/ ’(c) = m f{b)-f(a) . f (c) = b —a
N ota
El teorem a del valor medio tiene implicaciones en todas las interpretaciones de la derivada. Geom étricamente garantiza la existencia de una tangente que es parale la a la secante que pasa por (a, f ia)) y ( b , f ( b ) ) com o indica la figura 5 .13.
C O N S E C U E N C IA S D EL TE O R E M A DE LAG R AN G E COR OLAR IO 1 : Funciones con derivada cero Sea / : [a, b] una función tal que. si / '(a) = 0 . V a €
D em ostración
I . En efecto, si x es un número arbitrario tal que a < x < b , la función/( v) satisface las condiciones (i) y (ii) del T.V.M. en el intervalo [a, x] c: [a. />l
2.
Luego, existe un núm ero c e
3. 4. 5.
Pero, por hipótesis, f \ x ) = 0 en el intervalo
CO R O LAR IO 2 s Funciones con derivadas iguales Sean f i x ) y g(x) dos funciones continuas en \n. b\ y derivables en
2.
Luego, si
b
I. En efecto, por la hipótesis dada, sea la función h(x) = f x ) - g{x), V a e [o, b], que es continua en [a, bj y derivable en
‘( a ) = 0
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 5.3: E l teorem a d el valor m edio y sus aplicaciones 3.
De modo, por el Corolario 1 , h(x) es una constante en y asi, / ( a ) = g ( A ) + k. V x e [a. b].
539 ¡a,
b\, o sea /
(a) -
g(x) - k,
Nota
El Corolario 3 del T.V.M. se refiere a funciones crecientes y decrecientes de cuyo estudio nos acupamos en el Capítulo 1, Sección 1.12. A llí definimos lo siguiente: Una función/es creciente en un intervalo I si, para cada par de números a, y x2 e 1. con a , < a , implica / ( a , ) < / ( A j ) Una función/es decreciente en I siempre que a , < a 2 implica / ( a , ) > / ( a 2) para cualquier par de números xlt í. Según estas definiciones vemos que/es cre ciente si su gráfica asciende al mover a hacia la dere cha y es decreciente si desciende al mover a hacia la derecha. Así la función/de la Figura 5.14 es decre ciente en <-**>, a>, constante en
COROLARIO 3 : Funciones crecientes y decrecientes Sea f: [«, b] —» El una función continua en \a, b] y derivable en
liemmtración 1.
i) Si
/ '( a ) > 0 ,
ii) Si
/ ’( a ) < 0 .
V ae
< ¿i,
V .ve
b>. f es creciente en ¿ > , /
(« ,
(i) Supongamos que / ' ( a ) > 0, V x e
En efecto, para un intervalo [a ,, a3] aplicamos el T.V.M. Esto da: a 2 - a ,
2. 3.
b]
es decreciente en [ « , b\
para cualquier c e
54Ü
Capítulo 5: Aplicaciones d e la Derivada
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS ( ^ E J E M P L ^ 2 j Aplicar el T.V.M. a las funciones dadas en c) intervalo indicado y. hallar los valores de c que satisfacen su conclusión a) f (x) = x*-xl -2x> x e [-1, 1|
Solución
b ) / U ) = Jf
4 , x e f—1,4]
a) La función polinomial / es continua y derivable en toda la recta real, en particular lo es en [-1, 11. Luego, hallaremos los valores de c resolviendo la
ecuación:
f{c) =
/(!)-/(-!) l-(-l)
( 1 1+2) & 3 c* - 2c -1 = 0 1+ 1 Resolviendo la ecuación obtenemos: c, = -1/3 e < -I, l> y c2 = 1 £ <-1, 1> por tanto,
Esto e s : 3c?- 2 c - 2 = (1
1 2)
el único c que satisface la conclusión del Teorema es c = -1/3 b)
x 1-3 x -4 x+ 5
f { x ) = ---------- —
es continua y derivable V x e IR - {- 5}, y en particular lo es en
1-1,4]. Derivando la función obtenemos: / ' (x ) =
x2 + 1 0 x - ll (x + 5)2
■ * / ( 4 ) - / ( —1) c2 + 10c—11 0 -0 _ Luego, si / fe) = J-^—£——— - =¡>------------ =— = --------= 0 6 J 1 4 —(—1) (c + 5) 4+1 f
Si c2 + 10c -11 = 0 <=> c, = 1 g <-1, 4> ó c2 = 11 g < -l, 4> Por lo que, el único c que satisface la conclusión del Teorema de Lagrange es c, = I .
[
EJEMPLO 13) S e a /(x ) una función continua en el intervalo [3, 7] con/(3) = 10. Si f'(x ) = 5 para x e <3, 7>, demostrar que/ (jt) = 5x - 5.
Demostración'
1. En efecto, sea el intervalo [3, x] c f3, 7] 2. Por hipótesis: /e s continua en [3, 71 => también lo es en (3, x] /e s derivable en <3, 7> => también lo es en <3, x>
3.
Luego, por el Teorema de Lagrange: 3 c € < 3, x> I / ' (c) =
4.
Pero como / ( 3 ) = 1 0 y / '(jt) = 5 => f'(c) = 5, V x e <3, 7>
5.
Por lo tanto, en (3): 5 =
x -3
<=> / ( x ) = 5 x - 5
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—f O ) x -3
■
Sección 5.3: E l teorem a d el valor m edio y sus aplicaciones
541
( E J E M P L O 14^ Usando el Teorema de Lagrange, dcmostrai que ■ JT + x
Demostración
<
1 +
. s i Jt >
1. En efecto, sea la función f(x)=-J\ + x ro,
x]
c
Entonces por el T.V.M.: 3 c e < 0 , ,r > 1f (t ) =
3.
1i J il + v + jx -- l i r.----- . * Luego, — ------------------ -— = > V I + a - 1 = — r =
2VÍ+7
x -0
T
b —a
X
; entonces en (3) se tiene
x >
Vl + Jc - ! < — <=> v l + x < 1 + 2 '» si x > 0
[ EJEMPLO 15) Demostrar que tffTI < I + - , V
1. i)
r n e Z 1
a g
En efecto, sea la función / ( x ) = Vi + x cuyo dominio = [ - 1 , + « * > > , V n e 7 / / es continua en 10, jcJ c [-1, +«>>
ii-) f es derivable en <0, x>
Entonces por el teorema del valor medio 3
C
G <0,
X>
I
f
(c) =
3.
Pero, si f ( x ) =
4.
Luego, en el paso (2):
5.
Si
/ ( * > - / ( o)
v m
x —0 1
c > 0 = ^ l+ c > l
= > /(< •)= •
1
- i
x
= = « Vo+cr
1
( VT+Jc- 1 X
y como /? > 1 ^
— * >0
n
n— I «i-l j Por lo que : (I + c ) " > 1 " => - — - - - < 1 V(1 + c)"-' 6.
,a = 0 y b = x
2-J\+c
Pero como,— . < —, V c e < 0 , 2 V Í+ 7 2
Onworfrucidn
definida en el intervalo
i - 1, + °°>
2.
4.
0
Entonces en el paso (4): n \
—L | < [
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Capítulo 5: Aplicaciones d e la D erivada
542
siendo x y n positivos => V i + x < I + —
(^ E J E M P L 0 ^ 1 6 ) Demostrar que -JT+x < 4 + ^(x-t-15), si x > 15
Demostración
1.
Sea la función / ( x ) = V i + x ^ Dom( f) = (-1 , +<»> i ) / e s c o n t i n u a e n [ 15, x] c [ - 1, + > , p u e s x > 15 i i ) / e s d e r i v a b l e e n <15, j o
2.
Entonces por el T .V .M .: 3 c e < 1 5 ,x > I /'(< :)= ^
3.
De donde obtenemos : V l + x = 4 + (x - 15). f'(c)
4.
Si / ( x ) = Vi + x => / ' ( x ) = — } ; luego, f ‘( c ) = * 2-VÍ + x ’ B ’J 2-JV+t
5.
Parax > 15 se tiene que: f \ c ) < 1/8
6.
Por tanto, en el paso (3 ): Vi + x < 4 + ^-(x - 15)
x -1 5
-- = —------ —— x -1 5
[E JE M P L O 17] D em nstrarque la fórmula del teorem adel valor medio puede expresarse en la forma:
f(x + h) = f(x) + h.f'ix + 0/z), donde 0 < G < I Demostración
l . Por la fórmula del teorem a del valor medio
f { c ) = fih)~ f { a ) ^ f { b ) -f U i) = {b-a).f{c) b —a 2. 3. 4. 5.
Si a < c < b, hagamos ~ — — = 0, 0 < 0 < I
b-a
=> c = a + Q(b - a), O < 0 < I Entonces en ( I) : f( b) - f (a) = (b - a). f' [ a + Q(b - a)J, 0 < 0 < l H agam os ahora : a = x, b - a = h, de donde, b = x + h L uego, en el paso ( 3 ) : /( x + h) - / ( x ) = h . / ' ( x + Qh), 0 < 0 < l Por lo tanto, / ( x + h) = / ( x ) + h. f'(x + Qh), 0 < 0 < I
■
blata
L a fórm ula obtenida en el paso ( 5 ) , así como las fórmulas equivalentes de los pasos ( l ) y (3) se llaman fórmulas de los incrementos finitos de Lagrange, a dife rencia de la aproximación
f ( x + h) = / ( x ) + / ' ( x ) . dx la que se llam a a veces fórmula de los incrementos infinitesimales
(E JE M P L O 18) Usando la fórmula del Ejemplo 17, determinar 0 en términos de x y h para la función / ( x ) = x \ Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
543
Sección 5.3: E l teorem a d el valor m edio y sus aplicaciones
Solución
Si
=
/( a ) / ( a
a 3
h)
+
=> f'(x) =
(x
=
3a3
+ h )2 -
x } + h ( 3 a 2 + 3 x h + / i 1)
/'( a + B /í) = 3 ( a + 0 / i)2 = 3 a - + 6 t7 í6 + 3 / r 0 Ahora, si / ( a + /i) = / ( * ) + h . f \ x + 0A), entonces a 1 + A ( 3 a 2 + 3 a / í + Ii2) = x' + h( 3 a ’ + 6 r / j 0 + de donde obtenemos: 3 h 0 2 + 6 t 0 —3x + h y completando el cuadrado se tiene : [ 0 + x- ) = \
0
(j£JEMPL0^19j Si
/'( a )
>
h)
3 /r0 :)
4 r (x2 + xh + — )
h2 K
3
U - x ± J x * T x h + hr ñ )
=
V
# ’ (a),
IR y f(u) = g(a), demostrar que
a g
/ ( a ) > g ( A ) , V A 6
Demostración 2. 3. 4.
a g
tal que : h(x) = f (x) - g(x) h(a ) es derivable , V x < a, a , > , por ser / y g derivables V x e IR h(xt ) - h(ci) Por el Teorema de Lagrange : 3 c g
[/(-^ 1) - g ( A |) l- [ /'( a ) - g ( a ) ] A, - f l
/ U | ) “ g U |) Xj ” Cl
5.
Por hipótesis:/ ( a ) = g(a) =¡> f (c)-g' (c) =
6.
También por hipótesis : f ’(x) > g '(*) =>f'(c) > g ’(c)<=> f'(c) - g ‘(c) > 0
7.
Luego, en el paso (5): a
f
,
\ > 0, y comoa , - a > 0 .se sigue que :
-a
( a ,) - £ { a ,) > 0 /
<=> / (a ) >
(a ,) £ ( a ),
>
g
V
A G
(a,),
V
a ,
< fl, +
e
<
fl,
+
oo >
oo>
( E J E M P L O 2 0 ) Usando el teorema del valor medio, demostrar que Tg X > A , V A G <0, 7 U /2 >
Demostración
1. Sea la función / ( a ) = Tg x - a, V a g <0, a,1 c < 0 ,7t/2>. Entonces:
i) /e s continua V a g <0, a,] ii)/e s derivable V a g < 0, a , >
2.
Por el Teorema de Lagrange: 3 c
3.
Si
/'(
a
)
=
Sec2a -
1
= Tg7x
=>
<0,
a
f'(e)
=
g
,>
I / ’ (c) =
Tgz c
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
A[ “ 0
Capítulo 5: A plicaciones de la D erivada
544
4.
Luego, en el paso (2): Tg3 c =
5.
Como
Xy— — ■*i
6.
> 0 y T g 2 c > Q , V c e < 0, x,>, entonces en (4) se sigue que: T g x t - jc , > 0 <=> T g x, > x y Por tanto, siendo x , e <0, n/2> => T g x > x , V * e <0, n!2> jc ,
[ E JEM P LO 21 ) Mediante la fórmula de Lagrange, demostrar las desigualdades: ^ a Cos a DewtoHración
<
b
Tg
-
Tg a
^ 2° , siendo Q < a < b < n¡2 Cos a
<
I . Sea la función f ( x ) = Tg x, continua y derivable V x e Entonces, por el Teorema de Lagrange :
< 0 , rc/2>.
3 c 6
'
2.
De donde: Tg b - Tg a = ^
3.
Si c e <ü, b> <=$ a < c <
4.
Como h > a , implica que por b - a obtenemos:
/? -
a
f ^ Cos a < Cos c < Cos b
b
l
I
C o s1 a
C o s 2 c
I C o s
2b
0. entonces si multiplicamos las disigualdades en (3)
b - a >
b - a
^
Cos1 5.
o
b - a
<
Cos1
a
b - a
Cos2 h
c
Por tanto, de (2) y (4) se sigue que: b - a
„ ~
<
Tg
b -
~ Tg
b - a a
<
® [ E JEM P LO 22 J Demostrar que la función f ( x ) = x5 - x - 20 es creciente en el intervalo [ 1, 3] y halle sus valores máximo y mínimo C o s ’ a
C o s2 b
Por el corolario 3, debemos probar que f ' ( x ) > 0, V x e <1, 3> En efecto, si f \ x ) = Óx4 - 1, y x e <1, 3>, entonces 1 < x < 3 => 1 < X4 < 81 => 5 < 5x* < 405 => 4 < 5X4 - I < 404 <=> f \ x ) e < 4, 404 > Luego, f \ x ) > 0, V x e < 1 ,3 > y p o rlo ta n to /e s creciente V x e [1,31 .Comoelmínimo y el máximo de / se encuentran en los exteriores de este intervalo, ocurre que
[D em o stra c ió n
|
/(1 )
<
/(x )
<
/(3 ),
V
x e
[1 ,3 ]
<=>-20 < /(x ) < 220 => Min(/") = -20 y Max(f) = 220 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
■
Sección 5.3: E l teorem a d el valor m edio y su s aplicaciones
545
( EJEM PLO 23^ Demuestre que la función fix) = -J5 - x —2. para x e [-11, 4|, alean/» su valor máximo en -11 y su valor mínimo en 4.
bemmtraciún
* Bastará probar que / es decreciente V r e [-11.4], esto es. < 0, V
/ '( j c )
jc
e <-11, 4>
En efecto, si f(x) - -J5-X - 2 => f ( * ) = y si -11
<
jc
<4
2-JT-.
=> -4 < - * < 11 => 1 < 5 - x < 16 I - < 8
"
I 2 V 5 -
1 jc
<
2
l <
2 < Luego,
—
Z 1 (x) g < - l / 2 , - 1 / 8 >
-
/ ' ( jc) < 0, V x e <-11, 4>,porloque /(4) < f(x) < / (-II) -I <
/ ( jc)
< 2 => Min (/■) = -1
y M a x (f) = 2
TEOREMA 5.5: Teorema del Valor Medio Generalizado o de Cauchy Sean / U ) y /(.c) dos funciones tales que i) Son continuas en el intervalo [o, /;] ii) Son derivables en el intervalo
0 en cada punto de <íj. b>. entonces
, I /* U 0 3 r e <íi , I » I g (r )
3
Demostración
/ ( / ? ) - /( a ) —
g(b)-giu)
1. Analicemos la función auxiliar F(x) = f ( x) - X g(x) donde el número X se ha elegido de tal forma que F(a) = F(b), estoes:
2.
/( o ) - Xg{a) = f {h) - X g(h) »
X=
3. 4.
Las funciones/ y g y por ende F, satisfacen todas las condiciones del Teorema de Rolle, entonces: 3 c e
5.
Si ^ '(c ) = 0
6.
En Consecuencia, de los pasos (2) y (5) se sigue que:
/'(£•) - X g V ) = 0 «
X = ^ g (<■)
f i c ) = f(b)~f(a) g’(c) g(b)-g(a) Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 5: A plicaciones de la Derivada
546
[E J E M P L O 2 4 ) Hallar el valor de c que cumpla el Teorema de Cauchy para las funciones f ( x) = x2 - 2x + 5 y g(x) = a - + 2 a - 6 , en el intervalo [-1, 2J.
Solución
Las funciones / y g son continuas en f-1, 2) y derivables en < -1, 2 >, entonces: f ' [ c) = 2 c - 2 = 2(c - 1) , / M ) = 1 + 2 + 5 = 8 . /(2 ) = 4 - 4 + 5 = 5
g'(c) = 2 c + 2 = 2(c + 1) ,
£ (-1) = 1 - 2 - 6 = - 7
1T « . 2 (c —I) /(2 )-/(-l) Luego, por el Teorema Cauchy : ¿ — - - g (2 )_ g(_ n
,
*(2 ) = 4 + 4 - 6 = 2
. r-l 5 -8 => — | - ^
I - - 3
de donde obtenemos : r = l / 2 e < -l,2 >
u
[^ E JE M P L 0^ 2 5^ Si / (jc) es continua en [a, b\, 0 C [a, b ], y si / (a) es derivable en
f(b)-f(a) _ f ( c ) bz —a2 2c 1. Sea g(x) = x2 una función continua en [a, h] y derivable en <11, b> y como x * Ü =* g\x) = 2a # 0 Por hipótesis/ es continua en [a, b] y derivable en
Demostración 2.
Cauchy: / í f c f í t i =
g( b) - g( a) g'(c) Dado que g(a) = a.2, g(b) = bz y g ’(c) = 2c, entonces en el paso (2):
3.
fib)-f(a) _ f{c ) b2- a 2 2c
_
<•_ „ Cos a — Cos b ^ ( EJEM P LO 26 1 Demostrar que —------------ -— —= —Tg c ,
donder e
Sen a - Sen b
Demostración
1.
Sean las funciones / ( a ) = Cosx y #(jc) = Sen a, tales que i) Son continuas en [a, b\ ii) Son derivables en
o
1
Cos b —Cos a Sen b — Sen a
L u e g o . -------------------------------- =
—Sen c Cos c
[ EJEMPLO~27 j Demostrar' que : ^
70 q
=_
I - a < I+ a
Cos a - Cos b „ ^ ------------------------ — — 7 p Sen a —Sen b
Ln ( 1 + A ) -------< I, are Sen x
. si a e
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<0,
■
1>
547
E JE R C IC IO S. G rupo 41: E l 71V.M. y su s aplicaciones
Demostración
1. Sean f { x) = Ln{ 1 + x) y g(x) = are Sen x, dos funciones continuas en [0 , x] y derivables en < 0 , x> y si g’(x) # 0 en < 0 , x>, enlonces por el teorema de Cauchy <0, x>, x 6 <0, 1> I
3 ce
2.
/ '(jc )
= y - ^ = > / (c ) = y | -
g' ( X) = .
/ ( 0)
=
g' (c)g ( x ) - g ( 0 )
L n (l+ 0 ) =
0
=> g' (c )= ■ 1 , * ( 0 ) = are Sen 0 = 0
1
yll-c1
V I- .* 2 3.
,
^
JE I =
Luego, en ( I ): Ü Z Z = M H - x ) - 0 1+ c a/c x —0
V 1+ c
a r e
4.
Como c < x =* 1 + c < 1 + x =» 0 < y - — < . *
5.
También ¿¡i c < x = * - x < - c ^ 0 < I - x < de modo que al multiplicar (4) y (5) obtenemos.
,
_
l+ x
6■ 7.
l+r
l -c
l —c
1 -x
+ . c e < fí, x > Sen x
l l —X
< T+7
< TTc ^ v í+jt
0 => —c < 0
=> 1 —c <
í l —c
v í+ 7
Dado que:
c> c 8.
>o=>i+c> i ^
I+ c
1
iy——
1
< i Jnvi+c-
Por lo tanto, de (3) y (6 ) y (7) se sigue que:
Ln (I +x) . [ E * < -----< I , si x e <0 , l> are Sen x V \1+ x
EJE R C IC IO S . Grupo 41 ❖
En los ejercicios l al 10, verificar que la función dada satisface la hipótesis del Teorema de Rolle. Hallar todos los valores de c que cumplan ia conclusión de ese teorema. / ( jc) *
x2- 4 x
3.
/(x ) =
5.
/
1.
(x)
=
2.
/(* ) =
x ’ - 2 .x 2 - x + 2 , [ - 1 , 2 ]
x J - * + 2. [-1 , n
4.
fU ) =
x4 - 2 x 2 +
5 x 2M - x s/\
6.
/< * > =
8.
f(x) =
+ 3 , [ 1, 3 ]
[ 0 , 51
7. f(x) = xm - 2xm.
9.
/ «
-
j[2 - 5 j: + X + 1
[0. 4]
4 , L 1 , 4]
10.
/ ( j0
x 4'* - 3 x i;\ x
2 -
x
- ! 2
1, [ - 2 , 2 ] [0 , 3] ^ [ 3
x - 3
=
Í4 -2 x -x 2 , x
g
[ —3 , 0
‘ [ x 2 - 4 x + 4 , x e [ 0 , 3]
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
548
Capítulo 5: A plicaciones d e la Derivada En los ejercicios 11 al 20, hallar los intervalos en los que f(a) =f{b) = 0 y el teorema de Rolle es aplicable. Para cada uno de ellos hallar los valores de c en que f ‘(c) = 0 - J t - 2)
II. /
(J C ) = JC ( jc 2
13.
/ (x) = x’ -x 2 - 5 x - 3
x2 - 2 x - 3
12 .
/(x ) =
14.
/ ( x ) = x 3- 2x*-5x + 6
a:
17. /
( jc )
=
( jc
X
19. f ( x) =
18.
x -4 x x+2 / ( x ) = (x - 3) (x +2)yí
20.
.// ( vx /) = — 71 -4 S í> n 2x
16.
15- / W = ^ + 2)z,‘ ( jc - 2)“,
jc
e Z1
f T tX 2 ~Se n\ —
+ 2
/(x ) =
•3*
En los ejercicios 21 al 34, verificar que la hipótesis del teorema del valor medio se satis face para la (unción dada en el intervalo indicado, luego hallar el valor de c que satisfaga la conclusión de dicho teorema.
21. 23.
/ (x) = x 3 - 6 x* + lOx, [1,41 / (x) = x 1 + 3x2 + x + 1, [-4, 51
22. 24.
f (x) = x* - 2a'1 + x5 - 2x, [-1, 2]
25.
/(x ) = ^ | , 3 x -2
26.
f ( x ) = x ' +6x + 5 , [ 1. 51
[1,4]
/ ( x ) = jt5 -5 x 2 -3x, [1. 3]
x- 6
27. / ( * ) =
x 2 —3x —4 , 1-1,4] x+ 5
28.
/ ( x ) = x - l + - - ™ , [3/2, 3]
29. / ( x ) =
x2 + 4 x x —7
b
30.
/(x ) =
IV - x
X
32.
/(x ) =
31. / ( * ) =
X
2 —x
2+
,< 1 ,3 /2 1
4 + 1x 1
. M , 2]
4 -x
, [ - 2 , 0>
4 Vx + 1
, [0, 3 >
x 2 - 2 x + 5 , [3, 51
33. f ( x) = 2x3 - x 2 - 3x + 5, [-2, 2]
34. f ( x) = x - S e n x, [-Jt. n]
35. Aplicar el teorema de Rolle para demostrar que x' - 3x + b = 0 no puede tener más de una raíz en [- 1 , 1], cualquiera que sea el valor de b. 36. Si a > 0 y n entero, probarque /( x ) = x 2n+l+ a x +b no puede tenerdos raíces reales. 37. Sea f(x) = Ax2 + Bx + C. Probar que en cualquier intervalo [a, b]> el valor de c garantizado por el T.V.M. es punto medio del intervalo. 38. Dada la función / ( x ) = Ax3 + Bx1 + Cx + D, definida en el intervalo [a, b\ y c es el valor que satisface el T.V.M.; mostrar que: c2 =
(a2 +ah+h2)
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E JE R C IC IO S. Grupo 41: E l T.V.M. y sus aplicaciones
549
39. Haciendo uso del Teorema de Rolle, pruebe que la ecuación dada f(x) = 0, tiene una y solamente una raíz en el intervalo indicado a)
/(jc) = jc5 + 2.c - 3, [0, I]
b)
c)
f(x) = xw-
d)
10 0 0 , [ 1, 2 ]
f ( x ) = x*- 3x-20, [2,3] f ( x ) = xs - xr + 2x- 3, <0, J>
(Sugerencia: En cada caso, seguir los pasos del Ejemplo 10) 40. Indicar el número de raíces reales de la ecuación 3jc5 + I5 r - 10 = 0, usando métodos analíticos (sin resolver la ecuación) 41. Mostrar que la función f(x) = je" +px + q no puede tener más de dos raíces reales siendo n par. y más de tres siendo n impar. 42. Usando el Teorema de Rolle, probar que la ecuación Tg(x* - 5x + k) = 0 tiene a lo más una solución real en el intervalo <-n/3, tc/3 >, siendo k una constante arbitraria en IR. 43. Sea / una función dos veces derivable en un intervalo abierto. Si f (a) = f ( h ) = f(c), donde a < h < c son tres puntos del intervalo, demostrar que 3 d e
En los ejercicios 45 al 60, usando el teorema del valor medio, demostrar las desigualda des dadas.
45.
46.
Zj i ( jc+ 1 ) > - ^ - j , V * > Ü
47. I + Í - 4 r < V l + * < 1 + 4 . V jc>0
2
8
2
50.
2
51. --- <
n
x < x, si jc e [0 , 7t/2 ]
52.
Cos ax - Cos bx < I h-a\, x * 0 x 555. 5 . li _- £í ^
^ i ----------- í -------
54.
Sen x + Tg x > 2x, si x e < 0, nl2>
si x ee < -l, - 1, ü>
56.
n f ' ( r - y ) < x” - y” < n x"1 (x - y), si y e < 0, jc] . n e Z*
57.
I +
¡ L - < V T + 7 < I + 4 . si -1 < x < 0, x > 0
2-Jl+x
2
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550 — 58.
Capítulo 5: Aplicaciones de la D erivada
h tí I +h
59. • /
T Í
T
j < are Tg b - are Tg a <
b -'fl I t , si a < b l+ « "
. < arcTg x < j . V j > 0
61. Demostrar que: í
+ A
are Tg x <
60.
x +1
<
4
^ ( x - 1 ) , si x > I 2
< í. + í
62. Dada / ( x ) = «re Tg x - x +
. use la derivada para probar que: 3
x* x — — < are Tg x,si x > 0 63. Usando el Corolario 2 del T.V.M., resolver la ecuación diferencial í / ' (x )= 6 1/ ( 0) = I
Cos2 x Sen x + 2x —5
64. Usando el T.V.M. o de Rolle, demostrar: Si / y g son dos funciones continuas en [a, h] y derivables en
Aplique el T .V .M . a
JUñ =
/ (x)
= -Jx en
[100, 101] para demostrar que
10 + —1= 2 VF
para algún número c e < 1 0 0 , 101 > b)
Demuestreque 1 0 0 < c < 1 0 l. entonces I 0 < -Je < 10.5 y use esto para concluir de la parte (a) que 10.0475 < -Jl üT < I0.05CX)
67. Use el teorema del valor medio para demostrar que:
3+¿
y g dos funciones reales continuas en [a, b\. derivables en
que f ( a ) = -Jb, f(b) =yf^( j , g(a) —-a, g(b) = b. Demostrar que existe un c e
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Sección 5.4: Criterios para ¡as fu n c io n e s crecientes y decrecientes
[5 .4 )
551
C R IT E R IO P A R A L A S F U N C IO N E S C R E C IE N T E S Y D E C R E C IE N T E S
TEOREM A 5.6 : Funciones crecientes y decrecientes Sea /
[«./>! —» IR una función derivable sobre el inlcivalo
i)
Si
ii)
Si f \ x i < 0, t €
iii) Si f'(x) ~ 0. x e
Demostración 1. 2. 3. 4. 5.
Probaremos el primer caso
En efecto, sean x„ x7 e Dom (f), tales que a
La demostración del segundo caso es similar y el tercero se vio en el Corolario del teorema del valor medio.
OBSERVACIÓN 5.9
Nótese en las Figuras 5.15 y 5.16 pata funciones continuas que / ’(-*) sólo cambia de signo en los números críticos, por lo tanto, para determinar donde/es creciente o decreciente es conveniente seguir los pasos siguientes: 1.
Localizar los números críticos
2.
Observar el signo de f \ x ) en un punto de cada intervalo determinado por dos números críticos consecutivos
3.
Según el Teorema 5.6, decidir si / es creciente o decreciente en cada no de esos interva los prueba.
FIGURA 5.15
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FIGURA 5 16
C apítulo 5: A plicaciones de Ui Derivada
552
(E J E M P L O _ 1 _ J Hallar los intervalos en que f(x) = 2ji-3 + 3x2 - 12* es creciente o decreciente.
Solución
I. Localización de los números críticos: / X * ) = fx*2 + 6 * - 12 = 6(a" + 2 ) (jr - 1)
2.
Si f \ x ) = 0 => (;r + 2) (jc - I ) = 0 <=> jt= -2 v i = l Como f está definida en IR, x =-2 y x —1 son los únicos números críticos que dividen al eje X en tres intervalos abiertos: <-«», -2>, <-2. I>. < 1.+«»> La Tabla 5.2 resume el comportamiento de / en cada uno de estos intervalos TABLA 5.2
< l . +»>
Valor prueba
x = -3
x = l)
x=2
f'(x) = 6(x + 2)[x- 1)
£
0
1
Signo d e f *(x)
1
<- 2 . I>
1
<-oo, - 2 >
1!
Intervalo
= 24 > 0
Conclusión
creciente
f ' ( 0) =
6 (2 )(-l)
= -12<0
decreciente
f’(2) = 6(4) (1) = 24 > 0
creciente
Trazamos los puntos críticos (-2.20), (1,-5) y el punto (0,0), (la curva pasa por el origen), luego usando la información de la Tabla 5.2, obtenemos la gráfica de f mostrada en la Figura 5 .17
Nata
Los valores prueba de la Tabla 5.2 se han escogido por conveniencia, pues, podrían haberse usado otros. Además, para determinar el signo de f'{x) no es nece sario evaluar f \ x ) en los valores prueba, sino por intermedio de la regla de los signos. Así, podemos determinar que /'(-3 ) es positivo de la siguiente manera: /'( - 3 ) = 6 (negativo)(negativo) = positivo
FIGURA 5.17 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
FIGURAS.18
553
Sección 5.4: Criterios para las funciones crecientes y decrecientes
(E JE M P L O 2 ) Hallar los intervalos en que / ( a ) Solución
xm
5) es creciente o decreciente
(a - -
1. Localización de los números críticos
f ( x ) = A2” (1) + U - 5 ) ( |
2.
=
=
A -"’ ]
Como / '(a) = 0 en x = 2 y f \ x ) no está definida en x = 0, los números críticos son a = 0 y k = 2, que determinan en el eje X los intervalos <-«>, 0>, <0, 2> y < 2 .-H>o> La Tabla 5.3 muestra las pruebas realizadas en cada intervalo recitante TABLA 5.3
intervalo
< -o o , 0 >
Valor prueba
A =
Signo de f *(x)
-1
A =
/■ h > = * _ ; = +
Conclusión
<2 .
< 0 . 2>
™
1
- £ } ~
• ’
+ °°>
A =
J K}
3
3(+)
/■(- o * )
ro )< 0
/ ‘(3 )> 0
creciente
decreciente
creciente
La figura 5.18 muestra la gráfica de / donde las flechas indican el crecimiento y decreci miento de la función en los intervalos prueba.
Nota
Los Ejemplos I y 2 muestran a funciones que eran continuas en todo el eje real. Si el dominio de una función / incluye puntos de discontinuidad, estos puntos deben usarse junto con los números críticos para determinar los intervalos prueba, como se indica en el ejemplo que sigue.
(E JE M P L O 3 ) Hallar los intervalos en los que la función /( a ) = N
*
— —
x' —9
es creciente o decreciente
Solución
1. Localización de los números críticos
f(x) =
2.
(
a
2 - 9 ) ( 2
a
) - a 2 (2
( a 2 —9 ) z
a
)
18a ( a 2 —9 )3
Como / ‘( a ) = 0 en a = 0 y / es discontinua en a = ± 3, entonces a = 0 es un número critico y a = ± 3 son puntos de discontinuidad. Utilizaremos estos valores para determinar los intervalos prueba <- 00. -3>, <-3, 0>, <0, 3> y <3, +~> Determinar el signo de f \ x ) mediante la construcción de la Tabla 5.4 que resume lo que ocurre en cada uno de estos puntos. Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
C apítulo 5: A plicaciones de la D erivada
554
TABLA 5.4 <-©», -3>
Intervalo Valor prueba
jc
Signo ¡te f '(x) 18c
Conclusión
<-3,0>
= -4
x=
x = -l
/■ (-4 )= ^ = + /'H ) -
<3.+oo>
< 0 . 3>
+
/
' t D
-
x=4
1
C++
)
/'(-4) > 0
/■<- d > o
/'(■ 1 X 0
/'(4 ) < 0
creciente
creciente
decreciente
decreciente
La gráfica de la función se muestra en la Figura 5.19 donde se puede notar las asíntotas verticalesx = ± 3 y la asíntota horizontal y = L pues lim f ( x ) = I ■ Cabe señalar que las condiciones /'( x ) > 0 y /'(-*) < 0 no son necesarios para el crecimiento y decrecimiento alternativo de la función diferenciable en los intervalos prueba adyacentes. El siguiente ejemplo muestra que tal cosa no es cierta en general. [E J E M P L O 4 )
Solución
Hallar los intervalos en los que decreciente.
f (x) =
(2 - jr)-’ es creciente o
1. Localización de los números críticos; / ' ( * ) = -3 (2 -jr )2 Si f \ x ) = 0 2 - x —0 <=> x —2 es un número
> 0, V x
2.
Como (2 -
3.
Luego, / es decreciente en <-
jc ) 2
e
IR - {2} => / ' ( * ) < 0, V
jc g
crítico Dom ( / ) - { 2 }
2> y en <2, +°°>
En la figura 5.20 podemos observar que la función es realmente decreciente en toda la recta real. _
FIGURA 5.19 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
FIGURA 5.20
555
Sección 5.5: E l criterio de la prim era derivada
(E JE M P L O 5 ^ Si g'fx) < h'(x), V x e
i . En efecto, sea la función / (a) = * (a) - h(x) => / '(a) = g'( r) - /j’(a) Por hipótesis, f> '(a) < h '(a) => g '(a) - h '(a) < 0, V a e Entonces ene! paso ( l), / ’( a ) < 0 . que por el Teorema 5.6, / es decreciente, V
a g
<
z i.
b> Luego, por la definición de función decreciente: Si a„ x 2 g
( 5 .5 )
- # U i)
<
h ( x 2) - h ( X t )
u
EL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Si se conoce los intervalos en los que una función es creciente o decreciente es fácil localizar sus extremos relativos. Un máximo relativo o local aparece cuando la función deja de crecer y empieza a decrecer. Un mínimo relativo o local aparece cuando la función deja de decrecer y empieza a crecer. El procedimiento se explica en el siguiente teorema.
TEOREM A 5.7 : E l criterio de la primera derivada Seac un número crítico de una función / continua en un intervalo abierto I que contiene a r.S i f es derivable en el intcivalo excepto a lo sumo ene, /• |pucdccIaoficar:v., v«'imv 'iguc: 1. Si
/ ’
cambia de positiva a negativa en c
;
»i.) os un n u n i m
o
relativo o local de i
2. Si / “cambia de negativa a positiva en t. f(>.) e-un mínima relamo ¡ local de / 3. Si / ' no cambia su signo en c, f i e ) no es ni máximo ni mínimo relativo.
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Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada
556
Demostración ' 1. 2. 3. 4.
Probaremos el primer caso
Supongamos que /'( x ) cambia de (+) a (-) en c. Entonces existen a, b e I, tales que / ' ( a ) > 0 , x e
El siguiente ejemplo ilustra la representación gráfica de una función polinómica ( E J E M P L 0 6 J Hallar los máximos y mínimos de la función / ( x ) = X*+ Ax^-lx2- I2x. Esbozar su gráfica
polución 2. 3.
4.
5.
I . Por ser / una función polinómica, está definida V x e IR
Nótese que para x - 0, /(O ) = 0, es decir, lacurva pasa por el origen Localización de los números críticos / ' ( * ) = 4x’ + l2x 2 - 4 x- 12 = 4(x + 3) (x + I) ( jc - 1) Si f ‘(x) = 0 => x = -3, x = * I y x = I son los números, pues / estádefinida V x e IR En estos números críticos la función tiene por valores: / ( - 3 ) = (-3 )4 + 4(-3)’ - 2(-3)~ - 12(-3) = -9 A(-3, -9) / ( - ! ) = (-1 ) 4 + 4(-1)s - 2 ( - 1>2 - 12 (-1) = 7 => B (-l, 7) / ( l ) = ( l )4 + 4 (1 )’ - 2 ( t ) 2 - 12(1) = -9 => C (l, -9) Ahora examinaremos el signo de/ ' ( a ) .construyendo la Tabla 5.5 que muestra un formato práctico para aplicar el criterio de la primera derivada
Valor prueba
6.
7.
A
= -4
A
V
<-«■», -3 >
1AI
intervalo
u>
TABLA 5.5
= -2
< -l, l> A = í)
< 1, +o° > A
=2
Signo de f '(x)
(-)(-)<-) = -
<+)(-)(-)= +
(+ )(+ )(-)= -
(+)(+)(+) = +
Conclusión Extremos
Decreciente
Creciente
Decreciente
Creciente
Mínimo en x=~3 i
Máximo en x=-¡ Mínimo cu x~ l
De la tabla deducimos que existe un mínimo relativo en A(-3, -9) y C (l, -9), y un máximo relativo en B (-l, 7) Con esta última información dibujamos la gráfica de / mostrada en la Figura 5.21
Los dos ejemplos siguientes ilustran la representación gráfica de una función seccionada.
(Te j e m
plo
7 ) Hallar los máximos mínimos y esbozar la gráfica de la función: y (jt) = U 2 5 - ( x + 4)2 , si x < O 17 —(x —2 )a
, si x > 0
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Sección 5.5: E l criterio de la prim era derivada
557
FIGURA 5.22
Solución
I. Designemos por /, ( x ) = ^ 2 5 - ( x + 4 ) 2 , si x < 0 y por f 2 (x) = 7 - (x - 2)2, si x > 0
2.
El dominio de f 2está dado V x e [0, + « ], mientras que el dominio de / , está restringido por el radical, esto es 3 /,
<=*•
[25 - (x + 4 )2 > ()|
<=> (-5 < x + 4 < 5 ) 3.
a a
(x < 0) (x < 0)
<=> -9 < x < 0 => Dom (/j) = [-9, 0>
Se debe advertir que en las l'unciones seccionadas es necesario estudiar la continuidad en los exiremos contiguos de los intervalos de definición de cada subfunden, pues éstos pueden llegar a ser números críticos. En este caso debemos averiguar como se comporta la función en x = 0 Como lim f ( x ) = A/2 5 - ( 0 + 4 )2 = 3 *-.cr
y
lim / , ( x ) = 7 - ( 0 - 2 ) 7 = 3 , *— ►o*
podemos afirmar la continuidad de / en x = 0 , luego éste es un número crítico. 4.
Localización de otros números críticos:
/'( * ) =
x+4 — . = , si x e [-9 , 0 > V 2 5 -(x + 4) 2 —2 (x —2 ) , si x € [0 , +«* >
Si / • ( * ) = 0 => (x + 4 = 0 ) 5.
(x - 2 = 0) <=> x = -4, x = 2
En estos números críticos la función tiene por valores /( - 4 ) = J 2 5 - M + 4 )2 = 5 ;
6.
a
/ ( 0 ) = 7 - (0 - 2 )2 = 3;
/ ( 2 ) = 7 - (2 - 2)3 = 7
Ahora examinaremos el signo de f \ x ) para saber donde / es creciente y donde decre ciente, constituyendo para ello la siguiente tabla.
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C apítulo 5: A plicaciones tic la Derivada
558
Intervalo Valor prueba Signo de f '(x) Conclusión
8.
< -4, 0 >
Y = -5
A = 3
+
+
creciente
Extremos 7.
V
Ar NO 1
TABLA 5.6
A —3
+
creciente
Mínima en x=0
—2 ( + ) = decreciente
Máximo en x—2
De la Tabla 5.6 se deduce que hay un máximo relativo o local en A(-4, 5), un máximo global en B(2, 7) y un mínimo local en C(0, 3) Con toda esta información dibujamos la G r(f) mostrada en la Figura 5.22
\+x‘ x
1
x
, si x e < —<», 2 ]
(/.)
si x e < 2 , +<» >
(fi)
1-1 ,
Hallar todas las asíntotas Hallar los extremos relativos e intervalos donde la función es estrictamente creciente y decreciente, y hacer un dibujo de su gráfica
Solución a)
-2 (-> =
Máximo en x=-4
< 2 , +«■ >
1
decreciente
[ E JEM P LO 8 J Sea la función f ( x) = I) II)
<0, 2 >
I) Determinación de las asíntotas
Asíntotas horizontales:
y = lim f,(x) = lim í — ^ - 1 = 0 \ I+
x '
)
=> y = 0 es una asíntota horizontal izquierda y = lim
f-, (x) = lim ( x — Ji jr-»— ^ x
+ 1 1 = +«”
)
^ asíntota horizontal derecha
b)
No hay asíntotas verticales, pues no existe un número jc0 lim f { x ) —+oo
c)
Asíntotas-oblicuas: En / , no existe asíntota oblicua pues se trata de una función racional propia .(el grado del numerador es menor que el grado del denominador). En cambio en
f 2 si existe asíntota oblicua, pues cuando a- —» -h»,
0 , entonces y =
asíntota oblicua derecha. II) 1.
Determinación de tos extremos relativos Analicemos la continuidad de /e n x —2
2
2
lim
*
1
'
5
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x+
1 es una
559
Sección 5.5: E l criterio de la prim era derivada
2.
Como lim / ( a ) * lim f->(x) => / es discontinua en a = 2, de modo que t-»2" r-*24 es un número crítico. Localización de los números críticos ,
I— X
fix) =
2
3.
2 >
. si A 6 < 2 , +o®>
Si / ' ( a ) s 0 ^ I - a 2 = 0 <=> a = - L a = 1 son dos números críticos pues / definida V x e <-°°, 2] Nótese que / 2 no está definida en x = 0, pero como 0 g <2, +<*>, entonces no es un número crítico. En estos números críticos la función toma valores: -I I+ l
4.
= 2 no
~
v-*- . s i r e (l+ J T ) a 2 + 1
a
,
a
está =
0
I
Examinaremos el signo de }\'{x) -
mediante la construcción de la si( 1+ X
)
guíente tabla: TABLA 5.7
intervalo
<-oo, - 1>
< -l, l>
< 1, 2 >
Valor de prueba
x = -2
x- 0
x = 3/2
Signo de f '(x)
(-)(+ ) _ +
Conclusión
decreciente
(+ )(-) _ + decreciente
creciente
Mínimo en x = -1
Extremos 5.
(+ )(+ ) _ + +
Máximo en x = l
De la tabla 5.7 se deduce que la función es decreciente en g <-«■», - 1 > u < i , 2 > y creciente en a g <-1, 1>. Además hay un mínimo relativo en A ( - l,- l/2 ) y un máximo relativo en B (l, 1/2).
a
6.
Como / 2’(x) > 0 , V todo su dominio.
7.
Finalmente con toda esta información dibujamos la gráfica de / . mostrada en la Figura 5.23
a g
<2, +<»>, no existen extremos para
es decir / 2 es creciente en
El siguiente ejemplo muestra una función cuya derivada no está definida en un punto
( EJEM PLO 9 ] Hallar las extremos relativos de la función / (.t) = el criterio de la primera derivada. Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
a 20 ( a
- 4)- por
560
Capítulo 5: A plicaciones d e la Derivada
Solución
2.
1. La función está definida V x e IR Obsérvese que /( ( ) ) = Ü y /'(4) = 0, es decir, la curva intercepta al eje X en los puntos (0, 0) y (4, 0) Localización de los números críticos
f C x ^ ’l2
3. 4.
U —4)1 + U - 4 ) 2
* -■ "]
= 8 ( J t ~3 '1)| / r 4 )
Si / ’(*) = 0 = > (.r - I )(x - 4) = 0<=> a ' = 1 v x = 4 Como f(x) no está definida en x = ü,los números críticos son En estos números críticos la función toma valores: / ( 0 ) = 0 , / ( 1 ) = 9 y / ( 4 ) —l)
jc
= 0,
jc
= I y x = 4.
Determinaremos el signo de f'(x) mediante la construcción de la siguiente tabla. TABLA 5.8
Intervalo Valor prueba Signo de f '(x) Conclusión Extremos 4.
<-°o, 0 > X =
-1
< 0 , l>
<1, 4>
x = 1/2
x= 2
(-)(-)
(-)(-)
Í-)
(+ )
d e crecien te
crecien te
Mínimo en x=4)
.
< 4 , -h=o>
.
x = 5
(-)(+ )
(+ X + )
(+ )
(+ )
d ecrec ie n te
Máximo en x - I
c re cien te
Mínimo en x -4
5.
De la Tabla 5.8 se deduce que la función tiene un mínimo global en (0, 0) y B(4, 0), y un máximo relativo en A( 1, 9) Con esta última información dibujamos la gráfica de f mostrada en la Figura 5.24
6.
Nótese que en x = 0, al no estar definida
/ ' ( jc ) ,
la gráfica presenta un punto anguloso.
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 5.5: E l criterio de la prim era derivada
561
( EJEM PLO 1 0 ) Si la fu n c ió n / ( a ) = a a 1 + bx~ + ex + d tiene extremos relativos e n A (l, 17) y B (-2 ,-10), hallara,/;, c, y d.
Solución
La definición de extremo relativo implica que / ' ( I ) — f \ ~ 2 ) = 0
\ Pa r a x = \ ■ 3« + 2 b + c = i ) = 3nt =+ 2 /« + c=> \ Para x=_ 2 : |2 u- 4 / , + r = 0
Luego.S, / W
Además, si A (l, 17) e Gr ( / ) ^ a + b + r + d = 17 B(-2, -10) e G r(/) =» - 8« + 4 b - 2 c + d = -10 Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (1). (2), (3) y (4), obtenemos: a = -2, b = -3, c = 12 y d ~ 10
( I) (2) (3) (4)
[ EJEM PLO 1 1 ^ Sea la función / ( a ) = ajd + b r + ct si se conoce que la función / tiene un extremo relativo en x —2 y que la ecuación de la tangente en el punto de abscisa x = I esfef: 12x + 4y = 13, hallar los extremos relativos de /.
Solución
Como / tiene un extremo relativo en x = 2 =* /'( 2 ) = 0
y si f'(x) = 4ax* + 2bx 32a + 4£ = 0 « 8« + /; = 0 El punto de tangencia P (!,y ) e 9f=> 12(l) + 4.v= 13 <=> y = 1/4 => P(L 1/4)
(1)
Además: P(l. 14) e Gr(f) => ■ — = a + />+c
(2)
y s i/'( 1 ) = -3 (pendiente de la tangente) = * 4 « + 2Z>= -3 Resolviendo el sistema de ecuaciones (1), (2) y (3). obtenemos
(3)
a = W, b = -2 y c = 2
=> f(x) = ^ xJ -
2a 2
+2
1.
Localización de los pumos críticos; f'{x) = x* - 4a = x ( a + 2) ( a - 2) Si / ' ( a) = 0 ^ x = -2, x = 0. a = 2 son los números críticos, pues la función está definida V x e IR
2.
En estos números críticos la función toma los valores: / ( —2) = | ( - 2 ) * —2 ( - 2 ) z + 2 = - 2 => A(-2, -2) /(0 ) —
(O)4 - 2 ( 0 ) z + 2 = 2 => BÍ0.2)
/ ( 2 ) = ~ ( 2 ) 4 - 2 ( 2 ) 2 + 2 = - 2 => C (2, -2) 3.
La Tabla 5.9 resume las pruebas realizadas en cada intervalo para hallar el signo de /
’( x ) =
x
(a + 2 ) (a - 2 )
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 5: A plicaciones de la Derivada
562
TABLA 5.9
Intervalo
<-oo<-2 >
<- 2 , 0 >
<0 , 2 >
< 2 ,+«>>
Valor prueba
x=-3
x= - 1
X=1
x=3
Signo d c f ’(x)
(-)(-)(-)= -
(-)(+)(-)=+
(+)(+)(-)=-
(+)(+)(+)=+
Conclusión
decreciente
creciente
decreciente
creciente
Extremos
4.
Mínimo en x=-2
Máximo en x=0
Mínimo en x=2
De la labia concluimos que la función / liene un mínimo relativo en A(-2, -2) y en C(2, -2), y un máximo relativo en B(ü, 2). m
( E J E M P L ^ ^ ^ y Hallar todos los extremos relativos de la función / (x) = Sen2x + Sen x. en el intervalo [0, 2n]
Solución
1. Localización de los números críticos / ’(*) = 2 Sen x Cos x + Cos x = Cos x (2 Sen x + 1 ) S i / ’(x) = 0 => Cosx (2 Sen x + 1) = 0 <=> Cosx = 0 v Sen x = -1/2
(a)
<=> , , rt Lueeo, los números críticos son: x =
7
2 6
2.
—,
3
11 —Jt,
2
6
—rt,
— Jt
Determinación del signo de/'(x) La tabla 5.10 resume las pruebas realizadas en cada intervalo que los números críticos determinan. TABLA 5.10
Signo de f ^ x ) (a)
Conclusión creciente
<7t/2, 7rt/6>
x = 2n/3
(-)(+ ) = -
decreciente
<7tc/6, 3rt/2>
x = 4nf3
(-)(-) = +
creciente
<3n/2, 11n/6 >
x = 5tc/3
(+ )(-) = -
decreciente
< 1 J7c/6, 2 ji>
x = 350°
ti
< + )(+ ) = +
+
1
< 0 , 7 t/2>
Valor Prueba II
Intervalo
creciente
Extremos: } Max. en x = n/2 } Min. en x = 7rc/6 ) Max. en x = 3n/2 } Min. en x = 11rt/6
3.
De la Tabla 5.10 concluimos que la función f liene dos máximos relativos en A(7i/ 2 . 2) y C(37i/ 2 ), y dos números relativos en B(7rc/6, -1/4) y D( 1ln/ 6 , -1/4)
5.
La gráfica de la función se muestra en la Figura 5.25 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
_
563
Sección 5.5: E l criterio de la prim era derivada
(E J E M P L O 1 3 ) Sea la función
/ ( jc )
= Ln
x'- 3 a + 2 x2 + l
Hallar el dominio de la función, interceptos con los ejes coordenados, asíntotas, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos relativos si existen.
Solución
2.
1.
Dominio de la función: f ( x ) = L n
a" +1 La función real o (jc - 1) ( j c - 2) > 0 > ^ jr< I v x > 2 Dom (/') = x e < « , |> u <2,+«>>
Interceptos con los ejes coordenados Eje X: Si y - 0 =* 0 = Ln
' x2 —3 j c + 2 x1 + 1
x -3 x + 2 x +1
De donde; x2+ I = x ^ 3 x + 2 <=> = 1/3 =* A (I/3 ,0 ) Eje Y: Si x = 0 ^ Ln 2 B(0, Ln 2) 3.
Asíntotas. a)
Asíntotas horizontales: y = lim
/ ( jc )
= Ln
ljm f x~ - 3 x + 2 V = Ln( I ) = 0 *-»±~ ^ Jf + 1 J
Luego, y = 0 es una asíntota horizontal en ambos sentidos b) Asíntotas verticales :
lim f ( x ) = Ln ^ ^ ^ - Ln (0) = -«> »-»r (1+ 1)
lim / ( ^ ) = ¿ , [ i L ^ = Z 7 I ( 0 ) = - « jt— *2+ (4 + 1) Entonces x = 1 y x = 2 son dos asíntotas verticales hacia abajo Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
564 4.
C apítulo 5: A plicaciones de la D erivada
Intervalos de crecimiento y decrecimiento f (a) = Ln (x1 - 3 x + 2) - Ln (x1 + l ) s 2 a - 3 2x 3 x 2 - 2 a - 3 "=> f ( x ) = —7.------------------- i----- = ---------------------- i-----a
2 - 3 a + 2
a
'+ 1
(x - I ) ( a - 2 ) ( a 2 + I )
Si f'(x) = 0 ^>3j t - 2 x - 3 = 0 <-> JCj = ^ ( i - V í o ) v a, = ~ ( l + V í o ) Pero a 2 ~ 1-38 £ Dom (f), luego x, = U.72 es el único número crítico, con el que formaremos los intervalos prueba junto con los números x = ! y a = 2 La Tabla 5.11 muestra las pruebas realizadas en cada intervalo resultante TABLA 5. II
Intervalo
< - 00, - 0 .7 2 >
< - 0 .7 2 , 1>
<1. 2>
< 2 , + °= >
Valor prueba
A — - 1
A = 0
No d e f i n i d a
x = 3
Signo d e f ’(x) Conclusión 5.
+ ( - ) ( - ) ( +)
, '
—
< -)(-)(+ )
c re c ie n te
No d e f i n i d a
d e c re c ie n te
No d e f i n i d a
+
r
(+ )(+ )(+ )
‘
c re c ie n te
Observando las conclusiones de la Tabla 5.11 podemos afirmar que en a = -0.72, la función tiene un máximo relativo cuyo valor es
/ f ^ 7 2 ) = Ot (- ° - 72)2- V 72^ 2 J (-0 .7 2 ) + 1
6.
, 4.6784 ^ '1 5 1 8 4 = Ln (3.08) *= 1.12 La Figura 5.26 muestra la gráfica de f don de las flechas indican el crecimiento y decrecimielo de la función en los interva los prueba. ■
EJERCICIOS . Grupo 42 ♦>
En los ejercicios I al 36, hallar los números críticos de/(s¡ los hay), los intervalos de crecimiento y decrecimiento y localizar los extremos relativos o globales. Hacer un bos quejo de la gráfica de cada función y marque los máximos y mínimos locales.
1. 3.
/ ( a ) = a 3 - 6 a 2 + 15 / ( a ) = 1/5 xs - a
2. / ( a ) = A4 - 2a1 4. / ( a ) = a 4 - 8*2+ 10 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
EJE R C IC IO S. Grupo 42: E l criterio de la prim era derivada 5. 7. 9.
f { X) = 3xJ - Sx1 - 6 ** + 24x + 2 /( x ) = (2 + i )2 (1 - x f / ( x ^ x 4 - 8x^ + 7
11. / ( jc) = 3.r' - 2CUr; 13. /( x ) = 2 r '+ 3 .r + fa 15. /( a ) = 8x *-x * 17.
/(x ) = x (x -
19. 21.
/ ( x ) = j r in(2 -A )2/1 /ÍA ) = f4A -fl)l/l ( 2 r - « ) M
l) " 1
23.
/ ( x )= —
12. f(x) = 3x' - 25xl +fiOx 14. f{x) = 3aj + 4x’ - 3íh 2 + 36x - 8 16. / ( x ) = x''’ (4 -x ) 18. / { x ) = xj/ , (jc2- 16) 2 0 . /( x ) = (x + I )271 (r - 2 ),/T
l~ X
24.
/ ( JC) = _ Jtt 2 ... x +2x+4
A~ + X + 4 x2 +2x + 4
-JA 26.
x 2-------+x+l / /( x/ X) = — x
í2x + 9 ,si x < - 2 = | ^ + .,.W , > - 2
2 + x" , si x < —7 .« 0
, sr x < - 7
35. / ( x ) = —y¡25 —(x •4) 2 , .« - 7 < x < 0 ( x - 2 )2 - 7 37.
10.
/( x ) = 3 v* - 25t* +60y + 10 f(x) = 3xi - 5v' /(x )= 3 ^ -4 v ‘ - I2 t 3 + 8
/( x ) = ( x -3 ) 3 ( x - I ) * '
„„ , , . x 2 - x +1 27* / W = ^X 7+ XT + ,I
29- ^
8.
22.
x* - x + 4
25. / ( x ) =
6.
565
,.« x > 0
28.
f(x) =
30.
/(x ) =
32.
/í* )«
—X + I
x— x2 - 2 x + 2 4 - í x + 5) , si v < —4 1 2 -íx + l )2 . si x > —4 3x + 5 , si x < - 1 x 2 + 1 . si —I íá x < 2 7 - x . si x > 2 x —6
34.
, x e < —“ , 6 >
/ ( x ) = - J 4 - ( x - & y , x e [ 6 , 10 ] 20- 2x , x e < ! 0 ,+«»>
12 —(x + 5 )‘ ' 3 6 ./(x ) = 5 - x
, s ix < - 3 , jí -3 < x < -l
^ÍCX) —( x - 7 )2 , Ji x > - l
Hallar a, b, c y d lales que/ (x) = ex* + bx- + ex + d tenga unmínimo relativo en (0 , 0 ) y un máximo relativo en (2 , 2 ).
38. Hallar a, b y c tales que / ( x ) = ax2 + bx + c tenga un extremo relativo en (5, 20) y pase por (2 , 10 ). 39. Hallar las constantes a, b y c tales que el gráfico de la función/(x) = ax2 + bx + c tenga un extremo relativo en (5, 12) y corte el eje Y en (0, 3). 40.
Dada la función / (x) = (x* + 5x2 + 3x - 9 )2/51 hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y bosqueje el gráfico. Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
C apítulo 5: A plicaciones de la Derivada
566 41. Hallar a, b, c y d de tal manera que / en los puntos (1. 2) y (2, 3). 42. Hallar una función polinómica / ( jc) coeficientes son nulos) que satisfaga: i) ii)
=
( jc )
- ax* + bx2 + cx + d tenga extremos relativos
ax4 + bxx + ex2 + dx
+
e (donde no todos los
El gráfico de / pase por el origen de coordenadas de tal manera que la tangente en dicho punto sea horizontal. /
te n g a u n e x tr e m o r e la tiv o e n
jc„
= - 1
iii) *..= I sea un punto crítico d e /. 43. Una función y = /
( jc)
está definida por
= c . donde a. h y t: son
constantes positivas. Demostrar que esta función no tiene máximo o mínimo relativo en <£>, +~>, si c > 80 / 21b. 44. Graficar f( x) = ax3+ bx1+ ex + d de modo que la gráfica de/tenga un extremo relativo en ( - 1, 5) y que la ecuación de la tangente en jc = 3 sea la recta Sí: 24* + y - 83 = G 45. La venta de fertilizantes de una fábrica sigue el esquema cíclico
F —100,000 con F medido en libras y 7 en días. Si t =1 representa el 1 de Enero, qué día del año se produce la máxima venta? 46. Para qué valores de a, la función
/ ( jc )
= a Sen x + ^ Sen 1c tiene el extremo relativo en
jc = 7c/3 . Será un valor máximo o mínimo.
K* En los ejercicios 47 al 54. hallar los números críticos de /(s i los hay), los intervalos de crecimiento y decrecimiento, localizar los extremos relativos y globales. Hacer un bos quejo de la gráfica de cada función y marque los máximos y mínimos. 47. /
(x )
= ~ + Cos x, x e [0, 27t]
48. /(jr ) = * - Sen x , x e <0, 27i>
49. / ( x ) = Sen x Cos x, x e [0, 2rt] 51. / ( jc) = Sen3x + Cos3, x e [0, 2k \
50. f(x) = Sen x ( l + Cos jcJ, x e <0, 270 52. / (jc) - 2Sen x + Cos 2x, x e [0, 2te]
53. /( x ) = Sen 2x + 2 Cos x, x e 10, 2tcJ
54. / ( x) —Sen 3x - 3 Sen x, x € [0, 27ü>
(5.6)
E L C R IT E R IO D E L A S E G U N D A D E R IV A D A
Ya hemos visto que la determinación de los intervalos en que una función/crece o decrece es útil para trazar, con relativa exactitud, su gráfica. En esta sección veremos que hay otros aspectos de la gráfica de una curva que requiere el estudio más detallado de la derivada, es decir, la localización de los intervalos donde/* crece odecrece. En tal sentido, los conceptos de concavidad y punto de inflexión están en juego. Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
567
Sección 5.6: E l criterio de la segunda derivada
Sea entonces una función/ : IR —»IR, diferenciable en algún intervalo abierto I que contiene ul punto c e Dom (/). Consideremos ia ecuación de la recta tangente Tque pasa por (c,f(c)). con pendiente / ' ( c): T (t) - f ( c ) = f \ c ) . ( x- c ) => T ( x ) = f ( 0 + U • O f (c) y la función auxiliar: E(x) = f(x) - T(.v) => E(x) = f(x) - f (c) - (x - c ) . /'(c )
Definición 5.4: CONCAVIDAD HACIA ARRIBA Se dice que la gráfica de una función f { i) es cóncava hacia arriba en el punto ú \ si se cumplen las condiciones «.iguientes: i)
/ t » derivable en el intervalo abierto
ii)
/ '
iii)
es creciente en
/
‘(.r) >
0,
V
x
e
•>
b>
Existe una función E (v j> 0 . V .\ e
v G
Geométricamente significa que la gráfica de festálocalmenle por encima de la tangente T que pasa por (c, La figura 5.27 muestra esta propiedad. (Lo denotaremos por v±/)
Definición 5.5: CONCAVIDAD HACIA A B AJO So dice que la gráfica de una función f(x) es cóncava hacia abajo en el punto (c ./(c )j si cumplen las condiciones siguientes t)
/e s derivable en el intervalo abierto
ii>
/ ' . » decreciente en <«, b>. es decir, ¡'(t j<0, V t e
C apítulo 5: A plicaciones de la Derivada
568 iii)
Existe una función E(x) < O, V x e
c para el cual E(.v) - T(x) - f( x) y T(x) - f ( c ) - f f e ) . (x - c ) Esto es:
fí x) < f'(c i . ( jc - cT+ / (x), V x e
TEOREM A 5.8: Criterio de concavidad Sea / : IR —»IR una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I, que contiene al punto c, y que /"(< ) ^ 0. Se cumple; i) Si/"(c) > 0, V x g I. entonces la gráfica de/es cóncava hacia arriba en el punto (c,f(c)) ii) S¡/"(c) < 0 , V x e I. entonces la gráfica de/es cóncava hacia abajo en el punto ír \/c ) )
Demostración
i) Según la Definición 5.4 debemos probar que f(x) > / ' (c ). (x - c) +f(c), V X G I -{c}
1.
En efecto, si E(x) =f(x) - f ( c ) . ( x - c ) + /( c ) =*
2.
Si E" (x) = f"(x) => E" (c) = f"(c) Pero como, por hipótesis, f"(c) > 0 => E"(c) > 0
,
Además, en (1): { ^ = / ^ J
4.
Por la definición de derivada:
(°
£ (c ,= iO * )
E' ( c ) = lim £ ’ (-y) ~ £ , (c) = / " ( c ) > 0 X -* '
5.
(Paso 2 y por hipótesis)
X—C
Luego, por el paso 3, si E’ (c )= ü , V x e V 6*(c), existe una 6 > 0, tal que si 0 < Ix - c ! < 8 =>
x-c
>0
<=> < c —6 , c + 8 > — {c} => — ■ —- > 0
x —c.
6.
_
,
,
De donde:
Si c —6 < x < c, es decir, x —c < 0 => E (x) < 0 * r-,, k * [£>) Si c < x < c + o, es decir, x —c > 0 => E (x) > 0 [ a )
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 5.6: E l criterio de la segunda derivada 7.
569
Luego, por el Teorema 5.7, E(x) es: a) Decreciente en el intervalo [ c - 8 , o , pues en particular, si
x < c =$ E(jc) > E(c) b) Creciente en el intervalo
x > c => E(a)>E(c) 8.
En conclusión, Vare Vfi (c) se cumple que E(.r) > E (í) Pero como E(c) = 0 (paso 3) => E(.v) > 0 = > / ( * ) > / '( i ) . ! v - r ) + / ( r ) lo que queríanlos probar,
ii)
La demostración es similar.
Nota
El sentido de la concavidad es un instrumento eficaz al eslio/ar la gráfica de una función continua o discontinua. Es por ello que es muy importante seguir los siguientes pasos para hallar los intervalos de concavidad hacia arriba o hacia abajo. 1. Localizar los valores de xen que/"(v) = 0 o f"{\) no está definida.
2. Utilizarlos para delimitar los intervalos prueba. 3 Hallar el signo de f "(a) en estos intervalos y concluir aplicando el criterio de con cavidad (Teorema 5.8) El ejemplo que sigue ilustra esle proceso para una función continua. 4.v v' +4
[E JE M P L O 1 ) Hallar los intervalos donde la gráfica de /'( a ) = — ^
^
Solución
“■ es cóncava hacia arriba o hacia abajo.
I. Cálculo de la segunda derivada: /.,( v )^ 4 ( a1 + 4 i ( , ) - a (2 a ) = 4(4 —.i' l A ( -V* + 4 ) “ ( a ; + 4 )-
J 2.
(.v‘ + 4 ) ' ( —2 .v ) - ( 4 - v2 )2(a" +4)(2.v) Ka{.vj -1 2 ) »| ' i •“* *» - 1 ( . r + 4 )4 ( X - + 4 )
Como f"(x) está definida en toda la recta real, hacemos / "(\) = 0 y obtenemos:
x (x~ 3.
........... 1^) '
12 ) = 0
<=> a = 0 , x - ± 2>/3
Ahora probamos e! signo de f ' i x ) en los intervalos <-<». - 2-Jl>. < - 2- Jl . ()>. < 0 . 2if$> y < 2 V 3 . +oe> Los resultados se dan en la Tabla 5.12 y en la Figura 5.29 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
C apítulo 5: Aplicaciones de la D erivada
570
TABLA 5.12
Intervalo
<-«®, -2-\/3 >
<-2-j3,0>
<0 , 2 ^ 3 >
<2-j3 , +“ >
Valor prueba
x —-4
x = -l
x —1
x- 4
Signo de/"(x) Conclusión
(+ X -) +
(-K + > +
< -> (-) +
Cóncava hacia abajo
Cóncava hacia arriba
(+>(+> = 1±/
+
Cóncava hacia abajo
FIGURA 5.29
Cóncava hacia arriba
FIGURA 5.30
Para funciones discontinuas, los intervalos prueba han de formarse usando los pun tos de discontinuidad junio con los puntos en que/"(•*) es cero o indefinida. ^ E J E M P L O ^ ^ J Hallar los intervalos de concavidad de la gráfica de
[Solución
Cálculo de la segunda derivada
f { x ) = ( ^ - l ) - * ( 2 *_ )= _ ^ ± ^ J
K '
(jc
-
1)
—1 ) 2 ( 2 1
(JC3 -
x ) - ( j :2
1)2
+ l)2 (x 2 —I )(2 j t )
(jc 2 — I ) 4
2 jc (jc 2 + 3 ) (jc 2 — I)*
2.
Dado q u e / ”(jc) = 0 cuando jc = 0 y la función es discontinua en x = ±1, tomamos como intervalos prueba: <-=*, - I >, < - 1, 0 >, < 0 , l>, < 1, +°°>
3.
