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UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN

CÁLCULO I GUÍA DIDÁCTICA

3 CARRERA:

Ingeniería en Informática

CICLO

AUTOR (A):

Marco Vinicio Morocho Yaguana

Reciba asesoría virtual en: www.utpl.edu.ec

OCTUBRE FEBRERO ABRIL2007 / 2008 - - AGOSTO / 20082008 MATERIAL DE USO DIDÁCTICO PARA ESTUDIANTES DE LA UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA, PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL POR CUALQUIER MEDIO

CÁLCULO I Guía Didáctica

Marco Vinicio Morocho Yaguana © 2007, UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR PARTICULAR DE LOJA Diagramación, diseño e impresión: EDITORIAL DE LA UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA Call Center: 593 - 7 - 2588730, Fax: 593 - 7 - 2585977 C. P.: 11- 01- 608 www.utpl.edu.ec San Cayetano Alto s/n Loja - Ecuador Segunda edición Cuarta reimpresión ISBN-978-9978-09-815-8 Derechos de Autor:026656 Reservados todos los derechos conforme a la ley. No está permitida la reproducción total o parcial de esta guía, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright. Agosto, 2007

CÁLCULO I Guía Didáctica

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ÍNDICE ITEM

PÁGINA

INTRODUCCION ................. ................................... .................................... .................................... .................................... .................................... .................................... ......................5 ....5 OBJETIVOS GENERALES ................ ................................... ..................................... .................................... .................................... .................................... .......................5 .....5 CONTENIDOS .................. .................................... .................................... .................................... .................................... .................................... .................................... ........................5 ......5 BIBLIOGRAFIA ................. ................................... .................................... .................................... .................................... ..................................... ..................................... .......................6 .....6 ORIENTACIONES PARA EL ESTUDIO ESTUDI O ................ .................................. .................................... .................................... ...................................7 .................7 PRIMER BIMESTRE OBJETIVOS ESPECIFICOS ................. ................................... .................................... .................................... ..................................... ..................................... ....................9 ..9 CONTENIDOS .................. .................................... .................................... .................................... .................................... .................................... .................................... .........................9 .......9 DESARROLLO DEL APRENDIZAJE ................. ................................... .................................... .................................... .................................... ....................10 ..10

Módulo p MÓDULO 1 MÓDULO 2

Resumen de ecuaciones de la recta ....................... .............................................. ............................................14 .....................14 Límites y sus propiedades ...................... .............................................. ................................................ ..........................................27 ..................27 La Derivada ....................... ............................................... ................................................ ............................................... ..............................................45 .......................45 SEGUNDO BIMESTRE

OBJETIVOS ESPECIFICOS ................. ................................... .................................... .................................... ..................................... ..................................... ....................51 ..51 CONTENIDOS .................. .................................... .................................... .................................... .................................... .................................... .................................... ........................51 ......51 DESARROLLO DEL APRENDIZAJE .................. .................................... .................................... .................................... .................................... ....................52 ..52

MÓDULO 3 MÓDULO 4

La regla de la Cadena ..................... ............................................. ............................................... ............................................... ..........................52 ..52 Aplicaciones de la Derivada ...................... .............................................. ................................................ .......................................62 ...............62

ANEXOS ............................................................ ................................................................................................. ....................................................71 ...............71 F

EVALUACIONES A DISTANCIA

Guía Didáctica: Cálculo I

PRELIMINARES

Introducción El Cálculo pertenece al grupo de materias denominadas del “Área Matemática” propiamente dicha, posee contenidos básicos indispensables a todo estudiante que se interese por las ciencias técnicas, cualquiera sea su orientación ( Ingeniería informática, eléctrica, ciencias contables, administrativas, económicas, actuariales, etc). Y se puede armar sin error que todo profesional técnico no podrá leer

con soltura la bibliografía actualizada de nivel superior, sin poseer los conceptos básicos del Cálculo.

Esta asignatura exige conocimientos de Álgebra y recordar los contenidos de Geometría. Debe mencionarse que resulta imprescindible el conocimiento de elementos básicos de Geometría Analítica del plano, para adquirir con provecho los conceptos de nuestra asignatura. La carencia en la mayoría de los alumnos de estos tópicos dicultan la enseñanza y el aprendizaje de nuestra disciplina, aconsejando

que sea repasado convenientemente el módulo de preparación para el Cálculo.

Objetivo General En este curso se pretende que el estudiante aprenda a utilizar el Cálculo en la solución de problemas matemáticos que puedan presentarse a lo largo de sus estudios y en la carrera profesional.

Contenidos PRIMER BIMESTRE Módulo p: Preparación para el Cálculo P1 Grácas y modelos

P2 Modelos lineales y ritmos o velocidades de cambio P3 Funciones y sus grácas

Módulo 1: Límites y sus propiedades 1.1 Una mirada previa al Cálculo 1.2 Cálculo de límites por medio de los métodos gráco y numérico

1.3 Cálculo analítico de límites 1.4 Continuidad y límites laterales o unilaterales 1.5 Límites innitos

Módulo 2: Derivación 2.1 La derivada y el problema de la recta tangente 2.2 Reglas básicas de derivación y ritmos o velocidades de cambio 2.3 Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior

UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA

La Universidad Católica de Loja

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PRELIMINARES

SEGUNDO BIMESTRE Módulo 3: 2.4 La regla de la cadena 2.5 Derivación implícita

Módulo 4: Aplicaciones de la derivada 3.1 Extremos en un intervalo 3.2 Teorema de Rolle y teorema del valor medio. 3.3 Funciones crecientes y decrecientes. Criterio de la primera derivada 3.4 Concavidad y el criterio de la segunda derivada 3.5 Límites en el innito 3.6 Análisis de grácas

3.7 Problemas de optimización

Bibliografía Texto Básico LARSON R., HOSTETLER R., EDWARDS B., Cálculo I, 8va edición, Editorial McGraw-Hill Interamericana, México © 2006 Este libro se ha escogido por su interesante y clara exposición de los temas, un enfoque moderno y desde luego sus múltiples aplicaciones del Cálculo en la solución de problemas técnicos. El texto esta organizado en 9 capítulos, de los cuales nosotros vamos a revisar solamente los tres primeros, como es ya tradicional en nuestro país al impartir esta asignatura. El libro es bastante didáctico, y los conceptos fundamentales se exponen con mucha claridad a lo largo de todo el libro comenzando por más sencillo hasta lo más complejo. Además el texto le permitirá disponer de otros temas en los cuales Ud. puede emprender individualmente.

