Examen No. 15
Instituto Politécnico Nacional UPIITA
1ER EXAMEN DEPARTAMENTAL ANÁLISIS Y SÍNTESIS DE MECANISMOS Nombres: García Velasco Joel Loera Santillán Abraham Miguel Nuñez José Francisco
EQUIPO #: ___8____ Grupo: _2MM1_ Fecha de Entrega: 8/03/11
Instrucciones. Modele y simule utilizando el método gráfico, álgebra compleja, método analítico y método matricial apoyándose en el software Mathematica® 8.0, lo siguiente: a) Grados de libertad. b) Análisis de posición: = 0 a 360. c) Análisis de velocidad: n = 10 rad/s. Se entregará impreso el desarrollo de la solución, incluyendo: Redacción del problema incluyendo el dibujo del mecanismo (dimensiones, etc. ). El impreso deberá contener el desarrollo detallado (Tipo tutorial) de la solución como: fórmulas, gráficas, validación de resultados numéricos, programas, etc. (Memoria Técnica) Se entregará en un CD el desarrollo de la solución además del código en Mathematica® 8.0. (archivo: *.docx y el archivo *.nb). Guardar todas las imágenes *.ai de illustrator en una carpeta: figura1.ai, figura2.ai,…,
Prof. Dr. Juan Alejandro Flores Campos.
1
INDICE Planteamiento del problema I. Grados de libertad II. METODO GRAFICO (posición) III. METODO GRAFICO(velocidad) IV. METODO MATRICIAL (posición) V. METODO MATRICIAL (velocidad) VI. METODO ANALITICO (posición) VII. METODO ALGEBRA COMPLEJA (posición) VIII. METODO ALGEBRA COMPLEJA (velocidad) IX. METODO ANALITICO (velocidad) X. COMPARACIÓN DE RESULTADOS XI. XII. SIMULACION
2
PÁG 3 4 5 7 9 10 11 15 25 21 29 30
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA A continuación, se presenta el desarrollo y la memoria técnica del análisis de posición y de velocidad del mecanismo mostrado en la figura 1, se presenta a detalle el desarrollo del análisis de posición, velocidad y aceleración utilizando los métodos: gráfico, analítico, matricial y de álgebra compleja para la parte cinemática (posición y velocidad). Se comparan y se interpretan los resultados obtenidos de los cuatro métodos entre sí, con el fin de validar los resultados. Nos apoyamos en el software de cálculo simbólico formal de Mathematica® 8 y de Matlab® 2010a y Working Model® 2D 2004. Para la parte dinámica se obtendrán los coeficientes de velocidad, y sus respectivas derivadas, de cada eslabón del mecanismo y la energía cinética del sistema para obtener el modelo dinámico del mecanismo. Finalmente, se implementaran técnicas de control PID para controlar la posición de la manivela en presencia de fuerzas externas actuando en el mecanismo. Datos: Ф=60
La= 0.050 m
n= 10 rad/s
CB= 0.4 m BD=1.5 m
Figura 1. Mecanismo de dos lazos colisa invertida y biela manivela
3
I.
GRADOS DE LIBERTAD
La movilidad de un mecanismo se puede definir como el número de entradas independientes que tiene un sistema para conocer la posición de todos los puntos de todos sus eslabones, referidos a un sistema inercial (fijo) de coordenadas. En este caso X-Y. El número de grados de libertad se puede determinar mediante el criterio de KutzbachGrübler: =(
)
(1.1)
donde: : Es el número de pares cinemáticos superiores. En este caso particular, =0 :Denota el número de pares cinemáticos inferiores, marcados con números romanos (i,ii,..,vii) = : Es el número de eslabones que tiene el mecanismo. =6 Sustituyendo en la ecuación (1.1) = (6
)
( )
0=
Estos significa que basta una sola entrada a la manivela (eslabón 2) para conocer la posición de cualquier punto de cualquier eslabón del mecanismo con respecto al sistema de coordenas XY. Recordando que es necesario haber obtenido el modelo cinemático del mecanismo que relaciona las coordenadas de posición de los eslabones con la variable de entrada, en
Figura 2. Mecanismo de 1GDL
4
este caso
II. ANÁLISIS DE POSICIÓN Introducción.- El método gráfico se basa en la medición directa de las longitudes y de los ángulos de los eslabones del mecanismo. Es decir, Se puede utilizar una regla y un transportador para trazar la configuración cinemática del mecanismo, y así de obtener los valores de incógnitas que permitan ensamblarlo. En este método se hace uso de la ecuación vectorial de posición: = Sin embargo, los signos de las coordenadas deben definirse visualmente.
II.1 MÉTODO GRÁFICO Se pueden determinar algunas incógnitas basándonos en la configuración geométrica del mecanismo en el instante presentado. Este método tiene un cierto margen de error, debido a sus argumentos geométricos, por lo cual en nuestro caso se realizó con la ayuda de Solid Works®. Introducción.- El método gráfico se basa en la medición directa de magnitudes y ángulos del mecanismo dada la posición en el instante, con ayuda de herramientas geométricas. = visualmente.
es una ecuación de lazo, los signos de las coordenadas se definen
En el análisis gráfico se mide manualmente las longitudes de vectores posición de puntos desde el origen del sistema de coordenadas. De la misma manera se miden los ángulos Midiendo de la figura 3, se obtiene: = = =
6
=0 6 Es importante señalar, que este método tiene un error considerable en los resultados obtenidos, debido a que la obtención de la información fue de manera visual y depende de la habilidad que se tenga con la regla. Como herramienta alternativa se puede utilizar algún software de CAD, o GeoGebra® para trazarlo y obtener valores más exactos.
5
Ecuaciones Posición (calculándolos por leyes de triangulos) =
Ecuación de lazo 1: Por ley de Senos
= =
6
Y por ángulos suplementarios Ф = Ф =
Ф 6
Ф = Por ley de Cosenos =√
( =0 6
Figura 3. Método Gráfico
6
0
)
Dado que = = En magnitud =
6
7
METODO ANALITICO (POSICION) Introducción.- Para este método es importante recordar el concepto de vector, debido a que representaremos a los eslabones físicos a través de vectores de posición. Usaremos la representación de Euler 1843, en los sistemas de coordenadas polares y coordenadas cartesianas: = Donde: denota la magnitud y
=(
),
su dirección.
Nota: En la figura el eje: y=iy.
Para facilitar la obtención de las longitudes y ángulos incógnita del mecanismo utilizando el método analítico, se utiliza el desacoplo cinemático, que consiste en separar en dos lazos el mecanismo a analizar, para plantear las ecuaciones vectoriales de lazo, respectivamente. Primero se analizará el lazo I, el cual se muestra en la Figura 4. =
(2.1)
=
(2.2)
Dónde, en términos de números complejos: =
Ф
=
Ф
= *0
0+
Figura 4. Lazo I (Dato)
En este caso el único ángulo conocido es Ф = 60 , por lo que es necesario encontrar el valor del ángulo Ф , y la longitud que no es constante ya que siempre varía. Desarrollando la ecuación 2.1 se tiene = Ф
=
Ф
(2.3)
Utilizando la representación de Euler, se obtienen los siguientes términos: Ф Ф
=
=
Ф Ф
Ф
(2.4 )
Ф
(2.5)
Sustituyendo las ecuaciones (2.4) y (2.5) en (2.3), se obtiene la ecuación de lazo, en coordenadas cartesianas, esto es; para el lazo I.
