1
INTRODUCCIÓN
TANQUE ELEVADO
Ejemplo.-
Se hará el análisis sísmico modal de un tanque elevado sobre una estructura reticular articulada, ubicada en la zona II del D.F., las dimensiones de la estructura y del tanque se dan en la figura No. 24. Esta construcción pertenece al grupo “B” con estructuración estructuració n tipo I. Se omiten los cálculos de cargas, así como el dimensionamiento de la armadura que soporta al tanque.
Planta de la estructura estructura metálica de soporte
Figura No. 24
Tanque para almacenamiento de agua. Base 2.00x2.00 m.
Acotación en metros. Peso y masas:
Peso de la estructura
4500 kgs.
Peso del tanque
6208 kgs.
Peso del líquido
6195 kgs.
Masa
4500 981 981
Masa 0.6328 Masa 0.6315
0.4587
ton seg seg 2
ton seg seg 2
m ton seg seg 2 m
m
2
INTRODUCCIÓN
TANQUE ELEVADO
Al idealizar la estructura y el fluido en función de las masas equivalentes, se necesitan también las rigideces: Calculo de la rigidez de la estructura de soporte.
Se calculara la rigidez de una armadura plana, forma aproximada, empleándose el método de la carga virtual unitaria para obtener el desplazamiento en la parte superior de la armadura debido a una fuerza P. d
n
N i ni i 1
Li E i Ai
Donde: d : Desplazamiento en el extremo libre de la armadura. N i : Fuerzas axiales en las barras debido a la carga P. n i : Fuerzas axiales en las barras debido a la carga Virtual Unitaria. Li : Longitudes de las barras Ai : Áreas de las secciones transversales de las barras. E i : Modulo de elasticidad de los materiales. En la tabla I se anotan las áreas de los perfiles laminados y las longitudes de las barras, respetando la numeración asignada en la figura No. 24. Calculo de las reacciones verticales en los apoyos de la estructura debido a la fuerza P. M A 17 P 6 RVB 0
RVB RVA 2.8333
Para analizar esta armadura y obtener las fuerzas axiales N i se pueden usar métodos gráficos, analíticos manuales o emplear algún programa de computadora. Los valores de las fuerzas axiales, para esta estructura isostatica, están anotadas en la cuarta columna de la tabla I, y en la quinta columna se encuentran los valores debidos a la carga unitaria (P=1). En la figura No. 25 se ilustran las fuerzas axiales de las barras (tensión o compresión) sobre el esquema de la estructura. Con líneas punteadas se muestran las fuerzas equivalentes empleadas para analizar la estructura. Se sugiere tomar algunos nodos (i, j, g, etc.) y comprobar el equilibrio. En la tabla I se efectúan las operaciones y al sumar los valores de la última columna se obtiene el valor del desplazamiento en función de P.
3
INTRODUCCIÓN
TANQUE ELEVADO
d
16
N i ni i 1
Li 0.41021635 P E i Ai
i
i
Barra
cm.
cm².
1
200
2
N i ni Li
Li
N i
ni
tons.
tons.
20.40
0.9375
0.9375
175.78125
42840
0.004103204
P
403
48.00
-0.5039
-0.5039
102.3278296
100800
0.001015157
P
3
472
2.85
-1.3754
-1.3754
892.8942755
5985
0.149188684
P
4
403
48.00
1.6789
1.6789
1135.9382
100800
0.011269228
P
5
300
20.40
0.5837
0.5837
102.211707
42840
0.002385894
P
6
403
48.00
-1.6789
-1.6789
1135.9382
100800
0.011269228
P
7
531
2.85
-0.7763
-0.7763
320.0027374
5985
0.053467458
P
8
403
48.00
2.267
2.267
2071.133467
100800
0.020546959
P
9
400
20.40
0.4358
0.4358
75.968656
42840
0.001773311
P
10
403
48.00
-2.267
-2.267
2071.133467
100800
0.020546959
P
11
602
2.85
-0.5269
-0.5269
167.1294132
5985
0.027924714
P
12
403
48.00
2.6196
2.6196
2765.508576
100800
0.027435601
P
13
500
20.40
0.3491
0.3491
60.935405
42840
0.001422395
P
14
403
48.00
-2.6196
-2.6196
2765.508576
100800
0.027435601
P
15
680
2.85
-0.3963
-0.3963
106.7965092
5985
0.017844028
P
16
403
48.00
2.855
2.855
3284.863075
100800
0.032587927
P
Suma =
0.41021635
EAi
N i ni
E i Ai
4
INTRODUCCIÓN
TANQUE ELEVADO
Por definición: Si
d 1
P k (rigidez )
k 1 2.8621 ton
cm
(Plana)
Rigidez de la armadura: k 5.7242 ton
cm
Valor correspondiente al primer resorte del modelo.
