ANALISIS DE ESTRUCTURAS ESTRUCTURAS Definición: Sistema de miembros unidos entre si y construido para soportar con seguridad las cargas a ellas aplicadas. En la figura (a) se representa una grúa que soporta un peso W, está constituida por las vigas AD, BE y AD, que están conectadas entre sí por pernos sin fricción, apoyada en el perno A y por la tensión GD; en la figura (b), se representa el Diagrama de cuerpo libre de la grúa con todas su reacciones y fuerzas externas, en la figura (c) se determinan los DCL de cada uno de sus componentes con sus respectivas fuerzas; además se establece que las fuerzas de acción y reacción entre cuerpos en contacto tienen la misma magnitud, la misma línea de acción y sentidos opuestos.
TIPOS DE ESTRUCTURAS Armaduras: estructura estacionaria concebidas para soportar cargas, compuesta únicamente de barras conectadas por articulaciones, las fuerzas siguen la dirección de las barras. Armazones: estructuras estacionarias concebidas para soportar cargas, contienen siempre al menos un elemento multifuerza, o sea un miembro sometido a tres o más fuerzas que, en general, no siguen la dirección del miembro. Máquinas: concebidas para transmitir y modificar fuerzas, contienen partes móviles, las máquinas al igual que los entramados, contienen siempre al menos un elemento multifuerza. ARMADURAS Una armadura consta de elementos rectos que se conectan en NODOS. La figura representa una armadura típica.
CONSIDERACIONES SOBRE ARMADURAS • • • •
Ningún miembro se prolonga más allá de sus extremos. Las cargas se aplican solo en los nodos. Si es necesario considerar el peso de las barras, se considera que la mitad del peso de cada barra actúa sobre cada uno de los nudos a los que está conectada Suele ser satisfactoria la hipótesis de pasador si concurren en el nodo los ejes geométricos de cada miembro.
BARRAS
TIPOS DE ARMADURAS
ARMADURAS SIMPLES
m = 2n - 3 Dónde: m = número de barras, n = número de nodos
METODO DE LOS NODOS Este método consiste en satisfacer las condiciones de equilibrio de las fuerzas que se ejercen sobre el pasador de cada articulación. El método trata del equilibrio de fuerzas concurrentes y solo intervienen 2 ecuaciones de equilibrio independientes: ΣFx = 0
ΣFy = 0
⇒
n nodos
⇒ 2n = m + 3
2n ecuaciones; 2n incógnitas
EJEMPLO Determínese, empleando el método de los nudos, las fuerzas axiales en todas las barras de la estructura representada.
Diagrama de cuerpo libre: estructura completa
∑M
C
= 0:
(8kN )(6m) + (4kN )(3m) − E (1,5m) = 0 E = +40kN = 40kN ↑
x
= 0:
Cx = 0
y
= 0:
− 8kN − 4kN + 40kN + C y = 0
∑F ∑F
C y = −28kN = 28kN ↓
Diagrama de cuerpo libre: nudo A
8 kN F F = AB = AD 4 3 5 F AB = 6 kN (T ) F AD = 10 kN
(C )
Diagrama de cuerpo libre: nudo D
FDB = FDA = 10kN
(T )
FDE = 2( 53 )FDA = 12kN
(C )
Diagrama de cuerpo libre: nudo B
∑F
y
= 0:
− 4 kN −
4 5
(10 kN ) − 45 FBE
F BE = − 15 kN = 15 kN
∑F
x
= 0:
FBC − 6 kN −
3 5
=0
(C )
(10 kN ) − 53 (15 kN ) = 0
F BC = + 21 kN = 21 kN
(T )
Diagrama de cuerpo libre: nudo E
∑F
x
= 0:
3 5
FEC + 12kN + 53 (15kN ) = 0
FEC = −35kN = 35kN
(C )
Sumando las componentes y, obtenemos una comprobación de nuestros cálculos.
∑F
y
= 40kN − 54 (15kN ) − 45 (35kN ) = 40kN − 12kN − 28kN = 0
Diagrama de cuerpo libre: nudo C Usando los valores calculados de FCB y FCE podemos determinar las reacciones Cx y Cy, considerando el equilibrio de ese nudo. Puesto que estas reacciones han sido determinadas anteriormente a partir del equilibrio de la estructura completa, obtenemos dos comprobaciones de nuestros cálculos. También podemos usar simplemente los valores calculados de todas las fuerzas que actúan en el nudo (fuerzas en barras y reacciones) y comprobar que el nudo está en equilibrio.
x
= 0:
x
= 0:
∑F ∑F
− 21kN + 53 (35kN ) = −21kN + 21kN = 0
− 28kN + 54 (35kN ) = −28kN + 28kN = 0
METODO DE LAS SECCIONES El método de las secciones se usa para determinar las cargas que actúan dentro de un cuerpo. Este método se basa en el principio de que si un cuerpo está en equilibrio, entonces cualquier parte del cuerpo está también en equilibrio. Por ejemplo, considere los dos elementos de la armadura mostrados en la figura. Si las fuerzas dentro de los elementos deben ser determinadas, entonces una sección imaginaria, indicada por la línea azul puede utilizarse para cortar cada elemento en dos partes y en consecuencia "exponer" cada fuerza interna como "externa". Se puede observar con claridad que para que haya equilibrio el elemento que está en tensión (T) está sujeto a un "jalón", mientras que el elemento en compresión (C) esté sometido a un "empuje".
El método de las secciones puede usarse también para "cortar" o seccionar los elementos de toda una armadura. Si la sección pasa por la armadura y se traza el diagrama de cuerpo libre de cualquiera de sus dos partes, entonces podemos aplicar las ecuaciones de equilibrio a esa parte para determinar las fuerzas del elemento en la "sección cortada". Como sólo tres ecuaciones independientes de equilibrio (ƩFx = 0, ΣFy = 0, y ƩMo =0) pueden ser aplicadas a la parte aislada de la armadura, trate de seleccionar una sección que, en general, pase por no más de tres elementos en que las fuerzas sean desconocidas.
EJEMPLO Determinar las fuerzas en las barras FH, GH y GI de la cercha representada
Cuerpo libre: armadura completa. Se define la sección nn a través de la estructura como en la figura. La parte derecha de la estructura se considera como sólido libre. Puesto que la reacción en L actúa sobre este cuerpo libre, el valor de L se deberá calcular por separado usando la estructura completa como sólido libre; la ecuación ∑MA=0 proporciona L = 7,5 kN↑. La reacción A nos das 12,5 kN ↑, realizando el equilibrio en toda la armadura.
Fuerza en la barra GI. Considerando la parte HLI de la estructura como cuerpo libre, se obtiene el valor de FGI escribiendo:
∑M
H
= 0:
(7,5kN)(10m) − (1kN)(5m) − FGI (5,33m) = 0 FGI = +13,13kN = 13,13kN (T )
Fuerza en la barra FH. El valor de FFH se obtiene a partir de la ecuación ∑MG = 0. Desplazamos FFH a lo largo de su recta soporte hasta que se aplique en el punto F, donde se descompone según los ejes x e y.
∑M
G
= 0:
(7,5kN)(15m) − (1kN)(10m) − (1kN)(5m) + (FFH cosα )(8m) = 0 FFH = −13,81kN = 13,81kN (C)
Fuerza en la barra GH.
∑M
L
= 0:
(1kN )(5m ) − (1kN )(10m ) − (FGH cos β )(15m ) = 0 FGH = −1,371kN = 1,371kN
(C )
