313
CAPITULO
:RELACIONES Y FUNCIONES EN 82 RELACIONES DEFINIDAS DE R EN R
DI
EL PRODUCTO En la Sección
CARTESIANO
3.3 señalábamos
A y B se define
conjuntos
(a,b) en los cuales componente
la primera
el producto
de los números
En el capítulo mos
conjunto
de números
ea de un solo número Para graficar
=
RxR,
se define
reales.
ordenados
como:
la noción de la recta real y vi entre
puntos
de la recta y el es la gráfl
real y viceversa. debemos
disponer
El dispositivo
todas perpendiculannente
rectangular
en un punto
El eje horizontal
pora grafi-
o sistema Ilanadas
O, llamado
coordenado
cartesiano.
ejes de coordenadas, origen
de coordenadas
El cor del
se llama eje X o eje de las x y el eje vertical,
eje de las y. Los puntos y a .la izquierda
de un procedimiento
más COI1'IU1YI'ICnte usado para este propósi-
en dos ~ectas mméricas,
eje Yo
AxB de dos
RZ, donde R es el
Cada punto sobre una recta numérica
coordenado
.positivas
pores
de A y la segunda
que se denota
que existe
to es el sistema
sistema.
a, es elemento
4.9, introdujimos
biunívoco
sistema
consiste
cartesiano
de todos los
{(a,b)&AxBla&A y bEB}
reales,
una relación
car pares ordenados.
componente
cartesiano
4, Sección
la correspondencia
R
de B, esto es:
AxB
conjunto
x
que el producto
como el conjunto
b. es elemento
Aná I ogamente,
DE R
a la derecha
del origen,
del origen
negativas.
tienen coordenadas'
Anólogamente
los puntos
314
Capitulo 5: Relaciones
del eje Y arriba del origen bajo del origen
no en cuatro regiones que se enumeran
tienen coordenadas
tienen coordenadas
positivos y los que estón aLos ejes X e Y dividen
negativos. y
Ilanadas cuadrantes
y
por 1, 11, 111 Y IV (Fig.S.l)
II
en sentido antihorario. Construido
un sistema coordenado
podemos establecer
uno entre el conjunto
reales. Sea P un punto cualquiera Su proyección
perpendicular
Q.
La proyección
bre el eje Yes
I
I
y
de núneros del plano.
IV
111
sobre el eje X es
es el níÍnero real ú-
un punto cuya coordenada nico
uno a
de puntos del plano
el conjunto de los pores ordenados
n«.» ----1
b
rectangular
una correspondencia
al plg
perpendicular
de P so-
FIGURA 5.1
un punto que tiene como coor-
denada al número real único b. Si tomamos g a camo el primer elemento por y a b como el segundo, do un por de números par ordenado Definición
entonces
reales
(a,b), único, y viceversa.
(a,b) un punto P nos llevo o las siguientes 5.J
Si (a,b) es el par asociado
5.2
a cada
los n§
de P; a se llama coornen!!
y, u ordenada
Si P es el punto asociado
El asociar definiciones:
con el punto P, entonces
meros a y b se Ilanan coordenadas da x o abscisa de P; b es la coordenada Definición
de un
con cada punto P del plano hemos asocig
de P.
con el par ordenado
(a,b), enton-
ces se dice que P es la gráfica de (a.b).
Ejenplo.
Graficar
el conjunto de pares o~enados:
(4,-1)} Y nombrar el cuadrante
{(2,3),(-3,2),(O,-2),
en que quedo cada uno. y
Solucí6n.
Construimos
primel'o el sistema
tangular XY. luego representamos marcamos
reg y
cada uno de los puntos P(2.3),Q(-3.2)
S(O,-2) y T(4.-1). Así, P queda en el
P
~---
I
, I
1 cua-
drante, Q en el 1I, S Quedo sobre el eje 1) no está en ningún cuadrante te.
y T en el IV cuadra~
--. -----
s
.• T
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
ID
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Sean A(x"y,),
Btxc
y C(x"y,)
.y«)
estén situados sobre una línea horizontal By
315
C sobre una línea vertical.
Entonces, d(A,C) =
tres puntos en R', tales que A y C y,
(Fig.5.2)
Y Y2
por lo visto en valor absoluto:
IXCI
d(C,B) = lcal
1 = Ix,-x,I = ly,-y,1 = ly,-y,1
e2
1
:
= Ix,-x,
Yl
t- A
Luego, por el Teorema de Pitágoras:
+
IMl\' = IAGI' d(A,B) = I(x,-x,)'
Ejemplo.
Si P(a,a+1)
+ +
Y2-Y
1
-------ic1
I
o
I al\'
I
I
Xl
X2
r--
(y,-y,)'
iX:2 -X 1
X
--!
Figura 5.2
es un punto que equidista de A(2,l) y B(-6,5),
hallar
el valor de a. Solución.
Se debe verificar
que: d(A,P) = d(B,P)
Entonces, por la fónnula de distancia ¡,r-( 0---2-)-:-' +-{-(-a-+ 1-)---1-]-:-'= I(a+6 ) , +{( a +1) - 5]' +
=
(0'-40+4)+0'
m
(0'+120+36)+(0'-80+16)
entre dos puntos:
, de donde: 0=-6
Q
GRAFICAS DE RELACIONES DE R EN R Un conjunto
G de puntos del plano cartesiano
ción R si verifican
"P(a,b)cG En la práctica,
es la gráfica de la relQ
la propiedad:
la gráfica
-
(a,b)cR"
de una ecuación
de la fomla E(x,y)=O
o inecuaciQ
nes de las fonnas: E(x,y) < O, E(x,y) > O, E(x,y) ~ O, E(x,y) ~ O ,en variables
X
e y, es la gráfica
R Veamos a continuación
algunos
las
de la relación:
=
{(x,y)IE(x,y)1
ejemplos de gráficas
de relaciones
más impor-
tantes.
11II
GRAFICAS DE RE'LACIONES LINEALES DE LA FORMA:
i=
{(x,y)lax+by+c
=
Q
01
Tienen por gráfica una línea recta. EJEMPLO
l.
Trazar
la gráfica
de la relación: Rl = {(x,y)e:R213x-2y+6=0}
r
316
Capitulo 5: Relaciones y funciones en R2
Solución.
Según un postulado de la geometría que afirma que dos puntos distintos de terminan una recta y sólo una, bastará hallar dos pares de la misma, de la
siguiente manera: Si y=O -+ 3x+6=0
x=-2. Así, (-2,0) es una so-
H
lución de la ecuación dada. Si x=O -+ -2y+6=0
H
y=3
Luego, (0.3) es una segunda solución. Para obtener la gráfica requerida,
solo necesita-
mos unir los puntos P( -2,0) Y Q(O,3) con una línea recta, dada que: G(R,) = (P(-2,0) , Q(O,3},
+oo}
Como vemos: Dom(R,)= Ran(R, ) = (-00,+00) = R
~
Trazar la gráfica de la relación: R2 = {(x,y)eR212x-3y=O)
Solución.
La relación R, tiene la forma ax+by+c=O, en la que c=O. En estos casos
(0,0) es una solución de la ecuación 2x-3y=0, es decir, la recta pasa por el origen de coordenadas. Necesitamos un segundo punto para determinar
la
--------~----~--~x
recta. Si x=3 -+ 2(3)-3y=0
H
y=2 -+ P(3,2} es el otro
punto. Como G(R, ) = {(O,O) , (3,2) , ..... ,+oo} -+ Dom (R, ) = Ran (R2 ) = (-00,+00) = R Trazar la gráfica de la relación: S = {(x,y)eR2I(x+2)(y-3)=O)
~ Solución.
Según el T.4.l4
f: ab=Ü
-+ (x+2)(y-3}=0
H
H
a=O v b=O
x+2-0 v y-3=0
H
x=-2 v y:=3
La gráfica de S es la unión de las gráficas de R,={ (x,y)eR2Ix=-2)
con R,={ (x,y}eR2Iy=3)
decir: G(R, )={(-2,0} , (-2,1 ), (.-2,2), es una recta vertical
, es (-2,n)}
cuyos puntos tienen abscisa
constante: x=h
o sea
Dom(R) = {-2} Y Ran(R,) = R
G(R2 )=(-2,3)
, (-1,3 ),(0,3}
es una recta horizontal O sea: Dom(R,)=R
(n,3})
cuyos puntos tienen ordenada constante: y=k
y Ran(R2)={3)
-+ G(S} U G(R2) = Toda la cruz
:. Dom(S}=Dom(R2 }=R y Ran(S)=Ran(R,}=R
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
EJEMPLO
.Trazar la gráfica
4.
T
=
317
de la relación; XE<-2,411.
{(x,y)ER'\5x-3y+7=O,
observar que el dominio de lo <-2,4). Luego, para esbozar su gráfica tomaremos los valores extremos de di cho intervalo, esto es: Podemos
Solución.
Si x=-2 +
5(-2)-3y+7=O
+
P(-2,-1)
Si x=4
+
Trazando
++
T está
restringido al inter~ y
y=-l
~ G(T)
5(4)-3y+7=O
++
el segmento
PQ, sin incluir al pun-
y=9
+
Q(4,9)eG(T)
td p. tendremos la gráfica de T. .-, 1)w¡(T)=<-2,4J Y Ran(T)=<..,.1.9)
lIS
Q
GRAFICAS DE RELACIONES DE LA FORMA: R
= { (;;;:,y)sR'\x2+y'=r2};
R • = I (x,y)s 112\ (x-h)" +(y-k)' =r Z} Tienen por gráfica una circunferencia de radio r y centro Cl(O,O) y C.(h,k) respectivamente. Asi mismo, las relaciones de la formo R={(x,y)ERZ\x"+y'+Dx +Ey+F=OI tienen por gráfica una circunferencia o uno de sus casos especiales, En efecto, completando el cuadrado para las variables x e y se tiene:. 1
ts: + ~)1
+ (y +
= ~(D'+E'+4F)
Haciendo;
j)
= {(D
Z
Z
+ E" - 4F)
, ocurre que:
de R es una circunferencia
a) Si t > O, la gráfica
radio r=t b) Si t=O, c) Si
la gráfica de
t < O,
EJ~LO
R es un punto
(- ~ ~ -
R no tiene representación
gráfica,
de centro
(-.Q~-~)
2
2
y
i) es un conjunto vacío.
l. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación: R.l =: {(x,Y)ERllx'+y'=4}
Solucioo.
de Rlles una circunferencia
La gráfica
~
y
Para deteminar y
=
tI4-x'
+
el dominio 3y ++ -
.'
de centro C(O,O) y radio·
~
O
Xl
4
++
~
y:
despejanos
4-x1
-2 ~
x~
2
Para deteminar
el rango despejanos
x:
x =:tI4-y2
x
-2 ~ y~
+ 3
+-+
4-y2
~O
+-+
2
" 318
Capítulo 5: Gráficos de Relaciones
=
.",Dom(R,)
=
Ran(R.J
NOta. Dado que la gráfica
[-2,2)
de una circunferencia,
respecto de su centro, entonces,
de radio r, es simétrica
una fonna práctica de hallar su doml
nio y su rango es la siguiente: a) Si el centro está en C(O,O)
Dom(R) = Ran(R) = [-r,rJ
b) Si el centro está en C(h,k)
Dom(R)=[h-r,h+rJ
y Ran(R)=[k-r,k+rJ
EJEMPLO 2. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación: R. = 1(x,y)E:R'14x'+4y'-"12x+24y+9=01 SOlución.
Completando
el cuadrado
para las variables x e y se tiene:
=
4(x'-3x+914)+4(y'+6y+9) de donde: (x-312)'+(y+3)'=9
-9+9+36
h=3/2,
+
."
Y
k=-3
La gráfica de R2 es una circunferencia
de ce~
tro C(312,-3) y radio r=3. Dominio de R.: y=f(x) - y+3 = ±19-(x-3/2)' - 3y ++ 9-(x-3/2)' >-- O ++ (x-3/2)' ~ 9 ++
-3 ~ x-3/2 ~ 3
Rango de R.: x=f(y) "x
++
9-(y+3)' >-- O
++
-3.$
y+3
++
-3/2 ~ x ~ 912 ~ [h-r,h+r]
=
...•x-312 ++
±19-(y+3)'
(y+3) , ~ 9
.$.3 ++ -6.$. y.$
Dom(R,)
=
=
O
[k-r,k+r]
[-3/2,912)
Ran(R.)
Y
[-6,0)
Observaciones: (1)
Si de (x-h)'+(y-k)l=r', y
=
despejamos
y=f(x),
obtenemos
las ecuaciones:
k ±/r'-(x-h)l
Obsérvese que ambas ecuaciones Con relación a sus gráficas
difieren
en el signo ± antes del radic~l.
puede ocurrir
a) La gráfica de la reldción y=k+/rl_(X-h)l
lo siguiente: es una semicircunferencia
dio r y centro C(h,k), ubicada en el semiplano Entonces: Dom(R)=[h-r,h+r]
de r~
superior de la recta y=k.
y Ran(R)=[k,k+r]
b) La gráfica de la relación y=k- Ir l-(x-h) 1 es una semicircunferencia de centro C(h,k) y radio r, ubicada en el semiplano inferior de la recta y=k. Entonces: Dom(R)=[h-r,h+r] (2) Si de (x-h)l+(y-k)l=r' x h ± I'rl-(y-k)1
y Ran(R)=[k-r,k]
despejamos
x=f(y),
obtenemos
las ecuaciones:
=
a) La gráfica de X=h+1r2_(y-k)2
es una semicircunferencia
de centro C(h,k)
y radio r, ubicada en el semiplano derecho de la recta x=h. Entonces:
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R Dom(R)=(h,h+rl
y Ran(R)=[k-r,k+rl
b) La gráfica de x=h-/r2-(y-k)2
es una semi circunferencia
y radio r, ubicada en el semiplano Dom(R)=(h-r,h) EJEMPLO
y
de centro C(h,k)
izquierdo de la recta x=h. Entonces:
y Ran(R)=[k-r,k+r).
Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación: R, = {(x,y)eR2 jy+2 = '5+4x-x2}
3.
Solución.
319
=
-2
+
/9-(x-2)2
El signo + antes del radical indica que la gráfica de R, está en el semiplano superior de la recta y=-2 (y ~ -2) Luego, la ecuación dada es equivalente (y+2)2=9-(x-2)2, Semicircunferencia
y
a:
(X-2)2+(y+2)2=9,
y>,. -2 -
y >/ -2
de centro C(2,-2) y r=3
x
Entonces: h=2, k=-2 Y r=3 [h-r,h+r) = (-1,5)
Luego: Dom(R,)
Ran(R, ) = [k,k+r) = [-2,1) EJEMPLO
Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación: R. = {(x,y)eR2jy = -/3-3x-x21.
4.
Solución.
y
=
-/3-(x2+2x+l)+1
=-
/4-(x+l)2
k=O y el signo negativo
Aqui,
gráfica de R. está en el semiplano cuación dada es equivalente y2=4-(x+l)2, y ~
o~
antes del radical
indica que la
inferior del eje X (y ~ O). Luego, la é-
a:
(x+l)2+(y-0)2=4,
y
s
e
y=O
O
y x
Entonces: h=-l, k=O y r=2 Dom(R.)
(h-r,h+rl
=
(-3,1)
Ran(R.) = [k-r,k) = (-2,0) EJEMPLO
Hallar el dominio, rango y esbozar la gráfica de la relación:
5.
R. = {(x,y)eR2jx = -1 + /7+6y-y21. $olución.
x
=
-1 + /16-íy-3)2
El signo
+
antes del radical indica
que la gráfica de R. está a la derecha del semiplano de la recta x=-l (x ecuación equivalente
>,.
-1). Entonces
es: (x+l)'+(y-3)2=16,
h=-l, k=3 Y r=4 .• Dorn(Rs)=[h,h+r]=[-l,3] .• Ran(Rs)=[k-.,k+r]=
la x ~ -1
7J
[-1,
Y
Capítulo 5: Gráficas de Relaciones
320
lIIl
GRAFICAS DE RELACIONES
DE LA FORMA:
Tienen par gráfica una parábola. cuadrado,
las ecuaciones
la"forma:
y
=
a(x-h)l+k
el método de completar pueden
el
transformarse
a
, en donde V(h,k) es el vértice de cada parábola.
Hay dos características a) Simetría.
Mediante
de este tipo de relaciones importantes
Cada parábola
que tienen en común todas las parábolas
es simétrica
con respecto a una línea vertical
llamada eje de simetría. b) Vértice.
Es el punto donde Si la gráfica
la parábola
intersecta
de la parábola
a su eje de simetría.
se abre hacia arriba
(a > O), su
vértice es el punto más bajo de la curva; si se abre hacia abajo (a < O) su vértice es el punto más alto. En las Figuras 5.3 ) 5.4 se muestran ciones cuyas gráficas
parábolas
son las parábolas
típicas, junto con las ecua-
respectivas.
r-------~----------_, y
y=(:r+4)2 I
I
I
\
\
\
I I
, 1,1
I
I
/ y=(X-4).2
/
"
-4
1-
x x
h=-4
Figura
Figura 5.3
En la Fig.5.3,
se observa que tanto las gráficas de y~(X-4)1
5.4
camo la de y=
(X+4)1 tienen la misma forma que la de y=x', solo que están desplazadas rizontalmente Análogamente,
ho-
4 unidodes
a la derecha e izquierda respectivamente. en la Fig.5.4, las gráficas de y=x1+3 y de y=xl-3 son las mi§
mas que la de y=x' , solo que desplazadas
verticalmente
3 unidades
hacia a-
rriba y abajo respectivamente. En general: (1) La gráfica de y=a(:r-h)l tiene la misma fonna que la de y=ax1, plazada horizontalmente
h unidades
hacia
la derecha
pero des-
si h > O, o hacia
la izquierda si h < O. (2) La gráfica de y=ax2+k tiene la misma forma que la de y=ax2 pero desplazada verticalmente
k unidades hacia arriba si k >0 o hacia abajo si k<
o.
'.
321
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
Cor.winando estos dos criterios podemos graficar parábolas de la fonna: y=a(x-h)'+k, EJEMPLO
toncndo como base la gráfica de y=ax'. Hallar el dominio,
1.
rango y trazar la gráfica de la relación:
Rl = {(x,y)ER' ly=x'-6x+51 Solución.
Completando
el cuadrado:
y=(x'-6x+9)-4
y=(x-3)'-1
Tomando como base la gráfica de y=x' ,
~- .• y
se desplaza h=3 (h>O) unidades a la derecha Como a
>
\
V(3,-4).
Entonces: Dom(R1)
R
Ran(R1) EJEMPLO
,
I ' I
x:
O
(-4,~>
-4
v
Trazar la gráfica de la relación R.={ (x,y)ER'14y+x'-4x=OI.
2.
So:{ución.
I •
y=x2.)..
O, el punto más bajo de la parábo-
la es el vértice
,
\
y luego k=-4 (k<0) unidades hacia abajo.
y=(X-3)2 .... y .
Completando
el cuadrado
se tiene: 4y=-(x'-4x+4)+4 y
++
y =-¿(x-2)'+1
+
v
h=2, k=1 1
Como a=-1/4 < O, la curva se abre hacia abajo x
o sea que el punto más alto es el vértice de
la parábola:
V(2,1). Sin usar el criterio anla gráfica de R. encontran·
terior, esbozamos
do otros dos puntos de la parábola. Para y=O
+
x'-4x=0 _. x=O o x=4
Un iendo el vért ice con los puntos
0(0, O) Y P( 4. O) obtenemos
la gráfica de
la relación. Entonces: Dom(R.)=R y Ran(R.)=<-=,1). Observac iones : (1) Las relaciones
de la [orma: 1~={(x,y)ERllx=ayl+by+cI
una parábola de eje horizontal. drado es posible
transfonmar
su gráfica ~or los métodos Cuando
a
> O, la curva
tienen por gráfica.
Alediante el método de completar
la ecuación
a la fonna: x=a(y-k)'+h,
el cua-
y esbozar
ya conocidos.
se abre indefinidamente
hacia la derecha,
y cuando
a < O, la curva se abre indefinidGTIente hacia la izquierda. EJEMPLO
3.
Hallar el dominio, rango y esbozar R] = {(x,y)ER2Iy2_6y-4x+5=0} •
la gráfica de la relación:
Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
322
Solución.
Completando
el cuadrado para la variable y, se tien.e:
(y'-6y+9)=4x-5+9 -
x = 1(y-3)'-1
->
4
(y-3)'=4(x+l)
y
h=-l Y k=3
Vértice de la parábola: Como 0=1/4
~
V(-1,3)
v
O, la curva se habre hacia la de
>
recha sin límite. Para x=O
-+
y'-6y+5=0 -
y=l o y=5
------~~~--------~x
Uniendo el vértice con los puntos P(0,1) y Q(0,5) obtendremos
la gráfica de R •.
:. Dom(R.)=[-l,+w> (2) Las relaciones
, Ran(R.)=R
=
de la forma: R
=
{(x,y)ER'ly
nen por gráfica una semiparábola
En efecto, de la ecuación anterior: x=a(y-k)'+h, (y-k)' =
1 (x-h) a
Dado que a puede ser pasitivo obtenemos: je y=k: dependen
=
, b
>
(±b)'
1 a
O
las gráficas de las parábolas
de los signos
respecto de su ~
antes del radical, y la forma como se ex-
±
(hacia la derecha o izquierda) dependen de a)
k + bl±(x-h)
y=f(x):
entonce~ haciendo:
los signos ± dentro del radical. En consecuencia, y'
despejamos
a
o negativo,
tienden o se abren las parábolas
Caso 1:
, o > 01 tig
(y=k).
Y = k ± /1 (x-h)
-
y = k ± bl±(x-h)
La forma como están ubicadas
k ± bl±(x-h)
de eje horizontal
•..• {
b)
existirán dos casos:
y
=
k + bl+(x-h)
y
=
k + bl-(x-h)
En este caso, la gráfica de la semiparábola
se encuentra en el semiplano
sg
perior del eje y=k (y ~ k). En a) la curva se abre hacia la derecha y en b), hacig la izquierda. a)
__ C
b)
y
k
~ -------
J
'\ I"
<,
h
Caso 2.
y
/'
"-
=
k -
O
-W±
y
=
k - b I +(x-h)
b) Y
=
k - bl-(x-h)
a) (x-h) .•..• {
----
..••.
"
I
h
x
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
323
.En· este caso, la gráfica de la semiparábola se encuentra en el semiplano il] ferior del eje y=k (y $ k). En a) la curva se abre hacia la derecha y en b)
-- --
hacia la izquierda. y
.•....
"- "- , \
k
k---
----~----~~------------~x 4.
Hallar
el dominio,
=
En R.: y
-3
+
\ h
rango y trazar la gráficCf de las relacio-
=
nes: R.={(X,y)ER'¡y+3 Solución.
--y~<.!:...-
O
O
EJEMPLO
-
v'2x+51 y R,={(x,y)ER'¡y-1
(12)1+(x+5/2)
+
=-12-X1 .
h=-5/2 Y k=-3
Tenemos el Caso la, la gráfica de la semiparábala
está en el se-
miplano superior· del eje k=-3 y la curva se habre hacia la derecha.
En R,: y
=
semiparábola
1 - (-(x-2)
+
h=2 Y k=l. Tenemos el Caso 2b; la gráfica de la
está en el :;emiplano inferior del eje k=l," y 1 a curva se abre
hacia la izquierda. y
y
-k=l
------~~""c...*--x <,
"- ...••.
-
Gráfica de R.
Gráfica de R. Dom(R.)=[-5/2,+~>,
lIIl
Dom(R,)=<-~, 2]. Ran(Rz)=<-~,ll
Ran(R.)=[-3,+~>
GRAFICAS DE RELACIONES DE LA FORMA R=I (x,Y)ERzIAr'+<:y'+llx:+Ey+F=OI
; R=I (x,Y)ERZI ~
a' R
=
(x-n)
{(x,y)ER'¡ __
a'
Z
(k)
+ ~
Z
=
+
L=
11
b'
11
b'
Tienen por gráfica una elipse, donde a es el semi eje mqyor, b es el semieje menor y C(h,k) es el centro de la elipse.
"-
324
Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
1.
EJEMPLO
el dOOJinio, rango y esbozar
Hallar
la gráfica de la relación: y
.R, =1 (x,Y)ER"14x'+9yl=36}.
4x1+9y1=36
Solución.
x" +..L. ", = 1
++
-
de donde: 01=9
+
0=3
b1=4
+
b=2
Dom(R,)=(-a,a]=[-3,3];
9
4
-3
cuadrados
Cbmpletando
la gráfica
I16x'+9y"-64x+18y-71=O}
R.=I(x,Y)ER' Solución.
de donde:
scu: 16
0"=16
+
}3
•x
para las variables
x e y, se tiene: y \.
=
1
a=4 ; b1=9
h=2 Y k=-l
de la relación:
,
16(xl-4x+4)+9(y'+2y+l)=144 1 •...•. (x-2) 9 +
¡j
Ran(R,)=[-b,b]=[-2,2)
2. Ilallar el dOOJinio, rango y trazar
EJEMPLO
t
+
hi
b=3
\
I
x
C(2,-1)
+
Dan(R,)=(h-b,h+o]=[-l,S] Ran(R,)=[k-a,k+a]=[-S,3]
lID
Q
GRAFICAS DE RELACIONES DE LA FORMA:
=-
1
; R={(x,y)sR"1
R={(x,y)sR"IAx"-Cy'+Dx+Ey+F=O' (x-h) R={(::c,y)sR"I __ a'
(y-kj
1
1
- __
=
-L
a" l) ; R={(x,y)sR"I.ry=±a"/21
•
= 1
b"
1
b
R={(::c,y)ER11(x-h)(y-k)=ta'/Z Tienen
o
por gráfica
una hipérbola,
el semieje conjugado 1. Hallar
EJEMPLO
donde a es el semieje
transverso
el dOOJinio, rango y esbozar
la gráfica
de la relación:
R,={(X,y)cR"I9yl_4:x:"=36' Solución •
de donde:
J.,
Y
J..
.z49'1.- ~
9y1-4x"=36
•...•.
01=4 +
tienen de: 9yl-4:x:1=O
Dan(R,)=R
++
J., :3y+2::c=O
~~ ~
= 1
a=2; 01=9
de la hipérbola,
80n asíntotas
+
o
1..:3y-2x=O [2,+">
b=3
se ob- ~~.
(3y+2:x:)(3y-2x)=O
¡ Ran(R.)=<--,-2]u
o real,
y C(h,k) el centro de la hipérbola.
o imaginario
-
2
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
2.
EJEMPLO
325
rango y trazar la gráfica de la relación:
Hallar el dominio,
R.={(x,y)€R"lx·-4y·+2x+24y-51=Oi. Solución.
