Análisis del lugar de las raíces (Root locus)
Root locus analysis • Las raíces de la ecuación característica son graficadas contra todos los valores de un parámetro del sistema • El parámetro es la ganancia de la función de transferencia en lazo abierto • Sus valores son variados desde cero al infinito • Permite predecir los efectos de la localización de los polos en lazo cerrado – cuando se varía el valor de la ganancia – Cuando se agregan polos o ceros en lazo abierto
Root locus analysis • El lugar de las raíces es el lugar de las raíces de la ecuación característica del sistema en lazo cerrado, cuando un parámetro (K) se varía de cero al infinito • La gráfica muestra la contribución de cada cero o polo en lazo abierto sobre la ubicación de los polos en lazo cerrado • Para diseñar un sistema de control el lugar de las raíces indica como deben modificarse los ceros o polos en lazo abierto para que la respuesta cumpla con las especificaciones.
Función de transferencia en lazo abierto
B( s) K ( s m bm1 s m1 ... b1 s bo ) G ( s) K A( s) s n a n 1 s n 1 ... a1 s a 0 Función de transferencia en lazo cerrado
G (s) B( s) K 1 G ( s) A( s ) KB ( s )
A( s ) KB ( s ) 0 Ecuación característica
1 G (s) 0
B(s) G (s) K A( s )
A( s ) KB ( s ) 0
Si K 0 las raíces del polinomio característico tienden a las los polos en lazo abierto Si K las raíces del polinomio característico tienden a ser los ceros en lazo abierto.
B(s) G ( s) K 1 A( s )
G(s) 1
G ( s ) (2k 1)
k 0,1,2,...
Condición magnitud
G (s)
K ( s z1 )...( s z m) ( s p1 )...( s p n)
m
K G(s)
s zi i 1 n
s pi i 1
1
Cualquier punto en el plano-s que esta sobre el lugar de las raíces debe satisfacer esta condición Se puede determinar K
Condición ángulo
m
G ( s)
n
(s z i ) (s p j ) (2k 1) i 1
j 1
m
G ( s)
Para K >0
n
(s zi ) (s p j ) 2k i 1
j 1
Para K<0
Condiciones de magnitud y de ángulo R(s)
Y(s) +
-
G(s)
H(s)
Y ( s) G ( s) R( s) 1 G ( s) H ( s)
1 G ( s) H ( s) 0
G ( s ) H ( s ) 1
F.T. en lazo cerrado
Ecuación característica
Condición ángulo:
G( s) H ( s) 180(2k 1)
k=0, 1,2,...
Condición magnitud:
G(s) H (s) 1 Los valores de s que satisfacen ambas condiciones son los polos en lazo cerrado o las raíces de la ecuación característica. Las raíces de la ecuación característica que se corresponden con un valor dado de la ganancia pueden ser determinados a partir de la condición magnitud
Propiedades del lugar de las raíces Propiedad 1. Dado que los polos y ceros en lazo abierto son o reales o complejos conjugados el polinomio
A( s ) KB ( s )
puede tener raíces reales o complejas
conjugadas. El lugar de las raíces es simétrico alrededor del eje real. Propiedad 2. El número particular de lugares de un sistema particular es igual al número de polos (n) de la función de transferencia en lazo abierto
nm
Propiedad 3. Si K > 0 entonces para que un punto sobre el eje real radique sobre el lugar de las raíces debe existir un numero impar de polos y ceros a la derecha de ese punto. Si K <0 entonces para que el punto sobre el eje real pertenezca al lugar de las raíces debe existir un numero par de ceros y polos a la derecha de ese punto. Propiedad 4. El número de lugares que tienden al infinito esta dado por el número de Polos en lazo abierto menos el numero de ceros (n-m).
