análise estrutural de lajes maciças através da analogia de grelhas equivalentes

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ENGENHARIA CIVIL

ANÁLISE ESTRUTURAL DE GRELHAS - ESTUDO DE GRELHAS EQUIVALENTES EQUIVALENTES STRUCTURAL GRIDS ANALYSIS - STUDY OF EQUIVALENT GRIDS

Guilherme Cesar Rodrigues Costa (1); Alberto Vilela Chaer (2)

(1) Graduando em Engenharia Civil pela Pontifícia Universidade Católica de Goiás, PUC-GO, Departamento de Engenharia, Engenharia Civil, Goiânia, Brasil. [email protected] (2) Professor, Mestre, Pontifícia Universidade Católica de Goiás, PUC-GO, Departamento de Engenharia, Engenharia Civil, Goiânia, Brasil [email protected]

Resumo No presente trabalho realizou-se a análise estrutural de várias grelhas planas de barras ortogonais e de sistemas de grelhas planas equivalentes para lajes maciças apoiadas sobre vigas. Especificamente para a análise de lajes maciças através da simulação de grelha equivalente, os momentos fletores e os esforços cortantes obtidos foram comparados com os resultados de diferentes considerações presentes na literatura e implementadas em softwares comerciais. Foram utilizados diferentes fatores para redução da Inércia à Torção para aproximação de uma análise não linear física, considerando a fissuração de seções torcidas, com objetivo de criar um modelo aproximado de uma laje maciça real, e realizar o comparativo, objetivo deste trabalho.

Abstract In the present work, several structural analysis of flat orthogonal bars grids and equivalent planar grids for solid slabs supported on beams systems was performed. Specifically, for the analysis of solid slabs through grid equivalent simulation, the bending moments and shear forces obtained are compared with the results of different considerations referenced in literature and implemented in commercial software. Different factors are used to reduce torsion inertia in order to approach a physical nonlinear analysis considering cracking of twisted sections, aiming to create an approximate model of a real solid slab, and perform comparative purpose of this study. ________________ ________________________ _________________ ________________ ________________ _________________ ________________ ________________ ________ Trabalho de Conclusão de Curso – Engenharia Civil

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ENGENHARIA CIVIL 1. INTRODUÇÃO

Durante o curso de Engenharia Civil, devido à grande quantidade de disciplinas e a pequena carga horária das aulas, alguns assuntos não tem o tempo necessário para serem estudados de maneira satisfatória, sendo que alguns conteúdos dos planos de ensino ficam relegados à informação e comentários superficiais. É caso da análise de grelhas, que é lecionada durante algumas poucas aulas, sempre ao final do semestre letivo. Sendo assim, a motivação deste trabalho é elaborar um material para consulta sobre o tema e realizar um estudo de análise estrutural de lajes maciças através da analogia de grelhas equivalentes, com a oportunidade de conhecer e utilizar softwares e ferramentas específicas para aplicações matemáticas e análise estrutural.

2. SISTEMA ESTRUTURAL EM GRELHA

2.1.

GRELHAS PLANAS

São estruturas planas representadas por barras unifilares, que são submetidas a carregamentos perpendiculares ao plano da estrutura (Fontes, 2005). A figura 2.1.1 representa uma grelha plana. Comumente são utilizadas grelhas planas para modelar lajes e vigas como uma malha de barras, com rigidez à flexão e rigidez à torção. Para o caso de lajes planas de concreto armado, a alternativa da analogia de grelhas é uma aproximação mais realista, em que, no equilíbrio dos nós, a rigidez à torção da extremidade de uma barra, soma-se a rigidez à flexão da extremidade de outra barra, e vicev iceversa. Considera-se também nesse processo, parâmetros importantes como a influência da flexibilidade das vigas, e a real rigidez à torção das lajes e vigas. Esse é um processo que vem sendo muito utilizado por programas computacionais de análise de estruturas de concreto armado, e tem uma grande aceitação no meio profissional (Cunha Junior, Lima e Oliveira, 2013). ________________ ________________________ _________________ ________________ ________________ _________________ ________________ ________________ ________ Trabalho de Conclusão de Curso – Engenharia Civil

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ENGENHARIA CIVIL Neste trabalho, grelhas planas ortogonais foram utilizadas para representar as estruturas em estudo.

Figura 2.1.1. – Exemplo de uma Grelha Plana composta por duas barras ortogonais, com carregamentos distribuído e concentrado.

2.2.

