Analisis de Señales y Sistemas (German Castellanos)

6 0 0 1 2 4 . 6 , o n 1 o y i a r V e r s u n J a r a f t D

Análisis de Señales y Sistemas

E

1( × 0) 1( × 0) 1( × 0) E

E

1/T

T

T

φ0 (t)

E xE (t)

E

.

E

1/T

T

T

φ1 (t) ... .. .. .

E

E

T

φn (t)

T

E

1/T

1( × 0) 1( × 0) 1( × 0)

............... .. ............... ............................... ............................... ..................... .. .. .. .. x0 ..E ... E .. .. .. .. .. .. .. .. T .. .. φ ( t ) 0 .. .. .. .. .. .. x1 ..E .. E .. .. .. ..x(t) .. .. E .. .. T .. .. φ ( t ) 1 .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. xn ...E E .. .. .. .. .. .. .. .. .. T .. .. φn (t) .. . ................ . ............... ............................... ............................... .....................

Germán Castellanos D.- Alvaro Orozco A. Universidad Nacional de Colombia, Universidad tecnológica de Pereira 16 de enero de 2006




Índice general

1. Represen Representació tación n de señales y sistemas sistemas continuos continuos

1.1. Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Clasificación de señales y sistemas . . . . . 1.1.2. Pro cceeso de señales . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Funciones singulares . . . . . . . . . . . . . 1.2. Representación discreta de señales . . . . . . . . . 1.2.1. Espacio de representación . . . . . . . . . . 1.2. 1.2.2. 2. Desco escom mpos posició ición n en en fun funcion cionees or ortogo togon nale ales . 1.2. 1.2.3. 3. Sist istema orto ortogo gon nal com comple pleto de Fouri ourier er . . . 1.2.4. Otros conjuntos ortogonales . . . . . . . . . 1.3. Representación integral de señales . . . . . . . . . 1.3.1. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . 1.3. 1.3.2. 2. Exte Extens nsio ione ness del del anál anális isis is espe espect ctra rall de de Fouri ourier er 1.3.3. Transformada de Walsh . . . . . . . . . . . 1.3.4. Integral de convolución . . . . . . . . . . . 1.3.5. Transformada de Hilber bert . . . . . . . . . . . 1.3.6. Transformad ransformada a continua continua wavelet . . . . . . . 1.4. 1.4. Repre presen sentació ación n de de sis siste tema mass lin lineeale ales con conttinuo inuoss . . . 1.4. 1.4.1. 1. Opera perad dore ores en espac spacio ioss int integrab grablles . . . . . 1.4. 1.4.2. 2. Método odo de de la integr tegral al de supe superrposi posici ción ón . . . 1.4.3. Método odo de análisis espec pectral . . . . . . . . . 1.4. 1.4.4. 4. Método odo de ecuac cuacio ione ness dife iferenc rencia iale less . . . . . 1.4. 1.4.5. 5. Sist istemas mas disc discri rimi min nante antess de fre frecue cuencia ncia . . . 1.4. 1.4.6. 6. Repre eprese sen ntaci ación de sist sisteemas mas no line ineale ales . . . 1.5. 1.5. Repr Repres esen enta taci ción ón de sist sistem emas as con con var varia iabl bles es de esta estado do 1.5. 1.5.1. 1. Sist istemas mas lin lineeale ales e inv invaria arian ntes tes en en el el tie tiem mpo 1.5.2. Solución de la ecu ecua ación de de estado . . . . . .

7

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2. Represen Representació tación n de señales y sistemas sistemas discretos discretos

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7 8 11 11 17 17 19 24 31 41 42 48 51 51 53 54 60 60 63 66 69 70 71 79 79 84 89

2.1. Discretización de de señales continuas . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Discretización uniforme . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Funciones discre cretas singulares . . . . . . . . . . . . 2.1. 2.1.3. 3. Trans ransfo form rmad ada a de de Fouri ourier er de una una seña señall dis discr cret eta a . . 2.2. 2.2. Transf ansfor orma mad das orto ortogo gona nale less discr iscreetas . . . . . . . . . . . . 2.2. 2.2.1. 1. Impl Implem emen enta taci ción ón de base basess orto ortogo gona nale less disc discre reta tass . . 2.2. 2.2.2. 2. Transf ansfor orma mad da dis discre creta de Fouri ourieer . . . . . . . . . . 2.2. 2.2.3. 3. Exte Extens nsio ione ness de de la la tra trans nsfo form rmad ada a dis discr cret eta a de de Fou Fouri rier er 2.2.4. Transformada discre creta de Walsh . . . . . . . . . . 2.2.5. Transformada discre creta de Haar . . . . . . . . . . . 2.2.6. Transformad ransformada a discreta discreta wavelet . . . . . . . . . . .

I

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. 89 . 89 . 92 . 93 . 97 . 97 . 97 . 100 . 103 . 104 . 105

6 0 0 1 2 4 . 6 , o n 1 o y i a r V e r s u n J a r a f t .3. Tran ransfor sforma mada dass D 2.3.

ÍNDICE GENERAL

II

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. 115 . 115 . 116 . 120 . 121 . 123 . 123 . 124 . 125 . 128 . 131

3.1. .1. Carac aracte terríst ísticas icas de los los filtr ltros digit igital alees . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Realización de filtros di digitales . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Síntesis de filtros recursivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. 3.2.1. 1. Cálcu álcullo de de plan lantilla illass de filtr filtros os anál análog ogos os . . . . . . . . . 3.2. 3.2.2. 2. Sín Síntesi tesiss de de filt filtros ros re recurs cursiv ivos os en el tie tiemp mpo o . . . . . . . . . 3.2. 3.2.3. 3. Sín Síntesi tesiss de de filtr filtros os recu recurs rsiv ivos os en la frec frecue uenc ncia ia . . . . . . . 3.3. Síntesis de filtros no recursivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Condición de desfase lineal . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. 3.3.2. 2. Cálcu álcullo de de filtr ltros con con seri series es de Fouri ourieer . . . . . . . . . . 3.3. 3.3.3. 3. Disc Discre reti tiza zaci ción ón de la func funció ión n de de tra trans nsfe fere renc ncia ia . . . . . . . 3.3. 3.3.4. 4. Opti Optim mizac izació ión n de de filt filtros ros no recu recurs rsiv ivos os . . . . . . . . . . . 3.3. 3.3.5. 5. Filt Filtro ross no no rec recur ursi siv vos en el proc proces eso o de de señ señal ales es alea aleato tori rias as . 3.4. Filtración adaptativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Esquema del gradiente estocá ocástico . . . . . . . . . . . .

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. 139 . 139 . 143 . 149 . 149 . 150 . 155 . 163 . 163 . 166 . 178 . 180 . 186 . 192 . 193

or ortogo togon nale ales di discre screta tass ráp rápid idas as . . 2.3.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. 2.3.2. 2. Trans ransfo form rmad ada a ráp rápiida disc discre retta de de Fou Fouri rier er 2.3. 2.3.3. 3. Trans ransfo form rmad ada a rápi rápida da disc discre retta de de Wals alsh 2.3. 2.3.4. 4. Trans ransfo form rmad ada a rápi rápida da disc discre retta de de Haar Haar . 2.4. Filtración ortogonal discreta . . . . . . . . . . . 2.4.1. Respuesta discreta a impulso . . . . . . 2.4. 2.4.2. 2. Funció nción n de trans ransfe fere renc ncia ia disc discrreta eta . . . . 2.4.3. Filtros discretos de Walsh . . . . . . . . 2.4.4. Función de convolució ción di discreta . . . . . 2.4. 2.4.5. 5. Repre presen sentaci tación ón gene genera rallizad izada a di discre screta ta . .