Bibliografía Complementaria Robert Smith y Roland Minton, Cálculo, Tomo 1, Primera Ed. McGraw-Hill, Bogotá, 2000.

1.

Este libro es didáctico, tiene un enfoque moderno y muchas aplicaciones en la solución de problemas técnicos del diario vivir. Este le puede servir como texto adicional. Lara J. Arroba R. Análisis Matemático, Centro de Matemática de la Universidad Central.1982.

2.

En este libro se exponen los temas desde un punto de vista más formal, y le puede ayudar a desarrollar más destrezas para el dominio de este apasionante tema de la matemática. Purcell,E. Varberg, D. Cálculo diferencial e integral, Sexta Ed. Prentice Hall. México,1993.

3.

Este texto también le puede servir en mucho por cuanto trae abundante información relacionada con los temas que tratamos.

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PRELIMINARES

En general cualquier libro sobre el tema le va a servir de mucha ayuda por cuanto como Ud. conoce no hay libro malo, siempre se encuentra algo, siempre se aprende algo de cualquier libro. F

Recuerde que el verdadero estudiante Universitario, no debe conformarse o limitarse exclusivamente al contenido programático de una asignatura.

Orientaciones Generales Para iniciarse en esta materia, permítame hacerle algunas sugerencias para el estudio. Es bien conocido que el Cálculo es “ difícil “ para muchos estudiantes; le pido por favor que no se deje impresionar por esta apreciación, pues varias de las dicultades con las que Ud. se topará no son precisamente del Cálculo sino

del álgebra, por eso le pido por favor que lea detenidamente el primer Módulo p (Preparación para el

Cálculo), el cual le va a ayudar mucho para recordar cosas que a lo mejor ya se olvidaron; en él se enfocan

aspectos del álgebra, geometría y la trigonometría que le van a ser útiles a medida que avance en el estudio del Cálculo. De igual manera se revisan los conceptos de función el cual es clave para es estudio del Cálculo, la composición de funciones, etc, pues el lenguaje del Cálculo es el lenguaje de las funciones.

En el Módulo 1, se introducen los conceptos de límites y continuidad, que son de gran importancia, ya que el límite es la piedra fundamental sobre la cual se fundamenta el Cálculo. La idea de límite nosotros la desarrollaremos de una manera intuitiva, sin llegar a formalismos que generalmente son abstractos. Lo que se persigue es que se reconozca la importancia del concepto de límite en el Cálculo. Así mismo en este módulo se analizan los conceptos de continuidad de una función, el cual es muy importante al analizar problemas en donde se tiene como variable independiente al tiempo, al espacio, etc, es decir a cantidades que no sufren saltos de ninguna especie. En el Módulo 2, se introduce el concepto de derivada y se desarrolla las reglas para derivación de funciones algebraicas, así como el concepto de derivación de funciones trigonométricas. El concepto de derivada lleva consigo la denición de lo que es límite, así que primeramente introduciremos el concepto

de derivada partiendo de la idea de límite de la razón de incrementos, luego encontraremos reglas más

precisas para derivar funciones de cualquier tipo. En este sentido, el concepto matemático no signica precisamente que haya dominado algunas fórmulas y pueda simplemente aplicarlos a los ejercicios que más o menos se asemejan. Dominar signica que Ud. entiende el concepto y entiende porqué éste

es cierto. Quizá pueda desalentarse al saber que los Cálculos rutinarios resultan inadecuados para el Cálculo. Sin embargo al estudiar el porque de los algoritmos, Ud. desarrollará sus habilidades para analizar problemas y no resolverlos en forma mecánica. Preste atención a las demostraciones puesto que allí se dan ideas que aparecen en las aplicaciones. Las demostraciones son importantes, no porque prueben que un teorema es cierto; después de todo algunos de los teoremas han sido demostrados desde hace por lo menos dos siglos atrás y por ahora, nadie esta cuestionando su validez. Las demostraciones le dan a Ud. la oportunidad de repasar los conceptos básicos y reducir la tensión de memorizar y sobre todo le ayudarán a desarrollar en Ud. un razonamiento formal lógico que es la piedra angular de toda la carrera.

El plan de trabajo de la materia esta hecho para que se abarquen los módulos p, 1, 2; en el primer bimestre, mientras que los módulos 3 y 4 se los deja para el segundo bimestre, por esto le recomiendo que confeccione un horario de trabajo diario o semanal para el estudio de esta materia de manera que

alcance a cubrir dichos módulos.

Un tiempo de seis horas por semana son más o menos aconsejables para asegurar un buen desarrollo

del curso.

