Análi Análisis sis de cables cables por elemen elementos tos finito finitos, s, para para la estimac estimación ión de la tención de cables en puentes atirantados con base en la medición expe experi rimen mental tal en labo laborat rator orio io y camp campo o de sus sus nodo nodos s y frecu frecuen enci cias as naturales de vibración.
Este suele hacerse a través de un grupo definido de elementos finitos, los cuales son: elementos de dos nodos tipo Truss (ANSYS, 200!, elementos de m"ltiples nodos # los cuales tienen la venta$a de tener funciones de form forma a de ma%or ma%or orde orden, n, aun&ue aun&ue re&ui re&uiere eren n de inte integra graci ci'n 'n numé numéri rica ca# # % fina finalm lmen ente te,, elem elemen ento toss curvo curvoss con con grados grados de lie liert rtad ad rota rotaci ciona onale les) s) El elemen mento de dos nodos es el m*s com"n de los anteri eriorme rmente menc mencio iona nado dos, s, la matr matri+ i+ de rigi rigide de++ de este este es *si *sica came ment nte e la de un elemento sometido a efectos aiales, sin emargo, presenta una serie de limitaciones &ue lo hacen aplicale a solo ciertos casos espec-ficos) .entro de las consideraciones, est* &ue el cale a modelar dee tener una longitud no mu% larga % una pre/tensi'n alta, para la correcta modelaci'n se dee calcular calcular un m'dulo m'dulo de rigide+ aial efectivo (para tener en cuenta el efecto efecto de catenaria!) A continuaci'n se muestra la matri+ de rigide+ tangencial del elemento truss)
( )
Ktangencial =
A ∗ E L ^
[
∗
1
0
−1
0
0
0
0
0
−1
0
1
0
0
0
0
0
]
.ond .onde e el valo valorr de 1 1 es el m'du m'dulo lo de elast elastic icid idad ad e&ui e&uiva vale lent nte e (para (para considerar el efecto de catenaria!, el cual puede ser calculado por medio de la epresi'n (f'rmula de .ischinger!: E= E
1
^
( )
2
Yl ∗ 2 ∗ EAT 1+ 12 T 1
.onde: Y
Es el peso por unidad de longitud del cale)
l
Es la pro%ecci'n hori+ontal del cale)
T
a tensi'n interna del elemento)
A
El *rea %
E
El m'dulo de Young)
Es haitual no usar la pro%ecci'n hori+ontal del cale sino la pro%ecci'n del peso en la componente local del cale) Adem*s de la matri+ tangencial, se re&uiere de una matri+ adicional de rigide+ geométrica, funci'n de la tensi'n:
()
geomètria=
T L
[
∗
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
−1
0
1
0
0 −1
]
Esta matri+ le da estailidad al c*lculo del elemento3 no ostante, adicional a esta informaci'n, es necesario utili+ar f'rmulas de interpolaci'n funciones de forma % dem*s epresiones &ue descrian la geometr-a de la catenaria, si se reali+a el c*lculo con una condici'n no deformada, los resultados no ser-an adecuados para un an*lisis modal, este método puede permitir la aparici'n de eigen valores imaginarios producto del grado de precisi'n con &ue se calcul' la geometr-a del elemento) El elemento multinodal es una versi'n m*s s'lida del elemento de dos nodos en cuanto a precisi'n % convergencia, las limitaciones siguen siendo similares por lo &ue su aplicailidad contin"a siendo relativa a cales con deformaciones pe&ue4as, de lo contrario, se re&uerir-a de una gran cantidad de elementos para evitar errores de convergencia) 5inalmente, el modelo con elementos curvos es el m*s efectivo de estos, al usar un elemento sencillo de dos nodos sin necesidad de nodos internos &ue puede ser utili+ado para pe&ue4as defleiones, como ocurre en el caso de puentes atirantados % as- mismo para grandes defleiones en cales de puentes colgantes (esto tamién implica &ue el elemento permita anali+ar cales cortos % largos de puentes atirantados con igual precisi'n!) Elemento de cale curvo: Elemento catenaria (Thai % 6im, 2070!, (6aroumi, 78! Este elemento est* asado en las epresiones anal-ticas eactas del elemento de catenaria el*stico, dentro de las consideraciones se tiene &ue el cale es perfectamente fleile % &ue el peso propio est* distriuido a lo
