Análise de sistemas complexos capítulo 6

6

Capítulo

ANÁLISE DE SISTEMAS COMPLEXOS CONCEITOS APRESENTADOS NESTE CAPÍTULO Este capítulo retoma e aprofunda os assuntos tratados no Capítulo 5, apresentando a análise de sistemas complexos. Quatro procedimentos de análise são detalhados: o método da decomposição, o método do tie set e do cut set, o método da tabela booleana e o método da tabela de redução. Uma lista de exercícios é apresentada ao final do capítulo.

6.1. INTRODUÇÃO Arranjos estruturais podem ser simples ou complexos, dependendo do grau de dificuldade para determinação de suas expressões de confiabilidade. Sistemas simples incluem arranjos em série, paralelo, combinações série-paralelo e paralelo-série, e arranjos do tipo k-em-n. As expressões de confiabilidade desses sistemas são facilmente deriváveis a partir das leis básicas da probabilidade. Em um sistema em série de n componentes, por exemplo, a operação do sistema está condicionada à operação simultânea de todos os seus componentes; ou seja, a falha de componente na falha do sistema. A expressão de confiabilidade paraqualquer um sistema pode ser resulta assim obtida: (6.1) Rs = P (x1 ∩ x2 ∩ ... ∩ xn) onde P (xi) é a probabilidade de sucesso na operação do i-ésimo componente, representado pelo evento xi. Supondo componentes com modos de falha independentes entre si, obtém-se a expressão usual para a confiabilidade de um sistema em série: n

Rs = P (x1) ×...× P (xn) =

∏ Ri i =1

(6.2)

88

Flavio Fogliatto e José Luis Duarte Ribeiro | Confiabilidade e Manutenção Industrial

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Demais sistemas simples têm suas expressões de confiabilidade determinadas de forma análoga às apresentadas no Capítulo 5. Em um sistema complexo, a natureza das interconexões entre componentes não permite uma determinação direta e generalizável de sua expressão de confiabilidade, sendo necessário, para tanto, a utilização de métodos especiais. Nas seções que se seguem, quatro métodos para a determinação da confiabilidade de sistemas complexos são apresentados: (i) método da decomposição, (ii) métodos tie set e cut set iii

iv

, ( ) método da tabela booleana, e ( ) método da redução.

6.2. MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DA CONFIABILIDADE DE SISTEMAS COMPLEXOS Sistema complexos são aqueles que não podem ser modelados (ou são de modelagem difícil) como combinações de sistemas simples (série, paralelo, paralelo-série, série-paralelo ou k-em-n). Redes de computadores e sistemas urbanos de distribuição de energia e água são exemplos desses sistemas. Sistemas complexos podem ser unidirecionados ou bidirecionados. No primeiro caso, o caminho que liga um componente a outro é unidirecional, como exemplificado na Figura 6.1, em que todos os caminhos são direcionados da esquerda para a direita; no segundo caso, qualquer direção de ligação entre os dois componentes é válida. Na sequência, apresentam-se os métodos mais usuais para determinação da expressão de confiabilidade de sistemas complexos. B

C

A

D

Figura 6.1: Diagrama de blocos de um sistema complexo.

6.2.1. MÉTODO DA DECOMPOSIÇÃO

O método da decomposição, ou decomposição pivotal, é implementado identificando-se um componente-chave, x, que corte diversos caminhos do sistema. A confiabilidade do sistema será, então, expressa em termos do componente-chave, usando a seguinte expressão:

Capítulo 6

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Análise de Sistemas Complexos

Rs = P [sistema operacional|x]P(x) + P [sistema operacional|x]P(x)

(6.3)

onde P [sistema operacional|x] designa a probabilidade de o sistema estar operante, dado que o componente x está em um estado operante, P [sistema operacional|x] = probabilidade do sistema não operante, dado que o componente x está em um estado não-operante (correspondendo ao evento x), P(x) corresponde à confiabilidade do componente x no momento da análise, tal que P(x) = 1 – P(x). A escolha do componente-chave influencia diretamente os cálculos associados às probabilidades na Equação (6.3). Deve-se preferencialmente visualizar um componente condicionante que reduza o sistema complexo a dois subsistemas simples, com expressões de confiabilidade conhecidas. Uma escolha equivocada de componentechave levará a subsistemas ainda complexos, que demandarão a aplicação reiterada do método. Sendo assim, o melhor componente-chave é aquele que promove uma única decomposição no sistema. É importante observar que a aplicação reiterada do método pode ser necessária, de qualquer forma, em sistemas de alta complexidade.