La Tabla 5.13 muestra el comportamiento de f " en cada uno de estos intervalos, y su gráfica se muestra en la Figura 5.30 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
571
Sección 5.6: E l criterio de la secunda derivada TABLA 5.13
Inten'alo
<-00, -l>
Valor prueba
x = -2
Signo d e f "(x) Conclusión
x = - l /2
< 0 , l>
<1, -H»>
x = 1/2
x= 2
< -X + > (+)
(-)(+ ) (->
^
<±Kt> = ^ (-)
(+ )(+ ) <+)
Cóncava hacia abajo
Cóncava hacia arriba
Cóncava hacia abajo
Cóncava hacia arriba
^
Definición 5.6: PU N TO D E INFLEXIÓN Sea / una función y ■ un numero. Supongamos que existen números a y b tales que « < c < b y además i) f e s continua en el intervalo abierto
y / " ( \ ) > 0 en
x = Q y * = 2^3 son números de inflexión. Si la segunda derivada existe en un punto de inflexión, debe ser cero. Pero puede no existir, c incluso no estar definida en el. como muestra el siguiente ejemplo. ( EJEM P LO 3 ) Examinar la concavidad de ia función f{x) = jcim
Solución
1. Hallemos la primera y segunda derivada tic / : /•(.* > = -4 ,
2.
3.
=>r u > = - £ ñ
Nótese que tanto /'(jc) como f ”(x) no están defini das en jc = . 0 , sin embargo el signo de f'íx) cambia en x = 0 , pues si tomamos como inter valos prueba <-«>, 0 > y <0 , +«> veremos que si x < 0 => f ' ( x) > 0 <¿> x > 0 =* /"(jc ) < 0 o La concavidad cambia de sentido en x = 0, luego éste es un número de inflexión y (0 ,0 ) es el punto de inflexión. La gráfica de / se muestra en la Figura 5.31 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
FIGURA 5 31
Capitula 5: Aplicaciones d e la D erivada
572
TEOREM A 5.9: Puntos de Inflexión Si una función/, derivable en el número c. es do¡» veces derivable en alguna vecindad reducida V fi’(í i de es-te número, entonces i)
/ “(•*) = 0 ó /"(.t) no está definida
ii) /" ( a ) cambia de signo al pasar el argumento por r. es decir, f"(x) tienes signos opuestos en
Demostración 1.
2. 3.
ii)
i) Si /" (c ) está definida, probaremos que/" (e) = 0 En efecto: Sea la función g(x) = / ' (a) = s g ' ( jc ) = / " ( a ) Por la definición de puntode inflexión,/ " ( a ) y por ende #'(*) cambian de signo en x = c Luego, g(x) tiene un extremo relativo en x = c, esto es, g'(c) = 0 y como g'(c) = f existe, entonces/"(c) = 0 Si f"{c) no está definida, no hay nada que demostrar, Se sigue de la demostración del Teorema 5.8 (Queda como ejercicio)
( EJEM P LO 4 ) Hallar los puntos de inflexión y discutir la concavidad de la gráfica de f ( a ) = 3 a 1* - 6 a 2
Solución
l . Derivamos dos veces la función y obtenemos / '( x ) = 12a3- 12a = 12x (a + 1) ( x - l) / ”(*) = 36x? - 1 2 = 12 (i/3 a + 1) (-JSx - 1)
2.
Para f'(x) = 0, los posibles números de inflexión son x = + V3/3
3.
Construimos una tabla con los intervalos que estos números delimitan TABLA 5.14
Valor prueba
x = -1
x=0
x= 1
Signo de f ' ( x )
/ " ( '! ) = (-)(-) —+
/"(O) = (+)(-) = -
Conclusión
+ +_
Concavidad
11
+
<-V3/3, V3/3>
X
<- 0 0 , -V 3/3>
II
Intervalo
O Existe punto de inflexión
Existe punto de inflexión
La Tabla 5 .14 nos confirma que existen dos puntos de inflexión: P,(-V3/3, -5/3) y P2( V3/3, -5/3). La gráfica de la función, simétrica respecto al eje Y (Función par), se muestra en la Figura 5.32 ■ Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
573
Sección 5.6: E l criterio de la segunda derivada
( E JE M P L C Ü T) Hallar los punios de inflexión y discutir la concavidad de la gráfica bx de la función f ( x ) = x 2+3 Solución
1
Siendo la función continua V x e IR, halluinos/'U) y f ”(x)
[x2+3 ) ( \ ) - x( 2x) (x2 + 3 )2
f (x)~b f"(x) = b 2. 3.
b ( 3 - x 2) Cjc2 + 3 ) 2
(x 2 + 3 ) 2 (—2x>—(3—x z)2(x 2 + 3 )(2 x )
12*(jc + 3 )(x -3 )
(x 3 + 3 ) 4
U 2 +3)3
Para } "{x) = 0, los candidatos a números de inflexión son x = -3, x = 0 y x = 3 Probamos en los intervalos que estos números delimitan <-«>, -3>, <-3, 0>, <0, 3>, <3, +™> Un resumen de los resultados se da en la siguiente tabla TABLA 5.15
Intervalo
<-oo, -3>
<-3,0>
<0, 3>
<3, “ >
Valor prueba
x = -4
x = -2
x= 1
x=4
Signo d e f ”(x)
( - J (-)Í-) +
(-)(+ )(-) +
Concavidad
o
Conclusión
\±/ | Existe P.l.
,
(+>(+)<-)_ + o>
Existe P.I.
(+X+X+) +
+
Existe P.I.
La Tabla 5.15 muestra la existencia de tres puntos de inflexión: P,(-3,-3/2), 0(0,0) y P2(3 ,3/3). Lagráfica de la función, simétrica respecto del origen (Función impar), se muestra en la Figura 5.33. ' ■
FIGURA 5.32
FIGURA 5.33
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
574
Capítulo 5: Aplicaciones d e la Derivada
[ EJEM PLO 6 )
Si f (x ) = ax 4 + bx* + ex1 + dx + e, hallar a, b, c , d y e del tal tnodo que la gráfica de / tenga un punto de inflexión en I{ 1 1 ), tenga al origen ella y sea simétrica respecto al eje Y.
Si l a gráfica de / pasa por el origen, entonces e = 0; además si / (jc) =f(-x), V x e Dom (f), es decir, si / es una función par, su regla de correspondencia no debe contener potencias impetres de jc , por los que si
b = d = 0 =* f (x) = ax4 + cx= > / '( jc ) = 4 ax* + 2 c x
y
/ " ( x ) = 12a x 2 +
2c
Ahora,si 1(1,- I ) e G itf) => -I = a ( l )4 + c (l )2 <=> a + c = -\ En j c = 1 , / " ( j c ) = 0 = * 12a + 2c = 0 c=> 6 a + c = 0 Luego, resolviendo ( I ) y (2) obtenemos: a =1/5, c = -6l5
(1) (2 )
■
¡OBSERVACION5.10
La segunda derivada es también útil para comprobar si un número crítico es un máximo o un mínimo relativo. Por ejemplo, sea c un número crítico para una función/y supongamos q u e/"(c) < 0 . S i / " es continua es una vecindad que contenga a c, entonces / " permanece negativa en dicha vecindad. Esto significa que la gráfica d e/es cóncava hacia abajo cerca de (c, / (c)), luego queda por debajo de sus tangentes. En particular, queda debajo de la tangente horizontal en el punto crítico (c ,/(c )), como en la Figura 5.34. De modo que/tiene un máximo relativo en el número crítico c. Análogamente, s i/( c ) es un mínimo relativo, la gráfica d e /e s cóncava hacia arriba en una vecindad que contiene al número c. En este caso la gráfica dc/cstá por encima de sus tangentes. Esta observación sugiere el siguiente criterio
TEOREM A 5.10: El criterio de la segunda derivada Sea / una función derivable en una vecindad Vs(c) del número e Suponiendo que f"(c) está definida, tenemos lo siguiente: i)
Si /'(c ) = 0 y f"(c)< 0 =3>j(c) es un máximo relativo
ii) S i / ’(c) = 0 y /" (c ) > 0 = ^ /(c ) es un mínimo relativo iii) Si /" ( c ) = 0. entonces el criterio no decide
[Demostración j 1.
i) Supongamos que / ’(c) = 0 y que f"(c) < 0
Según la definición de derivada:/"(jr) = “ J| I
x_c
J
2. Por hipótesis /'(c ) = 0 => / " ( x ) = hm 3.
También por hipótesis, f"(c)< 0, entonces la gráfica de/es cóncava hacia abajo, luego: V x e V 6(c), 3 5 > 0 l s i 0 < l x - c l < 8 =* ^ ^
x-c
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
<0
575
Sección 5.6: E l criterio de la segunda derivada 4.
5.
6-
ii)
De aquí se deduce que si: c - 8 < x < c => x - c < 0 c < x
[E JE M P L O 7 ) Uso del criterio de la segunda derivada Hallar los extremos locales de la función f(x) - 3*^ - 20a3
Solución
2
3.
I. Localización de los números críticos f \ x ) = 15a4 - 6 0 a 2 = 15a2 ( a + 2) ( a - 2) Si / ' ( r ) = 0 = $ j t ( a + 2) ( a - 2) = 0 O a = 0, a = -2, a = 2 Como el Dom ( /) = IR y / ’ también existe en IR. esos son los números críticos, en donde la función tiene por valores: / ( - 2 ) = 3(-2)5 - 20(-2)J= 64 => A(-2, 64) / ( 0 ) = 3 (0 y -2 0 (()/ = 0 = > 0 (0 ,0 ) / ( 2 ) = 3(2)s - 20(2)3 =-6 4 =>B(2,-64) Aplicación de la segunda derivada /" (a ) = 60a1 - 12 0 a = 60a (a +
-J l )(a - 4 Í )
Entonces:
Número critico
Signo de f "(x)
jc = -2
/"(-2 )= (-)(-X *)= -
a
=0
x= 2 4.
<0 =>Máximo local = A(-2,64) =0
/" (2 ) = (+)(+)(+) = + > 0
=3 El criterio no decide
^ Mínimo local = B(2,-64)
Al ser /" (0 ) = 0, el criterio de la segunda derivada no decide nada sobre el número crítico = 0. En este caso se debe recurrir al criterio de la primera derivada y examinar el signo de f'(x)= 1 5 a 2 ( a + 2)(x - 2) para x próximo a cero. Asi, si x e <-2, 0 > =>/'(x) < 0 t e <0 , 2 > => /'(a ) < 0 En consecuencia,/ es decreciente V x e <-2, 2>. de modo que el punto (0, 0) no es un extremo local. La gráfica de la función se muestra en la Figura 5.35 — Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
a
5.
/*(0 )
Conclusión
576
Capítulo 5: Aplicaciones de la D erivada
8
^
( EJEM PLO 8
J Esbozar la gráfica de la función
/ (
a
)
6
=—
, explicitando
sus extremos locales, puntos de inflexión, los intervalos de concavidad.
Solución
/( * ) =
1. Localización de los números críticos teniendo en cuenta que el Dom ( f ) = IR - {0}
f\x)
S at’ - 6 j t !
=
- 2 4 a - 4 + ú j r 2 <=>
f\x) =
6 (* + 2 ) ( * - 2 >
x Si /'(a ) = 0 = * (a+2) (a - 2) = 0
x = -2, a = 2 son números críticos a
2.
= 0 e s u n p u n t o d e d is c o n t in u id a d
Valores de la función en los números críticos / ( - 2 ) = ? Í 7 - ^ ) = “ ' + 3 = 2 = i A ( -2’ 2)
fm = w 3.
- J ) = - ' - 3 = - 2 =» B{2' ‘ 2)
Aplicación de la segunda derivada
f "( x) =
9 6 a 5 -
I2JT1 = > / " ( a )
=
1 2 ( 2 V 2 - x ) ( 2 j 2 + x )
xs
Número crítico
4.
Signo de f ”(x)
x - -2
y ’(-2 ) =
x= 2
/ ' 1(2 ) =
Conclusión
= —< 0
Máximo local en A(-2,2)
~+>0
Mínimo local en B(2,-2)
Intervalos de concavidad Dado que/"(a) = 0 cuandox = -2^2 y x ~ 2*j2, y la función es discontinua en x = 0, tomaremos como intervalos prueba < -~ ,- 2 V 2 >, <- 2 V 2 , 0 >, < 0 ,2 V 2 >, < 2 V 2 ,+°°> y como valores prueba: a = -3, a = -1 , a = I y a = 3, respectivamente. Entonces
Intervalos
Signo de f "(x)
Conclusión
-2-J2 >
/ , ,(-3 ) = ( ± K z ) = + > n
x e <-2-j2 ,0 >
/ " C_ I ) = ( ± I ± ) = _ < 0
Cóncava hacia abajo
x e <0 , 2 a/2 >
/ " (I)= m ( ± i= + >o
Cóncava hacia arriba
a
e
II s
II +
w
0 V 1
+
1
(*-,
x e <2j2,+~>
.
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Cóncava hacia arriba
Cóncava hacia abajo
577
Sección 5.6: E l criterio de la segunda derivada 5.
Punios de inflexión Si /"(■*) = 0 => x = -2 y¡2 , j¡ = 2-Jl son dos posibles números de inflexión. Los cambios en el sencido de concavidad obtenidos en el paso (4) aseguran la existencia de dos puntos de inflexión: I , ( 2 V 2 , - 5 V 2 /4 ) y I , (-2 ^ 2 , 5 V 2 /4 ) Finalmente la Figura 5.36 indica la gráfica de f conteniendo toda esta información.
■
FIGURA 5.35
[ EJEM PLO 9 )
Sean tí,, ü2, t í , , tí„, números reales. Hallar el numero x para que la expresión (o, - jc) 2 + (tí2 - jc) 3 + («, - jc) 2 + ...... + ( aH- jc) 2 sea mínima 1. Sea / ( x ) = (ci, - x ) 2 + (a, - x ) 2 + (tí, -
jc) 2
+ + («„ - x )2 .
Solución
=*/'(■*> = - 2 (tí, - x) - 2 (tí, - x) - 2 («, - x) - .... - 2 (tí„ - x) = - 2 ( « , + tí 2 + t í , + . . . . t í j + 2 h x
2.
Si/ '( x ) — 0 => -2(tí, + a 2 + a, + .... a„) + 2wx = 0 => x = ~
3.
(tí, +
a;
+
tí,
+
....+ a(l) es un numero crítico.
Como f'\ x) - 2n > ü, V n e N. entonces x = —(tí, + « 2 + «, + ....+ aH) es un número para el cual la expresión dada es mínima.
m
( E J E M P L C M O ) Si / (x ) = (« , - x 2) 2 + ( « 2 - x 2) 2 + .... + (a , - x2)2, siendo o„ « 2»— an números positivos, hallar los valores de x para los cuales la función f presenta máximos y mínimos. Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
C apitulo 5: A plicaciones de la D erivada
578
Solución
2.
3.
4.
Si
I . La primera derivada de la función/ es: f \ x ) = 2 ( f l , - a 2) ( - 2 x ) + 2 ( a 2 - a-2) ( - 2 a ) + ............. + 2(a„ = -4a L(íí, - a 2) + {a2 - a 2) + .... + (a„ - a 2)] = -4a [(ii, 4■a2 + .... + a„) - n a2]
/'( a ) =
a — 0
y
A —
± J — (a,
+ a 2 +
....
x 2) ( -2x)
+an )
son los números críticos La segunda derivada de la función f es: / " ( a ) = - 4 a 1 - 2 m a 1 + f ( a , + a2 + ... + aH ) - h a 2] (-4) = 12 nx2 - 4 (a, + a 2 + ... + a„) Ahora usemos el criterio de la segunda derivada para decidir si en alguno de esos núme ros críticos existe extremo local. /" (O ) = I2n (O)2 - 4(a, + a2 + ... + a„) = -4 (a, + az + ... + «„) < 0
(ai + ° 2 + - - + « „ ) j = 12(a, + a 2 + ... + a .) - 4(a, +
/" ^ ±
5.
=>
0
-
4 - ... +
a„)
= 8 (a, + a2 + ... + a„) > 0 Por tanto, en x = 0 la función presenta un máximo local y en los números 2 + ....+ £/„) , un mínimo local.
E JE R C IC IO S . Grupo 43 ❖
En los ejercicios 1 al 14, indicar todos los puntos críticos y de inflexión. Aplique el criterio de la segunda derivada a cada punto crítico. Muestre la estructura de concavidad coiTecta mediante un diseño de la gráfica de las funciones dadas.
-9jt
1.
/ (A ) = A5
3.
/{ x) = 2x3-3 x 2 -
5.
/ ( a ) = 6 + 8x 2 - a 4
7.
/( a )
9.
=
6 /( a ) =
I2
+ 12 - 2 4 a -
3a5
11. / ( a ) = 6a 5
-
+ 2 7 a -2 6
-
2 5 a'
5a3 + 2
a + 3
60a IS
a2
2.
/ ( a ) = A4 - 4 a 3 + 2
4.
/ ( a ) — a 4 - 8a 2
6.
/ ( a ) = 3 a 4 - 4 a - '-
8.
^
'
A
=
( a
-
12a2 - í
l )4 - 2 4 ( x
10.
/ ( x) = x5 -3 0 x ' +
12.
/ ( a ) = a '( a + 3 )3
14.
¿•/ •. 6a / w = 7^3
A 4 + 3
1 3 ./ (A ) =
1 2 /(a )
-
l>
160a
15. Hallar un polinomio cúbico con un máximo relativo en (3,3), un mínimo relativo en (5, I) y un punto de inflexión en (4, 2). 16. Hallar un polinomio cúbico con un máximo local en (2,4), un mínimo local en (4,2) y un punto de inflexión en (3, 3). Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
579
E JE R C IC IO S. G rupo 43: E l criterio de la segunda derivada 17. S ea/(x) = cu' + bx : + c una función cuya gráfica se muestra en la Figura 5.37. Si I es el punto de inflexión y la recta ££ tiene por ecuación x + 2y - 9 = 0, hallar los coeficientes a, b y c. 18. Sea la función f(x) = ax' + bx1 + 2c cuyo punto de inflexión es I( I .-2 ) y cuya recta normal en I es : x - 2y - 5 = 0. Hallar a, b, y c. 19. Sea la función / (x) = ax' + bx2 - ex que tiene un extremo local en x = 2. Si >£ : 3x + y -10 = 0 es la ecuación de la tan gente en el punto de inflexión I ( - I , y), hallar los coeficientes a. b y c.
20. Demostrar que la gráfica de la función f(x) = A, + * tiene tres püntos de inflexión que
x~ +
1
son colineaJes. Dibujar su gráfica. 21. Si / ( t) = ax 1 + bx2 + ex, determinar a, b y c tales que la gráfica de f tenga un punto de inflexión en ( 1 , 2 ), y tal que la pendiente de la tangente en dicho punto sea - 2 . 22. Si f(x) - ax' + bx1 + ex + ti, determinar a, b, c y el tales que / tenga un extremo relativo en (0, 3) y tal que la gráfica de f tenga un punto de inflexión en ( 1, - 1). 23. a)
Sea /
una función continua en [a, b] cuatro veces derivable en
xu e
Demostrar que (xu,/(xo)) es un punto de inflexión de / /"'ÍX o ^ O
ii)
Demostrar que f posee un valor extremo en Xo si
si f"(xv) = 0 y
/■Uo) = / " f x o ) = / ,',U«) = 0 y / <41(vo) * 0 b)
Aplicar la parte (a) para hallar los valores extremos y lospuntosde inflexión de
f (x) = 3x* + Axy - 30.\: + 36* - 8 . si existen. 24. Si / (x) = axA+ bx3 + ex2 + dx + e, hallar a, b, c. d y c de tal modo que la gráfica de / tenga un punto de inflexión en ( 1, - 1), tenga el origen en él y sea simétrica respecto al eje Y. 25.
Analizar la concavidad de la función / ( x ) = x7 - 3* I x I
26.
Halle, si es que existen, los extremos relativos de la función/( x ) = 1*1' + I4x - 5I3
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 5: A plicaciones de la D erivada
580
(¿ 7 )
R E S U M E N D E T É C N IC A S PARA G R A F IC A R U N A F U N C IÓ N
Hasta ahora hemos discutido en el texto varios conceptos útiles al momento de dibujar la gráfica de una función. El aparato analítico comprende: - Dominio y rango - Intersecciones con los ejes coordenadas - Simetría - Asíntotas horizontales, verticales y oblicuas - Puntos en que no existe derivada (puntos angulosos) - Extremos relativos o locales y absolutos - Sentidos de concavidad - Punto de inflexión El estudio de una función dada y ia construcción de su gráfica con ayuda del aparato analítico desarrollado es racional llevarlo a cabo en el siguiente orden.
S U G E R E N C IA S PARA ESB O ZAR LA G R Á FIC A DE U N A FU N C IÓ N 1. Determinar el dominio de existencia de la función, intersecciones, la región de con tinuidad y los puntos de discontinuidad 2. Hallar las asíntotas. 3. Trazar aproximadamente, a grandes rasgos, la gráfica de la función que inpluyucualquier intersección con los ejes o asíntotas fáciles de determinar. 4. Localizar los valores de x en los que f ‘(x) y/ " ( x) son nulas o no están definidas. 5. Estudiar el comportamiento de la función construyendo una tabla de variación del signo dei a primera y segunda derivadas. Determinar los intervalos de crecimiento, decrecimiento y concavidad, luego hallar los puntos extremos locales y puntos de inflexión. 6 . Finalmente trazar la gráfica señalando los extremos locales, los puntos de inflexión
|
y si es necesariü hallar más puntos sobre ella.
Naturalmente, no todos estos pasos se aplicaran a cada función. Por ejemplo, puede no haber intersecciones con los ejes o asíntotas. Un número crítico puede .investigarse por el criterio de la primera derivada o por el de la segunda derivada para saber si se trata de un máximo o de un mínimo relativo. El método que será preferible defiende de la función.
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA
f E JEM P LO 1 ) Dibujar la gráfica de la función f (x) - x4 - 4jr3 + 16* - 16 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
581
Sección 5 . 7: R esu m en d e técnicas para graficitr u n a función
Solución
I.E1 Dom(/‘) = IR y es continua V x e IR f(x) = j d - 4 r '+ 1 6 * - 16 = ( x - 2 ) ' ( x + 2 )
intersecciones con los ejes coordenadas
2. 3. 4.
6.
a) Eje X: y = 0 => (x - 2)' (x + 2) = 0 <=> x = 2, v = -2 => A(-2, 0). B(2, 0) b) Eje Y: x = 0 => y = 0 - 4 ( 0 ) + 1 6 (0 )-1 6 = -16 =>C(0,-16) La gráfica de la función no tiene asíntotas Las intersecciones con los ejes coordenadas pueden usarse para hacer un dibujo prelimi nar de la gráfica de /. Determinación de la primera y segunda derivadas / ’(*> = Ax1- I2x2+ 16 = 4(.v + I ) (a* - 2 )2 / " ( * ) = 12* 2 - 24.t = I2x(x - 2) Si / '(x) = 0 =* (x + I )(x - 2)2 = 0 O x = -1, x = 2 son números críticos / " ( * ) = 0 =* x(x - 2 ) = 0 <=> x = 0 , x = 2 son posibles números de inflexión Valores de la función en estos números: / ( - 1 ) = (-]) 4 - 4 ( - i) ?+ 16(-l) - i 6 = -27 / ( 2 ) = (2)4- 4 (2 )'+ 1 6 (2 )- 16 = 0 Intervalos prueba: <-«>, -1>, < -l,0 > . <0, 2>, < 2 ,-h»> Con estos datos construimos la Tabla 5.16 para estudiar el comportamiento de la función en los intervalos prueba. TABLA 5.16
m
x = -l
-27
< - l.0> x= 0
-16
<0 , 2> x=2 <2 , +»>
0
f'U)
ro o
Forma de la gráfica
-
+
Decreciente cóncava hacia arriba
0
+
Mínimo local y global
+
+
Creciente cóncava hacia arriba
+
0
Punto de inflexión
+
-
0
0
Punto de inflexión
+
+
Creciente cóncava hacia arriba
Creciente cóncava hacia abajo
En esta tabla se observa que la función tiene un mínimo relativo en (-1. -27), no tiene máximo relativo, tiene dos puntos de inflexión en C(0, -16) y en B(2,0) 7
De este modo hemos hallado el carácter general del comportamiento de la función, cuya gráfica se muestra en la Figura 5.38 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 5: A plicaciones de la D erivada
582 [E J E M P L O 2
) Dibujar la gráfica de la función f(x) —3x5 —25xJ + 60*
Solución
2. 3. 4.
1. El D om ^) = IR. No hay discontinuidades La curva pasa por el origen, pues para x = 0 => y = 0 No existe otra intersección con los ejes coordenados La gráfica de la función no tiene asíntotas. Obsérvese que f es una función impar, pues f (x ) = - /( - * ) . La gráfica es simétrica respecto del origen de coordenadas. Determinación de la primera y segunda derivadas / ’( * ) = ISx4 - 75* 2 + 60 = 15(jc + ! ) ( * - l ) ( * + 2 ) ( * - 2 ) / " (*) = 6 Q* 1 - 150* = 60* ( * + V572 ) (* - V572 ) Números críticos:/ ' ( * ) = 0 = > * = -2, * = -1. * = I, x —2 Valores de la función en estos números críticos /( - 2 ) = - l 6 . / ( - l ) = - 3 8 . / ( l ) = 38 y / ( 2 ) - 16 Posibles números de inflexión:
r ( x ) = 0 = * x = 0 , x = ± j 5 7 2 = 1.58
5.
Intervalos prueba: <-«w, -2>, < -2 ,-l.58>, <-1.58,-1>, < -l,0 > <0, 1>, <1, LS 8 >, <1.58, 2>, <2, +t»> Comportamiento de la función en los intervalos prueba. TABLA 5.17
/(O <-», - 2 > x = -2
-16
<-2, -l.58> x = -1.58
-25.7
<-1.58,.-l> x= -1
-38
< - 1, 0 > x=0
0
< 0 , l> x= 1
38
/'(O
nx)
Forma de la gráfica
+
-
Creciente cóncava hacia abajo
0
-
Máximo relativo
-
-
Decreciente cóncava hacia abajo
-
0
Punto de inflexión
-
+
Decreciente cóncava hacia arriba
0
+
Mínimo relativo
+
+
Creciente cóncava hacia arriba
+
0
Punto de inflexión
+
-
Creciente cóncava hacia abajo
0
—
Máximo relativo
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
583
Sección 5 . 7: R esu m en de técnicas para graficar u n a función
<1, 1.58> x = L58
25.7
<1.52, 2> x=2
16
< 2 , -H«>
6.
7.
-
-
Decreciente cóncava hacia abajo
—
0
Punto de inflexión
-
+•
Decreciente cóncava hacia arriba
0
+
Mínimo relativo
+
+
Creciente cóncava hacia arriba
De esta tabla rescatamos lo siguiente: la función tiene un máximo relativo en (-2, -16) y (1,38), y un mínimo relativo en (-1,-38) y (2,16). Además tiene tres puntos de inflexión en (± 1.58, ±25.7) y (0.0). La gráfica de la función se muestra en la Figura 5.39 H
FIGURA 5.38
Nota
FIGURA 5.39
En general, una función polinómica de grado n puede tener a lo sumo n - 1 extremos relativos. Además, las funciones polinómicas de grado par tienen
al menos un extremo relativo.
GRAFICA DE UNA FU N C IO N R A C IO N A L
[ EJEM PLO 3 1 Diseñar la gráfica de la función f(x) = ■
2 +x -x * I- 2 . v + ± “
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 5: A plicaciones de la Derivada
584
Solución
1. f{x) =
~
=> Dom ( f ) = I R - {1}
U -l)
La Gr( / ) presenta una discontinuidad en x = 1
Intersecciones con los ejes coordenados Eje X: y = Q=$2 + x~x2 = Q <=> * = -1, t = 2 —> A(0, -1), B(2, Ü) Eje Y: x = 0 = > y = 2.
=
2
=»
C (0 ,2 )
g
G r(f)
Asíntotas: a) Asíntotas verticales: lim f ( x ) = ^ * -j-—- =+<» => jc = I esunaA.V. *-»• 0 b) Asíntotas horizontales: lim f(x) = - l = > > = - 1 es una A.H.
3. 4.
Con estos datos hacemos un bosquejo preliminar de la G r(/) Determinación de la primera y segunda derivada d e j . n
f " { ' ) -
ti -
^ { l - x )
u - l )4
'
Números críticos: f'(x) = 0
x=5
Valor de la función en este número: f(5 ) =
2 + 5—(5 )2
J (5 -1 )" Posible número de inflexión: f ”(x) = 0 = > 7 - x = 0
9 8
x-1
Intervalos prueba: < -« , 1>, <1,5>, <5, 7>, <7, + «> Comportamiento de la función en los intervalos prueba TABLA 5.18
f(x) <-«*>,
1>
X — 1
<5,
5
No definida
-9/8
7>
x= 7 <7, +oo>
’< * > +
< 1, 5>
x=
/
-1 0 /9
fXx)
Forma de la gráfica
+
Creciente cóncava hacia arriba
No definida No definida
Asíntota vertical
-
+
Decreciente cóncava hacia arriba
0
+
Mínimo relativo
+
+
Creciente cóncava hacia arriba
+
0
Punto de inflexión
+
-
Creciente cóncava hacia abajo
Refiriéndonos a esta tabla vemos que la gráfica de / tiene un mínimo relativo en (5, -9/8) y un punto de inflexión en (7, -10/9). Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 5. 7:,R esum en d e técnicas para graficar u n a fu n c ió n 7.
585
También con la ayuda de la Tabla 5.18 se halla la representación gráfica de la función mostrada en la Figura 5.40 ®
Nota
Recordemos que si / ( a ) = — —7 es una función racional en la que el grado de
[ E J E M P L O 4 ^ Dibujar la gráfica de / ( a ) = — ,
Solución
1.
/ ( jc )
=
(a
I)
+
=> Dom( f ) = IR - { 1 1
Intersecciones con los ejes coordenados Con el eje X: y = 0 =* x(2a2 - 5x + 4) = 0 => x = 0 única solución real Con el eje Y: x = 0 =$ v = 0. La curva pasa por el origen. 2.
Asíntotas a) Asíntotas verticales: lim f(x) = +<» => x = I es una A.V.
X~t\
b) Asíntota} horizontales: hm / ( x) = ±e° => N o existe A. H. c) Asíntotas oblicuas: f l x ) = ^X\ ^X + ^- = 2 a —1+ —-— r J a —2 a + 1 ( a - 1) Por lo dicho en la nota: y —2x - 1 es una asíntota oblicua 3. 4.
Con la ayuda de las asíntotas y teniendo en cuenta que la curva pasa por el origen, pode mos hacer un dibujo preliminar de l a G ^ ) Determinación de la primera y segunda derivadas de f(x)
/ ( x) = 2 x - I + ( a - l ) 2 => f ( a ) = 2 - 2 ( a - 1)3= I í ^ ^ X a ^ - a + D f A - I )3 = *rw = 6
5.
=
^
Si / ' ( a ) = 0 a - 2 = 0 e= > a = 2 es el único número crítico Valor de la función en este número: / ( 2 ) = 4 =* (2, 4) e Grif) Como / ‘( a ) y /" (a ) no están definidas en x = 1, los intervalos prueba son <-«», 1> , < 1, 2 > y < 2 ,+oo> Comportamiento de la función en los intervalos prueba. Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 5: Aplicaciones de la D erivada
586
TABLA 5.19 /"(.V)
m <-«>, 1> x= 1
+ No definida
< 1, 2 > x= 2 < 2 , +»>
6.
:
4
ro o
Fonna de la gráfica
+
Creciente cóncava hacia arriba
No definida No definida
Asíntota vertical
-
+
Decreciente cóncava hacia arriba
0
+
Mínimo relativo
+
+
Creciente cóncava hacia arriba
Según ia tabla, la gráfica de la función / tiene un mínimo relativo en (2, 4). no tiene puntos de inflexión pues la curva es cóncava hacia arriba V x e Dom {f). Apoyada en esta información se dibuja la gráfica de la función mostrada en la Figura 5.41 ■
Nota
Supóngase q u e / ( a ) - g(x) ± h(x) donde h(x) es una función racional en la que el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Si evaluamos el límite Km [ / ( * ) - , ? ( * ) ] = ± lim ftU ) J
X-»±o°
Encontramos que: lim [/■ (*)-/? (*)! = 0 Esto significa que la curva y —f {x) se aproxima a la curva y la gráfica de f tiene como asíntota a la gráfica de g.
= £(*)
cuando a
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
— » + <*>,
por loque
587
Sección 5 . 7: R esum en de técnicas para graficar u na fu n ció n
f EJEM PLO 5 ) Dibujar la gráfica de la función Solución
=
jc 3 + 2
l.f(x) = xr+ — = * Dom (/■)= IR-[0} x Como lim | / ( j : ) —-t2| = 0, la gráfica de j se aproxima a la gráfica de la
parábola £(x) = x7 2.
Intersecciones con los ejes coordenados
3.
a) Con el eje X: y = 0 => jc3 + 2 = 0 <=> x = -^¡2 = » A (-V 2 ,0 )g G r(/) b) No hay intersección con el eje Y. c) La gráfica de/tiene como asíntota a la gráfica de la parábola y = x~ Localización de los números críticos y de inflexión
f { x ) = 2x- \ =
2 {x ~ ]){x2 + Jr + 1> . f " ( x ) = 2 + \ =
X
Si
/'(x ) =
X
X
V.
0 => jc - 1 = 0<=> x = 1 es un número crítico => (1, 3)
g
X
,
Gr (f)
Si f"(x) = 0 => X3 + 2 = 0<=* x = - \¡2 es un posible número de inflexión Valor de la función: / ( - V 2 )= —
-Mi
4
—0 =* (- V 2 , 0) g Gr(f)
Intervalos prueba: <-<»,-V2 >, < -V 2 ,0 > , <0, 1>, Comportamiento de la función en estos intervalos prueba. TABLA 5.20
H x) < -« , - V 2 >
x = ~\f2
0
< —\P l, 0 > x=0
No definida
< 0 , 1> x= 1 < 1, -K»>
5.
3
/'(*>
ru )
Furnia de la gráfica
-
+
Decreciente cóncava hacia arriba
-
0
Punto de inflexión
-
-
Decreciente cóncava hacia abajo
No definida No definida
Asíntota vertical
-
+
Decreciente cóncava hacia arriba
0
+
Mínimo relativo
+
+
Creciente cóncava hacia arriba
Según esta tabla la gráfica de / tiene un mínimo local en (1. 3) y un punto de inflexión en (-V 2 .Ü), es creciente en x e <-«>, -ij2 > u <- \¡2 , 0 > U <0 . 1> y creciente en vg > Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 5: A plicaciones de la Derivada
588 6.
Un dibujo preciso de la Gr( f ) se muestra en la Figura 5.42. donde se puede observar el comportamiento asintólico entre las gráficas de/ y g. ■
^EJ E MPLO Solución
6
^ Diseñar la gráfica de la función
Como el lim
[ / ( a ) - x 3]
*
/ ( x ) = a ’ +
= 0. usaremos
el
método del Ejctnpo 5 para d i b u j a r
1.
la gráfica de/ D om (f) = IR - {1} Sólo hay una intersección con el eje Y, esto es: A(0, -12) e Gr{j )
2.
Asíntotas a) Asíntotas verticales: lim f(x) = ±<» => a = 1 es una A.V. r-tl b) No hay asíntotas horizontales ni oblicuas.
3.
e) La gráfica d e / tiene como asíntota la gráfica de #( 0 = Localización de los números críticos y de inflexión. / U ) = 3.v2 —•
12
3 ( a + 1 )(a - 2 ) (
0 =>
(a +
-
a
+ 2 )
(X ~ \)2
( A - I ) ' S í / '( a ) =
x
1 )(a
- 2) =
0
«=>
a
=
-1 ,
• / ” U ) = 6 x+'
J
‘
'
( A - I ) '
A =2son los números críticos
Valores de la función: / ( - l ) = -7 => B í-1,-7) e G r(f) / ( 2 ) = 20 => C(2, 20) e Gr ( f ) No existe números inflexión. p u e s /"(x )*0 Intervalos prueba: < - l, |>, < I,2 > , <2, -h»> 4.
Comportamiento de la función en los intervalos prueba. TABLA 5.21
f(x) <- 00, - 1> X = ~1
-7
< - 1. 1> X =
1
No definida
< L 2> x=2 < 2 ,
+“ >
20
f'M
f"U)
Forma de la gráfica
+
-
Creciente cóncava hacia abajo
0
-
Máximo local
-
-
Decreciente cóncava hacia abajo Asíntota vertical
No definida No definida -
+
Decreciente cóncava hacia arriba
0
+
Máximo local
+
+
Creciente cóncava hacia arriba
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
589
Sección 5.7: R esum en d e técnicas para graficar u n a función 5. 6.
Según esta tabla la función / tiene un máximo local en B (-1, -7) y un mínimo local en C(2, 20). No hay puntos de inflexión La Figura 5.43 muestra la gráfica de / y el comportamiento asintótico con la gráfica deg. ■
FIGURA 5.42
FIGURA 5.43
G R A FIC A DE UNA FUNCION CO NTENIENDO UN R A D IC A L DE IN D IC E PAR [ EJEM PLO 7 ) Dibujar la eráfica de la función f( x ) = . 4.\ ' “ " yjx2 + 15
Solticwn 2.
1.
La función está definida V x e IR La curva intercepta a los ejes coordenadas en el origen
Asíntotas a)
No hay asíntotas verticales
b)
4x Asíntotas horizontales: f ( x ) = lxl-s/l + 1 5 / x 2 lim / ( x ) = lim
*-*+«»
lim f ( x ) = lim
4x
= 4
x-Jl + 15 / x : Ax
= -4
- x V 1+ 1 5 / x 2
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 5: A plicaciones de la Derivada
590
3.
Luego, y = 4 e y = -4 son asíntotas horizontales a la derecha e izquierda, respec tivamente. Localización de los números críticos y de inflexión 180 X
60 4.
5.
Nótese que los denominadores de ambas derivadas son siempre positivos, luego/ ’( v) > 0, V x e IR, es decir, la gráfica d e /e s creciente en todo su dominio, no tiene extremos relativos. Si / “(jc) = 0 => x = 0 es un posible número de inflexión Ahora si x < 0 / “(x )> 0 , la G r^ ) es cóncava hacia arriba, y si x > 0 = > / ”(a) < 0, la Gr(f ) es cóncava hacia abajo; de modo que el cambio de sentido de concavidad en x —0 , asegura que (0 . 0 ) es un punto de inflexión. Con toda esta información dibujamos la Gr(/") representada en la Figura 5.44 ■
(j= J E M P L O _ 8 _J Dibujar la gráfica de la función f(x) = x -Jü-x2
Solución
I. Una raíz de índice par anuncia a menudo un dominio restringido para una función. Así, en este ejemplo, la función es real <=> 8 - .t2 > 0 *-<8
< x < 2 i/2 => Dom (/) = [-2 J 2 , 2V2 1 Intersecciones con los ejes coordenados -ijl
2. 3.
a) Con el eje X: y = 0 => x-JS —x 2 = 0 <=> x = 0, x ~ ±2-j2 b) Con el eje Y: x = 0 ^ y = 0; la curva pasa por el origen La gráfica de la función no tiene asíntotas Localización de los números críticos y de inflexión
Si /'(jc) = 0 = > 4 - a 4 = 0<=>at = ± 2 son los números críticos / " ( jc ) = 0 jc = 0, x = ± 2-J3 e Dom (f), entonces jc = 0 es un posible número de inflexión. Valores de la función en estos números: / ( - 2) = - 2 V 8 ^ 4 = - 4 4.
;
/(2 ) = 4 ;
/(0 ) = 0
Intervalos prueba: <-2y¡2 , -2> , < -2 ,0> , <0, 2> , <2, 2-^2 > Comportamiento de la función en estos intervalos TABLA 5.22 /( v )
<-2y¡2 ,-2>
f\x)
/" (a )
Forma de la gráfica Decreciente cóncava hacia arriba
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Sección 5.7: R esum en de técnicas para graficar una fu n c ió n x = -2
-4
<- 2 , 0 > x=0
0
< 0 , 2> x= 2 <2 , 2 V 2 >
5.
0
+
Máximo relativo
+
+
Creciente cóncava hacia arriba
+
0
Punto de inflexión
+
-
Creciente cóncava hacia abajo
0
-
Máximo relativo
-
-
Decreciente cóncava hacia abajo
Según la tabla, la gráfica de / tiene un mínimo global en A('2„-4}, wi-máximo global en B (2,4) y un punto de inflexión en (0, 0). ~ • La figura 5.45 muestra la grállca de / . J
6.
4
591
Y ' 4
l / Vi-/ A
V
G RÁFICA DE UNA FU N C IÓ N CONTENIENDO UN R A D IC A L DE ÍN D IC E IMPAR (^ E J E M P L O J J ^ Dibujar la gráfica de la función: f{x ) = 3x2/-1 —j c
Solución
1. La función está definida en toda la recta real. No existen puntos de discontinuidad
Intersecciones con los ejes coordenados a) Ej c X : y = 0 => ^ - x1= 0 => (3 - j O = 0 <=>* = 0 , * = ±S/27 = ±2.28 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
)
Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada
592
Eje Y: x = O => y = 0. La curva pasa por el origen Además com o/(x) ~ / ( - jc) , la Gr(f) es simétrica respecto del eje Y. No existen asíntotas de ninguna especie Localización de los números críticos y de inflexión b)
2. 3.
4/3 i.
o / il +. 3x ->..4/3 r u ) =- f x4n
Si /'(jc) = 0 => X** = 1 x = ±1 son números críticos Obsérvese que tanto/'(;r) como /"(jc) no están definidas en jc= 0, entonces éste puede ser un número crítico o un número de inflexión. Pero dado quc/"(x) < 0, V x e Dom (/), pues la expresión entre paréntesis es siempre positivo, entonces la Gr(/) es cóncava hacia ahajo en toda la recta real, por lo que no existe puntos de inflexión, luego jc = 0 es un número crítico. Valores de la función en los números críticos / (± I ) = 3 (± )^ - (± I )2 = 2 => (± 1,2) g Gr( /) /(O ) = 3(0) - (0) = 0 => (0, 0) g Grtf) Comportamiento de la función en los intervalos prueba < -o a , - 1 > ,
< -],0 > ,
<0, 1>,
< l,+ © o >
TABLA 5.23
f(x) -l> X = -1
2
0
< 0 , 1> x= 1 < 1, -K»>
/ Mu >
2
Forma de la gráfica Creciente cóncava hacía abajo
+
< -l,0> x= 0
/'OO
0
-
Máximo relativo
-
-
Decreciente cóncava hacia abajo
No definida No definida
Máximo relativo
+
-
Creciente cóncava hacia abajo
0
-
Máximo relativo
-
-
Decreciente cóncava hacia abajo
5.
En esta tabla se observa que la función tiene un máximo local en (-!, 2) y (1, 2), un mínimo local (punto anguloso) en (0, 0). Además la Gr(/") es creciente en <-«>, -1> y <0, 1>, es decreciente en < -1 ,0> y <1, -h »>, es cóncava hacia abajo V x e Dom ( f ).
6.
La gráfica de la función se muestra en la Figura 5.46
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Sección 5.7: R esum en de técnicas para graficar una función
593
( EJEM PLO 10 ^ Dibujar la gráfica de f ( x ) = y¡2a \ 2 - jt* , a > 0
Solución
2.
I . La función está definida en toda la recta real
Intersecciones con los ejes coordenados a) Eje X: y = 0 => lux2 - ,r' = 0 <=> x = 0. x = la b) Eje Y: x = 0 => y = 0. I*a curva pasa por el origen Asíntotas. No hay asíntotas verticales ni horizontales Asíntotas oblicuas: y = mx + h /(* )
..
í í a T V ]
m = lim ------ = lim x-*±- x *-»±~ ^
x
j
= —I
b = lim \ f { x ) - ni x = lim t fl ax2 - x * +. la x 7
b = lim
«-*+-
= lim ~
j j ( l a x 2 ~ x y)2 - xi fl ax2 - x y + x 2 ¿
fcFí-W7'*' 2a
Entonces SE: y = ~x + 3.
la ’
es una asíntota oblicua en ambos sentidos
Localización de los números críticos y números de inflexión
f(x) =
4ax~3x2 3(2 ax2 - x yf n
4 íi- 3 .v
3 M I [ l a - x ) 2n
8« V
f'(x) = -
9(2 ax2 - x i )yn Si f'(x) = 0 =>
4 « - 3
jc
8 rí2
9 yJ 7 { 2 a - x ) m
= 0 => 4a/3 es un número crítico
Como f'(x) y f"(x) no están definidas en x = 0 y x = 2a, ambos son candidatos a números críticos o a números de inflexión Al recurrir al criterio de la primera derivada encontramos que x = 0 es un número crítico y x = l a es un número de inflexión. Valores de la función en estos números /(4 a /3 ) = ^ £ ) V 4 . / ( 0 ) = 0 . f(2á) = 0 4.
Comportamiento de la función en los intervalos prueba <-=*=, 0 > , <0, 4o/3> , <4o/3, Ico , <2«, +°°> Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada
594
TABLA 5.24
J (0 < -», 0 > x=0
( 2a/ 3) \¡4
<4fl/3, 2 a> x = 2a
Forma de la gráfica
-
-
Decreciente cóncava hacia abajo Mínimo relativo
+
-
Creciente cóncava hacia abajo
0
—
Máximo relativo
-
-
Decreciente cóncava hacia abajo
No definida No definida
0
<2a, -h»> 5.
f"(x)
No definida No definida
0
<0, 4a/3> x = 4a/3
A v)
-
+
Punto de inflexión Decreciente cóncava hacia arriba
De la labia concluimos que la función tiene un mínimo relativo en (0,0), punto anguloso.
(4 a
2 a i f 7\
un máximo relativo en \ -j-» ^ -v 4 l y un punto de inflexión en (2a. 0 ). 6.
La figura 5.47 muestra la gráfica de la función apoyada en la información de la Tabla 5.24
G RÁFICAS DE FUNCIONES SECCIONADAS______________________________ Para dibujar gráficas de funciones seccionadas, el análisis de su comportamiento debe hacerse en cada subfunción sobre su respectivo domonio. Si se presenta el caso en que las Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 5. 7: R esum en de técnicas p a ra tr a fic a r una fu n c ió n
595
expresiones para hallar la segunda derivada sean muy voluminosas, a veces es necesario redu cir el análisis de las propiedades de las gráficas al criterio de la primera derivada. ( ^ E J E M P L O ^ lj Dibujar la gráfica de la función
yjx1 - 9 f(x) =
X~ — 1
Solución 1.
. si x e
-3 ]
(f )
< - 3 , + « > - { 0}
(/,)
A + I
, si
X e
i) En x e <-«>, -3]
La función/ , es continua V x g
<-<», -3]
Intersecciones con los ejes coordenados a) Con el eje X: y = 0 => x2 - 9 = 0 <=>* = -3 ó x = 3 g Dom (J ,) b) Con el eje Y: x = 0 => y = V —9 imaginario, no hay interceptos 2.
Asíntotas a)
Asíntotas horizontales: y = lim f { x ) Ixl V i - 9 / x 2 ' Vx2- 9 lim ------- -— = um x+ l *-»— x(l+!/x)
b) 3.
-Vl-Ü 1+0
Entonces y = - 1 es una asíntota horizontal izquierda No hay asíntotas verticales ni oblicuas.
Localización de los números críticos: f x' (x) =
x +9 (x + l ) 2 Vx2—9
Si fi(x) = 0 => x + 9 = 0 <=> x = -9 es un número crítico f \ x ) no está definida en x = - l , x = 3 y x = -3, los dos primeros números no pertenecen ai Dom(/!), y el tercero es un extremo de su dominio; luego, x =-9 es el único número crítico. Valor de la función: / ( - 9 ) 4.
= - ^ V2 « -1.06
Comportamiento de la función / j en los intervalos prueba <-<», -9> y < -9 ,-3> En x e <-«>, -9>, sea x = -10
/ , (-10) = — = - decreciente.
En x e <-9. -3>, sea x = -8 => /i'(- 8 ) = ^ = + creciente 5.
Luego, la función f¡ tiene un mínimo relativo en (-9, -1.06) Con toda esta información ya podemos dibujar la gráfica de
ii) 1.
En x e <-3, -H*>> - {0} La función / 2 es continua en todo su dominio. Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 5: A plicaciones de la Derivada
596
En x = O presenta una discontinuidad inevitable
Intersecciones con los ejes coordenados EjeX:>' = 0 => a2 - I - () <=> x = ± I Eje Y: No existe intersecciones 2.
Asíntotas a) Asíntotas horizontales: y — lim f 2 (x) f x 2( l - l / x 3) '
lim XtJX~ + l
j
^ x 3 \ ( l + 1 / J t"
l - O V i
+0
Entonces: y = 1 es una horizontal derecha b) Asíntotas verticales: lim f2(x) = ± => x = 0 es una asíntota vertical en ambas *— *0
direcciones. c) No existe asíntotas oblicuas. 3.
4.
3a 2 +1
Localización de los números críticos: / , ’ (jc) = ~ 2^~ 3 + | ) vj Como f 2'(x) > O, V x e Dom(/2), la función f z es estrictamente creciente en todo su dominio. No presenta extremos Con toda esta información se traza la gráfica de f 2. La figura 5.48muestra la G r (/) = Gr(f,) u G r (f,) ■
[ EJEM P LO 1'2J Dibujar la gráfica de la función , si X < —l /(*)=
2( x - l )
[ (x + l)
( í )
(/O
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Sección 5.7: R esum en de técnicas para graficar u n a función
5‘>7
Solución i) En x e - i> J. f es continua en todo su dominio. Su gráfica no intercepta a los ejes coordenados. 2. Asíntotas a) Asíntota vertical: lim / j { * ) = + 00 =* x = - 1 csunaA.V. b) No tiene asíntota horizontal, pues túri / , ( * ) = - 0,3 c) Asíntotas oblicuas: y = nix + b
ni = lim
= lim li
= -1
U\ yjl —i f x 2 j b - lim f/i(jr)-n u rl = lim L
J
C->-«
+x
x2 - ( x 7 - \ )
= lim x
„ V jc 2 - 1
= lim x
,V x ^
( x - t J x 2 -
t-í—
. V * 2- i
,
= 0 l ) j
Entonces y = -x es una asíntota oblicua izquierda 3.
Localización de ¡os números críticos y de inflexión x
(x ¿- ¡ ) v< Si /■,’(jc) = 0
•”
' '
2 + 2
( x ^ - l )5' 2
jt= 0, x = 1/ 2 , x~- y[ 2. I ,os dos primeros númerosno pertenecen al
Dom (/j). por lo que x = -yÍ2 es el único número crítico Valor de la función: f ( - J 2 ) = 2 2 , 2) es un punto crítico. Como /i"(.*) > 0 , V x e Dom (f,), la Gr(/¡) es cóncava haciaarriba en todo su dominio. No existe puntos de inflexión. 4.
Intervalos prueba: <-*», -■I2>.<--J2, -l>
ii)
En r € <1, -N»>
1.
/ 2 es una función racional continua en todo su dominio. Su gráfica intercepta a los ejes
2.
Asíntotas
coordenados en ( 1, 0 ) y (0 , 2 ) a) Asíntota vertical: lim / , (jc) = +«» x = —I es una A. V. JC-*-l+ b) Asíntota horizontal: lim f 2(x) = 2 => y = 2 es una A. H. derecha. 3.
Localización de los números críticos y de inflexión f 2'( x ) = *-i x ~ l¡ ; / 2 m(jc)= 16<2 ~* > 32 ’ (x + 1)3 31 ( a + 1)4 x - ! = 0 <=> x —1 es un número crítico
Si f f (x) = 0 fi'ix) = 0 => 2 - x = 0 <=> x = 2 es un posible número de inflexión Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 5: A plicaciones de la D erivada
598
4.
Valores de la función f¡ en estos números fc(\) = 0 =*■ ( 1, 0 ) es un punto crítico f¡( 2) = 2/9 ^ (2. 2/9) es un candidato a punto de inflexión Intervalos prueba: <-1, l>, < l,2 > , <2, -h»> Comportamiento de las funciones /, y f2 en sus respectivos intervalos prueba TABLA 5.25
fyU)
l1
•
2
V
1
X
fe!
NJ]
y ¡2 >
-
+
Decreciente cóncava hacia arriba
0
+
Mínimo relativo
+
+
Creciente cóncava hacia arriba
flix)
Forma de la gráfica f 3
-
+
Decreciente cóncava hacia arriba
0
+
Mínimo relativo
+
+
Creciente cóncava hacia arriba
+
0
Punto de inflexión
+
-
f 2(x) < - 1, I> X
= 1
0
< 1, 2 > x= 2 < 2 ,+®°>
2/9
Forma de ¡a gráfica f ,
//(.O
Creciente cóncava hacia abajo
5.
Apoyada en la información de la Tabla 5.25 se observa que la función / tiene un mínimo
6.
local en (-*>¡2 , 2) y ( I, 0), un punto de inflexión en (2, 2/9) Finalmente la G r ( f ) = G r(/,) t j G r(/2) se muestra en la Figura 5.49
FIGURA 5.49 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
■
Sección 5 . 7: R esum en de técnicas para tr a fic a r u n a fu n c ió n
599
(E JE M P L O 1 3 ] Dibujar la grafía de la función , ai x < 0 /(*) =
Mr '- 3 j c 2 , si x > 0 Solución
Según la definición del valor absoluto be2
-1 1
U2 - 1
=
- I ) , si
+ ÍA 2
\ = -(x2 -
jr >
I
«
1), s i . t s < 1
x <-1 v jc >
1
-1 < j c < 1
Dado que el dominio de / para x < 0 es <-e°. - I> vj <-1, 0>, volveremos a redefinir/ de la siguiente manera: , Si X < - 1
< /)
, si - 1 < x < 0
/< * ) =
( / 3)
V x 3 —3x 2 , si x > 0
(/,)
1.
En / , y f 2, debido a la restricción de sus dominios, no hay intersecciones con los ejes coordenados. En si y = 0 => r * - 3 r 2 = 0 <=> x = 0, * = 3 si x = 0 => y = 0. La Gr (/"O empieza en el origen
2.
Asíntotas a)
Asíntotas verticales Comoel lim / ¡ ( * ) =
lim
^x+l){x-\) J
J( 0- )(—2)
y el lim f 2(x) = lim
+ b)
Jo ñ o *)
Entonces x = - 1 es una asíntota vertical hacia abajo para las gráficas de/ , y f 2. Asíntotas horizontales \ \ / — lim
lim f . ( x) = lim
JT- [ f x2 / V\ x\V
c)
)
U/ 1
\-\/x2
Luego, y = - 1 es una síntola horizontal izquierda para la Gr (/,) En f i y / , no existen asíntotas horizontales Asíntotas oblicuas: y - mx + b En / , y f 2 no hay asíntotas oblicuas. pues en / „ m = 0 y en f2, por la restricción de su dominio. Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 5: A plicaciones de la D erivada
600
t-
M x )
,
En
V a 3 - 3 a 2
,.
ni = lim —------ = lira ---------------- = X
*-*+“
x
r-VH»
b = lim [ f , ( x ) - mx ] = lim (V a 3 - 3 L
J
t-»+<*> V - 3
_ lira
a :2 - a )
/
a
’ - 3 x ! )J + x ,y l x' - 3x* + x \
^
Entonces y = x - 1 es una asíntota oblicua derecha. 3.
Localización de los números críticos y los números de inflexión
(a 2 - I )3' 2 /U ) =
2\V2
3
, A < -1
a
(a - 1) , —1<
X<
f'ix) = \
0
0 - * ')
3
SV2
a
-1
, A > 0
yjx(x —3)2
< A < 0
( 1 - a 2 ) 5/2 -2
A —2
A < -l
A > (J
V a 4( a - 3 ) s
Obsérvese que e n / , y / , no existen números críticos ni números de inflexión. En /,: si fi'(x) = 0 ^ x - 2 = 0 < = > x = 2esun número crítico Como fi'(x) y /j" (x ) no están definidas en x = 0 y a = 3, estos pueden ser números críticos o números de inflexión Valores de la función en estos números: /( 0 ) = 0, / ( 2 ) = - 4 y / ( 3 ) = 0 = > (0, 0), (2. - V 4 ), (3,0) e Gr(f) Intervalos prueba: < -« , -1>, <-1, 0>, <0, 2>, <2, 3>, <3, -n »> / , ’(* ) < 0 , x e <-■», - 1> = > /, es decreciente en todo su dominio
=$ La Cr (ff es cóncava hacia abajo
/," (a ) < 0, a £ / 2’(a) > 0 , a e < - l , 0 >
= » /, es creciente en todo su dominio
f 2"(x) < 0, a e < - 1, 0>
=> La Gr( / 2 ) es cóncava hacia abajo
Con estos datos podemos hacer un dibujo preliminar de las gráficas de / , y f 2. Para analizar el comportamiento de/, en los intervalos prueba <0, 2>, <2, 3>, <3, +«>> construyamos la siguiente tabla TABLA 5.26 ..
,
w
<0 , 2 > x=2
-\Í4
/ A *)
- fy'ix)
Forma de la gráfica
-
+
Decreciente cóncava hacia arriba
0
+
Mínimo relativo
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 5.7: R esum en d e técnicas para gra ficta- u n a fu n c ió n
<2, 3> x= 3 <3, +«*>>
5.
6.
+ 0
+
No definida No definida +
-
601 Creciente cóncava hacia arriba Punto de inflexión Creciente cóncava hacia abajo
En esta tabla se observa que la (unción / , tiene un mínimo relativo en (2, -\Í4) y un punto de inflexión en (3, 0). Además nótese que/, es creciente en <-1, 0> y / es decreciente en < 0 , 2 >, y como / es continua en x = 0 , éste es un número crítico para / y en (0 , 0 ) tiene un máximo relativo. La G r(f) = G r(f,) u Gv(f¿ u G r(/\) se muestra en la Figura 5.50 ■
GRÁFICAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES
^
^ J E M P L O _ 1 ^ Hallar los extremos relativos, puntos de inflexión y dibujar la gráfica de la función f (x) = x - Sen x, x e [0, 4ítJ
Solución
2.
1.
Búsqueda de los números críticos f ( x ) = x - Sen x => f ' ( x ) = 1 - Cos x, V x e [0, 4jt| Si f'(x) = 0 => Cosx= I <=> x = 0, 2 tt, 4rt son los posibles números críticos. Usaremos el criterio de la segunda derivada para decidir si existe un extremo local en cada uno de ellos. /"(jc) = Sen x, V x e [0, 4rc] Nótese que / M(x) = 0 para cada uno de los posibles números críticos, por lo que el criterio de la segunda derivada no es aplicable Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 5: A plicaciones d e la Derivada
602 3.
4.
Recurrimos entonces al criterio de la primera derivada Si /'(•*) < 0 => 1 - C o s x < 0 C-osx> I Lo cual es absurdo, puesto que - 1 < Cos x < I Si /'(•*) > 0 1 - Cos x > 0 <=> Cos x < 1 Luego, la función es creciente V x e <0, 470, no existe extremos locales Puntos de inflexión / ‘■(jc) = O => Senx = O x~kp, k e Zo+ , A e {O, 1,2, 3, 4} <=>
x e
{ O , 7 t, 2 n ,
3n,
4 n )
.*. (O, 0), (te, 7t), (27t, 27t), (371, 37t), (47t, 47t) son puntos deinflexión. 5.
La gráfica de la función se muestra en la Figura 5.51
f EJEM P LO 1 5 ] Hallar los extremos relativos, puntos de inflexión y dibujar la gráfica de la función f(jc) = —^e— x— 1+ 2 Cos x
\Solución'
La función no tiene sentido si 1 + 2 Cos x = O, esto es, si Cos x = -1/2 => x = 2kn ± 2n/3, k e Z Geométricamente significa que la gráfica de / tiene asíntotas verticales en jc = -27t/3, x = 2tü/3, jc = 47r/3.....
2.
1.
Localización de los números críticos: f ( jc ) = --------=J (1 + 2 Cos x )2 Como/ ' ( * ) > O, x e D o m (/) = IR - |x = 2kn ± 27E/3, k e Z }, la función es creciente y por lo tanto no existe extremos locales.
3.
4.
Puntos de inflexión: f ' (x ) = — 5g” X , J (I + 2 Cosx) Para f"(x) = O =^> Sen x = O => x ~ Alt, k e Z Por lo que, son puntos de inflexión: (- 7t, 0), (0, 0), (n, 0), etc. Con toda esta información dibujamos la G r(/) mostrada en la Figura 5.52
FIGURA 5.51
FIGURA 5.52
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
■
Sección 5.7: R esum en de técnicas para grajicar un a fu n ció n
603
( EJEM PLO 1 6 j Dibujar la gráfica de la función / ( a) = are Tg ^ Indicando dominio, asíntotas y extremos relativos, si existen.
Solución
l . Dominio de la función /e s real <=> * + l > 0
2.
Dom ( / ) = < -!. +°°>
Asíntotas a)
Asíntotas horizontales: v = lim f ( x ) = lim are 7#
- I = are Tg(+<*>) = —
\-Jx+l)
2
Luego, y - n/2 es una asíntota horizontal hacia la derecha b) Asíntotas verticales: lim f { x ) = lhn are Tg\
'\yjx + ) j
c)
| = are
"10 * J
arcTg(-'*>) = -™ 2
Por la restricción del dominio, no existe asíntota vertical. P (-l, -n/2) es un punto ciego, No existe asíntota oblicua, pues \
are Tg - .-----
.. f(x) W *+ l , m - lim -— - lim ----------
3.
Extremos relativos:
I
/ ' (.*■) =
are Tg (+ ~ )
Ix + l ~
n/2
= 0
2^v+í
x+\ >,>¡X+\ ,
x+2 2 + (x 2 + x +1 )J v +1 Si f'(x) = 0 =? * + 2 = 0 <=> x = -2 € < -1 ,-h »>
4.
La función no tiene extremos relativos, además como f \ x ) > 0, V x e Dom(f), la función es creciente en todo su dominio. La gráfica de la función se muestra en la Figura 5.53 ■
(^EJEMPLO_17j Graficar la función f ( x ) = are Sen
yj’
indicando dominio,
asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y valo res extremos.
Solución
1. Dominio de la función
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Capítulo 5: Aplicaciones d e la D erivada
604 U 5— + l )—2 >^ 0n X +1
<=* —
2.
3.
i — =—
>
0
=>
X
e
IR
arcSení - y - - \ = areSen(0*) = 0
Asíntotas horizontales: v = lim / ( x ) = lim *_►+«
V x + 1/
y = lim / ( x ) = lim arcSení —y - - ) = areSen(0 ~) = 0 *-*— *-»— V.JC + w Luego, y = 0 es una asíntota horizontal hacia la derecha e izquierda. Intervalos de crecimiento y decrecimiento ( jc2 + 1 ) - x ( 2
/(* ) =
Si
jc 2
>1 => f ' ( x ) = — J V
(jc
'
x *< 1 = * f ( x ) =
J
x
)
----- = ------ t~— >•* — 1 ) (jc
x
+ 1)
2{ \ - x 2)
1v
jc
> I
+1
-2(1~ * ]-------= - 3 — , - ( x 2 - l ) ( x z + \) x2 +\
Luego,/ es creciente V x e
.
Ix 2 - II (x 2 + 1)
(x 2 + l ) 2
1+
4.
( X -2 )—2 X +1
A
-1 < x < 1
-1> u <1, +«>> y creciente V x e <-1, 1>
Intervalos de concavidad Si x2 > 1 => f
( x ) = — 2* 2x\ = —r ^ —r , * < - \ v x > I (x 2 + l )2 (x 2 + 1)
Para x e <-o°,-l>, /" ( x ) < 0 , y para x e >, /" (x ) > 0 Si x2 <
1 => / " (x) = — ^ -¿- ^ * 2 = ------ y -* 2 ' “ ^ < * < * J (x 2 + l )2 (x 2 + l )2
Para x e < -l,0 > , /" ( x ) > 0 , y para x e <0, I>, /" (x ) < () Por tanto, la Gr(/") es cóncava hacia abajo V x e < - « , -1> arriba V x e < - 1 , 0 > u < 1, +<»>
<0, 1>, y cóncava hacia
5.
Valores extremos
6.
Dado quc/'(x) no está definida en los números x = +1, y com o/’(x) cambia de signo en x = -1 de (-) a (+), y en x = l de (+) a (-), la función presenta extremos relativos en tales números cuyos valores son: / ( - l ) = are Sen (-2/2) = -n/2 = * M in (-I,-n /2 ) / ( 1 ) = are Sen (2/2) = n/2 =* M ax(l,n/2) Ademas, como en x = 0 f"(x) cambia de signo, el punto de inflexión ocurre en (0, 0). La gráfica de/se muestra en la Figura 5.54 ■
QEJÉMPLO^^IS j Hallar los extremos relativos, los puntos de inflexión y dibujar la gráfica de la función v =
y
Ln x
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 5. 7: R esum en de técnicas para graficar u n a fu n ció n
FIGURA 5.53
Solución
605
FIGURA 5.54
I . Dominio de la función La función liene sentido V x > 0, x ^ 1 => Dom (f )= D£+ -{ 1)
2.
Asíntotas. Como lim / ( x ) = +«°
y
lim / ( x ) =-«=< la recta x = I es una asíntota
i- * i
vertical en ambos sentidos. 3.
Localización de los números críticos r M = D , x - * ( U x ) = ü , x - y f .M = 2 -U i* (Ln x )2 (Ln x )2 ’ x(Ln X)* Si /'(x ) = 0 => Lnx = I => x = e, único número crítico £
Valor de la función para* = e: y = 4.
= e => (e, e ) es un punto crítico.
Extremos de la función. Por el criterio de la segunda derivada. 2 /vi € 1 Para x = e , f " ( e ) = ----------------------- 0 ^ (e, e) es un mínimo relativo
5.
e(L/i e) e Puntos de inflexión. Si f"(x) ■=Q=>2-Lnx = (]=>Lnx=2<=sx = e¿ Valor de la función: x = él
6.
e2 e2 =- = — Ln e l
Luego, el punto de inflexión es I(
[EJEM P LO 1 9 ) Si
/ ( jc) = 2x e^72, hallar los máximos y mínimos relativos, puntos de inflexión y dibujar su gráfica.
Solución
i. Dominio de la función
La función está definida V x e IR Si x = 0 => y = 0, la curva pasa por el origen. Como /( x ) = -/(-x ),/e s una función impar, es decir, su gráfica es simétrica respecto al origen. Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
606
C apítulo 5: A plicaciones d e la Derivada
2.
Asíntotas. Dado que lim / ( j r ) = 0 => y = 0 es una asíntota horizontal.
3.
Localización de los números críticos
f\x:) = 2e^a( \ - x í) ; /"(jc ) = 2* e*a (x + S ) (x - -J3) Si f'(x) = 0 => 1 - jc2 = 0 « x = -1 v x = I son números críticos
4.
5.
Valores de la función en estos números f ( - \ ) = - 2 e m => P , ( - l . - 2 r OT) ; / ( l ) = 2«-“ =» P, (1, 2 c "2) Extremos de ¡afunción. Por el criterio de la segunda derivada / " ( - l ) ~ -2 (+) (+) (-) = + > 0 => Mínimo relativo = P, / " ( l ) = 2 (+) (+) { - ) = - < 0 => Máximo relativo = P2 Intervalos de concavidad y puntos de inflexión Si f"(x) = 0=>.r = 0, j r = - 3 ,j r = 3 son posibles números de inflexión En
xe
- J 3 > , síjc=-2 = * /" (-2 ) = (-4)(+)(-)(-)= O t— Js* 3 P. I. -I => / " ( - 1) = (-2 )(+)(+)(-) = v+/ CT ^ , j x e < -V 3 , 0 > , si xj: = -1 x e < 0 , V3 > , si x = I x e
+
s í jt = 2
/ " ( I ) = (2 )(+)(+)(-) =
3p i
r \ D = (4)(+j(+K+) =
Luego existen tres puntos de inflexión 6.