En el Módulo 3 analizamos la derivación de funciones más complejas como son las funciones compuestas para esto nos valdremos de la regla de la cadena para derivar las mismas. Aquí Ud. va a sentir realmente el poder del Cálculo. UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA


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PRELIMINARES

En el Módulo 4 usaremos la potencia del Cálculo para aplicarlo en problemas que requieran de maximización o minimización problemas que a lo mejor Ud. Se topará en asignaturas como

comunicaciones, algoritmia, teoría de colas, etc. Así mismo nos ayudaremos del Cálculo para la

construcción de grácos de funciones complejas y analizaremos sus puntos característicos. Desde luego

que así a simple vista no se ve la aplicación directa del Cálculo en la vida real, pero si Ud. piensa que

una función dada representa por ejemplo el costo de los materiales para cierto estudio de cableado

estructurado, entonces a Ud. lo que le interesará saber cuál es el momento en que esos gastos son mínimos. De la misma forma Ud habrá visto en los supermercados que prácticamente todos los tarros de conservas tienen el mismo porte. Estos dos ejemplos son aplicación directa del Cálculo.

A continuación se presenta un plan de desarrollo general del presente curso en semanas

Tema

Tiempo PRIMER BIMESTRE

Grácas y modelos matemáticos

Semana 1

Funciones y sus grácas

Semana 2 Semana 3

Modelos lineales y ritmos o velocidades de cambio Una mirada previa al Cálculo Cálculo de límites por medio de los métodos grácos y numérico

Cálculo analítico de límites Continuidad y límites laterales o unilaterales

Semana 4 Semana 5

Límites Innitos

La derivada y el problema de la recta tangente Reglas básicas de derivación y ritmos o velocidades de cambio Regla del producto, del cociente y derivadas de orden superior

Semana 6 Semana 7 Semana 8

SEGUNDO BIMESTRE La regla de la cadena Derivación implícita Extremos en un intervalo El teorema de Rolle y el teorema del valor medio Funciones crecientes y decrecientes y el criterio de la primera derivada Concavidad y el criterio de la segunda derivada Límites al innito Análisis de grácas

Problemas de optimización

Semana 9 Semana 10 Semana 11 Semana 12 Semana 13 Semana 14 Semana 15 Semana 16

Interactividad a través del Campus Virtual Ingrese periódicamente al campus virtual que se encuentra en la siguiente dirección: http://www.utplonline.edu.ec para familiarizarse con el tema y conocer sus compañeros. Durante el semestre se planearán foros uno por bimestre, al cual es necesario y obligatorio intervenir. F

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Antes de referirse a un ejemplo o resolver algún problema planteado, asegúrese que los conceptos que le preceden estén asimilados y que el ejercicio simplemente sirva para reforzar los mismos.




PRIMER BIMESTRE

PRIMER BIMESTRE Objetivos Especícos 1.

Determinar los límites de una función.

2.

Determinar la continuidad de una función en un punto.

3.

Aplicar los teoremas sobre diferenciación a la derivación de funciones.

4.

Aplicar el concepto sobre derivada para la solución de problemas en donde existen ritmos de cambio continuo.

Contenidos Módulo p: Preparación para el Cálculo P1 Grácas y modelos

P2 Modelos lineales y ritmos o velocidades de cambio P3 Funciones y sus grácas

Módulo 1: Límites y sus propiedades 1.1 Una mirada previa al Cálculo 1.2 Cálculo de límites por medio de los métodos gráco y numérico

1.3 Cálculo analítico de límites 1.4 Continuidad y límites laterales o unilaterales 1.5 Límites innitos

Módulo 2: Derivación 2.1 La derivada y el problema de la recta tangente 2.2 Reglas básicas de derivación y ritmos o velocidades de cambio 2.3 Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior



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PRIMER BIMESTRE

Desarrollo del Aprendizaje Se recomienda que Ud. distinguido estudiante, lea primeramente las páginas de 10 a 13 antes de iniciar la lectura del texto, ya que revisamos un poco acerca de los número reales. Luego de que termine de analizar estos tópicos; podemos iniciar la lectura del texto comenzando por la gráca de una ecuación

en la página 2.

Propiedades de los números Reales Sean a, b, c números reales, se tiene que: ADICION 1. Ley Clausurativa a + b es un número real 2. Ley Conmutativa a + b = b + a 3. Ley Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c 4. Propiedad de Identidad a + 0 = 0 + a , 0 es neutro aditivo 5. Propiedad de del Inverso a + (−a) = 0 = (−a) + a , -a es el inverso aditivo 6. Propiedad Distributiva a) a(b + c) = ab + ac b) (a + b)c = ac + bc 7. Ley Cancelativa Si a + b = b + c , entonces a = c 8. Ley de multiplicación por cero a ⋅ 0 = 0 ⋅ a = 0

MULTIPLICACION ab es un número real ab = ba a(bc) = (ab)c a ⋅ 1 = 1⋅ a , 1 es neutro multiplicativo 1 1 1 a ⋅ = 1 = ⋅ a , , es el inverso multiplicativo a a a

Si a ⋅ b = b ⋅ c , entonces a = c Si a ⋅ b = 0 , entonces a = 0 o b = 0 o ambos son cero

Con estas propiedades y entendiendo que a, b, c representan cualquier número real podemos pasar a revisar un poco la recta numérica:

Si a esta a la izquierda de b, se dice que a es menor que b y se escribe así: a < b . Así de esa forma también se pueden tratar a las relaciones de mayor que (>) y de menor que (<). De la misma forma resumimos las propiedades de las desigualdades o inecuaciones:

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PRIMER BIMESTRE

a)

Si a < b y c es cualquier número real se tiene: a + c < b + c

b)

Si a < b y c es positivo, entonces a ⋅ c < b ⋅ c

c)

Si a < b y c es negativo, se tiene que a ⋅ c > b ⋅ c

Obsérvese la propiedad a indica que se puede sumar a ambos miembros una misma cantidad y esta relación no se altera, (sigue siendo menor que). La segunda maniesta que se puede multiplicar por un número positivo, y esta relación no se altera

(sigue siendo menor que).