Completando
el cudrado para x e y se tiene:
y
(x'+2x+l)-4(y'-6y+9)=51+1-36
=
(x+1)' _ (y-3)' 16
1
4
de donde: 0"=16
+
0=4 , b'=4
h=-l Y k=3
C(-l,3)
+
Luego, Dom(R.)=<_o,-5l
b=2
+
U [3,+0>
-5
Ran(R2)=R NOta.
Las hipérbolas
equiláteras
de la fonna: xy=±a'/2,
tos a los ejes coordenados, (x-n) (y-k)=±a'/2, 3.
EJEMPLO
tienen
y las hipérbolas
asíntotas
COO10
Luego, Dom(R,)
EJEMPLO
=
+
=
-0'/2
=
Ran(R.)
y
-2
+
0'=4
+
0=2
-----::i~---•x.
R-{Oi
Hallar el dominio,
4.
de la fonna
rango y trazar la gráfica de la relación:
Hallar el dominio,
Si xy=-2
equiláteras
a las rectas x=h, y=k.
R.={ (x,y)€R2Ixy=-2i. Solución.
tienen como asíntQ
rango y trazar la gráfica de la relación:
R,={(x,y)€R'lxy-ZX-3y=2i. y
Solución.
Despejando
y=f(x) se tiene:
_ 2x+2 _ 2 Y - x-3 +
8 y-2 = x-3
Entonces: 0'/2
=
~
8 ~
+
8 x-3 (x-3) (y-2)=J
0"=16
+
0=4
h=3 Y k=2 :. DOO1(R,)=R-{3i , Ran(R.J=R-{2i
lIIlJ
GRAFICAS
DE RELACIONES
Ixl=y (y ~ O)
En R, según el T.49: Entonces,
y
si:
si aplicamos
y=lxl
-<---+
la definición
1\
++
CON VALOR ABSOLUTO (y>-- O)
A
U
tx=y v x=ry)
{y=x v y=rx)
de valor absoluto para el ténnino
Ixl,
ocurre
326
Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
X
que:
=
Y
En consecuencia,
!x! -
y =
si
,
{
X ~ O
y
-x,six
de y=!x! equivale
la grúfica
a la grúfica de cada una de las rectas: y=x ,
y=-x, pero en el saniplano
------~~------~x
superior del eje X.
(y ~ O).
Este mi&no criterio
se sigue para ·esbozar gráficas
de relaciones
que invol~
eran el valor absoluto. EJEMPLO
l.
rango y esbozar
Halar el dominio,
..
Si X ~ 2
x
< 2
Z
..
Luego, si
;r >.
Entonces,
la gráfica
x-2 >
.•. x-2
=
y
.. ..
O
< O
:c-Z Z-x =
-1
!x-2! 1:c-21 si
= x-Z = -(x-2)
x <
y
2
de R, consiste en dos
= 2-x
= 2-x =
i
2-x
y=l
partes: la parte de la recta y=~l para x>Z, y la parte de l~ recta y=l, para :C
EJF~PLO
2.
-11
Hallar el dominio,
rango y trazar la gráfica
R1=!(x,Y)f:R1!y Solución.
Eliminaremos
=
1
1
y Ran(R,)={-l,ll
D
de la relación:
!~=!I}
R,=! (x,Y)f:R1!y = Solución.
la gráfica
de ·10 relación:
(:c-2)+lx-11} Ix-Z!+(:c-l)
las barras de ~~lor absoluto
utilizando
el método
de los puntos críticos, que en este caso son: x=l y x=Z
x
< 1
[ce-r] = -(:c-l) Ix-21
x<
Para: 1 .~
;:c
=
-(;r-2)
1 I
1 ~ s: < Z
Z
x~Z
i
1;r-1! = +(:c-l)
I:c-ll
I
IX-21 = -(:c-2)
Ix-z!
I
1, en R.: y = (:c-2)-(x-l) = -1 (2-x)+ (;:C-l) < 2, en R.: y=
(;r-2)+(x-1)
= 2x-3
Y
1
(Z-x)+(;:C-1)
x ~ 2, en R1: Y = (:c-2)+(x-l) - 1 (x-2 )+(:c-1) -
O -1
= =
+(:c-l) +(:c-Z)
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
EJEMPLO
Dada
3.
327
la relación R.=I(x,y)ER1!y
su dominio,
::: ~»hal!ar
Ixl-z rango y trazar su gráfica.
Solución.
En este caso, los puntos críticos x < O
O
n
2 __
:
':'(x-2)
x > Z, en R.: y
tro C(-2,l).
(x+2) (v-l)=-4
..
y
~Jl~+-~----VI
¿&
• Dan(R.)
Ran(R.)
Solución.
..-
= -1
Obsérvese que para x < O tenemos la ecu~ ción de una hipérbola aquilátera.de cen-
EJEMPLO
:
4
-(x-2) = ----x-=z x-z =3:=2 ::: 1
Ixl = +x Ix-zl :::+(x-Z)
I
y = --.,.,....,.... -x-¿ = 1 - -4 x+
O.$. x < Z, en R.: y
x>Z
n_-T
Ixl = +x Ix-21 = -(x-Z)
I
x < O, en R.:
Para:
O-!;x
T
Ixl :::-x: Ix-21 = -(x-2)
son: x=O y x=2
4.
= =
x ~
rango y trazar la gráfica de la relación:
Hallar el dominio,
R.={(x,y)€R"llxl+!yl=a. a Ixl+lyl=a .• Iyl=a-Ixl O .•
> 01.
Ixl=x .•
Iy!:::a-x++ (a-x ~O)
•• Si
O" Ixl=-x .• y
O ~ x -s a
.•
=
Iyl=a+x
(O~ x ~
(a+x ~O)
++
(-a -!; x < O)
A
y=-a+x)
v
(y=a-x
~
absoluto para x
esto es:
~ (y=a-x a)
++
e-x
de valor
Iyl,
reales para
++
b) Si x <
=x
<-",-IJtJU,+"'>
En este caso, aplicaremos la definición Si
'z
O"
R-{-Z,Z}
y luego, el T.49, de los números
a)
_
(y=a+x A
y=x-a)
v
y=-a-x)
v
(y=x+a y
y=-x-a)
v
{ x-a
a
x+a -c ~ x < O .• y::: { -x-a Trazando la gráfica de cada una de estas rectos en el intervalo indicado, obtenemos la gráfica de R~. Nótese que es un cuadrado de centro (0,0) y cuyas diagong les miden Za. Entonces Dan(~)
=
Ran(R~)
= [-0.0]
a
-o
x
'1...
Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
328
A base de la gráfica de Ixl+lyj=a podemos construir ciones de la fonna:
IX-hl+ly-kl=a,
mediante
otras gráficas
una traslación
denados al nuevo origen C(h,k), centro del cuadrado EJEMPLO 5,
Hallar el dominio,
rango y esbozar
de rela-
de los ejes coor
de diugonales
20,
la gráfica de la relación:
R,=I(x,y)eR'IIX-31+ly-ll=31. Solución.
Aqui tenemos: h=3 y k=l diagonales
miden
al centro del cuadrado, jes, encontrando do. Uniendo
20=6;
+
C(3,l)
luego,
es el cent o del cuadrado
medimos de este punto 3 unidades
asi los vértices del cuadra-
los cuatro vértices
cuyas
tr'asladando los ejes coordenados sobre los nuevos !!.
Y
obtendremos
la gráfica de la relación dada. +
Dcmm,)
[h-a,;l+a]
=
Ran(R,)
EJEMPLO
[k-a,k+a]
[0,6]
=
[-2,4)
Hallar el doolinio, rango y trazar la gráfica de la relación:
6,
R.=I(x,y)ER11Ixl-lyl=a, Solución. a) x ~ O b) x < O
Ixl-Iyl=a
a > Ol.
lyl=lxl-a
+
Siguiendo
los mismos pasos del ejemplo
Ixl=x
Iyl=x-a ~
+
+
+
Ixl=-x
+
4,
tendremos:
(x-a ~ O) ~ (y=x-a
v
(x >;. a) ~ (y=x-u
y=a=x¡
Iyl=-x-a
v
y=-x+a)
(-x-a ~ O) ~ (y=-x-a v y=x+a) (x ~ -a) ~ (y=-x-a"v y=x+a)
Si x ~ a
x s -a
y
+
+
{~=~ y = {~~~a =
y
----~~~~--~-----x
Entonces; Dam(R.)=<-'*, -a] U [a, +••> Ran(R. )=R Obsérvese que aqui la gráfica de R6 se obtiene fácilmente prolongando dos del cuadrado EJEMPLO
7.
Hollar el dominio, R7 = ( (x,y)
Solución.
Aqui
los Io-
(trazo punteado),
cuyos vértices
están sobre el eje X.
rango y trazar la gráfica de la relación:
E R21Ix+11-1y-21=2}.
tenemos: h=-l y k=2
+
C(-1.2)
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
los ejes coordenados
Si trasladamos
do tal que el origen
coincida
329
de mg
con el cen-
tro e, tendremos que en el nuevo sistema X'Y', la ecuación de R se transfonna en:
Ix'I-ly'I=2,
ecuación
mos su gráfica
EJEMPLO
trazg
U [1I+a,+">
<-••, -3] U [1, +~>
=
Ran(R7)
consecuencia,
en idéntica fonna .
•. Dcm(R7)=<-",h-a]
=
similar a la del e-
En
jemplo 6, con a=2.
R
Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación:
8.
R.=Hx,y)&R11Iyl-lxl=a, SOlución.
Iyl-Ial=a
a > 01.
.• lyl=lxl+a
Como en los ejemplos anteriores a)
Si x >... O (x >.- O A
-e-
X
Ix\=x .• jy\=x+a >.- -a .• x >.- O)
las condiciones:
A
A
(a-x >~O)
O .• Ixl=-x • Iyl=-x+a (Pero: x <·0 A x.~ a .• x < O)
b) Si x <
Luego, s i
consideremos
(x+a >~O) (y=x+a v y=-x-a) (x >... O) (y=x+a v y=rx-a} (x <
O)
A
A
(y=-x+a
(y=a-x
v
v
y=x-a)
y=x-a)
x >.- O • Y = { x+a
-x-a
s i x < O .• Y
= {a-x x-a
r~tese que la gráfica
de este tipo de relacio-
nes, se obt ienen prolongando drado (trazo
los lados del cu~
cuyos vértices están
punteado)
sobre el eje Y • Y Ran(R.)=<-oo,-a]
•'. Dom(R.)=R EJEMPLO
9.
U [a,+<»
Hallar
el dominio, rango y esbozar S={ (x,y)e:R1 ly=;13+2x-x' l.
la gráfica
de la relación:
I
SOlución.
y = 1-(x"-2x+l)+41 (y>...O)
A
=
1-(x-l)'+41
[y=(x-l)'-4
=
----~--~¿~ (1)
Luego,
la gráfica
las parábolas
I (X-l)1-41
v y=-(x-1Jl+4]
de la relación
(2)
S consiste
en la unión de las gráficas .de
(1) y (2) ubicadas en el semiplano
y ~ O. La parábola
(1) tiene su vértice
superior del eje X, yo que
en Vl(1,-4)
dirigida
hacia arriba
• Capítulo 5: Gráficas de Relaciones
330
(a=1 > O) .y la parábola en V.(1,4) dirigida
(2)
tiene su vértice
hacia abajo (a=-1 < O).
Nótese en el resultado
final (trazo continuo)
camo la parte' de la parábola
(1) que se encueD
tra en el semi plano
(trazo punteado)
inferior
se ha reflejado hacia
la parte superior,
(1)
x
te-
niendo camo espejo al eje X. :. Dam(S)=R
y Ran(S)= [O,h>
EJERCICIOS: Grupo 31 Hallar el dominio,
rango y esbozar
la gráfica
de cada una de las siguientes
relaciones. 1.
R={(x,y)&R'12x-3y+6=01
16. R= {(x, y) &R' ly+1=13x+5 1
•2.
R={(x,y)eR'lxy-2x+y-2=01
17. R= {(x,y) eR'ly=5+16-3~1
3.
R={(x,y)&R'12x-3y+8=O,
4.
R={(x,y)&R'14x'+4y'-lCx+4y-47=01
19. R={(x,y)ER'I9:x:1+4y1+18x-32y=-371
5.
R={(x,)i}ER'ly=1-115-2x-x'}
20. R= {(x, y)ERIxy-2:x:-y+l=01
6.
R= {(x, y) eR'ly=-3+14x-x'}
21. R=1(X,y)ER'Iy=lx-11+XI
7.
R={(x,y)eR1Ix=2+16y-y1
8.
R={(x,y)ER'lx'+y'-2Ixl-6y+l=01
23. R={(X,y)ER'ly
9.