Ejemplo 1. Consideremos el sistema descrito por la función de transferencia:
K ( s 2) G ( s) ( s 1)( s 3)
K=0
K
K
K ( s 2) K ( s 2) G ( s) ( s 1)( s 3) ( s 1)( s 3) K ( s 2) K ( s 2) ( s 1)( s 3) K ( s 2) ( s 1)( s 3) K ( s 2) 1 G ( s) 1 ( s 1)( s 3) ( s 1)( s 3) La ecuación característica es:
( s 1)( s 3) K ( s 2) 0 Para K=0 se tiene que s=-1 y s=-3 Los lugares tienden hacia el cero s=-2 y hacia s=-inf. Usando las propiedades 3 y 4. Consideremos el punto s=-1.4 La condición ángulo se satisface ya que calculando los ángulos desde el cero s=-2 y el polo s=-3 son ambos cero. El ángulo desde el polo s=-1 es
G ( s ) 0 0 (2k 1)
Para la condición magnitud
K ( s 2) K (0.6) G (s) 1 ( s 1)( s 3) (0.4)(1.6) 0.6 es la magnitud al punto s=-1.4 desde el cero s=-2 0.4 es la magnitud al punto s=-1.4 desde el polo s=-1 1.6 es la magnitud al punto s=-1.4 desde el polo s=-3 Note que K=1.0667
Procedimiento de lugar de las raíces
• Obtener la ecuación característica en la que el parámetro K aparece como un multiplicador
1 KP ( s ) 0 • Factorizar P(s) en términos de np polos y mz ceros. m 1 K
i z1 ( s z i )
np j 1 ( s
pj)
0
Procedimiento de lugar de las raíces • Localizar los polos y los ceros de P(s) en el plano-s con los símbolos ‘x’ para polos y ‘o’ para los ceros SL n p • Determinar el número de lugares n p nz si Localizar los segmentos del eje real del lugar de las raíces – Un lugar inicia en un polo y termina en un cero o en el infinito – Un punto pertenece al lugar si está a la izquierda de un número impar de polos y ceros
Procedimiento de lugar de las raíces
• El lugar de las raíces es simétrico con respecto al eje real • El lugar sigue una trayectoria hacia los ceros en el infinito siguiendo asíntotas centradas en el centroide p j zi A n p nz
y ángulos: 2q 1 A 180 n p nz
q 0,1,2,...(n p n z 1)
Procedimiento de lugar de las raíces • Utilizando el criterio de Routh-Hurwitz determinar el punto en el cual el lugar de las raíces cruza el eje imaginario (si esto sucede) • Determinar el punto de escape sobre el eje real, si este existe – Calcular – Determinar
dp ( s ) 0 ds
1 K p( s) P(s)
dp ( s ) 0 ds
– Determinar las raíces o gráficamente encontrar el máximo de p(s)
Procedimiento de lugar de las raíces
• Determinar los ángulos de salida de los polos complejos y el ángulo de llegada de los ceros complejos usando en criterio
P( s ) 180(2k 1) en
s pj
P( s ) 180(2k 1) en
sx
o s zi Determinar la localización de las raíces que satisfaga el criterio
Procedimiento de lugar de las raíces • Determinar el valor del parámetro Kx en una raíz específica s x
Kx
np j 1 s p j nz i 1 s z i
s sx
Procedimiento root locus R(s)
Y(s) +
-
G(s)
1. Localizar los polos y ceros de G(s)H(s) sobre el plano complejo – Las ramas del lugar de las raíces inician en los polos en lazo abierto y terminan en los ceros o en el infinito
K G( s) s( s 1)(s 2)
2. Determinar el lugar de raíces sobre el eje real – Elegir un punto de prueba. El punto pertenecerá al lugar de las raíces si el número total de ceros y polos a su derecha es un numero impar – En el ejemplo supongamos que s está del lado derecho del eje imaginario, entonces:
s s 1 s 2 0
La condición ángulo no se satisface
– Para un punto localizado entre 0 y -1.