\ , ( - & , - 2 S e™), 1,(0, 0), U 4 3 , 2 & e ™) La Figura 5.56, muestra la gráfica de la función
( E J E M P L O 20~} GraFicar la función / ( x) = (2 + jr2) e'*2, indicando, si existe, máximos y mínimos, puntos de inflexión, asíntotas.
¡Solución
I . Dominio de la función
La función es continua en toda la recta real, es decir. Dom (/) = EL Si x = 0 ^ y = 2, la Gr(f) intercepta al eje Y en (0, 2). Como/(jc) = /(-.t), la función es par, esto es, su gráfica es simétrica respecto a eje Y. Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 5 . 7: R esum en de técnicas para grajtcar u n a fu n c ió n 2.
Asíntotas.
607
lim / ( * ) = () => y = 0 es una A.H. en ambos sentidos No tiene asíntotas verticales ni oblicuas
3.
4.
laicalización de los números críticos y de extremos relativos = +aj ) í ' í ; f"(x) = 2 {2x2+ l)(.t2- l ) e '2 Si f \ x ) = 0 => x = 0, es el único número crítico Dado que /"(O) = -2 < 0 => (0. 2) es un máximo relativo Intervalos de concavidad y puntos de inflexión Si /" (x ) = 0
.rz= l <=> jr = ± 1 son dos posibles números de inflexión
Intervalos prueba: <-«>, - ! > ,< -!, !> ,< !, +°°> En
x e <-<»,-1>, si x = -2 jte
si x = 0
x g < 1, +™>, si x =
2
=> /" (-2 ) = 2 (+ )(+ )(+ ) = ^ =-> /"(O ) = 2 ( + ) ( + ) ( - ) = O
\ ^
—> / " ( 2 ) = 2 f+) (+) (+) = vi»
3 p[
^ P*
Luego, existen dos puntos de inflexión I|f-l, 3 e '), L (l, 3 e ') 5.
A partir de toda esta información se dibuja la gráfica de la función mostrada en la Figura 5.57 B
( E J E M P L O 2 1 ^ Graficar la función f(x) = are Sen (e2*) indicando, si existen, asíntotas, extremos relativos, intervalos de concavidad, puntos de inflexión.
Solución
I . Dominio de la Junción Dado que e2* e [-1, l ] y c1j,> 0
Tomando logaritmos: Ln 0* < 2x ^ Ln 1 2.
Asíntotas.
0 < é 1 ,í 1 - « < Ix á 0 => t e <-«», 0]
lim f ( x ) = are Sen (e~~) = are Sen (0) = U Entonces y = 0 es una asíntota horizontal hacia la izquierda
No existen asíntotas verticales ni oblicuas 3.
Localización de los números críticos v números de inflexión f(x )= ~ i1 ¿ L =
; f'(x)= 4í,_I ^ d - ^ r
2
f ‘(x) > 0 ,V jc é Dom(J) y f “(x) > 0 ,V .r e Dom (/') Por lo que no hay extremos relativos ni puntos de inflexión. La curva es creciente y cóncava hacia arriba en todo su dominio. 4.
Valores extremos. Si x = 0 => y = are Sen (e°) = 7t/2 => (0, 71/2) es un máximo absoluto de la función.
5.
La Figura 5.58 nos muestra la representación gráfica de la función.
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B
608
Capítulo 5: A plicaciones de la Derivada /■ Y »n/2
_ y= 0
0
V
X
J FIGURA 5.58
EJERCICIOS . Grupo 44 En los ejercicios I al 46. dibujar la gráfica de la Función correspondiente, indicando en cada caso, el dominio, continuidad, puntos de discontinuidad, las intersecciones con los ejes, las asíntotas, los extremos relativos, puntos de inllcxión, los intervalos donde la función es creciente y decreciente, y los intervalos de concavidad. I. /( x ) = 2x’ - 3x* - I2 x + 8
2.
/(x )=
3. 3 /( x ) = 3x‘, + 4x^-12v2- 4 5. _/ (x) —j :2 (x + I )2
4. 6.
f(x) = 2\A- Kx + 3 / ( x ) =xA-3xl + 3x- + 1
7. f(x) = jc'{x- 2? 9. f(x) = 6x5 - 10*’ + 2
8.
/ ( x ) = (x - 1)J (x + 2):'
10.
/ ( x) = 3x5 -5x'
II. / ( a )=
12.
x
2 +
—,
4 S - 2 .X-
x
/(* )= -
x* + \
13. / ( * ) = 15. J U ) =
x'-2 ( x - l )2
XU;3
X 14.
3 - x
16.
/(* )=
18.
/U )=
20 .
/(* ) =
22.
/( • * ) =
X
17. / ( * ) = 19. f U ) =
x
2 - 3 x
X
+ I
2x 2 - 5 x + 15 x —2
x 2 1 . / ( * ),= - 52—
x ¿+ \
/(x ) = x 2 +3x x+ I 2 x * - 5 x 2 + 4 x
(x-l)? a 2 —6x +
x -4
2x2 +1 x2 -2 a
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12
E JE R C IC IO S . G rupo 44
609
23. / < x ) = x V 4 - x 2
24.
/ ( r ) = a >/a - 3
25. f ( X)= x j A - x
26.
/ ( * ) = jrJ V T + 5
27.
28.
/ ( x)= V 4 7 ^ V
30.
/ ( x ) = A ( A + 3 ) 2n
32.
/ ( x ) = A , , 1 (Jc +
/ ( * ) =
29. / (
jc)
=
V « 3 - 6 j f 2
a
1"
(6 -
j c ) 2'1
3 1 ./(x ) = x (jt-2 )‘2/? 33.
/ ( a )
35.
/ ( a )
34.
- 3
a
4 - 5 x 3 +
15
a
2 + 4
x
/
( x
/ ( a )
.
5 a 2' 3 - a 39.
A >
5"
a
=
- 2' 3
a
8
, X < I
a
40.
3 - 2 , A
,
a
2 + 2 a -
<
O
,
jt > O
I
3
-
a
>
/ ( a ) =
I
V3x 2 - x J
+ 1
/ ( a )
,,3-
/(* ) =
, A < 0
f(x) =
(x-\y
41.
a
381
v
f { x ) =
2 a 2 - I
= -8
=
x 2
a
L
2 - 4
VóA2 - A3 , X < 8 37.
- =
- 12
= a
) =
2 ) - 2n
, — 4 <
x <
O
4 t
0
‘
42. ( a + 1)2
, a >
/ ( a ) =
.X> 0
1 + A2 V i
—
a
+ 3
3 )2 (
, A < 0
, A >
+ 3 )
a
O
A2 + I
rzi
43.
/ ( a )
=
Vx- 2
, a
’
€
V v -3
[0. 2] 44.
/ ( a )
a
, a A 3 -
e
[0 ,2 >
=
72
- (!}
a
,
a
a 3 —6 a 2 + 9
< 4
,
a
a
, 46.
- 4 '
/ ( a )
=
a
a
> 4
a
< 4
' - x - 2 - 4
2
+
a + 4 a 2 - 4
a
+ 3
_
.
, A >
. 4
5
l +
47.
> - I
1
x 3 - 6 x 2 + 4 x - 4
/ ( a )
a
: a < -1
2 a
45.
,
=
COS
A
Estudiar los valores extremos relativos y absolutos de la función y = --------------. Gralicar l-S e n x la función indicando sus asíntotas.
48.
Dibujar la gráfica de la función/ ( a
)
= Sen x Cos 2x . x e [0. 2it], indicando: rango de la
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Capítulo 5: Aplicaciones d e la Derivada
610
función, máximos y mínimos relativos, crecimiento y decrecimiento, concavidad y pun tos de inflexión, justificando rigurosamente su proceso. 49.
Dada la función
— Cos x Cos
x>U
Dibujar la gráfica indicando asíntotas, intervalos de crecimiento, extremos relativos, con cavidad, puntos de inflexión. 50.
Demostrar que: La gráfica de la función y = x Sen x , x e IR, tiene puntos de inflexión.
i)
j ) Si / es creciente en el intervalo [a, b] y derivable en
*•>
jc)
>0, V
jc
6
En los ejercicios 5 1 al 54, graOcar la función dada indicando: dominio, asíntotas, interva los de crecimiento y decrecimiento, concavidad y valores extremos, si existen. - are Sec (x - 1 )
51.
/ (
53.
/ ( * ) = (are Tg x f
❖
En los ejercicios 55 al 58, hallar los extremos relativos, puntos de inflexión, si existen y dibujar la gráfica de la función.
jc)
55. y = x*n- Lnx
56.
y —x Lnx
57. y = L n ( 8* - * i )
58.
y - x2Ln x
❖
En los ejercicios 59 al 64, hallar en cada caso los máximos y mínimos relativos, los puntos de inflexión, los intervalos en que/es creciente o decreciente, los intervalos de concavidad. Trazar un esquema de cada curva.
59. f ( x ) ~ x e '
60.
/ ( x) = x2e JI
61.
62.
/ ( x) = x*e'
64.
f(x) = e * Cos x
/ (
jc)
= e*2
63. f(x) = x2 e'**
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Sección 5.8: Problemas d e optim ización
[ 5 .8 )
611
P R O B L E M A S D E O P T IM IZ A C IÓ N
Una de las aplicaciones más importantes del análisis matemático es obtener el dise ño óptimo de un producto. El problema de minimizar costos o maximizar el volumen de un objeto se reduce con frecuencia a hallar mínimos y máximos de funciones. En cuyo caso* el uso de tos puntos críticos y los criterios de la primera y segunda derivada adquieren relevancia especial. Recordemos que para minimizar o maximizar una función sobre un intervalo ccirado es esencial tomar en consideración también los valores de esa función en los puntos terminales del intervalo. Antes de exponer un método general de resolución para tales problemas, se mostra rá un ejemplo que es típico. El único reto nuevo es como traducir el problema en lenguaje de funciones.
[
O
Un pedazo rectangular de lámina metálica mide 5 pies de ancho y 8 pies de largo. Se van a cortar cuadrados congruentes en las esquinas, para doblar la pieza metálica resultante y soldarla para formar una caja sin tapa, como se muestra en la Figura 5.59. Qué dimensiones producirán una caja de volumen máximo? e je m p lo
Solución
2.
3.
1. Designemos por V la cantidad por optimizar (la variable dependiente), esto es, el volumen de ln caja que se va a construir y, por x , la longitud de la arista de cada esquina cuadrada que se va a suprimir. Para escribir el volumen como una función de .v, nótese que la caja tiene una altura t y el área de su base mide b.h, entonces V = b .h.x Ecuación primaria Dado que b - 8 - 2x y /? = 5 - 2x, entonces V(x) = (8 - 2x) (5 - 2x) x <=> V(.t) = 4x* - 26x2 + 40*
4.
5.
6.
Ecuación secundaria Función de una variable
Como el ancho de la lámina tenía 5 pies, los únicos valores de x que tienen sentidos son los del intervalo <0, 5/2> . Pero hagamos que el dominio admisible sea el intervalo cerra do [0, 5/2] para asegurar que exista el máximo de V (r) y podamos aplicar el método de máximos y mínimos en un intervalo cerrado. Obviamente los valores x = 0 y x = 5/2 corresponden a cajas “degeneradas”. Ahora bien, para maximizar V hallemos los números críticos mediante la derivada de V(x). esto es V'(x) = I2x2 -52x + 40=; 4(3* - 10)(* - I ) Si V '(*) = 0 => (3* - 10) (* - I ) = 0 <=> * = 10/3 v * = l son los números críticos. Vemos que sólo * = 1 se encuentra en el intervalo relevante [0, 5/21. Por lo tanto, el máximo de V(x) se alcanza en * = 1 o en los terminales del intervalo [0, 5/2], luego los valores de V que debemos examinar son V(0) = 0, V( 1) = 18, V(5/2) = 0 Concluimos que V es máximo cuando* = 1 e [0, 5/2], es decir, para una caja de dimen siones 6 x 3 x l y V = l 8 pies’. ■ Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
C apítulo 5: A plicaciones de la D erivada
612
Lineas de doblez
FIGURA 5.59
El Ejemplo 1 esclarece el procedimiento general para resolver problemas aplicados de máximos y mínimos en cinco pasos.
PROCEDIM IENTO PARA RESOLVER PROBLEMAS DE OPTIM IZACIÓ N 1.
demostrar las diversas magnitudes del problema con letras, tales como x, y, V. A, S, etc. si es posible hágase un dibjo esquemático.
I,
2.
Escribir una ecuación primaria para la magnitud u optimizar.
3.
Por eliminación de variables, reducir la ecuación primaria a otra que contenga una sola variable independiente. Esto puede exigir el liso de ecuaciones secunda rias que relacionen la variables independientes de la ecuación primaria.
4.
Determinar el domino de la ecuación primaria. Esto es, aquellos valores por los que el problema propueslo tenga sentido.
5.
Optimizar la función así obtenida por medio de las técnicas expuestas en las sec ciones 5.5, 5.6 y 5.7
[ E J E M P L O ^ ] El producto de dos números positivos es 192. Qué números hacen mínima la suma del primero más tres veces el segundo.
[Solución 2. 3.
1. Sean x e y optimizar.
los dos números buscados, y sea S la suma que debemos
Si deseamos hallar el mínimo de S, escribimos como ecuación primaria: S = * + 3y Como el producto de ambos números es 192, entonces 192
x y —192, de donde: y = -----
Ecuación secundaria
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
613
Sección 5.8: Problem as de optim ización Ahora podemos rcexpresar ta ecuación primaria en términos de x, esto es 576 S(jt) = x + ----4. 5.
Modelo matemático
Siendo x positivo, el dominio admisible de S es <0, -H»> 2 _ C7A Localización de los números críticos: S ' ( a ) = --------- -—
x Si S'U) = 0 => x2 - 576 = 0 <=> jc= ± 24 Así pues, x = 24 es el único número crítico. Se trata en realidad de un mínimo? 11S9 Recurrimos al criterio de la segunda derivada: S"(x) =
x' y como S”(x) > 0, V x e Dom (S) se trata, en efecto, de un mínimo global o absoluto, pues un punto crítico sobre una curva cóncava hacia arriba en todas partes es un mínimo global de esa curva. 192 Por tanto, los dos números son: x = 24 e y = =8 ■ ( EJEM PLO 3 )
Hallar tos puntos de la parábola y = 8 - x 2 que están más próximos al punto A(0, 3).
Solución 2.
I. La Figura 5.60 muestra que existe dos puntos P(x, y) de la parábola a una distancia mínima del punto A(0, 3). Designemos por d dicha distancia. La fórmula de la distancia entre dos puntos nos da la ecuación para d:
3.
d = d (A, P) = +(>•—3) 2 Ecuación primaria - xr como ecuación secundaria podemos reescribir la ecuación primaria
Usando y = 8 como:
d(x) = ijx 2+<8 - a 2 - 3 )2 =
/
\ Y-
/ /
p /
/ ’’< ±3 J 2 12) = 12 (±3 y¡2 t l f -! 8 = 36 > 0, Mínimo Por lo tanto, los puntos P de la parábola v = 8 - x7,
í
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6'
5
/
Si f'(x) = 0 = > * = 0,jc = ± 3 v /2 /2 El criterio de la segunda derivada da el siguiente resultado para estos números críticos /" (0 ) = 12 (O)2 - 18 = -18 < 0 Máximo
más cercanos del punto A son: ( ±3 V2/2, 7/2). g
1
í
'
p
A / /
(*. y)
\
2'
1 ¡0
1 2
3
x /
FIGURA 5.60
614
Capítulo 5: A plicaciones de la Derivatla
[E JE M P L O
La esquina interior derecha de una página se dobla hasta alcanzar el lado izquierdo. Si el ancho de la página es de 6 pulgadas: a) Hallar la longitud mínima del pliegue b) Qué ángulo forma el pliegue mínimo con el lado mayor derecho de la página? Suponer que la página es lo suficientemente larga para evitar que el pliegue alcance la parle superior de la página.
|Soíüciim | 1. Sean, y la longitud del pliegue y a el ángulo formado por el pliegue y el lado mayor derecho de la página. En la figura 5.61 se observa que los triángulos rectángulos ABC y AEC son simétricos, por lo que la m ACE) = m ACB) Entonces: 0 = 180 - 2m ACE) = 180 - 2 (90 - a ) <=> G = 2a 2.
En el A AEC: Sen a = —
3.
En el A BDC: Cos 2 a =
y = ~z—— Sen a
y
Si Sen
a=l
PC _ BC
1- Cos 2a
Ecuación primaria
6—x
a=J
x
Sen
x -3
2 V * Usando esta ecuación secundaria, rccscribimos la ecuación primaría en términos de a I
y 4. 5.
X
X
vz
y / x- 3
Dominio de la función: x 6 <3, 6 ] Localización de los números críticos
dy dx Para ^
dx
- Jx( 2x- 9) ( x - 3 ) M1
FIGURA 5.61
= 0 => r = 0 v x = 9/2; pero como j r * 0 y
3, el único número crítico
es Jt = 9/2. Usaremos el criterio de la primera derivada como test para minimizar la función tomando como intervalos <3, 9/2> y <9/2, 6 > En x e < 3 ,9/2>, si x = 4 => y' = — ^ ^ = - decreciente + En x e <9/2, 6 >, si x = 5 => y* = (+ )(+ ) = + creciente
3 mínimo
Por tanto, x = 9/2 produce un mínimo global para la función cuyo valor es: 9 n r 9 R y = 2 Í 9 ^ = 2^
b)
Cosla=
jt
9 /2
=
3
= ^ are Cos{M3) =35° 16' 2
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Sección 5.8: Problemas de optimización
615
( j J E M P L O ^ S j Dos postes de 15 y 20 pies de allura, distan 21 pies entre si. El extremo superior de cada uno está unido mediante un tirante a una estaca situada en el suelo y en línea recta entre los postes. En qué lugar debe colocarse la estaca para que el tirante tenga longitud total mínima?
Solución 2.
3.
1. Designemos por L la longitud del tirante, y por a la distancia de la estaca al poste más pequeño. En la Figura 5.62 se tiene: L = y + z Ecuación primaria El siguiente paso es expresar las variables y y z en términos de la variable a, haciendo uso del teorema de Pitágoras, esto es: En el ABAE: xz + I51 = y1 EnelA EC D :
=> y = y } x 2 +225 202 + (21 - x) = z2
=>z=yl x 2 —42 a + 841 Luego en la ecuación primaria se obtiene el modelo matemático: 4. 5.
L(a) = ijx 2 +225 W * 2 —4 2 a + 84I El dominio de la lunción es: x e [0, 21] Localización de los números críticos —21
+
L'U) =
I f:a '
+ 225
V a2 -4 2 a + 8 4 1
Si L ' ( a ) = 0 => a 2 ( a 2 - 4 2 a + 8 4 1 ) = ( 2 1 - a ) 1 ( x 2 + 2 2 5 ) de donde: .r + 5 4 . r - 5 6 7 = 0 e=> x = 9 v a = -63 é [0. 2 1 ] Usaremos el método para hallar extremos e n un intervalo cerrado, esto es, si a y como a = 9 es el único número crítico, entonces L(0) = J0 + 225 + V 0 - 0 + 841
6
= 44
L(9) = -Jü\ +225 + V 8 I-3 7 8 + 841 = 40.8
Mínimo
L ( 2 I) = V44I+225 + ^441-882 + 841 = 47.8 Se concluye que el Lirante debe lijarse a 9 pies del poste de 15'.
[E JE M P L 0 6 J para que e l
Solución 3.
[ 0 , 2 1]
g
Un granjero dispone de 200 pies de valla para delimitar dos corrales adyacentes rectangulares (Figura 5.63). Que dimensiones se debe elegir área encerrada sea máxima. I . Sea A el área total de los dos corrales
2. Entonces: A = 2xy Perímetro de la valla: 200 = 4 a + 3y => > =
| ( 5 0 -
a
Ecuación primaria Ecuación secundaria
)
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616
Capítulo 5: Aplicaciones de ¡a D erivada Sustituyendo en la ecuación primaria se tiene el modelo matemático: A i r } - | (50 * - x1)
4. 5.
Dominio de la función A: como A > 0 ^ 50a - r > 0 <=>x e <0. 5<)> Localización de los números críticos A'(x) =
|
(5 0
-
2a )
Si A ’( a ) = 0 => 50 - 2a = 0 <=>x = 25 FIGURA 5.63 Nótese que A"(x) —-16/3 < 0, V a e <0, 50>; luego, el número crítico x = 25 produce un máximo absoluto en lalunción A. Por tanto, las dimensiones que debe elegir el granjero son: a
(E JE M P L O 7 J Solución
pies, y = — ( 5 0 -
25
25)
=
Hallar el área del mayor trapecio v = 4x - x- y el eje X.
pies
■
comprendidola cui va
l . Sea S el área del trapecio de bases B = 4 y b, altura h = y 2.
Como ~ =
3.
=
Entonces: S = ~ (4 + t ) y 2
- A =* b =
2 (2
-
x)
Ecuación primaria - x2, la ecuación p r i m
e
y=
(4a
- a2) = x' -Sx 1 +
4a
a r ia se
convierte e n
el
modelo matemático: S ( * ) = ^ (4 + 4 4. 5.
2
a)
16a =
a
( v - 4 ):
Dominio admisible de la función; a e (0, 2] Localización de los números críticos: S’(x)= 3a2- 16a + 16, S"(a)= 6 a - 16 Si S’(x) = 0 => 3 a 2 - I 6 a + 16 = 0 <=> a = 4/3 v a = 4 í [0. 2] Al ser a = 4/3 el único número crítico y S"(4/3) < 0. se trata, en efecto, de un máximo global cuyo valoi es: 4 (4 A2 S<4/3>= 3 l 3 - 4 J
25(i
2
FIGURA 5.64
(EJEMPLO~8~) Hallar el área del mayor rectángulo, con lados paralelos a los ejes coordenados que pueda inscribirse en la región limitada por las parábo las
617
Sección 5.8: Problem as de optimización
Solución 2.
i. Sea S el área de) rectángulo inscrito de dimensiones, b = 2x y h = \ t + (-y,). representado en la Figura 5.65 Entonces: S = b. h = 2_v (v, - y>) Ecuación primaria En dicha figura se observa que _v, corresponde a las ordenadas positivas de CP, e y . a las ordenada negativas de rP2. Por lo que:
3.
SU)
4.
12)
de donde obtenemos el modelo matemático S(jc) = 12 v - x' Dominio de la función S Como SU) > 0 ^ I2 x - a' > 0
0
=) t e < . 5.
-J\2 >
Localización de los números críticos S'( \ ) = J2 - 3 ,r. S"U) —-fi*v
FIGURA 5.65
Si S'U) = 0=í> 12 - 3 a 2 = 0 o j : = 2 v x = - 2 g <0. tíl2 > Dado que x =2 es el único número crítico de S y S"U ) = -12 < 0, se concluye que el valor máximo relativo de S es su valor máximo absoluto, cuyo valor es: S(2) = I2 í2 )2 - Í2 ) 5= Ifin 2 ■
[E JE M P L O 9 ) Una página rectangular debe contener 432 cm: de material impreso. Los márgenes superior e interior debe tener 4 cm de anchura y los latera les 3 cm. Qué dimensiones de la página minimizan la cantidad de papel requerida?
Solución
I . Sean a y b las dimensiones de la página y x e v las dimensiones del material impreso. Si A es el área que debemos optimizar, entonces:
2
3.
Ecuación primaria
A - ( r + 6 ) (y + 8 )
.
El área impresa es: 432 = x y =* y =
432
x
\
f
♦
Sustituyendo en la ecuación primaria se tiene AU) =
U
+
6)
4P .
+ 8 j = 480 +
8a
Sólo interesa los valores de A con x >0
5.
Localización de los números críticos 2592
u _
_
x
4.
A'U) = g —
____
+ 2592
,
n . A"(.v) = —
3
-
Im p r e s o
y '
i
X
X
M a rg e n
Si A'U) = 0 => 8 a 2 - 2592 = 0 <=> x - ±18 Dado que x = - I 8 e Dom (A), elegimos x = 18 como único número crítico y siendo A"U) > 0, V x > 0, el criterio de la segunda derivada confirma que A es
\
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
ti )
FIGURA 5.66
Capítulo 5: Aplicaciones d e la D erivada
618
432 mínima en jc = 18. Luego, v = “n r = 24. y las dimensiones de la página deben ser: IO a = jc + 6 = 24 cm, b = y + 8 = 32 cm. ■ ( EJEM P LO 10 ) Hallar las dimensiones y el área del mayor rectángulo que tiene uno de sus lados sobre la recta ¿£: x = 9 y los vértices del lado opuesto sobre la parábola 'P: y 1 - 4v - x + 7 = 0
Solución 2.
1. Sean b y h las dimensiones del rectángulo En la Figura 5.67: b = 9 - jc, h = y, - y3 Area del rectángulo; S = b.h - (9 - j c ) (y, - y2)
3.
De la ecuación de la parábola obtenemos
Ecuación primaria
{y - 2)2= x - 3 <=> y - 2 = ±-Jx —3 de donde: y , = 2 + J x —3 , y2 = 2 - J x —3
=$h = y] - y 2 = l V jc -3 Sustituyendo en la ecuación primaria se tiene: S ( jc)
- 2 (9 - x)
3
4.
Dominio de la función S : r e [3, 9]
5.
Localización de los números críticos S‘(jc) =
3 (5 - . c )
y¡X-3
cll/^ _
S "(X )
= -
3( jc- I ) 2 V (*-3 )’
Si S'(jc) = 0 => 5-.c = 0 <=> x = 5 es el único número crítico Dado que S"(5) < 0, el número crítico jc = 5 produce un máximo absoluto para la función S. Por tanto, las dimensiones y el área máxima del rectángulo son:
b = 4, h = 2^2 y S = 4 (2y¡2) =
8
y}l u2
( E J E M P L O j T j En la Figura 5.68, la longitud del segmento AB es a, la longitud del segmento AC es b y la medida del ángulo CAB es a (n, b y a son constantes), -Si EXT II AB, hallar la longitud del segmento DC para que el área sombreadasca mínima.
Solución
1. Sean: x la longitud del segmento DC, S[ el área del ADEC de altura ht y S2 el área del AAEB de altura h-,.
2.
FIGURA 5.68
Si S = S, + S2 =» S = ^ ( x . /i, + o. h2) = ^ ( x. y Sena + a .z Sen a ) de donde se tiene: S = ^(xy+az)Sen a Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Ecuación primaria
■
Sección 5.8: Problem as d e optimización 3.
Expresaremos las variables y y z en función de la variable x, por la semejanza de triángu los, esto es: AAEB « ADEC
a+x ~ z + y - k x de donde: y =
bx a+x
y ,
az = b-y=
'
y ah a+x
Ahora, sustituyendo en la ecuación primaria se tiene: SW = i Ü Í - t i l J«„a j £ ü 2 l a+x a+x ) 2 l fl + .r 4. 5.
Modelo matemático
Sen a
Para minimizar esta función sólo interesa los valores de S con x > 0 Localización de los valores críticos
. b ( x + 2 cix—a S\ x)= - — ------- ^ 21
(fl + jc)'
i0 Sen a
S"(.v) =
2a'b Sen a (« + *)
Si S'(a) = 0 => x 2+ 2ax • ar = 0 => x = a(-J2- 1), único número crítico. Como S"(.v) > 0, V x > 0. S tiene un único extremo relativo en su dominio, por lo que el valor mínimo relativo es un valor mínimo absoluto cuando .«= DC = «(V2 - J).
■
(E JE M P L O 1 2 ) Hallar el volumen máximo de un cono circular recio inscrito en una esfera de radio r. Solución
I . Sean: x (radio) e y (altura) las dimensiones del cono circular recto de volumen V inscrito en la esfera de radio r.
2.
Volumen del cono: V = » x l y
3.
Una relación entre jt c y lo tendremos por seme janza de triángulos. ABHC * A DHC = ^
y x
Ecuación primaria
BH _ HC HC HD 2 r —y
'X2
= y (2 r-y )
Ahora podemos reescribir la ecuación primaria en términos de una sola variable:
A
H
V (v )= f V ( 2r - y ) y = * (2ry2- / ) 4. 5.
El volumen V tiene sentido sólo para v > 0 Localización de los números críticos Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
"~l FIGURA 5.69
V
C apítulo 5: A plicaciones d e la Derivada
620
V (y ) = j
(4 iy -3 /)
V"(y) = y ( 4 r - 6 y )
Si V ‘(>’) = 0 => y (4 r - 3y ) = 0 ^ y = 4r/3 es el único número crítico y como V" (4rí3) < 0, se concluye que el volumen máximo ocurre cuando 4r
4r ( .
2
> = 3 =** = T •
-
V
- *
" ' i
( n
4r
i
3
2^ 4
32
9r
9r j
3r r H ,r
[E JE M P L O 1 3 ) Determinar el máximo volumen del recipiente cónico que se obtiene extrayendo un sector circular de un círculo de hojalata de radio R.
Solución
I. La Figura 5.70 muestra el sector circular ACB de radio R y longitud de arco AB junto con el cono de radio r y altura h obtenido de este sector. Si 0es el ángulo central de este sector => AB = R0
2.
3.
Volumen del recipiente cónico V = - - r2h Ecuación primaria 3 Busquemos ecuaciones secundarias que expresen r y h en términos de 0 . ___ Como la longitud de arco ACB es igual a la longitud de la circunferencia de la base del cono, entonces: R0 = 2itr e=s> r =
h = yjR2 - r
2 tc
2o2 2 =*h = J R 2 - R¿e
4n*
= — J 4 n2- B !
2n
Luego, en la ecuación primaria tendremos
(S
V (0 )= 3
• ^ ,/4 ,i2 “ 03
- ^ V ) o2 J 4 ^ e r
^24n ) 4. 5.
FIGURA 5.70
Dominio de la función V. V es real o 0 > 0 a 4n2 - 0 2 > 0 « 0 e [0, 2n\ Localización de los números críticos V (0) =
R 24 n 7
-2
+ 2QtI4k 2 - Q 2
_ R'QjXn2 - 3Q2)
2^47r - 0 2 ,
Si V'(0) = 0 =* 0 ( 8 n2- 302) = 0 <=> 0 = 0 v 0 = 2rt J 2J
24k2V47C2 - 0 2
3
V'(0) no está definida si 4k 2- 02= 0 <=> 6 = 2n Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
621
Sección 5.8: Problem as de optim ización
Nótese que 0 = O y 0= 2rc son los extremos del intervalo que define el dominio.de la función V. En consecuencia, el valor máximo de V(0) es el mayor de los números V(0), V(2 jc) y V(2 te ^/2 /3 ) . Un sencillo cálculo en V(0) nos revela que V(0) = O y V(2rc) = 0. Por tanto, el máximo ocune en el número crítico 0=2x1^/273. cuyo valor correspondien te de V es: ( R % \ ( 8xc3'l I. 2
v=
M
l T
8xc2
j r
2tcV3 R*
_
i r -
[ EJEM PLO 14) Elegir el radio de una esfera de tal manera que al introducirla en una copa cónica (profundidad m y ángulo cónico 2 a ) llena de agua, se derrame la mayor cantidad posible de líquido.
ISobicióti] 1. Sean, re í radio de laesfcra, BC = x y h = m -x la altura del segmento esférico interior a la copa cónica. La cantidad de líquido derramado es igual al volumen del segmento esférico de altura h, esto es: 2.
V
3.
En el A OAB: Sen a. =
Ecuación Primaria
de donde obtenemos Hagamos k =
OA OB
r r+x
f Sen a ’r ~
^er> a
l - Sen a
1 —Sen a
\
J
, constante =$ r —kx
de modo que, en la ecuación primaria se tiene: V= = n kx(m —x )2 - - (m -
V (*)= x t k (m 2jc 4.
5.
jc )
2 mx1 + x 1 ) —^ (m -
3
x )3
Dominio de la función V : r e <0, m> Localización de los números críticos: V'(jc) = n [k (m2 - 4mx + 3x*) + (m - x)2] = n [ ( l +3k)x 2 - 2 m( l + 2 k ) x + m 2(k+ I)] Si V(jc) = 0 = * ( l - t 3k) x7 - 2m ( I + 2 k ) x + m 20 -k) = 0 ' Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
622
C apitulo 5: Aplicaciones de la D erivada
m( \ +2k) ±y ¡ n7( i +2k) 2 - ( l + 3k)m2( \ +k) 1+3 k m(l + 2 k ) ± -Jm2[ ( l +4k + 4k 2) —(3k 2 +4fc + 1)] 1+3 k
m ( \ + 2k) ± rrk
(1 +k)m x - m v x = -- - - - -
=> x ~ --------— —------1+3 k
1+3*
V"(jc) = n[2 (J + 3A:)x- 2m (1 + 2*)], entonces:
Como
V"(wt) = Jt[2 (1 + 3k) m - 2 m ( l + 2&)] = 2m k n > Q =$3 mínimo
+ k)m 1+3A
= 7i [ 2 m (l + A) —2m(l + 2* )1 ——4m kn < 0 => 3 máximo
Sen a
Luego, si x =
1+ -i— c Im 1- Sen ct 3 Sen a 1+ 1- Sen a
m I + 2 Sen a
, el radio de la esfera que maximiza el
volumen del segmento esférico es
r = kx =
Sen C t
'
1- Sen a
m I + 2 Sen a
m Sen a Sen Ct + Cos 2a
f E JEM P LO 15) Un sólido de revolución se ha obtenido haciendo girar un rectángulo alrededor del eje Y tal que su base está en el eje X, y todo el rectángulo X
está contenido en la región comprendida entre la curva >’ = -j— j , y el eje X. x > 0. Halle las dimensiones del rectángulo generador del sólido de volumen máximo.
Solución
1. Sean b e y las dimensiones del rectángulo generador mostrado en la Figura 5.72. Si v =
'x * 2 +1
=* y x —x + y =
=> x, =
2y
0
2y
V i - 4yJ 2y
2y
2y
Luego, b —x 2-x, = Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
623
Sección 5.8: Problem as de optim ización 2.
Volumen del sólido de resolución
3.
\=n(x*-x*)y De la identidad (o + b)2- (a - b)2= Aab, se sigue que:
x l - X' = A
Ecuación primaria
'lZl —4>'2 )
J\-4y2
2y
y
(i)
Sustituyendo en la ecuación primaria obtenemos el modelo matemático
V(y) = ti
y = 71
4.
Dominio de la función V: (y > 0) a ( I - Ay1 > 0) => y e <(), V2}
5.
Localización de los números críticos: V'(y) =
rc (l-8 y ) r - J l - 4 y2
Si V ’(y) = 0 = > l - 8 y 2 = 0 < = > y = -Jl /4 = 0.35 único número crítico En y e <0. 0.35>, si y = I /4
V ( l/4 ) =
= + creciente
En y g <0.35, l/2>, si y = 2/5
V ‘(2/5) = ( - ) = — decreciente
3 Máximo
Por tanto, el número crítico produce un máximo absoluto en la función V. Luego, si b =
1 ■Jl / 4
Obsérvese que el VfW„= 7t b
V _ = 2 n u>
[E JE M P L O 16^ Una isla A está a 10 km del punto B más cercano sobre una playa recta. Una tienda está en el punto C, a 26 km de B sobre la playa. Si un hombre rema a razón de 5 km/h y camina a razón de 13 km/h. en que punto deberá desembar car para ir de la isla a la tienda en el menor tiempo posible?
Solución
I. Sea el punto P, a x km del punto B. donde termina la parte marítima de la trayectoria. La Figura 5.73 muestra la trayectoria que se supone demanda menos tiempo, es decir. AP remando y PC caminando. £
2.
Como t = - entonces el tiempo empleado por el hombre hasta llegar al punto C es
l = A P + PC 5 13 3.
Ecuación primaria
Pero, AP = -^x2 +100 y PC = 2 6 - * De modo que en la ecuación primaria obtenemos el modelo matemático: Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 5: A plicaciones de la Derivada
624
, U ) = V Z ± im 4.
Podemos elegir coijio dominio de t el in tervalo [0,26J^)orque el mínimo de t debe ocurrir en algún punto interior de este in tervalo.
5.
Localización de los números críticos:
r.(/x)^= — = x = 5-Jx +100 Si f ( x ) = 0
I — 13
I 25 — t — — , de donde, x = — es el único número crítico 5^x 2 +100 13 6
—
en [0 , 26] Ahora, evaluemos t en este número y en los dos extremos de! intervalo [0. 261 para encontrar que: t(0 ) = ^ÓTTÓ0 + 26- ü = 4 5 13
((26/5) = ^
7^
+ 26^
p
= «
=385
Mínimo
,(2fi) = V(26)^ + 100 + 26 - 26 = S 5 7 Por tanto, el hombre debe desembarcar en el punto P a 25/6 km del punto B. recorriendo toda la trayectoria hasta llegar al punto C en el tiempo mínimo de t = 3.85 horas. ■
( E JEM P LO 17 ) Los puntos A y B están opuestos uno al otro en las riberas de un río recto que tiene un ancho constante de 3 km. El punto D está en la misma ribera que B. Se desea tender un cable de A a D. Si el costo del cable por agua es un 25% más caro que el costo del cable por tierra, que línea de cable sera la menos costosa?
[Solució n 1 l.Sca /ce! costo del cable por tierra y 1.25 kel costo del cable por agua. (El valor de k es irrelevante) 2.
Entonces al expresar el costo total C en térmi nos de las longitudes AE y ED obtenemos la ecuación primaria
3.
En la Figura 5.74 se tiene
C = 1.25A(ÁE) + *(E D )
ÁÉ = i] x 2 + 9
y ED = 6 - x Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 5.8: Problem a ? de optim ización
625
Usando estas ecuaciones secundarias podemos reescribir la ecuación primaria en térmi nos de la variable x, esto es:
4. 5.
CU) = 1.25k 4 x ^ + 9 + k (6-x) Dominio de la íunción C: x e [0, 6 ] Localización de los números críticos con C"(a) = 0
~,f ,
C U) =
1.25 kx
, , 1.25a - y j x 2 + 9 - k=k ■ ¿ r+9
V779
Si C'(.r) = 0 ^ 1 . 2 5 x = J x 2 + 9 , de donde x1 = 16 => x = 4 e [0, 6 ] es el único número crítico. Entonces siguiendo el método de hallar el mínimo de una función continua sobre un intervalo cerrado tendremos: Si
x = 0 = > C (0 )= 1.25Jfe V Ó +9
x = 4 => C(4) = 1.25 k yj 16+9
+ * (G - O) = 9.75 Jt + k. (6 - 4) = 8.25 k <= Mínimo
x = 6 =>C{6) = 1 .2 5 *^ 3 6 + 9 + *
(6 - 6 ) = 8.38 *
Por tanto, la línea del cable deberá tenderse a 4 km del punto B para un costo mínimo. ■ Deseamos hacer una lata cilindrica con 100 pulgadas cúbicas de capacidad. El material del l'ondo y de la tapa cuesta dos veces más Caro que el del lateral. Que relación debe existir entre la altura y el radio de la lata más económica?
Solución
2.
l. Sea k el costo de una pulg2 del material lateral y 2k en el caso de la tapa o el fondo de la lata cilindrica de radio r y altura h. Area total de la lata cilindrica = Area de las bases + Area lateral => S = 2n r + 2mh El costo total es: C = 2A (2nr2) + k (2nrh) => C = 4 knr2 + 2 knrh Ecuación primaria rVi = 100, de donde: h =
3.
Si V = 100 pulg*
4. 5.
Sustituyendo en la ecuación primaria obtenemos el modelo matemático C (r) = 4 knr1 + 200k í 1/r) La función C sólo tiene sentido para r > 0 Para estos valores hallamos los números críticos con C (r) = 0 C (r)= 8 * J t r - 2 0 0 * ^ 4 )
Si C'(r) = 0 => 8 *
-2 5
j
=0
;
Jtr
C" (r) = H *tc
«=> r = ij25fn , es el único número crítico y como
C"(r)>(), V r> 0 , el criterio de la segunda derivada garantiza que para este número crítico la función C tiene un mínimo absoluto. Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
626
C apítulo 5: A plicaciones de la Derivada
Luego, en el paso (3): h =
too 7T
n V 25)
\ 4(25)
n
^25
2/3
= 4 V25/7C = 4r
Por lanto, la relación que debe existir entre la altura y el radio de la lata es:
A =4 r
[E JE M P L O 1 9 ) Se va a construir un tanque de concreto para agua, con base cuadrada y sin tapa. El tanque ha de tener una capacidad de 192 m'. Si los lados cuestan $4 por m2 y la bse cuesta $3 por m2; cuáles han de ser las dimensiones para que el costo total sea mínimo. Cuál es dicho costo mínimo?
Solución
l . Sean x e y las dimensiones del tanque (Figura 5.75) El área de la base =
2. 3.
jt2,
y el área latera! = 4xv y si C es el costo total, entonces
C = 3 (Area de la base)+ 4 (área lateral) =» C = 3X2 + \ 6xy Ecuación primaria Dado que la capacidad del tanque es 192 m \ indica que: 192 = x2 y ^ y =
I92
Sustituyendo en la ecuación primaria obtene mos el modelo matemático buscado, esto es:
Ahora el objetivo es hallar el mínimo absoluto de C(x) en el intervalo x > 0 5.
Localización de los números críticos
C'(x) = 6 x
3072
6 (x l -5 I2 )
-2- = - J----- 2- -----
X
C”(x) = 6 +
X
6144 X"
Si C (x) = 0 = > x 3 -5 l2 = 0<=>x = 8 , único número crítico Como C"(x) > 0 , V x > 0, entonces x = 8 corresponde en realidad al mínimo absoluto de C(x) en el intervalo x > 0. 192 Luego, si y = —j- = 3. las dimensiones del tanque son 8 x 8 x 3 m' y su costo mínimo 8 * es: C = 3 ( 8)2 +
_ $ 576
■
(E J E M P L O 20 J En la Figura 5.76, el radiode la circunferencia es l() cm, PT es tangente a la circunferencia en P; MS _LPT. Haciendo uso de la derivada, determi nar el valor máximo que puede alcanzar el área del A PMS. Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
627
Sección 5.8: Problem as de optim ización
Solución
I . Sea A el área del A PMS
A = j (PS) (MS) = -2 (PM . Sen 6 ) (M3)
(Ec. primaria) 2
.
3.
En el A PMR : PM = 2r C o s 6 En el A PSM: MS = PM Cos 0 = (2r Cos 0) Cos 0 = 2r Cos■0 Usando estas ecuaciones secundarias en la ecuación primaria se tiene: A(0) =
4. 5.
(2r Cos 0 Sen 0) (2 r Cos2 0) <=> A(0) = 2r Sen 0 Cos* 0
El dominio admisible para la función A e.s el intervalo [0.90° | Localización de los números críticos A'(0) = 2r2 (-3Ct>.r0 Sen20 + Cos'Q C o s 0) = 2 r Cos2 0 ( 1 - 4 Sen1 0) Si A'(0) = 0 =>
Cos2 0 = 0 « 0 = 7t / 2 l - 4 Sen2 0 <=> 0 = ji / 6
Dado que 0 = 0 y 0 —rc/2 son los extremos del intervalo que define el Domí A), el valor máximo de A(0) es el mayor de los números A(0), A(n/6) y A ( je / 2). Un sencillo cálculo de A(0) nos revela que A(0) = 0 y A(n/2) = 0. Por tanto, el máximo absoluto ocurre en el número crítico 0 = n/6 , donde la función tiene por valor
A(n/6) = 2( 10)’ Sen (n/6) Cos' (tc/6 ) =
cm-
■
( EJEM P LO 21 ) Se tienen arcos de circunferenciatodos delongitud 2a.Hallar el radio de la circunferencia que contiene auno de éstos y talqueel seg mento circular es de área máxima.
Solución
2.
I. Sea A el área del segmento circular (parte sombreada de la Figura 5.77) de radio r y ángulo central 0 . Sean: A, = área del sector circular • Aj = área del triángulo MON Entonces: A = A, - A-: Ecuación primaria Longitud del arco MN; S = 2a (dato) Por lo que:
/• 0 = 2a o
A ,= -L 8 r 2 = ~ e f - ^ T =
2
2
0J
r=
2a
0
A2= ^ (M Ñ ) (OP) = (PÑ) (OP) = (rSen | ) ( r C r w | ) = ^ r 2 Sen 6 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
628
Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada
Sen 0 =
2a
i \
e2
= Sen 0
3.
Luego, en la ecuación primaria obtenemos el modelo matemático-.
4.
Dominio admisible de la función A: 0 e [0, n]
5.
Localización de los números críticos: A’(0) =
2 SenQ-QO+CosQ)
0’ Si A'(0) = 0 => 2 Sen 0 = 0 ( l + Cos 0) La ecuación tiene una solución real en 0 = 7t, que es el único número crítico, y dado que:
¡im A(0) = O y A { n ) = 2^L
n
se sigue que el área máxima ocurre cuando 0 = rt, es decir, cuando los arcos de circunfe rencia tienen por longitud una semicircunferencia. Por tanto, en el paso (2): r = 2tiln ■
(E JE M P L O >2 2 j Sea P = (a, b) un punto del primer cuadrante. Trócese por P una recta que corte a las partes positivas de los ejes en A y B. Si 0 es el origen de coordenadas, calcular I OA I y IOB I cuando la longitud AB es mínima.
Solución
2.
I . Sean 1 OA I = jc , I OB I = y, C= t AB I y 0 el ángulo agudo que forma el segmento de recta AB con el eje X.
fl = I AB I = I AP I +! PBI Ecuación primaria Pero I AP I = b Cvsec 0 y l PB I = a Sec 0
3.
Luego, en la ecuación primaria se tiene: fl = a Sec 6 + b Coxec 0
4.
Dominio de la función fl; 0 e <0. n/2>
5.
Localización de los números críticos:
4JL = a Sec 0 Te 0 - b Coxec 0 Cote 0 •
¿0
FIGURA 5.78
= a Sec 0 ( Sec2 0 + Tg26) + b Cosec 0 {Cvsec1 0 + Cvtg1 0) Si
u6
= 0 => a Sec 0 Tg 0 = b Coxec 0 Cotg 0 <=> Tg 0 = ^JaJb
Nótese que
d 1í — r > 0 , V 0 e < 0 , 1Ü2>; por tanto la función fl tiene un mínimo dG2
absoluto para el número crítico 0 = arc Tg ( \Ja / b ) Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 5.8: Problemas de optim ización
6.
62!)
I CA I = b Cotg 0 = b{\jal b ) = ^jab
Ahora, como-
ID B I - a T g Q= a ( ^ ¡ b 7 ^ ) = \ & b I OA l = a + I CA I = a + ]¡ab7
Entonces:
ll)B I = /> + ID B I = b + ^fa^b
( EJEM P LO 2 3 ) Por el centro de una calle de 20 m de ancho entre veredas, circulan continuamente en un mismo sentido camiones de 2.5 m de ancho separa dos entre si por un espacio libre de 10 m y con una misma velocidad de 10 m/seg. Calcular el tiempo necesario para que un peatón pueda cruzar la pista en línea recta con la mínima veloci dad constante posible.
Solución
I. La interpretación geométrica del problema se muestra en la Figura 5.79, junto con los dalos del mismo.
Sean V la velocidad del peatón y V, la velocidad de cada camión El tiempo que tarda e! peatón en reco rrer AD debe ser el mismo que emplea el camión en recorrer ÜD. Como í = c/V, se tiene:
2
.
En el A ABD: A D = AB Cosec 6 => AD =
2.5
Sen 0
BlX=ÁB Cotg 0 => BD = 2.5 Colg 0 S iC D = CB + B D = > C D = 10+2.5 CotgQ 3.
Luego, en la ecuación primaria V ( 6 ) = |()
2.5 Sen 0 (10 + 2.5 Cotg 0)
25 10~S¿/7e+~ 2.5 C»,y0
4.
El dominio admisible de la función V es. G e [0, ic/2]
5.
Localización de los números críticos 25( 10 Cos 0 - 2 . 5 Sen 0) V (tí) = -----------------------------T (10 Sen 0 + 2.5 Cos 0) Si V (0 ) = 0
=>10 Cos 6 - 2.5 Sen 0 = 0 «
Tg 0 = 4
0 = are Tg(A) es el único número crítico De la ecuación Tg 0 = 4 obtenemos, Sen G = 4 /-/Í7 y Cos 0 = \/y[\7 Ahora un sencillo cálculo de V en los extremos del intervalo [0. ni2] y en el único número Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
630
C apítulo 5: A plicaciones de la D erivada
ftñ crítico nos revela que: V(0) = 10, V(tc/2) = 2.5 y W(urc Tg 4) =
^
= 2.425
Por tanto, el valor mínimo de V ocurre en el número crítico 0 = are Tg(4) 2Q Como la trayectoria que sigue el peatón es PQ = —— — = 5-Jü , el tiempo necesario Sen 0 para cruzar la pista será de
J = P Q = 5 J Í 7 = 8.5 Seg. V J Í T / 1 .7 ( EJEM P LO 24 J Una tablilla de 7 pies de altura se halla colocada sobre un muro con su base de 9 pies por encima del nivel de los ojos de un observador. A qué distancia del mismo deberá colocarse el observador para que el ángulo visual bajo el cual contempa la tablilla sea máxima?
Solución 2.
1. En la Figura 5.80 hacemos que 0 sea el ángulo que deseamos máxímizar. y x sea a distancia del observador al muro.
Si 0 = a — p, aplicando tangentes obtene mos: 7>0=
TS a ~ Tg a
I + Tg a . Tg a 3.
Ecuación primaria
m 9 DA ~ x AT = 16 En el A 0 A T :7 g a = 0A x En el A OAM: Tg p =
Entonces en la ecuación primaria se tiene:
Ix
■*(X)
+ 144
'
0 = are Tg { — — * \ x ‘Z+144
FIGURA 5.80
4.
La función 0 sólo tiene sentido para x > 0
5.
Localización de los números críticos: Si ^
dx
dQ dx
7(144 —x ) (x 2 + 144 )2 +49 j c 2
= 0 => x 2 = 144 <=* x = ±12
Dado que -12 g <0, +°°>, usaremos el criterio de la primera derivada para maximizar la función 0 lomando como intervalos prueba < 0 , 12 > y < 12 , +°=> Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
E JE R C IC IO S. Grupo 45: Problem as de optimización
En x € <0, 12>. si x = I => / ’( ! ) =
(+) ^ —+
631
c re c ie n le
»
y 3 máximo En x
G
< 1 2 , -h » > . s í x
<-) =13 = * /'( ! 3) = ^ = ~
decreciente
Por tanto, concluimos que la distancia x = 12 produce un valor máximo absoluto para el ángulo 0 . B
EJERCICIOS. Grupo 45 1.
La suma de un número positivo y el doble de otro es 100. Hallarlos de manera que su producto sea mínimo.
2.
Hallar dos números positivos cuyo producto sea 192 y cuya suma sea mínima.
3.
Un número y el cuadrado de otro suman 50. Elegir los números de modo que su producto sea el mayor posible.
4.
Hallar las coordenadas del punto o puntos de la curva x- - y 1 - 16 que están más cerca del punto (0 , 6 ).
5.
Hallar el punto de la curva x 1 - \r = 9 que está más próxima a la recta ¡4’: 2* - y - 2 = 0
6.
Entre todos los segmentos del plano que pasan por («. b). a. b 6 IR+ y que tienen sus extremos en los ejes coordenados, determinar aquel cuyo cuadrado de su longitud sea mínimo.
7.
Se forman triángulos rectángulos en c! primer cuadrante con los ejes y una recta cualquie ra que pase por el punto P( 1,2). Hallar los vértices del triángulo que minimiza la longitud de la hipotenusa.
8.
En el plano cartesiano se fija un punto P (a, b ) situado en el primer cuadrante. Hallar la ecuación de la recta que pasa por P y forma con los semiejes positivos de coordenadas un triángulo de área máxima.
9.
Dos postes de 12 y 28 pies de altura, distan 30 pies entre si. Desea tenderse un cable, fijado en un único punto del suelo, entre las puntas de ambos postes. En qué punto del suelo hay que fijar el cable para usar el mínimo cable posible?
10. Hallar las coordenadas de los puntos P = (x. y), con y < 1, sobre la parábola -T: >' = x3, que:
___________________________ Y
a) minimizan PA 2 + PB 2 b) maximizan PA 2 + PB 2 11. Un rectángulo está acotado por los ejes X e Y y por la gráfica de una recta ££ (Figura 5.82). Que longitud y anchura ha de tener el rectángulo para que su área sea máxima.
\
/
H -1
•i
12. Un espejo plano rectangular de dimensiones 80 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
0
/; 1
FIGURA 5.81
632
C apitulo 5: Aplicaciones de la D erivada cm y 90 cm se rompe en dos partes. La menor de dichas panes tiene lbrma de un triángulo rectángulo y es una de las esquinas, siendo sus catetos de 10 cm y 12 cm correspondientes a las dimensiones menor y mayor del espejo, respectivamente (Figura 5.83). hallare! área máxima del espejo rectangular con lados paralelos al original, que se puede construir con la parte mayor que queda 90
T 10
1
FIGURA 5.82
FIGURA 5.83
13. Halle la recta que pase por (1/2,2), de modo que el área del triángulo que forme con los semiejes positivos sea mínimo. 14. La suma de perímetros de un cuadrado y un triángulo equilátero es 10. Hallar las dimen siones de ambos para que el área total sea mínima 15. La suma de perímetros de un círculo y un cuadrado es 16. Hallar las dimensiones de ambos para que el arca total sea mínima. 16. En el plano cartesiano se toma un punto M(xo, yo) situado en el primer cuadrante. Hallul la ecuación de la recta que pasa por M . de manera que el triángulo formado por la recta y los semiejes positivos de coordenadas tenga la menor área posible. También hallar el área mínima. 17. Hallar el rectángulo de área máxima, con los lados paralelos a los ejes coordenados, que se puede inscribir en la elipse £: b- x 2 +a 2y2= a 2 b2. 18. Hallar un punto de la paráhola y = 4 - x2 en el que la tangente determina con los ejes coordenados (primer cuadrante) un triángulo de área máxima. 19. Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede ser inscrito en la región del plano XY limitado por la parábola y2 = Apx, p > 0, y la recta lJ!: x = a. a >J¿ 20. Hallar las dimensiones del rectángulo de ára máxima que se puede inscribir en la región comprendida entre las curvas y = 8 - x \ ^ 2: y = I x l,dc manera que los lados de dicho rectángulo sean paralelos a los ejes coordenados. 21. En una página de un libro el texto impreso debe ocupar 5 cm2. Los márgenes superior c inferior deben ser iguales a p cm, los de izquierda y de derecha a q cm. Tomando en consideración sólo la economía del papel, que dimensiones de la página serían las más ventajosas? Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
633
EJE R C IC IO S. G rupo 45: Problemas (te optimización
22. Dos recias paralelas son cortadas por una recta dada AB. como se muestra en la Figura 5.84. Del punto C trazamos una recta CQ que intersecla a AB en el punto P. Si I AC I = a. I AB I = b. a y b son constantes, hallar el valor de IAP I de tal manera que la suma de las jreas de los triángulso APC y QPB sea mínima. 23. Se va a construir la estructura de un papalote con 6 trozos de madera como se muestra en la Figura 5.85. ya se cortaron las cuatro piezas exteriores con las medidas indicadas. Cuál debe ser ia longitud de las dos pie/as diagonales para maximizar el área del papalote.
FIGURA 5.84
FIGURA 5.85
24. Considere el triángulo de vértices (0. 0), ( a. 0) y (b. c). donde a > 0. b > 0 y <• > 0. Determine el área del mayor rectángulo que puede inscribirse dentro de triángulo de tal manera que uno se sus lados descanse sobre el eje X. 25. Las curvas v2 = x. y2 = jr\ limitan una superficie en el primer cuadrante. Se construye dentro de la superficie un rectángulo con los lados paralelos a los ejes, la dimensión horizontal del rectángulo es de t/3; además una de las diagonales tiene sus extremos uno en cada curva. Hallar el área máxima del rectángulo que puede construirse de esta forma. 26. Hallar la base y la altura del triángulo isósceles de área mínima circunscrito a la elipse b2x2 + a 2 y 2 = cr b1, y cuya base es paralela al eje X. 27. Una ventana está formado por un rectángulo coronado por un semicírculo. Hallar las dimensiones de tal ventana que admitirá la mayor cantidad de luz. para un perímetro dado. 28. Un cono recto circular va a ser inscrito en una esfera de radio conocido. Hallar la razón de la altura al radio de la base del cono de volumen máximo 29. Un cono recto circular va a ser circunscrito a una esfera de radio conocido. Hallar la razón de la altura al radio de la base del cono de volumen mínimo. 30. Debe construirse una lámina triangular isósceles de 60 cm de perímetro, de tal manera que al rotar sobre su lado común a los ángulos congruentes, determine un sólido de revo lución de volumen máximo. Cuáles dehen ser las dimensiones de los lados de la lámina triangular. 31. Se va a construir una carpa en forma de pirámide rectangular euadrangular. Para una superficie lateral S dada, hallar la razón de su altura a la de su base cuando el aire conte nido dentro de la tienda sea máxima (sin deformarse la carpa) Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
634
C apítulo 5: A plicaciones de la D erivada
32. Un embudo cónico de radio de base R y altura H está lleno de agua. Una esfera pesada esta sumergida en e! embudo. Cuál ha de ser el radio de la esfera para que el volumen de agua expulsada del embudo por la parte sumergida de la esfera, sea la mayor posible. 33. Hallar las dimensiones del cono circular recto de volumen mínimo que se puede circuns cribir a un hemisferio de radio R. 34. Hallar las dimensiones del cilindro recto circular de volumen máximo que se puede ins cribir en una esfera de radio 12 cm. 35. Hallar la relación entre el radio R y la altura H del cilindro que tiene la menor superficie total posible conociendo su volumen. 36. Se va a inscribir un cono circular recto dentro de otro cono circular recto de volumen dado con el mismo eje y con el vértice del cono interior locando la base del exterior. Cuál debe ser la razón de sus alturas para que el cono inscrito tenga el máximo volumen. 37. Hallar la base mayor y la altura de un trapecio isósceles cuya base menor y los lados no paralelos miden 3m y -JÍ2 m, respectivamente, si al girar sobre su base mayor genera un sólido de volumen máximo. 38. Hallar las dimensiones del paralelepípedo rectangular de volumen máximo, con base cua drada. que puede inscribirse en una esfera de área S. 39. Se quiere construir un tanque en forma de cilindro circular recto abierto por la parte superior y con una capacidad de 300 m \ Si el material a usarse para la base cuesta el doble por metro cuadrado que el que debe emplearse para la pared lateral; qué relación debe existir entre la altura del tanque y el radio de la base para que la construcción resulte la más económica posible. 40. Una viga de madera tiene sección rectangular. La resistencia de la viga es direciantemc proporcional a la anchura b y al cuadrado de la altura h. Cuales son las dimensiones de la viga más resistente que puede cortarse de un tronco de 24 pulgadas de diámetro. 41. Un hombre está en un bote a 2 millas del punto más próximo de la costa. Ha de ir a un punto Q, 3 millas costa abajo y 1 milla costa adentro, como indica la Figura 5.86. Se puede navegar 2 millas por hora y caminar 4 millas por hora; hacia que punto de la costa debe remar para alcanzar el punto Q en el menor tiempo posible. 42. Mismas condiciones que el Ejercicio 41, excepto que el hombre puede rcmai a V , millas por hora y-caminar a V 2 millas por hora. Si a, y a7son las magnitudes de los ángulos de la Figura 5.86, probar que el hombre alcanzará Q en el tiempo mínimo cuando V 2 Sen ix, = V [ Sen Ctj 43. Cuando las ondas luminosas, viajando de un medio transparente, llegan a la superficie de un segundo medio transporte, tienden a desviarse. Esta tendencia se llama refracción y viene determinada por la ley de Snell dé ¡a refracción:
Sen a , _ Sen a 2 donde a, y ce, son los ángulos de laFigura5.87y V,, V 2 las velocidades de la luz en los Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
EJE R C IC IO S. G rupo 45: Problemas ele optimización
635
dos medios. Probar que este problema es equivalente al Ejercicio 42 y que las ondas de luz viajan de P a Q siguiendo el camino de tiempo mínimo. 44. Una pequeña isla está a 2 km de la costa de un gran lago. Un hombre de la isla puede remar en su bote a 10 km/h y correr a 20 km/h. Donde debe desembarcar para alcanzar con mayor rapidez una villa, sobre la playa rectilínea del lago, que está a 6 km sobre la playa del punto más cercano a la isla? 45. Un corredor tiene que irse desde el punto A, que se encuentra en una de las orillas de un río, al punto B. que se halla en la otra. La velocidad del movimiento por la orilla (caminando) es k veces mayor que la del movimiento por el agua (nadando). Detei minar bajo qué ángulo deberá atravesar el río pura llegar al punto B en el menor tiempo posible. La menor distancia de A a la otra orilla corresponde al punto P y es h. La distancia de P a B es d. 46. Una fábrica está situada en la margen de un río rectilíneo de 2000 m de ncho. En la margen opuesta y 4500 111 no abajo hay una planta de energía en la que la fábrica dehe obtener su electricidad. Suponga que el costo por metro es el triple si el cable va por el agua que por tierra. Qué recta debe seguir el cable que conecta la planta de energía con a fábrica para minimizar el costo de tenderlo.
(Cuidado: No es lo mismo minimizar la longitud del cable que minimizar su costo) 47. El costo-de construcción de un edificio es de $50,000 el primer piso, $52,500 el segundo. $55,000 el tercero y así sucesivamente. Otros gastos generales suman $320,000. Se pien sa que una vez construido el edificio va a ser alquilado, produciendo una renta anual de $5,000 por piso. Cuál es el número de pisos que producirá el máximo porcentaje del capital invertido.
{Sugerencia: Porcentaje = 100 (•£). I = renta anual, C = Capital). 48. En la vertical del centro de un terreno circular de 30 m de radio se quiere situar un foco de luz a una altura tal que la iluminación en el perímetro sea máxima. Sabiendo que la inten sidad en un punto cualquiera del contomo es directamente proporcional al coseno de! Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 5: A plicaciones de la D erivada
636
ángulo üc incidencia (ángulo entre el rayo luminoso y la vertical), e inversamente propor cional al cuadrado de la distancia al l:oco, hallar la altura que debe tener éste. 49. Usted tiene una pieza de meta! de 30 m de largo 6 m de ancho, que se va a doblar para formar un abrevadero como se indica-en la Figura 5.88. qué ángulo deben formar los lados para que el volumen del abrevadero sea lo más grande posible. 50. Los dos lados y la base de un trapecio isósceles tienen 5 pulgadas de largo cada uno de ellos. Qué ángulo deben formar los lados con el techo horizontal para maximizar el área del trapecio? (Véase la Figura 5.89)
FIGURA 5.88
FIGURA 5.89
51. Halle la longitud del tubo de mayor longitud que puede ser transportado horizontal mente por una esquina rectangular que une dos pasillos que tienen 2>/2 P'es ^ ancho (Figura 5.90) 52. Se va a construir un canal de agua con una larga tira de lámina de 6 pies de ancho doblan do un ángulo 0 una banda de 2 pies a cada lado, como se ve en la Figura 5.91. Cuál debe ser el valor del ángulo 0 para maximizar el área de la sección transversal y, por lo tanto, el volumen del canal.
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Sección 5.9: E l M étodo de N ew ton
637
53. Hallarel áreamaxima posible A del trapecio inscrito en un semicírculo de radio I como se muestra en la Figura 5.92. Comience por expresar A en lunción de Ü. 54. Un andarín parte del punto P sobre una carretera rectilínea y quiere llegar a una cabaña en el bosque que está a 2 km del punto 0 . que a su ve/ está 3 km cartelera abajo de P. como se indica en la Figura 5.93. Puede caminar 8 km/h por la carretera, |iero sólo 3 km/h a través del bosque. Quiere minimizare! tiempo que necesita para llegar a (acabaña. Cuán to debe caminar por la carretera antes de internase en línea recta por el bosque hacia la cabaña? (Sugerencia: Use el ángulo que forma lacanctcracon la meta que tomará por el bosque, como variable independiente).
FIGURA 5 92
FIGURA 5.93
55. Un cartel tiene por bordes superior e inferior a la altura ;uy m/3 con respecto a la visual de un observador. A qué distancia debe colocarse el observador para que el ángulo determi nado por los ojos y los bordes sea máxima. 56. Una estatua de 3 m de alto tiene su base de 0.5 m amiba del nivel de los ojos de un observador. A qué distancia de la base debe colocarse el observador para que el ángulo que subtiende sus ojos debido a la estatua sea máxima 57. Una isla está ubicada en el punto A, 6 km mar adentro del punto más cercano B en una playa recta. Una mujer que se encuentra en la isla desea ir al punto C, 9 km playa a bajo de B. La mujer puede rentar un bote por 15 soles el km y viajar por agua hacia el punto P entre B y C; entonces puede alquilar un auto con chofer a un costo de 12 soles por kin y recomerían camino recto de P a C. Determinar la ruta menos costosa a seguir del punto A al punto C.
Í5 .9 )
EL M ETO D O DE N EW TO N
En este capítulo hemos necesitado con mucha frecuencia calcular los ceros de una función, es decir, las funciones fueron dadas de manera que los ceros d e /(x ) = 0 , / '(ar) = 0 y f"(x) = 0 pudieran obtenerse con facilidad y exactitud. Asi los ceros de f(x) = x1- ld x -1 6 , * U ) = 6x2 + 7 * - 3 y A (v )= 2 r’ + 3.r - 3.v-2 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 5: A plicaciones de la D erivada
638
se pueden calcular por la fórgiula cuadrática o por factorización. Sin embargo, en el mundo real las soluciones de / ( x) = 0 , no siempre son fáciles de calcular, sobre todo cuando/es una función polinómica no factorizable de grado mayor que 3. Por ejemplo, los ceros de la función f ( x) =x*+x- I no se pueden hallar por métodos algebraicos elementales. No obstante, existen muchos métodos para aproximar los ceros de tales funciones. Uno de estos métodos es el llamado método de Newton, el cual emplea la derivada y la recta tangente. Para ilustrar el método, supongamos que queremos calcular un cero de una función / continua en [a, b] y derivable en
/(* .) f Cx.)
Podemos mejorar aún más esta aproximación construyendo una nueva tangente en (x2, / ’(x2)) que al interceptar al eje X se obtiene x, = x,
/ ( * 2) f ( x 2)
Continuando de esta manera se obtiene los puntos x4, xSt ....x„. Puede verificarse fácilmente que para cada n, se tiene lafórmula iterativu del método de Newton: x _ , = x.. /•(* .) Lo que parece indicar que la sucesión {x„} de finida recurrentemente tiene límite o converge a la raiz c. Pero en general deben satisfacerse ciertas condiciones para garantizar que {x„} tiene límite. Por ejemplo, para la función f, cuya gráfica se muestra en la Figura 5.95, que tiene un punto de inflexión en x = 0 , se obtiene sucesivamente que: y x, = x, = x, = ..... x2 = x4 = x„ = ...... Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 5.9: E l M étodo de NewUm
639
de modo que {x„} no tiene límite y el método de Newton falla.. El teorema siguiente da un conjunto de condiciones que implican que {xn} tiende a una raíz de f ix ) = 0
T E O R E M A 5 . 1 0 : E l m é to d o d e N e w to n Sea fuña función continua en [fl, b\ > dcri\ab!een
. Supongamos que r' existe es
n) f i o ) •; f(b) Llenen sienos contrarios *•0 / ’ >' J
nunca son cero en \a, >?|
Entonces existe exactamente una raiz*- de f(x) = Qei\
si
se escoge de manera
/ ( * \) que a < x t — — — - < b . entonces la sucesión {x,} definida recurrentemente por t ( •*! I v = v - / ( -V '"l '■ t ' M tiene límite igual a c.
