecto de corte, y el de Thom et al (1983) que concentra la inelasticidad en cuatro resortes, un vertical y un rotacional en cada extremo del elemento, el resorte vertical incorpora el efecto de corte. Finalmente y como una aplicación práctica se presentan las curvas de capacidad sísmica resistente que relacionan el cortante basal con el desplazamiento lateral máximo en el tope del edificio, en una edificación espacial de 4 pisos para tres casos de armadura transversal en dos de ellos la falla se produce por corte y en el tercero no.

6.1 INTRODUCCIÓN Las construcciones de hormigón armado de los años setenta, sesenta o más antiguas, por lo general, tienen una gran cantidad de refuerzo longitudinal y muy poco refuerzo Capítulo aceptado para su publicación en el XIV Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica que se realizara en Guanajuato-México en Nov. de 2003. Publicado en la Revista Sigma del Colegio de Ingenieros Civiles de Pichincha, 19 edición 5-14, Quito 2003.

130


transversal de tal manera que ante un sismo severo la falla que se produce es de corte y el refuerzo longitudinal prácticamente permanece en el rango elástico. A manera de ejemplo en la figura 6.1 se indica el estado en que quedó una de las columnas perimetrales de uno de los bloques estructurales de dos pisos del Hospital Miguel H. Alcívar de Bahía de Caráquez, en Ecuador, luego del sismo del 4 de agosto de 1998 que tuvo una magnitud M s = 7.1 , la columna tiene una sección transversal cuadrada de 40 cm. de lado, con una armadura longitudinal 4 φ 1 + 12 φ 7 / 8 es decir tiene una cuantía del 4.18% valor sumamente alto pero que está dentro de lo permitido por las normas; la armadura '' transversal estaba compuesta por estribos simples de 3 / 8 espaciados uniformemente cada 30 cm. (Aguiar et al, 1998). Se habla en pasado del refuerzo transversal ya que en el reforzamiento ejecutado se confirió una mayor capacidad al corte. ''

''

Figura 6.1 Falla por corte en una de las columnas del Hospital Miguel H. Alcívar de Bahía de Caráquez luego del sismo de Agosto de 1998.

En la figura 6.1 se aprecia que la columna estuvo muy cerca del colapso y el hierro longitudinal trabajó en el rango elástico. Este comportamiento es factible reproducir analíticamente al analizar la capacidad a flexión y corte de una sección transversal de la columna, este comportamiento se indica en la figura 6.2, a la izquierda se presenta el caso


131

cuando la carga axial es de 40 T. y a la derecha cuando esta carga es de 50 T. En estos rangos de carga axial trabajó la mencionada columna.

Figura 6.2 Comportamiento a flexión y corte de una columna del Hospital de Bahía de Caráquez, Ecuador

La línea horizontal de la figura 6.2 corresponde a la máxima capacidad al corte

Vmax que resiste la sección, la misma que es función de la capacidad al corte del concreto, del acero y de la carga axial que actúa sobre la columna. Se aprecia que la falla se produce por corte, en los dos casos, y que la sección no alcanzó el momento de fluencia de tal forma que el hierro longitudinal trabajó en el rango elástico. Con relación a la figura 6.2 se debe manifestar que en este artículo se indica en forma rápida, el modelo numérico con el cual se obtiene la capacidad a corte de una sección transversal pero no se explica la forma de encontrar la capacidad a flexocompreción ya que es un tema muy conocido. Lo importante del trabajo es analizar la capacidad sísmica resistente de la estructura considerando el efecto de corte y sin considerar dicho efecto para ello se indicará en primer los modelos de plasticidad extendida que se van a utilizar.

6.2 CAPACIDAD A CORTE

Varios son los trabajos que existen en el que se incorpora el efecto de corte al de flexión, entre ellos se tienen los desarrollados por Park y Paulay (1975), Vecchio y Collins (1986) y (1988), Collins et al (1996), Ichinose (1992), Priestley y Calvi (1991), Priestley y Seible (1994), Hakuto et al (1995), Priestley et al (1994), Satyarno (2000). En este artículo se trabaja con lo recomendado en la Sociedad de Ingeniería Sísmica de Nueva Zelanda NZNSEE (1996).

132


Figura 6.3 Degradación del cortante con el incremento de la ductilidad por rotación.

En la figura 6.3 se aprecia que la capacidad de corte máximo llega hasta el punto 1 que está asociado a una ductilidad por rotación µθv1 a partir del cual decrece esta capacidad hasta el punto 2 en que la capacidad al corte es

Vmin .

Vmin = Rθv 2 Vmax

( 6.1 )

El valor de Rθv 2 depende del elemento estructural que se analiza, a continuación se indican estos valores y las fórmulas con las que se encuentran las variables indicadas en la figura 6.3, para el caso de vigas y columnas, cuyos modelos numéricos de cálculo se muestran en la figura 6.4, a la izquierda para el caso de vigas y a la derecha para columnas rectangulares.

Figura 6.4 Modelo utilizado para la degradación de la capacidad al corte en vigas (izquierda) y en columnas (derecha).

133


6.2.1 Relación corte ductilidad para vigas rectangulares

Las ecuaciones que definen la capacidad al corte de una viga, son las siguientes:

⎛ Vmax = φ r ⎜⎜ 0.2 ⎝ Rθv 2 =

Av f vy d ⎞ ⎟⎟ s ⎠ Av f vy d

f c' b d +

0.05 f c' b d + 0.2 f b d + ' c

s Av f vy d

( 6.2 )

( 6.3 )

s

f c' es la resistencia a la compresión del hormigón expresada en MPa, φr es el factor de reducción de esfuerzos por corte que es igual a 0.85, b, d son la base y la altura efectiva de la sección transversal, Av , s , f vy son el área, espaciamiento y límite de fluencia del refuerzo

donde

transversal.

6.2.2 Relación corte ductilidad para columnas rectangulares

Para el caso de columnas con estribos rectangulares, las ecuaciones son:

Vmax

⎧⎪ ⎞⎫⎪ ⎛ Av f vy d '' ' ⎜ = φ r ⎨0.85 0.29 f c 0.8 Ag + cot 30 o − N tan α ⎟⎬ ⎟⎪ ⎜ s ⎪⎩ ⎠⎭ ⎝

Rθv 2 =

Av f vy d ''

cot 30 − N tan α s Av f vy d '' ' 0.29 f c 0.8 Ag + cot 30 − N tan α s 0.1 f 0.8 Ag + ' c

( 6.4 )

( 6.5 )

''

siendo Ag el área gruesa de la columna, d es la longitud del núcleo del hormigón confinado medido desde los extremos del refuerzo transversal, N es la carga axial que gravita en la columna será positiva si es de tensión y negativa si es de compresión, α es el ángulo entre el eje longitudinal de la columna y la recta que une los puntos del centro donde actúa la fuerza a compresión en el hormigón en el nudo inicial y final. La obtención del momento a partir del corte se lo realiza en función de la luz libre de corte. Se destaca que el valor del corte máximo

Vmax indicado en las ecuaciones (6.2) y (6.4)

contempla la degradación de resistencia por incremento de la ductilidad de rotación del elemento.

134


6.3 MODELOS DE PLASTICIDAD

Los modelos de plasticidad extendida que se van a utilizar en el presente trabajo son el de Giberson (1969) y el de Thom et al. (1983). El primero concentra la plasticidad en un resorte rotacional y el segundo considera a más del resorte rotacional un resorte vertical, en cada uno de los extremos del elemento. En la parte superior de la figura 6.5 se indica el primer modelo y en la parte inferior el segundo modelo. Se ha denominado ( EI ) a , ( EI ) o , ( EI ) b a la rigidez a flexión en el nudo inicial, centro de luz y nudo final. Por otra parte ( K s ) a ,

( K s ) b son

la rigidez a corte en el nudo inicial y final.

Figura 6.5 Modelos de plasticidad extendida de Giberson (1969) y de Thom et al (1983).

La matriz de flexibilidad f asociada a las rotaciones del elemento, indicado en la figura 6.6. Para el modelo de Giberson esta matriz resulta:

⎡⎛ ( EI ) o ⎢⎜⎜1 + ' L ⎢⎝ ( EI ) a f = 6( EI ) o ⎢ ⎢− 1 ⎢⎣

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎤ − 1⎥ ⎥ ⎛ ( EI ) o ⎞ ⎥ ⎜⎜1 + ⎟⎟ ⎥ ⎝ ( EI ) b ⎠ ⎥⎦

Figura 6.6 Rotaciones en los extremos de un elemento.

( 6.6 )

135


donde

L' es la luz libre del elemento. Los términos ( EI ) a , ( EI ) o , ( EI ) b se obtienen del

diagrama momento curvatura. Se destaca que al invertir la matriz de flexibilidad se encuentra la matriz de rigidez y a partir de esta matriz utilizando la matriz de transformación de coordenadas se determina la matriz de rigidez en coordenadas locales y globales del elemento considerando tres grados de libertad por nudo (Aguiar 1995) . Para el modelo de Thom et al. (1983) la matriz de flexibilidad es la siguiente:

⎡ L' ⎛ ( EI ) o ⎞ 1 ⎜⎜1 + ⎟⎟ + ⎢ 6( EI ) o ⎝ ( EI ) a ⎠ K s ( L' ) 2 ⎢ f =⎢ ' 1 ⎢− L + ⎢⎣ 6( EI ) o K s ( L' ) 2

siendo

⎤ ⎥ ⎥ ( 6.7 ) ⎥ ' L ⎛ ( EI ) o ⎞ 1 ⎥ ⎜⎜1 + ⎟⎟ + 6( EI ) o ⎝ ( EI ) b ⎠ K s ( L' ) 2 ⎥⎦ −

L' 1 + 6( EI ) o K s ( L' ) 2

K s la rigidez al corte de una sección del elemento. Existen varios modelos para

determinar la rigidez al corte que están sintetizados en Satyarno (2002), uno de ellos es el indicado en la figura 6.7 que relaciona la fuerza de corte con la deformación.

6.4 RIGIDEZ DE CORTE

Park y Paulay (1975) presentan en forma muy extensa la deducción de las ecuaciones para determinar la rigidez en el rango elástico K se y en el rango plástico K sp , por unidad de distorsión al corte, estas son las siguientes:

K se =

0 .4 E c b d

( 6.8 )

β

ρ v Sin 4θ sp Sin 4 γ (Cotθ sp + Cotγ )2 K sp = Es b d Sin 4θ sp + n ρ v Sin 4 γ

ρv =

Av s b Sinγ

Las variables todavía no definidas son:

n=

( 6.9 )

Es Ec

E c , E s módulos de elasticidad del hormigón y

β factor de forma que toma en cuenta la distribución no uniforme de los esfuerzos de corte, para secciones rectangulares β = 1.2 , θ sp es el ángulo de inclinación de la falla por corte, γ es el ángulo del estribo con respecto al eje del elemento. Se puede considerar que θ sp = 45 0 para vigas y θ sp = 30 0 para columnas. del acero,

136


Figura 6.7 Modelo numérico de cálculo adoptado para definir la rigidez al corte

Park y Paulay (1975) desarrollan un caso particular de K sp , para

γ = 90 0

θ SP = 45 0 , y

encontrando:

K sp =

ρv 1 + 4 n ρv

( 6.10 )

Es b d

El valor de K sp está en el orden del 10 al 30% del valor de

K se de ahí la gran

importancia de considerar la degradación de la rigidez al corte en el análisis.

6.4.1 Valor de Vcr para vigas

Vc en el límite del rango elástico, para el caso de vigas es únicamente función de la capacidad al corte del hormigón Vc . El valor del cortante

Vcr = Vc = k

f c' b d

( 6.11 )

k es un factor de resistencia al corte y está en función de la ductilidad por rotación; el ' valor de f c se expresa en MPa. En la figura 6.8 a la izquierda se indica valor de k para vigas donde

y a la derecha para columnas, en función de la demanda de ductilidad por rotación.

137


Figura 6.8 Valores del factor de resistencia al corte

k

para vigas (izquierda) y columnas (derecha).

6.4.2 Valores de Vcr para columnas

El valor de

Vcr para columnas es función de la capacidad al corte del hormigón y de la

carga axial que gravita sobre la misma.

Vcr = Vc + Vn = k

k

f c' 0.8 Ag + N tan α

( 6.12 )

Todas las variables indicadas en la ecuación ( 6.12 ) ya han sido indicadas y el valor de se indica a la derecha de la figura 6.8 para el caso de flexocompresión uniaxial y biaxial.

6.4.3 Rigidez equivalente K s

En la figura 6.7 se aprecia que se puede encontrar una rigidez al corte equivalente como la relación entre el cortante máximo

Ks =

Ks

Vmax y la deformación máxima de corte d s max .

Vmax d s max

⎛V V ⎞ d s max = ⎜ cr + s ⎟ l ps ⎜K ⎟ ⎝ se K sp ⎠ l ps = h cot θ sp

( 6.13 )

( 6.14 ) ( 6.15 )

138


Vs es la capacidad al corte del refuerzo transversal y es el segundo término de las ecuaciones ( 2 ) y ( 4 ) para vigas y columnas, respectivamente; l ps es la longitud de la rótula donde

plástica; K sp fue definida en la ecuación (9); y

h es la altura de la sección transversal del

elemento.

6.5 ESTRUCTURA DE ANÁLISIS En la figura 6.9 se indica la distribución en planta de una estructura de 4 pisos, cada uno de ellos tiene una altura de 3.0 m., la misma está constituida por columnas cuadradas de 40 cm. de lado, iguales en todos los pisos y por vigas que en los dos pisos inferiores son de 30/40 cm., y 25/35 cm., en los dos últimos pisos, la primera cantidad representa la base y la segunda la altura de la sección transversal.

Figura 6.9: Distribución en planta del edificio tipo de 4 pisos considerado en el estudio.

La cuantía del refuerzo longitudinal de las columnas se ha considerado constante e igual al 2% de la sección transversal. Por otra parte, el refuerzo transversal es de 8 mm. de diámetro, espaciado cada 30 cm. en toda su longitud. La armadura longitudinal de las vigas tienen una cuantía mecánica q = 0.60 en la parte superior e inferior de las vigas y en toda su lontigud. Para el refuerzo transversal se han considerado 3 casos, a saber: 1) los estribos son de 8 mm. de diámetro espaciados a 30 cm., en toda su longitud; 2) estribos de 8 mm. a 20 cm., en toda su longitud; y 3) estribos de 10 mm. de diámetro a 10 cm. en los extremos y 20 cm. en el centro de luz.

q=

As f y b d f c'


139

Se destaca que el hormigón utilizado tiene una resistencia a la compresión de 21 MPa y el acero un límite de fluencia de 420 MPa. Se ha utilizado el modelo de hormigón confinado de Park et al (1982), y para el acero se ha trabajado con un modelo trilineal que contempla incremento de esfuerzo en la zona de endurecimiento, los mismos que se indican en la figura 6.10. En el modelo del hormigón confinado la variable k está definida por la siguiente ecuación:

k =1+

donde,

ρv

ρ v f yv f c'

( 6.16 )

es la relación volumétrica entre el refuerzo transversal y el hormigón confinado; y,

f yv es la fluencia del refuerzo transversal. Las ecuaciones de cada una de las ramas de los modelos constitutivos del acero y del hormigón están definidas en Aguiar (2003) o Satyarno (2000).

Figura 6.10 Modelo de hormigón confinado de Park et al (1982) y trilineal del acero.

6.6

CURVAS DE CAPACIDAD SÍSMICA

La curva de capacidad sísmica resistente relaciona el cortante basal con el desplazamiento lateral máximo en el tope de un edificio y se la obtiene aplicando cargas estáticas monotónicas incrementales hasta llevar la edificación al colapso, todo esto empleando análisis estático no lineal. Existen varios criterios de colapso como el propuesto por Roufaiel y Mayer (1987) o el de Stephens y Yao (1987). En este estudio se ha considerado que el colapso se presenta cuando el desplazamiento lateral máximo está alrededor del 4% de la altura del edificio; esto en el caso de que no se produzca la falla por corte antes.

140


En la figura 6.11 se muestra la curva de capacidad sísmica que se obtiene para el caso 1 en que el refuerzo transversal está constituido por 1 φ de 8 mm. cada 30 cm. En la parte superior se presenta el caso en que no se toma en cuenta la interacción entre el efecto de corte y el de flexión y se considera que los elementos van a desarrollar toda su capacidad a flexión; esta curva de capacidad ha sido obtenida con el modelo de plasticidad de Giberson (1969). En la parte inferior de la figura 6.11, se muestra la curva de capacidad que se obtiene con el modelo de plasticidad de Thom et al (1983) al considerar la interacción del efecto de corte y flexión, se aprecia que existe una reducción sustancial en la capacidad resistente ya que se produjo una falla de corte en las vigas del primer piso las que llevaron al colapso de la estructura en forma prematura.

Figura 6.11 Capacidad resistente en estructura con estribos de 8 mm. a 30 cm. en todos sus elementos.


141

Nótese que si no se consideraba la interacción del corte en la flexión, simplemente se estaba sobredimensionando la capacidad sísmica resistente de la estructura. Para el caso 2, en que se mantiene el diámetro del refuerzo transversal en 8 mm. pero se reduce el espaciamiento a 20 cm. En la figura 6.12 se presentan las curvas de capacidad sísmica resistente, en la parte superior se tiene el caso en que no se toma en cuenta la interacción del corte con la flexión y en la parte inferior cuando se considera esta interacción. Nuevamente la falla por corte se presentan en las vigas del primer piso. Debido a que el espaciamiento del refuerzo transversal es menor en el caso 2, con relación al caso 1, la capacidad resistente sísmica del pórtico se incrementa, esto se observa al comparar los dos gráficos inferiores de la figuras 6.11 y 6.12, este incremento es del orden del 20%. En la figura 6.13 se indican las curvas de capacidad resistente que se obtienen en la estructura analizada cuando el refuerzo transversal está conformado por estribos de 10 mm. de diámetro espaciados cada 10 cm. en los extremos y cada 20 cm. en el centro de luz. En este caso no se produce la falla de corte. Se aprecia en la figura 6.13 que las curvas de capacidad que se obtienen con el modelo de Giberson (1969) son muy similares a las que se encuentran con el modelo de Thom et al. (1983).

Figura 6.12 Capacidad resistente en estructura con estribos de 8 mm. a 20 cm. en todos sus elementos.

142


Figura 6.13 Capacidad Resistente en estructura con estribos de 10 mm. espaciados a 10 cm. en los extremos y a 20 cm. en el centro de luz.

6.7 CONCLUSIONES

Se ha incorporado el efecto de corte al efecto de flexión en las relaciones momento curvatura de una sección de hormigón armado y después se ha determinado la rigidez equivalente al corte, todo esto siguiendo las recomendaciones formuladas por NZNSEE (1996). Por otra parte, se ha encontrado la curva de capacidad sísmica resistente en una estructura espacial de cuatro pisos, empleando dos modelos de plasticidad extendida el de Giberson (1969) que no considera el efecto de corte y el de Thom et al (1983) que considera dicho efecto, del estudio realizado se desprenden las siguientes conclusiones: •

En estructuras con refuerzo transversal de corte insuficiente, como son las edificaciones antiguas es fundamental incorporar el efecto de corte al efecto de flexión para encontrar la curva de capacidad sísmica resistente, empleando análisis estático no lineal. De no hacerlo se estará sobredimensionando la capacidad sísmica, ya que va a colapsar la estructura por corte y no va a poder desarrollar toda su capacidad a flexión.

•

Cuando se tiene una estructura con suficiente refuerzo transversal, el modelo de plasticidad de Giberson (1969) proporciona resultados satisfactorios en la determinación de la curva de capacidad sísmica resistente.


143

REFERENCIAS 1. Aguiar R. (1995), “Análisis Matricial de Estructuras”, Escuela Politécnica del Ejército, Segunda Edición, 612 p, Valle de los Chillos, Ecuador. 2. Aguiar R., Torres M., Romo M. y Caiza P. (1998), “El Sismo de Bahía”, Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, 125 p, Valle de los Chillos, Ecuador. 3. Aguiar R. (2003), “Sistema de computación CEINCI4: Incorporación del efecto de corte en los diagramas momento curvatura”, Revista CIENCIA. Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, 6 (1), 101-120, Valle de los Chillos, Ecuador. 4. Collins M. P., Mitchell D, Adobar P. and Vecchio F. J., (1996), “A general shear design method”, ACI Structural Journal, 93 (1), 36-45. 5. Giberson M.F. (1969), “Two Nonlinear Beams with Definitions of Ductility”, Journal of the Structural Division, ASCE, Vol. 95, No ST2, 137-157. 6. Hakuto S., Park R. and Tanaka H., (1995), “Retroftiting of Reinforced Concrete Moment Resisting Design of Reinforced Concrete Frames”, Research Report 95-4, Dept. of Civil Engineering, University of Canterbury, 390 pp, New Zeland. 7. Ichinose T., (1992), “A shear design equation for ductile R/C members”, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol 21, 197-214. 8. NZNSEE (1996), “The Assessment and Improvement of the Structural Performance of Earthquake Risk Buildings”, New Zealand National Society for Earthquake Engineering, Draf for General Release for Building Industry Authority, 122 p. 9. Park R. and Paulay T., (1975), “Reinforced Concrete Structures”, John Wiley & Sons, Inc., 769 p, New York. 10. Park R., Priestley M., Gill W. D., (1982), “Ductility of Square Confined Concrete Columns”, Journal of Structural Division, ASCE, 108 (4), 929-950. 11. Priestley M. J. N. and Calvi G. M., (1991), “Toward a capacity design assessment procedure for reinforced concrete frames”, Earthquake Spectra, 77 (3), 413-437. 12. Priestley M. J. N. and Seible F., (1994), “Seismic Assessment of Existing Bridges”, Proc. of the Second International Workshop held in Queenstown, New Zealand, 9-12 Aug 1994, 447-471. 13. Roufaiel M. and Meyer C. (1987), “Analytical modeling of hysteretic behaviour or R/C frames”, Journal of Structural Division. ASCE, 113 (3), 429-444. 14. Stephens J. E. and Yao T. P. (1987), “Damage assessment using response measurements”, Journal of Structural Division, ASCE, 113 ( 4 ), 787-801. 15. Thom C. W., Buckle I.G. and Fenwick R. C., (1983), “The Effect of Inelastic Shear of the Seismic Response of Structures”, Dept. of Civil Engineering University of Auckland, Report No 347, 164 p, New Zealand. 16. Vecchio F. J. and Collins, M.P., (1986), “The modified compression field theory for reinforced concrete elements subjected to shear”, ACI Journal, 83 (2), 219-231.

144


17. Vecchio J. and Collins M. P., (1988), “Predicting the response of reinforced concrete beams subjected to shear using modified compression field theory”, ACI Structural Journal, 85 (3), 258-268 18. Satyarno I., (2000), “Adaptive pushover analysis for the seismic assessment of older reinforced concrete buildings”, Ph.D. Tesis, Department of Civil Engineering. University of Canterbury, 260 p, New Zealand.

CAPÍTULO 7

ESPECTRO DE CAPACIDAD PARA MODELO ESPACIAL

RESUMEN Se presentan aspectos teóricos fundamentales del Espectro de Capacidad de una estructura espacial modelada como un sistema de tres grados de libertad, los mismos que están complementados con el desarrollo de un ejemplo y con un programa de computación denominado ESPACAP. Se destaca que los períodos de vibración que se obtienen al resolver el problema de valores y vectores propios con las matrices de rigidez y de masa, son los mismos períodos que se hallan al obtener la pendiente de la curva del espectro de capacidad. La incertidumbre que tiene el modelo se la considera mediante una función de distribución Log normal de la aceleración espectral; se presentan tres espectros de capacidad para una misma estructura, el uno corresponde a valores medios, el otro a valor medio más una desviación y el otro a valor medio menos una desviación, de tal forma que para un desplazamiento espectral se tendrá un rango de variación de la aceleración espectral. Posteriormente, se presentan los espectros de capacidad y los niveles de daño de acuerdo a lo estipulado por el Comité VISION 2000, y se indica la forma de construir estos gráficos que permiten visualizar en forma global el comportamiento de la edificación. Hasta el apartado 7.9 fue publicado en la Revista Matemática sin el Ejemplo N. 1, que se ha añadido para ilustrar el procedimiento de cálculo de un punto del espectro de capacidad. De igual forma se han incrementado dos apartados, el uno que es muy conceptual sobre la forma de cálculo de los valores y vectores propios de una estructura a partir de la solución del problema de vibración libre sin amortiguamiento y el otro en que se presenta un algoritmo que se utiliza antes de aplicar alguno de los métodos clásicos de cálculo de valores y vectores propios.

Capítulo publicado en Revista Matemáticas Vol. 2 N.- 1 de 2003 de la Politécnica del Litoral, 9-16.

146


7.1 INTRODUCCIÓN Uno de los métodos que día a día va ganando espacio en el análisis sísmico de estructuras es, sin lugar a dudas, el Método del Espectro de Capacidad, que permite visualizar en un gráfico el probable comportamiento de la estructura, Aguiar (2002 a y b), Chopra y Goel (1999, 2000), Fajfar (1999, 2000). Para aplicar este método es necesario encontrar el espectro de capacidad de la estructura en el formato, desplazamiento aceleración y el espectro de demanda del sismo en el mismo formato. La pendiente de la curva del espectro de capacidad reporta la frecuencia de vibración 2 elevado al cuadrado ω n y con este valor se halla el período de la estructura T . En el rango elástico, el período de vibración es constante pero en el rango inelástico este período va cambiando de acuerdo a la degradación que sufre la estructura. Sean K y M , las matrices de rigidez y de masa de un sistema estructural, Aguiar (1989). De la solución del problema de valores y vectores propios indicados en la ecuación (7.1) se hallan los valores propios λ y los vectores propios φ .

(K − λ M ) φ = 0

( 7.1 )

En análisis no lineal se considera que la matriz de rigidez va a cambiar y la matriz de masas permanece constante, esto origina que los períodos de vibración cambien. Esto se lo visualiza al analizar las pendientes del espectro de capacidad. En la figura 7.1 se presentan los espectros de capacidad de tres estructuras de altura intermedia del mismo número de pisos, con igual sección transversal de sus elementos, pero con diferentes niveles de diseño. La estructura con bajo nivel de diseño, que en la figura 7.1 se la ha identificado como (3), tiene poca ductilidad y baja resistencia; por el contrario la de alto nivel de diseño sísmico, identificada por (1), tiene alta ductilidad y resistencia; la de nivel de diseño moderado es la (2) y se encuentra entre las dos curvas.

Figura 7.1 Espectros de capacidad de tres estructuras con diferentes niveles de diseño, obtenidas con la base de datos de HAZUS 99, implementado al sistema de computación CEINCI3.

147


Los espectros de capacidad de la figura 7.1 fueron obtenidos utilizando la base de datos de HAZUS 99, que tienen un carácter estadístico, implementados en el subprograma CURVAEC del Sistema de Computación CEINCI3, Aguiar (2002, a). HAZUS 99 define altura intermedia a edificios que pueden ser de 4, 5 o 6 pisos; en consecuencia, no se trata de una estructura específica si no que es general. Los espectros de capacidad de la figura 7.1 corresponden a estructuras de hormigón armado compuestas por vigas y columnas.

7.2

ECUACIONES DE CÁLCULO

Para la deducción de las ecuaciones de cálculo, es importante repasar algunos aspectos de la dinámica estructural, como la ecuación básica para un sistema de múltiples grados de libertad, la misma que se indica a continuación: ..

.

M q +C q + K q=Q .

..

siendo M, C y K, las matrices de masa, amortiguamiento y de rigidez; q, q y q , los vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración; Q , es el vector de cargas generalizadas. Para la solución del problema, se acostumbra realizar el siguiente cambio de variable.

q = Φη donde Φ , es la matriz modal, cuyas columnas son los modos de vibración y se resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales en las coordenadas η . Por otra parte, el método de superposición modal se describe en el capítulo 12, ahí se halla la respuesta máxima para el modo i, con la ecuación siguiente:

q i = γ i Sd iφ i donde el subíndice representa el modo i. Por otra parte dinámica del modo

γi ,

es el factor de participación

φ i , por último Sd i , es el desplazamiento espectral del modo i.

γi =

φ it M J mi

mi = φ it M φ i para el análisis sísmico plano en que las masas se concentran a nivel de piso el vector J , es unitario. La matriz de masas M es diagonal y está compuesta por las masas de cada piso. En el …Método del Espectro de Capacidad…, se considera, normalmente, que la estructura va a responder en el primer modo. En consecuencia se trabaja únicamente con este modo. Sea Dt , el desplazamiento máximo del primer modo, que ocurre en el tope del edificio y

S d , el desplazamiento espectral asociado al primer modo, al despejar esta variable de la ecuación se tiene:

148


Dt

Sd = donde

γ 1 φ t1

φ t1 , es la amplitud en el tope del vector φ1 .

Por otra parte, las fuerzas estáticas equivalentes, F se obtienen multiplicando la matriz de rigidez K por el vector de desplazamientos q . En forma general, para el modo i, se tiene

Fi = K φ i γ i Sd i Por otro lado, del problema de valores y vectores propios, se conoce que:

K φ i = ω i2 M φ i Al reemplazar está última ecuación en la anterior pero teniendo en cuenta la definición de seudo espectros, que es valida para el rango elástico

ω i2 Sd i = Sa i , se tiene que

las fuerzas laterales en el modo i, valen:

Fi = M φ i γ i Sai Por otra parte, la sumatoria de las fuerzas laterales reporta el cortante basal

Vi . Sea

k un subíndice para identificar el número de piso y n el número total de pisos. En función de este subíndice se tiene que el cortante basal en el modo i, vale: n

n

k =1

k =1

Vi = ∑ Fki = γ i Sa i ∑ mk φ ki

El factor de participación modal en función de la masa de piso de piso

φ ki

m k y del vector modal

se puede escribir de la forma siguiente: n

γi =

∑m φ

ki

∑m φ

2 ki

k =1 n

k =1

k

k

Al sustituir la ecuación del factor de participación modal en la ecuación del cortante basal se tiene 2

⎛ n ⎞ ⎜ ∑ mk φ ki ⎟ ⎠ Sa Vi = ⎝ k =n1 i 2 m φ ∑ k ki k =1

149


Se define

αi

como el factor de participación del modo i en el cortante basal y en

función de esta variable el cortante basal en el modo i, se escribe de la siguiente manera:

Vi = α i M T Sai donde M T es la masa total de la estructura. Al comparar estas dos últimas ecuaciones, se encuentra:

2

⎛ n ⎞ ⎜ ∑ mk φ ki ⎟ α i = n⎝ k =1 n ⎠ ∑ mk ∑ mk φ ki2 k =1

k =1

Sean V , el cortante basal , Sa , la aceleración espectral, α 1 , el factor de participación en el cortante basal, del primer modo. En base a esto, se obtiene:

Sa =

V α1 M T

S d y Sa deben aplicarse a cada uno de los puntos de los puntos de la curva de capacidad resistente que relaciona el cortante basal V , con el desplazamiento lateral máximo en el tope del edificio Dt . Por este motivo se acostumbra Las ecuaciones que definen

escribir estas ecuaciones con un subíndice j, donde j es cada punto de la curva de capacidad resistente.

S dj =

Sa j =

Dtj

γ 1 φ t1 Vj

α1 M T

En efecto, para cada punto se tiene un vector de configuración dominante φ que está normalizado a la unidad. Con el objeto de organizar el cálculo del espectro de capacidad a continuación se resumen las ecuaciones que se deben utilizar y el orden de aplicación. Se escriben las ecuaciones para el caso de que φt1 = 1 , que es un caso muy común.

150


m1 = φ t M φ

( 7.2 )

φ M J

( 7.3 )

γ1 = α1

t

(φ =

Sd j = Sa j =

m1 t

M J M T m1

)

Dtj

2

( 7.4 )

( 7.5 )

γ1 Vj

α1 M T

( 7.6 )

Se destaca que J es un vector en función del cual se escribe el vector de cargas generalizadas Q , para el análisis sísmico plano J es un vector unitario pero para el análisis sísmico espacial depende del modelo numérico de cálculo que se utilice, Aguiar (1989). Las ecuaciones ( 7.2 ) a ( 7.7 ) sirven para obtener el espectro de capacidad de la estructura asociada al primer modo de vibración. En consecuencia, los períodos de vibración que se obtienen del espectro de capacidad están asociados a dicho modo. Normalmente la mayor parte de edificios responden en el primer modo de vibración. Para problemas especiales en que se conoce que la estructura no va a responder en el primer modo, se deberá encontrar el espectro de capacidad para el modo que se desee, Bonett et al (2003). En este caso las ecuaciones ( 7.5 ) y ( 7.6 ) se cambian por las siguientes:

Sa j = Sd j = donde mi es la masa modal i,

γi

Vj mi ∗ g Dtj

( 7.7 ) ( 7.8 )

γi

es el factor de participación del modo i pero adicionalmente

debe cumplir con la condición de que el período de vibración del espectro de capacidad para el rango elástico es igual al período de vibración del modo i que se obtiene de la solución del problema de valores y vectores propios. A pesar de que es posible obtener espectros de capacidad para cualquier modo de vibración, lo común es trabajar con el primer modo.

7.3

EJEMPLO NUMÉRICO N. 1

En un pórtico plano de tres pisos, un punto j, de la curva de capacidad resistente está definido por un cortante basal V = 11 T y un desplazamiento lateral en el tope

Dt = 0.060034 m . Se desea encontrar el desplazamiento espectral Sd y la capacidad de aceleración espectral Sa . Se indica a continuación la matriz de masas en T s2/m., y el vector

151


de desplazamientos q en m., a partir del cual se obtiene el vector

φ , normalizado en el tope a

la unidad, dividiendo todos los valores para Dt .

⎡1.306 M = ⎢⎢0.000 ⎢⎣0.000

0.000 1.306 0.000

⎡0.017420 m⎤ q = ⎢⎢0.040396 m⎥⎥ ⎢⎣0.060034 m⎥⎦ •

Cálculo de m1 = φ

t

Cálculo de

Mφ

γ1 =

Cálculo de

0.000⎤ 0.000⎥⎥ 1.306⎥⎦

⎡0.29017⎤ ⎢0.67289⎥ = 2.0073 ⎢ ⎥ ⎢⎣1.00000 ⎥⎦

0.000 1.306 0.000

0.000⎤ 0.000⎥⎥ 1.306⎥⎦

φt M J m1 2.56376 = 1.27722 2.0073

γ1 = •

0.000

⎡1.306 ⎢0.000 ⎢ ⎢⎣0.000

φ M J = [0.29017 0.67289 1]

Cálculo de

0.000 1.306

φt M J

t

•

⎡0.29017⎤ φ = ⎢⎢0.67289⎥⎥ ⎢⎣1.00000 ⎥⎦

⇒

⎡1.306 m1 = [0.29017 0.67289 1] ⎢⎢0.000 ⎢⎣0.000 •

0.000⎤ 0.000⎥⎥ 1.306⎥⎦

M T = ∑ mi

M T = 3 × 1.306 = 3.918

•

Cálculo de

α1

(φ =

t

)

2

MJ M T m1

α1

(φ =

t

M J M T m1

)

2

=

2.56376 2 = 0.83575 3.918 × 2.0073

⎡1.0⎤ ⎢1.0⎥ = 2.56376 ⎢ ⎥ ⎢⎣1.0⎥⎦

152

•


Cálculo de

Sd =

Dt

γ1 Sd =

•

Cálculo de Sa =

Dt

γ1

0.060034 = 0.0470036m 1.27722

V M T α1 Sa =

7.4

=

11 = 3.3593 m 3.918 × 0.83575

MODELO DE ANÁLISIS ESPACIAL

En el capítulo 5 se presenta en detalle el modelo numérico de cálculo con el cual se ha encontrado la curva de capacidad resistente de una estructura espacial. El modelo considera que cada pórtico plano es un elemento de una estructura espacial que tiene tres grados de libertad, dos traslaciones y una rotación de piso, como se muestra a la izquierda de la figura 7.2. La estructura puede tener cualquier cantidad de pórticos, se han colocado solo cuatro en la figura 7.2 por facilidad de explicación. Se ha notado CM, al Centro de Masas de la estructura.

Figura 7.2 Grados de libertad que se consideran en el modelo de análisis espacial.

La forma de la matriz de rigidez K y de masas M asociada a las coordenadas de piso indicada en la figura 7.2 es la siguiente:

⎡k xx ⎢ K = ⎢k yx ⎢k ⎣ θx

k xy k yy kθy

k xθ ⎤ ⎥ k yθ ⎥ kθθ ⎥⎦

( 7.9 )

153


⎡M T M = ⎢⎢0 ⎢⎣0

0⎤ 0 ⎥⎥ J T ⎥⎦

0 MT

0

( 7.10 )

La forma de cálculo de la matriz K está detallada en el capítulo 5. La variable se indicó anteriormente y corresponde a la masa total del sistema y inercia de la masa

J T es el momento de

MT . JT =

donde

M T ya

(

MT 2 a + b2 12

)

( 7.11 )

a y b son las dimensiones totales de la losa en sentido X e Y.

Cuando se desea encontrar el Espectro de Capacidad con relación al eje X, el vector J que se mencionó en el apartado anterior, es:

⎡1 ⎤ J = ⎢⎢0⎥⎥ ⎢⎣0⎥⎦

( 7.12 )

Para obtener el Espectro de Capacidad con relación al eje Y, el 1 del vector J se encuentra en la mitad.

7.5

EJEMPLO NUMÉRICO N. 2

Se desea encontrar el Espectro de Capacidad, en sentido X, de la estructura de cinco pisos, indicada en la figura 7.3, cuya curva de capacidad resistente se obtuvo en capítulo 5 y se indica en la figura 7.4. Se considera una carga muerta D = 500 kg / m 2 y una carga viva

L = 200 kg / m 2 . Para el análisis sísmico se considera en este ejemplo el 25 % de la carga viva. Para el rango elástico la matriz de rigidez asociada al CM es la siguiente:

⎡2284.32 K = ⎢⎢ 0.00 ⎢⎣ 0.00 Por otra parte, la masa total

0.00 2284.32 0.00

0.00 ⎤ 0.00 ⎥⎥ 91372.80⎥⎦

M T , el momento de inercia de la masa J T y la matriz de

masas M para el edificio de 5 pisos resultan ser:

MT =

(500 + 0.25 ∗ 200 ) ∗ 12 ∗ 12 * 5 = 40408.16 kg s 2 / m = 40.41 T s 2 / m. 9.8

JT =

(

)

40.41 2 12 + 12 2 = 969.84 T m s 2 12

154


⎡40.41 M = ⎢⎢ 0.00 ⎢⎣ 0.00

0.00 40.41 0.00

0.00 ⎤ 0.00 ⎥⎥ 969.84⎥⎦

Figura 7.3 Distribución en planta de estructura de cinco pisos conformada por vigas y columnas. Los valores propios que se obtienen de la solución de la ecuación ( 7.1 ) con las matrices de rigidez y de masas indicadas, son las siguientes:

λ1 = λ2 = 56.528

λ3 = 94.312

De la dinámica de estructuras se conoce que la frecuencia natural período

ωn = λ

y que el

T = 2π / ω n . En consecuencia, asociado a cada valor propio se tiene un período de

vibración. Para el espectro de capacidad lo que interesa es exclusivamente el período asociado al primer modo que resulta igual a 0.836 s. Este período se deberá encontrar en el espectro de capacidad. Se ilustra el procedimiento de cálculo de un punto del Espectro de Capacidad. Para el punto cuyo cortante basal V = 10 T el desplazamiento lateral Dt = 0.004377 m. y el vector

φ t = [1

0

0] . Al remplazar los datos indicados en las ecuaciones ( 7.2 ) a ( 7.6 ), se

obtiene:

m1 = 40.41

γ1 = 1

α1 = 1

Sd1 = 0.004377 m.

Sa1 = 0.24746 m / s 2

155


Al proceder de igual forma con los restantes puntos de la curva de capacidad resistente de la figura 7.4, se halla el espectro de capacidad indicado en la figura 7.5. Se destaca que en el ejercicio todos los pórticos tienen la misma resistencia, por ese motivo se aprecia en las figuras 7.4 y 7.5 un comportamiento bilineal. Para el rango no lineal, la matriz de rigidez es la siguiente:

⎡91.56 K = ⎢⎢ 0.00 ⎢⎣ 0.00

0.00 91.56 0.00

0.00 ⎤ 0.00⎥⎥ 3662.40⎥⎦

Figura 7.4 Curva de capacidad resistente de estructura de 5 pisos, cuya configuración en planta es la indicada en la figura 7.3. Todos los pórticos tienen la misma resistencia.

Nuevamente de la solución del problema de valores y vectores propios se obtiene que el período de vibración asociado al primer modo sea T = 4.1741 s. Pero para el rango inelástico. Nótese como se incrementa notablemente el período en el rango inelástico. Tanto el período para el rango elástico como el para el rango inelástico se obtienen a partir de las pendientes del espectro de capacidad resistente indicado en la figura 7.5.

7.6

PROGRAMA ESPACAP

Antes de usar este programa, lógicamente, se necesita haber utilizado el programa ESPACIAL, descrito en el capítulo 5, que genera varios archivos entre ellos uno en el cual se encuentran los datos con los que se obtienen la curva de capacidad resistente y otro en que están los modos de vibración para cada punto de la curva indicada. La entrada de datos para el programa ESPACAP, es la siguiente:

156 •


Número de pisos, formato libre libre

•

NPISOS = Número de pisos.

Masa total de cada piso, formato libre. libre libre libre

•

MASA1 = Masa total del Piso 1. MASA2 = Masa total del Piso 2. MASA3 = Masa total del Piso 3, hasta el último piso. Una línea de datos para cada masa.

Datos de la dimensiones totales en planta, formato libre libre libre

•

a = Dimensión total de la planta representativa en sentido X. b = Dimensión total de la planta representativa en sentido Y.


5 8.082 8.082 8.082 8.082 8.082 12.0 •

12.0

Archivo de Resultados con espectro de capacidad: SPECAP.OUT Contiene espectro de capacidad normal SPECAMIN.OUT Contiene espectro de capacidad menos una desviación. SPECAMAX.OUT Contiene espectro de capacidad más una desviación.

7.7

INCERTIDUMBRE DEL MODELO

La mayor parte de los modelos numéricos de cálculo conllevan una incertidumbre, razón por la cual es conveniente resolver los problemas en forma probabilística en lugar de hacerlo en forma determinística. A más del modelo numérico como tal, en las estructuras, se tiene incertidumbre en los materiales utilizados, en los modelos constitutivos empleados para definir las relaciones esfuerzo deformación para el rango no lineal, todo esto ha dado origen a lo que se denomina, Confiabilidad Estructural, Montiel et al (2002 a y b). En los espectros de capacidad, se considera que la función de distribución de la aceleración espectral de las estructuras es Log normal, Hazus (1999). En consecuencia, el espectro de capacidad indicado en la figura 7.4 tendría una probabilidad del 50%. Si se quiere incrementar esa probabilidad se tendría que establecer un rango de variación de la aceleración espectral para cada desplazamiento espectral.

157


El valor de la desviación

β (S a )

depende del nivel de diseño de las estructuras y, por

que no decirlo, de la tipología estructural. Es un valor que amerita ser investigado para los sistemas constructivos del Ecuador. En el programa ESPACAP, se ha considerado β ( S a ) = 0.25 y las ordenadas espectrales se han multiplicado por e β (S a ) para tener la curva media más una desviación; y se han multiplicado por e menos una desviación.