s 180
(s 1) 0
(s 2) 0
s ( s 1) ( s 2) 180 Condición ángulo correcta
– Para un punto localizado en el segmento -1 y -2 se tiene:
s (s 1) 180
(s 2) 0
s ( s 1) ( s 2) 360 La condición ángulo no se satisface Para un punto localizado en el segmento -2 a - infinito
s ( s 1) ( s 2) 180
s ( s 1) ( s 2) 540 La condición ángulo se satisface
• 3. Determinar las asíntotas del lugar de las raíces –
N n p n z Número de trayectorias al infinito
Centroide de las asíntotas sobre el eje real n
m
( p j ) ( z i )
polos ( P( s ) ceros( P ( s )) j 1 A n p nz
i
n p nz
Ángulos de las asíntotas
2q 1) A 180 n p nz
q 0,1,2,...(n p n z 1)
• En el ejemplo:
(0) (2) (1) 3 A 1 3 3
(2q 1) A 180 3 1 • A 3 180 60 •
A 180
5 • A (180) 300 3
q 0 ,1, 2
q=0 q=1 q=2
• 4. Encontrar el punto disidente (breakaway point) y el punto de adaptación (break-in point)
Sea la ecuación característica
f ( s) B( s) KA( s) 0
f ( s) 0
Tiene múltiples raíces en los puntos donde
df ( s ) 0 ds Supongamos que
r
f (s) (s s1) (s s2 )...(s sn )
• Si se diferencia la ecuación anterior y se evalua s en s=s1se obtiene:
df ( s ) ds Entonces:
s s1
0
Varias raíces satisfacen esta ecuación
df ( s ) dB ( s ) dA ( s ) K 0 ds ds ds
Se puede obtener el valor de K que puede producir raíces múltiples de la ecuación característica
dB ( s ) / ds K dA( s ) / ds
• Sustituyendo K en
f ( s ) B( s) KA( s ) 0
dB ( s ) / ds f (s) B (s) A(s) 0 dA ( s ) / ds
dA( s ) dB ( s ) B( s) A( s ) 0 ds ds
o
Resolviendo esta ecuación para s, se obtienen los puntos donde ocurren raíces múltiples
• Un segundo procedimiento es a partir de la E.C.
f ( s) B( s) KA( s) 0 B( s ) K A( s )
dK dB( s ) / dsA( s ) B( s )dA( s ) / ds 0 2 ds A ( s)
Para el ejemplo se tiene:
1 G( s) 0 K 1 0 s ( s 1)( s 2) 3
2
K s(s 1)(s 2) (s 3s 2s) dK 2 (3s 6s 2) 0 ds s 0.4226
Solución
s 1.5774
No solución
• 5. Determinar los puntos donde el lugar de las raíces cruza el eje imaginario, mediante el criterio de Routh 1
sn
a n1
s n 1
b1
s n2
c1
s n 3 ...
s1
...
...
.
.
a n2
a n4
a n3
a n5
...
...
b2
b3
...
c2
c3
...
...
...