R={(X,y)ER1Ix'+y'-2:x:-4Iyl-11=01
24. R={ (x,y)ER'llx!+lyl
YE<2,6ll
}
18. R={(x,y)&R'I4:x:'+9y1-16x+18y=111
22. R={(x,y)dl11Ix-21=ly+1I,
y >-- 01
= 11=~1 + x} =41
10. R={(X,y)ER1Iy=x'-2Ixl+31
25. R={(X,y)ER'llx+21+1y-31=41
1l. R={ (x,y)ER'lx1+2:X:-2y+7=01
26. R={(x,y)ER'llx!+ly+ll=21
12. R={(X,y)ER'12x1-4x+y+3=01
27. R={ (x, y) ER111:x:-11-ly+21=31
13. R={(X,y)ER'lyl+4y+3x-8=01
28. R={(x,y)ER111y-31-lx-ll=21
1 14. R={ (x,y)ER Iy=1+12=X'1
29. R={(x,y)ER1Iy=lx'+4x+lI1
15. R={ (x,y)ER'ly=-16-2xl
30. R={ (x,y)ER'ly=13-115-2x-x1I
*
}
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
11I3
GRAFICAS DE RELACIONES
1) DESIGUALDADES
331
DEFINIDAS
POR INECUACIONES
Q
LINEALES
Si el signo de igualdad de la relación
«,
tuye por uno de orden
<,
>"
<,
>),
R={(x,y)€R'lax+by+c=O~
la relación resultante
se susti-
se llama desi-
gualdad lineal en x e y. Sabemos que la gráfica
de R es una linea recta
no vert ical (biD) cuya ecuaci6n bir:
a
- L: y Esta gráfica divide
5.1
-
b
k
al plano XY en dos regio-
R, y R., Y sirve de frontera
nes o semiplanos a dichas regiones, TEOREMA
se puede escr i
c
= -"bX = mx +
y
y
cuyas gráficas
se basan en el siguiente
El punto P,(X"y,)
está en el semiplano
teorema.
superior de la rec-
si y sólo si y,>r.t"C,+k, y está en el semiplano
ta L:y,~+k inferior si y sólo si y,~,+k. Demostración.
En efecto,
recta L (frontera),
en el plano XY dos puntos con igual
consideremos
abscisa: P,(X"y,)
y P,(X"y.),
de modo que p. esté sobre la
es decir:
Si P,(X"Y.)EL
y.
-
=
mx,
+ k
Se observa que si P, está en el semi plano superior
(1)
(R,) de la recta L (Figg
ra 5.5), si y sólo si, y, > y. Sustituyendo
en
se tiene:
(1),
-
y, > mx,
Del mísmo modo, P, está en el semiplano 5.6), si y sólo si:
(R.) de la recta
L (Figura
y, < y. -
y
+ k
inferior
y, < mx, + k
P, (x, ,y,)
~ I
I I
P.(X"y.)
----:::0-(>---+---...::-...;:--- x I
b
P,(x,;y,)
Figura 5.5
Figura 5.6
332
Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
EJ!llPLO 1. Construir
la gráfica de la relación;
Los posos que se deben seguir para construir gráficas de relaciQ
SOlución.
nes de este tipo son los siguientes: (1) Despejar y en términos de x 2x+y> (2)
R={(X,Y)ER"12x+y > 4}.
4
-
y>
y L'V
4-2x
Graficar la frontera L:y=4-2x (Con trozo punteado por la desigualdad es tr.icta
ss .••.:.-:.=·-:..,.:..~."''-r''";~·•.
~~~~if?A~~~~i~ \~~10..~)~.;~~~~~i \"'--"""""-1."":_':;f
·~~/~~:~~~~·:~L~~ ~:(,:~~~.:?:": ..f';;~ ~.~"#~·~{r:'::-i-~ ... ~..c;. '..!..',~< '.••• :;:~~ \'j~~f~:~#~:'; t.~: ••.. <,.• 0;;-'"", - .•
»
(3) Apl icor el Teorema 5.1. Por (1), la gráfi.
ca de R es la total idad de puntos que se O ";-~.;.'?-~~!!:~;:: ..11 ~ encuentran en el semiplano superior de lo V.J~:)~_!f.:~ i;-""'~!~" Xt recto L, sin incluir los puntos de frontera ~':;',!.r.c.':,-.."\ :. Se sanbrea el semiplano superior, (4) COmo comprobación tomemos un punto del semiplano inferior, tal como el origen (0,0), y sustituyamos en R: 2(0)+0 > 4. O > 4, es fal~o. ,., Los puntos del semiplano inferior no sat is jacer: la desigualdad. COmo consecuencia del Teorema 5.1, enunciamos el siguiente:
Corolario. El punto P1(x"y,) está en el semiplano superior y sobre la recta L:y=+k si sólo si y, ~ tm:, +k, Y está en el semiplano inferio,. y sob,.eella, s i y sólo si: y, ~ tm:, +k. EJEMPLO 2. Const,.uir la gráfica de lo relación: R={(x,Y)ERlI2x-y+2 SOlución.
(1) 2x-y+2
(2)
~ O-
~ O}.
Y ~ 2x+2
Groficamos la frontera
L:y=2x+2
con trazo contínuo. (3) Por (1). la gráfica de R está constituida por los puntos sobre L y la totalidad de puntos del sem/plano inferior a ella. EJ~LO
3. Construir la gráfica de la región que consta de los puntos que satisfacen la relación: R={(X,Y)ER"I(x+3y ~ 6) ~ (2~y+5 > O)}
SOlución. (1) Si x+3y-6 ~ O
++
Y ~ 2-:r/3;
2x-y+5
> O
++ Y
< 2x+5
Sean L1:y=2-x/3 L,.:y=2x+5 Trazanos las gráficas de Ll con trazo continuo y la de ~ con trazo pun(2)
teado.
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
333
(3) Según (1), la gráfica de R está constituida por los puntos de intersección de la r~ gión ubicada en el semiplano superior y sobre la recta L"
c~n la región ubicada en el semi-
plano inferior de la recta L.,
EJEMPLO
Construir
4,
la gráfica de la relación:
S = {(x,Y)ER'12x'-3:cy-2y'+Sx+4y
Solución,
2x'-3xy-2y'+8x+4y
=
~ O},
y
(2x+y)(x-2y+4)
(1) Sean las rectas L,:2x+y=0 L. :x-2y+4=0
n L. determinan en el plano
(2) L,
4 regiones
R, , R. , R, Y R. Tomemos un punto de cada región y comprobemos si satisfacen S
=
a la relación:
{(x,y)ER 1 (2:c+y)(;c-2y+4)~ O} 1
(3) (l,O)ER,
(2+0)(1-0+4) ~ O
(0,3)ER.
(0+3)(0-6+4)
.s
10 ~ O, es falso
O
-6
(-5,0)ER,
(-10+0)(-5-0+4)
(-l,O)ER.
(-2+0)(-1-0+4) ~ O
-1';
O
.s
R,tS
O, verdadero
,",R.ES
10 ~ O ,falso
,',R,tS
-6 ~ O ,verdadero
,',R.ES
(4) Por lo tanto, la gráfica de S es la de R1u R., o sea: Graf(S) EJEMPLO
Construir
5,
S Solución,
=
Graf(R.u R.)
la gráfica de la relación:
{(x,y)ER'IXE(-3,5>,
YE[-2,4]}
(1) Si XE(-3,5> •• -3 ~ x < 5 (R,) y<:(-2,4]
-2 ~ Y ~ 4 (R.)
y 4
(2) R, es la intersección del semiplano a la derecha de x=-3 con el semiplano a la izquierda de x=5 (No incluida) R. es la intersección del semiplano superior de la recta y=-2 con el semiplano
inferior de
la recta y=4, (3) Por lo tanto, la gráfica de S es el área rectangular rectas x=-3 , x=5 , y=4 , y=-2
.'
confonnada por las
334
Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
6. Ha'llár el dominio.
EJEMPLO
T=
rango y construir la gráfica de la relación {(x.y)o:R11Ix+ll~ 3. ly-21 > 1}.
Solucióñ. (1) IX+ll ~ 3
++ ++
ly-21 > 1
++
y-2 > 1
++
(y >
v
-3 ~ x+I ~ 3 -4 ~ x ~ y-2 < -1
Z
(R.)
3) v (y < 1)
(R.)
del samiplano a la derecha de x=-4. con el samiplano a la i! quierda de x=5. R. es la unión del semi plano SUperior de la recta y=3 con el samiplano inferior dela recta y=l (Las fronteras y=1. y=3 no está~incluidas). '(3) Entonces: Graf(T) = Graf(Rl) Graf(R.) es el área sombreada. :. Dan(T)=[-4.2) y Ran(T)=<-"',l> U <3.+"'> (2) Rl es la intersección
EJEMPLO
Construir la gráfica de la relación: S = l(x.y)ER·llxl+lyl 92. si xy >,. O o
7.
Soluci6n.
(1)
Ixl+lyl xy >,. O
Si (x >,.
>,,2 , ++
(;;.:
si >..- O
x+y >,.
si ~Ol
>.... 0
xy A
Irl+lyl.:> 2.
y'>,. O) v (x ~ O
A
Y ~ O)
2-x (Rl) (x ~ O) (y $ O) .•. -x-y> >,. 2 - Y ~ -2-x (R.) Considerando las restricciones del dominio y rango, 14 es la totalidad de puntos en el semiplano superior de la recta L1:y=Z-r, y R. está formado por los puntos del semiplano inferior de la recta L1:y=-Z-x. (2) Ixl+lyl 2. si xy < O O)
A
(y >,. O)
.•.
2
++
Y >,.
A
-s
xy < O (x >0
A
r-----~:--------.
(x > O "" Y < O) v (x < O "" Y > O)
Y
CX 'O) .•.-x.j.y'~2 -
Y ~ x-2
(R.)
~x+2 CR.) Considerando las restricciones,del dominio y rango. R. es la totalidad de puntos en el semiplano superior y sobre la r~cta L,:y=x-Z. y R.,está formada por los puntos en el samiplano inferior y sobre la recta L.:y=:x:+2. (3) Graf(S)=Graf(R1 U R.) U c-sr:«, U R.) -EJEMPLO
8.
Y
Construir la gráfica d~ la relaci6n: T ={(x,Y)E:rlo~ Ixl ~ 3, 1x-31~
1)1+11>
.
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
Soluci6n.
(1) Si [ce] ~ 3
Entonces:
S={(x,y)dPIO
O ,< .:c,<3
+
x -s
,<
(S)
3}
1x-31' ~ 1y+11'
1x-31 ~ Iy+ll -
.•..• -3 ~.J: ~ 3
Ixl ~ O
Pero
335
(x-3)'-(y+l)'..:: O -
(2) Sean L,:x+y-2=O
(x+y-2)(x-y-4)
y L.:x-y-4=O,
.$ O
entonces
L,n L., detenninan en el plano 4 regiones R, , R. , R. ' R •• Veamos cual de estas regiones satisface
lación: R={(x,y)cll'¡ (x+y-2)(x-y-4) (4,-1)ER, +
(O,O)eR.
+
(3,-2)ER.
(4-1-2)(4+1-4) ~ O
+
(3,O)ER.
..$+
la r~
O}.
(3+0-2)(3-0-4)..$- O
+
-1..$ O, verdad
(0+0-2)(0-0-4)
+
8 ~ O, falso
+
~ O
(3-~-2)(3+2-4) ~ O
=
(3) Luego: Graf(R)
+
(4, -i u«
1 ~ O , falso
+
-1 ~ O, verdad
=
EJEMPLO 9. Resolver gróficamente
y detenninar
enteras, no nulas y positivas {(x,y)CRlI2x+3y-12,<
Soluci6n.
O , 2x-Sy+S
(1) Si 2x+3y-12
2x-Sy+S (2) Sean L,:y=4-2x/3
(3,-2)tR
Graf(S)f1 Graf(R)
Esto es, la gráfica de T es la porción de R.UR.
=
(O,O)~R +
Gl'af(R.) I.J Graf(R.)
(4) Por lo tanto: Graf(T)
R
(3,O)ER
+
~ O < O
+
el conjunto
Y
de coordenadas
de la relación:
< OL
Y ~ 4-2x/3
+
entre 0.$ x ~ 3.
y
> 2x/5+1
, L.:y=1+2x/5
las rectas L. con trazo cont!
Construimos
nuo y L. con trazo punteado. (3) Según (1),
la gráfica
de R lo constituyen
l-b""'"_~....J...-',-....J...__ '¡;'.
,""",,_
[a totalidad de puntos de intersección de la región ubicada en el semiplano inferior y ~
sobre la recta L" s~niplano
con la regi6n ubicada
--'
en el
superior de la recta L ••
(4j En e[ 1 cuadrante yas intersecciones
se trazan lineas poralelas no~ darán
s= Nótese que P(3,2)
satisface
las coor~enadas
a los ejes coordenados pedidas, esto es:
{(1,2),(l,3),(2,2)} 2x+3y-12 ~ O, pero no a 2;x:-5y+5<
o.
cu-
336
Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
EJERCICIOS:
Grupo 32
COnstruir la grófica de la región descrita por las siguientes relaciones: = Ux,y)t:R11(2.r+-y-3 >..
O) ••. (x-y+2 > OH
J.
El
Z.
El = Hx, y) t:R1 (x+4y-6 -s O) ••. (~6y+i
3.
El
4.
R = {(x,y)t:R" I(2.r-y+8 ~ O) " (4y-4x+l
5.
R = ((x,y)t:R11 (3.x+y-17 >.. O) ,. (5x-2y-lO
I
=
~O)
7. R ~ l(x,y)t:R11(lx-lOy-4 R = {(x,y)cR11.r-2y-4
9. R = l(x,y)t:R11(3.x+y-4
>.. Ol)
< O) v (4x+6y-15
> O)
< O) ,..(2x+3y-19
(x-2y+l
A
¡ ::>;.. 3
R = {(x,y)t:R111y+l
13. R
=
{(x,y}cR IO < ys 1
15. R = {(x,y)cR"llxl+!yl
~
A
A
y>
A
(.r-y
::>;..