Mientras que al multiplicarse por un número negativo, esta relación cambia de sentido (cambia a mayor que). Existen algunas inecuaciones llamadas simultáneas como por ejemplo:

a < x < b lo cual signica que se da tanto que a < x y que x < b , fíjese que ese “ y “ es muy importante por cuanto signica que el conjunto de valores que convierten en verdadero el enunciado anterior esta en la intersección de los conjuntos determinados por las relaciones anteriores a < x y que x < b o señalándolo de otra forma sería que a < x y x < b deben observarse al mismo tiempo. Miremos el siguiente ejemplo:

Resolver la siguiente inecuación: −7 ≤ 2x + 1 < 19 Del problema, se deduce que: a) −7 ≤ 2x + 1 b) 2x + 1 < 19 Tomando la expresión a tenemos que: −7 − 1 ≤ 2x Luego −8( 1) ≤ 2x( 1) , 2 2 −4 ≤ x De la parte b igualmente tenemos: 2x + 1− 1 < 19 − 1, luego se tiene que: 2x( 1) < 18( 1) 2 2 Finalmente se tiene que x < 9 Es decir la solución esta en la intersección entre x < 9 y −4 ≤ x

La solución expresada como intervalo sería: −4,9 ) Cuando se resuelven desigualdades que llevan fracciones, es necesario que estas estén relacionadas con respecto de cero.



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PRIMER BIMESTRE

Miremos el siguiente ejemplo:

Resolver la siguiente desigualdad: x − 1 ≥ − 1 x − 2 En este caso en necesario pasar el -1 a la izquierda, para no perder el hecho de que para que la desigualdad tenga sentido, no debe existir la división por cero. Por eso se tiene: x − 1 + 1≥ 0 x − 2 Luego se tiene, x − 1+ x − 2 ≥0 x − 2 2x − 3 ≥0 x − 2 Como podemos observar, para que este cociente tenga sentido, se debe considerar dos cosas: que la razón entre estos dos números sea positiva, tanto numerador y denominador deben tener el mismo signo y que el numerador sea cero, es decir 2x − 3 ≥ 0 y x − 2 ≥ 0 - ambos son positivos o 2x − 3 ≤ 0 y x − 2 ≤ 0 - ambos son negativos. Sin embargo no se debe perder de vista que x-2≠ 0. (evitamos la división por cero).

De la primera relación, se tiene que: x ≥ 3 y x > 2 2

De la segunda relación se tiene: x ≤

3 y x < − 2 2

De los diagramas realizados, se tiene el conjunto solución que es:

x ∈ (−∞, 3 / 2) ∪ (2,∞) Una denición que se emplea muy a menudo en el Cálculo es el de valor absoluto, cuya denición es

como sigue:

 x si, x ≥ 0 x = −x si, x < 0 Esta denición requiere de interpretación y es la siguiente: ella dice, si x es un número positivo, entonces

tómese el mismo número y si este es negativo, entonces tómese el número cambiado de signo. Por lo tanto podemos decir que el valor absoluto siempre es positivo. 12




PRIMER BIMESTRE

Por ejemplo:

Si x = 4, entonces 4 = 4 Hemos tomado el mismo número, Si x = - 4, entonces −4 = −(−4) = 4 . Hemos tomado el número con el signo cambiado.

 De igual forma se tiene para una función f(x) =  f(x) si, f(x) ≥ 0 −f(x) si, f(x) < 0 La denición de valor absoluto, nos lleva a lo que conocemos como la distancia entre dos puntos.

Consideremos dos puntos ubicados en la recta real, entonces la distancia entre estos se representa como a − b . Véase el gráco.

Así mismo, el valor absoluto nos puede llevar a plantear desigualdades con valor absoluto. Analicemos el siguiente ejemplo:

Resolver la siguiente desigualdad: x − 2 < 5 Por la denición de valor absoluto se tiene dos alternativas:

x − 2 < 5 y − (x − 2) < 5 Es decir se tiene: x < 7 y x > − 3 Tratemos de llevar todas estas relaciones a la recta real,

Como vemos, hemos buscado el conjunto de números tales que la distancia hasta el punto 2 sea menor que 5.

Como resultado de todo este análisis tenemos que x ∈ (−3, 7) . En el presente curso nos vamos a dedicar al estudio de las relaciones numéricas, para lo cual; como una herramienta poderosa vamos a utilizar el plano Cartesiano. Un punto en el plano suele escribirse siempre de la forma P(x, y), en donde x es la primera componente y = f(x) y la segunda componente. Muchas de las ideas del Cálculo se comprenden con la ayuda de grácos, es por esto Ud. debe conocer y realizar los grácos de las funciones más conocidas. Como por ejemplo: y = x 2 , y = x 3 , y = sin(x), y = cos(x) . Algunos de los grácos se dan en la página 22 del texto.



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PRIMER BIMESTRE

Módulo p Lea detenidamente este módulo ya que aquí se explican algunas de las herramientas que utiliza el Cálculo y que a lo mejor Ud ya los olvido. Para confeccionar una gráca en el plano cartesiano, hay que tener en cuenta algunos puntos característicos de ésta, tales como puntos de intersección con los ejes, simetrías, puntos máximos y mínimos, puntos de inexión; estos tres últimos se los revisará en el segundo bimestre.