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3. Filtració Filtración n digital

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A. Algoritmos de análisis espectral de Fourier

A.1. A.1. Algo Algori ritm tmos os de la tran transf sfor orma mada da disc discre reta ta de Fouri ourier er . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1. A.1.1. 1. Cálc Cálcul ulo o num numér éric ico o de de la la tra trans nsfo form rmad ada a de de Fou Fouri rier er . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.2. Cálculo numérico de la TDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2. .2. Cálcu álculo lo de la tran ransfor sforma mada da rápi rápida da de Fou Fourrier ier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2. A.2.1. 1. Repr Repres esen enta taci ción ón de dime dimens nsió ión n múl múlti tipl plee de índi índice cess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.2. Algoritmo de Cooley-Tukey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.3. Acomodación de datos en la TRF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliografía

207

. . . . 207 . . . . 207 . . . . 213 . . . . 218 . . . . 218 . . . . 222 . . . . 229 231

6 0 0 1 2 4 . 6 , n 1 o y i a r V e r s u n J a r a f t D

Notaciones

Notación

Significado

x, x(s)

Escalar Función determinística con variable s Vector escalar Conjugado de x por s Valor de la función en el argumento sk Función f con parámetros a, b y argumento s, vector funcional Conjunto, serie o secuencia de valores con volumen N . Señal discretizada (base normalizada de tiempo) Producto interno de x e y Distancia entre los elementos xm e yn , las funciones x e y Norma de x Trayectoria k de la señal x(t) Primera derivada en s Rango del vector x, de la matriz X, Traza de la matriz de X

x

x (s) x(sk ) f a,b (s), f xk : k = 1, . . . , N x[k] x, y d(xm , yn ), d (x, y) x xk (t) x(s) ˙ rank(x), rank(X) ∗

{   || ||

}

E f

Energía de la señal f supp(x), car(x), trace(X) Zm n , ZT I ,i ×

G O {N } G {x}

H , L , F , Z , W

G, X (s) Z, R, C x , x ξ (s) E ξ n ξ n (t) mnξ ˜ ξ Rξ,η ( ), K ξ,η ( ) S ξ ( ) Λ(ξ ) , (m, σ)

 { } { } { } ·

· N U

name

·

Soporte de la función x, Cardinal de x Matriz de orden m n, Matriz transpuesta Matriz unitaria, vector unitario Conjunto Orden del número de operaciones Transformada G de x T. Hilbert, Laplace, Fourier, Zeta, Wavelet Espacio métrico funcional, Representación compleja en el espacio s Dominio de los enteros, reales y complejos Parte real de x, parte imaginaria de x Señal aleatoria (alfabeto griego) de variable s Valor esperado de orden n (promedio de ensamble) Valor esperado de orden n (promedio de tiempo) Momento inicial de orden n de la variable ξ Valor estimado de ξ Función de correlación y covarianza mutua entre ξ y η Espectro de potencia de ξ Relación de verosimilitud Distribución (Gaussiana)(uniforme) con media m y varianza σ 2 Nombre de aplicaciones de software

×



Prefacio

L

a rápida evolución en la tecnología electrónica, en particular de los procesadores digitales, así como el aporte significativo de nuevos y cada vez más efectivos algoritmos de análisis han hecho del proceso digital de señales un factor importante en el desarrollos de áreas como la instrumentación y control, las telecomunicaciones y la telemática, la electromedicina, entre otras, brindado al sector productivo e investigación una nueva y potente herramienta de trabajo, que puede expandir significativamente su capacidad y posibilidades. El objetivo del curso es dar a conocer los principales métodos de análisis aplicado de señales aleatorias con carga informativa, que puedan ser desarrollados por técnicas de proceso digital. El material dispuesto en el presente texto describe los métodos y principios del proceso de señales, que actualmente encuentran amplio uso. Se analizan los modelos de señales, el análisis espectral generalizado, el desarrollo de algoritmos rápidos de cálculo de transformadas ortogonales, los principios de diseño de dispositivos digitales de filtración, como elemento básico de proceso, los métodos de representación de aleatoriedad y la estimación de sus respectivos valores, con especial énfasis en el caso de análisis de procesos estocásticos. Por último, se generaliza el análisis de la filtración como un proceso de estimación, acoplando se empleo a casos reales de proceso de señales aleatorias. El contenido del texto es el siguiente: el capítulo I describe los principales métodos de representación determinística de señales y sistemas en tiempo continuo, mientras el capítulo II describe los principales métodos de representación en tiempo discreto. Por cuanto, la filtración sigue siendo uno de los procedimientos fundamentales de mayor empleo en el proceso de señales, el capítulo III describe en detalle los principios básicos de filtración digital. El capítulo IV analiza la caracterización de señales aleatorias, particularmente las estacionarias. En el Apéndice A se desarrollan los algoritmos generales de análisis de señales y sistemas sobre procesadores digitales. El libro está orientado a los estudiantes de posgrado, que requieran profundizar en el área de procesamiento digital de señales aleatorias, sin embargo, puede ser empleado por estudiantes de pregrado, en los cursos de Teoría de Señales y Proceso Digital de Señales . El material teórico presentado tiene carácter de referencia, y por esto no se da la deducción de algunas expresiones, brindándose la literatura necesaria para la profundización de cada tema en particular. Así mismo, algunos de los programas, diagramas y circuitos presentados han sido probados y aunque distan de ser la única solución técnica posible, estos tienen como fin mostrar un ejemplo práctico y concreto de realización.

3



Introducción

A

ctualmente, tiene amplio uso el proceso de información y, en particular, el análisis o interpretación de señales producidas por variaciones en el tiempo de procesos físicos. El proceso de información típicamente se realiza empleando las señales eléctricas,entre otras razones, porque éstas son relativamente fáciles de controlar por medio de equipos electrónicos, entre ellos los digitales, además estas trabajan a velocidades cercanas a la de la luz, lo que propicia el desarrollo de tareas en tiempo real. Las aplicaciones del proceso de señales van desde las finanzas, industria, bienestar de la sociedad hasta la defensa, abarcando diferentes disciplinas como las comunicaciones, sistemas de control, electromedicina, física, astronomía, radar, dinámica de fluidos, sismología, etc. Muchas de estas aplicaciones están relacionadas con el aumento en el número y diversificación de los equipos de proceso digital que actualmente se siguen desarrollando. Hoy en día, los computadores personales como sistema de proceso digital se encuentran en una gran gama de precios, capacidades y tamaños. Debido a esto, el computador se ha convertido en elemento importante para el proceso de señales. Los sistemas de proceso de señales, por sus características ofrecidas, se convierten en herramientas fiables, robustas y portátiles, que pueden incluso desempeñar tareas en sitios y condiciones de difícil acceso humano. En general, el Proceso Digital de Señales debe ser entendido como la posibilidad de emplear dispositivos digitales especializados en la solución de variadas tareas relacionadas con el análisis de señales. Así por ejemplo, está la filtración digital, que hoy en día muestra resultados teóricos bastante alentadores. Los desarrollos teóricos han avanzado desde los primeros seminarios abiertos de filtración digital realizados en el MIT (alrededor de 1955), los resultados de Kotiélnikov y los obtenidos en la teoría de control (parcialmente fundada en el trabajo de Gurevich), en los que se describían profundamente los principios de la discretización de señales y sus efectos espectrales, pasando por los métodos de filtración digital, en base al empleo de operaciones lineales sobre señales con restricciones de estacionariedad, hasta los actuales métodos propuestos de representación localizada de señales con bases wavelet y los modelos complejos de representación de aleatoriedad, que incluyen los modelos de representación de la dinámica estadística y análisis de no estacionariedad, así como los métodos de filtración no lineal (filtración adaptativa e interpolación estadística) han dado un fuerte impulso a la filtración como elemento básico en el análisis y la síntesis de señales y sistemas. Tal vez esta sea la razón por la cual se observa una gran proliferación de herramientas especializadas, tanto de hardware, como de software integrados para el diseño de sistemas de proceso digital de señales en los más diversos campos de aplicación. El primer aporte básico a la teoría del proceso digital de señales relacionado con el análisis y síntesis de filtros digitales fue realizado por Kaiser quien demostró la forma de cálculo de filtros digitales con características deseadas empleando transformadas lineales. Para la misma época, en 1965, apareció el artículo de Cooley y Tukey sobre la Transformada Discreta de Fourier, la que posteriormente fue desarrollada y se convertiría en el método de la Transformada Rápida de Fourier, cuyo mayor aporte fue la disminución sustancial del tiempo de cálculo en el análisis espectral en varios órdenes, lo que demostraba claramente en cuanto podían ser más rápidos los métodos digitales sobre los análogos. El algoritmo de la transformada rápida amplió el campo de aplicación del proceso de señales, el cual se extendió a tareas más complejas, de mayor velocidad de cambio las magnitudes en el tiempo y con valores de energía a mayores componentes de frecuencia. Las señales, en situaciones de aplicación real, deben ser consideradas como variables aleatorias. Hasta hace poco el aparato matemático básicamente empleado en el análisis de señales era el de Fourier. Las funciones trigonométricas no permiten localizar el análisis en determinado intervalos del tiempo y restringen el análisis de señales no estacionarias. La insuficiencia de estos métodos convencionales en la descripción y análisis de las señales, ha hecho que se empleen muevas formas matemáticas y estadísticas de su representación.