O)
A
< O)}
(2x+y-20
< O)}
12. R={(x,y)e:R111.r-21 +3y-4
< 6
I.r-ll
< O)}
>.. O, 4x+5y-20 -s 01
~ O, 6x+y-ll
10. R = I (», y) t:R1I(.r-2 >.. O) •.. (y+5 >.. O) ll.
> O)}
< O)}
(6.r-3y-2
A
Ol)
on
I(x,y)t:R11 (2.r-y-5 ~ O) " (y-3x+3 ~
6. R = l(x,y)t:R11(2.r-y+l
8.
::>;..
14. R={(x,y)t:R"IIy-xl
Ixl-l}
~ 2x}
::>;.. 2 •..x-4y+4 >.. 01
16. R = {(x, y) cR111x+2I+!x+31 +4y-5 ,< O ••• x-y ~ O} 17. R = {(x,y)e:R1Iy
18. R
=
{(x,y)cR1Iy
~ x, ~ -Ixl
19. R = {(x,y)cR"llyl=lxl %J. R
=
Ix!+lyl
Hx,y)cR11Ixl-lyl
' 2 < [ce] ~ 4 , y::>;..-6} , Ixl+lyl
-s
U. R = I(x,y)cR11(lxl-lyl 23. R
=
S 6, x >,.- O}
2,
~ H
20. R={(x,y)cR11Ix+yl
~ l}
Iyl ~ l}
::>;..4) (Ixl ~ 6)}
I(x,y)cR1 1(Ivzl-!y-31
24. El = I(x,y)cR11(1.r-2!+1y-31
A
::>;.. 4)
A
(Iv21
-s 6) ••.(1y-31 ~ 6H
~ 6) ••. (Iyl ~ x))
2S. COnstruIr la gráfica de la región descrita por las relaciones: a) R
=
Hx,y)cR1Ixa-Z.ry+h+2y-3,<
b) S = Hx,y)cR"12xl-5xy+2y"+.r-2y
01 ::>;..
01
(SUgerencia: Factorizar y aplicar la regla de los signos) %6. Hallar el área de la región acotada por la relación:
< O}
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
=
R
{(x,y)ER'llxl+lyl
Resolver gráficamente
y detenninar
tivas de las siguientes
=
27. R
>-. 2 ,
337
Ixl ~
6 ,
Iyl -s 4l
las coordenadas
enteras no nulas y posi-
relaciones:
{(x,y)ER'I (x+2y ~ 8)
A
(x-3y+3 < O)l
28. R
{(x,y)ER'I (Sx-2y > O)
(8x+Sy < 40)l
29. R
I(x,y)ER'I (Sx-2y >10)
(2x+3y~
12)l
* 11)DESIGUALDADES En conexión
con
considerar inecuaciones
CUADRATICAS las ecuaciones relacionadas
cuadráticas
de dos variables vemos a
de la siguiente manera:
y > ax'+hr+c
x > ay'+by+c
y < ax'+hr+c
x < ay'+by+c
donde a,b,cER. La porábola cuya ecuación es y=ax'+hr+c divide al plano en dos regiones (s~ en una de las cuales y > ax'+hr+c y en la otra y < ax'+hr+c. Ni~
miplanos),
guna de las regiones contiene a dicha porábola La gráfica de una inecuación cuadrática guientes TEOREMA
(frontera).
se basa fundamentalmente
en los si-
teoremas: 5.2.
El punto P,(x"y,)
está en el semiplano
bola P:y=axt+hr+c,
a > O, si y sólo si, y, > ax~+hr,+c y e~
interior de la parg
tá en el semiplano exterior de ella si y sólo si y, < ax~+hr,+c. Demostración.
En efecto, consideremos y P, (x "y,)
de modo
dos puntos con igual abscisa P,(x',Y0
tal que P, esté sobre la parábola p, es
decir: ( 1)
y
---O~-------------X~l----~'X Figura 5.7
Figura 5.8
Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
338
En la figura 5.7 se observa que P, está en el semiplano bola P, si y sólo si:
interior de la parg
y, > y,
y sustituyendo
en
(1)
se tiene:
y, > ax~+bx,+c
De igual modo,
p,
está en el semiplano
exterior
si y sólo si:
y, < y,
esto es:
y, < ax~+bx,+c
Corolario. El punto P,(x"y,)
está en el semiplano
bola P:y=ax'+bx+c,
a > O,
miplano exterior y sobre ella, Nota. Para la parábola
de la parábola
P (Fig.5.8),
interior y sobre la parg
y, ~ ax~+bx,+c
, y está en el se-
y, ~ ax~+bx,+c
++
P:x=ay'+by+c,
a > O, se sigue el mismo criterio parg
construir gráficas de relaciones:
x>
ay' +by+c , a > O
x < ay' +by+c , a > O Esto es, el punto P,(x"y,) la P:x=ay'+by+c, a > O, y sobre ella
TEOREMA
++
5.3
++
está en el semiplano x, > ay~+by,+c,
El punto P, (x"y;)
está en el semiplano
bola P:y=ax'+bx+c,
a <
El punto P,(x"y,)
5.4
bola
O,
si
Y
a < O,
1. Construir
++
(1)
> ay~+by,+c.
interior de la parª
x, < ay~+by, +c , y está en el
x, > ay~+by,+c.
la gráfica de ia relación:
-s
Rl ={ (x,y)ER'!x'-2x-3-y Solución.
++
interior de la pará
sólo si y, < ax~+bx,+c, y e2
está en el semiplano
P:x=ay'+by+c,
semiplano exterior de la parábola EJEMPLO
externo
x, < ay~+by,+c
tá en el semiplano exterior y sobre ella ~y, TEOREMA
interior y sobre la parábQ
y está en el semiplano
Despejamos
O}.
y en ténninos de x:
y ~ x'-2x-3 (2) Trazamos la parábola P:y=x'-2x-3=(x-1)'_4 de donde: h=l y k=-4 Para y=0
+
x'-2x-3=0
V(1,-4) ++
x=-1
o
Con estos 3 puntos construimos (3) Según el Teorema 5.2, (a=1 > O),
=3 la parábola la totali
dad de puntos de la relación Rl' se encue~ tra en el semiplano
interior de la parábola.
x
Sección5.3: Gráficas de Relacionesde R en R
EJEMPLO 2. Construir R1 Solución.
=
la gráfica
co de
A
h=5 y k=-l
respecto
~
del
construimos
estos
tres
P:x
de y: x ~ -2y1_4y+3
x = -2(y+1) 1+5
-2y1_4y+3.-.
V(5,-1)
y.
Un punto
eje
k=-l
simétrl
es 8(3,-2).
que pasa por
la parábola
puntos.
Según (1): a=-2 < O, entonces
(3)
>~Ol.
caso despejamos x en ténninos
(1) En este
Para y=O .• x=3 .• A(3,0)EP.
Luego,
de la relación:
{(x,y)eR1!x+2y1+4y-3
(2) Sea la parábola de donde:
339
por el
te~
rema 5.4, la total idad de puntos que satisfacen
la relación
exterior
de la parábola
R1 están en el
semiplano
(se sombrea
esto
~--~--------------~
región).
EJEMPLO 3. Hallar
el dominio, rango y construir la gráfica 1 S = {(x,yhR1!y-x +10x >, 24, :x;+y-6 < 01.
Solución.
y >, x'-10x+-24
(1)
De la ecuación
(4) Construimos
la parábola
h=5 y k=-l
que pasa por V, A
total
interior Y sobre la parábola de puntos
L. c-orts¡
"-
idad de 'puntos
en
P, Y R1 es
en el semiplano
inferior
de la recta (6)
:.
Graf(R,)
La parte (7) Dom(S) Nota.
=
<3,6>,
En conexión elipse,
E(x,y)
=
están
Sea
E(x,y)=O
(circunferencia,
de las desigualdades
< O , E(x,y)
,< O
inecuaciones
cuadráticas
asociadas:
se basan en la a-
teorema:
P(x,y)
gráfica
cuadráticas
las gráficas
de cada una de estas
TEOREMA 5.5
v
[-1,3>
>-- O , E(x,y)
plicación del siguiente
-1
sombreada.
Ran($)
hipérbola)
O
n Graf(R1)
con las ecuaciones
> O , E(x,y)
La gráfica
L:y=6-x
V(5,-1)
L que pasa por A 'Y B.
(4) Según (1), R, es la
el conjunto
(R1)
1-1 , y
y=(x-5)
y B(3,3)
Y B, Y la recta el
~
de la parábola:
(3) PnL = A(6,0)
y < B-x
(R,)
P:y=x1-10x+24
(2) Sean,
de la relación
un punto
de la ecuación
de
las regiones divide al plano.
una de
E(x,y)=O
en que una Si E(x,y»O
(
Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
340
para P(x,y) entonces Como consecuencia desigualdad
E(x,y) >
de este
cuadrática
(1) Dibujando
°
para cualquier
teorema
es posible
la verdad de la desigualdad
una de las dos regiones (3) Sombrear mat ívc.
dada en un punto P(x,y) de cada
en que la gráfica de E(x,y)=O
la región o regiones
=
R
Solución.
{(x,y)ER1Ix1+y1_8x+4y+1l
Sea ~:x1+y1-8x+4y+11=0
(1)
Completando
+
para x e y se tiene: f:(x-4)1+(y+2)1=9
++
C(4,-2)
(2) Tomamos un punto cualquiera
del plano, de
preferenci'a, el origen. Entonces: Es (O,O)ER? + 01+01-8(0)+4(0)+11 ~ 11 ~ 0, es falso,
la gráfica de la relación
~ 01. (frontera)
el cuadrado
(x1-8x+16) +(y1+4y+4)=-11+20 de donde: h=4, 'k=-2, r=3
divide al plano.
en las cuales la prueba anterior es afir-
l. Hallar el dominio, rango y construir
EJEMPLO
(3)
trzar la gráfica de cualquier
de la siguiente manera:
la gráfica de la ecuación E(x,y)=O.
(2) Comprobando
~
otro punto de la región de P
°
luego (O,O)tR
Por lo tanto, la gráfica de R es la región interior de la circunferencia
incluyendo
la frontera t: (4) Dom(R) Ran(R) EJEMPLO Solución.
=
[h-r,h+r]
[1; 7]
[k-r,k+r]
[-5,1]
2. Construir
la gráfica de la relación: R={(X,y)ER113x1+4y1
Sea E:3x1+4y1=12
(1)
.• ~1+ f1 = de donde:
=4
01
+
0=2, b1=3
.• 3(0)"+4(0)1
°
>....12 -
(frontera)
1
+
(2) Es (O,O)ER?
>,121
b=13 x >....12, es falso
(3) Luego, la gráfica de R. es la región exterior de la elipse, EJEMPLO
3.
Hallar
incluyendo el
relación: R
dominio,
=
{(X,y)E
la frontera E. rango R21x2_y2
y trazar
la gráfica
de
la
> 9}.
(
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
Solución.
Sea H:X2_y2=9
(1)
(frontera)
equilátera de la fonna: x2_y2:a2
Hipérbola Dibujamos
341
02=9
+
0=3
la frontera con linea de puntos.
\'.
(2) Es (O,O)ER? - (0)2-(0)2 (3)
+
Entonces,
9 •• O
>
>
la gráfica de
:,:;\
9, es falso
'.;,:".\
""
es la región in-
R
terna de las dos ramas de la hipérbola
x
sin
incluir la frontera H. (4) Dom(R) EJEMPLO
=
<-~,-3>u<3,+~>
Construir
4.
; Ran(R)
R
la gráfica de la relación:
R : 1 (tx, y)ER21:x:y+x-2y-4 >•...01. Solución.
(1) Sea H:xy+x-2y-4=0 ~
y(x-2)=4-x
(frontera)
~
y
=
4-x x-2
~
y
=
2 -1 + x-2 ~
Hipérbola equilátera de la fonna: (x-h)(y-k)=a2/2 Entonces: h=2, k=-l ~ C(2,-1), Dibujamos
2
0
=4
+
(x-2)(y+l)=2
y
0=2
la frontera con linea continua.
(2) Es (O,O)ER? ~ 0(0)+0-2(0)-4 (3) Entonces,
~ O
~ -4 ~ O, es falso
la grofica de R es la totalidad
de puntos en el interior de las dos ramas de la hipérbola,
lID
incluyendo la frontera.
GRAFICAS
DE RELACIONES
INVERSAS
Sabemos que una relación directa de A en B es el conjunto: R = 1 (x,y)EAxBI (x,y)&RI y su inversa, el conjunto: R* = l(y,x)EBxAI(x,y)&RI Esto es, si A=ll,2,41 y
y 8=10,31, entonces: R
1(1,0). (1,3), (2,0), (2,3). (4,0), (4,3)1
R*
\(0,1). (3,1), (0,2), (3,2), (0,4). (3,4))
Ubiquemos cada uno de los pares de R y R* sobre un misn~ plano cartesiano. En la figura se observa que los pares da R y R* son eq~idistanles ta L:y=x. Entonces, si consideramos
de la re~
la recta L como espejo, los pares de R*
342
Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
se pueden obtener como reflexión
o imagen de
de los pares de R, simétrlcamente,
4
a través
de diho espejo Esta caraterística
de las relaciones
puede ser aprovechada
inversos
paro construir
ficas cuando se conocen o son dadas cas de las relaciones
EJEMPLO
las gráfi
lo gráfico
de la relación R y su inversa, si:
R = {(x,y)(R'I4x-5y+1l=O SOlución,
Siendo
(1)
1
directos.