s0 a n 3 b1 a n 2 a n 1
b2 a n 4
a n 5 a n 1
c1 a n3
a n1 b2 b1
c 2 a n 5
a n 1 b3 b1
Ejemplo:
4
3
2
s 6 s 11s 6 s 15 0
s4
s3 s2 s1 s0
1 6 10 -3 15
11 6 15
15
Sistema inestable dado el cambio de signo en la primera columna
Para la ecuación característica considerada se tiene:
3
2
s 3s 2 s K 0 s3 s2 s
1 3 6 K 3
1
s0
2 K
K
Si K=6 entonces hay un cero en la primer columna. Los puntos de cruce del eje imaginario pueden obtenerse resolviendo la ecuación auxiliar correspondiente al renglón
3s 2 K 3s 2 6 0
s2 sj 2
sj 2
sj 2
• 6. Determinar el ángulo de partida (o ángulo de llegada ) del lugar de las raíces para un polo complejo ( en un cero complejo) Angulo de partida desde un polo complejo = 180° - (suma de ángulos de los vectores al polo complejo desde otros polos) + (suma de ángulos de los vectores al polo complejo desde los ceros)
Angulo de llegada a un cero complejo = 180° - (suma de ángulos de los vectores al cero complejo desde otros ceros) + (suma de ángulos de los vectores al cero complejo desde los polos)
1 180 2 1 180 90 55 145
1 1
1 2
2
7. Generar el esquema del lugar de las raíces usando varios puntos de prueba en una vecindad amplia del origen del plano complejo
Lugar de las raíces en Matlab R(s)
Y(s) +
Si
G( s)
G(s)
-
K ( s 3) s ( s 1)(s 2 4s 16)
num=[0 0 0 1 3]; den=conv([1 1 0],[1 4 16]); rlocus(num,den);
Lugar de las raíces en Matlab R(s)
Y(s) +
G (s)
G(s)
-
K s ( s 0.5)( s 2 0.6 s 10)
num=[0 0 0 0 1]; den=conv([1 0.5 0],[1 0.6 10]) rlocus(num,den)
num=[0 0 0 0 1]; den=conv([1 0.5 0],[1 0.6 10]); r=rlocus(num,den); plot(r,’o’); axis([-6 6 -6 6];
Lugar de las raíces en Matlab num=[0 0 0 0 1]; den=[1 1.1 10.3 5 0]; K1=0:0.2:20; K2=20:0.1:30; K3=30:5:1000; K=[K1 K2 K3]; r=rlocus(num,den,K); plot(r,’o’); v=[-4 4 -4 4]; axis(v);
Lugar de raíces en Matlab A=[ 0 1 0; 0 0 1; -160 -56 -14]; B=[0;1;-14]; C=[1 0 0]; D=[0]; K=0:0.1:400; rlocus(A,B,C,D,K) v=[-20 20 -20 20]; grid
j
n
n 1 2
n
cos Uso sgrid
Uso de sgrid num=[ 0 0 0 1]; den=[1 4 5 0]; rlocus(num,den); axis([-3 1 -2 2]); sgrid([0.5,0.707],[0.5, 1.2]);
Uso sgrid num=[0 0 0 1]; den=[1 4 5 0]; rlocus(num,den); axis([-3 1 -2 2]); sgrid(0.5,[]);
Uso de rlocfind num=[ 0 0 0 1]; den=[1 4 5 0]; rlocus(num,den); v=[-3 1 -2 2]; axis(v); sgrid(0.5,[]); [K,r]=rlocfind(num,den);
Sistemas de fase mínima Sea la F.T.
G( s)
s2 s 3 4 s 2 5s 10
Sistemas de fase no mínima
Efecto de los polos sobre el lugar de las raíces
G (s)
1 s 1
Efecto de los polos sobre el lugar de las raíces G (s)
1 s 2 5s 6
Efecto de los polos sobre el lugar de las raíces G ( s)
1 s 3 9 s 2 26 s 24
Efecto de los ceros sobre el lugar de las raíces G (s)
s 6 s3 9s
2
26 s 24
Efecto de los ceros sobre el lugar de las raíces G ( s)
s 3.5 s 3 9s 2 26 s 24
Efecto de los ceros sobre el lugar de las raíces G(s)
s 1 s 3 9 s 2 26 s 24
Diseño de sistemas de control mediante lugar de las raíces
• A partir de las especificaciones de desempeño, determinar la localización deseada de los polos dominantes en lazo cerrado – Polos que dominan el comportamiento de la respuesta transitoria – Frecuentemente son complejas conjugadas
• Generar la gráfica del lugar de las raíces del sistema sin compensación – Evaluar si un ajuste en la ganancia solamente puede producir el efecto deseado sobre los polos en lazo cerrado – Calcular el ángulo de deficiencia aportado por el compensador con adelanto
Diseño de sistemas de control mediante lugar de las raíces
• Suponiendo que el compensador s 1 Gc (s) K c Kc s 1
s s
G c (s)
es:
1
1
0 1
Donde y se determinan a partir del ángulo de deficiencia.