− β (Sa )

para encontrar la curva media

De tal manera que lo mejor es determinar tres espectros de capacidad para una estructura, conforme se lo ha indicado en el párrafo anterior. Al trabajar de esta manera, la probabilidad de que la aceleración indicada sea la correcta, es del 68%. En la figura 7.5 se indican los tres espectros de capacidad, para la estructura de 5 pisos que se está analizando.

Figura 7.5 Espectros de capacidad de una estructura, considerando las incertidumbres del modelo y de los materiales empleados.

7.8

DISTORSIÓN GLOBAL Y DE PISO

Uno de los parámetros que se utilizan para evaluar el desempeño de una estructura ante acciones sísmicas es la distorsión de piso ψ oi , el mismo que se define como el desplazamiento relativo del piso i con respecto a la altura del entrepiso. Por otra parte, se define la distorsión global desplazamiento lateral máximo de la estructura

ψo

como la relación entre el

Dt para la altura total del edificio H t . Es

158


importante diferenciar que a nivel de estructura se tiene un desplazamiento

Dt y a nivel de

espectro de capacidad, que está asociado a un sistema de un grado de libertad, el desplazamiento lateral máximo se denomina S d ; la relación entre estos dos desplazamientos viene dado por el factor de participación modal

γ . De tal forma que:

Dt = γ S d

( 7.13 )

En consecuencia, la distorsión global ψ o vale:

ψo = La relación entre la distorsión de piso medio del factor

γ Sd

( 7.14 )

Ht

ψ oi

y la distorsión global

ψo

viene dada por

α i , donde el subíndice i corresponde al piso i. ψ oi = α i ψ o

En Aguiar (2002, a) se ilustra la forma de cálculo de

( 7.15 )

αi ,

para cualquier condición.

Ahora, en el presente modelo de cálculo, se consideran las siguientes hipótesis en el cálculo de αi :

φ tiene una forma triangular con un valor máximo

•

La configuración del modo dominante unitario en el último piso.

•

La altura de los entrepisos son iguales.

En base a estas hipótesis, el programa ESPACAP determina la deriva o distorsión de piso y genera un archivo de resultados denominado DERIVA.OUT en el que aparece la distorsión de piso en función del desplazamiento espectral. Como se indicó en el capítulo 1, el comité VISION 2000, SEAOC (1995), ATC 33-03 (1995), establece varios niveles de desempeño para las estructuras en función del uso de las mismas, niveles de desempeño denominados: Operacional, Inmediatamente Ocupacional, Seguridad de Vida, Prevención de Colapso y Colapso.

Operacional significa que después del sismo la edificación debe funcionar sin realizar ninguna reparación. En el desempeño denominado Inmediatamente Ocupacional se esperan ligeros daños estructurales y habrá que reparar la edificación en un tiempo no mayor a los dos meses. En Seguridad de Vida, el daño registrado en la estructura obliga a desocupar la edificación y proceder a reparar o reforzar la estructura en un tiempo considerable. Finalmente en Prevención de Colapso, el daño en la edificación es de tal magnitud que es más económico derrocar el edificio y construir uno nuevo. En ninguno de los casos la estructura colapsa. En función de la distorsión de piso, VISION 2000 establece en forma aproximada el límite de cada uno de estos desempeños, como se especifica en la tabla 7.1.

159


Tabla 7.1 Distorsiones de Piso máximas, recomendadas por el Comité VISION 2000 Operacional Inmediatamente Seguridad de Prevención del Colapso Ocupacional Vida Colapso < 0.2% +/-

< 0.5% +/-

< 1.5% +/-

< 2.5% +/-

> 2.5% +/-

En la figura 7.6 se indica la distorsión de piso en porcentaje en función del desplazamiento espectral S d , de la estructura de cinco pisos que ha servido de ejemplo, se muestran además los desplazamientos asociados a cada límite de daño, el ( 1 ) corresponde al límite para el desempeño denominado Operacional, el ( 2 ) para el Inmediatamente Ocupacional, el ( 3 ) para Seguridad de Vida y el ( 4 ) para Prevención del Colapso.

Figura 7.6 Límites de los estados de desempeño de acuerdo a VISION 2000.

7.9

ESPECTRO DE CAPACIDAD CON LÍMITES DE DAÑO Con los desplazamientos espectrales

S d , encontrados para cada nivel de desempeño,

se grafican en el espectro de capacidad los rangos en los cuales se espera un determinado desempeño que en lengua inglesa se denomina performance. Al nivel de desempeño denominado Operacional se le puede llamar Sin Daño; por otra parte, al desempeño Inmediatamente Ocupacional se le denomina Leve. Parece más explicativo denominarles de esta forma a los dos primeros niveles de desempeño.

160


En la figura 7.7 se indican los tres espectros de capacidad de la estructura de 5 pisos que ha servido de ejemplo y en ella se muestran los límites de daño. Espectros de capacidad con límites de daño deben ser construidos por los proyectistas ya que permiten visualizar el probable comportamiento que va a tener la estructura y, sobre todo, el desempeño esperado de la misma. Es importante destacar que una distorsión de piso límite para el desempeño operacional o sin daño de 0.2% es un valor muy severo, pero algunos códigos lo contemplan, como el del Distrito Federal de Ciudad de México. Para sismos de baja intensidad, las estructuras no van a tener daño estructural y no estructural, esto se cumple si la distorsión máxima de piso es menor a 0.2% para esos sismos. Los elementos estructurales deberán tener suficiente resistencia para asegurar respuesta elástica ante sismos menores. El Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000, únicamente establece un límite para la distorsión de piso asociada al nivel de diseño denominada Seguridad de Vida, éste límite es del 2%, cantidad superior al 1.5% estipulado por VISION 2000. Todo esto es para estructuras de hormigón armado.

Figura 7.7 Espectros de capacidad y estados límites de daño de acuerdo a VISION 2000.

7.10 VIBRACIONES LIBRES SIN AMORTIGUAMIENTO Un tema muy común en el análisis dinámico es el relacionado con el cálculo de los valores y vectores propios de estructuras, razón por la cual el presente apartado se dedica a dicho estudio, empezando desde la solución del sistema de ecuaciones diferenciales que gobiernan los problemas de vibraciones libres sin amortiguamiento, cuya ecuación es la siguiente:

161

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO −

..

M q + K q=0

( 7.16 )

Todas las variables de ( 7.16 ) han sido ya definidas. Sea la solución de q (t ) , de la forma:

q (t ) = φ f (t )

( 7.17 )

donde φ es un vector que no depende del tiempo y que contiene los vectores propios y f (t ) es una función del tiempo. Al reemplazar la ecuación (7.17) en (7.16) y luego de realizar algunas simplificaciones se obtiene que el sistema (7.16) se transforma en dos problemas que están expresados en las siguientes ecuaciones:

[K − λ M ] φ = 0 _

(7.18 )

..

f (t ) + λ f (t ) = 0

( 7.19 )

7.10.1 Valores Propios

La ecuación (7.18), representa el problema de valores y vectores propios, donde λ es el valor propio y φ es el vector propio. Una vez calculado λ se obtiene con la ecuación (7.19) el valor de f (t ) . La ecuación (7.18) tiene soluciones φ distintas de cero, solamente si el determinante de la matriz de coeficientes es nulo.

det

K −λ M =0

( 7.20 )

Al resolver la ecuación (7.20) se obtiene un polinomio característico, si se tiene una matriz K de n × n este polinomio será de orden n. De solución de este polinomio obtengo las n raíces λ . Si las matrices K y M son reales, simétricas y definidas positivas, estos valores de λ serán reales y positivos.

♣

Encontrar los valores propios de una estructura, cuyas matrices de rigidez y de masas son las siguientes:

⎡12352.0 K=⎢ ⎣− 3983.0

− 3983.0⎤ 2100.8 ⎥⎦

⎡2.02 M =⎢ ⎣0.00

0.00⎤ 0.97⎥⎦

162

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE •

Solución

K − λM = 0

⎡ 12352 .0 − 3983 .0⎤ ⎡ 2.02 0.0 ⎤ −λ ⋅⎢ K − λM = ⎢ ⎥ ⎥ ⎣− 3983 .0 2100 .8 ⎦ ⎣ 0.0 0.97 ⎦ − 3983 .0 ⎡12352 .0 − 2.02 ⋅ λ ⎤ K − λM = ⎢ − 3983 .0 2100 .8 − 0.97 ⋅ λ ⎥⎦ ⎣

[

]

K − λM = [(12352 .0 − 2.02 ⋅ λ ) ⋅ (2100 .8 − 0.97 ⋅ λ )] − (− 3983 .0 ) = 0 2

∴ P (λ ) = 1.9594 ⋅ λ 2 − 16225 .056 ⋅ λ + 10084792 .6 = 0 λ1 = 676.888 λ 2 = 7603 .737 Cuando se resuelva el polinomio característico P (λ ) siempre se notarán las raíces de menor a mayor.

λ1 < λ2 < λ3 < L < λn

7.10.2

Propiedades dinámicas

Una ves que se ha resuelto el problema de valores propios, y se ha obtenido las raíces del polinomio característico, se pasa a calcular las frecuencias de vibración Wni usando la ecuación 7.21. El subíndice i representa el modo i.

Wni = λi Ti =

Ti

2π Wni

( 7.21 )

( 7.22 )

Con cada una de las frecuencias de vibración, se obtienen los períodos de vibración, según la ecuación (7.22). Para el ejercicio se tiene:

Wn 1 = λ1 = 676.888 = 26.017 Wn 2 = λ2 = 7603.737 = 87.1994 T1 =

2π 2π = = 0.242 s. Wn1 26.017

T2 =

2π 2π = = 0.072 s. Wn 2 87.1994

163


7.10.3

Modos de vibración

Cada uno de los valores propios, está asociado a un modo de vibración. Estos modos de vibración nos indican la forma como va a responder la estructura y son adimensionales. Obtenemos los modos de vibración, reemplazando los valores propios obtenidos en la ecuación (7.18). Este procedimiento se apreciara mejor a medida que sigamos resolviendo el ejercicio. Cálculo del primer modo de vibración

o

φ (1) .

[K − λ1 ⋅ M ]⋅ φ (1) = 0 Sea

φ (1)

de la forma:

⎡a ⎤

φ (1) = ⎢ ⎥ b ⎣ ⎦

⎡ 12352 .0 − 3983.0⎤ ⎡2.02 0.0 ⎤ K − λ1 ⋅ M = ⎢ − (676.888 ) ⋅ ⎢ ⎥ ⎥ ⎣− 3983.0 2100.8 ⎦ ⎣ 0.0 0.97 ⎦ 0.0 ⎤ ⎡ 12352 .0 − 3983.0⎤ ⎡1367.314 −⎢ =⎢ ⎥ 656.581⎥⎦ ⎣ − 3983.0 2100.8 ⎦ ⎣ 0.0 ⎡10984 .686 − 3983.0 ⎤ =⎢ ⎥ ⎣ − 3983.0 1444.219 ⎦ Al reemplazar valores se tiene:

[K − λ1 ⋅ M ] ⋅ φ (1) = 0 ⎡10984 .686 − 3983.0 ⎤ ⎡a ⎤ ⎡0⎤ ⎢ − 3983.0 1444.219 ⎥ ⋅ ⎢b ⎥ = ⎢0⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ De donde

10984 .686 ⋅ a − 3983 .0 ⋅ b = 0 − 3983 .0 ⋅ a + 1444 .219 ⋅ b = 0 Aparentemente se tienen dos ecuaciones con dos incógnitas. Pero eso no es cierto, ya que si a la segunda ecuación se le multiplica por –2.7579, se obtiene la primera ecuación y es una de las características de los vectores propios, es que siempre hay una ecuación menos. De tal manera que el sistema de ecuaciones es linealmente dependiente, eso significa que hay una gran cantidad de vectores propios.

164


Por ejemplo, si a = 1 y se reemplaza en la primera ecuación de las anteriores, se obtiene que b = 2.758, pero si de igual forma si b = 1 se obtiene que a = 0.363, es decir que tendríamos:

⎡ 1 ⎤

φ (1) = ⎢ ⎥ ⎣2.758⎦

∧

⎡0.363⎤

φ (1) = ⎢ ⎥ ⎣ 1 ⎦

∧

L

Al existir un infinito número de vectores propios, se habla de vectores propios normalizados. La forma más común de normalizar los modos es:

φ (i ) t

M

φ (i ) = C

( 7.23 )

donde C es una constante de normalización que puede tener cualquier valor. Algunos consideran el valor del promedio de las masas, otros lo normalizan de tal forma de C sea unitaria. Por didáctica se va a llamar X el vector propio sin normalizar, como los que se han obtenido en los ejemplos realizados y φ al vector propio normalizado. Para el modo de vibración i, se tendrá:

φ (i ) = α (i ) X (i ) Al sustituir (7.24) en (7.23) y luego de despejar

α

♣

(i )

=

X (i ) t

C M

( 7.24 )

α (i ) se tiene: ( 7.25 )

X (i )

Se desea normalizar los modos de vibración del ejercicio que se ha venido resolviendo en el presente apartado si la constante de normalización es la unidad, C = 1 .

•

Solución

Al reemplazar valores en ( 7.25 ) se obtiene propio normalizado vale:

α (1) = 0.326 . Por lo tanto el primer vector

⎡1.000 ⎤ ⎡0.326⎤ ⎥=⎢ ⎥ ⎣2.758⎦ ⎣0.899⎦

φ (1) = α (1) X (1) = 0.326 ⎢

165


o

Cálculo del segundo modo de vibración X

( 2)

−

[K − λ2 M ] X ( 2) = 0 ⎡ 12352 .0 − 3983.0⎤ ⎡2.02 0.0 ⎤ K − λ2 ⋅ M = ⎢ − (7603.737 ) ⋅ ⎢ ⎥ ⎥ ⎣− 3983.0 2100.8 ⎦ ⎣ 0.0 0.97 ⎦ 0 .0 ⎤ ⎡ 12352 .0 − 3983.0⎤ ⎡15359 .549 − =⎢ ⎥ ⎢ 7375.625⎥⎦ ⎣ − 3983.0 2100.8 ⎦ ⎣ 0.0 ⎡ − 3007.549 − 3983.0 ⎤ =⎢ ⎥ ⎣ − 3983.0 − 5274.825⎦

Sea X

( 2)

− ⎡a ⎤ = ⎢ ⎥ al reemplazar en [K − λ 2 M ] X ( 2) = 0 se tiene: ⎣b ⎦

⎡− 3007.549 − 3983.0 ⎤ ⎡a ⎤ ⎡0⎤ ⎢ − 3983.0 − 5274.825⎥ ⋅ ⎢b ⎥ = ⎢0⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ de donde el sistema de ecuaciones resulta:

− 3007.549 a − 3983.0 b = 0 − 3983.0 a − 5274.825 b = 0 Al igual que antes solo se tiene una ecuación con dos incógnitas, así que se impone un valor para cualquiera de las variables. Si a = 1, se tiene que:

⎡1.000 ⎤ X ( 2) = ⎢ ⎥ ⎣− 0.755⎦ ( 2)

A partir de X se encuentra por un procedimiento similar al anterior el vector propio normalizado a la unidad.

⎡− 0.623⎤

φ ( 2) = ⎢ ⎥ ⎣ 0.471 ⎦ Estos dos modos de vibración encontrados, indican como se comportará la estructura bajo la acción de un sismo o de una excitación dinámica. En la figura 7.8 se grafican estos modos para el caso de un pórtico plano de dos pisos en el que se han concentrado las masas a nivel de piso.

166


Figura 7.8 Modos de vibración de una estructura de dos pisos.

7.11 ALGORITMO DE M

1 2

En el apartado anterior se presentó el cálculo de las propiedades dinámicas y de los modos de vibración de una estructura desde un punto de vista conceptual. Ahora bien en la práctica se calculan los valores y vectores propios de una matriz utilizando algún método, uno de los más utilizados es el de Jacobi que encuentra todos los valores y vectores propios de una matriz simétrica. Se tiene que definir por lo tanto esa matriz a partir de las matrices de rigidez K y de masas M . Para el efecto una alternativa es utilizar el algoritmo que en este apartado se indica. La ecuación (7.18) puede escribirse de la siguiente manera: ( 7.26 )

Kφ =λ M φ Sea

φ=M

−

1 2

φo

( 7.27 )

Al reemplazar ( 7.27 ) en ( 7.26 ) se tiene:

KM Por otro lado se tiene que:

−

1 2

φo = λ M M

−

1 2

φo

167


M =M

1 2

M

1 2

Al reemplazar en la última ecuación se encuentra:

KM

−

1 2

1

φo = λ M 2φo −

Premultiplicando por la izquierda por M

M

−

1 2

KM

−

1 2

1 2

se obtiene:

φo = λ φo

( 7.28 )

Se denomina

Ko = M

−

1 2

−

KM

1 2

( 7.29 )

De donde la ecuación ( 7.28 ) se transforma en:

( 7.30 )

K o φo = λ φo

De tal forma que el procedimiento de cálculo para encontrar los valores y vectores propios de una estructura aplicando el algoritmo de M

1 2

es el siguiente:

1 2

1. Se encuentra la matriz M . Normalmente la matriz de masas es diagonal de tal manera que M de la diagonal. −

1 2

se encuentra sacando la raíz cuadrada de los elementos

1

2. Se determina M 2 . Para el caso de matrices diagonales no es más que la inversa de los elementos de la diagonal. 3. Se determina K o . 4. Se aplica cualquier Método de cálculo de valores y vectores propios en K o .

5. Finalmente se hallan los vectores propios

7.12 CONCLUSIONES

φ=M

−

1 2

φo

168


Se ha presentado la teoría que permite calcular el Espectro de Capacidad para cualquier estructura. En el presente artículo se lo ha aplicado al análisis sísmico espacial, considerando un modelo de tres grados de libertad. Por otra parte, se ha desarrollado un programa de computación que permite encontrar el espectro de capacidad de estructuras espaciales. Las incertidumbres del modelo y de los materiales han sido cubiertas con la presentación de tres espectros de capacidad para una misma estructura, de tal forma que para un determinado desplazamiento espectral se tiene un rango de variación de la aceleración espectral. Finalmente, en base al modelo espacial de tres grados de libertad se ha presentado una forma de cálculo de la distorsión de piso y se han incorporado los límites de daño al espectro de capacidad. Del estudio realizado se desprenden las siguientes conclusiones: •

Normalmente se obtiene el espectro de capacidad para el primer modo de vibración, pero se puede encontrar dicho espectro para cualquier modo.

•

La pendiente del espectro de capacidad representa el período de vibración de la estructura para el modo para el cual se ha obtenido el espectro.

•

Por la incertidumbre que se tiene en los modelos de análisis no se puede definir un solo espectro de capacidad sino que se deben definir tres espectros, uno de valor medio y dos de valor medio ± una desviación.

•

La forma de cálculo de la distorsión de piso que incorpora el programa ESPACAP es valida para una estructura con altura de entrepiso igual en todos los pisos y que el modo de vibración tenga una variación lineal.

•

Es muy útil la incorporación en el espectro de capacidad de los límites de niveles de daño.

REFERENCIAS 1. Aguiar R. (1989), “Análisis Dinámico Espacial”, Escuela Politécnica del Ejército, 270 p, Quito, Ecuador. 2. Aguiar R. (2002, a), “Sistema de Computación CEINCI3 para evaluar daño sísmico en los Países Bolivarianos”, Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, 302 p, Valle de los Chillos, Ecuador. 3. Aguiar R. (2002, b), “Estado del arte de los métodos de análisis sísmico y desempeño estructural”, XV Jornadas Nacionales y Primeras Binacionales de Ingeniería Estructural, 69-101, Loja, Ecuador. 4. ATC 33-03 (1995), “Guidelines for Seismic Rehabilitaction of Buildings”, 75% Submittal, Third Draft, 3 Vol, Redwood City. 5. ATC-40, (1996), "Seismic evaluation and retrofit of concrete buildings", Applied Technology Council, Redwood City, California. 6. Bonett R., Penna A., Lagomarsino S., Barbat A., Pujades L. y Moreno R. (2003), “Evaluación de la vulnerabilidad sísmica de un edificio típico del Eixample de Barcelona, España”, Revista Internacional de Ingeniería de Estructuras, 8 (2), 85-115.


169

7. Chopra A. and Goel R. (1999) , "Capacity-demand-diagram methods for estimating deformation of inelastic structures: SDF systems", Pacific Earthquake Engineering. Research Center, Rep. No PEER-1999/02,University of California, Berkeley, California. 8. Chopra A. and Goel R. (2000), “Evaluation of NSP Estimate Seismic Deformation SDF Systems”,Journal of Structural Engineering, 126 (4), 482-490. 9. Fajfar P. (1999), “Capacity Spectrum Method based on Inelastic Demand Spectra”, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 28, 979-993. 10. Fajfar P. (2000), “A Non linear analysis method for performance-based seismic design”, Earthquake Spectra, 16, 573-591. 11. HAZUS 99 (1999), "Earthquake Loss Estimation Methodology", Federal Emergency Management Agency FEMA and National Institute of Building Sciences NIBS, Vol 5, Chapter 5, Washington DC. 12. Montiel M., Palacios J., Aparicio J., Ruiz S. y Granados R. (2002, a), “Evaluación de la Confiabilidad Sísmica de Marcos”, XIII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural. Sociedad Mexicana de Ingeniería Sísmica, 190, 671-682, Puebla, México. 13. Montiel M., Ruiz S. y Chan S. (2002, b), “Evaluación de la Confiabilidad Sísmica de Construcciones usando un método simplificado”, Octavas Jornadas Chilenas de Sismología e Ingeniería Antisísmica, 10 p, Valparaíso, Chile. 14. Reinhorn A. (1997), “Inelastic analysis techniques in seismic evaluations”, in P. Fajfar and H. Krawinkler (Eds), “Seismic Design Methodologies for the Next Generation of codes” , 277-287, Balkema Rotterdam. 15. SEAOC (1995), “Visión 2000 Report on performance based seismic engineering of buildings”, Structural Engineers Association of California, Volume I , Sacramento.

CAPÍTULO 8

ESPECTROS SÍSMICOS DE RIESGO UNIFORME PARA VERIFICAR DESEMPEÑO ESTRUCTURAL EN PAISES LATINOAMERICANOS

RESUMEN

Se presenta una propuesta para encontrar formas espectrales para los sismos denominados por el Comité VISION 2000, como frecuente, ocasional, raro y muy raro, para Venezuela, Colombia, Ecuador, Perú, Chile y Argentina. A excepción de Colombia, las normativas sísmicas vigentes al 2003 en los países mencionados establecen el espectro de diseño para el sismo raro que tiene 10% de probabilidad de excedencia en 50 años. En la Norma de Colombia también se ha definido el espectro para el umbral de daño que tiene una probabilidad del 80% de ser excedido en 15 años. En base al espectro para el sismo raro se propone obtener formas espectrales para los tres restantes niveles de diseño sísmico: frecuente, 50% de probabilidad de excedencia en 30 años; ocasional, 50% de probabilidad de excedencia en 50 años; y muy raro, 10% de probabilidad de excedencia en 100 años. De esta manera se aporta al desarrollo del diseño sísmico por desempeño en América Latina.

8.1

INTRODUCCIÓN

Uno de los países con mayor conocimiento dentro del campo de la Ingeniería Sísmica es los Estados Unidos de Norte América; sin embargo de ello, dos sismos recientes de magnitud moderada, como el de Loma Prieta de 1989, con una magnitud de 7.1, y el de Northridge de 1994, con una magnitud de 6.7, dejaron ocho mil millones y cuarenta mil millones de dólares en pérdida, respectivamente. El número de muertos en el sismo de Loma Prieta fue de 63 y 51 en el sismo de Northridge. Cifras demasiadas altas que motivaron la revisión de la filosofía de diseño, por parte del Comité VISION 2000. Capítulo publicado en el XI Seminario de Ingeniería Sísmica que se realizó en Mendoza, Argentina, en Agosto de 2003 . Publicado además en la Revista Cimientos N. 3 del Colegio de Ingenieros Civiles de Esmeraldas, en Agosto de 2003.

172


En la nueva filosofía se da mayor importancia al diseño por desempeño que al diseño por resistencia, ya que este último por si solo no garantiza un adecuado comportamiento de la edificación ante sismos menores. Países como Japón, Nueva Zelanda y algunos europeos han acogido la iniciativa del diseño y análisis sísmico por desempeño y es muy probable que, a corto tiempo, presenten nuevas normativas sísmicas que incluyan esta nueva filosofía, en contraste con otros países que están agobiados por problemas políticos y económicos, que tienen a sus pueblos sumidos en una pobreza que se agrava cuando se registra un sismo de moderada magnitud, como el que afectó al eje cafetero de Colombia en 1999 y que dejó un mil ochocientos millones de dólares en pérdidas. En la forma de diseño tradicional se garantiza que el edificio no va a colapsar ante un sismo mayor y se entiende que ante sismos menores la estructura va a responder en el rango elástico o con ligero daño ante sismos moderados. Todos los controles que se realizan en el diseño están orientados exclusivamente al sismo mayor. Pero es importante cuantificar el desempeño que va a tener la edificación ante los sismos menores y moderados para saber si no se va a producir graves pérdidas de capital e interrupción del servicio (Flores 2002). En el diseño sísmico por desempeño lo que se desea es conocer los desplazamientos, distorsiones de piso y el comportamiento de cada uno de los elementos, ante sismos de pequeña magnitud que se van a repetir varias veces durante la vida de la estructura, o sismos de mayor magnitud que probablemente se registren una sola vez en el tiempo de vida de la edificación, o sismos más fuertes en los cuales la probabilidad de ocurrencia es menor. Lo cierto es que lo que se persigue es ante diferentes eventos sísmicos de diferente intensidad conocer su desempeño en términos de índices de daño a nivel local y global de la edificación, conocer las pérdidas económicas que se van a generar ante estos eventos y ver si son tolerables. En definitiva con el diseño sísmico por desempeño lo que se persigue es conocer más sobre el comportamiento de la estructura ante diferentes acciones sísmicas, lo que todavía no está suficientemente claro es la variable que mejor define el nivel de desempeño, entre estas tenemos el desplazamiento lateral máximo en el tope del edificio, la ductilidad, la deriva de piso, la energía disipada, los índices de daño, etc. VISION 2000 recomienda que se verifique el desempeño de las estructuras ante los cuatro eventos sísmicos que están indicados en la tabla 8.1. En consecuencia, en las normativas sísmicas se deben establecer los espectros de diseño para cada uno de estos eventos, tema bastante difícil si se considera la poca información sísmica instrumental que se dispone en varios países en vías de desarrollo; pero no por ello, debemos quedarnos con los brazos cruzados a la espera de que un nuevo sismo cause nuevas pérdidas humanas y económicas. En Latinoamérica las redes sísmicas que existen tienen dos o tres décadas de vida y la mayor parte de sus registros corresponden, gracias a Dios, a sismos de pequeña magnitud, en base a esta información, en Ecuador por ejemplo, se han generado sismos de mayor magnitud y formas espectrales; las mismas que constan en el Código Ecuatoriano de la Construcción, CEC-2000. Se sabe que conforme se tenga una mayor información sísmica se actualizarán los mapas de peligro sísmico y la forma de los espectros pero esto demanda su tiempo.

Sismo Frecuente Ocasional Raro Muy raro

Tabla 8.1 Sismos recomendados por el Comité VISION 2000. Vida Útil Probabilidad de Período medio Tasa Anual de ∗ T t p1 de retorno, excedencia, Excedencia P r 30 años 50% 43 años 0.02310 50 años 50% 72 años 0.01386 50 años 10% 475 años 0.00211 100 años 10% 970 años 0.00105

173


En la tabla 8.1, la tasa anual de excedencia

p1 se obtiene en función de la

*

probabilidad de excedencia P , durante la vida útil t , mediante la siguiente ecuación:

(

p1 = 1 − 1 − P ∗

)

1/ t

( 8.1 )

El período medio de retorno t r , se determina mediante la inversa de p1 . Para cada sismo de análisis se espera un desempeño de la edificación, de acuerdo al destino de la misma; pero en términos generales, ante el sismo frecuente, la estructura debe comportarse elásticamente, en consecuencia el coeficiente de amortiguamiento referido al crítico para estructuras de hormigón armado será del 2%. Este coeficiente para el sismo ocasional, en que se espera daño en los elementos no estructurales estará alrededor del 3%. Para el sismo raro, todas las normativas sísmicas presentan el espectro elástico asociado a un 5%; finalmente para el sismo muy raro el coeficiente de amortiguamiento es mayor. En el apartado 8.11 se presenta la teoría general con la cual se realizan los estudios de peligrosidad sísmica, su lectura será de gran ayuda para entender la temática que aquí se indica.

8.2

ZONIFICACIÓN SÍSMICA Y ESPECTRO ELÁSTICO

En la figura 8.1 se indica el mapa de zonificación sísmica de Venezuela, Colombia, Ecuador, Perú, Chile y Argentina, que ha sido obtenido para el sismo raro y que consta en: la Norma COVENIN 1756-98 (Rev. 2001) para el caso de Venezuela, en la Norma Sismo Resistente NSR-98 de Colombia, en el Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000, en la Norma Técnica de Perú E030 de 1997, en la Norma de Chile NCh 433.Of 96 de 1996 y en el Reglamento Argentino para Construcciones Sismorresistentes IMPRES-CIRSOC de 1982. Nótese que a nivel de fronteras la aceleración varía de un país a otro. Por ejemplo, en la frontera entre Perú y Chile se tiene en el primer país 0.4 g., y en el segundo la aceleración varía de 0.2 a 0.4 g., algo similar se tiene en las otras fronteras. Esto amerita que a futuro se piense en tener un solo mapa de zonificación sísmica de América Latina y por qué no decirlo, una sola normativa sísmica. Se define el espectro de amenaza uniforme como la curva que une las aceleraciones espectrales asociadas independientemente a cada período estructural con una probabilidad de excedencia dada en un tiempo determinado y para un cierto factor de amortiguamiento con respecto al crítico. Es decir que es la curva que une las aceleraciones espectrales asociadas al mismo período medio de retorno, trabajando cada período estructural independientemente (Jaramillo 2002). No es el objetivo del presente capítulo comparar las formas espectrales de las normativas sísmicas vigentes al 2003 en Latinoamérica peor aún comentar sobre ellas, se entiende que estas responden a la mejor información sísmica disponible en cada país. Lo que se pretende es que a partir de las formas espectrales vigentes se determinen los espectros para los sismos recomendados por VISION 2000. Se considera que los períodos de retorno de cada uno de estos eventos que han sido determinados para el área de California se mantienen en Latinoamérica.

174


ZONA

Amáx

1

0.10 g

2

0.15 g

3

0.20 g

4

0.25 g

5

0.30 g

6

0.35 g

7

0.40 g

Figura 8.1 Zonificación sísmica en Venezuela, Colombia, Ecuador, Perú, Chile y Argentina al 2003.

175


8.2.1

Normativa de Venezuela

En Venezuela se han determinado ocho zonas sísmicas que van desde la zona 0, en la cual no se esperan sismos, hasta la zona 7, que está caracterizada por una aceleración máxima del terreno Ao , igual a 0.4 g.; siendo g, la aceleración de la gravedad. Las ecuaciones que definen las tres ramas del espectro elástico, mostrado en la figura 8.2, son las siguientes:

T < To To < T < T ∗ T >T*

⎡ T ⎤ Ad = α β ϕ Ao ⎢1 + (β − 1)⎥ ⎣ To ⎦ Ad = α β ϕ Ao ⎛T∗ ⎞ Ad = α β ϕ Ao ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝T ⎠

( 8.2 ) ( 8.3 )

p

( 8.4 )

donde α es el coeficiente de importancia de la estructura; ϕ es el factor de corrección del coeficiente de la aceleración horizontal del suelo, por efecto de las condiciones locales de suelo; β es el factor de magnificación promedio, indicado en la tabla 8.2; Ao es la aceleración máxima del suelo, indicado en el mapa de zonificación de la figura 8.1. Los períodos To , T

∗

se

indican en la tabla 8.2, para diferentes perfiles de suelo. Finalmente, T y Ad son el período y la aceleración, que posteriormente se va a denominar S a .

Figura 8.2 Espectro Elástico de la norma venezolana de 2001.

8.2.2 Normativa de Colombia La norma NSR-98 de Colombia contempla nueve zonas sísmicas; la de mayor peligrosidad es la nueve, con un valor Ao = 0.4 g ., y la de menor peligrosidad, la uno con un

Ao = 0.05 g. Las ecuaciones del espectro elástico que se indican en la figura 8.3, son:

176

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE T < To To < T < T

*

Ad = α Ao (1.0 + 5.0 T )

( 8.5 )

Ad = 2.5 α Ao

( 8.6 )

T∗
Ad =

T >T+

Ad =

1.2α Ao S

α Ao

( 8.7 )

T ( 8.8 )

2

La variable todavía no definida es S, que es el factor de amplificación del suelo. En la tabla 8.2 se indican los respectivos valores.

Ad

2.5 α Ao (1.2 α Ao S)/T Para análisis Dinámico solo modos diferentes al Fundamental

α Ao 0

To

α Ao/2

T*

Período, T(s)

T+

Figura 8.3 Espectro Elástico de la norma de Colombia de 1998.

8.2.3

Código de Ecuador El CEC-2000 considera cuatro zonas sísmicas que van desde 0.15 g . , en la región

oriental, hasta la zona cuatro que tiene un valor Ao = 0.4 g . , en parte de la costa y de la sierra. Con relación al espectro elástico, se debe indicar que para períodos menores a To , es opcional considerar la recta que va desde

α Ao

hasta β α Ao , o se puede trabajar con aceleración

constante, como se indica en la figura 8.4. Las ecuaciones que definen el espectro son:

T T+

Ad = α β Ao 1.25 α Ao S T α Ao Ad = 2 Ad =

(8.9 ) S

( 8.10 ) ( 8.11 )

177


Ad

β α Ao S

1.25 α Ao S / T α Ao

0

Opcional para Análisis Dinámico

To

T*

α Ao/2

Período, T(s)

T+

Figura 8.4 Espectro Elástico del Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000

8.2.4 Norma de Perú En el Perú, la Norma Técnica de Edificaciones E30 de 1997 considera 3 zonas sísmicas, la zona 1 que tiene un valor de 0.15 g ., la dos es la más extensa con un valor

Ao = 0.20 g ., y la de mayor peligrosidad es la 3 con 0.4 g . En la figura 8.5, se indican los dos segmentos que definen el espectro elástico de la Norma Técnica E 030 de Perú, cuyas ecuaciones son:

Ad 2.5 α Ao S 1.25

2.5 ( T* / T )

. α Ao S

T*

T

Figura 8.5 Espectro Elástico de la Norma Técnica de Edificaciones de Perú de 1997.

T T∗

Ad = 2.5 α Ao S ⎛T∗ ⎞ Ad = 2.5 α Ao S ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝T ⎠

( 8.12 ) 1.25

( 8.13 )

178


8.2.5

Norma de Chile

La Norma NCh 433.Of 96 contempla tres zonas sísmicas, la de mayor peligrosidad es la tres con Ao = 0.4 g . , y la menor es la uno con Ao = 0.20 g . El espectro elástico de Chile es diferente al de los otros países de Latinoamérica y está gobernado por una sola ecuación.

⎛T ⎞ 1 + 4.5⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ To ⎠ Ad = α Ao 3 ⎛T ⎞ 1 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ To ⎠ donde

p

( 8.14 )

To , p son parámetros relativos al tipo de suelo de fundación que se determinan en la

tabla 8.2, de acuerdo al perfil de suelo.

8.2.6

Norma de Argentina

En Argentina, se tienen 5 zonas sísmicas que van desde la zona 0, que corresponde a la mayor parte del territorio y está caracterizado por un valor Ao = 0.04 g ., hasta la zona 4, con

Ao = 0.35 g . En las zonas sísmicas 1 y 2, el valor de Ao varía de acuerdo al perfil de

suelo. En la figura 8.6, se indica la forma del espectro elástico y las ecuaciones de cada una de las ramas, son:

T < To

Ad = α Ao + (β Ao − Ao )α

To ≤ T ≤ T *

Ad = α β Ao

T >T

⎛T* ⎞ Ad = α β Ao ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝T ⎠

*

Para la zona 0, se tiene que el valor de

T To

( 8.15 ) ( 8.16 )

2/3

( 8.17 )

To = 0.10 s. , y el valor de T * vale 1.20 para el

perfil de suelo S1, 1.40 para S2 y 1.60 para S3; los restantes valores se indican en la tabla 8.2. Solo se tienen tres perfiles de suelo en el Reglamento Argentino para Construcciones Sismorresistentes INPRES-CIRSOC de 1982. Es importante destacar que en el presente apartado se ha indicado el espectro elástico de las diferentes normativas sísmicas analizadas, a esta forma espectral se la denomina S ae . Por otra parte, la clasificación de los perfiles de suelo difiere de normativa a normativa a excepción del CEC-2000 de Ecuador y E030 de Perú, que son las mismas. Lamentablemente Bolivia no tiene una normativa sísmica, por lo que no se incluye en el estudio, a pesar de que varios sismos han dejado grandes pérdidas humanas y económicas, el último de ellos es el sismo de Aiquile del 22 de Mayo de 1998, con una magnitud M w = 6.8 y

179


una profundidad focal de 24 km., que dejó 105 muertos, 315 heridos y pérdidas estimadas en 15 millones de dólares.

Ad α β Ao

αΑο + (β Ao - Ao)α T/To

α Ao

To

0

α β Ao (T*/T)

2/3

Período, T(s)

T*

Figura 8.6 Espectro Elástico del reglamento argentino de 1982.

Tabla 8.2 Parámetros que definen el espectro elástico de Venezuela, Colombia, Ecuador, Perú, Chile y Argentina, vigentes al 2003.

PERFIL DE SUELO S1

S2

S3

S4

PAIS Venezuela -01 Colombia-98 Ecuador-00 Perú-97 Chile-96 Argentina Venezuela-01 Colombia-98 Ecuador-00 Perú-97 Chile-96 Argentina Venezuela-01 Colombia-98 Ecuador-00 Perú-97 Chile-96 Argentina Venezuela-01 Colombia-98 Ecuador-00 Perú-97 Chile-96

To

T∗

T+

seg. 0.1 0.3 0.1

seg

seg.

0.75 0.40 0.325 0.3 0.4

0.40 0.52 0.50 0.40 0.20 0.35-0.60 0.70 0.62 0.52 0.60 0.35 0.60-0.80 1.00 0.78 0.82 0.90 0.85 1.00-1.20 1.30 1.04 2.00

1.20

1.35

0.15 0.20 0.175 0.3 0.1 0.30 0.30 0.25 0.3 0.16

2.40 2.50

2.88 3.11

3.60 4.59

5.08 10.00

β 2.4 2.5 2.5 2.5 3.0 2.6 2.5 3.0 2.5 3.0 2.8 2.5 2.8 2.5 3.0 3.0 2.5 2.5 2.5

p

S 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9

2.0 1.0

1.2 1.2 1.2 1.0

1.5 1.0

1.5 1.5 1.4 1.2

1.0 0.8

2.0 2.0 1.3

1.0

180

8.3

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE ANÁLISIS DE ESTUDIOS REALIZADOS EN VENEZUELA

En el Manual de Ingeniería de Diseño de PDVSA 1999 se presentan dos mapas de * amenaza sísmica, el uno contiene valores de a , y el otro contiene valores de γ . En base a estos dos mapas es factible obtener la aceleración máxima del suelo y muy raro, que tienen una probabilidad anual de excedencia siguiente ecuación:

{[ (

p1 ≤ 0.002 , empleando la

)] }

Ao = a ∗ − ln 1 − P ∗ / t

donde

Ao , para los sismos raro

−1 / γ

( 8.18 )

Ao viene expresado en cm / s 2 . En la tabla 8.3 se indican los valores de Ao ,

encontrados para diferentes zonas sísmicas de Venezuela, para los sismos raro y muy raro. Nótese que la relación entre la aceleración encontrada para el sismo muy raro con relación a la aceleración del sismo raro, en promedio es de 1.19 y se aprecia que no hay una gran dispersión con respecto a este valor. Se destaca que los puntos seleccionados en la tabla 8.3 son de toda Venezuela y se ha tenido especial cuidado de considerar puntos del Estado Sucre que contempla las zonas sísmicas 6 y 7.

Tabla 8.3 Relación de valores de Zona

7 7 6 6 6 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 1 1

a∗

γ

60 60 60 60 55 40 45 55 50 50 45 40 35 40 30 35 30 27.5 28 30 32 27 26 25 25

4.00 3.50 4.00 3.75 4.00 3.75 3.75 4.25 4.50 4.25 4.25 4.25 3.75 4.00 3.75 4.00 3.50 3.50 4.00 4.25 3.75 4.30 4.25 4.50 4.40

Ao

del sismo muy raro con relación al sismo raro, para Venezuela.

Sismo Raro

Sismo Muy raro

Ao ( g )

Ao ( g )

0.286 0.356 0.286 0.317 0.262 0.211 0.238 0.239 0.201 0.218 0.196 0.174 0.185 0.191 0.158 0.167 0.178 0.163 0.133 0.131 0.169 0.115 0.113 0.100 0.104 Promedio

0.340 0.434 0.340 0.381 0.312 0.254 0.286 0.282 0.234 0.256 0.230 0.205 0.222 0.227 0.190 0.198 0.217 0.199 0.159 0.154 0.203 0.136 0.133 0.117 0.121

Ao Muy raro Ao raro 1.189 1.219 1.189 1.202 1.191 1.204 1.202 1.180 1.164 1.174 1.173 1.178 1.200 1.188 1.203 1.186 1.219 1.221 1.195 1.176 1.201 1.183 1.177 1.170 1.163 1.19

181


Por otro lado, en las tablas 8.4 y 8.5 se indican los resultados del estudio de peligrosidad sísmica, considerando los sismos recomendados por VISION 2000 para el occidente de Venezuela. Trabajo realizado por Bendito et al en 2001.

Tabla 8.4 Aceleraciones (g) encontradas por Bendito et al, en Zona Sísmica 5. San Cristóbal Mérida Trujillo Barquisimeto San Felipe

Sismo Frecuente Ocasional Raro Muy Raro Ocas/Frec MRaro/Raro

Media 0.083 0.102 0.203 0.255 1.229 1256

σ

M+ 0.120 0.147 0.298 0.377 1.225 1.265

Media 0.102 0.123 0.238 0.293 1.206 1.231

σ

M+ 0.154 0.192 0.371 0.456 1.247 1.229

Media 0.124 0.149 0.274 0.331 1.202 1.208

σ

M+ 0.194 0.235 0.431 0.521 1.211 1.209

Media 0.071 0.088 0.177 0.222 1.239 1.254

σ

M+ 0.110 0.136 0.280 0.350 1.236 1.250

Media 0.064 0.083 0.173 0.219 1.297 1.266

σ

M+ 0.101 0.127 0.273 0.345 1.257 1.264

Prom edio 0.089 0.109 0.213 0.264 1.235 1.243

Tabla 8.5 Aceleraciones encontradas por Bendito et al, en Zona Sísmica 3 Coro Maracaibo Promedio Media Media M+ σ M+ σ Frecuente 0.033 0.054 0.056 0.086 0.045 Ocasional 0.042 0.067 0.074 0.112 0.058 Raro 0.085 0.130 0.181 0.274 0.133 Muy raro 0.104 0.162 0.243 0.367 0.174 Ocasional/Frecuente 1.272 1.241 1.321 1.302 1.284 Muy raro/Raro 1.224 1.246 1.343 1.339 1.288 Sismo

En la última columna de las tablas 8.4 y 8.5 se presenta el promedio para los cuatro sismos, obtenidos con los valores medios; pero para las relaciones entre la aceleración máxima del sismo ocasional con relación al frecuente y del sismo muy raro con respecto al raro, se obtuvo con todos los datos.