8
(Ф)
=
(Ф)
(Ф )
(Ф )
Separando en componentes reales e imaginarias: 0
(Ф)
=
0=
(Ф )
(Ф)
(Ф )
Se formó un sistema de ecuaciones no lineales en términos de sus incógnitas: Ф y para encontrar la solución se hace uso del programa Wolfram Mathematica®1 8.0, y se plantean los valores iniciales: { Ф ,0}, * ,1}; para iniciar el algoritmo de NewtonRaphson, de ser necesario se puede consultar tutorial de Mathematica® 8.0. Nota 1: El código mostrado abajo, se encuentra en el archivo llamado “Método Analítico.nb”, ubicado en la carpeta: C:\Users\User\Desktop\EQUIPO 8\codigos mathematica 8 METODO ANALITICO DE POSICION
(*Datos*) = *0 0+ rab=.140; =0 rbc=.650; = 60 rce=.250; rcd=.400; = [, -] == ref=.350; = [, -] ==
= , ,
-
,
-
,
-
,* +* += =* + ( ,, - - ) (*Sistema de ecuaciones*) = [, -] f1=rab Cos[ 1]+rbc Cos[ 2 Degree]-rcd Cos[ 3 Degree]-.370 0; = [, -] = =* 00 + , , = [, -] == , , = [, -] == ,* +* += =* + ( ,, - - ) = ,, = ,, --
Figura 5. Código en Mathematica® 8.0 para resolver un sistema de ecuaciones no lineal, utilizando el comando Solve.(PARA LAZO 1 Y LAZO 2 SIMULTANEAMENTE) La solución obtenida, es: Ф = 92.7699º 1
= 0.0461341m
® Marca Registrada versión Trial.
9
Ahora que se conocen los ángulos del lazo I y la longitud en ese instante de tiempo, de igual forma se realiza el análisis del lazo II. De lo anterior, se obtienen las siguientes ecuaciones de lazo: Lazo II.
Figura 6. Lazo II
Figura 6. Lazo 2 para el método analítico =
(2.7)
=*
0 0 0+ (2.8)
Igualando las ecuaciones (2.7) y (2.8) =*
0 0 0+ (2.9)
Tomando en cuenta que cada vector puede ser representado en términos de Euler. = =
Ф Ф
= =
(
Ф (
Ф)
Ф
Ф )
La ecuación (2.9) se puede reescribir de la siguiente forma: *
0 0+ =
Ф
Ф
(2.10)
Separando la ecuación (2.10) en componentes (coordenadas cartesianas) se obtienen dos ecuaciones: = 00 =
(Ф) (Ф)
(2.10b)
10
(Ф ) (Ф )
(2.10a)
Al sustituir los datos conocidos (y calculados) y resolver el sistema de ecuaciones anterior, se encuentran los valores de la posición del último eslabón del sistema, que es la corredera D, y el ángulo Ф , auxiliándose nuevamente con el software Wolfram Mathematica® 8.0.
El código se encuentra en la figura 5 junto con el lazo 1 La solución obtenida es: Ф = -13.475º = 0.168938 m
II.3 MÉTODO DE ÁLGEBRA COMPLEJA (POSICIÓN) Introducción.- Este método es muy interesante debido a que utiliza una transformación lineal, ortogonal de determinante positivo. En otras palabras esta transformación representa una rotación. Es decir, cualquier vector que sea transformado sufre una rotación conservándose la norma del vector (magnitud). La notación de la transformación es la siguiente: ( ) , donde el punto “ ” significa todo el espacio vectorial , y la letra = ( ) es un parámetro de rotación que contiene la información de la cantidad de rotación y el eje de giro con el que va a rotar el vector. El significado físico de los componentes del parámetro son los siguientes: = = . La transformación está definida como: (
)=
| |
*
+
, y donde
vector a rotar y tiene componentes = ( ) , por otro lado la norma | | = vuelve unitaria para obtener los parámetros de Euler. La operación binaria , se define como: ( Siendo (
)(
)
) (
)=(
es el se
)
,
Para utilizar este método se plantea la siguiente metodología, en base a la siguiente ecuación cinemática de posición de un mecanismo dado:
= =
(
)
(
)
1) Definir el problema:
Cinemática Directa: Dados como datos se debe hallar , que satisface a la ecuación anterior, se obtendrá un sistema de ecuaciones lineal a resolver.
11
Cinemática Inversa: Dados como datos . Se debe hallar los parámetros p y q, se obtendrá un sistema no lineal simultáneo de ecuaciones a resolver. Síntesis: dados como datos: y encontrar: , se obtendrá un sistema de ecuaciones lineal. 2) Definir las bases para cada eslabón, encontrar la representación de cada base respecto a la base inercial y construir los vectores de posición. 3) Plantear la relación de la posición para resolver el problema: ecuación de lazo. Una ventaja al utilizar este método es que el sistema de ecuaciones que se obtiene está en términos de parámetros y no de funciones trigonométricas que son sensibles a las perturbaciones numéricas. Otra ventaja consiste en que los valores iniciales que se utilizan en el método de Newton-Raphson para resolver el sistema de ecuaciones (comando: FindRoot[]), están dentro del rango: -1 a 1. Lo anterior, permite controlar el conjunto de soluciones a obtener, debido a que existen dos conjuntos de soluciones posibles. 1) Planteamiento del problema. Se trabajará con la cinemática directa, es decir, dados como datos los ángulos y las longitudes de los eslabones encontrar el vector posición del punto F. 2) Definición de las bases.
Figura 7. Definición de bases locales y fija .
12
En este punto, se define la base global (inercial) alineado paralelamente al sistema de coordenadas xy, luego se define una base local para cada eslabón del mecanismo. Es importante hacer coincidir paralelamente el vector = ( ) de cada base con cada eslabón del mecanismo. Número de bases locales: n=4. Base Inercial: =*
+
= * 0+ = *0 + Bases móviles: =*
+
=*
+
=*
+
= (
)=(
)
= (
)=(
)
= (
)=(
)
=
,
Datos: =0
,
Entonces:
̅̅̅̅ = * ̅̅̅̅ =
=
̅̅̅̅ =
=
= 00
, Ф = 60
0+
Se define la ecuación de lazo y se representa en un sistema de ecuaciones. ̅̅̅ = ̅̅̅
̅̅̅
Sustituyendo cada uno de los términos se tiene la siguiente ecuación: (
)=(
Separando en componentes la ecuación (2.11): = =0
13
0)
(
)
(2.12)
La ecuación auxiliar que falta es (2.12): = Donde
y
son conocidas, ya que
= 60 : =
=
=0 = 0 660
Por lo tanto, las variables a determinar son:
,
,
Entonces el sistema de ecuaciones no lineal del tipo polinomial con 3 ecuaciones y 3 incógnitas, es el siguiente: = =0 = Los valores iniciales que se proponen para iniciar el algoritmo de solución de NewthonRaphson son: {q1,-0.017}, {q2,0.99}, {rba,-0.17}, que en este caso se utilizan minúsculas para representarlos en el programa, (ver figura 9). Nota 2 : El código mostrado a continuacion, se encuentra en el archivo llamado “posición analítico.nb”, ubicado en la carpeta: C:\Users\User\Desktop\EQUIPO 8\codigos mathematica 8
CINEMATICA DIRECTA (*El método para rotar*) Ro[P_,Q_]:={P[[1]]Q[[1]]-P[[2]]Q[[2]], P[[2]]Q[[1]]+P[[1]]Q[[2]]}; e={1,0}; Ф=60 ; p1=Cos[Ф Degree]; p2=Sin[Ф Degree]; p={p1,p2}; q={q1,q2}; s={s1,s2}; e1=Ro[p,e]; e11=Ro[q,e]; e111=Ro[s,e]; rbc=4; rbd=15; b1={2.5,0}; b2=rbc*e11; b3=rbd*e111; b4=rba*e1; b5={rcdx,0.5}; (*la ecuacion de lazo 1 es b4 = b1 + b2 *) f1=b4[[1]]==b1[[1]]+b2[[1]]; f2=b4[[2]]==b1[[2]]+b2[[2]]; f3=q1^2+q2^2==1; R=Solve[{f1,f2,f3},{q1,q2,rba}]; R1={rba,q1,q2}/.R[[2]]; R[[2,1]](*rba*); R[[2,2]](*q1*); R[[2,3]](*q2*); rba=R1[[1]]; q1=R1[[2]]; q2=R1[[3]]; 2=ArcCos[q1]; Ф2=ArcSin[q2]; (*la ecuacion de lazo 2 es b5 = b2 + b3 *) f4=b5[[1]]==b2[[1]]+b3[[1]]; f5=b5[[2]]==b2[[2]]+b3[[2]]; f6=s1^2+s2^2==1; R2=Solve[{f4,f5,f6},{s1,s2,rcdx}]; 14 Rr={rcdx,s1,s2}/.R2[[2]];
Figura 8. Código en Mathematica ® 8.0 para resolver un sistema de ecuaciones polinomial 3X3 utilizando el método de Newton-Raphson implementado en el comando FindRoot[]. Para ambos lazos. Ahora de define la ecuación de lazo 2 y se representa en un sistema de ecuaciones. ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅
̅̅̅̅
Sustituyendo cada uno de los términos se tiene la siguiente ecuación: ( ) ( ) 0 )=(
(2.11)
Separando en componentes la ecuación (2.11): = 0
=
La ecuación auxiliar que falta es (2.12): = Donde
y
son conocidas, ya que Ф =
(fue lo que se encontró primero):
=
Ф =
=
Ф =0
Por lo tanto, las variables a determinar son:
00
,
,
Entonces el sistema de ecuaciones no lineal del tipo polinomial con 3 ecuaciones y 3 incógnitas, es el siguiente: = 0
= =
Los valores iniciales que se proponen para iniciar el algoritmo de solución de NewthonRaphson son: {s1,-0.017}, {s2,0.99}, {rcdx,-0.17}, que en este caso se utilizan minúsculas para representarlos en el programa, (ver figura 8).
