Análisis de la impedancia reflejada
Como una primera aproximación a una teoría cuantitativa, considere un transformador con un devanado primario de N 1 número de vueltas y un devanado secundario de N 2 número de vueltas, como se esquematiza en la siguiente figura. Note que la corriente secundaria se define como positiva y hacia fuera del devanado; por lo tanto, la corriente secundaria positiva produce una fem en dirección opuesta con respecto a la corriente primaria. Considere que las propiedades de este transformador se idealizaron bajo la suposición de que es posible ignorar las resistencias del devanado, ya que todo el flujo se limita al núcleo y vincula ambos devanados (por ejemplo, el flujo de dispersión no se considera); asimismo, que no existen pérdidas pérdidas en el núcleo y que la permeabilidad del núcleo núcleo es tan alta que únicamente se requiere una fem de excitación demasiado pequeña que es posible ignorar para establecer el flujo. Estas propiedades son aproximadas a la realidad, sin embargo, para los transformadores no es posible obtenerlas en la práctica. Un transformador hipotético que posee estas propiedades con frecuencia se denomina transformador ideal . Bajo las suposiciones citadas en el párrafo anterior, cuando se aplica un voltaje de variación temporal v 1 en las terminales primarias, deberá establecerse un flujo del núcleo de tal modo que el medidor de fem el iguale el voltaje aplicado. Por lo tanto, tenemos la siguiente expresión
a)
El flujo del núcleo también vincula el devanado secundario y produce una fem inducida e 2 y un voltaje en la terminal secundaria v 2 igual, dada por la ecuación
b)
Figura 1: Transformador ideal y carga
A partir de las ecuaciones a) y b)
c) De esta manera, un transformador ideal varía los voltajes en proporción directa con el número de vueltas de sus devanados. Ahora considere que se ha conectado una carga al devanado secundario. Una corriente y un fem se encuentran presentes en el devanado secundario. Dado que la permeabilidad del núcleo se supone mayor y que el voltaje principal aplicado establece el flujo del núcleo como se especifica en la ecuación 2.8, el flujo del núcleo no cambia por la presencia de una carga en el devanado secundario, y por lo tanto, la fem de excitación neta que actúa en el núcleo (igual a ) no presentará una variación, y como consecuencia permanecerá sin considerarse despreciable. Tenemos la siguiente expresión
d)
A partir de la ecuación anterior se observa que una fem compensadora principal deberá cancelar la secundaria. Por lo tanto,
e)
De esta manera, se observa que el requisito para que la fem neta permanezca constante es el medio por el cual el devanado principal sabe de la presencia de la corriente de carga en el de-vanado secundario; cualquier cambio en el flujo de la fem en el devanado secundario como consecuencia de una cara deberá acompañarse por un cambio correspondiente en la fem del devanado primario. Advierta que para las indicaciones de referencia que se presentan en la formula √ las fuerzas magnetomotrices de é se
encuentran en direcciones opuestas y por lo tanto se compensan. Como consecuencia, la fem neta que actúa en el núcleo es cero, de acuerdo con la suposición de que la corriente de excitación de un transformador ideal es cero. A partir de la ecuación e) tenemos la siguiente ecuación
f)
De esta forma, un transformador ideal convierte las corrientes en la proporción inversa del número de vueltas en los devanados que posee. También advierta que a partir de las ecuaciones c) y f) tenemos la siguiente expresión
g)
Por ejemplo, la entrada de potencia instantánea del devanado primario equivale a la salida de potencia instantánea del devanado secundario, lo cual es una condición necesaria debido a que se han ignorado todos los mecanismos de dispersión y de acumulación de energía en el transformador. 2-a)
2-b)
2-c)
Figura 2: Se muestran tres circuitos que son idénticos en sus terminales ab cuando el transformador es ideal.