ANALOGIA DE GRELHAS PLANAS EQUIVALENTES EM LAJES MACIÇAS

A análise estrutural de lajes maciças de concreto armado através da analogia de grelha equivalente consiste em representar a laje maciça através de uma malha de elementos de barra, equivalentes a uma faixa da laje. É possível também representar as vigas de apoio da laje, como pode ser visto no exemplo da figura 2.2.1. Cada barra possui suas características físicas, em função do material, e suas características geométricas em função da discretização da grelha. Os carregamentos provenientes do peso próprio e demais carregamentos na área da laje maciça, são aplicados nas barras da grelha como carregamentos equivalentes, distribuídos em função da área de influência de cada barra (Stramandinoli, 2003). A figura 2.2.2 exemplifica os carregamentos equivalentes em função das áreas de influência das barras de uma grelha.

_________________________________________________________________________ Trabalho de Conclusão de Curso – Engenharia Civil

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Figura 2.2.1. – Exemplo de uma Grelha

Figura 2.2.2. – Carregamento nos nós: carga equivalente

Plana composta por duas barras

nodal P – e Carregamentos nas barras, Carga distribuída

ortogonais,

equivalente Q. (Stramandinoli, 2003)

com

carregamentos

distribuído e concentrado.

2.3.

RIGIDEZ À TORÇÃO EM GRELHAS EQUIVALENTES

Uma propriedade da malha de grelha equivalente é levar em consideração a rigidez a torção (J) e flexão (I) da laje, que são concentradas em suas barras, permitindo uma análise estrutural com resultados muito aproximados de uma laje maciça real. A resistência à torção dos elementos de concreto armado cai rapidamente com a fissuração, que é uma característica do material. Essa rigidez à torção diminui ao ponto de se tornar praticamente desprezível com o aumento das deformações. Nos modelos de grelha equivalente, uma forma de representar a perca de rigidez do concreto devido à fissuração é reduzir a Inércia a torção das barras da grelha. Diferentes autores propõem diferentes índices para a redução da inércia a torção das barras da grelha de lajes e vigas. Stramandinoli (2003), em seu estudo sobre a rigidez a torção aplicada em malhas de grelha, diz que a relação entre rigidez à torção e flexão ideal varia entre J/I = 1,85 e J/I = 1,75. E ainda conclui que para cada um dos esforços solicitantes, existe uma relação J/I ideal que aproxima com os resultados da teoria elástica. _________________________________________________________________________ Trabalho de Conclusão de Curso – Engenharia Civil

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ENGENHARIA CIVIL Neste trabalho utilizou-se apenas um espaçamento entre as barras da malha de grelha, de 40 cm. Já a Inércia à torção foi tratada como propõem diferentes autores, segundo a figura 2.3.1.

Métodos de Redução da Inércia a Torção 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

100% 100%

100%

20%

20% 16,67%

15%

10%

15%

1% Vigas S/ Redução

Chust

Lajes Sussekind

TQS

NBR 6118

Figura 2.3.1. – Redução da Inércia à Torção em diferentes proporções segundo diferentes autores, tanto para barras das lajes e quanto das vigas de apoio.

2.4.

MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS

É um dos métodos utilizados para resolver estruturas estaticamente indeterminadas. As incógnitas são os deslocamentos lineares e rotações dos nós rígidos. O problema resulta na solução de um sistema de equações de equilíbrio de forças, visto na figura 2.4.1.

[] {}  {}  {} Figura 2.4.1 – Equação Matricial de equilíbrio de forças. Sg: Matriz de Rigidez Global Δ : Vetor dos deslocamentos

β0 : Vetor de Reações Nodais

CN : Vetor das Cargas Nodais


5


O número de incógnitas será, então, o número de deslocabilidades, que corresponde ao número de rotações e deslocamentos lineares necessários para tornar a estrutura indeslocável (sistema principal). As deslocabilidades serão chamadas de Δj, onde j será o número de cada deslocabilidade. Segundo Süssekind (1987), em estruturas onde podemos desprezar as deformações axiais sofridas por esforços externos, que é o caso de grelhas, para pequenos deslocamentos e pequenas rotações, a variação de comprimento da barra será muito pequena, podendo ser desprezada, já que não constituirá erros peculiares ao método quando no cálculo das deformações. Para o caso de grelhas planas, um nó irá possuir três graus de liberdade, uma rotação em x, rotação em y, e um deslocamento ao longo de z, que serão respectivamente os Δ1, Δ2 e Δ3.