5
INTRODUCCIÓN
TANQUE ELEVADO
Calculo de masas equivalentes.
En escritos de diversos investigadores sobre el comportamiento dinámico de líquidos en vasos de almacenamientos, se han presentado resultados de diferentes estudios. Para nuestro problema, en el capitulo 6 del libro de N. M. Newmark y E. Rosenblueth (ver bibliografía), en la sección “vibración de los líquidos en tanques” se dan expresiones para calcular las masas equivalentes profundidades y rigidez del liquido. Se ha encontrado que en las presiones de los tanques tiene importancia el oleaje y se puede despreciar la compresibilidad del agua. Para un tanque rígido completamente lleno que esta cubierto con una tapa rígida, la masa total del liquido se mueve con el tanque como si se tratase de una masa rígida no obstante, cuando se tiene un espacio pequeño entre la superficie del liquido en las paredes y el fondo serán prácticamente iguales a las que se producirían con superficie libre. Se recomienda estudiar las condiciones del tanque, totalmente lleno y con superficie libre. Se demuestra que el liquido puede sustituirse por masas unidas al tanque mediante resortes lineales y elementos rígidos, para calcular las fuerzas horizontales que representan la acción resultante de los empujes hidrodinámicos. El reglamento de construcciones, en el art. 245 dice “ 2 L en la dirección del Para tanques rectangulares que miden movimiento, los parámetros que definen a la estructura equivalente se obtienen con las siguientes expresiones: Tanh M 0
1.7 L
H M 1.7 L H
0.83Tanh M 1
1.6 H
1.6 H
L M
L
1 M 0 M
H 0 0.83 H 1
2 2 M L L ML 1 H 1 H 1 0.833 0.28 0.63 M 1 H H M 1 H
6
INTRODUCCIÓN
TANQUE ELEVADO
k
3gM 12 H ML2
En donde: M : Masa del líquido contenida en el tanque. M 0 : Masa del líquido considerada unida rígidamente
al tanque.
M 1 :
Masa del líquido unida por medio de resortes. H : Profundidad de reposo del líquido contenido. H : Elevación de la masa desde el fondo. H 1 : Elevación de la masa desde el fondo. k : Rigidez de los resortes para la masa. L : Dimensión de la base del tanque en la dirección del movimiento. g : Constante de gravedad. 0
1.33 2.00
Si se considera en los cálculos momentos hidrodinámicos del fondo del tanque. 0.00 1.00
Si solamente importan los efectos de presiones hidrodinámicas en las paredes del recipiente. Substituyendo valores: Para 0.00 ; 1.00 ; H 2.00m. ; L 1.00m. y M 0.6315
Tanh M 0
ton seg 2 m
1.7 L
2.0 M 0.813 M 0.5134 ton seg 1.7 L m
2
2.0 0.83Tanh M 1
1.6 x 2.0
1.0 M 0.2585 M 0.1632 ton seg 1.6 x 2.0 m
2
1.0 H 0 0.38 x 2.0 0.76m. 2 2 M M 1.0 1.0 H 1 2.01 0.33 0.28 0.63 x1.0 1 1.499 m. M Mx 0 . 2585 2 . 0 2 . 0 0 . 2585 2
7
INTRODUCCIÓN
TANQUE ELEVADO
k
3 x9.81(0.2585) 2 M 2 x 2 M (1.0)
2
3.93315 M 2.4837 ton m.
Masa considerada de la estructura: M 0.229
ton seg
2
m
Calculo de los modos de Vibración.
Se procederá a calcular los modos de Vibración, las frecuencias y los periodos. Usando el procedimiento que se expuso en el capitulo V. Idealización de la estructura para el análisis dinámico: m0'
m1
K
k
Matriz de rigideces: 5.74905 0.024837
0.024837 0.024837
0.013752
0.0000
0.0000
0.001632
k
m
k m 2
5.74905 0.013752 2
0.024837
0.024837 0 0.024837 0.001632 2
Efectuando operaciones.