Es posible observar una propiedad adicional del transformador ideal al considerar el caso de un voltaje sinusoidal aplicado y una carga de impedancia. Puede ser utilizado un simbolismo fasorial. El circuito aparece simplificado en la figura 2, en donde las terminales punteadas del transformador corresponden a las terminales marcadas de manera similar en la figura 1. Estas marcas punteadas indican terminales de polaridad correspondiente; por ejemplo, si una de ellas sigue a través de los devanados primario y secundario como el caso de la figura 1, comenzando en sus terminales punteadas, se encontrará que ambos devanados encierran al núcleo en la misma dirección que el flujo. Por lo tanto, si se comparan los voltajes de ambos devanados, los voltajes de una terminal punteada a una sin marcar serán de la misma polaridad instantánea tanto para el devanado primario como para el secundario. En otras palabras, los voltajes ̂ y ̂ de la figura 2-a) se encuentran en fase. También las corrientes e se encuentran en fase, tal como se observa en la ecuación d). Advierta de nuevo que la polaridad de se define como dentro de la terminal punteada y la polaridad de se define como fuera de la terminal punteada. A continuación se investigan las propiedades de transformación de impedancia del transformador ideal. En forma de fasorial, las ecuaciones c) y f) se expresan de la siguiente forma
y
h)
̂
y
̂ ̂
i)
A partir de estas ecuaciones tenemos la siguiente expresión
() ̂ Observe que la impedancia de carga se relaciona con los voltajes secundarios y las corrientes
̂ donde es la impedancia compleja de la carga. Como consecuencia, en lo que respecta a este efecto, una impedancia en el circuito secundario puede reemplazarse por una impedancia equivalente en el circuito primario, sólo si
() De esta forma, los tres circuitos de la figura 2 no se distinguen entre sí mientras su funcionamiento se observe desde el punto de vista de sus terminales ab. A la transferencia de impedancia de un lado al otro de un transformador se le denomina referir o reflejar la impedancia al otro lado; las impedancias se transforman al cuadrado de la razón del número de vueltas. De manera similar, es posible referir los voltajes y las corrientes de un lado a otro utilizando las ecuaciones h) é i) para evaluar el voltaje equivalente y la corriente de ese lado. Para resumir, en un transformador ideal los voltajes se convierten en proporción directa con el número de vueltas del devanado, las corrientes en proporción inversa y las impedancias en proporción directa al cuadrado; la potencia y los volts amperes permanecen sin cambios .
Reactancias del transformador y circuito equivalentes Las diferencias técnicas de un transformador real a un transformador ideal deberán incluirse en mayor o menor grado en la mayoría de los análisis del funcionamiento de un transformador; un ejemplo más completo deberá tomar en cuenta los efectos de la resistencia del devanado, los flujos de dispersión, así como la corriente de excitación finita debido a la permeabilidad finita del núcleo (a su no linealidad). En algunos casos las capacitancias de los devanados también afectan de manera importante, lo cual es notable en problemas que tienen que ver con el comportamiento del transformador en frecuencias por debajo de la gama de frecuencias audibles o durante condiciones de rápida transición como las que se encuentran en los transformadores de sistema de potencia; por ejemplo,
el sobrevoltaje causado por alumbrado o disyunción. El análisis de los problemas relacionados con la frecuencia alta se encuentra fuera de los temas que se tratarán en esta publicación, en consecuencia, las capacitancias de los devanados no serán consideradas. Los dos métodos de análisis que toman en cuenta las diferencias técnicas de los transformadores citados con respecto a los transformadores ideales son: 1) una técnica de circuito equivalente que se basa en el razonamiento físico y 2) una aproximación matemática que se fundamenta en la teoría clásica de circuitos acoplados magnéticamente. Ambos métodos se usan cotidianamente y poseen analogías en las teorías de las máquinas rotativas. Debido a que estos métodos ofrecen un valioso ejemplo del proceso de pensamiento relacionado con la transformación de conceptos físicos a una teoría cuantitativa, en esta ocasión se presenta la técnica de circuito equivalente. Para iniciar la elaboración de un circuito equivalente, se considerará en primer lugar al devanado principal. El flujo total que vincula el devanado principal se divide en dos componentes: el flujo mutuo resultante, que está limitado esencialmente al núcleo de hierro y es producido mediante el efecto combinado de las corrientes primaria y secundaria; además del flujo de dispersión principal, que vincula únicamente el devanado principal. Estos componentes se presentan en el transformador esquemático que aparece en la figura 3, donde, para fines de simplicidad, los devanados primario y secundario se ubican en columnas opuestas del núcleo. En un transformador real con devanados de distribución alterna, los detalles de cómo se distribuye el flujo son más complicados, pero las características esenciales permanecen iguales. Por su parte, el acoplamiento flujo de dispersión induce un voltaje en el devanado principal que se añade al producido por el flujo mutuo. Debido a que el patrón de dispersión es mayor a través del aire, este flujo y el voltaje inducido por dicho patrón, varían linealmente con la corriente primaria . Por lo tanto, pueden representarse mediante una inductancia de dispersión primaria (igual al flujo de dispersión que vincula con el
devanado primario por unidad de corriente primaria). La
reactancia de dispersión principal
correspondiente se determina a partir de la ecuación
Además, existirá una caída de voltaje en la resistencia principal . En este momento se observa que el voltaje terminal principal ̂ se compone de tres elementos: la caída: en la resistencia principal, la caída que surge a partir del flujo de dispersión principal y la fem ̂ inducida en el devanado principal por medio del flujo mutuo resultante.
Figura 4: Etapas del desarrollo de un circuito equivalente del transformador.