15
MÉTODO MATRICIAL (POSICIÓN) Se tiene la ecuación del lazo 1 = = *0 0
Ф 0
[
]=[
]=[
0+ Ф=0
Ф
Ф=0
̇
][
̇
0
]
Y para el lazo II del mecanismo se tiene = 0 0
Ф
Ф =
Ф
Ф = 00
Mathematica® 8.0 nos muestra los siguientes resultados al sistema de ecuaciones de 2X2 por medio del siguiente código. =
6
=
6
Ф = Ф =
6
Estos resultados coinciden con los obtenido mediante el método analítico. Nota 3: El código mostrado abajo, se encuentra en el archivo llamado “Metodo Analítico.nb”, ubicado en la carpeta: C:\Users\User\Desktop\EQUIPO 8\codigos mathematica 8
rcb=4; =60; rbd=15; f1= (rcb*Cos[2 Degree])-rab*Cos[ Degree] -2.5; f2= rcb*Sin[2 Degree] - rab *Sin[ Degree] 0; f3= rab*Cos[ Degree]+rbd*Cos[3 Degree] rd; f4=rab*Sin[ Degree]+rbd*Sin[3 Degree] 0.5; Solve[{f1,f2,f3,f4},{2,rab,3,rd}] 16
Figura 9. Código en Mathematica ® 8.0 para resolver un sistema de ecuaciones polinomial 4X4 utilizando el método de Newton-Raphson implementado en el comando FindRoot[]. Para ambos lazos.
II.1 MÉTODO GRÁFICO (VELOCIDAD) Ecuaciones de Velocidad Se tiene que ⁄
= 0 Y ⁄
=
⁄
=
⁄
⁄
6
Ecuación de Lazo I
⁄
⁄
=
Figura 10. Polígono de velocidad para el lazo 1
Ecuación de Lazo II 17
=
⁄
Figura 11. Polígono de velocidad para el lazo 2 =
Ecuación de Lazo III
⁄
Figura 12. Polígono de velocidades para el lazo 3
Nota:
⁄
=
18
Resultados Medidos en GeoGebra® =
⁄
6
=
6
=0
⁄ 6 ⁄
6 ⁄
=
19
III.2 MÉTODO ANALÍTICO (VELOCIDAD)
Figura 13. Polígono de velocidad y velocidades angulares del lazo I, para el método analítico
LAZO I Para obtener las velocidades angulares del ecuaciones vectoriales de velocidad:
mecanismo se utilizan las siguientes
= =
(3.2)
Donde ⁄ y ⁄ , se leen como velocidad relativa del punto B con respecto al punto C y velocidad relativa del punto B con respecto al punto D, respectivamente. Recordando que la velocidad relativa es el vector diferencia entre los vectores de velocidad de dos objetos o puntos, medidos desde un mismo sistema coordenado, como puede observarse del polígono de velocidad formado en el origen O1 mostrado en la figura 12. Es importante señalar también que la velocidad del punto C.
⁄
, es en realidad la velocidad absoluta
Del análisis de posición con el método analítico se tiene que: =
Ф
=
Ф
20
La velocidad es la derivada con respecto al tiempo de la posición de los puntos del mecanismo, por lo tanto:
⁄
=
Ф
=
Ф
Utilizando la representación de Euler se obtiene: Ф
=
Ф
Ф
Ф
=
Ф
Ф
En este caso la velocidad del punto D en el eje y es cero, ya que sólo se puede deslizar en el eje x. Ф
= =
(Ф )
(Ф )
(Ф )
(Ф )
(3.3)
Separando en componentes la ecuación (3.3), toma la forma siguiente (Ф )
=
(Ф ) (Ф )
=0=
(Ф )
(3.5)
Figura 14. Polígono de velocidades del lazo 2 LAZO II
=
(3.6)
La velocidad es una diferencia de velocidades, y se lee: diferencia de velocidad del punto B de la barra BC, mirándola desde el punto B de la barra BA 21
Del análisis de posición con el método analítico se tiene que: =
Ф
=
Ф
Al igual que en el lazo I, se deriva la posición con respecto al tiempo para obtener las ecuaciones velocidad. =
Ф
=
Ф
(3.9)
Sustituyendo las ecuaciones de velocidad en la ecuación (3.9): Ф
Ф
=
Ф
(3.10)
Utilizando la representación Euler Ф Ф
=
Ф
Ф
=
Ф
Ф
=
=0
Sustituyendo en la ecuación (3.10) (
(Ф)
(Ф)) =
(Ф )
(Ф)
(Ф)
(Ф ) (3.12)
Separando en componentes reales e imaginarias, la ecuación (3.11) toma la forma siguiente: (Ф) =
(Ф )
(Ф) =
(Ф )
(Ф) (Ф)
(3.12)
A continuación, se presenta el código desarrollado en Mathematica ® para resolver dicho sistema. Nota 4: El código mostrado abajo, se encuentra en el archivo llamado “Metodo Analítico.nb”, ubicado en la carpeta: C:\Users\User\Desktop\EQUIPO 8\codigos mathematica 8
22
=60; 2=92.77; 3=-13.4749; rba=4.61; rcb=4; rbd=15; wba=10; (*planteando la ecuación de lazo 1 Vbcac=Vb-Vba*) f1=-Vbcba Cos[ Degree]-rcb wcb Sin[2 Degree]+rba wba Sin[ Degree]; f2=-Vbcba Sin[ Degree]rcb wcb Cos[2 Degree]-rba wba Cos[ Degree]; R=Solve[{f1,f2},{Vbcba,wcb}]; R1={Vbcba,wcb}/.R[[1]] Vbcba=R1[[1]]; wcb=R1[[2]]; (*planteando la ecuación de lazo 2 Vd=Vbc-Vbd*) vd={vdx,0}; f3=vd[[1]]-rcb wcb Sin[2 Degree]+rbd wbd Sin[3 Degree]; f4=vd[[2]]rcb wcb Cos[2 Degree]-rbd wbd Cos[3 Degree]; RR=Solve[{f3,f4},{vdx,wbd}]; R2={vdx,wbd}/.RR[[1]] wbd=R2[[2]];
Figura 15. Código en Mathematica ® 8.0 para resolver un sistema de ecuaciones polinomial 3X3 utilizando el método de Newton-Raphson implementado en el comando FindRoot[]. Para ambos lazos.