Ao = 0.30 g , para la zona 5 y Ao = 0.20 g , para la zona 3. En consecuencia, la relación de Ao especificado en la normativa La Norma COVENIN 1756-98 establece que

con relación a la aceleración del sismo frecuente encontrado en las tablas 8.4 y 8.5 son 3.37 y 4.44, respectivamente. Por lo tanto para obtener la aceleración del suelo para el sismo frecuente se deben dividir los valores que están en la normativa sísmica 1756-98 para un valor que está entre 3 y 4. En las tablas 8.4 y 8.5 se aprecia que para obtener la aceleración para el sismo ocasional se deben multiplicar los valores de la aceleración para el sismo frecuente por 1.235 y 1.284. Por otro lado el factor por el cual se debe multiplicar la aceleración del sismo raro para obtener el sismo muy raro es ahora de 1.288. En base a los valores obtenidos en este tipo de relaciones se planteará una forma de obtener los espectros para los sismos de VISION 2000 a partir de los espectros que constan en las diferentes normativas sísmicas. Son pocos los trabajos de peligrosidad sísmica que se han realizado en los diferentes países sísmicos de Sur América para obtener los sismos propuestos por VISION 2000; por este motivo es conveniente que del análisis de todos los estudios se haga una propuesta en conjunto. Además no se dispone de una base de datos instrumentales numerosa para los sismos moderados y fuertes con los cuales se puedan obtener conclusiones sobre las formas espectrales. Avelar y Ayala (2002) presentan una metodología para encontrar espectros de diseño para diferentes períodos de retorno a partir de registros sísmicos y obtienen espectros para el Distrito Federal de México para períodos de retorno de 100, 200, 500 y 1000 años en los que se aprecia que es factible llegar a esas formas espectrales empleando un procedimiento como el que se indicará posteriormente en este artículo. Es factible para períodos menores a los 2 s.

182

8.4

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE ANÁLISIS DE ESTUDIOS REALIZADOS EN COLOMBIA

La NSR-98 de Colombia a más de definir el espectro de diseño para el sismo raro, también lo hace para el sismo denominado Umbral de Daño, el mismo que se lo obtiene para una probabilidad de excedencia del 80%, en un lapso de quince años; es decir, está asociado a un período medio de retorno de 9.32 años. Es probable que este sea el período de retorno para el sismo frecuente en Colombia, de ahí la necesidad de que en Latinoamérica se realicen estudios para determinar los períodos de retorno para los cuatro eventos sísmicos denominados: frecuente, ocasional, raro y muy raro. Al comparar el período medio de retorno del sismo umbral de daño de la NSR-98 con el sismo frecuente de VISION 2000, se observa que es 4.61 veces menor. Sin embargo de ello y con el objeto de tener una idea de la relación entre la aceleración del sismo raro y del sismo de umbral de daño, en la tabla 8.6 se indica lo especificado por la NSR-98 para los dos sismos. Se destaca que para el sismo raro se tienen nueve zonas sísmicas y para el de umbral de daño, 7; en consecuencia, para compararlos se debe hacer una aproximación considerando los mayores valores.

Tabla 8.6 Aceleraciones (g) para sismo raro y umbral de daño de NSR-98 de Colombia. Zonas Sismo Zona Umbral de Valor Ao Valor Ao Ao Raro Raro Daño Sismo Raro Umbral de Daño A Umbral o

1 2y3 3y4 5, 6 y 7 5, 6, 7 y 8 5, 6 y 8 y 9 9

1 2 3 4 5 6 7

0.05 0.10 0.15 0.30 0.35 0.40 0.40

0.005 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

Promedio

10.0 10.0 7.50 10.0 8.75 8.00 6.67 8.7

Es importante destacar que Medellín se encuentra en la Zona Sísmica 5 para el sismo raro y para el sismo de umbral de daño. Jaramillo 2002, determina los dos espectros para 14 zonas de Medellín y el valor promedio de la aceleración para el umbral de daño es Ao = 0.062 g , y para el sismo raro Ao = 0.252 g . Valores superiores a los prescritos en NSR-98. La relación entre estos dos valores es 4.06 valor más bajo que los indicados en la tabla 8.6. Por consiguiente para encontrar la aceleración del sismo umbral de daño se debe dividir la aceleración de la Normativa NSR-98 para un valor que está alrededor de 4.

8.5

ANÁLISIS DE ESTUDIOS REALIZADOS EN ECUADOR

Mera et al, 2000, 2002, han realizado estudios de peligrosidad sísmica en Esmeraldas, Machala, Salinas y Manta, siguiendo los lineamientos de VISION 2000. Por otro lado, Aguiar 2000, 2001 ha realizado igual trabajo en el Tena, Pujilí y Santo Domingo, de tal manera que se tienen resultados de ciudades ubicadas en las tres regiones de la geografía ecuatoriana. Los resultados encontrados se indican en las tablas 8.7 y 8.8

A o = 0.4 g , y en la zona III se tiene Ao = 0.3 g . , para el sismo raro. En la tabla 8.7, se aprecia que el promedio del valor de Ao es mayor que el La zona IV contempla que

183


respectivo promedio indicado en la tabla 8.8, como era de esperarse; pero para los sismos frecuente y ocasional, el promedio de la tabla 8.8 es mayor que el de la tabla 8.7.

Tabla 8.7 Aceleraciones (g) para ciudades ubicadas en Zona IV del CEC-2000 Sismo Esmeraldas Salinas Manta Pujilí Promedio Frecuente 0.07 0.072 0.07 0.12 0.083 Ocasional 0.10 0.091 0.10 0.14 0.108 Raro 0.37 0.212 0.32 0.23 0.283 Muy Raro 0.60 0.313 0.51 0.27 0.423 Ocas/Frec. 1.429 1.264 1.429 1.167 1.322 M Raro/Raro 1.622 1.476 1.594 1.174 1.467

Tabla 8.8 Aceleraciones (g) para ciudades ubicadas en Zona III del CEC-2000 Sismo Machala Tena Santo Domingo Promedio Frecuente 0.077 0.114 0.150 0.114 Ocasional 0.098 0.130 0.180 0.136 Raro 0.229 0.213 0.330 0.257 Muy Raro 0.313 0.255 0.410 0.326 Ocas/Frec. 1.272 1.140 1.200 1.204 M Raro/Raro 1.367 1.197 1.242 1.269

La relación de la aceleración especificada en el CEC-2000 con respecto a las obtenidas para el sismo frecuente en las tablas 8.7 y 8.8, son: 4.82 y 2.63, respectivamente. En consecuencia la aceleración del sismo frecuente se obtendrá dividiendo la aceleración del CEC-2000 para un valor que está entre 2.5 y 5.

8.6

ANÁLISIS DE ESTUDIOS REALIZADOS EN PERÚ

Investigadores como Muñoz 2002, Silva 2002 y Zegarra 2002, han presentado trabajos de reforzamiento de construcciones, en los que han utilizado los valores indicados en la tabla 8.9 para la zona de mayor peligrosidad sísmica del Perú, para determinar los sismos de análisis de acuerdo a VISION 2000 y verificar el desempeño de las edificaciones. Tabla 8.9 Aceleraciones (g) utilizadas para la zona III de Perú. Sismo

Ao

Frecuente Ocasional Raro Muy Raro

0.20 0.25 0.40 0.45

8.7

Ao Ocas Ao Frec

Ao M . Raro Ao Raro

Ao Norma Ao Frec.

1.25

1.25

2

ESTUDIOS REALIZADOS EN CHILE

Guendelman 2002 realiza una proposición para modificar la Norma NCh 433 Of 96, con la cual se determina los sismos de análisis de acuerdo a VISION 2000. La propuesta se muestra en la tabla 8.10.

184

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE Tabla 8.10 Proposición para NCh 433 futura, realizada por Guendelman. Sismo Nivel de Demanda Frecuente f S

Sa1 =

ae

*

R Sa2 = 1.4 Sa1 Sa3 = S ae

Ocasional Raro

Sa 4 = 1.5 S ae

Muy Raro

donde

min

S ae es el espectro elástico propuesto en la Norma NCh 433 para el sismo raro, f min es ∗

un factor de corrección que garantiza el mínimo cortante basal y R es el factor de reducción de la aceleración espectral, calculado para el período del modo con mayor masa traslacional equivalente en la dirección de análisis especificada en NCh 433. Por lo tanto, a partir de la Norma de Chile vigente al 2003, en que solo se especifica el sismo raro, es factible obtener los otros sismos de análisis recomendados por VISION 2000.

8.8

RESUMEN DE ESTUDIOS REALIZADOS

En la tabla 8.11 se resumen los parámetros encontrados en este estudio, que sirven de base para definir los sismos de análisis recomendados por VISION 2000. Tabla 8.11 Parámetros encontrados País

Ao Ocasional Ao Frecuente

Ao Muy raro Ao Raro

Ao Norma Ao Frecuente

Venezuela

1.235 (Tabla 8.4) 1.284 (Tabla 8.5)

1.190 (Tabla 8.3) 1.243 (Tabla 8.4) 1.288 (Tabla 8.5)

3.37 (Tabla 8.4) 4.44 (Tabla 8.5)

Colombia Ecuador Perú

8.9

Ao Norma Ao Umbral

8.70 (Tabla 8.6) 4.06 (Jaramillo) 1.322 (Tabla 8.7) 1.204 (Tabla 8.8) 1.250 (Tabla 8.9)



PROPUESTA DE FORMAS ESPECTRALES

Para el Sismo Frecuente, se propone obtener espectros para un factor de amortiguamiento ξ del 2%, empleando la misma forma del espectro elástico que consta en las respectivas normativas sísmicas, pero con un valor de

Ao igual al que está en la norma para el

sismo raro divido para tres. Se recomienda usar las ecuaciones de Newmark y Hall para encontrar espectros con cualquier amortiguamiento, estas son:

α a = 3.21 − 0.68 ln ξ

( 8.19 )


α v = 2.31 − 0.41 ln ξ α d = 1.82 − 0.27 ln ξ

185

( 8.20) ( 8.21 )

Las ecuaciones ( 8.19 ) a (8.21) tienen un 50% de probabilidad de excedencia. Por otra parte, en estas ecuaciones α a , α b , α c , son los factores de amplificación para la aceleración, velocidad y desplazamiento. Existen otras ecuaciones más sencillas para encontrar un factor de ajuste f a del espectro ha un ξ , una de ellas es la siguiente:

⎛5⎞ f a = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ξ ⎠

0.04

( 8.22 )

La ecuación (8.22) es adecuada utilizarla en espectros que están formulados por una sola ecuación, como es el caso de Chile. En cambio, con las ecuaciones (8.19) a (8.21) se modifica la posición de los puntos de quiebre del espectro.

Figura 8.7 Espectros para un perfil S3 en zona 7 de Venezuela.

Para el Sismo Ocasional, es muy adecuado utilizar la recomendación de Guendelman 2002, que consiste en multiplicar el espectro del sismo frecuente por 1.4, se puede pensar en un factor ligeramente menor pero conservadoramente queda el valor anotado por los valores encontrados y que constan en la tabla 8.11. Finalmente para el Sismo Muy Raro se propone multiplicar el espectro elástico por 1.3. Proposición que se la realiza en base a los resultados de la tabla 8.11 y considerando que al multiplicar el espectro elástico de las normativas por 1.3 la probabilidad de excedencia se

186


reduce al 5% en un tiempo de 100 años, esto para un valor

Ao = 0.4 g , Aguiar y Haro (2000),

pero como se esperan sismos más fuertes la probabilidad de excedencia va a subir al orden del 10%. Un valor más alto a 1.3 implica la reducción de la probabilidad de excedencia y un incremento del período medio de retorno. En la figura 8.7 se presenta, los cuatro espectros para un perfil de suelo S3, ubicado en la zona de mayor peligrosidad sísmica de Venezuela y cuyo uso es para vivienda. En la figura 8.8 se presenta lo mismo pero para Chile.

Figura 8.8 Espectros para un perfil S3 en zona 3 de Chile

8.10 ESPECTROS DE DEMANDA Los espectros de demanda, relacionan el desplazamiento espectral aceleración espectral

S d , con la

S a , y se los obtiene a partir de los espectros indicados en el apartado

anterior. La ecuación que se utiliza para el cambio, en el rango elástico, es la siguiente:

S de =

T2 S ae 4π 2

( 8.23 )

S de , S ae , corresponden al desplazamiento y aceleración espectral, para el rango elástico. Sean S d y S a , el desplazamiento y la aceleración espectral En la ecuación ( 8.23 ),

para el rango inelástico y considerando que el espectro inelástico se obtiene dividiendo el espectro elástico para el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R µ , de tal forma que:


Sa = Sd =

S ae Rµ

µ S de Rµ

187

( 8.24 )

=

µ T2 T2 S = µ Sa ae Rµ 4π 2 4π 2

( 8.25 )

donde µ , es la demanda de ductilidad. En el presente capítulo, únicamente se trabaja con la ecuación ( 8.23 ), pero para encontrar el punto de demanda y el desempeño que va a tener una estructura en el rango inelástico se utiliza la ecuación ( 8.25 ).

Figura 8.9 Espectros de Demanda para Venezuela en Zona 7 y en suelo S3. En las figuras 8.9 y 8.10 se muestran los espectros de demanda para Venezuela y Chile que se derivan de los espectros indicados en las figuras 8.7 y 8.8, que se han obtenido hasta un período de 2 s., si se amplía el rango del período los espectros de demanda de las figuras 8.9 y 8.10 van a continuar con la curva descendente. En la figuras 8.11, a 8.14, se presentan, a la izquierda, los espectros clásicos en el formato aceleración – período y, a la derecha, los espectros de demanda en el formato aceleración – desplazamiento, para las zonas de mayor peligrosidad sísmica de Colombia, Ecuador, Perú y Argentina, en un perfil de suelo S3 y para un coeficiente de importancia igual a uno. Para Colombia, la forma del espectro del sismo frecuente se ha considerado igual a la estipulada en NSR-98 para el sismo denominado umbral de daño, lo demás se procede de acuerdo a la propuesta realizada.

188


Figura 8.10 Espectros de Demanda para Chile en Zona 3 y en suelo S3.

Figura 8.11 Espectros para Colombia en zona de mayor peligrosidad sísmica y en suelo S3.

Figura 8.12 Espectros para Ecuador en zona de mayor peligrosidad sísmica y en suelo S3.


189

Figura 8.13 Espectros para Perú en zona de mayor peligrosidad sísmica y en suelo S3.

Figura 8.14 Espectros para Argentina en zona de mayor peligrosidad sísmica y en suelo III.

8.11 PELIGROSIDAD SÍSMICA Se define como Peligrosidad Sísmica, la probabilidad de ocurrencia, dentro de un período específico de tiempo y dentro de una región determinada, movimientos del suelo cuyos parámetros: aceleración, velocidad, desplazamiento, magnitud o intensidad son cuantificados. Para la evaluación se deben analizar los fenómenos que se producen desde el hipocentro hasta el sitio de interés.

Para el diseño sísmico de estructuras, fundamentalmente se necesita conocer cual es la aceleración máxima del suelo que se espera en la zona que se va a implantar el proyecto durante la vida útil de la estructura. Si adicionalmente, se pueden establecer los otros parámetros indicados en el párrafo anterior u otros adicionales como el tiempo y contenido de frecuencias, que de alguna forma se están incorporando en los estudios de peligrosidad sísmica.

190


8.11.1 Etapas de cálculo En la figura 8.15, se presentan las etapas que se siguen para la evaluación de la Peligrosidad sísmica a nivel regional, tendientes a la obtención de parámetros para el diseño sismo resistente, expresados en términos probabilísticos.

Figura 8.15

Etapas de la evaluación de la Peligrosidad Sísmica.

La información sísmica histórica, de eventos que se registraron en el período 1500 1900 es muy importante, por que son cuatro siglos de datos, razón por la cual es fundamental su estudio. Lamentablemente, los sismos históricos no han sido estudiados con el detenimiento del caso, primero porque es una tarea que demanda mucho tiempo y segundo por lo difícil que resulta el conseguir la información. Las crónicas de los sismos históricos en algunos casos son muy exagerados, Aguiar (1991) y tienden a sobredimensionar el daño ocasionado. Por otra parte, en la mayor parte de países, el catálogo sísmico instrumental tiene amplia información a partir de los años 1960 y 1970, por la implementación de un mayor número de estaciones sismográficas. En el período 1900-1960 la información es escasa, no porque no hayan ocurrido sismos sino porque no existía suficiente instrumentación sísmica. En consecuencia, antes de empezar un trabajo de peligrosidad sísmica lo primero que se debe hacer es un estudio de completitud de la información sísmica, se puede utilizar para el efecto, el procedimiento propuesto por Steep (1972), quien describe un procedimiento basado en la varianza como parámetro estadístico en los cuales la tasa de ocurrencia de los sismos es estable para distintos niveles de magnitud. La información tectónica, geológica, geofísica y geotécnica es un complemento a la información sísmica instrumental para poder definir un mapa sismotectónico de la región en estudio. En la elaboración del mapa sismotectónico del Ecuador, Iglesias et al (1991) se utilizaron, a más de la información tradicional, imágenes satelitarias LANSAT, mosaicos de radar de apertura sintética SAR, se interpretó alrededor de 400 fotografías aéreas. Todo ello para la detección y limitación de las fallas geológicas. Con el mapa sismotectónico se procede a la definición de zonas fuentes o áreas fuentes que son aquellas regiones en las cuales existe una homogeneidad de los focos de los sismos registrados. Estas zonas de unidad sísmica están asociadas a un sistema de fallas.

191


No es conveniente considerar fuentes puntuales sino fuentes con una actividad sísmica difusa que abarcan una gran área, debido a la complejidad de la tectónica, al incompleto conocimiento de las zonas de fallamiento y a un eventual desconocimiento de accidentes tectónicos sin expresión superficial. Algunos investigadores, Palacio et al (1987), Ryall et al (1966), determinan las áreas fuentes en base al flujo tectónico definido como la cantidad de energía disipada por unidad de área y por unidad de tiempo.

8.11.2 Relación de recurrencia Para la evaluación de la peligrosidad sísmica en cada una de las áreas fuentes es necesario calcular: •

La relación de recurrencia de la actividad sísmica, propuesta independientemente por Ishimoto-Ida en 1939 y Richter-Gutenberg en 1944. La misma que tiene la siguiente forma:

log N ( M ) = a − bM

(8.25)

siendo N(M) el número de sismos anuales de magnitud mayor o igual que M. Las constantes a y b definen la sismicidad del área.

♣

Como ejemplo de aplicación de la ecuación (8.25), se obtiene la relación de recurrencia para los sismos registrados en el Ecuador en el período comprendido entre 1963 y 1987. Del catálogo sísmico, se han obtenido los siguientes datos: Tabla 8.12

•

Sismicidad en el Ecuador en el período 1963-1987

MAGNITUD Mb

NÚMERO DE SISMOS

3.5 - 4.0 4.0 - 4.5 4.5 - 5.0 5.0 - 5.5 5.5 - 6.0 6.0 - 6.5 6.5 - 7.0

1061 1003 553 137 31 5 1

Solución

Con los datos de la tabla 8.12, se obtienen las constantes a y b, mediante regresión lineal. Los resultados son: a = 7.47 y b = -1.07. Es importante destacar que la muestra analizada es de 24 años.

log N = 7.47 − 1.07 M b En base a la ecuación de recurrencia encontrada, se desea averiguar cuantos sismos de magnitud Mb = 7.0 se presentarán en el Ecuador en los próximos 24 años y 48 años.

192


Próximos 24 años

log N 24 = 7.47 − 1.07 × 7 = 0.005 → N 24 = 1.01 La cantidad obtenida es el número de sismos de magnitud Mb = 7, que se esperan en el Ecuador en los próximos 24 años, Para 48 años, se tendrá:

N 50 =

48 × 1.01 = 2.02 24

En resumen, en los próximos 24 años se espera en el Ecuador 1 sismo de magnitud Mb= 7.0 y en los próximos 48 años 2 sismos de la misma magnitud. Contados a partir de 1987. A la ecuación (8.25) se le conoce como ley de Richter, la misma que puede escribirse también de la siguiente forma:

γ = α e−β M

(8.26)

donde γ es la tasa de ocurrencia anual de eventos de magnitud mayor o igual que M. La relación que existe entre las variables a, b y α, β son las siguientes:

a = log α

β=

(8.27)

b = b ln 10 log e

(8.28)

Tanto los parámetros a, b como α, β se obtienen de un ajuste de mínimos cuadrados. La pendiente b indica que tan rápido o lento se mueve una zona de fallamiento. De los estudios de peligrosidad sísmica realizados en el Perú, Casaverde y Vargas (1980) el valor de b varía entre 0.67 y 1.29. Para el Ecuador, Aguiar (1982) el valor de b se encuentra entre 0.588 y 1.078. En Venezuela, Grases (1980), para la región comprendida entre los 4°N - 12°N y 68°W - 75°W este valor varió entre 0.85 y 1.09 En función del Momento Sísmico se puede determinar la actividad sísmica de una área fuente, para ello se tiene: •

M × M w− β N ( M w ) = (1 − β ) ( M Max )1− β

(8.29)

•

siendo N(Mw) el número de sismos con momento sísmico mayor o igual a Mw, media anual de ocurrencia de momentos sísmicos. Por otra parte, se tiene:

M max = 10 (1.5 M S +11.8)

M es la tasa

O

(8.30)

O

donde M S es la máxima magnitud esperada en la zona. El momento sísmico Mw se puede evaluar con la siguiente ecuación:

Mw = h L D µ

(8.41)

193


en la cual h y L es el ancho y largo de la zona de fallamiento, D el desplazamiento y µ el módulo de rigidez. Lo más apropiado para determinar el momento sísmico es a partir de las ondas superficiales de los registros.

8.11.3 Magnitud Máxima •

En cada zona fuente, se debe determinar la máxima magnitud Mmax que se espera, para ello existen diferentes fórmulas empíricas que relacionan la longitud de rotura de la falla L, con Mmax. Una de las primeras relaciones fue suministrada por Idda en 1959 para fallas inversas

M max = 5.47 + 1.0 log L M max = 6.04 + 0.79 log L

(8.42) (8.43)

La ecuación (8.42) es para sismos profundos y la ecuación (8.43) para sismos superficiales e intermedios. Por otra parte, en base al estudio estadístico de 58 sismos ocurridos a nivel mundial y lo deducido con base en la geología para fallas transcurrentes se tiene:

M max = 6.04 + 0.704 log L donde

3.5 Km < L < 420 Km,

σMs = 0.3

(8.44)

Ms < 8.

En la evaluación de la peligrosidad sísmica de Colombia, Sarria et al (1980), utilizaron las ecuaciones propuestas por Ambrasseys para determinar la magnitud máxima, estas son:

L = e (1.150 M mx −3.35) Limite Inferior L = e (1.596 M mx −7.56 ) Mejor Ajuste L = e (1.615 M mx −8.58) Limite Superior

(8.45) (8.46) (8.47)

Se aprecia que la relación entre la Magnitud Máxima Mmax y el logaritmo de la longitud de rotura L es de tipo lineal, de la forma:

M max = A log L + B

(8.48)

donde A y B son constantes que se obtienen por regresión lineal. Es conveniente que los valores de A y B se obtengan con sismos de una determinada zona geográfica como lo propone Acharya (1979). Por otra parte, Slemmons (1977) propone calcular la magnitud máxima en base al tipo de falla. Cuando en una zona fuente, no se tiene un tipo de falla definido es conveniente utilizar la metodología propuesta por Acharya. Para América del Sur, Acharya propone la ecuación (8.49) para encontrar la magnitud máxima, la misma que fue obtenida a partir de 31 eventos con magnitud superior a 7. Por lo tanto, para magnitudes inferiores su aplicación es incierta.

194


M max = 2.30 + 2.83 log L

(8.49)

A manera de ejemplo se va a determinar una relación entre Mmax y la longitud de rotura L, en base a los datos de la tabla 8.13 que presenta Winkler (1981).

Tabla 8.13

Relación entre Magnitud M y Longitud de rotura L.

SISMO

LONGITUD FALLA (L)

MAGNITUD (M)

Alaska, 1964 San Francisco, 1906 Mongolia, 1957 Kern Co, 1952 Niigata, 1964 Turkey, 1953 Imperial Valley, 1940 Fairview Peak, 1954 Montana, 1959 San Miguel, 1956 Parkfield, 1966

600 450 280 50 100 50 60 36 30 19 38

8.5 8.3 8.3 7.8 7.5 7.2 7.1 7.1 7.1 6.8 5.5

La ecuación que se obtiene luego del ajuste por mínimos cuadrados, es:

M max = 4.86 + 1.33 log L

(8.50)

El coeficiente de correlación de la ecuación (8.50) es 0.782, que es un valor bajo. En los estudios de peligrosidad sísmica se puede aplicar una ecuación como las indicadas para encontrar la máxima magnitud esperada en la fuente pero es conveniente comparar el valor obtenido con el registrado instrumentalmente. De igual forma en las ecuaciones que definen la magnitud máxima se deben indicar parámetros estadísticos como el coeficiente de correlación y la desviación Standard para incluirlos en la evaluación de la peligrosidad sísmica. Finalmente, se debe indicar que hay ecuaciones en las cuales se incluye el desplazamiento permanente D en la determinación de la magnitud máxima. Una de ellas es la presentada en la ecuación (8.51), en la cual L y D, se expresan en centímetros, Grases (1997).

M max = 1.1 + 0.4 log( L1.58 D 2 ) 8.11.4

(8.51)

Metodología de Evaluación

La evaluación de la peligrosidad sísmica se ejecuta utilizando los algoritmos propuestos por Algermissen y Perkins (1972 y 1976), cuya formulación matemática está descrita en Aguiar (1982), Palacio et al (1987). La metodología de cálculo se resume a continuación. i)

Dividir al País en una cuadrícula de 30 minutos por 30 minutos.

195


ii)

Determinar en cada área fuente, los coeficientes a y b de la ecuación (8.25) por medio de una regresión exponencial con los datos correspondientes a sismos de magnitud mayor o igual a Mmin. Siendo Mmin la magnitud mínima seleccionada en el estudio. Un valor adecuado de M min = 4.0 .

iii)

Determinar la longitud de rotura de la falla y la máxima magnitud esperada.

iv)

Calcular la frecuencia anual de ocurrencia de aceleraciones en cada vértice de la cuadrícula. Un programa que fue muy utilizado para el efecto fue el desarrollado por Mc Guire (1976). Previamente se habrá seleccionado una ley de atenuación de movimiento del suelo.

v)

Obtener la aceleración o velocidad máxima esperada en cada vértice de la retícula, utilizando el programa: "Line Source Model" de Der Kiureghian y Ang (1977) o utilizando una distribución de valores extremos tipo II que fue lo seleccionado para el caso de Ecuador, Aguiar (1982). La distribución de valores extremos tipo II, aplicada al caso de aceleraciones, es de la siguiente forma:

ln[− ln F ( A)] = − β ln K − β ln Amax

(8.52)

que puede escribirse de la siguiente manera:

F ( A ) = e − ( kA max )

−β

(8.53)

siendo F(A) la probabilidad de no excedencia de la aceleración máxima Amax. Los parámetros β y k se obtienen del ajuste por mínimos cuadrados. vi)

♣

Se dibuja el mapa de isoaceleraciones, si se ha estado trabajando con aceleraciones o puede ser el mapa de isovelocidades o el parámetro seleccionado para el estudio de la peligrosidad sísmica.

En la tabla 8.14, se indica las tasas de ocurrencia esperadas en Quito, Aguiar (1982), para diferentes aceleraciones del suelo. Esto se obtiene de un estudio de peligrosidad sísmica y se desea determinar la aceleración máxima del suelo en roca para una vida útil de la estructura de 50 años y con una probabilidad de excedencia del 10%

Tabla 8.14

Aceleración máxima y tasa media de ocurrencia para Quito

LUGAR

ACELERACÍON MÁXIMA (cm/s2)

TASA DE OCURRENCIA (veces/año)

Quito

50 100 150 200 250 300 400 500

0.382 0.0389 0.0105 0.00392 0.00177 0.000891 0.000269 0.0000996

196


•

Solución

Con los datos de la Tabla 8.14, se obtuvo que la relación entre el ln A y el ln[-ln F(A)] es lineal de la forma planteada en la ecuación (8.52), con lo cual se determina: β=3.543

k=0.025

La ecuación (8.53) es válida para un año. Para el caso de 50 años, tiempo de la vida útil de las estructuras, lo que cambia es el valor de k, ahora será

k

1 1

50

. En consecuencia la

β

ecuación (8.53), queda:

F ( A) = e

⎛ ⎞ −β ⎜ k ⎟ −⎜ 1 Amax ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 50 β ⎠

(8.54)

Para el sismo raro o severo, la probabilidad de no excedencia en 50 años se consideró del 90%. Luego al reemplazar en la ecuación (8.54), se tiene:

0.9 = e

⎛ ⎞−β ⎜ k ⎟ −⎜ 1 Amax ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 50 β ⎠

de donde: 1

1 ⎛ ⎞ 50 Amax = ⎜ ⎟ k ⎝ 0.10536 ⎠ β

1

β

(8.55)

Reemplazando los valores de k y β, encontrados para Quito, en la ecuación (8.55) se obtiene: Amax = 227.37 cm/s2 = 0.232 g

♣

Para el caso de puentes, se considera que la vida útil es de 75 años. Se desea conocer el valor de la aceleración máxima en roca, con una probabilidad de no excedencia del 90%. Si β = 3.543 y k = 0.025.

•

Solución Al reemplazar los valores de β y k en la ecuación (1.25) pero considerando 75 años en lugar de 50, se tiene:


1 ⎛ ⎞ Amax = ⎜ ⎟ ⎝ 0.10536 ⎠

1 3.543

197

1 3.543

75 = 255.35 cm / s 2 = 0.216 g 0.025

La aceleración para 75 años es mayor que la aceleración para 50 años en 12.3%, con los datos del ejemplo.

8.12 CONCLUSIONES Se ha presentado una propuesta para obtener formas espectrales para cuatro niveles de diseño sísmico, denominados por VISION 2000 como: frecuente, ocasional, raro y muy raro, para Venezuela, Colombia, Ecuador, Perú, Venezuela y Argentina, las mismas que se derivan a partir del espectro elástico definido para el sismo raro en las normativas sísmicas vigentes al 2003 en los países mencionados.

8.13

RECOMENDACIONES

Es muy importante que en Latinoamérica se defina el período medio de retorno de los cuatro sismos recomendados por VISION 2000, debido a que estos períodos responden a la sismicidad de California que es diferente a la de Sur América. Por ejemplo en el siglo XX se registraron 6 eventos de magnitud mayor a 7 en California, mientras que en ese mismo siglo se registraron 3 sismos en Venezuela, 17 en Colombia, 15 en Ecuador, 49 en Perú, 92 en Chile y 23 en Argentina de magnitud mayor a 7 (Bulletin ISC).

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CAPÍTULO 9

APLICACIÓN DEL MÉTODO DEL ESPECTRO DE CAPACIDAD, EL FACTOR DE REDUCCIÓN DE LAS FUERZAS SÍSMICAS Y TEORÍA DE ESPECTROS RESUMEN Se aplica el Método del Espectro de Capacidad para encontrar el punto de demanda de una estructura que puede estar situada en las zonas de mayor peligrosidad sísmica de Venezuela, Colombia, Ecuador, Perú, Chile y Argentina. Se determina el punto de demanda para cuatro espectros de riesgo sísmico uniforme denominados: frecuente, 50% de probabilidad de excedencia en 30 años; ocasional, 50% de probabilidad de excedencia en 50 años; raro, 10% de probabilidad de excedencia en 50 años y muy raro, 10% de probabilidad de excedencia en 100 años. Por otra parte, se indican varios estudios realizados para encontrar el factor de reducción de las fuerzas sísmicas, con los cuales se obtienen los espectros inelásticos que se los utiliza para determinar el punto de demanda de una estructura que va a trabajar en el rango no lineal.

9.1

INTRODUCCIÓN

La tendencia del análisis sísmico es el análisis no lineal. Si bien es cierto esta forma de trabajo todavía se lo realiza mayoritariamente a nivel de investigación científica no es menos cierto que programas comerciales como el SAP 2000 ya están incluyendo módulos que permiten realizar análisis no lineal. Se tienen dificultades todavía en preparar los datos para el análisis no lineal. En efecto no es fácil definir los modelos constitutivos que definen la no linealidad del material, no es fácil Capítulo publicado en las XVI Jornadas Nacionales de Ingeniería Estructural, realizadas en Guayaquil, Ecuador en 2003.

202


determinar la degradación de rigidez en la descarga o la degradación de resistencia o el efecto de cierre de grietas por comportamiento inelástico. Se requiere cierta experiencia para ello. Una vez superado este problema se presenta otro con el análisis no lineal cual es la gran cantidad de información que reportan los programas. Como se realiza un análisis paso a paso se tiene una gran cantidad de información que dificulta la interpretación de los resultados. Sin embargo la tendencia de la Ingeniería Sísmica es por el Análisis No Lineal. Desde hace muchos años se viene cuestionando al Método de Superposición Modal como método de análisis sísmico por ese motivo en los principales Centros de Investigación Científica del Mundo se ha venido trabajando en otros posibles métodos de análisis que sean más confiables pero que no sean tan complicados como el Análisis No Lineal. En esta línea de investigación en este libro se presentan tres métodos de análisis los mismos que tienen una base en común cual es el Análisis No Lineal Estático. Los tres métodos que se presentan son el Método del Sistema Lineal de Corte, el Método del Sistema Equivalente y el Método del Espectro de Capacidad. Estos Métodos constituyen un caso intermedio entre lo “exacto” que sería el análisis no lineal y lo “aproximado” que representa el Método de Superposición Modal. Los dos primeros se tratarán muy rápidamente en este capítulo pero con detenimiento en los siguientes capítulos. El Método del Sistema Lineal de Corte, Aguiar (2002), sirve para estructuras conformadas por vigas y columnas; la base de partida es el cálculo de la rigidez de piso de la curva de Capacidad Resistente Sísmica, la misma que se obtiene aplicando la técnica del pushover. Se destaca que varios investigadores de prestigio mundial están trabajando en un método basado en el Eje de Corte entre ellos Chopra y Goel (2002) con un procedimiento de análisis que es bastante complejo. El análisis sísmico se realiza en el eje de corte y luego los resultados se pasan a la estructura original. El Método del Sistema Equivalente, en el que a partir de la estructura se determina un sistema de un grado de libertad en el cual se realiza el análisis sísmico. Algunos investigadores han presentado modelos de cálculo para obtener el sistema equivalente de un grado de libertad entre ellos se tiene el de Esteva (1999), Rodríguez (1994), Fajfar (1996), Aguiar (2002), Ayala (2001). El análisis sísmico se ejecuta en el sistema de un grado de libertad y posteriormente se pasan estos resultados al sistema con n grados de libertad.

9.2

MÉTODO DEL ESPECTRO DE CAPACIDAD

Otro método de análisis que se presenta es este capítulo es el denominado Método del Espectro de Capacidad, si bien es cierto este método fue propuesto inicialmente por Freeman (1975), Freeman et al (1978) y luego fue olvidado, en la última década nuevamente se lo ha vuelto a utilizar con una serie de modificaciones. El ATC-40 en 1996 presentó tres procedimientos de cálculo con este método los mismos que han sido criticados por otros investigadores quienes han presentado nuevas propuestas a este método que tiene una gran ventaja sobre los otros métodos y es que en un solo gráfico se puede visualizar el probable comportamiento de la estructura ante un sismo dado. En la figura 9.1 se presenta un espectro de demanda para un sismo determinado y a la izquierda se tiene una estructura sin diseño sísmico cuyo espectro de capacidad se encuentra muy distante del espectro de demanda en consecuencia va a tener gran daño. Por el contrario la estructura de la derecha de la figura 9.1 tiene un mayor espectro de capacidad y tendrá un mejor comportamiento sísmico. Mientras más alejado se encuentre el espectro de capacidad del espectro de demanda mayor será el daño que se espera, esta visualización no es posible apreciarla con los métodos indicados en el apartado anterior.


203

Figura 9.1 Visualización del probable comportamiento sísmico de dos estructuras. Cuando se necesita reforzar una estructura es necesario conocer cual es la capacidad resistente de la estructura original y una vez que se ha reforzado la edificación nuevamente se encuentra la capacidad resistente de la estructura reforzada, como se aprecia en la figura 9.2. Este incremento de resistencia y ductilidad de la edificación se visualiza en el espectro de capacidad y el comportamiento ante un sismo determinado en el Método del Espectro de Capacidad.

Figura 9.2 Visualización del incremento de resistencia y ductilidad en una edificación y del probable desempeño sísmico.

9.3

EXPLICACIÓN DEL METODO DEL ESPECTRO DE CAPACIDAD

En el Método del Espectro de Capacidad se coloca en un solo gráfico el Espectro de Capacidad y el Espectro de Demanda, como se aprecia en las figuras 9.1 y 9.2. El punto de cruce de los dos espectros determina el punto de demanda que no es otra cosa que aquel punto de desplazamiento lateral máximo en el sistema de un grado de libertad de la estructura. Pero este punto de demanda debe ser tal que la demanda de ductilidad de la acción

204


sísmica sea igual a la demanda de ductilidad de la estructura. Para lograr esto se realiza un cálculo interactivo. La idea fundamental del Método del Espectro de Capacidad se indica en la figura 9.3. El ATC-40 recomienda que se obtenga el espectro inelástico en función del coeficiente de amortiguamiento viscoso efectivo he indica tres formas de cálculo para determinar el punto de demanda. Tanto la forma de obtener el espectro inelástico como los procedimientos de cálculo han sido muy criticados por Chopra y Goel (1999 y 2000) fundamentalmente. Por lo que se recomienda encontrar los espectros inelásticos por medio del factor de reducción de las fuerzas sísmicas R µ ,ξ descrito en el apartado siguiente.

Figura 9.3 Descripción del Método del Espectro de Capacidad para determinar el punto de demanda

9.4

FACTORES DE REDUCCIÓN

Los espectros inelásticos se obtienen en función del factor de reducción de las fuerzas sísmicas R µ ,ζ el mismo que se define de la siguiente manera:

R µ ,ζ ( µ o , ζ o , To ) = FS ( µ = 1, ζ = 0.05, To ) / FS ( µ o , ζ o , To ) siendo

µ o , ζ o , To ,

( 9.1 )

los valores específicos de la demanda de ductilidad, amortiguamiento y

período, asociados a la estructura en la cual se determina el factor de reducción de fuerzas R µ ,ζ . En la ecuación (9.1) FS es la fuerza sísmica. Existen una gran cantidad de trabajos para estimar los factores de reducción de las fuerzas sísmicas, entre los que se destacan los desarrollados por Wu y Hanson en 1989, Nassar y Krawinkler en 1991, Miranda en 1993, Ordaz y Pérez en 1998, Vidic, Fajfar y

205


Fishinger en 1999, Chopra y Goel en 1999, Danny Arroyo en 2001.Lee et al en 1999. A parte de todo esto se tienen las recomendaciones dadas por FEMA 273. Todo esto demuestra que se debe tener bastante cuidado al seleccionar una determinada ecuación de R µ ,ζ para obtener los espectros inelásticos a partir de los elásticos. Es importante conocer la fuente de los datos sísmicos en base a los cuales se obtuvieron los factores de reducción de las fuerzas sísmicas y de esa manera seleccionar la más adecuada de acuerdo a la ubicación de la construcción. Por ejemplo si se trata de analizar una edificación situada en suelo blando del Distrito Federal de México, lo más adecuado sería utilizar las ecuaciones propuestas por Arroyo para dicho tipo de suelo. Los trabajos indicados se describen a continuación.

9.4.1 Factor de reducción de Wu y Hanson En base al estudio de diez acelerogramas, registrados la mayoría en suelo firme, Wu y Hanson (1989) encontraron la respuesta no lineal, en un sistema de un grado de libertad SDOF con comportamiento elastoplástico perfecto y proponen la siguiente expresión Ψµ ,ζ , con la cual se determina el factor de reducción de las fuerzas R µ ,ζ .

Ψµ ,ζ = p ln(qζ ) [rµ − (r − 1)]

( 9.2 )

s

ζ , es el amortiguamiento equivalente, µ es la ductilidad y los valores de p, q, r y s , vienen definidos en la tabla 9.1. El factor de reducción R µ ,ζ , se obtiene reemplazando en la ecuación (9.2) µ =1 y ζ = 0.05 . Esta cantidad hay que dividirla para los valores de µ y ζ , donde

para los cuales se desee calcular. Tabla 9.1 Valores de p, q , r y T (s) P -0.35 0.1 -0.55 0.5 -0.47 0.5-3.0 -0.48 3 -0.29 10

s

obtenidos por regresión por Wu y Hanson.

Q 0.10 0.42 0.52 0.48 0.05

r 2.9 1.8 1.5 1 1

Del análisis de la ecuación (9.2) se deduce que al aumentar

S -0.24 -0.56 -0.70 -1.0 -1.0

ζ , conduce a un

incremento notable en R µ ,ζ , aún para valores altos de ductilidad.

9.4.2

Factor de reducción de Nassar y Krawinkler

Del estudio de la respuesta dinámica de sistemas SDOF, sujetos a acelerogramas de sismos registrados en el oeste de Estados Unidos, Nassar y Krawinkler (1991) proponen una ecuación para el factor de reducción de la respuesta R µ . Se consideró en el estudio, la distancia epicentral, el período del sistema, el tipo de comportamiento histerético y la ductilidad, encontrándose que la distancia epicentral no tiene un efecto significativo en el valor R µ .La mayor parte de los registros utilizados en el estudio son registros de suelo firme y aluvial.

206

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE Rµ = [c( µ − 1) + 1]

1/ c

( 9.3 )

donde c , es función del período del sistema T y de la relación entre la rigidez postfluencia y la rigidez inicial elástica α . Los valores de a y b , se indican en la tabla 9.2.

c(T , α ) =

Tabla 9.2 Valores

α

( 9.4 )

a y b obtenidos por Nassar y Krawinkler en función de α . A 1.00 1.00 0.80

0.00 0.02 0.10

9.4.3

Ta b + a T 1+ T

B 0.42 0.37 0.29

Factor de reducción de Miranda

Miranda (1993) presenta factores de reducción de las fuerzas sísmicas en función del tipo de suelo, aspecto que no lo tenían en consideración los otros trabajos, para esto encontró la respuesta no lineal con comportamiento elastoplástico de 124 acelerogramas registrados en roca, suelo blando y depósitos aluviales. Determinó que las condiciones de suelo tienen un efecto importante en la forma de los factores de reducción. En suelo blando, destaca que la relación entre el período del sistema y el período de la excitación tienen un efecto notable en el factor de reducción. Por otra parte, señala que la distancia epicentral no tiene un efecto importante en el factor de reducción.