La figura 4 muestra un circuito equivalente para un devanado primario que incluye cada uno de estos voltajes. El flujo mutuo resultante vincula ambos devanados y se crea al combinar su fem. Es conveniente tratar estas fuerzas magnetomotrices considerando que la corriente principal deberá estar al tanto de dos requisitos del circuito magnético: no sólo deberá producir la fem que se requiere para producir un flujo mutuo resultante, al mismo
tiempo deberá contrarrestar el efecto de la fem secundaria que actúa para desmagnetizar el núcleo. Un punto de vista alternativo es que la corriente primaria no sólo deberá magnetizar el núcleo, sino también suministrar corriente a la carga conectada al devanado secundario. De acuerdo con este cuadro, es conveniente dividir la corriente principal en dos componentes: un componente de excitación y un componente de carga. El componente de excitación
se define como la corriente principal adicional que se requiere para
producir el flujo mutuo resultante. Ésta es una corriente no sinusoidal del tipo que se describió anteriormente. El componente de carga se define como la corriente componente en el devanado principal que contrarrestará de manera exacta la fem de la corriente secundaria . Al considerar que el componente de excitación es el que produce el flujo en el núcleo, la fem neta deberá ser igual a la por lo tanto, se obtiene la
siguiente ecuación
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
Y apartir de la ecuación anterior se observa que
̂ ̂ De la ecuación anterior, se observa que el componente de carga de la corriente principal iguala la corriente secundaria relacionada con la primaria, como en el caso de un transformador ideal. La corriente de excitación, puede tratarse como una corriente sinusoidal equivalente y dividirse en un componente de pérdida del núcleo en fase con la fem ̂ y un componente magnetizante que desfasa ̂ aproximadamente 90°. En un circuito equivalente (figura 4-b) la corriente de excitación sinusoidal equivalente se mide por medio de una rama paralela conectada a través de ̂ que comprende una resistencia de pérdidas en el núcleo en paralelo con una inductancia magnetizante cuya reactancia se denomina reactancia magnetizante y está dada por la siguiente ecuación
En el circuito equivalente de la potencia (figura 4-b) se mide la pérdida de núcleo que se debe al flujo mutuo resultante. Por lo tanto, se conoce como la resistencia magnetizante o resistencia de pérdidas del núcleo y junto con conforma la rama de excitación del circuito equivalente; por lo tanto, a la combinación paralela de y se le conocerá como la impedancia de excitación . Cuando se asuma que es constante, se considera que la pérdida del núcleo tendrá una variación como o (para ondas seno) como , donde es el valor máximo del flujo mutuo resultante. Hablando estrictamente, la reactancia magnetizante varía según la saturación del hierro. Cuando se asume que es constante, la corriente magnetizante se considerará independiente de la frecuencia y directamente proporcional al flujo mutuo resultante. Tanto como por lo general se determinan de acuerdo con un voltaje y frecuencia nominales; entonces se asume que estos dos términos permanecerán constantes para las pequeñas diferencias técnicas de los valores establecidos asociados con una operación normal. A continuación, al circuito equivalente mostrado anteriormente se añadirá una representación del devanado secundario. Se comenzará por reconocer que el flujo mutuo resultante induce una fem ̂ en el devanado secundario, y ya que este flujo vincula ambos devanados, la proporción de fem inducida deberá igualar la proporción del número de vueltas en el devanado, por ejemplo,
tal como ocurre en un transformador ideal. Esta transformación de voltaje y la conversión de corriente de la ecuación pueden medirse introduciendo un transformador ideal en el circuito equivalente, como en el caso de la figura 4-c. Como en el caso del devanado primario, donde la fem ̂ no es el voltaje terminal secundario; sin embargo, debido a la resistencia secundaria y también a la corriente secundaria se crea un flujo de dispersión secundario (ver figura 3). El voltaje terminal secundario ̂ difiere del voltaje ̂ por la caída de voltaje que se debe a la resistencia secundaria y a la
reactancia de dispersión secundaria
(correspondiente a la inductancia de dispersión
secundaria ), como sucedió en la porción del circuito completo equivalente al transformador (figura 4-c) a la derecha de ̂. A partir del circuito equivalente de la figura 4, es posible observar que el transformador real, por consecuencia, será equivalente a un transformador ideal más sus impedancias externas. Al referir todas las cantidades al devanado primario o secundario, el transformador ideal esquematizado en la figura 4-c podrá moverse a la derecha o a la izquierda, respectivamente, del circuito equivalente. Esto es invariablemente posible y el circuito equivalente por lo general se esquematiza como en la figura 4-d con el transformador ideal no visible, además de todos los voltajes, corrientes e impedancias referidas ya sea al devanado primario o secundario. De forma específica para la figura 4d,
() () Al circuito de la figura 4-d se le denomina circuito equivalente T para un transformador. En la figura 4-d, en donde las cantidades secundarias se refieren al devanado primario los valores secundarios referidos se indican como primas, por ejemplo y , con el fin de
distinguirlos de los valores reales en la figura 4-c. Sólo debe recordarse el lado del transformador al que se referirán todas las cantidades.
Para el transformador con nucleo de hierro de la figura. a. encuentre la magnitud de la corriente en el primario y el voltaje aplicado en este. b. Encuentre la resistencia de entrada del transformador.
para el suministro residencial que aparece en la figura determine (suponiendo una carga totalmente resistiva) lo siguiente: a.el valor de R para asegurar una carga balanceada b. la magnitud de e c. el voltaje de la línea d. la potencia total entregada e. la razón de vueltas a = .