III.4 MÉTODO DE ALGEBRA COMPLEJA
Figura 16. Bases de Rotación método algebra compleja
DEFINICIÓN DE LAS BASES Número de bases: 3 Base Inercial: =*
+
= * 0+ = *0 +
23
Base móviles: = (
)=(
)
= (
)=(
)
= (
)=(
)
Datos: =0
,
=
,
= 00
, Ф = 60
Entonces: ̅̅̅ = *
0+
Figura 17. Polígono de velocidad lazo I ̅̅̅ =
=
24
Figura 18. Polígonos de velocidad lazo 3 ̅̅̅ =
=
̅̅̅ =
=
Las velocidades angulares están representadas vectorialmente por los números duales: = *0
+
= *0
+
= *0
+
Para establecer el sistema de ecuaciones se define (ver Fig.14): ⃗
=⃗
⃗
(3.28)
=⃗
⃗
⃗
=
0
̅̅̅1 = *0
+ *
+
⃗
=
0
̅̅̅1 = *0
+ *
+ (3.31)
Además: = 0
Sustituyendo las ec. (3.29), (3.30) y (3.31) en la ecuación (3.28): (
)=*
+
25
*
+
Separando en componentes: = = En la Figura 14, se muestran los vectores de velocidad y el polígono de velocidades formado en 02, del cual se obtiene: La ecuación de velocidad para el lazo 2 es =
(3.34)
Además: =*
+
=*
+
=*
0+
(3.38)
Sustituyendo las ec. (3.31), (3.37) y (3.38) en la ec. (3.36) se obtiene: =*
0+ = *
+
*
+
Separando en componentes la ecuación anterior: = =
0
(3.40)
Por lo tanto se tiene un sistema lineal de 4x4 = = = = Donde las incógnitas son:
,
,
0
,
Nota 5: El código mostrado abajo, se encuentra en el archivo llamado “Metodo Algebra Compleja.nb”, ubicado en la carpeta: C:\Users\User\Desktop\EQUIPO 8\codigos mathematica 8
26
= *0
= 0
+
= *0 =
=
,
-
=
,
+
= *0
+
-
,
-
=
,
=*
0+
-
=
=
[, -] ==
[, -]
[, -]
=
[, -] ==
[, -]
[, -]
,*
=
+*
=*
+- ,, - - )
+ ( = =
[, -] [, -]
=
[, -] ==
[, -]
[, -]
=
[, -] ==
[, -]
[, -]
+*
+-
,*
= =* =
+ ( ,, --
=
,, - - ) ,, --
®
Figura 19. Código en Mathematica 8.0 para resolver un sistemas de ecuaciones polinomiales utilizando el método de Newton-Raphson implementado en el comando FindRoot[]. En el método algebra compleja de velocidad para ambos lazos
METODO MATRICIAL VELOCIDAD Derivando las ecuaciones de la posición en ambos lazos con respecto al tiempo se tienen las siguientes ecuaciones. Lazo I
27
Ф
̇
Ф
Ф
̇
Ф=0
Ф
Ф=0
En forma matricial. Ф Ф
[
[
]=
Ф ][ Ф
=[ ̇
[
Ф ]0 ̇ 1 = Ф
[
Ф ] Ф
Ф Ф
Ф ] Ф
]
Resultados que resultan utilizando el software de Mathematica® 8.0 ̇ =
⁄
6
=
⁄
6
Lazo II Ф
̇
Ф
̇
Ф=
Ф=
Ф Ф
En forma matricial [
Ф Ф
0
]0
1=
̇
[
= 0 =
Ф Ф ̇
6
⁄
66
⁄
Ф ] Ф
(2.3)
El siguiente código desarrollado en Mathematica® 8.0 resuelve la matriz (2.3) Nota 6: El código mostrado a continuación, se encuentra en el archivo llamado “Metodo Matricial.nb”, ubicado en la carpeta: C:\Users\User\Desktop\EQUIPO 8\codigos mathematica 8
28
rbc=4; =60; rab=4.61341; 2=92.76985; wab=10; 3 =-13.475042521701134; rbd=15; l=Inverse[{{-rbc*Sin[2 Degree],-Cos[ Degree]},{rbc*Cos[2 Degree],-Sin[ Degree]}}]; a=l.{-rab*Sin[ Degree],rab*Cos[ Degree]}; wbc=wab*a[[1]] Vab=wab*a[[2]] g=Inverse[{{-rbd*Sin[3 Degree],-1},{rbd*Cos[3 Degree],0}}]; b={{-Vab*Cos[ Degree]+rab*Sin[ Degree]*wab,-Vab*Sin[ Degree]-rab*Cos[ Degree]*wab}}; a=g.{-Vab*Cos[ Degree]+rab*Sin[ Degree]*wab,-Vab*Sin[ Degree]-rab*Cos[ Degree]*wab}; a[[1]] a[[2]]
Figura 20. Código en Mathematica ® 8.0 para resolver el método algebra compleja
Y los resultados desplegados son los siguientes: = 0 =
29
6
⁄
66
⁄
COMPARACIÓN DE RESULTADOS POSICION Tabla 1. Despliegue de resultados numéricos y comparación de los métodos aplicados. Incógnita
Método Gráfico
Método Analítico
0 60 6 0 0
Álgebra Compleja
0
0
6 6
6 6
0
0
VELOCIDAD Tabla 2. Despliegue de resultados numéricos y comparación. Incógnita
Método Gráfico
Método Analítico
0.181 rad/s
0.181636 rad/s
6 ⁄
13.7152 rad/s ⁄
Método Matricial 0
⁄
13.7064 rad/s
⁄
6
6
Algebra Compleja
6
⁄
66
⁄
6
⁄
⁄
0
6
⁄
66
⁄
⁄
6
6
⁄
En la tabla 2 se puede observar que, una vez más, el método gráfico es el que presenta un error mayor, sin embargo la importancia de este método no radica en su exactitud, sino en que ofrece un visión general del comportamiento del mecanismo, en este caso, la dirección y magnitud de las velocidades de cada eslabón, además de ser un método sencillo y fácil de realizar.(aumentar conclusiones) Los métodos de análisis mas confiables resultan ser el matricial, el analítico y el de algebra compleja ya que al observar la tabla de resultados de posición y velocidad son mucho mas similares los resultados de estos métodos a comparación del método grafico, sin embargo cabe recalcar que el método grafico es muy importante, ya que nos da un 30
panorama general para empezar a atacar el problema en la parte de posición y para la parte de velocidad es el método que nos deja visualizar los polígonos de velocidad y aceleración para así obtener las ecuaciones de lazo y descomponerlas por componentes para algunos métodos, es interesante también el método de algebra compleja ya que matemáticamente se resuelve mucho más sencillo a comparación de otros métodos y la metodología en la resolución también es interesante pues está basado en parámetros de euler, los cuales nos dan mayor precisión en los resultados.