5



Capítulo

1

Representación de señales y sistemas continuos 1.1.

Definiciones básicas

E

l estudio de cualquier sistema empieza por la formación de un modelo, que corresponda a su versión idealizada, la cual, generalmente, no es la única existente. Dicho de otra manera, dependiendo de los objetivos del análisis, un sistema puede admitir más de un modelo. En el presente trabajo, se analizarán solamente modelos descritos en términos matemáticos o modelo matemático . Las siguientes son las definiciones básicas en los modelos de sistemas: Sistema. Es un grupo de elementos u

objetos con un fin determinado K {·}. Es el enlace de interacción entre los elementos; es la acción llevada a activar el sistema. Señal o entrada x(s).

Respuesta o salida y (s).

x1 (s) x2 (s) ... xm(s)

E E E E

{

K x(s)

}

E E E E

y1 (s) y2 (s) ... yn (s)

Figura 1.1: Diagrama de un sistema

Es la acción conjunta del sistema como resultado de una

activación. Para propósitos de análisis, un sistema se representa por una caja cerrada ( caja negra ) con un número dado de terminales de entrada y salida como se ilustra en la Figura 1.1. En esta caja negra, cada señal se transforma en una única respuesta, o sea, actuando sobre una entrada x(s) ∈ {xi (s) : i = 1, . . . , m} , se obtiene una única salida y (s) ∈ {yi (s) : i = 1, . . . , n , }, cuya transformación generalizada se representa por:

{

}

y (s) = K x (s)

donde el operador K {·} corresponde a la transformación o transformada de entradasalida (o señal respuesta). En este trabajo, el parámetro s para la mayoría de los casos de análisis corresponderá al tiempo t. 7

6 0 0 1 Capítulo 1. Representación de señales y sistemas continuos 2 , n 4 . 6 1 r y e r s i o a n u V J a r a f t D1.1.1. Clasificación de señales y sistemas

8

Las señales, de acuerdo a la relación de sus valores con el tiempo, pueden clasificarse en dos tipos:

Señales análoga o continuas (en el tiempo) . Señales para las cuales tanto su argumento como la misma función pueden tomar cualquier valor del continuo de los intervalos t ∈ [t0 , tf ], x ∈ [xmin, xmax ]. Las señales análogas pueden soportar discontinui= x(tk+ ), siendo |x(t)| < ∞, ∀t. dades de primer grado, x(tk− )  Señales discretas (en el tiempo) . La función toma cualquier valor del intervalo continuo x ∈ [xmin, xmax ]. Sin embargo, el argumento de la función (tiempo) está definido solamente sobre una malla de valores x(kT ), k ∈ N, siendo T el intervalo de discretización. = kT , el valor de En aquellos valores del tiempo sobre los cuales la señal no se define t  la función se asume igual a cero. Señales digitales . Cuando los valores de una señal x(kT ) discretizada en el tiempo pertenecen a un conjunto finito de valores cuantificados xQ ∈ {xQ (i) : i , . . . , N } , N < ∞. Señal de energía . Señal de energía es finita, aun cuando el intervalo de tiempo sea infinito; esto es,

 | −∞

E x =

x(t) 2 dt <

|

∞

∞, (para una resistencia de 1 Ω)

(1.1)

La potencia media disipada por la señal x(t) durante un intervalo de tiempo (ti , tf ) se determina como:

P x = tf −1 ti

tf

 |

x(t) 2 dt <

|

ti

∞,

(1.2)

Si el término de la derecha en (1.2) es finito y no es igual a cero, cuando el intervalo de tiempo es infinito, es decir, 1 0 < l´ım T →∞ T

 |

x(t) 2 dt <

T

|

∞,

la señal tiene potencia finita y se llama señal de potencia.

Señales periódicas . Cuando se cumple la condición

∈ [0, T ] , T > 0 donde el valor de min {T } que satisfaga la anterior condición, cuando existe, se denox(t + T ) = x(t), t

mina periodo fundamental . En caso de no cumplirse la anterior condición, la señal se denomina aperiódica.

6 0 01.1. 9 2 . Definiciones básicas , n 4 1 6 1 r y e r s i o a n u V J a r a f t D Señales cuasiperiódicas . Se denominan las señales con períodos demasiado lar-

gos, las cuales, generalmente, son compuestas por dos o más señales periódicas. Un ejemplo de señal cuasiperiódica compuesta de dos señales periódicas es la función de la √ forma x(t) = sin t + sin 2t.

Señales aleatorias . Aquellas sobre cuyo valor en función de cualquier argumento se tiene alguna incertidumbre. Señales determinísticas . Son aquellas que se pueden modelar o describir analíticamente como funciones completamente específicas de algún parámetro. Señales de un canal . Es generada por una fuente y se representa por un escalar. Señales de canal múltiple . Señales generadas por varias fuentes y representadas por un vector. Señales de dimensión multiple . Son funciones descritas a partir de un conjunto compuesto de m ∈ Z+ variables independientes. En cuanto a los sistemas, éstos se pueden clasificar de la siguiente forma:

Sistema lineal . Cuando se cumple la ley de superposición. Sea ai yi (t) = K {ai xi (t)} , donde ai = cte., i = 1, 2, . . . , n . Entonces:

  n

K

ai xi (t)

i=1

{

}

= K a1 x1 (t) + a2 x2 (t) + . . . + ai xi (t) + . . . + an xn (t) = a1 y1 (t) + a2 y2 (t) + . . . + ai yi (t) + . . . + an yn (t),

Si la expresión (1.3) no se cumple, el sistema se denomina no lineal .

Ejemplo 1.1. Sea un sistema con relación entrada-salida de la forma y(t) = ax(t) + b,siendo los valoresa, b = cte. Determinar el valor de b para el cual el sistema se puede considerar lineal.