Rµ =

µ −1 +1 ≥ 1 φ

( 9.5 )

donde φ , es un factor que depende del tipo de suelo y está definido por (9.6) para sitios en roca, ( 9.7 ) para depósitos aluviales y ( 9.8 ) para suelos blandos. 2 ⎡ 3⎛ 1 1 3⎞ ⎤ φ = 1+ − exp ⎢− ⎜ ln T − ⎟ ⎥ 10 T − µ T 2 T 5 ⎠ ⎦⎥ ⎢⎣ 2 ⎝ 2 ⎡ ⎛ 1 2 1⎞ ⎤ φ = 1+ − exp ⎢− 2⎜ ln T − ⎟ ⎥ 12 T − µ T 5 T 5 ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎝ 2 ⎡ ⎛ T ⎞ ⎤ 1 φ = 1+ − exp ⎢− 3⎜ ln − ⎟ ⎥ 3T 4 T ⎢ ⎜⎝ T g 4 ⎟⎠ ⎥ ⎣ ⎦

Tg

3 Tg

( 9.6 )

( 9.7 )

( 9.8 )

siendo T g , el período de vibración del suelo. Por lo tanto si se desea considerar la influencia del suelo, especialmente cuando se tienen suelos blandos, se recomienda trabajar con los

207


factores de reducción de Miranda. Por otra parte, se destaca que aún para suelos firmes se pueden alcanzar valores de R µ mayores a la demanda de ductilidad µ .

9.4.4

Factor de reducción de Ordaz y Pérez

Con un enfoque un tanto diferente, Ordaz y Pérez (1998), proponen una ecuación para el factor de reducción de resistencia que es función del desplazamiento espectral para el período considerado D (T ) y el desplazamiento máximo del suelo Dmax . Ellos encontraron la respuesta dinámica en un sistema SDOF, considerando 445 acelerogramas registrados en diferentes tipos de suelo. La ecuación a la que llegan es la siguiente:

⎛ D (T ) ⎞ ⎟⎟ Rµ (T ) = 1 + ⎜⎜ ⎝ D max ⎠

ζ (µ )

( µ − 1)

( 9.9 )

ζ ( µ ) = 0.388( µ − 1) 0.173

( 9.10 )

Las ecuaciones indicadas pueden ser utilizadas para determinar el factor de reducción, para valores de amortiguamiento menores al 10%, calculando los desplazamientos espectrales correspondientes al nivel de amortiguamiento para el cual se desea encontrar el factor de reducción.

9.4.5

Factor de reducción de Vidic, Fajfar y Fishinger

Al encontrar la respuesta no lineal de un sistema SDOF, con comportamiento Bilineal, Vidic, Fajfar y Fishinger (1999), han determinado las siguientes ecuaciones para el factor de reducción.

Rµ = 1.35 ( µ − 1) 0.95

T +1 To

Rµ = 1.35 ( µ − 1) 0.95 + 1 T o= 0.75 µ 0.2 Tc Tc = 2π

T ≤ To T ≥ To

( 9.11 ) ( 9.12 ) ( 9.13 )

cv v g ca a g

donde Tc , es el período de transición entre el dominio de aceleración constante y de velocidad constante. v g , a g son la velocidad y aceleración máxima del suelo. c v , c a son factores de amplificación de velocidad y aceleración. Para Chile estos factores son 2.6 y 2.5, respectivamente. Por otra parte, µ , es la demanda de ductilidad.

9.4.6

Factor de reducción de Chopra y Goel

Los factores de reducción propuestos por Chopra y Goel (1999) son consistentes con los propuestos por Newmark y Hall y son los siguientes:

208


Rµ = 1

si T < Ta

( 9.14 )

Rµ = (2µ − 1) β / 2

si Ta < T
( 9.15 )

Rµ = 2 µ − 1

si Tb < T < Tc'

( 9.16 )

si Tc' < T < Tc

( 9.17 )

si T > Tc

( 9.18 )

Rµ =

T µ Tc

Rµ = µ

donde Ta = 1 / 33

s., Tb = 0.125 s., Tc , es el período al final de la rama de aceleración '

constante e inicio de la rama descendente. Tc , es el equivalente a Tc pero para el espectro inelástico.

9.4.7

Factor de reducción para suelo firme de ciudad de México, de Arroyo

Del estudio de la respuesta dinámica en un sistema SDOF, con comportamiento elastoplástico perfecto, considerando 152 acelerogramas registrados en México, Arroyo (2001), presenta las siguientes ecuaciones para el factor de reducción R µ ,ζ .

⎡ ⎛ Tα Rµ ,ζ = ⎢φ ⎜⎜ α ⎣ ⎝ β +T β = 0.16 α = 1.2

⎞ ⎤ ⎟⎟ + 1⎥ ⎠ ⎦

θ

φ = µ (3.4ζ + 1.4) − 1.2ζ −0.1 (µ − 4 ) θ=

0.93 − T

El exponente

67

( 9.19 ) ( 9.20 ) ( 9.21 ) ( 9.22 )

( 9.23 )

1 4µ

θ , define la velocidad con que la curva de R µ ,ζ , disminuye después de

alcanzar el máximo valor. Es importante destacar que en suelos firmes o duros, el factor de reducción vale uno para períodos muy cortos y va incrementándose hasta alcanzar su valor máximo, a partir del cual disminuye gradualmente hasta alcanzar el valor de µ , para períodos muy largos..

9.4.8

Factor de reducción para suelo blando de ciudad de México, de Arroyo

Del análisis de 152 acelerogramas registrados en suelo blando en México, Arroyo (2001), propone la siguiente ecuación para el factor de reducción R µ ,ζ .

209


⎛T ⎜ ⎜T ⎝ g

Rµ ,ζ =

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

θ

⎡T ⎤ b + ⎢ − 1⎥ ⎢⎣ Tg ⎥⎦ b = 0.175

( 9.24 )

ϕ +1

( 9.25 )

ϕ = 0.92µζ 0.17 + ζ − 0.6 θ=

9.4.9

( 9.26 )

µ4

( 9.27 )

2.5 + µ 4

Comentarios sobre los factores de reducción

Se han presentado los trabajos publicados por Wu y Hanson (1989), Nassar y Krawinkler (1991), Miranda (1993), Ordaz y Pérez (1998), Vidic, Fajfar y Fishingen (1999), Chopra y Goel (2001) y Dani Arroyo (2001). En estos trabajos se ha considerado un modelo elastoplástico perfecto o un modelo bilineal. No se ha considerado el deterioro de resistencia, el deterioro de rigidez y el efecto de cierre de grietas en los modelos constitutivos, utilizados para no definir la no linealidad del material. Parámetros que si lo considera el trabajo desarrollado por Lee et al. (1999), el mismo que será analizado en el siguiente apartado. Ahora lo que se desea comentar son las condiciones de frontera básica que deben satisfacer todos los trabajos. Estas, son: ¾

El factor de reducción R µ ,ζ , debe tender a 1 conforme el período tiende a cero. Independiente de los valores de demanda de ductilidad µ , amortiguamiento ζ , tipo de suelo y modelo de análisis. Esto debido a que la aceleración máxima de un sistema infinitamente rígido es igual a la aceleración máxima del suelo.

¾

El factor de reducción R µ ,ζ , debe tender a

µ conforme el período

tiende a infinito. Independiente de µ , ζ y del tipo de suelo. Debido a que el desplazamiento máximo relativo para un suelo muy flexible es prácticamente igual al desplazamiento máximo del suelo. ¾

El factor de reducción R µ ,ζ para

µ = 1 y ζ = 0.05 , debe valer 1. Por la

forma en que se definió R µ ,ζ .

9.5

FACTORES DE REDUCCIÓN MODELOS HISTERÉTICOS

CONSIDERANDO DIFERENTES

Uno de los pocos trabajos para calcular R µ ,ζ , en los cuales se considera el incremento de rigidez post fluencia, mediante la variable mediante la variable

α2 ,

α1 ,

el deterioro de resistencia

el deterioro de rigidez en la descarga mediante la variable

α3

y el

210


efecto de cierre de grietas mediante la variable α 4 ., es el desarrollado por Lee et al (1999). En la figura 9.4, se indican las variables utilizadas y los modelos histeréticos considerados.

Figura 9.4 Modelos histeréticos: (a) Bilineal; (b) Degradación de Resistencia; (c) Degradación de rigidez en la descarga y (d) efecto de cierre de grietas.

El estudio lo realizaron en base al análisis de 40 sismos registrados en suelo S1, en el que se incluyen sismos ocurridos en Estados Unidos, Alaska, México y El Salvador, fundamentalmente. El resultado al que llegan es el siguiente:

R µ ,ζ = R (T , µ ) × Cα 1 × Cα 2 × Cα 3 × Cα 4

( 9.28 )

donde R (T , µ ) es el factor de reducción de las fuerzas que se encuentran en un modelo elastoplástico perfecto.

Cα 1 , Cα 2 , Cα 3 y Cα 4 , son los factores de corrección debidos a los


211

(α 1 ) , degradación de resistencia (α 2 ) , degradación de rigidez en la descarga (α 3 ) y efecto de cierre de grietas (α 4 ) , respectivamente. modelos: bilineal

R (T , µ ) = Ao × [1 − exp(− B o × T )]

( 9.29 )

A o = 0.99 × µ + 0.15

( 9.30 )

Bo = 23.69 µ

− 0.83

( 9.31 )

El factor de corrección debido al modelo bilineal, viene definido por:

Cα 1 = 1.0 + A1 × α 1 + B1 × α 12

( 9.32 )

A1 = 2.07 × ln(µ ) − 0.28

( 9.33 )

B1 = −10.55 × ln( µ ) + 5.21

( 9.34 )

El factor de corrección por el deterioro de resistencia, viene dado, por:

Cα 2 =

1 A2 × α 2 + B2

( 9.35 )

A2 = 0.2 × µ + 0.42

( 9.36 )

B2 = 0.005 × µ + 0.98

( 9.37 )

El factor de corrección por deterioro de rigidez en la descarga, es:

Cα 3 =

0.85 + B3 × α 3 1 + C 3 × α 3 + 0.001 α 32

( 9.38 )

B3 = 0.03 × µ + 1.02

( 9.39 )

C 3 = 0.03 × µ + 0.99

( 9.40 )

Finalmente, el factor de corrección por efecto de cierre de grietas, es:

Cα 4 =

1 1 + 0.11 × exp(− C 4 × α 4 )

C 4 = −1.4 × ln( µ ) + 6.6

( 9.41 ) ( 9.42 )

Con el propósito de conocer el grado de influencia del modelo histerético con relación a los resultados que se obtienen del modelo elastoplástico perfecto. En las tablas 9.3 a 9.6, se indican los valores promedios encontrados por Lee et al (1999) para cada uno de los modelos. En la tabla 9.3, se presenta la relación entre los resultados que se obtienen en el modelo bilineal con rigidez postfluencia en relación al modelo elastoplástico perfecto. Se aprecia que el factor R µ se incrementa considerablemente conforme el coeficiente de rigidez postfluencia variable.

α1

crece y conforme la demanda de ductilidad crece. Si es significativa esta

212


Tabla 9.3 Comparación de R µ obtenido con el modelo bilineal en relación al modelo elastoplástico Demanda de ductilidad

µ=2 µ =3 µ=4 µ =5 µ =6 µ =8

perfecto.

α 1 = 0%

α 1 = 2%

α 1 = 5%

α 1 = 7%

α1 = 10%

α1 = 15%

100

103

107

109

112

117

100

104

110

113

116

120

100

105

112

116

119

122

100

106

114

118

122

124

100

107

115

119

123

125

100

108

117

122

126

127

Tabla 9.4 Comparación de R µ obtenido con modelo con degradación de resistencia en relación al modelo elastoplástico perfecto.

Demanda de ductilidad

µ=2 µ =3 µ=4 µ =5 µ =6 µ =8

α 2 = 0%

α 2 = 3%

α 2 = 6%

α 2 = 9%

α 2 = 12%

α 2 = 15%

100

98

96

94

91

89

100

97

94

92

89

87

100

96

93

90

87

84

100

95

91

88

85

82

100

95

91

87

84

80

100

94

89

85

81

77

En la tabla 9.4, se indica en cambio la influencia del modelo histerético con degradación de resistencia en relación al modelo elastoplástico perfecto. En la medida que existe una mayor pérdida de resistencia el factor de reducción disminuye. En forma general al examinar los resultados de las tablas 9.3 y 9.4, se puede decir que se equilibran los valores. Es decir los valores de reducción que se obtienen de un modelo elastoplástico perfecto son similares a los que se obtendrían de un modelo bilineal con rigidez postfluencia y con pérdida de resistencia. Esto en forma general. Tabla 9.5 Comparación de R µ obtenido con modelo con degradación de rigidez en la descarga, en relación al modelo elastoplástico perfecto.


µ=2 µ =3 µ=4 µ =5 µ =6 µ =8

α 3 = 15%

α 3 = 4%

α 3 = 2%

α 3 = 1%

α 3 = 0.5%

α 3 = 0%

100

99

97

94

91

85

100

99

97

94

91

85

100

99

97

94

91

85

100

99

97

94

91

85

100

99

97

94

91

85

100

99

97

94

91

85

En la tabla 9.5, se indican los resultados que se obtienen con el modelo histerético que contempla pérdida de rigidez en la descarga, en relación al modelo elastoplástico perfecto.

213


Se aprecia que el factor de reducción, disminuye y sorprendentemente no varía con la demanda de ductilidad. Tabla 9.6 Comparación de R µ obtenido con modelo que considera el efecto de cierre de grietas, en relación al modelo elastoplástico perfecto.


µ=2 µ =3 µ=4 µ =5 µ =6 µ =8

α 4 = 100%

α 4 = 40%

α 4 = 30%

α 4 = 20%

α 4 = 10%

α 4 = 5%

100

99

98

97

94

92

100

99

98

96

94

92

100

98

97

96

94

92

100

98

97

96

93

92

100

98

97

95

93

92

100

98

96

95

93

92

Finalmente, en la tabla 9.6, se muestran los resultados obtenidos con el modelo histerético que considera el efecto de cierre de grietas, en relación al modelo elastoplástico perfecto. Se nota una disminución del valor de reducción de las fuerzas. En general, se puede decir, que al considerar un modelo histerético que considere rigidez postfluencia, deterioro de resistencia, deterioro de rigidez en la descarga y efecto de cierre de grietas. Los valores del factor R µ , son menores a los que se obtienen en el modelo elastoplástico perfecto.

9.6

PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO

Se ha dedicado dos apartados a los factores de reducción de las fuerzas sísmica por la importancia que tienen en la obtención del espectro inelástico, que se necesitan para calcular el punto de demanda en el Método del Espectro de Capacidad. M.E.C. Ahora se presenta el procedimiento de cálculo para encontrar el punto de demanda de una estructura espacial, ante la acción de cuatro sismos definidos por su respectivo espectro. La estructura de análisis se indica en la figura 9.5, tiene 4 pisos con una altura de entrepisos de 3.0 m., con columnas cuadradas de 40 cm. de lado en todos los pisos y tienen una cuantía de acero del 2 %, los estribos son de 10 mm. de diámetro a 10 cm. en los extremos y 20 cm. en el centro de luz. Las vigas de los dos primeros pisos son de 30/40 y de los dos últimos pisos 25/35 cm. (b/h) El refuerzo de todas las vigas, inferior y superior tienen una cuantía mecánica de 0.60 y el refuerzo transversal es igual al de las columnas. En resumen la estructura de análisis que se indica en la figura 9.5 está conformada por 3 pórticos en sentido X y 3 pórticos en sentido Y. Cada uno de los pórticos tiene la misma curva de capacidad resistente sísmica. Se trata de una estructura bastante reforzada y que tiene un hormigón con un f c' = 210 Kg / cm 2 , y un acero con un límite de fluencia

f y = 4200 kg / cm 2 . Se considera que ésta estructura se halla ubicada en la zona de mayor peligrosidad sísmica de Chile, sobre un perfil de suelo S3 y que está destinada para vivienda. Los espectros

214


de análisis son los indicados en el capítulo anterior en la figura 8.10 y que se repiten en la figura 9.6

Figura 9.5 Estructura de análisis de cuatro pisos, con columnas de 40/40 (todas) y vigas de 30/40 en los dos primeros pisos y de 25/35 en los pisos superiores. Altura de entrepiso 3.0 m.

Figura 9.6 Sismos de Análisis: Frecuente (43 años), Ocasional (72 años), Raro (475 años) Y Muy Raro (970 años). Entre paréntesis se indica el período de retorno.

9.6.1

Capacidad resistente para el caso plano

Se obtienen las curvas de capacidad resistente de cada uno de los pórticos planos de la estructura, empleando la Técnica del Pushover. En este ejercicio se consideró el modelo de


215

hormigón confinado de Park et al (1982) y para el acero un modelo trilineal que contempla incremento de esfuerzos en la zona de endurecimiento. Por otra parte se trabajó con el modelo de plasticidad extendida de Thom et al (1983) el mismo que considera la inelasticidad en cuatro resortes, dos en cada extremo del elemento, uno de ellos es para considerar el comportamiento a flexión y el otro para tomar en cuenta el comportamiento a corte. En la figura 9.7 se presenta la curva de capacidad para uno de los pórticos, como todos tienen la misma sección transversal, armadura longitudinal y transversal, es la curva de capacidad típica de un pórtico de la estructura de 4 pisos que se está analizando. El colapso o fallo de la estructura se ha considerado asociado a un desplazamiento lateral máximo cercano al 4% de la altura total del edificio.

Figura 9.7 Curva de capacidad resistente de un pórtico tipo del edificio de cuatro pisos.

9.6.2

Modelo bilineal de la curva de capacidad resistente

Una vez que se tiene la curva de capacidad resistente sísmica de cada uno de los pórticos que relaciona el cortante basal con el desplazamiento lateral máximo, se obtiene un modelo bilineal de la capacidad resistente en el que quede perfectamente definido el rango elástico y el rango plástico, por el punto de fluencia del pórtico. Existen varios modelos para encontrar el punto de fluencia, Aguiar (2002), uno de los más utilizados y es el que se utiliza en el presente trabajo es el las áreas iguales que consiste en determinar el modelo bilineal de tal manera que el área de la curva indicada en la figura 9.7 sea aproximadamente igual al área del modelo bilineal. Por otro lado, la rigidez elástica del modelo bilineal debe pasar aproximadamente por el punto cuya ordenada es el 60% del cortante de fluencia.

216


Figura 9.8 Modelo bilineal de la curva de capacidad resistente de un pórtico tipo. En la figura 9.8 se indica el modelo bilineal obtenido para el pórtico tipo de la estructura de cuatro pisos. El punto de fluencia tiene las siguientes coordenadas: d ty = 0.124 m. , desplazamiento de fluencia; v y = 56.12 T . , cortante de fluencia. Las pendientes de las dos rectas representan la rigidez elástica

k e y la rigidez de postfluencia k p . Para el cálculo de la

capacidad resistente de la estructura espacial interesa también determinar el desplazamiento de fallo del pórtico d tu . Los resultados obtenidos para el pórtico se resumen en la tabla 9.7 Tabla 9.7 Parámetros que definen la curva de capacidad resistente del modelo bilineal de pórtico tipo.

9.6.3

d ty

vy

ke

kp

d tu

(m.) 0.124

(T.) 56.12

(T/m.) 452.54

(T/m.) 28.80

(m.) 0.48

Capacidad resistente de estructura espacial

El modelo numérico de cálculo con el cual se obtiene la curva de capacidad sísmica espacial, indicado en el capítulo 5, considera que cada pórtico es un elemento, los mismos que están unidos entre si por medio de una losa rígida con tres grados de libertad, dos desplazamientos horizontales y una rotación de piso. Cada elemento tiene un comportamiento bilineal definido por una rigidez elástica k e y una rigidez post fluencia k p . Por este motivo para cada pórtico se deben encontrar los parámetros indicados en la tabla 9.7


217

La curva de capacidad sísmica espacial para la estructura de 4 pisos que se analiza se indica en la figura 9.9.

Figura 9.9 Capacidad resistente sísmica espacial de estructura de cuatro pisos.

9.6.4

Espectro de capacidad

Una vez que se tiene la curva de capacidad sísmica resistente, para la estructura espacial se encuentra el espectro de capacidad, cuya teoría está descrita en el capítulo 7. Se considera en el ejemplo que se está resolviendo que cada piso tiene una masa total de

6.633 T s 2 / m. , y es igual en todos los pisos. El espectro de capacidad de la estructura es una definición que está asociada a un sistema de un grado de libertad, SODF. Al aplicar el M.E.C. lo que se encuentra es el desplazamiento lateral en el sistema SDOF. Para encontrar este desplazamiento en el sistema de múltiples grados de libertad se aplica la siguiente ecuación:

Dt = γ S d

( 9.43 )

S d es el desplazamiento lateral en el sistema SDOF, que se obtiene aplicando el M.E.C.; γ es el factor de participación modal asociado al modo para el cual se obtuvo el espectro de capacidad; Dt es el desplazamiento lateral en el sistema MDOF. Por los modelos

donde

numéricos de cálculo con los cuales se obtienen la curva de capacidad resistente y el espectro de capacidad, en este trabajo, el factor de participación modal γ = 1 .

218


Figura 9.10 Espectro de capacidad de la estructura analizada de 4 pisos. En la figura 9.10 se indica el espectro de capacidad de la estructura analizada, se aprecia que es bilineal debido a que la curva de capacidad resistente espacial, también lo es. El desplazamiento espectral de fluencia es 0.124 m.

Figura 9.11 Descripción del procedimiento de cálculo para el Sismo Muy Raro.

219


9.6.5

Cálculo del punto de demanda

En la figura 9.11 se describe el cálculo del punto de demanda para el sismo muy raro. La figura superior corresponde al espectro de demanda elástico µ = 1 , se aprecia que la intersección de este espectro con el espectro de capacidad está alrededor de 0.32 m. En consecuencia la demanda de ductilidad µ o = 0.32 / 0.124 = 2.58 . El punto de demanda se

(

obtiene cuando

)

µ ≈ µo .

Se van obteniendo espectros inelásticos y se determina la intersección de estos espectros con el de capacidad, hasta conseguir que µ ≈ µ o . En la figura 9.11 también se

µ = 1.5524 , que es de 0.275, con lo que µ o = 0.275 / 0.124 = 2.21 . El valor de µ ≠ µ o por lo que se debe continuar con el proceso

presenta el punto de demanda para de cálculo.

µ = 1.9153 se tiene que el punto de demanda es 0.2375 m., con lo que se µ o = 0.2375 / 0.124 = 1.9153. Por lo tanto µ = µ o , y Con el espectro inelástico obtenido para

se ha encontrado el desplazamiento lateral máximo para el sismo muy raro. Al proceder de igual manera con los otros sismos indicados en la figura 9.6 se encuentran los puntos de demanda que están indicados en la tabla 9.8 y se muestran en la figura 9.12.

Figura 9.12 Puntos de demanda de la estructura de cuatro pisos ante los sismos: frecuente, ocasional, raro y muy raro que se esperan en Chile.

220

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE Tabla 9.8 Desplazamientos laterales máximos esperados en estructura situada en Chile. SISMO DESPLAZAMIENTO DUCTILIDAD LATERAL MÁXIMO (m.) Muy Raro 0.2375 1.9153 Raro 0.1850 1.4919 Ocasional 0.1125 1.000 Frecuente 0.080 1.000

Al analizar en forma rápida la figura 9.12 se puede decir que el punto de demanda para el sismo muy raro esta bastante alejado del punto de fallo de la estructura. En consecuencia la estructura tiene un muy buen desempeño sísmico y se podría pensar en que la estructura está sobredimensionada. Pero si se considera que existen normativas sísmicas como la de México que consideran el colapso cuando el desplazamiento lateral máximo es del orden del 2% de la altura total del edificio, que para el ejemplo sería de 0.24 m., en este caso el punto de demanda encontrado para el sismo muy raro estaría prácticamente en el colapso.

9.7

ANÁLISIS EN DIFERENTES LUGARES SÍSMICOS DE SUR AMÉRICA

En la tabla 9.9 se presenta el desplazamiento lateral de la estructura de cuatro pisos que ha sido analizada en el apartado anterior, si esta se halla ubicada en las zonas de mayor peligrosidad sísmica de Venezuela, Colombia, Ecuador, Perú, Chile y Argentina. Además todas ellas se hallan ubicadas sobre un perfil de suelos S3, de acuerdo a las normativas sísmicas vigentes al 2003 en los países indicados. Los espectros de demanda de análisis son los mostrados en el capítulo anterior, para los sismos: frecuente, ocasional, raro y muy raro.

Tabla 9.9 Desplazamientos esperados en una estructura de cuatro pisos ubicada en las zonas de mayor peligrosidad sísmica de Países Sur Americanos. Sismo Venezuela Colombia Ecuador Perú Chile Argentina ( m.) ( m.) ( m.) ( m.) ( m.) ( m.) Muy Raro 0.26 0.21 0.26 0.32 0.24 0.25 Raro 0.21 0.16 0.20 0.26 0.19 0.19 Ocasional 0.13 0.11 0.12 0.16 0.11 0.12 Frecuente 0.09 0.08 0.08 0.11 0.08 0.09

9.8

ESPECTROS ELÁSTICOS

En el Método de Análisis Sísmico que se acaba de estudiar se trabaja con el Espectro de Demanda pero vale la pena que se conozca algo más sobre los espectros en general que se utilizan en la Ingeniería Sismo Resistente por este motivo el presente apartado está dedicado se muestra la teoría básica de los Espectros Elásticos.

9.8.1

RESEÑA HISTÓRICA

Por los años de 1915, Naito diseñaba sus estructuras ante sismos considerando como fuerzas laterales una fracción del peso de sus elementos y sus edificaciones tuvieron un buen comportamiento durante el sismo de Tokyo de 1923 lo que no ocurrió con otras edificaciones


221

que colapsaron. El primer código de diseño sísmico del mundo fue el de Japón de 1919, Rosenblueth (1965). A partir de 1930 se reconoció el problema sísmico como un problema de dinámica de estructuras y ya se empezaron a definir modelos numéricos de cálculo, Suyehiro (1932), Freeman (1932), en los que se establecieron bien las variables involucradas. En 1934 Benioff introduce la definición de espectro de respuesta. Sin embargo de esto todavía existen proyectistas estructurales que a lo mucho la naturaleza dinámica del problema sísmico, la consideran al calcular el cortante basal Vo; por otra parte, determinan el período de vibración T de la estructura utilizando ecuaciones muy elementales, lo propio realizan con la determinación de las fuerzas laterales estáticas equivalentes. Existen importantes avances en el análisis lineal y no lineal de estructuras que deben ser acogidas. En 1952, Housner presenta el pseudo espectro de velocidades. Luego en 1959, Housner propuso el primer grupo de formas espectrales promedio, normalizando para el efecto 8 registros obtenidos de los siguientes terremotos: El Centro 1934 y 1940, Western Washington, (Olympia) 1949 y Kerb County (Taft) 1952. Hayashi, Tsuchida y Kurata en 1971, presentan formas espectrales promedio trabajando con 61 acelerogramas registrados en Japón, lamentablemente muchos de los registros tenían aceleraciones muy bajas y las condiciones del subsuelo en las estaciones de los registros se conocen parcialmente, por estos motivos los resultados obtenidos son considerados como preliminares. Newmark, Blume y Kapur en 1973 presentaron los resultados a los que llegaron trabajando con acelerogramas cuya aceleración máxima del suelo es mayor que 0.1g. Los estudios realizados los dividieron en dos grupos. ... En el primer grupo obtuvieron espectros normalizados con respecto a la aceleración máxima del suelo ..., para el efecto trabajaron con 33 registros. ... En el segundo grupo obtuvieron espectros normalizados con respecto a la velocidad máxima del suelo ..., en este caso trabajaron con 28 registros. En los estudios realizados no se clasificó los registros de acuerdo al tipo de suelo. Fue Shannon & Wilson/Agbabian Associates (1974) quienes clasificaron los registros de Newmark et al(1973) en función del tipo de suelo en el cual fueron registrados; concretamente, consideraron tres tipos de suelos: roca, suelos rígidos y suelos profundos obteniendo formas espectrales diferentes para cada tipo de suelo. Seed, Ugas y Lysmer (1976) ampliaron el estudio y consideran 104 registros obtenidos en sitios en los cuales se conoce con cierta exactitud las condiciones del suelo. El trabajo realizado ha servido como base para la formulación de normativas sismo resistentes. Por otra parte, es abundante el trabajo desarrollado para la construcción de espectros tripartitos. Sin embargo se debe indicar que Hudson (1962) fue uno de los pioneros en la definición de pseudo espectros, las investigaciones han continuado por parte de Newmark y Hall en 1969, Mhoraz, Hall y Newmark en 1972, Riddell y Newmark en 1979, García y Riddell en 1995.

9.8.2

Espectros de respuesta

La Norma de edificaciones antisísmicas de Venezuela (1982) presenta la siguiente definición de espectro: Define la respuesta máxima de osciladores de un grado de libertad y de un mismo amortiguamiento, sometidas a una historia de aceleraciones dada, expresada en función del período. En resumen, el espectro es un gráfico en cuya abscisa se presenta el período o la frecuencia natural de vibración y en la ordenada se indica el parámetro de respuesta máxima que se ha seleccionado. Normalmente este parámetro es la aceleración, velocidad o desplazamiento.

222


9.8.3 Sistema de un grado de libertad La ecuación diferencial del movimiento para un sistema de un grado de libertad sometida a una acción sísmica, es:

mq&&(t ) + cq& (t ) + kq (t ) = − mU&&g (t )

(9.44)

donde m, c, k son la masa, amortiguamiento y rigidez del sistema, q (t ), q& (t ), q &&(t ) son el

&

&& g (t ) es desplazamiento, velocidad y aceleración relativos de la masa con respecto al suelo, U la aceleración de la excitación sísmica. La ecuación (9.44) es para el análisis sísmico lineal en el cual se ha considerado amortiguamiento viscoso. Por otra parte, se define:

Wn =

ζ =

k m

c c = ccr 2 mk 2π Wn = T

(9.45) (9.46) (9.47)

siendo Wn la frecuencia natural no amortiguada y ζ la fracción de amortiguamiento crítico. En función de estas últimas variables, la ecuación (9.44) puede rescribirse de la siguiente manera:

q&&(t ) + 2 ζ Wn q& (t ) + Wn2 q(t ) = − U&& g (t )

(9.48)

En general, existe dos formas de resolver la ecuación diferencial de segundo orden indicada en la ecuación (9.48) que son: i) encontrar una solución analítica exacta, y, ii) encontrar una solución aproximada empleando métodos numéricos. Para la solución analítica se puede trabajar con la integral de Duhamel, cuya respuesta, es:

q (t ) = −

1 Wa

t

∫ U&& 0

g

(τ ) e −ζWn ( t −τ ) Sin[Wa (t − τ )]dτ

(9.49)

Wa = Wn 1 − ζ 2

(9.50)

La ecuación (9.49) corresponde a la solución particular de la ecuación diferencial (9.48). La solución homogénea no se incluye en la ecuación (9.49) toda vez que la excitación se aplica cuando el sistema está en reposo. En estas condiciones los términos correspondientes a la vibración libre (solución homogénea) son nulos. La segunda forma de solución, es mediante métodos numéricos. En este contexto uno de los algoritmos más utilizados es el Método de Newmark, utilizando el valor de β =1/6 que corresponde a variación lineal de la aceleración. Al derivar, con respecto al tiempo t la ecuación (9.49), se obtiene una expresión para calcular la velocidad q& (t ) y derivando de nuevo se encuentra la aceleración q &&(t ) .


223

Los espectros de respuesta en desplazamiento Sd, velocidad Sv y aceleración Sa, se obtienen para un cierto acelerograma, como los máximos valores de la respuesta del sistema.

Sd = q(t ) max

( 9.51)

Sv = q& (t ) max

( 9.52)

S a = q&&(t ) max

( 9.53)

En la figura 9.13 se indica en forma gráfica la construcción de los espectros de respuesta. Es importante hacer las siguientes observaciones de los espectros de respuesta elásticos: •

Para sistemas de período muy pequeño (T → 0), edificaciones muy rígidas, se && gmax . Siendo U&& gmax la máxima aceleración observa que: Sd → 0, Sv → 0 y S a → U del acelerograma.

•

Para sistemas de período muy alto (T → ∞ ) , edificaciones muy flexibles, se observa:

S d → U gmax , S v → U& gmax , S a → 0 . Siendo U gmax , U& gmax los valores

máximos de desplazamiento y velocidad del acelerograma. •

Los espectros de respuesta suministran la respuesta máxima de cualquier oscilador de un grado de libertad, definido por sus propiedades dinámicas T y ζ.

•

Con un acelerograma se pueden encontrar por lo menos tres espectros de respuesta: Sd, Sv, y Sa.

Figura 9.13 Esquema de cálculo de un Espectro de Respuesta Elástico.

224


9.8.4 Fracción del amortiguamiento crítico

Como se indicó los espectros de respuesta elásticos se construyen para una determinada fracción de amortiguamiento ζ, el mismo que se considera constante en la evaluación de la respuesta dinámica. El valor de ζ depende del tipo de material, estructura y fundamentalmente del nivel de esfuerzos a que está sometida la estructura. Newmark y Hall (1969), recomiendan los valores de ζ, indicados en la tabla 9.10. Normalmente este amortiguamiento es menor al 8% cuando la estructura se encuentra en el rango elástico, para el rango inelástico que implica daño este valor se incrementa.

Tabla 9.10

Valores de amortiguamiento ζ recomendados por Newmark y Hall

ζ

NIVEL DE TENSIONES

TIPO Y CONDICIÓN DE LA ESTRUCTURA

Tensiones de servicio menores al 50% de los de fluencia

a) Tuberías Vitales b) Acero soldado, hormigón pretensado, hormigón muy reforzado con pequeño amortiguamiento c) Hormigón armado con fisuramiento considerable d) Acero apernado y/o remachado; estructuras de madera con uniones apernadas o clavadas.

1a2 2a3

a) Tuberías Vitales b) Acero soldado, hormigón pretensado sin pérdida completa de la pretensión c) Hormigón pretensado con pérdida completa del pretensado d) Hormigón Armado e) Acero apernado y/o remachado, estructuras de madera con uniones apernadas f) Estructuras de madera con uniones clavadas

2a3 5a7

Tensiones a nivel de fluencia o cercanos a la fluencia

(EN %)

3a5 5a7

7 a 10 7 a 10 10 a 15

15 a 20

Para las estructuras de mampostería el amortiguamiento está entre el 7 y 8 %. Finalmente debe indicarse que el factor ξ se puede obtener con estudios de vibración ambiental y es una manera de saber si una estructura tiene o no tiene daño. Si los valores de ξ son menores al 1% la estructura definitivamente no presenta daño pero si estos valores superan ésta cantidad es conveniente mediante un análisis estático no lineal determinar las zonas más débiles del edificio y en esas zonas proceder a revisar muy minuciosamente para detectar el daño y empezar un estudio para reforzar en forma integral la estructura. Nótese que para el reforzamiento se debe estudiar la estructura en todo su conjunto.


225

9.8.5 Importancia de las formas espectrales La aceleración máxima de un sismo no es un indicativo determinante que sirva para indicar el grado de daño en las estructuras; es necesario tener en cuenta además el contenido de frecuencias, el tiempo de duración, tipo de suelo y topografía para poder asociar el movimiento sísmico con el daño registrado en las edificaciones. Los acelerogramas y consecuentemente los espectros toman en cuenta las variables indicadas y se puede indicar que las estructuras cuyo período coincide o están cercanas con los períodos del espectro en los cuales la respuesta es máxima, son las que más daño sufren. En la figura 9.14 se presenta los espectros de respuesta elástica del sismo de Northridge de 1994, Hall (1994) obtenidos de 4 acelerogramas registrados muy cerca del epicentro. Además consta el espectro de diseño del ATC3-S2 que estaba vigente en la zona. Del análisis de la figura 9.14 se pueden hacer los siguientes comentarios:

Figura 9.14 Espectros de respuesta elásticos del sismo de Northridge del 17 de enero de 1994. En ordenadas se presenta la relación Fy/W , siendo Fy la fuerza lateral de fluencia y W el peso del oscilador. i)

El registro de Arleta se encuentra a 9 Km. del epicentro y corresponde al acelerograma más cercano al epicentro, de los cuatro analizados, allí la aceleración horizontal máxima del suelo fue de 0.34 g., que es la menor de las cuatro indicadas en la figura 9.14. En cambio, el registro de Santa Mónica corresponde al más lejano, se encuentra a 24 Km. de la zona epicentral y sin embargo es el que mayor aceleración registró, de los analizados, 0.88g. Esto se debe a la forma de propagación del sismo y el tipo de suelo. Este comentario demuestra que no es fácil determinar una ley de atenuación.

ii)

Las estructuras cuyos períodos coincidía con los períodos de valores máximos de los espectros, fueron las que mayor daño sufrieron, Hall (1994).

En la zona del espectro de respuesta elástico, donde se obtienen los mayores valores espectrales se debe a que para esos períodos de la estructura las frecuencias naturales de las edificaciones se acercan a las frecuencias dominantes de las ondas sísmicas en la base, presentándose una especie de resonancia de la estructura con el sismo.

226


Por otra parte, las ondas sísmicas que llegan a la base de la edificación han sido filtradas por el suelo que se halla sobre la roca basal y adquieren de alguna forma la frecuencia dominante del sitio. Por esta razón es fundamental conocer el período de vibración del suelo sobre el que va la edificación y el de la estructura, para saber si hay o no posibilidad de entrar en resonancia. Con relación a la figura 9.14, se puede indicar que si se habría tenido una misma estructura, en los cuatro lugares donde se obtuvieron los registros, todos ellos muy cercanos al epicentro, se habrían tenido diferentes respuestas estructurales y consecuentemente el daño habría sido distinto.

Figura 9.15

Espectros de respuesta normalizados. Comparación de efectos de sitio en la forma del espectro de respuesta de aceleraciones.

En la figura 9.15, se presenta los espectros de respuesta elásticos, Cardona et al (1993), de tres eventos sísmicos registrados en suelo duro el del Imperial Valle de 1910, en suelo blando el de Tokachi Oki de 1968 y en suelo muy blando el de Michoacán en 1985. En estos registros se pone de manifiesto la influencia del suelo en la forma espectral. Del análisis de la figura 9.15 se pueden realizar los siguientes comentarios: i)

El sismo del 19 de Septiembre de 1985 de México se registró frente a las costas de Guerrero y Michoacán y el registro cuyo espectro aparece en la figura 9.15 corresponde al obtenido en la Secretaría de Comunicaciones y Transporte, SCT sobre un suelo muy blando del Distrito Federal D.F. de México. En consecuencia el registro se encuentra aproximadamente a 250 Km. de la zona epicentral, Alviar et al (1986). Se entiende que a esta distancia ya los sismos se han atenuado con la distancia sin embargo en este evento las ondas sísmicas al llegar al suelo blando del D.F. se amplificaron de ahí la forma espectral indicada en la figura 9.15. Los edificios entre 6 y 16 pisos fueron los más afectados durante este sismo en el D.F. Los períodos de vibración de estos edificios se encuentran en la zona de mayores ordenadas espectrales.

ii)

En la figura 9.15 también se aprecia el espectro elástico de un registro en suelo blando del sismo de Tokachi-Oki en el cual se aprecia que la zona de mayores ordenadas

227


espectrales están entre 0.4 y 1.2 segundos. Por lo tanto los edificios entre 3 y 10 pisos serán los que reciban mayores fuerzas sísmicas. Finalmente se aprecia un espectro en suelo duro del sismo del Imperial Valle de 1940 en el que se observa que los mayores valores de aceleración están entre 0.5 y 0.7 segundos. iii)

Las condiciones locales del suelo determinan diferentes zonas del espectro donde se alcanzan los mayores valores espectrales. De ahí la importancia de conocer para una determinada ciudad la forma del espectro elástico, con esta información se podrá decidir si se realiza una estructura flexible o una estructura rígida. Inclusive se puede llegar a limitar el número de pisos para evitar que el período de la estructura sea similar al período donde se presentan las mayores aceleraciones espectrales.

9.8.6 Pseudo espectros Al derivar la ecuación (9.49) se obtiene la velocidad q& (t ) y derivando esta se obtendrá la aceleración q &&(t ) , las expresiones que se encuentran son:

q (t ) = −

1 Wa

t

∫ U&& 0

g

(τ ) e −ζWn (t −τ ) Sin[Wa (t − τ )] dτ

.

t

q& (t ) = − ∫ U&& g (τ ) e −ζWn ( t −τ ) Cos[Wa (t − τ )] dτ + Wn ζ q& (t ) 0

(9.54)

t

q&&(t ) + U&& g (t ) = Wa ∫ U&& g (τ )e −ζWn (t −τ ) Sin[Wa (t − τ )]dτ − 2ζWn q& (t ) − (ζWn ) 2 q (t ) (9.55) 0 Por otra parte, en la tabla 9.10 se observa que los valores de ζ varían entre 1 y 20%, correspondiendo este último valor a un estado en que la estructura está sometida a grandes esfuerzos. Al reemplazar los valores de ζ habituales en la expresión (9.50) se obtiene W =Wn . De igual forma se puede despreciar los valores que se encuentran fuera de la integral de las ecuaciones (9.54) y (9.55) por que están multiplicados por ζ que es un valor pequeño. Asimismo Hudson (1962) estableció que la función Coseno que aparece en la ecuación (9.54), puede sustituirse a efectos de cálculo por la función Seno sin cometer mayores errores al calcular la respuesta máxima. Esta aproximación basada en la aleatoriedad de los movimientos del suelo es válida para el rango de frecuencias que tienen las estructuras. Con estas consideraciones se introducen tres nuevas cantidades definidas como Pseudoespectros de respuesta de desplazamiento, velocidad y aceleración PS d , PS v y PS a , respectivamente.

PS d = −

1 Wn

t

∫ U&& 0

g

(τ ) e −ζWn ( t −τ ) Sin[Wn (t − τ )] dτ

(9.56) max

t

PS v = − ∫ U&& g (τ ) e 0

−ζWn ( t −τ )

Sin[Wn (t − τ )] dτ

(9.57) max

t

PS a = Wn ∫ U&& g (τ ) e −ζWn ( t −τ ) Sin[Wn (t − τ )] dτ 0

(9.58) max

Al observar las ecuaciones (9.56) a (9.58) se concluye que:

PS v = Wn PS d

(9.59)

PS a = Wn2 PS d

(9.60)

228


Se ha encontrado que para el rango de valores de T y ζ de interés práctico en ingeniería estructural los pseudo espectros son muy parecidos a los espectros reales.

PSv ≈ Sv

PSa ≈ S a

(9.61)

Para períodos mayores a 3 segundos las curvas de los pseudo espectros difieren de las curvas de los espectros, lo propio sucede para períodos menores a 0.10 segundos. La mayor parte de estructuras tiene períodos comprendidos entre 0.10 y 3 segundos por lo que se acepta que:

Sv = Wn S d S a = W S d = Wn S v 2 n

(9.62) (9.63)

La última expresión se utiliza en el Método de Superposición Modal, para encontrar las respuestas máximas de un edificio sometido a acciones sísmicas. También se utiliza para encontrar el espectro de demanda en el formato aceleración desplazamiento. Por otra parte, las ecuaciones (9.62) y (9.63) permiten obtener en un solo gráfico los tres espectros S d , S v y S a en una escala logarítmica. Este tipo de gráficos se denomina espectros tripartitos.

9.8.7 Espectros de respuesta suavizados Estudios estadísticos sobre numerosos espectros de respuesta han llevado a investigadores como Newmark y Hall (1969) ha presentar una metodología de cálculo tendiente a la obtención de espectros de diseño, basados en los pseudo espectros. Estos estudios iniciaron en la década de los años sesenta, para lo cual tomaron todos los acelerogramas registrados en U.S.A., encontraron sus espectros de respuesta, los normalizaron y emitieron las siguientes observaciones: •

En la zona de períodos cortos la aceleración espectral permanece constante y es igual a la aceleración máxima del registro.

•

En la zona de períodos medios la velocidad espectral permanece constante y en la zona de períodos altos el desplazamiento espectral se mantiene constante. Por lo tanto en estas zonas el valor de S d , S v y S a es independiente del período.