V.4 SIMULACIONES DE VELOCIDAD DEL MECANISMO. A continuación se presentan las simulaciones generadas por los métodos vistos. manivela gira los 360 grados y se despliegan las posiciones y velocidades mecanismo: Se despliegan también los vectores de velocidad y se representan polígonos de velocidad para aludir el método gráfico. Archivo C:\Users\User\Desktop\EXAMEN\codigos mathematica 8
FIGURA 21. simulación del mecanismo en mathematica® 8.0 por el método de álgebra compleja
31
La del en en
FIN 1
er
EXAMEN
32
IV. ANÁLISIS DE ACELERACIÓN IV.1 MÉTODO GRÁFICO La ecuación del polígono 1 de aceleración queda de la siguiente manera: =
(4.1)
Se conocen algunas magnitudes y direcciones de las aceleraciones , donde se puede despejar la aceleración de la barra 2, que es la barra BC:
,
=
Figura 22. Polígono de aceleraciones del lazo 1, montado sobre el punto B Para encontrar la aceleración del punto G se utiliza la fórmula = =
(4.2)
La velocidad angular del eslabón AG, ω1, es constante, por lo tanto:
33
. De
1 0 = = ( 00)( ) Ahora se conoce magnitud y sentido de la aceleración del punto G. Para el lazo 2, de la ecuación vectorial de velocidad
=
(4.3)
Figura 23. Polígono de aceleraciones del lazo 2, montado sobre el punto B =
Se deduce
(4.4)
Esta ecuación es la base para trazar el polígono de aceleración. Se conoce tanto dirección y sentido de las componentes normal de , pero solo se intuye el sentido de sus componentes tangenciales. Para obtener el valor de las componentes normales de aceleración: = =
IV.2 MÉTODO ANALÍTICO Para el lazo l Tomando en cuenta la siguiente ecuación vectorial de aceleración que tiene incluida a la aceleración de coriolis y la diferencia de aceleraciones se tiene: |
| =
Ф
|
| Ф
Ф
=
(4.5) Ф
(4.6) 34
Ф
=
Ф
(4.7)
El signo negativo de la aceleración de coriolis y la diferencia de aceleraciones es por su dirección en sentido opuesto al eje del sistema de coordenadas al que están alineadas. Sustituyendo en la ecuación (4.1) las aceleraciones |
Ф
|
|
|
Ф
Ф
=
y
Ф
Ф
Ф
(4.8)
Utilizando la representación de Euler: Ф
(Ф)
=
(Ф)
Ф
=
(Ф )
(Ф )
Ф
=
(Ф )
(Ф )
Separando en componentes reales e imaginarias: (Ф)
(Ф) =
(Ф)
(Ф )
(Ф) =
(Ф )
(Ф )
(Ф)(4.9)
(Ф )
(Ф)
(4.10)
Para encontrar la aceleración del punto G |
=
|
Ф
| Ф
= =
|
|
Ф
(4.10.1)
Ф |
(4.10.2) (4.10.3)
Sustituyendo la representación de Euler en la ecuación (4.10.1) = (4.10.4)
(
(Ф)
(Ф))
(Ф)
(
(Ф))
(
Separando en componentes reales e imaginarias: =
(Ф)
(Ф)
(Ф)
(4.10.5)
=
(Ф)
(Ф)
(Ф)
(4.10.6)
Para el lazo 2 Partiendo de la siguiente ecuación de aceleración = = =
(4.11) Ф
Ф
(4.12) 35
(Ф)
(Ф))
Ф
=
Ф
(4.13)
Utilizando la representación de Euler:
Ф
=
(Ф )
(Ф )
Ф
=
(Ф )
(Ф )
Sustituyendo en la ecuación (4.1): *
Ф
0+ =
Ф
Ф
Ф
(4.14)
Separando la ecuación anterior en componentes reales e imaginarias = 0=
(Ф) (Ф )
(Ф)
(Ф )
(Ф ) (4.15)
(Ф )
(Ф )
(Ф ) (4.16)
nota 7:El sistema se soluciona con el siguiente código desarrollado en Mathematica ® 8.0, el archivo Metodo Analitico.nb se encuentra en el siguiente directorio EQUIPO 8/ Metodo Analitico.nb
Método analítico de aceleración Ac=2*wba*2.967527123340167; (*planteando la ecuación de lazo 1 Ac+aA4A2=aA4-aA2*) f11=-(wcb^2)*rcb* Cos[2 Degree]-cb*rcb*Sin[2 (wba^2)*rab* Cos[ Degree]+Ac* Sin[ Degree]-aA4A2* Cos[ f22=-(wcb^2)*rcb* Sin[2 Degree]+cb*rcb*Cos[2 (wba^2)*rab* Sin[ Degree]-Ac* Cos[ Degree]-aA4A2* Sin[ (*planteando la ecuación de lazo 2 *) f33=ad-(wcb^2)*rcb*Cos[2 Degree]-cb*rcb*Sin[2 (wbd^2)*rbd*Cos[3 Degree]-bd*rbd*Sin[3 Degree]; f44=-(wcb^2)*rcb*Sin[2 Degree]+cb*rcb*Cos[2 (wbd^2)*rbd*Sin[3 Degree]+bd*rbd*Cos[3 Degree]0; (*resolviendo el sitema de ecuaciones*) R1=Solve[{f11,f22,f33,f44},{cb,aA4A2,bd,ad}] R11={cb,aA4A2,bd,ad}/.R1[[1]]; cb=R11[[1]] 36
Degree]Degree]; Degree]Degree]; Degree]Degree]-
aA4A2=R11[[2]] bd=R11[[3]] ad=R11[[4]]
Figura 24. Código en desarrollado en Mathematica ® para resolver el sistemas de ecuaciones obtenido al analizar el mecanismo mediante el método analítico.
IV.3 MÉTODO MATRICIAL CASO 1
Figura 25. Método matricial, a) Lazo I; b) Lazo II
Para este método se derivan las ecuaciones de velocidad antes obtenidas para el lazo I y lazo II Ecuaciones de velocidad: Lazo I ( ) ̇
=
( ) ̇
=
̇ ̇
( )
(Ф ) Ф̇ = 0 (Ф ) Ф̇ = 0
( )
(4.17) (4.18)
Lazo II =
(Ф ) Ф̇
(Ф ) Ф̇
37
̇ =0
(4.19)
(Ф ) Ф̇
=
(Ф ) Ф̇
0=0
(4.20)
Se derivan nuevamente respecto al tiempo para obtener las ecuaciones de aceleración: Lazo I =
( ) ̇ ̇
( ) ̇
( ) ̈ (Ф ) Ф̈ = 0
(Ф ) ̇
̈
( ) ̇
( ) ̇
(4.21)
= ( ) ̇ ̇
( ) ̇
( ) ̈ ( ) ̈ ̇ ̈ (Ф ) Ф = 0 (4.22)
(Ф ) Ф̇
( ) ̇
Lazo II =
(Ф ) Ф̇
(Ф )Ф̈
(Ф ) Ф̇
(Ф ) Ф̈
̈ =0
(Ф ) Ф̇
(
) Ф̈
0=0
(4.23) =
(Ф ) Ф̇
(Ф )Ф̈ (4.24)
Reacomodando: Lazo I ̇
( ) ̇ ( ) ̇ ̈ (Ф ) Ф = 0 (4.25)
( ) ̈
̇
( ) ̇ (Ф ) Ф̈ = 0
( ) ̈
( ) ̇ (4.26)
̈
̈
( ) ̇
( ) ̇
(Ф ) Ф̇
( ) ̇
( ) ̇
(Ф ) Ф̇
Lazo II (Ф ) Ф̇
(Ф )Ф̈
(Ф ) Ф̇
(Ф ) Ф̈
̈ = 0 (4.27)
(Ф ) Ф̇
(Ф )Ф̈
(Ф ) Ф̇
(Ф ) Ф̈
0 = 0 (4.28)
Una vez obtenidas las ecuaciones de aceleración se representan en forma matricial:
38
⌊ ̈
̈
⌋=( ̇
( ) ] ( )
̈)[ ̇
(
( ̈
(Ф ) 0 ]=0 1 (Ф ) 0
̈ )[
̈
⌊ .
( (
Ф̇ / [
) ] )
̈
.