Considerando dos señales de entrada diferentes x1 (t) y x2 (t), las salidas correspondientes ser´ıan yi (t) = axi (t) + b, i = 1, 2 Si se aplica la entrada x1 (t)+ x2 (t), la salida será a (x1 (t) + x2 (t))+ b. De acuerdo con la condición de linealidad (1.3), se deberá cumplir que: a (x1 (t) + x2 (t)) + b = a (x1 (t) + x2 (t)) + 2b, luego, b = 0.

(1.3)

6

10 , 2 0 0 4 1 .

Capítulo 1. Representación de señales y sistemas continuos

6 n y 1 r s i o r a n u f t V e a J r a D Sistema invariable (en el tiempo) . Si un corrimiento en el tiempo de la entrada

del sistema provoca respectivamente un corrimiento en el tiempo en su salida, de forma que: y(t

− t0) = K {x(t − t0)} , ∀t0 > 0

(1.4)

En caso contrario, el sistema se denomina variable .

Sistema estable. Si una señal de entrada x(t) con amplitud finita, max{|x(t)|} < ∞ produce una respuesta y(t) de amplitud finita, o sea, max{|y(t)|} < ∞. De otra manera, el sistema es inestable . Sistema invertible . Si distintas entradas producen distintas salidas, esto es, si al observar la salida del sistema se puede determinar su correspondiente entrada. En caso contrario, el sistema es no invertible . Ejemplo 1.2. El sistema descrito por la ecuación y(t) = a = cte., debe ser considerado como no invertible, por cuanto genera un mismo valor a la salida indiferente de cual sea el valor de la señal de entrada.

Sistema realizable o causal . Se debe tener una respuesta de salida que no suceda antes de ser aplicada al sistema una función de entrada. Esto es, si la función de entrada se aplica a partir de un tiempo t = t0 , entonces, la respuesta sólo estará determinada para t ≥ t0 . Si no se cumple esta condición el sistema es no causal . Sistema (de tiempo) continuo . Cuando los cambios de las magnitudes de entrada y salida corresponden a rangos continuos (en el tiempo). Sistema (de tiempo) discreto . Cuando las señales asociadas con el sistema son discretas (en el tiempo). Generalmente, los sistemas de tiempo continuo se modelan mediante ecuaciones diferenciales, mientras, los sistemas discretos, con ecuaciones iterativas. Sistemas sin memoria . Si la salida para cualquier tiempo t ó tk , depende sólo de la entrada en el mismo tiempo. Sistemas con memoria . Si la salida en el tiempo t, depende de valores de entradas dadas dentro del intervalo (t − T, t), entonces el sistema tiene memoria T . Sistemas de parámetros concentrados . Si el tiempo de proceso de la señal de entrada a través del sistema es considerablemente pequeño. Estos sistemas se modelan mediante ecuaciones diferenciales ordinarias. En los sistemas eléctricos, esto significa que la longitud de onda de la señal de entrada es mucho mayor con respecto a las dimensiones físicas de los elementos de proceso del sistema.

6 0 01.1. 11 2 . Definiciones básicas , n 4 1 6 1 r y e r s i o a n u V J a r a f t D Sistemas de parámetros distribuidos . La señal de entrada tarda un tiempo con-

siderable en excitar los elementos del sistema, dependiendo el retardo de la velocidad de proceso de la señal. Estos sistemas se pueden modelar con ecuaciones diferenciales parciales. 1.1.2. Proceso de señales

El proceso y análisis de magnitudes físicas por medio de señales eléctricas se puede clasificar así: (a). Análogo (o analógico). La ley de cambio del parámetro de variación de las oscilaciones eléctricas repite la forma de la magnitud física observada (existe analogía entre ambas leyes de cambio). El conjunto de valores que puede tomar el parámetro de variación es continuo y por tanto infinito. (b). Digital. La ley de cambio del parámetro de variación de las oscilaciones eléctricas correspondiente a la forma de la magnitud física observada se representa por un conjunto finito (discreto o contable) a priori conocido de señales o inclusive relaciones. En este caso, las señales de salida no deben presentar alguna analogía de forma con la señal de entrada. Entre las principales ventajas de los sistemas de proceso digital con respecto a los análogos están las siguientes; son realizables sobre tecnología digital lógica, alcanzando por ello alta confiabilidad, estabilidad, reducido tamaño y baja potencia, adaptándose rápidamente al diseño de circuitos integrados. Los dispositivos digitales son menos sensibles a las tolerancias de sus elementos. Así mismo, estos pueden ser reproducidos en grandes volúmenes con gran exactitud, y no requieren de un ajuste o ajuste adicional como si ocurre con los elementos análogos. Además, facilitan el proceso simultáneo de varias señales, que puede realizarse en un solo dispositivo digital, reduciendo costos de hardware. Así mismo, las características de proceso pueden cambiarse y ajustarse durante el proceso realizando los ajustes necesarios en el algoritmo de proceso, condición necesaria en la adaptabilidad de los sistemas. Los dispositivos digitales se asocian con algunas desventajas. La primera es el incremento en la complejidad del sistema de proceso por cuanto hay necesidad de un pre y post-proceso adicional de las señales (A/D, D/A, etc.). La segunda desventaja es el rango limitado de frecuencias disponibles de los procesadores digitales que ofrecen aún valores insuficientes para señales de muy altas frecuencias. Sin embargo, las ventajas por mucho compensan las desventajas en varias aplicaciones y con la continua rebaja en el costo del hardware de proceso digital, éstas se extienden cada vez a una cantidad mayor de actividades del campo humano. 1.1.3. Funciones singulares

Estas funciones son modelos ideales matemáticos y, en rigor, no aparecen en sistemas físicos. Sin embargo, son buenas aproximaciones a ciertas condiciones restrictivas de los sistemas físicos, permitiendo evaluar complicadas expresiones que, de otra manera, serían difíciles de resolver.

6

12 , 2 0 0 4 1 .


6 n y 1 r s i o r a n u f t V e a J r a D Función signo. Definida por la expre-

Tsgn(t)

sión (Figura 1.2): sgn(t

− 

1, 0, 1,



− t0) =

1

t < t0 t = t0 t > t0

t0

E t

−1

donde la multiplicación x(t) sgn(t−t0 ) denota el cambio de signo de la función x(t) a partir del punto t = t0 .

Figura 1.2: Función signo

Función delta de Dirac. La función delta δ (t) es también llamada función impulso o función Kronecker , y se puede interpretar como la acción de hacer angosta de función dada pα (t t0 ) con área unitaria:

−

 ∞

pα (t)dt = α

−∞

1 =1 α

(1.5)

De tal manera, que su base determinada en un intervalo de tiempo (t0 − α2 , t0 + α2 ) tiende a cero. Esto es, δ (t



− t0) = αl´ım p (t − t0 ) = →0 α

∞

, t = t0 0, t = t0



(1.6)

La definición de la función delta está dada por el par conjunto de ecuaciones (1.5) y (1.6), cuya representación gráfica, en el caso particular de un pulso rectangular se ve en la Figura 1.3(a) (parte inferior). La representación convencional de αδ (t − t0 ) se muestra en la Figura 1.3(a) (parte superior), donde la amplitud α debe ser entendida como el área del pulso elemental. La función δ (t) tiene las siguiente propiedades: (a). Simetría.

−

δ (t) = δ ( t).

(b). Escala de tiempo, δ (αt) =

1 δ (t) α

||

(c). Multiplicación , (por una función en el tiempo); x(t)δ (t

− t0) = x(t0)δ (t − t0).

Realmente, la continuidad de la función x(t) se restringe al caso x(t0− ) = x(t0+ ), en caso contrario, es simplemente imposible encontrar el valor correspondiente de la multiplicación y preferiblemente se debe evitar tal situación.