Construir
l.
sus grá-
, x~<-4,l]},
la gráfica de Runa
linea recta, detenninemos
dos pun-
tos de ésta en x,,<-4,l] Si x=-4
x=l
-16-5y+l1=O
+ +
4-5y+11=O
+
y=-l
~ y=3
~
+
A(-4,-1)
8(1,3)
(2), Trazamos el segmento de la recta L: 4x-5y+ll=O,
uniendo
(3) Si A(-4,-j)tR
B(l,3)&R
-
A'(-l,-4)_R* B'(3,l)"R*
(4) Uniendo A' y B' obtenemos EJEMPLO
de R*
la gráfica
Si S=(x,y)ER%ly=x'+2I,
2.
x
los puntoa A y B.
construir
la gráfica
de la relación S
y su inversa. Solución.
La gráfica
de la relación S es la
parábola P:y=x'+2, es de la fonuo: y=(x-h)%+k,
cuya ecuación de eje vertical
(h=O) y vértice en V,(O,2) La gráfica
de la relación
parábola P*:x=y'+2, x=(y-k)t+h,
inversa
S* es
la
ecuación de la fonma:
con eje horizontal
(k=O) y vért!
ce en V1(Z,O). EJ!JtPLO
3.
Construir la gráfica de la relación S y su inversa, si: S = {(x,y)"l{112x-3y+6..s 01.
SOlución. (1) 2x-3y+6 ~ O •• Y ~ 2x/3 + 2 (2) Sea L:2x-3y+6=O
x
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
343
Intersectando L con Los ejes coordenadas se tiene: si x=O + -3y+6=O ++ y=2 - A(O,2) , y=O + 2x+6=O ++ x=-3 8(-3,0) (3) Trazamos la recta L que pasa por A y B. Según (1) la gráfica de S es el conjunto de puntos en el samiplano superior y sobre L (4) La relación inversa de S es el conjunto: S*={(x,y)cR'!2y-3x+6 ~ O} Si 2y-3x+6 ~ O Y ~ 3x/2 - 2 (5) Luego, la gráfica de S* es la totalidad de puntos que están en el samiplano inferior y sobre la recta L,:2y-3x+6=O Que pg so por A'(2,O) y B'(0,-3), simétricos de A y B respecto de la recta y=x.
y
EJEMPLO 4, Indicar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación inversa de R, si R={(x,y)E:R'!lxl ~ y+l , Y ~ x+3, 1 ~ x,< 3}. Solución.
(1)
Sea
Rl:
Ix! ~
y-1 .•...•(y-l
~ O) ..• (x ~ y-l
.•...• (y ~ 1) ..• (y ~
Si L,:y=x+1 y L.:y=l-x, la gráfica de Rl es la totalidad de puntos comunes Que están en el samiplano superior de las rectas L, y L. arriba de y=l.
..•x ~ Ir-y}
x+l ..•y ~ l-x) y
(2) R.: y < x+3
La gráfica de R. es el conjunto de puntos en el semiplano inferior y sobre la ref ta L,:y=x+3. (3) R.: 1 <
x <
3
La gráfica de R. es la reglon entre dos
3
rectas verticales x=l y x=3. (4) Luego. Graf(R) = Graf(R,) n Graf(R.) n Graf(R.) = Región sombreado Obsérvese que es un paralelogramo. (5) Por lo tanto, los vértices del paralelogramo R- se obtienen de los de R por simetría respecto de la recta y=x, tal como se indica en la figura. (6) Dom(R-) = [2,6) Y Ran(R*) = [1,3)
344
Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
w
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
EJERCICIO
1.
R={(x.y)ERzl-1
Sea la relación tes afinnaciones,
(1)
R es reflexiva,
SOlución.
(2) R es simétrica
Si hacemos x=y
(1)
Entonces (2) Si hacemos y=x es, (x.y)ER (3)
A
+
-1 <
+
(5.4)&R
es verdadero,
entonce~. R no es transitiva.
A
EJERCICIO
2.
-2 < y~
(4.-1)E(R.n R.r) R.)
es F.
\.
es [al so, ya que 5-3=2 j 2
es falsa.
en R: R.=1(x,y)12..5
x < 51. R,={(x,y)1
> 141. Hallar el valor de ver-
21, R.=1(x.yJl4x-3y e)
(2,2)E(R1-R.)r) R.
d)
(2.-2)~(R.ni,.'l.)
a) Vemos que 5~Dom(Rl) y (5.2)~R., pues 4(5)-3(2)=14 ~ 14 Entonces:
(5.2);(Rlr) R.). La afinmación
b) 4cDom(R.), -lcRan(R.) y (4,-1)eR. Entonces:
(4, -1)
c) Por definición:
E
(R 1 r) R. n R.).
R.-R.=(x,y)ER1
Vemos que: (2,2)cR1 y (2.2UR.; (2.2)&(R.-R.)fl Rz•
d) Dado qua -2;Ran(R.)
3.
(1)
+
La af inmac ión es verdadera. A
(x,y);R. también (2,2)ER.
(2.-2);(R.n~R.).
+
=
Sean P.:y=6-x"=-(x-O)1+6
(2) Ambas paróbolas
es verdadera. La afinnación
es verdadera.
el rango y el área acotada por la rela-
l(x.y)CR'ly..5
Intersectando
es falsa.
4(4)-3(4)=19 > 14
La afinnación
Indicar el dominio. ción: R
Solución.
La afinnación
(x.z)&R
es verdadera.
(1)
n R.)
(5,2)c(R.
b)
EJERCICIO
a -1 < y-x < 2; esto
a[innaciones:
a)
Luego,
~xER.
(5.3)ER
+
La afinmación
Sean las relaciones
dad de' las siguientes
SOlución.
(4,3)ER
+
pero el consecuente
Por lo tanto, sólo la afinnación
verdadero
R no es simétrica. (y,z)&R
A
truflsi!iva
es verdadera.
x-y < 2. no es equivalente
(y,x);R. entonces,
Veamos un ejemplo:
(3) Res
-1 < x-x < 2, es siempre
(x.=)&R. La afinnación
Se debe cumplir que: (x,y)ER
El antecedente
< x-y < 21. De las siguien-
cuáles son verdaderas?
6-x' • y ~x'-2L y
ambos parábolas
p.:y=x·-2=(x-O)'-2 se tiene: 6-x'=x'-2
tienen la fonna: y=a(x-h)2+k
+
++
x'=4
++
x=±2
V1(O.6) y V2(O,-2)
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R el! R
(3) COmo los coordenadas
del origen satisface
o ambas desigualdades, loción
R
345
y
la gráfico dela rg
es el conjunto de puntos en el inte-
rior de ambos parábolas. (4) Dom(R)=[-2,2],
Ran(R)=[-2,8J
(5) El área de un sector paraból ico es iguaf o 213 del área del rectángulo
que subtien
de dicho sector. +
=
a(R,)
=
:. oíR)
a(R,)
= i(4x4) = =
a(R,)ffi(R,)
EJERCICIO
4.
3;
6j u' R,={(x,y)cll'llxl+lyl
Sean los relaciones: R,={(x,y)cll'lx'+y'
>--81.
~ 41 Y
Hollar el área de R,nR •.
(1) 10 gráfico de R, es el conjunto de puntos en el interior del
SOlución.
cuadrado de diagonal y lodo 412
+
=
a(R,)
(412)'
=
2(4)=8
32u'
(2) Es (O,O)eR.? +
0%+0' >.-8
O ~ 8 , es falso
+
Luego, la gráfica de R. es el conjunto de pun tos que están [uera y sobre la circunferencia C:x'+y%=8,
cuyo círculo
tiene por área:
= wrZ = 8wu' a(R, n R.> = o (R, )-a(C) a(C)
(3)
•
EJERCICIO
5.
8(
4-w)u'
Dados las relaciones:
R,={(x,y)ER'lx'+3y'-4x+6y-20
R,={(x,y)&R'1 IX-21+ly+ll ~
31, hallar
~ 01 Y
el área acotado par
y Solución.
(1) Sea E:x1+3yl_4x+6y-20=0 _
(X-2)1 + (y+l)' _
J:'.
~. +
a'=27
+
a=313,
27
9-
b =9 • b=3 ; C(2:-1) 1
(2) 10 gráfico de R, es la totalidad de ~ tos en el interior y sobre la elipse E. Area de la elipse
=
.ab
+
a(Rl)=9~l3u'
(3) 10 gráfica de 1x-21+Iy+ll=3 es un cuadrg do de lado 312 y centro C(2,-1), el mismo de la elipse. Entonces
la gr~
\
346
Capittllo 5: Gráficas de Relaciones
fica de R. es la totalidad de puntos en el exterior y el borde del cuadrado (4)
a(R,OR.)
:.
EJERCICIO
6.
=
:: a(R,)-a(R.) Hallar
el área de intersección
las relaciones: Iyl
9,,13 - (312)2
=
9(,,13-2) u'
acotada por las gráficas
R,={(x,y)tRtllxl-lyl
de
S 2} Y R,={(x,y)tRtl
.s 11.
Solución.
(1) Construimos
el cuadrado
La gráfica
este cuadrado,
de
de diagonal
4, con trazo punteado.
se obtiene prolongando
Ixl-lyl=2
los lados de
cuyos vértices están sobre el
eje X. (2) COmo (O,O)ER"
la totalidad de puntos de
2
R, están en la región donde se encuentra el origen de coordenadas. de Iyl ~ 1 - -1 ~ y~ 1 es la región entre las rectas horizonta-
(3) La gráfica
J
les: y=-l , y=l (4) Fn (1),
Luego: (5) R,
s i x ~ O, Y >.- O ..•
(y=l) n (x-y=2)
Rt es la zona sombreada
- a(R,
EJERCICIO
n Rt)
7.
x-y=2
:: P(3,1)
de la figura
s:
2(área del trapecio de boses 4 y 6, Y al tura 1)
=
4+6 2(2 )(1)
:: 10
u'
Si R,"'l(x,y)eR'lx'+yt R.::{(x,y)&Rtllx+31
~ 91. R,=l(x,y).:R·lx·-4y· ~ yl,
R,={(x,Y)tR21Ix-31,<
área de s=(R,n R.)-(R.U R.). Solución.
(1) Cano las coordenadas satisfacen
Graf(R, n R.)=Graf(R,).
a R, y R., entonces;
conjunto. de puntos en
el interior y sobre la circunferencia (2) En R.; -
del origen
x'+y'::9
1:C+31 ~ y
y ~ O
A
(:c+3 ~ y
•.• y ~ O .•• (y
>.- x+3
A
x+3 >.. -y)
.•• y >,. -x-3)
Luego, la gráfica de R. es el conjunto de p~ tos en el s8niplano
superior
y sobre las rec-
tas Ll:y~3 , L2:y=-;x:-3 , y el eje X (y>.. O)
~ 91. yl.
hallar el
•• Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
1.r-31..$.y
(3) En R..:
O)
•..•(y ~ ++
347
(x-3.$. Y
A
(y ~ O)
(y ~ .r-3
A
:c-3 ~
A
=y)
y ~ 3-.r)
A
L gráfica de R\ es el conjunto de puntos en el semiplano superior de las rectas L. :y=x-3, L\:y=3-:c, el eje X (y ~ O) (4) Por lo tanto, el a(R,-R.U
R.) es la región
rayada y es igual al área del semicírculo de radio 3 más el área del triángulo ABC. Esto es: a(S)
EJERCICIO
= 1(Y)(3)'
8.
Dadas
+
=
1(6X3)
~(Y+2)Ul
las relaciones:
x1+y'-4.r-12
Rl={(.r,y)ER"'lyl~
~ 01, hallar
8x} yn •.=f(.r,y)ER11
el área acotada por R1f).~1.
(1) En R1: y' ~ 8x
Solución.
de R, es el conjunto
La gráfica
de puntos en el interior de la parábola P:yl=8x (2) En R"
sea €:.r"+y·-4x-12=0 ~:(.r-2)·+(y-0)1=16
++
••
C(2,O) y r=4
COmo (O,O)c~+ la gráfica
de R. es el con-
junto de puntos en el interior y sobre la circunferencia
C.
(3) PI1C = A(2,4) Y B(2,-4) (4)
=
a(R,f)R.)
(área del semicírculo)
= i(Y)(4)1 + EJERCICIO
~(2x8)
=
+ (área del sector
poraoolico
~(3Y+4) u·
Dada la relación R=I(.r,y)cR1Iy ~ 1.r1-ll+lx-ll,
9.
AOB)
y ~ 4), cons-
truir y hallar el área de la inversa de la relaci6n R. Solución.
(1) Sea Rl:y
>, I.r+ll+Ix-lI
El iminando
las barras de valo,. absoluto por el mitado de los
valores críticos se detenmina Si:
s: < -1
..• y>"-2.r
-1 ~:c < 1
..• Y >, 2
:c>"1
y:>'2.r
lo siguiente:
348
Capítulo 5: Gráficas de Relaciones
)
Luego. la gráfica de R. es el conjunto de los puntos que están en el semiplano
y,
superior de
las rectas L. :y=-2x. L. :y=2. L,:y=2x (2) Sea R.:y ~ 4. Su gráfica
consta de todos
las puntos en el semiplano
inferior de la
recta y=4. (3) Entonces Graf(R)=Graf(R.)n
Graf(R.)
~ Graf(R) = área del trapecio de la figura (4)
La gráfica de
se obtiene de ia gráfica
R*
de R por simetría respecto de la recta y=x ~ a(R*) = ~(4+2)(2)
<,
= 6u· \.
EJERCICIO
10.
Dada la relación R=I(x.y)eR·lly-xl=[x]l.
esbozar su grá-
fica indicando su dominio y rango. Solución.
