AMORTIZACIÓN CON INTERÉS SIMPLE SIMPLE Amortizar es el proceso de cancelar cancelar una deuda y sus sus intereses mediante pagos pagos periódicos. Amortización de renta fija fija:: En la amortización con interés global, los pagos son todos iguales, ya que el interés total se divide entre el número de pagos y el resultado se suma al pago a capital, llamado amortización. El abono y amortización son diferentes, ya que una parte de cada abono es para cubrir los intereses del periodo, y la otra, es decir, la amortización, se destina al capital que se adeuda haciendo que con cada cada pago se reduzca; reduzca; esto es: ABONO = INTERESES INTERESES + AMORTIZACIÓN, Ejemplo 1. Crédito que se amortiza con pagos semanales fijos. ¿De qué tamaño es el
crédito que se amortiza con 13 pagos semanales de $2,500 con interés global anual del 7.54%? Solución: Si C es el crédito, entonces la amortización semanal es A = C/13 y los intereses de cada periodo semanal son I = (0.0754/52)C o I = 0.00145C, entonces, cada abono debe ser igual a $2,500, o sea: C/13 + 0.00145C = 2,500 de donde C(1/13 + 0.0145) = 2,500 2,500 se factoriza C C(0.078373077) = 2,500
C = 2,500/0.078373077 o C = $31,898.71
Ejemplo 2 Amortización de un crédito con renta variable . Usted compra un televisor de
$6,500 con un pago inicial del 20%, y después 8 abonos mensuales con cargos del 12% simple anual sobre saldos insolutos. Hallar los pagos y los intereses. Solución
a) Luego de dar el anticipo, y hasta el final del primer mes, cuando se hace el primer abono, la deuda es del 80% del precio: C = 0.80(6,500) o C = $5,200 La amortización, es decir, el abono al capital en cada pago, es: A = 5,200/8 o A = 650 Los intereses al efectuar el primer p rimer abono son: I1 = 5,200(0.12/12) I1 = 5,200(0.01) o I1 = $52 Los intereses para el segundo abono, puesto que la deuda ya se redujo en $650, son I2 = 4,550(0.01) o I2 = 45.50 Para el tercer pago, la deuda se redujo en otros $650 y los intereses son: I3 = 3,900(0.01) o I3 = 39.00 Continuando de esta manera se llegará hasta el último pago, donde la deuda viva, dado que se han realizado 7 abonos de $650 al capital, es 5,200 − 7(650) = 650
Esto, como era de esperarse, es igual a la amortización. Los intereses son ahora I8 = 650(0.01) o I8 = $6.50 Y los 8 abonos, incluyendo intereses, son los siguientes, que se obtienen sumando a cada amortización de $650.00 los intereses del periodo, es decir, R1 = 650.00 + 52.00 o R1 = 702.00 R2 = 650.00 + 45.50 o R2 = 695.50 R3 = 650.00 + 39.00 o R3 = 689.00 y así sucesivamente, hasta R8 = 650.00 + 6.50 o R8 = 656.50 b) El total que se carga por intereses es la suma de los intereses en cada abono, esto es, I = 52.00 + 45.50 + 39.00 + . . . + 6.50 que constituye una serie aritmética con: a1 = 52.00, el primer término d =−6.50, la diferencia común y
n = 8, el número de términos entonces, la suma, es decir, el total de int ereses es I = (8/2)[2(52) + (7)(−6.50)]
Sn = (n/2)[2a1 + (n − 1)d]
I = 4(58.50) o I = $234.00 que puede comprobarse sumándolos uno por uno. Ejemplo 3. Crédito con intereses sobre saldo. El último de 15 abonos quincenales que
amortizan un crédito es de $3,016.50. ¿Por qué cantidad es el crédito, si se consideran intereses del 13.20% sobre saldos insolutos?, ¿y de cuánto es cada pago? a) Si C es el capital, es decir, el crédito, la amortización quincenal es A = C/15, porque son 15 abonos. Los intereses del último pago son I15 = (C/15)(0.132/24) o
I = Ai
I15 = C()
El último pago es, entonces,
R15 = C/15 + C()
Amortización + intereses
o R15 = ()C Se factoriza C Por lo tanto,
()C = 3,016.50
de donde
C = $45,000.00
b) Los intereses del primer abono son, entonces, I = 45,000(0.132/24) o I = 247.50 y la amortización constante es A = 45,000/15 o A = 3,000 Entonces, el primer pago es R1 = 3,000.00 + 247.50 o R1 = $3,247.50 Los intereses del segundo, puesto que ya se redujo la deuda en 3,000, son I2 = 42,000(0.132/24)
I2 = 231.00
Por lo que el segundo es R2 = 3,000 + 231 o R2 = $3,231 El tercero y los demás se obtienen restando sucesivamente la diferencia entre los dos abonos: 3,247.50 − 3,231.00 = $16.50 diferencia que es equivalente a los intereses del último pago.