EXEMPLO DE FIXAÇÃO 6.1 Considere o sistema na Figura 6.1. Trata-se claramente de um sistema complexo, já que é impossível analisá-lo usando as expressões de confiabilidade para sistemas simples. Considere A como o componente-chave e determine a expressão de confiabilidade do sistema através do método da decomposição. Solução:

Considere, inicialmente, a situação em que A está no estado operante. Nesse caso, o componente B passa a ser desnecessário para a operação do sistema, já que, havendo uma conexão direta entre o início do sistema e os componentes C e D, o caminho que passa por B levando a C jamais será utilizado. O resultado é um arranjo paralelo puro representado no diagrama de blocos da Figura 6.2(a). A expressão para a confiabilidade desse subsistema é: P [sistema operacional |A) = P(C) + P(D) – P(C)P(D) (6.4) No caso de A estar no estado não-operante, os caminhos que utilizam o componente A não estão mais disponíveis, e o sistema é reduzido ao subsistema paralelosérie da Figura 6.2(b), com expressão de confiabilidade dada por: P [sistema operacional |A) = P(B)P(C) + P(D) – P(B)P(C)P(D) (6.5)

89

90


C

C

B

D (a)

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D (b)

Figura 6.2: Diagrama de blocos do sistema quando (a) A está operante e (b) A está não-operante.

Substituindo-se as Equações (6.4) e (6.5) na Equação (6.3) tem-se como resultado a seguinte expressão para a confiabilidade do sistema: Rs = [P(C) + P(D) – P(C)P(D)]P(A) + [P(B)P(C) + P(D) – P(B)P(C)P(D)][1 – P(A)] (6.6) 6.2.2. MÉTODOS DO TIE SET E CUT SET

O segundo método para determinação da confiabilidade de um sistema complexo é baseado nos conceitos de tie set e cut set. Um tie set é um conjunto de componentes que estabelece um caminho que assegura a operação do sistema. Um tie set pode estar contido em outro; sendo assim, para fins de análise de confiabilidade é necessário determinar os tie sets mínimos, que não contêm nenhum outro tie set dentro de si. O sistema na Figura 6.1, por exemplo, é constituído dos tie sets mínimos {B, C}, {A, C} e {D}. A confiabilidade de um sistema qualquer é dada pela união de todos os seus tie sets mínimos. Tie sets mínimos representam caminhos mínimos de operação do sistema. Para identificá-los, é preciso simular um cenário no qual só os componentes no tie set estão operantes no sistema e, no caso de qualquer componente do tie set falhar, o sistema falha como um todo. Considere o tie set {A, D}, no sistema da Figura 6.1. Simulando um cenário em que somente os componentes no tie set estão operantes no sistema, para que o mesmo possa ser considerado um tie set mínimo é preciso que a falha de qualquer um de seus componentes resulte na falha do sistema. No caso do tie set {A, D} isso não ocorre, pois se A falhar, o sistema continua operante através do componente D. É por essa razão que o tie set {A, D} não está listado entre os tie sets mínimos.

Capítulo 6

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Um cut set é um conjunto de componentes que, uma vez removidos do sistema, interrompe todas as conexões entre os pontos extremos inicial e final do sistema. Um cut set mínimo é aquele que não contém nenhum outro cut set dentro de si. O sistema na Figura 6.1, por exemplo, possui dois cut sets mínimos: {B, A, D} e {C, D}. A não-confiabilidade de um sistema é dada pela probabilidade de que ao menos um cut set mínimo ocorra. Para identificar um cut set mínimo, deve-se simular um cenário em que socut set

mente os do componentes integram ocomo operantes. não estãoUm operantes; os demais componentes sistema sãoque considerados quando cut set é mínimo qualquer componente do cut set volta a operar, fazendo o sistema também voltar a operar. É por essa razão que o cut set {A, B, C, D} não é mínimo, já que se o componente C voltar a operar, o sistema continua não-operante. Os métodos de tie set e cut set para determinação da confiabilidade de sistemas complexos são ilustrados no exemplo a seguir.