Mota
Al aplicar el Teorema 5.10. a y b deben escogerse lo sulidénlemcnte cercanos a la raíz c para que satisfagan las condiciones (i) y (ii). Además x, debe elegirse de modo que x2e [a, b], esto es. la tangente en x,. debe interceptar al eje X dentro del intervalo [fl. b |. Geométricamente la condición (ii) significa que la función es creciente o decreciente en [a. b] y es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo en [a, />|
[ EJEM PLO 1 ) Use el método de Newton para encontrar >/TÍ) con una precisión de cuatro cifras decimales.
Solución
Con mayor generalidad, consideremos la raiz cuadrada de ,un número positivo A como la raiz positiva de la ecuación / (a ) = r - A Entonces puede aplicarse el método de Newton para hallar una raiz de f(x)=0,es decir, una aproximación decimal de V í 0 . Como VÍO e [3, 4] y puesto que .
i)
f / ( 3 ) = ( 3 ) 2 - 10 = - 1 < o ] . < , > tienen signos contrarios | / ( 4 ) = (4) -1 0 = 6 > 0 J
ii) f ( x ) = 2x,f"(x) = 2, ni/ 1y ni son cero en [3, 4] Entonces existe un cero c e <3, 4> tal que / ( x ) = 0 De la fórmula iterativa, x n+1 = x„ -
y f (■*) = x?- A, se tiene / \*n / Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 5: A plicaciones d e la D erivada
640
x..., = x. —
a_
,
=
1
x. +
A (D
2 a.,
Con esto hemos obtenido una fórmula de iteración para hallar la raiz cuadrada de un número A > 0 como caso especial del método de Newton. Ahora, para A = 10 y tomando jc , = 3 como la primera aproximación de Jl 0 , en la fórmula ( I ) obtenemos: Para
„ = 1 =>
n=
2
= i-L
=> x, = — ’ 2 _
= I (3 +
2
a 2
J
2 \ 6
^
19 )
= 3.1666 e [3 ,4 1
228
A Í 7 2 1 + m i ^ l ( B 9 6 8 i _ = 3 162277 2 L 228
721 J
328776
Podemos suponer que VÍO = 3 .1622, con una aproximación de cuatro cifras decimales,
¡g
Obsérvese que en este ejemplo hemos obtenido una sucesión convergente a JTO con cuatro iteraciones. Si hubiéramos comenzado con otra aproximación inicial de j c , = 3.2, obtendríamos una sucesión distinta convergente a ^f\Q, esto es, aplicando la fórmula ( I ) se tendría: x, = 3.J625. a ? = 3 . 162277 Podemos ver entonces, que la segunda sucesión tiende más rápidamente a -f\ O. Por lo tanto, en general es ventajoso elegir xu lo más cerca posible de la raiz. ( E JEM PLO ~~2~) Para aproximar los ceros de/(x) = a' - 3 a + 4 . usar el método de Newton Continuar las iteraciones hasta lograr que dos aproximaciones sucesivas difieran en menos de 0.001.
Solución
Un esbozo preliminar de la gráfica de } función en el intervalo [-3, -2]
muestra que existe un cero de la
Como la función es continua en [-3, -2] y derivable en <-3, -2>, entonces: J /( - 3 ) = *)
j/ ( - 2 )
jc ) =
ü)
( —3 ) 1 - 3 ( - 3 ) + 4
— — 14 < 0
= ( —2 ) * - 3 ( - 2 ) + 4 = 2 > 0
3 a -2 - 3
= 3(a + 1 )(a -1 )
J " ( x ) = 6x
Las funciones / ’ y / " nunca son cero en el intervalo [-3, -2], luego, por el Teorema 5.10, 3 c e <-3, -2> / / (c) = 0 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
641
Sección 5.9: E l M elado de Newton
f (■* ) De la fórmula iterativa, x„+l = x„ ——— —
y f(x) = x1- 3 * + 4, se tiene
F (-*u)
***i = X» ~
x 1 —3x + 4 \ 3 x2„ - 3~ =>
Ix] - 4 2~Z
(I)
3 x„ - 3
Ahora, tomando como aproximación lineal x, = -2.5 podemos calcular algunos términos de la sucesión (x„), dando valores a n en la fórmua de iteración (1), esto es: Para
„= , ^
= 2 *> “ 4 3xf - 3 3 (-2 .5 )2 —3
n = 2 => x3 =
™
2 x j —4 _ 2(-2.238)1 - 4 3 x ;-3 3(—2.23S)2 —3
o . “2 r ' 3J - 4 —A2(— . i w2.196)' / r -4 _ ...c n = 3 =4- jc. = — i = -------------- =----- = -2.105 4 3*5 —3 3 ( - 2 .106) —3
Por tanto, podemos estimar que el cero de J es c = -2.195, dado que dos aproximaciones sucesivas difieren en la cota prefijada de 0.01 * ( j J E M P L O ^ J Usar el método de Newton para hallar la solución de la ecuación x + Cos x = 0, en el intervalo [-2, 0], con una aproximación de cuatro cifras decimales.
Solución
Sea la función f (x) = x + Cos x, continua en [-2, 0] y derivable en <-2, 0>, entonces: í / ( —2) = - 2 + Cos { - 2) =- 2+Cos ( 2) <0 U j / ( 0 ) = 0 + Cos (0) = I > 0
i i ) / ’(*) = l - Scnx, f"(x) = - Cos x Las funciones/1 y f " nunca son cero en el intervalo í-2, 0], luego, por el Teorema 5.10. 3 c e <-2, 0 > / / ( c ) = 0 De la fórmula iterativa *
f(x ) = x„ - —- ——
F (-*n)
y / ( x ) = x + Cos x, se tiene:
xu+ Cos x„
X~ ' - X"
x„ Sen x„ + Cos xn l-Senx.
l-Senx,
m
Ahora, tomando como aproximación inicial x, = -1, calcularemos algunos términos de la sucesión {x„}, dando valores a n en la fórmula de iteración (1), esto es: Para
n = 1 => x, = -
*, Se nx, + Cos x,
(-1 ) S e « (-I) + C o j(- I)
1 — Sen x,
I —Sen (-1 )
Sen(\) +Cos(l) _ _ 0.8415 +0.54W _ 1+Se«(l)
“
1+0.8415
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C apitulo 5: Aplicaciones de la Derivada
642
x2 Sen x 2 + Cos x2 (-0.7504) Sen (-0.7504) + C o s(-0 . 7504) = ---------- j— ------ ------------------------, - f e l ( - 0“ 7504)-----------------
Para ti = 2
0.7504 ( 0.6817 )+ 0.7313 + 0.6817
1.2428 = - 0.7390 1.6817
a-, Sen x, + Cos a, (-0.7390) 5e«(-0.7390 ) + Cos(-O.739ü) --------- — - = -------------------i-S e n ^ I Y ^ ~ ' '
Para n ~ 3 => x4
(0.7390) (0.6734) + 0.7392 I + 0.6734
1.2368 = - 0.7391 1.6734
En consecuencia, podemos estimar que la raiz de la ecuación dada es c = -0.7391 ( EJEM P LO 4 ) Usar el método de Newton para aproximar hasta tres lugares decimales, el valor de x que satisface a ecuación x + Ln x = 0
Solución
Sea la función f (x) = x + Ln x, continua en <0, l] y derivable en <0, l>, entonces: í / ( 0 ) = 0+ L n (0 ) = —~ < Q 0 \ / ( l ) = 1+ /> ( ! ) = l> 0 , f'(x)= -~
n) / ( x ) = l + ^
X
Las funciones / ' y / " nunca son cero en x e <0, 11, por lo que según el Teorema 5.10, 3 x e <0. 1 > 7 /(c ) = 0 s De la fórmula iterativa, *
f (X ]
= x„ — r,\ , uon f{x) = x + Ln x, se tiene /' (*J
x„ + Ln xm _ X «+\ ~
X n
J
^
_ X „+\ ~
x„ ( \ - L n x „ ) ,
7
(I)
i+X*
1+ — X„
Tomando como aproximación inicial a , = 0 .5 = 1/2, calcularemos algunos términos de la suce sión {x„} dando valores a n en la fórmula iterativa (l), estoes: Para „ = ! = > , , =
Para n — 2
a
x
=> a ,
=
,
(1 + Im x .) 0.5 ( 1 - Jm 1 /2 ) 0.5 (I + Ln 2) ----= ------------ -------[+ ^ = _
2 (1 + Im x , )
------------------------ — 1+ a ,
0.564
( l - L n 0.564) 1+0.564
= -----------------------------------------------
0.564 (1.5727) _ ^ = — r * ¡— = 0 -567 Por lo tanto, podemos estimar que la raiz de la ecuación dada es c = 0.567 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
■
643
Sección 5.9: E l M étodo de N ew ton
OBSERVACION 5.11
Interpolación L ineal
Una forma común de obtener una aproximación inicial x. de c es por interpolación lineal. En este método escogemos x, como el pumo en el que el segmento que une R(«, f(a )) y S(b,f(b)) intercepta al eje X. En la Figura 5.97. por la semejanza de los triángulos RAP-y PBS. donde AR = f (a) es negativa y BS = / ( b ) es positiva, obtenemos la proporción:
AP PB a-, —a b-xx A R ~ BS ^ - f ( a ) “ f(b) de donde, despejando a , , se tiene: Ai -= s l S k l r t
f ( b) - f(u )
[E JE M P L O 5 ) Use el método de Newton para hallar la solución de la ecuación J ( a ) = a 3 - 4 a + l = 0 , en el intervalo [ 0 , 1 1 con una precisión de cuatro cifras decimales.
Salación
La función/ es continua en |0. 1] y derivable en <0, I > entonces:
l)
f / ( 0 ) = (0 )?- 4 ( 0 ) + l = l > 0 \ [/■(!) = (I)-1 - 4(1) + I = —2 < 0
t'enen signos contrarios
ii)
/'(a ) =
y
3 x3 - 4 = ( V 3
a
+ 2 )(-J 3
-2 )
x
/" ( * ) = 6a
Las funciones / ' y f" nunca son cení en el intervalo <0. 1>, luego, por el Teorema 5.10, 3 c g <0, l > / / ( c ) = 0 Si
x „ +l
"+l
=
a ’ - 4 a „ + I a
„ -
"
f(x„)
A_.. = A
2 (a„ )j -1
( I)
3
a
¿ - 4
3 (a„ ) - - 4
Escogemos la estimación inicial x,, de la solución usando la fórmula de interpolación lineal, esto es, si
_ a f(b)-bf(a) f(b)-f{a)
_ 0(-2) —1(1) _ 1 -2 -1
Con este valor, la iteración (1) produce la siguiente sucesión Para
„ = , =,
n=2
= « ÍL ? = I = 3(x,) - 4 3 (1 /3 ) —4 a ,
2 ( a , )3 — 1
= ----- = - t ----3(A2r - 4
=
99
2 (0 .2 5 2 5 )3 — 1
— ---------- ^
3(0.2525 ) 2 - 4
=
=
„
0 . 2541
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3
Capitulo 5: A plicaciones de la D erivada
644 _ 2 (x ,)?- l 3 (*3)2 - 4
_ 2(0.2541 )3- 1 = 0.2541 3(0.2541 )2 - 4
n = 3 => x., = 4
Así obtenemos la raíz c = 0.2541 con una exaelitud de cuatro cifras decimales. (E J E M P L O _ 6 _ J Usar él método de Newton para aproximar el valor de x de la intersección de las gráficas de las funciones/ ( a ) = Zr + 1 y g{x) = -Jx + 4 Continuar el proceso hasta que las iteraciones difieran a lo sumo en 0 . 0 0 0 1 . Si f(x) - g(x) =>2 a
Solución
Jx+4
1=
+
-
<=>
2x + l - -J'x +4
= 0
Luego, hallaremos los ceros de la función h(x) = 2x+ \--Jx + 4 La fórmua iterativa de Newton para esta función da:
2x„+\-
Xn+t “
I rJ U —
2
a„ + « - 2 ^ + 4 . I------ —T . 4V*« + 4 - 1
( I)
Un esbozo de las gráficas de / y g (Fig. 5.98), nos revela que la abscisa del punto de intersección se halla en el intervalo <0, l>. En efecto: i)
/i(0)
=
2 (0 )
+
1 -
-J0
+ 4
= -I
< 0
ft(l) = 2 ( I ) + l - y r Í 4 =3-^5 >0 i i)
Las funciones fi y h" no son cero en el intervalo<0, l> = > 3 c e <0,\>/h(c)=0
Tomando x ,= 1 / 2 como la primera estima ción y haciendo uso de la fórmula iterativa (1) obtenemos los valores siguientes: Para
n = I => x 2 =
* , + 8 —2 -/x ,+ 4
4^ + 4
- 1
-
x¡ + 8 -2 ^ /x , n = 3 => xA = ------ ,
2J 4I
= 0 .5 6 8 7
4 V 4 l" -l
x 1 + & -2 1j x2 + 4 4 ^ /a 2 + 4
S. 5 -
8 .5 6 8 7 -2 ^ 4 .5 6 8 7
1
= 0.5689
4 V 4 .5 6 8 7 -I
+ 4
8.5689-2>/4.5689 = --------- , = 0.5690 4-^4.5689-1
Como dos aproximaciones sucesivas difieren en 0 . 0 0 0 1 . debemos suponer que el punto de intersección aproximado a cuatro decimales es a
= 0 .5 6 9 0
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.
645
E JE R C IC IO S. Grupo 46: E l M étodo Newton
E JER C IC IO S . Grupo 46 *1* En los ejercicios I al 10 aproximar el cero o ceros de la función mediante el método de
❖
f(x) = x*-3 /(* )=
i-!
2. 4. 6. 8.
1. f(x) = x' + x - I / ( x) = aj - I0x2 - II m = x* - 3c2+ 3
3. 5. 7. 9.
'-s V II
Newton. Continuar iterando hasta lograr que dos aproximaciones sucesivas difieran a lo sumo en 0.001.
/(X ) = A-1+ 3 /( x ) = x1+ x ‘ + x + 2 / ( x ) = x' + x + [ 10. f ix) = x5 + x - 1
En los ejercicios ! 1 al 20, use el método de Newton para hallar la solución de la ecuación dada/ (x) = 0 en el intervalo que se indica (tí. b], con una precisión de cuatro cifras decimales. Escoja la estimación inicial de la solución, usando la fórmula de interpolación lineal.
11. 12.
x2- 5 = 0 , [2, 3] xy - 2 = 0, [1. 21
(para hallar la raiz cuadrada positiva de 5) (para hallar la raiz cúbica de 2)
13. 14.
jc* -100 =
(para encontrar la raiz quinta de 100) (para encontrar 102'3)
0, [2, 3]
x™- 10 = 0, [4, 5J
15. 17.
jc5 + jt* =
.v2 + 3* - 1 = 0, [0. I ] 100, [2, 3]
16. 18.
jc'
jt*, + 7 jr - 4 = 0 , 1-1,01 - 5a - 10 = 0, [l, 2]
19.
xJ- 3 t - 1 = 0 , (-1,0]
20.
x1' + Ix 1 - 4 = 0 . [0, l ]
21.
a)
Demuestre que el método de Newton, aplicado a la ecuación x* - A = 0, produce i A la iteración: x_. = t-1 2 x.. + fl+l 3 ^ " (x„)\ para calcular la raiz cúbica aproximada de A.
22.
b)
Use esta iteración para encontrar \¡1 con una exactitud de cinco cifras decimales.
a)
Demuestre que la fórmula de Newton produce iteración
A Para la raiz A-esima aproximada del número positivo A. b)
Use esta iteración para encontrar “V i00 con una exactitud de cinco cifras decimales.
En los ejercicios 23 al 26, use el método de Newton para encontrar todas las ratees reales de la ecuación dada, con cuatro cifras decimales de exactitud. Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 5: Aplicaciones de la D erivada
646
24. x' - 5x + 2 = Q 26. jc5- 3** + jt2- 2 3 *+ 1 9 = O
23. ^ - 2 0 = 0 25. x1 - 5 jt + 1 = 0 ❖
En los ejercicios 2 7 al 3 2 , use el método de Newton pura hallar la solución de la ecuación dada / ( a ) = 0 en el intervalo que se indica |<3, £>], cor una precisión de cuatro cifras decimales.
x - Coa x , [ 0 , 2 ] 29. /(jc) = x + Tgx, [ 2 , 3 }
27.
- Sen x - 4 , [ 1 . 30. / ( x ) = x + Cos jc , [ - 2 . 0]
/( a ) =
31. f i x) = 4x - Sen x + 4,
28.
[-2,
-11
/ ( x ) = Ax
2]
32. /( x ) = 5x - C«.v x + 5, [1,01
33. Aplicar el método de Newton para aproximar el valor de x de la intersección de dos gráficas: a) f (x) = x , g(x) = 2 Sen x
b) f ’(x) = x' , g(x) = Cos x
34. Aproximar el número crítico de la función resultado esbozar la gráfica de/.
/( jc ) = x Cos x en el intervalo [0 ,7t]. Con este
35. Aproximar el número crítico de la función / (a) =xSenx en el intervalo [0, TtJ. Con este resultado esbozar la gráfica de/. 36. Demostrar que la función/ (
a
)
= Sen (x2+ Cosx) - Hx + 100 ^3 - Cos x tiene algún punto
crítico en <0, n/4> 37. Usar el método de Newton para aproximar, hasta tres lugares decimales la coordenada x del punto de intersección de las gráficas de y = 3 • x e y = Lux. 38. Explique porqué la ecuación xJ - 3 a 3 + 1 = 0 debe tener por iu menos una solución. Use después el método de Newton para encontrarla. 39. Sea / ( a ) = a ' - 5 a , y escoja a , = 1. Trace la gráfica y determine a qué converge {a„}. Porqué no es aplicable el Teorema 5.10 en este caso. 40. Aplicar el método de Newton para aproximar el valor de a de la intersección de las gráfi cas de / ' ( a ) =
3
-a
y
g(x) =
+ ^ • Continuar el proceso hasta que las iteraciones su
cesivas difieran a lo sumo en 0.001.
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ECUACIONES PARAMETRICAS (g a )
c u r v a p a ra m é tric a
Hasta ahora se a vista la forma en que las funciones reales de variable real especifi can conjuntos de puntos en el plano IR', es decir, hemos representado una gráfica por medio de una sola ecuación que contiene dos variables x e v, de la forma >' ~ fix) o x = gfy). En este capitulo veremos la situación en la cual es útil introducir una tercera variable o parámetro para representar una curva en el plano.
Definición 6 .1 : CURVA PARÁM ETRICA Seanf y g dos funciones reales de variable real con dominios Dy y Ds respectivamente. Entonces si D, n D s# 0 „el conjunto ¿’M U W , £ ( ' ) ) ’ ' e D , n D , | se denomina curva plana o paramétrica Las ecuaciones
(1)
.v- fitj
v=g{t) se denominan ecuaciones paramétricas de & en los que t es el parámetro.
(2)
Cada valor del parámetro t da un punto (/(/), g(t)). y el conjunto de todos los puntos es la cuyas coordenadas cartesianas son
gráfica de la curva
G=
R xK | t
I)
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(3)
648
Capítulo 6: Ecuaciones param étricas
Asi. en la figura 6.1 se muestra que para un valor de / e I se obtiene un punto P(.t. v) € G. Con Frecuencia no se hace distinción entre el conjunto de todos los pares coordenados de la curva (1) y la gráfica (3). Por !o tanto unas veces nos referimos a la curva y otras a la gráfica, en forma intercambiable. El intervalo I es de la Forma \a, /;], donde los puntos P„ g(cí)) y P¿ (J(b). g(b) se llaman extremos de la curva Si estos dos puntos coinciden, se dice que la curva 0 es cerrada. Si no hay pares distintos de valores de í, con la posible excepción de los valores t —a y t = h, que dan lugar íü mismo punto de la gráfica, entonces la curva (■no se autointerseca, y se dice que la curva es simple. La figura 6.2 muestra cada uno de estos conceptos.
(^ E J E M P L O ^ IJ Representación paramétrica Dibujar la curva descrita por las ecuaciones paramétricas: jc = t2 + 2t . y = / + 2 , l e [-3.2]
Solución
Para valores de l del intervalo dado, las ecuaciones parainétricas conducen a los seis puntos (.t, y) que se muestran en la Tabla 6 .1. TA B LA 6 1
/
-3
-2
-1
0
1
2
X
3
0
-1
0
3
8
y
-1
0
I
2
3
4
Dibujando estos puntos en orden creciente de t y usando la continuidad de las (unciones x = j[t) e y =g{t) obtenemos la curva: C = [ { f + 2t, f + 2 ) l r e 1-3.2]} que se muestra en la Figura 6.3. La flecha en la curva indica su orientación cuando / crece de -3 a 2. Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
649
Sección 6.1 : C urva puram étrica
Sota
Ocurre con frecuencia que una curva en el plano puede lencr distintas
paramctrizaviones. Por ejemplo e! conjunto de ecuaciones paramétrieas. x - f- - 4r+ 3, y = r - l , /€ [ ( ) , 51 tiene la misma gráfica que el conjunto del Ejemplo 1. Como ejercicio construya el conjunto de coordenadas (x, y) para cada valtn en orden creciente de t, elegido del inteivalo [0. 5j. luego trace la curva en una dirección específica y obtendrá así la griHiea de la Figura 6.3 OBSERVACIÓN 6.1.
Eliminación del parámetro Hemos visto que dadas dos ecuaciones parainétricas de l i n a curva
(', con dominio común I = D, r> Dx r= /T 0 . y=g(t ) (1) al trazar su gráfica usarnos el método simple del dibujo punto a punto. Este proceso laborioso puede simplificarse a veces hallando una ecuación rectangular, de la forma E (x. y) = 0 (2) que tenga la misma gráfica. A este proceso se le llama eliminación del parámetro. ( ^ E J E M P L ^ ^ J Hallar la ecuación cartesiana de la curva representada por las ecuaciones paramctricas.
x ~ 1+ — ■.)• = / - 1 r
Identifiqúese y luego dibújese la gráfica de la curva.
Solucwrt
Si y —t - I => / = 1 + y,
sustituyendo en laprimera ecuación se tiene:
r = 1+ - L ^ (x - 1 )0 ’ - i ) = l I+ y Es la ecuación de una hipérbola equilátera con centro en ( I . - 1) y asíntotas las rectas x — l : y = -1. Su gráfica se muestra en la figura 6.4 ■
Nota
Una cierta precaución debe tenerse en cuenla alpasar una ecuación de la forma paramétrica a la rectangular, pues como sabemos lodo punto obtenido en í l ) es punto de la gráfica de (2); sin embargo, la reciproca no siempre se cumple. En todos los casos es necesario restringir el dominio de la ecuación rectangular de forma que su gráfica se ciña a la gráfica de las ecuaciones paramétricas.
( E JEM P LO 3 J Restringir el dominio tras eliminar el parámetro Dibujar la curva representada por las ecuaciones paramctricas x = 2Senr + 3 , y=3Sen/ mediante la eliminación del parámetro y hallar la ecuación rectangular correspondiente.
Solución
Despejando Sen fde ambas ecuaciones obtenemos Sen t -
2 3 de donde : 3 (x - 3) = 2y <=> 3x - 2y - 9 = 0 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
(a)
C apítulo 6: Ecuaciones param étricas
650
Es la ecuación cuya gráfica es una recta en IR. Sin embargo, las ecuaciones en (a ) indican que V / e IR : jc -
y
3 <
1
A
<
1
«
jc —
3
< i) a {-i <
y
3 o (l < X < 5) A (-3 < .y < 3 ) cuya gráfica es el segmento de extremos A (1, -3) y B (5, 3), mostrada en la figura 6.5. En consecuencia, la ecuación cartesiana correspondiente a las ecuaciones paramétricas dadas es: 3 x - 2 y - 9 = 0 . x e [1,5] ■ 2
3
{ E J E M P L 0 ^ 4 j Elimine el parámetro para dibujar la gráfica de la curva paramétrica: jc
Solución
- 1 = -Jt - ! , y = 5 --1
Despejando íde la segunda ecuación se tiene: t = 5 - y. Sustituyendo en la primera ecuación para x , obtenemos:
x - l = J ( 5 - y ) - l = y¡4^J’ =*í x- l)s = 4-;y y = 3 + 2 jc - x7 La gráfica de la ecuación rectangular obtenida es la de la parábola con vértice en V( 1,4), definida en V x € IR. Pero de la ecuación paramétrica de x vemos que la curva esta definida solamente cuando t > 1. Esto implica la restricción del dominio de x a x - I > 0, estos es, jc > 1. Por lo tanto, la gráfica de la curva es una parte de la parábola >’= 3 + 2jc - x2, jc e f 1, -h»>, mostrada en la figura 6.6 ■ En el siguiente ejemplo, se hace uso de las identidades trigonométricas para eliminar el parámetro.
FIGURA 6.6
fE JE M P L O 5 ) Dibujar las curvas representadas por a)jc = 2 + 3 C o s f , y = * !+ 4 S e n r , f € [0, 2n] b) x = - 1 + 2 Sec f , y = 2 + 3 Tg f, r e IR mediante la eliminación del parámetro y hallar la ecuación cartesiana correspondiente. ISgfocz'dn l En (a) empezamos por despejar Cos t y Sen t de las ecuaciones paramétricas dadas, esto es Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 6. / : C urva param étrica
651
Cos t =
x -2 3
Sen t =
v+1
U-2? Ahora, como Cos21 + Sen- t = 1 => -------— + ( > + i r 9 16 que corresponde a la ecuación de una elipse con centro en C(2, -1), de eje mayor 2a = 8. paralelo al eje Y, y eje menor 2b = 6, cuya gráfica se muestra en la Figura 6.7 Análogamente en (b): Sec t =
x+ I 2
Tg t =
y -2
( y —2) 4 9 que corresponde a la ecuación de una hipérbola con centro en C (-1, 2), eje real 2a = 4. paralelo al eje X . eje conjugado 2b —6, y cuya gráfica se muestra en la figura 6.8. ■ y dado que, Sec21 - Tg 21 = 1
(
(A + l ) 2
3 ¡>
i
¡ 3 M
fw
x
J
FIGURA 6.7 Los ejemplos 4 y 5 son curvas paramétricas en los que se puede eliminar el parámetro para obtener asi una ecuación explícita y = F(x) o F.(x, y) = 0. Reciprocamente, cualquier curva explícita puede ser representada mediante un elimitado número de ecuaciones paramétricas, una de ellas puede ser x = r , y - F(r) en las que t recorre los valores del dominio original de F. ( EJEM PLO 6 J Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar la gráfica de y = + 1 usando los parámetros siguientes: a)
t=x.
b) la pendiente m = {^) en el punto (x, y).
dx Solución
a) Haciendo t = jr. obtenemos las ecuaciones paramétricas x = t , y = 4 F - 8r + I Ahora, si escribimos las ecuaciones cartesianas en la forma y = 4 (jt - 2jc + 1) - 3 « y + 3 = 4(» - [)2 obtenemos otra parametrbación más simple con t ~ x - I. Esto da: x ~ t + \ . y = -3 + 4r2 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
652
b)
C apítulo 6: E cuaciones param étricas
Si m = — ¿/jc
=> m = 8x - 8 = 8 (x - I) => jc - l =
in 8
y si >' = -3 + 4 ( jc - 1)2 => y = -3 + 4 (m/8)2 <=> y = -3 + — 16 Por tanto, las ecuaciones paramétricas son:
16
8
El uso de ecuaciones paramétricas x =f(t) , y = g(t) para describir una curva es más ventajosa cuando la eliminación del parámetro es, ya sea imposible o cuando conduce a una ecuación E(x, y) = 0 considerablemente más complicada que las ecuaciones paramétricas originales. Esto ocurre con frecuencia cuando la curva es un lugar geomé trico o es la trayectoria de un punto que se mueve bajo condiciones especificadas.
(E JE M P L O 7 ) Ecuaciones paramétricas de una cicloide Determinar la curva trazada por un punto P de una circunferencia de radio a, cuando dicha circunferencia rueda sin resbalar sobre una recta en el plano. Dicha trayectoria se denomina cicloide.
Solución
Sea el parámetro t, que mide la rotación de la circunferencia y sea P(x, y) las coordenadas del punto fijo después de haber girado la circunferencia sobre el eje X un ángulo t, desde que P comienza en el origen. Como la circunferencia rueda lihremente sin resbalar, entonces: O T = TP = a t de modo que el centro C tiene como coordenadas (a t , a ) en el momento r. El triángulo rectángulo PBC de la Figura 6.9 nos proporciona las relaciones: PB = a Sen t y BC = a Cos t Luego, si
OA = O T - AT = O T - PB AP = TB = TC - BC =>
^ x = a t - a Sen t y —a - a Cos t
Por tanto, las ecuaciones paramétricas de la cicliodc. trayectoria del punto móvil P, son: ■
x = a ( / - Sen t), y = a ( ] - C o s t )
^ Y i
0
A
► X
T
2 Ttcl
FIGURA 6.9
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653
E J E R C I C I O S . G rupo 47: Curva paramétrica
E JE R C IC IO S . Grupo 47 En los ejercicios 1 al 26, dibú jese las curvas representadas por las ecuaciones paramélrieas y escribase la ecuación rectangular correspondiente al eliminar el parámetro.
x = -Jt , yv = 3/ - 2
2. 2.
x -~ 2/ 2t +\ 22
3.
x = pl 2+ b, y = 2/ + «
4.
x = 4 ,j t -1
.
5.
x = 2 + ^ ,y = / + 3
6.
x _— 2 at
, _ « U -7 ) > _ 1+Í3
.
v = 2/: + 4/
7+7
7. 9. 11. 13. 15. 17. 19. 21. 23. 25. ❖ 27.
12.
14. 16. 18.
x= x= x= x=
20 . 22 .
24.
4í3 4+r
•
4 Cos / , y = -Cos 2 / 2 Sen t - Cos / , y = Sen / + 2 Cos / 2 + 3 Cos / , y = -3 + 2 Sen / -3 + 2Sen / , y = -4 + Cos /
x = Sen / , y = Sen 3 t x = 2 + 3 Tg t , y = l + 4 Sec /
26.
En los ejercicios 27 y 28, determínese en qué difieren una de otra las curvas planas a) x =
/
, y=
2/ +
c) j t = e~' , y =
e "'+ d ) x - ^ , y = 2e, + l
1
x = Cos t , y = l + 2 Cos /
a)x = 2 C o s /, v = 2S en /
2
1
c) x = y[J . y = >/4- /
J 4 z2- !
❖
’
x = ci( 1 - r) , y = b t x - Cos t , y = 2 Sen3 / x = S en (//2) , y = Cos/
10.
jc=tfScn3f , y = £iCos-'/ x = 2(1 + Cos t) . y = 2 S e n t x= -1 + 2 Sec / , y = 2 + T g / x = a Tg / , v = b Sec2/ x - Cos 3 / , y = 2 Cos t
b) 28.
4/2 4+C
x= ! -/, y = 1 + / t t x = t l + t, y = f - t x = Sec t. y = Cos t *= < ? ', y = e i ' x - 2 Cos / , y = Cos (t/2)
J = 2 -J5 —t
d)
x = - - ^ 4 - c2f , y = e*.
En los ejercicios 29 al 34, dibuje la curva representada por las ecuaciones paramélrieas.
29. Cicloide: x = 2 ( /- S e n /) , y = 2 (1 -C o sí) 30. Cicloide: x = t + Sen / , y = 1 - Cos / 31. Bruja de Agnesi: x = 2 C o l g / , y = 2 Sen2/ 32. Cicloide Cúrtala: x = 2 / - S e n / , y = 2 -C o s / 33. Cicloide Prolata:
3
3
x = t - ^ S en /, y = I - ^ Cos/
34. Folium de Descartes: x -
^ 7+7
, y = -3 í_
*
1+7
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Capítulo 6: E cuaciones param étrica y
654
35. Una parábola de eje horizontal y vértice en ( - 1,2 ) pasa por el punió A ( 1,4). Panunelricc su ecuación, expresando x e > como funciones de la pendiente m de la recta tangente, en el punto P(x, y) de la parábola. 36. Hállese el conjunto de ecuaciones paramen icas para la gráfica dada a) Recta: pasa por (1,4) y (5, -2) b) Cincuntérencia: Centro en (-3. I ) y de radio 3 c) Elipse: Vértices en (4, 7) y (4, -3). focos en (4, 5) y (4, -1) 37. Una rueda de radio a rueda sin deslizar sobre una recta. La curva trazada por un punto P que está a b unidades del centro ( b < á) se denomina cicloide corta, siendo como aparece en la Figura 6.10. Usese el ángulo t mostrado en la figura para hallar el conjunto de ecuaciones paramétncas para la curva. 38. Una circunsfercncia de radio 1 rueda sin deslizarse sobre el exterior de una circunsfcrcncia de radio 2. La curva trazada por un punto de la circunferencia menor se llama epicicloide, y es como se ve en la Figura 6.11. Use el ángulo / mostrado en la paramétrica para la curva.
39. Si una cuerda, enrrollada al rededor de un círculo de radio íí, comienza a desarrollarse de manera que la cuerda se mantenga siempre linante y en el mismo plano del círculo, enton ces el extremo libre de la cuerda describe una curva llamada invohita del círculo. Deter minar sus ecuaciones paramétricas. 40. OB es la manivela y AB es la biela de una máquina y AB > OB. B se mueve en la circunfe rencia de la manivela cuyo centro es O y A se mueve sobre la recta fija OX. Hallar las ecuaciones paramétricas del lugar geométrico de un punto P sobre AB considerando a) t = A AOB como parámetro y supuesto que BP = b, PA = a y t —o + b b) t = A XOB como parámetro. 41. Un círculo de radio b rueda sin deslizarse dentro de un círculo de radio a > b. La trayec toria que describe un punto P fijo en el borde del círculo que rueda se llama hipocicliode. Si P comienza su viaje en el punto A {a, 0) de la Figura 6.12 y t es el ángulo AOC, donde Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
65 5
Sección 6.2 : Derivación param étrica C es el centro del círculo que rueda, de muestre que las coordenadas de P están dadas por ecuaciones paramétricas: jc = ( a
- b) Cos t
+
b Cos
- ^ r^
y = (a - b) Sen / - b Sen 42.
tJ
Si b = a!4 en el Ejercicio 41, demuestre que las ecuaciones paramétricas de la hipvcicloide se reducen a: jts a C o s ’1 / , v = a S e n , í
(1 ^ 2 )
D E R IV A C IÓ N P A R A M É T R IC A
Sean f y g dos funciones derivables con un dominio común I = [a, b], cuyas repre sentaciones paramétricas son:
x = Jit), y = g(t), í
g I
(1)
Si f es continua a /( r ) * 0 para r e í , entonces/ es creciente o decreciente en I. Por lo que,/ tiene una inversa continua f* tal que i = /* ( jc), V x e \f(a),f(b)]. Entonces
>' = gU) = 8 [/* (* )] = FW (2) donde F = 8(f*) es una función continua V jc e [f(a),j{b)]. De aquí que las ecuaciones paramétricas (1) definen a y como una función continua y derivable de Jt, cuya ley de corres pondencia viene dada por (2). Ahora, si g(t ) = F(x), obtenida en (2), sustituimos r por/fr) obtenemos í ( 0 = F [/(/)]
(3)
Derivando respecto a t se obtiene g’(0 = F * [/íf)]./(f) que según las ecuaciones (1), puede transcribirse como
(ÉL\ \dx ) \ d t )
dt
Por lo tanto, si — = f ' ( t \ * 0 => — = ^ — = % -fdt J1 ' dx dxi dt f ( t ) o también:
_____________
d\ dx
8'<0
f(t)
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Capítulo 6: Ecuaciones param ettieas
656 T E O R E M A 6 .1 :
F o rm a p a ra m é tric a d e la d e riva d a
S ean /y >• funciones domables con un dominio común l a /;] S i / ' <■;--continua v (’ í f ) * 0 , para f e [
i
d/ _ Jv ' / d± | _ >?* dx \ dt í/f J g (t)
( E J E M P L O 1 1 Sea la curva paramétrica : x =
f'fn * , y — ? en *
,/Co.s 2 1
tJ
C ps 2 1
Calcular una expresión simplificada para
dx Si x = C os'f (Cos 2 í ) 1/2 e y = Sen31 (Cos 2 t yU2, entonces aplicando la regla del producto de ambos casos se tiene
Solución J
=f(t) = Cos' 1 1-1/2 ÍCos 2 0 w (-2 Sen 2 f)J + {Cos 2 f>1/31 -3 Cos: t Sen fl = = =
^
= g'(f) = = = =
(Cos 2 O 3'2Cos2 í [Sen 2 f Cos f - 3 Sen f Cos 2 f] (Cos 2 f)-V2Cos2 f [Sen (2f - f) - 2 Sen t Cos 2 f] (Cos 2 í)*'2Cos2 / Sen f ( I - 2 Cos 2 f] Sen' f [- 1/2 (Cos 2 f) w {-2 Sen 2 f)] + (Cos 2 f)-|C [3 Sen2 f Cos fl Sen2 f (Cos 2 f)-V2 [Sen 2 f Sen f + 3 Cos 2 f Cos fj Sen2 f (Cos 2 t )m V1 [Cos (2f - /) + 2 Cos 2 ¡ Cos f J Sen2 f (Cos 2 f)‘V2 Cos f (1 + 2 Cos 2 f]
Luego, si ¿ 1 = = ^ n U l + 2 Coy 2f) c/x / ’ (f) Cos f (I —2 Cos 2t)
Sen t [1 + 2 ( 1—2 5 en2 f/] _ 3 Sen t - 4 Sen* f = Cos f [ 1 - 2 ( 2 Coi2f - l ) ] ” - ( 4 CoJt - 3 Cos f) =>
(6.3)
dx
=
Sen 3 1 = - Tg 3 t —C o¿3f
■
R E C T A S T A N G E N T E S A C U R V A S P A R A M É TR IC A S
Una curva é representada por x = / » , y = g(t) en un intervalo I se llama suave si las derivadas/(f) y g'(t) son continuas y nunca son cero simultáneamente, excepto quizas en los puntos extremos de I Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 6.3 : Rectas tangentes a curvas paramétricas a)
657
La pendiente de la tangente a una curva suave en cada punto P(jt, y) de su gráfica está dada por
En particular cuando t = t„, esta pendiente es
m= T < é ’ r i K ) * 0 b) c)
Tangentes Horizontales. Una recta tangente es horizontal cuando la pendiente m = 0, esto es, en el punto donde g'(t) = 0 y f ( t ) * 0. Tangentes Verticales. Una recta tangente es vertical cuando la pendiente m no está definida, esto es, en el punto donde/'(/) = 0 y g’( 0 * 0 *
(^ E J E M P L O _ 2 j Hallar las ecuaciones de la tangente y normal a la curva y = /•’ + 2f. en el punto para el cual t = 2
Solución
El punto de la tangencia para r = 2, es: jc = (2)¡ + I = 5 ,
Si ^
dt
x = f + I.
y = (2)J+ 2(2) = 12 => P(5, 12)
= f ( t ) = 2/ => f (2 )= 4 . & = ¿ ( 0 = 3 ? + 2 => g'(2) = 14
dt
—
Por lo que : m, = ^ ^ = H. = 7 4 V f(2) 4 2
"
Ecuación de la tangente
: > '-1 2 = ^
( jc
Ecuación de la normal
: y - 1 2 = — y ( j c —5 )
7
—5) <=> 2,17*—2 y - l 1=0 : 2jc + 7 y -9 4 = 0
■
(^ E J E M P L O ^ J Hallar las ecuaciones de la tangente y normal a la curva C \ x = 2 t -2. ,
y = 2 1 + —, en el punto P(-1, 5). Solución
Conocido el punto de tangencia P (-l, 5), necesitamos hallar el valor del parámetro r en este punto, esto es, si
( - l = 2 r - l ) * ( S = 2,+ l ) <=> ( r = | Ahora:
v í
=-3/2)a (i= 1 vf=3/2)=>/=l
=2+3=5 & = 2 + 4 =» f ( 0 =' — di t dt »=i
= 2 - 3 = —l i/=i
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C apítulo 6: Ecuaciones param étricas
658
Por lo tanto, m, =
=> m,, = 5
Ecuaciones de la tangente Ecuación de la normal
:y
(jc + I ) o L,: x + 5>- - 24 = 0 5 : y - 5 = 5(x + l ) <=> L„: 5x + y - 10 = 0 -
5= - ^
t EJEM P LO 4 ) Dada la curva 6\ x = f2 - 2/, y = - 121, hallar los puntos de contacto de las tangentes horizontales y verticales.
Solución
Si f ( t ) = - ~ = 2 / —2 , g'(t) = = 3/J -1 2 fl/ at
_g' ( t )
3 (/2 —4) / ’ ( 0 = > '” 2 (/-l) Cuando m = 0 =* r2- 4 = 0<=>/ = -2 y í = 2 Para / = -2 = > * = (-2)2-2(-2) = 8, y = (-2 )í - 12(-2)= 16 => A(R,16) t —2 => x = (2)2- 2(2) = 0 , y = (2)?- 12(2) = -16 => B(0,-16) Luego, A y B son dos puntos de contacto de las tangenteshorizontales. m no está definida cuando r - I = 0 <=> ¡ = 1 para / = 1 => x = ( I) 2 - 2(1)= -I , y = ( 1 ) ’ - 12(1)= 11 => C (-l, - l l ) Por lo que, C es el único punto contacto de la tangente vertical. y
a)
b)
■
[E JE M P L O 5 ) Demostrar que los normales a la curva (7t : x = «(Cos / + / Sen /), y = a (Sen t - / Cos /) son tangentes a la circunferencia (>2 : ¡d + y2 = d 1 Demostración Si
En efecto, sea rn„ la pendiente de la recta normal a la curva C, en el punto P,(4 /), y(f)).
~^-=f (/) = a(-Sen t + t Cos t + Sen /) = at Cos t at dy
— = g' (t) = a (Cos t + t Sen t —Cos t) = a t Sen t Entonces, mr •=
implica que mn ~ — ^
= — Cotg t
Luego, la ecuación de la normal a la curva en el punto P, es: y - >(0 = mm(x - x(-t)) => y - a (Sen t ■t Cos t) = - Cotg t [ x - a (Cos t + t Sen /)] de donde obtenemos, L„: x Cotg t + y = a Cosec / (1) Ahora, la pendiente de la recta tangente a la circunferencia x 2 + y¿ = a1, de ecuaciones paramétricas 6,: x = a Cos /, y = a Sen t. en el punto P2 (.r (/), >’(/)). es:
dy/dt
a Cos t
„
m' =17771,= ^ I s l i l = - Co« ' Entonces su ecuación es : y - a Sen i = - Cotg t(x • a Cos t) Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
659
E JE R C IC IO S. Grupo 48: R ectas tangentes a curvas paramétricas
de donde se tiene, L,: x Cotg / + y = a Cosec / (2) Por lanío, de (1) y (2) se concluye que la recta normal L,, a coincide con la recta tangente a 6 *2 , esto es, las normales a la curva (r , son tangentes a la curva 6\ . ■
( EJEM PLO 6 J Demostrar que si las lincas OT y ON son las perpendiculares bajadas desde el origen de coordenadas hasta la tangente y normal a la aslroidc x = a Cos;* /, y = a Sen' / . / € IR en cualquiera de sus puntos se tiene: 4 OT 3 + ON: = a-
Demostración
En efecto, las derivadas de las ecuaciones paramétricas son
f ’( t ) - - 3a Sen / Cos2/ y g ’(/) = 3a Sen2 /Cos/ o’ / / ) 3a Sen2 / Cos t Sen t de modo que si m, = 6 m =■ f {/) f 3a Sen t Cos21 Cos í Entonces la ecuación de la tangente en el punto P(x (/), y (/)) es: y —a Sen7t = ~ ^ ^ -^ (x —aCos 7t)t=> Lf:xSen t +yCos t =
2/
y la ecuación de la normal en el mismo punto P es:
y - a Sen11 =■*!—■* ( x —aCos 7/)e=> L„:xCos / - y Sen t= a Cos 2/ Sen t Recuerde que si L: A_t + By + C = 0 => d (0, L) =
\C \ -Ja 2 + b 2
Luego, haciendo uso de esta fórmula en las ecuaciones de la tangente y de la normal, obtendre mos: IOTI = ¿Í0. L, ) =
IÓÑI =d(0,Ln) =
) a/2¡ Sen2ri= = ^ \ Scn 2/1 ■^Sen2t + Cos21 ^
4 O r 2 = a 2Sen22 1
laCos2tl = = a {Cos 2/| ^ OÑ 2 = a 2Cos 2 2/ V Cos 2t+Scn~ t
4 0 T 2 + ÓÑ2 = a 2{Sen2 2t + Cos 2 2t ) =a 2
EJER C IC IO S . Grupo 48 ❖
En los ejercicios 1 al 10, hallar y = ^
L
^
3.
x = J Í + r , y=
dx
' '" ( t í í )
para las ecuaciónes paramétricas dadas
2.
x=
4 .
X =
/-I
2at 1+ r 3at
v _ ü 0 ~£) >_
l+f2 3íí / 2
1+ t J ’ } ~ l + t ' Vi + /2 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 6: Ecuaciones param étricas
660 5. 7. 8.
6. x = a Cos' t . y = b Sen31 x = a (t - Sen t) , y = a ( J - Cos t) x ~ a (Cos t + Sen /) , y = a (Sent - 1 Cosl)
9.
x=
x=
Ij i { 1 +
t:) , y = t - a r e Tg t
Tg ^ + Cost -Sent j ,y =a(Sen t + Cos /)
10. x = are Cos
, y =arc Sen
IVT + r
1+ f
)
*i* En los ejercicios 11 al 14, hallar y’ = — para el valor dado del parámetro dx 11. x = a (t - Sen t) , y = a ( I - Cos t ) , en t = Títl . Ln t 12. x = t Ln l, y = ------- , en / = 1
t
13. x = eJ Cos t, y = e' Sen t . en t = 7t/4 14. x = t Cos t , y = r Sen /, en r = ju/4 En los ejercicios 15 al 23, hallar en cada caso las ecuaciones de la tangente y normal a la curva especificada en el punto correspondiente al valor dado del parámetro. 15. x = 4 Cos t , y = 2 Sen2 / ; f = n/2 16. * = 3(f - Sen t ) . y = 3 (1 - Cos f) ; t = 71/2 17. jc = 2 Sen /, y = 5 CV?s / ; f = 71/3 18. x —a é Cos t .y = a é Sen t ; t = 0 19. x = e-' Cos 2 t , y = e 2' Sen í ; t - 0 20. x —a CosAt . y = a Sen* t ; t = 7t/4 21. jc =
3er
3at 2 , t-2 1+r 2
22. x - 2 Cos' t \ y = 2 Sen’ i ; r = tc/4 l+tz ' y 23. x = t ( t Cos t - 2 Sen /) . y = t ( r Sen t + 2 Cos f ) , para t = 71/4 En los ejercicios 24 al 27, hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva dad en el punto indicado. 1+ t 3 1 D/_ 24. x = - ¡ r , y = - i + 2t -,P( 2, l )
25.
26. jc = f3 + 4 ; y = 2 í 2- 3 / + 1 ;P<8, 3)
27.
x = /2 , y = /’ + 3 r ; PCI.4 jc
= i1 + 2 / , y = /> + t ; P(3, 2)
28. Hallar el valor del parámetro í que corresponde a las coordenadas del punto P(2,2) de la curva x - 2 Tg t , y = 2 Sen2 / + Sen 2 f. 29. Para la línea dada paramétncamente mostrar la relación entre el paramero / y el ángulo a que forma la tangente a la línea con el eje de abscisas. a) x = Cost + t Sen t - - t 2 Cosí , y =Se nt - r Cos t - * r2 Sen t 2
2
b) x = a Cos* i , = a Sen* t c) x = a Cos
11¡2Cos2t , y = Sen t ^ 2 Cos 2 1 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
661
E JE R C IC IO S. G rupo 48; R ectas tangentes a curvas paramétricas
3(1. Hallar los punios de contado de las tangentes horizontales y verticales para las siguientes curvas paramétricas a) x = 2 f - 6t , y = Z2 + 4t c) x = 4t - Z2 . y = 4 11 * *
•>
b) x = 3 - 4 Sen t , y = 4 + 3 Cas t
x
d)
' í'= ~j—
31. Hallarlas longitudes de la tangenle, la normal, la subtangentey la subnormal a lacardiodc x = a (2 Cos t - Cos 2 1) , y = a (2 Sen t ■Sen 21) en un punto cualquiera de ésta. 32. Hallarlas longitudes de la tangente, la normal, la subtangentc y la subnormal a la evolvente de un círculo: x —a {Cos t+ tS e n t) , y —a {Sen t -1 Cos t) en un punto cualquiera de ésia. 33. Hallar los ángulos que se forman al cortarse las líneas v y. c £■,: x - a Cos t , y = a Sen r
.
y
6» :
at 1 a tj3 x = -------=-, v = ---- =-
1+ r I+ r 34. Comprobar que la función dada en forma paramétrica mediante las ecuaciones:
x=
v = —i - + —• satisface la relación: 2f /
x (y')3 = I + y' , donde y' = ~ 35. Comprobar que la función dada en forma paramétrica mediante las ecuaciones x —• , l— ■— Ln
1+ V i + r
>■= , t
. satisfacen la relación:
V TT7 y-Ja + (y‘ )2 = >-', donde y’ = 36 .
Comprobar que la función dada en forma paramétrica mediante las ecuaciones
x_ *
t2
^ 1, satisfacen la relación: ’ y
r
y y‘ = 2x (y’)2 + 37 .
38 .
39 .
dy
dx
1 . donde y ' = ^
Demostrar que el segmento de la normal a la curva: x = 2a Sen i + a Sen t Cos21 , y - - a Cos' t limitada por los ejes coordenados, es igual a 2a. Mostrar que en los dos puntos de la cardiode (véase el Ejercicio 3 1 ) . los cuales corres ponden a los valores del parámetro que se diferencian en 2tc/3, las tangenetes son paralelas. Hallar la longitud de la perpendicular bajada desde el origen de coordenadas hasta ia tangente ala línea 2.t = a{3 Cos t + Cos 3 i) , 2y = a{3 Sen r + Sen 3¡ ) Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 6: Ecuaciones pam m étricas
662
Mostrar que 4 p: = 3 pr + 4a2, donde p es el radio polar del punió dado y p es la longitud de dicho radio polar. 40. Hallar la ecuación de la tangente ala curva x = a Cas' t ,y = a Sen' t en un punto P{x, y). Demostrar que la longitud del segmento de tangente interceptada por los ejes coordenados es igual a a . 41. Para y = yOr), una función derivable en
•
si x = 2 Cns* t, y = 2 Sen* /. t e < 7t. 3 n/2>, hallar T(x) en términos de í y dar el valor de T(-l/4). 42. Suponga que las ecuaciones: x = 3 í2 +ht + b ll^ y - í1- 2 1 + a. í> 0 ; definen una función diferenciable y —f{x). Si la gráfica de / admite en el punto ( - 1,5) una recta tangente que es perpendicular a la recta L: 5x + 2y - 2 = 0, determine los valores de las constantes a y b.
(6 -4 )
D E R IV A C IÓ N P A R A M É T R IC A D E O R D E N S U P E R IO R Sean dos funciones/y g derivables en un intervalo 1. tales que * = / ( ' ) . y = g(t)
Dado que: v = Él . = ¿ s i l = F{1) dx f (r) es una función de /, podemos usar repetidamente el Teorema 6.1 para hallar derivadas de
orden superior. Así, otra diferenciación con respecto a t de y’ = F(t), usando de nuevo la regla de la cadena, producirá la fórmula
di drti De aquí:
( dx J { di J
d ^ = d*y = r f /M r _ F ( t ) _ dx dx dx/ dt /'( /)
es la segunda derivada. Ahora si >•":= CU) => de donde:
dx
dx 3
=( ^ )
)■= G « )
¿ÍLL^ = 9 Ü 1 = m t ) dx/ dt f{t)
es la tercera derivada. Y así sucesivamente, si y"‘n = K(t), es una función derivable de /, entonces por la regla de la cadena.
dy^" dt
' r 1] ^ . dx ) \ d t )
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663
Sección 6 .4 : Derivación param étrica d e orden superior Luego, de aquí se tiene:
dy'"-" dt _ * ' ( ' ) dx f(t) dt
d f * - Yw _ dx } es la n-ésima derivada.
í E J E M P L O 1 ] Sea lacurva 6 : ^ ■ ■■
,
l+r
y
l+ r
a>0, t e IR
Hallar ^
dx2
| Solución] Por la regla del cociente se tiene:
dx dt / U
.. (I + r 2 ) ( 2 r ) - r 2 ( 2 t) ( | + r 2 )2
dx
( l + / 2 )(3 r 2 ) - r 3( 2 0
d r sí,) = a
2 ut (l + r2 )2 a /2(3 + r )
(TT7?--------= 0+ñ*
Si Derivando v' respecto a t resulta :
dt
— —( i + r 2 ) = P ( r ) 2
Ahora, si >•"’ = — r- = = F ( /) — -— > dx 2 f ( t ) K) f ( t )
dx 2
2 ri + r^
2(
}-
entonces: -
d + r )2 _ 3 ( I + * V 2 at 4 fít
[ ^ J E M P L ^ ^ J Si y = F(x) es una función definida paramélricamente por las ecuaciones x = Sen t - 1 Cos t , y = Cos t + / Sen t, te. IR ; hallar F{x) y F\x).
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664
Capítulo 6: E cuaciones param étricas .. r . . / V ¿y rfy/rfí F (0 > = F ( jc ) = ~r~ = ; . . = •
como
dx
d x ld t
. . -Cosec 2 r => F (x) = ---------/ Sen t
f (t)
1 3, = — Cosec/
t
(E JE M P L O 3 ) Calcular la curvatura K de la curva £ definida en el plano por los puntos (x, y), tales que: x - a (t - Sen t), y = a (1 - Cos t), t e IR siendcK = [ 1J y )' f ^ d0"‘fc
>' = f
= / ' = $
I Solución | f ' ( t ) = i- ^ = a ( l - C o s t ) = 2 a S e n 2 ( t / 2)
dt
dx
g ( t ) =— = a Sen t = 2a Sen(t 12). Cos(tf dt Sí
y = ^ 7
„
y
_
= ¿CO rf* / ’ (r) ¿ 2>
_
i _22 dx
Luego, F =
2)
Cos j f l i ) Seni l ! 2 )
>
í / y _ dy'dt jw j ~ i j . ^ ¿x d x /d /
4a Sen4( t i 2)
C o s e c 2( r / 2 ) r< _ _ .2 /„ j / 2aSen 2 (t/2s )* ~
— 1/2 * ». .
y' ~
1
4^a_Sr-e...4 n(tl2)
, de donde : K — ^ 4a Sen ( / / 2 )
l l + Cofg2 ( f / 2 ) ] W2
(EJEM P LO 4 J Sea la curva C \ x = Tgt + Cotg t, y = 2 Ln Cotg t Hallar í * ! * .
dy 3
Solución
Si x =
Cos /
f = —----- ~
Sen t
Sen t Cost
= 2 Cosec 2r
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665
E JE R C IC IO S. G rupo 49: D erivación param étrica de orden superior .,, _ d yx _ d_>T_ _ dx¡' íd t _ —Cosec 2t Cotg 2t dyy dy dy / d t —4 Cosec 2t
"
d yx 1 n ~dy* = 4 ^
E JE R C IC IO S . Grupo 49 •>
En los ejercicios I al 16, hallar la derivada que se indica.
1.
x= a Cos t, y=aSen x ; £( y2 dx i x —a Cos} t , y~aSen* t ; — y dx
3.
x= a Cos í, y = bSen t ; — ídx
4.
x — Coi 2 r , >• =4 Coxr; — £
6.
x = fl / Coi
v _ í z 2, . £ y _ r - 1 ’ dx 2
8
x - f,+ l
_ 3i 2
IA
x= e' Cos t , y —e Sen /; -d~v
12.
5.
x = a Cos' í, y = aSeny t ; — ^ dx
7
r _ ( '+ 2 )2
t +1 0
d 'y
2.
’y
dty ' X- l + t " y - i + t * ' d x 2 _
3/
d \-
dx'
i’ - l
t
, y = a t Sen t ; —
y
5or2
2
dx5
1
d2y
r - l ' dx1 5af
d 3y j!
11.
x~ e~' Cos t , y = e~' Sen r; — v d*
rf.l
13.
x = o Co.r r ,
15.
x= a (t-Sen t), v = a (1 -C o s r); — £
16.
x = o (Sen t - t Cos /), y = a (C o í t + tSen f); t 2
> -= c íS e « /; —
dx
14.
\
x = ¿n r , y = rm; —— ' dx"
dx
d]y dx 2
17. Demostrar que la función y = / (x ) dada mediante las ecuaciones paramétricas x - e ' S e n t , y = e' Cos /, satisface la relación
y" 0c + y ¥ =
2(x y' - y )
18. Demostrar que la función y = f[x) dada paramétricamente mediante las ecuaciones x = 3/*, y = y - i* satisface la relación 36 y" (y - V 3 l) = x + 3 19. Demostrar que la función dada paramétricamente mediante las ecuaciones y = Sen k /, t e IR, satisface la relación
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x
= Sen t,
Capítulo 6: E cuaciones param étricas
666 20.
Sea una curva definida paramétricamentc por: x = a(t - Sen /), y = a( 1 - Cos /), / e [0 , 2k> , a > 0 (constante). Si F(t) = -J[x (O ] 2 + [y (01* , demostrar que F(í) = 2a S
21. Sea la curva £ definida paramétricamentc por x = ¿/i (5 - /), y = a)
— , r < 5, t * -1.
Hallar los puntos P € £ por donde la recta tangente pasa perpendicularmentc a la recta L:2y - 6x + 1 = 0 ; b) Hallar
fy
t 2
dx3
22. Un punto (*, y) se mueve en el plano según las leyes del movimiento: x — are Tg t,
y = Ln (1 + 11). a) Hallar la velocidad y la aceleración en cada eje; h) Calcular ÉL y É 2 dx dx 2 23. a) Sean x
y = g{t), hallar la fórmula correspondiente a ^ ■)’ en función de las dx 2 derivadas de x e y respecto a t. ,2
h (Sen t + Cos Coa t\. b) Sea x = a Sen t Cos /, a * 0,). yv = b /), h b * 0. Calcular — L cuando
dxt = Jt/6 (Usar el resultado de la parte (a)). 24. Si C-: x y = g(t), t e I, es una curva representada paramétricamente; si además/y g tienen tercera derivada en I, hallar en función de t, dx*
[6 -5 )
A S Í N T O T A S E N C U R V A S P A R A M É T R IC A S Cuando una curva
6
está definida por las ecuaciones paramétricas
x=M> y =a(0 las asíntotas de su gráfica se determinan del modo siguiente:
1.
2.
Asíntotas verticales a)
Si ¡j™ f W = a A Jí™
= “ => x = a es una A.V.
b)
Si lim / ( f ) = flAlim g(f) =
=>x = a es una A.V.
Asíntotas Horizontales
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Sección 6.5 : A síntotas en curvéis param étricas
3.
667
Asíntotas Oblicuas Si se cumplen simultáneamente que lim f(t) = oo a lim c(r) = «» »-»/.
I-W»
entonces existe asíntota oblicua de la forma y = m x + b, donde:
m = ÜU1 ^
7)
y * “ ¡™
- m /(í)l
(jE J E M P L 0 ^ 1 _ J Hallar las asíntotas de la curva 2
Solución
Para asegurar que esta curva paramétrica tiene asíntotas, escribimos
x = m = -^T,y=x(t)=t- 1
'
°
'
'
(*+ ])< /-!)
Asíntotas verticales. Evaluamos el límite en t^ - 1
I
lirn f ( t )
=—j—-j- = —^ ;
lirn g(r) = <» = $
x = - 112
es una A.V.
2.- Asíntotas horizontales: Evaluamos el límite cuando t —»«*> üm / ( O =«» ; lim g (r)= 0 => v = 0 es una A.H. j— # «o
/ -»* »
3.- Ajmfttfcur 0 ¿>/ícua¿7 lim / ( r ) = oo A lim e(r) = ©° »-*i >-»i Entonces la curva (■tiene una asíntota oblicua de la forma í=£; y —ni x + b donde:
m = lim
1
= lim ^ í ~t ^ - 1 = lim 1 = f(t) »->i ( r + l ) í / - l ) l t 2 ) f(/ + l) 2
= IÍTnz 4 ~ 2 ) _ 3
fc = t a U ( o - » r « ) J = i t a [ ^ T ] í l)(í-l
2 < f — 1)
2 ( r + l)
4
y=^x - ~ » a : 2 j: - 4 y - 3 = 0 [ E J E M P L O T I En el plano, la curva ó está definida por los puntos (x, y) tales que
*2+l y - — =-----------*2- l n .con t e m IR, u hallar: x = --------, t-2 } 2t - 5 t + 2 a) Las asíntotas de la gráfica de ('. b) La ecuación de la recta tangente a 6 en su intersección con el eje X. t2 + l r-l — , y = e (/)= , J t - 2 '* 5 W ( t - 2 )( 2 / - l ) Asíntotas verticales. Evaluamos el límite cuando to = 1/2
Solución I.
a) x = / ( / ) = 2
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668
Capítulo 6: Ecuaciones param étricas ( l / 2 )2 + l ,!i&
2.
3.
/
(
*
)
-
1 / 2
-
2
5 =
_
6
:
,!Í? ? 2
g ( í )
=
0 0 = > x = ~
5 / 6
e
s u
n
a
A
V
Asíntotas horizontales. Evaluamos el límite cuando r —» «> lim / ( / ) = oo ; lim g(r) = lim
r2 - l 2t - 5 r + 2
Asíntotas oblicuas, lim /(/) = (-*2
00 y
1 es una A.H. v= — 2
2
lim p(r) = oo /-*2
Entonces: existe una asíntota oblicua S£.* y —ni x + b , donde 4 -1 (4 -1 X 4 + 1)
r -1 ,-42 ( 2 í - l ) ( r +1)
m = lim 4 ^ = Iilim ,^ 2 / ( / )
/ 2- l
l í r + 1 5 l r-2
b= lim f ( t )- = lim i .1 íe Lu(r) - rn J >_k? (2r—l)(r —2) = lim ,-»2
I
- 2 ( r 2 - r —1) 5 (2 r-1 )
y -;X b)
2
15
- 2 ( 4 - 2 - I) 5 (4 -1 )
2
15
3x- 15y-2 = 0
Ecuación de la tangente a (■en el punto (x, 0) S i y = 0 = > / Z- I = 0 e = > f = - I v t - I Para cada uno de estos valores de / obtenemos x =-2/3 v x =-2, respectivamente. Luego, los puntos de tangencia son A (-2/3,0) y B (-2,0)
dx v r - 4 r - l dy ,, . -5 r + K i-5 di = f M = ' d i = *
dx dy
¿S U ? (0
ni =
-5 r +8/-5 ( 2 /—l)~ (r 2 —4r—1)
Para r = - i m, = -1/2, y para r = I m, = 1/2 Por tanto, las ecuaciones de las tangentes buscadas son: y —0 = - ^ x + | j «
( 6 .6 j
££,=3x + .v + 2 = 0 v y = ^ (x+ 2 ) «
: x - 2y + 2 = 0
T R A Z A D O D E C U R V A S P A R A M É TR IC A S *
Como ya sabemos representar una curva en el plano por un conjunto de ecuaciones paramétricas. G = { (x, y) g IR x IR I x =f{t)t y = g(r), r e í } Cabe preguntarse como podemos aplicar técnicas del calculo, estudiadas en la Sección 5.7, en la construcción de sus gráficas sin necesidad de obtener la ecuación cartesiana correspondien te. Las siguientes sugerencias responde esta cuestión, dándonos los pasos necesarios para un desarrollo racional en la discusión y construcción de una curva paramétrica. Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 6 .6 : Trazo de curvas parainétricas
669
S U G ER EN C IAS PARA EL TR A Z A D O DE CURVAS PARAM ÉTRIQAS 1. Determinare! universo o dominio de existencia del parámetro t. y las intersecciones con los ejes coordenados. 2. Hallar, si existen. Jas asíntotas. 3. Hallar, si existen, las tangentes verticales y horizontales. 4. Localizar los valores de f (números críticos) en los que las derivadas f'(t) v g*(0, son nulas o no están definidas. Formar con estos números críticaslos intervalos prue ....... t„\ y r e ( a b]. entonces ba, estoes, si / =
.
son los intervalos prueba. 5.
Anali2arel signo de la primera derivada
^
dy
. en cada uno de los intervalos
f (r)
prueba. De esta forma quedan determinados los intervalos de crecimiento o decreci miento. Localizar los valores de t en los que la segunda derivada 6 v
6
sea nula o no esté
dx" definida. Formar intervalos prueba con el dominio y los valores de / obtenidos, para analizar el signo de ." en cada intervalo. De este modo queda determinado el sentido de concavidad de la curva
(^ E J E M P L 0 ^ 3 ^ Discutir y graficar la curva paramétrica
Solución
1. Dominio del parámetro t : IR - {1,2} Entonces, sea G = (x, y ) e IR x IR I x=f(l),y = g(r), / e IR - { I, 2} Intersecciones de G con los ejes coordenados Eje X : y = 0 => r = 0, para t = U. x = - 1 A (-1. 0) e G Eje Y : * = 0=> t = -2, para t = -2, y = 2/3 => B(0, 2/3) e C 2. a) Asíntotas verticales lim / ( / ) = = - 3 ; lim g(t) = - = <»=* x = - 3 es una A.V. f-»i 1 —2 »-»' 0 b)
Asíntotas horizontales 2+ 2 lim / ( / ) = »-*2
c)
(J
2
; lim e(í) = = 2 => y = 2 es una A.H. r-*2 2 —1
Asíntotas oblicuas La gráfica G no tiene asíntotas oblicuas, pues no existe un t.„ tal que lim f { t ) = <» y lim g(t) = oo. Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 6: E cuaciones param étricas
670 3.
Tangentes verticales y horizontales dx . 4 dy ...
I “
( r - 2 )2
Com o/'(f) * 0 y g'(t) * 0 , no existen tangentes verticales y horizontales. 4.
Localización de los números críticos dy dx
5.
g'(t) = — ( -— —1 f(t) 4 U -U
=> / = 2 y / = I son los números críticos.
Intervalos prueba: < -■ » ,!> . <1 . 2> , <2 , +~> Análisis del signo de la primera derivada En el paso (4) obsérvese que y' > 0, V / e I R - { l , 2} , luego, la gráfica de la curva 0 es creciente en todo el dominio del parámetro t. La labia 6.2 nos muestra los intervalos prueba junto con los intervalos correspon dientes para r e y TABLA 6.2
Intervalo prueba
lntérvalo para x
Intervalo para y
Signo de
Forma de la gráfica
< -o o , l >
< - 3 , l>
< -w , ]>
+
Creciente
<1, 2>
< -o °, -3 >
<2, +«>>
+
Creciente
<1, 2>
+
Creciente
<2, +«>
<1,
+<«>
[Nota |
En el paso (3) se observa q u e/'(í) < 0 y g'(t) < 0, V t e IR - { I. 2}, es decir/y g son funciones decrecientes, por lo que los intervalos para x e y se obtuvieron de la siguiente manera:
6.
Intervalo para t
Intervalo para x
Intervalo para y
Intervalos-de concavidad 1 1
7
y
ft-
2\2
4 V í —1
J
dy' dt
^
dyjdt^
y =
/(/)
7
1-2 2 (t —l )3
_
8 W -1 /
Como y " = 0 cuando t = 2 e y" no está definida cuando t —I, los intervalos prueba son los mismos obtenidos en el paso (4). Entonces:
FIGURA 6.13.