•

Es posible estimar los valores del espectro, conociendo únicamente los valores máximos de la aceleración, velocidad y desplazamiento del terreno, mediante las siguientes ecuaciones:

S a = α a U&& g max S v = α v U& g max S d = α d U g max

(9.64) (9.65) (9.66)

donde αa ,αv y αd , son los factores de amplificación dinámica de la aceleración, velocidad y desplazamiento, respectivamente.

229


Los factores de amplificación dinámica medios, que obtuvieron, Newmark y Hall, (1978), son los siguientes:

α a = 3.21 − 0.68 ln ζ α v = 2.31 − 0.41ln ζ α d = 1.82 − 0.27 ln ζ

(9.67) (9.68) (9.69)

ζ se expresa en porcentaje. La probabilidad de excedencia en este caso es del 50%. Por otra parte, los valores obtenidos para la media de los datos estadísticos más una desviación Standard, son:

α a = 4.38 − 1.04 ln ζ α v = 3.38 − 0.67 ln ζ α d = 2.73 − 0.45 ln ζ

(9.70) (9.71) (9.72)

Al utilizar las ecuaciones (9.70) a (9.72) la probabilidad de no excedencia es del 84.1%. •

Se construye el espectro de diseño suavizado de acuerdo a lo indicado en la figura 9.16

T * = 2π

Sv Sa

T + = 2π

Sd Sv

(9.73)

9.8.8 Estimación de los movimientos del terreno En los estudios de peligrosidad sísmica de una determinada región se obtienen la aceleración, velocidad y desplazamiento máximos del suelo a esperarse durante la vida útil de la estructura t con un determinado nivel de probabilidad de excedencia p. Por falta de información sísmica, lo que normalmente se determina es la aceleración máxima del suelo únicamente. Para encontrar la velocidad y desplazamientos máximos del terreno, cuando no se dispone de información confiable se puede utilizar los cuocientes entre los valores de velocidad && gmax y entre el producto de la aceleración por el desplazamiento para la y aceleración U& gmax / U 2 velocidad elevada al cuadrado U&& gmax U gmax / U& gmax .

Estas relaciones dependen del sitio del registro, de la distancia epicentral y de la magnitud. Newmark et al (1973) encontraron las siguientes relaciones para .. suelos firmes .., para sismos con magnitud Ms=6.5 y a una distancia epicentral de 100 Km.

U& gmax = 120cm / s / g U&&gmax

(9.74)

U g max U&& g max =6 (U& g max ) 2

(9.75)

Para ... registros en roca ... la relación entre la velocidad y la aceleración máxima del suelo, varía entre 80 y 90 cm/s/g. En cambio que la segunda relación vale 6 independiente del tipo de suelo.

230


Figura 9.16

Formas espectrales propuestas por Newmark y Hall

&& gmax varía en un 25%, por cada unidad de cambio en la magnitud La relación U& gmax / U y se incrementa ligeramente con la distancia epicentral. Los valores presentados en las ecuaciones (9.74) y (9.75) fueron obtenidos estadísticamente trabajando con registros de la costa oeste de los U.S.A., cercanos a la falla de San Andrés. Posteriormente, Riddell y Newmark (1979) ampliando la muestra de datos encontraron los siguientes valores promedios:

U& gmax = 88.9cm / s / g U&&gmax

(9.76)

U g max U&& g max = 5 .9 (U& g max ) 2

(9.77)

Por otra parte, los factores de amplificación encontrados por Riddell y Newmark (1979) para un 5% de amortiguamiento, son:

α d = 1.47

α v = 1.55

α a = 2.228

(9.78)

Finalmente, uno de los últimos trabajos de investigación en este campo, es el desarrollado por García y Riddell (1995), quienes trabajan con 52 registros de sismos ocurridos en la costa oeste de U.S.A., México (1985), Chile (1981, 1985), Loma Prieta (1989), Northridge (1994), entre otros. Es decir con la mayor información instrumental de eventos sísmicos que han dejado daño en América, hasta fines del siglo XX. Es importante destacar que en el estudio realizado no clasificaron los registros de acuerdo al tipo de suelo. Los resultados encontrados, son:

U& gmax = 98.5cm / s / g U&&gmax U g max U&& g max =4 (U& g max ) 2

(9.79)

(9.80)

231


α d = 1.76

α v = 1.67

α a = 2.09

(9.81)

♣

Se desea construir un espectro de diseño sísmico, para un 5% de amortiguamiento, en un lugar en el cual la aceleración máxima del suelo es 0.25 g, valor obtenido de estudios de peligrosidad sísmica, para una vida útil de la estructura de 50 años y con una probabilidad de excedencia del 10%. Se seguirá la metodología y resultados obtenidos por Riddell y Newmark.

•

Solución

U&& g max = 0.25 g U& g max = 88.9 U&& g max = 88.9 × 0.25 = 22.23 cm / s U g max

5.9 × (22.23) 2 2 & & & = 5.9 (U g max ) / U g max = = 11.90 cm 0.25 × 980

S a = α a U&& g max = 2.228 × 0.25 g = 0.557 g S v = α v U& g max = 1.55 × 22.23 = 34.46 cm / s S d = α d U g max = 1.47 × 11.9 = 17.49 cm En la figura 9.17 se indica la línea base, conformada por los valores máximos de aceleración, velocidad y desplazamiento del suelo. Luego estos valores son multiplicados por los factores de amplificación encontrando S d , S v y S a . Finalmente de estas nuevas líneas se unen a la línea base desde los períodos propuestos por Riddell y Newmark (1979) que difieren ligeramente a los propuestos por Newmark y Hall. Los valores obtenidos al aplicar los resultados de García y Riddell son parecidos a los encontrados por Riddell y Newmark.

9.8.9 Influencia del suelo Las condiciones locales del suelo pueden modificar las características de los movimientos del suelo, esto se ha puesto de manifiesto en algunos sismos, entre los cuales se puede mencionar al de San Francisco 1957, Skopje 1963, Caracas 1967, Bucarest 1977, Llolleo 1985, México 1985 y Northridge 1994, entre otros. Razón por la cual los espectros de diseño deben estar en función del tipo de suelo. Evidencias de las condiciones locales del suelo pueden observarse en los espectros normalizados de la figura 9.18 presentados por Seed et al (1976); quienes clasificaron ciento cuatro registros en cuatro tipos de suelo, a saber: i) Registros en roca (28), ii) Registros en suelo duro con espesor inferior a 60 m. (31), iii) Registros en suelos granulares con profundidad superior a 75 m. (30), y iv) registros para arcillas medias o arenas (15). Seed et al (1976), luego de la clasificación de los registros, construyeron los espectros de respuesta elásticos para un 5% de amortiguamiento y en la figura 2.6 se indican los espectros de aceleración promedios para los cuatro tipos de suelo, indicados. Del análisis de la figura 9.18 se puede indicar:

232


La respuesta máxima espectral de los registros en roca se dio para un período de 0.2 s y tiene un factor de amplificación de 2.5.

•

En los suelos duros con espesores inferiores a los 60 m, la respuesta máxima se dio para períodos de 0.4 s con un factor de amplificación de 2.8.

•

El espectro promedio de suelos no cohesivos profundos tiene dos picos máximos, uno a los 0.45 s de período con un factor de amplificación de 2.7 y otro a los 0.90 s de período con un factor de 1.5, aproximadamente.

•

Los registros de arcillas blandas a medias, producen un espectro con un factor de amplificación de 2.1, que se da para un rango de períodos que varía de 0.3 a 1.0 s.

Figura 9.17

9.9

Espectro de respuesta elástico para 5% de amortiguamiento y a una aceleración del suelo máxima de 0.25 g.

CONCLUSIONES

Se ha presentado en forma didáctica el Método del Espectro de Capacidad y se ha encontrado el desempeño de una estructura de cuatro pisos de hormigón armado, considerando que esta se halla ubicada en la zona de mayor peligrosidad sísmica de


233

Venezuela, Colombia, Ecuador, Perú, Chile y Argentina. El cálculo explicativo se lo realizó para el caso de Chile. Se encontró el desempeño en términos del desplazamiento lateral máximo, para los cuatro sismos recomendados por VISION 2000.

Figura 9.18

Espectros promedios de aceleraciones, normalizados, para un amortiguamiento del 5%, para diferentes condiciones de suelo. Seed et al (1976).

Por otra parte se presentó un extenso acopio de los trabajos que se han realizado para determinar el factor de reducción con el cual se determina el espectro inelástico, tema que es fundamental dentro del contexto del Método del Especto de Capacidad y el estado del arte sobre la teoría de los Espectros Elásticos que son la base de la Ingeniería Sismo resistente.

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CAPÍTULO 10

MÉTODO DEL SISTEMA EQUIVALENTE Y RESPUESTA LINEAL O NO LINEAL

RESUMEN

Se inicia el capítulo presentando un estudio para determinar las fuerzas laterales que se deben aplicar en una estructura para encontrar la curva de capacidad sísmica resistente. Estas fuerzas se determinan de acuerdo a dos criterios el primero de ellos si solo se trabaja con el modo fundamental, este criterio es valido para estructuras regulares en planta y elevación, y el segundo criterio si se consideran los modos superiores para el efecto se debe encontrar el modo fundamental equivalente, este criterio es para estructuras en las cuales los modos superiores tienen un papel importante en la respuesta estructural. Posteriormente se presentan cinco modelos para encontrar el sistema equivalente de un grado de libertad, los mismos que han sido propuestos por: Rodríguez (1994), Fajfar y Gaspersic (1996), Esteva (1999), Aguiar (2001) y Ayala (2001). Este sistema de un grado de libertad es equivalente al de la estructura de múltiples grados de libertad. Es en éste sistema que se encuentra la respuesta dinámica ante una acción sísmica dada, ésta respuesta se pasa al sistema con múltiples grados de libertad por medio del factor de participación modal. Se complementa el estudio con la realización de un ejemplo de una estructura de cuatro pisos en la cual se halla su respuesta ante el sismo de Chile de 1985, representado por un acelerograma registrado en Viña de Mar. La respuesta se halla aplicando el Método del Sistema Equivalente y el Método del Espectro de Capacidad. Finalmente se indica el Método β de Newmark para encontrar la respuesta lineal o no lineal de sistemas con múltiples grados de libertad. Estrictamente lo que se requiere en este capítulo es encontrar la respuesta ante un sistema de un grado de libertad que es un caso particular del Método β de Newmark.

238

10.1

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE FUERZAS LATERALES PARA PUSHOVER

La curva de capacidad sísmica resistente de una estructura es función de la distribución de fuerzas laterales que se aplican en cada uno de los pisos. Por este motivo es importante tener presente los principios de la dinámica de estructuras para aplicar las fuerzas laterales en cada uno de los pisos, con los cuales se va aplicar la técnica del pushover.

10.1.1 Criterio 1: Modo Fundamental Si se tiene una estructura muy regular en planta y elevación esta va a trabajar básicamente en el primer modo de vibración. En consecuencia las fuerzas laterales a aplicarse en cada uno de los pisos se determinan con la siguiente ecuación.

Fi =

mi φ i N

∑m

j

( 10.1 )

V

φj

j

φi

donde mi es la masa del piso i; basal,

es la forma del primer modo en el piso i,

V es el cortante

N es el número de pisos y Fi la fuerza lateral correspondiente al piso i. A continuación

se deduce la ecuación (10.1). De la dinámica de estructuras se sabe que el vector de fuerzas ∩

laterales Fi en un modo cualquiera es: ∩

∩

F i = M φ i γ i S ai ∩

siendo M la matriz de masas;

φi

es el vector del modo i,

( 10.2 )

γi

es el factor de participación del

modo i, S ai es la aceleración espectral del modo i. La sumatoria de las fuerzas laterales reporta el cortante basal

V. V = γ i S ai

N

∑m

j

φj

( 10.3 )

j

Al despejar

γ i S ai

de la ecuación (10.3) y al reemplazarlo en la ecuación (10.2) se

encuentra la ecuación (10.1).

10.1.2 Criterio 2: Modos Superiores Cuando se tiene una estructura en la cual se conoce que la influencia de los modos superiores es importante en la respuesta sísmica, se debe encontrar las fuerzas laterales aplicando el presente criterio que está basado en el Modo fundamental equivalente φi propuesto por Valles et al (1996). El modo fundamental equivalente

φi

se determina empleando el criterio del Máximo

Valor Probable en la combinación de los modos de vibración, utilizando la siguiente ecuación:

239


φi =

∑ (φ

2

γ j)

N

j =1

ij

N

γj =

∑m

k

∑m

k

k =1 N k =1

( 10.4 )

φ kj ( 10.5 )

φ kj2

Finalmente las fuerzas laterales en cada piso se obtienen aplicando la siguiente expresión:

Fi =

mi φ i N

∑m

j

V

( 10.6)

φj

j

10.1.3 Ejemplo de aplicación Se desea calcular la curva de capacidad resistente de un pórtico de la estructura de 4 pisos indicada en la figura 9.5, que se repite en la figura 10.1, si las matrices de rigidez K (triangular superior) y de masa M (diagonal), son las siguientes:

2397.34 − 412.87 ⎤ ⎡14438.43 − 8421.72 ⎡1.1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 11655.13 − 7459.88 1826.51 ⎥ 1.1 ⎢ ⎢ ⎥ K= M = ⎢ ⎢ ⎥ 9798.61 − 4232.82⎥ 1.1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2719.71 ⎦ 1.1⎦ ⎣ ⎣

Figura 10.1 Estructura de análisis de cuatro pisos, con columnas de 40/40 (todas) y vigas de 30/40 en los dos primeros pisos y de 25/35 en los pisos superiores. Altura de entrepiso 3.0 m.

240


λi que se obtienen y a partir de ellos se 2π ω ni = λi y los períodos de vibración Ti = . ω ni

En la tabla 10.1 se indican los valores propios encuentra la frecuencia natural de vibración

En la tabla 10.2 se presentan los respectivos modos de vibración y en la tabla 10.3 se muestran los factores de participación modal γ i .

Tabla 10.1 Propiedades dinámicas del pórtico plano de 4 pisos que se analiza. Valor Propio Frecuencia Período Modo λ ω T i

1 2 3 4

ni

231.73 2272.24 9677.77 22920.00

Tabla 10.2 Modos de vibración Modo 1 0.1283 0.3356 0.5400 0.6988

i

15.22 1/s. 47.67 1/s. 98.37 1/s. 151.39 1/s.

φi

0.41 0.13 0.06 0.04

s. s. s. s.

de la estructura de 4 pisos que se analiza.

Modo 2 0.3921 0.6430 0.2124 -0.5449

Modo 3 0.6360 0.0924 -0.6261 0.3226

Tabla 10.3 Factores de participación modal

Modo 4 0.5783 -0.6120 0.4247 -0.1405

γi

γ1

γ2

γ3

γ4

1.8731

0.7727

0.4675

0.2756

El modo fundamental equivalente

φi

resulta:

⎡0.5132⎤ ⎢0.8199⎥ ⎥ φi = ⎢ ⎢1.0721 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣1.3838 ⎦ Las fuerzas laterales en cada piso que se encuentran para un cortante basal

V = 1.5 T . , aplicando los dos criterios indicados se muestran en la tabla 10.4 y las curvas de capacidad sísmica que se obtienen con estas fuerzas laterales en cada piso se muestran en la figura 10.2.

Piso 1 2 3 4

Tabla 10.4 Distribución de Fuerzas Laterales en cada piso. Criterio 1 Criterio 2 (T.) (T.) 0.1131 0.2032 0.2956 0.3246 0.4757 0.4244 0.6156 0.5478


241

En la figura 10.2 se presentan tres curvas de capacidad sísmica resistente, la (1) se obtiene al colocar como fuerza lateral los valores del modo fundamental indicados en la primera columna de la tabla 10.2; la curva (2) corresponde al caso en que las fuerzas laterales se obtienen aplicando la ecuación (10.1) es decir que se considera el primer modo de vibración o modo fundamental; finalmente la curva (3) es para el caso en que las fuerzas laterales se obtienen aplicando la ecuación (10.6).

Figura 10.2 Curvas de capacidad sísmica resistente que se obtienen con diferentes distribuciones de fuerzas laterales.

Nótese que prácticamente no existen diferencias entre las curvas (1) y (2) pero en cambio hay una diferencia entre estas curvas y la (3) que considera la importancia de los modos superiores en la respuesta sísmica. En los tres casos el modelo de plasticidad utilizado es el de Thom et al (1983). Por otra parte se ha considerado el modelo de hormigón confinado de Park et al (1982) y el modelo trilineal del acero. El punto de fallo se ha considerado 2% de la altura total del edificio. En el capítulo anterior se obtuvo esta curva hasta un desplazamiento lateral máximo que está alrededor del 4% de la altura total del edificio.

10.2

SISTEMA EQUIVALENTE DE 1 G.D.L.

En el Método del Espectro de Capacidad se trabaja con un sistema de un grado de libertad el cual no está explícitamente indicado, en un solo gráfico se coloca el espectro de demanda y el espectro de capacidad y como se conoce la definición de espectro está asociada a un sistema de un grado de libertad. En el Método del Sistema Equivalente se define en forma explicita el sistema de un grado de libertad, el mismo que se deriva de la estructura con todos los grados de libertad que tiene. En este sistema equivalente que se lo va a denominar 1gdl se realiza el análisis sísmico lineal o no lineal y se encuentra el punto de desempeño definido por su desplazamiento lateral

242


máximo, posteriormente la respuesta del sistema de 1gdl se pasa al sistema con múltiples grados de libertad. Existen varios modelos para definir el sistema equivalente de 1gdl, todos ellos se derivan de los principios básicos de la dinámica de estructuras y se presentan a continuación en forma práctica, se destaca que el marco teórico se encuentra detallado en el capítulo 3 de Aguiar (2002). Los modelos que aquí se presentan son los propuestos por: •

Rodríguez (1994) del Instituto de Ingeniería de la UNAM, México.

•

Fajfar y Gaspersic (1996) de la Universidad de Ljubljana, Slovenia.

•

Esteva (1999) del Instituto de Ingeniería de la UNAM, México.

•

Aguiar (2001) del Centro de Investigaciones Científicas de la ESPE, Ecuador.

•

Ayala (2001) del Instituto de Ingeniería de la UNAM, México.

10.2.1 Modelo de Rodríguez (1994) Sean K , M las matrices de rigidez y de masas de la estructura; φ el vector de configuración dominante es un vector modal que puede estar asociado al punto cuando un marco plano o la estructura espacial ingresan al rango no lineal. Está nomenclatura es general para todos los modelos. Por otra parte sea k, m la rigidez y la masa del sistema de 1 gdl. El modelo de Rodríguez se obtiene al igualar la frecuencia natural del sistema equivalente de 1 gdl., con la frecuencia natural del sistema de múltiples grados de libertad , las ecuaciones que se obtienen son:

k = φt K φ

(10.7)

m=γ φ M φ

(10.8)

t

10.2.2 Modelo de Fajfar y Gaspersic (1996)

Se denomina V y , Dty al cortante basal y desplazamiento lateral en el punto de fluencia del sistema de múltiples grados de libertad m gdl., y v y , d ty el cortante basal y desplazamiento lateral en el punto de fluencia en el sistema de 1 gdl. Las ecuaciones que definen la rigidez y la masa del sistema de 1 gdl., son:

k=

Vy

(10.9)

Dty

m = ∑ mi φ i

(10.10)

La ecuación (10.10) es la misma que la ecuación (10.8). En efecto si se reemplaza el factor de participación modal γ en la ecuación (10.8) se obtiene la ecuación (10.10) para el caso plano.

243


10.2.3 Modelo de Esteva (1999)

Se obtiene igualando el cortante basal del sistema de 1 gdl y del sistema de m gdl, por un lado y por otro igualando las frecuencias naturales de los dos sistemas, las ecuaciones que se obtienen son:

Para el caso plano en la ecuación (10.5).

k = r γ φt K φ

(10.11)

m = r γ φt M φ

(10.12)

r=

φt K J φt K φ

(10.13)

γ =

φt M J φt M φ

(10.14)

J es un vector unitario con lo cual la ecuación (10.14) se convierte

10.2.4 Modelo de Aguiar (2001) La curva de capacidad resistente de un sistema de m gdl, como se vio en los capítulos anteriores puede aproximarse por un modelo bilineal en el cual se tiene definida un rigidez elástica k e y una rigidez plástica k p . En el modelo de Aguiar (2001) se considera que estas rigideces del sistema m gdl son iguales a las rigideces del sistema de 1 gdl. Además de ello se igualan las frecuencias de vibración de los dos sistemas. Con estas consideraciones, las ecuaciones que definen el modelo equivalente son:

k=

Vy

(10.15)

Dty

k φt M φ m= t φ Kφ

(10.16)

10.2.5 Modelo de Ayala (2001) Ayala (2001) propone obtener el modelo equivalente de 1 gdl a partir del espectro de capacidad de la estructura que relaciona la aceleración espectral S a con el desplazamiento espectral

S d . Para el efecto multiplica la aceleración espectral por la masa modal 1

correspondiente al primer modo m , con lo que obtiene la curva de cortante modal desplazamiento espectral

Vm con el

Sd . m1 = ∑ mi φi2

(10.17)

m 1 = ∑ mi φ i

(10.18)

2

244


10.2.6 Ejemplo de aplicación Se desea encontrar los sistemas equivalentes de un grado de libertad para la estructura de cuatro pisos analizada en el apartado anterior. En la figura 10.2 se presentó las curvas de capacidad resistente de un pórtico plano de la estructura de cuatro pisos indicada en la figura 10.1, utilizando varias distribuciones de fuerza lateral, entre ellas se encontraba la del criterio 2 que considera la influencia de los modos superiores. Ahora en la figura 10.3 se indica la curva de capacidad sísmica espacial considerando la distribución de fuerzas laterales provenientes del criterio 2. En base a esta curva de capacidad se resuelve el presente ejemplo.

Figura 10.3 Capacidad sísmica resistente de estructura espacial de 4 pisos obtenida con distribución lateral de fuerzas que considera todos los modos de vibración.

Las matrices de rigidez K y de masas M para el modelo espacial que se está considerando son de 3X3. El modelo considera un desplazamiento horizontal según la dirección X, otro desplazamiento horizontal según la dirección Y, y una rotación de piso alrededor del eje Z. Con los datos del ejemplo las matrices indicadas y el vector φ con los cuales se obtienen el sistema equivalente, son:

⎡1740.27 ⎤ ⎢ ⎥ K =⎢ 1740.27 ⎥ ⎢⎣ 58009.00⎥⎦

⎡26.532 M = ⎢⎢ ⎢⎣

26.532

⎤ ⎥ ⎥ 5306.40⎥⎦

⎡1 ⎤ φ = ⎢⎢0⎥⎥ ⎢⎣0⎥⎦

Por otra parte, el cortante y desplazamiento lateral en el punto de fluencia, son: 124 T., y 0.071 m., con todos estos datos al utilizar las ecuaciones indicadas para obtener los diferentes modelos del sistema equivalente de un grado de libertad se obtienen los resultados indicados en la tabla 10.5


245

Tabla 10.5 Sistemas equivalentes de 1 gdl., obtenidos con diferentes modelos. Modelo de Modelo de Modelo de Modelo de Modelo de Rodriguez Fajfar Esteva Aguiar Ayala 1740.27 1746.48 1740.27 1746.48 1746.48 Rigidez k (T/m) 26.532 26.532 26.532 26.630 26.532 Masa m (T s2/m)

En la figura 10.4, se presenta el espectro de capacidad de la estructura analizada, obtenida a partir de la figura 10.3. Para determinar el sistema equivalente de 1 gdl., con el modelo de Ayala se necesita conocer el espectro de capacidad.

Figura 10.4 Espectro de Capacidad obtenida a partir de la Curva de Capacidad Resistente indicada en la figura 10.3

Al multiplicar el espectro de capacidad de la figura 10.4 por la masa equivalente se obtiene el diagrama de cortante modal vs. desplazamiento espectral que para el ejemplo va a coincidir con la figura 10.3 y de este gráfico se obtiene las características del sistema de un grado de libertad.

10.3

AMORTIGUAMIENTO VISCOSO EQUIVALENTE

Teóricamente cuando se tiene definido la masa, rigidez y el modelo que relaciona el cortante basal con el desplazamiento lateral para el sistema de un grado de libertad, todo lo que resta es encontrar la respuesta en el tiempo de la estructura ante una determinada acción sísmica empleando la teoría de dinámica de estructuras.

246

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE Únicamente lo que falta por definir es el factor de amortiguamiento

ξ , tarea compleja.

No se puede encontrar la respuesta no lineal para un valor de ξ = 0.05 si se trata de una estructura de hormigón armado porque ese valor es para un nivel de tensiones menor al 0.5 de las del límite de fluencia. Si la estructura sufre daño el valor de ξ es mayor. Entonces es necesario calcular con detenimiento está variable para dar como dato en cualquier programa que encuentre la respuesta no lineal de un sistema de 1 gdl. En este apartado se

10.3.1

Amortiguamiento Viscoso Equivalente

Sea

S dm , el punto de máximo desplazamiento lateral de la estructura ante una acción

sísmica, como se aprecia en la figura 10.5; asociado a este punto se tiene una aceleración espectral S am . Por otra parte, se han definido las coordenadas del punto de fluencia como S dy y S ay . En la figura 10.5, con línea continua se indica el espectro de capacidad y con línea entrecortada el respectivo modelo bilineal que tiene una rigidez elástica k y una rigidez post fluencia α k . Donde α , es el coeficiente que relaciona la rigidez elástica con la rigidez inelástica; por lo regular es un valor bajo.

Por otra parte,

se define la demanda de ductilidad

µ , como la relación entre

S dm con respecto a S dy . ∩

El amortiguamiento viscoso efectivo, para el rango no lineal igual al amortiguamiento viscosos inherente a la estructura equivalente

ξ eq

se puede considerar

ξ , más el amortiguamiento viscoso

ξ eq , el mismo que se obtiene aplicando el Método de la Rigidez Secante en el que

se compara la energía disipada en un ciclo de vibración inelástico y del sistema lineal equivalente de rigidez secante, puede evaluarse con la siguiente ecuación.

ξ eq =

1 ED 4π E S

( 10.19 )

donde E D , es la energía disipada por el sistema inelástico y es igual al área de un ciclo de histéresis. Es igual al área sombreada indicada en la figura 10.6. Se aprecia que el modelo no considera deterioro de rigidez en la descarga, tampoco deterioro de resistencia y efecto de cierre de grietas. Finalmente, E S , es la energía máxima de deformación que absorbe el sistema

k sec , es el área sombreada de la figura 10.7. …El sistema absorbe una energía por deformación E s , la misma que es disipada en el proceso de descarga, esta energía disipada

de rigidez

se denomina

ED …

247


α

Figura 10.5 Modelo Bilineal del Espectro de Capacidad y un punto de máximo desplazamiento lateral.

Figura 10.6 Energía disipada inelásticamente

ED

por el sistema equivalente en un ciclo.

10.3.2 Cálculo de la energía disipada Se puede demostrar que el área sombreada de la figura 10.8, es la cuarta parte del área sombreada de la figura 10.6. En consecuencia para calcular la energía disipada en un ciclo de histéresis es suficiente calcular el área sombreada de la figura 10.8 y multiplicar este valor por 4. En la figura 10.8, se han definido las áreas elementales A1 , A2 y A3 , en base a las cuales se determina el área sombreada.

E D = 4(S am * S dm − 2 A1 − 2 A2 − 2 A3 ) A1 = (S am − S ay ) S dy A2 = A3 =

S ay S dy 2 ( S am − S ay ) ( S dm − S dy ) 2

248


Figura 10.7 Energía absorbida

E s , por el sistema lineal rigidez k sec .

Al reemplazar las áreas elementales, en

E D y luego de simplificar términos se

obtiene:

E D = 4( S ay S dm − S am S dy )

( 10.20 )

Figura 10.8 Cálculo de la energía disipada

10.3.3 Cálculo de energía absorbida por el sistema La energía absorbida por el sistema de rigidez

k sec , es la siguiente:

S am S dm 2 = S ay (1 + α µ − µ )

ES = S am

S dm = µ S dy ES =

( 10.21) ( 10.22 )

S ay S dy µ (1 + α µ − µ ) 2

( 10.23 )

249


10.3.4 Cálculo de amortiguamiento viscoso equivalente

Al reemplazar las ecuaciones (10.21) y (10.22) en (10.20) se obtiene la energía disipada en un ciclo de histéresis y al dividir este valor para E s , se encuentra el amortiguamiento viscoso equivalente

ζ eq , como se indica a continuación.

E D = 4(S ay µ S dy − S ay (1 + α µ − α ) S dy ) E D = 4 S ay S dy ( µ − 1) (1 − α )

ξ eq =

2 ( µ − 1) (1 − α ) π µ (1 + α µ − α )

( 10.24 )

∩

ξ eq = ξ + ξ eq

( 10.25 )

10.3.5 Amortiguamiento viscoso efectivo El ATC-40 al considerar las imperfecciones de las curvas de histéresis, en el sentido de que no son rectas como se ha considerado en los apartados anteriores sino curvas, introduce un factor de corrección κ , el mismo que se indica en la figura 10.9. La ecuación (10.25) al ser modificada por este factor queda: ∩

ξ eq = ξ + κ ξ eq

( 10.26 )

En la figura 10.9, se aprecian tres curvas para determinar el factor de corrección κ , las mismas que corresponden a tres categorías de comportamiento estructural. La Tipo A, tiene un comportamiento estable y perfectamente histerético. La tipo C, es para estructuras con un pobre comportamiento histerético que corresponden a estructuras con mal comportamiento sísmico y la Tipo B, es para un caso intermedio. En la figura 10.9, se aprecia que el ATC-40 (1996) considera

κ = 1 , para un ξ eq menor a 0.15

para las estructuras tipo A. Para las tipo B, el factor es 0.667 para un amortiguamiento viscoso equivalente menor a 0.25 y para las estructuras tipo C, el factor es 0.333 lo que implica una considerable reducción en el área del diagrama de histéresis. Por otra parte, el valor ξ eq tiene que ser menor a 0.45.

10.4 APLICACIÓN DEL MÉTODO Se encuentra la respuesta en el tiempo de la estructura de cuatro pisos que se ha venido estudiando, ante el sismo de Chile del 3 de marzo de 1985 que tuvo una magnitud Ms=7.8. En la figura 10.10 se indica a la izquierda el acelerograma de dicho sismo registrado en Viña del Mar y a la derecha el respectivo espectro elástico.

250

κ


ζ

Figura 10.9 Variación del factor de modificación del amortiguamiento en función del amortiguamiento viscoso equivalente.

Figura 10.10 Acelerograma y espectro del sismo de 1985, para un registro de Viña de Mar.

Se encuentra la respuesta en el tiempo para el sistema equivalente de 1 gdl., obtenido con el modelo de Aguiar , que está indicado en forma resumida en la tabla 10.5 y en forma más detallada en la tabla 10.6

Tabla 10.6 Parámetros que definen el sistema equivalente de 1 gdl.

vy

d ty

vu

d tu

k

α

m

T

(T.) 124.0

(m.) 0.0713

(T.) 308.5

(m.) 0.4790

(T/m.) 1746.48

0.259

(T s2/m) 26.630

(s) 0.776

donde v y , d ty son el cortante y desplazamiento en el punto de fluencia; y desplazamiento en el punto de fallo;

vu , d tu son el cortante

k es la rigidez elástica; α k es la rigidez post fluencia,

m la masa y T el período de vibración. El procedimiento para encontrar la respuesta no lineal del sistema equivalente es el siguiente:

251

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO ∩

i.

Se impone un valor de amortiguamiento viscoso efectivo

ξ eq

y se halla la respuesta en

el tiempo. ii.

De la respuesta en el tiempo se determina el desplazamiento máximo y se divide este valor para el desplazamiento de fluencia con lo cual se determina la demanda de ductilidad µ .

iii.

Se obtiene la viscosidad equivalente

iv.

Se recalcula el amortiguamiento viscoso efectivo

ζ eq

aplicando la ecuación (10.24). ∩

ξ eq

y se compara con el valor

impuesto en el paso i. Si se considera que son iguales el cálculo terminó.

El problema que se tiene al aplicar la metodología indicada es que el algoritmo indicado no siempre es convergente. Para el ejemplo que se está analizando la convergencia ∩

se dio para un amortiguamiento

viscoso efectivo

ξ eq

igual a 0.10; con este valor el

desplazamiento máximo obtenido es de 0.081 m. En la figura 10.11 a la izquierda se encuentra la respuesta de desplazamientos en el tiempo y a la derecha el gráfico que relaciona el cortante basal con el desplazamiento lateral. .

Figura 10.11 Respuesta en desplazamiento y relación corte desplazamiento para sistema de 1 gdl

10.5 MÉTODO DEL ESPECTRO DE CAPACIDAD En la figura 10.12 se presentan tres curvas, la (1) corresponde al espectro de capacidad de la estructura que corresponde a la indicada en la figura 10.4; la (2) es el espectro de demanda elástico obtenido a partir del espectro elástico indicado a la derecha de la figura 10.10 y la (3) el espectro inelástico de demanda para una ductilidad de 1.6, con la cual se encontró el desplazamiento del sistema que en este caso es de 9.25 cm. Se destaca que al aplicar el Método del Sistema Equivalente el desplazamiento máximo que se obtuvo es de 8.1 cm., y al aplicar el Método del Espectro de Capacidad el desplazamiento encontrado es de 9.25 cm.

252


10.6 RESPUESTA EN SISTEMA DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD Tanto en el Método del Espectro de Capacidad como en el Método del Sistema Equivalente se halla la respuesta dinámica en un sistema de 1 gdl. Para encontrar la respuesta en el sistema con múltiples grados de libertad se utiliza el factor de participación modal del modo fundamental.

Figura 10.12 Espectro de capacidad y de demanda elástico e inelástico para ejemplo.

Sea y

Dt el desplazamiento lateral máximo en el sistema de múltiples grados de libertad

d t el desplazamiento lateral máximo en el sistema de 1 gdl. La relación entre estos dos

desplazamientos viene dada por el factor de participación del modo fundamental siguiente manera:

Dt = γ 1 d t

γ1 ,

de la

( 10.27 )

10.7 RESPUESTA LINEAL Y NO LINEAL En el presente apartado se ilustra el cálculo de la respuesta en el tiempo de un sistema de n grados de libertad. Se empieza por facilidad encontrando la respuesta en el rango elástico o lineal y posteriormente en el rango no lineal, todo esto aplicando el Método β de Newmark. Cuando se tiene un sistema de 1 gdl, las matrices serán de orden 1X1. En consecuencia el método que aquí se indica es aplicable a un sistema de 1 gdl. ..

..

Sea q i y q i +1 los vectores de respuesta, de aceleración de un sistema de n grados de libertad en los tiempos discretos

t i y t i +1 , ante acciones dinámicas y ∆t el incremento de

tiempo, como lo muestra la figura 10.3 Se define:

253


τ = t − ti

t i ≤ t ≤ t i +1

para

( 10.28 ) De ecuación (10.28), se observa que para t = t i se tiene que τ = 0 y para t = t i +1 → τ = ∆t . Siendo: ∆t = t i +1 − t i .

Figura 10.3 Variación de la aceleración entre

La aceleración del sistema para un instante cualquiera ..

..

τ

, viene definida por: ..

q (τ ) = qi +1

[t i , t i +1 ]

..

+ f (τ ) ( qi +1 − qi )

( 10.29 )

De tal forma, que:

f (τ ) = 0 f (τ ) = 1

para τ = 0 para τ = ∆t

En otras palabras, se tiene que:

0 ≤ f (τ ) ≤ 1 La ecuación (10.29) considera que la ley de variación de las aceleraciones en el intervalo t i , t i +1 es la misma para los n grados de libertad.

[

]

La velocidad del sistema para un tiempo cualquiera del intervalo puede expresarse como: .

.

t ..

q (τ ) = q i + ∫ q(τ ) dτ 0

Al reemplazar (10.29) en (10.30) se tiene: .

.

τ ..

q (τ ) = q i + ∫ q i dτ 0

τ

.. ⎛ .. ⎞ + ∫ ⎜ q i +1 − q i ⎟ f (τ ) dτ ⎠ 0⎝

( 10.30)

254

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE .

..

..

Se destaca que q i , q i y q i +1 son los vectores de velocidad y aceleración en los tiempos discretos

t i y t i +1 respectivamente, son cantidades constantes. Luego: t

.. ⎛ .. ⎞ q(τ ) = q i + q i τ + ⎜ q i +1 − q i ⎟ ∫ f (τ ) dτ ⎝ ⎠0 .

.

..

( 10.31 )

Sea: τ

g (τ ) = ∫ f (τ ) dτ

( 10.32 )

0

∆t γ =

∆t

∫ f (τ )dτ

( 10.33 )

0

∆t

∆t 2 β = ∫ g (τ )dτ

( 10.34 )

0

Para

τ = t i +1 = ∆t

se tiene al reemplazar (10.33) en (10.31) .

.

..

..

..

q i +1 = q i + q i ∆t + (q i +1 − q i ) γ ∆t de donde: . . .. .. ⎡ ⎤ q i +1 = q i + ⎢(1 − γ ) q i + γ q i +1 ⎥ ∆t ⎣ ⎦

( 10.35 )

Al reemplazar ( 10.32 ) en ( 10.31 ) e integrar, se halla:

t .

τ .

τ ..

τ

.. ⎛ .. ⎞ ( ) ( ) q τ d τ = q d τ + q τ d τ + q − q ⎜ 1 i i i + i ⎟ ∫ g (τ ) dτ ∫0 ∫0 ∫0 ⎝ ⎠0 .

..

q (τ ) − qi = q i τ + q i .

..

q(τ ) = qi + q i τ + q i Para

τ = t i +1 = ∆t

τ

τ2

.. ⎛ .. ⎞ + ⎜ q i +1 − q i ⎟ ∫ g (τ )dτ 2 ⎝ ⎠0

τ2 2

..

..

τ

+ (q i +1 − q i ) ∫ g (τ )dτ 0

se encuentra, luego de sustituir ( 10.34 ) .

..

qi +1 = qi + q i ∆t + q i

.. ∆t 2 ⎛ .. ⎞ + ⎜ q i +1 − q i ⎟ β ∆t 2 2 ⎝ ⎠

de donde: . .. ⎡⎛ 1 ⎤ ⎞ .. qi +1 = qi + q i ∆t + ⎢⎜ − β ⎟ q i + β q i +1 ⎥ ∆t 2 ⎠ ⎣⎝ 2 ⎦

( 10.36 )

255

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO . .. ⎛1 ⎞ .. qi +1 = qi + q i ∆t + ⎜ − β ⎟ q i ∆t 2 + β q i +1 ∆t 2 ⎝2 ⎠ ..

Al despejar q i +1 de esta última ecuación, se tiene: ..

q i +1 =

1 β ∆t

. ⎞ .. ⎡ ⎤ ⎛ 1 ⎜ ⎟⎟ q i − − ∆ − − q q q t 1 i i ⎢⎣ i +1 ⎥⎦ ⎜ 2β ⎝ ⎠

( 10.37 )

Al reemplazar (10.37) en (10.35), se obtiene:

q i +1 = q i + (1 − γ ) q i ∆t + γ ∆t .

.

..

1 β ∆t 2

. .. ⎛ 1 ⎞ ⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎟ − − ∆ − ∆ − q q q t γ t q 1 i i + 1 i i ⎜ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎝ 2β ⎠

Luego: .

q i +1 =

γ β ∆t

(qi +1 − qi ) + ⎛⎜⎜1 − γ

♣

Determinar los valores de

•

Solución

⎞ . ⎛ γ ⎞ .. ⎟⎟ q i + ⎜⎜1 − ⎟⎟ ∆t q i β⎠ ⎝ 2β ⎠

⎝

( 10.38 )

β y γ . Si f (τ ) se considera constante y vale 0.5

Al ser constante f (τ ) de ecuación ( 10.32 ), se tiene:

1 g (τ ) = τ 2 Al sustituir este valor en ecuación (10.34), se obtiene:

1 τ dτ ∆t β = ∫ 2 ∆t

2

0

1 2 ∆t 4 1 β= 4

∆t 2 β =

Por otra parte, al reemplazar f (τ ) en ecuación (10.33) se halla:

∆t γ =

∆t

∫ 0

1 dτ 2

1 ∆t 2 1 γ = 2

∆t γ =

256

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE Por lo tanto, cuando se considera que la variación de la aceleración en la respuesta del

sistema es constante, los valores de

β y γ son respectivamente

1 1 y . A este caso se 4 2

denomina Método de Aceleración Constante o Método del Trapezoide. ♣

Determinar los valores de siguiente ecuación:

•

Solución

β y γ si f (τ ) varía en forma lineal y viene definida por la

τ

f (τ ) =

∆t

Al emplear la ecuación ( 10.32 ), se encuentra:

τ2

g (τ ) =

2 ∆t

Al reemplazar este valor en ( 10.32 ) e integrar, se halla:

1 ∆t β = 2 ∆t

∆t

2

∫τ

2

dτ

0

1 ∆t 3 2 ∆t 3

∆t 2 β =

1 6

β=

Al trabajar con la ecuación ( 10.33 ), se encuentra:

∆t γ =

∆t

τ

∫ ∆t d τ 0

1 ∆t 2 ∆t 2 1 γ = 2

∆t γ =

Por lo tanto para el caso de aceleración lineal

β=

1 1 y γ = 6 2

10.7.1 Análisis lineal con β de Newmark El sistema de ecuaciones diferenciales que gobierna los problemas sísmicos, está definido por la ecuación (10.39). La solución de este sistema se realizará con el método β de Newmark.


..

257

.

M q + C q + K q = − M J a(t )

( 10.39 )

donde M , C , K son las matrices de Masa, Amortiguamiento y Rigidez del sistema. Se .

consideran constantes para análisis lineal;

..

q, q, q son los vectores de desplazamiento,

velocidad y aceleración, respectivamente; J es un vector que contiene unos, depende del modelo numérico de análisis, a(t) es la aceleración de movimiento del suelo. Normalmente se considera la componente horizontal.

t i +1 , la ecuación (10.39), queda:

Para el tiempo discreto

..

.

M q i +1 + C q i +1 + K q i +1 = − M J ai +1

( 10.40 )

Por otra parte, el vector de desplazamientos en forma incremental, es

qi +1 = ∆qi +1 + qi

( 10.41 )

Las ecuaciones ( 10.38 ) y ( 10.37 ) en función de ∆ quedan:

..

⎞ .. ⎛ 1 1 1 . ⎟q ⎜ q q 1 ∆ − − − i +1 β ∆t i ⎜⎝ 2β ⎟⎠ i β ∆t 2 ⎛ γ ⎞. ⎛ γ γ ⎞ .. ⎟⎟∆t q i = ∆qi +1 + ⎜⎜1 − ⎟⎟ q i + ⎜⎜1 − β ∆t ⎝ β⎠ ⎝ 2β ⎠

q i +1 = .

q i +1

( 10.42 ) ( 10.43 )

Finalmente, al reemplazar ( 10.43 ), ( 10.42 ) y ( 10.41 ) en ( 10.40 ), se obtiene luego de agrupar términos ∧

K ∆qi +1 = Fi +1

( 10.44 )

siendo: ∧

K =K +

1 γ M + C 2 β ∆t β ∆t

⎡ 1 . ⎛ 1 ⎡⎛ γ ⎞ . ⎛ ⎞ .. ⎤ γ ⎞ .. ⎤ ⎟⎟∆t q i ⎥ Fi +1 = − M J ai +1 + M ⎢ q i + ⎜⎜ − 1⎟⎟ q i ⎥ − C ⎢⎜⎜1 − ⎟⎟ q i + ⎜⎜1 − ⎠ ⎦ ⎝ 2β ⎠ ⎝ 2β ⎣ β∆t ⎣⎝ β ⎠ ⎦

( 10.45 )

(10.46)

∧

Se denomina a K como la matriz de rigidez efectiva, que es una matriz constante para análisis lineal y a Fi +1 el vector de cargas efectivas, que es variable en cada instante de tiempo.

