ANÁLISIS DE SEÑALES CON RUIDO AWGN Y FILTRADO

ANÁLISIS DE SEÑALES CON RUIDO AWGN Y FILTRADO. Paola Andrea Otero Cano. 100611010057. Fredy Mauricio Guerrero Córdoba. 100611010517.

En un sistema de comunicaciones, los fenómenos de ruido son algo inherente a los elementos que lo componen. El ruido se constituye entonces en un parámetro inevitable que no se puede aislar por completo pero del cual se puede disminuir su efecto. El ruido se produce por la agitación de electrones o energía sobrante de procesos externos en un sistema. El ruido AWGN, que es el más común de encontrar en los sistemas de comunicaciones, es un proceso estocástico que se puede modelar mediante una distribución de probabilidad normal o gaussiana de media 0. Su espectro abarca todo el margen de frecuencias por lo que es imposible aislarlo por completo, pero mediante operaciones de filtrado se puede eliminar la mayoría de sus componentes. En este documento se muestra en detalle la conformación de una señal ruidosa, los efectos que esta produce en una señal a transmitir, tanto en frecuencia como en tiempo y cómo responde un filtro Butterworth de orden N a una entrada que es la suma de la señal a transmitir y la señal ruidosa.

1. Conformación de la señal en el tiempo: La señal de entrada va a ser un ciclo de carga y descarga de un condensador, como esta es una función a trozos, es necesario limitar las funciones mediante pulsos rectangulares unitarios de duración y retardo convenientes. La señal en el tiempo se define bajo los siguientes intervalos.

Ecuación de carga del condensador: 𝑉𝑐(𝑡) = 𝑉𝑖 + 𝐴(1 − 𝑒 −Ʈ𝑡 ) Donde: Vi : Valor inicial de carga A : Valor final de carga Ʈ : Constante de carga del condensador Ecuación de descarga del condensador:

𝑇𝑜

𝑉𝑐(𝑡) = 𝑉𝑖 + 𝐴𝑒 −Ʈ(𝑡− 2 )

1

Dónde: Vi : Valor inicial de carga A : Valor final de carga Ʈ : Constante de carga del condensador Suponiendo que el tiempo de carga sea igual al de descarga podemos definir las ecuaciones a trozos de la siguiente manera: 𝑉𝑐(𝑡) = 𝑉𝑖 + 𝐴(1 − 𝑒 −Ʈ𝑡 ) 𝑉𝑐(𝑡) = 𝑉𝑖 + 𝐴𝑒

𝑇𝑜 −Ʈ(𝑡− ) 2

;

0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇𝑜/2

;

𝑇𝑜/2 < 𝑡 ≤ 𝑇𝑜

Usando Scilab® podemos construir la señal en el tiempo, esta queda de la forma:

Figura 1. Construcción de la señal en tiempo con periodo 0.001 seg.

Usando la función fft de scilab, obtenemos la transformada rápida de Fourier para esta señal. El resultado de esta transformación es el espectro que se muestra a continuación.

1

Se reemplaza t por t-To/2 para dar el retardo adecuado y que la función aparezca en To/2.

Figura 2. Espectro de la señal sin ruido.

2. Generación de ruido gaussiano blanco aditivo: Una vez se obtiene la señal en el tiempo y su espectro, se procede a la generación de ruido, para lo cual se modela el vector ruidoso con la función grand de scilab que permite generar vectores aleatorios con determinadas distribuciones de probabilidad. La función recibe el tipo de distribución, la media y la desviación estándar. Para el caso particular, la desviación estándar está dada por:

𝜎 = (𝑅 ∗

1 2 2 2(𝜋𝐾𝑇𝑜)

3ℎ

)

Resumiendo constantes y considerando un sistema a temperatura ambiente, se tiene la desviación estándar resumida como sigue. 𝜎 = 𝑅 ∗ 1,5919 ∗ 10−7 Donde R es la resistencia de carga sobre la que incide la señal. Con una resistencia elevada, la presencia de ruido será mayor, luego la cantidad de ruido que contamina la señal será directamente proporcional a la resistencia sobre la que incide la señal. Al modelar el ruido de esta forma obtenemos nuestra señal ruidosa.

Figura 3. Señal ruidosa generada por la función grand.

Esta señal ruidosa debe añadirse a la señal a transmitir. Al ser el espectro del ruido continuo en todas las frecuencias, el ruido va a afectar a toda la señal, esto se puede ver claramente en el siguiente gráfico, producto de sumar la señal a transmitir con el ruido.

Figura 4. Señal sumada con el ruido y R de 3 kohms.

Se hace notorio el ruido que se ha añadido a la señal. El ruido en la señal depende de la resistencia de carga, por lo tanto es importante observar los efectos al cambiar dicha resistencia. Variando ese parámetro se obtiene:

Figura 5. Señal sumada con el ruido con resistor de carga de 30 Kohms.