Estos tópicos los puede ver en las páginas 4-6 del libro texto. Resumen de ecuaciones de la recta Podemos resumir los varios tipos de ecuaciones de la recta usados, lo importante es reconocer cuales son los datos con que contamos: a)

b) c) d)

e)

Ecuación de los dos puntos: y − y y − y 1 = 2 1 (x − x 1) x 2 − x1 Ecuación punto pendiente: y − y 1 = m(x − x 1) Ecuación con ordenada en el origen y = mx + b Ecuación simétrica abscisa ordenada al origen. x y + = 1, a,b ≠ 0 a b Ecuación general de la recta Ax + By + C = 0

F

Debemos tener a mano las formas matemáticas de la ecuación de recta y los datos que se necesitan para determinarla.

Ud debe conocer como se identican rectas paralelas y rectas perpendiculares.

Se dice que dos rectas son perpendiculares mutuamente, si el producto de sus pendientes es menos uno. Así, si m1 representa a la pendiente de la recta L 1 y m2 a la recta L2, entonces se tiene que: 1 m1.m2 = −1. O lo que es lo mismo m1 = − m2 Analicemos el siguiente ejemplo:

Determinar la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta cuya ecuación es: 2x − y − 3 = 0 y pasa por el punto P(-1, 2 ).

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PRIMER BIMESTRE

De lo anteriormente señalado, se tiene: si m1 y m2 representan a las pendientes de esas rectas, entonces

m1.m2 = -1.

Si hacemos que m 1 represente la pendiente de la recta 2x − y − 3 = 0 , entonces m2 representará la 1 pendiente de la recta buscada, es decir m2 = − m1 A De la ecuación dada se tiene que, la ecuación es del tipo Ax + By + C = 0 en donde m1 = − . Por B A 2 tanto, se tiene que m1 = − = − = 2 . B −1 1 Recordando que el producto de las pendientes es - 1, se tiene que m2 = − . 2 1 Se conoce que el punto P(-1, 2 ) y la pendiente m2 = − de la ecuación buscada por tanto utilizamos 2 la forma de la ecuación de la recta punto pendiente cuya forma es: y − y 1 = m(x − x1) , En donde las coordenadas x 1 y y1 representan las coordenadas del punto conocido P, m representa su pendiente y, x y representan a las coordenadas genéricas de la recta. 1 Sustituyendo los datos en la ecuación, se tiene: y − 2 = − (x − (−1)) . De donde nalmente la ecuación 2 buscada es: x + 2y − 3 = 0 Dibujando en el plano cartesiano, tenemos.



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PRIMER BIMESTRE

Funciones y sus grácas Muchas de las relaciones que se estudian en matemática son relaciones numéricas, es decir una correspondencia que se establece entre los elementos de un conjunto con los elementos de otro conjunto; podemos tener relaciones como “hijo de”, “padre de”, “perpendicular a”, “paralelo a”, “cuadrado de”, en n tenemos un gran número de relaciones, estas relaciones pueden ser de un

elemento a varios, de uno a uno, de varios a uno, etc. Dentro de este tipo de relaciones, existen las

relaciones que se establecen entre cada elemento de un conjunto con cada elemento de otro conjunto,

a este tipo de relaciones se las llama funciones.

Al conjunto del cual se toma los elementos para establecer la correspondencia, se denomina Dominio, mientras que el conjunto para el cual se encontraron los elementos de correspondencia, se denomina

Recorrido. F

Para reconocer si una gráca corresponde al de una función, lo que hace es trazar una recta paralela al eje y, y si esta corta a la gráca en un solo punto, entonces se trata de una

función. Caso contrario no lo es.

El éxito de aprendizaje del Cálculo tiene que ver el apoyo que se le de a las ideas de este, este apoyo puede ser gráco, numérico o analítico.

Si una función tiene la forma de: f(x) = an xn + an − 1xn − 1 + an − 2 xn − 2 + an − 3 xn − 3 + ....... + a 1x + a o En donde, an y n son enteros, se dice que es una función polinómica entera. Si una función tiene la forma f(x) =

P(x) , Q(x) ≠ 0 se denomina función racional Q(x)

Tenemos algunos ejemplos:

¿Indique a qué tipo de función pertenecen las siguientes funciones?: f(x) = 5x5 − 4x 4 − 6

……………… Polinómica

4 − x 3 + 7x 6 ……………. Racional f(x) = 100 x − 10x 17 + x + 1 h(z) = − z − 17z 5 + 5z8 − 4z 10 + 3z11 …. Polinómica Ahora vamos a confeccionar algunas grácas de funciones.

Revisar la página 22. Gracar la siguiente función f(x) = x 2 − 4

Primeramente construimos una tabla de valores

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PRIMER BIMESTRE

x -3,5 f(x) 8,25

-3 5

-2,5 2,25

-2 0

-1,5 -1,75

-1 -3

-0,5 -3,75

0 -4

0,5 -3,75

* La tabla de valores se puede calcular con la ayuda del Excel ** Los valores trazados con negrita son las intersecciones con los ejes

1 -3

1,5 -1,75

2 0

2,5 3 2,25 5

Seguidamente pasamos a revisar algunas otras funciones periódicas. En todo fenómeno repetitivo (periódico o no periódico), las funciones seno y coseno siempre están presentes, sobre todo en el campo de las telecomunicaciones, climas, etc. Así tenemos a las funciones seno, coseno, impulso unitario y el tren de impulsos.

Seno

Impulso unitario

Coseno

Tren de impulsos rectangulares

Las funciones impulso unitario y tren de impulsos, tienen dentro de su composición un número muy grande de senos y cosenos. El impulso unitario no es repetitivo mientras que el tren de impulsos es una función que se repite luego se cierto tiempo.