¿Por qué? Entonces, R3 = 3,231.00 − 16.50 o R3 = $3,214.50 R4 = 3,214.50 − 16.50 o R4 = $3,198.00 etcétera Fórmula general. Ejemplo 4.- Suponga que se compran computadoras con un crédito de
$27,000, que se liquidan con 9 abonos mensuales con cargos del 12% simple anual sobre saldos insolutos. Hallar el tamaño de cada abono, suponiendo que son iguales, y los intereses. La amortización, es decir, el abono que se hace al capital con cada pago es un valor constante y está dado por: A = 27,000/9 o A = 3,000 que en general estará dada por A = C/n, donde n es el número de pagos y C la deuda original. Los intereses del último abono, como se observa en los ejemplos 2 y 3, están dados por I = 3,000(0.12/12) o I = 30 que se generaliza como I = (A)(i), donde i es la tasa de interés por periodo o tiempo entre un pago y otro. Este interés coincide siempre con la diferencia entre los intereses, es decir, es el valor en que se reducen los intereses de un abono al que le sigue. Los intereses del primer periodo mensual son I1 = 27,000(0.12/12) o
I1 = $270
Luego de hacer el primer pago, la deuda viva es 27,000 − 3,000 = 24,000 y los intereses ahora son I2 = 24,000(0.01) o I = $240 Como se dijo, la diferencia con los primeros es de $30. El total que se carga por intereses es igual a la serie aritmética:
I = 270 + 240 + . . . + 60 + 30
o I = 30 + 60 + . . . + 240 + 270, ya que a + b = b + a
La suma, por lo tanto, se evalúa con la fórmula del teorema 2.2, donde n = 9, el número de términos, es decir, de pagos. El primer término es a1 = 30 y a1 = A(i) y esto es igual a d, la diferencia común, por lo tanto: Note que: El saldo insoluto se mantiene fijo desde que se hace un pago hasta inmediatamente antes de hacer el siguiente, es decir, los intereses se vuelven efectivos hasta que se realiza el pago. Esta fórmula es útil para relacionar un capital C, no necesariamente una deuda, al inicio del plazo con n pagos, que se hacen al final de cada periodo devengando un interés simple sobre saldos insolutos. Es aproximada porque se distribuyeron los intereses de manera uniforme, y en realidad son mayores en la primera parte del plazo. S9 = (9/2)[2(30) + (8)(30)]
Sn = (n/2)[2a1 + (n − 1)d]
S9 = (9/2)(300) o S9 = 1,350 Al dividir entre 9, el número de pagos, se obtienen los intereses de cada uno I = 1,350/9 o I = 150, que al sumarse con cada amortización la renta o el pago mensual resulta: R = 3,000 + 150 o R = $3,150 Note que la suma de intereses en general es: Sn = I = (n/2)[2(Ai) + (n − 1)Ai]
a1 = Ai = d
I = (n/2)Ai[2 + n − 1]
se factoriza Ai
I = (n/2)(C/n)i(n + 1)
A = C/n
I = (Ci/2)(n + 1)
se cancela n
Para los intereses de cada periodo, este resultado se divide entre n, el número de pagos, luego se suma la amortización C/n y se obtiene el valor de cada pago, esto es C/n = 2C/2n Se factoriza C/2n y se obtiene la fórmula del siguiente. Una deuda C se amortiza con n pagos periódicos iguales, según la ecuación: R = (C/2n)[(n + 1)i + 2]
* donde:
i es la tasa de interés simple por periodo sobre saldos insolutos, y R es el abono periódico, la renta, Ejemplo 5.- Compruebe el ejemplo 4 con la fórmula anterior. Los valores a sustituir en la fórmula R = (C/2n)[(n + 1)i + 2] son
C = 27,000, la deuda inicial
n = 9, el número de pagos mensuales i = 0.01, la tasa de interés simple mensual Entonces, R = (27,000/18)[(9 + 1)(0.01) + 2]
2n = 2(9) = 18
R = (1,500)(0.1 + 2) R = (1,500)(2.1) o R = $3,150 que es igual al que se obtuvo en el ejemplo 4.