K c se determina a partir de los requerimientos en lazo abierto
Diseño de sistemas de control mediante lugar de las raíces
• Si no se especifican constantes error estáticas, determinar la localización del polo y cero del compensador con adelanto tal que el compensador contribuya al ángulo necesario – Intentar un valor de lo mas grande que se pueda ya que con esto se obtiene una Kv grande lo cual es deseable
• Determinar la ganancia en lazo abierto del sistema compensado a partir de la condición magnitud • Verificar si el sistema compensado cumple con las especificaciones . Si es necesario repetir el proceso de diseño ajustando el polo y el cero del compensador hasta que los criterios de diseño sean satisfechos
+
-
4 G( s) s( s 2)
Y(s)
Y ( s) 4 4 2 R( s ) s 2 s 4 ( s 1 j 3)( s 1 j 3) Los polos en lazo cerrados están localizados en:
s 1 j 3 Usando la forma estándar 2 n
Y (s) 2 R ( s ) s 2 n s n2
2n 2
n2 4
0.5
n 2
Rad/seg
4 4 4 K v lim sG ( s ) lim s 2 lim s 2 s 0 s 0 s 2 s 4 s0 s( s 2) 2
seg-1
Se desea modificar los polos en lazo cerrado tal que la frecuencia natural sin amortiguación sea:
n 4
rad/seg
El factor de amortiguamiento deseado es:
Usando sgrid sgrid(0.5,4)
0.5
Usando:
cos
cos 0.5 1
cos (0.5)
180
60
De acuerdo a la figura anterior los polos deseados en lazo cerrado son:
s 2 3.4641 j
El sistema con compensación tiene la función de transferencia en lazo abierto
1 s Gc ( s )G ( s ) K c G( s) 1 s Donde:
1
s s 1 Gc ( s ) K c Kc 1 s 1 s
0 1
4 s( s 2)
s 2 3.4641 j
30
j P
A
1
2
2
C
D B
1
O
Ubicando el cero s=-2.9
1 0.345 2.9
El polo s=-5.4
1 0.185 5.4
0.537 La función de transferencia del sistema con compensación es:
s 2.9 4 K ( s 2.9) Gc ( s )G ( s ) K c s 5.4 s( s 2) s( s 2)( s 5.4)
K 4 Kc
El lugar de las raíces del sistema compensado es : num=[1 2.9]; den=conv([1 2 0],[1 5.4]); rlocus(num,den)
La ganancia K puede ser evaluada a partir de la condición magnitud:
K ( s 2.9) 1 s ( s 2)( s 5.4) s 23.4641 j
K 18.7 18.7( s 2.9) Gc ( s )G ( s ) s( s 2)( s 5.4)
18.7 Kc 4.68 4
Ver archivo usocomplex.m
K c 2.51 Entonces el compensador con adelanto tiene la función de transferencia:
0.345s 1 s 2.9 Gc ( s ) 2.51 4.68 0.185s 1 s 5.4 La F.T. del sistema con compensación es:
Y ( s) 18.7( s 2.9) 18.7 s 54.23 3 R ( s ) s( s 2)( s 5.4) 18.7( s 2.9) s 7.4 s 2 29.5s 54.23
Respuesta del sistema en lazo cerrado sin y con compensación step(num,den) step(numc,denc)
Compensadores con retraso • Generar un diagrama de lugar de las raíces del sistema sin compensación con F.T. En lazo abierto G(s) – Localizar los polos dominantes sobre el lugar de las raíces
• Suponiendo que la F.T. del compensador con retraso es: 1
s s 1 Gc ( s ) Kˆ c Kˆ c 1 s 1 s
1