2 2
433.27048 2 6334.73919 0
Resolviendo la ecuación cuadrática, encontramos las frecuencias de vibración: 12 15.1505 2 2 418 .1199
12 3.892 rad seg 22 40.447 rad seg
8
TANQUE ELEVADO
Periodos de Vibración: T 1
T 2
2
1 2 2
1.614seg.
0.307 seg.
INTRODUCCIÓN
9
INTRODUCCIÓN
TANQUE ELEVADO
A continuación se empleara esta ultima expresión “ U ir ”, pero antes
obtendremos las ordenadas del espectro de aceleraciones de diseño para la zona IIIa. Esto es: ZONA
c
ao
Ta1
Tb1
r
IIIa
0.40
0.10
0.53
1.8
2.0
a a 0 (c a 0 )
T T a
;
si T < Ta
a c;
si Ta ≤ T ≤ Tb
a qc;
si T > Tb
Primer modo
T 1 0.671seg entonces utilizamos: a c;
Sustituyendo valores, tenemos: a 0.40
Este valor se puede obtener de la grafica de espectros de aceleraciones, pagina 4. Segundo modo
T 2 0.245seg.
a 0.239
Tercer modo
T 3 0.163 seg.
a 0.192
Cuarto modo
T 4 0.137 seg.
a 0.178
Calculo de los coeficientes de participación “ C r ”.
10
INTRODUCCIÓN
TANQUE ELEVADO
c1
c2
c3
c4
(0.408 x1.00) (0.408 x 2.016 ) (0.408 x 2.888) (0.306 x3.29) (0.408 x1.00 ) (0.408 x 2.016 ) (0.408 x 2.888 ) (0.306 x3.29 ) 2
2
2
2
0.3889
(0.408 x1.00) (0.408 x1.1219 ) (0.408 x 0.1022 ) (0.306 x 1.2017 ) (0.408 x1.002 ) (0.408 x1.1219 2 ) (0.408 x 0.1022 2 ) (0.306 x 1.2017 2 )
0.3321
(0.408 x1.00) (0.408 x 0.1835 ) (0.408 x 1.0753) (0.306 x 1.0033) (0.408 x1.00 2 ) (0.408 x 0.1835 2 ) (0.408 x 1.0753 2 ) (0.306 x 1.0033 2 )
(0.408 x1.00) (0.408 x 1.159) (0.408 x0.828) (0.306 x 0.427 ) (0.408 x1.002 ) (0.408 x 1.159 2 ) (0.408 x0.828 2 ) (0.306 x 0.427 2 )
0.1101
Dividiendo cada coeficiente entre su frecuencia al cuadrado correspondiente y llamándole I r , obtenemos los siguientes valores: I 1 0.004428 I 2 0.0005047 I 3 0.0001124
I 4 0.00005214
Ahora ya podemos substituir simplemente las cantidades anteriores: U 11 (0.337)(981)(0.004428 )(1.00) 1.46201cm.
0.1674
11
INTRODUCCIÓN
TANQUE ELEVADO
ω
Uir
ar
g
Ir =Cr /ω²r
vir
xmax
9.37
U11
0.337
981
0.004427
1
1.46201
9.37
U21
0.337
981
0.004427
2.016106 2.94757
9.37
U31
0.337
981
0.004427
2.888769 4.22342
9.37
U41
0.337
981
0.004427
3.291188 4.81176
25.65
U12
0.186
981
0.0005071
25.65
U22
0.186
981
0.0005071
25.65
U32
0.186
981
0.0005071
-0.1022
-0.00948
25.65
U42
0.186
981
0.0005071
-1.2017
-0.11145
38.59
U13
0.157
981
0.0001122
1
0.01733
38.59
U23
0.157
981
0.0001122
-0.18176 -0.00315
38.59
U33
0.157
981
0.0001122
-1.07668 -0.01866
38.59
U34
0.157
981
0.0001122
1.000321 0.01734
45.95
U14
0.148
981
0.00005335
45.95
0.148
981
0.00005335 -1.15706 -0.00898
45.95
U24 U34
0.148
981
0.00005335 0.821138 0.00637
45.95
U44
0.148
981
0.00005335 -0.41369 -0.00321
1
0.09275
1.121932 0.10405
1
0.00776
Veamos la influencia que tienen los modos en su participación, indicándolo en porcentajes:
I
r
I 1 I 2 I 3 I 4 10 5 (442 .7 50.71 11.22 5.33) 509 .96 x10 5
Para el primer modo: i1
442.70 509.96
x100 86.85%
Para los modos superiores: i2 9.9% i3 2.2%
i4 1.05%
Como puede observarse la influencia mayor es la del primer modo, por lo cual deberán tomar en cuenta los primeros modos, dependiendo del número de niveles del edificio.