(Ф ) ] (Ф )
Ф̇ / [
(4.29)
⌋= (Ф ) ] . ( ) ̈ 0 0 1=0 1 0 0
Ф̈ ) [
(
(Ф ) ] (Ф )
Ф̈ ) [
(
( ) ] ( )
̇ )[
(Ф ) ] (Ф )
Ф̇ / [ (4.30)
̈ , Ф̈ , Ф̈ , ̈
Teniendo como incógnitas a
Para calcular la aceleración del punto G Primero definimos su posición: =
(Ф )
( )
(4.30.1)
=
(Ф )
( )
(4.30.2)
Teniendo en cuenta que:
=(
|
|)
Para calcular la aceleración del punto G se deriva su ecuación de posición con respecta al tiempo: (Ф ) Ф̇
̇ =
(Ф ) Ф̇
̇ =
( ) ̇
( ) ̇
( ) ̇
( ) ̇
Teniendo en cuenta que:
(4.30.3) (4.30.4)
̇ =
̇
Para encontrar la aceleración se deriva nuevamente con respecto al tiempo: ̈ =
(Ф ) Ф̇
(Ф ) Ф̈ ( ) ̇
̈ =
(Ф ) Ф̇
̈ ( ) ̈
(Ф ) Ф̈ ( ) ̇
̈
( )
( ) ̇ ̇ (4.30.5)
( )
( ) ̇ ̇ (4.30.6)
( ) ̈
Teniendo en cuenta que:
̈ =
( ) ̇ ̇
̇
( ) ̇
̈
Reordenando en forma matricial: ⌊ ̈
̈
⌋=( ̈
̇ )[
( ) ] ( )
( ̇
̇
̇
39
̈) [
(Ф ) ] (Ф )
(4.30.7)
nota 8:A continuación se muestra el código desarrollado en Mathematica ® 8.0 para resolver las ecuaciones del método matricial, el archivo examenmatricial.nb se encuentra en el siguiente directorio EQUIPO 8/ examenmatricial.nb
METODO MATRICIAL Caso 1 r3=0.461; r3p=2.967527123340167; r2=0.4; q=60; qp=10; qpp=0; 2=92.77; 2p=13.706366501502039; (*para resolverlo*) 2p=13.706366501502039; f11=((2*r3p*qp+r3*qpp)*(-Sin[q Degree]))+((r3pp(*para resolverlo*) r3*(qp^2))*(Cos[q Degree]))+ f11=((2*r3p*qp+r3*qpp)*(-Sin[q Degree]))+((r3ppr3*(qp^2))*(Cos[q Degree]))+ ((r2*(2p^2))*(Cos[2 Degree]))+((r2*(2pp))*(Sin[2 ((r2*(2p^2))*(Cos[2 Degree]))+((r2*(2pp))*(Sin[2 Degree]))0; f22=((2*r3p*qp+r3*qpp)*(Cos[q Degree]))+((r3ppDegree]))0; r3*(qp^2))*(Sin[q Degree]))+ f22=((2*r3p*qp+r3*qpp)*(Cos[q Degree]))+((r3ppr3*(qp^2))*(Sin[q Degree]))+ ((r2*(2p^2))*(Sin[2 Degree]))+((r2*(2pp))*(-Cos[2 ((r2*(2p^2))*(Sin[2 Degree]))+((r2*(2pp))*(-Cos[2 Degree]))0; Degree]))0; R1=Solve[{f11,f22},{r3pp,2pp}] R1=Solve[{f11,f22},{r3pp,2pp}] ** ++ Figura: 26. Código en Mathematica® 8.0 para resolver las ecuaciones del método matricial.(caso1) V.4 MÉTODO MATRICIAL CASO 2 Lazo 1: Este caso utiliza el modelo matemático siguiente: , ̈- = ̈ ,
̇
,
-
Es decir: , ̈- = ̈ [
Ф
]
̇ [
Ф
]
Primero se obtiene el jacobiano de las ecuaciones de posición derivándolas con respecto a las variables a encontrar: 40
Ф
= [
( ) ( )
=[
Ф ]
]=
[
] ̇
Sustituyendo en la ecuación de velocidad: ,
,
-=[
( ) ( )
̇
Ф
] = [Ф ] = [ ̇
-=0 1=, -
(Ф ) ] (Ф )
(Ф )
=
El
( ) ] ( )
=[ [
̇
(Ф ) ] (Ф )
( )
0 1
[
( ) ] ( )
(Ф )
( )=
(4.31) (Ф
)
Por lo tanto , ,
-=
(Ф
-= ,
(Ф
-=
) )
(Ф ) ][ ( )
(Ф )
[
(Ф ,
(Ф ) ( )
[
)
-=
(Ф
)
-=[
Ф
(Ф ) ( ))
(Ф
[ (Ф
,
(Ф ) ( )
(Ф ) ( ) ( ) (
(
[
( ) ( )
( ) ] ( ) ( ) ] ( )) ]
) ]
) ] )
]=[ (Ф
Para el análisis de aceleración se derivan los coeficientes de velocidad =
= =
(Ф
)
(Ф
)(
(Ф
)
(Ф
)[
=
Ф
=
Ф
=
(Ф
Ф
)
[
(Ф (
(Ф
41
))
Ф
)(
(Ф
(Ф
)
)
(4.32)
]
]
)
)
(4.33)
Ф
Ф
(Ф
=
)
(Ф (Ф
( Ф
=
Ф
[
)[
]
Ф
)) Ф
]=
Ф
[
Ф
]
Por lo tanto la ecuación de la aceleración queda
, ̈- = ̈ [
]
Ф
[
Ф
̇ [
Ф
[
Ф Ф
]
]
]
(4.34)
Por último se resuelve el sistema
Para el lazo 2 Con el mismo modelo matemático: , ̈ - = Ф̈ [
Ф
Ф̇
]
[
Ф
]
(4.35)
Primero se saca el jacobiano de las ecuaciones de posición derivándolas con respecto a las variables a encontrar: Ф
=
[ Ф
[ ,
-=[
Ф̇ Ф̇ Ф̇
]
(Ф ) ] (Ф )
]
(Ф ) (Ф )
]=[ ̇]=[
0
]
=[
Ф
(Ф ) (Ф )
=[
0
]
(Ф ) ] (Ф )
[ =
El
(4.36)
(Ф )
Por lo tanto , ,
-=
-=
(Ф ) (Ф )
[
[
0
(Ф )] [
(Ф )
(Ф ) ] (Ф )
(Ф ) (Ф )
42
(Ф )
(Ф )
] (Ф )
,
-=
(Ф ) ,
[
-=
(Ф )
[
Ф
(Ф ) (Ф )
(Ф )
(
] (Ф ))
(Ф )
(Ф ) ] (Ф Ф )
[
(Ф ) (Ф ) (Ф Ф ) (Ф ) ]
]= [
Para el análisis de aceleración se derivan los coeficientes de velocidad: Ф
=
=
Ф
Ф
[
=
=
=
[
[
(Ф ) (Ф )
(Ф
(Ф ) ̇ Ф
(Ф ) (Ф )
Ф̇
]
Ф
(4.37)
]
(Ф )]
Ф
Ф )[ ̇ Ф
]
(Ф
Ф̇
Ф )
(Ф ) ̇ Ф
(Ф )
(Ф Ф ) [ (Ф )
=
Ф̇
(Ф )
(Ф )
(Ф ) (Ф )
[
(Ф )
(Ф )
(Ф )
[
=
Ф
=
(Ф )
(Ф Ф ) [ (Ф )
[
(Ф
]
Ф
(Ф ) (Ф )
Ф ) (Ф )
]
Ф
] (4.38)
Ф
Ф
]
]
Por lo tanto la ecuación de la aceleración queda , ̈ - = Ф̈ [
, ̈ - = Ф̈ [
Ф
]
Ф̇
[
0
Ф
]
Ф̇
(Ф ) (Ф )
(Ф Ф ) [ Ф (Ф )
[
Ф
]
Ф
]
(Ф )1 (Ф )
Por último se resuelve el sistema
43
] Ф
(4.39)
nota 9: continuación se muestra el código desarrollado en Mathematica ® 8.0 para resolver las ecuaciones del método matricial, el archivo examenmatricial.nb se encuentra en el siguiente directorio EQUIPO 8/ examenmatricial.nb
METODO MATRICIAL r3=0.461; r2=0.4; r4=1.5; q=60; qp=10; 2=92.77; 2p=13.706366501502039;
3=-13.4749; (*los coeficientes de velocidad*) kr3=-r3*Tan[(2-q) Degree]; kt3=(r3/r2)*(1/Cos[(2-q) Degree]); (*los coeficientes de aceleración*) lr3=((kr3^2)/r3)+((r2^2)/r3)*(kt3^2)*(1-kt3); lt3=((kr3*kt3)/r3)*(2-kt3); (*del lazo 2*) k3=-(r2/r4)*(Cos[2 Degree]/Cos[3 Degree]); kx=(r2*Sin[(3-2) Degree])/(Cos[3 Degree]); l3=(r2/r4)*(((Sin[2 Degree])/(Cos[3 Degree]))+((r4/r2)*(k3^2)*Tan[3 Degree])); lx=(r2)*((Cos[(3-2) Degree])*(1/Cos[3 Degree])*(k31)+((kx/r2)*(Tan[3 Degree])*k3)); (*resolviendo el sistema simultaneamente*) f1=r3pp(qp^2)*(lr3); f2=2pp(qp^2)*(lt3); f3=3pp2pp*k3+(2p^2)*l3; f4=xpp2pp*kx+(2p^2)*lx; R=Solve[{f1,f2,f3,f4},{r3pp,2pp,3pp,xpp}] FIGURA 27. Código en Mathemaica ® 8.0 para resolver las ecuaciones del método matricial caso 2. IV.4 MÉTODO DE ALGEBRA COMPLEJA
44
Base inercial: = {1,0}
= {0,1}
Bases móviles: = (
)=(
)
= (
)=(
)
= (
)=(
)
= ( Datos:
)
Ф = 60 =0 6 =0 = = 00
Figura 28. Definición de la bases de rotación inercial y locales móviles
Entonces: ̅̅̅ = * ̅̅̅ = ̅̅̅ =
0+ = = 45
̅̅̅ =
=
Para el método de álgebra compleja se forma la ecuación de lazo, en este caso se multiplica por un número dual que contiene la aceleración normal y la aceleración tangencial del mecanismo. Para el lazo 1: |