Compensadores con retraso • La F.T. en lazo abierto es: Gc(s)G(s) • Evaluar la constante error estática especificada en el problema • Determinar la cantidad a incrementar en la constante error estática necesaria para satisfacer las especificaciones • Determinar el cero y polo del compensador con retraso – Generar el incremento en la constate error estática – No afecta el lugar de raíces original
Compensadores con retraso • Generar el nuevo lugar de las raíces para el sistema con compensación – Localizar los polos en lazo cerrado
• Ajustar la ganancia
+
-
Kˆ c
1.06 G( s) s( s 1)( s 2)
Y(s)
numol=[0 0 0 1.06]; denol=conv([1 1 0], [1 2]); Gol=tf(numol,denol) rlocus(Gol)
La FT en lazo cerrado es:
1.06 3 2 Y ( s) G( s) 1.06 s 2 s 2s 1.06 R( s) 1 G ( s ) 1 s 3 3s 2 2 s 1.06 s 3 3s 2 2 s Y ( s) 1.06 1.06 R ( s ) s( s 1)( s 2) 1.06 ( s 2.3386)( s 0.3307 0.5864 j )( s 0.3307 0.5864 j ) Usando la función feedback Gcl=feedback(Gol,1)
Los polos dominantes son:
s 0.3307 0.5864 j
Y ( s) 1.06 1.06 R ( s ) s( s 1)( s 2) 1.06 ( s 2.3386)( s 2 0.6614 s 0.4533) Considerando
n2 0.4533
n 0.673
El factor de amortiguamiento de los polos dominantes en lazo cerrado es:
2n 0.6614
0.6614 0.491 2(0.6733)
La constante error de velocidad estática es:
K v lim sG ( s ) lim s s 0
s 0
1.06 1.06 0.53 s( s 1)( s 2) 2
sec-1
Se desea que el sistema tenga una constante error de velocidad estática de 5 sec-1 sin cambiar en forma apreciable la localización de los polos dominantes en lazo cerrado
Usando el compensador:
Gc ( s ) Kˆ c
s s
1
1
Y(s) + -
Gc ( s )
G( s)
1.06 s( s 1)( s 2)
Para aumentar la Kv por un factor de 10 se selecciona la constante y se ubica el cero y el polo del compensador en s=-0.05 y s=-0.005 respectivamente.
s 0.05 ˆ Gc ( s ) K c s 0.005
10
La FT en lazo abierto del sistema compensado es :
s 0.05 1.06 K ( s 0.05) Gc ( s )G ( s ) Kˆ c s 0.005 s ( s 1)( s 2) s( s 0.005)( s 1)( s 2) rlocus([1 0.05],conv([1 0.005 0],conv([1 1],[1 2])))
K 1.06 Kˆ c
Sistema sin compensacion
Sistema compensado
Dado que el factor de amortiguamiento de los nuevos polos en lazo cerrado es el mismo, los nuevos polos en lazo cerrado se obtienen a partir del nuevo lugar de las raíces como:
s1 0.31 0.55 j
s2 0.31 0.55 j
La ganancia K en lazo abierto se determina usando la condición magnitud
s( s 0.005)( s 1)( s 2) K 1.0235 s 0.05 s 0.31 0.55 j K 1.0235 ˆ Kc 0.9656 1.06 1.06
s 0.05 20s 1 Gc ( s ) 0.9656 9.656 s 0.005 200s 1
La FT en lazo abierto del sistema compensado es:
1.0235( s 0.05) 5.12(20s 1) Golc ( s ) s( s 0.005)( s 1)( s 2) s(200s 1)( s 1)(0.5s 1) 5.12(20s 1) K v lim sGolc ( s ) lim s 5.12 s 0 s 0 s(200 s 1)( s 1)(0.5s 1)
sec-1
Respuesta en lazo cerrado del sistema sin compensación y con compensación numol=[0 0 0 1.06]; denol=conv([1 1 0], [1 2]); Gol=tf(numol,denol) Gcl=feedback(Gol,1) step(Gcl)