Figura 2.2.2. – Devido a rotações, e deslocamentos lineares, a variação do comprimento da barra AB é pequena, podendo ser desprezada, de modo que se coincidem LAB≡ LA’B’


6


Θy ≡Δ2

Θx ≡Δ1 δz ≡Δ3

Figura 2.2.3. – Grelha plana ortogonal, com seus graus de liberdade.

Para obter os diagramas de esforços solicitantes da estrutura através do método dos deslocamentos, utilizou-se o roteiro sugerido por Süssekind (1987). 1º - Escolha do Sistema Principal (S.P.), obtido bloqueando-se as deslocabilidades, rotações com blocos rígidos, os deslocamentos com apoios de 2º gênero. 2º - Resolução da estrutura para os carregamentos ao longo das barras, obtendo-se o vetor {β0} e, para cada uma das incógnicas Δ j, atribuindo-se o valor unitário a cada deslocamento, obter a matriz de rigidez [Sg]. 3º - Cálculo dos deslocamentos gerados pelas rotações e deslocamentos lineares, através da expressão matricial: {}  [ ]  {}  {}) . 4º - Obter os Efeitos Finais através da expressão:     ∑   Para obter a matriz de rigidez, são calculadas as ações de engastamento perfeito para cada barra, assim como as reações, para cada deslocabilidade Δ j. As ações de engastamento perfeito são:


7




   



   







 





 





 











 





 

 Figura 2.2.4. – Ações de Engastamento Perfeito (Süssekind, 1987)

2.5.

MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

O Método dos Elementos Finitos (MEF) é um método consagrado e amplamente utilizado em todo o mundo por ser um método com aplicação computacional facilitada, permitindo sua programação. É aplicado na engenharia, principalmente, através de softwares de modelagem e análise estrutural. O método dos elementos finitos é uma

evolução do método dos deslocamentos, onde o processo de resolução da estrutura foi otimizado para uma implementação computacional, permitindo sua aplicação em estruturas de grande complexidade. Neste trabalho foi utilizado o software SAP2000 para determinação dos esforços solicitantes no modelo de grelha equivalente de laje maciça.


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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ENGENHARIA CIVIL 3. RESULTADOS

3.1.

RESULTADOS INICIAIS

Inicialmente foi realizada a análise estrutural de quatro grelhas ortogonais, utilizando-se do método dos deslocamentos. Seguiu-se o roteiro sugerido por Süssekind (1987). As grelhas foram calculadas de forma manual, para obter os deslocamentos gerados pelos carregamentos, e enfim, obter os deslocamentos nodais da estrutura. O objetivo do cálculo manual foi a revisão do método dos deslocamentos e da analogia de grelhas. As mesmas grelhas foram geradas e analisadas pelo método dos elementos finitos utilizando o software SAP2000. Foram encontradas diferenças entre os valores dos esforços solicitantes

nas grelhas 2, 3 e 4, entre o cálculo manual e o do SAP2000. Foram encontrados erros na solução manual, referentes à orientação das coordenadas locais e globais, e pequenos erros de digitação. O modelo manual foi corrigido e os valores ficaram totalmente iguais. Esses resultados corrigidos encontram-se nos anexos.

3.2.

GRELHAS EQUIVALENTES COM REDUÇÃO DA INÉRCIA À TORÇÃO

Para efeito de comparação, foram calculados os esforços solicitantes e as reações de apoio de uma laje isolada com 4,00 x 5,20m, λ = 1,3, espessura h = 10 cm, e um painel de laje com duas lajes de L1: 4,00 x 5,20 m e L2: 3,20 x 5,20m, respectivamente λ1 = 1,3 e λ2 = 1,63, e espessuras iguais h = 10 cm. Os modelos podem ser vistos na figura 3.2.1. Nesses modelos foram aplicadas diferentes reduções da Inércia à Torção nas barras da grelha de laje e das vigas de apoio, de acordo com os autores da figura 3.2.1. Essas inércias foram calculadas automaticamente pelo software SAP2000, e aplicadas manualmente em cada caso, os índices de redução. Segundo Stramandinoli (2003), não existe uma regra geral para o cálculo da Inércia à Torção. Foi constatado que o SAP2000 utiliza as fórmulas propostas por Gere e Weaver (1980) para o cálculo das inércias à torção, que podem ser vistas na figura 3.2.2. Para as condições de contorno das vigas na laje isolada, _________________________________________________________________________ Trabalho de Conclusão de Curso – Engenharia Civil

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ENGENHARIA CIVIL foi considerado um engaste em uma das vigas no sentido do maior vão, e uma do menor vão. Na o painel de lajes, todas as vigas foram consideradas apoiadas.