|
|
|
=
(4.40)
Donde los números duales de aceleración son:
|
=*
+
=*
+
=
[
̅̅̅]
(4.41)
=
,
̅̅̅-
(4.42)
|=
(4.43)
Sustituyendo las ecuaciones (4.41), (4.42) y (4.43) en la ecuación (4.40) | |
| |
|
|
|
|
=
= ,
̅̅̅-
[
̅̅̅]
Para calcular la aceleracion del punto G su ecuación queda de la siguiente forma: =|
|
|
|
(4.40.1)
El numero dual de aceleración es: =* =
[
=* Donde:
(4.40.2)
̅̅̅̅ ]
(4.40.3)
+ |
=
+
|
(4.40.4) &
̅̅̅̅ =
=
Ya que se tienen las ecuaciones del lazo I se calculan las del lazo II: = *
(4.44) 0+ =
[
̅̅̅]
[
̅̅̅]
Los números duales de velocidad =*
+
=*
+
=
[
̅̅̅] (4.45) 46
=
[
̅̅̅] (4.46)
Cabe mencionar que la aceleración que pertenece al bloque que se desliza, solo tiene una componente en x, ya que solo puede moverse en este sentido =* 0+
Figura 29. Polígono de aceleración Lazo I
Se tiene un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas: nota
10:
Este
sistema
se
resuelve con se encuentra
aceleracion_metodo_algebra_c.nb Mecanismo1/Aceleración/Codigo Mathematica
Mathematica ®8.0, el archivo en el siguiente directorio
analisis de posición cinematica directa Ro[P_,Q_]:={P[[1]]Q[[1]]-P[[2]]Q[[2]], P[[2]]Q[[1]]+P[[1]]Q[[2]]}; e={1,0}; =60 ; p1=Cos[ Degree]; p2=Sin[ Degree]; p={p1,p2}; q={q1,q2}; s={s1,s2}; e1=Ro[p,e]; e11=Ro[q,e]; e111=Ro[s,e]; rbc=0.4; rbd=1.5; b1={0.25,0}; b2=rbc*e11; b3=rbd*e111; b4=rba*e1; 47 b5={rcdx,0.05}; (*la ecuacion de lazo 1 es b4 = b1 + b2 *) f1=b4[[1]]b1[[1]]+b2[[1]];
48
rcdx=R1[[4]] 3=ArcCos[s1] 3=ArcSin[s2] (*g=Graphics[{AbsoluteThickness[5],Hue[0.7],Line[{b1,b4}], AbsoluteThickness[4],Hue[1],Line[{b4,b5}],AbsoluteThicknes s[4],Hue[1],Line[{{0,0},b4}]}]; Show[g,AxesTrue,PlotRange{{20,-20},{20,-20}}]*) **
0 0
0
0 0
00 6 0 0 6
0 00 6
6
0 6 0 00 6 0
0 0 66 0
6 00
0 6
060
6
0
0 6 0 6 6 +* 060 6 0 6 06 0 0 0 +* 060 6 0 0 6 0 0 6 6 +* 0 6 060 6 0 0 6 06 0 0 0 0 ++ 0 0 6 0 0 0
cinematica inversa i=0; For[1=1,1360,1+=2, i++; Clear[Q1,Q2,S1,S2,rba1,rcdx1]; P1=Cos[1 Degree]; P2=Sin[1 Degree]; P={P1,P2}; Q={Q1,Q2}; S={S1,S2}; a1=Ro[P,e1]; a11=Ro[Q,e11]; a111=Ro[S,e111]; b22=rbc*a11; b33=rbd*a111; b44=rba1*a1; b55={rcdx1,0.5}; (*estableciendo la ecuacion de lazo 1 b44=b1+b2*) h1=b44[[1]]b1[[1]]+b22[[1]]; h2=b44[[2]]b1[[2]]+b22[[2]]; h3=Q1^2+Q2^21; (*estableciendo la ecuacion de lazo 2 b5=b2+b3*) h4=b55[[1]]b22[[1]]+b33[[1]]; h5=b55[[2]]b22[[2]]+b33[[2]]; h6=S1^2+S2^21; k=Solve[{h1,h2,h3,h4,h5,h6},{Q1,Q2,S1,S2,rba1,rcdx1}]; 49
k1={rba1,rcdx1,S1,S2,Q1,Q2}/.k[[4]]; rba1=((k1[[1]])*(k1[[1]]))^(1/2); rcdx1=((k1[[2]])*(k1[[2]]))^(1/2); S1=k1[[3]]; S2=k1[[4]]; Q1=k1[[5]]; Q2=k1[[6]]; gk[i]=Graphics[{AbsoluteThickness[5],Hue[0.7],Line[{b1,b44 }],AbsoluteThickness[4],Hue[1],Line[{b44,b55}],AbsoluteThi ckness[4],Hue[1],Line[{{0,0},b44}]}]; punto[i]=Graphics[{ {PointSize[0.002],RGBColor[1,0,0],Point[{b55,0.5}]}}]; ]; x=Norm[b22] x1=Norm[b33] Manipulate[Show[gk[t],Table[punto[u],{u,1,t}],AxesTrue,Pl otRange{{-20,20},{-10,10}}],{t,1,i,1}]
analisis de velocidad w1=10; W1={0,w1}; W2={0,w2}; W3={0,w3}; e1=Ro[p,e]; vba=Ro[W1,b4]; vbc=Ro[W2,b2]; vbd=Ro[W3,b3]; Vbcab=-vbcab*e1; vd={vdx,0}; (*estableciendo la ecuacion de lazo 1*) ff1=Vbcab[[1]]==vbc[[1]]-vba[[1]]; ff2=Vbcab[[2]]==vbc[[2]]-vba[[2]]; (*estableciendo la ecuacion de lazo 2*) ff11=vbc[[1]]==vbd[[1]]+vd[[1]]; ff22=vbc[[2]]==vbd[[2]]+vd[[2]]; (*resolviendo el sistema simultaneamente*) V=Solve[{ff1,ff2,ff11,ff22},{w2,vbcab,w3,vdx}] Vv={w2,vbcab,w3,vdx}/.V[[1]]; w2=Vv[[1]] vbcab=Vv[[2]] w3=Vv[[3]] vdx=Vv[[4]] **
6
0 0
60
6
6
50
6 6
0 0
6 66
0
6 ++
w1=10; 1=0; e2={0,1}; e22=Ro[p,e2]; (*numeros duales de aceleracion*) A2={-(w2^2),2}; A1={-(w1^2),1}; A3={-(w3^2),3}; a2=Ro[A2,b2]; a1=Ro[A1,b4]; a3=Ro[A3,b3]; Ac=2*w1*vbcab; Aco=Ac*e22; adif=aA2A1*e1; ad=-Ad*e; Norm[b2]; (*planteando la ecacion de aceleracion con coriolis*) fa1=-Aco[[1]]-adif[[1]]==a2[[1]]-a1[[1]]; fa2=-Aco[[2]]-adif[[2]]==a2[[2]]-a1[[2]]; (*para el lazo 2 *) fa3=ad[[1]]==a2[[1]]+a3[[1]]; fa4=a2[[2]]+a3[[2]]==ad[[2]]; (*resolviendo el sistema simultaneamente*) A=Solve[{fa1,fa2,fa3,fa4},{aA2A1,2,Ad,3}] A1={aA2A1,2,Ad,3}/.A[[1]]; aA2A1=A1[[1]] 2=A1[[2]] Ad=A1[[3]] 3=A1[[4]] {*
0
6 0 066
0 0
0
6 0
0 0
l=1; rg=l-rba; bg=rg*e1; Vbcab=-vbcab*e1; Vgb=Ro[W1,bg]; Vg={vgx,vgy}; (*ecuaciones para la velocidad de G*) fg1=Vg[[1]]Vbcab[[1]]+Vgb[[1]]; fg2=Vg[[2]]Vbcab[[2]]+Vgb[[2]]; (*para la aceleracion de G*) 51 ag={agx,agy}; agb=Ro[A1,bg]; fg3=-Aco[[1]]-adif[[1]]+agb[[1]]==ag[[1]];
+}
(*para la aceleracion de G*) ag={agx,agy}; agb=Ro[A1,bg]; fg3=-Aco[[1]]-adif[[1]]+agb[[1]]==ag[[1]]; fg4=-Aco[[2]]-adif[[2]]+agb[[2]]==ag[[2]]; (*resolviendo el sistema simultaneamente*) G=Solve[{fg1,fg2,fg3,fg4},{vgx,vgy,agx,agy}] **
6
66 0 6 6 0 06
0 6 0 ++
00 06
6
6
0
6
Figura 30. Código en Mathematica ® 8.0 para resolver las ecuaciones del análisis de aceleración, tomando en cuenta velocidad y posición Tabla 3. Despliegue de resultados numéricos de aceleración y comparaciones de los métodos utilizados Método Gráfico
Método Analítico
0 0
0
Algebra Compleja
0 0
0 0
6 6 6
Método Matricial(caso2)
0 066
0
0
0 6
06
En la tabla 3 se observan los resultados obtenidos con cada método, al hacer el análisis para aceleración se puede notar como el método de álgebra compleja y matricial se vuelven más complicados, por lo cual se requiere más tiempo para su análisis, por otro lado, el método gráfico conserva una estructura fácil y rápida de entender pero con la desventaja de no ser un método de precisión y exactitud.