numc=[0.9656 0.0483]; denc=[1 0.005]; Gc=tf(numc,denc); num=[0 0 0 1.06]; den=[ 1 3 2 0]; Gp=tf(num,den); GcGp=series(Gp,Gc); Gclc=feedback(GcGp,1); step(Gclc);
Compensación con retraso y adelanto • La compensación con adelanto acelera la respuesta e incrementa la estabilidad del sistema • La compensación con retraso mejora la precisión en estado estacionario del sistema, pero reduce la velocidad de la respuesta • Un compensador con retraso y adelanto tiene dos polos y dos ceros
Compensación con retraso y adelanto Y(s) + -
Gc ( s )
1 s ( 1s 1)( 2 s 1) 1 Gc ( s ) K c Kc s ( 1 s 1)( 2 s 1) 1
1
1
G( s )
1 s 2 s 1 2
Caso I :
• Determinar la localización deseada de los polos dominantes en lazo cerrado a partir de las especificaciones de desempeño • Usando la FT en lazo abierto del sistema sin compensación determinar el ángulo de deficiencia la porción adelanto del compensador debe aportar este ángulo • Suponiendo que se elige 2 tal que
s1 s1
s s1
1
2
1
1
2
Es uno de los polos dominantes en lazo cerrado
Elegir un valor para
s1
1
y
a partir del requerimiento:
1
1 s1 1
La elección de estos parámetros no es única
Determinar el valor de Kc usando la condición magnitud
s1
1
1 Kc G ( s1 ) 1 s1 1
• Si la constante error de velocidad estática está especificada, determinar el valor de que satisfaga Kv 1 s 1 K v lim sGc ( s )G ( s ) lim sK c s 0 s 0 s 1
1 s 2 s 1 2
G ( s ) lim sK c G ( s ) s 0
Usando el valor de
s1 s1
elegir el valor de
1
2
1
1
2 s1
5 s1
1
2 1
2
0
2
tal que:
+
4 G ( s) s ( s 0.5)
-
La FT en lazo abierto es:
La FT en lazo cerrado es:
Y(s)
4 G( s) s ( s 0.5) 4 Y ( s) G( s) 4 s( s 0.5) 2 4 R( s) 1 G ( s) 1 s 0.5s 4 s( s 0.5)
El factor de amortiguamiento es:
0.125
2n 0.5
n 2
La frecuencia natural sin amortiguación es:
rad/sec
La constante error velocidad estatica es: Kv lim sG( s) lim s s0
s0
n2 4
4 4 8 s( s 0.5) 0.5
Se desea hacer que el factor de amortiguamiento de los polos dominantes en lazo cerrado se 0.5, tambien que la frecuencia natural sin amortiguación sea 5 rad/sec y que la constante error de velocidad estatica sea 80 sec
1 s 1 Gc ( s ) K c s 1
1 s 2 s 1 2
1, 1
El sistema con compensación tiene la FT en lazo abierto:
1 s 1 Gc ( s )G ( s ) K c s 1
1 s 2 s 1 2
G( s)
De acuerdo a las especificaciones es claro que el polinomio que contiene los polos dominantes en lazo cerrado es:
2
s 5s 25 2 n
25
n 5
2n 5
Entonces los polos dominantes en lazo cerrado son:
s 2.50 4.33 j 4 s( s 0.5)
s 2.50 4.33 j
55
Determinar la localización del cero y el polo del compensador con adelanto que aporte 55°. Elgiendo el cero en s=-0.5 para lograr que se cancele con un polo de la planta, mediante análisis grafico se elige el polo localizado en s=-5.021. Entonces la parte con adelanto del compensador es:
s
1
s 0 .5 1 Kc Kc s 5 .0 2 1 s 1 Por lo tanto
1
1 0.5; 1 2 1 0.5
5.021; 5.021(2) 10.04 1