EXEMPLO DE FIXAÇÃO 6.2 Considere o sistema complexo na Figura 6.3, proposto por Elsayed (1996). Os tie sets mínimos do sistema são: T1 = AE, T2 = DC, T3 = ABC

(6.7) A confiabilidade do sistema é dada pela união de todos os tie sets mínimos; isto é: Rs = P(AE ∪ DC ∪ ABC) = P(AE) + P(DC) + P(ABC)

– P(AEDC) – P(AEBC) – P(DCAB) + P(AEDCB)

(6.8)

E A

B

C

D

Figura 6.3: Exemplo de sistema complexo.

Considerando componentes idênticos e independentes com confiabilidade R, a Equação (6.8) se reduz a: (6.9) RS = 2R2 + R3 – 3R4 + R5

91

92


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O mesmo resultado pode ser obtido através do método do cut set. Os cut sets mínimos do sistema na Figura 6.3 são: e C = BED (6.10) C1 =AD ,C 2 EC = C , AC = 3 4

A confiabilidade do sistema é dada pelo complemento da união dos cut sets mínimos; isto é: RS

=−1

∪ ( ∪ ∪EC

P AD

AC

BED

)

(6.11)

Considerando componentes independentes e idênticos com confiabilidade R, lembrando que P(x ) = 1 – P(x) e substituindo esses resultados na Equação (6.11), chega-se à expressão para a confiabilidade do sistema: (6.12) RS = 2R2 + R3 – 3R4 + R5 idêntica àquela dada na Equação (6.9). 6.2.3. MÉTODO DA TABELA BOOLEANA

O presente método inicia com a construção de uma tabela booleana de verdades para o sistema. Para tanto, enumeram-se todas as combinações de estados (operante/não-operante) que os componentes do sistema podem assumir. Em outras palavras, todos os componentes são considerados como inicialmente funcionando. Em seguida, consideram-se situações quepor umdiante. componente falha de cada dois componentes falham de cada vez, e em assim A confiabilidade dovez, sistema é dada pela união de todas as combinações que têm como resultado a operação do sistema. O número total de combinações a serem analisadas em uma tabela booleana de verdades depende do número de componentes no sistema. Por exemplo, em um sistema com cinco componentes, que podem estar em um estado operante ou não-operante, o número de combinações será 25 = 32. Dessas, uma combinação  5   corresponde à situação em que todos os componentes estão operantes   = 1 ,  0   cinco combinações correspondem a situações em que apenas um componente falha  5     = 5 , e assim por diante.  1   Apesar de ser um método de baixa complexidade matemática, a utilização prática do método da tabela booleana pode ser bastante trabalhosa para sistemas com um grande número de componentes. Os cálculos podem ser implementados em uma planilha de cálculos, como exemplificado a seguir.

Capítulo 6

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EXEMPLO DE FIXAÇÃO 6.3 Considere novamente o sistema complexo na Figura 6.1 e determine a sua expressão de confiabilidade utilizando o método da tabela booleana. Solução:

Os estados operante e não-operante de cada componente são representados por 1 e 0 na Tabela 6.1; a mesma representação é adotada para os estados do sistema. A tabela booleana completa para o exemplo contém 24 = 16 combinações de estados para os componentes. Das 16 combinações, 11 correspondem a situações em que o sistema está operante. A confiabilidade do sistema é dada pela probabilidade da união dos eventos correspondentes a essas combinações; na Tabela 6.1, são apresentadas as probabilidades correspondentes às combinações, mediante suposição de componentes com modos de falha independentes. A confiabilidade do sistema, supondo componentes idênticos com confiabilidade R, é dada por: (6.13) Rs = R4 + 4R3 (1 – R) + 5R2 (1 – R)2 + R (1 – R)3 A