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PRIMER BIMESTRE

¿Puede Ud pensar en otros tipos de funciones que se repiten luego de cierto tiempo? Hay un grupo de funciones que suelen denominarse cuasi-periódicas aquí un ejemplo:

y = 5e −0.25t cos(10t) El gráco de la misma es:

Como Ud. observa, se trata de una función periódica, pero; en este caso las amplitudes van disminuyendo conforme aumenta la variable independiente. En general se dice que una función es periódica, si se cumple que f(x) = f(x + nT) , en donde T se denomina período fundamental y n es un número entero. Las funciones más usadas son el seno y el coseno, las cuales se las simboliza así: sen(x) - se lee seno de x cos(x) - se lee coseno de x Así como a la función f se le asigna un argumento (x), el cual se escribe f(x); a las funciones trigonométricas hay que asignárseles un argumento (x). De esto Ud. podrá darse cuenta que no se escribe simplemente sen, cos o tan, sino sen(x), cos(x) o tan(x). Lo mismo ocurre con sus funciones inversas como sen−1(x), cos −1(x) , tan−1(x) . Existen dos unidades que se emplean para las funciones trigonométricas, estas son el grado y el radian. Una manera sencilla de transformar grados a radianes y de radianes a grados, es la siguiente: Transformación de grados a radianes Sea x GRAD un ángulo en grados, entonces: xRAD =

π .x 180 GRAD

Para transformar de radianes a grados Sea xRAD un ángulo en radianes, entonces:

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PRIMER BIMESTRE

x GRAD =

180 .x π RAD

Construyamos el gráco de la función seno

x f(x)

0 0

0.5 1 0.48 0.84

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 1 0.91 0.6 0.14 -0.4 -0.8 -0.97 -0.96 -0.7 -0.3 0.22 0.66

Si usa calculador verique si las unidades son Rad o Deg. No confundir con la unidad Grad, que es otra

mediada de ángulos que divide a la circunferencia en 400 partes, esta unidad no la usaremos.

¿Al gracar la función f(x) = 10−.05x cos(10x) , x en que unidades debe estar en grados o en radianes? F

Recuerde que el lenguaje del Cálculo es el de funciones, es por eso que si Ud. conoce el gráco de una función; puede más o menos predecir el comportamiento de ella y reconocer

algunas de sus propiedades.

Las funciones Exponenciales y las funciones Logarítmicas tienen especial importancia ya que mediante este tipo de funciones son muy utilizadas en el Cálculo, cuyo análisis se realizará en el siguiente semestre en Cálculo II. Una vez conocido algunas de las funciones que se manejan en el Cálculo, pasamos a revisar algunas

operaciones que se pueden realizar con funciones. Es importante tener en cuenta los dominios de

denición de las funciones y sobre todo el dominio de denición de la resultante de una operación

dada entre funciones.

¿La función dada f(x) = 2sen(x) es una función potencial Respuesta

( ). ?

Transformación de funciones Algunas funciones tienen la misma forma pero diferente posición respecto del plano cartesiano. Muy importante para gracar una función es conocer los desplazamientos que esta puede tener en relación con los ejes coordenados. Analicemos un ejemplo: Gracar la siguiente función:

f(x) = 0.5x 3 − 2 Dibujemos primero el gráco de x 3



19


PRIMER BIMESTRE

De este gráco podemos construir el gráco de la función f(x) = 0.5x 3 − 2 , sabiendo simplemente que lo que ha hecho es multiplicarse por 0.5 en el eje vertical, y se ha desplazado dos unidades hacia abajo.

Gráco de f(x) = 0.5x 3

Gráco de f(x) = 0.5x 3 − 2

Revisar la página 23, en donde se da una tabla de transformaciones de una función El encontrar los puntos de intersección con el eje de las x, es resolver la ecuación f(x) = 0.

Para resolver la ecuación f(x) = 0, se puede utilizar diferentes métodos, tales como la factorización, por tanteo, o algún método numérico, como por ejemplo el método de bisección, el método de Newton, etc. En estos métodos el gráco del polinomio da información muy importante para poder darse una

“semilla” inicial de la raíz. En general cualquier polinomio de grado n tiene n raíces, las cuales pueden ser reales o imaginarias.

20




PRIMER BIMESTRE

Clasicación y combinación de funciones Muy importante sino talvez el más importante, es el concepto de función compuesta para el desarrollo del Cálculo. El concepto de función compuesta debe estar claro ya que nos servirá de mucha ayuda para trabajar con funciones mucho más complejas, derivar funciones más complejas, etc. En la página 24 una breve clasicación de las funciones elementales. Analicemos un ejemplo sobre funciones compuestas.

Sea f(x) = x 2 − 1 . y g(x) = 4 / x . Hallar la composición de: f g(x) a) g f(x) b) f g(x) = f(g(x)) = f(4 / x) = ( 4 / x )2 − 1 . Observe que el argumento de f(x) es la función g(x). o

o

a)

o

f g(x) = ( 4 / x )2 − 1 = o

16 − x 2 . En este caso hemos resuelto la fracción x2

16 − x 2 f g(x) = , Por denición x2 función, lo que nos da nalment e: o

16 − x 2 x

f g(x) = o

g f(x) = g(f(x)) =

b)

o

F

x 2 = x , entonces sustituimos en el denominador de la

4 x −1 2

. Observe que el argumento de g(x) lo constituye la función f(x).

Como puede observar, una función a su vez puede ser argumento de otra función . Revise con detenimiento los ejemplos de las páginas 25-26 los cuales le darán una idea global

y clara de la composición de funciones.

IMPORTANTE: f g(x) ≠ g f(x) o

o

Revisemos algunos ejercicios adicionales 1.

Verique si la función y = x es una función par.



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PRIMER BIMESTRE

 x si x ≥ 0 Sea x =  la denición del valor absoluto. −x si x < 0 Una función es par; si verica que f(x) = f(-x) Grácamente, la función debe ser simétrica respecto del eje de las y. Se tiene entonces que

f(x) = x

si x ≥ 0 .