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
671
Sección 6 .6 : Trazo de curvas param étricas Intervalo prueba
Signoy"
Conclusión
/ = 0 6 <- *», I > t = 3/2 e <1, 2> t = 3 € <2, +°°>
y" = - ( + V = /■ = - ( - ) ’ = + y" = - ( + ) ’ = -
Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo
Con toda esta información construimos la gráfica de la curva paramétrica mostrada en la Figura 6.13. [ EJEM P LO 4 ) Discutir y graficar la curva paramétrica G : j r = 3 f * + l , y = 4í2 , ;ce[-2,41
Solución
1. Cálculo del intervalo de variación de t
Si x e 1-2, 4] <=>-2 < * < 4 <=>~2<3 + I < 4 <=>-l / e [-1, I] Entonces, sea G = {(jc, y) g IR2 1x = 3 i 1 + 1 , y = 4 12 , / e f-1, l j } Intersecciones de G con los ejes coordenados Eje X: y = 0 => f = 0 , para este valor, x = l = > A ( l , 0 ) e G
2. 3.
Eje Y: x = 0=> / = - %/T7¥, para este valor, y = 4 ^¡\/9 = 1.92 => B(0, 1.92) e G Asíntotas. Por la restricción en el dominio del parámetro /, la curva 6 ' no tiene asíntotas.
Localización de los números críticos {k = Q t 2 íly ^P,r - d y ^ _ 8 dt ' dt dx / ' ( / ) 9r
4.
Como la primera derivada no está definida en t = 0, éste es el único número crítico, con el que formaremos los intervalos prueba < - 1, 0 ) y < 0 , 1>. El signo de la primera derivada en cada uno de estos intervalos se muestra en la Tabla 6.3 TABLA 6.3
5.
íntérvalo prueba
Intervalo para y
Intervalo para x
Signo de y’ (x)
Forma de la gráfica
< - l,0>
<- 2 , l>
<0, 4>
-
Decreciente
< 0 , 1>
<2 , 4>
<0, 4>
+
Creciente
Intervalos de Concavidad ,. _ dy / dt
y
d x / d t =>y
,, = - 8 / 9 12 _ 9 12
8
81?
Obsérveseque y"< 0, V t g [-1, I ] , por lo que la curva G es cóncava hacia abajo en el intervalo de variación de t. Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 6: E cuaciones param étricas
672 6.
La gráfica de G se muestra en la Figura 6.14, donde vemos que la curva tiene un mínimo ab soluto en el punto A (l, 0). ■
Nota Los ejemplos 3 y 4 muestran a dos cur vas paramétricas funcionales, pero como no es ne cesario que las ecuaciones paramétricas x = /(/), y = g(t) definan y en función de x, se sigue que una curva definida paramétricamente puede ser una curva cerrada o puede formar un lazo y, por lo tan to, cruzarse en el piano. (E J E M P L O 5 J Discutir y graficar la curva paramétrica x - 4 t - 11 , y = 4 f2 -
Solución
1. El dominio del parámetro t es IR Sea G - { (* ,y ) e IR2 I x=f{t) , y = g(t) , r e l } Intervalo de variación de x. Despejamos t en función de x
f - - 4 t + 4 = 4 - x => (/ - 2 )2 = 4 - jc « r = 2 ± V 4 - j c
2. 3.
/ es un número real <=> 4 - * ¿ 0 => x e <-<*>, 4] Intersecciones de G con los ejes coordenados Eje X : y = 0 => 4 f- - r* = 0 o í, = 0 v t2= 4 Eje Y : x = 0 =* 4 í - r2 = 0 <=> r, = 0 v /2 = 4 Obsérvese que a los valores de tt y t2 ( t l * t2) les corresponde elmismo punto (0,0). Esto significa que la curva se cruza o se intersecta a si misma enelorigen (presenta un lazo en dicho punto). Asíntotas. La curva no tiene asíntotas de ninguna clase.
Tangentes horizontales y verticales ^
at
= 4 - 2 f , & = 8 f - 3 r 2 = r(8 -3 r)
dt
Si / ' ( / ) = 0 => 4 - 2 r = 0 « t = 2 para í —2, x = 4(2) - (2)2 = 4 => x = 4 es una tangente vertical b) Si g'(r) = 0 = > /( 8 - 3 0 = 0 <=> f = 0 v r = 8/3
a)
Para t = 0, y = 0 ; para t = 8/3, y = 4(8/3 )2 - (8/3)* Luego, y = 0, y = 256/27 4.
256
son dos tangentes verticales
Localización de los números críticos dy dx
/■ (/)
_ í ( 8 —3r) 2 (2 - r )
=* r = 0 , / = 8/3 y t= 2 son los números críticos. Intervalos prueba: <-«>, 0> , <0, 2> , <2, 8/3> , <8/3, +«>>' Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
673
Sección 6.6 : Trazo de curvas param étricas 5.
Determinamos el signo de la primera derivada mediante la construcción de la Tabla 6.4, que resume lo que ocurre en cada uno de estos intervalos prueba. TABLA 6.4
6.
Intervalo prueba
intervalo para x
Intervalo para y
<-«», 0 >
<-«», 0 >
< 0 . +dc>
<0 , 2>
<0 . 4>
<0 , 8 >
<2, 8/3>
<32/9, 4>
< 8 , 256/27>
<8/3, +«,>
<-~>, 32/9>
<-oo, 256/27>
Signo de y' (\) -
+ -
+
Forma de la gráfica G Decreciente Creciente Decreciente Creciente
Intervalos de concavidad _ d 1y _ dV Idt
, , _ 3f 2 -1 2 r + 16
thc
dxldt^y 4 (2 - t f Como 3 f2 - 12 / + 16 > 0 , V t e Et e y" no está definida en f = 2, tomamos como intervalos prueba <-«>, 2 > y < 2 , +«*>; entonces >
Intervalos prueba
Signo de y"
Conclusión
í = 0 e <-«>, 2>
y' 1= ^ = +
Cóncava hacia arriba
t = 3 6 <2, +°°>
y" = —
Cóncava híicia abajo
Con toda la información obtenida, dibujamos la gráfica de la curva paramétrica mostrada en la Figura 6 .15 _
FIGURA 6.15
FIGURA 6.16
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674
Capítulo 6: E cuaciones param étricas
( EJEM P LO 6 J Parametrizar el Folium de Descartes: x* + y5 - 3 a jc y = 0. Discutir y esbozar su gráfica.
¡Solución
Haciendo la sustitución y = i x, se tiene: jc* + / 3 jtJ - 3 ax (/*) = 0 <=> I + /3) = 3 a t x2
de donde obtenemos las ecuaciones paramétricas: x — ^a{
1+ /
y = ^aí
l+r
1.
El dominio del parámetro / es: IR - { - 1} Entonces, sea G = {(*, y) e IR2 \ x = f ( t ) , y = g(/), t e IR -{-1} La gráfica G pasa dos veces por el origen de coordenadas, pues para y = 0 se tiene t = 0, y para / = 0 = > x = 0 , luego (0. 0) e G
2.
Asíntotas a)
La gráfica G no tiene asíntotas verticales, pues no existe un tutal que lim / ( / ) = a y Uní g(t) = ■»
b)
También G no tiene asíntotas horizontales, pues Jj™ s (0 = b
$ tB lim / ( / ) = eo y c)
Como lim / ( / ) = lim g (/)= <*», la curva tiene una asíntota oblicuade laforma, / — * — I
r-*-l
Si: y = mx + b , donde m = lim
b=
iíjyj / / ) = _ |
lim [ g ( f ) - m / ( / ) ] =
Por lo que S£ ; y = izquierda). 3.
-jc
lim + -r^ rl = - « *-»-■ v l + r 1+ / )
- a es una asíntota oblicua en ambos sentidos (derecha e
Tangentes verticales y horizontales dx a)
30(1 —2 /*)
3 a f ( 2 - r 3)
Si / ' ( / ) = 0 => 1 - 2 / * = 0 <=> t = V T /2 Para t = $f\T2
b)
_ dy
x=
= a^
es una tangente vertical
Si g'(0 = 0 => / = 0 v r = l¡2 =0 v
y
=a^
son tangentes horizontales
Dado que para t = 0, jc = 0 (tangente vertical), se sigue que la curva tiene dos tangentes en el origen, es decir, se cruza en dicho punto. 4.
Localización de los puntos críticos dy _ g'(Q dx f(t)
/ ( 2 - / 3) 1 - 2 /* Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
E JE R C IC IO S. Grupo 50: Trazo de curvas paramétricas
675
Como >•’ = 0 en f = 0 y i = \ I 2. e y' no está definida en t = ijl / 2 . éstos son los números críticos que determinan los intervalos prueba 5.
. < - 1 ,0 > . < 0 , V T / 2 > . < \¡Ü 2 , \Í2 > . < V 2 , +£«> La Labia 6.5 muestra las pruebas realizadas en cada intervalo resultante. TABLA 6.5 Intervalo prueba
Intervalo para x
Intérnalo para y
Signo de y' (x)
Forma de la gráfica
<-oo , - 1>
< 0 . +~>
<-oo , 0 >
-
Decreciente
< -l,0 >
<-«>, 0 >
< 0 , +«>>
-
Decreciente
<0 , -ifU2 >
<0 . a V 4 >
<0 . a V 2 >
+
Creciente
< \¡U Z , V 2 > < a \Í 2 , a \Í4> < \¡2 , +°°> 6.
<0
Decreciente
< a \ f í , a V 4>
,a i¡2 >
+
< 0 , a \Í4>
Creciente
Intervalos de concavidad fy = = _2 0 ± r! / dx 2 V 3 « (l-2 r ) v" = 0 en t = - 1 , e y" no está definida en / = y fíJ l . entonces tomamos como intervalos prueba < - « » ,- l > < - l . Vi / 2 > , < V 1 / 2 . + « > Las resultados de concavidad se recogen en laTabla 6 .6 y un resumen de los resultados se muestra en la Figura 6 .16. TABLA 6 .6 Intervalo prueba
Intervalo para x
Signo de v"
Conclusión
< - « , - 1>
< 0 , +oa>
+
Cóncava hacia arriba
< -L VT72>
<-“ . a \¡ 2 >
-
Cóncava hacia arriba
+
Cóncava hacia abajo
+°°>
<0,
a V2 >
EJER C IC IO S . Grupo SO ❖
En los ejercicios I al 4, hallar las asíntotas de las líneas dadas paramétricamenle.
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 6: Ecuaciones param étricas
676
2f^ , y — '2 < >. % 4* r ? at 1 y= a i I- /2 1- r 2 * i-r 1 i-r En el plano, la curva
3 .
x
5.
—
2i x = ^ r ±i
r-3 l +2
a) b)
, V= 7
3Í l- / 3
, t € IR. Hallar :
Las asíntotas de la gráfica de (Los puntos, si existen, donde la tangente a (■ es paralela a los ejes X e Y res pectivamente.
6.
Sea la curva paramétrica ¿ : x —* , y = —— , t e IR r+ l /-I a) Hallar las asíntotas de la curva C b) Hallar las tangentes horizontales y verticales a C .
7.
Sea la curva paramétrica definida por las ecuaciones í-8
3
*=^¡— - > y - —^ — ; r - íe IR r - 4 r(r-4 ) a) b)
Hallar las asíntotas de la curva Hallar las tangentes horizontales y verticales de la curva
8 . Sea la curva paramétrica
a) b) o 9.
i
+1
1
(': x = —— - , y = —— - , / e IR
Hallar los valores de t donde la curva tiene tangentes horizontales y verticales Hallar, si existen, las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.
c i /• 20/ 5(4 + r2) _ Sea la curva paramétrica 0■ \ x = =r , y = ——------- ; / e IR 4 -rr —4 a) Hallar las asíntotas de C b) Hallar la ecuación de la recta tangente a é en el punto (20/3, -25/3)
10. Hallar las asíntotas de lacurva paramétrica definida por las ecuaciones ,
,,
3/ -
* 88 7 7 7 7
1+ / ’
3/ 2 •
y =
’ 7
1 + /3
15. x = i - 2/ . y = i -1 2 /
14. 16.
1
W
12.
II
En los ejercicios 11 al 17, analizar las funciones dadas en forma paramétrica y trazar sus gráficas.
11.* = /•' + 3/ + I , y = i - 3/ + U
I —(/ —l ) 3
*
❖
2i
2/ l - ( / - l )3 ’ y
y = /•’ -
6
are Tg t
x = t e 1 , y = t e ~1 /+ !
X t-1 ’ 17. x = 2a Cos t —a Cos 2/ , y = 2a Sen t - a Sen 2 t Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
1
r (Cardiode)
CAPITULO
FORMAS INDETERMINADAS FORMULA DE TAYLOR
[7 ,l)
IN T R O D U C C IÓ N Una forma indeterminada es un cierto tipo de expresión con un límite que no es
evidente por inspección. Por ejemplo, si lim / ( . t ) = 0 y |¿m g(jf) = 0 , entonces se dice que el cociente fx)/g(x) tiene la forma 0 /0 parax = a. En el capítulo 2 se describió las formas 0 --°° . U.OO. A 00 —c —. 0
00
como indeterminadas, ya que por ellos no se puede juzgar si existe o no un límite, y tampoco señalar cual es el límite, en caso de existir. Junto con el método fundamental del cálculo de los límites dé las funciones, existen otros métodos o técnicas de búsqueda de los límites. Algunos de estos, que tienen la denomi nación general de regia de L ’Hospital, se van a discutir en este capítulo.
[7 .2 )
P R IM E R A R E G L A D E L’ H O S P IT A L : F o rm a O/O
El método general para calcular el límite de una función en un número a que tiene la forma indeterminada 0 / 0 , se emplea un teorema que establece que bajo ciertas condiciones el límite del cociente fx)/g(x) se halla determinado por el límite del cociente de f(x)/ g\x).
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capitulo 7: Form as Indeterm inadas
678 T E O R E M A 7 .1 : L a re g la d e V H o s p ita l Sean las funcione* f IR —* IR y g: IR —»IR, tales que i)
Son derivahles en el intervalo
iii)
g’LcI í O , V r e
iv)
/'Ir) Existe el límite, lim , = L (¿es finito o infinito) • ‘
f(x) g(x\
..
lim - - - = lim I
r fc> - -= L g'i c) ,
DemostrtU'Um:
Por las condiciones del teorema, las funciones/ y g no están definidas en el punto a. Definámolas eligiendo dos nuevas funciones F y G, extensio nes d e /y g respectivamente
FU) = {
si x * a l U, si x = a
y
CU) = 1 [
0,
si * * a si x = a
Ahora, F y G son continuas en el puntoa y satisfacen las condiciones del Teorema de Cauchy (teorema del valor medio generalizado) sobre cualquier intervalo [a. .r], donde jc e
F'jc) = F( x) - F( a) _ F ( x ) - 0 _ F(x) G(c) G( x) - GUi ) G(x)~ 0 G(.x) Además, lim
c ( jc)
(I)
= a
Ahora c depende de x, pero como está atrapado entre x y a, debe acercarse a a cuando x lo hace, es decir, si jc
—»a \
Por esto, si existe
entonces c —» a*
o
#
a
c
. - »________________O
x b F* (-X) f* ( lim —------ = lim --------= L, entonces la regla de cambio de varihle para G ( jc ) g'(x) & K
los límites de una función, se deduce que el P (c ) lim ? M = G' (c)
lim £ ^ 1 = L g'(c )
Luego, en (1), se sigue que:
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
679
Sección 7.2 : Primera regla de L 'H o sp ita l: F orm a 0/0 y concluimos que:
g(x)
x —tu
g ' (x)
El teorema7.1 sigue siendo válido con las transformaciones naturales, tanto en el caso del límite lateral izquierdo ( j c — * o') como en el caso bilateral ( j c — » a ) .
Corolario Si lim / ’ ( j c ) = lim #’ ( * ) = 0 y f , g' satisfacen las condiciones del Teorema x —k i *
x -* a *
7.1, entonces 1¡m Z « = |im £ < í > = lin, r w x^„* g (x) g''(jr)
x->** g(x)
bajo el supuesto de que el último límite existe.
TEO R EM A 7.2 Sean las funciones / : IR —» IR, g : IR —» IR, tales que i]
Son derivables cuando x > c
iii) iv)
lim g(x )-0
lim f ( x ) = 0 y
¡i)
g'(•'•) * 0. Existeel
V jc > c
lim
f r
------ = L (Les Finito o infinito)
g'(x)
Entonces existe también el límite: lim
Demostración: ]
f(x)
..
j'(x)
- = lim — — £ ( ') *“*+“ g ( - 0
Sin perder generalidad podemos considerar que c > 0 .
Realicemos el cambio de variable x = l/t Las funciones F{t) = j{\h ) y G(i) = g(\lt) están definifas sobre el intervalo <0, l / o ; si j c —» + *», entonces / —» 0 * viceversa. Sobre el intervalo <0, l / o existen las derivadas
= de modo que: 4
G (t)
~
y G'(i) = - j g - ( i / t )
g- (\ / t )
( 1)
De lo dicho y de las condiciones del teorema se deduce que las funciones F{t) y G(t) satisfacen sobre el intervalo <0, 1 / 0 las condiciones (i), (ii) y (iii) del Teorema 7.1 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 7: Form as Indeterm inadas
680
lim , el cual designamos por L. es decir, *-» .♦ « < *) ~ 1 que se cumple también la condición (iv) del Teorema 7.1. En efecto, utilizando las expresiones obtenidas en (l)para las derivadas P(t) y hallamos: Mostremos además, que la existencia del
H ■
yo/r) .. / ( a ) , - lim. — ---- - - lim i= L »-»o+ g ( \ / ¡ ) *-»+*• £(a)
^ ( 0
lim — — r-.ü+ G (t)
(2)
F(i)
Ahora, del Teorema 6.1, aplicado a las funciones F(t) y G(t). se deduce que lim ~ — —L.
oír )
Pero
F(t) _ / ( I /r ) _ / ( jt ) £ ( 1 /0 g(x)
G (0 donde x = l / / , por esto
F(t) .. / ( a ) . lim ——- = hm ■ 1 = L ,-»u* G(r) *->+~ g(x)
nt
y de (2) y (3) concluimos que:
lim
= bn f { X ) ¿ ( a )
* -* ♦ -£ '(* )
Este teorema sigue siendo válido si se hace la transformación correspondiente para a
EJEM PLOS ILU STR A TIV O S
3
(E JE M P L O 1 ) Calcular: lim ‘Solución
a
- I 0
+ 3
a
vx* — 4 a 2 + A + 6 ,
En este caso a = 3, f{x) = 3 a 2
-10
+3
a
y
g(A)
= x?-
4
a
2
+
x
+6
La sustitución directa nos lleva a la determinación 0/0 y como f y g son continuas y derivables en una vecindad restringida de 3, entonces aplicamos la regla de L’Hospital para obtener
L = lim -^7 7 -7 - lim . # ( * )
* -» -H 3 a
6
,
-
10
-8
a
a
'i
+I
I 8 - I 0
■J)» — 2 7 - 24 + J
-
o
I —x + Lnx ( EJEM P LO 2 ) Calcular: lim V '* x->l J-Jlx-x1
Solución
La función J[x) = 1 g (A ) = l - V 2 x - A 2
a
+ Ln x es continua y derivable V x > 0, y la función
, es continua V x
e
[0. 2 ] y derivable V x e < 0 , 2 > . Todas las
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
681
Sección 7.2 : Prim era regla de V H o s p ita l: F orm a 0/0
condiciones de la regla de L'Hospital se verifican. En particular como lim f ( x ) = lirn(g(jt) = 0. entonces -] + ¿ = lim
= lim
2 —2 x k
2 t¡ 2 x -
x
2
,
= lim
(Algebra)
jr-»l
■J2 - Í
= -1
-1
(
1
- 2 are Tg
í EJEM PLO 3 1 Calcular: lim V
M
i->+~
Solución
Por simple inspección vemos que el límite tiene la forma indeterminada 0/0 Como todas las hipótesis del Teorema 7.2 son satisfechas, apliquemos la regla de L’Hospital realizando un cambio de variables, x por l !u. Ahora las funciones F(u)=f[\/x) y G(u) = g(\/x) están definidas en el intervalo <0, l / o ; si x —»+«>, entonces w—>0*. Luego:
L = lim
f i 2 - 2 are Tg u
\ Forma — l
a-*n*
0
2 u—
L = lim
= lim «-*(•* G (w) „-»»♦
- Hm { 2 u ^ rl = -2 l. l+u2 J En algunas ocasiones es posible simplificar un límite antes de usar la regla de L’Hospital. El siguiente ejemplo indica el método a seguir. „ v ( \ - C o s J x - 2 ) \ e *'2 + S e n ( x - 2 ) - l ] (E JE M P L O 4 J Calcular: lim ------------ 57;---------------- ¡7^-------------- ;—■ *» * ( x - 2 ) Sen(x—2) Ln ( x - l ) I Solución 1 La sustitución directa nos lleva a la indeterminación 0/0. Como puede comprobarse, la aplicación inmediata e ingenua de la regla de L’Hospital sería bastante laborioso. Sin embargo, ordenando convenientemente los términos Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
682
Capítulo 7: F orm as Indeterm inadas
del límite, dándoles la forma de algunos límites trigonométricos conocidos tendríamos: 1 — CoSyJx- 2
L = lim
\[7 ^ 1 W ‘ 2 + S « n ( x - 2 ) - l Sen y x - 2 I 3 Ln( x- l )
x-2
= 1 , entonces
Sen u
( 1) lim jr-» 2 +
e' ~*+Se n( x- 2) - l 3 L n ( x - 1)
^ Forma ^
Ahora intentamos con la regla de L’ Hospital, obteniendo:
L=
<-2
.. e* * + CV?í(jc —2 ) I f e" + Cos 0 =— lim -----------6 j— »2+ 1 6 jc—1 1
\Nuta 1 Aplicación repetida de la regla de L ’Hospital En la evaluación de ciertos límites indeterminados es necesario aplicar la regla de L’Hospital más de una vez para lograr que la indeterminación desaparezca. Sin embargo, debe comprobarse las condiciones de su aplicabilidad en cada ocasión. Esto se ilustra en los si guientes ejemplos
(v EJEM■P LOi 5 ^] Evaluar el ,_»[i lim f — — l x _ $enx Solución
Como la sustitución directa nos lleva a la indeterminación de la forma 0/0, aplicamos la regla de L'Hospital, esto es:
Iim 4 ^
g' (*)
Tg1* = lim [ Sec\ x 1 | = lim *-*111 1—Cos x J 1 -C o s x
L=í¡m r w = limf l ^ s £ E ^ 1 *-»o g (jc) *->o ^ Sen x ~ lim (2 Sec* x) X-+f)
(Todavía 0/0)
(Regla de L’Hospital otra vez) (Simplificación trigonométrica)
= 2 ( 1 )3 = 2
¿EJEM P LO 6„} Calcular: Iim — — 2)g + * + ^ h. J
,-mi
(e* —1)
\Solucwn\ Cuando x —> 0, el numerador y denominador tienden a cero. Entonces por la regla de L’Hospital se tiene: Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
683
Sección 7.2 : Prim era regla de L 'H o sp ita l: F orm a 0/0
*-»"
(FormaO/O)
3 (* * -l)V
xe* —e* +í = lim -----;--------- =---------,->•) 3(e** - 2 e2* + e x) L = lim
*-•" g" ( * )
Ñuta
(Aun de la forma 0/0)
*-»'> 3(3eíx -A e 2* +e ' ) =
L = lim
(Algebra)
lim
x 3(3e2* - 4 e x + ])
(Algebra)
= lim
1
I
3 (6 -4 )
6
Uso incorrecto de la regla de L’Hospital
La regla L’Hospital aplicada indebidamente puede llevar a resultados falsos. Recuer de que la primera forma de la regla de L’Hospital puede aplicarse a cocientes que nos llevan a indeterminaciones de la forma 0/0. Por ejemplo la aplicación siguiente de la regla de L’ Hospital es incorrecta.
Sen 3x í EJEM P LO 7 ) Calcular: ,_*u lim 2 {x-Sen2x ¡Solución | La sustitución directa nos lleva a la indeterminación 0/0. Ahora, si sólo aplicamos dos veces sucesivas la regla de L’Hospital el resultado será un cálculo
incorrecto, pues L = lim f 3jr— ) =lim . \ x 2- S e n 2 x ) = lim
3 Cos3x 2x —2 Cos 2x
( - 9 Sen 3x 'l -— —— = ^2 + 4 Sen2x )
0 , esfalso
( 3 Cos 3x ^ La razón de que este resultado esté equivocado es que el lim I —----- 2 Cos2 I n° CS Una forma indeterminada, por lo que no es aplicable la regla de L’Hospital. El cálculo correcto es: L = lim I ,Sen3x 1 =lim í 3 C ° S3X ) - ;)} x-*« l 2 x - 2 Cos2x I l x 2-S en 2x Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 7: F orm as Indeterm inadas
684 _3(')
_ _ 3
0 - 2 ( 1)
■
2
El objetivo del Ejemplo 7 es hacer una advertencia. Verifique la hipótesis de la regla de L’Hospital antes de aplicarla.
[7 .3 )
S E G U N D A R E G L A D E L’H O S P IT A L : F O R M A W
T E O R E M A 6 .3 : L a re g la d e L ’H o s p ita l Sean las funciones / I R I R i) ii)
e: IR —» DL tales qut
\
Son dilercnciahlcs sobre el intervalo
1 -.u*
liin g(.v> = «
iii) g'(x) * 0. V x e <«, b> iv) Existe el límite; lim ^~r - L (¿esfinitooinfinito) g (x) Entonces existe también el límite
iim liin
J g(x)
Demostración
to
r w
.t*'U)
= i
Supongamos en principio que el número L es Finito y, mostraremos que si
g (x)
lim /< '> = L
g(x)
En efecto, para esto, elijamos los puntos jq, y x tales que 0 < x < x o<,b
o-
a Entonces sobre el intervalo [x, a„] las funciones/y g van a satisfacer las condiciones del Teorema de Cauchy. Es decir existe un número c e
g’ (c)
Es evidente que ei punto c depende de la elecciónxle los puños x y au, esto es, c = c (x, x(l). Delafórmula (l)hallemos la relación f{x) / ^(x)escribiendo: Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 7 .3 : Segunda regla de L 'H o sp ita l: F arm a <*>/«»
,
,
f(c)
f(x) J f ( c ) ]
g(xn) g{x )
s‘ (c)
«(•*)
L ¿ < c ) i,
/(-*■■)
/ ( * o)
f(x)
\ M
685
*(*)
/(* )
Si para unjc„dado, por la condición (ii) del teorema obtenemos
g(x)t- _= I lim f;— ♦flt 1. - / ( * „ ) /(J C )
Sin embargo, en la parte derecha de la fórmula (2) no se puede utilizar la propiedad sobre el límite del producto de funciones, pues los límites de los factores que allí aparecen se toman en diferentes condiciones; en un caso, el punto jr0 —» a, y en el otro el punto Xf, es fijo, y x —» a. No obstante, V e > 0, siempre se puede escoger a„ tal que la relación f'(c)tg'(c) sea tan cercana al número L, V r e
gU q)
■
/ (■ * »
f / X\
relación
)
tan cercana a I V * e , que como resultado para todos los
/U )
x señalados se cumplirá la desigualdad f(x) _ L g(x)
x~*a'
Z(x)
Con lo que el teorema está demostrado para el caso de un límite L finito. Analicemos, ahora el caso del límite infinito En efecto, supongamos que
f 1 {x\
------ > «> cuando x —> « + , entonces 3 n,. > 0 /
S (■*)
V jte
Fijemos tamhién un xlt e
y
|_líí«2> o
(3)
g (*)
Entonces, V x que satisfacen la condición a < x < a + n2, se cumplen las desigualdades (3), también la desigualdad
f(c) , > ü , donde x < c
686
C apítulo 7: Form as Indeterm inadas
y es válida la fórmula (2). De ella se deduce que para los x señalados Z í ü l > 0 . es decir,
lim *-» « +
¿ M
=
t .
£ (* )
De forma análoga se analiza el caso
f ( x ) _s
ti™ g U ) • x->„+
— OO
El teorema 7.3 sigue vigente cuando se hacen las transformaciones naturales, y cuando
x —» a ', x —> -H>° y x —¥ -«a, asi como en el caso de los límites bilaterales.
[E JE M P L O 8 1 Calcular: lim Solución
Ln(Sen 3x) Ln ( Sen x)
Como la sustitución directa da al límite la indeterminación regla de L'Hospital 3 CoTg 3x , i- f ( x ) .. L= lim ¿----- = hm .«-*« g (x) { CoTgx J = lim
3 Tgx
aplicamos la
(Todavía de la forma « /« )
(Ahora de la forma 0/0)
Tg3x
f"(x) ( 3 Sec 1 x L - lim ■ .. - = lim
( EJEM P LO 9 ) Calcular: J— lim >+e-
e +3x 2
j-»+- ^ 4er + 2 x J
\Solució¡i\ Ya que el numerador y denominador tienden a +«>, podemos aplicar la regla de L’Hospital. que nos conduzca a = lim í 6 + ^X 1 *-++“[ 4e'< + 4x J
(Forma “ /<»)
= ^ L = lim ^ ^ = lim í € 1 g" ( * ) 4e* + 4 I
(Todavíade la forma«/«»)
L = lim - ^
'-*«• í ( r )
, iL = lim
—— = „lim f *-*+- [ 4e* ,
/ "'(• * )
g''' (x )
[E JE M P L O 1 0 ) Calcular: lim
, n e N y ¿i> I
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
687
Sección 7 .3 : S egunda regla de L 'H o sp ita l: Forma
Solución
El límite tiene la forma indeterminada “ /«», y como n e N, aplicamos la regla de L’Hospital n veces, para obtener = * L = lim
')
*^+-\a'Lna)
a*(Ln a)
= ......
= lim ------- ------- = 0 ,_+« a l (Lna)n De esta forma cuando x exponencial a',a> 1.
Nota:
—» + ° o
cualquier grado de jc" crece más lentamente, que la función
Uso incorrecto de la regla de UHospital
Se debe tener en cuenta que la realización de cálculos según el modelo del Ejemplo 10, está justificado sólo en el caso cuando como resultado se obtiene un límite finito o infinito.
(E J E M P L 0 1 1 ) Calcular lim í 2* Sen x \ » * *-**-\
Cuando x —»+**>, numerador y denominador tienden a +<». Sería erróneo aplicar la regla de L’Hospital, puesel límite 2 —Cos x L = lim 4 t ^ = lim g («*) *-*+•* x + 2 Cos 2x
, no xiste
¿Qué podemos concluir sobre el límite (1)? Nada en absoluto. La regla de L’Hospital dice que si lim i f l g ) existe, entonces lim ( / / g) existe. Nada dice para el caso en que lim ( f ! g') I tw
X- t
»1
^ ^
no existe. Sin embargo, la indeterminación 00/00 de (1) puede ser resultado directamente por la forma elemental, como sigue
2 Sen x L = lim í
= |¡m ----- — ^ jc + Sen 2x J ^ Sen 2x
2 -0 1+0 = 2
(Algebra)
(porque ISenxl< I)
Otro caso incorrecto del uso de la regla de L’Hospital es que no simplifique el problema de cálculo del límite de una función. Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 7: Form as indeterm inadas
688
( EJEM PLO 1 2 ) Calcular lirn Solución
,_____
Como el límite toma la forma «• /«., al aplicar la regla de L'Hospital resulta que
L = lim
= lim *-*—
g (*)
= lim
X
'Jx2 + 4 esto es, se obtuvo el límite de una función inversa a la dada, de modo que el problema perma nece invariable, sin solución. En estos casos el límite dado se halla fácilmente por el método elemental
L = lim
x
..
\ x\ Jl +AJx 2
x
= lim
-jtV i+ 4 /jT 1
= lim
= -l
- V i + 4 /. Como comentario final diremos que la regla de L’Hospilal también puede emplearse para concluir que un límite es infinito.
E J E M P L 0 1 3 ) Calcular lim ( e‘ + 2 \ 9
jc
+ 2 jt
^$ohtciótQ Dado que la sustitución directa nos conduce a una indeterminación de la forma « / oo aplicamos la regla de L’Hospital, para obtener
L - lim
/■ ( * )
g'(x)
/" O O = lim *-»+— g " ( x )
r e s +2 lim I *->+~ |^3jc2 + 4 * lim í - 4l J *-.+« |'^6-x +
(Forma « /« )
(Aun la forma oo/»)
= lim r ' w _ : lim *-*+~ l 6 J jr— »+•» g " ( x )
E J E R C IC IO S . Grupo 51 4*
En los ejercicios lal 30, calcúlese cada limite, usando la regla de L’Hospital cuando sea necesario
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
689
E JE R C IC IO S. G rupo 51: F orm as indeterm inadas
3.
iim
x are Tgx I -Cosx
5.
Um
( x+Se nx -----------y3x+Cosx
7.
lim I -.0
9.
Hm *-»*> ^ x —Senx
lim x-.ll
2eA- x 2 - 2 x - 2
e' +e~' —2 x Sen x
6.
lim ■ J Z H ' J 4 x 2- x j
8.
lim x-»2
10.
lim t-»0 y e' - Cosx j
x —2 Cos KX jr
- 4 ~
( LnQ+x1)'
“U .• ,im t-»ti
x - are Sen x Sen* x
12.
lim
13 üm r-.«
eA—2 Cosx +e~* x Sen x
14.
Iim
16.
Um v-.ll ^n Sen x - Sen nx j
.1 -»!
r-.ll
m Sen x —Sen mx
15. lim *-*» x(Cos x — Cos mx)
17. A/' ,im X— *11 19. lim
ex +Ln( 1 - jc ) Tgx-x
18.
m' Sennx—nASenmx \ Tg nx - Tg mx eu47x -
2 1 . lim
- 1
J —J l x - x 2 , Sen 2 x + 2 Sen2x - 2 Sen x Cos x —Cos2 x Tg nx - n Tg x
^x+Senx- - 4 Sen Iim i-.» ^3 + Cosx --4 Cos lim T-»l
22 .
Sec(nxl 2) lim r-*i Ln ( [ - x )2
23. lim r-*l
x T g x - b i ( x + l )+x Sen2 *
24.
lim «-.i
25 lim
e * ' - l - x 3' Sen6 2x
26.
lim ----------- — i—— -
27. lim x-WI
e*-(x* / 6 ) - ( x 2 / 3 ) - x - l C osx+(x 2 12 ) - 1
28. l'm
¡2
X
f2 14
Ln( \ - x) +Tg( nx/ 2) Cotg nx Cos x . Ln( x- a) Ln(e —e )
Ln(I+ jQ 4 - 4 x + 2 x 2 - ( 4x 2 I3) + x 4 6
X
(Lnx)m + ( l - x 2y Senv \ x - 1)
20 .
1
yjSen bx
1- x + Ln x
S c n x -6 x +x3 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
690
Capitulo 7: F orm as Indeterm inadas
29. Iim
30.
2 x —Sen x 12 + Cos 2x \ x Sen2x + x Cos x
n ~ 2x 2 Sen2x
e Sen x —e [Sen a + J2( x —a) C os(a~ 7c / 4 )J lim ------------------------------------------------------------------e - e (x + I - a ) En los ejercicios 3 1 al 36, úsese la regla de L’Hospital para comparar el crecimiento de las funciones
h(x) = (Ln x)"
M = x ” . *(x) = e"
donde /i > 0, m > 0 y x —» Los límites en estos ejercicios sugieren que (Ln x y tiende a infinito mas lentamente que x"\ el cual a su vez tiende al infinito más lentamente que e"’
31. lim | .
l e3x
33. üm 35. lim
37.
(Ln x)
, n > 0, m > 0
32.
lim , . *- i e
34.
lim i----
36.
lim — , n > 0, m > 0 '-»■! e
(Ln x ) 2
Sabiendo que la función real/tiene derivadas de todas las órdenes, evaluar
f(a + x ) - f ( a ) - x f ( a ) - X - x 2 f'(a) lim
x —Sen a
38. Sean ftx)= x?Sen(l/x), g(x) = Senx. Hállase lim ^ r * y demuéstrese que en este caso ,-»« g (X) la regla de L’Hospital no es aplicable. 39. Suponga que / e s una función dos veces difercnciable. Use la regla de L’Hospital para demostrar que
f(x + h)-f(x -h ) = f(x) 2h í m n * + » - 2f M + f i x - h )
a) lim
40.
Establezca la versión (VOdc la regla de L’Hospital para el caso a = (Sugerencia: Sea F(t) = / ( l / f ) y C (f) = g (l/f). Demuéstrese después que .. / ( x ) F(t) F(t) f(x) lim — - = Iim = lim ^ = Iim , g(x) »-»*» G (/) G (0 g (x) usando la regla de L’Hospital para el caso a = 0) Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 7 .4 : F orm as indeterm inadas adicionales En los ejercicios 4 1 al 44, estudiar la posibilidad de la aplicación de la regla de L’Hospital. 41. I*™,
x Sen(l/x) Sen x
42.
Uní
43. lim
x-Senx x + Sen x
44.
lim
[7 .4 )
2* {Cos x + 2 Sen x) + e * Sen2x e~r (Cos x+ Sen x) 1+ x + Senx Cosx ( x+Senx Cosx)e Smii
F O R M A S IN D E T E R M IN A D A S A D IC IO N A L E S
i) El caso 0 . » Si lim f ( x ) = Q y ü™ £ (* ) = °°, se dice que el producto fíx).g(x) tiene la forma LndetermL*-*•>
r-* «
nada O.oo para x = a Para calcular el límite de f{x).g{x) cuando x —> a, por la regla de L’Hospital, se cambia el problema por uno de la forma 0 /0 ó «■/«», utilizando las transformaciones siguientes:
f(x).g{x) = - ^ p 1 fg(x) f{x).g(x) =
g{x)
(Forma 0 /0 )
( 1)
(Forma
(2)
í E J E M P L O 1 } Calcular: lim ( x - a r c Senx) Coseclx
Solución
Como la sustitución directa nos lleva a una indeterminación de la forma 0«>, reescribiremos el límite para que se ajuste a la forma 0/0. Esto es:
.
x —uare i t Senx ücriA Sen*x Senx
a
L = Iim ------— 5------
(Forma0/0)
Entonces, por la regla de L'Hospital se tiene:
L = lim
g'(x)
= lim -
(Forma 0/0)
(1
3 Sen xCosx 2 v -3 /2
, " (■ * ) i- X ( l - X )' L = vlim -/ — -— = lim ----------- ----------*'*" g (x ) »-»" 3Senx{Cos2x + Cos x)
= lm r^ í l ^ L 3 (C o s2 x + Cos x ) -d ) _ 3(1 + 1)
1 6
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
lim -----*-*> Sen x
Capitulo 7: F orm as Indeterm inadas
692
(E JE M P L O 2 ) Calcular: lim L n \ l - ^ Tg Solución
j
El límile lienc la forma O.»», por lo que usaremos la transformación (1) para obtener ¿.=lim - ^ M - = li,n ¿ " g - x / f l ) ~ .l/*(x ) — C„,gf í O
— !—
(Fonna0/0)
1
a\2~ x!aJ
¿=hm ~ t - t = lim r " ;' G'( x ) ~ ^
2a
Cosec 2
V 2 fl
= lim ---------------- 2a K(2a —x) Casec2^ ^ ^
Ü)
2a
2
Tt(2a —a ) (I)2
n
u
El CaSO oo —ee Si lim f { x ) = oo x —tii
y lim g (* ) = » , entonces se dice que fíx) - g(x) tiene la forma c —
indeterminada <» —oo. Luego, para calcular lim [ f ( x ) ~ g(x)] se procura transformar /(.r) - g(x), mediante ciertas operaciones algebraicas (común de nominador o factorización), en una de las formas 0 /0 o «>/ “ y aplicar luego la regla de L’Hospital. I ( EJEM PLO 3 ) Calcular: lim | — W Vl ■■1 ■ * >-*2 i x -— 22
Solución
1
Lti(x —I)J
Se tiene aquí la forma indeterminada oo —oo. Entonces mediante la técnica del común denominador: r 2 - x +Ln( xr n ] < ^ -l(x -2 )Ln (x -\)}
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
(Forma m
Sección 7 .4 : Form as indeterm inadas adicionales
693
ey = lim ----- —— ----- 7 — — *-*2 ( x - 2 ) + ( x - l ) L n ( x - l ) L = lim
2 8 (-0
(Todavía 0/0)
7----- ^ -----------------= - -
^ 21+ (jc_ | ^ _ j _ j +¿JlU_ ])
2
1
( E J E M P L O 4 ) Calcular: lim i —j —Cotg2x Solución
Como la sustitución directa nos lleva a la indeterminación « - « , recscribimos el límite para reducirlo a la forma 0 /0
L = lim
1
*-*» \ x
Cos x Sen x ~ x Cos x = lim Sen x ) *-*íl xzSen2x
= lim *-»<>
Sen x + x C o s x ' Sen x
Sen x —x Cos x x 1 Sen x
= lim
Sen x+xCos x Sen x
* -> íi
t-* ll
lim
(Forma 0/0)
(Algebra)
Sen x —x Cos x x Sen x
ÍProp. de los límites)
El límite del primer factor lo hallamos directamente
Ly = lim
Sen x + x C o s x '
= lim
*-*0
\
1 + —------
Sen x
Cosx =
2
Y el límite del segundo factor por la regla de L’Hospital ,
, Sen x —xCosx , = lim | -------— | = lim
x Sen x
1
= lim
2 +dXD
2 + í — X— | Cos x ^ Sen x De esta forma:
x Sen x 2x Sen x + x Cosx = l 3
L = L¡. L2 = 2(1/3) = 2/3
( E J E M P L O 5 ) Calcular: lim [J x 2 -5jc + 6 - jc]
Solución
En este caso tenemos la indeterminación 0 0 - 00. Usaremos la técnica de factorización para transformar el límite a la forma ««.0 y luego reducirlo a la
forma 0 / 0 .
L = lim i^Jx2 —5jc + 6 -
jc )
=
x
~ ~ + ~~t ~ * j
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(Forma oa.0)
Capítulo 7: F orm as Indeterm inadas
694
J l - 5 / x + 6/ x 2 - l = üm ------------- — ---------------1/ x ,
L = lim
f(x)
. - = Lm g’ ( * )
1 / 2 ( 1 —5 / x + 6 / x 2 )~I/2 (5 / x 2 - 1 2 / x 3 ) - 1 / X"
5-12/x
= lim
^-2V l-5/x + 6 /x 2
(7 .5 )
(Forma 0/0)
.
L A S F O R M A S IN D E T E R M IN A D A S 0°, °°D, 1~
Supóngase queJ(x) y g(x) son funciones cuyos límites cuando x - * a son tales que el límite de la expresión v= l/ÍJí)]*" asuma una de las formas indeterminadas 0 o, <*° ó l Al calculare! logaritmo natural
Ln y = Ln (/(x )]*1' 1 = g(x). Lnf(x) vemos que en cada uno de los tres casos de indeterminación mencionados, g (x) . Ln fi, r) toma la forma 0 .« , por lo que se pueden usar los métodos que preceden a esta sección para calcular u = lim (L/i y) Luego, de la propiedad: ax— exLaax se sigue que [/í *)]***1 = e
Ln^xi = eL"!
y como la función exponencial es continua, entonces /1
L = lim [/(x )l
liml/í v
=lim
x —*a
= e"
En consecuencia, los cuatro pasos siguientes simplifican el proceso de calcular el límite de (/í*)]***’ cuando x - > a . 1. Sea: y = L/(x)]*“ > 2. Simplificar: Lny = g(x). Ln f(x) 3. Calcular: u = lim(L/t y) = L*(lim y) A— *4 \ / 4. Concluir que:
L = lim t /íx )]*1''1 = e"
| EJEM PLO 6 ) Calcular: lim ( l - x ) ° " lBJt/2) Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
695
Sección 7.5 : Form as indeterm inadas O " , 1“
Solución
Se tiene aquí la forma indeterminada 0°. Entonces por 1a regla de los cuatro pasos se tiene: 1. Sea: _y= (1 - j c ) Cos(7t jt/ 2 ) 2. Entonces: Ln >' = ^ C os ~ j Ln ( 1 - x ) 3. Sea u = l i m Cos ^ j Ln (1 —
(Forma 0 . “ )
jc )
Ln{ 1—j c ) *-»> Sec(nx f 2)
(Ahora de la forma °o / « )
u ~ lim
- 2 Cos2 (n x 12) 1 —x = lim *-i n l 2 S e c { n x / 2 ) T g ( n x ! 2 ) n { l - x ) Sen(nx/ 2)
u = lim
„ i' c / , r - 2 Cov2 (rcx/2) Como lim Sen{nx/ 2) = 1 => u = h m --------------- ------*->i *-»' rc ( l- x )
(Forma 0/0)
.. f ' ( x ) .. Sen(nx) „ => u = hm .. ~ lim — . .. ' = 0 *-*' £"(•*) «-*' « (“ !) 4.
Si u = lim {Ln v)= Z/i( lim y) <=> lim y =e" »— •! / í— »l L = eu = e° = I Scnx
[E JE M P L O 7 ] Calcular: lim
*-*0
Solución
\X
En este caso la indeterminación es de la forma oo”, entonces, por la regla de los cuatro pasos se tiene:
2. Lny = (Sen x) Ln ( 1/x) = - (Sen x) Ln x
Ln x
3. Sea u = lim —(Senx)Lnx = - lim _ *-*•> Cosec x l/x = l i m | ^ ^ | 7 g x = (l)( 0 ) = 0 *->» —Cosecx Cotgx *-■»<> v. x
u = -lim
4. Si u =lim (Ln y) = Ln [ lim y) <^> lim y =e" J
\K -*n
/
r— »ll
L = e°= 1
( E JEM P LO "8 ) Calculan lim (eu +2x)
ItS*n$x
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
(Forma«>/«»)
Capítulo 7: Form as Indeterm inadas
696
Solución 1.
Aquí el límite tiene la indeterminación 1*\ Entonces al aplicar lá regla de ios cuatro pasos se tiene:
Sea y = (c2* + 2x)'#Scll'u
2. Ln y =
3.
Ln (e¿I+2x)
Sen 3x
Sea u = lim(£/i y) = lim ——77— jl^ £ ) *-*" Sen 3x
=> u = lim
2(e2x+\ )
f(x)
., . = lim g’ (x) *-»« 3(e2* + 2 x ) Cos3x
= 4.
(Forma 0/0)
2(1 + 1) = 4 3(1 + 0)(1) 3
Si u = lim (Ln y) =Ln\ lim y) <í=> lim y = e" x-»0 \ i-M» / jt-H>
E J E R C IC IO S . Grupo 52 ❖
En los ejercicios 1 al 28, calcúlese cada límite, usando la regla de L’Hospital cuando necesario.
!.
h i J Z ü l j «-»» x \ 4 x + BJ
3.
2.
—j:
lim J a 2 - x 2 C o tg í^
y2 \ a+x
'-**
T g x ~ l Sec
5,7.
r f 4 - -— — 2 lim l x 1- Cos x
9.
lim
x)
lim [(IT —2 arcTg
jc )
Ln x]
' 13. lim
*-*0
2-
----------- —— 1
\x + x - 2
x —I J
4.
lim ( o l , x - l ) j c
6.
lim [ tJx * +2-c + 5 —jcj*
8.
lin
,0-
ík
12.
lim ^ ( f l + jf)(/? + x ) ( c + z ) — x]
1*1*
uní i
1
----- - ------—I Ln x
^ jc
11.
lim í
<-»i*
I ^ M
t
\ 1
Lnlx + J l + x 2) V ' '
1
¿«0+*)
,
.
[ J x 2- *
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
_
E JE R C IC IO S. Grupo 52
15.
,7 19.
697
lim L[(xfi+ 3 x 5 + 4 ) 1/f- x Jl
s a p ír) lim ^Cos —^
21. üm
1+7gx ^ 1 +Senx
25. lim (Sen x~~ Cosx) r -»«/2 v
i}¡ *
'
16.
lim ( V x 5 - 3 x 4 +17 - x j
18.
lim (x + Senx)* *-*«*
20.
lim (e* + 2 x)
22.
Iim (lll + Senlx)
24.
lim (Cos nu) »-»n+
26.
lim (e3x - 2 x) *-*« v >
IfScn-JTi
Ȓ i " -u tS m bt
i 27. lim (x)
£n(r*-l)
28.
x -*á )
29. üm
1
^Sen x
1
30.
x
31- lim x(2"* - l ) , , .. i Ln x 33. lim 'ZÜ+ l, 2 35.
lim
Ln x
hm
x-tit*
| Ln x +
32.
iim *-»() . * 3
34.
üm *-*« l
36.
lim
2 (x 2 + 1)
7g 2 ( l / x ) Ln ( 1 + 4 / x)
Um Í 2 - ^ f 1 a)
*-*» \
* Tg x
Cos x Lti{ex —e“) Ln( x- a) x 4 + 3x 2 + 5 x —2
37. Demostrar que cuando x es infinito => x —x 2 Z j¡(| + — | = -
\
x)
2
38. Suponga que n es un entero positivo fijo. Demuestre que lim ( ^/x" +a|X""' +£j2x"- 2 + ....+ an_,x + an — x) = — X'
V
*
39. Sea f ( x ) = e~Ux y g(x) = Cos x - l ,
/í
por lo que [/(x )F ° es una forma indeterminada
del tipo 0 ° cuando x —» 0 . Demuestre que | / ( x ) | * ul —>-Je cuando x —> 0 . 40. Use la regla de L'Hospital para demostrar a) lim (l+ /ix ) IM = e x
b)
lim ( l + * ) = c '
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Capitulo 7: F orm as Indeterm inadas
698
0 .6 )
F U N C IO N E S H IP E R B Ó L IC A S
En esta sección haremos un estudio de una clase especial de funciones trascen dentes elementales, cuyas reglas de correspondencia incluyen combinaciones de las funcioes exponenciales conocidas e' y e'-1.Tales funciones reciben el nombre de funciones
hiperbólicas.
Definición 7.1 : F U N C IÓ N SEN O H IP E R B Ó LIC O Sea x 6 E; el seno hiperbólico de v, denotado por Senh r, se define comol
Senhx = ^ (< ~e ‘ o bien:
Senh : IR —»IR t
y = ^ (e - c
)
OBSERVACIONES 7.1 l.
Es fácil comprobar que Scnh(O) = 0 y que
Senh(—x ) =
2.
1 ~ c ' ) = —^(e' —e~') = —Senh(x)
de modo que la gráfica de Senh x, mostrada en la Figura 7 .1, es simétrica respecto al origen, es decir, Senh x es una función impar. Cuando I * I —> la gráfeia de y = Senh x es asintótica al de las gráficas de las funciones I w J y = -e ó v = —e
} 3.
1
2
r
' 2
La gráfica de Senh x es estrictamente creciente en todo su dominio, es cóncava hacia abajo en <-«».0 > y cóncava hacia arriba en < 0 , -H»>; ( 0 . 0 ) es un punto de inflexión.
Definición 7.2 : F U N C IÓ N C O S EN O H IP E R B Ó LIC O Sea x e IR; el coseno hiperbólico de .r, denotado por Cosh x, se define como
Cosh x ~ —(e* + e ~x) o bien:
Cosh: IR —» f 1, + » > y = -(e ' +*'*)
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 7 .6 : F unciones hiperbólicas
699
OBSERVACIONES 7.2 1.
Se comprueba sin dificultad que Cosh 0 = I y que Cosh(-x) = Cosh (x ), es decir, Cosh x es una función par y como tal su gráfica, mostrada en la Figura 7.2, es simérica respectoal eje Y.
2.
Para I x I —>■», la gráfica de Cosh jres asíntota ai de y = —eT ó y = - e~x
3
La gráfica de Cosh x. llamada catenaria, es decreciente en <- <».()> y creciente en <(),+«•>, presenta un mínimo absoluto en ( 0 , 1), es cóncava hacia arriba en todo su dominio.
J
2
'
2
Las otras cuatro funciones hiperbólicas (la tangente,cotangente,secante y cosecante hiperbólica) se definen en términos de Senh y Cosh por analogía con las funciones trigonométricas:
T„h r _ Senh x - e ' ~ e~', D = IR. , gnX ~ Cosh x ~ e ' + e ~1
R = <-1, l>
CtJtghx = C°Sh- = e ' + e~_' n = ® - { 0 ) * Senh x e T- e * Sech x =
R = <-°°. - I> u
- , D = IR, R = <0, l>
Cosh x
Co&ech x =
1
Senh x
e x+ e ' —, d =
r = m -{0 }
e x- e ’
Las gráficas de estas cuatro funciones hiperbólicas se muestran en la Figura 7.3 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
700
Capítulo 7: F orm as Indeterm inadas
Figura 7.3 En las gráficas de las funciones hiperbólicas resulta evidente una sorprendente diferencia entre estas funciones y las trigonométricas ordinarias: Ninguna de las funciones hiperbólicas es periódica. Sin embargo tienen propiedad de ser pares o impares como las funciones cícli cas. Por ejemplo las funciones Cosh y Sech son pares, pues
Cosh ( - jt )
=
Cosh x y Sech(-x) = Sech . t , V x
e
IR
Las otras cuatro funciones hiperbólicas son impares
Senh (-*) = - Senh x Tgh ( - jc ) = -Tgh x
Cotgh (-jr) = - Cotgh x Cosech ( - jc ) = - Cosech x
La terminología y notación trigonométrica de las funciones hiperbólicas surge el hecho de que satisfacen una lista de identidades, salvo algunas ocacionales diferencias de signo, que recuer dan identidades trigonométricas familiares. Por ejemplo es válida la fórmula a)
Cosh2 jc - Senh2 jc
=
1
En efecto: Cosh2 j c - Senh2 x =
e +e
A
e -e
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 7.6,1: Identidades hiperbólicas
701
También es válida la formula b)
Senh 2 x = 2 Scnh x . Cosh x pues, 2 Senh x . Cosh x = 2
e -e
e +e
= - l e 2' ~e~2') = Senh 2 \
Estas fórmulas recuerdan las relaciones entre el seno y el coseno usuales, circulares como a veces las llaman, porque el punto (Cos 0. Sen 8 ) se encuentra en el círculo x2 + y2 = I . V 0 € IR. En forma semejante, la identidad (a) indica que el punto (Cosh 0, Senh 0) se encuentra en la hipérbola k2- y2= I y esta es la razón del nombre de funciones hiperbólicas (Figura 7.4)
Figura 7.4 En la lista siguiente, nótese la similitud con las identidades trigonométricas
( 7 .6 .1 ) 1. 2. 3. 4. 5.
ID E N T ID A D E S H IP E R B Ó L IC A S
Cosh1 x —Senh2x = 1 Tgh2x + Sech2 x = 1 Cotgfr x —Cosech2x = 1 Senh (x ± y) = Senh x Cosh y ± Cosh x Senh y Cosh (x ±y) =Cos h x Cosh y ± Senh x Senh y
6.
Tgh x ± Tgh y Tgh(x±y) = , * . ----a J i ± Tgh x.Tgh y
7.
Senh(2x) = 2 Senh x . Cosh x
8.
Cosh (2x) = Cosh2 x + Senh2x Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
702
Capítulo 7: Form as indeterm inadas
Senh (3x) = 3 Senh x + 4 Senh* x 10. Cosh (3x) = 4 Cosh* x - 3 Cosh x 11. 2 Senh’ x = Cosh (2x) —I 12. 2 Cosh2x = Cosh (2x) +1
9.
13. Senh x +
Senh y = 2 Scnh^* ^ j Cosh^ ^ j
14. Cosh x +
Cosh y = 2 Cosh^A j Cosh^^^- j
15. [Senh x + Cosh x)M= Senh (n x) + Cosh (n x) Las identidades 1, 4 y 5 se deducen directamente de las definiciones de Senh x y Cosh x. Por ejemplo
Senh(x + y) = Senh x Cosh y + Cosh x Senh y En efecto:
Senhx . Cosh y + Cosh x Senhy - ^.(ex- e*) (e> + e y) + i.(e* + 4
e
4
*) (e> -
I 1 = ^ (e* e* +e* e r- e ' er - e x e T) + ^ (e* e^-e* e 1 + e* eT- e ' eO = | ( 2 e ' í”- 2 e xe") = * (í*"r - e I ¡) ~ Senh (x + y) Las demás identidades se infieren de (1), (4) y (5) en forma paralela a la deducción de las identidades trigonométricas estándar. Por ejemplo, probar que es válida la fórmula
Cosh (2x) = Cos/f x + Senh2x En efecto, si en la identidad (5) (tacemos x = y. obtenemos:
Cosh (x + x) = Cosh x . Cosh x + Senh x . Senh x => Cosh (2x) = Cosh2 x + Senh2 x
[E JE M P L O *0 Si Coshx = -3/4. hallar el valor de x Solución
Resolveremos la ecuación teniendo en cuenta que x e IR - {()}
2 2 es 3 Como Coseh x = ----------- =>-y= e '-e -' el x- l 4 de donde se tiene: 3e2f + 8 ex—3 = 0 O (3 e * -l) (<^+3) = 0 c * e*= 1/3 a e' = -3 Dado que e '> 0, V x e IR => e* = 1/3 <=> x = Ln (1/3) = - Ln 3 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
_
Sección 7.6.2 : Lím ites hiperbólicos
703
(E JE M P L O 2 ) Resolver la ecuación: Tgh (Lnx)=
2x + 7
¿2 ^
| Solución | Teniendo en cuenta que x e IR*, de la definición de Tgh, se sigue que:
2x + 7 ~ x2 + ,
e pero como é J>K= x
y e Ux = l/x, entonces: x -l/x
2x + 7 ^
x+l/x
x2 + 1
{x > Q) A í x - - l _ 2x \ x 2 +1
<=> (x > 0 ) <=> (x > 0)
(7 .6 .2 )
a a
(x2 - 2 x - 8 = 0 ) (x = 4 v x = -2) => x = 4
L ÍM IT E S H IP E R B Ó L IC O S
El método de sustitución directa aplicado al cálculo de límites algebraicos y trigonométricos es también aplicable a límites de funciones hiperbólicas, esto es lim Senh x = Senh x ., lim Coshx=Coshx,t etc X —i X *
X -* X a
Ahora, si aplicamos la definición de Senh y Cosh, es fácil comprobar que los límites: lim SWi/ix = lim -(er - e - * ) = *-*o 2
- ( e ° - e ', ) = 0 2
lim Coshx = lim -(e* + e ) = ]- ( e° + e") = | »— *n j— »n 2 2 Tienen una marcada analogía con los límites trigonométricos. En el teorema siguiente se enunciará seis propiedades, incluidas estas, las cuales son muy útiles para el cálculo de límites hiperbólicos.
T E O R E M A 7 .4 :
S e is lim ite s h ip e rb ó lic o s e s p e c ia le s
L .H .4 :. Jim |I W* * rt” 1* \|=J
L .ll.l : lim Senh r =0 .-»n L.H.2 : lim Cosh x = 1 i-*u L.H.J
= I — » i
L.H . 6 : lim
X
I - Cosh v .v*
Límites indeterminados que contienen funciones hiperbólicas pueden calcularse con Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
704
Capítulo 7: F orm as Indeterm inadas
las ayuda de las seis propiedades del Teorema 7.4, las identidades hiperbólicas y una buena dosis de ingenio.
[E JE M P L O Solución
Calcular: lim
x Senh' 5x [ Senh 3x
La sustitución directa y la propiedad L .H .l lleva al límite a Ja forma 0/0. Eliminaremos esta indeterminación dando al límite la forma L.H.3, estu es: *2
*-*»y
Pero, según L.H.3 : lim
x
f
V
5x
í — 3*
X *-+o(Senhx
1 => lim (
J
\2
) ) \Senh3x)
L=|¡m f ^ L l £ ' )
=
í í ^ (3jc) 1
1+ Senh x - Cosh x *-»•> \ ] +Senh( 2x) - Cos h( 2x) j
[ EJEM P LO 4 ) Calcular: lim Solución
En este caso eliminaremos la indeterminación 0/0. dividiendo el numerador y el denominador entre x.
( 1—Cosh x \ L —lim
j—
( Senh x \
J+h H
,,^l - C o s f t ( 2 j ) j + 2 ^5enA(2^) j
Ahora haciendo uso de las propiedades L.H.3 y L.H.5 se tiene:
L=
[ EJEM P LO g ) Calcular: lim ^
0
+1
2
Cosh 3x —Cosh x X
Solución
1
2 ( 0 ) + 2 (l)
2
La sustitución y la propiedad L.H.2 llevan al límite a la forma 0/0. Elimaremos esta indeterminación mediante el uso de la identidad hiperbólica 10 , esto es:
L = lim
v
4 Cosh* x —3 Coshx —Cosh x } .. 4 Coshx {Cosh2 x —I) —=-------------------- = lim ----------------=--------------
x2
( Senh2x
= lim ( 4 C i m /zjO I
J
|— 4 ( | ) ( i )
*-» «
= 4
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
X 2
705
E JE R C IC IO S. G rupo 53
f EJEM PLO 6 1 Calcular: lim Solución
2 —yjCosh t - Cosh x
La sustitución directa da al limite la forma 0/0.
Resolveremos esta indeterminación descomponiendo el numerador en dos sumandos de modo que tengan la forma de la propiedad L .H .6
L = lim
1- t] Cosh x
| - Cosh x
= lim
( l - JCos h x ) ( l + J C o s h x ) x 2(l + y j C f í S h
( \ - Cosh x '’l
- lim X— *0 r
s
)
/
\ 1
\-C osh
—
X )
i 1 — Cosh x X2
'
1+ t]C osH x
[E JE M P L O 7 ) Calcular lim x Se“ tSenh i ■ * r —>11 1 1 _- C f i * ( R e n h rt) *-*» Cos(Senh
s
Solución
Resolveremos el problema de la indeterminación 0/0 multiplicando y dividiendo el límite entre Senh2x
L = lim
- lim
Senh x l 1—Cas(Senhx)
x Sen (Senh x) Senh~x Sen (Senh x) Senhx
Senh x
*-»« l l-Cos(Senhx)
Senh x
Obsérvese que el denominador del primer factor y el numerador del segundo factor son fun ciones trigonométricas cuyos argumentos son funciones hiperbólicas; además como r , 1- Cos u \ lim ------ =----- I =
I
=> lim
u' I — Cos tt
¿ = { 2 ) ( 1 ) ( 1) = 2
E J E R C IC IO S . Grupo 53 1.
Demostrar que:
2.
Demostrar que: Cosh + Cosh(4B) ' Senh(2A) + Senh(4B)
3.
Demostrar que: Senh A - S e n h B
I - Tghx
=
Cosh A + Cosh B
(A + 2 B) + ( A-B
* Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
= 2
C apitulo 7: Form as Indeterm inadas
706 4.
Calcular el valor de x , si a) Senhx= 12/5
d) Tgh(Lnx) = -U2 e) Cosh x = 5/4 f ) Cosech x = -3 /8
b) Cotgh x = -5/3 c) Senh (Ln 2x) = Cosh (Ln j c )
*1* En los ejercicios 5 al 16, calcular el límite indicado Senh x
5.
lim *-»<• yxTgh 4x
7.
lim (l — Cosh
9.
lim
x-*
6.
jc )
1—Cosh? x
Tgh2x yjl + Tgh x — i¡\+~Señh~x
13. lim
-
x
v. 15. lim
t-* 0
Senhx —Tgh x Senf? x
10.
lim
\ —Cos(Senh x) kSen2 (Senh 2 jc ) ,
12.
lim
14.
lim x-»U
16.
lim x-»ll
J C — * 0
l + Senhx—Cosh x
/
-J]+x Senhx —yjC oshlx 7fiAa( j f / 2 )
' 9x —Senh2x x + 5 Senh 4x
lim
Cotgh2 x
^1+ Senh( px)—Cosh(px) t
11 . lim
lim
X -* »
J—tfCosh x
x Senhx ■JCosh x —\¡ Cosh x Senh2x ' Senh (tlc) + 3 Senh2( 7tx) ^ jc +
2jt
(7 .6 .3 ) D E R IV A D A S D E L A S F U N C IO N E S H IP E R B Ó L IC A S Como las funciones hiperbólicas están definidas en términos de las funciones exponenciales e* y e *. podemos obtener fácilmente las fórmulas de sus derivadas, mediante la aplicación de las reglas de derivación de estas funciones. Por ejemplo
(Senh x) = -yríx ax
e.r—e - x
d , , d(e*+e~x - lO A x ) * - —
e +e
= Cosh x
= Senh x
Las otras cuatro fórmulas se infieren de estas dos fórmulas con ayuda de la regla del cociente y de las identidades hiperbólicas,
d (t i dx ^
\ _ d ( Senh 'j _ Coshx ( Coshx) —Senhx(Senhx) dx [ Cosh x J Cosh2 x Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
707
Sección 7.6.3 : D erivadas de las fu n c io n e s hiperbólicas
Cosh2 x —Senh1 x Cosh x
1
— = Sech2 x Cosh'x
— (Cotgh xj = - Cosech2x
Del mismo modo se obtiene las fórmulas:
dx
■4-(Sech x ) = —Tgh x . Sech x , 4 (Cosch x) = - Cotgh x dx dx
Cosech x
Obsérvese que las fórmulas de las derivadas de las funciones hiperbólicas son semejantes a las de las funciones trigonométricas, con ocacionalcs diferencias de signo. Ahora, si u es una función derivable de x, por lo anterior y por la regla de la cadena, obtenemos:
du dx
1.
— (Senh u) = (Cosh u)
2.
4 - (Cosh u) = (Senh u) 4
3.