TRABAJO VIRTUAL Para este análisis se utilizará el modelo matemático del trabajo virtual, el cual es: =∑
∑
O también de la siguiente forma: = Donde: : Se llama trabajo virtual. : es el vector que apunta al punto de aplicación de la fuerza. 52
: es el número de eslabones. : es una fuerza física. : Desplazamiento angular virtual : es un momento aplicado al eje de giro, medida por
.
Figura 31. Esquema del modelado del trabajo virtual.
La posición de la fuerza aplicada a nuestro mecanismo es: =
( )
=
( )
Los desplazamientos se obtienen derivando las coordenadas de la posición del punto donde se aplica la fuerza: =
( )
=
( )
Para el análisis con gravedad se utilizan los desplazamientos de los centros de gravedad de cada uno de los eslabones y de los bloques, por lo tanto también se deben de establecer las coordenadas de estos centros de masa: =
( )
=
( )
53
=
(Ф )
=
(Ф )
Ф
=
(Ф )
=
(Ф )
Ф
=
( )
=
( )
Donde: : indica la coordenada en y de la barra 1 es decir la barra AB : indica la coordenada en y de la barra 2 es decir la barra BC : indica la coordenada en y de la barra 3 es decir la barra BD : indica la coordenada en y del bloque 1 Es importante mencionar que como la fuerza solo tiene una componente en el eje y, basta con encontrar las coordenadas en y de los centros de gravedad y los puntos de aplicación de la fuerza. Para el caso sin gravedad solo se requerirá conocer las coordenadas del punto de aplicación de la fuerza. Sustituyendo en la ecuación del trabajo virtual e igualando a 0 para mantener en equilibrio el sistema: (0 0) = (0
) (
( )
( ) )
Por lo tanto: =
( )
Con un momento de 3 N.m La fuerza
=
6
Ahora considerando la fuerza de gravedad igual a 9.81 (0 0) = (0
) (
( )
( ) ) (Ф )
( ) ( )
Ф
Utilizando los coeficientes de velocidad: Ф
=
Ф
Por lo tanto: Ф
=
:
Ф
=
54
Ф
(Ф )
Ф
De igual forma: Ф
=
Ф
Por lo tanto: Ф
=
Ф
=
Ф
Sustituyendo estos coeficientes en la ecuación del trabajo virtual: (0 0) = (0
) (
( )
( ) ) (Ф )
( ) (Ф )
Ф
( )
Ф
Se despeja la fuerza que mantiene en equilibrio al sistema =
( )
(Ф )
(Ф )
Ф
Ф
( )
( )
Por último se sustituyen las masas, las longitudes de cada barra, el momento y los coeficientes de velocidad que se obtuvieron del método matricial. =
0
55
REACCIONES BIELA-MANIVELA ∑
( )
=
∑
( )
=
∑
( )
=
∑
( )
= = ̈
=
=
̈= ̈
= ̇
̈ Fig 1. Diagrama de cuerpo libre de la biela manivela
SEGUIDOR
∑
( )
=
∑
( )
=
∑ ∑
( )
= =
=
( )
=
̈
=
=
̈
Fig 2.Diagrama de cuerpo libre para el seguidor
BIELA ∑
( )
=
=
∑
( )
=
=
∑
( )
=
∑
( )
=
=
̈ =
̈ = ̈
̇
COLLARIN
∑
( )
=
=
56
̈
Fig 3.Diagrama de cuerpo libre para la biela
∑
( )
( )
∑ ∑
( )
=
=
=
Fig 4.Diagrama de cuerpo libre para el collarin
=
=
=
CORREDERA ∑
( )
=
∑
( )
=
∑
( )
=
∑
( )
=
= = = =
= Fig 5. Diagrama de cuerpo libre para el deslizador
= =0
57
MODELO DINÁMICO(RESORTEAMORTIGUADOR)
Figura 32. Esquema del modelo dinámico con resorte amortiguador.
Los datos del mecanismo son los siguientes: = = = =
= =0 =0 =
58
= 00 = =
0
Análisis de Posición = = = Coeficientes cinemáticos de Velocidad = = = = Coeficientes cinemáticos de Aceleración = = = = Coeficientes de Velocidad de los centros de masa de cada eslabón Eslabón 1 =
59
= = = = (
=
)
= =
(
)
(
)
= = = = (
) = =
=
⁄
=
⁄ (
)
= (
=
) =0 =0
Por lo tanto la Inercia generalizada se puede expresar como: =
{
} 〈
〈
〉 〉
60
(
)
{
}
Y se define =
=
{
} {
=
{
{ }
}
{
*
} {
}
{
}
} {
}
+ =
̇
Sustituyendo las expresiones en la ecuación fundamental de la dinámica : ̈= ⁄ {
̇
}
COEFICIENTES DE VELOCIDAD DE LOS CENTROS DE GRAVEDAD Para la colisa =
( )
( )
= = =
( ) ̇
̇ =
( )
̇ =
,
=
( )-
( ) ̇ = ,
( )
( )
( )
( )-
Para la barra actuada =
( )
̇ =
( ) ̇
61
= = =
( ) ( )
=
( )
̇ =
( )
( ) ̇ =
( )
Para la biela = = = =
( )
( )
( )
( ) ̇
̇ =
( )
( )
( )
( )
( ) ̇
( ) ̇
̇ =
( )
,
( )
=
( )-
( )
( )-
( ) ̇ ,
( )
=
( )
Para el deslizador = = = =
( )
( ) ̇
̇ =
( ) = ,
( )
( ) ( )
( )-
̇ =
( ) ̇
( ) = ,
( )
( )
̇
̇
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )-
Para la corredera ( )
= = = =
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
=
=
( ) ̇ ,
( )
( ) ̇
̇ = ( )
( ) ̇
̇ =
( )
( )-
( )
( )-
( ) ̇ ( )
La matriz de reacciones 62
,
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [ 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
0 0 0 0
0 0 0
̈ = ̈
]
[
0
63
0 0 0 0 0 0
0
0 0
0 0 0
̇
[
0 0 0 0 0 0 0
]
0
0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0]
REACCIONES F13
64
F12
65
F42
F43
66
67
F46
68
F56
69
F15
70