También podemos escribir f( − x) = −(− x) = x , si x < 0 . Como f(x) = f(-x). Por tanto f(x) = x es una función par.

Como se puede observar del gráco, la gura es simétrica con respecto al eje de las y.

1 . x − 1 Para que la función tenga sentido, la cantidad subradical tiene que ser cero o mayor que cero ya que solo para esos casos existe la raíz real par. 2.

Encuentre el Dominio de la siguiente función t(x) =

La función dada se puede escribir de otra forma: t(x) =

1 x − 1

De lo que seduce que: x − 1 > 0 , y x − 1 ≠ 0 , ya que de lo contrario, la función carecería de sentido. De x − 1 > 0 , se deduce que x > 1, a condición de que el denominador no sea cero, despreciamos la igualdad. Por tanto conjugando las dos condiciones anteriores se tiene que el dominio de la función es:

D t = (1, ∞

).

Para la función f(x) = x encuentre f(1/x), x − 1 Calculamos f(1/x):

3.

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PRIMER BIMESTRE

1 1  1  x 1 f   . Sustituimos en el lugar de x ponemos 1/x, y resolvemos las operaciones = = x =   x  1 − 1 1− x 1− x x x indicadas. De lo cual resulta.

 1  1 f   = −   x  x − 1

Actividades Complementarias 1)

Determine si las siguientes funciones son pares o impares a)

y = 1+ cos(x)

b)

y =

1+ x 1+ x 2

2)

Determine el dominio y recorrido de la siguiente función y = − x + 3

3)

Determine cual de las siguientes relaciones son funciones: a)

x − y 2 = 0

b)

x 2 − 4 − y = 0

c)

x2 + y 2 = 4

d)

 x + 1 x ≤ 0 y =  −x + 2 x > 0

4)

Resuelva:

a)

Se desea construir una caja abierta con un cartón de 24 cm. de lado, cortando cuadrados iguales

en las esquinas y doblando los lados hacia arriba. Encontrar una expresión para el volumen en función de x y estimar las dimensiones de la caja que produce el máximo de volumen.

b)

Un ganadero decide vallar un terreno de pasto rectangular adyacente a un río. Dispone de 100 m de valla y el lado que da al río no precisa vallar. Expresar el área (A) del terreno en función de las dimensiones de los lados paralelos. Cuál es el dominio de A?

SOLUCION: a)

Para determinar si es par una función, se debe determinar f(x) = f( − x) f(x) = 1+ cos(x) f( −x) = 1+ cos(−x) = 1+ cos(x) f(x) = f( −x) Por tanto la función es par (no es necesario vericar si es impar)



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PRIMER BIMESTRE

1+ x . Vericamos si la función es par 1+ x 2 1+ (− x) 1− x f( −x) = = 1+ (−x)2 1+ x 2 f(x) ≠ f( −x) Por lo tanto no es par f(x) =

b)

Para vericar que la función es impar, se debe vericar que f(x) ≠ − f( − x)

−f( −x) = −

1+ (−x) 1− x x − 1 =− = 2 1+ (− x) 1+ x 2 1+ x 2

f(x) ≠ − f( −x) Por consiguiente no es impar Por lo tanto la función no es ni par ni impar. 2)

Para que la función tenga sentido, se tiene que dar x + 3 ≥ 0 . De esto se tiene que x ≥ − 3 , es decir el dominio de la función es: D f = −3, ∞) .

3)

Para vericar grácamente si una relación es una función, una recta vertical debe cortar la gráca

de la relación en un solo punto.

24

a)

x − y 2 = 0 , si observamos la recta ha cortado en dos puntos a la gráca, por lo tanto no es una función

b)

x 2 − 4 − y = 0 , en esta gráca vemos que la recta corta por un solo punto a las grácas. Por lo tanto si es una función.




PRIMER BIMESTRE

c)

d)

4.

x 2 + y 2 = 4 , En esta gráca vemos que se trata de una circunferencia y la recta corta a la curva en dos puntos, por tanto no es una función.

 x + 1 x ≤ 0 y =  . Esta relación esta denida en partes y se tratan de rectas, que como −x + 2 x > 0 uds. conocen son funciones.

a) De acuerdo a los datos del problema se tiene que:

Como se puede ver a los 24 debemos descontar los lados de longitud x El volumen entonces se determina como V = x(24 − 2x)(24 − 2x) Si gracamos la relación obtenida, se puede ver que el valor máximo se alcanza

cuando x ≈ 4 , de

esto se puede encontrar el resto de dimensiones. Que son 16 cm. por cada lado y desde luego 4 cm de alto. (Este es un problema típico de aplicación de la derivada)



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PRIMER BIMESTRE

100 − x Conocemos que todo el perímetro es 100 y esto es: 100 = 2y + x , de donde y = , 2   es decir el área del terreno es A = xy = x  100 − x  . El dominio de la relación obtenida es   2  D A = 0, 100

b)

Si gracamos esta relación tenemos que el valor máximo del área se la obtiene cuando x=50.

26




PRIMER BIMESTRE

LÍMITES Y SUS PROPIEDADES

MÓDULO 1

Para continuar con el desarrollo de la materia, entramos al concepto más importante y fundamental dentro de toda la teoría del Cálculo, esto es el Límite. Para esto, primero empezamos hablando de una manera intuitiva tratando de ubicarnos en el contexto de todo el estudio del Cálculo. Para esto se requiere que ud lea las páginas de 42 a 44. Cuando se habla de límite hay una idea de movimiento en variable independiente y dependiente, fíjese cuando se dice “el límite de f(x) cuando x tiende a c”. Por eso debemos pensar en la variable

independiente esta se vaya moviendo hacia el punto donde se quiere calcular el límite tanto por la derecha como por la izquierda de ese punto.