Figura 3.2.1. Modelagem das lajes maciças em grelha equivalente no SAP2000, à esquerda, o painel de lajes maciças com duas lajes, e à direita a laje isolada. As vigas de apoio foram consideradas simplesmente apoiadas em toda sua extensão para efeito de comparação com outros métodos, que não consideram o deslocamento das vigas.

Figura 3.2.2. Fórmulas propostas por Gere e Weaver para o cálculo da Inércia à Torção de elementos Retangulares. Onde h = maior dimensão da seção transversal, b = menor dimensão da seção transversal.

3.3.

MÉTODOS UTILIZADOS PARA REDUÇÃO DA RIGIDEZ À TORÇÃO

3.3.1. REDUÇÃO DA RIGIDEZ À TORÇÃO SEGUNDO SÜSSEKIND

Süssekind (1987) propõe que a torção pode ou não ser uma solicitação indispensável ao equilíbrio e à estabilidade de uma estrutura, classificando-a como torção de equilíbrio ou torção de compatibilidade. Para o caso onde ocorre uma torção de equilíbrio, é indiscutível considerar a rigidez à torção real, onde sua redução irá comprometer com a estabilidade da estrutura, como exemplo de marquises de concreto armado vista na figura 3.3.2.1. Já em casos de estruturas sob torção de compatibilidade, é plausível reduzir a Inércia a Torção para desconsiderar a perca de rigidez devido a fissuração do concreto.


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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ENGENHARIA CIVIL Para análise estrutural de lajes maciças através da analogia de grelha equivalente, Süssekind sugere adotar a rigidez à torção apenas com 1/5 do seu valor, ou seja, apenas 20% para todos os elementos da grelha. Os diagramas dos esforços solicitantes dos modelos resolvidos pelo SAP2000 encontram-se em anexo. Essa consideração a favor da segurança permite um giro maior dos apoios, criando uma situação mais aproximada da realidade.

Figura 3.3.2.1. Torção de Equilíbrio na figura à esquerda, e torção de compatibilidade na figura à direita.

3.3.2. REDUÇÃO DA RIGIDEZ À TORÇÃO SEGUNDO CHUST

Roberto Chust Carvalho (1994), diz que pode-se considerar o valor da Inércia à torção do elemento de viga no estádio II, igual a 10% daquele dado pela resistência dos materiais, portando utiliza-se a fórmula da figura 3.3.3.1.  

   



 



   

Figura 3.3.2.1. Fórmula da Inércia à Torção J, segundo Chust.

Chust lembra ainda que os valores do módulo de deformação longitudinal à compressão do concreto (Ec), o módulo de deformação transversal (Gc) e o valor do coeficiente de Poisson (ν) podem ser determinados segundo a NBR 6118.

Os diagramas de esforços solicitantes do modelo de grelha equivalente com a redução da inércia à torção dos elementos de vigas segundo Chust encontram-se em anexo, e os resultados no item 3.3.7. _________________________________________________________________________ Trabalho de Conclusão de Curso – Engenharia Civil

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ENGENHARIA CIVIL 3.3.3. SOLUÇÃO IMPLENTADA PELO CAD/TQS PARA RIGIDEZ À TORÇÃO

O sistema CAD/TQS, altamente utilizando e consagrado no mercado de engenharia civil no Brasil, adota uma solução a favor da segurança, em que sugere uma redução da Inércia à torção J nos elementos de laje da grelha em J/6 e para elementos de viga de J/100, ou seja, adota 16,67% da Inércia a torção das lajes, e 1% da inércia à torção de elementos de viga. Essa solução equivale a considerar que os apoios da laje são rótulas, sem nenhuma resistência ao giro, permitindo o giro máximo das vigas de apoio, consequentemente, máximas flechas e máximos momentos positivos na laje para análise da estrutura no ELU. É o modelo mais próximo dos métodos que utilizam da teoria das placas, onde o momento negativo no apoio das lajes com as vigas é desprezível.

3.3.4. TRATAMENTO DA RIGIDEZ À TORÇÃO SEGUNDO A NBR 6118:2003

O item 14.7.6.2 da NBR 6118:2003, permite a modelagem dos pavimentos de edifícios como grelhas, para estudo das cargas verticais. É permitida a redução da rigidez à torção para 15% da rigidez elástica, exceto para elementos com protensão. Encontra-se ainda na referida norma, que no caso da torção de compatibilidade, onde a torção não é necessária ao equilíbrio, é possível desprezá-la desde que o elemento estrutural tenha adequada capacidade de adequação plástica, e que todos os outros esforços sejam calculados sem considerar os efeitos por elas provocados. Neste trabalho, utilizou-se o índice de 15% da rigidez à torção plástica para todos os elementos das grelhas equivalentes.