B

C

D

Sistema

Probabilidade

1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0

1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0

1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0

P(A)P(B)P(C)P(D) [1-P(A)]P(B)P(C)P(D) P(A)[1-P(B)]P(C)P(D) P(A)P(B)[1-P(C)]P(D) P(A)P(B)P(C)[1-P(D)] [1-P(A)][1-P(B)]P(C)P(D) [1-P(A)]P(B)[1-P(C)]P(D) [1-P(A)]P(B)P(C)[1-P(D)] P(A)[1-P(B)][1-P(C)]P(D) P(A)[1-P(B)]P(C)[1-P(D)] P(A)P(B)[1-P(C)][1-P(D)] P(A)[1-P(B)][1-P(C)][1-P(D)] [1-P(A)]P(B)[1-P(C)][1-P(D)] [1-P(A)][1-P(B)]P(C)[1-P(D)] [1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]P(D) [1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)][1-P(D)]

Tabela 6.1: Tabela parcial de verdades booleanas para o exemplo na Figura 6.1.

93

94


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6.2.4. MÉTODO DA TABELA DE REDUÇÃO

O método da tabela redução usa como ponto de partida o método da tabela booleana de verdades do sistema, conforme descrito a seguir. Elabora-se a tabela booleana de verdades para o sistema listando todas as segundas combinações de estado dos componentes do sistema. As linhas da tabela são examinadas em busca de combinações que resultem em sucesso na operação do sistema (ou seja, sistema em estado operante). Tais combinações são listadas na coluna 1 de uma nova tabela, denominada tabela de redução. Todas as combinações que resultam no estado operacional do sistema são então comparadas entre si aos pares, em busca de combinações que difiram pela inversão de uma das letras que designam o estado dos componentes (por exemplo, combinações ABC e ABC). Para essas combinações, calcula-se o produto dos termos (no caso do exemplo anterior, ABC × ABC = AB), listando os resultados na coluna 2 da tabela. As combinações resultantes na coluna 2 são então comparadas aos pares conforme descrito anteriormente, gerando combinações que serão escritas na coluna 3 da tabela. O procedimento continua até que nenhuma comparação de combinações apresente inversão de uma das letras. A confiabilidade do sistema será dada pela união de todas as combinações não incluídas nos pares para os quais as combinações são idênticas, exceto por uma única letra invertida. A ordem em que pares de combinações são analisadas em qualquer etapa do método da tabela de redução não altera os resultados obtidos.

EXEMPLO DE FIXAÇÃO 6.4 Considere novamente o sistema complexo na Figura 6.3 e determine a sua expressão de confiabilidade utilizando o método da tabela de redução. Solução:

Existem 15 combinações que resultam em sucesso na operação do sistema; essas combinações são listadas na coluna 1 da Tabela 6.2. As duas primeiras linhas da tabela, por exemplo, apresentam combinações em que apenas uma letra, correspondendo a um dos componentes do sistema, está invertida; o produto das duas combinações vem indicado na coluna 2 da tabela. A mesma lógica de análise é utilizada na coluna 2, resultando nas combinações indicadas na coluna 3.

Capítulo 6

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As combinações na coluna 3 da Tabela 6.2 não resultam em nenhuma combinação com apenas uma letra invertida, quando comparadas aos pares. Essa coluna é, assim, a última coluna da tabela. As cinco combinações não incluídas em agrupamentos de combinações diferindo por uma única letra são somadas no cálculo da confiabilidade do sistema: (6.14) RS = P(ABCDE + ABCD + ABC + ACE + ACD) Considerando componentes independentes e idênticos, com confiabilidade R, as probabilidades na Equação (6.14) resultam na seguinte expressão: RS = R3 (1 – R)2 + R3 (1 – R) + R3 + R2 (1 – R) + R2 (1 – R) Combinando os termos obtém-se como resultado a Equação (6.12). Coluna 1

Coluna2

Coluna3

Estados funcionais do sistema ABCDE

ABCD

ABCDE

ABC ABCD

ABCDE ABCDE ABCDE

ABCE

ACE

ABCDE ABCDE

ABCD

ABCDE ABCDE ABCDE

ABCE

ABCDE ABCDE

ABCD

ABCDE ABCDE

ACD

ABCD

ABCDE

Tabela 6.2: Tabela de redução para o exemplo na Figura 6.3.

(6.15)

95

96


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QUESTÕES 1)

Determine os tie sets e cut

setsmínimos

do sistema representado na Figura 6.4.