258

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE Al resolver el sistema de ecuaciones lineales definido en ( 10.44 ) se encuentra

∆qi +1 .

Por lo tanto el vector de desplazamientos para el tiempo i + 1 se obtendrá sumando éstos valores a los del tiempo i, utilizando la ecuación (10.41). La aceleración y velocidad para el tiempo i + 1 se encuentran con las ecuaciones ( 10.42 ) y ( 10.43 ).

t = 0 , la aceleración del suelo es diferente de cero y si las condiciones

Si en el tiempo .

iniciales

..

q(0) = q(0) = 0 . Se debe evaluar q(0) con la ecuación del movimiento que queda: ..

M q(0) = − M J a (0)

10.7.2 Procedimiento de cálculo para Análisis Lineal. El procedimiento de cálculo, para el análisis lineal, utilizando el método Newmark, es el siguiente:

i.

Se determina la matriz de rigidez efectiva.

1 γ M + C 2 β ∆t β ∆t

∧

K =K + ii.

β de

Para el instante de tiempo

i + 1 se determina el vector de cargas efectivo.

⎡ 1 . ⎛ 1 ⎡⎛ γ ⎞ . ⎛ ⎞ .. ⎤ γ ⎞ .. ⎤ ⎟⎟∆t q i ⎥ Fi +1 = − M J ai +1 + M ⎢ q i + ⎜⎜ − 1⎟⎟ q i ⎥ − C ⎢⎜⎜1 − ⎟⎟ q i + ⎜⎜1 − ⎝ 2β ⎠ ⎦ ⎝ 2β ⎠ ⎣ β∆t ⎣⎝ β ⎠ ⎦ iii.

Se obtiene el incremento de desplazamiento para el tiempo resolver el sistema de ecuaciones lineales:

i + 1 , para ello se debe

∧

K ∆q i +1 = F i +1 iv.

Se calculan la aceleración, velocidad y desplazamiento en el incremento de tiempo i + 1. ..

⎞ .. ⎛ 1 1 1 . ⎟q ⎜ q q 1 ∆ − − − i +1 β ∆t i ⎜⎝ 2β ⎟⎠ i β ∆t 2 ⎛ γ ⎞. ⎛ γ γ ⎞ .. ⎟⎟∆t q i = ∆qi +1 + ⎜⎜1 − ⎟⎟ q i + ⎜⎜1 − β ∆t ⎝ β⎠ ⎝ 2β ⎠

q i +1 = .

q i +1

qi +1 = ∆qi +1 + qi v.

Se actualizan desplazamientos, velocidades y aceleraciones y se pasa al próximo punto desde el paso ii.


259

qi = qi +1 .

.

..

..

q i = q i +1 q i = q i +1

10.7.3

Procedimiento de cálculo para Análisis No Lineal.

En Barbat (1995), Barbat y Canet (1994), Barbat et al (1993), se indica el marco teórico para el Análisis No Lineal, que es muy similar al que se ha presentado en los párrafos anteriores, razón por la cual se indica únicamente el procedimiento de cálculo que es iterativo.

¾

1. Primera Iteración (paso del instante i al instante i+1)

i.

Se actualiza la matriz de rigidez K .

ii.

Se obtiene la matriz de rigidez efectiva y el vector de cargas. ∧

K =K +

1 γ M + C 2 β ∆t β ∆t

∩1 ⎡ 1 . ⎛ 1 ⎡⎛ γ ⎞ . ⎛ ⎤ ⎞ .. ⎤ γ ⎞ .. ⎟⎟∆t q i − K qi ⎥ F i +1 = F (t i +1 ) + M ⎢ q i + ⎜⎜ − 1⎟⎟ q i ⎥ − C ⎢⎜⎜1 − ⎟⎟ q i + ⎜⎜1 − ⎠ ⎦ ⎝ 2β ⎠ ⎝ 2β ⎣ β∆t ⎣⎝ β ⎠ ⎦

iii.

Se determinan las primeras aproximaciones en el instante i+1

∧

∩1

K ∆qi +1 = F i +1 ..

q i +1 = .

q i +1 =

⎛ 1 ⎞ .. 1 1 . ⎜ ⎟⎟ q i 1 q q ∆ − − − + 1 i i ⎜ 2β β ∆t β ∆t 2 ⎝ ⎠

γ

⎛ γ ⎞. ⎛ γ ⎞ .. ⎟⎟∆t q i ∆qi +1 + ⎜⎜1 − ⎟⎟ q i + ⎜⎜1 − β ∆t ⎝ 2β ⎠ ⎝ β⎠ qi +1 = ∆qi +1 + qi

¾

Siguientes iteraciones (se busca el equilibrio para el instante i+1)

a.

Se actualizan las matrices de rigidez, rigidez efectiva y vector de cargas.

260

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE ∧

K =K + ∩ j +1

1 γ M + C 2 β ∆t β ∆t .. j

. j

F i +1 = Ψi +j 1 = f (t i +1 ) − M q i +1 − C q i +1 − K qij+1 b.

Si Ψi +1 no es pequeño, es mayor al de tolerancia se debe calcular: j

∩ j +1

∩

K δqij++11 = F i +1 .. j +1

q i +1 = . j +1

q i +1 =

.. j 1 j +1 δ q + q i +1 i +1 β ∆t 2 .

γ

β ∆t

. j

δ qij++11 + q i +1

qij++11 = δqij++11 + qij+1 c.

Volver al paso a.

En el Capítulo IV de Aguiar (2002) se presenta la respuesta lineal y no lineal de sistemas de un 1 gdl, con un formulario más simplificado para el análisis no lineal, se indica además como se debe proceder en la elaboración de un programa de computación sobre todo en la forma como hay que manejar los modelos constitutivos que determinan la no linealidad del material.

10.8 CONCLUSIONES

Se ha presentado dos formas para distribuir las fuerzas laterales en cada uno de los pisos, la primera que está en base del modo fundamental y la segunda en función del modo fundamental equivalente. Posteriormente se ha indicado una forma de obtener el factor de amortiguamiento ξ de acuerdo al ATC-40 (1996) para definir el comportamiento inelástico de un sistema. Después se ha presentado cinco modelos con los cuales se encuentran el sistema equivalente de 1 gdl en forma explicita en el que se realiza el análisis dinámico. El estudio se complementa con el desarrollo de un ejemplo en el que se halla la respuesta dinámica ante un acelerograma registrado en Viña del Mar del sismo de Chile de 1995. Respuesta realizada empleando el Método del Sistema Equivalente y el Método del Espectro de Capacidad. Finalmente se ha presentado el Método β de Newmark para el análisis lineal o no lineal de sistemas de n grados de libertad a sabiendas que la solución de un sistema de 1 gdl. es un caso particular. Del estudio realizado se desprenden las siguientes conclusiones:


261

•

La curva de capacidad resistente sísmica es función de la distribución de cargas laterales.

•

Los modelos con los cuales se obtienen el sistema equivalente de un grado de libertad se fundamentan en los principios de la dinámica de estructuras. Ahora bien para encontrar la respuesta no lineal se resuelve mediante un proceso iterativo en función del factor de amortiguamiento ξ el mismo que no siempre es convergente lo cual limita seriamente el método del sistema equivalente de un grado de libertad.

•

El obtener espectros inelásticos en función del factor de reducción de las fuerzas sísmicas y aplicar posteriormente el Método del Espectro de Capacidad garantiza convergencia para encontrar el punto de demanda.

REFERENCIAS 1.

Aguiar R. (2001), “Evaluación del daño en edificios y desempeño sísmico. Programa de ordenador CEINCI3”, Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería, CIMNE, IS-45, 107 p, Barcelona, España.

2.

Aguiar R. (2002), “Sistema de Computación CEINCI3 para evaluar daño sísmico en los Países Bolivarianos”, Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, 302 p, Valle de los Chillos, Ecuador.

3.

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4.

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5.

Barbat A, Rodellar J, Ryan E. y Molinares N, (1993),“Comportamiento sísmico de edificios con un sistema no lineal de control híbrido”, Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería, 9 (2), 201-220, Barcelona, España.

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262


9. Thom C. W., Buckle I.G. and Fenwick R. C., (1983), “The Effect of Inelastic Shear of the Seismic Response of Structures”, Dept. of Civil Engineering University of Auckland, Report No 347, 164 p, New Zealand. 10. Valles R., Reinhorn A., Kunnath S., Li C. y Madam A. (1996), “IDARC2D Version 4.0: A computer program for the inelastic analysis of buildings”, Technical Report NCEER-960010, National Center for Earthquake Engineering Research, Buffalo, New York.

CAPÍTULO 11

MÉTODO DEL SISTEMA LINEAL DE CORTE CASO PLANO Y EL MÉTODO DE JACOBI RESUMEN Se presenta el Método del Sistema Lineal de Corte con el cual se obtiene la respuesta no lineal de un sistema de múltiples grados de libertad ante acciones sísmicas. En este método se encuentra un sistema equivalente, en base al eje de corte, de la estructura, y en este eje de corte se realiza el análisis sísmico aplicando el método de superposición modal. La matriz de rigidez del eje de corte se obtiene aplicando el criterio de la rigidez secante en la curva de capacidad sísmica resistente que se encuentra mediante análisis no lineal estático. El Método es iterativo de tal manera que la matriz de rigidez está asociada a un desplazamiento lateral máximo de la estructura. La variable que se utiliza para definir la convergencia del método es la demanda de ductilidad la misma que se calcula en cada iteración. Se destaca que el espectro inelástico se obtiene en función del factor de reducción de respuesta Rς , µ . Finalmente se presenta la teoría y un ejemplo completo del Método de Jacobi para obtener los valores y vectores propios de una matriz simétrica. Jacobi es un método clásico muy utilizado en la Ingeniería Sismo Resistente.

11.1 ANTECEDENTES En el Método del Espectro de Capacidad o en el Método del Sistema Equivalente se encuentra una estructura equivalente de un grado de libertad en la cual se realiza el Análisis Dinámico Lineal o No Lineal, como se había indicado en los capítulos anteriores. La respuesta obtenida en el sistema de un grado libertad se pasa al sistema de múltiples grados de libertad por medio del factor de participación modal.

264


Como mejor aproximación Chopra y Goel (2002) han propuesto el Método del Empuje Lateral Modal, en el que se realiza un análisis sísmico en un sistema de múltiples grados de libertad. Esta propuesta es más exacta a trabajar con sistemas de un grado de libertad y no tan complicado como realizar un análisis no lineal dinámico. Sin embargo de ello tiene su cierta complejidad que hace que el método no sea tan aplicable en problemas comunes como el análisis sísmico de estructuras conformadas por vigas y columnas. Basado en las ideas generales del Método del Empuje Lateral Modal, Fernández et al (2002) han realizado algunas simplificaciones y proponen el Método del Sistema Lineal Equivalente que se describe en los próximos apartados. La diferencia entre la propuesta realizada por Fernández et al (2002) y la realizada por Aguiar (2002) es que los primeros trabajan con el factor de amortiguamiento efectivo ξ para encontrar el espectro inelástico, en cambio Aguiar (2002) encuentra este espectro en función de la demanda de ductilidad µ . En el capítulo 9 se vio lo inconveniente que es trabajar con

ξ.

11.2 EJE DE CORTE En la figura 11.1, se presenta al lado izquierdo los grados de libertad de un pórtico plano en el cual se considera que las vigas son axialmente rígidas y todos los demás elementos son completamente flexibles. Se puede realizar el análisis sísmico considerando todos estos grados de libertad o condensando la matriz de rigidez a las coordenadas laterales y encontrar la respuesta dinámica asociada a los corrimientos laterales de piso. En el lado derecho de la figura 11.2, se indica las masas concentradas a nivel de piso y las coordenadas laterales de cada piso, a este modelo numérico de cálculo se denomina eje de corte.

Figura 11.1 Grados de libertad y modelo numérico de cálculo para el análisis sísmico. Eje de corte

Para el marco plano, indicado en la figura 11.1, primero se obtendrá la matriz de rigidez, con los grados de libertad indicados, la misma que resulta de (20,20) y luego se realiza

265


la condensación estática a los corrimientos laterales, encontrando una matriz de (4,4) con la cual se realiza el análisis dinámico. A esta matriz se denomina matriz de rigidez lateral K L . En forma aproximada la matriz de rigidez lateral puede encontrarse en base al modelo del eje de corte o edificio de corte. Este modelo, estrictamente tiene un solo vano y en el se considera que la viga es totalmente rígida y las columnas axialmente rígidas de tal manera que existe un grado de libertad por piso. Para este modelo la matriz de rigidez K , para la estructura de la figura 11.1 es:

⎡ K1 + K 2 ⎢ −K 2 K =⎢ ⎢ ⎢ ⎣

− K2 K2 + K3

⎤ ⎥ ⎥ − K4 ⎥ ⎥ K4 ⎦

− K3

− K3

K3 + K4 − K4

donde K 1 , K 2 , K 3 , K 4 son las rigideces de los pisos uno, dos, tres y cuatro. Lo interesante ahora es la forma como se va a obtener la rigidez de piso, lo que se expone en el siguiente apartado. Por otra parte, la matriz de masas M y el vector J , cuando se considera únicamente la componente horizontal del movimiento del suelo, son para la estructura de cuatro pisos las siguientes:

⎡m1 ⎢ M =⎢ ⎢ ⎢ ⎣ donde

m2 m3

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ m4 ⎦

⎡1⎤ ⎢1⎥ J =⎢⎥ ⎢1⎥ ⎢⎥ ⎣1⎦

m1 , m2 , m3 , m4 , son las masas de los pisos uno, dos tres y cuatro,

respectivamente. En forma general se puede indicar que la matriz de Rigidez K y de masas M para el análisis plano, son las indicadas en las ecuaciones ( 11.1 ) y (11.2).

⎡ K1 + K 2 ⎢ −K 2 ⎢ ⎢ K= ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

− K2 K2 + K3

− K3

− K3

............ .....

..... ............. − Kn

⎡m1 ⎢ ⎢ M =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

m2 ..... ......

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ mn ⎥⎦

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ − Kn ⎥ K n ⎥⎦

( 11.1 )

( 11.2 )

266

siendo


k n la rigidez del piso n (último piso), m n la masa del piso n. El vector J es unitario. Se

considera que las columnas tienen únicamente rigidez pero no masa, esta ya fue concentrada en la masa.

11.3 RIGIDEZ DE PISO En base a la curva de capacidad resistente obtenida con la técnica del pushover se propone determinar la rigidez de piso k i de cada uno de los entrepisos de la estructura. Se sabe que

k i se obtiene como la relación entre el cortante de piso Vi dividido para el

desplazamiento relativo de piso.

ki =

Vi Di − Di −1

( 11.3 )

Para determinar la rigidez de piso se necesita conocer la relación entre el cortante en cada uno de los pisos y los desplazamientos laterales del piso. En la figura 11.2 se indican estas relaciones para cada uno de los pisos en una estructura de 5 pisos, Aguiar (2002). Se puede encontrar la rigidez de piso asociada a cualquier desplazamiento lateral, empleando la ecuación ( 11.3 ).

Figura 11.2 Relación entre el Cortante de piso y el desplazamiento de piso.

En la tabla 11.1 se indica las rigidez de piso asociada a un desplazamiento lateral de 10.2 cm., que para el ejemplo corresponde al límite del rango elástico.

267


Tabla 11.1 Rigidez de Piso para rango elástico de la estructura de cinco pisos. Piso Desplazamiento Cortante Rigidez de Piso De Piso de Piso ( cm. ) ( T. ) (T/m.) 1 2 3 4 5

2.2 4.7 7.0 9.0 10.2

48.35 45.73 38.97 28.47 15.19

2151.007 1890.246 1648.707 1448.854 1245.794

11.4 MÉTODO DEL SISTEMA LINEAL DE CORTE El procedimiento de cálculo para encontrar la respuesta dinámica en términos de desplazamientos de un sistema de múltiples grados de libertad con comportamiento no lineal, al aplicar el Método del Sistema Lineal de Corte, es el siguiente: i.

Se encuentra la curva de capacidad resistente de la estructura que se va a analizar. Esto implica tener la estructura ya diseñada.

ii.

Se determina el desplazamiento lateral en el último piso con el cual la estructura ingresa al rango no lineal Dty . Para empezar el análisis se puede encontrar la rigidez de cada uno de los pisos asociados a este desplazamiento K j . El programa ESPMBCAP, es una alternativa para el efecto.

iii.

Se obtiene la matriz de rigidez y de masas del Eje de corte aplicando las ecuaciones ( 11.1 ) o ( 11.2 ).

iv.

Se resuelve el problema de valores y vectores propios, con lo cual se determina los períodos de vibración

Ti y los modos de vibración φ (i ) , donde i

representa el modo de vibración. v.

Como se partió con un desplazamiento en el Rango Elástico Dty , el espectro sísmico con el cual se trabaje deberá ser elástico este valor se va a denominar

µ = 1 . Por fines didácticos a

µ ini .

vi.

Ti del respectivo espectro se encuentran las aceleraciones espectrales Ad i .

vii.

Se determinan los factores de participación modal

Con cada

γ (i ) = viii.

γ (i )

φ (i ) t M J φ (i ) t M φ (i )

Se encuentran los desplazamientos máximos modales

( 11.4 )

q im aplicando la

siguiente ecuación, del Método de Superposición Modal que se explica con detenimiento en el siguiente capítulo.

268

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE 2

qim = φ ix.

⎛T ⎞ γ i ⎜ i ⎟ Ad i ⎝ 2π ⎠

∑ (q ) N

i =1

2

im

( 11.6 )

Dt del vector q y se halla la demanda de ductilidad que por fines de ductilidad se denomina µ fin .

Se encuentra el desplazamiento máximo en el tope

µ fin = xi.

( 11.5 )

Se aplica un criterio de combinación modal, puede ser el del valor máximo probable propuesto por Newmark y Rosenblueth (1971), Rosenblueth y Elorduy (1969), y se halla los desplazamientos laterales máximos q .

q= x.

(i )

Se compara

µ ini

con

µ fin

Dt Dty

( 11.7 )

si se consideran parecidas se habrá concluido con

el cálculo caso contrario habrá que repetir el proceso desde el paso ii. Es decir encontrar la rigidez de cada uno de los pisos asociadas a Dt . Por otra parte el

µ ini

será el

µ fin . El espectro inelástico se obtendrá para esta nueva demanda

de ductilidad, para el efecto se puede trabajar con el factor de reducción de las fuerzas sísmicas que más convenga los mismos que han sido indicados en el capítulo 9. No es mala opción considerar Rξ , µ = µ ini

11.5 EJEMPLO DE APLICACIÓN En el capítulo 12 se presenta con detalle la estructura de 6 pisos que se va a analizar su comportamiento sísmico, sin embargo de ello en la figura 11.3 se indica la distribución en planta y se desea hacer un análisis sísmico del pórtico 2, ante el sismo especificado en el espectro que se indica en la figura 11.4, empleando el Método del Sistema Lineal de Corte.


269

Figura 11.3 Distribución en planta de edificación de seis pisos que será analizada.

Figura 11.4 Espectro de Análisis considerado en este ejemplo.

En el capítulo 12 se indican las cargas verticales que actúan en cada piso con las cuales se obtiene la masa, que para el presente ejemplo es igual en todos los pisos y vale 3.48 T s2/m. Además se indica la armadura longitudinal y transversal de vigas y columnas. Se presenta además la curva de capacidad resistente del pórtico 2, la misma que se repite en la figura 11.5, en la cual se ha indicado también el modelo bilineal y el punto en el cual la estructura ingresa al rango no lineal, se aprecia que el desplazamiento de fluencia es

Dty = 9.47 cm.

Figura 11.5 Curva de capacidad sísmica resistente y modelo bilineal. Al aplicar el Método del Sistema Lineal de Corte, descrito en el apartado anterior que está implementado en el programa EJECORTE se encuentra que el desplazamiento lateral

270


máximo en el último piso es de 16.707 cm. Las iteraciones realizadas para llegar al valor indicado se indican en la tabla 11.2 Tabla 11.2 Valores de desplazamientos máximos y demandas de ductilidad.

Dt ini (cm.) 9.470 25.083 12.555 19.944 14.490 18.003 15.515 17.134 16.116

µ ini

Dt fin

µ fin

µ fin − µ ini

1.000 2.648 1.326 2.106 1.530 1.901 1.638 1.809 1.702

(cm.) 25.083 12.555 19.944 14.490 18.003 15.515 17.134 16.116 16.707

2.648 1.326 2.106 1.530 1.901 1.638 1.809 1.702 1.764

1.648 1.322 0.780 0.576 0.371 0.263 0.171 0.107 0.062

Al resolver este problema con el Método del Espectro de Capacidad, se encontró que el desplazamiento lateral máximo es de 17.752 cm., que no difiere mayormente al encontrado con el Método del Sistema de Corte. En la figura 11.6 se indican los espectros de capacidad y de demanda utilizados en el Método del Espectro de Capacidad. Este ejercicio se resuelve en el siguiente capítulo aplicando el Método de Superposición Modal y se encuentra que el desplazamiento lateral máximo es de 12.21 cm. Esta cantidad si está distante con relación a las encontradas con los otros dos métodos. En la tabla 11.3 se indican los desplazamientos laterales en cada uno de los pisos, de la estructura analizada, al aplicar los tres métodos de cálculo.


271

Figura 11.6 Espectros de capacidad de pórtico analizado y de demanda sísmica.

Tabla 11.3 Desplazamientos laterales de piso encontrados con tres métodos. PISO Método de Sistema Método del Método de Lineal de Corte Espectro de Superposición Capacidad Modal (cm.) (cm.) (cm.) 1 1.583 1.651 1.094 2 4.184 4.369 3.245 3 7.285 7.748 5.716 4 10.515 11.382 8.226 5 13.628 14.800 10.570 6 16.707 17.752 12.210

11.6 MÉTODO DE JACOBI Un método clásico para encontrar los valores y vectores propios de una matriz simétrica es el Método de Jacobi, en este capítulo se lo ha empleado por este motivo se lo indica a continuación. Los teoremas fundamentales en que se basa el método son: Teorema 1. Dos matrices A y B se dicen que son semejantes si existe una matriz que admite inversa P, tal que:

B = P −1 A P Teorema 2. Si A y B son dos matrices semejantes, entonces tienen los mismos valores propios. Teorema 3. Si una matriz es diagonal. Entonces los valores propios son los elementos de la diagonal. Teorema 4. Toda matriz simétrica es diagonalizable en una base de vectores propios. Definición de Matriz Ortogonal. Una matriz H se dice que es ortogonal, si:

H Ht = I

→ H −1 = H t

La idea básica del Método de Jacobi es construir una serie de matrices que son semejantes a la original, para lo cual se emplea una matriz de paso P que es ortogonal. Las matrices semejantes que se van obteniendo tienden a ser diagonales. El procedimiento es iterativo y termina estrictamente cuando se llega a una matriz diagonal. El procedimiento termina cuando en la última matriz encontrada, la suma de los elementos fuera de la diagonal en valor absoluto es menor a una tolerancia prefijada. La matriz final es semejante a la matriz original y además se considera diagonal. Por lo tanto los valores propios son las cantidades de la diagonal.

272


Existe las siguientes posibilidades para hacer cero a los elementos fuera de la diagonal: i) Hacer ceros por filas, ii) Hacer ceros por columnas, iii) Hacer cero al mayor elemento fuera de la diagonal en valor absoluto, iv) Una combinación de los casos anotados.

11.6.1 Desarrollo del Método Sea a p , q el elemento de la fila p y columna q, de una matriz A, que se desea hacer

cero, p ≠ q , el elemento se encuentra en la matriz triangular inferior en el ciclo k. La matriz P, con la cual se construirá la matriz semejante y con la cual se logrará el objetivo propuesto tiene la siguiente forma:

⎡ ⎢ ⎢ AK = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

a p ,q

⎡1 ⎢ ⎢ P=⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

P →

Ak +1

Cosθ

⎡ ⎢ ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

Senθ 1

− Senθ

Cosθ

0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 1⎥⎦

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

( 11.8 )

En la ecuación (11.8) se han indicado los elementos no nulos de la matriz P. En general ésta matriz se halla compuesta de la siguiente manera.

i.

En la diagonal principal todos los elementos son 1 a excepción de dos términos que valen Cos θ . Estos términos corresponden a los ubicados en la fila p y columna p; y al ubicado en la fila q y columna q.

ii.

El elemento a p , q de la matriz triangular inferior tiene por valor simétrico vale

− Senθ , su

Senθ

La matriz P, indicada en la ecuación (11.8) es ortogonal. En consecuencia se cumple que la inversa de la matriz P no es más que la transpuesta. A esta matriz se la conoce también con el nombre de matriz de rotación. La base del método consiste en evaluar correspondiente a la matriz

θ

de tal manera que el elemento a p , q

Ak +1 sea nulo. El valor de θ se obtiene a partir de la siguiente

ecuación:

tg 2θ =

11.6.2 Procedimiento de cálculo

2 a p ,q a p , p − a q ,q

( 11.9 )

273


El procedimiento de cálculo para encontrar los valores y vectores propios de una matriz A simétrica es como sigue: i. Se construye la matriz A1 semejante a la matriz A

A1 = P1−1 A P1 pero

P1−1 = P1t . Luego: A1 = P1t A P1

ii.

Se obtiene la matriz

A2 semejante a A1 , etc… A2 = P2t A1 P2 A3 = P3t A2 P3 A4 = P4t A3 P4 ........................ Ak +1 = Pkt+1 Ak Pk +1

Se puede decir que

Ak +1 = Dk +1 + E k +1 . Donde Dk +1 es una matriz diagonal y E k +1 lo

que está fuera de la diagonal. Entonces.

⎡λ1 ⎢ ⎢ ⎢ D = k +1 lím ⎢ k →∞ ⎢ ⎢ ⎣ lím E k +1 = 0

λ2 ... ....

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ λ n ⎥⎦

k →∞

Por el teorema 2, los valores propios parte el test de parada deberá verificar que

λ

de A son los valores propios de

∑a

k +1 i, j

Ak +1 . Por otra

< ε . La sumatoria en valor absoluto de

los elementos fuera de la diagonal es menor que una cantidad muy pequeña

ε.

11.6.3 Cálculo de los Vectores Propios Al desarrollar el procedimiento indicado en el apartado anterior, se tiene:

274


A1 = P1t A P1 A2 = P2t A1 P2 = P2t P1t A P1 P2 A3 = P3t P2t P1t A P1 P2 P3 A4 = P4t P3t P2t P1t A P1 P2 P3 P4 ...

........

Ak +1 = Pkt+1 Pkt Pkt−1 .......P4t P3t P2t P1t A P1 P2 P3 P4 .......Pk −1 Pk Pk +1

(11.10)

t

El producto de las matrices P transpuesta de (11.10) converge a P y el producto de las matrices P de (11.10) converge a P, que es matriz ortogonal. Luego se tiene que:

Ak +1 = P t A P

(11.11)

Por lo tanto por el teorema 4, las columnas de la matriz P de (11.11) son los vectores propios de A.

11.6.4 Ejemplo de Aplicación del Método de Jacobi Encontrar los valores y vectores propios, por el Método de Jacobi, de la siguiente matriz A . Determinar los términos a p , q como el máx a i , j , el máximo en valor absoluto de los elementos fuera de la diagonal de la matriz triangular inferior.

⎡5 A = ⎢⎢− 2 ⎢⎣0 •

−2 3 −1

0⎤ − 1⎥⎥ 1 ⎥⎦

Solución

o

Primer Ciclo

a p , q = −2 tg 2θ =

p=2 2 a p ,q

a p , p − a q ,q

=

⎡Cosθ P1 = ⎢⎢− Senθ ⎢⎣0

q =1

2 ∗ (− 2 ) =2 3−5

Senθ Cosθ 0

→ 2θ = 63.435

0 ⎤ ⎡0.8507 0 ⎥⎥ = ⎢⎢− 0.5257 1⎥⎦ ⎢⎣ 0

0.5257 0.8507 0

→ θ = 31.717

0⎤ 0⎥⎥ 1 ⎥⎦

275


⎡6.2364 A1 = P A P1 = ⎢⎢0.0000 ⎢⎣0.5257 o

0.5257 ⎤ − 0.8507⎥⎥ 1.0000 ⎥⎦

0.0000 1.7640 − 0.8507

t 1

Segundo Ciclo

a p ,q = −0.8507 tg 2θ =

p=3

2 a p ,q a p , p − a q ,q

⎡1 P2 = ⎢⎢0 ⎢⎣0

=

q=2

2 ∗ (− 0.8507 ) = 2.227 1 − 1.7640

→ θ = 32.909

0 ⎤ ⎡1.0000 − Senθ ⎥⎥ = ⎢⎢0.0000 Senθ ⎥⎦ ⎢⎣0.0000

0 Cosθ − Senθ

⎡6.2364 A2 = P A1 P2 = P P A P1 P2 = ⎢⎢− 0.2861 ⎢⎣0.4411 t 2

t 2

t 1

∑a

i, j

0.0000 0.8395 − 0.5453 − 0.2861 2.3145 0.0000

= 0.2861 + 0.4411 = 0.7272

Vectores Propios

⎡0.8507 P2 = ⎢⎢0.5257 ⎢⎣0.0000

P1

o

0.2858 ⎤ 0.4622 ⎥⎥ 0.8395⎥⎦

0.4413 0.7142 − 0.5433

Tercer Ciclo

a p ,q = 0.4411 tg 2θ =

2 a p ,q a p , p − a q ,q

p=3

q =1

= −0.1524

⎡0.9971 P3 = ⎢⎢0.0000 ⎢⎣0.0756

0.0000 1.0000 0.0000

→ θ = −4.3339

− 0.0756⎤ 0.0000 ⎥⎥ 0.9971 ⎥⎦

0.0000 ⎤ 0.5453 ⎥⎥ 0.8395⎥⎦ 0.4411 ⎤ 0.0000 ⎥⎥ 0.4494⎥⎦

276


− 0.2852 2.3145 0.0216

⎡6.2689 A3 = P P P A P1 P2 P3 = ⎢⎢− 0.2852 ⎢⎣0.0000 t 3

t 2

t 1

∑a

i, j

0.0000 ⎤ 0.0216 ⎥⎥ 0.4160⎥⎦

= 0.2852 + 0.0216 = 0.3068

Vectores Propios

0.4413 ⎡0.8698 ⎢ P1 P2 P3 = ⎢− 0.4892 0.7142 ⎢⎣0.0635 − 0.5433 o

0.2207 ⎤ 0.5006⎥⎥ 0.8321 ⎥⎦

Cuarto Ciclo

a p ,q = −0.2852

p=2

⎡0.9974 P3 = ⎢⎢− 0.0716 ⎢⎣0.0000

0.0716 0.9974 0.0000

⎡6.2887 A4 = P P P P A P1 P2 P3 P4 = ⎢⎢0.0000 ⎢⎣− 0.0015 t 4

t 3

t 2

t 1

∑a

i, j

→ θ = 4.104

q =1

0.0000 ⎤ 0.0000⎥⎥ 1.000 ⎥⎦ − 0.0015⎤ 0.0216 ⎥⎥ 0.4160 ⎥⎦

0.0000 2.2937 0.0216

= 0.0015 + 0.0216 = 0.0231

Vectores Propios

0.5024 ⎡0.8359 ⎢ P1 P2 P3 P4 = ⎢− 0.5391 0.6773 ⎢⎣0.1022 − 0.5373

Se considera que

∑a

i, j

0.2205⎤ 0.5006 ⎥⎥ 0.8371⎥⎦

es un valor sumamente pequeño por lo que se termina el

cálculo. Por lo tanto los valores y vectores propios son los siguientes:

λ1 = 6.2887

φ (1)

⎡0.8359 ⎤ = ⎢⎢− 0.5391⎥⎥ ⎢⎣0.1022 ⎥⎦

277


λ2 = 2.2937

λ3 = 0.4160

⎡0.5024 ⎤ φ = ⎢⎢0.6773 ⎥⎥ ⎢⎣− 0.5373⎥⎦ ⎡0.2205⎤ ( 3) φ = ⎢⎢0.5006⎥⎥ ⎣⎢0.8371⎦⎥ ( 2)

Cuando se realiza un programa de computación para encontrar los valores y vectores propios de una matriz con el Método de Jacobi, es necesario tener en cuenta lo siguiente: i.

La matriz inicial de P es la identidad.

ii.

No se programa el triple producto matricial. Este producto se realiza a mano y se obtienen ecuaciones especificas para los elementos que van a modificarse y son estas ecuaciones las que se programan. Los valores propios que se encuentran, como se vio en el ejemplo realizado no se obtienen de menor a mayor. Quien programa debe realizar este ordenamiento una vez que ha finalizado el cálculo.

iii.

iv.

En lugar de chequear la

∑a

i, j

para ver el test de parada. Es conveniente ir

controlando la traza de la matriz. Se define la traza de la matriz como la sumatoria de los elementos de la diagonal.

11.6.5 Ortogonalidad de los Vectores Propios Si la matriz A es simétrica, sus valores propios son reales y además los vectores propios asociados a dos valores propios distintos son ortogonales. Lo expuesto se va a demostrar con los vectores propios encontrados del ejemplo realizado. Para esto se comprobará: i.

La suma de los cuadrados de cada vector propio es la unidad. Por ejemplo al trabajar con

φ (1)

se obtiene:

(0.8359 )2 + (− 0.5391)2 + (0.1022 )2 ii.

El producto punto es cero. Por ejemplo

=1

φ (1) φ (2 ) = 0

φ (1)φ (2 ) = (0.8359)(0.5024) + (− 0.5391)(0.6773) + (0.1022)(− 0.5373) = 0 iii.

En el producto cruz se cumple por ejemplo

φ (1) ∗ φ (2 ) = φ (3 )

278


φ (1) ∗ φ (2 ) φ (1) ∗ φ (2 )

j k ⎤ ⎡ i ⎢ 0.1022 ⎥⎥ = ⎢0.8359 − 0.5391 ⎢⎣0.5024 0.6773 − 0.5373 ⎥⎦ = i (0.2205) + j (0.5006) + k (0.8371)

Por consiguiente los vectores propios son ortogonales si la matriz A es simétrica. Esta propiedad es muy utilizada para desacoplar el sistema de ecuaciones diferenciales que gobiernan los problemas dinámicos, Aguiar (1989).

11.7 CONCLUSIONES Se ha presentado el marco teórico del Método del Sistema Lineal de Corte aplicado a pórticos planos. Si bien es cierto es más exacto encontrar la respuesta no lineal en el eje de corte que en lugar de un sistema de un grado de libertad como sucede en los Métodos del Espectro de Capacidad y el Método del Sistema Equivalente. En este sentido es una ventaja el método presentado, el punto débil es la aplicación del método de superposición modal en el Eje de Corte. Sin embargo de ello en el ejemplo realizado se ha visto que los desplazamientos laterales obtenidos con el Método del Sistema Lineal de Corte son bastante parecidos a los encontrados con el Método del Espectro de Capacidad, al menos en la estructura analizada. Por otra parte se ha presentado con bastante detenimiento el Método de Jacobi que es un método clásico para matrices simétricas en que se desea calcular todos los valores y vectores propios.

REFERENCIAS 1.

Aguiar R., (1989), Análisis Dinámico Espacial, Escuela Politécnica del Ejército, 270 p, Quito, Ecuador.

2.

Aguiar R., (2002), “Estado del arte de los Métodos de Análisis Sísmico y Desempeño Estructural”, XV Jornadas Nacionales y Primeras Bienales de Ingeniería Estructural, 69101, Loja, Ecuador.

3.

Fernández M., Díaz O., y Esteva L., (2002), “Análisis del empuje lateral modal utilizando sistemas lineales equivalentes de múltiples grados de libertad”, XIII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural, 541-553, Puebla, México.

4.

Chopra A. and Goel R. (2002), “A modal pushover analysis procedure for estimating seismic demands for buildings”, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol 31, 561-582.

5.

Newmark N., y Rosenblueth E., (1971), “Fundamentals of Earthquake Engineering”, Prentice Hall.

6.

Rosenblueth E., y Elorduy J., (1969), “Responses of linear systems to certain transient disturbances”, Proceedings Fourth World Conference on Earthquake Engineering, Vol I, 185-196, Santiago de Chile.


279

CAPÍTULO 12

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL

RESUMEN

Se presenta el marco teórico del Método de Superposición Modal a partir de la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas que gobiernan los problemas dinámicos. El Método permite desacoplar el sistema considerando que la matriz de amortiguamiento es una combinación lineal de las matrices de rigidez y de masas. Es importante conocer que con el método se puede encontrar la respuesta en el tiempo paso a paso trabajando con acelerogramas o encontrar la respuesta máxima trabajando con espectros. Como aplicación del Método se analiza una estructura de acuerdo a lo estipulado por el Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000 y se presenta con detalle el cálculo para que el lector pueda utilizar con propiedad programas comerciales que existen en el medio. Se indican los controles de cortante basal mínimo, del efecto P − ∆ , y de la deriva o distorsión de piso. Una vez que se tiene diseñada la armadura de los diferentes elementos de la estructura es fundamental que el proyectista estructural calcule el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R w con el cual obtuvo el espectro inelástico. El calculo de este factor se presenta en este capítulo al igual que el desempeño que va a tener la misma, para el efecto se indican los elementos estructurales que van a ingresar al rango no lineal, todo esto con la estructura que se analiza, la misma que tiene 6 pisos. Finalmente se explica la aplicación del Método de Superposición Modal al Análisis Sísmico de estructuras espaciales considerando tres grados de libertad por planta. Es decir considerando que la losa o diafragma horizontal es completamente rígido en su plano. Se indica el cálculo de la torsión accidental y la simultaneidad de acciones sísmicas.

280


12.1 DESCRIPCIÓN GENERAL DEL MÉTODO En forma general, se puede indicar que el sistema de ecuaciones diferenciales que gobiernan los problemas dinámicos está definido por la ecuación (12.1). En la cual, M , C , K son las matrices de masas, amortiguamiento, rigidez; Q .

el vector de coordenadas

..

generalizadas; q, q, q son los vectores de desplazamientos, velocidades y aceleraciones. ..

.

M q+C q+K q=Q

( 12.1 )

El sistema definido en (12.1), es un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas, en virtud de que las matrices de rigidez K y amortiguamiento C por lo general no son diagonales. El acoplamiento, dificulta la solución matemática. El método de superposición modal, permite desacoplar el sistema de ecuaciones diferenciales, para ello se trabaja con la matriz modal Φ , la misma que viene a ser una matriz de transformación de coordenadas, como se verá más adelante.

[

Φ = φ (1)

φ ( 2 ) φ ( 3) K K φ ( n ) ]

donde la primera columna de la matriz modal Φ es el primer modo de vibración, la segunda columna el segundo modo y así sucesivamente hasta el último modo de vibración. Para el desacoplamiento se considera que la matriz de amortiguamiento C, es del tipo Rayleigh, indicado en la ecuación (12.2), que se repite a continuación.

C = a o M + a1 K

( 12.2 )

Por otra parte, se plantea la transformación de coordenadas indicada en la ecuación (12.3); donde η se define como coordenadas principales.

q = Φη

( 12.3 )

Al reemplazar (12.2) en (12.1) y luego al pasar a coordenadas principales utilizando la ecuación (12.3), se tiene: ..

.

.

M ∗ η + ao M ∗ η + a1 K ∗ η + K ∗ η = Q ∗

( 12.4 )

M ∗ = Φt M Φ

( 12.5 )

Donde:

∗

K =Φ K Φ

( 12.6)

Q∗ = Φt Q

( 12.7 )

t

281


La deducción de las ecuaciones (12.6) y (12.7) se presentan en Aguiar (1995). La deducción de la ecuación (12.5) puede obtenerse evaluando la energía cinética de una estructura. En Aguiar (1989) se presenta también la deducción de las ecuaciones indicadas. De otro lado, por la ortogonalidad de los modos de vibración, se conoce que:

φ (i ) t M φ ( j ) = 0

i≠ j

φ

i≠ j

(i ) t

K φ

( j)

=0

∧

12.1.1 Modos normalizados de la forma φ ( i ) t M φ ( i ) = η Los modos de vibración se obtienen de la solución de un sistema de ecuaciones que es linealmente dependiente, de tal manera que se tiene infinito número de modos de vibración pero que guardan cierta relación entre si. Con el objeto de determinar modos específicos se acostumbra normalizar los modos de vibración, una forma de hacerlo es la siguiente: ∧

φ (i ) t M φ (i ) = η ∧

η

Se ha denominado

a la constante de normalización de los modos de vibración. Con

este antecedente y notación, se tiene que las matrices M

⎡∧ ⎢η ⎢ ⎢ ∗ M =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ K ⎥ K ⎥ ∧⎥ η⎥ ⎦

∧

η

∗

∗

∗

y K , valen:

⎡W12 ⎢ W22 ⎢ ∧⎢ K K ∗ =η⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

Wi 2 K

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 2⎥ Wn ⎦

∗

Al ser M y K , matrices diagonales, el sistema de ecuaciones diferenciales, está desacoplado. Siendo la ecuación correspondiente al modo de vibración i, de la siguiente forma. ∧ ..

∧ .

∧

∧

.

η η i + a o η η + a1 η Wi 2 η i + η Wi 2 η i = Qi∗ donde Wi es la frecuencia natural del sistema correspondiente al modo i. Por otra parte, .

..

ηi , η i , η i

son el desplazamiento, velocidad y aceleración en coordenadas principales del .

modo i. Ahora si se factora

η i , se

∧ ..

obtiene: ∧ .

∧

η η i + (a o + a1 Wi 2 ) η η i + η Wi 2 η i = Qi∗

282

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE En Aguiar (1989) se demuestra que el valor de ( a o + a1Wi ) es igual a 2 Wi ξ i . Luego 2

una de las ecuaciones diferenciales desacopladas tiene la siguiente forma: ∧ ..

∧ .

∧

η η i + 2 Wi ξ i η η i + η Wi 2 η i = Qi∗

( 12.8 )

12.1.2 Modos normalizados de la forma φ ( i ) t M φ ( i ) = 1 Para este caso de normalización de los modos de vibración, la ecuación a la que se llega por un procedimiento análogo es la siguiente: ..

.

η i + 2 Wi ξ i η i + Wi 2 η i = Qi∗

( 12.9 )

12.1.3 Modos normalizados de cualquier forma ∗

∗

La ecuación diferencial desacoplada queda en función de M i , se destaca que M i es un escalar y vale:

φ ( i ) t M φ ( i ) = M i∗

( 12.10 )

La ecuación genérica, es la siguiente:

..

.

M i∗ η i + 2 Wi ξ i M i∗ η i + M i∗ Wi 2 η i = Qi∗

( 12.11 )

12.1.4 Caso de análisis sísmico ..

Para el caso general, en que actúen las tres componentes sísmicas, que son: U ghx (t ) ..

..

aceleración horizontal en sentido X, U ghy (t ) aceleración horizontal en sentido Y, y U gv (t ) aceleración vertical. El vector de cargas Q, es: ..

..

..

Q = − M J X U ghx (t ) − M J Y U ghy (t ) − M J Z U gv (t ) ∗

El término Qi no es más que el modo de vibración

φ (i ) t

( 12.12 )

por el vector Q . En

consecuencia, se tiene:

..