6 0 01.1. 2 . Definiciones básicas , n 4 1 6 1 r y e r s i o a n u V αδ (t − t0 ) J a r a f t T α D

13

6

Tx(t) E

t0

E

pα (t) T

α

'∆τ T

T

p (t

pα (t

1 α

∆τ

− k∆τ )

− ∆τ ) ..

c

− k∆τ )∆τ

............ .............. .... ... ............. ......... .... . ...... .... .. .. ............ ... ................ ............... . . . . . . . . . . ..... ...... ... .. .. ... ... ... ... ... ... ... . ... . . ... ... ......... α .......................

'

...................................................................................... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

x(k∆τ ) pα (t

.

t

2∆τ 3∆τ

E

t k∆τ (k + 1)∆τ

E t0

t

(a) Representación

(b) Aproximación Figura 1.3: Función delta

(d). Selectividad,

 ∞

 ∞

δ (t

−∞

− t0)x(t)dt = x(t0)

δ (t

−∞

− t0)dt = x(t0)

(1.7)

La función x(t) debe ser continua, o al menos tener un número finito de discontinuidades de salto en un intervalo finito de tiempo, por cuanto el valor exacto de la integral en el punto de discontinuidad no tiene ningún sentido físico importante [1]. De (1.7) e intercambiando t y t0 , y llamando τ a t0 se obtiene la integral de Duhamel :

 ∞

x(t) =

x(τ )δ (τ

−∞

− t)dτ

(1.8)

La integral (1.8) es la representación de la función x(t) por un continuo de delta funciones y corresponde a su aproximación en forma de un conjunto de pulsos pa (t) rectangulares dentro del intervalo de análisis, como se muestra en la Figura 1.3(b). Haciendo ∆τ → 0 y N → ∞ se obtiene la aproximación: N

x(t)

 ≈

x(k∆τ ) pa (k∆τ

k= N

−

− t)∆τ.

(1.9)

6

14 , 2 0 0 4 1 .


6 n y 1 r s i o r a n u f t V e a J r a D Ejemplo 1.3. Evaluar la expresión

 ∞

t2 e

−

sin t

cos2tδ (2t

− 2π)dt,

−∞

Con la propiedad de escala y luego de selectividad se obtiene que:

 ∞

 ∞

2

−

t e

sin t

cos2tδ (2t

−

1 2π)dt = 2

−∞

t2 e

−

sin t

cos2tδ (t

− π)dt = 12 π2.

−∞

La definición matemática de esta función representada en la Figura 1.4 es la siguiente: Función escalón unitario.

u(t



− t0) =



1, 0,

t > t0 t < t0

6u(t − t0 )

(1.10) 1

A partir de la definición dada en (1.6) se puede demostrar que: 1 1 u(t) u(t t0 ) t0 t0 1 = (u(t) u(t t0 )) t0 tomando el límite de t0 0, se obtiene que 1 δ (t) = l´ım pa (t) = l´ım (u(t) u(t t0 )) t0 → 0 t0 →0 t0 du(t) = dt

− −

pα (t) =

− − →

−

t0

t

Figura 1.4: Función escalón unitario

−

De manera inversa, integrando la anterior expresión se obtiene

  δ (t)dt =

du(t) dt = u(t) dt

Función pulso rectangular.



Definida por la expresión:

|t − t0| ≤ τ 2 |t − t0| > τ 2 Por cuanto, rectτ (t) = u(t) − u(t − t0 ), entonces se cumplirá la siguiente relación: d rectτ (t) = (δ (t) − δ (t − t0 )) dt rectτ (t



− t0) =

1, 0,

Así mismo, se cumple que rectτ (t

− t0) = 12 (sgn(t − t0) − sgn(t − t0 − τ ))

6 0 01.1. 2 . Definiciones básicas , n 4 1 6 1 r y e r s i o a n u V J a r a f t D

15

Problemas Problema 1.1. Clasificar las siguientes señales por su tipo (de potencia o de energía): b). Ate−tk (u(t)

a). A sin(ωt).

− u(t − t )) , t 0

0

> 0.

Problema 1.2. Demostrar la periodicidad de la función x(t) = ej(ω

0

t+θ)

,

−∞ < t < ∞,

donde ω0 = cte.

Problema 1.3. Clasificar los sistemas en categorías de: linealidad, variante en el tiempo, causalidad y sin memoria en las siguientes funciones de entrada-salida:

t

y(t) = tx(t), 0  t  1.

y(t) =

x(τ )dτ,t

≥ 0.

−∞

t

∞

y(t) =

tx(t)dt,

−∞ < t < ∞.

−∞

e−(t−τ ) τ x(τ )dτ, t <

y(t) =

| | ∞.

−∞

t

y(t) = x(t) +

(t 0

− τ ) x(τ )dτ,t  0.

dx y(t) = dt

∞

−

τ 2 x(τ )dτ,t > 0. t

Problema 1.4. Representar la señal x(t), que tiene el siguiente modelo matemático: t< 0 0 t t > t0

0, x0 (t/t0 ) , x0 ,

x(t) =

≤ ≤t

0

en forma de una suma de funciones lineales por segmentos.

Problema 1.5. Calcular la energía E x y la norma x de la señal, x(t) = 30 exp R. x = (



1/2

E ) x

5

−10 t u(t) = 6.708 · 10 . −2

Problema 1.6. Sea x(t) = u(t − t0 ) − u(t − nt0 ) − kδ (t − mt0 ), siendo m, n ≥ 1. Determinar el valor de k para el cual se cumpla que: ∞

x(t)dt = 0 −∞

R. k = (n

− 1)t . 0

Problema 1.7. Sea el par de funciones: x(t) = rectτ y la exponente y(t) = y0 exp(αt) u(t), tales que,

y0 , α , τ R. Dada la apertura τ encontrar el valor del parámetro α, para el cual la distancia d (x, y) sea la mínima posible. R. α = 0.961/τ.

∈

Problema 1.8. Determinar, para la señal x(t) = t2 , 0

t 1, la aproximación empleando la función de dependencia lineal y(t) = at + b, tal que sea la mejor en el sentido del mínimo error de distancia (métrica). R. a = 1, b = 1/6.

−

≤ ≤


6 0 01.2. 2 . Representación discreta de señales , n 4 1 6 1 r y e r s i o a n u V J a r a f t D 1.2. Representación discreta

17

de señales

1.2.1. Espacio de representación

Cualquier espacio vectorial con dimensión n se caracteriza completamente por las pro yecciones sobre sus n ejes de coordenadas. En la descomposición vectorial es preferible el empleo de ejes perpendiculares que cumplan la condición de ortogonalidad: (αi , α j ) =



0, 1,



i=j i=j

donde αi , α j son los vectores unidades de los respectivos ejes de coordenadas. Si el vector está dado en un espacio con N dimensiones, entonces éste se puede descomponer en n componentes y, por lo tanto, expresado por la suma: n

a=



a k αk .

k=1

siendo ak las proyecciones del vector sobre los ejes de coordenadas, la dirección de los cuales está dada por el sistema de vectores coordenadas o bases {αk : k = 1, ··· , n}. Ejemplo 1.4. Consid´ erese los siguientes casos de descomposición vectorial:

{

}

1. Sea el conjunto αn (t) : n = 1, . . . , N , un sistema de vectores ortogonales sobre un intervalo dado en alg´ un espacio de Hilbert. Demostrar que el conjunto corresponde a un sistema independiente lineal. Al analizar la igualdad k1 α1 + k2 α2 +

· · · + knαn + ·· · + kN αN = 0

se observa que, al multiplicar escalarmente ambos lados de la igualdad por cada uno de los vectores, y, teniendo en cuenta su ortogonalidad, se obtiene que:

·

· ·· + knαn + · ·· + kN αN ) = αn · 0 {αn · knαn} = 0, n = 1, . . . , N con lo cual kn = 0, n = 1, 2, ·· · , N . Esto es, la ortogonalidad del sistema de vectores condiciona su independencia lineal. 2. Dado un sistema de vectores no nulos y no ortogonales {g0 , g1 , · · · , gn , · ·· } en el espacio de Hilbert. Construir sobre este un sistema ortonormal {u0 , u1 , ·· · , un , · ·· }, tal que cada vector uk se una combinación lineal del tipo uk = ck0 g0 + ck1 g1 + · ·· + ckn gn , siendo ck0 , ck1 , · · · , ckn valores constantes. Al normalizar el elemento g0 y suponer que u0 = g0 /g0 , el vector h1 = g1 − (g1 , u0 )u0 es ortogonal a u0 . Normalizando h1 se obtiene un nuevo elemento ortonormalizado del sistema u1 = h1 /h1 . La operaci´ on se repite y se halla el elemento h2 = g2 − (g2 , u0 )u0 − (g2 , u1 )u1 , por lo que se obtiene u2 = h2 /h2  que es ortogonal tanto a u0 como a u1 . Repitiendo el proceso, iterativamente, en el paso k ∈ Z se obtiene la siguiente combinación lineal: hk = gk − (gk , u0 ) u0 − (gk , u1 ) u1 − · · · − (gk , uk 1 ) uk 1 αn (k1 α1 + k2 α2 +

−

−

6

18 , 2 0 0 4 1 .


6 n y 1 r s i o r a n u f t V e a J r a D En forma general, el conjunto de las posibles señales de análisis se entenderá como

el formado por todas las funciones de valor complejo definidas en forma continua (señal analógica) sobre un eje real, por ejemplo el del tiempo:

{

∈ C, t ∈ R}

L = x = x(t) : x(t)

donde L = {x : P } el conjunto formado por todos los x, para los cuales P es cierto: P ⇒ x ∈ L. La mayoría de los espacios de funciones de señales se restringen a los espacios clásicos de Lebesgue, en los que se cumple que L p = L p (R) =

  ∈ ∈

L∞ = L∞ (R) =

x

x

   | | ∞   | | ∞ 1/p

  p =

L: x

x(t) p dt

<

,p

≥1

R

x(t)  ∞ = sup t

L: x

<

donde xLp (R) es la norma definida para x en el espacio L p . La restricción de p ≥ 1, implica que la clase L p (R) es un espacio lineal normalizado y corresponde a un espacio de Banach, el cual es completo con respecto a la correspondiente norma. De manera similar se pueden definir los espacios formados por las funciones de valor complejo determinadas en forma discreta (señal discreta) sobre el dominio del tiempo:  = {x = (xn ) : xn ∈ C, n ∈ Z}. Las restricciones sobre pertenencia a espacios lineales normalizados son similares a la de las señales continuas, en las cuales las operaciones de integración se cambian por operaciones de sumatoria discreta; es decir, se generan los siguientes espacios: p

 =

 ∈ x

  p =

: x

 | |  ∞  ∞

1/p

xn

p

<

n=1

La generación de conjuntos de señales a partir de alguna condición común con interpretación física (energía, longitud en el tiempo, transformación a algún espacio complejo, etc.), implica establecer el modelo matemático formal de relación P entre los elementos del conjunto. De manera general, la forma para distinguir dos elementos de un conjunto en cada pareja de elementos, consiste en compararla con un número real positivo, el cual se interpreta como la distancia entre los elementos d : X × X → R, donde xn , xm están en X y d(xn , xm ) ≥ 0. En este caso los elementos xn y xm tienen las mismas propiedades geométricas. Un conjunto con una distancia dada en forma adecuada representa un conjunto de señales . Un ejemplo de distancia entre dos señales x(t) y y(t) del espacio de funciones complejas en el tiempo, a lo largo de un intervalo T está dado por la siguiente expresión:

 − y =

d (x, y) = x

 |

x(t)

T



− y(t)|2dt

1/2

(1.11)

El conjunto de funciones relacionados con la distancia (1.11), para los cuales la respectiva norma es acotada, x2 < ∞, o espacio L2 (T ), que es un espacio de Hilbert,

6 0 01.2. 2 . Representación discreta de señales , n 4 1 6 1 r y e r s i o a n u V J a r a f t D está provisto del siguiente producto interno:

x, yL (

=

2 R)



x∗ (t)y(t)dt

19

(1.12)

R

El espacio de funciones dado por la distancia (1.11) tiene aplicación amplia en la representación de señales debido a la interpretación física simple de su respectiva norma, que corresponde a la energía de las señales. Esto es, cuando x ∈ L2 (T ) se dice que

x2 = x, x∗L (T )  E x

(1.13)

2

es la energía de la señal. Por cierto, la señal x(t) determinada sobre T , se denomina señal de energía si cumple la condición 2

E x = x

=

 |

x(t) 2 dt <

T

|

∞,

(1.14)

La representación de cualquier señal x ∈ L2 (T ) de energía, que cumpla la condición (1.14) en forma discreta, implica hallar la transformación del espacio L2 (T ) en el espacio C n , donde el valor de n se elige a partir del compromiso entre la precisión y la economía de la representación. La forma general de hallar esta representación consiste en la selección de subespacio de dimensión n a partir de L2 (T ). Teniendo en cuenta que L2 (T ) es un espacio completo separable [2], la señal x ∈ L2 (T ) puede ser representada de manera aproximada con cualquier precisión, si la dimensión de representación se escoge suficientemente grande (n → ∞), por medio de un conjunto de valores o coeficientes xk , expresados en combinación lineal del siguiente espacio de funciones de coordenadas, elegido adecuadamente: x(t) =

∞



xk φk (t),

(1.15)

k=1

donde φk (t) corresponde a un conjunto de funciones elegidas a priori, que conforman una base del espacio vectorial L2 (T ), las cuales son denominadas funciones base , siendo k el orden de la función dentro del conjunto {φk (t)}. La descomposición en funciones base (1.15) corresponde a la representación espectral generalizada . En forma general, en la representación de señales, las funciones base deben cumplir los siguientes requerimientos: a) La serie (1.15) debe ser convergente, b) Los coeficientes {xk } deben tener procedimientos simples de cálculo, y c) sus valores no deben depender del límite superior de la suma de la representación (1.15). 1.2.2. Descomposición en funciones ortogonales

Los sistemas ortogonales son un caso particular de sistemas de funciones independientes lineales. Más aún, cualquier sistema de este último tipo puede ser transformado en ortogonal, empleando, por ejemplo el método de Gramm-Schimdt (ver ejemplo 1.4) [3].

6

20 , 2 0 0 4 1 .