Según el Teor~na 49: Iy-xl=[x]
•..•([Ix]
~
O)
A
(y-x=[x]
•..•([x]
~
O)
A
(y=x+IT.x] " y=x-[x])
V
y-x=-[x])
~ O •..•x: >... O .• Dom(R) = (O,+Q>
Universo de la relación:
[xTI
Por el T.57. si [xll=n
•..• n.$ x e n+1. neZ
Luego. la gráfica de R es la unión de las gráficas de: R.=I(x,y)eR'ly=x+nl
o
R,=I(x.y)eR'ly=x-nl
Dando valores a n en cada intervalo (n.n+1>. se tiene: Si n=O n=l n=2 n=3
.. ..
.. ..
Para: y=x+n
.. ..
xdO.1> xd1.2>
.. ..
x€(2.3> xd3.4>
y
y=x
6
- - ---
y=x+I
y=x+2
5 ---
---/
y=x+3
4._____
o;;
Ran(R.)=(O.1> U (7..3>U (4.5>u ... Si n=O n=1 n=2
.. .. ..
Para: y=x-n xdO.1> xd 1. 2> xd2.3>
n=3
..
n=4
.• xe(4.5>
xd3.4>
.. .. ..
..
----.
y=x
J __
2
--
y=x-L
:
I
I
I
I
! I
I
y=x-2 y=x-3
.• y=~-4
~
,
,
,
,
,
•
Note Que l~an(n2)= [0,1> Ran(;U = Ran(R
1) u
Ran(R2)
[0.1> U [2.3>U [4.5>U ..
Ü n=O
[2n.2n+1>
·x
Ejercicios: Grupo 33
,~349
EJERCICIOS: Grupo 33 En los ejercicios ca de la región
del 1 al 9, indicar
1. R={(X,y)ER'lx'+y'~25,
x'>2y+l}
2. R={(X,y)ER'19x·+4y·.$25, 3. R={(X,y)ER'ly
R={(x, y)
x'~-2y,
>.;. O/,
TI
-s
y, x+4 > y}
6. R={(X,y)ER'ly',;ó
4x, 2x+y
7. R={(X,y)ER'lx+y
~3,
x'+y'~5}
ER'I [x-1 TI '+2[x
10. Si R,={(x,yhR'lx
s:
2x+y <
la gráfi-
rango y esbozar
relaciones:
5. R={(:x:,y)ER·lx·-8.$
3x+l ~ 2y}
~x'-6x+5,
4. R={(x,y)ER'Ix-2Y$1, 9.
el dominio,
por las siguientes
acotada
.s
y~-x'-3x+6}
8. R=((.:.c,y)ER'IIy-..cI+ly+:c1
2, x'+y'
4}
~ 2}
>,. 1}
R.={(x,yJr.R·lx
R,={(x,y)<;R'!x'+y'
-s
~.,~!,'y' ,,:. 'J, .Y ;;. XI,
d:md.!
>-- y}.
lB}.
Hallar el área acotada por R, n R. n f: ••
R={(:c,y)ER'II:cI+!:/i
11. Dada la ,'elación
ha 11 ar ' e! va 1 or de a de modo QU'3 c! seu 25(n-2)
13. R
~ O, y'-4
cda
pM'
del
13 al 22, ccntr.ltir
de n:-.'~,.
la !Jróficll de (es rel!! '
dadal;.
=
Il~r.+
1a g7·¡j t'i ca de n:
el órea aco.!a
~ O}, hallar
{(x,y)ER'lx'+y"
>,. 4
15. R
=
{(x,y)ER·14.$
16. R
=
{(x,y)ER'ly'+8x-2y
17. R
=
{(x,y)ER'lx'+y'
18. R
=
{(x,y)ER'lx'+4y'
19. R
=
{(x,y)ER·13y'-x".$
20. R
=
{(x,y)ER"lxy-x-2y-2,<
21. R
=
{(x,y)cR·I4x"-4y·.$
22. R = í (x,y)ER"lx'-y'
1.r+yl+I:C-ll, Ixl ~ 12yll
~ 9, y~
14. R = Hx,y)e;Rllx'+y"
(x-2 )"+y'
o
T:{(.r,y)E:R'¡Iy-31
$ 1
Y
>,. 15 , (x-1)'+(p·2)1.$ >,. 9
r
.s. 16
x+y+3 .$ O , y' , x'+y'
~ 9 ,
x >.•.•y}
Ixl+3}
9 , Ixl+2 ~ y.$
x·+y·.$
251
~ 2xl
Ixl+lyl
>,. 21
2 , x· ~ 16y} O , 2x+y-ll
9 , 2y·-2x-3.$ ,< 4 , y'+x-2
23. Sean R={(x,y)E:R211.r+41+!y-31.$
.'
l.l~·(\t
~ :::;, :~.'S .iyi y R.=-I(":,y),ER'1
R,={(X,y)ER'lx'-I':>'!
En cada uno de los ejercicios ciones
0,
ér'<;!(¡
u'.
12. Dadas las relaciones x'-9
>,.
~ 1}. Hallar
>,. O} O}
>,. O , y·-2.$. X} 2}, S={(x,y)E:ItIlx+41.$ el área acotada
n.
por Rn.,g(SnT)
.
350
24.
Capítulo 5: Gráficas de Relaciones
Dadas las
relaciones
T=j(X,y)ER'lx 25. Sean:
R={(X,y)ER'ly
>...•01.
R={(X,y)ER'1
T={(X,y)ER'I(y
Hallar
(x-511)'+(y-511)'
ly-31 ~ 61. Hallar
área de la región En cada uno de los
ejercicios
región
las
por
R={(x,yhR'llxl
29. R={(X,y)ER'13x'+y'
del
28 al 35, graficar
[x+y
I[
R={ (x,yhR'
e) R={(x,yhR'1
~ 9 ,Ixl
En los
ejercicios
37. R={(X,y)ER'ly
y hallar
el área
+Iyl
$.
~ O , IX+ll+ly-21
>-.2 , x-y+3
$
siguientes
siguientes, el área
>, Ixl+lx-ll
39. R={ (x,YhRllx'+y'+4.r-6y+4
Ixl,
x'+y'$4xl
relaciones:
+ y = 01
4x1-yl]
" al
= 21 $ xl
graficar acotada
en un mismo plano
la relación
por R*.
' y ~ 51 >,..4 , 2 -!- y~
,
~ O
r
x-2y+8
41 ~ 01
~ .r-2 , x s: 61
41. R={(X,y)ERllx'+yL8x+2y+13
>-.·01
35. R={ (x,yhR'llyl
de las
de la
01
~ 61
TI
el
'l31
~ 11-21xlll
38. R={(.r,y)ER'llx+II-ly-31
40. R={ (.r,YhR'llyl
hallar
33. R={(x,yhR'llyl
[x]+[y]
Hallar
>--4/2i,
~ 3 , x: ~ yl
Ixl+lyl
d) R={(X,y)ER'1 ly'-2yl+2Ix-ll
.y su inversa.
61, T={(X,y)ER'1 de RnSnT.
.$o 121
34. R={(X,y)ER'12Ixl+3Iyl la gráfica
511}, de Rn(SuT).
de SI) T.
~ O , 4x'+8x+9y-5
+Iy-xl
RnsnT.
relaciones.
31. R={(X,y)ER'19x'+16y'+18x-64y-71
b)
la gráfica
la gráfic
~ 27 ,
a) R={(x,yhR'1
por
por
' x'+y'
30. :~={(x,YhR'12x'+4x-9y-43
36. Construir
el área
~ 81,
por
S={(x,yhR'llx+21.:;
acotada
siguientes
>--Iyl
32. R={ (x,y)ER'llxj
Hallar
.$ 41 Y T={(X,y)ER'llx+yl+lx-yl
acotada
Ixl+lyl
acotada
2511'1, S={(x,yhR'ly.:;
.$
~4},
el área
27. Si S={(x,y)ER'llxl+lyl
28.
S={(x,y)ER'1
de la región
~x+511) v ( y+x >-.1511)}.
26. Sean R={(X,Y)ER'llx~21-ly-31
acotada
~ xl,
el área
~ O,
Ix-41+ly+ll
*
...• < 4 , x-y
>,..51
R dada
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
lIIl
351
CRITERIOS GENERALES PARA GRAFICAR UNA RELACION
Q
Al hacer el estudio de la gráfica de una relación de R en R, habíamos visto las gráficas de relaciones con inecuaciones.
lineales y cuadráticas
y sus asociadas
Todas ellas tenían una fonma especial que las caracterizg
ba y que resultaba fácil su trazado en el plano XY. Sin embargo, existen otras relaciones
cuyas gráficas
su trazado es necesario algunos
métodos
no tienen tales caroct erí s t icas y que para
seguir ciertos pasos o reglas. En seguida veremos
que penmiten
estudiar
los pasos previos
a la discusión y
trazado de la gráfica de dichas relaciones. 1) COORDENADAS Una gráfica
AL ORIGEN
puede
método de averiguarlo a) Interceptos
(Interceptos
tener una, varias o ninguna coordenada
Interceptos
al origen. El
es el siguiente:
con el eje X:
Hacemos y=o , y se resuelve b)
con los ejes coordenados)
la ecuación E(x,O)=O
con el eje y:
Hacemos x=O , y se 'resuleve la ecuación E(O,y)=O Ejemplo.
Dada la relación R={(x,y)eR1!x1+yl+2xy-x+5y-6=OI,
hallar sus coor
denadas ~l origen de su gráfica. Solución.
Sea E(x,y):X1+yl+2xy-x+5y-6=O a) Para y=O
+
E(x,O): x'-x-6=O
++
x=-2
o
x=3
Luego, -2 y 3 son las abscisas al origen y los puntos A(-2,O) y 8(3,0) son los interceptos de la gráfica de R con el eje X. b) Para x=O
Luego,
+
E(O,y): yl+5y-6=O
++
y=-6
o
y=l
-6 y 1 son las ordenadas, al origen y los puntos C(O,-6) y D(O,l)
son los interceptos de la gráfica de R con el eje Y. 11) SIMETRIAS Se consideran
solo dos tipas ,se simetría: respecto a un punto y respef
to a una recta. Definición
5.3
Se dice que dos puntos P y P' están localizados simétricamente
pecto a un tercer punto M -
con res-
lA es el punto medio del
segmento que los une. En ese caso, M es un centro de simetría del segmento PP'.
.. Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
352
Definición
5.4
Se dice que dos puntos P y P' están localizados
pecto a una recta L ~
simétricamente
L es la mediatriz
con resdel segmeu
to que los une. (Al punto P' se le denomina xión o imagen de P respecto
refle-
a la recta L, a la cual
se le llama eje de simetría). Veamos en seguida
el uso de estas definiciones
en la simetría de gráficas
de ecuaciones. a) Simetría
respecto al eje X
Si un conjunto R es simétrico
X, entonces, para cada punto P(x,y)eR un punto correspondiente
P'(x,-y)eR,
R tiene por ecuación E(x,y)=O, simétrico
respecto
y
respecto al eje
P{x,y)
?
debe haber
I I
es decir, si
I
--:O~----II---
entonces R será
al eje X si y sólo si:
I
6
E(x,y) = ± E(x,-y) (La ecuación no cambia si se reemplaza
P'{x,-y)
y por -y)
Por ejemplo, para la relación R={(x,y)eR'ly'-4x=OI, Entonces: E(x,-y):
(-y)'-4x=O
COmo vemos: E(x,y)=E(x,-y), b) Simetría
respecto
entonces,
R es simétrica
respecto al eje X.
al eje Y
P'(-x,y)ER,
decir, 3i R tiene por ecuación E(x,y)=O,
debe
=
P'(-x,y)
0--- - -
P (x, y)
- - _.-i)
es entoD
respecto del eje Y, si y
E(x,y)
y
respecto del
eje Y, entonces, para cada punto P(x,y)eR haber un punto correspondiente
sólo si:
sea E(x,y):y'-4x=O
E(x,-y): y'-4x=O
++
Si un conjunto R es simétrico
ces R será simétrica
± E(-x,y)
-------~O~------~x
(La ecuación no cambia si se reemplaza x por -x) Por ejemplo, para la relación R={(X,y)ER'lyl+8x'=OI, Entonces: E(-x,y): y'+(-x)'=O Como E(x,y)=E(-x,y),
•.X
I
~
la gráfica de R es simétrica
e) Simetría respecto del origen Los puntos P(x,y) y P'(-x,-y)
son simétricos
respecto del origen, por tanto, si para un conjunto R ocurre que: Pt», y) e R
++
sea E(x,y):y'+8x'=O
E(-x,y):y'+SX'=O
P'(-x,-y)f.: R
respecto del eje Y.
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
entonces se dice que el conjunto R tiene su centro de simetría el origen,es decir, si R tiene por ecuación E(x,y)=O, entonces: E(x,y) = ± E(-x,-y) (La ecuación no cambia si se sustituyen simultáneamente x por -x e y por -y) Por ejemplo, pora la relación: R={ (x,Y)f:R"lr+y'=4}, sea E(x,y) :r +y' =4 Entonces: E(-x,-y): (-x)"+(-y)"=4 E(-x,-y):r+y'=4 Vemos que: E(x,y)=E(-x,-y), por lo tanto. la gráfica de R es simétrica respecto al origen. 1 Jl)
EXTENS ION
Para detenninar donde se localiza la gráfica de una relación. se recy rre a lo siguiente: a) Despejar. si es posible, cualquiera de las dos variables: y = f(x) (Para calcular el dominio de la relación) x = g(y) (Para detenninar el rango de la relación) b) Si la ecuación de la relación tiene la forma: f(x) = P(x) Q(x) donde P(x) y Q(x) son polinomios que no tengan factores comunes que contengan a x. tratar de faclorizar el denominador y excluir aquellos valores de x para los cuales Q(x)=O c) Si la ecuación de la relación tiene la forma: y" = función racional tratar de factorizar el s~o miembro y mediante inecuaciones detenninar los intervalos o regiones del plano en los cuales y"~O. y e--cluir los valores de x para los cuales y"
Discutir la extensión de Id gráfic~ de la relación: R={(x.y)eR"I4r"+9y1=36}.