Ejemplo 6. Amortización de un crédito con intereses sobre saldos insolutos
Un crédito se amortiza con 20 abonos semanales fijos de $3,750 e intereses del 0.0325% simple diario. Determine: a) El valor del crédito, es decir, el capital. b) El total que se paga por intereses. Solución Para obtener el valor del crédito en la ecuación anterior (*) se reemplazan: R por 3,750, la renta o pago semanal n por 20, el número de abonos
i = 0.000325(7) o i = 0.002275, la tasa de interés semanal Entonces: 3,750 = (C/40)[(20 + 1)(0.002275) + 2] 3,750(40) = C(0.047775 + 2) 150,000 = C(2.047775) de donde: C = 150,000/2.047775 o C = $73,250.24 b) Los intereses son la diferencia entre el capital recibido en el crédito y el total que se pagó en los 20 abonos. I = 20(3,750) − 73,250.24 o I = $1,749.76
Relación entre interés simple e interés global Si en el ejemplo 6 los intereses se dividen entre el crédito, se obtiene la tasa de interés global total g:
g = 1,749.76/73,250.24 g = 0.02388743 o 2.388743%, aproximadamente y al dividir esto entre los 20 periodos semanales, se obtiene la tasa de interés global semanal: 0.02388743/20 = 0.001194372 o 0.1194372%
De aquí que para obtener una fórmula genérica para relacionar las tasas de interés global y simple en amortización con interés simple, se observa lo siguiente La tasa global es g = I/C donde los intereses son I = nR − C; esto es, el total que se paga en los n abonos, menos el capital que originalmente se debe, y por eso al sustituir queda: g=(nR−C)/C =I/Cg g = nR/C − C/C o g = (n/C)R − 1 C/C = 1
Pero la renta, según el teorema anterior, está dada por: R = (C/2n)[(n + 1)i + 2] por lo tanto, al sustituir queda g = (n/C)(C/2n)[(n + 1)i + 2] − 1 g = (1/2)[(n + 1)i + 2] − 1
se cancelan n y C
g = (1/2)(n + 1)i + (1/2)2 − 1
a(b + c) = ab + ac
g = (n + 1)(i/2)
(1/2)i = i/2 y se cancela el 1
que se formula en el siguiente. . . La tasa de interés global total g en amortizaciones con interés simple y pagos iguales es: g = (n + 1)(i/2) donde i la tasa de interés simple por periodo y n es el número
de pagos o periodos. En el ejemplo 6, la tasa de interés global total, según el teorema anterior, es: g = (20 + 1)(0.002275/2) g = 0.0238875 o 2.3887%, igual a la que se obtuvo antes. Ejemplo 8.- Comparación de tasas al comprar un automóvil
A Juan le ofrecen un automóvil a crédito con 30 mensualidades e interés global total del 15%, y en otra agencia se lo venden con el 12% de interés simple anual, ¿qué le conviene más? La tasa por periodo mensual en la segunda opción es i = 0.12/12 o i = 0.01, y el número de pagos es 30, entonces la tasa global total equivalente, según el teorema (*), es: g = (30 + 1)(0.01/2)
g = (n + 1)(i/2)
g = 0.155 o 15.5% Como éste es mayor que el 15% de la primera opción, ahí compra el automóvil. Note usted que no importa la magnitud de los pagos ni el precio del automóvil.