12
INTRODUCCIÓN
TANQUE ELEVADO
Calculo de las fuerzas cortantes sísmicas.
Las fuerzas cortantes sísmicas en cada entrepiso, para cualquier modo, pueden obtenerse como el producto de la rigidez del entrepiso por el desplazamiento relativo de dicho entrepiso. r 11 r 21 r 31 r 41
= (
1.46201 +0.0000
)
300
= 438.604 ton
= (
2.94757 -1.4620
)
260
= 386.246 ton
= (
4.22342 -2.9476
)
220
= 280.686 ton
= (
4.81176 -4.2234
)
220
= 129.435 ton
r 12 r 22 r 32 r 42
= (
0.09275 +0.0000
)
300
=
27.824
ton
= (
0.10405 -0.0927
)
260
=
2.940
ton
= ( -0.00948 -0.1041
)
220
=
-24.977 ton
= ( -0.11145 +0.0095
)
220
=
-22.434 ton
r 13 r 23 r 33 r 34
= (
)
300
=
5.200
ton
= ( -0.00315 -0.0173
)
260
=
-5.326
ton
= ( -0.01866 +0.0032
)
220
=
-3.413
ton
= (
0.01734 +0.0187
)
220
=
7.921
ton
r 14 r 24 r 34
= (
0.00776 0.0000
)
300
=
2.328
ton
= ( -0.00898 -0.0078
)
260
=
-4.352
ton
= (
)
220
=
3.377
ton
r 44
= ( -0.00321 -0.0064
)
220
=
-2.108
ton
0.01733 0.0000
0.00637 +0.0000
Para evaluar las fuerzas sísmicas, es necesario considerar la reducción por ductilidad, que al respecto se ha establecido. Si se desconoce T, o si T ≥
Q' Q;
T Q 1; T a
Q' 1
Ta
Si T< Ta
Para este problema tomamos Q=3, que depende del tipo de estructura, de los materiales a usar y de algunos detalles de diseño y construcción. Como el periodo fundamental es menor que T 1, tenemos:
13
TANQUE ELEVADO
INTRODUCCIÓN
T 1 0.671seg T a Q' 3
Este factor, es el divisor de las ordenadas de los espectros de aceleraciones de diseño, lo consideramos hasta este punto porque en el reglamento se establece; que los desplazamientos no deben dividirse entre dicho factor. Desde luego, estas disposiciones se basan en investigaciones.
Las respuestas modales, se combinan de acuerdo a la expresión dada: V i
1
r Q' 2
1 2
i
Sustituyendo valores: V 1
1
438.604 2 27.824 2 5.202 2.3282 174.15ton.
3 V 2 153.02ton. V 3 111 .70ton. V 4 52.26ton.
Ya se ha mencionado la gran participación del modo fundamental, no obstante, en el reglamento se considera que deberán tomarse cuando menos tres modos de vibración. Se considera conveniente hacer las siguientes observaciones: la expresión anterior para combinar efectos modales es válida para casos en donde los periodos de vibración están claramente diferenciados unos de otros. En caso contrario deberá aplicarse otra expresión, presentada po r el Dr. E. Rosenblueth en el trabajo “sobre la respuesta sísmica de estructuras de comportamiento lineal” (1968).
También se hace la siguiente aclaración respecto a la superposición modal, en donde se pide que las respuestas modales (fuerzas cortantes, deformaciones, momentos de volteo, etc.) se combinen de acuerdo a la expresión ya mencionada; si se superponen directamente los desplazamientos relativos y a partir de los nuevos desplazamientos se obtienen las fuerzas cortantes sísmicas, estos valores difieren de los valores obtenidos como se hizo en este ejemplo por lo que se recomienda se haga en esta forma. El problema anterior se debe a que
14
TANQUE ELEVADO
INTRODUCCIÓN
el criterio de combinación no es una transformación lineal entre las contribuciones modales. Para edificios muy esbeltos con determinadas características, pueden tener en los niveles superiores considerable influencia alguno de los modos superiores.