F

A D

G

B E

H

C

Figura 6.4: Diagrama de blocos do sistema. 2)

Determine os tie sets e cut

A

setsmínimos

do sistema representado na Figura 6.5.

C

B

D

F

E

G


Encontre a confiabilidade do sistema complexo representado na Figura 6.6 utilizando o método do tie set, sabendo que a confiabilidade de cada componente é igual a 0,97.

B

D

C

E

A


Calcule o diagrama do exercício anterior utilizando o método do

5)

Calcule a confiabilidade do sistema representado no diagrama da Figura 6.7, sabendo que a confiabilidade dos componentes é 0,935. Para resolvê-la utilize o método do cut set.

A

cut set.

B

C

D

E


Suponha que as confiabilidades dos componentes do diagrama na Figura 6.7 sejam: A=B=C = 0,92 e D=E = 0,95. Encontre a confiabilidade do sistema utilizando o método do tie set.

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7)

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Através do método da decomposição, encontre a confiabilidade do sistema representado pelo diagrama a seguir. Suponha que todos os componentes tenham uma confiabilidade de 0,89.

C A D B E


Um sistema produtivo de uma empresa apresenta a configuração dada na Figura 6.9.

A

C

B

D

Figura 6.9: Diagrama de blocos do sistema. A confiabilidade de cada componente é 0,95. Utilizando o método da tabela booleana, encontre a confiabilidade total do sistema.

9)

Resolva o exercício anterior através do método da tabela de redução.

10)

Um sistema de uma planta produtiva apresentaa configuração na Figura 6.10. Através do método da decomposição, utilizando como componente-chave a célula destacada, calcule a confiabilidade do sistema.

0,98

0,96

0,9

0,98 0,82

0,9


Um sistema produtivo é composto por três linhas em paralelo como representado na Figura 6.11. Calcule a confiabilidade do sistema sabendo que ele necessita de apenas uma linha operante, para estar operante.

D (0,9) A (0,7)

B (0,92) E (0,95) C (0,96)

Figura 6.11: Diagrama de blocos do sistema.

97

98


12)

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Calcule a confiabilidade de um sistema constituído por quatro componentes de confiabilidade R distribuídos conforme o esquema na Figura 6.12. Sabendo qu e R = 0,85, utilize a tabela booleana para o cálculo. A

B

C

D


Uma empresa deseja estimar seus gastos em manutenção de uma determinada peça. Sabendo que essa peça é reposta em caso de falha e que o custo de reposição é de $40,00 por peça, estime o gasto dessa empresa a cada 1.000 unidades. O diagrama na Figura 6.13 indica os componentes da peça. Considere que a confiabilidade dos componentes seja igual a 0,80.

A

C

B

D

E


Uma fábrica deseja obter um gasto com garantia de no máximo $1,00 por peça produzida. Cada peça que necessita de reparo representa uma despesa de $25,00 para a fábrica. Os componentes dessa peça estão representados no esquema na Figura 6.14. Qual deve ser a mínima confiabilidade do componente A para que os gastos com manutenção não ultrapassem o estimado pela empresa?

0,93

0,89

0,94

0,94

A


Considerando osistema apresentado na Figura 6.15, utilize o método da decomposição para determinar sua confiabilidade. Para tanto, utilize B como componente-chave.

A

D

B C

E

0,90

0,90

0,95 0,85

0,95

Figura 6.15: Diagrama de blocos genérico (acima) e especificando confiabilidades (abaixo) do sistema.

Capítulo 6

16)

|


Um sistema complexo tem configuraçãode acordo com o diagrama de blocos da Figura 6.16. Qual a confiabilidade do sistema, escolhendo-se A como componente-chave?

A

C

B

D

0,95

0,90

0,90

0,90

Figura 6.16: Diagrama de blocos genérico (acima) e especificando confiabilidades (abaixo) do sistema. 17)

Calcule a confiabilidade do sistema apresentado na Figura 6.17 utilizando o método tie set.

0,90 0,90

0,90

0,90 0,90

0,90

0,90


18)

Utilize o método da tabela booleana para obter a confiabilidade do sistema na Figura 6.18.

0,95

0,95


0,95

99

Análise de sistemas complexos capítulo 6

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