3.3.5. OUTROS RESULTADOS PARA COMPARAÇÃO

Para comparação de resultados foram calculados os esforços solicitantes e reações de apoio das lajes analisadas, através de tabelas. Foram utilizadas as tabelas de _________________________________________________________________________ Trabalho de Conclusão de Curso – Engenharia Civil

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ENGENHARIA CIVIL Bares(Pinheiro, 2003) e Kalmanok (Araújo, 2010), que segundo Miranda (2012), são os métodos simplificados mais aproximados dos resultados através do método dos elementos finitos. Uma forma prática de modelar lajes maciças é através de elementos de placas. Foi utilizado neste trabalho, para comparação de resultados, os esforços solicitantes calculados por Miranda (2012), em seu trabalho de conclusão de curso, onde ele modelou uma laje maciça de tamanhos 4,00x5,20m, igual a utilizada nesse trabalho. Foram analisadas outras estruturas não relatadas no trabalho, com a intenção de estudar o efeito da rigidez a torção de equilíbrio em estruturas isostáticas, a influência dos pilares de canto nos momentos gerados na superfície das lajes, e a contribuição da rigidez das lajes na resistência ao giro das vigas de bordo. Os resultados dessas análises serão comentados nas conclusões do trabalho, e os diagramas de esforços solicitantes em anexo.

3.3.6. GRELHA SEM REDUÇÃO DE INÉRCIA À TORÇÃO

O primeiro modelo de grelha equivalente de laje maciça para o qual foram obtidos os esforços solicitantes, não foi aplicado nenhuma redução da Inércia à Torção, para efeito de comparação. A primeira conclusão analisando os diagramas de esforços, foi que manter a rigidez à torção com 100% do seu valor é uma análise que foge da realidade, é contra a segurança e economia. Por considerar a inércia à torção total, tanto para a laje quanto para as vigas de apoio, a rotação dos apoios foi reduzida, gerando flechas pequenas, e aumentando os momentos negativos da laje. A armação de uma laje com essas características seria contra economia, pois a área de aço das ferragens negativas da laje seria exagerada, tanto para combater os momentos e as flechas no meio do vão. Os diagramas de esforços solicitantes podem ser vistos nos anexos. Foi verificado em todos os casos, mas de forma mais exagerada, picos de momento no canto de encontro das vigas simplesmente apoiadas, picos de momentos fletores. O motivo foi a discretização insuficiente da malha nesse ponto, onde a concentração de _________________________________________________________________________ Trabalho de Conclusão de Curso – Engenharia Civil

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ENGENHARIA CIVIL esforços solicitantes de momento torçor e momento fletor, geram erros grosseiros no modelo.

3.4.

COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS

Os resultados das grelhas equivalentes com as diferentes reduções de inércia à torção, calculados através do software SAP2000, estão divididos entre os itens 3.4.1, onde são apresentados os resultados dos modelos de grelha equivalente de laje maciça isolada, e 3.4.2, em que os resultados para o modelo de grelha equivalente de um painel de lajes formado por 2 lajes. Os dados estão dispostos em tabelas, e foram utilizados gráficos de barras para uma compreensão melhor dos resultados. Os diagramas de esforços solicitantes de todos os modelos encontrados nas tabelas podem ser vistos nos anexos.


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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ENGENHARIA CIVIL 3.4.1. GRELHA EQUIVALENTE DE LAJE MACIÇA ISOLADA

Tabela 3.4.1.1. Comparação dos Esforços Solicitantes e Reações de Apoio da Laje Maciça 4,00x5,20 m, com Diferentes Inércia a Torção J - Viga S/ Redução 100%

(m 4 )

(m 4 )

J - Laje

Reações (kgf/m)

Moment os Máximos (kgf.m/m)

Vx

Vy

Vx'

Vy'

Mx+

Mx-

My+

My-

1,264E-03

100%

1 ,123E-04

602

305

1290

677

354

872

201

742

Chust

10%

1,264E-04

100%

1,123E-04

688

317

1445

756

542

1012

260

868

Sussekind

20%

2,528E-04

20%

2,246E-05

694

287

1574

724

574

1156

298

912

TQS

1%

1,264E-05 16,67% 1,872E-05

870

365

1657

724

687

1308

374

1005

NBR 6118

15%

1,896E-04

722

293

1600

727

608

1197

317

936

15%

1,684E-05

Teoria Elástica

Reações (kgf/m)

Moment os Máximos (kgf.m/m)

Vx

Vy

Vx'

Vy'

Mx+

Mx-

My+

My-

Bares

789

651

1170

951

487

1124

300

937

Kalmanok

614

481

1209

1046

498

1100

323

905

Placas (Max)

598

592

907

855

565

1129

360

938

Tabela 3.4.1.1. Comparação entre os esforços solicitantes e reações de apoio do modelo com diferentes reduções de inércia a torção, métodos que utilizam a teoria das placas.