(**) Teorema: En la amortización de una deuda con interés simple, luego de hacer el k-
esimo abono, el saldo insoluto está dado por: S = (n − k)(C/n), donde n es el número de pagos y C es la deuda original Ejemplo 9.-Saldo insoluto, tasa de interés simple.- La compañía Empaques del Norte,
S. A. de C. V., adquiere una póliza de seguro contra incendio a un precio de $79,800, pagaderos en 12 abonos quincenales vencidos de $7,000 cada uno. ¿Con cuánto la liquidará al realizar el quinto pago? ¿y cuál es la tasa de interés simple anual? En el teorema 3.6 se reemplazan: a) n por 12, el número de abonos quincenales; k por 5 y C por $79,800, el precio de la póliza. El saldo insoluto es entonces: S = (12 − 5)(79,800/12)
S = 7(6,650) o S = 46,550 El quinto pago, incluidos los intereses, es de $7,000; entonces, para cancelar la deuda al efectuar este abono se pagarán 46,550 + 7,000 = $53,550 b) La tasa de interés simple anual se obtiene con la fórmula del teorema 3.6; sin embargo, se encuentran antes los intereses y la tasa global. Los intereses son la diferencia entre el total que se pagará y el costo de la póliza: I = 12(7,000) − 79,800 o I = $4,200
La tasa global total es g = 4,200/79,800 o g = 0.052631579 y la de interés simple i por quincena es i de la siguiente ecuación 0.052631579 = (12 + 1)(i/2) g = (n + 1)(i/2) De donde (0.052631579) (2/13) = I
o i = 0.008097166 o 0.8097166% por quincena
La anual es 0.008097166(24) = 0.194331984 o
19.4332% aproximadamente
Ejercicios 1. ¿De cuánto es el abono quincenal que amortiza una deuda de $25,000 si los intereses son de $3,750 y el plazo es de 15 meses? Considere tasa global de interés. 2. En el problema 2, ¿cuál es la tasa global total? ¿Y la global quincenal? 3. ¿Cuál es el monto de cada uno de los 20 pagos semanales que amortizan un crédito de $15,000 con una tasa global total del 4.2%? 4.- ¿Por qué cantidad fue un crédito que se amortiza con 7 pagos mensuales de $4,850, con una tasa global total del 8.7%? 5. ¿De cuánto es cada uno de los 15 abonos mensuales que cancelan un crédito de $35,000, si se consideran intereses del 1.2% global mensual? 6. Se compran abarrotes con valor de $18,750 que se liquidan con 5 pagos mensuales de $3,900 cada uno. ¿Cuál es la tasa de interés global semanal? 7.- El 40% del precio de un automóvil se paga al comprarlo, y el resto con 25 abonos mensuales de $4,000 con cargos del 0.92% global mensual. ¿Cuál es el precio del vehículo? 8.- Determine los tres primeros pagos mensuales que amortizan un crédito de $35,600, si se consideran intereses del 1% mensual sobre saldos insolutos. Suponga que son 10 y decrecen. 9.- ¿A cuánto ascienden los intereses de un crédito de $43,000 que se amortizan con 13 abonos quincenales, considerando que se cargan intereses del 0.6% quincenal sobre saldos insolutos? 10. El último de los 25 abonos mensuales que amortizan un crédito es de $2,950. ¿Por cuánto fue el crédito si se consideran intereses del 14.4% sobre saldos insolutos? 11.- Encuentre los otros 24 abonos en el problema 10. 12. Un TV se amortiza con 6 mensualidades que se reducen. ¿De cuánto es cada una si se cargan intereses del 15% anual sobre saldos insolutos? Considere que la primera fue por $135. 12. ¿Cuál es el precio de contado del reproductor del problema 26? 13. Una pizzería compra una flotilla de motocicletas con un anticipo de $30,000 y el resto con 10 abonos mensuales, de los cuales el último es de $5,250. ¿Cuál es el precio de contado de la flotilla, si se cargan intereses del 1.2% mensual sobre saldos insolutos? 14. En el problema 13, ¿de cuánto resulta cada pago si todos son iguales y no se paga enganche? 15. Un agricultor compra un tractor de $375,000, con un anticipo del 30% y 14 abonos