6 n y 1 r s i o r a n u f t V e a J r a D Un sistema de funciones complejas φm (t) se define como ortogonal en el intervalo de representación (ti , tf ), si se cumple la relación:

{

tf

tf



φm (t)φ∗n (t)dt =

ti



φ∗m (t)φn (t)dt =

ti



0,

E mn,

}



m=n m=n

(1.16)

siendo E mm = E nn = E m = E n una magnitud de energía. Mientras para el caso de las señales de potencia se tendrá: 1 tf

tf



− ti t

φm (t)φ∗n (t)dt =

i

1 tf

tf



− ti t

φ∗m (t)φn (t)dt =

i





0,

m=n mn , m = n

P

(1.17)

donde P mm = P nn = P m = P n es la potencia media o cuadrado de la norma de la función φn (t). Se dice que el conjunto de funciones base está normalizado si se cumple que: tf

tf

 |

φm (t) 2 dt =

|

ti

 |

φn (t) 2 dt =

|

ti

E mn = 1, ∀m, n

Si el conjunto es a la vez normalizado y ortogonal, este se denomina ortonormal . Como se deduce de la expansión ortogonal (1.15), una señal de energía x(t) puede ser aproximadamente representada en términos de φn (t): N

x(t)

 ≈

(1.18)

xn φn (t)

n=0

donde los coeficientes xn caracterizan el peso de la correspondiente función ortogonal φn (t). La representación (1.18) de la función x(t) se denomina expansión o representación ortogonal . Los valores xn se determinan de acuerdo a la condición de mínimo error tomada en la aproximación. El tipo de error comúnmente empleado en la ponderación de la aproximación (1.18) es el error cuadrático medio (potencia media de error), el cual es definido como: ε2N (t) =

  −    −  tf

1

tf

ti

N

x(t)

xn φn (t) dt, siendo ε2N (t)

n=0

t1

2

≥0

(1.19)

Por cuanto ε2N (t) es función de los coeficientes x0 , x1 , ··· , xN , entonces para su minimización se debe hacer igual a cero todas las respectivas derivadas parciales: ∂ (ε2N ) ∂ (ε2N ) = = ∂x 0 ∂x 1

···

∂ (ε2N ) = =0 ∂x N

6 0 01.2. 2 . Representación discreta de señales , n 4 1 6 1 r y e r s i o a n u V J a r a f t D La derivada parcial de (1.19) por los coeficientes xk será: ∂ε 2N (t)

1

=

∂x k

tf

−

       −    tf

∂ ti ∂x k

2

N

x(t)

21

xn φn (t) dt

=0

n=0

ti

Denotando por a = x(t) y b = toma la forma

n xn φn (t),

la expresión dentro del integral anterior

|a − b|2 = (a − b) (a − b)∗ = (a − b) (a∗ − b∗) = (aa∗ − ab∗ − ba∗ + bb∗) Luego, se cumplirá que

    | | −      | | −     −   | | tf

∂ ∂x k

tf

N

2

tf

x(t)x∗ φ∗ (t)dt +

x(t) dt

n n

n=0

ti

ti

tf



x∗ (t)xn φn (t)dt

ti

  −    − | |   N

m=0

En virtud de la condición de ortogonalidad (1.16), los productos n, serán iguales a cero, ∂ ∂x k

tf

tf

N

x(t) 2 dt

x(t)x∗n φ∗n (t)dt +

n=0

ti

tf

ti

x∗m φ∗m dt

xn φn (t)

ti

 

=0

φm (t)φ∗n (t)dt, m =

∀ 

tf




ti

xn φn (t) 2 dt

= 0 (1.20)

ti

De igual manera, los componentes que no contengan xk son cero. Como resultado solo se tiene dos componentes diferentes de cero: tf

∂ ∂x k

 

tf

x∗ (t)xk φk (t)dt +

ti

xk φk (t)x∗k φ∗k (t)dt

ti

=0

que al diferenciar por xk e intercambiando los términos se obtiene: tf

tf

φk (t) 2 dt

x∗ (t)φk (t)dt = x∗k

ti

ti

cuando se generaliza en función del índice n, da como resultado: tf

  |

x(t)φ∗n (t)dt

xn =

ti

=

tf

ti

φn (t) 2 dt

|

1

1

tf



P n tf − ti t

x(t)φ∗n (t)dt

(1.21)

i

El numerador de (1.21) es la energía (o potencia) de la señal x(t) y de la función base φn (t), mientras en el denominador aparece la energía (o potencia) de las funciones base.

6

22 , 2 0 0 4 1 .


6 n y 1 r s i o r a n u f t V e a J r a D De la expresión (1.20) se obtiene que el error ε2 (t) es igual a

 −  |     − 

ε2N (t) =

tf

1

tf

x(t) 2 dt

ti

| −

ti

tf

N

tf

x(t)x∗n φ∗n (t)dt +

n=0

ti

tf




ti

 − |

 

xn φn (t) 2 dt

|

ti

Además, de (1.21) resulta que xk

P n = tf −1 ti

tf



x(t)φ∗n (t)dt

ti

con lo cual, el error ε2 (t) se puede determinar como: ε2N (t)

=

=

tf

1 tf

−

ti

N

|

2

|

2

x(t) dt

ti

− ti t

 P − ∗ P −   − | |P P − | |P (2x∗n xn

n

xn x∗n

n)

=

n=0

tf

1 tf

 |  |

N

x(t) dt

N

x2n

n=0

i

n

x2n

=

(1.22)

n

n=0

Por cuanto la potencia de error siempre es positiva, ε2 (t) ≥ 0, entonces, de la anterior expresión se deduce la siguiente desigualdad: N

 P ≥ | | P xk

2

(1.23)

k,

k=0

conocida como la desigualdad de Bessel , la cual indica que la potencia de la aproximación de la señal x(t) obtenida por (1.18) es menor o, en el mejor de los casos, igual a la potencia de la señal original. De otra parte, de (1.22) se observa que al aumentar N , o sea, al aproximar la señal con conjuntos mayores ortogonales, entonces el error ε2 (t) disminuye.

Teorema 1.1 (Parsevall). Por definición ε2 0, por lo tanto, al hacer N t N 2 en (1.22), la suma k=0 xk k converge al valor del integral tif x2 (t)dt, luego ε2 tiende a cero. Como resultado se tiene la siguiente igualdad: tf

 |

ti

|

2

x(t) dt =

 | | ∞

n=1

xn

P

2

=

P n,

≥



→∞

(1.24)

6 0 01.2. 2 . Representación discreta de señales , n 4 1 6 1 r y e r s i o a n u V J a r a f t D E E E

1( × 0) 1( × 0) 1( × 0)

23

1/T

T

T

φ0 (t)

E x(t) E

E

.

E

1/T

T

T

.. φ1 (t) .. .. .. .

E

E

T

φn (t)

T

E

1/T

1( × 0) 1( × 0) 1( × 0)

.. ............... .................................................. .. .. .. .. x0 ..E .. E .. .. .. .. .. .. .. .. T .. .. (t) φ 0 .. .. .. .. . .. . x1 . E E .. .. .. .. ..x(t) .. .. E .. .. T .. .. φ (t) 1 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . xn .E .. E .. .. .. .. .. .. .. .. .. T .. .. φn (t) ....................................................................

Figura 1.5: Descomposición y formación ortogonal de señales

En este caso, el conjunto ortogonal se define como completo en (ti , tf ). Si en la expansión (1.18) la cantidad de términos N → ∞, o sea, x(t) =

∞



xn φn (t)

(1.25)

n=0

entonces, la serie infinita converge hacia la función x(t), de tal manera que el valor cuadrático medio del error ε2 (t) de la aproximación se hace igual a cero. La representación de una función x(t) dada en (1.25) por medio de un sistema base con número infinito de funciones ortogonales se denomina representación generalizada de Fourier de x(t) para la base {φn (t)}. Cualquier señal de potencia (o energía) puede ser descompuesta si el sistema de funciones base genera un sistema completo, donde los coeficientes xn se determinan por (1.21). El mismo conjunto de los coeficientes {xn } se denomina espectro de la señal x(t), mientras el producto xn φn (t) se define como la componente espectral de la señal. Cualquiera de las dos formas: la serie generalizada de Fourier (1.25) o el espectro {xn} (1.21) determinan unívocamente la señal x(t). Basados en la expresión (1.25) es posible la síntesis de señales, así en la Figura 1.5 (para P n = 1 ) se muestra el diagrama funcional del sintetizador de señales empleando el sistema de funciones base {φn (t)}. Por cuanto, la cantidad de sistemas ortogonales completos es inconmensurable, la elección del mejor sistema base de representación tiene un amplio sentido práctico. Las siguientes son las recomendaciones generales a tener en cuenta en este caso: 1. El sistema base debe ser descrito analíticamente de manera fácil, así que las correspondientes funciones ortogonales sean sencillas de generar. 2. El sistema base debe ser una tarea con solución adecuada de tal manera que éste facilite la resolución de problemas tales como la representación económica de seña-

6

24 , 2 0 0 4 1 .


