Análisis - Fundamentos de Matemática Apuntes de Estudio 81

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS APUNTES DE ESTUDIO 81  John Cotrina

I.

LÓGI ÓGICA Y CONJUNTOS I.1. LÓGICA PROPOSICIONAL PROPOSICIÓN DEFINICIÓN: Una proposición es un enunciado que puede ser verdadero o falso pero no ambas a la ve! DEN"#$CIÓN: DEN"#$CIÓN: %e suelen denotar con letras min&sculas p' q' r' (  #$)*$  #$)*$ DE +E,D$D: p p  !p # +  F + + F V + NEGACIÓN + valores F F F F DEFINICIÓN: Una proposición con los F + + V + opuestos F F + V F ! DEN"#$CIÓN: -p p DE +E,D$D:  #$)*$  #$)*$ F + CONJUNCIÓN DEFINICIÓN: .p / q0 DEN"#$CIÓN: p 1 q  #$)*$  #$)*$ DE +E,D$D: p  p%  + + + + F F F + F F F F DEFINICIÓN: .p o q0 DEN"#$CIÓN: p 2 q  #$)*$  #$)*$ DE +E,D$D: p  p#  + + + + F + F + + F F F p o q0 DEN"#$CIÓN: p 3 q  #$)*$  #$)*$ p  p(  + + F + F + F + + F F F

%i p / q son dos proposiciones! proposiciones! $sociado a p se de4ne: RECÍPROCA: q → p CONTRAPOSITIVA: -q → -p

→ q'

EQUIVALENCIAS EQUIVALENCIA DEFINICIÓN: Decimos que dos proposiciones compuestas 5 / 6 son equivalentes si tienen la misma tabla de verdad' entonces 5 7 6 p → q 7 -p 2 q

p

p + + F F LEYES DE MORGAN

→ q

7 -q

→ -p

 ! → !p + F V F F + F F + F V + F + V +

-8p 2 q9 7 -p 1 -q

DISYUNCIÓN | DISYUNCIÓN INCLUSIVA

p



!"p # $

!p % !

+ + F F

+ F + F

F F F V

F F + +

+ + + F

F F F V

F + F +

-8p 1 q9 7 -p 2 -q

TAUTOLOGÍA DEFINICIÓN: Una proposición compuesta es tautolo;a cuando su tabla de verdad tiene solo valores veredaderos

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA DEFINICIÓN: .o p  p ↔  + + + + F F DE +E,D$D: F + F F F +

CONDICIONAL DEFINICIÓN: .%i p' entonces q0 p es el antecedente / q el consecuente DEN"#$CIÓN: p → q  #$)*$  #$)*$ DE +E,D$D: p  p →  + + + + F F F + + F F +

&ICONDICIONAL DEFINICIÓN: .p si / solo si q0 DEN"#$CIÓN: p ↔ q  #$)*$  #$)*$ DE +E,D$D:





*a bicondicional p ↔ q es equivalente a la con
.D"% 5,"5"%ICI"NE% C">5UE%#$% %"N E6UI+$*EN#E% E6UI+$*EN#E% %I ? %"*" %I %U )IC"NDICI"N$* E% UN$ UN $ #$U#"*"@A$0

I.'. CONJUNTOS CONJUNTO Un con
ob
CONJUNTO POR EXTENSIÓN Un con
CONJUNTO UNIVERSAL Formado por todos los ob
IGUALDAD DE CONJUNTOS Diremos que los con
)

CONJUNTO POR COMPRENSIÓN %e necesita un con
R $ S 8$ Q )9!

R $ Q ) B ) Q $!

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS %ea U un c!u! / $' ) subcon
)

PROPIEDADES 5or cada con
-8= G U' Lp8=9M9 7 K= G U' L-p8=9M! -8K= G U' Lp8=9M9 7 = G U' L-p8=9M! E
Un elemento que pruebe la falsedad de un enunciado oriinal es llamado *+,-/002p3+.

I.4. SU&CONJUNTOS INCLUSIÓN DE CONJUNTOS Dado $ / )' dos con
R $ ∩ ) S $!

R $ ∩ ) B ) ∩ $!

$ / ) son dis
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO %ea U un c!u! / $ un subcon
U ) $

%ea U un c!u! / $ subc! De U' se cumple: U B $ Q $c

%i U es un c!u! / $' )' C' subcs! De U' entonces: R 8$ Q )9c B $c T )c R 8$ T )9c B $c Q )c DIFERENCIA DE CONJUNTOS %ea U un c!u! / $' ) subcon
)

 R N&meros ,eales N&meros Irracionales

RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS NUM6RICOS ZO[O\O

N7MEROS REALES POSITIVOS V B = G : = ] X

I!. CONJUNTOS FINITOS *os con
5odemos ver que $ c B U H $

I.5. CONJUNTOS NUM6RICOS

CARDINAL %ea $ un con
PROPIEDADES ALGE&RAICAS 

ASOCIATIVA "SUMA Y PRODUCTO$ a' b' c G ' LaV8bVc9 B 8aVb9Vc 1 aW8bWc9 B 8aWb9WcM!

CONMUTATIVA "SUMA Y PRODUCTO$ a' b G ' LaVb B bVa 1 aWb B bWaM

DISTRI&UTIVA a' b' c G ' LaW8bVc9 B aWb V aWcM!

NEUTROS "SUMA Y PRODUCTO$ a G ' LaVX B a 1 aWY B aM

INVERSO DE LA SUMA a G ' Kb G ' LaVb B XM

INVERSO DEL PRODUCTO a G  R X' Kb G ' LaWb B YM

CONJUNTOS NUM6RICOS Z R N&meros Naturales [ R N&meros Enteros \ R N&meros ,acionales



n8$9 B n8$ R )9 V n8$ ∩ )9! n8$ Q )9 B n8$9 V n8)9 H n8$ ∩ )9!

%ean $ / ) 4nitos del c!u! U' se cumple que si $ O )' entonces: n8$9 ^ n8)9