Solución.
DespejaRdD
y=1(%),' 8e
tiene: y'" ± 1/9-x'
...•ay •.• 9-x" ~ O ...• -x" ~ 9 -3 ~ x ~ 3 Entonces: Dom(R)=[-3,3] Valores ex¡:luidos: <-.-3>u <3.-> La grafica de la relación R está contenida e~ tre las >rectas verticales %=-3 y %=3 Análog(lll61\te: x = ± %14-y':J.x ++ 4-y2 ~ O ..•. y'- ~ 4 wego.
RanlR)=t-2.2].
+-+
-2
-s
y~
2
Valol"es excluidos: <-.-2>U
y
2
-2
<2.*"'>
• 354
Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
La gráfica de Restó contenida' entre las rectas horizontales y=-2, y=2. Luego, se sCJllbreael rectángulo que detennina la extensión de la curva en e/ plano. Dado que la curva está encerrada en un rectángulo de dimensiones finitas, se trata de un caso de gráfica acotada. ASINTOTAS
(IV)
Si para una curva t; existe una recta L tal que si nos movemos a lo largo de L Indefinidamente, la distancia entre L y e tiende a cero, entonces se dice que L es una recta aaíntota, o que € es asintótica a L. una curva puede tener una, varias o ninguna asíntota. Entre las e/ases de ~ sfntotas figuran /as asíntotas horizontales, verticales y oblícuas. a) Asíntotas Horizontales. Tienen la fonna: y=k Para hallar las asíntotas horizontales de una , curva se ordena su ecuación E(x,y)=O en potencias decrecientes de x y se hace cero, si es posible, el coeficiente de la mayor potencia de x, luego se despeja y. EjeMplo. Hallar las asíntotas horizontales de la gráfica de la relación R={ tx, y) eRa Ix*Y+.%)I*-r-l=O}.
Solución.
Ordenando en potencias decrecientes de x se tiene: E(x,y):(y*-l)r+y·x-l=O AquI vemos que la mayor potencIa de x es r, y su coeficiente es y·-l. Luego, si y·-l=O ++ y=-l o y=l son las asíntotas horizontales de la gráfica de R. b)
Asíntotas Verticales. Tienen la fonna: x--h
Para hallar las asíntotas verticales de una curva de ecuación E(x,y)=O, se ordena ésta en potencias decrecientes de y, se hace cero, si es posible el coeficiente de la mayor potencia de y, luego se despeja x, Eja.plo.
Hallar las as1ntotas de la gráfica de la relaclón R={(x,y)~~lxly-xy-2y-l=O}.
Soluciiin. Ordenando se tiene: (xl-x-'2)y-l=O Aquí el coeficie'!te de la mayor potencia de y es: x.l-x-2. Luego, si r-:r:-2=O - ;r--l o ;r-2 son las asíntotas verticales de la curva. (Trazoctode la GUrva). ConsIste en calcular un núnero adecug do de puntos para obtener una gráfica aproximada de la ecuact6n docta.
V) TABt1L.1ClC;W
"
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
EJERCICIOS EJEMPLO
1.
Solución.
355
ILUSTRATIVOS Discutir
y graficar
la relación:
Sea E(:x:, y) ::x:y-2x-y-2=O Intersecciones
1)
X.
a) Con el eje
11) Simetría:
con los ejes coordenados:
E(;r,0):-2x-2=O
b) Con el eje Y.
~
E(O,y):-y-2=O
;r=-l
+
no tiene potencias respecto
y=f(:x;) .•. y =
a)
=
.•. :x:
IV) Asíntotas.
Pi .
verticales:
V)
Construcción
.•. Dom(R) y=2
=
R-{I}
..• Ran(R)
=
R-{2}
Horizontales:
(y-2);r-y-2=0 Asíntotas
pares de :x:e-y, la
de los ejes coordenadas.
2:x:+2 x=I-
Valor excluido:
a) Asíntotas
b)
8(0,-2)
curva no es simétrica
Valor excluido::x:=l x=g(y)
A(-l,O)
+
y=-2
++
Dado que la ecuación
111) E:ctensión.
b)
R={(;r,y)dl'!xy-2x-y-2=Ol
y-2=0 ~
+
y=2
y
(x-l)y-2x-2;0 .•.:x:-l=O-
x=1
de la gráfica.
a) Si existen,
se trazan las líneas de guía _____ (Asíntotas). x=1 , y=2
b) Se ubican los interceptas Y. A(-I,O) y 8(0,-2) c) De y=f(;r), se analizan
los intervalos
los cuales y es positivo En Illa) : y>
con los ejes X e
2
1"-
I +----),~2
I
1-----.;~'9--+:------.x
para
o negativo.
O, para: x > 1 Y x < -1
Y < O, para -1 < x < 1 EJEMPLO
Solución.
2.
Discutir
y gralicar:
R={(x,y)eR1Ix'y-9y-3;r'=O}
'.
Sea E(x,y):x'y-9y-3x'=O 1) Intersecciones
con los ejes -coordenadas
a) Con el eje X.
E(x,O):~3;rl=O
b) Con el eje Y.
E(0,y):-9y=O
No hay interceptos 11) Simetría.
+
x=O y=O
con los ejes coordenados,
a) Con el eje +
+
E(x,-y)
la curva pasa par el origen
X: E(x,-y)~(-y)-9(-y)_3;r2 + 1: E(x,y) :. No 6S simét,.ica
-x2y+9y-3;r2=O
Capítulo 5: Gráficas de Relaciones
356
b) Con el eje y: E(-x,y)
=
(-x)'y-9y-3(-x)'
..•. E(x,-y)
=
E(x,y)
c) Con el origen: E(-x,-y)
y=f(x)
a)
y
~
=
=
..•.x
±3
=
Entonces: Ran(R) IV) Asíntotas.
a)
¡¡;
3X
-+
-
x=-3, x=3 ~
Asíntotas
V) Construcción
+
Asíntotas
~
+
;x:'-9=0-
;x:=±3
las asíntotas:
;x:=±3 , y=3
b) La curva pasa por el origen simétri camente respecto del eje Y. c) En lIla): Para ;X:E<-3,3>, y ~
.(y ~ O) v
y=3
----+--I
°
Solución.
3.
I I
I I
I
._.--+---1
1
I
I x
-3
1 1
I
I 1
La curva se extiende asintóticamente. EJEMPLO
3)
Y
x > 3, Y > 3
o
(y >
~j ,
La curva se extiende hacia abajo. Para ;x:<:: -3
Dom(R)=R-{-3,31
Horizontales
de la curva.
a) Trazamos
°-
~
Verticales.
(;x:1-9)y-3;x:=0
-x'y+9y-3r'=0
<-Q,0)U<3,+Q>
(y-3);x:'-9y=0 + y-3=0 b)
~
.',No es simétrica 3x (x+3)(x-3)
Valores excluidos: b) r=g(y)
x'~9y-3x'=0
(-x)'(-y)-9(-y)-3(-x)' le E(x,y)
~ E(-x,-y) Il1) Extensión.
+
:. Si es simétr~ca
Discutir y graficar:
R={(X,y)ER'!x'+xy'-2y'=01
Sea E(x,y):x'+xy'-2y'=0 1) Intersecciones
Dado que la ecuación
origen (No hay interceptos 11) Simetría.
a) -+
b) Con el eje Y.
con los ejes coordenados
carece de ténmino independiente,
Con el eje·X: E(;x:,-y)= x'+x(-y)'-2(-y)' E(x,-y)
=
E(x,y)
Comp)'"obarque: E(-x,y) le E(x,y)
a) y=f(x) ~ 3y -
IV) Asíntotas.
+
=
x'+xy'-2y'
r. Si es simétrica
c) Con el origen. Cam:Jrobar que: E(-x,-y) II 1) Extens i ón.
la curva pasa par el
con los ejes).
:. No es simétrica.
le E(x,y)
±X.(1; ° - °~
:. No es simétrica
y =
x 2-x ~
x < 2
+
Dam(R) = [0,2>
a) Asíntotas Horizontales: La curva no tiene asíntotas horí zontales porque el coeficiente de x3 es constante.
• 357
b) Asíntotas Verticales: (x-2)y'+x'=O
~
x-2=O •• x=2
V) Construcción de la curva: a)
la asíntota x=2 pasa par el origen.
Trazamos
b) La curva c)
siméhacia la 11
Para :1:&[0,2>, la curva se extiende tricamente y asintóticamente nea x=2.
EJEMPLO
Discutir
4.
Solución.
y graficar: R=Hx,y)clplxy"-x-2y'+1=OI
Sea E(x,y)=.ry·-x-2y·+1
I) Intersecciones con los ejes coordenados Con el eje X. E(x,O): -x+l=O. x=1 ~ A(1,O)
a)
b) Con el eje Y.
E(0,y):-2y·+1=O
~
y=±12i2
=
Simetrías. a) Con el eje X: E(x,-y)
II)
-+
b)
Con el eje Y. Canprobar
e)
Con el origen. Comprobar
Ill)
Extensión.
b) x=g(y)
-+
=
E(x,-y)
a) y=f(x)
-¡¡y 2yLJ x = yLl
+-+ -+
=
= xy·_x-2yl+l
:. No es simétrica
i E(x,y)
:.
No
es simétrica
±~
x-1 x_2~O-x~1 3l: +-+
x(-y)·-x-2(-y)·+J
'1 E(x,y)
que E(-x,-y) y
B(O, 1.2/2), C(O,-1.212)
.•.Es simétrica
E(x,y)
que E(-x,y)
~
~
Y
o
=
tI
-
x>2-
xc<--,l)U<2,+->
Ran(R)=R-{-1,11
IV) Asíntotas. a) Asíntotas Horizontales: (yl-I)x-2y"+I=O • yl-l=O +-+ y=±l b)
Asíntotas Verticales: (x-2)y"-x+l=O
~
x-2=0 •.• x=2 Y
de la curva. a) Trazamos las asíntotas: x=2 , y=tI
Construcción b) Ubicanos
los interceptos:
e) En 1110):
Para xc<~,l), A, B Y e, y se extiende
A, By
1
C.
---..al__-
--
-1- ---
,
f
la curva pasa parl---~--I-:A:---::2:i----"x simétrica
y asintQ 1__
ticanente hacia las rectas y=±l. Para XE<2,+->, la curva se extiende simétrica y asintóticanente
':' '--
hacia las rectas x=2, y=±l
--['
I
---:'1 ----+---':
358
Capítulo 5: Gráficas de Relaciones
5.
EJEMPLO
Solución.
Construir
la gráfica de R= {(x,y) eR'lx'-4x'+4xy' -y '=0 I
Factorizando
se tiene:
x+y=O Si E(x,y)=O
~
=
x - y {
°
x'+y'-4x
=
E(x,y)
(x+y) (x-y) (x'+y'-4x)
(R,)
(R,)
°
(R,)
Las gráficas de R, y R, son las rectas que pasan por el origen, L,:x+y=O
--~~----~-----4--~x
y L.:x-y=O,
respectivamente. R,:x'+y'-4x=0
++
(x-2)'+(y-O)'=4
Es una circunferencia
:. Graf(R) Nota.
=
Cuando
de centro C(2,0) y r=2
Graf(R,) u Graf(R.) U Graf(R,) se trata de graficar
no es necesario
discutir
dado que, por lo general,
relaciones
lo relacionado
las gráficas
de ecuaciones
factorizables,
a interceptos,
simetría,
etS
son rectas o curvas de característi-
cas ya conocidas.
EJERCICIOS: Grupo 34 Discutir y graficar
las siguientes
relaciones:
l. R={(x,y)eR'lxy+3y-x+2=O
7. R={(x,y)eR'lx'y+y-2=OI
2. R={(x,y)eR'Ixy-x-4y+3=O
8. R={(x,y)eR'lx'y'-4x'-y=OI
3. R={(x,y)eR'lx'y-9y-2x'=OI
9. R={ (x,y) eR'ly'=x(x+3) (x-2) I
4. R= I(x,y) eR1.\x'y-y-x'=O I
10. R=I(x,y)eR'lx'+y'-4y+4=01
5. R=I(x,y)eR'\x'y-3xy-6=01
11. R=I(x,y)eR'\x'+xy'-y'=OI
6. R={(x,y)eR'\x'y-12=OI
12. R=I(x,y)eR'I(x'-3x-1O)y=2x+ll
Construir 13. R 14.
=
las gráficas
de las siguientes
l(x,y)eR'\x'-y'-x'y+xy'-9x+9y=OI
R = l(x,y)eR'ly'+xy'-4xy-4x'=OI
15. R
=
16 •. R
= {(x,y)e-R'\y'+y'-x'-x=OI
l(x,y)eR'\x'-x'y-xy+y'=OI
relaciones: 17. R=I(x,y)eR'ly'=9x'-12x+41
18. R=I (x,y)eR'\x'y'-4x'+4xy'-y'=OI
19. R=I(x,y)eR'\x'+x'+2xy'+2y'-4x=41 20. R=I (x,y)eR'ly'-xy'-xy+x'=OI
*
'.