4dx (TSh u} =
dx
dx
4. — (Cotgh u) = -(Cosch2 «) — •
dx
dx
5. 4 ~ (Sech u)~-(Sech u . Tgh u ) ~
dx
dx
(Sech2 “) 4dx
6.
dx
— (Cosech u) = - (Cosech u.Cotgh u) 4 dx dx
EJEM PLO S ILU S TR A TIV O S [ EJEM PLO 1 ) Para las funciones dadas, hallar su derivada y simplificar a) y = are Tg (Senh x)
b) v = Ln
c)
£
Cosh x Cosh x
y = Ln (Cosh x ) - ~ Tgh7x
í Cotgh2x
d)
y = x - Cotgh x -
e)
v = - * Sech5 x + — Sech1x - Sech x 5 3
fj
y = —j = Ln J l Coshx + JCosh 2x J
dy = i T (Senh x)' dx 1 + (Senh x)
Solución
a) Si y = are Tg (Senhx) => ~
dy _ Cosh x _______ 1 = Sech x dx Cosh2x Coshx b)
y = y [£« (1 + Cosh x ) - L n ( 1 - Cosh x)] • = 1 [ ( 1 + Cosh x)'
dxr
2 [ 1+■Coshx
( l —Cosh x) 1 _ I ( Serlh x _ —Senh x i - C o s h x \ ~ 2 [ l + Gw/i x 1—Cosh x
Senh x [ 1—Cosh x + 1+ Cosh x (]+Cosh x ) ( l -Cosh x)
Senh x l-C osh x
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
708
Capitula 7: Formas Indeterm inadas
d\ dx c)
Senh x = - Cosech x Senh2x
y = Ln (Cosh j c ) - 1 Tgh2x => ^ 2 dx
Cosh x
~ Tgh x (Tgh x)'
Senh x - Tgh x (Sech2 x) Cosh x = Tgh x - Tgh x . Sech2 x = Tgh x d)
( I
- Sech2x )
=
Tgh* x
U
y = x ~ Cotgh x — ^ Cotg/? x — = 1 - ( - Cosech2 x) —^ (3) Cotgh2x (-Cosech2 x) dx 3 = (1 + Cosech2x) + Cotgh.2x . Cosech2x = Cotgh2x + Cotgh2 x . Cosech2 x = Cotgh2x ( I + Cosech2x) — = Cotgh4x
dx e)
m
y = - ■— Sech5 x + ^ Sech? x - Sech x => ^
dx
= - i (5) Sech? x (-Sech x . Tgh x) + ? (3)Sech2x (-Sech x Tgh x) - (-Sech x.Tgh x) 5 3 = Sech9x. Tgh x - 2 Sech' x . Tgh x + Sech x . Tgh x = Sech x . Tgh x (Sech* x - 2 Sech2x +1) = Sech x . Tgh x (1- Sech2x)2 = Sech x .Tgh x (Tgh2x)2 • ¿I _
dx f)
= Sech x . Tgh5 x
y = _ L Ln ( 42 Cosh x + JCosh 2x ) 41
dy _ _ 1_ dx 42
í42
1 1 Cosh x + 4 Cosh 2x J
42
4 Cosh 2x
4 2 Cosh x + 4 Cosh 2x /
I
2| Senhlx\ 2 4 Cosh 2x ^
42 Senh x 4Cosh~2x + 2 Senhx Cosh x
1
42
h
v a* kjL.iin a i
1_________
4 2 Senh x (4Cosh 2x + 42 Cosh x) 4 Cosh 2 x
4 2 Cosh x + 4 Cosh 2 x
dy _ dx
Senh x
4 Cosh 2x
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Sección 7.6.3 : Derivadas de tas funciones hiperbólicas
IW)
Hallar la derivada de las siguientes junciones a) Senh (x + y) + Senh ( j t - y) = 1 b)
Solución
y = i Senlr x + -^Senh1 x + y¡Senf¡^ x+
+«■
a) Derivando implícitamente se tiene:
Cosh (a- + y) . ( I + y’) + Cosh(x - y ) . ( I - y’) = 0 => Cosh (a + y) + y' Cosh (x + y) + Cosh (x - y) - v' Cosh (a - v) = 0 => Cosh (a + y) + Cosh (a - y)= -y' [ Cosh (x + y) - Cosh(x - v)] Transformando a producto la suma y diferencia de cosenos hiperbólicos, obtenemos: 2 Cosh
CM ( * + -V¡ * + -V ) =- - y [ 2 S e n h ( x + y+2 X- ^ Seoh
+
+
=> 2 Cosh a . Cosh y = -y' (2 Senh x . Senh y) de donde: b)
y= —
Cosh x . Cosh y _ , _ — = — Cotgh x . Cotgh v Senh x . Senhy
Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad se tiene: y 2 = Senlrx + -Js^enh2 x + ^Senli2x+.... + °° y2 = Senh2 x + y Ahora, derivando implícitamente obtenemos: 2 y y ' = 2 Senh x . Cosh y + y ' => y' =
Senh 2x 2y -I
( EJEM PLO 3 ) Hallar la derivada de y=Senh 2 xi-Jx1+ 1) respecto de , * V
Solución
Sea u =
= x(xi + 1)
VA2+
i/2
Por la regla de la cadena: — = í dx U a H c í u J Si y = Senh2
x 2+ l'j =>
dx dy dx
u = a (a 2 + I)'
(I) 2a
= 2Senh (-\/a2 + |) Cosh ¡^Jx7 + 1J
A +.
Senh (2 V a 2 + i )
(2 )
W * 2+ l ,
du = A ^ - i ( A 3 + i r 3' 2 ( 2 a) + (a 2 + dx
1 ) ' /3
= (a2+ i r m [ - a 2 + ( a 2 + i ) ] = (
a
2 + 1)‘
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710
Capítulo 7: Form as Indeterm inadas
dado que:
dx da
dx da = ( , 2 +
\
da dx
(3)
03
Finalmente, sustituyendo (2) y (3) en (1) resulta:
dy _ du ^ x 2 +l
( j c ' + l )*'2 Senh ( 2 V xi + I) = x ( jr 2 +1) S e n h [ l ti 2 + \) ,
( EJEMPLO~4~) Si F(x) = J l + Senh2 x se escribe como una función compuesta de cuatro funciones / o g o h o k, hallar la derivada de/ respecto de k en el punto x = I Solución
Si
F ( jc)
k ( jc )
=
= (Jo g o h o k)(x) entonces:
Senh x , h (x) = k \ g (h) =
1 +
h y
f ( g )
=ti
Esto es, si f — * g —* h —* k, por la regla de la cadena
Éí =(df) dk
(á)(S)
Éf
dk
(1)
(D ( 2 k) = , 2t i .
ti
Como k ( jc) = Senh x = ^ (** —e'*). para x = l =$ k = ^(e - e')
(2 )
y si h = k2 =>h = ^ ( e - e '')2 ;g = 1 + h = 1+ ^ (e - e ')2 -
(3)
Finalmente, sustituyendo (2) y (3) en (1), obtenemos:
ÉL dk
e —e zf —arcTg(l) =0.7615 e+e
[ EJEM P LO 5 ) Hallarlos extremos relativos de la función / ( jc ) = ( jc - 1) Cosh x - Senh x. Trazar su gráfica
Solución 3.
I . Como el Dom (Senh) = Dom (Cosh) = IR => Dom (J) = IR
2. La gráfica de/no tiene asíntotas de ninguna clase Localización de los números críticos /'(jc) = (jc - | ) Senh x + Cosh x - Cosh x = ( x - l ) Senh x Si f'(x) = 0 => (jc - I ) Senh j c =
4.
0
<=> x = 0 , j r = l
Usaremos el criterio de la segunda derivada para determinar los extremos relativos / ” (jc ) =
( jc
- I ) Cosh x + Senh x
ParaJt= 0 =>f" (0) = (0 - 1) Cosh (0) + Senh (0) = - I < 0 <— Máximo jc= I ^ / " ’ ( I) = (1 - I) Cosh ( I ) + Senh (l) = Senh (1) > 0 <—Mínimo Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
711
Sección 7.6.3: D erivadas de las funciones hiperbólicas Valores de la función en cslos números críticos En c = 0 => y = (0-1) Cosh fO) - Senh (0) = - 1 => ( 0 , - 1) es en máximo local En Jt = I => y = ( I - () Cosh (1) - Senh( I ) = -Senh I = -1.75 => (1, -1.75) es el mínimo local 5.
La Figura 7.5 muestra la gráfica de la función
■
[ EJEM PLO 6 ) Hallar los extremos relativos, asíntotas y dibujar la gráfica de la función f ( x ) = Sech (■\¡x 2 í r - 3 ) J Solución
2. 3.
I . La función está definida en toda la recta real, es decir, Dom (/') = IR Si x = 0 => y = Sech (0) = 1 => (0, 1) e Gr (/) Si x = 3 => y = Sech (0) = 1 => (3. I ) e Gr (J)
Como lim f(x) = Sech (+«*») = () => v = 0 es una asíntota horizontal en ambos senti«-»±dos (Véase la Figura 7.3c) Localización de los números críticos
f ( a ) = -Senh ( V * J- 3 * 3 ) Tgh ({¡i3- ! * 1 ) r [ ~ bX, 2 ' ’ ' ; 3V(Jt - 3 j t 3)2 Sech ( t f x ^ - l x 2) Tgh ( \ l x' ~ 3.t3 ) K ' V ' si / ' ( * ) = 0 =* 2 - x = 0 <=> x - 2 /'(•*) noestá definida en x = 0 y x = 3, por lo que los números críticos son, x = 0, x —2 =
y
2~J
\ l x ( x - 3 )2
= 3 con los que formaremos los intervalos prueba <-■», ()> , <0 , 2> . < 2 , 3> , <3 , +°°> El comportamiento de la función en estos intervalos se resume en la siguiente tabla jc
Tabla 7.1 Intervalos
Valor prueba
Signo d e / ’(jc)
Forma de la gráfica
<-oo, 0 >
* = -I
z (+) (-)= +
creciente
<0 , 2 >
x~
1
"(+)(-) = -
decreciente
2.5
“ (+) <-)= +
creciente
” <+>(+)=-
decreciente
<2, 3 >
jc =
<3, +oo >
jc
=4
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capitulo 7: Form as Indeterm inadas
712 4.
En esta tabla podemos destacar lo siguente: La función tiene un máximo relativo en los puntos angulosos (0, 1) y (3, 1) y un mínimo relativo en x —2, donde, / ( 2 ) = Sech ( V 4 Í 2 - 3 ) ) = Sech ( V ^ í) = Sech (-2 .2 8 ) = 0.633
EJER C IC IO S . Grupo 54 *> En los ejercicios 1 al 20, hallar la derivada de la función propuesta 1. y = Senh2x + Cosh2x
2.
3.
y=*¡(l + Tgh2
5.
y = Senh (2x) + ^ Sech2 (2 jc)
7.
y = are Tg (Tgh x)
jc ) 3
> ^ T*h l í ) - ' 6 T*hí í )
2
„($Tg(xf2)+2
13
y =
J
i s- v
[
Cosech x + Cotgh x Cosech x - Cotgh x
u
17. y = ^ T g h x +
10. 12 .
V?--------
------------------------------------- ----------
=
y = Sech1 (2x) - Sech (2x) ¡.
9. y - Ln (Cosh x) + ^ Sech2x
1L > = 7 5
í co,« h i ) Jl
y = x Senh x - Cosh x
Ln
y = - ^ Sec/t2 jc -
^
S e c h ( 2 jt ) -
y = are Cos (Sech x)
y= M + M Z 1l-Tghx
'
14.
, i Cosech x + Cotgh x ' y = Ln \ ----------------------- -----^ Coxec/s jc - Cotgh x >
16.
y =
( I + V2 T g h x \ ¡ = - ^ -------18. . 1-^/2 Tgh x ) .
-
— jc + —
4
4
Sen/i
( 2 jc ) +
, , y
= jc2 e 2* O w e c / i *
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
*
32
Sen/i (4
E JE R C IC IO S. G rupo 54
19.
713
b 2-Jei1 —b~ ^ ¡a —b ^ , x y = —x + - ------------- are Tg ( G E - Tgh ^ a a Va+< yjSenil2 x + yjsenh2x + 1]Senh 2 x +
2 0 . y=
, 0 5 I/jI < a
+ oo j l l V
21. Si
y
=A Senh ( k x ) + B Senh (kx), demostrar que
= k 2*\<
Iy —Senil x ly + Senh x 22. Si ,f — -— + J — ¡— = 2. demostrar que y" = v
\ y + Senh x
\ y- Senh x
IT-L
0 " +~
23. Hallar la derivada de y = e(T>lh° 24. Derivar are Tg (Ln a) con respecto a Ln (Senh a) 25.
Sea la función y =
Tgh2 x + y¡Tgh2 a + y¡Tgh2 x + , =.+ 00
Si £ = y ' Cotgh x . Cosechrx, hallar el valor de k cuando y = 1/4. 26.
a 2 —a 2 Si v = ——:-------- , demostrar que; Cosh x —x
(C osh a — a) y ’ + y Senh
x-
y +
2x =
0
❖
En los ejercicios 27 al 40, dibujar la gráfica correspondiente, indicando en cada caso las intersecciones con los ejes coordenados, asíntotas, los intervalos donde la curva es cre ciente y decreciente, los extremos relativos.
2 7 .
/(a ) = a Cosh
29 .
/ ( a ) -
3 1.
/ ( a )
33.
H x )
35.
/ (
a
=
x-
x
28.
/ ( x ) = Tgh
x + \ )
30 .
/ (a )
=
C o s h í
/ ( a )
=
C osech [
Senh
C o s h [ ^
\ A —4 A + 3 )
S e c h í ) \ x + \ )
3 2 .
= Sech
( ^
a
( 2 -
2x + l
a
)2)
34.
f U )
36.
f ( x ) = Cotgh ( f e
*”
•
3T f í x) =
3S-
3 9 . / ( , ) = r s/ , ( ^ )
40.
J '
'
a * )
)
\x l +x+\)
V a
= S e n h { Í + * + A' } 2 . ry . A \ A + 2 a + 4 )
)
¡ fox2 -
/
+ 1 ) + a + I /
= Tg h ( x * ~ x + í’ 2 i y x + A +1
—
2-
a
1)
fo ) / w = Co« „ ( ^ ± ± )
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 7: F orm as Indeterm inadas
714
(.7 .7 )
F U N C IO N E S H IP E R B Ó L IC A S IN V E R S A S
Una mirada a las gráficas de las funciones hiperbólicas nos muestra que cuatro de estas seis funciones son en efecto inyectivas (el seno, la tangente, la cotangente, y ln secante hiperbólica), por lo que no existe dificultad para cuncluir que cada una de estas funciones hiperbólicas tiene función inversa, cuyo dominio es, en cada caso, el rango de la función original. Así el seno hiperbólico inverso, que se denota por are Senh o Senh ', está definida por:
y = Senh 1x <=> x = Senh y , x e IR
( I)
y = Tgh:1x e=> Tgh v . I x I < 1 y = Cotgh'1x <=> x = Cotgh y , Ix l > 1 y= Cosech'1 x x = Cnsech y , x e Di - { 0 }
(2)
Del mismo modo, si: (3) (4)
Las funciones hiperbólicas coseno y secante son inyectivas si se restringen sus dominios a los números reales positivos, donde Cosh es creciente y Sech es decreciente, por tanto, se define
y = Cosh 1 x <=> x = Cosh y, x e [1, +«*>> y = Sech 1x <=> x = Sech y, x e <0. I] Las gráficas de estas seis funciones hiperbólicas inversas se muestran en la Figura 7.7 Así como las funciones hiperbólicas se expresan en términos de funciones exponenciales, las inversas pueden expresarse en términos de funciones logarítmicas como se muestra en el si guiente teorema.
T E O R E M A 7 .5 : F u n c io n e s h ip e rb ó lic a s in v e rs a s 1. Senh'1 x = Ln (x + yfx2 + I ), v e IR 3.
Tgh
1 x = - - Ln
5. Sech 1.i' = Ln
^ j , Ixl < I
IW l- x 2
u e
2. Cosh ' x = Ln ( i + J x 2 - 1 ). \ e [ l , +■»> 4. CotglL1 x = ^ Ln ^ X-+ j j . Ixl > 1
<0, I) 6 . Coscch 1x = Ln Ix I
demostración
Comenzaremos por el inverso de Senh x
En efecto, si: y - Senh'1 x <=> Senh y = ^ (er - e'y) c=> e2’ - 2xey - 1 = 0 Es una ecuación cuadrática en la incógnita e> => ef = x ± •Jx 2 + I Como e} > 0 y V x 2 + 1 > x, se sigue que: ey = x + -Jx2 + I £=> y - Ln( x+ -Jx1 + I ) Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 7 .7 : F unciones hiperbólicas inversas
.\
715
Senil1x = Ln (x + -Jx~ + I )
Otra forma de demostrar este teorema es por la aplicación inmediata de la propiedad de las funciones inversas /[£(■*)] = g [/U )l y de las propiedades de las funciones logarítmicas y exponenciales
eL"a= u y e UH= - I u
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Capítulo 7: Form as Indeterm inadas
716
Por ejemplo, si / (a) = Senh x = ^ (€* - e'x)
y g(x) - Ln (x + -Jx2 +1 )
x |a+ flg(x)] =
x+
x ~+ 1 J = X
x+ J x 2 + 1 ,
x+ ■Jx2 + I
Un procedimiento similar nos muestra que g[/(Jt)] = x, y podemos concluir que g es la función inversa de/. El cálculo de Tgh'1 jc es algo diferente, pues como sabemos la Tgh x es creciente en todo su dominio, por lo que tiene inversa. Sin embargo, esta función es acotada, pues 1Tghx I < 1, de manera que su inversa estará definida sólo para I x I < 1. Luego, si: _2v i e —e y = Tgh ' x <=> x = Thh y <=> x = —
e +e
De donde obtenemos: eu =
=> 2y = Ln ^
j »
Tgh
1 .r =
~
Di^ -J—
j
Análogamente se calculan las inversas de las demás funciones hiperbólicas.
(7.8)
D E R IV A D A S D E L A S F U N C IO N E S H IP E R B Ó L IC A S IN V E R S A S
Se describe a continuación las derivadas de las seis funciones hiperbólicas inversas en el siguiente teorema, donde se puede observar la gran similitud que tienen con las derivadas de las funciones trigonométricas inversas.
TE O R E M A 7.6: Derivadas de las funciones hiperbólicas inversas Las funciones hiperbólicas inversas son derivables en lodo su dominio, c'sto es 1. — {Senh 1
; x e IR
2. j~(atr Cosh i
=
dx 3. -f(Tgh-'x ) ^ — OK
t e < !,+«»> y.r'-l
l-.V Z
; IjcI <1
4.
4-{arcCotgh ' v ) = — —. ; l.vl > dx I-a * '
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Sección 7.8 : Derivadas de las fu nciones hiperbólicas inversas
Demostración
717
Probaremos la fórmula ( I ) mediante el método común de hallar la derivada de una función inversa cuando se conoce la derivada de la fun
ción directa. Empezamos con la relación: Senh ( Senh 1 x) = x Si se sustituye u - Senh 1x, entonces como en realidad la ecuación anterior es una identidad Dx [Senh (u)] = Dx ( j c) = I . „ . . du , du (Cosh u) — = 1 =* — dx dx
Luego:
d . I ~ (Senh x) = d* Vi + Senh2ti
Por lo tanto:
1
Cosh u I
-J\ +Senh2 (Senh~lx)
1
Jñ
X
2
Otro método de demostrar está fórmula es derivando directamente ambos miembros de la fórmula (1) del Teorema 7.5, esto es: - f (Senh~l x) = f
dx
dx
Ln ( x + V x 2 + l ) ] x
1+ X
+ Vx2 +1 ,
1
V x 2+ 1J
1
V x 2+ 1
Para verificar las otras cinco fórmulas anteriores de derivación pueden usarse métodos similares. Ahora bien, si y =f(u) es una función hiperbólica inversa y u - u(x) es una función derivable de x, entonces por la regla de la cadena tendremos
¿y J # ) ( * £ ' dx du ) i. dx De aquí se establecen las fórmulas 1 al 6 , para una función compuesta, esto es:
7-
u
)
=
9- ¿ < r*r t ) = 7 b ( s ) ' lBl>1 H.
d /r, , ~i v — (Sech u)
.
1
“
8-
Í ( M
' B)=j
b r ( S ) ■“
10- ¿ (C^ - I" , = í b ( í ) ' 1"
( du}
— L u e <0, 1>
. -i v 1 (— du , u e IR - {0} 12. el — (Cosch u) = ------ , dx \u\Jl-u\dx.
( EJEM PLO 1 ^ Hallar la derivada de /( x ) = Senh'1 (Tg x) Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
> i
Capítulo 7: F orm as Indeterm inadas
718
Solución
Como el Dom (Tg x) - IR - | ~ + kiz , a
g
Z j => Dom (f) - Dom (Tg a )
Ahora, haciendo uso de la fórmula (7) se tiene ISec x\7 1 (i ,rji \ I (Ser 2 x) = f(x) = , , ~ r (Tg x) = - = ISee .vi j T j f x + l dx JS ec x /'(•*) = I Sec x I ( EJEM P LO 2 ) Hallar la derivada def (x) - Sech ' (Cos 2x)
Solución
Como el Dom (Cos
2a)
= IR y Dom (Sech 1a ) =
<0,
1> ,
entonces
O < Cav 2x < 1 <=> O < 2r < n/2 => Dom (f) = <0, Tt/4> Ahora, por la fórmula de derivación (11), se tiene: . — (Cos
/■(*)=\C o s lx \- J \- C o s 2 2 a f'(x) =
(jJ E M P L O ^ J
"
d x
2 Sec 2
(Cos
................ '
x ,
a
g
< 0 , 7c/ 4 >
Hallar el dominio de la derivada de la función
Sen x '
3 + 4
f ( x ) = Tgh Solución
'
Sen 2 a ) 2 x ) (Sen 2k)
( - 2
2a ) = —
4 + 3 Sen x
Dado que el Dom (Tgh ' x) = < - 1. I>, entonces 3 + 4Sc«a
4 + 3Senx
( 3 + 4 Senx . A ( 4^ + o r
> -1
4
1+ Senx + 3Se7iA
>
- f -1. +. ____ Sen x + 3 Senx<
J A ^ 4
siendo 4 + 3 Sen x > 0 , V x e IR =} (1 + Sen x > 0) a ( - 1 + Sen x < 0) De aquí se deduce que 1Sen x 1< I = í a e IR es el dominio de la función/. Ahora, haciendo uso de la fórmula (9) y de la regla del cociente, se tiene: ( 4 + 3 5 g n A ) ( 4 C q y A ) - ( 3 +
/ ‘U)=•1
3 + 4 Senx ' 4 + 3 Senx (4 + 3
(4
SenxY )
( 4 + 3 Sen a
_____ 7 Cos x _____ __ Cos x _ 7(1 + S e n A ) ( l — S é v t a ) C os1 a
Nota
=
( 3
Cos v)
1 Cos x
+ 3 5ew:r) - ( 3 + 4 Set\ a
f'(x)
4 5 e n A >
(4 + 3Señ
Secx ,
a e
)
I C os x
IR — [kT2,
+ ¡c k .
kg
Z )
■
La secante hipcrbóica inversa puede usarse para describir una curva conocida como la tractiz o curva de persecución Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
719 [ E J E M P L O 4 J Una aplicación: La tractiz Sea la ecuación de in tractiz: y = a Sech' (t la) - yj a 2—x 2 Sea L la tangente en el punto P a la tractiz. Si L intersecta al eje Y en el punto Q. mostrar que la distancia entre P y Q es a.
Solución
Hallaremos la pendiente de la tangente a la tractiz en el pnto P(x, v) haciendo uso de la fórmula ( 11 ), esto es:
m = \ - — —r—
(1 —x — I — I ----- , )2 ' a ' y/ " 2
a
(
a 2 —x 2 = ------- .
- J a 2 - x3 => m = ----------------
xj ci 2 - x 2
x
entonces la ecuación de la tangente L que pasa por Q(0, y,) es
y - y,= ni (x - 0 ) => y - y, = - y¡ t r - x 1 Ahora, por la fórmula de la distancia entre dos puntos obtenemos: d(P. Q) = ^ í x - 0 ) 2 + ( y - y \ f = J x 2 + (a 2 - x 2) =
a
( ^ J E M P L O J S J Otra aplicación de la tractiz Una persona sujeta un cable que está atado a un bote, como muestra la Figura 7.8. cuando la persona camina a lo largo del muelle, el bote sigue una trayectoria que responde a la ecuación de la tractiz y = a S cch 1 (x/a) - -Ja 2 —x 2 donde a es la longitud del cable. Si a = 20 pies, calcular la distancia que debe caminar la persona para acercar el bote 5 pies del muelle. Mostrar que el bote siempre apunta hacia la persona.
Solución
Designemos por A(0, v ), B(0, y,) y P(.r, y) La distancia recorrida por la persona viene dada por y, = OB = 0A +AB => y, = y +
Dado que, y = a Sech ' ^ j - y]a 2 - x 2
=3 y,=
-x 2
a Sech ^ x.j
Si a = 20 pies cuando x = 5 pies, esta distancia es Ji = 20 Sech~'( 1 / 4 ) = 20 Ln í I + ^ 1 ~
l
1/4
J
= 20 D i(4 + V Í 5 ) = 41.27 Para un punto genérico P(x, y) de la tractiz, la pendiente de la gráfica nos da la dirección del bote (Figura 7.8). Esta pendiente la obtuvimos por derivación, en el Ejemplo 4. resultando ser Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
720
Capítulo 7: Form as Indeterm inadas
m= — Pero como la pendiente del segmento que une el punto B(0, y,) con el punto P(x, y) es también
m=
y<-y
J
0 -x
concluimos que el bote siempre está apuntando hacia la persona. (Debido a esta propiedad se conoce a la tracliz como la curva de persecusión. ■
(^EJEMPLO_6__J Dada la función f(x) = Senh ' {^¡2x2 ~ x ? hallar los extremos relativos de la función/y luego hacer un dibujo de la gráfica.
Solución 1.
f { x ) ~ Senh ' ^ jx 2(2 —x)J
2.
La función está definida en toda la recta real. Para y = 0 => x2 (2 - j c ) = 0 « j c = 0, x = 2 => (0, 0) y (2, 0) e Gr (/) La gráfica de la función no tiene asíntota de ninguna especie
3.
Números críticos: f' (x) =
4-3x ^ \ + { 2 x 1 - x y)2n ( 3 l l x ( 2 - x )2 j
si / ,(jc) = 0 => 4 - 3 a = 0 <=> x = 4/3 f \ x ) no está definida en x = 0 y x = 2, luego, son números críticos: x = 0, x = 4/3 y
4.
a-= 2 Intervalos prueba: < -» , ü> , <Ü, 4/3 > , < 4/3, 2 > , < 2, +°° > El signo de f'(x) se determina tomando un valor prueba en cada uno de estos intervalos. El resultado es el siguiente + 00 (-)
(+)
4/3
{")
(- 1
/ es creciente en x e < 0, 4/3 > /e s decreciente en x e <-■», 0 > vj <4/3, 2 > t j < 2 , + “ > Para a = 4/3, y = Senh'' ( \ j \ bf 9 ( 2 - 4 / 3 ) ) = Senh'' (1.058) = 0.92 5.
La función tiene un mínimo relativo en (0,0) y un máximo relativo en (4/3, 0.92) La Figura 7.9 muestra la gráfica de la función.
(E JE M P L O 7 ] Dada la función
f ( x ) = CoshT
x 2+ 3 x + 2 ) , „ , —j— — , ha lar los extremos x -3x+2J
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721
EJE R C IC IO S. G ruyo 55
relativos, los intervalos donde la función es creciente o decreciente y luego, hacer un dibujo de su gráfica.
Solución
f i x ) = Cosh'
(x + l) (x + 2)1 u - u u - 2)J
^ +00>
1.
Dominio de la función = {x e IR I
2.
Como lim / ( x ) = lim / ( x ) = + « - => x = 1 y x = 2 son dos A.V. x -* r
+ 3x + 2 > j . _ .q j x2 -3 x + 2
x -* i*
lim f { x ) = Cosh ' (]) = 0 =» v = 0 es una asíntoui horizontal. 3.
Números críticos: f ( x ) =
3(2 - x 2) U - D U - 2 ) V 3 .* U '+ 2 )
4. 5.
Si y“(jc) = 0 => 2 - j - = 0<^>.t = ± V2 g Dom (f), no existe números críticos, por tanto la función no tiene extremos relativos. La función es creciente en x s <0. I> y decreciente en .ve <2, +<»> La gráfica de la función se muestra en la Figura 7.10 I
FIGURA 7.9
FIGURA 7.10
EJE R C IC IO S . Grupo 55 ❖
En los ejercicios 1 al 18, hallar la derivada de la función propuesta, indicando su domino.
1.
y = Senh 1 ( J x 2- \ )
2.
y = Cosh 1 (t/.v2 +1)
3.
y=Tgh'(\-Jñ
4.
y = Cotgh'■ (Soí 2x)
5.
y = T g h ' ( f y + T g h '^
7.
y = Cotgh'(i]x2- 3 )
, - G h ^ ( 1± £ )
) 8.
y
= CVxsfr1 ( a 2
+ 1)
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capitulo 7: Formas Indeterminadas
722
9.
y = Tgh-'(Jx+l)
10.
y = Tgh'(Set
11.
y = 2x S e n h 1 (2x) - J \ + 4 x 2
12.
y = x T g h 1( a )
13.
y - x C o s h 1 (2x) - 1 J 4 x 2 - l
14.
y
=
SenhA \
2
i 2a)
+
Ln ( V T V )
4 Sen x Cos
^ 3 + 5
Sen h ' 1
15.
y = ^■yfa2 + x z +
16.
y = Senh
17.
y
= a
18.
y
= 3 a 2 T g /i'1
19.
Hallar el valor d e k para que las funciones dadas sean constantes. a)
( x ^ *fci2 ~+~x2 I — 1+ ,
C o sh '
/(x)
(l
“
^ ,
+ V ^ - 2 a x , a
*
j
(3 a +
> 0
2x) y ja x + x 2
Tgh '1 x
=
> 0
> 0
a
^ )
-
a
,
a >0
b) f ( x ) = k T g h 1 ^
j
+
I
¿n
V 2l
^ A +
V2 J
20. Sean las funciones:
f(x)= 2+ T gh~
( xz -5 x + 4 )
- w
- 'a
x 2 +5x + 4
g ( x ) - - 5 - C atgh(3) + Cotgh
I —x + x 2 ^ 1 + X + jc 2
Hallar el área del triángulo cuyos vértices son el punto (-1. 3), el segundo es un extrem o relativo d e /( x ) y el tercero es el mínimo relativo de g (x) 21. Sean las funciones: / ( x ) = are Tg (x + 6) —1, g(x) = \j(x - 3)2 - I, h(x) = 2 - a te T g h 1 \ x + x + ^ j + [ U i 6, y la curva definida por las ecuaciones para{x i -x + 9 ) 2 /. métricas: x =
/-2
, y = , t * I I-/3 * 1 -r3
Hallar el área del trapecio isóceles con base paralela al eje X, tal que el prim er vértice A es el punto de inflexión de f ( x ) , el segundo vértice B es el m áxim o relativo de /i(x), el tercer vértice C es un punto que está sobre la asíntota oblicua de la curva paramétrica y el cuarto vértice D está sobre esta asíntota y es punto extrem o relativo de g (a). Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
723
22. Sean las fondones: /(jc)
= -2 + Tgh{x - 1)
h{x) = T gh
( x 2 +5x + 4 ^
1 , ( 4 }
,
r (jr) = 4 + Senh '1 (x + 2)
Hallar el área del rectángulo tal que el primer vértice es el punto de inflexión d e /( x ) , el segundo vértice es el punto máximo relativo de g(x), el tercer vértice es el punto de extre m o de h{x), y el cuarto vértice es el punto de inflexión de r(x). ❖
En los ejercicios 23 al 32, hallar el dom inio, asíntotas (si existen), los intervalos donde la función dada es creciente o decreciente, los extrem o relativos y luego hacer un dibujo de su gráfica. S e n h 1 [\jx {2 —x )2 )
24.
y — Cosech ' {\¡3xz - x * J
y = 5 e « /r , (5 x z,3- j t 5/í)
26.
y = C o s f r ' ^ i x - 3)2( * - 2 ) + l )
_ . _! ( x 2 + 3 x + 2 ' 27‘ y = C n sh [ 7 = £ T ¡ ¿ ,
28-
y ^ C o t g f f 'í ^ ^ - } * \ x +4x+3 J
30.
y = T g h -'
2 3 .
_v =
2 5 .
29.
v = J i * - (
4
=
^
1
x +5x+4)
3.r a 2+2
/ í---------\ 31.
y = Sech'
(7.9)
K
32.
7
y = S e c h -(4 ^ l) [ x7- 8 x + 7
J
F Ó R M U L A D E T A Y L O R Y A P R O X IM A C IO N E S P O L IN O M IA L E S
Las definiciones de las diversas funciones transcendentales elementales no dejan claro cómo se calculan con precisión sus valores, excepto en unos cuantos puntos aislados. Por ejemplo, para la función exponencial y — e ' es fácil de calcular su valor cuando x — 0, pues é'= I, pero no queda claro cóm o calcular con precisión e ' para x * 0. Aún. las expresiones sencillas como x no son fáciles de calcular, a menos que x sea el cuadrado de un número racional. Por otra parte, cualquier polinomio de la forma P (a ) = b„ + b, x
+ b2 x +
.......... + b„
x"
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capítulo 7: Formas Indeterminadas
724
Con coeficientes reales conocidos b„, b ,, b,.... b „, puede ser fácilmente evaluado para un determinado valor de jc , sólo se requieren operaciones d e adición y m ultiplicación. El objetivo de esta sección consiste en aprovechar que los valores de los polinomios son fáciles de evaluar para ayudarnos a calcular los valores de las funciones transcendentes y aun de las sencillas com o las funciones racionales e irracionales. Supóngase que se requiere calcular (o aproxim ar) un valor específico f(a) de una función dada/. Bastaría con hallar un polinomio P(v) cuya gráfica esté muy cerca de f en alguna vecin dad de a. Entonces, podría usarse el valor de P{a) com o una aproximación del verdadero valor d e /(c ). Una v ezque se sepa cómo hallar un polinom io de aproximación P(.t) puede preguntar se después con qué exactitud se aproxim a P(a) al valor d esead o /(tí). El ejem plo más sim ple de aproxim ación polinomial es la aproximación lineal / U ) = / ( ü ) + / '( « ) . ( x - a ) Obtenida al escribir A r = x - a en la ecuación (47) de la Sección 4.17.2 La gráfica del polinom io de prim er grado Pi ( x ) = f ( a ) + f '( a ) . ( x - a ) ( l) es la recta tangente a la curva y = /(-*) en el punto (a ,f(á )), Figura 7 .11. Obsérvese que este polinom io de prim er grado concuerda con / y con su prim era derivada para x - a , e sto e s, P , ( a ) = / ( a ) y P,(¿z) = f'( a ) Por ejem plo, supóngase que f ( x ) = L n x y que
FIGURA 7 11
a = 1. Entonces, / ( 1 ) = Ln( I ) = 0 y si f '( x ) = -L => / ' ( I) = 1, de m odo que en la ecuación ( I), x P,(j¡r) = jc - 1. Por lo que, podría esperarse que L u x ~ x - \ , cuando x está cerca de 1. Ahora con x = 1.1 se encuentra que P ,(l, 1) » 0.1, m ientras que Ln (1 .1) = 0.095310. El error en esta aproximación es alrededor del 5%. Es de suponer que para m ejorarla aproximación ú c f ( x ) = L n x , cerca de x = l, se debe buscar polinomios de m ayor grado. A sí que planteamos un problem a más general; supongamos una función y = f ( x ) con derivadas hasta el orden n en una vecindad del punto a Para aproxim ar se a esta función cerca de x = a, hallem os un polinomio y = P„ (x) de grado no superior a n: P„ (.*) = b„ + b,
jc
+ b, x 1 + b3 x* + ...... + b„ x"
tal que su valor en a y los valores de sus n primeras derivadas en a coneuerdan con los valores correspondientes d e / . Esto es: P, (a) = f( a ) , P„Xa) = f'( a ) , P . » = f" (a ) ,.... P / 'V ) =
(*)
(2 )
Estos n + 1 condiciones se usan p ara d eterm in ar los valores de los n + 1 coeficien tes b,„ b|« b2, .... b„ Sin embargo, resulta mucho más fácil si se expresa P„(x) como un polinomio de grado n en potencias de (x - a) en lugar de expresarlo en potencias de x. P«U) = K + b,(x - a) + b2(x - a f + .... + b„ (jr - a)" Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
(3 )
Sección 7.9 : Fórmula de Taylory aproximaciones polinomiates
725
H allem os los co eficientes b,„ b „ b2> b , .... b„, de modo que cum plan las condiciones (2). determ inando previam ente las derivadas de Pn (x). P0'(x) = b, + 2 b2 (x - a) + 3 b, (x - a )2 + .... n b„(x - a)u i P„M (x) = 2b2 + 3.2 b ,
(jt
- a) + .... + n(n - /)b B(x - a ) " ' 1 (4)
PB'*‘(x) = k ! bt + (potencias de a- - fl)
P„‘"‘(x) = n (/i - l ) (n - 2 ).... 2 . I. b„ = « ! bH Ahora, si sustituimos x por el valor de a en las igualdades (3) y (4), y teniendo en cuenta la condiciones de (2), obtenemos: / ( f l ) = b„, /'( f l) - b , , /" ( « ) = ( 2 .1)
. r \ o ) = (3 .2 .1) h , ......
. . . , f in\á ) = n(n - 1)(n - 2) .... 2 .1b/f = n ! b„ de donde resulta: K = f(a ) - h ,=
f\a)
. b2 = f ' W , f ‘ Ui) t b„ = / ^ 2! 3! n ! Obsérvese que cuando se sustituye x = a en P„l*’(x) de (4), se encuentra que k ! b* = P„ K,(fl) = / ,w (a) =
(5)
Para k = Q, 1 , 2 , 3 n Inlrociendo estos valores hallados en la fórmula (3), obtenemos el polinomio buscado, los cálculos establecen el siguiente teorema.
T E O R E M A 7 .7 : P o lin o m io d e T a y lo r d e g ra d o n -é s im o Supóngase que existen las n primeras derivadas de la fu n c ió n /p a ra t = a. Sea P„ ( a ) el polinomio de grado n: P„(v) = X
k !
(A - f l /
(6 )
n ! Entonces, los valores de P„(x) y de sus primeras n derivadas concucrdan. para a = fl, con los valores de / y de sus n prim eras derivadas en ese punto. Es decir, las ecuaciones (2) se c u m p le n . Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Capitulo 7: Formas Indeterminadas
726
El polinomio dado en la ecuación (6) se llama polinomio de Taylor de grado n de la función f en el punto x = a. ( ^ E J E M P L O ^ ^ Hallar el polinom io de Taylor de grado n para/ ( a) = Ln x, en a = I. Solución
Las primeras derivadas d e / ( a ) = Ln x son / ’<*>= 1 , f ' ( x ) = - \ , f " ( x ) = -2, , / ‘4' ( x ) = - 34 X xl X X P ' , para k > 1
Es fácil deducir que: / ‘** ( t ) = ( - 1 ) * 1 ^
De a q u í,/lt>( I) = ( - 1 / 1{k - 1 ) ! , por lo que Inecuación (6) da PB(.r ) = U - l ) - ~ ( ^ l l 2 + ^ - l ) , - 7 ( í - 0 4 + ....+ ^ - U 2 3 4 n Con n = 2 se obtiene el polinomio cuadrático
- l ) "
P2(x) = ( a - I) - ± ( a - ] ) - = - ^ x 1 + 2 x - | y cuando x está en la vecindad de 1, podría estim arse que Ln x « — ) - x i + 2 x - ^ 2 2 Con x = 1.1 se encuentra que P2(l. I ) = 0.095000 que tiene una precisión de tres cifras decim a les porque ¿ j t ( l . l ) = 0.095310 Con el polinomio de Taylor de tercer grado I )1 + 3] iX - I) '
P,(A) = (A-
se puede ir m ás adelante con la aproximación de Ln (1.1), el valor P x( 1.1) = 0.095333 es correcto con cuatro cifras decimales. ( ^ J E M P L O _ 2 _ J H allar el polinom io de aproxim ación de grado 4 para la función / (a) = p p . alrededor del punto a = 0. S o lu ció n
Las primeras derivadas de f l x) = í 1 - a) 1 son / '( a ) = (1-a)-2 , / " ( a ) = 2 ( 1 - a ) \
Entonces/'*>(a) = k ! (I - jc)-**+11 = ■ (.1
k 1
V,
x)
/ " '( a 1=2.3 (1 - x)A , *>0
de d o n d e :/“ '(a) = f m{0) = k ! Luego, en la fórm ula (6) se tiene: p„(*> = /(O ) + / ’( 0 ) . (a - o) +
( a —0 ) 2
( x - 0)3 +
P 4(a) = 1 + a + a 2 + a í + a j Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
( x - 0? b
Sección 7.9: Fórmula de Taylor y aproximaciones polinomiales
727
EJEMPLO 3 J Sea la función f ( x ) = 2 - x - Im
x , x > 0. Se sabe que esta función tiene una única raiz i e f 1, 2], es decir, f ( x ) = 0. Use el polinomio de Taylor de grado dos p a ra /a lred e d o r de x = I con el objeto de aproximar el valor de X.
[
Solución
Las dos primeras derivadas d& f ( x ) = 2 - x - L n x . son
/■(*) =- ! - '
y
X
X
Estas dos derivadas, en el contorno de x = I, tiencnel v a l o r / '( l ) = : - 2 y / " ( ! ) = | El polinomio de Taylor de grado dos, según la fórmula (6) es: P,(x) = ¿
^ 4 - í ^ - * ) 2 = / ( 1 ) + / , ( 1 ) .( . v- I ) + ^ ^ ( Jc- I ) 2
= (2- I
- L n
I ) + ( - 2 ) ( a - 1) +
~
( a - 1)2 = ^ (-<2 - í w + 7 )
Si P2(x) = fl x) = 0 => x2 -6 .t + 7 = 0 < = > x = 3 ± - J 9 - 1 = 3 ± y ¡ 2 «
x = (3 - - J l ) e 11, 2J
La precisión con la que Pn(x) se aproxima a /( jr ) se mide por la diferencia R „(0 = / ( x ) - P n(A) Por lo que: J{x) = Pn{x) + R„ (x)
(7)
El término R„ se llama término residual o residuo de grado n p a ra /(v ) en r = I. Es el errtn cometido cuando el valor d e /( a ) se reem plaza por la aproximación P„{a) El teorema que perm ite estim ar el error o residuo R„(a) se llama form ula de T aylory la expre sión particular de R,((x) que se da enseguida se llanta fórm ula de Lagrange para el residuo.
TEOREM A 7.8 : Fórmula de Taylor con resto de Lagrange Supóngase que la derivada de orden ti + punto «. Entonces:
1 de
la función / existe ™brc una vecindad deí
f ( x ) = fUi) + f ( a ) . ( x - a ) +
n ' Para algún número c com prendido entre a y x Demostración
(* + !)!
' -« }’ +
(x -a Y
(S)
En efecto, escribiremos el residuo en la forma ( x - a Y +l Q(x) <« + !)! Sólo fines educativos - LibrosVirtuales R„(*) =
(9)
Capítulo 7: Formas Indeterminadas
728
donde
Q (a )
es la función que debemos hallar. Entonces en la fórmula de Taylor se tiene' f(x ) =f[a) +
( x - a )2
x - c t
21
/"
(x-a)' f " \ a ) +. 3! (JO)
donde la función Q (a) tendrá un valor determ inado Q cuando los valores de.*y a son conside rados fijos. Usaremos el artificio de introducir una función auxiliar F(f), t e
. n o - / - ( o -
....
U - O " f u,wñ _ ( x - t ) n+l n! J W (m + I) ! Nótese primero que F(x) - F(a) = 0. Al calcular F{t) se obtiene: F (t) = 0 - / ’(/) + / V ) - í á S l l f ' V ) + % x r J ) . f " { t) 1 2! n (x -t)n n !
u - r r 1 ( n - 1) !
( /)-
2!
jx-ty n ! / ,u+l) (t) +
/'••(/) + ....
(« + D !
Q
Al exam inar con cuidado este resultado, se ve todos los términos, con excepción de los dos últimos, se cancelan por pares, así es que =
q
(1 1 )
/(! n ! Por tanto, F(t) es derivable V t e
/i ! Luego, en la expresión (9)
j-(n+!)
/
(c) +
( x - c T nQ = = 0 => Q = / ,n* l,(c) n!
(« + !}! r " ( c )
( 12 )
Que es la llamada fórm ula de Lagrange para el termino residual. O bsérvese que es fácil recor dar (es lo m ism o para el último término de Pn+| (x), salvo que (c) sustituye a f ^ ’ítt). Como c e
Sección 7.9: Fórmula de Taylor y aproximaciones polinomiales
729
Así, la fórmula
fían...
+ u z f i : r*"'
+ ^ rfrrr
<13 )
se denom ira/rírm a/fl de Taylor con resto de Lagrange para la función f. Haciendo a = 0. la fórmula de Taylor se convierte en f(x)=
f ( 0 )
+j f
( 0 )
+^
f'
{ 0 ) +
■+ f ! /,n>(0)+^
!
j- f
’(()}+...
/
(,4)
En este caso particular toma también el nombre de fórm ula de Maclaurin. ( EJEM PLO 4 ) Solución
Use el polinomio de Taylor para la función f { x ) = (3 - 2x) a l r e d e d o r del punto a = l.
Las derivadas sucesivas de f ( x ) son: /■(*) = -! ( 3 - 2 x )2 (-2 )= I ( 3 - Z x ) H 2 ) f" ( x ) = -1.2 (3 - 2x) H 2) (-2) = 1.2 (3 - 2x)-’ (2)2 / " V ) = - 1-2.3 (3 - 2x)-*{2? (-2) = 1.2.3 (3 - 2*)4 (2)1
Luego, es fácil deducir que: f ' “\ x )
= n !
(3
-
2jr)u'* n ( 2 /
=
, V n > 1, jc
,l ? 2 "
3/2
( 3 - 2 j .)',+' f {“\a ) = f w ( 1) = n ! 2"
Entonces:
f
+ 0 u - 0)1 =
+ 9 < * " 1)1 = p J o X
- m
r 2
Por lo tanto, en la fórmula ( 13) /« =
i + i ”-1 ( 2 ) + - í í f r 1 2 ’ 2 í + ^ y r - 3 ! 2 ‘ +■■■ I (* -!)"
, U - ir 1
n !
f» + D !
= i + 2 ( x - 1) + 22 { x - o 2 + i y( x - \ y + 2 " ( x - i r +
9 n+1 / u
(n+ 1)!2"*' ( I —2 0 (jc — 1)]
|\n+!
o más breve
• o"*' / r _ | %"*■
f ( x ) = > 2 ‘ (jt-i)* + — —
„
[1-2 e u - n r 2
— 5- ; 0
s í [i-2 9 (jc -i)r2 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
, o
Capitulo 7: Formas Indeterminadas
730
[EJE M P L0 ^5^J A plicar la fórmula de M aclaurin para las siguientes l'unciones: a)f(x) = e ' b)f(x) = Sen x c) /( * ) = Cos a Solución a)
L as funciones dadas tienen d erivadas de todos los órdenes. H allem os sus derivadas alrededor de a = 0 . Desarrollo de la función / ( a ) = e* / ( a ) = e* . /(O ) - l / ' ( x) = e> . / '( 0 ) = l
f ll,)(x) = e* f H+"(x) = e*
. / lni(0 ) = l . f +"( 0 x) = e6' Sustituyendo todas estas expresiones en la fórm ula (14). obtenemos: « -« l+ * 1 u
= x b)
+ *L + 2!
+ n ! + (« + 1)1
f 01. 0 < B <1
n+l
x
-ft\ 0 < G
Y\
<1
Desarrollo de la función f{x) = Senx f ( x ) = Senx , f'( x ) = Cos x = Sen (jc + n/2) . /"(jc) = -Sen x = Sen (jí+271/2) . /" '( a ) = - Cos x = Sen (x + 3n/2) . f w(x) = Sen x = Sen (x + 4n/2) , /**>(a) = Sen (x+ n n/2) / < - *>(jc) = Sen [x + (n + 1) n/2] Luego, por la fórmula (14)
/(0 ) = 0 /'(O ) = I /"(O ) = 0 / " ’(0) = -1 / 4,(0) = 0
f in\ 0) = Sen (« n/2) /< n+ "(0 jc) = Sen 10a + ( « + ! ) n/2] 2n+l
,2il+3
Sen jc = x - — + “ ------... + (—1)" — -------- + — ------- Sen |^0A + ( n + 1 )^ j 3!
5!
(2 « + l)!
2A+1 .2ii+3 = V (_()* + Sen x L r 1 (2 ( Hka+ l)\ (2« + 3)!
c)
Desarrollo de la función f(x) = Cos x f{ x ) = C o s x , , / ' (*)= - Sen x = Cos (x + n/2) /"(jc)= - Cas x —Cos (jc+ 2 n/2) / '" ( jc)= Sen x = Cos (jc + 3 n/2) / 41(jc)= Cos x = Cos (jc+ 4 n/2) / 1m)(jc) = Cos (x + n 7t/ 2 )
,
f {"*l\x) = Cos (jc + (« +1) tc/2)
(2 » + 3)!
o
0 jc + (
f (0 ) =
1
f (0) = 0 f " (0) = -l f '"(0) = 0 f w(0) = 1 f ("\ 0) = Cos (n tú2) x) = Cos ( 0 x + (n + l ) 7t/ 2 )
. Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Sección 7.9 : Fórmula de Taylor y aproximaciones polinomiales
731
Por lo tanto, haciendo uso de la fórmula (14) obtenemos: 2
2n
4
/
\
C^ = ‘ - % + i r - - + ( - » * ^ 2t
”
■ I
2 n+2
(- !)‘ ¡ t í j i + (
2n+2
r
j ) + (^ r
¿
Í
_
"I
)! a » [ e x + ( B + 2 J
-
2
j
!
'
. 0 .< 'B-< I
( E J E M P L O 6 J Aplicar la fórmula de M aclaurin para la Función f ( x ) = Cosh x Solución
Dado que Cosh x = ^ (e* 4- e*) y 7
2 3 n fl+] e x = i + x + ^ T+ ^ T+ ...+ ^-¡ + ~ - - ea' 2! 3! n! (n + 1)!
de aquí, sustituyendo x por - x , obtenemos 2
e~* = \ - x +
2!
4
3!
4!
n + l
+
+ ( - h " - ___ - ___ e a' “* U «! (n + l)!
De modo que: 1
_ (e . + ^
v2
) = 1+i
v4
v 2n
+ £ .+ . . . . ^
2k C ató X = y f * (2*)!
+_
r 2" * 2
i _
^
„2/j+2 , eer , 0 < e < 1 (2n + 2)!
( E J E M P L O 7 ) Aplicar la fórmula de M aclaurin para la Función f ( x ) = ( I + x )" \ donde m es un cierto número dado. Solución.
La función f tiene derivadas de todos los órdenes, luego, si / ( * ) = o + * )" /* (* ) = m
. ,
/ ( o )= i f '( 0) = m
/ " (x) = m (m - 1) (1 + xT*
,
/"(O ) = m (w - l )
p ' \ x ) = m {m - l) (m-2 )
(m - n + I) (I + * )“ "
= ^ /'"'(0 ) = m (wi-1) (m -2 )...... ( m - n + 1) Luego, utilizando la fórm ula (14) obtenemos: . . . m ( m —1) ? w i( m - l) ( m - 2 ) » (l + x )" = l + m x + v — i * 2 + —^----- ^ --------£j r + . . . i m ( m - l ) ( f f l - 2 ) . . . . ( » ! - K + l) — -----«!
. . . H -------
X
„
m ( m - l ) . . . . ( i n - n ) /A (b (tt-l)l
+ --------------
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
, n+1
X)
Capitulo 7: Formas Indeterminadas
732
O m ás breve: (! + *)" =1 + Y Jm m t A=» [
EJEMPLO ~ 8 )
X* +R¡ (0jc), 0 e < O . I >
+ L 'I
*■
Dem ostrar que el número 0 en el término residual de la fórmula de Taylor de prim er orden f í a + h) = / ( « ) + h f (fl) + ^
f " <« + 6 h>
tiende a 1/3 cuando h —» 0, si f " ( x ) es continua para x = 0 y /" (fl) *■0 ^ ttn n a tra c ió n
En efecto, debido a la existencia de la tercera derivada, en la fórmula de M aclaurin con residuo, para n = 2 tenemos
h2 /i3 / {a+h) - f í a ) + f t / (fl) + 2 , /" (fl) + 3 , / " '( « + 0, h), 0, 6 <0, 1> Si comparam os con la expresión dada, obtenemos: h2
h1 [f" (a + Oh) - / » ] = 31- f mía + 0, h)
esto es:
f ' ( a + e h ) - f ' ( a ) _l _ =>6r< « ±M
5
=*e te , [
0/f
y ..( n + e , ^
) = . r .(n + 6 i ,i)
r
t
t e / > + e-
=>e/M,(fl)= y/"’(a) «(e-i/3)/,,,(«) =o como, por h ip ó tesis,/ " ' (fl) ^ 0 => G -1 /3 = 0 < = > 0 = 1 /3
',OBSERVACIÓN 7.3.
m
En la fórmula de Lagrange para el residuo
ff" u ) = í T « í o r / '"*',(<') de ordinario, el valor exacto de c es desconocido. U na forma efectiva de sortear esta dificultad consiste en estim ar /
Sección 7.9 : Fórmula de Taylvry aproximaciones palinomiales
733
A /lx -ir1 l/ U )-/ > nU )l= / ? „(A )<
M lx
.
(fj + l)!
(15)
C ota superior de! error
El hecho de que (n + I)! crece muy rápidamente cuando n aumenta es con frecuen cia útil para m ostrar que \R„ (x)l es pequeño. Para una x particular, se puede mostrar que iim R„(x) = 0. Entonces se sigue que P A x) En tal caso, se aproxim a/ (jc) con cualquier grado de exactitud deseado, con tal de escoger una n suficientemente grande. Asi pues, p aran fijo, la fórmula (15) permite calcular la cota superior del error que se com ete cuando P„{x) se aproxima a / ( j c ) . ( ^ E J E M P L ^ ^ ^ J Estim ar la exactitud de la aproximación Ln ( I. I) « 0.095333...., obtenida en el Ejemplo I. Solución
En el Ejemplo I . para f (x) - L t i x obtenemos r(*l /
Y de aquí:
/
,x*-l ( * - ! ) !
/'** (1 )= (-1)*'1 (k - I)!
Por lo que, la fórm ula de Taylor de tercer grado con residuo para a = 1. es L n(x) = ( x - l ) - ^ ( x - l ) 2 + | ( x - I ) 3+ ^ ^ ( . t - l )
(1)
para algún r entre a = I y x. Con x = 1.1, en ( I) resulta Ln (1.1) = 0.095333 - 0 (X*)1 (2) 4c El valor numérico m áxim o posible del termino residual se obtiene para c = I, esto es 0.0001 = 0.(XXX)25 4 Luego, el error que se comete no es superior a 0.000025 Se sigue entonces, en (2), que: Ln (1.1) = 0.095333 - 0.00025 = 0.095308 => 0.095308 < Ln (1.1) < 0.095333 R4 =
y asi, podemos decir que ¿ n ( l.l) = 0.0953 con cuatro cifras de exactitud.
( EJEM PLO 10) U sando los tres primeros términos del polinomio de Taylor d e /( x ) calcular
y estim ar el error cometido
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Capitulo 7: Formas Indeterminadíis
734
\SoíucÍP>i\ Puesto q u e / (A>(x) = e \ V k , los tres prim eros términos con residuo del polinomio de Taylor para la función / (x) = e', son
Con x = -1/4 s encuentra que -1 /4
Puesto que R 2(x) = —y
(I)
y como x < 0 y O < 0 < l = > 0 x < O
Esto im plica que ea' < 1. Luego se sigue que: \R2( x ) \ <
X
(- 1 /4 ) - ’
1
6
384
3!
R , » 0.0026 < 0.003
El error que se com ete no es superior a 0.003 Por lo tanto, en (1): eriH = 0.78125 - 0.003 = 0.77825 esto es:
0.77825 < l / ^ e < 0 .7 8 1 2 5
N ota
D ebido al factor (x - n)”+l en el term ino residual de la fórm ula (12), se ve que con n fijo, entre m ás cerca esté x de a, m ejor será la aproximación de P„ (x) a f{ x ). Por ejemplo, para calcular Sen 5o (que equivale a ti/36 radianes) se elige a - 0. Pero para calcular Sen 50° (que equivale a 5re/18 radianes) es m ejor usar a = n/4. ( j E J E M P L O ^ I l J Dem ostrar que los valores de Sen x para ángulos com prendidos entre 40° y 50° pueden calcularse con tres cifras de exactitud mediante la aproxi mación. 1
Sen x ’D em ostración
( 1)
1+ x
En efecto, s i/( x ) = Sen x , entonces
f ' ( x ) = Cos x, f ”(x) = -Sen x y f " ( x ) — -Cos x Luego, en el polinom io de Taylor de segundo grado con residuo ( x - a )1
x -a I!
2!
f " ( a ) + R 2 (x)
Para Sen x en a = tJ 4 se tiene: Sen x = S e n —
„
n (x-n/4) 4 ---------- 2\
c
+ /?,(x ) Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
i l D , . -4 + R i ( x )
EJERCICIOS. Grupo 56
735
en donde:
( 2)
C° SC para algún c entre n/4 y x. Como ICos c I < 1, para cualquier c, entonces
71 X' 4
57C 71 _ K Üí ~ 4 “ 36
para los ángulos d e 40° y 50° Por lo tanto, en (2): I fí2(x) I < (Q.i)0.000167 < 0.0002 3! En consecuencia, el polinomio dado con tres cifras decimales de exactitud es, en realidad, exactamente el deseado. Por ejemplo, para x = 50°, en (1), tendremos TT
Sen 50 °= Sen
4
TT
1
36
I■
1+
J2
TT
36
I I TT n 2 136
*2
= 0.766
con un error que no es superior a 0.0002
E JE R C IC IO S . Grupo 56 ❖ I-
En los ejercicios 1 al 6, encuentre el polinomio de Taylor con residuo usando los valores de a y n / W = f ’, f l = l , « = 4 2. / ( x ) = C o sx , a = n/4, n = 3
3. 5.
/ ( x ) = Sen x, a = k/6, n = 3 f { x ) ~ (x - 4) % a = 5, n = 5
4. 6.
/ ( x ) = V x . a = 100, n = 3 / ( x ) = (jc + 2)'2, a = -1, n = 4
En los ejercicios 7 al .12, encuentre la fórmula de M aclaurin con residuo para los valores dados de n en las funciones que se indican 7.
f(x) = Jl +x , n = 3
9. f ( x ) = L n ( l + x ) , n = 4 11. f ( x ) - are Tg x. n = 2
8-
f ( x ) - ( \ - x ) l, n = 4
10. 12.
f(x) = Tgx,n = 3 / ( j c ) = are Sen x, n = 2
En los ejercicios 13 al 16, determine el número de cifras decimales exactas que produce la fórmula dada de aproximación, para I x ! < 0.1 x2
x3
x4
14 15.
L n ( l + x) = x
r 2
r 3
x —4
16.
V í+ x ~ l+ -- — 2
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8
Capítulo 7: Formas Indeterminadas
736
17. D em uestra que la aproxim ación del Ejercicio 13 da e* dentro de 0.001 si I x I < 0.5. Calcule entonces V e con dos cifras decim ales exactas. 18.
Para que valores de x tiene S e n x - x - x ' l 6 cinco cifras decimales exactas?
19. a) D emostrar que los valores de la función coseno para ángulos entre 40° y 50L'se pueden calcular con cifras decim ales exactas m ediante la aproximación rCos x ~ ----& 2 b)
D em ostrar que esta aproximación produce ocho cifras decimales exactas para ángulos com prendidos entfe 44° y 46°.
20. D em ostrar la siguiente desigualdad (1 + x y > l + n x + n(-n ~ l) x z . x > ü y n > 2 (Sugerencia: Aproxim e ( I + *)" para el polinom io de Taylor alrrededor de a = 0) 21. Dem ostrar que el coeficiente de x? en el polinomio de Taylor de / ( x ) = (jc + l) '1. (1 - 4 jc2)'1, alrededor de a = 0, es igual a í-n n
2"
- L y - + i - + < -1> "2" 2 x —3 22. H allando el polinomio de Taylor d e / ( x ) = ----------, alrededor de a = 0, determ inar el coeficiente de
jc*.
23. Calcular -Je con un error m enor que I0'3 24. a) H allar el polinom io de aproximación de Taylor de grado n para la función f ( x ) = (I + jc) 2 alrededor del punto a = 0. b) Calcular el valor aproximado de ( 1. 16)'2 con un error menor que 39 x 10^ 25. H allar el d esarro llo de T ay lo r para la función y =
, alrededor de! punto x = 1¡2
y de una expresión para la co ta superior del erro r si el polinom io se calcu la en el punto x = D.4 26. Sea / ( x ) = Sen(2x + Tt/4) y sea P„(x) el polinom io de Taylor de grado n e n e (polinom io de M aclaurin) correspondiente n
a)
Demuestre que:
|^,(-y)| *=(! '
b) 27.
2 * -l/2
¿I K■
Ixl*
H allar el número de térm inos que deben considerarse en P,(x) para aproxim ar Sen(nf2) con un error m enor que 10"\
Com probar que para los ángulos menores que 28° el error que resultaría de haber tomado Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
EJERCICIOS. Grupo 56
737
x5 la expresión x ~ — + — en vez de Sen x, sería menor que 0.(X)00()| Valiéndose de ello, calcular Sen 20° con seis cifras exactas. 28. H allarel Cos 10° con exactitud hasta 0.001. M ostrar que es suficiente tom ar la correspon diente fórm ula de Taylor de segundo orden para alcanzar la exactitud indicada. 29. Aplicando la fórm ula aproximada .
.
X 1
X~
X6
L n {\+ x)= * x - — ■+ - — — 2 3 4 hallarel Ln (1.5) y calcular el error.
30. Com probar que calculando los valores de la función e1 paso 0 < x < 1/2 con arreglo a la fóim uta aproximada. 2
\
. +, x x e = i +*• — + — 2 6
se com ete un error m enor que 0.01. Valiéndose de ello, hallar -Je con tres cifras exactas.
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Respuestas a Ejercicios Propuestos
[Grupo l ) E v a lu a c ió n y g rá fic a d e u n a fu n c ió n _________________________________ {^ 1. S i;
2 . N o ; 3 . S i; 4 . S i; 5. £ = 8; 6 . r¡ = 4 : 7. / ( 2 ) = 2 1 ;
9.
a 2
+
8 a
+ 12
1 0 .a)/(A ) = A2 - 5 * + 6, b ) / f .t) = x2 + 6jt, c ) / U ) = j r - 2 , U I > 2 ; d) a x) = i ± 4 ) + x 2
x
/(* )= ("f5 - ) '
0
f (x )
=
a2
+ 3 a ; 11- /
(a)
e)
= 3 a 2 - 4 a + 4 ; 15. E l o rd e n a s e g u ir
en la co n stru cció n de la Gr(g) es e l sig u ien te: a) y = f ( r + 3), c)>’ = 5 - /( a + 3 ) = h(a), d)>- = 5 -f[~x+ 3) = h(-x).
b) y = - f (a + 3),
[Grupo 2 ^ D om inio y rango de u n a fu n c ió n . M odelos m atem áticos_________________ ( y 1. D = [-2, 2 ] , R = [0, 2]; 2. D = [-1. 2), R = [0. 3/2]; 3. D = <-■».-1] u [2, + ~ > : R = [0 , + « > ; 4 . D = < - « , -1 ] u (4 , + « > ; 5. D = IR -{ -1 /2 } . R = IR -{2}: 6. D = < -o o ,.1/2] o [4 /3 ,+ « > ; 7 . D = R = E ; 8 .D = E , R = [-4 ,+ c « » ;9 .D = I R -f -5 ,-l} ,R = IR-{-7s -3 }; 10. D = IR -f-3, - I ) , R = [-4,+oo>; 11. D = IR -{ -3 , 2} R = < -5 .+ « > , 12. D = IR = -{3 } . R = [-5, +«»>, 1 3 . /{M ) = [-1 . 5 > . / ( { - l , l, 2}) = {0, 1/2, 1); 1 4 . /( M ) = < -5 , 4 ] , / ( { - l , i . 4 } ) = {-4, 0 . 2 } ; 1 5 . /( M ) = [-5 . -1>; 16. [0, 4 > . 17.
<-5. 20];
18. [3. 4> ; 19. [-6. 3]; 20 . [ 1 + ^ 3 . 3]; 2 1 .< -~ ,-l] U < l,+ ~ > u {0J;
22.
/i(r) = 2 / r - j 4 - 2 r , D = i r e IR / 0 < r <
]; 23. A (a) =
(a/2)
-Ja{a - x ) , D = <0, a ], R
= < 0, cr/2 ]; 24. A = 4 \}n v 2 . 25. C ( a ) = 3 0 ( a 2 + 1 2 8 / a ) , a es el ancho de la base; 2 6 . a ) / ( a ) = (2 /7 5 ) a , b) 4 .7 Ib; 2 7 . a j A (x ) = 3a +- 4 8 / a + 3 0 . b) < 0 , + ~ > ; 28. a) A ( a ) = a ( 120 - x), a g <0. 120> b) x =>• = 60m, 3600m 2; 29. a) L (r) = k r {200 - r{2 + n i 2)]. b) < 0 ,200/n+2>.
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Respuestas a ejercicios propuestos
739
[Grupo 3 } Funciones especiales
O
I .< ! . 6J; 2. 4 ; 3. g (x ) = x + 8, 4 . /( v ) = 3.x + 3 ó /(.i) = - 3 r - 6; S. 1136 gal/m in; 6. a) M ínim o = -2, b) M ínim o = 3, c) M áxim o = 7, d) M áxim o = 2; 7. a) 10/3 es un valor m áxim o, b) - 9 /4 es una valor m ínim o, c) 6 es un valor m ínim o, d) 8 es un valor m áxim o: 8. 4 es v a lo r m ín im o ; 9. 15/8; 10. 130, S /.8 4 .5 0 0 ; 11. 40 u n id ad es, 9 0 0 d ó la re s; i i o / u< i i 200 , , . , 12. S/. 95; 13. * — ~ - 28 puig. 14. a)
se m a n a : 15. b , .[Q, 2 5 0 ] , c ) 2 2 5 . a ) / W
,
_v( 10,000 - x) . . = — ítK^litKJ ’
Í15 x = | 2 25.t
peces por
. si 0 < t < 150 I5(1 < s ^
■
16. a ) D om (J) = R a n ( /) = IR-{ 3 /2 ] , b ) D o in (/) = K -{ 4 } . R a n ( /) = lR -{ 2 ), c) D om (/) = IR-{-2). R an (/) = IR-{3/2 ], 17. a) < -00, 0] u [8, -h~>, b> |0 , 5], c) <6. + « > d) <2/9, 1]; 18. a) D om (/) = IR. R an(/) = {0, 2] kj [3, +«>>, b) Dom (/) = f-3, +°o>, R an ( /) = < -2 ,2 > ; 19. a) (-2 , +<»> , b) 1-18, 5 ], c) 13/2, +<»>, d) [1 , +°°> : 20. x 6 <-«». 0> u <0, 3/2>; 21. a) Dom (/) = <-2, 4>, Ran (/) = [0, 4], b) D om (/) = IR, R an ( /) = [-1 0 . +«>>; 2 2 . x e <-■», -2 > u < - 1, +«>> *{2}; 2 3 . R a n (J) = < - 4 , 0 ] u < l , 3 ] u [5, I2>; 24. a) Dom (J ) = < - » , +“ >, b) Dom (/) — < -» . 2>: 25. Dom ( / ) = IR . Ran ( / ) = ( 0 ) ; 26. Dom ( f ) = <-«». 0> w f l , +<»>, R an ( / ) = [ - 1, 0 > xj [ 1, 2 > ; 2 7 . D o m (/) = < l,+ o o > , R a n ( f ) = 1 -V 3 , 0> 28. D om (/) = R an (/') = IR; 29. D o m (/) = R an(/) = IR; 30. D om (/) = IR-{0.1,2,3...} R an(/) = [0. 2) u <4, +<»>; 31. D o m (/') = IR • IN, R a n ( / ) = <-<», -2> u <0, +«*>> 32. D om ( f ) = < -~ , 4], Ran ( f ) = Z,,+; 33. Dom ( f ) = IR, Ran ( / ) = Z,*; 34. D om ( f ) = IR Ran (/) = [-4,-3,-2,-1,0} o Z*; 35. D o m (f) = ] - l, l/3> , R a n (/) = [0. 1]; 36. D om (/ )=IR R a n ( 0 = [0,1,2,3,}; 37. D o m ^ ) = <-5, 7]. R an (/') = <-2, 6]; 38. Dom(f ) = [-3, 8> R an(/ ) = [-2, 7]; 39. D om ( / ) = <-2, 5], R a n ( / ) = [2, 7>; 40. D om { / ) = < -1, 9> R a n (/ ) = < -12, 5>; 41. D o m ( / ) = IR, R a n ( / ) = <-«», 8]; 42. D o m (/ ) = [-2,+<»> Rani f ) ^ [-8, + « > ; 43. Ran{ /) = [-3, 0] u [ 1, 4> u [5; 8> - {-4} ; 44. R a n (/) = IR- {7}; 45 R a n ( f ) = [-5 , 5 ]; 4 6 . R a n ( f ) = (0 . 1/V 2 ]; 4 7 . R a n ( / ) = [0 ,'3 } u < 1 5 /4 , 6] 49. R an(7 ) = < -4 /3 , 4]; 5 0 . R an( / ) = [0, 3] xj < 1 5 /4 , 6]; 51. R an ( f ) = (-2, 4] 52. R an( / ) = JO, +<»> 2x
53. / ( * ) =
, s i x e [0, 2 >
—J ü x —x 2 - 12 , si x e [2 ,6 > \x] , s i x e [ 6, 8 > —
+ 8x —24, si x e [8, 12]
54. / ( * ) =
—2 x
. si x e [ -2 , 0 >
2 + ^4 x -x 2
. si x g [0 ,4 >
■^■jc2 —18x + 52 , si x e [4, 6 > x - 4
, si x e [6. 10]
55. a) par, b) No es p ar ni impar, c) par, d) im par, e ) impar, 0 N o es p ar ni im par, g) impar, h) par; 56. / e s par; 58. h es par, g es im par
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Respuestas a ejercicios propuestos
740
59. / U ) =
- 2 - 2 * , si * I+ * , si x 1—jc , si x - 2 + 2 * , si x
€ [—2, - 1 > e [- l,0 > e [0, 1 > e [1,2]
60. / U ) =
4 + 2 * , si 1 -* ,.« ! + * . si 4 - 2 * . si
x e '* € x e x e
[-2 , - 1 > [—1 ,0 > [0. I > [1.2]
61. g es p eriódica, T = 2; 63 a) T = 1/3, b) T = 1, c) T = 2, d) T = 1, e)T = n /2 , f) T=6tc
{Grupo 4 } A lgebra de las fu n c io n e s 1.
a)
l/ 2.
b)
0,
c)
3 /2 ;
2.