largo de su longitud, tamién se considera constante el valor del *rea transversal del cale, tal como se ve en la 5igura)
as Ecuaciones de e&uilirio para el cale son las siguientes (en coordenadas lagrangianas!:
( )
T
dx =− F 1 dp
( )
T
dy =− F 2 dp
( )
T
dz =− F 3+ ws dp
.onde: 57, 52 % 59 son las reacciones en , % % +, respectivamente) es el peso por unidad de longitud) S es la longitud de la cuerda (la longitud curva deformada!) ;or est*tica se puede epresar la tensi'n como la suma de las componentes de las reacciones: T ( s )= √ F 1+ F 2 + ( F 3−WS ) 2
2
2
.e igual forma, la tensi'n puede ser relacionada con la deformaci'n unitaria por medio de la le% de
(
) (
dp −ds dp = EA −1 ds ds
)
as cuales presentan las siguientes condiciones de frontera: (0! > % (0! > + (0! > 0, ( 0! > 7 , % (0! > 7 %, + (0! > 7+) A partir de las anteriores epresiones, es posile formular las longitudes pro%ectadas del cale en los tres e$es del siguiente modo:
l X =
lY =
− F 1 L0
EA
− F 2 L0
EA
{ln [√ F w
F 2+ ( wL0− F 3 ) + wL0− F 3 − ln √ F 1 + F 2+ F 3 2
)}
{ln [ √ F w
F 2 + ( wL0− F 3 ) + wL0− F 3 −ln √ F 1 + F 2+ F 3
)}
F 1
−
2 1+
F 2
−
2 1+
2
− F 3 L0
w L0 1 l z = + − 2 EA w EA
2
2
2
2
[√ F
] (
2
] (
2
F 2+ ( wL0− F 3 ) −√ F 1 + F 2+ F 3
2 1+
2
2
2
2
2
2
2
2
]
.e modo &ue l, l% % l+ son respectivamente funci'n de 57, 52 % 59) l x = f ( F 1 F 2 F 3 )
l z =! ( F 1 F 2 F 3 )
l y = g ( F 1 F 2 F 3 )
as cuales se pueden epresar igualmente en forma matricial:
{ }[
d 1 x f 11 d 1 y = f 21 d 1 z f 31
]{ } { }
f 12 f 13 d f 1 d f 1 f 22 f 23 d f 2 =f d f 2 f 32 f 33 d f 3 d f 3
En donde "f " es la matriz de flexibilidad cuyas componentes
(
L0
1 f 11=− +¿ EA W
f 12 = f 21=
f 1
f 2 w
[
ln
T " +¿ F 6 T i−¿ F 3 1
T i ( T i−¿ F 3 )
(
) [ 2
F 1
+
−¿
1
W T i ( T i−¿ F 3 ) 1
T # ( T #−¿ F 6 )
) [ [ 2
]
−¿
1
T # ( T # −¿ F 6 )
f 13 =f 31=
f 1 1 1 −¿ w T # T i
L0 1 T 1 + F 6 F 2 1 1 log + + − f 22=− EA W w T i ( T i− F 3 ) T # ( T # − F 6 ) T i − F 3
f 23=f 32
[
]
f 2 1 L0 1 f 6 f 3 1 −¿ f 33= − − w T # T i EA w T # T i
]
[
]
]
]
Ti % T$ son las tensiones al inicio % al final del elemento, &ue pueden ser calculadas como: T i =√ F 1 + F 2 + F 3 2
2
2
T #=√ F 4 + F 5 + F 6 2
2
2
.el mismo modo 5?, 5@ % 5 pueden ser calculadas como: F 4=− F 1 F 5 =− F 2 F 6 =−wL0
Ahora ien, la matri+ de rigide+ es el resultado de calcular la inversa de la matri+ f : −1
K = F
=
[
f 11 f 21 f 31
f 12 f 13 f 22 f 23 f 32 f 33
]
−1
5inalmente, la matri+ de rigide+ tangencial del elemento ser-a:
[
K T =
]
− K
K − K
K
Bna ve+ otenidos los valores, es posile calcular la geometr-a del elemento adem*s de su longitud inicial % longitud deformada:
√
2
S = l z + ( l x + l y ) 2
2
2
sin !
$
$
2
ongitud deformada, donde C es calculada como:
$ =
w 2 2 2 2 l x + l y ) / ( F 1+ F 2 ) ( √ 2
La deflexión se calcula con la siguiente expresión (en la cual normalizado en función de la proyección horizontal). % S= $L [ 3 + ( 1−2 X ) $ sin 0 ] x ( 1− X ) / 3
Referencias:
http:DD)scielo)clDscielo)phpFscript>sciGarttetHpid>S087I/ @089207200090000?
X está