Lea detenidamente el análisis de los problemas de la recta tangente y el problema del área en las páginas 45-46. Preste atención a la forma como uno se acerca al punto (se da la idea de movimiento), no importa la forma de hacerlo. Revise los ejemplos 1 y 2 de la página 49, en ellos nos explican que al aproximarse al punto, se lo

puede hacer de dos formas por la izquierda o por la derecha. Y sobre todo que:

El límite de una función, no depende si la función esta o no denida en el punto, esta puede estar o no denida en el punto. Veamos otro ejemplo sobre lo dicho.

Calcular el límite de la función en el punto x = 3, f(x) = Lim f(x) = Lim x →3 x →3

x 2 − x − 6 x − 3

x 2 − x − 6 (x − 3)(x + 2) . Hemos factorizado el numerador = Lim x →3 x − 3 x − 3

(x + 2) = 3 + 2 = 5 . Hemos simplicado el término semejante. = Lim x →3 Lim x →3

x 2 − x − 6 =5 x − 3

x 2 − x − 6 Se tiene que f(x) = . Como puede observar, la función no esta denida para x − 3 calculando el límite, este es igual a 5.

x = 3; pero

IMPORTANTE: F

Se debe señalar que si bien no se dan el dominio de denición de las funciones, el dominio

de éstas será el conjunto donde las funciones tengan sentido . Una observación muy importante es la siguiente: Analicemos un poco más el ejemplo anterior:



27


PRIMER BIMESTRE

x 2 − x − 6 Sea f(x) = , factorizando el numerador, se tiene que f(x) = (x − 3)(x + 2) se sobre entiende x − 3 x − 3 x 3 ≠ que x no puede tomar el valor de 3 ( ) ya que se tendría una división por cero (0/0), lo cual no tiene sentido desde el punto de vista matemático. Luego si simplicamos el término x – 3, obtenemos

una nueva función. g(x) = x + 2

Fíjese que f(x) ≠ g(x) , ya que sus dominios no son iguales. Si construimos los grácos de estas dos funciones, tenemos: Los grácos nos muestran que las funciones son diferentes ya que en el punto x = 3 , la función no esta denida.

Ahora Ud. se preguntará cómo es que entonces se escribe: lim x →3

(x − 3)(x + 2) (x + 2) = 5 = lim x →3 x − 3 .

Lo que pasa es que cuando nosotros analizamos el límite, no tomamos el valor x = 3 , (no sustituimos el valor de 3 directamente con el de x en la función); si no, tomamos valores cercanos a 3. ( x → 3). De ahí que se pueda simplicar el término x − 3 por cuanto éste aunque es un número pequeño, éste sin embargo nunca es cero, de ahí que no se requiere que la función este denida en el punto. F

En general cuando se calcula el límite de una función en el que al sustituir directamente el valor de la variable en la expresión se obtiene una indeterminación del tipo 0/0. Lo que primero que se debe realizar es, liberarse del término que causa esta indeterminación mediante la racionalización del numerador o denominador según convenga o realizar cualquier articio matemático.

Veamos el siguiente ejemplo:

Calcular el límite de la siguiente función: lim x→4

28

1+ 2x − 3 x − 2




PRIMER BIMESTRE

Al reemplazar directamente x por 4, se tiene una indeterminación de la forma 0/0. Lo que implica que se debe racionalizar la expresión. ( 1+ 2x − 3)( 1+ 2x + 3)( x + 2) . Multiplicamos y dividimos al mismo tiempo por la conjugada (la ( x − 2)( x + 2)( 1+ 2x + 3) conjugada de un monomio es el mismo monomio cambi ado de signo). Esto esta permitido ya que en realidad lo que se esta haciendo es multiplicando por 1.

= lim x→4

1+ 2x + 3 1+ 2x + 3

1=

Así vemos que los dos primeros términos nos dan el producto de la suma por la diferencia, lo cual se descompone en la diferencia de cuadrados, que al desarrollarlo queda como se tiene en la parte inferior. Lo mismo se tiene con los dos primeros términos del denominador de la expresión ((1+ 2x) − 9)( x + 2) = lim x→4 (x − 4)( 1+ 2x + 3) lim x→4

2(x − 4)( x + 2) x + 2 . Aquí simplicamos términos iguales = lim (x − 4)( 1+ 2x + 3) x → 4 1+ 2x + 3

Evaluando el límite ahora que no se tiene ningún tipo de indeterminación, se tiene que: lim x→4

2(x − 4)( x + 2) 4 + 2 2 = = (x − 4)( 1+ 2x + 3) 1+ 2.4 + 3 3

Como puede observar se tenía una indeterminación del tipo 0/0, al sustituir directamente, pero hemos procedido a racionalizar numerador y denominador de tal manera de eliminar el término (x - 4) el cual es el causante de la indeterminación. Finalmente tenemos que: lim x→4

1+ 2x − 3 2 = 3 x − 2 Analice los comentarios asociados sobre la existencia del límite en la página 51.

IMPORTANTE: F

Para la denición formal de límite, por tradición se han empleado las letras griegas ε y δ

que representan números arbitrarios los cuales nos indican cuan cerca esta un número x de un número c y lo mismo cuan cerca esta F(x) de L. Es decir, ε y δ simplemente nos sirven de referencia para poder decidir si un número tomado x esta cerca del punto c o no, y lo mismo de F(x) cerca o no de L. Todo lo dicho se plantea de la siguiente manera:



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analisis matematico de la universidad de loja.pdf

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