(u [ - 1 ,0 ,1 ,2 ) ;
3.
a)
[ - - / é . - V 2] u [V 2 . V fi].
b ) (f+ g)(x) = x2+ V
8 .a ) (f+ g )(* ) =
9.
3* - 1 , * e [-3, 0] 5* - 2 , * e <0, 2] 2* + 4 , * g <2,5]
b) if+ g){x) =
Jx-2 - I , * g [2, 4> * = - 1 4 * + 95 , * g [6,8> *2 - 16* + 58 , *
g
[8,10>
Ran ( f - g) = [-6, -2> vj [ l , -Jl - I >
!*■+11 + 1, * g [-2, 2>
2
, x=-2
1
, * = -1
(* - 2 ) 2 , * g < 0 , 2 ]
Ran ( f + g) = [O, 4>
2
,x = 2
— . * -1
,* g
10. (f+ g)(*) = < 2. 4>
R an ( f + g) = <1/3, 4]
- (* + 1 ), * e < -3 ,-1>- {-2} 11. t f + g ) ( * ) =
2 * - 1, * g < -3 ,-l> -{ -2 ) 2* , * = -2, * = -1 *z - * + 6, * € <1, 3J
*2 - 4 , * g [-6,-2> 12. I ^ |(* ) g
2 - *
, * g
< -2 , 0)
2
x-2
Ran (/7g) = <0, 36]
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, *
G
[2, +<»>
Respuestas a ejercicios propuestos
^
,
741
Í E L 0 .3 > -(I)
x 2 —2x „ — , x e <3, 6J I- x -
Jx1
x e <6, 8]
+16 - 2 .t - 4 .x 6
< -4 , -2 >
x3- 2 x - 3 x 2- 2 x - 2
,X 6 [ - I ,0 > , x e [O, 1>
x 2 - 2x - 1
,X 6
-X2 - 2 x - 1 4
, X 6 < y Í 2 t 2> . x 6 <4, 5>
[I, ^ 2 >
y¡x2 - l x . X 6 <-2. 0> u <2, 3> 15. < f - g ) ( x ) =
16. K - 1 (x ) = \ 8J
18.
19.
h(x)
3 (x -2 )2
. si x = O , x e <0. 2]
2 x + 3 . x e IR -[1 /2 , 1> [2 x -l]
=
O , si x e -4] u <0, 21 2x + 4 , si x e <-4, - 1> - {-2} -2 x - 4, si x 6 < - 1. 01 -2 , si x e <2, +<»>
==> h(x) =
2(x+2)[U (x+4)-2U (x+ 1)][ I -U (x)]-2U (x-2), x e E - [-4. ±2, -1) 0 . s i x e {-4 ,-2 }
a) F (x)=
-x -l -1 x - ! 1 x+ 3
b) G (x)= *
-2 x - 1 , x e <-«>,. 2> o <-1, 0> -3 , si x = -2 -1 , x e <-2, -1> 1 , x e { 0 } vj <1, 2> t / 3 ( 2 x + I ) , x e < 0 , 1> e < 2 , +«=>
, , , ,
. x e <-t»,-2> u < -1 ,0> u < 1 ,2> si x = -2 si x e < -2, -J > si x = O si x e <0, 1> u <2, +«>>
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Respuestas a ejercicios propuestos
742
[Grupo 5 ) Composición de fu n c io n e s 1. [3, 4J; . 6.
2. a = 5;
3. < -« , - - J l ] u [ J z , + “ >; 4. h(x) = x2 - 3;
5 .- 1 7 /3
x + 3, si x > -4
. . g[x) =
- x - 3, si x < -4
7. /(x ) = 2x - 1/3; 8. 555; 10. jc e < - « -2] u < - ^ 2 , l> u
[2,+<*>>; 11. [-3 ,-3 /2 ]; 12. < -« « ,-^ 3 ] U < -1, !> u [4,+<»> 13. (fog)(x) — -
2 x * -4 x + 3. x e < -19,-2> 14. ( f o g ) (x) = 8x2 + 1 , x e <6, 10>
x 1 - 1 , si x < I 15. (fog){x)= ■ x2-»- 2 , si - I ^ x < 0 3 - x 2 , si x >0 - jc2 + 6 x - 6, x e <-«», U] x2 - 3x , x e <0, l ] 17.
16- (fog)(x)=
18- (f 0g)(x) =
-je2 + l(lx - 22, x e <1,2>
6x + 2 , si x < -3/2 2 - 9x , s ¡ x > l x2 + 6x + 7 , x e [-5 ,-3 ] 4x2- 4x - 1 , x e [-2 , l> 16x2+ 8x • I, x = 1 ■JS - x, x e <1, -J5> 1 , x e <4, 7> -p ~ — , x e [ / 7 . 2 V 3 }
A'2 - 7x +10 , X E [2, + » >
19. (goj)(x) =
JE2, X e [-3, -2] 0, x e <-2. -1 ] 4, x e [1 ,2 ] 20. (fp f )(x) =
I
, x e < -4,-3>
x+6
, X E < -2 ,-l] 22. [g°f){x) = i
21. ( f 0g ) ( x ) = ^
m
'
L5 - x
, x 6 <-3,-2]
-4 *x - 4 -4 -x -2
,x , x ,x ,x , x
4 - íx -1-2 + 2
, x e [4, 9]
\4x-5 „ J -2 V x - 1
= e = e =
-1 < - 1.0] I < 1,3> 3
, x e <-°°,-2>
Vi —4 x - x 2 -2, x e [-2 ,-1 ]
.X E [4, 5]
x+ 1 , x e [-1, 1> u < 1,4]; D om (fQg)(x) = [-1, 0> u [3, 4], R an (fag) = <1, 3] x -l u [ 7 , 13]; 24. a = 2, b = !; 25. / ( x ) = x2 - 4x, x e IR -{0}, /?(x) = x 2, x > ! 5
23. g ( x ) -
íG ntpo 6 J F u nción Inversa 1. a = 2, b = 11; 2. FFV; 3. N o existe n\ 7. / e s inyectiva, g no es inyectiva 8 . a ) a = 2 , b = 3 ,
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Respuestas a ejercicios propuestos
743
4x + I I , x e [-3. -1> ; 9. < -4 .-I> u < 0 .2 > ; 1 0 .7 ; 11. i/2(3x+ 7), 1/3(2jc-7); 7 , x e [-1, 3]
b)(/¡tf)(x) =
yf(5 - a ) / 3 - i. x < 2
13. b) k * (x) -■
\-Jx-\ 14. / ( j f) -
«
,x> 2
2 - V 2 x - 8 , x e < 9/2, 6] 2 + V 2x^8
i
x e [4, 9/2]
- ( V x 2 - 2 x + 5 + x + 2 ) , x e [-4.
15. (g + /* ) (x )
V2 - x + x + 2
1 • 2^3]
, x e |- 2 , -3/21
16. / * ( * ) = 1 +' l+ V T + x ’ l7 ‘ í / * ( f n° es inyectiva),
2
(tíí>
-■
= 2
# * (a )
(/b £)*(■*) =
< 1/3, 2/5> ; 18. A = [-2, 0> u [1, 4], B = [-3, 7]; 19. a = -4 ó a = - 1;
20. / * ( x > = ^ (180 - x?). x 5 0 :
-6 - V x 2 - 8 x + 25 , x < 0
21. / * ( x ) = -
, x >6
Vx + 3 - 3
- V 2 x - 2 , x e < 3 ,9 ] 22. ./ * (t) =
x2 - 2
- 1 - V a f 3, x e < - 2 , 1> 23.
f *(x) = .
x_j3 x +1
2 -
X3 +
5
2 - V ^T 27.
j *(jr) =
, X 6
(1 0 , +oo>
,
X 6
<
1, 2>
- I + V 7 --T , x > 5 26. /* (* > =
,x <4
1/2 (x 3- V x 2 -~8x ), x > 8
- 1/2 V ^ , x e [0 ,4 ] 4 , x 6 <4, +«»>
X -
<-oo. _5>
. x2 - I
V x —4 -x
28' ^ *(A) "
1/2 ( l + x ) . x 6 <-«>,-3> 29 . / * (x > = •
e
24. f * ( x ) = ■ , x e <-oo,- 5>
- 2 + Vx + 9 , x f [-9, 0> 25. / * ( * ) = ■
. x e [0 . 21
, x e <-2, 3>
2 V - x - I , x e <-oo.-21 V7
3 0 . /* (A ) =
,x< 5
, x e ( l , 4>
x 2 + 2 v . x 6 ( - 1 . 0> x2 . x e [I), l> -X 2 , X E [-3, - l >
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Respuestas a ejercicios propuestos
744
31. f * ( x ) = <
4 + Va + 9 , a g <-9,0] Ms (7 - j t ) , a < 1, 3]
a2 +
32. / * ( * ) «
4 - J J + 9 , x e <16, 40]
33. /* ( * > =
-5- J x + 4 x < 2- 2 x
, x e < -4, 0] e <1, 3]
I - V a-
37. f * ( x ) =
«
<
1
c2 • 1
,
34. / * ( a ) =
-2 - V—a — 4 x/2 < a2 - 4 a + 3 -I
41.
Va (a + l ) 2 / i(a ) =
ta g
4‘v
43. (T«g)(A) =
40.
/* (a ) =
6r ‘>
2JI+2
, a
g
[-3,
l>
[0 , +oo>
3
/l(A ) =
Va ( a 2
+
g [2 ,4 ]
e <-<», 0 |
, A G < - « > ,( ) ]
,A I
G
. A G
10 - J x - 2 42.
a
, a
. a g <0, 4]
Vi —A
-
A -
A2 +
, A g <-«*>, -3>
- 2 a + 12a - 1
< I. +oo>
V i - a
V 4 -a -3
(-1 3,-4]
, a e < -4 ,-2 > , a e <2.4> , A = 4
, A G
..t e
2 J —x + 2, 38. / * ( a ) =
< A 2 +• I
-1
a
1]
1+ J 4 x -x 2
[ 4 , + < »>
g
V
I-
-2- Vi-A» *e <-°°,l] , a
V v + 4 - 1 . - 4 < a <0
36. / * ( a ) =
, x g < - « , 0]
(a - 3 )2
3 9 ./* < * ) =
< 1 , +«■>
jc g
,a> 0
I - A2 , A 6
, jc
- 5 + J x + 4 . x g [5, 12>
35. /* (* > =
3
, A G
3)2 +
4, a g
<0,3> (3. + «
>
[7, +«>> ( V 3 .V 5
,x
, A G
<3,
+00
>
V a —3 —J x + 2
144.
V a2
-4 ,a
g
<-«>, -4]
f(x) = 2 - jc2
45. g
(jc )
=
, a e
[ V 3,
2]
- 1 - J x - 2 , x g <2, + « >
A2 +
2a
+
3, A
G < - 00, - I >
g * (a ) = a
2+ 1
, a g < -« > ,-1>;
46. (g + /* ) ( A ) = J 7 + 1 + (7 -
A 2) , A
- Va + I
> Jl4
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
, a g < 2 , +“ >>
1
Respuestas a ejercicios propuestos
745
[Grupa 7 | Las fu n c io n e s trigonom étricas
1 . : Í L (V 3 - i); 2. ni = - (2 + ^ 3 ) ; 3. E = l/z( ^ 3 -1); 4. -1 : 5. lü n 2/2 1 ; 6. A m plitud A = 2; periodo T = 2n, defasam iento a la derecha h = Kl4; 7. A = 3, T = 2n, h = n /2 a la derecha; 8. A = 3, T = 2n, h = n /6 a la izquierda; 9. A = 6, T = 2n, h = n /6 a la derecha 10. A = 2, T = 2 n . h = 3n/2 a la derecha; 11. A = 2, T = 2 n/3, h = n /4 a la izquierda 12. A = Vá. T = I. h = 3 /5 n a la derecha; 13. A = 5. T = 2n/3, h = n /6 a la izquierda 14. A = 2. T = 2 n /3 , h = n /6 a la derecha; 15. A = 2; T = 6. h = 3/2 a la izquierda 16. A = 2, T = 4, h = 1/3 a la izquierda; desplazam iento vertical hacia arriba k = 2 17. T = n /2 . h = n /6 a la derecha, k = I ; 18. A = 3; T = 2, h = 1/3 a la derecha, k = 2 19. A = 2, T = 4, h = 4/3 a la izquierda, desplazam iento vertical hacia ab ajo k = -3 32. T = 2n; 33. T = 24; 34. T = 2 Sen x Sen x - Sen - Sen
35 . / ( * ) =
+Cos x , x e - C os x , x e x - Cos x . x e x + Cos x , x e
[0, n /2 > [ n/2, n> | n, 3n/2> l3 n /2 , 2n]
Tg x 0 -7 # x 0
P eríodo: T = n/2
R a n tn =
[-2 , 2 ]
x g [0, n/2> x e < n/2, n> x e [n, 3n/2> * e < 3n/2,2n]
Período: T = 2n
37. A = V a 2 + b * . Sen x 0 — -a/A , Cos x c = b/A, 38. f ( x ) T = 2n , h = n /4 h acia la izq u ierd a; 47 . n = ± 1, ± 3, 49.
, . , .
=
V 2 S e n (x + n /4 ), A = > / 2 , ± 5, ± 15; 48. S i, T = 2;
-{-1, I }; 50. T = 3n/2, R a n tf) = [0. J 2 |. D ibujar la G r { f ) red ucién
dola a la form a / ( x ) = -J2 \Sen(2/3 x - n/4)l. 51. Sugerencia: H acer f [ x ) — ISen 3rl y #(x) = ICos 3x1, y m ediante la adición gráfica de ordenadas co nstruir la gráfica d e /i, el 1 f2 n V n período es ^ = 2 l 3 J ~ 3 52. Com o
f ( x ) > 0, V x e D o m ^ ) = IR, se puede escribir /(* ) =
+ Sen x + ^ / l - Sen x )
=> f ( x ) = ^ 2 + 2 I Cos 2 x I
d e a q u í o b ten em o s a n alíticam en te T = n /2 . A dem ás 2 < 2 + 2 I Cos 2x I £ 4 , d e donde; x2 + 2x - I , x e 4 + Co.v x , x 6 5 , si x - 3+ Cos x . x 6
0 < ICos 2 x I < I. en to n ces
< f ( x ) < 2 => R an( f ) = [■sÍ2 , 2]
[-3 ,-1> [0 ,n /2 > u < n/2,n] = n/2
-;r-3 x , x 6 < -4,-3> 5 4 ./ U ) = x2+3x , x s [-3,-2> u2 Scn(2/x), x 6 <2,4> Ran (/)= < -4 ,0 ]u < 2,2>
[Grupo 8 J Introducción a l lím ite de una fu n c ió n 1. V x e [-3, -2], x es un punto de acum ulación del D o m (/); x,, =3 es un punto aislado del Domtf). Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Respuestas a ejercicios propuestos
746
2. 0; 3. a) M = 30, b) M = 9/4; 4. a) m = -100, b) m = -4, 5. m = 21/10, M - 9/4; 6. a) A colada inferio n n en te, p u e s / ( x ) > -3, V . t e D om (J ). b) A cotada superiorm ente, pues f ( x ) < 5, V x 6 D o m (f), c) A cotada inferio n n ente y a q u e / ( x ) > 2, V x 6 Dom ( /’), d ) N o es acolada; e) A cotada por las rectas y = -1, y = 1, pues - 1 < / ( .r) < 1, V x e [-1, 2], 1) Acolada por las rectas y = -3, y = 3 ; g) Acolada superiormente, pues/íx) > -9/4, V x e Dom (/). 7. a) Si, b) N o, c) N o, d ) Si, e) Si, f) N o, a m enos que N = <«, + “ >, g) Si {Grupo 9 j E l lím ite de una fu n c ió n
_________________ __________________________
1 .8 5 0 .0 1 ,2 .8 5 0.002. 3 .8 5 0.02; 4. 8 5 0.003; 5. 8 < 0.009; 6. 8 S 0.026; 7. 8 = m in { 1, 4e / 13}; 8. 8 = m in {1 ,2 1 e /4 ); 9 . 8 = m i n {1/3, 2 e /1 3 ) 10. 8 = min {1/20, e/2 }; 11. 8 = m in {1/12, e/30}; 12. 8 = m in {1/4, e/24} 13. 8 = min {1, e /4 7 } ; 14. 8 = inin {1/28, e/98}; 15. 8 = min {1, e /3 } 16. 8 = m in {1/2, e /8 ); 17. 8 = m in { l/2 .e /6 } ; 18. 8 = m in {1/4, e/24} 19. 8 = m in {1/10, e /2 6 ); 20. 8 = m in { l , e / 6 }; 21. 8 = m in {1/8, e /8 } 22. 8 = m in { I, 4 e/3}; 23. 8 = m in {1/60, e/12) ; 24. 8 = m in {1/5, e/50} 25. 8 = m in {1/128, -J2 e /4 } ; 26. 8 = min {1, 16e} ; 27. 8 = min {1, - J t J 2 } 2 8 .8 = m i n { l / 2 , |( V 7 + 2 V 3 ) e } ; 29. 8 = m in {1, 2 e } ; 30. 8 = m in {1, 4 - ^ e } 31. 8 = min{ 1, e / 3 ) ; 32. 8 = m in {1/4, e /8 ); 33. 8 = min {1,125 e/I28} 34. 8 = m inf 1/4, e /8 }; 35. 8 = min{ 1/4, e /2 4 ); 36. 8 = m in {1/4, e /8 } 37. 8 = m in { l. 19 e/68 }; 38. 8 = min{ 1/6, 3 e/46}; 39. 8 = min {2/5, 4 e / 3 ) 40. 8 = min{ 1/6, e /8 }; 41. 8 = 1/4; 4 2 a) L = 5, b) 8 = 0.05 [Grupo I I ) Técnicas para evaluar e l lim ite de u n a fu n c ió n 1. - 1/4; 2 .- 5 ; 3 .- 1 /3 ; 4 .- 1 /4 ; 5. Vi; 6. 2 - 1; 7 .- 1 ; 8. 4/5; 9 .-1 2 /2 5 ; 10.1/2; 11. m /n; 12. 6; 13. 10; 14. Vi rnn/n - m ); 15.(3/2)“’; 16. 49/24; 17. n/2(n + I); 18. n ^ ín - D a 1'*2; 19.
n /2 (n + l); 20. ^ f m - n ) ; 21. (m /p)amT"-™; 22.
25.
j 2~ -----7 7 ; 2 6 .3 a ; 2 7 .5 a ; l+ a V 3
2 8 .- 1 / 3 ;
33.
V 6 /I 2 ; 34. - 9 /2 ; 35.
4/3;
41.
3/2; 4 2 .- 1 / 2 ; 43.1/2;
4 4 .- 1 /6 ;
50.
- 2 /a : ; 51. 4/3; 52. - 1 ; 53. í
57. 5/8; 58.
. *
; 59. 3/4;
j29. h i l ; 30. J a ■ 3 1 .- 1 /4 ;
36.
\nj 60. -3 /8 ;
; 23. V2(3n - 2); 24. n/6 (n + 1); 32.
9
1/12;
^ 4 7 9 ;37. -J2/96:
38.12/5; 39. 1/4; 40. 2/2
4 5 . - 3 ; 4 6 .1 ; 47.
^ 2 / 3 ; 4 8 .5 ; 49 . - l x -
;54. í-2- l ^ x ;55. —-
\3)
,
(b-a)'
56. 1/3;
61. 70/3; 62. 1/6; 63. -1 /4 ;
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
64. 2/3;
Respuestas a ejercicios propuestos
747
65. 1/2;
66. I/m ; 67. 32/9; 68. -1 /2 ; 69. -8 /3 ; 7 0 .2 /1 5 ; 71. 1 / 7 3 ; 72. " + m n 73. 29/30; 74. -1 /1 6 ; 75. -7 /3 2 ; 76. 4; 77. 1/4 ; 78. -1 /4 ; 79. 0; 80. 0; 81. 57/5; a - b ; 84. H ~ P ; 85. 2n; 8 6 .3 2 /9 ; 8 7 .9 /5 ; 88. 112/27; 89. 1/n!; m n pq 9 0 .- 8 /9 ; 9 1 .1 ; 9 2 .- 1 8 /3 5 ; 9 3 .- 3 /1 0 ; 94. 57/5; 9 5 .2 3 /1 2 ; 9 6 .1 ; 9 7 .5 /4 ; 98. - 4 8 2 .- 1 /5 4 ; 83.
99.
25/32; 100. 150; 101. -3 /4 ; 102. p(2/5, -1/25);
103. h(x) = x 2 ■ 5x + 4 7 * + 6
L = 1/2(12 7 2 - 1); 104. 0 /0 no está definido, 1/6; 105. 0; 106. a = 2, b = -4. c = 2; 107. a + m = 10; 108. a) 3. b) 0 ; 1 0 9 .-1 0 ; 110. a = ± 8/5, a = ± 2 , 111. 7; 112. a = 2; 113. 9 /2 1 1; 114. * ( * + I)(2n + 1); 115. 6
«+ l
( C r n /w ^ £ j Lím ites laterales 7 .5 ; 8. 5 y —1; 9 .5 ; 1 0 .4 ; U . 3; 12. a) Si existe, L = 0. b = N o existe 13. a) 0 , b ) 1, c) 0, d ) 0 ; 14. 1 / 7 2 ; 15. a ) D o m (/) = IR- { - I } , R an(/) = < -« ,-3 > o [2, +««>, b) N o existe; 16. c) 20; 17. a) N o existe, b) N o existe, c) 0; 18. E n / a = 1/8, b = 21/8, Eng: a = - I , b = 4 /3; 19. a = - 1, b = 41/4, p = -3/4, q = 19/4; 20. a = -1, b = 1; 2 1 .- 5 /4 ; 2 2 .- 1 ; 23. a) 1, b ) l; 2 4 .- 1 ; 25. N o existe; 26. 0; 27. No existe; 28. 2 7 2 ; 29. N o existe; 30. N o existe; 31. N o existe; 32. n + 1; 33. (4 + 7 2 )/6; 34. 4/3; 35. -3 2 /5 ; 36. a) N o existe, b) 29; 37. 4 y 7/5; 38. a) No existe, b) -6 /5 x +4
, x 6 < -“ ,! ] 12, x g < 1, 2> O [3.7] xa - 4 , x g <2, 3> 12 - x , x e (7, +*»>
x*-8x+
39. a) UoS)(x)=
b) 5
Xa +
40.
c) N o existe
a)
(f 0g)(x)=
- X2
3.
x <
, -l<
-1 x <
1
x - 2 ,x > 1
b) - 1
c) N o existe
{Grupo 13 ) L ím ites de la fu n c io n e s trigonom étricas 1.
1/4; 2. 25/8; 3. 3/2; 4.1/2 ; 5. 2; 6. 4; 7. 1/p; 8. 1/2; 9 .0 ; 1 0 .-1 ; 11. 4 n \ 12. n ; 13. 1/6
1 4 .0 ; 15. a2/4b; 1 6 .0 ; 1 7 .- 1 ; 18. 1/2; 1 9 .0 ; 2 0 .0 ; 2 1 . 7 2 ; 2 2 . - t i ; 2 3 .2 ; 2 4 .- 1 /1 2 25. 3/4; 26. 1/6; 27. 4/3; 28. 48; 29. Sen 2a; 30. 14; 31. 1/4; 32. 1/2; 33. 3 34. C a s1 a;
35. 6, 36. 2; 37. 1; 38. (1+ 7 2 )/4: 39. 7 2 /1 6 ; 40. 0; 41. 2/ tü; 42. 1/2
43. 1/Tt; 44. 3/4; 45. 2/3; 46. n/4; 47. 7 3 /3 ; 48. - 2 4 ; 49. 3/4 ; 50. 2 7 3 Tt/9; 51. 1 52. - 7 2 / 4 ; 53. - 7 3 / 3 ; 54. 2 7 2 ; 55. - 3 tc/2; 56. 1; 57. -16/iu; 58. 1/2 ; 59. 7 3 ; 60. n/8 61. 1/4; 62. n ; 63. n ; 64. - 3 ; 65. 0; 66. 0; 67. -1 /3 ; 68. - i ; 69. l/n ; 70. -2 a /3 ít 71. 2/3; 7 2 . 0 ; 7 3 . 8 /n 2; 7 4 . n /2 ; 75 . 3; 76. - c /n ; 77. -S e n a ; 78. - Cos a 79. 2Cos a / S en 'a , a * k n \ 80. (3/2)Sen 2a; 81. C os 2a/Cos* a , a * (2 k + l)n /2 , k e Z Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Respuestas a ejercicios propuestos
748
82. 971/32; 83. 2; 84. -C o s a: 85. 1/4 Sen 2a Cos a ; 86. 1/12; 87. 18 rc: 89. 2/3; 90. 0: 91. 100.
1/2; 92. 3; 93. 0 ;
94. 3/2;
95. 1/3;
96.
- > / 2 / 7 t ;
97. 5/2. 98. - ^ 2 / 1 6 ; 99. I;
1/2 (S ug. S u stitu ir arc Sen x p o r a rc Tg x / -
101. b-’/2;
102. —1/2;
103. I / V 2 Í (H acer: u = arc Cos x); 104. - 1 ; 105. - 1 ; 106. 18: 107. 1/4; 108. 600; 109. N o existe; 1 1 0 .a ; 111. 1/2; 112. a ) - V 3 , b) No; 115. Si n > m, L = 0, y si n = in. L = I; 1 1 7 .0 ; 1 2 1 . a ) . - i . b) 1/125; 122. ÁP = 3R; 124. 2R; 125. 2/3; 126. 2/lt {Grupo 14 ) L ím ites a l infinito
Qj
2. - I ; 3. 1/2;6. a - 1, b = -2; 7. -8; 8. -1/8; 9. 2/5; 10. 3; 11. 1; 12. V 2 /2 ; 13. -4; 14. 1; 15. I; 16. -1/3; 17. (a + b)/2; 18. 1/2; 19. ±5/2; 20. ±3/2; 21. a/2; 22. ±3/2; 23. 5a/2 ; 24. -a/2; 25. a/3; 26. -3a/2; 27. 5/3; 28. 2/3; 29. 4/3; 30. -1/4; 31. 1/3; 32. 1; 33. 2; 34. (a + b + c)/3. 35. - I ; 36. 1/n (a, + a 3 + ....a„); 37. -1 /3 : 38. 7/6 (Sug. Sum ar y restar j c ) ; 39. 1/4 (Sug. H acer jc = 1/u); 40.* I; 4 1 .0 ; 4 2 .2 /3 ; 43. 3/4; 4 4 .4 /3 ; 45. I (Sug. H acer jc = 1/h ); 4 6 .- 1 ; 4 7 .2 " ; 4 8 .-1 /4 (Sug. Sum ar y restar 2 jc); 49. 57.
J l ; 50. 5/2; 5 1 .0 ; 52. 3; 53. a = b = ±1; 1/2, 58. 32; 59. c = 5; 60. a = b = 2; 61.
54. -2; 55.-1/2; 56. 2 (Sug. H a c e ra - 1/»); 0
[Grupo J 5 ) L ím ite s Infinitos_____________________________________________________ 1. -e»; 2. +°°; 3. - 4. -°o; 5. °c; 6. -°°; 7. -°°; 8. +oo; 9. +oo; 10. +<»; 11. -<»; 12. -<*>; 13. +oo; 14. -oo; 15. + 00; 16. - 00; 17. -oo; 18. + 00; 19. - 00; 20. + 00; 21. - 00; 22. + 00; 23. ± 00; 24. + » ; 25. + 00; 26. +00 [Grupo 7 6 ) Lím ites in finitos en infinito___________________________________________ 11. -o®; 12. -c*3; 13. +00; 14 . - 00; 15. +“ ; 16. +<»; 17. -«>; 18. +“ ; 19. +«»; 20. -<»; 21. 3; 22. -oo; 23. 2; 24. 1/4; 25. - 4 ; 26. 1/4. 27. + ~ ; 28. -oo; 29. 3; 30. 31. -oo; 32. +oo (G r ú p o lT ) A síntotas y su uso en las representaciones gráficas 1. x = ± l, y = ± x; 2. x = -6, y = x-13, y = l - x ; 3 . y = 1 - x ; 4 . y = 2x + 1/2, y = - 2 x - 1/2; 5. x = ±2, y = ± x; 6. x = ± 3, y = 2x - 2; 7. x = -1, x = 7, y = 2x + 6, y = -2x - 6; 8. x = -1, x = 3, y = -x - 1/4; 9. y = x - 1, y = -x + 1; 10. x = - I , x = 2, y = -x + 7/2, y — -3x + 5/2; 11. x = ±3, x = ±2, y = x + 1 ; 12, x = 0, x = 3; 13. x = ±5, y = 2x, y = 0; 14. x = ±3, y = -x - 4, y = x + 4; 15. y = x + 1; 16. y = x - 1/4, y = -x + 1/4; 17. x = ±2, y = ±x; 18. x = -1, x = -2, y = -1, y = 2x - 4; 19. x = - I , y = l, y = x - 2; 20. x = - I, x = -2, y = x, y = x - 2, ( 1, 1/4) “ punto ciego” ; 21. x = -4 , y = 1, y = x + 8; 22. x = -3, x = 2, x = 0, y = l , y = -2x + 1, (-3,-4) punto ciego; 23. x = -2, x = 1/2, y - 1, y = x; Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Respuestas a ejercicios propuestos
749
24. x = 2, y = 1, x = 1, y = 2x + 5; 25. x = -1. x = I, y = -1, y = x: 26. x = ±1, y = -3 27. x = 2, y = I. y = x; 28. x = 4, y = x - 3/2, y = 2 - x; 29. x = - 2 , x = - 1 , y = 1, y = x 30. x = 2, x = -3, y = I, y = 3x + 3/2, y = 2x + 9/2; 31. x = -2, x = - 1. y = - 1, y = x - 2 32. x = -6, y = x - 7, y = 8 - 2x; 33. x = -3, x = 2, y = I /2, y = 2 - x, ( I , -3/4) punto ciego 34. x = I, y = 1, y = x - 5; 35. x = ±3, y = -2, y = 2x - 2; 36. x = I, y = I. y = x - 1/2 37. x = ±2, y = ±x; 38. x = -1, y = 2, y = x + 1; 39. x = -2, x = ±1, y = - I . y = x 40. y = I. y = x; 41. a)V 3, b) —V 3 ; 42. x = 1, y = 3(z + 1); 43. a) a = -3/2, b = VÍO/2, c = -7/2; h) (0,0), (3/2, 0), x = 7/2, y = x + 2; 44. a = I, b = 0. G eom étricam ente se puede decir que y = a x + b es una asín to ta oblicua de la i'unción j ( x ) =
x3+l 2 ^ ^ ; 47. x = -3,
y = ±3; 48. x = 1, y = x + I; 49. 2x + 1 = 0, y = x + I ; 50. x = -2, y = x - 4; 51. x = ±2. y = ± V 3 ; 52. 2x + 3 = 0, y = 4x + 9/2; 53. x = 2a, y = ± (x + a), 54. y = x - — ~ x=
58.
y = ±2, x - 2y = 0; 59. y = 2, x = y + 1; 60. y = -1. x = 2y + l
-a ,
y = b, y = x + (b -
56. x = ±a, y = x ± y¡2 ; 57. x -
55.
a );
-a / 3 ,
:
y = ± - ^ - ( a - 2 a / 3);
[G rupoJH ^ Las fu n c io n e s exponenciales y logarítmicas 1. D = IR, R = <0, +<«>; 2. D = IR, R = <0, + ~ > ; 3. D = IR. R = l> ; 4. D = IR. R = < - 1. 0]; 5. D = IR, R = [3, +«•>; 6. D = IR, R =[6, +<»>; 7. D = x e | n, n + 1>, n e Z; 9. x = 3/2; 11. D = < l , V 3> ; 12. D = <1, 3>. / * ( * ) = 1 + 2*2-': 1+ 2*
, x e
2 ’^ r ; " 2
[1,3]
1 + 2 -Jx , x g [ 0 ,1>
20. ( g af ) ( x) =
\ - y ¡ \ - ( x - \ ) 2 . x e l- l,0 >
2^2
, x g < -1 7 /4 , -2> ,
x
g < -1 7 /4 ,
-2>
Lng1 J x * +1 , .v e K - J l J l . 2>
[Grupo / 9 ) E l nú m ero e________________ 1.
^ /2 / 3 ; 2. 1; 3 . V e ; 4. e J; 5. 1 ;
si a,= a2; 9. e; 10. 1/c;
1 1
O e2; 7. e2“; 8. 0. si H| < a2;
si a,> a,; e ‘h<
. e 3; 12. e l/3; 13. 1; 14. V e; 1 5 . c r,Hp1'; 16. e 3*2; 17. I; 18. I/e2;
19. 25. 34.
I/e2; 20. e; 21. I/V ^ ; 22. I/e 3; 23. e**1; 24. e 3 (Sug. Use x - I, < lx ] < x); e ‘2/2; 26 . 1/a; 27. 0; 28. 1/5; 29. 3 /2 ; 3 0 . 3 /2 ; 31. 2 x /b ; 32. ( a /b )2; 33. n; a2 L n(a/b); 35. aJ Ln (ea); 36. e2; 37. 2/3; 38. e>w ; 39. a /p ; 40 - 2 , 41. e 2; 42. I ;
43.
(a /p ) a0-*1; 44. e***»; 45. Ln x; 46. Ln x; 47. %fb\ 48. V ^ ; 49. (aJ b" c')'"***';
50.
l / V « * ; S l . ( L n a /b )'1; 52. aJ* Ln a Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Respuestas a ejercicios propuestos
750
(G rupo 2 0 ] P untos de discontinuidad_____________________________________________ 5. D iscontinuidad evitable en x = 1, continua en x = 4; 6. D iscontinuidad evitable en x = 2; 8. D iscontinuidad inevitable en x = ±2; 9. D iscontiuidad inevitable en x = -4 y x - 2; 10. C o n tin u a en x = 2, dicontinuidad esencial en x = -2: 11. a = 1/3, b = 2/3 12. a = 8, b = 2 0 /9 ; 13. a = -7 /8 , b = 13/8; 14. a = 3 ó a = 4. b - -9 ó b = 5 15. a = 27/8 ; 16. b = 0; 17. a = -1/2; 18. a = 2. b = -1/3; 19. C ontinua V x e IR 2 0 .a = tc /4 ; 21. a ) / ( 8 ) = 1/72, b ) /( 3 2 ) = 1/320, c ) /( 2 ) = 122/27, d ) /( 2 ) = 3 ( 7 2 + 1) 22. c = 1; 23. c = 0; 24. Si m y n son pares o im pares entonces f{2) = 6 mf n , si ni y n son im pares, entonces ,fí-2)= bmf n 25. x = ± 2 ,y = 1 - x , y = x - 1, discontinuidad esencial en x = ±2; 26. x = ±3, y = x + 4, y = -x - 4; 21. y - 2, y = x - 1/3, discontinuidad evitable en x = -3, d iscontinuidad esencial en x = 0; 30. jc = ±3, y = -2, y - 2 x - 2 \ 32. x = -2, x = -1, y = -1, y = x - 2; 35. x = -6, y = -2x + 8. y = x - 1 . (G rupo 2 1 ) C ontinuidad en intervalos 0
3.
, si
jt
£
[-V 2 .
V 2 ]
Es co ntinua en x = ±-J2 , (/c #)(x) = 2 - x 2, s i x £
4. No son continuas, (f 0 g)(x) =
[-2 ,--J2 > u
•x - I - Vi —jc , x < 1 - 7 . v + 10 , I < jc < x-3 , x >5
jt 2
< -> ¡2 , 2 ]
5
a ) / e s d iscontinua en jt = 0 y x = 2, y g es continua en todo IR b ) /p r e s e n ta d iscontinuidad rem ovible e n jt = 0 y x = 2 6. f 0 g es co n tin u a en x e <-«>,0> vj < 0 ,I> 5.
g 0f es continua en Jt £ <-««, - V2 > u < - l , l > u <1, J 2 > vj < V 2 ,+<»> g es d iscontinua en x £ ( 2 - V 3 . 1 , 2 + - / 3 J a ) / e s continua V Jt € [-1, +«»>; b ) / e s continua en x e <0, 2> u [n, n + l> , n £ Z + - { l } ; 9. x £ ( - 1 /4 ,- I , 0, 1/8}; 1 0 , / e s discontinua en x = 0; 11. a) x = 2, y = -3, y = x - 5, co n tin u a V x e IR -{ 0 , 2}; 12./ e s co n tin u a en x € <0, 1> u <1, +<»>. En x = 0 p resenta discontinuidad rem ovible y en x = 1 una d iscontinuidad esencial.
7. 8.
15. h ( x ) = - — -----r , x £ ( « , n + l > , X 9 f c l / 2 , x * I ; h(x) presenta una discontinuidad 2 x —n —i esencial en x = n y x = n + l , n e Z [Grupo 22 ) F unciones acotadas__________________________________________________ 3.
a) N o e s a c o ta d a , b) / e s a c o ta d a , S u p ( f ) = 5 , l n f ( f ) = - 4 . c) / e s a c o ta d a , >
S « p (/ ) = 7 / 9 ,
Inf(f)
i
= -1
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Respuestas a ejercicios propuestos 4.
a) /
751
no es acotada, pues ex iste una cota in ferior m = - 1 y no existe co ta superior,
g es acotada, #(x) e [1/2 (2 + -Jl), 2 +s¡2 >, h) Inf (f) = 0,
Sup
(/).
{ f ) = 3/2, I n f i f ) = V i , M a x tf ) = 3/2 y M in ( / > 6. /« / ( f ) = M in ( / )= - I , x » X •Sup ( / ) = 1■no csitc M a x (/); 13. Sup (/*) = 8, no existe M a x ^ ) , I nf ( f ) = m in^/-) = 0;
5.
Sup
14.
Sup
( f ) = M a x (/) = 4, I nf ( f ) = M in ( /) = -4; 1 5 ./( 0 ) = 0; 16. f ( x ) = -1, p o r tanto
es continua V x e <0, + ~ > 17. a) D iscontinuidad esencial en x = - I, x = 0, jc = I, b) Sup( f ) = M a x t f ) = 2, I n f t f ) = M in (/ ) = -2; 18. a) M in tf ) = - I , M a x tf ) = I, b) M in( f ) = 0, M a x tf) = te, c) M in ( / ) = 0, M a x tf ) = 1/2. [Grupo 2 4 )
Increm entos y Tangente a un a curva
I . - 0 . 1 2 ; 2 .0 .4 4 7 2 2 ; 3 .- 0 .3 1 0 4 ; 4 .0 .0 6 1 2 0 8 ; 5 .- 0 .0 6 9 9 ; 6 .0 .8 3 2 5 ; 7. h = 3 8. h = -2; 9. IOjc + y + 16 = 0, x - lOy + 42= 0 ; 10. 2x + y - 7=0, x - 2 y+ 4 =0 I I . 2jt + 5y - 17 = 0 , 5* - 2y + 3 0 = 0; 12. 2 x - 3y + 3 = 0,3x + 2y - 15 = 0 13. x + 2y -21 = 0 , 2x - y + 48 = 0; 14. 1 Ix - 4v + 12 = 0, 4x + I ly - 170 = 0 15. 2x - y - 4 = 0, x + 2v - 2 = 0 ; 16. 3x + y = 0, x - 3y + 10 = 0; 17. x + 6y - 13 = 0 6jc - >• + 33 = 0; 18. IOjc + y + 18 = 0; x - lOy + 22 = 0; 19. 2x - y - 2 = 0 20. 2x - y - 8 = 0, lOx - y - 3 2 = 0. ( G rn £ o 2 5 j Derivada de u n a fu n c ió n en u n p u n to
I . 6(x2 - x + 1), m ; 2. 3(x2 - 4). IR; 3. 5 . \ X ~ 2 , x > 2;
Vx —2
6.
1 3 x - 2 )>
1 V 2^3
x > 3/2; 4.
. < -2. 2>
r o _ |o /7 } - 7 ______ 2___ .]R -{ 2 } ; (x —2)
8 . ----- - — - , IR -{ -2 /3 } ; 9 L? ,IR -2 { 2 /3 } ; 10. l- (3x + 2 ) (2 —3 x )2 (I —2x) II. -
. 1 = , x > -1; 12______ ? _ , m - { l ) ; V(x + I ) ' (x —1)
1 3 .5 ;
, ffi-{ 1 /2 ) ;
14. 4; 1 5 .-1 /2 7 ;
16. N o existe; 17. No existe; 1 8 .^ 1 6 /9 ; 19. 3/250; 2 0 .-1 /1 1 ; 21. 3x - y + 4 = 0, 3x - v - 2 = 0; 22. 8x - y - 5 = 0 ; 23. 2x - y + I = 0, 2x + y - 9 = 0; 24. 6x - v - 9=0, 2x + y + I = 0; 25. 2 [Grupo 2 6 ^ D erivabilidady continuidad__________________________________________ 1. x = -3; 2. x = ±3; 3. x = I; 4. x = ±2; 5. x = 3; 6. x = 1; 7. x = 0; 8. x = 1; 9. a = 4. b = -7; 10. a = 8, b = -9 ; 11. a = -1/2, b = 3/2; 12. a = 2. b = 10; 13. 1; 1 4 . / ’(1) = / ( 1 ) . / '( 0 ) ; 15. L = b / '( a ) ; 17. b) Si, c) - 6 , -6, d) Si ; 18. b) Si, c) 4, lA , Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Respuestas a ejercidos propuestos
752
d)
19. b) N o, c) ^ 2 / 6 . -J~\4 /1 4 , d ) No; 20. a) N o, c) - l , -1 , d ) Si; 21. b) Si,
N o;
c) « , >Í2 /2 , d) N o, 22. b). Si, c) «>,4, d) N o; 23. a) No derivable en x = -2 , derivable en x - 2 , b) D erivable en x = 2; 24. 10; 25. f ( a ) — a f ' ( a ) \ 27. / '(0); 28. / ' ( a , , ) ; 29. a) 3, c) No; 30. n / '( x n); 31. 2 n f ,(xa)\ 33. FV FV : 3 5 ./* (0 ) = 0 . V n > 2 [C ru £ p ^^
Reglas básicas de d erivadón__________________________________________
l.x « + 2x, + 6 x - 5 ;
5. o
2. 4x (2
i/? );
; 4.
3.
•r 2 + 2 j r ~ 3 ; 6 . 6x2 - 2 6 x + 12; 7. (x - l ) 2 ( 5 x - + 2x + 2); 8. I0x4- 2 4 x ' + l2x2 + 2 x - 3 4x6
5 . | ' (3 x + 4 )2 ’ *
.h 4 a 2x . 12
U-3XX + 1 ) . is ,(x -l)2
f " 4* + l z ;
16. - — —
( a —2 x + 3 )
2 x (2 x 2 + x —2) . i-i ___2 (7 T T 7 '(X+T)2 '
;
17.
(x -l)J
(X -1 )-
2 x s + 4x^ + 4 x 2 + x —4 . 21 2(x* + x 4 + 3x* + 3 x + 4) ( j c 2 + 1)2 ’ * (x 2+ l)2
19_ 4 x 2 + 12x + 1 . 2fl (2 x + 5 )2 ’ 22.
x
3x4 + 12x3 + 2 x 2 + 24 x - 5 , 23. a = 0, a = 5 2 (x + 3)2
(Grupo 2 f tj Regla de la potencia generalizada
l . x ’ (l + x 1)M; 2 . 45x' + 16* ; 3 . I */.2 " * ) ; 4 . Í i + J _ Y ; 6 . •J l + 5 x 2 ( 2 x - 1 ) V 2( 4 1 x - I 8 )
s
.
j 5 — 2x
7 ( j c a + 3jC + 4 ) _ v 2 .
^ 8# . 2 * 2 ^
J .
, ym
15x3 2 - J x —\
(xs +
ij-o t
(7 x -3 ) Q _________4_________ . fft ' (2 + 3 x ) m ( 2 - 3 x ) m ’ ' 12.
( a 2 + r 2) » ;
13.
-
.
x 7 1 ^ 2 7 (1 + 3 x 7 "
. ; 14.
. 1| 2a b m n x " ~ l( a - b x ny ’ " { a - b x " ) ’"+x
---------- - $ = 1 ----------- —
^
15. -
' ■ ” (2 * + 3 ) ''2(3* —4)*” • 16
n {a + x ) - m ( b + x) ( « « r 'i i t ! ) " 1
19. .
, (fl
X5 * -■ *
1
■
u ’ + S * 2)2' 3
? ----------------1 ; 18. 1 2o + ^ ) J x - x 2 x2 4 7 ^ 7 x 1
V 2 , 1 x I < I a 1; 2 0 . )
X' 3
. V X ' - f l
n l, ,- i
,1x1
2
>
1a 1 ; 2 1 .
. V x 2- C 2
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
, I x I > I o I
i
Respuestas a ejercicios propuestos
22.
2 .t’
"
V a '- . r
26.
30.
753
.J~ ?x
; 24. "
flV V -fl-
; 27. - - . - L ; iJ x 2 - a 2
jc '
(l-x);
1—x
•
; 35.
(1+ *=)*«
m)
V l-Jf
29. 2 r 4 - 3 n 2r + 2 o 4 U 2 - a 3 )V2
34^ _
d + jc r 36_____ («
r
(1 + j c ) v+i
+ | )A- . (p + q . [
[p .
V i —V
l+n-Jl-^x2
28. v
r+3 (3 x + 4 )4M( 2 x + l ) l/2
32. *'
l +yj)-x* 2(l + V l - A 4 ) , ¡ . 2 5 . --------- n 4~
(n + m )x ____ . 3?> 1/2 . 3g _ 9/2;
2 1ylJx-(\ + ¡r y f
^ 9. - 7 / \ 2 ;
4 0 .- 9 /8
{n + m ) n+Í ( l - x ) n { \ + x ) " ‘ 4 1 .3 0 3 /4 . 4 2 . 2 0 ;
4 3 .-4 1 /9 0 ; 4 4 .5 /6 ; 4 5 .8 ;
4 6 .9 /1 6 ; 47. -2 -^3 ; 4 8 .- 7 /3 ;
49. -7 /1 2 ; 50. - 7 4 ; 51. - 2 (x + l) '2 ; 52. 1 3 ^ 2 ; 53. 0
54.
-1, si jt < -2, / ’(*) = • 1, si - 2 < jc < 3 3. si jc > 3
D * (/), h ) 2 f ! ) { f )
55. «)
57. m = 3; 58. -7 /3 ; 59. 6x + 24y - 37 = 0; 60. x + y - 2 = 0; 61. - 3 / x 4 ; 62. - 4 63. m = 3; 64. m = 9; 65. m = 1/2
[Grupo 29 ) L a derivada de una fu n c ió n com puesta e inversa 1. 3< * ~ 8 > ;
2.
{x-2?
-
. 3 _
6 ( 3 j c - I)
(3.v2 —2 x —l)2 ’
14-
1
T -f
i / í JC2 — 1 ^
1 9 -
y
=
2
x
(.1 —2 )2 1/ 2 .1 ' - 8 v + l 2
9. - 6 ; 10. 52 ; 1
1
\ \ - X 2 J
-
4 ______________ 4
(-r2 - 8 ) z
5. - 1/108 ; ' 6. 8 ; 7. 9 ; 8. -1 /3 ; 1 3 .4 jc - l ü i / J ;
16jc
W- t = ^ =
O
I I . 2xJ
15___ !__ ;
- 2 ; 12. 3.r’ - 6/.r;
16. 2x .
1 7 .- I
l y R
' dg \ ( d q 'j ( dp V d f dq J \ dp ) \ d f J \ dx
. . (a - l f ( a + \ ) f { x ) ...... (fl + O De aquí: g (x) = ------- 7 = --------; r -------------- r =* £ M ) = " 7= \n> [\-J¿ q {x)Y . 2j ¿ ( I ) \ \ - a f { x ) r . 2 -Jit ) Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
.
Respuestas a ejercicios propuestos
754
Si fl £ <0, l> =$
q+
1 > 1 , luego g ‘(0) > m=$ g '(0 ) ^ / '(O) ; 21. 6 ; 2 -Ja
22. - (x - I)3 I t] x 2 ~ 2 x
; 23. - 3 /4 ; 24. 64/3 ; 25. 4f(x2- I)*2 ; 26. m = 1 ;
2 x + l , x e IR - {-1. 0 ) , 3 x + 32v - 7 = O ; 29. 16/13 8 (x 2 + x )2
2 7 . 2 ; 28
3 0 .- 9 /1 0 y -4 2 /2 5 ; 31. 4 [Grupo 3/7) D erivadas de orden superior 1. 24 {Ax + l)'572, x > -1/4; 2. 6 (x + 3)(1 - x ) '5, x * 1; 3. 3/8(4 - x) (x - 2)V2, x > 2 4. 6
x . x * 0 ; 5. 1 /1 8 ; 6. Ix l
1 5 /1 6 ;
7 . 4 3 2 ; 8.
48 fl/?* .
;
(a-fox)3 ’ '
1 0 . __________________ 11. — 2 n '— ~ , x ^ 1 ; 12. h n'-. ( a —bx)" (1 - J c ) 3 (1 -x )" * ' 13.
16. ( - D " « ! 2c
18. (-1 )" n !
20. 4 «!
b+c ac —b ( x - c ) n+l ' (x + c)'’*'
0+1 ( - ir 1 (x + 2)"+l
22. (-1 )" a !
n—
(x + 2)"
2 ( x - l ) ”*'
3)!
3 (x + l)n+‘
. c) v
33 3 x ( 3 - 2 x '> . 34 _ 3/4 U 2 + l ) 7' 2 ’
;
1
( a d —bc)
i (l-x )" '
9 5 / i K - i r 1 | 198 f l ! ( - i r / „ C\H+I (/ x„ - 4/f\/7+l ) (x -5 )
n > 2
r 2 n+> i ; 21. (-1 )" fl! — - + /j+l 'L (2 x + 3 r ' ( x —1)
(x + 2)"
7A. (-I)* * 11 .4 .7 ....(3 fl-5 )(3 fl + 2 x ) > 3" (I + x)"*173 b) fl_(2fl 2
..n -
(cx+dY (-ir x"+l
; 17. « i
(x -l) (-1 ) fl+l (x -2 )
b
. |5 ( — 1)” f l !c”
. lü (* -2 )
81
I_i
2«*i («-»-1)! 3" , . . ... , r r ; 14. ( - ! ) " « ! (2 —3x) (2 x -3 )
128
9.
fo
2fl! . o”
; 23. fl!
(-1 )” + 2 x"+1 ' ( l - x ) n+1
25. a) ” 1 [2'»' + (-1 )"] 3 27.
n \k n
; 31. a = 3, b = -3. c = 1
( l - * x ) 0+I
5 /4 . 35 q) a V * 3 - (2 n ¿ - l) x ”~ + (fl + 1)¿ ’
- x¿ - x
(x-l?
36. a) S I L - 3 S . n ) x D nf ( x ) + n D n l f ( x ) , b) (x2- I ) D " f (x) + 2nx D " 1f (x) + 1- x n(n - I) Dn'2/ ( x ) , n S 2 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Respuestas a ejercicios propuestos
(-!)* —
755
(3 J c -2 )Hn+<>(3 )t ; 4 1 .(-1 )'"
45. E = O ; 46. _*L m2
x**'
+
“ TTT +
(m - c x ) " * '
[ x - (2 n - I ) J ;4 4 .k + l;
; 4 7 .- 6 1 /• ( < ) ] ( m + c x T +‘
( Grupo 3 1 ] Derivación im plícita
j
4 r - 3 y + 3
.
7
x2+
3 x - 2 y
6 _
.3
2jc + 5 v 3
y ( 2 y J x y + \) _
10.
x 2+ 2 x x . t 2 + v 2
2 x J * y - y 2 1 ; 15. a -v ~ 3jfa 2 y ^ x y + x * 12* fl(6>— jr ) ’
2>‘~ ~ 2 .v y - x 2 jc2 - 4 x v + 2 y 2
22.
yM= 0; 23. - J - a¿ - ; 24. . b ~ ~ ÜC ; 3 V * 4>’ (fc t-c y )3 ;
y
2 x y - 3 x 2- 3 6xy-2y' 3x2 - 4 y
j
.
fc4 ; a 2y ’
30. ni y lt(x - x lt)
+
ftxu(v
y 2
.
4 jc - 3 y 2 ;
2 . I6 _ -v ( 4 / v y - 3 v ) 5 . 17 3 x 2 - v a _n 5 ’ x 2+SyJxy ' » ’ y (2 * -3 y ) '
18.
—2 -
.
s
11. ^ ; 12. _ 2 S ± ¿ ; 13.- 3 /5 2* 3xy + jt y (v -2 x)
v;
2 y+ \
h2y - a x 2 cy^-frx
\5 x + 6 y 2Jlcy
j c '+ y 1
l+ 3 x y + 4 y
28.
4
? _ x 2(x + 3v) . 8 _ I 5y + 4 x j x y
x(4\y[Ay+\)
14.
2y
- y ,,) =
20.
2a Vy ; 2 1 . _______ 9 ( r u - y 2)3 (x + y + l ) 1 25. -
; 26. _ .a * 4y2
9x
0: 33. 4x : + 2y 2 = p 7
(Grupo 32 ) Derivadas de las fu n c io n e s trigonométricas 1. Cos 2x ; 2. x Sen 2b + C os 2b; 3. 2 Cos* 2x; 5. 2 (1 + Cos 2 x )’'; 4. -3 Tg- x S
10.
7.
—. 3 Sen x \JCotg x
7 Cos x ; 8________ * ! . (4 + 3 S e n x )2 {Cos x + x S e n x Y
. 9. 1 + Tg* x;
x * kK, k e Z; 11. 5 C o s3 5x; 12. n (Sen x)11'1 C os ( n + l) x
13. n (C os x)n l C os(n + 1) x ; 14. - n (C os x)"~' Sen (n + 1 )x;
15. 2 S ec2 2x
16. m n j S e n n x ) ”-' C o s ( m - n ) x . 17 _2 Sec2 2x Scn(T g 2x) . C os[C os (Tg 2x)] (C os m x)K*' Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Respuestas a ejercicios propuestos
756
- - S e n 2x C os 2x, x * n /2 , donde A = Sen (Cos2 x) Cos (Sen2 x) IAI
18 . 19 .
3. M 3*Z_21 . S ec2(3jr/2), x * 2/3 kre + tt/3; 2 I7 g (3 x /2 )l
20. 9
,
4(xr + 2 )3
Sen2 A C os A, A = [
U -l)s
x —'
21. (1 + AVn 2 x ) Cns 2 x ~ 1 l + Se«2¿ + 3x; 22. C os 2x Cosec'’ x
23.
C osecy x S ec4x; 24. S ec2 4x; 25. Sen5(x/5); 26. - C oigf>x; 27. x S e n 'x ; 2 8 .- S e n '1x;
30.
Cos 64x; 31. Cos y — C o s(x + y ) . 3 2 . _ >' Cos x + S e n ( x + y ) . x Sen y + C o s (x + y ) Sen x + S e n ( x + y)
3 3 . Sec (x + y ) - y C o s (xy ) - (sx ; 34 . 2Ay s?» a jt Cos(j:y)+3>'2 - 5 c c 2 (x + y) 2-Jx 2 + y + S e n a '
1 ,
+
.
x ( \ x y \ + y 1 ‘J x 2 + y 1 ) Sen A ¡ 2 — 3 5 . ---------5----------, A = 3fjs +.v +|jryl Ixyl - jx 2 + y 2 + y (íx y l+ x 2V *2 +>’2 ) 5
38.
[x lx -y l+ íx -jO V ^ + Z J Í « A r r , ■— . . 2 , A s^/jc + / + |jt-.v l Ijc —yl V* 2 + y 2 í y l * - }’! - ( * - y) V * 2 + y 2 ]Se« A x ( y 2 -Jx 2 + y 2 ) - \ x y \ Seny¡x 2 + y 2 IxyK-Jx 2 + y 2 + y S e n -J x 2 + y 2 ) - x 2y ^ ¡ x 2 + y
39.
2 7 (1 -3 ^ -3 6 1 (1 - 3 x )7/3
^
.
27(1 3j:) — \ C o s 3 x ; 40- 81 C os 3x ; (l-3 x rJ
41. 25H(-x2 - Sen 2x + 50x C osx + 1225/2 Sen 2x)2; 42. -2 " Sen 2x - 2 ”' Sen 4x + 2K.3 Sen 6x; 43. U se la fórm ula de L eib n iz para calcu lar y*n\lu e g o : y,30,= -(x2- I ) Sen x + 60x Cos x + 870 Sen x; 44. (1 - x2) C os(x + ícn/2) - 2n x C os[x +
re - n (n - 1)
(n -2\ Cos [x + I 2 I71!; 45. 2 n 1 Cos (2x + rcn/2) ; 46. (S ugerencia: Sen 3x = 3 Sen x - 4 Sen2 x). 3/4 Sen (x + Ttn/2) - 3"/4 Sen (3x + rcn/2); 47. (Sugerencia: Cos 3x = 4Cos^ x 3Cos x), 3/4 C os (x + n n /2 ) + 3n/4 Cos (3x + rcn/2) ; 48. 1/2 (a - b)" Cos [(a - h)x + 7in/2J - 1/2 (a + b)n C os [(a + b)x + rcn/2]; 49. 1/2 (a - b)n C os[(a • b)x + rcn/21 + 1/2 (a + b)n Cos [(a + b)x + rcn/2]; 50. 1/2 (a - b)n Scn[(a - b)x + ren /2] + 1/2 (a + b)" Sen[(a + b)x + rcn/2]; 51. 1/2 bn Cos (bx + rcn/2) - 1/4 (2a-b)n C os ((2a - b)x +rcn/2] - 1/ 4 (2a + b)n C os [(2a + b)x + rcn/2]; 52. a" x C os (ax + 7cn/2) + n a"'1 Sen (ax + rc n /2 ); Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Respuestas a ejercicios propuestos a" [x2 - n (n a2
53.
757
^ ] Sen (ax + n n /2 ) - 2n a" 1 Sen (a x + nn/2)
^ en x
54. a" x Sen (ax + íin /n ) - n a""1 C os (a x + ícn/2); 5 5 .
2 "-l Sen( 2 x + ^ n )
60. a ) i z i r v + J z ! r ^ 7(x + 4 ) 5 ( x —3)
+
K 2
RmV-IV’ S e n [x + (n + l) n/2] + 2"-' Sen(2x + nn /2) + * \ ( x —2 )
b)
, x= — 6
í - n " * 1/?! ^ ^ . n> 2 ( x - l ) " +1
62. I ; 63. n/ 2 ; 64. 2/ n ; 65. 0 ; 66. a = 2/3, b = -1/3; 67. a) Si, b) No; 68. P robar que f ' ( x ) = 0 = J / W = k , V x e IR. En p articular, si x = n/3 => k = 3/4 70. a) a = 0, b) 2 (Sen2 x ~ x S c n 2 x ) ^ c) _ 2 x2 [Grupo 33 J D erivación de las fu n c io n e s trigonom étricas inversas___________________
1. J i L 6.
9.
12. . 16.
j . k » ;
2 .^ > 4+x
; 3 .J “= * ; Vfl + x
4. -
; ICosxl
5. - U , 1 + *'
2 - J a - x 2 , I x I < 2; 7 _______ ■* areC os x, I x I < 1 ; 8. Sen x + C o sx ■J\-x2 JSen 2 x 1
+
*~ x
x g <0, 2>;
.I+JC* I2 *P'T ~ T ;♦ ü * ; 13. , J ------------l+ x * (1 + x ) 1
2^ ; 2 (l+ x )
14.
l * m
10. are Sen I - x - . x > 0; I I . 1, x & n i A + kn ' ,l + < . 1
r—
, ll xa li < ,I:,
- -- _1 ri15. 3. —
. 2 x (C o s x 2 + S e t i x 2) 4 17. , =-------- ,1 8 .--------------J sZ T (2 7 ] a + x'-) 2 y f ^ 7
19. 2x [Sgn(C os x2) + Sgn(Sen x2)], I x l * k7t/2, k e Z„+; 20.
.
- , x e <0, a>
x I< I
^ 5 + 3 Cos x 2
21. 25.
s 3 'c ; 22- ^ 5 + 3 C o sx
x
4 , I x I > 2;
23.
^ b -; fl + í» C osx
24.
6 /? + o C o s x
are Sen 2x ; 2 6 . ___ !__ ; 2 7 . ------- -____ ; 28. i , 0 < x < n l + x2 5 + 4 C o sx 2
29. — !_____ ; 3 0 . ____ 2fl2 : 31. a x 2 + £»x + c * * _ ü2
> '(2 -* + y); 34. _ * x (x + 2 y) >•
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Respuestas a ejercicios propuestos
758
32.
36.
x + y + y ^ j l - i x + y )1 . 3 3
( l + y2) ( y z + 2 x y - 2 x 2 - 2 ) - 3 5 . c y + x ^ ¡ x 2 + y 2 .
x + y + x ^ \ - ( x + y )2 '
( l + x 1 )( 2 y 2 - 2 x y - x 1 + 2 ) ’
l^ V ^ > ’Z- i ( y 2 + y ) - y ( ^ - + > '2) Iry lJ jr2.)'2 - i (x ~ 2 x v ) + x(a-2 +>-2)
c x - y ^ '+ r ’
>_______ .d o n d e .__ 3 7 __________ 2J x y ( a - C o s x ) + *
a = I ^ x y +■ Sen y I ^ ( J ^ + S e n y )2 - 1;
v(1 ** - O ; 39. jc(1 + x 2 + y2 ) '
38.
1 C0 5 .V
40.
43.
6 — ; 44. 4 jc. / —^— , x e (0, a>; 45. 2x ; 46. 0 , 47. _ Cos x \\ aÜ -- x X í n A+- b h C 5 + 4 C oSsxX {a C ro, *s x )2
4 8 . ------- ¿ 10 + 8
2* ; 50. 2 (l + y 2) . 5 1 . 4o* . (I + X)a " ( « 2 + * 2)2
; 49. _
* (a 2 - x 2)m
'• S4r~ i 55. k /4 ; 56. 7/26; 57. rc/6 ; 58. n ; 53____ ^ ~ ” 2) Sf fíH ( Cos x + n~ Sen x )2 2( a + x ) J x 60.
a) k = n /2 , b) k = íc/2 , c) k = 0 ; 61. k = 0
(G rupo 34 J D erivación d e las fu n c io n e s logarítm icas 1------------- 1------------ , x > e ; 2------------------- , x * 0; 3------ J ------I x I > ^ 2 / 3 x Ln x Ln(Ln x ) x (l + x ) 3x —2
8 4. Ln (x + -Jxz + \ ) ; 5. V x2 + « 2 ; 6. ---- 1----- , I x I < -JaTb ; 7. _ fl-/> x 2 W l-jc 2 8.
-S e c x, x
10.
C og2
x
* 1/2 ( 2 k - 1 ) te, k g
, 0 < x - 2kn < n, k e
Z
;
Z ;
9.
Sec x. I x
11. _
S en 3 x
- 2 k Jl I <
n /2 ,
, x > 0 ;
1 3 _______ £
x2
k g
Z
l+ VVTl + x 2
______ L+ x + 1 / x + Ln(l / j c ) _____ 12* ( l + x Ln x ) [ \ + x L n ( l / x + Ln 1 /jc ) ] ; l4 - 2 Sen (Ln x)’ x > 0 Sen x . Ln (Tg x),
17.
xLnx . x > 1 ; 18. * a /c * , 1 x 1 < 1 ; 19. ____ !____ (jc2 - ! ) * 2 ( \ - x 2)m l+ 2Senx
2ü. _ are C o s x x-2
0
< x - 2k te < te/2 , k
Z ; 16. * 2+ * 2 (x + « ) (x 2 + ¿ 2)
15.
o < I x 1< I ; 21.
g
2 ( l - x 2 ) ( I - a x 2)
I x I < I ; 22. Ln2 (x + Vl + x 2 )
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Respuestas a ejercicios propuestos
23.
26.
759
- 2 Cos x . are Tg (Sen x); 24. — !— , x * -1; 2 5 . ! I+ * 3 \ +x*
,1 x 1 * 1
I I , l x l * l / V 2 ; 2 7 . ---------- í—r = , x < 1; 28. >+* ’ (l-x )tfT ’ ‘ V Í + jc7 ’
29.
_
31
Ln J —
, *
*
Vl+x
. 1 x I < 1 ; 30. í ^ - y l are T g x; 33. (1 + x1) »
[\ + x2 )
. I x 1* 1: 34. 1 Í J z I
, 0 < I x I < 1 . 32.
(xJ - l ) V 7 7 2
35.
V L -
J ; 36. J + * '+ x 4
+ S e n 'x
x
4
x V l + x
; 37._______^ . 38. -”1! + ,í Cos (yJSen x ) x2- o 2
39. - 2^ V - r ; 4 0 . 1.n (a2 + x2) ; 41. - <*+ 1 )(3 jr + 14 v + 5 > . x * - 2 , x * - 3 (1 + 8*r ) ( x + 2 ) (x + 3) 42.
(67Jf2 - 3 2 2 x + 3 3 1 )(x + l)2 . 43 l - x - i 2 . 44 2 0 ( x - 2 ) li4( x - 3 ) 7' 5 ' " x ( l - x 2) ’ ‘
54 - 36x + 4 x 2 + 2 * 1 3 x ( l - x ) ( 9 —x 2)
45. — n— - ; 46. y(5 T a 4 x + 6 C otg 2x - 3 C osec 4x); V l+ x 2 47_
x 3 + 3 l x 2 + 36x + 11
. 4g (5 7 x 2 -3 0 2 x + 361 )(x + 1 )2 V 7 ^ 2 .
{■Jlx + l ) (^/(3x + 2 )2 (x 2 + 1 )7/J ’ 49.
-
i —
,
'
* --------------------------- —
V l - x [(are Sen x)~ - 1J S I. 54. 56.