Reações de Apoio e Esforços Solicitantes

1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 Vx

Vy

S/ Redução NBR 6118

Vx'

Vy'

Chust Bares

Mx+

Sussekind Kalmanok

Mx-

My+

My-

TQS Placas (Max)

Figura 3.4.1.2. Gráfico comparativo entre os esforços solicitantes e as reações de apoio. Momentos em kgf.m/m e reações em kgf/m


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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ENGENHARIA CIVIL 3.4.2. GRELHA EQUIVALENTE DE PAINEL DE LAJES MACIÇAS Tabela 3.4.1.2. Comparação dos Esforços Solicitantes e Reações de Apoio da Laje Maciça 4,00x5,20 m, com Diferentes Inércia a Torção

S/ Redução Chust Sussekind TQS NBR 6118

J - Viga

J - Laje

(m4 )

(m4 )

100%

100%

L1

1,264E-03

1,123E-04

L2

10%

100%

L1

1,264E-04

1,123E-04

L2

20%

20%

L1

2,528E-04

2,246E-05

L2

1%

16,67%

L1

1,264E-05

1,872E-05

L2

15%

15%

L1

1,896E-04

1,684E-05

L2

Reações (kgf/m) Momentos Máximos (kgf.m/m) Viga Central Vx Vy Mx+ MxMy+ My-

Lajes

Teoria Elástica

Lajes

Bares

L1 L2

Vx'

L2

446

373

836

204

524

280

301

298

730

120

353

5 22

472

497

962

264

180

510

314

377

939

157

139

547

544

380

818

309

45

515

386

306

815

236

59

7 95

482

844

1254

361

34

2628

664

324

507

1249

166

23

Vx'

519

405

697

1141

310

310

2472

528

260

463

1087

129

200

1992

2268

Vx'

2372

Vx'

Viga Reações (kgf/m) Central Vx Vy Vx'

L1

Kalmanok

1 90

Vx'

Mx+

Mx-

My+

My-

933

549

565

1238

290

0

806

439

422

878

146

0

802

497

577

1288

318

0

693

401

406

880

168

0

2544

Vx'

Momentos Máximos (kgf.m/m )

2645

Tabela 3.4.1.2. Resultados dos esforços solicitantes e reações de apoio obtido pelo método dos elementos finitos através do SAP2000. 1250 1000 1 750 e j a L 500 250 0 Vx

Vy

Mx+

Mx-

My+

My-

Vx

Vy

Mx+

Mx-

My+

My-

1250 1000 2 e j a L

750 500 250 0

S/ Redução

Chust

Sussekind

TQS

NBR 6118

Bares

Kalmanok

Figura 3.4.2.2. Gráfico comparativo dos esforços solicitantes e reações de apoio de cada laje do painel


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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ENGENHARIA CIVIL 4. CONCLUSÕES

4.1.

RESULTADOS ENCONTRADOS

As grelhas equivalentes moldadas e analisadas durante o trabalho possuem resultados de esforços e reações diferentes, mas aproximadas do esperado. Ficou claro que considerar a redução da Inércia à torção, na análise de uma laje maciça de concreto armado, é indiscutível para obter resultados através da analogia de grelha aproximados da realidade. Sem nenhuma redução da rigidez à torção em função da fissuração do concreto, o modelo de grelha equivalente, fica, apesar de plausível com a teoria de estruturas reticuladas, incompatível com as estruturas reais, por desconsiderar uma característica peculiar do concreto armado, a fissuração, o que caracteriza a não linearidade física, do material.

4.2.

USO DE GRELHAS EQUIVALENTES

Foi de grande importância o estudo de grelhas, pois uso da analogia de grelhas equivalentes para moldar painéis de lajes maciças é amplamente aceito e consagrado pelos projetistas. Softwares renomados no mercado brasileiro utilizam da técnica de grelha equivalente para analisar lajes maciças, com a vantagem de considerar a contribuição e influência das vigas nos deslocamentos e esforços finais nas lajes. O uso da grelha equivalente para moldar painéis de lajes maciças e outros tipos de lajes, é altamente recomendado, pois simula de forma muito satisfatória pavimentos inteiros de edifícios, considerando todas as lajes trabalhando em conjunto para determinação dos esforços, fazendo a compatibilização dos momentos e reações da forma mais aproximada de um modelo real. Esta é uma solução já implementada por diversos softwares, e é regulamentada pela norma NBR 6118:2003.