Usando la condición magnitud:
s 0.5 4 Kc s 5.021 s( s 0.5)
s 2.5 4.33 j
1
( s 5.021) s Kc 6.26 4 s 2.5 4.33 j La porción con retraso del compensador se obtiene determinando primero el valor de
usando el requerimiento de la constante error de velocidad estatica
K v lim sGc ( s )G ( s ) lim sK c G ( s ) s 0 s 0
4 lim s(6.26) 4.988 80 s 0 10.04 s( s 0.5)
16.04
2
Se elige
s
suficientemente grande tal que:
1
2
1 s 16.04 2
s 2.5 4.33 j
s 5
Como
1
2
1 s 16.04 2
2 5
1
o
s 2.5 4.33 j
2 5
0
satisface ambos requerimientos
2 5 1 1 s s 2 s 0.5 s 0.2 5 Gc ( s ) 6.26 6.26 10.04 1 s 5.02 s 0.01247 s s 2 16.04(5)
10(2 s 1)(5s 1) Gc ( s ) (0.1992 s 1)(80.19 s 1)
25.04( s 0.2) Gc ( s )G ( s ) s( s 5.02)( s 0.01247)
num=[25.04 5.008]; den=conv([1 5.02 0],[1 0.01247]); rlocus(num,den)
FT en lazo cerrado del sistema sin compensación num=[0 0 4]; den=[1 0.5 0]; Gol=tf(num,den); Gcl=feedback(Gol,1) step(Gcl)
FT en lazo cerrado del sistema con compensación numc=[25.04 5.008]; denc=conv([1 5.02 0],[1 0.01247]); Golc=tf(numc,denc); Gclc=feedback(Golc,1); step(Gclc) Analizando los polos dominantes en lazo cerrado se verifica que los requerimientos de diseño se satisfacen (uso de roots.m)
Respuesta en lazo cerrado del sistema con y sin compensación
Caso II:
1. A partir de las especificaciones de desempeño determinar la localización de los polos dominantes en lazo cerrado 2. El compensador con adelanto-retraso es:
1 1 s s (1s 1)(2s 1) 1 2 Gc(s) Kc Kc 1 1 ( s 1)(2s 1) s s 2 1
1
Si Kv está especificada determinar el valor de la constante Kc usando :
K v lim sGc ( s )G ( s ) lim sK cG ( s ) s 0
s 0
3. Calcular el ángulo 4. Para el compensador con retraso elegir 2 Suficientemente grande tal que s1 s1
1
2 1
2
1
s s1
Polo dominante en lazo cerrado
• Determinar 1 s 1 1 Kc s 1 1
G ( s1 ) 1
5. Determinar 2 1 s1 2 1 1 s1 2
y 1
1
s1
1 s1 1 que satisfaga s1 5 s1
1
2 1
2
0
Se desea usar el compensador:
1 s 1 Gc ( s ) K c s 1
1 s 2 s 1 2
1 s 1 Gc ( s )G ( s ) K c s 1
1 s 2 s 1 2
4 s( s 0.5)
4 K v lim sGc ( s )G ( s ) lim sK c 8K c 80 s 0 s 0 0.5
K c 10 1 s1 1 s 1 1 s1
1 s 4 1 8 1 4.77 s( s 0.5) s 1 s 2.5 4.33 j
1
1 s1 1
s 2.5 4.33 j
55
P
APB 55
PA 4.77 PB 8
55
AO 2.38
A B
BO 8.34
1 1 0.420 2.38
8.34 1 3.503
La porción adelanto del compensador adelanto-retraso es:
s 2.38 10 s 8.34 Para la parte retraso seleccionamos
1
2 10
1 0.0285 2 3.503(10)
s 2.38 s 0.1 Gc ( s ) 10 s 8.34 s 0.0285 40( s 2.38)( s 0.1) Gc ( s )G ( s ) ( s 8.34)( s 0.0285) s( s 0.5)
FT en lazo cerrado del sistema sin compensación num=[0 0 4]; den=[1 0.5 0]; Gol=tf(num,den); Gcl=feedback(Gol,1) step(Gcl)
FT en lazo cerrado del sistema con compensación numc=conv([40 95.2],[1 0.1]); denc=conv([1 8.34],conv([1 0.0285],[1 0.5 0])); Golc=tf(numc,denc); Gclc=feedback(Golc,1); step(Gclc)