’
S
O
2 0 (x - 2 ) ( x - 3 ) (x - 3 )2'5 .
y
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b
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M
x
x
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0
,
)
£ [ " ] ; 52. a) - :S e n l * . b j , 1 ; 53. <-■>' 6( " ~ 4 ) !. n £ 4 ; ic| ^ '' -J\ + Cos*x x V (l+ jrV (n -l)! ; 55. y" = f/x2 [ f " (Ln x ) - f * (Ln x)], y "= 1/x' [f'(L n x)- 3 f " (Ln x>+2 f(ln x)] y = i+ y
, y ■=
[3(1 + y’)= + 2x<( 1 - y')] d + r)
£ 1. 3(1 + x z) e “=- * + l; 2. (J_+ 2 L n x) e2*; 3. 13 e2‘ Cos 3x ; 4 . x 2 e '; 5 . x 2 e - Sl1*"; x *>- J a 2 + b z e " .Sen bx; 7. e ' f 1+ ec*( I + ecC )]; 8. aJ 9.
+ a xJ-1 a,J Ln a + a* aJ* L n2 a;
l + x ( ( l + l . n x) + xl . x ‘“ ( ! + Ln x + Ln2 x), x >0; 10. x ° 1 x'J (1 + a Ln x)+ a * . xJ* x Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Respuestas a ejercicios propuestos
760
(J_ + L n a . L n x) + x * . a ^ í l+ L n x) Ln a. x > 0; 11. S .
x
! ; 12.
(L n x)Lnx.
e 2x + 1
x
>
0,
x
*
1;
1
13.
;
x
1 4 . (I + a 2) e'* S en x , 15.
J e 3' + 4 f ' + 1 , , v[ Tg{xv) + Sec{jcy)]S e c ( x \ ) - v ' L n v x lo . —----------------- ¡--------------------------- 1 7 .-----x y ' ' 1-
j^
j:5 e c (x > )[7 g (jn )+ 5 íc (x y )J
un- Srm
2/71
e '2 + Sec2 ( x 2 + y 2)
]
; 18. e y + Sec~3 u 2 + r ) 1
[C o s (m a r e S e « .x )J ,| ;r | < l; 2 0 .
* i -1
c^ (íí l ^ ú>0; 211
1, 0; 22. y " = e2T ’(e*) + e* f í e 1), y’” = e 1* f ,M (ex) + 3 e2* F* (e x) + e x f ( e x); 23.
. x+y ,, 2 ( x 2 + y 2 ) y = J Z y ' > = (X_y)2
26.
a ) ( - 1)" e "x [x2-2 ( n - 1)x +{n-1 )(n-2)J. c) 2n,J e* Sen [x+n(7t/4)] I
b)
M - a > 220 e2x (Jia+20x +95). h) - 4 e* Cosx
* n (/i —I ) ....( / ? - * + ! ) ■ I< -»
. d ) e“ [a" P(x) + ( ; ) a - pP ( x ) +... P,,u(x)]
28. n (n -l) a"
{Grupo 3 6 ^ A lg u n o s problem as sobre la tangente 1. x + 2y - 8 = 0, 2x - y - ! = 0 ; 2. 3x + 5y - 1 = 0, 5x - 3y - 13 = 0 ; 3. 31 x - I2y = 224. 12x + 3 ly = 158; 4. 2x + 5y = 7 a, 5x - 2y = 3a; 5. 5x - 8y = 12, 8x + 5y = 37; 6. 2x + y = 6. x - 2y + 2 = 0; 7. x + 2y = 40. 2x - y = 30; 8. lOx + 8y = 13. 4x - 5y + 3 = 0; 9. 5x + 6y = 13, 6x + 5y + 2 1 = 0 : 10. 5x - 2y = 2. 2x + 5y = 24; 11. % : 4 k - 5y + 1 = 0 ó 14x + 2y = 13.££n: 5x + 4y = 9 ó x - I 4 y = 15. 12. x - y = 1. x + y = 3; 13. 3x + y - 4 = 0, x - 3y + 2 = 0; 14. 3x - y = 2. x + 3y = 4; 15. x - y + 2 = 0, x + 3y = 4 ; 16. 4nx - 2y + 2 - k — 0. 4x + 8íty = I + 8íi; 17. x - y = 1, 3x - 3y + 13 = 0; 18..3x - y - 2 = 0, 9x - 3y + 22 = 0; 19. x + y - 1 = 0, 3x + 3y + 1 = 0; 20. 6x - 3y + 4 = 0, 2x - y = 0; 21. x - 2y = 0, 2x - y = 0; 22. x - y + 3 = 0, x - y + 11 = 0; 23. T.H.: (3/5, 5) (-3/5, 7/5); 24. T.H.: (±3, ±1). T.V: (+ 5 , ± 3 /5 ); 2 5 . T .H .: (± 1 2 . ± 3 ), T.V : (± 1 5 , ± 1 2 /5 ); 26. T.H : (± 1 2 , ± 1 ); T.V: (±13, ±12/13); 27. T.H: (±5/13, + 1 3 ), TV: (±1, + 5 ); 28 T.H.(0, 2), T.V: (±1, 0); 29. T.H: (2,3 7 2 /2), (8,0); 30. T.H: (4/3, 16 7 3 /3 ); T.V: (0, 0); 31. x ±4 7 6 y - 5 = 0; 32. (3 ± 2 7 3 )x + y - (5 ± 2 7 3 ) = 0; 33. 2 (6 ± 7 3 Ó )x - y - (3 0 ± 4 7 3 0 J = 0; 34. x + 4y - 11 = 0, 11x + 4y - 1 = 0; 35. x + 2y =3. 3x - 2y + 1 5 = 0 ; 36. 3x - 2y = 5, 7x - 6y = 21; 37. 2x + y = 12; I4x + y = 60; 38. x + y - 2 = 0 ,9x - 191y = 218;39. 11x + 4y = 1; x + 4y = 11; 4 0 . 4x - y = 3, 2x + y = 6; 41. 4 5 °; 4 2 . are T g (2 )= 6 3 °2 6 ’; 4 3 . 90°; Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Respuestas a ejercicios propuestos 44.
761
are T g( 12/5) = 67° 23'; 45. are Tg( 1/2) = 26° 34'; 46. are Tg(4/3) = 5 3 “ 8'; 47. 45";
48. 45°; 49. a) 2 ^ 2 • b) 2; 50 a) P,(0. 0), Tg 0 =1/3, P.,(l, e), T g 6 = e (I + 6 cz) b) P,(0, 0 ), T g 0 =1, P , ( l , l/e ), T g 0 = l/e ; 51. x + y = 0; 52. a) tcx + 2y = 2 n. 4x
-
2ny
=
2 -
i t 3, b )
2 íix
+
4 y
+
ti
-
4
=
0, 2x
- 7 ty +
n
-
1 =
0; c)
y
=
2 ^ 3 + 3 )
(x - Z1 ) + ^ ( 7 + 4 i / 3 ) , y = (3 - 2>/3)(x - * ) + 1 (7 + 4 ^ 3 ) , d) 4x- e:y + 5 = 0. 4 2 4 2 e^x + 4 e 2y + eJ - 4 = 0; 53. A = 3, B = -6, C = 6, D = -3; 54. a = -3, b = 2, c = I ;
55. - 7 6 58/3; 59. I2x - y = 0, k = 3; 60. 3x - y = 2, x + 3y = 4. 1/3, 3, VT6/3. 61. a) 5 u 3 . b) 4 5 u 2. 62. a) 4 5 u 2, b) 39/4 u 2; 63. Q í-1 , 0); 64. 2x + y - 1 = 0 ; 65. x - !3y + 16 = 0; 66. 2x + y - 4 = 0; 67. 2x + 3y - I = 0 68. a) Puntos de intersección: A (0, 0). B (a+m . m-(a+nj>). C (a-m , m (a-ni)), R ectas nmgentes: ££,: y = a 2x, Jt2: y m2(a + m) = m (2a + 3m ) (x - a - m ), i£?; y - m (a - in) = m(3m - 2a) (x - a + m ), b) Puntos de intersección; P(-2a, 2 a ,),Q (-2m , -8in2- 8 a n r - 2a-m ), R(2m , 8 n r - 2 a n r + 2a2m), E ntonces: 4m : + a 3= myf,
37j L a derivada com o razón de variación y m ovim iento rectilíneo
^
2.a) 2.5 m eses, b) 5 0 roedores por m es; 4. -6 .5 4 5 pies/seg; 5. a) 369,000 focos por incre m ento de un centavo en el precio, b) 363,000 focos por increm ento de un centavo en el precio: 6. v = 0 (toque suave) cuando t = 2seg; 7. a) 7m illares/ año, b) 7.3 m illares por año; 8. a) t < - I. m ovim iento a la derecha, -1 < t < 2,m ovim iento a la izquierda, l > 2, m oviem iento a la derecha. C am b ia la dirección cuando t = - I y t = 2, b) l < - l> /5 , m ovim iento a la izquierda, - 1 -V 5 < t < -1 +
. m ovim iento a la derecha, t > - 1 + y[5 .
m ovim iento a la izquierda. C am bio de dirección cuando t = -1 - V5 y t = - I + >/5, c) t < -1 , m ovim iento a la izquierda, -1 < t < 1, m ovim iento a la derecha t > l, m ovim iento a la izquierda. C am bia de dirección cuando l = ±1; 9. a) (20 t { + 24) pies/seg, h) 6/5: 10. a) l = 3, l = 8, b) cuando t = 3. v = -15, el objeto se está m oviendo a la izquierda, cuando t = 8 y v = 40 el objeto se está m oviendo a la derecha; 11. -X üV ó pies/ seg; 12. 740 pies 13. a) D espués de 3 segundos, b) 96 pies/seg; 14. a) 32 pies/m in, b) 128 pies c) 32 pies/seg, d) 96 pies/seg; 15. a) 10 seg; b) -1 6 0 pies/seg. c) 5 seg., d) 400 pies
Razones de variación relaciónales 1. 4 /5 íl = 0 .2 5 4 6 5 p ie s /s e g ; 2 . 3 2 ít/I 2 5 m /h ; 3. 6 p ie s /s e g ; 4 . 3 8 4 m illa s /h ; 5 .4 0 0 /9 pies/seg; 6. A um enta a razón de 16 ítcm 7 seg; 7. 6.000 m illas/h; 8. Están más próxim as cu an d o t = 12 m in y la d istan cia en tre ellos e s 32V Í3 m illas; p ie s/se g ; 10. 1/30 p ie s/se g ; 11. - 5 >/3/3, 5 V 3 /3 u/seg; 12. 4 u /seg Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
9. 1/I6 2 n
y 12 u2/seg;
Respuestas a ejercicios propuestos
762
13.
a) 16 m /m in, b) 42m /m in, c) (x - 3 )' + y2 = 64/3; 14. 1/8 pies/m in ; 15. 0.015 pies/m in;
16. (20jt/3)( V 3 + 4 ) cm 2/seg ; 17. 268/9 u2/seg. . 18. a) dism inuía 2.8 m illas/h, b) aum en taba 8.73 m illas/h, c) a las 3h 17 m in PM ; 19. c = (I + 64 n )m 7 seg .; 20. 102 km /h; 21. 60 rad./h; 22. 4/15 rad/seg.; 23. 0.15 rad/m in; 24. a) 7 t/V 39 cm /scg, h) 57C/6 c n r/se g ; 25. - 4m /seg; 26. A p artir de t = 15 seg; 27. 0.078 rad/seg.; 28. a) 120 rad/h; 29. 8 m /seg ; 30. 5 12/ 625 7t s 0.26 pulg/seg. [Grupo 3 9 ] D iferenciales 1. 0.0004; 2. 0 .0 0 0 3 ; 3. 0.0 0 0 9 0 1 ; 4. -0 .0 0 1 3 2 ; 5. -0 .1 0 1 9 9 2 ; 6. 0 .0002; 7. -0 .0 4 8. 0 .0 0 0 4 ; 9. 0 .6 2 5 ; 10. 0 .0 0 0 0 2 ; 11. a) 6 .7 5 p u lg \ b) 0.3 p u lg 2 ; 12. 57T/4 p u lg j 13. 2.7 % ; 14. a) As = 67ít/2 cm 2, ds = IOOft/3 cm 2. c) As = ds = -125 rc/18 cm 2 16. e < I %; 18. m = 3, n = 5; 19. un erro r de 5/24 cm ; 20. a) L = Im , h) dt = 0.00153 seg c) - 2 m in 12 seg; 22. 9 8 0 m /seg 3, 0 .0 2 2 , 0.07 % ; 23. 150 m; 24. 10 J l / n cm 25. dv = 7.54 cm 3, e p = 6% ; 26. H ay que alargarlo 2.23 cm; 27. a) aum entará 104.7 c n r b) d ism in u irá 4 3 .6 cm 2; 28. a) e g = e L, b) e g = 2 e T; 30. a) x > 2500, b) x > 625 29. dL = 0 .00627; 31. a) 2.25, b) 5.833, c) 10.9546; 3 3 .-4 .9 9 ; 3 4 .2 6 .9 5 8 :3 5 .0 ,7 5 1 2 5 36. 0.93; 37. 2.007; 38. 3.92; 39. 3.9766; 40. 0.049; 41. 9.2 ; 42. 0.93 : 43. 1.9875 4 4 . 1.5875; 45. 7.03314; 4 6 .0 .2 0 5 ; 47. 1.00201; 4 8 .0 .5 0 7 8 ; 49. 3.99688; 50. 0.357037 51. 5.19; 52.20.143; 53. 28.2; 54. 3.79; 55. 0.8835; 56. 0.4849; 57. 0.8573; 58. 0.5302 59. 0.4849; 60. 0.5151; 6 1 .0 .9 6 5 1; 62. 1.0019; 63. 0.868643; 64. -0 .8 7 4 7 ; 6 5 .0 .9 8 2 5 4 7 r2
66.
7 2 . 2(3 l x ) d x ; 7 3 . - J - ; /* ■--i (X 1 )\ J5 ’ 1n 2 ’ 79.
7 4 . 4 ; 7 5 . 12<*** ; ................Í I T Í T " ,v4
7 6 .1 2 0 d x 5;
77
1 5 ¿ t3
HldX v , x * I ; 78. - 1024 (x Cos 2x + 5 Sen 2 x ) d x 80. 197 !!(3" x < , (1 -a ) 2 l,,fl(l -x )!" " J l - x '
N ota
n ü denota el producto de los núm eros naturales que no son superiores a n y tienen la m ism a paridad que éste, o sea; 197!!= 1.3.5.7.....197
81. ( - ' r ' b e ic x + d r ' g3
/Ir
0 .8 6 6 4 6 1 ; 6 7 . 0 .5 7 ; 68. 0 .7 9 5 ; 6 9 . 0 .7 7 0 ; 7 0 . 0 .5 2 1 6 4 ; 71. - — ( * - 3 ) ‘ (2 a - 3)
)
d x n -t 82. dx
+
1
d x" ;
l
i.a .s .- tz ,,- ! ) (1 —2x)
[Grupo 4 ti) M áxim os y m ínim os 1. a) M in ( l,- I ) , M ax(-1,3); b) M ax(3,3); c) M in (1,-1); d) M in (-1,1), M ax (3,3) 2. a) M in (1,0), M ax(3,2); b)Sólo M infines (1,0); c) M in f -l,0 ) , M ax (3,2); d) M ax (3,2) educativos LibrosVirtuales
Respuestas a ejercicios propuestos
763
3. a) M in (±2,0), M ax(U,2); b) M in (-2.0); c) M ax (0,2); d) M in (I, V 3) 4. a) M in (-2.0). M ax (-4,144); b) M in (2.0). M ax (4,144); c) M in (2,0), M ax (3. 25) d) M ax (-3. 25), M in (2,0); 5. M in (-3, -46), Max (-1,-10); 6. Min (1. -5). M ax (4.76); 7. M in ( - 1 ,- 4 ) y (2, -4), M ax (0.0) y (3,0); 8. M in (0,0), M ax (0.-1/2)-. 9. M in (-1,1). Max (2, V4); 10. M in (2,-7). M ax (-5,0); 11. M in (-1.0), M ax (1, j; 12. M in ( - 5 ,- 3 ) , Max (3,1); 13. M in (4.1). M ax (0,5); 14. M ax (0,4), M in (±2, 0); 15. M in (3,-22). M ax (-1,10); 16. M in (7 /3 ,5 ), M ax (5,13); 17. M ax (±2,4), M in (± 1.2); 18. M ax (1.5) y (4.5). M in (2.4): 19. M ax (3/2. 3 /V Í6 ), M in (3, -3); 20. M ax (1/3 2 ^ 3 /9 ) . M in (4, -6); 21. Max (2.13), M in (0.1), M in (4,1); 22. M ax (0.3) y (4,3), M in (2 ,-9 ) ; 23. M ax (1,2), Min (5, -54) ; 24. M ax (4,.2.817), M in (4/5. -1.4225); 25. N o hay exirem os, la función presenta una discontinuidad en x = -1 e [-2, 2]; 26. M ax (-1, 3), 27. (3/4, 15/8).
[G rupo 41) E l teorem a del valor m edio y su s aplicaciones
1. c = 2; 2. c = ^ ( 2 ± 4 l ); 3. c = ± ^ 3 /3 ; 4. c = - 1, 0, 1, 5. c = 2: 6. c = 3/4 ; 7. c = 4/9 ; 8. N o satisface; 9. c = -1 + 4~\0 ; 10. c = -1 , 2; 11. [-1, 0], c = 1/3 (1-
>, f0, 2],
c = 1/3 (1 + V 7 ) ; 12. J - l , 3 ), c = -2 + ^ 5 ; 13. [-1, 3 ]. c = 5 /3 ; 14. [-2, l | , c = 1/3 (2 - V Í9 ), [ I . 31, c = 1/3 (2 + 7 Í 9 ) ; 15. / no es continua en x = 2 e [0, 4]; 16. [ 0 , 4 |, c = -2 + 2 V 3; 17. [-2. 2J, c = 2/3; 18. [-2. 3], c = 2/5; 19. [ - 1, 0], c = -0.5756, [0, 11, c = 0.5756; 20. [0, n/61. c = 1/2 are Sen (3 tt/2); 21. c = 3; 22. c = 7/3; 23. c = 2: 24. c = 0, 1/2, I ; 25. c = 1/3 (2 + ^ 1 0 ) ; 26. c = 6 - >/5 , 27. c = I ; 28. c = 2; 29. c= 7- S
-
30. c — -4 + 2 >/ó ; 31. c = 1; 32. c = -1, 5/4, 4; 33. c = -1, 4/3; 34. c = - ji /2, n/2; 6 3 . / (x) = -2 C o s1 x + x ‘ - 5x + 3 [ G r u m ^ 2 \ E l criterio d e la prim era derivada_______________________ •______________ 1. x = 0, 4, creciente: <-«», 0> cj <4, +oo>, decreciente: <0. 4>, M ax (0, 15), M in (4, -17) 2. x = 0, 3/2, creciente: < 3/2, +«>>, decreciente: < -~ , 3/2>; 3. x = -1, 1, creciente: < -« , -1 > U < 1, -H»>, d ecreciente; < - 1, I >, M ax ( - 1, 4/5), M in ( I. -4/5); 4. x = -2, 0, 2. creciente; < - 2 ,0 > u < 2, +<»>, d ecreciente: <-«>, -2> u <0. 2>. M in (-2, -6) y (2, -6), M ax (0, 10); 5. x = -1, 1 ,2 , creciente: < - l, l> u <2, + « > , decreciente en <-«>, - |> u <1, 2>, Max ( l , 15), M in (-1, -17) y (2, 1 0 ); 6. x = -2, - l, 1 ,2 , creciente: <-<», -2> u <-1, 1> u <2, +«•>. decreciente: <-2, -1> u < l , 2>. M ax(-2, -6) y (1, 48), M in (-1, -28) y (2, 26): 7. x = -2, -1/2, 1 creciente en <-2, - l/2 > u < 1, +<»>, decreciente en <-««,-2> u < -1/2, 1>, M in (-2, 0) y (1, 0), M ax (-1/2, 81/16); 8. x = -1, 0, 1, creciente en <-«», - l > cj <1, +*»>, decreciente en < -1, 0> U <0, 1>, M ax (-1, 2). M in (1, -2): 9. x = -2, 0, 2, creciente en <-2, 0> u <2,+o° >, decreciente en <-■», -2 > u <0, 2>. Max (0,7) M in (-2, -9) y (2, -9); Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Respuestas a ejercicios propuestos
764
10. x = -1, 0, 2, crecien te en < - I , 0> o <2, + «’>, decreciente en <-«■, -1 > u < 0, 2>, Max (0,8), M in (-1, 3) y (2, -24); 11. x = -2, 0, 2, creciente en <-°°, -2> c j <2, +<»>, decreciente en < -2, 2>, M ax (-2, 64), M in (2, -64); 12. x = ±1, ±2, decreciente en <-««, -2 > u < - l , I> , d e c re c ie n te en < - 2 ,- l> t j <1, 2> , M ax (-2 , -1 6 ) y (2 , 16), M in (-1, -38) y (2,16); 13. Sin extrem os relativ o s, creciente V x e D om (/); 14. x = I, 3, d e c re c ie n te en < - » , 3> , c re c ie n te en < 3, +«■>. E n x = 1 no e x is te e x tre m o s, M in (3, 181); 15. x = 0, ± J 2 • crecien te en <-«*>, -,j 2 > U <0, J 2 > , decreciente en < - ^ 2 ,0 > u < V 2 , + « >, M ax (±V 2 , 16), M in (0, 0); 16. x = 0, 1, creciente en <-«*, 1>, decreciente en < 1, -n»>, M ax (1, 3); 17. x = 3/5, 1, creciente en <-«>, 3/5> u <1, -h» > , decreciente en <3/5, 1>, M ax (3/5, 0.3257), M in (l, 0); 18. x = -2, 0, 2, creciente en <-2, 0> u <2, +«*>>, d ecrecien te en <-®o, -2> U < 0, 2>, M ax (0, U), M in(-2, -12 V 4 ) y (2, -2 ^
4
)
x = 0, 2/3, 2, creciente en <-2, 0> u < 2, +«■>, decreciente en (2/3, 2),
Min (2, 0); M ax (2/3, 2 \[Á /3 ); 20. x = -1, 1 ,2 , creciente en <-<*,-!> u <1, +<»>, decre ciente en (-1, 1), M ax(-1, 0), M in (l, -\[Á Y, 21. x = a/4, a/3, a/2, creciente en <-«», a/3> u < a/2, +<»>, d ecrecien te en < a/3, a/2> , M ax (a/3 , a/3), M in (a/2, 0); 22. x = 1, 3/2, 3, creciente en <1, 3/2> t j <3, +°°>, d ecreciente en 1> vj < 3/2, 3>, M in ( 1 ,0 ) y ( 3 ,0 ), M ax(3/2, 9 \¡2 /8 ); 23. x = -1,3, crecien te en <-«*°,-1> u < 3 , +<»>, decreciente en < - 1, 3>, M ax (-1, 1/2), M in (3, -1/5); 24. x = -4,0, d ecreciente en < - » , -4 > u <0, +°°>, creciente en <-4, 0>, M ax (0, 1/2), M in (-4, 1/6) ; 25. x = -2, 2, creciente en <-°°, -2> u <2, +®°>, decreciente en < -2, 2>, M ax (-2, 3/2), M in (2, 5/6), A .H ; y = 1; 26. x = -1, 1, crecien te en < -1, 1>, d ecrecien te en <-°®, -1> U <1, + « >, M ax (1, 3), M in (-1, 1/3), A.H: y = 1; 27. x = -1, 1, crecien te en <-«>, -1> O , d ecreciente en <-1, l> , M a x (-I, 3), M in (I, 1/3), A .H : y = 1; 28. x = 0, 2, crecien te en <0, 2>, decreciente en < -~ , 0 > u <2, +*»>, M ax(2, 1/2), M in(0, -1/2); 29. x = -2, 0, creciente en <-«», -2> u < 0 ,+ ~ > , decreciente en <-2, 0> , M ax(-2, 5), M in(0, 1); 30. x = -5, -4, -1, creciente en <-«», -5> u <-4, -1>, d ecrecien te en < -5, -4 > u < -1, +®°>, M ax (-5, 4 ) y (-1, 12), M in (-4, 3); 31. D o m ^ ) = [-12, -h » > ; x = -12, -7, -3, 0, creciente en < -12, -7> o < -3, 0> , decreciente en < -7, -3> cj <0, +«»>, M ax(-7, 5) y (0, 12), M in(-3, 3); 32. x = - 1 , 0, 2, creciente en <-«*>, -1 > u <0, 2>, d ecreciente en < - ! , 0> u <2, +«*> >, M a x (-1, 2) y (2, 5), M in (0, l); 33. x = 0, 3, sin ex trem o s relativos, la función es m onótona no creciente V x e D o m (/); 34. x = 6, 8, 10, creciente en <-«>, 6> u <8, 10>, decreciente en <6, 8> o <10, -h» > , M ax (6, 0) y (10, 0), M in (8, -2); 35. x = -9, -7, -4, 0, 1, 2, crecien te en < -9 , -7> u < -4, 0> u < 2, +°o> d ecreciente en <-«»,-9> u <-7, -4> u < 0, 2>, M ínim os: (-9, -8), (-4, -5) y (2, 7) M áxim os; (-7 , -4 ) y (0, -3); 36. Düm(/") = <-°°, 17], x = -5, - 3 ,- 1 , 7, 17, crecien te en <-«», -5 > vj < -1 , 7>, d e c re c ie n te en < -5, -3 > u < -3, - l > u < 7, I7>, Max (-5, 12) y (7, 10), M in (-1, 6); 37. a = -1/2, b = 3/2, c = d = 0; 38. a = -10/9. b = 100/9; 39. a = -9/25, b = 18/5, c = 3; 40. D ecreciente en < -~ , -3> o < -1/3. I> creciente en < -3, -I/3 > u <1, +«»>, M ax (-1/3, 8 \}l / 3 / 3 ) , M in (-3,0); 4 1 . a = -2, b = 9, c = -12. d = 7; 42. / ( x ) = ax4- 2 ax 2, V a e IR; 4 4 . / ( x ) = -2x3 + 32x2 + 12x + 2, M ax (2, 2 2 ), M in (-1 ,-5 ); 45. 31 de M ay o ; 4 6 . a = 2, e s m áx im o ; 4 7 . x = rc/3, 5Jt/3, decrecien te en <0, 7t/3> u < 5ti/3, 2n>, creciente en < ít/3, 5n/3> Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Respuestas a ejercicios propuestos
M in [ ? n - 3 - j 3 V M ax 3’ 6 J
765
5_n 57C+ W 3 ' 3 ’ 6
48. x = n/6. 5n/6. creciente en <0, rc/6>
n n + 6 73 ^ , Min 5 tt 5 jt-6 > /3 6 ' 12 , 6 ’ 12 \ ) 49. x = n/4. 3rc/4, 57r/4, 7te/4. creciente en <0. n /4 > u <371/4, 5n/4> u <7tc/4, 27i>; decreciente en <7t/4.‘37i/4>‘u <5ji/4 , 7ti/4 >. Max(7i/4. 1/2) y (5tc/4, 1/2), M in (3n/4. u < 5n/6, 2n> , decreciente en
-1/2) y (77i/4, -1/2); 50. x = 7t/3, n, 5 n/3, creciente en <7t/3, 5n/3> , M ax (tt/3, 3>/3 / 4 ), M in (5 k /3 , - 3 > /3 /4 ) ; 51. x = 0 , 7t/4, tc/2, n , 5n/4, 3ti/2, 2ti, creciente en
tü / 6 > c j
< 5 n /6 . 3 n/2> M áxim os:
(ti/ 6 ,
3 ^ 3 / 2 ) y ( 3n/ 2, 0),
Min (5tt/6, -3-J3/2)-, 54. x = 0, n /2 , t i , 3 n/2 creciente en
[G rupa 43 J E l criterio d e la segunda derivada 1. C reciente V x € IR, no hay extrem os, punto de inllexión en (3, I); 2. M ínim o en (3,-25), 1, (0, 2) l2(2, 14); 3. M ax(-1. 10), Min (2 ,-1 7 ), I (1 /2 ,-7 /2 ) 4. M ax (0, 0), M in (± 2 ,-1 6 ), I (±2 S / 3 , 80/9); 5. Max (±2, 22), M in(0, 6), 1 (±2 -J3/3, 134/9); 6. M ax (0, -1), M in (-1, -6 ) y (2, -3 2 ), I, f 1.22. -1 9 .3 6 ), I, (-0.55, -3.68); 7. M a x ( - 2 ,- l6 ) y (1. 3 8 ), M in (-1 , -3 8 ) y (2, 16), 1 ,(0 , 0 ) I .( - /Í 0 /2 , 65 VÍÓ/K), l.í-V T o /2 , -65 V Ü j/8 ); 8. M ax (1, 0), M in ( l ± 2 f i .
12). !,(-!. 20/3). I, (3. -20/3);
9. Max (-1, 23/6), Min (-4, -2/3), I (-5/2, 19/12); 10. M ax (-4. 256) y ( ^ 2 . 104 V2 ), M in ( - V 2 , -104 y[2) y (4, -2 5 6 ), I,( -3 ,-7 7 ), 1 ,(0 , 0), 1 ,(3 . 77); 11. M ax ( - ^ 2 / 2 , 2 + J 2 / 2 ) , M in ( J 2 / 2 , 2 - J 2 / 2 ). I, (-1/2, 39/16); I2 (0, 0). I, (1/2. 25/16); 12. M in global (-3/2, -729/64), I, (0, 0), I,(-3 . 0) y en x = (5± 3 -^3 )/10; L3. A.V: x = 0. M in ( l : 4), M ax (-1, -4). No existe puntos de inflexión, cóncava hacia arriba en x e <0, +«»>, có n ca va hacia abajo en < -“ , 0>; 14. M ax (V 3 , J 3 ) , M in (- V 3. ' & ) ■ I. (-3, -3/2), I2 (0, ü), 1,(3, 3 /2 ) ; 15.
+ - ~ x —2 4 , 16. / ( x) = A * 1 - 9- x 2 + ! 2 x - 6 '. 17. a = -2 .
b = 6, c = 0; 18. a = 2/3, b = -2, c = -1/3; 19. a = 1/2, b = 3/2, c = 12; 20. Puntos de in fle x ió n e n 1,(1. I), I,(-2 , + ^ 3 , ( 1 + j3 ) /4 ) y i ,( - 2 - ,/ 3 . (l-V 3 )/4 ); 21. a = 4, b = -12, Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
766
Respuestas a ejercicios propuestos
c = 10; 22. a = 2, b = -6 , c = O, d = 3; 23. b) M in (-3. -251) 1(1, 5), 24. a = 1/5, b = 0. c= -6/5, d = e = 0 [(¡rupo 4 4 } R esum en de técnicas para d ibujar u n a fu n c ió n
^
I . D om (/) = IR, p re c íe n le en <-«», - 1> u < 2. +«»>. d ecrecicnle en < -! , 2>. cóncava hacia abajo en <-«», Í/2> , có n cav a hacia arrib a en <1/2, + ~ > , Min (2, -12), M ax(-1. 15), 1 (1/2, 3/2); 2. D om (/) = IR, función par, creciente en < -2, 0> <2,+o«>, decreciente en <«*>, -2> u <ü, 2>, có n cav a hacia arrib a en < - » , -2 V 3>
Respuestas a ejercicios propuestos
767
<1, + « > , Max (2, 6 \ M iní-l, 3/4), no existe punto de inflexión; 14. Doin(/j = IR - l± - J í ), función im par, A.V. x = + V 3 , A .O . y = -x, decreciente en <-«>. -3 > U < 3 , +«»>, creciente en <-3, - V 3> u < - 4 $ ,
V 3 > u < 4 $ , 3>, cóncava hacia arriba en <-«», - 4 $ > u <0,
V 3>. cóncava hacia ahajo en < - 4 ^ , 0 > t j < 4 5 , +«» >, M in (-3, 9/2), M ax (3, 9/2), I (Ü.0); 15. D om (/) = IR - {0}. función im par, A.V. x = 0, creciente en <-°o. - l> o < 1. +<*> >, decreciente en <-'!. ü> u <0, 1>, cóncava hacia arriba en <0, +«>>, cóncava hacia abajo en <-«», 0>, M ax (-1, -4), M in (l, 4), no existe P. I. 16. D om (f) = IR - (-1}, X- intersección = (-3, 0), pasa por (0, 0). A.V: x = 1 A .O . y = x+2. creciente V x e D,, cóncava hacia arriba en <-«>, - 1 >, cóncava hacia ahajo en < - 1, +<»>. No existe extrem os relativos ni puntos de inflexión; 17. D om (/) = IR - {-1}, X - intersección = (0, 3), pasa por (0, 0). A.V: x = -1, A .O ; y = x-4, creciente en <-®°, -3 > u < -l, + » > , decreciente en <*3, - 1> u <-1. !>, cóncava hacia abajo en <-«», -1>, cóncava hacia arriba en <-1, +«*>>. Min (1, -1), Max (-3, -9), no existe puntos de inflexión; 18. D om (/) = IR - { - I }, pasa por (0, 0), A.V: x = I; A.O: y = 2x - I, creciente en | > u <2,+«.>, decreciente en < 1, 2>, c ó n c a v a h a c ia a r r ib a V x e D ( f ) , M in ( 2 ,4 ) , no e x is te p u to s de in f le x ió n ; 19. Dom (/) = IR - {2}, Y - intersección = (0, -5/2) A.V: x = 2, A.O: y = 2x - P ereciente en 0.8> u < 3.2, +«»>, decreciente en <0.8, 2 > u <2, 3.2 >, cóncava hacia abajo en <-<«, 2>, cóncava hacia arriba en < 2, +<» >, m áxim o local en x = 2 — - J t ! 2, M ínim o local en x = 2 +4t> 12, no existe puntos de inflexión; 20. Dom (/) = IR - {4}, Y - intersección = (0, -3), A.V: x = 4, A.O: y = x - 2 , creciente en < -» , 2> u <6, + » > , decreciente en <2, 4> w <4, 6>. cóncava hacia abajo en < -» , 4>, cóncava hacia arriba en <4.+«»>, M ax(2, 2), M in (6. 6); 21. D om (/) = IR. función impar, pasa por (0, 0). A .H ; y = 0. decreciente en < - « , -1> c j <1, +«>>, creciente en < - l, 0> u
768
Respuestas a ejercicios propuestos
(O, O), X - intersección = (6, O), A .O : y = x - 2, creciente en <-°°, 0> u <4, +«*>, d e c re ciente en <0. 4>, cóncava h acia arriba en < - « , 0> U <0, 6>, cóncava hacia ahajo en <6, + « > , M ax (0, 0), Min (4. -V 3 2 ), P.I. = Í6. 0); 28. D om (/) = Di . pasa poi (0. 0). X - intersección = (4 ,0 ), A.O: y = -x + 4/3, d ecreciente en <-e*\ 0> u < 8/3, +«»>, c re cien te en <0. 8/3> , cóncav a h acia ab ajo en <-<», 0> kj < 0, 4>, cóncava hacia arriba en <4, -H»>, M in (0, 0), Max (8/3, 4 V i / 3 ) , P I. = (4. 0); 29. D om (/) = IR. pasa por (0, 0). X - intersección = (6, 0), A .O : y = x - 4, creciente en <-««, 2> u <6, +*»>, decrecien te en <2, 6>, có n cav a h acia arriba en <-■», 0>, cóncav a hacia abajo en < 0, 6> u <6,+«*>. Max (2, 2 \¡4 ), Min (6, 0), P.I.= (t), 0); 30. D om (/) = IR, pasa por (l), 0), X - intersección = (-3, 0) creciente en <-°o, -3> U < -9 /5 . +«■>, d ecreciente en < -3, -9/5>, cóncava hacia abajo en < -~ , -3 .6 > , có n c a v a h acia a rrib a en < -3 .6 , -3 > u < -3 , + ~ > , M ax(-3. 0), Min (-9/5, -1.3) P.I. en x = -3.6 ; 31. D om (/) = IR -{ 2 } , pasa por (0. 0), A.V: x = 2, creciente en <-«», 2> u <6, +«»>, decrecien te en <2, 6>, cóncava hacia arriba en < -« , 2> o <2, I2> , cóncav a hacia ab ajo en <12, +«■>, M in ( 6, 3/V 2 )» P l = (12, 12 Vi 0 0 ); 32. D om (/) = IR - {-2}, la curva pasa por (0. ü), A.V: x = -2, A .H : y = U, izquierda y derecha, d ecreciente en <-«», -2> U < 2 , + ~ > , creciente en <-2, 2>, cóncava hacia arriba en <-<», -2 > U < -2, 2 - V ó > u <0, 2 + a/ 6 > , cóncava hacia arriba en < 2- Vó , 0> u <2 + -J ó , +oo>, M ax (2, 1/2) P.I. (0, 0) y para x = 2 ± V ó ; 33. Dom (/) = E - { - l j . la curva pasa p o r (0, 0), A.V: x = - I, crecien te en <-«>, -2> u < 0, +<»>, de creciente en <-2, -1> O < -1, 0>, cóncav a h acia arriba en <-«*>, -2 - V 3> cj < -! , -2 + V 3>, cóncava hacia abajo en <-2 - V 3 , - 1 > cj <-2 + V 3 , 0 > U <0, +«» > , M in (0, 0), M ax(-2. V i ). P.I. para x=-2 ± V 3 ; 34. D om (/) = IR - { - 1, l }, I unción impar, A.V: x = ± l. la cu rv a pasa por (0, 0), creciente en <-«■, - V 3> u
Respuestas a ejercicios propuestos
769
curva es creciente en <-<», -2>, d ecreciente en <-2, 0>, cóncava h acia arriba en <-■», -5>, cóncava hacia abajo en <-5, 0>, M ax (-2, -3/V 4 ), P.I. = (-5, -6/V 25 ), para x > 0 la curva presenta una A.O: y = -x + 2/3, es creciente en <0, 4/3>, decreciente en < 4/3, +o®>, cóncava hacia ahajo en <0, 2>, cóncava h acia arriba en <2, +<»>, Max (4/3, 2 V 4 /3 ), P.I. = (2, 0); 39. D iscontinuidad inevitable en x = I, para x < I la curva es decreciente en <-««, 0 >, creciente en <0, !>, cóncava hacia arriba en <-«■, - 1>, cóncava hacia abajo en < - l, 0 > u < 0. I>, min (0, 0 ) P.I.= (-1, 6), para x >1 la curva no presenta extrem os, creciente en <1. +«*>, cóncav a hacia abajo en <1. 2>, cóncava hacia arriba en <2, +«»>, P.I. - (2, 6), A .O : y = x + 2, A.V: x = I; 40. D iscontinuidad inevitable en x = 0, para x < 0 la curva no tiene extrem os, X- intersección en x = - I - V2 , creciente y cóncava hacia arriba en <-«», 0>, A.O: y = x + 2, para x > 0 la curva presenta una A .O : y = -x + 1, creciente en <0, 2> y d ecreciente en <2, +«»>Icóncava hacia abajo en <0, 3>, cóncava hacia arriba en <3, +“ > , m áxim o local en (2, V 4 ), P.I. en (3,0); 41. D iscontinuidad inevitable en x = - V 3 ; para x e (-4, 0> la curva es decreciente en <-4, -3> . c reciente en < - 3 , - J 3 > u <-V 3 ,0>, cóncava hacia arriba en < -4, -V 3 > , cóncava hacia ahajo en < -V 3 , 0 > , M in (-3, 5.5); para x 6 <0, +«>>, la curva presenta una A.H: y = 1, es creciente en <0, l> , d ecreciente en <1, + « > , cóncava hacia abajo en <0, V 3> . cóncava hacia arriba en < V 3 , + ~ > , M ax (1, 2), P.I. en ( V 3 , I + V 3/2); 42. D om (/) = IR, para x < 0 la curva presenta una A .H : y = 3, es d ecreciente en < - » , - l> , creciente en <-1, 0>, cóncava hacia abajo en <-«>, -V 3 > , cóncava hacia arriba en < -V 3 , ()>, M in (-1,1), M ax (0,3), P.I. en (-V 3 .3 - V 3 ) , para x > 0 la curva p resenta una A .O : y = x - ! ,e s decreciente en < 0, 3> y crecien te en <3, +<»>, es cóncav a h acia abajo en <0, 3> o <3, +<»>, M in (3, 0); 51. D om (/) = <-«>, 0) u [2, +<*>>, A .H : y = íc/2, crecien te y cón cav a hacia arriba V x e <-*», 0>, creciente y cóncava hacia abajo, V x e <2, -k »>, no hay extrem os; 52. D oni(/) = [0, +“ >>, A.H. y = 0, hacia la derecha creciente V x € <0, l> , decreciente V x e <1, + « » , cóncava h acia abajo V x e <0, 1>, cóncava hacia arriba V x e <1, +<*>>, m áxim o absoluto en (I, n /2); 53. D om (/) = IR A.H: y = 7t2/4, decreciente V x e < -~ , o>, c re c ie n te V x e < 0 , +°°>, M in (0 , 0 ), lo s p u n to s de in fle x ió n o c u rre n c u a n d o 2x arc T g x = .1 (Por el m étodo de N ew ton se h alla que x = ± 0.765), cóncava hacia abajo en < -0.765, 0.765>; 54. D om (/) = <-«», 0> U <2/3, + ~ > , m ínim o en la frontera (0, 0), m áxim o en la frontera (2/3, ji), A.H: y = ft/3; 55. D om (/) = <0, +«*>>, decreciente en <0, l> , creciente en < 1 ,+oo>, M in (J , 1/2); no existe puntos de inflexión, cóncava hacia arriba en todo su dom inio; 56. D om (/) = <0, +«»>, decreciente en <0, I/e> , creciente en < l/e , -h»>, M in (1/e, - l/e ) , no e x iste puntos de inflexión, cóncava h acia arriba en todo su dom inio; 57. D om (/) = <0, +®°>, creciente en <0, 4>, decreciente en < 4, 8>, m áxim o global en (4, L n l6 ), no existe puntos de inflexión, la curva es cóncava hacia abajo en todo su dom inio; 58 . Dom (/) = < 0, +<*>>, d ecreciente en <0, I/V e > , creciente en < \/-Je , +■»>, m ínim o relativ o en ( I /V e , -1/2 e), punto de inflexión en ( l/V e J. -3/2 e 3) 59. M ax (1. l/e ), I (2, 2/e), creciente en < -~ , |> , decreciente en <1, +o°>, cóncava hacia Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Respuestas a ejercicios propuestos
7 70
abajo en <-«*, 2>, có n cava h acia a rrib a en <2, +«»>; 60. M ax ( 2 ,4 /e 2), M in (0, 0), puntos de inflexión en x = 2 ± ->¡2 , d ecrecien te en <-«>, 0> vj <2, + ~ > , creciente en <0, 2>, cóncava h acia ab ajo en <-«>, 2 - -J2 > \ j < 2 + -J2 , +<»>, cóncava hacia arriba en <2 - J 2 , 2 + y¡2 >\ 61. M ax(0, 1), \ j ,- j 2 t 2 , 1/■Je), I? ( - -J2 I 2 , It-Je), c re cien te en <-«>, 0>, decrecien te en <0, +«»>, cóncav a h acia arriba en <-«», -yp2 / 2 > kj < j 2 / 2 , +«»>, cóncava h acia ab ajo en < - -J2 /2 , -J2 /2 >; 62. M ax (3, 27/e*), puntos d e inflexión en x = 0 y x = 3 ± -^3; 63. M ax (1, 1/e), M in (0 ,0 ), puntos de inflexión en x = - lr y ¡ 5 ± -J \l y x = \ V Í ± V l T ; 64. M ax (-7t/4, y¡2 /2 e**), M in (3jt/4, - -J2 12 e MA) . I. ( 0 ,1), l 2 (71, I / e")
(G rupo 45 ) P roblem as de optim ización____________________________________________ I . 50 y 25; 2. & S , 8 ^ 3 ; 3. 100/3, 5 ^ 6 / 3 ; 4. (±5, 3); 5. (2 V 3 , V 3 );
6. Si (x, 0).
(0 , y ) son los e x tre m o s del se g m e n to se o b tie n e x = a + V a h 2 , y - b+ sfa 7b => L =
i](a 2, i + b 2nf ; 7. (0, 0), (1 + \ Í 4 , 0), (0, 2 + ^ 2 );
8.
(a3 + h3) x - 2aby +
a(b 2-a 3) = 0; 9. A 9 p ies del p o ste de 12 pies; 10. a) P (± ^ 2 / 2 , 1/2) b) P(0, 0); I I . B ase = 3, altu ra = 2; 12. A = 87 x 72.5 = 6307.5 cm 1; 13. 4x + y = 4; 14. Lado del cu a d ra d o = 9 + 4^3 c írc u lo =
8 7C+ 4
ja^0| F¡án p U|0 e q u ilá te ro = 6 H
la d o d el c u a d ra d o =
IA ti +
4
— — 7= ; 15. R ad io del 9 + 4-J3
; 16. y„x + x0y = 2 x „ y fl, A = 4 x n yn
17.
base = a j z , a ltu ra = b ^ 2 ; 18. P ( 2 ^ 3 / 3 , 8/3); 19. B ase = 2a/3, altu ra = 4- Jap/ 3
20.
base = 8/3, altu ra = 44/9, 21. 2q + JO*
y 2p+
; 22. b-s/2/2; 23. 8a/5/5 y
2 J 5 ; 24. A = ac/4; 25. A = 0.02 u2; 26. A ltu ra = 3b, base = 2 a J 3 ; 27. base = a ltu r a = — ; 4 + jt
2 8 . - - = J 2 \ 2 9 . - = 2 ^ 2 ; 3 0 . 2 2 .5 x 2 2 .5 x 15; r r
4+7t
.
3 1 . 1/2;
32. r = — H R jlH + R ---------. ^3 ra(ji0 = 3/2 r , altu ra = 3R; 34. r = 4 ^ 6 cm , R y j H 2 + R 2 + { H 2 - R 2) h = 8 ^ 3 cm ; 35. — = —; 36. (l - i ; 37. base = 5 m , altura = VTTm; 38. Un C ubo de H 2 H 3 arista x = - j 5 f 3 n ; 39. h = 2r; 40. b = 8-^/3 pulg, h = 18 pulg; 41. Punto S ituado a I m illa Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Respuestas a ejercicios propuestos
771
del punto m ás cercano sobre la costa; 44. 2-J3/3 km. del Punto m ás próxim o de la isla; 45.
0 = m ax {are Tg (h/d), are Tg ( - J k 2 - 1 ) } ¡ 46. A x = 3/4 m illas aguas arriba de la
central eléctrica; 47. 16 pisos;
48. ]5y¡2 m; 49. 0 = n i2; 50. 0 = n/3; 51. 8 pies;
52. 0 = 7t/3; 53. A = 3-J3/4; 54. Debe cam inar 2.19 km; 55. -J3/3 m; 56. -J l /2 m; 57. La m ujer debe d esem barcar en el pu n to P a 8 Km del punto B y recorrer en aulo I Km hasta'el punto C. CGrupo 4 6 } E l m étodo d e Newton________________________________________________ I .0 .6 8 2 ; 2 .1 .1 4 6 ; 3 .3 .3 1 7 ; 4 .- 1 .4 4 2 ; 5 .- 0 .8 8 , 1.35 y 2.532; 6 .- 1 .3 5 3 , 7. ±1.32; 8. -0 .7 6 ; 9. Sug. Tom e u = x ,n y halle las raíces de -u2 + u + l , -0.23 y 7.24; LO. -0 .7 5 4 9 ; I I .2 .2 3 6 1 ; 1 2 .1 .2 5 9 9 ; 13. 2.5119; 15. 0.3028; 16. -0 .7 4 0 2 ; 17. 2.3393; 18. 1.8022; 1 9 .-0 .3 4 7 3 ; 2 0 .0 .7 4 0 2 ; 21. b) 1.58489; 2 2 .-1 .3 5 7 8 , 0.7147 y 1.2570; 2 3 .3 .4 5 2 5 2 (x f f*(x) = 3x2 - 5, xn+, = ----- \ ------, com o x, = 1, xM *,= (-1)", de m odo que {xn} no tiene 3 (x„) “ 5 lím ite. El T eorem a 5 .1 0 no se sa tisfa c e p orque f” (0) = 0; 25. 2.893 ; 27. 0.7391; 2 8 .1 .2 3 6 1 ; 29. 2.02 8 8 ; 3 0 .- 0 .7 3 9 1 ; 3 1 .- 1 .2 3 6 1 ; 33. a ) -1 .8 9 5 5 , 0 y 1.8955, b) 0.8655; 34. 0.860; 35. 2.0288; 37. 2.209
24.
{Oru¡tOj4^ | C urva param étrica___________________________________________________ I .y = 3 x ; - 2 ,x > 0 ; 2. x2= 2y + 4; 3. (y - a)2 = 4/p (x - b); 4. x2 + l6y2= 64, x e [0, 8]; 5. (x - 2)(y - 3) = 4; 6. x2+ y2= a2; 7. y2 - x2 = 4; 8. y2(4 - x) = 4 x1; 9. (x - y f = 2(x + y); 10. bx + ay = ab; I I . xy =1, I x I > 1; 1Z y = 2 - 2x2, l x I < I; 13. x’ y = I, x > 0; 14. y = l- 2x2, I x I < 1; 15. x = 4y2 - 2 , 1x I < 2; 16. x2 + 8y = 8, I x I < 4; 17. x2'1 + y2^ a*', I x I < a; 18. x2 + y2 = 5, 19. (x - 2)2 + y2 = 4; 20. 4(x - 2f + 9(y +3)2= 36; 21. (x + l)2 - 4(y - 2): = 4; 22. 4(x + 3)2 (y+ 4 ^ = 16 ; 23. a2y - bx2= a2b; 24. 4x' - 3x + y = 0; 25. y ' - 3y - 2x = 0; 26. 9(y - 1f l6(x - 2)2 = 144; -27. Cada curva representa una parte de la recta dada por y = 2x + 1 Dominio: a ) x e IR, b )lx l< l,c)x > 0 ,d )x > 0 ;O rien lac¡ó n : a) Sube, b) oscila, c)haja,d) sube; 28. Cada curva representa parte de la circunferencia dada por x2 + y2 = 4, Dominio; a) x e IR, b) x > 0, c ) x > 0 ,d ) x ^ 0 ,Orientación; a)oscila,b)oscila,c) baja,d)sube;3 5 .x = (1 -2m2) / m2,y = (l + 2 in j/m 36. a) SP= {(x, y) e IR2 1 x =
* = 3 + 2 / 11 e
(solución no única)
b) ^ - {(x, y) e IR21 x = -3 + 3 C os t, y = 1 + 3 Sen t, t e IR} (solución no única) c) / = [(x, y) e IR2 1 x = 4 + 4 C os t, y = 2 + 5 Sen l, t e IR} (solución no única) 37. x = at - b Sen t, y = a - b Cos t; 38. x = 3 Cos t - Cos 3t, y = 3 Sen t - Sen 3 l 39.
x = a (Cos 1 - t Sen l), y = a(Sen t - 1 C os t); 40. a) x = b Cos l ± Vr~ - { a + b ) x Serrt
y = a Sen t, b) x = r Cos t + í ^ ( a + b )2 - r 2 Sen2i , y = Se* r. ya+bj* a+b Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Respuestas a ejercicios propuestos
772
[Grupo 48 ) Rectas tangentes a curvas param étricas
1________ ; 2. _ 2 t ; 3. _ 1 + / ; 4. 1+/ 1 -r2 r(l + / ) 8.
1 -2 /3
; 5. - - Tg t : 6. t/2: 7. C otg (t/2): *
T g i; 9. T g t; 1 0 . - l s i t < 0 , l si t > 0; 11. y' = 1; 12. y’ = 1; 13. y ’ =
15.
<£t : x + 2y = 5, s£„: 4x - 2 y = 5;
16. <£,: 2x - 2y =
3tt - 12.
14. y = ^-+7C; 4 —7C 2x + 2y = 3it;
17. 5 S x + 2y = 16. i j i x - 30y + 69 = 0; 18. <£,: x • y = a; % : x +■ y = a; 19. ¿£r: 2x + y = 2, ££„: x - 2y = 1; 20. ££,: 2x +2y = a, S£„: x - y = 0; 21. S£t : 4x + 3y = 12a. 22. %üt: x + y = J l ,
Si„: 3x - 4y + 6a = 0;
x - y = 0 ; 23. Sf,: I6x + I6 y = n 1 V2 ,
a ,: 2y - 2x = Jt V I ; 24. S£r: 7x - IOy + 6 = 0, % : I0x+7y= 34; 25. Sí,: 3x - y +1= 0. a .: x + 3y = 13; 26. Sf,: 5x - 4y = 28, S£„: 4x + 5y = 47; 27. ££,: x - y = I, SE,,: x + y = 5; 28.
t = tc/4 + k n ; 29. a) t = n /2 + a , b) l = n - a , c) t =
6
* + v , donde a es el ángulo 3
form ado en tre la tangente y eje X 3 0 . a) T.H: (-4, -4), X V : (-4 , 5) y (4, -3), b) T.H: (3, 1) y (3, 7). T.V: (7, 4 ) y (-1. 4) c) T.H; (0, 0), (32/9, 256/27), T.V: (4, 4), d) T.H: (0, 0), T.V; (0, 0), (-243/4, -81/4) 31. T = I y C osec (3 l/2 ) I, N = I y Sec (3t/2) I, ST = I y C otg (3 t/2) 1, SN = I y T g (3t/2)l 32. T = l y C osec 11, N = I y S ec t i , ST = I y C otg I , SN = ly Tg 11; 33. Las curvas se cortan en tres puntos form ándose los ángulos a , = a-, = 30° y a , = 0o, 39. p = 2a C os t; 40. x Sen t + y Cos t = a/2 Sen 2 t; 41. T (x ) = I Sec 11, 2; 42. a = 2, h = -8
(G rupo 4 9 } D erivación param étrica de orden superior I _
«
. 2
1 a S e n 't 2
+
t 2
36 C o sí . a* Sen* t •
7
a (C o s t-t S e n t f '
2 ( f
14. m n t"';
15. -
+
l ) 2
/
10 l + 3 / • 11 ~ 2 e~' 5a (Sen t + Cost)*
3 5 16 eC *
1___ . ^ 3a S e n t C os 4 1 .
s
6
( f - l ) 3
5
.
q
r ( / + l ) 1( / - 2 ) í ’
12 4 e 2' ( 2 S e n t- C a s t) ' (Sen t + C ost)*
13
Cos 2 t —A Sen1t 9 a 2 Sen*t C o s 1 1 2 ( l
+
f 3 ) 4
3 (l-2 rV 3 C ost a 2 Sen5/
; 16. 4e2' ( 2 S e n r Coi' 0 - 21. a) P, (Ln 12, 7/6) 4 a Sen (t / 2) (S e n t + C o s tf
P, (Ln 3, 2/3), b) (1 + / ) ’
; 23. a) f ( 0 g " iO ~ ■?' W [ / '( * » '
( 0 . b)
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
( 5 -3 -7 3 )
Respuestas a ejercicios propuestos
773
[Grupo 5 0 J Trazado de curvas paramétricas_______________________________________ 1. x = -1, y = 0 ; 2. y = x/2 + e; 3. y = ± x/2 - 1/2; 4. x = -a, y = x - a/2, y = -x +a/2 5. a) y = -48/7, y = x/2 + I, h) T.H: (0, 0), (-4/3, 16/3). T.V: (0. 0), para t = 3± V3 6. a) x = 3/2, y = -1/2. b) T.H.: y = 0, y = 4, no ex iste T.V.; 7. a) x = 2, 2x + 8y + 1 = 0, 6x - 40y + 9 = 0. h) T.H. para i = ± 2 /^ 3 , T.V. para t = 8 ± 2 j \ 5 : 8. a) T.H. t - 0, T.V: t = 0,1 = 2, h ) y = 0 ,y = x / 2 - 3 / 4 ; 9. a ) y = ± x , b) 1 2 x - 1 5 y = 2 0 5 : 10. y = 2 x - 4 /3 ; I I. / ( t) y g(t) están definidas V t e IR, M ax (-3, 3), M in (5 ,-1 ) Punto de inflexión en ( 1, 1), no liene asíntotas; 1 2 ./ ( t) y g(t) están definidas V t e IR, asíntotas; y = x, y = x + 6jt, M ax (1 —3jc, -I + 3 n /2 ), M in ( I-3tc, l-3 n /2 ) Punto de inflexión en (-371, 0), 13./ ( t ) y g(t) están definidas V t e IR - {-1}, asíntota; x + y + 1=0. (0,0) es un punto m últiple, los ejes X e Y sirven de tangentes en este punto, 3 P.I., en el prim er cuadrante está un lazo cerrado; 13./( l) y g (l) están definidas V l e IR. cuando x e <-«>, l/e> , la función: 14. y(x) no está definida, cuando x e < -l/e , 0> esta función es bivalente, cuando x e <0, + ~ > es univalente. La línea es sim étrica respecto a la recta x + y = Oel m áxim o es (e, 1/e). E xiste dos puntos de inflex ió n I ,( - V 2 / ,
-Jj /
c ua ndo t = -
, 1, (V2 e ^ , J 2 /e '31^ cuando
t = s f l . Los ejes coordenadas hacen de asíntotas. [G rupo 5 / ) F o rm a s in d eterm in a d a s 1. Vr, 2. » ; 3. 2: 4. 1; 5. 1/3; 6. Vr. 7 . 1/3; 8. 14. 24. 34.
V a\
9. 6; 10. 0 ; 11. - 1 /6 ; 1 2 . - 1 : 13. 2
4; 15. m / 3 ; 16. 2 ; 17. - 1 / 2 ; 18. 1 2 8 / 8 1 ; 19. 1 ; 20. 2 ; 21. ai j b , 2 2 . » ; 23. 3 / 2 - 1 ; 25. 1 / 1 2 8 ; 2 6 . C o s a ; 27. 1; 28. 16; 29. - 1 /4 ; 30. 2 C os a; 31. 0; 32. 0; 33. 0 0: 35. 0; 36. 0; 3 7 . / '" ( a )
[Grüpa~52\ Form as indeterm inadas adicionales___________________________________ 1. 3/8; 2. +«>; 3. 4a/rt; 4. Ln a; 5. - 1 , 6. 0; 7. -1 /3 : 8. 4 a:/7t; 9. 1/2 ; 10.-4 /n ; 12. 1/3 (a + b + c); 13. -1 /2 ; 14. - 1 /2 ; 15. Vr, 1 6 .- 3 /5 ; 17. e-1* ; 18. 1: 19. 21. 1; 22. I ; 23. e '° ; 24. cr"-"*3; 25. e 1 ; 26. e"* ; 27. e; 28. e"; 29. 0; 30. 31. 32. 1/3; 34. C os a ; 35. 1/16; 36. 2
11. 0; e 2, 20. e 1; Ln 2;
[G rupo 5 3 ) Lím ites d e las fu n c io n e s hiperbólicas 4. 9.
a) Ln 5. b) - Ln 2 , c) V ó / 2 , d) 1/8; 1 1 . - 3 / 2 . 1 2 . - 1 / 6 ;
I /tc; 1 0 .
^3/3,
e) ± Ln 2 , f) -L n 3 ; 5 . W; 6. 14. 1 / 1 2 ; 1 5 . - 2 ; 16. j c .
13 .-1/4 ;
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
1/3
; 7.
-1/2;
8. Vr,
Respuestas a ejercicios propuestos
774
{ C r u £ ^ 5 ^ Derivadas de las fu n c io n e s hiperbólicas
I . 2Senh(2x>: 2. x C osh x: 3. 3 T 8 h x Sech2 x : 4 . i 2 * jl+ T g h r x 4 6.
5. 2 C o sh 1 Í2x) U J
2 Sech (2x) T g h '(2 x ); 7 . Sech (2x); 8 . --- 1___ ; 9. T g h 1 x; 10. Sgn (5g/> h x ) Tgh x —1 Cosh x
I I . — — ----1 , ^ L , 12. . 1------ ------ = ; 13. C otgh ( - ) Cosech* f - 1 ; 2 Senh x + 3 Cosh x 2 J Cosh x - Senh x V 2j \2 ) S\
14.
17.
23.
—2 C osech x ; 15. - 2 C osech1 x, x > 0; 18. —— --- [(3x+2) Senh x - x C osh’ xl; Senh 2 x ■y 1 .4 ; 16. C osh4 x; 19. a + b C m h * ; 20. Senh <2 *> , I - Senh x b+ a C o s h x 3y2 - \
Ln (Tgh x )
- Ln y
; 24.
Tgh x ; 25. K = -4; 27. Dom ( / ) = IR, creciente x (l + D i2 x)
V x e D om (/), no hay ex trem o s relativos, 1(0,0); 28. D o m (/)= IR, A.H: y = ±1, Min (0,0). M ax (4. 4 .0996), decreciente en <-°o, 0> vj < 4 , 6> ^ <6. + » > , creciente en <0, 4>. P.I. (6,0); 29. D o m tf) = I R - {1, 3}, A.V: x = I, x = 3, A .H : y = C osh 1, d ecreciente en -3>
< - V I , -I > u <1, V I > u <3, +«*>>, creciente en <-3, - V I > u < -l ,1 >
< V I , 3>, M in (-3 ,1 ), (-1, 1) y ( V I , C osh 14.04), M ax ( - V I , IO 02); 30. D oin(/) = IR, A.H: y = 0, crecien te en <-°°, -2 > w <-1, 0> , decreciente en < -2, - 1 > u < 0, +<»>, M ax (-2, 1.055) y (0, C osh I ), M in (-1,1); 31. D o m ^ ) = IR, no tiene asíntotas, creciente en <-1, 0 > kj < ! ,+ « > , decreciente en <-«», -1 > u <0. !>, M in (±1, 0.887). Max(U,M; 32. D o m ^ ) = IR — (-1} A.V: x = -1 ; crecien te en < - « , -2 > kj <0, +«*>>, decrecien te en <-2, - 1> c j < -1 , 0> , M ax (-2 , - 2 .9 7 ) , M in(0, 0.851); 33. D om ( f ) = JR, A .H : y = Senh 1 s 1.175, c re c ie n te e n <-<*>, -2 > u <2. +■*>>, d e c re c ien te e n < -2, 2> , M ax (-2 . 2 .1 3 ), M in (2, 0.9 3 ); 34. D o m ^ ) = IR. A .H : y = T gh I = 0.76, d ecreciente e n .< - l, 1>, creciente en < - » -1 > w < 1,+-*>, M ax ( - 1, 0.995), M in (1, 0.32), T gh(3 )= 0.995, Tgh (1 /3)= 0.32; 35. D om ( f ) = IR A .H : y=0, crecien te en <-«*>, 0 > v j <2/3, 2>, decreciente en <0, 2/3> w <2, + « » , M ax‘(0, l ) y (2, 1), M in (2/3, 0.62); 36. D o m ( f ) = I R - (0 , 3}, A.V: x = 0, x = 3. A.H: y = ± 1 , creciente en <-«>, 0> u <2, 3> u <3, +°°>, decreciente en <0. 2>, Min (2, 0.633), C otgh (V ? ) = 0.633; 37. D o m (/) = IR - ( - 2 ) , A.V. x= -2, creciente en <-«>, -4 > U < 0 , +«»>, d e c re c ie n te en < -4 , -2> U < -2 , U>, M in (0. 2 .1 6 4 ), M ax (-4, -6 .3 ); 38. D o m ( /) = IR -{ ± 2 , ±5) A.V: x= 2, x=5. A .H : y - C otgh 1 = 1.313, “p u ntos ciegos": (-5, ± 1), (-2, ±1), crecien te en < -V Í0 , -2 > u <-2, 2> vj <2. VTo>. decreciente en <-«>, -5> u <-5, -V Í0 > u
Respuestas a ejercicios propuestos
775
decreciente en <0. 2> cj < 2. 4>. M ax(0, 0), M in (4. Tgh 8): 40. Dom (/> = IR —{±1, ±4}, “ punios ciegos’*: (-1. I). (-1. -1), (-4. - I U - 4 . I), A.V: x = I. x = 4. A.H: y = Cotght I ) = 1.313. creciente en <-2. -I> u < - 1, 1> w <1. 2>. decreciente en <-«». -4> U < -4. -2> U <2, 4> <4. +<»>. M in (-2, -1.0001) M ax (2, -9.12) [Grupo 5 5 J Derivadas de las fu n c io n e s hiperbólicas inversas > 1.
X
,
1
, U I > 1; 2.
1vi
. x e IR - {0 f; 3 .
Ixl
|Ü) ; 4. y '= 0 . pues I Sen2 x 1< 1:5. o 2- * 2 7 . ---------- * . (4 - x 2 ) V x ’ - 3
•v (v --2 )
\ e < - J l y *¡2> -
. x e IR- {-a, a}. 6. - * ,.\ e <0, +«>> - { I } ‘ * 2* f . x e <-1, 2*V x+l
. I x l > 2 ; 8 . y' = 2. x > 0: 9 .
10.
2 Sec 2x, x e IR -fx /x = ^ *
13.
C osh 1 (2x). x e
17.
J-X— a : 18. - 6 ín + 4 x ~ ; xy. a ) k = 1/4. b) k = 1/3; 20. 12 uv x rr~ y j x + a .\
21.
A (-6 ,-1 ), B (-3,2), CíO.2), D (3,-1), 18u ’; 22. 18 u-
0>:
v }. 1 1 . 2 Senh '(2x), x e IR; 12. Tgh 1 (x). I x I < I t ^ .x e x
IR-10)
(tjr u p o jtó ^ F órm ula de Taylor y aproxim aciones polinom iales
1 . ex = e + c (x - 1) +
2. Cos
X =
^ (x - 1)2 + ^ ( x - l ) '+
[ l-fx -
Tt/4)
-
3 . Sen x = ^ fl + J $ ( x - n /6 ) 4.
“
(X-
(x-l )"* +
tc/4)2 + ^y(x
-
tc/4)^1
(x - 1 )',
+
p a ra
6 ( x - J t / 4 ) J,
algún c e <1 x> ce
< 7 1 /4 .
x
>
(x - n / 6 ) - - ^ ( x - ti/ó)'! + -*!’í- ^ í (x - 7C/6)4, c e
lO + ^ t x - l O O ) - 4 j- , (x-lU0)2+
(x-100)1-
(x-100)*, c e <100, x >
5. ----- ’— r = I -2 (x-5) + 3(x-5)3 - 4(x-5)* + 5(x-5)4 - 6(x-5f + f (x-5)'\ c e <5,x > ( x - 4)* (r-4 ) 6 . ----- -— 5- = 1-2(x41) + 3(x+1)■—4(x+1)’ + 5 (x+1 )J — (x + 2)" (c + 2)
. paraaleúnce <-1. x >
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
Respuestas a ejercicios propuestos
776
7. V T + 7 = |+
I rs 8 . -------= l+ x + x2 + x ’ + x4 + — :— , para algún c e <0, x> 1~* (l-o * 2 ^ 4 S X X X X 9. Ln( (1 + x) = x 1---------------- 1------------r . para aleún c g <0, x> 2 3 4 5 (1 + 0 I(. ™ 2 x i ( 16 Sec4 c . Tg c + 8 Sec 2 c . Tgy c } . . _ 10. T g x = x + ------ +-- ----------------- ------------------------ 5— , para algún c e <0, x> V. { 4! J x'(c~D2 x - ----- 2~ y , para algún c e <0, x> 3 (l+ c )
11. are
Ig x =
12. arc
Sen x = x + A^
c. ) , para algún c 6 < 0,x
>
3! (1 - c2 )5/2
13. Seis c ifra s e x a c ta s; 15. C in c o c ifra s e x a c ta s; 17. El e je rc ic io 13 p red ice que e in = 1.3955826, el verdadero valor es de alrededor de 1.3956124 (el erro r es alrededor de 0.00003); 22. - 2 0 ; 23. 1.648; 27. 0.342020; 28. 0.985; 29. 0.40. con un erro r m enor que 0.01; 30. 1.65
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PEDIDOS A PROVINCIAS Depositar a la Cta. de A horros del Bco. de Crédito N° 193-03122265-0-02
Ricardo Figueroa García
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