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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ENGENHARIA CIVIL 4.3.

CONSIDERAÇÕES SOBRE OS MÉTODOS DE REDUÇÃO DA INÉRCIA À TORÇÃO

Entre os métodos utilizados para reduzir a inércia à torção, o que mais se aproxima dos resultados obtidos pelas tabelas de Kalmanok (Araújo, 2010), foi o utilizado pelo sistema CAD/TQS. Essa redução é a favor da segurança, onde é considerado uma percela mínima de contribuição da área de concreto à combater os esforços de torção, momentos fletores nas lajes, e considera os apoios como rótulas, onde a solicitação à torção é mínima. É boa forma de analisar a estrutura em concreto armado no estado limite último, como se ela já estivesse toda fissurada, e a resistência aos esforços ficam sob a responsabilidade das armaduras. É, portanto uma medida contra economia, onde em algumas situações, a área de aço será maior que a de modelos onde foram empregadas outras formas de redução da inércia à torção. Reduzir a inércia à torção de elemento na analise estrutural, significa em termos práticos, que a região efetiva de concreto que irá combater determinado esforço solicitante, no caso a torção, foi reduzida. Essa é uma aproximação de uma análise estrutural não linear. Para uma análise não linear completa, muitas outras considerações devem ser tomadas para que os esforços finais gerados se aproximem cada vez mais da realidade.

4.4.

OUTROS RESULTADOS

Foi modelada em grelha equivalente a estrutura de uma marquise, uma laje em balanço apoiada em uma viga bi apoiada. Nesse caso, a torção é essencial para o equilíbrio da estrutura e, como o próprio nome sugere, trata-se de uma Torção de Equilíbrio, que é independente da rigidez do conjunto. Neste caso, a estrutura em balanço é isostática, sendo o momento negativo máximo, aquele momento que se transforma em momento de torção na viga que “engasta” a marquise. Considerando a viga com apoios de segundo gênero, a

estrutura torna-se hipostática, e impossível de se determinar os esforços e deslocamentos. Colocando os engastes nos apoios da viga, é possível perceber que reduzindo de forma gradual a rigidez à torção nos elementos do modelo, a estrutura passa a se comportar como _________________________________________________________________________ Trabalho de Conclusão de Curso – Engenharia Civil

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ENGENHARIA CIVIL uma estrutura hipostática, gerando deslocamentos gigantescos, incompatíveis com a realidade. Ou seja, no caso da Torção de Equilíbrio, a consideração da não linearidade física, através da redução de rigidez de inércia a torção da viga, seria incompatível com o equilíbrio, não devendo ser considerada na análise. Foi estudada também, a contribuição da rigidez longitudinal das lajes para combater o giro gerado pelo momento de torção nas vigas de apoio devido a flexão das lajes, como pode ser observado na figura 4.4.1.

Figura 4.4.1. Reação axial nas lajes de concreto armado, ao giro nas vigas, que c ontribuem para combater o momento torçor.

4.5.

IMPORTÂNCIA DO TRABALHO REALIZADO

A contribuição deste trabalho como complemento do ensino acadêmico foi imensa, pois foi necessária a revisão de muitas disciplinas, entre elas resistência dos materiais, teoria das estruturas, estruturas em concreto armado, entre outras, além da ótima experiência proporcionada pela oportunidade de utilizar vários softwares profissionais. Durante a graduação de Engenharia Civil, o acadêmico passa no mínimo cinco anos frequentando a universidade, quase sempre em uma fase da vida que envolve muitas mudanças. Esse tempo, por maior que pareça, é muito pequeno para garantir o ensino completo de engenharia, mesmo que seja de uma das várias especializações da engenharia civil. Isso fica ainda mais óbvio, pelo fato de que a engenharia civil é uma ciência que envolve alta tecnologia, e por mais que muitas de suas técnicas sejam antigas, está em constante atualização. Ficou clara então, a importância do constante estudo, e até reciclagens durante a vida de um profissional de engenharia civil, e de qualquer área das ciências tecnológicas.