..

..

Qi∗ = − φ ( i ) t M J X U ghx (t ) − φ ( i ) t M J Y U ghy (t ) − φ ( i ) t M J Z U gv (t )

283


Se definen

γ ix , γ iy , γ iz , los factores de participación del modo i, para análisis sísmico

en sentido X, Y y para la componente vertical de movimiento del suelo.

γ ix = γ iy = γ iz =

φ (i ) t M M

φ (i ) t M M

( 12.13.1 )

JY

( 12.13.2 )

JZ

( 12.13.3 )

∗ i

φ (i ) t M M

JX ∗ i

∗ i ∗

Al dividir la ecuación (12.11) para el escalar M i , la forma general de una ecuación diferencial desacoplada es la siguiente: ..

.

..

..

..

η i + 2 Wi ξ i η i + Wi 2 η i = − γ ix U ghx (t ) − γ iy U ghy (t ) − γ iz U gv (t )

( 12.14 )

La ecuación (12.14) corresponde a un sistema de un grado de libertad. En consecuencia se puede encontrar la respuesta dinámica aplicando la integral de Duhamel o el método β de Newmark. La importancia del método de superposición modal radica cuando se aplica utilizando un espectro de diseño.

12.1.5 Organización del Método de Superposición Modal Una vez que se ha definido el modelo numérico de cálculo que se va a utilizar el siguiente es el procedimiento a seguir empleando el método de superposición modal.

1) Se determinan las matrices de rigidez K , de masas M y los vectores

J X , JY y J Z .

2) Estimar o determinar los valores de

ξi

3) Calcular las propiedades dinámicas

Wi y φi . Es un problema de valores y vectores

propios. ∗ 4) Determinar M i

φ ( i ) t M φ ( i ) = M i∗ 5) Determinar los factores de participación modal.

γ ix = γ iy = γ iz =

φ (i ) t M

JX ∗ i

M

φ (i ) t M M

φ

(i ) t

JY

∗ i

M JZ M i∗

284

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE 6) Resolver la ecuación diferencial correspondiente a un grado de libertad y hallar

ηi ,

utilizando métodos analíticos o numéricos. ..

.

..

..

..

η i + 2 Wi ξ i η i + Wi 2 η i = − γ ix U ghx (t ) − γ iy U ghy (t ) − γ iz U gv (t ) 7) Encontrar el vector de desplazamientos q

q = Φη En función de los modos de vibración

φ (i )

se tiene:

N

q = ∑ φ (i ) η i (t ) i =1

( 12.15 )

Donde N es el número de modos que se consideran en la respuesta dinámica. Se destaca que no es necesario considerar todos los modos de vibración en la respuesta sísmica, los modos superiores influyen muy poco en la respuesta.

12.2 MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL CON ESPECTRO La respuesta dinámica, se puede encontrar aplicando el método de superposición modal ya sea trabajando con un espectro de respuesta, con un espectro de diseño elástico o con un espectro de diseño inelástico. Por otra parte, si bien todas las aplicaciones de este capítulo están orientadas al análisis plano, no es menos cierto que se aplican las mismas definiciones y procedimientos de cálculo para el análisis espacial de estructuras. Por lo tanto, es un método de carácter general siempre y cuando sea factible desacoplar el sistema de ecuaciones diferenciales. Los espectros definen la respuesta máxima de osciladores de un grado de libertad y de un mismo amortiguamiento, sometidas a una historia de aceleraciones dada, para el análisis sísmico. En consecuencia el espectro proporciona la respuesta máxima del sistema. Con este antecedente la respuesta máxima η im se obtiene con la ecuación (12.16) 2

η im

⎛T ⎞ = γ i ⎜ i ⎟ Ad i ⎝ 2π ⎠

( 12.16 )

donde Ti es el período correspondiente al modo i. Por otra parte, Ad i , es la aceleración espectral correspondiente al período participación modal

γi.

Ti . Se ha definido en forma general el factor de

La ecuación (12.16) tiene involucrado el concepto de pseudo

espectros.

12.3 RESPUESTAS MODALES MÁXIMAS Varios son las respuestas modales máximas que interesan para el análisis y diseño sísmico de edificios, las mismas que se detallan en el presente apartado.

285


12.3.1 Desplazamientos Modales Máximos

η im ,

La ecuación (12.16) define el desplazamiento máximo, en coordenadas principales para el modo i. Los desplazamientos máximos de la estructura q im , se obtienen con la

ecuación (12.17) 2

qim = φ

(i )

η im = φ

(i )

⎛T ⎞ γ i ⎜ i ⎟ Ad i ⎝ 2π ⎠

( 12.17 )

La ecuación (12.17) permite encontrar los desplazamientos máximos en cada uno de los diferentes modos. Para encontrar los desplazamientos máximos totales, se aplicará un criterio de combinación modal que se indicará posteriormente. Con los desplazamientos máximos modales, se pueden encontrar las derivas de piso en cada uno de los modos. La deriva, a secas, no es más que el desplazamiento horizontal relativo entre dos puntos colocados en la misma línea vertical, en dos pisos o niveles consecutivos de la edificación.

12.3.2 Fuerzas equivalentes y Cortantes En forma aproximada se puede encontrar las fuerzas estáticas equivalentes de un modo de vibración Fi , como el producto de la matriz de rigidez K por el vector de desplazamientos del modo q im .

Fi ≈ K qim

( 12.18 )

Al reemplazar el valor de q im por la ecuación (12.17) y si se tiene en cuenta que:

Wi =

2π Ti

K =W2 M

Se demuestra fácilmente que las fuerzas estáticas equivalentes del modo i, denominadas Fi , se obtiene con la ecuación ( 12.19 ).

Fi = γ i Ad i M φ (i )

( 12.19 )

Se denomina Ai , Coeficientes de forma, al producto del modo de vibración i por el factor de participación modal.

Ai = γ i φ (i )

( 12.20 )

El cortante V i , se determina sumando las fuerzas laterales en cada uno de los pisos. Se destaca que el criterio de combinación modal, tema que se abordará posteriormente, no debe aplicarse en las fuerzas estáticas equivalentes sino en los cortantes, ya que así se toma en cuenta la forma del modo. Una vez que se ha realizado la combinación modal en los cortantes se obtiene las fuerzas estáticas equivalentes.

286

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE Se denomina Vo al cortante basal. En cada modo de vibración se tiene un cortante en

la base al que se llamará Voi , cortante basal del modo i, en base al cual se va a calcular el Peso efectivo modal que se trata a continuación.

12.3.3 Peso efectivo Modal Se define el peso efectivo modal Wi como la relación entre el cortante basal para el coeficiente sísmico pero evaluado en cada modo de vibración.

Wi =

Voi ci

ci =

Ad i g

( 12.21 )

La sumatoria de los pesos efectivos W i , en todos los modos de vibración reporta el peso total de la estructura. El cálculo del peso efectivo, es fundamental, para saber determinar el mínimo número de modos que se deben considerar en el análisis. El cálculo de los pesos modales con la ecuación ( 12.21 ) implica el conocer el cortante basal en cada modo de vibración, lo que demanda un considerable trabajo razón por la cual se recomienda encontrar los pesos modales con las ecuaciones ( 12.22 ) y (12.23).

2

⎛ n ⎞ ⎜ ∑ mk φ ki ⎟ α i = n⎝ k =1 n ⎠ ∑ mk ∑ mk φki2

( 12.22 )

Wi = α i WT

( 12.23 )

k =1

donde

αi

k =1

es el factor de participación del modo i en el cortante basal., n es el número de

grados de libertad que se consideran en el análisis. Para deducir la ecuación (12.22) se recuerda que la sumatoria de las fuerzas laterales reporta el cortante basal Vi . Sea k un subíndice para identificar el número de piso y n el número total de pisos, esto sería para el caso en que las masa se concentra a nivel de piso y se considera un grado de libertad por planta, en el caso general es el número de grados de libertad. En función de este subíndice se tiene que el cortante basal en el modo i, vale:

n

n

k =1

k =1

Vi = ∑ Fki = γ i Sa i ∑ mk φ ki

El factor de participación modal

φ ki

γi

se puede escribir de la forma siguiente:

de la masa de piso m k y del vector modal de piso

287


n

γi =

∑m φ

ki

∑m φ

2 ki

k =1 n k =1

k

k

Al sustituir esta última ecuación en Vi se encuentra: 2

⎛ n ⎞ ⎜ ∑ mk φ ki ⎟ ⎠ Sa Vi = ⎝ k =n1 i 2 m φ ∑ k ki k =1

Por otra parte, el cortante basal

Vi en función de α i se escribe de la siguiente forma: Vi = α i M T Sai n

donde

∑m

M T es la masa total de la estructura y es igual a

k =1

k

. Al comparar estas dos últimas

ecuaciones se obtiene: 2

⎛ n ⎞ ⎜ ∑ mk φ ki ⎟ α i = n⎝ k =1 n ⎠ ∑ mk ∑ mk φ ki2 k =1

k =1

Es recomendable que el número mínimo de modos de vibración NM sea tal que la sumatoria de los pesos efectivos para ese número mínimo de modos sea mayor al 90% del peso de la estructura. En función de la variable α i el número mínimo de modos se obtiene cuando

α i > 0.9

12.4 CRITERIOS DE COMBINACIÓN MODAL Existen una serie de criterios de combinación modal, para estimar la respuesta sísmica máxima. En el presente apartado se presentan algunos de ellos.

12.4.1 Criterio del máximo valor probable Sea r un cierto valor de respuesta que se desea obtener, puede ser un momento, desplazamiento, corte, etc. El criterio del máximo valor probable propuesto por Newmark y Rosenblueth (1971) es:

288


N

∑ (r )

r=

2

( 12.24 )

i

i =1

donde N es el número de modos que se consideran en la respuesta y la variable i corresponde al modo de vibración. Por su sencillez es uno de los más utilizados. Es apropiado su uso cuando las frecuencias naturales de vibración se encuentran bastante separadas, más del 10%. Utilizar el criterio del máximo valor probable cuando no cumple esta condición puede llevar a subestimar o sobrestimar considerablemente la respuesta.

12.4.2 Criterio de la doble suma Este criterio se utiliza cuando las frecuencias naturales están bastante cercanas entre sí.

N

N

r 2 = ∑ (ri ) + ∑ 2

i =1

ε ij =

i =1

N

ri r j

∑1+ ε j =1

2 ij

( 12.25 )

1 − ξ Wi − W j ξ Wi + W j

siendo Wi , W j las frecuencias de vibración de los modos i, j, respectivamente;

( 12.26 )

ξ el porcentaje

de amortiguamiento crítico para cada modo de vibración. La forma de cálculo de

ε ij , indicada

en la ecuación (12.26) es la más práctica. Sin embargo una forma más refinada de cálculo es la siguiente:

ε ij =

Wi ' − W j'

ξ i' Wi + ξ 'j W j

Wi ' = Wi 1 − ξ i2

ξ i' = ξ i +

2 s Wj

( 12.27 ) ( 12.28 ) ( 12.29 )

donde s , es la duración del sismo. Este criterio considera la proximidad entre los valores de las frecuencias de los modos naturales que contribuyen a la respuesta, la fracción del amortiguamiento crítico y la duración del sismo.

12.4.3 Criterio de la combinación cuadrática completa

289


Este criterio considera la posibilidad de acoplamiento entre los modos de vibración. N

r2 = ∑ i =1

ρ ij = a=

N

∑ρ j =1

ij

( 12.30 )

ri r j

8 ξ 2 (1 + a ) a 1.5

(1 − a )

2 2

+ 4 ξ 2 a (1 + a )

( 12.31 )

2

Wj

( 12.32 )

Wi

ρ ij =

(1 − a )

2 2

8 ξ i ξ j (ξ i + a ξ j ) a 1.5

( 12.33 )

+ 4 ξ i ξ j a (1 + a 2 ) + 4(ξ i2 + ξ j2 ) a 2

Se puede utilizar las ecuaciones (12.31) o (12.33) para evaluar

ρ ij ; ξ i , ξ j son las

fracciones del amortiguamiento crítico correspondientes a los modos de vibración i,j. Cuando las frecuencias están bastante separadas, el criterio de la combinación cuadrática completa, proporciona valores similares al criterio del máximo valor probable.

12.4.4 Criterio AGH Existe una gran cantidad de criterios de combinación modal y lo interesante es que se continúa investigando en esa línea es así como Gómez (2002) presenta un nuevo criterio sin condicionar su empleo a las frecuencias de vibración. En consecuencia se puede utilizar en estructuras cuyas frecuencias estén cercanas o alejadas, El criterio cuyo nombre corresponde a las iniciales del autor es el siguiente:

⎛ N ⎞ r = r + ⎜ ∑ ri ⎟ ⎝ 2 ⎠

2

2 1

( 12.34 )

Este criterio está inspirado en los criterios de la respuesta modales totales y el del máximo valor probable.

12.5

APLICACIÓN UTILIZANDO EL CEC-2000

Se desea encontrar las fuerzas estáticas equivalentes, los desplazamientos máximos y las derivas de piso de la estructura de 6 pisos indicada en la figura 12.1, la altura de los entrepisos es de 3.0 m., cada uno. Las columnas de los dos primeros pisos son iguales y tienen una sección transversal de 60/60, las columnas de los pisos 3 y 4 son de 55/55 y las de los últimos pisos de 50/50. Las vigas de los dos primeros pisos es de 30/45 y las restantes de 30/40. Se desea calcular la respuesta sísmica plana del pórtico 2, ante el espectro estipulado por el Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000, si la misma se halla situada en la zona de mayor peligrosidad sísmica del Ecuador sobre un perfil de suelo S2 y va a ser utilizada

290


para vivienda. Considerar para el espectro inelástico un valor de

Rw = 8 . En la figura 12.2 se

indica en la parte superior el espectro elástico y en la parte inferior el espectro inelástico que se considera en el análisis sísmico y que responde a las condiciones del problema.


Figura 12.2 Espectro Elástico e Inelástico para

Rw = 8

en la zona de mayor peligrosidad sísmica de

Ecuador (0.4 g) y para un perfil de suelo S2.

El análisis sísmico debe realizarse de acuerdo al CEC-2000, considerando inercias agrietadas ya que la estructura va a ingresar al rango no lineal ante el sismo de análisis y las vigas serán las más afectadas. Las Inercias agrietadas son:

I V = 0 .5 I g

I C = 0 .8 I g

( 12.35 )

291


La matriz de rigidez lateral que se obtiene para el pórtico 2, considerando inercias agrietadas en vigas y columnas es la siguiente (triangular superior).

⎡69633.01 ⎢ ⎢ ⎢ K=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢

− 40795.42 14351.09 − 3810.76 − 156.36 ⎤ 887.83 48123.25 − 31916.06 11696.37 − 2724.41 486.18 ⎥⎥ − 1591.62⎥ 40177.45 − 26216.94 8933.34 ⎥ 32543.50 − 20288.87 5083.12 ⎥ 22680.56 − 9256.16 ⎥ ⎥ 5392.68 ⎦⎥

La carga muerta uniforme distribuida que actúa en cada piso del pórtico analizado es 2.1 T/m., y la carga viva es 0.7 T/m., se considera por facilidad que ésta carga es igual en todos los pisos. Para el análisis sísmico se trabaja con el 25% de la carga viva, de tal manera que la carga vertical es de 2.275 T/m. Al multiplicar ésta cantidad por la longitud total de cada pórtico que es de 15 m. y al dividir para la gravedad se encuentra la masa de cada piso que es de 3.48 T s2/m. De tal manera que la matriz de masas es:

⎡3.48 ⎢ ⎢ ⎢ M =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢

Modo

3.48 3.48 3.48 3.48

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 3.48⎦⎥

Tabla 12.1 Valores Propios, Frecuencias (1/s) y Períodos (s). Valor Propio Frecuencia Natural

1 2 3 4 5 6

Período

λi

Wi

Ti

55.4502 590.843 2527.40 7504.97 17677.3 34308.8

7.44649 24.3073 50.2733 86.6312 132.956 185.226

0.843778 0.258490 0.124981 0.0725279 0.0472576 0.0339216

En la tabla 12.1 se indica los valores propios, las frecuencias naturales de vibración y los períodos de vibración, se destaca que el período fundamental es bastante alto esto es debido a que se calcula con inercias agrietadas. En la tabla 12.2 se indican los respectivos modos de vibración. Tabla 12.2 Modos de Vibración φ Modo 2 Modo 3 Modo 4 -0.09069 0.1655 0.2476 -0.2366 0.2939 0.1878 -0.2986 0.08922 -0.2535 -0.2003 -0.2508 -0.1039 (i )

Piso 1 2 3 4

Modo 1 0.02768 0.08617 0.1563 0.2284

Modo 5 0.2866 -0.05537 -0.2128 0.3161

Modo 6 0.3277 -0.3147 0.2368 -0.1419

292

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE 5 6

0.2939 0.04092 -0.2219 0.3067 -0.2271 0.06543 0.3406 0.3033 0.2309 -0.1426 0.07236 -0.01696 Los factores de participación modal γ i se indican en la tabla 12.3. Se destaca que para

Ti se ingresa al espectro inelástico indicado en la figura 12.1 y se obtiene la aceleración espectral Ad i que también se el caso plano el vector J es unitario. Con cada período de vibración indica en la tabla 12.3.

Tabla 12.3 Factores de Participación Modal y Aceleración Espectral. Modo Factor de Participación γ i Aceleración Espectral 1 2 3 4 5 6

Ad i

(m/s2) 0.903432 1.470000 1.470000 1.470000 1.470000 1.470000

3.94547 1.67846 1.06863 0.824008 0.625867 0.54431

Las fuerzas laterales en cada modo se obtienen con la siguiente ecuación Fi = γ i Ad i M φ (i ) . Los valores se indican en la tabla 12.4. Con estas fuerzas laterales se obtienen los cortantes modales los mismos que se indican en la tabla 12.5.

Piso 1 2 3 4 5 6

Piso 1 2 3 4 5 6

Modo 1 (T.) 0.3435 1.069 1.940 2.835 3.648 4.227

Tabla 12.4 Fuerzas Laterales Modales. Modo 2 Modo 3 Modo 4 (T.) (T.) (T.) -0.7792 0.9052 1.044 -2.033 1.608 0.7922 -2.566 0.488 -1.069 -1.721 -1.372 -0.4611 0.3515 -1.214 1.294 2.606 1.263 -0.6015

Modo 5 (T.) 0.9181 -0.1774 -0.6818 1.013 -0.7275 0.2318

Modo 6 (T.) 0.9130 -0.8768 0.6597 -0.3954 0.1823 -0.04725

Modo 1 (T.) 14.06 13.72 12.65 10.71 7.875 4.227

Tabla 12.5 Cortantes Modales. Modo 2 Modo 3 Modo 4 (T.) (T.) (T.) -4.141 1.679 0.9981 -3.362 0.7735 -0.04624 -1.329 -0.8344 -0.8384 1.236 -1.322 0.2308 2.957 0.04932 0.6920 2.606 1.263 -0.6015

Modo 5 (T.) 0.5758 -0.3423 -0.1649 0.5169 -0.4956 0.2318

Modo 6 (T.) 0.4355 -0.4774 0.3994 -0.2603 0.1351 -0.04725

Piso 1 2 3 4

Tabla 12.6 Cortantes Totales y Fuerzas Laterales Cortante (T.) Fuerza Lateral (T.) 14.80765 0.64833 14.15932 1.37702 12.78230 1.9020 10.88030 2.42377

293


5 6

8.45653 5.16478

3.29175 5.16478

Al aplicar el criterio del máximo valor probable en los cortantes se obtienen los valores indicados en la tabla 12.6 y de ellas por un procedimiento contrario se determinan las fuerzas laterales que también se indican en la tabla. En la tabla 12.6 se aprecia que el cortante basal obtenido del análisis sísmico

Vo es

igual a 14.807 T. Este cortante debe compararse con el cortante basal mínimo V om que recomienda el CEC-2000. Si

Vo ≥ Vom se prosigue con el análisis, caso contrario se determina

f =

Vom por el cual se multiplican las fuerzas laterales para que el Vo

un factor de corrección

cortante basal sea mínimo.

Vom =

ZIC W Rw φ p φ e

( 12.36 )

donde Z es el factor de zona sísmica, I es el factor de importancia, C es el coeficiente sísmico definido en la figura 12.13, en función del factor de amplificación por efecto de suelo S y del período fundamental T , W es el peso reactivo el mismo que se calcula exclusivamente con la carga muerta, R w es el factor de reducción de las fuerzas sísmicas para obtener el espectro inelástico,

φ p , φ e factores reducen el comportamiento no lineal debido a

irregularidades en planta y elevación.

Figura 12.13 Coeficiente sísmico C, de acuerdo al CEC 2000. Para el ejemplo el cortante basal mínimo vale 17.42 T., que es mayor a

Vo , luego el

factor f = 1.177 con el cual deben multiplicarse las fuerzas laterales indicadas en la tabla 12.6. El resultado se indica en la tabla 12.7, donde también se presentan las fuerzas laterales que se obtendrían al aplicar el método estático en base al modo fundamental aplicando la ecuación (12.37) y al modo fundamental equivalente mediante la ecuación (12.38), todo esto con el objeto de comparar resultados. Ecuaciones que fueron estudiadas en el capítulo 10.

294

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE Fi =

mi φ i N

∑m

φj

j

Vom

( 12.37 )

V

( 12.38 )

j

Fi =

mi φ i N

∑m

j

φj

j

mi es la masa del piso i; φi es la forma del primer modo en el piso i, V es el cortante basal, N es el número de pisos y Fi la fuerza lateral correspondiente al piso i. En la ecuación donde

(12.38) se tiene que

φi

es el modo fundamental equivalente, Valles et al (1996) el mismo que

se calcula con la ecuación (12.39) en función del factor de participación modal

φi =

∑ (φ

2

N

j =1

γ.

ij

γ j)

( 12.39 )

Con la ecuación (12.37) se determinan las fuerzas laterales equivalentes debido a sismo en forma muy rápida trabajando en función del modo fundamental y es aplicable a estructuras regulares que responden básicamente en el primer modo. La ecuación (12.38) en cambio es aplicable a estructuras en las cuales la influencia de los modos superiores es importante.

Piso

1 2 3 4 5 6

Tabla 12.7 Fuerzas estáticas equivalentes obtenidas de diferentes maneras Fuerzas Laterales Fuerzas Laterales Fuerzas Laterales Método de Método Estático Método Estático Superposición Modal Modo Fundamental Modo Fundamental Equivalente (T.) (T.) (T.) 0.763 0.4053 1.2860 1.620 1.2821 2.0209 2.238 2.4045 2.6179 2.852 3.5608 3.2044 3.873 4.5451 3.7849 6.077 5.2255 4.5092

Para el cálculo de las derivas o distorsiones de piso, de acuerdo al CEC-2000 es necesario volver a calcular la matriz de rigidez de la estructura pero trabajando con las inercias gruesas ya no con las inercias agrietadas. Está matriz resulta:

⎡86734.43 ⎢ ⎢ ⎢ K =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢

− 50046.69 16330.80 60757.93 − 39363.50 51155.73

− 4067.51 − 145.20 ⎤ 884.78 13597.11 − 2957.79 508.95 ⎥⎥ − 32800.94 10446.48 − 1787.48 ⎥ ⎥ 41718.12 − 25605.46 6163.87 ⎥ 30370.38 − 12919.67⎥ ⎥ 8139.41 ⎦⎥

295


Los desplazamientos elásticos q se obtienen de la solución del sistema de ecuaciones lineales siguiente:

Q=K

( 12.40 )

q

donde el vector de cargas Q está formado por las fuerzas laterales de piso. Los

qin se obtienen de acuerdo al CEC-2000 multiplicando los desplazamientos elásticos por el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R w .

desplazamientos inelásticos

qin = Rw

( 12.41 )

q

Con los desplazamientos inelásticos se determina la deriva de piso

δi

como la relación

entre el desplazamiento relativo inelástico para la altura de entrepiso. En la tabla 12.8 se indican los desplazamientos elásticos, inelásticos y las distorsiones de piso obtenidas con las fuerzas laterales encontradas del método de superposición modal.

Piso

1 2 3 4 5 6

Tabla 12.8 Desplazamientos elásticos, inelásticos y distorsión de piso. Desplazamiento Desplazamiento Distorsión de Elástico Inelástico Piso δ i (cm.) 0.13669 0.40567 0.71453 1.0282 1.3209 1.5268

(cm.) 1.094 3.245 5.716 8.226 10.570 12.210

(%) 0.36 0.72 0.82 0.84 0.78 0.55

La deriva máxima recomendada por el CEC-2000 para el sismo analizado es del 2%, y los valores obtenidos son menores a dicha cantidad. En consecuencia no hay problema de distorsión de piso. Ahora lo que se debe controlar es el efecto P − ∆ . Una forma simplificada de controlar el efecto P − ∆ es mediante el factor de estabilidad de piso θ k el mismo que viene definido por la siguiente ecuación:

θk =

PTk δk Vk

( 12.42 )

PTk es la carga vertical que gravita desde el piso k hasta el tope del edificio, δ k es la deriva del piso k y Vk es el cortante del piso k . Si el valor de θ k en todos los pisos es menor a 0.08, la estructura no tendrá problema del efecto P − ∆ . Por el contrario si en algún piso el valor de θ k supera el valor de 0.30 la estructura tendrá serios problemas por el efecto P − ∆ donde

debiendo rediseñarse la misma para el efecto se debe incrementar la sección transversal de vigas y columnas y repetir el análisis sísmico.

296

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE Finalmente para el caso en que el valor de

θk

en algún piso este comprendido entre

f P −∆ y todas las fuerzas laterales

0.08 y 0.30 se debe encontrar un factor de corrección deberán multiplicarse por dicho valor.

f P −∆ =

1 1−θk

( 12.43 )

En la tabla 12.9 se indican los índices de estabilidad de piso

θk

obtenidos para el

ejercicio resuelto se observa que ningún valor supera 0.08. Tabla 12.9 Descripción del cálculo del efecto P − ∆ . Piso

δk

PTk

VK

θk

1 2 3 4 5 6

0.0036 0.0072 0.0082 0.0084 0.0078 0.0055

204.75 170.625 136.500 102.375 68.250 34.125

17.423 16.660 15.040 12.802 9.950 6.077

0.0423 0.0737 0.0744 0.0671 0.0535 0.0308

12.6

DISEÑO DE VIGAS Y COLUMNAS

Una vez que se realizó el análisis sísmico se procedió al diseño de vigas y columnas considerando cargas verticales (muerta y viva) y cargas sísmicas. Se consideró un hormigón con una resistencia máxima a la compresión de 210 kg/cm2 y un acero con un límite de fluencia de 4200 kg/cm2. En la figura 12.14 se indica el armado respectivo y en las tablas 12.10 y 12.11 se detallan las armaduras utilizadas. Mc 01

Mc 04

Mc 03

Mc 08

Mc 07

Mc 05

Mc 06

Mc 09

Mc 02

Mc 10

11 E @ 10

12 E @ 20

11 E @ 10

11 E @ 10

12 E @ 20

11 E @ 10

11 E @ 10

12 E @ 20

11 E @ 10

1.13

2.25

1.13

1.13

2.25

1.13

1.13

2.25

1.13

A

C

B

D

ARMADO DE VIGAS TIPO TODOS LOS NIVELES bc 8 ø 20

bv

Mc 01 - Mc 02 Mc 3, 4, 5, 6

E ø 10 @ 10 y 20 hc

hv

Mc 7, 8, 9, 10 E ø 10 @ 10 y 20

COLUMNAS

VIGAS

Figura 12.14 Armadura de una viga y columna tipo. Tabla 12.10 Detalle de Secciones Para Vigas y Columnas Nivel Rw = 8

297


Columna Refuerzo Viga + 3.00 60 x 60 8 ø 25 30 x 45 + 6.00 60 x 60 8 ø 25 30 x 45 + 9.00 55 x 55 8 ø 22 30 x 40 + 12.00 55 x 55 8 ø 22 30 x 40 + 15.00 50 x 50 8 ø 20 30 x 40 + 18.00 50 x 50 8 ø 20 30 x 40 Tabla 12.11 Disposición de Acero de Refuerzo en Vigas Mc 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

12.7

Nivel +3.00 2 ø 16 2 ø 16 4 ø 16 4 ø 16 4 ø 16 4 ø 16 2 ø 16 2 ø 16 2 ø 16 2 ø 16






CAPACIDAD SÍSMICA RESISTENTE

Una vez que se tiene diseñado el pórtico se encuentra la curva de capacidad sísmica resistente, que relaciona el desplazamiento lateral máximo en el tope Dt con el cortante basal

V , se ha considerado el modelo de hormigón confinado de Park et al (1981), el modelo trilineal para el acero y el modelo de plasticidad extendida de Thom et al (1983).

Figura 12.15 Curva de capacidad sísmica resistente y modelo bilineal. Por otra parte la distribución de cargas laterales empleadas en la técnica del pushover es proporcional a las fuerzas laterales obtenidas del método de superposición modal indicadas en la primera columna de la tabla 12.7. En la figura 12.15 se indica la curva de capacidad resistente y el modelo bilineal equivalente obtenido con el criterio de igual área. En el modelo

298


bilineal se aprecia que el punto de fluencia está caracterizado por un desplazamiento de fluencia Dty = 9.47 cm. y un cortante de fluencia V y = 36.080 T . Para el punto de fallo se considera que este está asociado a una deriva global del edificio del 2%. Del análisis con el pushover se encuentra que el punto más cercano al 2% de la altura total del edificio es: Dtu = 29.22 cm. , Vu = 50.52 T .

12.8

CÁLCULO DE R w Y DESEMPEÑO SÍSMICO

Por otra parte del análisis sísmico realizado se encontró que el desplazamiento lateral máximo que se espera ante el sismo estipulado por el CEC-2000 es Dt = 12.21 cm. y que el cortante basal de diseño

Vo = 17.42 T . En consecuencia se tiene: Vu Vo

Rs =

Dtu Dty

µ=

Rs =

µ=

Rw = Rs µ donde

50.52 = 2.9 17.42

29.22 = 3.08 9.47

Rw = 2.9 ∗ 3.08 = 8.93

Rs es la sobreresistencia, µ es la ductilidad y R w el factor de reducción de las fuerzas

sísmicas por comportamiento inelástico. El valor encontrado es ligeramente mayor al valor inicial Rw = 8 con el cual se obtuvo el espectro inelástico. En consecuencia está muy bien, lo inaceptable habría sido que el valor de

R w sea menor.

En la figura 12.16 se indica el desempeño esperado de la estructura analizada ante el sismo estipulado por el CEC-2000. Se aprecia que el daño se va a presentar en las vigas pero este no es de consideración, en ningún momento se van a formar rótulas plásticas. Los extremos de las vigas que ingresan al rango no lineal sus momentos han superado el momento de fluencia.

3m 3m 3m 3m 3m 3m

5m

5m

5m


299

Figura 12.16 Desempeño esperado de estructura analizada.

12.9

COMENTARIOS

El período de vibración que se obtiene del análisis con la técnica del pushover, asociado al desplazamiento lateral de 12.21 cm. es de 1.51 s. que es muy diferente al que se obtuvo en el análisis con inercias agrietadas cuyo valor era de 0.84 s. Por otra parte esta estructura fue analizada por Aguiar y Viera (2003) por el Método del Espectro de Capacidad para el mismo espectro sísmico de análisis y se encontró que el desplazamiento lateral máximo en el último piso es de 21.5 cm. Cantidad que difiere notablemente a los 12.21 cm. Los desplazamientos laterales y las derivas que se encuentran en cada piso, con la técnica del pushover, asociado al desplazamiento de 12.21 cm. se indican en la tabla 12.12 los mismos que se comparan con los que reporta el Método de Superposición Modal y se aprecia en términos generales que son parecidos. Tabla 12.12 Desplazamientos obtenidos con Técnica de Pushover y Método de Superposición Modal. Técnica del Pushover Método de Superposición Modal Piso Desplazamiento Deriva Desplazamiento Deriva (cm.) (%) (cm.) (%) 1 0.949 0.316 1.090 0.36 2 2.742 0.598 3.245 0.72 3 5.110 0.789 5.716 0.82 4 7.746 0.879 8.226 0.84 5 10.284 0.846 10.570 0.78 6 12.250 0.655 12.210 0.55

12.10 ANÁLISIS ESPACIAL Se presenta el análisis sísmico de estructuras considerando tres grados de libertad por planta las mismas que deben satisfacer los siguientes requerimientos para que su losa o entrepiso sea considerado infinitamente rígido en el plano horizontal.

La relación entre el largo y el ancho de la losa o diafragma horizontal debe tender a uno. Si es mayor que tres ya no se podrá modelar como piso rígido.

Las rigideces de sus elementos deben estar distribuidos de una manera más o menos uniforme.

La losa o diafragma horizontal tienen un espesor adecuado.

La explicación de la teoría se realiza en base a la estructura, irregular, de dos pisos indicada en la figura 12.17 Nótese que el primer piso tiene 6 columnas y el segundo piso 4 columnas, de tal manera que sus Centros de Masa no van a ser colineales. Se define el Centro de Masa C.M. como el lugar geométrico en el cual se considera que está concentrado todo el peso de la planta. En edificios cuya carga está distribuida en forma simétrica se puede calcular el Centro de Gravedad como el C.M. En el C.M. se acostumbra considerar los tres grados de libertad por planta con el objeto de que la Matriz de Masa sea diagonal y de esta forma se puede evaluar muy fácilmente los

300


valores y vectores propios, además que facilita el desacoplamiento del sistema de ecuaciones diferenciales. En la figura 12.18 se indican los tres grados de libertad por planta que se han considerado para la estructura de dos pisos. Nótese que primero se numeran todas las coordenadas horizontales en sentido X, empezando desde la planta baja hasta el último piso. Después se numeran las coordenadas horizontales en sentido Y de la misma manera y finalmente las rotaciones de piso.

Figura 12.17 Estructura con la que se realizará el análisis sísmico espacial.

El vector de coordenadas generalizadas para la estructura de la figura 12.18, se indica a continuación. Donde q1 es la componente de desplazamiento horizontal en sentido X del

q 2 es la componente de desplazamiento horizontal en sentido X del piso 2, q 3 y q 4 es similar a las anteriores pero en sentido Y, q 5 es la componente de torsión del piso 1 y q 6 la

piso 1,

componente de torsión del piso 2.

301


⎡q1 ⎤ ⎢q ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢q 3 ⎥ q=⎢ ⎥ ⎢q 4 ⎥ ⎢q 5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢q 6 ⎦⎥

Figura 12.18 Sistema de coordenadas de piso Q - q.

12.10.1

Matriz de Rigidez en coordenadas de piso

El procedimiento de cálculo para encontrar la matriz de rigidez en coordenadas de piso

K E Aguiar (1995), es el siguiente: K L de cada uno de los pórticos

i.

Se determina la matriz de rigidez lateral planos.

ii.

Se encuentra la matriz de compatibilidad de deformaciones A de cada pórtico.

iii.

Se halla la matriz de rigidez en coordenadas de piso. NP

K E = ∑ A (i ) i =1

t

K L( i )

A (i )

( 12.44 )

donde (i ) es el número del pórtico plano y NP es el número de pórticos. La ecuación (12.44) es la clásica de Análisis Matricial de Estructuras con la cual se obtiene la matriz de rigidez a partir de los elementos de una estructura. Ahora para el análisis sísmico espacial con tres grados de libertad por planta los elementos son los pórticos, esa es la hipótesis de cálculo. La forma de la matriz A es:

302


A

donde

α

(i )

Senα r1 ⎡Cosα ⎢ =⎢ ...... ....... ⎢⎣ Cosα Senα

⎤ ...... ⎥⎥ rn ⎥⎦

( 12.45 )

es el ángulo que forma la orientación positiva del pórtico con respecto al eje X,

la distancia desde el origen de coordenadas (C.M.) hasta el pórtico (i) en el piso uno,

r1 es

rn es la

distancia medida en el último piso desde el origen de coordenadas hasta el pórtico. En las figuras 12.19 y 12.20 se indican las orientaciones positivas de los pórticos de la estructura que se analiza. El valor de r tiene signo, será positivo si la orientación positiva del pórtico rota en sentido antihorario con relación al C.M., en las figuras 12.19 y 12.20 se indica además el signo de esta variable.

Figura 12.19 Valores y signos de ri para los pórticos 1 y 2 de la estructura.

303


Figura 12.20 Valores y signos de

ri

para los pórticos en sentido Y.

Las matrices de compatibilidad A de los pórticos de la estructura de dos pisos indicada en la figura 12.17, son:

⎡1 A (1) = ⎢ ⎣0 ⎡1 A( 2) = ⎢ ⎣0 ⎡0 A ( A) = ⎢ ⎣0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0 0 0

0 0

1 0

− 2.0

⎤ 0 − 2.0⎥⎦ 2.0 0 ⎤ 0 2.0 ⎥⎦ 0⎤ − 4.5 0 0⎥⎦ 0

El pórtico A, es de un piso de tal forma que su matriz de compatibilidad debería tener una fila y tres columnas pero para poder aplicar la ecuación (12.44) y poder sumar todas las restantes contribuciones se utiliza un artificio que consiste en dejarla del mismo orden de las otras matrices y colocar ceros donde no existe piso.

⎡0 A( B) = ⎢ ⎣0 ⎡0 A (C ) = ⎢ ⎣0

0 0

1 0

0 1

− 0.5 0

0 ⎤ − 2.5⎥⎦

0 0

1 0

0 0

4.5 0

0 ⎤ 2.5 ⎥⎦

Al ser el pórtico A de un solo piso su matriz de rigidez tendrá un solo elemento, pero para poder realizar el triple producto matricial con la matriz de compatibilidad indicada se debe utilizar el mismo artificio que consiste en que la matriz de rigidez lateral del mencionado pórtico sea de 2X2 donde únicamente el elemento de la primera fila y primera columna tiene cantidad diferente de cero. La Matriz A relaciona las coordenadas laterales de los pórticos que se va a denominar con la letra p , con las coordenadas de piso q .

304


p (i ) = A (i ) q

(12.46)

En la figura 12.21 se indican las coordenadas laterales de cada uno de los pórticos de la estructura analizada. Por otra parte, sea P el vector que contiene las fuerzas laterales en cada pórtico. La relación entre P y p viene dada por la matriz de rigidez lateral.

P ( i ) = K L( i )

p (i )

(12.47)

Para el cálculo de la matriz de rigidez lateral se procede de igual manera a lo indicado en el apartado 12.5, es decir se trabaja con inercias agrietadas en cada uno de los pórticos. Luego se aplica la ecuación (12.44) y se obtiene la matriz de rigidez espacial.

Figura 12.21 Sistema de coordenadas laterales de cada elemento.

12.10.2

Matriz de Masas

305


La forma general de la matriz de Masas para el análisis sísmico considerando tres grados de libertad por planta y para cuando se numeran primero los desplazamientos en X, luego los en Y, y finalmente las rotaciones de piso. La forma de M es:

⎡ __ ⎤ ⎢m ⎥ __ ⎢ ⎥ M =⎢ m ⎥ ⎢ __ ⎥ ⎢ J⎥ ⎣ ⎦ ⎡m1 ⎤ ⎢ ⎥ .... ⎢ ⎥ __ ⎥ m=⎢ mi ⎢ ⎥ .... ⎢ ⎥ ⎢⎣ mn ⎥⎦ ⎡ J1 ⎤ ⎢ ⎥ ..... ⎢ ⎥ __ ⎥ J =⎢ Ji ⎢ ⎥ .... ⎢ ⎥ ⎢⎣ J n ⎥⎦

(12.48)

(12.49)

(12.50)

mi es la masa total del piso i, J i es el momento de inercia de la masa mi referido al

donde

C.M. del piso i.

Ji = siendo

)

(12.51)

ai , bi , las dimensiones de la planta i. En pisos que tienen aberturas se determina el

momento de inercia (12.52).

dividiendo la planta en figuras rectangulares y se aplica la ecuación

J C .M . = donde

(

mi 2 ai + bi2 12

di

(a 12

mj

2 j

+ b 2j ) + m j d 2j

(12.52)

es la distancia desde la figura j hasta el C.M. del piso i.

Con las matrices de rigidez K E y de masas M en coordenadas de piso, se resuelve el problema de valores y vectores propios y se hallan las propiedades dinámicas de la estructura y los respectivos modos de vibración. Se puede trabajar con todos los modos de vibración pero también es factible considerar únicamente unos cuantos modos, los primeros.

12.10.3

Factores de Participación Modal

306


El análisis sísmico se debe realizar en las dos direcciones, primero el sismo actúa en sentido X, y luego el sismo actúa en sentido Y. Por lo tanto hasta el cálculo de las propiedades dinámicas y los modos de vibración no se hace ninguna diferencia en el procedimiento de cálculo. A partir de este punto si hay que considerar el sentido de análisis del sismo. Para sismo en sentido X, los factores de participación γ x (i ) se obtienen con la ecuación (12.53) y para sismo en sentido Y, los factores •

γ y (i ) se hallan con la ecuación (12.55).

Caso 1. Análisis en Sentido X.

γ x (i ) =

JX

φ (i ) t M J X φ (i ) t M φ (i )

(12.53)

⎡ __ ⎤ ⎢1 ⎥ ⎢ __ ⎥ = ⎢0⎥ ⎢ __ ⎥ ⎢0⎥ ⎣ ⎦

(12.54)

__

siendo

1

•

Caso 2. Análisis en Sentido Y.

un vector unitario cuyo orden es el número de pisos de la estructura,

γ y (i ) =

φ (i ) t M J Y φ (i ) t M φ (i )

(12.55)

⎡ __ ⎤ ⎢0⎥ ⎢ __ ⎥ JY = ⎢1 ⎥ ⎢ __ ⎥ ⎢0⎥ ⎣ ⎦

12.10.4

(12.56)

Procedimiento de Cálculo

Primero se debe determinar las propiedades dinámicas de la estructura para ello hay que proceder de la siguiente manera: i.

Encontrar la matriz de rigidez lateral de cada uno de los pórticos trabajando con Inercias Agrietadas.

ii.

Determinar el Centro de Masas de cada uno de los pisos.

iii.

Obtener la matriz de compatibilidad de cada pórtico A

iv.

Hallar la matriz de rigidez en coordenadas de piso

(i )

. Ecuación (12.45).

K E . Ecuación (12.44).

307


v.

Calcular la matriz de masas M . Ecuación (12.48).

vi.

Encontrar los valores propios

vii.

Encontrar las propiedades dinámicas, Ti y Wi .

λi

y los vectores propios

φ (i ) .

Segundo se debe encontrar las respuestas máximas probables para cuando el sismo actúa en sentido X, para ello se debe hacer lo siguiente:

γ xi . Ecuación (12.53).

i.

Determinar los factores de participación modal

ii.

Con cada período de vibración Ti se determina del espectro inelástico Ad i .

iii.

Calcular los desplazamientos en cada modo q xi . 2

⎛T ⎞ q xi = γ xi ⎜ i ⎟ Ad i φ (i ) ⎝ 2π ⎠ iv.

(12.57)

Encontrar los desplazamientos laterales en cada pórtico y en cada modo de vibración p

(i )

. Ecuación (12.46). (i )

v.

Hallar las fuerzas laterales P Ecuación (12.47).

vi.

Obtener los cortantes en cada pórtico y en cada modo de vibración.

vii.

Aplicar un criterio de combinación modal en los cortantes.

viii.

Encontrar las fuerzas estáticas equivalentes.

en cada pórtico y en cada modo de vibración.

ix.