mensuales iguales. ¿De cuánto es cada uno si le cargan intereses del 7.3% simple anual sobre saldos insolutos? 16. Un profesor compra un auto que liquida con un enganche del 20% y 13 abonos quincenales de $528 cada uno, con intereses del 8.2% simple anual sobre saldos. ¿Cuál es el precio de contado del mueble? 17. ¿Cuánto abonará cada mes un cliente que compra el comedor del problema 31, si no paga anticipo y lo liquida en 4 mensualidades? 18. ¿Con cuántos abonos quincenales de $3,250 se cancela una deuda de $25,473, considerando intereses del 11.04% simple anual sobre saldos insolutos? 19. Para deshidratar frutas, el ingeniero Muñiz compró un horno con un enganche de $8,000 y 7 abonos mensuales de $2,750. ¿Cuál fue el precio de contado si le cargan intereses del 0.95% mensual sobre saldos? 20. En el problema 19, ¿qué tasa de interés global mensual le cargaron al ingeniero? 21. Sandra compró un automóvil con una tasa del 9.6% simple anual. Poco después se enteró de que en otro lado se lo ofrecían con el 8% global total. Considerando un plazo de año y medio y que los abonos son mensuales, ¿estará arrepentida de haberlo tratado donde lo compró? 22. ¿De cuánto es el pago mensual que amortiza un crédito de $36,400, si los intereses son de $3,900 y el plazo es de 13 meses? Considere una tasa global de interés. 23. Un crédito de $11,547.72 se amortiza con 6 pagos semanales de $1,950 cada uno. ¿Cuál es la tasa de interés global semanal? 24. ¿De cuánto es cada uno de los 4 abonos bimestrales que amortizan una deuda de $28,000, si se cargan intereses del 9% global total? 25. ¿Cuál fue el precio de una trilladora que se paga con un anticipo del 35% y 15 abonos mensuales de $60,000, considerando intereses del 13.2% global? 26. ¿Cuántos pagos de $3,050 son necesarios para amortizar un crédito de $21,500, considerando que en total por intereses se pagarán $2,900? 27. El último abono mensual para amortizar una deuda de $25,500 es por $2,565.30. ¿Cuál es la tasa de interés simple sobre saldos insolutos suponiendo que fueron 10? 28.- La tasa sobre saldos insolutos es del 14.4% simple anual y los 13 abonos quincenales son de $5,275 cada uno. ¿Por qué cantidad fue el crédito correspondiente? 29. Es el valor del primer abono mensual que cancela una deuda de $9,800 con cargos del 11.64% sobre saldos insolutos, suponiendo que son cinco. 30. ¿De qué cantidad es el último de los 7 abonos bimestrales que amortizan un crédito de $65,296 con intereses del 15% anual sobre saldos insolutos?
31. El precio de contado de una cuatrimoto es de $4750, pero la ofrecen con el 30% de anticipo y 10 mensualidades de $352.5 cada una. ¿Cuál es la tasa de interés simple sobre saldos insolutos? 32. El primer abono quincenal que amortiza un crédito de $36,400 es de $5,412. ¿Cuál es el segundo, suponiendo intereses sobre saldos insolutos y que son 7 pagos? 33. ¿Cuántos pagos semanales de $3,228.80 se necesitan para amortizar un préstamo de $25,600 con interés simple del 10.4% sobre saldos? 34. Un crédito automotriz de $125,000 se amortiza con 24 mensualidades. ¿De cuánto es cada una si se cargan intereses del 1.5% mensual sobre saldos insolutos? 35. Luego de efectuar el pago número 11, se realiza un convenio para amortizar el remanente de la deuda del problema 53 con 20 abonos quincenales. ¿De qué cantidad es el primero si decrecen? 36. Carlos compra una lancha de motor con un anticipo del 40% y 10 abonos mensuales iguales de $30,200 con cargos del 12.96% sobre saldos insolutos. ¿Cuál es el precio de contado? 37. ¿Cuántos pagos bimestrales de $8,600 se requieren para amortizar un crédito de $88.000 con intereses del 9% sobre saldos?