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SUGESTÃO DE ESTUDOS FUTUROS

Para continuação da pesquisa envolvendo o tema de análise estrutural de estruturas em concreto armado, ficam algumas sugestões de temas que podem trazer grande contribuição para o estudante de engenharia civil.



A Influência do espaçamento entre as barras de uma grelha equivalente de lajes maciças em concreto armado.



Análise estrutural de grelhas equivalentes para os sistemas de lajes lisas.



Análise estrutural de grelhas espaciais equivalentes de estruturas em concreto armado.



Análise não linear completa (física e geométrica) de estruturas de concreto armado.

5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ABNT NBR 6118:2003, Associação Brasileira de Normas Ténicas, Norma Brasileira - Projeto de estruturas de concreto – Procedimento; ©ABNT 2007 ARAÚJO, J. M., Curso de Concreto Armado Volume 2, Editora Dunas, 2010

CARVALHO, R. C., Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de Concreto Armado Volume 2,Editora Edufscar, 2009

CUNHA JUNIOR, B.F.R., LIMA, E.C. & OLIVEIRA, J. C. A. O., Estudo Comparativo de Cálculo de Lajes – Analogia de Grelha x Tabela de Czerny, Dissertação (Conclusão de Curso), 2003


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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ENGENHARIA CIVIL FONTES, F. F., Análise Estrutural de Elementos Lineares Segundo a NBR6118:2003, Dissertação (Mestrado), Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2005

GERE, J. M. & WEAVER, W, J., Análise de Estruturas Reticuladas, Editora Guanabara, Rio de Janeiro, 1981

STRAMANDINOLI, J. S. B. , LORIGGIO, D. D., Estudo da Rigidez à Torção para aplicação do Processo de Analogia de Grelhas em Lajes Maciças, V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto, 2003

SÜSSEKIND, J. C., Curso de Análise Estrutural Volume III, Editora Globo, Rio de Janeiro, 1987

SÜSSEKIND, J. C., Curso Concreto Armado Volume II, Editora Globo, Rio de Janeiro, 1987

MIRANDA, M. H., CHAER, A. V., Análise Comparativa Entre Processos Simplificados e Processos Numéricos para Determinação de Esforços em Lajes Maciças de Concreto Armado, Trabalho de Conclusão de Curso, Engenharia Civil, PUC Goiás, (2012)


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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ENGENHARIA CIVIL 6. ANEXOS

Estão aqui dispostos apenas os principais anexos para compreensão desse trabalho, divididos entre as seções a seguir. Durante a realização foram utilizados diferentes softwares: MathCAD 14, SAP2000, AutoCAD 2012, e MS Excel. Os arquivos gerados por eles estão disponíveis no link a seguir. Estão disponíveis também os arquivos referentes aos resultados inicias, onde foi utilizado o MathCAD14 para determinar os esforços de 4 grelhas planas. Os arquivos estão disponíveis para continuação de estudos, e para melhor compreensão dos conteúdos apresentados nesse trabalho.

http://crcguilherme.hol.es/tcc/

Instruções de acesso: Para acessar o link, basta digitar a URL acima em qualquer browser, exatamente como disposto acima. Quaisquer dúvidas ou problemas de acesso entre em contato através do e-mail [email protected]


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ESFORÇOS SOLICITANTES DA TABELA 3.4.1.2.

Para a tabela 3.4.1.1. deve-se considerar no diagrama acima, apenas os esforços referentes à Laje L1.


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DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES

Segue em anexo, os diagramas de momentos fletores e momentos torçores dos modelos de grelha equivalentes utilizados neste trabalho. Os valores do diagrama de momentos fletores encontram-se nas tabelas do item 3.4. Cada diagrama possui valores diferentes, mas a escala é única para todos. 

Laje Isolada: DMF e DMT Sem Redução da rigidez à torção:

DMF e DMT com redução rigidez à torção segundo Chust:


24

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ENGENHARIA CIVIL DMF e DMT com redução rigidez à torção segundo Sussekind:

DMF e DMT com redução rigidez à torção segundo NBR6118:

DMF e DMT com redução rigidez à torção implementada pelo sistema CAD/TQS:


25




Painel de Lajes com 2 Lajes :

DMF e DMT Sem Redução da rigidez à torção:

DMF e DMT com redução rigidez à torção segundo Chust:

DMF e DMT com redução rigidez à torção segundo Sussekind:


26

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ENGENHARIA CIVIL DMF e DMT com redução rigidez à torção segundo a NBR6118:

DMF e DMT com redução rigidez à torção segundo a solução do TQS:


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análise estrutural de lajes maciças através da analogia de grelhas equivalentes

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