6 n y 1 r s i o r a n u f t V e a J r a D les, la realización de filtros espectrales, y la disminución de costos computacionales

en el proceso de señales, entre otros. 3. Es preferible que el sistema base {φi (t)} sea multiplicativo, esto es, que se cumplan las siguientes condiciones: Sea φn (t), φm (t) ∈ {φi (t)} , si φk (t) = φn (t)φm (t), entonces φk (t) ∈ {φi (t)} . Sea φn (t) ∈ {φi (t)} , si φk (t) = 1/φn (t), entonces φk (t) ∈ {φi (t)} . 4. El sistema base debe facilitar la síntesis de algoritmos económicos (rápidos) en el sentido del costo computacional. En particular, es preferible el empleo de sistemas conformado por funciones ortogonales de estructura periódica. La elección del sistema de funciones ortogonales más conveniente depende del ob jetivo con que se descompone la señal compleja original. Entre los diferentes problemas que exigen esta descomposición pueden distinguirse dos orientaciones importantes: 1. La descomposición en sistemas completos de funciones ortogonales, 2. La aproximación de las señales, de tal manera que se pueda brindar la precisión deseada con el menor número de elementos de la serie en (1.18). En el primer caso, se difundió el empleo de las funciones exponenciales de Fourier y en particular de las funciones trigonométricas, los senos y cosenos. Sin embargo, en algunos casos se emplean otros sistemas. Por ejemplo, para la discretización de señales continuas en el tiempo se emplean bases del tipo sinc(x). En el proceso digital de señales es muy frecuente el empleo de funciones constantes en segmentos de tiempo [4] (bases de Rademacher , Walsh , Paley , Hadamar y Haar ). Como ejemplos de conjuntos ortogonales en la segunda orientación se pueden analizar los polinomios de Chebyshev , Hermite , Laguerre , Legendre entre otros [4, 5]. 1.2.3. Sistema ortogonal completo de Fourier

Se define a partir del conjunto ortogonal conformado por las funciones exponenciales complejas del tipo: Serie exponencial de Fourier.

φn (t) = e jnω 0 t ,

(1.26)

= 0. donde n ∈ {0, ±1, ±2, . . .} se denomina armónico , siendo ω0 = cte  En la determinación del valor de la constante ω0 , se parte de la definición de ortogonalidad (1.26) sobre el intervalo de tiempo (ti , tf ), por lo que se tiene: tf



tf

φn (t)φ∗m (t)dt =

ti



e jnω 0 t e− jmω 0 t dt =

ti





0,



n=m n, n = m

E e j(n−m)ω t −e j(n−m)ω t



1 0 f 0 i = = 0, n = m, j(n m)ω0 1 = e j(n−m)ω0 ti e j(n−m)ω0 (tf −ti ) 1 = 0. j(n m)ω0

− −



∀ 

 −

6 0 01.2. 2 . Representación discreta de señales , n 4 1 6 1 r y e r s i o a n u V J a r a f t D obteniéndose los respectivos valores de ω0 = 2π/

25

E n y E n = (tf − ti)

(1.27)

La representación exponencial de la serie Fourier para cualquier señal de energía, aplicando (1.15), tiene la forma:

∞

x(t) =



xn e jnω 0 t , (ti < t < tf )

(1.28)

n=

−∞

donde cada uno de los coeficientes de la serie, teniendo en cuenta (1.21), se determinan por la expresión: xn =

tf



1 tf

− ti t

x(t)e− jnω 0 t dt

(1.29)

i

Se definirá como espectro de Fourier a la representación gráfica de los coeficientes complejos de Fourier de la función en dependencia de la frecuencia. Aunque, como antes se dijo, el espectro puede ser hallado para cualquier sistema base de representación, realmente, el espectro de Fourier se le ha encontrado interpretación física y, por lo tanto, uso práctico en la ingeniería. En adelante, cuando se refiera al espectro se tendrá en cuenta sólo el de Fourier. En la Tabla (1.1) se muestran los coeficientes de Fourier para algunas señales comunes. Señal

Definición

Triangular simétrica

 − 

Diente de sierra

2t/T, t < T /2

Sinusoide rectificada

|sin ω0t|

Cuadrada simétrica

T t < 4 T T < t < 4 2 τ t < 2 τ T t < 2 2

||

1,

||

1,

Pulsos rectangulares

||

+1,

≤|| 1 − 4|t|/T, |t| < T /2 0,

||



Coeficiente xn



sinc(nπ/2), n = 0 0, n=0

τ sinc(nπτ/T ) T

  −   −



sinc(nπ/2), n = 0 0, n=0 j( 1) , n =0 nπ 0, n =0 2 , n par π(1 n) 0, n impar



∈ ∈

Tabla 1.1: Coeficientes de descomposición espectral de Fourier



Ejemplo 1.5. Hallar la serie de exponencial de Fourier para la función (considerando a = b):

x(t) =

 

a, t1 b,

− τ 2 < t < t1

τ t1 < t < t 1 + , 2

6

26 , 2 0 0 4 1 .


6 n y 1 r s i o r a n u f t V e a J r a D Aplicando (1.27) se obtiene

E n = ((t1 + τ /2) − (t1 − τ /2)) = τ, siendo ω0 = 2π/E n = 2π/τ . Los coeficientes espectrales se definen a partir de ( 1.21): t1 +τ /2

1 xn = τ



jnω0 t

−

x(t)e

t1 −τ /2

1 xn = τ



t1 +τ /2

t1

1 dt = τ

jnω0 t

−

ae

ae jnω t jnω 0 −

0

−

t1

be

dt

t1

t1 −τ /2

 

jnω 0 t

−

dt+

jnω0 t t1 +τ /2

be

−

+

jnω 0

t1 −τ /2

t1

−b y t1 = 0, se obtiene

haciendo a = 1 xn = τ



xn =

2a , n jnπ 0, n


0

0

−

1 xn = τ

τ /2

−

τ /2

ae jnω t jnω 0

 − − ∈  ∈ −   − − −  −  −

en cambio, si a =

=

        −       −  − − − 0

=

0

a e jnω 0 τ

jnω 0 t 0

−

jnω 0 t τ /2 0

−

τ /2

−

e

=

−a [1 − cos nπ]

jnπ

impar par

b, pero t1 = τ /2, el valor de los armónicos será:


a 0 jnω 0 τ

0

e

τ /2 0


jnω 0 t τ τ /2

−

0

  τ

τ /2

−a sin nπ = 0, ∀n.

=

nπ

Finalmente, la representación completa en forma de serie exponencial de Fourier, correspondiente a (1.18), de la función dada en el intervalo (t1 τ /2, t1 + τ /2), es la siguiente:

−

  ∞

x(t) =

xn ejnω

0

t

n=−∞

2a jπt ej3πt ej5πt = e + + + ... jπ 3 5

e

j3πt

−

jπt

−

−e

−

3

e

j5πt

−

−

5



−...

1

0.8

Tx(t)

0.6

0.4

a

0.2

0

t1

−

τ 2

Et t1

t1 +

−0.2

τ 2

−0.4

−0.6

b

−0.8

.

(a) Representación en el tiempo

−1

3ω0 ω0 0 ω0 3ω0 5ω0 7ω0 9ω0

(b) Representación espectral

Figura 1.6: Meandro simple

nω0

Analisis de Señales y Sistemas (German Castellanos)

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