Figura 6. Señal sumada con el ruido con resistor de carga de 300 Kohms.

Vemos que a medida que incrementamos el ruido, la resolución de la señal se deteriora al punto de quedar irreconocible. Cuando esto ocurre, las operaciones de filtrado no logran hacer gran cosa al recuperar la señal. Así como existe una deformación de la señal en el tiempo, el espectro también se ve afectado por el ruido. De la misma manera, al incrementar el ruido, los efectos sobre el espectro son más nocivos.

Figura 7. Espectro de señal + ruido con resistor de carga de 3 kohms.



Figura 10. Espectro de señal + ruido con resistor de carga de 3 Mohms.

Es notorio que en determinado punto, el ruido domina por completo a la señal, deformándola en el tiempo y en la frecuencia. Como ya se tiene la señal afectada por el ruido, se debe procurar revertir ese proceso usando sistemas físicamente realizables. Para este caso se hace uso de un filtro pasa-bajo Butterworth de orden N para disminuir los efectos nocivos del ruido en la señal original.

3. Forma matemática del filtro Butterworth de orden N: El filtro Butterworth nos permite obtener una banda pasante aproximadamente plana y puede llegar a tener una región de transición muy pequeña, pero presenta una característica nociva. Este filtro produce distorsión en fase de forma exponencial y en un sistema donde los atrasos de la señal son importantes, puede causar graves problemas la implementación de este tipo de redes. El filtro de Butterworth basa su forma numérica en polinomios de orden N, pero la expresión más simplificada de la función de transferencia de este filtro es la siguiente.

1

|𝐻(𝑓)| =

2𝑁 √1 + ( 𝑓 ) 𝐵

2

Donde N es el orden del filtro y B es la frecuencia de corte para potencia mitad. De esa forma, la expresión aproximada para la distorsión en fase será: 𝑓 𝑁 arg{𝐻(𝑓)} = − arctan (( ) ) 𝐵 Se puede ver claramente que cuando el orden del filtro es mayor, los cambios de fase son más bruscos, por ende el retardo de la señal es mayor. Gráficamente, la función de transferencia tiene el siguiente comportamiento de magnitud:

Figura 11. Función de transferencia con B= 0.001 y N=1.



Ahora los cambios en fase:

Figura 14. Cambios de fase con B= 6 y N=1.



Se puede ver que cuando se eleva el orden del filtro, se mejora la resolución de la banda pasante y se disminuye las regiones de transición, pero al mismo tiempo se producen cambios bruscos en fase y retardos bastante significativos. Ya se ha visto qué incidencias puede tener el filtro sobre una determinada señal, ahora se filtra la señal a la que se le ha añadido ruido para observar qué efectos tiene la función de transferencia del filtro sobre la señal y sobre el ruido. Se presentan los siguientes efectos sobre la magnitud de la señal.

Figura 17. Distorsión de magnitud para B=10kHz y N=1.

Figura 18. Distorsión de magnitud para B=1kHz y N=1.

Figura 19. Distorsión de magnitud para B=400Hz y N=1.

Figura 20. Distorsión de magnitud para B=50Hz y N=1.

Se puede ver cómo los procesos de filtrado disminuyen el efecto del ruido y suavizan la señal. Cuando se está estableciendo la banda de paso hay que ser cuidadosos de poner una banda igual a la de la señal deseada, de lo contrario se pueden llegar a anular componentes importantes de la señal como se ve en la figura 20 en donde la apariencia de la señal ya no corresponde con la señal original o por el contrario puede ocurrir que la banda pasante sea tan grande que el filtro no tenga efectos sobre el ruido y no se pueda

disminuir la potencia de ruido. Ahora será importante analizar los cambios en fase de la señal al pasar por el filtro. Los cambios en fase de la señal se dan de la siguiente manera:

Figura 21. Distorsión de fase para B=1 kHz y N=1.

Figura 22. Distorsión de fase para B=400 Hz y N=1.

Figura 23. Distorsión de fase para B=2 Hz y N=1.

Ahora incrementando el orden del filtro, se esperaría que los cambios en fase sean más bruscos. Los cambios de fase al incrementar el orden del filtro se dan de la siguiente forma.

Figura 24. Distorsión de fase para B=1 kHz y N=10.

Como se esperaba, los cambios en fase son mucho más bruscos y además la brecha angular es mucho más grande que para los filtros de orden menor. En conclusión, las etapas de filtrado son muy útiles a la hora de disminuir los efectos del ruido, siempre y cuando exista una relación señal a ruido que lo permita. Pero además, las etapas de filtrado producen cambios en fase que pueden llegar a tener trascendencia en determinados sistemas. La respuesta en magnitud del filtro Butterworth es bastante buena, discriminando las componentes de manera que se produzca mínima atenuación para la banda de paso (región plana). La distorsión de fase es bastante significativa y aumenta de forma exponencial al orden del filtro.

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