Realizar el control del Cortante Basal Mínimo. Ecuación (12.36)

x.

Realizar el control del efecto P − ∆ . Ecuación (12.42).

Tercero Encontrar las fuerzas laterales debidas a Torsión Accidental para análisis sísmico en sentido X. Cuarto Se realizan los pasos dos y tres pero considerando el sismo en sentido Y. Quinto Realizar el control de la deriva en cada uno de los pórticos con las fuerzas laterales totales. Sexto Se considera la posibilidad de simultaneidad de las acciones sísmicas. Es decir que el sismo puede actuar en cualquier dirección.

12.10.5

Torsión Accidental

Existe una serie de aproximaciones que se cometen en el análisis sísmico en general, como por ejemplo se considera que la amplitud de la onda sísmica de entrada a un edificio es

308


la misma que a la salida, es decir no hay atenuación por efecto de la distancia, lo cual no es cierto. En la deducción de la ecuación (12.51) se considera que la densidad del material es la misma en todos los puntos de la losa, lo cual tampoco es cierto. En fin existen una serie de aproximaciones que por facilidad se han adoptado para simplificar los cálculos. Estas aproximaciones en la deducción de las ecuaciones de cálculo son cubiertas con lo que se denomina torsión accidental. Del análisis descrito en el párrafo anterior se determinan unas fuerzas laterales en cada pórtico a las que se van a denominar por didáctica FDIN . Ahora con el análisis de la torsión accidental se van a determinar otras fuerzas laterales en cada pórtico a las cuales se las llamará FTOR . La suma de estas dos fuerzas dan las totales que se denominan FTOTAL .

FTOTAL = FDIN + FTOR

(12.58)

Es importante destacar que las fuerzas debidas a torsión accidental siempre deben incrementar a las fuerzas obtenidas del análisis dinámico FDIN . Por ningún motivo luego de aplicar la torsión accidental estas fuerzas van a disminuir. El propósito de la torsión accidental es cubrir las aproximaciones realizadas. Hay varias formas de considerar la torsión accidental, una de ellas que es la más conceptual es mover la ubicación del Centro de Masas C.M., una distancia igual a la que recomiendan las diferentes normativas sísmicas. Por ejemplo el CEC-2000 contempla que el C.M. se mueva un 5% de la distancia de la dirección perpendicular al sentido de análisis sísmico. Nótese que se generan varios casos de la nueva posición del C.M. En cada caso se deben aplicar las fuerzas laterales encontradas del análisis dinámico y resolver como un problema estático. Al hacer lo indicado en el párrafo anterior para una determinada ubicación del C.M. en algunos pórticos las fuerzas laterales que se obtuvieron del análisis dinámico se habrán incrementado pero en otros pórticos las fuerzas habrán disminuido. Pero al mover el C.M. a la posición contraria cambia la situación, de tal mamera que se deben considerar todas las probables ubicaciones del C.M. que se tienen con el 5%. Al mover el C.M., las matrices de compatibilidad de cada uno de los pórticos cambia por consiguiente varía también la matriz de rigidez en coordenadas de piso, etc. Prácticamente cambia todo por lo que esta forma de análisis de la torsión accidental no es práctica más es conceptual. Lo mejor es calcular un momento torsor M t que se genera en cada piso el mismo que se aplica en el C.M. inicial de tal manera que no hay que calcular otra matriz de rigidez en coordenadas de piso. Para calcular éste momento torsor se tienen dos posibilidades de hacerlo, la primera es trabajar con los cortantes de piso y la segunda con las fuerzas laterales de piso. Si se trabaja con los cortantes de piso V j se debe tener claro que al resolver el problema estático lo que se obtienen son cortantes. Por lo tanto a partir de estos cortantes se obtendrán las fuerzas FTOR . En cambio si el momento torsor se obtiene con las fuerzas laterales que actúan en cada piso al resolver el problema estático lo que se hallan son fuerzas. Las normativas sísmicas presentan el cálculo en función de los cortantes de piso de la siguiente manera:

ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO M tj = 0.05 ∗ B j ∗ V j

309

(12.59)

donde B j es la distancia mayor de la planta j, perpendicular a la dirección del análisis sísmico;

V j es el cortante del piso j; finalmente M tj es el momento debido a torsión accidental en el piso j. Con relación a la estructura de dos pisos que se ha venido analizando el vector de cargas Q por efecto de la torsión accidental, tiene la siguiente forma:

⎡0 ⎤ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ Q=⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ M t1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ M t 2 ⎥⎦ Se recomienda ver la figura 12.18 para entender la forma del vector de cargas Q, anotado, el procedimiento de cálculo de FTOR es el siguiente: i.

Determinar los momentos de torsión accidental en cada piso. Ecuación (12.59).

ii.

Calcular el vector de cargas Q.

iii.

Encontrar el vector q , que contiene los desplazamientos y giros en coordenadas de piso. Para el efecto se debe resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales.

Q = KE q K E es la matriz de rigidez en coordenadas de piso con la que se realizó el cálculo de FDIN . Donde

iv.

Hallar los desplazamientos laterales p en cada pórtico. Ecuación (12.46).

v.

Obtener las fuerzas laterales P en cada pórtico. Ecuación (12.47).

A las fuerzas

P en valor absoluto se ha denominado FTOR . Se considera en valor

absoluto para tener en cuenta la diferente ubicación del C.M.

12.10.6

Simultaneidad de Acciones Sísmicas

Para el diseño de las vigas en sentido X, suficiente es considerar los resultados del análisis sísmico en sentido X, más las cargas verticales. Lo propio para el diseño de las vigas en sentido Y, que se debe trabajar con los resultados del análisis sísmico en sentido Y, más las cargas verticales de los estados de carga permanente (muerta) y transitoria (viva).

310


Pero para el diseño de las columnas es importante considerar la posibilidad de que el sismo llegue al edificio en cualquier dirección generando cargas (fuerzas y momentos) en los elementos mayores a los que se obtienen cuando el sismo actúa en una dirección. El tener en cuenta que el sismo actúa en cualquier dirección sobre un edificio se conoce con el nombre de simultaneidad de acciones sísmicas ya que para su formulación se considera una combinación lineal de los resultados obtenidos en sentido X, y en sentido Y, como se lo verá a continuación. Se destaca que este tema todavía se lo está investigando, López et al (2000) porque es bastante complejo sin embargo de ellos se acostumbra tratar la simultaneidad de acciones sísmicas de la siguiente manera: •

Pórticos en sentido X

Sismo X + 0.30 Sismo Y

•

(12.60)

Pórticos en sentido Y

Sismo Y + 0.30 Sismo X

(12.61)

Con las ecuaciones (12.60) y (12.61) se aspira cubrir las cargas que gravitan en los elementos debido a que un sismo actué en la base de una estructura con cualquier ángulo de incidencia y no solamente a cero grados cuando actúa solo sismo en sentido X, o a noventa grados cuando actúa solo sismo en sentido Y.

12.11 CONCLUSIONES Se ha presentado el marco teórico del Método de Superposición Modal para el análisis sísmico plano con un grado de libertad por piso y espacial considerando tres grados de libertad por planta. Este método es muy utilizado en el análisis sísmico de estructuras y se ha desarrollado un ejercicio paso a paso, para el caso plano, de tal manera que el lector pueda seguir el cálculo. Por otra parte se ha determinado las fuerzas laterales de tres maneras por el Método de Superposición Modal, por el Método Estático en función del modo fundamental y por el Método Estático en función del modo fundamental equivalente. Posteriormente se ha encontrado el desempeño de la estructura y se ha calculado el valor de R w , del estudio realizado se desprenden las siguientes conclusiones: •

Las fuerzas laterales en cada piso que se obtienen al aplicar el Método de Superposición Modal, el Método Estático en función del modo fundamental y el Método Estático en función del modo fundamental equivalente son diferentes, las que más se aproximan son las encontradas con el primer y tercer método pero se insiste que son diferentes.

•

Existen varios controles que deben realizarse al utilizar el Método de Superposición Modal que conviene que el usuario los conozca cuando este ejecutando programas comerciales. Si estos programas no reportan por ejemplo el control del efecto P − ∆ , el usuario puede calcularle a mano en base a los otros reportes pero es necesario que los conozca para saber más sobre su estructura.


311

•

El Método de Superposición Modal se lo debe utilizar con mucha cautela, el usuario no debe dejarse vislumbrar con programas comerciales que presentan el movimiento de los modos de vibración como sinónimo de exactitud del método. Existen incertidumbres en el Método como por ejemplo en la forma como se encuentran los desplazamientos máximos modales o en la forma como se encuentran los desplazamientos inelásticos.

•

Es importante el cálculo del factor de reducción de las fuerzas sísmicas R w una vez que se ha terminado el diseño, con el objeto de ver si el valor con el cual se determinó el espectro inelástico es el correcto y sobre todo para conocer más sobre el desempeño de la estructura, saber si la misma va a responder de acuerdo a la filosofía de diseño.

REFERENCIAS 1.

Aguiar R. (1995), “Análisis Matricial de Estructuras”, Escuela Politécnica del Ejército. Segunda Edición, 612 p, Quito, Ecuador.

2.

Aguiar R. (1989), “Análisis Dinámico Espacial”, Escuela Politécnica del Ejército, 270 p, Quito, Ecuador.

3.

Aguiar R. y Viera P. (2003), “Desempeño sísmico en términos estructurales y económicos de edificaciones de hormigón armado”, XVI Jornadas Nacionales de Ingeniería Estructural. Escuela Superior Politécnica del Litoral, 14 p, Guayaquil, Ecuador.

4.

Gómez J. (2002),”Presentación de un nuevo modelo matemático para cálculo de la respuesta modal total de estructuras de edificios”, XIII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural, 10 p, Puebla, México.

5.

López O., Chopra A., and Hernández J., (2000), “The significance of the direction of ground motion on the structural response”, Desastres sísmicos en desarrollo. Universidad Central de Venezuela, 77-87, Caracas.

6.

Newmark N., y Rosenblueth E., (1971), “Fundamentals of Earthquake Engineering”, Prentice Hall.

7.

Park R., Priestley M., Gill W. D., (1982), “Ductility of Square Confined Concrete Columns”, Journal of Structural Division, ASCE, 108 (4), 929-950.

8. Thom C. W., Buckle I.G. and Fenwick R. C., (1983), “The Effect of Inelastic Shear of the Seismic Response of Structures”, Dept. of Civil Engineering University of Auckland, Report No 347, 164 p, New Zealand. 9. Valles R., Reinhorn A., Kunnath S., Li C. y Madam A. (1996), “IDARC2D Versión 4.0: A computer program for the inelastic análisis of buildings”, Technical Report NCEER-96-0010, National Center for Earthquake Engineering Research, Buffalo, New York.

312


CAPÍTULO 13

PÉRDIDAS ECONÓMICAS

RESUMEN Se presentan dos modelos para el cálculo de las pérdidas por reparación de las estructuras que se ven afectadas por la acción sísmica. El primer modelo es el presentado por HAZUS 99, en el cual cuantifica las pérdidas clasificándolas en: daño estructural, no estructural por distorsión de piso y no estructural en elementos susceptibles a la aceleración. En el segundo modelo se propone el cálculo de las pérdidas de reposición en forma total en función de la distorsión global de piso. Como ejemplos de aplicación de los dos modelos se analiza el desempeño sísmico en términos estructurales y económicos de un edificio de 6 pisos que ha sido diseñado para tres valores de reducción de las fuerzas sísmicas R w de tal manera que se tienen 3 estructuras una muy dúctil (Rw = 12 ) , una menos dúctil (Rw = 10 ) y una más rígida (Rw = 8) . El otro

ejemplo que se estudia es el caso de una vivienda de dos pisos ante tres alternativas estructurales de las vigas, que son el Caso N.- 1 la estructura es con vigas banda, el Caso N.2 las vigas son descolgadas en los pórticos perimetrales y bandas en los interiores y la tercera el Caso N.- 3 todas las vigas son descolgadas.

13.1 INTRODUCCIÓN Con el gran desarrollo informático que se tiene actualmente es importante que para cualquier diseño arquitectónico-estructural se realicen varias alternativas en el que se verifique el desempeño en términos estructurales y económicos. Es importante que al propietario del edificio o de la vivienda en forma clara se le indique por ejemplo, si usted quiere que en la estructura no se vean las vigas, ante un sismo frecuente que de seguro se registrará durante la vida útil va a existir daño y el costo de reparación será de tal valor, en cambio si la estructura

314


tiene vigas perimetrales descolgadas que se pierden con las paredes o no se notan con las ventanas el desempeño será de tal forma. En definitiva es importante que al propietario se le indique los sismos de análisis considerados y el desempeño que se espera de la misma para varias alternativas estructurales. Es de interés del propietario conocer en forma general el desempeño estructural y el costo de reparación de la misma. Este conocimiento probablemente le obligue a modificar el proyecto arquitectónico y a decidirse por una solución más segura desde el punto de vista estructural. Existen varios modelos de evaluación de pérdidas económicas, Reyes (1999), Esteva et al (2001) pero están orientados al diseño en los que se han planteado una función objetivo sujeto a varias condiciones, que es muy diferente a lo que se persigue en este capítulo que es establecer el costo de reparación de una estructura ya diseñada. Para este efecto se presenta el modelo de pérdidas de HAZUS 99 y se propone un modelo de pérdidas que es sencillo en su formulación.

13.2 MODELO DE HAZUS

La Agencia Federal para el Manejo de Emergencias de los Estados Unidos de Norte América, FEMA por sus siglas en inglés, publicó el programa HAZUS que proviene de Hazards U.S. con el cual, entre otras cosas, se puede evaluar en forma aproximada el desempeño sísmico de 36 tipologías estructurales. En Aguiar (2002) se presenta con bastante detalle el cálculo de los espectros de capacidad, y las curvas de fragilidad propuestas por HAZUS 99, que sirven para dicha evaluación y que a continuación se explica en forma rápida. En la figura 13.1 se resume la manera de cálculo de los niveles de daño de una estructura ante una acción sísmica dada. En la parte superior se aprecia como se determina el punto de demanda utilizando el Método del Espectro de Capacidad que se ha estudiado con bastante detenimiento en el capítulo 9, el punto de demanda está definido por las coordenadas Sdm y Sam . Con el desplazamiento lateral máximo en el sistema de un grado de libertad Sdm se ingresa a las curvas de fragilidad de HAZUS 99 y se determinan los porcentajes de daño estructural y no estructural por distorsión de piso, en las respectivas curvas que recomienda HAZUS 99 para cada una de las 36 tipologías estructurales. HAZUS 99 ha considerado cuatro niveles de daño denominadas: Ligero, Moderado, Extensivo y Completo. El significado de cada uno de estos niveles de daño está muy detallado en la publicación de HAZUS 99 y con bastante detenimiento en Aguiar (2002). Es lógico pensar que la suma de los porcentajes de daño Ligero (L) más Moderado (M) más Extensivo (E) más Completo (C) y más Sin Daño (SD) da el 100%.

L + M + E + C + SD = 100

( 13.1 )

Con el valor de Sam se ingresa a otras curvas de fragilidad y se determina el daño en elementos no estructurales que son susceptibles a desprenderse o voltearse durante un sismo que en la figura 13.1 se ha colocado como Daños no estructurales –aceleración-.


315

Figura 13.1 Esquema de cálculo del Daño de acuerdo al Método del Espectro de Capacidad y las curvas de fragilidad propuestas por HAZUS 99.

Se destaca una vez más que HAZUS 99 es muy aproximado y que sirve para evaluar en forma muy rápido el desempeño sísmico de un barrio, de una ciudad, de gran cantidad de estructuras en las que no se dispone de planos estructurales o si se los tiene se desea evaluar muy rápidamente. Por otra parte, HAZUS 99, establece el costo promedio de reparación para cada uno de los niveles de daño en función del Costo Total de Reparación, CTR. Se destaca que el costo total de reparación es mayor que el costo total de construcción debido a que implica hacer los trabajos con mayor detenimiento para no dañar otros elementos, implica la colocación de aditivos para pegar hormigones por ejemplo, implica colocar elementos especiales en los sitios donde no es posible colocar material. En la tabla 13.1 se indican los costos de reparación de acuerdo al nivel de daño. Los valores indicados en la tabla 13.1 son aplicados de acuerdo a HAZUS 99, para elementos estructurales, no estructurales sensitivos a drift y no estructurales sensitivos a aceleración.

316

Roberto Aguiar Falconí CEINCI - ESPE Tabla 13.1 Costos de reparación de acuerdo a los niveles de daño Nivel de Daño Costo de Reparación Ligero 0.02 CTR Moderado 0.10 CTR Extensivo 0.50 CTR Completo CTR

El costo total de reparación estructurales

CT es igual al costo de reparación de los elementos

C E más el costo de reparación de los elementos no estructurales sensitivos por

C DRIFT más el costo de reparación de los elementos no estructurales sensitivos por aceleración C ACEL . Se considera que la cimentación no se va a ver afectada por el sismo. Se

drift

destaca que se va a calcular el costo de reparación y más no el costo de reforzamiento que es igual al de reparación más el costo de conferirle una resistencia y ductilidad adicional a la estructura, en este caso es posible que se refuerce la cimentación.

CT = C E + C DRIFT + C ACEL

( 13.2 )

C = (0.02 ∗ DLIG + 0.1 ∗ DMOD + 0.5 ∗ DEXT + DCOM ) AT ∗ CTR

( 13.3 )

La ecuación ( 13.3 ) sirve para calcular

C E , C DRIFT o C ACEL según el valor unitario de

CTR sea para reparar elementos estructurales, elementos no estructurales por drift o elementos no estructurales por aceleración. AT es el área total de construcción, D LIG es el daño ligero, D MOD es el daño moderado, DEXT es el daño extensivo y DCOM es el daño completo que se obtienen de las curvas de fragilidad.

13.3 EJEMPLO DE APLICACIÓN N.- 1 La estructura de seis pisos que se ha venido analizando en los últimos capítulos ha sido diseñada de acuerdo al Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000 para los siguientes valores de R w : 8, 10 y 12. De tal forma que se tienen tres estructuras la primera de ellas es bastante rígida R w = 8, y la última es una estructura muy dúctil R w = 12. En la figura 13.2 nuevamente se presenta la distribución en planta de esta estructura. Por otra parte en el capítulo 12 se indica el armado tipo de vigas y columnas, y sobre todo se presenta la nomenclatura de los hierros que permiten entender el armado que se presenta en las tablas 13.2 y 13.3. Se desea ver su comportamiento estructural ante los cuatro sismos indicados en la figura 13.3, especificados por sus respectivos espectros de demanda, para los sismos: frecuente, ocasional, raro y muy raro. Adicionalmente se desea conocer en términos económicos el costo de reparación de las edificaciones ante cada uno de los cuatro eventos sísmicos.

317



Tabla 13.2 Detalle de Secciones Para Vigas y Columnas Nivel + 3.00 + 6.00 + 9.00 + 12.00 + 15.00 + 18.00

Rw = 12 Columna Refuerzo 50 x 50 8 ø 20 50 x 50 8 ø 20 45 x 45 8 ø 18 45 x 45 8 ø 18 40 x 40 8 ø 16 40 x40 8 ø 16

Viga 30 x 40 30 x 40 25 x 35 25 x 35 25 x 35 25 x 35

Rw = 10 Columna Refuerzo 55 x 55 8 ø 22 55 x 55 8 ø 22 50 x 50 8 ø 20 50 x 50 8 ø 20 45 x 45 8 ø 18 45 x45 8 ø 18

Viga 30 x 45 30 x 45 25 x 35 25 x 35 25 x 35 25 x 35

Columna 60 x 60 60 x 60 55 x 55 55 x 55 50 x 50 50 x 50

Rw = 8 Refuerzo 8 ø 25 8 ø 25 8 ø 22 8 ø 22 8 ø 20 8 ø 20

Viga 30 x 45 30 x 45 30 x 40 30 x 40 30 x 40 30 x 40

Tabla 13.3 Disposición de Acero de Refuerzo en Vigas Mc 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10







Al aplicar el Método del Espectro de Capacidad se encuentra el desplazamiento lateral y la demanda de ductilidad de cada estructura, ante los cuatro eventos sísmicos indicados en la figura 13.3. Los resultados obtenidos se presentan en las tablas 13.4 y 13.5.

318


Del análisis de las tablas 13.4 y 13.5 se desprende que la estructura diseñada con un valor menor de R w presenta desplazamientos laterales menores y demandas de ductilidades menores en relación con aquellas en que el valor de R w es alto. Por otra parte y como era de esperarse los mayores desplazamientos y demandas de ductilidad se tienen en el análisis sísmico en sentido Y, que tiene dos vanos, en sentido X se tiene 3 vanos.

Figura 13.3 Espectros de demanda para los sismos: frecuente, ocasional, raro y muy raro, considerados en el estudio.

Tabla 13.4 Desplazamientos máximos y demandas de ductilidad en sentido X.

Rw = 8 SISMO Frecuente Ocasional Raro Muy raro

Desp. Max. (cm.) 9.7 13.7 21.5 26.8

Rw = 10

Ductilidad 1.00 1.31 2.05 2.55

Desp. Max. (cm.) 10.5 14.0 22.3 27.5

Rw = 12

Ductilidad 1.05 1.40 2.22 2.75

Desp. Max. (cm.) 11.5 14.8 23.0 28.0

Ductilidad 1.11 1.42 2.22 2.69

Tabla 13.5 Desplazamientos máximos y demandas de ductilidad en sentido Y.

Rw = 8 SISMO Frecuente Ocasional Raro Muy raro

Desp. Max. (cm.) 9.8 13.8 21.8 27.0

Rw = 10

Ductilidad 1.00 1.38 2.18 2.70

Desp. Max. (cm.) 11.0 14.5 22.8 28.0

Rw = 12

Ductilidad 1.10 1.45 2.28 2.80

Desp. Max. (cm.) 11.3 14.8 23.3 28.5

Ductilidad 1.17 1.53 2.41 2.96

En la figura 13.4 se indica el desempeño esperado para la estructura diseñada para un valor Rw = 8 ; a la izquierda se aprecia el desempeño en sentido X, y a la derecha el

319


desempeño en sentido Y. Lo propio se presenta en la figura 13.5 pero para la estructura diseñada para Rw = 12 . Se aprecia además que la estructura diseñada para Rw = 8 tiene un mejor comportamiento estructural.

Figura 13.4 Desempeño en términos de desplazamiento de la estructura diseñada para Rw = 8 .

Figura 13.5 Desempeño en términos de desplazamiento de la estructura diseñada para Rw = 12 .

Tabla 13.6 Porcentaje de niveles de Daño Estructural en edificio diseñado para Rw = 8 SISMO Frecuente Ocasional Raro Muy Raro

SENTIDO X

SENTIDO Y

Ligero

Moderado

Extensivo

Completo

Ligero

Moderado

Extensivo

Completo

53.96 47.03 0.00 0.00

38.47 39.51 60.58 55.57

6.76 11.72 32.05 35.35

0.82 1.74 7.38 9.08

53.96 47.03 0.00 0.00

38.47 39.51 60.58 55.57

6.76 11.72 32.05 35.35

0.82 1.74 7.38 9.08

Con los puntos de demanda obtenidos para cada uno de los sismos, se encuentra los porcentajes de daño en la estructura utilizando las curvas de fragilidad de HAZUS 99. Estos

320


porcentajes se indican en las tablas 13.6 a 13.8 para la estructura diseñada para Rw = 8 y en las tablas 13.9 a 13.11 para Rw = 12 . Para Rw = 10 los valores que se obtienen están entre los dos resultados obtenidos para Rw = 8 y Rw = 12 . Tabla 13.7 Porcentaje de Daño No Estructural por drift en edificio diseñado para Rw = 8 SISMO Frecuente Ocasional Raro Muy Raro

SENTIDO X

SENTIDO Y

Ligero

Moderado

Extensivo

Completo

Ligero

Moderado

Extensivo

Completo

57.51 49.49 41.28 38.06

35.92 38.00 37.04 35.74

5.38 9.64 16.00 19.15

1.19 2.87 5.68 7.05

57.51 49.76 41.28 37.66

35.92 38.20 37.04 35.36

5.38 9.69 16.00 18.95

1.19 2.35 5.68 8.03

Tabla 13.8 Porcentaje de Daño No Estructural por aceleración en edificio para Rw = 8 SISMO Frecuente Ocasional Raro Muy Raro

SENTIDO X

SENTIDO Y

Ligero

Moderado

Extensivo

Completo

Ligero

Moderado

Extensivo

Completo

1.39 2.28 3.59 5.48

0.00 0.00 0.26 0.47

0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00

1.39 1.79 2.87 4.46

0.00 0.00 0.19 0.35

0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00

Tabla 13.9 Porcentaje de niveles de Daño Estructural en edificio diseñado para Rw = 12 SISMO Frecuente Ocasional Raro Muy Raro

SENTIDO X

SENTIDO Y

Ligero

Moderado

Extensivo

Completo

Ligero

Moderado

Extensivo

Completo

50.42 45.72 40.02 0.00

40.00 39.36 59.33 54.92

8.38 12.83 33.52 34.73

1.20 2.09 7.15 10.35

51.03 45.72 0.00 0.00

39.18 39.36 58.58 53.79

8.57 12.83 33.10 36.08

1.23 2.09 8.32 10.13

Tabla 13.10 Porcentaje de Daño No Estructural por drift en edificio diseñado para

Rw = 12 SISMO Frecuente Ocasional Raro Muy Raro

SENTIDO X

SENTIDO Y

Ligero

Moderado

Extensivo

Completo

Ligero

Moderado

Extensivo

Completo

53.05 48.25 40.02 0.00

38.50 38.28 36.54 57.04

6.76 10.70 17.02 30.17

1.69 2.77 6.42 12.79

54.25 48.25 40.02 0.00

37.11 38.28 36.54 57.04

6.91 10.70 17.02 30.17

1.72 2.77 6.42 12.79

Tabla 13.11 Porcentaje de Daño No Estructural por aceleración en edificio para Rw = 12 SISMO Frecuente Ocasional Raro Muy Raro

SENTIDO X

SENTIDO Y

Ligero

Moderado

Extensivo

Completo

Ligero

Moderado

Extensivo

Completo

0.62 1.07 2.87 3.59

0.00 0.00 0.00 0.26

0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00

0.47 0.82 1.79 2.28

0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00

321


En la figura 13.6 se indica el plano arquitectónico de una planta tipo, en base al cual se ha determinado con precios a Mayo de 2003, Aguiar y Viera (2003), el costo promedio por metro cuadrado de la estructura separando el valor de la cimentación, el costo promedio por metro cuadrado de los elementos no estructurales que son susceptibles al daño por drift y de los que son susceptibles a la aceleración del suelo. Estos valores promedios obtenidos con precios en la ciudad de Ambato, Ecuador se indican en la tabla 13.12. Se destaca que estos valores no incluyen costos indirectos, son valores únicamente de construcción. Tabla 13.12 Costo Directo Promedio por metro cuadrado de construcción, calculados a Mayo de 2003. NOMBRE COSTO EN USD/M2 PORCENTAJE Estructurales 50 30.3 No estructurales por drift 65 39.4 No estructurales por aceleración. 35 21.2 Cimentación 15 9.1

Figura 13.6 Planta arquitectónica tipo de edificación de seis pisos.

Tabla 13.13 Costo total directo de construcción. Estructura diseñada para Valor Total en USD 156000 R =8 w

Rw = 10

151000

Rw = 12

144000

322


En la tabla 13.13 se indica el costo total de construcción de las 3 edificaciones. Para el estudio se considera que el Costo Total de Reparación es 20% más alto que el Costo Total de Construcción. En la tabla 13.14 se indican los costos de reparación de la estructura diseñada para un valor Rw = 8 en el caso de que se registre un sismo frecuente o un sismo ocasional o un sismo raro o un sismo muy raro. En la tabla 13.15 se tiene lo propio pero para la estructura diseñada para Rw = 10 y en la tabla 13.16 para Rw = 12 . Todo esto aplicando las ecuaciones (13.2) y (13.3). Tabla 13.14 Costo de Reparación de estructura con Rw = 8 para diferentes eventos sísmicos. SISMO Frecuente Ocasional Raro Muy Raro

CE

C DRIFT

C ACEL

CT

6336.39 8769.10 20683.03 22679.51

8458.38 12012.35 17863.62 19499.53

22.52 32.97 62.86 99.55

14817.29 20814.42 38609.50 42278.60

Tabla 13.15 Costo de Reparación de estructura con Rw = 10 para diferentes eventos sísmicos. SISMO Frecuente Ocasional Raro Muy Raro

CE

C DRIFT

C ACEL

CT

7012.91 9045.48 20591.77 23311.31

9437.91 12197.07 18157.33 27131.91

15.31 19.93 49.41 76.38

16466.13 21262.47 38798.51 50519.61

Tabla 13.16 Costo de Reparación de estructura con Rw = 12 para diferentes eventos sísmicos. SISMO Frecuente Ocasional Raro Muy Raro

CE

C DRIFT

C ACEL

CT

7319.05 9375.49 21260.42 23431.36

9785.46 12667.85 19016.10 32941.00

8.83 15.31 37.75 58.08

17114.34 22058.45 40314.26 56430.43

Se ha cuantificado únicamente el costo de reparación pero existen otros costos que son difíciles cuantificar como por ejemplo el dejar de laborar, si la edificación estaba destinada para oficinas o el costo que implica mudarse de la vivienda hasta que sea reparada con las correspondientes molestias del caso. Mientras mayor es el daño mayores serán los costos que no se han cuantificado porque demandan más tiempo de reparación, mayores serán las molestias en los usuarios y porque no decirlo mientras mayor es el daño mayor es la probabilidad de víctimas fatales.

13.4 ÍNDICE DE DESEMPEÑO En la literatura sísmica existe una gran cantidad de modelos de índices de daño, a nivel local de elementos a nivel de piso o a nivel global de la estructura. Una recopilación de los modelos de daño se encuentra en Aguiar y Barbat (1998). Pero ahora lo que se pretende definir es un Índice de Desempeño de la estructura ante un determinado evento sísmico y considerando un nivel de desempeño que se espera de la edificación de acuerdo al uso de la

323


misma. El Índice de desempeño I DE que se propone está normalizado entre 0 y 1, el primer valor significa que el diseño estructural es muy satisfactorio y el último que el diseño no cumple con el desempeño esperado de la edificación.

I DE =

donde DRIFTelastico

DRIFTtotal − DRIFTelastico DRIFTmax − DRIFTelastico

( 13.4 )

es la distorsión global elástica de la estructura; DRIFTtotal es la

demanda de distorsión de la estructura; DRIFTmax es la distorsión global que se considera aceptable para un determinado nivel de desempeño. Se define la distorsión global como la relación entre el desplazamiento lateral máximo para la altura total del edificio. Nótese que la definición es diferente a la distorsión de piso. Se consideran las distorsiones máximas permisibles las recomendadas por VISION 2000, que son 0.2% para daño ligero; 0.5 % para daño moderado; 1.5% para daño extensivo y 2.5 % para daño completo. Estos niveles de daño se indican en la parte superior de la figura 13.7.

13.5 NUEVO MODELO DE PÉRDIDAS El modelo de pérdidas con el cual se obtiene el costo de reparación de una edificación ante un sismo determinado se determina en forma global, sin diferenciar lo que corresponde a daño estructural y daño en elementos no estructurales. En la figura 13.7 se presenta el esquema general de cálculo de la reparación de una edificación en función del DRIFTtotal . En la parte superior de las líneas de la figura 13.7 se indican las distorsiones recomendadas por VISION 2000 y pueden resumirse en que para una distorsión menor a 0.002 no hay daño en la estructura en consecuencia el costo de reparación es nulo. El caso contrario se tiene cuando la distorsión es mayor a 0.025 el costo de reparación es igual al 100% ya que la edificación si no ha colapsado tiene tal grado de daño que se debe derrocar y reconstruir nuevamente.

Figura 13.7 Esquema de cálculo de las pérdidas económicas por reparación del edificio. En la parte inferior de la segunda línea de la figura 5 se indica el costo por metro cuadrado de reparación para los niveles de daño, así por ejemplo para el daño leve el costo de reparación es el 2% del CTR, etc, que ya se indicó anteriormente.

324


El modelo de evaluación de pérdidas que se propone considera que el daño es completo hasta un determinado nivel de daño. Por ejemplo si el DRIFTtotal se encuentra comprendido entre 0.015 y 0.025; el costo de reparación será igual a la suma de reparar toda la edificación con daño leve más el costo de reparación de toda la construcción por daño moderado más el porcentaje del área que tiene daño extenso, porcentaje que se calcula considerando una variación lineal entre 0.015 y 0.025.

⎛ DRIFTtotal − DRIFTmax −inf CT = ∑ COEF ∗ CTR ∗ ⎜ ⎜ DRIFT max −sup − DRIFTmax − inf ⎝

⎞ ⎟ ∗ AT ⎟ ⎠

( 13.5 )

donde COEF es el coeficiente del CTR que está indicado en la figura 13.7 y puede ser 0.02 para daño ligero; 0.10 para daño moderado; 0.50 para daño extensivo y 1.00 para daño completo. CTR como se indicó es el costo total de reparación. DRIFTmax −sup es la distorsión global correspondiente al valor superior del intervalo en el cual se encuentra DRIFTtotal . El valor de DRIFTmax −inf es similar al DRIFTmax −sup pero con el valor inferior del intervalo.

DRIFTtotal es la distorsión total de la estructura. La Sumatoria es para indicar que el costo es acumulativo como se indicó en el párrafo anterior. Por último construcción.

AT es el área total de

13.6 EJEMPLO DE APLICACIÓN N.- 2 Se desea ver el desempeño sísmico en términos estructurales y económicos de tres viviendas de dos pisos cuya planta se muestra en la figura 13.8, entre los ejes C-D y 1-2 se tiene una tapa grada por la cual se llega a la terraza. Todas las columnas son de 40/30, la dimensión mayor se tiene en la dirección paralela al eje Y., la losa tiene un peralte de 20 cm. de espesor, para todas las viviendas. Para las vigas se van a considerar 3 casos que son los siguientes: •

Caso 1.- Las vigas se encuentran pérdidas en la losa y son de 40/20, es decir se trata de una vivienda con vigas banda.

•

Caso 2.- Las vigas de los pórticos perimetrales son descolgadas de las mismas dimensiones pero ahora la base es 20 cm. y la altura 40 cm., las vigas de los pórticos interiores son banda de 40/20.

•

Caso 3.- En este caso todas las vigas son descolgadas de 20 cm. de base y 40 cm. de altura (20/40).

En la distribución en planta se indica además la ubicación del Centro de Masas de la edificación con la orientación de los ejes X-X, Y-Y. El sentido X es en la dirección más corta. Desde el punto de vista constructivo es muy sencillo el armado de la estructura ya que únicamente se tiene un armado tipo para las vigas en sentido X, y un armado tipo para las vigas en sentido Y. Las columnas mantienen la misma armadura longitudinal en todos los pisos y para el ejemplo se ha mantenido la misma armadura en los tres casos analizados. En la figura 13.9 se indica el armado respectivo, es importante destacar que está construcción fue construida para el Caso N.- 1 en una de las ciudades de mayor sismicidad del Ecuador.

325


Llama la atención que los estribos de vigas y columnas se coloquen a 15 cm., en los extremos del elemento, en lugar de 10 cm. El diámetro utilizado es de 8 mm., es muy normal el empleo de este diámetro en las viviendas. El hormigón de acuerdo a los planos estructurales tiene una resistencia a la compresión de 210 kg/cm2 y el acero un límite de fluencia de 4200 kg/cm2. 1

2

4.41

4.41

3

4.75

E

4.35

D

4.41

1

Y-Y

C

4.41

2

3

PÓRTICO EJE C = EJE D X - X

4.75

X-X

4.75

3 B

A 4.75

A

PLANTA TIPO

4.75

B

4.35

C

4.75

D

PÓRTICO EJE 1 = EJE 2 Y - Y

Figura 13.8 Distribución en planta y dos pórticos, uno en sentido X y otro en sentido Y.

E

326


Figura 13.9 Armadura tipo de vigas y columnas de casa de dos pisos. Se desea analizar el desempeño sísmico ante los cuatro espectros indicados en la figura 13.3 y que corresponden a los sismos: frecuente (43 años), ocasional (75 años), raro (475 años) y muy raro (970 años). Se destaca que el sismo raro es el que está prescrito en el Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000. En la figura 13.10 se indica con el número (5) el espectro de capacidad sísmica resistente de la casa de dos pisos con vigas banda, Caso N.- 1, en sentido X, y los cuatro sismos de análisis. Se aprecia que el espectro de capacidad está muy distante de los espectros de demanda, lo cual demuestra a simple vista sin realizar ningún cálculo que la edificación no va a tener un buen desempeño sísmico.

Figura 13.10 Espectro de capacidad en sentido X, para Caso N.- 1 y Espectros de Demanda.

Ante el sismo frecuente la estructura no debe sufrir daño debe comportarse en el rango elástico pero se aprecia en la figura 13.11 que esto no va a ocurrir, va a sufrir daño estructural y el daño en los elementos no estructurales va a ser considerable de tal manera que el costo de reparación va a ser notable, esto es para el Caso N.- 1. Se aprecia además en la figura 13.11 que la estructura va a colapsar ante el sismo muy raro. En la figura 13.11 el Caso N.- 1 corresponde a la figura inferior cuya cura de capacidad resistente se ha identificado con el número ( 5 ). La del Caso N.- 2 es la intermedia ( 6) y la del Caso N.- 3 la superior ( 7 ). En los tres casos la estructura va a sufrir daño ante el sismo frecuente, claro está que el mayor daño se presenta para el Caso N.- 1 y el menor para el Caso N.- 3. Si los estribos en vigas y columnas en lugar de colocarse cada 15 cm. se habrían colocado cada 10 cm. el desempeño estructural habría mejorado considerablemente. El Caso N.- 2 con vigas descolgadas en los pórticos perimetrales es una buena opción desde el punto de vista arquitectónico y estructural. En efecto se aprecia en la figura 13.11 que la estructura ahora si va a ser capaz de resistir el sismo muy raro, existe daño pero es menor que el caso N.- 1.

327


Evidentemente la condición más óptima es tener vigas descolgadas como se aprecia en la curva superior de la figura 13.11. Se destaca que el desempeño presentado es para el análisis sísmico en Sentido X. En el sentido Y en que se tienen más vanos el desempeño es mejor.

Figura 13.11 Comparación del desempeño para los tres casos analizados: con vigas descolgadas; vigas banda y descolgadas en el perímetro y todas con vigas banda.

En la tabla 13.17 se resume los aspectos más importantes del análisis sísmico en sentido X. En la parte superior se indican los desplazamientos en el punto de fluencia de la estructura prácticamente son iguales para los tres casos. En la parte inferior se indican los desplazamientos laterales máximos Dt , la demanda de ductilidad µ y el Índice de desempeño

I DE ante cada uno de los sismos analizados. Las mayores demandas de ductilidad se tienen para el Caso N.- 1, en consecuencia hay más daño. Se aprecia además que el Índice de Desempeño disminuye conforme se aumenta la resistencia.

Tabla 13.17 Desplazamientos laterales máximos, demanda de ductilidad e Índices de desempeño para los tres casos analizados.

SISMO

Vigas banda Caso N.- 1

Vigas banda-descolgada Caso N.- 2

Vigas descolgadas Caso N.- 3

Dty = 1.4 cm.

Dty = 1.5 cm.

Dty = 1.7 cm.

Dt Frecuente Ocasional Raro Muy Raro

µ

(cm.) 4.50 6.25 10.00

3.21 4.46 7.14

Colapsa

Colapsa

I DE

Dt

1.00 1.00 1.00 1.00

(cm.) 3.75 5.00 8.00 10.00

µ

2.50 3.34 5.34 6.67

I DE

Dt

1.00 1.00 1.00 0.73

(cm.) 3.50 4.75 7.25 9.00

µ

2.06 2.79 4.26 5.30

I DE 1.00 1.00 0.89 0.63

328


La estructura que se está analizando tiene un área total de construcción de 350 m2. Por otra parte el CTR se considera igual a 200 USD por metro cuadrado y la altura total con la cual se determina la distorsión global es de 5.30 m. Con los datos obtenidos el costo de reparación para los diferentes eventos sísmicos considerados, para el Caso N.- 1, se indica a continuación. •

SISMO FRECUENTE

0.045 = 0.0085 5.30 0.0085 − 0.005 ∗ 350 ∗ 0.1 ∗ 200 = 3850 USD CT = 0.02 ∗ 200 ∗ 350 + 0.015 − 0.005 DRIFTtotal =

•

SISMO OCASIONAL

0.0625 = 0.0118 5.30 0.0118 − 0.005 ∗ 350 ∗ 0.1 ∗ 200 = 6160 USD CT = 0.02 * 200 * 350 + 0.015 − 0.005 DRIFTtotal =

•

SISMO RARO

DRIFTtotal =

0.10 = 0.0189 5.30

CT = 0.02 ∗ 200 ∗ 350 + 0.10 ∗ 200 ∗ 350 +

•

0.0189 − 0.015 ∗ 350 ∗ 0.5 ∗ 200 = 22050 USD 0.025 − 0.015

SISMO MUY RARO

CT = 200 * 350 = 70000 USD En la tabla 13.18 se resumen los costos de reparación para los tres casos, como era de esperarse los mayores costos de reparación se encuentran para el caso de la estructura con vigas banda y los menores costos para la estructura con vigas descolgadas. El porcentaje que se indica en la tabla 13.18 es con respecto al costo total de construcción que es de 56000 USD. Se destaca una vez más que el costo de reparación es mayor que el costo de construcción.

Tabla 13.18 Costos de reparación de las tres estructuras ante los cuatro eventos sísmicos Vigas banda Vigas banda-descolgada Vigas descolgadas SISMO Costo Porcentaje Costo Porcentaje Costo Porcentaje Frecuente 3850 6.88 2870 5.13 2520 4.50 Ocasional 6160 11.00 4480 8.00 4200 7.50 Raro 22050 39.38 8750 15.63 7490 13.38 Muy Raro 70000 125.00 22050 39.38 15400 27.50


329

REFERENCIAS 1.

2.

Aguiar R., (2002), “Sistema de computación CEINCI3 para evaluar daño sísmico en los países bolivarianos”, Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, 302 p, Quito, Ecuador. Aguiar R. y Barbat A. (1998), “Índices de daño sísmico en edificios de hormigón armado”, Revista Hormigón y Acero, Asociación Técnica Española del Pretensado, 210, 73-92, Madrid, España.

3.

Aguiar R. y Viera P. (2003), “Desempeño sísmico en términos estructurales y económicos de edificaciones de hormigón armado”, Revista Ciencia. Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, 6 (2), 133-148, Valle de los Chillos, Ecuador.

4.

Esteva L., Díaz O., García J., Sierra G., y Ismael E., (2001) “Criterios y procedimientos para diseño sísmico basado en metas de confiabilidad y desempeño”, Proyecto 31181 U. Informe técnico parcial elaborado para CONACYT, México.

5.

Hazus 99, (1999), “Earthquake Loss Estimation Methodology”, Federal Emergency Management Agency FEMA and National Institute of Building Sciences NIBS, Vol 5, Chapter 5, Washington DC.

6.

Reyes C., (1999), “El estado límite de servicio en el diseño sísmico de edificios”, Tesis Doctoral. Facultad de Ingeniería. UNAM, México.

7.

SEAOC (1995), “Vision 2000 Report on performance based seismic engineering of buildings”, Structural Engineers Association of California, Volume I , Sacramento.

Analisis Sismico Por Desempeno - Roberto Aguiar Falconí

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